Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики - Колягин Ю.М., Пичурин Л.Ф., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л., Оганесян В.А., Саннинский В.Я.

Автор: Колягин Ю.М. Пичурин Л.Ф. Луканкин Г.Л. Мокрушин Е.Л. Оганесян В.А. Саннинский В.Я.

Теги: математика педагогика прикладная математика методика преподавания

Год: 1977

Похожие

Методика преподавания математики в средней школе

Методика преподавания истории в средней школе

Методика преподавания математики в средней школе. Часть 1

Математика и физика в средней школе: Методической сборник №1

Текст

МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В СРЕДНЕЙ
ШКОЛЕ
МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Частные методики
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия для студентов физико-
математических факультетов педагогических
институтов
Москва «Просвещение» 1977
51 (07)
М54
Ю. Лк Колягин, Г. Л. Луканкин, Е. Л. Мокрушин,
В. А. Оганесян, Л. Ф. Пичурин, В. Я, Саннинский
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук проф. Г. Б. Гуревич}
кафедра методики математики Волгоградского пединститута
Методика преподавания математики в средней школе. Ча-
51 (07) стные методики. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак.
пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1977
480 с.
На обороте тит. л. авт.: Ю. М. Калягин, Г. Л. Луканкин,
Е. Л. Мокрушин и др.
Пособие является продолжением книги «Методика преподавания математики в сред-
ней школе (общая методика)» Кол яги на Ю. М. и др. Оно написано в соответствии в новой
программой по методике преподавания математики для педагогических институтов и
отвечает содержанию современного курса математики общеобразовательной средней
школы.
м 60602—735 л т
М 103(03)—77 2в —77
М 64
©
Издательство «Просвещение» 1977 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является продолжением пособия Колягина Ю. М. и др.
«Методика преподавания математики в средней школе (общая мето-
дика)», вышедшего в свет в 1975 г. Она написана в соответствии с дей-
ствующей программой по курсу методики математики и предна-
значена для студентов физико-математических факультетов пед-
институтов.
I В первой книге были рассмотрены основные вопросы общей ме-
тодики, здесь же излагаются узловые вопросы частных методик.
Эти вопросы рассматриваются не по учебным предметам школьного
курса математики, а в порядке методического освещения централь-
ных его идей (естественно, с учетом особенностей каждого года обу-
чения). Такая система изложения курса методики отвечает современ-
ным требованиям к подготовке учителя математики и не только ори-
ентирует учителя в работе по новой программе, но и учитывает
возможные перспективы ее дальнейшего усовершенствования. Такая
форма изложения дает также возможность осветить различные вари-
анты методики преподавания тех или иных вопросов школьного кур-
са математики, оставляя за учителем право выбора того или иного
методического подхода в конкретной ситуации.
Конечно, при изложении курса «по проблемам» неизбежны неко-
торые повторения, однако этот недостаток компенсируется извест-
ной самостоятельностью каждой главы. Кроме того, построение кур-
са методики по проблемам, а не по классам обучения лишает предмет
«рецептурности», на которую, возможно, рассчитывает начинающий
педагог. Но авторы предполагают, что читатель, изучая курс мето-
дики в вузе или работая в школе, пользуется также издаваемыми
для учителя математики пособиями по каждому классу (такими,
как 13.3], {3.5], 13.7] и т. д., см. с. 4).
Необходимость вооружения будущего учителя математики по
возможности широким и глубоким комплексом знаний и идей, из
которых складывается современная методика обучения математике,
продиктовала авторам требование достаточно полного изложения
3
соответствующих вопросов, включая иногда не только саму методи-
ку преподавания, но и некоторые фактические сведения по матема-
тике. Авторы полагают, что это до некоторой степени облегчит ра-
боту молодого учителя, а также учителя, преподающего в небольшой,
в частности сельской, школе и не всегда имеющего возможность
обратиться к дополнительной литературе.
Материал данного пособия распределяется между авторами так.
Глава XI написана Е. Л. Мокрушиным и В. Я. Саннинским.
Глава ХП, приложение и библиография написаны В. Я. Саннинским.
Главы XIII и XVI написаны Е. Л. Мокрушиным.
Главы XIV, XV, § 1 главы XVIII, глава XIX и дополнительная
библиография написаны Ю. М. Колягиным и В. А. Оганесяном.
Глава XVII и §§ 2—5 главы XIX написаны Г. Л. Луканкиным.
Л. Ф. Пичурину принадлежат фрагменты в ряде глав, им осу-
ществлялось также литературное редактирование всей рукописи и
логическое состыкование разделов пособия в целом.
В данном пособии сохранена та же структура, что и в пособии по
общей методике. Материал каждой главы разбит на параграфы,
а последние — на пункты. Представляется, что это облегчит само-
стоятельную работу студентов.
В пособии принята следующая система нумерации источников:
[1.501 — отдельное издание из библиографии к 1-й части данного
пособия;
[2.50] — статья из библиографии к 1-й части;
[3.501 — отдельное издание из библиографии ко 2-й части;
[4.50] — статья из библиографии ко 2-й части;
[XII.3.21 обозначает ссылку на второй пункт третьего парагра-
фа двенадцатой главы данного пособия.
В приложении к пособию содержится материал для самостоятель-
ной работы студентов и проведения семинарских занятий.
Пособие может быть также использовано и учителями математи-
ки средней школы.
Глава XI
МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
___________________ МАТЕМАТИКИ,
кггжвяиишивииввияявивзвгйяявииэивягявяиеяииеяввилвивеао
§ 1. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ
ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
1.1. Теоретико-множественные принципы, которые могут быть
положены в основу построения школьного курса математики.
1.2. Психологический аспект такого построения.
1.3. Философский и дидактический аспекты.
1.1. Теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия,
приобрела фундаментальное значение в современной математике.
Поэтому задача сближения школьного курса математики с совре-
менной математикой может быть решена наилучшим образом при
построении этого курса на базе понятия множества.
В школьном курсе математики могут найти явное и естественное
применение следующие теоретико-множественные принципы:
1) Если дано какое-то множество, то из него можно выделить
часть (подмножество), указав некоторый признак элементов этой
части множества. Так, из множества натуральных чисел можно вы-
делить часть, состоящую из чисел, делящихся на 2,— образуется
подмножество натуральных чисел, которым дано название четных.
Из множества всех точек плоскости можно выделить часть, состоя-
щую из точек, равноотстоящих от данной точки плоскости. Опять
приходим к новому математическому понятию — понятию окруж-
ности. Нетрудно привести и другие примеры.
2) Из данных двух (или большего числа) множеств по определен-
ному правилу можно образовать одно новое множество. Можно,
например, все элементы данных множеств объединить в одно мно-
жество или образовать множество, состоящее из общих элементов
данных множеств. Плодотворность этого принципа можно проиллю-
стрировать на примере расширения понятия числа: объединение
множества натуральных чисел с множеством, состоящим из одного
элемента — нуля, порождает множество целых неотрицательных
чисел, позволяющее решать более широкий класс задач теории
и практики, нежели каждое из объединяемых множеств. Объедине-
ние полученного множества с множеством целых отрицательных
5
чисел дает новое множество, являющееся еще более мощным средст-
вом познания реальной действительности. Не меньшее значение для
математики имеет и операция пересечения множеств.
3) Имея одно или более множеств, можно построить множества,
элементами которых являются функции. Пусть, например, по како-
му-то правилу каждому элементу множества Е ставится в соответ-
ствие определенный элемент множества М (это множество может
совпадать с Е). Такое соответствие, как известно, называется функ-
цией, определенной на множестве Е и принимающей значения в мно-
жестве М. Ясно, что на множестве Е можно определить столько
функций, сколько существует различных правил, позволяющих
каждому элементу из Е ставить в соответствие определенный эле-
мент из Л4.
1.2. Упомянутые выше принципы проявляются в жизненном
опыте детей задолго до их поступления в школу. Дети постоянно име-
ют дело с различными множествами: то они выделяют из имеюще-
гося множества предметов некоторое подмножество (по существу
к этому сводится любой выбор — надо ли выбрать мелкие гвозди
из коробки с разными гвоздями, или сыроежки из корзины с гриба-
ми, или команду бегунов из мальчишек нашего двора), то являются
свидетелями или участниками объединения данных множеств (про-
стейшие примеры: все группы детского сада играют во дворе; мама
готовит винегрет и т. п.), то образуют пересечение множеств (для
этой
операции можно привести наглядные примеры вроде

рмле-
ния выставки, посвященной советской космонавтике, из коллекций
марок, открыток, фотографий и книг), то ставят элементы одного
множества в соответствие элементам другого (например, нумеруя
участников игры).
Еще до изучения арифметических действий над числами у детей
на основе житейского опыта формируется представление о связи
между численностями объединяемых множеств и множества, полу-
ченного в результате объединения, представление о том, что характер
этой связи не зависит от природы объединяемых множеств. Незави-
симо от того, протекает этот опыт в деловой или игровой форме,
он постепенно формирует у детей представления, на основе которых
развивается абстрагирующая мыслительная деятельность, приводя-
щая к образованию обобщающих понятий множества (множества
вообще, а не какого-либо конкретного!), его элемента, принадлеж-
ности и, наконец, понятий операций над множествами.
Однако при всей очевидности и кажущейся простоте этого пере-
хода от конкретных примеров к довольно высокой ступени абстрак-
ции для 10—12-летнего ребенка он очень сложен и требует большого
напряжения мысли. Опыт преподавания показывает, что на этом эта-
пе обучения исключительную роль в работе учителя приобретает
умение создать в классе оптимистический настрой, бодрую и мобили-
зующую обстановку. В частности, полезными могут оказаться самые
неожиданные примеры, житейские ситуации, которые при хорошей
организации учебного процесса дети с удовольствием находят сами.
6
1.3. Математика, как известно, не ограничивается изучением
какой-то определенной формы движения материи. Предметом ее
изучения являются пространственные формы и количественные от-
ношения реального мира, через которые происходит познание всех
форм движения материи.
Математика имеет широкие применения, возможности ее при-
ложений поистине неограниченны. Причиной этому является ее
абстрактный характер, способность отвлекаться от материальных
свойств предметов и явлений. На первый взгляд это положение мо-
жет показаться парадоксальным. Наука, которая как бы стремится
оторваться от материального мира, помогает раскрывать законо-
мерности этого мира! Однако в математике переход на новый уро-
вень абстракции происходит в соответствии с законами материалис-
тической диалектики, в силу чего она приобретает способность от-
ражать действительность глубже и шире. «Мышление,— говорит
В. И. Ленин,— восходя от конкретного к абстрактному, не отхо-
дит — если оно правильное...— от истины, а подходит к ней. Аб-
стракция материи, закона природы ... отражает природу глубже,
вернее, полнее»
Именно такой абстракцией, глубоко, верно и полно отражаю-
щей свойства материи, является понятие множества со всеми сопут-
ствующими ему понятиями. Именно полнота этой абстракции позво-
лила построить математику на ее основе достаточно общо, корректно
и просто. Ведь, вообще говоря, математику можно было бы изло-
жить — и так, собственно, до недавнего времени она и излагалась —
вовсе без обращения к понятию множества. Но теория множеств
создает прочную базу для того, чтобы с наименьшим числом произ-
вольных допущений, связанных с частностями и особенностями,
четко и убедительно объяснить сущность важнейшего свойства при-
роды, изучаемого математикой,— количественных отношений, а
через них и — пространственных форм. 'З
Известно, что современная математика есть совокупность at?
страктных, полностью отвлеченных от содержания, формально, т. е.
логически, развиваемых теорий об отношениях между объектами,
определяемыми аксиоматически. Однако именно понятие множества,
через которое удается раскрыть понятие «отношение» (уже вовсе
не обязательно количественное) является основой, с помощью кото-
рой можно убедительно показать не только материальную приро-
ду происхождения математики, но и материальное происхождение
абстракций вообще. Таким образом, мы видим, что построение
школьного курса математики на теоретико-множественной основе
важно не только с позиций современной математики, но и с позиций
гносеологических, с позиций марксистской диалектики.
Итак, в обучении математике понятие множества может играть
роль жизненного нерва, который наиболее ощутимо связывает мате-
матику с объективной действительностью. Отсюда намечается
* Л евин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 29, с. 146.
Ч
дидактически целесообразная система осуществления теоретико-мно-
жественных концепций в обучении, отвечающая целям диалекти-
ко-материалистического понимания природы математических
абстракций, целям сознательного, а не формального усвоения мате-
матики. Ниже в общих чертах характеризуется эта система.
а) Школьная математика не ставит задачей изучение теории мно-
жеств, а лишь использует основные теоретико-множественные прин-
ципы для последовательного построения всего курса на единой
основе.
б) На первых ступенях обучения математические знания форми-
руются на основе жизненного опыта учащихся, оперирования с кон-
кретными множествами знакомых им предметов. Обобщения возни-
кают в результате выявления общих свойств элементов множеств
и самих множеств, наблюдаемых в опыте. Возникающие понятая
еще не определяются логически. Критерием усвоения новых матема-
тических понятий является правильное употребление учащимися
соответствующих терминов. Понятия же теоретико-множественные
пока служат лишь удобной формой выражения мыслей, возникаю-
щих в ходе наблюдения и эксперимента. В этот период заклады-
вается необходимая чувственная основа для выполнения учащимися
умственных операций (уже с опорой только на представления)
обобщения и абстрагирования, т. е. естественная база для формиро-
вания содержательного логико-математического мышления.
в) На следующем этапе обучения теоретико-множественные поня-
тия постепенно включаются в логические операции и начинают
играть роль инструмента исследования. По действующей ныне
программе такому этапу в определенной степени соответствует обу-
чение в VI—VIII классах — обратите внимание, например, на опре-
деление понятия фигуры как произвольного множества точек,
трактовку решения системы уравнений как пересечения множеств
решений каждого из них, введение понятия функции на основе изу-
чения соответствий между множествами и т. п. Очевидно, переход
от терминов как формы выражения мысли к использованию -поня-
тий в теоретических построениях требует постепенности, осторож-
ности, педагогического такта.
г) В старших классах предполагается достаточно свободное вла-
дение элементами «наивной теории множеств», использование тео-
ретико-множественного подхода к построению основных понятий
математического анализа и в небольшой степени ознакомление с
новыми операциями на конечных множествах (в частности, при
изучении комбинаторики).
д) Рассматриваемая система работы имеет смысл лишь при нет
прерывном ее осуществлении. Если учитель не опирается на теоре-
тико-множественные принципы ежедневно, а лишь вспоминает о
них от случая к случаю, то на успех в обучении рассчитывать труд-
но. Приходится отметить, что именно этот недочет в работе учителей
наблюдается особенно часто: проведя основательную подготовку
к формированию теоретико-множественных представлений в IV—
8
VI классах, учитель просто забывает о понятии множества в даль-
нейшем.
е) Особое место в дидактической системе осуществления теорети-
ко-множественных концепций занимает работа по развитию логи-
ческого мышления учащихся. Ряд логических операций — обобще-
ние и ограничение понятий, классификация понятий и т. п.— усва-
ивается наиболее естественным путем при привлечении основных
понятий теории множеств, и этот факт должен быть использован в
обучении (подробнее см. II 1.2).
$ 2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
2.1. Проблема отбора материала для изучения в школе.
2.2. Возможности более раннего введения теоретико-множе-
ственных понятий.
2.1. Идея осуществления теоретико-множественных принципов
в обучении математике получила теперь всеобщее признание.
В связи с этим перед методикой математики возникают такие воп-
росы: что из теории множеств изучать в школе, на какой ступени
и как изучать отобранные сведения, как их применять к изучению
других вопросов школьного курса.
Следует заметить, что и традиционно сложившаяся методика
обучения математике не обходилась без применения целого ряда
теоретико-множественных понятий. Однако эти понятия не находи-
ли ранее четкого логико-математического выражения и не осознава-
лись учащимися как формы обобщений, относящихся к одному
и тому же или различным разделам математики. Тот факт, напри-
мер, что при решении геометрической задачи на построение так назы-
ваемым методом «геометрических мест» и алгебраической задачи
на решение системы уравнений фактически имеет место одна и та же
математическая операция (пересечение множеств), оставался «за
бортом» прежней школьной программы.
Упомянутые в начале этого пункта методические проблемы име-
ют свою историю (см. также [XI, 5.1]). Еще в 1954 г. на Междуна-
родном математическом конгрессе в Амстердаме Международная
комиссия по математическому образованию (МКМО) выдвинула
требование положить в основу перестройки преподавания матема-
тики в школе понятия множества, преобразования и структуры.
На математическом конгрессе в Стокгольме (1960 г.) МКМО обоб-
щила полученные от 21 страны материалы о попытках модерниза-
ции школьного курса математики. В большей части таких материа-
лов предлагалось введение в школьную программу ряда разделов
современной математики, и в первую очередь раздела «Элементарная
теория множеств».
В 1960 г. при Институте педагогики ЮНЕСКО был создан Совет
для проведения «Международных исследований уровня и характера
9
подготовки учащихся общеобразовательных школ». В результате
деятельности этого Совета и МКМО было выяснено, что изучение
новых разделов (вопросов) в школе положительно сказалось на
математической подготовке учащихся.
Вопрос о дозировке современных математических понятий и
представлении их в форме, доступной различным уровням обуче-
ния, обсуждался на Международном коллоквиуме (1968 г.) по акту-
альным вопросам преподавания математики в средней и высшей
школе европейских стран, организованном ЮНЕСКО совместно
с МКМО.
В нашей стране, помимо лабораторных исследований (НИИ СМО
АПН СССР \ кафедра алгебры и методики математики МОПИ
им. Н. К- Крупской и т. д.), выявлению содержания «элементарной
теории множеств», а также познавательных возможностей учащих-
ся по этим вопросам способствовали различные формы внеклассной
работы с учащимися и соответствующие факультативы.
На основе имеющегося опыта можно наметить на ближайшие годы
следующую примерную программу-максимум по элементарной тео-
рии множеств для средней школы:
Множество. Элемент множества. Отношение принадлежности
элемента множеству. Пустое множество. Эквивалентность множеств.
Конечные и бесконечные множества. Задание множества перечис-
лением элементов и указанием характеристического признака.
Подмножество данного множества. Отношение строгого и нестрого-
го включения множеств. Разбиение множества на попарно-непере-
секающиеся подмножества. Операции объединения, пересечения
и дополнения множеств. Декартово произведение множеств. Свой-
ства операций над множествами. Понятие об универсальном
множестве и алгебре множеств. Упорядоченные множества.
Предусматривается также введение соответствующей символики.
Часть этой программы уже вошла в основной курс математики,
остальные вопросы являются предметом факультативных занятий.
2.2. Начиная с 1967/68 учебного года в VII—X классах средних
общеобразовательных школ введены факультативные занятия по
выбору учащихся. В разделе «Дополнительные главы и вопросы ма-
тематики» предусматривается, в частности, изучение тем: «Множест-
ва и операции над ними» и «Бесконечные множества».
Со времени введения в школе факультативных занятий накоплен
некоторый опыт изучения со школьниками элементов теорий мно-
жеств и ее приложений к рассмотрению более или менее традицион-
ного для щколы учебного материала. Этот опыт нашел отражение
в различных публикациях, и в частности в пособиях I1.52J, [1.531
и [1.1601.
В 1970/71 учебном году начал осуществляться постепенный пе-
реход IV—X классов средней общеобразовательной школы 4<а рабо-
1 Научно-исследовательский институт ' содержания и методов обучения
АПН СССР.
10
ту по новым программам и учебникам. Накопленный опыт факуль-
тативного преподавания элементов теории множеств имеет сущест-
венное значение для успешной реализации этого перехода, так как
часть вопросов, входивших ранее в факультативный курс, перене-
сена в основной курс математики.
К настоящему времени более или менее стабилизировалось
содержание курса математики IV—V классов. Здесь предусматри-
вается введение в обиход учащихся и всемерное использование сле-
дующих теоретико-множественных понятий: «множество», «элемент
множества», «принадлежность элемента множеству», «пустое мно-
жество», «подмножество», «пересечение и объединение множеств».
Методика введения и применения этих понятий рассматривается
.в следующем параграфе настоящей главы.
Итак, некоторые первоначальные сведения о множествах пере-
несены теперь из факультативного курса VIII класса в основной курс
математики IV класса, т. е. изучаются значительно раньше, чем
прежде. Возникает вопрос: нет ли необходимости изучать эти во-
просы еще раньше, т. е. в начальной школе?
Такая необходимость действительно имеется. Дело в том, что
понятие множества, как уже отмечалось, является первичным для
современного построения математики. Натуральные числа и дей-
ствия над ними возникли в результате практической деятельности
человека, состоящей в сравнении различных множеств предметов
и в операциях над множествами. Естественно, чтобы числа и дейст-
вия над ними и в обучении вводились на основе понятий множества
и операций над множествами. Так оно по существу и делается в со-
временной начальной школе. Только делается это неявно, без при-
менения соответствующих теоретико-множественных понятий, тер-
минов и символов. Вероятно, лучше делать это явно, изучая уже
в начальных классах, начиная с I, те сведения о множествах, кото-
рые изучаются сейчас в курсе математики IV—V классов.
В учебных пособиях П.951, [1.961 и [1.971 для экспериментальных
начальных классов курс математики с самого начала построен на
теоретико-множественной основе. О задачах и целях эксперимента
рассказывается в предисловии проф. А. И. Маркушевича, помещен-
ном в первой из этих книг. Там же содержится экспериментальная
программа по математике для I—III классов, замечания об особен-
ностях учебных материалов и методические указания по их исполь-
зованию.
Первая глава этого курса имеет название «Множества и их чис-
ленность». Ее учебный материал развертывается в такой последо-
вательности:
§ 1. Множество. Элементы множества. Части множества. Круг.
Многоугольник.
§ 2. Объединение. Пересечение. Дополнение. Точка. Линия.
Отрезок.
§ 3. Столько же. Больше. Меньше. Число элементов множества.
Вершины и стороны многоугольника. Измерение отрезков. Метр.
11
§ 4. Число элементов объединения. Свойства объединения. Число
элементов пересечения. Число элементов объединения (основной
случай). Число элементов дополнения. Измерение отрезков. Санти-
метр. Запись однозначных чисел. Упражнения к главе I. i
Как видим» здесь в явном виде представлены следующие теоре-
тико-множественные понятия: «множество», «элемент множества»,
«подмножество», «объединение и пересечение множеств», «дополнение
множества». В неявной форме вводятся понятия: «принадлежность
предмета множеству», «соответствие между элементами двух мно-
жеств», «равносильность (столько же) и неравносильность (больше»
меньше) множеств». Не употребляется здесь и термин «пустое
множество», хотя пустые пересечения множеств рассматриваются.
Такая структура курса позволяет ввести важнейшие числовые
понятия (число, отношение равенства и неравенства для чисел,
нуль, сумма, разность и произведение чисел) в обиход учащихся
на теоретико-множественной основе, и притом в явной форме.
В качестве примеров наряду со всякими другими множествами
здесь рассматриваются и множества различных геометрических фи-
гур. Однако сами эти фигуры не определяются как множества точек.
По-видимому, соображения доступности не позволили авторам курса
реализовать до конца теоретико-множественные принципы примени-
тельно к изучаемому геометрическому материалу.
Оценивая первые результаты работы по пособиям [1.95—1.97],
авторы пишут: «Проведенный в I—III классах эксперимент показал,
что теоретико-множественный подход к изучению математики в на-
чальных классах делает более доступным изучение традиционных
вопросов, способствует развитию интереса к изучению математики,
значительно повышает общую и математическую культуру уча-
щихся» (11.961, с. 166).
Итак, не только желательно, но и вполне возможно начинать
курс математики в школе с изучения множеств и операций над ними.
Заметим еще, что рассмотренный опыт раннего ознакомления уча-
щихся с элементами теории множеств с успехом может быть исполь-
зован учителями I—V классов и при работе по ныне действующим
программам.
$ 3. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ОСНОВНЫХ
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫХ ПОНЯТИЙ
3.1. Теоретико-множественные понятия и операции в IV—
V классах.
3.2. Осуществление теоретико-множественного подхода в по-
следующих классах.
3.1. Как уже отмечалось, по ныне действующей программе ос-
новные понятия теории множеств (множество, элемент множества,
принадлежность, пустое множество, подмножество, пересечение и
объединение множеств) вводятся в обиход учащихся в курсе мате-
12
матики IV—V классов. Рассмотрим теперь методику их введения и
применения в процессе обучения, имея в виду (мы и в дальнейшем
будем поступать аналогично), что разбиение интересующего нас
материала по отдельным урокам, анализ конкретных пунктов
учебников [3.1061 и [3.1081, содержание самостоятельных и кон-
трольных работ и т. п, известны читателю из пособий [3.1071 и
13.1091.
Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся
с теоретико-множественными понятиями является введение неопре-
деляемых понятий множества, его элемента и принадлежности. Эту
работу можно начинать с рассмотрения конечных числовых множеств
и от них переходить к примерам множеств различной природы (так
сделано в [3.1061), можно поступить и наоборот. Так или иначе,
но учащимся необходимо осознать, что могут встретиться ситуации,
при которых «несколько» чисел, деревьев, машин, цветов и т. п.
желательно назвать одним словом. Мы взяли слово «несколько» в
кавычки, так как в данном случае, как хорошо понимает читатель,
оно есть просто синоним слова «множество». Примеров таких ситу-
аций много, и сами по себе они никакой трудности не представля-
ют. Трудность здесь в одном: почувствовали ли учащиеся необхо-
димость обобщения? Оно здесь сводится к тому, чтобы «придумать
такое слово», которое годилось бы во всех аналогичных ситуациях.
Каким одним словом можно назвать и табун, и букет, и сервиз,
и коллекцию марок? Но, договорившись о термине «множество»,
мы, естественно, не будем теперь говорить об отдельных лошадях,
розах, блюдцах, марках, а употребим словосочетание «элемент мно-
жества». Сознательное понимание здесь тесно связано с запасом
материала для обобщения, имеющегося в сознании учащихся.
Применительно к учебнику [3.1061 материал может быть изучен
следующим образом.
Учащимся предлагается задача: «Составьте полный список чисел,
расположенных на луче (речь идет о числовом луче, на котором есть
только натуральные числа и нуль) между числами 21 и 28». Они
отвечают (и записывают): «Это будут числа 22, 23, 24, 25, 26 и 27».
После этого уместен вопрос: «Как назвать то, что мы записали, не
перечисляя самих чисел?» Получив различные ответы (группа чи-
сел, несколько чисел, набор чисел и т. п.), учитель сообщает, что в
математике употребляется такой оборот речи: «Мы написали (соста-
вили) множество чисел, расположенных на луче между чис-
лами 21 и 28». Учащимся предлагается произнести результат решения
задачи на новом языке. Тот факт, что мы записали не просто какие-
то числа, а их множество, принято обозначать с помощью фигурных-
скобок. Запись
{22, 23, 24, 25, 26, 27}
будем понимать как множество определенных (каких?) чисел.
После этого уместно решить, например, такую задачу: «Запишите
(с помощью фигурных скобок) множество однозначных чисел».
13
Про каждое из чисел 22, 23, 24, 25, 26 и 27 будем говорить, что
оно принадлежит множеству {22,23,24,25,26,27}. Никакое
другое число этому множеству не принадлежит. .
Решается задача: «Запишите (с помощью фигурных скобок) мно-
жество чисел, расположенных на луче между числами 10 и 15.
Какие из чисел 0, 10, 11, 12, 15 и 50 принадлежат этому
множеству?»
«Множество» не значит «много». Оно может состоять н из одного
числа. Учащимся предлагается привести (и записать) пример тако-
го множества.
Далее предлагается задача: «Составьте множество чисел, располо-
женных на луче между числами 7 и 8». Учащиеся обнаруживают,
что таких чисел нет. Будем и в этом случае говорить, что мы имеем
дело с множеством чисел, называть это множество пустым и
обозначать его знаком 0. Между прочим (не для учащихся IV клас-
са!), на вопрос: «Что обозначает запись {0} ?» — часто можно полу-
чить различные неверные ответы. Упомянутая запись обозначает
множество, состоящее из одного элемента. Этим элементом является
знак пустого множества.
Итак, всюду, где это возможно, мы будем пользоваться термина-
ми (славами): «множество», «принадлежит», «пустое множество».
Употребляя термин «множество таких-то чисел», всякий раз будем
следить за тем, все ли такие числа мы назвали (записали) и не на-
звали ли мы лишних чисел.
Далее решаются различные задачи, связанные с числовыми мно-
жествами.
До сих пор мы рассматривали только числовые множества. Одна-
ко, множества могут состоять не только из чисел. Элементами мно-
жеств могут быть люди, животные, растения, слова, буквы, знаки
и т. п. Для записи таких множеств также употребляют фигурные
скобки, если хотят подчеркнуть, что нас интересует не каждый
предмет в отдельности, а все они вместе.
В связи с решением задачи: «Запишите с помощью фигурных ско-
бок множество различных букв в слове «математика»» —» заметим,
что мы будем рассматривать только такие множества, в которых
никакой предмет не повторяется.
Каждый предмет, который входит в некоторое множество, назы-
вают элементом этого множества. Тот или иной предмет получает
название элемента множества лишь после того, как его принадлеж-
ность этому множеству установлена.
Весьма содержательной является задача: «С разных сторон на
холм поднимаются три тропинки и сходятся на его вершине. Со-
ставьте множество маршрутов, по которым можно подняться на
холм и спуститься с него» (№ 126 из [3.106]).
Было бы хорошо, если бы учащиеся сами придумали обозна-
чения для элементов искомого множества. Если тропинки обоз-
начить через ОД, ОВ и ОС, то элементы множества выразятся
символами АО А, АОВ, ... . Если тропинки пронумеровать знаками
14
I, II, III, то маршруты можно обозначить символами (I, I), (I, II)
и т. д.
Основной смысл этой задачи состоит, очевидно, не в ее конечном
результате, а в поиске рационального метода его отыскания. Чаще
всего учащиеся прибегают к составлению схематического рисунка
и выписыванию элементов искомого множества. Полезно попытаться
решить задачу, составляя таблицу маршрутов. Если учащиеся ва-
шего класса смогут понять идею такого решения, то в дальнейшем
они без труда овладеют понятием декартова произведения множеств,
а сейчас смогут ответить на дополнительный вопрос: сколько полу-
чится маршрутов, если тропинок окажется, например, пять, шесть,
десять? Нетрудно заметить, что задача № 127 при таком подходе
сразу же представляется еще одним обобщением этой же идеи!
Учащимся сообщается, что элементы множества можно записы-
вать в любом порядке. Два множества, отличающиеся лишь поряд-
ком элементов, не считаются различными, их считают равными.
Чтобы отличать множества друг от друга или упростить называ-
ние того или иного множества, их обозначают буквами А, В, С, ....
Сам акт обозначения фиксируется в записи посредством знака ра-
венства. Две записи
{1, 2, 3, 4,5)= Л
и
Л = {1, 2, а, 4, б)
бозначено через
обозначают по существу один и тот же факт. Но читаются они по-
разному : первая — множество чисел 1, 2, 3, 4, 5
А, вторая — А есть множество чисел 1, 2, 3, 4, 5.
После этих разъяснений учителя следует решение задач. Часть
задач на выяснение принадлежности предметов множеству целе-
сообразно решить до введения знаков принадлежности и непринад-
лежности. Пусть учащиеся на личном опыте ощутят потребность
в этих знаках. После решения задач на разговорном языке вводят-
ся соответствующие знаки ц те же решения записываются на симво-
лическом языке.
Вместо того чтобы писать 2 £ А и 3 € А, иногда учащиеся пи-
шут: 2, 3 £ А. Можно наблюдать и объединение записей 2 £ А
и 2 £ В в одной записи: 2 £ А, В. На этом этапе обучения следует
предостеречь учащихся от такой «рационализации». Слева от знака
15
принадлежности ставится обозначение только одного элемента
(предмета), справа — обозначение только одного множества.
Теперь важнейшие теоретико-множественные понятия курса ма-
тематики IV класса введены. Далее их применяют при изучении дру-
гих вопросов программы, а сейчас задача обучения состоит лишь
в том, чтобы научить учащихся правильно пользоваться этими тер-
минами — правильно конструировать предложения типа:
1) Множество предметов, обладающих свойством ..., есть ... .
2) Множество ... есть множество предметов, обладающих свой-
ством ....
3) Предмет ... принадлежит множеству ....
4) Предмет ... не принадлежит множеству ....
По мысли авторов учебника [3.106] и пособия [3.60], здесь доста-
точно упражнений для формирования основных математических
понятий, в том числе и теоретико-множественных, и для выработки
необходимых навыков. В случае необходимости дополнительные уп-
ражнения на тему можно найти в источниках [1.95], 11.961, [1.971
и [3.72]. Однако при этом следует иметь в виду, что при первона-
чальном овладении основными понятиями теории множеств опасны
тенденции излишней формализации материала, который на этом эта-
пе должен целиком опираться в сознании учащихся на личный опыт
и здравый смысл. Поэтому надо не только и даже не столько искать
новые упражнения в учебно-методической литературе, сколько
уметь увидеть примеры и упражнения в окружающей действитель-
ности, непосредственно в классе. Опыт работы учителей показывает,
что в этот период обучения уместны элементы игры, хорошие ре-
зультаты дает вовлечение всего класса в творческое соревнование.
Первое серьезное применение теоретико-множественных терми-
нов и символов появляется в IV классе в формулировке задачи
о решении уравнений и неравенств: «Решить уравнение — это зна-
чит найти множество его корней», «Решить неравенство — это зна-
чит найти множество его решений».
Пусть требуется, например, решить неравенство х < 5.
Обозначим искомое множество через X.
Имеем: X ±= {0,1, 2, 3,4}.
В IV классе рассматриваются только уравнения, которые имеют
лишь одно решение либо не имеют решений. При их решении пре-
имущества теоретико-множественной символики малоощутимы.
В первом случае решение можно писать в виде х = 3 (для уравне-
ния 2х = 6), во втором — ответ лучше записывать в виде X = 0.
Но сам учитель должен понимать, что хотя запись X = {3} для пер-
вого случая и представляется несколько громоздкой, именно она
соответствует смыслу поставленной задачи — найдено множество
решений, состоящее из одного элемента. Традиционная (и допусти-
мая на этом этапе обучения) запись х = 3 по существу ответом не
является, так как указано не множество, а один элемент
множества.
Следующий серьезный шаг в изучении элементарной теории мно-
16
жеств — знакомство с теоретико-множественными операциями.
И опять-таки основой методики здесь является обращение к практи-
ке, к житейскому опыту учащихся, тем более что и большинство
соответствующих терминов (пересечение, объединение) имеют жи-
тейский смысл, близкий к теоретическому. Тем не менее достижение
сознательного усвоения существа дела требует кропотливой и дли-
тельной работы.
Поэтому вполне естественна некоторая «растянутость» во вре-
мени при введении понятий пересечения и объединения множеств,
принятая авторами учебников IV и V классов. Они сначала рассмат-
ривают не объединение и пересечение множеств вообще, а пересече-
ние и объединение фигур (хотя определения фигуры как множества
точек еще не дано). Ни о какой символике, определениях и т. п.
речь не идет, ученик может пока лишь показать на рисунке и моде-
лях конкретные примеры пересечений и объединений. Продолжая
в течение длительного времени выполнение упражнений, учитель
добивается сознательного употребления соответствующих терминов.
Первый раз включить новые понятия в логическую операцию
удается при построении определения смежных углов («Два угла,
объединение которых — развернутый угол, а пересечение — луч,
называются смежными углами»). Очевидно, понятие смежных углов
может быть определено генетически (так и сделано в [3.1061), и
для нужд наглядной геометрии в IV классе этого вполне доста-
точно, смысл же приведенного определения именно в сознательном
включений в него теоретико-множественных понятий.
Создав некоторую базу для формализации, можно приступать к
изучению операций на произвольных множествах. Авторы учебника
[3.108] предлагают делать это в начале обучения в V классе. Переход
от операций с фигурами к операциям с множествами — качествен-
но новая ступень в обучении математике, поэтому, не следует торо-
питься с заучиванием определений, обратив наибольшее внимание
на разнообразие примеров.
Степень понимания изучаемого материала легко проверить, пе-
рейдя к изучению классификации (разбиению данного множества
на взаимно непересекающиеся подмножества, объединение которых
совпадает с данным). Именно здесь имеется возможность выяснить,
насколько сознательно применяются введенные символы П и (J.
Ярким и весьма распространенным примером классификации
служит классификация треугольников. Традиционная программа
рассматривала этот вопрос с позиций формально-логических, не
используя понятие множества. Теоретико-множественный подход
позволил перенести классификацию треугольников в курс матема-
тики V класса, что весьма полезно не только для изучения нашего
предмета, но и для общего развития и воспитания культуры мышле-
ния учащихся.
Операции пересечения и объединения множеств в курсе матема-
тики IV—V классов могут быть применены при изучении элементов
теории делимости в связи с введением понятий общего и наибольшего
17
общего делителя, общего и наименьшего общего кратного и класси-
фикацией чисел по отношению к делимости. Впрочем, надо отметить,
что в процессе модернизации курса математики эти разделы потеряли
свое значение, что, конечно, не исключает более глубокого их изуче-
ния на занятиях математического кружка, так как сам по себе соот-
ветствующий материал очень привлекателен н доступен школьникам.
Особое место в изучении теоретико-множественного материала
в курсе математики IV—V классов должны занять упражнения типа
задачи, рассмотренной в [VI.2.4} (№ 1273 из книги 13.1081).
Сейчас подобные задачи относятся к числу задач повышенной труд-
ности, тем не менее их составление, решение в классе и во внеуроч-
ной работе весьма перспективны. При решении задачи уместно дать
формулу, выражающую зависимость между численностями мно-
жеств А, В, A U В и A f] В;
п{А U 5) = п(Л)4-п(В) — п(4 П В).
3.2. Введенные в IV—V классах понятия и символы теории мно-
жеств находят дальнейшее применение и развитие в курсах алгебры
и геометрии средней школы. Полностью рассмотреть этот процесс
в рамках настоящей главы не представляется возможным, да в этом
и нет необходимости, так как в последующих главах мы вернемся
к нему. Ограничимся здесь лишь методическим анализом математи-
ческих дисциплин VI класса.
При изучении алгебры в VI классе понятия теории множеств впер-
вые встречаются при выполнении упражнений повторительного ха-
рактера на нахождение множества значений выражения с одной пе-
ременной на заданном множестве значений этой переменной и с двумя
переменными на множестве пар их значений. В первом случае ответ
записывается в виде множества с таким числом элементов, сколько
их в множестве значений переменной. Надо, чтобы учащиеся умели
прочитывать его в виде: «При значении переменной, равном ..., вы-
ражение принимает значение ...». Во втором случае решение зада-
чи сводится к заполнению таблицы в два входа. Надо научить уча-
щихся читать составленную таблицу примерно так: «При х = ... и
у =... выражение принимает значение ...».
При изучении уравнений первой степени с одной переменной уча-
щимся напоминается (об этом уже говорилось в IV классе), что «ре-
шить уравнение с одной переменной — значит найти множество его
корней»; оно может быть конечным (в том числе и пустым) либо
бесконечным. Результат записывается в виде множества.
Аналогично определяется и задача решения неравенства с одной
переменной. В связи с решением таких неравенств вводится понятие
числового промежутка как некоторого подмножества всех известных
учащимся чисел, вводятся особые обозначения для различных про-
межутков, рассматриваются их изображения на числовой оси (см.
Приложение на стр. 217 учебного пособия [3.2]). Здесь учащиеся
упражняются в переходе от одних способов задания числового про-
межутка к другим.
18
Следует отметить, что теоретико-множественный аппарат в гла-
ве 1 учебного пособия по алгебре для VI класса представлен доста-
точно хорошо.
К числу первичных теоретико-множественных понятий, изуча-
емых в школе, относится и понятие соответствия между элемента-
ми двух множеств. На подходящих примерах это понятие вводится
при подготовке к изучению понятия функции Ч Тогда же рассматри-
ваются различные способы задания соответствия (стрелки, пары,
различные описания). Учащихся тренируют в установлении соот-
ветствий и переходе от одного способа их задания к другому. Умест-
но обратить внимание учащихся и на тот факт, что заданием выраже-
ния с переменной устанавливается соответствие между множеством
допустимых значений переменной и множеством соответствующих
значений самого выражения. Тем самым будет отмечена связь изу-
чаемого материала с задачами на отыскание множества значений
выражения с переменной.
Понятие соответствия позволяет весьма просто определить одно
из основных понятий математики — понятие функции как особый
вид соответствия. Имеющаяся теоретико-множественная основа
упрощает для учащихся задачу изучения свойств функций — об-
ласти определения и изменения каждой функции суть некоторые
множества. Функция с областью определения X и множеством зна-
чений У получает название «отображения множества X на множе-
ство У» (подробнее см. гл. XIV).
Понятия и символы теории множеств находят полезные приме-
нения при изучении систем уравнений:
график уравнения с двумя переменными есть множество точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению;
решить систему уравнений — значит найти множество ее решений;
множество решений системы есть пересечение множеств решений
всех ее уравнений.
Понятия и символы теории множеств широко используются и в
курсе геометрии. Приняв в качестве первичных понятия: «точка»,
«прямая», «плоскость», «расстояние от одной точки до другой»,—
авторы учебного пособия [3.45] по геометрии для VI класса преду-
преждают читателя, что все дальнейшие понятия геометрии будут
определяться не только через эти понятия, но и через некоторые об-
щематематические, в частности через понятие «множество».
Уже геометрическая фигура определяется как «любое множество
точек». Через понятие множества раскрывается далее сущность
понятий «луч», «отрезок», «ломаная», «полуплоскость».
В учебном пособии [3.45] помещена таблица перевода языка
и символов геометрии на язык и символы теории множеств. В оби-
ход учащихся вводятся такие обороты речи:
X £ (АВ) — точка X принадлежит прямой АВ\
1 Заметим однако, что в переработанном готовящемся к выпуску в 1977 г.
издании пособия «Алгебра, 6 кл.» функция определяется через понятие отношения.
19
XgMfi]— точка X принадлежит отрезку АВ;
XQ а — точка X принадлежит плоскости а;
acz а — прямая а есть подмножество плоскости а.
Введенные ранее понятия пересечения и объединения множеств
применяются к определению геометрических понятий «пересечение
фигур» и «объединение фигур». «Сумма углов», в частности, опреде-
ляется здесь как объединение двух углов с общей вершиной, если
их пересечение — луч. Понятие «отображения множества X на мно-
жество У» толкуется в геометрии как «отображения фигуры Фх
на фигуру Ф2». Последнее используется для определения таких
общих геометрических понятий, как «конгруэнтность фигур» и
«перемещение».
Обратите внимание на возникающую здесь ситуацию с введением
новых определений. Понятия пересечения и объединения фигур на
наглядно-интуитивном уровне введены еще в IV классе (см. п. 28
учебника [3.106]). Примерно на таком же уровне (п. 11) учащихся
знакомили и с понятием конгруэнтности. Теперь же пришло время дать
этим «очевидным вещам» логически строгое определение. И не только
учитель, но и ученики должны хорошо понимать, что здесь мы имеем
дело не с новыми фактами и «правилами», а с новой ступенью позна-
ния этих же фактов, с новой манерой их описания на более высоком
уровне. Понимание существа таких шагов в овладении математи-
кой — ас аналогичной ситуацией школьнику предстоит встречать-
ся неоднократно — имеет существенное значение в формировании
культуры мышления и воспитании мировоззрения учащихся. По-
думайте, например, вместе с учащимися над определением суммы
углов как объединения двух углов о общей вершиной, если их пере-
сечение — луч. Какое громоздкое и неудобное для запоминания
определение столь очевидного понятия! Однако стоит лишь попы-
таться построить определение «попроще», как мы немедленно попа-
даем в логический круг; оказывается, что теоретико-множественные
понятия выручают нас в сложной обстановке — прекрасный мате-
риал для упражнения с учащимися VI класса!
Язык теории множеств широко используется не только при опре-
делении новых понятий курса геометрии VI класса, но и при реше-
нии задач.
Использование теоретико-множественной терминологии и сим-
волики продолжается и при изучении алгебры и геометрии в последу-
ющих классах. Например, при изучении алгебраических дробей
в курсе алгебры VII класса вводится понятие «область определе-
ния выражения» с одной переменной и с двумя переменными. Там
же для описания области определения дроби предлагается
запись:
Х = ]-оо, —3[U1 — 3, 4-оо[.
В упомянутом пособии на примере дополнения множеств на-
туральных чисел до множества целых чисел вводится общее поня-
20
тие дополнения множества А до множества U. Здесь же для изобра-
жения множеств и отношений между ними впервые применяются
круги Эйлера, множество рациональных чисел получает обозначе-
ние Q.
О дальнейших примерах применения теоретико-множественных
принципов будет сказано в последующих главах, сейчас же мы сде-
лаем одно замечание по поводу преподавания темы «Элементы ком-
бинаторики».
На наш взгляд, учителю полезно рассматривать эту тему в не-
сколько более широком плане, чем это обычно рекомендуется.
Как известно, основное содержание «Элементов комбинаторики»
составляет рассмотрение трех задач: упорядочение множеств,
выделение неупорядоченных подмножеств данного множества и вы-
деление упорядоченных подмножеств данного множества. Иначе
говоря, речь идет об изучении нового класса операций над конеч-
ными множествами.
Очевидно, мы имеем прекрасную возможность организовать ра-
боту по систематизации, повторению и обобщению всего известного
учащимся материала о множествах вообще. Эта возможность осо-
бенно важна еще и потому, что по существующей программе тема
«Элементы комбинаторики» изучается в начале обучения в IX клас-
се, т. е. в тот период, когда, как правило, происходит реорганиза-
ция классных коллективов, в класс могут влиться новые ученики,
пришедшие, например, из небольших сельских школ, и одной из
задач, стоящих перед учителем, является организация коллектива
и объединение его усилий для дальнейшей работы. Широкий взгляд
на первые темы, изучаемые в девятом классе, поможет в решении
этой нелегкой задачи.
$ 4. ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
4.1. О понятии отношения.
4.2. Изучение отношений в школьном курсе математики.
4.1. В предисловии к книге [1.1971 В. А. Успенский пишет:
«В книге систематически излагаются такие фундаментальные поня-
тия, как «множество», «кортеж», «соответствие», «функция», «отно-
шение». Эти понятия, на базе которых и осуществляется, собственно
говоря, все теоретико-множественное построение математики,
с полным правом названы в книге «начальными понятиями матема-
тики» (с. 7). Как видим, понятие отношения здесь (да и не только
здесь) отнесено к числу фундаментальных понятий современной ма-
тематики. Поэтому в какой-то мере это понятие проникает и в школь-
ный курс математики.
Ниже, в обзорном порядке, приводятся начальные сведения об
отношении. Более подробные и систематические сведения читатель
может найти в уже упомянутой книге [1.197] Ю. А. Шихановича, в
книге «Равенство, сходство, порядок» Ю. А. Шрейдера (М., «Наука»,
21
1971), специально посвященной теории бинарных отношений,
в пособии «Введение в общую алгебру» Л. А. Калужнина (М., «Нау-
ка», 1973) и в других книгах, посвященных основам современной
математики.
О родственниках говорят, что они связаны отношением «родст-
ва». О числах 10 и 5 можно сказать, что первое делится на второе
или что первое находится в отношении «делимости» со вторым.
Отрезок АВ может находиться с отрезком CD в отношении «конгру-
энтности». Каждый, кто понимает сущность этих примеров, в состо-
янии привести другие примеры отношений из житейской или учеб-
ной практики. Будем считать понятие отношения, как и понятие
множества, интуитивно ясным. Возникает задача,— по возможности
уточнить это понятие.
Отношение между двумя объектами называют бинарным. Вы-
сказывания о наличии такого отношения имеют структуру «объект
х находится в отношении т к объекту у». Здесь первый член х и вто-
рой член у отношения суть переменные, т — символ конкретного
отношения. Упомянутое высказывание с переменными на симво-
лическом языке передается записью «хту» или «т (х; у}».
Конкретные бинарные отношения имеют специальные названия,
а многие из них и символические обозначения. В математике рас-
сматриваются, например, отношения: «равно» (—), «больше» (>),
«параллельно» (|[) и т. д. Имеет смысл изучать не только каждое
из них в отдельности, как это делалось в традиционном школьном
курсе математики, но и в совокупности, выявляя сходство и разли-
чия конкретных отношений. В современной математике преобладает
именно второй подход.
Возвращаясь к примеру «10 делится на 5», замечаем, что сущест-
вует бесконечное множество пар (х; у) натуральных чисел х и у
таких, что первый компонент х пары находится в отношении дели-
мости с ее вторым компонентом у:
{(10; 2), (8; 4), (6; 1), ..
Это множество пар является подмножеством декартова квадрата
W X X = № множества W натуральных чисел. В данном случае
речь идет об отношении делимости на множестве натуральных чисел.
Можно также говорить и об отношении между элементами двух
данных множеств, выяснять, находятся ли элемент х множества X
в определенном отношении т с элементами у множества Y. Пусть,
например, X = {1; 4; 5}, Y = {3; 6} и т означает «быть меньше».
Тогда множество
{(1; 3), (1; 6), (4; 6), (5; 6)} = Z
будет множеством тех пар, которые удовлетворяют заданному от-
ношению — их первые компоненты х из X находятся в отношении
«меньше» со вторыми компонентами у из Y. Декартовым произве-
дением исходных множеств в этом случае будет:
{(1; 3), (1; б), (4; 3), (4; 6), (5; 3), (5; 6)) = Х X Y.
22
Как видим, и в данном случае выполняется условие:
ZcXxY.
Вообще, если некоторые элементы х из множества X находятся
в отношении т с некоторыми элементами у из множества У, то мно-
жество пар (х; у) таких, что хху содержится в множестве X X Y:
((х; У)\х£Х, y^Y, %Ti/}s{(x; у)|х€Х, y$Y}.
Отвлекаясь от конкретных значений отношения т, можно при-
нять такое определение: бинарным отношением между элементами
из множества X и множества У называют любое подмножество мно-
жества X X Y. Иными словами, каждому значению т соответству-
ет некоторое подмножество множества X X Y и каждому подмно-
жеству из X X К соответствует некоторое значение т. В этом смыс-
ле и принято следующее отождествление множества и отношения:
У)\х$Х, у£ У, хху} = т.
Здесь множества X иУ называют соответственно первым и вторым
базисными множествами бинарного отношения. Будем пока отли-
чать их друг от друга.
Итак, вообще говоря, т X X К Может случиться, что т =
= X X У. Тогда отношение т на X X У называют универсальным
(или полным). Возможен также случай, когда т = 0. Отношение
т в этом случае называют пустым.
Пусть, например, X = {заяц, овца} и У = {волк, медведь}.
Если при этом отношение т означает «не боится», то
{(*; У)\х£Х> у£У, хху} = 0.
Если, далее, отношению т придать значение «боится», то
{(*; У)\х£Х, у$У, хху} = X х У.
Введем еще некоторые понятия, связанные с понятием бинарно-
го отношения.
Множество первых компонентов х пар (х; у), принадлежащих
т, называют областью DT определения отношения т, т. е.
DT= (х|(х;
При этом, очевидно, DT s X.
Множество вторых компонентов этих пар называют областью
RT значений отношения т:
R% = {у | (х, у) С т}, где RT s Y.
В примере, где X — {1; 4; 5}, Y = (3;6) и т есть отношение
«меньше», имеем:
Dr = {1; 4; 5} и Rx = {3, 6}.
Множества Dx и Rx называют еще проекциями множества т
на X и на Y соответственно:
Dr = лрЛт, Rt = пруХ.
23
В случае универсального от-
ношения DT = X и 7?т = К.
Если т — пустое отношение, то
— 0.
Множество пар (х; у) таких,
что (х; у) £ т, называют графи-
ком отношения т. График би-
нарного отношения т передается
записью:
Гг = ((*; у} | X € X, y£Y, хху}
или записью
Гт = {(х; у)\хту},
если отсутствие высказываний
х £ X н у £ Y не может при-
вести к недоразумениям.
Если X и Y — числовые множества, то график бинарного отно-
шения геометрически может быть изображен точками координат-
ной плоскости, соответствующими элементам отношения. Так, на
рисунке 1 представлен график отношения «<» между элементами
множеств:
Х-{1;4;5) и У=(3;6}.
Если X = Y = R (R — множество действительных чисел), то
график отношения {(х; у) | х = у} изобразится (рис. 2) биссектри-
сой первого и третьего координатных углов, а графиком отношения
О» будет нижняя открытая полуплоскость, исходящая из этой
биссектрисы (рис. 3).
Некоторые отношения можно сравнивать между собой по степени
общности. Между элементами множеств X и Y могут существовать
два бинарных отношения тио таких, что хху => хоу. Например,
если т означает «быть братом» ио — «быть родственником», то ясно,
что имеет место импликация «(х брат у) => (х родственник z/)».
24
пар подобных фигур. В случаях, когда хху => ха у для любых х и у,
связанных отношениями тио, отношение т называют менее общим,
нежели отношение и.
В математике особую роль играют отношения эквивалентности
и порядка и функциональные отношения (или соответствия). Выде-
ление этих отношений из множества всевозможных отношений про-
изводится посредством указания некоторых основных свойств, ко-
торыми может обладать или не обладать то или иное отношение.
Прежде чем перейти к перечислению основных свойств отноше-
ний, уточним терминологию.
Как уже отмечалось, можно говорить об «отношении на множест-
ве /И» и об «отношении между элементами множеств X и У». Ясно,
что первое отношение является частным случаем второго (когда
Y = X = Af). Можно второму из случаев поставить в соответствие
термин «отношение», первому — «однородное отношение».
Можно поступить иначе, как это сделано, например, в уже упо-
минавшейся книге Л. А. Калужнина. Там приняты следующие опре-
деления:
«Всякое подмножество р X х Y ' декартова произведения
X х Y называется бинарным соответствием из X в К
Всякое подмножество р АР декартова квадрата М2 назы-
вается бинарным отношением на М» (с. 21—22).
Второй подход, при котором отношение есть частный случай
соответствия, представляется нам более целесообразным.
Отметим сначала некоторые основные свойства бинарных соот-
ветствий (и в частности, отношений). Будем при этом иметь в виду,
что соответствие из X в Y может быть задано посредством стрелок,
пар, таблицы или как-то иначе.
1) Соответствие т из множества X в множество Y называют всюду
определенным, если выполнено условие:
(V х) (3 у) (хгу).
При задании соответствия из X в Y посредством стрелок это тре-
бование означает «от каждого х £ X исходит по крайней мере одна
стрелка».
2) Соответствие т из X в Y называют однозначным (или функцио-
нальным), если все элементы множества т имеют различные первые
компоненты, т. е. выполняется условие:
(V х) (V у) {ххуг /\ хху2 =>yi = yj.
На языке стрелок однозначность (функциональность) соответ-
ствия равносильна требованию «от каждого х С X исходит не более
одной стрелки».
В школьном курсе математики принято (п. 17 из [3.2]) следую-
щее определение: «Соответствие между множеством X и множест-
вом У, при котором каждому элементу множества X соответствует
один и только один элемент множества У, называется функцией.
Множество X называется областью определения функции».
25
Уже отмеченные свойства соответствий позволяют передать
школьное определение функции следующим образом: «Соответствие
т из множества X в множество Y называется функцией с областью
определения X и множеством значений У, если оно всюду
определено и однозначно (функционально)».
Для нас сейчас важен лишь тот факт, что одно из основных
понятий школьного курса математики — понятие функции —
является видом по отношению к родовому понятию соответствия.
Более подробный разговор о функциях пойдет в главе XV.
3) Соответствие т из X в У называют сюръективным, если выпол-
нено условие:
(V у) (3 х) (хху).
На «языке стрелок» это требование означает «к каждому прихо-
дит по крайней мере одна стрелка».
В школе следующим образом вводится понятие отображения:
«Функцию с областью определения X и множеством значений Y
называют также отображением множества X на множество У».
Как видим, отображение множества X на множество Y есть не что
иное, как некоторое соответствие из X в У, которое всюду определе-
но, однозначно и сюрьективно.
Под понятие «соответствие» подпадает и понятие «отображение
фигуры Ф на фигуру Фр, вводимое в курсе геометрии VI класса
(п. 13 из [3.451). Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что
«геометрической фигурой называется любое множество точек».
4. Соответствие т из X в Y называют инъективным, если все
элементы множества т имеют различные вторые компоненты, т. е.
выполняется условие:
(V х) (V у) (xity Д х2ту => Xj = х2).
Это требование на «языке стрелок» означает «к каждому у £ Y
приходит не более одной стрелки».
В курсе геометрии VI класса рассматриваются обратимые
(и необратимые) отображения фигур, а в курсе алгебры VIII клас-
са — понятие обратимой функции. Как видим, в обоих случаях
речь идет о соответствии из X в У, которое всюду определено, од-
нозначно, сюрьективно и инъективно, т. е. о биективном (взаимно
однозначном) отображении из X в У.
Таким образом, понятие соответствия (и отношения) позволяет
с единых позиций рассматривать некоторые довольно общие поня-
тия (функция, отображение, перемещение) школьных курсов ал-
гебры и геометрии.
Отметим теперь основные свойства отношений и их
ближайшие следствия.
1) Отношение т на множестве М называют:
рефлексивным, если (Vx) (хтх), и_
анти рефлексивным, если (Vx) (хтх).
26
Нетрудно убедиться в том, что рефлексивными, например, яв-
ляются отношения равенства (—), не меньше (>), конгруэнтности
(^), следования (Ф), равносильности («), подобия («) и параллель-
ности ( ||) на соответствующих множествах. В последнем случае
имеется в виду, что определение параллельности не исключает сов-
падения прямых или плоскостей.
Примерами антирефлексивных могут служить отношения: боль-
ше (>), перпендикулярности (_L), «быть отцом» и т. д.
2) Отношение т на множестве М называют:
симметричным, если (V х) (V у) (хъу => ухх)\
антисимметричным, если (V х) (V у) (хху /\ утх=$»х = у).
Так, из перечисленных выше десяти отношений симметричными
являются отношения равенства, конгруэнтности, равносильности,
подобия, параллельности и перпендикулярности. Остальные отно-
шения антисимметричны.
3) Отношение т на множестве М называют транзитивным,
если выполняется условие:
(V х) (V у) (V г) (хху f\yxz^ хтг).
Легко убедиться в том, что среди тех же конкретных отношений
транзитивны все, кроме отношения перпендикулярности и «быть
отцом».
Отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны
и транзитивны, называют отношениями эквивалентности. Таковы,
например, отношения равенства на множестве чисел, конгруэнт-
ности и подобия на множестве геометрических фигур, равносиль-
ности на множестве высказываний, уравнений или множеств.
Такие отношения обладают весьма важным свойством. По от-
ношению т эквивалентности на множестве М возможно вполне одно-
значное разбиение его на непустые попарно-непересекающиеся под-
множества М2, Мп, объединение которых совпадает с М.
Для этого достаточно потребовать, чтобы выполнялись условия:
а) каждый элемент из М принадлежит одному и только одному
из множеств Мz;
б) любые два элемента в каждом подмножестве находятся в от-
ношении т;
в) никакие два элемента из разных подмножеств отношением т
не связаны.
Множества при этом получают название классов эквивалент-
ности. В качестве представителя класса может выступать любой
его элемент.
Возможность разбиения множества на классы эквивалентности
по определенному на нем отношению используется в математике
(и других науках) для определения понятий «через абстракцию».
Ниже в общих чертах выясняется суть этого приема.
Для любого предмета х «принадлежать множеству М» значит
«обладать некоторым свойством р», т. е.
(V х) (х е м « р (%)).
27
Задав на множестве М некоторое отношение т эквивалентности»
мы получаем возможность разбить его на классы М19 М2, ...» Мп
эквивалентности. Для каждого из этих множеств имеет место рав-
носильность (отмеченного выше типа):
Таким образом, общее для всех х из множества М свойство р
принимает для каждого класса M.t эквивалентности свое особое
значение р(. Иными словами, с отношением х эквивалентности,
заданным на множестве М, связано некоторое свойство р элементов
этого множества, значения которого взаимно однозначно соответ-
ствуют классам эквивалентности. При переходе от элемента к эле-
менту внутри класса их свойство р{ остается неизменным и меняется
лишь при переходе от класса к классу. Свойство р( элементов ока-
зывается инвариантом класса М{ эквивалентности.
Классическим примером определения математического понятия
через абстракцию является определение натурального числа как
инварианта класса равносильных конечных множеств. Аналогично
можно определить длину отрезка, форму геометрической фигуры,
рациональное число и ряд других понятий. При этом не следует
полагать, что определение через абстракцию имеет место только
в достаточно глубоких курсах математики. Проанализируйте, на-
пример, введение в учебном пособии [3.45] понятия направления.
Объяснив, какие два луча следует считать сонаправленными (про-
тивоположно направленными), авторы пособия показывают (пусть
пока и без доказательства, а лишь на рис. 123), что сонаправленность
лучей транзитивна (симметричность и рефлексивность здесь на-
столько очевидны, что упоминание о них с дидактической точки
зрения не только излишне, но и вредно). Это и дает авторам право
утверждать далее: «Это свойство позволяет образовать множество
всех сонаправленных друг другу лучей плоскости и говорить прос-
то об их общем направлении». Очевидно, мы имеем здесь в явной
форме определение через абстракцию, кстати, именно в этом опре-
делении и кроется основное содержание пункта (а не в одной толь-
ко теореме о симметричности противоположно направленных лу-
чей, которой иногда уделяется все внимание на уроке!).
Другим важным типом бинарных отношений является отноше-
ние порядка.
Отношение т на множестве М. называют отношением нестрогого
порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Примерами здесь могут служить отношения: «не меньше» (>-) или
«не больше» (<) на множестве чисел, «включение» (s) на множест-
ве подмножеств, импликация (=>) на множестве высказываний.
Антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
т на множестве М обычно называют отношением строгого порядка.
Отношения «меньше» (<), «больше» (>) и «строгое включение»
(с), например, являются отношениями строгого порядка.
Можно выделить и, некоторые другие типы отношений порядка.
28
к .
' Из свойств отношения порядка, зафиксированных в его опре-
делении, можно вывести ряд других свойств безотносительно
к природе исходного множества и отношения порядка на нем. Все
такие свойства «автоматически» распространяются на конкретные,
множества и отношения порядка соответствующего типа.
Как уже отмечалось, отношения т на множестве М суть под-
множества декартова квадрата Л42. Поэтому над ними можно произ-
водить операции объединения, пересечения и дополнения. При этом
универсальным множеством будет полное отношение на М (само
множество Л42), пустым множеством — пустое отношение.
Зададим на множестве 7V натуральных чисел в качестве исходных
два отношения:
о= {(*; y)\x£N, х ss у (mod 2),
{х; у)| хG JV, y£N, х>у).
Дополнениями отношений о и т (до полного отношения) будут:
о = {(*; У)IX€N, y£N, х^у(mod2)),
х = {{Х-, y)\x£M, y£N, х<4ф
Графики этих отношений представлены на рисунках 4 и 5 соот-
ветственно.
Рис, 6. Рис. 7.
29
Графики отношений <т f] х и о (J т представлены на рисунках
6 и 7 соответственно.
Операций над отношениями, которые мы только что рассмотрели,
суть обычные теоретико-множественные операции. Специфическими
для соответствий (и в частности, отношений) являются операции ин-
версии и композиции. Их сущность характеризуется ниже.
Пусть (х; у) g X X Y, тогда пару (у; х) £ Y X X называют
инверсной по отношению к данной. Переход от первой пары ко
второй называют инверсией.
Пусть далее т — соответствие из X в Y:
< = 9)1 У^У,
тогда инверсным соответствием т-1 называют соответствие из
Y в X, состоящее из пар, инверсных парам из т:
<*"1 “ {(9; х) I хе X, у € Y, ухх}.
Если соответствие х является функцией из X в У, то соответст-
вие т—1 есть функция из Y в X, т. е. функция, обратная исходной.
Таким образом, изучаемые в школе понятия обратной функции и об-
ратного отображения подпадают под понятие инверсного соответ-
ствия.
В школьном курсе математики рассматриваются функции от
функций, или, как еще говорят, суперпозиции функций. Примером
может служить функция у = 1g х8. Нечто подобное приходится
делать и в геометрии — последовательно подвергать фигуру не-
скольким отображениям. Эти понятия обобщаются в понятии ком-
позиции соответствий.
В случае с функцией у =а 1g х3 возможно выделить три соответ-
ствия:
р= {(х; г)|х£ R, г = х3},
{(г; 9)1 г>0, # = 1gг),
® « {(*; 9)I*>0. 9=
Соответствие со называют композицией соответствия р и соответ-
ствия т (сначала р, потом т). Этот факт передается посредством
записи:
© = т о р.
Вообще, если р — соответствие из X в Zt и х — соответствие из
Z2 в Y, то соответствие со из X в Y называют композицией соответ-
ствия р и соответствия т; оно не пусто при условии Z = Zx f) Za
=/= 0 и определено лишь для z g Z.
Обобщением понятия бинарного соответствия является п-арное
соответствие. Пусть Хх, Х2, ..., Хя — некоторые множества, тогда
n-арным соответствием между элементами этих множеств называют
всякое подмножество их декартова произведения. При п = 1, 2, 3
соответствия получают названия унарных, бинарных и тернарных»
30
Алгебраические операции, например, могут быть рассматриваемы
как тернарные отношения. В частности, отношение «образовывать
сумму» имеет смысл для троек хг; х3) элементов из множества
X3 и выполняется тогда и только тогда, когда Xj + х» ~ х^. Всякое
алгебраическое уравнение с п переменными может быть рассматри-
ваемо как л-арное отношение на множестве R".
В заключение заметим, что рассмотренные примеры соответст-
вий и отношений достаточно хорошо свидетельствуют о фундамен-
тальной роли этих понятий в математике и о возможности строить
математические теории на основе понятий множества, соответствия
и отношения. Преимущества таких построений очевидны.
4.2. Новая программа и новые учебные пособия по математике
отражают имеющийся в нашей стране и за рубежом опыт внедрения
в школьный курс математики понятий отношения и соответствия.
В этих методических документах определено, какие отношения и
соответствия следует изучать в неявной или явной форме, какие
знания, умения н навыки должны приобрести учащиеся. Задача учи-
теля состоит в том, чтобы ио возможности полно реализовать замыс-
лы составителей программ и авторов учебных пособий, чтобы на-
капливать и осмысливать опыт обучения этим вопросам. Имеется
в виду, что при дальнейшем совершенствовании школьного мате-
матического образования понятия отношения и соответствия будут
вводиться на более ранней ступени обучения и на более высоком
уровне абстракции.
Выше мы уже имели возможность убедиться в том, что с интере-
сующими нас понятиями мы встречаемся в школьном курсе матема-
тики весьма часто. Каждая такая встреча должна быть использова-
на в интересах формирования у учащихся общего понятия отношения
и соответствия. На пути решения этой задачи можно выделить не-
сколько этапов (по крайней мере, три). Рассмотрим их последова-
тельно.
1. В настоящее время понятие соответствия в явном виде вводится
в курсе математики VI класса. Один из пунктов учебного пособия
[3.2] по алгебре так и озаглавлен: «Соответствие между множества-
ми». Применительно к геометрическому материалу те же вопросы
f«осматриваются в пункте «Отображения фигур» учебного пособия
3.45] по геометрии. Учебный материал курса математики, пред-
шествующий названным темам, используется для пропедевтического
ознакомления учащихся с идеей соответствия и отношения.
Отметим тот учебный материал курса математики IV—V классе®,
где по существу речь идет о том или ином соответствии или отно-
шении.
В этих классах рассматриваются соответствия между числовыми
множествами и множествами точек (от натуральных чисел до рацио-
нальных), между множеством значений переменной и множеством
значений выражения, между множеством углов и множеством зна-
чений угловых величин, между множеством однородных величин и
множеством положительных рациональных чисел (при изучении
31
связи между дробями и измерением), между множеством пар рацио-
нальных чисел и точками координатной плоскости.
С различными видами отношений учащиеся IV—V классов встре-
чаются, изучая строгое и нестрогое неравенства и равенство на
различных числовых множествах, множествах числовых выражений
и множествах значений величин, параллельность прямых, конгру-
энтность фигур, делимость натуральных чисел.
Зная, какие соответствия и отношения изучаются на каждом
этапе обучения, можно поставить вопрос о том, как именно их сле-
дует изучать. Чтобы деятельность учителя в обучении была созна-
тельной, необходимо предварительно составить для себя примерную
характеристику изучаемого соответствия или отношения.
а) В случае соответствия важно знать:
каковы множества X и Y отправления и прибытия соответствия,
как задано или определено соответствие, как образуются пары —
элементы графика соответствия;
какими из свойств — всюду определено, однозначно, сюрьек-
тивно, инъективно — обладает данное соответствие;
обратимо ли данное соответствие, каковы основные свойства
инверсного соответствия.
б) В случае отношения предварительно выясняется:
на каком множестве Л4 рассматривается отношение, как оно
задано или определено;
какими из свойств — рефлексивность, симметричность, транзи-
тивность — обладает данное отношение.
Ниже приведены примеры таких характеристик.
При м е р 1. Числовой луч.
Имеются два множества: X — множество (правильных) дробей
и У — множество точек луча ОР на участке от 0 до 1.
Соответствие задается указанием единичного отрезка ОД, т..е.
пары (1; Д). Надо научиться устанавливать соответствие из X
в К и из У в X (в простейших случаях).
Первое соответствие обладает свойствами: всюду определено,
однозначно, не сюрьективно, инъективно; второе — не всюду опре-
делено, однозначно, сюрьективно и инъективно.
Пример 2. Делитель.
Имеется множество N натуральных чисел. Для его элементов
х и у определено отношение «делится» (х делится на у> если сущест-
вует число N такое, что х = уг). Надо научиться распознавать
пары (х; у)9 удовлетворяющие отношению.
Это отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Составив такие характеристики, учитель может внести необходи-
мые поправки и дополнения в материал учебника и в рекомендации
«книги для учителя» аналогично приведенным ниже. -
К примеру!. Понятие множества учащимся уже известно.
Поэтому уместно поставить вопрос, какие множества здесь сопостав-
ляются, обозначить их и говорить с учащимися на языке соответ-
ствий.
32
Для выяснения свойств рассматриваемых соответствий уместно
обсудить (на том же уроке или при повторении) вопросы:
Сколько точек соответствует данному числу?
Существует ли число, которому не соответствует точка?
Сколько чисел может соответствовать данной точке?
Есть ли точки, которым не соответствует число?
К примеру 2. Предложение «х кратно а» означает то же са-
мое, что и предложения: «а — делитель х», «х делится на а». Говорят
также, что «х находится в отношении делимости с а».
Отношение делимости х на у рассматривается на множестве N
натуральных чисел.
В предложении «х находится в отношении делимости с у* замени-
те переменную так, чтобы получилось верное высказывание (три-
четыре примера), если:
а) х = 30; б) у = 5.
Делится ли х на х?
Известно, что «х находится в отношении делимости с уъ. Нахо-
дится ли в том же отношении у с х?
Известно, что х делится на у и у делится на z. Делится ли х на
z? Приведите примеры.
Сформулируйте ту же задачу на языке отношений.
2. Началом второго (основного) этапа изучения соответствий
и отношений следует считать темы «Функция» в курсе алгебры
и «Конгруэнтность фигур и перемещения» в курсе геометрии
VI класса.
На этом этапе обучения, как и прежде, рассматриваются конкрет-
ные соответствия и отношения. Однако здесь во всех подходящих
случаях употребляется термин «соответствие», выделяются область
отправления и область прибытия соответствия, рассматриваются
его свойства (без употребления терминов «сюрьекция», «инъекция»).
Остается только пожелать, чтобы и отношения изучались примерно
на том же уровне. При этом вполне возможно употребление терми-
нов «рефлексивность», «симметричность» и «транзитивность».
Методика подготовки учителя к изучению соответствия или отно-
шения на уроке здесь примерно та же, что и на первом этапе: со-
ставляется характеристика объекта изучения, материал учебника
и «книги для учителя» сопоставляется с характеристикой, при не-
обходимости вносятся поправки и дополнения.
3. К следующему, последнему этапу в изучении соответствий или
отношений следует отнести их абстрактное рассмотрение. При успеш-
но^ подчиненном единой цели обучении конкретным соответствиям
и отношениям в IV—VIII классах (по ныне действующим учебным
пособиям) такое рассмотрение вполне возможно в IX—X классах.
В программе по математике, на работу по которой перешла наша
средняя йй^ола, преследовалась, в частности, такая цель: возможно
раньше вв^тн понятие соответствия (и отношения) и на основе этого
понятия изучать возможно более широкий круг математических
2 7—941
33
вопросов. Можно сказать, что в новых учебных пособиях для шко-
лы эта цель отчасти реализована. Удалось достичь того, что функ-
ция в алгебре и преобразования фигур в геометрии рассматриваются
теперь с единой точки зрения.
Предполагается, что последующая реформа школьного матема-
тического образования пойдет по этому пути дальше. Понятия со-
ответствия и отношения в пропедевтическом плане будут изучаться
в начальных классах школы. Курс математики средней школы бу-
дет начинаться с общего рассмотрения понятий множества, соот-
ветствия и отношения. Все дальнейшее содержание курса будет
по возможности строиться на основе упомянутых понятий. В настоя-
щее время уже идет подготовка к такой реформе.
Сектор обучения математике НИИ СМО АПН СССР (см. гл.
XIII) проводил экспериментальную работу по изучению соответ-
ствий и отношений с учащимися III класса. Результаты этой работы
нашли отражение в экспериментальном учебном пособии 11.97].
§ 5. К ВОПРОСУ О РАЗВИТИИ ТЕНДЕНЦИИ
К ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОМУ ПОДХОДУ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
5.1. Зарубежный опыт.
5.2. Отечественный опыт.
5.1. В июле 1956 г. в Женеве состоялась XIX Международная
конференция по народному просвещению (см. [1.3.6]). Среди реко-
мендаций конференции министерствам народного просвещения, от-
носящихся к преподаванию математики, содержится такая: «Су-
щественно: а) подчеркивать внутреннее единство математики,
не устраивать перегородок между ее ветвями и сопоставлять раз-
личные методы решения данного вопроса».
Бельгийский математик-педагог проф. Ж. Папи в докладе
«Об основных идеях современной математики» на XIV Международ-
ной конференции преподавателей математики (Краков, август
1960 г.), раскрывая идею этой рекомендации, отметил, что совре-
менная математика благодаря развитию теории множеств и мате-
матической логики нашла единство, что современная алгебра, то-
пология и анализ базируются на теории множеств.
Переходя к рассмотрению этого вопроса в педагогическом аспек-
те, Г. Пиаже высказал утверждение, что основные понятия теории
множеств вполне доступны детям и должны быть введены в школьный
курс математики. Ж- Папи подробно изложил свой опыт преподава-
ния основных понятий теории множеств в школе. В ходе многолетне-
го эксперимента он разработал экспериментальный учебник для 6-го
года обучения «Современная математика» (издан в 1963 г.), по кото-
рому ведется преподавание в ряде бельгийских школ. Учебник начи-
нается изложением элементов алгебры множеств (множества, под-
множества, пересечение, объединение, разность, алгебра множеств.
34
подразделение). Доказываются свойства операций над множествами.
В связи с рассмотрением отношений вводится декартово произве-
дение. На основе понятий множества и соответствия формируются
понятия отношения» функции, геометрической фигуры. Ссылаясь
на опыт, Ж* Папи отметил, что в более младших классах дети лучше
воспринимают понятие множества. Папи считает достаточным, что-
бы дети достигли понимания соответствующих теоретико-множест-
венных понятий без того, чтобы обязательно давать им определения.
Весной 1960 г. началась реформа преподавания математики в
ряде школ Швейцарии. Инициатива в этом отношении принадле-
жит Невшательской гимназии, в которую поступают учащиеся с 15-
летнего возраста. В первом классе гимназии изучаются операции (объ-
единения, пересечения, дополнения) над множествами и их свойства,
а также понятие отношения и такие свойства отношений, как реф-
лексивность, симметричность и транзитивность. В программе со-
держалось требование избегать всяческого формализма, базируясь
на конкретные представления и больше на индукцию, чем на дедук-
цию, новые понятия вводить последовательно через построения,
целесообразно подобранные упражнения. Представляют интерес
выводы, которые были сделаны после двухлетнего эксперимента: по-
высился интерес учащихся к математике, несколько повысилась
и успеваемость. Организаторы реформы считали вероятным, что
материал программы I класса гимназии при более элементарной
трактовке можно начинать преподавать учащимся 11—12-летнего
возраста.
Движение за внедрение элементов теории множеств в школьный
курс математики быстро охватило зарубежные страны. В докладах
на Международном симпозиуме по вопросам преподавания мате-
матики (1962 г., август, Будапешт) отмечалось, что в Стенфордском
университете (США) ведутся эксперименты по изучению простей-
ших теоретико-множественных понятий с I класса. Элементы тео-
рии множеств были введены в экспериментальные учебники для
младших классов шведских школ.
В проекте программы по математике, разработанном в странах
«Европейского экономического сообщества» (при участии США,
проект издан в 1961 г.), рекомендуется знакомить учащихся с 11-
летнего возраста с элементарными понятиями теории множеств,
с отображениями одного множества в другое и на другое.
На всех последующих международных форумах, посвященных
вопросам перестройки преподавания школьной математики, все на-
стойчивее подчеркивалась необходимость внедрения в школьную
математику элементов теории множеств, которые способствовали бы
раскрытию содержания программных вопросов в духе современной
математики. Так, на Международном конгрессе математиков в Сток-
гольме (1962 г.) вице-президент Международной комиссии по мате-
матическому образованию С. Страшевич, выступая с обзором до-
кладов ст различных стран по вопросу об отношении между ариф-
метикой и алгеброй, отметил, что современное преподавание
2*
35
арифметики и алгебры не может обойтись без понятий, относящихся
к множествам. Возражая против чрезмерных увлечений, докладчик
не рекомендовал вводить много формул алгебры множеств, считая
целесообразным ограничиться началами теоретико-множественного
языка, приучая учеников постоянно пользоваться им. Он считал
наиболее удачным французский план. Этим планом рекомендуется
введение понятий множества, элемента множества, пустого множест-
ва, равномощности пересечения, объединения множеств, до-
- полнительного множества, символов £, cz, f| > U» 0, и неко-
торых простейших формул алгебры множеств: А П А = A, A U
U В = В U А и др.
Обилием проектов модернизации школьной математики отлича-
лись США. Это обусловлено тем, что для США характерна децентра-
лизация народного просвещения и каждый штат мог выдвигать свой
проект. Так, в штате Коннектикут в 1958 г. возникла группа по
изучению состояния школьной математики, которая ставила своей
целью улучшение обучения математике в школах на всех ступенях.
Группа создавала экспериментальные программы и учебные пособия
для учителей и учащихся. Программами рекомендовалось понятие
натурального числа связывать с понятием множества на основе
взаимно однозначного соответствия между элементами множеств,
вводить операции пересечения и объединения множеств и понятие
подмножества в связи с изучением НОД и НОК, вводить понятие
уравнения не традиционно, а с использованием понятий теории мно-
жеств и элементов математической логики и т. д.
В Англии широкую известность получил проект Наффилда, для
которого также характерна тенденция внедрения в школьную мате-
матику элементов теории множеств.
Интенсивные исследования по вопросу о построении школьной
математики на основе теоретико-множественных понятий проводи-
лись и в странах социалистического лагеря. Например, в Румынии
в 1962 г. состоялось совещание по вопросам модернизации препода-
вания математики, на котором рассматривался проект программы,
предусматривающий введение элементов теории множеств с V клас-
са. Следует заметить, что в это время в действующие программы для
старших классов румынских средних школ уже были включены эле-
менты теории множеств: в курсе алгебры IX класса — понятия при-
надлежности элемента множеству, включения, объединения, пере-
сечения множеств, окрестности точки. В объяснительной записке
указывалось, что в XI классе элементарные понятия множеств ис-
пользуются для научного обоснования понятий математического
анализа и изложения этих понятий в соответствии с современным
уровнем математической науки.
В 1964/65 учебном году в ГДР были введены программы по ма-
тематике для I—III классов, предусматривающие построение курса
на теоретико-множественной основе. В проекте новой программы по
математике в Чехословакии подчеркивалось, что основной линией
программы является введение основ теории множеств. Программа
36
для IV класса включает темы: «Множества», «Композиции». Для
проекта новой программы по математике школ ДРВ характерно то,
что идеи современной математики пронизывают всю программу.
Начиная с V класса явно вводятся понятия множества, отношения
между множествами, операции над множествами, отображения одно-
го множества на другое.
На Международном коллоквиуме по вопросам модернизации
школьной математики (Бухарест, 1968 г.) обобщались результаты
экспериментов, проводимых в различных странах, рассматривался
вопрос о дозировке современных математических понятий и пред-
ставления их в форме, доступной различным возрастным уровням
учащихся. Заслуживают внимания методические указания к про-
граммам для французских школ: основные теоретико-множественные
понятия следует вводить постепенно, отправляясь от многочислен-
ных примеров, где эти понятия, естественно, возникают. Понятия,
относящиеся к структурам множеств, рекомендуется вводить после
того, как почва для них будет тщательно подготовлена. Число но-
вых терминов и символов должно быть ограничено разумными
рамками.
Представляют интерес методические взгляды крупнейших мате-
матиков США, изложенные в меморандуме (1962 г.) по поводу начав-
шейся реформы школьной математики: «Математическое мышление
не сводится к дедуктивным рассуждениям, оно не состоит только
в формальных доказательствах. Мыслительные процессы, подска-
зывающие нам, что доказывать и как доказывать, также составляют
часть математического мышления... Выделять понятие, приспособ-
ленное к конкретной ситуации, обобщать, исходя из наблюдаемых
частных случаев, рассуждать по индукции, по аналогии и находить
интуитивные доводы для выделяемой догадки — все это математи-
ческие способы мышления... Мы... думаем ... что разумное приме-
нение множеств и языка понятий «абстрактной» алгебры принесет
больше связи и единства в программах. Однако дух современной
математики не может быть усвоен просто повторением ее термино-
логии... мы желаем, чтобы введению новых терминов и понятий
предшествовала достаточная конкретная подготовка и последовали
Йдсгоящие приложения... надо мотивировать новое понятие, если
хфгят убедить.разумных молодых людей, что стоит уделить ему
внимание» \
) В1954—1955 гг. вышли в свет два пособия для средних
школ проф. И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел»
й «Арифметика дробных чисел и основных величин». Основная цель
|ш^эбий -г- повышение теоретического уровня арифметики на базе
^Йтия множества. Оба пособия явились первой попыткой в нашей
сблизить школьный курс арифметики с современной наукой.
«л^в^Штнка натуральных чисел» начинается раскрытием на
*-ii.-"‘'i1..' .
: *• Меморандум -американских математиков. — «Математика в школе», 1964,
* Л с. 90—92.
37
доступных для учащихся примерах содержания понятий множества,
элемента множества, равночисленных и неравночисленных множеств
(на основе понятия соответствия), пустого множества. Теория дей-
ствий над натуральными числами развертывается на основе опера-
ций объединения множеств, удаления части множества и разделения
множества на равночисленные части. Знаки операций над множества-
ми, к сожалению, не вводятся. В пособии отчетливо показано, как,
используя простейшие понятия теории множеств, можно наглядно
и вместе с тем достаточно строго прийти ко всем понятиям ариф-
метики натуральных чисел.
В 1957 г. вышло новое пособие по арифметике И. К. Андронова
и В. М. Брадиса «Арифметика», представляющее методическую об-
работку указанных выше двух пособий. В конце пятидесятых годов
под руководством проф. И. К. Андронова были развернуты экспери-
ментальные исследования на базе 352-й школы Первомайского рай-
она Москвы, имевшие целью выявить возможности использования
простейших операций над множествами в школьном курсе матема-
тики начиная с IV класса. На основе этого исследования было соз-
дано экспериментальное учебное пособие *. В этом пособии уже при-
меняется теоретико-множественная символика. На доступных для
учащихся примерах разъясняются свойства рефлексивности, сим-
метрии и транзитивности (без употребления этих терминов), отноше-
ния равносильности множеств, а также основные свойства операций
объединения и пересечения множеств. Операция пересечения мно-
жеств находит содержательное применение при изучении геометри-
ческого материала — геометрическая фигура рассматривается как
точечное множество.
А. А. Столяр на основе осуществленной им экспериментальной
проверки предложил следующую программу формирования теорети-
ко-множественных понятий в IV классе:
«Множество (конечное, исключая пустое и единичное множество).
Отношение принадлежности и непринадлежности элемента множест-
ву. Задание множества перечислением элементов и описанием харак-
теристического свойства элементов множества. Отношение включе-
ния и его отрицание. Подмножество. Равенство множеств. Выделение
подмножества с помощью свойства. Дополнение множества. Объеди-
нение и пересечение множеств. Составление множества упорядочен-
ных пар, компоненты которых удовлетворяют некоторому отноше-
нию (а, р, у)» 1 2. В работах А. А. Столяра отмечается, что результаты
проведенного эксперимента дают основание предполагать возмож-
1 См.: Андронов И. К- и др. Математика (множества, числа, фигуры,
операции). Новое экспериментальное учебное пособие для 4 класса общеобразо-
вательной школы. М.» 1969; См. также: Беляева Е.С. Из опыта преподава-
ния математики в IV классе по экспериментальной программе.— «Математика
в школе», 1965, № 1.
2 Сто л я р А. А. Логические проблемы преподавания математики. Минск,
1965; Столяр А. А. Формирование теоретико-множественных понятий уча-
щихся IV класса.— «Начальная школа», 1964, № 10.
Зв
ность более раннего начала внедрения теоретико-множественных
понятий в школьный курс математики.
На Международном конгрессе математиков в Москве (1966 г.)
проф. А. А. Зыков рассказал об эксперименте, проведенном группой
новосибирских математиков. В этом эксперименте понятие множест-
ва вводится во II классе, а с III класса изучаются действия над
множествами х.
В 1963/64 учебном году сектор обучения математике Института
общего и политехнического образования АПН РСФСР начал про-
водить экспериментальную работу по определению содержания ма-
тематического образования в IV—X классах. Мыслилось обновле-
ние школьной математики на основе идей, методов и языка совре-
менной математики, в частности внедрение теоретико-множествен-
ного подхода к изучению математики. Проведенная работа оказала
существенное влияние на содержание новой программы и разрабо-
танных в соответствии с ней учебников. В проекте новой программы
не было явных указаний, в какой последовательности и в каком объ-
еме должны вводиться элементы теории множеств, но в объяснитель-
ной записке к программе отмечалось, что «при составлении новых
программ приходилось считаться с возрастанием в современной ма-
тематике и практике ее применений ... роли элементов математиче-
ской логики и начальных понятий теории множеств» 1 2, а в пояснении
к курсу «Арифметика и начала алгебры (IV—V классы)» рекоменду-
ется уже в начале этого курса, при повторении и систематизации
ранее полученных учащимися сведений о натуральных числах,
привлекать понятия «множество», «элемент множества», «принад-
лежность», а в дальнейшем знакомить учащихся с понятиями «объ-
единение множеств», «общая часть» или «пересечение множеств»,
«пустое множество», «часть множества» или «подмножество» и ука-
зывается, при изучении каких программных вопросов эти понятия
используются. Таким образом, в объяснительной записке опреде-
лена исходная позиция для построения школьного курса математи-
ки на теоретико-множественной основе, без того чтобы стеснять
инициативу исследовательских лабораторий, составителей учебни-
ков и учителей в дальнейшем развертывании школьного курса мате-
матики на указанной основе. Такой подход программы и объясни-
тельной записки к понятиям и языку теории множеств, играющих
важную роль в повышении теоретического уровня школьной мате-
матики и в сближении ее с идеями, методами и языком современной
математики, в настоящих условиях следует считать правильным и
целесообразным.
1 См.: Маркушевич А. И., Аш к ин узе В. Г., Черка*
с о в Р. С. Международный конгресс математиков в Москве.— «Математика в
школе», 1966, № 6, с. 16.
~__Программы по математике для средней школы.— «Математика в школе»,
1968, № 2, с. 5.
39
Глава XII
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
$ 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1.1. Понятие числа в математике.
1.2. Развитие понятия числа в школьном курсе.
1.1. Понятие числа, как и понятие множества, принадлежит
к числу фундаментальных понятий современной математики. Число
является основным орудием, с помощью которого человек познает
количественные отношения реального мира.
Понятие числа возникло из потребностей практической деятель-
ности людей. Надо было сравнивать различнее множества пред-
метов, устанавливать существующие между ними отношения. Надо
было объединять два множества предметов в одно множество или уда-
лять из множества некоторое подмножество. Далеко не всегда не-
посредственное решение таких задач оказывалось простым. Но в
результате усилий многих поколений, по мере развития способ-
ности людей к абстрагированию, возникавшие трудности успешно
преодолевались — с появлением натуральных чисел и операций
над ними решение упомянутых задач существенно упростилось.
Сравнение множеств, например, стало теперь сводиться к счету
и сравнению полученных чисел.
Ф. Энгельс так описывает этот процесс: «Понятия числа и фигуры
взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять
пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить
первую арифметическую операцию, представляют собой все, что
угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы счи-
тать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать
уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов
от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть ре-
зультат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития» Ч
Вслед за натуральными числами в ходе длительного и сложного
процесса исторического развития возникают дробные, отрицатель-
1 Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М., 1948, с. 36—37.
40
ные, иррациональные, а затем и мнимые числа. Каждое такое рас-
ширение имеющихся числовых представлений происходит также под
влиянием запросов практики: потребностей измерения величин
и внутренних потребностей самой математики.
По мере того как возникали новые числовые представления,
предпринимались и первые попытки их уточнения, разрабатывались
и обосновывались правила оперирования над новыми числовыми
объектами. Однако накопленные сведения о числах и операциях
над ними оформились как математические теории лишь во второй
половине XIX в., когда многие выдающиеся математики занялись
проблемой обоснования математики.
В современных теоретических построениях принята такая после-
довательность рассмотрения различных числовых множеств:
натуральные числа (множество N),
целые числа (множество Z),
рациональные числа (множество Q),
действительные числа (множество /?),
комплексные числа (множество С),
гиперкомплексные числа и кватернионы.
Каждое из перечисленных множеств есть множество с отношения-
ми и операциями для его элементов, т. е. структура определенного
типа. При этом (по определению):
Алгебраической операцией, определенной на множестве М, на-
зывают соответствие, в силу которого каждой паре х и у
элементов множества М, взятых в определенном порядке,
соответствует единственный третий элемент z того же мно-
жества. Определенную на М операцию называют выполни-
мой на этом множестве. На множестве 7V, например, опреде-
лены отношения равенства и порядка и операции сложения и умно-
жения.
Числовое множество М считается построенным (известным, опре-
деленным), если определены:
элементы множества (или множество в целом),
отношения эквивалентности для элементов и
операции сложения и умножения с определенными свойствами.
; Дервое числовое множество — множество N натуральных чи-
сможет быть построено чисто дедуктивным путем на основе
аксиом Д. П е а н о (1852—1932 гг.). Разработана и другая
wif;* натурального числа, основанная на принадлежащей
MSjMi’a.H'T о р у (1845—1918 гг.) интуитивной теории множеств.
|3рспроизведем в общих чертах вторую теорию, поскольку в упро-
виде она изучается в школе.
Ж^йщтаются известными следующие понятия из интуитивной тео-
^йЦйрожеств:
5^двдмкёство, элемент множества, принадлежит, следует за, соот-
понятия);
правильная часть множества, взаимно-однозначное соответствие,
равносильность множеств, конечное и бесконечное множество,
Йг • ' 41
предшествует, упорядоченное множество, объединение и пересече-
ние множеств (производные понятия).
Считаются истинными следующие высказывания об этих поня-
тиях:
всякое множество конечно либо бесконечно;
любые два конечных множества равносильны либо неравно-
сильны;
из двух неравносильных конечных множеств одно равносильно
правильной части другого;
равносильность множеств есть отношение эквивалентности;
по отношению равносильности множество всех (мыслимых) ко-
нечных множеств можно разбить на классы эквивалентности;
объединение множеств (без общих элементов) коммутативно и
и ассоциативно.
На базе перечисленных понятий и их свойств можно определить
все понятия, относящиеся к множеству натуральных чисел, и в
частности такие, как «натуральное число», «равно», «меньше», «сум-
ма чисел х и у (сложение)», «произведение чисел х и у (умножение)»,
«разность (вычитание)» и «частное (деление)».
Достаточна база и для того, чтобы доказать основные высказы-
вания о перечисленных объектах и отношениях:
множество N натуральных чисел бесконечно;
отношение равенства на N есть отношение эквивалентности;
множество N есть упорядоченное множество, его первый эле-
мент— число 1;
сложение и умножение чисел коммутативны и ассоциативны;
умножение дистрибутивно относительно сложения;
вычитание и деление в множестве N не всегда выполнимы.
Тот факт, что в множестве N не всегда выполнима операция вы-
читания, служит поводом для его расширения до множества целых
чисел.
Каждое из множеств Z, Q, R, ... является расширением предыду-
щего множества. Имеется в виду при этом, что (по определению):
Множество Y называют расширением множества X, если выпол-
нены следующие условия:
1) множество X есть собственное подмножество множества У;
2) все отношения и операции для элементов множества X опреде-
лены и для элементов множества У, при этом их смысл для элемен-
тов из X совпадает с тем, который они имели в X до расширения;
3) в множестве У выполнима операция, которая в X была невы-
полнима или не всегда выполнима;
4) расширение У является минимальным из всех возможных, удов-
летворяющих требованиям (1) — (3).
Ниже в качестве примера приведена схема перехода от множест-
ва N (целых неотрицательных чисел) к множеству Z (целых чисел).
1) Отмечается, что в N невыполнима операция вычитания числа
у из числа х в случае, когда х < у. Требуется построить расширение
Z множества /V, в котором эта операция всегда выполнима.
42
2) Для этого принимаются определения:
целым числом (элементом множества Z) назовем пару (х; у)
чисел х £ N и у £ N, взятых в определенном порядке;
пару (х/, ух) = а назовем равной паре (х2; у2) — 0, если и только
еслй хг + у2 = х2 + yr,
из двух неравных пар а и 0 первую назовем меньшей, чем вто-
рая, если и только если хг + у2 < х2 + У1\
суммой пары а и пары 0 назовем пару (хг + х2; ух + у2);
произведением пары а на пару 0 назовем пару (ххх2 + уху2;
"4” Xg£/j).
3) Показывается, что при таких определениях основных объек-
тов и отношений множество Z является расширением множества N.
Возможен и другой подход к построению числовых множеств
Z, Q, /?,... . Имеется в виду, что вначале определяются не элементы
нового множества, а само множество «в целом» как кольцо или поле
с определенными свойствами. Такой подход предполагает знание
начал «общей алгебры».
1.2. Для любых теоретических подходов к построению числовых
систем характерна строгая логическая последовательность, которая,
очевидно, не может совпадать с историческим ходом развития поня-
тия числа,— достаточно вспомнить, что простейшие представления
о дробях (долях целого) возникли задолго до появления отрицатель-
ных чисел, т. е. «вопреки логике» элементы множества Q были по-
знаны людьми до построения множества Z. Не касаясь сейчас инте-
ресного с философской точки зрения вопроса об этом примере
диалектического противоречия логического и исторического, отме-
тим, что именно оно является причиной многочисленных споров
о последовательности изучения числовых множеств в школе — науч-
ный подход требует максимального приближения к логике, дидакти-
ческие принципы не позволяют отказаться от опоры на многовеко-
вой опыт человечества.
Первый шаг в дидактическом построении числовых систем спо-
ров не вызывает — это построение конечного отрезка множества Л\
с которым дети обычно знакомы еще до прихода в школу. С опорой
на эти знания в начальной школе строится весь натуральный ряд.
Обычно не вызывает споров и включение в начальное образование
некоторого минимума сведений о дробях (долях единицы). Однако
дальнейшее расширение сведений о числе может вестись по-разному.
Остановимся на этом подробнее.
Итак, представим себе, что имеется упорядоченное множество Zo
целых неотрицательных чисел с определенными на нем операциями
сложения и умножения и имеется необходимость подвергнуть это
множество расширению. Возникает вопрос, в какой последователь-
ности производить это расширение.
При выборе последовательности расширения понятия числа для
школьного курса математики приходится учитывать многие факторы.
Наиболее существенными из них являются внутренние потребности
самой математики (выполнимость операций), потребности практики
43
(измерения величин), возможности усвоения учебного материала
детьми определенного возраста и др.
Рассмотрим некоторые последовательности расширения множест-
ва из числа возможных. Отметим их достоинства и недостатки для
целей школьного обучения.
1) Если исходить только из внутренних потребностей самой ма-
тематики, то поводом для первого расширения множества Zo явится
обратимость операции сложения (выполнимость вычитания).
В этом случае вслед за множеством ZQ рассматривается множество
Z целых чисел. В множестве Z, как и в множестве Zo, необратима вто-
рая операция — умножение (не всегда выполнимо деление). Прихо-
дится расширять множество Z до множества Q рациональных чисел.
Поводом для следующего расширения является невыполнимость
операции извлечения арифметического корня из чисел. Множество
Q расширяется до множества R действительных чисел. Наконец,
поводом для расширения множества R до множества С комплексных
чисел служит невыполнимость операции извлечения корня четной
степени из отрицательных чисел.
В условиях такой последовательности имеется возможность ис-
ходить из немногих единых принципов при каждом расширении,
т. е. строить множества Z, Q, R и С строго дедуктивно. Поэтому
такая последовательность получила широкое распространение в
курсах оснований арифметики. Она не принята в школьных кур-
сах математики на том основании, что не отвечает потребностям прак-
тики и возможностям усвоения. Однако не ,исключено, что со
временем будет найдена такая методическая реализация последо-
вательности Zo, Z, Q, /?, С, которая окажется приемлемой для изу-
чения в школе.
2) В прежней программе по математике для средней школы чис-
ловые множества рассматривались в таком порядке:
множество Zo,
множество положительных дробей (сначала обыкновенных,
потом десятичных),
множество положительных и отрицательных чисел (целых и
дробных), т. е. множество Q,
множество
множество С (изучение этого множества проводилось не всегда).
Такой - порядок рассмотрения различных числовых множеств
находится в соответствии с историческим процессом возникновения
и развития числовых представлений у людей. Имеется возможность
обосновать операции над десятичными дробями посредством уже из-
вестных операций над обыкновенными. Изучение «трудных» для уча-
щихся отрицательных чисел отодвигается на более позднее время.
К недостаткам этого порядка обычно относят неизбежный разрыв
во времени между изучением натуральных чисел (записанных по
десятичной системе счисления) и десятичных дробей.
3) Из сравнения порядков (1) и (2), их достоинств и недостат-
ков, возник порядок, реализованный в ныне действующей програм-
44
ме и учебниках. Здесь числовые множества рассматриваются в такой
последовательности:
множество Zo (с небольшой пропедевтикой обыкновенных дробей),
множество положительных и отрицательных чисел (целых и де-
сятичных дробей),
«множество рациональных чисел,
множество действительных чисел.
Имея ряд преимуществ, и этот порядок изучения чисел не лишен
некоторых недостатков. Одним из них являются логические труд-
ности обоснования операций над десятичными дробями. Однако
поиски оптимальной последовательности расширения понятия числа
и ее реализации продолжаются.
Заметим, что ранее изучавшаяся в школе тема «Комплексные чис-
ла» теперь в основном курсе математики не изучается. Она отнесе-
на к факультативному курсу «Дополнительные главы и вопросы
математики».
Итак, в пределах курса математики средней школы множество
натуральных чисел расширяется до множества действительных
чисел.
g 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
2.1. Характеристика предшествующей подготовки учащихся.
2.2. Основные вопросы методики изучения натуральных чисел
и нуля в IV классе.
2.3. Дальнейшие сведения о натуральных числах в школьном
курсе математики.
2.1. Как известно, натуральные числа специально изучаются в
IV классе. Курс математики этого класса состоит из трех основных
разделов: «Натуральные и дробные числа», «Десятичные дроби»
и «Начальные сведения по геометрии». Известно также, что в разделе
«Натуральные числа» проводится систематизация сведений о нату-
ральных числах, приобретенных учащимися в I—III классах.
В связи с последним фактом возникает необходимость уточнить
Лаше представление о содержании и характере подготовки учащих-
ся* В начальных классах. Чтобы учить дальше, учитель должен знать,
что уже знают и умеют делать его учащиеся.
UQ программе, введенной в действие в 1969/70 учебном году, в
начальных классах средней школы в числе других изучается учеб-
ный предмет «Математика», включающий арифметику натуральных
; ЧЙсел с элементами алгебры и геометрии.
Итак, перед нами вопрос: с какими знаниями по математике
йрйходят учащиеся в IV класс? Ответ на этот вопрос дается в мето-
дическом письме Министерства просвещения РСФСР «О работе
третьих классов школ РСФСР по новым программам в 1971/72 учеб-
ном году». Ниже приведены извлечения из этого письма, относящие-
ся к натуральным числам.
45
«Завершая в III классе изучение начального курса математики,
каждый ученик должен овладеть следующими знаниями, уме-
ниями и навыками:
1. Нумерация чисел. Знать структуру натурального
числа, его разряды и классы (единиц, тысяч, миллионов), отношения
между разрядными и классными единицами. Понимать поместное
значение цифры при записи чисел. Уметь прочитать и записать мно-
гозначное число, назвать его высший разряд, представить в виде
суммы разрядных слагаемых, определить, сколько единиц данного
разряда во всем числе.
2. Арифметические действия. Понимать конкретный
смысл каждого действия и связь между ними, уметь использовать
свойства суммы, произведения для рационализации устных и
письменных вычислений. Знать зависимость между компонентами
и результатом действия и уметь применять это знание при решении
простейших уравнений и задач с помощью составления уравнений,
знать, как изменяются результаты действий в зависимости от изме-
нения одного из компонентов и уметь использовать это знание для
рационализации вычислений и решения соответствующих задач.
Знать алгоритм каждого действия и свободно владеть навыками
устного и письменного выполнения действий, их проверкой. Уметь
правильно решать примеры на совместные действия, соблюдая уста-
новленный порядок их выполнения ...
3. Величины и их измерение. .Иметь реальное пред-
ставление об основных единицах измерения длины, веса, времени,
стоимости; уметь производить раздробление и превращение имено-
ванных чисел с указанными мерами ...
4. Элементы алгебры. Знать, что числа можно записы-
вать не только цифрами, но и обозначать буквами и что буквы, вхо-
дящие в математические выражения, могут иметь различное числовое
значение ...
Уметь сравнивать числа, выражения и записывать результаты
сравнения с помощью знаков =, > или <?» иметь понятие о равен-
стве, неравенстве ...
5. Элементы геометрии...
6. Решение задач. Знать основные случаи применения
каждого арифметического действия при решении задач ...
Уметь соотнести числовые данные задачи с соответствующими ве-
личинами, установить зависимость между ними, наметить план ре-
шения и в зависимости от содержания задачи составить либо выра-
жение (числовую формулу), либо простейшее уравнение, либо решить
задачу по отдельным вопросам и действиям ...» *.
Обучение математике в начальных классах ведется по стабильным
учебникам. Вопросы методики обучения рассматриваются в учеб-
ном пособии [3.118] «Методика начального обучения математике»
для педагогических институтов. Оно написано в соответствии с дей-
1 Сборник приказов и инструкций Министерства просвещения РСФСР,
1971, № 23.
46
ствующей программой и новыми учебниками по математике для на-
чальных классов. В интересах обеспечения преемственности в обу-
чении учителю математики IV класса весьма полезно ознакомиться
с содержанием упомянутых учебников и методического пособия.
2.2. Раздел «Натуральные и дробные числа» является первым
в систематическом курсе математики средней школы. Основная
задача этого раздела — обобщение и закрепление тех сведений о
множестве натуральных чисел, которые вынесены учащимися из
начальной школы. Одновременно решается ряд смежных задач:
формируется понятие дробного числа, уточняются представления
об уравнениях и неравенствах, формируются некоторые новые поня-
тия алгебры (выражение, переменная и т. п.) и геометрии.
В этой главе мы ограничиваемся лишь вопросами методики изу-
чения натуральных чисел и операций над ними. Имеется в виду,
что методика изучения выражений, уравнений и неравенств рассмат-
ривается в других главах настоящего пособия.
Действующая программа по математике следующим образом
определяет содержание интересующей нас части этого раздела:
«Чтение и запись многозначных чисел. Изображение чисел точ-
ками на луче. Сравнение чисел. Неравенство.
.Законы арифметических действий: коммутативный, ассоциатив-
ный и дистрибутивный. Сложение, вычитание, умножение и деление
многозначных чисел. Числовые выражения. Выражения, содер-
жащие переменные. Числовое значение выражения. Преобразование
выражений на основе законов арифметических действий.
Применение уравнений к решению задач».
Установки программы и объяснительной записки к ней допус-
кают, вообще говоря, различные реализации. Иными словами,
в соответствии с одной и той же программой можно написать весьма
различные учебники. Однако, коль скоро тот или иной учебник из-
бран в качестве стабильного, возможности выбора реализаций зна-
чительно сужаются. Будем считать, что по теме «Натуральные
и дробные числа» учащиеся должны овладеть тем учебным материа-
лом, который содержится в соответствующей главе учебника [3.106]
математики для IV класса. Этот материал разбит на 51 пункт, в нем
содержатся задачи с № 1 по № 864. Объяснительный текст и условия
задач занимают 137 страниц учебника (с. 3—140).
- ^На основе анализа учебного материала и книги [3.107] учителю
полезно составить перечень знаний (понятий и высказываний о них),
умений и навыков, которые должны приобрести (или усовершенство-
вать) учащиеся в результате изучения раздела «Натуральные и
дробные числа» курса IV класса. Ниже приводится такой перечень.
При этом он охватывает лишь те пункты учебника, которые непо-
средственно связаны с понятием натурального числа. Разумеется,
подобный перечень должен составляться учителем самостоятельно
и быть достаточно «гибким», отражая изменения в программе и
учебнике, неизбежные в процессе развития математического об-
разования.
47
Пункты (число час.) Понятия Высказывания Умения и навыки
1 (2) Натуральное чис- ло. Классы чи- сел. Цифры. Де- сятичная запись чисел Знать названия классов по порядку от класса еди- ниц до класса миллиардов и в обратном порядке от класса миллиардов до класса единиц. Уметь чи- тать и записывать цифра- ми любое число от 1 до 999 999 999 999
7 (2) Единичный отре- зок. Числовой луч Числовой луч опреде- ляется началом и единич- ным отрезком. На чис- ловом луче есть место для лнЗбого числа (нату- рального) Отмечать на луче точку, соответствующую данному числу; называть число, со- ответствующее заданной точ- ке; выбирать при построении шкалы единичный отрезок
8 (2) Множество чисел. Принадлежность числа множеству. Пустое множество Записывать множество с помощью фигурных скобок, называть число, принадле- жащее множеству, и число, 'ему не принадлежащее, обо- значать пустое множество знаком 0
12 (2) Отношение «мень- ше» («больше») для чисел Из двух различных чи- сел одно всегда меньше другого 1 Уметь писать знаки < и > , писать и читать нера- венства, называть числа в порядке возрастания или в порядке убывания
13 (1) Высказывания истинные и ложные. Высказывания о ра- венстве и неравен- стве чисел Всякое высказывание истинно либо ложно Распознавать, истинно или ложно высказывание о равенстве и неравенстве чи- сел. Приводить свои приме- ры таких высказываний
17 (2) Числовое выра- жение. Значение выражения Уметь читать выражения вида а 4- Ь, а — mk, приме- няя слова «сумма», «разно- сть», «произведение», «част- ное»; записывать такие вы- ражения под диктовку, со- ставлять выражения по ус- ловию задач; знать правила порядка выполнения действий в выражении Г—"
48.
Продолжение
Пункты (число час О Понятия Высказывания Умения и навыки
29 (3) Сложение чисел* Слагаемые, сумма Алгоритм сложения. Свойство числа 0 как сла- гаемого: xfa : (а 4- 0 = = 0 + а = а) Выполнять сложение мно- гозначных чисел. Применять сложение при решении со- ответствующих задач
30 (2) Переместительный за- кон сложения: vg, Vb* : (а -j— Ь b -р- п) Сочетательный закон сложения: tfa, tfb, tfc: (аЬ) + с = а 4- (£> + Знать формулировки пере- местительного и сочетатель- ного законов. Уметь запи- сывать их с помощью пере- менных и применять при вы- числениях
32 И) Вычитание (опре- деление через сло- жение) . Уменьша- емое, вычитаемое, разность Алгоритм вычитания многозначных чисел. Свой- ства числа 0 при вычи- тании: tf а : (а — 0 = а) и tf а: : (а — а ~ 0) Правило нахождения неизвестного слагаемого по сумме и другому сла- гаемому Правила нахождения неизвестного вычитаемого и неизвестного уменьша- емого Выполнять вычитание мно- гозначных чисел. Применять вычитание при решении соответствующих задач. Решать уравнения вида а + х = Ь, проверять реше- ние» Решать уравнения вида а — х = b их — а = Ь, про- верять решение
34 (5) Определение ум- ножения. Произве- дение, множители Свойства единицы и нуля при умножении: Va: (fl-0= 0 а = 0), Va: (а» 1 == 1 а = а) Переместительный закон умножения: Vfl, vb: (a-b — b'd) Знать определение умно- жения, названия компонентов действия умножения, свой- ства нуля и единицы при ум- ножении, формулировку пе- реместительного закона ум- ножения с записью его с по- мощью переменных. Пони- мать, что умножение на на- туральное число означает сложение одинаковых сла- гаемых. Уметь выполнять умножение многозначных чи- сел. Применять умножение при решении соответствую- щих задач
49
Продолжение
Пункты (число час») Понятия Высказывания Умения и навыки
35 (2) Произведение трех и более мно- жителей Сочетательный закон умножения: tfa ,tf d, Vc: = = а (b-с) Знать формулировку закона. Уметь обосновывать закон на примере вычисления объ- ема, записывать закон с помощью переменных. При- менять закон при вычисле- ниях
38 (3) Распределительный за- кон умножения относи- тельного сложения и вы- читания: tfa, Vb, \fc:(a ± 5)-с = — ас ±Ьс Обосновывать закон прак- тическими соображениями. Применять при вычислениях. Преобразовывать произве- дение в сумму и сумму в произведение
39 (2) Десятичная си- стема счисления. Разложение числа по разрядам Любое число можно представить в виде сум- мы разрядных слагаемых Уметь представлять мно- гозначное число в виде сум- мы разрядных слагаемых. Понимать, что значение цифры в записи числа зави- сит от места, которое она занимает
42 (4) Определение де- ления через умно- жение. Делимое, делитель, частное Алгоритм деления чи- сел. Свойства единицы и нуля при делении. Де- ление выполнимо не всег- да Правило нахождения неизвестного множителя по произведению и дру- гому множителю. Правило нахождения неизвестного делителя, неизвестного делимого Знать определение деления через умножение, названия чисел при делении. Уметь выполнять деление многозначных чисел. Приме- нять деление при решении соответствующих задач. Решать уравнения вида ах = Ь, проверять решение. Решать уравнения вида а: х — Ь и х:а — Ь, проверять решение.
44 (О Деление с ос- татком, делимое, делитель, част- ное и остаток Основная теорема о делимости ¥д, УЬЭд, Зг: (a = bq + г) Уметь выполнять деление с остатком, выражать дели- мое через делитель, част- ное и остаток
50
Располагая таким перечнем необходимых знаний, умений и на-
выков по данному разделу курса, учитель получает более или менее
полное представление о целях обучения. Появляется возможность
целенаправленно управлять познавательной деятельностью учащих-
ся в самом процессе обучения.
При решении вопроса о времени на изучение каждого из выделен-
ных пунктов учебника можно исходить из рекомендаций «Примерно-
го тематического плана изучения материала IV класса», приведенного
в книге [3.107], или более детальных календарных планов, публику-
емых журналом «Математика в школе». Заметим, что в последних
содержатся и рекомендации по повторению ранее пройденного учеб-
ного материала, что существенно облегчает работу начинающего
учителя. Нормы времени на изучение отдельных пунктов учебника,
приведенные в книге для учителя, проставлены в нашем перечне
знаний, умений и навыков в скобках под номером каждого из пунк-
тов. Эти нормы, конечно, являются ориентировочными.
Имея учебник, где подобран необходимый материал, книгу для
учителя, содержащую обоснованные общие (по курсу в целом)
и частные (по каждому пункту учебника) рекомендации, и составив
общий (с точностью до пунктов учебника) план изложения раздела
программы, учитель может спроектировать сам процесс обучения,
т. е. разработать конспекты или планы уроков.
Заметим, что, говоря об общих исходных рекомендациях учителю
математики IV класса, мы имеем в виду методические особенности
построения учебника, т. е.:
1) индуктивный характер изложения учебного материала, под-
ход к общим понятиям на основе анализа конкретных фактов;
2) сокращение числа формулировок для заучивания учащимися;
3) усиленное внимание к выработке вычислительных навыков;
4) стремление к наглядности;
5) постоянное возвращение в задачах и теоретических вопросах
к ранее изученному материалу.
Нет необходимости приводить здесь конспекты или планы всех
уроков по разделу. К тому же это и невозможно — только сам
учитель сумеет учесть и отразить в своем плане конкретные особен-
ности того класса, где ему предстоит дать этот урок. Мы ограничим-
ся примером одного урока. Пусть это будет первый урок на тему
«Сложение и умножение многозначных чисел» (в учебнике [3.106]
соответствующий материал изложен в пункте 39).
При подготовке к уроку учителю необходимо определить основ-
ную дидактическую цель урока и подчиненные ей цели, определить
воспитательные задачи урока, отобрать учебный материал для этого
урока, установить методы обучения, отвечающие целям урока,
наметить организационную структуру урока [см. гл. VI].
-/Основная часть конспекта рассматриваемого урока может быть
такой:
Тема урока. Сложение и умножение многозначных чисел.
Цель урока. Ознакомить учащихся с обоснованием
51
алгоритмов сложения и умножения многозначных чисел (основная
цель). Повторить понятие десятичной системы счисления, основные
законы операций сложения и умножения, закрепить технику опера-
ций сложения и умножения (подчиненные цели). Подвести учащихся
к пониманию того, что законы математики изучаются не сами по
себе, а для нужд практики (главная воспитательная цель урока).
Ход урока. Еще в начальной школе вы научились склады-
вать и умножать натуральные числа. Проверим, как вы умеете это
делать. Запишем в тетрадях и на доске название темы... и решим два
примера:
, 316 v 293
+ 1766 х 45
2082 1465
1172
13185
Все сделано правильно. Но нам пора уже не только правильно скла-
дывать и умножать, но и уметь объяснить, почему мы поступаем
именно так при выполнении этих действий. Начнем со сложения.
Почему числа записаны таким образом? Нельзя ли было записать,
например, так:
,326
1766
[Нет, так писать нельзя, потому что нельзя складывать шесть единиц
с шестью десятками, два десятка с семью сотнями... J
Совершенно верно. Но как вы догадались, что в первом числе
цифра шесть означает число единиц, а во втором точно такая же
цифра в одном случае означает число единиц, а во втором — число
десятков? [Они занимают в записи чисел разные места ...J Да. И мы
имеем право сказать: «Значение цифры в записи числа зависит от
того, какое место она занимает». Попробуем разобраться в этом факте
поглубже. Запишем какое-нибудь многозначное число, все цифры
которого одинаковы. Например... Хорошо, пусть будет цифра 5,
а число — 5555. Как оно читается? [...] Значит, одна и та же цифра
пять в одном случае означает пять тысяч, во втором — пять сотен,
в третьем — пять десятков, в четвертом — пять единиц. Эту фразу
можно записать словами, а можно и так:
5555 = 5000 + 500 + 50 + 5.
Условимся такую запись числа называть записью в виде суммы
разрядных слагаемых. Конечно, каждое многозначное число можно
записать в виде такой суммы, в этом можно убедиться на нескольких
примерах. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых следующие
числа: ... Можно поступить и наоборот — число, записанное в виде
суммы разрядных слагаемых, записать в обычном виде. Кстати,
не помнит ли кто-нибудь, как называется такой способ записи чисел?
[Десятичная система счисления.] А почему десятичная?
52
Как изменяется значение цифры при перестановке ее на одно место
влево? [Увеличивается в десять раз.] Вправо? [Значение цифры
уменьшается в десять раз.] Ко всем цифрам относится этот закон?
[...] Давайте вспомним, какими цифрами мы пользуемся. [1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 0.J Да, нуль есть нуль, нельзя же сказать, что нуль
сотен в десять раз больше нуля единиц. Это очень важный момент,
разберемся в немкак следует. Что будет, если приписать нуль к чис-
лу слева? [...] А если справа? [...] А если записать его где-нибудь
«внутри»? Например, в числе 238 записать сначала 0238..., потом
2380, а потом 2038?
Кажется, мы разобрались во всех вопросах. Но зачем нам это
понадобилось? [Мы хотели узнать, почему при выполнении сложения
числа записываются столбиком в строго определенном порядке.]
Попробуйте теперь объяснить, на чем основано это правило сложе-
ния. [...] Да, верно, мы поступаем именно так на основе десятич-
ной системы записи чисел.
А как быть с умножением? Почему в нашем примере, умножая
на четыре, мы записали число 1172, сдвинув все его цифры на один
разряд влево? [Потому что умножали мы не просто на четыре,
а на 4 десятка, а при перестановке цифры на одно место влево ее
Значение увеличивается в десять раз.] Правильно. Конечно, можно
было бы писать не 1172, а 11 720, но мы этого не делаем, так как при
Десятичной записи числа это будет просто лишней работой — если
Эсе записывать аккуратно, то ошибки не произойдет. Но правильно
ли мы поступили, умножив сначала на 5 единиц, а потом на 4 десят-
ка и лишь потом сложив результаты? На какой закон умножения мы
опираемся здесь? [Распределительный закон умножения относи-
тельно сложения.] Как он читается? [...] Где же здесь сумма? [Число
4бммы мысленно представляем в виде суммы разрядных слагаемых.]
Да, но, кроме того, мы здесь воспользовались еще и переместитель-
ным законом сложения.
Подведем итог. Главное, что мы узнали на сегодняшнем уроке:
мы теперь хорошо понимаем, в чем смысл десятичной записи чисел,
да можем объяснить, почему при выполнении сложения и умножения
Многозначных чисел надо поступать по правилам, известным нам еще
Цй начальной школы. Кроме того, мы повторили законы сложения,
|без понимания которых мы бы не смогли объяснить эти правила...
В приведенном выше фрагменте урока мы умышленно опустили
работу учителя и учащихся по закреплению знаний, не указали
$бъем и содержание домашнего задания, указаний учителя по его
выполнению и т. д. Эта часть урока носит наиболее конкретный
актер, полностью зависящий от конкретных же обстоятельств.
Сделаем лишь несколько дополнительных замечаний по основной
^Шсти урока. При внешней простоте изучаемого материала, он до-
^ЦрЛьно абстрактен и приведенных в скобках ожидаемых ответов
добиться не очень легко. Учителю не следует ожидать на уроке
Полного усвоения теории вопроса. Для начала вполне достаточно, ес-
•Лд основная часть учащихся класса отчетливо осмыслит постановку
53
^^ёа и почувствует необходимость более глубокого обоснова-
ния привычных операций. Но в дальнейшем, систематически от-
рабатывая технику вычислений, которая должна быть доведена
до выработки прочного навыка, учитель будет настойчиво повторять
вопросы теории, поставленные на данном уроке, с тем чтобы к кон-
цу изучения темы «Натуральные и дробные числа» учащиеся вполне
сознательно могли отвечать на поставленные на данном уроке
вопросы. Такая «растянутость» закрепления весьма характерна
для изучения значительного числа теоретических вопросов курса
математики IV—V и в меньшей степени VI—VIII классов.
Рассмотрим теперь несколько частных замечаний .по методике
изучаемого раздела.
При изучении арифметических операций в IV—V классах учи-
телю необходимо достаточно отчетливо представлять себе различие
в требованиях к технике выполнения операций, обоснованию этой
техники и теории самих операций. К технике выполнения операций
необходимо предъявлять самые жесткие требования, и здесь не может
быть двух мнений. Твердого же понимания теоретических основ
техники выполнения операций на этом этапе обучения добиваться
не следует, это требование преждевременно, и вполне достаточно,
если учащиеся сознательно выполняют операции, не слишком
углубляясь в теорию вопроса.
Наиболее дифференцированно приходится подходить к теории
самих операций. Уже определение операций производится по-раз-
ному. Из четырех арифметических операций сложение вообще не
определяется, умножение определяется через сложение, вычита-
ние и деление — как обратные операции. Понятие сложения (или
суммы) считается интуитивно ясным из опыта предшествующего
обучения, и нет никакой необходимости явно определять сложение
через объединение множеств. Однако уже здесь появляется необхо-
димость в уточнении имеющихся у учащихся представлений о сло-
жении. В этих целях в связи с изучением темы «Сложение и вычита-
ние» (§ 5 учебника) следует обсудить с учащимися вопросы, пере-
численные ниже.
а) Вспомним, какие задачи решаются сложением.
Решим задачу: «В школе два четвертых класса. В IV «А» классе
42 ученика, в IV «Б» — 39. Сколько учеников в четвертых классах
школы?» [42 + 39 = 81.] Это типичная задача, решаемая сложени-
ем. Каковы ее признаки? [Имеются два множества предметов. Извест-
но число элементов в каждом из них. Требуется найти число элемен-
тов «объединенного» множества.]
Решим теперь такую задачу: «Новая телевизионная башня в
Москве состоит из железобетонной опоры высотой 385 м и метал-
лической антенны высотой 148 м. Найдите высоту башни».
Каким действием решается эта задача? Каковы признаки этой
задачи? [Задача также решается сложением. Здесь имеются две ве-
личины, известны их числовые значения. Требуется найти значение
«суммарной» величины.]
54
Итак, только что решенные задачи — типичные задачи, приводя-
щие к сложению»
б) Выясним, можно ли решить те же задачи, не производя сложе-
ния.
Как решить первую из задач? (Путем пересчета: назвать число
42, потом назвать по порядку 39 чисел, следующих за ним, послед-
нее из этих чисел и будет ответом на вопрос задачи.]
Как решить задачу другого типа, например задачу 418 (п. 29),
не производя сложения? [После измерения отрезков АВ и В К сразу
измерить отрезок Л/С] Из последнего факта следует, что сложение
чисел можно производить с помощью числового луча.
Итак4, оказывается, что типичные задачи на сложение можно
решать, не производя самого действия сложения, посредством пере-
счета или с помощью числового луча. Умение выполнять сложение
лишь упрощает решение таких задач.
В совершенно иной манере вводится операция вычитания. Хотя
понятие разности тоже интуитивно ясно из опыта предшествующего
обучения, но здесь вводится строгое определение операции, причем
такое, которое остается неизменным для всех числовых (и даже не
только числовых) множеств, изучаемых в школе («вычесть из числа
а число b — значит найти такое число х, которое в сумме с числом
b дает л»). Однако это не означает, что понятие вычитания должно
быть введено чисто дедуктивным путем. Напротив, определение вы-
читания возникает в результате обобщения материала, накоп-
ленного индуктивно при решении ряда задач.
Операция умножения натуральных чисел вводится специальным
определением, справедливым лишь на множестве N, и здесь особых
трудностей не возникает. При введении же второй обратной опера-
ции — операции деления — вновь возникает необходимость стро-
гого логического определения, которое останется неизменным во
всем курсе математики средней школы и должно быть усвоено доста-
точно твердо. Учителю при этом очень полезно осторожно пораз-
мышлять с классом над удивительным и очень глубоким «родством»
обратных операций, даже определение которых почти дословно
совпадает.
В разделе «Натуральные и дробные числа» курса математики IV
класса изучается по существу не множество натуральных чисел,
а множество целых неотрицательных чисел. Всюду, где это особо
не оговорено, термин «число» употребляется в смысле «натураль-
ное число или нуль».
Термин «натуральное число» впервые упоминается в пункте I
учебника для IV класса. Его смысл здесь разъясняется посредст-
вом предложения «Натуральные числа — числа, которые употреб-
ляются при счете предметов». Должно быть понятным, что это пред-
ложение не является определением понятия натурального числа.
От учащихся не требуют ответа на вопрос: «Что такое натуральное
число?»
Двоякий смысл термина «нуль» (нуль — число и нуль — цифра)
55
считается известным учащимся из начального курса математики.
В курсе математики IV класса происходит дальнейшее уточнение
соответствующего понятия. В упражнения по разделу наряду с на-
туральными числами в необходимой мере включается и число О
(цифра 0). На основе этих упражнений учащиеся приобретают
(расширяют) определенную систему знаний о нуле:
на числовом луче число 0 изображается начальной точкой этого
луча, у него нет соседа слева, а соседом справа на луче является
число 1;
число 0 принадлежит множеству однозначных чисел, существу-
ют множества, число элементов которых равно нулю;
число 0 меньше любого натурального числа и т. д.
Еще до изучения арифметических операций над числами учащие*
ся выполняют упражнения, где число 0 встречается в качестве сла-
гаемого, множителя и делимого. В учебнике имеются упражнения,
где 0 выступает в качестве решения уравнения или неравенства
и т. п. Иными словами, в учебнике (и книге для учителя) доста-
точно разнообразных упражнений для того, чтобы учащиеся при-
выкли к мысли, что нуль есть число, й научились правильно с ним
обращаться. Эти упражнения требуют особого внимания со стороны
учителя.
В результате изучения арифметических операций над целыми
неотрицательными числами от учащихся, в частности, требуется,
чтобы они знали и умели обосновывать свойства нуля при сложе-
нии, вычитании, умножении и делении.
Труднее всего обосновать свойства нуля при сложении, посколь-
ку учащиеся IV класса определения операции сложения чисел не
знают. И тем не менее учителю не следует голословно утверждать,
что имеют место высказывания:
V а: а + 0 = а и V а: 0 а = а.
Чтобы привести учащихся к таким общим заключениям, можно
предложить им заполнить пустые места, например, в следующей
таблице:
1 х 5 5 5 12 1 0 0
У 2 0 3 3 9 0
* + У 6 12 9
Свойства нуля в других операциях легко выводятся из опреде-
лений этих операций. Исключение здесь составляет лишь умноже-
ние. Свойство Va: 0 • а = 0 при а 0 выводится из определения
умножение Другое свойство Vа: а • 0 — 0 из этого определения не
следует. Оно постулируется ради сохранения свойства коммутатив-
ности умножения.
«6
х;* 2.3. Возможности для того, чтобы совершенствовать знания
бучащихся о натуральных и целых неотрицательных числах, умения
Оперировать с ними имеются и в процессе дальнейшего обучения
математике. Отметим некоторые из них.
1. В ходе изучения раздела «Десятичные дроби» учащимся систе-
матически предлагаются текстовые задачи и упражнения на все
действия с целыми неотрицательными числами. Такие задачи и
упражнения включаются и в контрольные работы. Затем посте-
пенно вводятся в оборот и дробные числа. Тем самым обеспечивается
необходимая преемственность в умениях и навыках учащихся,
предупреждается забывание ранее изученного материала.
2. В V классе при изучении раздела «Положительные и отрица-
тельные числа» вводятся понятия «противоположные числа» и «це-
лые числа», понятие «подмножества». Там же для множества нату-
ральных чисел и множества целых чисел принимаются обозначения:
{1, 2, 3.4.5,...}»#
{...,-5, -4, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = Z.
В связи с этим имеется возможность уточнить представления уча-
щихся о множествах, которые изучались раньше. Для этого наряду
сзадачами, имеющимися в учебнике [3.163] и книге [3.164] для учи-
теля, в ходе изучения положительных и отрицательных чисел умест-
но рассмотреть вопросы и задачи, перечисленные ниже.
1) Как назвать множество:
а) {0, 1,2, 3,4,5, ...} =Л;
б) {..., -5, -4, -3, -2, -1,0}= В?
[Д — множество целых неотрицательных чисел, В — множество
Целых неположительных чисел.]
2) Является ли множеством натуральных чисел N множество:
а) [2, 3, 4, 5, 6, ...} = С;
б) [1, 2, 3, 4, 5.....21} =D-,
в) {1, 2, 3, 5, 6, ...} = £?
[Нет. Если расположить элементы множества N в-порядке воз-
растания, то первым его элементом будет число 1, у множества N
*1§ёт последнего элемента и N содержит все натуральные числа.]
' 3) Какое из высказываний истинно и какое ложно (объясните
Вочему): а) Л’ с 2, б) Zc А;?
[Первое истинно, так как любое натуральное число является
йрйелым числом. Второе ложно, так как в Z имеются элементы, не
^надлежащие Д'.]
Назовите несколько подмножеств множества АД
^ШМножество однозначных чисел; двузначных чисел; четных чи-
Як‘чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1, и т. д.]
Составьте множество цифр, употребляемых для записи нату-
|М№Н1ЫХ чисел.
Б7
6) Какие значения может принимать переменная х, обозначаю-
щая цифру в числе 2x73, в числе х51?
7) Сколько элементов в множестве однозначных чисел?
[10.]
8) Сколько элементов в множестве двузначных чисел? 199—9 =
= 90.]
9) Каковы наименьший и наибольший элементы множества трех-
значных чисел? [100; 999.]
10) Введем обозначения: п (Л) — число элементов множества А
и п (В) — число элементов множества В. Известно, что Л с В.
В каком из отношений >», <, = находятся числа п (Л) и п (В)?
[п (Д) < п (В), так как любой элемент из А принадлежит множест-
ву В и в В могут быть, а могут не быть элементы, не принадлежа-
щие Я.]
11) Известно, что N н b £ N. Принадлежит ли множеству
N число:
с = a+ b, d = а • Ь, е = а — b, f = а
[При любых а и b будет c£N и d£N. Возможны случаи,
когда е £ N, f (J N.]
Заметим, что последние две задачи допускают важные для ма-
тематики обобщения. При благоприятных условиях можно со-
общить учащимся о возможности определить отношение меньше на
множестве N через понятие подмножества (задача 10) или о выпол-
нимости операций на этом множестве (задача 11).
3. Изучение вопросов делимости является существенным шагом
в познании учащимися множества N натуральных чисел. По отно-
шению делимости на данное натуральное число т множество N раз-
бивается на непересекающиеся подмножества: множество Nt чисел,
делящихся на т, и множество ЛАа чисел, не делящихся на т. По числу
делителей у элемента то же множество разбивается на непересекаю-
щиеся подмножества простых, составных чисел и множество {1}.
Важное образовательное и воспитательное значение имеют и другие
факты, которые при этом рассматриваются, а также схемы рассужде-
ний, применяемые при их обнаружении и обосновании.
Вопросы методики изучения этих вопросов уже рассматривались
в главе VI настоящего пособия. Здесь внимание читателя обращается
на другую сторону дела. Изучение элементов теории делимости в
школе имеет, вообще говоря, две главные цели.
С одной стороны, теория делимости есть база для изучения опе-
раций в новом числовом множестве — множестве обыкновенных
дробей и особенно для выработки техники вычислений с такими
дробями. Хорошая техника преобразования дробей достигается при
достаточно свободном владении навыками применения таких поня-
тий, как «наибольший общий делитель», «наименьшее общее крат-
ное», «простые и взаимно простые числа» и т. д. Однако если согла-
ситься с тем, что область применения обыкновенных дробей довольно
узка и, следовательно, вычисления с дробями, имеющими много-
58
значные числители и знаменатели, в школе не должны иметь места,
то необходимость в построении прочной базы для таких вычислений
отпадает. Именно такую позицию занимают сторонники реформы
преподавания математики, что нашло свое отражение в учебниках
для IV—V классов.
С другой стороны, элементарная теория делимости есть введе-
ние в один из красивейших разделов классической математики —
теорию чисел. Уже изложение элементарных вопросов теории дели-
мости позволяет ознакомить учащихся с изящными теоремами, яр-
кими фактами математики и ее истории и т. д. Через элементар-
ную теорию делимости довольно легко подойти к пониманию ряда
вопросов современной алгебры и современной математики вообще.
Но при всей перспективности такого направления в изучении ма-
тематики в IV—V классах оно, по крайней мере сейчас, прежде-
временно. И отбирая материал, обязательный для изучения всеми
учащимися, составители программы и учебников существенно огра-
ничили его объем. Собственно, в современной программе такой темы
вообще нет, а вопросы теории делимости целых чисел распределе-
ны по всему курсу математики IV—V классов.
Первый из вопросов теории делимости, с которым встречаются
учащиеся IV класса, есть вопрос о делении с остатком. В учебнике
и книге для учителя соответствующий материал и методика изло-
жены достаточно убедительно. Мы подчеркнем лишь, что для уче-
ника главный смысл изучаемых фактов станет ясным тогда, когда
они увидят, что запись а = bq + г (конечно, пока не в общем
виде, а с конкретными числами) и переход от неправильной дроби
к числу V + -у есть по существу одно и то же.
В IV же классе вводятся понятия делителей и кратных и изуча-
ются простейшие признаки делимости (на 10, на 5, на 2 и на 3).
Так как изучение этих вопросов имеет чисто практическую цель,
то и здесь изложение носит чисто индуктивный характер и лишь при
изучении признака делимости на три можно (с большой долей осто-
рожности!) опереться на элементы дедукции.
В V классе изучаются четыре вопроса, которые относятся к те-
ории делимости. Во-первых, при изучении свойств дробей вводится
понятие наибольшего общего делителя. Но так как при сокращении
дробей мы не будем требовать обязательного деления числителя
и знаменателя сразу на наибольший общий делитель, а вполне со-
гласимся и с последовательным сокращением, то введенное понятие
фактически пока не будет использоваться и учащиеся должны овла-
деть им лишь на уровне первоначального ознакомления. Второй
и вытекающий из него третий вопросы — простые и составные числа
и разложение числа на простые множители. Хотя внешне цель изу-
чения этих вопросов сводится к облегчению сокращения дробей,
учителю следует иметь в виду и смежные теоретические цели: по-
вторение очень важной идеи разбиения множества на классы на
примере классификации натуральных чисел и осторожный подход
59
к основной теореме арифметики целых чисел (о единственности пред-
целого числа в виде произведения простых множителей).
РдзлЬжениенапростые множители используется в V классе и при
изучении последнего по порядку вопроса теории делимости — вве-
дении понятия наименьшего общего кратного. Это понятие сразу
же используется при операциях с дробями, и поэтому его смысл
понятен учащимся. Но не следует забывать и о смежных задачах —
закреплении понятия пересечения множеств и, как и всегда, при изу-
чении числовых множеств — совершенствовании навыков вычис-
лений.
Уменьшение объема обязательного материала по теории дели-
мости оставляет простор для творчества учителя во внеклассной
работе — трудно найти в IV—V классах более благодатный матери-
ал, столь удачно соединяющий относительную доступность с воз-
можностью глубоких обобщений.
4. В курсе математики VI класса вводятся понятия: «отображе-
ние множества X в множество У» и «Отображение множест-
ва X на множество Y». Второе понятие является видовым по отноше-
нию к первому. В курсе алгебры VIII класса вводится еще понятие
«соответствие, обратное по отношению к данному» (п. 23 учебного
пособия [3.61).
Посредством этих трех понятий возможно определить понятие
взаимно однозначного соответствия следующим образом:
Соответствие из множества X в множество Y называется взаим-
но однозначным, если: 1) оно само есть отображение множества X
на множество К и 2) ему обратное соответствие есть отображение
Y на X,
Понятие взаимно однозначного соответствия между множества-
ми X и У (это отношение симметрично) позволяет уточнить интуи-
тивно ясные учащимся понятия нумерации и счета предметов.
Пусть дано некоторое множество X и требуется пронумеровать
его элементы. Положим для примера X = {а, Ь9 с}.
Вполне очевидно, что существует несколько способов нумерации:
1) а — № 1, b — № 2, с — № 3;
2) а — № 1, с — № 2, b — № 3 и т. д.
Выясним, что представляет собой каждый из возможных спосо-
бов нумераций элементов множества X.
В качестве номеров использованы числа — элементы множества
{1, 2, 3} = У. Каждому элементу из X поставлен в соответствие
в качестве его номера один и только один элемент из У. Это соответ-
ствие является взаимно однозначным.
Итак, нумерация предметов — элементов некоторого множества
X — есть не что иное, как приведение этого множества во взаимно
однозначное соответствие с некоторым специально подобранным под-
множеством вида {1, 2, 3, ..., л) — У множества N натуральных чи-
сел. При этом, если множество X задано, то существует лишь одно
множество У, с которым его можно привести во взаимно однознач-
ное соответствие.
60
Операция счета элементов множества X сходна с операцией нуме-
рации его элементов в том отношении, что обе они являются приве-
дением множества X во взаимно однозначное соответствие с подхо-
дящим множеством У. Однако при счете нас уже не интересует,
какой элемент из У поставлен в соответствие тому или иному эле-
менту из X. Нас интересует лишь само множество У, его последний
элемент п, который и принимается за результат счета.
5. С множеством N натуральных чисел (или множеством Zo
целых неотрицательных чисел) в курсе математики средней школы
учащиеся прямо или косвенно встречаются всякий раз, когда про-
исходят акты расширения понятия числа и построения новых число-
вых множеств Z, Q и /?. Все эти множества строятся по той же схе-
ме, что и множество N: по определению (или как-то иначе) вводятся
элементы множества, отношения равенства и неравенства для эле-
ментов, алгебраические операции над ними и выясняются свойства,
которыми эти отношения и операции обладают. При каждом таком
расширении учащиеся возвращаются непосредственно или опосре-
дованно к множеству Af, расширяют и углубляют свои знания о на-
туральных числах.
Еще раз учащиеся встречаются с множеством N натуральных чи-
сел при изучении темы «Принцип математической индукции» в
курсе алгебры и начал анализа IX класса.
Эта встреча (с формальной точки зрения последняя) играет со-
вершенно особую роль в общеобразовательной подготовке учащих-
ся и в их математическом воспитании. Дело в том, что до изучения
принципа математической индукции учащиеся не имели явного под-
тверждения тому факту, что не только геометрия, но и арифметика,
а следовательно, и алгебра, и математический анализ могут быть
построены на аксиоматической основе. Принцип математической
индукции как раз и есть одна из аксиом арифметики натуральных
чисел. В учебнике об этом факте говорится вскользь, но учителю при-
дется обстоятельно побеседовать с учащимися об устройстве матема-
тики, о ее дедуктивном построении и идее аксиоматики. Конечно,
такая беседа потребует обстоятельного повторения и систематиза-
ции сведений о множестве V, накопленных учащимися за годы обу-
чения в I—VIII классах, и, таким образом, достигается сразу не-
сколько дидактических и воспитательных целей.
§ 3. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
3.1. Пропедевтика обыкновенных дробей в IV классе.
3.2. Основные вопросы методики изучения десятичных дробей
в IV классе.
3.1. Как уже отмечалось ранее, современная программа курса
математики предполагает вслед за изучением натуральных чисел
введение десятичных дробей, изучение которых составляет основную
часть содержания курса математики IV класса. Однако понятию
61
десятичной дроби неизбежно должна предшествовать достаточно
обстоятельная пропедевтическая работа по формированию понятия
дроби вообще.
Первое знакомство учащихся с обыкновенными дробями проис-
ходит еще в начальных классах:
во II классе их знакомят с получением и сравнением долей еди-
ницы
вводятся символы
для их обозначения], нахож
дением доли числа и числа по его доле;
в III классе на конкретных моделях (частях круга, прямоуголь-
ника, отрезка) вводятся понятия «дробь», «знаменатель» и «числи-
тель» дроби, учащихся учат сравнивать дроби, находить дробь
числа и число по его дроби.
Это обстоятельство необходимо иметь в виду учителю при рабо-
те в IV классе, особенно при изучении первой темы «Натуральные
и дробные числа». Многие факты, встречающиеся в ней, оказывают-
ся в определенной степени уже известными учащимся.
Перечислим наиболее существенные вопросы темы, относящиеся
к обсуждаемой проблеме. Естественно, прежде всего должны быть
введены понятия обыкновенной дроби, ее числителя и знаменателя
и соответствующие термины и символы. Далее можно говорить о
равенстве дробей, соотношениях «больше» и «меньше» и изображе-
нии дробей отрезками числового луча, затем вводятся правильные
и неправильные дроби, простейшие случаи сложения и вычитания
дробей (с одинаковыми знаменателями), после выяснения вопроса
о делении с остатком выясняется связь операции деления с появле-
нием дробных чисел. Совершенно особое значение для понимания
смысла изучаемых понятий и подготовки к введению десятичных
дробей имеет группа вопросов, относящихся к измерению величин
(площадей и объемов) в метрической системе мер.
Подход к изучению перечисленных вопросов носит индуктивный
характер, активно используется обращение к средствам нагляд-
ности, здравому смыслу и практическому опыту учащихся. Нет
никакой необходимости давать вводимым понятиям формально-логи-
ческие определения, но в то же время следует отчетливо представ-
лять себе место каждого изучаемого факта в системе развития поня-
тия числа, в работе по подготовке к изучению десятичных дробей
и построению множества рациональных чисел.
Так, вводя обыкновенные дроби, учитель обращается прежде
всего к практическим примерам, добиваясь правильного понимания
происхождения дробей из задач деления на части и измерения, уме-
ния правильно читать и записывать дроби, указывать в их записи
числитель и знаменатель, объяснять смысл того и другого. Это по-
вторение материала, повторение заключительное, усвоенные знания
должны быть совершенными, так как на них будут опираться новые
знания. И в то же время естественно возникающие здесь задачи на
нахождение дроби числа и числа по его дроби носят чисто иллюстра-
тивный характер, обстоятельное их рассмотрение преждевременно —
62
к этому вопросу мы вернемся на новом уровне уже в V классе после
изучения умножения и деления обыкновенных дробей.
Несложный вопрос о равенстве дробей и соотношениях «больше»
и «меньшее тоже рассматривается на конкретных примерах, однако
здесь возникает повод для далеко идущих обобщений. Прежде всего
речь идет об упорядочении множеств. Упорядоченность множества
натуральных чисел интуитивно совершенно очевидна — ведь сам
процесс счета мы нередко отождествляем с упорядочением («первый»,
«второй», «третий» ... «следующий за ним» и т. д.). В множестве же
рациональных чисел такой очевидности нет, и к пониманию этого
факта учащихся следует готовить постепенно. Разумеется, учитель
IV класса не будет углубляться в анализ этого вопроса, но видеть
перспективу дальнейшей работы необходимо уже сейчас. Далее,
для всего курса математики возможность геометрической интерпре-
тации числовых множеств играет исключительную роль. Значит,
сравнение правильных дробей с равными знаменателями с исполь-
зованием числового луча и понятий «правее», «левее» только внешне
носит иллюстративный характер. Здесь имеется глубокое внут-
реннее содержание, связанное с пропедевтикой идеи изоморфизма
множеств, с подготовкой к изучению измерения величин и т. д. На-
конец, изображая одно и то же число с помощью различных цифр
(1Г и 7Г есть ПРОСТО Разные обозначения одного и того же числа!,
учащиеся сталкиваются с новым для них пониманием термина «ра-
венство» — в дальнейшем подобные ситуации будут встречаться не-
однократно.
Довольно высокие требования следует предъявлять к навыкам
выполнения сложения и вычитания дробных чисел. Хотя обстоя-
тельно этот вопрос рассматривается в V классе, но первые шаги,
определяющие успех в дальнейшей работе, предусмотрены програм-
мой IV класса. Дело в том, что, вообще говоря, сложение и вычи-
тание обыкновенных дробей по существу своему есть довольно труд-
ные операции. Часть этих трудностей носит чисто технический
характер: необходимо почти одновременно выполнить приведение
к общему знаменателю, выполнить сложение (вычитание) преобра-
зованных числителей, выполнить сложение (вычитание) целых
частей дробных чисел, в случае необходимости исключить целую
часть неправильной дроби, выполнить сокращение, при вычитании
иногда еще и заменить единицу дробью. Конечно, ни при какой мето-
дике все эти преобразования не изучаются сразу, но обычно темп
изучения материала оказывается все же более высоким, чем темп
овладения техникой вычислений. Современная программа растяги-
вает эти трудности на два года. Еще в начале обучения в IV классе
отрабатывается, как уже сказано, сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями, после продолжительной работы по
формированию навыка и фактическому повторению табличного сло-
жения вводится сложение дробных чисел, содержащих целую
часть (авторы учебника математики совершенно справедливо избе-
63
гают двусмысленного термина «смешанное число»). Сами по себе эти
разделы усваиваются учащимися очень хорошо, но в работе учителя
возникает дополнительная трудность — необходимо постоянно под-
держивать навыки, приобретаемые при изучении этих фрагментов,
с тем чтобы в V классе продолжать соответствующую работу, а не
начинать ее заново.
Решение простейших задач на измерение величин преследует
вполне очевидные цели — подготовка к овладению понятием вели-
чины и знакомство с простейшими приложениями математики.
Но на данном этапе обучения преследуется и пропедевтическая цель.
Рассматривая соотношения между единицами измерения (особен-
но единицами измерения площади), учитель, вовсе не углубляясь
в теорию и историю вопроса, обязательно обратит внимание учащих-
ся на роль дробей со знаменателем 10, 100 и т. д., т. е. сделает еще
один шаг к обоснованию необходимости изучения особого класса
дробей, дробей со знаменателем вида 10п.
Дальнейшие конкретные рекомендации по изучению рассматри-
ваемого вопроса читатель найдет в книге для учителя. Мы же еще
раз подчеркнем, что изучение дробных чисел одновременно с изу-
чением натуральных имеет и самостоятельное значение, и вспомо-
гательное — подготовку к изучению обыкновенных дробей в
достаточно большом объеме и подготовку к изучению десятичных
дробей.
3.2. Как уже отмечалось, новая программа по математике для
средней школы отличается от прежней, в частности, тем, что деся-
тичные дроби излагаются раньше обыкновенных (имеется в виду
основной курс обыкновенных дробей, изучаемый в V классе). Не-
маловажную роль здесь сыграли следующие обстоятельства:
а) нумерация десятичных дробей является естественным продолже-
нием нумерации натуральных чисел; б) такие дроби тесно связаны
с принятой десятичной системой мер и имеют более широкое рас-
пространение в вычислительной практике по сравнению с обык-
новенными; в) арифметические операции над десятичными дробями
в известном смысле проще операций над обыкновенными дробями.
При таком порядке изучения дробных чисел правила действий
над десятичными дробями нельзя вывести из более общих правил
действий над обыкновенными дробями. Возникают трудности обо-
снования упомянутых правил, неизбежны некоторые повторения.
И тем не менее спор решился в пользу такого порядка, доводы «за»
победили.
Следует отметить, что авторскому коллективу учебника для IV
класса удалось разработать вариант изложения, вполне приемле-
мый для учащихся этого класса. Правила операций над десятичными
дробями получают здесь индуктивное обоснование. Большей стро-
гости изложения на данном этапе обучения вряд ли можно требо-
вать.
Будем считать, что изучение десятичных дробей с учащимися
ведется по учебнику на основе методических рекомендаций книги
64
для учителя. В этом случае примерный план и характер изучаемой
темы будут такими:
- 1) Основные понятия темы. Здесь прежде всего
систематизируются сведения, известные учащимся из начальной
школы и из предыдущей темы. Это прежде всего обстоятельное пов-
торение сведений о метрической системе мер, десятичной системе
счисления и обыкновенных дробях. Наиболее приемлемым способом
повторения этих вопросов и расширения сведений о них представ-
ляется решение задач практического характера (переход от метров
и сантиметров к дециметрам, от секунд и часов — к минутам, от
центнеров — к килограммам и тоннам и т. п.). На аналогичных при-
мерах рассматриваются десятичные дроби как форма записи дробных
чисел, имеющих в знаменателе единицу с одним или несколькими ну-
лями. Каких-либо определений новым понятием не дается, вполне
достаточно, если ученики умеют прочитать десятичную дробь, за-
писать число в виде десятичной дроби и, может быть, несколько ме-
нее уверенно записать десятичную дробь в виде суммы ее десятич-
ных разрядов (позднее следует добиться твердых знаний и в этом
вопросе). Затем определяются отношения равенства и неравенства
для новых числовых объектов.
К этим фактам придется возвращаться в дальнейшем неодно-
кратно. Имеется в виду, например, что в ходе изучения темы учитель
найдет подходящий момент для сообщения учащимся исторических
введений о десятичных дробях и причинах их широкого распростра-
нения в вычислительной практике. По этому поводу возможен
&акой разговор с учащимися:
53
, Сравним две записи одного числа: 2 yqq— и 2,53. Первая содержит
7 знаков, вторая — 4. Вторая запись более экономична по сравне-
йию с первой. Экономия в малом, как известно, ведет к большой эко-
номии. Поэтому возникновение десятичных дробей (записанных
;с помощью запятой) в конце XV в. явилось настоящим открытием
; математике. По этой причине и в связи с принятием десятичной си-
стемы мер такие дроби получили широкое распространение в вы-
числительной практике.
2) Сложение и вычитание. Принимается допущение,
посредством сложения десятичных дробей решаются такие же
Шщачи, что и сложением натуральных чисел. На этом основании ин-
|$уктивно (с обращением к задачам на десятичную систему мер) обо-
(р|6вывается соответствующее правило сложения. Опытным путем
Доверяется выполнение коммутативного и ассоциативного законов
шя сложения. Аналогично устанавливается и правило вычитания

