Физика для втузов. Электричество и магнетизм. Оптика. Строение вещества - Наркевич И.И., Волмянский Э.И., Лобко С.И.

Автор: Наркевич И.И. Волмянский Э.И. Лобко С.И.

Теги: физика

ISBN: 5-339-00964-5

Год: 1994

Похожие

Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика

Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика

Физика для любознательных. Том III. Электричество и магнетизм

Фейнмановские лекции по физике 05 электричество и магнетизм

Текст

И. И.НАРКЕВИЧ
Э. И. ВОЛМЯНСКИЙ
С. И. ЛОБКО
ФИЗИКА
для
ВТУЗОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
ОПТИКА
СТРОЕНИЕ
ВЕЩЕСТВА
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь в качестве
учебного пособия для студентов
инженерно-технических и технологических
специальностей высших учебных заведений
МИНСК
«ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
1994
ББК 22.3я73
Н 29
УДК 53(075.8)
Рецензенты: кафедра физики Белорусского го-
сударственного университета транспорта; д-р физ.-
мат. наук, заведующий кафедрой теоретической физики
Белорусского государственного университета, проф.
Л. М. Барковский.
5300000000—029 _
Н---------------24—94
М304(03)—94
ББК 22.3я73
ISBN 5-339-00964-5
© Коллектив авторов, 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Значимость курса современной физики в системе инже-
нерных знаний определяется тем, что, с одной стороны,
физика принадлежит к числу фундаментальных наук и без
знания ее невозможна успешная инженерная деятельность
ни в одной области современной техники и технологии,
с другой стороны, изучение физики позволяет формировать
и развивать интеллектуальные качества, необходимые
специалисту для самостоятельной творческой работы.
Материал данного пособия является второй частью* курса
общей физики, знание которого необходимо специалисту
инженерного профиля, что нашло отражение в содержа-
нии, структуре и методике изложения материала.
Мы стремились в рамках курса общей физики орга-
нически увязать классическую физику с элементами спе-
циальной теории относительности, квантовой механики и
квантовой статистики, что привело к отступлению от тра-
диционного для технических вузов порядка изложения
материала. В частности, особое внимание уделено рас-
смотрению различных колебательных и волновых процес-
сов, ознакомление с которыми начинается уже в разделе
«Кинематика» и красной нитью проходит через весь курс
общей физики. Основные представления о корпускулярно-
волновом дуализме и волновой функции, а также простей-
шие примеры применения уравнения Шрёдингера приведе-
ны в конце раздела «Механика». Элементы квантовой
статистики и квантовой теории твердого тела рассматри-
ваются в разделе «Молекулярная физика».
В данном пособии магнитные взаимодействия в вакуу-
ме трактуются как релятивистский эффект, связанный с
неинвариантностью сил взаимодействия точечных зарядов
(гл. 1). Комплексное рассмотрение электрических и маг-
нитных свойств вещества заканчивается формулирова-
нием уравнений Максвелла для электромагнитного поля
и решением волнового уравнения для плоских электро-
магнитных волн (гл. 4—6). Вопросы фотометрии, геомет-
рической, волновой и квантовой оптики изложены в гл. 7—
* Первая часть содержит вопросы классической, релятивистской
и квантовой механики, а также молекулярной физики (Физика для
втузов. Механика. Молекулярная физика.— Мн/. Выш. шк., 1992).
3
9. Третий раздел пособия посвящен строению и свойствам
вещества. Здесь, помимо традиционного материала, рас-
сматриваются свойства жидких кристаллов и основы ра-
диационной физики.
В целях активизации внимания студента и его позна-
вательной деятельности при работе с пособием в структуре
каждой главы выделены:
информационная часть, представляющая логически
последовательное изложение содержания темы, в которой
даны подробные выкладки основных формул и математи-
ческих соотношений;
примеры, с помощью которых формируются навыки
применения теоретического материала к решению задач
прикладного характера;
теоретические контрольные задания, способствующие
организации самостоятельной работы студентов.
В конце пособия в виде приложений представлен
необходимый справочный материал по математике
(прил. II), таблицы значений ряда физических констант
(прил. I), а также численных значений различных физи-
ческих величин (прил. III).
Авторы признательны коллективу кафедры физики
Белорусского государственного технологического универ-
ситета за критические замечания, высказанные в процессе
обсуждения, и техническую помощь по оформлению
рукописи пособия, а также ректору этого института про-
фессору И. М. Жарскому за помощь при решении ряда
организационных вопросов. Они благодарны доцентам
кафедры физики Белорусского государственного уни-
верситета транспорта (зав. кафедрой, профессор В. Я. Ма-
тюшенко) В. М. Бую, Н. Е. Савченко и всему кол-
лективу этой кафедры, а также заведующему кафедрой
теоретической физики Белорусского государственного уни-
верситета профессору Л. М. Барковскому, осуществив-
шим рецензирование рукописи. Хорошо мотивированные
замечания и пожелания, содержащиеся в их рецензиях,
способствовали улучшению качества пособия.
Гл. 1—3 написаны совместно с Л. П. Гольманом,
гл. 4 подготовлена совместно с А. Н. Висловичем, а гл. 12
написана В. Б. Немцовым.
Авторы заранее благодарны за замечания и советы,
направленные на улучшение данного пособия, которые
просят присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Ма-
шерова, 11, издательство «Вышэйшая школа».
Авторы
Нельзя изучать эту удивительную тео-
рию, не испытывая по временам такого
чувства, будто математические фор-
мулы живут собственной жизнью,
обладают собственным разумом — ка-
жется, что эти формулы умнее нас,
умнее даже самого автора, как будто
они дают нам больше, чем в свое время
было в них заложено.
Г. Герц о Д. Максвелле
I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
В данном разделе рассматриваются законы взаимо-
действия покоящихся и движущихся зарядов или отдель-
ных заряженных макроскопических тел, а также основные
свойства создаваемых ими электрических и магнитных
полей как в вакууме, так и в той либо иной среде.
Из школьного курса физики читателю уже известно,
что в основе этих взаимодействий лежат фундаменталь-
ные физические законы, которые установлены благодаря
огромному числу тонких и элегантных опытов, проведен-
ных физиками в 18 и 19 вв. Сюда относятся закон Кулона
для электростатического взаимодействия зарядов, выра-
жения для сил Ампера и Лоренца, определяющих маг-
нитное взаимодействие проводников с токами и движу-
щихся одиночных зарядов, а также закон электромагнит-
ной индукции Фарадея — Ленца. В этом смысле «Электро-
магнетизм» относится к эмпирической (от гр. empeiria —
опыт) области естествознания, что в учебном процессе
находит отражение в лабораторном практикуме по курсу
«Физика».
Однако, как мы увидим из дальнейшего материала,
определяющую роль здесь играют теоретические модели
и гипотезы, что с полным основанием позволяет отнести
этот раздел современной физики к теоретическому курсу
аксиоматического плана. В результате удается теорети-
чески обосновывать экспериментально наблюдаемые зави-
симости, получать новые следствия либо предсказывать
новые эффекты. Поэтому в данном разделе при изложении
учебного материала особое внимание уделяется тем вопро-
сам, которые вскрывают суть наблюдаемых на опыте
5
явлений и законов, уже знакомых студентам из курса
физики средней школы. В частности, с этой точки зрения
важным является установление того факта, что магнитные
взаимодействия являются релятивистским эффектом, т. е.
описываются с помощью преобразований Лоренца в ре-
лятивистской механике. Они позволяют преобразовать вы-
ражение для силы электростатического взаимодействия
при переходе от собственной инерциальной системы
(см. § 11.3 в первой части пособия) к другой инерциаль-
ной системе, в которой заряды движутся.
В гл. 1 данного раздела получено выражение для силы
взаимодействия медленно движущихся зарядов (и <С с),
а затем последовательно рассматриваются свойства
электростатического и постоянного магнитного полей в ва-
кууме (гл. 2 и 3).
В гл. 4 рассматриваются электрические и магнитные
свойства вещества, а также свойства электрического и
магнитного полей в веществе.
Классический теоретический подход к изучению элект-
рических явлений в металлах, электролитах и газах изло-
жен в гл. 5. В гл. 6 «Электромагнитные колебания и вол-
ны» сформулирована система четырех уравнений Максвел-
ла, и с их помощью рассмотрены основные свойства
электромагнитных волн.
Как прекрасно почувствовать единство
целого комплекса явлений, которые
при непосредственном восприятии ка-
зались разрозненными.
А. Эйнштейн
1. ЗАКОНЫ СИЛОВОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
Источником электромагнитных взаимодействий явля-
ются электрические заряды двух типов: положительные
и отрицательные. Заряды противоположных знаков при-
тягиваются друг к другу, а одноименные отталкиваются.
Экспериментально доказано, что электрический заряд q
любого макроскопического тела состоит из целого числа
элементарных зарядов обоих знаков. Значение элементар-
6
ного заряда е= 1,6- 10“19 Кл (кулон — производная еди-
ница заряда в СИ: [^]= 1 Кл = 1А • 1с — ампер за се-
кунду), поэтому общий заряд тела q = eN + —- eNгде
и N _ — числа соответственно положительных и отри-
цательных элементарных зарядов. Наименьшие по массе
стабильные частицы — протоны и электроны, являющиеся
носителями элементарных зарядов, входят в состав
всех атомов и молекул. Масса протона тр = 1,673 X
X Ю“27 кг, масса электрона те = 0,911 • 10“3° кг. Их
удельный заряд, т. е. отношение заряда частицы к его
массе (q/rri), определяет значение заряда, приходящееся
на единицу массы (е/те = 1,76 • 1011 Кл/кг, е/тр =
= 0,96- 108 Кл/кг).
Электрически нейтральное тело (q = 0) состоит из
одинакового числа протонов и электронов (N + = N
Заряженные тела (q =/= 0) всегда содержат избыточное
количество положительных или отрицательных элементар-
ных зарядов (W+ =/= /V-), тем самым обеспечивается факти-
ческая дискретность заряда q для макроскопического
тела, т. е. его «квантование» (е — «квант заряда»). Из-за
малости величины е дискретность электрического заряда
макроскопического тела не проявляется. Поэтому для
описания характера распределения избыточного заряда
q = e&N(AN = — N_) по объему V либо поверхности S
заряженного тела, или по длине / «линейных» тел (нитей)
используется соответственно объемная (пространствен-
ная) р = dq/dV, поверхностная <j = dq/dS и линейная
X = dq/dl плотности распределения заряда*. В случае
неоднородного распределения заряда значение q находит-
ся путем интегрирования соответствующей плотности:
q=\pdV', q = \odS; q = \kdl. (1.1)
V S L
Одним из фундаментальных законов природы является
закон сохранения заряда в электрически изолированной
системе, т. е. в системе, которая не обменивается зарядом
с внешними по отношению к ней телами. Этот закон, впер-
вые сформулированный Б. Франклином (1706—1790)
в 1747 г., был экспериментально обоснован М. Фарадеем
(1791 —1867) в 1843 г.: алгебраическая сумма электри-
* Здесь под dVy dS и dl понимают физически малые, а не беско-
нечно малые объемы, площадки и длины, т. е. такие, для которых
dq^e.
7
ческих зарядов тел и частиц, образующих электрически
изолированную систему, не изменяется при любых про-
цессах, происходящих в этой системе:
N
q= 2 qt = const — закон сохранения заряда.
(1-2)
Электрический элементарный заряд обладает свойст-
вом инвариантности (см. гл. 11 в первой части пособия).
Это означает, что значение заряда не изменяется при
переходе от одной инерциальной системы к другой,
т. е. не зависит от скорости движения заряда, тогда как
масса, а значит, и удельный заряд зависят от ско-
рости и:
т0 . .
^ = inv; m = —-......... inv,
-д/1 — v2/c2
1 — v2/c2 #= inv, (1.3)
m mo ’ v '
где mo — масса покоя частицы; с — скорость света.
Инвариантность заряда подтверждается фактом ней-
тральности атомов и молекул. Если бы заряды зависели
от скорости их движения (а скорость движения электронов
в атомах и молекулах много больше скорости ядер, т. е.
протонов), то нарушалась бы нейтральность замкнутой
макроскопической системы. Кроме того, характерная
скорость движения электронов в различных атомах и мо-
лекулах неодинакова. Например, скорость электронов
в атоме гелия примерно в два раза больше, чем в молекуле
водорода (ие — 2 • 103 км/с), а их нейтральность доказана
е большой точностью.
Таким образом, релятивистская инвариантность за-
ряда и закон сохранения заряда изолированной системы
взаимно обусловливают друг друга и принимаются в каче-
стве исходного положения классической электродинамики.
1.1. Сила взаимодействия
медленно движущихся зарядов
Преобразование Лоренца для силы взаимодействия
зарядов. Взаимодействие неподвижных точечных зарядов
q\ и находящихся на расстоянии г, описывается законом
8
Кулона*: F = kq\q2/r. Возникает вопрос, как будут вза-
имодействовать эти же заряды в той инерциальной систе-
ме, относительно которой они движутся с некоторой ско-
ростью. Оказывается, что, помимо кулоновского, т. е.
электрического взаимодействия, между движущимися
зарядами возникает магнитное взаимодействие, которое
обусловлено релятивистскими свойствами пространства —
времени.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две инерциаль-
ные системы отсчета хух и x*i/*z*, движущиеся относи-
тельно друг друга с постоянной скоростью в направлении
оси х (рис. 1.1, а).
Два точечных неподвижных заряда q\ и q% распо-
ложены на прямой, параллельной оси у* в системе К*,
которая для этих зарядов является собственной инерци-
альной системой. Тогда в соответствии с законом Кулона
одноименные заряды (q\q2 > 0) в вакууме будут отталки-
ваться с силой
F* = Fb = F& =
1 q\q2
4лео г*2 ’
(1-4)
где г* — расстояние между зарядами в системе x*i/*z*;
ео — электрическая постоянная в СИ. Опыт показывает,
что два заряда, каждый величиной 1 Кл, будучи располо-
* Французский физик Ш. Кулон (1736—1806) —один из основа-
телей электростатики. Он изобрел крутильные весы (1784) и открыл
в 1785 г. закон взаимодействия зарядов.
9
женными на расстоянии 1 м, взаимодействовали бы с
огромной силой, равной 9*109 Н. Поэтому из формулы
(1.4) Следует числовое значение для электрической посто-
янной:
ео=^ = 7^-8’85-1()’,2ф-м’' <'-5)
Здесь принято во внимание, что фарад — единица элект-
роемкости С — в СИ выражается через кулон, ньютон
и метр (см. § 4.2):
[С] = 1 ф = 1*^= 1 - к* .. = (1.6)
1 J 1В Дж/Кл Н • м v '
В гл. 11 первой части пособия («Элементы релятивист-
ской механики») было показано, что проекция Fy силы
взаимодействия движущихся в системе К частиц (рис.
1.1,6) связана с проекцией силы F£b собственной системе
К*, где они покоятся (см. рис. 1.1, а). Эта связь описы-
вается соотношением
Fy = Fpjl — и2/с2; v = V = const. (1.7)
Применительно к силе взаимодействия зарядов q\ и
в системе К из выражения (1.7) с учетом (1.4) получим
с-»)
При записи этой формулы приняты во внимание инва-
риантность заряда (q = ^*) и равенство для рассматри-
ваемой конфигурации зарядов (см. рис. 1.1) взаимных
расстояний между этими зарядами в системах К и К*
(г = г* = \у). В общем случае в соответствии с формула-
ми преобразования Лоренца г=/=г* (см. формулу (11.14)
для лоренцева сокращения длины в первой части пособия).
Умножим и разделим правую часть выражения (1.8)
на дД — и2/с2, а затем перепишем формулу для силы F
в виде разности двух выражений:
р = £i£2 и2 д\дг / ।
4леол2^1 —и2/с2 с 4леог2^/1 — у2/с2
Первое слагаемое при v = 0 совпадает с выражением
для силы взаимодействия покоящихся зарядов (закон
Кулона), и поэтому оно определяет в классической физике
10
силу электрического взаимодействия медленно движущих-
ся зарядов (у <С с):
се ~
4леог2
(110)
Второе слагаемое для одноименных зарядов (*71*72 > 0),
движущихся в одном направлении, оказывается отрица-
тельным, т. е. описывает их притяжение, что обычно и
связывают с наличием магнитной силы, действующей на
движущийся заряд. При v <С с магнитная сила
у2 д\д2
с2 4л£0Г2
(1-11)
Согласно выражениям (1.10) и (1.11), отношение
электрической силы к магнитной равно v2/с2. Следователь-
но, сила магнитного взаимодействия может быть сравнима
по значению с электрической силой только при достаточно
больших скоростях движущихся заряженных частиц.
Тем не менее она будет играть определяющую роль и при
малых скоростях зарядов (у <С с), если результирующее
кулоновское, т. е. электрическое, взаимодействие по ка-
ким-либо причинам не проявляется. Такая ситуация имеет
место, например, при наличии электрического тока в ме-
таллических проводниках. В этом случае электрические
силы движущихся зарядов (электронов) компенсируются
электрическими силами со стороны катионов металличе-
ской решетки проводника, который в целом является
электрически нейтральной системой. В результате на опыте
проявляется только действие магнитной силы на провод-
ники с токами, которое описывается с помощью силы
Ампера (см. § 3.1).
Векторная форма записи электрической и магнитной
сил. Воспользуемся известной формулой векторного ана-
лиза* (см. табл. II.4 прил. II):
а X (b X с) = Ь(а • с) - с(а • Ь), (1.12)
согласно которой двойное векторное произведение v X (vX
X Г21) = —V2f2l, поскольку V • Г21 = VT2\ cos 90° = 0. Это
позволяет с учетом обозначений на рис. 1.2, переписать
выражения (1.10) и (1.11) в векторном виде и тем самым
* Мнемоническое правило, т. е. правило для запоминания соот-
ношений (1.12): «бац минус цаб».
11
учесть одновременно значение и направление сил F12 и
F21 по отношению к направлению векторов v и Г21 = — Г12:
F?2 = —— q~r-------электрическая сила;
4яе0 Г21
Fe? = Ч''1 Х Х Гг')-----магнитная сила
Дтг -3
f2‘ при VI = V2 = V.
(113)
Здесь введено обозначение цо= 1/(еоС2), которое устанав-
ливает связь между магнитной постоянной р,0 и электри-
ческой постоянной ео- В СИ магнитная постоянная
Ио = -Ц- = 4л -9 - 109/(3 - 108)2 = 4л- 10“7 Гн/м. (1.14)
8()С
В выражении (1.14) используется единица индуктив-
ности L (генри), которая будет введена в § 4.5:
г/1 — 1 гн = 1 в ‘с = 1 Дж *с2 = 1 н ‘м ’с2
1 J А 1 Кл-Кл Кл2
Можно предположить (и это находит эксперименталь-
ное подтверждение), что если заряды будут двигаться с
различными по значению и направлению скоростями
(Vj=/=V2), то структура векторных соотношений (1.13) не
изменится. В результате можно записать формулу для
результирующей силы, действующей на заряд q\ со сторо-
ны заряда q2 (рис. 1.3, Fi2=/=— F21, 1*12= — r2i):
12
. но <7iVi X(^Z2V2 Xr2i)
4 л Г21
(1.15)
Задание 1.1. Найдите, во сколько раз сила электростатического
отталкивания Fe двух электронов в вакууме превосходит силу их грави-
тационного притяжения F.
Ответ. Fe/F ~ 1042.
Задание 1.2. Определите направление сил Ffa и F21 магнитного
взаимодействия двух зарядов, которые движутся равномерно и прямо-
линейно (рис. 1.4): одноименные заряды (q\q2 > 0) движутся в одном
направлении (рис. 1.4, а) и в противоположных направлениях (рис.
1.4, б); разноименные заряды (q\q2 < 0) движутся в одном направлении
(рис. 1.4, в) и в противоположных направлениях (рис. 1.4, г).
Указание. В ситуациях, когда заряды движутся в одном на-
правлении, используйте непосредственно второе выражение из соотно-
шений (1.13) и какое-либо известное вам правило для определения
направления векторного произведения двух векторов. В остальных слу-
13
чаях применяйте (1.15) и аналогичное ему выражение для силы F21,
которое получается путем изменения индексов 1 и 2 соответственно на
2 И 1 (F12->F21, Г21-*-Г|2, Vj->V2).
Задание 1.3. Определите модуль и направление магнитных со-
ставляющих сил F12 и F21 для случая, когда У1 = у2 = у, ^=q2 = ?,
а углы а и р на рис. 1.3 равны 30°.
Указание. Воспользуйтесь формулой (1.15) и правилом вычи-
сления векторного произведения двух векторов.
1.2. Действие на расстоянии
и полевое описание взаимодействия зарядов
Дально- и близкодействие. Закон Кулона и следующее
из него выражение для магнитной силы взаимодействия
движущихся зарядов имеют под собой прочную экспери-
ментальную базу, которая содержит ряд достоверных
фактов и обобщений по взаимодействию электрически
заряженных и намагниченных тел, а также тел, по кото-
рым проходят электрические токи. Относительно природы
этих сил в историческом плане существовали две противо-
положные точки зрения.
Первая и наиболее ранняя исходила из представления
о непосредственном взаимодействии на расстоянии, без
каких-либо промежуточных материальных посредников.
Эта идея была заимствована из учения о всемирном тяго-
тении и обязана впечатляющим успехам небесной меха-
ники 17 и 18 вв.
В результате сложилось мнение, что тяготение, а также
электрические и магнитные взаимодействия не нуждаются
в объяснении, а являются неотъемлемым свойством ма-
терии.
В математическом отношении теория дальнодействия
благодаря усилиям многих физиков достигла высокой
степени строгости и конкретности, она отличалась ясно-
стью, простотой исходных эмпирических положений и гос-
подствовала среди физиков-экспериментаторов и теоре-
тиков вплоть до последней четверти 19 в.
Среди физиков 19 в., которые были не удовлетворены
концепцией дальнодействия, особо выделяется личность
гениального М. Фарадея — основоположника полевого
подхода к проблеме взаимодействия. Он не мог смириться
с мыслью, что тело может оказывать действие в тех местах,
где оно само не находится и которые отделены от него
14
абсолютно пустым пространством. Согласно Фарадею,
действие одного тела на другое возможно либо при непо-
средственном соприкосновении, либо через некую проме-
жуточную «среду», роль которой по современным пред-
ставлениям играет электромагнитное поле. Концепция
близкодействия получила свое признание только после
того, как Д. Максвелл (1831 —1879) —убежденный сто-
ронник точки зрения Фарадея — перешел к рассмотрению
переменных полей и теоретически установил, что скорость
распространения электромагнитных волн равна скорости
света, т. е. очень велика (см. уравнения Максвелла в гл. 6).
Поэтому многие электромагнитные явления с постоянными
или почти постоянными полями воспринимаются так, как
если бы скорость их распространения была бесконечной.
А именно это и предполагает теория дальнодействия.
Теоретические предсказания Максвелла нашли экспе-
риментальное подтверждение в знаменитых опытах Г. Гер-
ца (1857—1894) по генерированию электромагнитных
волн (вибратор Герца), что и определило дальнейшее
признание полевой трактовки не только электромагнитных,
но и гравитационных взаимодействий.
Силовые характеристики электрического и магнитного
полей. Современная физика утверждает, что электро-
магнитное взаимодействие осуществляется посредством
поля, которое наряду с веществом является одним из
видов материи. Оно проявляется в силе, которая дейст-
вует на покоящееся или движущееся заряженное тело,
внесенное в это поле.
Интенсивность силового воздействия электрического
поля характеризуется его напряженностью Е, а магнитного
поля — магнитной индукцией В. Многочисленные опыты
по изучению действия электрических и магнитных полей
на пробный заряд* q, находящийся в этом поле, позволили
установить линейную связь между силой F и значением
этого заряда. В связи с этим получены следующие форму-
лы для электрической и магнитной сил (рис. 1.5, а и б):
Fe = ^E=^Fe=^£; (1.16)
Fm = qv X B=>Fm = qvB sin (v, B). (117)
* В качестве пробного заряда условились брать положитель-
ный точечный заряд малой величины, с тем чтобы он своим полем не
искажал исследуемое поле.
15
Из формулы (1.16) следует, что напряженность Е
численно равна силе, которая действует на единичный
неподвижный пробный заряд, т. е.
Е = Ее/q — напряженность электрического
поля.
(1-18)
Единица напряженности следует из формулы (1.18) и
определения единицы потенциала ср, которая будет введена
в следующей главе [см. формулу (2.4)]:
[Е]=1 Н/1 Кл = 1 Дж/(Кл-м) = 1 В/м(1 В=1 Дж/1 Кл).
Аналогично, основываясь на соотношении (1.17), мож-
но определить направление, модуль и единицу магнитной
индукции В. Для этого нужно вначале с помощью непод-
вижного пробного заряда q убедиться, что электрического
поля нет, или определить значение напряженности Е.
Затем нужно найти такое направление скорости v проб-
ного заряда, для которого магнитная сила Fm обращается
в нуль (рис. 1.5, в). При этом вектор В может быть либо
параллелен этому направлению скорости v, либо антипа-
раллелен. Наконец, надо измерить силу Fm, когда заряд
движется перпендикулярно к В с некоторой скоростью v±.
Очевидно, что эта сила удовлетворяет векторному соотно-
шению (1.17) и является максимально возможной для
заданной скорости движения:
Fm = qv± X B=>Fm = qv ±B sin 90° = qv ±B. (1.19)
Умножим выражение для Fm векторно на v± и восполь-
зуемся векторной формулой (1.12). Тогда получим
FmXv± = ^(v±Х B)Xv±= — ^v±X(v±X В) =
= —?[v±(v± • В) — B(v± • Vj.)].
Поскольку скалярное произведение v±‘ В равно нулю
(vj_ • B = u±Bcos90° = 0), a v±-v± = u^, из последнего
соотношения следует векторное выражение для индукции
магнитного поля, содержащее экспериментально измеряе-
мые величины:
Fm X Vi
В = ——-------индукция магнитного поля.
(1-20)
16
Из формулы (1.20) следует, что индукция В равна
силе, которая действует на пробный единичный заряд,
движущийся перпендикулярно к вектору В со скоростью,
равной единице (и± = 1 м/с):
g = -^-=^[Bl= , = 1 Тл (тесла*). (1.21)
qv± L J 1 Кл • 1 м/с v 7 v 7
При наличии электрического и магнитного полей на
заряд q действует сила
F = gE + gvXB— сила Лоренца.
(1-22)
Направление магнитной составляющей силы Лоренца
определяется по правилу векторного произведения, напри-
мер по правилу правой руки (рис. 1.6). Заметим, что,
поскольку сила Fm, действующая со стороны магнитного
поля, определяется вектором В, то естественно было бы
называть этот вектор напряженностью магнитного поля.
Однако по причинам исторического плана силовая ха-
рактеристика магнитного поля называется магнитной ин-
дукцией этого поля.
Напряженность Е и индукция В движущегося заряда.
Сформулируем законы, определяющие электрическое и
магнитное поля точечного заряда, движущегося с малыми
скоростями (и<с). Для этого в выражении (1.15) по-
ложим q\ = q\ Vi = v; q? = q; V2 = v, а индексы у радиуса-
вектора Г21 опустим (r2i s г, рис. 1.7). Тогда сила F, дейст-
вующая на заряд q со стороны заряда q, будет опреде-
ляться выражением
Из сопоставления этого выражения с формулой для
силы Лоренца следуют два выражения, которые опреде-
ляют напряженность Е и магнитную индукцию В точечного
заряда q:
с 1
Е =-----“j---напряженность электрическо-
ле° г го поля заряда q;
(1.24)
* Тесла — единица индукции В в СИ (см. § 3.1).
17
Рис. 1. 5
D Но X г
В = з-----индукция магнитного поля
л г заряда q\
В = -— -^-sin0—модуль вектора В.
(1.25)
Для положительного заряда (q > 0) напряженность Е
электрического поля совпадает по направлению с ра-
диусом-вектором г, а для отрицательного заряда (^<СО)
вектор Е противоположен вектору г.
Направление вектора индукции В в соответствии с вы-
ражениями (1.25) определяется правилом векторного
призведения, т. е. вектор В направлен перпендикулярно
к плоскости, в которой расположены вектор скорости v
заряда q и радиус-вектор г. Если заряд q > 0, то из конца
вектора В поворот v до совмещения с г по кратчайшему
направлению должен происходить против хода часовой
18
Рис. 1.8
стрелки, если же q < 0, то вектор В направлен в противо-
положную сторону (см. также правило правой руки для
векторного произведения, рис. 1.6).
На рис. 1.8 с помощью силовых линий графически
изображено электромагнитное поле, создаваемое медленно
движущимся зарядом q. Поскольку значение напряжен-
ности Е обратно пропорционально квадрату модуля
г(£ ~ г-2), то электрическое поле при v<^c обладает
центром симметрии (рис. 1.8, а). Поле Е сферически сим-
метрично, причем в каждый момент времени оно такое же,
как и для покоящегося заряда. Однако следует учитывать,
что это «электростатическое поле» перемещается вместе
с зарядом q. Модуль индукции В магнитного поля пропор-
ционален синусу угла 0 между вектором скорости v за-
ряда и радиусом-вектором г, а также обратно пропорцио-
нален г2 (В —sin 0/г2). Поэтому магнитное поле осесим-
метрично по отношению к оси z (рис. 1.8, б), совпадающей
с направлением вектора v. Силовые линии В являются
концентрическими окружностями с центрами на оси сим-
метрии.
Таким образом, если силовые линии напряженности Е
электрического поля начинаются на положительных за-
рядах, а заканчиваются на отрицательных зарядах, то си-
ловые линии индукции магнитного поля В являются замк-
нутыми линиями (окружностями), «нанизанными» на ось,
определяемую вектором скорости v (рис. 1.8, в). Магнит-
ное поле движущегося заряда представляет собой некое
подобие «вихря», который «вращается» в направлении
векторов В и перемещается со скоростью v.
В следующем параграфе будут рассмотрены несколько
примеров, иллюстрирующих последовательность изучения
динамического поведения заряженных частиц в заданных
19
электрических и магнитных полях, тогда как способы
расчета этих полей и их свойств будут подробно рассматри-
ваться в последующих главах, посвященных вопросам
электро- и магнитостатики.
1.3. Движение зарядов во внешних
электрических и магнитных полях
Уравнение движения заряда. В соответствии со вторым
законом Ньютона для заряда в электромагнитном поле
можно записать дифференциальное уравнение его движе-
ния в этом поле под действием только силы Лоренца:
mg^E + ^vXB. (1.26)
Очевидно, что классическое уравнение (1.26) спра-
ведливо только при скорости v <С с. Если же скорость
движения v сравнима со скоростью света (и ~ с), то сле-
дует использовать уравнения и законы релятивистской
механики (гл. 11 в первой части пособия).
При решении конкретных задач динамики векторное
уравнение (1.26) записывается с использованием той или
иной системы отсчета, выбор которой в каждом отдельном
случае определяется удобством решения этих задач. В не-
которых задачах оказывается полезным привлекать зако-
ны сохранения динамических характеристик механическо-
го движения: импульса, момента импульса и энергии.
Пример 1.1. Исследуем движение заряда q массой т в постоянном
однородном электрическом поле Е, направление которого перпендику-
лярно к начальной скорости v0 заряда (рис. 1.9).
20
F ,2^У=~2- (L27)
qE t 2mvo
У= — -7Г
Решение. В случае движения элементарных частиц можно, как
правило, пренебречь действием сил тяжести и других сил, которые
следует учитывать при движении макрочастиц, испытывающих дейст-
вие, например, сил сопротивления. На положительный заряд q будет
действовать постоянная сила F = qE, направленная по напряженности
Е; если же q < 0, то сила F будет направлена в противоположном на-
правлении, т. е. против поля Е. Уравнение движения запишем в проек-
циях на оси декартовой системы координат и решим полученную систему
уравнений (с учетом начальных условий):
dvx Л
т —т— =0 ( vx = vo
at I
dvy r I qi
m^r=qE
Таким образом, заряд q в постоянном электрическом поле движет-
ся равномерно в направлении, перпендикулярном к напряженности Е
(вдоль оси х на рис. 1.9), а в направлении вектора Е он движется с уско-
рением ау = qE/m = const, которое положительно при (/>0 и отри-
цательно при q < 0. Результирующее движение заряда, т. е. электриче-
ский дрейф, происходит в данном случае по параболе, вершина кото-
рой совпадает с началом координат. Так выглядит движение заряжен-
ных частиц, например электронов в электронно-лучевых приборах
(см. задание 1.4).
Пример 1.2. Изучим движение заряда q в постоянном однородном
магнитном поле с индукцией В, направление которой перпендикулярно
к начальной скорости v0 заряда q(v0 -L В, рис. 1.10).
Решение. Предположим, что силовые линии индукции направ-
лены перпендикулярно к плоскости рисунка, причем вектор В направлен
за чертеж. На положительный заряд q будет действовать магнитная
сила Fm= q(y X В), направленная влево по ходу движения. В результате
21
вектор скорости заряда начнет разворачиваться против хода часовой
стрелки (рис. 1.10, а). Если же заряд q отрицательный, то магнитная
сила будет действовать вправо по ходу движения, а разворот будет
происходить по ходу часовой стрелки (рис. 1.10,6). Уравнения движе-
ния запишем в проекциях на касательную и нормаль к траектории дви-
жения заряда:
dv л
тЛ=0
V2
т — = qvB
Р
v = у0 = const;
mv
р = —д- = const.
(1.28)
Из выражений (1.28) следует, что заряженная частица в магнитном
поле с индукцией В = const движется по окружности радиусом R = р
с постоянной по модулю скоростью, если ее начальная скорость vol В
(величина со = v0/R = qB/m называется циклотронной частотой).
Таким образом, электрическое поле разгоняет заряженные части-
цы (пример 1.1), а магнитное поле изменяет направление вектора ско-
рости v, т. е. разворачивает его в ту или другую сторону в зависимости
от знака заряда q и направления вектора индукции В. Такое «избира-
тельное» действие на заряды электрического и магнитного полей широко
используется в различных электронных приборах и ускорителях эле-
ментарных частиц. В случае совместного действия слабого электриче-
ского и сильного магнитного полей движение представляет собой быст-
рое вращение по окружности с циклотронной частотой со и относительно
медленный электрический дрейф центра этой окружности, т. е. движе-
ние происходит по некоторой спиралеобразной траектории.
Задание 1.4. Установите связь между величиной отклонения
электронного луча на экране осциллографа (рис. 1.11) и значением
напряженности Е между вертикально отклоняющими обкладками кон-
денсатора (начальную скорость v0 электронов и геометрические пара-
метры b и / считайте заданными).
Указание. Воспользуйтесь результатами решения примера 1.1
и определите проекции скорости ул, тангенс угла а и координату ум точ-
22
ки М на экране, т. е. отклонение электронного луча от оси х в верти-
кальном направлении.
Ответ. Отклонение луча пропорционально значению напряжен-
в/
ности постоянного электрического поля, т. е. ум = сЕ\ с =-9 (/ + 2Ь)—
2mvo
постоянная прибора, которая связана с удельным зарядом электрона*,
равным е/т.
Задание 1.5. Изучите движение положительного заряда q массой
т, расположенного между двумя положительными зарядами q{ = q2 =
= 2q, и определите частоту его малых гармонических колебаний вдоль
оси х (рис. 1.12).
Рис. 1.12
Указание. Составьте уравнение движения заряда q в поле, ко-
торое создают два неподвижных заряда q\ и q2, расположенных в точках
Xi = —b и х2 = Ь. В выражении для проекции результирующей силы
Fx = — 2q2bx/(лг0(Ь2 — х2)2) в случае малых колебаний (х<Ь) мож-
но пренебречь величиной х2 по сравнению с Ь2. В связи с этим получится
уравнение линейного осциллятора (х + и£х = 0), которое и определяет
частоту его колебаний.
Ответ. Частота (о0 = ^\[2q/(b^j momb)\ точка х = 0 соответ-
ствует положению устойчивого равновесия для центрального заряда.
Ускорители элементарных частиц. Рассмотрим принцип
работы циклических ускорителей, которые предназначе-
ны для разгона заряженных частиц до больших скоро-
стей. Это достигается в результате совместного действия
электрического и магнитного полей. Простейшим из них
является циклотрон, построенный американским физиком
Э. Лоуренсом (1901 —1958) в 1931 г. В основе работы цик-
лотрона лежит тот факт, что в однородном магнитном
поле период обращения заряженной частицы не зависит
от скорости, т. е. Г = 2n/co = 2л/и/(^В) = const (со =
= qB/m — циклотронная частота — см. пример 1.2).
Циклотрон состоит из двух металлических электродов
* Исследование движения частиц в поперечных электрических и
магнитных полях привело Дж. Томсона с сотрудниками к открытию
электрона и изотопов химических элементов, имеющих одинаковый
заряд ядер, но разные массы, т. е. разные удельные заряды q/m.
23
Рис. 1.13
(дуантов), имеющих форму половинок разрезанной невы-
сокой цилиндрической коробки (рис. 1.13). Дуанты, за-
ключенные в откаченный до высокого вакуума корпус,
помещены между полюсами сильного электромагнита. Он
создает однородное магнитное поле с индукцией В, перпен-
дикулярное к плоскости дуантов. На дуанты подается
переменное напряжение с циклической частотой со*, равной
циклотронной частоте со в заданном магнитном поле
(со* = со). Пространство внутри полых дуантов экраниро-
вано (Е = 0), и поэтому движущиеся там заряженные
частицы будут испытывать действие только однородного
магнитного поля (В = const). В результате заряженные
частицы внутри дуантов движутся по окружности радиу-
сом R = mv/(qB). В зазоре между дуантами, где пере-
менное электрическое поле перпендикулярно к магнитному
(E_LB), частицы будут ускоряться, поскольку частота
изменения электрического поля выбрана равной цикло-
тронной частоте. В самом деле, если в пространство меж-
ду дуантами (точка А) заряженная частица попадет в
момент, когда электрическое поле между ними максималь-
но (Е || v), то она будет ускоряться им и втягиваться в
один из дуантов, двигаясь в нем по окружности радиу-
сом /?, соответствующим полученному значению скорости
v и заданному значению магнитной индукции В однород-
ного поля.
За время, равное половине периода Г, электрическое
поле в зазоре изменит направление и достигнет макси-
мального значения, а частица, пройдя половину окружно-
сти, будет ускоряться, втягиваясь уже во второй дуант.
24
Во втором дуанте частица двигается по окружности уже
большего радиуса и с большей скоростью, но с тем же пе-
риодом Т.
Оказывается, что в циклотронах с напряжением U =
= Uo sin со*/ (Uo~ 105 В) можно сообщить заряженным
частицам, в частности протонам, энергию до 25 МэВ
(у ~7 - 107 м/с).
При больших энергиях, соответствующих релятивист-
ским скоростям частиц, начинает сказываться зависимость
массы частиц от скорости v (пг = т0/лЛ ^2/с2)-
Поэтому согласованность между изменением электриче-
ского поля в зазоре между дуантами и обращением заря-
женных частиц в дуантах нарушается (со =
= qB^J\ — у2/с2//ио =/= (о*).
Для сохранения равенства частоты электрического
поля и частоты обращения заряженных частиц делают
изменяющейся во времени частоту электрического поля
(о)* = /(/) — такие ускорители называются фазотронами)
либо при постоянной частоте электрического поля изме-
няют величину магнитного поля так, чтобы произведение
Вп/П- и2/с2 осталось постоянным,— такие ускорители
называются синхротронами*. Существуют циклические
ускорители, в которых изменяются обе названные вели-
чины,— синхрофазотроны. Они позволяют ускорить прото-
ны до энергий в несколько сотен ГэВ (HZ ~ 500 ГэВ)**.
Для ускорения заряженных легких частиц, например
электронов (Р-частиц), построены индукционные ускори-
тели, называемые бетатронами. В этом случае разгон
электронов осуществляется вихревым электрическим по-
лем, которое создается переменным магнитным полем
(см. закон электромагнитной индукции в § 4.5).
* Синхротрон — от греч. sy’nchronos — одновременный.
** Сверхпроводящий синхротрон национальной лаборатории
им. Э. Ферми (США) ускоряет протоны до энергии 1 ТэВ (106 МэВ).
25
Силы трения, сила ветра, химические
связи, вязкость, магнетизм, силы,
заставляющие вертеться колеса фаб-
рик и заводов,— все эти явления —
не что иное, как закон Кулона.
Дж. Р. Захариас
2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В ВАКУУМЕ
В данной главе изучаются законы взаимодействия
систем заряженных частиц или тел, которые неподвижны
относительно некоторой системы отсчета. В этом случае
магнитные силы отсутствуют, а взаимодействие осущест-
вляется посредством только электрического поля, назы-
ваемого электростатическим. Задача состоит в том, чтобы
для заданной конфигурации зарядов в вакууме или заря-
женных с той или иной плотностью заряда тел рассчи-
тать создаваемые ими электрические поля и исследовать
их основные свойства, а также условия равновесия заря-
дов в этих полях.
2.1. Электростатическое поле
точечного заряда и его свойства
Циркуляция напряженности поля. Напряженность Е
поля точечного неподвижного заряда определяется фор-
мулой (1.24), которая аналогична соответствующей фор-
муле для напряженности G гравитационного поля (см.
формулу (4.39) в первой части пособия, где единичный
вектор ег = г/г). Отсюда можно сразу сделать вывод о
том, что электростатическое поле заряда q также является
потенциальным. Работа сил такого поля не зависит от
формы траектории, по которой перемещается пробный
заряд. Значение работы определяется только начальным
и конечным положениями заряда (см. задание 3.8 в первой
части пособия). В этом случае работа А таких консерва-
тивных сил электростатического поля по перемещению
заряда вдоль замкнутого контура L равна нулю. Если при-
нять во внимание формулу (1.16) для силы F= ±<?Е, то
условие потенциальности можно связать с циркуляцией
вектора напряженности Е:
26
A = фр • d\ = 0=>фЕ • dl = O—циркуляция E
L L равна нулю.
(2.1)
Потенциал — энергетическая характеристика поля.
По определению, потенциальная энергия заряженной ча-
стицы равна работе А сил поля по ее перемещению из
заданной произвольной точки М поля на нулевой уро-
вень 0, где потенциальная энергия полагается равной
нулю (рис. 2.1). Поскольку для точечного заряда напря-
женность
Е ==-jJ— 4-г=>£(г)=-г1— (2.2)
4лео г3 v ' 4ле0 г
то при r= оо, т. е. на бесконечности, поле отсутствует.
Поэтому в качестве нулевого уровня для потенциальной
Рис. 2.1
энергии удобно взять бесконечно удаленную точку О
(го = оо). Тогда для F = <?E получим
П(г) = Лмо = $F • d\ = \qE(r)dl cos a =
L L
oo
_ qq C dr _ qq
4лео J г2 4леог
(2.3)
Поскольку потенциальная энергия пропорциональна
заряду q, находящемуся в поле Е заряда q, то можно
ввести энергетическую характеристику электрического
поля, которая не зависит от заряда q и определяется
только зарядом q, создающим это поле. Для этого нужно
потенциальную энергию П разделить на заряд q\
27
(2-4)
Ф=— — потенциал электростатического поля.
Q
Потенциал ф измеряется в вольтах* ([<?]= 1 Дж/1 Кл =
= 1 В).
С учетом выражения (2.3) запишем
1 q
Ф = -т— -— потенциал поля точечного за-
лео г ряда.
(2-5)
На рис. 2.2, а и б представлены соответственно зависи-
мости радиальной проекции напряженности Er = f(r) и
потенциала ф = ф(г) для положительных и отрицательных
точечных зарядов q.
Из формулы (2.5) следует, что эквипотенциальные по-
верхности (ф = const) потенциала точечного заряда явля-
ются сферами (рис. 2.2, в), как это и должно быть для
центрально симметричного поля.
Связь между напряженностью Е и потенциалом ф.
Из определения потенциальной энергии следует, что эле-
ментарная работа 6Л равна убыли потенциальной энергии:
6Л = — dll. Поэтому между силой и потенциальной энер-
гией существует дифференциальная связь (см. формулу
* Алессандро Вольта (1745—1827) —итальянский физик.
28
(4.30) в первой части пособия), которая приводит к ана-
логичному соотношению для напряженности E=F/<? и
потенциала ф = П/^:
бЛ = - (^dx + I^dy + ^dz) = - erad п •dr
s F • dr=s>E — —grad П/q = —grad<p (2.6)
или
f-= -(>'+>!+ 2k)=-^ (2.7)
Здесь введено символическое обозначение V (набла)
для векторного дифференциального оператора, вид кото-
рого следует из выражения (2.7):
V = + —оператор Гамильтона.
(2.8)
Сам по себе этот вектор (оператор) не имеет физиче-
ского смысла, однако после символического умножения
V на скалярную или векторную функцию получаются вы-
ражения, имеющие вполне определенный физический
смысл. Например, произведение V Ф определяет вектор
напряженности Е, а скалярное произведение V на вектор
А (х, у, z) — дивергенцию векторного поля А (см. прил. II).
Из дифференциального соотношения (2.7) следует связь
между единицами потенциала ф и напряженности
£[[£]= 1 В/м, см. текст после формулы (1.18)].
Поток вектора напряженности поля Е. Каждая точка
поля характеризуется определенным направлением векто-
ра Е и его численным значением Е = Е(х, у, z). Пусть в
неоднородном поле расположена элементарная площадка
dS так, что нормаль п к ней образует угол а с вектором Е
в центре этой площадки (рис. 2.3). Тогда величина
d®E = EdScos а = EndS = Е • dS (dS = ndS) (2.9)
называется потоком вектора Е сквозь элементарную пло-
щадку dS, а Еп = Еcos а — проекция вектора Е на нор-
маль к площадке. Для того чтобы найти поток Фе вектора
Е через некоторую поверхность S, нужно ее мысленно раз-
бить на элементарные участки площадью dS и проинтегри-
ровать (2.9) по заданной поверхности S:
29
Фе= \EndS = $EdScos(E, n) — поток вектора E.
s s
(2.Ю)
Поток вектора сквозь поверхность является скалярной
величиной, которая интегральным образом характеризует
рассматриваемое поле. Знак потока Ф зависит от выбора
направления нормали п к элементарной площадке dS по-
верхности S. Поэтому для определенности в случае замкну-
тых поверхностей поток рассчитывают.по отношению к ее
внешней нормали:
Фе = §Eds cos(E, n) — поток Е через замкну-
s тую поверхность.
(2.Н)
С помощью силовых линий можно наглядно предста-
вить не только направление, но и модуль напряженности
поля в данной точке пространства. Для этого их проводят
так, чтобы число и* силовых линий, пронизывающих еди-
ничную площадку, перпендикулярную к линиям напря-
женности, было равно значению модуля вектора Е в том
месте поля, где расположена эта площадка, т. е. п* = Е.
Тогда число линий dN, пронизывающих элементарную
площадку dS, нормаль п к которой образует угол а с век-
тором Е, будет равна потоку d$>E через выбранную пло-
щадку (рис. 2.4):
dN = n*dS± = EdS cos а = </Фе.
30
Из последней формулы следует, что, с одной стороны,
напряженность Е есть плотность числа силовых линий в
данной области поля (£ = dN/dS±), и поэтому интенсив-
ность поля, т. е. значение напряженности £, определяется
по густоте расположения силовых линий (см. рис. 2.3);
с другой стороны, напряженность £ совпадает с плот-
ностью потока поля Фе через поверхность S (£ =
= ^Фе/^5±). В связи с этим общее число W силовых
линий, пронизывающих замкнутую поверхность S, равно
потоку вектора Е через эту поверхность:
W = §dN = §>EndS=> N = Ф£. (2.12)
s s
Единица потока Фе следует из определения (2.9):
[ф£]= [£].[$]= 11. 1 м2= 1 В - м.
Электростатическая теорема Гаусса для поля точеч-
ного заряда. Рассчитаем поток вектора напряженности Е
сквозь сферическую поверхность радиусом г, охватываю-
щую точечный заряд q и совпадающую с эквипотенциаль-
ной* поверхностью (рис. 2.5,а). Согласно (2.12) и с уче-
том формулы (1.24) для напряженности £ поля, находим
поток Фе = N:
N = &EndS=§—2—2dS= 4 г4лг2 = -^-. (2.13)
j у 4ле0г 4ле0г е0 ' '
s s
* Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое
место точек в электростатическом поле, имеющих одинаковый потен-
циал, т. е. <р(х, у, z) = const.
31
Полученный результат справедлив и для замкнутой
поверхности S* произвольной формы (рис. 2.5,а), по-
скольку каждая силовая линия напряженности £, прони-
зывающая сферу S, пройдет и сквозь поверхность S*.
Если же замкнутая поверхность S** не охватывает за-
Рис. 2.5
ряд q, создающий поле (рис. 2.5,6), то общее число вхо-
дящих силовых линий будет равно числу выходящих.
Поэтому справедлива следующая теорема: поток вектора
напряженности Е электростатического поля точечного
заряда q через любую замкнутую поверхность S равен
<?/ео, если эта поверхность охватывает заряд q, и ра-
вен нулю, если поверхность S не охватывает этот заряд:
(Ь р ле __ — теорема Гаусса для на-
j п “10 пряженности Е.
(2.14)
Соотношение (2.14) является математической форму-
лировкой основной теоремы электростатики, установлен-
ной немецким математиком и физиком К. Гауссом (1777—
1855).
Задание 2.1. Убедитесь в справедливости соотношений, которые
приведены в табл. II.5 прил. II:
V Ф = grad ф, V • Е = div Е, V X Е = rot Е. (215)
Указание. Воспользуйтесь определением оператора Гамильтона
(табл. 11.3 прил. II) и выполните обычным образом умножение вектора
V на скаляр ф, а также скалярное и векторное умножение вектора V
на вектор Е (табл. 11.4). Поскольку вектор V (оператор Гамильтона)
32
в выражении (2.8) записан в координатной форме, то и вектор Е сле-
дует предварительно выразить через его проекции на оси декартовой
системы (Е = Ех\ + Eyj + Ezk). В этом случае векторное произведение
V X Е удобно представить в матричной форме:
(i j k \
£££ (2|6)
Е, Е, Е,)
Задание 2.2. Найдите дивергенцию и ротор напряженности Е элект-
ростатического поля точечного заряда q для произвольной точки про-
странства, исключая точку г = 0, в которой находится заряд.
Указание. Воспользуйтесь выражениями (2.1) и (2.14) для цир-
куляции и потока вектора Е и преобразуйте их с помощью векторных
теорем Стокса и Остроградского — Гаусса (см. прил. II).
Ответ. divE = 0, rotE = 0.
Задание 2.3. Докажите, что в каждой точке электростатического
поля силовые линии перпендикулярны к эквипотенциальной поверх-
ности, т. е. касательная к силовой линии направлена по нормали к по-
верхности ф(х, у, z) = const.
Указание. Воспользуйтесь формулой для работы 6Л на эле-
ментарном участке d\ между точками 1 и 2 эквипотенциальной поверх-
ности (ф1 = ф2, ^ф — 0).
Ответ. 6Л = qE • d\ = 0, следовательно, угол между Е и d\ равен
л/2, т. е. Е _L dl.
2.2. Принцип суперпозиции и теорема Гаусса
для системы зарядов и заряженного тела
Поле и энергия системы точечных зарядов. Если имеет-
ся система из некоторого количества неподвижных точеч-
ных зарядов qt(i =1,2, ..., m; рис. 2.6), то для определения
характеристик результирующего электростатического по-
ля можно воспользоваться принципом суперпозиции,
справедливость которого подтверждается на опыте. В свя-
зи с этим для потенциала ф (энергетической характери-
стики поля) и напряженности Е (силовой характеристики
поля) можно сразу записать выражения, которые опреде-
ляют результирующее поле в некоторой точке Р про-
странства:
т 1
<217>
E = S Е,. 6=-!-4г,. (2.18)
|=1 4лео н
33
Используя понятия напряженности Е и потенциала ф,
можно найти результирующую силу F, действующую на
любой заряд, помещенный в это поле, и работу A по пере-
мещению заряда q из точки М\ в точку М2 (см. рис. 2.6):
F = qE; А12 = — АП = — q(y2 — <pi) = ?Аф-
Здесь Аф = ф1 — ф2 — разность потенциалов начальной и
конечной точек перемещения заряда q.
Формула (2.3) определяет потенциальную энергию
взаимодействия двух точечных зарядов. Поскольку оба
заряда равноправны, то их потенциальную энергию целе-
сообразно выразить через потенциалы ф? и ф£ и записать
окончательное выражение в симметричной форме:
П(г|2) = —— = q 1 <pf = q2q* =
4ле0 fi2
= у(<71Ф* + <72ф?) = П1 + П2,
где ф? — потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке
расположения первого заряда; ф£ — потенциал, создавае-
мый первым зарядом в точке расположения второго.
Поэтому П1=^!ф^/2 и П2 = <72ф?/2 определяют соот-
ветственно энергию первого и второго зарядов, т. е. энер-
гия системы зарядов является аддитивной характеристи-
кой. В случае системы пг точечных зарядов общая потен-
циальная энергия равна сумме энергий каждого заряда,
находящегося в поле остальных m — 1 зарядов:
m m m ।
П=2 <219>
4=1 Z4=l /=#=4 П/
Здесь фх* — результирующий потенциал поля в точке рас-
положения заряда qt, который в силу принципа суперпо-
34
зиции равен сумме потенциалов, создаваемых всеми заря-
дами, кроме заряда qi. Поэтому в выражении (2.19) для
Ф* индекс / пробегает все значения от 1 до т, кроме j = z,
т. е. при определении потенциала фх* исключается так на-
зываемое «самодействие» заряда самого на себя.
Электростатическая теорема Гаусса для поля системы
зарядов. Если электрическое поле создается системой не-
подвижных точечных зарядов qi (z = 1, 2, ..., /и), то в соот-
ветствии с принципом суперпозиции (2.18) можно рассчи-
тать поток вектора напряженности Е результирующего
поля сквозь замкнутую поверхность S (рис. 2.7):
Ф£ = ^EndS = ^EindS = S §EindS. (2.20)
Поскольку поток вектора напряженности поля каж-
дого отдельного заряда равен нулю либо qi/eq [см. тео-
рему (2.14)], то для напряженности Е результирующего
электростатического поля справедлива следующая тео-
рема:
tyEndS = — УЧ — теорема Гаусса для
s 80 £1 поля системы зарядов.
(2.21)
Согласно теореме (2.21), поток вектора напряженности
электростатического поля системы зарядов через произ-
вольную замкнутую поверхность S равен деленной на ео
алгебраической сумме только тех зарядов qL, которые
охватываются этой поверхностью. Знак 2' как раз и ука-
зывает на то, что в правой части теоремы (2.21) суммиро-
вание выполняется только по тем зарядам (см. рис. 2.7),
которые находятся внутри замкнутой поверхности. Поток
35
напряженности полей зарядов, не охватываемых по-
верхностью S, равен нулю и не дает вклада в левую часть
соотношения (2.21), хотя значение напряженности Е ре-
зультирующего поля в каждой точке поверхности S за-
висит от значения и расположения всех зарядов системы.
Например, на рис. 2.7 заряды q\ и находятся с внешней
стороны замкнутой поверхности S, и поэтому в правую
часть теоремы (2.21) они не войдут.
Пример 2.1 (применение принципа суперпозиции к расчету поля
диполя). Электрическим диполем называется система двух равных и
противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на
расстоянии / друг от друга. Вектор I, направленный по оси диполя от
отрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя
(рис. 2.8). Произведение положительного заряда q на плечо диполя I
называется электрическим моментом диполя или дипольным момен-
том Ре:
ре = q\ — дипольный момент.
(2.22)
Найдем характеристики электрического поля диполя с помощью прин-
ципа суперпозиции.
Рис. 2.8
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции [см. вы-
ражение (2.18)] напряженность Е поля диполя в произвольной точке
равна сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдель-
ности: Е= Е+ + Е_. Для упрощения расчетов найдем напряженность
Е в точке Л, которая расположена на оси диполя (рис. 2.9). Положе-
ние точки А поля будем определять по отношению к центру О диполя.
Поскольку
1 1____________________________?__________
4лео г3+ 4лео (г — //2)2 /
1 <7Г- = _ 1__________Q ।
4ле0 г3_ 4лео (г -|- //2)2 /
36
то для напряженности Е в точке А, расположенной на оси диполя, по-
лучим
1 1
(r-l/2)2 (r-j-l/2)2
_ 1 2гр1
4ле0 (г2 — /2/4)2
Для достаточно удаленных точек поля (г »/) получим приближен-
ное выражение
Е ® ----г » А Р» II г- (2.23)
4ле0 г v '
Напряженность поля диполя ре в других точках пространства мож-
но рассчитать аналогично (см. задание 2.4) либо воспользоваться прин-
ципом суперпозиции для потенциала ф (который является скалярной
характеристикой, а потому рассчитывается проще, чем векторное поле
напряженности Е), а затем применить соотношения (2.7), т. е. опреде-
лить градиент потенциала ф (Е — —grad ф). В результате для произволь-
ной точки А поля, положение которой определяется вектором г, полу-
чаются следующие формулы (см. задание 2.5 и рис. 2.10, а):
Е _ _ дф _ 1 2ре cos 6
dr 4лео г3
_ _ дф _ дф _ 1 pesin 0
ds ~~ гд0 — 4ле0 73
Е(г, — 4л/1 +3cos20 .
4ле0 г3
(2-24)
(2-25)
(2.26)
(2.27)
Здесь Е, — проекция вектора Е на направление радиуса-вектора г
(радиальная составляющая поля), а £в — проекция вектора Е на на-
правление касательной к окружности радиуса г (см. рис. 2.10, а).
37
На рис. 2.10,6 схематично представлено поле диполя, силовые ли-
нии которого начинаются на положительном заряде, а заканчиваются
на отрицательном.
Применение теоремы Гаусса к расчету симметричных
электростатических полей. Если поле, созданное системой
зарядов, обладает центром симметрии, осью симметрии
или плоскостью симметрии, то напряженность такого поля
может быть рассчитана с помощью теоремы Гаусса. Как
правило, такая ситуация имеет место в том случае, когда
электростатическое поле создается тем или другим заря-
женным макроскопическим телом, обладающим соответ-
ствующим типом симметрии.
Для описания характера распределения заряда по
объему, поверхности или вдоль некоторой линии тела
используются соответственно объемная, поверхностная
и линейная плотности распределения заряда:
^ = dq/dV\ <s = dq/dS\ K = dq/dl, (2.28)
где dq — заряд соответствующего элемента тела: объема
dV, поверхности dS или длины dl.
Понятно, что поле заряженного тела можно рассчитать
с помощью универсальных формул (2.17) и (2.18), т. е.
с помощью принципа суперпозиции. Однако, как
мы скоро увидим, применение теоремы Гаусса в слу-
чае симметричных полей сильно выигрывает по сравнению
с прямым суммированием или интегрированием харак-
теристик полей, создаваемых элементарными зарядами
dq отдельных элементов заряженных тел (см. пример по
расчету гравитационного поля тонкого сферического слоя
в гл. 4 первой части пособия).
Пример 2.2. Рассчитаем поле бесконечной плоскости, заряженной
с постоянной поверхностной плотностью а.
Решение. На пробный (положительный) заряд q со стороны за-
ряженной плоскости будет действовать сила отталкивания при а > 0
(рис. 2.11, а) и сила притяжения при а < 0 (рис. 2.11,6). Из соображе-
ний симметрии следует, что эти силы будут перпендикулярны к заря-
женным плоскостям. Поэтому векторы напряженности E=F/<? рас-
положены перпендикулярно к плоскостям, которые являются одновре-
менно и плоскостями симметрии для электростатического поля (Е(х) =
= Е( —х)). Причем значения напряженности Е на одинаковых расстоя-
ниях х от заряженной плоскости будут равными (рис. 2.11, а). Учитывая
конфигурацию силовых линий поля, выберем замкнутую поверхность S
в виде поверхности кругового цилиндра с площадью основания AS и
боковой поверхностью S* (S = 2AS + S*). Поток <Df вектора Е через
боковую поверхность S* равен нулю (так как вектор Е параллелен обра-
зующим цилиндра), а через поверхность двух оснований поток напря-
38
Рис. 2.11
женности Е равен 2£(x)AS. По теореме Гаусса, этот поток равен делен-
ному на е0 заряду \q = oAS, который охватывается цилиндрической
поверхностью, т. е.
2£(x)AS = aAS/e0=^£(x)= =fonst. (2.29)
Z8o
Разность потенциалов двух точек поля, расположенных на рас-
стояниях Xi и х2 от плоскости (см. рис. 2.11, а), найдем с помощью
соотношения между потенциалом ф и напряженностью E = Exi(Ey =
= Ег = 0):
Е= — grad ф=>Ех = — dq)/dx=>d<p= —Exdx.
После интегрирования по ф от <pi до ф2 и по координате х от xt до
х2 получим
- , ч а . ч (2.30)
ф2 — Ф1 = — £х(х2 — Х1)=>ф1 — ф2 = 2^-(х2 — Х1).
Пример 2.3 (поле заряженной оболочки). Рассчитаем характеристи-
ки электростатического поля во внутренней и внешней областях равно-
мерно заряженной сферической оболочки радиусом R (q — общий заряд,
а а = q/(4jiR2)— поверхностная плотность заряда, рис. 2.12, а).
Рис. 2.12
Решение. Поле равномерно заряженной сферы центрально-сим-
метрично, т. е. вектор напряженности совпадает с направлением ра-
39
диуса-вектора г, а модуль вектора Е зависит только от модуля г (проек-
ция Ег на направление вектора г положительна при q > 0 и отрица-
тельна при q < О, Er — f(r)). Это обстоятельство является решающим
для применения теоремы Гаусса [см. формулу (2.21)]:
§EndS = 2 ' <7«/ео,
s
поскольку в этом случае замкнутую поверхность S можно выбрать в
виде сферы радиусом г, на поверхности которой напряженность Е(г) —
= const. Поэтому поток Ф£ = Е(г) • 4лг2, а охватываемый поверхностью
S заряд равен q. С учетом теоремы Гаусса запишем
Е(г) • 4лг2 = <?/е0=>Е =-------г > R. (2.31)
4лео г
Поскольку Е= — d<p/dr, то потенциал <р поля будет удовлетворять
уравнению
п 0
—=>^ф= -
г ф
dtp _ 1
dr 4лео
ф(г) = —Ч—, Г > R. (2.32)
4лео 3 г2 4леог
Здесь принято во внимание, что нулевой уровень для потенциала <р
находится на бесконечности (ф(оо) = 0).
Зависимости (2.31), (2.32), справедливые для г > /?, представлены
графически на рис. 2.12,6 и 2.12, а соответственно.
Если г < /?, то замкнутая поверхность S* не будет содержать внутри
себя зарядов, и, следовательно, напряженность Е поля внутри сфериче-
ской оболочки равна нулю (электрическое поле экранируется заряжен-
ной сферической поверхностью). Из условия Е = —d<p/dr = 0 следует,
что внутри сферы потенциал <р поля равен некоторой константе. По-
скольку потенциал <р поля непрерывен (нет скачков), то значение этой
константы определяется выражением (2.32) при г = R:
ф(И= 4пе0)? = const, г<Л. (2.33)
Аналогично можно найти характеристики полей в вакууме, созда-
ваемых другими заряженными телами с симметричным распределением
заряда (см., например, задание 2.6).
Задание 2.4. Рассчитайте напряженность Е поля диполя (при г » /)
в произвольной точке М, лежащей на перпендикуляре, восставленном
из центра диполя (рис. 2.13).
Указание. Проведите расчеты, основываясь на принципе супер-
позиции электростатических полей (см. пример 2.1). При этом примите
во внимание равенство модулей напряженности электрических полей,
создаваемых положительным и отрицательным зарядами диполя.
В связи с этим при г ± / для точки М поля вектор напряженности Е на-
правлен противоположно дипольному моменту ре, т. е. проекция Еу<0,
а Ех = Ez = 0.
Ответ. При г ± ре и г^1 проекция
1 £l=>e=______!_Р*
4лео г3 4лео г3
(2-34)
40
Задание 2.5. Определите потенциал <р и напряженность Е в произ-
вольной точке А поля, создаваемого электрическим диполем ре (см.
рис. 2.10, а).
Указание. Воспользуйтесь принципом суперпозиции и найдите
с помощью формулы (2.17) потенциал <р как функцию расстояния г и
угла 0 (рис. 2.14, г»/). Далее определите проекции вектора Е на на-
правление радиуса-вектора г (£г =—ду/дг) и на перпендикулярное
направление вдоль касательной к окружности радиусом г с центром
в точке О (Ее = —д<р/д$, $ = г0, см. рис. 2.10, а).
Ответ. Потенциал <р, проекции напряженности Е и его модуль
определяются по формулам (2.24) — (2.27).
Задание 2.6. Рассчитайте характеристики электростатического поля
бесконечной заряженной нити, если линейная плотность заряда одина-
кова по всей длине L нити (L = со, X = dq/dl = const).
Указание. Воспользуйтесь либо принципом суперпозиции, либо
теоремой Гаусса.
В первом случае (рис. 2.15, а) выделите элемент длины dl
нити и запишите выражение для напряженности dE поля элементар-
41
ного (точечного) заряда dq = kdl (см. формулу (2.18) для Е(=^Е при
qi = dq и г4 = г). Затем выполните суммирование напряженностей всех
элементов нити, заменив его интегрированием по углу а от он = О (для
нижнего бесконечно удаленного конца А нити) до а2=180° (для верх-
него бесконечно удаленного конца В нити):
Ex = ja£sina; Ey = ylE cos a; dE = —-----—.
А А 4яс° г
Во втором случае (рис. 2.15,6) в силу симметрии поля бес-
конечно длинной заряженной нити примените теорему Гаусса для
замкнутой поверхности S в виде цилиндра с основанием AS и высотой h.
Ответ.
1 21
Е = Ех = *-------напряженность поля за-
яе° х ряженной нити.
(2.35)
Задание 2.7. Определите напряженность Е и разность потенциалов
Аф поля двух бесконечных однородно заряженных плоскостей (поверх-
ностные плотности Oi и о2 равны по значению и противоположны по
знаку, т. е. oi = —о2 = о), находящихся на расстоянии d друг от друга.
Указание. Воспользуйтесь результатами примера 2.3 для поля
одной заряженной плоскости и примените принцип суперпозиции.
Ответ. Напряженность результирующего поля между заряжен-
ными плоскостями при Oi = — о2 = о удваивается (£ = о/е0), а во внеш-
ней области напряженности Ei и Е2 взаимно компенсируют друг друга
(Ei = — Ег), так что в наружной части поле отсутствует вовсе. Разность
потенциалов между плоскостями \q> = Ed. Локализация электростати-
ческого поля между заряженными пластинами при о, = —о2 исполь-
зуется при конструировании конденсаторов.
42
2.3. Диполь во внешнем электрическом поле
Действие поля на диполь. Если диполь находится в
однородном электрическом поле Е (рис. 2.16), то на
положительный заряд действует сила, направленная вдоль
поля (F = ^E), а на отрицательный заряд — противопо-
ложная по направлению сила F* = —^Е. Результирующая
сила равна нулю, поэтому однородное электрическое
поле не может вызвать поступательное движение диполя.
Под действием пары сил F и F* диполь будет вращаться.
Способность сил поля вызвать вращение определяется
моментом пары сил, который равен моменту одной силы
относительно точки приложения другой силы (например,
силы F относительно точки Л):
М = F • h = Fl sin = I X F.
Поскольку F = ^E, а дипольный момент pe = ^l, то
момент М можно выразить через характеристики поля
и диполя:
М = реХ Е — вращающий момент сил поля Е. (2.36)
Если поле неоднородное (рис. 2.17), то модули
сил F и F* не будут равны, и поле может вызвать посту-
пательное перемещение диполя. Найдем проекцию Fx силы,
действующей на диполь в поле, которое мало изменяется
на расстояниях \г ~ 1(1 — плечо диполя, рис. 2.17, а).
Проекцию результирующей силы Fx = qEx(rz) — qEx(r\)
можно выразить через градиент проекции напряженности
43
Ех. Для этого напряженность Ех(г?) в точке г2 разложим
в ряд Тейлора и ограничимся первыми членами разложе-
ния (г2 = Г1 + Дх • i + А// • j + Az • k):
£ж(г2) ® ЕХп) + + ^-Ьу +4га4
После подстановки в выражение для Fx получим
F* = <7(4г’Лх + + -JTAz) ^Fx = ре * gradf* <2-37)
Здесь принято во внимание, что I = Ах • i + • j +
+ Az • k, а ре = q\.
Поскольку градиент определяет направление наиболее
быстрого увеличения функции, то на диполи ре, ориенти-
рованные по полю Е, будет действовать сила F, которая
стремится втянуть диполь в область более сильного поля.
Диполи, ориентированные в противоположном направле-
нии, будут выталкиваться из области более сильного
поля в область более слабого.
Таким образом, неоднородное поле стремится вызвать
поступательное и вращательное движение z диполей.
Энергия диполя во внешнем поле. Потенциальная энер-
гия диполя (рис. 2.18) равна сумме энергий положитель-
ного и отрицательного зарядов, находящихся в точках
44
с потенциалом <р+ = <р(х + Дх, у + Дг/, z + Дз) и <р_ =
= <р(х, У, 2) соответственно. Поскольку ф+~ф_-|-
+ &у + -^-Az, то потенциальная энергия диполя
Пе = <7<р+ +(—9<р_) = <7(-^-Дх + 2Т-Д!/ +-^-Д2у
Если учесть связь между <р и Е (Е= —grad <р), а также
соотношение I = Дх • i + &у • j + Az • к, то выражение для
энергии диполя можно переписать в виде скалярного
произведения векторов ре и Е:
Пе = — q\ • Е = — ре • Е — энергия диполя в
электрическом
поле.
(2.38)
Пример 2.4. Исследуем зависимость потенциальной энергии диполя
от координаты х его центра масс и от угла а, определяющего ориентацию
диполя по отношению к напряженности поля бесконечной заряженной
нити (см. задание 2.6), и покажем, что диполь в этом поле находиться
в равновесии не может.
Решение. Напряженность Е поля заряженной нити определяет-
ся по формуле (2.35):
F - 1 —
4л8о х ‘
Поэтому для потенциальной энергии диполя с координатой х и
ориентацией а получим следующее выражение:
П,(х.«)=-р,.Е=-^--^. (2.40)
4л8о X v '
45
Рассмотрим несколько характерных ориентаций диполя (рис. 2.19, а),
для которых его энергия отрицательна (угол а острый), положительна
(угол а тупой) и равна нулю (угол а = 90°). Построим зависимости
потенциальной энергии от координаты х (для фиксированных ориен-
таций— рис. 2.19,6) и от угла а (для фиксированного значения
координаты — рис. 2.19, в).
При удалении диполя от нити его энергия уменьшается, если ди-
поль ориентирован против поля Е (а >>90°), и увеличивается при а<0.
Для всех фиксированных значений х энергия в зависимости от угла а
изменяется по гармоническому закону, причем ориентация диполя р4
по полю Е (а=0) соответствует минимуму энергии, а антипараллель-
ная ориентация диполя р5 отвечает максимуму энергии.
Найдем далее проекцию силы, действующей на диполь ре в неодно-
родном электрическом поле [см. формулы (2.37) и (2.35)]:
_ , _ дЕх кре cosa
Л = ре.гга<1£, = р.—cosa=-^-p-. (2.41)
На рис. 2.19, г представлена зависимость (2.41) для заданных
значений угла а. Видно, что на диполи, ориентированные вдоль поля Е,
действует сила притяжения к нити (Fx < 0), т. е. они втягиваются в
область более сильного поля. Если же угол а тупой, то проекция
Fx >> 0, и диполи выталкиваются в область более слабого поля (от-
талкиваются от нити).
46
Модуль действующего на диполь момента сил поля определим
по формуле (2.36):
М = peEsin а = S*n а . (2.42)
2л80 х
При фиксированном значении координаты х момент сил пропор-
ционален синусу угла а (рис. 2.19, д), т. е. изменяется по гармони-
ческому закону. Он равен нулю для параллельной (а = 0) и антипарал-
лельной (а =180°) ориентаций диполей. Если диполь ориентирован
перпендикулярно к полю Е, то момент сил максимален. Направление
момента сил, определяемого по правилу векторного произведения
(М = ре X Е), указывает на то, что силы поля стремятся сориентиро-
вать диполь по полю Е, т. е. расположить его так, чтобы угол а был равен
нулю.
В положении равновесия сила Fx и момент М должны обращаться
одновременно в нуль. Из рис. 2.19, а видно, что в том положении,
где сила равна нулю (а = 90°), момент сил максимален, а если момент
сил равен нулю (а = 0), то сила максимальна.
Таким образом, диполь в поле заряженной нити ни в каком положе-
нии в равновесии быть не может.
2.4. Дифференциальная форма
для циркуляции и теоремы Гаусса
Пара интегральных уравнений для электростатическо-
го поля. Свойства электрического поля неподвижных за-
рядов, распределенных в пространстве с объемной плот-
ностью р = р(х, yt z), определяются уравнением для цир-
куляции и потока вектора Е [см. выражение (2.1) и тео-
рему (2.21)]:
ф Е • d\ = 0 — интегральное условие по-
L тенциальности поля;
(^)E,ndS=^pdV—теорема Гаусса,
s v
(2.43)
Из рассмотренных в § 2.2 примеров видно, что исполь-
зование теоремы Гаусса для расчета поля Е ограничено
классом симметричных электростатических полей. В самом
деле, в случае произвольного неоднородного поля в левую
часть уравнений (2.43) будут входить значения напряжен-
ности Е для всех точек контура L или для всех точек
замкнутой поверхности S. Понятно, что найти выражение
для напряженности Е из уравнений (2.43) невозможно.
Для того чтобы получить «локальные» уравнения, со-
47
держащие характеристики поля в одной его точке (или
некоторой небольшой ее окрестности), будем уменьшать
размеры контура L и поверхности S так, чтобы в пределе
они превратились в точку. Практически это означает,
что размеры контура и объема, заключенного внутри
замкнутой поверхности, должны быть достаточно малыми,
причем их форма не играет роли в связи с последующим
упомянутым выше предельным переходом.
Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Выберем
в окрестности некоторой точки пространства бесконечно
малый прямоугольный параллелепипед со сторонами dx,
dy, dz (рис. 2.20). На грани 1 внешняя нормаль п направ-
лена в сторону, противоположную оси х. Поэтому для
потока вектора Е через левую и правую грани запишем
соответственно:
^Ф1 = — Ex(x)dydz\ d®2 = Ех(х + dx)dydz.
Суммарный поток
ЙФ12 = [£х(х 4- dx) — E^x^ydz = ^-dxdydz.
Аналогично находятся потоки через две другие пары
граней. Полный поток через всю поверхность параллелепи-
педа, объем которого dV = dxdydz\
d<1>==(-^- + -^- + -^)dxdydz = divE'dV- <2-44)
48
Здесь выражение в скобках определяет дивергенцию* век-
тора Е (см. табл. II.5 прил. II). По теореме Гаусса, поток
дФ равен заряду dq = pdV, деленному на ео (р — плот-
ность заряда). Приравнивая их и сокращая на dV, по-
лучим
div Е(х, yt z) = —р(х, yt z)—дифференциаль- 80 ная форма теоре- мы Гаусса. (2-45)
Следует заметить, что из полученного соотношения
(2.44) следует математически строгое определение дивер-
генции вектора А как предела отношения потока векто-
ра А сквозь замкнутую поверхность AS к объему AV, ог-
раниченному этой поверхностью, когда объем AV стре-
мится к нулю:
divA = (2.46)
AS
Аддитивность потока вектора А и понятие дивергенции
приводят к одной из теорем векторного анализа, которые
содержатся в прил. II (см. табл. II.5):
§AndS = $ div KdV — теорема Остроград-
s v ского** — Гаусса.
(2.47)
Если воспользоваться теоремой Остроградского —
Гаусса для А = Е, то электростатическая теорема Гаусса
сразу же преобразуется в свою дифференциальную форму:
$EndS = $ div EdV=> J div EdV = pd V=^div E = p/e0.
$ v V C° V
Поэтому в дальнейшем при аналогичных преобразованиях
мы будем сразу использовать теорему Остроградского —
Гаусса.
* Понятие дивергенция происходит от позднелатинского diver-
gentia — расхождение.
** М. В. Остроградский (1801 —1861/62) — русский математик,
акад. Петербургский АН.
49
Дифференциальная форма для циркуляции вектора на-
пряженности. Выберем в окрестности некоторой точки А
поля Е бесконечно малый прямоугольный контур Lyz со
сторонами dy и dz, плоскость которого перпендикулярна
косих (рис. 2.21, а). Запишем выражение для циркуляции
вектора Е по замкнутому контуру Lyz:
ф Е • di = Еу(х, у, z)dy + Ez(x, у + dy, z)dz —
— Ey(x, у, z + dz)dy — Ez(x, y, z)dz.
Преобразуем правую часть так, чтобы снова можно
было воспользоваться определением частных производ-
ных:
<2'48'
Для электростатического поля циркуляция Е по любо-
му контуру равна нулю [см. первое из уравнений (2.43)].
Поэтому, приравнивая последнее выражение к нулю и со-
кращая на dydz, получаем:
±^-^=0. (2.49)
ду dz v 7
Для двух других контуров (Lxy, Lxz) со сторонами dx,
dy и dx, dz получаются аналогичные выражения. Их
легко записать, если воспользоваться правилом цикли-
50
ческой замены индексов в выражении (2.49) с
учетом направления стрелок на рис. 2.21, б:
дЕх дЕг р дЕу дЕх
dz дх 1 дх ду
(2.50)
Выражения в левых частях соотношений (2.49) и
(2.50) определяют в общем случае проекции вектора,
который является ротором* (вихрем) вектора Е (см.
табл. II.5 прил. II). В связи с этим можно утверждать,
что для электростатического поля rotE равен нулю, т. е.
это поле безвихревое:
rot Е = 0 — условие потенциальности в диф-
ференциальной форме.
(2-51)
Аналогично тому, как понятие дивергенции породило
теорему Остроградского — Гаусса [см. теорему (2.47)],
так и понятие ротора приводит к теореме Стокса**, кото-
рая позволяет циркуляцию некоторого вектора А, т. е.
интеграл по произвольному контуру L, заменить потоком
ротора вектора А через поверхность S, натянутую на
этот контур:
ф А • d\ = $ (rot A)ndS — теорема Стокса.
L S
(2.52)
С помощью этой теоремы переход от интегрального
соотношения (2.43) для циркуляции Е к дифференциаль-
ному условию (2.51), содержащему ротор вектора Е, вы-
полняется в одну строку:
фЕ • dl = 0=>$ (rot E)ndS = O=^rot Е = 0. (2.53)
L S
Такие преобразования мы будем выполнять в дальнейшем
при изучении свойств магнитного поля в вакууме, а также
электромагнитного поля в вакууме и среде.
Дифференциальные соотношения для напряженности
Е электростатического поля. Проведенные в этом пара-
* Ротор от латинского слова roto — вращение.
** Дж. Стокс (1819—1903) —английский физик и математик.
51
графе преобразования интегральных выражений для цир-
куляции и потока вектора напряженности Е позволяют
выписать соответствующую им систему дифференциаль-
ных уравнений:
rot Е = 0 — условие потенциальности по-
ля;
divE = p/eo—теорема Гаусса.
(2.54)
Для описания свойств потенциального поля использу-
ется также потенциал ф, т. е. энергетическая характери-
стика поля [см. формулу (2.4)], с помощью которой опре-
деляют силу, действующую на заряд в поле, и потенци-
альную энергию этого заряда:
F = q Е = — q grad ф(х, у, z)\ (2.55)
Пе=^<р(х, у, z).
Воспользуемся оператором V [см. формулу (2.7)] и со-
отношениями (2.15) из задания 2.1 (£га<1ф = Уф; divE =
= V • Е). Сейчас теорему Гаусса можно переписать в сле-
дующем виде:
V-VT= — р(х, у, з)/ео=^2ф= — р(х, у, z)/e0,(2.56)
где v 2 = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2 — оператор Лапласа,
с которым мы уже встречались в первой части пособия при
изучении упругих волн (см. волновое уравнение) и кван-
товой механики (см. уравнение Шрёдингера и табл. Н.З
прил. II).
Таким образом, для расчета характеристик ф и Е поля
в общем случае [при произвольном виде зависимости р =
= р(х, у, z)\ необходимо решить дифференциальное урав-
нение в частных производных:
д2<р . д2<р . д2<р р у-,
+ — — — уравнение Пуас-
дУ2 дг2 е0 сона*
(2.57)
Полученные выше уравнения (2.54) и аналогичные
уравнения для магнитного поля являются основой для
* С. Пуассон (1781 —1840)—французский математик, механик
и физик.
52
формулирования уравнений Максвелла, описывающих
электромагнитные волны в вакууме и среде и представ-
ляющих собой фундамент современной классической элек-
тродинамики.
Задание 2.8. С помощью выражения (2.38) и формулы F =
= — grad П найдите проекцию Fx силы, действующей на диполь в не-
однородном поле Е = Е(х, у, z), а затем преобразуйте выражение для
проекции Fx к виду, который позволяет выразить Fx через градиент
Ех(х, у, z).
Указание. Воспользуйтесь соотношениями (2.50), которые
совместно с формулой (2.49) определяют потенциальность электриче-
ского поля (rot Е = 0).
дЕх дЕу дЕг
О т в е т.Гх = рх--h ру—---h рг -т— = Ре • grad Ех(х, у, г),
дх ду dz
Задание 2.9. Покажите, что момент сил, действующих на диполь
в электрическом поле, можно найти путем дифференцирования потен-
циальной энергии (2.38) по углу а, который определяет ориентацию
вектора ре по отношению к вектору напряженности Е.
Указание. Найдите производную дП/да от П=— cos а,
а результат сравните с формулой (2.36).
Один опыт я ставлю выше, чем тыся-
чу мнений, рожденных только вообра-
жением.
М. В. Ломоносов
3. МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В ВАКУУМЕ
Цель данной главы состоит в том, чтобы установить
условия существования постоянных магнитных полей и
законы взаимодействия их источников с полевой точки зре-
ния. Для этого будут рассмотрены способы расчета харак-
теристик магнитных полей, а также их основные интеграль-
ные и дифференциальные свойства.
3.1. Магнитное взаимодействие токов
Условия существования магнитостатического поля.
Мы знаем [см. соотношения (1.25)], что магнитная индук-
ция В движущегося точечного заряда в каждой точке про-
53
90°
B(X,9t2)
90Zi
[P(X,9,£)
BIVIIF
Puc. 3.1
странства зависит от времени даже в том простейшем слу-
чае, когда заряд движется равномерно*.
Эта неявная зависимость от времени возникает за счет
изменения направления и модуля радиуса-вектора г, со-
единяющего движущийся заряд и точку Р, в которой на-
блюдается поле В (рис. 3.1):
Цо qv X Г
4л г3
(3.1)
Однако имеется возможность генерировать в простран-
стве постоянное магнитное поле с помощью стационар-
ного потока заряженных частиц, параметры которого
не зависят от времени. В частности, это имеет место в том
случае, когда по некоторому неподвижному проводнику
проходит постоянный электрический ток. При этом элек-
трические поля положительных и отрицательных зарядов
электрически нейтральных проводников (например, ме-
таллов) взаимно компенсируют друг друга, и в окружаю-
щем проводник пространстве будет проявляться действие
только постоянного магнитного поля, т. е. магнитостати-
ческого поля.
Таким образом, для создания постоянного магнитного
поля нужно по неподвижному проводнику пропускать
постоянный электрический ток силой /:
* Понятно, что одновременно создается и переменное электриче-
ское поле, однако будем пока акцентировать все внимание только на
магнитном поле.
I = const — условие, обеспечивающее суще-
ствование магнитостатического
поля,
(3-2)
где I = dq/dt — сила тока, численно равная отношению
заряда dq, переносимого через поперечное (перпендику-
лярное) сечение проводника за бесконечно малый интер-
вал времени dt, к значению этого интервала, т. е. сила то-
ка 1 равна заряду, переносимому через сечение за единицу
времени. Направление тока в проводнике условились
определять по направлению электрического дрейфа поло-
жительных зарядов в проводнике. В общем случае сила
тока 1 создается как положительными, так и отрицатель-
ными движущимися зарядами, которые называются но-
сителями заряда.
Закон Ампера. Рассмотрим два проводника с токами,
силы /1 и /г которых не зависят от времени (рис. 3.2). Вы-
делим на проводниках элементы длиной dli, dh и обозна-
чим движущиеся в них заряды через dqi и dq2. Тогда на
основании формулы (1.15) можно записать выражение для
силы магнитного взаимодействия этих двух элементарных
зарядов:
dF12 = Ио d?1V| х М2*2 х г) (з з)
4л г3
где Vi и V2 — скорости носителей заряда в проводниках.
В формуле (3.3) и в последующих выражениях опу-
щен индекс пг у символа Fft для магнитной силы.
55
За время dt элементарный заряд dq сместится на d\ =
= vdt. Поэтому
dqv = = Id\ — элемент тока.
' nt
(3.4)
Воспользовавшись соотношением (3.4), выразим маг-
нитную силу 4/F12 [см. формулу (3.3)] через силы токов
/1 и /2:
dF12 = но М1.Х(М12Хг)_ закон Ампера* (3.5)
4л г
Из закона (3.5) и аналогичного выражения для силы
4/F21 следует, что взаимодействие элементов тока не удов-
летворяет третьему закону Ньютона (закон действия и
противодействия), т. е. F21 =/= F12 (см. рис. 3.3, а также
задание 1.3). Однако, как будет видно из дальнейшего,
результирующие силы взаимодействия замкнутых конту-
ров с токами (круговых токов) удовлетворяют этому за-
кону, так же как и силы взаимодействия параллельных
и антипараллельных токов в прямолинейных проводниках.
Сила Ампера. Закону Ампера можно придать полевую
трактовку, если считать, что каждый элемент тока (так
же, как и каждый точечный заряд) создает в окружающем
его пространстве магнитное поле, которое действует на
* А. М. Ампер (1775—1836) —французский физик.
56
другие элементы тока. Тогда магнитная сила dF12, действу-
ющая на элемент I\d\\ = dq\N\, может быть выражена в
соответствии q формулой (1.17) через индукцию магнитно-
го поля элемента тока /2^12 = dqzNz-
dF 12 = Iidli X d B2,
где индукция d&2 определяется выражением (1.25), если
только q заменить на dqz, а В — на 4/В2, т. е.
j D Но /2^2 X Г &
dB2=^-—— (3-6)
Выражение для силы dFi2 справедливо для любого
магнитного поля, и, следовательно, можно записать:
dFA = /dlXB — сила Ампера. (3.7)
В случае однородного поля В и прямолинейного про-
водника длиной / с током сила Ампера
Fa = /I X В =^Fa = IBl sin а, (3.8)
где а — угол между направлением силы тока I и вектором
индукции В. Направление силы Fa можно определить по
правилу векторного произведения либо по специальному
правилу (рис. 3.4), которое называют «правилом левой
руки»\ если ладонь левой руки расположить так, чтобы
в нее входили силовые линии магнитной индукции В, а че-
57
тыре вытянутых пальца расположились по направлению
тока силой 1 в проводнике, то отставленный на 90° большой
палец укажет направление силы Fa, действующей на про-
водник с током. Если угол а = 90° (sin 90°= 1), то из
соотношения (3.8) следует выражение для величины и
единицы магнитной индукции:
В=^[В] = = 1 Тл (тесла*). (3.9)
Магнитная индукция В численно равна силе, действую-
щей на проводник единичной длины, по которому течет
электрический ток единичной силы и который расположен
перпендикулярно к направлению однородного магнитного
поля [см. текст после формулы (1.20)], т. е. В — силовая
характеристика магнитного поля.
Закон Био — Савара — Лапласа. Французские физики
Ж. Био (1774—1862) и Ф. Савар (1791 — 1841) провели
в 1820 г. экспериментальное исследование магнитных по-
лей, создаваемых токами,** проходящими по тонким про-
водам различной формы. П. Лаплас (1749—1827) проана-
лизировал их экспериментальные данные и нашел, что
индукция магнитного поля любого тока может быть рас-
считана по принципу суперпозиции полей, создаваемых
отдельными элементарными участками тока (элементами
тока Id\), т. е.
В = JdB — принцип суперпозиции для ин-
дукции В.
(3.10)
При этом Лаплас получил выражение для элементар-
ной магнитной индукции dB поля, создаваемого элементом
тока Id\, которое совпадает с формулой (3.6) и носит имя
этих трех ученых:
dB = — Id^r— закон Био — Савара —
л г Лапласа.
(3.11)
* Никола Тесла (1856—1943) —сербский изобретатель в обла-
сти электро- и радиотехники.
** Действие электрического тока на магнитную стрелку было
открыто в 1820 г. датским физиком X. Эрстедом (1777—1851).
58
Рис. 3.5 иллюстрирует формулу (3.11) и взаимное рас-
положение векторов (вектор dB_Ldl и г, его направление
определяется по правилу векторного произведения вектора
d\ и вектора г).
В скалярной форме закон Био — Савара — Лапласа
имеет следующий вид:
, D цо Idl sin (dl, г)
~ 2
4л г
(3.12)
Пример 3.1 (применение закона Био — Савара — Лапласа к рас-
чету поля прямолинейного проводника). Пусть имеется прямолинейный
проводник по которому проходит ток / (рис. 3.6). Вычислим индук-
цию В магнитного поля, создаваемого этим током в некоторой точке Р,
находящейся на расстоянии х от проводника с током I.
Решение. Как видно из рис. 3.6, а, векторы (Лиг для всех эле-
ментов тока лежат в плоскости чертежа. Поэтому в точке Р все векторы
dB в соответствии с законом (3.11) направлены за чертеж перпендику-
лярно к его плоскости. В этом случае вектор db на рис. 3.6, а обознача-
ется кружком со знаком «X» в его центре — ® (обратное направление
индукции dB отмечается кружком, содержащим внутри точку— 0).
Поэтому индукция В результирующего поля, согласно принципу супер-
позиции [см. выражение (3.10)], будет направлена точно так же, а
численное значение вектора В найдем путем интегрирования выражения
(3.12), определяющего закон Био — Савара—Лапласа для модуля
вектора dB:
jy N
B = (3.13)
J 4л J r
M M
59
Поскольку г = x/sin а, а I = — х ctg а (расстояние / отсчитывается
от точки О, причем />0в направлении тока /), то dl = (dl/da) da =
= xda/sin2a. Подставив в формулу (3.13) выражения для г и dl, перей-
дем от интегрирования по I к интегрированию по углу а:
а2
В = 4—-A sin ada = 4~(cos а> — cos аг).
4nxJ 4лх
ai
(3.14)
Зависимость индукции В от положения точки Р на линии тп, нахо-
дящейся на расстоянии х от проводника с током, представлена на
рис. 3.6, б.
Если длину L проводника MN устремить в бесконечность, то угол
ai->0, а аг->л, и магнитная индукция В в любой точке Р на фиксиро-
ванном расстоянии х от проводника будет одинакова (х = const):
В = —— индукция бесконечного провод-
л ника с током.
(3.15)
Заметим, что формула (3.15) очень похожа на формулу (2.35) для на-
пряженности Е бесконечно длинной заряженной нити.
Направления векторов индукции В для различных точек поля, на-
ходящихся на заданном расстоянии х от прямолинейного проводника,
указаны на рис. 3.7, а. Очевидно, что силовые линии магнитной индук-
ции прямого тока представляют собой систему охватывающих провод-
ник концентрических окружностей, лежащих в плоскостях, перпенди-
кулярных к проводнику.
Из рис. 3.7, б видно, что направление магнитных силовых линий
соответствует правилу буравчика: если ввинчивать буравчик по направ-
лению тока в проводнике, то направление вращения рукоятки бурав-
чика укажет направление линии магнитной индукции. Линии магнитной
индукции не имеют ни начала, ни конца. Они либо замкнуты (как в дан-
дом примере), либо идут из бесконечности в бесконечность.
Рис. 3.7
60
Рис. 3.8
Пример 3.2 (расчет поля кругового витка с током). Определим ин-
дукцию магнитного поля в точке А, расположенной на оси кругового
витка с током (рис. 3.8).
Решение. В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа
вектор индукции dB поля элемента тока /dl перпендикулярен к плоско-
сти, образованной ради усом-вектором г и вектором /dl (рис. 3.8, а). По-
этому он образует с осью z угол у, равный углу р (у = р). Все остальные
элементы контура L создают магнитные поля, векторы индукции кото-
рых образуют конический веер (рис. 3.8, б), т. е. конус с углом 2у при
вершине А. В силу симметрии результирующий вектор В = ф^В будет
L
направлен по оси конуса, совпадающего с осью z. Тогда
L L L
Здесь учтено, что при интегрировании вдоль контура длиной L =
= 2nR модуль вектора г и угол у не изменяются, а значит, выносятся
за знак интеграла.
Выразим г и cos у (у = р) через координату z точки А и радиус R
витка с током (л2 = R2 + z2; cos у = cos р = R/r), а затем подставим их
в выражение для В. Получим
о __ Но 2jtR / _ Р-0 2рт р ZQ |
(316)
Здесь введен магнитный момент рт витка с током, численное значе-
ние которого определяется произведением силы тока / на площадь этого
контура с током (для кругового тока S = nR2):
61
pm = /Sn — магнитный момент витка с то-
ком;
п — единичный вектор нормали* к
витку
(3-17)
Направление вектора pm совпадает с направлением индукции В на
оси витка (рис. 3.9).
Следует обратить внимание на тот факт, что формула (3.16) для
магнитной индукции В на оси витка с током (магнитного момента
pm = IS) по своей структуре совершенно аналогична формуле (2.23)
для напряженности Е на оси диполя (электрического момента ре = ql).
Мы знаем, что эта аналогия не случайна, поскольку основной закон маг-
нитостатики (закон Ампера) в определенном смысле «копирует» основ-
ной закон электростатики (закон Кулона). Заметим, что математи-
ческое выражение закона Кулона переходит в формулу для закона
Ампера, если совершить замену символов зарядов q на произведение
dqv'X =ld\X. (X—символ векторного произведения). Этим формаль-
ным приемом можно с успехом пользоваться для запоминания более
громоздких и менее знакомых формул магнитостатики. В дальнейшем,
помимо указанной аналогии, мы установим и ряд существенных отличий
между электростатическим и магнитостатическим полями и проведем
детальное сопоставление их свойств.
В заключение отметим, что если провести детальное изучение маг-
нитного поля в других точках пространства, то в результате можно по-
строить линии магнитной индукции кругового витка с током. Поскольку
это поле имеет ось симметрии (ось витка), достаточно изобразить сило-
вые линии индукции В в плоскости, проходящей через ось симметрии
(см. рис. 3.10).
Магнитное взаимодействие двух прямолинейных и па-
раллельных проводников с током. На рис. 3.11, а изобра-
* Направление вектора п связано с направлением тока в витке пра-
вилом правого винта (буравчика), т. е. п и р„ — аксиальные векторы.
62
* U *4
a
Рис. 3.11
жены сечения двух прямолинейных и параллельных про-
водников, по которым проходят в противоположных на-
правлениях токи силой /1 и /2. Опыты показывают, что
такие проводники отталкиваются друг от друга. Найдем
силы магнитного взаимодействия этих проводников, осно-
вываясь на выражении (3.7) для силы Ампера. Мы уже
знаем, что каждый прямолинейный проводник с током
создает в окружающем пространстве магнитное поле,
индукция которого определяется по формуле (3.14) или
(3.15). На рис. 3.11, а изображены векторы индукции В>
и Вг магнитных полей, созданных соответственно током
силой 1\ в месте расположения проводника с током силой
/2 и током силой /2 в месте расположения проводника с то-
ком силой /ь Тогда на элементы di\ и db первого и второго
проводников будут действовать силы Ампера, определяе-
мые формулой (3.7):
dFi2 = /idli ХВ2; dF2i = hdl2 X Вь (3.18)
Если длина L проводников во много раз больше рас-
стояния х между ними, а элементы dl находятся вдали от
их концов (см. рис. 3.6), то при определении В\ и В2 можно
воспользоваться формулой (3.15) для бесконечно длинно-
го проводника. Тогда
Цо 2/1 Цо 2/2
£>1 = —-----, D2 = ~z----,
4л х 4л х
а значения модулей сил dFi2 и dF2i определяем из соотно-
шений (3.18):
dFl2 = -^--^-dll; dF2\ = ^^-dl2. (3.19)
63
Найдем силы, действующие на одинаковые по величи-
не участки I прямолинейных токов силами 1\ и /2. Для этого
выполним интегрирование формул (3.19) по dl\ и d/2 в пре-
делах от нуля до I (I меньше длины L проводников, см.
рис. 3.11, б). Получим
д’ д’ Но 2/1/2 .
FI2 = F2,= 47^-/.
(3.20)
Формула (3.20) используется для экспериментального
установления единицы силы тока. В СИ за единицу силы
тока—ампер (А) принимается'сила такого постоянного
тока (I\ = 12 = 1), который, проходя по двум прямолиней-
ным и параллельным бесконечным проводникам, располо-
женным в вакууме на расстоянии х= 1 м друг от друга,
вызывает между ними силу магнитного взаимодействия,
равную 2-10-7 ньютона на каждый метр длины. Напо-
мним, что единица сила тока — ампер является одной из
семи основных единиц СИ.
Задание 3.1. Установите, как должны быть ориентированы вектор
напряженности Е электрического поля, вектор индукции В магнитного
поля и вектор v скорости электрона, чтобы он мог двигаться в этих полях
равномерно и прямолинейно. Определите численное значе-
ние скорости электрона, если Е= 1000 В/м, а В = 0,1 Тл.
Ответ, v = Е/В.
Задание 3.2. Определите модуль и направление вектора В магнит-
ной индукции в центре кругового тока силой /1 и в точке пересечения
высот равностороннего треугольника, по которому проходит ток силой
/2 (/? — радиус витка; b — сторона треугольника).
Ответ. 5.= -^-; В2=^-.
3.2. Интегральные характеристики
магнитного поля
Поток вектора магнитной индукции. Поток вектора В,
или магнитный поток, сквозь поверхность S определяется
по формуле (см. также формулу (2.10) для потока напря-
женности Е)
<&m = \BndS— магнитный поток.
S
(3-21)
64
Если магнитное поле однородное, а поверхность S пло-
ская, то проекцию вектора индукции на нормаль можно
вынести за знак интеграла. Тогда получим
фш = Вп \ ds = BnS = BS cos (В, n).
s
В СИ магнитный поток Фш измеряется в веберах* (Вб).
За единицу магнитного потока 1 Вб принимается магнит-
ный поток сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2,
расположенную перпендикулярно к однородному магнит-
ному полю, индукция которого равна 1 Тл:
фш = В51=^[Фш]= 1 Тл • 1 м2=1 Вб (вебер). (3.22)
Отсутствие в природе элементарных «магнитных заря-
дов», аналогичных электрическим зарядам, приводит к то-
му, что линии индукции В магнитного поля не имеют ни
начала, ни конца, т. е. магнитные силовые линии замкнуты
(см. рис. 3.7 и 3.10). Следовательно, поток Фш через любую
замкнутую поверхность будет всегда равен нулю (поток
равен числу линий магнитной индукции, пронизывающих
замкнутую поверхность в направлении внешней нормали;
см. формулу (2.12) и рис. 3.12):
§BndS = 0 — теорема Гаусса для индук-
s ции В.
(3.23)
Закон полного тока. Для магнитного поля бесконечного
и прямолинейного проводника с током силой / (рис.
3.13, а) рассчитаем циркуляцию вектора В вдоль некото-
* В. Вебер (1804—1891) —немецкий физик.
65
Рис. 3.13
рого замкнутого контура L, охватывающего проводник
с током, т. е. вычислим интеграл вида фв • d\ [см. соотно-
L
шения (2.1)]. Для этого разобьем мысленно контур L на
элементы длиной dl. При вычислении циркуляции нужно
учитывать направление (знак) тока по отношению к вы-
бранному направлению обхода контура. Ток считается по-
ложительным, если его направление связано с направле-
нием обхода контура правилом правого винта (буравчи-
ка); ток противоположного направления считается отри-
цательным. С учетом выражения (3.15) и обозначений
на рис. 3.13, а найдем циркуляцию вектора В по контуру
L(x = h, dl* = dl cos(dl, B) = /ida):
ф В • dl = ф fid/cos(dl, В)=^ф^=-§Ц da = no7.
L L L 0
(3.24)
Рассмотрим далее случай, когда замкнутый контур L\
не охватывает проводник с током (рис. 3.13, б). Тогда ин-
теграл по L\ разделим на два интеграла:
4>B-dl = 5 B-dl + $ В-di.
Li Ia2 2dl
При интегрировании на участке 1а2 угол а изменяется
от a 1 до аг, а на участке 261 угол а изменяется от аг до а>.
Поэтому получим
аг а,
ф В • dl = da + J da) = 0.
Li ai аг
(3.25)
66
Объединяя две рассмотренные ситуации, запишем:
ро/ — контур охватывает провод-
фВ • d\ = ник с током;
l
О — контур не охватывает про-
водник с током.
(3.26)
Из соотношений (3.26) следует, что для магнитного
поля в вакууме циркуляция вектора индукции В по замкну-
тому контуру для прямолинейного проводника с током
равна произведению магнитной постоянной р0 на силу
тока I в проводнике, если контур L охватывает проводник
с током, и равна нулю, если контур не охватывает провод-
ник с током.
Оказывается, что это утверждение справедливо для
магнитных полей, созданных проводниками с током любой
формы и размеров, т. е. формулы (3.26) универсальны.
Поэтому если поле создается системой произвольных по
форме проводников с токами силой Л (/= 1,2, ..., N), то с
помощью формул (3.26) и принципа суперпозиции можно
рассчитать циркуляцию индукции В результирующего
п
поля (в= 2В<, В/ — индукция поля /-го проводника
с током):
N N N
фВ-^1 = ф2 В, • dl = 2фВг-й1 = Ио2,Л. (3.27)
L L i=i i=l i=i
Для выбранного на рис. 3.14 направления обхода кон-
тура L — по ходу часовой стрелки — токи силой Л, про-
ходящие за чертеж (®), следует считать положительны-
ми, а силы токов обратного направления (0)—отри-
цательными. Циркуляцйя индукции В токов, которые не
охватываются контуром L, равна нулю (например, токов
силами /3 и /5 на рис. 3.14), поэтому в правой части выра-
жения (3.27) суммирование выполняется только по тем
токам, которые охвачены выбранным контуром (на это
указывает штрих у символа суммы — S').
Из уравнения (3.27) следует, что циркуляция вектора
индукции В магнитного поля в вакууме вдоль произволь-
ного замкнутого контура равна произведению магнитной
67
постоянной р,о на алгебраическую сумму токов, охватывае-
мых этим контуром, т. е.
N
& В • d[ = цо 2 'Ц — закон полного тока.
L 1=1
(3.28)
Пример 3.3 (расчет поля тороида). Тороидом называется кольце-
вая катушка, имеющая форму тора, на которую намотаны витки про-
вода (рис. 3.15, а). Сечение тороида по осевой линии тора показано на
рис. 3.15, б.
Решение. Обозначим число витком тороида через W, а силу то-
ка в нем через /. Магнитное поле тороида можно рассматривать как
суперпозицию магнитных полей круговых витков с током силой / (рис.
3.15, в, см. также рис. 3.10). Тороид с тесно прилегающими друг к другу
витками представляет собой симметричный источник магнитного поля,
и поэтому линии магнитной индукции результирующего поля будут
иметь вид концентрических окружностей радиусом г с центрами на оси,
проходящей перпендикулярно к плоскости рисунка через точку О. Учи-
68
тывая направление индукции В в центре /-го витка с током (см. рис.
3.15, в), можно определить направление линий индукции В для резуль-
тирующего поля тороида (по ходу часовой стрелки на рис. 3.15, б). Оче-
видно также, что значения индукции В во всех точках замкнутого кон-
тура L, совпадающего с линией индукции магнитного поля тороида,
одинаковы, т. е. В = const на круговом контуре радиусом г.
Все сказанное выше позволяет применить закон полного тока для
определения индукции В в точках контура радиусом г. При вычислении
циркуляции будем обходить контур в направлении линий индукции,
т. е. по ходу часовой стрелки (см. рис. 3.15,6). Тогда
ф В • d\ = В • 2лл; г
L
а суммарная сила токов, охватываемых контуром L, равна NI. Прирав-
нивая в соответствии с законом (3.28) циркуляцию В к \jlqNI, получаем
N
В • 2лг = ik0NI=>B = ро/ -х— , R\ < г < R2. (3.29)
2лг
Если радиус г* кругового контура £♦ меньше Ri, то он не будет
охватывать токи (27,- = 0), и, следовательно, циркуляция В равна нулю:
В • 2лл* = 0=>В = 0, л<Яь (3.30)
Если радиус л** кругового контура L** больше #2, то алгебраи-
ческая сумма охватываемых токов также равна нулю (27, = NI — NI),
поскольку N токов идет за чертеж и столько же — в противоположном
направлении. Таким образом, магнитное поле вне тороида отсутствует,
оно сконцентрировано внутри тороида, причем индукция В зависит от г
[В = В(г) — см. соотношение (3.29)]. В случае тонкого тороида, когда
диаметр d витков мал по сравнению с радиусом R осевой линии тороида
(d = T?2 — R\, d < R = (Ri + Ri)/2), поле слабо изменяется внутри
тороида, и его можно приближенно считать однородным:
B(R) = = рол/— модуль индукции В тороида,
Z л а
(3.31)
где n = N/(2nR) — число витков обмотки тороида, приходящихся на
единицу длины осевой линии тороида.
Пример 3.4 (поле соленоида). Соленоид представляет собой ци-
линдрическую катушку, содержащую большое число витков провода,
по которым проходит ток силой /.
Решение. Если длина соленоида L во много раз больше диаметра
его витков, то такой соленоид можно рассматривать как малую часть
тороида бесконечно большого радиуса (R-^oo). Поскольку индукция
В тороида не зависит явно от радиуса R и общего числа витков W, а за-
висит только от их отношения п = N/(2лЯ), то значение индукции В
внутри соленоида будет определяться по той же формуле, что и для
тороида:
69
В = цол/ — модуль индукции В внутри соленоида;
n = N/L — линейная плотность числа витков соле-
ноида.
(3.32)
Экспериментальное исследование магнитного поля соленоида пока-
зывает, что поле внутри соленоида является однородным, а вне соленои-
да — неоднородным и очень слабым. Чем длиннее соленоид, тем меньше
значения магнитной индукции вне соленоида. Линии индукции В маг-
нитного поля соленоида схематично изображены на рис. 3.16, а. Для
сравнения на рис. 3.16,6 представлено магнитное поле постоянного
магнита.
Задание 3.3. Найдите магнитную индукцию В внутри соленоида
длиной L, если он имеет N витков, по которым проходит ток силой /.
Указание. Примените закон полного тока для контура ABCD,
изображенного на рис. 3.17, и примите во внимание, что поле внутри
данного соленоида практически однородно, а вне соленоида отсутствует
вовсе (В ~ 0).
Ответ. В = рол/, п = N/L.
Задание 3.4. Рассчитайте магнитное поле на оси соленоида дли-
ной L как результат суперпозиции полей отдельных витков с током
силой / (рис. 3.18), намотанных на соленоид с линейной плотностью п.
Указание. Поле Bi витка с номером i определяется по формуле
(3.16):
Bi
Но 2р„
-— ——— рт= I • TlR .
4л (fl2 + z?)3/2 ’
70
Поэтому результирующее поле
п N h=L-h
ZD _ Hop™ Y* 1 ЦоРт f ndz
‘ ~ L (/?2 + z2)3'2 =*S = ~2n~ J (/?2 + z2)3'2 '
4 = 1 4 = 1 -/1
При переходе от суммирования по виткам к интегрированию по z
учтено, что на длине dz соленоида на расстоянии z находятся ndz
витков. Интегрирование выполняется достаточно просто с помощью за-
мены переменных: z = /?ctga (см. рис. 3.18).
Ответ. B(/i) = — p0n/(cos a2 — cos ai).
3.3. Контур с током во внешнем
магнитостатическом поле
Действие однородного магнитного поля на контур с
током. Будем считать, что в механическом отношении
контур с током ведет себя как абсолютно твердое тело,
которое не деформируется под действием магнитных сил
поля. Расположим плоский контур произвольной формы
так, чтобы силовые линии магнитной индукции однородно-
го поля были перпендикулярны к плоскости контура
(рис. 3.19). На каждый выделенный элемент длиной d\
контура будет действовать сила Ампера
dF = MlX В,
причем все силы совпадают с направлением внешней
нормали для каждого элемента d\ контура и стремятся
71
его растянуть. Определим результирующую силу, дейст-
вующую на контур с током (В = const):
F = $dF = /$dlX B = /[$dl]x В = 0. (3.33)
L L L
Поскольку сила F равна нулю, магнитное поле не
может сообщить контуру с данной ориентацией ни посту-
пательного, ни вращательного движения.
Если изменить направление тока или направление ин-
дукции магнитного поля, то контур окажется в состоянии
всестороннего сжатия. При одновременном изменении на-
правления тока и магнитной индукции силы dF не изме-
няют своего направления.
Теперь расположим контур так, чтобы линии магнитной
индукции были параллельны плоскости контура
(рис. 3.20,а). Разделим площадь S контура на узкие, па-
раллельные направлению вектора В полоски шириной
72
dz и площадью dS = dz- \y. Тогда на ограничивающий
полоску dS левый элемент dl\ контура будет действовать
сила Ампера, направленная перпендикулярно к плоскости
рисунка:
dFi = Id\i X B=>dFi = IBdl\sin ai = IBdz.
На правый элемент dl2 полоски контура действует
противоположно направленная сила dF2 = — dFi(dF2 =
= /Bd/2Sina2 = IBdz). Эти силы образуют пару сил, вра-
щающий момент которой равен произведению модуля
силы на кратчайшее расстояние между линиями действия
сил dFi и dF2, т. е. на плечо пары h = hy\
dM = dF -h = IB- dS.
Суммируя моменты dM для всех полосок, приходим к ин-
тегралу по площади контура:
М = \dM = \lBdS = IBS = ртВ (pm ± В). (3.34)
S S
Здесь принято во внимание определение (3.17) для маг-
нитного момента рт = IS, направление которого согла-
суется с направлением тока в контуре с помощью правила
буравчика (рис. 3.20,6).
Далее рассмотрим самый общий случай ориентации
контура L по отношению к линиям магнитной индукции В
(рис. 3.21,а). В этом положении магнитный момент рт
образует с вектором В угол 0, поэтому разложим вектор В
на две составляющие, одна из которых (В±) перпендику-
лярна к плоскости контура, а другая (Ви) лежит в его
плоскости.
Из рассмотренных выше двух частных ситуаций сле-
дует, что вращающее действие оказывает только та со-
ставляющая вектора В, которая параллельна плоскости
контура, т. е. В». Следовательно, М = ртВ\\ =pmBs\n 0:
M = pmX В — вращающий момент сил поля,
см. рис. 3.21, 6.
(3.35)
Таким образом, магнитное поле стремится повернуть
контур с током так, чтобы его магнитный момент рт рас-
положился в направлении вектора В. Когда рт паралле-
лен В, момент сил поля равен нулю. Способность сил
73
магнитного поля поворачивать рамку с током широко
используется в процессе конструирования и создания раз-
личных электромагнитных приборов, а также электродви-
гателей.
Следует обратить внимание на аналогию в поведении
магнитного момента р™ в магнитном поле В и электри-
ческого момента ре в электрическом поле Е. Сравните фор-
мулу (3.35) с формулой (2.36), это позволит лучше по-
нять, запомнить и свободнее оперировать формулами дан-
ного раздела в дальнейших теоретических исследованиях
электромагнитных явлений, таких, например, как поляри-
зация и намагничивание вещества в электрическом и маг-
нитном полях.
Энергия контура с током во внешнем магнитном поле.
Силы магнитного поля стремятся расположить контур так,
чтобы его магнитный момент рш был параллелен вектору
В (в этом положении вращающий момент Ai=pmBsinO° =
= 0). Для того чтобы увеличить угол 0 между вектора-
ми рш и В на dp, нужно совершить работу против сил поля,
равную
6Л = Afdp = pmBsin pdp. (3.36)
Поворачиваясь на dp при возвращении в исходное по-
ложение, контур с током может совершить такую же ра-
боту над какой-либо механической системой (телом). Сле-
довательно, работа (3.36) равна убыли потенциальной
энергии П(Р), которой обладает контур с током в магнит-
ном поле В, т. е. dll = — pmBsin pdp. Проинтегрировав это
выражение по р в пределах от р до л/2 и выбирая нуле-
вой уровень энергии при р = л/2, получим
74
п/2
nm= — $ pmBsin 0d0 = — pmBcosp=^nm =
₽
= —pm • В — энергия контура с током в маг-
нитном поле.
(3.37)
Согласно выражению (3.37), потенциальная энергия
контура с током в магнитном поле равна скалярному
произведению рш и В, взятому с обратным знаком (см. фор-
мулу (2.38) для электрического диполя).
Как известно, положению устойчивого равновесия со-
ответствует минимум потенциальной энергии, который
достигается при параллельной ориентации векторов рш и
В (0 = 0). Противоположная ориентация (0 = л) отвечает
неустойчивому равновесию контура (по отношению к пово-
роту его плоскости).
Заметим, что потенциальная энергия, определяемая
формулой (3.37), представляет собой лишь ту часть пол-
ной энергии, которая связана с действием вращательного
момента (3.35).
Работа сил поля при поступательном движении кон-
тура в магнитном поле в общем случае не может быть
выражена через потенциальную энергию, поскольку маг-
нитное поле вихревое, а не потенциальное.
Действие неоднородного поля на контур с током. Если
размеры контура с током не очень велики, то влиянием
неоднородности магнитного поля на вращающий момент
можно пренебречь и считать, что формула (3.35) при-
ближенно определяет вращающий момент сил поля:
М ~ pm X В, В = В(х, у, z).
Однако в случае неоднородного магнитного поля дейст-
вие сил Ампера не сводится к возникновению только
вращающего момента. Из рис. 3.22 видно, что на контур
с магнитным моментом рш, сориентированным по полю,
действует отличная от нуля сила
F = /$dlXB(x, у, z)=#=0,
L
тогда как вращающий момент в таком положении контура
с током равен нулю. На элементы контура d\\ и dh, перпен-
дикулярные к плоскости рисунка, действуют силы dF" и
dFJ' которые определяются параллельными составляющи-
ми поля В в точках Р и N контура:
75
dF'{ = Id\x X Bn; dFj = Id\2 X B||.
Силы, определяемые перпендикулярными составляющими
поля (В±), стремятся растянуть контур данного положе-
ния и на рисунке не показаны.
Очевидно, что результирующая сила для всего конту-
ра с током направлена в сторону более сильного поля,
если вектор рт параллелен вектору В (контур втяги-
вается в область более сильного поля). Контур с противо-
положной ориентацией вектора рт будет выталкиваться
в область более слабого поля, если эта неустойчивая
ориентация каким-либо способом будет сохраняться. Вы-
ражение для силы, действующей на контур с током в неод-
нородном магнитном поле, можно получить, если восполь-
зоваться известной формулой для силы F как градиента
потенциальной энергии П(х, у, z, 0):
F = — grad П = grad(pm В)=>Л, = р,-^- +
+ р«т + р.т- ,3'38)
В том случае, когда поле в основном изменяется только
в направлении оси %, а в других направлениях изменяется
слабо, проекция силы Fx будет приблизительно равна
силе F, т. е.
Fx«F = pm-^cos р.
76
Рис. 3.23
Работа по перемещению участка проводника и контура
с токами в магнитном поле. Рассмотрим контур с током,
образованный неподвижными проводами и перемычкой АС
длиной /, которая может скользить по неподвижным про-
водам, как по направляющим (рис. 3.23,а). Предполо-
жим вначале, что контур находится в однородном маг-
нитном поле, индукция В которого направлена за чертеж.
Для указанных на рисунке направлений тока / и поля В
.сила Ампера для участка I контура (перемычки АС) будет
направлена слева направо (Ел = /1 X В) и равна произве-
дению ПВ. При перемещении перемычки вправо на dx
эта сила совершает работу
6Л = FAdx = IBldx = IBds = МФт, (3.39)
где dS = ldx\ d<&m — магнитный поток вектора В сквозь
площадь dS.
Интегрируя последнее выражение, находим работу для
конечного перемещения перемычки из положения 1 в по-
ложение 2:
2
А 12 = I $ (1Фт = /(Фт2 - Фт1) = /ДФт. (3.40)
1
Оказывается, что формула (3.40) справедлива для
случая перемещения перемычки произвольной формы в
любом неоднородном магнитном поле.
Итак, механическая работа по перемещению провод-
ника с током в магнитном поле равна произведению силы
тока на величину пересеченного участком проводника
потока магнитной индукции.
77
Покажем далее, что формулы (3.39) и (3.40) можно
использовать и в том случае, когда весь контур переме-
щается как одно твердое тело в некотором неоднородном
магнитном поле. Для этого мысленно разобьем контур L
на элементарные участки длиной dl и рассмотрим бес-
конечно малое перемещение всего контура (рис. 3.23,6).
При бесконечно малом перемещении элемента d\ магнит-
ное поле, в котором он движется, может считаться одно-
родным. В этом случае применимо выражение (3.39) для
элементарной работы 6Л = IBdS. Сложив элементарные
работы 6Л для всех элементов d\ контура L при его бес-
конечно малом перемещении, получим
64* = ф/BdS = /ф BdS = МФ*, (3.41)
L L
где ^Ф* определяет изменение магнитного потока через
поверхность контура S при его бесконечно малом сме-
щении.
Проинтегрировав выражение (3.41) по всем промежу-
точным перемещениям контура из положения / в положе-
ние 2, получим следующую формулу:
4|2 = /^Ф* = /ДФ*. (3.42)
1
Отличие формулы (3.42) от (3.40) состоит в том, что
в ней АФ£ представляет собой разность магнитных пото-
ков, пронизывающих поверхность жесткого контура во
втором (конечном) и первом (начальном) положениях,
тогда как в формуле (3.40) АФШ — магнитный поток
сквозь поверхность, прочерченную участком проводника
при его движении.
Заметим далее, что при выводе формулы (3.40) факти-
чески рассматривался «деформируемый» контур, посколь-
ку его размеры увеличились за счет перемещения одной
его стороны, т. е. перемычки. Это означает, что данные
формулы справедливы и в том случае, когда при движении
контура его размеры по какой-либо причине изменяются.
3.4. Дифференциальные соотношения
для индукции магнитного поля
Система двух интегральных уравнений для индукции В.
Индукция В магнитного поля удовлетворяет двум инте-
гральным уравнениям [см. (3.26) и (3.23)], которые
78
определяют ее циркуляцию по произвольному контуру L
и поток через произвольную замкнутую поверхность S:
фв • d\ = цо 2 'Л— закон полного тока; L ‘=1 (3.43)
фВл^5 = 0 —теорема Гаусса для ин- 5 дукции В. (3-44)
Поскольку циркуляция В по замкнутому контуру не
равна нулю, то это означает, что магнитное поле непо-
тенциальное, т. е. вихревое. Мы уже знаем, что ротор тако-
го поля не равен нулю (для потенциального, например,
электростатического поля rotE = 0).
Равенство нулю потока вектора В через любую по-
верхность S связано с тем, что линии индукции магнит-
ного поля замкнуты сами на себя, т. е. в природе нет «маг-
нитных» зарядов. Поэтому дивергенция вектора В будет
равна нулю (для электростатического поля div Е =
= S'?/eoj-
Выполним преобразование системы (3.43), (3.44) к
дифференциальной форме записи этих уравнений, осно-
вываясь на векторных теоремах Остроградского — Гаус-
са и Стокса [см. прил. II или формулы (2.47) и (2.52)].
Дивергенция индукции В. С помощью теоремы Остро-
градского— Гаусса [см. формулу (2.47)] интеграл от
проекции Вп(п — нормаль) по замкнутой поверхности S
можно заменить на интеграл по объему V от дивергенции
вектора В (объем V охватывается поверхностью S). Поэто-
му запишем:
$B„dS = 0=^divBdV = 0. (3.45)
S V
Последнее условие может выполнятся для произволь-
ного объема V только в том случае, если подынтеграль-
ная функция, т. е. div В, тождественно равна нулю в
каждой точке поля:
div В = 0 — дифференциальная форма тео-
ремы Гаусса для индукции В.
(3.46)
79
Рис. 3.24
Вектор плотности тока. Электрический ток как поток
заряженных частиц (носителей заряда) в проводнике мо-
жет проходить не только по набору изолированных тон-
ких проводов, а по всему пространству, занимаемому
некоторым объемным проводником (рис. 3.24,а). При этом
положительные и отрицательные заряды движутся по
сложным траекториям в противоположных направлениях.
Следовательно, значение силы тока А/, через выделенные
площадки AS, внутри проводника будет зависеть не толь-
ко от размера этих площадок, но и от их положения и
ориентации в объеме проводника V. Поэтому для харак-
теристики распределения тока в сплошном проводнике
вводится вектор j плотности распределения тока
(рис. 3.24,6). За направление вектора j выбирается на-
правление скорости движения положительных зарядов
в точке расположения выбранной элементарной площад-
ки dS, т. е. вдоль вектора v+ для скорости электрического
дрейфа зарядов q > 0.
По определению, вектор плотности тока численно ра-
вен отношению силы тока dl, проходящего через распо-
ложенную перпендикулярно к вектору j площадку dS±,
к этой площадке:
j = -£L=>dI = jdScos у, [/] = (3.47)
UO J_ IM
Для нахождения силы тока, проходящего через произ-
вольную поверхность S в проводнике, нужно ее мысленно
разделить на элементарные площадки dS и выполнить
80
интегрирование соотношения (3.47) по этой поверхности.
Тогда получим
/ = $ / cos ydS => I = $ jndS.
s s
(3.48)
Здесь jn = j cosy — проекция вектора j на направление
нормали к площадке dS.
Из выражения (3.48) следует, что сила тока / может
рассматриваться как поток вектора j через поверхность S,
и, следовательно, проекция jn является плотностью этого
потока.
Ротор индукции В. Если контур L находится в сплош-
ной проводящей ток среде, то значение суммарного тока,
фигурирующее в законе полного тока [см. выражение
(3.43)], может быть рассчитано по формуле (3.48):
n
2 'А = $ frdS, jn = / cos (n, j).
i=l S
(3.49)
Воспользуемся теоремой Стокса [см. формулу (2.52)]
для преобразования левой части уравнения (3.43), а сумму
в правой части выразим через поток вектора j плотности
тока [см. первое из соотношений (3.49)]. Тогда получим
интегральное уравнение
$ (rot B)ndS = iio\jndS^\ (rot В — pioj)ndS = О,
s s s
которое для произвольно выбранной поверхности S может
выполняться только в том случае, если подынтегральная
функция тождественно равна нулю в любой точке поля,
т. е. должно выполняться следующее векторное уравнение:
rot В = poj — дифференциальная форма для
циркуляции вектора В, т. е.
закона полного тока.
(3.50)
Сопоставление интегральных и дифференциальных ха-
рактеристик статических электрического и магнитного
полей. В разных местах данной главы мы имели возмож-
ность сопоставлять отдельные уравнения, законы, соот-
ношения и формулы, которые описывают свойства стати-
ческих электрического и магнитного полей, а также их
воздействие на заряды и электрические или магнитные
81
диполи. В табл. 3.1 для сравнения приведены основные
выражения и уравнения для электрического и магнитного
полей.
Таблица 3.1
Основные характеристики Поле
электрическое магнитное
Основной закон р 1 qiqir 12 = Л з 4лео г - Цо ?lV|X?2V2Xr г,2= Л з 4л г3
Силовое воздей- ствие поля на за- ряд F = ?E F = qy х в
Силовая харак- теристика поля то- чечного заряда Е=— 4 4лео г п ЦО ?УХг 4л г3
Энергетическая характеристика п с Ф=—, Е= — grad ф —
Поток
Циркуляция
Дипольный мо-
мент
Поле диполя на
его оси
Взаимодействие
диполя с внешним
полем
Потенциальная
энергия диполя
Интегральные
уравнения для по-
ля
Дифференциаль-
ные уравнения для
поля
Ф = \E„dS
s
фЕ-dl
L
Pe=q\
~ 1 2Ре
4ле0 г3
(J)=\BndS
s
$B- d\
L
Pm = /Sn, n ± S
~ Цо 2pm
4л r3
F = grad(pm • B);
M = Pm X В
П = —ре • Е
$E-dl = 0;
L N
§EndS = S 'qi/^o
S <=1
rot E = 0;
div E = p/e0
П = —Pm • В
N
ф в. d\ = po S' Л;
L <=1
§BndS = Q
s
rot В = goj;
div В = 0
82
Приходится удивляться не тому, что
Эрстед «случайно» открыл действие
электрического тока на магнитную
стрелку, а тому, что открытия нужно
было ждать целых двадцать лет с мо-
мента изобретения вольтова столба.
У. Брэгг
4. ВЕЩЕСТВО В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
Вещество, независимо от его природы и агрегатного
состояния (газ, жидкость, твердое тело), будучи поме-
щенным во внешнее электрическое или магнитное поле,
претерпевает определенные изменения. Это приводит к
возникновению ряда электромагнитных явлений, которые
в свою очередь изменяют поле как внутри этого вещест-
ва, так и за его пределами.
По отношению к действию электростатического поля
все вещества можно разделить на проводники, полупро-
водники и диэлектрики (табл. 4.1).
Характерным признаком проводников является нали-
чие в них так называемых свободных носителей заряда,
которыми являются: электроны в металлах (проводники
первого рода), ионы в электролитах (проводники второго
рода), электроны и ионы в ионизованных газах и плазме.
Под действием электрического поля эти заряды способны
перемещаться по проводникам и тем самым создавать
электрический ток, т. е. поток зарядов того или иного
знака.
Диэлектрики, состоящие из нейтральных атомов или
молекул*, практически не содержат свободных носителей
заряда и потому плохо проводят электрический ток, т. е.
являются в обычных условиях изоляторами. В зависимости
от химического состава и строения различают полярные
и неполярные диэлектрики**, а также ионные кристал-
лические диэлектрики и сегнетоэлектрики.
* Ионные кристаллические диэлектрики состоят из положитель-
ных и отрицательных ионов, образующих кристаллическую решетку.
♦♦ Дипольный момент молекул неполярных диэлектриков равен
нулю (ре=0), тогда как в случае полярных диэлектриков дипольный
момент молекул не равен нулю.
83
Таблица 4.1
Тип вещества Диамагнетик Парамагнетик
Неполярный диэлектрик Инертные га- зы, Н, Be, H2S, Н2, СН4, кри- сталлическая се- ра К, Rb, О, Cs, n2, О2
Полярный диэлектрик Н2О,(С2Н5)2О— этиловый эфир, NH3, СО2, SO2, ацетон, глице- рин, бензол HC1, NO
Ионный ди- электрик LiF, NaCl, CsCl FeCl2
Сегнето- электрик* BaTiO3 — ти- танат бария, NaKC4H4O6 X X 4H2O — сегне- това соль, КН2РО4
Проводник Zn, Си, Au, Hg, Bi, Sb, гра- фит Li, Na, Са, Al, Pt, W, V, Pd, Ce
Полупровод- ник Ge, Si, Se, Те, SiO2 — кварц, алмаз, Cu2O, А120з CuO
Ферромагнетик*
Ферриты
(CuOFe2O3,
ZuOFe2O3,
NiOFe2O3)
а-железо,
Со, Ni и их соли
* Сегнетоэлектрическое и ферромагнитное состояния вещества на-
блюдаются при температуре ниже точки Кюри (см. $ 4.1 и 4.4).
Полупроводники по своим электрическим свойствам
(электропроводимости) занимают промежуточное положе-
ние между проводниками и диэлектриками и обладают
рядом специфических свойств, объяснение которых воз-
можно только в рамках квантово-механического подхо-
да* (см. раздел «Строение вещества и его свойства»).
С позиции воздействия магнитостатических полей все
вещества называются магнетиками, причем в зависимости
от их молекулярного строения и поведения в магнитном
* В данной главе все экспериментально наблюдаемые явления в
основном интерпретируются с позиции классической физики.
84
поле различают диамагнетики, парамагнетики и ферромаг-
нетики.
Отдельные представители разных классов (видов) ве-
ществ, обладающих теми или иными электрическими и
магнитными свойствами, приведены в табл. 4.1. Следует
заметить, что некоторые вещества со сходными электри-
ческими свойствами, например металлическими, относятся
к различным типам магнетиков (медь — диамагнетик,
а железо — ферромагнетик).
4.1. Диэлектрики в электростатическом поле
Поле в диэлектриках. В естественных условиях и тех-
нических устройствах электрическое поле чаще существует
в диэлектрической среде (газ, жидкость, твердое тело),
чем в вакууме. Собственное электрическое поле в диэлект-
рической среде создается зарядами (электронами и про-
тонами), которые принадлежат отдельным нейтральным
микрочастицам (атомам и молекулам в полярных или
неполярных диэлектриках и сегнетоэлектриках) либо
ионам — в случае ионных кристаллических диэлектриков.
Поэтому эти элементарные заряды не могут свободно
перемещаться в объеме диэлектрика, и их называют свя-
занными зарядами (в отличие от свободных зарядов в
проводниках). Связанные заряды находятся в непрерыв-
ном внутримолекулярном движении, которое
накладывается на хаотическое (тепловое) дви-
жение атомов, молекул и ионов. Их результирующее
микроскопическое поле оказывается очень сложным, при-
чем оно сильно меняется на расстояниях порядка моле-
кулярных размеров. Однако при решении многих практи-
ческих задач возможно и достаточно рассмотрение по-
лей, усредненных по объемам, содержащим достаточно
большое число частиц диэлектрической среды. Структура
таких «сглаженных» полей, называемых макроскопиче-
скими, много проще, а описывающие их уравнения и
законы не очень сильно отличаются от аналогичных
зависимостей и соотношений для электростатических по-
лей в вакууме (см. гл. 2).
Диэлектрик во внешнем электростатическом поле.
Предположим, что электростатическое поле в вакууме
создано двумя бесконечными пластинами (рис. 4.1,а),
которым сообщили равные по величине и противополож-
ные по знаку заряды (q+ = —q- = q), т. е. имеем дело
85
с полем плоского конденсатора в вакууме (см. зада-
ние 2.7). Если пренебречь краевыми эффектами, то на-
пряженность Е однородного электрического поля внутри
конденсатора будет выражаться через разность потен-
циалов обкладок конденсатора (Е= —grad(p):
р _ Ф+ “ Ф- _ Лф /л 1 х
Ео ------2. (4.1)
Далее, не изменяя величины заряда q, заполним ди-
электриком все пространство между обкладками конден-
сатора, например установим стеклянную или пластмас-
совую пластинку толщиной h = d (рис. 4.1, б). Экспери-
менты по измерению разности потенциалов Аф* = ф+—
— Ф* в среде показывают, что всегда наблюдается ее
уменьшение по сравнению с Лф в вакууме. В результате
поле Е внутри диэлектрика будет меньше, чем в случае
вакуума:
£ = Дф^£ = Ео
а е
(4.2)
Величина е, которая показывает, во сколько раз ослаб-
ляется внешнее электростатическое поле в объеме вещест-
ва, называется диэлектрической проницаемостью этого
материала (например, для воздуха е= 1,0006, для воды
е ~ 81, см. табл. III. 1 в прил. III). Подчеркнем, что соот-
ношение (4.2) справедливо только для рассмотренного
здесь случая (см. рис. 4.1).
Следует отметить, что нахождение значения напряжен-
ности Е поля в диэлектрической среде по силе, дейст-
86
вующей на пробный заряд q, оказывается затруднитель-
ным, особенно, если диэлектрик твердый [это можно де-
лать при изучении полей в вакууме или газообразной
среде — формула (1.18)]. В этом случае напряженность Е
может находиться посредством измерения разности по-
тенциалов (т. е. по формуле Е = Acp/d), что обеспечивает
высокую точность и не нарушает структуру диэлектрика
(внесение пробного заряда приводит к изменению свойств
вещества в его окрестности — см. в § 5.3 явление сольва-
тации в полярных растворителях, т. е. диэлектриках).
Явление поляризации диэлектрика. В общем случае
ослабление поля внутри диэлектрика обязано возникнове-
нию объемных и поверхностных связанных электрических
зарядов. Так, в случае плоской однородной диэлектри-
ческой пластинки в однородном поле (рис. 4.1, в) на ее
противоположных поверхностях возникают заряды q'- и
q'+, знаки которых противоположны знакам зарядов на
ближайших обкладках конденсатора. Эти заряженные
поверхности образуют внутренний конденсатор, поле* Е'
которого направлено противоположно полю Ео внешних
обкладок. В результате происходит уменьшение электро-
статического поля внутри диэлектрика:
Е = Ео + Е'; £ = £0 — £' < £о- (4.3)
Ослабление поля внутри диэлектрика означает, что
часть силовых линий, начинающихся на положительной
обкладке (см. рис. 4.1, в), заканчивается на отрицательно
заряженной поверхности диэлектрика (пластины). Пре-
рвавшиеся (пунктирные) линии затем восстанавливаются
на положительных зарядах противоположной поверхности
и заканчиваются на отрицательной обкладке.
Возникновение под действием электрического поля на
поверхности диэлектрика электрических зарядов противо-
положных знаков, т. е. электрических полюсов, получило
название поляризации. В случае неоднородных диэлект-
риков, или внешних неоднородных полей, кроме поверх-
ностных, возникают и объемные связанные заряды. Эти
заряды в диэлектрике называются поляризационными
зарядами.
Поляризованность Р — количественная мера поляри-
зации диэлектрика. Возникновение поляризационных за-
* Здесь и далее для краткости используется термин «поле Е> вме-
сто «поле, напряженность которого Е>.
87
рядов на поверхности диэлектрика является макроско-
пическим проявлением тех молекулярных процессов, ко-
торые обусловлены действием электрического поля на
связанные заряды нейтральных микрочастиц (атомов,
молекул) или ионов (в кристаллических диэлектриках),
образующих диэлектрическую среду. Микрочастицы, об-
ладающие электрическим дипольным моментом ре (поляр-
ные молекулы*: ре= ql, I — плечо «жесткого» диполя),
ориентируются в направлении внешнего поля Е (см. § 2.3
и рис. 4.2,а). В результате на противоположных гранях
возникают поляризационные заряды, тогда как внутри
однородного диэлектрика заряды разных знаков в сред-
нем скомпенсированы.
Если нейтральная микрочастица в отсутствие поля не
имеет дипольного момента (атомы и неполярные молеку-
лы), то под действием поля ее связанные заряды противо-
положных знаков сместятся в противоположных направ-
лениях (положительные ядра — по полю, а электронные
оболочки — против поля, рис. 4.2,6). Микрочастицы при-
обретут дипольный момент который будет пропорцио-
нален напряженности Е поля. Такие диполи, возникаю-
щие при «деформации» атомов и молекул в поле, назы-
ваются квазиупругими диполями:
ре = еоосЕ — дипольный момент квазиупру-
гого диполя;
а — поляризуемость микрочасти-
цы**, [а]= 1 м3.
(4-4)
В случае ионных кристаллических диэлектриков по-
ложительные ионы сместятся по полю, а отрицательные —
против поля (рис. 4.2, в), т. е. их подрешетки как бы сдви-
нутся относительно друг друга на некоторую величину Л/.
В результате весь образец приобретет результирующий
дипольный момент P* = qkl, где q — общий положитель-
ный заряд образца, а на противоположных его гранях
возникнут нескомпенсированные заряды.
Возникающий во всех трех случаях дипольный момент
всего образца зависит от числа микрочастиц, находя-
* Значения электрических дипольных моментов молекул некото-
рых веществ см. в табл. III.3 прил. III.
** Поляризуемость некоторых атомов, ионов и молекул приведена
в табл. III.2 прил. III.
88
щихся в его объеме. Для характеристики степени поля-
ризации диэлектрика используется поляризованность
(вектор поляризации) Р, которая равна дипольному мо-
менту единицы объема диэлектрика с однородной либо
неоднородной (Р=Р(х, у, z)) поляризацией:
NN 2 Ре» поляризованность, или
Р = Пт-Ц^— - плотность, дипольного МО-
ДУ мента, [Р]= 1 Кл • м-2.
Здесь pek — среднее значение дипольного момента одной
микрочастицы; ДМ — число таких частиц в объеме ДК
Если концентрация молекул в газообразном неполярном
диэлектрике равна п(п = ДМ/Д V), то, учитывая выражение
(4.4), получим
р _ AAfepaE _ £qXe_поляризованность непо-
лярного диэлектрика;
х = ап — диэлектрическая вос-
приимчивость неполяр-
ных веществ.
(4.6)
В случае жидких и кристаллических неполярных ди-
электриков следует учитывать взаимодействие между
микрочастицами (атомами и молекулами). В результате
зависимость х от а и п становится нелинейной:
89
= у па — формула Клаузиуса —
Моссотти*.
Выражение (4.6) для Р формально сохраняет свой вид
и для всех остальных изотропных диэлектриков (поляр-
ных, ионных и сегнетоэлектриков). Однако восприимчи-
вость х в разных случаях ведет себя по-разному:
Р = еохЕ — поляризованность любого ди-
электрика.
(4.7)
Пример 4.1 (расчет поляризуемости а и восприимчивости х не-
полярных веществ). Рассчитаем дипольный момент атома водорода,
находящегося во внешнем электрическом поле (атомарный водород
является неполярным диэлектриком, т. е. ре = 0 при Е = 0).
Решение. Для наглядности воспользуемся классической моделью
атома водорода, согласно которой электрон движется вокруг ядра
по круговой орбите (модель Бора, рис. 4.3, а). Отрицательный заряд
быстро движущегося по орбите электрона можно рассматривать как
заряд, равномерно распределенный по окружности радиусом г = а0 (ао =
= 0,053 нм = 0,53 А—первый боровский радиус). При отсутствии
внешнего электрического поля (Е = 0) центры тяжести положительного
(протон) и распределенного отрицательного (электрон) зарядов совпа-
дают. Поэтому дипольный момент атома ре = 0 при напряженности £,
равной нулю.
Под действием электрического поля Е (рис. 4.3, б) протон сместит-
ся вдоль поля Е, а электронная орбита сдвинется в противоположном
* Р. Клаузиус (1822—1888) —немецкий физик, О. Моссотти
(1791—1863) —итальянский физик.
90
В первом приближении будем считать, что смещение А/ мало
(Д/ До), а радиус орбиты и скорость v электрона не изменяются
(г* ~ до). Тогда результирующая сила F* (см. рис. 4.3, б) будет равна
кулоновской силе FK, определяющей взаимодействие электрона с про-
тоном в отсутствие поля Е (см. рис. 4.3, д). Из подобия треугольников
следует, что
А/ Fe .. еЕг* 4леоДо с
= ^д/=/~У~Т " ~^Е-
\ 4леоДо /
Поскольку дипольный момент ре = ql(l = А/— плечо диполя), то
для индуцированного диэлектрическим полем дипольного момента ато-
ма водорода получим
ре = еД/ = ео • 4лдоЕ.
Сопоставляя последнее выражение с формулой (4.4) и учитывая вы-
ражение (4.6), запишем окончательные соотношения, которые ока-
зываются справедливыми для всех неполярных веществ (Vo = 4лд§/3 —
эффективный объем молекул):
ре = еоаЕ; а = 4лао = 3 Vo; х = ап = const;
Р = еохЕ — соотношения для электронной поляриза-
ции неполярных диэлектриков.
(4-8)
Ориентационная поляризация жидких и газообразных
полярных диэлектриков. В этом случае, как отмечалось
выше, поляризация преимущественно* осуществляется за
счет поворота под действием электрического поля молекул
с отличными от нуля дипольными моментами. Процессу
ориентирования диполей будет противодействовать дезо-
риентирующее влияние теплового движения молекул, ко-
торое в результате их столкновений расстраивает упо-
рядоченную ориентировку диполей по полю. Поэтому в
расчетах нужно учитывать оба этих фактора. Теория
поляризации полярных диэлектриков создана в 1912 г.
П. Дебаем** (1884—1966), который воспользовался ме-
тодикой расчета намагничивания парамагнетиков (см.
§ 4.4), разработанной в 1905 г. французским физиком
П. Ланжевеном (1872—1946). В расчетах пренебрегается
энергией взаимодействия между дипольными молекулами
* Одновременно имеет место и электронная поляризация.
** Петер Дебай — физик, родился в Нидерландах, учился и жил
в Германии, с 1940 г.— в США, иностранный член АН СССР (с 1924 г.—
иностранный член-корреспондент Российской АН).
91
диэлектрической среды и используется функция распре-
деления Больцмана, определяющая плотность вероятности
распределения диполей во внешнем поле E(f(x, у, z, 0) =
= Сехр{— П/(ЛТ)}, где С—постоянная нормировки; П —
потенциальная энергия; k — постоянная Больцмана).
Предположим, что концентрация молекул равна и,
а числовое значение их дипольного момента ре равно ро
(рис. 4.4, а).
Потенциальная энергия диполя во внешнем поле Е про-
порциональна косинусу угла 0 [П= —ре- Е= —poEcosO,
см. формулу (2.38)] и не зависит от угла ср, определяю-
щего положение перпендикулярной составляющей векто-
ра ре. Поэтому ее среднее значение будет равно нулю
(<p_i_> =0), а среднее значение параллельной состав-
ляющей (рн = ро cos 0) будет определяться средним зна-
чением cos 0. Таким образом, среднее значение вектора
ре = рн-|-р_1_ равно среднему значению вектора pR:
<ре> = <Рн> =po<cos0>e£,
где се=Е/Е — единичный вектор в направлении век-
тора Е.
Поскольку все молекулы в выделенном объеме AV
диэлектрика совершенно одинаковы, то дипольный момент
единичного объема диэлектрика, т. е. поляризованность
[см. выражение (4.5)], будет определяться по формуле
aw
2 <Ре*> ...
Р= ---= lim^-<Pe> = ^<cos0> Е. (4.9)
av+o AV r E
92
Для усреднения косинуса угла 0 найдем вероятность
dp* того, что ось диполя лежит в интервале углов от 0 до
0 + J0 (рис. 4.4, б). Эта вероятность равна произведению
функции распределения Больцмана на площадь элемента
телесного угла JQ, численно равного заштрихованной
поверхности сферы единичного радиуса [JQ = 2nsin0d0 —
элемент телесного угла, заключенный между образую-
щими двух конусов с углами при вершине 20 и 2(0 + J0)]:
dp* = 2nCePoEcosQ/(kT)sin 0d0.
Постоянную С определим из условия нормировки (р* =
= Jdp*=l), сущность которого состоит в том, что ве-
роятность обнаружить диполь с любой ориентацией 0 от
О до л равна единице, т. е. это достоверное событие, и его
вероятность р*=1. Поэтому с учетом обозначения а =
= pQE/(kT) получим
р* = 2 л С ( еа cos 9 si n 0d0 = - — Cea cos 0 Г=~(ea - e ~°) = 1,
и, следовательно, постоянная
2л(еа —e-a) ‘
Среднее значение косинуса угла:
Л л
< cos 0 > = $ COS 0dp* = 2лС j cos Qea cos 0 si n 0d0 =-
= 2nCI.
Выполним замену переменных z = cos 0 (dz =
= — sin0d0). Тогда интеграл 1 вычисляется по частям (и =
= 2; dv — eazdz\ du = dz; v = a~ie?z)'.
I = cos 0eacos0sin 0d0 = zeazdz = -2-eaz | (—
- 1 J eazdz = ±(ea + e-a) - ±(ea -
93
С учетом полученного выше выражения для нормиро-
вочной постоянной С запишем окончательное выражение
для среднего значения cos 0:
<cos0> =2лС/= — -+ e° + e~°=ctha--. (4.10)
а еа — е a v '
Функция L(a) = cth а----(cth а — гиперболический
котангенс, см. табл. II.1 в прил. II), определяющая зави-
симость среднего косинуса угла 0 от температуры Т и на-
пряженности Е (а = pJE/(kT)), называется функцией Лан-
жевена, которая графически представлена на рис. 4.5, а.
В соответствии с формулами (4.9) и (4.10) запишем окон-
чательные выражения для модуля вектора поляризации
Р= еохЕ [см. формулу (4.7)] и восприимчивости х поляр-
ного диэлектрика:
Р = пр0Ца); и=-^-Ца). (4.11)
Зависимость Р от Е (рис. 4.5, б) указывает на явление
насыщения при больших значениях напряженности Е или
низких температурах.
Если провести оценки при комнатных температурах
для реальных значений дипольных моментов ро, то для
a= 1 напряженность Е должна быть ~ 108 В/м, что пра-
ктически недостижимо. Это означает, что в реальных экс-
периментах величина aC 1 и явление насыщения для по-
лярных диэлектриков не наблюдается. В этом случае мож-
но разложить функцию Ланжевена в ряд и ограничиться
четырьмя первыми членами разложения функции е~2а\
L(a) = -± +
1 +e-2a
1 - е~га
94
’* 4а~2 8?— 3 ’
l-l+2a-2j +3!
В результате при pQE<^kT получим
Л про с про
Р= ^£=гЕ; х = ~--г+— соотношения для
ориентационной по-
ляризации полярных
диэлектриков.
Из выражений (4.12) видно, что для полярных диэлек-
триков диэлектрическая восприимчивость х^ 1/7 [в слу-
чае неполярных диэлектриков х не зависит от температуры,
см. формулу (4.8)].
Поляризация кристаллических диэлектриков. Сегнето-
электрики. Опыты показывают, что диэлектрическая вос-
приимчивость х твердых кристаллических диэлектриков
(полярных и неполярных) практически не зависит от тем-
пературы. Это означает, что в кристаллическом состоянии
имеет место электронная поляризация [см. выражения
(4.8) ], тогда как ориентационная поляризация не прояв-
ляется даже в случае полярных молекул [иначе воспри-
имчивость х зависела бы от температуры, см. формулу
(4.12)]. Поэтому восприимчивость полярных веществ
в кристаллическом состоянии существенно меньше, чем
в жидком. Например, вода при 18 °C имеет х = 80 (х =
= х(7)), а для льда х = const (х = 2,1 при t = — 18 °C).
Однако существует группа кристаллических диэлектри-
ков, для которых характерно резкое возрастание воспри-
имчивости х в некоторой области температур (значение х
достигает нескольких тысяч). Впервые такое поведение
вещества в электрическом поле было обнаружено сотруд-
никами И. В. Курчатова (1903—1960) при изучении
свойств сегнетовой соли (КаКС4Н40б • 4Н2О — двойная
соль винной кислоты). Это и послужило в дальнейшем
основанием для выделения специального класса диэлек-
триков — сегнетоэлектриков (см. табл. 4.1), обладающих
уникальным свойством^которое получило название гисте-
резиса (от гр. hysteresis — отставание, запаздывание).
В сегнетоэлектриках, так же как и в полярных диэлек-
триках (рис. 4.6, а), наблюдается явление насыщения для
95
поляризованности Р. Однако если при увеличении напря-
женности Е возрастание поляризованности Р определя-
ется кривой 1 (рис. 4.6, б), то при уменьшении напряжен-
ности Е имеет место «запаздывание» в уменьшении поля-
ризованности Р (кривая 2). Когда Е = 0, то Р=/=0, что
указывает на наличие остаточной поляризации у сегнето-
электрического образца (после выключения поля). Для
снятия остаточной поляризации нужно создать электри-
ческое поле противоположного направления (£=—£к,
£к — коэрцитивная сила, от лат. coercitio — удержива-
ние). Дальнейшее увеличение значения напряженности
£ (|£| > £к) приводит к возникновению поляризации об-
ратного направления (Р<0, продолжение кривой 2),
а уменьшение поля £ вновь характеризуется «запаздыва-
нием» (кривая 3). В результате периодического изменения
электрического поля £ от — £* до £* кривые 2, 3 для по-
ляризованности Р образуют характерную петлю гистере-
зиса. Кривая 1 называется основной кривой поляризации
сегнетоэлектрика. Из рис. 4.6, б видно, что зависимость
поляризованности Р от £ является неоднозначной функ-
цией напряженности. Для заданного значения £|<£*
Ьбразец может иметь одно из трех значений поляризован-
ности Р (Pi, Рг или Р3).
Экспериментальные и теоретические исследования по-
казали, что поляризация сегнетоэлектриков является след-
ствием взаимодействия всех молекул сегнетоэлектрика,
в связи с чем диполи элементарных ячеек кристалла вы-
страиваются в определенном направлении под действием
внутреннего электрического поля, созданного всеми сосед-
ними молекулами сегнетоэлектрика. При этом образуются
самопроизвольно поляризованные области — домены,*
* Домен — от лат. dominion — владение, владычество.
96
(рис. 4.7, а), в пределах которых все упомянутые диполи
ориентированы в одном направлении. Эта спонтанная
поляризация соответствует минимуму энергии домена. При
отсутствии внешнего поля дипольные моменты доменов
расположены хаотически и весь образец сегнетоэлектрика
не поляризован. Если такой сегнетоэлектрик поместить
во все возрастающее по модулю внешнее электрическое
поле Е (рис. 4.7, б), то происходят переориентация доме-
нов, а также преимущественный рост тех доменов, диполь-
ные моменты которых ориентированы по полю Е, и умень-
шение размеров доменов с противоположной ориентацией
дипольных моментов. В достаточно сильных полях насту-
пает явление насыщения (весь образец будет представ-
лять собой один макродомен, рис. 4.7, в).
Область сегнетоэлектрического состояния вещества
заключена между нижней и верхней температурами Кю-
ри* (для сегнетовой соли Пижн=255 К, а Перхн = 297 К).
Превращение сегнетоэлектрика в обычный полярный ди-
электрик может сопровождаться скачкообразным изме-
нением термодинамических функций — фазовый переход
первого рода (например, у титаната бария — ВаТЮз),
либо плавно — фазовый переход второго рода (например,
у сегнетовой соли).
При наличии анизотропии поляризованность Р оказы-
вается разной для различных направлений вектора Е по
отношению к направлению кристаллографических осей
образца. Это означает, что восприимчивость х для анизо-
тропных диэлектриков является тензорной величиной.
С ее помощью устанавливается связь между векторами
Р и Е, которые в этом случае** не параллельны друг другу:
А А X ^ХХ
Р = еохЕ, х —I хух
Хху Xxz
Хуу Xyz
Xzx ^>zy Mzz
(4.13)
и — тензор коэффициентов диэлектрической
восприимчивости.
* Пьер Кюри (1859—1906) — французский физик.
** С аналогичной ситуацией мы уже встречались в первой части
данного учебного пособия при расчете момента импульса твердого
тела (тензор моментов инерции), а также при описании деформаций
анизотропных тел (тензоры напряжений и деформаций).
97
Связь между поляризованностью Р и поверхностной
плотностью о' поляризационных зарядов. Выделим в окре-
стности некоторой точки А неоднородно поляризованного
изотропного диэлектрика элементарный объем AV в виде
наклонной призмы (рис. 4.8, а), образующие которой па-
раллельны вектору Р. Дипольный момент выделенного
элементарного объема равен произведению поляризован-
ное™ Р на его объем AV (Аре = PAV). С другой стороны,
поверхностные заряды на основаниях призмы образуют
электрический диполь (А/ — плечо диполя; Aq = o'AS —
элементарный заряд). Его дипольный момент &ре = Aqkl.
Приравнивая оба выражения для Аре, получаем
РАУ = o'ASA/=>PASA/cosp = o'ASA/=>Pn = o'. (4.14)
Таким образом, плотность поляризационного заряда
о' равна нормальной составляющей вектора поляризован-
ное™ Р (о' = Р cos р).
Избыточный связанный заряд поляризованного ди-
электрика. В диэлектрике на внешнее поле Е свободных
зарядов накладывается дополнительное электрическое
поле Е' связанных зарядов. Определим значение избыточ-
ного связанного заряда, который возникает внутри про-
извольной заданной замкнутой поверхности S при поля-
ризации диэлектрика (рис. 4.8, б). В самом деле, под дей-
ствием электрического поля связанные заряды всех моле-
кул сместятся, так что некоторые диполи окажутся разре-
занными этой геометрической поверхностью на две части.
Их положительные и отрицательные заряды будут нахо-
диться по разные стороны замкнутой поверхности S, и на
ее поверхности образуется поляризационный заряд q' =
= §PndS. В результате объем V диэлектрика,
s s
98
заключенный внутри замкнутой поверхности S, приобре-
тает избыточный связанный заряд, равный по значению
и противоположный по знаку наружному заряду q' (t/связ =
= -яУ-
1/сВЯЗ - -$PndS — связанный заряд.
S
(4-15)
Электростатическая теорема Гаусса для поля в веще-
стве. Электростатическое поле внутри диэлектрика созда-
ется свободными и связанными зарядами. Поэтому по
теореме Гаусса [см. уравнение (2.21)] для напряженно-
сти Е результирующего поля с учетом формулы (4.15)
запишем:
^EndS == “(^своб И- ^связ) ф (ео£ п “h Рп) dS = б/своб.
S С° S
Последнее соотношение приобретает очень простой вид,
если ввести вспомогательный вектор D, проекция которого
на нормаль к поверхности равна подынтегральному выра-
жению (Dn = zQEn + Рп):
D = еоЕ + Р — вектор электрического сме-
щения, [D]= 1 Кл • м-2.
(4.16)
Учитывая выражение (4.16), получим уравнение, кото-
рое определяет поле электрического смещения в диэлек-
трике:
99
§DndS = t/своб — теорема Гаусса для D.
s
(4-17)
Для изотропной среды с помощью соотношения (4.16)
и выражения (4.7) устанавливается однозначная связь
между вспомогательной характеристикой поля в диэлек-
трике (электрическим смещением D) и основной харак-
теристикой (напряженностью Е):
D = е0Е + eoxE=>D = е0(1 + х)Е. (4.18)
Величина 1 + х равна диэлектрической проницаемости
среды е (см. задание 4.1), которая была введена соотно-
шением (4.2):
е = 1 + х — связь между проницаемостью е
и восприимчивостью X.
(4-19)
Пример 42. С помощью теоремы о циркуляции напряженности Е
и теоремы Гаусса для электрического смещения D получим условия,
устанавливающие связь между характеристиками электростатического
поля на границе двух диэлектриков (рис. 4.9).
Решение. Применим теорему о циркуляции напряженности Е
по замкнутому контуру L (рис. 4.9, а), который вытянут вдоль границы
раздела диэлектриков. Будем стягивать этот контур к границе так,
чтобы длина его участков, пересекающих границу, стремилась к нулю.
В этом предельном случае вклад в циркуляцию будут вносить только
участки Д/ контура, которые параллельны границе. Тогда получим
ф Е • dl = 0=>Е1тД/ - ЕЙД/ = 0=>Е,т = Е1,.
L
Далее запишем теорему Гаусса (4.17) для замкнутой поверхности
S в виде короткого цилиндра с основанием Д5* (рис. 4.9, б). При неогра-
ниченном уменьшении образующих цилиндра поток вектора электри-
ческого смещения D через замкнутую поверхность S будет определяться
только потоком через верхнее и нижнее основания цилиндра. В резуль-
тате при отсутствии свободных зарядов на границе диэлектриков получим
фД.аД = 0=>D,„AS* - Dm&S* = 0=>Di. = D2„. (4.20)
s
Таким образом, на границе двух диэлектриков выполняются два соот-
ношения*.
Е,т = Егт! Di/i = £>2п — граничные условия.
(4-21)
100
Заметим, что при наличии свободных зарядов на границе раздела
£>2л — Din = о, где а — поверхностная плотность этих зарядов. Равен-
ство нормальных составляющих вектора D означает, что силовые линии
электрического смещения преломляются на границе двух диэлектриков
без изменения числа силовых линий AW, пронизывающих площадки
ASi и ДЗг (рис. 4.9, в):
D\ cos 0i = D2 cos 02=^ DibS* cos 0( = D2bS* cos 02=^
=>£)i AS i = D2\S2=>&N i = AW2.
Задание 4.1. Покажите, что нормальная составляющая напряжен-
ности электрического поля в диэлектрике уменьшается в е = 1 + х раз
(по сравнению с полем Eq в вакууме).
Указание. Воспользуйтесь граничными условиями (4.21) и соот-
ношениями (4.18) и (4.2).
Ответ. Е = Ео/( 1 + *); е = 1 4- *
Задание 4.2. Определите силу взаимодействия двух зарядов (qi
и q2) находящихся на расстоянии г в среде с диэлектрической прони-
цаемостью е.
Ответ.
F\2 = ----- -------закон Кулона для зарядов в среде.
4леое г
101
Задание 4.3. Установите связь между нормальными составляющими
напряженности Е и касательными составляющими электрического сме-
щения D на границе двух диэлектриков с диэлектрическими проницае-
мостями ei и е2.
Указание. Воспользуйтесь формулами (4.18) и (4.21).
Ответ. Е|П6| = Е2пг2; D^/ri = D2x/e2.
Задание 4.4. Получите закон преломления линий электрического
смещения на границе двух диэлектриков с диэлектрическими проницае-
мостями ei и е2 (свободных зарядов на границе раздела нет).
Указание. Воспользуйтесь граничными условиями (4.21) для
векторов Е и D.
Ответ, tg pi/tg 02 = ei/ег, т. е. имеется определенная аналогия
с законом преломления света в оптике.
Задание 4.5. Используя теорему Гаусса [см. формулу (4.17)],
найдите напряженность Е(г) и потенциал <р(г) электрического поля
системы свободных зарядов, распределенных с постоянной плотностью р
по объему диэлектрического шара радиусом R (е — диэлектрическая
проницаемость материала шара), который находится в воздухе (ев ~ 1
для воздуха).
Указание. Из соображений симметрии выберите замкнутую
поверхность S (сквозь которую вычисляется поток вектора электриче-
ского смещения D = еоеЕ) в виде сферы радиусом r<R при нахожде-
нии поля Е(г) внутри шара и г > R для внешней области шара, т. е. в воз-
духе, окружающем шар (центр сферы радиусом г совпадает с центром
диэлектрического заряженного шара). При нахождении потенциала
воспользуйтесь соотношением (2.7), т. е. решите дифференциальное
уравнение dq/dr = —Е(г) при г <z R и г >> R.
Ответ. Напряженность Е(г) = рг/(3еое) при r<R и Е(г) =
= р/?3/(Зе0г2) при r>R. Потенциал <р(г) = — рг2/(6е0е) + С при r<R
и ф(г) = р/?3/(Зе0г) при г > R.
Пьезоэлектрический* эффект. Опыты, проведенные
в 1880 г. братьями Пьером и Жаком Кюри, показали, что
при сжатии или растяжении некоторых кристаллов (кварц,
сахар, сегнетова соль, цинковая обманка и др.) возникают
поверхностные заряды, подобные поляризационным. Они
создают электрическое поле, напряженность Е которого
зависит от давления р (Е ~ р), т. е. механического напря-
жения. Этот эффект используется для измерения механи-
ческих напряжений, возникающих в деформированных
материалах (пьезодатчики).
Реализуется и обратный эффект: при внесении кварце-
вой пластинки в электрическое поле она деформируется.
* Пьезоэлектричество от греч. piezo — давлю и электричество.
102
В случае переменного электрического поля грани пластин-
ки вибрируют и, следовательно, являются источником
звуковых волн. Обратный пьезоэлектрический эффект
используется при создании пьезоэлектрических генерато-
ров ультразвука (см. § 9.6 в первой части пособия «Физика
для втузов. Механика. Молекулярная физика»).
Электрострикционный эффект. При внесении диэлек-
триков во внешнее неоднородное электрическое поле изме-
няются форма и объем образца (деформация). Это явле-
ние называется электрострикцией (от электро... и лат.
strictio — сжатие, натягивание). Следует отметить, что
электрострикция имеет место во всех диэлектриках
при помещении их в неоднородное электрическое
поле, тогда как обратный пьезоэлектрический эффект
наблюдается только в некоторых кристаллах, помещенных
в однородное электрическое поле.
Пьезоэффект пропорционален напряженности поля Е,
а электрострикция пропорциональна Е2. Поэтому электро-
стрикционные силы не меняют своего направления при
изменении направления электрического поля. Обратный
пьезоэффект изменяет свое направление при изменении
направления поля.
4.2. Проводники в электростатическом поле.
Энергия заряженных проводников и их полей
Явление электростатической индукции. К проводникам
относятся вещества, в которых имеются электрические
заряды, способные перемещаться под действием электри-
ческого поля по занимаемому ими объему. Проводниками
являются все металлы. Носители заряда в металлах —
так называемые свободные электроны, возникающие за
счет обобществления валентных электронов, которые,
утрачивая связь со «своими» атомами, образуют элек-
тронный газ в металле.
При внесении проводника во внешнее электрическое
поле Ее (рис. 4.10, а) свободные электроны приходят в дви-
жение и перераспределяются в проводнике до тех пор, пока
напряженность поля Е' внутри проводника не станет рав-
ной нулю. В связи с этим обратится в нуль и сила, дей-
ствующая на электроны в металле. Перераспределение
зарядов в проводнике под влиянием внешнего электроста-
тического поля называется явлением электростатической
индукции. Возникающие при этом на различных участках
103
поверхности проводника заряды называются индуциро-
ванными или наведенными (рис. 4.10, б). Если до внесения
в поле проводник был электронейтрален, то значения на-
веденных положительного и отрицательного распределен-
ных зарядов равны друг другу (£<?+ = —2?-).
В состоянии статического распределения зарядов,
кроме условия Е' = 0 внутри проводника, необходимо,
чтобы с наружной стороны на границе проводник — среда
вектор Е на поверхности проводника был направлен пер-
пендикулярно к его поверхности (см. рис. 4.10, б). В про-
тивном случае под действием составляющей Ет, касатель-
ной к поверхности проводника, свободные заряды переме-
щались бы по поверхности, что противоречит условию
статического распределения. Следовательно, поверхность
проводника является эквипотенциальной поверхностью
(ф= const). Так как внутри проводника £‘ = 0, весь объ-
ем проводника эквипотенциален, причем потенциал внутри
проводника равен потенциалу <р* на его поверхности.
Из уравнения (2.45) divE = p/e0 при Е‘ = 0 следует,
что р1 = 0, т. е. внутри проводника отсутствуют избыточ-
ные объемные заряды. Это означает, что индуцированные
заряды проводника концентрируются на его поверхности
в слое атомарной толщины. Конечно, внутри проводника
имеются как положительные, так и отрицательные заряды,
но они взаимно компенсируются. В целом внутренние об-
ласти проводника электрически нейтральны. Установление
равновесного распределения происходит чрезвычайно
быстро, в течение промежутка времени, называемого вре-
менем релаксации т и равного для металлов приблизитель-
но 10-19 с (см. задание 5.2).
Из сказанного следует, что в состоянии динамического
104
равновесия зарядов в проводнике должны выполняться
следующие условия:
Е1 = 0=^<р‘ = const=^pe = 0 — внутри про-
водника;
Е = Ел, ф = const — на границе раздела
проводник — диэлект-
рик.
(4.22)
Распределение избыточного заряда в заряженном про-
воднике. При сообщении проводнику избыточного (не-
скомпенсированного) заряда q он распределяется в соот-
ветствии с условиями (4.22), т. е. по его поверхности, ко-
торая является эквипотенциальной (рис. 4.11, а). Посколь-
ку поле внутри проводника отсутствует, а р1е = 0, любая
полость, вырезанная внутри сплошного металлического
образца, не будет влиять на уже установившееся равно-
весное распределение избыточного заряда q. Это означает,
что полости (области) внутри заряженных проводников
экранированы от воздействия на них электростатическо-
го поля. Такие заряженные проводники являются экрана-
ми, обеспечивающими электростатическую защиту вну-
тренних областей (полостей). Это учитывается при кон-
струировании различных электротехнических устройств,
находящихся под воздействием внешних электрических
полей. Обычно экраны изготавливают не из сплошного
проводящего металлического проводника, а из сетки с
105
мелкими ячейками. Опыт их использования показывает,
что экранирующая способность сетки несколько меньше,
однако изготовление таких экранов намного проще, де-
шевле, а значит, практичнее.
Если экран заземлить, т. е. соединить его проводником
с очень большим удаленным проводящим телом (обычно
Землей), то он экранирует внутреннее пространство от
зарядов, находящихся вне экрана. Незаземленный экран
такой экранировки не создает.
Найдем взаимосвязь между напряженностью поля Е
вблизи наружной поверхности заряженного проводника и
поверхностной плотностью а зарядов на его поверхности
(рис. 4.11,6). Для этого воспользуемся интегральной
теоремой Гаусса [см. формулу (4.17)]. В качестве замкну-
той гауссовой поверхности S выберем поверхность очень
короткого цилиндра, образующие которого параллельны
вектору внешней нормали п к элементу dS поверхности
проводника, а основания расположены по обе стороны от
этой поверхности. Так как поле внутри проводника отсут-
ствует, то суммарный поток вектора электрического сме-
щения D = еоеЕ через замкнутую цилиндрическую поверх-
ность определяется только потоком D сквозь наружное
основание цилиндра и равен DdS. Согласно теореме Га-
усса, этот поток равен алгебраической сумме зарядов dq,
охватываемых цилиндром (dq = adS), т. е. DdS = odS.
Отсюда
Е = —-----на поверхности проводника.
(4.23)
Из выражения (4.23) следует, что напряженность Е
электростатического поля вблизи поверхности заряженно-
го проводника определяется только поверхностной плот-
ностью а заряда, которая, как показывают измерения,
зависит от кривизны поверхности. Чем больше кривизна
поверхности, тем больше поверхностная плотность заряда
(см. рис. 4.11, а). Она особенно велика в окрестности вы-
ступов, так что при наличии острия вблизи его поверхности
может возникнуть ионизация воздуха под действием силь-
ного электростатического поля. В результате ионы придут
в движение и начнут увлекать за собой частицы воздуха —
возникнет «электрический ветер» в окрестности заряжен-
ного тела.
106
Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим
заряженный уединенный проводник, т. е. проводник, на-
ходящийся столь далеко от других тел, что влиянием их
электростатических полей можно пренебречь. Опыт пока-
зывает, что для погруженного в сплошной однородный
диэлектрик уединенного заряженного проводника спра-
ведливо соотношение, которое устанавливает пропорцио-
нальную зависимость между зарядом q и потенциалом ср
этого проводника:
q = С<р=^С = q/y — электроемкость про-
водника.
(4.24)
Согласно выражению (4.24), электроемкость С численно
равна заряду, который необходимо сообщить проводнику,
чтобы изменить его потенциал на единицу. В СИ единица
электроемкости — фарад (Ф):
— И = 1 Кл = 1 ф
[Ф] 1В 1
Определим электроемкость С заряженного уединенно-
го проводящего шара радиусом /?, находящегося в среде
с диэлектрической проницаемостью е. В этом случае сооб-
щенный проводнику заряд q распределяется равномерно
по его поверхности (а = ^/(4л/?2)). Используя теорему
Гаусса для электрического смещения D = eoeE [см. фор-
мулу (4.17)], получим выражение для напряженности Е
в диэлектрической среде (см. также пример 2.3):
D(r) • 4лг2 = q=>E(r) = -±- -J-, г > R. (4.25)
*tJIEqE г
Воспользовавшись соотношением Е = — grad ср, най-
дем потенциал для поверхностно заряженного провод-
ника в среде: 1
О оо
^=-Е(г)^Л<1ч=--£Д ^ф(г)=^Ь.-£.(4.26)
ИГ 1 TJlcQc J f tJltO'' Г
ф г
Здесь принято во внимание, что нулевой уровень для ср,
т. е. потенциальной энергии, находится в бесконечности
(ф(оо) =0). Из сопоставления выражений (4.24) и (4.26)
при r = R следует формула для электроемкости С шара:
107
С = 4леое/? — электроемкость уединенного
шара.
(4-27)
Опыт показывает, и это видно из формулы (4.27), что
электроемкость С тел определяется только их геометриче-
скими размерами (формой) и диэлектрической проницае-
мостью е окружающей среды, т. е. не зависит от заряда.
Оценим радиус шара, обладающего электроемкостью
С в один фарад, при е = 1 (е0 = 0,885 • 10“11 Ф • м ~ ’):
4леое
1
4л-8,85- 10“12
= 9 • 109 м = 9 • 106 км.
Полученное значение R = 9 • 106 км много больше радиуса
Земли (/?з — 6,4 • 103 км)! Это означает, с одной стороны,
что С = 1 Ф является очень большой электроемкостью,
и в связи с этим широко используются дольные единицы
электроемкости (мФ, мкФ, пФ и т. д.); с другой стороны,
из проведенной оценки следует, что уединенные провод-
ники обладают малой емкостью. Поэтому в технических
приложениях используются конденсаторы и батареи кон-
денсаторов, соединенных тем или иным способом.
Конденсаторы и их электроемкость. Два разноименно
заряженных проводника определенной геометрической
формы при некоторой взаимной ориентации относительно
друг друга способны создавать электростатическое поле,
которое полностью или практически полностью сосредо-
точено (локализовано) в ограниченной области простран-
ства между этими проводниками (см. задание 2.7). Такая
система двух проводников называется конденсатором,
а сами проводники — его обкладками. Электроемкость
конденсатора
С = —ч-— - ±, (4.28)
ф! — ф2 U ' '
где q — заряд одной из обкладок (для определенности
положительный), а ф| — <р2 = U — разность потенциалов
между обкладками конденсатора, которые являются экви-
потенциальными поверхностями.
В зависимости от формы обкладок различают плоский,
сферический и цилиндрический конденсаторы, емкости
которых определяются формулами, приведенными на
рис. 4.12.
В качестве примера рассчитаем емкость плоского кон-
108
I <1 7
1 Re
~oT
a
денсатора (рис. 4.12, а), состоящего из двух параллельных
металлических пластин площадью S каждая, расположен-
ных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды
+ q и — q. Если расстояние между пластинами мало по
сравнению с их линейными размерами, то краевыми эф-
фектами можно пренебречь и поле между обкладками
считать однородным. Тогда разность потенциалов Дф меж-
ду обкладками равна ф| — ^2 = Ed (см. задание 2.7).
Если между обкладками находится диэлектрик (е>1),
то поле Е уменьшается в е раз (Е = а/(еое)), так что для
плоского конденсатора получим (см. формулу (4.28),
q = oS):
Ф1 — ф2 = —d=>C = —--------электроемкость
еое и
плоского кон-
денсатора.
(4.29)
Кроме электроемкости, конденсаторы характеризуются
также пробивным напряжением, которое зависит от
свойств диэлектрика, помещенного между обкладками
конденсатора. В случае необходимости конденсаторы мож-
но соединять в батареи. На рис. 4.13, а показано парал-
лельное, а на рис. 4.13, б — последовательное соединение
конденсаторов в батарею. Электроемкость батарей кон-
денсаторов определяется следующими формулами (см.
задание 4.8):
109
п
С = S Ci — при параллельном соединении;
i= ।
1 V 1
> -т;—при последовательном соеди-
С / j
нении.
(4.30)
(4-31)
Задание 4.6. Проанализируйте и сопоставьте две различные ситу-
ации, возникающие при соприкосновении заряженного шарика в пер-
вом случае свнешней, аво втором случае с внутренней поверх-
ностями полого проводника. Что произойдет при многократном повто-
рении этих операций в обоих случаях?
Указание. Смотрите условия (4.22) для распределения избы-
точного заряда в проводнике и рис. 4.11, а.
Ответ. Можно как в первом, так и во втором случае постепенно
увеличивать заряд q полого проводника до некоторого предельного зна-
чения. Однако максимально возможное значение заряда q* может быть
достигнуто во втором случае. Это произойдет, когда утечка заряда с
наружной поверхности из-за электрического разряда на границе с окру-
жающей средой (например, воздухом) сравняется с зарядом, который
подводится с внутренней стороны. Такой принцип реализован Ван-де-
Граафом (1901 —1967) при построении электростатического генератора.
Задание 4.7. Получите формулы для электроемкости сферического
(см. рис. 4.12,6) и цилиндрического (см. рис. 4.12, в) конденсаторов.
Указание. Выполните расчеты, аналогичные тем, которые при-
вели к формуле (4.27) для уединенного проводника (см. также пример
2.3 и задание 4.5). Интегрирование проведите по г от /?| до /?2, а по ф от
ф! ДО ф2-
Ответ. Окончательные формулы для С приведены на рис. 4.12.
Задание 4.8. Получите формулы для электроемкости С батареи
конденсаторов при их параллельном и последовательном соединении
(см. рис. 4.13). Для каких целей, т. е. в каких случаях, следует исполь-
зовать то или иное соединение конденсаторов?
Указание. Примите во внимание, что при параллельном соеди-
нении суммарный заряд на обкладках батареи равен сумме зарядов
Рис. 4.13
110
отдельных конденсаторов (q = S qt), а при последовательном соеди-
i = I
нении суммарная разность потенциалов батареи равна сумме разностей
п
потенциалов всех конденсаторов (U = S Ui).
i= I
Ответ. Электроемкость С определяется по формулам (4.30) и
(4.31).
Задание 4.9. Получите выражение для потенциальной энергии
взаимодействия системы W точечных зарядов (i = 1,2, ..., W), находя-
щихся в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью е.
Указание. Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей то-
чечных зарядов с учетом выражений (4.2) и (2.17) — (2.19) (см. также
выражение закона Кулона для зарядов в среде, которое получено в за-
дании 4.2).
Ответ. Потенциальная энергия системы W неподвижных зарядов
в среде без учета собственной энергии самовоздействия этих зарядов
определяется по формуле
N N
п = ±У У 1 q>qk
2 4ле0е п*
i = । *=#=«
Энергия заряженных тел. Предположим далее, что
первоначально незаряженный конденсатор постепенно
заряжается, причем разность потенциалов между его об-
кладками увеличивается от 0 до U = ф| — ф2. При этом
заряд на обкладках возрастает от 0 до q = CU. Тогда эле-
ментарная работа 6Л по перемещению заряда dq от отри-
цательно заряженной пластины с потенциалом фг к поло-
жительно заряженной до потенциала ф| будет равна
Л?(ф| — фг). Поэтому запишем:
я
8А =dq ±^A = \±dq=£. (4.32)
о
Работа, определяемая формулой (4.32), идет на увеличе-
ние электрической энергии заряженного конденсатора.
Следовательно, его энергия
П = у q^=±CU2=^qU. (4.33)
111
Путем аналогичных рассуждений можно показать, что
энергия заряженного уединенного проводника
" = <4.34)
где С и ф — соответственно электроемкость и потенциал
проводника, a q — его заряд.
Заметим, что формулы (4.33) и (4.34) следуют из усло-
вий (4.22), определяющих динамически равновесное рас-
пределение заряда в проводниках, и аддитивности энергии
системы зарядов (см. выражение (2.19), а также ответ
в задании 4.9).
В общем случае заряды могут быть распределены по
объему диэлектрика (р = dq/dV) и по поверхности заря-
женного проводника или наэлектризованного диэлектрика
(c = dq/dS). Энергия такой системы зарядов может быть
определена путем интегрирования по объему V и поверх-
ности 5 выражения dll = ±-qdq:
n = ±-\o<pdS+±-\p<vdV. (4.35)
£ с
5 I/
Энергия электростатического поля. Энергия П, опре-
деляемая формулами (4.33) — (4.35), может быть интер-
претирована как энергия W электростатического поля этой
системы зарядов (Ц7 = П). Покажем это на примере плос-
кого конденсатора. Электроемкость такого конденсатора
С = zqzS/dy а разность потенциалов между обкладками
U = Edy где Е — напряженность поля. Подставив выраже-
ния для С и U в формулу (4.33), получим
Г = 4-eoe£2V= (4.36)
где V = Sd— объем конденсатора; D = zqzE — электри-
ческое смещение.
Энергия (4.36) выражается через величины, характе-
ризующие электростатическое поле конденсатора: напря-
женность Е и объем V, в котором сконцентрировано это
поле. Следовательно, W есть энергия электростатического
поля конденсатора. Поскольку поле плоского конденса-
тора однородно (Е(х, у, z) = const), его энергия W равно-
мерно распределена по объему V. Тогда объемная плот-
ность энергии
112
w=i=-Le„E’=-LED = ^D’. (4.37)
Формула (4.37) справедлива для любого, в том числе и
неоднородного электрического поля в изотропной среде.
Поэтому для энергии бесконечно малого объема запишем*:
dW=wdV=±- EDdV.
(4.38)
Полная энергия поля в объеме V:
1Р=у$Е-0</У=у$Е.(боЕ + РЖ
V V
(4.39)
4.3. Законы Ома и Джоуля — Ленца.
Правила Кирхгофа для разветвленных
электрических цепей
Токи проводимости и конвекционные токи. Мы уже
встречались с определением электрического тока как упо-
рядоченного движения свободных носителей электриче-
ских зарядов в проводниках. Такой ток называется током
проводимости. Если же ток обусловлен движением в про-
странстве макроскопических заряженных тел (пылинок,
капель жидкости) или даже одного заряженного тела, то
он называется конвекционным**. Примером конвекцион-
ного тока может служить ток, который возникает при
быстром вращении тела, заряженного с некоторой объем-
ной р или поверхностной о плотностью.
Кроме токов проводимости и конвекционных токов,
к электрическим токам относят направленное движение
электрических зарядов в газах, а также в различных
электровакуумных приборах.
Для появления и существования тока проводимости
в проводящей среде должно быть создано электрическое
поле Е. Под действием электрической силы F = qE свобод-
ные заряды, участвующие в хаотическом тепловом движе-
нии, приобретают некоторое упорядоченное направленное
движение со средней скоростью иу называемой скоростью
электрического дрейфа зарядов. Установим связь между
* Выражения для энергии, содержащие скалярные произведения Е
и D, справедливы и в случае анизотропных диэлектрических сред
[см. формулу (4.13)].
*♦ Конвекция — от лат. convectio — перенесение, перемещение.
113
силой тока I и скоростью и дрейфа зарядов. Для этого
рассмотрим элементарную трубку тока*, с поперечным
сечением dS (рис. 4.1_4, а). За время dt через сечение dS
переносится заряд dq, который содержится в объеме dV
трубки длиной dl = udt*.
dq = qndV = qnudtdS, (4.40)
где n — концентрация зарядов q.
Тогда сила тока di через сечение dS и плотность тока /
будут определяться по формулам (3.2) и (3.47):
dl =-^-= qnudS; j = = qnu=>[j] = 1 А-м“2 (4.41)
В общем случае, когда в проводящей среде имеются
заряды обоих знаков (q+ и q-), вектор
j = ^+n+u+ + q-n_ii- — вектор плотно-
сти тока,
(4.42)
где п + , и+ и и_, U— —соответственно концентрации и
скорости дрейфа положительных и отрицательных заря-
дов, которые движутся в противоположных направлениях.
В частности, заметим, что соотношение (4.42) опреде-
ляет плотность тока и в проводниках 2-го рода, т. е. в
электролитах.
Уравнение неразрывности. Рассмотрим некоторую
воображаемую замкнутую поверхность 5, выделенную в
* См. § 8.2 в первой части пособия.
114
среде, в которой проходит ток (рис. 4.14,6). Тогда вели-
чина §jndS представляет собой ток, проходящий через
s
поверхность 5, т. е. заряд, выходящий в единицу времёни
из объема V, ограниченного поверхностью 5. Это приводит
к уменьшению заряда <7= $р(х, у, z, t)dV, который содер-
V
жится в выделенном объеме И. С учетом закона сохране-
ния заряда в случае неподвижной поверхности 5 запишем:
4г = - ShdS^= -\^dV. (4.43)
S S V
Воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса
(приняв A = j, см. табл. II.5 прил. II):
\j„dS = \ divjdV
S V
и преобразуем левую часть уравнения (4.43):
JdivjdV = - J 4rdV=>$(divj + ^-)dV = °- (4-44)
V V V
Очевидно, что интеграл (4.44) может быть равен нулю
при произвольном объеме V только в том случае, если
подынтегральная функция равна нулю:
dr,j + ^ = o=. divj = — —уравнение не- разрывности для электри- ческого тока. (4.45)
Полученное уравнение выражает закон сохранения
заряда. В случае постоянного тока плотность заряда р
в каждой точке проводящей среды не изменяется со вре-
менем, т. е. др/д/ = О. Тогда из уравнения неразрывности
следует, что
div j = 0 — условие существования постоян-
ного тока.
Сравнивая выражение (4.46) с уравнением (3.46) для
магнитного поля (divB = 0), можно утверждать, что
линии постоянного тока также являются замкнутыми
115
Рис. 4.15
(как и силовые линии вихревого поля магнитной индук-
ции В).
Электродвижущая сила и напряжение. Если обкладки
заряженного конденсатора соединить проводником, то в
этом проводнике возникнет электрическое поле Е. В связи
с этим электроны проводника придут в движение, т. е.
возникнет кратковременный электрический ток, в резуль-
тате которого произойдет выравнивание потенциалов и
исчезновение поля Е внутри проводника. Следовательно,
чтобы поддерживать ток достаточно длительное время,
нужно от обкладки с большим потенциалом <р+ все время
отводить приносимые сюда током электроны, а к обкладке
с меньшим потенциалом <р_ (<р_ < <р+) непрерывно их под-
водить. Это означает, что необходимо осуществить круго-
ворот зарядов, при котором они двигались бы по замкну-
тому пути, как того и требует условие (4.46), обеспечи-
вающее существование постоянного тока в проводнике
под действием электрического поля. Поскольку циркуля-
ция вектора напряженности Е по замкнутому контуру
равна нулю (фЕ-б/1 = О), наряду с участками цепи, по
которым электроны движутся в сторону возрастания
потенциала ср, должны быть участки, на которых перенос
электронов происходит в направлении убывания потен-
циала ф, т. е. против сил электростатического поля на
участке между обкладками (штриховая линия на
рис. 4.15). Перемещение на таких участках возможно
лишь с помощью сил неэлектростатического происхожде-
ния (химических, механических и др.), называемых сто-
ронними силами. Действие сторонних сил характеризу-
ется работой, которую они совершают по перемещению
зарядов в электрической цепи. Величина, равная работе
сторонних сил по перемещению единичного положитель-
116
ного заряда q, называется электродвижущей силой
(ЭДС), действующей в этой цепи или на ее участке:
е = A*/q — электродвижущая сила. (4-47)
Из выражения (4.47) следует, что ЭДС измеряется в
Дж/Кл ([е] = 1 Дж/1 Кл = 1 В), т. е. в тех же единицах,
что и потенциал <р= П/q. Стороннюю силу F*, действую-
щую на заряд q, можно представить в виде, аналогичном
электростатической силе F = qE. Тогда
F* = <?E*; е = Л*/<7 = $Е*-</1.
L
Электродвижущая сила е12, действующая на некото-
ром участке цепи между точками 1 и 2, и электродвижу-
щая сила е для замкнутой цепи определяются следую-
щими выражениями:
812 = $ Е* • dl, е = фЕ* • d\ — циркуляция ве-
1 L ктора напряжен-
ности сторонних
сил.
(4.48)
В электрической цепи на участке 1—2 действуют как
электрические (кулоновские), так и сторонние силы.
Такой участок цепи называется неоднородным. Работа
всех этих сил определяется выражением
Л12 = <?$(Е + E*)dl = ?(ф> - Фг) + ^>2. (4.49)
Введем напряжение U\2 для неоднородного участка
цепи как отношение работы Л12, совершаемой электриче-
скими и сторонними силами при перемещении заряда q,
к значению этого заряда:
U= Л i2/q=> U = (ф1 — фг) + £12 —
напряжение для участка цепи.
(4.50)
Величина 8i2 может быть как положительной, так и отри-
цательной: ei2 берут со знаком « + », если при переходе
от точки 1 к точке 2 путь через источник тока проходит
117
от отрицательного полюса к положительному, и со знаком
« —», если путь проходит от положительного полюса к
отрицательному.
Для однородного участка (без ЭДС) напряжение рав-
но разности потенциалов (t/i2 = <pi — Фг)-
ЭДС гальванического элемента. Наряду с проводни-
ками первого рода (металлы, уголь), в которых при про-
хождении электрического тока не наблюдается никаких
химических изменений, существуют так называемые про-
водники второго рода, в которых происходят химические
реакции в процессе прохождения тока. К проводникам
второго рода относятся водные растворы солей, кислот и
щелочей, т. е. электролиты. В проводниках второго рода
носителями заряда являются ионы. Например, при раство-
рении в воде поваренной соли молекулы NaCl распада-
ются на положительные ионы Na-1" и отрицательные йъны
С1~. Процесс распада молекул в растворе на ионы назы-
вается электролитической диссоциацией (см. § 5.3).
Рассмотрим контакт проводников первого и второго
рода, например цинковую пластину, опущенную в водный
раствор серной кислоты (рис. 4.16). На границе металл —
раствор цинк растворяется, причем в раствор уходят не
нейтральные атомы цинка, а положительные ионы Zn + + ,
в результате чего раствор заряжается положительно, а
цинковая пластина — отрицательно. Таким образом, меж-
ду раствором и пластиной возникает двойной электриче-
ский слой с разностью потенциалов Дср = (р+ — (р_. При
некоторой разности потенциалов металла и раствора,
называемой электрохимическим потенциалом, переход
ионов цинка в раствор прекращается, т. е. наступает дина-
мическое равновесие. Величина Лер зависит от природы
118
металла и раствора. Например, для раствора серной кис-
лоты электрохимический потенциал для цинка состав-
ляет — 0,5 В, а для меди равен +0,6 В.
Если два различных металла погружены в раствор,
то между ними возникает разность потенциалов, рав-
ная разности их электрохимических потенциалов. Совокуп-
ность двух металлов и раствора называется гальваниче-
ским элементом, а разность потенциалов между металла-
ми — электродвижущей силой элемента.
Простейшим гальваническим элементом является эле-
мент Вольты. Он состоит из медной и цинковой пластин,
погруженных в раствор серной кислоты (рис. 4.17,а).
Электродвижущая сила элемента Вольты е = Афси —
— A(pzn = 0,6 — ( —0,5)= 1,1 В. Не следует думать, что
ЭДС возникает во всем объеме раствора между медной
и цинковой пластинами. В действительности имеются две
сторонние ЭДС (два скачка потенциала), сосредоточен-
ные в поверхностных слоях на границе цинк — раствор
(A<pZn) и медь — раствор (А<рСи). Эти двойные электриче-
ские слои имеют толщину порядка нескольких молекуляр-
ных размеров. Непрерывное поддержание скачков потен-
119
циала в таких слоях происходит за счет энергии химиче-
ских реакций, происходящих на границе между металлом
и раствором электролита.
При соединении пластин элемента проводником по
нему идет ток I от медной пластины, являющейся поло-
жительным электродом элемента, к цинковой пластине,
являющейся отрицательным электродом (рис. 4.17,6).
В растворе между электродами ток I идет от цинковой
пластины к медной.
Из рис. 4.17,6 видно, что электрическое поле произ-
водит работу А по перемещению заряда на внешнем
участке цепи, где потенциал падает от ф1 до ф2, и на вну-
треннем участке, где потенциал падает от ф3 до ф4, т. е.
между электродами. Эта работа
А = ^(ф1 — <р2) + ?(фз — фД (4.51)
Работа сторонних сил в двойных электрических слоях
молекулярной толщины определяется скачкообразным
увеличением потенциала от ф2 до фз (для цинковой пла-
стины) и от ф4 до ф1 (для медной пластины). Следова-
тельно, работа сторонних сил
А* = <?(фз — фг) + <7(<Р1 — Ф<) = q (ф 1 — фг) + </(фз — фч)-
(4-52)
Сравнивая выражения1 (4.51) и (4.52), имеем Л=Л*,
т. е. работа, совершаемая электростатическими силами
в замкнутой цепи при прохождении тока, равна работе
сторонних сил. Так как е = Л*/^, то из выражения (4.52)
получим
е = (ф! — фг) + (фз — ф4), (4.53)
т. е. ЭДС равна сумме падений потенциала на внешнем
(Афе = ф1 — ф2) и внутреннем (Дф‘ = ф3 — ф4) участках цепи.
При прохождении тока в цепи элемента Вольты ионы
Zn + + переходят в раствор, содержащий продукты диссо-
циации серной кислоты (H2SO4^2H+ + SOT-)- В раство-
ре происходит реакция Zn + + + SOr- = ZnSO4, продукты
которой выпадают в виде осадка. Положительные ионы
водорода Н + , движущиеся к медной пластине, нейтрали-
зуются там электронами тока проводимости. В результате
на поверхности медной пластины образуется пленка водо-
рода, которая, с одной стороны, увеличивает внутреннее
сопротивление элемента, а с другой, создает дополни-
тельный электрохимический потенциал, направленный про-
120
тив потенциала, существовавшего там до образования
пленки. В результате таких поляризационных процессов
ЭДС гальванических элементов уменьшается. Чтобы избе-
жать падения ЭДС, используют различные способы депо-
ляризации электродов.
К гальваническим элементам относятся и аккумуля-
торы. Наиболее распространенным является свинцовый
аккумулятор, состоящий из двух свинцовых пластин,
опущенных в раствор серной кислоты. При этом на элект-
родах образуется сульфат свинца PbSO4, которым насы-
щается весь раствор. При зарядке аккумулятора, т. е.
при пропускании через него постоянного тока, происходит
окисление свинца на электроде, соединенном с положи-
тельным полюсом заряжающего устройства, до диоксида
свинца РЬОг и восстановление PbSO4 на другом электроде
до чистого свинца. Таким образом, заряженный аккуму-
лятор состоит из пластины с РЬОг и пластины из чистого
свинца, а также раствора серной кислоты, насыщенного
сульфатом свинца. При разряде аккумулятора, т. е. при
использовании его в качестве гальванического элемента,
пластина с РЬОг является положительным полюсом и по-
степенно восстанавливается с образованием PbSO4. Отри-
цательная пластина, состоящая из чистого свинца, посте-
пенно покрывается сульфатом свинца. В результате этого
аккумулятор разряжается. ЭДС свинцового аккумулятора
при максимальной зарядке равна примерно 2,7 В. Однако
уже при небольшой разрядке она падает до 2,2 В и на этом
уровне сохраняется достаточно длительное время, лишь
медленно уменьшаясь при работе аккумулятора. Мини-
мально допустимая ЭДС, при которой зарядка полностью
восстанавливает свойства аккумулятора, оказывается при-
близительно равной 1,85 В. При разрядке до меньших
ЭДС аккумулятор выходит из строя, так как в нем проис-
ходят необратимые процессы, которые не позволяют пере-
зарядить аккумулятор до максимального значения
е = 2,7 В.
Важной характеристикой аккумулятора является его
емкость, определяемая полным зарядом, который он может
отдать при разрядке. Следовательно, емкость аккумуля-
тора измеряется в тех же единицах, что и заряд. Обычно
емкость аккумулятора измеряют в ампер-часах (1 А«ч =
= 3600 Кл).
Закон Ома. Сопротивление и электропроводимость
проводников. Немецкий физик Г. Ом (1787—1854) экспе-
риментально установил закон, согласно которому сила
121
Однородный участок Неоднородный участок R
Я _ .. .. Я 8
8
% г—
&
К