Здесь же вводятся понятия: «приближенные значения» величины
В недостатку и по избытку, «округление числа» с заданной точнос-
. Устанавливается правило округления.
^Умножение. В IV классе не может быть речи о каких-
о попытках строгого обоснования правил умножения десятичных
W-
7-941 65
дробей, мы можем лишь более или менее отчетливо объяснить уча-
щимся суть дела* Такая категорическая постановка вопроса позволя-
ет ввести правила умножения сразу в полном объеме без предвари-
тельного рассмотрения особых случаев, вроде традиционного умно-
жения дроби на целое число* Идея объяснения такова.
Сначала поясняется, что если решение какой-либо задачи выпол-
нялось для натуральных чисел с помощью операции умножения,
то, конечно, для десятичных дробей эта задача должна тоже решать-
ся с помощью умножения. Например, задача на вычисление площади
прямоугольника должна решаться умножением его длины на шири-
ну. Как быть, если эти стороны выражены в десятичных долях,
например в долях метра? Надо перейти к натуральным числам, за-
менив доли метра целыми сантиметрами или дециметрами, выпол-
нить умножение натуральных чисел и вернуться к метрам, теперь
уже квадратным. Оказывается, этого двойного перехода можно
было бы и не делать, если ввести правило умножения десятичных
дробей. Конечно, само правило формулируется уже в общем виде без
ссылки на десятичную систему мер и конкретные примеры с площа-
дями и т. п.
При таком подходе умножение десятичных дробей на 10п стано-
вится не подготовительным этапом, а частным случаем.
Отметим, что обращение к вычислению площадей как прием при
введении операции умножения встретится и далее, следовательно,
такой метод должен быть объяснен учащимся достаточно подробно.
Весьма желательно при этом применение наглядных пособий, осо-
бенно простых моделей прямоугольников, изготовленных каждым
учащимся из миллиметровой бумаги.
4) Д е л е н и е. Операцию деления десятичных дробей можно;
вообще говоря, рассматривать в «чистом» виде, т. е. построить
и теорию, и практику операции на основе общего ее определения,
известного учащимся еще из темы «Натуральные и дробные числа».
Такой прием довольно перспективен, но, по-видимому, предъяв-
ляет слишком большие требования к уровню культуры мышления
обучаемых.
В учебнике для IV класса принята более простая последователь-
ность введения этой операции. Сначала вновь на примере, связанном
с десятичной системой мер и с переходом от крупных единиц к бо-
лее мелким, строится алгоритм деления десятичной дроби на целое
число, затем рассматривается деление дроби на 10" (здесь, конечно,
придется обратиться к примерам умножения) и лишь после этого
(через рассмотрение практической задачи на вычисление длины пря-
моугольника по известной площади и ширине) вводится общее пра-
вило деления произвольных десятичных дробей.
5) Закрепление пройденного и повторе-
ние. Ив течение всего времени, отведенного в IV классе на тему
«Десятичные дроби», и особенно на заключительном ее этапе, ре-
шаются задачи на все действия с десятичными дробями, вычисляются
66
значения выражений, решаются уравнения и неравенства, а также
текстовые задачи. Кроме того, изучаются некоторые смежные во-
просы: понятие процента как десятичной дроби особого вида, ис-
пользование круговых диаграмм, понятие масштаба, простейшие
задачи на среднее арифметическое.
' Подчеркнем, что в практической части изучаемой темы, пожа-
луй, самым существенным и важным для дальнейшей работы яв-
ляется выработка на сознательной основе твердых навыков вычисле-
ний. Конечно, при этом приходится выполнять немало однообразной
работы, и учащиеся легко утомляются. В этом случае оказываются
полезными задачи практического содержания, которые имеют и
немаловажное воспитательное значение. В учебнике немало та-
ких задач. Такова, например, задача на нахождение средней длины
своего шага (в связи с изучением среднего арифметического чисел).
Тем же целям отвечает, например, и такая задача: «Подсчитайте с
точностью до 0,1 свой средний балл за контрольные работы с № 21
по № 30 по математике. (Мы потом сравним эти баллы и выясним,
кто лучше усвоил тему «Десятичные дроби»).
§ 4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
4.1. Положительные и отрицательные числа в V классе.
4.2. Обыкновенные дроби в V классе.
4.3. Дальнейшие сведения о рациональных числах в курсе
математики средней школы.
4.1. К началу обучения в V классе множество известных уча-
щимся чисел состоит из натуральных чисел, нуля и дробей обыкно-
венных и десятичных (конечных), т. е. по существу из всех неотри-
цательных рациональных чисел. На некоторых подмножествах
этого множества учащиеся умеют производить сравнение чисел и
выполнять арифметические операции.
Курс математики V класса, как известно, начинается с изуче-
ния раздела «Положительные и отрицательные числа», где множест-
во известных учащимся чисел пополняется противоположными им
отрицательными числами.
В соответствии с программой и учебником [3.108] по математи-
ке для V класса упомянутый раздел изучается примерно по такому
(общему) плану:
1) Направления и числа. Устанавливается недо-
статочность множества известных чисел для характеристики поло-
жения точки на прямой по отношению к началу отсчета. Вводятся
координатная прямая, положительные и отрицательные числа для
обозначения точек справа и слева от точки О. Далее вводятся поня-
тия координаты точки на числовой прямой, противоположных чи-
сел, модуля числа и координатной плоскости. Устанавливается
операция сравнения на множестве положительных и отрицатель-
ных чисел.
3*
67
2) Сложение и вычитание. Рассматриваются ве-
личины, которые могут изменяться в двух противоположных на-
правлениях. Уславливаемся увеличение значений каждой такой-
величины характеризовать положительным числом, уменьшение —
отрицательным. Вводится понятие суммы любых чисел а и b как
характеристики итога двух последовательных изменений величины
на а и на 6. Отсюда индуктивно выводятся соответствующие прави-
ла сложения чисел. Опытным путем проверяется выполнение пере-
местительного и сочетательного законов для сложения. Вычита-
нию отрицательного числа придается тот же смысл, что и извест-
ному вычитанию положительного числа. Отсюда индуктивно
выводится правило вычитания, сводящее его к прибавлению проти-
воположного числа.
3) Умножение и деление. Умножению любого числа
на положительное придается прежний смысл. Принимается допу-
щение: если изменить знак одного из множителей, то знак произ-
ведения изменяется, а его модуль остается прежним. Отсюда ин-
дуктивно выводятся правила умножения — нахождения знака и
модуля произведения. Отмечаются свойства нуля при умножении.
Опытным путем подтверждается выполнение законов умножения.
Делению всех известных чисел придается тот же смысл, что и деле-
нию положительных чисел — нахождение неизвестного множителя
по известному произведению и другому множителю. Отсюда ин-
дуктивно выводятся правила деления.
Одновременно с рассмотрением чисто арифметических вопросов
программа предусматривает изучение материала, относящегося к
алгебре и геометрии.
В учебнике для V класса материал данной темы изложен вполне
убедительно и доступно, конкретные рекомендации по планированию
всей работы и методике проведения отдельных уроков читатель най-
дет в книге для учителя, мы же обратим внимание читателя на следу-
ющее.
Базой для введения важнейших понятий темы и выработки соот-
ветствующих навыков является материал IV класса. Но в соответ-
ствии с особенностями памяти у детей этого возраста многие
учащиеся за лето успевают забыть почти все, что относится к этой
базе. Конечно, при правильно организованном повторении они до-
вольно быстро вспоминают забытое и восстанавливают утраченные
навыки, что и ставит перед учителем очевидную задачу. В то же
время дети в возрасте 11—12 лет, как правило, весьма любозна-
тельны, и обычное повторение может охладить их стремление к
учебе. Возникающее противоречие легко преодолеть, например, так,
как это сделано в учебнике для V класса [3.114]. Авторы начинают
тему параграфом, в котором имеется новый материал из теории мно-
жеств и геометрии. Фактический же смысл первых уроков не столько
в овладении новыми знаниями (они будут закрепляться еще долго),
сколько в подготовке к усвоению основного содержания темы «По-
ложительные и отрицательные числа».
68
I Рассматривая эти числа, следует иметь в виду, что основным мето-
дом остается конкретно-индуктивный, значит, опору для понима-
ния нового следует искать в жизненном опыте учащихся. Необхо-
димость новых чисел для характеристики изменения величин долж-
на возникнуть в сознании учащихся из стремления к обобщению,
йз стремления заменить «плохой» разговорный язык на четкий ма-
тематический. В этой ситуации, кроме обычного иллюстративного
материала, существенную пользу может оказать рассмотрение таб-
лиц, аналогичных следующей:
Показания термометра
Изменение температуры
X
о
о
на разговор, языке
на разговор, языке
~ я я
Я в) tfl
X Р к
6м
9м
12м
15м
18м
3°
ниже
выше
выше
выше
выше
нуля
нуля
нуля
нуля
нуля
goo__1200
12м—45м
1500—1800
Увелич. на 4°
Не изменилась
Уменьш. на 2°
4°
0°
—2°
&
о
Я 3
Однако ка времени окончания изучения темы учащиеся должны
понимать не только приведенную мотивировку введения новых чи-
^сел, но и то, что, во-первых, операция вычитания стала теперь вы-
полнимой без ограничений и, во-вторых, появилась замечательная
возможность решать уравнения, перенося слагаемые из одной их
части в другую. Хотя, конечно, все эти аргументы отражают одну
и ту же общую закономерность, но для учащихся последний пред-
ставляется, пожалуй, наиболее убедительным из-за непосред-
ственной практической пользы отрицательных и положительных
$шсел, ощущаемой немедленно,— прекрасный повод для работы по
воспитанию у учащихся правильного понимания роли математики.
Теоретическая сторона выполнения операций сложения и вычи-
тания в новом множестве осмысливается учащимися довольно быстро.
^Незначительные затруднения могут возникнуть лишь при обо-
сновании правила вычитания. Целесообразно, повторив общее
Сйределение вычитания и выполнив на его основе несколько упраж-
нений, индуктивно установить правило, по которому вычитание за-
меняется сложением, а затем вновь вернуться к определению, про-
веряя каждый раз после выполнения вычитания по этому правилу,
лЧто требования общего определения выполняются.
При благоприятных условиях правило вычитания может быть
Доказано в общем виде примерно так.
Пусть требуется из числа а вычесть число Ь.
По определению вычитания это значит найти х такое, что х +
rt- b = а.
69
Прибавив к обеим частям этого равенства по (—Ъ), получим:
х + Ь + (— Ь) = а + (— Ь).
Отсюда в силу сочетательного закона следует:
x + (b + (-b)) = a + (-b),
т. е.
х = а 4- (— Ь),
так как b + (—Ь) = 0.
Таким образом, вычитание числа b свелось к прибавлению числа
(—Ь). Правило доказано.
Заметим для учителя, что мы доказали лишь существование
разности. Доказательство ее единственности потребует знания свой-
ства монотонности сложения. На это обстоятельство можно обратить
внимание учащихся позже, при изучении неравенств.
Однако главные трудности обучения на этом этапе заключаются
не в теории, а в выработке практических навыков выполнения сложе-
ния и вычитания, техникой которых многие учащиеся овладевают
с трудом, особенно при решении упражнений на раскрытие скобок,
приведение подобных членов и т. п. Навыки эти важны для дальней-
шего овладения тождественными преобразованиями, поэтому именно
сейчас придется предусмотреть систему настойчивой работы по ре-
шению тщательно подобранных упражнений, направленных на по-
степенное формирование таких навыков.
Напротив, овладение практическим применением правила знаков
при умножении достигается легко, и пятиклассники почти не оши-
баются в выполнении этой операции, если, конечно, умножение на-
туральных чисел усвоено прочно. Что же касается теории вопроса,
то надо хорошо понимать: правило знаков на этом этапе обучения
лишь иллюстрируется при объяснении, и какого-либо обоснования
этих правил приводить или тем более требовать от учащихся не сле-
дует.
4.2. Завершающая глава учебника V класса в отличие от тра-
диционных «Обыкновенных дробей» или «Действий над обыкновен-
ными и десятичными дробями» называется «Рациональные числа».
Этим подчеркивается идейная и содержательная роль темы, факти-
чески обобщающей и систематизирующей весь материал курса ма-
тематики за пять лет обучения.
Тема охватывает ряд чисто арифметических вопросов (упорядо-
чение множества дробей, их свойства, операции над ними, понятие
пропорции, элементы теории делимости) и некоторые смежные во-
просы алгебры и геометрии.
В преподавании арифметической части темы есть немало интерес-
ных и трудных вопросов, возникающих уже при изучении первого
важного факта — упорядочения множества дробей. Ни для каких
других чисел учащимся не приходилось и не придется провести
столь большую подготовительную работу, смысл которой часто дол-
гое время неясен даже способным ученикам. Первый шаг здесь —
изучение основного свойства дроби, из которого следует прием при-
70
ведения дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Лишь
после изучения этих вопросов — а на них уйдет не менее десяти уро-
ков — моя^но будет говорить о сравнении дробей с разными знаме-
нателями и отсюда об упорядочении множества рациональных
чисел. Следует помнить, что теоретически глубокий и содержатель-
ный материал довольно долго оказывается без непосредственных при-
ложений и, следовательно, здесь есть опасность проявления форма-
лизма.
Правило умножения обыкновенных дробей вводится после рас-
смотрения примеров на вычисление площади прямоугольника (ср.
с введением правила умножения десятичных дробей!) и усваивается
учащимися хорошо. Некоторую трудность вызывает лишь переход
к неправильным дробям при умножении дробных чисел, содержа-
щих целую часть.
Деление дробей можно ввести на основе общего определения об-
ратной операции. Но есть и более простой путь, требующий тем
не менее известной аккуратности,— замена деления умножением
на число, обратное делителю. Именно этот путь принят в учебнике
[3.106].
В этом же учебнике для изучения операций сложения и вычита-
ния дробей принята нетрадиционная последовательность — эти
операции вводятся не раньше умножения и деления, а позднее.
Это удачное решение вопроса, так как сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями объективно более трудно для усвоения
и очень хорошо, если учащиеся к моменту их появления будут иметь
определенный запас навыков в обращении с дробями. Но есть при
таком изложении и некоторый минус, который следует учитывать
при организации обучения умножению и делению: пока мы работаем
в этом направлении, учащиеся могут потерять с трудом приобретен-
ный навык приведения дробей к общему знаменателю. Очевидно,
этот навык надо непрерывно поддерживать, некоторая дополнитель-
ная затрата времени окупится экономией на повторении при изуче-
нии сложения и вычитания.
Фактически все правила действий с обыкновенными дробями
сформулированы в учебнике для положительных дробей. Следует
сказать учащимся, что если для дробей считать допустимыми и от-
рицательные значения, то по этим правилам находят лишь сумму,
разность, произведение и частное модулей дробей. В этом случае
сначала используются правила действий над положительными и от-
рицател ь ными ч исл ами.
На данном этапе обучения имеется возможность обосновывать
законы действий над дробями не только проверкой, но и рассужде-
нием. Например, учитель спрашивает: «Почему переместительный
закон верен для сложения дробей?» Учащиеся отвечают: «Сложение
дробей сводится к сложению их числителей, а сложение числителей
подчиняется этому закону».
Заметим, наконец, что в конце изучения темы следует вновь об-
ратиться к анализу структуры изученного множества — ученик,
71
заканчивающий V классу должен хорошо понимать, что изученные
им натуральные числа вместе с противоположными им числами,
нулем и положительными и отрицательными дробями (в частности,
десятичными) составляют множество рациональных чисел, а дейст-
вия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на
нуль) в этом множестве всегда выполнимы.
4.3. Как сказано выше, построение множества рациональных
чисел заканчивается по существу в курсе математики V класса.
В курсе алгебры VI класса происходит лишь совершенствование на-
выков выполнения операций над такими числами.
В курсе алгебры VII класса в связи с изучением темы «Квадрат-
ные корни» возникает необходимость расширения множества имею-
щихся чисел и введения иррациональных чисел. Известно, что
всяким расширением какого-либо понятия необходимо пользовать-
ся для повторения и приведения в систему ранее изученных понятий
данного раздела науки. Естественно, что и в данном случае изучение
новой трмы следует начинать с повторения и систематизации све-
дений о рациональных числах.
Обычно для этой работы оказывается достаточно одного урока.
При подготовке к нему за основу можно принять материал п. 32
учебного пособия [3.4] и рекомендации книги [3.5].
Мы приведем некоторые дополнительные рекомендации.
1) Изучение вопроса желательно мотивировать. В хорошо под-
готовленном классе учащимся можно сообщить примерно следующее:
«Мы переходим к изучению новой темы «Квадратные корни».
К таким корням приводит нас практическая задача о нахождении
стороны (длины стороны) квадрата по его заданной площади. Для
решения таких задач известных нам чисел окажется недостаточно.
Придется вводить в рассмотрение новые числа. В связи с этим уточ-
ним сведения об известных нам числах. Темой нашего урока будет
«Рациональные числа».
Для учащихся, которые мало интересуются математикой, моти-
вировка, основанная на ожидаемой в будущем необходимости может
показаться неубедительной. В этом случае возможно такое вступ-
ление к уроку:
«В первых пяти классах мы изучали рациональные числа, но
глубина этого изучения была невелика. Теперь, в VII классе, вы'
можете разобраться с устройством множества рациональных чисел
по-настоящему. Это полезно для тех, кто не очень хорошо усвоил
материал младших классов,— мы сейчас устраним все пробелы в зна-
нии теории. Это полезно и для будущего. Итак, тема нашего урока:
«Рациональные числа».
2) Надо полагать, что учитель не будет читать учащимся лекцию
о рациональных числах или пересказывать учебник, а будет с ними
беседовать — задавать подходящие вопросы, выслушивать и об-
суждать ответы. Ниже приводится примерный перечень вопросов,
которые следует обсудить с учащимися. Ожидаемые ответы на них
мы приводим в квадратных скобках.
72
а) Из каких потребностей практической деятельности человека
возникли числа? [Источники из потребностей счета предметов.!
; б) Какие числа употребляются при счете предметов? [Натураль-
ные числа, или, как еще говорят, целые положительные числа.)
в) Каковы основные свойства множества N натуральных чисел?
|В N есть наименьшее число 1 и нет наибольшего числа, в нем всег-
да выполнимы сложение и умножение и не всегда выполнимы вы-
читание и деление.)
г) Какова роль нуля как числа? [Нуль — характеристика пусто-
го множества, нуль — значение разности а — b в случае, когда
а = 6.]
д) Какой смысл имеет запись N J {0}? [Объединение двух мно-
жеств ... — множество целых неотрицательных чисел.]
е) Известно: a£N. Что обозначает символ «—а»? [Целое отри-
цательное число, противоположное натуральному числу аЛ
ж) Каковы свойства множества Z целых чисел? [Z — объедине-
ние «трех множеств», в нем нет наименьшего и наибольшего чисел,
в нем всегда выполнимы сложение, умножение и вычитание.]
з) В каком отношении находятся множества N и Z? [TV с Z.1
и) В каком множестве всегда выполнимо деление? [В множестве,
котором, кроме целых чисел, есть дробные числа.] Сообщаем уча-
щимся название и обозначение Q такого множества.
к) В каком отношении находятся множества Z и Q, N и Q?
;iZcQ, NaQ.l
л) Каковы свойства множества Q? [Возможность и неоднознач-
'ность представления его элементов в виде отношения целых чисел,
^единственность представления в виде отношения где tn С Z,
fn g N и (| tn |, n) = 1.
Заметим, что приведенные вопросы являются примерными.
[Возможно, что некоторые из них придется разделить на два или
•несколько. Все зависит от уровня подготовленности учащихся
^класса.
3) Должно быть понятным, что работа на уроке не ограничива-
ется одним разговором по приведенной выше программе. Наряду
i'ic выяснением перечисленных и других вопросов учащиеся выполня-
ет упражнения. Надеемся, что учитель сумеет сам вписать рекомен-
дуемые книгой для учителя упражнения в нашу систему вопросов.
§ 5. ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
5.1. Введение иррациональных чисел в восьмилетней школе.
5.2. Изучение действительных чисел в старших классах средней
'школы.
5.1. Первое знакомство учащихся с иррациональными числами
Происходит в курсе алгебры VII класса. Программой по математи-
чке для восьмилетней школы предусматривается изучение этого
73
вопроса в теме «Квадратные корни» курса алгебры в следующем
объеме:
«Понятие квадратного корня. График функции у = ]/х. Понятие
об иррациональных числах. Множество действительных чисел как
чисел, позволяющих каждой точке прямой приписать координату.
Нахождение приближенного значения корня с любой степенью точ-
ности (методом проб). Таблица квадратов и квадратных корней».
К сожалению, в объяснительной записке к программе ни-
каких пояснений к изучению интересующего нас вопроса не содер-
жится.
Будем считать, что изучение выделенного вопроса ведется с уча-
щимися по учебному пособию [3.4] в соответствии с книгой [3.5J
для учителя. Как уже отмечалось выше [XII.4.3], изучение темы
«Квадратные корни» начинается с повторения и приведения в систе-
му известных учащимся сведений о рациональных числах. Далее
вводятся два новых понятия: «квадратный корень из числа» и «ариф-
метический квадратный корень» (и только для последнего принима-
ется обозначение «У а»). Определение арифметического квадратного
корня из числа применяется к распознаванию соответствующего
понятия. Это определение есть конъюнктивная структура из двух
признаков. Объект подходит под понятие лишь при наличии их обо-
их и не подходит во всех остальных случаях. Типичным в этом от-
ношении является упражнение такого, например, содержания:
«Докажите, что:
а; число 5 есть арифметический корень из 25;
б) число —7 не является арифметическим корнем из 49;
в) число 0,3 — арифметический корень из 0,09...» и т. д.
(упр. № 627 из [3.4]).
Здесь же на основе упражнения учащиеся подводятся к выводу:
выражение У а не имеет смысла при отрицательных значениях а
(функция у ~Ух не определена для отрицательных значений х).
Возникает вопрос (его надо возбудить): определено ли это выражение
для всех неотрицательных значений а? Ответ на этот вопрос дается
на следующем уроке.
Практически значимая задача о нахождении стороны квадрата
по его известной площади привела нас к необходимости решить урав-
нение вида х2 == а. Надо выделить типичные случаи, которые могут
представиться при решении такого уравнения, и научиться нахо-
дить соответствующие решения.
Ясно, что задачи «решить уравнение х2 = а» и «найти квадрат-
ный корень из числа а» имеют один и тот же смысл. Это следует из
уже известного учащимся определения квадратного корня из числа.
Следовательно, одним из упомянутых случаев будет случай,
когда а < 0. Для таких а выражение у/~а не имеет смысла (не опре-
делено) и множество решений уравнения является пустым. Остает-
ся рассмотреть случаи: а = 0 и а > 0.
При а =? 0, в соответствии с определением квадратного корня
74
из числа, решением уравнениях2 = а будет х = 0. Множество реше-
ний уравнения состоит из одного числа 0.
Рассмотрим теперь случай, когда а > 0. В некотором смысле
этот случай можно считать основным. На нашей исходной модели
«х — длина стороны и а — величина площади соответствующего
квадрата» число а сугубо положительное.
Рассматривать этот случай можно на основе графического реше-
ния уравнения х2 = а, как это делается в учебном пособии [3.4]
и в книге [3.5] для учителя. Авторы этих пособий исходят из инту-
итивно убедительного для учащихся допущения, что при а > 0
парабола у =х2 и прямая у — а всегда пересекаются, и притом
в двух точках. И следовательно, всегда существуют две их
абсциссы. Уравнение х2 = а в этом случае всегда должно иметь два
решения.
Далее внимание учащихся обращается на тот факт, что рацио-
нального числа, квадрат которого равен двум, не существует. На
данной ступени обучения считается возможным лишь индуктивное
обнаружение этого факта. Однако учащиеся все же должны «почув-
ствовать» саму идею: сколько бы знаков в десятичном приближении
у/2 мы ни взяли, какую бы громоздкую дробь мы ни испытывали,
все равно квадрат этих чисел не будет в точности равняться двум,
точно так же, как не всегда удавалось выполнить вычитание в мно-
жестве натуральных чисел или деление в множестве чисел целых.
Но в тех множествах мы вводили новые числа (отрицательные, дроб-
ные). Придется и здесь поступить аналогично.
Учащиеся VII класса вовсе не обязаны уметь воспроизвести эти
рассуждения, но без них трудно сделать вывод о необходимости
введения иррациональных чисел. Для таких чисел принимаются
обозначения: J/2, —у/2, ..., Замечаем, что иррациональ-
ными являются не только эти, но и многие другие числа. Объедине-
ние множества рациональных и множества иррациональных чисел
получает название множество 7? действительных чисел. Множества
Af, Z, Q и многие другие являются его подмножествами.
На множестве R уравнение х2 = а при а > 0 всегда имеет два
решения. В последующих пунктах учебника учащихся учат нахо-
дить эти решения с определенной степенью точности. Заметим, что
программа не требует изучения какого-либо алгоритма извлечения
корня. Учащиеся лишь должны отчетливо представлять принци-
пиальную возможность достижения любой точности при выполне-
нии этой операции и уметь найти в простейших случаях две-три
цифры корня подбором. В практических же вычислениях главным
приемом должно быть обращение к логарифмической линейке или
таблицам (в зависимости от требуемой по смыслу задачи точности).
В [3.4] изложен метод последовательных приближений для вы-
числения корня. Современная программа не предполагает обязатель-
ного изучения этого метода, но следует иметь в виду, что сама идея
подобных методов чрезвычайно плодотворна и перспективна.
75
Вероятно, в будущем она найдет более основательное применение
в школьном математическом образовании.
На этом заканчивается круг сведений об иррациональных числах
в восьмилетней школе. Все другие сведения о них учащиеся приоб-
ретают в курсе математики IX класса.
5.2. Тема «Действительные числа» изучается в курсе алгебры
И'Начал анализа IX класса.
Ниже перечислены те понятия и факты из ранее пройденного,
которые имеют непосредственное отношение к изучению интересую-
щей нас темы.
а) В теме «Рациональные числа» курса математики (V класс)
введено понятие десятичного приближения десятичной дроби,
дано первое представление о бесконечной десятичной дроби.
б) При изучении темы «Неравенства и их применение к прибли-
женным вычислениям» (VII класс) уточнено понятие приближенного
значения числа, введены правила приближенных вычислений без
строгого учета погрешностей.
в) В ходе* изучения темы «Квадратные корни» (VII класс) дано
первое представление об иррациональных и действительных числах,
на интуитивной основе установлено взаимно однозначное соответ-
ствие между множеством действительных чисел и множеством точек
числовой (координатной) прямой.
г) При изучении темы «Арифметическая и геометрическая про-
грессии» (VIII класс) уточняется понятие последовательности (ко-
нечной и бесконечной), вводится понятие монотонной последователь-
ности, рассматривается последовательность рациональных прибли-
жений бесконечной десятичной дроби.
д) Большое место в курсе математики (особенно, геометрии)
восьмилетней школы занимает понятие скалярной величины (рас-
стояние, площадь, объем). Заметим, что ему по существу не дается
точного определения, что до введения понятия иррационального чис-
ла оставляется без внимания возможность случая несоизмеримости
а с е в числовом выражении a = k • е расстояния а.
’ При изучении темы «Действительные числа» в IX классе пред-
стоит:
по возможности уточнить понятие иррационального числа;
обосновать взаимно однозначное соответствие между множеством
всех действительных чисел и множеством всех точек координатной
прямой;
установить сравнение в множестве действительных чисел;
ввести операции сложения и умножения в R и убедиться в сохра-
нении прежних свойств этих операций.
Заметим, что ни о какой теории действительных чисел в курсе
математики средней школы не может быть и речи. Более или менее
строго могут быть доказаны лишь отдельные факты. Изложение
материала темы по преимуществу должно быть индуктивным, опира-
ющимся на перечисленные выше сведения из предшествующего
курса математики.
76
Относительная строгость изложения темы существенно зависит
от того, какое место она занимает среди некоторых других тем курса
алгебры и начал анализа. Здесь имеется в виду порядок рассмотре-
ния вопросов «Действительные числа» и «Числовые последователь-
ности и их пределы».
В учебном пособии [3.8] для IX класса соответствующая глава
выглядит так:
Глава III. Действительные числа. Бесконечные последователь-
ности и их пределы.
§ 5. Действительные числа.
§ 6. Бесконечные числовые последовательности. Предел после-
довательности.
§ 7. Существование пределов и их вычисление.
Возможен и другой порядок изложения, при котором понятия
бесконечной числовой последовательности и ее предела вводятся
ранее действительных чисел. В этом случае возможно более строгое
изложение. Можно, например, обосновать сходимость бесконечной
периодической десятичной дроби, сходимость рациональных при-
ближений действительного числа по недостатку и по избытку.
При работе по упомянутому выше пособию такая возможность по-
является значительно позднее, а на первых порах приходится под-
водить учащихся к этим фактам интуитивно. С другой стороны,
переход от изучения действительных чисел к изучению последова-
тельностей оправдан дидактически, ибо с точки зрения изучаю-
щего такой переход представляется логически и содержательно
оправданным. Полной же строгости, как уже было сказано, здесь,
по-видимому, не следует и добиваться.
Впрочем, надо сказать, что пока еще нет достаточно глубоко
проанализированного опыта обучения не только по этому пособию,
но и вообще по ряду тем курса «Алгебра и начала анализа». Поэтому
сейчас трудно высказывать какие-либо категорические рекоменда-
ции по изучаемой теме. Совершенно очевидно, что одна из задач
учителей-практиков как раз и состоит в накоплении и обобщении
^соответствующего экспериментального материала.
Глава Xllf
КУЛЬТУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ И ТОЖДЕСТВЕННЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ШКОЛЕ
мании—
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИКА СОСТОЯНИЯ КУЛЬТУРЫ ВЫЧИСЛЕНИИ
И ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В НАСТОЯЩЕЕ
ВРЕМЯ И ЕЕ ПРОБЛЕМЫ
1.1. Признаки высокой культуры вычислений и тождественных
преобразований.
1.2. Состояние культуры вычислений и тождественных преоб-
разований.
1.1. Достаточно высокий уровень вычислительной культуры
учащихся может быть охарактеризован следующей совокупностью
признаков:
1) прочные и осознанные знания свойств и алгоритмов операций
над числами;
2) умение по условию поставленной задачи определить, явля-
ются ли исходные данные для вычислений точными или приближен-
ными числами, прочные знания правил приближенных вычислений
и навыки их выполнения;
3) умение правильно сочетать устные, письменные вычисления
и вычисления с применением вспомогательных средств;
4) устойчивое применение рациональных приемов вычислений;
5) автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислитель-
ных операций;
6) аккуратная и экономная запись расчетов;
7) применение рациональных приемов контроля вычислений;
8) умение^ на определенном теоретическом уровне обосновать
правила и приемы, применяемые в процессе вычислений.
Культура выполнения тождественных преобразований разви-
вается так же, как и культура вычислений, на основе прочных зна-
ний свойств операций над объектами (числами, векторами, много-
членами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется
не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в
умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитиче-
ского выражения к выражению, наиболее соответствующему цели
преобразования, в умении проследить за изменением области опре-
78
деления аналитических выражений в цепочке тождественных пре'
образований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразо-
ваний.
1.2. Обеспечение высокой культуры вычислений и тождествен-
ных преобразований представляет важную проблему обучения мате-
матике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетвори-
тельно. Доказательство этому — статистические данные органов
народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки
и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допуска-
емые учащимися различных классов при выполнении контрольных
работ.-Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений
о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя
не согласиться с выводами органов народного образования и вузов
о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений
и тождественных преобразований в средней школе является след-
ствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.
Часто, например, наблюдаются случаи, когда с молчаливого
согласия учителя ученики, зная, например, теорему Виета, решают
уравнение х2 — 5х + 6 — 0 по формуле корней; после специальной
«пятиминутки устного счета» на том же уроке письменно выполняют
простейшие вычисления; не применяют рациональных приемов
вычислений и преобразований, а если и применяют, то не могут
их обосновать; изучив правила приближенных вычислений, совсем
не пользуются ими, как только соответствующая тема закончена,
и т. д.
§ 2. ВИДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ,
ИХ РОЛЬ, МЕСТО И МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ
2.1. Воспитательные и образовательные цели обучения вычисле-
ниям и тождественным преобразованиям.
2.2. Способы вычислений и тождественных преобразований и
общие требования к ним.
2.3. Устные вычисления и тождественные преобразования.
2.4. Письменные вычисления.
2.5. Вспомогательные средства вычислений.
2.6. Тождественные преобразования.
2.1. Выполняемые учащимися вычисления и тождественные пре-
образования всегда в какой-то мере служат достижению образова-
тельной, воспитательной и практической целям преподавания
математики. Однако посредством целесообразного подбора задач
они могут быть подчинены одной из этих целей более, чем другим.
Положительный познавательный эффект от применения вычислений
и тождественных преобразований может быть получен при изучении
Любой темы программы. Например, законы арифметических действий
над натуральными числами устанавливаются исключительно с по-
мощью вычислительных упражнений. Учащиеся самостоятельно
79
могут справиться с выводом формулы корней уравнения вида
х3 4- рх + q == 0, если предварительно выполнить ряд упражне-
ний на тождественные преобразования выражений вида х2 4- рх + q
(\а / V
х +“|“) — (-тг) +?• Вычисления и тождественные пре-
образования помогают выявлять свойства геометрических фигур.
Задачи познавательного характера подбираются (составляются)
так, чтобы вычисления и преобразования не слишком отвлекали
внимание учащихся от тех понятий, свойств, законов, которые изу-
чаются с помощью таких задач. Приведем два примера.
1. Требуется ввести понятия простых и составных чисел. Уча-
щимся предлагается заполнить таблицу из трех колонок, в каждой
из которых необходимо записать примеры натуральных чисел,
имеющих: а) только один делитель; б) только два делителя; в) более
двух делителей. Учитель хочет подвести учащихся к выводу: по
числу делителей множество натуральных чисел можно разбить на
три части, состоящие^ а) из чисел, имеющих только один делитель;
б) из чисел, имеющих только два делителя; в) из чисел, имеющих
более двух делителей, а затем дать соответствующие определения.
Очевидно, в качестве примеров надо выбирать числа, разложение
которых на множители может быть выполнено в уме без излишних
затруднений. И достаточно случайно взять одно-два «трудных»
для разложения числа, как внимание части учащихся будет отвле-
чено и цель урока будет достигнута с большими затруднениями.
2. Закрепляется усвоение теоремы Виета. Предложена задача:
«Один из корней уравнений х2 + рх + 6 = 0 равен двум. Найти
коэффициент р (двумя способами)». Очевидно, сущность задачи не
изменится, если вместо q = 6 взять какое-то другое, например
дробное, число. Но вычисления, которые при q = 6 можно и нужно
выполнять в уме, при менее удачном подборе коэффициентов потре-
буют специальной записи и отвлекут учащихся от главного.
Воспитательное воздействие вычислений и тождественных пре-
образований может быть направлено на развитие логического мы-
шления, если только от учащихся будут систематически требоваться
обоснования вычислений и тождественных преобразований, на раз-
витие функционального мышления, что достигается различными
путями, в частности вычислением значений выражений с перемен-
ными при различных наборах значений переменных или выпол-
нением вычислений с помощью графиков функций. Совершенно
очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в
развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, твор-
ческой инициативы.
Запросы бытовой, производственной вычислительной практики
требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных
навыков рациональных вычислений и тождественных преобразо-
ваний. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислитель-
ной работы, тем не менее необходимы специальные тренировочные
упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.
80
2.2. Вычисления по способам их выполнения разделяются на
три основных вида: устные, письменные и вычисления с примене-
нием вспомогательных средств: математических таблиц, графиков,
счетных приборов. Тождественные преобразования выполняются
устно или письменно. Основы культуры вычислений и тождествен-
ных преобразований закладываются в начальной школе. В IV клас-
се повторяются и систематизируются сведения о четырех ариф-
метических действиях над целыми неотрицательными числами.
В процессе этой работы надо добиться, чтобы учащиеся усвоили и
всегда придерживались следующей системы требований:
а) Если в задачнике (или со стороны учителя) нет указаний,
каким способом производить вычисления, то там, где это посильно,
их следует выполнять устно. Если устное выполнение действия за-
труднительно, надо подумать, каким способом оно может быть вы-
полнено быстрее — письменно или с помощью имеющихся под ру-
ками вспомогательных средств (счетов, арифмометра, таблиц и
т. д.) и выполнить его этим способом.
б) Перед вычислением значения числового выражения или выра-
жения с переменными подумать, нельзя ли применить свойства дей-
ствий для более удобных вычислений. Записывать промежуточные
результаты, получаемые от применения свойств действий, сле-
дует только тогда, когда становится затруднительным их запо-
минание.
в) Запись цифр и букв должна быть правильной, аккуратной.
При письменном выполнении действий запись компонентов делает-
ся строго по известным правилам.
г) Результат вычислений считать правильным только после про-
верки. После введения понятия о тождественных выражениях,
тождестве и тождественном преобразовании, а затем правил при-
ближенных вычислений требования расширяются.
д) Если нужно выполнить тождественные преобразования за-
данного выражения, то не следует сразу же руководствоваться воз-
никшей догадкой — надо мысленно поискать возможные варианты
начала преобразований и выбрать тот из них, который покажется
наиболее выгодным.
е) Не приступать к выполнению вычислительной работы до выяс-
нения характера данных — точных и приближенных. Если хотя бы
один из компонентов выполняемого действия есть приближенное
число, действие выполняется по соответствующему правилу прибли-
женных вычислений.
Наглядная демонстрация того, как нужно осуществлять изло-
женные требования, дается не только при ознакомлении с этими тре-
бованиями, но и в дальнейшем, по мере развития и усложнения вы-
числительного аппарата и тождественных преобразований. Между
отдельными этапами расширения понятия о действиях (или после
введения нового действия) идет закрепление и развитие вычисли-
тельных навыков на базе знакомого учащимся числового множест-
ва и навыков выполнения тождественных преобразований аналити-
81
ческих выражений определенного класса (целых, рациональных,
иррациональных и т. д.). Вопросы развития культуры вычислений
и тождественных преобразований тщательно планируются. При те-
матическом планировании определяется целевая установка вычис-
лительной работы и тождественных преобразований, намечается ди-
дактический материал и методы работы с ним. Здесь уже важно учи-
тывать особенности организации и проведения различных видов
вычислений и тождественных преобразований.
2.3. Устные вычисления (преобразования) — это вычисления
(преобразования) в уме. Основное их преимущество перед другими
видами вычислений (преобразований) состоит в большой экономии
времени, затрачиваемого на вычисления (преобразования). Устные
вычисления (преобразования) обладают особенностью вызывать вы-
сокое напряжение мышления, большую сосредоточенность внимания.
Эта напряженная мыслительная деятельность может быть исполь-
зована с большим эффектом для формирования у учащихся прочных
и глубоких математических знаний. С этой целью при изучении того
или иного программного вопроса разрабатывается система устных
вычислительных упражнений-задач, каждая из которых имеет опре-
деленное назначение: или подготовить учащихся к восприятию
вновь вводимого понятия, или способствовать выявлению свойств
понятий и их доказательству, или побудить учащихся к творче-
скому решению возникшей проблемы и т. д.
В начальной школе формируются навыки устного выполнения
действий над однозначными и двузначными числами (не исключаются
удобные случаи выполнения действий с многозначными числами,
например 240 000 : 120). Упрощение устных вычислений достигает-
ся приемами, основанными: а) на непосредственном применении
свойств действий: 17 + 28 + 43 = (17 + 43) 4- 28; 25 • 3 • 4 =
= (25 • 4) • 3; 34 — 15 — 14 == (34 — 14) — 15; (16 • 17) : 8 =
= (16 : 8) • 17 ит. д.; б) на применении свойств действий
с предварительным преобразованием хотя бы одного из компонен-
тов: 43 + 19 = 43 + (7 + 12); 93 — 54 = 93 — (53 + 1); 12 X
X 8 = (10 + 2) • 8; 175 : 25 = (100 4- 75) : 25 и т. д. Рассматри-
ваются также частные приемы, например приемы умножения и
деления на 5, 25, 50 и умножения на 9 и И.
В IV классе развитие культуры устных вычислений начина-
ется с повторения устной нумерации. Как ею владеют учащиеся,
учитель еще не знает. Необходимо проверить, насколько каждый
ученик свободно и правильно произносит названия чисел в пределах
первых трех классов. Система упражнений состоит примерно из
таких заданий: прочитать записанные числа; прочитать число,
отложенное на счетах; придумать и прочитать число, содержащее
заданное число классов или разрядов; повторить заданное учителем
или другим учеником число.
В процессе этой работы устная нумерация чисел постепенно рас-
ширяется до чисел с классом миллиардов. С переходом к повторению
арифметических действий и их свойств выявляется уровень навы-
82
ков учащихся в устном выполнении действий и тождественных пре-
образований.
Приемы устных вычислений и тождественных преобразований уча-
щиеся усваивают более осознанно, если обоснование этих приемов
сопровождается подробными записями. Например, при ознакомле-
нии учащихся с приемами поразрядного сложения чисел, начиная
со старших разрядов, выполняются следующие записи со ссылкой
на соответствующие законы сложения: 526 4- 241 = (500 4- 20 4-
+ 6) + (200 + 40 + 1) = (500 + 200) + (20 + 40) + (6 + 1) =
= 700 4- 60 4- 7 = 767. После выполнения еще одного-двух ана-
логичных упражнений в письменной форме уже без ссылок на зако-
ны действий (чтобы не отвлекать внимания учащихся от содержа-
ния самого примера) приступают к новым упражнениям.
По мере расширения и обобщения понятия о числе и введения
новых действий над числами навыки устных вычислений и тожде-
ственных преобразований совершенствуются, например: 5,44:17 =
х= (5,1 + 0,34): 17; 27-|-« 4 = (27 + -у) • 4; 23 *4 *• 6 = (24 — 4)
: 6; 192 = 19.(20 — 1); /441 =/32^75; /2^5 = /225'6,01;
sin 390° — sin 30°; 1g 200 = Jg 2 + 2 и т. д.
В подходящих случаях учащиеся выполняют устные вычисления,
используя алгебраические тождества: квадрат двучлена, разность
квадратов, произведение суммы двух чисел на их разность: 1212 =
= (120+1)2; 492 = (50—I)2; 6-Ц = 6+-М; 24,62 = (25 —
\ о / \ о /
/ О \2 / 1 \2
-0,4)2; 2,7s-2.32 = (2,7 + 2,3)(2,7-2,3); (б-t-J - (4-L) =
= (6т + 4т)(6т-"4-); 154- 144--(15+т)(15-1Ь
9,4- 8,6 = (9 4- 0,4) (9 — 0,4).
Полезно ознакомить учащихся с приемами умножения на 15,
19, 99, 999, 125 и деления на 125, с возведением в квадрат числа,
оканчивающегося наб, нахождением произведения числа вида 10а 4-
4- b на число вида 10а 4- с, где Ь 4- с = 10.
В старших классах нельзя допускать угасания навыков устных
вычислений (как и вообще всех видов арифметических вычислений),
приобретенных в предшествующие годы обучения, что нередко на-
блюдается. Например, при вычислении значений выражения 1g 2 4-
з/Т
4-1 4- 31g у -£• учащиеся обычно берутся за таблицы, не замечая,
что применение законов сложения и свойств логарифма позволяет
легко и быстро выполнить вычисления устно. Содержание упраж-
нений должно соответствовать определенной целевой установке —
повторению свойств действий, подготовке учащихся к решению
более сложной задачи или к доказательству теоремы, закреплению
нового материала, закреплению приемов быстрых вычислений
и т. д. Так, если на уроке предполагается решение логарифми-
ческих уравнений с использованием основного логарифмического
83
тождества я106** =-- Af, то полезно в план урока включить устные
упражнения на упрощение или вычисление значений выражений:
2,ов2* 1 gloge30 g—iog315 ^logx0»l IQlglO—1
1 iogy?
— . Цель упражнений всегда сообщается учащимся. В ходе
выполнения упражнения может возникнуть необходимость потре-
бовать от учащихся обоснований отдельных преобразований, дей-
ствий или решения всей задачи, даже если это не планировалось.
Там, где возможны различные способы решения задачи, желательно
всегда ставить вопросы: «Каким способом решалась задача?», «Кто
решил задачу другим способом?»
Устные упражнения могут проводиться:
1) по таблицам, заранее заготовленным на бумаге, переносной
или классной доске и скрытым от учащихся до начала упражнений;
включаемые в таблицу упражнения целесообразно нумеровать, это
позволит учителю выбирать наиболее удобную позицию для управ-
ления классом и наблюдения за работой учащихся;
2) с записью учащимися исходных данных, сообщаемых учителем;
в этом случае каждый ученик оказывается как бы изолированным от
остальных и вынужден проявлять более высокую степень самосто-
ятельности;
3) с восприятием учениками исходных данных на слух; это наи-
более трудный, но и наиболее развивающий внимание учащихся вид
упражнений: упражнения располагаются по возрастающей степени
трудности, и сразу же надо переходить к записи исходных данных,
как только от учащихся начнут поступать ошибочные ответы, иначе
активность класса значительно спадет;
4) по задачникам: учащиеся находят задачу по названному номе-
ру. Совсем не обязательно устное решение всего примера или тек-
стовой задачи. Так, указав на пример
/з и 54-+7
2-2---0,25 4-4 —-) • 8 + ——,
\ * & ] 4 1
4~6’
учитель может предложить вычислить в уме значение выражения,
заключенного в скобки, или по условию текстовой задачи предла-
гается составить некоторое выражение и найти его значение или пре-
образовать его и т. д. Следует практиковать задание устных упраж-
нений на дом. В задачниках бывает мало таких упражнений, однако
при повторении пройденного материала в них можно всегда подо-
брать упражнения, которые в свое время учащиеся выполняли пись-
менно, а в данное время могут выполнить устно. Если нужно про-
верить, насколько рационально ученик выполнил устную домашнюю
работу, ему можно предложить изложить письменно все решение или
часть решения или заставить объяснить, как решалась задача.
2.4. Возможности устных вычислений ограничены свойствами
памяти: с возрастанием количества цифр компонентов действий
84
память перестает справляться с закреплением результатов мыслен-
но выполняемых операций. Этим ограничением не стеснен письмен-
ный способ вычислений.
Формирование культуры письменных вычислений и тождествен-
ных преобразований начинается с обучения учащихся правильной
и аккуратной записи чисел, выражаемых как цифрами, так и бук-
вами. Из начальной школы дети приходят в IV класс обычно с хо-
рошо отработанными навыками письменной нумерации. В средней
школе (особенно в старших классах) нередко наблюдается снижение
требований к учащимся относительно цифровой и буквенной калли-
графии, вследствие чего школьники начинают вести записи цифр,
букв, знаков действий и отношений небрежно, неразборчиво, а за-
тем привыкают к этому. Наблюдаются, например, случаи, когда
ученик не может разобрать, какую цифру или букву он записал:
& или 0; 9 или 2; 7 или 4; а или d; выражение-----f j? 1 или
ь 2 + ^.
—5 ттхг или 2 + , и т. д. Часто ошибочный ре-
С + а 1+0,1 ‘1+0,1 г
зультат вычислений или тождественных преобразований является
следствием именно небрежной записи. При изучении той или иной
категории чисел (натуральных, дробных и т. д.) учитель дает образ-
цы написания чисел и затем настойчиво требует от учащихся соблю-
дения соответствующих правил.
При изучении действий и их свойств даются образцы подробной
записи тождественных преобразований и устных объяснений, на
основании каких свойств действий они выполняются, а затем и об-
разцы краткой записи, например: 237 -т~ + 549 -х- = 237 4- ~г +
+ 549 4- -у = (237 4- 549) 4- 4- 4) = 786 + (1 + Тг) = <786 +
4- 1) 4- = 787 -Л-. Краткая запись: 237 4- 549 + = (237 4-
1£ 1Л * о
+ 549) + = 786 + (1 + -jy) = 787 . Следует предо-
стеречь от другого способа вычисления суммы данных чисел, а именно:
начинать с представления слагаемых в виде неправильных дробей
-5— + , — отметив очевидное преимущество первого способа.
Этот методический прием используется при изучении каждого дей-
ствия с целью выявления наиболее рациональных способов письмен-
ного выполнения действий. На время изучения действий и новых
видов тождественных преобразований полезно в классе вывешивать
образцы рационального письменного выполнения действий и тож-
дественных преобразований. Полезны и общие указания: перед
вычислением или преобразованием выяснить: 1) последовательность
выполнения действий, преобразований; 2) какие действия (преоб-
разования) можно выполнить устно; 3) нельзя ли применить свой-
ства действий для упрощения вычислений (преобразований);
85
4) вести ли записи в виде цепочки равенств или по нумерованным
действиям (частям) или составить удобную вычислительную схему
(см. § 6 этой главы); 5) как проверить результат.
Письменная проверка решения примера выполняется либо на
основе законов действий, либо на основе зависимости между компо-
нентами и результатами действий. Письменные вычисления прово-
дятся и при проверке решения текстовых задач.
Учащиеся IV—V классов должны уверенно справляться со сколь
угодно большими числами, но и здесь считаются достаточными
прочные навыки вычислений с 3-, 4-, 5-значными числами. Что ка-
сается письменного выполнения действий над дробями, то требует-
ся, чтобы в IV классе учащиеся научились уверенно выполнять вы-
числения вида 28,6 + 1,4 — (6,595 + 3,405) — 17,6 : 25, а в
V классе
. г 2
V классе — вычисления вида 45,9 : 1,5 — 12 • 4-~-— 2,5 • 2 — I:
\ о Л £ /
2
: 5 -х-. В дальнейшем особое внимание должно уделяться совершен’
ствованию навыков учащихся в письменном выполнении действий
над десятичными дробями. Это требование исходит из оценки особой
роли десятичных дробей как в учении о числе, так и в жизненной
практике.
В старших классах требуется уверенное выполнение вычислений
числовых выражений, содержащих комбинации элементарных (ал-
гебраических и трансцендентных) операций. Для облегчения пись-
менных вычислений вырабатываются особые приемы выполнения
действий, например выполнение арифметических действий над
целыми числами и десятичными дробями начиная со старших раз-
рядов. Конечно, в школе невозможно использовать все многообра-
зие существующих приемов быстрых вычислений, и учителю самому
приходится выбирать те из них, которые сообщаются учащимся
для систематического применения.
2.5. Несмотря на быстрое развитие электронной вычислительной
техники, во многих областях производственной вычислительной
практики не потеряли своего значения такие вспомогательные сред-
ства вычислений, как математические таблицы, графики, счеты,
счетные линейки, арифмометры. Механизация вычислений способ-
ствует и улучшению постановки обучения математике: больше вре-
мени сохраняется для работы над развитием математического мыш-
ления учащихся. Даже само обращение, например, с таблицами и
графиками благоприятно сказывается на формировании функци-
онального мышления, а применение русских счетов содействует бо-
лее глубокому усвоению свойств десятичной системы счисления
и некоторых приемов рациональных вычислений (например, сложе-
ния многозначных чисел начиная со старших разрядов).
Высказываются опасения, что механизация вычислительной ра-
боты может нанести большой ущерб формированию у учащихся на-
выков выполнения устных и письменных вычислений. Такие опасе-
ния неосновательны. Во-первых, для жизненной практики владение
86
вспомогательными средствами вычислений не менее важно, чем вла-
дение устными и письменными способами вычислений. Во-вторых,
требование выполнять вычисления всегда устно, когда это посильно,
остается в силе при любой вычислительной работе. В-третьих, во
многих случаях механизированные вычисления могут более эффек-
тивно способствовать овладению математическими методами, чем
письменные вычисления. Например, чтобы научить учащихся при-
менять метод уравнений для решения различных практических во-
просов, нужно решать много задач из смежных дисциплин, различ-
ных сфер производства и быта. Применение механизированных спо-
собов решения получаемых при этом уравнений позволит решить
большее количество задач.
Составлением и применением простейших таблиц занимаются
уже в начальных классах. С IV класса могут применяться соответ-
ствующие таблицы из сборника «Четырехзначные математические
таблицы» В. М. Брадиса, а именно: в IV классе — таблица произ-
ведений двузначных чисел; в V классе — таблицы длины окружнос-
ти, площади круга, квадратов, кубов (в связи с решением задач
геометрического содержания), значений дробей вида —; в VII клас-
се — таблицы квадратных и кубических корней (для нахождения
десятичных приближений значений корней с заданной точностью); в
VIII классе — таблицы логарифмов, значений функций 10х, триго-
нометрических функций. К сожалению, в сборнике нет таблицы про-
стых чисел, используемой в V классе.
Важное значение в школе имеют графические вычисления.
Большая механизация графических вычислений достигается с по-
мощью номограмм. Простейшими по структуре номограммами
являются графики функций с одной переменной, выполненные в ко-
ординатной сетке. Применение таких номограмм эффективно спо-
собствует развитию функционального мышления; в частности, уча-
щиеся на наглядной основе глубже познают свойства таких понятий,
как «множество», «соответствие», «функция» (отображение). Уже на
первых порах ознакомления учащихся с графиками движения,
температуры, стоимости и др. (V класс) следует каждый раз выпол-
нять упражнения на нахождение (измерением) по графику значе-
ний функции по заданным значениям аргумента, а также решать
обратную задачу (т. е. по существу уравнения). Официально по
программе решение уравнений и систем уравнений с помощью гра-
фиков функций начинается в курсе алгебры VI класса. В старших
классах особенно важное значение имеет применение графиков функ-
ций для решения уравнений, которые не решаются с помощью эле-
ментарных аналитических средств.
Более сложную структуру имеют сетчатые номограммы, номо-
граммы из выравненных точек с параллельными и криволинейными
шкалами. Такие номограммы часто представляют геометрические
модели функций от нескольких переменных. Правила обращения
G ними весьма просты, а значения функций снимаются о номограмм
87
почти мгновенно. Вследствие этого номограммы находят широкое
применение в вычислительной практике инженеров, техников,
экономистов и т. д. Номограммы следует систематически применять
и в школе, не смущаясь тем, что способ построения некоторых
из них не может быть объяснен к моменту применения. Так, в част-
ности, в IV классе учащимся можно показать выполнение действий
сложения (вычитания) и умножения (деления) с помощью номограмм
с параллельными шкалами. Как счетные приборы эти номограммы
малоэффективны на данном этапе обучения (учащиеся могут устно
выполнять соответствующие действия над натуральными числами),
основное их назначение состоит в том, чтобы: 1) дать представление
учащимся о графическом способе механизации вычислений; 2) на-
глядно иллюстрировать изменение результатов действий с изме-
нением компонентов; 3) наглядно показать взаимосвязь между
действиями сложения и вычитания (на номограмме одновременно
обозреваются как компоненты, так ^результаты обоих действий),
умножения и деления.
В книге А. А. Глаголева «Номография для школьника» учитель
найдет ряд номограмм, которые могут быть использованы при изу-
чении соответствующих вопросов программы. В «Четырехзначные
таблицы» В. М. Брадиса включены номограммы для решения квад-
ратных уравнений вида х2 4- рх 4- q == 0 и уравнений вида 4» -f-
1 1
4- — = —, которыми должны пользоваться учащиеся.
Обязательной для применения в школе является логарифмичес-
кая линейка, представляющая совокупность номограмм как с под-
вижными, так и с неподвижными шкалами. Учащиеся должны приоб-
рести хорошие навыки выполнения с помощью линейки действий умно-
жения, деления, возведения в квадрат и куб, извлечения квадратных
и кубичных корней, логарифмирования, действий с тригонометри-
ческими функциями. Необходимо научить учащихся вычислять с
помощью линейки длину окружности и площадь круга, решать
пропорции и треугольники. Вообще применение линейки целесо-
образно там, где результаты выполняемых операций требуются с 3
(а иногда и 4) верными значащими цифрами.
Ни программа, ни объяснительная записка к ней не дают никаких
указаний о применении для вычислений счетов, арифмометров, па-
лочек Непера, хотя этц средства вычислений вполне доступны для
школ и применение их в школьной вычислительной практике весьма
желательно.
Очень важно учить учащихся целесообразно выбирать средства
вычислений в процессе вычислительной работы. Сложение и вычита-
ние на счетах, умножение и деление на палочках Непера или с по-
мощью таблиц О’Рурка выполняются быстрее, чем на арифмометре.
Преимущество последнего состоит в том, что он может заменить оба
названных прибора и более универсален. Если учащиеся владеют
логарифмической линейкой, то этому инструменту отдается пред-
88
почтение перед другими вычислительными устройствами во всех
случаях, когда линейка применима и обеспечивает необходимую
точность результатов вычислений. Исключения могут представлять
те случаи, когда задача решается с помощью имеющейся под руками
номограммы. Таблицами, заменяющими логарифмическую линейку,
пользуются в том случае, когда они дают более высокую и нужную
степень точности, чем линейка. Графики функций, если они строят-
ся схематично самими учащимися, используются для грубой оценки
значений функций при заданных значениях аргументов или корней
уравнений. Во многих случаях бывает полезным в процессе вычис-
лительной работы применение двух или более вычислительных уст-
ройств, например: счетов и палочек Непера, счетов и логарифмиче-
ской линейки или соответствующих таблиц и т. д.
2.6. Применение аналитического аппарата для доказательства
теорем, вывода формул, исследования функций, решения уравне-
ний и неравенств осуществляется в форме тождественных преобра-
зований аналитических выражений. Например, доказательство тео-
ремы сложения для синуса может быть представлено следующей
цепочкой
преобразований:
— а) • cos 0 -|- sin |-£--------а) • sin 0 = sin а • cos 0 4-
/ \ £ J
4- cos а • sin 0.
Для вывода формул корней квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4-
4- с = О целесообразно квадратный трехчлен ах2 4- Ьх 4- с тож-
л I , ь + , ь — Vd \
дественно преобразовать к виду а I х 4----— i I х 4------— I,
где D — Ь2 — 4ас; после тождественного преобразования функции
у — 2х2 — 4х — 17 к виду у = 2 (х — 1)а — 19 легко уже выявля-
ются промежутки монотонности функции и ее экстремум и т. д.
Поэтому вполне оправдано требование доведения до автоматизма
навыков выполнения тождественных преобразований.
Понятия тождества и тождественного преобразования явно вво-
дятся в курсе алгебры VI класса. Однако без тождественных пре-
образований невозможно обойтись уже на первых шагах обучения
математике. Так, первоначальное выполнение операции 5 4- 2 в
I классе совершается путем тождественных преобразований:
54-2 = 54-(1 4- 1) = (5 4~1)4-1 = 6 4- I =7. Изучаемые в
начальной математике алгоритмы выполнения арифметических
действий и свойства действий постоянно используются для тож-
дественных преобразований числовых выражений с одной или боль-
шим числом операций в числа, представляющие значения этих
выражений. Там же в виде буквенных тождеств записываются зако-
ны и свойства арифметических действий, выполняются тождествен-
ные преобразования простейших буквенных выражений, например:
(о i f с) : d = а : d + b : d -j-с : d', a-j-a-^-a = a- 3 ит. n.
В IV—V классах с расширением понятий числа и операций над
89
числами обогащается и аппарат тождественных преобразований. Си-
стематическое изучение тождественных преобразований начинается
в VI классе с определений: «Два выражения называются тождествен-
но равными, если все их соответственные значения равны»; «Равен-
ства, в которых левая и правая части — тождественно равные вы-
ражения, называют тождествами»; «Замену выражения другим,
тождественно равным ему, называют тождественным преобразова-
нием выражения». Учащимся необходимо усвоить то принципиаль-
ное положение, что само определение тождественных выражений
не может быть практически использовано для доказательства тож-
дественности двух выражений, и понять, что сущность тождествен-
ных преобразований выражения состоит в применении к выражению
определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении,
или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного О,
или в умножении его на выражение, тождественно равное единице.
Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто проявляют форма-
лизм в знаниях сущности тождественных преобразований: они не
понимают, почему указанные преобразования позволяют утверж-
дать, что исходное и полученное выражения тождественны, т. е.
принимают одинаковые значения при любых системах (наборах)
значений переменных. Этот пробел в знаниях учащихся обычно
является следствием недоработки учителя при изучении действий
и их свойств. При записи определений и свойств действий в буквен-
ной форме (например, а 4- b = b + а\ (а Ь) с = ас + be; ab =
= ba, (ab) с = a (bc)t ап = а • а ♦ а и т. д.) следует постоянно
п сомножителей
отмечать, что такие равенства верны при любых допустимых значе-
ниях переменных, в них входящих. Этот вопрос це может быть стро-
го обоснован в средней школе, но, хотя бы на интуитивной основе,
надо добиться отчетливого понимания его учащимися. Например,
содержательное доказательство тождественности выражений (а 4- Ь)2
и а2 + 2аЬ 4- Ь2 должно быть примерно таким: по определе-
нию степени (а 4- Ь)2 = (а 4- Ь) (а 4- Ь) при любом значении ос-
нования а 4- Ьу т. е. при любых значениях а и 6, распределительный
закон умножения относительно сложения выполняется при любых
значениях слагаемых и множителя, т. е. (л4-&)(а4-Ь) = а(л +
4- b) + Ь (а + Ь) при любых значениях а и Ь и т. д. В конечном
счете получаем равенство (а 4- b)2 ~ а2 4- 2аЬ 4- &2, верное при лю-
бых значениях а и Ь.
Важно также добиться, чтобы учащиеся хорошо понимали, что
такие виды тождественных преобразований, как раскрытие скобок,
приведение подобных членов, сокращение дробей, приведение дро-
бей к общему знаменателю и т. д., являются следствиями определе-
ний и свойств соответствующих действий.
Операция (сложение, вычитание и т. д.) над выражениями с
переменными считается выполненной, как только данные выраже-
ния окажутся связанными знаком этой операции. Так, если U =
= а 4- by V = а — by то выражения (а + Ь) (а — Ь)> (а 4- Ь) 4-
90
+ (a — b)9 (a + b)n означают, что умножение, сложение, возведе-
ние в степень выражений U и V уже выполнено.
Аппарат тождественных преобразований, накопленный в пред-
шествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начи-
нается введением тождества, выражающего свойство произведения
степеней с одинаковыми основаниями: ат • ап = л,п+л, где т, п —
целые числа. На основе этого свойства и законов умножения выпол-
няется приведение одночлена к стандартному виду. Далее на основе
уже указанных преобразований, а также переместительного и соче-
тательного законов сложения, распределительного закона умноже-
ния относительно сложения и вычитания выполняется преобразова-
ние любого целого выражения к многочлену стандартного вида;
далее выводятся тождества сокращенного умножения и рассматри-
ваются примеры разложения на множители.
В VII классе рассматриваются преобразования рациональных
выражений в отношения двух многочленов, сокращение алгебраи-
ческих дробей. В связи с введением дробных выражений возникает
необходимость расширения содержания понятия тождества. Дейст-
вительно, даже такое равенство, как нельзя безогово-
рочно назвать тождеством, так как при b = 0 обе части равенства
теряют смысл и говорить о том, что это равенство верно при любых
значениях а и Ь9 нельзя. Поэтому тождество определяется уже
как равенство, верное при любых допустимых значениях пере-
менных.
Весьма насыщена различными видами тождественных преоб-
разований программа VIII класса: здесь выполняются тождествен-
ные преобразования как алгебраических, так и трансцендентных вы-
ражений. Для выражений, содержащих только действия умноже-
ния, деления, возведения в степень и извлечения корня, установлен
стандартный вид kx?y& ... z? (ос, £, ..., у — рациональные числа).
Отношение тождества, определение которого было дано в VII клас-
се, на множестве алгебраических и трансцендентных выражений
может терять свойство транзитивности. Например, | х ] = (Кх)а —
тождество (на множестве допустимых значений х > 0) (]/%)2 = х
тоже тождество (на том же множестве допустимых значений х),
но равенство | х | = х не является тождеством, так как при отри-
цательных значениях (которые являются допустимыми для послед-
него равенства) равенство становится неверным. Таким образом,
формально выполняя тождественные преобразования, мы можем
ошибочно признать тождественными такие выражения, которые на
самом деле тождественными не являются. Такие ошибки будут
исключены, если внимательно руководствоваться следующими поло-
жениями: если А = В — тождество над множеством В = С —
тождество над множеством D2 и если Dx П — D 09 то А =
— С — тождество над множеством D; А = С может оказаться
тождеством над пустым множеством; например, 2 1g х = 1g х2 —
тождество надмножеством Dx = ]0, -{-oof, 1g х2 — 2 1g (—х) — тож-
91
дество над множеством D2 — ]—сю, 0[, Dr f| Da = 0, следователь-
но, выражения 2 1g х и 2 1g (—х) тождественны над пустым множест-
вом. Основными трансцендентными тождествами в VIII классе
являются ахау — ах+у, (ах)у = аху, (ab)x — axbx, 1g (ху) = Igx +
+ 1g У, 1g у = lg х — 1g у, 1g (х«) = п 1g x, ax = 1О'*Л
sin® a -|~ cos® a = 1, tg a = ——» sin (90е — a) — cos a,
sin (180° — a) — sin a, cos (90° — a) = sin a, cos (180° — a) —
== — cos a.
В IX классе аппарат тождественных преобразований расширя-
ется за счет комбинаторных тождеств, формул суммы членов беско-
нечной геометрической прогрессии, суммы квадратов первых нату-
ральных чисел, бинома Ньютона, формул синуса и косинуса суммы
и разности. Развитие тождественных преобразований трансцендент-
ных выражений продолжается и в€Х классе.
§ 3. ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОСТЬ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ ПРЕОДОЛЕНИЯ ФОРМАЛИЗМА В УМЕНИЯХ
И НАВЫКАХ УЧАЩИХСЯ
3.1. Постановка вопроса.
3.2. Целенаправленность тождественных преобразований.
3.1. Учащимся часто дается весьма общая характеристика целе-
вой установки тождественных преобразований — представлять
сложные выражения в более простом виде. Упрощения выражений
обычно мотивируются удобствами вычислений их значений. Но,
если ученик усвоил, что простейшим видом одночленов являются
одночлены стандартного вида, а затем замечает, что значение одно-
члена 5х y3xz при х =* , у = 2, 2 = 35 вычисляется значи-
тельно проще, чем после приведения его к стандартному виду
2 x2#3z, то, естественно, он усомнится в безусловной полезности
указанной мотивировки. Упрощения с сомнительной целенаправ-
ленностью тяготят ученика, он не видит большой пользы в затрате
сил ни на выполнение преобразований, ни на усвоение теоретиче-
ских основ тождественных преобразований. Складывается формаль-
ный подход к делу: заучиваются основные тождества и «набивается
рука» в механическом применении их для тождественных преобра-
зований. Очевидно, мотивировка целей преобразований должна быть
более глубокой и обстоятельной.
3.2. При выполнении тождественных преобразований следует
обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае
целью тождественных преобразований является представление
выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.
Так, для нахождения значений выражения 3,27х — 3,27# целесооб-
разно представить его в виде 3,27 \х — у) — вместо трех действий,
92
^казанных в исходном выражении, придется выполнить два деист-
даня. Однако если система значений переменных, при которой нужно
^айти значение выражения, задана, то не следует спешить с преоб-
разованием выражения: оно может привести к напрасной потере вре-
мени, Так, в данном случае при х = 10, у = 0 значение выражения
Щёгко находится без предварительных тождественных преобразо-
ваний. Иначе обстоит дело с вычислением числовых значений, на-
пример, выражения —-—!—~— • Проведя предваритель-
но тождественные преобразования этого выражения, нетрудно убе-
диться в том, что оно тождественно равно 4. Тем самым излишне
выполнять какие-либо вычисления для отыскания числового значения
'•этого выражения при любых допустимых значениях а и Ь. Надо при-
ручать учащихся руководствоваться требованием: если данное выра-
жение не является удобным для решения поставленной задачи, то нуж-
йно искать такие способы его преобразования, которые обеспечивают
Наиболее рациональное решение задачи. Например, чтобы выяснить,
£*•' _ ।
^является ли последовательность с общим членом ап == —-—
^возрастающей или убывающей, полезно представить общий член ее
• в виде ап = 1 —и мы сразу замечаем: с возрастанием п вычита-
емое уменьшается, значит, разность возрастает. При решении урав-
нения 1g (х2) = 2 нецелесообразно представлять левую часть урав-
нения в виде 2 1g х, так как в экж случае будет потерян один корень
-уравнения, а лучше преобразовать правую часть уравнения к виду
1g 100. Нужно обратить внимание на тот факт, что более рациональ-
ное решение задачи достигается иногда не упрощением вида заданно-
го выражения, а усложнением его. Например, вывод формулы корней
квадратного уравнения ах2 + Ьх 4-с 0 может быть достигнут
II < Ь \2 Ь* — 4ас\
через усложнение его левой части: а и х + 1-----—I =
= 0. Надо разъяснять, что упражнения на доказательство тождеств
и упрощение выражений выполняются с целью более глубокого, ус-
воения свойств действий, основных тождеств и формирования проч-
ных навыков рационального применения их для преобразования
^выражений. Кроме того, упражнения на преобразование выражения
к заданному виду («записать в виде суммы двучленов», «записать
в виде степени», «преобразовать в произведение тригонометрических
•функций» и т. д.) способствуют усвоению терминологии и сим-
волики.
Основное назначение тождественных преобразований рациональ-
ных выражений состоит в приведении их к соответствующему стан-
дартному виду. Такая целенаправленность преобразований вполне
обоснована. Прежде всего следует отметить, что в классе тожде-
ственных выражений стандартное выражение имеет более простой
внешний вид. Правда, как уже отмечалось, стандартный вид выра-
жения не всегда удобен для вычисления его значения. Но «не всегда»
93
еще не означает, что он вообще неудобен для вычисления значений
выражения. Приведенный выше пример вычисления выражения
5х — tfxz говорит в пользу сохранения этого вида при указанной
системе значений переменных: к = , у = 2, z = 35. Вообще же
стандартный вид выражений обеспечивает большую упорядоченность
вычислений, а если при какой-то системе значений переменных
окажется полезным перестроить выражение, то это бывает проще
сделать на основе стандартного, а не другого вида выражения.
При решении рациональных уравнений и неравенств мы всегда
(исключая случаи применения особых приемов) стремимся придать
им вид Р V 0» V где Р и Q — многочлены стандартного вида,
а знак V означает один из знаков <, >, <, >, =. Если над выра-
жениями U и V выполняется какое-то действие, например умноже-
ние, то приведение U и V к стандартному виду часто облегчает пре-
образование к такому же виду полученного выражения UV> Так,
если U = (х + 1) (2х — 3), V = ~ 1 , то после приведения U
и V к стандартному виду многочленов произведение UV будет иметь
вид: (2х2 — х — 3) (х2 4- х + !)• Теперь стандартный вид выраже-
ния UV, т. е. 2х* + х3 — 2х2 — 4х — 3, легко получится посредст-
вом устного выполнения промежуточных преобразований. Как ви-
дим, оснований, для того чтобы считать основной целенаправлен-
ностью тождественных преобразований рациональных выражений
приведение их к стандартному виду, достаточно.
Многообразна целенаправленность тождественных преобразова-
ний, состоящих в разложении выражений на множители. Этот вид
преобразований может быть полезным (а иногда и необходимым): при
решении неравенств; при решении уравнений, например: х3 — х2 —
— 1) (х2 — 2) = 0; при вычислении значений
— 1 — (99 4- 1) (99 — 1); для приведения вы-
выражений вида 992
ражения к виду, удобному для логарифмирования, и т. д.
Для алгебраических выражений, содержащих радикалы, поня-
тие стандартного вида kx?y$ ... z? установлено относительно тех
выражений, которые содержат только знаки операций умножения,
деления,
ражение
возвышения в степень, извлечения корня. Например, вы-
2 а ь~~3
——- а9---------- имеет следующий стандартный вид:
За3Ь~~3с 7(Р. Если выражение, содержащее радикалы, является
рациональным относительно выражений вида kxay$ ... (а, р, ...
у — рациональные числа), то с ним можно поступить так же,
как это делается в преобразовании рациональных выражений к стан-
дартному виду. Например, в выражении Ху а а^~3ах.
94
представляем члены числителя и знаменателя в стандартном виде:
_5_ 7 s
6 6 J_ 6 3flX
-----j—2---i—i---- и выполняем очевидные преобразования:
а3 х3 — а2 х2
1 11 J i i i i i
a6x6 (x3 +2a3 — 3fl6x6) __ fl2x3 (x3 + 2q3 — 3a6 x6)
1 1 1 1 1 i
a 3 x 2 (x 6 — fl6) x6—a6
1 1
Введя обозначения a 6 = my x 6 = z, получаем рациональное выра-
жение относительно т и z:
m3z2 (г2 ~г 2т2 — 3/nz)
z — in
Приведем это выражение к стандартному виду многочлена:
(г - т) (г - 2m) = _ 2т4г2_
z — т
Возвращаясь к прежним обозначениям переменных, получаем
1 1 2 1
выражение а2 х2 —2а3х3, которое в радикалах будет выглядеть
так:
целенаправленность таких видов тождественных преобразований
иррациональных выражений, как освобождение от иррациональ-
ности в знаменателе, извлечение корня из одночлена, вынесение мно-
жителя из-под знака радикала, внесение множителя под радикал,
сокращение показателя корня и подкоренного выражения, освобож-
дение подкоренного выражения от дроби, приведение подобных ра-
дикалов. Если, например, требуется вычислить значение выражения
1 1
-------= — с определенной степенью точности, то снача-
)/ 3 — у 2 2 — р 3
ла целесообразно освободить дроби от иррациональности в знаме-
нателях: (|/3 4- ]/2) — (2 -|-]/з); после очевидных преобразо-
ваний получаем ]/2 — 2. В процессе преобразований мы не только
освободились от необходимости выполнять ряд трудных операций,
но и вообще уменьшили их число с 8 до 2. Для трансцендентных
выражений понятие стандартного вида не установлено. Однако
понятие стандартного вида рационального выражения и здесь может
быть использовано плодотворно. Например, если в выражении
-------——————------------обозначим sin х и 1g у соответственно че-
рез а и Ь, то получим рациональное выражение относительно а и Ь:
а2 — b + ab — а х
--------------, которое легко преобразуется в многочлен стан-
дартного вида: а — 1. Значит, исходное выражение можно заменить
выражением sin х — 1.
-- 3Z------
ах — 2 у а2х. На конкретных примерах учащиеся выясняют
95
$ 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ
4.1. Значение приближенных вычислений в школьном курсе
математики.
4.2. Элементы приближенных вычислений в IV—VI классах.
4.3. Систематическое изучение теории приближенных вычис-
лений.
4.1. Чем обусловлена необходимость изучения приближенных
вычислений в школьном курсе математики? Многочисленные при-
ложения математических методов в различных областях знаний
и жизненной практики часто осуществляются в форме решения задач
на вычисление. Если среди данных в задаче имеются значения не-
прерывных величин (расстояния, скорости, времени, стоимости,
веса, давления, площади, объема, температуры, силы тока и т. д.),
то они обязательно являются приближенными числами, так как
точные измерения таких величин принципиально невозможны.
Объясняется это тем, что при изготовлении самих измерительных
приборов не может быть достигнута их идеальная точность (на при-
борах указывается их погрешность), да и,сам человек, пользующий-
ся измерительным прибором, допускает погрешности.
Редко бывают точными и те данные, которые представляют ре-
зультат счета элементов некоторых множеств (например, множества
жителей населенного пункта, множества деревьев на делянке,
множества лейкоцитов или эритроцитов в капле исследуемой кро-
ви и т. д.). Точный результат счета получается лишь при проведении
его в благоприятных условиях; например, если сосчитываемых пред-
метов немного, они хорошо различимы и неподвижны. При наруше-
нии этих условий (что обычно и происходит в действительности)
результат счета оказывается приближенным числом.
В ряде случаев значения данных определяются по справочникам
и таблицам, которые гарантируют лишь некоторую точность. Важ-
ным источником приближенных чисел является округление чисел,
в частности оно неизбежно при практическом использовании ирра-
циональных чисел. Таким образом, в прикладной вычислительной
практике приближенные вычисления по необходимости применяют-
ся чаще, чем точные.
Следует еще заметить, что во многих случаях даже точные ре-
зультаты вычислений не могут быть практически использованы без
погрешностей. Например, задача: «Трое рабочих, работая на равных
условиях, заработали 400 руб. Сколько заработал каждый рабо-
чий?» — решается точно: 133 руб. Но ни один из рабочих не
может получить точно столько, сколько он заработал.
Результат операции над приближенными числами никогда не мо-
жет быть точным числом. Практическое же использование получен-
ного числа без оценки его погрешности может „оказаться опасным.
Например, изготовление хотя бы одной детали самолета по расчет-
96
ным данным, точность которых неизвестна, может обернуться ка-
тастрофой. Но дело здесь не только в подобного рода экстремальных
ситуациях. Недооценка методов приближенных вычислений в школе
идет вразрез с принципом осуществления связи преподавания мате-
матики с жизнью и способствует формированию неправильного ми-
ровоззрения учащихся. Например, среди учащихся весьма распрост-
ранено мнение (даже убеждение), что точное измерение величин воз-
можно, стоит лишь заменить измерительный инструмент более точным.
Более того, если ученикам сказано, что в некотором городе прожи-
вает 56 173 человека, то они с наивной верой воспринимают это число
как точное. В случае бесконечности процесса деления одного чис-
ла на другое учащихся охватывает смятение: на каком разряде част-
ного остановиться? Кажется, что, чем больше цифр в частном, тем
надежнее результат действия. Это значит, что учащиеся просто не
понимают бессмысленности отыскания или сохранения тех цифр
результата действия, которые по правилам приближенных вычисле-
ний оказываются ненужными.
4.2, Учащиеся средней школы должны овладеть следующим
объемом сведений о приближенных вычислениях:
Точные и приближенные числа. Источники точных и приближен-
ных чисел. Приближенные значения числа с недостатком и с избыт-
ком. Нижняя и верхняя границы точного числа. Округление чисел.
Правила округления. Погрешность приближенного числа. Абсо-
лютная и относительная погрешности. Границы абсолютной и от-
носительной погрешностей. Верные цифры числа. Десятичные знаки
# значащие цифры. Приближенные вычисления по способам границ,
границ погрешностей и правилам подсчета цифр.
Остановимся на некоторых вопросах методики изучения основ-
ных понятий приближенных вычислений в IV—VI классах.
Термины «точное число» и «приближенное число» могут быть,
естественно, введены в начале курса математики IV класса при по-
.вторении и расширении сведений о счете и нумерации. Заметим, что
^рассуждения учителя о сомнительной точности данных о числен-
ности некоторых множеств (число жителей страны и т. п.) не произ-
водят на учащихся должного впечатления. Более эффективен
Другой подход к вопросу. Например, вывешивается рисунок, на ко-
тором беспорядочно расположены кружки красного и зеленого цвета,
предлагается узнать число кружков каждого цвета. Как пра-
.жло, дети ошибаются в счете. Проверяя результаты, учитель от-
Йечает, какие числа оказываются точными, какие — неточными,
^иближенными. Теперь уже будет полезным обсудить с учащимися,
^ркно ли и, главное, имеет ли смысл безошибочно сосчитать число
^^Монстрантов в колонне, количество вагонов движущегося с боль-
.igbfi скоростью поезда, число жителей своего населенного пункта,
в пролетающей стае и т. д.
связи с изучением вопроса «Изображение чисел точками на
40* и с ознакомлением учащихся со шкалами и измерением рас-
стйний опять-таки естественным образом может быть введен в
4 97
употребление термин «приближенное значение числа с недостатком
(с избытком)» и организованы практические работы по измерению
расстояний так, чтобы учащиеся поняли, что в результате измере-
ния всегда получаются приближенные числа. Надо обратить вни-
мание на то, что сама точность измерительных приборов условная:
металлическая измерительная линейка в зависимости от темпера-
туры может укорачиваться или удлиняться; мерная лента при изме-
рении может натягиваться с разной силой и т. д.
В теме «Десятичные дроби» при изучении вопросов «Измерение ве-
личин», «Округление чисел» можно говорить уже о погрешности при-
ближенного числа, о границах для точного числа. Надо объяснить,
что если измерением установлено: 10 < х < 11, то в качестве при-
ближенного значения х могут быть взяты не только числа 10 и 11,
но и любое число между ними, например 10,2. На числовой оси точ-
ка х расположена где-то между точками 10 и 11, и расстояние между
точками хи 10,2 очевидно, меньше расстояния между точками 10 и
И, равного 11 — 10 = 1. В этом случае говорят, что число 10,2 (как
и всякое другое число от 10 до 11) есть приближенное значение
числа х.
После изучения в IV классе разрядов десятичной дроби полез-
но систематически выполнять такие упражнения: 1) назвать и за-
писать половину единицы заданного разряда; 2) привести при-
меры чисел, меньших половины единицы заданного разряда;
3) сравнить заданное число с половиной единицы заданного разря-
да. Без такого рода подготовительных упражнений учащиеся
в VIII классе испытывают затруднения в усвоении понятия вер-
ной цифры, играющего важную роль в теории приближенных
вычислений.
В V классе при округлении чисел на основе понятия модуля
числа можно выявлять, какое из приближенных значений — с недо-
статком или с избытком — ближе к определяемому числу. Понятие
степени с натуральным показателем используется для записи ре-
зультата округления числа до разряда десятков, сотен (24 583 «
« 2458 10 « 246 • 102) и т. д., а в дальнейшем и для записи числа
в стандартном виде а • 10г, где 1 < а < 9, z az Z.
Рассмотренные понятия, относящиеся к теории приближенных
вычислений, должны планомерно применяться и на шестом году
обучения.
4.3. Систематическое изучение элементов теории приближенных
вычислений начинается в VII классе. Здесь уточняются уже знако-
мые понятия и вводятся новые: разность между числом х и его при-
ближенным значением а называется погрешностью приближенного
значения числа; модуль разности между числом х и его приближен-
ным значением а называется абсолютной погрешностью прибли-
женного значения числа и обозначается Да; число а называется
приближенным значением числа х с точностью до ha, если абсолют-
ная погрешность приближенного значения а не превышает hai т. е.
|х — а\ < ha. Вводится условная запись: х = а (± Ад). Примене-
98
ние знака равенства вместо знака « здесь не может вызывать недо-
умений, так как по самой форме записи видно, что речь идет о равен-
стве числа х числу а с точностью до ha.
Принципиально новыми для учащихся являются методы при-
ближенных вычислений. До сих пор констатировалось существование
приближенных чисел и регламентировались способы их записи.
Постановка вопроса о технике операций есть качественно новый
этап в развитии вычислительной культуры учащихся, и учителю
стоит специально подчеркнуть это.
Наиболее естественным способом приближенных вычислений
является способ границ, применение которого полезно не только с
позиций теории и практики приближенных вычислений, но еще и
потому, что позволяет по-новому взглянуть на теорию неравенств и
закрепить ее на доступной учащимся прикладной основе. На осно-
ве неравенств, вытекающих из двух верных числовых неравенств,
а именно: (а >> Ь, с> d) (а 4- О b 4-d); (а > b, с < d) =>
=>(а — с>Ь—d); (а>0, b>Q,c>G,d>Q\a>b, Od)^>(ac>bd)\
(а>0, 6>0, е>0, d>0; а>&, c<d) — получают обосно-
вание правила оценки точности результатов арифметических
действий над приближенными числами по способу границ. При
организации рациональных вычислений по способу границ полезно
ввести символические обозначения верхней и нижней границ чис-
ла х : ВГХ, НГХ. Тогда правило нахождения границ результатов
действий можно наглядно выразить записью: НГх-н, = НГЖ +
+ НГ,; НГХ^ = НГХ — ВГ • ВГ^ = ВГХ — НГР; ВГх+, =
= ВГЛ 4- Biy, если НГХ >0 и НГ^ > 0, то НГХА, = НГЛ х
X НГ„; ВГХ[, = ВГХ • ВГр; НП = В1\ = Если
у V у V
а < х < то, выбрав произвольное число с из промежутка [а, Ь],
мы можем ручаться за то, что с представляет приближенное значе-
ние числа х с точностью до hc = b — а. Среднее же арифметическое
границ s — —' представляет приближенное значение с точностью
Aofts = Ь а* Так как hs<hc, то отсюда учащиеся часто прихо-
дят к ложному заключению, что число s более точно, чем любое
число с из 1а, Ь], и что именно поэтому в качестве приближенного
значения х нужно брать среднее арифметическое его границ. С по-
мощью числовой прямой надо показать, что в промежутке 1а, Ь] су-
ществуют точки, которые отстоят от предполагаемого положения
точки х на меньшем расстоянии, чем точка s, и точки, отстоящие на
большем расстоянии. Так же с помощью числовой прямой надо
показать, что если есть необходимость округлять границы а и Ь,
то нижняя граница округляется с недостатком, верхняя — с избыт-
ком. Иначе говоря, границы а и b нужно округлять так, чтобы про-
межуток [а, 6] не сужался, в противном случае точка, соответствую-
щая числу х, может оказаться за пределами вновь полученного про-
4*
99
межутка [an fej (либо слева от а19 либо справа от bj. С необходи-
мостью округления границ приходится часто сталкиваться при вы-
числении границ частного. Так, если 14,5 < х < 15,5, 11 < у <
< 13, то НГ, = = 1,11538..., ВГХ = -5^5-= 1,40909... —
и И
границы частного выражаются бесконечными десятичными дробя-
ми, и, следовательно, их нужно округлять. Естественно, возникает
вопрос: сколько цифр следует сохранить в записи НГХ и ВГХ? Что-
р 7
бы ответить на этот вопрос, заметим, что в записи границ расхож-
дение цифр начинается в разряде десятых: НГХ « 1,1...» ВГХ «
7 у
«г 1,4... . Это значит, что, сколько бы последующих цифр в записи
границ ни было сохранено, разность между верхней и нижней гра-
ницами может отличаться от разности 1,4—1, к лишь некоторым
числом единиц разряда сотых долей и она определенно будет меньше
разности между верхней и нижней границами, если границы будут
округлены до разряда десятых: нижняя — с недостатком, верхняя —
с избытком: 1,5—1,1 = 0,4. Однако здесь округление верхней гра-
ницы было довольно грубым, поэтому целесообразно границы взять
еще с одной «запасной» цифрой: НГХ ~ 1,11, ВГХ « 1,41. Таким
17 "у
образом, всякое число из промежутка [1,11; 1,41] может представ-
лять приближенное значение числа с точностью до 1,41—1,11 =
= 0,30. Из сказанного следует, что нижнюю и верхнюю границы
целесообразно округлять до того разряда, с которого начинается
расхождение цифр записи границ. Для уменьшения погрешности
полезным бывает сохранение одной запасной цифры.
Аналогично решается вопрос об округлении границ результатов
других действий. Однако следует заметить, что если выполненное
действие является промежуточным, то границы его результата
округляются всегда с сохранением запасной цифры во избежание
накапливания чрезмерной погрешности окончательного результата.
Пусть, например, требуется вычислить — + Ьс, если 3,25 < я <
< 3,26, 6,13 < b < 6,14 и 2,51 < с <2,52.
Решение. НГа з=^Ц-=1,25; ВГД == 1,2948.... Рас-
с с
хождение границ начинается с цифры разряда сотых. Так как дан-
ное действие промежуточное, то принимаем: НГД = 1,250; ВГа =
С с
= 1,295, т. е. 1,250 < < 1,295. НГ^ = 6,13 . 2,51 = 15,3863;
ВГ6с = 6,14 • 2,52 = 15,4728. Принимаем: НГ„С = 15,38; ВГ4, =
= 15,48, т. е. 15,38 Ьс С 15,48. Обозначая -р Ьс через х,
находим: НГХ = 1,250 -f-15,38 = 16,63; ВГХ = 1,295 -р 15,48 =
100
= 16,775, т. е. 16,63 < х < 16,78 (с запасной цифрой). Так как
получен окончательный результат, то запасные цифры границ мо-
гут быть округлены: 16,6 < х < 16,8»
Сравним точность среднего арифметического Sj границ х с запас-
ной цифрой с точностью среднего арифметического *>а границ х без
запасной цифры.
S1 = >6.63 + 16,78 = 16 705; = >6.78 -.16,63 = 0,075,
Sj= 16,705 (±0,075); = 16>6 + |6‘8 = 16,7, ^ = >6.8-16,6
= 0,1, х= 16,7 (±0,1).
Как видим, и среднее арифметическое, и их точности имеют неболь-
шие расхождения. В более детальные подробности по вопросу об
оценке точности вычислений по способу границ в VII классе вхо-
дить не следует.
Будучи простым по идее, способ границ мало удобен в приложе-
ниях — он требует дублирующих вычислений и в дальнейшем часто
будет уступать место другим способам. Однако он надежен в от-
ветственных вычислениях, дает хорошую теоретическую ориенти-
ровку в вычислительной работе и, несомненно, поможет учащим-
ся глубже понять другие способы вычислений.
Практическое применение способа границ не должно сводиться
только к решению задач с готовыми данными. Необходимы задачи,
требующие от учащихся самостоятельного определения исходных
данных посредством измерений величин и приближенного счета
предметов с установлением границ значений величин и численностей
множеств. Это делает желательным ознакомление учащихся с идеей
статистического подхода к измерению величин (определению чис-
ленности множества). В наиболее простом виде сущность ее состоит
в следующем:
1) выполняются 3—4 (а при более ответственных вычислениях
5—6) измерения данной величины; предположим, что получились
следующие результаты трехкратного измерения некоторой величи-
ны: 50,42; 50,30; 49,80;
2) находится среднее полученных результатов:-!!«
«50,173;
3) находятся модули уклонений отдельных результатов от сред-
него: 150,173 — 50,421 = 0,247; |50,173 — 50,301 = 0,127; 150,173 —
— 49,80 [ = 0,373;
4) находится среднее уклонений: 0,247 ° ^27 + 0>3— =^0,249;
5) вычитая из среднего результатов среднее уклонение, полу-
чим: НГЖ = 50,173 — 0,249 = 49,924; прибавляя к среднему ре-
зультатов среднее уклонение, получим: ВГЛ — 50,173 +0,249 =
101
= 50,422. Таким образом, 49,924 < х< 50,422. Так как 50,422 —
_ 49,924 - 0,498, то 49,9 < к < 50,5.
В VIII классе учащиеся знакомятся еще с двумя способами оцен-
ки точности приближенных чисел и результатов действий над числами:
способом границ погрешностей и способом подсчета цифр.
Учащиеся уже знают, что если |х — а| hat то число а называ-
ют приближенным значением х с точностью до ha. Число ha получа-
ет название границы абсолютной погрешности приближенного зна-
чения а.
Сразу следует установить связь между НГЛ, ВГХ, а и ha: а —
— ha < х < а + ha. т. е. HI\ = а — ha\ ВГХ = а + ha. Обратно,
зная НГХ и ВГХ, мы можем указать hQ для произвольного значе-
ния а из промежутка [НГ\, BFJ: ha = ВГХ — НГХ, если а =
нг*ч-ВГх . ВГХ —нгЛ
= —, то ha = —. Если к этим соотношениям
добавить соотношение =
определяющее понятие границы
относительной погрешности приближенного значения а, то на ос-
нове всех этих соотношений легко можно переходить от вычислений
по способу границ к вычислениям по способу границ погрешностей
и обратно. Особенно часто приходится вычислять ha по значениям
й и еа и 8Й по значениям а и ha. Поэтому важно, чтобы отмеченные
соотношения были учащимися хорошо усвоены.
Кроме указанных понятий, учащиеся должны овладеть поняти-
ями верной цифры, значащей цифры, десятичного знака. В лите-
ратуре по приближенным вычислениям встречаются определения
понятия верной цифры в широком и узком смысле: цифра данного
разряда числа называется верной в узком (широком) смысле, если
абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы
(единицы) данного разряда.
В школе нет необходимости усложнять теорию приближенных
вычислений рассмотрением понятия верной цифры в двух смыслах.
Поэтому в учебном пособии [3.6] приведено одно определение: «Циф-
ра а называется верной, если модуль погрешности данного прибли-
жения не превосходит единицы того разряда, в котором записана
цифра а». Такое определение налагает менее жесткое требование,
чем требование к записи значений функций в таблицах (там погреш-
ность не должна превышать половины единицы сохраняемого разря-
да), но не противоречит ему.
Вводимое далее требование записывать приближенное число так,
чтобы все его цифры были верными, относится только к записи
чисел, граница погрешности которых не указана. Объясняется это
тем, что в большинстве случаев граница погрешности определяется
физическими условиями. Например, если градуировка прибора та-
кова, что при измерении удается прочитать три цифры, причем по-
следняя может оказаться неточной в пределах двух единиц соот-
ветствующего разряда, то запись результата примет вид, скажем,
такой: х — 2,34 (± 0,02). Если теперь слепо следовать определению
102
верной цифры (во всех записях), то придется дать ответ в виде X —
= 2 (±0,36) — получилось снижение точности на два порядка,
сводящее к нулю преимущества работы с хорошим измерительным
прибором.
После введения понятия верной цифры надо определить поня-
тие значащей цифры числа: значащими цифрами числа называ-
ются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих слева перед пер-
вой цифрой, отличной от нуля.
При изучении вопроса об оценке погрешности результатов дей-
ствий над приближенными числами по способу границ погрешнос-
тей обычно поступают так: для действий первой ступени устанавли-
вается правило нахождения границы абсолютной погрешности,
а для других действий — границы относительной погрешности.
Таким образом, если нам нужно вычислить, например, произведе-
ние приближенных чисел а и &, для которых указаны ha и hb, то
для нахождения ъаЬ — еа ± предварительно нужно вычислить
и ей, пользуясь соотношениями: еа = у--, &ь = . Так как
связь между числом значащих цифр числа и относительной погреш-
ностью этого числа в школе не изучается, то для определения
числа верных цифр а • b вычисляют hab == | ob | Ясно, что
в таких случаях более выгодно пользоваться формулой hab = ahb ±
± Ыга. То же можно сказать и относительно действия деления:
если заданы ha и hb и нужно определить число верных цифр част-
ного то следует пользоваться сразу формулой ha = ——.
Вычисления со строгим учетом погрешностей (по способам гра-
ниц и границ погрешностей) довольно громоздки и в школьных
условиях затруднительны вследствие ограниченности бюджета вре-
мени.
Однако там, где требуется подчеркнуть особую ответственность
вычислений, они должны применяться. В жизненной практике по-
стоянно приходится сталкиваться с задачами, которые не требуют
строго определенных границ погрешностей искомых значений вели-
чин. Если, например, для покрытия краской 1 кв. м. поверхности
рекомендуется взять 100 г краски, то, определяя вес краски для
покрытия 15 кв. м поверхности, мы даже не отдаем отчета о точнос-
ти чисел 100 и 1500. Вместе с тем желание добиться хорошего ка-
чества покраски с минимальной затратой средств невольно застав-
ляет нас при взвешивании краски не отступать далеко от 1500 г,
надеясь, что исходное число 100 определено практически целесооб-
разно. Очевидно, при подобного рода вычислениях нет необходи-
мости применять методы строгого учета погрешностей, их сменяют
практические приемы приближенных вычислений, из которых наи-
более простыми и распространенными являются так называемые
«правила подсчета верных цифр».
Однако при применении этих правил следует иметь в виду, что
их строгое обоснование возможно только на теоретико-вероятност-
103
ной основе. Попытки же объяснить правила подсчета верных цифр,
опираясь на строгий учет погрешностей (т. е. на теорию неравенств),
неизбежно приводит к противоречиям и к дискредитации самих
правил в глазах учащихся. Именно в этом смысле надо понимать
указание п. 10 пособия 13.6] о том, что при вычислениях по методу
границ или по методу границ погрешностей «оценивают максималь-
но возможные погрешности результатов действий. На самом же
деле действительные погрешности оказываются значительно мень-
шими».
Именно поэтому в цитируемом пособии нет доказательств правил
подсчета верных цифр, а приведены лишь простейшие пояснения
к ним, которыми, вообще говоря, можно ограничиться. Тем не ме-
нее полезно на практических примерах пояснить идею вероятност-
ного подхода к таким вычислениям. Пусть, напрямер, группе ту-
ристов предстоит совершить три перехода длиной 27, 23 и 24 км.
Необходимо вычислить общую длину маршрута. Если погрешность
каждого числа не превышает единицы разряда последней записан-
ной цифры, то, очевидно, погрешность суммы не превышает 3 км
и ответ придется округлить до десятков километров. Но погреш-
ность, достигающая 3 км, может получиться в том исключительном
случае, когда погрешности каждого числа имеют одинаковый знак
и направлены в одну сторону. Такое случается очень редко, гораз-
до чаще отдельные погрешности в сумме «погашают» друг друга,
и в данной задаче стоит сохранить в ответе две цифры, т. е. считать,
что весь маршрут составляет 74 км. Вероятнее всего ошибка и
сейчас не будет превышать единицы разряда последней значащей
цифры.
При ознакомлении учащихся с правилами подсчета цифр, при-
меняемыми при выполнении умножения, деления, возведения
в степень и извлечения корня, можно ограничиться указанием на
то, что здесь ведется подсчет значащих цифр, а не десятичных
знаков. При тригонометрических и логарифмических вычис-
лениях учащимся сообщаются следующие способы подсчета цифр:
если значение тригонометрической функции известно с двумя, тре-
мя, четырьмя значащими цифрами, то угол следует округлять со-
ответственно до градусов, десятков минут, минут. Это правило обра-
тимо. Следует учитывать и то, что для определения малых углов —•
от 0° до 5° 42' — по значениям их синусов и тангенсов с точностью
до Г достаточно знать три значащие цифры значений этих функций,
а для углов, близких к 90°, по четырем значащим цифрам значе-
ний их синусов значения углов берутся с точностью до десятков
минут.
При логарифмических вычислениях с данными, имеющими k
значащих цифр, можно пользоваться А-значными таблицами.
Впрочем, и здесь надо иметь в виду, что строгое обоснование
сформулированных выше правил вычислений со значениями тран-
сцендентных функций требует применения вероятностного подхо-
да. Но, кроме того, характер изменения этих функций таков, что
104
для некоторых участков области их изменения вообще нельзя ука-
зать правил, удобных для использования на практике (например,
для тангенсов углов, близких к 90е).
Полезно знать, что в руках учителя и учеников есть прибор,
позволяющий для подавляющего большинства вычислений с прак-
тически достаточной точностью «автоматически» устанавливать чис-
ло значащих цифр,— мы имеем в виду логарифмическую линейку.
Устройство ее шкал таково, что если удается устанавливать на них
исходные данные с имеющейся (полученной в результате измере-
ний) точностью, то результат вычислений получается с соответст-
вующим числом верных знаков. Если же исходные данные столь
точны, что на линейке их установить невозможно, то, как правило,
сами вычисления носят ответственный характер и, следовательно,
должны быть выполнены со строгим учетом погрешностей.
Одна из задач повышения вычислительной культуры учащихся
как раз и заключается в том, чтобы научить их выяснять, какой
из способов приближенных вычислений — со строгим учетом по-
грешностей или без строгого их учета — надо применять в каждом
конкретном случае, добиваясь умения учащихся решать этот вопрос
самостоятельно.
§ $, ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
ТЕХНИКА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
5.1. Организация вычислений по готовой формуле.
5.2. Вычислительная техники.
5.1. Об организации устных, письменных вычислений и вычис-
лений с помощью вспомогательных вычислительных средств (кроме
ЭВМ) говорилось в третьем параграфе данной главы. Здесь нам
следует подробно рассмотреть вопрос об организации вычислений
по готовым формулам, когда требуется вычислить ряд значений
некоторого выражения по заданным системам значений букв, вхо-
дящих в это выражение, или когда выражение содержит большое
количество операций. В этих случаях упорядоченность и автомати-
зация вычислений достигается составлением вычислительных схем,
определяющих алгоритм вычислений.
Время и место изучения соответствующих вопросов в школе
будут, по-видимому, еще уточняться в процессе совершенствования
программ и учебников. Но уже сейчас очевидно, что начинать сле-
дует с ознакомления учащихся со способами расписки формул
для ручных вычислений. Первые шаги в этом направлении могут
быть сделаны еще в IV—VII классах (имеется в виду хотя бы от-
четливое указание на порядок выполнения операций в вычислениях,
поощрение рациональных приемов их записи и т. п.), в курсе ал-
гебры VIII класса соответствующие упражнения носят уже система-
тический характер. Эта работа имеет много общего с программи-
105
рованием для ЭВМ и подготавливает учащихся к изучению следую-
щего вопроса программы: «Понятие о программировании для ма-
шинных вычислений».
Расписка формулы для ручных вычислений заключается в со-
ставлении расчетной схемы, в которой указываются как исходные
данные, так и последовательность выполнения всех действий,
ведущих к числовому значению соответствующего выражения.
Таким образом, расчетная схема представляет программу действий
для вычислителя, который, руководствуясь этой схемой, выступает
в роли «автоматического исполнителя» этой программы. Понятно,
что важной заботой программиста, т. е. составителя расчетной схе-
мы, является отражение в схеме минимального числа действий,
с помощью которых достигается искомый результат.
Учащиеся должны понимать, что составление расчетной схемы
целесообразно не только и даже не столько при выполнении длин-
ной цепи вычислений, сколько при массовом решении задач по
одному и тому же (пусть даже и очень простому) алгоритму (фор-
муле). Пусть, например, для цеха электротехнического завода
запланирована сборка комплектов медного провода в соответствии
с диаметром и длиной провода. В связи с транспортировкой или
еще какими-то обстоятельствами необходимо знать вес мотка про-
вода из каждого комплекта. Возникает общая задача: «Найти
вес Р (в килограммах) медного провода диаметром D мм и длиной
I м при плотности меди d», приводящая к формуле Р — 0,25зт£>2И.
Если предстоит найти по этой формуле вес двух-трех мотков
провода, то естественнее всего два-три раза воспользоваться лога-
рифмической линейкой. Но в реальном цехе выпускаются сотни
и более мотков, и, наверное, целесообразно формализовать расче-
ты, довести их до автоматизма, сделать так, чтобы вычислитель
только считал, вовсе не задумываясь над порядком, содержанием
и даже смыслом выполняемых действий. Для этого удобно соста-
вить расчетную схему такого, например, вида:
Таблица 1
1 2 3 Номера мотков
1 2 • • ч п
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (Ю) 0,25 л = 3,14 d D 1 (1)Х(2) (6) X (3) (4)Х(4) (7)Х(8) (9)Х(5) 0,25л 0,25jui D2 0,25ftdD2 Р = 0,25шЮ2/ 0,25 3,14 8,8 0,040 2350 0,785 6,91 0,0016 0,0111 26 0,25 3,14 8,8 0,030 5000 0,785 6,91 0,0009 0,00621 31 0,25 3,14 8,8 0,020 8300 0,785 6,91 0,0004 0,00276 21
106
В первом столбце таблицы занумерованы исходные данные и вы-
полняемые над ними действия. Сама программа вычислений указана
во втором столбце и начинается с шестой строки. В этой и осталь-
ных строках столбца записаны «команды», указывающие, какие
действия нужно выполнять над числами и из каких строк нужно
брать компоненты этих действий. В столбцах 1, 2, ..., п записаны
конкретные данные и результаты расчетов. На первых порах
составления расчетных схем после столбцов 1 и 2 полезно по-
мещать столбец 3, от которого впоследствии можно будет отка-
заться.
В классе нет необходимости стремиться к фактическому выпол-
нению действительно массовых расчетов — достаточно заполнить
в схеме два-три столбца, обратив внимание на повышение произ-
водительности труда, даваемое схемой. Существенно, что схема
позволяет выполнить вычисления (6) и (7) один раз для всех столб-
цов, а вычисления (8) могут упроститься, если значительная часть
мотков будет иметь провод одинакового диаметра (что на практике
обычно и выполняется) и если еще воспользоваться таблицами квад-
ратов чисел.
i Возможны и другие виды записи последовательности исходных
данных и операций, например такая, при которой компоненты соот-
ветствующего действия располагаются ближе к той строке, в кото-
рой записывается результат действия. Так, в данном случае расчет-
ная схема будет иметь вид:'
Таблица 2
1 2 3
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 0.25 л» 3,14 (1)Х(2) D (4)Х(4) (3)Х(5) 1 (6)Х(7) d (8)Х(9) 0,25л D2 0,25лОТ о,25л над
Для записи промежуточных вычислений может быть использо-
вана та же страница, на которой располагается расчетная схема,
если только есть уверенность, что не придется в процессе вычисле-
ний переворачивать эту страницу. Более надежным будет выполне-
ние записи расчетов на отдельном листке. Выполняемые действия
нумеруются так, как они занумерованы в первом столбце расчетной
схемы.
107
Например, для первого варианта схемы запись первого действия
будет выглядеть так:
(6). х 3,14
х 0,25
1570
628
0,7850 «0,785 (с сохранением запасной цифры).
Полученный результат записывается в таблицу и выполняется
следующее действие и т. д. Если действие выполняется в уме или
с помощью вспомогательных вычислительных средств — таблиц,
счетов, логарифмической линейки и т. д. (конечно, кроме ЭВМ),
то и в этом случае полученный результат целесообразно записать
и в схеме, и на расчетном листе, так как при проверке вычислений
запись ошибочного результата в таблице стирается, а на расчетном
листе исправляется так, чтобы первоначальная запись оставалась
заметной. Дело в том, что при самой проверке может быть допуще-
на ошибка и будет «исправлен» верный результат.
Перед распиской формулы всегда нужно выяснять, нельзя ли
соответствующее выражение преобразовать так, чтобы вычисления
были наиболее экономичными. Так, если нужно вычислить значение
многочлена у — ах? -р Ьх2 -(- ex -f- d, то преобразование его к виду
у = х (х (ах + Ь) + с) + d уменьшает число действий с 8 до 6.
Естественно, что при решении этого вопроса должны учитываться и
имеющиеся под руками вспомогательные средства вычислений,
обеспечивающие необходимую точность результата.
Выполнение программы вычислений, которая содержится в таб*
лице 1, можно возложить на электронную вычислительную машину
(ЭВМ), если предварительно перевести эту программу на «машин-
ный язык».
5.2. Современная вычислительная техника охватывает большое
многообразие счетных устройств, которые могут быть разделены
на два вида: непрерывного и дискретного действия. На устройствах
непрерывного действия выполняются операции над непрерывными
величинами — напряжением электрического тока, отрезками, угла-
ми и т. д. Так, если составить электрическую цепь, состоящую из
батареи, омического сопротивления, амперметра и вольтметра, то
мы получим счетное устройство непрерывного действия, позволяю-
щее находить произведение IR силы тока / на сопротивление R по
показанию вольтметра или частное от деления напряжения Е
на сопротивление R по показаниям амперметра. При изменении
хотя бы одной из величин приборы будут непрерывно фиксировать
изменение результатов действий.
Другим примером вычислительного устройства непрерывного
действия может служить счетная логарифмическая линейка
108
(прямолинейная или круговая), широко используемая в средней
школе.
Основным недостатком вычислительных устройств непрерывного
действия является сравнительно малая точность результатов. Вы-
числительные устройства дискретного действия характеризуются
тем. что посредством их можно выполнять отдельные арифметичес-
киег действия над числами, представленными в цифровой форме,
вследствие чего такие устройства называют цифровыми. Наиболее
распространенными цифровыми вычислительными машинами явля-
ются арифмометры.
На таких машинах выполняются действия сложения, вычита-
ния, умножения и деления. На полуавтоматических машинах одно
из двух действий, например деление, выполняется автоматически:
после набора делимого и делителя и нажатия на пусковую клавишу
деления машина выполняет это действие без вмешательства опера-
тора. На автоматических машинах подобным образом выполняется
как умножение, так и деление. Все эти машины относят к разряду
малых вычислительных машин, особенностью работы на которых
является ручной ввод в машину компонентов действий (с помощью
рычагов или клавиш). Малые машины состоят из трех частей: уста-
новочного, переносного и счетного механизмов. Эти механизмы
могут действовать на различных принципах: с помощью колес
Однера или ступенчатых зубчатых валиков и др.
Другой разряд составляют так называемые счетно-аналитичес-
кие машины с автоматическим вводом данных (с помощью перфолент
или перфокарт) и автоматическим управлением вычислительным
процессом. Понятно, что если переносный и счетный механизмы таких
машин устроены так же, как и в малых вычислительных машинах,
то они не могут отличаться большими быстродействием и надеж-
ностью. С помощью таких машин может решаться ограниченный
круг несложных задач. Наиболее совершенными вычислитель-
ными машинами являются электронные (ЭВМ), работающие
на электронных схемах с большой точностью и громадными ско-
ростями.
Тип ЭВМ определяется видом ее запоминающего устройства,
которым может служить магнитный барабан (лента), акустические
трубки, электроннолучевая трубка и др. Электроннолучевые труб-
ки позволяют достигать особенно большого быстродействия ЭВМ.
Основным узлом арифметического устройства ЭВМ является много-
разрядный двоичный сумматор. Некоторые дополнительные устрой-
ства позволяют, использовать сумматор для выполнения действий
вычитания, умножения и деления. Естественно, возникает вопрос:
как ЭВМ может справиться с решением сложных задач, если она
может выполнять только четыре арифметических действия и ряд
логических операций? Дело в том, что решение многих сложнейших
задач с помощью математических методов можно свести к выполне-
нию в определенной последовательности только указанных ариф-
метических действий. Если задача не может быть сведена к конечно-
109
му числу этих действий, то ограничиваются отбором конечного числа
действий, но так, чтобы приближенное решение задачи обеспечи-
вало необходимую точность результата.
Во многих случаях число действий, ведущих к решению задачи,
бывает настолько большим (даже порядка нескольких миллионов),
что без применения ЭВМ пришлось бы затратить на их выполнение
огромное количество времени целой армии вычислителей или даже
отказаться от решения задачи.
Принцип программного управления позволяет применять ЭВМ
не только для выполнения вычислений, но и для управления
различными процессами: работой автоматических линий промышлен-
ных предприятий, полетом самолетов, ракет, искусственных спутни-
ков Земли и т. д. ЭВМ способны решать и логические задачи — пе-
реводить текст с одного языка на другой, вести игру в шахматы и т. п.
Для ознакомления учащихся с вычислительной техникой могут
быть использованы экскурсии в вычислительные центры, на пред-
приятия, в учреждения, располагающие соответствующими вы-
числительными устройствами, а также фильмы, диапозитивы,
рассказы об устройстве и действии вычислительных машин.
Глава XIV
УЧЕНИЕ О ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
§ 1. ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕГО ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
1,1. Эволюция понятия функции в математике и в обучении мате-
матике.
1.2. Методика введения прямого произведения множеств.
1.3. Методика введения понятия соответствия.
1.4. Методика введения понятия функции.
1.5. Функции как особые отношения.
1.6. Заключение.
1Л. Понятие функции — одно из фундаментальных математи-
ческих понятий, непосредственно связанных с реальной действи-
тельностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность
реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и
явлений. Именно в понятии функции в определенной степени
отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.
В процессе эволюции математики понятие функции (и соот-
ветствующие ему определения или описания) подвергалось опреде-
ленным изменениям. Так, долгое время «функция была в плену
у математической формулы». Л. Эйлер под функцией понимал вся-
кое аналитическое выражение. Это определение, удовлетворительное
для определенного периода развития науки, не только искусственно
ограничивало объем понятия (функции отождествлялась только
с одним из способов ее задания), но и приводило к различным про-
тиворечиям. В частности, не допускалось задание функции двумя
аналитическими выражениями. Например, функция вида
f/ =
r sin х, если х < О,
ь 1g х, если х>0,
не имела права на существование.
Со времен Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укре-
пилось новое представление о функции как о зависимости одной
переменной величины от другой. Такой подход долгое время сохра-
нялся в школьном курсе математики. Хотя это определение отодви-
111
нуло способ задания функции на второй план, но и оно оказалось
не лишенным существенных недостатков. Так, в частности, поня-
тие функции определялось через весьма сложные (и, как прави-
ло, никак не разъясняемые) понятия величины, изменения и
зависимости.
В настоящее время существует несколько вариантов определения
понятия функции. В частности, понятие функции может выступать
как первичное (неопределяемое) математическое понятиеПри
другом варианте первичным считается понятие отображения, под
функцией же понимается отображение одного числового множества
в другое 1 2. Понятие функции можно трактовать и как особое отно-
шение, установленное между элементами множеств. Наконец,
функция может быть определена как некоторое соответствие между
элементами множеств.
В школьные программы понятие функции включено относительно
недавно. Существенное влияние на этот шаг в совершенствовании
математического образования оказали идеи известного педагога-
математика Ф. Клейна (1849—1925), убежденного в ведущей
роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике.
Идея единства математической науки, составляющая основное
ядро исследований Н. Бурбаки, по существу была высказана еще
Ф. Клейном, который считал понятие функции центральным поня-
тием всей математики: «Какое же понятие в современной математике
доминирует? Это есть понятие о функции. Изучение функции со-
ставляет предмет, можно сказать, всей высшей математики; установ-
ление функциональной зависимости между различного рода факто-
рами составляет задачу прикладной математики»3.
И еще: «Понятие о функции должно играть основную, так ска-
зать, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно
быть выяснено учащимися очень рано и должно пронизать все
преподавание алгебры и геометрии»4.
С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может
быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому
трактовка понятия функции с помощью геометрических образов
является, по мнению Ф. Клейна, наиболее целесообразной в школь-
ном обучении. «Понятие функции в геометрической форме должно
быть вообще душой школьного математического образования»5.
Действующая школьная программа по математике, основой кото-
рой является теоретико-множественная концепция (см. гл. XI), по-
зволяет широко трактовать все основные математические понятия,
в том числе и понятие функции. Кроме того, теоретико-множест-
1 См.: Колмогоров А. Н. и др. Летняя школа на Рубеком озере. М.,
1971, с. 9.
2 См.: Розов Н.Х. Функции и графики.— В сб. [1, 122], с. 98.
3 Клей нФ. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1.
М.—Л., 1933, с. XIII.
4 Там же, с. XIII.
5 К 1 е i n F. Vortrage йЬег mathematischen Unterricht ah den hoheren
Schulen. Leipzig, 1907, c. 34.
112
венный подход дает возможность излагать его на достаточно высоком
уровне строгости.
Из нескольких возможных вариантов введения понятия функ-
ции авторы современного школьного учебника 13.2] избрали опре-
деление функции как особого соответствия1. Трактовка понятия
функции, принятая в курсе алгебры восьмилетней школы, может
быть представлена следующей логической схемой:
В школьных учебниках эта логическая схема не выдерживается
полностью. В частности» понятие прямого произведения множеств
не вводится совсем; понятие соответствия не определяется (а только
поясняется); понятие отношения не выступает в форме особого
соответствия; понятие алгебраической операции рассматривается
в старших классах только факультативно.
Однако опыт экспериментального обучения свидетельствует о
том, что такое упрощение в логике рассмотрения понятия функции
не оправдано; доступность изложения в школе общего понятия
функции в достаточно полном соответствии с данной схемой не вызы-
вает сомнений. По-видимому, более строгое изложение этого вопро-
са в школьном курсе алгебры — дело недалекого будущего. Поэто-
му в предлагаемом ниже методическом освещении этого вопроса
авторы будут придерживаться максималистской точки зрения; от-
бор лишь того материала, который полностью отвечает действую-
щей программе, не представит затруднений для читателя.
1.2. Ознакомление школьников с понятием прямого произведе-
ния множеств можно начать с рассмотрения следующей реальной
1 В пособии по алгебре, издаваемом в 1977 г., принята иная трактовка (фун-
|.'*цця* определяется через понятие отношения).
L 113
Ь ситуации: трикотажная фабрика изготовляет
** мужские пуловеры, женские костюмы, кофты
и платья следующих расцветок: бордо, си-
/ няя, голубая, зеленая, коричневая, серая.
/ Обозначим через А множество видов из-
а/ делий:
рис § А = {мужской пуловер, женский костюм,
кофта, платье},
а через множество В — множество предлагаемых расцветок:
В = {бордо, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая}.
Посмотрим, какие изделия можно получить, учитывая возмож-
ные их расцветки. Для этого составим список всех пар из элементов
множества А и элементов множества В, Получим множество С у п о
р я д о ч е н н ы х пар (а; Ь) элементов множеств А и В, Вот
несколько элементов множества С: (пуловер — бордо), (костюм
женский — бордо), (платье — зеленое), (платье — серое), (кофта —
серая). Каждая такая пара (рис. 8) может быть изображена в виде
графа (пары точек, соединенных стрелкой).
Итак, мы имеем здесь дело с особым множеством, составленным
из элементов двух данных множеств. Такое множество называется
прямым (декартовым) произведением двух множеств (см. также
Теперь учащимся нетрудно усвоить и следующее общее опреде-
ление:
Прямым произведением множеств А и В называется множество,
элементами которого являются все упорядоченные пары, в которых
первым компонентом является элемент из А, вторым компонен-
том — элемент из В. Прямое произведение записывается таким
образом:
С = А х В — ((х; у) |х€ А, у$В}.
Далее можно рассмотреть еще один пример.
Пусть Al — множество целых неотрицательных чисел, a Bt—•
множество натуральных чисел, т. е.
А = {0, 1, 2, 3, ...}, а = {1, 2, 3,
Вот несколько элементов множества А1 х
(0; 1), (0; 2), (1; 2), (1; 1); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) и т. д.
Заметим, что пары, сформированные таким образом, совпадают
с парами вида («числитель, знаменатель») множества неотрицатель-
ных дробей:
0.0 1 I 12.2.2.
1 ; 2 ; 2 ; 1 j з ’ • ” •
На этом примере можно еще раз проиллюстрировать понятие
упорядоченной пары. В отличие от равенства множеств {0; 1} =
114
₽ {1; 0} для соответствующих пар имеем:
(0; 1) =# (1; 0); это видно и из того, что
(0, 1) € Al X а (I; 0) X Вх в дан-
ном случае*
Может случиться, что множества А и В
будут одинаковы. Рассмотрим следующий
пример.
Фабрика канцелярских товаров изготов-
ляет отдельно корпус и колпачок для авто-
ручек следующих цветов: белый, красный,
зеленый, оранжевый.
Обозначим через А множество цветов корпуса ручки, через
В — множество цветов колпачка. В данном случае А = В — (бе-
лый, красный, зеленый, оранжевый}. Можно составить список авто-
ручек различных расцветок,
Объединяя всеми возможными способами цвет из Л с цветом
из В, получим элементы прямого произведения множества А само-
го на себя. Оно называется прямым или декартовым квадратом
и обозначается: А X А = А2.
Из этого примера видно: каждая пара прямого произведения упо-
рядочена; покупатель отличит авторучку с красным корпусом и бе-
лым колпачком от авторучки с белым корпусом и красным колпачком.
Для описания прямого произведения множеств удобен геомет-
рический язык. При этом элементы множества А X В называют
точками. Например, если Z — (х\ у), то х £ А называют абсцис-
сой, а у Q В — ординатой точки Z. Эта терминология понятна,
если обратить внимание на то, что множество точек плоскости явля-
ется прямым произведением R X /?, где R — множество действи-
тельных чисел.
Поэтому, составляя, например, прямое произведение множеств
Al = {1; 2; 3} и А2 = {4; 5; 6; 7}, полезно рассмотреть такой рису-
нок (рис. 9). Множество всех точек пересечения лучей есть геометри-
ческая модель множества X Л2. По этому рисунку нетрудно
установить и число элементов (пар) прямого произведения данных
множеств; в данном случае их двенадцать.
Кроме указанных выше примеров прямого произведения мно-
жеств, полезно указать учащимся и на следующие:
1) Если А — множество точек окружности, а В — множество,
состоящее из отрезка длиной Л, то Л х В — поверхность цилиндра х.
2) Если А — множество точек круга, а В — множество, со-
стоящее из отрезка длиной ft, то А X В есть цилиндр.
1.3. Понятие соответствия может быть введено при рассмотрении
следующей конкретной ситуации.
Рассмотрим два множества: первое (Л), состоящее из 3 учащих-
ся, и второе (В), состоящее из 4 городов. Чтобы получить прямое
1 При определенном взаимном расположении в пространстве элементов
множеств Л и В.
115
произведение этих множеств, надо составить все пары вида (ученик;
город).
Из множества всех таких пар выберем лишь те, которые «связы-
вают» каждого ученика с городом, где он бывал. Очевидно, что мно-
жество отобранных пар (ученик — город, где он бывал) будет яв*
литься подмножеством прямого произведения А X В. Пусть, на-
пример, элементами этого нового множества являются пары: (Коля;
Москва), (Коля; Ленинград), (Лена; Одесса). Список элементов
этого множества можно заменить следующей таблицей:
в л Москва Ленинград Одесса Курск
Коля
Ваня
Лена
Говорят, что данная таблица задает определенное соответствие
между элементами множества А и элементами множества В. Итак,
соответствие <р определяется гцк тройка множеств (С, Л, В), где
С является подмножеством прямого произведения множеств А п В:
<р = (С; Л; В), где Сё Л х В L1.1971.
В данной ситуации соответствие образует следующая тройка
множеств: С — множество пар (ученик; город, где он бывал), Л —
множество учеников, В — множество городов.
При этом множество Л называется областью отправления соот-
ветствия; множество В — областью прибытия соответствия. Мно-
жество, состоящее из первых компонентов каждой пары множества
С, называют областью определения соответствия; множество, со-
стоящее из вторых компонентов каждой пары из С,— областью зна-
чений соответствия.
В данном примере областью отправления соответствия является
множество, состоящее из всех трех указанных учащихся, областью
прибытия — множество из названных четырех городов. Областью
определения соответствия является множество всех учащихся (иск-
лючая Ваню, ни разу не бывавшего ни в одном из указанных горо-
дов), областью значений — множество всех городов, исключая
г. Курск, в котором никто из этих ребят не бывал. Ясно, что имя
«Ваня» и название города «Курск» не будут использованы при со-
ставлении пар Множества С.
Соответствие может быть установлено не только между двумя
множествами, но и внутри самого множества: <р = (С; Л2).
116
Например, заметив, что последняя буква названия города Орел
является первой буквой слова «Липецк», отыщем на множестве
А = {Орел, Липецк, Киев, Красноярск, Ленинград, Луганск,
Владивосток, Алма-Ата} все пары, обладающие таким же свойством.
Для наглядности поступим следующим образом: напишем все
названия, затем проведем стрелку от слова «Орел» к слову «Липецк»
и» поступая таким образом дальше, установим все названия городов,
находящихся в данном соответствии.
Мы видим, что:
а) названия городов, находящихся в данном соответствии, обя-
зательно связаны стрелкой; в противном случае мы не могли бы ука-
зать порядок, в котором берутся элементы в паре из множества С;
б) Киев находится в данном соответствии с Владивостоком, Вла-
дивосток с Киевом; следовательно, некоторые элементы на схеме
могут соединяться двумя стрелками противоположного направле-
ния;
в) Название «Красноярск» находится в соответствии само с со-
бой, это отражается на схеме с помощью одной стрелки: «выходя-
щей» из этого слова и «входящей» в него; здесь две стрелки заме-
нены одной, так же, как это сделано, например, и в названии города
«Алма-Ата».
Этой схеме можно придать более сжатую форму, если обозначить
названия городов точками, сохранив для обозначения направления
соответствия — стрелки, т. е. представить в виде графа (рис. 10).
Если составить список всех упорядоченных пар элементов мно-
жества, находящихся в данном соответствии, то полученное множе-
ство будет подмножеством декартового квадрата А X А == А2.
Рис. 10.
117
Рис. 12.
Два соответствия д>х = (Cf, Д/, BJ и <р2 = (С2; Д2; В2) считаются
одинаковыми, если их компоненты совпадают, т. е.
Cj = С2; А1 = Д2; Вх = В2.
Так, например, соответствия <рх и ф2 неодинаковы, так как мно-
жества Сх и С2 различны (рис. 11). Также различны и соответствия
Фз и <р4 (рис. 12).
Множество пар С соответствия вида <р = (С; А; В) или ср = (С; Д2)
называется графиком этого соответствия. Это определение гра-
фика является обобщением принятого в школе определения гра-
фика. График функции, в традиционном его понимании, есть нечто
иное, как геометрический образ множества пар С (связанный к то-
му же лишь с одним из способов задания особого соответствия, на-
зываемого функцией).
В связи с возможностью совпадения области отправления и об-
ласти определения этого соответствия (или с возможностью совпаде-
ния области прибытия и области значения) соответствия подразде-
ляются на «всюду (и «не всюду») определенные», на «сюръективные
и «несюръективные».
Соответствие называется всюду определенным, если область от-
правления этого соответствия совпадает с областью его определения,
т. е. V х С А, 3 у £ В |(х; у) £ С (рис. 13).
Соответствие называется сюръективным (или соответствием
«на»), если область прибытия этого соответствия совпадает с облас-
тью значений, т. е. V у £ В, 3 х G Д|(х; у) g С (рис. 14).
Рассматривая соответствия в зависимости от того, как образу-
ются пары из элементов множеств А и В, нетрудно обнаружить че- 1
1 От французского слова surjectif — накрывающий.
118
Рис. 16.
тыре возможные разновидности соответствий: много-многозначные,
много-однозначные, одно-многозначные, одно-однозначные.
Заметим, что названия видов соответствий хорошо отражают
суть дела, но их не следует считать математическими терминами,
обязательными для запоминания учащимися.
Много-многозначное соответствие характеризуется тем, что в
множестве С существуют пары с одинаковыми первыми и различ-
ными вторыми компонентами, а также пары с одинаковыми вторы-
ми и различными первыми компонентами (рис. 13,14). Таково, напри-
мер, соответствие вида <р == {(х, у) | х С Z~, у Q Z+, х < у}1 *,
которое содержит такие пары:
(-1; 1); (-1; 3); (-2; 1), (3; 1), (-4; 1), ... .
Много-однозначное соответствие характеризуется тем, что не
существует пар с различными вторыми и одинаковыми первыми
компонентами (см. рис. 11). Однако могут существовать пары с
различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами. Та-
ково, например, соответствие вида <р = {(х, y)\xQZ9 у g Zo,
х3 = у}9 которое содержит следующие пары: (—2; 4), (—1; 1),
(1; 1), (2; 4).
Одно-многозначное соответствие характеризуется тем, что не
существует пар с различными первыми компонентами и одинаковы-
ми вторыми (рис. 15). Однако могут существовать пары с различны-
ми вторыми и одинаковыми первыми компонентами, принадлежа-
щие этому соответствию.
Таково, например, соответствие вида <р = {(х, y)|x£Z+, yQZt
d^]/rx = y), которое содержит следующие пары: (4; 2), (4; —2),
(1; + 1), (1;—1), ....
1 Символом Z+ (Z~) обозначено множество целых положительных (отри-
цательных) чисел.
119
Одно-однозначное (или взаимно однозначное) соответствие ха-
рактеризуется тем, что оно является всюду определенным, сюръек-
тивным и таким, что пары с различными первыми компонентами име-
ют различные вторые компоненты, а пары с различными вторыми
компонентами имеют различные первые компоненты (рис. 16).
Таково, например, соответствие вида ф = {(х, #)|х£/?,
х + 1 = !/}.
Мы видим, что понятие соответствия не принадлежит к числу
основных понятий; тем не менее в курсе алгебры VI класса оно не
определяется, а выясняется на достаточно большом числе конкрет-
ных примеров.
Изучение понятия соответствия полезно начать с беседы при-
мерно такого содержания:
«В жизни мы часто встречаемся с такими выражениями: «места
в зале кинотеатра соответствуют купленным билетам», «купили
костюм соответствующего размера», «поезда приходят на станцию
в соответствии с установленным расписанием» и т. д. Здесь мы имеем
дело с различными множествами различных элементов: множество
мест в зрительном зале и множество билетов в театр, множество ко-
стюмов и множество стандартных размеров и т. д. С помощью поня-
тия соответствия можно устанавливать связь между элементами раз-
личных множеств».
Чтобы раскрыть школьникам содержание этого понятия, по-
лезно воспользоваться конкретными примерами:
1) Рассмотрим два множества: А = {ромашка, гвоздика, не-
забудка} — множество названий цветов и В = {белый, красный,
голубой, зеленый} — множество названий окраски их лепестков
(рис. 17).
Какой цвет имеют лепестки ромашки? Чтобы показать, что они
белые, от названия «ромашка» — элемента множества А проводят
стрелку к элементу множества В — слову «белый». Гвоздика может
иметь как белые, так и красные лепестки. Поэтому от названия цвет-
ка «гвоздика» проводят две стрелки к соответствующим элементам
множества В — к словам «красный» и «белый». Какой цвет соот-
ветствует лепестку незабудки? (Голубой.) Показать стрелкой. По
рисунку видно, что в множестве А нет элемента, которому соответ-
ствует элемент «зеленый» множества В, так как к нему не подведена
120
стрелка. С помощью стрелок мы устано-
вили соответствие между данными мно-
жествами А и В.
2) Рассматривая множество А === {25; 36;
42; 54; 61}, где каждому двузначному числу
поставлена в соответствие сумма его цифр
(множество В), выясняем:
а) Какой элемент множества В соот-
ветствует числу 25, числу 54? Почему?
б) Какому элементу множества А соот-
ветствует число 6, число 9 из множества
Рис. 18.
В? Почему?
Далее говорится о том, что каждую стрелку на соответствующей
схеме мы можем заменить упорядоченной парой чисел, поставив
в записи на первое место элемент множества Л, а на второе —
элемент множества В: (25; 7); (36; 9); (42; 6); (54; 9); (61; 7).
Далее рассматриваются следующие задачи.
3) Даны два отрезка АВ и CD (рис. 18). Между их точками уста-
новлено такое соответствие: каждой точке X £ [ЛВ] соответствует
та точка £ [CD], которая лежит на перпендикуляре, проведен-
ном из точки X к [CD]; X -> Какая точка отрезка CD соответ-
ствует точкам Л; У; В отрезка Л В?
На чертеже стрелки не ставятся, а в тетрадях учащиеся записы-
вают: Л С — и читают: точке Л соответствует точка С;
У->У1; B->D.
Как построить точку отрезка CD, соответствующую точке М
отрезка Л В?
Какой точке отрезка АВ соответствует точка D? Точка Vt отрез-
ка CD? Ответ обосновать.
Как построить точку отрезка Л В, которой соответствует точка
Nx отрезка CD?
В итоге внимание учащихся обращается на то, что соответствие
может быть установлено между элементами различных множеств.
Соответствие между двумя множествами может быть задано различ-
ными способами: стрелками, парами или по определенному правилу,
как в примерах с геометрическими фигурами.
Отметим, что в школьном курсе алгебры не используются поня-
тия «область отправления» и «область прибытия соответствия».
В дальнейшем, как правило, используются только соответствия, всю-
ду определенные.
1.4, Предварительно рассмотрим основные понятия, связан-
ные с трактовкой функции как особого соответствия. Прежде все-
го отметим, что функцией (или функциональными соответствиями)
называют всякое много-юднозначное или взаимно однозначное соот-
ветствие.
Таким образом, тройка множеств F == (С; Л; В) называется
121
функцией, если: 1) С А х В\ 2) F — много-однозначное или
взаимно однозначное соответствие.
Из сказанного выше ясен и смысл терминов «область отправле-
ния функции», «область прибытия функции», «область определения
функции», «область значений функции».
Наряду с известными обозначениями функции применяются так-
же символы: 1) f = (С; А; В); 2) функция/с областью определе-
f
ния А и значениями из В может обозначаться символом А -> В или
с помощью переменных х и у: х у, к £ А, у £ В.
В этом случае говорят: «/ — функция аргумента х или перемен-
ной х». При этом элемент х0 называют значением аргумента, эле-
мент yQ — значением функции.
Область определения функции называют также областью зна-
чений аргумента.
Вместо у для обозначения значений функции часто применяется
символ f (х); в этом случае символически функция может быть обо-
значена так: х -> f (х) или, например, / (х) = х2. Такое обозначение
удобно при вычислении значений функции, например: f (5) = 25;
f (— у) = и т. д. Здесь символом f (х) обозначено значение функ-
ции на элементе х. Таким образом, в паре (х, у) g С элемент у яв-
ляется значением f (х) функции на элементе х, взятом из области
значений аргумента (или переменной).
Тот факт, что функция f имеет областью отправления множество
А и областью прибытия В, выражают также словами «Функция f
определена «в» А и принимает свои значения «в» В» (рис. 19). Пред-
лог «в» в данном предложении является термином, означающим, что
области отправления и определения (прибытия и значений) могут
не совпадать. Если функция / является всюду определенной, то
говорят, что функция I «определена на Л»; если функция f сюръек-
тивна, то говорят, что функция «принимает свои значения на В».
Всюду определенную функцию называют отображением. Есте-
ственно, что можно выявить два вида отображений: отображение
некоторого множества А «на» множество В (рис. 20) и отображение
некоторого множества А «в» множество В.
В первом случае в множестве В (множестве значений функции
нет «свободных элементов», не находящихся в данном функциональ-
Рис. 20.
122
ном соответствии с элементами множества А. Во втором случае
такие элементы в множестве В могут быть (а могут и не быть).
И в том и в другом случае множество А не имеет «свободных» от дан*
ной функциональной связи элементов.
Таким образом, отображение «на» есть в то же время и отображе-
ние «в» (обратное утверждение неверно).
Тождественность понятий всюду определенной функции и ото-
бражения оказывается особенно полезной для изучения точечных
множеств.
При трактовке функции как особого соответствия термины
«функция» и «отображение» могут и не являться синонимами. Отоб-
ражениями в этом случае являются только всюду определенные
функции.
При принятой в современном школьном курсе математики трак-
товке функции как особого соответствия термин «отображение»
является синонимом термина «функция». Такое ограничение имеет
определенный смысл для школьного обучения. В самом деле, изу-
чая, например, функцию, задающую закон равномерного прямоли-
нейного движения v (/) = , обычно нет необходимости изучать по-
ведение функции в точке t = 0 (не принадлежащей области опреде-
ления этой функции). В частности, исключая из рассмотрения точ-
ку t = 0, мы можем говорить о функции v (t) = как о непрерыв-
ной функции; рассматривая же v (i) = на множестве всех дейст-
V
вительных чисел, мы вынуждены были бы характеризовать ее как
разрывную, что усложняло бы решение многих конкретных задач.
Соответствия могут быть заданы на множествах различной при-
роды, значит, и функция как частный случай соответствия также
может иметь своей областью определения и областью значений раз-
личные множества, например множества людей, предметов, собы-
тий, чисел, точек и т. д.
Если функциональное соответствие установлено между элемен-
тами числовых множеств, то такую функцию называют число-
вой.
Общее понятие функции вводится впервые в курсе алгебры VI
класса. Как и при введении понятия соответствия, содержание по-
нятия функции раскрывается при рассмотрении конкретных упраж-
нений.
Так, например, рассматривая соответствие между множеством
учащихся класса и множеством городов (поселков), в которых ро-
дился каждый из учащихся, мы имеем дело с соответствием, назы-
ваемым функцией. Функцией является также соответствие между
множеством учащихся, выполнявших контрольную работу, и мно-
жеством оценок и т. п. Особого внимания заслуживает рассмотрение
примеров геометрического содержания. Так, например, можно ис-
пользовать следующую серию упражнений:
123
Рис. 21.
1. Учащимся предлагается изучить соответствие, изображенное
на рисунке 21, а, и ответить на следующие вопросы:
а) Какая точка дуги АВ соответствует точке С, точке Y дуги CD?
Учащиеся записывают: Л ; Y -> Yv
б) Какой точке дуги CD соответствует точка точка В дуги
ЛВ? (Запись: X -> X,; D В.)
в) Как построить точку, соответствующую точке Z дуги CD?
(Запись: {Zr} = [OZ) П о АВ.)
г) Как построить точку дуги CD, которой соответствует точка
Ki дуги АВ? (Запись: {К} = IOKJ П о CD.)
2. Рассматривается рисунок 21, б (каждой точке X прямоуголь-
ника A BCD поставлена в соответствие та точка Xt ломаной EKF,
которая лежит на прямой ХХи параллельной прямой ЛВ) и пред-
лагаются следующие задания:
а) Построить точку, соответствующую точке: 1) М; 2) С; 3) D,
б) Сколько точек ломаной EKF соответствует каждой точке пря-
моугольника?
в) Какой точке прямоугольника ABCD соответствует точ-
ка Ki?
(Точка YL соответствует бесконечному множеству точек прямо-
угольника ABCD. Все эти точки, принадлежащие прямоугольнику,
лежат на прямой YYlf которая параллельна прямой АВ.)
3. Рассматривается рисунок 23, в. Ставятся вопросы:
а) Между точками каких фигур задано соответствие?
б) Как объяснить, по какому закону установлено соответствие
между точками [AfAH и [PQ1?
в) Сколько точек [PQI соответствует каждой точке [ТИЛИ?
После выполнения упражнений внимание учащихся обращается
на то, что были рассмотрены примеры соответствия между множест-
вами точек, образующих различные геометрические фигуры (в пер-
вом случае соответствие между дугами окружностей, во втором —
между прямоугольником и ломаной, в третьем — между двумя от-
резками); что каждой точке данной фигуры Ф (например, дуги CD)
соответствует одна вполне определенная точка другой фигуры
Фх (дуги АВ).
124
Такое соответствие между множествами
точек геометрических фигур Ф и Фх назы-
вают отображением фигуры Ф на фи-
гуру Фх (или функцией). Затем вводится
определение:
«Соответствие между множеством X и
множеством У, при котором каждому эле-
менту множества X соответствует один и
только один элемент множества К, называ-
ется функцией (или отображением мно-
жества X в множество У).»
Далее вводятся понятия области опре-
деления и значений функции, а также тер-
мин «значение функции» (и аналогичный ему термин «образ точки»
в данном отображении).
Функция, обратная данной, рассматривается в курсе алгебры
VIII класса.
«Понятие функции, обратной данной, вводится через понятие
обратного соответствия, содержание которого раскрывается на при-
мерах. Показывается, что если данное соответствие — функция,
то обратнее соответствие либо функция, либо не является функцией.
Дается определение обратимой функции как функции, по отно-
шению к которой обратное соответствие — функция. На моделях
(соответствиях, заданных с помощью стрелок) показывается, что
область определения и множество значений двух взаимно обратных
функций меняются ролями.»1
Однако уже при изучении геометрии в VI классе приходится
пользоваться понятием обратимости отображений. Поэтому данное
понятие следует ввести раньше. Это можно сделать на примере уже
знакомого учащимся отображения (см. рис. 21, а). Обратившись
к этому рисунку, учащимся предлагается рассмотреть соответствие
между точками дуги АВ и точками дуги CD, т. е. отображение,
обратное данному. Мы видим, что каждой точке дуги АВ соответст-
вует ровно одна точка дуги CD. Следовательно, это соответствие
является также отображением и дуги АВ на дугу CD, Говорят,
что отображение дуги CD на дугу АВ обратимо.
Рассматривая рисунок 21, б, видим, что точке Yt— образу
точки Y — соответствует бесконечное множество точек прямоуголь-
ника. Поэтому отображение прямоугольника A BCD на ломаную
EKF необратимо.
Далее по отображению, представленному на рисунке 22, уча-
щимся предлагаются следующие упражнения:
а) Является ли данное соответствие отображением? Ответ обо-
сновать.
б) Отображение какой фигуры на какую здесь задано?
1 Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра в VIII кл. (Методическое пособие
для учителя), вып. 1, ч. II. М., 1972, с. 170.
125
в) Назовите образы точек В, А при данном отображении.
г) Образом какой точки при данном отображении является точ-
ка Кх? Ответ записать, используя обозначения.
; д) Постройте образ точки Е £ (О; |СМ|) при данном отображении.
е) Отметьте на окр. (О; | ОАt |) некоторую точку Ft. Постройте
точку, образом которой является точка Ft.
ж) Обратимо ли данное отображение? Ответ обосновать.
з) На какую фигуру отображается дуга ВХ?
Подводя итог проделанной учащимися работе, учителю нужно
обратить внимание учащихся на то, что при рассмотрении вопро-
са об отображении одной фигуры на другую в каждом случае
устанавливается следующее: а) какие фигуры даны; б) каков закон,
по которому для каждой точки первой фигуры может быть построен
ее образ; в) соответствует ли каждой точке первой фигуры только
одна вполне определенная точка второй; г) если при этом каждой
точке второй фигуры соответствует одна вполне определенная точ-
ка первой фигуры, то будет ли отображение обратимо, и т. п.
1.5. К современной точке зрения на понятие функции можно
прийти и не рассматривая понятие соответствия как основное по-
нятие. Можно вообще отказаться от специального термина «соот-
ветствие», «...что не мешает, конечно, пользоваться глаголом «соот-
ветствовать» как словом русского языка» Ч В этом случае понятие
функции может быть введено по схеме: прямое произведение мно-
жеств, отношение, функция. Такая точка зрения является харак-
терной для большинства современных французских школьных учеб-
ников математики 2.
Определив прямое произведение двух множеств А и В как мно-
жество А х В = {(%, у) | х £ Д, у £ В), определим бинарное (двух-
местное) отношение, как всякое подмножество множества А X В.
(Примеры см. выше в [XI. 4.1].)
Отношение обычно записывают в виде axb. Если Ст есть произ-
вольное подмножество множества А х В (и конкретный вид отно-
шения т не установлен), то запись axb означает, что (а, Ь) £ Ст.
Таким образом, бинарное отношение может быть установлено
для элементов любых двух множеств Л и В. В школьной практике
чаще всего бинарное отношение рассматривается на каком-либо
одном множестве, т. е. имеет место случай А = В.
Развивая рассматриваемую здесь точку зрения, после определе-
ния отношения излагают основные понятия, связанные с понятием
отношения, а затем рассматривают три важнейших типа отношений:
отношения эквивалентности, отношения порядка и функциональные
отношения (или функции).
’Колмогоров А. Н. О системе основных понятий и обозначений
для школьного курса математики.— «Математика в школе», 1971, № 2, с. 17.
2 См.» например: С t а 1 i о n Е. Mathematique 6-е (5-е). О. С. D. L. Hatier.
Paris, 1968 (1969). Эта точка зрения наличествует и в учебнике алгебры для VI
класса, издаваемом в 1977 г.
126
Отношение R, определенное на паре множеств А и В, называется
функциональным (или функцией)* если имеет место
v (х, у, z) G Ск: [(xRy) Л => (У = г).
Множество X с: А, состоящее из элементов х £ X таких, что
имеет место xRyy для некоторых у С В называется областью опре-
деления функции.
Так как VxgX, 3ly£B\xRy\ то имеется возможность исполь-
зовать обычное. функциональное обозначение у = f(x) вместо xRy.
Множество К с В, состоящее из элементов у С Y таких, что
У = f 4х) для всех х £ X, называется областью значений функции.
1.6. В своих основных положениях обе трактовки понятия функ-
ции (и как отношения, и как соответствия) не противоречат одна
другой. В самом деле, условие, выделяющее функцию среди различ-
ных соотношений:
V(х, у, z)$CRi [(xRy) Д (xflz)] =>(у = z),
говорит о том, что из всех отношений следует в этом случае исклю-
чить отношения, аналогичные одно-многозначным и много-много-
значным соответствиям.
Оба рассмотренных выше подхода к понятию функции по суще-
ству являются разновидностями одной и той же теоретико-множе-
ственной трактовки этого понятия. Изложенная трактовка понятия
функции обладает целым рядом методических достоинств, среди
которых отметим следующие:
1) Идея функции (отображения) становится одной из ведущих
идей школьного курса геометрии 1 2, а значит, и всего курса матема-
тики.
2) Совершенно определенно решается наболевший для методи-
ки математики «туманный» вопрос о так называемой многозначности
функций. Не вдаваясь в подробности, отметим, что если понятие
многозначности функции и остается одним из важных понятий тео-
рии функций комплексного переменного, то в школьном курсе мате-
матики такого понятия теперь нет (вышеприведенное определение
функции просто исключает его). Поэтому, рассматривая, например,
обращение функции у = х2, определенной для всех х £ ]—оо, -|-оо[,
мы разбиваем область определения этой функции на два множест-
ва: j—оо; 0] и [0, + оо[. Для 0 < х < -f- оо в качестве функции,
обратной функции у = х2, имеем функцию х = V у , а для —оо <
< х < 0 в качестве функции, обратной у — х2, имеем функцию
х = — 1V-
3) Совершенно четко определяется понятие равенства (одинако-
вости) функций. Именно f (х) = q (х), если: a) f и q имеют одну и
ту же область определения X и б) V х g X : f (х) ==• q (х).
1 Символ В! означает существование и единственность.
2 См., например, учебные пособия [3.45], [3.47] и [3.49].
127
Так, например, функция f (х) = ха, заданная на множестве
Хх = (х | — 1 < х < 1}, отличается от функции f (х) = х2, задан-
ной на множестве Х2 — (х| I < х < 2}. Нетрудно заметить, что
графики этих функций (множества пар) также будут различны.
4) Удается четко провести различие между последовательностью
(xrt) и множеством ее значений. Последовательность — это просто
иное название функции, имеющей областью определения множество
натуральных чисел.
Множество значений такой функции есть множество вторых
компонентов пар, составляющих ее график. Так, например, для по-
следовательности 1,0, 1,0, 1, 0, 1, 0... имеем: график этой передо-
вательности (функции) есть бесконечное множество пар (1,1), {2Д)),
(3,1), (4,0), ..., тогда как множество значений этой последователь-
ности — конечное множество, состоящее из двух элементов: У =
= {0, 1}.
5) Понятие функции (отображения конечных множеств) мо$йет
быть использовано при изучении комбинаторики.
§ 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
2.1. Возможная методическая схема изучения функций в курсе
алгебры восьмилетней школы.
2.2. Методика изучения линейной функции. Исследование функций
в восьмилетней школе.
2.3. Об изучении других алгебраических функций.
2.1. Принятая в современном школьном курсе теоретико-множе-
ственная трактовка понятия функции представляет собой лишь
теоретическую канву учения о функции. Изучение конкретных
числовых функций (линейной, квадратной, логарифмической и др.)
проходит почти в традиционном плане. Классический алгебраи-
ческий аппарат, характерный для традиционного изучения, оказы-
вается наиболее удобным для исследования конкретных функций;
столь же удобной оказывается и традиционная символика. Так,
например, обозначение функции вида х->ах2 4- Ьх 4-е, удобное
для иллюстрации общего определения квадратной функции, не яв-
ляется таковым для изучения классических свойств этой функции
(возрастания, промежутков знакопостоянства, экстремума и т. п.);
традиционное же обозначение f (х) = ах2 4- Ьх 4- с остается прак-
тически весьма удобным для этой цели.
Поэтому опыт работы, накопленный советской школой в облас-
ти конкретной методики изучения функций и отраженный в много-
численных методических публикациях, вполне может быть исполь-
зован для практики изучения функций в соответствии с современной
программой. Определенные поправки могут иметь место лишь от-
носительно используемой при этом терминологии, а также в связи
с изменением времени и места изучения того или иного вопроса.
128
Опыт показывает, что изучение конкретных функций в вось-
милетней школе полезно проводить по следующей методической
схеме:
1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводя-
щие к данной функции.
На этом этапе изучения учащиеся должны убедиться в целе-
сообразности изучения данной функции, исходя из соображений
практики или необходимости дальнейшего развития теории.
2. Сформулировать определение данной функции, дать запись
функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу
параметров.
На этом этапе изучения учащиеся получат четкое представление
о данной функции, о ее характеристических свойствах, выделяю-
щих данную функцию из множества других.
3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции. На этом
этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графи-
чески, отличать по графику данную функцию от других, заданных
графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер
графического изображения функции.
4. Исследовать функцию на основные свойства: области определе-
ния и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоян-
ства, нули, экстремумы, четность или нечетность (или отсутствие
этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.
В восьмилетней школе свойства функций устанавливаются по
ее графику, т. е. на основе наглядных соображений, и лишь немно-
гие обосновываются аналитически; понятно, что перечень свойств,
подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно, по мере
овладения соответствующим теоретическим материалом.
В старших классах исследование функций обычно предшествует
построению ее графиков (к этому времени в распоряжении уча-
щихся имеется весьма, мощный аппарат анализа — понятие произ-
водной; к тому же сложность рассматриваемых конкретных приме-
ров функций возрастает, а отсюда возникают трудности в построе-
нии графика «по отдельным точкам»).
В VI—VIII классах школьники учатся истолковывать те или
иные свойства функций на трех «языках»: графическом, словесном
и символическом. Это умение формируется не сразу, но дидактиче-
скую значимость его трудно переоценить.
5. Использовать изученные свойства функций при решении раз-
личных задач, в частности уравнений и неравенств.
Этот этап является этапом закрепления основных понятий и тео-
ретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также
этапом формирования соответствующих умений и навыков.
Эта методическая схема является своеобразным планом — про-
граммой для изучения любой функции. Понятно, что содержание
материала и практика обучения вносят в нее соответствующие,кор-
рективы: данная методическая схема может быть еще более детали-
зированной, и, наоборот, те или иные из названных ее этапов могут
б 7-941
129
вообще отсутствовать при изучении той или иной функции (или на
том или ином этапе обучения). Наиболее существенные отклонения
от предлагаемой схемы возможны при реализации первых двух ее
пунктов.
2.2, Проиллюстрируем данную методическую схему изучения
функции на примере линейной функции, изучаемой в настоящее
время в курсе алгебры VI класса. Отметим, что изложение этого
вопроса в учебнике алгебры в целом отвечает этой схеме, хотя в
отдельных своих частях может быть с пользой для дела дополнено
материалом, предлагаемым ниже.
Представляется также, что учитель должен владеть материалом
в значительно большем объеме, чем его ученики. Кроме того, к
изучению линейной функции учащиеся возвратятся в старших клас-
сах, где и объем материала, и уровень его изложения должны быть
совсем иными.
Излагая этот вопрос, мы не будем каждый раз выделять тот или
иной из отмеченных схемой этапов его изучения, предполагается,
что читатель без особого труда усмотрит наличие каждого из них
в предлагаемом материале (при желании это можно считать методи-
ческой задачей, поставленной авторами читателю).
Изучение линейной функции можно начать следующим образом.
Из курса физики известно, что если железная проволока дли-
ной 1 м нагревается до температуры F, а коэффициент линейного ее
расширения равен k = 0,0012, то длина проволоки при этой темпе-
ратуре может быть вычислена по формуле I (/) = 1 + 0,0012?.
Известно также, что если тело движется равномерно со скоростью
v и/ылн и в момент начала отсчета времени движения находится на
расстоянии So от начального пункта, то уравнение движения тела
может быть записано в виде S (?) = So -j- vt.
На телеграфе существует правило, по которому за каждую те-
леграмму клиент должен уплатить b коп. подепешяой платы
и по а коп. за каждое из х слов текста. Эго правило можно выра-
зить формулой у = ах -f- b (если у — общая стоимость телег-
раммы).
Если теперь отвлечься от частностей, то нетрудно сделать вы-
вод: формулы, выражающие совершенно различные факты и явле-
ния, имеют одинаковую структуру: у = kx + b. Поэтому можно
сказать, что эти факты и явления (и, наверное, еще многие
другие) описываются одной и той же функцией. Значит, естествен-
на постановка такой задачи: присвоить этой функции специаль-
ное название и обстоятельно изучить все ее свойства.
Функция вида у = kx -\-Ь называется линейной. Мы знаем, что
для задания функции достаточно указать закон соответствия между
элементами множества А (множество, на котором определена
функция) и множества В (множество значений) и задать мно-
жество А.
В нашем случае закон соответствия выражен формулой у =
— kx -|- Ь. Отвлекаясь от содержания конкретных задач, видим,
130
что для каждого действительного числа х0 существует ровно одно
действительное число уй такое, что уй = kx^ -|- b (существование
и единственность произведения и суммы действительных чисел),
т. е.
V х0 £ R, 3! у0 £ R | у# — kx0 4* b /\ (х0 #0 =^> у0 у^
Тем самым мы установили область определения функции — множе-
ство действительных чисел ]— оо, -|-оо[. Итак, линейная числовая
функция задана: у = kx + b, где х £ R.
Установим теперь множество В. Поставим вопрос: «Какие зна-
чения может принимать функция, если k Ф 0?» Нетрудно обнару-
жить, что V у0 R, 3 х0 £ — kx0 + b, причем значение х9
определяется единственным образом. В самом деле, пусть у0 — про-
извольное действительное число. Соответствующее значение х0
легко определяется из формулы х0 = —Уо ~ 6 (результат сущест-
вует и единствен в силу существования и единственности разности
и частного действительных чисел). Итак, множество В (множество
значений функции) для линейной функции совпадает с областью
ее определения.
Линейная функция осуществляет отображение множества всех
действительных чисел на себя.
Область значений у = kx b есть В = R = {х\х £ ]—оо,
4- оо[). Среди всевозможных значений чисел из множества А най-
дется такое, которому соответствует число 0 из множества В.‘Для
отыскания этого значения аргумента достаточно решить уравнение
kx -|- Ь = 0, откуда х —---(fe 0). Значение аргумента, при
котором значение функции равно нулю, называется корнем (или
нулем) функции.
При остальных значениях аргумента функция принимает поло-
жительные или отрицательные значения. Для установления под-
множеств знакопостоянства функции достаточно решить неравен-
ства:
kx + b>0=>[x>----если А>0) V|x< —
\ «V / \
kx + b<CO=^\x<Z--если k>О) V (*> —
, если А<0
-4-, если й<0
к
Ь
k
Подмножества множества значений аргумента, на которых
значения функции только положительны или только отрицатель-
ны, называются промежутками (участками) знакопостоянства функ-
ции.
1 Понятно, что использовать приведенные здесь символические записи
(в частности, кванторы) в VI классе не следует. С той же осторожностью следует
подходить в VI классе к обоснованию утверждений и терминологии. Например,
термином «действительное число» пользоваться в VI классе не нужное лучше
говорить просто «число» и т. п.
5*
131
Зададимся теперь таким вопросом: «Пусть значения аргумента х
расположены в следующем порядке: хх > х2 > х3 > ... Будут ли
соответственно располагаться и значения функции?» Для ответа
на этот вопрос необходимо установить знак неравенства yt S у2,
т. е. знак неравенства kxt 4- b -S. kx2 4- Ь. Пусть k > 0, тогда из
данного (по условию) неравенства xt> х2 имеем: xt > х2 => kxt >
>• kx2 => kxt 4- b > kx2 +b. Пусть k < О, тогда xx > x2 => kxt <
< kx2 kxt 4- b < kx2 4- b. В первом случае большему значению
аргумента соответствует большее значение функции, во втором —
меньшее значение функции.
Введем определения. Если для любых значений аргумента xt >
> х2, взятых из области определения функции у = / (х), выполня-
ется неравенство f (xt) > f (х2), то функция называется возрастаю-
щей; если f (xt) < f (x2) — убывающей; если f (xL) > f (x2) — не-
убывающей, если f (xj < f (x2) — невозрастающей, если f (x,) =
= f (xt) — постоянной.
В любом из этих случаев функция называется монотонной. Итак,
нетрудно убедиться в том, что для линейной функции имеем: 1) при
k > 0 функция возрастает для всех х из области ее определения;
2) при k < 0 функция убывает для всех х из области ее определения;
3) при k — 0 функция является постоянной.
Таким образом, f (х) = kx 4- b — монотонная функция во всей
области ее определения.
Теперь нетрудно выяснить смысл параметров k и Ь. Смысл вто-
рого из них выясняется сразу со всей определенностью — это есть
значение функции при х = 0 (ордината точки пересечения графика
функции с осью Оу). Смысл параметра k — углового коэффициента —
выясняется сначала на качественном уровне (VI класс, здесь
утверждается, что при k > 0 угол, образованный графиком линей-
ной функции с осью абсцисс и отсчитываемый против часовой стрел-
ки, острый, а при Л < 0 этот угол тупой), затем после изучения по-
нятия производной мы получаем количественную оценку поведения
функции.
В связи с вопросом о методе доказательства монотонности ли-
нейной функции необходимо сделать следующее замечание. Сами по
себе определение монотонности и соответствующие доказательства
(для линейной функции!) очень несложны. Тем не менее в явном виде
этого доказательства в VI классе нет. Дело в том, что шестиклас-
сники еще не владеют необходимыми для этого знаниями.
Если факт, логически ниоткуда не следующий, интуитивно совершен-
но очевиден, то учитель испытывает внутреннее сопротивление обучае-
мых — зачем доказывать то, что и так ясно? Устранение этого пси-
хологического фактора требует большой работы над совершенство-
ванием логической культуры учащихся, и, пока это не сделано, так
называемые «строгие» рассуждения будут носить в глазах учащихся
чисто формальный характер. Поэтому разумно в VI классе принимать
без доказательства, что геометрическим образом графика линейной
функции является прямая линия.
132
В VII классе после изучения
подобных фигур возникает воз-
можность этот факт обосновать.
Такое обоснование можно при-
вести на одном из уроков гео-
метрии по этой теме. Это можно
сделать так, как показано ниже.
Пусть для определенности
k > 0 и Ь > 0.
1) Построим прямую линию т
(рис. 23), проходящую через точ-
ки (0, Ь) и (1, k b). Эти точки
таковы, что их координаты удов-
летворяют уравнению функции: Рис-
b=k • 0-J-6 и k-\-b=k •
2) Покажем, что любая точка этой прямой определена парой
чисел, являющихся значениями аргумента и функции. Возьмем
точку А £ т. Пусть точка А определяется парой чисел (х0; у0).
Используя подобие соответствующих треугольников, получим;
-^2-— = k, откуда у0 = kx0 4- b.
х0
3) Покажем теперь, что любая точка, находящаяся вне этой пря-
мой, определяется парой чисел, не удовлетворяющей уравнению
функции.
Возьмем точку А' (х0; у^ так, что уа Ф у0. Предположим, что
все же у'о = kx0 + b. Тогда из второго шага следует, что у0 =
— kx0 -р Ь. По транзитивности равенства имеем: у0 — уо, что про-
тиворечит условию. Выбор точки А' с одинаковой первой коорди-
натой, что и у точки А, упрощает доказательство, но не влияет на
общность рассуждения, так как точка А (х0; i/0) была выбрана про-
извольно, и потому естественно, что точка А! также произвольна.
Итак, все точки, координаты которых являются графиком данной
функции, расположены на прямой т, и только на ней.
Функция f (х), заданная на множестве А, называется ограничен-
ной сверху, если существует такое число М, что Ух £ Д: f (х)
< Л4; ограниченной снизу, если существует такое число т, что
Vx g А :т < f (х). Если функция ограничена сверху и снизу,
то она называется ограниченной.
Из области значений линейной функции видно, что она не явля-
ется ограниченной.
Для того чтобы установить ограниченность функции, достаточ-
но, в соответствии с определением, указать на одно из возможных
значений т и М (не обязательно из области значений функции),
принадлежащих области прибытия функции.
Так, например, функция f (х) = ха ограничена снизу в силу
того, что для любых х, взятых из области определения функции
133
имеем: f (х) > 0. Но для установления ограниченности этой функции
снизу достаточно было бы обнаружить, что
f(x)>— 1, f(x)>— 2 и т. п.
Если множество значений функции у — f (х) Ф const является
конечным, то среди элементов этого множества, обязательно найде-
тся наименьшее и наибольшее число. Эта пара чисел представляет
собой так называемые экстремальные значения х.
Если множество значений функции у = f (х) является бесконеч-
ным, то экстремальные значения могут и не существовать. Так, на-
пример, для бесконечного множества действительных чисел BY —
— {у/1 < у < 2}, являющихся значениями некоторой функции,
такая пара чисел существует: г/„пП = 1 и уты. = 2. Для бесконеч-
ного множества значений функции В2= {#/1 < у <2} — таких
чисел нет.
Для существования абсолютного экстремума необходимо, чтобы
функция была ограниченной. Линейная функция, не являясь огра-
ниченной, абсолютного экстремума не имеет.
Приведенный пример изложения материала о линейной функ-
ции показывает, что названные здесь общие свойства функций мо-
гут быть введены при обучении математике в VI—VII классах.
Более раннее ознакомление с ними школьников, на наш взгляд,
полезно, так как тем самым будет обеспечено более длительное по
времени и более основательное изучение функций в курсе алгебры,
однако требует большой осторожности, педагогического такта и
мастерства в работе учителя математики.
2.3. Остановимся теперь на некоторых частных вопросах методи-
ки изучения других алгебраических функций в курсе математики
восьмилетней школы.
Важнейшей особенностью изучения функций на этом этапе обу-
чения является постепенное усиление уровня требований к объему
и глубине знаний учащихся. Дело в том, что простейшие алгебраи-
ческие функции появляются в курсе алгебры последовательно в
течение длительного промежутка времени и, естественно, уровень
требований, предъявляемых к ученикам VI класса при изучении
прямой' пропорциональности, не может не отличаться от уровня
требований к восьмикласснику, изучающему свойства степенной
функции. Но к моменту окончания восьмилетней школы (и тем бо-
лее десяти классов) ученик должен одинаково уверенно обращаться
со всеми изученными функциями. Все это ставит перед учителем
вопрос о постоянном повышении требований при повторении мате-
риала и о системе повторения. Эта особенность носит объективный
характер и, по-видимому, будет иметь место длительное время.
Вторая особенность изучения функций в восьмилетней школе
связана со структурой современной программы и учебников и,
возможно, в процессе их совершенствования будет оказывать мень-
1 Здесь идет речь об абсолютном экстремуме.
134
шее влияние на методику преподавания. При первоначальном изу-
чении понятия функции (шестой класс) материал оказывается
очень насыщенным в идейном отношении и требует от учащихся
большого напряжения мысли. Но в дальнейшем, когда мы переходим
к изучению конкретных функций, материал оказывается значитель-
но более простым, каждая отдельная функция попадает в качестве
фрагмента в более или менее большую тему (например, линейная
функция изучается в главе «Многочлены»), и, хотя с точки зрения
существа курса алгебры в такой фрагментарности нет ничего пло-
хого, у учащегося вместо стройной системы знаний о функциях
может возникнуть какой-то набор отрывочных сведений, а те уси-
лия, которые были затрачены учителем при введении понятия функ-
ции, окажутся напрасными.
О какой системе знаний идет речь? С формальной точки зрения
можно считать, что в восьмилетней школе изучается одна алгебра-
ическая функция: у — ах4 — и функции, ею порождаемые. Это
прямая (г = 1) и обратная (г — —1) пропорциональности, одночле-
ны ах2 и ах3 и вообще степенная функция с произвольным натураль-
ным, а затем и целым показателем, степень с дробным показателем
(сначала с показателем, равным и -z-, а потом и с произвольным
дробным показателем). Такое расширение представления о функ-
ции у = а/ должно привести к появлению произвольного дейст-
вительного показателя и к одной из первых трансцендентных функ-
ций —: показательной. Второе направление в расширении представ-
лений о функции у = а/ приводит к появлению линейной функции,
квадратного трехчлена и произвольного многочлена. В связи с изу-
чением корней появляется и общий вопрос об обратимых функциях,
но для алгебраических функций теория этого вопроса не играет
столь существенной роли, как для трансцендентных, и мы обратим-
ся к ним в следующем параграфе.
Те требования, о которых говорилось в предыдущем пункте,
как раз и должны быть в конечном итоге выполнены при оконча-
нии изучения всего круга вопросов, связанных с расширением пред-
ставлений о функции у = ах4. При первом же знакомстве изучение
каждой функции имеет свои особенности, на которых мы сейчас
коротко остановимся.
По давней традиции первое знакомство с конкретными функция-
ми осуществляется на примере прямой и обратной пропорциональ-
ности. По существующей программе изучение этого вопроса прохо-
дит ряд последовательных этапов. Первый этап пропедевтический,
начинается еще в V классе, когда для решения некоторых задач
оказывается -удобным введение нового приема — составления и ре-
шения пропорций. Следующий этап — непосредственная подго-
товка к введению понятия функции на примере пропорциональ-
ности,— вообще говоря, может и отсутствовать. Можно, начав с изу-
чения понятия функции, перейти к этим примерам как к первой
135
и наиболее, простой иллюстрации введенного понятия. Но в сов-
ременном курсе алгебры VI класса этот этап сохранен, что имеет
определенные методические достоинства. В этом случае изучение
пропорциональности предшествует введению понятия функции, но
изучение графиков следует за ним.
Изучая по современной программе прямую и обратную пропор-
циональность, необходимо иметь в виду ряд смежных целей — раз-
витие идеи тождественных преобразований (числовых и с перемен-
ными), подготовка к усвоению понятия величины, изучение одного
из частных видов уравнений. Но главная цель заключается в фак-
тическом введении двух функций. При этом полезно обратить вни-
мание учащихся на следующее. До сих пор при изучении тождеств
рассматривалось соответствие значений разных выражений, содер-
жащих одинаковую переменную. Но сейчас мы переходим к рас-
смотрению соответствий между двумя множествами. До сих пор
единственным случаем соответствия было тождество, но, оказыва-
ется, существуют и другие виды соответствий. Ознакомившись
всего с двумя из них, мы сразу видим, как много интересных прак-
тических задач порождает это знакомство. Возникает двуединая
задача — внимательно изучить природу соответствий вообще и
рассмотреть конкретные соответствия в частности. Естественно на-
чать решение этой задачи с попытки обобщения, с общей постановки
вопроса, т. е. с введения темы «Функция».
Дальнейшая работа по изучению пропорциональностей бу-
дет уже строиться на основе общих положений, рассмотренных в
этой теме.
Функции у = ах2 и у = ах? изучаются как раздел темы «Одно-
члены». Это дает интересную возможность их введения. Ведь так
как выражения вида ахп уже знакомы учащимся, то изучение функ-
ций у = ахп естественно уже не только с позиций практики, но и
из интересов самой науки. С воспитательной точки зрения эта воз-
можность очень важна — мы должны показывать учащимся внут-
ренние закономерности развития науки. В учебном пособии [3.2]
сделано так. Основой для введения первой из упомянутых функций
служит ссылка на опыт Галилея, а для второй — нужды самой ма-
тематики. Однако, хотя здесь уже идет изучение серьезного матери-
ала на достаточно высоком уровне, тем не менее обсуждаются лишь
конкретные примеры функций и даже обобщения делаются на ин-
дуктивной основе. Например, о симметрии графика у = ах2 отно-
сительно оси ординат и о центральной симметрии графика у = ох3
говорится в самом общем виде, но вывод этот делается после постро-
ения нескольких графиков при конкретных значениях коэффициен-
та а.
Обратим внимание читателя на часто встречающийся в прак-
тике преподавания пробел — учитель не обращает внимания уча-
щихся на замечательную аналогию между фактами, изучаемыми в
геометрии (осевая и центральная симметрии), и свойствами графи-
ков, изучаемых в алгебре.
136
Об изучении линейной функции сказано в предыдущем пункте,
следующая же функция у = Ух изучается в теме «Квадратные кор-
ни», т. е. уже в VII классе. Вполне естественно, что здесь можно
сделать попытку (не обязательную!) аналитического обоснования
некоторых ее свойств, например возрастания. В пособии [3.41
соответствующее доказательство приведено мелким шрифтом. Ви-
димо, в классе такую попытку можно предпринимать, лишь убедив-
шись, что учащиеся чувствуют необходимость доказательства воз-
растания функции, столь «очевидного» из ее графика. Очень по-
лезно поговорить также о симметрии графика у = Ух одной из
ветвей графика у = х2 — это будет хорошей пропедевтикой изучения
свойств обратных функций.
Изучение в VII же классе функции у — ах2 -[-Ьх 4- с так же,
как и изучение степенной функции в VIII классе, особых методи-
ческих трудностей не вызывает (мы не говорим сейчас о введении
понятия обратной функции).
§ 3. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Значение, место и методика изучения показательной и лога-
рифмической функций.
3.2. Изучение тригонометрических функций в восьмилетней
школе.
3.1. В природе существуют такие процессы, которые не подда-
ются описанию с помощью алгебраических функций, но с доста-
точной точностью характеризуются трансцендентными функциями.
Среди этих функций важное значение имеют показательная и ло-
гарифмическая функции. Показательная функция служит матема-
тической формой выражения обширного класса процессов, происхо-
дящих в реальной действительности и имеющих общее название
процессов естественного роста или убывания величин, например:
численности населения, скорости распада радиоактивных веществ,
изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря,
падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бак-
терий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т. д.
В раскрытии закономерностей этих процессов используется и
логарифмическая функция.
Известно, какую важную роль в вычислительной практике иг-
рают числовые таблицы, а также шкалы значений показательной
и логарифмической функций в счетных приборах (счетные линей-
ки, номограммы). Отсюда ясно, что без показательной и логариф-
мической функций школьный курс математики имел бы меньшую
значимость не только в математическом образовании, но и в форми-
ровании мировоззрения учащихся, в осуществлении связи обуче-
ния математике с жизнью.
До реформы школьного курса математики показательная и ло-
гарифмическая функции изучались лишь в X классе. Однако место
137
этой темы в традиционном курсе математики не соответствовало его
логической структуре.
Логические и дидактические соображения говорят о том, что
изучение показательной и логарифмической функций следует про-
водить ранее рассмотрения степенных функций с произвольным
показателем.
Рассмотрение показательной функции создает наглядную осно-
ву для понимания назначения и свойств дробных показателей.
При обобщении расширяется область изменения показателя, а не
основания. Поэтому естественнее все рассмотрение вести, обращая
внимание на изменение степени при изменении показатёля и посто-
янном основании, а не наоборот.
Правда, зависимости вида у = схг очень часто встречаются на
практике. Но графическое изучение таких зависимостей практичес-
ки ведется на логарифмической сетке, где наклон прямолинейного
графика позволяет определить показатель степени. Трудно найти
область техники, в которой этот прием не нашел бы применений.
Это тоже говорит за то, что целесообразно изучать показательную
функцию и логарифмы до рассмотрения степенных функций с про-
извольным показателем. Лишь степенная функция с натуральным
показателем у — хп и обратная к ней у = yGc должны быть введе-
ны ранее при первом же знакомстве с корнями любой степени»
[4.551. В соответствии с этими положениями и определено место изу-
чения этих функций по новой программе.
В VIII классе в связи с повторением, а затем дальнейшим расши-
рением и обобщением понятия степени последовательно формирует-
ся и понятие показательной функции на множестве действительных
чисел. Этот процесс состоит в изучении свойств функции у = ах
на различных этапах расширения и обобщения понятия степени:
1)
2) aEQ, xQZ;
3) a£Q, a>0, xgQ;
4) a£R, a>0, xQR.
Сведения о понятии действительного числа, накопленные до
VIII класса, недостаточны для строгого определения показательной
и логарифмической функций и описания их свойств. Поэтому к пока-
зательной и логарифмической функциям, изучаемым в VIII классе
на индуктивной и наглядной основе, приходится возвращаться в
X классе, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное
изложение материала.
В VIII классе учащиеся впервые встречаются с функцией у =
= а\ где х С N при изучении формулы n-го члена геометрической
прогрессии: Ьп — Ьг • qn~l = — • qn.
Здесь следует рассмотреть частного вида последовательность
9» •••> я'\ ••• с формулой n-го члена bn = qn (д > 0) и в поряд-
138
ке упражнений построить графики функций при конкретно заданных
q > 1 и q < 1 соответственно, отметив по графикам их свойства:
возрастание (q > 1), убывание (q < 1), положительные значения
функции на всей ее области определения при любых значениях q >
> 0. Этой функции можно дать название показательной, определен-
ной на множестве 7V, но можно этого и не делать, если основной ма-
териал темы усваивается учащимися с затруднением.
В учебнике «Алгебра, 8» среди упражнений на составление
формулы n-го члена геометрической прогрессии есть текстовые за-
дачи жизненного содержания, связанные с естественным процес-
сом роста. Но в этих задачах нет буквенных данных, и поэтому
функция qn с переменной и явно не выступает, вследствие чего те-
ряется возможность показать учащимся некоторое прикладное
значение этой функции. Поэтому желательно, решая, например,
задачу: «На опытном лесном участке ежегодный прирост древесины
составил 10%. Какое количество древесины будет на участке через
6 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000 м3?»,
дополнить текст вопросами: «А через 12 лет? Через 24 года?»
(1 1 \п
-jo-) , в которое
входит функция qn при q — -U-. Теперь можно вычислить значение
этого выражения при заданных значениях п, в частности при п =6.
(11 \п
То“)
возникает как гипотеза на основе обобщения числовых выражений,
представляющих количество древесины в конце каждого из первых
3—4 годов.
. В связи с повторением понятия степени с целым показателем рас-
сматриваются свойства степени у = а\ где а Ф 0, х £ Z. В учебни-
ке «Алгебра-8» особо выделяется случай а > 0 и доказываются
для этого случая два свойства функции: она принимает положи-
тельные значения на множестве целых чисел и монотонна (при а >
> 1 возрастает, при а < 1 убывает). И это не случайно, так как
здесь снова имеем дело с показательной функцией, определенной на
множестве Z.
Полезно сопоставить известные учащимся графики функций
qn (при 0<^<1и?>1, /V) с графиками функций а* (при
0 < а <2 1 и а > 1, х Q Z) и отметить, что при а = q графики
функций совпадают в первой координатной четверти.
При определении степени с дробным показателем необходимо
детально раскрыть содержание предложения: «Такие выражения,
1 з
как 0 6, (—2)8, не имеют смысла». В противном случае ограниче-
ние а > 0 для функции где х £ Q, будет казаться искусствен-
ным. Следуя определению степени с дробным показателем, имеем:
__L 5____
0 5 = 0 5 = ]/ Но по определению степени с целым
139
отрицательным показателем полученное выражение преобразуется к
5 /
виду у -Q-, что действительно не имеет смысла (на 0 делить нельзя).
з
Выражение (—2)8 по определению, можно представить в виде
у (—2)3 == у —8, но в соответствии с определением арифмети-
8 Г-
ческого корня выражение у —8 также не имеет смысла.
Самым слабым в смысловом отношении местом в формировании
понятия показательной функции на множестве действительных чи-
сел является принятие без доказательства существования а* (а > 0)
при иррациональных значениях х. С этим логическим пробелом
приходится по необходимости мириться.
§ 12 учебного пособия [3.6] целиком посвящен изложению свойств
показательной функции с основанием 10. Такое внимание к свойст-
вам функции у = 10х вполне оправдано*, усвоение материала этого
параграфа сделает более легким переход к десятичным логарифмам.
Среди упражнений на тему «Показательная функция» обычно
встречаются уравнения и неравенства в одну, или обе части которых
входит функция вида а6х. Это новый для учащихся вид уравнений и
неравенств. Однако нецелесообразно давать определения такого
вида уравнений и неравенств или тем более обучать специальным
способом их решения хотя бы потому, что ни одна из известных по-
пыток ввести определение показательного (а также логарифмичес-
кого и тригонометрического) уравнения не была удачной ни с мате-
матической, ни с педагогической точки зрения.
Такие уравнения и неравенства решаются на основе свойств
показательной функции. Да и их назначение как раз в том и со-
стоит, чтобы научить учащихся практическому применению свойств
этой функции, что способствует также более осознанному усвоению
ее свойств.
Например, при решении неравенства 10х < 1000, после пред-
ставления его в виде 10х < 103, нужно воспользоваться свойством
монотонности (возрастания) функции 10х.
Той же цели служат и задания для графического решения урав-
нений и неравенств. \
К моменту изучения логарифмической функции учащимся дол-
жно быть известно понятие обратной функции и условие, при ко-
тором обратная функция существует. Собственно, это то место
курса, где впервые по-настоящему используются эти факты.
Введение функции, обратной данной, представляет довольно
сложную методическую задачу, поэтому мы сейчас вернемся к ней
несколько подробнее. В учебном пособии [3.61 интересующий нас
вопрос изложен достаточно четко и убедительно. Идея построения,
предлагаемая пособием, является естественным развитием тех идей,
которые были выдвинуты в VI классе. Задано (с помощью стрелок)
соответствие. Поменяв направление стрелок, получим новое соот-
140
ветствие. Пусть теперь соответствие задано с помощью пар. Поменяв
местами элементы каждой пары, получим новое соответствие. Сле-
дует вывод, что соответствие, обратное функции, может быть как
функцией, так и некоторым иным соответствием. Остается ввести
определения обратимой и обратной функций и доказать теорему об
обратимости монотонной функции.
С содержательной стороны все это доступно учащимся, но зада-
ние соответствий с помощью стрелок изучалось два года назад,
в VI классе. Помнят ли учащиеся этот материал? Правда, если ока-
жется, что нет, то это легко поправить, организовав повторение.
Труднее обосновать необходимость изучения этого материала. Мы
приведем пример беседы, в которой учитель использует для объяс-
нения материала игровую ситуацию.
«Школьный вечер танцев. Возникают различные ситуации. На-
пример, все мальчики танцуют, но кое-кто из девочек «стоит в сто-
ронке». А может быть, кое-кто из мальчиков вовсе не умеет танце-
вать, и часть девочек тоже не танцует. А может быть... Только
договоримся, что мальчик с мальчиком, как и девочка с девочкой,
не должны танцевать. Если мы покажем все возможные ситуации
на языке множеств и соответствий, то станет ясным, что случай
«все мальчики танцуют» вовсе не означает, что все девочки пригла-
шены. Проще говоря, соответствие в одну сторону далеко не всегда
влечет за собой аналогичное в другую. Но есть и особенная ситуа-
ция, пожалуй, наиболее привлекательная: каждому мальчику,
иначе говоря, каждому элементу множества Л/, соответствует одна
и только одна девочка, только один элемент множества D (значит,
соответствие является функцией), и одновременно каждому элемен-
ту множества D соответствует один и только один элемент множест-
ва М (обратное соответствие тоже является функцией!). Но если
даже в таком простом и веселом деле возникает столько различных
ситуаций, то, наверное, придется рассмотреть все это более обсто-
ятельно. В частности, придется особо поинтересоваться обобщени-
ем «праздничного» случая, более того, придётся придумать соот-
ветствующее этому случаю название и ввести для него определение».
Введя на подобного рода индуктивной основе необходимые по-
нятия, можно с достаточной строгостью говорить о функции у
— ух как обратной по отношению к у — х". При этом особое вни-
мание следует уделить использованию монотонности функции
у — х? для доказательства ее обратимости. Теперь создана база
для сознательного перехода от показательной функции к лога-
рифмической.
Очевидно, что показательная функция как функция монотон-
ная должна иметь обратную функцию. Эту функцию, обратную
показательной функции у = а* (где а > 0 и а 1), условились
называть логарифмической и обозначать у — logo х.
Учащиеся также знают взаимное расположение графиков дан-
ной функции и ей обратной. Это позволяет, не прибегая к аналити-
141
ческому исследованию свойств логарифмической функции, выяв-
лять ее свойства по графику. В учебнике таким способом выявля-
ются свойства у = 1g х как функции, обратной функции у == 10х.
Далее, однако, следует показать учащимся аналитический метод
выявления свойств таких, например, функций, как у = 1g (8 — 2х),
у = 1g | х |. В учебнике не ставится вопрос о свойствах логарифми-
ческой функции с основанием, отличным от 10. Желательно опи-
сание учащимися свойств функции у = logfl х при 0 < а < 1 как
функции, обратной у ах, Q использованием графических пред-
ставлений.
На базе конкретных представлений о свойствах показательной
и логарифмической функций в X классе учащиеся знакомятся с фор-
мальным аспектом введения этих функций и выявления их свойств.
* Возможны два варианта изложения теории.
1. а) Рассматриваются задачи, приводящие к дифференциально-
му уравнению вида у* — А#, (X £ R). Постулируется существова-
ние и единственность функции f (х), определенной на множестве /?,
удовлетворяющей данному дифференциальному уравнению и его
начальному условию у (0) =» 1. Иначе говоря, принимается без
доказательства существование и единственность f (х) с областью
определения j?, которая удовлетворяет двум условиям: /' (х) =
“WW (1) и f (0) = 1 (2).
Здесь сразу же должны быть отчетливо отмечены следующие
свойства f (х):
1) Чтобы удовлетворять условию (1), функция f (х) должна быть
на множестве R дифференцируемой, а следовательно, и непрерывной.
2) Удовлетворяя начальному условию f (0) = 1, функция f (х)
на множестве R не может принимать значение, равное 0. Но, буду-
чи непрерывной и принимая положительное значение 1 при х = 0,
она, очевидно, не может принимать отрицательных значений. Сле-
довательно, иа множестве R функция / (х) принимает только поло-
жительные значения.
б) Если f (1) обозначить через а (а > 0 по свойству f (х)), то
функция имеет вид ах и поэтому названа показательной.
в) Особо рассматривается показательная функция, удовлетво-
ряющая уравнению у' = у (X = 1) и начальному условию у (0) =
= 1, т. е. двум условиям: /' (х) = f (х) и f (0) = 1. Эта функция
получила название «экспонента», а для обозначения ее основания
принята буква е, т. е. экспонента имеет вид ех.
Будучи показательной, функция ех дифференцируема, непрерыв-
на и принимает положительные значения на множестве /?. Но из
того, что (а*)' ~ ех и ех > 0, следует, что ех — возрастающая функ-
ция. Можно постулировать, что областью значений экспоненты
является /?+ = 10, + оо 1.
г) Функция, обратная экспоненте ех, называется натуральным
логарифмом и обозначается In х. Свойства функции 1пх выявляются
на основе общих свойств обратных функций»;
142
д) Показательная функция d с произвольным положительным
основанием а есть решение дифференциального уравнения у' =
= In а • у с начальным условием у (0) = 1 (откуда сразу следует:
(а*)' = ах • In а); функция d возрастает при й> I и убывает при
0 < а < 1.
е) Функция, обратная функции ах (а > 0, « 1), называется
логарифмом по основанию а и обозначается log0 х.
Свойства логарифмической функции выявляются на основе об-
щих свойств обратной функции.
Изложенный вариант теории показательной и логарифмической
функций использован в пробном учебнике Е. С. Кочеткова н
Е. С. Кочетковой «Алгебра и начала анализа, 10 класс» (1974).
2. По другому варианту изложение теории начинается с опреде-
ления логарифмической функции:
1 С Л
1п X =* \ —•р-,
1
затем вводится экспоненциальная функция как функция, обратная
логарифмической (ехр (х) = ех), через которую и определяется по-
казательная функция d = е*'1п0 (подробнее см. [1.29]).
Как видим, рассмотренные варианты отличаются порядком изу-
чения логарифмической и показательной функций. С логической
точки зрения оба варианта эквивалентны, но методически второй
вариант предпочтительнее.
При первом варианте более формализованы исходные положения
теории: существование и единственность функции, определенной на
множестве R и являющейся решением дифференциального уравне-
ния у’ — Ку (1) при начальном условии у (0) = 1, а также то поло-
жение, что «начальное условие у (х0) — 0 дает в качестве решения
уравнения (1) тождественный нуль», более трудно подкрепить на-
глядным и содержательным толкованием, чем существование и един-
. S dt
ственность функции I —т~, которая служит исходным положени-
V *
]
ем при втором варианте построения теории.
3.2. Тригонометрические функции являются первыми транс-
цендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математи-
ки. Их роль и место в нем определяются главным образом двумя
сторонами применения этих функций в теории и практике. Во-
первых, тригонометрические функции дают замечательный вычис-
лительный аппарат для решения разнообразнейших задач плани-
метрии и стереометрии. Эта роль тригонометрических функций
общеизвестна, более того, она нередко преувеличивается. Во-вто-
рых, учение о тригонометрических функциях позволяет весьма на-
глядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие
свойства функций вообще: периодичность, четность и нечетность,
ограниченность, монотонность и т. д. Впрочем, и в этом отношении
143
трялипионная школа допускала некоторую односторонность —
тригонометрические функции из интересных и важных примеров,
иллюстрирующих общие идеи математического анализа, превраща-
лись в самоцель, и их изучение становилось содержанием специаль-
ного школьного предмета, богатого явно избыточным количеством
формул, задач, правил преобразований и т. п. Современная програм-
ма в основном избавила учителя и учащихся от этой однобокости,
тем не менее надо полагать, что дальнейшая модернизация школь-
ной математики может внести серьезные поправки в содержание
тригонометрических тем курсов геометрии и алгебры и начал анализа,
ч Две стороны в содержании учения о тригонометрических функци-
ях отражаются и в выборе возможных путей введения их в школе.
Первый путь чисто аналитический. Наиболее перспективными
для школы здесь представляются два варианта. Один из них по су-
ществу рассматривается в X классе и сводится к анализу дифферен-
циального уравнения F (/) = — cf (/). Хотя это уравнение и по
программе, и в учебнике [3.101 появляется уже после введения три-
гонометрических функций, очевидно, что и теория, и приложения
тригонометрических функций могут быть построены именно через.
решение указанного уравнения (аналогично введению логарифма
через решение дифференциального уравнения у' (х) — ку (х)). По-
видимому, в настоящее время мы будем лишь констатировать такую
возможность и использовать ее на кружковых занятиях. Второй
вариант аналитического введения тригонометрических функций—ис-
пользование аппарата рядов. Сегодня такой подход для средней шко-
лы представляется мало реальным, но, учитывая его эффективность
и глубину общих идей, реализуемых при использовании рядов, можно
полагать, что в будущем он найдет применение в школьном обучении.
Более привычным для школы представляется второй путь —
геометрический, совершенствующийся в методическом отношении
уже более ста лет. Имеется большое число разновидностей этого
пути. Самой наглядной и простой из этих разновидностей является
введение тригонометрических функций путем рассмотрения отно-
шений сторон в прямоугольном треугольнике. Основной недоста-
ток такого определения тригонометрических функций — затрудне-
ния, возникающие при переходе к углам, большим прямого, и при
переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента.
Попытки преодоления первой из этих трудностей и привели к весьма
разнообразным по форме, но единым по сути своей подходам — через
так называемые тригонометрические линии в круге, через отношение
координат радиус-вектора, через проекции единичного вектора и т. п.
Для современного уровня развития методики преподавания
математики наиболее удачным представляется первоначальное
определение синуса и косинуса как координат точек окружности
xa+t/2 = 1. В этом случае необходимость какого-либо формаль-
ного определения вообще отпадает, так как оказывается, что sin а
и cos а есть просто новые названия ординаты и абсциссы точки Ра
единичной окружности. Сама точка Ра является отображением
144
точки PQ с координатами (1, 0) при повороте плоскости на угол а
вокруг начала координат. Такое определение дает естественный
путь к введению формул для вычисления координат вектора и отсю-
да к решению разнообразных задач.
При всей очевидности и простоте указанного приема он предъяв-
ляет довольно высокие требования к уровню развития учащихся.
Прием этот в известной степени синтетический — в нем обобщаются
в одном направлении различные факты. Ученик должен владеть
понятиями преобразований и их композиции (особенно компози-
ции поворотов), иметь отчетливое представление об уравнениях с
двумя переменными и их графиках, в частности о графике уравне-
ния х2 + у2 = /?2, достаточно уверенно опираться на понятие
функции. Для учителя это означает необходимость обстоятельного
и целенаправленного повторения.
Далее, тот факт, что синус и косинус есть функции угла поворо-
та, при любом геометрическом построении теории тригонометричес-
ких функций представляется почти очевидным. Но до сих пор все
функции, изучаемые в школе, задавались формулами, в которых
явным образом указывался порядок выполнения операций над зна-
чениями аргумента для получения соответствующих значений
функций. Теперь же мы фактически обращаемся к случаю, лишь
вскользь упоминавшемуся в курсе алгебры VI класса,— функция
задается таблично (хотя и имеет совершенно наглядную геометри-
ческую интерпретацию!). Объяснить учащимся VIII класса источник
затруднения, связанный с трансцендентностью новых функций, на
современном уровне развития школы, по-видимому, невозможно.
Понимая это, учитель тем не менее может сообщить учащимся, что
математика имеет в своем распоряжении средства, позволяющие
вычислить значения тригонометрических функций с любой степенью
точности. Результатом таких вычислений и являются применяемые
в школе таблицы. <
Дальнейшее изучение тригонометрических функций в восьми-
летней школе сводится к их применению к решению различных за-
дач вычислительного характера, что принципиальных трудностей
не вызывает. Обратим лишь внимание читателя, воспитанного в ду-
хе традиционной методики, на следующую деталь. Тот факт, что
синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение
катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе, при современ-
ном определении тригонометрических функций становится уже не
определением, а теоремой. Это означает, что на первых порах уча-
щиеся будут решать задачи на соотношения между сторонами и
углами прямоугольного треугольника несколько менее уверенно,
чем раньше. Торопиться, стремясь как можно скорее выработать
навыки в решении этих задач, не следует, здесь нужны планомер-
ность и систематичность обучения, они и приведут к достижению
необходимых целей к концу обучения в восьмилетней школе.
На некоторых особенностях изучения тригонометрических
функций в старших классах мы остановимся в главе XVII.
145
Глава XV
УЧЕНИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
б 1. ВОЗМОЖНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ
ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ
1.1. Введение.
1.2. О традиционном школьном курсе геометрии.
1.3. Характеристика основных способов построения курса гео-
метрии.
1.1. Над совершенствованием содержания, структуры и мето-
дики обучения геометрии еще до Великой Октябрьской революции
работали многие прогрессивные русские методисты-математики,
продолжавшие свою работу и в советское время: С. И. Шохор-
Троцкий, Н. А. Извольский, А. Р. Кулишер, А. М. Астряб, И. Н. Ка-
вун и др.
Работы этих педагогов имели в свое время немалое влияние на
эволюцию школьного обучения геометрии. Однако в условиях до-
революционной России большинство результатов их исследований
не могло быть реализовано в практике обучения.
Многие из достижений этих методистов легли в основу советской
методики обучения геометрии в период ее становления. Многое не
потеряло своей актуальности и в настоящее время.
Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.
С. И. Шохор-Троцкий в книгах, статьях и докладах многократ-
но высказывал и старался реализовать в преподавании идею о том,
что все обучение математике в школе должно быть основано на
так называемых целесообразных задачах. Под «целесообразными
задачами» С. И. Шохор-Троцкий понимал такие задачи, решение
которых мотивирует для учащегося полезность усвоения тех или
иных теоретических вопросов. При этом термин «задача» С. И. Шо-
хор-Троцкий употреблял в самом широком смысле, подразумевая
под ним и задачи, из решения которых вытекает та или иная теоре-
ма, и задачи, содержание которых иллюстрирует те или иные ак-
сиомы или определения, и задачи, требующие проведения вы-
числений с последующим за этим изготовлением модели, черте-
жа, и т. д.
146
j С. И. Шохор-Троцкий считал, что «подбор этих задач должен
прежде всего удовлетворять требованиям простоты, целесообраз-
ности и занимательности» *. Он был убежден в том, что весь школь-
ный курс математики может быть построен на методически и целе-
сообразно подобранных задачах, а не на объяснениях учителя или
изучении текста учебника. С. И. Шохор-Троцкий опирался при этом
на необходимость согласования методики обучения математике
С требованиями психологии развивающегося мышления.
«Ученики... занимаются преимущественно решением задач.
Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат
К числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких
рассуждений. К доказательству же очевидных теорем ученики мо-
гут обращаться только в случае особенного интереса к самому про-
цессу доказательства» 1 2.
Таким образом, С. И. Шохор-Троцкий считал, что в процессе обу-
чения математике учащегося следует делать не только свидетелем
математических открытий, но по возможности активным участником
самого процесса открытия.
Характеризуя разработанный им учебный курс «Геометрия на
задачах», С. И. Шохор-Троцкий писал, что этот курс «...содержит
в себе полный курс геометрии, отличающийся от практикующегося
в школе до настоящего времени в следующих отношениях: а) в этом
основном курсе господствуют не исключительно диалектические
точки зрения; б) главное внимание в нем обращается на чувствен-
ные пространственные восприятия, на непосредственное усмотре-
ние (то есть на интуицию) и на ясные геометрические представления;
в) поэтому доказательства теорем появляются не с первых же шагов
учащегося в области геометрических знаний, а по мере возникнове-
ния у учащихся истинного к ним интереса; г) благодаря этому ос-
новному курсу ученики могут приобрести совершенно сознатель-
ные навыки в геометрическом черчении при решении посильных
геометрических задач на построение; д) благодаря ему же они долж-
ны выработать себе вполне точные геометрические понятия, усво-
ить себе доказательства таких теорем, которые относятся к разряду
не слишком очевидных истин; е) они могут добраться также и до не-
которых плодотворных геометрических идей и до некоторой потреб-
ности в диалектической систематизации всего приобретенного ими
геометрического знания. Эта потребность, благодаря основному
курсу, может и должна возникнуть естественным, а не искусствен-
но навязываемым ученику путем» 3.
Заметим, что «метод целесообразных задач» С. И. Шохор-Троц-
кого по существу является тем семенем, из которого «выросла» со-
временная идея проблемного обучения.
1 Шохор-Троцкий С. И. Геометрия на задачах (основной курс).
Книга для учителей. М., 1913, с. XIV.
2 Т а м ж е, с. XVIII.
з Там же, с, XIX.
147
Оценивая интересные идеи С. И. Шохор-Троцкого, следует
прежде всего отметить их направленность на органическую связь
обучения и развития, которую полезно осуществлять и в современ-
ной школе. Однако надо иметь в виду, что, уделяя основное внима-
ние индуктивному методу изучения геометрии, С. И. Шохор-Троц-
кий адресовался к школе своего времени. В настоящее время общее
(и математическое) развитие учащихся стало намного выше. Кроме
того, по новым программам изучение геометрии в средней школе
проходит через четыре этапа: а) начальные классы; б) IV—V клас-
сы, в) VI—VIII классы; г) IX—X классы, что в дореволюционных
школах, конечно, не предусматривалось.
Опыт советской школы показывает, что на основе серьезной про-
педевтики курса геометрии, которая имеет место в I—III и IV—V
классах, уже в VI классе можно начинать изучение систематическо-
го курса геометрии с большим обращением к дедукции, чем это ре-
комендовалось С. И. Шохор-Троцким.
В самом деле, уже в I—III классах учащиеся накапливают на-
чальные геометрические представления, знакомятся с простейшими
геометрическими терминами, овладевают элементарными навыка-
ми использования чертежных и измерительных инструментов, го-
товятся к пониманию роли определений. В курсе математики IV—
V классов значительно расширяется область изучаемых геометри-
ческих фигур, рассмотрение свойств фигур уже проходит в опреде-
ленной системе, уделяется внимание формулировке выводов из опы-
та и наблюдений, для некоторых понятий даются определения,
учащиеся знакомятся с понятием отображения геометрических
фигур. Таким образом, уже на этом этапе обучения геометрии начи-
нается целенаправленная работа по формированию у учащихся
навыков дедуктивного мышления.
Тем не менее указания С. И. Шохор-Троцкого о целесообразнос-
ти опоры на опыт и наблюдение, на расширение конкретных задач,
на мотивировку вводимых определений и мотивировку необходи-
мости доказательств первых теорем не потеряли своего значе-
ния и сейчас, при изучении начал систематического курса гео-
метрии.
С другой стороны, известный педагог-математик Н. А. Изволь-
ский подчеркивал роль логической структуры курса геометрии
для его сознательного усвоения. Говоря о развитии логического
мышления школьников при изучении ими геометрии, о роли логи-
ки в построении курса геометрии, Н. А. Извольский писал: «...на-
до стремиться к идеалу стройности курса: введение в курс новых
объектов, комбинирование их, обобщение основных понятий долж-
но быть выполнено по строго логическому плану. Тогда эта сторона
курса окажет доминирующее влияние на развитие учащихся и влия-
ние неизмеримо большее, чем от проведения требования, чтобы все,
что не аксиома, доказывалось. Эта стройность плана повлечет за
собою развитие у учащихся потребности применять к изучению гео-
метрии логику, навык в построении силлогизмов само собою, без
148
навязывания его учащимся, займет в курсе надлежащее место, так
как учащиеся сами почувствуют и необходимость формальной ло-
гики и пользу ее»1 11.
В процессе эволюции школьный курс геометрии подвергался
изменению не только со стороны содержания, объема или методики
обучения.
Предпринимались попытки реализовать в курсе геометрии
идею фузионизма, т. е. осуществить слияние в едином курсе плани-
метрии и стереометрии; предпринималась попытка построить курс
геометрии на иной (отличной от евклидовой) теоретической основе
(например, на основе групп преобразований) и т. п.
На идее фузионизма был, например, построен курс геометрии
С. А. Боголюбоваа, которому присущи следующие особенности:
1) весь курс излагается аксиоматически;
2) принцип фузионизма дает возможность объединить доказа-
тельства многих теорем планиметрии и стереометрии;
3) активно работает аксиома непрерывности, применяемая час-
то вместо обычной теории пределов;
4) понятие движения не играет ведущей роли, однако в
специальном приложении приводится обоснование понятия ра-
венства (конгруэнтности) геометрических фигур на основе этого
понятия.
Предпринимались неоднократные попытки построения курса
геометрии на основе понятия группы преобразований.
Начало теоретико-групповому подходу в геометрии было поло-
жено Эрлангенской программой Ф. Клейна. В соответствии с этим
подходом каждый класс геометрических свойств соотносится к
определенной группе преобразований, при проведе-
нии которых этот класс свойств остается инвариантным. Иными сло-
вами, каждый класс свойств определяет свою геометрию.
Идеи Ф. Клейна можно проиллюстрировать на примере аффин-
ной группы преобразований плоскости, известной из курса геомет-
рии для педагогических институтов.
Структура аффинной группы преобразований плоскости (аффин-
ной геометрии плоскости) может быть наглядно представлена в виде