и=(ЧгЧ№
Замкнутый
контур
Рис. 4.18
тока, проходящего по однородному проводнику,
пропорциональна напряжению на проводнике (рис.
4.18, а):
I = U/R — закон Ома для однородного
участка.
(4.54)
Здесь R — электрическое сопротивление проводника.
В СИ сопротивление измеряется в омах (Ом). За единицу
сопротивления 1 Ом принимается сопротивление такого
проводника, в котором при напряжении 1 В проходит ток
силой 1 А ([/?] = 1 В/1 А = 1 Ом).
Значение сопротивления R зависит от материала про-
водника, а также его размеров и формы. Для однородно-
го проводника с площадью поперечного сечения S и дли-
ной I (рис. 4.19, а)
*=ру.
(4.55)
где р — удельное сопротивление материала проводника
(см. табл III.4 прил. III). Из выражения (4.55) следует,
что р измеряется в омметрах ([р] = 1 Ом«м).
Найдем связь между вектором плотности тока j и на-
пряженностью поля Е в некоторой точке М изотропного
проводника. Для этого выделим мысленно в окрестности
этой точки элементарный объем в виде прямого цилиндра,
122
образующие которого параллельны вектору j (рис. 4.19, б).
Положительные носители заряда в каждой точке изотроп-
ного проводника движутся в направлении вектора Е, по-
этому вектор плотности тока j совпадает по направлению
с вектором Е, т. е. jn = j- В соответствии с формулами
(4.41) и (4.50) сила тока dI = jdS, сопротивление dR =
= pdl/dS, а напряжение dU = Edl. После подстановки в
выражение (4.54) получим
>dS = pcH/dS = "р E(d = ’('Х< У' Е = Е^Х' У' 2))‘
Перепишем последнее локальное (дифференциальное)
соотношение в векторной форме:
j = yE— дифференциальная форма закона
Ома;
у = ----удельная электрическая прово-
р димость.
(4.56)
Для неоднородного участка цепи, т. е. при наличии
сторонних сил, закон Ома (4.56) примет следующий вид:
j = T(E+E*). (4.57)
Значение удельной проводимости у=1/р зависит от
природы вещества и температуры проводников. Для чи-
стых металлов при комнатной температуре и выше удель-
ное сопротивление р линейно зависит от температуры Т
(прямолинейный участок кривой 1 на рис. 4.20):
р = ро(1 + аД/); /? =/?о(1 + аД/),
а — температурный коэффициент сопротив-
ления*.
(4.58)
Для сравнения отметим, что сопротивление полупро-
водников уменьшается при нагревании, что схематич-
но отражено на рис. 4.20 (экспоненциальная кривая 2).
В большинстве случаев обычные проводники обладают
остаточным сопротивлением при абсолютном нуле темпе-
ратур (р = рост при Т = 0), и только в абсолютно чистых
* Значения коэффициента а см. в табл. III.5 прил. III.
123
металлических проводниках с идеальной решеткой р—
при ТИмеется большая группа металлов и сплавов,
для которых характерно явление сверхпроводимости,
впервые обнаруженное в 1911 г. Камерлинг-Оннесом
(1853—1926) для ртути. Для каждого сверхпроводника
имеется критическая температура Ткр, ниже которой удель-
ное сопротивление р скачком уменьшается до нуля (кри-
вая 3).
Классическая теория электропроводности проводни-
ков рассматривается в § 5.1, а современная трактовка про-
водимости металлов и полупроводников с позиции зон-
ной теории будет обсуждаться в гл. «Квантовая тео-
рия электронных свойств твердого тела».
В случае неоднородного участка цепи, т. е.
содержащего ЭДС (рис. 4.18,6), с учетом выражений
(4.50) и (4.54) запишем:
/ = ——+ 612— закон Ома для неодно-
А 12
родного участка.
(4.59)
Для замкнутой цепи <pi = <р2 (рис. 4.18,в) и, следо-
вательно, справедливо уравнение
/ = -«лгу — закон Ома для замкнутой цепи,
"гг где г — внутреннее сопротивле-
ние источника.
(4.60)
124
Закон Джоуля — Ленца. Рассмотрим однородный уча-
сток проводника, по которому идет ток /, а разность по-
тенциалов на его концах равна U. За время dt вдоль про-
водника перемещается заряд dq = Idt, и, следовательно,
силы электрического поля выполнят работу 6Д = dqU =
= IUdt. Эта работа идет на изменение внутренней энер-
гии проводника, т. е. на нагревание. Количество теплоты
6Q, выделившейся в проводнике за время dt, будет равно
работе 6Д = dq • U:
bQ = IUdt = I2Rdt. (4.61)
В случае постоянного тока за конечный промежуток вре-
мени t выделится тепловая энергия, определяемая выра-
жением
Q = I2Rt — закон Джоуля — Ленца при / =
= const.
Соотношение (4.62) было впервые получено в 1841 г.
Дж. Джоулем (1818—1889), а в последующем экспери-
ментально обосновано Э. X. Ленцем (1804—1865).
Если ток изменяется с течением времени, то количество
теплоты можно рассчитать путем интегрирования выра-
жения (4.61):
t
Q = \l2Rdt, 1 = l(t). (4.63)
о
Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной (ло-
кальной) форме получается в результате применения вы-
ражения (4.61) к проводнику бесконечно малого объема
цилиндрической формы (см. рис. 4.18,6). Разделив 6Q на
dV и dt, найдем количество теплоты, выделяющейся в
единицу времени, т. е. объемную плотность тепловой мощ-
ности тока:
w = -W-= ?ds2<>dldt =qP
™ dVdt dVdtdS ’
(4.64)
С учетом закона Ома в дифференциальной форме в от-
сутствие сторонних сил [см. выражения (4.56)] получим
w = р(Е/р)2 = уЕ2 — закон Джоуля — Лен- ца в дифференциаль- ной форме. (4.65)
125
Рис. 4.21
Правила Кирхгофа. Для расчета сложных, т. е. развет-
вленных, электрических цепей используют два правила,
установленные немецким физиком Г. Р. Кирхгофом
(1824—1887). Первое правило Кирхгофа относится к
узлам. Узлом называется точка разветвленной цепи, в ко-
торой сходятся три и более проводника (рис. 4.21,а). На-
правление токов в отдельных ветвях до решения задачи
неизвестны. Поэтому их выбирают произвольно.
Выберем в окрестности узла А некоторую замкнутую
поверхность S. В случае постоянного тока поток заряда
q через эту замкнутую поверхность равен нулю (закон
сохранения заряда — см. также уравнение непрерывно-
сти) :
Поскольку сила тока Л = jtSi (Jt — плотность тока; S, —
площадь поперечного сечения z-ro проводника), условие
сохранения заряда в узлах может быть переписано с ис-
пользованием алгебраических значений сил токов
N
ф jndS = S ?(= О — первое правило Кирх-
5 1=1 гофа.
(4.66)
Для удобства силы токов, входящих в узел, принято
считать положительными (Л = I\ > 0), а силы токов, выхо-
дящих из узла,— отрицательными, например ?2= —/2 < 0.
126
Второе правило Кирхгофа записывается для замкну-
тых контуров разветвленной цепи (рис. 4.21,6). Выберем
направление обхода контура (например, по ходу часовой
стрелки) и с помощью законов Ома запишем уравнения
для каждого участка контура:
I\R\ = Ф1 — Ф2;
— I2R2 = Ф2 — Фз + е2; (4.67)
— I3R3 = Фз — Ф1 — бз.
При составлении уравнений (4.67) учтено, что токи,
идущие в направлении обхода контура, считаются поло-
жительными ((7i = I\R\> 0), а токи, идущие против на-
правления обхода,— отрицательными (^2= —/г/?2<0;
(73= -/3/?з<0).
Выполнив почленное сложение левых и правых частей
системы (4.67), получим уравнение для сил токов данного
контура:
/1/?1 + (-/2/?2) + (-/з/?з) = 82 - 83. (4.68)
Правило знаков для ЭДС в контуре: ЭДС
будем считать положительной, если она стремится создать
во внешней цепи ток, направленный в сторону обхода кон-
тура (82 = 82), и отрицательной (е3 = —83), если создавае-
мый ею ток направлен против направления обхода (это
направление токов для ЭДС указано штриховыми стрел-
ками на рис. 4.21).
С учетом этих правил уравнение (4.68) для общего
случая можно записать в следующем виде:
2 Ui = 2 е,- — второе правило Кирхгофа
(й=±т
(4.69)
Полученное уравнение утверждает, что алгебраиче-
ская сумма падений напряжения (О = +IR) на всех участ-
ках контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре.
Оказывается, что для цепи из m узлов и р ветвей (т. е.
отдельных однородных и неоднородных участков) можно
составить пг — 1 независимое уравнение для узлов (первое
правило Кирхгофа) и р — m -j- 1 независимое уравнение
для соответствующих простейших контуров цепи (второе
правило Кирхгофа).
127
в
Рис. 4.22
Общее число всех независимых уравнений равно р,
т. е. числу ветвей. Следовательно, система алгебраиче-
ских уравнений, составленная на основании первого и вто-
рого правил Кирхгофа, позволяет найти значения сил
токов во всех ветвях по известным сопротивлениям и зна-
чениям ЭДС, включенных в цепь.
Следует отметить, что если в результате расчета полу-
чим какое-либо значение силы тока Л отрицательным,
то это значит, что реальное направление тока на этом
участке цепи противоположно тому, которое выбрано при
составлении уравнений (4.66) и (4.69).
Задание 4.10. Используя правила Кирхгофа, составьте систему
уравнений для определения токов в отдельных ветвях мостика Уитстона
(рис. 4.22), служащего для определения неизвестного сопротивления
по известным трем сопротивлениям R\, R?, R3.
Указание. Из системы шести уравнений, записанных для узлов
и контуров схемы, в случае равновесия мостика Уитстона, когда /5 = 0,
получите выражение для неизвестного сопротивления.
Ответ. Rx = /?1#з/#2.
4.4. Вещество в магнитном поле
Поле в магнетиках. В предыдущей главе были рассмот-
рены закономерности, которые характеризуют магнито-
статические поля в вакууме (поле прямолинейного провод-
ника с током, поле витка с током, поле соленоида и т. д.).
На практике, однако, широко используются магнитные
128
a
E
5
E
IIIIIIIISII
Puc. 4.23
поля, обусловленные магнитными свойствами веществ,
называемых магнетиками (см. табл. 4.1). Наличие таких
полей экспериментально обнаруживается на примере
взаимодействия постоянных магнитов (см. рис. 3.16),
которое в зависимости от ориентации их полюсов (N —
north — север, S — south — юг) проявляется в виде от-
талкивания (рис. 4.23, а) либо притяжения (рис. 4.23,6).
Французский ученый А. М. Ампер для объяснения маг-
нитных взаимодействий постоянных магнитов и механизма
возникновения магнитных полей предположил, что в ве-
ществе циркулируют замкнутые микротоки. Современные
представления о строении вещества позволяют связать
гипотетические микротоки Ампера с движением электро-
нов в атомах, молекулах или ионах, которые благодаря
этим молекулярным токам обладают магнитными момен-
тами рш, т. е. являются магнитными диполями*. Эти маг-
нитные диполи микрочастиц определяют результирующее
макроскопическое поле в магнитной среде. Поэтому по-
нятно, что, подобно тому как диэлектрик, помещенный
во внешнее электрическое поле, поляризуется, так и лю-
бое вещество, помещенное во внешнее магнитное поле,
намагничивается и тем самым создает свое собственное
магнитное поле. Это сходство, по крайней мере внешнее,
будет широко использоваться при рассмотрении явления
намагничивания диамагнетиков, парамагнетиков, ферро-
магнетиков и антиферромагнетиков.
Явление намагничивания и магнитная проницаемость
вещества. При отсутствии внешнего магнитного поля
плоскости микротоков отдельных атомов и молекул ве-
щества ориентированы хаотически и средний суммарный
магнитный момент образца равен нулю. Если же вещество
поместить во внешнее магнитное поле, создаваемое, на-
пример, соленоидом (см. § 3.2), то атомы или молекулы
* Значения магнитных моментов некоторых атомов, молекул и
ионов приведены в табл. III.8 прил. III.
129
Рис. 4.24
будут располагаться так, чтобы их магнитные моменты
рш были преимущественно ориентированы в направлении
вектора индукции магнитного поля (рис. 4.24). При этом
плоскости замкнутых молекулярных токов будут располо-
жены в основном перпендикулярно к индукции В, поэтому
внутри магнетика микротоки в среднем компенсируются,
а на поверхности образца усиливают друг друга, образуя
поверхностный молекулярный ток (в случае поляриза-
ции диэлектрика на его поверхности возникают н е с к о м-
пенсированные поверхностные заряды).
Возникновение результирующего поверхностного молеку-
лярного тока приводит к тому, что весь образец приоб-
ретает отличный от нуля суммарный магнитный момент.
Процесс ориентации магнитных моментов и возникнове-
ние поверхностного молекулярного тока называют намаг-
ничиванием вещества. В связи с этим магнитная индук-
ция В внутри магнетика будет равна сумме индукции
Во внешнего поля и индукции В* внутреннего поля, возбуж-
даемого поверхностным молекулярным током:
В = Во + В‘. (4.70)
Количественной характеристикой, определяющей изме-
нение поля в веществе, является безразмерная величина,
которая, как правило, находится экспериментально:
р = В/Bq — магнитная проницаемость.
(4.71)
Она показывает, во сколько раз магнитная индукция В
в вытянутом (длинном) образце, помещенном в длинный
соленоид, отличается от магнитной индукции Во в пустом
соленоиде (т. е. в вакууме). Значения магнитной прони-
цаемости р сильно зависят от состава и строения вещества,
130
т. е. от рода (типа) магнетика (см. табл. III.6 и III.7
прил. III).
Намагниченность J — количественная мера намагни-
чивания вещества. Для характеристики степени намагни-
чивания того или иного вещества используется понятие
намагниченности J, которая равна магнитному моменту
единицы объема магнетика:
AN
S р«, k намагниченность, или
j — iim *=! --плотность, магнитного
момента, [J]= 1 А • м-1.
(4-72)
В случае изотропной среды между векторами намагни-
ченности J и магнитной индукции В существует следую-
щая связь [см. аналогичное соотношение между поляри-
зованностью Р диэлектрика и напряженностью Е элект-
рического поля: Р = еохЕ — формула (4.6)]:
Л = ХвВ/ро, (4.73)
где Хв (X — греческая буква «хи») — восприимчивость
среды по отношению к индукции В магнитного поля.
Следует обратить внимание на то, что если в диэлект-
риках вектор Р выражается через напряженность Е
(Е — основная характеристика электрического поля), то
в случае магнетиков вектор J определяется индукцией В
магнитного поля. Связь между намагниченностью J и на-
пряженностью Н магнитного поля будет получена при
формулировании закона полного тока в веществе.
Закон полного тока в веществе, или теорема о цирку-
ляции вектора напряженности магнитного поля. Магнит-
ное поле в веществе создают токи в проводниках (макро-
токи) и молекулярные токи (микротоки). Поэтому по за-
кону полного тока [см. формулу (3.28) ] для циркуляции
вектора индукции В магнитного поля в магнетике за-
пишем:
ф В • dl = ц0/ макро ЦО^микро, (4.74)
L
где 1 макро И / микро обозначают алгебраические суммы
соответственно макро- и микротоков, охватываемых произ-
вольным контуром А, мысленно проведенным в магнетике
(рис. 4.25, а).
131
a
Если молекула обладает средним магнитным моментом
рш, то эквивалентный ему молекулярный ток в «витке» с
площадью Хмол может быть выражен через магнитный мо-
мент рт:
I мол == Рт/З мол- (4.75)
Вклад в результирующий микроток, охватываемый
контуром L, дают только те молекулярные токи, «витки»
которых «нанизаны» на этот контур, как бусы на нитку.
Выделим участок dl длины контура L и определим число
dN витков, «нанизанных» на этот элементарный участок
контура (рис. 4.25, б). Центры таких молекулярных витков
находятся в элементарном объеме dV в виде наклонного
цилиндра с основанием площадью Хмол и с образующей
длиной dl(dV = Хмол^/соэ а). Если концентрация молекул
п, то число витков dN = ndV = пХмол • dices а, а микроток
d/мИКрО — I ttondN — I молХ мол nd/cosa. (4.76)
Поскольку /молХмол = Рт, а величина прт определяет
средний магнитный момент единичного объема магнетика
(намагниченность), J =прт и, следовательно, dlмикро выра-
жается через проекцию вектора намагниченности J на
направление элемента dl:
d/микро = /cos ad/ = Jidl = J • dl. (4.77)
132
Интегрируя это выражение по всему замкнутому конту-
ру L, находим суммарный микроток, охватываемый вы-
бранным контуром L*.
/микро = $J • d\ — циркуляция вектора J.
L
(4.78)
Подставим выражение (4.78) в закон полного тока
[см. формулу (4.74)] и, разделив полученное уравнение
на магнитную постоянную цо, перенесем контурный инте-
грал от J в левую часть уравнения:
ф (В/ро - J) • dl — I макро* (4-79)
Если ввести дополнительно к В еще одну характери-
стику магнитного поля
Н = В/цо — J — напряженность магнитного
поля,
то уравнение (4.79) приобретает вид закона полного тока,
но уже для напряженности Н в магнитной среде:
N
фн • d\ = S 4k — закон полного тока для Н.
L Л=1
(4.81)
Это уравнение, являющееся обобщением соответствующе-
го закона для поля в вакууме [см. выражение (3.28)],
устанавливает связь между циркуляцией вектора напря-
женности Н вдоль контура L в любой магнитной среде
и результирующим макротоком сквозь поверхность, натя-
нутую на этот контур.
Связь между напряженностью Н и магнитной индук-
цией В. Воспользуемся выражением (4.73), которое опре-
деляет намагниченность J изотропной среды, и подставим
его в (4.80):
Н = (1-Хв)В/Ио^В=т^-Н. (4.82)
Для того чтобы связь между В и Н для магнитного
поля имела тот же вид, как и в случае электрического
133
поля (D = eoeE, е= 1 4-х), введем магнитную восприим-
чивость % вещества с помощью соотношения
В = цоцН = ц0(1 4" х)Н, ц=1+х. (4.83)
Из сравнения выражений (4.82) и (4.83) следует соот-
ношение между восприимчивостью %в и восприимчи-
востью %:
Н=1+Х=Т4т-^Х=-Г4--1=Т^-. (4.84)
1 — Хв 1 кв 1 кв
Установим далее связь между намагниченностью J
и напряженностью Н. Для этого воспользуемся выраже-
нием (4.80) и соотношением (4.83). Тогда для векторов В
и J получим:
В = Ио(Н + J); J=^-H = (l +х)Н-Н = ХН,
Цо
ц=1 + у. (4.85)
Таким образом, уравнения связи между характеристи-
ками диэлектриков и электрического поля (Р = еохЕ; D =
= еоЕ 4- Р; D = eoeE; е=14-х), а также характеристи-
ками магнетиков и магнитного поля (J = %H, В =
= |io(H 4- J), В = роцН, р, = 1 4- х) имеют в определенном
смысле одинаковый вид, и этим нужно пользоваться при
рассмотрении аналогичных явлений. Вместе с тем следует
помнить, что эта аналогия чисто внешняя, поскольку
электростатическое поле потенциальное (ф Е • dl = 0,
L
rotE = 0), а магнитостатическое поле соленоидаль-
ное, т. е. вихревое (см. § 3.4):
$B„dS = 0=>div В = 0. (4.86)
S
Орбитальное гиромагнитное отношение. Установим
связь между моментом импульса Lo электрона в атоме
водорода и его магнитным моментом рш. В соответствии
с моделью Бора предположим (рис. 4.26), что электрон
в атоме водорода движется со скоростью v по круговой
орбите радиусом г = ао(ао — радиус первой воровской
орбиты). По определению, момент импульса электрона
Lo = г X mev => Lo = mevao, (4.87)
а его орбитальный магнитный момент
рт = /молЗмол = ev • лао = evao/2, (4.88)
134
где v — число оборотов электрона в секунду (v=l/r;
Т = 2ла0/у — период).
Определим отношение магнитного момента рт к момен-
ту импульса Lq при движении электрона по орбите:
рт/Lo = е/(2т). С учетом взаимного расположения век-
торов рт и Lo запишем векторное соотношение:
pm= — g°₽6Lo, Я°₽б=2^’ — орбитальное гиро-
магнитное отно-
шение.
(4.89)
Пример 4.3. Рассчитаем орбитальный магнитный момент атома
водорода.
Решение. В соответствии с классическим подходом восполь-
зуемся вторым законом Ньютона, записав его в проекции на нормаль
к орбите движущегося электрона (рис. 4.26, Fe = е2/(4леоао)—сила
кулоновского взаимодействия с протоном):
у2 _ 1
ао 4лео
aS V 4леотеао
Подставим числовые значения всех величин и определим скорость
орбитального движения электрона:
(1,6- 10~19)24л-9- 109
4л-9,11 • 10~31 -0,53- Ю-10
~ 2,18 - 106 м/с = 2180 км/с.
Значение момента импульса электрона
Lo р= mtvao = 9,11 • 10“31 • 2,18 • 10® • 0,53- 10-'°~ 1,054-10"34 Дж • с
численно совпадает со значением постоянной Планка Л = Л/(2л), h =
= 6,626*10-34 Дж • с. Поэтому орбитальные механический и магнит-
135
ный моменты электрона в атоме водорода можно выразить в едини-
цах постоянной Планка
ир6 = й; р°рб = £орбЙ = - цБ -
магнетон Бора.
(4.90)
Прецессия электронных орбит во внешнем магнитном
поле. В отсутствие магнитного поля (В = 0) электрон
движется в поле ядра атома по вполне определенной
стационарной орбите. Пусть для простоты орбита будет
круговой. Электрон на орбите удерживается силой куло-
новского притяжения к ядру, которая является центро-
стремительной силой. При этом электрон обладает орби-
тальным механическим моментом Lo = г X теч и магнит-
ным моментом рш, которые связаны между собой гиромаг-
нитным отношением £орб (см. формулу (4.89), рт =
= — gop6Lo). Поскольку В = 0, оба вектора (Lo и рш)
сохраняют свое направление в пространстве (если не
принимать во внимание тепловое движение атомов). При
внесении атома во внешнее магнитное поле В на него
будет действовать вращающий момент Mo = рш X В
(рис. 4.27) или с учетом выражения (4.89) момент Мо =
136
= — gop6LoX В. Согласно теореме об изменении момента
импульса (dLo/d/ = Mo), будем иметь
_gop6LoXB^^ = gop6BXL0. (4.91)
Аналогичное уравнение получим для вектора магнит-
ного момента рш, если в уравнении (4.91) учтем соотно-
шение (4.89):
^=Яор6ВХрт. (4.92)
Уравнения (4.91) и (4.92) по своей структуре совпа-
дают с выражением для скорости v движения точки твер-
дого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О:
v = ^=wXr. (4.93)
Сравнивая уравнение (4.93) с уравнениями (4.91) и
(4.92), приходим к выводу, что векторы Lo и рш совершают
в магнитном поле прецессионное* движение вокруг
оси, параллельной вектору В. Угловая скорость прецессии
(oL = gop6B совпадает по направлению с вектором индук-
ции В (рис. 4.28,а). Прецессионное движение электрон-
ных орбит было открыто в 1895 г. Д. Лармором (1857—
1942) и носит название прецессии Лармора, а соответст-
вующая теорема может быть сформулирована так: един-
ственным результатом действия магнитного поля на дви-
жение электрона в атоме является прецессия электронных
орбит вокруг оси, параллельной магнитному полю и про-
ходящей через ядро, причем угловая скорость col =
= еВ/(2т). Прецессия электронных орбит приводит к по-
явлению дополнительного орбитального тока (рис. 4.28,6):
е г2
= = (4.94)
Этот ток создает индуцированный орбитальный магнит-
ный момент, направленный против внешнего поля:
Дрт = A/npeuS± = (4.95)
Здесь S± — проекция площади 5 орбиты на плоскость,
перпендикулярную к магнитному полю В. Для атома,
* Аналогичное прецессионное движение совершает гироскоп (сим-
метричный волчок типа юлы) в поле сил тяжести.
137
имеющего z электронов, общий наведенный орбитальный
магнитный момент (<S±> —среднее значение проекции
площади одной орбиты):
р2
Арт— -7^-z<s±>B.
г 4пте ' '
(4.96)
Этот дополнительный магнитный момент приводит к воз-
никновению индуцированной намагниченности, направлен-
ной против внешнего поля В. Он играет определяющую
роль при объяснении явления намагничивания диамагне-
тиков.
Спиновые характеристики электрона. Известно (см.
§ 12.2 в первой части пособия), что электрон обладает
собственным моментом импульса, или, коротко, спином
(spin — вращение), значение которого определяется по
формуле
Ls = Vs(s + О— спин;
s= у—спиновое квантовое число.
(4.97)
138
Собственный магнитный момент ps электрона пропор-
ционален спину Ц (см. аналогичное соотношение для
орбитальных характеристик электрона):
п — £Т I ст — е спиипплегиплмягмит-
Ps gsbs, gS те VllrlrUJDUV 1 rlUUIVldl Г1Г11 ное отношение.
(4.98)
Оказалось*, что значение gs = е/те в два раза больше
орбитального гиромагнитного отношения gop6 = e/(2me)
[см. формулу (4.89) ]. С учетом сказанного находим чис-
ленное значение р$ в единицах магнетона Бора (цб =
= eh/(2me)):
Ps — gsLs = ~
Важно отметить, что спин электрона в магнитном поле
может быть ориентирован только двумя способами**:
проекция вектора Ц на направление В может быть равна
+ Й/2 (рис. 4.29, а) и —Й/2 (рис. 4.29, б). Соответственно
проекции собственного магнитного момента ps будут рав-
ны — цб и +цб.
Классификация магнетиков и их свойства. Результи-
рующий магнитный момент молекул вещества равен век-
торной сумме орбитальных р^рб и спиновых р^ магнитных
моментов всех ее W электронов, принадлежащих как
внешней (валентной), так и внутренним электронным
оболочкам***:
/V N
р“ол = S р$ + 2 pj,.,-. (4.99)
i = I i = i
1. Если магнитный момент молекул вещества в отсутст-
вие магнитного поля равен нулю, то оно является диа-
магнетиком (см. табл. 4.1). При внесении такого вещества
в магнитное поле в каждом его атоме или молекуле за
* См. опыт Эйнштейна и де Хааза в конце данного параграфа.
** Наличие двух ориентаций спина обнаружено эксперименталь-
но в опытах О. Штерна и В. Герлаха (см. гл. «Физика атомов и моле-
кул>).
♦♦♦ Строение атомов и молекул с учетом их квантовых свойств
рассмотрено в гл. «Физика атомов и молекул>.
139
счет прецессионного движения наводится магнитный мо-
мент Арш, направленный противоположно вектору В
[см. уравнение (4.96)]. Выражение для вектора намагни-
ченности, определяемого формулой (4.72), с учетом соот-
ношения (4.96) преобразуется к следующему виду:
AN
J
=—П7 = “ п —А-В,
ДУ----------------ДУ 4лте
(4.100)
где Арш, * = Арш — наведенные прецессионные орбиталь-
ные магнитные моменты всех молекул (Л = 1,2,...,AAQ,
которые находятся в выделенном объеме AV.
Из сравнения формул (4.73) и (4.100) видно, что вос-
приимчивость хв Для диамагнетиков имеет отрицательное
значение:
e2z < S _l > . n
Хв= — Цоя——<0—для диамагнети-
пте ков.
(4.101)
Оценка по формуле (4.101) и экспериментальные дан-
ные показывают, что абсолютное значение величины хв
у диамагнетиков очень мало —Ю-6), поэтому маг-
нитная восприимчивость % для диамагнетиков практически
140
равна хв [см. формулу (4.84)]:
Х=7^-—Хв^— Ю 6.
1 “ Хв
Восприимчивость х диамагнетиков практически не за-
висит от температуры и напряженности Н магнитного поля.
Поэтому процесс намагничивания диамагнетиков харак-
теризуется линейной зависимостью / от Н (рис. 4.30, а).
2. Если результирующий магнитный момент атомов
или молекул не равен нулю, а квантово-механическое
(обменное) взаимодействие не проявляется, то вещество
называется парамагнетиком. Процесс намагничивания
парамагнетиков во многом аналогичен тому, как поля-
ризуется диэлектрик, состоящий из полярных молекул
с дипольным (электрическим) моментом ре (ре = const—
жесткие диполи). Кривая намагничивания парамагнети-
ков, изображенная на рис. 4.30,а, указывает на явление
насыщения, которое связано с ориентационным упоря-
дочением магнитных моментов молекул вещества. Клас-
сическая статистическая теория парамагнетизма была
развита П. Ланжевеном в 1905 г. (см. теорию Дебая для
полярных диэлектриков в § 4.1). В не очень сильных
однородных постоянных магнитных полях, когда потен-
циальная энергия «магнитного диполя» [см. формулу
(3.37)] много меньше характерной тепловой энергии
(pmB <С kT), восприимчивость х парамагнетика будет об-
ратно пропорциональной температуре Т:
Хв = >0 — для парамагнетиков.
OKI
(4.102)
141
Величина численные значения которой лежат в
пределах от 10“5 до 10“3, определяет ход кривой на-
магничивания на ее начальном (почти линейном) участ-
ке, т. е. хв численно равна тангенсу угла наклона каса-
тельной к кривой намагничивания (штриховая линия на
рис. 4.30,а).
Если сравнить полученное выражение для %в с выраже-
нием (4.12) для восприимчивости х полярного диэлектри-
ка, то окажется, что они имеют одинаковый вид. И это не
удивительно, поскольку механизм ориентационной поляри-
зации в электрическом поле (теория Дебая) и механизм
ориентационного намагничивания парамагнетика в маг-
нитном поле совершенно одинаковы. На магнитный
диполь в магнитном поле действует момент сил, опреде-
ляемый формулой (3.36), а на электрический диполь в
электрическом поле действует момент сил, определяемый
аналогичной формулой (2.36).
3. Если результирующий магнитный момент атомов
или молекул не равен нулю, а квантово-механическое
(обменное) взаимодействие спинов электронов является
определяющим, то в некотором температурном интервале
вещество является ферромагнетиком. В ферромагнитном
состоянии намагниченность является неоднозначной
функцией напряженности Н (рис. 4.30,6), т. е. при мед-
ленном циклическом изменении магнитного поля полу-
чается петля гистерезиса, внутри которой расположена
основная кривая намагничивания (кривая /), характе-
ризующая процесс установления магнитного насыщения
с намагниченностью /нас. Петля гистерезиса определяет
остаточную намагниченность /ост и коэрцитивную силу
Нкоэр. В связи с неоднозначной зависимостью J от Н для
ферромагнетика магнитную проницаемость р=1+//Я
[см. формулу (4.85)] определяют по экспериментальным
данным, относящимся к основной кривой намагничивания
(кривая 1 на рис. 4.30,6). Зависимость ц от Н, имеющая
максимум выше точки перегиба кривой 1 (точка А ), схема-
тично изображена на рис. 4.31.
Максимальные значения магнитной проницаемости
ферромагнетиков очень велики (pmax — 104—- 105); напри-
мер, для железа ртах = 5000, а для пермаллоя (сплав
78 % Ni и 22 % Fe) ртах ~ 105. Как в случае сегнетоэлект-
риков (см. рис. 4.6), обладающих способностью к обра-
зованию электрических доменов, так и в случае ферромаг-
нетиков гистерезис свойств объясняется наличием маг-
142
\омены
Рис. 4.31
Рис. 4.32
нитных доменов (рис. 4.32), которые возникают само-
произвольно в ферромагнитном состоянии за счет упоря-
дочения спиновых магнитных моментов молекул. Это упо-
рядочение определяется специфическими (квантово-меха-
ническими) взаимодействиями спинов электронов ферро-
магнитных веществ. При повышении температуры петля
гистерезиса сужается и при достаточно высокой темпе-
ратуре, называемой точкой Кюри*, ферромагнитное со-
стояние исчезает, и вещество ведет себя как парамаг-
нетик. Это объясняется тем, что тепловое движение моле-
кул (магнитных диполей) при подходе к точке Кюри
становится достаточно интенсивным, чтобы разрушить
домены (исчезает спонтанная намагниченность). Переход
через температуру Кюри не сопровождается выделением
или поглощением теплоты (AQ = 0), что указывает на фа-
зовый переход второго рода.
Антиферромагнетики. В некоторых кристаллах под
действием квантово-механических обменных сил в опреде-
ленном температурном интервале образуются домены,
в пределах которых спины ориентированы антипараллель-
но. Такие вещества, называемые антиферромагнетиками,
обладают очень малой намагниченностью в отсутствие
внешнего поля и приобретают слабую намагниченность
под действием внешнего поля. К ним относятся твердый
кислород (a-модификация, существующая при Т < 24 К),
* Значения температуры Кюри, намагниченности насыщения и
магнитной проницаемости ферромагнетиков см. в табл. Ш.7 прил. III.
143
хром, ряд редкоземельных элементов и около 1000 соеди-
нений металлов (типичные их представители: FeO, NiO,
MnO, FeF2, NiF2, NiF2, MnF2 и т. д.). В результате
нагревания до некоторой температуры, называемой анти-
ферромагнитной точкой Кюри или точкой Нееля*, маг-
нитное упорядочение спинов в доменах разрушается, и
антиферромагнетик превращается в пара-
магнетик (фазовый переход второго ряда).
Прямой и обратный гиромагнитные эффекты. Атомы
или молекулы пара- и ферромагнетиков обладают собст-
венным суммарным магнитным моментом рт°1см. выраже-
ние (4.99)], который в соответствии с формулами (4.89)
и (4.98) самым непосредственным образом связан с собст-
венным механическим моментом, т. е. моментом импульса
Ьэл всех электронов (по отношению к центру инерции
атома или молекулы):
Р“ол = - (4.103)
Коэффициент пропорциональности g может иметь зна-
чение, которое заключено в пределах между орбитальным
и спиновым гиромагнитными отношениями (e/(2rri)^.g
е/т). Момент импульса движущегося атома с номе-
ром k (или молекулы) по отношению к некоторому не-
подвижному центру О равен сумме момента импульса L£;M
соответствующего движению центра масс атома (т. е.
ядра) или молекулы, и результирующего собственного
момента импульса Цлвсех его электронов:
Lo=UT Ц?
Поэтому для единичного объема магнетика, содержаще-
го п атомов или молекул (k = 1,2,...,п), суммарный момент
импульса будет состоять из двух сумм, одна из которых
выражается через намагниченность J образца:
L = 2 LT + s LT= 2 UH-4- У рГ* = Lu“ — s/g.
k=\ k=\ k=\ &
*=!
(4.104)
Для замкнутой механической системы момент L сохра-
няется, поэтому изменение величины LUM или намагничен-
* Французский физик Л. Неель (р. 1904), иностранный член
АН СССР (1958), предсказал в 1932 г. антиферромагнетизм.
144
постиJ приводит к соответствующему изменению J или LUM
(прямой и обратный гиромагнитные эффекты).
Прямой эффект был открыт в 1909 г. американским
физиком С. Барнеттом (1873—1956), который обнаружил
возрастание намагниченности J железного стержня в том
случае, если его предварительно приводили во вращатель-
ное движение относительно оси, параллельной напряжен-
ности Н магнитного поля.
Обратный эффект был обнаружен в 1915 г. А. Эйн-
штейном (1879—1955) иВ. деХаазом (1878—1960) в опы-
тах по намагничиванию железного сердечника, подвешен-
ного в соленоиде на тонкой кварцевой нити. В процессе
намагничивания железный сердечник приобретал меха-
нический момент LUM = /о)(/ — момент инерции; <о — угло-
вая скорость), т. е. стержень поворачивался и закручивал
нить. Измерения, проведенные для всех исследованных
ферромагнетиков (железо, никель, кобальт и т. д.), позво-
лили определить коэффициент g из формулы (4.103), ко-
торый оказался равным gs (gs = e/m). Именно эти и другие
опыты позволили к 1925 г. установить существование
собственного механического момента у электрона, т. е.
спина, которым он обладает, независимо от характера
движения (по орбите вокруг ядра или при свободном дви-
жении вне атома).
Магнитострикционный эффект. При намагничивании
ферромагнетиков наблюдается явление магнитострикции
(от магнит и лат. strictio — сжатие, натягивание), которое
состоит в изменении формы и объема образца (см. ана-
логичный— эл ектростр икционный эффект). Этот
эффект используется в магнитострикционных датчиках,
а также в магнитострикционных излучателях ультразву-
ка, возникающих при намагничивании ферромагнитных
образцов в периодически изменяющихся магнитных
полях.
Задание 4.11 (условия на границе раздела двух однородных маг-
нетиков). Установите условия, которым удовлетворяют касательные и
нормальные составляющие векторов В и Н на границе двух магнетиков
с магнитными проницаемостями pi и цг (при отсутствии на границе
тока проводимости).
Указание. Сначала примените теорему Гаусса для магнитной
индукции В = цоцН [см. первое из соотношений (4.86)], выбрав в ка-
честве замкнутой поверхности S поверхность прямого цилиндра с пло-
щадью основания AS* и высотой A/i->0 (см. рис. 4.9, б). Затем восполь-
зуйтесь законом полного тока для напряженности Н магнитного поля,
145
расположив вытянутый замкнутый контур L вдоль границы магнетиков
(см. рис. 4.9, а).
~ „ Я|„ |12 „ „ В|т Ц|
Ответ. Birt = B2rt=>-77—= —; Я1т = //2т=> ——= —
И 2п Н1 Вгт Н2
4.5. Явление электромагнитной индукции.
Энергия магнитного поля
Закон Фарадея — Ленца. Явление электромагнитной
индукции было открыто в 1831 г. М. Фарадеем. Оно заклю-
чается в следующем: во всяком замкнутом проводящем
контуре при изменении потока Фш магнитной индукции В
через площадь 5, ограниченною этим контуром, возни-
кает электрический ток. Этот ток называется индукцион-
ным.
Возникновение индукционного тока в замкнутом кон-
туре обусловлено появлением в этом контуре электродви-
жущей силы бин, которую называют электродвижущей
силой индукции. Величина еин определяется лишь ско-
ростью изменения магнитного потока, т. е.
иФт __ С г> JO
ЕнН = \ Фщ = \ BndS,
(4.105)
и не зависит от того, чем вызвано это изменение — дефор-
мацией контура, его перемещением в магнитном поле
(рис. 4.33, а, б), изменением магнитного поля (рис. 4.33, в,
Рис. 433
146
г) или совместным действием этих причин. Формула
(4.105) называется законом Фарадея.
Русский физик Э. X. Ленц, исследовавший связь между
направлением индукционного тока в контуре и причиной,
вызвавшей этот ток, установил в 1834 г. следующую
закономерность, называемую правилом Ленца: индукцион-
ный ток в контуре всегда имеет такое направление, что
создаваемое им магнитное поле препятствует изменению
магнитного потока, вызывающего этот индукционный ток.
Так, например, при сближении источника магнитного поля
(рис. 4.33, а) и замкнутого контура в последнем наводится
индукционный ток, который своим, магнитным полем про-
тиводействует их сближению (возникает сила отталкива-
ния). При удалении на виток с индукционным током
действует сила притяжения к соленоиду или постоянному
магниту (рис. 4.33,6). Увеличение тока в соленоиде
(рис. 4.33, в) приводит к возникновению индукционного
тока с магнитным моментом, который направлен противо-
положно индукции В соленоида, и контур выталкивается
в область с менее сильным полем (отталкивание). При
уменьшении тока / (dl/dt <1 0) контур с индукционным
током втягивается в область более сильного поля (притя-
жение— рис. 4.33,г).
В 1845 г. Ф. Э. Нейман (1798—1895) дал математи-
ческое выражение закона электромагнитной индукции в
современной форме, которое объединяет закон Фарадея
и правило Ленца:
еин = — dd>m/dt — закон Фарадея — Ленца,
или закон электромагнит-
ной индукции,
(4.106)
т. е. электродвижущая сила электромагнитной индукции
в замкнутом проводящем контуре численно равна и проти-
воположна по знаку скорости изменения магнитного по-
тока сквозь поверхность, натянутую на контур.
В формуле (4.106) ЭДС индукции считается поло-
жительной, если магнитный момент рш соответствующего
ей индукционного тока образует острый угол с линиями
индукции того поля, которое наводит этот ток, и отрица-
тельной, если угол тупой (см. рис. 4.33). Кроме того,
в формуле (4.106) под Фш в общем случае следует пони-
мать полный магнитный поток сквозь поверхность, натя-
147
нутую на контур, содержащий А витков. Полный магнит-
ный поток = N<$m называют потокосцеплением. Тогда
еин = - dWm/dt. (4.107)
Закон электромагнитной индукции для замкнутого кон-
тура, движущегося в магнитном поле, можно получить,
исходя из закона сохранения энергии. Очевидно, за
время dt внешние силы, перемещающие контур в
магнитном поле, совершают работу 6Д, равную работе
индукционного тока силой I в контуре, т. е. 6Д =
= bwldt [см. формулу (4.47)]. С другой стороны, эта
работа должна быть равна взятой с обратным знаком
работе 6Д', совершаемой силами Ампера (3.41): 6Д' =
= — 6Д = — IdWm. В результате имеем z^Jdt^—IdW
ИЛИ еИн= —dWm/dt.
Физическая сущность явления электромагнитной ин-
дукции. Механизм возникновения индукционного тока в
замкнутом контуре при его движении в магнитном поле В
объясняется действием силы Лоренца на электроны про-
водимости.
Рассмотрим сначала простейший замкнутый контур
ANMC, изображенный на рис. 4.34, а. При движении
перемычки АС вправо со скоростью v вместе с ней будут
двигаться электроны проводимости. Следовательно, на
каждый электрон проводимости действует сила Лоренца
= — e(v X В), направленная от Д к С. В результате
электроны начинают перемещаться по перемычке вниз
и по ней пойдет ток, направленный вверх. Это и есть
индукционный ток. Перераспределившиеся заряды пере-
148
мычки создают электрическое поле, которое возбудит ин-
дукционный ток и в остальных участках контура ANMC.
Таким образом, сила Лоренца в данном случае играет
роль сторонней силы, возбуждающей электрический ток.
Соответствующая ей напряженность стороннего поля Е* =
= — Рл/е = v X В. Поэтому, согласно выражениям (4.48),
с
электродвижущая сила индукции еин = J (v X В) • dl =
А
= —vBl. Так как v = dx/dt, то
еии= — Bldx/dt = -BdS/dt= -dQ>m/dt. (4.108)
Величина dS/dt=lv есть приращение площади кон-
тура ANMC в единицу времени, т. е. скорость приращения
этой площади. Поэтому величина vBl, равная d&m/dt,
есть скорость изменения магнитного потока, пронизы-
вающего площадь контура ANMC (d®m/dt — величина
пересеченного перемычкой АС магнитного потока в едини-
цу времени).
Покажем далее, что полученное выражение (4.108)
для электродвижущей силы индукции применимо для лю-
бого замкнутого контура, движущегося произвольным об-
разом в постоянном неоднородном магнитном поле (рис.
4.34,6). Для этого мысленно разобьем контур на элемен-
тарные участки длиной dl. При бесконечно малом пере-
мещении такого участка магнитное поле, в котором он
движется, можно считать однородным. Поэтому электро-
движущая сила, действующая на участке dl, может быть
представлена выражением (4.108), т. е. deHH=—BdlvK
Xsin(3= —BndS. Просуммировав эти ЭДС по всем эле-
ментам контура, получим полную электродвижущую силу,
действующую в замкнутом контуре L, которая, как и рань-
ше, равна еИн = —-d&m/dt. Однако сейчас под d&m/dt
следует понимать скорость изменения магнитного потока
через поверхность 5, натянутую на контур А(фш =
= $BndS).
S
Приведенное здесь объяснение возникновения электро-
магнитной индукции с позиции действия силы Лоренца
не универсально. В частности, оно неприменимо для ис-
толкования возникновения ЭДС индукции в неподвиж-
ных замкнутых контурах, находящихся в переменном
магнитном поле, так как сила Лоренца на неподвижные
заряды не действует. Поэтому для объяснения явления
149
электромагнитной индукции в неподвижных проводниках
необходимо допустить, что переменное магнитное поле вы-
зывает появление в пространстве электрического поля,
под действием которого и возникает индукционный ток
в замкнутом проводящем контуре. Следовательно, закон
Фарадея [см. формулу (4.105)] выражает совершенно
новое физическое явление, которое состоит в том, что
изменяющееся магнитное поле порождает электрическое
поле. Таким образом, электрическое поле создается не
только электрическими зарядами, но и изменяющимся
магнитным полем.
Явление самоиндукции. Индуктивность. Вокруг всякого
контура с силой тока I существует магнитное поле В,
силовые линии которого пронизывают этот контур и со-
здают магнитный поток самоиндукции сквозь
s
поверхность 5, натянутую на этот контур (рис. 4.35).
По закону Био — Савара — Лапласа, магнитная индук-
ция В в любой точке поля пропорциональна силе тока
в контуре. Следовательно,
Ч'с = LI — потокосцепление самоиндукции, (4.109)
где L — коэффициент пропорциональности, называемый
индуктивностью контура.
Как показывает опыт, индуктивность L контура зависит
только от геометрической формы контура, его размеров
и магнитной проницаемости ц той среды, в которой он
находится. Покажем это на примере длинного соленоида.
Из формулы (4.109) имеем L = Ч'с// = N<&cm/I (N — общее
число витков соленоида, Фш = BS — магнитный поток
сквозь площадь S, ограниченную одним витком). Если
внутри соленоида находится сердечник с магнитной про-
ницаемостью р, то в соответствии с формулами (4.71) и
Рис. 4.35
150
(3.32) получим выражение для магнитной индукции поля
соленоида:
В = цоци/ = ЦоЦ^//,
где п = А//; I — длина соленоида; N — общее число вит-
ков. Следовательно,
L = Wc/I = ^N2S/l = цоцм2 V, (4.110)
где V = SI — объем соленоида.
Таким образом, индуктивность соленоида пропорцио-
нальна квадрату числа п витков на единицу его длины,
объему V соленоида и относительной магнитной про-
ницаемости ц вещества, из которого сделан сердечник.
В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн). За еди-
ницу индуктивности генри* принимается индуктивность
такого контура, магнитный поток самоиндукции которого
равен 1 Вб при силе тока в контуре 1 A([L]= 1В6/1А =
= 1Гн).
При прохождении по контуру изменяющегося тока
магнитный поток самоиндукции изменяется и в контуре
наводится электродвижущая сила индукции. Возникнове-
ние ЭДС индукции в контуре в результате изменения
силы тока / в этом же контуре получило название явления
самоиндукции, а сама ЭДС — ЭДС самоиндукции (ес).
Очевидно, что явление самоиндукции есть частный слу-
чай явления электромагнитной индукции Фарадея —
Ленца. Следовательно, ес= — (Г¥С/(И= — d(LI)/dt). Если
контур не деформируется, а магнитная проницаемость
ц не зависит от силы тока (что справедливо для неферро-
магнитных сред), то индуктивность L = const и
ес=— —ЭДС самоиндукции.
(4.1И)
Если контур с током окружен ферромагнитной средой
или в соленоид вставлен ферромагнитный (железный,
стальной и т. д.) сердечник, то магнитная проницаемость ц
зависит от напряженности магнитного поля Н и, следо-
вательно, от силы тока I(H = Поэтому индуктив-
* Джозеф Генри (1797—1878) —американский физик.
151
ность L [см. формулу (4.110)] считаться постоянной
не может. В этом случае вместо статической индуктивнос-
ти L вводят понятие динамической индуктивности ЛДИн.
Считая, что магнитный поток Ч/‘с = Ч/‘(/), а сила тока / =
= /(/), получим
____ dl__ j dl j ________d)¥z . 1194
e°— “ ~dTdi=— L^di=^Ll1 ИИ — ~^Г (4112)
По правилу Ленца, ЭДС самоиндукции противо-
действует изменению магнитного потока самоиндукции,
т. е. изменению электрического тока в контуре (замедляет
темп его возрастания или убывания). Согласно форму-
ле (4.111), ЭДС самоиндукции при dl/dt = const прямо
пропорциональна L. Следовательно, индуктивность кон-
тура является мерой его инертности по отношению к
изменению силы тока в нем.
Явление взаимной индукции. Явление взаимной ин-
дукции состоит в том, что изменение силы электрического
тока в каком-нибудь контуре приводит к изменению его
магнитного поля, которое индуцирует ЭДС индукции в со-
седних контурах.
Рассмотрим два контура 1 и 2 (рис. 4.36), по которым
проходят токи силой /1 и /г. Сила тока /1 создает полный
магнитный поток, который пронизывает второй контур:
ц/‘2 = £21/1 (Л21 — коэффициент взаимной индукции конту-
ра 2 по отношению к контуру /). При изменении силы
тока /1 в первом контуре будет меняться потокосцепление
4^2 и во втором контуре возникнет ЭДС взаимной ин-
дукции е2ин= —dW^/dt. Если размеры и взаимное распо-
ложение контуров остаются неизменными, а среда, в ко-
торой они находятся, неферромагнитна, то коэффициент
Рис. 4.36
152
Lii постоянен, и тогда имеем
e?"" = -L21^L. (4.113)
Очевидно, все сказанное можно повторить для того
случая, когда меняется ток в контуре 2, а ЭДС индуцирует-
ся в контуре 1. Тогда возникающая ЭДС
е?"н=_£12^_ (4.П4)
Соответствующий расчет показывает, что в отсутствие
ферромагнетиков коэффициенты Ьц и Lu равны друг дру-
гу, т. е. Lu= Lu. Их величина зависит от формы, разме-
ров и взаимного расположения контуров, а также от маг-
нитной проницаемости окружающей среды. Поскольку
L\2 = L2\, можно просто говорить о коэффициенте взаим-
ной индукции двух контуров. Коэффициент взаимной ин-
дукции Л(/, так же как и индуктивность L, измеряется
в генри ([£(/]= Гн, 1 Гн=1 В6/1А).
Если среда ферромагнитная, то вводится понятие ди-
намических коэффициентов взаимной индукции контуров
(см. аналогичные соотношения (4.112) для самоиндук-
ции), которые в общем случае не равны друг другу:
LfHH = LAK„ = £дин ф (4 J 15)
Явление взаимной индукции находит широкое примене-
ние на практике при конструировании трансформаторов,
индукционных катушек и т. д.
Задание 4.12. Получите закон изменения силы тока при включении
и отключении источника постоянного тока е в цепи, содержащей ин-
дуктивность L и сопротивление R (рис. 4.37). Постройте графики
зависимости / = /(/) и определите время т релаксации силы тока I.
Рис. 4.37
153
Указание. Воспользовавшись вторым правилом Кирхгофа [см.
уравнение (4.69)], составьте и решите дифференциальное уравнение
для тока / = f(/).
Ответ. / = /о(1 — e~Rt/L)—при включении е; I = Ioe~Rt,L— при
отключении е; /0 = е//? — максимальное значение силы тока в цепи;
т = L/R — время релаксации силы тока /.
Энергия магнитного поля. Рассмотрим электрическую
цепь, изображенную на рис. 4.37. Пусть при включенной
ЭДС (ключ в положении /) в цепи проходит ток /, который
создает в соленоиде магнитное поле В и сцепленный с вит-
ками соленоида полный поток 4^ = LI. Если ключ К пере-
ключить в положение 2, то магнитное поле начнет умень-
шаться, поскольку в соленоиде некоторое время будет
проходить постепенно убывающий ток (см. задание 4.12),
поддерживаемый возникающей в соленоиде ЭДС самоин-
дукции (ес= — (TV/dt). Работа, совершаемая этим током
за время dt, равна
6Л =^Idt= -IdW. (4.116)
Предположим, что индуктивность L не зависит от силы
тока, тогда d*¥ = Ldl, и в результате получим 6Л =
= — Lidl. Полную работу, совершаемую в цепи за время
изменения силы тока от / до нуля, найдем путем инте-
грирования элементарной работы 6Л:
о
А = -\LIdI = ±-Ll2. (4.117)
Эта работа идет на изменение внутренней энергии сопро-
тивления /?, т. е. на его нагревание (см. закон Джоуля —
Ленца).
Совершение работы (4.117) сопровождается исчезно-
вением магнитного поля в соленоиде, поэтому естественно
предположить, что данная работа выполняется за счет
энергии магнитного поля. Следовательно, проводник с ин-
дуктивностью L, по которому проходит ток /, обладает
энергией, равной энергии магнитного поля этого тока:
W = -i- LI2 — собственная энергия контура
с током.
(4.118)
Поскольку собственная энергия контура L с током /
является одновременно энергией магнитного поля данного
154
контура с током, можно выразить энергию 1F, опреде-
ляемую формулой (4.118), через величины, характеризую-
щие поле: индукцию В поля и объем, занимаемый этим
полем.
В случае соленоида В = цоци/, a L = Поэтому
W = ъ—B2V — энергия магнитного поля
2иоц
гр соленоида.
(4.119)
Магнитное поле длинного соленоида практически одно-
родно в объеме. В связи с этим естественно предпо-
ложить, что энергия магнитного поля В распределена
равномерно с объемной плотностью w = Ц?/У(В = р,оцН):
^ = 2^В2 = ТНВ = ^Н2- <4-,2°)
Рассмотрим теперь неоднородное магнитное поле,
когда В = В(х, у, z). В пределах бесконечно малого
объема dV поле можно считать однородным. Поэтому
энергия dW, заключенная в объеме dV, равна dW =
= wdV. Интегрируя это выражение по всему объему V
поля, найдем полную энергию магнитного поля: Wm =
= \wmdV.
v
Энергия электромагнитного поля. Если наряду с маг-
нитным полем имеется и электрическое, то полная плот-
ность энергии электромагнитного поля будет равна сумме
плотностей we и wm [см. формулу (4.37)].
Для анизотропной среды, в которой существует элект-
ромагнитное поле, направления векторов Е и D, а также
Н и В не совпадают. Это связано с тем обстоятельством,
что в этом случае поляризованность Р диэлектрической
среды не совпадает с направлением вектора Е [см. тен-
зорное соотношение (4.13)]. Аналогично намагничен-
ность J не совпадает с направлением вектора Н
(J=xH, X — тензор коэффициентов магнитной восприим-
чивости). Поэтому плотности we и wm будут выражаться
скалярным произведением соответствующих напряжен-
ностей и индукций:
®e = yE-D; дат = уН-В. (4.121)
155
Полную энергию такого поля следует вычислять по
формуле
w = J(u>e + wm)dV = yj ( E • D + H • в) dV. (4.122)
V V
Интегрирование в формуле (4.122) нужно вести по всему
объему V, в котором электрическое и магнитное поля
отличны от нуля.
4.6. Переменный квазистационарный ток
Переменный электрический ток. Переменный ток в
широком смысле — это электрический ток, изменяю-
щийся во времени. Фактически с такой ситуацией мы уже
встречались в § 4.5, который посвящен рассмотрению
явления электромагнитной индукции. В частности, пере-
менный ток возникает при включении и отключении ис-
точника постоянного тока в электрической цепи, содер-
жащей индуктивность (см. задание 4.12), а также при
зарядке и разрядке конденсаторов. В узком смысле
термин переменный ток используется для частного, но
наиболее часто применяемого на практике случая, когда
ток в электрической цепи изменяется по гармоническому
закону / = Im sin (со/ + ао).
Квазистационарный ток. Если в каждый момент вре-
мени сила тока I (t) одинакова во всех сечениях участка
цепи, то такой ток называется квазистационарным. В этом
случае мгновенные значения силы тока и напряжения
для отдельных участков разветвленных электрических
цепей будут удовлетворять закону Ома, а значит, и двум
правилам Кирхгофа [см. формулы (4.66) и (4.69)]. Имен-
но по этой причине в задании 4.12 рекомендовано исполь-
зовать второе правило Кирхгофа для замкнутого элект-
рического контура.
Для того чтобы гармонический ток был квазиста-
ционарным, должны выполняться два условия:
1) поскольку электромагнитное поле распространяется
со скоростью света, необходимо, чтобы время передачи
возмущения по электрической цепи в самую удаленную
на расстояние I точку было много меньше периода Т
синусоидального тока, т. е.
I/с <С Т — условие квазистационарности для
электромагнитного поля в про-
воднике;
(4.123)
156
2) с другой стороны, следует отметить, что сила тока
в каждый момент времени определяется скоростью уста-
новившегося движения (дрейфа) носителей заряда в про-
водниках (см. формулу (4.42) для плотности тока). Для
достижения этого необходимо, чтобы время установления
стационарного движения в заданном квазистатическом
поле, т. е. время релаксации т скорости зарядов (см. за-
дание 5.2) было много меньше периода Т колебаний
тока в цепи, т. е.
т <С Т — условие стационарности движения
носителей заряда в цепи.
Это условие предполагает очень малую инерционность
носителей заряда, что практически всегда выполняется
в связи с малостью массы этих носителей*. При выпол-
нении условия (4.124) система носителей заряда в про-
водниках ведет себя как безынерционная «несжимаемая
сплошная среда», способная «течь» под действием элект-
рического поля.
Задание 4.13. Оцените максимальный размер I электрической цепи,
для которой ток промышленной частоты (v = 50 Гц) можно рассматри-
вать как квазистационарный.
Указание. Воспользуйтесь условием (4.123), поскольку условие
(4.124) выполняется при vC 1013 Гц.
Ответ. Линейный размер проводника / <С 1000 км.
Принцип генерирования переменного тока. Рассмот-
ренное в § 4.5 явление электромагнитной индукции лежит
в основе получения переменного электрического тока. Для
уяснения этой возможности поместим проволочную прямо-
угольную рамку ABCD в однородное магнитное поле и
закрепим ее на оси так, чтобы ось O1O2 рамки была перпен-
дикулярна к вектору магнитной индукции В (рис. 4.38).
При вращении рамки из N витков будет изменяться
полный магнитный поток Ч'™ = NBS cos ф(/), пронизываю-
щий эту рамку. В результате в соответствии с законом
* Время релаксации скорости заряда (см. задание 5.2) определяется
по формуле x = mb/q (b — подвижность заряда q массой пг). Подста-
вив данные, получим для электрона в металле те ~ 10“13 с, а для не-
сольватирова иного протона в электролите тр~10“15 с при
Ь~ 10“7 м2/(В«с).
157
0
Фарадея — Ленца во вращающейся рамке возникает пе-
ременная ЭДС индукции (без учета ЭДС самоиндукции)
енн= sin (4.125)
Если такая рамка включена в электрическую цепь с общим
активным сопротивлением /?, т. е. без индуктивности L и
емкости С, то в цепи возникает переменный электрический
ток (см. закон Ома для замкнутой цепи)
/W = -^=^sin<₽(0-^-- (4.126)
В общем случае нужно учитывать еще и ЭДС само-
индукции (см. § 4.5), которая обусловлена изменением
потока магнитного поля, создаваемого током в рамке
(ес= —Ldl/dt, где L — индуктивность рамки из N вит-
ков).
Из формулы (4.126) видно, что изменение тока в цепи
определяется кинематическим законом вращения рамки
(ф = ф(0)- Если рамка вращается равномерно со скоростью
со = const, то угол ф = со/, а ток в цепи будет изменяться
по гармоническому закону:
1(f) = Im sin со/, Im = NBS(d/R —
максимальное (амплитудное) значение силы
тока.
В рассмотренной электрической цепи, содержащей только
активное сопротивление /?, сила тока 1(f) и ЭДС индукции
е(/) имеют одинаковую фазу ф = со/ (разность фаз равна
нулю), т. е. они изменяются синфазно (от англ, single —
одиночный).
158
Если цепь содержит электроемкость С, индуктив-
ность L и активное сопротивление /?, то фаза тока в общем
случае уже не будет совпадать с фазой ЭДС. Сдвиг фаз
зависит от соотношения между емкостным и индуктив-
ным сопротивлениями, выражения для которых будут
получены в гл. 6 при рассмотрении вынужденных электри-
ческих колебаний в контуре [см. об этом в § 6.1; там же
будет рассмотрено явление резонанса в контуре с последо-
вательным соединением конденсатора, соленоида и сопро-
тивления (CLR — цепочка)].
В заключение отметим, что изложенное выше разъяс-
няет принцип получения переменного тока, который реали-
зуется в генераторах различного типа, отличающихся
конструктивно друг от друга. Их особенности рассматри-
ваются в курсе электротехники. Однако для нас важно,
что в основе работы всех типов генераторов тока лежит
одно и то же явление — явление электромагнит-
ной индукции, которое описывается законом Фа-
радея — Ленца.
Эффективное значение тока. Вследствие значительно
больших частот со переменного тока / (для промышленной
частоты v = 50 Гц циклическая частота co = 2jiv~
~ 314 с-1) приборы с механическими, а значит достаточ-
но инерционными, измерительными частями позволяют
зафиксировать среднее по времени значение мощности
тока. Поскольку мгновенная мощность переменного тока
P(t) = I1 2(t)R, то ее среднее значение за период Т найдем,
вычислив интеграл вида
т 2 Т
<Р(0> =y{p(t}dt = ^sin2<o/d/ =
о о
т
= (1 - cos 2af)dt =
о
Введем понятие эффективного (действующего) зна-
чения силы переменного тока как силы такого постоянного
тока /Эф, мощность которого равна средней мощности
переменного тока. Отсюда следует соотношение для на-
хождения значения /Эф:
1,2ффЯ = /^/2=^/,фф = /т/л/2 —
эффективное значение переменного тока.
(4.127)
159
Аналогично вводится понятие эффективного значения
напряжения или ЭДС в цепи переменного тока.
Вихревые токи (токи Фуко). Выше было рассмотрено
возникновение ЭДС индукции и самоиндукции в так назы-
ваемых линейных проводниках, т. е. металлических про-
водниках, диаметр поперечного сечения которых много
меньше их длины. Далее следует остановиться на анализе
процессов, которые приводят к возникновению индукцион-
ных токов в массивных металлических проводниках
(рис. 4.39). Если такой объемный проводник поместить
в изменяющееся во времени магнитное поле В(/), то в его
объеме возникнут индукционные токи, проходящие по
некоторым замкнутым «траекториям», охватывающим ли-
нии В. Такие токи получили название вихревых токов
или токов Фуко. Французский физик Л. Фуко (1819—
1868) впервые заметил, что сердечники электрических
машин нагреваются, если их пронизывает изменяющееся
во времени магнитное поле.
В соответствии с правилом Ленца направление вих-
ревых токов будет таким, чтобы создаваемое ими магнит-
ное поле препятствовало изменению того внешнего поля,
которое их вызывает (см. например, рис. 4.33). Силу тока
и распределение линий вихревых токов в объеме массив-
ного проводника рассчитать достаточно трудно. Ясно
одно, что плотность вихревых токов j(x, у, z) зависит от
удельного электросопротивления материала проводника и
от быстроты изменения внешнего магнитного поля (или
частоты переменного тока, создающего это поле).
Вихревые токи вызывают нагревание ферромагнитных
сердечников трансформаторов, металлических частей дру-
160
гих электрических машин, поэтому с целью уменьшения
потерь электрической энергии из-за возникновения вихре-
вых токов сердечники трансформаторов изготавливают
не из сплошного куска ферромагнетика, а из отдельных
металлических пластин, разделенных диэлектрической
прослойкой друг от друга, причем плоскости пластин
располагают так, чтобы они были перпендикулярны к на-
правлению токов Фуко. Этот технический прием сильно
увеличивает сопротивление сердечника по отношению
к вихревым токам и, что очень важно, практически не
влияет на его магнитные свойства. Другим способом уве-
личения электросопротивления сердечников является их
изготовление не из металлов, а из магнитодиэлектри-
ков— спрессованных между собой под большим давлением
смесей порошков ферромагнетиков и диэлектриков.
Большое удельное сопротивление имеют сердечники из
ферритов, состоящих из полупроводниковых ферромагнит-
ных материалов с удельным сопротивлением, в миллиар-
ды раз превышающим удельное сопротивление обычных
ферромагнитных веществ.
Вихревые токи широко используются для плавки ме-
таллов в индукционных печах. В этом случае их величина
должна быть как можно больше, так как, согласно зако-
ну Джоуля — Ленца, количество теплоты, выделенной в
проводнике /?, пропорционально квадрату силы тока /.
Для увеличения вихревых токов в этом случае в индук-
ционных печах используются токи высокой частоты, со-
здающие быстроменяющееся электромагнитное поле, что
в свою очередь приводит к увеличению индуцированной
ими ЭДС.
Скин-эффект. Вихревые токи возникают также при
прохождении переменного тока в обычно используемых
линейных проводниках с площадью поперечного сечения S.
В случае круглого цилиндрического проводника вихревые
токи циркулируют в плоскостях, проходящих через его
ось (рис. 4.40). В соответствии с правилом Ленца при
увеличении первичного тока / = /о£ с однородным рас-
пределением по сечению (рис. 4.40, а) вихревые токи
вблизи осевой линии и ток / направлены в противополож-
ные стороны, а у поверхности цилиндрического провод-
ника их направления совпадают. В результате возни-
кает такое неоднородное распределение плотности тока
(/ = /(г)), когда ток идет только по тонкому поверхностному
слою проводника. При уменьшении силы тока / в про-
161
воднике возникают вихревые токи, которые приводят к
аналогичному результату (рис. 4.40,6).
Это явление получило название скин-эффекта (от англ,
skin — кожа, оболочка). Чем выше частота переменного
тока, тем тоньше поверхностный слой, по которому идет
ток. Внутри проводника тока фактически нет. Наличие
скин-эффекта позволяет вместо сплошных применять
трубчатые проводники, если они предназначены для цепей
с переменным током. В этих случаях для уменьшения об-
щего сопротивления полых проводников при малой пло-
щади их поперечного сечения принимают специальные
меры, например покрывают поверхность тонким слоем
серебра (серебрение).
4.7. Понятие о принципах работы
электроизмерительных приборов
Общие сведения. Электроизмерительным прибором
называется устройство, предназначенное для измерения
в установленных единицах числового значения той или
иной электрической величины (тока, напряжения, элект-
рического заряда, мощности тока и др.). Необходимо
сразу же отметить, что с помощью электроизмерительных
приборов измеряют во многих случаях неэлектрические
величины (интенсивность света, температуру, давление
и др.). В связи с этим в любом электроизмерительном
приборе можно выделить две основные части: измери-
тельную электрическую цепь и измерительный механизм.
162
Измерительная цепь преобразует измеряемую величи-
ну х в некоторую промежуточную электрическую вели-
чину у, связанную с ней функционально (y = f(x)). Чаще
всего в качестве величины у, которая является входной
величиной для измерительного механизма, используется
ток или напряжение. Электрический сигнал непосредст-
венно воздействует на измерительный механизм.
Измерительный механизм преобразует подведенную к
нему электрическую энергию в механическую, вызываю-
щую перемещение его подвижной части относительно
неподвижного основания. У большинства механизмов под-
вижная часть имеет одну степень свободы, которая соот-
ветствует угловому повороту на угол а или линейному
перемещению на расстояние s. Входное электрическое
воздействие создает вращательный момент М, под дейст-
вием которого подвижная часть измерительного меха-
низма поворачивается вокруг некоторой оси до тех пор,
пока он не будет уравновешен противодействующим мо-
ментом Л1Упр со стороны некоторого упругого элемента
измерительного механизма. Обычно противодействующий
момент создается пружинами или растяжками и направлен
противоположно вращающему моменту М. Положение
равновесия подвижной части прибора соответствует ра-
венству М = Л1упр.
В зависимости от физических явлений, которые исполь-
зуются для создания вращающего момента, все электро-
механические измерительные приборы делятся на ряд
систем: магнитоэлектрическую, электромагнитную, элект-
родинамическую, электростатическую, тепловую, вибра-
ционную и др*.
Рассмотрим принцип работы электроизмерительных
приборов первых трех систем, которые нашли наиболее
широкое применение.
Магнитоэлектрический измерительный механизм.
Принципиальная схема магнитоэлектрического механизма
свнешним магнитом показана на рис. 4.41,а. Основ-
ными частями этого механизма являются сильный по-
стоянный магнит 5, полюсные наконечники 1 и цилиндри-
ческий сердечник 2, подвижная рамка 4 из тонкого медно-
го или алюминиевого провода, намотанного на легкий
немагнитный каркас. Стрелка 5 и циферблат образуют
* Классификацию приборов по степени точности, по роду изме-
ряемой физической величины и другим параметрам мы рассматривать
не будем.
163
2
отсчетное устройство. Наличие ферромагнитного (желез-
ного) сердечника 2 приводит к тому, что в цилиндрическом
зазоре между наконечниками 1 создается радиальное
магнитное поле, индукция В которого не изменяется
в направлении образующих цилиндра (рис. 4.41,6). По-
этому боковые стороны рамки, независимо от ее положе-
ния, находятся в постоянном магнитном поле. Линии
индукции В поля в плоскости рамки расположены перпен-
дикулярно к ее боковым сторонам. Измеряемый ток си-
лой / подводится к рамке, содержащей N витков пло-
щадью S. Магнитный момент рт рамки взаимодействует
с магнитным полем, которое стремится совместить век-
тор рт с вектором индукции В. Вращающий момент
М = pm X В создается силами Ампера Fa и Fa*, которые
приложены к боковым сторонам рамки. Численное зна-
чение вращающего момента
М = ртВ sin 90° = ISNB (4.128)
не зависит от угла поворота рамки, и, что особенно важно,
момент пропорционален значению измеряемого тока /.
Под действием этого момента рамка будет поворачиваться
и закручивать пружину (на рис. 4.41, а изображена спи-
ральная пружина 6). В области справедливости закона
Гука момент упругих сил пропорционален углу a(A4ynp =
= ka). В положении равновесия рамки вращающий
164
момент будет уравновешиваться моментом упругих сил,
что позволит определить угол а:
ISNB = ka=>a = ^fl = спр1, (4.129)
где сПр = SNB/k — постоянная прибора (чувствительность
измерительного механизма к току).
Если изменить направление тока в рамке, то она по-
вернется в обратную сторону. Из-за достаточно большого
момента инерции подвижной системы приборы такого типа
пригодны для измерения только постоянных токов и на-
пряжений. Достоинствами магнитоэлектрического меха-
низма являются его большая чувствительность, малое
собственное потребление мощности, равномерность шка-
лы, слабое влияние внешних магнитных полей из-за силь-
ного собственного магнитного поля.
В заключение отметим, что магнитоэлектрический
гальванометр (амперметр) можно использовать для из-
мерения электрического заряда q, проходящего через
поперечное сечение цепи при кратковременном (импульс-
ном) токе, который возникает, например, при разрядке
конденсатора. Такой гальванометр называется баллисти-
ческим.
Баллистический гальванометр. Учитывая действие мо-
ментов сил Ампера [см. формулу (4.128)] и сил упругости
(Л4упр = ka)t запишем дифференциальное уравнение вра-
щательного движения подвижной части магнитоэлектри-
ческого измерительного механизма (см. рис. 4.41):
J2-^r + ka = ISNB; 1 = dq/dt = f(t), (4.130)
где Jz — осевой момент инерции железного цилиндра 2
с рамкой 4 и стрелкой 5.
В отключенном состоянии ток не проходит через рамку
(/ = 0), и уравнение (4.130) приобретает вид вращатель-
ного гармонического осциллятора:
а + а>оа = 0; coo = k/Jz\ Tq = 2.7V\ljz/k. (4.131)
Здесь, как обычно, too — циклическая частота; То — пе-
риод свободных колебаний.
Предположим, что электрический ток силой / течет по
виткам рамки 4 в течение промежутка времени т, который
много меньше периода То собственных колебаний подвиж-
165
ной части прибора (для этого нужно соответствующим
образом подобрать значения момента инерции /2). В этом
случае за короткий по сравнению с периодом Го промежу-
ток времени т (т<Г0) стрелка прибора практически не
успеет сдвинуться с нулевой отметки. Поэтому в уравнении
(4.130) можно пренебречь моментом сил упругости и уста-
новить связь между приобретенной в «ударном режиме» за
время т угловой скоростью сот и зарядом q, который прошел
через рамку гальванометра:
=SNB^(O^t^T)=^Jz^=SNBq. (4.132)
В последующие промежутки времени t > т движение
рамки, описываемое уравнением (4.131), является коле-
бательным. За первую четверть периода Го (т < t < Го/4)
приобретенная кинетическая энергия преобразуется в по-
тенциальную энергию закрученной пружины или нити:
Л<о?/2 = Ла2/2. (4.133)
Исключив из уравнений (4.132) и (4.133) угловую ско-
рость (от, установим связь между зарядом q и максималь-
ным углом поворота рамки:
q — СбО&тах, С б — SNB V К —
постоянная баллистического гальванометра.
(4.134)
Веберметр. Баллистический гальванометр является
основной составной частью веберметра (флюксметра),
предназначенного для измерения магнитного потока Ф
([Ф] — вебер) и индукции В магнитного поля. Принци-
пиальная схема веберметра представлена на рис. 4.42.
Плоская измерительная катушка веберметра из W* вит-
ков подключается к баллистическому гальванометру (БГ).
Пусть в исходном положении плоскость катушки вебер-
метра расположена перпендикулярно к вектору магнитной
индукции В*, которую нужно измерить. Полный магнит-
ный поток сквозь катушку, т. е. потокосцепление Ч^*, опре-
деляется по формуле Ч7* = N*B*S*. Если быстро убрать
катушку из поля или повернуть ее на 90° вокруг оси, ле-
жащей в плоскости катушки и перпендикулярной к вектору
В*, либо выключить ток, создающий магнитное поле, то
потокосцепление окажется равным нулю. В результате
166
Рис. 4.42
в соответствии с законом Фарадея — Ленца в цепи вебер-
метра возникнет кратковременный индукционный ток и
баллистический гальванометр зафиксирует значение за-
ряда q этого тока:
I __£ин______L / j/ — J_ С _
/ян- я _ я dt =^y*«at— я) ач —
О Т|
R
(4.135)
где R — полное сопротивление цепи веберметра.
Поскольку между зарядом q и индукцией В* измеряе-
мого магнитного поля существует линейная связь, шкалу
баллистического гальванометра можно проградуировать
так, чтобы он сразу указывал значение В* или Т*.
Электромагнитные измерительные механизмы. Такие
механизмы имеют плоскую прямоугольную либо круглую
катушку. Рассмотрим принцип работы механизма с пло-
ской катушкой (рис. 4.43). Катушка 1 с обмоткой из
медного провода имеет внутри воздушный зазор. Сердеч-
ник 2 из ферромагнитного материала с большой магнитной
проницаемостью укрепляется в зазоре на оси с опорами и
пружиной 3 или на растяжках. При пропускании тока / че-
рез катушку 1 сердечник 2 втягивается внутрь катушки и
поворачивает ось со стрелкой 4 на некоторый угол а. Энер-
гия магнитного поля катушки определяется по формуле
Wm = ±LI2.
Поскольку индуктивность L катушки зависит от глубины
проникновения сердечника в катушку, т. е. от угла а, вра-
щающий момент
М =
dWm _ 1 2 dL
da 2 da
167
о
В состоянии равновесия момент Л1 уравновешивается
моментом упругих сил
±/2 -g- = *а=>/ = ~^2ka/{dL/da). (4.136)
Из формулы (4.136) видно, что шкала электромагнит-
ного измерительного механизма неравномерная. Обычно
форма сердечника подбирается так, что шкала таких при-
боров оказывается практически равномерной, начиная со
значений, составляющих 15—20 % предельного измеряе-
мого тока. Заметим, что если измеряется переменный ток,
то под силой тока / в формуле (4.136) следует понимать
действующее, т. е. эффективное, значение
силы тока [см. выражения (4.127)]. Недостатками элек-
тромагнитных измерительных приборов являются: нерав-
номерность шкалы, большое собственное потребление
мощности, влияние внешних магнитных полей. Достоин-
ства этих приборов определяют их пригодность для работы
на постоянном и переменном токах, устойчивость к токо-
вым перегрузкам и простота конструкции.
Механизмы электродинамической системы. Принципи-
альная схема такого механизма в разрезе изображена
на рис. 4.44. Здесь 1 и 2 — соответственно секции непо-
движной и подвижной катушек. Ось вращения подвижной
168
катушки проходит через точку О перпендикулярно к ри-
сунку, 3 — стрелка-указатель. Устройством, создающим
противодействующий момент, являются пружины или рас-
тяжки, которые на рисунке не показаны. В исходном, т. е.
нерабочем, состоянии оси катушек перпендикулярны друг
к другу. При прохождении по катушкам токов силой 1\ и /2
создаются магнитные поля, которые определяют взаимо-
действие катушек. В результате подвижная катушка 2
стремится расположить свою ось параллельно оси непо-
движной катушки 1.
Из условия равновесия получается уравнение для угла
поворота подвижной катушки, аналогичное условию
(4.136):
1/1/2^1 = Ла=>а=^/1/2^. <4137)
Здесь L\2 — коэффициент взаимной индуктивности кату-
шек, который зависит от угла а (Л|2 = /(а)).
Анализ выражения (4.137) показывает, что зависи-
мость угла поворота а от измеряемой силы тока 1\ или /2
будет нелинейной. Отметим, что в выражении (4.137)
в случае постоянных токов величины 1\ и /2 представляют
собой значения измеряемых сил токов, в случае же пере-
менных токов под /| и /2 следует понимать эффективные
значения сил этих токов. Разновидностью механизма элек-
тродинамической системы является такая его конструк-
ция, в которой ток, проходящий по обеим катушкам, оди-
наков, т. е. Л = /2 = /.
169
Достоинствами электродинамических механизмов яв-
ляются возможность их использования как для постоян-
ных, так и для переменных токов, а также устойчивость
показаний во времени. Недостатки этих приборов связаны
с неравномерностью шкалы и невысокой их чувствитель-
ностью, а также чувствительностью к перегрузкам и боль-
шим собственным потреблением мощности.
Он отнял молнию у небес и власть у
тиранов.
Надпись на бюсте Б. Франклина
5. КЛАССИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
В МЕТАЛЛАХ, ЭЛЕКТРОЛИТАХ
И ГАЗАХ
В этой главе с классической точки зрения рассматри-
ваются процессы, которые определяют электропроводность
в металлах (§ 5.1), жидких электролитах (§ 5.3) и газах
(§ 5.4). Электронным явлениям, обусловленным пере-
ходами электронов проводимости в двойных электриче-
ских слоях на границах металл — вакуум и металл —
металл, посвящен отдельный параграф (§ 5.2).
5.1. Классическая электронная
теория Друде — Лоренца
Основы электронной теории проводимости в металлах.
Классическая электронная теория создана благодаря ра-
ботам П. Друде (1863—1906) и Г. Лоренца (1853—1928).
Теория основана на предположении о том, что электроны
проводимости, являющиеся свободными носителями заря-
да в металлах, образуют электронную подсистему со свой-
ствами классического электронного идеального газа (см.
гл. 14 в первой части пособия). При этом полагается, что
электроны не взаимодействуют друг с другом и испытыва-
ют при движении столкновения только с положительными
ионами кристаллической решетки металла, которая явля-
ется своеобразным вместилищем, т. е. «сосудом», для
электронного газа. Поэтому можно говорить о средней
длине 1 свободного пробега электронов (во внешнем элек-
трическом поле Е), порядок которой определяется пери-
170
одом кристаллической решетки металла (Х~10 10 м =
= 1 Л). Исходя из этих представлений, можно, например,
найти среднеквадратичную скорость икв хаотического
(теплового) движения электронов. Принимая во внимание,
что электроны имеют три степени свободы (/ = 3), опреде-
лим икв с учетом закона равномерного распределения энер-
гии по степеням свободы:
/ИеУкв/2 = 3kT/2=> Vkb =
3-1,38- 10~23 - 300
9,1 • 10“31
= 117 км/с.
(5.1)
Значение найденной скорости соответствует комнатной
температуре, т. е. Т = 300 К.
Поскольку в металлах имеются свободные носители
заряда только одного знака (q_ = —е — электроны), то,
согласно выражению (4.42), вектор плотности тока
j=— епеие. (5.2)
С помощью этой формулы оценим значение средней
скорости ие электрически упорядоченного движения элек-
тронов в меди (плотность рСи = 8,9- 103 кг/м3, молярная
масса цси = 63,5 г/моль). Для одновалентной меди кон-
центрация электронов будет равна числу атомов меди в
единице объема:
N
Пе~ -у
v V
8,9- 103-6,02- 1023
63,5- 10“3
Р^а руА _
~ 8,5- 1028 М-3.
(5.3)
Для медного провода с площадью сечения 1 мм2 наи-
большая допустимая плотность тока, которая еще не при-
водит к перегреву проводов, равна 1,1 • 107А/м2 (сила тока
/ = JS = 1,1 • 107 • 10“6 =11 А). Воспользовавшись этими
данными и формулой (5.2), найдем скорость дрейфа элек-
тронов:
“е==1Ь = ^8.1-10-4м/с =
= 0,81 мм/с.
Следует обратить внимание на то, что скорость упо-
рядоченного движения электронов под действием электри-
171
ческого поля в металлических проводниках много меньше
средней скорости хаотического движения (ие<^ икв!).
Вывод закона Ома на основе классических представ-
лений. Найдем среднюю скорость, которую приобретает
электрон под действием поля Е между двумя последова-
тельными столкновениями с ионами в узлах кристалли-
ческой решетки, т. e.^ia расстояниях, приблизительно рав-
ных средней длине X свободного пробега (рис. 5.1, а).
В случае постоянного тока движение электрона между
соударениями будет происходить под действием усред-
ненного однородного поля Е = const. Тогда в соответствии
со вторым законом Ньютона получим
еЕ~
гиеа = = const =>u(/) = а/=> umax =—т. (5.4)
Предположим, что столкновения электронов с ионами
в узлах решетки являются абсолютно неупругими, т. е.
электрон при соударении отдает иону всю энергию упоря-
доченного движения (поэтому в проводнике выделяется
джоулева теплота — проводник нагревается). Зависи-
мость мгновенной скорости u(t) электрона будет иметь
пилообразный вид (рис. 5.1,6), соответствующий чере-
дующимся столкновениям с последующим равноускорен-
ным разгоном. Скорость u(t) изменяется при этом от нуля
до umax за среднее время т свободного пробега электрона:
7— х х х
7 । 1 । ~ ^кв*
Ve |vKB + llJ UKb
(5.5)
Средняя скорость дрейфа
^тах ___ &Е ______ вкЕ
2 2те 2теикл
(5.6)
172
С учетом направления векторов и и Е запишем:
Ue= —
еХ Е
2mev*n
Поэтому плотность тока [см. формулу (5.2)].
j = — епеие = -------Е,
J 2m^KB
(5.7)
а после сравнения с законом Ома в дифференциальной
форме получим выражение для удельной электрической
проводимости:
= егпе\ (5.8)
r 2т,икв
Поскольку 1>кв ~ ~у/т [см. выражения (5.1)], из форму-
лы (5.8) следует, что
T-l/Vr; р =1/y~V7\ (5.9)
Таким образом, полученное выражение (5.7) совпада-
ет по виду с законом Ома (j = уЕ), однако температур-
ная зависимость удельного сопротивления р ~ д/Т не сов-
падает с экспериментальной линейной зависимостью
(4.58). Это расхождение является следствием использова-
ния законов классической физики, тогда как при рассмо-
трении поведения электронов в металлах следует учиты-
вать их квантовую природу (см. гл. 12 в первой части
пособия).
Закон Видемана — Франца. Высокая электропровод-
ность металлов самым непосредственным образом связана
с их хорошей теплопроводностью (см. закон Фурье, фор-
мула (17.1) в первой части пособия). Количественно эта
связь была обнаружена экспериментально в 1853 г. Г. Ви-
деманом (1826—1899) и Р. Францем (1827—1902), а в
последующем исследована Л. Лоренцем. Оказалось, что
отношение коэффициента теплопроводности х к удельной
электрической проводимости у для всех металлов линейно
зависит от температуры Т:
х/у = LT — закон Видемана — Франца,
L — число Лоренца.
(5.10)
Вещество в металлическом состоянии состоит из двух
подсистем — электронного газа и катионной
173
решетки. Кристаллические диэлектрики, не имеющие
свободных носителей заряда, обладают очень слабой по
сравнению с металлами электропроводностью и теплопро-
водностью. Поэтому в теории Друде — Лоренца предпо-
лагается, что высокая теплопроводность металлов обус-
ловлена электронной подсистемой, представляющей собой
одноатомный идеальный газ электронов. Коэффициент
теплопроводности (см. формулу (17.7) в первой части по-
собия) для электронного газа преобразуем к следующему
виду:
х= 4- Mv, (5.11)
о 2
где плотность электронного газа р = теПе (те — масса
электрона; пе — концентрация электронов проводимости);
v — средняя скорость хаотического движения электронов;
X — средняя длина свободного пробега электронов, а
удельная теплоемкость электронного газа CV = 37?/(2ц) =
= 3A/(2me) (k — постоянная Больцмана).
Предполагая, что средняя скорость хаотического дви-
жения v равна средней квадратичной скорости икв и ис-
пользуя формулу (5.8) для у, получим [гиеЦкв = ЗА?Г, см.
соотношения (5.1)]:
К ___ __________________________ q/ k\ р
у /лДдготд»,,) е2 \ е /
(5.12)
Из сравнения с экспериментальным законом Видема-
на — Франца находим число Лоренца:
которое оказалось только несколько меньше эксперимен-
тального значения.
Следовательно, классическая теория Друде — Лорен-
ца правильно объясняет закон Видемана — Франца, одна-
ко здесь наблюдается случайное совпадение. В самом деле,
согласно этой теории, удельная электрическая проводи-
мость утеор ~ l/V?' [см. формулы (5.9)], а опыт дает
Уэксп^1/Г [см. выражение (4.58)]. Это означает, что
соответствующее расхождение имеется и для коэффици-
ента теплопроводности (хТеоР ~ см. формулу (5.11)
174
Рис. 5.2
при v = икв ~ vТ, Иэксп = LTyэксп — const), которое как
раз и приводит к правильному результату для отношения
х/у. Другими словами, неверные теоретические зависи-
мости х = х(Г) и у = у(Г) взаимно компенсируются при
определении их отношения х/у. Именно поэтому улуч-
шенная классическая теория Лоренца привела к рассогла-
сованию теории и эксперимента для числа Лоренца (более
грубая теория Друде — Лоренца лучше согласуется с опы-
том). Как уже отмечалось, полного совпадения теории и
эксперимента для проводимости, а также теплопроводно-
сти и теплоемкости* металлов удается достичь только в
рамках квантовой теории металлов (см. гл. И).
Эффект Холла. Металлическую пластинку толщиной Ь,
по которой проходит ток (рис. 5.2, а), поместим в магнит-
ное поле В так, чтобы ее горизонтальные грани были па-
раллельны плоскости, образованной векторами плотности
тока j и магнитной индукции В (рис. 5.2, б). В отсутствие
магнитного поля разность потенциалов между точками
А и С равна нулю (фл = фс), поскольку вектор Е перпен-
дикулярен к эквипотенциальной поверхности (ф= const).
При наличии магнитного поля В возникает разность по-
тенциалов Афн = фл —фс, которая была обнаружена в
* Теплоемкость металла, согласно классической теории, должна
состоять из теплоемкости электронного газа (Cv = 3/?/2, формула
(14.25) в первой части пособия) и решеточной теплоемкости С = 3/?
(закон Дюлонга и Пти, см. § 16.4 в первой части пособия). Поэтому
теоретическая молярная теплоемкость металла Стеор = 3/?/2 + 3/? =
= 9/?/2 = 37,5 Дж/(моль*К), а эксперименты дают Сэксп ~
~ 25 Дж/(моль • К). В этом несоответствии теоретических предсказаний
с экспериментальными фактами (фактическое отсутствие теплоемко-
сти у электронного газа) проявляется еще одна трудность классической
электронной теории, которая разрешается квантовой теорией проводи-
мости и теплопроводности.
175
1879 г. американским физиком Э. Холлом (1855—1938):
Афн == RbjB — холловская разность потен-
циалов;
R — постоянная Холла.
(5.13)
В дальнейшем оказалось, что эффект Холла для раз-
ности потенциалов Аф наблюдается для любых проводя-
щих материалов, например для полупроводников, причем
постоянная R может быть либо положительной, либо отри-
цательной величиной.
Электронная теория позволяет достаточно просто объ-
яснить возникновение холловской разности Аф. Пусть
сила тока / обусловлена упорядоченным движением заря-
дов (рис. 5.2, в), концентрация которых равна и, а сред-
няя скорость дрейфа и. Тогда плотность тока j = ^nu [см.
формулу (5.2)]. При включении магнитного поля на каж-
дый движущийся со скоростью и заряд q будет действовать
сила Лоренца
Рл = qu X В=>Гл = quB,
(5.14)
которая для данного расположения векторов и и В (рис.
5.2, в) вызовет отклонение положительных зарядов
(q > 0) к верхней грани пластинки. В результате у верхней
грани образуется избыточный положительный заряд, а
вблизи нижней грани — отрицательный. Появятся попе-
речное электрическое поле Е* и соответствующая ему
электрическая сила Fe = qE*. В установившемся, т. е. ста-
ционарном, процессе прохождения тока / сила Лоренца,
определяемая формулой (5.14), и сила Fe будут уравно-
вешены (Е=— grad(p):
qE* = quB=>E* = иВ = — dy/dz=>yA — фс= ЬиВ. (5.15)
Из сопоставления соотношения (5.15) с холловской
разностью (5.13) и с учетом формулы для плотности тока
j = qnu получим теоретическое выражение для постоянной
Холла:
1
RbjB — buB=^R=-j-
(5.16)
Поскольку концентрация п — существенно положи-
тельная величина, знак постоянной R определяется зна-
176
ком заряда q свободных носителей заряда в материале
пластинки. Если постоянную Холла измерить на опыте, то
по формуле (5.16) можно рассчитать концентрацию п но-
сителей заряда q.
Когда электропроводность материала определяется
зарядами обоих знаков [см. соотношение (4.42)], по знаку
постоянной Холла можно судить о том, какие заряды
создают преобладающий вклад в удельную электрическую
проводимость исследуемого проводника.
Оказалось, что для одновалентных металлов концен-
трация п электронов проводимости, рассчитанная по фор-
муле (5.16), совпадает с концентрацией атомов. Это озна-
чает, что в переносе заряда в металлах участвуют только
электроны, принадлежащие внешней электронной обо-
лочке. _
Оценка средней длины X свободного пробега электро-
нов проводимости с помощью формулы (5.8) дает значе-
ние ~ 10“8 м=100 А, что на два порядка превышает
постоянную кристаллической решетки в металле и, следо-
вательно, находится в явном противоречии с исходными
предположениями классической электронной теории Дру-
де — Лоренца.
Задание 5.1. В рамках предположений классической электронной
теории Друде — Лоренца получите математическое выражение для
закона Джоуля — Ленца в дифференциальной форме [см. выражение
(4.65)].
Указание. Найдите приращение средней кинетической энергии
электрона проводимости за время т, соответствующее двум его после-
довательным столкновениям с ионами решетки (воспользуйтесь фор-
мулами (5.4) для umax и (5.5) для т), а затем рассчитайте энергию, пе-
реданную электронами единичному объему кристаллической решетки
за единицу времени, т. е. плотность тепловой мощности тока [см. фор-
мулу (4.64)].
_ _2 1 е2лД
Ответ. wo = —------Е =>у = — = —-------удельная электри-
р 2mevKB
ческая проводимость (р — удельное электрическое сопротивление).
5.2. Контактные и термоэлектрические явления
Работа выхода. Как отмечалось выше, электроны про-
водимости в металлах, согласно классической электронной
теории, движутся хаотически в объеме кристаллической
решетки, образованной положительными ионами. Чтобы
оставить пределы решетки, наиболее быстрым электронам
приходится преодолеть действие сил притяжения со сторо-
ны положительных ионов решетки. При этом должна быть
177
Индуцированные заряды
Зеркальное изображение электрона
Рис. 5.3
совершена работа А против этих сил, получившая назва-
ние работы выхода. Значение этой работы численно равно
энергии, которую необходимо затратить для удаления
электрона из металла в вакуум, в состояние с равной нулю
кинетической энергией. Работу выхода приходится совер-
шать для вырывания электронов не только из металлов,
но и из полупроводников. Остановимся теперь на двух
основных слагаемых этой работы.
Одно из них обусловлено индукционным воздействием
удаляемого электрона на металл. Вылетевший электрон
индуцирует на поверхности металла распределенный по-
ложительный заряд, притягивающий электрон с силой,
которую можно вычислить по методу «зеркального изоб-
ражения». Можно показать, что совокупное действие ин-
дуцированного положительного распределенного заряда
(рис. 5.3) эквивалентно действию на удаленный электрон
его «зеркального изображения». Поэтому результирую-
щая сила взаимодействия находится по закону Кулона
(F = ke2/(2 х)2, k = 1 /(4 л е0)). Соответствующая этому
взаимодействию часть работы выхода определяется ин-
тегралом:
оо оо
(5.17)
Вылетевшие из металла вследствие теплового движе-
ния электроны находятся на малых расстояниях вблизи
его поверхности. Вместе с положительно заряженной по-
верхностью металла они образуют двойной электрический
слой в виде своеобразного конденсатора. Такой двойной
178
слой не создает электрического поля в окружающем ме-
талл пространстве, но на преодоление потенциального
барьера этого слоя вылетающему электрону нужно за-
тратить энергию, равную работе сил электрического поля:
А " = еДф (Аф — разность потенциалов двойного слоя).
Это вторая слагаемая работы выхода А (Д = Д' + А").
Значение работы выхода зависит от рода вещества и
слабо зависит от температуры. Однако различного рода
примеси и покрытия, а также адсорбированные поверх-
ностью металлов или полупроводников вещества могут
сильно изменить значение работы Д. Для большинства
чистых металлов и полупроводников (см. табл. III.9 в
прил. III) работа выхода не превышает нескольких элек-
тронвольт (эВ).
Работа выхода, значение которой определяется экспе-
риментально, играет важную роль при рассмотрении кон-
тактных, термоэлектрических и других эмиссионных яв-
лений.
Контактная разность потенциалов. Приведем в сопри-
косновение два разнородных металла, которые характе-
ризуются различными работами выхода (Д1 > Д2) и име-
ют до приведения в контакт концентрации свободных
электронов п\ и п2 соответственно (рис. 5.4). Пусть темпе-
ратура обоих металлов одинакова и равна Т. Вследствие
различия работ выхода и концентраций после приведения
металлов в контакт будет происходить преимущественный
переход свободных электронов из одного металла в другой
(диффузия). Так, для преодоления потенциального барь-
ера первого металла электрон проводимости должен со-
вершить работу 41 за счет уменьшения средней кинети-
ческой энергии хаотического движения, которая идет на
Рис. 5.4
179
увеличение его потенциальной энергии за пределами объ-
ема металла. Сказанное относится также и ко второму
металлу. Благодаря таким взаимным переходам за доста-
точно короткое время между металлами установится ди-
намическое равновесие, при котором «электронный газ»
будет удовлетворять распределению Больцмана по энер-
гиям (см. раздел «Молекулярная физика, § 15.3 в первой
части пособия). Наибольшая плотность электронного газа
окажется в областях с наименьшей потенциальной энер-
гией. При этом первоначальные объемные концентрации
п\ и п2 изменятся и примут вблизи контакта новые значе-
ния п\ и пг, удовлетворяющие равновесному распределе-
нию Больцмана для данных металлов. Вследствие описан-
ных выше электронных переходов тонкие слои металлов
вблизи их контакта окажутся электрически заряженными,
причем металл с меньшей работой выхода зарядится по-
ложительно, а с большей — отрицательно. Между ними
возникнет разность потенциалов ф1 — фг, причем потенци-
альная энергия электронов в каждом из металлов будет
определяться по формуле П = —А — вф.
Новые равновесные объемные концентрации электро-
нов в металлах с учетом распределения Больцмана будут
удовлетворять следующим соотношениям (С — нормиро-
вочная постоянная):
п{ = С ехр {—/71 /(ЛГ)}; пЬ = С ехр {-П2/(*Г)}.(5.18)
Из формулы (5.18) следует выражение для отношения
равновесных концентраций n'\/n2 = ехр {—(П1 —
— П2)/(kТ)} = ехр {(41 — А2 + вф1 — вф2)/(ЛГ)}, которое по-
зволяет связать контактную разность потенциалов Дф12,
с работой выхода электронов из металлов и их концен-
трациями:
At — Л2 . kT n'l
Дф12 — ф1 — ф2 =--------Ч-----In—7 •
е е П2
Заметим, что в рассматриваемых контактных явле-
ниях в силу электронейтральности системы из двух кон-
тактируемых металлов происходит лишь незначительное
изменение концентраций свободных электронов в объемах
металлов. Поэтому с достаточной степенью точности мож-
но считать, что n'\/n2~ п\/п2. Окончательно для контакт-
ной разности потенциалов получим
Ai — А2 . kT ni
Ф'-<₽2=-------~е— +— 1п7? (519>
180
Как видно из выражения (5.19), контактная разность
потенциалов состоит из двух слагаемых. Первое из них
содержит разность работ выхода электронов из металла
и определяет так называемую внешнюю контактную раз-
ность потенциалов. Ее значение для некоторых пар метал-
лов достигает нескольких вольт и значительно превосхо-
дит второе, т. е. диффузионное, слагаемое для внутренней
контактной разности потенциалов, которая составляет
в случае металлов сотые доли вольта:
де ^41 — А 2
Дф|2=-------------внешняя контактная раз-
ность потенциалов;
АХ ЛГ । П1
Дф12 = —In — —внутренняя контактная
е П2 разность потенциалов.
Существование контактной разности потенциалов было
открыто в 1795 г. итальянским физиком и физиологом
Алессандро Вольта, который для контактной разности
потенциалов экспериментально установил два закона:
1) контактная разность потенциалов Аф зависит лишь
от химического состава и температуры соприкасающихся
тел (первый закон Вольты)',
2) разность потенциалов Аф между концами разомкну-
той электрической цепи, состоящей из проводников перво-
го рода, при постоянной температуре всех звеньев не за-
висит от химической природы промежуточных звеньев и
определяется только химической природой крайних про-
водников (второй закон Вольты).
Отсюда следует, что при одинаковых крайних звеньях
цепи результирующая разность потенциалов должна рав-
няться нулю.
Первый закон Вольты непосредственно следует из
выражения (5.19). Справедливость второго закона Воль-
ты легко показать, если для цепи, состоящей из несколь-
ких проводников первого рода, последовательно приме-
нить выражение (5.19) к каждой паре соседних провод-
ников. Вольта заметил, что все проводники первого рода
можно расположить в такой ряд, что любой из членов
ряда в контакте с каждым последующим будет иметь по-
ложительный потенциал (Аф>0), а с предыдущим —
отрицательный (Аф<0). Приведем в качестве иллюстра-
ции часть «вольтова ряда»: цезий, рубидий, калий, натрий,
181
Рис. 5.5
литий, алюминий, цинк, свинец, олово, сурьма, висмут,
железо, медь, серебро, золото, платина.
Важно заметить, что значение контактной разности
потенциалов (так же как и работы выхода электронов)
в очень сильной степени зависит от состояния соприка-
сающихся поверхностей (примеси, влажность и т. д.).
Термоэлектродвижущая сила. Как видно из формулы
(5.19), контактная разность потенциалов зависит от темпе-
ратуры. Заметим также, что у металлов работа выхода А
и концентрация свободных электронов п слабо зависят от
температуры Т. Поэтому зависимость контактной разности
потенциалов Д<р от температуры Т в первом приближении
можно считать линейной.
Составим цепь из двух разнородных проводников пер-
вого рода (см. рис. 5.5), спаянных между собой в точках
Си D. Если температуры спаев С и D одинаковы, то скачки
потенциалов Дф12 и A<p2i будут равны по значению и про-
тивоположны по знаку, а их сумма, равная электродвижу-
щей силе в данной цепи, окажется равной нулю.
Пусть теперь температуры спаев различны, например
Ti>T\. Тогда в цепи возникнет ЭДС, которая прибли-
женно пропорциональна разности температур спаев*.
В самом деле, используя соотношение (5.19), для ЭДС
цепи получим
. / А1 — А 2 I kTi 1 П1 \ .
е = фи + Ф21 = (----------h — In—J +
+ = (5.21)
* Возникновение ЭДС в цепи с двумя спаями разнородных провод-
ников, имеющих разные температуры, используется при конструиро-
вании датчиков температуры — термопар, преобразующих разность
температур спаев в электрический сигнал (ЭДС).
182
Перепишем последнее выражение в следующем виде:
е = аДТ — термоЭДС, ДТ=Т2 — Тг,
а = у ln(rzi/пг) — удельная термоЭДС.
(5.22)
Как показывает опыт, линейная зависимость термоЭДС
от ДТ имеет место в достаточно узком интервале темпе-
ратур, поскольку а зависит не только от рода данной пары
проводников, но и от температуры спаев.
Термоэлектричество было открыто экспериментально
в 1821 г. немецким физиком Т. И. Зёебеком (1770—1831),
и в настоящее время его широко используют для измере-
ния температуры с помощью термопар, а также в термоге-
нераторах электрического тока.
Заметим, что величина термоЭДС в случае контактов
двух полупроводников оказывается много больше, чем
у металлов (см. табл. III. 10 прил. III). Поэтому для тер-
могенераторов используют полупроводниковые термопа-
ры, соединенные последовательно в термобатареи для
получения необходимых значений термоЭДС.
Эффекты Пельтье и Томсона. Согласно закону Джоу-
ля — Ленца [см. выражение (4.62)], количество теплоты,
выделяемой в проводнике, не зависит от направления тока.
Однако при прохождении тока через контакты (спаи) из
разнородных металлов количество теплоты зависит от
направления тока. Это явление было открыто и изучено
французским физиком (по профессии часовщиком)
Ж. Пельтье (1785—1845) в 1834 г., который обнаружил,
что при прохождении тока через контакт двух металлов,
кроме теплоты Джоуля — Ленца, выделяется или погло-
щается определенное количество теплоты, пропорциональ-
ное прошедшему через контакт заряду q\
Qn = Rnq — теплота Пельтье;
Кп — коэффициент Пельтье.
(5.23)
Эта часть теплоты зависит от направления тока и в случае
постоянного тока величина Q пропорциональна первой
степени силы тока / и времени /:
<2п = Кп//. (5.24)
183
Эффект Пельтье наглядно проявляется в опытах, про-
веденных Ленцем в 1838 г. Он наблюдал, что капля воды,
помещенная на стыке стержней из висмута и сурьмы, за-
мерзает при одном направлении тока, а образовавшийся
при этом лед тает после изменения направления тока в
контуре.
Эффект Пельтье можно объяснить, используя выра-
жения для диффузионной части контактной разности по-
тенциалов [см. выражение (5.19)]. Как было выяснено
выше, при переходе из одного металла в другой потенци-
альная энергия электрона изменяется на величину АП =
= еДфх12 = kT In (ni/n2). Если за некоторый промежуток
времени через контакт пройдет N электронов, то их потен-
циальная энергия увеличивается при п\ > п% и уменьша-
ется при п\ < и2:
ДЯ7 = WAFl = Я(5.25)
где q = Ne — общий заряд электронов, прошедших через
контакт. Величина &W равна работе, совершаемой элек-
трическими силами в месте контакта. При этом потен-
циальная энергия электронов будет преобразовываться
в кинетическую энергию хаотического движения .или на-
оборот в зависимости от соотношения между направлени-
ем тока и направлением электрического поля в контакте.
Если электроны приобретают большую тепловую скорость,
то их кинетическая энергия в месте контакта увеличива-
ется, что и приводит к дополнительному нагреванию кон-
тактирующих металлов. В случае уменьшения энергии
теплового движения электронов контакт будет охлаж-
даться. Из формулы (5.25) для постоянной Пельтье по-
лучим выражение Кп=(йТ/е)1п(п1/и2), связывающее эту
величину со значением удельной термоЭДС (Кп = аТ).
В 1856 г. английский физик У. Томсон (с 1892 г. барон
Кельвин, 1824—1907) предсказал, что, помимо джоулевой
теплоты, в проводнике с током, вдоль которого имеется
градиент температуры, будет выделяться (либо погло-
щаться) некоторое количество теплоты Qt, пропорцио-
нальное силе тока /, перепаду АТ температуры и времени t
(эффект Томсона):
Qt= Kt(T2— Ti)It — теплота Томсона,
(5.26)
где Кт—коэффициент, зависящий от рода проводника.
184
Объяснение эффекта Томсона состоит в том, что если
вдоль проводника, по которому проходит ток, существует
градиент температуры, причем электроны движутся от го-
рячего конца к холодному, то средняя скорость хаотиче-
ского движения электронов будет уменьшаться, в резуль-
тате электронный газ передаст избыточную энергию кри-
сталлической решетке металла (теплота выделяется).
При движении электронов от холодного конца провод-
ника к нагретому их средняя энергия хаотического движе-
ния увеличивается за счет части энергии окружающих
их ионов (проводник охлаждается).
Электронная эмиссия. Наличие свободных электронов
в металлах приводит к тому, что при сообщении электро-
нам некоторого дополнительного количества энергии они
могут оставить пределы металла, преодолев потенциаль-
ный барьер на его границе. Это явление называется элек-
тронной эмиссией, а сами тела, испускающие электроны,—
эмиттерами. Заметим, что электронная эмиссия наблюда-
ется и в жидком состоянии вещества, хотя в этом случае
она выражена менее отчетливо.
В зависимости от способа получения электронами энер-
гии, необходимой для совершения работы выхода, раз-
личают следующие виды электронной эмиссии:
а) термоэлектронная эмиссия — испускание электро-
нов нагретыми телами;
б) вторичная электронная эмиссия — испускание вто-
ричных электронов под действием бомбардировки эмитте-
ра пучком первичных ускоренных электронов;
в) автоэлектронная (холодная) эмиссия — испуска-
ние электронов проводящими телами под действием очень
сильного внешнего электрического поля, создаваемого у
поверхности эмиттера. Следует отметить, что в этом случае
очень важную роль играет квантово-механический тун-
нельный эффект (см. гл. 12 в первой части пособия).
К явлениям электронной эмиссии часто относят и явле-
ние внешнего фотоэффекта, вследствие того что законы,
описывающие фотоэффект, во многом похожи на законы
термоэлектронной эмиссии (законы фотоэффекта будут
рассмотрены в гл. 9 «Квантовая оптика»).
Термоэлектронная эмиссия. Испускание электронов
нагретыми телами было обнаружено английским физиком
О. У. Ричардсоном (1879—1959). Это явление удобно
изучать с помощью электрической схемы, изображенной
на рис. 5.6. Здесь стеклянный баллон М откачан до высо-
185
кого вакуума, для того чтобы электроны, вылетающие из
катода К, могли, не сталкиваясь с молекулами газовой
среды, достигать анода Л, а также чтобы уменьшить ин-
тенсивность окисления катода в воздушной атмосфере.
Накал катода осуществляется с помощью источника то-
ка Бн. Сила тока накала регулируется реостатом вклю-
ченным в цепь катода, и измеряется миллиампермет-
ром mA.
Анодная цепь состоит из источника Ба постоянного
тока, реостата /?2, вольтметра Ка, включенных по потен-
циометрической схеме. Поток электронов, испускаемых
катодом, создает в анодной цепи ток, измеряемый микро-
амперметром цА. Регулируя с помощью потенциометра
анодное напряжение (7а, можно получить вольт-амперные
характеристики /а = f(Ua) при различных температурах Т
катода, соответствующих заданным значениям тока нака-
ла (/н = const).
При малых значениях анодного напряжения Ua анод-
ный ток /а нарастает сначало медленно и нелинейно, а за-
тем все быстрее (рис. 5.7). Для начального участка зави-
симости /а от Ua С. А. Богуславский (1883—1923) и
И. Ленгмюр (1881 —1957) вывели аналитическую зависи-
мость /а = Bt/a/2, которая получила название закона «трех
вторых»:
1а = BU3a/2 — формула Богуславского —
Ленгмюра.
(5-27)
Коэффициент В не зависит от температуры и материала
катода, его значение определяется формой, размерами и
186
Рис. 5.7
взаимным расположением электродов. Например, в случае
электродов, образующих плоский конденсатор,
9л V т I2
где е/т — удельный заряд электрона; S — площадь рас-
каленной пластинки; / — расстояние между катодом и
анодом.
Если электроды образуют цилиндрический конденса-
тор, то
где I — длина раскаленного катода; г — внутренний ра-
диус тонкостенного цилиндра, являющегося анодом.
Формула Богуславского — Ленгмюра получена в пред-
положении, что начальная скорость термоэлектронов
после выхода их из катода равна нулю. Поскольку в дей-
ствительности есть некоторый разброс термоэлектронов
по их начальным скоростям, между экспериментом и за-
коном «трех вторых» имеется определенное расхождение
даже при малых значениях анодного напряжения (£/а<
< £/?). С возрастанием анодного напряжения это разли-
чие все увеличивается, темп роста анодного тока замедля-
ется, и зависимость /а = f(£/а) выходит на практически
горизонтальный участок, определяющий значение тока
насыщения при данной температуре Т катода. Из рис. 5.7
видно, что вольт-амперная характеристика имеет точку
перегиба с координатами и t/J, правее которой закон
«трех вторых» не выполняется вовсе.
187
Наличие точки перегиба и явления насыщения для
анодного тока связано с тем обстоятельством, что при
каждой заданной температуре Т вокруг катода образуется
некоторое равновесное электронное облако (двойной элек-
трический слой), которое при малых напряжениях Ua пре-
пятствует выходу других электронов из катода. При повы-
шении анодного напряжения облако постепенно «рассасы-
вается», ток увеличивается так, что при некотором значе-
нии Ua все электроны, способные при данной температуре
преодолеть потенциальный барьер на границе металл —
вакуум, достигают анода и тем самым определяют ток
насыщения:
/анас = eNc,
где Nc — максимально возможное число электронов, вы-
летающих из катода за одну секунду при данной темпера-
туре Т катода.
Значение величины Nc, а значит, и анодного тока насы-
щения очень сильно зависит от температуры катода. Из-
меняя с помощью реостата R\ (см. рис. 5.6) ток накала
катода, можно экспериментально получить зависимость
тока насыщения от температуры Т катода, которая соот-
ветствует заданному току и напряжению в катодной цепи
(значение температуры Т катода можно определить по
градуировочной кривой зависимости сопротивления мате-
риала катода от температуры: R = /?0(1 + аДТ), а — тем-
пературный коэффициент сопротивления). Эксперимен-
тальная кривая, определяющая зависимость тока насы-
щения от температуры, получена О. У. Ричардсоном для
натрия. Она схематично изображена на рис. 5.8.
188
Теоретическое определение зависимости плотности то-
ка насыщения (j = I/S) от температуры было выполнено
на основе классической и квантовой кинетической теории.
В результате применения к электронам металла законов
классической (статистика Больцмана) электронной теории
в 1901 г. была получена следующая зависимость:
/н = СТ1/2е A/{kT)—формула Ричардсона. (5.28)
Здесь С — постоянная, различная для разных металлов,
А — работа выхода.
Квантовая теория металлов (статистика Ферми —
Дирака) приводит к несколько видоизмененному соотно-
шению, полученному в 1923 г. Дешменом:
/н = С*Т2е A/{kT} — формула Ричардсона —
Дешмена.
(5.29)
В эту формулу входит сомножитель Г2 вместо Т1/2, как
в формуле (5.28), что, однако, несущественно, так как в
практически важной области температур зависимость /н
от Т определяется главным образом членом e~A/{kT\ По-
стоянная С* = 4jime2k2/h3 оказывается одинаковой для
всех металлов и равной 6,02 • 105 А/ (м2 • К2) (k — посто-
янная Больцмана; h — постоянная Планка).
Ток насыщения сильно зависит от работы А выхода
электронов из металла. Уменьшение значения этой вели-
чины позволяет снизить рабочую температуру катода, что
приводит в свою очередь к уменьшению мощности, расхо-
дуемой на нагрев катода, увеличивает срок его работы.
Поэтому наряду с катодами из чистых тугоплавких метал-
лов (вольфрама, молибдена) широко применяют катоды,
представляющие собой металлическую подложку, на ко-
торую нанесен слой оксидов щелочноземельных металлов
(BaO, SrO, СаО).
Вторичная электронная эмиссия. Если направить на
металлическую мишень поток быстрых (ускоренных) элек-
тронов, то энергия, поставляемая этими электронами (они
называются первичными), может оказаться достаточной
для преодоления потенциального барьера и из металла
будут выбиваться вторичные электроны. Это явление на-
189
Эмиттере/
зывается вторичной электронной эмиссией. Так, например,
из металлов или полупроводников могут выбиваться вто-
ричные электроны при бомбардировке мишени первичны-
ми электронами, обладающими энергией ~ 10 эВ. Интен-
сивность такого процесса определяется коэффициентом
вторичной эмиссии 6, который равен среднему числу вто-
ричных электронов, выбиваемых одним первичным элек-
троном. Коэффициент 6 имеет разные значения для раз-
личных веществ и зависит от энергии первичных электро-
нов, достигая максимума при энергии несколько сот
электронвольт. Для чистых металлов значение 6 не превы-
шает 2. Так, для никеля 6 = 1,25, для серебра 6 = 1,47, для
платины 6= 1,78. Гораздо более сильная вторичная эмис-
сия наблюдается у полупроводников, для которых 6 может
достигать 10 и более.
Явление вторичной электронной эмиссии нашло приме-
нение в приборах, называемых электронными умножите-
лями и предназначенных для усиления слабых электрон-
ных пучков.
Одна из принципиальных схем электронного умножи-
теля приведена на рис. 5.9. Первичный поток электронов,
выбитых из катода, направляется на эмиттер /, имеющий
по отношению к катоду положительный потенциал. После
усиления вследствие вторичной электронной эмиссии
(6 > 1) он направляется на эмиттер 2 и т. д. Усиленный
электронный пучок принимается коллектором. Очевидно,
что результат усиления при заданном значении коэффи-
циента 6 зависит от количества эмиттеров.
Автоэлектронная (холодная) эмиссия. В этом случае
вырывание электронов из металлов осуществляется под
действием очень сильного электрического поля. Такое по-
190
ле может быть практически создано в хорошо откачанной
трубке, содержащей два электрода — катод К и анод А
(рис. 5.10).
Катод выполняется в виде острия с очень маленькой
поверхностью, а анод, наоборот, представляет собой боль-
шую площадку или полусферу. Такая конструкция элек-
тродов позволяет создать у поверхности острия катода
электрическое поле порядка 108 В/м. Оно способно вы-
рвать электроны из холодного катода. Сила тока холодной
(автоэлектронной) эмиссии сильно возрастает с ростом
напряжения.
Возникновение автоэлектронной эмиссии объясняется
тем, что электрическое поле изменяет высоту и ширину
потенциального барьера на границе катода с вакуумом.
Это приводит к увеличению проницаемости барьера для
электронов вследствие «туннельного эффекта» (см. гл. 12
в первой части пособия).
5.3. Электрический ток в жидкостях
Основные сведения о строении и свойствах жидких
электролитов. Известно, что в жидком состоянии некото-
рая часть молекул распадается на ионы, обладающие
положительным (катионы) и отрицательным (анионы)
зарядами. Поэтому даже дистиллированная вода, являю-
щаяся диэлектриком, проводит электрический ток, хотя
и очень плохо. Процесс расщепления молекул растворен-
ных веществ на ионы в результате взаимодействия с рас-
творителем называется электролитической диссоциацией
(от лат. dissociatio — разъединение). Это явление наибо-
лее сильно выражено для водных растворов неорганиче-
191
ских кислот, солей и щелочей. Например, для раствора
NaCl в воде схема распада на ионы имеет следующий вид:
NaC[ диссоциация^ + CJ_ (5 3())
рекомбинация
Вследствие электролитической диссоциации водные
растворы кислот, солей и щелочей хорошо проводят элек-
трический ток. Такие растворы называются электролитами
или проводниками второго рода.
При прохождении тока через электролиты на электро-
дах, служащих для подвода тока, выделяются продукты
электрохимической реакции, т. е. имеет место электролиз.
Законы электролиза были экспериментально открыты в
1834 г. М. Фарадеем.
Первый закон Фарадея гласит, что масса выделивше-
гося на электроде вещества прямо пропорциональна про-
шедшему через электролит заряду, т. е.
M = kq. (5.31)
Коэффициент k называется электрохимическим экви-
валентом вещества*. Он численно равен массе вещества,
выделившегося на электроде при прохождении через элек-
тролит единичного заряда. Если через электролит прохо-
дит постоянный ток, то q = И. Тогда
M = klt — первый закон Фарадея.
(5.32)
Второй закон Фарадея утверждает, что электрохими-
ческие эквиваленты веществ пропорциональны их химиче-
ским эквивалентам x(k~x)\
^ = — = const. (5.33)
k2 Х2 ' '
Химическим эквивалентом х элемента называется отно-
шение атомной массы Аг к его валентности z. Поэтому
можно записать:
k = С -у— второй закон Фарадея.
(5.34)
* Электрохимические эквиваленты некоторых веществ приведены
в табл. III.11 прил. III.
192
Универсальную постоянную С обычно записывают
в виде С= \/F, где F — постоянная Фарадея. Подставив
выражение (5.34) в формулу (5.31), получим
1 А
М = -£-Н—объединенный закон Фарадея.
(5.35)
Из формулы (5.35) следует, что при М = Ar/z величи-
на F равна заряду It, т. е. постоянная Фарадея численно
равна электрическому заряду, который необходимо про-
пустить через электролит для выделения на электроде
массы вещества, численно равной его химическому экви-
валенту. Опытным путем для постоянной Фарадея полу-
чено значение F = 96,5- 104 Кл-моль-1.
Заметим, что с помощью закона Фарадея (5.35) можно
получить значение элементарного электрического заряда е.
В самом деле, масса одного иона m = Ar/Nk (Na— по-
стоянная Авогадро), а число N ионов, передавших свой
заряд электроду, выражается через общий заряд q (N =
= q/(ez)). Тогда
M = mN=-^~. (5.36)
N Kez v '
Сравнивая выражения (5.36) и (5.35), находим связь
между универсальными постоянными е, Nа и F: е = F/Na.
Явление электролиза нашло широкое применение в про-
мышленности и технике. Приведем лишь несколько при-
меров его использования. Это прежде всего получение
металлов (алюминия, бериллия, кальция, натрия и др.),
очистка или рафинирование металлов, электролитическое
покрытие одних металлов другими (золочение, серебрение,
никелирование), получение электрохимическим путем
изображения предметов (гальванопластика) и т. д.
Диссоциация молекул в жидких растворах происходит
за счет энергии хаотического (теплового) движения мо-
лекул при их столкновениях. Важная роль в процессе дис-
социации молекул растворителя принадлежит полярному
растворителю. Его дипольные молекулы создают в раство-
ре электрическое поле, которое ослабляет химическую
связь в молекулах растворенного вещества и тем самым
способствует их распаду на ионы.
Параллельно с диссоциацией идет обратный процесс —
рекомбинация (от лат. приставки ге..., означающей по-
193
Сольватные оболочки
диполей.
Рис. 5.11
вторяемость, и combinatio — соединение). Поэтому при
заданных термодинамических условиях всегда устанавли-
вается динамическое равновесие, характеризуемое коэф-
фициентом диссоциации а. Величина а определяет долю
диссоциированных молекул в растворе (по отношению
к их общему количеству). Различают сильные (а~ 1) и
слабые (а<1) электролиты, свойства которых сущест-
венно отличаются и определяются прежде всего структу-
рой раствора, т. е. взаимным распределением ионов и ней-
тральных молекул растворителя и растворенного веще-
ства.
Для наглядности рассмотрим разбавленный раствор
сильного электролита, в котором каждый ион будет окру-
жен только полярными молекулами растворителя. Элек-
трические диполи ре ближайших молекул под действием
поля иона будут преимущественно ориентироваться в на-
правлении силовых линий электрического поля (рис. 5.11).
В результате вокруг ионов образуются сольватные обо-
лочки (сольватация от лат. solvo — растворять, в случае
воды — гидратация), локальные свойства которых отли-
чаются от свойств чистого растворителя, т. е. вдали от
ионов.
Суммарное электрическое поле в растворе в принципе
может быть найдено как результат суперпозиции элек-
трических полей, создаваемых отдельными ионами и по-
лярными молекулами с учетом их равновесного распре-
деления по координатам и углам (ориентациям). Решение
этой задачи требует совместного использования основных
законов электростатики и методов статистической физики.
К сожалению, возникающие математические трудности
удается преодолеть только для определенных и наиболее
простых моделей растворов электролитов, которые рассма-
194
Рис. 5.12
триваются в спецкурсах по электрохимии. Как пример
применения общих законов физики для изучения раство-
ров электролитов следует остановиться на теории Дебая
и Хюккеля (1923 г.), позволяющей рассчитать электри-
ческое поле в окрестности ионов и оценить эффективный
размер сольватной оболочки.
Модель раствора электролита по Дебаю и Хюккелю.
Электролит рассматривается как сложная система, состоя-
щая из растворителя с заданной диэлектрической прони-
цаемостью е и ионов сильного электролита (а = 1). В этом
случае вокруг выделенного иона с зарядом q* сформиру-
ется ионная оболочка с преимущественным преоблада-
нием ионов противоположного знака (рис. 5.12, а).
Не вдаваясь в детали, приведем только два основных
положения этой теории:
1) Потенциал ср в окрестности выделенного иона счи-
тается зависящим только от г, т. е. электрическое поле
является центрально-симметричным (<р = <р(г), рис. 5.12,6);
2) предполагается, что равновесная концентрация
ионов обоих знаков в сольватной (ионной) оболочке опре-
деляется функцией распределения Больцмана f(r) (см.
§ 15.3 в первой части пособия). Поэтому с учетом выраже-
ния для потенциальной энергии иона в поле с потенциалом
<р (П = qq>) запишем:
f(r) = Ce~n(r}/lkT,^n±(r) = n±e-‘,^lrWkT\ (5.37)
Здесь п + (г) и п-(г) — концентрации ионов q+ и в
окрестности элементарного объема dV (рис. 5.12,6);
п + и п- — их средние концентрации вдали от выделенного
центрального иона q* (q* = q+ или q_). Из выражения
195
(5.37) следует, что потенциал <р(г) стремится к нулю при
г-^оо (тогда п(г)—>п), т. е. нулевой уровень для <р(г)
находится в бесконечности (см. § 2.1).
Для нахождения потенциала ср ионной оболочки ис-
пользуется уравнение Пуассона для электростати-
ческого поля [см. уравнение (2.57)] в диэлектрической
среде:
V2(p= — р/(еое), (5.38)
где е — диэлектрическая проницаемость раствора; р =
= р(г) — плотность распределения заряда в окрестности
центрального иона, которая определяется по формуле
p = <7+n+(r)H-^_n_(r) = n+^+e kT +n-q-e кТ .(5. 39)
Учитывая сферическую симметрию ионной оболочки
(р = р(г), ф=ф(г)), воспользуемся выражением для опе-
ратора Лапласа в сферической системе (см. табл. II.3
прил. II) и примем во внимание, что потенциал ср не зависит
от угловых координат:
’ (5.40)
Если потенциальная энергия qq намного меньше теп-
з
ловой энергии U = -% kT(qq) <С kT), то показательные функ-
ции в формуле (5.39) можно разложить в ряд (е~х ~ 1 —
— х). Тогда получим приближенное выражение для плот-
ности распределения заряда в ионной оболочке:
p~(n+q+ + n-q-) — (n+q2++n-q2-)(p/(kT). (5.41)
Первый член разложения р по х = q±y/(kT) тождест-
венно равен нулю, поскольку раствор электронейтрален
(n + q+ + n-q_ = 0). После подстановки выражений
(5.40) и (5.41) в уравнение Пуассона получим дифферен-
циальное уравнение для потенциала <р(г):
+ | rl т - (5.42)
г г0 n+q++n_q_
Если принять во внимание, что при г^О потенциал
ф(г) должен стремиться к потенциалу ср* точечного заряда
</*, а при г-^оо потенциал ф—>-0, то можно написать два
граничных условия:
<p(r)_^(p*(r) = —L_ ^(при /-►О);
196 (при г— оо). (5-43)
Решение дифференциального уравнения (5.42), кото-
рое удовлетворяет условиям (5.43), имеет следующий вид:
ф(г) = ---
т' ’ 4леое

(5.44)
Таким образом, потенциал ср поля сольватированного
иона в растворе электролита в e-r/ro раз меньше, чем по-
тенциал ф* точечного иона [см. первое условие (5.43)].
Это означает, что в растворе имеет место экранировка
поля иона его ионной оболочкой, суммарный заряд кото-
рой равен заряду центрального иона, но с противополож-
ным знаком (электронейтральность раствора). Зависи-
мости для потенциалов ср*, ср и концентраций п± ионов в
оболочке схематично изображены на рис. 5.13 (q* > О,
q+ = — q_ = q*, п+ = п_ = п).
Из рис. 5.13 видно, что на расстояниях г > г о экрани-
рованный потенциал ср практически равен нулю, тогда как
потенциал ср* еще заметно отличается от нуля. В резуль-
тате перераспределения ионов раствора в сольватной обо-
лочке с положительным (</* > 0) центральным ионом
имеется избыток отрицательных ионов (п_>п) и недо-
статок положительных ионов (п+<п). Параметр г0 из
выражения (5.44), имеющий размерность длины, исполь-
зован на рис. 5.13 в качестве масштаба расстояний от
центрального иона. Он играет важную роль в теории элект-
ролитов, поскольку позволяет определить характерный
размер ионной оболочки. Величина го в рассматриваемой
197
теории называется дебаевским радиусом сольватирован-
ного иона. Значения дебаевского радиуса, рассчитанные
для водных растворов (е = 78,3) электролитов при Т =
= 298 К, приведены в табл. 5.1. Видно, что при уменьше-
нии концентрации С (кмоль/м3) электролита радиус ион-
ной атмосферы возрастает, т. е. эффект экранирования
заряда ионов в растворе уменьшается.
Таблица 5.1
Вещество Дебаевский радиус г0, 10 10 м
С = 0,1 С = 0,01 С = 0,001 С = 0,0001
КС1 9,6 30,5 96,4 304
H2SO4, MgCl2 5,6 19,3 55,8 176
ZnSO4 4,8 15,3 48,2 152
Электролитическая проводимость жидкостей. Ток в
электролитах представляет собой упорядоченное движение
ионов обоих знаков, обусловленное действием внешнего
электрического поля. Поэтому плотность тока в электро-
лите определяется выражением (4.42):
j = <7+n + u+ + q-n-U-. (5.45)
Мы уже знаем, что ионы в растворе электролита соль-
ватированы (гидратированы в случае водных растворов),
т. е. имеют своеобразную оболочку, состоящую из поляр-
ных молекул растворителя и ионов обоих знаков (преиму-
щественно из ионов противоположного знака по отноше-
нию к знаку центрального иона). Поэтому после включе-
ния электрического поля напряженностью Е (рис. 5.14)
ионы с зарядами q+ и q_ начнут двигаться в противопо-
ложные стороны под действием электрической силы
= q± = q+, q-- (5.46)
При этом движении сольватная оболочка, имеющая про-
тивоположный знак, испытывает действие силы сопро-
тивления как со стороны электрического поля, так и со
стороны окружающей ее среды. В процессе движения
иона его сольватная оболочка будет разрушаться и вновь
образовываться, поэтому в квазиравновесных условиях
сольватированный ион будет представлять собой некий
вытянутый материальный объект с эффективной массой
198
т± и эффективным радиусом г^. поперечного сечения,
который определенным образом связан с дебаевским ра-
диусом го [см. уравнение (5.42)].
Предположим, что результирующее действие всех сил
эквивалентно действию электрической силы (5.46) и силы
сопротивления (закон Стокса)
Fc = — р±и±, (5.47)
где ц±=6лНьТ] — коэффициент сопротивления, завися-
щий от эффективного радиуса г* и коэффициента дина-
мической вязкости раствора т].
Воспользовавшись вторым законом Ньютона, получим
дифференциальное уравнение движения ионов:
"4 d“X(<) = 1?±1£ “ Н±«±(0- (5.48)
В случае однородного поля Е это уравнение определяет
релаксационный* характер нарастания скорости ионов
(после включения поля £, см. задание 5.1). Решение урав-
нения (5.48) имеет вид
u±(t) = b±E(l — e~t/x±), (5.49)
где b± = \q± |/ц± — подвижность ионов; т± = /и*/р± —
время релаксации скорости иона. Максимально возмож-
ная скорость установившегося движения (u(t)-+u± при
оо)
* С аналогичным уравнением мы уже встречались в разделе «Меха-
ника» при изучении движения материальной точки в среде под действием
силы тяжести и силы сопротивления (см. § 2.2 в первой части пособия).
199
u-t = Z?±E, b± — подвижность иона.
(5.50)
Заметим, что такую скорость ион приобретает за до-
статочно малый промежуток времени /, равный т (при
t > Зт скорость u-t(f) практически равна и±). Из послед-
него выражения следует, что подвижность Ь± численно
равна скорости установившегося движения иона под дей-
ствием поля £= 1 В/м, т. е. Ь = и/Е.
С учетом выражений (5.45) и (5.50) определим удель-
ную электрическую проводимость у электролита [j = уЕ —
закон Ома в дифференциальной форме — см. выражение
(4.56)]:
у = q+n + b+ + q-n-b- = anz(fe+ + b_)F/NA. (5.51)
Здесь принято во внимание соотношение e = F/NA [см.
выражение (5.36)] и условие электронейтральности рас-
твора электролита (q+n+ + q-n- = 0, q+=ez, z— ва-
лентность положительного иона), а также определение
коэффициента диссоциации a (n+=an, п — концентра-
ция молекул растворенного вещества).
С увеличением концентрации п раствора степень дис-
социации молекул растворенного вещества уменьшается,
поэтому следует ожидать, что на кривой зависимости у
от п будет наблюдаться максимум электропроводности.
Экспериментальные зависимости подтверждают этот вы-
вод (рис. 5.15, где С— концентрация в массовых процен-
тах; у — в (Ом-м)-1). Значения подвижностей b разных
ионов, определенные экспериментально с учетом незави-
симости их движения в разбавленных растворах (закон
Кольрауша), приведены в табл. III.12 прил. III. С их по-
мощью можно оценить величину коэффициента ц сопро-
тивления среды (ц = q/b) и время релаксации т (т = m/ц =
= mb/q').
Задание 5.2. Решите дифференциальное уравнение (5.48), оцените
время релаксации скорости протона Н+ в электролите и сравните это
значение с временем релаксации скорости электрона в металле.
Указание. Воспользуйтесь методом разделения переменных и
и t в уравнении (5.48) и проинтегрируйте по скорости от нуля до и,
а по времени от нуля до t.
Для оценки времени релаксации протона примите, что эффектив-
ная масса сольватированного иона Н+ равна массе протона (mJ ~ тД
а значение подвижности b найдите в соответствующей таблице прил. III.
При определении времени релаксации скорости электрона пред-
200
варительно найдите подвижность Ье электрона путем сопоставления
выражения (5.6) для скорости электрона в металле с общим соотноше-
нием (5.50). В расчетах для длины свободного пробега электрона X
используйте значение Х=10-8 м=100 А [среднеквадратичная ско-
рость электрона определена из соотношения (5.1)].
Ответ. См. выражение (5.49) для скорости иона; подвижность
электрона Ье = вХ/(2гиеикв), время релаксации скорости электрона те =
= тпеЬе1е = 0,5Х/икв (для протона тр= mpbp/e).
5.4. Электрический ток в газах
Ионизация газов. Газы состоят из нейтральных атомов
и молекул и не проводят электрический ток как в естест-
венном состоянии, так и при температурах в несколько
сот градусов. Об этом свидетельствует ряд опытов, в част-
ности заряженный электрометр, находящийся в сухом
воздухе, достаточно долгое время сохраняет свой заряд.
Пары различных жидкостей, включая даже пары рас-
плавленных металлов, не проводят электричества.
Однако газ можно сделать электропроводящим, если
создать в нем каким-либо способом определенное коли-
чество свободных носителей зарядов — ионов и электро-
нов. Процесс создания ионов в газе называется его иони-
зацией.
Существуют несколько способов ионизации газов, сре-
ди которых одним из главных является ионизация элект-
ронным ударом. Суть этого способа состоит в том, что
свободный движущийся электрон, обладающий достаточ-
но большой кинетической энергией, при столкновении с
нейтральным атомом газа выбивает из него один (или
несколько) электронов. В результате этого процесса обра-
зуются свободные электроны и положительные ионы. Газ
становится проводящим. Часть выбитых электронов может
быть захвачена нейтральными атомами, тогда образуются
отрицательные ионы.
Из других способов ионизации газа отметим иониза-
201
цию под действием высокой температуры, а также при
облучении газов различными видами электромагнитного
излучения (ультрафиолетовыми лучами, различными ви-
дами ядерных излучений и т. д.).
При очень высоких температурах (7S Ю3 К) моле-
кулы диссоциируют на атомы, которые в свою очередь
практически полностью ионизируются, образуя положи-
тельные ионы и электроны. Вещество в таком состоянии,
называемом плазмой, обладает очень высокой прово-
димостью.
Ионизацию газов характеризуют потенциалом иони-
зации, который определяется из соотношения А = е<р,
где А — работа, необходимая для отрывания электрона;
Ф — потенциал ионизации атома молекулы или иона. За-
метим, что работа ионизации нейтральной молекулы или
атома меньше, чем работа ионизации иона, так как вто-
рой вырываемый электрон сильнее связан со своим ядром,
чем электроны в нейтральных атомах. Приведем для при-
мера несколько экспериментально определенных иониза-
ционных потенциалов:
Газ Не Ne Аг Кг Хе Hg Na К Pb
ср, В 24,5 21,5 15,7 13,9 11,5 10,4 5,12 4,32 4,68
После прекращения действия ионизатора ионы в газе
постепенно исчезают. Вследствие теплового движения
электроны и положительные ионы сталкиваются и могут
снова образовывать нейтральный атом. Процесс воссоеди-
нения ионов называется рекомбинацией. При рекомби-
нации происходит выделение энергии, чаще всего в виде
электромагнитного излучения (свечение рекомбинации).
Время релаксации ионов при рекомбинации относительно
невелико. Уже через десятые доли секунды число ионов
уменьшается вдвое.
Если в ионизированном газе создать электрическое
поле, то возникнет направленное движение ионов и элект-
ронов, т. е. электрический ток, плотность которого опре-
деляется по формуле (см. выражение (5.45) для элект-
ролита)
j = 67+n + u+ + q-n_u_ — епеие- (5.52)
202
Скорость установившегося движения ионов и элект-
ронов в газе можно выразить через подвижность Ь, кото-
рая связывает скорость дрейфа и с напряженностью Е
электрического поля [см. выражение (5.50)]:
и± = ±Ь±Е. (5.53)
Подвижность Ь- учитывает вклад, создаваемый бо-
лее легкими электронами, поэтому обычно b->b + .
Соотношение (5.53) справедливо в том случае, если
средняя длина свободного пробега заряженных частиц
значительно меньше расстояния между электродами
(X С /)• Это имеет место при давлениях в несколько милли-
паскалей и выше. В противоположном случае говорят,
что ионы движутся в вакууме (X > /). Это означает, что
движение ионов происходит без столкновений, и они дви-
жутся с ускорением a = qE/m.
Для подвижностей ионов в газах характерны следую-
щие особенности:
1) подвижности и Ь_ ионов различаются в газах в
значительно большей мере, чем в жидкостях (электроли-
тах). При этом, как правило, Ь_>Ь+ (см. табл. III.12
прил. III);
2) подвижности ионов в довольно широком интервале
(от десятых долей миллиметра ртутного столба до десят-
ков атмосфер) обратно пропорциональны давлению р:
Ь+ = с/р,
(5.54)
где коэффициент с зависит от температуры Т (c = f(T));
3) подвижности ионов в газах не зависят от напря-
женности поля только при малых значениях Е.
Разряды в газах. Прохождение тока через газы полу-
чило название разрядов в газах. Различают самостоятель-
ный и несамостоятельный разряды.
Несамостоятельный разряд может происходить лишь
при наличии какого-либо ионизирующего воздействия на
газовый промежуток между электродами в камере. Вольт-
амперная характеристика (/ = /([/)) для несамостоятель-
ного разряда при постоянной мощности ионизатора пред-
ставлена на рис. 5.16. На начальном участке О А этой кри-
вой сила тока / пропорциональна напряжению (7, т. е.
электрическое сопротивление R = U/I газового промежут-
ка практически постоянно. Темп возрастания силы тока
на криволинейном участке АВ постепенно уменьшается,
что всегда предшествует явлению насыщения (горизон-
203
J
тальный участок ВС). Значение силы тока насыщения
определяется заданной мощностью используемого иони-
затора. Участок CD, отвечающий очень резкому (в сотни
раз) росту плотности тока, указывает на появление како-
го-то «внутреннего источника» новых свободных носи-
телей заряда в газовом промежутке. В самом деле, если
в состоянии, соответствующем участку CD, убрать внеш-
ний ионизатор, то разряд не прекратится. Это означает,
что свободные заряды создаются самим газовым разря-
дом, и поэтому он называется самостоятельным. Напря-
жение, при котором возникает самостоятельный разряд,
называется напряжением зажигания газового разряда.
Различают следующие типы самостоятельных разря-
дов: тлеющий, искровой, дуговой, коронный и др.
Тлеющий разряд имеет место при пониженном дав-
лении газа. Если к трубке с газовым столбом длиной 30—
50 см приложить напряжение в несколько сот вольт, то
при атмосферном давлении приложенного напряжения не-
достаточно для пробоя и трубка остается темной. При
уменьшении давления газа в трубке в некоторый момент
возникает разряд, имеющий вид шнура, соединяющего
анод и катод трубки. При дальнейшем уменьшении дав-
ления этот шнур расширяется и заполняет весь объем
трубки между электродами (рис. 5.17). В объеме тлею-
щего разряда выделяются следующие участки. Непосред-
ственно к катоду прилегает тонкий светящийся слой 1 —
катодная пленка, где происходит возбуждение атомов и
молекул ударами электронов, но еще нет ионизации (све-
чение объясняется переходом возбужденных молекул в
нормальное состояние). Затем следует катодное темное
пространство 2, в котором начинается ионизация атомов
и молекул газа. В связи с этим уменьшается вероятность
их возбуждения, а значит, свечение газа ослабляется.
Область отрицательного тлеющего свечения 3 возникает
из-за рекомбинации электронов с положительными иона-
ми, которая сопровождается электромагнитным излуче-
204
Катодная светлая пленка
Катодное темное пространство
Отрицательное тлеющее с деление
Фарадеево темное пространство
I Положительный столЯ
• и
Рис. 5.17
нием. За вторым темным пространством 4 — фарадеевым
темным пространством — располагается положительный
столб 5У представляющий собой сильно ионизированный
светящийся газ. Заметим, что почти все падение потенциа-
ла (Аф=(7) в тлеющем разряде приходится на область
катодного темного пространства 2.
При малых разрядных токах численное значение па-
дения потенциала в катодной области зависит лишь от
материала катода, рода газа. Оно пропорционально ра-
боте выхода электронов из катода. Это так называемое
катодное падение потенциала играет важную роль в воз-
никновении самостоятельного газового разряда, так как в
этой части разрядной трубки положительные ионы полу-
чают большую энергию и, ударяясь о катод, вызывают вто-
ричную электронную эмиссию.
В настоящее время тлеющий разряд широко исполь-
зуется в качестве источника света в различных газовых
трубках и лампах дневного света.
Искровой разряд (рис. 5.18) имеет прерывистую форму
даже при использовании источников постоянного тока.
Он возникает при давлении порядка атмосферного, если
электрическое поле в газовом столбе не очень сильно от-
личается от однородного. Примером искры в естественных
природных условиях является молния. Искровые каналы
205
возникают при больших потенциалах зажигания. Напри-
мер, для сухого воздуха при давлении в одну атмосферу
и расстоянии между электродами 10 мм пробивное напря-
жение ~30 кВ (напряженность Е~3- 106 В/м). Однако
после возникновения искры сопротивление газового про-
межутка становится малым, через искровой канал прохо-
дит короткий импульс тока большой силы, и разряд пре-
кращается. Затем напряжение между электродами повы-
шается до напряжения пробоя, и вновь образуется новый
искровой канал. Искровой разряд сопровождается воз-
никновением и распространением ударных упругих волн,
что проявляется на слух в виде характерного потрески-
вания в слабых разрядах и мощных раскатов грома в
случае молнии.
В искровом разряде существенным является тот факт,
что световые кванты (испускаемые возбужденными ато-
мами и молекулами) сами производят ионизацию газа
и дают начало новым электронным лавинам.
Коронный разряд возникает в том случае, если элект-
рическое поле в газовой среде сильно неоднородно. Такое
поле всегда существует между двумя электродами с силь-
но различающейся кривизной их поверхностей (например,
тонкая проволочка или острие — первый электрод и пло-
скость или цилиндр большого диаметра — второй элект-
род). Когда электрическое поле вблизи электрода (анода
или катода) с большой кривизной достигает ~3 • 104 В/м,
в его окрестности возникает свечение, имеющее вид коро-
ны. Если корона образуется вокруг отрицательного элект-
рода (катода), то она называется отрицательной, а ко-
рона в окрестности анода называется положительной.
Дуговой разряд можно получить, если после возник-
новения искрового разряда от мощного источника начать
постепенно сближать электроды или уменьшать сопро-
тивление R внешней цепи. В результате прерывистый
искровой разряд становится непрерывным (дуговой раз-
ряд). При этом ток достигает десятков и сотен ампер,
а напряжение на разрядном промежутке падает до не-
скольких десятков вольт. Такой разряд можно получить
и от источника низкого напряжения, если предварительно
электроды сблизить до их соприкосновения. В месте кон-
такта электроды сильно разогреваются электрическим то-
ком, и после их удаления друг от друга катод становится
источником электронов за счет термоэлектронной
эмиссии. Определенный вклад вносит и автоэлект-
206
ронная эмиссия, вызванная сильным электрическим
полем. Электрическая дуга впервые была получена в
1802 г. русским физиком В. В. Петровым (1761 —1834),
который в качестве электродов использовал два куска
древесного угля. Раскаленные угольные электроды давали
ослепительное свечение, а между ними возникал яркий
столб светящегося газа (дуга). Электрическая дуга ши-
роко используется в качестве яркого источника света в
прожекторных и проекционных установках, а также для
резки и электросварки металлов, в специальных электри-
ческих печах для получения высоких температур, в ртут-
ных выпрямителях переменного тока и в ряде других
случаев.
В различных типах газового разряда образуется про-
странственная область с сильно ионизированным газом,
который представляет собой ионную плазму. В случае пол-
ностью ионизированной плазмы, состоящей из одинако-
вого числа однозарядных положительных ионов и элект-
ронов, ее дебаевский радиус D можно определить, если
воспользоваться выражением (5.42) для дебаевского ра-
диуса экранировки ионов электролита (п+ ~ п- = и,
<7+ = —q- = e, е= 1):
(555>
Оценки показывают, что условие квазинейтральности
плазмы (n + q+ + n_q- ~ 0) выполняется, если линейные
размеры области существования полностью ионизирован-
ного газа намного больше дебаевского радиуса (/ D).
Теория электрического поля Фарадея
и Максвелла... представляет, очевид-
но, наиболее глубокое превращение,
которое основание физики претерпе-
ло со времен Ньютона.
А. Эйнштейн
6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И ВОЛНЫ
Электромагнитными колебаниями называются перио-
дические изменения во времени значений тока и напря-
жения в электрической цепи и взаимосвязанные коле-
207
бания электрического и магнитного полей, описываемых
соответственно векторами Е и Н. Наиболее распростра-
ненной электрической цепью, в которой возникают такие
колебания, является электрический колебательный контур,
содержащий последовательно соединенные конденсатор
емкостью С, катушку индуктивностью L и сопротивление
R (СЛ/?-цепочка, рис. 6.1). Если сопротивление R доста-
точно мало (/?-►()), то электрический контур является
идеальным (CL-цепочка). В реальном контуре R =# О,
и, следовательно, часть энергии будет расходоваться на
нагревание проводников (см. закон Джоуля — Ленца).
Диссипация, т. е. рассеяние энергии, обусловливает зату-
хание колебательных процессов, которое характеризуется
соответствующим им временем релаксации.
При воздействии на колебательный контур внешней
периодической электродвижущей силы (ЭДС) в контуре
возникают вынужденные колебания электрического тока,
а в окружающем пространстве будут наблюдаться коле-
бания электрического и магнитного полей, т. е. в простран-
стве будут распространяться электромагнитные волны.
Примером электрического устройства, генерирующего
электромагнитную волну, является вибратор Герца (см.
§ 6.2). С точки зрения геометрии и дифференциального
исчисления электромагнитные волны во многом похожи
на упругие волны, распространяющиеся в материальной
среде. Однако сразу следует отметить, что физическая
природа этих волновых процессов различна. Свойства
электромагнитных полей описываются уравнениями Макс-
велла (§ 6.3), которые являются обобщением законов
электро- и магнитостатики, а также закона электромаг-
нитной индукции.
208
6.1. Свободные и вынужденные
электромагнитные колебания
Свободные колебания в электрическом контуре. После
замыкания ключа К (см. рис. 6.1) в контуре с предвари-
тельно заряженным конденсатором возникнет переменный
во времени электрический ток, сила которого I=f(t).
Если параметры СЛ/?-цепочки таковы, что период Т коле-
баний тока много больше времени релаксации т скорости
свободных носителей зарядов в цепи (см. задание 5.2),
то значения силы тока в любом сечении электрического
контура будут одинаковы в каждый момент времени.
Условие Т>т (т~ 10“13—10“16 с) выполняется при ча-
стотах со <2л/т ~ 1012—1015 с-1, т. е. в очень широкой
области частот шкалы электромагнитных волн. В этом
случае ток в контуре является квазистационарным, и мож-
но воспользоваться законом Ома или вторым правилом
Кирхгофа (правилом контуров). Будем обходить контур
против хода часовой стрелки, поэтому ток I = dq/dt > 0
при возрастании значения заряда на положительно заря-
женной обкладке конденсатора (см. рис. 6.1).
В результате получим уравнение
IR = ф2 — ф| + 6с.
(6.1)
Поскольку разность потенциалов между обкладками
Ф1 — Ф2 = ^/С [см. формулу (4.28)], а ЭДС самоиндук-
ции ес= —Ldl/dt [см. формулу (4.111)], уравнение (6.1)
можно записать в виде дифференциального уравнения
второго порядка по отношению к заряду q = q(t):
+ + i = + + = (6.2)
Здесь используются стандартные обозначения для коэф-
фициента затухания р и собственной частоты <оо гармони-
ческих колебаний:
р = /?/(2Л); (00=1/7^- (6.3)
Если р < coo, то решение уравнения (6.2) имеет вид зату-
хающих колебаний для заряда q (см., например, гл. 7
для механических колебаний в первой части пособия):
q = Аое~cos (<о*/ + ао), (6.4)
где Ло и ао — постоянные интегрирования уравнения (6.2).
209
Частота со* затухающих колебаний связана с часто-
той <оо и коэффициентом 0, а значит, и с параметрами
СЛ/?-контура:
(О* = ^<4 — р2 = (6.5)
Затухание колебаний заряда q обкладок конденсатора
происходит с периодом Г* = 2л/со* и убывающей ампли-
тудой A(f) = Лоехр{ — Rt/(2L)}. Характерное время зату-
хания электрических колебаний в контуре определяется,
как обычно, временем релаксации т* = 1 /0 = 2L/R. В слу-
чае механических колебаний тм = 2т/|л (т — масса;
р, — коэффициент сопротивления среды в законе Стокса:
Fc=—ци). Из сопоставления т* и тм следует важный
вывод о том, что индуктивность L катушки является
мерой инертности для электрических колебаний
заряда q, а значит, и силы тока / в контуре.
Разность потенциалов Дер между обкладками конден-
сатора пропорциональна заряду q, и поэтому она затухает
синхронно с зарядом q. Сила тока
/ = ^ =— Л oe_p/[0cos((D*/ +«о) +w*sin((D*/+ а0)]
dt (6.6)
также затухает во времени, однако колебания происхо-
дят с некоторым сдвигом по фазе.
Задание 6.1. Определите разность фаз между зарядом q на обклад-
ках конденсатора [см. формулу (6.4)] и током / в цепи контура [см.
формулу (6.6)].
Указание. Воспользуйтесь формулой для косинуса суммы двух
углов и приведите выражение (6.6) к виду
/ = /ов-₽/ cos (со*/ -|- а0 -|- А).
Ответ. Сдвиг фаз Д= — arctg((o*/P). (6.7)
Задание 6.2. Определите постоянные интегрирования в выражении
(6.4) для случая, когда в начальный момент времени (/ = 0) контур
разомкнут (/(0) = 0), а конденсатор заряжен (q = q0 при t = 0).
Указание. Начальные условия для q и / подставьте в выраже-
ния (6.4) и (6.6), а затем решите полученную систему уравнений отно-
сительно постоянных Ао и ао.
От в ет. tg а0 = — Р/<о* = —40 = <?o/cos а0 =
= 9o/V> - Л-2С/(4£).
210
Задание 6.3. Получите формулу для всех величин, определяющих
свободные гармонические колебания в идеальном колебательном кон-
туре (контур Томсона).
Указание. Используйте соотношения (6.2) — (6.7) при R = 0.
Ответ. Для CL-цепочки справедливы следующие соотношения:
q = qo cos сооЛ (Оо = 1 /^[~LC, То = 2л-\[ьС\
Дф = -^cos / = — ^о<оо sin (Оо/ = (/о<оо cos (соо/ + л/2); (6.8)
Д = л/2(а0 = 0, Л о = q0).
Задание 6.4. Проведите сопоставительный анализ определяющих
уравнений и соотношений для электромагнитных колебаний в контуре
с аналогичными уравнениями и соотношениями для механических
колебаний (см. гл. 7 «Механические колебания» в первой части по-
собия).
Указание. Путем сравнения уравнения (6.2) с дифференци-
альным уравнением затухающих колебаний физического маятника
установите электрические аналоги координаты, массы, скорости, коэф-
фициентов сопротивления и затухания, времени релаксации, потен-
циальной и кинетической энергий и т. д.
Ответ. Результат сравнительного анализа представлен в
табл. 6.1.
Колебания
Таблица 6.1
механические электрические
параметр формула параметр формула
1 2 3 4
Координата * = /(<) Электриче- ский заряд <7=М)
Скорость V = X Сила тока / = 4
Масса m Индуктив- ность L
Кинетическая энергия точки К = шх2/2 Энергия со- леноида = L?/2
Потенциаль- ная энергия пружины Собственная П = kx2/2 Энергия конденсатора Собственная W'=±.q*/2
циклическая частота (о0 = -\jk/m циклическая частота ^o=-d — /L
Уравнение собственных х=А cos((D0/ + ao) Уравнение собственных q = A cos((Do/ + ao)
211
Окончание табл. 6.1
2 3
механических колебаний Среднее зна- чение механи- ческой энергии электрических колебаний Среднее значение энер- гии контура 1Г = -LmA2^