inf
следующей диаграммы Эйлера — Венна (рис. 24).
Теоретико-множественное пересечение эквиаффинной группы
преобразований с группой подобия дает группу движений (переме-
щений) плоскости. На диаграмме видно, как из аффинной группы
преобразований выделяются все подгруппы I рода: группа аффин-
ных преобразований I рода и ее подгруппы (группа эквиаффинных
преобразований I рода и группа подобий I рода). В Свою очередь
1 Извольский Н. А. Современное состояние геометрии в средней
школе в связи с обзором наиболее распространенных учебников— в кн.: Труды
1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т. II, СПб,, 1913,
С. 74.
11 См.: Боголюбов С. А. Геометрия (систематический курс). М.— Л.,
1949.
149

группа
я
Су
Б
косые
сжатия
сжатия
Косые
симме-
% °-
Рис. 24.
(k>Qt К*1)
финне
Зкбиацмринные
коллинеации
I рода
ЗкЙисщнринные
коллинеации
А.ер Финн ы е
(Жиги
Параллельные
переносы
Вращения
центрально^
подобные
орошения
ц рода
гомолог и\и
Косы
трии
Прямые
симметрии
Скользящие
симметрии
цетрально-
гмЗойнше
симметрии
по
(?ой*а

две последние группы, пересекаясь, дают группу движений I рода
и т. д.
Хотя точка зрения Ф. Клейна на построение геометрии не ис-
черпывает всего богатства современной геометрии, его теоретико-
групповой подход к построению геометрии охватывает практически
все геометрические теории, изучаемые сейчас в качестве учебного
предмета в высшей школе.
Однако ни та, ни другая из охарактеризованных выше точек зре-
ния не была реализована в практике массового школьного обучения.
Большое внимание курсу геометрии было уделено на I и II
Всероссийских съездах преподавателей математики (в 1911 и в
1913 гг.).
Председатель Оргкомитета II Всероссийского съезда Б. К. Мло-
дзеевский, открывая заседание съезда, сказал: «...в последние
десятилетия в математике сделаны такие открытия, которые не толь-
ко изменили коренным образом наши воззрения по целому ряду
150
основных вопросов, но и вызвали в связи с этим коренной переворот
в методике математики»1 2.
И далее: «...идея преобразования как основной операции, об-
нимающей не только математические, но и другие, более широкие
отношения, проникла во все отделы нашей науки и сделалась важ-
нейшим основанием систематизации» а.
С интересным докладом, посвященным анализу проникновения
идеи движения в русские учебники геометрии, выступил А. Р. Ку-
лишер. Он указал, что е понятием движения связывают различные
представления. Некоторые, говоря о движении, представляют се-
бе перемещение некоторого материального «твердого» тела. Такую
точку зрения Кулишер называет механической или динамической,
связанной с представлением о силе, вызывающей это движение.
Другая точка зрения, которую Кулишер называет кинемати-
ческой, опирается на более отвлеченное представление о движении,
не связанное с представлением о силе, вызывающей это движение.
Кулишер отмечает, что такое представление о движении имеет мес-
то, например, при доказательстве признаков конгруэнтности тре-
угольников наложением, а также при установлении конгруэнтнос-
ти отрезков и углов, при рассмотрении тел вращения и т. п.
Наконец, Кулишер отмечает, что движения можно трактовать
как некоторые преобразования точек плоскости или пространства.
«Перемещением тела (или же плоской фигуры) мы будем назы-
вать такое точечное преобразование тела, при котором расстояние
между каждой парой точек остается после каждого преобразования
неизменным. Этому условию удовлетворяют как параллельные
перенесения тел (и плоских фигур), так и их вращения».
Мы видим, что эта точка зрения на движение полностью совпа-
дает с принятой сейчас в школьном обучении.
Сравните, например, определение преобразования, которое
дает Кулишер: «Под преобразованием мы подразумеваем одно-
однозначное сопряжение между некоторой совокупностью (элемен-
тов) и той же совокупностью» 3 с трактовкой отображения, которая
принята в действующем учебнике [3.451 и пособии для учителя
[3.461.
С первых лет существования Советской власти прогрессивные
методические идеи стали активно проникать в школу. Идея геомет-
рического преобразования отражена уже в «Примерных програм-
мах» 1918 и 1920 гг. Большое значение придавалось здесь усвоению
учащимися идеи взаимно однозначного соответствия между точка-
ми конгруэнтных, симметричных и подобных фигур; подчеркивалось
значение симметрии в деле изучения геометрических свойств фигур
и тел, а также роль симметрии как инструмента доказательства
1 Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателей математи-
ки в Москве. М., 1915, с. 3.
2 Т а м же.
* Т а м ж е, с. 303.
151
теорем. Идея движения находила применение во многих разделах гео-
метрии, в том числе и при изучении параллельности и перпендику-
лярности прямых и плоскостей. Подобие (в частности, гомотетия)
трактовалось как геометрическое преобразование.
Следует признать, что, несмотря на выявившуюся еще в то вре-
мя полезность изучения геометрии в средней школе на основе идеи
преобразований, эта идея до самого последнего времени не занимала
должного места в школьном курсе геометрии. По существу в систе-
матическом курсе планиметрии до 1972/73 учебного года рассматри-
вались только три вида преобразований: симметрия, гомотетия и
подобие, причем только гомотетия и подобие трактовались как
геометрические преобразования. Другие геометрические преобразо-
вания — параллельный перенос и вращение, знакомство с которы-
ми повысило бы идейное содержание курса геометрии средней шко-
лы, не получили никакого отражения в этой программе.
1.2. Традиционный систематический школьный курс геометрии,
который сложился под влиянием «Начал» Евклида, претерпевал в
процессе развития школьного обучения значительные изменения
как в отношении объема изучаемого материала, так и в отношении
содержания рассматриваемых в нем отдельных тем. В определен-
ном смысле неизменным оставался лишь дедуктивный характер из-
ложения этого курса, хотя он выдерживался весьма непоследова-
тельно.
В школьном курсе геометрии были представлены аксиомы и
теоремы, однако четкая система аксиом явно не выделялась. Тра-
диционный школьный курс геометрии до сих пор строился на не-
полной системе аксиом. В этом нетрудно убедиться, сравнив аксио-
матику обычного школьного курса геометрии с системой Д. Гиль-
берта. Так, в традиционном школьном курсе наиболее полно по
сравнению с другими группами системы аксиом была представлена
лишь первая группа аксиом Д. Гильберта (аксиомы инцидентности);
были представлены также четвертая группа аксиом (аксиома па-
раллельности) и одна из аксиом пятой группы — аксиома Архимеда
(аксиома измерения). Группы аксиом порядка (вторая) и конгру-
энтности (третья) в традиционном школьном курсе геометрии ока-
зались совершенно не представленными.
Поэтому в процессе дедуктивных рассуждений школьники
часто прибегали к интуитивным представлениям, использовали
явно не сформулированные аксиомы, опирались не только на не-
доказанные, но даже в явном виде не выраженные предложения.
Например, при доказательстве теоремы о том, что диагонали
параллелограмма делятся в точке пересечения пополам, само су-
ществование точки пересечения не обосновывалось. Также счита-
лось очевидным, что если к равным углам «прибавить» равные углы,
то в результате получим равные же углы и т. п.
Многие определения геометрических понятий не являлись
строгими, а по существу представляли собой описания этих
понятий.
152
Понятно, что сложившийся традиционный школьный курс гео-
метрии не мог более удовлетворять современным целям обучения
математике. Больше того, такой курс геометрии оказывал вред-
ное влияние на становление математического мышления учащихся;
фиктивная строгость изложения только дезориентировала учащих-
ся, приводила к искаженным представлениям о дедуктивном методе
построения науки, о математике как таковой. В традиционном обу-
чении изучение основ геометрии часто оказывалось подмененным
формальным обучением доказательству отдельных теорем, доказа-
тельствам, которые были таковыми лишь по форме, а не по сущест-
ву. Иногда это приводило к весьма парадоксальным ситуациям.
А. Н. Колмогоров и М. И. Яглом на ярком примере1 показали, как
в течение долгого времени неверное по существу доказательство
третьего признака равенства треугольников «кочевало» из учебни-
ка в учебник и заучивалось многими поколениями учащихся средней
школы.
Таким образом, в традиционном обучении геометрии и пропе-
девтический (начальные классы), и систематический (средние и
старшие классы) курсы геометрии по существу были построены на
интуитивной основе.
Естественно, что при изучении подобного курса геометрии было
невозможно реализовать одну из основных целей обучения геомет-
рии — формирование умений грамотно и осмысленно формулиро-
вать определения понятий и проводить доказательства теорем.
Еще в 1946 г. известный советский педагог-математик Я. С. Дуб-
нов привел следующую характеристику возможных подходов
к построению школьного курса геометрии, которые были отмечены
Международной комиссией по преподаванию математики на Милан-
ской конференции 1911 г.
«Направление А — выдержанное формально-логичес-
кое; полный отказ от интуиции; основные понятия (точка, прямая
и т. д.) определяются только аксиомами...
Направление В — основные понятия и связи заимство-
ваны из опыта, дальнейшее построение должно быть дедуктивным.
Различают три градации:
В а) — перечисляются все необходимые аксиомы...;
В в) — только часть аксиом указана в явном виде...;
Вс) — формулируются только те аксиомы, содержание которых
не представляется очевидным.
Направление С — интуиция переплетается с дедукцией,
без попыток отделить одну от другой...
Направление D интуитивно-экспериментальное; гео-
метрические факты устанавливаются путем эксперимента; логичес-
кие связи отсутствуют...
1 См.г Колмогоров А. Н.» Яглом И. М. О содержании школьно-
го курса математики.— «Математика в школеэ, 1965, № 4j с. 58. См. также 11.57],
с. 51—53.
153
...Перед первой мировой войной в преподавании господство-
вали направления Вв, Вс и С. Но в то время как на Западе все бо-
лее склонялись к последним двум, по крайней мере в начальной
стадии обучения, в России решительно преобладало направление
В в- Так как это направление в нашей школе снова господствует,
то становится необходимым более детальное критическое рассмот-
рение пригодности направления Вв для первого концентра гео-
метрии» [1.57, с. 48—50J.
Детальный критический анализ традиционного курса геометрии
был также дан в статье А. Н. Колмогорова «Об учебниках на
1966/67 учебный год» («Математика в школе», 1966, № 3, с. 26—30).
Необходимость реформы сложившегося школьного курса гео-
метрии не обусловливалась, конечно, только дидактическими сооб-
ражениями. Бурный рост науки и техники, характерный для XX
столетия, революционные изменения во взглядах на природу гео-
метрии (после появления работ Н. И. Лобачевского, Я- Больаи,
К. Гаусса, Б. Римана и др.) поставили на повестку дня необходи-
мость пересмотра содержания школьного курса геометрии и в осо-
бенности пересмотра логических основ построения такого курса.
1.3. В связи с разработкой новой программы по математике
для средней школы, естественно, возникла проблема качественного
изменения школьного курса геометрии, в первую очередь с точки
зрения строгости изложения всей системы основных геометрических
знаний. Прежде всего необходимо было найти наиболее содержатель-
ную и методически приемлемую для школы систему основных по-
нятий, отношений и аксиом, т. е. определить наиболее целесообраз-
ную для современной школы логическую структуру курса геометрии.
По характеристике логической структуры курса геометрии эти
поиски можно условно подразделить на четыре основных направле-
ния:
а) Построение школьного курса евклидовой геометрии на ос-
нове системы основных понятий, отношений и аксиом, представлен-
ной неполно и в неявном виде, т. е. курса, близкого по содержанию
к курсу геометрии А. П. Киселева \ но более современного по сти-
лю и форме изложения.
Именно такой является система построения школьного курса
планиметрии в экспериментальных учебниках В. Г. Болтянского
и др. [1.22].
б) Другое решение этой проблемы заключалось в том, чтобы на
основе системы Евклида — Гильберта сконструировать такую си-
стему основных понятий, отношений и аксиом, которая была бы
представлена в школьном курсе геометрии в явном виде и могла
бы обеспечить достаточно строгое изложение всех традиционных
вопросов школьного курса геометрии.
Одна из таких попыток была предпринята известным советским
математиком А. В. Погореловым. Курс элементарной геометрии
1 См.: Киселев А. П, Геометрия (планиметрия). М., 1962.
154
А. В. Погорелова 1 построен на основе компактной системы аксиом,
которая вводится «...в виде понимания свойств простейших фигур,
хорошо известных учащемуся».
В качестве основных понятий в курсе планиметрии А. В. Пого-
релова приняты понятия точки и прямой, а в качестве основных
(неопределяемых) отношений — принадлежность, лежать между
(для точек на прямой), иметь меру (длина для отрезков, градусная
мера для углов).
Система аксиом, предложенная А. В. Погореловым, представ-
лена всего 12 аксиомами, которые в сочетании с некоторыми извест-
ными учащимся положениями арифметики действительных чисел
дают возможность достаточно строгого изложения курса геомет-
рии, сохраняя при этом традиционные доказательства геометричес-
ких теорем и не нарушая традиционный порядок изложения школь-
ного курса геометрии.
При построении курса стереометрии А. В. Погорелов добавляет
к основным понятиям планиметрии понятие «плоскость», а к акси-
омам I—V групп — шестую группу аксиом (из трех аксиом).
Несмотря на определенные методические достоинства учебника
геометрии А. В. Погорелова, вряд ли можно ожидать, что этот
учебник может стать стабильным. К такому выводу можно прийти,
исходя уже из того, что автор не решает проблемы приближения
школьного курса геометрии к современному состоянию математики
и ее приложений: «-..традиционный порядок, которого придержи-
вается автор, является, по-видимому, также причиной полного
отсутствия в этой книге понятий вектора и ориентированного угла,
построений с помощью инструментов, отличных от циркуля и ли-
нейки, и другого материала, введение которого1 в школьный курс
геометрии давно уже признано необходимым н предусматривается
новой программой... автор представляет будущий школьный курс
геометрии в своей основной части таким, каким он few много лет
назад» 2.
Таким образом, хотя логическая структура геометрии в курсе
А. В. Погорелова отражена достаточно полно, содержание и форма
изложения остаются традиционными. Несовременность содержания
и формы изложения геометрии при наличии четкой логической
структуры характерна и для многих зарубежных курсов, например
курса геометрии американских педагогов Э. Э. Моиза и Ф. Л. Даун-
са [3.121].
Этот методически весьма интересный курс (в котором планимет-
рия и стереометрия излагается совместно) построен на полной и
явно избыточной системе аксиом евклидовой геометрии (всего 24
аксиомы); при этом изложение всего курса ведется на строго
1 См.: Погорелов А. В. Элементарная геометрия, ч. I. Планиметрия.
М., 1969; ч. II. Стереометрия. М., 1970.
2Шоластер Н. Н. Таким ли должен быть школьный курс геометрии? —
«Математика в школе», 1971, № 6, с. 82—83.
155
дедуктивной основе с тщательной отработкой всех деталей при изло-
жении системы геометрических понятий и проведении доказательств
теорем.
Вместе о тем в курсе Э. Э. Моиза и Ф. Л. Даунса «...отсутствует
само понятие вектора и полностью игнорируются все геометриче-
ские преобразования, в том числе даже такие простые, как осевая
или центральная симметрия» \
в) Иным путем построения школьного курса геометрии является
его построение на основе новой, содержательно и методически более
целесообразной системы основных понятий, отношений и аксиом,
которая, с одной стороны, была бы достаточной для построения все-
го курса евклидовой геометрии (и была в нем явно выражена), а
с другой стороны, давала бы возможность обновить его содержание
в соответствии с современными требованиями.
Именно таким курсом геометрии является курс планиметрии,
изложенный в учебниках под ред. А. Н. Колмогорова, являющих-
ся в настоящее время основными учебниками для средней школы:
[3.451, [3.471 и [3.491.
г) Идея о многообразии аксиоматических систем, которые мо-
гут быть положены в основу построения евклидовой геометрии,
оказалась весьма плодотворной для различных исследований в
направлении реконструкции современного школьного и вузовско-
го курсов геометрии. Наряду с задачей усиления строгости изло-
жения возникла идея о построении школьного курса геометрии
на основе системы основных понятий, отношений и аксиом, отли-
чающейся от системы Евклида — Гильберта, учитывающей совре-
менные достижения в развитии математики й ее приложений.
В педагогике математики, особенно зарубежной, возникла силь-
ная тенденция коренного изменения всего школьного курса геомет-
рии, на основе аксиоматики тесно связанной, например, с понятием
векторного пространства, аксиоматики, более отвечающей современ-
ному состоянию математики как науки и тому месту, которое
сейчас занимает в ней геометрия. Самой известной аксиоматикой
такого рода является аксиоматика, предложенная Г. Вейлем
(см. [XIX, 51).
При этом на пути коренной реформы учебных курсов геометрии
выявились два направления:
1) сохранение «геометрической природы» курса геометрии;
2) алгебраизация всего курса геометрии.
Так, в 1922 г. немецким математиком Г. Виллерсом был предло-
жен новый вариант аксиоматического построения евклидовой
геометрии, при котором в числе неопределяемых понятий
использовалось понятие осевой симметрии и, в частности, все
другие виды движений определялись в виде произведения осевых
симметрий.
1 Я г л о м И. М. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга
Моиза — Даунса.— В [3.121], с. 606. '
156
Именно в таком плане (в первом из отмеченных выше направле-
ний) построен известный вузовский курс геометрии Ф. Бахмана х.
Ко второму из указанных выше направлений можно отнести
курс математики Ж. Папи а, курсы геометрии Ж. Дьедонне3 и
Г. Шоке *.
Так, например, в разделах учебного руководства Ж- Папи, по-
священных планиметрии, фактически детально изучается двумерное
векторное евклидово пространство, при этом ведущие геометричес-
кие понятия и предложения выступают в виде мотивировок или
иллюстраций ведущих понятий и предложений, относящихся к
векторному пространству.
Известно даже весьма спорное, хотя и броское высказывание
Ж* Дьедонне: «...при рассмотрении векторных пространств раз-
мерности 2 и 3 над полем вещественных чисел сразу же обнаружива-
ется, что линейная алгебра и классическая «элементарная геометрия*
отличаются друг от друга только языком: каждую из них мож-
но понимать как перевод другой».
Рассматривая подход Г. Шоке к построению школьного курса
геометрии, отметим, что в нем наряду с неявно выраженной аксио-
матикой векторного пространства используются и некоторые ак-
сиомы традиционного курса геометрии, а также аксиомы метриче-
ского характера (связанные с понятием расстояния).
Конечно, немалым достоинством построения курса геометрии
на основе аксиоматики Г. Шоке следует считать тот факт, что мно-
гие важные математические понятия (структура, линейный порядок,
отношение эквивалентности, прямое произведение, отображение и
др.) оказываются органически взаимосвязанными, «активно рабо-
тают друг на друга». Вместе с тем уже тот факт, что к книге Г. Шоке
приложен терминологический словарь, содержащий 74 новых для
учащихся нашей школы термина, и список из 25 символических обо-
значений (кстати говоря, далеко не полный), является свидетельст-
вом того, что в настоящее время нельзя считать рассмотренный курс
геометрии Г. Шоке курсом геометрии для учащихся массовой шко-
лы. В настоящем виде книгу Г. Шоке вряд ли можно полностью ис-
пользовать даже в математических школах.
В заключение отметим, что построение школьного курса евкли-
довой геометрии в старших классах на основе аксиоматики Г. Вей^
ля вполне возможно. Однако курс геометрии, построенный на той
же основе, но значительно алгебраизированный и полностью «ото-
рванный» от привычных геометрических образов, в настоящее время
(по-видимому) изучаться будет лишь в высшей школе.
1 См.: Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия движения.
М., 1969.
2 См.: П а п и Ж. (Рару G.), Mathematique moderne 1; 2 (Nombres reels et
vectoriel plane); 3 (Voici Euclide); 6 (Geomfctrie plane), Bruxelles, 1965—1968.
3 См.: Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия.
М., 1972.
4 См.: Ш о к е Г. Геометрия. М-, 1970.
157
$ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ШКОЛЬНОГО КУРСА
ГЕОМЕТРИИ
2.L Логическая структура курса геометрии.
2.2. О понятиях расстояния и вектора в курсе геометрии/
2.3. Основные научно-методические положения, реализуемые
в курсе геометрии.
2.4. Основные трудности в изучении стереометрии.
2.5. Развитие пространственных представлений учащихся.
2.6. Изображение пространственных фигур.
2.7. О решении некоторых стереометрических задач.
2.1. ’ Характеризуя пути модернизации логической структуры
школьного курса геометрии, А. Н. Колмогоров писал:
«Основные тенденции перестройки школьного курса геометрии,
сейчас нашедшие уже самое широкое признание, можно сформули-
ровать в виде трех положений:
1) Формирование начальных геометрических представлений
происходит в младших классах.
2) Логическая структура систематического курса геометрии в
средних классах заметно упрощается по сравнению с евклидовской
традицией. Развитие привычки к строгим логическим доказательст-
вам на этом этапе соединяется с открытым признанием права при-
нимать без доказательства избыточную систему допущений.
3) Курс геометрии в старших классах строится на основе вектор-
ных представлений. При этом естественно и обращение к коорди-
натному методу (однако в качестве вспомогательного, так что изло-
жение не делается от этого обращения менее «геометрическим»)»
[2.53].
Систематический курс геометрии, начинающийся в VI классе,
«...задуман не в духе евклидовской традиции, а в соответствии со
вторым из сформулированных выше положений» [2.531.
Каковы же особенности логической структуры современного
школьного курса геометрии, построенного по системе А. Н. Колмо-
горова?
Прежде всего следует отметить, что система аксиом, принятая
в учебнике геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова, весьма
немногочисленна, легко обозрима и наглядно интерпретируема на
привычных для учителя и учащихся моделях и рисунках.
В соответствии с дидактическим тезисом А. Н. Колмогорова и
И. М. Яглома о том, что «...первые же доказательства
должны давать повод для осмысленного обсуждения вопросов:
а) что доказывается; б) какие уже принятые допущения лежат в ос-
нове доказательства» х, в этих учебных руководствах предпринята
попытка явной реализации на уровне школы двух этапов, характер-
ных для построения любой дедуктивной теории, а именно:
1 Колмогоров А. Н., Я г л о м И. М. О содержании школьного
курса математики.— «Математика в школе», 1965, № 4, с. 58.
158
. 1) четкого выделения основных (неопределяемых) понятий так,
чтобы все остальные понятия можно было определить;
2) четкого выделения основных утверждений (аксиом), чтобы
все остальные утверждения можно было доказать.
В качестве основных (неопределяемых) понятий приняты че-
тыре понятия: точка, прямая, расстояние, плоскость.
В качестве основных (недоказываемых) предложений приняты
12 предложений (аксиом), разбитых на 5 групп (13.50], с. 119).
Отметим также, что в основе школьного курса геометрии,
помимо отмеченной выше системы основных понятий, отношений
и аксиом, неявно содержатся основные понятия н положения теории
множеств, аксиоматика системы скалярных величин, аксиоматика Пе-
ано (для действительных чисел) и основные понятия и положения
математической логики. Упомянутые здесь вопросы предполага-
ются известными в той мере, в какой приходится их использовать
при изложении курса.
Оценивая аксиоматику А. Н. Колмогорова, следует прежде все-
го отметить, что она не является независимой.
Некоторые из перечисленных выше аксиом могут быть упро-
щены (в смысле уменьшения требований, содержащихся в них).
Вместе с тем эта аксиоматика чрезвычайно компактна: несмотря на
некоторую, неизбежную для школьного обучения избыточность,
она содержит всего лишь 12 аксиом и является достаточной для
построения всего курса евклидовой геометрии. Кроме того, и это
очень важно, данная система аксиом является не только легко обо-
зримой, но и весьма наглядной (в ней постулируются те свойства
геометрических объектов, которые являются очевидными). Об этом
говорит и тот факт, что в учебнике геометрии для VIII класса
авторам удалось поместить специальную главу, посвященную рас-
смотрению всей логической структуры курса ([3.49], с. 87—97).
Как и у Д. Гильберта, эта система подразделяется на группы
аксиом.
Первая группа аксиом — аксиомы принадлежности — устанав-
ливает отношение принадлежности точек прямой и прямых плоскости.
В аксиомах этой группы устанавливается существование основ-
ных геометрических объектов и отношений (точки, прямой, принад-
лежности). Отношение принадлежности не является здесь отноше-
нием, вводимым в курсе геометрии (определяемым или неопреде-
ляемым). Оно понимается в известном теоретико-множественном
смысле как отношение принадлежности элемента (в частности, точ-
ки) множеству (в частности, прямой). Отметим, что в построении
планиметрии по А. Н. Колмогорову неопределяемых отноше-
ний нет.
Первая аксиома первой группы («Каждая прямая есть множе-
ство точек») явно указывает на то, что в построении школьного кур-
са геометрии принята теоретико-множественная концепция в отли-
чие от построения геометрии по Д. Гильберту, в которой точка и
прямая рассматривались как два самостоятельных объекта.
159
Прямая является одним из подмножеств множества точек, име-
нуемого плоскостью. Любое подмножество плоскости является
геометрической фигурой; таким образом, и плоскость, и прямая,
и точка являются геометрическими фигурами. Заметим также,
что при такой трактовке и пустое подмножество плоскости является
геометрической фигурой.
Существенным в‘содержании второй аксиомы первой группы
(«для любых двух отличных друг от друга точек существует од-
на и только одна содержащая их прямая») является оговорка о том,
что точки, определяющие единственную прямую, отличны друг от
друга. Во-первых, для двух совпадающих точек утверждение,
мулированное в аксиоме, не выполняется; во-вторых, если бы в гео-
метрии рассматривались только совпадающие точки, то такая
геометрия была бы малосодержательной. В третьей аксиоме этой
группы («Существует хотя бы одна прямая, и каждой прямой при-
надлежит хотя бы одна точка») утверждается, что множество точек,
называемое прямой, не пусто.
Следует иметь в виду, что утверждения, сформулированные
в этих аксиомах, носят условный характер. Если существование
точки и прямой постулируется (считается, что эти понятия заведомо
существуют в силу того, что они приняты за основные), то су-
ществование двух и т. д. точек и прямых, вообще говоря, надо
было бы еще обосновать (или специально постулировать). По-
этому каждую из аксиом правильнее было бы толковать в виде
условного предложения, например: «Если существуют две отличные
друг от друга точки, то существует и прямая, которой они при-
надлежат».
Вторая группа аксиом — аксиомы расстояния,— выражая
основные свойства расстояния, по существу определяет понятие
метрического пространства. Если в формулировке первой аксиомы
(«Для любых точек А и В имеется неотрицательная величина, на-
зываемая расстоянием от А до В. Расстояние равно нулю в том
и только в том случае, если точки А и В совпадают») вместо термина
«величина» воспользоваться термином «число», то совместно с двумя
другими аксиомами эта группа аксиом будет определять обычное
метрическое пространство.
Понятие «расстояние» очень близко жизненному опыту детей.
и потому использование его в качестве основного представляется
естественным. С помощью понятия расстояния определяются та-
кие важные геометрические понятия, как «между», «отрезок»,
«внутренние точки отрезка», «длина отрезка».
Интересно отметить, что с помощью аксиом первых двух групп
еще нельзя установить многие простейшие факты, верные в плани-
метрии Евклида.
Третья группа аксиом — аксиомы порядка — устанавливает
отношение точек на прямой и плоскости.
Первая аксиома этой группы постулирует существование раз-
биения прямой, удовлетворяющего сформулированным в ней услови-
160
Рис. 25.
ям. Единственность такого разбиения прямой доказывается. Исхо-
дя из первой аксиомы этой группы, с помощью предыдущих можно
доказать бесконечность множества точек прямой.
Аксиома о возможности отложить на прямой отрезок данной
длины является своеобразной аксиомой непрерывности множества
точек прямой (соответствующая аксиома Д. Гильберта посту лиру*
ет бесконечность множества точек прямой, но не содержит при этом
йдеи непрерывности). Последняя аксиома этой группы постулиру-
ет то, что вся плоскость не сводится к единственной прямой; из этой
-аксиомы следует, что плоскость двумерна.
На основе аксиом этой группы можно сформулировать многие
интересные теоремы, например: отрезок АВ есть подмножество
прямой АВ, известную теорему Паша, критерий принадлежности
трех точек одной прямой (одна из них должна лежать между двумя
{.другими), эквивалентность множества точек любой прямой и мно-
жества действительных чисел и т. д.
Четвертая группа аксиом (состоящая из одной аксиомы) —
аксиома подвижности плоскости — устанавливает возможность
осуществлять на плоскости различные «перемещения» (различные
изометрические преобразования плоскости на себя).
Она говорит о существовании двух и только двух различных
Перемещений, переводящих [АВ] в конгруэнтный ему [AjBJ. Эти
два перемещения можно проиллюстрировать с помощью кальки,
не которой изображен [АВ]. Перемещая кальку на «плоскости», мы
^йМёстим [АВ] с [AjBJ (рис. 25, а) при первом перемещении (гц),
Шри этом полуплоскость а отобразится на полуплоскость ах. Затем,
^ревернув кальку (в пространстве), мы вторично совместим [ABJ
Д [А1В1] при другом перемещении (п2) (рис. 25, б), при этом полу-
плоскость а отобразится (как это сказано и в формулировке аксиом)
да’ другую полуплоскость, определенную прямой AxBlt— полу-
плоскость
Эта аксиома активно в курсе планиметрии не работает; ее зна-
чение состоит в том, что вместе с аксиомами первых трех групп она
|(ает возможность доказать существование отображения плоскости
|ia себя, называемого осевой симметрией.
7-941 161
Из аксиом первых четырех групп могут быть выведены многие
свойства конгруэнтных фигур и, в частности, доказаны признаки
конгруэнтности треугольников.
Наконец, в пятой группе также представлена только одна ак-
сиома — аксиома параллельности, формулируемая традиционно.
Данная система аксиом такова, что при исключении из нее
аксиомы параллельности она становится системой аксиом абсолют-
ной геометрии.
Добавление к аксиомам I—IV групп аксиомы «Через не принад-
лежащую прямой р точку А можно провести не менее двух прямых,
параллельных прямой р» дает систему аксиом, определяющую не-
евклидову геометрию — геометрию Н. И. Лобачевского.
Важным моментом в построении строгого курса геометрии явля-
ется также вопрос об измерении углов. Однако доказательство тео-
ремы существования угловой меры связано с большими трудностя-
ми, и провести его в школьном курсе геометрии не удается. В учеб-
ных курсах эта проблема решается двояко:
а) Некоторые американские авторы1 и А. В. Погорелов постули-
руют этот факт в качестве особой аксиомы (например, в курсе гео-
метрии А. В. Погорелова читаем: «Каждый угол имеет определен-
ную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен
180°» а).
б) В системе построения курса, предложенной А. Н. Колмого-
ровым, доказательство существования угловой меры может быть
получено из имеющихся аксиом и предложений; однако этот факт
остается в учебниках под ред. А. Н. Колмогорова недоказанным
утверждением и, таким образом, фактически относится к числу
принятых в этом учебнике основных допущений. Тем самым под-
черкивается, что вводить это предложение в качестве аксиомы с
научно-методической точки зрения вряд ли целесообразно.
В курсе геометрии восьмилетней школы вышеуказанные группы
аксиом вводятся постепенно и часто неявно — в виде недоказывае-
мых предложений (свойств изучаемых объектов). Так, например,
аксиомы порядка изучаются в курсе геометрии VI класса, выступая
в качестве свойств расстояния на прямой.
И только после изучения этих аксиом учащимся даются понятия
аксиомы и теоремы, как таковых. Это делается для того, чтобы к
моменту ознакомления школьников с тем, что такое аксиома и тео-
рема, у них был запас конкретных примеров математических утвер-
ждений этого типа. Другие аксиомы выступают уже в явном виде,
по мере необходимости, вызванной внутренними потребностями в
построении курса. Только на уровне VIII класса учитель возвраща-
ется к обзору всей аксиоматики планиметрии в целом.
Методика изучения аксиом описана в первой части настоящего
пособия. Конечно, в зависимости от конкретного содержания той
1 См.: [3, 121, с. 594].
8 См.: 13, 133, с. 20].
162
или инои акеиомы, ее роли и места в курсе м N
геометрии возникает возможность исполь-
зовать тот или иной методический подход. уг
Однако, как правило, любой конкретный A В Р
методический подход к изучению аксиом в р 96
восьмилетней школе представляет собой ту ис*
или иную разновидность конкретно-индук-
тивного метода обучения.
Проиллюстрируем это примером. После рассмотрения понятия
«между» учащимся VI класса предлагается начертить прямую и на
ней отметить некоторую точку О. Выясняется, что эта точка разби-
вает (разделяет) множество всех точек прямой на два подмножества.
Обращаясь к жизненному опыту детей, учитель выясняет
смысл слова «разделяет» (река разделяет город на две части, грани-
ца разделяет государства и т. п.). Возвращаясь к рассмотрению пря-
мой, устанавливается, что точка О не принадлежит ни одному из
данных двух мно?кеств. Естественно, возникает понятие открытого
луча. В определенном смысле учащиеся знакомы с аналогом этого
понятия из курса алгебры (и математики IV—N классов); таково,
например, множество чисел вида х >2 в отличие от множества чи-
сел вида х > 2.
Далее учащимся предлагается взять на прямой р две несовпадаю-
щие точки А и В, отличные от точки О (рис. 26).
Устанавливается возможность четырех случаев: 1) А £ М9
В G М\ 2) A G АГ, В € N\ 3) А £ N, В £ М; 4) А £ АТ, В £ N.
Из этих четырех случаев выделяются два принципиально раз-
личных:
1) точка А и В принадлежат различным открытым лучам с на-
чалом О;
2) точки А и В принадлежат одному открытому лучу с началом О.
f Учащиеся легко установят, что в первом случае точка О лежит
между точками Л и В, а во втором одна из точек А (или В) лежит
между точками О и В (или О и Л).
Теперь учащиеся готовы к ответу на вопросы о том, как понимать
выражение «любая точка О прямой разбивает ее на два открытых
луча с началом в точке О».
-1 Ответ на этот вопрос и представляет собой одно из важнейших
свойств расположения точек на прямой (как сказано в тексте учеб-
ника), принимаемое в качестве аксиомы: «Любая точка О прямой
р разбивает множество всех отличных от О точек прямой р на два
непустых множества так, что: а) для любых двух точек Л и В, при-
надлежащих разным множествам, точка О лежит между Л и В;
б) если точки Л и В принадлежат одному и тому же множеству, то
одна из них лежит между другой точкой и точкой О» (первая аксио-
ма группы аксиом порядка).
Система аксиом, представленная в действующих учебниках гео-
метрии для IX—X классов, органически включает в себя систему
аксиом планиметрии. Так же как и в курсе планиметрии, в аксиомах
6*
163
стереометрии выражены основные свойства неопределяемых по-
нятий: точки, прямой, плоскости и расстояния. Полная система
аксиом стереометрии представлена в конце учебника для IX класса;
в начале курса формулируются 9 аксиом, дополняющих известную
учащимся аксиоматику планиметрии. Особое значение имеет весьма
очевидная аксиома 9, согласно которой для любой плоскости про-
странства выполняются все известные аксиомы планиметрии и их
следствия, что позволяет использовать в курсе стереометрии все
изученные учащимися свойства плоских геометрических фигур.
Насколько полно в будущем может быть представлена в курсе
стереометрии аксиоматика векторного пространства, сказать пока
трудно. По мнению А. Н. Колмогорова, в курсе геометрии IV—X
классов «...при изложении стереометрии наиболее привлекатель-
ной кажется последовательно векторная точка зрения.
В VII—VIII классах на уроках математики и физики учащиеся
привыкнут к обращению с векторами (на практике по преимуществу
с лежащими в одной плоскости). Это позволит в начале курса
IX класса явно сформулировать аксиомы векторного пространства,
пригодные в любом числе измерений, обратить внимание на одномер-
ный случай скалярных величин и сформулировать аксиомы, харак-
теризующие двумерный и трехмерный случаи. Возможность заново
построить на этой основе планиметрию может быть только указана»
(12.541, с. 22).
2.2. Продолжая характеристику школьного курса геометрии,
отметим активное использование в нем таких важных математичес-
ких понятий, как понятие «расстояние» (одно из весьма простых и
наглядных понятий, ведущее к понятию метрического пространст-
ва), а также понятие «вектор» (ведущее к понятию векторного про-
странства).
Тем самым наряду с достаточно строгим и экономичным путем
изучения геометрии учащиеся уже в средней школе получают пер-
вое представление об этих важнейших понятиях современной мате-
матики и в какой-то степени оказываются подготовленными к де-
тальному их изучению на уровне высшей школы.
То, что понятие «расстояние» принято в качестве основного,
обусловлено, по-видимому, не только желанием постепенно подго-
товить учащихся к пониманию идеи метрического пространства, но
также стремлением «заставить работать» в курсе геометрии те
теоретико-множественные понятия, которые явно представлены сей-
час в школьном курсе математики, начиная с IV класса.
В самом деле, определяя, например, фигуру как непустое мно-
жество точек, мы получаем естественную возможность толковать
такие ведущие геометрические понятия, как «конгруэнтность»
и «подобие» через понятие отображения фигур с сохранением расстоя-
ния между любыми двумя точками фигуры или изменением расстоя-
ния в данном отношении, т. е. через понятие геометрического пре-
образования. Тем самым наряду с усилением дедуктивного харак-
тера школьного курса геометрии мы получаем возможность актив-
164
но реализовать в этом курсе идею геометрических преобразований
(на конкретном объекте — перемещении), превращая, таким об-
разом, геометрические преобразования в рабочий аппарат изучения
геометрии. Благодаря этому введенные ранее основные понятия
теории множеств становятся внутренне присущими курсу геометрии.
Расстояния рассматриваются в учебнике для VI класса как не-
отрицательные скалярные величины. В дидактическом отношении
такой подход представляется наиболее естественным и разумным.
Действительно, к началу изучения систематического курса геомет-
рии учащимися в большом объеме накоплены интуитивно-эмпири-
ческие представления о расстоянии. Более того, учащиеся доста-
точно хорошо владеют этим понятием на оперативном уровне, как
правило, достаточно уверенно применяют свойства расстояния при
решении практических задач. Иначе говоря, имеется должная база
для обобщения и создана должная преемственность между пропе-
девтическим и систематическим курсом геометрии в изучении поня-
тий на эмпирическом (оперативном) уровне и на уровне достаточно
высокой ступени абстракции. Имеющиеся у учащихся I—V классов
представления о понятии расстояния становятся своеобразной ин-
терпретацией этого понятия, рассматриваемого в абстрактной фор-
ме. Нельзя не отметить и полезность постепенного введения учащих-
ся в круг сведений, связанных с понятием величины, которое опять-
таки от уровня представлений (в VI классе) может быть естествен-
ным путем развито до уровня аксиоматического определения
(в старших классах).
Существовавшие ранее способы введения понятия «вектор»
можно свести к двум. При первом способе вначале вводится понятие
направленного отрезка. Затем вводится отношение равенства на-
правленных отрезков, причем равенство определяется тремя из-
вестными читателю условиями, из которых по крайней мере одно
(сонаправленность) формулируется (при аккуратном построении)
нескол ько тяжеловесно.
Наконец, равные сонаправленные отрезки принимаются за пред-
ставителей одного так называемого свободного вектора. Другими
словами, при этом варианте изложения весьма осторожно и неявно
(отметим, что эта осторожность оправдана) проводится важная идея
факторизации.
Второй способ отличается от первого только тем, что факториза-
ция проводится явно, открыто и, разумеется, более грамотно.
Явное введение идеи факторизации в курсе геометрии восьми-
летней школы вызывает определенные трудности. С другой стороны,
анализируя понятие «вектор», легко видеть, что вектор, являясь
классом эквивалентности, представляет собой определенным спосо-
бом построенное множество упорядоченных пар точек. Но именно
множество упорядоченных пар {(х, у}}> т. е. соответствие х->у,
есть отображение (функция) плоскости на себя, которое к моменту
изучения вектора уже хорошо известно школьнику. Именно мно-
жество этих упорядоченных пар точек плоскости является графиком
165
отображения, называемого параллельным переносом. В связи
с этим естественным выглядит определение вектора плоскости как
параллельного переноса, т. е. определение, предлагаемое А. Н. Кол-
могоровым.
И лишь введя такое определение, можно говорить, что так как
один направленный отрезок полностью определяет соответствующий
ему вектор (параллельный перенос), являясь представителем соот-
ветствующего класса, то его естественно считать изображением па-
раллельного переноса, т. е. вектора. Подчеркнем еще раз-—изобра-
жением, но не базой для определения.
Заметим, что при любом из указанных выше способов определе-
ния вектора используется понятие расстояния. Однако вектор
может быть определен и без использования этого понятия. В этом слу-
чае вектор может быть определен как класс пар точек (класс экви-
валентных пар точек). Такое определение вектора хорошо «рабо-
тает» в конечной геометрии. Эта идея в определенной степени отра-
жена в книге Р. Хартсхорна «Основы проективной геометрии»
(М., «Мир», 1970).
2.3. Дл51 школьного курса геометрии характерна не только со-
вершенно новая логическая структура, но и насыщенность его но-
выми идеями.
К числу основных научно-методических положений, воплощаю-
щих эти идеи и составляющих основу этого курса, относятся сле-
дующие положения:
1) о геометрической фигуре как о множестве точек;
2) о логической структуре курса геометрии (в частности, уже в
VI классе до полной ясности у учащихся должен быть доведен во-
прос о месте и роли неопределяемых и определяемых математичес-
ких понятий);
3) о том, что евклидова геометрия не является единственно воз-
можной;
4) о геометрических преобразованиях как отображениях плоскос-
ти на себя;
5) о величине и ее появлении в курсе геометрии;
6) о развитии логического мышления учащихся, в частности ши-
роком применении математического языка, использовании в обу-
чении логико-математической символики и т. д.
Каждое из этих положений проводится в обучении геометрии
постепенно и весьма осторожно. Однако главное заключается в том,
что уже в самом начале изучения курса геометрии в VI классе за-
кладываются основы для успешной их реализации в обучении мате-
матике. Совершенно очевидно и то, что в процессе совершенствова-
ния математического образования и роста общей математической
культуры в стране требования к овладению идеями современной
геометрии будут непрерывно повышаться и идеи, массовое усвое-
ние которых сегодняшнему читателю кажется несколько пробле-
матичным (вроде идеи множественности геометрий), для завтрашне-
го школьника представятся естественными и понятными.
1С6
2.4* Начиная с IX класса учащиеся приступают к систематичес-
кому изучению курса стереометрии. Общие цели этого курса изло-
жены в объяснительной записке к программе: изучение геометричес-
ких фактов, воспитание логического мышления, умение применять
теоретические знания к решению задач практического характера,
развитие пространственного воображения (так как учащиеся не
обучаются видению пространственной фигуры на проекционном
чертеже) и т. д.
При изучении курса стереометрии учащиеся традиционно встре-
чаются с трудностями, обусловленными и его особенностями. Об
этих особенностях детально говорится в пособиях по методике пре-
подавания математики [3.101J \
Вкратце они сводятся к следующим:
1. Курс стереометрии обычно выступает как естественное про-
должение курса планиметрии. Поэтому при изучении стереометрии
нередко приходится обращаться к различным определениям и тео-
ремам планиметрии, необходимым для усвоения тех или иных сте-
реометрических понятий. Решение многих стереометрических за-
дач сводится к решению некоторых задач планиметрии (например,
при решении многих задач на многогранники, достаточно рассмот-
реть осевое сечение тел и т. п.). Таким образом, для успешного изу-
чения стереометрии курс планиметрии должен быть полностью
усвоен учащимися.
2. При изучении планиметрии формирование того или иного по-
нятия часто основывается на чертеже, который отражает это поня-
тие адекватно. В стереометрии лишь пространственная модель мо-
жет считаться адекватной изучаемой геометрической ситуации.
Однако широкое применение моделей практически невозможно и
к тому же нежелательно, так как это не способствует развитию
пространственного воображения школьников. Чертежи, применя-
емые в курсе стереометрии, являются плоскостными и представляют
обычно не сам объект, а его искаженное изображение. Выполне-
ние чертежей пространственных фигур на плоскости и использова-
ние готовых чертежей весьма затруднительно для учащихся (осо-
бенно на первых порах). Поэтому целенаправленное развитие у
школьников способностей к абстрагированию от конкретных ситуа-
ций к пространственному воображению — одна из мер, направлен-
ных на преодоление формализма в их знаниях. Проявлением фор-
мализма в усвоении курса стереометрии часто служит стремление
учащихся опереться в доказательстве теорем или определении поня-
тий только на иллюстрирующий их чертеж, обращение к частному
случаю вместо общего случая, отсутствие конкретных представле-
ний за правильно сформулированным суждением и т. п. Поэтому
при формировании основных стереометрических понятий особенно
важно научить школьников правильно использовать наглядные
1 См. также: Брадис В. М. Методика преподавания математики в сред-
ней школе. М., 1954.
167
модели и уметь использовать плоские чертежи пространственных
фигур.
3. При изучении планиметрии основным методом является кон-
кретно-индуктивный метод с постепенным усилением роли дедук-
ции» которая обычно выступает лишь при проведении логического
доказательства, «усмотренного» в конкретной ситуации. Хотя ин-
дуктивный метод изучения имеет место и при изучении стереомет-
рии, однако первенствует абстрактно-дедуктивный методх. При
этом здесь уже учащиеся должны не только логически обосновывать
каждое суждение, но и уметь
рмить его в записи, используя до-