1
Е = — /пА2(оо
Z
осциллятора Коэффициент и Томсона Электриче- R
сопротивления Коэффициент р=Н/(2т) ское сопротив- ление Коэффи- 0 = R/(2L)
затухания Время релак- т = 2/п/ц циент затуха- ния Время ре- т = 2L/R
сации Амплитуда A(/) = Aoe"₽' лаксации Амплитуда A(t) = Aoe~fl
затухающих колебаний Уравнение x = A(/)cos(d)/ + a) затухающих колебаний Уравнение q = A(/)cos(o)o/ + а)
затухающих колебаний Циклическая частота зату- со = -д/соо — р2 затухающих колебаний Цикличе- ская частота (0 = -\/о)о —р2
хающих коле- баний затухающих колебаний
Задание 6.5. Получите дифференциальное уравнение колебаний
для контура Томсона (/? = 0) из закона сохранения энергии электриче-
ского поля в конденсаторе С и магнитного поля в катушке L (соленоиде).
Указание. Поскольку полная энергия W = Lq2/2 + q2/(2C) =
= const, производная dW/dt = 0. Выполнив дифференцирование энер-
гии W по времени и приравняв производную dW/dt нулю, получим
дифференциальное уравнение для заряда qlLqq -|-
Г^=0)-
Ответ. Дифференциальное уравнение электрического осциллято-
ра имеет следующий вид: Lq + q/C = 0.
Волновое сопротивление контура Томсона. Восполь-
зуемся результатами решения задания 6.3 и определим
отношение амплитудных значений напряжения U конден-
сатора (U = Аф) и силы тока /:
Последнее соотношение формально аналогично закону
Ома (U/I = R). Поэтому величину у L/C, имеющую раз-
212
мерность электрического сопротивления, называют волно-
вым сопротивлением контура Томсона.
Вынужденные электромагнитные колебания. Посколь-
ку в реальном контуре электрическое сопротивление R
не равно нулю, свободные колебания всегда будут зату-
хающими, и за утроенное время релаксации вся перво-
начально запасенная энергия заряженного контура пре-
вратится в тепловую энергию проводников. Для получе-
ния незатухающих колебаний необходимо непрерывно
пополнять энергию контура от источника, например с пе-
риодически изменяющейся ЭДС (е = е0 cos со/). Колебания,
возникающие в С£/?-цепочке при наличии переменной
ЭДС, называются вынужденными.
Основные закономерности вынужденных колебаний
подробно рассмотрены в первой части пособия (см. гл. 7
«Механические колебания») для случая механических
осцилляторов, т. е. различного типа маятников. С многими
полученными там соотношениями мы вновь встретимся при
изучении вынужденных электромагнитных колебаний в
контуре с переменной вынуждающей ЭДС (рис. 6.2).
Сейчас в правой части уравнения (6.1) появится дополни-
тельное слагаемое, учитывающее наличие внешней
ЭДС:
L + RI + q/C = 80 cos со/. (6.9)
Вынужденные колебания тока в цепи определяются
частным решением этого неоднородного уравнения. [Об-
щее решение однородного уравнения (6.2) определяется
выражением (6.4).] Это частное решение будем искать в
виде гармонически изменяющейся с частотой со зависи-
мости силы тока / от времени t:
I = /0 cos (со/ — а), (6.10)
где /о — амплитуда силы тока; а — сдвиг фаз между ЭДС
и силой тока в цепи. Поскольку / = dq/dt,
q = \ldt = /о$ cos {mt — a)dt = ^-sin (co/ — a). (6.11)
Подставив выражения для I и q в (6.9), получим тригоно-
метрическое уравнение
IqR cos (со/ — a) — Io(&L — 1/(соС)) sin (со/ — a) = e0cos(o/,
(6.12)
213
которое позволяет найти /0 и а (см. задание 6.6):
/о = - Ео--------: tg а = . (6.13)
V«2 + (<oL- 1/(<оС))2 к
Величина Z = д//?2 + (ш^- — 1 /(<оС))2 имеет смысл пол-
ного электрического сопротивления контура, или его импе-
данса.
С учетом выражений (6.13) для силы тока / в колеба-
тельном контуре получается следующее уравнение:
/ = y-cos (со/ — а).
Полное сопротивление Z зависит от значений трех
видов электрического сопротивления контура: активного
R, индуктивного X l = и емкостного Xc=l/((oQ. При
XL = XC полное сопротивление контура принимает мини-
мально возможное значение Zmin=/?. В этом случае ампли-
туда силы тока максимальна (/о ах = ео//?), что указывает на
наличие резонансной частоты (орез для тока, значение
которой определяется из условия XL = Хс:
соЛ = —1^=>шрез= * = (о0. (6.14)
VZc
Отсюда следует, что резонансная частота равна частоте
собственных колебаний в контуре Томсона (см. формулу
(6.3) и задание 6.3).
Зависимости амплитуды силы тока /0 от частоты со пе-
риодической вынуждающей ЭДС в контуре, представлен-
ные графически на рис. 6.3, называются резонансными
кривыми. Явление резкого возрастания амплитуды силы
214
тока называется резонансом напряжений* в контуре с
последовательно включенными С, L, R и е.
При резонансной частоте сдвиг фаз а равен нулю
[см. формулу (6.13)]. Это означает, что колебания силы
тока I совершаются в фазе с колебаниями внешней ЭДС:
/рез == COS (Орез/£ == £о COS (Орез/. (6.1 5)
В состоянии резонанса найдем разность потенциалов
на конденсаторе С и катушке L:
Афс = = —-----sin (Орез/ = /(TVyrSin (Орез/; (6.16)
С С (О рез у С
Д<р£ = л4тг= (ОрезЛ (6.17)
ul t\ у G '
Из сравнения выражений (6.16) и (6.17) видно, что
при резонансе напряжение на конденсаторе равно по зна-
чению и противоположно по фазе напряжению на катуш-
ке индуктивности. Справедливость соотношения Афс =
= — Лф£ можно экспериментально проверить с помощью
простой лабораторной установки, схема которой пред-
ставлена на рис. 6.4. При резонансной частоте показания
вольтметров Vi и У2 будут одинаковыми, а вольтметр V3
покажет нулевое значение суммарного напряжения.
В случае вынужденных электромагнитных колебаний
сдвиг фаз а между током и вынуждающей ЭДС при за-
данных параметрах С, L, R контура зависит только от
частоты со. Эти зависимости при разных значениях сопро-
тивления R и заданных постоянных значениях С и L схе-
матично представлены на рис. 6.5. При частотах со, мень-
* В этом случае амплитуды напряжений на конденсаторе и катуш-
ке также максимальны [см. далее формулы (6.16) и (6.17)].
215
ших резонансной ((о<(орез), сдвиг фаз а отрицательный,
ток опережает ЭДС по фазе [см. формулу (6.13)], а при
со > (Орез (величина а > 0) ток запаздывает по фазе.
Если вынуждающая внешняя ЭДС представляет собой
сумму нескольких гармоник с разными частотами и ампли-
п
тудами (е= 2 е0/cosco,/), то результирующий ток будет
i = 1
являться суммой аналогичных гармоник для токов: / =
п
= 2 /0|- cos (о),/ — а,).
i = 1
Когда какая-либо частота (О/ совпадает с резонансной
частотой контура, наибольшее значение будет иметь
амплитуда тока такой же частоты.
На явлении «избирательного отбора» колебательным
контуром наиболее близкой к резонансной частоте спектра
частот вынуждающей внешней ЭДС основана работа всех
радиоприемных устройств. Поэтому колебательный контур
является неотъемлемой частью таких приспособлений,
причем резонансная частота приемных контуров регули-
руется путем изменения его индуктивности или емкости
((Орез = 1 /~\! L С\
Отклик колебательного контура на частоты, близкие
к резонансной, уменьшается по мере увеличения максиму-
ма на резонансной кривой (рис. 6.6). Отметим на рис. 6.6
частоты (oj и (02, соответствующие амплитуде силы тока
в контуре, которая в д/2 раз меньше максимально воз-
можной силы тока /оах = ео//? (см. задание 6.7). Остроту
резонансной кривой характеризуют отношением полуши-
216
рины Асо = со2 — ой к резонансной частоте (Асо = /?/Л—
см. задание 6.8):
Дю
Юрез
— относительная по-
луширина резо-
нансной кривой.
(6.18)
Величина, обратная относительной полуширине резо-
нансной кривой, называется добротностью контура (см.
§ 7.3 в первой части пособия):
Q — (0рез/(А(0) =
= л/РГо —
(6.19)
добротность контура.
Добротность Q тем больше, чем меньше полуширина
Асо резонансной кривой. Отсюда следует, что Q является
характеристикой «избирательного» воздействия внешней
вынуждающей периодической ЭДС с частотой со на коле-
бательный контур. Из формулы (6.19) видно, что доброт-
ность Q характеризует также затухание электрических
колебаний (см. задание 6.9), а значит, и быстроту умень-
шения (диссипации) энергии контура (см. задание 6.10).
Задание 6.6. Решите уравнение (6.12) относительно а (сдвиг фаз)
и /о (амплитуда тока).
Указание. Уравнение (6.12) можно решить путем построения
векторной диаграммы напряжений либо аналитически, после использо-
вания тригонометрических формул для косинуса разности двух углов,
определяющих фазу токов (со = со/ — а).
Ответ. См. формулы (6.13) для /0 и tg а.
Задание 6.7. Покажите, что энергия W тока в контуре при частотах
(01 и (1)2, определяющих полуширину Д(о, в два раза меньше, чем при
резонансной частоте.
Указание. Воспользуйтесь определением энергии W при ампли-
тудном значении тока [см. рис. 6.6 и формулу (4.118)].
Ответ. Поскольку W((Oi) = W((o2) = ^(wpe3)/2, величина Д(о по-
лучила название полуширины резонансной кривой.
Задание 6.8. Найдите значения частот (Di и (о2, а также полуширину
Д(о резонансной кривой.
Указание. Воспользуйтесь выражением для амплитуды силы
тока [см. формулы (6.13)] и определением, согласно которому сила
217
тока при частотах coi и (о2 в ^2 раз меньше, чем /о*ах (см. рис. 6.6). Найди-
те корни полученного уравнения.
Ответ. (012= =F 0 + VP2 + а)2рез» а полуширина Ао) = /?/Г(0 =
= /?/(2£).
Задание 6.9. Установите связь между добротностью Q колебатель-
ного контура и коэффициентом затухания 0.
Указание. Воспользуйтесь формулами для 0 и периода Го сво-
бодных гармонических колебаний [см. формулы (6.3) и (6.8)1-
ПК г» лЛ'/С Л
Ответ. Добротность Q = .
а 0Го
Задание 6.10. Получите выражение для среднего за период Г зна-
чения энергии IF колебательного контура в случае слабо затухающих
электрических колебаний (0 < (Оо)- Пользуясь полученным выражением
для W (t) покажите, что за промежуток_времени, равный периоду
(А/ = Г), относительное изменение энергии W обратно пропорционально
добротности Q контура.
Указание. В случае слабого затухания (0 <С (о0) амплитуда за-
ряда q (Л (/) = Лое-₽9 изменяется медленно, и поэтому можно для
средней энергии контура воспользоваться выражением, приведенным
в табл. 6.1 для энергии W собственных гармонических колебаний в кон-
туре Томсона (см. задание 6.4). Вычислив производную dW/dt, полу-
чите приближенную формулу для изменения энергии AIF за промежу-
ток времени А/= Г.
Ответ. Средняя энергия контура и ее относительное изменение
за период Г определяются по формулам:
Г(/)~
W Q
6.2. Электромагнитное поле открытого
колебательного контура
Вибратор Герца. В рассмотренном выше колебатель-
ном контуре, являющемся основой всех радиоприемных
устройств, колебания электрического тока сопровожда-
ются аналогичным изменением электрического и магнитно-
го полей в конденсаторе С и катушке L. Поскольку это поле
в основном сосредоточено между обкладками конденсато-
ра и внутри катушки, такой контур очень слабо излучает
энергию в окружающее его пространство и является в
этом смысле закрытым колебательным контуром. Для по-
лучения электромагнитных волн Г. Герц (1857—1894) в
218

а
1
1886 г. создал открытый колебательный контур, принцип
построения которого иллюстрируют схемы на рис. 6.7.
Открытый колебательный контур (рис. 6.7,г) получа-
ется из закрытого контура (рис. 6.7, а) путем раздвиже-
ния обкладок конденсатора (рис. 6.7,6, в), уменьшения их
площади и замены катушки L двумя стерженьками 1 и 2.
Полученное устройство (вибратор Герца) способно излу-
чать электрическую энергию, которая распространяется
в пространстве в виде электромагнитной волны большой
частоты (со = 1 a/Zc, L и С малы). Для пополнения энер-
гии контура Герц использовал индуктор, состоящий из
катушки с железным сердечником и двумя обмотками.
Принцип работы колебательного контура с индуктором
представляет в настоящее время только исторический
интерес (и мы его рассматривать не будем), поскольку
после изобретения триода энергия вибратора пополняется
от источника постоянного тока (используются различные
электрические схемы на электронных лампах). Излучаемое
вибратором электромагнитное поле Герц исследовал с по-
мощью другого вибратора, который является составной
частью приемного устройства.
Поле электрического вибратора. Под действием пере-
менного напряжения, подаваемого к вибратору от гене-
ратора, электрические заряды вибратора совершают гар-
монические колебания с некоторой частотой со. Для выяс-
нения характера излучаемых вибратором электромагнит-
ных волн представим его в виде электрического диполя,
противоположные по знаку заряды которого (q, —q) со-
вершают гармонические колебания в противофазе, т. е.
движутся в каждый момент времени в противоположные
стороны (рис. 6.8). Предположим, что в начальный момент
времени (/ = 0, рис. 6.8, а) оба заряда находятся в одной
и той же точке. Их результирующее электрическое поле
отсутствует, скорости и зарядов максимальны (одинаковы
219
Рис. 6.8
по значению и противоположны по направлению). Если
время /<Г/4, то удаляющиеся относительно друг друга
заряды диполя создают электрическое поле, силовые ли-
нии которого схематично изображены на рис. 6.8,6, а для
последующих моментов времени — на рис. 6.8, в, г, д, е.
В момент времени t = T/2 линии поля замыкаются сами
на себя (заряды находятся в одной и той же точке прост-
ранства) и, отделившись от вибратора, перемещаются в
пространстве (рис. 6.8, е), т. е. участок электромагнитного
поля «отшнуровывается» от источника поля (вибратора)
и распространяется в пространстве, независимо от него.
При этом в окрестности диполя зарождается поле, анало-
гичное тому, которое изображено на рис. 6.8,6. Пройдя
все последующие стадии «развития», в момент времени
t = T от диполя «отшнуровывается» еще один участок
электрического поля. Далее все периодически повторяет-
ся, начиная от состояния, изображенного на рис. 6.8, а.
Необходимо отметить, что, помимо электрического
поля, в пространстве вокруг диполя создается вихревое
магнитное поле, силовые линии которого охватывают си-
ловые линии электрического поля. Поскольку колеблю-
щийся диполь создает переменное электромагнитное
поле, в силу закона электромагнитной индукции (см. выра-
жение (4.106) для закона Фарадея — Ленца) электриче-
ское поле будет создаваться не только движущимися за-
рядами диполя, но и изменяющимся магнитным полем (в
следующем параграфе отмечается, что изменяющееся
электрическое поле в свою очередь порождает магнитное
поле).
Детальные исследования показывают, что в каждой
точке пространства векторы Е и Н взаимно перпендику-
лярны, а их значения зависят от координат и времени.
Характер электромагнитного поля вибратора имеет до-
220
Рис. 6.9
статочно сложный вид. Можно выделить две области
(зоны вблизи и вдали от вибратора), в которых свойства
электромагнитного поля могут быть относительно просто
интерпретированы.
Вблизи вибратора («ближняя зона») электрическое
поле в каждый момент времени похоже на поле статиче-
ского электрического диполя, а магнитное — на поле пря-
молинейного проводника с током, описываемое с помощью
закона Био — Савара — Лапласа [см. формулу (3.11)].
Это означает, что в этой зоне Е ~ 1/г3, а Н ~ \/г\ Вре-
менное поведение поля характеризуется тем, что напря-
женности Е и И сдвинуты по фазе на л/2.
В «дальней» (волновой, г^>Х) зоне электрическое и
магнитное поля изменяются в фазе по гармоническому
закону с амплитудами
г. со2 sin 0 rr со2 sin 0
£о ~; По ~--------------------------------------
(6.20)
Это означает, что вдали от диполя его поле представляет
собой сферическую электромагнитную волну (рис. 6.9).
Как показал Д. Максвелл (см. далее, в § 6.4), скорость
распространения таких волн в среде равна скорости света
в данной среде, т. е. в раз меньше скорости света в
вакууме:
(6-21)
С увеличением расстояния от вибратора радиус кри-
визны фронта сферической волны увеличивается, а при
г» А, волну можно считать плоской (рис. 6.10).
221