вольно широкий арсенал логико-математических символов.
4. Темп изучения стереометрии, естественно, намного выше то-
го, с каким проходит изучение планиметрии. Большие требования
предъявляются здесь и к самостоятельности учащихся в процессе
изучения.
5. Несмотря на то что в курсе геометрии восьмилетней школы
предусмотрено пропедевтическое изучение некоторых вопросов
стереометрии, неумение учащихся IX—X классов правильно пред-
ставить пространственные образы встречается довольно часто и
проявляется обычно в неточности формулировок определений и
теорем. Так, например, учащиеся забывают использовать термин
«плоскость» и формулируют определение окружности вместо опреде-
ления сферы; скрещивающиеся прямые «подпадают» под определение
параллельных прямых и т. п.
6. Методы решения задач на построение в стереометрии сущест-
венно отличаются от методов решения планиметрических задач на
построение. Если в планиметрии при решении таких задач выпол-
няют реальные построения с помощью тех или иных инструментов,
то в стереометрии задачи на построение нередко решаются мыслен-
но, дается лишь описание проводимых построений, по существу
решением этих задач является доказательство теорем существова-
ния того или иного геометрического образа. Однако раннее их вве-
дение вряд ли целесообразно, так как их решение требует развито-
го пространственного воображения. Исключение составляют так
называемые конструктивные задачи (т. е. задачи на проекционном
чертеже).
2.5. Опыт обучения геометрии (и стереометрии, в частности)
свидетельствует о следующих типичных недостатках в знаниях и
умениях учащихся средней школы:
1. Неправильные формулировки основных признаков взаим-
ного положения геометрических объектов.
2. Смешение общих признаков понятий и их определений.
3. Неправильное использование прямых и обратных теорем (на-
пример, при применении теоремы о трех перпендикулярах).
4. Ошибки, связанные с установлением взаимного положения
геометрических фигур по их изображению.
1 См. § 3 главы III первой части данного пособия,
168
5. Неверные суждения о свойствах геометрических фигур, осно-
ванные только на зрительном восприятии чертежа или модели,
приведение «доказательств» конкретным примером.
6. Отождествление взаимного положения геометрических фигур
в пространстве с расположением аналогичных фигур на плоскости
(видимое пересечение линий принимается за истинное, параллель’
ные прямые изображаются непараллельными, неправильно указы-
ваются точки пересечения прямых с плоскостями и линии пересе-
чения плоскостей и т. п.).
Мы видим, что среди отмеченных выше недостатков в знаниях
и умениях учащихся немалое место занимают недостатки, связан-
ные с особенностями стереометрии, которые носят весьма устойчи-
вый характер. Вообще говоря, их наличие (или отсутствие) не пред-
определяется программой курса стереометрии; оно целиком и
полностью зависит от применяемой методики обучения геометрии.
Устранение указанных выше недостатков, а следовательно,
повышение эффективности обучения геометрии (и в частности, сте-
реометрии) может быть осуществлено различными путями.
Однако среди этих путей можно выделить три основных:
а) целенаправленное развитие пространственных представлений;
б) обучение учащихся изображению пространственных фигур
на плоском чертеже;
в) обучение решению стереометрических задач.
В связи с переходом на новое содержание обучения геометрии
в IX—X классах проблема усовершенствования, методики раз-
вития пространственных представлений школьников приобретает
еще большее значение.
Развитие пространственного воображения школьников может
быть осуществлено главным образом через специальную систему
задач и упражнений, отвечающих внутренним закономерностям
формирования логического мышления.
Выполнение этих упражнений необходимо начать уже в VIII
классе, при изучении темы «Начальные сведения из стереометрии»
и продолжить в IX классе при изучении первых тем курса стерео-
метрии. В VIII классе должны преобладать упражнения на моде-
лях, которые легко конструируются из имеющихся в классе предме-
тов (линейка, карандаш, поверхность стола и т. п.). Многие из этих
упражнений полезно выполнять на модели куба или прямоугольно-
го параллелепипеда (сплошной или каркасной). На первых уроках
в IX классе такие упражнения выполняются уже на изображениях
куба (или параллелепипеда). Приведем примеры подобного
рода упражнений, предназначенных для рассмотрения их в
VIII классе:
1) На каркасной модели куба покажите три его вершины, не
принадлежащие одной грани. Представьте плоскость, проходящую
через эти вершины. Постройте модели линий пересечения этой
плоскости с гранями куба. Какая фигура образовалась при пере-
сечении поверхности куба этой плоскостью? Изготовьте из бумаги
169
модель этой фигуры и поместите ее на соответствующее место в, мо-
дели куба.
2) Используя в качестве моделей точек концы спиц, установлен-
ных перпендикулярно доске с вязким или пористым покрытием,
постройте модели нескольких точек, не принадлежащих плоскости
доски, модель двух точек пространства, модель прямой, проходя-
щей через эти точки.
3) На сплошной модели куба проведите в двух смежных гранях
две прямые: а) параллельные; б) пересекающиеся; в) скрещиваю-
щиеся. Выполните это построение на изображении куба.
4) На модели куба покажите модель точки, принадлежащей двум
смежным граням. Покажите несколько общих точек этих граней.
Сколько общих точек у двух граней куба? Какую фигуру образует
множество общих точек двух граней? Какую фигуру образует мно-
жество всех общих точек двух пересекающихся плоскостей?
2. 6. Теоретическое и методическое решение вопроса о построении
изображений пространственных фигур в курсе стереометрии дано
Н. Ф. Четверухиным в работе «Чертежи пространственных фи-
тур в курсе геометрии» (Учпедгиз, 1946).
В учебниках геометрии для IX—X классов имеется специальный
раздел, посвященный вопросу об изображении пространственных
фигур1.
Рассмотрение этого вопроса характеризуется следующими по-
ложениями:
1) Программой и учебником реализуются лишь задачи общего
ознакомления учащихся с основными принципами проектирования
на одну плоскость и обоснование способов вычерчивания изображе-
ний отдельных пространственных фигур и их простейших комби-
наций.
2) В процессе обучения стереометрии учащиеся знакомятся с
произвольным параллельным проектированием, кабинетной и ор-
тогональной проекциями фигур.
3) Способы, которые постоянно используются при вычерчивании
изображений пространственных фигур, должны быть удобными и
понятными учащимся.
4) После изложения свойств параллельной проекции рассмат-
риваются способы изображения некоторых плоских фигур (тре-
угольника, параллелограмма, трапеции, правильного шестиуголь-
ника), а также тетраэдра и параллелепипеда.
5) Решение позиционных задач на проекционном чертеже, в
том числе построение сечений куба, параллелепипеда, тетраэдра,
произвольной призмы и пирамиды рекомендуется выполнять в про-
извольной параллельной проекции.
6) В курсе геометрии X класса учащимся напоминаются сведе-
ния о кабинетной проекции (из курса черчения) и способы изобра-
жения в этой проекции некоторых многогранников (прямой призмы,
1 См., например, [3.51] и [3.531*
170
В С
Рис. 27.
правильной пирамиды, правильного ок-
таэдра).
7) В начале изучения темы «Цилиндр и
конус» рассматривается вопрос об изобра-
жении окружности, о построении в парал-
лельной проекции сопряженных диаметров
эллипса и построении изображения пра-
вильных вписанных и описанных много-
угольников.
В начале изучения темы «Сфера и шар»
сообщается способ изображения сферы в ор-
тогональной проекции, а также изображение
сечений сферы (параллельных экватору).
8) Способы изображения комбинаций тел сообщаются учащи-
мися по мере рассмотрения конкретных задач.
При этом в зависимости от условия задачи используется орто-
гональная или косоугольная проекция.
Опыт показывает, что в начальной стадии изучения стереометрии
весьма полезно решение следующих конструктивных задач на мо-
дели куба, изображенной в параллельной проекции:
а) нахождение точки пересечения данных прямой и плос-
кости;
б) нахождение линий пересечения двух данных плоскостей;
в) построение сечений куба плоскостью.
Каждая из таких задач может быть легко проиллюстрирована
на каркасных, стеклянных и других моделях куба.
Каждая из этих задач несет в себе достаточно богатые дидакти-
ческие функции; в частности, они служат для:
а) иллюстрации аксиом стереометрии;
б) формулирования основных стереометрических понятий, свя-
занных со взаимным расположением прямых и плоскостей в про-
странстве;
в) выработки навыка в использовании параллельной про-
екции;
г) формирования пространственного воображения и т. д.
Конкретные рекомендации по этому вопросу были предло-
жены в интересной брошюре К* С. Богушевского \
На начальной стадии изучения стереометрии весьма полезны
так называемые таблицы-задания, которые являются своеобразной
формой исследования свойств пространственных фигур по данному
их воображению. Так, например, при изучении вопроса о взаим-
ном расположении прямых в пространстве рекомендуются следую-
щие задания [4.114].
1. Пользуясь изображением куба (рис. 27), описать взаимное
расположение указанных в таблице прямых а и Ь:
1 См.: Богушевский К. С. Первые уроки по стереометрии в IX клас-
се. М., 1955.
171
'Х. а b AAi ВС ад1
ВВА
BDX
BD
BCt
Используя символы f), II > 22 Для обозначения соответственно
пересечения, параллельности и скрещивания прямых, школьники
заполняют данную таблицу.
2. Используя изображение куба (рис. 28), найти ошибки в
уже заполненной таблице:
АВ ее, ад
КР - л ♦ Л
СЛ • • Л
CtB л л •
2.7. Среди стереометрических задач немалое значение имеют
задачи на построение сечений многогранников плоскостью. В. ходе
Рис. 28.
решения этих задач в определенном смысле
синтезируются важнейшие направления в
обучении стереометрии (умение изображать
пространственные фигуры на плоском чер-
теже, развитие пространственных представ-
лений, усвоение и применение знаний об
основных свойствах пространственных фи-
гур и т. д.).
Однако работу над решением подобного
рода задач даже небольшой сложности
целесообразно тщательно готовить предва-
рительной системой упражнений. В этом
172
случае та или иная важная задача
не только будет сознательно решена
всеми учащимися, но все ее дидак-
тические и развивающие функции
будут эффективно использованы.
Покажем это на примере следую-
щей задачи:
Построить сечение куба плос-
костью, проходящей через точки
Л, L, М. если Л С [ЯР) и | АК ] =
= 4-|Л£>|; L е [ЛЛ'] и I A'L |:
О I 1
: LA = 2 : 1; М £ [ВВ'] и I В'М I!
: МВ | = 1 : 2 (рис. 29). Рис. 29.
Опыт показывает, что перед реше-
нием этой задачи с учащимися следует предварительно (на пред-
шествующих уроках) выполнить следующие подготовительные
упражнения:
1 (устно). Прямая PQ и плоскость параллелограмма KLMN
имеют две общие точки А и В. Как расположена точка С прямой
PQ относительно плоскости, которой принадлежит параллелограмм
KLMN?
2 (математический диктант по готовому чертежу). Дана правиль-
ная четырехугольная пирамида SABCD. Точка L находится на
продолжении ребра АВ.
1) Принадлежит ли точка L: а) плоскости SAB; б) плоскости
SBC?
2) Сколько общих точек имеют плоскости SAD и SBC?
3) Сколько общих точек имеет прямая АС с плоскостями боковых
граней пирамиды?
3 (письменно). В кубе через середины смежных сторон AD и
DC основания ABCD проведена прямая MN. Найти общую точку
прямой AHV с плоскостью боковой грани ВВ'С'С.
Решение этой задачи полезно рассмотреть с выполнением всех
известных этапов: анализа, построения, доказательства, исследо-
вания.
После выполнения перечисленных выше упражнений можно
приступить к решению указанной задачи на построение сечения по
заданным точкам.
В слабом классе решению задачи полезно предпослать демонстра-
цию на модели примерного расположения секущей плоскости.
Приведем решение этой задачи (и его возможное оформ-
ление).
Анализ. 1) Предположим, что плоскость проведена через
данные точки К, L, М, обозначим ее Р = (К, L, М).
2) Пл. Р проходит через К и L, лежащие на грани AA'D'D,
следовательно, (пл. Р) П (пл. AA'D'D) = (LK).
3) (Пл. Р) 0 (пл. АА'В'В) = (LM).
173
4) (Пл. Р) fl (пл. A BCD) по прямой, проходящей через точку
X (5-я аксиома пл.). Чтобы найти линию пересечения этих плоскос-
тей, надо найти вторую их общую точку. Так как (LM) Q пл. Р,
то (LM) будет иметь с пл. ABCD общую точку. Найдем ее. (LM) Л
Л (ЛВ) = X, X g (ЛВ) (по построению), (ЛВ) g пл. ABCD,
значит, X g пл. ABCD.
5) (пл. Р) Л (пл. ABCD) = (XX).
6) (XX) Л (ВС) ~ N.
7) (Пл. Р) Л (пл. ВВ'С'С) = (MN).
8) Четырехугольник K.LMN есть искомое сечение куба данной
секущей плоскостью.
Построение. 1)В пл. AA’D'D проведем (XL).
2) В пл. АА'В'В проведем (ML).
3) В пл. АА'В'В проведем (ML) и (ВЛ) до пересечения их в точ-
ке X.
4) В пл. ABCD проведем (XX) до пересечения с (ВС) в точке N.
5) В пл. ВВ'СС проведем (MN).
Доказательство. 1) (XL) — (пл. Р) Л (пл. AA’D'D),
так как X и L принадлежат обеим плоскостям.
2) Аналогично (LM) = (пл. Р) Л (пл. АА'В'В).
3) X g пл. Р, так как X g (ML).
X g пл. ABCD, так как (ВЛ) g (пл. ABCD), отсюда X — их
общая точка.
4) По условию X g пл. Р и X € пл. ABCD. Из этого следует,
что (пл. Р) Л (пл. ABCD) = (XX).
5) 1ХХ) есть продолжение отрезка XX, следовательно,
(пл. Р) Л (пл. ABCD) = (XX).
6) По условию М g пл. Р и М g пл. ВВ'С'С. По построению
X g пл. Р и X g пл. ВВ'С'С. Отсюда (пл. Р) Л (пл. ВВ'С'С) =
= (Л4Х).
7) Четырехугольник K.LMN — сечение куба данной плоскостью,
так как он составлен из линий пересечения секущей плоскости с
гранями куба.
После решения этой задачи полезно предложить учащимся ре-
шить самостоятельно такую задачу: «Построить сечение куба плос-
костью, проходящей через середины двух смежных сторон АВ и
AD нижнего основания и вершину С верхнего основания»
(рис. 30).
Проверить эту самостоятельную работу целесообразно в классе.
Одновременно можно поставить следующий дополнительный вопрос:
«Определить положение точки X, которая получена пересечением
плоскости искомого сечения с боковым ребром DD'v.
Ответ на этот вопрос можно сопроводить частичным чертежом
отдельных элементов фигуры (это часто оказывается очень по-
лезным).
Нетрудно усмотреть, что:
1) [XL>1 ss (ND\- значит, I ED I = 4- |CE|.
174
Рис. 30.
Рис. 31.
2) Л KDE оо Л СС'Е, откуда | ED | : | ЕС | = 1 : 3, значит,
: |СС'| = 1 ; 3, | KD | = -11 DD' |, | DK |: | KD' | = 1 : 2.
Полезно уделить особое внимание решению таких задач, в усло-
вии которых не все признаки, определяющие положение плоскости
в пространстве, выражены в явной форме. Например: «В кубе че-
рез диагональ его основания провести плоскость параллельно диа-
гонали куба и построить сечение куба этой плоскостью» (рис. 31).
Анализируя условие задачи, учащиеся сначала выделя-
ют те элементы, которые заданы в явной форме: плоскость прове-
дена через диагональ основания куба, т. е. через прямую. Устанав-
ливается, что этого условия недостаточно, чтобы определить поло-
жение плоскости в пространстве. Естественно, возникает вопрос
об использовании условия о том, что плоскость искомого сечения
параллельна диагонали куба.
С этой целью рассматривается положение диагонали B'D и плос-
кости искомого сечения Р. Учащиеся замечают, что (B'D) лежит
в плоскости BB'D'D* которая пересекает плоскость Р по прямой
ОМ (0 = [АС] f) [BZ)]). Далее устанавливается взаимное положе-
ние прямых ОМ и BD.
Внимание учащихся обращается на то, что (ОЛ4) ][ (B'D) на
основании обратной теоремы о признаке параллельности прямой
и плоскости. Таким образом, выявлено второе условие задачи, т. е.
указана вторая прямая, которая принадлежит плоскости искомого
сечения.
Итак, пересекающиеся прямые МО и АС определяют положение
искомой плоскости в пространстве.
После этих рассуждений учащиеся выполняют этапы построения
доказательства и исследования в решении этой задачи.
Построение. 1) В плоскости BB'D'D через точку О
([АС] П [BD] = О) проведем ЮЛ4] || [В'С>].
2) В плоскости АА'В'В проведем прямую AM.
3) В плоскости ВВ'С'С проведем прямую МС.
4) Строим А АМС — искомое сечение.
175
Доказательство. По построению [Л1О] || [B'D] и
(ЛЮ)£пл. АМС. IB'D] |] пл. АМС по признаку параллельности
прямой и плоскости.
Исследование. Задача имеет единственное решение, так
как через пересекающиеся прямые ОМ и АС проходит единственная
плоскость.
§ 3. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ГЕОМЕТРИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
IV—V КЛАССОВ
3.1. Краткая характеристика содержания геометрического ма-
териала в IV—V классах.
3.2. Особенности изучения учащимися IV—V классов простей-
ших геометрических понятий.
3.3. Наглядно-индуктивное изучение геометрии в IV—V клас-
сах.
3.4. Развитие дедуктивного мышления школьников при обуче-
нии геометрии в IV—V классах.
3.5. Методика формирования геометрических понятий в IV—
V классах.
3.6. Проблемное обучение элементам геометрии в IV—V клас-
сах.
3.1. Объем геометрических знаний, умений и навыков, получен-
ных учащимися I—III классов, представлен в статье А. М. Пышка-
ло [2.96], к которой мы и отсылаем читателя.
Раздел программы по математике для IV класса, называемый
«Основные геометрические понятия», содержит материал, изучае-
мый на протяжении всего учебного года. Поэтому геометрический
материал распределен по всему учебнику. Тем самым учителю реко-
мендуются определенная последовательность и время его изучения.
Изучение этого материала имеет целью обобщить полученные
учащимися в I—III классах представления о прямой линии, отрезке,
ломаной, угле, многоугольнике и ознакомить школьников с новыми
понятиями.
Содержание геометрического материала, изучаемого в IV клас-
се, определяется следующей программой:
«Геометрическая фигура. Отрезок и его длина. Прямая линия.
Луч. Сравнение длины ломаной с длиной отрезка, соединяющего
его концы.
Конгруэнтные фигуры.
Пересечение и объединение фигур.
Угол. Сравнение углов. Биссектриса угла. Развернутый угол.
Прямой угол и его построение при'помощи чертежного угольника.
Градусное измерение величины угла. Транспортир. Смежные углы.
Параллельные прямые. Перпендикуляр к прямой и его построе-
ние при помощи чертежного угольника. Сумма углов треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника. Построение треугольника
по стороне и двум прилежащим углам, по двум сторонам и углу
между ними».
' При изучении геометрического материала в V классе большое
внимание обращается на систематизацию материала, а также на
ртработку прочных навыков выполнения геометрических построе-
ний с помощью линейки, циркуля, угольника и транспортира.
Именно в тесной связи с геометрическими построениями изучается
весь геометрический материал, в содержание которого наряду с тра-
диционными вопросами включены такие вопросы, как параллельный
перенос и осевая симметрия, никогда не изучавшиеся ранее даже
в курсе геометрии VI класса.
Понятно, что все эти вопросы изучаются в пропедевтическом
плане. Наличие их в программе курса математики IV—V классов
лишний раз подчеркивает значимость одной из основных идей си-
стематического курса математики VI—VIII классов — идеи функ-
ции (отображения) и необходимость целенаправленной подготовки
школьников к ее восприятию уже на уровне IV—V классов.
Содержание геометрического материала, изучаемого в V классе,
определяется следующей программой:
«Построение параллельных прямых с помощью линейки и уголь-
ника.
Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник.
Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. По-
строение треугольника по трем сторонам.
Центральная симметрия. Построение фигур, симметричных от-
носительно точки. Параллельный перенос. Построение фигур, пере-
несенных параллельно на некоторое расстояние. Осевая симметрия.
Построение фигур, симметричных относительно прямой.
Построение оси симметрии двух точек. Деление отрезка попо-
лам. Построение перпендикуляра к прямой. Деление угла на два
конгруэнтных у гл а».
3.2. Опыт показывает, что, несмотря на наличие в курсе мате-
матики I—III классов геометрического материала, большинство
учащихся к концу обучения в III классе имеют ^лишь первые пред-
ставления о рассматриваемых в начальных классах геометрических
понятиях.
К тому же эти представления носят весьма фрагментарный ха-
рактер. Учащиеся слабо владеют предусмотренной программой
геометрической терминологией, далеко не всегда могут установить
существенные признаки известных им геометрических фигур.
Например, учащиеся начальных классов часто не различают пря-
мую и отрезок, прямоугольник и квадрат и т. п. в связи с наличием
в Одной из двух данных фигур отдельных признаков, характерных
для другой фигуры.
Такие же ошибки при изучении элементов геометрии нередко
допускают и учащиеся IV класса.
Это свидетельствует, в частности, о том, что при формировании
геометрических понятий в IV—V классах особое внимание должно
быть направлено на выявление всех их существенных признаков.
Предваряя введение первых геометрических образов, можно на
177
Рис. 32.
примерах, взятых из окружающей действительности, ознакомить
учащихся с самой идеей выделения существенных признаков из
большого числа признаков несущественных, с тем чтобы в дальней-
шем обратиться к выделению существенных признаков геометри-
ческих объектов.
Чтобы помочь школьникам научиться выявлять существенные
признаки основных геометрических фигур, следует сравнивать
изучаемые фигуры с другими фигурами. Так, например, отрезок
полезно сравнивать не только с фигурами, представленными в
учебнике, но и с кривой, ограниченной с обеих сторон, ломаной,
состоящей из двух звеньев; луч — с кривой, ограниченной с одной
стороны.
Сравнивая, например, ломаную с различными фигурами, у ко-
торых поочередно отсутствуют такие ее признаки, как: «состоит
из отрезков», «каждые два смежных отрезка имеют одну общую точ-
ку» (вершину), «отрезки не лежат на одной прямой» (рис. 32), мож-
но надеяться на то, что это понятие будет усвоено школьниками
вполне осознанно, что учащиеся научатся правильно узнавать и
конструировать ту или иную геометрическую форму, ассоциировать
ее со словом-термином, в которое вкладывается необходимое по-
нятийное содержание.
Для успешного овладения различными геометрическими поня-
тиями, предусмотренными программой, следует обратить особое
внимание школьников на общее понятие геометрической фигуры.
К раскрытию содержания понятия геометрической фигуры следует
обратиться в самом начале изучения геометрического материала.
В курсе математики IV—V классов явного определения этого поня-
тия не дается. Понятие геометрической фигуры формируется здесь
на моделях, взятых прежде всего из реального мира, на предме-
тах окружающей школьников обстановки.
В процессе формирования этого понятия постепенно выявляется
его абстрактный характер. Опираясь на интуитивно развитое уме-
ние школьников различать одинаковую и неодинаковую формы у
наблюдаемых предметов, на интуитивно сложившееся понимание
того факта, что форма предмета не связана с тем материалом, из
которого он изготовлен, естественно перейти к рассмотрению соот-
ветствующего абстрактного образа — геометрической фигуры.
Так, например, при постановке перед школьниками традицион-
ного вопроса: «Назовите известные вам геометрические фигуры» —
от учащихся следует добиваться того, чтобы они приводили приме-
178
ры не только плоскостных, но и пространственных фигур (тре-
угольник, квадрат, куб, пирамида и т. п.). Полезно, указывая
тот или иной предмет (модель), предлагать учащимся называть те
геометрические фигуры, которые можно обнаружить, рассмат-
ривая данный предмет.
Следующей ступенью в овладении школьниками этими понятия-
ми является рассмотрение фигур на плоскости и представление о
фигуре как о множестве точек. Так, от привычных детям фигур
(окружности, квадрата и т. п.) школьники переходят к рас-
смотрению менее привычных им фигур (точки, прямой, отрезка
и т. п.).
3.3. Основным методом изучения геометрии в IV—V классах
является наглядно-индуктивный метод. Иначе говоря, для обуче-
ния геометрии в IV—V классах характерно опытное обоснование
устанавливаемых фактов и индуктивное их обобщение.
В практике обучения в IV—V классах полезно использовать
разнообразные формы индуктивного обобщения: измерение, постро-
ение (с помощью чертежных инструментов и перегибанием листа
бумаги), использование жизненного опыта учащихся. Например,
именно с помощью построения учащиеся убеждаются в том, что
через две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Построения, проводимые с линейкой и угольником, убеждают уча-
щихся в том, что через данную точку можно провести единственный
перпендикуляр к данной прямой или единственную прямую, па-
раллельную данной.
Непосредственные измерения приводят учащихся, например,
к выводу о том, что длина отрезка перпендикуляра к прямой мень-
ше длины соответствующего отрезка наклонной; измерением длины
ломаной, соединяющей две данные точки, и длины соответствующе-
го отрезка прямой подтверждается справедливость свойства отрез-
ка представлять кратчайшее расстояние между двумя точками
и т. п.
Кроме того, учащиеся знают, что от школы до дома можно идти
различными дорогами, при этом одна дорога короче (длиннее)
Другой.
Таким образом, не только построения и измерения, но и жиз-
ненный опыт учащихся необходим для того, чтобы убедить их в
справедливости того или иного факта.
Немалая роль в практике обучения геометрии издавна отводит-
ся построению с помощью перегибания листа бумаги. Так, напри-
мер, перегибая лист бумаги, можно получить образы прямой (точ-
нее, образ отрезка), луча, угла, биссектрисы угла, образы смежных
и вертикальных углов, перпендикулярных и параллельных пря-
мых, треугольника, при преобразовании осевой симметрии.
Построения с листом бумаги (перегибание и наложение) издав-
на используются как средство убеждения учащихся в достоверности
изучаемых фактов. Перегибая лист бумаги, нетрудно, например,
установить, что две точки имеют две оси симметрии (проходящую
179
Черезэти точки и не проходящую через них), что биссектриса Любо-
го угла-является осью симметрии этого угла и т. п.
Таким образом, убежденность учащихся IV—V классов в досто-
верности изучаемых ими фактов и положений, как правило, осно-
вывается на построениях с помощью чертежных инструментов или
перегибания листа бумаги, измерении и жизненном опыте.
3.4. Хотя наглядно-индуктивный метод является основным
в обучении элементам геометрии в IV—V классах, задачи обучения
математике требуют также целенаправленной работы по развитию
у учащихся IV—V классов первоначальных навыков дедуктивного
мышления. Формирование навыков индуктивного мышления —
необходимый, но далеко не достаточный шаг в работе по разви-
тию у учащихся IV—V классов логического мышления.
Понятно, что в IV—V классах к доказательствам сделанных
утверждений учащихся следует приобщать постепенно. Поначалу
эти доказательства не носят строгого формально-логического харак-
тера; как сказано выше, они опираются и на непосредственный
опыт школьника, на соответствующие измерения или построения.
•Так, например, обоснование того, что через данную точку к данной
прямой можно провести перпендикуляр, и притом единственный,
строится на интуитивной основе, а также на основе проведенного
построения (с помощью перегибания листа бумаги и чертежных
инструментов). Кстати говоря, это положение имеет практическое
применение — служит теоретическим обоснованием одного из спо-
собов проверки правильности изготовления чертежного угольника,
на что полезно обратить внимание учащихся.
Очень важно уже с первых шагов изучения геометрии приучать
школьников к обоснованным ссылкам на определения тех или
иных понятий. Например, отвечая на вопрос: «Могут ли быть смеж-
ными два острых угла?», учащиеся не должны удовлетворяться ин-
туитивно очевидным «нет», а должны, пусть и не очень четко, но
достаточно убежденно сказать, что пересечение двух острых углов
может быть лучом, но объединение их всегда менее развернутого
угла. Значит, из двух признаков, входящих в определение понятия
смежных углов, выполнен один, а второй нет. Отсюда следует отри-
цательный ответ на поставленный вопрос (см. п. 6 данного пара-
графа).
Уже начиная с IV класса при изучении геометрического мате-
риала полезно обращать внимание учащихся на различие случаев,
когда достоверность того или иного факта устанавливается опыт-
ным путем и когда этот факт обосновывается ссылкой на известное
общее положение (или определение) *.
Например, при изучении темы «Сравнение отрезков» наряду
с обоснованием конгруэнтности отрезков опытным путем (наложе-
нием, с использованием измерителя и линейки) полезно использо-
1 См.: Руденко В. Н. О преподавании геометрии в V классе (методиче-
ские рекомендации). М., 1971, с. 5—6.
180
Рис. 33.
вать для обоснования того же факта известные учащимся теорети*
ческие положения. Так, решая по готовому чертежу задачу типа:
«Найдите в квадрате (в окружности, в прямоугольнике), изображен-
ном на рисунке 33, конгруэнтные отрезки и объясните, почему
они конгруэнтны», учащиеся имеют возможность приводить обосно-
вание правильности сделанного ими выбора следующим образом:
«Известно, что у любого квадрата все стороны конгруэнтны; у пря-
моугольника конгруэнтны противоположные стороны; у окруж-
ности все радиусы конгруэнтны, поэтому названные нами отрезки
конгруэнтны».
Обращая внимание школьников на то, что сделанное ими обо-
снование конгруэнтности отрезков опирается на известное теоре-
тическое положение, учитель предлагает и в дальнейшем по мере
необходимости использовать этот способ для установления кон-
груэнтности отрезков. Именно отрезки будут конгруэнтны, если
они являются радиусами одной окружности, противоположными
сторонами прямоугольника; в этом случае их можно не сравнивать
непосредственно (измерять, накладывать один на другой и т. п.).
Достоверность факта конгруэнтности данных отрезков под-
тверждена раз и навсегда соответствующим теоретическим положе-
нием.
3.5. При формировании геометрических понятий у учащихся
IV—V классов полезно использовать следующую методическую
схему:
1. Формирование первоначальных представлений с помощью
объяснительного текста или с помощью задач, заменяющих его.
2. Переход от представлений к соответствующим им понятиям
посредством выполнения специальных упражнений.
3. Углубление и закрепление изучаемых понятий через решение
определенной системы задач дидактического, познавательного и
развивающего характера.
4. Проверка качества усвоения понятий посредством выполне-
ния соответствующей самостоятельной работы.
5. Подведение итогов (выделение главного).
Заметим, что, применяя эту схему, полезно максимально исполь-
зовать текст учебника. Если объяснение того или иного вопроса
учителем значительно отличается от данного в учебнике, то это
181
Рис. 34.
затруднит закрепление и повторение изученного при выполнении
домашнего задания. Делать же обстоятельные записи в тетрадях
по содержанию урока учащиеся IV—V классов еще не могут.
В качестве примера конкретной реализации данной методичес-
кой схемы, обратимся к извлечению из брошюры В. Н. Руденко \
1. Представление о фигурах, симметричных относительно оси,
можно сформировать в процессе выполнения упражнений с переги-
банием листа бумаги.
Рассмотрев известный пример с кляксой, предложите ученикам
на четырех листках величиной в четверть страницы выполнить ряд
упражнений:
а) На листе бумаги постройте прямую I, Цветным карандашом
или авторучкой начертите кривую линию. Перегните лист по пря-
мой и сложите его так, чтобы получился «след» кривой линии
(рис. 34).
б) На втором листе постройте прямую т и ломаную ABCD.
Сложите лист вдвое, перегнув его по прямой т. Проколите острием
циркуля бумагу в точках А, В9 С и D. Развернув лист бумаги, най-
дите точки, симметричные точкам Л, В, С и D. Обозначьте их соот-
ветственно буквами Al9 Bv Clt Dj и соедините ломаной A £ Вг Сх £>х
(рис. 35).
в) На третьем листе бумаги можно предложить учащимся про-
вести прямую и нарисовать любой рисунок, а затем получить ему
симметричный, прокалывая перегнутый по прямой k лист по кон-
туру рисунка (рис. 36).
В результате выполнения этих упражнений ученики должны
обнаружить, что:
I) линия перегиба (ось симметрии) представляет прямую ли-
нию;
2) фигуры, симметричные относительно прямой, конгруэнтны.
Многократная запись выводов под чертежами помогает уча-
щимся усвоить правописание термина «симметричны», а также со-
действует пониманию того, что симметрия рассматривается по
отношению к прямой.
1 См.: Руденко В. Н. О преподавании геометрии в V классе. М., 1971.
с. 50—56.
182
2. Далее предлагается построить фигуры, симметричные отно-
сительно прямой. Для этого необходимо установить некоторые
свойства оси.
Учащимся предлагается на новом листке бумаги еще раз, пе-
регнув листок по прямой и проколов его, получить одну-две точки,
симметричные относительно прямой. Найдя расстояния от сим-
метричных точек до прямой и углы, образованные осью симметрии
с отрезком, соединяющим симметричные точки, ученики видят, что
ось симметрии двух точек делит пополам соединяющий их отрезок и
перпендикулярна ему. В справедливости этого факта учащиеся
убеждаются путем рассуждений.
Все упражнения учитель выполняет одновременно е учащимися
на больших демонстрационных листах. На основе выводов, полу-
ченных в результате выполнения упражнений, решаются задачи.
Важнейшей из них является задача о построении точки В, симмет-
ричной данной точке А относительно прямой I. Знаний учащихся
вполне достаточно, чтобы обосновать способ получения симметрич-
ных точек, и это обоснование должно быть выполнено. Более того,
техника решения задачи о построении симметричных точек должна
быть доведена до навыка, сознательно применяемого впоследствии
при построении более сложных фигур, симметричных данной.
3. Далее учащимся предлагаются упражнения на построение
таких фигур сначала путем перегибания листа бумаги, затем с по-
мощью чертежных инструментов. При выполнении упражнений
Рис. 37.
J83
целесообразно’разнообразить положение оси симметрии’(не проводить
ее, в частности, параллельно границе листа бумаги) и варьировать
положение данной фигуры, например, рассмотреть и случай пере-
сечения преобразуемой фигуры осью симметрии, что позволит за-
метить: точки, лежащие на оси, при симметрии переходят
в себя. '
4. Далее можно предложить самостоятельную работу по готовым
чертежам (рис. 37) (ось задается проколом 4—5 точек).
Задание: построить фигуры, симметричные данным, отно-
сительно данной прямой.
При выполнении самостоятельной работы ученики должны сде-
лать под чертежами поясняющие записи, аналогичные тем, которые
они делали при выполнении упражнений на листах бумаги.
Для усвоения признака симметричности двух точек относитель-
но оси полезны устные упражнения по готовым чертежам, выпол-
ненным на таблице или на доске (рис. 38).
Примерное задание по таблице: проверьте,
являются ли точки BylD (рис. 38, г) симметричными относительно
прямой АС. (Чтобы точки В и D были симметричны относительно
прямой АС, необходимо, чтобы отрезок, их соединяющий, был пер-
пендикулярен прямой АС и делился ею пополам.)
Произведя измерения с помощью линейки и угольника, дети
убеждаются, что отрезки ВО и OD конгруэнтны, но углы COD и
СОВ не прямые, поэтому точки В uD нельзя считать симметричны-
ми относительно прямой АС.
Рис. 38.
184
Й Аналогичные задания воз-
можны и по другим чертежам
^таблицы.
Полезно использовать и таб-
лицу, на которой нанесена си-
стема координат и отмечено
несколько точек (рис. 39).
Задание по таблице:
1) Укажите пары точек, сим-
метричных относительно прямой
Ох; Оу.
2) Назовите координаты то-
чек А и Z, С и Р, Т и L. Какую
особенность имеют координа-
ты точек, симметричных отно-
сительно прямой Оу; пря-
мой Ох?
Рис. 39.
В результате выполнения упражнений ученики должны усвоить
определение фигур, симметричных относительно прямой, свойство
оси симметрии двух точек, а также прийти к выводам, что конгру-
энтность фигур можно устанавливать тремя способами:
а) фигуры конгруэнтны, если их можно наложить одну на дру-
гую так, чтобы они полностью совпали (по определению);
б) две фигуры конгруэнтны, если одна из них получилась из
другой параллельным переносом.
в) две фигуры конгруэнтны, если они симметричны относительно
прямой.
При этом полезно отдельно рассмотреть способы установления
конгруэнтности отрезков и углов.
5. Подводя итоги изучения симметрии фигур относительно
прямой, следует привлечь учащихся к анализу установленных фак-
тов, предлагая вопросы такого характера:
1) Какие построения можно выполнять, зная свойство оси сим-
метрии двух точек? (Делить отрезки пополам и проводить перпен-
дикуляры к отрезкам через их середины.)
2) Как можно разделить отрезок пополам на основании свойств
симметрии? (Надо построить ось симметрии концов отрезка, тогда
точка пересечения оси и отрезка разделит данный отрезок пополам.)
3) Как можно, используя свойства симметрии, проводить пер-
пендикуляры к отрезкам через их середины? (Надо построить ось
симметрии концов отрезка. Эта ось явится перпендикуляром к
отрезку в его середине.)
4) Что можно утверждать о прямой, если мы знаем, что она
является осью симметрии двух точек? (Прямая делит пополам от-
резок, соединяющий эти точки, и перпендикулярна ему.)
Ответы на подобные вопросы должны привести учеников к вы-
воду, что с помощью свойств двух точек можно устанавливать кон-
гурэнтность отрезков и перпендикулярность прямых.
185
3.6. Необходимость всеобщего обучения заставляет нас уделять
особое внимание развитию познавательных интересов учащихся
к предмету, развитию их умственных способностей, развитию спо-
собностей к самостоятельной творческой работе. Достижение ука-
занных целей осуществляется с помощью таких форм, методов и
приемов обучения, в которых первостепенное значение имеет ак-
тивное. участие самих школьников в процессе изучения учебного
материала.
Одной из таких форм обучения является проблемное обу-
чение х.
На ранней стадии обучения (в младших и IV—V классах сред-
ней школы), когда учащиеся еще не привыкли к работе новым для
них методом, представляется целесообразным использование самой
простой формы проблемного обучения — вопросно-ответной. Это
означает, что обучение ведется так, что учащиеся приходят к но-
вым для них выводам, отвечая на надлежащие подобранные вопро-
сы учителя. Такой способ организации проблемного обучения яв-
ляется наиболее доступным для учащихся, так как при таком обу-
чении школьникам ясно указывается та ближайшая цель (ответ
на вопрос), которая должна быть достигнута ими в процессе реше-
ния поставленной учебной проблемы.
Изучение элементов геометрии можно проводить и в форме спе-
циальных уроков проблемного типа. При подготовке такого урока
следует четко выделить цель урока, дидактические пособия к уро-
ку, общую характеристику проблемной ситуации, методическую
организацию урока, домашнее задание.
Приведем пример разработки урока проблемного типа по теме
«Смежные углы» (IV класс).
1. Ц е л и у р ока. На уроке учащиеся должны овладеть по-
нятием смежных углов, научиться формулировать его определение
усвоить на интуитивной основе теорему о сумме величин смеж-
ных углов. Кроме того, учащиеся должны восстановить в памяти
ряд уже знакомых им понятий (угол, вершина и стороны угла, раз-
вернутый угол, виды углов, пересечение и объединение фигур).
Главная воспитательная цель урока — выработка у учащихся по-
требности логического определения понятий, т. е. в конечном сче-
те формирование логико-математического языка и навыков логи-
ческого мышления.
2. Дидактические пособия к уроку. Уча-
щиеся должны иметь чертежные принадлежности и цветную бума-
гу для изготовления моделей в ходе урока. Учителю понадобится
цветной мел, чертежные принадлежности, подвижная модель смеж-
ных углов, таблица-плакат с изображением различных вариантов
объединения и пересечения углов.
3. Общая характеристика проблемной
ситуации. Проблемная ситуация, создаваемая учителем на
1 См. § 7 главы V первой части настоящего пособия.
уроке, должна привести учащихся к мысли о необходимости стро-
гого определения понятия смежных углов и к самому определению.
4. Методическая организация урока.
а) Рассматриваемый урок входит в общую тему «Десятичные
дроби», и поэтому первые несколько минут необходимо потратить
на повторение и закрепление материала, пройденного на преды-
дущем уроке. Кроме того, в конце урока полезно еще раз пере-
ключиться с геометрического материала на арифметический и вы-
полнить упражнения на действия с дробями, т. е. постараться обес-
печить определенную непрерывность обучения основной теме.
б) Затем учитель начинает подготовку к введению нового мате-
риала. Сделать это можно примерно так. Учитель напоминает, что
при изучении свойств фигур мы обычно интересуемся их взаимным
расположением. Попытайтесь показать различные случаи располо-
жения двух углов. Учащиеся моделируют из бумаги, и на доске
в случайном порядке изображаются те ситуации, которые им
удается построить. Попутно вспоминается необходимая терминоло-
гия (луч, сторона угла, вершина, конгруэнтные углы, развернутый
угол, прямой, острый и тупой угол). Все эти понятия не определя-
ются; на данном этапе вполне достаточно, если будет сознательно
сказано: «Я начертил два острых угла, у них есть общая вершина»,
...«Я начертил два тупых угла, они расположены вот так...» (уче-
ник вообще не пытается формально охарактеризовать предложен-
ный им случай). Учитель, осторожно поправляя, а иногда и помогая
ученикам, добивается того, чтобы среди многочисленных рисунков
на доске появилось изображение смежных углов; развернутого
угла, образованного двумя углами, пересечением которых будет
не луч, а угол; таких двух углов, пересечением которых является
луч, а объединением — вообще не угол или же не развернутый угол.
Эта часть урока должна носить до известной степени игровой ха-
рактер.
в) Теперь ставится задача, как охарактеризовать все или по
крайней мере, самые интересные случаи. Ведь нельзя же в математике
говорить: «Углы расположены так, как их начертила Катя!»
В большинстве случаев придется подсказать (в очень хорошем классе
учащиеся могут догадаться сами), что основой для таких характе-
ристик могут послужить уже известные нам понятия пересечения и
объединения фигур. Здесь снова дело не в определении этих поня-
тий, а в овладении их сущностью, в том, чтобы ученик теперь мог
сказать: «Я начертил два тупых угла, их пересечение есть вот та-
кая фигура (сообразительный ученик скажет «четырехугольник»),
а объединение немножко похоже на букву X».
г) Учитель говорит, что сегодня нам предстоит из всех возмож-
ных случаев выделить такой (показывает и называет смежные углы).
Попытайтесь дать определение таким углам, т. е. сказать, какие
два угла называются смежными. Конечно, на первых порах учени-
ки могут и должны ошибаться, называя только один из двух видо-
вых признаков. Эти ошибки следует использовать, показывая
187
^хк№й€тетж^юйхие примеры из числа изображенных на доске и пл а-
д} Попробуем теперь описать словами, как мы должны посту-
пать при построении смежных углов. Надо начинать с построения
прямой, затем выбрать на ней точку... Какой получился угол?
... Остается провести луч... Любой? Нет, с вершиной в выбранной
точке. Этого достаточно?... Нет, надо чтобы луч не принадлежал
выбранной прямой. Вот теперь все в порядке.
е) Попробуем выяснить, какими свойствами обладают величины
смежных углов. Сразу видно, что в сумме они составляют 180°.
Но нельзя ли было догадаться об этом, не глядя на чертеж? Можно,
так как мы знаем из определения, что объединение этих углов
составляет развернутый угол. Да, но объединение углов на рисунке
... есть развернутый угол, а сумма явно больше 180°. Правильно,
дело в том, что пересечение углов на этом рисунке не есть луч.
ж) Мы фактически уже начали закрепление изученного мате-
риала. Оно продолжается с помощью обсуждения вопросов, ана-
логичных приведенным на с. 173 учебника 13.1061: могут ли два
острых угла быть смежными? Могут ли быть смежными два прямых
угла? и т. п.
С целью экономии места мы не будем приводить сейчас описание
заключительной части урока.
§ 4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
«ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС»
4.1. Введение.
’ 4.2. Параллельность и центральная симметрия.
4.3. Направления. Углы между направлениями.
4.4. Методика изучения параллельного переноса.
4.5. Параллельность и параллельный перенос в курсе стерео-
метрии.
4.1. Тема «Параллельность и параллельный перенос» является
одной из центральных тем VI—VII классов.
В VI классе содержание этой темы составляют следующие вопро-
сы: параллельность и центральная симметрия. Аксиома параллель-
ных. Направления. Углы между направлениями. Сумма углов тре-
угольника. Признаки параллельности прямых. Теорема р конгру-
энтных отрезках. Параллельный перенос. Полоса. Теорема Фалеса.
Важность этой темы в школьном курсе геометрии обусловлена
несколькими причинами. Среди них отметим следующие:
1. Если просмотреть аксиоматику школьного курса геометрии,
то нетрудно обнаружить, что первые четыре группы аксиом составля-
ют содержание так называемой «абсолютной геометрии», т. е. геомет-
рии, которая имеет место и в евклидовой плоскости, и в неевклидо-
вой. Именно аксиомой параллельности определяется на плоскости
та или иная из геометрий: в абсолютной геометрии через каждую точ-
188
ку А, не принадлежащую прямой MN, проходит по меньшей
мере одна прямая, параллельная прямой MN, в евклидовой
геометрии — только одна такая прямая, а в геометрии
Н. И. Лобачевского — бесконечное множество таких
прямых (не пересекающих данную прямую). Таким образом, все
утверждения, изложенные до введения аксиомы параллельных,
имеют место в одной из названных выше геометрий (в том числе и в
планиметрии Н. И. Лобачевского), а все другие утверждения, явно
или неявно использующие аксиому параллельных, имеют место
только в евклидовой плоскости.
2. Понятие параллельности играет важную роль при изучении
темы «Четырехугольники»; по существу именно это понятие положе-
но в основу их классификации.
3. В современном школьном курсе геометрии понятие «парал-
лельный перенос» идентифицируется с понятием «вектор», и, таким
образом, элементы так называемой «векторной алгебры» оказывают-
ся тесно связанными с обсуждаемой темой.
4. Параллельный перенос является одним из основных видов
перемещений (отображений плоскости на себя с сохранением рас-
стояний). Поэтому он оказывается тесно связанным с теоретико-
функциональной линией, намеченной в курсах алгебры и геометрии.
Тесно связаны с понятием параллельности и другие виды отображе-
ний: гомотетия и подобие.
5. Наконец, отношение параллельности представляет собой важ-
нейший для теории и практики пример отношения эквивалентности.
4.2. Изучение темы «Параллельность и центральная симметрия.
Аксиома параллельных» полезно начать с выяснения вопроса о воз-
можных случаях взаимного расположения двух прямых н^ плос-
кости и установить, что прямые могут иметь одну общую точку,
бесконечное множество общих точек или ни одной. В первом случае
прямые а и b пересекаются, в двух других они параллельны.
Повторив определение параллельных прямых, известное уча-
щимся из курса IV класса, и запись этого отношения в виде а || Ь,
следует обратить внимание учащихся на случай а || а и сделать в
тетрадях чертежи для каждого случая.
У учащихся может вызвать некоторое недоумение объединение в
одном понятии «параллельность» случаев а || b и а || а. Поэтому же-
лательно мотивировать разумность этого определения. Действитель-
но, утверждение, что прямая параллельна самой себе, есть пример
условного соглашения, и, вообще говоря, можно было бы ввести и
иное определение. Поэтому вполне естественно поставить вопрос о
целесообразности именно такого соглашения. Единственный мотив,
оправдывающий его, заключается в желании считать отношение
параллельности транзитивным. Этот мотив приведен в пособии по
геометрии для VI класса [3.45] петитом и не является обязательным
для изучения, но рассказать о его смысле весьма желательно. При
этом полезно привести примеры осложнений в формулировке тео-
рем, возникающих, если отказаться от указанного соглашения
189
(например, теорема «Если две прямые центрально-симметричны, то
они параллельны» читалось бы так: «Если две прямые центрально-
симметричны, то они либо параллельны, либо совпадают»).
Вполне возможно, что при формулировке определения парал-
лельных прямых учащиеся опустят слова «принадлежащие одной
плоскости». Чтобы вскрыть характер этой ошибки, можно на модели
куба, прямоугольного параллелепипеда или, наконец, на спицах по-
казать скрещивающиеся прямые, не вводя этого термина.
После этого учащимся предлагается построить прямую, симмет-
ричную данной прямой а относительно центра О, в случаях, если:
а) О £ а\ б) О £ а. Так как предложенная задача связана с повто-
рением, то ответы у доски должны быть подробно прокомментиро-
ваны учащимися. Вопрос учителя о возможном расположении цент-
рально-симметричных прямых подводит учащихся к предположе-
нию об их параллельности. Доказав соответствующую теорему и
разобрав следствие из нее, следует повторить способ построения
параллельных прямых, известный учащимся из курса математики
V класса, и сравнить его со способом, вытекающим из доказанной
теоремы. Полезно указать на то, что прием построения прямой,
параллельной данной и проходящей через данную точку Л, являет-
ся одновременно и методом доказательства существования такой
прямой.
Доказательство теоремы о параллельности центрально-симмет-
ричных прямых по существу является первым серьезным примером
доказательства от противного, встречающимся в курсе математики.
Очевидно, учителю придется специально остановиться на структуре
таких доказательств.
Переходя к рассмотрению аксиомы параллельных, можно ре-
шить задачу об отыскании центра симметрии двух параллельных
прямых. Выяснив, что центром симметрии в этом случае является
середина отрезка, соединяющего две любые точки прямых (напри-
мер, [ЛВ], рис. 40), необходимо рассмотреть вопрос о том, сколько
таких центров симметрии можно построить (бесконечное множество).
Далее следует предложить учащимся такое задание: пусть а || &,
Л £ а, О — центр симметрии. Можно ли утверждать, что при сим-
метрии с каким-либо центром Ох Ф 0 образом прямой Ь будет прямая
а, а не какая-то другая прямая аъ проходящая через точку Л?
Учащиеся могут дать утвердительный ответ на поставленный
вопрос, ссылаясь на следствие из теоремы о параллельности цент-
рально-симметричных прямых. Однако этот
ответ неверен, так как следствие говорит о
—------------------ том, что на плоскости через любую точку
/ можно провести хотя бы одну прямую, па-
at fO •Oj раллельную данной (т. е. не менее одной
/ прямой). Но на вопрос о том, сколько же
, " д ---- прямых, параллельных данной, можно про-
ь вести через эту точку Л, следствие ответа
Рис. 40. не дает. Оказывается, ответ на этот вопрос
190
найти не так уж просто. Здесь будет уместно рассказать учащимся
о том, что многие выдающиеся математики мира на протяжении
более 22 веков пытались ответить на этот вопрос, опираясь на
ранее известные аксиомы и теоремы, но только в 1826 г. эта
проблема была решена великим русским математиком Николаем
Ивановичем Лобачевским.
Сформулировав аксиому параллельных, необходимо обратить
внимание учащихся на следующее: на основании следствия, в кото-
ром говорится, что через точку можно провести не менее одной пря-
мой, параллельной данной, и аксиомы параллельных, где сказано
«не более одной», мы можем утверждать, что через любую точку
плоскости можно провести одну прямую (единственную), парал-
лельную данной прямой.
Теорему о трех параллельных (если а || с и Ь |[ с, то а || Ь)
можно рекомендовать учащимся изучить по учебнику самостоятель-
но; проверить, как усвоено ее доказательство, можно у доски.
Естественно остановиться на том, что и эту теорему целесообраз-
но доказывать методом от противного. Из нее следует важное свой-
ство параллельных прямых — транзитивность. В дальнейшем, при
рассмотрении понятия пучка параллельных прямых, следует под-
черкнуть, что это свойство позволяет любую прямую данного пучка
считать за исходную. Учитель должен иметь в виду, что именно от-
сюда начинается прямой подход к введению понятия направления,
а от него к вектору.
На этом этапе обучения обычно решается практически важная
задача (на ней основан известный способ построения параллельных
прямых с помощью линейки и угольника): доказать, что если две
прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Сильным учащимся полезно предложить сформулировать обратное
предложение и доказать его. При этом следует рекомендовать уча-
щимся внимательно изучить запись условия и заключения данно-
го предложения, что поможет им найти примерно такое решение
задачи.
Если две прямые параллельны (а || й), то перпендикуляр к одной
из них (с I а) является перпендикуляром и к другой (с J__ b).
Дано: а |( Ь\ с а.
Доказать: с JL Ь.
Доказательство. Допустим, что прямая с не перпенди-
кулярна к Ь. Значит, прямая b является наклонной к прямой с.
Но a _L с, и потому b fl а 0 (перпендикуляр и наклонная к од-
ной прямой пересекутся), что противоречит условию.
4.3. Понятия направления и угла между направлениями, из-
вестные учащимся из курса V класса, получают в курсе VI класса
четкое определение и активно включаются в систему изложения гео-
метрического материала. Сначала устанавливается, что отношение
сонаправленности лучей является отношением эквивалентности,
и, следовательно, определив это отношение на множестве всех лу-
чей плоскости, мы осуществляем разбиение этого множества, выде-
191
q С ляя в нем классы эквивалентности. Каждый
д Л-—-'"* ~~ такой класс и называют направлением.
——“ Таким образом, отношения «параллель-
/7 £ ность» и «сонаправленность», понятия «на-
" правление» и «пучок параллельных» имеют
-—41’ аналогичные свойства. Эту аналогию по-
лезно использовать при рассмотрении всех
случаев взаимного расположения двух лучей на плоскости:
а) лучи лежат на одной прямой; б) лучи параллельны и не лежат
на одной прямой; в) лучи не параллельны. Соответствующие
чертежи расположить на доске так, чтобы под ними можно
было сделать необходимые записи.
Можно предложить учащимся выполнить следующие задания.
Задание 1. Пусть две различные точки А и В принадлежат
прямой MN. Эти точки образуют несколько (сколько именно?)
лучей. Составьте все возможные случаи объединения пар таких лу-
чей. Какую фигуру образует каждое из объединений?
Нетрудно видеть, что в трех случаях объединение лучей составит
прямую, в одном — два различных луча, а в двух — луч. Отсюда
нетрудно построить строгое определение интуитивно очевидному по-
нятию сонаправленности лучей для того случая, когда они принад-
лежат одной прямой.
Задание 2. Рассмотреть случай, когда лучи параллельны,
но не лежат на одной прямой.
Задание 3. Пусть (ДС) || (DE) (рис. 41). Назвать пары со-
направленных и противоположно направленных лучей. В каждом
случае ответ обосновать.
Ответ, а) [ВС) и IKE) сонаправлены, так как [BQ || IKE)
и принадлежат одной плоскости с границей (ВК). Провести границу
(ВК), а лучи ВС и КЕ выделить цветным мелом.
б) 1МА) и [ЛГВ) противоположно направлены, так как ШД) ||
]| INE) и принадлежат разным полуплоскостям с границей (Л4ЛГ).
Провести границу (MN), а лучи Л4Д и NE выделить другим цветом,
в) Выписать пару сонаправленных лучей, начала которых при-
надлежат (Л1Л/), и пару противоположно направленных лучей,
если границей полуплоскости является (ВК).
Задание 4. Рассмотреть случай, когда лучи не парал-
лельны.
Переходя к рассмотрению свойства транзитивности сонаправлен-
ных лучей, нужно иметь в виду, что хотя доказательство этого свой-
ства в VI классе не проводится, но проиллюстрировать его на кон-
кретных примерах и убедить учащихся в его достоверности необхо-
димо. Это можно сделать следующим образом.
Пусть [ВД) и [DC), [DC) и [Л4К) сонаправлены (рис. 42). Прове-
дем прямые BD и DM.
Учащиеся без труда заметят, что (ВД) || (DC) и (DC) || (МК)9
а потому по теореме о трех параллельных (BA) || (МК). Для
случая, изображенного на рисунке, [ВД) и [Л4К) расположены в
192
одной полуплоскости с границей (ВМ), А-~^ \
и потому эти лучи также сонаправлены. « \ й
Полезно предложить учащимся само- —
стоятельно проиллюстрировать транзи- Z^--^*x***^ \ *
тивность сонаправленности для лучей, "—‘ \
расположенных на одной прямой, а так- К
же в случае, когда только два луча из
трех расположены на одной прямой. '
Важно, чтобы учащиеся понимали, Рис- 42-
что свойство транзитивности сонаправ-
ленности лучей дает возможность построить сколько угодно
лучей, сонаправленных данному.. В этом случае говорят, что на
плоскости образуется направление; при этом неважно, какой луч
из множества сонаправленных лучей принимается за исходный. Сле-
дует иметь в виду, что в учебнике не даемся определения понятия
направления через род и видовое отличие, но от учащихся следует
добиваться того, чтобы они понимали и умели конструктивно опи-
сать это понятие. Важно также, чтобы учащиеся усвоили, что за-
дать направление на плоскости можно, указав один луч этого на-
правления.
На конкретных примерах учащиеся убеждаются в том, что на
плоскости можно задать бесконечное множество направлений, так
как на ней существует бесконечное множество различно направлен-
ных лучей.
Предваряя изучение теоремы о симметричности противополож-
но направленных лучей, можно предложить учащимся следующее
задание.
Построить образ луча ОА при симметрии с центром в точке Р
(Р £ ЮЛ)) и ответить на следующие вопросы:
1) Какая фигура является образом этого луча?
2) Как направлены лучи ОА и О^/Ц?
Ответ обосновать.
3) Какой вывод можно сделать о двух лучах, симметричных от-
носительно центра Р?
4) Сформулируйте предложение, обратное сделанному сейчас
выводу.
5) Чем является точка Р для отрезка, соединяющего их
начала?
Теперь можно сформулировать теорему и перейти к ее доказа-
тельству.
Следует подчеркнуть значение этой теоремы в изучении геомет-
рии. Показать, насколько просто с ее помощью решается вопрос о
сравнении величин углов, стороны которых являются противопо-
ложно направленными лучами.
Полезно предложить учащимся итоговое упражнение (по зара-
нее заготовленному чертежу, рис. 43).
Где будет находиться образ точки X при перемещении, отобра-
жающем луч О А на луч OjAl и луч ОВ на луч ОдВр Чтобы учащиеся
7 7-941
193
Рис. 43.
могли использовать угольник, полезно изо-
бразить на рисунке прямые углы.
Следует заметить, что в дальнейшем
вместо слов «стороны углов являются про-
тивоположно направленными лучами» мож-
но говорить короче: «стороны углов проти-
воположно направлены», так как стороны
угла — это лучи.
Переходя к изучению вопроса об углах
между направлениями, полезно начать со
следующей серии заданий:
Задание 1. Стороны углов АОВ и Л1О1В1 являются противо-
положно направленными лучами: ЮЛ) || Ю^) и (OB) [0/Зх).
Можно ли утверждать, что Z_AOB Z-A^BJ Ответ обосновать.
Задание 2. а) Дан [ЛВ), определяющий некоторое направ-
ление на плоскости. Построить несколько лучей заданного направ-
ления (рис. 44).
б) Выполнить то же задание для [CD).
Итак, в каждой точке X плоскости (рис. 44) мы можем построить
по одному лучу каждого из данных направлений: [ХЛ4) || [ЛВ);
[Л7С) || [CD). Можно ли величину каждого из полученных углов с
вершиной в точке X, определяемых лучами ХМ и ХК, принять за
Угол между двумя данными направлениями?
Ответ учащиеся должны обосновать, ссылаясь на определение
угла между двумя лучами. Подчеркнуть, что угол между двумя на-
правлениями является величиной, а не геометрической фигурой.
После этого предложить учащимся выполнить следующее задание:
Даны два пучка параллельных прямых (рис. 45).
1. Сколько направлений на плоскости задают лучи, лежащие
на прямых этих пучков?
2. Сколько различных углов между направлениями они опре-
деляют?
3. Сравните величины углов 1 и 2; 3 и 4\ 1 и 5. Ответ в каждом
случае обосновать.
Ответ. 1 = 2 (3 = 4), так как это углы, стороны которых
являются противоположно направленными лучами. (Углы централь-
Рис. 44. Рис. 45.
194
но-симметричны относительно середины
отрезка, соединяющего их вершины.) В про-
цессе выполнения этого задания учащиеся
выскажут предположение о том, что 1 — 5,
но обосновать его они пока не смогут. Та-
ким образом, учащиеся будут подведены
к необходимости доказать теорему о неза-
висимости величины угла между направле-
ниями от выбора начальной точки.
D Е
Рис. 46.
Изучение вопроса о сумме внутренних углов треугольника и
признаках параллельности прямых не вызывает особых затруднений
в практике обучения. К тому же и тот и другой вопрос хорошо осве-
щены в методической литературе. Понятно, что теоретическое изло-
жение этого вопроса приходит на основе введенных выше новых для
школьного курса понятий (с использованием соответствующих
этим понятиям новых терминов). Кроме того, следует иметь в виду,
что при формулировке и доказательстве признаков параллельности
прямых имеются в виду только несовпадающие параллельные, о
чем в учебнике явно не говорится и на что следует обратить внима-
ние учащихся.
Рассмотрение теоремы о конгруэнтности отрезков, соединяющих
концы сонаправленных отрезков равной длины, полезно провести
в процессе выполнения школьниками следующих упражнений:
1. Задайте направление на плоскости (что это значит?). Опреде-
ляющий луч обозначьте [ДВ).
От точки А на луче АВ в заданном направлении отложите отре-
зок АС такой, что | АС | == 3 см. В этом случае говорят, что мы от-
ложим отрезок данной длины от точки А в заданном направлении.
Отложите отрезок MN длиной 4,5 см от произвольной точки
М в заданном направлении (М £ 1ДВ)).
В том же направлении от точки F £ [ДВ) отложите отрезок FE
произвольной длины. Как направлены 1Л4АА) и IFE)? Ответ обосно-
вать.
‘ 2 Задайте новое направление на плоскости. Отложите от двух
.точек В и D в этом направлении отрезки ВК и DE одинаковой длины
(рис. 46). Сравните длины IBD] и [КЕ]. Каково взаимное расположе-
ние [BD] и IKE]?
Следует уточнить с учащимися, какое положение было исходным
для проведенных рассуждений, и повторить еще раз, к какому вы-
воду относительно отрезков BD и КЕ можно прийти в результате
выполнения последнего упражнения. Далее можно сформулировать
теорему о конгруэнтных отрезках и доказать ее, применяя эвристи-
ческий метод. Следует иметь в виду, что данная теорема носит вспо-
могательный характер. Она используется при доказательстве того,
что параллельный перенос является перемещением.
По мере изучения этой темы следует практиковать краткую
запись доказательства теорем и решения задач с использованием
7*
195
известной школьникам символики. В частности, запись доказательст-
ва панной теоремы можно оформить так:
1) Р G ЮЛ1; ЮР] [R4J.
2) ЮЛ) и 1Л1О1) противоположно направлены;
ЮЛ) [ЛЮ1);
л1;
|ОЛ| = |Л1О1|;
ot а.
3) [001] — -> [ЛХЛ] => 100х I = IЛХЛ |.
4) [00J || (ДЛХ].
Если учащиеся еще не готовы к пониманию краткой записи, мож-
но сделать ее более детальной:
1) РСЮЛЯ; |ОР|«|РЛ1|.
2) ЮЛ) и [Лjpi) противоположно направлены, значит, они сим-
метричны относительно центра Р; О —ЛХ;
(ОЛ) —ИЮ); так как | О А | = | ОхЛд |, то О — -> Лх.
3) 1 00х | = | ЛЛХ |, так как при центральной симметрии отно-
сительно точки Р концы [00г] отобразились на концы [Л ДД.
4) ЮОД II [ДДД по теореме о центрально-симметричных пря-
мых.
4.4. При изучении темы «Параллельный перенос» полезно ис-
пользовать в качестве наглядного пособия модель из картона и та-
кую же модель, сделанную из кальки.
Изучение нового материала лучше начать с повторения понятий
отображения фигур, перемещения плоскости, свойства перемещений,
а также понятия параллельного переноса, знакомого учащимся из
курса V класса. Наглядное представление о параллельном перено-
се фигуры как результате ее перемещения вместе с плоскостью в
определенном направлении можно осуществить путем демонстрации
модели, на которой учащиеся видят сдвиг кальки — модели плос-
кости. Тем самым подчеркивается, что данное отображение есть отоб-
ражение плоскости на себя. Оно характеризуется следующими свой-
ствами:
а) Каждой точке плоскости соответствует одна й только одна
точка той же плоскости: X —Y Y^, Z--*-Zv Точки Хт, Yt
и Zr получены сдвигом плоскости, с помощью которого задается дан-
ное соответствие.
б) Лучи XXlt YYlt ZZt сонаправлены.
в) Расстояния между точками X и Xlt Y и Yt, Z и Zx равны.
На основании перечисленных выше свойств можно предло-
жить учащимся самостоятельно сформулировать определение па-
раллельного переноса. Полезно проанализировать, с помощью ка-
196
ких понятий было составлено это определение (отображение, направ-
ление, расстояние). Предложить учащимся на модели найти образ
точки при параллельном переносе.
Следующий шаг — выяснение того, какие элементы необходимо
задать для определения параллельного переноса. Следует обратить
внимание учащихся на то, что параллельный перенос полностью за-
дается двумя соответствующими точками и указанием одной из них
в качестве прообраза. (Ввести обозначение для образа точки Т (X) и
запись Т (X) = ХР) Эту же мысль закрепить, предложив учащимся
самостоятельно решить такую, например, задачу: «Дан Д АВС и
точка Л4, расположенная во внешней области треугольника. Парал-
лельный перенос задан расстоянием | АВ | и направлением от В к
А. Построить образ данного треугольника и точки М в этом отобра-
жении».
Изученные ранее отображения плоскости (поворот, центральная
и осевая симметрии) обладают общим свойством: они сохраняют рас-
стояния, т. е. являются перемещениями. Более того, при их опреде-
лении понятие перемещения служило родовым. («Поворотом ... на-
зывается такое перемещение плоскости, при котором ...», «Осевой
симметрией ... называется такое перемещение, при котором ...».)
Параллельный перенос обычно определяется через более широкое
понятие соответствия. Естественно, возникает вопрос: является ли
и параллельный перенос перемещением? Вообще говоря, можно
было бы построить и определение параллельного переноса аналогич-
ным образом, но при этом легко совершить ошибку, называемую
«порочным кругом» (см. [III.4.1]). Однако дело не только в этой
трудности. Развивая логическое мышление учащихся, необходимо
подвести их к пониманию того факта, что если вместо признака А
(в данном случае — «быть перемещением») в определении использу-
ется признак В (в данном случае «быть отображением»), то при-
знак А становится теоремой (в данном случае «Параллельный пере-
нос является перемещением»). Таким образом, оказывается, что эта
несложная ни по формулировке, ни по доказательству теорема не-
сет весьма серьезную функцию воспитания учащихся.
Следует чаще практиковать применение параллельного перено-
са при решении задач. Необходимо, чтобы каждое понятие (а тем
более это важное понятие) «активно работало» в дальнейшем.
Изучение понятия полосы имеет значение для закрепления важ-
ного геометрического понятия «полуплоскость» и усвоения структу-
ры достаточно сложных определений. При рассмотрении этого во-
проса ярко выступает также одна из центральных идей курса гео-
метрии — понятие о фигуре как о множестве точек. Доказываемая
далее теорема Фалеса имеет большое значение при дальнейшем
изучении теории (например, при изучении свойств средней линии
треугольника) и часто применяется при решении задач.
Завершая изучение темы «Параллельность и параллельный пе-
ренос», полезно предложить учащимся следующую итоговую само-
стоятельную работу (приведем второй вариант работы).
? 197
Рис. 47.
верждения можно доказать, имея
Дано: / BAD = Z_ DAC\
[AL] [LN] (Ш.
Задание 1. Построить
образ ДМР# при параллель-
ном переносе, переводящем М в
точку О — середину [MPL
Задание 2. Существует
ли параллельный перенос, пере-
водящий М в С, a N в D, если
| MN | = 2 см, | CD | = 2 мГ
Задание 3. Какие ут-
следующие данные (рис. 47):
[Л#1 ~ [#М] ~ ШВ];
Доказать: ......
Работа рассчитана на проверку следующих знаний и умений:
Задание 1. Проверяется умение строить середину отрезка,
образ фигуры при параллельном переносе, заданном точкой и ее
образом (во 2-м варианте — направлением и расстоянием). Одно-
временно проверяется умение оформить решение задачи на пост-
роение.
Задание 2. Проверяется знание того, что параллельный
перенос есть перемещение, усвоение определения перемещения,
умение провести рассуждение от противного, сравнить две величи-
ны, измеренные с помощью различных единиц.
Задание 3. Проверяется умение решать задачи экстраполя-
ционного типа \ т. е. умение самостоятельно определять условие
задачи, по данному ее заключению (в 1-м варианте) или устанавли-
вать, какие следствия можно вывести из предложенных данных
(в рассматриваемом 2-м варианте). Это задание имеет ярко выраженный
творческий характер.
4.5. Тема «Параллельность и параллельный перенос» получает
свое дальнейшее развитие в курсе стереометрии. При этом опреде-
ления основных понятий не претерпевают существенных измене-
ний, а лишь обобщаются для трехмерного пространства.
Понятно, что в курсе геометрии IX класса многие явно не опре-
деленные в курсе; планиметрии понятия, относящиеся к этой теме,
получают четкое ^определение. Так, например, в отличие от курса
геометрии VI класса дается четкое определение понятию направле-
ния: «Множества? всех лучей, каждый из которых сонаправлен с
одним и тем же /1учом, называется направлением в пространстве»
(см. [3.511, стр. £1).
Определяется и понятие преобразования пространства как обра-
тимого отображения пространства на себя (там же, с. 37).
Расширяется число изучаемых и доказываемых свойств парал-
лельного переноса; в частности, строго доказывается теорема о том,
что композиция двух параллельных переносов есть параллельный
перенос и т. п.
1 См. § 4 главы IV первой части данного пособия.
198
Обобщаются и некоторые известные из курса планиметрии опре"
деления понятий.
Понятие параллельного переноса в курсе стереометрии, как и в
курсе геометрии VII класса, является базовым для введения поня-
тия «вектор» и по существу отождествляется с ним. Так, в учебном
пособии [3.51] принято следующее определение: «Вектором
(параллельным переносом), определяемым парой (Д, В) несовпадаю-
щие точек, называется преобразование пространства, при котором
каждая точка М отображается на такую точку Afx, что луч ММг со-
Иаправлен с лучом АВ и расстояние | AfAlx | равно расстоянию
|^4В |» (с. 42).
Мы видим, что это определение полностью соответствует опреде-
лению параллельного переноса, изложенному в учебнике геометрии
для VI класса 13.45].
§ 5. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРА
5.1. О различных определениях понятия «вектор».
5.2. Методика введения понятия «вектор».
5.3. Методика изучения сложения векторов.
5.4. Методика изучения умножения вектора на число.
' 5.5. Векторы в курсе стереометрии.
5.1. В учебной литературе и практике обучения математике су-
ществуют различные подходы к определению понятия вектора.
В большинстве учебных курсов вектор определяется как направ-
ленный отрезок х. При этой трактовке векторы считаются равными,
если они имеют одинаковую длину и направление (рис. 48). Несмот-
ря на широкую распространенность этого определения, его нельзя
признать математически корректным, хотя бы в силу данного выше
определения равенства.
В самом деле, «равные векторы» — это по существу «один и тот
же вектор» (аналогично тому, как «равные числа» — по существу
«одно и то же число»), тогда как направленные отрезки АВ и CD
(рис. 49) — это различные отрезки, а не один и тот же отрезок. Тем
самым, приняв это определение вектора; мы отождествляем два
различных (хотя и родственных) математических понятия: поня-
тие равенства и понятие эквивалентности.
Равенство двух математических объектов есть их совпадение;
эквивалентность же объектов означает любое отношение, обладаю-
щее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
К тому же именно это отличие реализовано сейчас в курсе мате-
матики IV—V классов, где равными множествами называют множе-
ства, состоящие из одних и тех же элементов. По той же причине,
кстати говоря, в курсе геометрии принято отличать равные
фигуры от фигур конгруэнтных.
1 См., например: а) Бескин Л. Н. Стереометрия. Пособие для учителей
средней школы. М., 1971; б) Ф е т и с о в А. И. Геометрия. Учебное пособие
по программе старших классов. М., 1963.
199
Иногда вектор определяют как упо-
... рядоченную пару точек; однако сразу
же, как правило, переходят к более наг-
лядному его толкованию как направ-
ленного отрезка.
Рис. 48. Трудность выбора того или иного
определения вектора возникает и пото-
му, что в различных научных дисциплинах используются раз-
личные виды векторов. Так, в механике обычно рассматриваются
так называемые скользящие векторы (вектор, начало которого
можно выбирать на некоторой прямой, по которой он может
перемещаться) и связанный вектор (вектор, начало которого
отождествляется с некоторой фиксированной точкой); в мате-
матике же обычно имеют дело с так называемым свободным векто-
ром (не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксирован-
ной точкой).
Подход к трактовке понятия вектора, принятый в школьном кур-
се геометрии, созданном под руководством А. Н. Колмогорова,
представляется наиболее удачным, хотя понятие вектора вводится
здесь нетрадиционно.
Если обобщить упомянутые выше подходы к определению поня-
тия «вектор», можно отметить, что с геометрической точки зрения
вектор есть геометрический объект, характеризуемый направлением
(т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.
Согласно этому общему определению именно параллельный пе-
ренос следует считать вектором, так как параллельный перенос как
раз и характеризуется направлением и длиной.
Об этом говорит и принятое в курсе геометрии VI класса опреде-
ление: «Параллельным переносом называется отображение пло-
скости на себя, при котором все точки плоскости перемещаются в
одном и том же направлении на одно и то же расстояние». Поэтому
естественно, что «вектором называется всякий параллельный пе-
ренос». Это определение не только логически безупречно, но и
обладает преимуществом дидактического характера.
Во-первых, «вектор» лишь новое название одного из известных
учащимся из курса геометрии VI класса видов перемещений —
параллельного переноса. Это перенаименование параллельного пе-
реноса позволяет рассматривать вектор как перемещение, т. е.
органически включить это понятие в общее понятие отображения
Рис. 49.
плоскости на себя. При этом достигается
не только единство в построении геоме-
трии на основе теории отображений, но и
достигается определенная экономия в
отборе содержания учебного материала.
Во-вторых, элементы векторной алгебры
органически включаются в курс геоме-
трии, а также в систему основных
понятий курса алгебры.
200
В самом деле, вектор (как параллельный перенос) определяется
одной парой соответствующих точек. Задавая такую пару точек, мы
полностью определяем некоторое отображение множества точек
плоскости на себя. Как и в курсе алгебры, мы имеем здесь функцио-
нальное соответствие — отображение множества всех точек плос-
кости на ce6nt представленное данным вектором. Тем самым вектор
является функцией (отображением), заданной на множестве точек
плоскости. Об этом говорят и соответствующие обозначения. В част-
ности, в курсе алгебры для функции f (х) = х2, определенной, на-
пример, на множестве натуральных чисел, имеем: f (1) = 1, f (2) =
— 4 и т. д.; в курсе геометрии для заданного вектора а, определенно-
го на множестве точек плоскости, имеем аналогичное обозначение:
а (х) = х'.
Следует также отметить, что в связи с этим некоторые привыч-
ные символические обозначения получают нетрадиционную трактов-
ку. Так, обозначение АВ = CD означает, что АВ и CD являются
различными записями одного и того же вектора (во введении понятия
равенства векторов нет необходимости).
Заметим, что такое обозначение по существу не является столь
необычным, как это кажется на первый взгляд. В самом деле, привыч-
12 3
ные обозначения -у = -j- = -g- ... также являются различными за-
писями одного и того же дробного числа ~ (см. гл. XII).
Изучение отображений плоскости на себя получает дальнейшее
развитие не только по содержанию (изучаются новые виды отобра-
жений — гомотетия и подобие), но и по глубине их рассмотрения
(рассматривается новый вид алгебраических операций — компози-
ция отображений). Изучение свойств множества различных отобра-
жений с определенной на этом множестве операцией «композиция
отображений» дает хорошую основу для дальнейшего обобщения
(в старших классах) — ознакомления школьников с понятием груп-
пы отображений (геометрических преобразований).
Недостатком этого определения вектора является, может быть,
то, что представление о векторе как о некотором геометрическом
преобразовании далеко не всегда согласуется с физическими пред-
ставлениями о векторных величинах.
5.2. Содержание темы «Векторы» составляют следующие вопросы:
«Перемещения. Векторы и способы их задания. Вектор как част-
ный случай перемещения. Сложение векторов. Переместительность
сложения векторов. Коллинеарные векторы. Сочетательность сло-
жения векторов. Противоположный вектор; вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Основные законы векторной алгебры.
Векторные величины в физике. Композиция произвольных переме-
щений (последние два вопроса факультативно)».
Предваряя введение понятия вектора, полезно провести в классе
фронтальную беседу по повторению материала из курса VI класса,
201
связанного с этим понятием. Перед учащимися могут быть постав-
лены такие, например, вопросы:
1) Дайте определения следующим понятиям:
а) перемещение;
б) направление на плоскости (речь идет о конструктивном опре-
делении);
в) параллельный перенос.
2) Перечислите известные вам виды перемещений.
3) Как задается параллельный перенос?
4) Сколько различных параллельных переносов задают две
различные точки плоскости? '
5) Является ли параллельный перенос перемещением?
Теперь можно ввести определение и обозначение тождественного
отображения плоскости на себя. С таким отображением плоскости
учащиеся уже встречались в курсе VI класса при рассмотрении по-
ворота на 0° вокруг некоторого центра О.
Затем полезно рассмотреть следующую задачу на тождественное
отображение. Дан отрезок АВ. 1) Постройте образ этого отрезка:
а) при параллельном переносе, который' переводит точку А
в ту же точку А (Ответ. 1АВ] 1АВ]);
б) при повороте на 0° вокруг выбранной вне отрезка АВ точки
(Ответ. [ А В] 1АВ1).
2) Является ли произвольное перемещение тождественным ото-
бражением, если известно, что оно переводит А в ту же точку А, а
точку В в точку В, т. е. отображение /: IАВ] [АВ]? (Ответ.
Нет, так как при симметрии с осью (АВ) на плоскости найдутся точ-
ки, не переходящие сами в себя, а тождественное отображение есть
преобразование всей плоскости на себя, которое любую точку пло-
скости отображает на себя.)
Решение этой задачи поможет учащимся сделать важный вы-
вод о том, что тождественное отображение есть единственное
перемещение, которое является одновременно и поворотом, и парал-
лельным переносом.
Учитель подчеркивает, что в курсе геометрии VII класса про-
должается изучение параллельного переноса, который теперь бу-
дет называться по-иному — «вектором».
Итак, вектором называется параллельный перенос. Вводятся обо-
значения вектора: а; х и т. п., а также обозначения образа точки при
заданном параллельном переносе (векторе):
Т (х), а (х) или Xj = Т (х), и Xj « а (х).
Подчеркивается, что записи Т (х) и а (х) идентичны; они обозна-
чают один и тот же перенос; только в этом смысле и следует понимать
запись в виде равенства: а (х) = Т (х).
Затем дается определение нулевого вектора и вводится его
202
обозначение: 0 или 0 (х), или АА = ВВ — 0. Нулевой вектор явля-
ется тождественным отображением плоскости на себя.
Дается определение длины вектора и вводится обозначение | а |.
Учащимся напоминается о том, что, указав направление на пло-
скости и зафиксировав некоторое расстояние г > 0, мы тем самым
задаем определенный параллельный перенос (вектор).
Далее введенные понятия закрепляются решением различных за-
дач.
Подводя итог, полезно отметить, что новое название параллель-
ного переноса и новое его обозначение окажутся весьма удобными
при изучении многих вопросов геометрии и физики. Следует также
отметить, что вектор как один из видов отображений является тем
самым функцией, заданной на множестве точек плоскости.
Рассматривая способы задания векторов, по-
лезно повторить, что, кроме указания направления и расстояния,
параллельный перенос можно задать и другим способом. Тем са-
мым выясняется, что вектор тоже может быть задан одной парой
соответствующих точек.
Возможно, найдутся учащиеся, которые сформулируют этот
вывод таким образом: вектор можно задать двумя точками. Учи-
телю необходимо вскрыть характер ошибки, подчеркнув еще раз,
что, говоря о паре точек (Л, В), мы подразумеваем пару, состоящую
из прообраза и образа, т. е. упорядоченную пару точек. Именно
такая пара точек определяет один-единственный вектор АВ в отли-
чие от двух произвольных точек А и В, которые определяют два
различных вектора: АВ и В А.
Затем следует рассмотреть случаи: А Ф В и А = В.
Итак, если:
а) [АВ] Н [CD] ft (ХУ] \
б) |Я5| = \cb\ = = |Д
то записью АВ = сЬ = XY = а передается один и тот же вектор.
Нулевой вектор также имеет бесконечное множество обозна-
чений: 0 = А А и т. п.
Для того чтобы учащиеся усвоили эти понятия, полезно рассмот-
реть задачи вида:
1) Каким будет четырехугольник ABCD, если АВ = CD?
2) Дан параллелограмм ABCD.
а) Сколько различных векторов изображают пары, составленные
из его смежных вершин?
б) Сколько всего векторов изображают пары, составленные из
вершин параллелограмма?
Теперь вполне естественно ввести понятия направленного от-
резка (как отрезка с отмеченными начальной и конечной точками)
1 Знаком ft обозначена сонаправленность лучей (отрезков).
203
для изображения вектора на рисунках, а затем указать, что от-
кладывание вектора а от точки О есть построение изо-
бражающего этот вектор направленного отрезка.
В курсе геометрии VI класса было доказано, что параллель-
ный перенос является перемещением, и как следствие из этой теоре-
мы, установлен тот факт, что при параллельном переносе луч пере-
ходит в сонаправленный луч.
Последнее свойство выступало здесь как необходимое усло-
вие существования параллельного переноса. В курсе геометрии
VII класса доказывается достаточность этого условия. Тем самым
параллельный перенос выделяется этим свойством из всех других
перемещений, т. е. оказывается единственным видом перемещений,
обладающим таким свойством.
Предваряя формулировку и доказательство этой важной теоре-
мы, полезно рассмотреть с учащимися несколько упражнений,
например:
1) Какие два луча называются еонаправленными? Противопо-
ложно направленными? Изобразите на рисунке пары лучей: а) со-
направленных; б) противоположно направленных.
2) В результате каких перемещений любой луч отображается на
луч, ему сонаправленный и совпадающий с данным? Противополож-
но направленный?
3) Можно ли некоторый луч АВ отобразить на какой-либо из
сонаправленных ему лучей:
а) с помощью поворота? (Ответ. Да, если величина угла по-
ворота равна 0°.)
б) с помощью осевой симметрии? (О т в е т. Да, если осью сим-
метрии будет прямая АВ.)
4) Можно ли любой луч МК при отображении плоскости на себя
отобразить на сонаправленный ему луч MiKr при помощи поворота,
центральной симметрии или осевой, параллельного переноса?
(Ответ. Это можно всегда сделать только с помощью параллель-
ного переноса, который переводит точку М в точку Л4Х.)
Полезно рассмотреть с учащимися случай, когда это можно
сделать и с помощью осевой симметрии.
Решение этих задач должно привести учащихся к выводу о том,
что параллельный перенос всегда отображает луч на сонаправлен-
ный ему луч, после чего можно перейти к доказательству соответ-
ствующей теоремы. Следует выделить в формулировке этой теоре-
мы достаточность и необходимость данного условия:
1. Достаточность условия. Если перемещение F
отображает каждый луч на сонаправленный ему луч, то это пере-
мещение F является параллельным переносом:
V [ЛВ) е р: [ЛВ) [ЛА) | [ЛВ) tf [ЛА) => F ~ т ч
1 Понятно, что данную символическую запись приводить в VII классе не
следует.
204
2. Необходимость условия. Если перемещение
F есть параллельный перенос (F — Т), то каждый луч отобража-
ется на сонаправленный луч;
V [ЛВ) G Р: F = Т^> [ЛВ) [Л ГВХ) | [ЛВ) ft [ЛХВХ).
В ходе доказательства полезно обратить внимание учащихся
на значение слов «каждый луч» в формулировке теоремы и сослать-
ся на контрпример, приведенный в упражнении 4.
5.3. Сумма векторов определяется с помощью понятия компо-
зиции параллельных переносов, причем композиция понимается
в том смысле, что эти переносы выполняются последовательно один
за другим.
Ознакомление школьников с понятием суммы векторов можно
начать с практической работы следующего содержания (работу
можно провести в форме математического диктанта).
1) Постройте два отрезка, изображающие два несонаправленных
и не противоположно направленных вектора а и Ь.
2. Отметьте на плоскости произвольную точку Л.
3. Постройте точку В, являющуюся образом точки Л при преоб-
разовании а. Запишите в тетрадях: В = а (Л). :
4. Постройте точку С, являющуюся образом точки В, при пре-
образовании Ь. Запишите: С — b (В),
В сильном классе можно привести и такую запись: С — Ь (а (Л)).
После выполнения этого задания перед учащимися можно по-
ставить вопрос: можно ли каким-либо одним отображением плос-
кости на себя заменить два отображения а и Ь, выполненных после-
довательно, переводя при этом точку Л в точку С?
Ответ. АС, так как пара точек Л и С определяет единственный
вектор. Указать, что возможность такой замены двух последователь-
но проведенных параллельных переносов может быть доказана (это
доказательство в учебнике дано петитом).
Это доказательство можно провести и так:
Если первый перенос (вектор ЛВ) переводит точку Л в точку В,
а второй (вектор ВС) переводит точку В в точку С, то в результате
последовательного выполнения обоих переносов точка Л переходит
в точку С.
Если взять другие точки А', В', С, переходящие друг в друга
при этих переносах (так что А"В' = АВ и В'С' = ВС), то точка
А' перейдет в результате последовательного выполнения обоих
переносов в точку С.
Ясно* что ДЛВС = ДЛ'В'С' (по конгруэнтности двух сторон
и углов, заключенных между ними). Но тогда [ЛС] £* [Л'С'|, и
поэтому | ЛС| = |Л'С'|. Кроме того, эти отрезки параллельны и
одинаково направлены, так как лучи [ЛС) и [Л'С') сонаправлены.
205
Рис. 60.
Таким образом, результирующее отобра-
жение сохраняет расстояние и переводит
луч в сонаправленный ему луч, т. е. явля-
ется вектором. Равенство АС ~ А'С гово-
рит о том, что в результате выполнения
указанных перемещений получился один и
тот же вектор.
Следовательно, результирующее пере-
мещение также является вектором, и при-
том единственным.
Теперь можно указать, что вектор АС (в данном случае) назы-
вают суммой векторов а и Ь; ввести обозначение а 4- Ь и дать опре-
деление суммы векторов. Операция нахождения суммы векторов
называется сложением векторов.
Далее рассматривается геометрическое построение суммы век-
торов и вводится соответствующая запись:
1, Дано: АВ
“+
т и DK = п.
Построить: АВ 4- DK. = т-\-п (рис. 50).
ВС = DK-,
АВ + DK = АВ + ВС = АС',
ЛС = т 4- п; АС = АВ + ВС.
у Следует подчеркнуть, что, говоря о построении суммы двух век-
торов, мы имеем в виду построение направленного отрезка, изобра-
жающего вектор-сумму этих векторов.
В процессе доказательства теоремы устанавливается, что фор-
мула АВ -j- ВС == АС (рис. 50) выражает так называемое «правило
треугольника» для сложения векторов (отрезок, изображающий
вектор-сумму, является стороной ДЛВС, «замыкающей» лома-
ную АВС).
Именно для построения суммы векторов достаточно взять лю-
бые направленные отрезки, изображающие эти векторы и располо-
женные таким образом, что начало второго отрезка совпадает с
концом первого; тогда «замыкающий» направленный отрезок, т. е.
отрезок, соединяющий начало первого отрезка с концом второго,
будет изображать сумму двух взятых векторов (рис. 50).
Изучение законов сложения векторов также можно начать с
выполнения соответствующих заданий. Например, известно, что
три точки О, А, В не лежат на одной прямой. Построить сумму
векторов ОА и ОВ следующими двумя способами:
а) ОА сложить с ОВ\ б) ОВ сложить с О А.
206
Сравнивая результаты, полученные при выполнении этой ра-
боты двумя способами, учащиеся должны прийти к следующему
выводу: получен один и тот же вектор-сумма. Следовательно, для
сложения векторов имеет место переместительный закон. Доказа-
тельство соответствующей теоремы можно предложить учащимся
изучить по учебнику, а затем записать его иа доске и в тетрадях
(рис. 119 учебника) [3.47].
Обратившись к чертежу при установлении переместительного
закона сложения векторов, нетрудно усмотреть еще один способ
сложения векторов. Учащиеся должны обнаружить, что сумму
двух векторов можно находить и способом, отличным от «правила
треугольника». Возможно, что учащиеся сумеют и сами назвать
это правило «правилом параллелограмма».
Переходя к рассмотрению сложения коллинеарных векторов,
следует иметь в виду, что переместительность сложения векторов
не была ранее доказана полностью (доказательство было проведено
лишь для случая неколлинеарных векторов). Поэтому, после того
как установлено, что это свойство имеет место и для коллинеарных
векторов, следует завершить доказательство соответствующей
теоремы.
Предварительно полезно напомнить учащимся о том, что
запись АС = АЕ означает, что мы имеем дело с одним и тем же век-
тором. Так как направленные отрезки АЕ и АС имеют общую на-
чальную точку Л, то достаточно для этого установить, что точки С
и Е совпадают, т. е. С = Е. Для этого достаточно вспомнить, что
запись АС — АЕ может быть заменена эквивалентным ей числовым
равенством: хс — Ха = хЕ — хл-
Теперь можно переходить к завершению доказательства теоре-
мы о переместительности сложения векторов с последующей за-
писью его на доске и в тетрадях.
Сочетательность сложения векторов:
а 4- (Ь 4- с) = (а 4~ ty 4- с и закон «поглощения нулевого век-
тора»: а 4- 0 = а изучаются аналогично.
Заметим, что переместительный и сочетательный законы для сло-
жения векторов, а также закон «поглощения нулевого вектора»
записывается точно так же, как и аналогичные им законы сложения
чисел. Это оказывается весьма удобным, так как дает возможность,
не переучиваясь, производить соответствующие действия над век-
торами, используя навыки, выработанные при изучении действий
над числами. Аналогия между числами и векторами имеет место и
далее, при выполнении вычитания векторов и, правда, в несколько
меньшей степени при умножении вектора на число.
5.4. Изучение новой операции над векторами — умножения
вектора на число — можно начать со следующих заданий.
1) Построить вектор, представляющий сумму
АВ = а 4- сг* CD а 4- л + л.
г 207
выполнения этого задания выяснить с учащимися
а) Данный и построенный векторы являются сонапрявленными
(имеют одно и то же направление).
’ б)-Длипа построенного вектора |ДВ| (или | CD |) равна произве-
дению длины данного вектора а на число 2 (на число 3). Результат
операции выразить в записи:'
АВ = 2 • а- сЬ = 3 ?а.
2) Рассматривая задачу построения вектора, противоположно-
го данному вектору 6, нетрудно мотивировать учащимся, что вектор
—b целесообразно рассматривать как произведение вектора Ь на
число —1, т. е. —Ь = (—1) -Ь.
Теперь можно перейти к рассмотрению новой задачи.
Дан вектор с. Построить вектор MN = —с — с = —с + (—<?)•
В беседе с учащимися следует выяснить, что:
а) вектор с и вектор MN — противоположно направленные век- >
торы;
б) длина вектора MN равна произведению длины вектора с на
число (—2), т. е. | MN | = |—2 | • |с|. Результат операции выразить
в записи: MN = —2с.
Полезно обратить внимание учащихся на то, что запись 2 • АВ
не соответствует порядку, принятому в словесной формулировке
этой операции (вектор умножается на число, в записи же число-
вой множитель принято ставить слева). Можно привести анало-
гичную запись в курсе алгебры: а + а = 2а; такая запись оказы-
вается удобнее, чем запись вида а • 2.
Теперь можно дать определение произведения вектора а на чис-
ло х и рассмотреть равенство |ха| = |х| • |а|, являющееся след-
ствием этого определения.
Здесь учителю следует дать некоторые дополнительные пояс-
нения к тексту учебника. Прежде всего следует подчеркнуть, что
равенством |ха| = |х | • |а| по существу выражается вторая часть
определения умножения вектора а на число х.
Вытекающие отсюда равенства 0 • а = О и х • 0 = 0 следует
рассмотреть детальнее.
1) Если | х | = 0, то правая часть равенства |ха| =« | х| • |а| об-
ращается в нуль, каков бы ни был вектор а : 0 • [ а | = 0. Но тогда
вектор х • а имеет длину, равную нулю | ха | == 0, т. е. является
нулевым вектором; поэтому при | х | = 0 0 • а = 0.
208
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в правой
Цсги последнего равенства записано не число 0, а нулевой вектор,
Цк как произведением вектора на любое^число^является вектор.
2) Если а = 0, то | а | = ] 0 ] = 0.
Поэтому правая часть равенства |ха| ='| х | • | а] и в этом слу-
чае обращается в нуль, каково бы ни было число^х": |х| • 0 = 0.
Таким образом, х • а и в этом случае имеет длину, равную ну-
лю, т. е. является нулевые вектором. Поэтому при a х • 0 = 0.
В тексте учебника указывается, что умножение ( вектора на
число фактически используется при введении^координат точек на
прямой.
Выяснить это с учащимися можно с помощью соответствующих
упражнений.'
Шусть на прямой задан вектор ej= ОЕ, который ’Мы назовем
единичным. *
1) Построить на этой прямой вектор а, если:}
а) а = — 2е;
г) а = — 0,5е;
б) а = 4е;
д) а = — 1,5е;
в) а — 0,8е;
е) а = -^е.
z 2) Указать абсциссу конца каждого направленного отрезка,
изображающего каждый из построенных векторов, учитывая, что
вектор е принят за единичный.
При выполнении этих заданий учащиеся должны установить,
что каждой точке М (х), принадлежащей данной прямой, соответ-
ствует единственный вектор ОМ — х - е.
Вместе с тем выполнением этих упражнений учащиеся подготов-
лены к выводу о том, что между координатой х точки М и вектором
ОЛ4 существует определенная связь:
а) длина вектора ОМ равна модулю числа х: | ОМ | — | х |;
б) если х > 0, то векторы ОМ и е сонаправлены; если же х < 0,
то векторы ОМ и е противоположно направлены.
Итак, каждой точке прямой М соответствует некоторая абсцис-
са — число х, а каждому числу х — определенная точка прямой
М, причем ОМ - х • е.
Поэтому любое число х можно изобразить геометрически векто-
ром хе, что фактически и делалось при введении координат точек на
прямой.
5. 5. Понятие преобразования, и в частности вектора, получает
дальнейшее развитие в курсе стереометрии. Прокомментируем про-
грамму этого курса для IX класса.
209
Основное содержание программы составляют либо векторная
алгебра, либо ее приложения. При этом оказывается, что многие
факты, известные школьникам из курса геометрии восьмилетней
школы (отображение пространства на себя, преобразования про-
странства, обратное и тождественное преобразования, перемеще-
ния, композиция преобразований, направление, вектор, сложение
векторов, вычитание векторов, их коллинеарность, умножение
вектора на число), получают здесь более глубокое освещение и си-
стематизацию. 4
Первыми по-настоящему новыми фактами для учащихся оказы-
ваются в IX классе определение компланарности векторов и тео-
рема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Эта
теорема играет исключительную роль в дальнейшем построении курса,
так как, во-первых, она дает возможность применения векторов к
решению задач и, во-вторых, является подготовительной к изуче-
нию ее пространственного аналога — теоремы о разложении век-
тора по трем некомпланарным векторам. Последняя. же теорема
вообще является основой построения координат в пространстве.
Сами по себе теоремы о разложении вектора несложны, особенно
если при их доказательстве и закреплении учитель опирается на
наглядные представления (построение параллелограмма для пло-
скости и параллелепипеда для трехмерного пространства). Однако
применение их к решению задач требует не только твердых знаний,
но и известного навыка, на формирование которого придется обра-
тить серьезное внимание, имея в виду, что на это удастся выделить
очень мало времени.
Вторым принципиально новым моментом является здесь введе-
ние скалярного произведения двух векторов. С дидактической точ-
ки зрения наиболее сложным при этом оказывается объяснение
смысла и пользы нового понятия. Для учеников сама мысль о том,
что при умножении элементов одного множества образуются эле-
менты другого (умножаем векторы, а получаем числа), кажется в
какой-то степени парадоксальной, противоестественной, непонят-
ной. До сих пор операция умножения в любом множестве не приво-
дила к каким-либо осложнениям, выработалось определенное от-
ношение к этой операции, а новым определением все это разруша-
ется. Традиционно приводимая в оправдание нового определения
ссылка на формулу вычисления величины механической работы
(Л = F • 5 • cos а) для девятиклассников в общем-то малоубеди-
тельна. Гораздо убедительнее и естественнее оказывается явная
ссылка на ту пользу, которое скалярное произведение, определен-
ное столь удивительным способом, принесет в недалеком будущем.
При этом целесообразно учесть два обстоятельства. У учащихся
уже есть опыт подобного построения конструктивных определений.
Вводя, например, определение отрицательной степени, мы тоже
сначала сформулировали его и лишь потом убедились, как удобно
это определение с точки зрения сохранения законов операций. Ко-
нечно, приведенная аналогия весьма относительна, но все же ее мож-
210
но использовать. Главное же, во-вторых,
в том, что уже на последующих уроках
скалярное произведение будет активно
использоваться при решении задач и до-
казательстве теорем, удобство новой опе-
рации станет очевидным и определение,
введенное формально, будет усвоено со-
знательно.
Одним из наиболее удачных примеров,
из которых становится ясным смысл ска-
лярного произведения, является задача на Рис. 51 •
Вычисление угла между прямыми в про-
странстве. В учебном пособии [3.51] она приведена как одна из
возможных иллюстративных задач, однако учитель должен пони-
мать ее обязательность для всех учащихся. В X классе к ней
придется вернуться для вывода соответствующей формулы в коор-
динатной форме.
Возможность эффективного применения свойств скалярного
произведения векторов объясняет своеобразное разделение вопро-
са о положении прямых в пространстве, принятое в [3.51]. Казалось
бы, вслед за изучением параллельности прямых следовало, как это
и делалось в большинстве традиционных учебников, обратиться
к перпендикулярности. Но без применения скалярного произведе-
ния соответствующие теоремы оказываются весьма громоздкими.
После же изучения этой операции теорема о двух перпендикулярах,
теорема о трех перпендикулярах и ряд других теорем становятся
элементарными задачами на одну и ту же тему.
Дидактически особенно полезно применение векторного аппара-
та при решении таких задач, в условии которых векторы явно не
проявляются. Именно при решении таких задач векторный аппа-
рат ярко проявляется как один из математических методов.
Проиллюстрируем применение векторной алгебры на примере
решения следующей задачи: «Найти длину общего перпендикуляра
скрещивающихся диагоналей двух смежных граней куба с ребром
длиной а» (рис. 51).
Решение. 1) Пусть [Л4У] изображает вектор МУ, тогда
MN = МВ + ВС + СУ.
(1)
2) По условию 1Л4У] JL [ВЛГ] и [Л4У] _|„ [CBJ. Поэтому
MN • ВАг
= О и MN• = 0.
(2)
и CBi за единичные, можно выразить
3) Приняв векторы BAt
через них векторы МВ и CN:
МВ = х • BAi и CN = у * СВ
211
4) Подставив эти значения в (1), получим:
2ЙУ' = х • + ВС + у • СВХ. (3)
5) Составим скалярные произведения (2); используя (3), имеем:
MN •ВД1 = х.В^1-В^1+ВС.ВЛ1+г/-СВ1-ВЛ1; (4)
MN . СВ' = Х' ВАХ • СВу + ВС .СВХ + у • СВХ • СВХ. (5)
Учитывая, что [ ВЛХ | = 1 — [ СВХ |, а значит, | ВС | = -гт=-,
V
и находя соответствующие скалярные произведения, имеем следую-
щие равенства:
о=д.1 + о+у’Ь1.-1-; (4')
0=x.l.I.-l—(5')
Откуда получаем окончательно систему уравнений:
2х + // = 0Дх4-2у= 1.
1 * 2 / —*• 1
Решение этой системы: х = — пт- и у = -~-\МВ —-ъ-ВАх и
□ о \ о
cv = 4-cbJ.
о
6) Найдем Л4№ из выражения MN = —ВЙХ 4- ВС + СВХ.
<5 О
—> / т —> —> о —> \3
М N2 =Ц-у- BAt + ВС + CB J .
После упрощений получим (учитывая, что ребро куба равно а):
MN2 == -|-а2; значит, | МN | = а^-3 . Аналогично решаются и более
общие задачи.
Не следует, однако, забывать, что изящество и краткость реше-
ния задач и доказательства теорем с помощью векторной алгебры
для некоторых учащихся оборачивается формальным усвоением
«правил», за которыми нет никакой геометрии, никакого развития
пространственных представлений. Дело в том, что здесь имеется
диалектическое противоречие между логикой и интуицией. Вектор-
ный аппарат позволяет уйти от ошибок и трудностей, возникающих
при наглядно-интуитивном восприятии пространственных форм.
На определенной ступени познания возникающая при этом форма-
лизация объективно необходима. Однако ниоткуда не следует, что
15—16-летний подросток уже испытывает необходимость в такой
формализации. Значительная часть учащихся и на этом этапе обу-
чения нуждается в наглядных пособиях, схемах, картинках, моделях,
они должны «потрогать руками» и лишь потом переходить к форма-
лизованным операциям. Очевидно, именно в этих ситуациях прояв-
212
^тяется неоднородность класса и в очень большой степени становит-
ся необходимым индивидуальный подход к учащимся.
Следующий шаг в развитии учения о векторах — изучение ко-
ординатного метода в пространстве. К сожалению, этот раздел
еще не нашел достаточно глубокого освещения в школьном курсе
-математики, хотя именно в нем по-настоящему проявляются те
преимущества, которые дает построение геометрии на векторной
основе. Изучается он лишь в X классе, что, конечно, слишком
поздно. По-видимому, при дальнейшей модернизации программы
удастся перенести координатный метод в IX класс и добиться бо-
лее обстоятельного и глубокого его изучения.
Впрочем, операции с векторами, заданными своими координата-
ми, вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по
их координатам, а также уравнения плоскости и сферы могут и
должны быть изучены в X классе достаточно основательно и по ныне
действующим программе и учебникам.
§ 6. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОДОБИЯ И ГОМОТЕТИИ
6.1. Методика введения понятия подобия фигур.
6.2. Методика введения понятия гомотетии.
6.3. Методика изучения свойств гомотетии.
6.4. Методика изучения темы «Пропорциональные отрезки».
6.5. Методика изучения построения гомотетичных и подобных
фигур. Преобразование подобия.
6.6. Методика изучения темы «Подобные многоугольники. Теорема
Пифагора».
6.7. Гомотетия и подобие фигур в курсе стереометрии.
6 .1. Тема «Подобие и гомотетия» изучается в настоящее время
в курсе геометрии VII класса. Содержание ее составляют следующие
вопросы:
Подобные фигуры. Определение гомотетии. Основные свойства
гомотетии. Пропорциональные отрезки.
Построение гомотетичных и построение подобных фигур. При-
знаки подобия треугольников. Теорема Пифагора.
Подобные многоугольники. Отношение площадей подобных
фигур; некоторые применения гомотетии и подобия.
Изучение этой темы начинается с введения понятия подобных
фигур. Прежде чем дать этому понятию логически строгое определе-
ние, полезно подготовить его восприятие и усвоение, опираясь на
конкретные наглядные представления учащихся, выработанные
у них в результате предшествующего обучения и жизненного опыта.
Поэтому изучение этой темы полезно начать с беседы примерно та-
кого содержания.
В жизни мы часто наблюдаем и используем предметы, имеющие
одинаковую форму. Футбольный или теннисный мяч, глобус, Луна
и Земля и т. п. имеют одинаковую форму — форму шара. Одинакова
213
форма любых кубов, из какого бы материала они ни были изготов-
лены. Одинаковую форму имеют две карты одной и той же местнос-
ти, выполненные в различных масштабах, или две одинаковые по
времени съемки, но различные по размерам фотографии одного и
того же человека; картина и ее фотокопия и т. д.
Не выясняя пока точный смысл понятия подобия фигур, мы
назовем фигуры, имеющие одинаковую форму, подобными. Таким
образом, все шары подобны, подобны также все кубы, все равносто-
ронние треугольники. Понятно, что любые конгруэнтные фигуры
также имеют одинаковую форму и поэтому тоже являются подобными.
Приведите теперь сами примеры подобных фигур. Будут ли по-
добными все квадраты? круги? Будут ли подобными круг и квадрат?
Эти вопросы не вызывают затруднений. Вопрос же о том, будут ли
всегда подобными прямоугольники или цилиндры, уже не столь
прост.
При обсуждении этого вопроса выясняется, что, например, круг-
лый карандаш и копеечная монета имеют одну и ту же форму —
форму цилиндра. Однако если два одинаковых карандаша являются
моделями двух подобных цилиндров, то круглый карандаш и ко-
пеечную монету вряд ли можно назвать подобными.
Таким образом, учащиеся убеждаются в необходимости вы-
яснить точный смысл понятия подобия фигур.
Для того чтобы сделать это, можно вместе с учащимися начертить
две прямоугольные системы координат хОу и х'О'у' с различными
масштабами е и е'. Затем в системе координат хОу построить точ-
ки О (0; 0), А (1; 0), В (0; 1); С (2; 2). Эти четыре точки состав-
ляют фигуру Ф = {О; Л; В\ С}. В другой системе координат с мас-
штабом е9 построить точки с такими же координатами О' (0; 0),
А9 (1; 0), В' (0; 1), С (2; 2). Эти четыре точки образуют другую
фигуру:
Ф' = {О'; Л'; В'; С'}.
Каждой точке фигуры Ф поставим в соответствие точку фигуры
Ф' так, чтобы соответствующие точки имели одинаковые координа-
ты, т. е. пусть точке О соответствует точка О'; точке Л — точка Л',
точке В — точка В', точке С — точка С'. Установлением такого
соответствия фигура Ф отображается на фигуру Ф' (рис. 52) Ч
Найдем теперь отношение расстояния между каждой парой то-
чек фигуры Ф и парой точек фигуры Ф', являющихся их образами.
Например:
|О'В'| = 2,
|ОЛ|=1, |О'Л'|=2, J^L- = 4-.
1 См.: Лабуркин К. А. Преподавание подобия фигур и преобразова-
ний подобия с применением координатных систем и векторов. Автореферат кан-
дидатской диссертации. Казань, 1972, с. 16—17.
214
Отношения
I ВЛ I |ОС| |ВС| „ |ЛС|
I В'А’ | ’ ]О’С’ | » I В'С' I И |Л'С'|
можно найти измерением соответствующих расстояний.
Теперь можно ввести определение подобных фигур: «Если фи-
гуру Ф можно отобразить на фигуру Ф' так, что для любых точек
X £ Ф и Y £ Ф и их образов X' £ Ф’ и Y’ £ Ф' имеет место ра-
I XVI
венство Лгут
ваются подобными». Подобие фигур записывается так: Ф со Ф'.
В учебном пособии «Геометрия, VII» под редакцией А. Й. Кол-
— k, где k > 0 постоянно, то фигуры Ф и Ф' назы-
могорова осуществлен именно этот подход к определению .подоб-
ных фигур с использованием рисунков двух разномасштабных
карт.
Далее устанавливается, что отношение подобия фигур облада-
ет свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности,
т. е. является отношением эквивалентности. На конкретных приме-
рах устанавливается, что конгруэнтность фигур является частным
случаем подобия фигур (при k == 1).
Полезно обратить внимание учащихся на аналогию свойств
отношений равенства (=), конгруэнтности (s), параллельности
(||), сонаправленности (ff) и подобия (“). Каждое из них явля-
ется отношением эквивалентности и поэтому разбивает множество
соответствующих плоских фигур на подмножества (классы) фигур
одного вида (множество всех прямых, параллельных данной, мно-
жество всех фигур, подобных данной, и т. п.); каждая фигура из
этого подмножества является полномочным представителем своего
класса, задает это подмножество (например, каждый луч задает
направление; каждая фигура на плоскости при данном коэффициен-
те подобия k задает все множества фигур подобных данной и т. п.).
Кроме того, очень важно подчеркнуть сходство и различие опреде-
215
Рис. 53.
Д
О
А1
О*
но при одном из них сохраня-
ются расстояния, а при
другом — отношения рас-
стояний.
Помимо упражнений, при-
веденных в учебнике, полезны
упражнения, использующие ко-
ординатный метод. С помощью
этого метода можно предложить
учащимся задачи на доказатель-
ство подобия двух квадратов,
кругов, равносторонних треугольников и т. п.
Рассмотрим, например, доказательство утверждения о том,
что всякие два квадрата подобны 1. _
К каждому из данных квадратов ABCD и А'В'CD' присоеди-
ним прямоугольные системы координат хОу и х'О'у', причем начала
О и О' совместим с вершинами А и Л', оси х и у направим соответст-
венно по АВ и AD, оси х' и у' — по А’В' и A'D'. За единицы мас-
штабов в этих системах координат примем стороны этих квадратов
(рис. 53). Тогда множество точек квадрата ABCD будет состоять
из тех и только тех точек М (а\ Ь), координаты которых в системе
хОу удовлетворяют условиям: 0 < а < Г, 0 < Ь < 1. В свою оче-
редь квадрату A'B'CD' будут принадлежать те и только те точки
М' (а'\ &'), координаты которых в системе х'О'у' удовлетворяют
тем же условиям: 0 < а' < 1, 0 < b' < 1.
Теперь каждой точке М квадрата ABCD поставим в соответст-
вие точку АГ так, чтобы эти точки в координатных системах хОу
и х'О'у' имели бы одинаковые координаты. Таким образом, для то-
го чтобы найти точку М', соответствующую точке М квадрата
ABCD, нужно сначала найти координаты точки А1 в системе хОу,
пусть это будут числа а и b, М (а; 6). Затем в системе координат
х'О'у' строим точку М' с такими же координатами а и b, М' (а\ Ь).
В таком случае точка М' будет принадлежать квадрату A'B'CD'.
Следовательно, установленное соответствие является отображени-
ем квадрата ABCD на A'B'CD', удовлетворяющим требованиям,
данным в определении подобия фигур: оно сохраняет отношение
соответствующих расстояний. Тем самым доказано: A'B'C'D'
ABCD с коэффициентом подобия k =
Координатный метод является не только хорошим наглядным
средством для введения определения подобия фигур. Применение
этого метода в то же время позволяет использовать весьма содер-
жательный дидактический материал для успешного овладения
учащимися понятием подобия.
1 См.: Лабуркин К. А. Преподавание подобия фигур и преобразова-
ний подобия с применением координатных систем и векторов. Автореферат кан-
дидатской диссертации. Казань, 1972, с. 18—19.
216
Одновременно учащиеся глубоко осмысливают саму сущность
координатного метода и его применения. С применением коорди-
натного метода успешнее усваивается понятие фигуры как то-
чечного множества, задаваемого указанием характеристического
свойства элементов этого множества. При этом отличительные свой-
ства точек, определяющих фигуру в системе координат, описываются
при помощи неравенства и уравнений, выражающих условия, ко-
торым удовлетворяют координаты точек рассматриваемых фигур.
Привлечение прямоугольной системы координат позволяет
лучше усвоить простые и естественные приложения подобия фи-
гур в практике: съемка плана местности экером, копирование
при помощи координатных сеток.
6.2. Если сложение векторов определяется как последовательное
выполнение параллельных переносов, то следующая операция
над векторами — умножение вектора на число — тесно связана с
другим геометрическим преобразованием, а именно с гомотетией.
Как известно, гомотетия с центром О и коэффициентом k О
определяется как отображение плоскости на себя, при котором
образом произвольной точки X является такая точка Х19 что ОХГ =
= k ♦ ОХ,
Символически гомотетия с центром О и коэффициентом k, пе-
реводящая точку X в точку Х19 обозначается так: Но (X) = Хг
В курсе геометрии VII класса дается векторное определение го-
мотетии. Широкое использование понятия вектора при изложении
гомотетии делает доказательства многих свойств гомотетии просты-
ми и экономными, а идея геометрических преобразований позволя-
ет в едином плане излагать теорию подобия.
Можно определить гомотетию только для k > 0. В этом случае
гомотетию с отрицательным коэффициентом можно определить как
композицию центральной симметрии и гомотетии с положительным
коэффициентом, центр которой совпадает с центром симметрии.
Это дает возможность сократить объем материала и сделать его из-
ложение более компактным. Однако в восьмилетней школе компози-
ция отображений фактически изучается факультативно, и потому
такое определение гомотетии с k < 0 пока вряд ли целесообразно.
При введении понятия гомотетии следует обратить внимание
учащихся на то, что при гомотетии с центром О и коэффициентом
k имеем:
1) точка Xj принадлежит прямой ОХ;
ПЧ 10Хх | ,
2) отношение j" == *5
3) точки X и Xi лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра
гомотетии О, если k > 0, и по разные стороны от центра гомоте-
тии О, если k < 0;
4) центр гомотетии отображается сам в себя.
Последние два утверждения следуют из свойств умножения век-
тора на число.
217
Следует обратить внимание учащихся
на то, что при двух заданных гомотетич-
ных фигурах Ф2 и Ф2 вопрос о коэффи-
циенте гомотетии не решается однозначно.
Ответ на этот вопрос зависит от того, ка-
кая из фигур, Фх или Ф2, является обра-
зом другой. Если известно, что Ф2 есть
образ фигуры Фх при гомотетии с неко-
торым центром, то отношение расстояний
двух любых точек фигуры Ф2 к расстоянию между соответствую-
щими им точками фигуры Фх определит коэффициент гомотетии k.
Однако если образом фигуры Ф2 считать фигуру Фх, то коэффи-
циентом гомотетии будет число Обратимость гомотетии и
утверждение о том, что обратное ей отображение есть гомотетия
в учебнике по курсу VII класса, постулируются, хотя, вообще
говоря, это можно легко доказать.
Выполняя с учащимися соответствующие построения, нетруд-
но обнаружить, что гомотетия с коэффициентом k — 1 есть тож-
дественное отображение плоскости на себя, а гомотетия с
коэффициентом k = —1 есть симметрия относитель-
но точки О.
jrcTnji
Определяющее гомотетию условие ОХх = k • ОХ (или Ъ =
= йа, где а = OX, b = OXJ устанавливает тесную связь понятий
гомотетии с понятием вектора. Так, если вектор а представлен
направленным отрезком ОХ, то для нахождения направленного
отрезка, изображающего вектор ka при А =/= О, достаточно найти
точку Хъ являющуюся образом точки X при гомотетии с центром
О и коэффициентом fc; вектор Ь — ОХг будет тогда искомым: b =
=jfea.
Понятие гомотетии как отображения плоскости на себя можно
ввести с помощью пантографа.
6.3. Изучение свойств гомотетии можно начать с решения сле-
дующей задачи (13.48], с. 135).
Пусть векторы АВ и CD таковы, что | 4B|^=|CD|, MB] || [CD],
1) Установить гомотетию, которая переводит вектор АВ в век-
тор CD. > у г у
2) Выразить вектор 0D через вектор О В; ОС через ОА.
3) Выразить вектор CD через вектор АВ; вектор АВ через век-
тор CD.
а) Пусть АВ ff CD (рис. 54).
Решая эту задачу, учащиеся на основании определения гомо-
тетии устанавливают, что центр гомотетии может быть найден как
218
пересечение прямых АС и DB (рис. 54), а коэффициент гомотетии
определяется отношением = k.
|ЛВ|
Требуемые во втором задании выражения найти нетрудно:
OD = k • ОВ, ОС — k • ОА.
Для нахождения выражения вектора CD через вектор АВ про-
ведем следующие выкладки: ОС 4- CD = 0D, откуда CD = OD —
— ОС. Но OD = k • ОВ, ОС = k • ОА. Поэтому CD = k • ОВ 4-
4-й • О А; используя распределительность умножения вектора на
число, имеем: CD = k • (ОВ 4- ОА) = k * АВ, так как ОВ 4- ОА=
= АВ.
б) Аналогично следует разобрать случай, когда АВ j| CD.
Решение этой задачи непосредственно подведет учащихся к
формулировке всех трех свойств гомотетии, а также к доказатель-
ству третьего свойства гомотетии, выраженного в виде теоремы:
«Если при гомотетии с коэффициентом k точки X и Y отображаются
на точки Хг и Klt то — kXYi.
В качестве следствий этой теоремы легко выводятся и более
частные свойства гомотетии:
Hk
а) [АВ} -, если ft>0;
Hk
(ЛВ) —--+ (Л1В1)|[ЛВ)||[Л1В1), если £<0;
Hk
б) [ЛВ] [Л1В1] I [ЛВ] II [ЛА];
в) Z-ЛВС — -> Z/liBjCj I ХЛВС s* 2-Л1В1С1;
но
Г) Фх----► 08=>0! «> Ф8 ИТ. Д.
Для лучшего понимания сущности этого нового для школь*
ников вида отображения весьма полезно коллективное обсужде-
ние ответов на следующие вопросы:
1) Является ли отношение гомотетичности фигур отношением
эквивалентности?
2) Каково возможное положение центра гомотетии и каково
значение коэффициента гомотетии, если при этой гомотетии ото-
бразилась на себя прямая, окружность, две параллельные прямые,
прямоугольник?
3) Какие пары из перечисленных ниже фигур всегда гомотетич-
ны: два луча, две прямые, две окружности, два отрезка?
4) Как может быть расположен центр гомотетии, если даны го-
мотетичные: два параллельных луча; две параллельные прямые;
две пересекающиеся прямые и т. п.?
219
Рис. 55.
5) Существуют ли гомотетичные конгруэнтные фигуры, если
коэффициент гомотетии 1?
Заметим, что для иллюстрации подобия и гомотетии полезно
использовать демонстрационный геоплан (см. [V.4.4]).
Так, например, исследуя вопрос о гомотетии отрезка, можно
иллюстрировать на геоплане гомотетию с центром О и коэффициен-
том k = 2 отрезка АВ для- случаев, когда О £ [ДВ] и О £ [ЛВ]
(рис. 55 и 56). На второй из этих моделей можно показать, что если
М $ [ЛВ], то — Но (Л4) также не принадлежит [ЛХВХ] —
= Н2о([АВ]).
Конструируя на геоплане ситуацию, изображенную на рисунке
57, можно поставить вопрос: «Является ли квадрат образом
квадрата A BCD при гомотетии с центром О и некоторым коэффици-
ентом Л?»
Рис. 57.
Рис. 58.
220
Рис. 59. Рис. 60.
Отрицательный ответ на этот вопрос следует уже из того, что
образом отрезка CD при этом преобразовании является ломаная
что при гомотетии быть не может.
Полезны также упражнения следующего типа, проводимые на
геоплане:
1) Постройте модель образа треугольника АВС при гомотетии
с любым выбранным вами центром и коэффициентом гомотетии
k = 2; 3 (рис. 58); при коэффициенте гомотетии, определенном
с помощью данной пары соответствующих точек D и Dt.
2) Поправьте резинку на геоплане (рис. 59) так, чтобы на нем
была проиллюстрирована гомотетия.
3) Найдите центр гомотетии и определите коэффициент гомоте-
тии, изображенной на модели (рис. 60), и т. п.
При изучении гомотетии целесообразно рассматривать задачи
такого типа:
«Даны четырехугольник ABCD и точка Л^/У^Л). Постро-
ить четырехугольник, гомотетичный данному».
Решение. Определим гомотетию, в которой образ точки
А есть точка Av Для этого достаточно определить центр гомоте-
тии О и коэффициент k.
Необходимо рассмотреть два возможных случая: а) точка Лх =
= Л; б) точка Лх ф А.
В первом случае О = Л = Л1и & — произвольное число. Во
втором случае О может принадлежать или не принадлежать прямой
AAV Пусть О £ (ЛЛХ) (рис. 61). Точка О может быть произвольной
точкой этой прямой, исключая точки Л и Лх. Если О = Лх, то Лх =
== А. Если О = Ль тогда 10At | = 0 и поэтому отношение =
= 0.
Если точка О такова, что |ОЛ|<|ОЛ1| (т. е. 0= Ох), гомоте-
тия будет прямой: k = > 1.
221
Если О будет лежать между А
и А (О = О2), гомотетия будет
4 обратной: k < 0.
Если О = О3, то гомотетия
\ также будет прямой:
1°л>» <1
D У* R |ОЛ|
Таким образом, существует бес-
конечно много гомотетий, при
S которых четырехугольник ABCD
Рис- 61 • переводится в четырехугольник
А^С^,
6.4. В VII классе тема «Пропорциональность отрезков» рассмат-
ривается после изучения общего понятия подобия фигур. К изуче-
нию подобия фигур учащиеся обращаются затем повторно; при этом
дальнейшее изучение подобия фигур проводится теперь на основе
изученной теории пропорциональности отрезков с привлечением
свойств гомотетии. Тем самым создается возможность более основа-
тельного и более длительного по времени изучения важного вопро-
са о подобии фигур.
В традиционных учебниках геометрии учение о пропорциональ-
ности отрезков имеет арифметический характер: пропорцио-
нальность отрезков сводится к пропорциональности чисел, вы-
ражающих значения их длин. В других учебных руководствах 1
понятие пропорциональности вводится чисто геометрическим спо-
собом (тем самым ограничивается возможность применения этого
понятия).
В учебнике геометрии VII класса под ред. А. Н. Колмогорова
пропорциональность отрезков излагается в сочетании геометричес-
кого и арифметического способов изложения. Тем самым обеспечи-
вается не только четкое и строгое изложение теории вопроса, но и
создается возможность применить подобие фигур к изучению та-
ких вопросов, как тригонометрические функции, измерение вели-
чин, и к решению большого числа задач практического характера.
Широкое использование понятий отображения, гомотетии, вектора
придает изложению этого вопроса большую дидактическую цен-
ность.
При изучении темы «Пропорциональные отрезки» необходимо
обратить внимание учащихся на важность этого понятия (с пропор-
циональностью отрезков тесно связано определение и подобия,
и гомотетии). Следует предварительно повторить известные школь-
никам из курса алгебры определения пропорциональных отрезков
и коэффициента пропорциональности.
Такое повторение можно осуществить при решении задач типа:
1 См.: Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии, ч. I. М.— Л.,
1948.
222
1) Даны четыре отрезка а, &, с и d, длины которых соответствен-
но равны 2,5 см, 3 см, 7,5 см и 9 ем. Пропорциональны ли эти от-
резки, и если да, то чему равен коэффициент пропорциональности?
2) Установить, пропорциональны ли отрезки а, &, с, alf bly с19
изображенные на рисунке 62. Чему равен коэффициент пропорцио-
нальности в каждом рассмотренном здесь случае?
Полезно показать учащимся возможный контрпример: если
средние линии двух любых треугольников и их соответствующие
стороны всегда пропорциональны, то для средних линий и основа-
ний любых трапеций это не имеет места.
При рассмотрении случая, изображенного на рисунке 62, а,
учащиеся могут применить один из двух способов решения задачи:
1) Измерить длины соответствующих отрезков и сравнить от-
ношения длин этих отрезков.
2) Использовать известные им свойства гомотетии с центром
в точке О.
Решая задачу вторым из названных способов, учащиеся, есте-
ственно, будут подведены к формулировке и доказательству новой
теоремы о пропорциональных отрезках.
Изучив доказательство этой теоремы, полезно записать план
доказательства в следующем виде:
1-й шаг. Рассмотреть гомотетию с центром О и парой соот-
ветственных точек А и Дх = Но (Д).
2-й шаг. Доказать, что образом точки В служит точка
Вг = Hk0 (В).
3-й шаг. Применить определение гомотетии к установлению
пропорциональности отрезков и получить равенства =
_ ЮД11 । h .
1ОВI 1*1-
Далее полезно рассмотреть следующую задачу: «В треугольнике
проведена средняя линия. Доказать, что средняя линия треуголь-
йикабтсёкает от него треугольник, стороны которого пропорцио-
нальны сторонам данного треугольника».
Решив эту задачу, провести ее обобщение на случай, когда
в треугольнике проведена произвольная прямая, параллельная
стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны*
Решением этой задачи будет доказано следствие из теоремы о
пропорциональных отрезках, которое можно затем предложить
учащимся по учебнику и окончательно сформулировать его.
Изучив теорему, обратную теореме о пропорциональных отрез-
ках, следует обратить внимание учащихся на то, что эта теорема
устанавливает еще один признак параллельности несовпадающих
прямых.
Обсуждение решения задачи: «Дан треугольник ВСМ. Стороны
ВС и СМ точками Е и К разделены на отрезки, отношения длин ко-
торых равны -т. Как расположена прямая ЕЕ относительно третьей
стороны ВМ ЕВСМЪ,— естественно, подведет учащихся к форму-
лировке следствия из этой (обратной) теоремы.
Формулировкой этих двух теорем в одном предложении (с ис-
пользованием понятий достаточности и необходимости) заверша-
ется изучение теоретической части данного вопроса.
Полезно также рассмотреть со школьниками задачу практиче-
ского характера, например: «Определить ширину реки, имея в своем
распоряжении четыре вешки» *.
При обсуждении плана решения задачи естественно возникает
рисунок 63.
Чтобы определить ширину реки АВ, необходимо ЮА^
преобразовать центральной симметрией относительно точки О в
дод;в;, а затем применить к результату параллельный перенос
^AiA. Таким образом, создается ситуация, в которой применима
теорема о пропорциональных отрезках:
|ЛВ| |ОЛ|
mXi - iom;i •
Известно, что центральная симметрия и параллельный перенос
являются перемещениями, т. е. сохраняют расстояния между точ-
ками:
I Ав; I = I л1в11, I a Al | = । оа I;
поэтому
|ЯВ| _ |ОЛ| ..
I ABd “ |OA,| ‘
Ширина реки |ЛВ| теперь легко определяется, так как можно
непосредственно измерить длины отрезков | А А |, | ОА |, | ОА | и
провести вычисления с помощью только что полученной пропорции.
1 М а их ж а к Анджей. Уроки в VII классе по теме «Гомотетия и подобие
фигур» (Majchrzak Andrzej. Lekcje w klasie VII na temat jednoktadnotei I podo-
biefistwa).— «Matematyka», 1972, № 3, c. 163—165.
224
Рис. 63,
Интересным является также то, что отношение отрезков, обра-
зованных на параллельных прямых, пересекающих две прямые,
имеющие одну общую точку, равно отношению соответственных
отрезков на каждой из этих прямых. Данное свойство по существу
доказывается решением этой задачи.
В самом деле, совершив в пропорции (1) перестановку членов,
получим:
МВ| _ |ДА1
|ОД| ~ |O^| •
Полезно предложить учащимся сформулировать словесно свой-
ство, выражаемое этой пропорцией. Найденное свойство часто
применяется при решении задач.
6.5. К моменту изучения вопроса о построении гомотетичных и
подобных фигур учащимся известен способ построения гомотетич-
ных фигур, основанный на определении гомотетии. Новый и более
рациональный способ построения основан на свойстве гомотетии
сохранять параллельность прямых.
8 7-941
225
Пусть О — центр гомотетии, переводя-
шей А -> At. Построить образ Вх любой
точки В плоскости (рис. 64).
1) At = Hq(A), где Ла G (AiM), причем
(Л1Л4) || (Л В) (так как гомотетия пере-
водит (ЛВ) в параллельную ей прямую).
^********4^^ 2) Образ любой точки, принадлежащей
Р*****-^ (ЛВ), например точки В, должен принад-
лежать (АгМ).
И С другой стороны, образ точки В дол-
Рис. 64. жен принадлежать (ОВ) (по определению
гомотетии).
Таким образом, Во (В) — (ЛЛ^) (] [ОВ); Вх = Но (В). Итак,
построен образ произвольной точки плоскости по известным центру
гомотетии и одной паре соответственных точек: Л->Ла (без вычисле-
ния коэффициента гомотетии).
Рассмотрение задачи на построение фигуры, гомотетичной дан-
ному отрезку ЛВ, по паре данных соответственных точек В -> Вг и
центру гомотетии (два случая: О £ [ЛВ1 и О С 1ЛВ]), естествен-
но, приводит к необходимости определения знака коэффициента
гомотетии. Учащимся известно, что модуль коэффициента гомо-
тетии определяется так: | k | = IffiU .
Знак коэффициента гомотетии можно установить на основе
определения понятия «лежать между»:
а) если | AAj | = | АО I 4- | 0Аг |, то k < 0;
б) если | ОА, | = | оА | 1ЛЛХ | или | ОА | = | OAt | 4-1 Л>Л |,
то k > 0.
Один из способов построения подобных фигур основан на том,
что всякие гомотетичные фигуры подобны (т. е. для построения фигу-
ры, подобной данной, достаточно построить фигуру, ей гомотетич-
ную).
Другой способ построения подобных фигур основан на теореме
о том, что если две фигуры подобны, то существует третья фигура,
гомотетичная первой и конгруэнтная второй (п. 83 учебника гео-
метрии VII класса) ([3.47J).
При изучении этой теоремы полезно привести краткую запись
ее доказательства:
Пусть Ф и Фа и k “ коэффициент подобия.
3) По транзитивности равенства |ХаУа1 ~ | X^l, так как Xt и
У1 (а также Х2 и У2) — произвольные точки фигур Ф1 и Фа, -то
Ф2 = Фа. Итак, Ф1 = Но (Ф) и Ф1 S Фа.
226
Рассматриваемый способ по-
строения подобных фигур сво-
дится таким образом к последо-
вательному выполнению гомоте-
тии и перемещения.
Построение подобных фигур
указанным способом подводит
учащихся к изучению подобия
как нового вида отображения
плоскости на себя.
Изучение преобразования по-
добия можно начать с рассмот-
рения конкретной задачи, в ко-
торой плоскость последовательно
отображается на себя сначала с
Рис. 65.
помощью гомотетии с центром О
и коэффициентом k, а затем с помощью перемещения (например,
осевой симметрии). При композиции этих отображений (рис. 65)
мы получаем новое отображение плоскости на себя, называемое
преобразованием подобия с коэффициентом k.
Легко обнаружить, что при преобразовании подобия отношение
расстояний между двумя любыми точками фигуры и их образами
будет постоянным. Этим отношением определяются коэффициенты
подобия.
Таким образом, учащиеся подведены к определению преобра-
зования подобия с коэффициентом k (Рк) — такому отображению
плоскости на себя, при котором каждой паре точек плоскости
(X; Y) соответствуют такие точки плоскости Xlf Yif что
= k, или | XJ^ | = Л | ХУ |.
= k лучше записывать в виде равенства
|ХГ|
Отношение
| XjVi | = k • | XY |, чтобы не исключать возможности X = Y
(т. е. включить в число преобразований подобия тождественное
отображение плоскости на себя).
Из свойств преобразования подобия в курсе планиметрии рас-
сматриваются следующие. ।
1) Композиция двух преобразований подобия есть преобразо-
вание подобия.
2) Всякое преобразование подобия есть композиция гомотетии
и перемещения.
Доказательство первого утверждения можно провести со всеми
учащимися; полезно сопроводить его краткой записью:
1) По определению преобразования подобия:
(Л; В) (Л1; Вг)=>| 4x^1 = • |ЛВI; ^>0.
(ЛЛ; Вй) —!—► (Л2; В2) => 1Л2Ва | == fea »| 4jBj ); kt >0.
2) \A£2\ = k -IABJ = • |ЛВ|) = (Мг) -1ЛВ|.
8»
227
Поэтому (А, В) --> (А2В2), k3 = kt> k2 по определению есть
также преобразование подобия.
Доказательство второго свойства следует проводить только с
сильными учащимися (в учебнике оно набрано мелким шрифтом).
6.6. Изложение темы «Подобные многоугольники» начинается
в учебнике с изложения признаков подобия треугольников. При изу-
чении этой темы в VII классе нужно иметь в виду следующее.
В учебнике рассматривается теорема, дающая возможность
свести построение подобных фигур к построению гомотетичных фи-
гур. Теорема, обратная этой теореме, является общим признаком
подобия фигур.
«Две фигуры подобны, если одну из них гомотетией можно ото-
бразить на фигуру, конгруэнтную другой фигуре».
Вообще говоря, обе эти теоремы непосредственно следуют из
второго свойства преобразования подобия.
Так как в курсе геометрии VII класса последняя теорема в яв-
ном виде не рассматривается, а доказательство признаков подобия
треугольников фактически опирается на эту теорему, приведем
одно из возможных ее доказательств.
Пусть даны две фигуры F и Fx. Предположим, что существует,
гомотетия Но, которой фигуру F можно отобразить на фигуру F',
конгруэнтную фигуре Fv Докажем, что F Fv По предположению
F' s Flt тогда существует перемещение / такое, что / (F') = F^
Композиция гомотетии Но и перемещения f переводит F в Fx. Но
композиция гомотетии и перемещения является преобразованием
подобия, так как оно сохраняет отношения расстояний между точ-
ками. Поэтому F Ft.
Рассмотрим теперь доказательство признаков подобия тре-
угольников. Остановимся на доказательстве теоремы: «Если три
стороны одного треугольника соответственно пропорциональны
трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники по-
добны» (п. 85 учебника) ([3.47]).
Рассмотрим треугольники АВС и А^В^, у которых
I ЛА | _ | А1С1 | _ | ВА | _ .
|ЛВ| |ЛС| — |ВС| ~к'
т. е. |ЛВ|; |Л/TJ = k | ЛС|; 1ВД1 = k - |ВС|. (1)
Принимая вершину А за центр гомотетии и число k за коэффи-
циент гомотетии, построим треугольник АВ’С, гомотетичный
треугольнику АВС (рис. 66), тогда
|ЛВ'| = £.|ЛВ|; | АС | = k • | ЛС|; |В'С'[ = k . |ВС|. (2)
Сравнивая равенства (I) и (2), находим, что [АВ'] & [Л1В1]; [ЛС'[
UtCj; [В'С] ~ [ВА].
Отсюда по первому признаку конгруэнтности треугольников
ДЛВ'С' = АЛ1В1С1. Применяя указанный выше общий признак
подобия двух фигур, заключаем, что ЛАВС «> Л А&С* Таким
228
образом, названная теорема ис-
пользуется для окончательного
заключения.
Другие признаки подобия А
треугольников доказываются
аналогично.
Другим вопросом, связанным
с подобием многоугольников,
является вопрос об отношении
площадей подобных многоуголь-
ников. К изучению этого воп-
роса можно подвести учащихся
через измерение площадей по-
Рис. 66.
добных фигур. Начать полезно с того, чтобы учащиеся замети-
ли, что каждые два квадрата всегда подобны и что если коэффициент
подобия равен А, то отношение площадей этих квадратов равно £2.
Нетрудно доказать частную теорему о том, что площади квадра-
тов со сторонами а и аг относятся как квадраты длин этих сторон.
Пусть коэффициент подобия квадратов равен А, тогда
S == a2, Sx = а? = а\ • щ = (k • a) (/г - а) — k2a2t
Si №а*
И потому -у- = —^2— = k\
Чтобы ввести и доказать теорему об отношении площадей про-
извольных подобных фигур, можно использовать следующие на-
глядные пособия.
Приготовить два одинаковых рисунка, представляющих фигуру
Ф, покрытую квадратной сеткой. Один из них повесить в качестве
таблицы, а другой спроектировать на первый с помощью эпидиа-
скопа (рис. 67).
Анализируя изображение, учащиеся убеждаются в том, что
Ф2 Ф1 с коэффициентом подобия k.
Фигура Фх «содержит» п квадратов е19 а фигура Ф2 — п квадра-
тов е2.
В каждом из п больших квадратов содержится k малых, т. е.
= k • ev Поэтому «п - е2; 5Фг е2== п • (ke^2 = п • k2e2.
Отсюда
__ п ’ „ JL2
^Ф, п •
Теперь можно приступить к строгому доказательству теоремы
(п. 90 учебника) ([3.47]).
Так как подобные выпуклые многоугольники всегда можно
разбить на попарно подобные треугольники, то доказательство
этой теоремы в учебнике проведено сначала для треугольников, а
затем обобщено для произвольного выпуклого многоугольника.
Вопрос об отношении периметров подобных многоугольников
методических трудностей не вызывает.
229
Затем рассматривается теорема
о том, что отношение подобия вы-
пуклых многоугольников является
отношением эквивалентности.
Изучению теоремы Пифагора
полезно предпослать краткий ис-
торический экскурс, материал для
которого легко найти в многочи-
сленных пособиях по истории ма-
тематики и популярной литературе.
К формулировке и доказатель-
ству теоремы Пифагора можно
подвести школьников следующей
серией упражнений:
1) Постройте Д АВС с [ЛВ| =*
= 3 см, | ВС | = 4 см, | С А |
= 5 см. Измерьте В. Как связаны
между собой величины | АВ |а +
+ | ВС|2 и | АС |2?
2) Выполните первое задание
для случая | АВ | = 5 см, | ВС | ==
= 12 см, |СЛ[= 13 см.
3) Постройте произвольный
прямоугольный треугольник АВС
(с прямым углом В). Измерьте дли-
ны его сторон. Найдите величины
|ЛВ|2 + |ВС|а и |ЛС|а. Сравни-
те эти величины между собой.
4. Рисунок 68 показывает при-
мерный образец кафеля, каждая
часть которого представляет собой равнобедренный прямоугольный
треугольник. Рассмотрим А АВС. Сколько квадратов можно по-
строить на сторонах ЛС, ЛВ, ВС? Верно ли равенство
5) На рисунке 69, а и б площадь квадрата PQRS делится на
части двумя различными способами:
а) Проводится [ХУ I так, что ДХУВ прямоугольный с S — 90°.
Длины сторон треугольника таковы:
| У8| = a; |SX I == Ь\ |ХУ |== с. Далее, точки U и V берутся
так, что [Qt/1 ^[УВ] и [7?У] а* [ВУ].
б) [XL] И [BQ 1, а [УМ] || [ВР1.
Убедитесь в том, что при первом способе деления квадрата на
части все четыре треугольника конгруэнтны и что четырехуголь-
ник XUVY есть квадрат.
Попытайтесь теперь, рассмотрев оба способа деления квадрата,
доказать равенство с2 = а2 + Ь2. (Полезно вырезать из бумаги
230
фигуры, на которые разделен квадрат PQRS, и проиллюстрировать
равенство с2 = a2 -j- b2 на модели.) Имеется в виду следующее:
Площадь прямоугольника со сторонами а (ед.) и Ь (ед.) равна
а • b (кв. ед.). Отсюда площадь дХУХ равна 4>-аЬ (кв. ед.). Кроме
того, (а -|- Ь)ъ = (а + Ь) (а + Ь) = а2 4- b2 -f- 2аЬ.
Применив эти результаты к ситуации, возникшей при делении
квадрата на части двумя способами (рис.69, а и 69, б), имеем:
с® 4- 4 = Spqus (кв. ед.) = (а 4- Ь)2 = а2 4- Ь2 4- 4 • (4- ab).
Следовательно, с2 = а2 + Ь2.-
Выполнение этих упражнений приведет учащихся к теореме
Пифагора: «В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипо-
тенузы равен сумме квадратов катетов».
Известно очень много различных доказательств этой важной
теоремы.
Традиционным доказательством этой теоремы является доказа-
тельство, приведенное в «Началах» Евклида и основанное на сравне-
нии площадей квадратов, построенных на сторонах треугольника.
Доказательство, которое дается в школьном учебнике под ре-
дакцией А. Н. Колмогорова, основано на свойствах подобия тре-
угольников; в том виде, в каком эта теорема приведена в учебнике,
она выступает как соотношение между длинами сторон в прямо-
угольном треугольнике, а не как соотношение между площадями
построенных на этих* сторонах квадратов.
В методическом плане изложение этого вопроса традиционно;
оно хорошо разработано в имеющейся методической литературе,
к которой мы и отсылаем читателяг.
Наряду с теоремой Пифагора при решении задач часто исполь-
зуется теорема, ей обратная. При этом учащиеся часто путают эту
теорему с теоремой Пифагора. Чтобы избежать этих ошибок, по-
лезно (хотя бы в форме задачи на доказательство) рассмотреть с уча-
щимися теорему, обратную теореме Пифагора.
Рис. 68.
Рис. 69.
х См., например, [1, 108], с. 718—721.
231
Рис. 70,
Рис. 71.
Л АВС : a2 + 62 = с2 => Л АВС прямоугольный. Для доказа-
тельства этой теоремы достаточно показать, что С = 90° (рис. 70, а).
Существует прямоугольный треугольник DEF такой (рис. 70, б),
что |EFI = a, F — 90° и | DF| = Ь (построение треугольника).
Если | DE | = х, то по теореме Пифагора а2 4- Ь2 = х2.
Сравнивая это равенство с условием, утверждаем, что х2 = с2;
так как х > 0 и с > 0, то х = с. Но тогда [ А В ] [EDI, [ВС] ss
аг [ЕЕ ], [АС]= [DF] и потому ДА ВС ss &EDF. Отсюда / С зг / F,
значит, С = 90°. Таким образом, Д АВС прямоугольный.
6.7. Гомотетия и подобие фигур рассматриваются также и в курсе
стереометрии IX—X классов. Определение гомотетии, данное в
курсе планиметрии, полностью сохраняется; сохраняются и многие
ее свойства.
Аналогично тому, как это сделано в планиметрии, определяется
и подобие фигур. Из свойств гомотетии и подобия в курсе IX
класса обобщаются для пространства две теоремы:
1) Нк0 (F) = F1=>F о Fi: 2) Но . Т « Pk
(композиция гомотетии и перемещения есть преобразование подобия)1.
Понятие о подобии пространственных фигур можно ввести при
рассмотрении конкретных задач, для решения которых использует-
ся гомотетия а, например: «Доказать, что два шара подобны».
Решение. Пусть даны шары М = (О; R) и Л4Х = (Ох; /?,).
Построим третий шар М' = (О; Ё' = R]). Рассмотрим гомотетию
Но с центром в точке О и коэффициентом k == -%-.
Возьмем точку С, принадлежащую шару М (рис. 71). Пусть
[ОС) пересечет поверхности шаров М и М’ соответственно в точках
"о
А и В, так, что |ОА| = R, |ОВ| = ./?'. Тогда [ОА] —ИОВ],ипоэ-
тому точка С' =Но (С) такова, что С’ G [ОВ], а значит, и шару М(.
1 См.: Барыбин К. С. Геометрия. Пробный учебник для 9 класса. М-,
1973, с. 108.
а См.: Лабуркин К. А. Преподавание подобия фигур и преобразова-
ний подобия с применением координатных систем л векторов. Кандидатская дис-
сертация. Казань, 1971, с. 92.
232
(подобных) многогран-
Если теперь возьмем произвольную точ-
ку С', принадлежащую шару М\ то
аналогично убедимся в том, что сущест-
вует точка С, принадлежащая шару М,
такая, что С = На (С'). Таким образом,
ио
М'++М. Но шар ЛГ ~ М19 и потому
М
Можно затем предложить учащим-
ся самостоятельно решить аналогичную
задачу для двух кубов.
Рассмотрение гомотетии и подобия
в курсе стереометрии дает возможность
провести естественное доказательство
известных теорем о параллельных сече-
ниях в пирамиде, об отношении площа-
дей поверхностей и объемов гомотетичных
ников (в курсе геометрии X класса), а также Упрощает решение
многих задач.
Рассмотрим в качестве иллюстрации применения гомотетии до-
казательство теоремы о параллельных сечениях в пирамиде:
Если пирамида пересечена плоскостью, параллельно плоскости
основания, то отсеченная пирамида гомотетична данной пирамиде
с центром гомотетии в вершине пирамиды.
Доказательство. Пусть в пирамиде OABCD сечение
A1B1C1D1 параллельно основанию пирамиды (рис. 72). Рассмотрим
гомотетию Но с центром О и коэффициентом k = * Эта гомоте-
I I
тия переведет точку А в Aj : Но (А) = Л1? а плоскость основа-
ния пирамиды в параллельную ей плоскость: Но (пл. A BCD) =*
= пл. Л^С^. Но через точку Аг проходит единственная плос-
кость, параллельная плоскости основания. Поэтому при данной
гомотетии Но основание пирамиды отобразится на сечение, а пи-
рамида OABCD—на пирамиду ОхА^С^.
Утверждения: а) сечение пирамиды плоскостью, парал-
лельной плоскости основания, есть многоугольник, гомотетичный
основанию; б) площадь этого сечения относится к площади осно-
вания, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды — вы-
ступают в качестве следствий данной теоремы.
Теорема об отношении объемов подобных многогранников
^доказывается почти так же, как и соответствующая ей теоре-
ма планиметрии об отношении площадей подобных многоуголь-
ников.
Теорема имеет место и для тел вращения. Эту теорему можно
использовать для предварительного ознакомления учащихся с тео-
.ремами об объемах многогранников и тел вращения.
233
Рис. 73.
Так, например, формулу для
вычисления объема шара можно
установить следующим образом Ч
Пусть даны два шара с ради-
усами и Ra и пусть Vj и
У,—объемы этих шаров. Так
как шары подобны и коэффици-
л . Ri V.
ент подобия k = -п2-, то =»
АЗ К2
= ft3 = ~п— ИЛИ —V = —i-.
\ *« / ’ R R
V 11
Тогда у = const. Прибли-
женное значение этой постоян-
ной можно найти опытным пу-
тем.
Для этого можно взять модель шара» составленного из двух от-
дельных полых полушаров, и мензурку. Заполнив модель полушара
водой и используя мензурку, находим приближенное значение
объема шара Уо, а затем отношение -^4- « 4, т* е. С 4.
Во
Далее сообщить школьникам, что точное значение постоянной
4 у 4 4 ч
С = у л, тогда у = У л, откуда v = у л/?3.
Строгий вывод этой формулы дается посредством применения
интеграла (см. (XVIII. 3.31).
Формулу для вычисления объема треугольной пирамиды также
можно сначала ввести конструктивно: разбиением данной пирамиды
на две подобные ей пирамиды вдвое меньших линейных размеров
и две равновеликие призмы. Пусть дана пирамида SABC. Разделив
все ребра пирамиды в точках £, F, /С, Л4, Л\ D пополам, разобьем
данную пирамиду на две подобные пирамиды SEFK и KMNC
(коэффициент подобия у) и на две равновеликие призмы EKFAMD
и KMNFDB (рис. 73).
Обозначив объем данной пирамиды через V, площадь основания
через Q, а высоту через А, получим:
у — JL у j__L у . Л _i_ JLn. JL
K~8K^8V^44 2^4^ 2 *
Отсюда V — 4-QA.
о
Применение интеграла даст возможность строго обосновать эту
формулу и обобщить ее на случай любой пирамиды.
х См.: Лабуркин К. А. Преподавание подобия фигур и преобразова-
ний подобия с применением координатных систем и векторов. Кандидатская
диссертация. Казань, 1971, с. 93.
234
Глава XVI
УЧЕНИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
§ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА В МАТЕМАТИКЕ
И В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1.1. Содержательный и формальный подход к определению по-
нятия равенства.
1.2. Определение понятия уравнения.
L3. Неравенства.
1.4. Уравнения и неравенства как логические функции.
1.1. Пусть один из элементов некоторого множества М обозна-
чен буквой а, которая не соответствует никакому другому элементу
из М. Если а считать именем (названием) элемента, то можно просто
говорить: «элемент а». Может оказаться, что тот же самый элемент
будет назван другим именем, скажем 6, причем обозначение Ь тоже
не соответствует никакому другому элементу из М. Если определен-
но установлено, что ан b обозначают один и тот же элемент, то го-
ворят, что элементы аи b совпадают или что они тождест-
ве н н ы, и пишут: а = Ь. Тождественные элементы часто называют
равными, для обозначения отношения равенства применяют знак
«==», а само соотношение а — Ь называют равенством. Например,
на множестве функций от п аргументов с одной и той же областью
определения D отношение равенства может быть определено сле-
дующим образом: функции f (хь х2, ...» хп) и <р (хп х2, хп) на-
зываются равными, если в каждой точке (хи х2, •••» хп) € & значе-
ния функций f и ф равны. Таким образом, здесь f и ф выступают
в роли различных выражений одной и той же функции.
Однако в математике часто исходят из более общей, формальной
трактовки понятия равенства: два аналитических выражения f и ф,
соединенные знаком «=», образуют равенство / = ф.
Эти определения понятия равенства противоречивы, что послу-
жило источником споров, особенно проявившихся в дискуссиях по
поводу трактовки понятия уравнения. Одни участники дискуссий
считали, что если выражения U и V не находятся в отношении ра-
венства (в содержательном смысле), то соотношение U = V надо
называть неверным равенством; другие считали такую точку зрения
235
нелепой: неверных равенств не может быть. Возникающие здесь
недоразумения можно устранить, рассматривая вопрос с позиций
математической логики. Если U и V*—числовые выражения, то
соотношение U = V рассматривается как символическая запись
высказывания: значение выражения U равно значению выражения V.
Но высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Если
высказывание U == V оказывается ложным, то соотношение U = V
называют неверным равенством. Если выражение U или V (или
оба) содержит переменную, то соотношение U = V уже не будет вы-
сказыванием — в этом случае его называют высказывателъной фор-
мой (иногда предикатом), и мы не можем говорить о его истинности
до тех пор, пока на место переменных в выражениях U и V не бу-
дут подставлены их значения. Например, высказывательная форма
х 4- 2 = х2, выражающая предложение «значение выражения х + 2
равно значению выражения х2», обращается в истинное высказы-
вание при х = 2 и в ложное высказывание, например, при х = 1.
Одно из применений знака равенства в указанном смысле на-
ходит место в символической записи уравнения.
1.2. Можно заметить, что в различных определениях понятия
уравнения — в некоторых явно, в некоторых в более скрытой фор-
ме — оно трактуется как символическая запись задачи о разыска-
нии таких систем значений аргументов хх, х2, хл функций f (хх,
х2, •••> хп) и ф (хх, х2, ..., xft), при которых значения функций f
и ф равны. При такой трактовке понятия уравнения отчетливо за-
метна независимость понятий уравнения и тождества и неправомер-
ность рассмотрения тождества как частного случая уравнения.
Определения отдельных видов уравнений (неравенств) — линей-
ных, квадратных, вообще n-й степени, рациональных, иррациональ-
ных, простейших тригонометрических, показательных, лога-
рифмических “ вводятся в связи с изучением соответствующих
функций.
Кстати, остановимся на вопросе о классификации уравнений и
неравенств. Уравнения (неравенства) классифицируются по виду
функций, представляющих левую и правую части уравнений (не-
равенств).
Уравнение f (х) = ф (х) (неравенство f (х) V ф (х)) называется:
алгебраическим, если f (х) и ф (х) — алгебраические функции;
трансцендентным, если хотя бы одна из функций f (х) и ф (х)
трансцендентная;
рациональным алгебраическим (или просто рациональным), если
алгебраические функции f (х) и ф (х) рациональные;
иррациональным алгебраическим (или просто иррациональным^,
если хотя бы одна из алгебраических функций f (х) и ф (х) ирра-
циональная;
целым рациональным, если функции f (х) и ф (х) целые рацио-
нальные;
дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных
функций f (х) и ф (х) дробная рациональная.
236
Уравнение Р (х) = 0 (неравенство Р (х) V 0), где Р (х) — мно-
^гочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени),
квадратным (второй степени), кубичным (третьей степени), четвер-
той степени и вообще n-й степени, если многочлен Р (х) имеет соот-
ветственно первую, вторую, третью, четвертую и вообще n-ю степень.
Таким образом, понятие степени уравнения (неравенства)
определено лишь для уравнений (неравенств) указанного вида, по-
этому нет смысла ставить вопрос, какую степень относительно пе-
ременной имеют уравнения другого вида, например уравнения:
(2х— 1)(х2 + 1) = (х2 4- 6)(1—х), /х + х2 = 5,
sinx—х = cosx, ---------------г- 4- 5х = —гт 4- 2 и т. д.
Отметим в заключение данного пункта немаловажную деталь.
Отчетливое понимание существа понятий равенства, тождества и
уравнения и знание различных вариантов соответствующих опре-
делений необходимы для учителя. Но следует иметь в виду, что в
школьном курсе математики соответствующие определения не
включаются в логические операции, поэтому нет необходимости
требовать от учащихся запоминания этих определений. Говоря не-
сколько прямолинейно, надо не столько уметь определять, что та-
кое уравнение, сколько научиться их решать.
1.3. Если элементы а и b некоторого множества не находятся
в отношении равенства (а и b — имена различных предметов), то
говорят, что они находятся в отношении неравенства. Это отно-
шение выражается записью: а Ф Ь. В некоторых множествах один
из двух неравных элементов может находиться в особом отношении
с другим — в отношении «предшествования». В зависимости от при-
роды элементов множества в понятие «предшествования» может вкла-
дываться различный конкретный смысл. Например, на множестве
людей отношение «предшествования» может быть установлено сле-
дующим способом: будем говорить, что человек А «предшествует»
человеку В, если А «ниже» (по росту) В. Другой интерпретацией
«предшествования» на множестве людей может служить отношение
«моложе». На множестве действительных чисел отношение «пред-
шествования» обычно называют отношением «меньше». Оставляя в
стороне вопрос о развитии понятия «меньше» в связи с развитием
понятия числа от натурального до действительного, введем следую-
щее определение: если разность а— b действительных чисел а
и Ь отрицательна, то говорят, что число а «меньше» числа Ь, и пи-
шут: а < b (читается: «я меньше Ь»). Если а < Ь, то говорят,
что Ь «больше» я, что выражают записью: Ъ> а. На множестве дей-
ствительных чисел рассматриваются также отношения «не больше»
и «не меньше»: если а — b — число отрицательное или равно 0
(т. е. не положительное), то говорят, что я не больше Ь, и пишут:
а < b (или, что b не меньше я, и пишут: b а). Все соотношения
a<b, а b, а> b, b имеют общее название неравенств.
Неравенства a<.bnc^d, a^bnc^d называются неравен-
237
ствями противоположного смысла, а неравенства а < b и с d,
я <>> d— неравенствами одинакового смысла. Если нас не
интересует конкретное значение знака неравенства, то символи-
чески неравенство записывают в виде a\f b, где знак V может
означать один из знаке» <, <, >, >. Тогда в соотношении а Д Ь
знак Д рассматривается как знак отношения противоположного
смысла, т. е. соответственно >, >, <,
На множестве F функций от аргументов ха, ..., х„, с общей
областью определения функций D, отношение «меньше» устанавли-
вается следующим образом. Говорят, что функция Fx £ F находится
в отношении «меньше» с функцией F2 € Р наД множеством D, если
при каждой системе значений аргументов (л^, хв, .<., х„) € В зна-
чение функций Fx меньше значения функции F2. Наличие отношения
«меньше» функции Fx с функцией FB над множеством D передается
записью: Fx < Fa. Это неравенство называется также тождествен-
ным неравенством над множеством D.
Для понятия неравенства существует формальная характерис-
тика: два аналитических выражения U и V, соединенные знаком
< (или или >, или >), образуют неравенство U < V (или U <
< V, или U > V, иля U > V). Соответствующий знак неравенства
выражает наличие высказывания или предиката о неравенстве U и
V в зависимости от того, являются ля О и V числовыми выражени-
ями или выражениями с переменными.
В учении о неравенствах аналогом понятия уравнения является
понятие «неравенства с переменными (неизвестными)». Оно мо-
жет быть определено следующим образом: пусть даны две функции
Fi (хх, х2, ...» хп) и Ft (хх, xa, .... х„). Символическая запись задачи
о разыскания таких систем значений аргументов (хх, х^, ..., х„),
при которых значение функций Fx находится в отношении V со
значением функции F2, называется неравенством с переменными
хх, х2,..., хп. Символически неравенство с переменными записывает-
ся как обычное неравенство Fx (х1( ха, .... х„) V Ра (хь *а» *«)•
В этой формуле знак V выступает не в роли знака истинного от-
ношения неравенства функции Fx с функцией Fa, а в роли знака,
указывающего на отношение неравенства значения функции Fx со
значением функции Fa, предиката, отвечающего постановке ука-
занной задачи.
На понятие суждения впирается и определение «неравенства
с неизвестными», приведенное в «Специальном курсе элементарной
алгебры» С. И. Новоселова (1962, с. 230);. «Неравенство Fx (х, у,...
..., г) < Fa (х, у, ..., г), выражающее следующее суждение: значе-
ние функции Fx меньше значения функции Fa, называется неравен-
ством с неизвестными х, у, ..., г». Когда-то в вузовских пособиях
по элементарной математике такие неравенства было принято на-
зывать «условными неравенствами» Не обсуждая вопроса о том,
1 См.: Комаров В. Н.
М.— Л., 1929, с. 310; Г и б ш
М., 1936, с. 40.
Теоретические основы арифметики и алгебры.
А. И. Элементарная математика. Общий курс.
238
насколько удачными являются названия «неравенство с перемен-
ными» или «неравенство с неизвестными», «условное неравенство»,
отметим, что с методической точки зрения необходимо отчетливо
выделить понятие, роль которого в учении о неравенствах
аналогична роли понятия уравнения в учении о равенствах,
т. е. приписать этому понятию определенное название. Без
этого возникает много неудобств и недоразумений, особенно при
изучении неравенств в школе. Однако с той же точки зрения оче-
видно, что, вводя новый термин, мы должны построить соответ-
ствующее определение аналогично построению определения урав-
нения. Но это оказывается крайне неудобным хотя бы с лингвисти-
ческой точки зрения. Например, раз в учебнике (3.1591 сказано,
что «равенство с переменной называют уравнением», то аналогичное
определение должно звучать тавтологически («неравенство с пере-
менной называют...»}. Естественно, что в этом учебнике вообще не
дается определения новому понятию, а оно вводится на основе ре-
шения конкретной задачи.
Мы предпочитаем пользоваться названием «неравенства с пе-
ременными», которое подчеркивает назначение понятия, обозна-
чаемого этим термином,*— выражать постановку задачи, о которой
уже говорилось. Там, где это не приводит к недоразумениям, вместо
«неравенство с переменными» говорят короче: «неравенство».
Общую часть областей определений функций Ft и Fa, представ-
ляющих левую и правую части неравенства Ft V называют
областью определения неравенства или областью (множеством) до-
пустимых систем значений переменных (ОДЗ). Всякая допустимая
система значений неизвестных, при которой неравенство Fr V F2
верно, называется решением неравенства. Решить неравенство —
значит найти все множество его решений.
1.4. Остановимся несколько подробнее на упомянутом выше
(XVI. 1.1.) подходе к уравнениям и неравенствам с переменными
как логическим функциям.
О некоторых предложениях можно определенно сказать, истин-
ные они или ложные. Такие предложения в литературе по матема-
тической логике называют высказываниями. «Истина» (сокращенно
•—и) и «ложь» (сокращенно —л) называются истинностными значе-
ниями высказываний. Очевидно, всякое предложение с одной или
несколькими переменными не является высказыванием. Например,
нельзя сказать истинным или ложным является предложение «х —
натуральное число». Но это предложение становится высказыва-
нием при подстановке в него вместо переменной х какого-нибудь
числа. Так, если вместо х подставить число 7, получится истинное
высказывание «7 -— натуральное число»; если же подставить число
3 3
получится ложное высказывание «-£ — натуральное число».
Таким образом, рассматриваемое предложение представляет как
бы форму для образования высказываний, и поэтому предложения
с переменными называют высказывательными формами. Высказы-
239
нательная форма с п переменными называется n-местной (одномест-
ной, двухместной и т. д. в зависимости от значения п). Предпола-
гается, что для каждой переменной указывается область ее значе-
ний, которые разрешается подставлять вместо этой переменной.
Например, если указано, что областью значений переменной х в
предложении «х — натуральное число» является множество X ~
= {—3; 0; 2; 5}, то вместо х можно подставлять только элементы
множества X, если же указано, что областью значений перемен-
ной х является множество рациональных чисел, то вместо этой
переменной в данное предложение можно подставлять только ра-
циональные числа и т. д.
Иногда область значений переменной явно не указывается.
В этом случае мы вправе рассматривать самую широкую из возмож-
ных и известных нам областей значений переменной. Так, если
учащимся известны только неотрицательные целые и дробные числа
и им предлагается привести примеры значений переменной х, при
которых предложение «х‘—* натуральное число» будет верным или
неверным, то они вправе выбирать значения х из всего множества
неотрицательных рациональных чисел.
Очевидно, всякое уравнение или неравенство с п переменными
является n-местной высказывательной формой, для которой облас-
тями значений переменных являются числовые множества.
Высказывательная форма (а следовательно, и уравнение и не-
равенство с переменными) тесно связана с понятием логической
функции. Пусть и (х) — высказывательная форма, определенная
на множестве X. Если каждому значению х = a g X поставим
в соответствие истинностное значение высказывания и (а), то тем
самым будет задана функция с областью определения X и принимаю-
щая значения в множестве {и, л}. Функция, областью значений
которой является множество {и, л}, называется логической функ-
цией.
Связь n-местной (и > 1) высказывательной формы с понятием
логической функции несколько сложнее. Например, высказыватель-
ной форме v (х, у), для которой областью значений переменной х
служит множество X, а переменной у — множество У, можно со-
поставить логическую функцию лишь при условии, если будет за-
дан определенный порядок переменных х и у. Таким образом нашей
двухместной высказывательной форме можно сопоставить две ло-
гические функции: v (х, у), определенную на множестве X X У,
и v (*> У)> определенную на множестве У X X. Вообще п-местной
высказывательной форме с переменными xlf х2, ...» хл (если ни одна
из переменных х( (z = 1, 2, п) не связана ограничениями типа
«для всякого xt», «существует хр>, т. е. как говорят, переменная Xj
является свободной) можно сопоставить и! логических функций.
Порядок п переменных, входящих в уравнение (неравенство),
можно раз и навсегда установить нумерацией переменных ' х19 х2, ...
..., хп или алфавитным порядком следования х, у, ... различных
букв — переменных. При этом условии всякое уравнение f (х, у, ...
240
z) = g (x, y, .... z) можно рассматривать как логическую функ-
цию, определенную на множестве X X Y X ... X Z, х£Х, у £
g Y, .... zgZ. Таким образом, понятие уравнения может быть
определено на основе понятия логической функции: «Логическая
функция: значение функции f (х, у, ..., z) равно значению функции
g(x, у, ...» z) — называется уравнением». Аналогично определяется
как логическая функция и понятие неравенства с переменными.
Если логическая функция (уравнение) f (х, у, .... z) = g (х,
у, ..., z) определена на множестве D = X X Y X ... X Z, то мно-
жество s D всевозможных допустимых значений переменных х,
у, ..., z, при которых логическая функция принимает значение
и (т. е. функции fug принимают равные значения), называется
областью истинности логической функции. Очевидно, — мно-
жество решений уравнения / = g.
Л
§ 2. ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ
2.1. Роль уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
2.2. Пропедевтическое изучение уравнений.
2.3. Пропедевтическое изучение неравенств с переменными.
2.4. Методика ознакомления учащихся с понятием логической
функции.
2.1. Уравнения и неравенства уже сами по себе представляют
интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их
помощью на символическом языке записываются важнейшие зада-
чи, связанные с познанием реальной действительности. Для на-
шего читателя нет нужды специально комментировать эту мысль.
Очевидно, этой ролью уравнений и неравенств в естествознании
определяется и их роль в школьном курсе математики. Но дело
не только в этом. При изучении любой темы уравнения и неравен-
ства могут быть использованы как эффективное средство закреп-
ления, углубления, повторения и расширения теоретических зна-
ний, для развития творческой математической деятельности уча-
щихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции
~и свойства функций, метрические соотношения между элементами
геометрических фигур, а также связанные с этими вопросами тож-
дества и тождественные преобразования в процессе изучения сразу
же могут находить отражение в упражнениях на решении уравне-
ний и неравенств. Например, ознакомившись с распределительным
законом умножения относительно сложения, учащиеся могут при-
менить его к решению уравнений вида (х + 5) • 2 = 16, 14 х 4-
+ 27х = 656; при отыскании натурального значения х, удовлетво-
47 х 57
ряющего неравенству -g^ < < -g^-, можно выявить и уточ-
нить знания учащихся о свойствах обыкновенных дробей и т. д.
241
В VI классе решение вопроса: может ли уравнение х4 — 25xs -f-
4- 13ха— 20х -4-1—0 иметь отрицательные корни?— не только
потребует применения знаний свойств степеней рациональных чи-
сел, но и будет способствовать развитию исследовательских спо-
собностей учащихся. Возможность разнообразить формы упражне-
ний (решить заданное уравнение (неравенство); составить уравне-
ние (неравенство) по заданному множеству его решений; решить
задачу с помощью уравнения (неравенства); составить задачу по
заданному уравнению (неравенству); составить два уравнения (нера-
венства), имеющие одно и то же множество решений и т. д.) способ-
ствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы
учащихся.
Графическое решение уравнений и неравенств раскрывает зна-
чение методов аналитической геометрии, а также играет немало-
важную роль в развитии пространственного воображения. Решение
задач из различных разделов математики с помощью уравнений и
неравенств формирует представление о единой математике и относи-
тельном характере ее расчленения на арифметику, алгебру, гео-
метрию.
Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении
задач жизненного содержания. Решение задач, связанных с осно-
вами современного производства, экономикой народного хозяйства,
со смежными дисциплинами может служить одним из эффективных
способов осуществления принципа политехнического обучения и
связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся
к свободному выбору будущей профессии.
2.2. В настоящее время вопрос о том, возможно и нужно ли
пропедевтическое изучение уравнений в начальной школе, уступил
место заботам о совершенствовании методики изучения уравнений
начиная с I класса. В I классе буква как математический символ
используется для обозначения неизвестного числа при решении
задач. Уже при изучении действий над числами первого десятка дает-
ся правило нахождения одного из слагаемых по сумме и другому
слагаемому, после чего решаются задачи, приводящие к уравнениям
вида х -|- 2 = 6, 3 + х = 7, а сами уравнения решаются по указан-
ному правилу. По мере расширения знаний учащихся о зависимос-
тях между компонентами и результатами арифметических действий
виды уравнений усложняются. Оканчивающие начальную школу
должны свободно решать уравнения вида (300 — х) + 46 = 254,
(a -f- 24) : 15 = 4, 51 : k = 257 — 240, 30 (х • 10) = 900, 476 —
— х • 4 = 300 и т. п.
Определение уравнения дается в начале третьего года обучения
в следующей форме: «Равенство, содержащее неизвестное число,
обозначенное буквой, называется уравнением». Понятие корня
уравнения не вводится, да при такой трактовке понятия уравнения
(буква рассматривается не как переменная, а как обозначение хотя
и неизвестного, но определенного числа) в нем нет необходимости.
«Решить уравнение *— значит найти неизвестное число» (там же).
242
В IV классе способы решения уравнений по-прежнему ограни-
чиваются в основном использованием взаимосвязи между компо-
нентами и результатами действий. Однако в идейном отношении
здесь имеет место существенный сдвиг. Уже с начала учебного
года дети знакомятся с понятиями переменной, выражения с пере-
менной, высказывания; проверяют, является ли равенство с пере-
менной верным или неверным при заданных значениях перемен-
ной — все это служит хорошей основой для последовательного про-
ведения функциональной точки зрения на понятие уравнения. С IV
по VI класс до определения понятия функции раскрытие функцио-
нального содержания понятия уравнения представляет составную
часть функциональной пропедевтики. Терминологической основой
при этом служат словесные выражения: «переменная», «значение
переменной», «выражение с переменной», «значению переменной,
входящей в выражение, соответствует определенное значение вы-
ражения», «значения выражения с переменной зависят от значений
переменной», «множество значений переменной», «множество зна-
чений выражения с переменной», которые позволяют пока обхо-
диться без применения терминов «функция», «аргумент», «область
определения функции»-, «множество значений функции».
Очевидно, что столь высокий уровень знаний учащихся позво-
ляет расширить сложившиеся у них еще в начальных классах пред-
ставления об уравнении. Соответствующая работа может состоять
примерно в следующем.
1. При решении задач с помощью уравнений систематически
выявляется функциональное содержание частей уравнения и отме-
чается, что в зависимости от значений переменной может изменять-
ся значение выражения и поэтому уравнение или обращается в
истинное равенство, или оказывается равенством ложным. Приведем
пример упражнения, служащего этой цели.
Цена учебника 9 коп. Записать выражением с переменной стои-
мость п учебников (9л). Нужно составить заявку на учебник для
учащихся класса с учетом наличия этого учебника у некоторых уче-
ников. Каким может оказаться значение л и соответствующее ему
значение выражения 9л? Каким может быть наибольшее (наименьшее)
значение л и соответствующее ему значение выражения 9л? При
каком значении и стоимость учебников равна 1 руб. 80 коп.? Мо-
жет ли стоимость учебников быть равной 2 руб.? Задать стоимость л
учебников, составить и решить уравнение, учитывая указанную
цену учебника.
Учитель, а в дальнейшем по его требованию н учащиеся отме-
чают, что полученное уравнение есть краткая запись задачи об оты-
скании таких значений переменной, при которых уравнение обра-
щается в истинное равенство.
2. Аналогичная работа проводится при решении уравнений, не
связанных с решением текстовых задач. Пусть, например, требуется
решить уравнение 10 — 2х = 4. Предварительно могут быть рас-
смотрены следующие вопросы: какие значения принимает выражение
243
10—2х при х = 0; 1; 4; 6? (Отмечается, что переменная х не
может иметь значение 6, так как из меньшего числа нельзя вы-
честь большее.) Какое значение переменной х требуется найти?
(Такое, при котором равенство 10 — 2х — 4 будет истинным.) На-
ряду с привычным для учащихся требованием «решить уравнение»
следует ставить и такое: «найти значение переменной, при котором
равенство будет истинным».
3. Упражнения на вычисление значений числовых выражений
и выражений с переменными могут сопровождаться постановкой во-
просов: при каком значении переменной а выражения 3+ 6 и 2а — 1
имеют равные значения? Как математически решается этот вопрос?
(Составлением и решением уравнения 2а — 1=3 4-2.)
Методика урока, на котором вводится определение уравнения,
несложна. Заметим, что полезно заготовить рисунки, аналогичные
традиционно приводимым в учебниках (весы с различным количе-
ством гирь, груза и различным положением чашек). Желательно
уже на этом этапе обучения разнообразить упражнения, не сводя
их только к решению готовых уравнений и составлению уравнений
по условию задач. Приведем примеры таких упражнений: прове-
рить, является ли некоторое число корнем данного уравнения;
выбрать из данного числового множества (конечного) число, явля-
ющееся корнем данного уравнения; составить уравнение, корнем
которого является число 5; какое число нужно подставить вместо
♦ в уравнение 2х + ♦ = 15, есЛи х = 6 — корень этого уравне-
ния; составить уравнение, для которого число 3 не является
корнем. ч
На следующих уроках раскрывается содержание понятия «мно-
жество решений» уравнения. Например, учащимся предлагается
проверить, что числа 0, 1 и 2 являются корнями уравнения
х (х— 1) (х — 2) = 0. Здесь важно выяснить, что никакое другое
значение х не может быть корнем уравнения (ни один из множителей
не обращается в 0), значит, {0, .1, 2} —• множество всех корней
уравнения. Уравнение 2х 4- 1 = 3 имеет корень х = 1. Никакое
другое число не может быть корнем, так как при х =* 0 2 • 0 +
4- 1 =/=Зи при х> 1 2х +1 =/=3, значит, множество корней уравне-
ния состоит только из одного числа: {1}. Множество корней урав-
нения х + 2 = х + 1 пустое: при любом значении х значение
выражения х + 2 всегда на 1 больше значения выражения
х + 1.
В IV классе ограничиваются обращением с конечными множест-
- вами, но учащимся надо показать примеры уравнений, имеющих
бесконечное множество корней, например: 0 • х = Од + 1 = х 4
+ 1. Учащиеся легко убеждаются, что при любом значении х оба
равенства верные. Детям можно прямо сказать, что и то и другое
уравнения имеют бесконечное множество корней, не вдаваясь в
обсуждение этой фразы. Опыт показывает, что характеризовать мно-
жество корней уравнения (и неравенства) как полный список кор-
ней уравнения (неравенства) нецелесообразно.
244
/ После изучения распределительного закона вводятся уравнения»
при решении которых надо выполнять приведение подобных чле-
нов, например: Зу + 2 + у — 2у = 3.
В IV классе начинается формирование представлений учащихся
$ допустимых значениях переменных, входящих в уравнение. Напри-
мер, при решении уравнения (6 — х) • 2 = 8 уместно выяснение
вопроса: может ли корень уравнения быть большим 6, а при ре-
шении уравнения 10 : (х — 3) = 5 — может ли корень уравнения
быть равным 3?
Правила нахождения одного из неизвестных компонентов дей-
ствий позволяют решать только такие уравнения, в которых пере-
менная содержится лишь в одной части уравнения. Это ограничи-
вает применение метода уравнений к решению задач. Для решения
уравнений с переменной в обеих частях уравнений требуется озна-
комление учащихся с правилами, обоснование которых может быть
дано либо на основе свойств числовых равенств, либо на основе их
обобщения — правила перемены знака при переносе слагаемых из
одной части уравнения в другую. С формально-логической точки зре-
ния следовало бы дать указанное обобщение лишь после достаточно
обстоятельного изучения равенств, но такой подход требует зна-
чительной затраты времени. Кроме того, формализация интуитивно
очевидных фактов требует более высокого уровня развития мыш-
ления учащихся, чем тот, который достигнут к V классу. Поэтому
в V классе целесообразно достаточно быстро идти к алгоритмиче-
скому приему решения уравнений первой степени, поступая, напри-
мер, следующим образом [3. 1081.
После введения действий сложения и вычитания положитель-
ных и отрицательных чисел излагается общий прием решения урав-
нений (пока что с переменной в одной части уравнения), заменяю-
щий правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого
и вычитаемого: 1) х 4- а = Ь, х 4- (а — а) = Ъ 4- (—л), х — b — а\
2) а — х = 6, (а — а) — х = b 4- (—а), —х — Ь — а, значит, х =
= а — Ь (если число — х равно b — а, то противоположное ему
число х равно а— Ь). Логический пробел, состоящий в отсутствии
обоснования возможности прибавления к обеим частям уравнения
одного и того же числа, восполняется опорой на интуитив-
ное представление учащихся о соответствующем свойстве ра-
венства, которое может быть подкреплено иллюстрацией (с по-
мощью весов).
Несколько позже рассматривается случай, когда переменная со-
держится в обеих частях уравнения: 2х = х 4- 3,5. Записи 2х —
— х — х — х + 3,5 и 2х — х — 3,5 можно сделать без всяких ого-
ворок и на основе подобных примеров прийти к выводу: «Слагае-
мые можно переносить из одной части уравнения в другую, изме-
няя при этом их знаки». В более подготовленном классе возможны
более строгие рассуждения, например такие: если уравнение 2х =
= х 4- 3,5 имеет корень, то при значении х, являющемся корнем
уравнения, числа 2х и х 4* 3,5 — равны. Прибавляя к равным
245
числам 2х и х + 3,5 одно и то же число •—х, мы получим равные
числа, т. е. истинное равенство 2х — х = х — х 4- 3,5, и т. д.
Следующим важным шагом в пропедевтическом развитии уче-
ния об уравнениях является разъясняемая на примерах возможность
умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число.
Таким образом, учащиеся V класса на интуитивной основе овладе-
вают общими методами решения уравнений первой степени произ-
вольного вида. Кроме того, сам факт существования алгоритма ре-
шения уравнения ах + b = 0 является одним из наиболее убеди-
тельных доводов в пользу изученных ранее расширений понятия
числа. И хотя возраст учащихся еще не позволяет учителю входить
в теоретические тонкости вопроса, все же необходимо подчеркнуть,
что введение отрицательных чисел и дробей позволило нам
сформулировать правило решения уравнений, свободное от вся-
ких оговорок и ограничений, кроме, конечно, запрета деления
на нуль.
Ознакомление учащихся с действиями первой ступени над по-
ложительными и отрицательными числами сразу же позволяет по-
казать им способ решения уравнений вида (х + а) (х 4- Ь) ... (х 4-
+ с) = 0, а затем вида (ах 4- Ь) (сх 4- d) ... (kx 4- р) = 0 и выпол-
нять упражнения: составить уравнение, имеющее: а) заданное число
корней (корни учащиеся подбирают сами); б) заданное множество
корней; в) заданное число положительных и отрицательных корней
и т. д. Умения решать уравнения рассматриваемых видов исполь-
зуются в VI классе для решения уравнений вида f (х) = 0, где f (х)»—
многочлен степени выше первой, поддающийся разложению на
линейные множители.
2.3. Как в самой математике, так и в ее приложениях с неравен-
ствами приходится сталкиваться не менее (если не более) часто, чем
с уравнениями. Так, при выявлении свойств функции f (х) прихо-
дится решать не только уравнение f (х) = О, но и неравенства
f (х) > 0, f (х) < 0 или f (х) > ct f (х) < с. Широко распространен-
ная в жизненной практике операция измерения величин принци-
пиально не может дать точного числа, и мы вынуждены довольство-
ваться границами точного значения измеряемой величины х : a <Z
<Z х < Ь. Еще задолго до прихода в школу дети приобретают опыт
в обращении с понятиями «больше», «меньше» «не равно». Отсюда
понятно, что пропедевтическое изучение неравенств должно осу-
ществляться совместно с пропедевтическим изучением уравнений.
С отношениями «меньше», «больше» между числами и знаками этих
отношений «О, «>» дети знакомятся в I классе уже при изучении
чисел первого десятка. Во II классе выполняются упражнения
на сравнение буквенных выражений, т. е. по существу доказывают-
ся простейшие тождественные неравенства. Например, сравнивая
два выражения а 4- 3 и а + 1, дети рассуждают: первые слагаемые
в обоих выражениях одинаковы, но второе слагаемое первого вы-
ражения больше второго слагаемого второго выражения, значит,
первая сумма больше второй: а 4- 3 > а 4- 1. В этом же классе
246
начинается и решение неравенств. Задания ставятся примерно в
такой форме:
1) Пользуясь таблицей (дается таблица чисел), укажите те зна-
чения а, при которых а + 28 < 32.
2) При каких значениях букв будут верны следующие записи:
а +200 < 203, Ь — 120 > 10, с . 5 < 20?
3) 48 : &<24. При каких значениях b верна эта запись?
Термин «неравенство» еще не употребляется, он вводится в на-
чале III класса. Задания приобретают уже такую форму:
1) Запишите несколько значений букв, при которых верны не-
равенства а > 9, с < 14, п > 724, k < 278.
2) При каких значениях букв верны неравенства: х + 25 < 40,
90 — k > 36, с <— 5 < 35, b : 4 > 8, а — 41 > b — 41? Как ви-
дим, выражение «решить неравенство» не применяется — понятие
о решении неравенства в начальной школе не вводится. Тем не
менее решение неравенств записывается в общем виде. Так, при
выполнении упражнения: «Найти значения буквы а, при которых
верно неравенство 20 — а> 16» — рассуждения ведутся так: 20 —
•— а = 16 при а — 4. Чтобы разность 20 — а была больше, чем 16,
надо, чтобы вычитаемое было меньше, чем 4. О т в е т. а < 4.
В IV классе изучение неравенств ведется по-прежнему индук-
тивно. Наглядной опорой для сравнения чисел служит числовой
луч. Однако формальная запись числового неравенства уже явно
трактуется как высказывание, которое может быть истинным (вер-
ное неравенство) или ложным (неверное неравенство). Ни в про-
грамме, ни в объяснительной записке к ней нет определенных ука-
заний, в каком плане должны изучаться неравенства с переменными
в IV классе. Однако глубокие аналогии в построении теории урав-
нений и теории неравенств с переменными дают основание для по-
строения пропедевтического изучения неравенств с переменными
по аналогии с пропедевтическим изучением уравнений.
Поэтому вслед за определением понятия уравнения будет ес-
тественным введение понятия неравенства с переменной.
К введению этого понятия следует идти от задачи, решение
которой приводит к неравенству с переменной. Полученное нера-
венство в соответствии с поставленной задачей может быть истол-
ковано как форма записи требования найти те значения перемен-
ной, при которых неравенство верно.
В IV классе в основном ограничиваются требованием отыскания
конечного множества решений неравенства. Даже при решении не-
равенства х > а в множестве натуральных чисел учащимся ука-
зывается, какое число решений нужно найти. Это не значит, что
нужно совершенно отказаться от упражнений, формирующих пред-
ставление о существовании бесконечного множества решений соот-
ветствующих неравенств. Так, после того как найдено несколько
решений неравенства х > а, целесообразна постановка вопросов:
можно ли еще указать решения этого неравенства? Сколько еще
решений? Не следует опасаться обобщения: неравенство имеет
247
бесконечное множество решений— ему удовлетворяют все натураль-
ные числа, большие числа а, начиная с числа а + 1.
С расширением множества целых неотрицательных чисел до
множества неотрицательных рациональных чисел (с введением дро-
бей, в частности десятичных) подобного рода рассуждения полезно
применять и при решении неравенств вида х <z а, а также двойных
неравенств. Основное назначение таких упражнений — сравнение
чисел, попутное же — формирование представления о свойстве бес-
конечности и плотности множества чисел на конечных числовых ин-
тервалах. Так, если решается задача: «Найти одно решение нера-
венства 0,1 < #<0,2» — и указано в качестве решения, например,
число 0,14, то тут же возможно обсуждение таких вопросов: будут
ли решениями неравенства числа 0,141; 0,149; 0,19567? Будет ли
решением неравенства среднее арифметическое чисел 0,1 и 0,14;
среднее арифметическое 0,1 и 0,2; затем среднее арифметическое
0,1 и найденного числа и т. д.? Совершенно необходимы упражнения
на применение двойных неравенств для записи результатов измере-
ния величин. Учащиеся должны наблюдать сужение границ точного
значения измеряемой величины с повышением точности измеритель’*
ного инструмента.
В V классе для установления отношений >, < на множестве
рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим
рассматриваются неравенства вида | х | < а, | х [ < а, | х— а | < &,
|х—а|< которые решаются по соображению с привлечением
числовой оси. На той же основе устанавливается равносильность
указанных неравенств неравенствам — a<x<z а* — а < х < а,
•— b < х — а<Ь9 —b < х —* а < Ь соответственно. Остается в
силе •— как основная — ориентировка на нахождение конечного
множества решений неравенств. Таким образом, развитие представ-
лений учащихся о бесконечности множества решений соответствую-
щих неравенств по-прежнему находится в зависимости от разумной
инициативы учителя. __
На основе понятия о двойном неравенстве в курсе алгебры VI
класса вводятся понятия о числовых промежутках, которые нахо-
дят применение при изучении функций. Каких-либо новых сведе-
ний о неравенствах с переменными до изучения темы «Неравенства»
в VII классе учащимся не дается. Указанная тема является нача-
лом систематического изучения неравенств с переменными.
2Л> Пропедевтическое изучение уравнений и неравенств пред-
полагает и первоначальное ознакомление учащихся с элементами
формальной логики. В частности, с одноместными высказыватель-
ными формами учащиеся ‘встречаются уже в курсе математики
IV класса. При рассмотрении равенств и неравенств с переменными
часто решается вопрос: становится ли данное равенство (неравен-
ство) верным или неверным при заданном значении переменной?
Такие упражнения по существу являются началом формирования
представлений учащихся о логических функциях. Постепенное рас-
крытие содержания понятия логической функции представляет
248
Составную часть осуществления общего плана функциональной про*
йедевтики. Важным моментом в этом процессе является введение
обозначений истинности значений высказываний, а затем плано-
Жерное выполнение упражнений функционального содержания с вы*
;сказывательными формами. Учащимся сообщается, что высказы-
вания бывают истинными (верными) или ложными (неверными).
Всякое высказывание может иметь только одно из двух значений
«истина», «ложь». Для сокращения записи вместо слова истина пи-
шут и, а вместо слова ложь — л, например:
Высказывание
Значение высказывания
2 + 3=4
2 (1,5 — 0,2) = 1,1 + 1,5
7< 10
3> 8
л
и
и
л
Надо объяснить, что предложения, в которых что-то утверждается
о содержащейся в них переменной, не являются высказываниями.
Например о предложении «город х расположен севернее Москвы»
нельзя сказать, истинное оно или ложное, следовательно, оно не
высказывание. Но если вместо переменной х в предложение под-
ставить ее значение — название какого-нибудь города, то предло-
жение станет высказыванием истинным или ложным в зависимости
от того, будет ли соответствующий город севернее Москвы или нет.
Примеры упражнений.
1. Заполните пустые места таблицы:
Предложение с переменной Значение переменной Высказывание Значение высказывания
1) В моем портфеле на- ходится а. 2) 2 < х < 5 3) В нашем классе у пионеров 4) 5* + 3 = 8 тетрадь 120 В моем портфеле находится тетрадь .2 < 7 < 5 л и
2. Найдите и запишите множество тех значений переменной,
при которых следующие предложения превращаются в истинные
высказывания: а) — 4 < х, если х может принимать целые отри-
цательные значения; б) |а| = 0,5; в) в неделе у дней; г) Ь> Ь.
На этом уровне формирования понятия логической функции пред-
ставления учащихся о допустимых значениях переменной (об об-
ласти определения логической функции) вырабатывается на основе
249
конкретного смысла предложения с переменной. Обращается вни-
мание на то, что множество значений высказываний, которые по-
лучаются при всех (допустимых) значениях переменной, состоит
только из двух элементов «и» и «л».
После введения общего определения понятия функции можно
давать упражнения, при выполнении которых формируются пред-
ставления об уравнениях и неравенствах как особого вида функ-
циях.
Примеры упражнений.
1) Предложение: «Значение функции f (х) = х 4- 2 равно зна-
чению функции g (х) = 2х— 1» — записать в виде уравнения
(х 4- 2 = 2х — 1). Назвать значения х, при которых уравнение
х 4- 2 = 2х — 1 обращается в высказывание, имеющее: а) значе-
ние и; б) значение л.
2) Дано уравнение (2х — 1) (х 4- 2) = 0. А = {—3, —2; 0;
4} — множество значений переменной х, В — {и, л}. Изобразите
множества А и В точками плоскости и соедините стрелкой каждый
элемент множества А с соответствующим элементом множества В
в зависимости от того, обращается ли уравнение в каждом случае
в истинное или ложное высказывание. Будет ли это соответствие
функцией?
При изучении уравнений с двумя переменными мы сталкиваемся
с двухместными высказывательнмми формами. Выполнение соответ-
ствующих упражнений в течение длительного времени (начиная
с IV класса) создаст достаточно прочную основу для того, чтобы
уже в VII классе (после того как учащиеся освоятся с понятиями
ОДЗ переменной для уравнений и неравенств) разъяснить понятие
логической функции (предиката) и показать, что уравнение и не-
равенство можно трактовать как логические функции. В X классе
следует вернуться к логическим функциям, подчеркнув уже не
только фактическую, но и философскую сторону вопроса.
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
С ПОНЯТИЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
3.1. Роль уравнений и неравенств с переменными в изучении
свойств функций.
3.2. Использование свойств функций при решении уравнений
и неравенств с переменными.
3.1. Рассматривая различные определения понятия уравнения
и неравенства с переменными, мы встречались с определениями,
которые явно опираются на понятие функции. Однако если вни-
мательно присмотреться и к тем определениям, в которых термин
«функция» явно не фигурирует, то и здесь мы обнаружим осново-
полагающую роль понятия функции. Так, в определении: «Равен-
250
ство с переменной называется уравнением»— предполагается вхож-
дение переменной в обе или в одну из частей уравнения и, следо-
вательно, наличие функций с этой переменной. Взаимосвязь понятия
функции с понятиями уравнения и неравенства с переменными
может быть плодотворно использована при изучении свойств этих
понятий. Остановимся на вопросе о применении уравнений и не-
равенств с переменными при исследовании свойств функций. Пусть
X — область определения функции у = f (х). Рассматривая эту
формулу как уравнение с параметром у и решая его, мы выразим х
через у: х = А (у) (х может оказаться неоднозначной функцией у).
Выбирая те значения у, при которых выражение А (у) принимает
действительные значения, мы получим множество значений Y функ-
ции у. Пусть, например, у = ах* 4- Ьх + с, для которой X =1—оо;
+ оо[. Решая уравнение ах2 4- Ьх + с — у = 0 относительно х
„ • — b + Y Ь2 — 4а (с — и) т->
получим: Х1.2 =* ——2^— Видим» что множество зна-
чений функции у определяется неравенством Ь2 4а (с — у) 0.
При а > 0 находим:
4ас— &
4а
Таким образом, множество значений Y функции у — ахг + Ъх 4- с
*" 4ас — Ь2
4а
равно
4ас — Ь2
4а
4ас — Ь2 ,
—---------наименьшее значение функ-
4ас &2
ции. При a < 0 получим: у < —, т. е.
4ас ~~” Ь2
где —---------наибольшее значение функции.
Как видим, с помощью уравнения и неравенства, нам удалось
найти множество значений данной функции. Ясно, что при этом
мы решаем и вопрос об ограниченности или неограниченности
функции, а также односторонней ее ограниченности (сверху или
снизу). Однако, как известно, этот вопрос может быть выяснен
также решением неравенства с переменной |f (х)|>М (1) или со-
7 (х) < — М п тт
вокупности неравенств К щ (2) для всякого М > 0. Если
неравенство (1) или совокупность неравенств (2) при всех М > 0
имеет решения, принадлежащие X, то заключаем» что f (х) не
ограничена. Отсутствие решений неравенства (I) или совокупности
неравенств (2) на множестве X будет служить признаком ограничен-
ности f (х) на множестве X. Если f (х) ограничена односторонне
(сверху или снизу), то это также выясняется при решении нера-
венств f (х) < М и f (х) >
для которой X ~ I — оо,
ществуют такие значения х £ X, которые удовлетворяют неравен-
ству а* > М при произвольном М > 0, а именно: х > logfl М.
Но эта функция ограничена снизу, так как неравенство ах < •— М
не имеет решения ни при каком значении М.
— М. Например, функция f (х) — ах,а~> 1,
-}- оо(, не ограничена сверху, т. е. су-
251
Неравенство х2 4- 2 < — М имеет решения: х< — У 2 + М
или х> V2 + М — при любом М >• 0, а неравенство
— х9 4- 2 > М имеет решения: — ]/ 2-—Л4 <х< У"2—Л4— толь-
ко при М > 2. Значит, функция g (х) = —х2 4* 2, для которой
X = I — оо, + оо[, не ограничена снизу и ограничена сверху —
значения ее не превосходят числа 2. g (0) = 2, т. е. функция имеет
наибольшее значение на X. Ясно, что если некоторая функция f (х)
непрерывна, то, дополняя указанный способ еще и решением урав-
нения f (х) — 0, мы снова получаем способ нахождения множества
значений Yсамой функции / (х). Так, для функцииg (х) » —х2 4- 2
имеем: Y = 1 — оо, 21.
Известно, что для нахождения экстремальных значений функ-
ции f (х) с помощью производной сначала решают уравнение Г (х) —
— 0, а для нахождения промежутков возрастания или убывания
функции решают соответственно неравенства (х) > 0, f' (х) < 0.
Для решения вопроса о четности или нечетности функции f (х) до-
казываются соответственно тождества f (—х) = f (х), f (—х) =»
= — f (х). Однако эта задача может быть решена и. по-другому:
составляем уравнение f (—х) = f (х) (или / (—х) — 1—f (х)), и
если окажется, что уравнение удовлетворяется тождественно на об-
ласти определения X функции f (х), то это и будет означать, что
функция четная (или нечетная) на множестве X. Например, чтобы
выяснить, является ли функция f (х)= sin х нечетной, составляем
уравнение sin (—х) = —sin х. Эго уравнение равносильно урав-
нениям sin (—х) -J- sin х = 0,2 sin 0 • cos (—х) = 0,0 • cos (—х) —
= 0, но последнее уравнение, очевидно, удовлетворяется тожде-
ственно, следовательно, функция f (х) = sin х нечетная. Если бы
мы начали с выяснения вопроса, не является ли эта функция чет-
ной, то, составив уравнение sin х = sin (—х), мы пришли бы к
равносильному ему уравнению sin х = 0, которое, имея бесконеч-
ное множество решений, все же тождественно не удовлетворяется,
а это значит, что функция не является четной.
Функция у = 1g х не является ни четной, ни нечетной, так
как области определений уравнений lg х — 1g (—х), —lg х= 1g (—х)—
пустые множества, т. е. уравнения не имеют решений.
Рассмотрим еще такую функцию / (х) = 12х 4* 11 + х8, X =
= ] — оо, + oof. Составив уравнение 12х -f- 11 4- х8 = | 2 (—х) 4-
4- 11 + (— х®), сразу же замечаем, что х = 1 (1 G X) не являет-
ся корнем уравнения, следовательно, функция не является
четной. Она не является и нечетной, так как то же значение х = 1
(легко указать и другое значение) не является корнем и уравнения
|2х 4* 1| 4- х8 = — | — 2х 4- 11 + х3. Отметим также, что оты-
скание промежутков знакопостоянства функции f (х) сводится к ре-
шению неравенств f (х) > 0 и / (х) <; 0. Рассмотренные примеры
достаточно убедительно показывают, какое важное значение имеют
уравнения и неравенства с переменными для выявления свойств
функций.
252
3.2. В ряде случаев точное решение уравнения f (х) = <р (х)
^неравенства f (х) U ф (х)) по изученным правилам затруднительно
'или даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внима-
ние на какие-то свойства функций f и <р, как сразу же решается во-
зрос о наличии решений уравнения (неравенства) или выявляется
^наиболее рациональный прием его решения.
Пусть дано уравнение 2|х* = —х2 + 0,5; X = ]— оо; 4-оо [.
Замечаем: множество значений функций f (х) == 2**( есть Yy —
[1, + оо[, и 1 —наименьшее значение f (х); множество значений
функции <р (х) = —х2 + 0,5 есть У2 = ] — оо; 0,5], 0,5 — наи-
большее значение функции <р (х). Следовательно, ни при каком
-значении х £ X значения функций f и <р не могут быть равными —
области значений функций f и <р не имеют ни одного общего эле-
мента. Рассматривая множества Уг и У2, замечаем, что при любом
значении х значение функции f больше значения функции ф, сле-
довательно, если бы мы имели с решением неравенства 2,Л| >» х2 +
+ 0,5 или неравенства 2,х| < —х2 4- 0,5, то мы сразу же сделали
бы заключение, что первое неравенство удовлетворяется тожде-
ственно, а второе решений не имеет.
Аналогичное соотношение между множествами значений Уг и У2
функций, представляющих левую и правую части уравнения, имеет
место для уравнения -/х—2 + ]/б — х = —3, X = [2, 6]. Мно-
жество Yt значений функции f (х) = ух — 2 + J/ 6 — х можно
не уточнять, достаточно отметить, что в нем нет отрицательных
чисел. Множество У2 значений функции <р (х) = —3 состоит из
одного числа: — 3; следовательно, У2 П У2 — 0 — уравнение ре-
шений не имеет. Очевидно, неравенство /х—З+рб —х>—3
на множестве [2, 6] удовлетворяется тождественно, а неравенство
противоположного смысла решений не имеет.
В случае, когда Уг Q Y2=£ 0, исследования усложняются.
Если Ух П есть единичное множество {С}, то решением урав-
нения f (х) == <р (х) может быть только такое значение х, которое удов-
летворяет системе уравнений:
Г/(х)=С,
1ф (х) = С.
Так, для уравнения 2|х| = —х2 + 1, X = 1 — оо; 4- оо[ имеем:
Уг= 11; + со [, У2 = 1— со; 1], У1 П У2 = {!)• Решая систему:
находим х = 0 — единственное решение уравнения.
Если множество У2 f) У2 не пустое и не единичное, то в случае
непрерывности функций f и ф оно, как правило, бесконечное и зна-
чение множества У2 П У2 в этом случае само по себе не подска-
зывает способа решения уравнения, но может помочь установить
более узкий промежуток, в котором могут содержаться корни урав-
нения. Так, для уравнения 2|х| =—х2 + 2 имеем: Х = ]—оо;
253
+ oo[, {!•; + ool, К2*= 1— оо; 2], Yy р У2= И, 2]. Функ-
ция f (х) = четная и монотонно возрастающая в промежутке
О < х < + оо, следовательно, значения от 1 до 2 она принимает
на отрезке —1 < х < 1. Аналогично устанавливается, что множе-
ство значений {1, 2J функция <р (х) = —х2 + 2 принимает на том же
отрезке. Следовательно, если уравнение имеет корни, то они на-
ходятся на отрезке [—1; 1J. В данном случае для решения уравнения
остается обратиться к методам приближенного вычисления корней
уравнения — численным или графическим. В существовании двух
корней этого уравнения можно убедиться на основе свойств чет-
ности функций f (х) = и <р (х) = х2 + 2 и монотонного воз-
растания от 1 до 2 первой функции и монотонного убывания от 2
до 1 второй функции на отрезке [0, 1]. Нагляднее этот вопрос вы-
ясняется с помощью графиков функций. Проведенные исследова-
ния могут быть использованы и при решении неравенства 2W >
> —х2 + 2 или неравенства противоположного смысла.
При графическом методе решения уравнений и неравенств хо-
рошее знание свойств функций позволяет обходиться минимальным
количеством «опорных точек» (для построения графиков функций),
которые подчас строятся в излишнем количестве — лишь бы было
больше точек- Учащиеся, руководствующиеся свойствами функций,
обычно аккуратно строят изгибы линий в окрестностях точек пере-
сечения графиков функций, чем обеспечивается хорошая точность
решения уравнения. Особенно важное значение знания свойств
функций имеет при схематическом наброске графиков функций
с целью выяснения ОДЗ и вопроса существования решений урав-
нений или неравенства, для прикидки месторасположения реше-
ний, для приближенной проверки полученных решений, для отсеи-
вания посторонних решений и выяснения вопроса о потере корней.
В подходящих случаях простота решения уравнения или нера-
венства достигается на основе идеи преобразования графиков функ-
ций. Например, зная, что графики функций f (х) и f (х + а) могут
быть совмещены сдвигом вдоль оси абсцисс, скажем, графика функ-
ции f (х) на | а | вправо, если а < 0, или влево, если а > 0, мы мо-
жем решить уравнение log3 (х + 2) = 5 следующим образом: из
корня уравнения log3x — 5, т. е. из 3б=243 вычтем число 2 и
получим корень данного уравнения.
Известно, насколько легче решаются квадратные, показатель-
ные, логарифмические и тригонометрические неравенства на основе
геометрических представлений о промежутках монотонности соот-
ветствующих функций — ненужным становится заучивание фор-
мальных правил решения таких неравенств, эти правила всегда
могут быть восстановлены в памяти, если отмеченные свойства
функций усвоены осознанно.
Функциональный метод — стержневой метод раскрытия содер-
жания школьной математики. Уравнения и неравенства решаются
при изучении каждой темы программы. Отсюда ясно, что постоян-
254
ное использование взаимосвязи между понятиями функции и урав-
нения, функции и неравенства будет содействовать более глубокому
усвоению учащимися курса математики.
5 4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
С ПЕРЕМЕННЫМИ НА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ОСНОВЕ
4.L Общие положения.
4.2. Определение уравнения и неравенства с переменными.
4.3. ОДЗ уравнения и неравенства. Равносильность уравнений
и неравенств.
4.4. Уравнения и неравенства с параметрами. Исследование
уравнений и неравенств.
4.1. Явное и последовательное проведение функциональной точ-
ки зрения на уравнение и неравенство с переменными состоит в
следующем:
1) Обе части уравнения (неравенства) рассматриваются как
функции входящих в уравнение (неравенство) переменных, а для
записи уравнений (неравенств) в общем виде применяются функцио-
нальные обозначения, например: f (х) = ф (х), f (х) < <р (х).
2) Устанавливается понятие области определения уравнения
(неравенства) (ОДЗ), которое определяется как общая часть (пере-
сечение) областей определения функций, представляющих обе части
уравнения (неравенства).
3) Систематически применяется графический метод решения
уравнений (неравенств), требующий построения графиков соответ-
ствующих функций.
4) При изучении уравнений (неравенств) в подходящих случаях
используются свойства функций.
4.2. После введения определения понятия функции учащиеся
постепенно подводятся к трактовке понятия уравнения (неравенства
с переменными) как символической записи задачи о разыскании та-
ких значений переменных, при которых две данные функции при-
нимают равные (находящиеся в указанном отношении неравенства)
значения.
Пусть, например, решается задача: «На первом складе было
2300 т зерна, на втором — 2800 т. Со второго склада взяли впя-
теро больше зерна, чем с первого, и тогда на обоих складах зерна
стало поровну. Сколько зерна взяли с каждого склада?» Если х —
вес (в тоннах) зерна, взятого с первого склада, то для равных остат-
ков зерна на складах получаются два выражения: 2300 — хи 2800 —
— 5х. По условию задачи получены две функции: f (х) = 2300 — х
и (х) — 2800 — 5х, а по вопросу задачи требуется найти такие
значения переменной х, при которых функции f и ф принимают рав-
ные значения. Это требование записывается равенством 2300— х==
= 2800 — 5х. Обобщением подобного рода упражнений и будет
определение: «Равенство f (х) = ф (х) называется уравнением».
255
Графический способ задания функций и построение графиков
заданных функций создает наглядную основу для достижения более
глубокого понимания учащимися функционального содержания по-
нятия уравнения, неравенства с переменной и множества их реше-
ний. Так, при чтении графика функции у = у- можно отметить
следующие очевидные факты: 1) множество решений неравенства
“->0 равно 10; + оо [, а неравенства 4-<0 — ] — оо; 01;
2) множество решений неравенства —>—1 равно]—оо; —1[ ]J ]0;оо|;
3) уравнение — = с имеет решение при любом с 0; при с = 0
уравнение не имеет решения.
Рассматривая график функции у =* 2ха, замечаем» что неравен-
ство 2х2 < 0 не имеет решений; неравенство 2х2 > 0 имеет множе-
ство решений:! — оо; 0 [ U 10; + оо [, неравенство 2ха > 0,
i — оо; + оо[. Уравнение 2х2 = с при с > 0 имеет два корня,
при с = 0 — один, а при с < 0 не имеет корней.
Графики функций 2х + 1, у = —х + 4, построенные
в одной системе координат, позволяют «снять с графика» решения
неравенств 2х + 1 > —х +4, 2х + 1 < —х + 4 и видеть, что
функции принимают равные значения при х — 1.
4.3. На основе понятия области определения функции форми-
руется понятие области определения уравнения (неравенства), или,
иначе, области допустимых систем значений переменных — (ОДЗ),
входящих в уравнение (неравенство). Наиболее подходящим местом
для первоначального ознакомления учащихся с понятием об об-
ласти определения уравнения является тема «Дроби» (VII класс),
при изучении которой решаются уравнения с переменными в зна-
менателе. Определение ОДЗ дается после ряда упражнений на на-
хождение областей определения рациональных функций и пересе-
чений областей определений двух или более функций. Само опре-
деление понятия области определения уравнения может быть дано
в. такой форме: областью определения уравнения f-fx) = <р (х) на-
зывается пересечение областей определений функций f (х) и <р(х).
Область определения уравнения иначе называют областью допусти-
мых значений переменной х и коротко *записывают так: ОДЗ.
Для записи ОДЗ применяется теоретико-множественная симво-
лика, например: для уравнения —— = 3 ОДЗ = {xjx=£ 1}, для
уравнения х* + 1 == х ОДЗ = {(х, у) | х #=«/}. В слу-
чае уравнений с двумя и большим числом переменных следует гово-
рить не «область допустимых значений переменных», а «область до-
пустимых систем значений переменных». Важно добиться твердого
усвоения положения: множество решений уравнения является под-
множеством области определения уравнения (ОДЗ) и, следователь-
но, никакие значения переменной (никакие системы значений пе-
256
ременных), ей не принадлежащие, не могут быть решениями урав-
нения. Это положение имеет важное значение в практике решения
уравнений.
При изучении темы «Неравенства» аналогично вводится поня-
тие области определения (ОДЗ) неравенства с переменными. До VII
класса учащимся не приходится встречаться со случаями, когда
после преобразования данного уравнения получается уравнение
с другой областью определения, но они сталкиваются с этим явле-
нием сразу же, как только начинают решать уравнения, содержа-
щие переменные в знаменателях. Например, после тождественного
преобразования левой части уравнения-------1-----—--------—
X X
= 2 (1) с ОДЗ = {х | х ф 0} получается уравнение х + 2 — 2 (2)
С более широкой областью определения: (х |— оо <х< +
То же самое произойдет с ОДЗ, если обе части уравнения (1) ум-
ножить на х: после некоторых тождественных преобразований ле-
вбй части уравнения получим уравнение 1 + ха + 2х — 1 = 2х
$ ОДЗ {х | — оо < х < + со}. В обоих случаях корень полу-
денного уравнения не является корнем уравнения (1). Подобного
;рода примеры являются естественным поводом к введению понятия
^равносильных уравнениях.
: В учебнике [3. 41 понятие о равносильных уравнениях и нера-
венствах вводится только лишь при изучении неравенств. Изучение
Йе уравнений с переменной в знаменателе проходит без использрва-
ашя этого понятия. Да и после его введения ни в учебнике [3.4],
да в учебнике [3.61 вопросы о равносильности уравнений и нера-
Внств не затрагиваются.
Если учесть, что под теорией равносильности уравнений и не-
:Венств мы привыкли представлять громоздкую совокупность тео-
устанавливающих признаки равносильности полученного урав-
ОЙия (неравенства) данному после выполнения таких операций,
прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) выраже-
Цйя с переменными, умножение обеих частей на такое же выражение,
«ведение обеих частей в степень, логарифмирование обеих частей,
полнение над ними тригонометрических операций и т. д., то можно
ласиться с отрицательным отношением авторов учебников по
|гебре к внедрению элементов такой теории в школьный курс ма-
тематики. К тому же развернутое изложение теории равносильности
>авнений (неравенств) и их систем в VI—VIII классах невозможно,
^отрывочные сведения об «основных свойствах» уравнений поло-
Йрния не спасают. Разъяснение же соответствующих теорем лишь
й примерах вызывает не меньшие трудности, чем доказательство
н? в общем виде. Наконец, как бы хорошо мы ни владели теорией
равносильности уравнений (неравенств), самым надежным способом,
-позволяющим предвидеть возможность приобретения или потери
корней в результате каких-бы то ни было преобразований, остается
наблюдение за ОДЗ уравнений (неравенств), получающихся из
данного посредством этих преобразований.
9 7-941
257
Такой функциональный подход к процессу решения уравнений
(неравенств) обеспечивает исчерпывающее выполнение задачи «ре-
шить уравнение» без явного использования многочисленных теорем
теории равносильности уравнений и неравенств.
Это не значит, что при этом отпадает целесообразность ознаком-
ления учащихся с понятием равносильности уравнений и нера-
венств. Учащихся нужно постепенно знакомить со следующими по-
ложениями (то, что будет сказано относительно уравнений, имеет
силу и для неравенств):
1. Если после преобразования уравнения / (х) = <р (х) (3) с об-
ластью определения X получается уравнение /у (х) = qy (х) (4) с об-
ластью определения более широкой, чем Х(Х с. ХД то все
или некоторые корни уравнения (4) могут оказаться посторонними
для уравнения (3), т. е. уравнения (3) и (4) могут быть неравно-
сильными. В данном случае необходима проверка. Ясно, что если
корень уравнения (4) не принадлежит X, то он не является корнем
уравнения (3), но если он принадлежит X, то это еще не значит,
что он корень уравнения (3). Такие случаи часто встречаются при
решении иррациональных и трансцендентных уравнений. Например,
после некоторых преобразований уравнения ]/2х + 5 + У х — 1 =»
= 8 (5) с областью определения X — {х | х > 1} получается урав-
нение хг
— оо
— 372х + 362 — 0 (6) с областью определения Хг = {х| —•
х < + оо}. Оба корня уравнения (6): хг= 10, х2 =
= 362 — принадлежат X, но х2 = 362 не является корнем урав-
нения (5). Это может быть установлено после подстановки х2 в само
уравнение (5).
2. Если область определения уравнения (4) окажется частью об-
ласти определения уравнения (3) (Хг с X), то может произойти
потеря всех или некоторых корней уравнения (3). Так, умножая
обе части уравнения (х— 1) (х + 2) = ха— х с областью опреде-
ления X = {х|— оо<х< + оо} на 1, получим уравнение
-——- = -у—тр с областью определения Xi== {х | х Ф1};
х = 1, будучи корнем первого уравнения, не является корнем
второго.
Таким образом, соотношение Хх с: X (в этом случае говорят,
что произошло сужение области определения исходного уравнения
вследствие его преобразования) является предупреждением о воз-
можности потери корней. Вопрос о том, произойдет ли при этом
потеря корней или нет, не всегда решается просто, возможно потре-
буются основательные исследования. В ряде случаев бывает до-
статочно применения другого способа решения уравнения.
Для примера рассмотрим такое уравнение: 1g х2 = 2, X =
= I — оо, 0 [ U 1 0, + ool. Выполняя тождественное преобразова-
ние левой части уравнения, получим: 2 1g х == 2, Хг = 10, + оо[.
Произошло сужение ОДЗ. Полученное уравнение имеет корень
х = 10. Будем решать уравнение 1g х2 = 2 другим способом: 1g х2 =?
258
>= lg 100, Xi = X; далее, x2 = 100, Xi = ] — oo, + ool, xx =
= —10, x2 = 10. Проверкой убеждаемся, что оба найденных значе-
ния переменной являются корнями исходного уравнения, т. е. при
первом способе решения был потерян корень х — —10.
3. В ряде случаев нахождение области определения уравнения
бывает довольно сложным. Например, чтобы найти ОДЗ для урав-
нения lg iolet*‘~3x-4> — lg (х—2) (7), нужно решить систему
неравенств:
1 х2— Зх — 4>0,
I х — 2>0.
(8)
Однако в этом нет необходимости. В самом деле, решая уравнение
(7), получим уравнение 1g (х2 — Зх — 4) — 1g (х — 2) (9) с ОДЗ,
определяемой той же системой неравенств (8). Дальнейшее решение
приводит к уравнению х2 — Зх — 4 = х — 2(10) с более широкой
ОДЗ: (х|— оо < х < + оо), т. е. возможно появление посторон-
них корней для уравнения (7). Корнями уравнения (10) являются
х2 = 2 — ]/б, х2 = 2 + ]/б. Видим, что хх < 2 и не удовлетворяет
второму неравенству системы (8), следовательно, он не является
корнем уравнения (7); х2 > 2, но нужно еще выяснить, удовлетво-
ряет ли ха первому неравенству системы: (2 4- J/6)2 — 3 (2 4-
+ ]/б) — 4= )/б > 0 — удовлетворяет, значит, х2 принадлежит
ОДЗ для уравнения (7). Теперь проверка по самому уравнению (7)
выполняется уже легко: lg 10lg^6 = 1g ]/б или j/б = ]/б — ра-
венство верное. Запись решения уравнения (7) указанным приемом
можно упорядочить, а именно заменить уравнение (7) смешанной
системой:
( ]g 101й^з*-4) = lg _ 2),
I х2 — Зх — 4>0,
I х —2>0.
Так следует поступать и при решении дробных рациональных урав-
нений, которые рекомендуется решать одним из следующих способов:
1) приведением уравнения к виду Д-у = 0 (1), где f (х) и
g (х) — целые выражения, которые могут иметь общие множители,
содержащие переменную. Не находя предварительно ОДЗ перемен-
ной для уравнения (1), его заменяют системой:
//(х) = 0,
t g(x)=^0.
Найденные корни уравнения / (х) = 0 подвергаются испытанию
с помощью соотношения g (х) =/= 0, в результате чего посторонние
корни уравнения (1) отсеиваются;
9*
259
2) приведением уравнения к виду , которое за-
меняется системой
( f (х) = g (х),
( h (х) 0.
Итак, каким бы ни было по виду уравнение или неравенство
(алгебраическим, трансцендентным), его можно решать по «функ-
циональной схеме»:
1. Определяется ОДЗ переменной.
2. После любого преобразования уравнения (неравенства) уста-
навливается ОДЗ для каждого вновь полученного уравнения (не-
равенства).
Если ОДЗ для полученного уравнения (неравенства) шире ОДЗ
предыдущего, возможно приобретение посторонних решений. Те из
найденных значений переменной, которые не принадлежат ОДЗ ис-
ходного уравнения (неравенства), отбрасываются; те же, которые
принадлежат этой ОДЗ, должны пройти проверку по исходному
уравнению (неравенству), потому что (как это было показано выше)
принадлежность найденного значения переменной ОДЗ не гаран-
тирует, что оно является решением исходного уравнения (неравен-
ства).
Если ОДЗ полученного уравнения (неравенства) более узкое,
чем ОДЗ предыдущего, возможна потеря решений. Если действи-
тельно какое-то решение потеряно, то оно содержится в множестве,
на которое произошло сужение ОДЗ предыдущего уравнения (не-
равенства), это соображение может помочь исчерпывающему реше-
нию уравнения (неравенства).
3. Если ОДЗ вновь полученного уравнения (неравенства) совпа-
дает с ОДЗ предыдущего, то эти уравнения (неравенства) равно-
сильны. Если все уравнения (неравенства), полученные из данного
последовательным их преобразованием, равносильны, то проверка
найденных значений переменной не является логически необходи-
мой, она производится только в порядке контроля вычислений или
по методическим соображениям.
Заметим, что можно допускать различные формы записи ОДЗ,
например: ОДЗ = (х|х>2), или ОДЗ == 1 2, + <х>[, или ОДЗ:
х > 2, или просто даже без символа «ОДЗ» записать рядом с не-
равенством (или с уравнением) х > 2. Не обязательна также во
всех случаях запись ОДЗ. Важно лишь то, чтобы не был пропущен
момент изменения ОДЗ с переходом от одного уравнения (не-
равенства) к другому.
При решении трансцендентных уравнений (неравенств) часто
возникают сложные ситуации: с изменением ОДЗ могут наблюдать-
ся чередования сужения и расширения. Пусть, например, требуется
решить уравнение tg (х + -у) = 2 ctg х (1). Находим: ОДЗя =
== (х|х=у6лп, Xs/s-i-f- ЯП, n£Z).
260
Преобразуем уравнение (1) к виду
= тЬ—>• (2)- ОДЗ,-{х|*^
х=£-^~ + лп, n£Zt.
л* J
ЯП, X =/=-?“ 4“ ЛП«
Как видим, значения х = + лп содержатся в ОДЗХ, но не
содержатся в ОД32 — произошло сужение ОДЗГ на множество
{х | х = -=- + лп}, и если действительно случится потеря корней
уравнения (1), то это произойдет только за счет значений х из этого
множества.
Умножая обе части уравнения (2) на (1—tgx)tgx, получим:
tg2x + tgx =2 — 3tgx -J- tg2x (3); ОД33 = [x|x+ лп, пСz].
ОД33 не совпадает с ОДЗХ; значения х — лп, х = -?- 4- лп, не
принадлежащие ОДЗЪ принадлежат ОД33, и с этой стороны следует
ожидать появление посторонних корней.
Уравнение (3) имеют следующие множества решений: х =
= arctg ~ 4- лп, п G Z. Проверим, не являются ли значения х =
= лп потерянными корнями уравнения (1), т. е. проверим, не
будет ли числовое равенство tg + лп + 4-)=: 2 ctg + лп) —
—:1 (4) верным. Равенство (4) равносильно tg л — 2 ctg ——1,
которое в свою очередь равносильно равенству — 1 = — 1, т. е.
равенство (4) является верным, а это значит, что х = -5- 4-яп—
корни значения (1).
Значения х = arctg -i- 4- лп, п С Z, будучи корнями уравнения
(3), принадлежат ОДЗ! и, следовательно, могут быть корнями
уравнения (1). При указанных значениях х левая часть уравне-
ния (1) принимает значение: tg (arctg-4- 4- лп4- -т") = tg(nn 4-
л -
= 3, а правая часть — значение:
261
» 2 ctg (arctg "о’’} ' I = - j—г- 1 ' 1=3, т. e. зна-
\ ' tg I arctg —) —
чение x = arctg-L-j-пл, n£Z, является корнями уравнения (1).
л 1
Ответ, х = -у + лп, n£Z; х = arctg-£~ + ял, n£Z.
Полезно ознакомить учащихся с геометрической интерпрета-
цией равносильности уравнений. Например, графическое решение
уравнения 2х + 1 = х — 2 состоит в построении прямых
«/=’2х+1и^«=х — 2 и нахождении абсциссы точки Л4 пе-
ресечения прямых. В данном случае это будет точка М (—3; —5).
Исходное уравнение равносильно уравнению х == —3. Если мы пост-
роим прямые по формулам у = х и у = —3, то они пересекутся в точке
Мг (—3; —3), т. е. в точке с той же абциссой, которую имеет точ-
ка Л4. Вообще, если /х (х) = /2 (х) фх (х) = <р2 (х) и графики
функций у = /х (х) у = f2 (х) пересекаются в точках Alx, Л12, Afrt
с абсциссами хх, х2, хп, то графики функций у = <рх (х) и у =
= <р2 (х) пересекаются в точках М'п соответственно с
теми же абсциссами хх, х2, ..., хп. Вопросы методики изучения нера-
венств с переменными рассматриваются аналогично.
4.4. Пусть дано равенство 2х + у — z = х + 1 (или неравен-
ство 2х + у — г < х + 1). Если перед нами стоит задача найти
системы значений не всех, а лишь некоторых переменных, напри-
мер х и у, при которых это равенство (неравенство) будет верным,
то такое равенство (неравенство) называют уравнением (неравен-
ством) с переменными х и у, а переменную z называют параметром.
Так, данному уравнению (неравенству) удовлетворяют следующие
системы значений х и у: х = I, у = z\ х = z, у = 1; х *= 2z,
у — —z +1 и т. д. (х = 1, у < z\ х = z; х = z, у < 1; х = 2z,
у < —z и т. д.). Подразумевается, что параметру z можно при-
дать любое значение, при котором левая и правая части уравнения
(неравенства) задают функции с непустыми областями определения.
Уравнение (неравенство) может содержать более одного параметра.
Чтобы исключить смешение параметров с переменными, параметры
обозначают буквами первой половины латинского алфавита или
буквами другого алфавита. Система значений параметров называет-
ся допустимой, если при этих значениях параметров левая и пра-
вая части уравнения (неравенства) представляют функции с непус-
тыми областями определения. Конечно, область определения са-
мого уравнения (неравенства) может оказаться пустым множеством.
Для примера рассмотрим уравнение
lg (х + а) , 1 _ ах
х—1 а — b— х
с параметрами а и b переменной х.
При а = 3, b = 2 левая часть уравнения задает функцию
1g (* + 3) ,1 л. Зх
—-----------г t-» а правая — функцию —=—, значит, система
262
значений параметров (3; 2) является допустимой. При а = 5, Ъ =*
*= —5 левая часть уравнения задает функцию 16
а правая не определяет никакой функции, значит (5, —5) —•
недопустимая система значений параметров. Теперь легко заметить,
что допустимые системы значений а и b — те их значения, которые
удовлетворяют неравенству а Ф —Ь. Символически множество до-
пустимых систем значений параметров (ОДЗ^)) может быть пред-
ставлено в виде
ОДЗ(^) = {(а, Ь) | а Ф — Ь}.
Числовые значения переменной х, или значения ее, выраженные
через параметры, будут допустимыми, если при этих значениях
переменной функции, представляющие части уравнения, не те-
ряют смысла. В нашем примере это будут такие значения х, которые
удовлетворяют неравенствам х =/= 1, х =/= а—Ь, т. е. ОДЗ* =
= {х | х 1, х Ф а— Ь}.
Примеры. 1. Решить уравнение
х-}- а , х — а _ а
а — х ах а2 — ха ’
ОДЗд = {л|1— оо<а<4-оо} ((1) — номер уравнения)
ОД311* = {х | х ф ± с}.
Выполняем преобразование уравнения (1):
(х 4- а)а - (х - а)а = а (2), ОДЗ® = ОДЗ®,
ОДЗ?’ — (х|— оо <х< + оо),
видим, что ОДЗ® с ОДЗ® — следует ожидать появления посто-
ронних корней. Уравнение (2) преобразуем к виду 4ах = а (3).
ОДЗ® = ОДЗ®, ОДЗ® = ОДЗ®.
1) Если а =т^0, то уравнение (3) имеет корень х = Учитывая,
что при х = ±а уравнение (1) теряет смысл, заключаем, что при
а = ± -4- значение * = -----посторонний корень уравнения (1).
При всех остальных значениях о =/= 0 корень х = уравнения (3)
—+ а —---а
удовлетворяет уравнению (1):-----?—|-------1— = ——. /после
а — — а -4- —— а2-----\
4 ^4 16
преобразований частей равенства получаем верное равенство . =
= . если только а ± -|-1. Итак, при а =/= 0, a урав-
нение (1) имеет единственный корень х = -г-.
263
%) -Если а — 0, то уравнение (3) удовлетворяется тождественно.
Однако х = 0 не может быть корнем уравнения (1), так как в
этом .случае х — а, что недопустимо.
Все остальные корни уравнения (3) будут корнями уравнения
(1), что легко проверяется при подстановке а = 0 в уравнение (1):
—г + y = —верное равенство при всех значениях х =/= 0.
Ответ. При а =/= 0, ± Л- уравнение имеет единственное реше-
ние х = 4-:
при а = ±-т- уравнение решении не имеет;
при а = 0 уравнение имеет бесконечное множество решений.
2. Решить неравенство logx-i а > 2, где а > 1. ОДЗа нам за-
дана, найдем ОДЗХ. Область определения неравенства совпадает
с областью определения функции logx_] а : х > 1, х Ф 2. Однако
в качестве ОДЗХ можно взять более узкую область: замечаем, что
при тех значениях х, при которых основание логарифма (х— 1) со-
держится в промежутке] 0,11, т. е. при 1 < х •< 2, функция log*_| а
принимает отрицательные значения (а > 1), и они не могут быть
решениями неравенства (1). Поэтому принимаем: ОДЗ* = {х | х> 2}.
Преобразование левой части неравенства приводит к неравенству
logafjc —1) -> 2 <2)» х>2.
Так, при x>21oga(x—1)>0, то из неравенства (2) получаем:
1 >2logo(х—1), а затем loga(x — 1)<4- (3), а>1, х>2. Заме-
1
ним неравенство (3) неравенством 1о&(х— l)<logda2 и, учитывая,
что а> 1, заключаем, что функция loga(x— 1) возрастающая, зна-
чит, имеет место соотношение х—(4), а>19 —оо<л<
< + оо. Видим, что ОДЗх} шире ОДЗ?\ — возможно появление
посторонних решений.
Решаем неравенство (4): (5), а>1, —оо<х<
<+оо. Множество решений неравенства (4): ]—оо; 14- ]/а[.
Часть этого промежутка, а именно ] — оо, 21, не включается в
ОДЗ£\ и, следовательно, значения х из этого промежутка являются
посторонними решениями для неравенства (1). Другая же часть,
12, 4- оо I, включается в ОДЗ(Л Выберем произвольное значение
из этого промежутка, т. е. 2 < 1 + Так как хх есть
решение неравенства (5), то2<х1< 1 4-1/Гя— верное числовое
неравенство, но тогда по свойствам, числовых неравенств и свой-
ствам логарифмов будут верными следующие неравенства: Xt —
— 1 <о“, loge (хх— 1) < у, ’ logx,-l 0>2’Т' е-
264
Wi—решение неравенства (1). Ответ. ] 2, + оо[. Обобщая
изложенное относительно уравнений и неравенств с параметрами,
можно отметить, что в практике их решения полезно руководство-
ваться следующими положениями:
1) Находится множество допустимых значений параметров.
2) Область определения уравнения (неравенства) находится как
множество таких систем значений переменных (числовых значений,
выраженных через параметры и числа), при которых функции, пред-
ставляющие левую и правую части уравнений (неравенств), не те-
ряют смысла.
3) Само решение уравнений (неравенств) может осуществляться
по «функциональной схеме», изложенной в 4.3.
Так как проверка решений параметрических уравнений (нера-
венств) обычно бывает громоздкой и требует большого времени, то
в ряде случаев по усмотрению учителя она может ограничиваться
проверкой по ОДЗ исходного уравнения (неравенства). При реше-
нии уравнений (неравенств) всегда имеют место элементы исследо-
вания. К исследованию уравнений (неравенств) относят выяснения
вопросов об области определения уравнения (неравенства), о мно-
жестве допустимых значений параметров, о множестве решений
уравнения (неравенства) при каждой допустимой системе значений
параметров, о возможности потери решений и приобретении посто-
ронних решений. Если уравнение (неравенство) получилось при
решении текстовой задачи или при указании дополнительных ус-
ловий, то можно: 1) решить уравнение (неравенство) без учета ус-
ловий задачи или дополнительных условий и из полученных реше-
ний выбрать те, которые удовлетворяют указанным условиям; 2) оп-
ределить ОДЗ (для переменных и параметров) с учетом указанных
условий. Последовательное проведение функциональной точки зре-
ния на уравнение (неравенство) позволяет включать элементы ис-
следования на любом уровне изучения уравнений (неравенств).
Так выше приводился пример задачи на составление уравнения
9п = 200, где п — количество учебников, 9 (коп) •— цена учебника,
200 коп. — 2 руб.— предполагаемая стоимость и учебников, и вы-
яснялось, может ли переменная п принимать дробные, отрицатель-
ные значения, имеет ли данное уравнение решение.
Уже в V классе полезны упражнения, выполнение которых долж-
но сопровождаться простейшими исследованиями, например: «Если
число лет дочери увеличить в 5 раз и к полученному произведению
прибавить 16, то получится столько, сколько лет было отцу 4 года
назад. Сколько лет теперь отцу, если дочери k лет? Решите задачу
с помощью уравнения и найдите число лет отца при k = 1, 2, 3,
4, 5».
«Решить относительно х уравнение — 7р + Зх = х + р + 4».
После получения формулы решения х = 4р + 2 можно предложить
учащимся задать такое значение р, при котором корень уравнения
будет: а) отрицательным; б) равным 0; в) равным заданному числу
и т. д. В VI классе допустимы упражнения, требующие довольно
265
глубоких исследований, например: «Может ли уравнение х4 —
__25х3 4- 13ха — 20х.+ 1=0 иметь отрицательные корни?»,
«Имеет ли корни уравнение: в) х4 4- 5х2 = —4; г)7х4-6 = 7(х +
1Ш
4-1)?» Полезны и упражнения, рассчитанные на подготовку уча-
щихся к исследованию уравнений и неравенств, содержащих пара-
метры: «В уравнении у = ах2 <— 4 подберите коэффициент а так,
чтобы график уравнения проходил через точку Р (1; — 3). В таких
точках этот график пересечет ось х; ось у?» «При каких значениях р
имеет решение система:
' 5х — ру = 0,
2x4- У = 15,
ч х — 4у = — 6?»
В VII классе необходимо показать, как решаются квадратные
уравнения с параметрами. Вполне возможно и выполнение упраж-
нений типа: решить неравенства: (а — 1) х
а — b b — а'
(У а2 — а) х < 2. При каких значениях а неравенство ах2 < а не
имеет решений? удовлетворяется любыми значениями х?
Полезно ознакомить учащихся с исследованием уравнений с двумя
параметрами. Это можно сделать хотя бы на примере уравнения
* — т х — п
—-— = — аналогично показаному выше исследованию уравнения
х-рд . х — а_______а
а — х ' a-j- х а2 — х2 ‘
После общего решения уравнения (неравенства) с параметрами иног-
да полезно решить его при конкретно заданной системе значений
параметров и сопоставить полученный результат с результатами
общего исследования.
Параметрические уравнения и неравенства могут служить эф-
фективным средством активизации мыслительной деятельности и
развития исследовательских способностей, поэтому в VIII—X клас-
сах им должно уделяться серьезное внимание. Но не следует думать,
что, чем сложнее, «каверзнее» упражнение, тем оно полезнее для
развития мышления.
Например, в VIII классе можно ограничиться упражнениями
такой сложности: решить уравнения и неравенства: Vх— а<2,
I з
2“ = 25, (х-|-п)2 -(х4-п)2 =16, log2(х4-с)4-logs,х = 4.
$ 5. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
5.1. Роль и место систем уравнений и неравенств в школьной
математике.
5.2. Введение понятия системы уравнений.
5.3. Решение систем уравнений и неравенств.
266
5.1. По сравнению ^уравнениями и неравенствами с одной пере-
менной их системы часто оказываются более удобным аппаратом как
в самой математике, так и в ее приложениях. Можно указать много
задач, решение которых с помощью уравнений (неравенств) с одной
переменной требует большего труда (а иногда и искусства), чем ре-
шение с помощью системы уравнений (неравенств) с несколькими
переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи
без особого умственного напряжения может быть сведено к решению
одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать ее с по-
мощью системы уравнений. Кстати заметим, что этот психологиче-
ский фактор позволяет выявлять некоторые признаки математиче-
ских способностей учащихся: те из них, которые способны мыслить
свернутыми структурами, даже трудные задачи легко сводят к ре-
шению уравнения с одной переменной.
Системы уравнений (неравенств) решаются на протяжении всего
курса математики, начиная с VI—VII классов. Они находят при-
менение при изучении новых математических операций, функций
и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Таким
образом, решение систем уравнений (неравенств) является важным
средством закрепления, углубления и развития теоретических зна-
ний. Графическое решение систем уравнений (неравенств) раскры-
вает значение методов аналитической геометрии, а также связь
между числом, геометрической фигурой и переменной. Знания уча-
щихся о системах уравнений и неравенств систематизируются и рас-
ширяются в теме, завершающей курс алгебры и начал анализа X
класса.
5.2. Начальные сведения о системах уравнений даются в послед-
ней теме курса алгебры VI класса — «Уравнения и системы урав-
нений».
Традиционная методика предлагала начинать ознакомление уча-
щихся с понятием системы уравнений с решения, например, такой
задачи: «Сумма двух чисел равна 13, а их разность 2. Найти эти
числа». Ясно, что поставлена задача найти пару чисел х и у таких,
чтобы их сумма равнялась 13 : х + у = 13, а разность равнялась
бы 2 : х— у = 2. Очевидно, искомая пара чисел, если она суще-
ствует, есть общее решение этих двух уравнений. После отыскания
такой пары чисел (по соображению) отмечается, что задача решена
с помощью двух уравнений с двумя переменными, причем по смыслу
условий и требования задачи нужно было найти общее решение
этих уравнений. Этот путь нагляден, прост и убедителен, но нередко
приводит учащихся к превратным представлениям о роли уравне-
ний с двумя и более переменными. Когда учащимся предлагается
решить уравнение f (х, у) == 0, они нередко ощущают определенную
неловкость, считая, что поскольку переменных две, то и уравнений
должно быть ровно два.
Такой неловкости не будет, если рассматривать изучаемый раз-
дел курса алгебры с более общих позиций, что, конечно, потребует
и. большего напряжения мысли учащихся, и большего мастерства
267
’Учителя. Идея общего подхода (она, кстати, реализована в учебном
Пособий [3. 21) заключается в следующем. Сначала рассматриваются
конкретные примеры уравнений с двумя переменными. На этих
примерах учащиеся убеждаются, что множества решений таких
уравнений могут оказаться пустыми, конечными или бесконечными.
Естественно возникает задача о методах отыскания таких множеств,
столь же естественно вводится в рассмотрение графиков уравнений
f (х, у) = 0 (иногда такие графики могут оказаться графиками соот-
ветствий, не являющихся функциями). Затем общая задача сужается
до рассмотрения (вновь на конкретных примерах!) линейных урав-
нений. Только после этого вводится понятие системы уравнений
с двумя переменными и ставится вопрос об ее графическом решении,
т. е. о пересечении (в теоретико-множественном и буквальном
смысле) соответствующих множеств (линий). Лишь на этой
базе строится теория и практика решения систем линейных
уравнений.
Столь общий подход к довольно узкому случаю очень любопы-
тен с дидактической точки зрения. По существу здесь имеется син-
тез конкретно-индуктивного и абстрактно-дедуктивного методов
обучения. С одной стороны, строится характерная для дедукции
схема перехода от общего к частному. В то же время схема эта на-
сыщена совершенно конкретными примерами, иллюстрациями, вы-
воды делаются на основе частных, иногда однократных наблюде-
ний, что характерно для индукции. Такой синтез двух методов,
в