Рис. 6.10
Из соотношений (6.20) видно, что амплитуда волны
зависит от угла 9 между осью вибратора и направлением
радиуса-вектора г. Она достигает максимального значения
при 0 = л/2, т. е. в плоскости, перпендикулярной к оси
вибратора.
Энергия, переносимая волной в единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную к скорости рас-
пространения волны, определяется вектором Умова —
Пойнтинга* (см. задание 6.14):
S = шу = Е X Н — вектор Умова — Пойн-
тинга.
(6.22)
В волновой зоне числовое значение вектора S пропор-
ционально квадрату амплитуды (S ~ Л2), и в отсутствие
поглощения энергии электромагнитной волны модуль век-
тора
со4 sin2 0
(6.23)
Зависимость величины S от угла 0 обычно изображает-
ся графически в виде полярной диаграммы направлен-
ности излучения энергии вибратором (рис. 6.11). На этой
диаграмме длины отрезков, проведенные из центра диполя
под определенными углами 0, пропорциональны значениям
векторов S Умова — Пойнтинга в этом же направлении.
Из рис. 6.11 видно, что максимальная энергия излуча-
ется вибратором по всем направлениям, перпендикуляр-
ным к его оси, а в направлении своей оси вибратор вообще
* Н. А. Умов (1845—1915) — русский физик, Д. Пойнтинг (1852—
1914) — английский физик.
222
не излучает энергии. Модуль вектора S сильно зависит
от частоты колебаний вибратора (S~<d4)', которая в свою
очередь определяется параметрами L и С колебательного
контура (со = 1 /^Гс).
Ускорение а колеблющегося заряда пропорционально
квадрату частоты (х = Лсозо)/, % = — Лю2 cos со/). По-
скольку напряженности Е и Н также пропорциональны
квадрату частоты [см. формулу (6.20)], они будут про-
порциональны ускорению движущихся зарядов вибратора.
Отсюда следует, что любой одиночный ускоренно движу-
щийся заряд должен излучать энергию в виде электромаг-
нитной волны. Это утверждение является одним из фун-
даментальных выводов классической электродинамики,
который подтверждается наличием синхротронного* излу-
чения в ускорителях элементарных частиц, а также су-
ществованием рентгеновского излучения при торможении
быстро движущихся заряженных частиц (тормозное рент-
геновское излучение).
Излучение Черенкова. Известно, что электрон, движу-
щийся с постоянной скоростью, не излучает энергии, а
лишь переносит с собой электрическое и магнитное поля
(см. гл. 1). Однако сказанное справедливо только для
равномерного движения электронов со скоростями, мень-
* Синхротронное излучение — излучение электромагнитных волн за-
ряженными частицами, движущимися с релятивистскими скоростями
(у ~ с) в однородном магнитном поле, искривляющем их траектории.
Впервые наблюдалось в синхротроне, что и определило название
этого излучения. Отметим, что аналогичное излучение нерелятивистских
частиц (и с), движущихся по круговым или спиральным траекториям,
называется циклотронным излучением, которое имеет место в цикло-
тронах (см. §1.3). х
223
шими скорости света в данной среде (п — показатель пре-
ломления света):
Уэл = COnst
——условие отсутст-
вия излучения.
(6-24)
Если же заряженная частица, в частности электрон,
движется с постоянной скоростью, превышающей ско-
рость света в данной среде, то она излучает энергию в виде
электромагнитного поля. Это явление было открыто в
1934 г. П. А. Черенковым (1904—1990) при выполнении
экспериментов под руководством С. И. Вавилова (1891 —
1951):
с/п < Уэл = const <с — условие существова-
ния излучения Че-
ренкова.
(6.25)
Теория черепковского излучения разработана
И. Е. Таммом (1895—1971) и И. М. Франком (1908—
1990). При движении со скоростью, большей с/п, но мень-
шей с, электрон как бы отрывается от своего электро-
магнитного поля, которое распространяется с меньшей
скоростью (у = с/п). На рис. 6.12 показан ряд из четырех
последовательных положений движущегося электрона
(точки Mk, k=0, 1, 2, 3), в которых находится электрон
через равные промежутки времени А/ (tk = k&t).
Фронт результирующего электромагнитного поля мож-
но получить, если построить сферические поверхности,
определяющие в момент времени t = ЗА/ положения фрон-
тов сферических волн, распространяющихся из точек Mk
и за время т* = /3— tk переместившихся на расстояния
rk = TkC/n. Огибающая этих сферических поверхностей
имеет вид конуса с вершиной в точке Л43, определяющей
положение электрона к заданному моменту времени t =
= ЗА/. Из рис. 6.12 видно, что направление черепковского
излучения составляет с направлением движения электрона
угол 0, значение которого определяется из прямоуголь-
ного треугольника MqNM$:
n M0N (c/n)t с
Aio/Из изл1 nv3Jl
224