ще говоря, очень полезен и, как правило, ведет к успешному
усвоению учащимися нового материала.
При любом — традиционном или современном — подходе к вве-
дению систем уравнений дальнейшая работа несложна и сводится
к изучению способов сложения и подстановки, решению текстовых
задач составлением систем уравнений и (в восьмилетней школе
в небольшой степени), анализу геометрического смысла систем урав-
нений.
5.3. Сделаем несколько частных замечаний о решении систем
уравнений и неравенств.
При объяснении преобразований системы уравнений полезно
ввести соглашения об операциях сложения и вычитания уравнений
(как это сделано в учебнике алгебры А. Н. Барсукова для VI—VIII
классов): «Если имеем два уравнения А = В и С — D, то уравнение
А С — В + D обычно называют суммой, а уравнение А — С =
— В — D— разностью данных уравнений». При допущении такой
условности можно говорить об умножении уравнения на число:
Аа = Ва. Такие соглашения сделают менее громоздкими объяс-
нения выполняемых преобразований систем уравнений.
При решении систем уравнений нельзя ослаблять требований
к оформлению записи, в противном случае учащиеся начинают
вести записи небрежно и неправильно. Например, после преобразо-
вания системы уравнений + У в системУ =t/—* 2
268
учащиеся теряют саму систему и производят вычисления: Зх= 11,
н 11 , о 5
* — з ’ з У У —3- •
Привычка к такому оформлению записи в дальнейшем, при
решении более сложных систем, часто ведет к ошибкам, обнаружить
которые не удается вследствие беспорядочной записи. Надо требо-
вать нумеровать системы. Учащиеся склонны записывать вновь
получаемую систему после каждого преобразования данной, на что
теряется много времени. Следует постепенно приучать выполнять
более экономные записи. Например, пусть требуется решить си-
стему уравнений:
х 4- 2у — 3z = О,
Зх 4- 4у -|- 5z — 2,
5х 4- Ъу 4- lz == 3.
(1)
Рассуждения и записи: удобно исключить переменную у из вто-
рого и третьего уравнений системы. Прибавляя ко второму уравне-
нию первое, умноженное на —2, а затем к третьему сумму первых
двух, умноженную на •—1, получим систему:
х 4- 2у — 3z = О,
х 4- Hz = 2,
, х 4- 5z = 1.
(2)
Решим систему двух уравнений с переменными х и г. Сначала
вычтем из второго уравнения системы (2) третье:
(3)
Подставив во второе уравнение системы (3) полученное из nep-
ч. 1
вого уравнения этой системы значение г — , получим систему:
1
(4)
Таким образом, из системы (2) получается система:
х 4- 2у — 3z = О,
(5)
269
Подставляя в первое уравнение системы (5) найденные значения
1 3
X и г, получаем: -g- + 2у---= 0; окончательно:
у=4-’ <б>
Проверка выполняется подстановкой полученных значений пе-
ременных в систему (1), ответ записывается или в виде системы ра-
венств х — -g-, у = -g-, z = -g-, или так: (-g-, -g-, —). В контрольных
работах решение систем выполняется с записью объяснений, если
нет других указаний учителя.
В средней школе нет возможности детально развернуть теорию
равносильности систем уравнений, поэтому и здесь, как и при изу-
чении уравнений, вопрос о возможной потере решений или о воз-
можном приобретении посторонних решений вследствие преобразо-
ваний систем следует решать посредством наблюдения за измене-
нием ОДЗ систем значений переменных в процессе преобразования
системы. Поэтому с переходом к решению систем нелинейных урав-
нений (неравенств с двумя переменными) следует ввести определе-
ние: множество систем (пар) значений переменных уравнения (не-
равенства), при которых части уравнений (неравенства) не теряют
смысла, называется областью допустимых систем (пар) значений пе-
ременных (ОДЗ).
ОДЗ для системы определяется как пересечение ОДЗ для всех
уравнений (неравенств) системы.
Затем надо показать примеры изменения ОДЗ в процессе реше-
ния системы.
В решении систем неравенств следует отчетливо видеть два не-
равнозначных по содержанию и уровню трудности этапа. Первый —•
решение систем неравенств с одной переменной — в принципе очень
прост. Неравенство с одной переменной, вообще говоря, задает на
прямой числовой промежуток. Упражнения на решение таких не-
равенств имеются уже в курсе математики IV класса. Поэтому в
VII классе учащиеся без особого труда усваивают смысл задачи
о решении системы неравенств — надо решить не одно, а несколько
неравенств (это мы умеем делать!), а потом найти пересечение по-
лученных множеств решений. Таким образом, речь идет об упраж-
нениях теоретико-множественного характера, задача учителя сво-
дится к организации повторения необходимых вопросов из курса
математики IV—V классов и курса алгебры VI класса и объясне-
нию смысла обобщающей задачи.
Совершенно иное дело — системы неравенств с двумя перемен-
ными. Решением одного неравенства с двумя переменными назы-
вается, как известно, пара значений переменных, обращающая
270
его в верное неравенство. Иначе говоря, множество решений не-
равенства с двумя переменными есть подмножество /?а, т. е. геомет-
рически — двумерная область. Этот факт для учащихся (VIII класс)
достаточно нов, у них фактически нет основательной базы для его
усвоения. Но уже через два-три урока вводится понятие системы
неравенств с двумя переменными, т. е. отыскивается пересечение
двух или нескольких довольно сложно организованных множеств
(геометрически — двумерных областей). Очевидно, учитель дол-
жен на первых порах ограничиться очень скромным уровнем тре-
бований и простейшими примерами, имея в виду, что более обстоя-
тельное изучение вопроса с соответствующими примерами будет
выполнено в X классе, где этот вопрос будет подготовительным
для ознакомления с идеями, лежащими в основе линейного програм-
мирования.
$ 6. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
6.1. О пропедевтике составления уравнений.
6.2. Содержание и методика подготовительной работы к состав-
лению уравнений по условиям задач.
6.3. Решение задачи и его проверка.
6.1. Для решения задачи методом уравнений необходимо:
1) провести разбор задачи с целью выбора основного неизвест-
ного и выявления зависимости между величинами, а также выра-
жения этих зависимостей на математическом языке в форме двух
алгебраических выражений (одно из них может быть уже заданным);
2) найти основание для соединения этих выражений знаком «=»
и составить уравнение;
3) найти решения полученного уравнения; выяснить, нет ли
среди них решений, посторонних для задачи; установить, исчерпы-
вают ли решения уравнения все решения задачи.
Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой.
Например, о поисках основания для соединения двух алгебраичес-
ких выражений знаком равенства здесь говорится как об особом
этапе, но ведь ясно, что на предыдущем этапе указанные выраже-
ния образуются не произвольно, а с учетом возможности соединить
их знаком «=». В силу нераздельности анализа и синтеза как ме-
тодов исследования иначе и быть не может. Поэтому распростра-
ненному выражению «анализ задачи» мы предпочтем выражение
«разбор задачи».
Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод
этих зависимостей на математический язык требует напряженной
аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой
деятельности зависит, в частности, от того, знают ли учащиеся,
в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и по-
нимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отно-
шений, выраженных терминами «позже на ...», «старше в ... раз»
271
и т. п.). Палее требуется понимание, каким именно математическим
действием или свойством действия или какой связью (зависимостью)
между компонентами и результатом действия и т. д. может быть опи-
сано то или иное конкретное отношение. При этом учащиеся часто
обнаруживают формализм в знаниях — поверхностное, бессодер-
жательное усвоение математической теории и неумение отыскать
математические отношения в реальных ситуациях. На конкретном
примере покажем, в какой форме может проводиться работа по
устранению отмеченного недостатка, чтобы в следующем пункте
иметь повод рассматривать содержание и методику подготови-
тельной работы к обучению учащихся решать задачи методом
уравнений.
Допустим, что при изучении действия сложения в IV классе
дети повторяют одно из ранее известных применений этого дей-
ствия — применение для увеличения данного числа на несколько
единиц. Очевидно, необходимо проверить, не утрачены ли учащи-
мися содержательное понимание этого положения и навыки в его
приложениях, приобретенные в начальных классах. Этой цели бу-
дет служить, например, такая система упражнений:
1. а) Сереже т лет. Миша старше Сережи на п лет. Сколько
лет Мише? ((т 4- п) лет.) б) Расстояние между пунктами А и В
больше расстояния между пунктами С и D на х м. Выразить в мет-
рах расстояние между А и В, если расстояние между Си D равно
у км. ((1000г/ 4- х)м.) в) Дыня весит а кг, арбуз тяжелее дыни на 1 кг,
а тыква тяжелее арбуза на 2 кг. Сколько весит тыква? ((а + 3) кг.)
2. Сравните а и Ь, с и d, если: а) а = b 4- 3 (а больше Ь на 3);
б) Ь = а 4- х (Ь больше а на х); в) с = d 4- я, где с возраст отца,
ad — возраст его сына. (Отец старше сына на п лет.)
3. Составить равенства по условиям: а) х больше у на а(х —
= У + а); б) значение выражения 2х 4- 1 больше значения выра-
жения х — 4 на 17 (2х 4-1 = (х— 4) 4- 17).
4. Составить задачу.по уравнению х 4- 1 =4 4-2. (Например,
если длину комнаты увеличить на 1 м, то она будет на 2 м больше
ширины комнаты. Найти длину комнаты, если ее ширина 4 м.)
В зависимости от обстоятельств число упражнений и степень ик
трудности могут быть изменены. Одни из них могут предлагаться
в форме диктантов, другие — в виде устных, упражнений и т. д.
Важно отметить, что при выполнении таких упражнений у учащих-
ся расширяются представления о многообразии способов словесного
выражения изменения величин «на столько-то» в зависимости от
природы величин (выше, дороже, тяжелее, длиннее, старше на...
и т. п.), вырабатываются умения обнаруживать указанную форму
изменения величин в различных ситуациях, выражать ее на мате-
матическом языке, а также интерпретировать математическое вы-
ражение такого изменения разнообразными реальными прообраза-
ми. Теперь, в какой бы форме в условии задачи ни была отражена
указанная зависимость между значениями какой-то величины, к
выявлению этой зависимости учащиеся подойдут со сложившимся
272
‘кадыком не только выявления, но и фиксирования ее в виде алгеб-
раического выражения или даже в виде искомого уравнения.
6.2. Рассмотрим подробнее методику формирования умений и
навыков выполнения каждого из указанных выше этапов решения
задач с помощью уравнений.
Разбор задач.
В начальных классах детей учат разбору задач с широким при-
влечением средств наглядности. В учебнике I класса условия мно-
гих задач излагаются в предметной форме с помощью картинок.
Постепенно осуществляется переход к изложению условий задач
с помощью таблиц, графиков, в форме краткой записи, например
а)
Цена одного предмета Число предметов Стоимость
8 руб. 3 руб. 4 X руб.
в) Было — хм,
отрезали — по 8 м
2 раза,
осталось — 7 м
Все такие формы записи будем называть схемами задач. Навыки
в составлении схем задач по их условиям, а также в составлении
задач по готовым схемам должны закрепляться и развиваться в
продолжение всего курса математики. Какую роль играют схемы
в обучении решать задачи? Разбор сложной и трудной задачи воз-
можен лишь при достаточно высоком уровне развития аналитико-
синтетического мышления. Умение пользоваться анализом и син-
тезом должно развиваться с применения этих методов исследования
в простейших жизненных ситуациях. Чтобы ученик мог осознать,
насколько удачно он применяет эти методы в конкретных условиях,
ему нужно «обозреть» весь процесс исследования. Схема задачи
как раз и представляет обозримую модель результатов мыслитель-
ной работы, на которой просматриваются в единстве и взаимосвязи
составные части задачи.
Варьирование схем одной и той же задачи помогает ученику по-
нять, что возможны различные пути движения мысли —» более
или менее сложные — к общему результату.
273
Составлять схему задачи тогда, когда учащиеся могут обойтись
и без нее, конечно, не следует. Значение схем в том и заключается,
чтобы подготовить учащихся к логическому выполнению анализа
задачи без наглядной основы.
Изучение содержания текста задачи с целью выявления вели-
чин и функциональных зависимостей между ними является необ-
ходимым моментом при решении задач любым способом: арифмети-
ческим, геометрическим, алгебраическим. Для задач, решаемых
методом уравнений, следующий шаг — выбор неизвестной. В боль-
шинстве случаев при выборе неизвестной достаточно руководство-
ваться вопросом задачи. Умение делать удачный выбор неизвестной
прививается в ходе решения задач. Учитель приводит примеры наи-
более рационального выбора неизвестной, а иногда просто указы-
вает на возможность такого выбора.
Для примера рассмотрим задачу, при решении которой становит-
ся особенно ясным, что при выборе основной неизвестной не всегда
полезно руководствоваться вопросОхМ задачи.
Задача. Найти три числа так, чтобы наибольшее превосхо-
дило среднее на одну треть наименьшего: среднее было больше наи-
меньшего на одну треть наибольшего; наименьшее — на 10 больше
одной трети среднего.
Если, следуя требованию задачи, обозначить одно из чисел че-
рез х, а остальные выразить через него (или построить систему с
тремя переменными), то получится обычное уравнение, ход состав-
ления и решения которого будут несколько громоздкими. Но если
положить, что меньшее равно х + 10, тогда среднее окажется рав-
ным Зх. Так как среднее равно меньшему плюс одна треть боль-
шего, то одна треть большего равна среднему без меньшего, т. е.
2х—10. Отсюда большее есть 6х—30. Но большее равняется
среднему плюс треть меньшего, иначе говоря, треть меньшего равна
большему без среднего, или Зх—30. Значит, меньшее равно
9х— 90, откуда получаем уравнение х + 10 = 9х— 90. Решение
его дает х = 12,5, значит, искомые числа суть 22,5, 37,5 и 45.
Это изящное решение, как и сама задача, принадлежит Диофанту
и, наверное, в школе может быть предложено лишь для кружка.
Но мы хотим подчеркнуть, что рациональный выбор переменной
часто требует находчивости, сообразительности, т. е. этот этап ре-
шения задачи может играть определенную положительную роль в
воспитании учащихся.
Тем не менее на первых порах обучения составлению уравнений
по текстовым задачам выбор неизвестной определяется вопросом
или требованием задачи.
Приведем пример разбора задачи под руководством учителя в IV
классе (задача № 1106 из [3.107]).
3 а д а ч а. В двух коробках 12,8 кг чая. Если из первой коробки
переложить во вторую 0,4 кг чая, то чая в обеих коробках будет
поровну. Сколько чая в каждой коробке?
Посмотрим сначала, не удастся ли ответить на вопрос задачи,
274
составив какое-то числовое выражение... Если бы чая было поров-
ну, то задачу можно было бы решить, разделив 12,8 на 2. Но, судя
по условиям, в одной из коробок чая было больше, а в другой меньше,
значит, этот простой способ, наверное, неприемлем. Попробуем
подойти иначе. Нас спрашивают о количестве чая в каждой из ко-
робок. Значит, количество чая в одной из них можно обозначить
буквой х. В какой именно? Можно в первой, а можно во второй,
это мы выбираем сами. Пусть будет в первой. Итак, «пусть х кг —
количество чая в первой коробке». Эту фразу надо записать... Нуж-
но ли нам знать количество чая во второй коробке? Да, так как в
этом заключается вопрос задачи. Как это установить?.. Мы уже
знаем, что в первой коробке х кг чая, а в двух коробках 12,8 кг...
Правильно, на этот вопрос можно ответить с помощью операции вы-
читания, так как нам известна сумма и одно из слагаемых. Запишем
в тетрадях и на доске: «Тогда (12,8 — х) — количество чая во вто-
рой коробке». Обратимся теперь ко второй фразе условия задачи.
Повторим ее... В этом предложении содержится несколько фактов.
Попытаемся разделить его на части... Первая — возьмем из первой
коробки 0,4 кг чая. Вторая — положим во вторую коробку эти
0,4 кг. Третья — теперь в обеих коробках поровну. Запишем все
эти три факта на языке выражений. Повторим первый... Как это
записать?.. «В первой коробке стало (х— 0,4 ) кг чая». Повторим
и кратко запишем вторую фразу... «Во второй стало ((12,8— х) +
4- 0,4) кг чая». А как записать третью фразу? Правильно, так как
в условии сказано, что теперь в обеих коробках стало поровну,
то можем записать словами: «Эти количества равны» и в виде урав-
нения: «Следовательно,
х — 0,4 = (12,8 — х) + 0,4».
При самостоятельном выполнении разбора какой-либо задачи
выражения, получаемые учащимися, записываются на доске.
При разборе более трудных задач используются и другие схемы
задач (табличные, графические), а также предварительные упраж-
нения на раскрытие содержания наиболее сложных зависимостей,
встречающихся в таких задачах.
Хороший эффект дает разбор задач по готовым их схемам, а так-
же самостоятельное составление задач. Самостоятельно создавая
«заданные ситуации», учащиеся с повышенным интересом проводят
разбор готовых задач.
Остановимся особо на вопросе о составлении аналитических вы-
ражений в ходе разбора задач.
В связи с введением элементов алгебры в курс начальной мате-
матики навыки в составлении алгебраических выражений по за-
данным условиям начинают прививаться уже в начальных классах.
Появились работы по вопросу о подготовке учащихся начальных
классов к составлению уравнений, и в частности к составлению
алгебраических выражений по условиям задач. Заслуживает вни-
мания система подготовки учащихся к составлению алгебраических
275
выражений/ описанная Я. Я. Менцисом в статье «О подготовке
учащихся к составлению уравнений» («Математика в школе», 1973,
№ 2, с. 37).
Предлагаемые Я. Я- Менцисом приемы могут систематически
применяться и в последующие годы обучения в соответствии с со-
держанием изучаемого материала. Большинство этих приемов не
новы для нашей школы, но используются они недостаточно активно.
Мы имеем в виду такие виды упражнений, как:
1) чтение математических выражений, например: а (Ь + с) —*
произведение переменной а на сумму переменных b и с, — ап —•
произведение минус единицы на энную степень переменной а;
У —4— •— корень квадратный из частного от деления суммы
квадрата переменной а и куба переменной b на пять и т. д.;
2) символическая запись словесно сформулированных зависи-
мостей, например: в январе завод выпустил а тракторов, а в феврале
на b тракторов больше, т. е. ... тракторов, а всего за два месяца...
тракторов; длина одного из катетов прямоугольного треугольника
в два раза меньше длины другого катета, равной I, значит, длина
гипотенузы может быть представлена выражением ...; велосипедист
за t часов проехал $ километров, а длина всего маршрута п кило-
метров, записать скорость велосипедиста, длину оставшейся части
маршрута, время на весь маршрут и на оставшуюся его часть и т. д.
Менее знакомы учителям следующие виды весьма эффективных
упражнений:
1) упражнения конструктивного характера, например: вместо
♦ поставить знаки действия, чтобы: а) выражение а ♦ Ь * с имело
значения 74, 70, 4 при а = 12, b = 6, с = 2; б) выражение sin х ♦
л Vai" I" 1
♦ cos х при х .== имело значение -—; в выражении а— Ь :
: 2 + £ расставить скобки так, чтобы при а == 56, Ь = 24, с = 6
оно имело значения 50, 53 и т, п.;
2) выяснение смысла данных выражений по заданным условиям,
например: а и b — стороны треугольника, образующие угол се.
Какой смысл имеют выражения a sin а, а • cos а, -i- a b sin? и т. п.
Еще в начальных классах составлению уравнения уделяется
большое внимание. На основе опыта выявлены некоторые психоло-
гические затруднения детей в составлении уравнений1. Эти психо-
логические факторы необходимо учитывать и в более старших клас-
сах, особенно в IV и V, и мы на них остановимся. Если выражение
«Уплатили столько же» взрослые воспринимают как краткое вы-
ражение равенства стоимостей, то дети при отсутствии термина
«равно» не сразу начинают понимать, что здесь дается указание на
возможность соединить знаком равенства алгебраические выражения,
1 См.: Шамсутдинова Г. С. Составление уравнения по условию за-
дачи.—«Начальная школа», 1971, №3.
276
представляющие стоимости двух покупок. Поэтому рекомен-
дуется выполнять упражнения по перефразировке подобного рода
выражений, входящих в условия задач. Например, выражения
«уплатили столько же», «пройдено такое же расстояние» заменяют
соответственно выражениями «стоимость первой покупки равна
стоимости второй покупки», «расстояние, пройденное ..., равно рас-
стоянию, пройденному...» и т. п.
i В IV и V классах учащиеся испытывают аналогичные затрудне-
ния при составлении уравнений, когда связь между значениями
некоторой величины выражается словами «больше (выше, дороже,
тяжелее и т. п.) на ...», «меньше (ниже, дешевле, легче и т. п.)
на ...», «больше (меньше) в ... раз». Поэтому и здесь полезно спе-
циально заниматься перестройкой текстов задач, с тем чтобы в ус-
ловиях задач явно фигурировал термин «равно». Например, при
рассмотрении задачи: «Брат старше сестры на 7 лет. Сколько лет
сестре, если брату 81 год?» — могут быть проведены такие рассуж-
дения: вместо «Брат старше сестры на 7 лет» можно сказать: «Воз-
раст сестры, увеличенный на 7 лет, будет равен возрасту брата».
Но «Брат старше сестры на 7 лет» означает также, что «Сестра мо-
ложе брата на 7 лет», иначе говоря, «Возраст брата, уменьшенный
на 7 лет, будет равен возрасту сестры». Можно рассуждать еще и
так: если «Брат старше сестры на 7 лет», то значит «Разность между
возрастами брата и сестры равна 7 годам». В соответствии с этими
рассуждениями получаем три уравнения: х + 7 = 81, 81 — 7 = х,
81 — х = 7.
Один из видов упражнений предназначается для формирования
навыков выражения в словесной форме смысла равенств, заданных
либо без дополнительных условий, либо при дополнительных ус-
ловиях. Например, если учащиеся ознакомились с правилом на-
хождения делимого при делении с остатком, то можно предложить
выяснить возможные соотношения между числами a, fe, 5, 3 на
основе равенства а = 5Ь + 3 (а делится на 5 с остатком 3; а делится
на & с остатком 3; а больше 5Ь на 3; разность чисел а и 3 делится
на бит. п.). После изучения свойств трапеции и формулы площади
трапеции уместно выполнить упражнение: at b, h — основания и
высота трапеции. Что выражают равенства: с = • Л =
= $, а — Ь = 2, а = b + Л? Другой вид упражнений — составле-
ние равенств самими учащимися по указанным соотношениям между
значениями величин. Например, записать в виде равенства соот-
ношения: а) расстояние между точками А и В в два раза больше
длины ломаной CDE (-i-
3 /2
меньше —г числа b на с 1-я-
4 \ 3
| ЛВ] = [CD| 4-|D£|); б) числа а
а -|-с = 6); в) площадь круга радиуса
г см составляет третью часть площади квадрата, имеющего пери-
метр х см 13лга =
277
в.З. Рассматривая вопрос о разборе задачи, мы приводили при-
мер описания появления алгебраических выражений в результате
разбора задачи. Эта часть работы является, безусловно, наиболее
ответственной и трудной, и учащиеся обычно не без основания счи-
тают, что главное — составить уравнение. Однако это не все, необ-
ходимо его решить и проанализировать результаты проделанного.
Приведем пример оформления записи разбора задачи, состав-
ления уравнения и решения полученного уравнения.
Задача. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в
первом баке было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого
бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина
поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке? 1
х л—в первом баке до переливания;
х — 10 л — во втором баке;
50 — х (х — 10) л — в третьем баке до переливания;
х — 26 л — в первом баке после переливания;
50 — х — (х •— 10) -}- 26 л — в третьем баке после переливания.
Так как по условию во втором и третьем баках стало бензина по-
ровну, составляем уравнение:
х — ю = 50 — х — (х— 10) + 26,
х — 10 — 86 — 2х,
Зх = 96,
х = 32.
Решена ли задача? То, что х = 32 является корнем составлен-
ного по условию задачи уравнения, легко проверяется, но возни-
кает вопрос о соответствии реальной действительности найденного
количества бензина в первом баке. В самом деле, по условию задачи
из первого бака перелитое третий 26 л, после чего во втором и тре-
тьем баках бензина стало поровну, т. е. в этих двух баках вместе
стало бензина не меньше, чем 52 л, что не соответствует данному об
общем количестве бензина во всех баках (50 л).
Уравнение «выдало» нам ложную информацию о действитель-
ном положении вещей потому, что при его составлении мы отвле-
кались от реального соотношения между допустимыми значениями
физических величин, о которых говорится в задаче, следовательно,
само уравнение не дает нам информации о степени соответствия
условия задачи действительности. Иначе говоря, само уравнение
не является полной математической" моделью реальной заданной
ситуации, и поэтому его решение может и не соответствовать дей-
ствительности. А это значит, что решением уравнения не может
заканчиваться решение самой задачи: необходимо проверить, удов-
летворяют ли корни уравнения условию и требованию задачи
с учетом смысловых ограничений для значений величин, с которыми
придется встретиться в ходе этой проверки. Только после этого
1 См.: Болтянский В. Г. Нужна ли проверка при решении текстовых
задач на составление уравнений.— «Математика в школе», 1971, № 3, с. 43.
278
задачу можно считать решенной. Таким образом, проверка корней
уравнения по смыслу задачи является необходимым продолжением
решения задачи после того, как корни уравнения найдены.
Во многих случаях несоответствие корня уравнения смыслу
задачи становится очевидным по окончании решения уравнения.
Так, если значение переменной х, входящей в уравнение по смыслу
задачи, должно выражать число людей, то ее значение х = 2,7,
будучи даже корнем уравнения, не будет решением задачи. Но если
то же уравнение имеет корень х = 2, то требуется более тщатель-
ная проверка его соответствия смыслу задачи.
Достаточно следующее общее правило проверки: при значении
переменной, равном корню уравнения, вычислять по порядку зна-
чения входящих в задачу величин. Если значение какой-то вели-
чины окажется за пределом ее допустимых по смыслу задачи зна-
чений, то испытываемый корень не может служить решением
задачи. Корень уравнения будет решением задачи, если он удовлет-
воряет смысловым ограничениям значений всех величин, явно или
неявно введенных в задачу.
Выполним по этому правилу проверку корня х = 32 в рассмат-
риваемой задаче.
По выражению х —10 (количество бензина во втором баке) при
х = 32 находим: 32— 10 — 22 (л). Вот уже здесь мы можем об-
наружить противоречие: в первом и втором баках оказывается
32 + 22 = 54 (л) (больше, чем во всех трех баках!). Значит, за-
дача решений не имеет. Но допустим, что это противоречие не было
замеченным, тогда при х = 32 найдем количество бензина в третьем
баке до переливания: 50 — 32 •— (32 — 10) = — 4 (л)! — в баке
не могло содержаться отрицательное число литров бензина j(b соот-
ветствии с условием данной задачи).
Ответ. Задача не имеет решений.
Выше было отмечено, что уравнение, составленное на основе
фабулы задачи, не представляет полной математической модели
задачи. Очевидно, полная модель должна включать (кроме урав-
нения) математически выраженные смысловые ограничения для
значений величин, входящих в задачу. Так, для рассматриваемой
задачи такими ограничениями будут:
х > 0 — для количества бензина в первом баке;
х — 10 > 0 — для количества бензина во втором баке;
50 — х — (х — 10) > 0 — для количества бензина в третьем
баке;
х — 26 >• О — для количества бензина в первом баке после пе-
реливания;
50 — х— (х — 10) 4- 26 > 0 — для количества бензина в тре-
тьем баке после переливания;
х 4- (х — 10) < 50 — для количества бензина в первых двух
баках;
х 4- [50 — х— (х — 10) 1 < 50 — для количества бензина в пер-
вом и третьем баках;
279
(х *- 10) 4- 150 — х — (х — 10) 1 < 50 — для количества бензи-
на во втором и третьем баках. ।
.Некоторые из этих ограничений являются следствиями дру-
гих, — далее это выяснится,— но при выявлении ограничений стре-
мятся к тому, чтобы не упустить возможных ограничений, вытекаю-
щих из условия задачи.
Полагая, что все ограничения исчерпаны, можем сказать, что
математической моделью задачи является смешанная система:
х— ю = 50—х — (х—10)4-26,
х> 0,
х— 10>0,
50 — х — (х — 10) > 0,
• х —26>0,
50 —х —(х—10) 4-26>0,
х4- (х — 10)<50,
х 4- [50—х—(х — 10)] < 50,
(х’—10) 4- [50 —х —(х— 10)]<50.
Если взять отдельно систему неравенств, то она оказывается
равносильной двойному неравенству 26 с х < 30 и поэтому дан-
ную смешанную систему можно заменить системой:
х— 10 = 56 — х—(х— 10) 4- 26,
26<х<30.
Видим, что х = 32 не удовлетворяет двойному неравенству и, сле-
довательно, не является решением задачи.
Множество значений переменной, удовлетворяющих двойному
неравенству, является областью допустимых (по смыслу задачи)
значений переменной.
Таким образом, если смешанная система является полной мате-
матической моделью задачи, то ее решение является решением и са-
мой задачи. Однако и в этом случае с психологической точки зре-
ния вопрос о соответствии действительности полученного решения
не снимается. При большом количестве ограничений могут оказать-
ся незамеченными те из них, которым корень уравнения не
удовлетворяет, удовлетворяя установленным ограничениям.
Следовательно, он будет нести ложную информацию о решении за-
дачи.
У учащихся следует воспитывать ответственное отношение к вы-
явлению смысловых ограничений значений величин, входящих
в задачу.
Рассмотрим задачу с параметром.
Задача. Для перевозки а тонн груза выделены автомашины.
Вследствие того что две из них были использованы на другой работе,
280
•Йа каждую машину погрузили на 1 тонн у больше, чем предпола-
галось. Сколько автомашин было занято перевозкой груза?
По смыслу задачи машины одинаковой грузоподъемности.
х машин было занято перевозкой груза;
•?- т — нагрузка одной машины;
х + 2 — предполагавшееся количество машин;
а и
• т—предполагавшаяся нагрузка одной машины.
ДС i” «
Уравнение: ~— yzpr = 1 (О-
Отвлекаясь от условия задачи, находим:
ОДЗа’: — оо < а < + оо, ОДЗ*1’: х =£ 0, х — 2.
Уравнение (1) последовательно преобразуется к виду:
возможно приобретение посторонних корней уравнения (1). Решаем
уравнение (2): хт = — 1 — У1 + 2а, х2 — — 1 + ]/1 + За-
Ясно, что хг не может быть решением задачи, так как по смыс-
лу задачи х — целое неотрицательное число; ха может быть корнем
уравнения (1) при тех значениях а, которые удовлетворяют огра-
ничениям: l-j-2a>>0, —1 + ]/1 + 2a >> 0, —l+J/l + 2a^0,
— 1 + ]/1 + 2a Ф — 2, т. е. ограничениям a >------+, a =/= 0. При
этих значениях а^СОДЗ^, и проверка показывает,что хг — корень
уравнения (1) при а>------, а=^0.
Выясним, будет ли х2 решением задачи. По условию х может
иметь натуральные значения, а>0. Но на основании равенства
х — — 1 + ]/ 1 + 2a заключаем, что значения 1 + 2a должны быть
полными квадратами целых чисел, отличных от 1 : 1 + 2a = п\
или a = —5—, nQZ, п=/=1. Ответ. Задача имеет един-
ственное решение х = — 1 + ]/1 + 2a при каждом значении а
= — „ .-, где п G Z, п #= 1. Вопрос о решении задач с помощью
неравенств рассматривается аналогично.
8 7. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
7.1. О методах линейного программирования.
7.2. Методы линейного программирования в школьном курсе
математики.
7.1. До создания методов линейного программирования реше-
ние ряда задач, возникающих в народном хозяйстве (промышлен-
281
ности, сельском хозяйстве, строительстве, снабжении, транспорте,
торговле и т. д.), с помощью сложившихся математических мето-
дов стало затруднительным или невозможным. Это задачи произ-
водственного планирования (например, задачи на использование
сырья и оборудования), транспортные задачи (планирование пере-
возки грузов), задачи на составление смесей (например, при под-
боре наиболее дешевых и питательных кормовых рационов для
животных) и т. д. Все такие задачи требуют ответа на вопрос: как
достичь наиболее выгодного использования имеющихся в наличии
средств и условий: максимума выпускаемой продукции, минимума
затрат и т. д.? Исследования показали, что обширный класс подоб-
ного рода задач решается с помощью систем линейных неравенств:
из множества решений соответствующей системы выбирается то,
которое определяет наиболее выгодное сочетание реальных условий.
Линейное программирование и есть тот новый раздел математи-
ки, в котором разрабатываются методы нахождения указанного
решения системы линейных неравенств. Чтобы сформулировать за-
дачу линейного программирования в общем виде, рассмотрим две
конкретные задачи.
Задача I. Для изготовления столов и шкафов употребляются
два вида древесины. Древесины первого и второго вида соответствен-
но расходуется: на один стол — 0,15 м3 и 0,2 м3, а на один шкаф —•
0,2 м3 и 0,1 м3. Доход мастерской от производства одного стола со-
ставляет 12 руб., а шкафа — 15 руб. Определить, сколько столов
и сколько шкафов должна изготовить мастерская, чтобы получить
наибольший доход от выработанной продукции, если в распоряже-
нии мастерской имеется 60 м3 древесины первого и 40 м3 древесины
второго вида.
Пусть мастерской следует изготовить х столов и у шкафов.
Тогда по условию задачи доход мастерской будет выражен линей-
ной формой г = 12х + 15#. Так как количество древесины огра-
ничено, то число столов и число шкафов, которые может изгото-
вить мастерская, должно удовлетворять двум неравенствам: 0,15х +
0,2# < 60 и 0,2х + 0,1# < 40. Из множества решений системы,
образованной из полученных неравенств, надо выбрать то, при
котором линейная форма г = 12х + 15# будет иметь наибольшее
значение при неотрицательных значениях х и #. Математически
эта задача записывается так:
Г х>0, «/>0,
< 0,15*+ 0,2у < 60,
I 0,2х + 0,1 у < 40,
г= 12х 4- 15у(шах) (или: тах(12х + 15у)).
3 а д а ч а 2. На двух шахтах добывается руда: на первой —
100 т в день, на второй — 200 т в день. Эту руду можно перераба-
тывать на двух заводах, причем стоимость перевозок (в условных
единицах) одной тонны руды показана в таблице:
282
Таблица стоимости перевозки руды
Номер завода Номер шахты 1 2
С 1’й шахты Со 2-й шахты 5 7 4 5
Известно, что каждый завод может переработать не более 250 т
руды в день. Сколько руды нужно возить с каждой шахты на каж-
дый завод, чтобы стоимость перевозок была наименьшей? Пусть:
с I-й шахты на 1-й завод в день перевозят х т руды; со 2-й шахты
на 1-й завод в день перевозят у т руды- Тогда с 1-й шахты на 2-й
завод в день перевозят (100 — х) т руды; со 2-й шахты на 2-й за-
вод в день перевозят (200 — у) т руды.
Стоимость перевозки: z — 5х 4- 1у + 4 (100 — х) 4- 5 (200 —•
— у) = х + 2у + 1400.
Так как каждый завод может перерабатывать не более 250 т
руды, то х 4- у < 250 и (100 — х) 4- (200 — у) < 250 (или х 4- £ >
>• 50). Кроме того, х < 100, у < 200, х 0, у >• 0. В множестве
решений системы, образованной из перечисленных неравенств, нуж-
но найти такое, при котором линейная форма г — х 4- 2у 4- 1400
принимает наименьшее значение на этом множестве. Итак, имеем:
х > 0, £ > 0,
х + У < 250,
х-|-£>50,
х < 100,
£<200,
z = х 4- 2у 4- 1400 (min) (или min (х 4- 2£ 4- 1400)).
Если бы в первой задаче- речь шла о выпуске не двух, а более
видов выпускаемой мастерской продукции (кроме столов и шка-
фов могли производиться, например, стулья, тумбочки и т. д.), то
пришлось бы иметь дело с системой неравенств с большим числом
неизвестных. В соответствии с этим и линейная форма, определяю-
щая доход мастерской, содержала бы большее число переменных.
В общем виде задачу линейного программирования можно сфор-
мулировать так: найти максимум или минимум линейной формы
z = QXj 4- С2Х2 4- — + спхп ПРИ условиях:
xt>0, *2>0,
ОцХ^ 4е ^12-^2 *4"
^21^1 4- ^22^2 "Ь
..., х„>0,
4-амхп>61,
♦ * • 4- а2пхп < ^2»

4* атпХп < Ьт.
« й »
283
v 7.2. Линейное программирование как научная дисциплина воз-
никло лишь в тридцатых годах XX в, Естественно, что сейчас до-
вольно трудно говорить о перспективах включения элементов этой
дисциплины в школьную программу, об объеме и содержании соот-
ветствующих тем. В настоящее время предполагается лишь озна-
комление учащихся с понятием о линейном программировании при
изучении последней темы курса алгебры и начал анализа (X кл.)
«Системы уравнений и неравенств». В объяснительной записке к
программе указывается: «В классе достаточно разобрать примеры
задач из области линейного программирования с двумя неизвест-
ными (сводящиеся к рассмотрению пересечения нескольких полу-
плоскостей)». Таким образом, учащимся могут быть показаны два
метода решения задач линейного программирования — метод под-
бора и графический метод. Возможность ознакомить учащихся с бо-
лее широким кругом сведений о линейном программировании, в част-
ности с симплекс-методом, весьма ограничена: программа дополни-
тельных глав и спецкурсов, изучаемых факультативно, пока не
включает вопросов линейного программирования, а организация
изучения этих вопросов на кружковых занятиях в самом конце
школьного курса математики маловероятна. Конечно, при желании
и заинтересованности учащихся кружковые занятия по решению
задач линейного программирования могут быть организованы зна-
чительно раньше.
Ознакомление учащихся с возникновением нового раздела ма-
тематики, называемого линейным программированием, можно осу-
ществить примерно так, как это было изложено в предыдущем пунк-
те этого параграфа, пояснив, что понятие о линейном программи-
ровании не следует смешивать с понятием о программировании
работы электронно-вычислительных машин.
После того как, исходя из конкретных задач, будет сформули-
рована задача линейного программирования в общем виде, полезно
сначала объяснить содержание метода подбора. Пусть решаемая
задача приводится к такой ее математической постановке:
2х+3у<9,
х + у <5,
. У €
г » 4х + у (шах).
Путем подбора находим множество решений системы:
{(0; 1), (0; 2), (0; 3), (1; 1), (1; 2), (2; 0), (3; 0), (4; 0), (2; 1), (3; 1)}.
Находим множество соответствующих значений функции г =
= 4х + у: {1; 2; 3; 5; 6; 8; 12; 16; 9; 13}. Видим, что наибольшее
значение — 16 — функция принимает при х = 4, у — 0. После
этого следует рассмотреть задачу, для решения которой применение
метода подбора оказывается затруднительным, и объяснить графи-
ческий метод решения ([3.10], п. 124).
284
Глава XVII
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
5 1. О ПРЕПОДАВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
1.1. Из истории вопроса.
1.2. О месте начал математического анализа в новых школьных
программах по математике.
1.1. Как уже было сказано в первой части книги, в конце
XIX и начале XX в. в ряде стран (включая и Россию) возникло
движение за реформу преподавания математики в средней школе,
в частности, за введение в школьный курс математики элементов
высшей математики.
Передовые русские педагоги выступили в начале XX в. с рядом
проектов программ, которые включали преподавание начал мате-
матического анализа и аналитической геометрии. Новым в этих
проектах программ было стремление распространить идеи рефор-
мизма в преподавании курса математики на всю среднюю школу
(мужские гимназии), признание необходимости функциональной
пропедевтики, отказ от сосредоточения новых частей курса в про-
грамме выпускного класса.
Однако в процессе реализации этих проектов элементы диффе-
ренциального, интегрального исчислений и аналитической геомет-
рии в 1907—1908 гг. были включены лишь в программу выпускного
класса реальных училищ, а позднее в программу курса математики
кадетских корпусов. Программы по математике большинства сред-
них учебных заведений не были затронуты этой реформой. Поэтому
в резолюции I Всероссийского съезда преподавателей математики
(этот съезд проходил в Москве с 27.XII—1911 г. по 3.1—1912 г.)
указывается на необходимость распространения действия реформы
на всю среднюю школу: «Съезд признает своевременным ... провести
через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости, а
также ... ознакомить учащихся с простейшими и несомненно до-
ступными идеями аналитической геометрии и анализа»1.
1 Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т. 1. М.,
1913, с. 568—569.
285
./ Еще более категорично мысль об общеобразовательном значе-
нии нового курса математики прозвучала в резолюции и докладах
на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики: «Съезд
признает начала аналитической геометрии и анализа необходимыми
в курсе средней школы всех типов» х. «Стало очевидным, что в на-
стоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых, ана-
литической геометрии и теории вероятностей должны быть достоя-
нием каждого образованного человека» 1 2.
После Великой Октябрьской социалистической революции кон-
цепции сторонников реформы школьного образования получили
признание и одобрение, элементы высшей математики были вклю-
чены в школьную программу.
С 1920 г. проектом программы по математике для единой тру-
довой школы предполагалось знакомство учащихся с важнейшими
функциями (6-й год обучения), элементами аналитической геомет-
рии (9-й год обучения), началами математического анализа, глав-
ным образом элементами дифференциального исчисления (10-й год
обучения). К сожалению, этот проект программы не был проведен
в жизнь.
В 30-х и 40-х годах преподавание математики в школе прово-
дится по сокращенным программам и переработанным учебникам
начала нашего века. С 1947 г. предпринимается попытка возрож-
дения элементов высшей математики в школьных программах: пуб-
ликуется проект программы по математике, составленный Инсти-
тутом методов обучения АПН РСФСР, в котором в скромном объеме
представлены элементы математического анализа и аналитической
геометрии. С 1949 г. теория пределов начинает изучаться в курсе
алгебры IX класса. До этого теория пределов была включена в курс
геометрии, использовалась там в основном при нахождении длины
окружности, площади круга, поверхностей и объемов круглых тел.
Проект программы по математике (1956 г.) включает уже тему «Уче-
ние о производной». При изучении этой темы предполагалось озна-
комить учащихся с понятием производной, научить их дифферен-
цировать элементарные функции, применять аппарат производной
к исследованию свойств функций (монотонность, экстремум). Од-
нако успешное осуществление этого проекта оказалось невозмож-
ным и прежде всего потому, что введение элементов математического
анализа требует более солидной базы, чем та, которую’ готовила
традиционная программа.
В 60-е годы наметилась новая волна в движении за модерниза-
цию среднего математического образования, были опубликованы
новые программы по математике, по которым средняя школа рабо-
тает и по настоящее время.
1 Резолюция 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики.— «Ма-
тематическое образование», 1914, № 1.
2 Из речи председателя проф. Б. А. Млодзеевского при открытии 2-го Все-
российского съезда преподавателей математики, с. 3 книги А. Полякова «Между-
народная конференция по преподаванию математики, состоявшаяся в Париже с 1
по 4 апреля 1914 г.». — «Математическое образование», 1914, Na 6,
286
1.2. По новой программе систематическое изучение элементов
математического анализа начинается в старших классах.
Рассмотрение начальных понятий дифференциального исчисле-
ния происходит в следующих темах, изучаемых в курсе «Алгебра
и начала анализа» (IX класс): «Бесконечные последовательности и
их пределы», «Предел функции и производная», «Применение про-
изводной». Тригонометрические функции, их графики и производ-
ные изучаются в IX и X классах. Изучение элементов дифферен-
циального исчисления завершается рассмотрением в X классе темы
«Показательная, логарифмическая и степенная функции». В этом же
классе учащиеся знакомятся с понятиями первообразной и интегра-
ла и некоторыми приложениями введенных понятий. Одновременно
в курсе геометрии элементы интегрального исчисления применяют-
ся для вычисления объемов тел. Такой подход не только существен-
но упрощает изложение ряда вопросов геометрии, но и способствует
усвоению основных идей математического анализа. С мировоззрен-
ческой точки зрения важна возникающая здесь возможность по-
казать единство математики и ее методов и, главное, подчеркнуть
практическое значение нашей науки.
Программой предусмотрено изучение в X классе простейших
дифференциальных уравнений: рассматривается дифференциальное
уравнение показательного роста или убывания (т. е. уравнение
вида у' — ky)t а также дифференциальное уравнение гармонических
колебаний (т. е. уравнение вида у" — —k2y). Это открывает боль-
шие возможности для рассмотрения примеров из смежных наук
(физики, механики, электротехники и др.), тем самым позволяет
учителю еще раз показать учащимся широкие возможности исполь-
зования математики в технике и естествознании.
Программа не предполагает выработки навыков и техники диф-
ференцирования сложных функций, систематизации приемов и ме-
тодов интегрирования и тем более приемов решения дифференциаль-
ных уравнений, но требует воспитания у учащихся правильного
взгляда на сущность математического анализа и возможности его
применения в практике.
Необходимо иметь в виду, что наша школа еще не имеет опыта
в преподавании этого раздела математики. Очевидно, в ближайшие
годы этот опыт будет накоплен, что приведет и к уточнению про-
граммы, и к изменениям в учебниках, и, разумеется, к появлению
новых методических рекомендаций.
§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ЕЕ ПРЕДЕЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
2.1. Роль и место этой темы в школьном курсе математики.
2.2. О понятии последовательности.
2.3. Изучение монотонности и ограниченности последователь-
ности.
2.4. О различных подходах к изучению теории- пределов.
287
^^Ограниченность последовательности, имеющей предел, един-
^сгйняость и существование предела.
2.6. Изучение основных теорем о пределах.
2.1. Рассмотрение последовательностей в школьном курсе ма-
тематики занимает значительное место. С простейшими примерами
числовых последовательностей учащиеся встречаются при рассмот-
рении в курсе алгебры VIII класса темы «Арифметическая и геомет-
рическая прогрессии».
Дальнейшее изучение бесконечных последовательностей, их пре-
делов происходит в курсе алгебры и начал анализа IX класса в те-
ме «Действительные числа, бесконечные последовательности и их
пределы».
Понятия последовательности и ее предела, являясь одними из
основных понятий анализа, находят важные применения в различ-
ных вопросах школьных курсов. Не используя указанных понятий,
нельзя достаточно строго и полно изложить в школе ряд вопросов
алгебры и геометрии, например вопросы о бесконечных десятичных
дробях, о бесконечной прогрессии, о длине окружности, площади
плоской фигуры (в частности, площади круга), об объеме пирамиды.
об объемах и площадях поверхностей круглых тел, квадрируемости
плоской фигуры и кубируемости тела.
В связи с тем что большинство важнейших приложений теории
пределов в курсе математики средней школы связаны с рассмотре-
нием геометрических вопросов, теория пределов до 1948 г. изуча-
лась в курсе геометрии. С 1949 г. теория пределов включена в курс
алгебры (IX класс), а по новым программам — в курс «Алгебра
и начала анализа» (IX класс). Такой шаг следует считать целесооб-
разным, так как именно в курсе алгебры, а не геометрии можно
достаточно строго рассмотреть это одно из основных понятий ана-
лиза, подготовить рассмотрение этого понятия предшествующими
вопросами курса (например, изучением теории неравенств). Это
целесообразно было сделать и потому, что изучение последователь-
ностей и их пределов, а затем функций и их пределов есть важней-
ший шаг, подводящий к понятиям производной и определенного
интеграла. Но такая постановка вопроса требует тщательной под-
готовки к введению новых понятий во время изучения всего пред-
шествующего курса алгебры, особенно понятия числа, теории не-
равенств, арифметической и геометрической прогрессий.
2.2. Рассмотрение понятия последовательности в IX классе
следует начать с конкретных примеров. Прежде всего учащимся
полезно напомнить, что с числовыми последовательностями (конеч-
ными и бесконечными) они уже знакомились в VIII классе при изу-
чении прогрессий (см. также § 3 данной главы). Напомнив это,
можно привести пример арифметической прогрессии с первым чле-
ном аг = ^-1 и разностью d = 1, т. е. прогрессии вида
— 1, 0, 1, 2, ..., и —2, ...
288
прогрессия есть бесконечная числовая последовательность. Рас-
Ш^трев геометрическую прогрессию, первый член которой аг — 1
1 ( ,11 * \
знаменатель q =? v*lT* е- прогрессию 1,^, —, > •••) •
мы также получим бесконечную последовательность.
Во всех этих случаях мы действуем по вполне очевидной общей
схеме: каждому элементу множества N по какому-либо закону ста-
вится в соответствие некоторое вполне определенное действитель-
ное число ап : 1 -> 2 -> а2, .... n -> an, ... .
Остается напомнить учащимся определение функции как соот-
ветствия между множеством X и множеством Y, при котором каж-
дому элементу множества X соответствует один и только один
элемент множества Y, и подвести их к следующему определению
бесконечной числовой последовательности:
Бесконечной числовой последовательностью называется число-
вая функция f, определенная на множестве всех натуральных чи-
сел.
Необходимо сразу же установить единые требования к символике.
;.В общем виде бесконечная последовательность записывается так;
f (1), f (2), ..., f (n).Если же положить ап = f (п) (п = 1, 2,...),
то получим индексное обозначение последовательности: а2, а3, ...
в,,,..., или (а„)~=|, или (о„), или ап(п = 1,2, ...). Число
называется первым членом последовательности, Oj — вторым,
..., ап—«энным» (общим) членом последовательности, а числа
1, 2, ..., п соответственно называют первым, вторым, ..., n-м номе-
ром соответствующего члена последовательности. При записи после-
довательности в виде (а„) Х=ь индекс п (порядковый номер члена)
есть значение аргумента, а число ап — значение функции, соответ-
ствующее этому значению аргумента.
Учащиеся должны усвоить, что задать бесконечную числовую
последовательность — это значит указать правило (закон), по ко-
торому каждому натуральному числу п (номеру члена последо-
вательности) сопоставляется некоторое, вполне определенное дей-
ствительное число ап (член последовательности с номером п, т. е.
л-й член последовательности). -
С этой целью для закрепления определения последовательности
, n£N\ установлено соответствие:
следует рассмотреть несколько примеров.
Пример 1. Пусть между множеством всех натуральных чисел
N и множеством У — !х|х = ~
2-»-^-, ..., —• Таким образом, задана
ill * 1
следующая последовательность: -7-, -д~, ..., —....
Обращается внимание учащихся на то, что закон, определяю-
щий данную последовательность, состоит в том, что каждому на-
туральному числу л (номеру члена последовательности) соответ-
10 7—Ml
289
ствует числоц, (член последовательности с номером п), а именно-s-,
возведенная в степень, равную номеру члена последовательности,
т. е. п->-^-(п = 1» 2, 3, ...).
Пример 2. Рассмотрим последовательность
1 J_______L_ _L ....
1, 2i » За • •••» „а ........
В этом случае обращается внимание учащихся на то, что дан-
ная последовательность задается по закону: каждому натураль-
ному числу п (номеру) соответствует число (член последователь-
ности), обратное его квадрату, т. е. п (« = 1,2, ...).
Подчеркивается и тот факт, что каждый элемент последователь-
ности (an)^=i есть упорядоченная пара вида (n, oQ, где п — но-
мер члена, а ап — его числовое значение.
Переходя с учащимися к рассмотрению конечных последова-
тельностей, обращаем их внимание на тот факт, что в этом случае
числовая функция задана на множестве всех натуральных чисел,
не превосходящих п. Конечную последовательность длины п

значают (eJj'Li или {alt а^, вд, .... oQ.
С самого начала учащиеся должны уяснить различие между
понятиями последовательности и множества. Числовая последова-
тельность •— это некоторая числовая функция, аргумент которой
изменяется на множестве натуральных чисел, причем если после-
довательность бесконечная, то аргумент пробегает все множество
натуральных чисел N, если же конечная, то аргумент пробегает
множество натуральных чисел, не превосходящих некоторого на-
турального числа п.
В самом деле, определив функцию у = f (х) как некоторое соот-
ветствие между множествами X и У, мы можем рассмотреть следую-
щие множества: множество X = D (/) — область определения функ-
ции; множество У = R (f) — множество изменения (значений) этой
функции, а также множество Г/ пар (х, #) (х g D (/), у £ R tf)) —•
график функции. Следовательно, если задана бесконечная последо-
вательность (a^)£Li, то можно рассмотреть следующие множества:
1. D (f) — область определения последовательности, прячем у
любой бесконечной последовательности D (/) есть множество всех
натуральных чисел, т. е. D (f) — №
2. R (f) — множество изменения последовательности, т. е.
Я (/) = {«1» «2. аз, .... а„, ...} = {у\ у == f (п) = ая, n£N}.
R (f) — это множество действительных чисел, являющихся число-
выми значениями элементов последовательности. Оно может
быть конечным й бесконечным. Если одно и то же число
является числовым значением нескольких элементов последова-
тельности, то оно берется только один раз в качестве элемента
множества R (/).
290
3. Множество пар Pt f (n)) I n f /V} • =* {(n, an) | n £ N,
aa£Rtf)}.
Гц—график последовательности (tfn)£Li. Гц—всегда множе-
ство бесконечное, так как его элементами являются различные упо-
рядоченные пары (n, f (п)), где п £ N. Пары (и, f (п)) различны по
крайней мере потому что в этих парах первые компоненты различны.
Как известно, график функции полностью определяет функцию,
поэтому иногда функция отождествляется со своим графиком. Так
как последовательность — это функция натурального аргумента,
то, придерживаясь высказанной выше точки зрения, последователь-
ность можно отождествлять с ее графиком. Однако учащимся сле-
дует указать на то, что они должны различать последовательность
и множество изменения последовательности.
Эти общие положения полезно проиллюстрировать примерами:
Область определения у всех трех рассматриваемых последова-
тельностей одна и та же — это множество всех натуральных чисел,
т. е. D (Л) == N (1 = 1, 2, 3).
Множество изменения последовательности (2.1) есть множество
R (fi) “ Ifi (Л) I— 1> 1}» т. множество конечное, графиком же
этой последовательности является множество бесконечное Г
= {(*, A (n) I (Ь 1), (2,-1), (3, 1), (4, -1), ..., (2л-1, 1), (2n,-1),
...}. На этом примере учащимся особенно наглядно видна разница
между последовательностью (графиком последовательности) и мно-
жеством изменения последовательности.
Последовательности (2.2) и (2.3) различны, так как последова-
тельность (2.2) задается по закону: 1->3, 2 -> 1, 3->2, 4->1, ...,
а для последовательности (2.3) имеем: 1 1, 2 -> 2, 3 -> 1, 4 3,... •
Однако области изменения этих последовательностей совпадают,
так как /ОД = L (л) 11, 2, 3, 4» 4-..........4» •••) и ^(Ь) =
I Z О 99t J
= {/з(л)|1, 2, 3, 4-, 4.......4’ •••}’ т- е* W- Гра-
фики же этих последовательностей не совпадают. В самом деле,
так как Г,, = {(л, /,(«))|(1, 3), (2,1), (3, 2), (4,1), (&, 4). (б, 4).
(л + 3, 4) »' •••} и rf> = {(«. М«»КЬ О. (2, 2), (3, I), (4, 3),
(5> 4) ’ (6* т)»- ’ (п + 4> п'лтг) ’ -} ’ то мы видим* чта & rt9
так как первые их четыре элемента различны.
ю*
291
Наиболеетщательно следует рассмотреть с учащимися упраж-
нения, связанные с различными способами задания последователь-
ности. Так как последовательность есть функция натурального ар-
гумента, то те способы, которые применялись для задания функции,
могут быть применены и для задания последовательности. Напри-
мер, последовательность может быть задана формулой общего члена:
1 I /_ 1\л
1) Пусть ап =——— , тогда последовательность имеет вид:
О, J, 0, 1, ....
(__пл—’
2) Если ап — -—|— > то данная последовательность есть
.____L 1__________L (- 1)л~1
*’ 4’9’ 16 ’ ’ п2 ’ *“ •
Следует также рассмотреть несколько примеров задания после-
довательностей, когда формулы их общего члена неизвестны:
1) Пусть ап является десятичным приближением к квадратному
корню из двух по избытку с точностью до 10~". Тогда первые члены
этой последовательности имеют вид:
1,5; 1,42; 1,415;....
(2-4)
2) Если ап является десятичным приближением числа е по не-
достатку с точностью до л-го десятичного знака, то данная последо-
вательность будет начинаться членами:
2,7; 2,71; 2,718; 2,71828; .... (2.5)
3) Рассмотрим последовательность всех простых чисел, т. е. а„
есть п-е простое число. Начало этой последовательности имеет вид:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... (2.6)
Отмечается, что в рассмотренных примерах (2.4), (2.5) и (2.6)
последовательности заданы «словесно», т. е. описанием их членов,
так как не существует формулы общего члена в этих последователь-
ностях, а также нельзя общий член выразить через предыдущие.
Учащимся указывается на еще один способ задания последова-
тельности— рекуррентный (индуктивный) способ, согласно которому
задание последовательности состоит в том, что дается правило (обыч-
но это — формула), позволяющее вычислить общий член последо-
вательности через предыдущие, и несколько начальных членов по-
следовательности. Примерами рекуррентных соотношений могут слу-
жить: а) ап = 2ап_] — а„_2; б) а~=4ап_\ + а„_2 + ... + 5a„_ft.
Следует обратить внимание учащихся на то, что заданием ре-
куррентного соотношения последовательность полностью не опреде-
ляется. Все дело в том, что первые члены последовательности нельзя
вычислить по рекуррентному соотношению.
Действительно, пусть, например, ап = 2an-i —• оя_2; тогда: при
п == 1 имеем at = 2од — a_t; при п = 2 а2 = 2а>— а0; при п = 3
а3 2(ц — ах. Члены Од и а_ь т. е.члены с номерами 0 и—1, в
последовательность не входят, поэтому значения и ag надо
292
задавать дополнительно. Такие значения и а* и будут для дан-
ной последовательности называться начальными. Далее, начиная
с а3, по рекуррентному соотношению и начальным членам и
вычисляют любой член рассматриваемой последовательности.
В результате анализа при рассмотрении различных примеров
на задание последовательности у учащихся должно быть вырабо-
тано представление, что последовательность считается заданной, если
известно правило (закон), по которому можно найти любой ее член
при условии, что номер этого члена задан.
Однако при этом следует иметь в виду, что, зная конечное число
членов последовательности, нельзя однозначно установить вид об-
щего ее члена.
Например, известны пять членов последовательности: 2 • 3,
4 • З2 *, 6 • 3s, 8 • З4, 10 • З5, ... . Непосредственной проверкой лег-
ко убедиться, что последовательности с общими членами ап =5
= 2п . 3Л и Ьп = 2п . Зл + (n — 1) (п — 2) (п — 3) (л —4) х
X (п — 5) имеют одинаковые первые пять членов, которые совпа-
дают с первыми, пятью членами данной последовательности.
Полезно подчеркнуть, что, помимо числовых последовательнос-
тей, в школе рассматриваются последовательности и другой при-
роды. Так, в геометрии имеют дело с различными последователь-
ностями геометрических фигур, в физике — с последовательностями
положений физического тела в различные моменты времени.
При изучении последовательностей и их свойств (монотонности,
ограниченности, существования предела и т. д.) удобно исполь-
зовать геометрические иллюстрации:
а) Так как последовательность (art)Xi есть функция f (п) нату-
рального аргумента, то можно изобразить график этой функции,
т. е. рассмотреть на плоскости множество точек плоскости, кото-
рые имеют вид Мп (п, f (п)) (и = 1,2,...) (см., например, рис. 74, а—
77, а).
б) Члены последовательности (ап)^ изображают точками чис-
ловой оси (см., например, рис. 74, б— 77, б).
Пусть последовательности задаются общими членами:
2) ап = 4) ап = .
На рисунках 74—77 приведены изображения этих последователь-
ностей (на рис. 74, а— 77, а изображены графики этих последо-
вательностей; на рис. 74, б—77, б дано изображение данных
последовательностей на числовой оси). Учитель должен хорошо по-
нимать, что изображения первого вида есть обычные графики функ-
ций и с их помощью удобно выяснять обычные свойства этих функ-
ций (возрастание, область значений и т. д.). Изображения же
второго вида имеют специфический характер, с их помощью можно
иллюстрировать особые свойства последовательностей, прежде всего
293
I
I
I
I
0,25-
0,11-
~0
ftn)
6)
Рис.
74.

2
0
~f(n)
ff)
f(n)
Рис. 11.

наличие предела и характер поведения последовательности вблизи
предельной точки.
При рассмотрении вышеуказанных примеров учащиеся подго-
тавливаются к интуитивному восприятию таких понятий, как мо-
нотонность, ограниченность и предел последовательности.
2.3. Изучению понятий монотонности и ограниченности после-
довательностей следует уделить большое внимание в школьном
курсе математики. Это требование объясняется не только важно-
стью этих понятий для дальнейшего построения курса, но и дидак-
тическими особенностями рассматриваемого раздела. Для челове-
ка, впервые знакомящегося с математическим анализам, многие
факты (возрастание, убывание последовательностей, их ограничен-
ность, непрерывность функций и т. п.) представляются интуитив-
но очевидными. В то же время содержание математического ана-
лиза требует умения логически подтвердить или опровергнуть то,
что подсказывает интуиция. С первых шагов надо приучить школь-
ников чувствовать здесь диалектику логики и интуиции, показать
на новом этапе, как в математике осуществляется переход от на-
блюдений к обобщениям, как формализация «очевидных» фактов
позволяет строить логически безупречные и полезные для практи-
ческих приложений выводы. Короче говоря, с первых шагов изу-
чения математического анализа надо заботиться о воспитании куль-
туры математического мышления.
Понятия монотонности и ограниченности как раз и дают воз-
можность на сравнительно нетрудном фактическом материале про-
демонстрировать стиль аналитических методов исследования, дать
учащимся почувствовать «дух» анализа.
Как известно учащимся еще из курса алгебры восьмилетней
школы, к монотонным последовательностям относят убывающие,
невозрастающие, возрастающие и неубывающие последователь-
ности. Повторение этих понятий полезно начать с рассмотрения
примеров, используя при этом геометрическое изображение после-
довательностей .
Например, последовательность | убывающая, так как
\ Л2/л«=1
на графике (см. рис. 74, б), где члены последовательности изобра-
жены точками числовой оси, каждая последующая точка, соответ-
ствующая последующему члену последовательности лежит ле-
вее предыдущей, соответствующей предыдущему Члену ап.
Или последовательность (— 1 V возрастающая, так как на
\ п Jn=1
графике этой последовательности (см. рис. 77, б), где члены после-
довательности изображены точками числовой оси, каждая после-
дующая точка, которая соответствует последующему члену после-
довательности ал+ь лежит правее предыдущей, соответствующей
предыдущему члену ап.
Отмечается, что для иллюстрации понятия возрастания и убы-
вания последовательностей можно использовать и графическое изоб-
295
ражение последовательностей. В этом случае возрастающая после-
довательность будет характеризоваться тем, что при любом п точка,
соответствующая последующему члену последовательности ал+ь
лежит выше точки (имеет большую ординату), соответствующей
предыдущему члену последовательности ап (см., например,
рис. 77, а); если же последовательность убывающая, то при лю-
бом п точка, соответствующая последующему члену последователь-
ности an+i, лежит ниже точки (имеет меньшую ординату), соответ-
ствующей предыдущему члену последовательности ап (см., напри-
мер, рис. 74, а). Однако очевидно, что иллюстрация, график,
отдельное наблюдение не могут служить основой для строгого пос-
троения теории, для строгого определения понятий возрастания и
убывания последовательности. В восьмилетней школе, говоря о поня-
тиях «больше» и «меньше»,— а именно с ними связаны новые по-
нятия — мы обращались к неравенствам. По-видимому, и здесь
придется поступить аналогичным путем. Построив таким образом
известное определение, мы вновь обращаемся к рассмотренным при-
мерам. Действительно, для последовательности, которую мы счи-
таем убывающей на основе наблюдений и здравого смысла, выпол-
няется неравенство ____| <1—] , т. е. введенное нами определе-
\п 4-1 / \ п I
ние удачно обобщает имеющийся у нас опыт. Аналогичный вывод
можно сделать и во втором случае, так как ап < ал+1- Действитель-
Зп — 1 3/г4-2
но, ап --------и а„+1 — —, следовательно, их разность по-
п tT I 1.
ложительна, так как an+i — а„ — , , ,, > 0.
В хорошо подготовленном классе все это можно сделать с мень-
шим обращением к индукции, не забывая, однако, что значитель-
ное число девятиклассников все же испытывают в ней нужду и не-
редко оказываются еще неподготовленными к глубокому восприя-
тию дедуктивных методов.
Оценка характера изменения последовательности может быть
получена не только прямым обращением к определению (сравнением
(п 4- 1)-го и n-го членов), но и сравнением отношения этих членов
с единицей. В рассмотренных примерах сразу видно, что в одном слу-
чае это отношение меньше, а в другом больше единицы, на основе
чего тоже можно судить о возрастании или убывании последдватель-
ности. В конечном итоге учащиеся должны сознательно выбирать
метод исследования последовательности на монотонность.
Учащимся на примерах следует показать, что не всякая после-
довательность является монотонной. Примерами немонотонных по-
следовательностей могут служить следующие последовательности!
(П<-И )«=1 И I "л-----— ,
(см. геометрическое изображение этих последовательностей на
рис. 75—76).
296
Следующим этапом в изучении свойств последовательностей яв-
ляется вопрос об их ограниченности и неограниченности. Введение
понятия ограниченности последовательности можно проводить так.
Рассматриваются последовательности:
2) ап^п^п (n = 1, 2, ...), т. е. 1, 2, 4, ?
3) а„ = — иа (n= 1, 2, ...), т. е. —1, —4, -9,-16, —25,...;
4) ап = (-1 )я+‘ - л» (/1=1, 2, ...), т. е. 1, -8, 2, 7, -64,
125
Все члены первой последовательности удовлетворяют неравен-
* < ап < 1, поэтому последовательность естественно назвать
ству О
ограниченной сверху и снизу.
Члены второй последовательности для всех п удовлетворяют
неравенству 0 < ал, следовательно, данную последовательность
целесообразно назвать ограниченной снизу. Однако для этой
последовательности нельзя указать такого числа М >* 0, чтобы
йри любом п члены этой последовательности не превосходили бы
число М. (Среди отрицательных чисел не имеет смысла искать зна-
чение /И, так как члены второй последовательности положительны.)
Заслуживает внимания учащихся и обоснование этого утверж-
дения. Действительно, какое бы число М > 0 мы ни выбрали,
всегда найдется член последовательности с четным номером агл
~ ), который больше числа /И.
В самом деле, решив неравенство azk >М
м
мы получим, что a^k>M для всех k
Н 1 г,
(где k
\ 2k>Mt
Например,
м
пусть М = 11, тогда k>
Следовательно, а^. >
для всех п = 12, 14, 16
посредственно сравнив члены второй последовательности с чис-
лом 11.
11 для всех k = 6, 7, 8, ... . Итак, ап > И
в чем нетрудно убедиться также, не-
Для членов третьей последовательности при любом п выпол-
няется неравенство ап < —1. Поэтому эту последовательность сле-
дует назвать ограниченной сверху. Здесь следует подчеркнуть, что
"для этой последовательности не существует числа т < 0 такого,
чтобы при любом п члены этой последовательности были не меньше
числа т. В самом деле, каково бы ни было число т < 0, найдется
элемент последовательности, который будет меньше числа т. (Среди
положительных чисел нет смысла искать число /и, так как < —1
для всех п.) Действительно, для этого достаточно решить неравен-
ство ап < /п, т. е.— п2 < т, или п > У— m (—л* > 0, так как
m < 0).
297
Следовательно, a'n<Zm для всех —т]. Например, пусть
т = —9,61, тогда «> [К—(— 9,61)] = [)А),61] = [3, 1] = 3.
Таким образом, ап < <—9,61 для всех п > 3, т. е. для п = 4,
5, ... . В этом нетрудно убедиться и непосредственно, сравнивая
члены третьей последовательности с числом т = —9,61.
Итак, третья последовательность не ограничена снизу.
Члены четвертой последовательности таковы, что не существует
числа М такого, чтобы при всех п они не превосходили этого числа
М, а также не существует числа т, для которого выполнялось бы
неравенство ап > т при любом п. В этом нетрудно убедиться, рас-
суждая так же, как это было проделано для второй и третьей после-
довательностей.
Таким образом, четвертая последовательность не ограничена ни
сверху, ни снизу, поэтому ее следует называть неограниченной
поел едов ател ьностью.
После рассмотренных примеров можно сформулировать и суще-
ствующие определения, отметив при этом, что «интуитивно очевид-
ному» понятию «ограниченность» удалось найти (и снова на языке
неравенств!) определение, не допускающее неверных толкований
и двусмысленностей.
Следует обратить внимание учащихся на ограниченность всякой
конечной последовательности, так как для нее в качестве числа М
можно взять наибольший из членов последовательности (а также
любое число, большее, чем наибольший из членов этой последо-
вательности), а за число т можно принять наименьший из членов
последовательности (или любое число, меньшее, чем наименьший
из членов этой последовательности). Аналогичное утверждение для
бесконечной последовательности неверно. Например, рассмотрен-
ная выше последовательность ((—1)"+’ - n3)Xi не ограничена ни
сверху ни снизу; последовательность не ограничена
сверху, а последовательность (—n2)«=f не ограничена снизу.
Уместно выяснить с учащимися и геометрический смысл огра-
ниченности последовательности. Так, ограниченность последователь-
ности («„) будет означать существование отрезка [Л1, М J, на
котором помещены все члены данной последовательности (это сле-
дует из того факта, что все члены ограниченной последовательности
удовлетворяют неравенству т <1 ап /И).
2.4. После изучения свойств последовательностей обычно пере-
ходят к рассмотрению одного из важнейших математических поня-
тий — понятия предела последовательности. Усвоение этой темы
учащимися имеет ряд трудностей. Основными из них являются
следующие:
1. Само содержание темы. Понятие предела связано с достаточ-
но сложным по своей природе понятием бесконечности. Само
определение предела также трудно для восприятия учащих-
ся: в определении используется неравенство с модулем, кото-
рое к тому же должно выполняться для всех п, больших некоторо-
го
го Л', и каждого е >. 0. Отметим также, что определение предела
формируется в непривычной для учащихся форме. А именно, пре-
дел есть число, которое связано с рассмотрением указанного выше
неравенства. Более того, указывается не конкретное число, а не-
равенство, его определяющее.
2. Изолированность этой темы от остальных тем курса и отсут-
ствием пропедевтики в изучении этого вопроса в предшествующих
классах.
3. Различные отрицательные факторы внешнего порядка: недо-
статочная методическая разработанность темы, ограниченность вре-
мени на ее изучение, недостаточная подготовка части учителей.
Формирование понятия предела целесообразно начинать с рас-
смотрения задач, показывающих возможности применения теории
пределов. Это повысит интерес учащихся к изучаемой теме, облег-
чит ее усвоение.
Учителю следует иметь в виду, что существует несколько под-
ходов к изучению этой темы.
а) Метод (е-6), при котором определение предела дается на
языке (в-6); доказательство свойств и теории о пределах ведется
также методом (б-6).
Например, в книге «Функции и пределы (основы анализа)»
(Энциклопедия элементарной математики, т. 3. М.— Л., Гостехиздат,
1952) изложение теории пределов начинается с определения предела
последовательности, которое дается на языке а, затем рассматри-
ваются основные свойства последовательностей, предел функции на
бесконечности, односторонний и двусторонний предел функций в
конечной точке, причем определение предела функции дается на
языке (а — 6), доказательство теорем проводится методом (е-6).
Бесконечно малые и бесконечно большие величины при таком из-
ложении теории пределов не рассматриваются и при доказательстве
теорем о пределах не используются.
б) Теория пределов может строиться на основе учения о беско-
нечно малых величинах. Примером такого построения теории пре-
делов может служить теория, изложенная в книге А. Я. Хинчина
«Краткий курс математического анализа» (М., Гостехиздат, 1957).
Построение теории начинается с рассмотрения бесконечно малых
величин, их свойств. Затем рассматривается предел любой перемен-
ной величины, причем определение предела дается через бесконечно
малую величину. При рассмотрении свойств пределов и доказатель-
стве основных теорем о пределах существенно используются бес-
конечно малые величины и их свойства.
При таком подходе к изучению теории пределов понятие предела
переменной не имеет точного математического содержания, так как
не может быть формализовано до конца (не формализованы понятия
«момент» и «процесс») Ч
* О попытке формализовать понятие предела переменной см.: Фихтен-
гольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчислений, т. 3.
М.— Л., 1960, с. 631—649.
299
в) Наконец, при изучении теории пределов можно использовать
оба подхода: определение предела дается на языке (в-6), вводится
понятие бесконечно малой, рассматриваются теоремы о свойствах
бесконечно малых, причем доказательство ведется методом (e-fi),
далее рассматриваются свойства пределов, связанные с арифмети-
ческими действиями над последовательностями, однако при до-
казательстве уже существенно используются бесконечно малые.
Затем при помощи понятия предела последовательности вводится по-
нятие предела функции и, наконец, на основе свойств пределов по-
следовательности рассматриваются основные свойства и теоремы
о пределе функции (Кудрявцев Л. Д., Математический ана-
лиз, т. 1. М., «Высшая школа», 1970, а также Фролов Н. А.
Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Учпедгиз, 1955).
Следует отметить, что в последнем пособии автор не употребляет
термин «бесконечно малая», а просто говорит о последовательнос-
тях, сходящихся к нулю.
В учебном пособии для IX класса [3. 8] введению общего опре-
деления предела последовательности предшествует рассмотрение
нескольких примеров последовательностей, существование и зна-
чение пределов которых усматривается из наглядных соображений.
Вместо определений пока даются поясняющие описания («сколь
угодно мало отличается...», «стремится к...», «при достаточно боль-
ших...» и т. д.). После выполнения этой подготовительной работы
и наглядного описания понятия предела ставится вопрос о его
логическом определении, которое и дается на языке е. Это опре-
деление считается основным. Затем, выяснив геометрической смысл
понятия предела последовательности, приводится еще одно опре-
деление предела в топологической форме, т. е. с помощью понятия
окрестности. Последнее определение есть следствие из основного.
Его достоинством является большая наглядность, доступность для
учащихся. Авторы вводят понятие бесконечно малой последователь-
ности, которое затем существенно используется ими при рассмот-
рении теорем о пределах.
Заметим, что в учебном пособии под редакцией А. Н. Колмого-
рова сначала рассматривается понятие предела последовательности,
а затем на его основе вводится понятие сходящейся последователь-
ности.
Анализ подходов к введению понятия предела последователь-
ности подтверждает необходимость предпослать формулировке
определения предела рассмотрение задач (примеров), которые поз-
волили бы связать в сознании учащихся модуль разности двух чисел
(т. е. | ап — а |) с каким-либо конкретным образом и охарактери-
зовать его поведение с возрастаниец номера п. Так, например,
величина | ал •— а | — это расстояние между двумя точками число-
вой оси, а члены последовательности (ал) с возрастанием их номера
располагаются сколь угодно близко к числу а, т. е. разность | ап— а |
стремится к нулю с возрастанием номера п.
Такая предварительная работа с учащимися позволит упростить
300
:>Йучение понятия предела, будет способствовать его лучшему ус-
йоёпию, даст возможность понять определение предела последова-
тельности, сформулированное на языке е: «Число и называется
пределом последовательности (ая), если для любого положительного
е можно указать такой номер N, что неравенство | ап — а | <Z е
выполняется для всех значений п 2> V».
Такое определение позволит, во-первых, при формировании по-
нятия предела последовательности использовать имеющиеся у уча-
щихся знания о неравенствах и оценке погрешности, полученные
ими в VI—VIII классах, и, во-вторых, подготовить их к введению
понятия предела функции на языке (е— б).
После того как определение предела введено, целесообразно
выполнить с учащимися несколько упражнений на вычисление пре-
дела последовательности, используя его определение. При этом
следует обратить внимание учащихся на два момента: 1) если после-
довательность имеет предел (т. е, lim ап = а), то недостаточно, что-
бы для любого в > О разность [ап— лишь один раз (т. е. для
некоторого номера п = JV0) была меньше е, надо, чтобы разность
\ап — а|, став меньше е для п = УУ0, и впредь оставалась бы мень-
ше 8 (т. е. для номеров п при этом неравенство | ап •— aj < в
должно выполняться для любого е > 0, а не для какого-то опре-
деленного; 2) выбор номера N зависит от выбора 8.
Уяснение этих положений хорошо провести на разборе такой,
например, задачи:
Зл 4- 1 2
Докажите, что lim ; найдите номера такие, что
при n>N
3n+1 3
2л —1 2
е
для е = 0,1; 0,04; 0,01; 0,001. Получение значения
в виде таблицы.
рормите
Приведем подробное решение этой задачи.
Согласно определению предела число 4* будет пределом после-
О- I 1
довательности с общим членом а„ = если для любого 8 > 0
п 2п — 1 ’
найдется номер такой, что выполняется неравенство
Зл +1
2л —1
при n>N.
Следовательно, существование предела будет установлено, если
мы докажем, что для любого е > 0 существует номер N такой, что
неравенство (*) имеет место при всех л, больших этого номера.
Так как
Зл + 1 3
2л — 1 2
6л + 2 — 6л + 3
(2л —1)2
5
2 (2л — 1) ’
301
поэтому достаточно решить относительно п неравенство
2 5 + £
Решение последнего неравенства есть п> ' .
Таким образом,
5
2(2п—1)
е.
е при и
2,5+ е
Из последнего следует, что в качестве номера можно взять це-
-, т. е. N =
лую часть числа —
Итак, мы установили, что неравенство
ется для всех номеров н, удовлетворяющих неравенству п
з«+1
’ т<е- 1,т1^
2 ’
2е
Л
е выполня-
ла
2е
Перейдем теперь к нахождению номера N в зависимости от кон-
кретно заданного е. Пусть, например, е = 0, 1, тогда
N =
= [13] = 13.
0,2
Следовательно, неравенство ап-------
справедливо при п >• 13, т. е. оно имеет место для всех членов дан-
ной последовательности, номера которых начинаются с 14, в то же
время это неравенство не имеет место для членов последователь-
ности, номера которых не превосходят 13. Убедимся в этом же непо-
средственным подсчетом для нескольких значений п:
а) пусть п — 3, тогда а3----к- = 1, т. е.
б) пусть п.= 13, тогда а13----- =
2 • 0,1
в) пусть теперь п = 14, тогда
0,092 <0,1;
аи 2
г) пусть далее п = 33, тогда
= 0,038 <0,1.
аз 2
0,1
= 1>0,1;
з I
а13 о" I !
йц g 54 0,092, т. е.
^зз 2 — 26 — 0,038, т. е.
®зз 2
Далее, используя формулу N =
значения N при е = 0,04; 0,01; 0,001 и т. д.
Итак, таблица зависимости номера N от числа
2в
, легко вычисляются
в:
8 0,1 0,04 0,01 0,001
N 13 31 125 1250 4
302
Эта таблица наглядно характеризует зависимость номера N от
числа е.
При закреплении понятия предела последовательности полезно
широко использовать интуицию учащихся. Так, при доказательстве
существования предела на основании определения можно на первом
этапе доказательства использовать числовые подсчеты, выполняя
которые учащиеся убеждались бы в том, что модуль разности между
членами последовательности (а„) и предполагаемым пределом с уве-
личением номера п становится и в дальнейшем остается меньше
любого наперед заданного положительного числа, каким бы малым
оно ни было. С этой целью полезно рассмотреть упражнение вида:
«Доказать, что последовательность
делом 1.»
Решение может быть таким:
Так как общий член данной последовательности есть ап
2"—1 , 1
= —м—» т. е. ап = 1 ——, то имеем:
оо
имеет своим пре-

1
Так как учащимся известно, что дробь — становится сколь
угодно малой при возрастании номера п, то из последнего равен-
ства можно сделать вывод, что разность ] ап —- 1 ] может быть сде-
лана и в дальнейшем останется меньше любого положительного
числа, каким бы малым оно ни было. Таким образом, учащиеся
могут сделать предварительный вывод о том, что предел рассматри-
ваемой последовательности равен 1. Однако существование предела
у данной последовательности будет доказано, если мы установим,
что для каждого 8 > 0 существует номер N такой, что | ап —> 1 ] <
Так как 1а„ — 11 = —
1 п 1 лЛ
то, решая относительно п неравенство
— < 8, мы получим, что | ап — 11
2
. Таким обра-
зом, для каждого в всегда можно найти W такое, что при
всех n>N имеет место неравенство |ап — 11 < в; это и означает,
2я__________1
что Нт ——— = 1.
На внеклассных занятиях, продолжая рассмотрение этого при-
мера, можно показать учащимся интересную геометрическую трак-
товку последовательности
2П — 1
2"
. Именно она характеризует
303
Рис. 78.
суммы площадей последовательности тре-
угольников дЛВС, дВСхС, -м
которая задана по следующему правилу
(см. рис. 78):
дАВС прямоугольный равнобедрен-
ный, длины его катетов равны 1 линейной
единице. Продолжим катет АВ и проведем
перпендикуляр СМ к гипотенузе ЛС, за-
тем, последовательно проводя из вершин
прямых углов перпендикуляры к ICAf)
и к продолжению катета АВ, построим ис-
комую последовательность треугольников,
А именно, если из точки В провести на [СМ) перпендикуляр ВС1Э
то получим ДВСХС; если же из точки Ci провести перпендикуляр
CiBx на продолжение катета Л В, то получим АВС^ и т. д.
По условию длины катетов Л ЛВС равны 1 линейной единице,
поэтому площадь Л АВС равна Sr = -^-(кв.ед.).
Легко установить, что площадь ДВСХС равна половине площади
Д ЛВС (действительно, если из точки В провести перпендикуляр
В К к [ЛС], то образуется прямоугольник КВС^С, у которого
[ВС 1 — диагональ), т. е. 5даС1с = -у 5длвс = 4 (кв- ед-)-
Таким образом, сумма площадей треугольников ЛВС и ВСгС
равна: S2 = -L + <кв- ед-)-
Далее легко установить, что сумма площадей трех треуголь-
ников АВС, ВСуС и ВВ/?! равна:
S3=4' + 'T+4'==T’ <кв- ед-> (так как 5дSB,C* =
1 с 1 , Л
= ~2~В^вс,с = -g- (кв. ед.) I.
Суммы площадей треугольников одного, двух, трех и т. д. из
рассматриваемой последовательности треугольников будет обра-
1 3 7 2я — 1
зовывать следующую последовательность:-к-, -р, -з-,...,—-—....
Z 4 о 2г
Таким образом, рассматриваемой выше задаче можно придать и гео-
метрическую трактовку.
2.5. Из определения предела последовательности непосредственно
не вытекают ни признаки существование, ни единственность предела,
ни тем более какие-либо приложения введенного понятия. Все эти
вопросы тесно связаны между собой и могут излагаться, вообще
говоря, в различной последовательности. Например, в [3.8] сна-
чала ставится вопрос о единственности предела, затем изучаются
простейшие приложения (теорема о lim qn при | <?|< 1, теорема о
сумме бесконечной геометрической прогрессии при |?|< 1. пе-
реход от периодических десятичных дробей к обыкновенным дро-
304
бям), только затем вводится необходимое условие сходимости, тео-
ремы о пределах (с соответствующими упражнениями), признак
Вейерштрасса и простейшие примеры его применения.
Теорема о единственности предела относится к категории суж-
дений, истинность которых интуитивно представляется несомненной.
Еще более очевидным кажется это утверждение после анализа его
геометрического смысла (с привлечением понятия окрестности точ-
ки). Доказательство же, требующее известной аккуратности и чет-
кости мысли, полезно не только само по себе, но и как удобный по-
вод для выяснения того, насколько учащиеся усвоили определение
предела, могут ли они достаточно уверенно пользоваться им, хорошо
ли понимают суть умозаключений, связанных с неравенствами, по-
нятием модуля и т. д. Это доказательство может быть использовано
учителем как своего рода проверочный тест, от ответа на который
зависит право учащихся на дальнейшее движение вперед.
Рассматривая вопрос об ограниченности сходящейся последова-
тельности и необходимом условии сходимости, следует широко
использовать геометрическое истолкование предела последователь-
ности. На этой же основе и привлекая понятие окрестности точки,
полезно вместе с учащимися следующим образом перефразировать
определение предела последовательности:
«Число а является пределом последовательности (аЛ)Хь если
в любой его окрестности содержатся все члены последовательности,
за исключением, быть может, их конечного числа».
Это определение необходимо проиллюстрировать примерами:
1) Последовательность /—)°° имеет своим пределом нуль.
\ Л ] п^=\
Действительно, каково бы ни было число е > 0, интервал! — е, 8 I
(окрестность точки нуль) будет содержать почти все члены по-
следовательности, т. е. все члены последовательности, за исключе-
нием их конечного числа. В самом деле, решая неравенство | ап | < в,
£
п
е или п > —, получим, что для п
С
будет иметь место неравенство 0 < —
е, т. е. все члены данной
последовательности с номерами л, большими номера N ==
на-
ходятся в 8-окрестности нуля, а вне ее находится лишь конечное
число членов последовательности, номера которых не превосходят
N. А это и означает, что lim — = 0.
П-*СХ> П
Последовательность 0, 1, 0, 1, .... ------, ...» предела не
Л»
имеет. В самом деле, каково бы ни было число а, можно указать
такую его е-окрестность, например, для О < 8 <; —, что вне ее
заведомо лежит бесконечное число членов нашей последовательности.
Действительно, так как расстояние между точками 0 и 1 равно
305
Ф/+7 flw+2
Of
Рис. 79.
1, то в любом интервале вида la — 8, a + е [ (где 0 < е < -Д) не
содержится, по крайней мере, либо 0, либо 1, т. е. всякий раз вне
«-окрестности точки а будет находиться бесконечное число членов
данной последовательности, значения которых равны 0 или 1. Итак,
мы доказали существование у любого числа а такой его е-окрест-
ности, вне которой всегда находится бесконечное число членов
данной последовательности, а это значит, что оно не является ее
пределом.
Теперь учащиеся подготовлены к введению понятия ограничен-
ности последовательности и к усвоению теоремы об ограниченности,
как необходимом условии сходимости. Они понимают, что если
последовательность (an)^Li имеет своим пределом число а, то, изоб-
разив члены этой последовательности точками числовой оси (рис. 79),
мы всегда можем для любого 8 > 0 найти номер N такой, что на
этой оси в интервале la — е; а 4- «I будут содержаться члены
последовательности с номерами п > N, а вне этого интервала мо-
жет оказаться только лишь конечное число членов, номера которых
не превосходят М, т. е. точки вида alt О& а3, av ..., ац. Среди ко-
нечного числа членов ц (» = 1, 2
нечного числа членов щ (i = 1, 2, N) всегда найдется наиболь-
ший а; и наименьший afe. Рассмотрев далее отрезок [с, &], содержа-
щий интервал la — е; а + 4, наибольший элемент а/ и наимень-
ший элемент ak9 мы получим, что отрезок [с, 6] содержит все
элементы данной последовательности. Это значит, что последова-
тельность ограничена.
Таким образом, имеет место следующая теорема: если последо-
вательность сходится, то она ограничена, т. е. установлено, что
ограниченность последовательности есть необходимое условие су-
ществования предела. Следует подчеркнуть, что последним обстоя-
тельством удобно пользоваться для установления отсутствия пре-
дела у последовательности. Например, пусть дана последователь-
ность 1, 2,
Эта последовательность неограниченная, так как она не огра-
ничена сверху. Действительно, каково бы ни было число М > О,
всегда найдется элемент с четным номером, который будет больше
этого числа М, а именно надо брать член с номером п = 2А, где k >
> -х- .Так как данная последовательность не ограничена, то она
I **
предела не имеет.
Важным является вопрос о существовании предела последова-
тельности. Дело в том, что при вычислении пределов, как правило,
используются теоремы о пределах суммы, произведения и частного.

306
которые справедливы лишь в том случае, когда пределы слагаемых,
сомножителей, делимого и делителя существуют, причем предел
делителя должен быть отличен от нуля. Кроме того, на существо-
вание предела последовательности нам предстоит опираться при
введении ряда новых понятий: длины окружности, площади круга
и т. д. Поэтому необходимо уметь разрешать вопрос о существова-
нии предела последовательностей.
В школе используется достаточный признак существования пре-
дела (теорема Вейерштрасса): всякая монотонная ограниченная по-
следовательность имеет предел. Возможна и другая формулировка
этой теоремы: если последовательность не убывает (не возрастает)
и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.
Приведем пример использования этой теоремы для установления
существования предела у последовательности (art)£Li (1) с общим
членом ап — (1 4----1 . •
\ п I
Предварительно учащимся напоминается неравенство Бернул-
ли: для любого действительного числа а > —1 при п — 1, 2, 3...
справедливо неравенство (1 4- а)” > 1 + па (2) (точное равен-
ство в соотношении (2) имеет место при п = 1 или а = О). Теперь
можно приступить к решению задачи. Рассмотрим вспомогательную
последовательность с общим членом
Эта последовательность ограничена снизу, так как Ьп > 0. Дока-
жем далее, что она не возрастает. С этой целью рассмотрим
/ 1 / = + иЬж_. = (1 + Далее, / 1 \л / - \л | 1 -L 1 I / - П —1 1 \ П— 1 / \ п — 1 / 6Я / 1 V+1 ” / п + 1 V+1 ~~ \ п / \ п ) _ (п2)"+' П—1 _ / П2 V4 (^2—jyH-1 ’ п \ п2— 1 / = (1 + ... 1 _y+1 . \ л2 — 1 / п Согласно неравенству Бернулли имеем: / 1 \rt“H 1 11 4~ 2 । 1 1 -(п -J- I) * 2 1 /. . 1 V+1 , 1 п_ V л2 — l) 1 i П_1 п — 1 V п — 1 / * П2Я+1 (п 4-1)^1 • (л — 1)" 1 ю~1 _ п ~~ [_ • при п>2, т. е. т- при п>2.
307
Используя последнее соотношение, получим'.
= 1 <ПРИ n>2)« т- е- >Ьп.
Из последнего следует, что последовательность (b„)Xi не возрас-
тает. Итак, по теореме Вейерштрасса предел последовательности
(6„)£=i существует.
Рассмотрим теперь предел последовательности (an)Z=i-
I 1 \Л"Н
/ 1 \« *+-Г /,
lim ап = lim II + —I = lim------------:----= lim-------— =
Л->ОО n->OQ ' ** ' Л->оо | I * Л->оо | , r
П ~ n
lim bn
. &_ = ] im bn.
lim (1 4---) "•*“
П-tOQ \ П J
/ 1 \л rx
Откуда и следует, что lim 1 4-----существует» Этот предел
П-*оо \ п /
принято обозначать буквой «е», т. е. lim fl + —] =е. Учащимся
Л-+ОО \ Л ]
сообщается, что число е иррационально (приближенное значение —1
2,7182) оно играет большую роль в математике, естествознании
и технике.
2.6. На практике нахождение пределов производится, как пра-
вило, с помощью теорем о пределе алгебраической суммы, произве-
дения и частного.
Поскольку школьники должны уметь вычислять пределы хотя
бы в простейших случаях, причем речь идет не о выработке навыка,
а о сознательных действиях, постольку мы должны добиться со-
знательного усвоения содержания этих теорем. В частности, учи-
телю нужно следить за тем, чтобы в формулировках теорем, давае-
мых учащимся, были указания на существование пределов у после-
довательностей, входящих в качестве слагаемых, сомножителей,
делимого и делителя, причем предел делителя должен быть отли-
чен от нуля.
Доказательство основных теорем можно проводить двумя спо-
собами: а) методом 8, используя только определение предела; б) опи-
раясь на понятие и свойства бесконечно малых последовательностей,
на связь между сходящимися и бесконечно малыми последователь-
ностями.
Первый способ (с ним можно ознакомиться, например, в книге
А. М. Рубинова и К. Ш. Шапиева «Элементы математического ана-
лиза». М., «Просвещение», 1972) труден для учащихся, несмотря на
все его достоинства.
Второй способ доказательства теорем о пределах более доступен,
этим методом они доказаны в учебном пособии для IX класса 13,
81, а также в учебном пособии для IX—X классов «Математический
308
анализ» Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда (М., «Просвещение»,
1973). Однако следует иметь в виду, что хотя доказательство всех
этих теорем не сложнее доказательства теоремы о единственности
предела и вполне может быть усвоено учащимися, тем не менее
оно требует много времени. Поэтому вопрос о целесообразности рас-
смотрения доказательств теорем о пределах является спорным. Не
случайно новые программы по математике эти теоремы предлагают
рассматривать без доказательства. Нам представляется разумной
следующая схема. Учитель дает полное доказательство теорем о
пределе суммы, произведения и частного сходящихся последова-
тельностей. Учащиеся же не обязаны уметь его воспроизвести, но
отчетливо понимают принципиальную необходимость и возмож-
ность этого доказательства.
Следует подчеркнуть, что теоремы о пределах формулируют
лишь достаточные условия существования соответственно пределов
алгебраической суммы, произведения и частного. Эго нетрудно
сделать в ходе решения задач. Сумма двух последовательностей,
не имеющих предела, может иметь предел (т. е. сходиться), а может
не иметь предела (т. е. расходиться). Однако сумма сходящейся
и расходящейся последовательности всегда есть последовательность
расходящаяся.
Можно доказать справедливость и следующих утверждений:
а) если одна последовательность ограничена, а другая есть бес-
конечно малая последовательность (т. е. имеет предел, равный ну-
лю), то произведение этих последовательностей имеет предел, рав-
ный нулю;
б) если все члены и предел последовательности отличны от нуля,
то произведение этой последовательности на расходящуюся после-
довательность есть последовательность расходящаяся.
В заключение данного пункта еще раз подчеркнем, что програм-
ма не ставит задачи выработки у учащихся прочных навыков вы-
числения пределов. Уровень сложности упражнений на отыскание
пределов и степень требований к учащимся можно оценить по при-
мерам, приведенным в п. 29 учебника [3.8]. Вот один из них.
Найти lim
Л-*-©о
lim
П-t-OQ
Л-*©О
Л-*СО
Если при решении этого примера ученик может объяснить, почему
нельзя сразу опереться на теоремы о пределах произведения и
309
частного, почему допустимо деление на п и на п2, почему lim 5 = 5,
a lim —5=0, если он, кроме того, может объяснить, что он, соб-
п-»оо П
ственно, ищет и как понимать, что найденный предел равен 3-|-
(т. е. сумеет опереться в этом конкретном случае на определение пре-
дела), то можно считать, что цель данного этапа обучения достиг-
нута.
§ 3. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
И ПРОГРЕССИЙ
3.1. О месте данной темы в школьном курсе математики.
3.2. Изучение прогрессий в курсе математики VIII класса.
3.3. Изучение простейших числовых рядов.
3.4. О решении различных видов задач на прогрессию.
3.1. Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе
алгебры VIII класса в теме «Арифметическая и геометрическая про-
грессии». В дальнейшем в курсе «Алгебры и начал анализа»
в IX классе учащиеся имеют возможность ознакомиться с про-
стейшими рядами в теме «Бесконечные последовательности и их
пределы».
Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько
изолированной от остальных разделов частью курса алгебры. При
помощи бесконечной геометрической прогрессии и теории некото-
рых простейших числовых рядов удается изложить учение о перио-
дических десятичных дробях, вычислять определенные интегралы
(исходя из их определения как предела интегральных сумм), кото-
рые применяются при нахождении площадей плоских фигур и
объемов тел. Все это оправдывает включение в курс математики
средней школы вопросов, связанных с изучением прогрессий и про-
стейших числовых рядов.
3.2. Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются
простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррент-
ным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить вни-
мание учащихся и использовать его, формулируя определение про-
грессий.
Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соот-
ношением a„+i = ап+ d.
Если последовательность вводится рекуррентным способом, то,
как известно, для полного ее задания нужно указать начальные
члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать
первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет опреде-
лена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифме-
тическая прогрессия с первым членом = а и разностью d опре-
деляется индуктивно условиями: = а и Ал-р = ап + d.
Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные
310
числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной
1 и <Zi = 1: 1, 2, 3, 4 ... .
Геометрическая прогрессия по определению также представ-
ляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррент-
ным соотношением; ап^ = anq, т. е. задается условиями: aL = а
и *= Qnq*
Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифмети-
ческой, так и геометрической) можно начать с конкретных приме-
ров нескольких последовательностей, среди которых имеются, на-
пример, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры,
учащиеся могут выявить характеристические свойства последова-
тельностей некоторого вида, которые учитель затем называет ариф-
метическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно
сформулировать определение такой прогрессии.
Следует указать учащимся, что любую постоянную последова-
тельность (а • 1п)л==1 (т. е. последовательность, каждый член ко-
торой принимает значение, равное числу а) можно рассматривать
и как арифметическую прогрессию с разностью d = 0, и как гео-
метрическую прогрессию со знаменателем 1.
В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаме-
нателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии раз-
личен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если
d > 0, и будет убывающей, если d < 0.
Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией.
Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависи-
мости от значений q следует разобрать с учащимися более деталь-
но, например, по такому плану:
1) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы,
что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.
Пример.
1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е. = 1, q = 3), или —2, —8, —32, ...
(т. е. ах = —2, q ~ 4).
2) Если 0 < q < 1, то члены геометрической прогрессии таковы,
что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.
'.Пример. 2» 4" ’ Т ’ (т‘ е- fli = 2» = 4") ’ или
1 1 1 / „ „ 1 1 \
5 ’ 26 ’ 125 * “ е’ 01 ~ 4 ~ б)*
3) Пусть q < —1, тогда члены геометрической прогрессии при-
нимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю.
Пример.
—3, 6, —12, 24, ... (ах = —3, q = —2).
4) Если —1 < q < 0, то члены геометрической прогрессии при-
нимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.
Пример. —8, 1, —••• (т- =—8> Я ~ ~~7П ’
5) При <7=1 все члены геометрической прогрессии одинаковы,
т. е. ах, alt ...» alt ..., а при q —1 все члены геометрической
311
прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т. е. а19 —а±9 Дм
—аи ... . »
Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрес-
сий. Опыт работы показывает, что вывод формул для общего члена
арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруд-
нений у учащихся.
Существует несколько способов:
а) методом математической индукции (см., например, учебное
пособие «Математический анализ» Н. Я. Виленкина и И. С. Шварц-
бурда. М., «Просвещение», 1973). Это доказательство в качестве
упражнения предложено ив [3. 81;
б) исходя из определения, а именно по определению имеем:
6^2 ==*
Л3 5=5 ^2 ^3 = ^2^7
= (2п~1 dn ==
где для случая геометрической прогрессии считаем: ах Ф 0 и q Ф 0.
Сложив равенства в первом случае и перемножив во втором,
получим с учетом свойств равенств следующие известные формулы:
ап = 01 + d (п — 1) и о„ —
В заключение отметим, что вывод суммы первых п членов ариф-
метической (или геометрической) прогрессии, способом, предложен-
ным в учебном пособии [3.6], не вызывает у учащихся затруднений.
3.3. Понятие числового ряда вводится в IX классе. Необходи-
мость изучения понятий числового ряда и его суммы диктуется тем,
что без них мы не знаем, что означает термин «сумма бесконечного
числа слагаемых». Целесообразность изучения простейших число-
вых рядов можно показать, решая задачу об обращении бесконеч-
ной периодической десятичной дроби в обыкновенную, а также
при решении задачи о сумме бесконечной геометрической прогрес-
сии. В самом деле. Рассмотрим геометрическую прогрессию, пер-
вый член которой aj = а #= 0 и знаменатель равен q\ a, aq, aq\ ...
..., aqn~l, ... .
Учащиеся умеют находить по известной формуле сумму п пер-
вых членов этой прогрессии. Можно ли найти сумму всех членов
этой прогрессии, т. е. а + aq + aq2 + ... + aqn~x + ...? Эта сум-
ма состоит из бесконечного числа слагаемых, и на первый взгляд
кажется, что задача неразрешима. В то же время, непосредственный
подсчет суммы достаточно большого числа членов бесконечной гео-
метрической прогрессии (его надо проделать) наводит на мысль, что
задача реальна, надо лишь четко ее сформулировать и определить
соответствующие понятия.
Учитель отмечает, что выражения вида хх + х2 + ••• + хп + •••
получили название рядов. Задача теперь состоит в том, чтобы разум-
ным образом определить числовое значение такого выражения и
научиться его вычислять.
312
: :: После введения определения числового ряда учащимся сообща-
йся, что общий член последовательности ап называют для случая
ряда общим членом ряда, а ряд с общим членом а„ записывают
кратко в виде 2 ап-
Л=1
' Рассмотрев с учащимися вопрос о частичных суммах ряда и ис-
; пользуя понятие предела последовательности частичных сумм, учи-
тель может ввести определение суммы ряда и раскрыть содержание
терминов «сходящийся» и «расходящийся ряд».
Для того чтобы учащиеся сознательно усвоили эти понятия,
необходимо провести со всем классом детальный разбор соответ-
ствующих примеров.
Примеры. 1) Пусть имеется ряд
сю
2 1я =14-1+ ••►+1 .... тогда Sn = 1 + 1 + »• • + 1 — п,
л=1 ’ ' 1
п слагаемых
т. е. lim S'„ ® lim п = со, следовательно, ряд расходится.
П-*СЮ ' Л->СО
2) Пусть дан ряд вида
оо
л==1
Последовательность частичных сумм этого ряда имеет вид:
= 1, Sa = О, S3 = 1, S4 = 0, ..., S2r-i = 1, S2n = 0 ... .
Такая последовательность предела не имеет, значит, ряд
оо
2(—I)”-* расходится.
3) Рассмотрим ряд вида
V 1 — 1 4. 1 4- 1 -U » 4- 1 4-
л (n + 1) 1-2 + 2- 3”+“3*4 + * “ "Г* »(л + 1) + *
Построим последовательность частных сумм этого ряда, учиты-
вая, что общий член ряда имеет вид:
_ 1 _ J_______1 .
п(л+О п п+1 ’
313
Таким образом,
S = lim S„ = lim
Л->оо л->оо
последовательность частичных сумм имеет конечный предел, зна-
чит, данный ряд согласно определению сходится.
Изучив числовые ряды, следует вернуться к рассмотрению во-
проса о сумме бесконечной геометрической прогрессии.
Обычно теорема о сумме геометрической прогрессии рассматри-
вается лишь для случая |(?| < 1. Иногда у учащихся возникает
вопрос о том, что произойдет в случае, когда |?| >- 1. На занятиях
математического кружка можно ознакомить учащихся с понятием
бесконечного предела, а затем с одним из возможных вариантов ре-
шения этого вопроса.
Рассмотрим ряд, составленный из членов бесконечной геометри-
ческой прогрессии:
ai + aiQ + а1Я2 + ОД3 + * • * + а\Яп 1 + • •4
(♦)•
Как известно, при q 1 для суммы п первых членов этой про-
грессии имеет место формула 5Л = , следовательно, л-я
1 —?
частичная сумма ряда (*) для q Ф 1 имеет вид: Sn — 1
поэтому можно рассмотреть предел последовательности частичных
сумм:
lim Sn = lim
Л-*Оо П-ЬОО
Д1
1—9
[1 — lim 9я].
Л4ОО
1 — q
Так как lim qn =
П-bOQ
О при I q I < 1,
оо при | q | > 1,
то lim Sn =
Л«+О0
Ql
1 —q
oo
при I <71< 1,
при | q | > 1.
Рассмотрим теперь случай q = ±1.
а) Пусть 9 = 1, тогда Sn = aY • n, следовательно, при О
limS„ = lim n • Oj = oo.
б) Если 9 = —1, то ряд (*) примет вид:
01 — 01 — «1+ ••• +(—1)" ’ai+ ••••
Последовательность частичных сумм этого ряда следующая:
Si — flj, S2 = О, S3 — til, S4 = 0, ,.., S2/J—i = S2n = 0, . *..
Поэтому для at 0 такая последовательность предела не имеет,
оо
т. е. ряд 2 (—I)"-101 расходится.
314
/ Итак, мы установили, что ряд (*) сходится лишь при |?| < 1,
а для |^| > 1 расходится.
Таким образом,, приняв предел последовательности частичных
сумм ряда, составленного из членов бесконечно убывающей по
модулю геометрической прогрессии, за сумму этой прогрессии, мы
получим формулу для вычисления суммы прогрессии: S = J-,
где — первый член прогрессии, q (|g|< 1) — ее знаменатель.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что, решая за-
дачу о сумме бесконечной геометрической прогрессии, мы не скла-
дываем бесконечное множество чисел — членов прогрессии, этого
сделать нельзя (так как обычным способом, сколько бы ни склады-
вали, все слагаемые мы не исчерпаем), а находим предел последо-
вательности частичных сумм ряда, составленного из членов этой
бесконечной прогрессии.
Следует иметь в виду, что вопрос о бесконечной арифметической
прогрессии, первый член которой ох = а и разность d 0:
a, a -f- d, а + 2d....а + d (п — 1), ...
является более сложным.
Числовой ряд из членов прогрессии будет иметь следующий вид:
2 [а + d (п— 1)] = а + (a -j-d) 4- (a 4- 2d) 4- • • • 4- (а 4- d
Л=1
-1))+....
Предел же общего члена:
lim ап = lim [а 4- d(п — 1)] = со (так как d =/= 0).
Л->О<Э /WCO
Так как необходимое условие сходимости ряда не выполняется, то
ряд у [а + d (п — 1)1 расходится для любого d 0. По этой
и==-1
причине в школе не представляется возможным рассматривать сум-
му бесконечной арифметической прогрессии.
3.4. Понятие прогрессии следует закрепить, решая задачи раз-
личных видов.
а) Используя формулы общих членов прогрессий и суммы пер-
вых членов прогрессий, а также суммы бесконечной, убывающей
по модулю геометрической прогрессии, находят один из компонен-
тов этих формул, если остальные известны.
Упражнений такого вида достаточно в учебных пособиях для
VIII и IX классов.
б) Задачи, в которых по заданной зависимости между членами
арифметической и геометрической прогрессии (или одной из них)
требуется найти сами прогрессии.
При решении таких задач полезно разнообразить содержание,
рассмотрев, например, случай, когда разность (знаменатель) про-
грессии есть иррациональные числа. Часто очень помогает решению
313
заДач использование характеристических свойств прогрессий, дока-
зательство которых само по себе составляет прекрасную задачу.
Напомним их.
В арифметической прогрессии каждый ее член (кроме первого,
адля конечной прогрессии и последнего) есть среднее арифметиче-
ское предшествующего и последующего членов, т. е.
ak = дЛЯ ВСех k = 2, 3, ....
ЛЛ
Верно и утверждение, обратное рассмотренному.
В геометрической прогрессии каждый ее член (кроме первого,
а в конечной прогрессии и последнего) есть среднее геометрическое
между предшествующим и последующим членом, т. е.
ак — У• 0*4-1, k — 2, 3, ...
Справедливо и обратное утверждение.
Приведем несколько примеров решения задач на прогрессии.
Задача 1. При каком значении х числовые значения функ-
ций 1g 2, 1g (2* — 1) и 1g (2х + 3), взятые в указанном порядке,
составляют арифметическую прогрессию?
Решение. Необходимым и достаточным условием того, чтобы
три числа составляли арифметическую прогрессию, является спра-
ведливость равенства
1g (2х -1) =
1g 2 + 1g (2х 3)
2
Рассматривая его как уравнение относительно х, получим:
x = log25 = -j||-
Задача 2. Найти знаменатель геометрической прогрессии,
в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме рядом
стоящих членов, разделенной на 6.
Решение. Пусть Ь1У bYq9 l^q2, l^q”-1.., есть искомая
прогрессия, тогда для нахождения знаменателя этой прогрессии,
используя условие задачи, составим уравнение
Исключив тривиальные случаи = О и q = 0, получим:
<?— 6^-1-1=0,
откуда q = 3 ± 1^8.
Таким образом, решением данной задачи является геометриче-
ская прогрессия, знаменатель которой выражается иррациональным
числом.
в) Применение прогрессий при рассмотрении некоторых вопро-
сов математики, например, при обращении периодической дроби
в обыкновенную, получении формулы сложных процентов, для на-
хождения площадей фигур, объемов тел и др.
316
у В X классе на занятиях кружка полезно,
например, показать применение геометриче-
ской прогрессии при нахождении площадей
криволинейных трапеций с основанием [а, Ы,
т. е. площадей фигур, ограниченных сверху
графиком кривой, снизу отрезком оси абс-
цисс, с боков отрезками вертикальных пря-
мых х = а и х = Ъ.
f Это можно сделать при решении, напри-
мер, такой задачи: «Вычислить площадь фи-
гуры, ограниченной параболой у == ха, осью
абсцисс и прямыми х = 0 и х = Ь (0 < 6)».
Решение. Для решения поставленной
задачи поступим следующим образом. Разо-
бьем отрезок 10, Ь] нац конгруэнтных частей
длиной &х( = у, точками ai — 0 = 0,1,
Рис. 80.
2, ..., п). Затем через точки деления at (t = 1, 2, .... п — 1) про-
водим прямые, параллельные оси ординат. В результате проделан-
ной операции данная криволинейная трапеция с основанием [а, М
разобьется на п криволинейных трапеций с основаниями
[ct,, 0,4-1] (i — 0, 1, -2, • • •, ti 1).
Заменяя каждую криволинейную трапецию с основанием 0/4.1]
прямоугольником с тем же основанием, мы построим ступенчатую
фигуру (на рис. 80 она заштрихована), площадь которой равна:
п—1 п—1
<т„ =.^ St = (—- л . — » так как площадь каждого прямо-
i=0 i=0
угольника вычисляется по формуле
л—1
Величина оп == V S(- — некоторое приближение площади кри-
i=0
волинейной трапеции. Заметим, что приближение будет тем лучше,
чем меньше длина отрезков деления ]ао 0,4-1] (i = 0, 1, ..., п — 1).
Следовательно, площадь криволинейной трапеции S будет равна
пределу ап при п->оо.
Итак, вычислим
— lim
Л->оо
л—1 2 /п-1 \
limап = lira £ (-£- /) * V = (Ё П
Л-Юо Л^ОО1==0 \ П / П Л->©О п \ZeeQ У
= lim JJ-р + Р + 2* + ... +(п-1)2] =
Л*>оо П
_ 4.)imг/1 _а\(2_am_4..
6Л 6 П-ео[\ П /\ П /] 3
Следовательно, искомая площадь равна у.
317
§ 4. МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ С ПОНЯТИЯМИ
ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
4.1. О месте этих понятий в курсе математики средней школы.
4.2. О введении понятия предела функции в IX классе; един-
ственность предела.
4.3. Теоремы о пределах функции.
4.4. Об изучении понятия непрерывности функции в IX—X
классах.
4.1. Включение в программу таких понятий математического
анализа, как производная и определенный интеграл, требует рас-
ширения понятия предела. Тех знаний, которые учащиеся получили
при изучении темы «Бесконечные последовательности и их пре-
делы» в IX классе (см. § 2 данной главы) и которых, вообще говоря,
достаточно для простейших геометрических и арифметических при-
ложений, теперь явно не хватает для подготовки учащихся к вве-
дению важнейшего инструмента математического естествознания —
понятия производной. Это понятие, как известно, определяется как
предел специального вида, а именно предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при условии, что последний стре-
мится к нулю.
При изучении в X классе темы «Интеграл» определенный инте-
грал также рассматривается как предел специального вида, а имен-
но предел интегральных сумм.
Современная программа требует и более основательного изуче-
ния методов исследования функций. Эго, в свою очередь, обязывает
нас не ограничиваться вынесенным из восьмилетней школы интуи-
тивным представлением о непрерывности функций, а побуждает к
достаточно строгому определению этого понятия, что опять-таки
требует владения понятием предела.
Короче говоря, для построения курса начал анализа возникает
необходимость изучать не только предел последовательности (пре-
дел функции f (и), определенной на множестве 7V, т. е. функции
дискретного аргумента), но и предел функции непрерывного ар-
гумента (т. е. предел функции f (х))> заданной во всех точках не-
которого интервала, за исключением, быть может, точки х = а, в
которой рассматривается предел этой функции f (х). Таким обра-
зом, теория пределов, которая всегда представляла собой одну из
наиболее трудных для учащихся тем курса математики средней шко-
лы, еще больше усложняется. Заметим, что соображения, которые
были высказаны в п. 2.4 § 2 данной главы по поводу трудностей,
связанных с усвоением понятия предела последовательности уча-
щимися, относятся в равной степени и к изучению понятия предела
функции. Однако задача отбора материала при изучении предела
функции, его методическая обработка становится более сложной
ввиду общности этой темы, разнообразия ее приложений. Здесь
еще в большей степени, чем при изучении предела последователь-
318
ности, важен способ изложения, выбор подхода к изучению понятия
предела функции.
Заметим, что понятия предела и непрерывности функции отли-
чаются значительной абстрактностью. И хотя научиое формирова-
ние этих понятий проводится в старших классах средней школы,
учащиеся которых обладают достаточно развитыми навыками
мыслительной деятельности, тем не менее эти фундаментальные
понятия могут быть успешно усвоены учащимися лишь при осуще-
ствлении конкретного подхода к их изучению. Поэтому изучение
непрерывности функции в школе лучше проводить на конкретных
примерах графиков функций, обладающих и не обладающих этим
свойством, активно привлекая графическую иллюстрацию. Опре-
деления предела и непрерывности функции целесообразно форму-
лировать, используя наглядную топологическую форму.
Последовательность изложения понятий предела и непрерыв-
ности функций может быть различной — иногда понятие непрерыв-
ности рассматривают без обращения к понятию предела и соответ-
ственно раньше его, иногда наоборот. Каждый из возможных
вариантов изложения обладает определенными преимуществами и
недостатками. В школьном курсе, по-видимому, целесообразнее
вводить непрерывность после изучения предела функции, но в лю-
бом случае не следует разрывать формирование этих понятий на
длительное время.
4.2. Остановимся теперь подробнее на методике введения поня-
тия предела функции в школе, на изучении локальных свойств функ-
ций, имеющих предел. Заметим прежде всего, что формулировке
определения предела (оно аналогично определению предела после-
довательности) целесообразно предпослать рассмотрение с учащи-
мися нескольких примеров. Начинать изучение следует с предела
линейной функции, а закреплять это понятие рассмотрением пре-
делов более сложных функций.
Пример 1. Пусть дана функция f (х) = х®, которая опре-
делена на всей числовой прямой. Рассмотрим значения функции
f (х) для х из некоторой окрестности точки х = 3 (т. е. из интер-
вала вида ] 3 — е, 3 + е [). Составим следующую таблицу:
X 2,9 2,99 2,999 3 3,01 3,01 3,1
-8Л 8,94 ; 8ДЭ94 9 9.006 i SU)6 9»6
Из приведенной таблицы учащиеся легко могут усмотреть, что,
чем ближе х к 3, тем ближе значение функции f (х), соответствующее
этому х, к числу 9. Итак, имеем: пусть в — произвольное положи-
тельное число, тогда функция f (jc) принимает значения из 8 —
окрестности точки 9» если значения аргумента х брать из некоторой
6 —* окрестности точки 3.
319
Действительно, пусть в — произвольное положительное число
(лаже сколь угодно малое).
Рассматривая значения х, удовлетворяющие неравенству 0 <
<|х— 3| < 6 (а значит, имеет место |х 4- 31 < 6 4- 6), полу-
чим: | х2 — 9| = | х — 311 х + 31 < б (6 4- 6). Таким образом,
выбирая 1 > б > 0 так, чтобы б (6 4- б) •< е, например, б <
получим, что для значений х, удовлетворяющих соотношению 0 <
< | х — 31 < б, выполняется неравенство | х2 — 9 | <; 8.
В этом случае говорят, что функция / (х) имеет своим пределом
число 9 в точке х = 3 (или при х -> 3), пишут lim ха = 9.
х-*3
v2_ Л
Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = * , заданную
на всей числовой прямой, кроме точки х = 2. Составим таблицу
значений, которые принимает данная функция, если аргументу
даются значения из некоторой окрестности точки х — 2, исключая
при этом саму точку х = 2.
X 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
/(*) 3,9 3,99 3,999 Функция не существует 4,001 4,01 4.»
Анализируя полученную таблицу, нетрудно подметить, что зна-
чения функции / (х) мало отличаются от числа 4, если х находится
вблизи точки х = 2. Таким образом, значения функции находятся
в е — окрестности точки 4 (в > 0 — произвольное число), если х
принадлежит некоторой окрестности точки х = 2 (при этом аргу-
мент х не принимает значения х = 2).
В самом деле, пусть 8 — произвольное положительное число.
Рассмотрим значения х, удовлетворяющие неравенству 0 < | х —
— 2| < 6, тогда имеем:
|/(х)-4| =
= |х 4-2 •—41 = [х — 2|< б.
Полагая б = в, получим: |/ (х) — 41 < в для х, удовлетворяющих
неравенству 0 < | х — 21 < б.
Последнее означает, что функция f (х) имеет своим пределом
в точке х = 2 (или при х 2) число 4, т. е.
lim/(х) = lim х* * = 4.
х-*2 х-+2 л z
•
После такого предварительного рассмотрения нужно сформу-
лировать определение предела функции в точке.
Следует обратить внимание учащихся на то, что точка а, в ко-
торой рассматривается предел функции f (х), может принадлежать
320
области определения функции f (х) (см. пример 1), а может и не
принадлежать (см. пример 2). Согласно определению предела функ-
ции функция предполагается определенной в 6—окрестности точки
а, кроме, быть может, самой точки а (т. е. для х, удовлетворяю-
щих неравенству 0 < | х — а | < S). Важно подчеркнуть учащим-
ся, что этот факт (т. е. то, что в определении предела не предпола-
гается, что функция определена в той точке, где рассматривается
предел) широко используется в практических приложениях, ибо
это позволяет при нахождении предела функции в точке не иссле-
довать вопрос о существовании функции в этой точке.
При рассмотрении понятия предела функции необходимо также
выработать у учащихся правильное представление о том, что выбор
6 зависит от е, которое может быть произвольным. Для этого надо
рассмотреть достаточное число примеров на нахождение S > 0 при
заданных е > 0 и я. Так, например, при нахождении предела вида
im х* — а2 (а — любая точка числовой прямой) надо показать,
х-+а
что число 1 > 6 > 0 должно удовлетворять неравенству 0 < б <
< 21 4-1 ( в РассмотРенном выше примере 1 для а = 3, число 6
удовлетворяло неравенству 0 < 6 < -у-L В самом деле, рассматри-
вая значения х, удовлетворяющие неравенству 0 < | х — а | < 6,
получим, что |х + й|<64-2|а| (действительно, | х + а | =
— | (х — а)4-2а|<|х— а | 4- 21 а | < 6 4- 2 | а |, так как|х —
— а | < 6. Следовательно, |ха — а® | = | х — а 11 х 4- а | <6 (6 4-
4~ 2|а|). Таким образом, выбирая 1 > б > 0 так, чтобы б (б 4*
4- 21 а |) < в, т. е. О < б <
х, удовлетворяющих условию
1~"2[of ’ ПОЛУЧИМ» что Для значений
О < | х — а [ < б, выполняется нера-
венство
|х® — а®
<8, т.
е. limx® = а®
Изучение с учащимися понятия предела функции в точке сле-
дует закончить рассмотрением теоремы о единственности предела.
Необходимо подчеркнуть, что функция не может иметь двух раз-
личных пределов в одной точке. Учащимся напоминается, что ана-
логичным свойством обладал предел последовательности.
4.3. Основные теоремы о пределах функций (теоремы о пределе
постоянной, о пределе суммы, произведения, частного) аналогичны
соответствующим теоремам о пределах последовательностей. Поэто-
му нет необходимости в школьном курсе еще раз рассматривать их
доказательства, но следует убедиться в том, что учащиеся твердо
знают их формулировки и хорошо усвоили смысл этих утверждений.
У учащихся должна быть отработана техника нахождения пре-
делов на несложных примерах. При этом необходимо уделить осо-
бое внимание рассмотрению пределов дробей в точках, в которых
знаменатель обращается в нуль. Это очень важно для изучения
других вопросов курса математики. Так, например, при рассмот-
Ц 7—941
321
рении понятия производной функции мы определяем производную
как предел вида f (х) = lim, т. е. рассматриваем предел
дроби -g- , предел знаменателя которой равен нулю. При этом
учащиеся испытывают затруднение, у них возникает законный
вопрос: «Как может существовать предел дроби при Дх -> О?
Ведь теорему о пределе частного применять здесь нельзя, ибо
предел знаменателя равен нулю!»
Лучшим аргументом в пользу существования производной и
будет ссылка на существование предела у конкретных дробей ука-
занного вида, рассмотренных учащимися ранее в процессе решения
задач.
На внеклассных или факультативных занятиях можно показать
применение при нахождении пределов функций следующей теоремы
о пределе промежуточной функции: если lim <j> (х) = В и
x-ta
Пт ф (х) = В, причем в некоторой окрестности точки а выпол-
няются неравенства <р (х) < f (х) < ф (х), то lim f (х) = В.
х-*а
Применение этой теоремы полезно проиллюстрировать при на-
хождении так называемых «замечательных пределов»:
. ,. sinx ,
а) 1нп--------= I
хн-0 х
!
.6) lim(l Ч-х)* «а
х->0
(первый замечательный предел);
(второй замечательный предел).
Положив z = -- (т. е. г—>оо при х->-0), последнее равенство
г /1 । 1 V 1
можно записать в виде hm 11 Н-------1 = е *.
г—.оо \ /
Можно рассмотреть следующее доказательство того, что
lim-^- = 1.
х-»0 х
Отметим сначала, что функция
f(x) =
sinx
X
1,
х О,
х — О
есть четная. В самом деле,
sin (— х) — sin х sin х
х^= О,
1 О пределе функции при х -> оо см.: Виленкин
б у р д С. И. Математический анализ. М.> 1973, с. 153.
Н. Я.> Ш в а р ц-
322
Итак, f (—х) = f (х), значит, функция четная. Так как / (х) четная,
то это означает, что достаточно изучить поведение данной функции
для х > 0. Пусть имеется круг радиуса R — 1 (рис. 81). Рассмот-
рим в нем острый угол АОВ, радианная мера которого х, хорду АВ
и касательную АС к окружности в точке А.
Сравнив площади треугольников АОВ и АОС, а также круго-
вого сектора АОВ, получим: S^aob < 5сек. лов < 5длос, т. е.
-y-sin х < ~ х < tg х, или sinx<x<tgx, где0<х<-^--
Так как sin х > 0 для 0 < х < < то последние неравенства
можно записать в виде
X 1
sin х cos х
Так как lim——
х-0 COS*
= 1, то, используя теорему о пределе промежуточ’
ной функции, получим:
Игл—— ~ 1 или Нт--------= lim--------— ---------— 1
х->0 sinx х->0 х Х-М) * lim х
sin х sin х
Что и требовалось установить.
С учащимися можно рассмотреть одно из многочисленных при-
менений первого замечательного предела к выводу формулы длины
окружности С = 2лR.
Доказательство. Рассмотрим окружность радиуса R
с центром в точке О, в которую вписан правильный и-угольник,
[ЛВ] — одна из его сторон (рис. 82).
Как известно, величина внутреннего угла ЕАВ правильного
л-угольника равна: ЕАВ = —— а радианам, поэтому
323
Из AOAD:| AD | «= Rcos -у-» т. е. | ЛВ| = 2|ЛП| =» 2#cos
(Л Л \ л уъ • Л
-----— = 27? sin — •
Так как длина периметра рассматриваемого /г-угольника равна Рп =
«= п • | АВ |, то
л
sin--------------------------------------------------------
С *= lim Рп=Пт п • | АВ | = Нт п • 2R sin -— = 2R Нт . п— =*
Л-»©О П-¥СО ntCX> Л->сю ___
п
27? Нт
Л-*оо
Л
ГГ
так как
л
sin---
= 2nR 1 im--------—
П-+са п,
П
Л
sin---
lim-------— = 1.
П~>оо ГС ,
П
= 2nR,
Доказательство того, что lim 11 4- -^-У = а, можно провести
Z-+OO \ * /
так. Для определенности будем считать, что z->4-oo, т. е. надо
найти lim (1 -4- —У •
Z-»-f-00 \ /
Таккак z-> + оо, то, учитывая, что для г > 1 имеет место нера-
венство
n<z<n-f-l, (1)
для этого достаточно положить п = [z], получим:
Таким образом, из, выполнимости неравенств (1) и (2) следует
справедливость следующих неравенств:
2 / 1 Хл4-1
п
Z
п
Согласно результатам п. 2.5 данной главы имеем:
(3)
— в,
Л->оо
1
Л
Используя далее «теорему о пределе промежуточной функции», по-
лучим:
324
//Можно доказать, что lim /1 -j——V =s е. Таким образом, имеет
место:
(4)
С помощью рассмотренного предела (4) можно показать учащимся
существование предела Игл —х = In а, который использует-
ся при выводе формул производных от различных функций.
Пусть аЛ* <— 1 = а, тогда а -> 0 при Дх -> 0. Следовательно,
loga (!+«)= Ах.
Таким образом,
lim
Длг-*О
аАл—I
Дх
= lim —j—-тг-г—т
дхн-о tafo(H-a)
= lim—j------------
“-’° 4- logo (I + a)
= lim------------------j_ -----------------------j_
a->0 — —
loga (1 + a)06 lim logfl (1 + a) a
a->0
_-------------1--------— _ _ |n a
JL toga*
logo (lim (1 + a) a 1
4.4. С понятием непрерывности функции учащиеся впервые
встречаются в восьмилетней школе и широко пользуются им при
построении графиков простейших функций, хотя сам термин «не-
прерывная функция» не употребляется, а тем более не вводится
определение этого понятия. На первых этапах построение графи-
ков простейших функций, например линейной функции, у = ах*
или у = аха, совершается «по точкам». А именно, составляют, таб-
лицу значений функции, соответствующих определенным значениям
аргумента, затем на плоскости, в которой задана система коорди-
нат, строят точки, координаты которых занесены в таблицу; соеди-
нив отмеченные точки сплошной линией, получают график функ-
ции. Как известно, это можно делать не всегда, а только в том слу-
чае, если функция непрерывная (тогда график ее есть сплошная
линия) или дифференцируемая (тогда график ее будет сплошной
линией, которая не содержит угловых точек).
Как уже было сказано в п. 4.1 данной главы, понятие предела
функции в точке можно рассмотреть до введения понятия непре-
рывности функции. Приняв такую точку зрения, перейдем к рас-
смотрению одного из возможных вариантов введения понятия не-
прерывности функции в школе.
Пусть f (х) задана на множестве Е и точка а £ Е является пре-
дельной точкой множества Е. Тогда можно дать следующее опре-
деление:
325
Функция f (х) называется непрерывной в точке а, если предел
функции f (х) в точке существует и равен значению функции в этой
точке: Hm f (х) = f (а).
х*+а
Учащимся необходимо раскрыть смысл этого определения. Имен-
но согласно данному определению непрерывность функции f (х)
в предельной точке а множества Е, где Е — область определения
этой функции, означает выполнимость следующих условий:
1) функция /(х) должна быть определена в точке а, т. е. точ-
ка а £ £;
.2) предел функции / (х) должен существовать в точке а;
3) предел функции f (х) при х-> а совпадает со значением функ-
ции в этой точке.
Полезно эти условия рассмотреть с учащимися на конкретном
примере:
Пусть f (х) = х2 -f- 2х. Данная функция определена на всей
числовой прямой, в частности и в точке х = 3. Найдем предел
этой функции при х —> 3, используя теоремы о пределах:
lim (х2 -|- 2х) = lim х2 + Hm 2х — З2 4- 2 • 3 в 15.
X—>3 х-»-3
Далее вычислим значение данной функции в точке х = 3: f (3) =*
— З2 -|- 2 • 3 = 15. Итак, значение функции в точке х — 3 совпало
с пределом этой функции при х ->• 3, а последнее и означает согласно
определению, что f (х) = х2 4- 2х непрерывна в точке х = 3.
Позднее, при изучении непрерывности тригонометрических
функций в X классе, целесообразно вновь вернуться к выяснению
условий непрерывности.
Например, пусть f (х) = sin х, данная функция определена на
всей числовой прямой, в частности и в точке х «Тогда, рас-
смотрев предел этой функции в точке х = , получим: lim sin х =
О л
6
= -i-. Так как значение функции f (х} в точке х = -£- также равно
4b U
половинеединицы, т. e.f [4г) = sin 4г =* то имеет место совпа-
\ О / О £
дение значения f (х) = sin х в точке х = с пределом этой функ-
ции при х->-^-, а это согласно определению означает непрерывность
sin х в точке х = 4-.
6
При рассмотрении пределов ряда функций учащиеся видели,
что равенство lim f (х) = / (а) иногда не выполняется. Такие функ-
ции называются разрывными, а точка а называется их точкой раз-
рыва. Например, функция f (х) = {х} •— дробная часть любого
действительного числа, есть функция непрерывная всюду, за исклю-
326
чением целочисленных значений аргумента х, в которых функция
разрывна (рис. 83).
Имеется и другой подход к введению понятия непрерывности
функции в точке, независимый от понятия предела функции. Рас-
смотрим его. Сформулируем сначала определение непрерывности
функции на языке (в — б): функция f (х) называется непрерывной в
точке а, если для любого числа в > 0 найдется такое число 6 > О,
что неравенство | / (х) — f (a) | <; в выполняется для всех х из
области определения функции, удовлетворяющих неравенству | х —
— а| < б.
Обращается внимание учащихся, что согласно этому определе-
нию непрерывность функции можно рассматривать в любой точке
а из области определения Е функции f (х) (т. е. точка может быть
как предельной точкой множества Е, так и изолированной точкой
этого множества Е). Действительно, точка а изолированная точ-
ка множества Е, т. е. существует б-окрестность точки а, не содер-
жащая других элементов из Е, кроме самой точки а. Тогда нера-
венство | f (х) f (а) | < в имеет место в указанной б-окрестности
точки а для любого в > О, так как f (х) — f (а) ~ f (а) — f (а) =
= 0, ибо в б-окрестности точки а нет других элементов из области
определения функции f (х), кроме самой точки а.
Например, пусть дана функция
Г ]х , х > 2,
/<х)= I, х=1,
I sinx, х < 0.
Тогда эта функция непрерывна для следующих значений аргумен-
та 2 < х < 4- оо, х < 0, х = 1; в точках х == О и х = 2 она
будет разрывной (рис. 84).
Возможен и еще один путь введения понятия непрерывности
функции, основанный на понятии приращения функции и аргу-
мента.
Пусть дана функция f (х), определенная на множестве Е. Пусть
а — некоторое значение аргумента из области определения этой
функции. Тогда, если х — другое (новое) фиксированное значение
аргумента, то приращением аргумента называют разность х — а,
которую обозначают через Дх, т. е. Дх == х а, откуда х = а 4-
4- Дх.
Рис. 83.
л/Уи/и,
-3 ~2 -1 О 1 2 3 х
Рис. 84.
327
Приращением функции f (х) в точке а называют разность вида
А/ = f (х) — f (а) = f (Дх + а) — f (а). Отметим, что приращение
функции Д/ считается функцией переменного Дх, а не переменного
х, которое рассматривается временно фиксированным.
Согласно сформулированному выше определению непрерывности
функции f (х) в точке а имеем, что для любого 8 > О существует
б> 0 такое, что | f (х) «— f (а) ] < е для х£ Е и | х— а| < б.
Так как, полагая х— а = Ах, имеем: х = а 4- &х> то последнее
неравенство можно переписать в виде
|/ (а 4- Дх) — f (а) | < е при | Дх | < б, или | Д/1 < 8 при ] Дх | <
< б, а это значит lim / (х) = f (а) <=> lim Д/ = 0.
х-*а Дх->0
Итак, из последнего следует, что если f (х) непрерывна в точке а,
то малому приращению аргумента соответствует малое приращение
функции, или что приращение функции f (х) есть функция бесконеч-
но малая при Дх -► 0.
Следовательно, можно дать определение непрерывности функ-
ции в точке в следующем виде: функция f (х) называется непрерыв-
ной в точке а, если ее приращение в этой точке есть функция бес-
конечно малая при Дх -> 0.
Пример 1. Доказать непрерывность в начале координат сле-
дующей функции (рис. 85):
Н*) =
х8, если х <0,
sinx, если х>0.
Рассмотрим приращение функции Д/ в начале координат:
Д/ = f (0 4- Дх) — f (0); так как f (0) = sin 0 = 0,
то Af = f (Дх). Пусть Дх > 0, тогда Af =5 sin Дх.,'
Следовательно, lim Af = lim sin Дх = 0.
Дх->0 Дх->0
Ax>0 Дх>0
Пусть теперь Дх < 0, тогда Af — (Дх)8. Таким образом,
1 im (Дх)8 = 0.
Ах->0
А*<0
lim Af =
ДХ->0
Ах<0
Рис. 85.
Рис. 86.
328
Итак, при произвольном стремлении Дх к О приращение Д/
стремится к нулю, т. е. данная функция / (х) непрерывна в нуле.
П р и м е р 2. Исследовать непрерывность в точке х = -у- сле‘
дующей функции (рис. 86):
>(х) =
х — 2,
1 + COS X,
Рассмотрим приращение функции в точке х = -у-: Д/ в
== f (-у- + Ах) — / (-у) • Учитывая, что /(-у) — 1 4- cos = 1,
получаем: Af ~ f 1~£- 4- Дх) — 1.
Пусть Дх> 0, тогда Д/=/(-£- 4- Дх) — 1 = 1 4-cos (Дх 4--у)~
•— 1 = cos |-у + Дх| • Таким образом, при Дх >• 0 lim Д/ =
\ 2 / Дж-*0
= lim COS I“?“ + Дх | = cos = Ь.
Дх->0 \ 2 / 2
Далее, пусть Дх < 0, тогда Д/ — / —
\ л
+ Дх — 2) — 1 = —к Дх — 3. Следовательно,
I **
при
Дх < О
lim Д/ = lim /Дх 4- -у---------з) = — 3 + —
ДЛ-*0 Дх-*0 \ 2 / 2
Итак, при произвольном стремлении Дх к нулю приращение
Д/ к нулю не стремится. А это означает, что данная функция в
точке х = 4г не является непрерывной. Эта функция является
разрывной в точке х = у-.
$ 5. МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.1. Задачи, приводящие к понятию производной.
5.2. О понятии производной.
5.3. Геометрическое истолкование производной.
5.4. О выводе основных теорем и формул дифференцирования
элементарных функций.
5.1. Понятие производной функции является одним из важней-
ших понятий курса математического анализа, так как это понятие
является основным в дифференциальном исчислении и служит ис-
ходной базой при построении интегрального исчисления. Учащиеся
знакомятся с этим понятием в курсе «Алгебра и начала анализа»
329
(IX класс) в теме «Предел функции и производная». Тогда же изу-
чаются производные суммы, произведения, частного, многочлена,
дробно-рациональной и сложной функций, В X классе учащиеся
знакомятся с производными тригонометрических показательной
и логарифмической функций.
Введению понятия производной функции предшествует рассмот-
рение задач, которые показывают важность предела некоторого
вида и тем самым необходимость его изучения. Такими задачами
являются, например, задачи о мгновенной скорости прямолиней-
ного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости
тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведения касатель-
ной к графику функции и др. Задачи о нахождении мгновенной
скорости прямолинейного движения тела, о проведении касатель-
ной к графику функции, о линейной плотности в точке изложены
в учебном пособии «Алгебра и начала анализа» для IX класса сред-
ней школы, поэтому мы на них не будем останавливаться, а подроб-
но разберем задачи о мгновенной величине тока, о теплоемкости
тела, о скорости химической реакции.
Задача о мгновенной величине тока
Представим себе электрическую цепь с некоторым источником
тока. Обозначим через q = q (t) количество электричества (в ку-
лонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время
/. Количество электричества есть функция времени, так как каж-
дому значению времени t соответствует определенное значение
количества электричества. Пусть А/—некоторый промежуток
времени, А^ = q(t + А/) — g (О— количество электричества, про-
текающее через указанное сечение за промежуток времени от мо-
мента /до момента t + А/. Тогда отношение называют средней
силой тока за промежуток времени А/ и обозначают /ср. Иначе
говоря, средней силой тока называется количество электричества,
протекающее по проводнику в единицу времени. В случае постоянного
тока 2ср будет постоянной. Если в цепи переменный ток, то /ср
будет различна для различных промежутков времени. Поэтому
для цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока,
или силы тока в данный момент времени.
Мгновенной силой тока в момент t называется предел отноше-
ния приращения количества электричества &q ко времени Д£ за
которое произошло это приращение, при условии, что Л/—>0. Он
обозначается:
I (t) = lim /ср = lim •
д^о ₽ д/-о
Задача о теплоемкости тела
Если температура тела с массой в 1 г повышается от 4 = 0 до
/г = т, то это происходит за счет того, что телу сообщается опре-
330
деленное количества тепла Q; значит, Q есть функция температуры
т, до которой тело нагревается: Q = Q (т).
Пусть температура тела повысилась с т до т 4- Дх. Количество
тепла AQ, затраченное для этого нагревания, равное
AQ « Q (г + Дт) — Q(t).
Отношение -4^- есть количество тепла, которое необходимо «в сред»
нем» для нагревания тела на 1° при изменении температуры от
tt = т до t2 = т 4- Ат. Это отношение называется средней тепло-
емкостью данного тела в температурном интервале 1т, т Дт [ и
обозначается сср.
Так как средняя температура не дает представления о тепло-
емкости для любого значения температуры т, то вводится понятие
теплоемкости при данной температуре т (в данной точке т).
Теплоемкостью при температуре т (в данной точке т) называется
предел отношения приращения количества тепла AQ к приращению
температуры Ат при условии, что Ат -> 0. Он обозначается:
гср = lim hm —•
ДТ-+0 Дт-М)
Задача о скорости химической реакции
Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию.
Количество этого вещества, вступившее уже в реакцию к моменту
времени t9 обозначим через у (t). Таким образом, у есть функция
времени, т. е. переменной L Если At — некоторый промежуток
времени, то за промежуток времени от момента t до момента t 4- At
вступит в реакцию еще некоторое количество вещества A# =
= у (t 4- At) — у (t). Следовательно, отношение выразит сред-
нюю скорость химической реакции за промежуток времени At.
Для характеристики скорости химической реакции в данный мо-
мент t следует рассмотреть предел этого отношения при At 0,
т. е. lim -—7-%
Итак, подводя итог, следует обратить внимание учащихся на
то, что в рассмотренных задачах речь шла о понятии мгновенной
силы тока как величине, характеризующей скорость изменения
количества электричества с течением времени; о понятии теплоем-
кости тела при данной температуре как скорости изменения коли-
чества тепла при изменении температуры; о скорости химической
реакции в момент времени как скорости изменения количества
вещества, участвующего в этой реакции, с течением времени. Отме-
чается, что введение всех рассмотренных выше понятий проводи-
лось с помощью предела особого вида, а именно предела отношения
приращения функции к приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к нулю.
331
Можно привести много задач, для решения которых также не-
обходимо отыскивать скорость изменения некоторой функции, на-
пример: нахождение концентрации раствора в определенный мо-
мент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращающе-
гося тела, линейной плотности в точке и т. п.
В результате рассмотрения задач такого рода учащиеся должны
прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции
необходимо при решении большого числа задач, важных в практи-
ческом отношении.
6.2. Понятию производной должно предшествовать рассмотре-
ние двух-трех задач; начать следует с задач о мгновенной скорости,
о касательной к линии, а затем перейти к задачам на скорость из-
менения функции (например, задачи, рассмотренные в п. 5.1), т. е.
понятие производной функции должно формироваться на основе
задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи раз-
нороднее, тем лучше, так как именно разнородностью приложения
подчеркивается общность понятия производной. Отметим также,
что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяс-
нить механический смысл производной, а задачи о касательной
' к линии — ее геометрический смысл.
Рассмотрев с учащимися задачи, решение которых приводит
к необходимости вычисления предела отношения приращения функ-
ции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю, следует отметить целесообразность
изучения предела такого вида для произвольной функции.
Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой
рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к
следующему.
Рассматривается функция f (х), определенная на некотором ин-
тервале ]а, И. Берется некоторая точка х — фиксированная точка
интервала ]а, Ь[ и точка х 4~ Дх — произвольная точка интервала
)а, М (Дх — приращение аргумента, которое может быть как по-
ложительным, так и отрицательным), т. е. а < х <С Ь, а<х-\-
-[- Дх < Ь.
Рассматривается приращение функции, соответствующее при-
ращению аргумента Дх: Д/ = f (х + Дх) — f (х), и затем отноше-
ние приращения функции Д/ к вызвавшему его приращению аргу-
мента Дх:
Ж = + _F(М.
Дх Дх '
Данное отношение есть функция переменной Дх, определенная
для всех значений Дх из интервала ]а — х, Ь — х[, кроме Дх = 0.
Ищется предел функции F (Дх) при Дх -> 0, и, если он существу-
ет» то его и называют производной функции f (х) в данной точке х»
г Таким образом, естественно возникает следующее определение:
производной функции f (х) в точке х называется предел отношения
приращения данной функции в точке х к вызвавшему его прира-
332
тению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю,
если этот предел существует .
Возвращаясь к рассмотренным ранее конкретным задачам, важ-
но подчеркнуть следующее:
а) мгновенная сила тока I (/) в момент t есть производная от ко-
личества электричества q (t) по времени, т. е.
/(0 = -^-=<7'(0;
б) теплоемкость с (т) при температуре т есть производная от ко-
личества тепла Q (т), получаемого телом, по температуре т, т. е.
=Q' (т);
в) скорость химической реакции в данный момент времени t
есть производная от количества вещества у (0, участвующего в
реакции, по времени t, т. е. == у’ (/).
Другим важным моментом, на который нужно обратить внима-
ние учащихся, является следующий.
Из определения производной следует, что производная функции
у = f (х) в точке х есть число, которое зависит от выбора точки х,
но не зависит от выбора Дх. Если рассматривать производную
функции / (х) в различных точках х, то мы будем получать, вообще
говоря, различные значения. Таким образом, производная f (х)
есть функция переменной х, определенная на множестве, совпадаю-
щем с областью определения данной функции у = f (х) либо с не-
которой ее частью (последнее имеет место в том случае, если функ-
ция у — f (х) имеет производную не во всех точках своей области
определения).
Например, функция у = х2, определенная на всей числовой пря-
мой — оо < х < оо, имеет производную у' = 2х, которая так-
же определена на всей числовой прямой — оо < х < 4- оо, а функ-
х, определенная для 0 < х <Z 4- °°> имеет производную
, определенную для 0 < х < 4- оо, т. е. значение х *=
ция у =
= 0 уже не принадлежит области определения у'.
Важно, чтобы учащиеся понимали, что определение производ-
ной функции алгоритмично, т. е. операция нахождения производ-
ной функции распадается на более простые операции — шаги, а
именно можно указать некоторое правило-схему, состоящую из
4 шагов (иногда предлагается схема из 3 или 5 шагов) для нахож-
дения производной функции f (х) в точке х:
1°. Дать аргументу х приращение Дх и рассмотреть функцию
для значения аргумента х 4- Дх, т. е. f (х 4- Дх).
2°. Вычислить приращение Д/ функции, вызываемое прира-
щением Дх аргумента: Д/ = f (х 4- Дх) — f (х).
ззз
-7 0,5 1 1
Рис- 87.
3% Найти отношение прираще-
ния функции к’ приращению ар’
А/
гумента:
4°. Вычислить предел этого от-
ношения при Ах -> 0:
f (x)=lim
Дх-*0
Это правило нахождения произ-
водной необходимо детально разо-
брать на примерах. Рассмотрим
один из таких примеров.
Дан о: f (х) = х3. Найти производную f' (х).
1. Даем аргументу х приращение Дх и рассматриваем значение
функции для аргумента х + Ах, т. е. f (х + Ах) = (х -j- Ах)3.
2. Вычисляем А/: А/ = / (х + &х) — f (х) — (х + Ах)8 — х3 —
*= Зх2 * Ах + Зх (Ах)2 + (Ах)3.
3. Находим отношение
А/_.
кх *
= + + W _ 3l. + , Д, +
(Зх2 4- Зх • Ах 4- (Ах)2) = Зх2,
4. Вычисляем предел отношения при Дх -> 0 ;
Г lim " lim
дхм-0 Ддс-нО
т. е.
f (х) = (х3)' « Зх2.
Важно выработать у учащихся представление о том, что не вся-
кая функция (даже непрерывная) имеет производную в каждой
точке области определения. Для этого следует рассмотреть с уча-
щимися некоторые примеры.
Пример 1. Найти производную функции (рис. 87):
f (х) i= | х2 — х — 21 =
— х2 4- х + 2, прн х g [— 1, 2],
х2 — х — 2, при хС ]— оо, — 1 [ U ] 2, + оо[.
Решение, а) Пусть х £ 1—1, 2[, тогд а / (х) = —х24- х 4- 2.
Следовательно, f (х) = —2х 4- 1.
б) Пустьх€ 1— со, —II U J2, 4- оо[, тогда f (х) = х2 — х — 2.
Используя определение производной, найдем производную данной
функции в любой точке: х£]—оо, —Ц (J ]2, 4-со(: f (х) ==
= 2х — 1.
в) Докажем теперь, что данная функция f (х) не имеет произ-
водной в точках х — —1 и х = 2.
1. Пусть х>—1, тогда f (х) = —х2 4-х 4-2. Выберем Ах
таким, чтобы —1 4- Ах > —1, т. е. Дх >• 0. Поэтому с учетом того,
334
что f (—1) == 0, имеем:
lim -АМ-П =. lim Х<-14-Лх)-Н-1)., =
Дх~>0 Дх->0 Ах
дх> 0 доо
_ ita = )im _ 3_
Дх-+0 Дхн-0 Ах
Дх>0 ДО °
2. Пусть х < —1, тогда f (х) = х2 — х — 2. Выберем теперь
Ах таким, чтобы —1 Ах < —1, т. е. Ах < 0. Поэтому, учитывая,
что f (—1) = 0, получим:
Нт Л|» = lim + _
Дх->0 Дх-*П &Х
Дх<0 Дх<0
= Пт 1 + _ Ita -**+<*» = - 3.
Дх-*-0 д*->0> А*
Дх<0 ДЛ<О
Так как 3 =/= —3, поэтому для функции / (х) = | х® — х — 21 в
точке х = —1 производной не существует. Аналогично можно до-
казать, что у данной функции не существует производной и в точ-
ке х = 2.
В X классе можно рассмотреть и следующий пример 2.
Найти производную f (х) = ] sin х | на интервале ]— л, л[ (рис. 88).
Используя понятие модуля, запишем данную функцию в сле-
дующем виде:
/(*) = {
sin х, 0 < х < л;
‘— sin х, *— л < х <; 0.
Так как для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству
0 < х < л, данная функция совпадает с / (х) = sin х, то f' (х) =
= cos х для 0 < х < л, а в точке х = 0 имеем:
lim
д*-*о &х
Ах>0
== Вт
Дх-*0
Дх>0
sin Ах — sin О
Ах
Аналогично для значений х, удовлетворяющих неравенству
— л < х < 0, данная функция совпадает с функцией f (х) =
= — sin х, поэтому f (х) = — cos х для — л < х < 0, а в точке
х = 0 имеем:
Нт _ tim -sto^-sino
Дг->0 Дхн-0 Ах
Дх<0 Дл<0
Итак, функция / (х) = | sin х | (для | х |
ные в любой точке х. где — л <. х < 0 и
[*Ж
я) имеет
< х <С л»
провзвод-
а в точке
х = 0 данная функция производной не имеет, так как 1 — 1.
Рассмотренные примеры показывают, что существуют функции,
которые не имеют производных в некоторых точках из области оп-
ределения.
335
Рис. 88.
На факультативных заня-
тиях полезно рассмотреть необ-
ходимое условие существования
производной, т. е. изучить сле-
дующую теорему: если функция
f (х) имеет производную в точ-
ке а, то она непрерывна в этой
точке.
Доказательство. По
условию, в точке а существует
производная функции / (х), т. е. существует конечный предел:
Нт + e f. (а).
Д* ' ' '
Теорема будет доказана, если мы установим выполнение соот-
ношения lim f (х) — f (а). Таким образом, надо доказать существо-
х-+а
ваиие предела функции f (х) в точке а и равенство его f (а), т. е.
значению функции в этой точке.
С этой целью рассмотрим: -
lim [/ (х) — f (а)] — lim • (х — а).
Х-.Д Х-Ю Х в ''
Сделав замену переменной х = а 4- Дх с учете»! того, что из
условия х а следует Л х -> 0, получим:
lim [/ (х) - f (а)] = lim /(а + А£-/(?)- • Ах =
х-*а Ьх-ьй
= lim z (а-+д^ -7 М . Пт Дх = f (а) • О = 0.
Дх-0 Ах Дхн-0 ' ' 7
Таким образом, lim (f (х) — f (а)] = 0, т. е. lim f (х) = f (а).
Дх-ь-0 х-ьа
Обращается внимание на то, что непрерывность функции в
точке есть необходимое условие существования производной функ-
ции в этой точке. Отметим далее, что непрерывность функции в
точке не является, достаточным условием существования производ-
ной этой функции в рассматриваемой точке. Функция может быть
непрерывной в точке, но ле иметь в этой точке производной. Приме-
рами таких функций являются ранее рассмотренные функции.
Так, Д (х) — | х3 — х — 2 | в точках х = —1 и х = 2 непрерывна,
а производная этой функции в точках х = —1 и х = 2 не суще-
ствует. Функция f (х) = | sin х |, | х | < л, в точке х = 0 непрерыв-
на, а ее производная в точке х = 0 не существует.
5.3. Геометрическое истолкование производной функции в дан-
ной точке связано с понятием касательной к графику функции в
этой точке. Чтобы выяснить эту связь, прежде всего надо дать опре-
деление касательной к графику функции в точке.
Пусть дана непрерывная функция у = f (х). Ее график изобра-
жен на рисунке 89.
336
На графике функции рассмот-
рим точку М, абсцисса которой —
х0, и производную точку М,
абсцисса которой равна х0 4- Дх.
Через точки М и N проведем пря-
мую MN, которая называется секу-
щей к графику функции. Угловой
коэффициент секущей MN равен:
Рис. 89.
k = tg р =
At/
Пусть теперь Дх -> 0. Это будет означать, что абсцисса точки У
приближается к абсциссе точки М; последнее в свою очередь будет
означать, что точка W стремится к точке М, оставаясь на графике
функции. При этих условиях секущая MN, вообще говоря, меняет
свое положение, вращаясь вокруг точки М, займет положение (МТ).
Если существует прямая МТ, являющаяся предельным положе-
нием секущей при приближении точки N по кривой к М, то эта
прямая называется касательной к графику функции в точке М.
При этом под термином «предельное положение секущей» понимает-
ся такое положение (МТ) секущей MN, которое она займет, если
угол TMN', образуемый лучом МТ и лучом MN, стремится к нулю
при стремлении точки N к точке М вдоль линии, являющейся гра-
фиком функции. В других терминах, если величина угла TMN,
рассматриваемая как функция абсциссы, стремится к нулю при
Дх->0, то положение (МТ) принимается за предельное положе-
ние секущей MN. Итак, определение: касательной к графику функ-

ции в точке М называется предельное положение секущей MN,
когда произвольная точка У кривой стремится к точке М, оста-
ваясь на кривой, являющейся графиком функции.
Итак, если касательная существует, получим:
tga = lim k = lim = lim 7 fa+A*) ~ f fa».. = f
Ax->0 Ax-*0 " Ax-*0
Все сказанное выше позволяет дать геометрическое истолкова-
ние производной. Если функция имеет производную в точке, то
в этой точке существует касательная к графику, причем знамение
производной в точке совпадает с угловым коэффициентом касатель-
ной, проведенной к графику функции в этой же точке.
На примерах следует показать учащимся, что имеют место слу-
чаи, когда к кривой, являющейся графиком функции, в некоторой
точке нельзя провести касательную. Например, кривая, изобра-
женная на рисунке 90, не имеет касательной в точке М, так как
касательные, проведенные в этой точке к левой и правой частям
кривой, различны. Другими примерами кривых такого вида яв-
ляются графики функций f (х) — | sin х | и f (х) = | х® — х — 21
Так, для f .(x) = | sin х | в точке с абсциссой х = 0 график этой
функции не имеет касательной, а график функции f (х) = | х® —
337
Рис. 90.
— х — 2 | не имеет касательной
в точках с абсциссами х = —1
и х = 2.
5.4. Доказательство основ-
ных теорем о производных (тео-
ремы о производной алгебраиче-
ской суммы, произведения, част-
ного двух функций), а также
вывод формул для нахождения
производной корня квадратного
из некоторой функции, диффе-
ренцирования обратной функции
производится исходя из опреде-
ления, а именно используется известная схема-алгоритм из четы-
рех шагов. Так как использование этой схемы отрабатывается с
учащимися при решении примеров на непосредственное диффе-
ренцирование, то доказательство указанных предложений, как
правило, не вызывает у них затруднений.
Используя основные теоремы о производных, можно вывести
формулу дифференцирования степенной функции с целым показа-
телем, правило дифференцирования многочлена (целой рациональ-
ной функции), дробно-рациональной функции.
Сделаем несколько замечаний о доказательстве формул диф-
ференцирования тригонометрических функций. Учащиеся должны
совершенно отчетливо понимать, что в принципе надо уметь выво-
дить лишь одну формулу: sin' х = cos х. Все остальные вытекают
из нее как упражнения на применение правил дифференцирования
сложной функции и частного. Объясняется это тем, что все триго-
нометрические функции могут быть выражены через одну из них,
например через синус, с помощью конечного числа алгебраических
операций. Но эта одна формула выводится совершенно особым
образом. Во-первых, при выполнении «второго шага» (отыскива-
нии приращения функции) придется применять специфический
прием — использовать формулу перехода от разности тригономет-
рических функций к их произведению и, во-вторых, переходя
к пределу, придется обратиться к особому методу — применить
первый замечательный предел. Все это не так уж трудно, но не-
сколько неожиданно, и учителю стоит потратить несколько минут,
чтобы обратить внимание учащихся на своеобразие тригонометри-
ческих функций, отличие их от функций алгебраических, чтобы
повторить некоторые принципиальные вопросы. Дело в том, что
для определенной части школьников тригонометрия есть, по вы-
ражению Ж- Дъедонне, «псалтырь формул». Формул действитель-
но много, но далеко не всегда учитель подчеркивает, что основная
их масса есть прямое следствие определений и лишь формула синуса
(косинуса) суммы есть факт по-настоящему новый, особый, ни для
каких других функций ничего подобного нет, значит, именно эту
формулу надо хорошо знать и уметь выводить. На следствии из
338
нее и основан «второй шаг» вывода формулы дифференцирования
синуса. Однако ученики обычно к этому времени не помнят теорем
сложения. Учитель имеет возможность не просто заставить учащих-
ся заново выучить формулу разности синусов, а организовать по-
вторение по схеме: определение тригонометрических функций —
координаты вектора — теоремы сложения — формулы суммы и
разности тригонометрических функций.
Теорема о дифференцировании сложной функции входит в про-
грамму курса «Алгебра и начала анализа», поэтому ее следует ис-
пользовать при дифференцировании функций, например, таких
как sin (ах + fe), lg sin х или (ах 4- &)100. Нам представляется,
что с точки зрения экономии времени целесообразно рассматривать
указанную теорему с учащимися и возможно шире использовать
ее для вывода формул производных элементарных функций.
Например, при выводе формул
[sin (ах + b) J' — a cos (ах + Ь)
[cos (ах + &)]' = — a sin (ах + Ь)
поступают следующим образом, используя теорему о дифференци-
ровании сложной функции:
[sin (ах + &)]' = cos (ах + Ь) - [ах + Ъ]’ == a cos (ах 4- Ь),
[cos (ах 4- Ь)]' == — sin (ах 4- Ь) • [ах 4- &]' = — a sin (ах 4- Ь).
В курсе «Алгебра и начала анализа» (X класс) рассматривает-
ся вопрос о производных показательной и логарифмической функ-
ций. Имеется несколько вариантов изложения этого методически
трудного вопроса.
1) Сначала находят производную натурального логарифма,
затем, используя теорему о дифференцируемости обратной функции,
находят производную показательной функции ех; далее выводят
формулу производной показательной функции с учетом правила
дифференцирования сложной функции и, наконец, устанавливают
формулу производной логарифмической функции.
2) Приняв без доказательства существование предела вида
i. — 1
lim--------- = с
Дх->0
и используя определение производной, устанавливают справедли-
вость следующей формулы для производной показательной функ-
ции:
(ах)' = сах.
Далее, рассматривая с = 1, находят для этого случая значение
основания а, т. е. а = е\ таким образом, устанавливают формулу
для производной показательной функции е*. Затем, используя
теорему о дифференцировании сложной функции, выводят формулу
для нахождения производной натурального логарифма, показа-
тельной и логарифмической функций. Этот способ изложения
339
производных показательной и логарифмической функций нам пред-
ставляется более трудным для усвоения учащимися, хотя и соот-
ветствует рекомендациям объяснительной записки новой програм-
мы по математике.
3) Если принять без доказательства существование предела
вида Нт (Г 4-а)а —е (второй замечательный предел), то легко
а-» О
установить, что
1
lim (1 +<*£)“ = е*.
Ct-»0
Действительно, сделав замену ak — р, т. е. а = Л-, получим о
учетом непрерывности показательной функции:
I 1 1
lim(l +afc) ° =lim [(1 +р)р]* =
a->0 |3-*-0
Далее можно вывести формулу дифференцирования логариф-
мической функции f (х) = log0 х, используя определение произ-
водной:
а) даем значению аргумента х приращение Дх, тогда новое
значение функции f (х 4- Дх) — 16ga (х 4- Дх);
б) Д/ = /(х 4- Дх) — f (х) = loga(х 4- Дх) — lofoх = loge Л-Т.....
()‘-IL=
Дх
Дх
Дх
Дх
Дл-*0 Дх-*0 \ х /
Затем, используя непрерывность логарифмической функции и
рассмотренный выше предел, получим искомую формулу для произ-
водной логарифмической функции:
(к£,х)' = lim = logJ l'm (1 +
Дх-*0 [Дх-*0\
1
= 1°£а е * = — log,, е = —г—
х х In а
Из этой формулы, в частности, получаем: (In x)z = —. Из теоремы
X
о производной сложной функции следует:
*
(In и (х))' = “ ?? » или (loga и (х))' = -----------
' ' " и (х) 4 ' п и (х) I n а
340
Теперь, используя формулу для производной логарифмической
функции, выведем производную показательной функции. Рассмот-
рим у = 0х; прологарифмировав это равенство, получим: In у =
= х In а. Затем дифференцируем полученное равенство:
(In у (х))' = (х In а)', т. е. ~ — In а, таким образом, у' ==
•== у In а, окончательно имеем:
(аху = а* - Ina.
В заключение покажем, как, используя формулу производной
логарифмической функции и теорему дифференцирования сложной
функции, можно вывести формулу производной степенной функции
у — Л где a — произвольное действительное число. Логарифми-
руя у = ха, получим: In у — a In х, затем, продифференцировав
это равенство, будем иметь:
у* 1 г У a—1
a « — » т. е. ц = a • — — a •----- ax
у к * х х
Итак, окончательно имеем: >
(хв)' = а • х“-*.
Понятие производной является мощным средством изучения
многих вопросов не только математики, но и других наук (физики,
химии и др.) и техники. Эта мысль должна пронизывать все этапы
изучения производной.
$ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ
СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ
6.1. О месте данной темы в курсе математики средней школы.
6.2. Изучение монотонности функции.
6.3. Изучение локального экстремума функции.
6.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке.
6.5. Построение графиков функций.
6.6. О других применениях производной.
6.1. Такие свойства функций, как монотонность (убывание
и возрастание), а позднее экстремум (максимум и минимум), наи-
большее и наименьшее значение функции, неоднократно рассмат-
риваются учащимися в курсе математики средней школы, напри-
мер, при изучении линейной функции, квадратной и кубической
парабол, при исследовании квадратного трехчлена, при рассмот-
рении свойств тригонометрических, показательных и логарифми-
ческих функций. Внимание к изучению именно этих свойств впол-
не естественно, так как они характеризуют важнейшие стороны
явлений действительности, описываемых теми или иными функциями.
Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении
341
нет инструмента, с помощью которого можно было бы исследовать
разнообразные функции единым методом.
Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения
производной к исследованию свойств функций, должен быть, во-
первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так
называемыми элементарными методами, причем опыт анализа дол-
жен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения
и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инстру-
ментом исследования, т. е. достаточно отчетливо представлять,
что такое производная. г
По современной программе этим требованиям соответствует
IX класс, в котором и предусмотрена специальная тема «Примене-
ние производной». Разумеется, что применение производной к
исследованию функций не ограничивается рамками этой темы, а про-
должается в процессе изучения всего курса начал анализа, в осо-
бенности при изучении показательной, логарифмической и триго-
нометрических функций, изучаемых несколько позднее.
6.2. Прежде чем в терминах производной формулировать усло-
вия монотонности функции, следует напомнить учащимся, что R
классу монотонных функций относятся функции: возрастающие,
неубывающие, убывающие и невозрастающие. Затем повторить опре-
деления монотонных функций.
Далее ввести понятие интервала монотонности функции как
интервала, в каждой точке которого функция является монотон-
ной, т. е. возрастающей (неубывающей) или убывающей (невозра-
стающей). И наконец, рассмотреть теоремы, которые по поведению
производной /' (х) дают возможность выяснить, будет ли данная
функция f (х) в точке или на некотором интервале монотонной.
Теоремы о достаточном условии убывания и возрастания функ-
ции в точке в школьном курсе математики рассматриваются с до-
казательствами. Теоремы же о достаточном условии монотонности
(возрастания и убывания) функции на интервале изучаются без
доказательств, так как доказательства этих теорем сложны и опи-
раются на теорему Лагранжа о конечных приращениях, выходя-
щую за рамки школьной программы по математике. С доказатель-
ствами этих теорем можно ознакомиться, например, в пособии
А. М. Рубинова и К. Ш. Шапиева «Элементы математического анали-
за» (М., «Просвещение», 1972, с. 156—158).
При изучении теорем о достаточном условии монотонности
функции на интервале полезно использовать их геометрическое
истолкование. Это можно, например, сделать так. Пусть график
функции f (х) есть сплошная линия, которая имеет касательную
в каждой своей точке. Внимание учащихся обращается на то, что
в интервале ]а9 М точки графика стремятся вправо вверх с возра-
станием аргумента (т. е. ординаты точек увеличиваются по мере
роста абсцисс этих точек) тогда, когда угловой коэффициент ка-
сательной положителен или равен нулю (или просто положителен),
т. е. производная f' (х) 0 (или f (х) > 0) для х £ 1а, Ь[
342
Рис. 91»
(рис. 91, a): fa (xj > О, Д (х2) = О, А (х3) > О, где х1( х2, х3 Е 1а, Ь[.
В интервале ]а, 6[ точки графика стремятся вправо вниз с возра-
станием аргумента (т. е. ординаты точек убывают по мере роста
абсцисс этих точек) тогда, когда угловой коэффициент касательной
отрицателен или равен нулю (или просто отрицателен), т. е. произ-
водная f (х) < О в этих точках (или f (х) <; 0) для х £ ]а, Ы
(рис. 91, б): fs (xi) < 0, Л' М = 0. /г (х8) < 0, где хх, х2, х3 €
£ 1а, 6[.
'Рассмотрев содержание теоремы о достаточном условии моно-
тонкости функции на интервале и проиллюстрировав ее смысл на
чертеже, полезно подчеркнуть, что теперь мы получили возмож-
ность исследовать функции на монотонность вообще без обращения
к чертежу. Эту возможность необходимо продемонстрировать на
таких, например, упражнениях.
Пример 1. Найти интервалу монотонности функции
/(х) = 4-^—4х+7-
Решение. Данная функция определена на всей числовой
прямой, т. е. для — сю < х < + оо. Найдем производную:
/' (х) = х2 — 4. Она определена для — оо < х < + оо. Так как
Г (х) > 0 для I х | > 2, то данная функция возрастает в интервалах
]— оо, —21 и 12, + ool. Так как f' (х) < 0 при | х | < 2, то данная
функция убывает в интервале —2 < х < 2.
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции
f (X) = X
Решение. Область определения функции — вся числовая
прямая, кроме точки х = 0, т. е. состоит из интервалов ]— оо, (И
и Ю, -j- ool. Найдем производную /' (х) = 1 — — производная
существует в области определения данной функции. Найдем участ-
ки знакопостоянства производной f (х) == —-j—.
Производная представляет собой дробь, знак которой будет
определяться знаком числителя (х2—1}, так как знаменатель поло-
343
жителей. Таким образом, /' (х) < 0 для значений х из интервалов
]—if о[ и 10, 4-Н, значит, в интервалах 1—1, 0[ и 10, 4-Ц данная
функция убывает; так как f (х) > 0 для значений х из интервалов
)—оо, —1[ и ]+ 1, 4- сю[, то функция f (х) в этих интервалах воз-
растает. Окончательно имеем: функция f (х) возрастает на интер-
валах ]— оо, —Ц и 11, 4-оо1, убывает на интервалах ]—1, 01 и
Ю, 4-Н.
Потом вместе с учащимися формулируется правило нахождения
интервалов монотонности функции:
1. Вычисляем производную f'(x) данной функции f (х), а
затем находим точки из области определения данной функ-
ции, в которых f(x) равна нулю или не существует. Эти точ-
ки называются критическими для функции f (х) (по первой про-
изводной).
2. Критическими точками разбиваем область определения функ-
ции f (х) на интервалы, на каждом из которых производная f'(x)
сохраняет свой знак, т. е. находим интервалы знакопостоянства
/'(*)-
3. Исследуем знак f'(x) на каждом из интервалов знакопостоян-
ства. Если на рассматриваемом интервале f (х) > 0, то на этом
интервале данная функция f (х) возрастает; если же f(x) < О,
то на этом интервале / (х) убывает;
Это правило целесообразно закрепить с учащимися на приме-
рах. Так, в IX классе можно рассмотреть следующий пример:
«Найти интервалы монотонности функции f (х) = — 4- Зх 4- 6».
X
Решение.
’4*^. ,
1. Область определения данной функции есть вся числовая
прямая, кроме х = 0, т. е. есть объединение интервалов ]— оо, 01
и 10, 4- со[. Найдем производную f'(x) — — — 4-3. Производ-
ная существует в области определения данной функции. Поэтому,
найдя нули производной, т. е. точки —]/2 и ]/2, получим, что
критические точки данной функции f (х) (по первой производной)
имеют вид: хх = — ]/2, х2 = 0, хэ = 1^2.
2. Критическими точками область определения функции f (х)
разбивается на четыре интервала: ]— оо, — ]/2[, 1— 1^2, 0[,
10, ]/2 [ и JJ/2, 4- оо[, в каждом из которых производная сохра-
няет свой знак.
3. Исследуем знак производной в каждом из интервалов.
Так как /'(х) < 0 для значений х из интервалов 1—V2, 0[ и Ю, ]/21,
то на этих интервалах функция убывает. В виду того что /' (х) > О
для значений х из интервалов ]— оо, — V2J и 1]/2, оо[,тона этих
интервалах функция возрастает.
В X классе можно рассмотреть следующий пример: «Найти
интервалы монотонности функции [ (х) = х In х.»
344
Решение.
1.. Область определения данной функции есть интервал 10, + оо[.
Вычислим: f (х) = In х 4- 1; найдем критические точки данной
функции: а) (х) существует во всех точках интервала Ю, 4* со[;
б) нули производной находим из уравнения /' (х) — 1п х 4- 1, т. е.
х = е-1.
2. Так как х «= е~' — единственная критическая точка, то участ-
ки знакопостоянства производной таковы: 0 < х < ё~*, е”1 <
< х < 4-оо.
3. Исследуем знак f' (х) на каждом из интервалов знакопостоян-
ства, решая неравенства In х 4-1 < 0 и In х 4-1 > 0- Итак,
(х) < 0 для х 10, е~’(, поэтому на интервале 10, ё~’[ данная
функция убывает; так как f (х) > 0 для х £ 1а”1, 4-оо[, то на
(Интервале 1е-*, 4-оо[ функция возрастает.
6.3, Рассмотрение вопроса о локальном экстремуме функции
^следует начать с определений точек локального (условного) мини-
мума и максимума.
Точки локального максимума и минимума функции называют
точками локального экстремум» данной функции, а значения функ-
ции в этих точках — локальным максимумом (минимумом) функции
Мли локальным экстремумом функции. Эти понятия поясняются
на конкретных примерах. Так, рассмотрев функцию f (х), опреде-
ленную на сегменте [а, Ы (рис. 92), отмечают, что точки xlf х3
-и х6 — точки локального максимума, х2, х4 и х7 — точки локаль-
ного минимума.
Важно обратить внимание учащихся на локальный характер
изучаемых свойств функции. На графике данной функции видно,
Что минимум функции в точке х = х4 больше максимума этой функ-
ции в точке х = хх. Важно подчеркнуть, что последнее обстоя-
тельство не вступает в противоречие с определением экстремума
функции, так как согласно определению локального экстремума
'сравниваются значения функции в точке экстремума со значениями
функции из некоторой окрестности этой точки. Таким образом,
понятие локального экстремума функции всегда связано с опреде-
ленной окрестностью точки локального экстремума (определенным
Местом) из области определения функции, а не со всей этой об-
ластью. Отсюда и название вве-
денного понятия «локальный
Экстремум», т. е, экстремум, свя-
занный с определенным местом.
''' Вопрос о локальном макси-
муме и минимуме функции ре-
шается с помощью производной
Гой функции. Поэтому изучается
е о р е м а (необходимое усло-
вие существования локального
Экстремума): Пусть точка х0
к-
Рис. 92.
345
является точкой локального экстремума функции f (х), определен-
ной в некоторой окрестности точки х0. Тогда производная дан-
ной функции, если f (х) имеет производную в точке х0, равна ну-
лю ([' (х0) — 0) или производная данной функции в точке Хо не
существует.
После этого вводится понятие критической точки функции
(по первой производной) как точки, принадлежащей области опре-
деления функции f (х), в которой производная f'(x) рйЪйа нулю или
не существует (сюда же включается случай бесконечной произ-
водной).
Фиксируется внимание учащихся на поведении графика функ-
ции f (х) в критических точках, которое характеризуется тем, что
касательная к графику функции у = f (х) направлена параллельно
оси Ох в точках, где [' (х) = 0 (например, точки с абсциссами х ==
— xlt х — х2, х = х8, х = х4, х = х8 на графике функции (рис. 92),
а в точках, где f (х) не существует, касательная к графику функции
у = / (х) либо отсутствует (например, точка с абсциссой х = х7
на графике функции рис. 92), либо в этих точках существуют вер-
тикальные касательные (например, точка с абсциссой х = х6,
рис. 92).
Отмечается, что сформулированные выше условия являются
лишь необходимыми для существования экстремума. Эти условия
позволяют лишь выделить точки, в которых функция может иметь
экстремум, а во всех остальных точках функция заведомо не имеет
экстремума. Это значит, что не всякая критическая точка является
экстремальной. Например, функция у = х3 имеет в точке х == 0
производную, равную нулю, но для этой функции точка х = 0
не является экстремальной. Другим примером такого вида точки
может служить точка с абсциссой х = х8 на графике функции, ко-
торой изображен на рисунке 92.
Затем переходят к рассмотрению вопроса о достаточных усло-
виях существования локального экстремума. Полезно условиться
в следующей терминологии: говорят, что некоторая функция <р (х)
меняет знак с плюса на минус при переходе через точку х0, если су-
ществует такая S-окрестность ]х8 — 6, х8 4- 6( точки х0, что слева
от точки хв, т. е. для х £ ]х0 — 6, х0[, функция <р (х) >• 0, а справа
от точки х8, т. е. для х С ]хо, х0 4- функция <р (х) < 0. Анало-
гично определяется перемена знака функции с минуса на плюс при
переходе через точку х0. После этого можно сформулировать тео-
рему (достаточное условие существования локального экстре-
мума).
Пусть функция f (х) непрерывна в точке х0 и в некоторой ее ок-
рестности ]хв — 6, х0 -|- 61 имеет производную, кроме, быть мо-
жет, самой точки х0. Тогда:
й) если производная f (х) при переходе через точку х0 меняет
знак с плюса на минус, то функция f (х) имеет в точке х0 локальный
максимум;
б) если производная f (х) при переходе через точку х0 меняет
346
Рис. 93.

знак с минуса на плюс, то функция f (х)
имеет в точке х0 локальный минимум;
в) если существует окрестность ]х0 —
^6, + S[ точки х0, в которой производ-
ная /' (х) сохраняет свой знак, то в точ-
ке х0 данная функция f (л) не имеет локаль-
ного экстремума.
Следует отметить, что условия, сформу-
лированные в этой теореме, являются до-
статочными для существования локального
экстремума. Однако требование непрерыв-
ности функции f (х) в точке х0 является
существенным. Действительно, если отбро-
сить это требование (хотя остальные усло-
вия теоремы будут выполняться), то точ-
ка х0, вообще говоря, не будет экстремальной. Здесь необходимо
рассмотреть пример. Пусть дана функция (рис. 93)
х3, при х<0,
2 — х, при х > 0.
Рассмотрим окрестность ]— 6, 6[ точки х0 = 0, в точке х0 — 0
функция определена, но имеет разрыв 1 рода. НайДем производную
данной функции: /' (х) = Зх2 для х < О, /' (х) = —1 для х > 0.
Таким образом, производная данной функций в окрестности
]—6, 61 точки х0 — 0 будет f' (х) > 0 для х g ]—6, 0[ и /' (х) < 0
для х Q ]0, +6[. Итак, имеет место перемена знака производной
f' (х) данной функции f (х) при переходе через точку х0 = 0. Одна-
ко точка х0 не является точкой локального максимума, так как
f (0) = 0, a f (хх) > 0 (где 0 < хх < 6 < 2), т. е. f (0) < f (хх).
Таким образом, не существует окрестности ]— 6, 6[ точки х0 = 0,
в которой бы выполнялось условие / (0) > f (х) для всех х £
g ]6, 61, т. е. точка х0 = 0 не является точкой локального макси-
мума.
После этого можно сформулировать правило нахождения ло-
кальных экстремумов функции* пусть f (х) определена и непрерыв-
на в некотором интервале Ja, 6[, имеет производные всюду в интер-
вале ]а, 61, кроме, быть может, конечного числа точки, и имеет
не более конечного числа стационарных точек *, т. е. множество
критических точек данной функции конечно. Тогда для нахожде-
ния локального экстремума функции надо:
1. Найти критические точки функции f (х) (по первой производ-
ной), принадлежащие интервалу ]а, Ы, т. е. точки, в которых вы-
полняется одно из условий:
а) /' (х) — 0, б) /' (х) не существует.
2. Исследовать знак производной f' (х) в некоторой окрестности
каждой критической точки. При этом, если /' (х) меняет знак при
1 Точка х0 называется стационарной точкой для функции f (х), если f (х)
имеет в точке х0 производную и /' (х0) = 0.
347
переходе через такую точку, то функция f (х) в этой точке имеет
локальный экстремум, именно: если знак меняется с минуса на
плюс, то в этой точке локальный минимум; если с плюса на минус,
то в этой точке локальный максимум. Если же знак производной
f (х) при переходе через рассматриваемую точку не меняется, то
функция f (х) не имеет локального экстремума в этой точке.
Например, функция f (х), график которой изображен на рисун-
ке 92 в точках с абсциссами xlt х2, х8, х4, xs, х7, имеет локальные
экстремумы, причем в точках с абсциссами xlt ха, хл — локальный
максимум, а в точках с абсциссами х2, х4, х7 — локальный минимум;
в точках же с абсциссами хв и хв функция не имеет локального экс-
тремума.
Следует рассмотреть несколько примеров на закрепление сфор-
2
мулированного выше правила. Например, пусть f (х) — х3 (х — 3),
данная функция определена на всей числовой прямой.
1) Вычислим производную данной функции
г, . I 5х 6
f W = '-3•
Таким образом, конечная производная f (х) данной функции су-
ществует на всей числовой прямой, кроме точки х = 0.
Найдем критические точки функции f (х) (по первой производной):
а) пусть f (х) *= 0; тогда х — -S- •
б) f (х) не существует в точке х — 0, так как f (0) = со.
Итак, критические точки: хх = 0 и х2 = -у •
2) Исследуем знак производной f (х) в некоторой окрестности
каждой критической точки. Результат исследования записываем
в таблицу:
X ]—оо; 0[ 0 Uo"J W • --- • - - - - 6 5 16 , г J5; +©о[
ГМ ✓ — Не суще- ствует •— 0
Точки локального экстремума Локальный максимум Локальный минимум
Значение локаль- ного экстремума /(0) = о 'О — 2,03
348
В курсе математического анализа, помимо yl
правила определения точек локального экс-
тремума, с помощью производной первого ______________
порядка доказываются достаточные условия» ' ~
существования локального экстремума функ-
Ции, выраженные через производные высших ।
порядков. На факультативных занятиях по- —о'^‘—
лезно ознакомить учащихся с этими усло-
виями существования локального экстремума,
сформулированными в терминах значений
производных второго порядка: если функция
f (х) в некоторой окрестности точки х0 имеет Рис. 94.
непрерывные производные до второго порядка
включительно и f' (х0) = 0, a /" (х0) #= 0, то в точке х0 функция
f (х) имеет локальный экстремум, причем в точке х0 функция имеет
локальный максимум, если f” (х0) < 0, и локальный минимум, если
Г(Хо)>О.
Конечно, иллюстрировать эту теорему надо несложным, но до-
статочно показательным примером, в котором применение второй
производной действительно эффективно. Пусть, например, надо
исследовать на экстремум функцию f (х) = х3 + Зх2 — 9х.
Найдем f (х) и f" (х): f (х) — Зх2 + 6х — 9 и f" (х> = 6х 4- 6.
Так как критические точки данной функции (по первой производ-
ной) суть х = —3 их - 1, то fn (—3) = —12 < 0 и f" (1) = 12 > 0.
Следовательно, в точке х = —3 данная функция имеет локальный
максимум, а в точке х = 1 — локальный минимум.
В. заключение отметим, что аппарат производной используется
и для решения традиционной задачи элементарной математики —
нахождения экстремума квадратичной функции.
6.4. Часто приходится рассматривать задачи, связанные с на-
хождением наибольшего или наименьшего значения из всех тех
значений, которые функция принимает на некотором отрезке.
Если известно, что на отрезке 1а, 6] функция / (х) монотонна, то
наибольшее и наименьшее значение этой функции принимается
в концах отрезка, а именно, если f (х) — возрастающая функция,
то f (а) — наименьшее значение и f (b) — наибольшее значение
функции f (х); если же f (х) — убывающая функция, то f {а) — наи-
большее значение, a f (b) — наименьшее значение функции f (х).
Например, пусть f (х) — х2 для х £ [0, 1]. Тогда f (х) есть функция
непрерывная и возрастающая на отрезке [0, 1]. Следовательно,
/ (0) = 0 — наименьшее значение функции, f (1) = 1 —наиболь-
шее значение (рис. 94). Имеет место и более общий случай.
Пусть f (х) не является монотонной на отрезке [а, Ь], но извест-
но, что f (х) непрерывна на отрезке [а, 61 и имеет конечные произ-
водные в точках отрезка [а, 6], за исключением, быть может, ко-
нечного числа точек, и имеет не более конечного числа стационар-
ных точек. Тогда наибольшее и наименьшее значение функции на
этом отрезке принадлежит множеству значений функции, прини-
349
—1,03
Рис. 95.
маемых ею в критических точ-
ках из интервала la, W и
на концах отрезка [a, Ы. Таким
образом, задача о нахождении
наибольшего и наименьшего зна-
f чения функции на отрезке из
рассматриваемого класса сводит-
ся к нахождению наибольшего
и наименьшего элементов конеч-
ного множества, состоящего из
значений функции в концах отрез-
ка [а, bl и ее значений в критичес-
ких точках из интервала ]а,Ь{.
Это правило сначала разбирается на примерах, а затем форму-
лируется. Так, например, сначала рассматривается функция f (х),
график которой изображен на рисунке 92, и показывается, что она
имеет наибольшее значение в точке х = х5 и наименьшее в точке
х = а. А потом это правило уже закрепляется на примерах подоб-
ных следующим.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции f (х) == х3 (х — 2) на отрезках:
а) [-8, —1] и б) [-1, 1L
Решение. Функция f (х) определена на всей числовой пря-
мой. Найдем f' (х):
Г (*) = ~ 4 I конечная производная f (х) существует на всей
з ух
4
числовой прямой, кроме х = О. Заметим, что / (х) = 0 при х =
О
4
Таким образом, точки = 0 и = -г являются критическими
точками данной функции (рис. 95).
а) Пусть х£]—8, —Н, тогда ни одна из критических точек
не попадает в этот отрезок. Так как для х £ ] —оо, 0[ производная
данной функции /' (х) > 0, то следовательно, и для х С 1—8, —11
Г (х) > 0, т. е. функция f (х) возрастает на отрезке I—8, —1].
Из последнего следует, что ее наименьшее значение на отрезке
[—8, —1 ] будет при х = —8, т. е. /наим = f (—8) — —40, а наи-
большее ПрН X — 1, Т. е. /наиб = f (—1) = —3.
б) Пусть теперь х£ {—1, 11, тогда обе критические точки при-
надлежат этому отрезку. Поэтому для нахождения на отрезке
[—1, 1] наибольшего и наименьшего значения функции следует
рассмотреть значение функции / (х) в точках: хг = —1, хй = 0,
х8 = 4 и х4= 1 = -3, Z (0) = 0, Н±)«-1,03 и
f (1) = —1. Таким образом /наив = f (0) = 0 и /Яаим = f (—1) = —3.
П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции f (х) — 2х® — 9л2 4- 12х — 3 на отрезке 10, 3].
350
Решение. Найдем производную данной функции: /' (х) =
= 6х2 — 18х +12 = 6 (я — 1) (х — 2). Найдем критические точ-
ки: X} = 1, Х2 — 2.
Рассмотрим теперь значения данной функции в точках хг = О,
х2 = 1, х3 = 2 и х4 = 3: f (0) = -3, f (1) = 2, / (2) = 1, f (3) = 6.
Далее из конечного множества чисел {—3, 1» 2, 6} следует выбрать
наименьшее, т. е. —3, оно и будет наименьшим значением данной
функции /найм = f (0) = —3; взяв наибольшее из чисел, т. е. 6,
мы найдем наибольшее значение функции: /НЯиб = / (3) = 6.
В практике большое значение имеют так называемые задачи
на экстремум: раскрой материала с минимумом отходов, обеспече-
ние максимума дальности полета ракеты при минимуме расхода
топлива, максимум прибыли при минимуме затрат и т. д. При ре-
шении таких задач требуется найти наибольшее и наименьшее зна-
чение некоторой функции. Рассмотрим несколько таких задач.
Задача 1. Какой из прямоугольников с периметром 2р имеет
наибольшую площадь?
Решение. Прямоугольников с периметром 2р имеется бес-
конечное множество. Наша задача — выделить из этого множества
прямоугольник, площадь которого будет наибольшей. Рассмотрим
прямоугольник, длины сторон которого равны х и у. Площадь та-
кого прямоугольника будет равна S = х - у. а периметр 2х + 2у =
= 2р. Следовательно, S (х) = х (р — х), так как у = р — х. Бу-
дем искать теперь наибольшее значение функции S (х) == х (р — х),
где 0 < х < р. С этой целью найдем: S' (х): S' (х) = р — 2х. Та-
ким образом, критическая точка функции S (х): х = Найдем
значение функции <$ (х) в этой точке: S (~\ = -4-.
у Л J
Рассмотрим далее множество значений функции S в точках
хх = О, хг = -у и х9 -- р:
S(0) = 0, $(-£-) =+ и S(p)=0.
/ о \
Следовательно, S (-§-) = — и является наибольшим
функции на отрезке 10, pj. Итак, при х = площадь
£ —
большей. Найдем теперь у: у = р — х = р-------- =
£
значением
будет наи-
4г- Следо-
£
вательно, х = #, т. е. искомый прямоугольник есть квадрат со сто-
роной
При решении подобных задач полезно подчеркнуть, что она
принадлежит к обширному классу более общих задач, называемых
изопериметрическими. В свою очередь, обобщение этого класса
задач привело к созданию целой области математики, называемой
вариационным исчислением. Основы этого раздела математики были
заложены Л. Эйлером.
351
Рис. 96.
Задача 2. Из квадратного листа жести
со стороной а надо изготовить бак с квад-
ратным основанием без крышки наибольшего
объема.
Решение. Обозначим через х длину
стороны вырезаемого квадрата (рис. 96). Из
чертежа легко видеть, что 0 < х < Объем
бака будет определяться по формуле
v (х) — (а — 2х)2 * х, где 0 < х
Таким образом, задача свелась к отысканию наибольшего значения
функции V (х) на отрезке 0, -£.
Лл
Так как и'(х) = а2 — 8ох+12х2, то, решив уравнение 12х2—
8ах + а2 = 0, найдем стационарные точки функции V (х) :
а а
= -R- И Х2 = -к- •
Найдем значения функции V (х) в точках хх — 0, ха == и хл —
— -5-: V (0) =s 0, V(-тй — и У (-тг) ~ 0, следовательно,
функция V (х) принимает наибольшее значение на отрезке 0,
4W
в точке х = Итак, при х = объема бака будет наибольшим:
V— - V (1) “ •
Задача 3. Содержание экипажа судна составляет 480 руб.
в час. Расход топлива пропорционален кубу скорости судна и со-
ставляет 30 руб. в час при скорости 10 узлов. С какой скоростью
судно должно совершать рейс, двигаясь равномерно, чтобы общий
расход денег был минимальным.
Решение. Пусть i — общий расход денег в час, тогда i =
= 480 4- ilt где — расход денег, связанный с потреблением топ-
лива. По условию 4 = Ла3, где k — коэффициент пропорциональ-
ности, v — скорость. Из условия задачи известно, что — 30,
если и = 10, поэтому 30 = k * 10*, т. е. k — — 0,03. Таким
образом, i = 480 4- 0,03а3. Общий расход денег: I — t (480 4-
4- 0,03а3), где t — время. Из курса физики известно, что при
равномерном движении t = •£-» где s — путь. Следовательно,
7 (а) = (480 4- 0,03а3) == 480 • 4- 0,03s • а2, где а> 0.
Найдем критические точки / (а). Так как /' (а) = —4-
352
0,06sy, то, решив уравнение------у + 0,06so = 0, получим:
v* — 8000, т. e. v = 20. Заметим также, что Г (у) не существует
в точке о = 0. Следовательно, v = 20 — критическая точка /функ-
ции I (о), так как v = 0 не входит в область определения данной
функции. Легко установить, что в точке v = 20 функция / (о) имеет
минимум. Итак, общий расход будет тем ближе к минимуму, чем
ближе скорость к 20 узлам.
6.5. Способ построения графика функции <по точкам», наиболее
употребительный в младших классах средней школы, не является
совершенным. Использование аппарата производной при построе-
нии графика функции значительно облегчает эту задачу.
При построении графиков функций можно использовать следую-
щую схему:
1) Найти область определения функции у = f (х), если она за-
ранее не указана.
2) Проверить функцию на четность и нечетность.
3) Исследовать функцию на периодичность.
4) Найти точки пересечения графика функции с осями коор-
динат.
5) Найдя критические точки функции (т. е. точки, в которых
f (х) = 0 или имеет разрыв), надо исследовать знак функции в ин-
тервалах, на которые разбивается область определения функции
критическими точками, т. е. найти интервалы знакопостоянства
функции у = f (х).
6) Исследовать функцию на монотонность.
7) Найти точки локального экстремума функции.
8) Начертить график.
Обращается внимание учащихся на то, что при построении гра-
фика функции не всегда нужно точно следовать данной схеме.
Например, пункт 2 в какой-то степени определяется пунктом 1;
пункт 6 используется не всегда. Иногда для построения графика
функции достаточно пунктов 1—5.
Приведем образец построения графика функции.
Пример. Построить график функции f (х) = 5 • ——.
Решение. 1) Область определения функции — вся число-
вая ось, кроме точки х = 0, т. е. х Е ]—00. 0( U Ю, -|-оо1.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
f (—х) — / (х).
3) Функция непериодическая.
4) Найдем нули функции: / (х) = 0. Решив уравнение =
= 0, получим: х = 2. Таким образом, график функции пересекает
ось абсцисс в точке х = 2. Так как х = 0 не входит в область опре-
деления функции, то делаем вывод о том, что график функции ось
ординат не пересекает.
12 7—941
353
Г 5) Используя результаты исследований шагов 1 и 4, найдем
критические точки функции и установим интервалы знакопостоян-
ства функции; = 0 и х2 = 2 — критические точки функции, они
разбивают числовую ось на три интервала: }—оо, 01, ]0, 2[ и
12, 4-оо[, в каждом из которых значения функции имеют постоян-
ные знаки, а именно:
X — оо <С х <С 0
И*) —
0<х<2 2< х< + со
— 4—
6—7) Найдем производную (х) = 5<4 — , она существует
и конечна в области определения данной функции, поэтому крити-
ческие точки функции f (х) (по первой производной) будут иметь
вид: х = 0 и х = 4.
Изучим поведение /' (х) на промежутках 1—оо, 0[, 10, 41 и
14, -f-ool. Результаты исследования запишем в таблицу:
X — оо<х<0 х = 0 0<х<4 х = 4 4 <х< 4-оо
rw Не су- ществует 0 —
Интервалы монотоннос- ти и точки локального экстремума Убывает Локаль- ного экст- ремума нет Возрастает Локаль- ный мак- симум Убывает
Значение локального экстремума Н4)»0,6
Рис. 97.
В точке х = 0 функция не
имеет экстремума, так как эта
точка не принадлежит области
определения данной функции.
8) По полученным данным
исследования функции строим
график этой функции (рис. 97).
Иногда вместо составления
двух таблиц результаты иссле-
дований свойств функции сводят
854
в одну таблицу, где знаками «/*» и обозначают соответ-
ственно возрастание и убывание функции.
Например, для только что рассмотренной функции такая таб-
лица будет иметь следующий вид:
X 1— оо; 0[ 0 [0; 2[ 2 12 ; 4[ 4 J4; 6[ 6 ]6; + оо[
Не опре- делена 0 —|— — —I— *
rw Не суще- ствует —|— 0 —- '
Интерва- лы монотон- ности и точ- ки локаль- ного экстре- мума । Локаль- ного эк- стремума нет Локаль- ный мак- симум
А затем, используя эту таблицу, строят график функции.
6.6. Значение понятия производной отнюдь не исчерпывается
возможностью применения соответствующего аппарата к исследова-
нию функций и построению графиков. Понятие производной гораз-
до богаче, и этот факт должен найти отражение при изучении эле-
ментов математического анализа в школе. Более того, в школьном
курсе математики ознакомление учащихся с удивительно широким
спектром применения основных понятий математического анализа
имеет не только образовательное, но и мировоззренческое значе-
ние — именно при изучении этого раздела математики мы получаем
возможность по-настоящему продемонстрировать учащимся прак-
тический смысл математики и возможность ее использования в ес-
тествознании и технике.
С этих позиций можно отчетливо представить себе различие
между вузовскими и школьными требованиями к приложениям
анализа. Если в вузе готовят обучаемых к использованию новых
методов в практической работе, то в школе мы лишь должны по-
казать учащимся, что глубина идей, заложенных в новых понятиях,
позволяет найти этим понятиям разнообразные сферы приложения
и привести соответствующие иллюстрации. Следовательно, дело не
в заучивании все новых и новых фактов, а в усвоении общих ме-
тодов.
Об отдельных практических приложениях понятия производ-
ной уже говорилось (задачи на максимум и минимум, например).
12*
355
(Этметим еще некоторые. Одним из дидактически наиболее оправ-
данных приложений понятия производной является оценка погреш-
ностей и обоснование некоторых формул приближенных вычисле-
ний. Учащиеся очень легко усваивают необходимость изучаемого
материала, чего, правда» нельзя сказать об усвоении самого содер-
жания — теория и практика вычислений для многих школьников
остается нелегким делом. Строго говоря, вопросы применения диф-
ференциального исчисления к вычислениям стоило бы рассматри-
вать более последовательно, чем это предусмотрено программой,
т. е. начинать с введения понятия дифференциала и т. д. (подроб-
нее см. любой учебник математического анализа). По-видимому,
при дальнейшем совершенствовании школьных программ это будет
сделано. Сейчас же пособие [3.8] ограничивает объем соответствую-
щего материала выводом формулы для приближенного извлечения
корней произвольной степени. Конечно, учащиеся не должны за-
учивать эту формулу, но должны хорошо понимать, каким обра-
зом она получается из двух фактов — определения производной в
точке и правила дифференцирования корня и в чем смысл прибли-
женного равенства (т. е. в чем состоит «отбрасывание бесконечно
малых высших порядков»). Очень полезно, если учитель покажет
и вывод некоторых других формул приближенных вычислений.
Следует обратить особое внимание на применение производной
к решению геометрических задач на проведение, например, каса-
тельной к окружности или параболе, заданным своими уравнения-
ми. Учащиеся должны понять, что это совершенно новый класс
задач: одно дело — исследование некоторых функций и выяснение
геометрического смысла тех или иных параметров и переменных
и другое — описание поведения геометрических объектов с помощью
математического аппарата. Ведь здесь возникает совершенно новое
для учащихся направление — анализ геометрических фактов на
«негеометрическом» языке, т. е. появляются элементы аналитиче-
ской геометрии, о чем учитель, конечно, расскажет на уроке.
И наконец, особенно важно рассмотрение всякого рода задач
с физическим содержанием. В пособии [3.8] приведены образцы
таких задач и их решения, и мы не будем на них останавливаться,
но хотим обратить внимание читателя на совершенно исключи-
тельную роль межпредметных связей на этом этапе обучения. Дело
должно быть поставлено так, чтобы, после того как учащиеся озна-
комились с понятием производной, учитель математики готовил
школьников к урокам физики, а учитель физики упражнял учащих-
ся в решении задач по математике.
§ 7. МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
7.1. О месте этого понятия в школьном курсе математики.
7.2. О введении понятия интеграла.
7.3. Применение интеграла при решении геометрических и физи-
ческих задач.
356
р';т?'7Л. После ознакомления учащихся IX—X классов в курсе
«Алгебра и начала анализам с понятиями предела и производной,
способами их вычисления и некоторыми их применениями, в X клав-
се учащихся знакомят с понятиями и основными идеями интеграль*
його исчисления. В теме «Интеграл» рассматриваются вопросы!
первообразная функции, интеграл и его применение к нахождению
площади, интеграл как предел интегральных сумм, площадь круга
и его частей. Кроме того, в курсе «Геометрия» (X класс) учащиеся
знакомятся с применением определенных интегралов к вычислению
объемов тел. Программа по математике для средней школы не пре-
дусматривает систематизации приемов и методов интегрирования
и не предполагает выработки навыков и техники интегрирования
сложных функций.
7.2. Как известно, главной методической проблемой, от реше-
ния которой не в последнюю очередь зависит усвоение учащимися
элементов интегрального исчисления, является вопрос о способе
введения понятия определенного интеграла в виде приращения
первообразной (как этого требует программа) или в виде предела
интегральных сумм (как это обычно делается в вузе). Первый спо-
соб изложения короче и не требует вывода формулы Ньютона —
Лейбница. Однако при этом способе введения понятия определен-
ного интеграла идея метода суммирования, лежащая в основе по-
нятия определенного интеграла (так исторически возник опреде-
ленный интеграл), отходит на второй план. При втором способе
введения понятия определенного интеграла как предела интег-
ральных сумм требуется больше времени на изучение интеграла,
так как требуется провести большую подготовительную работу по
рассмотрению задач, приводящих к понятию определенного интег-
рала, а затем рассмотреть теорему Ньютона — Лейбница (ибо без
нее, исходя только из определения, трудно вычислять определен-
ные интегралы как пределы сумм).
Однако при таком подходе к понятию определенного интеграла,
т. е. когда он рассматривается как особый вид предела некоторого
вида, к нахождению которого сводится решение различных геомет-
рических и физических задач, определенный интеграл оказывается
более понятным и доступным, а его введение воспринимается уча-
щимися как закономерная необходимость.
Дадим краткую характеристику изучения понятия определен-
ного интеграла, изложенную различными авторами пробных учеб-
ников и учебных пособий для средней школы.
а) В пробном учебном пособии [3.10] принимается первый ва-
риант введения понятия определенного интеграла. Поэтому изло-
жение вопроса начинается с изучения первообразной функции
(дается определение и доказываются основная теорема и правила
нахождения первообразных). Затем рассматривается задача вычис-
ления площади криволинейной трапеции; показывается, что для
случая неотрицательной функции f (х) площадь S (х) криволиней-
ной трапеции с основанием la, х! является одной из первообразных
357,
этой функции } (л:), причем отмечается, что приращение этой перво-
образной на отрезке [а, Ы равно площадн криволинейной трапеции
с основанием 1а, &].
Затем выражение
ь
F 0) - F (а) = У (х) dx,
а
где F (х) есть первообразная функции / (х), называют интегралом
функции f (х) в пределах от а до Ь.
Авторы не употребляют термина «определенный интеграл»,
хотя используют термин «неопределенный интеграл функции»,
понимая под ним совокупность всех первообразных этой функции.
Таким образом, введя понятие определенного интеграла через
приращение первообразной, авторы тем самым получают и форму-
лу Ньютона — Лейбница в готовом виде (т. е. без доказатель-
ства—в виде определения). Указав на связь интеграла с площадью
криволинейной трапеции, авторы тем самым выясняют геометри-
ческий смысл этого интеграла. Наконец, авторы рассматривают
интеграл как предел интегральных сумм. Введя понятие площади
и рассмотрев ее свойства, далее изучают площадь круга и его час-
тей. В заключение рассматривается задача о работе переменной
силы, при решении которой используется определенный интеграл.
С вариантом изложения элементов интегрального исчисления,
основанным на таком же подходе к понятию определенного интегра-
ла, можно ознакомиться в статье «Интеграл в школьном курсе
математики» А. И. Маркушевича (сборник «Новое в школьной
математике». М., «Знание», 1972), а также в статье «Интеграл»
М. А. Доброхотовой и А. Н. Сафонова (сборник статей «Дополни-
тельные главы по курсу математики X класса для факультативных
занятий». М., «Просвещение», 1970).
б) В учебном пособии для IX—X классов средней школы с ма-
тематической специализацией «Математический анализ» Н. Я- Ви-
ленкина и С. И. Шварцбурда (М., «Просвещение», 1973) тема «Ин-
теграл» изучается в стиле, близком к вузовскому. Изложение на-
чинается с введения понятия неопределенного интеграла функции
f (х) (обозначение: $ f (х) dx) как множества всех первообразных
функций для f (х) и рассмотрения его свойств. Затем достаточно
полно изучается вопрос об интегрировании функций (интегрирова-
ние методом подстановки и интегрирование по частям). Далее рас-
сматривается задача о нахождении площади криволинейной трапе-
ции, причем проводится доказательство существования этой пло-
щади.
Определив понятие нижней н верхней интегральных сумм для
непрерывной функции f (х), авторы вводят понятие определенного
интеграла непрерывной функции f (х) по отрезку [а, Ы. Рассмотрев
определенный интеграл как функцию верхнего предела, выводят
формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного
358
интеграла. Затем рассматривают приложения определенного интег-
рала для вычисления площадей плоских фигур; объема цилиндри-
ческих тел, объема пирамиды и усеченной пирамиды, объемов тел
вращения; объемов тел, у которых известны площади параллельных
сечений, площади поверхности вращения, приводят обе теоремы
Гюльдена.
Подводя итог, заметим, что при скромном объеме времени, отво-
димого на изучение темы «Интеграл», дискуссия о том, начинать ли
изучение этой темы с определенного или неопределенного интегра-
ла, носит в методической литературе скорее теоретический, чем прак-
тический, характер. В этой связи приведем одно высказывание
Я. С. Дубнова: «Старый методический спор о том, начинать ли изу-
чение интегрального исчисления с неопределенного интеграла
(т. е. с обращения задачи дифференцирования) или же с определен-
ного (предел интегральной суммы), теряет здесь свою остроту.
В самом деле, преподавание этих вещей в средней школе должно
ограничиться настолько скромным объемом и таким коротким от-
резком времени, что оба понятия могут быть введены одновремен-
но и в дальнейшем рассматриваться параллельно» (см. статью
в «Математическом просвещении», т. 5, 1960. М.» Физматгиз,
с. 54).
7.3. Рассмотрим некоторые задачи из геометрии и физики, ко-
торые при первом подходе к введению понятия интеграла (т. е.
как приращению первообразной) следует рассмотреть в конце темы
«Интеграл» как иллюстрацию связи интеграла с физикой и геомет-
рией, а при втором подходе (т. е. когда интеграл рассматривается
как предел интегральных сумм) с них целесообразно начинать,
т. е. использовать их как задачи, приводящие к понятию интеграла.
К числу таких задач следует отнести прежде всего такие важней-
шие задачи, как задача о площади плоской фигуры, задача о вы-
числении пути, задача о силе давления жидкости и др. Разберем
эти задачи.
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой коорди-
нат, задана фигура аАВЬ, ограниченная отрезком [а, Ь\ оси Ох,
прямыми х = а и х = д, кривой
у = / (х), где f (х) — однознач-
ная, непрерывная, неотрица-
тельная на отрезке 1а, Ь] функ-
ция (рис. 98). Такую фигуру
называют криволинейной тра-
пецией с основанием [а, Л].
Отметим, что данная здесь
терминология отличается от при-
нятой в курсе элементарной гео-
метрии, где отрезок [а, назы-
вается высотой трапеции, а
Рис. 98.
359
t f т —------------------ - --- ““ Т *
О to^Tf tt t(-i t( tn T^—t
Рис. 99.
основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых
х = а и х = Ъ. Отметим также, что точка А может совпадать с
точкой а, а точка В — с точкой Ь. Поставим задачу: «Найти
площадь криволинейной трапеции».
Для решения поставленной задачи поступают следующим обра-
зом. Разбивают отрезок [а, 61 на п частей одинаковой длины: Ах —
= cii — ai-i, где точки дх есть д = д0, дх, аг,...» On-i, аа—
*= 6 (д^ < дх < а2 < ... <ДП). Затем через точки деления at Ц —
*= 1, 2, ..., п — 1) проводят прямые параллельные оси Оу. В ре-
зультате проделанной операции данная криволинейная трапеция
аАВЬ разбивается на п криволинейных трапеций с основаниями
1д/—1, дД (i = 1, 2, ..., л).
На каждом отрезке [д;_ь дД (I — 1, 2, .... п) выбирают произ-
вольную точку Xt < Xi < а{). Далее строят прямоугольники
с основаниями, равными Д х = а( — а,—], и высотами длины / (х,)
(I = 1, 2, .... п), площадь каждого такого прямоугольника рав-
на произведению f (хг) х (Д/ — д,_Д = f (хД • Дх. Из построен-
ных прямоугольников образуют ступенчатую фигуру (рис. 98),
площадь которой вычисляется по формуле
2 f (xi) Ьх.
Это есть приближение площади криволинейной трапеции аАВЬ.
Очевидно, что, чем мельче отрезки деления [д,_ь дД (i = 1, 2, ...
..., л), тем лучше будет приближение. Поэтому, если рассмотреть
lim 2 f (xi) Ьх, то получим площадь криволинейной трапеции.
П->со 1=1
Если понятие интеграла уже введено, то можно записать, что пло-
щадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле S —
= \ f (х) dx.
Задача о вычислении пути
Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой
мгновенной скоростью v — v (t), т. е. известна скорость точки в
любой момент времени t, v (t) — непрерывная функция на отрезке
17’1, ГД. Требуется найти путь, который пройдет тело за промежу-
ток времени от /х = 7\ до t — (рис. 99).
В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна,
т. е. v (/) — v0 = const для t £ [7\, Т2], то путь, пройденный телом,
равен (по определению, известному из курса физики) произведению
360
скорости на время движения: $ = у0 (Т2 — 7\). В общем случае,
когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим об-
разом.
Промежуток изменения времени I7\, 7^1 разбивают точками
4 = Ти tu t2, tn_b tn = T2 (4 < 4 < ... < 4) на п отрез-
ков 14—ь 41 О = 1» 2, п) одинаковой длины
Далее, выбрав на каждом отрезке 14—ь 41 произвольную точку
Л
(4-1 < < 4)> составляют сумму S ° (Ti) М ••• (*)• Каждое
Г=1
слагаемое v (т{) Д/ этой суммы дает приближение пути, пройден-
ного телом за время от t « 4—i до t = 4- Действительно, скорость
v (/) в точках отрезка 14-ь 41 мало отличается от ее значения в точ-
ке т/( так как функция v (t) непрерывна. Поэтому путь, который
прошло тело за промежуток времени [4—ь 41» приближенно равен
пути, который проходит тело за это время с постоянной скоростью,
равной v (т(). Следовательно, путь, пройденный телом за время от
t — 7\ до t = Т2, приближенно выражается суммой (♦):
Л
s « У v (т/) Д4
с=1
так как он складывается из путей, пройденных телом за каждый
промежуток времени 14—ь 41» на которые разбит отрезок времени
Ui. T’al- Легко видеть, что приближение будет тем лучше, чем мель-
че отрезки деления 14-ь 41 (1 = К 2, .... «)•
Поэтому путь, пройденный телом за отрезок времени I7\, T2J,
определяется как предел следующего вида:
п
s — lim S v (ti) Д1.
Л-*сю 1=1
Если учащимся известно понятие интеграла, то путь, пройден*
Т,
ный телом, можно вычислить по формуле s — j v (t) dt.
Задача о силе давления жидкости
Пусть пластинка в виде трапеции погружена вертикально в
жидкость с удельным весом у так, что ее основания параллельны
свободной поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соот-
ветственно на расстоянии а и Ь (рис. 100). Требуется определить
силу давления жидкости на пластинку. Если бы пластинка находи-
лась в горизонтальном положении на глубине h от свободной поверх-
ности (уровня) жидкости, то сила давления жидкости F на пластин-
ку была бы равна весу столба жидкости, имеющего основанием
данную пластинку, а высотой — глубину h, т. е.
F = у • h • S, (♦)
361
Рис. 100.
где S — площадь пластинки.
Если же пластинка погружена
в жидкость вертикально» то по
формуле (*) давление жидкос-
ти на пластинку не может быть
вычислено, так как в этом слу-
чае давление жидкости на еди-
ницу площади пластинки изме-
няется с глубиной погружения.
При решении задачи будем
учитывать закон Паскаля, т. е.
то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково.
Для решения задачи разобьем пластинку на п частей (малых
горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной
поверхности жидкости (т. е. параллельно оси Оу) и проходящими
через точки: х0 = а, х19 х2, ..., хЛ_ь хп = b (х0 < х± < х2 < ...
... Хп—1 Xi Cl I* Л»
Выделим одну из полосок — i-ю (на рисунке она заштрихо-
вана), находящуюся на глубине xL. Для достаточно узкой полоски
давление во всех ее частях можно считать приближенно одинако-
вым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой
Дх и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко ви-
деть, что основание прямоугольника зависит от глубины погру-
жения полоски, т. е. будет функцией абсциссы х. Обозначим эту
функцию / (х), х С [a; feL Таким образом, силу давления на полоску
можно вычислить по формуле (*), т. е. имеем: у * f (х£) Дх ♦ xf.
Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, най-
дем некоторое приближение силы давления жидкости на всю плас-
тинку:
п
f «2 Дх • хг.
Точное значение силы давления жидкости на пластинку опре-
деляется по формуле
F = lim 2 yf (%i) к* • Хр
Л-+0О 1=1
Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила
давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле
6
F — у j х/ (х) dx.
а
Далее, если еще не было введено понятие (определенного) ин-
теграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следую-
щим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и
физические), решение которых производилось с помощью одной и
той же последовательности действий (одним и тем же методом),
362
приводящей к построению некоторой суммы и нахождению пре-
дела этой суммы. Так как указанный метод применяется к реше-
нию большого числа математических и прикладных задач, то,
естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержа-
ния задач. Сущность этого метода состоит в следующем:
1) Пусть на отрезке [а, Ы задана произвольная однозначная
ограниченная функция f (х). Отрезок [a, bl разбивается на п частей
Ц-ь aj (i = 1, 2,.... п) одинаковой длины Дх = = а. — а._х
точками а0 = а, аи а*, ..., ап—ь ап = Ь, причем а0 <Z аг < а2 <; ...
• Clfi'—1
2) На каждом из отрезков разбиения [а,-ь aj (/ = 1, 2, .... п)
выбирается произвольная точка xt и для каждого отрезка разбие-
ния составляется произведение значения функции f (х) в выбран-
ной точке х( на длину соответствующего отрезка [о.—ь а(], т. е.
произведение вида f (х,) (а( — «,-i) = [ (хД Дх.
3) Берется сумма всех таких произведений: srt (а; Ь) =
п
= 2 / (xt) Дх, называемая интегральной суммой функции f (х) на
i=i
отрезке [а, 6].
4) Находится предел интегральных сумм s„ (а; Ь), т. е.
п
I = lim sn (a; b) = lim S ( (х() Дх. (*)
Л-ьоа П-ьсо
Рассматриваемый предел, если он существует, носит название опре-
ь
деленного интеграла и обозначается / J / (х) dx.
л
После всего сказанного можно формулировать определение
интеграла как некоторого предела интегральных сумм.
$ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
8.1. О месте этой темы в курсе математики средней школы.
8.2. О понятии дифференциального уравнения.
8.3. Об изучении в школе дифференциального уравнения пока-
зательного (экспоненциального) роста.
8.4. О рассмотрении дифференциального уравнения гармони-
ческих колебаний в курсе математики средней школы.
8.1. Программа по математике предусматривает рассмотрение
в курсе «Алгебра и начала анализа» (X класс) простейших дифферен-
циальных уравнений.
В теме «Логарифмическая и показательная функции» предпо-
лагается ознакомление учащихся с дифференциальным уравнением
показательного роста у' = ky, рассмотрение различных задач из
многих областей науки (физики, химии, биологии, экономики,
социологии и т. п.), решение которых сводится к этому уравнению.
363
Рис. 101.
Дифференциальное уравнение гармониче-
ских колебаний у" ~ —k2y рассматрива-
ется в теме «Тригонометрические функ-
ции». Здесь также предполагается- рас-
смотрение задач из механики, физики,
электротехники и других инженерных на-
ук, решение которых приводится к этому
уравнению.
8.2. Прежде чем вводить понятие диф-
ференциального уравнения, учащимся сооб-
щается о том, что в различных областях нау-
ки и техники, а также в экономике часто рассматриваются задачи,
решение которых сводится к одному или нескольким уравнениям,
содержащим, кроме переменных, искомых функций, еще и произ-
водные этих искомых функций. Говорится, что такие уравнения
называются дифференциальными. Отмечается, что раздел «Диффе-
ренциальные уравнения» курса математического анализа является
дальнейшим углублением методов дифференциального и интеграль-
ного исчислений. Если в дифференциальном исчислении по данной
функции находится ее производная, а в интегральном исчислении
по производной находят функцию, являющуюся первообразной
для этой производной, то при изучении теории и практическом ре-
шении дифференциальных уравнений не даны ни функция, ни ее
производная, а задано уравнение (или несколько уравнений), ко-
торое связывает их. С учащимися вспоминается, что понимается
под решением алгебраического уравнения. Затем по аналогии вво-
дится понятие решения дифференциального уравнения как функ-
ции, которая это уравнение обращает в верное равенство. После
этого с учащимися полезно рассмотреть несколько задач, приводя-
щих к дифференциальным уравнениям
Задача 1. Найти плоскую кривую, которая в каждой своей
точке имеет касательную, образующую с положительным направ-
лением оси абсцисс угол, тангенс которого равен удвоенной абсцис-
се точки касания.
Решение.
Пусть у = f (х) есть уравнение искомой кривой в плоскости
XOY (рис. 101).
По условию задачи в каждой точке N (х, f (х)) существует каса-
тельная, образующая с положительным направлением оси Ох
угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания,
т. е. tg а = 2х. Используя геометрическое истолкование производ-
ной, получим:
f'(x) = 2х (1)
1 Примеры задач такого вида можно найти в кн.: Зельдович Я. Б. Выс-
шая математика для начинающих. М., 1965; Пономарев К. К. Составле-
ние и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач.
364
или tf— 2х (Г). Полученное уравнение —
дифференциальное уравнение, так как оно
содержит производную искомой функции.
Из уравнения (Г) (или 1) видно, что про»
взводная искомой функции у равна 2х,
т. е. сама искомая функция у есть перво-
образная функция от функции 2х. Нам из-
вестно, что множество всех первообразных
данной функции есть неопределенный ин-
теграл от этой функции, поэтому имеем:
у= j 2xdx (2') или у = х2 +С, (2)

Рис. 102.
где С — произвольная постоянная.
Итак, решением дифференциального уравнения (!') (или 1) явля-
ется функция у — хг + С, где С — произвольная постоянная,
т. е. данное уравнение имеет бесконечное множество решений, отли-
чающихся на константу. Таким образом, условиям задачи удовлет-
воряет не одна кривая, а бесконечное множество кривых — семей-
ство парабол (рис. 102). Для того чтобы решение задачи было един-
ственным, надо в условии задачи задавать еще точку, через кото-
рую проходит искомая кривая. Действительно, пусть ищется
кривая, проходящая через точку (х0, yQ) (или (х0, f (х0)), тогда, под-
ставив координаты этой точки в решение (2), получим:
Уо = xl + С, т. е. С = f/o — По-
следовательно, решением данной задачи, т. е. искомой кривой,
проходящей через точку (х0, Уо), является кривая, уравнение кото-
рой имеет вид:
о I 2
у — X2 + у0~х0.
В частности, если кривая проходит через точку, координаты кото-
рой есть х0 = 0о = 0, то решением задачи является парабола у =
= х2, а при х0 — 1 и 0о = 2 решением является парабола у =
= л8 4* 1 или при х0 = 2 и 0о — 1 решением задачи является па-
рабола 0 = х2 — 3 (рис. 102).
Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной
скоростью v0. Определить закон движения тела, если его положение
в начальный момент I — 0 есть «о, предполагая, что тело движется
только под влиянием силы тяжести.
Решение.
Как известно из курса физики, под влиянием силы тяжести,
тело движется с постоянным ускорением, равным g. Мы знаем,
что ускорение движения материальной точки выражается произ-
водной второго порядка от пути з по времени t, поэтому дифферен-
циальное уравнение в данном случае имеет вид:
т-3^ - ~ёт>
365
или, после сокращения на массу т,
d2s
~d?
<3)
Согласно определению второй производной s" = (s')' = v' =
= —g, поэтому, рассуждая так же, как и при решении первой за-
дачи, будем иметь, что функция v — У есть первообразная по от-
ношению к функции (—g), т. е.
v = s' == У(—g)dt = —gt +Q, или v = s' = —gt+C^ (4)
Из последнего равенства следует, что s есть первообразная функ-
ции (—gt 4-Cj), поэтому
s « f (-gt + CJdt = — g J tdt Ci f di = — + CJ + C2,
V V V
где Ci и — произвольные постоянные.
Итак, решением дифференциального уравнения является функция
* = —Г" + +А» (5)
где Сх и Са — произвольные постоянные. Таким образом, решение
содержит две произвольные постоянные Сх и Са.
По условию задачи в начальный момент времени t = 0 тело
находилось на высоте s0, поэтому из формулы (5) имеем:
s (0) = s0 = —• + Ci ♦ О 4- Сй
т. е. С*2 = Sq» (6)
С другой стороны, в начальный момент времени t = 0 тело имело
начальную скорость и0, поэтому из формулы (4) следует:
т. е. €i^v0- (7)
Итак, подставив значения Сх и С3 из равенств (6) и (7) в формулу
(5), получим решение поставленной задачи:
s = — -С- + »</ + $«•
Л
Из рассмотренных примеров видна специфика решения диффе-
ренциальных уравнений» Их решением является бесконечное мно-
жество функций, из которых заданием начальных условий полу-
чаются решения.
После этого вводятся понятия порядка дифференциального
уравнения, общего и частного решения. Указывается» что порядком
дифференциального уравнения называется наивысший из поряд-
ков входящих в него производных. Например, рассмотренное выше
уравнение (Щесть уравнение первого порядка, а уравнение (3) —
уравнение второго порядка. Отмечается, что решение дифферен-
366
циального уравнения первого порядка, содержащее произвольную
постоянную С и такое, что при различных значениях С из него
могут быть получены все решения этого дифференциального урав-
нения, носит название общего решения, этого уравнения. Мы ви-
дели, что решение (2) уравнения (1} содержало одну произвольную
константу, поэтому оно является общим решением этого урав-
нения. В случае дифференциального уравнения второго порядка
общее решение должно содержать две произвольные константы.
Так, например, решением рассмотренного выше уравнения (3)
является решение (5), которое содержит две произвольные кон-
станты, поэтому это общее решение уравнения (5}. И наконец, сле-
дует остановиться на понятии частного решения дифференциаль-
ного уравнения. Указывается, что решение дифференциального
уравнения первого порядка, получаемое из общего решения этого
уравнения, при определенных значениях произвольной константы
С называется частным решением уравнения. Объясняют учащимся,
что для получения частного решения уравнения первого порядка
из общего надо задать начальные условия, т. е. потребовать, что-
бы искомая функция у (х) при некотором значении аргумента х =
— х0 принимала заданное значение. # (х0) — у* Последнее можно
проиллюстрировать, на примере решения задачи I. Так, для на-
хождения из общего решения у — х2 4- С частных решений у «=
= х2, у — х2 4-1, у — х2 — 3 были заданы соответственна началь-
ные условия: хв = & — 0; Хо = I и & = 2; х* ~ 2 и у6 = 1.
Таким образом, частным решениям у = ж2, у — х2-р 1, у — ж2— 3
соответствовало задание определенных значений константы С,
а именно произвольная константа С соответственно принимала
значения 0,1 и —3^
После этого отмечается, что если рассматривается уравнение,
порядок которого равен двум, то для получения частного решения
из общего следует задать определенные значения двух входящих
в него произвольвых констант, что также достигается заданием на-
чальных условий. А именно для уравнения второго порядка, зада-
ние начальных условий состоит в том, что при некотором значении
аргумента х = х0 задается значение искомой функции у (ж) в этой
точке, т. е. у (х0) = у* а также значение ее производной, т. е.
У' (*о> = Л-
Например, в задаче 2 были заданы следующие начальные усло-
вия: для момента временя t — 0 задавалось начальное положение
s (0) = s# (т. е. высота тела в начальный, момент времени) и началь-
ная скорость и (0) = s' (0) = xi* Это позволило из общего решения
s = —4- Cjt 4- Са найти интересующее вас частное решение
s —. —So( являющееся решением рассматриваемой за-
^2 - с
дачи.
8.3. Изучение дифференциального уравнения показательного
роста (оно имеет вид: у* = —йу) в школе можно начинать с рассмот-
367
рения различных задач из физики, техники, биологии и т. д., реше-
ние которых приводится к этому уравнению. Уже потом следует
доказать, что всякое решение этого уравнения есть функция вида
у (х) = С • е~кх, где С — произвольная константа, а заканчивая
изучение этого вопроса, необходимо вновь рассмотреть решения
прикладных и технических задач, приводящих к составлению и
решению дифференциального уравнения показательного роста.
Так, например, сделано в учебном пособии [3.10]. Здесь сначала
рассматривается задача об установлении закона распада радия и
показывается, что ее решение сводится к решению некоторого диф-
ференциального уравнения вида m'(t) — —km (t), Л > 0. Затем
приводится решение этого уравнения в виде т (t) = С • е-**
(то, что данная функция является решением, устанавливается
непосредственной проверкой), дается понятие о начальных уело-’
виях дифференциального уравнения, устанавливается, что рас-
сматриваемое уравнение не имеет иных решений. Далее делается
указание на то, что при исследовании многих физических, экономи-
ческих и биологических явлений приходится решать задачи, сво-
дящиеся к дифференциальному уравнению вида и' (I) — —kii (/).
Позднее рассматриваются задачи об охлаждении тела в окружаю-
щей среде, об измерении высоты с помощью барометра, о росте
населения.
В заключение отметим, что, конечно, в школьном курсе мате-
матики не следует рассматривать общую теорию решения линей-
ных дифференциальных уравнений первого порядка вида у' (х) -f-
4- / (х) • у (х) = g (х) (уравнение . показательного роста у' (х) =
= —ky (х), где k — константа, есть частный случай этого урав-
нения, а именно линейное однородное уравнение первого порядка
с постоянными коэффициентами). Однако, используя понятие пер-
вообразной, следует получить общее решение этого уравнения
yf (х) = ky (х) в виде у (х) = Ce~kx, где С — произвольная по-
стоянная (см., например, пробный учебник [1.29]).
8.4. Другое дифференциальное уравнение, которое рассматри-
вается в школе, есть дифференциальное уравнение гармонических
колебаний у" = —k*y. Эго уравнение — уравнение второго порядка.
В учебном пособии [3.10] этот вопрос изложен следующим обра-
зом: сначала рассматриваются задачи, решение которых сводится
к этому уравнению, а затем делается указание на то, что все реше-
ния этого уравнения исчерпываются функциями вида у (х) =
= A sin (kx -j- 0), где Л и 0 — произвольные константы.
Следует обратить внимание учащихся на то, что в рассматри-
ваемом случае в общее решение входят две произвольные постоян-
ные, поэтому для нахождения частного решения (т. е. решения за-
дачи) следует задать начальные условия, а именно в начальный
момент следует задать не только значение функции, но и значение
ее производной. Например, при рассмотрении задачи о пружин-
ном маятнике в начальный момент времени t — 0 задается начальное
отклонение груза от положения равновесия у (0) = у0, а также
368
скорость, с которой этот груз движется в начальный момент t = О,
т. е. начальная скорость у* (0) = ов.
В указанном выше учебном пособии рассмотрены задачи 6 пру-
жинном и математическом маятниках, о равномерном движении по
окружности, решение которых сводится к рассмотрению уравнения
гармонических колебаний.
С примерами других задач подобного же вида можно ознако-
миться в книгах: Я. Б. Зельдович. «Высшая математика
для начинающих» (М., «Наука», 1965), К. К. Пономарев.
«Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-
технических задач» (М., Учпедгиз, 1962); К. К. Понома-
рев. «Составление дифференциальных уравнений» (Минск, «Вы-
шэйшая школа», 1973).
Изложение этого вопроса полезно провести в виде лекции, в
ходе которой следует рассказать учащимся Об огромной роли, ко-
торую играют дифференциальные и интегральные уравнения в со-
временной физике и технике. Для этого можно использовать указан-'
ную выше литературу.
Глава XVIII
УЧЕНИЕ О ВЕЛИЧИНАХ И ИХ ИЗМЕРЕНИИ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1.1. Введение.
1.2, Об изучении величин в курсе математики I—III классов.
1.3. Об изучении свойств величин в восьмилетней школе.
1.4. Аксиоматическое определение понятия величины в старших
классах средней школы.
1.1. Понятие величины является одним из основных понятий,
применяемых не только в математике, но и в физике, химии и
других научных дисциплинах. Тем не менее термин «величина»
в школьном обучении нередко используется неправильно. Так,
например, этим термином часто пользуются как синонимом термина
«количество», видят в терминах «величина» и «значение величины»
один и тот же смысл; говорят о «величине площади» и одновремен-
но считают, что площадь геометрической фигуры — величина,
говорят о «величине числа» («абсолютная величина числа») и одно-
временно считают числа (действительные) величиной; применяют
произвольные и часто бессмысленные словосочетания, вроде «уве-
личение величины» и т. д. Одним словом, приходится только удив-
ляться той небрежности, с какой оперируют этим понятием в школе
и учителя, и учащиеся.
Конечно, во многом это объясняется тем, что понятие величины
не является специфически математическим понятием (т. е. факти-
чески выступает в различных смыслах), а также тем, что пути вве-
дения и применения этого понятия еще не получили достаточно
четкого освещения в методической литературе.
Между тем в самой математике определенные классы величин
имеют совершенно четкое (чаще всего аксиоматическое) определе-
ние (класс скалярно аддитивных величин, класс векторных вели-
чин и т. д.). Поэтому ясно, что трактовка понятия величины в
школьном обучении должна быть приведена в определенное соот-
ветствие с трактовкой этого понятия в науке.
Напомним прежде всего сущность аксиоматического определе-
ния того класса величин (обратите внимание не величин во-
370
обще, а одного из классов величин!), с которым более всего связаны
школьные курсы математики и физики. Из различных вариантов
такого определения наиболее удобным для современной школь-
ной математики является то, которое предложено А. Н. Колмого-
ровым (см. его брошюру «Введение в анализ», Изд-во МГУ, 1966).
«Будем говорить, что множество S = {а, Ь, с,...} является си-
стемой скалярных величин, если справедливы следующие аксиомы:
1. Если а £ S и b С S, то имеет место одно и только одно из
следующих соотношений: а < Ь, а — Ъ, а>Ь.
2. Если a <Z b и b <z с, то a <Z с.
3. Для любых a G S и Ь £ S определена величина с = а -|- Ь,
которая также принадлежит S.
4. Всегда а 4- Ъ — Ь 4- а.
5. Всегда а + (Ь с) — (а 4- Ь) -}- с.
6. Если а < а*, то а 4- Ь < а' 4- Ъ при любом Ь € S.
7. Для любых а и b существует одна и только одна величина
с = а — Ь, для которой а = Ь -j- с.
8. Каковы бы ни были a Q S и натуральное п, существует
такое Ъ £ S, что а — п • Ъ.
Из 3, 4, 5, 7 можно вывести1, что для любых а £ S и b € S су-
ществует вполне определенный элемент «нуль» в системе величин
S, который мы обозначаем 0 и который обладает тем свойством, что
всегда а 4- 0 = а.
9. Аксиома Евдокса или Архимеда (Если Ъ > О, то для любого
а S существует такое натуральное п, что а < nb).
10. Если а0 < Uj С аг < ... < ап <. ••• <Z Ь, то среди величин,
не меньших любой из величин а„, существует наименьшая а = sup ап.
То же можно выразить короче: система скалярных величин
есть аддитивная коммутативная группа (свойства 3, 4, 5, 7), пол-
ностью упорядоченная (свойства 1, 2, 6), с делением на натураль-
ное число (свойство 8), архимедова (свойство 9) и удовлетворяющая
аксиоме непрерывности (свойство 10).»
Настоятельно рекомендуем читателю рассмотреть интерпрета-
цию системы аксиом А. Н. Колмогорова, заменив в формулировках
аксиом термин «величина» на наименование конкретной — величи-
на, например, длина отрезка. Скажем, первая аксиома должна
при этом читаться примерно так: «Для любых двух длин отрез-
ков т и п имеет место одно и только одно из следующих от-
ношений: т < п, т — п, т> т>.
Теперь нам следует перейти к вопросу о введении понятия ве-
личины в школьном курсе математики. Очевидно, придется по-
строить определенную методическую систему работы, имея в виду
решение двуединой задачи — обучение практическому приме-
нению понятия величины в связи с измерениями и ознакомление
с формально-логической сущностью этого понятия.
1 См. также: Абрамов А. М. Логические основы курса геометрии вось-
йилетней школы. М., 1974.
371
;-ЖЧМШй1О’ считать, что в школьном курсе математики изучение
понятия величины осуществляется концентрически. Первый кон-
центр — пропедевтический. На этом этапе развивается интуитив-
ное представление о величинах и их практическом измерении (не-
посредственное измерение длин отрезков, взвешивание, определе-
ние температуры), упоминаются так называемые «именованные
числа» и вводятся простейшие единицы измерения. Этот этап соот-
ветствует работе в I—III и IV—V классах. Очевидно, на этом эта-
пе речь идет лишь о прикладной стороне вопроса, вопрос о фор-
мально-логической стороне даже и не ставится.
Следующий этап можно условно назвать этапом изучения мето-
дов косвенного измерения величин и отнести его в основном к кур-
су геометрии VI—VIII классов. Здесь развиваются знания и навы-
ки, связанные с прикладной стороной вопроса, изучаются много-
численные факты, позволяющие от непосредственного измерения
величин перейти к вычислениям (наверное, самый яркий пример —
теорема Пифагора). Но вместе с этой стороной вопроса, изучение
которой базируется на достаточно прочной формально-логической
базе, на этом этапе появляются элементы пропедевтики строгого вве-
дения понятия величины и ее измерения. Так, в курсах алгебры и
геометрии говорится о величинах и числах, об отношениях вели-
чин, при изучении измерения площадей говорится не только о спо-
собах их вычисления, но и о том, что такое площадь, и т. д.
Наконец, в старших классах вопрос об измерении площадей
и объемов ставится на вполне современную основу, т. е. даются и
удовлетворительное с точки зрения уровня строгости определение
этих понятий, и достаточно общие (с помощью определенного интег-
рала) методы вычислений. Что же касается формально-логической
сущности понятия скалярной величины, то на современном уровне
обучения, по-видимому, и в старших классах мы будем ограничи-
ваться лишь констатацией возможности аксиоматического опреде-
ления этого понятия, или, в лучшем случае, говорить о нем в обзор-
ном порядке.
Рассмотрим теперь подробнее некоторые частные вопросы реа-
лизации предлагаемого плана изучения понятия величины и спо-
собов измерения величин.
1.2. Как уже сказано выше, изучение величин в I—III классах
носит пропедевтический характер. Тем не менее по ряду вопросов
у ученика, пришедшего в IV класс, должны быть достаточно отчет-
ливые представления. Он должен понимать, что общей особен-
ностью длин, площадей, объемов, масс (весов), температур, явля-
ется то, что для каждой из этих величин существуют отношения
равенства и неравенства, которые устанавливаются практическим
путем, причем для каждой из величин по-своему. Все эти величины
можно измерять, причем опять-таки для каждой из них есть свой
способ измерения, сущность которого тем не менее всегда одина-
кова,— есть некоторая единица, с ней и необходимо сравнивать,
это и есть измерение. Величины одного рода можно складывать
372
(а разного — нельзя!), причем сложение можно осуществлять непо-
средственно (влить в сосуд с двумя литрами воды еще три литра
и измерить общее количество), а можно и сложить два числа —
результат будет один и тог же. Ученик IV класса уже довольно
твердо должен знать основные единицы измерения длин, площадей,
объемов и масс и иметь некоторые навыки практического измере-
ния этих величин. При этом следует понимать, что сформулировать
перечисленные факты ученик, возможно, и не сумеет, вполне до-
статочно, если он умеет ими пользоваться на интуитивном уровне и
сознательно может их применить при решении простейших задач.
Задача учителя IV класса — продолжить работу в этом направ-
лении, не допуская временного ослабления соответствующих зна-
ний и навыков (такое ослабление может произойти именно в IV
классе).
Сделаем теперь несколько замечаний относительно практики
действий с так называемыми именованными числами в курсе ма-
тематики начальных классов.
Прежде всего отметим, что сами термины «именованное число»
и «отвлеченное число» являются искусственными. По существу
рассматривая, например, выражения 31 см и 31 или 21° и 21, имеем
дело с конкретными величинами: длиной (31 см) и величиной угла
(21°) и их числовыми значениями (31 и 21). Проводя известные дей-
ствия над «именованными числами», мы имеем дело с действиями
над конкретными величинами или с преобразованиями величин
(выражением одной и той же величины в различных единицах из-
мерения).
Например, сложение 5 см -f- 3 см = 8 см означает сложение двух
длин; 5 см • 3 = 15 см — умножение длины на число; 5 дм 3 см
5 мм = 535 мм (выражение длины в миллиметрах) и 200 см = 2 м
(выражение длины в метрах) означают переход к новой единице
измерения.
В курсе математики начальных классов представляется полез-
ной пропедевтика изучения понятия величины посредством выпол-
нения действий и преобразований над конкретными величинами.
Характер соответствующих упражнений должен определяться
основными свойствами величины (сравнимостью, слагаемостью,
возможностью деления на доли и измерения). Именно в упражне-
ниях вычислительного характера и при решении текстовых задач
целесообразно рассматривать на конкретных примерах:
I) сложение и вычитание двух величин (например, 5 дм 3 см -f-
4-8дм5см = 13дм8см = 1мЗдм8смит. п.);
2) умножение величины на число (например, 5 дм 3 см • 3 =
— 15 дм 9 см — 1 м 5 дм 9 см и т. п.);
3) деление величины на число (нахождение доли величины и т.п.);
' 4) сравнение величин (например, 5 см 9 мм < 6 см 1 мм и т. п.).
Учащимся полезно также проводить простейшие измерения ве-
личин и упражняться в переходе от одной единицы измерения к
другой.
373
Понятно, что-выделять все эти вопросы в отдельную тему курса
не следует. Понятно также, что число специальных упражнений
такого рода должно быть небольшим, а выполнение их учащимися
должно быть попутным, по мере изучения соответствующего про-
граммного материала.
1.3. Изучейие косвенного измерения величин требует достаточ-
но отчетливого представления о сущности процесса непосредствен-
ного измерения, с которым учащиеся знакомы на основе житей-
ского опыта и изучения математики в начальной школе. Учителю
необходимо подчеркнуть, что измерение величины (да и само по-
нятие величины) тесно связано с понятием числа. Напомним —
для учителя! — что вообще процесс измерения величин может быть
описан, как отображение множества величин в множество положи-
тельных чисел (см. статью Н. Я- Виленкина «О понятии величи-
ны».— «Математика в школе», 1973, № 4, с. 4—7).
Школьник же должен хорошо усвоить, что числа не только в
школьном курсе математики, но и в самом историческом процессе
развития человеческих знаний возникли в результате выполнения
двух основных операций: счета предметов и измерения величин.
В IV—VIII классах вторая операция трактуется чисто практически.
Измерить величину — это значит сравнить ее с другой, однород-
ной ей величиной, принятой за единицу измерения.
Таким образом, процесс измерения величин, вообще говоря,
состоит из двух этапов:
1. Из данного рода величин выбирается некоторая величина,
которую называют единицей измерения (е).
2. Осуществляется процесс измерения — сравнение
данной величины с выбранной единицей измерения.
В результате измерения величины находят некоторое число (х),
которое называется числовым значением данной величины (а) при
единице измерения е: а = х • е, где х — число.
Проиллюстрируем сказанное таблицей:
Геометрическая фигура Величина Значение величины
1. Отрезок АВ Длина отрезка АВ Числовое значение дли- ны отрезка АВ:
Обозначение: 1ЛВ] Обозначение: ]ЛВ[ = 4 см 4
2. Угол АВС Величина угла АВС Числовое значение ве- личины угла АВС:
Обозначение: ^АВС Обозначение: АВС =60° 60
374
Говоря о геометрических вели-
чинах (например, о длине отрезка
и величине угла), следует четко
различать саму геометрическую
фигуру, величину, относящуюся к
этой фигуре, и числовое значение
этой величины.
— — — Д
Ci —jD
Рис. 103.
Таким образом, следует отличать длину отрезка от числового
значения длины. Первое (расстояние между точками А и В) оста-
ется неизменным, второе — зависит от выбранной единицы измере-
ния (длина отрезка АВ может быть равной 4 см, или 40 мм, или
0,4 м и иметь таким образом разные числовые значения: 4; 40; 0,4) Ч
В известном смысле длина — объективная реальность, значение
длины — отражение этой реальности в мозгу человека.
Отметим следующие свойства величин, которые проявляются
в процессе их измерения:
а) равным величинам при одной и той же единице измерения
соответствуют равные числовые значения;
б) числовое значение суммы величин при одной и той же едини-
це измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин.
Так, например, чтобы измерить длину отрезка АВ (рис. 103),
мы выбираем единицу измерения (отрезок CD); затем сравниваем
оба отрезка АВ и CD, «укладывая» последовательно отрезок CD на
отрезке АВ. Если отрезок CD является общепринятой единицей из-
мерения (например, сантиметром), то практически используется
масштабная линейка, которая просто прикладывается к данному
отрезку (начало линейки — к началу отрезка), что гораздо проще
(рис. 104). В результате измерения отрезка АВ отрезком CD мы
получаем число 4 — числовое значение длины данного отрезка
(| ЛВ] = 4 | CD] или ) ЛВ] = 4 см).
Нетрудно обнаружить на этом примере и перечисленные выше
свойства (единицы измерения — см):
а) длины отрезков АК и КВ равны, и поэтому равны их число-
вые значения: 2 = 2;
б) длины отрезков АК и КВ в сумме составляют длину отрезка
АВ, и поэтому числовое значение длины отрезка АВ равно сумме
числовых значений длин отрезков А К и КВ: 4 = 2+2.
Если единица измерения величины укладывается в данной
величине целое число раз, то она
ние в 1 см есть одна четвертая доля
В процессе измерения длины
отрезка (также и других ему
подобных величин), не всегда уда-
ется выразить длину отрезка на-
1 Это различие в терминологии и обо-
значениях в настоящее время четко прово-
дится в курсе геометрии восьмилетием
школы.
является его долей; расстоя-
расстояния в 4 см.
Рис. 104.
375
Л в туральным числом. Так, например,
-----измеряя отрезок АВ отрезком CD,
СО мы получим число З-i- (рис. 105).
11 рис. юз. Чтобы осуществить измерение в
этом случае, единицу измерения де-
лят на доли (в нашем случае на четыре доли) и устанавли-
вают, сколько раз в данном отрезке AD содержится данная доля
единицы измерения. Если длина отрезка измерена в долях единицы
измерения, то ее значение выражается натуральным числом (в
нашем случае | АВ | = 13 | КВ |, где | КВ | = у| СД |); длина того же
отрезка выражается в первоначальных единицах измерения дробным
числом (в нашем случае | АВ | = 3 4- | CD |).
Таким образом, измерение величин тесно связано с понятием
доли единицы; если величина не может быть измерена выбранной
единицей измерения, она измеряется долей этой единицы; если
и в этом случае нельзя установить значение величины, эту долю
делят на новые доли и т. д. Таким образом, измерение величин яв-
ляется своеобразным источником возникновения дробных чисел.
Мы видели, что процесс измерения величин является по сущест-
ву процессом сравнения между собой двух величин одного и того
же рода (самой величины с ее единицей измерения).
Вообще говоря, ответить на вопрос, равны ли две величины
или не равны, можно двумя способами. Пусть, например', нужно
сравнить длины двух отрезков АВ и CD (рис. 106).
Можно непосредственно сравнить оба отрезка, наложив один
отрезок на другой (например, используя нитку); проделав так же
наложение, мы убедимся в том, что конец второго отрезка (точка D)
окажется внутри первого отрезка. Мы можем сказать, что | АВ | >
>» | CD | (если концы этих отрезков совпадут, длины отрезков будут
равны). Аналогично для сравнения массы двух предметов достаточ-
но положить их на различные чашки рычажных весов.
Однако такой способ сравнения величин не всегда удобен (напри-
мер, не всегда бывает возможным сравнить этим способом проме-
жутки времени). Поэтому при сравнении величин чаще прибегают
к сравнению их числовых значений, т. е. к косвенному сравнению,
посредством сравнения чисел.
Чтобы сравнить этим способом отрезки АВ и CD (рис. 106),
достаточно установить длину каждого отрезка (например, | АВ| =
== 4 см, | CZ) | = 1 см) и сравнить полученные числа (4 > 1, по-
этому | АВ [ > | CD |).
Сравнивая этим способом массы
А___________к___________в двух предметов, достаточно взвесить
•»»*•» каждый из них отдельно при помощи
с п гирь и сравнить полученные число-
. —• вые значения массы.
Рис. 106. Подведем некоторый итог.
376
На примере конкретных
величин мы убеждаемся в
том, что имеет место сле-
дующее свойство: в резуль-
А В
С Р
А В=С D
» .1 > «
;тате сравнения однород-
ных величин мы получим:
или | АВ ‘
или
О)
Рис. 107.

fi Р/
Нетрудно убедиться в том, что соотношение «=» обладает свой-
ствами:
а) рефлексивности: | АВ | = |ЛВ|;
б) симметричности: | АВ | = | CD | => CD | = | АВ |;
в) транзитивности: | АВ | = | CD| и CD | <= | EF | => | АВ | =s
= | EF , а соотношение «<» (или «>») обладает следующими свой-
ствами:
а) асимметричности: | АВ 1 > I CD | => | CD | < 1 АВ |;
б) транзитивности: I АВ I > I CD I и I CD I > I cF | => | ЛВ I >
>|ВВ |.
Для учащихся IV—VI классов сравнение величин не сводится
к ответу на вопрос о том, какое из указанных отношений имеет
место. Как правило, одновременно надо уметь ответить не только
на вопрос «что больше?» и даже не только на вопрос «на сколько
больше?», но еще и на вопрос «во сколько раз больше?». С формаль-
ной точки зрения ответ на этот вопрос вытекает непосредственно
из существа процесса измерения величин, в школе же приходится
достаточно подробно останавливаться на описании возникающих
при этом ситуаций. В курсе геометрии беседа на эту тему полезна
перед введением аксиом расстояния (пример такой беседы приведен
в п. 3 пособия [3.45]), одновременно желательно поговорить об этом
на уроках алгебры, готовя учащихся к изучению пропорциональ-
ности величин.
Пусть, далее, даны два отрезка: [ЛВ] и [СО]. Построим отре-
зок, равный сумме данных двух. Какова длина отрезка-суммы?
Эту задачу также можно решить двумя способами:
1. Отметить на прямой точку Л, отложить отрезок АВ, а от
точки В вправо отложить последовательно отрезок CD (рис. 107, а).
Искомым отрезком будет отрезок AD. Теперь достаточно измерить
|Л£>| и найти его длину.
2. Если длины отрезков АВ и CD известны (например, | АВ | =
5= 7 см, | CD | = 3 см), то задачу можно решить гораздо проще:
достаточно сложить числовые значения длин (7 -|- 3 = 10); полу-
ченное число 10 выражает длину искомого отрезка. Можно также
выполнить сложение самих длин отрезков: 7 см 4- 3 см =
= 10 см.
В практике обучения математике говорят, что выполнено сло-
жение «именованных чисел». По существу речь идет о сложении
величин, в данном случае расстояний (длин отрезков).
377
Рассмотрение этой задачи показывает также, что существует
длина, называемая разностью двух данных длин отрезка. В нашем
примере длина отрезка 3 см является разностью длин 10 см и 7 см:
3 см = 10 см — 7 см.
Рассмотрение этого примера говорит о том, что всякие длины от-
резков можно сложить: | АВ [ -|-1 ВС | = | АС |.
В результате сложения длин отрезков также получается длина.
При этом сумма длин отрезков обладает переместительным, сочета-
тельным свойствами, а также свойствами монотонности:
\AB\ + \CD\ = \EF\=>\EF\>\AB\ и \EF\>\CD\.
Если | ЛВ| > | CD |, то существует единственная длина | KL [,
называемая разностью длин | АВ | и | CD |, обладающая свойством
|сп| + |/а| = |ЛВ|.
Одной из важных задач, связанных с понятием величины, явля-
ется задача деления величин на доли (нахождения доли величины).
Задачу нахождения доли величины можно также решить двумя
способами: непосредственным делением самой величины на равные
части (доли) или измерением с последующим вычислением.
Пусть, например, нужно найти V4 долю длины отрезка АВ.
Возьмем бумажную полоску длиной, равной длине | АВ |; проил-
люстрируем на этой модели оба способа. Искомую долю длины от-
резка АВ можно найти:
1) непосредственным перегибанием этой полоски дважды по-
полам;
2) измерением длины этой полоски (отрезка ЛВ) и делением
полученного значения длины на число 4. Пусть, например, | АВ | —
= 8 см, тогда — • | АВ| = 2 см.
При выполнении задания вторым способом возникает задача
о нахождении доли числа от 8^, которая решается
арифметически действием делением (делитель должен быть таким,
какова искомая доля: 8:2 = 4).
Многие задачи, связанные с нахождением долей величин, сво-
дятся к задачам нахождения доли числа, которые решаются го-
раздо проще.
Понятно, что для величины можно также определить опера-
цию умножения величины на число. Умножая,
например, длину отрезка А1В1 на число 3, мы получим длину отрез-
ка Л^! (рис. 107, б): | Л1В1| • 3 = | Л^Ох |; умножая длину 5 см
3 мм на число 6. мы получим длину: 5 см 3 мм • 6 = 30 см 18 мм =
= 31 см 8 мм. Умножая длину того же отрезка A^D^ на число,
мы получим длину отрезка (рис. 107, б): ) | • —
= I А&
378
2
Обычно числовой множитель пишут впереди величины: -у |
5 см. Кстати, длину 5 см можно понимать как произведение числа
5 на длину «см»: 5 см = 5 • 1 см.
Разобранный пример деления длины отрезка на доли иллюст-
рирует следующее важное свойство величин: Любую величину (на-
пример, длину отрезка) можно делить на сколь угодно малые доли.
Легко обнаружить” на конкретном примере длины отрезка еще
одно свойство величины: если взять две любые длины отрезков а и Ь,
то всегда найдется натуральное число п такое, что п • b > а.
Выражение п • Ь означает умножение натурального числа на
величину Ь, т. е. выражение вида & 4- & + + Ь.
п раа
Последнее свойство (называемое аксиомой Архимеда) выражает
возможность измерения любой величины.
Таким образом, нетрудно убедиться, что» готовя учащихся к
решению задач, связанных с косвенным измерением величин (ча-
ще всего геометрических), с вычислением значений величин
на основе соответствующих теорем, мы имеем и фактически реали-
зуем возможность довольно обстоятельно ознакомить учащихся
с аксиоматическим определением системы скалярных величин,
точнее, не с определением, как таковым, а с теми свойствами систе-
мы величин, которые этими аксиомами формализуются (за исклю-
чением, быть может, аксиомы непрерывности): сравнимостью, ад-
дитивностью, упорядоченностью, коммутативностью и ассоциатив-
ностью относительно сложения, монотонностью, существованием
разности, делимостью, возможностью измерения. В этом смысле
мы и говорим о пропедевтике строгого введения понятия величины
на втором этапе школьной концентрической системы изучения этого
понятия.
1.4. В старших классах (предпочтительнее в X классе) можно
ознакомить учащихся с аксиоматическим определением системы ад-
дитивно-скалярных неотрицательных величин.
Так как школьной программой специальное рассмотрение это-
го вопроса не предусмотрено, это лучше сделать при обзорном
повторении курса геометрии, приняв за основу приведенную выше
систему аксиом и изложив ее примерно в следующей редакции.
Учащимся сообщается, что положительными скалярными вели-
чинами называются элементы всякого непустого множества 5 {a, ft,
с, ...}, на котором определена алгебраическая операция — сложе-
ние и установлены соотношения сравнения.
При этом имеют место (выполняются) следующие свойства (ак-
сиомы):
I. VaCS, V&GS; (a < &) V (^ = &) V С6 ~
свойство сравнимости. Причем соотношение «равно» обладает тремя
известными свойствами (рефлексивность, симметричность, транзи-
379
тивность)/ а соотношение «меньше» обладает свойством транзитив-
ности.
IIr. V а € <S, V b £ S3 с = а 4- b — существование суммы ве-
личин; здесь величина с £ 3 и определена на множестве Sa (декар-
товом квадрате множества 3).
П2. Сложение величин обладает следующими свойствами:
a) a-\-b~b-{-а (коммутативность);
б) а 4- (6 с) = (а Ь) 4- с (ассоциативность);
в) а < а 4- д и b <Za -\-Ь (монотонность).
П3. Если а >• Ь, то существует одна и только одна величина с
такая, что b +с = а — существование разности величин.
Ш1. V а £ 3, V я € 3 6 £ Sin • b = а — возможность не-
ограниченного деления величины на доли; из равенства nb — а
следует равенство b — , выражающее однозначность деления
(единственность может быть доказана).
II 1а. Каковы бы ни были элементы а и b системы 3, существует
такое натуральное число п, что nb > а, т. е. V а £ S, V b € 3,
3 п G N/a < nb — аксиома Архимеда. „Здесь, как и в формулиров-
ке Шь nb — b 4~ Ь 4-... 4-6.
п раз
Это свойство выражает возможность измерения величин.
1П3. Если дана неубывающая последовательность скалярных
величин: а0 < ...^ ап С Ь, то среди величин, не меньших
ап, существует наименьшая величина а — sup ai — аксиома не-
прерывности.
Если имеет место свойство 1П3, то систему скалярно-аддитив-
ных величин называют системой скалярно-аддитивных непрерывных
величин.
При подведении итога по изучению величин в школе учащим-
ся можно кратко рассказать и о так называемых векторных вели-
чинах.
Следует отметить, что направление изменения величины может
быть не только взаимно противоположным, но и вообще произволь-
ным (в границах рассматриваемого пространства).
Возникает еще более общий класс величин — класс нескаляр-
ных величин. Для них отношения «меньше», «равно» не имеют
смысла; устанавливается только отношение равенства и неравенст-
ва («==»,« ф »). Однако и для таких величин может быть специ-
ально определена операция сложения. Простейшими из таких вели-
чин являются: путь точки в пространстве, ускорение, сила и т. д.
Физические сочетания таких величин определяются так называе-
мой равнодействующей величиной; на плоскости они «складывают-
ся» по известному закону параллелограмма, в пространстве — по
закону параллелепипеда.
1 Символ sup ао (супремум означает «наибольшее из ап».
380
В качестве математического понятия, моделирующего каждую
такую величину, используется понятие векторами поэтому сами
величины называются векторными величинами.
Такие векторные величины, как, например, скорость и ускоре-
ние твердого тела, движущегося поступательно, характеризуются
смещением любой точки пространства — свободным вектором; та-
кие векторные величины, как, например, сила, приложенная к не-
которой точке частицы жидкости, характеризуются вектором, на-
чало которого совпадает с определенной (фиксированной) точкой
пространства,— связанным вектором; такие векторные величины,
как, например, сила, приложенная к твердому телу, характеризу-
ются вектором, который может перемещаться по прямой, не меняя
своего направления — скользящим вектором.
Для задания векторной величины необходимо указать три
действительных числа, характеризующих эту величину; одним чис-
лом можно задать численное значение (модуль) этой векторной
величины, двумя другими — определить направление (так как это
делается, например, в астрономии, когда для указания направле-
ния на какое-нибудь небесное тело указывают его азимут и высоту
или долготу и широту). Отметим, что для задания скалярной ве-
личины вполне достаточно указать одно действительное число, его
характеризующее (или одно действительное положительное чис-
ло для положительной скалярной величины).
Систему векторных величин (так же как это сделано выше для
системы положительных аддитивно-скалярных величин) можно
определить аксиоматически. Однако, так как существует спе-
циальный раздел математики — векторное исчисление, с помо-
щью которого осуществляется изучение векторных величин
в конкретных физических (а тем более математических) ситу-
ациях, такое определение представляет лишь теоретический ин-
терес.
В заключение отметим, что n-мерное векторное пространство
(п 2) представляет собой различные модели тех или иных си-
стем векторных величин. Так, трехмерное векторное пространство
V3 представляет собой множество свободных векторов. Оно моде-
лирует, например, скорость и ускорение твердого тела, движуще-
гося поступательно, и т. д.
Двухмерное векторное пространство V2 представляет собой мно-
жество связанных векторов. Оно моделирует, например, силу, при-
ложенную к некоторой точке частицы, и т. п.
Если сравнить аксиоматику системы скалярно-аддитивных ве-
личин с аксиоматикой векторного пространства, то нетрудно убе-
диться в том, что система скалярно-аддитивных величин есть не что
иное, как одномерное векторное пространство над полем действи-
тельных чисел, снабженное свойствами архимедовой упорядочен-
ности и непрерывности.
Читателю, желающему углубить свои знания по этому вопро-
су, рекомендуем обратиться к следующей литературе:
381
1. Большая Советская Энциклопедия. Изд. 3-е. Т. 4,
с. 456—457.
2. Колмогоров А. Н. Введение в анализ. М., Изд-во МГУ,
1966, с. 7; а также:
(3.16], [3.45], [3.46], [3.47[, [3.76], [3.96], [3.119].
§ 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
2.1. О понятии площади плоской фигуры.
2.2. Использование интеграла при нахождении площадей фигур.
2.3. Методика изучения площади круга.
2.1. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на
различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе
знакомятся с понятием площади плоской фигуры. Разумеется, на
первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении
о площади, а не о строгом математическом обосновании этого поня-
тия или аксиоматическом его введении. Первоначально у учащихся
представление о площади плоской фигуры связывается с подсче-
том числа единичных квадратов (т. е. квадратов, длины сторон ко-
торых равны линейной единице измерения) или долей таких квад-
ратов, которые можно разметить на данной фигуре. Изучение пло-
щади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника.
Сначала изучается случай, когда стороны прямоугольника соизмери-
мы с линейной единицей измерения, т. е. числовые значения длин сто-
рон выражаются положительными рациональными числами при
одной и той же выбранной линейной единице измерения (начина-
ется изучение в III классе, где рассматривается случай, когда чис-
ловые значения длин сторон прямоугольника выражаются нату-
ральными числами \ в IV классе уже рассматривается случай,
когда числовые значения длин сторон выражаются десятичными
дробями* и т. д.).
Программа курса геометрии предусматривает знакомство уча-
щихся с вычислением площади любой плоской фигуры с помощью
палетки. Использование палетки позволяет сделать не только до-
ступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади
любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею
измерения пл
•Ш
цади, состоящую в подсчете числа квадратов, кото-
рые укладываются на этой фигуре.
Знакомство с палеткой полезно начать с практической работы по
измерению площадей фигур, указанных на географической карте:
1 вариант
Площадь Каспийского моря
11 вариант
Площадь Аральского моря
1 По этому поводу см. книгу для учителя «Обучение в третьем классе», М.,
1971, с. 234—235.
а См. [3.107], с. 163-164.
382
Ill вариант IV вариант
Площадь Азовского моря Площадь Черного моря
Можно рекомендовать следующий порядок работы:
1. Наложить палетку на географическую карту так, чтобы она
полностью покрывала контур, ограничивающий заданную фи-
гуру.
2. Подсчитать отдельно число квадратных единиц и их долей
внутри контура криволинейной фигуры.
3. Вычислить площадь заданного участка поверхности земли,
используя масштаб карты.
4. Предложить учащимся дома сравнить найденное значение
площади заданного участка поверхности земли со значением пло-
щади поверхности этого участка, взятом из справочника (оценить
абсолютную погрешность вычисления).
Переходя теперь от непосредственного измерения площадей
путем сравнения их с единицей измерения при помощи палетки
к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо
обратить внимание учащихся на два момента. Во-первых, если до
сих пор практическое измерение длин отрезков и величин углов с
помощью масштабных линеек и транспортиров в большинстве слу-
чаев не вызывало особых неудобств, то для измерения площадей
столь удобных приборов уже нет и в принципе быть не может —
измерять площадь, непосредственно сравнивая ее, скажем, с квад-
ратным метром, на практике невозможно. Поэтому, во-вторых,
очень важно поглубже разобраться с величинами и их свойствами
вообще, а потом вернуться к площадям. При этом полезно обра-
титься к такой, например, таблице:
Величины и их свойства
Геометри- ческая фигура Изображение Величи- на Сравнение величин ! Сложение величин Умножение величины на число
1 2 3 4 5 6
Отрезок ИВ1 |ВС] [ЛР] Расстоя- ние (дли- на отрез- ка} 1ЛС1 ]ЛР| V? II и Л? II » - - - - - —- - --- - -- |ЛВ| + = ЛС1 1ЛВ1 -3 = = 3-1 ДВ |= = |Д£>|
j а с в
383
Продолжение табл.
Геометри- ческая фигура Изображение Величи- на Сравнение величин Сложение величин Умноже- ние вели- чины на число
1 2 3 4 5 6
Угол s'NOZ ^КОМ ^ZOM /V Величи- на угла NOK NOZ ком ZOM NOZ > KOZ KOZ = ZOM ZOM< <кдм ндк + + KOZ = — NOZ ZOM • 2 = = 2Z0M= ^кбм
Многоуголь- ник ABCD — ромб л две в Площадь SABCD $АВС SABCD> $всо ~ $Авс + + &ACD в $АВСО 1 1 О т | а g'Oc? ’«:<♦ у Z) ||
л f
ДЛВО двсо n V 1 0 г SABO $всо $АВО< < $АВС
Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин,
как расстояние, угол, мы получаем возможность убедиться в том,
что, как и всякие величины:
а) площади можно складывать между собой и умножать на
положительные числа;
б) за единицу измерения площадей можно выбрать некоторую
площадь, поэтому 3 — К • U, где 3 — площадь фигуры; К —
числовое значение площади 3; U — единичная площадь.
Вернувшись к результатам практической работы с палеткой,
можно поставить учащимся вопросы:
1. Площадь какой фигуры принималась за единичную пло-
щадь?
2. Каким оказалось числовое значение площади в задаче каж-
дого варианта (до перерасчета с помощью масштаба)?
Чтобы научиться находить площади различных неперекрываю-
щихся многоугольников, принимаются без доказательства два
свойства площади ([3.471 с. 18):
1. Конгруэнтные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составляется из неперекрывающихся
384
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих мно-
гоугольников.
Остается вспомнить, где в только что проведенной практичес-
кой работе использовались эти свойства площади, и отметить, что
многоугольники, имеющие равные площади, называют равновели-
кими.
С помощью этих свойств можно вывести (обосновать) извест-
ную формулу площади прямоугольника.
Наблюдая по таблицам за тем, как изменяется площадь прямо-
угольника с изменением его сторон (или одной стороны), учащиеся
приходят к выводу о том, что площадь прямоугольника зависит от
длины его сторон. Затем формула S = а • Ь, где а и b — соответ-
ственно длины сторон прямоугольника, выводится для целых а и Ь,
для остальных же случаев ее справедливость пока принимается
на веру.
Необходимо обеспечить полную ясность у учащихся в том,
что в этой формуле произведение а • b не есть «настоящее» произ-
ведение величины а на величину Ь. Дело в том, что однородные
величины можно складывать между собой, умножать на положи-
тельное число, т. е. в результате этих операций опять получается
величина того же рода. Операция умножения величин вообще не
определена. Однако, рассматривая прямоугольник, длины сторон
которого есть соответственно а = те и b = пе, где е — линейная
единица измерения, получаем, что его площадь равна т • п квад-
ратов, длины сторон которых равны е. Так как все эти квадраты
конгруэнтны и, следовательно, имеют одну и ту же площадь а8, то
площадь прямоугольника S = тпе* (*). С другой стороны, вычис-
ляя по обычным правилам алгебры произведение а и Ь, получим:
а ♦ b = (те) • (пе) — (тп) е? (**). Сравнивая формулы (*) и (**),
приходим к выводу: целесообразно условиться, что длины а и Ь
можно «умножать» друг на друга, получая при этом площадь
прямоугольника, длины сторон которого равны величинам а и Ъ.
Из формулы (*) следует, что если задан прямоугольник, длины
сторон которого измерены одной и той же единицей измерения е,
то его площадь есть величина, числовое значение которой при еди-
нице измерения а1 (т. е. квадрат, длина стороны которого равна е)
равно произведению числовых значений длин его сторон. Следо-
вательно, при косвенном способе измерения площади прямоуголь-
ника (а именно так делается на практике) достаточно измерить
длины его сторон одной и той же единицей измерения е, т. е. найти
величины те и пе, а затем за площадь такого прямоугольника при-
нять величину тпё*, где число тп есть произведение числовых
значений длин его сторон и а3 — квадратная единица измерения
(т. е. квадрат, длина стороны которого равна а).
Например, рассматривается прямоугольник, длина одной сто-
роны которогр равна 2 см, а длина другой — 5 см. В этом случае
при выбранной линейной единице измерения (один сантиметр) число-
вые значения длин сторон соответственно равны 2 и 5. Площадь
13 7—941
385
такого прямоугольника равна 10 см2, а числовое Значение площади
равно 10 при выбранной квадратной единице измерения в один
квадратный сантиметр.
Учащиеся не должны допускать следующей ошибки: площадь
прямоугольника, длины сторон которого 2 см и 3 дм, равна 2 • 3 =
= 6 (неизвестно каких единиц). Они должны правильно пользо-
ваться указанной формулой для нахождения площади. А именно,
выразив длины сторон в одинаковых линейных единицах измерения,
т. е. 2 см и 30 см, затем найти площадь прямоугольника по формуле
S = 2 • 30 = 60 (кв. см).
Как известно, вопрос о площади прямоугольника, стороны ко-
торого соизмеримы с выбранной единицей длины, в школе может
быть решен математически достаточно строго и без особых методи-
ческих трудностей. Наиболее сложен случай несоизмеримости хотя
бы одной стороны прямоугольника с единицей длины. И дело не
только в том, что формула S = а • Ъ рассматривается в VII классе,
когда в распоряжении учащихся еще нет понятия иррационального
числа и сама постановка вопроса о несоизмеримости пока невозмож-
на, а в том, что даже и в старших классах обоснование самих опера-
ций с иррациональными числами представляется методически край-
не затруднительным. Во всяком случае опыт преподавания по
учебнику А. П. Киселева, где случай несоизмеримости рассматри-
вался весьма подробно, показал, что подавляющее большинство
учащихся воспринимают теорию вопроса с большим трудом и в
лучшем случае имеют только формальные знания. По-видимому,
на современном уровне преподавания следует удовлетворяться,
если учащиеся будут твердо знать, что формула для вычисления
площади прямоугольника справедлива для «всех чисел», не углуб-
ляясь в расшифровку слова «всех».
После того как вопрос о площади прямоугольника решен, рас-
смотрение вопроса о площади треугольника, параллелограмма и
многоугольника не вызывает у учащихся затруднений. Так как во-
прос о площадях некоторых видов многоугольников, рассматривае-
мых в школьном курсе математики, решается традиционно, он
хорошо изложен в школьных учебниках1 и освещен в методичес-
кой литературе * 8, то мы не ставили своей целью рассматривать этот
вопрос в данном пособии. Укажем лишь на то, что при рассмотре-
нии этого вопроса у учащихся должна быть достигнута полная
ясность в трактовке понятий «конгруэнтность», «равновеликость» и
«равносоставленность» фигур и их взаимосвязи друг с другом.
Аксиоматическое введение понятия площади в учебном посо-
бии по курсу «Алгебра и начала анализа» сейчас не рассматривается,
хотя ранее рассматривалось в этом курсе, некоторые же свой-
ства площади рассматриваются и используются в курсе «Геомет-
1 См., например, 13.47], с. 23—30.
8 См., например, [3.101], с. 367—373.
386
рия» (VII класс)х. Так же как это имело место при косвенном изме-
рении площади прямоугольника для общего случая произвольной
плоской фигуры, косвенное измерение ее площади можно произво-
дить следующим образом: выбрав линейную единицу измерения
(например, сантиметр), выражают площадь плоской фигуры о чис-
лом ТС (о) соответствующих квадратных единиц измерения е2 (на-
пример, при выбранной линейной единице измерения — сантиметр
единицей измерения площади будет квадратный сантиметр). Та-
ким образом, задача о введении понятия площади плоской фигуры
будет решена, если мы при выбранной линейной единице измерения
е сможем каждой плоской фигуре о (из рассматриваемого допусти-
мого множества фигур) поставить в соответствие величину
3 (а) = К (о) е2, которую будем называть площадью фигуры о,
так что выполняются следующие свойства:
1. Числовое значение площади каждой фигуры <т — неотрица-
тельное чисЛо, т. е. К. (о) 0 (условие неотрицательности).
2. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади (свойство инва-
риантности).
3. Если фигура а является объединением двух фигур ох и о2,
не имеющих общих внутренних точек, площадь которых соответ-
ственно 5 (ах) и S (о2), то 3 (о) = S (ох) -f- 3 (о2) (свойство аддитив-
ности).
4. Существует фигура сг0> числовое значение площади которой
равно единице (т. е. К (о0) = 1), называемая квадратной единицей
измерения (условие нормированности).
5. Если фигура ох содержится в фигуре а2, то 3 (ах) < 3 (а2)
(свойство монотонности).
Плоская фигура, имеющая площадь, носит название квадри-
руемой. Желательно, чтобы учащиеся понимали, какие фигуры
надо относить к классам квадрируемых фигур, и имели представле-
ние о том, что не все фигуры квадрируемы. Так, например, наи-
более простым классом квадрируемых фигур являются многоуголь-
ники, а также фигуры, составленные из многоугольников.
2.2. Перед ознакомлением учащихся с идеей применения мето-
дов интегрального исчисления для вычисления площадей целесо-
образно провести беседу примерно следующего содержания.
Пока мы изучали площади таких фигур, которые могут быть
представлены в виде объединения конечного числа непересекаю-
щихся треугольников, получение новых формул для вычисления
площадей не вызывало каких-либо принципиальных затруднений —
формулы оказывались лишь более или менее громоздкими. Одна-
ко, как только мы захотим вычислить площади фигур, ограничен-
ных криволинейными контурами, или тем более фигур, расположен-
ных на неплоских поверхностях, возникают трудности особого рода.
Прежде всего оказывается, что известное нам представление о
площади, а также определение понятия площади (учитель, конечно, 1
1 См., например, 13.47], с. 18.
13*
387
повторит его) в новой ситуации ока-
зываются неприменимыми. Действительно,
мы не можем покрыть поверхность сферы
конечным множеством квадратов, мы не
можем заполнить конечным числом квад-
ратов круг и т. д. Более того, не умея оп-
ределить понятие площади, мы не можем и
поставить задачу ее измерения — теряет
смысл сама идея сравнения, так как, гру-.
бо говоря, нельзя сравнивать прямое о
кривым. Значит, придется как-то по-ново-
му ввести понятие площади, причем опре-
делить так, чтобы новое определение не
противоречило ни старому, ни нашим жи-
тейским представлениям о площадях. Путь
к этому определению лежит через понятие
предела.
Рис. 108. уЖе само по себе понятие предела не
так уж просто и надо полагать, что при-
менение этого понятия к задаче о площадях тоже будет не слишком
простым, но мы вправе ожидать, что после преодоления этих труд-
ностей мы получим достаточно общий метод и единый метод вычис-
ления площадей.
С чего же начать? Естественнее всего рассмотреть сначала та-
кую плоскую фигуру, лишь часть границ которой будет иметь кри-
волинейный контур, а остальные окажутся отрезками. Особую
роль при этом будет играть фигура, которую принято называть
криволинейной трапецией.
Дальнейшее изложение вопроса уже не представляет серьезных
трудностей. После изучения площади криволинейной трапеции пере-
ходят к рассмотрению более общего случая вычисления площадей
плоских фигур, площадь которых есть алгебраическая сумма пло-
щадей нескольких криволинейных трапеций.
Последнее закрепляется при рассмотрении с учащимися соответ-
ствующих примеров.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х, у = Д х = 2 (рис. 108).
Решение. Площадь данной фигуры можно найти как раз-
ность площадей криволинейных трапеций ABDE и АВСЕ. Следо-
вательно,
2
dx
2

2
= 2-j- (кв. ед.).
П р и м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью
Ох и линиями у = cos х, х = —я, х = л (рис. 109).
388
Решение. Найдем нули функции у—
tia cos х на отрезке [— я, л] :хг = —
----» х2 = ; расположим их в по-
рядке возрастания:----|- <-$- •
Площадь данной фигуры вычисляется
еледующим образом:

Рис. 109.
я
S = 2 j cosxdx
Л
= 2 (| [sin xlo2 | +
+ | [sin х]я |) — 4 (кв. ед.).
Л
2.3. В школьном курсе математики большое внимание уделя-
ется изучению площади круга и его частей. Это объясняется и прак-
тической важностью соответствующих формул, и глубокими общи-
ми идеями, на основе которых эти формулы доказываются.
Впервые формула для вычисления площади круга сообщается
учащимся в V классе, причем на этом этапе не ставится задачи како-
го-либо ее обоснования. Можно лишь, как это сделано в учебнике
[3.108], сослаться на наглядные представления о верхней и нижней
границах этой площади. Весьма полезно показать учащимся, как
вычисляется эта площадь при помощи палетки (вместо палетки
можно использовать миллиметровую бумагу). Делается это обычно
в VII классе при уточнении понятия площади.
Завершая изучение планиметрической части курса геометрии
восьмилетней школы, следует вновь обратиться к этому вопросу
уже на несколько более высоком уровне. Конечно, и сейчас стро-
гое обоснование формул остается невозможным — в нашем распо-
ряжении еще нет теории пределов, но, опираясь на теорию подо-
бия, можно показать пропорциональность площадей кругов квад-
ратам их радиусов и обратить внимание учащихся на то, что здесь
мы встречаемся с тем же самым коэффициентом пропорциональности
л, с которым имели делр* говоря, что длины окружностей пропор-
циональны их диаметрам.
Учащиеся VIII класса должны почувствовать необходимость
строгих доказательств подмеченных закономерностей и воспринять
эти доказательства в старших классах как естественное завершение
начатой ранее работы. По-видимому, наиболее удачным местом для
этого будет либо один из уроков, завершающих тему «Бесконеч-
ные последовательности и пределы», либо урок, посвященный ее
повторению, либо, наконец, урок, на котором будет выводиться
формула вычисления объема цилиндра. В действующих пособиях
для старших классов сделано следующее. В курсе «Алгебра и на-
чала анализа» IX класса рассматривается только вопрос о длине
389
окружности (как пример применения понятия предела последова-
тельности), вопрос же о площади круга включен в текст параграфа
об объеме цилиндра.
Сами по себе^доказательства теорем о длине окружности и пло-
щади круга не представляют существенных трудностей, если уча-
щиеся достаточно хорошо владеют понятием предела и усвоили
смысл достаточного признака существования предела последова-
тельности (теоремы Вейерштрасса). Действительно, зная, что Sn —
площадь правильного вписанного многоугольника с п сторонами,
Рп — его периметр, a kn — длина апофемы, легко запомнить, что
lim Sn = lim = "Т 1*т ~ “5" 2л7? • R = л7?2.
Л-юо л->оо \ Л-хх fi-XX
Гораздо труднее усвоить, что последовательность Sn возрастает,
что она ограничена сверху, что, следовательно, она обязана иметь
предел, который по определению и принимается за «площадь круга.
Нередко учащиеся на вопрос: «Чем ограничена последовательность
площадей правильных вписанных многоугольников при неограни-
ченном удвоении числа их сторон?» — отвечают: «Площадью круга»,
демонстрируя полное непонимание существа вопроса. Задача учи-
теля заключается в разъяснении идеи нового определения понятия
площади; в усвоении этой идеи, а не в запоминании цепочки пре-
образований как раз и кроется смысл соответствующего урока.
В заключение настоящего пункта сделаем два замечания. Уча-
щиеся, хорошо усвоившие идею вычисления площадей с помощью
определенного интеграла, могут заинтересоваться применением
ее и к вычислению площади круга. Как известно,
я ,
S = 4 J ]/ — х2 dx ~ 2 (х У /?2—4- R2 arcsin
о '
R
= nR2.
о
Нетрудно видеть, что применение интегрального метода для реше-
ния задачи о вычислении площади круга требует достаточно сво-
бодного владения соответствующим аппаратом. Но главное не в
этом. Переход от arcsin к его значению при определенном значе-
нии х уже предполагает знание формулы для вычисления длины
окружности, и здесь очень легко попасть в логический круг. Строго
говоря, его можно избежать, но и исторически, и дидактически
следует считать, что задача о вычислении длины окружности и
площади круга должна решаться до введения понятия определен-
ного интеграла и рассмотрения его геометрических приложений.
Сказанное еще раз подчеркивает принципиальную важность рас-
сматриваемого вопроса.
Очень полезно, наконец, обратить внимание учащихся на
следующее. Если уже известно, что S — nR2, то, взяв производ-
ную от площади круга по его радиусу, мы получим значение длины
окружности I — 2nR. Геометрический смысл проделанного очеви-
ден, если, конечно, вспомнить определение производной и. приме-
390
нить его к данной ситуации. Разумеется, подобное рассуждение
не может служить доказательством формулы I = 2лR, но оно по-
лезно само по себе и поможет в усвоении вывода формулы для вы-
числения поверхности шара.
$ 3. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА
ПРИ НАХОЖДЕНИИ ОБЪЕМА ФИГУР
3.1. О понятии объема фигуры.
3.2. Использование интеграла при вычислении объема фигур
по площадям его поперечных параллельных сечений.
3.3. Нахождение объема фигур вращения.
3.1. Понятие объема фигуры вводится аналогично понятию пло-
щади плоской фигуры. Первоначальное представление об объеме
фигуры связывается у учащихся с подсчетом числа кубиков, длина
ребра которых равна линейной единице измерения (а затем и ее
долей), заполняющих эту фигуру. Такое представление об объеме
фигуры позволяет рассмотреть в школьном курсе геометрии вопрос
об объеме прямоугольного параллелепипеда, вывести формулу для
его нахождения. Далее изучается объем различных многогранни-
ков: сначала рассматривается объем призмы, затем объем пирамиды,
далее объемы других многогранников и фигур вращения. Прин-
ципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят
тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют опреде-
ленную специфику. Так, если при измерении площадей непосред-
ственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей пло-
щади вызывало затруднения, но все же было возможным (палетка!),
то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практиче-
ски вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение
косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести
новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не
вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже
применялся при вычислении площадей. Несколько неожиданным
для учащихся оказывается лишь необходимость применения пре-
дельного перехода к доказательству теоремы об объеме пирамиды —
на первый взгляд кажется, что эту теорему можно доказать по ана-
логии с теоремой о площади треугольника, т. е. разбив на части
призму, основание которой конгруэнтно основанию пирамиды.
Однако, как это следует из теоремы Дена — Кагана, такое доказа-
тельство невозможно в принципе. Учащимся следует сообщить,
что необходимость специального определения понятия объема для
пирамиды и соответственно необходимость применения интеграль-
ных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие много-
гранники далеко не всегда‘являются одновременно и равносостав-
ленными и этот факт можно строго доказать.
3.2. Покажем, как можно использовать интеграл для нахожде-
ния объема фигуры, если известны площади ее поперечных сечений.
Следует начинать с теоретического обоснования метода. г
391
Рис. ПО. Рис. 111.
Рассмотрим фигуру D, ограниченную двумя опорными плоскос-
тями аир, проведенными перпендикулярно оси Ох через точки
х = а и х = b (рис. 110). Пусть фигура D обладает следующими
свойствами *:
1) Любое поперечное сечение фигуры D плоскостью, перпенди-
кулярной оси Ох, есть квадрируемая фигура а, числовое значение
площади которой равно значению функции S (х), определенной и не-
прерывной на отрезке [а, Я.
2) Ортогональные проекции любой пары поперечных сечений
фигуры D плоскостями, перпендикулярными оси Ох, на опорные
плоскости целиком содержатся одна в другой. Тогда фигура D
кубируема, и ее объем можно вычислить по формуле
V ~ ( j $ (*) (куб. ед.) (*)
Доказательство.
Разобьем отрезок [а, Я точками а = а0> ...» = b (во <
< <z ... < ап на л частей [a^i, а(] (i = 1, 2, ..., п), одинаковой
длины
Дх/ =—(i = 1, 2, ..., ri).
Через точки деления ai (i = 1, 2, ..., п— 1) проведем плоскости,
перпендикулярные оси Ох. В результате указанной операции фигура
D разобьется на п «слоев». Функция S (х) непрерывна на отрезке
[а, Я, поэтому она непрерывна и на каждой его части aj (t =
= 1, 2, ...» п). По известной теореме функция, непрерывная на
отрезке, достигает на этом отрезке своего экстремума; обозначим
через mt наименьшее значение, а через Mt наибольшее значение
функции S (х) на отрезке [ai—i; о(].
В силу свойства все сечения t-го «слоя», если их спроектировать
на опорную плоскость, будут содержать сечение, значение площади
которого равно числу т{, и содержаться в сечении, значение пло-
щади которого равно числу М{.
1 Фигуру D, удовлетворяющую условиям 1 и 2, будем называть фигурой
с допустимыми поперечными параллельными сечениями.
392
Построим далее на этих на-
ибольшем и наименьшем сечени-
ях (как основаниях) цилиндры
с образующими, параллельны-
ми оси Ох, и высотами, число-
вое значение которых равно &xt
(рис. 111) и числовые значения
объемов которых равны М,&х{
и Отметим, что «боль-
ший» цилиндр содержит i-й рис. Ц2.
«слой», т. е. описан около не-
го, а «меньший» содержится в i-м «слое», т. е. вписан в него.
Произведя указанные построения над каждым из отрезков [а/~ь
aj (i = 1, 2, ..., и), получим две фигуры: фигуру, описанную око-
п
ло данной фигуры D, значение объема которой 2 М,Дх„ и фигуру,
Л
вписанную в данную фигуру D, значение объема которой 2 т(Ьх{.
Поэтому
п п (*
lim 2 Mi&x{ = lim 2 = j S (x) dx,
n-¥OQ 1=1 П-ЮО 7=1 *
Получили, что существуют последовательности описанных и впи-
санных для фигуры D кубируемых фигур, последовательности объе-
мов которых имеют общий предел.
Из сказанного следует, что тело D кубируемо и его объем мож-
ь
но вычислять по формуле V = (j S (х) dx) (куб. ед.).
а
В курсе геометрии (X класс) рассмотренный метод можно приме-
нять для вычисления объема пирамиды, конуса и шара. В качестве
иллюстрации рассмотрим использование данного метода для вычис-
ления объема пирамиды.
Требуется вычислить объем пирамиды, высота которой равна
Н и площадь основания равна Q.
Решение. Пусть а — плоскость, в которой лежит основание
пирамиды. Проведем через вершину пирамиды плоскость Р, парал-
лельную плоскости а (рис. 112). Ось Ох выберем так, чтобы она
была перпендикулярна плоскостям а и р. Точку пересечения плос-
кости р о осью Ох примем за начало координат, тогда абсцисса
вершины равна нулю. В этом случае абсцисса точки В пересечения
плоскости а с осью Ох равна Н.
Рассмотрим поперечное сечение пирамиды плоскостью, перпен-
дикулярной оси Ох и отстоящей от вершины на расстояние х. Пло-
щадь этого сечения обозначим через S (х).
Как известно, в пирамиде площадь основания и площадь се-
чения, параллельного основанию, относятся как квадраты их
393
расстоянии от вершины, поэтому
= т. е. $(х) = ха-^
Для вычисления объема пирамиды применим формулу (*)
н
у _ C v2 JC . ш *3 Н— _LqH
v j х Я2 ах /у2 з 0 з ч°-
о
Рассмотрим теперь доказательство, приведенное в учебном по-
собии по геометрии [3.53] при выводе формулы объема пирамиды.
Отметим наиболее существенные методические особенности такого
доказате л ьства.
Учитель должен иметь в виду, что подобные доказательства
встретятся в дальнейшем неоднократно. Следовательно, данное до-
казательство является базовым, его основные идеи необходимо
усвоить достаточно прочно. Иначе говоря, при объяснении нового
материала следует особое внимание уделить наиболее общим, прин-
ципиально важным моментам, специально обратив на них внима-
ние учащихся.
Первый шаг в доказательстве теоремы есть выяснение того
факта, что и площадь параллельного сечения, находящегося на
расстоянии х от вершины пирамиды, и объем отсеченной части
пирамиды есть функции расстояния. Следует обратить внимание
учащихся на своеобразный выбор направления оси абсцисс (сов-
падает с высотой) и проверить, что действительно каждому значе-
нию х f [О//] соответствуют определенные значения S (х) и V (х),
т. е. убедиться, что установленные соответствия есть функции.
Этот шаг нетруден и должен быть выполнен при активном участии
класса.
Следующий шаг — установление границ объема Д V усечен-
ной пирамиды, заключенной между сечением с площадью S (х) и
новым сечением с площадью S (х + Ах)» Этот шаг тоже вполне до-
ступен, но выполняет его сам учитель, стремясь обеспечить доста-
точно отчетливые наглядные представления.
т> Q Н* w
Из свойств гомотетии далее следует, что = —. Успех
этой части доказательства целиком зависит от того, как учитель
сумел организовать повторение соответствующего материала.
Теперь начинается наиболее ответственная и в то же время
наиболее трудная часть доказательства. Формально дело обстоит
так. Из непрерывности функции S (х) следует, что
lim S (х + Дх) = S (х). Отсюда и из неравенства S (х) <
Дл»0
< S (х + Дх) вытекает, что Пт == S (х), т. е. V- (х) =
= S (х). Иначе говоря, функция V (х) есть первообразная
для функции S (х). Остается перейти к интегрированию — уча-
щиеся вполне могут это сделать самостоятельно. Но нужно быть
394
Рис. 113.
уверенным, что они хорошо пони-
мают равенство lim S (х + Дх) =
Дл->0
= S (х) как аналитическую запись
непрерывности, хорошо знают оп-
ределение производной и владеют
понятием первообразной, т. е. что
учащиеся могут в двух-трех строч-
ках доказательства синтезировать
несколько различных фактов и
идей анализа. Известную нега-
тивную роль здесь играет и то,
что в процессе последнего (ана-
литического) этапа доказательства «исчезает» геометрия, замаски-
рованная, как говорил французский математик Л. Карно, «иерог-
лифами анализа». Учитель должен понимать, что эти трудности
носят объективный характер и преодоление их потребует продол-
жительной кропотливой работы над каждой деталью доказательства.
3.3. В курсе математики X класса применение определенного
интеграла облегчит вывод формул объемов фигур вращения. На-
помним теоретическое обоснование метода.
Рассмотрим в плоскости хОу криволинейную трапецию аАВЬ,
ограниченную отрезком [а, Ы оси Ох, прямыми х = а и х = bt
графиком функции у = /(х), где / (х) — однозначная, неотрица-
тельная, непрерывная на отрезке [а, fe] функция. Если криволиней-
ную трапецию аАВЬ вращать вокруг оси Ох, то образуется фигура
вращения (рис. 113), объем которой вычисляется по формуле
ь
V = л У f2 (х) dx (куб. ед.).
Доказательство. Фигура вращения удовлетворяет всем
условиям, которые предъявляются к фигуре с допустимыми по-
перечными параллельными сечениями (см. п. 3.2). Поэтому для
нахождения объема фигуры вращения применена формула (*) из
п. 3.2:
ь
V = У S(x)dx (куб. ед.).
Так как сечение фигуры вращения плоскостью, перпендикулярной
оси Ох и проходящей через любую точку х £ [а, &], есть круг
радиуса R = f (х), то площадь" такого сечения равна: Q (х)
= л/2 (х) (кв. ед.). Таким образом, имеем:
ь
V = л У f2 (%) dx (куб. ед.).
а
Рассмотренный метод в курсе геометрии применяется при решении
таких, например, задач.
395
Рис. 114.
Задача 1. Вычислить объем
шарового слоя шара радиуса R, изо-
браженного на рисунке 114.
Решение. Данный шаровой
слой можно рассматривать как фи-
гуру вращения, полученную при вра-
щении криволинейной трапеции аАВЬ
вокруг оси Ох. Поэтому для вычисле-
ния ее объема применима формула
ь
V — л Г Z2 (х) dx (куб. ед.), где
[2 (х) — у2 = R2 — х2.
Следовательно,
V = л (R* — х2) dx = я R3x — * Г = я [ R2 (Ь — а) —-
V о a L о
a u
(куб. ед.).
В частности, при а = —R nb — R шаровой слой есть шар, поэтому
из данной формулы при а = —R nb — R получим формулу для вы-
числения объема шара:
V « nR3 (куб. ед.).
О
Задача 2. Найти объем прямого кругового конуса с высо-
той, равной h, и радиусом основания г.
Решение. Рассматривая данный конус как фигуру, полу-
ченную вращением треугольника с вершинами в точках (0, 0),
(Л, 0) и (ft, г) вокруг оси Ох (рис. 115), получим, что ее объем вы-
числяется по формуле
V = л f f2 (х) dx (куб. ед.), где f (х) = у =; » а = 0 и b = ft.
V П,
Следовательно,
h.
V — л f ~~ x*dx =
J л2
о
лг2
X3 1Л
“о
= nr2ft (куб. ед.).
О
§ 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ СИМПСОНА В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
4.L Применение формулы Симпсона для вычисления площадей
плоских фигур.
4.2. Использование формулы Симпсона для вычисления объе-
мов по площади параллельных сечений.
4.1, Формула Симпсона может применяться для вычисления
396
i'll
Рис. 115,
о основанием [—h
площади криволинейной трапеции, если
кривая у = f (х), ограничивающая эту
криволинейную трапецию, является па*
раболой, степень которой не превосхо-
дит трех. Этот материал может служить
темой для факультативных занятий. Изу-
чение можно начать с обоснования форму-
лы Симпсона для случая квадратичной
параболы с помощью определенного инте-
грала.
Рассмотрим параболическую трапецию
т. е. криволинейную трапецию, ограниченную отрезком [—A, А1
оси Ох, прямыми х — —h их = h, графиком функции / (х) = ах9 4-
4- Ьх 4- с, / (х) > О для х £ [—А, Л1 (ом., например, рис. 116). Вве-
дем обозначения:
f (—ty ~ — bh + с — уя — начальная ордината параболи-
ческой трапеции;
f (0) = о == ус — средняя ордината этой трапеции;
f (А) = ah9 4- bh 4- с — ук — ее конечная ордината.
Вычислим площадь параболической трапеции:
h h
S = f f (x) dx — f (ax2 +bx + c)dx =
X2
2
= -4- (2ah9 4- 6c) (кв. ед.);
О
Ув 4- 4z/0 4- ук = 2ah9 4- 6c, поэтому
5 »(Уя 4- 4r/c 4- уц> (кв. ед.).
Рис. 116.
Эта формула получила название малой формулы Симпсона1.
Далее следует указать, что данная формула имеет место и для па-
раболической трапеции с основанием (а, 6], а именно: площадь
такой трапеции с основанием [а, Ы вычисляется по формуле
S = (Уп 4- 4& 4- Ук) (кв. ед.), где
f(a) = У» Уа и У» —
Приведем пример на использование
формулы Симпсона для вычисления пло-
щади криволинейной трапеции.
Задача. Вычислить площадь пара-
болической трапеции, ограниченной отрез-
ком [1; 3] оси Ох, прямыми х = 1 и х =
ss 3, параболой f (х) — —х9 4-6х — 5.
Томас Симпсон(1710—1761)—английский ма-
тематик.
397
Решение. Так как f (х) > 0 для х G II; 3] и f (х) — квад-
ратный трехчлен, тег для вычисления площади данной трапеции
применима малая формула Симпсона. Для данного случая а 1,
b = 3, — = 2, b — а = 2, поэтому имеем:
!/н = /(!) = О, t/0 = f(2) = 3, 0К = НЗ) = 4.
Следовательно, получим:
S = (0 + 4.3 + 4) = 5-А- (кв. ед.).
При использовании формулы Симпсона необходимо добиться
полной ясности у учащихся в том, что эта формула справедлива
для нахождения площади криволинейной трапеции с основанием
[а; Ы лишь для случая, когда криволинейная трапеция ограничена
сверху графиком параболы у » f (х), степень которой не превос-
ходит трех.
Во всех остальных случаях формула будет давать приближенное
значение площади криволинейной трапеции.
4.2. Малая формула Симпсона применима для вычисления объе-
мов некоторых фигур. Дадим теоретическое обоснование возмож-
ности такого использования. Пусть D — фигура с допустимыми
поперечными параллельными сечениями. Тогда объем фигуры D,
значения площадей поперечных параллельных сечений которой на
сегменте [а; Ь] выражаются значениями квадратного трехчлена
Q (х), вычисляется по формуле
V = [Q« + 4Q0 + Qк] (куб. ед.),
где
QB = Q (a), Qo = Q (-£±А.) и Qk = Q(b)
\ Лл /
соответственно площади начального, среднего и конечного сечений*
Доказательство. Так как D — фигура с допустимыми
и поперечными параллельными сечениями, то ее объем вычисляется
ь
по формуле V = J Q (х) dx (куб. ед.). По условию Q (х) = ах2 4-
+ +т, где х € [л, Ь].
Таким образом,
ь
V = j (ах2 4- рх + -у) dx = (QH 4- 4QO4- Qk) (куб. ед.).
Так же как и в предыдущем случае, необходимо обеспечить у
учащихся полную ясность в том, что формула Симпсона остается
в силе еще для случая, когда числовые значения площадей сечения
являются числовыми значениями многочлена третьей степени. Одна-
ко в случае же произвольной функции Q (х) применяется формула,
аналогичная большой формуле Симпсона. Отметим, что малая фор-
398
мула Симпсона применима для вычисления объема пирамиды,
конуса, шара и его частей, так как числовые значения площадей
ИХ" поперечных сечений выражаются в виде квадратной (или линей-
ной) функции. Например, площади поперечных сечений пирамиды,
конуса, шара и шарового сегмента выражаются соответственно
формулами:
^5-л2, п-^-х2, n(R2—x2) и n^Rx—x2),
где S — площадь основания пирамиды, Н — высота пирамиды
или конуса, R — радиус основания конуса или радиус шара, х —
расстояние, на котором находится сечение.
В качестве примера применения формулы Симпсона рассмотрим
вычисление объема конуса, высота которого равна Н и радиус осно-
вания равен R.
г» R2
В этом случае имеем: Q(x) = л-т^-ха, поэтому применима ма-
лая формула Симпсона; так как
Q„ = Q(0)x=0, Qc = Q (-4-) = ’ QK = Q (X) = nR2,
то, следовательно, V — (o 4- • 4 4- nR2j = nHR2 (куб.
ед.).
$ 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПА КАВАЛЬЕРИ В КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
5.L Применение принципа Кавальери для нахождения объемов
фигур.
5.2. Использование принципа Кавальери при вычислении пло-
щадей плоских фигур.
5.L На факультативных и внеклассных занятиях по матема-
тике для углубления знаний учащихся о нахождении объемов'мож-
но использовать принцип Кавальери. Рассмотрение этого вопроса
следует начать с обоснования принципа Кавальери, используя для
этого теорию определенного интеграла:
Если две фигуры заключены между двумя параллельными плос-
костями и обладают тем свойством, что при пересечении их любой
плоскостью, параллельной указанным плоскостям, всегда получа-
ются фигуры — сечения, имеющие одинаковые площади, то объемы
этих фигур равны.
Доказательство. Принцип Кавальери мы докажем
здесь лишь для фигур Dt и D2 с допустимыми поперечными парал-
лельными сечениями. Параллельные плоскости аир, ограничива-
ющие данные фигуры Dx и Р2, примем за опорные; расстояние
между этими плоскостями аир обозначим через d. Ось Ох
направим так, чтобы она была перпендикулярна обеим плоскос-
тям аир. Точку пересечения плоскости а с осью Ох примем за
399
Рис. 117.
начало координат (рис. 117). Бу-
дем обозначать через Qx (х) и Q2 (х)
соответственно площади сечений
фигур Dx и £>а плоскостью у, парал-
лельной опорным плоскостям и от-
стоящей от плоскости а на рас-
стояние х, х € [0, dl.
Так как объемы фигур Dx и D,
определяются по формулам
d
V (DJ = j Qt(x)dx и V(Dj) =
о
d
-jQ2(x)dx,
О
ТО V (Dx) = V (DJ.
Утверждение доказано.
Приведем образец решения задач на использование принципа
Кавальери при вычислении объемов тел.
Задача. Найти формулу объема конуса, зная формулу объе-
ма пирамиды.
Решение. Пусть дан конус, площадь основания которого S,
а высота Н (рис. 118). Рассмотрим правильную четырехугольную
пирамиду (вид пирамиды не вносит ограничений, так как для любой
пирамиды имеем: V = -i- S • Н), имеющую также площадь основа-
ния, равную S, и высоту, равную И.
Расположим основания конуса и пирамиды на одной плоскости
а и пересечем эти фигуры плоскостью 0 || а.
Обозначим через h расстояние от вершин этих фигур до плос-
кости сечения и через Зх и Sa — площади сечений конуса и пира-
миды.
По свойству параллельных сечений пирамида имеем: =»
ha „
= —fn~‘ Легко обнаружить аналогичное свойство параллельных
Рис. 118.
сечений и у конуса, т. е. =
л4 .г St s,
=~fp- Тогда -g — а значит,
Sa = Sj. Теперь мы находимся
в условиях, когда соблюдается
принцип Кавальери, и потому
объем конуса будет равен объе-
му пирамиды, т. е. V =
. Н.
и
400
5. 2. Принцип Кавальери может
быть использован также при нахожде-
нии площадей плоских фигур. Дадим
теоретическое обоснование возможнос-
ти такого использования: если две пло-
ские фигуры, заключенные между дву-
мя параллельными прямыми, облада-
ют тем свойством, что при пересе-
чении их любой прямой, параллель-,
ной этим прямым, всегда получают-
ся отрезки равной длины, то пло-.
щади этих фигур равны.
Доказательство. Рассмот-
рим 119.
рим на плоскости прямоугольную
декартову систему координат хОу,
причем ось Оу направим параллельно указанным в условии
прямым, а ось Ох — перпендикулярно им (рис. 119).
Пусть Qi и а2 — две плоские фигуры, для которых выполняются
условия, сформулированные в принципе Кавальери. Площадь этих
фигур будем вычислять, используя формулу для нахождения пло-
щади криволинейной трапеции, так же, как это мы делали в п. 2.2
данной главы:
ь
s (О1) = J (fa (х) — (х)) dx (кв. ед.),
а
Ъ
S (nJ = J (Фа (X) — фх (х)) dx (кв. ед.).
а
Обозначим разности: f2 (х) — fi (х) = 4 (х) и ф2 (х) — <рх (х) =
b ь
= 1Ъ (х), тогда S (ctJ = f li (х) dx (кв. ед.) и S (oj) = J /2 (х) dx (кв. ед.).
а а
Через произвольную точку х0 отрезка [а, Ь] проведем прямую,
параллельную оси ординат, рассмотрим отрезки этой прямой, зак-
люченные между графиками функций /х (х) и f2 (х), а также между
графиками функций фх(х) и ф2 (х). Длины этих отрезков будут соот-
ветственно 4 (х0) и /2 (х0) (рис. 119). По условию длины таких
отрезков равны, поэтому имеем: 4 (х0) = 4 (х0), х0 G 61-
Так как точка х0 — произвольная точка отрезка la, М, то получим,
что 4 (х) = 4 (х) для любого х [а, Ь].
b ь
Следовательно,
4 (х) dx = | 4 (х) dx,
последнее означает,
а а
что площади фигур ог и о2 равны, т. е. S (ах) = S (о2).
Утверждение доказано.
Важно отметить, что если отрезки, о которых шла речь при до-
казательстве принципа Кавальери, не конгруэнтны, но известно,
401
что отношение их длин постоянно и
равно т, т. е. (х) = т1й (х) для
х Q [а, Ь], то площади соответству-
ющих фигур находятся в том же от-
ношении.
Действительно, имели бы S (ст2) =
ь ь
= 51% (х) dx, S (<Ti) =j\(x) dx =
a ft
b b
= (x) dx = m j Z2 (x)dx = /nS(a2),
a a
t. e. S(o1)=/nS(a2).
В частности, при т = 1 имел бы
место принцип Кавальери, т. е. S (Qi) = S (п)а.
Приведем пример решения задач с использованием принципа
Кавальери при нахождении площадей.
Задача. Найти площадь фигуры огь ограниченной эллипсом
ха у2 _ 1
а2 ” ь* ~~х*
Решение.
Пусть окружность х2 + у2 = а2 описана около данного эллип-
са (рис. 120). Рассмотрим точки (расположенные в одной полу-
плоскости) с одинаковыми абсциссами, которые принадлежат
окружности и эллипсу. Ординаты этих точек находятся в отноше-
нии b : а. Действительно, ордината точки, лежащей на эллипсе,
равна: у = ± — ]/а2— х2; а точка, лежащая на окружности,
имеет ординату, равную у = ± у а2 — х2. Поэтому отношение
ординат точек с одинаковыми абсциссами, принадлежащих эллип-
су и окружности и лежащих в одной полуплоскости (в верхней или
нижней), равно числу b : а.
Следовательно, отрезки любой прямой, параллельной оси орди-
нат, получаемые при пересечении этой прямой с фигурой о^ и кру-
гом а2 радиуса а, имеют длины, находящиеся в отношении b : а.
Согласно сказанному выше площади фигур cTj и ст2 также будут на-
ходиться в отношении Ь : а, т. е.
есть S (<та) = лса, так как фигура а2 — круг радиуса а.
Следовательно, площадь фигуры оа равна:
— -j-. Площадь фигуры аа
5 (Oj) ===—- s (<т2) = па2 = nab (кв. ед.).
Глава XIX
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И ИДЕЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СТРУКТУР В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
5 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ И В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1.1. Общая характеристика аксиоматического метода.
1.2. Развитие аксиоматического метода в математике.
1.3. О понятии математической структуры и об архитектуре
математики.
1.4. О влиянии идеи математических структур на реформу
школьного математического образования.
1.5. Аксиоматический метод в обучении математике в средней
школе.
1.1. Важной особенностью современной математики является
возросшая роль аксиоматического метода, применение которого
привело не только к широкой математизации науки и техники, но
и открыло пути к установлению новых связей между различными
и, казалось бы, далекими на первый взгляд друг от друга раздела-
ми самой математики.
Как же можно охарактеризовать аксиоматический метод?
«Аксиоматический метод — способ построения научной тео-
рии, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные поло-
жения (суждения) — аксиомы или постулаты, из которых все
остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводиться
чисто логическим путем, посредством доказательств. Назначение
аксиоматического метода состоит в ограничении произвола при
принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Пост-
роение науки на основе аксиоматического метода обычно называют
дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксиро-
ванного числа первоначальных) вводятся посредством определений,
выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные поня-
тия» 1.
Таким образом, аксиоматическое построение некоторой теории
осуществляется следующим образом:
1 БСЭ. Изд. З-е, т. 1. М., 1970, с. 345—346.
403
1) выбираются основные (первичные) понятия и отношения дан-
ной теории, которые не определяются;
2) выделяются некоторые первичные утверждения — аксиомы,
устанавливающие связь между первичными понятиями и отноше-
ниями и принимаемые без доказательства;
3) все новые понятия, вводимые в данной теории, определяются
через первичные понятия или через ранее определенные понятия и
отношения; все новые утверждения теории (теоремы) доказываются
на основе ранее введенных понятий и аксиом (или предшествую-
щих теорем). Правила вывода одних истинных предложений из дру-
гих в рамках данной теории не исследуются, а являются предметом
математической логики.
Для осуществления аксиоматической теории в конкретном мно-
жестве объектов используется ее интерпретация (или м.о-
дель), представляющая собой некоторое непустое множество, для
которого указаны первичные понятия и отношения и выполнены
аксиомы этой теории.
Отметим, что существует известная свобода выбора основных
понятий и аксиом. Так, геометрия, построенная на основе аксиом
Гильберта, и геометрия, построенная по Вейлю, по существу опи-
сывают одни и те же свойства реального пространства. Однако каж-
дая из них обладает определенными методическими (а отсюда
и дидактическими!) особенностями, анализ и использование ко-
торых составляют важную проблему для составителей программ
и учебников и для педагогов-практиков. Вместе с тем каждая
система аксиом должна удовлетворять общим требованиям — не-
противоречивости, полноте и независимости.
Непротиворечивость. Выводы из данной системы
аксиом не должны приводить к возникновению двух взаимно исклю-
чающих утверждений Р и его отрицания Р (иначе теория теряет
всякую ценность для познания того или иного явления реальной
действительности, отраженного в той или иной математической модели).
Так, теорема Пифагора (Р) выводится из системы аксиом евкли-
довой геометрии и поэтому является утверждением этой геометрии.
Ее отрицание (Р), т. е. утверждение о том, что в прямоугольном тре-
угольнике квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов кате-
тов, не принадлежит к числу утверждений геометрии Евклида;
оно не может быть выведено из системы аксиом евклидовой геомет-
рии, так как эта система аксиом непротиворечива.
Непротиворечивость системы аксиом обычно устанавливается
построением модели этой системы. Если такую модель удается пост-
роить, то, вообще говоря, проблема непротиворечивости системы
еще не решается; она лишь переносится в некоторую предметную
область, выходит за рамки рассматриваемой теории. Поэтому при
установлении непротиворечивости некоторой системы аксиом ста-
раются построить такую модель этой системы, чтобы справедли-
вость любого утверждения, сформулированного на языке этой
модели, была очевидной.
404
В учебном пособии по геометрии для VIII класса ([3.49], с. 94—
95) приведен простой пример некоторой системы аксиом, на кото-
ром ярко проиллюстрирован способ доказательства непротиворе-
чивости этой системы аксиом.
Вообще говоря, как показал австрийский математик К. Гёдель
(род. в 1906), строгое доказательство непротиворечивости конкрет-
ной теории невозможно; всякое доказательство такого рода должно
использовать выражаемые в этой теории идеи или методы. Правда,
пользуясь несколько модифицированной логикой, удается строго
доказать непротиворечивость большого числа (но не всех) матема-
тических теорий.
Полнота. Добавление к данной системе какого-либо невы-
водимого из нее предложения в качестве новой аксиомы должно
обращать систему аксиом в противоречивую (полнота в узком
смысле).
Полноту системы аксиом иногда трактуют и как возможность
доказать в рамках данной теории всякое предложение (или его
отрицание), которое может быть сформулировано с помощью этой
системы, на языке данной теории (полнота в широком смысле).
Иными словами, полнота системы аксиом (в широком смысле) га-
рантирует существование ответа на любой вопрос, поставленный
в рамках данной теории. Классический пример — аксиома парал-
лельности Евклида. В свое время ее пытались доказать (или опро-
вергнуть) в рамках системы аксиом абсолютной геометрии. Это
оказалось невозможным, так как система аксиом абсолютной гео-
метрии по отношению к данному утверждению не является полной.
Заметим, что, проводя доказательство полноты некоторой сис-
темы аксиом, важно четко определить, в каком случае то или иное
утверждение считается доказанным, т. е. иметь в своем распоря-
жении теорию самого доказательства.
Примеры, иллюстрирующие способ доказательства неполноты
системы аксиом, читатель может найти в книге А. А. Столяра
«Логические проблемы преподавания математики» (Минск, «Выс-
шая школа», 1965, с. 247).
Независимость. Ни одна из аксиом данной системы
не может быть следствием других аксиом этой системы, т. е. невы-
водима из других аксиом данной системы.
Для того чтобы установить независимость какой-нибудь аксио-
мы от остальных аксиом системы, достаточно найти непротиворечи-
вую модель, в рамках которой выполняются все аксиомы, кроме
исследуемой. Доказав таким образом независимость каждой из
аксиом, входящих в систему, мы можем говорить о том, что вся
данная система аксиом независима.
Читатель может вновь обратиться к учебному пособию [3.491,
в котором проиллюстрирован способ доказательства независимости
системы аксиом.
Отметим, что для полного доказательства независимости некото-
рой системы аксиом следует установить и так называемую поряд-
405
ковую независимость: показать независимость каждой из аксиом
от тех аксиом, которые ей предшествуют, т. е. излагаются раньше,
чем рассматриваемая аксиома.
С педагогической точки зрения важно понимать, что системы
аксиом с лишними составными частями (аксиомами и первичными
терминами) часто позволяют построить теорию быстрее и проще
(в частности, такая избыточная система аксиом, как правило, необ-
ходима для построения учебного курса той или иной математиче-
ской дисциплины)1.
1.2. В процессе исторического развития аксиоматического ме-
тода можно выделить три периода, в соответствии с которыми воз-
никли разновидности его проявления: 1) период содержатель-
ной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации;
3) период формальной аксиоматизации.
При построении математической теории^на содержательной сис-
теме аксиом, эти аксиомы описывают основные свойства, отношения
и связи объектов некоторого вполне определенного множества.
Эти объекты имеют прямое определение (или описание) еще до то-
го, как задается список основных аксиом. В процессе доказательст-
ва теорем используются средства обычной формальной логики®.
Так, например, построена евклидова геометрия, основы кото-
рой представлены в школьном курсе геометрии.
При построении математической теории на основе полуформаль-
ной аксиоматизации объекты этой теории прямо не определяются.
Они вводятся косвенно, с помощью соответствующих аксиом. Сис-
тема аксиом при этом описывает структуру отношений и связей,
в которых выступают эти объекты. В процессе доказательств тео-
рем также используются средства формальной логики.
При полуформальной аксиоматизации объекты, о которых идет
речь, могут иметь самую различную природу, лишь бы они удов-
летворяли требованиям установленной структуры. Каждую кон-
кретную область таких объектов называют моделью (интерпрета-
цией) данной аксиоматической теории. Одним из примеров такого
построения теории является традиционное изложение теории групп.
Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело к так
называемой формальной (формализованной) аксиоматизации. При
такой аксиоматизации наряду с системой аксиом теории констру-
ируется система логических аксиом и правил вывода, представля-
ющих логические средства проведения доказательств в рамках этой
теории ([1.169], с. 86).
Бурное развитие математики наряду с ростом ее значения в
других научных дисциплинах, технике и народном хозяйстве при-
вело также и к некоторому разобщению внутри ее самой. В мате-
матике благодаря ее расширению и специализации стали образо-
вываться новые разделы, имеющие тенденцию к автономному раз-
Л О способах исследования системы аксиом на независимость, противоречи-
вость и полноту см., например, [1.110], с. 254.
2 См. [1.110], с. 246.
406
витию. Между многими разделами математики образовались искус-
ственные «перегородки», обусловленные различием в предмете и
методах исследования и особой символикой. Сами математики под-
час перестали понимать друг друга.
Естественно возник вопрос о том, существует ли одна наука —
математика или существуют несколько отдельных (хотя и род-
ственных между собой) математических наук?
Отвечая на этот вопрос, Н. Бурбаки утверждает *, что «в на-
стоящее время, напротив, мы думаем, что внутренняя эволюция ма-
тематической науки вопреки внешности, более чем когда-либо,
упрочила единство ее различных частей и создала своего рода цент-
ральное ядро, которое является гораздо более связным, чем когда
бы то ни было»а.
В основу построения математики Н. Бурбаки положил аксиома-
тический метод (в направлении полуформальной аксиоматизации),
разработанный им с большой степенью глубины и общности.
Вот как описывает Бурбаки процедуру применения аксиомати-
ческого метода в рамках определенной теории 3: «В доказательст-
вах какой-либо теории она (аксиоматика.— Авторы) стремится
разъединить главные пружины фигурирующих там рас-
суждений; затем, беря каждое из соответствующих положений изо-
лированно и возводя его в общий принцип, она выводит из
них следствия, наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова
комбинирует предварительно выделенные составные эле-
менты и изучает, как они взаимодействуют между собой. Конечно,
нет ничего нового в этом классическом сочетании анализа и синтеза;
вся оригинальность этого метода заключается в том, как его при-
меняют».
Н. Бурбаки удалось воссоздать «архитектуру единого здания
математической науки», показать, что фундаментом этого здания
являются понятия множества и структур, а цементирующим средст-
вом — основные понятия логики и аксиоматический метод.
1.3. Рассмотрим сначала само понятие математической струк-
туры.
1’. Пусть нам даны множество целых чисел, множество рацио-
нальных чисел (исключая нуль), множество поворотов квадрата
вокруг его центра (которые переводят квадрат в себя), множество
из двух чисел 1 и —1.
Определим на каждом из этих множеств известные операции:
сложение — на множестве целых чисел, умножение — на множестве
отличных от нуля рациональных чисел и на множестве {—1; 1}
и композицию поворотов — на множестве поворотов квадрата.
1 Заметим, кстати, что псевдоним, принятый известным коллективом
французских математиков* употребляется только в единственном числе,
т. е. нельзя говорить «утверждают Бурбаки».
2 Бурбаки Н. Архитектура математики.— «Математическое просве-
щение», 1960, № 5, с. 101.
- Т а м же, с. 102.
407
Рассматривая указанные операции на каждом из данных мно-
жеств раздельно, можно обнаружить, что для каждых двух элемен-
тов данного множества, взятых в определенном порядке, всегда
однозначно может быть определен третий элемент, называемый их
суммой (или произведением).
Изучая свойства, присущие каждой из указанных операций
раздельно на каждом из данных множеств, можно обнаружить и
несколько аналогичных между собой свойств. Таким образом, воз-
никает возможность дать этим свойствам общую формулировку,
а также выразить их одинаковой символической записью.
Так, отвлекаясь от природы элементов, обозначая любое из
множеств через М = {х, у, z, ...}, а операцию, определенную на
этом множестве через /, мы можем следующим образом выразить
факт существования суммы (или произведения).
Для любых элементов х и у, принадлежащих М, существует
элемент г, являющийся результатом соответствующей операции
и принадлежащий М.
Короче, тот же факт можно записать так:
Vх, у£М a f(x, y) = zQM.
Выделим теперь те свойства, которые оказываются справедли-
выми для любого из рассматриваемых здесь множеств с определен-
ной на нем операцией:
(1) . Коммутативность: Vx, y£M:f(x, y)—f(y, х).
(2) . Ассоциативность: V х, у, z£M:f[x, f (у, z)J ~f[f (х, у), г].
(3) . Обратимость: Vx, y£M3z£M, f(x, г) —у.
Приняв эти три соотношения, выраженные в общей форме, в
качестве аксиом, мы можем вывести из них следствия, которые бу-
дут справедливы для любого из рассмотренных выше множеств и
определенной на нем операции (да и не только для этих четырех
множеств!). Так, например, существование «нейтрального» (еди-
ничного) элемента множества
(4) . у х £ М 3 е £ М, f (х, е) = f (е, х) — х
можно вывести сразу, исходя из свойств (1—3), вместо того чтобы
убеждаться в этом в рамках каждой из данных частных теорий.
Действительно, существование такого элемента непосредственно
следует из (3) как частный случай, если положить в (3) х = у:
(5) . Vx б М S г G М, f (х, г) = х; здесь z — е.
Таким же образом можно продолжать и дальнейшее выведение
свойств, которые дадут возможность построить в некотором смысле
общую теорию. Теории операций умножения и сложения, рассмат-
риваемые на каждом из данных четырех множеств (да и не только
на этих множествах!), становятся, таким образом, частными случая-
ми этой общей теории.
408
. Говорят, что множество М = {х, у, г, на котором опре-
делена операция Д характеризуемая свойствами (1—3), снабжено
структурой Коммутативной группы. Структура группы является
примером структуры так называемого алгебраического типа.
Н. Бурбаки дает такое определение общей алгебраической струк-
туры: ^Алгебраической структурой в множестве Е называется вся-
кая структура, определяемая в Е одним или несколькими внутрен-
ними законами композиции элементов из Е и одним или несколь-
кими внешними законами композиции операторов из областей опе-
раторов Й, 0,... и элементов из Е, причем эти законы могут быть
подчинены некоторым условиям или быть связаны друг с другом
некоторыми отношениями»
Мы видим, что для существования структуры алгебраического
типа необходимо наличие некоторого закона компози-
ции, который связывает с парой элементов некоторого множества
(или множеств) третий его элемент, называемый их суммой или про-
изведением.
Общее определение законов композиции, заданных на множестве
Етаково:
1) Внутренний закон композиции на множестве Е есть отобра-
жение произведения Е х Е в Е.
2) Пусть имеются два множества Е и F, внешний закон компо-
зиции на Е есть отображение Е х F в Е.
Внутренним законом композиции обычно является алгебраичес-
кая операция, т. е. отображение f : Еа-> Е.
Так, устанавливая на множестве четных чисел сложение, мы
определяем тем самым внутренний закон композиции: z»x4~y.
Другим примером внутреннего закона композиции может служить
сложение векторов плоскости (т. е. последовательное выполнение
двух параллельных переносов).
При установлении внешнего закона композиции наряду с дан-
ным множеством (например, множеством действительных чисел
/?) рассматривается некоторое множество операторов (например,
натуральных чисел ЛА), при этом внешний закон композиции соот-
носит некоторый элемент данного множества R паре элементов,
взятых по одному из данного множества и множества операторов.
В нашем примере таким законом будет функция у = kx (где х, у С
С /?, k £ N), определяющая часть пучка прямых плоскости, прохо-
дящих через начало координат.
Другим примером внешнего закона композиции может служить
умножение вектора на действительное число.
2°. Пусть нам даны следующие множества: множество целых
чисел, множество натуральных чисел и множество плоских геомет-
рических фигур. Определим на этих множествах следующие отно-
шения между их элементами (или подмножествами): отношение
1 Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры, линейная и поли-
линейная алгебра. М., 1962, с. 60.
409
«быть не большим» (<;), отношение «быть кратным» (:) и отноше-
ние «включения» (<=) соответственно.
Обозначив аналогично предыдущему каждое из рассматривае-
мых множеств через М = {х, уу г, ...} и любое из указанных отно-
шений через т, мы (при раздельном изучении каждого из отноше-
ний) обнаружим следующие общие для каждого из рассматри-
ваемых множеств и определенного на нем отношения свойства,
которые можно выразить в общей символической записи:
(1) . Рефлексивность: Vx £ М : хтх.
(2) . Асимметричность: Ух, у Q М : хту f\ ухх => х = у.
(3) . Транзитивность: Ух, у, 2 £ Л4 : хту Д yrz=>xrz.
В справедливости этих свойств легко убедиться непосредствен-
но в рамках любого из рассматриваемых множеств и определенного
на нем отношения.
Аналогично предыдущему, приняв соотношения (1—3) за аксио-
мы, можно построить некоторую общую теорию, все положения ко-
торой будут справедливыми для любого из рассматриваемых нами
множеств и указанных отношений (да и не только для этих мно-
жеств и отношений).
Говорят, что если на множестве М = {х, у, z,...} определено
некоторое отношение между любыми двумя его элементами, кото-
рое удовлетворяет соотношениям (1—3), то данное множество
снабжено структурой нестрогого порядка. Эта структура является
примером структуры так называемого порядкового типа.
Бурбаки дает такое определение общей структуры порядка:
«Соотношение со (х, у) между двумя общими 1 элементами мно-
жества Е называется соотношением порядка в Е, если оно удовлет-
воряет двум следующим условиям:
а) соотношение «со (х, у) и со (у, z)> влечет со (х, z) (транзитив-
ность);
б) соотношение «со (х, у) и со (у, х)» эквивалентно «х = у». »2
Согласно Бурбаки, указанное отношение уже не таково, чтобы
определять один элемент как функцию другого. Примерами такого
рода структур (кроме перечисленных выше структур: «быть не
меньшим», «быть кратным», «содержится в», заданных на соответ-
ствующих множествах) могут служить также такие структуры, как
«быть делителем» (на множестве натуральных чисел), «иметь мень-
шее числовое значение» (на множестве функций действительного
переменного, определенных в промежутках (а, &)) и т. д.
3°. Рассмотрим следующие множества:
а) множество интервалов числовой прямой видаЗ-^^-,
где п — натуральное число;
б) множество чисел: 1, 2, 3;
в) множество целых чисел.
В каждом из этих множеств выделим некоторые семейства под-
1 Подразумевается «любыми элементами».
2 Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965, с. 383.
410
множеств: в первом — множество интервалов при частных значе-
ниях «и», во втором — сочетания из данных трех элементов по 3, 2,
1, в третьем — множество чисел, кратных некоторому натураль-
ному «ги».
Исследуя свойства указанных выше множеств, также можно
обнаружить, что некоторые из них справедливы для любого из дан-
ных множеств.
Обозначив любое из этих множеств через Af, а соответствующее
семейство каких-либо его подмножеств через Q, выразим эти об-
щие свойства:
(1) <2¥=0;
(2) 0 £ Q;
(3) V4 € Q, в G Q 3 (С s (Д П В)) G Q-
Такое множество Q называется фильтром множества N, ко-
торый определяет на этом множестве структуру фильтрующегося
множества.
В справедливости указанных свойств нетрудно убедиться непо-
средственно. Так, для множества 7V = {1; 2; 3} фильтром будет,
например, множество Q = {{1}, {1; 2}, {1; 3}}, так как соблюда-
ются аксиомы (1)-(3):
(1): Q =/= 0, так как {1} С Q;
(2): 0 £ Q, так как {1} 0, {1; 2} 0, {1; 3} =/= 0;
(3): Если А = {1; 2) С Q, В = (1; 3} G Q, то
(С= {1} =({1; 2) П {1; 3})>
Структура фильтрующегося множества является примером
структуры так называемого топологического типа.
«Мы говорим, что множество Е наделено топологической струк-
турой, каждый раз, когда каждому его элементу тем или иным
способом отнесено семейство подмножеств из £, называемых окрест-
ностями этого элемента, если только, конечно, эти окрестности удов-
летворяют некоторым условиям (аксиомам топологической струк-
туры)» Вообще: «Множество Q подмножеств множества Е опре-
деляет в Е топологическую структуру (или, короче, топологию),
если оно обладает следующими свойствами (называемыми аксиома-
ми топологических структур): а) всякое объединение множеств,
принадлежащих Q, есть множество из Q; б) пересечение любого
конечного числа множеств, принадлежащих Q, есть множество
из Q.
Множества, составляющие Q, называют открытыми множест-
вами топологической структуры, определяемой семейством Q»2.
Множество, снабженное топологической структурой, называют
обычно топологическим пространством. Изучение топологических
структур позволяет классифицировать различные пространства
по их топологическим свойствам: компактности, связности, метри-
зуемости и т. д. В топологических структурах «находят абстракт-
1 БурбакиН. Общая топология. Основные структуры. М., 1958, с, 19.
3 Т а м же, с. 24.
411
ную математическую формулировку интуитивные понятия окрест-
ности, предела и непрерывности, к которым нас приводит представ*
ление о пространстве» 1.
Таким образом, согласно Бурбаки, перед нами выступают три
типа порождающих структур: алгебраические, порядковые и то-
пологические.
Как же осуществляется дальнейшее построение математики,
фундаментом которой являются вышеназванные основные струк-
туры? Дальнейшая конструкция математической науки осуществ-
ляется, во-первых, посредством образования сложных струк-
тур, которые состоят из нескольких основных структур, органи-
чески связанных между собой посредством соответствующих аксиом,
во-вторых, возникают специальные структуры, которые обра-
зуются посредством присоединения к аксиомам некоторой основ-
ной структуры одной или нескольких дополнительных аксиом.
Описанное выше построение математики можно проиллюстри-
ровать следующей схемой (см. с. 413),
Соединение структур различных типов ведет к образованию со-
ответствующих разделов математики. Например, соединение струк-
тур алгебраического и порядкового типа ведет к выделению таких
разделов, как упорядоченная алгебра; соединение структур алгеб-
раического и топологического типов ведет к выделению алгебраи-
ческой топологии. Наконец, соединение всех трех типов структур
ведет к образованию такого, например, раздела, как упорядоченная
топологическая алгебра, и т. п.
Обобщая рассмотренные выше примеры, можно сказать, что ма-
тематическая структура — это набор множеств, состоящих из эле-
ментов любой природы, со специально выделенными (определён-
ными на этих множествах) операциями или отношениями между
их элементами (или подмножествами), которые удовлетворяют опре-
деленной системе аксиом.
Набор операций, отношений и аксиом определяет разновидность
матем атической стр у кту ры.
1.4. Какое же влияние оказали идеи Н. Бурбаки на методику
математики средней школы?
Отвечая на этот вопрос, отметим (см. также [I. 3. 4J) следующее:
1) Результаты исследований Н. Бурбаки, естественно, поста-
вили вопрос о том, что изучать в школьном курсе математики.
С точки зрения современной математики содержание традиционного
школьного курса математики оказалось насыщенным частностями,
не имеющими ни дидактической, ни познавательной ценности.
Возник вопрос о том, что не следует ли уже в школе изучать
саму идею математических структур, знакомить учащихся с важней-
шими конкретными структурами и их наиболее простыми моде-
лями и тем самым по-новому определять основное содержание
школьного курса математики.
1 Бурбаки Н. Архитектура математики,— «Математическое просвеще-
ние», I960, № 5, с. 106.
412
Схематическая иллюстрация построения математики на основе
специализации и усложнения основных структур
2) Абстрактный характер понятия структуры существенно рас-
ширяет возможность приложений этой науки в различных вопро-
сах самой математики, смежных научных дисциплин, практики.
Возникла идея о том, что характерные для традиционного школь-
ного курса математики обычно искусственно придуманные прило-
жения можно заменить приложениями, имеющими определенный
практический смысл, или, по крайней мере, приложениями, полез-
ными в познавательном отношении.
3) Работами психологов, в частности работами психологов шко-
лы Ж. Пиаже, была- установлена удивительная аналогия между
архитектурой математики как науки и «архитектурой» развиваю-
щегося мышления.
4) Ныне стало ясно, что изучение идей современной математики
даже при традиционном содержании школьного курса может быть
реализовано двумя основными путями:
а) новой трактовкой основных понятий традиционного школь-
ного курса математики;
б) изменением методики обучения традиционному содержанию
школьного курса математики.
Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.
Обратимся к множеству действительных чисел, которое, как
известно, составляет основу классического математического ана-
лиза. Рассматривая различно определенные на этом множестве
операции и отношения, а также специально выделенные подмно-
жества, мы обнаружим, что множество действительных чисел явля-
ется «носителем» всех трех основных типов структур.
В самом деле, выполнение арифметических действий с действи-
тельными числами ведет к изучению структур алгебраического
типа. Так, на множестве действительных чисел определяется, напри-
мер, группа относительно операций сложения и умножения (если
исключить нуль).
Сравнение действительных чисел ведет к изучению различных
структур порядка. Так, на множестве действительных чисел опре-
делена, например, структура линейного порядка.
Рассматривая операцию предельного перехода и непрерывность,
мы приходим к изучению структур топологического типа. Так,
определив на множестве действительных чисел структуру фильтра
(например, множество открытых интервалов, содержащих точку
х), мы придем к определению окрестности этой точки и к изучению
топологического пространства, называемого числовой прямой.
, Итак, рассматривая только учение о числе, мы на уровне школь-
ного обучения можем ознакомить учащихся с многими конкрет-
ными примерами математических структур. Таким образом, даже
в рамках традиционного содержания школьного курса математики
имеется возможность ввести в изучение элементы современной ма-
тематики.
В статье «Современная математика с педагогической точки зре-
ния» Л. Феликс пишет, что в новых учебниках математики
414
«...поражает сразу — это новое распределение старого материала,
не по объектам, а по структурам» х. Новизна обучения математике,
по мысли Л. Феликс,— может проявляться в том, что при изу-
чении любого вопроса выделяются его «структурные узлы», нахо-
дится место изучаемому понятию в системе других понятий, близ-
ких ему, или, может быть, на первый взгляд далеких от него.
Важно, чтобы изучаемые в школе структуры были интересными
сами по себе, достаточно простыми и имели тесную связь с изучае-
мым в школе программным материалом.
А. Н. Колмогоров по этому поводу пишет: «...первые достаточ-
но поучительные упражнения на построение структур, удовлетво-
ряющих или не удовлетворяющих тому или иному набору аксиом,
могут быть очень элементарными. Мне кажется, что они должны
были бы сопровождать самые начала школьного систематического
курса геометрии (например, в VI классе)» [2.55]. «При этом осо-
бенно удобными на первых порах считают роды структур, среди
представителей которых имеются конечные структуры» (там же).
Очень интересные примеры таких конечных структур приведены
в этой статье А. Н. Колмогорова, а также в главе XI учебника
«Геометрия 8» (под ред. А. Н. Колмогорова) [3. 49].
Выделение «структурных узлов» и знакомство с идеей структур
возможно и при рассмотрении некоторых отношений на бесконеч-
ных множествах. Рассмотрим, например, отношение эквивалент-
ности, определенное на некотором множестве Af:
УхСЛ4:хтх (рис. 121, а).
VxfAl, V у£М 'хну ухх (рис. 121, б).
VxgAI, У zQM :хту /\ ynz=^xiz (рис. 121, в).
В традиционном обучении математике указанные выше посту-
латы, определяющие отношение эквивалентности, рассматривались
лишь на одном частном примере — отношении равенства:
а*=а
a — b /\Ь — с=>а = с.
Однако тот факт, что с такого рода отношениями школь-
ник встречается неоднократно и
(отношения параллельности,
конгруэнтности, равносильности
и т. д.), и в обыденной жизни
(отношение родства, прожива-
ния в одном доме и т. д.),
1 «Новое в начальном обучении
математике». Под ред. П. С. Исакова и
Л. Н. Скаткина. М., 1970, с. 85.
при изучении курса математики
Рис. 12L
415
никак не подчеркивается. Мысль о том, что, изучив вышеу-
казанное отношение в общем виде, мы тем самым изучаем
его всевозможные интерпретации в традиционном школьном обу-
чении, никак не реализуется. А между тем реализация тезиса
«Ищем общее в различном» достаточно ярко иллюстрирует идею
математических структур.
Наконец, с чисто дидактической точки зрения полезно иметь в
виду, что знакомство с идеей аксиоматического метода и простейши-
ми структурами можно осуществлять не только на структурах,
представляющих наибольший научный интерес, но и на структу-
рах, имеющих искусственный характер, которые могут даже иметь
лишь одну известную (или возможную для рассмотрения в школе)
интерпретацию.
В современном реформистском движении наметилось три основ-
ных пути введения идеи математической структуры в школьное
обучение:
1) коренной пересмотр содержания курса математики, распо-
ложение учебного материала по «линиям основных математических
структур» (по концентрам или по спирали). Такова точка зрения
Ж. Дьедонне, К. Гаттеньо, Ж. Папи и др.;
2) проникновение идеи математических структур в освещение
ведущих понятий школьного курса математики (множества, отоб-
ражения, числа и т. д.), усиление роли аксиоматического метода
в изложении учебного материала (например, в курсе геометрии).
Такова точка зрения авторов программы и учебников в .советской
школе, в школе ПНР (Польской Народной Республики), школе
ГДР (Германской Демократической Республики);
3) постепенное и неявное приобщение учащихся к идее матема-
тических структур через решение специальным образом подобран-
ных задач и упражнений, т. е. усиление роли аксиоматического
метода в методике обучения школьному курсу математики. Это
направление реализуется пока еще очень робко.
В определенном смысле синтезом всех трех направлений в реа-
лизации идеи математической структуры в школьном обучении
является обновление содержания и методики обучения математике
в начальных классах школы.
В нашей стране такие исследования ведутся коллективом сот-
рудников АПН СССР под руководством А. И. Маркушевича, такие
исследования успешно ведутся в Польше, Югославии, США и неко-
торых других странах (в этих странах уже созданы соответствую-
щие экспериментальные учебники).
Серьезная работа по этой весьма важной стороне модернизации
обучения математике по существу еще только начинается.
1.5. Овладение школьниками идеей аксиоматического метода
в процессе обучения математике предполагает следующее:
1) понимание роли и места математических моде-
лей в процессе познания реальной действительности, а также при
изучении конкретных вопросов математического характера. Фор-
416
•мирование умения в построении математических моделей простей-
ших конкретных ситуаций.
2) Понимание сущности процесса аксиоматизации некоторой ма-
тематической ситуации как отыскания в ней системы исходных^ по-
нятий и отношений, а также основных (управляющих ими) свойств
(аксиом).
3) Понимание роли и места дедукции в научном построе-
нии того или иного раздела математики, т. е. возможности логи-
ческого выделения (доказательства) самых разнообразных свойств
изучаемой системы объектов и отношений из принятой ранее сис-
темы основных понятий, отношений и аксиом (на основе известных
правил логического вывода). Умение проводить простейшие дока-
зательства (или опровергнуть утверждения).
4) Понимание возможности и полезности интерпрета-
ции и конкретного применения выявленной и
описанной на математическом языке структуры в самых разнооб-
разных конкретных ситуациях как математического, так и немате-
матического характера. Умение конкретизировать абстрактную ма-
тематическую теорию в простейших случаях.
I. Понятно, что овладение школьниками идеей аксиоматического
метода невозможно без овладения ими соответствующей системой
математических знаний, умений и навыков (в частности, знанием
начальных положений математической логики, умением использо-
вать простейшую логико-математическую символику для записи
утверждений, пониманием смысла символических записей).
Наконец, следует отчетливо понимать, что овладение идеями
аксиоматического метода преследует цели, далеко выходящие за
рамки задач обучения математике как таковой. Такими целями
прежде всего является воспитание культуры мышления и языка,
воспитание диалектического мировоззрения.
5 2. ПРОПЕДЕВТИКА АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА И ИДЕИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ В ШКОЛЬНОМ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
2.1. Методика ознакомления учащихся с дедуктивным харак-
тером построения математики.
2.2 Аксиоматический метод как метод обучения математике.
2.3. Методика ознакомления учащихся с простейшими матема-
тическими структурами.
2.4. Заключение.
2.1. В школьном обучении аксиоматический метод прежде
всего выступает как метод изложения математического
материала в виде цепочки последовательных дедуктивных умозак-
лючений, опирающихся на некоторые основные понятия и положе-
ния и проводимых на основе определенных законов логики.
14 т-941
417
никак не подчеркивается. Мысль о том, что, изучив вышеу-
казанное отношение в общем виде, мы тем самым изучаем
его всевозможные интерпретации в традиционном школьном обу-
чении, никак не реализуется. А между тем реализация тезиса
«Ищем общее в различном» достаточно ярко иллюстрирует идею
математических структур.
Наконец, с чисто дидактической точки зрения полезно иметь в
виду, что знакомство с идеей аксиоматического метода и простейши-
ми структурами можно осуществлять не только на структурах,
представляющих наибольший научный интерес, но и на структу-
рах, имеющих искусственный характер, которые могут даже иметь
лишь одну известную (или возможную для рассмотрения в школе)
интерпретацию.
В современном реформистском движении наметилось три основ-
ных пути введения идеи математической структуры в школьное
обучение:
1) коренной пересмотр содержания курса математики, распо-
ложение учебного материала по «линиям основных математических
структур» (по концентрам или по спирали). Такова точка зрения
Ж. Дьедонне, К. Гаттеньо, Ж. Папи и др.;
2) проникновение идеи математических структур в освещение
ведущих понятий школьного курса математики (множества, отоб-
ражения, числа и т. д.), усиление роли аксиоматического метода
в изложении учебного материала (например, в курсе геометрии).
Такова точка зрения авторов программы и учебников в .советской
школе, в школе ПНР (Польской Народной Республики), школе
ГДР (Германской Демократической Республики);
3) постепенное и неявное приобщение учащихся к идее матема-
тических структур через решение специальным образом подобран-
ных задач и упражнений, т. е. усиление роли аксиоматического
метода в методике обучения школьному курсу математики. Это
направление реализуется пока еще очень робко.
В определенном смысле синтезом всех трех направлений в реа-
лизации идеи математической структуры в школьном обучении
является обновление содержания и методики обучения математике
в начальных классах школы.
В нашей стране такие исследования ведутся коллективом сот-
рудников АПН СССР под руководством А. И. Маркушевича, такие
исследования успешно ведутся в Польше, Югославии, США и неко-
торых других странах (в этих странах уже созданы соответствую-
щие экспериментальные учебники).
Серьезная работа по этой весьма важной стороне модернизации
обучения математике по существу еще только начинается.
1.5. Овладение школьниками идеей аксиоматического метода
в процессе обучения математике предполагает следующее:
1) понимание роли и места математических моде-
лей в процессе познания реальной действительности, а также при
изучении конкретных вопросов математического характера. Фор-
416
-жирование умения в построении математических моделей простей-
ших конкретных ситуаций.
2) Понимание сущности процесса аксиоматизации некоторой ма-
тематической ситуации как отыскания в ней системы исходных по-
нятий и отношений, а также основных (управляющих ими) свойств
(аксиом).
3) Понимание роли и места дедукции в научном построе-
нии того или иного раздела математики, т. е. возможности логи-
ческого выделения (доказательства) самых разнообразных свойств
изучаемой системы объектов и отношений из принятой ранее сис-
темы основных понятий, отношений и аксиом (на основе известных
правил логического вывода). Умение проводить простейшие дока-
зательства (или опровергнуть утверждения).
4) Понимание возможности и полезности интерпрета-
ции и конкретного применения выявленной и
описанной на математическом языке структуры в самых разнооб-
разных конкретных ситуациях как математического, так и немате-
матического характера. Умение конкретизировать абстрактную ма-
тематическую теорию в простейших случаях.
у Понятно, что овладение школьниками идеей аксиоматического
метода невозможно без овладения ими соответствующей системой
математических знаний, умений и навыков (в частности, знанием
начальных положений математической логики, умением использо-
вать простейшую логико-математическую символику для записи
утверждений, пониманием смысла символических записей).
Наконец, следует отчетливо понимать, что овладение идеями
аксиоматического метода преследует цели, далеко выходящие за
рамки задач обучения математике как таковой. Такими целями
прежде всего является воспитание культуры мышления и языка,
воспитание диалектического мировоззрения.
$ 2. ПРОПЕДЕВТИКА АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА И ИДЕИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ В ШКОЛЬНОМ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
2.1. Методика ознакомления учащихся с дедуктивным харак-
тером построения математики.
2.2 Аксиоматический метод как метод обучения математике.
2.3. Методика ознакомления учащихся с простейшими матема-
тическими структу р ами.
2.4. Заключение.
2.1. В школьном обучении аксиоматический метод прежде
всего выступает как метод изложения математического
материала в виде цепочки последовательных дедуктивных умозак-
лючений, опирающихся на некоторые основные понятия и положе-
ния и проводимых на основе определенных законов логики.
14 т-941
417
Рис. 122.
явно указываются, остальные же
Формирование представле-
ний школьников об аксиома-
тическом методе происходит по-
степенно. Так, например, при
изучении курса геометрии VI
класса подчеркивается, что
«... дедуктивное изложение гео-
метрии подчинено следующим
требованиям:
1) выделяется небольшое чис-
ло основных понятий, которые
понятия определяются через ос-
новные;
2) все утверждения отчетливо формулируются при помощи ос-
новных понятий или понятий, уже получивших определение;
J3) выделяется некоторое число утверждений, формулируемых в
качестве аксиом, а все дальнейшие утверждения строго доказывают-
ся в виде теорем»1.
Понятно, что при непосредственном проведении дедуктивных
рассуждений используются определенные логические понятия (в
частности, правила вывода). Однако на уровне восьмилетней
школы об этом явно не говорится. Применяемые правила вывода
(например, ~ Г) считаются само собой разумеющимися.
Таким образом, аксиоматический метод дает учащимся материал,
исходя из которого и посредством которого они могут учиться рас-
суждать. Применение этого метода в обучении математике напо-
минает игру в «Откуда мы знаем?». В эту игру играют и ученик, и
учитель; игра проводится по правилам, известным и тому и дру-
гому. Игра «Откуда мы знаем?» — это игра, играя в которую
выигрывают все 2.
При формировании представлений школьников об аксиомати-
ческом методе как методе построения математической теории нема-
лую дидактическую ценность могут иметь упражнения по дополне-
ниям «логических диаграмм» доказательств. :
Приведем два примера. - <. -
Указать обоснование каждого шага приводимого ниже доказа-
тельства: ~
а) Д а н о: Д ЛВС, 1=2-2.
Доказать: Д ЛВС — равнобедренный.
Доказательство (рис. 122).
1) [СК) || [ДВ], [ВС] П [ДВ] =/= 0, [ВС] 0 [СК) =/= 0 4 2 =. 5.
2) [СК) || [ДВ], [ДР) П [ДВ] 0, [ДР) П [СК) 0 4 4 6.
- 1 [3.46], с. 9.
2 См.: Аллен Франк. Применение аксиоматического метода в препода-
вании математики в средней школе.— В сб.: Роль аксиоматики и решение задач
по математике. Вашингтон, Гинн и К0, 1966, с. 1—13.
418
3) 2 = -L. 1 = 6 (Почему?)
2 = 5 (Почему?)
4=6 (Почему?)
=>5 = 6,
2 = 4=>
[ВС] ss [АС] => А АВС равнобедренный.
б) Доказать1 *: (—а — Ь)3 —— (а-(-&)3.
Доказательство, (—а — Ь)8 =
= ((- 1) - (а 4- Ь))3 =
= (— I)3 - (а 4- Ь)3 =
= (-1).(а4-*)3 =
= —(д4~Ь)3_________
(—а — Ь)3 = — (а 4- Ь)3
?
?
?
Анализ этих доказательств (особенно второго) показывает, что
основанием для последнего шага в каждом из них является тран-
зитивность импликации, т. е. правило вывода . Нетрудно
выявить и другие правила вывода, применяемые при доказательстве
данных утверждений.
В процессе обучения математике следует планомерно (хотя и
весьма осторожно) способствовать правильному пониманию уча-
щимися (на интуитивном уровне) сущности элементарных логи-
ческих операций (отрицания, дизъюнкции, конъюнкции и импли-
кации), а также основных правил вывода, лежащих в основе мате-
матических доказательств.
Пусть учащимся предложено применить известную им теорему
(ab = 0) => (а = 0 V & = 0) к объяснению того, что уравнение
(х — 3) (х — 5) = 0 не может иметь корней, кроме 3 и 5.
Для того чтобы учащиеся смогли это сделать, они должны по-
нимать сущность дизъюнктивного и конъюнктивного утверждений
и знать зависимость между прямой теоремой и теоремой, противо-
положной обратной, т. е. закон контрпозиции: (р => q) (q => />).
Если учащиеся, хотя бы на уровне «здравого смысла», знако-
мы с этими фактами, то требуемое объяснение проводится ими без
труда.
Итак, если х {3, 5), то х — 3 0 Д х — 5 =/=• 0, значит,
(х — 3) (х — 5) Ф 0, потому что (а 0 Д b 0) => (ab ф 0).
Отметим, кстати, что следует всячески способствовать созда-
нию у учащихся представлений о дедуктивном характере матема-
1 Задача № 733(a) из [3.2].
14*
419
тики в .ц е л о м, понимания ими того, что доказательства в курсе
алгебры столь же естественны и необходимы, как и в курсе гео-
метрии.
Проникновение дедуктивного метода в школьное обучение мате-
матике не ограничивается научением школьников доказательству
математических утверждений. Использование его в обучении дает
возможность проводить логический анализ при рассмотрении
самых разнообразных вопросов.
Пусть, например, решается уравнение 5 + Vх + 7 — х, где
х Е R (х — действительное число).
Учащиеся знают, что при решении уравнений мы иногда полу-
чаем «посторонние корни». Аксиоматический метод в применении
к процессу решения уравнения помогает объяснить, почему это
происходит.
Осуществим известный процесс решения этого уравнения, но
придадим ему характер логического анализа.
Предположим, что а является корнем данного уравнения. Тог-
да 5 + У« + 7 — а=> Vа + 7 = а — 5=> а + 7 = а2— 10а 4-
4-25=> а2— На-f- 18 = 0 => (а—9) (а —2) =0 => а—9 = 0 V
V а — 2 = 0=>a = 9Va — 2.
Мы показали, что если а является элементом множества корней
данного уравнения, то a £ {2, 9}. Так как из истинности имплика-
ции р=$> q не следует обязательность истинности импликации
q^> р, нет никаких оснований полагать, что любой элемент {2, 9)
является корнем данного уравнения. В процессе решения этого
уравнения мы установили только то, что {х|5 4* У~х~+~7 = х)
S {2, 9). Проверка показывает, что число 9 содержится в множест-
ве корней уравнения, а число 2 не содержится в нем.
Следует иметь в виду, что аксиоматическое изложение некото-
рого раздела математики обычно предполагает, что учащиеся дос-
таточно далеко продвинулись в обучении и развитии.
Математика как наука никогда не развивалась через аксиома-
тизацию. Процесс аксиоматизации науки есть эволюционный про-
цесс, который обычно начинается при отыскании взаимной связи
определенной группы теорем и попытках их упрощения в целом,
а также при включении новых фактов в уже известную (или
в более общую) математическую систему.
При изучении дедуктивно построенного раздела математики .мы
обычно не знакомим учащихся с эволюцией данной аксиоматики,
а показываем ее в «готовом виде», формально. Нередко вредным
последствием такого введения аксиоматики становится представле-
ние школьника о математике как о важной, но совершенно закон-
ченной науке, которую полезно изучать, применять и в которой
уже невозможно что-либо изменить, а тем более развить
дальше.
«Удивительно, что нам вообще удается привлечь его внимание;
что некоторые из наших учеников все-таки со временем решают
420
принять участие в этой игре, вместо того чтобы навсегда оставаться
с краю, в качестве зрителей» х.
Чаще всего аксиоматический метод в обучении применяется
тогда, когда учащиеся уже обладают известным объемом знаний с
целью обобщить эти знания и организовать их в систему.
Именно так (см. ниже, XIX.5) по давней традиции строится
курс геометрии. Значительно меньшее внимание уделяется логи-
ческой организации учебного материала по арифметике, алгебре
и началам анализа. В связи с этим вполне уместно поставить воп-
рос об аксиоматическом построении в школьном курсе хотя бы тео-
рии натурального числа. Покажем, как можно увязать этот вопрос
с изучением темы «Принцип математической индукции» в IX классе.
Поставим задачу выявить перечень основных понятий и аксиом,
достаточный для логического обоснования построения множества
натуральных чисел.
Рассмотрим множество, которое мы называем множеством на-
туральных чисел, т. е. множество:
2, 3, 4, .... п. ...}.
Попробуем выделить его существенные свойства. При первом
приближении они могут быть выражены так:
1) Начальным (наименьшим) элементом множества натураль-
ных чисел является единица.
2) Для каждого элемента множества имеется сосед справа, и
притом один.
3) Для каждого элемента множества, кроме единицы, имеется
сосед слева, и притом один.
4) Каждый следующий элемент множества на единицу больше
предыдущего.
5) У множества натуральных чисел нет последнего (наиболь-
шего) элемента.
Этот перечень свойств можно продолжить. Однако в этом нет
необходимости.
Уже в тех высказываниях, которые отмечены выше, содержится
много специальных терминов: «единица», «натуральное число»,
«начальный элемент», «сосед справа», «следующий элемент», «боль-
ше» и т. д. Возникает вопрос: надо ли все эти термины (точнее,
качаемые ими понятия) включать в список основных, а если нет,
то какие включать и какие не включать? Возникает и второй воп-
рос: все ли отмеченные высказывания следует считать аксиомами
или не все (тогда — какие именно)?
Оказывается, что все понятия и высказывания, относящиеся
к натуральным числам, можно вывести (определить, доказать) на
следующей основе:
1 Бланк Альберт. Применение аксиоматического метода и злоупотреб-
ление им в средних школах.— В сбл- Роль аксиоматики и решение задач по ма-
тематике. Вашингтон, Гинн и К0, 1966, с. 17»
421
1) Основные понятия: единица, натуральное число,
«непосредственно следует за».
2) Аксиомы. I. Единица есть натуральное число, которое
непосредственно не следует ни за каким другим натуральным числом.
II. Каково бы ни было натуральное число п, существует одно
и только одно натуральное число п‘ (п -штрих), непосредственно
следующее за п.
III. Каково бы ни было натуральное число п, отличное от еди-
ницы, существует одно и только одно натуральное число 'п (штрих
п) такое, что п непосредственно следует за 'п.
IV. Если некоторое множество М из натуральных чисел обла-
дает свойствами:
а) единица принадлежит множеству М и
б) если п С М, то и п’ £ М, то множество М есть множество
(всех) натуральных чисел (Л1 = /V).
На базе этих основных понятий и аксиом можно строго опреде-
лить отношения порядка и арифметические операции на множестве
натуральных чисел, а также — строго доказать все свойства этих
отношений и операций. Мы всего этого делать не будем, ограничимся
лишь некоторыми примерами.
Заметим прежде всего, что множество N как множество {1, 2,
3, 4, ...} известных символов возникает в результате принятия
обозначений:
«единица» - 1, Г = 2, 2' == 3, 3' = 4, ...
Определение суммы натуральных чисел выражается системой
двух равенств:
п~У 1 ~п' и п + tri = (п + ту.
На основе этого определения и принятых обозначений может
быть составлена таблица сложения однозначных чисел. Потом,
когда будет принято определение произведения чисел, можно бу-
дет аналогичным образом составить и таблицу умножения.
Отметим два ближайших следствия принятых аксиом:
1) Т е о р е м а. Множество натуральных чисел бесконечно.
Допустим, что множество N конечно, мы вынуждены будем
признать существование числа п Q N, за которым не следует ни-
какого другого числа; это приведет к противоречию с аксиомой II,
согласно которой для любого натурального числа существует пос-
ледующее (на 1 большее). Следовательно, наше допущение ложно.
Остается допустить то, что утверждается в теореме.
2) Теорема. Если некоторое предложение р (п) с переменной
п истинно при п — 1 и если из истинности р (п) при некотором
п = А (А > 1) следует истинность р (п) и при п = k + 1, то пред-
ложение р (п) истинно для всех п.
Нам надо доказать, что если условия теоремы выполнены, то
выполняется и ее заключение.
422
Допустим, что условия теоремы выполнены. Это допущение бу-
дет означать, что истинны высказывания:
р(1) (О
Р (Л) р (k + 1). (2)
Обозначив через М множество тех п, для которых высказыва-
ние р (и) истинно, из условий (1) и (2) сделаем заключения:
1 ем
Из(Г) и (2')
k£M => (fe + 1)€AL
в силу аксиомы IV будет следовать
(1')
(2')
M — N.
Следовательно, высказывание р (п) истинно для всех натураль-
ных п. Теорема доказана.
Значение доказанной теоремы для математики состоит в том,
что она позволяет заключать об истинности высказывания типа
(Vn) р (п) на основе установленной истинности лишь двух выска-
зываний: р (1) и р (k) =$> р (k + 1). Иными словами, эта теорема
является обоснованием правила вывода методом математической
индукции. При доказательстве конкретных высказываний типа
(Vn)p(n) можно ссылаться как на саму теорему (об индукции),
так и на вытекающее из нее правило вывода.
Ограничимся здесь рассмотрением лишь одного примера на
применение метода. Имеется в виду, что другие сведения о методе
и подходящие задачи учитель найдет в учебных пособиях [3.8],
[1.76] и в главе III первой части нашего пособия.
Задача. Доказать, что при любом n£N число 10" — 4 де-
лится на 6.
Предстоит доказать истинность высказывания
(Vn) ((10"- 4)-6).
1) При n = 1 высказывание истинно.
2) Пусть (10* — 4) • 6, т. е. 10* — 4 — 6q, где q £ N. Тогда
10ft+I —4== 10- 10* — 4 =
= 10 (10* —4)+36 =
= 10 • bq + 36 =5
- 6 - (104? + 6) = 6q', где q' £ N, т. е. (10*+1 — 4)! 6.
Мы доказали истинность высказывания
(10* — 4) : 6 =+ (Ю*+* — 4) • 6.
3) Из (1) и (2) по теореме об индукции заключаем, что
(Vn) ((10"—4) • 6) — истинное высказывание. Утверждение полно-
стью доказано.
423
2. 2* Итак» аксиоматический метод в школьном обучении мате-
матике может проявляться двояко*
1) Во-первых, он может быть применен тогда, когда учащиеся
уже обладают известными знаниями по некоторому разделу мате-
матики и когда возникает необходимость обобщить и систематизи-
ровать эти знания.
В такой, например, форме он реализуется в систематическом
курсе геометрии.
Здесь аксиоматический метод выступает как метод изложения
знаний, как метод построения систематического курса математики
(в частности, геометрии).
2) Во-вторых, он может применяться как один из методов изу-
чения некоторых разделов математики, т. е. как один из математиче-
ских методов познания реальной действительности.
Рассматривая аксиоматический метод в этом аспекте, прежде всего
следует помочь учащимся овладеть этим методом, показать им, в
чем состоит его сущность, каковы возможности его применения.
И если первый из этих аспектов во многом предопределяется
программами и учебниками, то второй реализуется в основном че-
рез методику изучения.
В связи с попыткой «осовременить» содержание школьного
курса математики аксиоматический метод нам представляется
наиболее подходящим для этой цели методом изложения новых
его идей.
Однако не менее важно в процессе обучения математике пока-
зать учащимся, как систематизируются и организуются в единое
целое наши математические познания, научить их это делать са-
мостоятельно хотя бы в ситуациях, имеющих только учебный ха-
рактер.
Полезность развития в школьном обучении математике перво-
го из этих двух аспектов трудно мотивировать. Именно этот аспект
вызывает возражения и у ученых, и у передовых учителей.
Второй аспект не вызывает принципиальных возражений, хотя
требует от учителя и учащегося гораздо большего умственного
напряжения. Применение аксиоматического метода как метода
изучения математики в первую очередь означает обучение школь-
ников математической деятельности и уже во вторую очередь обу-
чение результатам этой деятельности.
Если рассматривать аксиоматический метод именно в этом
аспекте, то первой фазой его является определенный подготови-
тельный, исследовательский период учебной работы, в процессе
которой школьниками приобретаются определенные знания, воз-
никающие в результате эвристической деятельности.
По мере того как растет объем полученных школьниками мате-
матических знаний, имеет место переход ко второй фазе — фазе
классификации этих знаний. Встает вопрос о том, какие теоремы
выводятся из других теорем? Какие положения принимаются за ос-
новные? Каков наиболее краткий путь перехода от одних утвержде-
424
ний к другим? Являются ли необходимые условия, сформулирован-
ные в том или ином следствии, достаточными? Определены ли основ-
ные понятия достаточно точно? Не являются ли данные определения
избыточными? Не допускают ли они двусмысленного толкования?
И Те д.
Отвечая на эти вопросы, школьники начинают различать струк-
турные соотношения между доказанными и недоказанными утверж-
дениями, устанавливают, какие утверждения можно принять без
доказательства, а какие нужно доказать; на этом этапе можно вы-
делить понятия, которые следует считать неопределяемыми.
Постепенно они начинают понимать, что все утверждения изу-
чаемой системы математических знаний могут быть выведены из
других, взятых в весьма небольшом числе, что некоторые понятия
не могут быть определены, тогда как все остальные понятия этой
системы можно и нужно определять.
Отобранное подмножество понятий и утверждений организуется
в определенную подсистему неопределяемых (первичных) терми-
нов и недоказываемых утверждений (аксиом), являющуюся тем
фундаментом, на котором может быть построена вся система зна-
ний по данному вопросу.
Вслед за этим возникает третья фаза — поиски более совершен-
ной структуры в этой системе знаний хотя бы с помощью таких
критериев, как простота и краткость.
За последнее время во многих зарубежных странах (и прежде
всего во Франции, Бельгии и США) движению за аксиоматизацию
школьного курса математики стало придаваться явно преувеличен-
ное значение. Это привело к тому, что ряд видных ученых (мате-
матиков и педагогов) стали выступать против излишеств в аксиома-
тическом подходе, проявляющихся в новых программах и учебниках.1
К числу таких излишеств справедливо относят попытки чрезмерной
алгебраизации школьного курса геометрии х, отказ от изучения
евклидовой геометрии в пользу изучения геометрии векторного про-
странства, излишняя формализация учебного материала и т. п.
Одно из интересных в этом плане выступлений принадлежит из-
вестному французскому математику Р. Тому, к статье которого
мы и отсылаем читателя 2.
Однако было бы неверным полностью отрицать большую роль
аксиоматического метода и в изложении школьного учебного мате-
риала/ и в обучении. Противопоставление аксиоматического ме-
тода в обучении математике методу эвристическому не является
правомерным.
В самом деле, при правильной методике каждому формальному
доказательству должна предшествовать целая система вводных
1 См.: Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия.
Пер. с франц. Под ред. И. М. Яглома. М., 1972.
2 См.: Том Р. Современная математика — существует ли она? — «Матема-
тика в школе», 1973, № 1, с, 89—93.
425
упражнений, лабораторных заданий, приводящих школьников к
высказыванию правдоподобных гипотез и просто догадок.
Знакомство учащихся с сущностью аксиоматического метода,
использование этого метода как метода изучения математики от-
нюдь не сковывает их эвристическую учебную деятельность. Нап-
ротив, использование этого метода открывает и новые перспективы
в расширении такого рода деятельности в учебной работе школь-
ника.
Так, учебные задания по формулировке и установлению истин-
ности (или ложности) всех остальных видов теорем, связанных с
уже доказанной теоремой, не только ведут к возможности более
широко и глубоко изучить рассматриваемый вопрос, но и к воз-
можности осуществлять деятельность исследовательского харак-
тера. В процессе этой деятельности учащиеся сталкиваются с мно-
жеством нетривиальных предположений, о которых ничего не
говорится в учебнике. Каждое из высказанных школьниками пред-
положений относительно той или иной теоремы ставит перед нами
своеобразную исследовательскую задачу.
Если сформулированное утверждение истинно, то учащиеся
должны отыскать его доказательство. Если учащиеся усматривают
ложность сделанного ими утверждения, можно (и достаточно) отыс-
кать'соответствующий ему опровергающий пример.
Например, если речь идет о свойствах параллелограмма, то из
утверждения «Л BCD — параллелограмм» по определению имеем:
а) [ЛВ] || [DC]
6)MD] || [ВС]
[ЛВ] ~ [DC],
MD] ~ [ВС];
Z. А = Z. С,
(1)
(2)
(3)
(4)
Имеем еще 14 связанных с ним утверждений. 6 утвержде-
ний из этих 14 обособляются после словесной формулировки в фор-
му теорем, из которых 4 теоремы истинны. Утверждение, в условии
которого лежит конъюнкция условий (1) и (3), дидактически осо-
бенно интересно.
Понятно, что учебная деятельность школьников, выполняю-
щих такого рода задание, неизбежно будет иметь эвристический
характер.
Нет сомнения и в том, что выполнение подобного рода заданий
способствует овладению школьниками аксиоматическим методом.
Аксиоматический метод не имеет особого преимущества, даю-
щего основание считать его универсальным. Как и всякий метод
обучения, он эффективен лишь в сочетании с другими методами
обучения и во многом зависит от содержания рассматриваемого
вопроса программы, от запаса соответствующих знаний и умений
учащихся на данном уровне обучения и, наконец, от мастерства
учителя в его применении. Главное его достоинство заключается
не в отборе того материала, который в дедуктивном построении
426
курса математики следует изучать. Главное заключается в том, что
его применение в обучении способно научить школьников тому,
как следует думать (и рассуждать), чтобы эта мысль (и это рассуж-
дение) имела право считаться математической. Аксиоматический
метод как метод обучения математике в явном виде следует исполь-
зовать в VIII—X классах.
2.3. Реализация идеи аксиоматического метода в школьном
обучении может проходить различными путями. Прежде всего сле-
дует указать на ее проявление в построении того или иного учеб-
ного предмета. В этом отношении особенно богатые возможности
заложены в новом школьном курсе геометрии, в котором приобще-
ние школьников к идее аксиоматического метода проводится сис-
тематически и последовательно
Немалые возможности для этого представляют также занятия
математического кружка и факультативные занятия, в тематику
которых могут быть явно включены вопросы, связанные с изуче-
нием различных математических структур. Наконец, знакомство
школьников с аксиоматическим методом, с идеей математической
структуры может происходить с помощью специальных учебных
ситуаций, выступающих в форме своеобразных дидактических
моделей.
Так, например, известный польский педагог-математик 3. Кры-
говская предлагает следующий пример такой ситуации А (Кстати
говоря, этот пример ярко иллюстрирует и вышеуказанные четыре
этапа в овладении школьниками идеей аксиоматического метода 3.)
В некотором доме по случаю праздника собираются друзья и
родственники хозяев. Когда все гости садятся за праздничный
стол, между ними возникает отношение соседства (5). Пусть запись
вида xSy означает, что человек «х» является соседом сидящему за
столом человеку «у». Пусть также запись вида xRy означает, что
«х» и «у» — родственники. Пусть L означает множество гостей и
хозяев.
Учащимся предлагается (с помощью известной им логико-мате-
матической символики) записать следующее утверждение:
«Каждый из гостей имеет соседа слева и справа». На символи-
ческом языке это утверждение выглядит так:
I. Vx^Lly, zQL\y^z f\ xSy [\xSz.
Далее учащимся предлагается оценить информацию о празднич-
ной встрече, представленную в виде следующей совокупности
утверждений:
II. Vx, y£L*.xSy=^ySx.
III. Vx£L:xRx.
1 См. [xv. 2. 1).
2 См.: Krygowska Zofia, Zarys dydaktyki matematyki. Gz£s6 I, Warsza«
wa, Panstwowe zaklady wydawnictw szkolnych, 1969, c. 20—22.
3 Cm. n. 1.5 данной главы.
427
Рис. 123.
IV. Vx, у Q L: xRy yRx.
V. Vx, y, z£L:xRy Д yRz^xRz.
Школьникам вновь предлагается записать сим-
волически требование, выдвинутое хозяевами о
том, чтобы родственники не сидели за столом ря-
дом друг с другом.
(VI. Vx, y£L: xSy^(xRy)).
Далее перед учащимися ставится новая задача. Как может оце-
нить информацию I—VI человек, который не знает, из какой кон-
кретной ситуации она возникла?
Проводится несколько возможных вариантов ответа на этот
вопрос. В частности, указывается на следующую возможность трак-
товки множества L и отношений S и R:
a) L — множество рабочих-строителей.
xSy означает, что рабочие «х» и работают в одной бригаде.
xRy означает, что рабочие «х» и «//» имеют одну и ту же специ-
альность.
б) L — множество прямых плоскости.
xSy&xj_y,
xRy <^>х || у.
Рассмотрение подобного рода учебных ситуаций подводит школь-
ников к мысли о том, что информация, заданная отношениями
3 и R и свойствами I—VI, является математической моделью бес-
конечного множества различных конкретных ситуаций. Таким
образом, учащиеся подготовлены к знакомству с идеей аксиомати-
ческого метода, с идеей математических структур.
Приведем теперь пример задания проблемного типа, подводя-
щего учащихся к изучению одной из важнейших алгебраических
структур — структуры группы.
_ Вырежем из картона прямоугольник и проделаем в одном из
углов круглое отверстие (рис. 123). Существует 4 возможных поло-
жения этого отверстия на прямоугольнике, которые указаны на
рис. 124, а, б, в, г.
1. Убедитесь на опыте в том, что существует перемещение, кото-
124.
Рис.
рое переводит этот прямоуголь-
ник из начального положения
а в положения б, в, г.
Среди этих перемещений вы-
берем следующие:
1) перемещение оставляющее
прямоугольник на месте в поло-
жении а (рис. 125, а); обозначим
это перемещение через Р;
2) симметрию относительно
прямой, проходящей через сере-
дины боковых сторон прямоу-
428
гольника, т. е. перемещение,
переводящее прямоугольник из
положения а в положение г (рис.
125, г); обозначим это переме-
щение через Н\
3) симметрию относительно
прямой, проходящей через сере-
дины оснований прямоугольни-
ка, т. е. перемещение, перево-
дящее его из положения а в по-
ложение в (рис. 125, в); обозна- Рис. 125.
чим это перемещение через V;
4) поворот прямоугольника вокруг точки пересечения диаго-
налей на угол в 180°, т. е. перемещение, переводящее его из поло-
жения а в положение б (рис. 125, б); обозначим это перемещение
через W.
Определим теперь композицию двух перемещений, которую
обозначим символом
Итак, что означает запись И ® V? Она означает два последова-
тельно проведенных перемещения прямоугольника: сначала из
положения а в положение г (рис. 126, а), а затем из положения г
в положение б (рис. 126, б).
Таким образом, можно записать: Н ® V = W.
2. Каков будет результат перемещения W ® V?
3. Заполните таблицу результатов, композиции различных
перемещений этого прямоугольника:
р н V W
р
н
V
W
Вспомним свойства сложения целых чисел:
1) В результате сложения двух целых чисел всегда получается
целое число.
2) Сложение целых чисел подчиняется переместительному закону.
3) Сложение целых чисел подчиняется сочетательному закону.
4) В результате сложения любого целого числа g нулем полу-
чается то же число.
429
5) Для любого целого числа
всегда найдется другое целое
число, которое в сумме с первым
дает число 0.
4. Запишите каждое из этих
свойств с помощью букв (в общем
виде); привёдите примеры.
5. Проверьте, какие из этих
свойств сложения целых чисел
Ф имеют место для композиции пе-
Рис. }2б. ремещений Р, Я, V и W данного
прямоугольника. Если какое-ли-
бо свойство сложения целых чисел
имеет место и для композиции перемещений, постарайтесь обо-
сновать его; если какое-либо свойство не имеет места, приведите
пример, когда оно не соблюдается.
6. Проведите ту же проверку — сравнение свойств композиции
перемещений «прямоугольника с отверстием» со свойствами умно-
жения рациональных чисел.
7. Ответьте на вопросы 1—3 пунктов этого задания, используя
модель квадрата с отверстием (рис. 127). Определите здесь возмож-
ные виды перемещений и их композицию. Чем отличны решения
этой задачи и предыдущей?
8. Придумайте сами задачу, похожую на те две, которые вы
только что решили.
9. Какой вывод можно сделать из сравнения свойств компо-
зиции перемещений со свойствами некоторых арифметических дей-
ствий?
2,4 . Какие же конкретные рекомендации можно дать учителю,
желающему осуществить знакомство учащихся с аксиоматическим
методом в обучении математике?
1) Ввиду того что аксиоматический метод является логиче-
ской основой математики как науки, желательно, чтобы школьники
на определенном этапе обучения начинали осознавать эту особен-
ность математики.
2) Следует помнить, что школьники лучше всего усваивают
учебный материал, если его изучение базируется на их собствен-
ном опыте при рассмотрении конкретных ситуаций; поэтому не
следует стараться использовать идею аксиоматического метода ра-
нее VI класса, т. е. ранее того периода, когда произойдет достаточ-
но полное их ознакомление с фактическим материалом.
3) Следует иметь в виду, что школьники легче всего начинают
формулировать свои собственные
Рис. 127.
аксиомы для систем, выявляю-
щихся при рассмотрении кон-
кретных реальных ситуаций.
4) Для достаточно полного осо-
знания и оценки аксиоматиче-
430
ского подхода в построении математики учащихся следует озна-
комить:
а) с различными математическими структурами;
б) с примерами дедуктивного построения математической
теории;
в) с основными понятиями и законами логики, о логико-мате-
матической символикой.
Понятно, что всякое серьезное исследование той или иной сис-
темы аксиом возможно проводить лишь с самыми сильными уча-
щимися на кружковых или факультативных занятиях.
Аксиоматический метод изложения учебного материала и аксио-
матический метод обучения способствует приобретению школьни-
ками правильного понимания сущности математики как науки,
дает возможность приобщить школьников к деятельности, имею-
щей математический характер.
§ 3. ИДЕЯ ИЗОМОРФИЗМА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
3.1. Методика изучения изоморфизма на внеклассных занятиях.
3.2. Применение изоморфизма в процессе обучения.
3.1. Как известно, понятие изоморфизма играет большую роль
во многих областях научных знаний.
Открытие изоморфизма множеств относительно определенных
на них операций и отношений создало возможность переноса соот-
ветствующих научных представлений из одной области знаний в
другую, качественно отличную от первой, например геометриче-
ских соотношений на физические процессы и т. п.
По-видимому, вполне реальна перспектива включения понятия
изоморфизма в школьную программу в явном виде, тем более что
неявно оно уже давно используется в ней. Хотя это понятие при-
надлежит к числу достаточно абстрактных, при должной методи-
ческой обработке оно вполне может быть усвоено школьниками.
Рассмотрим один из возможных вариантов методики изучения
изоморфизма на занятиях математического кружка.
Начнем с некоторой конкретной ситуации.
1) Учащимся предлагается рассмотреть различные подмножест-
ва множества целых неотрицательных чисел Zn: Zi = {0}, Z2 =
Рис. 128.
Рис. 129.
>31
Рис. 130.
tf XGZ4, xx^ y =
= {0, 1), Z8={0, 1, 2), Z4 =
= {0, 1, 2, 3}, Z8={0, 1, 2,
3, 4} и т. д. (индекс n G оп-
ределяет число элементов в мно-
жестве Z'n) и определенное на
каждом из этих множеств отно-
шение
VxGZn, £ =
| 2х, если 2xGZn;
—I 2х— п, если 2x£Z„.
Например, для п = 4 имеем:
Z4 = {0, 1, 2, 3} и
2х, если 2xGZ4;
. 2х — 4, если 2x^Z4.
Данное отношение т4 образует в Z4 следующее множество пар
0->0
1 -» 2
2 -> 0
3-^2
0=2-0;
2 = 2. 1;
0 = 2.2 —4;
2 = 2» 3 — 4;
oez4.
2GZ4.
4£Z4.
6gZ4.
Изображается стрелочная схема этого отношения т4, заданного
на множестве Z4 (рис. 128).
Учащиеся самостоятельно составляют пары, определенные от-
ношением т” на некоторых множествах Zn (например, Z3, Z8 и Z^
по показанному выше образцу, и изображают стрелочные схемы
этих отношений (например, рис. 129 для ZB; рис. 130 для Zu).
Рис. 132. Рис. 133.
432
2) Затем учащимся предлагается рассмотреть множества на-
туральных чисел Nn : Л\ = (1), Nt = {1,2}, N3 = {1, 2, 3},
Nt — {1, 2, 3, 4}... и отношениеxRny на каждом из этих множеств,
заданное следующим образом:
V*GJVn, xR'jj <r*y =
х2, если х2 С Л£;
г — остаток от деления х2
(n + 1), если х2 £ М'п,
на число
Например, для п = 4 имеем: N4 = {1, 2, 3, 4} и
Ух€Л^4, xRty <-> у~
х2, если x2£2V4;
г— остаток от деления х2 на 5, если
х2 £ Nt.
При данном отношении Rt на множестве N4 выделяются следующие
пары его элементов:
1 = I2;
4 = 22;
З2:5 = 1
42:5 = 3
1€ЛГ4;
4 € ЛГ«;
(ост. 4); 9£Nt-,
(ост. 1); 16£ЛГ4.
Изображается стрелочная схема этого отношения R4, заданного на
множестве N4 (рис. 131).
Учащиеся самостоятельно составляют пары, заданные отноше-
нием Rn на некоторых множествах Nn (например, N3, N3 и У12)
по показанному им образцу, и изображают стрелочные схемы этих
отношений (например, рис. 132 для N6; рис. 133 для Nlt).
3) Далее предлагается изобразить рядом стрелочные схемы
отношений и R4, определенных на множествах Z4 и Nt (рис. 134),
и установить, чем эти отношения похожи друг на друга и чем они
различаются.
Нетрудно усмотреть, что стрелочная схема отношения т4 на
Z4 и стрелочная схема отношения R4 на N4 одна и та же, хотя и
сами отношения, и множества, на которых они заданы, различны;
каждый элемент х £ Z4 имеет свою копию (двойника) у Q N4.
Учащимся предлагается изобразить стрелочную схему отобра-
жения f множества Z4 на мно-
жество N4, переводящего элемен-
ты множества Z4 в им соответству-
ющие из множества N4 (рис. 134).
На этом же примере учащиеся
убеждаются в том, что данное отоб-
ражение f обратимо.
4) Теперь предлагается прове-
рить, насколько глубоко подме-
ченное ими сходство множеств Z4
Рис. 134.
и N4.
433
Рис. 135.
Опытным путем устанавливается, что
остатки от деления суммы двух любых
чисел из Z4 на число 4 и произведения
двух соответствующих им чисел из N6
на 5 также являются соответствующи-
ми друг другу элементами Z4 и N4,
Например, (3 + 2) ; 4=1 (ост. 1)
на множестве Z4;
(3 • 4) : 5 — 2 (ост. 2) на множестве Nt.
Стрелочная схема данной ситуации
хорошо иллюстрирует эту закономер-
ность (рио. 135).
5) Теперь учащиеся могут проверить выполнимость данной за-
кономерности для других пар соответствующих друг другу элемен-
тов множеств Zn и (например, для п = 7, 11).
Остается сформулировать определение изоморфизма множеств
относительно определенных на них отношений.
Пусть даны два различных или совпадающих множества Е и F.
Пусть на множестве Е определено некоторое отношение т, а на
множестве F определено отношение R. Изоморфизмом множеств
Е и F относительно данных отношений называется такое обрати-
мое отображение <р, что Va, b £ Е: (cab) « ф (а) 7?ф (6).
В этом случае говорят, что множества Е и F изоморфны отно-
сительно отношений т и R.
Далее можно рассмотреть изоморфизм множеств относительно
определенных на них алгебраических операций. Изложение этого
вопроса можно построить индуктивно (так как это сделано при
рассмотрении изоморфизма относительно отношений). Если этот
вопрос изучается школьниками IX—X классов, его лучше изло-
жить дедуктивно (самим учителем).
Изложение его можно провести так: начать с общего определе-
ния изоморфизма относительно операции, а затем проиллюстри-
ровать такой изоморфизм на конкретных примерах.
Пусть имеется два различных или совпадающих множества Е
и F, и пусть на множестве Е определена алгебраическая операция
(внутренний закон композиции) Т, а на F — алгебраическая опе-
рация х» Изоморфизмом множества Е на F относительно этих опе-
раций называется такое обратимое отображение f множества Е на
F, что Va, b € Е : f (aTb) =f (а) X / (Ь).
В этом случае говорят, что множества Е и F изоморфны относи-
тельно операций Г и 1.
Приведем примеры такого изоморфизма множеств.
1. Е — множество целых чисел, операция Т — сложение;
F —множество чисел вида 3" (где п С Е) и операция х — умноже-
ние. Отображение f: п-*-Зп есть изоморфизм, так как: а) п +
+ m -> 3n+m = 3" • 3m, т. е. f (n + m) = f (n) • f (m); б) это
отображение обратимо: 3m =3n +> tn = n.
434
2. Пусть Е — множество положительных действительных чи-
сел, операция Т — умножение; F — множество всех действитель-
ных чисел, а операция х— сложение. Отображение х~>1пх,
т. е. f ( х) = In х есть изоморфизм. Действительно; 1) In (х • у) =
= In х 4* In у\ 2) это отображение обратимо: In х = In у => х = у.
Изоморфизм позволяет заменить одну операцию, определенную
в множестве Е, операцией в изоморфном множестве F, что является
особенно полезным в том случае, когда операция, определенная
в F, более проста, чем операция, определенная в Е.
Именно на идее изоморфизма основана возможность замены вычис-
лений с положительными числами соответствующими вычислениями
с их логарифмами. При этой замене удается вместо умножения чисел
проводить сложение их логарифмов и т. п. и тем самым значительно
облегчить вычисления.
3. Пусть Е — множество комплексных чисел, a F — множество
неотрицательных действительных чисел. Рассмотрим отображение
f : а -»• |а| (а £ £). Это отображение не является изоморфным
относительно операций умножения.
В самом деле, соответствие между результатами операций
f (а • Ь) = / (а) • f (&) имеет место, так как |а • Ь| = |а| • |Ь|.
Например, если а = 4 4- 31 и Ь = 2 — 2i, то а • b = 14—21,
|а| = 5, |&| = 2 • ]/2, |а • 6| = 10 Однако отображение
f : а -> | а | не является обратимым, так как импликация | а | =
= | b | => а — b не имеет места.
В заключение полезно указать учащимся на тесную связь меж-
ду алгебраической операцией и отношением, определенными на
некотором множестве Е.
Всякую бинарную операцию f, определенную в Е, можно пред-
ставить в виде трехместного (тернарного) отношения tf, удовлетво-
ряющего следующим условиям:
V х, у£ Е, 3 и С £ | (х, у, и) Е V
и
V х, у, Ui, иг С Е: [(х. у,иг) Д (х, у, ы2) € ч =$> щ = и2].
(1)
(2)
Справедливо и обратное положение: если тернарное отношение
tf удовлетворяет условиям (1) и (2), то оно может быть представ-
лено в виде бинарной операции в Е.
Понятно, что соответствующая закономерность должна быть
рассмотрена на простейших примерах.
Вот один из таких примеров. Бинарную алгебраическую опе-
рацию «сложение» на множестве натуральных чисел (а 4- b — с)
можно рассматривать как тернарное отношение натуральных чисел
(а, Ъ, с) таких, что с = а + Ь. Так, если имеем: 2 + 3 = 5, то
заменяющее эту операцию отношение установлено на тройке чисел
(2,3, 5), где третье число равно сумме первых двух.
В силу этого изоморфизм множеств иногда рассматривают лишь от-
носительно определенных на этих множествах операций (включая,
435
таким образом, в число операций соответствующие им отноше-
ния).
Для того чтобы проиллюстрировать этот факт, можно вернуться
к ситуации, с помощью которой вводилось понятие изоморфизма,
т. е. к рассмотрению множеств Zn и Nn.
Отношение тл представим как алгебраическую операцию, кото-
рую назовем «сложением» и обозначим знаком ф.
Определим эту операцию следующим образом:

х®у-и=
х + у, если (х 4- у) G Zn‘,
х + у — п, если (х + у) g Z„.
Отношение Rn представим как алгебраическую операцию, которую
назовем «умножением» и обозначим знаком 0.
Определим эту операцию следующим образом:
V х £Nn,
Vy£Nn: x(z)y--=t =
’ х* у, если (х • у)€Nn-,
г — остаток от деления (х • у)
, на (n + 1), если (х* у) £ Nn.
Мы видим, что в этом случае отношение «между» в тройке эле-
ментов (х, у, и) £ Zn (или Мя) заменено бинарной операцией
Дх, У) — и на тех же множествах.
Для того чтобы учащиеся усвоили эти определения «сложения»
и «умножения», полезно предложить им такие упражнения:
1) Выполнить «сложение» в Z12:
а) 2 ф 4; б) 6 ф 7; в) 10 ф 11.
Приведем решение:
а) 2 4- 4 = 6 € Zia, поэтому 2 ф ,4 = 6;
в) 10 + 11 = 21 g Zla, поэтому 10 ® 11 = 10 4* 11—12, или
10 ф 11 = 9.
2) Выполнить «умножение» в Д\2:
а) 2 0 4; б) 5 © 6; в) 7 0 11.
Приведем решение:
а) 2 • 4 = 8 ф Nn, поэтому 2 0 4 = 8;
в) 7 • 11 = 77 g N12, поэтому 77 : 13 = 5 (ост. 12).
Итак, 7 © 11 = 12.
Для того чтобы проиллюстрировать пользу изучения изомор-
физма и возможность перехода от одного множества к другому,
ему изоморфному, для более простого решения многих задач, мож-
но рассмотреть следующий пример. I
Составим таблицу пар соответствующих элементов JVxa и Zxa:
8 9 10 11
3 8 10 7
12
6
Пусть нужно выполнить «умножение» чисел 7 и 8 в Af12. Можно ре-
шить эту задачу непосредственно так, как делалось ранее. Но так
436
как множества Ni2 и Z12 изоморфны, можно заменить «умножение»
чисел 7 и 8 в N12 «сложением» их образов в Z12. Для того чтобы
.осуществить это, нужно найти образы чисел 7 и 8 из N12 в множест-
ве Z12 (находим по таблице соответственно числа 11 и 3), выполняем
«сложение»: 11 ф 3 = 11 + 3—12, так как 11 4- 3 = 14 £ ZM; тог-
да 11 ф 3 — 2. Теперь отыскиваем (по таблице) в множестве
прообраз числа 2 (число 4).
Таким образом, мы действуем по схеме:
Теперь можно перейти к решению задач.
1) Используя изоморфизм множеств N12 и Z12, выполнить
«умножение» 3 О 11.
2) Решить уравнения, областью определения которых является
множество Л^12.
а) 2 0 х = 6; б) 8 0 х = 7; в) 5 0 х = 11; г) х 0 х — 12;
Д) х 0 х = 5; е) 2 0 х 0 х = 5; ж) х 0 х 0 х = 1.
Приведем решение некоторых «уравнений».
Пусть 1 ф y£Zlit тогда 1 ф у = 1 + у; 14-
4- У = 5, откуда у = 46Zxa. Пусть 1 ® у £
g Z12, тогда 1 ®у = 1 +у— 12; 1 +у —
— 12 = 5, откуда у = 16 Z12. Решения
нет. Итак, у = 4, а потому х — 3 (находим
по таблице).
Пусть 9 0 у 6Z12, тогда 9 ф у = 9 4- у\
9 4-0 = 7, откуда у = — 2 £ ZM.
Решения нет. Пусть 9 ф у & Z,», тогда
9®у = 9 4-0—12; 9 4-р—12 = 7,
откуда 0= 10£Z12.
Итак, 0=10, а потому х = 10.
Пусть 0©0£Z12, тогда 0ф0 = 04-0;
0 4-0 = 6, откуда у = 36 Z12.
Пусть 0 ф 0 £ Zia, тогда у®у=у+у—
— 12; 0 4-0—12 = 6, откуда у = 96Z„.
Итак, у! = 3, тогда xt = 8; у2 = 9,
тогда ха = 5.
Проверка: 80 8= 12, так как 8 « 8 =
= 64 g Nl2,
64:13 = 4 (ост. 12).
5 0 5== 12, так как 5 • 5 = 25 Л\2
25:13 = 1 (ост. 12).
437
y®y^Zn, тогда y®y = y + y\
2у = 9; 9 не делится на 2.
Решения нет.
У Ф У %. zi2, тогда у © у = у + у~ 12;
у У — 12 = 9; 2у = 21; 21 не делится
на 2.
Решения нет.
3) В Af12 найти 812 = ?; 512 = ? Показать, что Vx б ^12: *12 = Ь
4) В (Z12, ф) справедливо, что Vx £ Z123//|\х + У “ 0. Какое
свойство, аналогичное данному, можно установить для (N^
О)?
Отметим, что более общее определение изоморфизма читатель
может найти в книге [1.72]. Там же приведено немало интересных
примеров изоморфизма, которые можно использовать при рассмот-
рении этого вопроса со школьниками.
3. 2, В настоящее время понятие изоморфизма находит широ-
кое применение в педагогике. Как известно, одним из ведущих
дидактических принципов является принцип наглядности. Извест-
но также, что этот принцип подвергся существенным дополнениям,
связанным с эволюцией педагогической психологии и дидактики.
В частности, в практике обучения математике созерцательная на-
глядность уступила место наглядности оперативной (наблюдения
за моделями все больше стали заменяться в обучении практической
деятельностью школьников с моделями изучаемых объектов).
Принцип наглядности подвергся изменениям и в другом аспекте.
Если раньше высшей ступенью наглядности считалась непос-
редственная демонстрация изучаемого в школе явления или демон-
страция предметной модели того или иного математического поня-
тия, то в современном обучении все большее значение уделяется
структурным моделям: схемам, графикам, диаграммам и т. п., т. е.
моделям, которые могут передать сущность изучаемого объекта,
продемонстрировать наиболее характерные его свойства, на такого
рода моделях несущественные свойства изучаемого объекта ненаб-
людаемы. Иными словами, эффективные средства наглядности
в обучении все более и более стали приобретать характер математи-
ческих моделей.
Для того чтобы используемая в процессе обучения математике
(и не только в обучении математике) модель служила эффективным
средством улучшения качества обучения, она должна удовлетворять
определенным дидактическим требованиям. Важнейшие из них:
1) модель должна изоморфно отражать существенные
черты изучаемого объекта;
2) модель должна упрощать изучаемый объект, отражать лишь
те свойства этого объекта, которые рассматриваются на данном
этапе обучения.
«Обе стороны — правильное, изоморфное о т -
р а ж е н и е существенных черт явления и простота в о -
438
вприятия — являются неотъемлемыми признаками нагляд-
ности» ([1. 72}, с. 9).
Можно смело сказать, что в процессе школьного обучения изо-
морфизм множеств используется на каждом шагу, начиная от при-
менения предметных моделей и кончая стрелочными схемами, гра-
фиками и схематическими рисунками.
$ 4. ИЗУЧЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА КРУЖКОВЫХ
И ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ
4.1. Целесообразность изучения элементов теории групп в
школе.
4.2. Изучение простейших теоретико-групповых понятий на
внеклассных занятиях в IV—V классах.
4.3. Изучение простейших теоретико-групповых понятий на
внеклассных занятиях в VI—VII классах.
4.4. Элементы теории групп на внеклассных занятиях в VIII—
IX классах.
4.5. Элементы теории групп на кружковых и факультативных
занятиях в IX—X классах.
4.1. Как известно, группа является примером структуры, име-
ющей наиболее богатые приложения в различных областях науки
и техники.
'^Структура группы является не только структурой, представ-
ляющей большой научный интерес, но и структурой, имеющей про-
стые интерпретации на конечных множествах. К тому же структура
группы часто встречается в школьном курсе математики. Достаточ-
но сказать, что понятие группы перемещений включено (хотя и в не-
явном виде) в курс геометрии восьмилетней школы.
Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы тео-
рии групп целее
кед
разно рассматривать в школе в качестве первого
и основного примера математической структуры, например:
1) Существует большое число простых и конкретных систем,
иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам
материале, причем многие из них являются весьма наглядными.
2) Аксиоматика группы может быть легко установлена школь-
никами индуктивно, посредством изучения одной из иллюстрирую-
щих ее конкретных систем.
3) Многие дедуктивные вывода из аксиом группы просты и
изящны. К тому же учащимся, испытывающим определенные за-
труднения при чисто абстрактном исследовании, часто помогает
сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном
и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой.
4) Весьма небольшое число аксиом оказывается достаточным
Для рассмотрения разных теорем, сразу приводящих к интерес-
ным результатам.
439
При этом имеет смысл не просто озна-
комление школьников с некоторыми лю-
н ч
____ ____ бопытными вопросами, а систематическая
и планомерная работа, завершаемая лишь
Н Ч Н на уровне старших классов.
4.2, Целенаправленную последователь-
u н ц____ную работу по изучению структуры груп-
ч пы можно провести по таким этапам:
Рис 136 I этап (IV—V классы) — эксперимен-
тальный (содержательный).
II этап (VI—VII классы) — индуктивный.
III этап (VIII—IX классы) — аксиоматизация.
IV этап (IX—X классы) — дедуктивный.
Охарактеризуем методику изучения понятия группы на каждом
из этих этапов. В IV—V классах изучение каждого теоретического
вопроса необходимо начинать с постановки простейших конкрет-
ных задач и упражнений. К числу таких задач и упражнений от-
носятся, например, игры с перестановками элементов множеств,
изучение симметрии и других отображений геометрических фигур,
«арифметика остатков» и т. д. Решение этих задач, естественно,
приведет школьников к построению конечных групповых таблиц.
Рассмотрим один из примеров такого вида занятий:
а) Учащимся предлагается рассмотреть таблицу (рис. 136),
содержащую буквы Н и Ч. В углу таблицы поставлен знак (-{-).
Указывается, что буквой Н обозначены нечетные (целые неот-
рицательные) числа, а буквой Ч — четные. Знак (+) обозначает из-
вестную школьникам операцию сложения.
Предлагается, работая с таблицей, сложить нечетное число Н
(первая строка) с нечетным числом Н (первый столбец). Результат
сложения находится на пересечении первой строки и первого
столбца (Ч).
Учащиеся записывают:
Н (нечетное число) + Н (нечетное число) = Ч (четному числу).
Конечно, учащимся тщательно разъясняется, в каком смысле
следует здесь понимать слово «равняется» и знак «=».
При дальнейшем рассмотрении таблицы учащиеся обнаружива-
ют, что Н + Ч = Н; Ч + Н = Н; Ч + Ч = Ч.
Так как при прибавлении элемента Ч (четного числа) к любому
из элементов Н и Ч (нечетному или четному числу) результат равен
первому слагаемому, то элемент Ч (четное число) называется нейт-
ральным элементом в данном сложении.
В арифметике при сложении неотрицательных целых чисел ней-
тральным элементом является число нуль, так как п + 0 = п;
учащимся предлагается убедиться в этом на примерах.
Затем учащиеся возвращаются к изучению сложения элементов
Н и Ч по таблице.
Учитель предлагает им установить, какими свойствами обладает
это сложение.
440
Сравнивая результаты сложения Н +
4- Ч = Н и Ч 4- Н =Н, учащиеся лег-
ко устанавливают, что сложение элемен-
тов Ч и Н обладает свойством перемес-
тительности:
Н -Ь Ч = Ч + Н.
Рис. 137.
Рис. 139.
Учитель отмечает, что существует мно-
го других свойств сложения элементов
Н и Ч, которые можно продемонстрировать
по этой таблице, но предлагает ограничить-
ся пока запоминанием существования ней-
трального элемента и переместительного
свойства сложения.
б) Учащимся предлагается картонная
модель квадрата с отверстием (проколом)
в центре этой модели (рис. 137) и незапол-
ненная таблица (рис. 138), на которой
также представлены два элемента (обозна-
ченные буквами А и В) и знак операции
(-»-) в углу таблицы.
Пусть «А» означает, что некоторый
квадрат повернулся на 180° относительно
своего центра О (рис. 139). «В» означает,
что квадрат повернулся на 360°. Знак ->
означает последовательное проведение
двух поворотов, стрелка знака указывает по-
рядок выполнения этих поворотов квадрата.
Например, А -+• В = А означает, что сначала квадрат повер-
нулся на 180° (А), а затем на 360° (В). В результате последователь-
ного выполнения этих поворотов квадрат оказался в том же поло-
жении, в какое он перешел бы, если бы его повернули вокруг цент-
ра «О» на 180° (Л).
Учащимся предлагается положить модель квадрата на лист
бумаги, обвести его контур карандашом и обозначить вершины
квадрата буквами. Затем вставить иголку циркуля в отверстие
модели и произвести поворот квадрата в соответствии с записью:
А -> В = А.
Затем перед учащимися ставится задание изменить порядок
поворота и установить, изменится ли результат.
Вращая модель квадрата, учащиеся устанавливают, что А -►
В — А и В А — А, а поэтому А -> В = В —> А. Таким
образом, устанавливается, что для операции «-» также справед-
ливо переместительное свойство.
В процессе выполнения" подобных заданий постепенно заполня-
ется таблица. Изучение этой таблицы и опытная проверка показы-
вают, что поворот «В» является нейтральным элементом операции

441
Рис. 140.
Учитель подчеркивает, что элементы
«Л» и «В» уже не являются числами и опе-
рации, обозначенной знаком -> , в ариф-
метике нет.
в) Теперь учитель предлагает обратить-
ся к рассмотрению третьей таблицы
(рис. 140), на которой изображены две
фигуры (треугольник и круг) и знак опе-
рации (*) в углу таблицы.
Учитель указывает, что в этом случае
изображениям фигур А и О не припи-
сывается никакого конкретного содержания (оно может быть са-
мым разнообразным). Знак * обозначает какое-то действие, вы-
раженное в таблице, говорящее лишь о том, что если элемент А
сгруппировать о элементом Д, то мы получим элемент О. Запи-
сывается это так:
Д * Д =О-
Изучая эту таблицу, учащиеся устанавливают следующие свой-
ства: Д*О = Д;О*Д = Д, а поэтому Д *О = О* Д.
А также
0*0 = 0
Д*О = Д*
Таким образом, «круг» является нейтральным элементом для
этой операции.
Далее подводится итог проделанной работы, отмечается,
что на данном занятии были рассмотрены три различные таб-
лицы.
Первая была связана со сложением чисел, вторая — о враще-
нием квадрата, а третья связана с абстрактной операцией над
произвольными элементами. Несмотря на различие и в элементах,
и в операциях, множества и операции, определенные этими табли-
цами, обладают общими свойствами: существует нейтральный эле-
мент и выполняется переместительный закон.
Учитель подчеркивает, что третья таблица представляет собой
простейшую математическую структуру, а первая и вторая являют-
ся конкретными примерами (представителями) этой структуры,
они указывают на то, что вместо изучения конкретных множеств
и операций можно, изучая их математическую структуру, выя-
вить основные свойства, общие для них всех.
В заключение учащимся предлагается несколько упражне-
ний:
1. Рассмотреть множество {—1, 1} и операцию «умножение»
(•). Составить и заполнить таблицу. Установить, обладает ли
умножение чисел 1 и —1 свойством переместительности. Сущест-
вует ли здесь нейтральный элемент?
442
2. Придумать пример к третьей таблице.
Примеры бесконечных групп лучше вво-
дить на втором этапе, при рассмотрении со-
ответствующих вопросов программы: при
изучении сложения векторов, умножения по-
ложительных рациональных чисел, симметрии
окружностей и т. д.
4,3, Содержательный этап в изучении это-
го вопроса постепенно переходит в индук-
тивный этап, на котором характеристические
свойства структуры группы начинают выяв-
ляться более полно и рассматриваются в об-
щем виде.
На этом этапе школьники должны значи-
тельно расширить имеющийся у них запас
Рис. 141.
примеров, иллюстрирующих структуру груп-
пы. При этом характер конкретных множеств и операций, рассмат-
риваемых учащимися, должен быть как можно более разнообраз-
ным. Основной целью рассмотрения всех этих примеров должно
быть установление для них общих свойств операций и проверка
справедливости этих свойств для каждого конкретного множества
и определенной на нем операции. Следует рекомендовать учащим-
ся записывать обнаруженные свойства в общем виде, а также пос-
тепенно переходить от табличной формы записи результатов опе-
рации к обычной. Полезно как можно шире использовать примеры,
непосредственно относящиеся к программному материалу (число-
вые множества и арифметические действия, отображения и компо-
зиции отображений и т. п.). Помимо этого, можно использовать и
другие примеры, в том числе и примеры нематематического содер-
жания.
Учитель может найти богатый содержательный материал в кни-
ге И. Гроссмана, В. Магнуса «Группы и их графы» (М., «Мир», 1971).
Так как учащиеся, помимо групп, неявно знакомятся и с други-
ми структурами, то они начинают понимать, что некоторые часто
встречающиеся свойства операций (например, коммутативность)
для отдельных операций могут и не иметь места.
Хорошцм тому примером является некоммутативность компо-
зиции перемещений.
Пусть, например Т — некоторый параллельный перенос (век-
тор), a S{ — осевая симметрия (рис. 141).
а) Пусть Т (Л) =? Лх; S{ (Ах) = Л2, тогда Т о St (Л) = Л2.
б) Пусть (Л) = Л8; Т (Лз) =» Л4, тогда St°T (Л) = Л4.
Л2 =£ Л4, поэтому Т о StlA) =^SL°T (Л).
4,4 В процессе изучения конкретных примеров учащиеся уста-
навливают свойства, на которых следует сконцентрировать свое
443
внимание. Теперь они готовы к новому этапу изучения — этапу
аксиоматизации.
Поначалу перечень этих свойств может быть избыточным. Учи-
телю не следует на этом этапе ограничивать учащихся, указывая, им
на фактическое повторение одних свойств в формулировках других
свойств.
Учащиеся могут привести, например, следующий перечень основ-
ных свойств:
I. С у щ е с т в о в а н и е м н о ж е е т в а «элементов» и опе-
рации (обозначенной *), посредством которой комбинируются пары
элементов.
П. Существо в ание нейтрального элемён-
т а. Оно становится особенно очевидным при рассмотрении конеч-
ных множеств, когда пары элементов и результаты операции рас-
полагаются в форме таблицы: строка и столбец, соответствующие
нейтральному элементу, в таком случае становятся тождествен-
ными (идентичными) с противоположным «краем» таблицы.
III. Существование единственных элемен-
тов х и у таких, что для данных элементов р и q
p*x = q и y*p = q.
Для операции ♦, заданной на конечных множествах, это также
легко усматривается из таблицы результатов операции. Каждый
элемент появляется всего один раз в каждой строке таблицы и один
раз в каждом столбце.
IV. Можно обнаружить особый случай проявления свойства III,
когда q является нейтральным элементом е. Тогда элементы к и у
обращаются в один и тот же элемент р , противоположный
(обратный) элементу р:
<
р ♦ р~1 — е и р~1 ♦ р = е.
Существование этого элемента особенно очевидно при рассмот-
рении множества отображений плоскости на себя и перестановок.
V. Опер ация*«замыкает» множество, т. е. ее
результат всегда является элементом того же множества. Это свой-
ство легко выясняется, например, при обсуждении вопроса о том,
всегда ли композиция двух осевых симметрий является осевой сим-
метрией, а также при заполнении групповой таблицы.
VI. Свойство ассоциативности опера-
ции», играющее значительную роль в построении структуры
группы, не столь очевидно, и потому его можно вводить лишь тог-
да, когда в этом появится прямая необходимость. Правда, это свой-
ство знакомо учащимся, и потому оно может быть обнаружено ими
достаточно рано.
Выявлением указанных выше свойств и можно завершить в
восьмилетней школе начало этапа аксиоматизации.
В IX—X классах начинается новый этап изучения — этап яв-
ной аксиоматизации.
444
Возвращаясь на этом этапе изучения к обзору выявленных ра-
цее свойств структуры группы, учащиеся уже смогут обнаружить,
что свойство III частично совпадает со свойством IV и свойством I,
Что следует сформулировать совместно свойства I и V.
Поиски правильной формулировки уже знакомых ранее аксиом
/Должны вызвать полезное их обсуждение, которое само по себе
является существенной частью формирования у учащихся правиль-
ных представлений об аксиоматическом методе.
Таким образом, в процессе конструктивной учебной деятель-
ности школьников может быть создан перечень аксиом, определя-
ющих эту важную структуру. Именно группа G есть множество
элементов произвольной природа с определенной на этом мно-
жестве произвольной операцией *, которая удовлетворяет следую-
щей системе аксиом:
Аксиома 1. xQG/\y£G=^x*y^G.
Аксиома 2. В G существует элемент е такой, что для лю-
бого элемента х из G:
а) е * х = х и б) х * е = х.
Или короче: Vx£Gle£G\e*x = х*е — х.
Аксиома 3. Если р Q G, то существует элемент р-1 из G
такой, что:
а) р * р~г — е и б) р~' * р = е.
Или короче: Vp€G3p~£G]p*p~' = р~1*р — е.
Аксиома 4. Vx, у, z£G :х* (y*z) = (x*y)*z.
Для наиболее эффективного ознакомления школьников с акси
оматическим методом (и в частности, с понятием группы) полезно
постоянно обращать их внимание на сходные друг с другом матема-
тические системы, в которых не все уже известные им аксиомы
группы выполнены.
Тем самым значение аксиом и их место в построении дедуктив-
ной теории становится школьникам более понятным.
Подходящими тому примерами множеств с определенными на
них одной или двумя операциями, но не являющихся группами,
могут быть следующие:
k 1) Положительные целые числа с операцией умножения. Здесь
выполняются аксиомы 1,2, но не выполняется аксиома 3. Уравне-
ние ах = b не всегда разрешимо.
। 2) Повороты- плоскости с определенной на этом множестве
операцией композиции поворотов не образуют группы, так как
композиция двух поворотов может не оказаться поворотом.
В этом случае выполняются аксиомы 2, 3, 4 (при условии, если
мы включим в рассмотрение повороты на 0°), но не удовлетворяется
аксиома 1.
Отметим, что множество поворотов и векторов группу образует.
Образует группу и множество поворотов с общим центром.
445
3) Множество (U, 1, z, <5, ...J с операцией ~ такой, что x ~ у
означает | x — у |. Аксиомы 1, 2, 3 здесь выполняются, а аксиома
4 нет.
Эти примеры показывают, что аксиомы, определяющие группу,
независимы. На это обстоятельство полезно обратить внимание
учащихся.
Полезно также ознакомить школьников с другими алгебраи-
ческими структурами, непосредственно связанными с понятием
группы. При этом можно вводить ту или иную структуру явным
ее определением, сопровождая его простейшими конкретными при-
мерами.
Можно рассмотреть следующие структуры.
1) Структура группоида (S, *), которая определяется как мно-
жество S с заданной на нем операцией *, с единственным требова-
нием — замкнутости S относительно *.
Пример. Если S = {0, 1), то {S,*} — группоид, a (S,+) — не
группоид, так как, например, I + 1 = 2 g S.
2) Структура полугруппы, которая определяется как группоид
с операцией #, удовлетворяющей свойству ассоциативности.
Пример, а) Если N — множество натуральных чисел, то
(ЛГ, +) и (У, ♦) — полугруппы.
б) Множество натуральных чисел с операцией возведения в сте-
пень не является полугруппой: (23)4 ф 2<3\
3) Структура абелевой полугруппы, которая определяется как
полугруппа с операцией *, удовлетворяющей свойству коммута-
тивности.
Пример, a) (N, +) и (У, •) — абелевы полугруппы.
б) Если Zz — множество четных чисел без 0 с операцией умноже-
ния, то (Z, •) — абелева полугруппа.
в) Множество функций вида f (х) = ах + &, где a Q R и b £ /?,
a Ф 0, с операцией ф If (х)1 не является абелевой полугруппой.
В самом деле, пусть, например, f(x) = 2x4-1, а ф(х) =
= — 2х + 3. Тогда <р [f (х)] ~ <р (2х 4~ 1) = — 2 • (2х 4- 1) + 3 =
= — 4х + 1, a f [ф (*)1 = f (— 2х + 3) = 2 (— 2х 4~ 3) 4- 1 = — 4х 4~
4- 7. Следовательно, У х £ R: ф [/ (х)] =/= f [ф (х)].
4) Структура группы, которую можно теперь определить как
полугруппу, где для каждого ее элемента имеется нейтральный
и обратный элементы. Таким образом, структура группы получает
новое для школьников освещение.
Полезно предложить учащимся убедиться в том, что приводи-
мые здесь примеры иллюстрируют соответствующий вид структу-
ры: группоид, полугруппу, абелеву полугруппу и группу.
На этом этапе изучения полезны также упражнения такого
вида:
1) Установить, к какому из перечисленных видов структур при-
надлежит (S, *), если:
а) 5 = {1, 3, 5 ..* есть умножение.
446
в) S = {О, 1, а, b} и
110 6а
b J b I а | 1 О
г) (2л, +), где n£N.
д) (2ГП, •), где m£Z.
е*) (Р(М), U).
ж*) (Р (М), П )•
2) Доказать, что данные множества (S, ♦) являются группой^
a) (R, +); (R+, *); (а + ЬУ2, +), где a, bQZ; (a + b х
X К2, -), где a, bQR.
б) Множество показательных функций с операцией умножения,
в) Множество скольжений прямой вдоль самой себя и т. п.
4. 5. После усвоения школьниками аксиоматики группы мож-
но приступить к последнему этапу изучения — дедуктивному, во
время которого устанавливаются различные свойства, выводимые
из системы аксиом, определяющих данную структуру (многие из
этих свойств уже рассматривались учащимися ранее в конкрет-
ных интерпретациях этой структуры).
Одной из первых теорем такого рода может служить свойство
III о единственности решения уравнений p*x = quy*p = q.
К формулировке и проведению доказательства этой теоремы
учащиеся в значительной степени подготовлены, так как такую си-
туацию они уже встречали не раз при рассмотрении различных
конкретных вопросов, в частности при решении уравнений вида
3 • х = 2 « х = 4- • 2 или при решении систем линейных урав-
нений по «правилу Крамера».
447
Усмотрев, что в данной теореме эти конкретные случаи находят
свою общую формулировку, они могут приступить к проведению ее
доказательства.
1) Покажем сначала, что существует элемент группы у такой,
что р * у = q. Утверждаем, что искомый элемент у — р~~1 • q.
В самом деле,
Р*(Р ’♦?) =
= (р*р-1)*<7 =
— е*д =
Подстановка в левую часть равенства
Р*Р = <7-
Аксиома 4.
Аксиома 3(a).
— q. Аксиома 2 (а).
, 2) Докажем теперь, что элемент р-1 * q — единственное решё-
ние уравнения р ♦ у = q. Для этого допустим, что х есть решение
уравнения р ♦ у — q, и покажем, что х = р~"' * q. Действительно,
Условие.
Аксиомы 1; 3.
=> (Р-1 ♦ Р) * к = p~l *q=5>
е « х ь= р— * q
=> х = р~1 * q.
Аксиома 4.
Аксиома 3(6).
Аксиома 2(a).
В первом шаге доказательства мы установили, что элемент
р”1 ♦ q является решением уравнения р * у = q. Поэтому данное
решение единственно.
Отметим, что при проведении этого доказательства использова-
лись все групповые аксиомы.
Учитель может подчеркнуть, что система аксиом 1—4 полностью
определяет структуру группы, т. е. является достаточной для де-
дуктивного вывода всех ее остальных свойств.
Например, аксиома 3 означает, что каждый элемент группы
имеет элемент, обратный ему. Изучая эту аксиому, можно усмот-
реть такое следствие: если р * х = е и у * р — е, то х — у, Это
следствие уже можно доказать, опираясь на аксиомы 1—4:
р*х —е^
=>у*(р*х) =
=>(у*р)*х = р*е=>
=>({/*Р)*х
=>е-х = у=>
Условие.
Аксиома 1.
Аксиома 4.
Аксиома 2 (б).
Условие.
Аксиома 2 (а).
Однако для дальнейшего изучения нет необходимости в том,
чтобы все учащиеся усвоили и этот факт, и его обоснование. На дан-
448
ной стадии изучения можно и не тратить много времени на изу-
чение этой теоремы, а продвигаться в изучении дальше для полу-
чения более интересных результатов.
В текст сформулированных выше групповых аксиом не вклю-
чено требование единственности нейтральных и обратных элемен-
тов группы, так как эти факты могут быть выведены дедуктивным
путем из принятых выше аксиом. Однако если такой вывод пока-
жется учителю слишком трудным для школьников, то целесообраз-
но включить эти требования в содержание соответствующих аксиом,
по крайней мере до тех пор, пока учащиеся не приобретут больше
опыта в обращении с аксиоматикой. В этом случае можно перейти
к выводу других следствий из аксиоматики группы, например
(р ♦ tf)-1 = q~l * » р~' или какого-либо другого свойства из
тех свойств, которые уже рассматривались ранее без доказательст-
ва и которые теперь уже можно доказать.
Продолжая изучение элементов теории групп на уровне IX.-X
классов, учащиеся будут все ближе знакомиться и со структурой
группы, и с другими структурами. Постепенно перед ними будет
проявляться значение общего понятия структуры, особенно после
ознакомления с общим понятием изоморфизма (и в частности, изо-
морфизма групп). Именно тогда, когда учащиеся усвоят понятие
изоморфизма, они будут готовы для восприятия абстрактного поня-
тия «математическая структура».
Понятие изоморфизма играет в теории групп одну из главных
ролей. Теория групп была бы полностью разработанной, если бы
удалось составить каталог всех возможных групп с точностью до
изоморфизма. Однако оказалось, что такой каталог составить прак-
тически невозможно.
Несмотря на то что общее понятие изоморфизма множеств отно-
сительно определенных на этих множествах операций и отношений
учащимся должно быть известно \ понятие изоморфизма групп также
лучше начинать с рассмотрения конкретных примеров и контрпри-
меров.
Предлагаемые учащимся примеры лучше давать попарно, чтобы
посредством сравнение данных множеств и операций (или отно-
шении) учащиеся устанавливали характерные признаки изомор-
физма групп (т. е. изоморфизма структур).
В качестве таких примеров можно использовать группу целых
чисел с операцией сложения (Z, +) и группу четных чисел с той же
операцией; группу (Z, 4-) и группу чисел вида 2”, где т Q Z, с опе-
рацией умножения; группу поворотов отрезка вокруг его середины
с операцией композиции поворотов и группу корней уравнения
Xs — 1 = 0 с операцией умножения и т. д.
Так, например, сравнивая таблицы результатов сложения по
модулю 2 в группе ({0,1}, 2^) и умножение поворотов отрезка
1 См. п. 3.1 из § 3 данной главы.
KJ-MI 449
вокруг его середины в группе {Е, Яо80*} при отображении f таком,
что 0 <-> Е, 1 «-» учащиеся обнаруживают, что таблицы ком-
позиций этих групп одинаковы. Если интересоваться лишь свойст-
вами указанных здесь операций независимо от природы элементов
группы, над которыми они совершаются, то окажется, что эти груп-
пы устроены одинаково по отношению к установленным в них опера-
циям.
После рассмотрения значительного числа подобных примеров
можно перейти к общему определению изоморфизма групп.
Изоморфизмом двух групп Gj и G2 называется отображение /,
удовлетворяющее условиям:
1) Va, bQGl:f (a*b) = f (a)*f 0);
Vf(a), f(6)£G2:f(a)==f(fe)=>a = &.
При этом следует обратить внимание на то, что изоморфизм двух
групп можно рассматривать двояко: во-первых, как особое свойство
каждой из этих групп и, во-вторых, как особое свойство связываю-
щего их отображения.
Опыт показывает, что элементы теории групп можно представить
также в виде целостного факультативного курса (для VIII—IX
классов), имеющего следующее содержание:
1. Отношения и функции. Алгебраические операции Ч
2. Общие определения группы. Примеры групп.
3. Группоид. Полугруппа.
4. Группы преобразований на плоскости.
5. Простейшие теоремы о группах.
6. Изоморфизм групп.
7. Группы симметрий на плоскости.
Факультативный курс «Элементы теории групп» может быть
построен и по-иному. Так, например, можно провести изучение
этого вопроса в IX классе по следующему тематическому плану:
1. Примеры, подводящие к понятию группы (2 часа).
2. Алгебраическая операция. Ее основные свойства. Определе-
ние группы (2 часа).
3. Подстановки и группа подстановок (2 часа).
4. Алгебраические структуры с одной операцией (2 часа).
5. Свойства групп, обнаруживаемые применением аксиомати-
ческого метода (2 часа).
6. Подгруппа. Подгруппы симметрических групп подстановок
(2 часа).
7. Циклические группы (2 часа).
8. Изоморфизм структур (2 часа).
9. Гомоморфизм. Нормальные подгруппы (2 часа).
10. Группы геометрических преобразований (4. часа).
1 Здесь имеется в виду систематизация и повторение соответствующих во-
просов программы курса математики, необходимых для изучения понятия группы
450
Содержание этого курса учитель может взять из следующих
источников:
1. Александров П. С. Введение в теорию групп. Изд.
2-е. М., Учпедгиз, 1951.
2. Гроссман И., Маргнус В. Группы и их графы.
М., <Мир», 1971.
3. Глейгевихт Б. Об основных понятиях общей алгебры.—
«Математика в школе», 1964, № 2.
$ 5. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ метод построения геометрии
5.1. Краткий исторический очерк.
5.2, О тенденции алгебраизации геометрии.
5.3, Сравнительная характеристика аксиоматик школьного
курса геометрии Г. Вейля и А. Н. Колмогорова.
5.1. В течение всего периода своего существования как учеб-
ного предмета курс геометрии во всех странах был построен на си-
стеме аксиом Евклида. Никакой другой учебный предмет математи-
ческого цикла не имел до последнего времени столь древней и столь
устойчивой традиции, как геометрия (достаточно сказать, что в ан-
глийской школе в первой четверти XX в. непосредственно изуча-
лись «элементы» геометрии Евклида почти по первоисточнику).
Это объяснялось тем, что геометрия Евклида рассматривалась дол-
гое время как образец дедуктивной системы.
Конечно, система аксиом Евклида не являлась логически за-
вершенной. Одним из таких недостатков аксиоматики Евклида
являлось, например, отсутствие аксиомы непрерывности. В силу
этого такой частный факт, как пересечение окружностей (одна из
первых теорем геометрии Евклида), не являлся фактом логически
обоснованным; непрерывность окружностей не была оговорена в
системе аксиом, а потому при + г2 > | О2| одна окружность
теоретически могла проходить через возможные «дырки» другой и
не пересекать ее. Иными словами, система аксиом Евклида не была
полной.
Системе аксиом Евклида были присущи и другие недостат-
ки: не были четко определены используемые в ней понятия конгру-
энтности и движения, не было аксиомы о порядке расположения
точки на прямой и т. д.
Понятно, что по мере развития математики многие ученые зани-
мались усовершенствованием логической структуры геометрии
Евклида. Сначала такие усовершенствования вносились в ее от-
дельные фрагменты, а затем Давидом Гильбертом была построена
полная система аксиом этой геометрии.
Известный итальянский математик Дж. Пеано в 1894 г. подверг
исследованию важное понятие движения, уточнив в специальной
аксиоме понятие «степени подвижности плоскости», а его ученик
15*
451
М. Пиери разработал оригинальную систему аксиом евклидовой
геометрии.
В 1882 г. немецким математиком М. Пашем была отчетливо
сформулирована одна из аксиом порядка: «Если прямая пересекает
одну какую-нибудь сторону треугольника, то она пересекает и одну
из двух других его сторон». По словам Ф. Клейна, «Евклид, у кото-
рого нет этой аксиомы, всегда вынужден возиться с различением
частных случаев при помощи чертежей, а так как он, с другой сто-
роны, придает так мало значения правильности геометрического
чертежа, то всегда приходится опасаться того, что ученик Евклида,
пользуясь неверно начерченными фигурами, придет как-нибудь к
ложным предложениям»
М. Паш разработал, кроме того, логически безупречную систему
аксиом конгруэнтности.
Оригинальная система обоснования евклидовой геометрии
была также предложена русским математиком В. Ф. Каганом.
Предложенные М. Пиери, В. Ф. Каганом и Д. Гильбертом системы
аксиом логически эквивалентны, однако каждая из них намечает
свой, отличный от двух других путь обоснования евклидовой геомет-
рии. Различия между этими аксиоматиками начинаются с перечня
неопределяемых понятий. Так, например, в качестве неопреде-
ляемых понятий в геометрии, основанной на системе аксиом М. Пие-
ри и В. Ф. Кагана, приняты лишь понятия точки Сдвижения (рас-
стояния), тогда как в аксиоматике Д. Гильберта ими являются
точки, прямые и плоскости. Однако это различие в системе неопре-
деляемых понятий уже не столь принципиально.
Более важным является различие в предлагаемых этими авто-
рами способах определения «метрической структуры» евклидовой
плоскости или пространства.
Устанавливая метрику, Д. Гильберт предлагает специальную
группу аксиом конгруэнтности отрезков и углов; М. Пиери устанав-
ливает «метрическую структуру» с помощью специальной группы
аксиом движения, а В. Ф. Каган аксиоматизирует положения,
описывающие неопределяемое понятие расстояния между точками.
Понятно, что эти три подхода приводят к одному и тому же
понятию евклидова пространства 1 2.
5.2. Из трех кратко рассмотренных .систем аксиом евклидовой
геометрии именно работа «Основания геометрии» Д. Гильберта
явилась основой построения школьного курса геометрии во многих
странах мира, в том числе и в нашей стране.
Напомним, что в «Основаниях геометрии» Д. Гильберта рас-
смотрены четыре основных отношения («принадлежность», «между»
и «конгруэнтность» для отрезков и для углов), связывающие неопре-
деляемые объекты трех родов — точки, прямые и плоскости. Сис-
1 Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II.
Геометрия. М.— Л., 1934, с. 333.
2 Смл Я г л о м И. М. «Метрические» системы обоснования геометрии и кни-
га Моиза — Даунса.— В книге [3.121], с. 598—599.
452
тема аксиом геометрии Д. Гильберта представлена пятью группами
аксиом (принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельнос-
ти и непрерывности).
Интересно отметить, что Д. Гильберт не связывает никаких
наглядных и чувственных представлений в понятиями точки, пря-
мой и плоскости. Этими терминами он обозначает произвольные
объекты, удовлетворяющие требованиям, сформулированным в
аксиомах.
Дальнейшее исследование аксиоматики Д. Гильберта и возник-
шая в результате этих исследований идея о многообразии аксио-
матических теорий построения любой (в том числе и евклидовой)
геометрии выявили определенные недостатки этой аксиоматики.
В частности, система аксиом Гильберта оказалась неудобной во
многих современных приложениях математики в силу того, что
с ее помощью осуществлялось построение только трехмерной гео-
метрии.
При переходе к геометрии с большим числом измерений систе-
ма аксиом Гильберта требовала дополнения ее новыми аксиомами,
видоизменения некоторых аксиом, причем число этих дополнений
и изменений возрастало с увеличением числа измерений рассмат-
риваемой геометрии.
Между тем так называемая n-мерная геометрия стала приобре-
тать все большее значение по мере возникновения новых возмож-
ностей в ее приложениях.
Так, например, в физике, характеризуя состояние тела опреде-
ленными параметрами, оказалось возможным рассматривать сово-
купность этих параметров в качестве точки n-мерной геометрии и
трактовать изменение параметров состояния тела как изменение
положения точки в n-мерном пространстве.
Поэтому возникла идея замены системы аксиом Д. Гильберта
более компактной и более универсальной системой.
Система аксиом n-мерной геометрии, тесно связанная с поня-
тием векторного пространства, была предложена в 1917 г. извест-
ным немецким математиком Г. Вейлем (1885—1955).
Возникшее с работами Н. Бурбаки движение за «алгебраиза-
цию> математики привело к тому, что особая роль n-мерной гео-
метрии, построенной на основе аксиоматики Г. Вейля, стала под-
черкиваться не только со стороны возможных научных приложе-
ний, но и со стороны возможной замены этой геометрией геометрии
Евклида — Гильберта как учебного предмета средней школы. Мно-
гие западные математики и педагоги стали настойчиво пропаганди-
ровать эту идею. Так, один из известных французских математиков
Ж- Дьедонне писал по этому поводу следующее:
«Обучение математике «по Евклиду) было неплохой подготов-
кой к дальнейшим занятиям математикой для современников Вие-
та или даже для современников Коши. Конечно, за два столетия,
отделяющие этих двух математиков, объем математических знанийсу-
щественно возрос и появились новые мощные методы исследования.
453
Но эти методы не требовали иных основных идей, кроме про-
странства и числа в той форме, как они были заложены еще древне-
греческими геометрами. Сегодня положение коренным образом
изменилось... в результате работ Грассмана, Кэли и др. более чем
столетней давности и в элементарной геометрии открылся, по образ-
ному выражению Г. Шоке \ «королевский путь». Отправляясь от
очень простых аксиом, в отличие от сложных аксиом Евклида —
Гильберта, можно при помощи тривиальных вычислений непосред-
ственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше
нужно было возводить леса искусственных и сложных систем тре-
угольников, чтобы во что бы то ни стало свести задачу к священным
случаям «равенства» или «подобия» треугольников — к един-
ственной основе всей традиционной техники Евклида. Непосвящен-
ному такое явление может показаться удивительным. Специалист-
математик давно уже освоился с подобным положением дел и знает,
что замена одной системы аксиом другой — эквивалентной, но
лучше подобранной — зачастую приводит к значительным упро-
щениям. Я ограничусь следующим вопросом: что же полезнее —
излагать ученикам теории, где все естественно укладывается вок-
руг нескольких простых ключевых идей, которые, кроме того,
будут основными и в их дальнейшей /чебе, или же, напротив,
оставить их лицом к лицу с неподходящим аппаратом, который
им нужно будет забыть, как только они его освоят?» 1 2
Вряд ли можно целиком и полностью соглашаться с этими выс-
казываниями Ж- Дьедонне 3. Тем не менее идеи Ж* Дьедонне уже
реализуются в школьном обучении во Франции, Бельгии и отдель-
ных школах США.
Возможность и полезность замены в школьном обучении геомет-
рии, построенной на системе аксиом Евклида — Гильберта, гео-
метрией, построенной на системе аксиом Г. Вейля, требует серьез-
ного экспериментального исследования.
Отметим, что появившиеся экспериментальные учебники гео-
метрии В. Г. Болтянского и др. [1.22] и [3.28] имеют своей целью
подготовить учащихся VI—VIII классов к изучению курса стерео-
метрии (и обобщению планиметрии) на основе аксиоматики Г. Вей-
ля, а пособие Н. М. Рогановского и А. А. Столяра 4 содержит один
из вариантов построения курса стереометрии IX класса на основе
аксиоматики, близкой к аксиоматике Г. Вейля.
В качестве основных, неопределяемых геометрических понятий
в аксиоматике Вейля принимаются понятия вектора и точки; в ка-
честве основных отношений выступают сумма векторов, произведение
1 См. [3.167].
в Дьедонне Ж- Линейная алгебра и элементарная геометрия. М., 1972,
с. 11—12, 14—15.
s См. по этому поводу цитируемую ранее статью А. Тома.
4 См.: Рогановский Н. М., Столяр А. А. Векторное построение сте-
реометрии. Минск, «Народная асвета», 1974.
454
вектора на действительное число, скалярное произведение векторов
и откладывание вектора от точки.
Понятия прямой, плоскости, равенства фигур и т. д. в геомет-
рии, построенной по схеме Г. Вейля, являются определяемыми.
Система аксиом по Г. Вейлю содержит 5 групп аксиом (аксиомы
сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного про-
изведения, размерности и аксиомы откладывания вектора) (см.
[3.58]).
Отметим, что при замене группы аксиом размерности аксиомой
«существует п линейно-независимых векторов, но любые (и + 1)
вектор линейно-зависимы (п — целое неотрицательное число)»,
возникает важное понятие евклидова «-мерного пространства.
Действительные евклидовы пространства разделяются на два
класса: собственно евклидовы пространства и псевдоевклидовы
пространства (играющие большую роль в теории относительности).
Собственно евклидово пространство при п — 3 представляет собой
обычную стереометрию, при п — 2 — планиметрию, при п = 1 —
геометрию прямой (лонгиметрию).
Таким образом, в системе аксиом Г. Вейля можно получить
пространства с любым фиксированным числом измерений (и вооб-
ще, изучать сразу n-мерное пространство), чем устраняется ука-
занное выше неудобство системы аксиом Д. Гильберта.
Так же, как аксиоматика Д. Гильберта, аксиоматика Г. Вейля
представлена в виде нескольких групп аксиом, которые сами по
себе (и в сочетании отдельных групп аксиом друг с другом) опре-
деляют весьма содержательную геометрию.
Так, например, группы аксиом (сложения векторов, умножения
вектора на число, размерности и откладывания вектора) и их след-
ствия определяют n-мерное аффинное пространство (аффинную
геометрию), I, II и V группы аксиом (сложения векторов, умноже-
ния вектора на число, откладывания вектора) и их следствия,
вводят векторное пространство, незначительное изменение аксиом
скалярного произведения приводит нас к псевдоевклидовой геомет-
рии (к понятию псевдоевклидового пространства); переименование
объектов связки трехмерного векторного пространства (точками
назовем «прямые» — одномерные пространства; прямыми — плос-
кости) приводит к проективной геометрии; аналогичное переиме-
нование объектов трехмерного евклидова пространства приводит к
геометрии Б. Римана, а трехмерного псевдоевклидова — к гео-
метрии Н. И. Лобачевского.
Таким образом, аксиоматика Г. Вейля по возможности разви-
тия содержащихся в ней идей значительно превосходит аксиома-
тику Д. Гильберта.
5,3, Несмотря на то что построение школьного курса геомет-
рии на основе аксиоматики Г. Вейля в настоящее время в большей
степени отвечало бы сближению школьного курса геометрии с совре-
менным состоянием геометрии как науки, большинство педаго-
гов-математиков считают такую реформу школьного курса геометрии
455
преждевременной (а может быть, и вообще . нецелесообраз-
ной).
Приведенный в главе XV данного пособия краткий анализ
курса геометрии Г. Шоке, оценка идеи алгебранзацнн школьного
курса геометрии, данная известным французским математиком
Р. Тома1, говорят о необходимости учитывать особенности разви-
вающегося мышления школьников, научно-методическую подготов-
ку учителей, а главное, массовый характер школьного обучения
геометрии. Ведь тесная связь школьного курса геометрии с сов-
ременной наукой вовсе не обязательно должна осуществляться на
уровне, доступном лишь для тех немногих выпускников школы,
которые изберут математику своей основной профессией. Необхо-
димо искать и менее сложные пути решения этой задачи.
В частности, предложенная А. Н. Колмогоровым аксиоматика
и соответствующее построение школьного курса геометрии, отвечая
принципу научности, в то же время обеспечивают выполнение Дру-
гих дидактических принципов, прежде всего принципа доступности.
С одной стороны, в построении школьного курса геометрии на
основе аксиоматики А. Н. Колмогорова сохранились все лучшие
в дидактическом отношении традиции геометрии Евклида (нагляд-
ность, простота, занимательность содержания и т. д.). С другой
стороны, выбор аксиом дал возможность представить в курсе мно-
гие важные идеи, характерные для современного развития мате-
матики (теоретико-множественная трактовка геометрических по-
нятий, идея функции (отображения), идея дедуктивного построе-
ния математики и т. п.), а также включить в курс рассмотрение
многих понятий, играющих важную роль в современной математи-
ке и ее приложениях (понятия величины, расстояния, вектора
и т. п.).
Следует отметить и такую особенность курса геометрии по
А. Н. Колмогорову, как подготовка учащихся к пониманию нали-
чия геометрий, отличных от евклидовой (геометрия Н. И. Лобачев-
ского, геометрия метрических пространств и т. д).
Кроме того, «евклидовый дух» новой школьной геометрии остав-
ляет возможность его освоения и учителями, получившими класси-
ческое математическое образование в прошлые годы.
Опыт школьного обучения геометрии по учебнику под ре-
дакцией А. Н. Колмогорова убедительно свидетельствует о преи-
муществе построения школьного курса геометрии на основе новой
аксиоматики.
Кроме того, с педагогической точки зрения аксиоматика Г. Вей-
ля страдает крупным недостатком: в ней предполагается уже пост-
роенным поле действительных чисел, чего в современном школь-
ном курсе математики не делается. Правда, то же справедливо
и для аксиоматики А. Н. Колмогорова; однако в ней это обстоя-
тельство не играет решающей роли, так как для учащихся выбор
1 См. § 2 данной главы.
456
расстояния в качестве неопределяемого понятия (вместе с соответ-
ствующими аксиомами) психологически более оправдан, чем понятие
вектора, умножение вектора на число и т. д.
Отсылая читателя к анализу аксиоматики школьного курса гео-
метрии, предложенной А. Н. Колмогоровым, к главе XV данного
пособия, отметим здесь следующее.
В современном обучении геометрии значительно повысилась
роль дедукции. Доказательства теорем, приводимые в учебнике,
как правило, хорошо аргументированы; определения понятия вво-
дятся последовательно, исходя из явно выделенного набора основ-
ных понятий (точка, прямая, расстояние); утверждения, которые
в учебнике не доказаны в силу методических соображений, выде-
ляются явно, и число их сводится к минимуму по мере изучения
курса планиметрии.
В учебнике значительное число задач призвано подкрепить
навыки дедуктивного мышления учащихся.
Все это говорит о том, что идея аксиоматического метода в на-
стоящее время представлена в школьном курсе геометрии достаточ-
но ярко и последовательно.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ МЕТОДИКИ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
По каждой из глав II части пособия здесь подобраны основные вопросы для
самостоятельного изучения студентами и последующего их обсуждения на семи-
нарских занятиях по курсу методики, указаны основные источники. Заметим,
что в список основных источников не включены как общеизвестные пособия сле-
дующих типов: программа по математике, учебник или учебное пособие, книга для
учителя, дидактические материалы.
В главе IX по каждой проблеме общей методики, кроме вопросов и источни-
ков, дана подборка методических задач. Здесь авторы отказались от конкретной
постановки таких задач и ограничились подборкой их сюжетов. Имея перечень
сюжетов, преподаватель курса сам подставит в эти сюжеты вместо переменных
их значения и получит задачи, отвечающие местным условиям. Эта подборка сю-
жетов имеет название «перечень заданий на самостоятельную работу».
1.Перечень заданий на самостоятельную работу
(по всем главам II части).
1) Составление реферата по источнику.
2) Составление реферата по двум источникам, сопоставление точек зрения,
выбор наиболее приемлемой.
3) Сравнительный анализ изложения темы (вопроса) в двух параллельных
учебных пособиях.
4) Составление библиографии по теме или вопросу школьного курса. Анноти-
рование основных источников.
5) Составление плана изучения темы школьного курса (в пределах в—12
уроков).
6) Разработка системы уроков по пункту (или параграфу) учебника или учеб-
ного пособия.
7) Наблюдение, протоколирование и анализ посещенного урока в школе/
8) Составление конспекта урока на заданную тему.
9) Разработка методики введения данного понятия.
10) Прослеживание применения введенного понятия в процессе обучения.
11) Разработка методики ознакомления с новой теоремой, поиска плана ее
доказательства и реализации найденного плана.
12) Разработка методики поиска плана решения задачи а реализации наме-
ченного плана.
13) То же относительно некоторого правила или алгоритма.
14) Прослеживание последующих применений теоремы или аксиомы.
15) То же относительно правила или алгоритма.
16) Анализ текста контрольной работы по математике.
17) Анализ результатов проведенной в классе контрольной работы по мате-
матике.
458
18) Подбор и разработка методики применения средств наглядности к уроку,
пункту учебника или теме программы.
19) То же относительно технических средств обучения,
20) То же относительно исторических сведений.
2. Вопросы и источники
К главе XI
1) Сведения о множествах в школьном курсе математики.
2) Методика формирования основных теоретико-множественных понятий в
школе.
3) Возможности формирования общего понятия отношения в школьном курсе.
4) Возможности построения множества целых неотрицательных чисел на
теоретико-множественной основе.
Источники: [2.33], [3.153], [4.3], [4.29], [4.97], [4.101], [4.138].
К главе XII
1) Последовательность расширения понятия числа в школьном курсе мате-
матики.
2) Методика изучения умножения целых неотрицательных чисел в IV классе.
3) Введение понятия отрицательного числа и сравнения рациональных чисел
в V классе.
4) Методика изучения умножения и деления обыкновенных дробей в V классе.
5) Введение понятия иррационального числа в курсе VII и IX классов.
6) Методика формирования понятия суммы действительных чисел в IX классе.
Источники: [2.4], [2.55], [3.12], [3.34], [3.103], [3.153], [4.136].
К главе XIП
1) Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями в
V классе.
2) Применение неравенств к оценке точности приближенных вычислений в
VII классе.
3) Дискуссия о терминологии начальной алгебры и ее итоги.
4) Тождественные преобразования иррациональных выражений в VII и
VIII классах.
5) Тождества в школьном курсе математики.
Источники: [1.197], [2.41], [3.30], [3.138], [4.42], [4.69], [4.70], [4.71],
[4.88], [3.84].
К главе XIV
1) Эволюция понятия функции в математике и в школьном курсе*
2) Методика формирования понятия функции (отображения) в курсе матема-
тики VI класса.
3) Изучение квадратной функции в школьном курсе математики.
4) Изучение отображений в курсе геометрии VII класса.
Источники: [1.122], [3.43], [3.57], [3.128], [4.58], [4.59], [4.61], [4.67],
[4.68], [4.75], [4.135].
К главе XV
1) Изучение конгруэнтности треугольников в V и VI классах.
2) Методика изучения темы: «Основные понятия геометрии» в VI классе.
3) Векторы и их применение в курсе геометрии VII и VIII классов.
4) Тригонометрические функции в курсе геометрии VIII класса.
5) Изучение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в курсе гео-
метрии IX класса.
Источники: [1.57], [3.25], [3.27], [3.58], [3.59], [3.144], [3.172], [4.60],
[4.119]*
459
К главе XVI
1) Изучение уравнений и неравенств* в курсе математики IV—V классов.
2) Системы уравнений в курсе алгебры VI класса.
3) Неравенства с переменными в курсе VII или X классов.
4) Системы линейных уравнений и неравенств в курсе X класса.
5) Решение задач методом уравнений в школьном курсе математики.
Источники: [1.23], [1.1221, [2.25], [3.231, 13.29], [3.34], [3.99], [3.128],
[3.1291, [3.173], [4.72], [4.76].
К главе XVII
1) Формирование понятия предела последовательности в школьном курсе
математики.
2) Методика введения понятия производной в IX классе.
3) Методика введения понятия интеграла в школьном курсе.
4) Применение интеграла к вычислению площадей и объемов.
Источники: [1.122], [3.32], [3.73], [3.74], [3.86], [4.40], [4.50],
К главе XVIII
I) Понятие площадей плоских фигур и кривых поверхностей по А. Лебегу.
2) Изучение площади круга и его частей в школьном курсе геометрии.
3) Изучение длины окружности и дуги окружности в школьном курсе.
4) Объемы тел в школьном курсе математики.
5) Площади поверхностей тел вращения в школьном курсе геометрии.
Источники: [3.76], [3.96], [3.104], [3.112], [3.133], [4.48], [4.112].
К главе XIX
1) Система аксиом школьного курса планиметрии.
2) Система аксиом стереометрии в новых школьных учебниках.
3) Структуры кольца и поля в школьном курсе математики.
Источники: [3.79], [4.1], [4.8], [4.19], [4.47], [4.95].
ВИВЛИОГРАФИЯ
В библиографию II части пособия наряду с источниками по частным методикам
вошли некоторые источники по общей методике обучения математике. Это глав-
ным образом те книги и статьи, которые вышли в свет после сдачи в печать I части
настоящего учебного пособия.
3. Отдельные издания
1. Активизация обучения математике в сельской школе. Сб. статей. Соста-
витель Ю. М. Колягин. М., Просвещение, 1975.
2. Алгебра. Учебное пособие для VI класса. Под ред. А. И. Маркушевича.
Изд. 5-е. М., Просвещение, 1975.
3. Алгебра в VI классе. В помощь учителю. Под ред. А. И. Маркушевича.
М., Просвещение, 1972.
4. Алгебра. Учебное пособие для VII класса. Под ред. А. И. Маркушевича.
Изд. 4-е. М., Просвещение, 1975.
5. Алгебра в VII классе. В помощь учителю. Под ред. А. И. Маркушевича.
М., Просвещение, 1973.
о 6. Алгебра. Учебное пособие для 8 класса средней школы. Под ред.
А. И. Маркушевича. Изд. 4-е. М., Просвещение, 197о.
7. Алгебра в VIII классе. Пособие для учителей. Под ред. А. И. Маркуше-
вича. М., Просвещение, 1974.
8. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 класса средней школы.
Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1976.
9. Алгебра и начала анализа в 9 классе. В помощь учителю. М., Просве-
щение, 1975.
10. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса средней шко-
лы. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., Просвещение, 1976.
11. Алгебра и начала анализа в 10 классе. В помощь учителю. М., Просве-
щение, 1976.
12. Александров Б. И., Максимов В. М., Лурье М. В.,
Колесниченко А. В. Пособие по математике для поступающих в вузы.
М., Изд-во МГУ, 1972.
13. А н д р о н о в И. К», Окунев А. К. Курс тригонометрии, разви-
ваемый на основе реальных задач. Изд. 2-е, дополн. Пособие для учителей. М.,
Просвещение, 1967.
14. А н д р о н о в И. К., Окунев А. К. Арифметика рациональных
чисел. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1971.
15. А н д р о н о в И. К. Математика действительных и комплексных чи-
сел. М., Просвещение, 1975.
16. А р г у н о в Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия. Учебное
пособие для пединститутов. М., Просвещение, 1966,
461
17. Аргунов Б; Й., Е р о шк и н а’,'Л. Н. Школьный курс матема-
тики и методика его преподавания» Темы курсовых работ, МГЗПИ, М., Просве-
щение, 1972.
18. А т у т о в П. Р. Политехнический принцип в обучении школьников.
М., Педагогика, 1976.
19. Бартенев Ф. А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для
учителей. М., Просвещение, 1976.
20. Б а р ч у н о в а Ф. М., Колягин Ю. М., Ройтман П. Б.
Уроки геометрии в VIII классе. Под ред. Ю. М. Колягина. Пособие для учите-
лей. М, Просвещение, 1974.
21. Барыбин К» С. Методика преподавания алгебры. Пособие для учи-
телей восьмилетней школы. М., Просвещение, 1965.
22. Б а р ы б и н К. С. Геометрия. Учебное пособие для 9—11 классов
вечерней (сменной) школы. Изд. 7-е. М., Просвещение, 1973.
23. Б а ш м а к о в М. И. Уравнения и неравенства. Учебное руководство.
Изд. 2-е перераб. Серия «Библиотечка физико-математической школы». М.,
Наука, 1976.
24. Б е р м а н т А. Ф., Л ю с т е р н и к Л. А. Тригонометрия. Изд. IV.
М., Наука, 1967.
25. Б е с к и н Н. М. Изображения пространственных фигур. Популярные
лекции по математике, вып. 51. М., Наука, 1971.
26. Б и з а м Д., Г е р ц е г А. Игра и логика. 85 логических задач. Перев.
с венг. М., Мир, 1975.
27. Б о л т я н с к и й В. Г., Я г л о м И. М. Преобразования. Векторы.
Пособие для учителей. М., Просвещение, 1964.
28. Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д.
Геометрия. Экспериментальное учебное пособие для VII класса. М., Педагогика,
1974. *
29. Бородуля И. Т. Показательные и логарифмические уравнения и
неравенства. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1968.
30. Б р а д и с В. М. Как надо вычислять? Пособие для средней школы.
Изд. 2-е. М., Просвещение, 1965.
31. Васильев Н.Б. Математические соревнования. Геометрия. Библио-
течка ФМШ, вып. IV, серия дополнительная. М., Наука, 1974.
32. Виленкин Н. Я, Мордкович А. Г. Производная и интеграл.
Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.
33. Виленкин Н. Я- Популярная комбинаторика. М., Наука, 1975.
34. Виленкин Н. Я. Математика, 4—5 классы. Теоретические основы.
Методическая библиотека школы. М., Просвещение, 1974.
35. В и л е н к и н Н. Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учите-
лей. М., Просвещение, 1976.
36. Виленкин Н. Я., Г у тер Р. С., Шварцбурд С. И., Ов-
чинский Б. В., Ашкинузе В. Г. Алгебра. Учебное пособие для
IX—X классов с математической специализацией. Изд. 2-е. М., Просвещение,
1972.
37. Внеклассная работа по математике в 4—5 классах. Под ред. С. И.Шварц-
бур да. Серия «Методическая библиотека школы». М.» Просвещение, 1974.
38. В о л к о в В. А. Элементы линейного программирования. Пособие
для учителя. М., Просвещение, 1975.
39. Г а л к и и а М. С., Колягин Ю. М., Ройтман П, Б. Уроки
геометрии в VI—VII классах. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1972,
1973.
40. Г а р д н е р М. Математические новеллы. Перев. с англ. Под ред.
Я. А. Смородинекого. М., Мир, 1974.
41. Г а с с С. Путешествие в Страну Линейного Программирования. Перев.
с англ. М., Мир, 1973.
42. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.
Метод координат. Библиотечка ФМШ, вып. 1,изд. 4, перераб. М., Наука, 1971.
43. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э, Функ-
ции и графики. Библиотечка ФМШ, вып. I. Изд» 4-е. М., Наука, 1971,
462
44. Геометрические преобразования. Векторы и их применение в геометрии»
Энциклопедия элементарной математики» т. IV. М., Физматгнз, 1963.
45. Геометрия. Учебное пособие для 6 класса средней школы. Под ред.
А. Н. Колмогорова. Изд. 5-е. М., Просвещение, 1975.
46. Геометрия в VI классе. В помощь учителю. Под ред. А. Н. Колмогорова.
М., Просвещение, 1972.
47. Геометрия. Учебное пособие для 7 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова.
Изд. 5-е. М., Просвещение, 1976.
48. Геометрия в VII классе. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1974.
49. Геометрия. Учебное пособие для VIII класса. Под ред. А. Н. Колмого-
рова. Изд. 3-е. М., Просвещение, 1975.
50. Геометрия в VIII классе. Пособие для учителей. Под ред. А. Н. Колмо-
горова. М.» Просвещение, 1974.
51. Геометрия. Учебное пособие для IX класса. Под ред. 3. А. Скопеца.
М., Просвещение, 1975.
52. Геометрия в IX классе. Пособие для учителей. Под ред. Г. Г. Масловой.
М., Просвещение, 1975.
53. Геометрия. Учебное пособие для X класса. Под ред. 3. А. Скопеца. М.»
Просвещение, 1976.
54. Геометрия в X классе. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.
55. Глушков В. М., Гнеденко Б. В., Коронкевич А. И.
Современная культура и математика. Серия «Математика, кибернетика». М., Зна-
ние, 1975, № 8.
56. Г р а д ш т е й н И. С. Прямая н обратная теоремы. (Элементы алгеб-
ры логики). Изд. 5-е. М., Наука, 1972.
57. Графики функций. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., Выс-
шая школа, 1972.
58. Г у с е в В. А., К о л я г и н Ю. М., Луканкин Г. Л. Векторы
в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.
59. Гусев В. А., Маслова Г. Г., Скопец 3. А., Черка-
сов Р. С. Сборник задач по геометрии для 6—8 классов. Методическая библио-
тека школы. М., Просвещение, 1975.
60. Дидактические материалы по математике для IV класса. М., Просве-
щение, 1976.
61. Дидактические материалы по математике для V класса. М.» Просвеще-
ние, 1976.
62. Дидактические материалы по алгебре для VI класса. Изд. 2-е. М., Просве-
щение, 1975.
63. Дидактические материалы по геометрии для VI класса. Изд. 2-е. М,
Просвещение, 1975.
64. Дидактические материалы по алгебре для VII класса. Изд. 2-е, дополн.
М., Просвещение, 1976.
65. Дидактические материалы по геометрии для VII класса. М., Просве-
щение, 1973.
66. Дидактические материалы по алгебре для VIII класса. М., Просвещение,
1974.
67. Дидактические материалы по геометрии для VIII класса. М.» Просвеще-
ние, 1974.
68. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для IX класса.
М., Просвещение, 1975.
69. Дидактические материалы по геометрии для IX класса. М., Просвеще-
ние, 1975.
70. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для X класса.
М., Просвещение, 1976.
71. Дидактические материалы по геометрии для X класса. М., Просвеще-
ние, 1976.
72. Дополнительные главы по курсу математики VII—VIII классов. Пособие
для учащихся. Сост. К. П. Сикорский. Изд. II. М., Просвещение, 1974.
73. Дополнительные главы по курсу математики IX класса. Пособие для
учащихся, Сост» П. В. Стратилатов. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1974.
463
74. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по фак.
курсу для учащихся 10 классов. Сост. 3. А. Скопец. Изд. И. М., Просвеще-
ние, 1974.
75. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Пособие
по математике для поступающих в вузы. Учебное пособие. Изд. 5-е перераб. М.,
Наука, 1976.
76. Д у б н о в Я. С. Измерение отрезков. Под ред. и с дополн. И. М. Ягло-
ма. М., Физматгиз, 1962.
77. Д у б н о в Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. Популяр-
ные лекции по математике, вып. XI. Изд. 4-е. М., Наука, 1969
78. Е г о р о в И. П. О математических структурах. (Новое в жизни, нау-
ке, технике). Серия «Математика, кибернетика», № 5. М., Знание, 1976.
79. Е р м о л а е в а Н. А., Маслова Г. Г. Математика в восьмилетней
школе (обзор содержания). Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.
80. Из опыта преподавания математики в 4—5 классах. Сб. статей. Сост.
Э. Г. Якуба. М., Просвещение, 1974.
81. Из опыта преподавания математики (6—8 классы). Пособие для учителей.
Сост. М. Р. Леонтьева. М.» Просвещение, 1977.
82. Ирошников Н.П. Самостоятельные работы в курсе математики
IV кл. Пособие для учителей. Изд. 2-е, перераб. М., Просвещение, 1975.
83. Ирошников Н. П. Организация обучения математике в 4—5 клас-
сах сельской школы. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1977.
84. Канин Е. С. Алгебраические упражнения в 6 классе. М., Просвеще-
ние, 1975.
85. Каченовс к и й М. И., Колягин Ю. М., Луканкин Е. Л.,
Яковлев Г. Н. Математика для техникумов. Геометрия, ч. I. М., «Нау-
ка», 1976.
86. К и р и л л о в А. А. Пределы. Библиотечка ФМШ, серия дополни-
тельная. Вып. II. М., Наука, 1973.
87. К о к с т е р Г. С. М. Введение в геометрию. Перев. с англ. Под ред.
Б. А. Розенфельда и И. М. Я гл ома. М., Наука, 1966.
88. Колягин Ю. М.» Луканкин Г. Л. Основные понятия в школь-
ном курсе математики. Пособие для учителей. Под ред. А. И. Маркушевича. М.,
Просвещение, 1974.
89. Колягин 10. М., Оганесян В. А., Саннинский В.
Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе.
Общая методика. Учебное пособие для физико-математических факультетов
пединститутов. М., Просвещение, 1975.
90. К о н д а к о в Н. И. Логический словарь — справочник. Изд. 2-е,
неправ, и дополн. М., Наука, 1975.
91. Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. Пособие
для учащихся. М., Просвещение, 1975.
92. Крутецкий В. А. Психология обучения и воспитания школьни-
ков. Книга для учителя и классных руководителей. М., Просвещение, 1976.
93. Крыговская 3. Геометрия, основные свойства плоскости. Перев.
с польск. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1971.
94. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика (элементарный
очерк идей и методов). Перев. с англ. Предисловие Н. А. Колмогорова. Изд. 2-е.
М., Просвещение, 1967.
95. К э р о л л Л. История с узелками. Под ред. Я. А. Смородинского. М.,
Мир, 1973.
96. Л е б е г А. Об измерении величин. Изд. 2-е. Перев. с фрагщ. Под ред.
И^ М. Яглома, с предисл. А. Н. Колмогорова. М., Учпедгиз, 1960.
97. Линейная алгебра и геометрия. Сост. С. И. Шварцбурд. М., Просвещение,
1967.
98» Литлвуд Д. Математическая смесь. Очерки — новеллы. Перев.
с англ. Изд. III. М., Наука, 1973.
99. Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление
уравнений. Учебное руководство. М., Наука, 1976.
464
100. Ляпин ETC., Евсеев А. Е. Алгебра. Часть I. Числа. М., Про-
свещение» 1974.
101. Л я п и н СЕ. и др. Методика преподавания математики. Ч. II. По-
собие для учителей математики VIII—X классов средней школы. Л., Учпед-
гиз, 1956.
102. Малыгин К- А. Элементы историзма в преподавании математики
в средней школе. Пособие для учителей. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1963.
103. Маркушевич А. И. Действительные числа и основные принципы
теории пределов. М., АПН РСФСР, 1948.
104. Маркушевич А. И. Площади и логарифмы. Популярные лекции
по^математике. Вып. 9. М., ГТТИ, 1952.
105. Маркушевич А. И., Сикорский К. П., Черка-
сов Р. С. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие по математике.
Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1968.
106. Математика. Учебник для IV класса средней школы. Под ред. А. И. Мар-
кушевича. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1976.
107. Математика в IV классе. Методическое пособие для учителей. Под ред.
А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1975.
108. Математика. Учебник для V класса средней школы. Под ред. А. И. Мар-
кушевича. М., Просвещение, 1976.
109. Математика в V классе. Методическое пособие для учителей. Под ред.
А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1976.
110. Математика в современном мире. Перев. с англ. Предислов. В. А. Успен-
ского. М., Мир, 1967.
111, Математика и естествознание. Сост. С. И. Шварцбурд. М., Просвещение,
1969.
112. . Математика и научно-технический прогресс. Сборник статей. Серия
«Математика, кибернетика». М., Знание, № 11, 1972.
113. Математики о математике. Сборник статей. Сост. В. И. Левин. Серия
«Математика и кибернетика». М.» Знание, 1972, № 12.
114. Математическое образование сегодня. Серия «Математика и кибернети-
ка». М., Знание, № 6, 1974.
115. Математика сегодня. Сб. переводных статей. Сост. В. А. Шилейко.
Серия «Математика и кибернетика». М., Знание, 1974, № 7.
116. Математика в нашей жизни. Сб. статей. Сост. М. Н. Данилычева. Серия
«Математика и кибернетика». М., Знание, 1974, № 10.
117. Метельский Н. В. Дидактика математики. Учебное пособие для
математических факультетов вузов. Минск, Изд. Белорус, ун-та, 1975.
118. Методика начального обучения математике. Учебное пособие для сту-
дентов пединститута. Под ред. Л. Н. Скаткина. М., Просвещение, 1972.
119. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы.
Сборник статей. Под ред. А. И. Фетисова. М., Просвещение, 1967.
120. Моденов П. С. Экзаменационные задачи*по математике с анализом
их решений. М., Просвещение, 1969.
121. М о и з Э. Э., Даунс Ф. Л. Геометрия. Перев. с англ. Под ред.
И. М. Ятлома. М., Просвещение, 1972.
122. Монахов В. М. Программирование. Факультативный курс. Посо-
бие для учителя. М., Просвещение, 1974.
123. Моро М. И., Пышка л о А. М. Методика обучения математике
в I—III классах. Пособие для учителя. М., Просвещение, 1975.
124. Морозова Е. А., Петраков И. С., Скворцо'в В. А.
Международные математические олимпиады. Пособие для учащихся. Изд. 4-е, пе-
рервб. и дополн. М., Просвещение, 1976.
125. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач
с решениями. Перев. с англ. Под ред. Ю. В. Линника. Изд. 2-е, испр. М., Нау-
ка, 1975.
126. Нагибин Ф. Ф. Экстремумы. Пособие для учащихся старших клас-
сов. М., Просвещение, 1966.
127. Нечаев В. И. Числовые системы. Для физико-математических фа-
культетов пединститутов. М., Просвещение» 1975.
465
128. Окунев А. К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в
курсе математики средней школы. Пособие для учителя. М., Просвещение, 1972.
129. Орехов Ф. А. Решение задач методом составления уравнений.
Пособие для учителей восьмилетней школы. М., Просвещение, 1971.
130. Папи Ф., Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего
возраста математическим понятиям. Перев. с франц. Предисл. А. И. Маркушеви-
ча. М., Педагогика, 1974.
131. П и а ж е Ж. и др. Преподавание математики. Перев. с франц. Пособие
для учителей. М., Учпедгиз, 1960.
132. П и з о Ш., ЗаманскийМ.. Курс математики. Алгебра и анализ.
Перев. с франц. М., Наука. 1971.
133. Погорелов А. В. Элементарная геометрия. Изд. 2-е. М., Нау-
ка, 1974.
134. П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Перев. с англ.
Под ред. С. А. Яновской. Изд. 2-е, испр. М., Наука, 1975.
135. Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогиче-
ском институте. (Из опыта работы.) М.» Просвещение, 1975.
136. Преподавание математики в 4—5 классах. Сборник статей. Составители
К- И. Нешков и С. И. Шварцбурд. Методическая библиотека школы. М., Просве-
щение, 1975.
137. Программы факультативных курсов для восьмилетних и средних школ.
Математика и др. М.» Просвещение, 1976.
138. П у л ь к и н С. П. Вычислительная математика. Пособие для учите-
лей по факультативному курсу. М., Просвещение, 1972.
139. Пулькин С. П. Вычислительная математика. Пособие для учащих-
ся 9—10 классов по факультативному курсу. М., Просвещение, 1974.
140. Пышкало А. М. Методика обучения элементам геометрии в началь-
ных классах. Пособие для учителей. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1973.
141. Репьев В. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней
школе. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1967.
142. Роль и место задач в обучении математике. Сборник статей. Выпуск I
в II. Под ред. Ю. М. Колягина. Над. НИИ школ МП РСФСР. М., 1973.
143. Рыбников К. А. История математики. Изд. II. М., изд. МГУ,
1974.
144. С а р а н ц е в Г. И. Сборник задач на геометрические преобразова-
ния. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1975.
145. Саркисян А. А., Колягин Ю. М. Познакомьтесь с тополо-
гией. Книга для внеклассного чтения, VIII—X классы. М., Просвещение, 1976.
146. Сборник задач по математике. Для конкурсных экзаменов во втузы.
Под общей ред. М. И. Сканави. Изд. 2-е, дополн. М., Высшая школа, 1973.
147. Сборник задач по алгебре для 6—8 классов. Пособие для учителей.
Методическая библиотека школы. М., Просвещение, 1975.
148. Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное
программирование. М., Просвещение, 1966.
149. Соминский И. G. Метод математической индукции. Изд. 8. М.»
Наука, 1974. (Популярные лекции по математике, вып. 3).
150. СтинродН., Ч и н в У. Первые понятия топологии. Перев. с
англ. М., Мир, 1967.
151. С т р о й к Д. Я. Краткий очерк истории математики. Перев. с нем.
Изд. 2-е. М., Наука, 1969.
152. Суворова G. Б. Упражнения в обучении алгебре (6—8 классы).
Пособие для учителей. М.» Просвещение, 1977.
153. Теоретические основы начального курса математики. Учебное пособие
для педучилищ. М., Просвещение, 1974.
154. Т р и г г Ч. Задачи с изюминкой. Перев. с англ. Под ред. и с предисл.
В. И. Алексеева. М., Мир, 1975.
155. Углубленное изучение алгебры и анализа. Из опыта работы. Пособие
для учителей. Состав. С. И. Шварцбурд и О. А. Боковнев. М., Просвеще-
ние, 1977.
156/ Учебное оборудование по математике. IV класс» М,, Педагогика, 1976,
466
157. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении.
Перев. с франц. Под ред. Б. Л. Лаптева. М., Просвещение, 1967.
158. Фетисов А. И. Геометрия. Учебное пособие по программе старших
классов. М., АПН РСФСР, 1963.
159. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа.
Перев. с англ. Под ред. А. Д. Тайманова. М., Наука, 1971.
160. Философы — педагогам. Формирование научного мировоззрения в про-
цессе преподавания естеств. и математических дисциплин в средней школе. Перев.
с нем. М., Прогресс, 1976.
161. ФорР., К оф м а н А., Дени — ПапенМ. Современная мате-
матика. Перев. с франц. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., Мир, 1966.
162. Фирсов В. В., Боковнев О. А., Шварцбурд С. И. Со-
стояние и перспектива развития факультативных занятий по математике. Пособие
для учителей. М., Просвещение, 1977.
163. Функции и пределы. Энциклопедия элементарной математики, т. 111.
М., Гостехиздат, 1952.
164. Харламов И. Ф. Как активизировать учение школьников. Ди-
дактические очерки. Изд. 2. Минск, Народная асвета, 1975.
165. X у д о б и н А. И., X у д о б и н Н. И., Ill у р ш а л о в М. Ф.
Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителей.
Изд. 3-е. М., Просвещение, 1973.
166. Ш к л я р с к и й Д. О., Ченцов Н. Н., Я гл ом И. М.
Избранные задачи и теоремы элементарной математики. (Арифметика и алгебра).
Изд. 5-е, перераб. М., Наука, 1976.
167. Шоке Г. Геометрия. Перев. с франц. Под ред. И. М. Яглома. М.,
Мир, 1970.
168. Штейнгауз Г. Сто задач. Перев. с польск. Изд. 2-е. М., Наука,
1976.
169. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. Перев. с польск. Состав,
и переводчик Ю. А. Данилов. Под ред. Я. А. Смородинского. М., Мир, 1974.
170. Э д е л ь м а н С. Л. Математическая логика. Учебное пособие для сту-
дентов педагогических институтов. М., Высшая школа, 1975.
171. Э р д н и'е в П. М. Обучение математике в начальных классах.
Из опыта работы. М., Просвещение, 1977.
172. Я г д о м И. М. Элементарная геометрия прежде и теперь. Серия
«Математика и кибернетика)». М., Знание, № 10, 1972.
173. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие
параметры. М., Просвещение, 1972.
4. Статьи в журналах и сборниках
1. Абрамов А. М. Логические основы курса планиметрии. Математика
в школе, 1974, № 5.
2. Александров П. С, О призвании ученого. Математика в школе,
1969, № 3.
3. Александров П. С. Понятие множества. Математика в школе,
1972, К» 4.
4. Андронов И. К. О развитии школьного математического образова-
ния в Советском Союзе. Математика в школе, 1973, № 1.
5. Антоновский М. Я., Болтянский В. Г. Формирование
понятия объема в IV классе. Математика в школе, 1970, № 4, 6.
6. Аргинская И. И. Формирование понятия «задача». В сб.: «Обуче-
ние и развитие». Под ред. Л. В. Занкова. М., Педагогика, 1975.
7. А р г у н о в Б. И. Фигуры и уравнения. Математика в школе, 1971, №2.
8. Бельский А. А., Садовский Л. Е. Кольца. Квант, 1974, № 2»
9. Болтянский В. Г. Применение кодоскопа на уроках математики.
Математика в школе, 1971, Ns 6.
10, Болтя нский В. Г. Ках.устроена теорема? Математика * школе
1973, № 1.
11, Болтянский В. Г. Использование логической символики в рабо-
те с определениями. Математика в школе, 1973, № 5.
12. Болтянский В. Г. Анализ — поиск решения задачи. Математика
в школе, 1974, № 1.
13. Б о л т я н с к и й В. Г., Розов Н. X. Ленинская теория познания
и математические понятия. Квант, 1970, № 7.
14. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые многоугольники
и многогранники. Математика в школе, 1966, № 3.
15. Б о л т я н с к и й В. Г., Яглом И. М. Геометрия в старших клас-
сах средней школы. Математика в школе, 1969, № 4.
16. Б о л т я н с к и й В. Г., Милин Н. Я. О преподавании стереомет-
рии на основе векторной аксиоматики. Математика в школе, 1975, № 2.
17. Б р е с л е р Г. Р. Об обучении доказательству в IV классе. Математи-
ка в школе, 1974, № 5.
18. В а л е е в а И. С. К вопросу преподавания геометрии в IV—V классах.
Математика в школе, 1972, № 2.
19. Васильев Н. Б. Метрические пространства. Квант, 1970, № 10.
20. В е й ц Б. Е. Элементы теории вероятностей и комбинаторика. Мате-
матика в школе, 1968, № 6; 1969, № 1.
21. Виленкин Н. Я» Выражения, значения и числа. Математика в шко-
ле, 1975, № 1.
22. Виленкин Н. Я., Пешков К- И., Ш в а р ц б у р д С. И.
Об учебнике математики для 4 класса. Математика в школе, 1975, № 3.
23. Виленкин Н. Я., Коротина В. А. О связи некоторых поня-
тий линейной алгебры с курсом математики 4 и 5 классов. Математика в школе,
1995» № 3.
24. В и л е н к и н Н. Я», Н е ш к о в К. И., Ш в а р цб у р д С. И.
Об учебнике математики для V класса. Математика в школе, 1976, № 2.
25. В о л г и н а В. Ф. Графовый подход к закреплению геометрического
материала. Математика в школе, 1975, № 2.
26. В о л о в и ч М. Б. Серия диапозитивов «Основные геометрические по-
нятия». Математика в школе, 1972, № 1.
27. Г а с т е в Ю. А. С чего начинается логика. Квант, 1975, № 1.
2?. Г и н д и к и н С. Г. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь...
Квант, 1970, № 9.
29. Г и н з б у р г Г. А. Опыт введения понятия бинарного отношения.
Математика в школе, 1968, № 2.
30. Г л а з м а н М. С., Юдина И. Б. Коммунистическое воспитание
на уроках математики. Математика в школе, 1974, № 2.
31. Глухов М. М. Отношения эквивалентности и разбиения множеств.
Квант, 1972, № 2.
32. Г н е д е н к о Б. В. Статистическое мышление и школьное математиче-
ское образование. Математика в школе, 1968, № 1.
33. Гнеденко Б.В. Фридрих Энгельс о философских проблемах мате-
матики. Математика в школе, 1971, № 1.
34. Гнеденко Б. В. О математике в СССР за 50 лет его существования.
Математика в школе, 1972, № 6.
35. Г и е д е н к о Б. В. Политехнические аспекты преподавания матема-
тики в средней школе. Математика в школе, 1974, № 6.
36. Г н е д е н к о Б. В. Теория отражения и математика. Математика в
школе, 1975, № 4.
37. Гнеденко Б. В. О развитии мышления и речи на уроках математи-
ки. Математика в школе, 1976, № 3.
38. Г р у д е н о в Я. И. О задачах по готовым чертежам. Математика в
школе, 1971, № 6.
39. Г у б а С. Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию
математических закономерностей. Математика в школе, 1972, №3.
468
40. Г у с е вг В. А-. Из* опыта* введения понятия производной в средней
школе. Математика в школе, 1970, № 6.
41. Гу тер Р. С. Язык человека и язык машины. Квант, 1971, № 10.
42. Д е м и д о в и ч Н. Б. Вычисления, ошибки, контроль. Квант,
J973, № 2.
43. Дорофеев Г. В. Переформулировка задачи. Квант, 1974, № 1.
44. Дорофеев Г., Р о з о в Н. Чертеж в геометрической задаче. Квант,
1976, № 6.
45. Дудницын Ю. П. К методике изучения необходимых и достаточных
условии на уроках геометрии. Математика в школе, 1975, № 5.
46. Дудницын Ю. П., Ерохина Е. В., Саакян Н. Г. Пример-
ные контрольные работы по алгебре в VI—VIII классах. Математика в школе,
1975, № 5.
47. Е г о р о в И. П. Об аксиоматическом построении евклидовой геометрии
и геометрии Лобачевского. Математика в школе, 1970, № 5.
48. Ивашев-Мусатов О. С. О площадях поверхностей. Матема-
тика в школе, 1974, № 2.
49. И о н и н Ю. И. Интеграл. Квант, 1972, № 9.
50. И о н и н Ю. И. Интеграл в геометрии и физике. Квант, 1972, № 10.
51. Клопский В. М., ЯгодовскийМ. И., Скопец 3. А.
Об особенностях учебного пособия по геометрии для 9 класса. Математика в шко-
ле, 1975, № 1.
52. Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец 3. А.
Применение Векторов в курсе геометрии 9 класса. Математика в школе»
1975, № 3.
53. Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец 3. А.
Координатный метод в пространстве. Математика в школе, 1976, № 1.
54. Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец 3. А.
Решение задач на доказательство по теме «Основные понятия стереометрии. Па-
раллельность в пространстве». Математика в школе, 1976, № 2.
55. К о л м о г о р о в А. Н. Обобщение понятия степени и показательная
функция. Математика в школе, 1968, № 1.
56. Колмогоров А. Н. К изучению показательной функции и лога-
рифмов в восьмилетней школе. Математика в школе, 1968, № 2.
57. К о л м о г о р о в А. Н. Введение в теорию вероятностей и комбина-
торику. Математика в школе, 1968, К» 2.
5Й. Колмогоров А. Н. Что такое функция. Квант, 1970, № 1.
59. Колмогоров А. Н. Что такое график функции. Квант, 1970, № 2.
60. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черка-
сс в Р. С. К методике изучения темы «Параллельность и параллельный перенос»
в курсе геометрии VI класса. Математика в школе, 1973, № 1.
61. Колмогоров А. Н., Шварцбурд С. И. Тригонометрические
функции, их графики и производные в учебном пособии для X класса. Математи-
ка в школе, 1976, Ns 1.
62. Кретинин О. С. Формирование приемов обобщения и специализа-
ции в V классе.. Математика в школе, 1972, № 2.
63. Кудреватое Г. А. Сравнения. Квант, 1972, № 9.
64. Лысова Н. М. Доказательство геометрических теорем методом от
противного. Математика в школе, 1972, Ns 2.
65. Людмилов Д. С., Людмилова С. Д. Метод обучающих про-
грамм в преподавании математики. Математика в школе, 1973, № 5.
66. Лященко Е, И. Задачи с дидактическими функциями в IV—V клас-
сах. Математика в школе, 1974, Ns 1.
67. М ак а р ы ч е в Ю. Н., Пешков К. И., Семушин А. Д.
Теоретико-множественный подход при формировании понятия функции в VI клас-
се. Математика в школе, 1966, Ns 5.
68. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравнн К- Q
Функции в VI классе. Математика в школе, 1972, Ns 4.
69. Макарычев Ю. Н., Миидюк Н. Г., Муравнн К» С.
Тождественные преобразования многочленов. Математика в школе, 1973, Ns 1.
469
70. М а к а р ы че в Ю. Н., М и в дюк Н. Г., М у р а в и н К. Су-
ворова С. Б. О методике изучения темы «Дроби». Математика в школе.
1973, № 2.
71. Макарычев Ю. Н., М и в дюк Н. Г», Муравив К. С.,
Суворова С. Б. О методике изучения приближенных вычислений в VII
классе. Математика в школе, 1973, № 4.
72. М а к а р ыч ев Ю. Н., М и и дю к Н. Г.» М у р а в и н К. С., Су-
ворова С. Б. Уравнения и неравенства с двумя переменными в курсе алгеб-
ры VIII класса. Математика в школе, 1974, № 3.
73. М а к а р ы ч е в Ю. Н., М и н д ю к Н. Г., М у р а в и н К. С., Су-
ворова С. Б. Арифметическая и геометрическая прогрессии в курсе алгеб-
ры VIII класса. Математика в школе, 1974, № 4.
74. Макарычев Ю. Н., М и н д ю к Н. Г., Муравив К. С., Су-
ворова С. Б. Степень с рациональным показателем в курсе алгебры VIII клас-
са. Математика в школе, 1974, Ns 5.
75. М а к а р ы ч е в Ю. Н., М и н д ю к Н. Г.» Муравив К. С.,
Суворова С. Б. Показательная функция и логарифмы в курсе алгебры
8 класса. Математика в школе, 1975, № 1.
76. Маргулис А. Я*» Радунский Б. А. Познакомимся с линей-
ным программированием. Математика в школе, 1971,' № 4.
77. Маркушевич А. И. Преподавание в школе естественно-математи-
ческих наук и формирование научного мировоззрения. Математика в школе,
1976, № 2.
78. Маркушевич А. И. Дополнительные вопросы арифметики целых
чисел. Математика в школе, 1967, № 4.
79. Маркушевич А. И. Интегрирование. Математика в школе,
1968, № 4.
80. Маркушевич А. И. Элементы комбинаторики. Математика в шко-
ле, 1970, Ns 3.
81. Маслова Г. Г. К изучению темы «Многоугольники». Математика
в школе, 1973, № 2.
82. М е н ц и с Я- Я. О подготовке учащихся к составлению уравнений-
Математика в школе, 1973, Ns 2.
83. М и ш и н В. И. Матрицы и преобразования в средней школе. Матема-
тика в школе, 1971, Ns 6.
84. М и ш и н В. И. К методике формирования понятия подобных фигур.
Математика в школе, 1974, № 2.
85. Моисеева 3. И., Копытов Н. А., Леонтьева М. Р.
О некоторых итогах работы VI—VII классов в 1973/74 учебном году. Математика
в школе, 1974, № 5.
86. Моисеева 3. И., Глаголева Е. Г., Миндюк Н. Г. О не-
которых результатах работы восьмых классов по новым программам и учебникам.
Математика в школе, 1975, Ns 4.
87. М о н а х о в В. М. Сведения об электронных вычислительных маши-
нах. Математика в школе, 1968, Ns 1.
88. Монахов В. М. О методике изучения темы «Приближенные вычи-
сления» в VIII классе. Математика в школе, 1974, Ns 3.
89. М о с т о в о й А. И. К решению геометрических задач в VII классе»
Математика в школе, 1974, Ns I.
90. Мостовой А. И. К изучению темы «Вписанные и описанные много-
угольники». Математика в школе, 1974, № 4.
91. М у р а в и н К- С., Руденко В. Н. О настенных таблицах к учеб-
нику «Алгебра 6». Математика в школе, 1972, Ns 3.
92. М у р а в и н К. С., Руденко В. Н. О таблицах по алгебре для VII
класса. Математика в школе, 1975, Ns 6.
93. Мышкис А., Садовский Л. Прикладная математика. Квант,
1976, № 6.
94. Н а г и б и н Ф, Ф, Скользящая симметрия. Математика в школе,
1974, Ns 4.
470
95. Нечаев В. И. Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры
с одной и двумя бинарными операциями. Математика в школе, 1973, № 5.
96. Об изучении математики в IX классе. Методическое письмо. Математика
в школе, 1975, № 6; 1976, Xs 4.
97. О б и д н ы к С. Т. Об изучении двуместных отношений на занятиях
кружка. Математика в школе, 1975, № 3.
98. О л о н и ч е в П. М- Об определениях решения уравнения и неравенст-
ва с несколькими неизвестными и функции многих переменных. Математика в
школе, 1972, № 5.
99. О л о н и ч е в П. М. Как мы говорим о числе в школьной математике.
Математика в школе, 1973, Хэ 5.
100. П а п и Ж. Геометрия в современном преподавании математики. Мате-
матика в школе, 1967, Xs I.
101. Петрушин П. К- Отношения между множествами в курсе VII клас-
са. Математика в школе, 1976, Xs 3.
102. Петров В. М. Использование учебных диафильмов. Математика в
школе, 1973, Xs 1.
103. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия. Вопросы
психологии, 1966, Xs 4.
104. П и к а н В. В. Тригонометрические функции в VIII классе. Матема-
тика в школе, 1974, № 5.
105. Поллак X. О. Как мы можем научить приложениям математики.
Математика в школе, 1971, Xs 2.
106. Полякова Т. Н. Нужна ли «проверка» при решении тестовых
задач на составление уравнений? Математика в школе, 1971, Xs 1.
107. Потоцкий М. В. Как помочь школьнику решать задачи. Мате-
матика в школе, 1974, Xs 1.
108. Программа по математике для средних профессионально-технических
училищ. Математика в школе, 1973, Хэ 4.
109. Программа школ и классов с углубленным теоретическим и практиче-
ским изучением математики (IX—X классы). Математика в школе, 1974, Xs 4.
ПО. Программа факультативных занятий по математике. Математика в шко-
ле, 1974, Xs 6.
111. Рабинович В. Л. Вычисление объемов с помощью принципа Ка-
вальери. Квант, 1972, Xs 6.
112. Рабинович В. Л. Об изучении измерения объемов. Математика
в школе, 1974, Хэ 4.
113. Р а ф и к о в а Ф. М. Введение понятия функции на основе изучения
бинарных отношений. Математика в школе, 1972, Xs 3.
114. Рогановский Н. М. Таблицы-задания на стереометрическом
материале. Математика в школе, 1973, Xs 1.
115. Руденко В. Н. Из опыта работы по геометрии в V классе. Мате-
матика в школе, 1972, Xs 1.
116. Р у д н и ц к а я В. Н. Система устных упражнений в IV классе. Ма-
тематика в школе, 1972, Xs 1.
117. Саннинский В. Я- Артиллерия и математика. Квант, 1976, Xs 5.
118. Саранцев Г. И. Изучение параллельного переноса и поворота.
Математика в школе, 1971, Хэ 4.
119. С е м у ш и н А. Д. Об изучении геометрического материала по но-
вым учебникам в IV—V классах. Математика в школе, 1975, Хэ 5.
120. Серве В. Аксиоматика и элементарная геометрия. Математика в
школе, 1967, Хэ 6.
121. С к о н е ц 3. А. О неподвижных точках аффинного преобразования.
Математика в школе, 1972, Хэ 3.
122. Смышляев В. К., Савин А. П. Нет ли другого доказательства?
Квант, 1974, Хэ 8.
123. Соболев С. Л. Преподавание математики в Советском Союзе. Ма-
тематика в школе, 1973, Хэ 1.
124. Соколовский Ю. И. Онтодидактический подход к проблемам
преподавания математики. Математика в школе, 1974, Xs 2.
471
... 125. € о с в н еж и-л А. В. . Новые учебники математики во французской
средней школе. Математика в школе, 1975, № 2.
126. Стр атил атов П. В. Об использовании технических средств
на уроках геометрии. Математика в школе, 1975, № 1.
127. Ушверидзе О. Н. Векторный метод в школьном курсе стерео-
метрии. Математика в школе, 1969, № 2.
128. Фалькштейн И. М. Признаки перемещений. Математика в шко-
ле, 1973, Х9 6.
129. Фирсов В. В., Шалимова К. И., Шварцбурд С. И.
О факультативных занятиях по математике в 1975/76 учебном году в школах
РСФСР. Математика в школе, 1975, № 4.
130. Фишман В. М. Решение задач с помощью геометрических преобра-
зований. Квант, 1975, № 7.
131. X и т р и н а Н. А. О применении контрпримеров. Математика в шко-
ле, 1974, № 6.
132. Ч у р а к о в а Р. Г. О тематическом повторении курса алгебры в
VIII классе. Математика в школе, 1975, № 4.
133. Шалимова К- И., Чуракова Р. Г. Из опыта проведения
экзамена по алгебре в 8 классе. Математика в школе, 1975, № 1.
134. Шварцбурд С. И., Фирсов В. В. О характерных особен-
ностях факультативных занятий. Математика в школе, 1972, № 1.
135. Шварцбурд С. И.', Кудрявцев С. В. Изучение тригоно-
метрических функций в IX классе. Математика в школе, 1975, № 4.
136. Ш и х а л и е в X. Ш. Об изучении числа в IV—V классах на теоре-
тико-множественной основе. Математика в школе, 1972, Ха 5.
137. Ш о л а стер Н. Н. Задачи на геометрические преобразования. Ма-
тематика в школе, 1976, № 3.
138. Ярославцева Л. Г. Об ознакомлении учащихся IV—V классов
с бинарными отношениями. Математика в школе, 1976, № 3.
дополнительный СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Отдельные издания
1. Андреев П. П., Шувалова Э. 3. Геометрия. Учебник для
средних специальных учебных заведений. Изд. 8. М., Наука, 1975.
2. Андреев И. Д. Проблемы логики и методологии познания. М., На-
ука, 1972.
3. А р г у в о в Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плос-
кости. Пособие для студентов пединститутов. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1957.
За. Архитектура математики. Сб. статей. Предисл. Б. В. Гнеденко. Серия
«Математика, кибернетика». М.» Знание, 1972, № 1.
4. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. Серия «Биб-
лиотека математического кружка». М.» Наука, 1975.
5. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Полевшикова А. М.
Методика преподавания математики в начальных классах. Учебное пособие
для педучилищ. Изд. 2-е, перераб. М., Просвещение, 1976.
6. Барыбин К. С. Геометрия. Пробный учебник для IX класса сред-
ней школы. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1973.
7. Барыбин К. С. Геометрия. Пробный учебник для X класса средней
школы. Изд. 2-е. М., Просвещение, 1974.
8. Б е в з Г. В. Методика преподавания математики. Арифметика, алгебра,
начала анализа и геометрия (на укр. яз.). Киев, Вища школа, 1972.
9. Бевз Г. В. Методика решения алгебраических задач в 6—8 классах.
Киев, Радянська школа, 1975 (на укр. яз.).
10. Беньяминов М. Р. Математика и сельское хозяйство. М., Просве-
щение, 1968.
11. Блох А. Ш., Труха н Т. Л. Неравенства. Минск, Народная асве-
та, 1972.
12. Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. М.,
Наука, 1967.
13. Болтянский В. Г. и др. Оборудование кабинета математики. Ме-
тодическая библиотека школы. М., Просвещение, 1975.
14. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней шко-
ле. Изд. 3-е. М., Учпедгиз, 1954.
15. Бродский И. Н. Отрицательные высказывания. Л., Изд-во ЛГУ,
1973.
16. Василевский А. Б. Методы решения задач. Минск, Высшая шко-
ла, 1974.
17. Васильев Н. Б., Гутен махер В. Л. Прямые и кривые. Учебное
руководство. Изд. 2-е. Перераб. Серия «Библиотечка физико-математической
школы». М., Наука, 1976.
18. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. Изд. 2-е. М., Наука, 1969.
19. Г а й д у к о в И. И. Абсолютная величина. Пособие для учителей.
Изд. 2-е. М,, Просвещение, 1968.
473
.1 *20. T$i ь ф а н д С. И, Г ё р в е р М. Л?, К и рй л лов А. А., Констан-
тинов Н. Н., Кушниренко А. Г. Задачи по элементарной математике
(последовательности, комбинаторика, пределы). Библиотечка ФМШ, вып. 3.
М.» Наука, 1965.
21. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М., Наука, 1972.
22. Глушков В. М., Что такое кибернетика. М., Педагогика, 1974.
23. Голомб С. В. Полимино. Перев. с англ. Под ред. и с предисл;
И. М. Яглома. М., Мир, 1975.
24. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. Логико-психологичес-
кие проблемы построения учебных предметов. М., Педагогика, 1972.
25. Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидакти-
ки. Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., Просвещение, 1975.
26. Дьюдени Г. Э. Пятьсот двадцать головоломок. Перев. с англ. М.,
Мир, 1975.
27. 3 а й ц е в В. В., Р ы ж к о в В. В., С к а н а в и М. И. Элементарная ма-
тематика. Повторительный курс. Изд. 2-е, перераб. и дополн. М., Наука, 1974.
28. Зайцев И. Л. Элементы высшей математики для техникумов. Под
ред. А. М. Пышкало. Изд. 12-е, испр. М., Наука, 1972.
29. Зарецкий В. И. Изучение тригонометрических функций в средней
школе. Пособие для учителей. Минск, Народная асвета, 1970.
30. 3 е т е л ь С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учите-
лей. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1962.
31. Зорин В. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Изд.
3-е. М., Высшая школа, 1973.
32. К е м е н и Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
математику. Перев. с англ. Под ред. И. М. Яглома. М., Мир, 1965.
33. Кипнис И. М. Сборник прикладных задач на неравенства. Изд. 2-е.
М., Просвещение, 1964.
34. К о л я г и н Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи. Изд. НИИ
школ МП РСФСР, 1972.
35. К р е ч м а р В. А. Задачник по алгебре. Изд. 7-е. М„ Наука, 1972.
36. К у з и ч е в а 3. А. Векторы, алгебры, пространства. Серия «Матема-
тика и кибернетика». М., Знание, 1970, № 11.
37. Л е н и н В. Й. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч.,
т. 18. М„ 1976.
38. Лернер И. А. Проблемное обучение. М., Знание, 1974. (Серия «Пе-
дагогика и психология», № 7.)
39. Ляпин С. Е., Баранова И. В., Б о р ч у г о в а 3. Г. Сборник за-
дач по элементарной алгебре. Пособие для студентов педагогических инсти-
тутов. Изд. II, перераб. и дополн. М., Просвещение, 1973.
40. Макарычев Ю. Н. Система изучения элементарных функций в
старших классах средней школы. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1964.
41. Маслова Г. Г. Методика обучения решению задач на построение
в восьмилетней школе. М., АПН РСФСР, 1961.
42. Математика. Учебник для I класса. Изд. 5-е. М., Просвещение, 1976.
43. Математика. Учебник для II класса. Изд. 7-е. М., Просвещение, 1975.
44. Математика. Учебник для III класса. Изд. 7-е. М., Просвещение, 1976.
45. М о д е н о в П. С. Сборник задач по специальному курсу элементар-
ной математики. Изд. 2-е, дополн. и исправл. М., Высшая школа, 1960.
46. Н о в и к о в П. С. Элементы математической логики. Изд. 2-е. М.,
Наука, 1.973.
47. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. Изд.
7-е. М., Высшая школа, 1965.
48. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. Изд. 5-е. М.,
Высшая школа, 1967.
49. Оборудование кабинета математики. Пособие для учителей. Методи-
ческая библиотека школы. М., Просвещение, 1975.
50. Оганесян В. А., К о л я г и н Ю. М. Развитие движения за модер-
низацию педагогики математики в зарубежной школе. Ч. I. Ереван, 1973.
474
51. Парно И. К. Производная и ее применение к исследованию функ-
ций. Изд. 2-е, испр. Пособие для учителей. М.» Просвещение, 1968.
52. Парно И. К Интегралы в X классе средней школы. М., Просвеще-
ние, 1970.
53. Перепел кин Д. И. Курс элементарной геометрии, ч. I. М., Гос-
техиздат, 1948.
54. Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии, ч. II. М.» Гос-
техиздат, 1949.
55. Петер Р. Игра с бесконечностью (математика для нематематиков).
Перев. с венгер. Под ред. Б. Л. Лаптева. М., Просвещение, 1968.
56. Постников А. Г. Культура занятий математикой. Из записок уче-
ного. Серия «Математика, кибернетика». М., Знание, 1975, № 7.
57. Прочухаев В. Г. Измерения в курсе математики средней школы.
Пособие для учителей. М., Просвещение, 1965.
58. Развитие логической памяти у детей. Под ред. А. А. Смирнова. М.,
Педагогика, 1976.
59. Р о г а н о в с к и й Н. М., Столяр А. А. Векторное построение сте-
реометрии. Минск, Народная асвета, 1974.
60. Рубинов А. М., Шапиев К. III. Элементы математического ана-
лиза. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1972.
61. С а л м и н а Н. Г., С о х и н а В. П. Обучение математике в начальной
школе. На основе экспериментальной программы. Под ред. П. Я. Гальперина.
М., Педагогика, 1975.
62. Свечников А. А. Решение математических задач в 1—3 классах.
Пособие для учителя. М., Просвещение, 1976.
63. Семушин А. Д. Методика обучения решению задач на построение
по стереометрии. М., АПН РСФСР, 1959.
64. Сенников Г. П. Наглядно-конструктивное изучение школьной пла-
ниметрии (применительно к новой программе). Горьковский пединститут.
Горький, 1970.
65. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. Перев. с польск. По-
собие для учителей. М., Учпедгиз, 1959.
66. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.
Перев. с польск. М.— Л., Физматгиз, 1963.
67. С м и л г а В. П. В погоне за красотой. М., Молодая гвардия, 1968.
68. Смогоржевский А. С. Метод координат. Популярные лекции по
математике, вып. 10. М., ГТТИ, 1952.
69. С о м и н с к и й И. С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс.
М., Физматгиз, 1963.
70. Сорокин Н. А. Дидактика. Учебное пособие для педагогических
институтов. М., Просвещение, 1974.
71, С о х о р А. М. Логическая структура учебного материала. Вопросы
дидактического анализа. Под ред. М. А. Данилова. М., Педагогика, 1974.
72. Степин В. С., Е л с у к о в А. Н. Методы научного познания. Минск,
Высшая школа, 1974.
73. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций. Изд. 2-е, пере-
раб. и дополн. Минск, Высшая школа, 1974.
74. Тал оч кин И. Б. Неравенства и уравнения. Упражнения и методи-
ческие указания. Из опыта работы учителя. М., Просвещение, 1970.
75. Т а л ы з и н а Н. Ф, Управление процессом усвоения знаний. М.»
Изд-во МГУ, 1975.
76. Та на тар И. Я. Геометрические преобразования графиков функций.
Пособие для учителей. М., Учпедгиз, I960.
77. Теория и методика коммунистического воспитания в школе. Под ред.
Г. И. Щукиной. М., Просвещение, 1974.
78. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач. Под
ред. С. В. Яблонского. Изд. 2-е. М., Физматгиз, 1960.
79. Т р у д н е в В. Н. Внеклассная работа по математике в начальной
школе. Библиотека учителя начальных классов. М., Просвещение, 1975.
475
ЙО. Трухан Т. Л. Изготовление и применение наглядных пособий; по
планиметрии. Минск, Народная асвета, 1970.
81. Ху р г и н Я. И. Ну и что? М., Молодая гвардия, 1967.
82. Цейтлин Н. Е. Изготовление учебных пособий в школе. Справоч-
ная книга учителя. М., Просвещение, 1970.
83. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекционном
чертеже. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1955.
84. Ш в е u М. Н. О приближенных числах. Киев, Радянська школа, 1968.
85. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние. Популярные лекции по ма-
тематике, вып. 38. М., Физматгиз, 1963.
86. Шусте ф Ф. М. Методика преподавания алгебры. Курс лекций.
Минск, Вышейшая школа, 1967.
87. Э н г е л ь с Ф. Анти-Дюринг. К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч., т. 20. М„
1961.
88. Энгельс Ф. Диалектика природы. К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч., т.20.
89. Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. М.,
Наука, 1968.
90. Я г л о м И. М. Как разрезать квадрат. М., Наука, 1968.
91. Я гл ом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии.
М.» Физматгиз, 1963.
92. Я гл ом И. М. Необыкновенная алгебра. Популярные лекции по ма-
тематике, вып. 45. М.» Наука, 1968.
93. Я г л о м И. М. Геометрия точек и геометрия прямых. Серия «Мате-
матика и кибернетика». М., Знание, 1968, № 10.
94. Яремчук Ф. П., Р у д ч е н к о П. А. Алгебра и элементарные функ-
ции. Справочник для поступающих в вузы. Киев, Наукова думка, 1971.
Статьи в журналах и сборниках
1. Баранова И. В. О последовательности расширения понятия чис-
ла в школьном курсе математики 4—5 классов по новой программе. В сб.:
Преподавание математики в средней школе. ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л..
1972.
2. Б а р ч у н о в а Ф. М. Развитие познавательного интереса к геометрии
у учащихся 6—7 классов. Математика в школе, 1974, № 6.
3. Б а с о в а Л. А. Обучающие программы по алгебре как средство са-
мостоятельного овладения алгоритмами учащимися VII класса. В сб.: Пре-
подавание математики в средней школе. ЛГПИ им. А. И. Герцена. Л., 1972,
4. Белоногова Е. М., Чернецов М. М. Об экзаменах в педагоги-
ческие институты РСФСР. Математика в школе, 1975, № 3.
5. Белоногова В. А., Удотенко М. М. Первые уроки геометрии в
VI классе. Математика в школе, 1972, № 4.
6. Бельтюкова Г. В. О формировании понятия натурального числа
у младших школьников. Начальная школа, 1969, № 3.
7. Бескин Н. М. Изображение пространственных фигур. Квант, 1970,
№ 12.
8. Болтянский В. Г. Оборудование кабинета математики н его ис-
пользование. Математика в школе, 1973, № 4.
9. Болтянский В. Г. Четырехугольники. Квант, 1974, № 9.
10. Б о л т я н с к и й В. Г. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ.
Математика в школе, 1975, № 5.
11. Б орел ь Э. Как согласовать преподавание в средней школе с про-
грессом науки. Математическое просвещение. Выпуск III. М., Физматгиз, 1958.
12. Б р у д н о А. Л. Вокруг циркуля. (Построения циркулем без линейки.)
Квант, 1974, № 10.
13. Буданцев П. А. Нужна ли проверка при решении уравнений.
В сб.: Вопросы преподавания математики в школе. Ученые записки кафедры
элементарной математики в методики математики Тульского пединститута.
Выпуск III, Тула, 1973.
14. Варианты вступительных экзаменов в вузы. Серия статей. Квант,
1974, № 7.
476
15. Волович М. Б. О закономерностях усвоения. Математика в школе.
1974, № 2.
16. Ги иди кин С. Г. Длина дуги окружности. Математика в школе.
1971, №6.
17. Гутер Р. С. Что умеют машины. Квант, 1970, № б.
18. Гутер Р. С. Вычислительные машины и системы счисления. Квант,
1971, № 9.
19. Дорофеев Г. В. Проверка решения текстовых задач. Математика
в школе, 1974, № 5.
20. Захарова В. Г. Алгоритмы решения некоторых неравенств. В сб.:
В помощь учителю. Кировский и Марийский пединституты. Йошкар-Ола, 1972.
21. Зобкова К. В. Формирование понятия действительного числа в
восьмилетней школе. В сб.: Преподавание математики в средней школе. ЛГПИ
иЧ А. И. Герцена. Л., 1972.
•22. К о л я г и н Ю. М., Оганесян В. А., Саркисян А. А. Изучение
элементов топологии в 4—8 классах средней школы. В сб.: Ученые записки,
т. 202. Высшая алгебра, элементарная математика и методика математики.
Вып. 6. М., 1МОПИ им. Н. К- Крупской, 1968.
23. К р а с с Э. Ю. Учебное оборудование для IV класса. Математика
в школе, 1974, №2. 4
24. К у ш н и р И. А. Метод вспомогательного элемента. Квант, 1974, № 2.
25. Л я п у и о в А. А. О реформе математических программ. Математика
в школе, 1973, № 2.
26. М а р к у ш е в и ч А. И. Логарифмическая и показательная функция в
школе. Математика в школе, 1965, № 3.
27. О г а н е с я н В. А., К о л я г и и Ю. М. О некоторых психолого-мето-
дических вопросах развития у учащихся математического мышления. «Сборник
научных трудов (отдел психологических наук)», ч. I. Под ред. М. А. Мазма-
няна, Ереван, 1974.
28. Оганесян В. А. О хрестоматии избранных классиков математики
для средней школы. В сб.: Ученые записки, т. 202. Высшая алгебра, элемен-
тарная математика и методика математики. Вып. 6. МОПИ им. Н. К. Круп-
ской, М., 1968.
29. Проценко В. С. Универсальное пособие по геометрии. Математика
в школе, 1971, Xs 6.
30. Р а ф и к о в а Ф. М. Изучение элементов теории групп в средней
школе. В сб.: Актуальные вопросы методики преподавания математики. Изд.
МГПИ им. В. И. Ленина. М., 1972,
31. Резников Л. И. Связь между учебными предметами в новых про-
граммах. Народное образование, 1970, № 3.
32. Р о г а н о в с к и й Н. М. О функциональной трактовке геометрических
преобразований. Математика в школе, 1975, Xs 1.
33. Розенфельд Б. А., Халамайзер А. Я. Творец новой геометрии
(к 180-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского). Квант, 1972, Xs 12.
34. Рыжков Л. В., Ионин Ю. И. Однородные уравнения. Квант, 1975,
№ 4.
35. Ушаков В. В. Метод бесконечного спуска. Квант, 1974, Ns 10.
36. Фетисова Л. Н. Некоторые вопросы методики формирования ос-
новных геометрических понятий (на материале 4—5 классов). В сб.: Ак-
туальные вопросы методики преподавания математики. Изд. МГПИ
им. В. И. Ленина. М., 1972.
37. Ц и н м а н Л. Л. Логические задачи и алгебра высказываний. Квант,
1971, Ns 4.
38. Ш а р о в а О. П. Применение комплексных чисел к изучению гео-
метрических преобразований. Математика в школе, 1970, Ns 1.
39. Шарыгин И. Ф. Задачи о пересечении тел. Квант, 1974, Ns 5.
40. Шарыгин И. Ф. Чертеж в стереометрических задачах. Квант,
1974, №. 10.
41. Яглом И. М, Системы счисления. Квант, 1970, Ns 6.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава XI. Множества н отношения в школьном курсе математики
§ 1. Общий взгляд на теоретико-множественный подход к изучению
школьного курса математики...................................... 5
§ 2. Содержание учения о множествах в школьном курсе математики 9
§ 3. Методика формирования основных теоретико-множественных
понятий ....................................................... 12
§ 4. Понятие отношения в школьном курсе математики............. 21
§ 5. К вопросу о развитии тенденции к теоретико-множественному
подходу при изучении школьного курса математики ..... 34
Глава XII. Учение о числе в школьном курсе математики
§ 1. Понятие числа в школьном курсе математики ............... 40
§ 2. Методика изучения натуральных чисел в средней школе ... 45
§ 3. Методика изучения десятичных дробей . .................... 61
§ 4. Методика изучения рациональных чисел ..................... 67
§ 5. Вопросы методики изучения действительных чисел............ 73
Глава XIII. Культура вычислений и тождественных преобразований в школе
§ 1. Характеристика состояния культуры вычислений и тождествен-
ных преобразований в настоящее время и ее проблемы .... 78
§ 2. Виды вычислений и тождественных преобразований, их роль,
место и методика изучения...................................... 79
§ 3. Целенаправленность тождественных преобразований как одно
из средств преодоления формализма в умениях и навыках уча-
щихся ......................................................... 92
§ 4. Приближенные вычисления и их значение..................... 96
§ 5. Организация вычислений по формулам и вычислительная техни-
ка в школьном курсе математики.................................105
Глава XIV. Учение о функции в школьном курсе математики
§ I. Формирование общего понятия функции в обучении математике 111
§ 2. Методика изучения алгебраических функций в восьмилетней
школе .........................................................128
§ 3. Методика изучения трансцендентных функций.................137
478
Г a i в а* XV. Учение о геометрических фигурах в школьном курсе мате-
( матнки
I § 1- Возможные методические подходы к построению школьного кур-
| са геометрии . ...........................................146
j § 2. Характеристика школьного курса геометрии..................158
§ 3. Изучение элементов геометрии в курсе математики IV—V клас-
сов ............................................................176
§ 4. Методика изучения темы «Параллельность и параллельный пе-
ренос» ................................................ 188
§ 5. Методика изучения понятия вектора ........................199
§ 6. Методика изучения подобия и гомотетии 213
Глава XVI. Учение об уравнениях и неравенствах в школьном курсе ма-
тематики
§ 1. Различные определения понятий уравнения и неравенства в ма-
тематике и в школьном курсе математики..........................235
§ 2. Пропедевтическое изучение уравнений и неравенств с перемен-
ными ...........................................................241
§ 3. Использование взаимосвязи понятия функции с понятиями урав-
нения и неравенства с переменными при изучении школьного кур-
са математики ..................................................250
$ 4. Методика изучения уравнений и неравенств о переменными на
функциональной основе ..........................................255
§ 5. Методика изучения систем уравнений и неравенств в школьном
курсе математики ........................................ . . . 266
§ 6. Методика составления уравнений при решении задач.........271
§ 7» Элементы линейного программирования в школьном курсе мате-
матики .........................................................281
Глава XVII. Элементы математического анализа в школьном курсе ма-
тематики
§ 1. О преподавании элементов математического анализа в средней
школе ........................................................ 285
§ 2. Изучение последовательности и ее предела в школьном курсе
математики ................................................ . . 287
§ 3. Методика изучения простейших числовых рядов и прогрессий 310
§ 4. Методика ознакомления учащихся с понятиями предела и непре-
рывности функции................................................318
§ 5. Методика введения понятия производной.....................329
§ 6. Применение производной к исследованию свойств функций . . 341
§ 7. Методика введения понятия интеграла ......................356
§ 8. Простейшие дифференциальные уравнения в школьном курсе ма-
тематики .......................................................363
Глава XVIII. Учение о величинах и их измерении в школьном курсе
математики
§ 1. Понятие величины в школьном курсе математики »••••• 370
§ 2. Методика изучения площадей плоских фигур..................382
§ 3. Методика использования интеграла при нахождении объема фи-
гур ............................................................391
§ 4. Использование формулы Симпсона в школьном курсе математи-
ки .............................................................396
§ 5. Использование принципа Кавальери в курсе математики сред-
х ней школы ................................................. 399
479
Глава XIX. Аксиоматический метод и идея математических структур
в школьном курсе математики
§ 1. Аксиоматический метод в математике и в школьном курсе мате-s
матики ................................................ . 8403
§ 2. Пропедевтика аксиоматического метода и идеи математической I
структуры в школьном обучении математике .................
§ 3. Идея изоморфизма в обучении математике...............|431
§ 4. Изучение алгебраических структур на кружковых и факульта-
тивных занятиях ...........................................439
§ 5. Аксиоматический метод построения геометрии ........ $51
Приложение ...........................................$58
Библиография..........................................• . wjjl
Дополнительный список литературы ................. . . . . Ц73
ИБ № 1283
Юрий Михайлович Колягин
Геннадий Лаврович Лукаккип
Евгений Лаврентьевич МокЦуишя
Вачаган Арташесович Оганесян
Лев Федорович ПичуряА
Владимир Яковлевич СаннинскШм
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Редактор Г. С Уланский
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М, И. Смирнс&Ы
Корректор О. С. Захарова
Сдано в набор 28/Ш 1977 г. Подписано к печати 7/Х 1977 г. бОХбО'/м. Бумага тип. № 3,
Печ. л. 30. Уч.-изд. л. 31,68. Тираж 100 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного ко-
митета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Головное предприятие республиканского производственного объединения «Полиграфкни-
га» Госкомиздата УССР, г, Киев, Довженко, 3. Заказ № 7—941, Цена I р.’ 40 к*