Фронт излучения
Черенкоба
t^hl
\ l°-° V /
\ £3-3&t
\ ' Puc. 6.12
Следует отметить, что механизм формирования излуче-
ния Черенкова аналогичен механизму образования фрон-
та ударной упругой волны при сверхзвуковой скорости
движения источника звука (см. гл. 9 в первой части по-
собия).
Черепковское излучение применяется в ядерной физи-
ке для регистрации прохождения быстрых заряженных
частиц через вещество (счетчики Черенкова).
6.3. Уравнения Максвелла
для электромагнитного поля
Предварительные сведения. Известно (см. гл. 4), что
свойства электростатического (потенциального) поля
в среде описываются двумя интегральными уравнениями,
содержащими циркуляцию напряженности Е и поток век-
тора электрического смещения D (D = eoeE— для одно-
родной среды):
фЕ • d\ = 0 — условие потенциальноости; L N §DndS = S '^ЛСвоб — теорема Гаусса. S k=\ (6.26)
Аналогичные по смыслу уравнения описывают свой- ства вихревого (непотенциального) магнитостатического поля (В = цорН):
N ф Н • d\ = 5 'Ik — закон полного тока; L k=\ §BndS = 0 — условие отсутствия магнитных s зарядов. (6.27)
225
Если магнитное поле изменяется во времени, то в со-
ответствии с законом электромагнитной индукции Фара-
дея — Ленца оно порождает в пространстве вихревое
электрическое поле. Электродвижущая сила индукции это-
го поля для любого замкнутого контура L связана со ско-
ростью изменения магнитного потока Фт, пронизываю-
щего поверхность S контура, т. е.
еи = — d<bm/dt, Фт = 5 BndS. (6.28)
S
о
Следует напомнить, что соотношение (6.28) справедливо
для любого математического контура (замкнутой линии
в пространстве), проведенного в области существования
электромагнитного поля.
В предшествующих главах изложение носило в основ-
ном индуктивный характер, поскольку мы постепенно —
шаг за шагом — обобщали эмпирически найденные зако-
номерности и формулировали законы для частных ситуа-
ций. Сейчас перед нами стоит задача получения полной
системы уравнений Максвелла для электромагнитного
поля, которая определяет все его свойства с учетом вза-
имного влияния электрического и магнитного полей друг
на друга.
Первое уравнение Максвелла в интегральной форме.
Согласно определению (см. § 4.2), ЭДС равна циркуляции
напряженности Е:
8=фЕ-<Л, (6.29)
L
Л
которая для потенциального поля равна нулю [см. урав-
нения (6.26)]. В общем случае изменяющегося вихревого
электромагнитного поля с учетом выражения (6.28) по-
лучим
ф Е • d\ = — йФт/с11 — первое уравнение
L Максвелла.
(6.30)
Это уравнение означает, что циркуляция вектора напря-
женности электрического поля по произвольному замкну-
тому контуру L равна взятой с обратным знаком скоро-
сти изменения магнитного потока сквозь поверхность,
натянутую на этот контур. Отсюда следует, что перемен-
ное магнитное поле создает в пространстве вих-
ревое электрическое поле, независимо от того,
226
находится в этом поле проводник (замкнутый проводя-
щий контур) или нет. Полученное таким образом урав-
нение (6.30) является обобщением первого из уравнений
(6.26), которое справедливо только для потенциального,
т. е. электростатического, поля.
Ток смещения и второе уравнение Максвелла в инте-
гральной форме. Покажем далее, что применение закона
полного тока к электрическим цепям, содержащим кон-
денсатор, дает неоднозначный ответ (см. рис. 6.13). Вы-
берем контур L так, чтобы он охватывал ток /, проходя-
щий по проводнику вблизи обкладки конденсатора. Цирку-
ляция вектора Н для этого контура, т. е. левая часть за-
кона полного тока, имеет вполне определенное значение,
не зависящее от положения и ориентации контура в
пространстве. Иначе обстоит дело с правой частью закона
полного тока, определяющей суммарный ток, пронизы-
вающий произвольную поверхность S, натянутую на кон-
тур L. Выберем вначале поверхность Si так, чтобы она
пересекала проводник с током I. В результате получим,
N
что 5' /Л = /=/=0. Для поверхности S2, натянутой на кон-
*=1
тур L, но не пересекающей проводник, правая часть закона
полного тока равна нулю (2' /* = 0). Для устранения
*=1
этой неоднозначности Максвелл предложил в правую
часть закона полного тока добавить так называемый ток
смещения, который равен суммарному току проводимо-
сти, т. е. /см = /. Отсюда следует, что полный ток, проходя-
щий через любую замкнутую поверхность S = Si + S2,
всегда равен нулю.
227
Согласно теореме Гаусса, заряд q равен потоку векто-
ра электрического смещения D через замкнутую поверх-
ность S:
q = фе = §DndS.
s
(6.31)
Поэтому для 1см = I = dq/dt, запишем:
Iсм = d&e/dt — ток смещения. (6.32)
Сейчас закон полного тока с учетом определения тока
смещения будет иметь следующий вид:
фн . d\ = I + d&e/dt — второе уравнение
L Максвелла.
(6.33)
Таким образом, циркуляция вектора напряженности
Н магнитного поля по любому замкнутому контуру L рав-
на суммарному току проводимости, охватываемому этим
контуром, сложенному со скоростью изменения потока
вектора электрической индукции D.
Из полученного уравнения (6.33) следует, что пере-
менное магнитное поле может возбуждаться ли-
бо движущимися зарядами (электрическими
токами), либо переменным электрическим
полем.
Третье и четвертое уравнения Максвелла. Теорема
Гаусса справедлива не только для электро- и магнитоста-
тических полей [см. соотношения (6.26) и (6.27)], но и
для переменного во времени вихревого электромагнитного
поля:
§DndS = q\ §BndS = 0 — соответственно
s <?
третье и четвертое уравнения Максвелла.
(6.34)
Следует заметить, что четыре уравнения Максвелла
не симметричны относительно электрического и магнит-
ного полей, поскольку в природе существуют электриче-
228
ские заряды и, насколько это известно в настоящее вре-
мя*, нет магнитных зарядов.
Четыре уравнения Максвелла в дифференциальной
форме. Суммарный заряд q, охватываемый замкнутой
поверхностью S, можно выразить через плотность р рас-
пределения заряда в пространстве:
<7 = $p(r)dV, (6.35)
V
где V — объем, заключенный внутри замкнутой поверх-
ности S.
Аналогично представим суммарный ток проводимости,
пронизывающий произвольную поверхность S, которая
натянута на контур L:
I = \jn(r)dS. (6.36)
S
Здесь jn — проекция вектора плотности тока j (г) на нор-
маль к поверхности S в точке, определяемой радиусом-
вектором г.
Если контур L не деформируется и не перемещается
в пространстве, то при дифференцировании потоков Фе и
(Dm можно поменять местами интегрирование и дифферен-
цирование. В этом случае
-зг' = =St <6-37»
S S
d(bm
dt
= iS B-ds = St ds-
s s
(6.38)
Подставим соотношения (6.35) — (6.38) в правую часть
соответствующих интегральных уравнений Максвелла и
запишем систему из четырех уравнений электромагнит-
ного поля:
L S
Фн"<|=5('-+т)‘<^
L S
(6.39)
* Многочисленные экспериментальные попытки подтвердить гипо-
тезу П. Дирака (1902—1984) о существовании магнитных зарядов
(монополей) не привели к положительному результату.
229
ф DndS = \ pdV;
S V
§BndS = O. (6.39)
s
Если преобразовать левые части двух первых уравне-
ний с помощью теоремы Стокса, а двух последних — с по-
мощью теоремы Остроградского — Гаусса (см. прил. II.
или аналогичные преобразования в гл. 2 и 3), то из систе-
мы (6.39) получатся четыре уравнения Максвелла в диф-
ференциальной форме:
rot Е = —dBn/dt\
rot Н = jn + dDn/dt\
div D = p;
div B = 0.
Фундаментальные уравнения Максвелла не образуют
полной системы уравнений электромагнитного поля в ве-
ществе. В самом деле, если два первых векторных уравне-
ния из системы (6.40) или (6.39) записать в координатной
форме, то получится всего восемь скалярных уравнений.
Они связывают между собой проекции пяти векторов
(Е, D, Н, В, j) и один скаляр (р), т. е. восемь уравнений
содержат шестнадцать неизвестных величин. Это и понят-
но, поскольку уравнения Максвелла сами по себе не со-
держат никакой информации о свойствах среды, в которой
существует электромагнитное поле. Электромагнитные
свойства вещества (т. е. материи) определяются уравне-
ниями, которые в случае изотропной проводящей нефер-
ромагнитной и несегнетоэлектрической среды (е, ц, 6 =
= const) могут быть записаны в виде (см. гл. 4):
D = еоеЕ, В = ЦоцН, j = оЕ — материаль-
ные уравнения среды.
(6-41)
Уравнения (6.40) совместно с (6.41) образуют полную
систему уравнений электромагнитного поля в материаль-
ной среде.
Задание 6.11. Установите связь между вектором плотности тока
смещения jCM и вектором электрического смещения D.
230
Указание. Воспользуйтесь соотношениями (6.31), (6.32) иопре-
делением плотности тока [см. выражение (6.36)] для произвольного
неподвижного и недеформируемого контура L.
Ответ. Вектор плотности тока смещения равен скорости измене-
ния вектора электрического смещения, т. е.
jCM = db/dt. (6.42)
Задание 6.12. Покажите, что понятие тока смещения, а значит,
и уравнения Максвелла [см. уравнения (6.40)] согласуются с законом
сохранения электрического заряда, записанным в дифференциальной
форме.
Указание. Продифференцируйте третье уравнение Максвелла по
времени и сопоставьте полученный результат с уравнением неразрыв-
ности [см. уравнение (4.45)] для плотности р распределения заряда:
divj = — dp/dt. (6.43)
Ответ. Поскольку div (j + dD/d/) = 0, то jCM = — j = dD/d/, что
согласуется с определением тока смещения [см. соотношения (6.32) и
(6.42)].
6.4. Вывод волнового уравнения
для электромагнитной волны
Уравнения Максвелла для непроводящей среды. В § 6.3
отмечалось, что электромагнитное поле, создаваемое виб-
ратором Герца в дальней зоне, представляет собой сфери-
ческую электромагнитную волну. Сейчас имеется возмож-
ность рассмотреть свойства электромагнитной волны
исходя из полной системы фундаментальных уравнений
Максвелла. Для упрощения и наглядности математиче-
ских преобразований рассмотрим электромагнитное поле
в случае однородной незаряженной (плотность заряда
р = 0), непроводящей (плотность тока j = 0), несегнето-
электрической (e = .ponst) и неферромагнитной (ц =
= const) среды. Запишем дифференциальные уравнения
Максвелла в координатной форме [см. систему (6.40)]
для данного случая с учетом материальных уравнений
(6.41):
го1Е=-И0(1£и
дЕг дЕу SH, ,
Sy dz ~ -ноц —;
дЕ„ dEz
dz дх -HoH-jf-; (6.44)
дЕу _ дЕх = дНг
дх Sy ~
231
rot н = eoe =>
ot
дН2 дНу дЕх
= еле :
ду дг 0 dt ’
дНх дН2 дЕу ! п . _
дг дх = еое-5Г; (6.45)
дНу дНх дЕ2
= еле :
дх ду 0 dt ’
dEx . dEu
тг + тг
+ ^-0; (6.46)
дНх дНу
дх “1” ду
div D = 0
div В = 0
+ ^ = 0. (6.47)
Покажем далее (см. также задание 6.13), что электро-
магнитная волна является поперечной (см. рис. 6.10).
Это означает, что векторы напряженностей Е и Н перпен-
дикулярны к направлению распространения волны, т. е.
волновому вектору k (k = 2л/Х, Е ± к, Н ± к). Для этого
запишем уравнения плоской волны для Е и Н в экспонен-
циальной форме:
Е = ReEoe_‘(“'-k °; Н = ReHoe_‘(“"_k ’г), (6.48)
где Re — символ, определяющий действительную часть
выражений (6.48).
Подставив выражения (6.48) в уравнения (6.46) и
(6.47), получим два эквивалентных условия для векторов
Е и Н:
kxEx + kyEy + kzEz = 0=^k • E = 0=> E _L k;
(6.49)
kxHx + kyHy + kzHz = 0=>k • H = 0=> H ± k.
Свойства электромагнитной волны. Решение системы
дифференциальных уравнений (6.44) — (6.47) выходит за
рамки курса общей физики*, поэтому мы поступим сле-
дующим образом. Воспользуемся уравнениями (6.48) и
убедимся, что при Е ± Н они являются решением выпи-
санной выше системы уравнений Максвелла, которые в
этом случае преобразуются в хорошо нам знакомое вол-
новое уравнение (см. гл. 9 в первой части пособия). В са-
мом деле, если E_L Н, то, используя рис. 6.10, можно за-
* Решение таких уравнений является предметом отдельного на-
правления теоретической физики, которое получило название «Уравне-
ния математической физики».
232
писать, что
Ех = Ег = 0; НХ = НУ = О; Еу = Е(х, f)\ Нг = Н(х, /).
(6.50)
Подставив выражения (6.50) в систему четырех урав-
нений Максвелла (6.44) — (6.47), получим систему двух
дифференциальных уравнений:
дЕ
дх
дН
= -ИоИ—;
(6.51)
дЕ
— еое df .
уравнение продифференцировать
дН
дх
Если далее первое
по х и воспользоваться вторым уравнением, то сразу по-
лучим волновое уравнение для напряженности Е:
&Е д2Е
Если плоская поперечная волна распространяется в
произвольном направлении, определяемом волновым век-
тором к, то Е = Е (х, у, г), и уравнение (6.52) можно ком-
пактно записать, воспользовавшись оператором Лапласа
(А = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2)\
(6.52)
— v2AE = 0—волновое уравнение для Е;
v = 1 /^/еоецор- — скорость электромагнит-
ной волны.
(6.53)
Аналогично получается волновое уравнение для напря-
женности Н магнитного поля (см. задание 6.14):
^2 уу
-^2--v2A// = 0 — волновое уравнение для И. (6.54)
Если электромагнитное излучение распространяется
в вакууме (е=1, ц=1), то скорость электромагнитной
волны равна скорости света [см. формулу (1.14)]:
Увак
(6.55)
233
Поэтому фундаментальное выражение для скорости элек-
тромагнитной волны v в среде, полученное Максвеллом,
можно переписать в виде
v = —-----соотношение Максвелла.
(6.56)
Задание 6.13. Покажите, что электромагнитная волна не может
быть продольной.
Указание. Предположите, что электромагнитная волна явля-
ется продольной и убедитесь, что уравнения такой волны не являются
решением системы уравнений Максвелла [см. уравнения (6.44) —
(6.47)].
Ответ. В этом случае получается, что Ех и Нх должны быть по-
стоянными, т. е. такое поле не является волной.
Задание 6.14. Получите волновое уравнение для напряженности
магнитного поля.
Указание. Используйте систему (6.51) и действуйте аналогич-
но тому, как это делалось при получении уравнения (6.52).
Ответ. См. уравнение (6.54).
Задание 6.15. Установите связь между амплитудными значениями
Ео и Но.
Указание. Подставьте соотношение (6.48) в одно из уравнений
системы (6.51) и примите во внимание известное соотношение для вол-
нового числа k (k = 2л/Х = w/v).
Ответ. Е^ = Ео^/гЦЁ = //о^НоЙ- (6.57)
Задание 6.16. Покажите, что вектор Умова — Пойнтинга может
быть представлен в виде векторного произведения векторов Е и Н.
Указание. Модуль вектора Умова — Пойнтинга равен плотно-
сти потока энергии электромагнитной волны, т. е. S = wv, где w — объ-
емная плотность энергии волны (аналогичный вектор для упругих волн
в среде носит название вектора Умова — см. §9.2 в первой части
пособия). Воспользуйтесь формулами (4.37) и (4.120), а затем полу-
ченное выражение для объемной плотности энергии волны w = we + wm
подставьте в формулу для модуля вектора S (S = wu). Выполните необхо-
димые преобразования, учитывая соотношение Максвелла для скоро-
сти v [см. формулу (6.56)] и условие, связывающее модули векторов
Е и Н [см. формулу (6.57)].
Ответ. Поскольку Е ± Н ± v, вектор S может быть записан в ви-
де S=EXH [см. формулу (6.22)].
Радиоволноводы и световоды. Выше были рассмотре-
ны особенности распространения электромагнитного поля
234
Таблица 6.2
Диапазоны волн по длине X и частоте v Радиоволны Световые волны Рентгеновские лучи у-излучение
инфракрас- ные видимый свет ультра- фиолетовые
X, М 3- 103 — 5- 10“5 5 . Ю-" — 7.6 • 10~7 — 4 • 10-7 — 10“’ 2 • 10~9 — 6 • 10-12 10~'°— 10~13
V, Гц 105 —6- 1012 6- 10" —3.9-1014 —7.5-1014 —3-1017 1.5 - 10'7 — 5 - 10'9 3- 10'8 —3- ю21
Источники ВОЛН и основные способы их возбуждения Переменный ток в проводниках и электронных пото- ках Излучение быстрых заряженных частиц. Электронные переходы в атомах и молекулах, возбуждаемые тепловыми и электрическими взаимо- действиями Атомные про- цессы при взаимо- действии электро- нов и ядерных ча- стиц с веществом Ядерные превра- щения
Примечание. Границы между диапазонами в шкале электромагнитных волн в ряде случаев условны, т. е. диапа-
зоны волн могут перекрывать друг друга.
235
(волны) в диэлектрической непроводящей безгранич-
ной среде. Поэтому полученные выводы не носят все-
общего характера. При распространении волн вдоль гра-
ницы раздела двух сред свойство поперечности электро-
магнитных волн нарушается. Такие волны называются
продольно-поперечными, так как один из векторов (Е или
Н) будет иметь продольную составляющую. В частности,
такие волны распространяются в волноводах.
Волноводы — это устройства, предназначенные для
создания направленного распространения звуковых (аку-
стических) или электромагнитных волн (см. шкалу волн
в табл. 6.2).
Наиболее широкое распространение получили прямо-
угольные и цилиндрические волноводы, представляющие
собой металлические трубы (соответственно прямоуголь-
ного или кругового сечения), а также диэлектрические
стержни или каналы в диэлектриках. Одним из примеров
разнообразных волноводов является световод, т. е. опти-
ческий волновод в виде тонкой нити, сердцевина которой
имеет показатель преломления больше, чем оболочка.
В результате полного внутреннего отраже-
ния света от границы раздела (см. § 7.2) можно световую
энергию передавать без значительных потерь на большие
расстояния. Распространение света по световодам изуча-
ется в специальном разделе физики, который называется
вол< конной оптикой. Световоды используются в оптиче-
ско связи, медицинских приборах (например, для осве-
щения желудка), в ядерной физике, фототелеграфии, вы-
числительной технике и т. д.
Современная физика — это своего
рода двуликий Янус. С одной сторо-
ны, это наука с горящим взором, ко-
торая стремится проникнуть в глубь
великих законов материального мира.
С другой стороны, это фундамент
новой техники, мастерская смелых
технических идей, опора обороны и
движущая сила непрерывного индуст-
риального прогресса.
Л. А. Арцимович
II. ОПТИКА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ,
ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ
Оптика (от гр. optike — наука о зрительных восприя-
тиях) представляет собой раздел физики, в котором изуча-
ются процессы излучения света, его распространения в
различных средах и взаимодействия света с веществом.
При рассмотрении разнообразных световых явлений
приходится иметь дело с рядом энергетических характе-
ристик электромагнитного излучения. Они введены в § 7.1,
посвященном вопросам фотометрии и геометрической оп-
тики. Основные законы лучевой, т. е. геометрической, оп-
тики, лежащие в основе работы многих оптических при-
боров, изложены в последующих параграфах гл. 7.
В настоящее время установлено, что любое электромаг-
нитное излучение, в частности световое, в ряде явлений
(интерференция, дифракция, дисперсия, поляризация)
ведет себя как электромагнитные волны с длинами в ин-
тервале от 400 до 780 нм (см. шкалу электромагнитных
волн в заключительной главе раздела «Электричество
и магнетизм»), а в других случаях (тепловое излучение,
фотоэффект, эффект Комптона) свет проявляет себя как
поток фотонов, т. е. квазичастиц (корпускул), обладаю-
щих определенными значениями энергий и импульса.
Волновые и корпускулярные свойства света
рассматриваются соответственно в гл. 8 и 9 этого раздела.
237
Перед человеком к разуму три пути:
путь размышления — это самый бла-
городный; путь подражания — это са-
мый легкий; путь личного опыта —
самый тяжелый.
Конфуций
7. ФОТОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
В этой главе будут рассмотрены основные энергетиче-
ские и световые (визуальные) характеристики электро-
магнитного излучения (поток излучения Ф; сила света /;
освещенность Е, т. е. облученность поверхностей тел; све-
тимость /?, или излучательность; яркость В источника све-
та, а также основные законы геометрической оптики:
1) закон прямолинейного распространения света;
2) закон отражения света от зеркальной поверхности;
3) закон независимости световых пучков;
4) закон преломления света на границе двух прозрач-
ных сред.
7.1. Основные фотометрические величины
и их единицы
Задача фотометрии. Фотометрия представляет собой
совокупность методов измерения энергетических характе-
ристик электромагнитного излучения и световых величин,
в том числе измерения интенсивности излучений и потоков
заряженных частиц в зависимости от степени почернения
светочувствительных слоев. Исходным понятием является
поток энергии Фэ, который выражается через вектор Умо-
ва — Пойнтинга для монохроматических волн (см. § 6.3).
Он численно равен энергии, переносимой монохроматиче-
ской волной в единицу времени через площадку AS*, пер-
пендикулярную к скорости v распространения волны [S —
вектор Умова — Пойнтинга, см. формулу (6.22)]:
ФД) = -АЕ= <s> • ДЗ*=ИФэ] = I Дж -с-1 = 1 Вт.
(7.1)
Энергетический поток и функция распределения энер-
гии света по длинам волн. Всякая электромагнитная вол-
на, в том числе и световая, при распространении переносит
определенную энергию. Причем реальная световая волна
представляет собой суперпозицию многих волн различных
238
Рис. 7.1
длин X, заключенных в определенном интервале спектра.
Распределение энергии по длинам волн X оказывается
неоднородным и поэтому может быть охарактеризовано
соответствующей функцией распределения:
<р(Х)= — функция распределения
энергии,
(7.2)
где б/Фэ — поток энергии, переносимой волнами с длинами
в интервале от X до X + dk.
Полный поток энергии Фэ, переносимой волнами, за-
ключенными в конечном интервале длин от Xi до Х2, опреде-
ляется путем интегрирования функции <р (X):
Хг
Фэ(Х1Хг) = $<p(X)dX — энергетический поток.
Х|
(7.3)
В ряде случаев энергетический поток, определяемый фор-
мулой (7.3), называют потоком излучения или лучистым
потоком.
Сила света — энергетическая характеристика источ-
ника света. Понятие силы света как физической величины
наиболее доступно воспринимается на примере точечного
источника света (рис. 7.1). Под ним понимают источник
S*, размерами которого можно пренебречь по сравнению
с расстоянием до точки наблюдения, т. е. приемника света
в точке Р. В однородной изотропной среде волна, излучае-
мая точечным источником, будет сферической. Энергети-
ческая сила света 13 определяется соотношением
<*Ф, п т
-------сила света источника, [/,] =
dQ = 1 Вт/ср,
(7-4)
239
т. е. она численно равна энергетическому потоку, который
посылается источником в единицу телесного угла
Q ([Q] = 1 ср (стерадиан — одна из двух дополнитель-
ных* единиц в СИ). Вообще говоря, сила света /э за-
висит от направления излучения. Если же сила света не
зависит от направления излучения, то такой источник на-
зывается изотропным. Для него сила света равна полному
потоку энергии Фэ источника, деленному на 4л (Q = 4л —
полный телесный угол):
/э = фэ/(4л) — для изотропного источника.
(7-5)
В случае неизотропного источника соотношение (7.5)
определяет среднюю силу света источника. Отметим, что
полный поток энергии Фэ характеризует излучающий
источник, и его нельзя увеличить никакими оптическими
системами. Действие таких систем сводится лишь к пере-
распределению этого потока, т. е. к увеличению его в одном
направлении за счет уменьшения в другом (например,
с помощью прожекторов, абажуров ламп и других приспо-
соблений).
Освещенность — характеристика степени освещения
поверхности. Освещенность, или облученность, Е3 некото-
рой поверхности определяется как отношение падающего
на нее потока энергии Ф£аА к величине этой поверхности
S, т. е.
Еэ = —те---освещенность поверхности,
dS [£]= 1 Вт • м-2.
(7-6)
В случае точечного изотропного источника света легко
установить связь между освещенностью Е3 и силой света /э.
Из рис. 7.1 видно, что телесный угол dQ = dS±/r2 =
= dS cosa/r2. Следовательно, поток б/Ф"аА = /э^Й и для
освещенности Е3 получим следующее соотношение:
* Напомним, что основными единицами СИ являются метр, кило-
грамм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела, а дополнительными —
радиан (единица плоского угла) и стерадиан — единица телесного
угла.
240
г Д cos а
Еэ =----$-----закон обратных квадратов
г для £э.
(7.7)
Из выражения (7.7) следует, что освещенность, созда-
ваемая точечным источником, прямо пропорциональна
косинусу угла, образуемого направлением потока световой
энергии и нормалью к освещаемой поверхности dS, и об-
ратно пропорциональна квадрату расстояния г2 от источ-
ника до этой поверхности.
Светимость и яркость — характеристики протяженных
источников света. Протяженный, т. е. неточечный, источ-
ник характеризуют светимостью R3 (излучательностью)
различных его участков, понимая под этой величиной отно-
шение потока энергии, испускаемой площадкой поверх-
ности dS по всем направлениям (0^0^ л/2), к величине
этой площадки (рис. 7.2, а):
^фисп
Кз = —------светимость поверхности источ-
ника, [/?э]= 1 Вт-м-2.
(7.8)
Если светимость /?э характеризует излучение или отра-
жение света поверхностью dS по всем направлениям
в телесном угле Q = 2л (полусфера), то яркость В опре-
деляется потоком энергии, посылаемым в данном на-
правлении единицей видимой поверхности dS\ =
= dS cos 0 внутри единичного телесного угла (рис. 7.2, а,
б), т. е.
^фксп
B^=rfScose.rfQ-HpKOCTb поверхности
источника в заданном
(7-9)
направлении.
Яркость — величина, зависящая от направления, опре-
деляемого углом 0, т. е. от положения точки Р (х, у, z) по
отношению к поверхности dS источника. Однако суще-
ствуют такие источники, яркость которых от направления
241
не зависит. Это так называемые ламбертовские* источники
(например, абсолютно черное тело, см. § 9.2).
Можно показать (см. задание 7.1), что для ламбертов-
ских источников светимость /?э и яркость Вэ связаны со-
отношением
/?э = лВэ — для ламбертовских источников.
(7.Ю)
Описанные выше энергетические величины, характе-
ризующие источники света и их излучение, могут быть
измерены специальными приборами, регистрирующими
энергию, передаваемую им распространяющейся световой
волной (фотоэлементы, болометры** и др.).
Одной из важнейших особенностей света является
его воздействие на человеческий глаз, который является
единственным «естественным» прибором среди ряда тех-
нических приспособлений, используемых в фотометрии.
Глаз человека обладает в сильной степени избиратель-
ной чувствительностью к энергии световых волн
различной длины X. Поэтому, помимо энергетических,
вводятся световые характеристики.
Световые характеристики источников света и их излу-
чения. Чувствительность глаза к свету различной длины
* Названы по имени немецкого ученого И. Ламберта (1728—1777).
♦♦ Болометр — от греческого bole — бросок, луч и metreo — из-
меряю — тепловой неселективный приемник оптического излучения, ос-
нованный на измерении электрического сопротивления термочувстви-
тельного сопротивления при его нагревании вследствие поглощения
измеряемого потока излучения.
242
Рис. 7.3
волны можно охарактеризовать с помощью кривой, кото-
рая определяет относительную спектральную чувствитель-
ность* (кривая видности) (рис. 7.3), из которой видно,
что максимальной чувствительностью и(Х) глаз человека
обладает для длины волны зеленого цвета Х3 = 555 нм
(у(Х3)= 1). Для характеристики интенсивности света с уче-
том избирательной (селективной) чувствительности глаза
вводится понятие светового потока Фс. Элементарный
световой поток можно определить как произведение пото-
ка энергии б/Фэ на соответствующее значение функции
и(1):
^фс = б/фэи(Х). (7.11)
Полный световой поток Фс может быть выражен [см.
соотношение (7.2)] через функцию распределения энергии
по длинам волн:
Фс = $ u(X)q?(X)dX — световой поток.
(7.12)
Поскольку чувствительность и(Х) — величина безраз-
мерная, размерность светового потока совпадает с раз-
мерностью потока энергии. Различие состоит в том, что
световой поток Фс воспринимается глазом как поток энер-
гии, скорректированной по зрительному (физиологическо-
му) ощущению.
Все другие световые (визуальные) характеристики
света и его источников определяются так же, как и энерге-
тические. Они связаны аналогичными соотношениями,
однако для них применяются специальные единицы. В ка-
честве основной в СИ принята кандела (кд; от лат. cande-
la— свеча). По определению, кандела равна силе света
* Значения относительной спектральной чувстви-
тельности глаза обратно пропорциональны энергиям монохрома-
тических излучений, дающих одинаковые зрительные ощущения.
243
в заданном направлении источника, испускающего мо-
нохроматическое излучение частотой 540- 1012 Гц, энерге-
тическая сила света которого в этом направлении со-
ставляет 1/683 Вт/ср.
Единицей светового потока Фс является люмен
(лм; от лат. lumen — свет). Он равен световому потоку,
излучаемому изотропным точечным источником с силой
света 1 кд в пределах телесного угла 1 стерадиан:
J(Dc = /cdQ=^l лм = 1 кд-1 ср. (7.13)
Известно, что при длине волны зеленого цвета X =
= 555 нм световой поток 1 лм равен энергетическому
потоку 0,00146 Вт.
Единицей освещенности Ес служит люкс (лк; от
лат lux — свет):
£c = dOc/dS^[£c]= 1 лм-м-2= 1 лк. (7.14)
Светимость и яркость Вс изменяются соот-
ветственно в люменах и канделах на квадратный метр:
Rc = d®*cn/dS=> [/?с] = 1 лм • м-2;
Bc = dOcHcn/(dScos0dQ)=>[Bc]= 1 кд,-м-2. (715)
Для измерения световых величин применяются спе-
циальные приборы — фотометры*. Фотометры делятся на
два класса — субъективные (визуальные), где прием-
ником света служит глаз человека, и объективные,
где свет падает на фотоэлемент. Существует несколько
разновидностей фотометров, однако в основу работы всех
их положен принцип сравнения неизвестного светового
потока Фс с эталонным.
Задание 7.1. Установите связь между светимостью Rc и яркостью
Вс для ламбертовских источников света.
Указание. Поскольку светимость характеризует излучение по
всем направлениям, для установления связи светимости Rc с яркостью
Вс нужно соотношение (7.9) проинтегрировать по всем телесным углам
Q в полупространстве. Тогда /?с = dOccn/rfS = Jbc(0)cos 0dQ. При
взятии интеграла учтем, что dQ = sin 0d0tftp, где 0 и ф — угловые коор-
динаты точки в сферической системе. Интегрирование проводится в пре-
делах по ф от 0 до 2л и по 0 от 0 до л/2.
Ответ. См. формулу (7.10).
* Отметим, что интенсивность излучения и потоков заряженных
частиц измеряется и по степени почернения фотопластинок.
244
7.2. Законы геометрической оптики
Основные понятия. Важнейшим понятием геометри-
ческой оптики является понятие луча, т. е. линии, вдоль
которой распространяется световая энергия. Среднее по
времени значение вектора Умова — Пойнтинга* (S)
определяет вектор плотности потока энергии, который
направлен в каждой точке по касательной к лучу. В изо-
тропных средах направление вектора (S) совпадает с
нормалью к волновой поверхности света, т. е. с направ-
лением волнового вектора к. В анизотропных средах
нормаль к волновой поверхности в общем случае не совпа-
дает с направлением луча. Отметим, что понятием луча
можно пользоваться в тех случаях, когда явлениями,
связанными с дифракцией света (волн), можно прене-
бречь (см. § 8.2).
Для характеристики изотропной среды, в которой
распространяется свет, вводится понятие показателя пре-
ломления**. Абсолютный показатель преломления п =
= с/и, где с — скорость света в вакууме; v — его фазо-
вая скорость в данной среде. Относительным показателем
преломления П21 называется отношение абсолютного пока-
зателя второй среды к абсолютному показателю первой,
т. е. И21 =П2/п\. Среда с большим показателем преломле-
ния называется оптически более плотной. На границе
раздела двух прозрачных сред происходит частичное от-
ражение и частичное прохождение света в другую среду.
Причем отражение света имеет место, независимо от того,
переходит свет из оптически менее плотной среды в опти-
чески более плотную или наоборот. Угол между падаю-
щим лучом и перпендикуляром, восставленным в точку
падения, называется углом падения а. Аналогично опре-
деляются углы отражения (у) и преломления (0) света
(рис. 7.4).
Закон отражения света. В результате экспериментов
установлено, что угол отражения у равен углу падения а;
лучи падающий и отраженный находятся в одной плос-
кости с перпендикуляром, опущенным на поверхность раз-
дела сред в точку падения.
Применим закон отражения света для построения изоб-
* S = EX Н — см. формулу (6.22).
** Показатели преломления некоторых веществ приведены в
табл. III.13 прил.. III.
245
Рис. 7.4
ражения в плоском зеркале (рис. 7.5). Пусть источник Д*
имеет малые размеры по сравнению с расстоянием h от
него до зеркала М. Рассмотрим два произвольных луча 1
и 2, исходящих из точки Д*. Согласно закону отраже-
ния света, yj = ai и у2 = а2- Легко доказать, что прямо-
угольные треугольники Д*СО и A*'CD равны друг другу.
Аналогично AA*BD = AA*'BD. Отсюда следует, что
A*D = DA*', т. е. изображение А*' светящегося точеч-
ного предмета Д* в плоском зеркале расположено сим-
метрично и является мнимым, так как в точке А*' пере-
секаются не сами отраженные лучи Г и 2', а их продол-
жения (/" и 2"). Оно находится на том же расстоянии
за зеркалом, что и сам предмет перед зеркалом. Легко
убедиться непосредственным построением, что любые
лучи, исходящие из точки Д*, после отражения от зеркала
определят положение мнимого изображения в той же
точке Д*'.
Отражение света от сферической поверхности. В ка-
честве второго примера рассмотрим отражение света от
вогнутого сферического зеркала (рис. 7.6). Для простоты
ограничимся рассмотрением параксиальных лучей, т. е.
лучей, которые распространяются узким пучком вблизи
оси зеркала. Ось зеркала проходит через точечный источ-
ник Д* и центр кривизны С зеркала BD. Малые значения
углов ф, образованных параксиальными лучами с осью z,
позволяют заменить их синусы и тангенсы самими углами
(sin ф ~ ф, tg ф ~ ф). Из рис. 7.6 видно, что в соответствии
с законом отражения луч Д*М, падающий в точку М под
углом а, отражается под тем же углом (СМ — нормаль
к поверхности зеркала в точке падения луча). Луч света,
идущий вдоль оси z, отразится в точке О (О — зершина
246
Рис. 7.6
зеркала) и будет распространяться в обратном направле-
нии, т. е. противоположно оси z. Он пересекается в точке
Д*' с отраженным в точке М лучом Л4Д*'. Для выполнения
дальнейших расчетов сформулируем правила знаков
для углов и расстояний, определяющих положения точек
247
по отношению к вершине О зеркала. Расстояния бу-
дем считать положительными, если они отложены от
вершины О в положительном направлении осей
у (вверх) и z (на рис. 7.6 вправо, т. е. по направлению
падающих лучей). Таким образом, для вогнутого зеркала
величины a, b, f, г и h отрицательны, так что соответствую-
щие им отрезки должны быть записаны в следующем
виде:
Д*О= — а\ СО = -г- А*'О = -b; FO=-f. (7.15а)
Все углы отсчитываются от положительного направ-
ления оси z или нормалей п к поверхности зеркала BD,
причем углы, отсчитанные по ходу часовой стрел-
ки, считаются положительными (углы <рь ф2, фз и у
больше нуля), а у гл ы, отраженные п р от и в хода ча-
совой стрелки, будут отрицательными (а<0).
В связи с таким выбором знаков окажется, что получен-
ные здесь результаты будут пригодны не только для вогну-
того (см. рис. 7.6), но и для выпуклого зеркала (см. зада-
ние 7.2). Для внешних углов треугольников А*СМ и
А*'СМ в случае вогнутого зеркала запишем:
П)2 -1- ( 0^)1 I п
фз = ф2 + (-a)W - ^ = <₽2 - ф.+ фз = 2ф2
Поскольку углы малы (параксиальные лучи), ф) ~
~hja, yz — h/r, ^з — h/b. Выражения для углов подста-
вим в последнее из соотношений (7.16):
h_,h_=2h l,_l_ = _2_
а ’ b г а ’ b г '
(7.17)
Определим положение точки пересечения лучей, па-
дающих от бесконечно удаленного источника (а= — оо),
изображение которого совпадает с главным фокусом F.
После подстановки а = — оо и b = f в выражение (7.17)
находим фокусное расстояние f:
1
— оо
г
У*
(7.18)
В данном случае фокус F определяет положение дей-
ствительного изображения бесконечно удален-
ного источника света [напомним, что м н и м ое изобра-
жение находится в точке пересечения линий, являющих-
248
ся продолжением отраженных лучей (см. рис. 7.5 и 7.7)].
С учетом найденного соотношения для f(f = г/2) получим
-f— формула для сферического
I зеркала.
(7.19)
Формула (7.19) справедлива не только для вогнутого
(а, Ь, г, f < 0), но и для выпуклого зеркала (а<0; Ь, г,
f>0).
Задание 7.2. Получите формулу для выпуклого сферического зер-
кала (рис. 7.7).
Указание. При определении связи между углами фь фг и фз сле-
дует учесть, что изображение Л*' мнимое (Ь, г > 0), а угол ф1 <0.
Ответ. Формулы для выпуклого и вогнутого зеркал совпадают
[см. формулу (7.19)].
Закон преломления света. На основании эксперимен-
тальных данных получен закон преломления света на гра-
нице двух прозрачных изотропных сред (рис. 7.8, а). Он
гласит, что преломленный луч ВС лежит в одной плоско-
сти с падающим лучом АВ и нормалью, восставленной
в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу
угла преломления есть величина постоянная для данных
сред и равная отношению показателя преломления второй
среды к показателю преломления первой.
Учитывая связь показателя преломления света со ско-
ростью его распространения в среде (n = c/v), запишем:
sm а п2 sin а ui
= —=> =-------закон преломле-
Sin 8 П\ Sin В V2
ния света.
(7.20)
Выражение (7.20) учитывает свойство обратимости
хода световых лучей, сущность которого состоит в том, что
если пустить световой луч из второй среды в первую по
направлению СВ, то преломленный луч в первой среде
пойдет по пути В А. При переходе света из оптически ме-
нее плотной среды (п\ Сиг) в более плотную получается
[см. закон (7.20)], что sin а > sin 0, т. е. угол преломле-
ния р меньше угла падения а. Если же луч 1 (рис. 7.8, б)
переходит из среды, оптически более плотной, в менее
плотную (Hi >и2), то преломленный луч Г удаляется от
249
Рис. 7.8
перпендикуляра к границе сред (0>а). При увеличении
угла а угол 0 будет увеличиваться быстрее, так что при
некотором предельном угле падения апр угол преломления
станет равным л/2. С помощью закона преломления можно
рассчитать значение этого угла:
sin апр
sin л/2
112 • Г12
= —=>апр = arcsin —.
П1 И П1
(7.21)
В этом предельном случае преломленный луч будет
скользить по границе раздела сред*. При углах падения
а >> апр свет не проникает в глубь оптически менее плотной
среды, имеет место полное внутреннее отражение. Угол
* В пределе при а-^апр угол 0->-л/2, а интенсивность / прелом-
ленного луча стремится к нулю, так что свет отражается полностью
от менее плотной среды.
250
апр называется предельным углом полного внутреннего
отражения.
Если с учетом условия (7.21) воспользоваться прин-
ципом обратимости световых лучей, то можно убедиться,
что световые лучи (рис. 7.8, в), падающие в точку В под
всевозможными углами от нуля до л/2, будут после пре-
ломления распространяться во второй среде внутри кону-
са с углом при вершине, равным 2апр.
Явление полного внутреннего отражения находит ши-
рокое применение на практике (в бинокле, перископе, реф-
рактометре, световодах и т. д.).
Задание 7.3 (преломление в плоскопараллельной пластинке). До-
кажите, что луч CD, выходящий из плоскопараллельной стеклянной
пластинки (рис. 7.9, а), параллелен падающему на пластинку лучу АВ.
Указание. Воспользуйтесь свойством обратимости хода световых
лучей или законом преломления световых лучей на границе воздух —
стекло и стекло — воздух и определите углы р и у.
Задание 7.4 (преломляющая призма). Определите угол 0 (рис.
7.9, б) отклонения луча света при его прохождении через трехгранную
стеклянную призму PQR с преломляющим углом ф при вершине Q. Угол
падения луча на левую грань PQ равен а. Докажите, что в случае, если
отрезок ВС луча в призме параллелен основанию PR, то угол отклоне-
ния 0 будет минимальным.
Указание. Воспользуйтесь геометрическими соотношениями
между углами, которые следуют из рассмотрения треугольников ВМС
и BNC, и получите выражение для угла 0. С помощью закона преломле-
ния света выразите углы а и ои через угол р. Затем полученную функцию
0 = f(Р) исследуйте на экстремум.
Ответ. 0 = a + oti—<р. Если р = ф/2, то угол 0 минимален, а
(Xi = а.
Оптическая длина пути и принцип Ферма. Свет распро-
страняется прямолинейно лишь в случае однородных сред.
251
Согласно закону преломления, при переходе света из од-
ной среды в другую лучи преломляются. При распростра-
нении света в неоднородной среде, где показатель пре-
ломления меняется непрерывно, лучи света, постепенно
изгибаясь, образуют кривые линии. Чтобы убедиться в
этом, достаточно рассмотреть ход лучей света в среде с
дискретным изменением показателя преломления (рис.
7.10). Предположим, что луч последовательно проходит
через ряд плоскопараллельных пластинок со все возра-
стающим показателем преломления (п\< П2 < пз). На
каждой границе луч будет испытывать преломление, при-
чем pi > р2 > рз. В результате путь луча представляет
собой ломаную линию, которая в случае неоднородной сре-
ды будет иметь вид некоторой непрерывной кривой линии.
Для объяснения закона преломления и искривления лучей
введем понятие оптической длины пути L луча. В случае
однородной среды оптическая длина пути L равна произ-
ведению показателя преломления п на длину геометри-
ческого пути I: L = nl(l = АВ, ВС, CD). Если среда неодно-
родная, то оптическая длина пути равна пределу суммы
оптических длин путей AL = нА/, т. е. интегралу J ndl,
вычисленному вдоль искривленного участка луча между
некоторыми двумя его точками:
L = nl, L = \ndl —оптическая длина пути лу-
ча соответственно для од-
нородной и неоднородной
сред.
(7.22)
252
a
В 1660 г. французским математиком и физиком П. Фер-
ма (1601 —1665) был установлен принцип экстремально-
сти для оптической длины пути луча, распространяюще-
гося в неоднородных прозрачных средах. Утверждается,
что оптическая длина пути луча в среде между двумя за-
данными точками А и В минимальна (рис. 7.11, а), или
максимальна (рис. 7.11, б), или стационарна* (рис.
Поскольку dL = ndl = vdt = cdt, условие экстре-
мальности для оптической длины пути L эквивалентно
экстремальности промежутка времени /, который требуется
свету для прохождения вдоль луча из одной точки в
другую:
L и t — экстремальны — принцип Ферма. (7.23)
* В этом случае оптическая длина пути не зависит от положения
точки падения луча на зеркало (точка D на рис. 7.11, в).
253
Пример 7.1 (вывод закона преломления из принципа Ферма). По-
кажем, что реализуемая в действительности оптическая длина пути луча
между двумя заданными точками А и В экстремальна (рис. 7.12); пока-
затели преломления п\, П2 и координаты точек А и В фиксированы.
Решение. Поскольку AD = д/х2 + Л?, a BD = — х)2 + Аг,
оптическая длина пути луча ADB
L(x) = niAD + nzBD = пгд/х2 + А2 + П2\](Ь — х)2 + Аг. (7.24)
С помощью принципа Ферма (dL/dx = 0) получим уравнение
П'Х - ^Ь~х> = 0. (7.25)
-\/*2 + Л1 — х)2 + Л2
Из рис. 7.12. видно, что sin а = х/ух2 + A2, sin 0 = (А —
-x)/V(b-x)2 + fti, где а и 0 — соответственно углы падения и пре-
ломления света. Поэтому уравнение (7.25) можно переписать в следую-
щем виде:
. п sin а п2
П\ Sin а = П2 sin 0=>—:—— = —.
Sin 0 П1
Таким образом, закон преломления света удовлетворяет принципу
Ферма, причем очевидно, что оптическая длина пути луча ADB мини-
мальна (см. задание 7.5).
Задание 7.5. Покажите, что оптическая длина пути луча, опреде-
ляемая формулой (7.24), принимает минимальное значение при выпол-
нении закона преломления.
Указание. Определите знак второй производной d2L/dx2 в точке
x = xD (см. рис. 7.12), т. е. в точке, удовлетворяющей уравнению (7.25).
254
Задание 7.6. С помощью принципа Ферма получите закон отра-
жения света от границы раздела двух прозрачных сред (рис. 7.13).
Указание. Используя геометрические построения, покажите,
что геометрическая длина пути ADB меньше любого другого пути AD'B,
т. е., согласно принципу Ферма, оптическая длина пути L = n(AD-\-
+ DB) = min при у = а — закон отражения.
7.3. Линзы и их использование
Преломление света на сферических поверхностях. Сфе-
рические преломляющие поверхности являются наиболее
распространенными поверхностями, которые ограничи-
вают оптические стекла (линзы) — основные детали опти-
ческих приборов.
Рассмотрим преломление лучей на сферической по-
верхности радиусом г (рис. 7.14), которая разделяет две
прозрачные однородные среды с показателями преломле-
ния п и п'. Проведем главную оптическую ось
(см. § 7.2), под которой здесь будем понимать прямую,
проходящую через источник света в точке Л* и центр кри-
визны С преломляющей поверхности BD.
Для определения алгебраических значений углов и на-
правленных отрезков воспользуемся правилом, которое
сформулировано в § 7.2 при рассмотрении отражения све-
та в вогнутом зеркале. В случае параксиальных лучей па-
дающий луч Л*М и преломленный луч МЛ*' образуют
с главной оптической осью и нормалью в точке М малые
углы, что позволяет их синусы и тангенсы приближенно
заменить значениями этих углов. С помощью закона пре-
ломления и рассмотрения треугольников Л*МО, ОМС и
ОМЛ*' получим:
(7.26)
tg( — ф) = — h/S^<f~h/S\
tg ф = h/r=>^ ~ h/r\
tg <р' = ft/S'=xp' ~ h/S'.
(7.27)
Учитывая знаки углов, а также то, что углы а и ф явля-
ются внешними по отношению к треугольникам А*МС и
СМЛ*', запишем два дополнительных соотношения:
— а = ф+(— ф), ф=ф'+( —0),
255
Рис. 7.14
которые позволяют выразить углы аир через геометри-
ческие параметры ft, г, $ и S':
а = ф — 1|,= Л_Л; р = (р'_ф=^__Л. (7.28)
Подставим выражения (7.28) в соотношение (7.26).
Получим
(h h\ ,/h h\ n n' n — n'
т-т) = п(г-т)^т-г = — • (7-29)
Величина D = (n'— n)/r, зависящая только от коэф-
фициентов преломления сред и радиуса их поверхности
раздела, называется оптической силой поверхности. С уче-
том сказанного перепишем соотношение (7.29) в следую-
щем виде:
п'/S' — n/S = D — формула для сфериче- ской преломляющей по- верхности; D = (и' — п)/г — оптическая сила поверх- ности. (7.30)
Из формулы (7.30) следует, что при заданных значе-
ниях D и S все параксиальные лучи, испускаемые точеч-
ным источником Л*, соберутся в одной точке Л*', т. е.
преломляющая сферическая поверхность дает точечное
изображение источника Л*. Если использовать и непарак-
сиальные лучи, то изображение*точечного источника Л*
будет размытым.
256
Рис. 7.15
Найдем место (рис. 7.15, а), где соберутся параксиаль-
ные лучи от бесконечно удаленного источника А*. Для
этого положим S = — оо, a S' = f' и, подставив их в фор-
мулу (7.30), получим значение величины f'y определяющей
положение точки F', т. е. второго главного фокуса пре-
ломляющей поверхности BD:
f' = г — второе главное фокусное рас-
стояние.
(7.31)
Положение первого главного фокуса F найдем, поме-
стив источник света Л* на расстоянии S'=+oo, т. е.
справа от поверхности BD (рис. 7.15, б). Для f = S при
S = оо получим
f=------7~z~r — первое главное фокусное
расстояние.
(7.32)
С помощью формул (7.31) и (7.32) определим отноше-
ние главных фокусных расстояний:
f'/f = —n'ln.
Оно пропорционально отношению показателей прелом-
ления сред, в которых лежат соответствующие фокусы.
Введем в формулу (7.30) главные фокусные расстоя-
ния. Для этого разделим левую и правую части этой фор-
мулы на оптическую силу D преломляющей поверхности
(Ь = (и' — п)/г) и примем во внимание соотношения
(7.31) и (7.32):
n'r J пг 1 = , г । L
п'— п S' п' — п S S' ' S
(7.33)
257
Нормаль
7/ЧЗ<0
п‘
п
Л>о
Ч><0
-S
Рис. 7.16
\С -центр
7)>\^ерь/
о I
В заключение отметим, что от закона преломле-
ния света [см. формулу (7.20)] можно формально пе-
рейти к закону отражения, если учитывать сформу-
лированное в§ 7.2 правило знаков для углов, отсчи-
тываемых от нормали к поверхности раздела сред. По-
скольку а < 0, у > 0, для этого нужно в законе (7.20) по-
ложить И2= —nt, а Р = у (у — угол отражения). Тогда
sin а
sin у
= — 1=> sin а = — sin у=>у = — а.
Применив этот же прием к формулам (7.31), (7.32) и
(7.33), т. е. положив в этих соотношениях п' = — и, полу-
чим f'=f = r/2 и 1 /S + 1 /3' = 2/г (см. формулы (7.17) —
(7.19) для сферического зеркала).
Поскольку для плоского зеркала радиус кривизны
г = оо, из последнего соотношения следует, что S' = —S,
т. е. изображение в плоском зеркале оказывается, как это
и должно быть, мнимым и расположенным на том же рас-
стоянии за зеркалом, что и предмет перед ним.
Задание 7.7. Постройте изображение светящейся точки Л* для
выпуклой преломляющей сферической поверхности (рис. 7.16) и
получите формулу для нахождения положения изображения Л*'.
Указание. Выполните построения и расчеты, аналогичные тем,
которые привели к формуле (7.29). Прн этом следует учесть, что изоб-
ражения Л*' является мнимым.
От в ет. Формулы для в о г н у то й и выпуклой поверхностей
совпадают.
Линзы собирающие и рассеивающие. Оптические лин-
зы представляют собой тела из прозрачного вещества,
258
Рис. 7.17
ограниченные плоскими сферическими либо цилиндриче-
скими поверхностями. При изготовлении линз обычно
используют стекло для видимого света, кварц для ультра-
фиолетовой части спектра и каменную соль или кварц для
инфракрасных лучей. Ограничимся далее рассмотрением
тонких сферических линз, для которых расстояние между
преломляющими поверхностями мало по сравнению с рас-
стояниями от линзы до объекта и его изображения. Неко-
торые типы используемых собирающих и рассеивающих
линз изображены на рис. 7.17. У собирающих линз сере-
дина толще (рис. 7.17, a, б, в), у рассеивающих (рис. 7.17,
г, д, е) — тоньше, чем их края.
Формула тонкой линзы. В случае тонких линз (рис.
7.18) вершины О\ и Ог их сферических поверхностей рас-
положены близко друг от друга (по сравнению с расстоя-
ниями до объектов и их изображений). Поэтому вершины
01 и Ог можно считать совпадающими с точкой О, которая
называется оптическим центром линзы. Прямая линия,
проходящая через центры С\ и Сг, называется главной
оптической осью линзы (ось z на рисунке).
259
Предположим, что линза из материала с показателем
преломления п находится, как это чаще всего бывает на
практике, в воздухе, т. е. на первой границе свет переходит
из оптически менее плотной среды (п\ = 1 < п\ = п) в оп-
тически более плотную, а на второй границе — из опти-
чески более плотной (n2 = п> п?= \ ) в оптически менее
плотную среду. Для построения изображения с помощью
линзы будем использовать формулы, полученные ранее
для одной преломляющей граничной поверхности [см. фор-
мулы (7.29) и (7.30)]. Расчеты и построения выполним
в два этапа: сначала для сферической поверхности радиу-
сом г\ с центром С|, а затем для другой поверхности ра-
диусом Г2 с центром Сг-
1. Если бы имелась одна поверхность, то изображение
Л*' точечного источника Л*, расположенного на расстоя-
нии Л*О| = —Si, получилось бы на расстоянии Sf от цен-
тра 01, которое определяется из формулы (7.29) для сфе-
рической преломляющей поверхности (п\ = 1, п{ = п):
fl\ fl\ fl\ fl 1 fl 1 fl 1 / >7 Q Л \
si “ si = Й si “ s?“ “n-’
2. Изображение At' будем рассматривать как объект,
расположенный на расстоянии S2 от вершины О2 второй
преломляющей поверхности. Его изображение Л*' ока-
жется на расстоянии S2 от центра О2, которое также опре-
деляется формулой (7.29). При П2 = п и П2=1 получим
П2 П2 П2 — П2^ 1 П 1— П /'7ОС\
77 — с--------- =^‘ с7 с" ==----- • ( ' )
02 02 Г2 02 02 '2
Поскольку для тонких линз толщина d = 0\02 намно-
го меньше всех других расстояний, можно положить Si =
= S2 + d — S2 и исключить S2 из уравнений (7.34) и
(7.35):
n/S2 — 1/Si = (п— l)/n; 1 1 _ J__ / n /J_________Ц
l/S2 — n/S2 = (1 -п)/гг ) S, —rj-
(7.36)
Аналогично можно расстояния Si и S2 для сферических
поверхностей заменить на соответствующие расстояния
до центра линзы (Si~S, S2 — S') и, используя понятие
оптической силы линзы D = (n — 1)(1 /г\ — 1/г2) и фо-
кусного расстояния f= \/D, переписать уравнение (7.36)
в следующем виде:
260
1 /S' — 1 /S = D — формула тонкой линзы;
D = (n— 1)(гГ* — гГ1)— оптическая сила
линзы;
f=\/D —фокусное расстояние
линзы.
(7.37)
Оптическая сила линзы D измеряется в диоптриях.
Одна диоптрия (1 дптр) равна оптической силе сфериче-
ского зеркала или линзы с фокусным расстоянием 1 м.
Поскольку п всегда больше единицы (п > 1), знак вели-
чины D зависит только от соотношения между радиусами
Г1 и г2 линзы. Если 1 /гj — 1 /г2 > 0, то D > 0, и линза будет
фокусировать параксиальные лучи, исходящие из светя-
щейся точки, также в одну точку (например, точка Д*
в точку Д*' на рис. 7.18). Такая линза будет собирающей.
Если 1 /г 1 — 1 /г2 < 0, то D < 0, и лучи, прошедшие через
такую линзу, не пересекутся в одной точке, так как они
будут расходиться. В этом случае в одной точке пересе-
кутся продолжения этих лучей. Фокус у такой линзы мни-
мый, а линза будет рассеивающей.
Построение изображений предметов. Отметим, что
оптическая система (в частности, линза) лишь в идеаль-
ном* случае будет давать изображение светящейся точки
в виде точки. Такое изображение называется стигмати-
ческим (от гр. stigme — точка). Реальные оптические
системы обладают большей или меньшей степенью асти-
гматизма, т. е. изображение светящейся точки, даваемое
такой системой, получается в виде пятна или отрезка
линии.
Если светящийся предмет неточечный (протяженный),
то получение его правильного изображения требует, что-
бы каждая точка сечения предмета, перпендикулярного
к оптической оси системы, изображалась стигматически.
Кроме того, все точки изображения этого сечения должны
лежать в плоскости, перпендикулярной к оси оптической
системы, а масштаб изображения должен быть одинаков
для всего изображения протяженного предмета**.
* Здесь под идеальностью системы подразумевается, что свет
поступает в нее в виде параксиальных пучков, а показатель преломле-
ния для всех лучей одинаков, т. е. среда не обладает дисперсией
(см. § 8.4) или свет достаточно монохроматичен.
** На рассмотрении разного вида искажений изображений пред-
метов в данном пособии не останавливаемся.
261
Для построения изображения протяженного светяще-
гося предмета с помощью такой идеальной линзы доста-
точно найти точку пересечения каких-либо двух лучей из
трех, ход которых заранее известен (рис. 7.19):
1) луч РМ после прохождения линзы пойдет через
второй главный фокус F'\
2) луч PN, идущий через первый главный фокус F,
после прохождения линзы пойдет параллельно главной
оптической оси;
3) луч РО, проходящий через оптический центр лин-
зы, пойдет без преломления по пути ОР'.
Аналогично можно построить ход лучей от любой точ-
ки предмета АР, в результате чего получим его изобра-
жение А'Р'.
Из рассмотрения подобных треугольников РАО и
ОА'Р' следует, что линейное увеличение предмета 0, да-
ваемое линзой, определяется по формуле
<7-38»
В заключение отметим, что оптические системы, в част-
ности линзы, обладают таутохронизмом. Суть этого свой-
ства оптических систем рассмотрим на примере собираю-
щей линзы (рис. 7.20). Видно, что геометрические пути
лучей, исходящих из точечного источника S* и сходящих-
ся в точке S*' (£*' — изображение источника S*), раз-
личны. Например, геометрический путь луча 2 больше,
чем луча /. Вместе с тем оказывается, что для используе-
мых на практике линз оптические пути L [см. формулу
(7.22)] этих и других лучей одинаковы (п — показатель
преломления материала линзы):
L = S*C + nCD + DS*' = S*A + nAB + BS*'.
262
В связи с этим свет от источника S* до его изображения
S*' распространяется по различным геометрическим пу-
тям за одно и то же время. Такие пути лучей называются
таутохронными (от гр. tauto — то же самое и chronos —
время), т. е. совпадающими по времени.
Задание 7.8. Постройте изображение предмета в собирающей
двояковыпуклой линзе, если он находится между ее фокусом и опти-
ческим центром (см. рис. 7.17).
Указание. Используйте какие-либо два луча из трех, изобра-
женных на рис. 7.19.
Ответ. Изображение предмета увеличенное, прямое и мнимое.
Задание 7.9. Постройте изображение светящегося предмета в слу-
чае рассеивающей двояковогнутой линзы (см. рис. 7.17).
Указание. Используйте два луча, один из которых параллелен
оптической оси, а другой проходит через ее центр. При этом следует
учесть, что фокусы у рассеивающей линзы мнимые.
Ответ. Изображение предмета уменьшенное, прямое и мнимое.
Свет! Всегда Свет! Повсюду свет!
В нем рождаются все. Он содержится
в книге.
В. Гюго
8. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ оптики
В гл. 6 показано, что электромагнитные волны в ва-
кууме распространяются со скоростью света [см. форму-
лу (6.55)], а в среде с диэлектрической е и магнитной ц
проницаемостями скорость таких волн описывается соот-
ношением Максвелла [см. выражение (6.56)]:
с
1
-— ; v
/еоЦ-о
(8.1)
263
Это позволяет, следуя Максвеллу, рассматривать световые
волны как совокупность электромагнитных волн с часто-
тами v и длинами X, лежащими в видимой части шкалы
электромагнитных волн (см. табл. 6.2):
3,9- 1014 Гц< С v < 7,5- 10й Гц | — видимая
760 нм ; >400 нм / часть спектра.
Вдали от источника света, т. е. в дальней — волно-
вой — зоне, векторы напряженностей электрического Е и
магнитного Н полей имеют одинаковые фазы [см. уравне-
ния (6.48)], причем они перпендикулярны друг к другу и
волновому вектору к (й = 2л/Х = <о/у). Это означает, что
световая волна является поперечной (см. рис. 6.10).
С учетом формулы Эйлера (ехр { — йр}= cos ф — i sin <р)
уравнения плоской монохроматической световой волны
(6.48) могут быть записаны в следующем виде:
Е = Ео cos (<о/ — к • г), Н = Но cos (<о/ — к • г). (8.3)
Если волна распространяется вдоль оси х (kx = й, ky =
= йг = 0), то уравнения (8.3) определяют бегущие вдоль
оси х электрические и магнитные волны (рис. 8.1, а
и б):
Е=Ео cos (<о/— йх), 1 Е = Ео cos [<о(/— х/у)]; /я
Н = Но cos (<о/ — kx). J Н = Но cos [<о(/ — х/v)]. ' * '
Волны, изображенные на рис. 8.1 и определяемые урав-
нениями (8.3) или (8.4), называются линейно или плоско-
поляризованными. Следует напомнить, что выражения
(8.4) являются решениями волновых уравнений* [см.
уравнения (6.53) и (6.54)], которые с учетом выражений
(8.1) запишем в несколько другой форме (А — оператор
Лапласа):
ДЕ--^-^ = 0; ДН--^-^- = 0. (8.5)
Как следует из опыта, основным вектором в световой
электромагнитной волне является электрический вектор Е,
так как в основном он определяет фотоэлектриче-
* Волновые уравнения для Н и Е получаются в процессе преобра-
зования четырех уравнений Максвелла для непроводящей и незаря-
женной среды [см. систему (6.40)].
264
Рис. 8.1
ские, химические, физиологические и другие
свойства света. Поэтому в дальнейшем будем при рассмо-
трении световой волны преимущественно подразумевать
ее электрическую часть, не забывая, однако, при этом, что
вместе с электрическим полем Е синфазно изменяется и
магнитное поле Н. Их мгновенные и амплитудные значе-
ния связаны соотношениями (6.57), полученными в зада-
нии 6.15:
Е ~у бое = Н уцоН => Ео у еое = Но уЦоН => EoDo = НоВо,
(8.6)
где Do = еоеЕо и Во = ЦоцНо — соответственно амплитуд-
ные значения электрического смещения D и магнитной
индукции В в изотропной среде.
Интенсивность / света равна модулю среднего
по времени значения вектора Умова — Пойнтинга [см.
формулу (6.22)]. При усреднении воспользуемся тем, что
среднее за период 2л значение квадрата косинуса фазы
ф = со/ — к • г равно 1 /2 (< cos2(p > = 1 /2)- Тогда с учетом
выражений (8.1) и (8.6) для интенсивности / получим
I = | < Е X Н > | = | Ео X Hol < cos2((o/ -
-к.г)>=|£Л; (8.7)
т_ 1 г? £оуёоё _ 1 еоЕ ____ 1 р гл __ max
* 2 ^0 1-- — 2 /----^0 — 2 EqE)о — Vе
у/цоН -уеоецоц (8.8)
В последнее выражение входит амплитудное значение
плотности энергии электрической составляющей световой
265
волны [см. формулу (4.121)]. Если принять во внимание
соотношение EQDQ = HQBQ [см. выражение (8.6)], то ока-
жется, что плотности энергии электрической и магнитной
волн одинаковы, а именно:
^=|e-D; Wm= уН • B=>we = wm- (8.9)
Из приведенных здесь соотношений следует, что интен-
сивность I световой волны пропорциональна квадрату
амплитуды А напряженности электрической волны
(А = £0):
/ ~ А2 — интенсивность световой волны.
(8.10)
Показатель преломления света п в теории Максвелла
выражается через диэлектрическую е и магнитную ц про-
ницаемости среды [см. формулы (6.21) и § 7.2]:
n = c/v\ ) /— /— — и = с/у гр J показатель преломления света в среде. (8.11
Давление света возникает как следствие законов
сохранения импульса и энергии в системе световая вол-
на — среда. В самом деле, при отражении световой волны
от поверхности вещества или при поглощении света веще-
ством происходит передача импульса световых пучков этой
отражающей или частично отражающей и частично по-
глощающей среде. На основании классических представле-
ний установим связь между давлением света р* и характе-
ристиками световой волны, а также частично отражающей
и частично поглощающей среды. Электромагнитная, в том
числе и световая, волны, падая на вещество и распростра-
няясь в этой среде, оказывают силовое воздействие на
электрические заряды рассматриваемого вещества и пре-
жде всего на слабо связанные электроны (оптические
электроны). Под действием электрической силы Fe =
= —еЕ0 cos (со/ — к • г) все электроны будут совершать
вынужденные гармонические колебания вдоль линий на-
пряженности электрического поля (рис. 8.2). Направление
силы Лоренца Рл= — eveX В для всех электронов совпа-
дает в каждый момент времени с направлением распро-
266
странения светового луча, т. е. со скоростью v волны. По-
этому свет оказывает некоторое результирующее давление
на вещество, которое определяется средним по времени
значением модуля силы Лоренца:
< > = е < veB > = < иеЕ > =
V
_ ЬА/Ы
v
(8.12)
Здесь учтено, что в соответствии с соотношением (8.6)
между Е и В существует связь:
В
НоИ
=> В =
Е
v ’
(8.13)
а < veFe> = ЬА/Ы — работа в единицу времени, выпол-
няемая силами электрического поля над колеблющимся
электроном. Работа ДЛ равна энергии падающей световой
волны ДАР, поглощенной электроном. Из соотношения
(8.12) следует выражение для импульса силы Лоренца,
равного <Fa>M, а значит, и импульса Дрэл, получен-
ного электроном за время Д/ (Др = <F>kt— второй
закон Ньютона):
Дрэл = < Fa > At = ДАР/и.
Если электромагнитная волна падает нормально на
плоскую поверхность S твердого тела и полностью погло-
щается (ДАР = Д АРпад), то полученный телом за время Д/
импульс Дрт = ДАРпад/u, а давление
р* = <^> = = E3/v, (8.14)
О О oZAi
где Ft — среднее значение результирующей силы, дей-
ствующей на тело; Е3 — энергетическая освещенность
267
поверхности [см. формулу (7.6)], которая численно равна
плотности потока светового излучения.
При полном отражении света телу передается в два
раза больший импульс, а значит, его поверхность испы-
тывает в два раза большее давление (р* = 2E3/v). При
частичном отражении (р — коэффициент отражения све-
та) и частичном поглощении света (1 — р — доля погло-
щенной энергии света) давление света будет рассчиты-
ваться по формуле
р*(р) = 2pE3/v + (1 - р)£э/^ = (1 + p)E3/v. (8.15)
Для наклонного пучка света (а — угол падения) дав-
ление определяется нормальной составляющей переданно-
го светом импульса. Поэтому давление
р*(р, а) = (1 + р)£э cos a/v. (8.16)
Оценим значение давления света при нормальном
(а = 0°) падении солнечных лучей на черную пластинку
(р~0). На земной орбите плотность потока солнечного
излучения приблизительно равна 1400 Вт/м2. Следова-
тельно, давление света р* ~ 1400/(3- 108) ~5- 10-5 Па,
что примерно в 1О10 раз меньше атмосферного. Весьма
малое значение светового давления долгое время затруд-
няло его опытное измерение. Русский физик П. Н. Лебедев
(1866—1912) измерил давление света на твердые тела
(1899) и газы (1907) и тем самым подтвердил электромаг-
нитную теорию света. В настоящее время благодаря воз-
можности использования лазерного излучения, характери-
зующегося высокой монохроматичностью и направлен-
ностью, световое давление может иметь и практическое
значение, поскольку лазерное излучение удается сфоку-
сировать в пятно с радиусом порядка длины волны излу-
чения. Оценки показывают, что лазерное излучение мощ-
ностью один ватт сообщило бы малой частице массой
около 10“12 г ускорение, в миллион раз превышающее
ускорение свободного падения.
8.1. Интерференция света
Явление интерференции. Явление интерференции* за-
ключается в усилении интенсивности результирующей
* Интерференция наблюдается при наложении двух и более
когерентных волн независимо от их природы, т. е. может иметь место
в случае упругих (см. § 9.4 в первой части пособия), электромагнитных
268

•Мщг)
s*M=rt
Л

S*M=r2
Рис. 8.3
световой волны в одних областях пространства и одновре-
менном ослаблении ее интенсивности в других обла-
стях пространства. Такое перераспределение энергии воз-
можно при выполнении некоторых условий, накладывае-
мых на источники света и испускаемые ими световые
волны. Следует сразу заметить, что световые Ъолны в среде
в обычных условиях распространяются независимо друг
от друга, и, следовательно, в расчетах можно пользоваться
принципом суперпозиции (при не очень больших
плотностях энергии волн).
Условия наблюдения интерференции для монохрома-
тических волн. Предположим, что два источника света
(рис. 8.3) создают в изотропной прозрачной среде с пока-
зателем преломления п две световые монохроматические
плоские либо сферические волны*:
£1=Л1СО5ф1, (р! = (О1/—k\r\ + <xi;
£2 = Л2 cos ф2, ф2 = (02/ — йгГг + аг. (8-17)
Здесь ф1 и <р2 — фазы волн в точке М наблюдения в момент
времени /; ai и a2— их начальные фазы.
и других волн. Термин когерентность происходит от лат. coha-
erens — находящийся в связи — и отражает согласованность протека-
ния во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых
процессов.
* В случае сферических волн их амплитуды А зависят от расстоя-
ния r(A = const/r).
269
Рис. 8.4
Все дальнейшее рассмотрение относится к волнам,
векторы Е электрических полей которых имеют одинако-
вое направление в каждой точке пространства. В со-
ответствии с принципом суперпозиции результирующий
вектор Е = Еj + Е2 можно найти с помощью векторной
диаграммы (рис. 8.4):
Е = А cos <р; Л2 = Д1 + Л2 + 2Л1Д2 cos (<р2 — <jpi); (8.18)
_ вс _ si» <Pi sin <рг (8.19)
® т ОВ 41 cos ф2-F Л2 cos ф2 ’
В общем случае амплитуда А и фаза <р зависят от вре-
мени и положения точки М(х, у, z) в области перекрытия
световых волн. Однако имеется возможность получить
результирующую волну, амплитуда А которой не зависит
от времени t. Для этого необходимо, чтобы разность фаз
Дф = ф2 — Ф1 = ((02 — (01)/ — (й2Г2 — Л1 г 1) + (а2 — (Х|)
(8.20)
не зависела от времени. Очевидно, что это возможно при
совпадении частот волн. Источники света, обеспечиваю-
щие постоянство амплитуды результирующей волны в
каждой точке пространства, называются когерентными.
В этом случае распространение когерентных волн проис-
ходит согласованно во времени:
Z.A =/=f(t) при w\ = W2 = w — условие вре-
менной когерентности световых волн и их
источников.
(8.21)
Если о)| 0)2, то разность фаз, а значит, и амплитуда,
согласно выражениям (8.18), зависят от времени. Такие
волны и их источники Sf и S9 называются некогерентными.
270
Для некогерентных волн разность фаз в задан-
ной точке пространства (ri= const, Гг = const) пропор-
циональна времени (а>2 2> <oi):
Аф = А<о/ + const; А<о = <02 — соi Z> 0.
В связи с этим амплитуда А результирующей волны
за время, равное периоду (Г* = 2л/(А<о)), будет изменять-
ся от максимального значения при со5Дф=1 (Лтах =
= Л1+Лг) до минимального при СО5ф=— 1 (Лтт =
= |Лг —Л1|. При больших значениях разности частот
А<о(<о ~ 1014 Гц) регистрирующий прибор (или глаз чело-
века) будет фиксировать среднее значение энергии волны,
т. е. интенсивность /, которая пропорциональна среднему
значению квадрата амплитуды [см. выражение (8.10)]:
/ ~ < Л2(/) > = Л । + Л i + 2Л1Л2 < cos (Дсо/ + const) >.
Поскольку среднее за период значение косинуса равно
нулю,
/ ~ Л2 + Л 2=>/ = /| + /2 — интенсивность
результирующей волны при сложении неко-
герентных волн.
(8.22)
Для когерентных волн (<О| = (О2 = <о) в каждой
точке М светового поля разность фаз не зависит от вре-
мени:
Аф(х, у, z) = k\r\ — Л2Г2 + («2 — аО=>Л2(х, у, z) =
= Л2 + Лi + 2Л|Л2 cos Аф.
В тех точках М (х, у, z) светового поля, в которых раз-
ность фаз Аф = ±2гил, будут наблюдаться максимумы
интенсивности света (Л max = Л 1 + Л 2), а в тех
точках поля, в которых разность фаз Дф= ±(2ги+ 1)л,
будут наблюдаться минимумы интенсивности
света (Лтт = IЛ i — Л2|):
Аф= zfz2mn — условие максимума для Л или /; Аф= dz(2m+ 1)л— условие минимума для Л или /, т = 0,1, ..., оо. (8.23)
271
Таким образом, при наложении когерентных волн воз-
никает устойчивая картина интерференции света, посколь-
ку в одних точках светового поля интенсивность окажется
максимальной, а в других — минимальной.
Когерентность волн реальных источников. Для харак-
теристики световых волн реальных источников используют
понятия временной и пространственной когерентности.
Рассмотрим вначале понятие временной когерентности.
Монохроматические (одноцветные) световые волны, для
которых условие когерентности определяется формулой
(8.21), являются абстракцией. В реальной же световой
волне присутствуют колебания различных частот или длин
волн, заключенных в более или менее узком, но конечном
интервале. Даже отдельные линии в спектре атома имеют
конечную «естественную» ширину Av порядка 107 с-1
(АХ ~ 10-5 нм). Кроме того, амплитуда и начальная фаза
испускаемого цуга волн испытывают со временем не-
прерывные случайные изменения. Поэтому для характе-
ристики когерентных свойств таких волн вводится время
когерентности тк, под которым понимают промежуток вре-
мени, за который случайное изменение фазы волны дости-
гает значения порядка л. В результате колебание как бы
«забывает» свою первоначальную фазу и становится не-
когерентным по отношению к самому себе. Любой опти-
ческий прибор, с помощью которого регистрируется ре-
зультат наложения волн (фотопластинка, глаз и т. д.),
обладает определенной инерционностью, которая характе-
ризуется временем срабатывания прибора тпр. Для глаза
тпр~0,1 с, поскольку глаз способен различать не более
16 кадров в секунду. Поэтому интерференционная карти-
на будет наблюдаться только в том случае, если время
срабатывания прибора меньше времени когерентности:
тПр < Тк — условие временной когерентности.
Расстояние /к = стк, на которое распространяется вол-
на за время когерентности тк, называется длиной коге-
рентности. Для получения интерференционной картины
путем деления световой волны от реального источника на
два пучка необходимо, чтобы их оптическая разность хода
была меньше длины когерентности (AL</K). Это требо-
вание ограничивает число реально наблюдаемых интер-
ференционных полос по сравнению с теоретически рассчи-
272
тайным для монохроматических волн. Если в излучаемой
источником волне присутствуют волны с длиной Х =
= с/у (АХ = — (c/v2)Av) в интервале от X до X-j-AX, то
tk~1/(Av) или тк ~ (v2/c)/AX ~ Х7/(сАХ). Соответственно
длина когерентности /к = стк ~ Х2/(ЛХ). Тогда для предель-
ного значения номера тпр наблюдаемой интерференцион-
ной полосы получим соотношение тпрХ /к ~ Х2/(АХ) или
тпр ~ Х/(АХ). Отсюда следует, что число доступных для
наблюдения интерференционных полос возрастает с умень-
шением интервала длин волн, представленных в световом
пучке.
Нарушение когерентности возникает и в том случае,
когда источник световых волн не точечный, а протяжен-
ный. Отдельные участки протяженного, хотя и малых раз-
меров, источника будут излучать волны, которые никак
не связаны друг с другом. Поэтому интерференционную
картину, полученную на экране, можно рассматривать как
результат наложения волн, излучаемых каждым из эле-
ментарных источников в отдельности. Если максимумы
(и минимумы), получаемые от отдельных точечных излу-
чателей протяженного источника, образуются в близких
точках экрана, то интерференционная картина будет до-
статочно отчетливой. Если же окажется, что максимумы
от одних источников накладываются на минимумы других,
то интерференционная картина пропадает. Расчет для двух
источников (например, в опыте Юнга, см. далее рис. 8.8)
показывает, что в этом случае для наблюдения четкой
интерференционной картины угловые размеры протяжен-
ного источника S*, т. е. угол Ар, под которым виден этот
источник из точек S* или S*, и расстояние d между источ-
никами S* и S* должны удовлетворять следующему соот-
ношению:
Ар < X/d — условие пространственной ко-
герентности источников.
В дальнейшем будем рассматривать только про-
странственно-когерентные источники (точеч-
ные источники света и достаточно узкие щели), линии
спектра которых имеют «естественную» ширину Av, обес-
печивающую выполнение и временной когерентно-
сти при соответствующем подборе регистрирующего
273
прибора. В связи с этим волны от таких источников можно
описывать с помощью уравнений плоских или сфериче-
ских монохроматических волн.
Оптическая разность хода лучей и условия усиления
и ослабления интенсивности света. Выразим разность фаз
Лф двух волн через показатели преломления п сред, в ко-
торых они распространяются до наложения в некоторой
точке наблюдения (точка М (х, у, z) на рис. 8.3). Для этого
учтем, что волновое число Ло для света в вакууме равно
(о/с (Ло = 2л/Хо = <о/с). Тогда для света в среде волновое
число
После подстановки k\ = n\ko и kt = ^2^0 в выражение для
разности фаз Лф получим
2л
Д<р = (n I г 1 — П2Г2) ko — r-(Ll — Li).
Лю
(8.24)
Здесь принято во внимание, что во многих случаях раз-
ность начальных фаз равна нулю (аг — а\ = 0), а оптиче-
ская длина пути луча L = пг [см. формулу (7.22) ]. Сейчас
условия минимума и максимума для амплитуды или ин-
тенсивности [см. выражения (8.23)] можно переписать
в другом, более удобном для дальнейших исследований
виде:
Li — Л2= — максимум интенсивности;
Li — £2= ±(2m+ 1)Хо/2 —минимум интен-
сивности
m = 0, 1,
Из формул (8.25) видно, что максимум интенсив-
ности (/ ~ А 2) наблюдается в том случае, если на оптиче-
ской разности хода лучей укладывается целое число
длин волн Хо или четное число полуволн. Ми-
нимум интенсивности имеет место в том случае, если на
оптической разности хода лучей укладывается нечетное
число пол увол н.
Если обе волны распространяются в одной и той же
однородной среде (рис. 8.5), то П\ = п<2 = п, и опти-
ческая разность хода выражается через геометрическую
разность хода лучей:
AL = nr i — nr2 = n(rt — r2) = ^(ri — r2).
274

В этом случае условия (8.25) выражаются через длину
волны X света в среде:
г\ — г2 = dz mX=>max;
— л2 = dz (2m + l)X/2=>min,
т = 0, 1, ...
(8.26)
При расчете разности фаз волн или разности хода их
лучей следует учитывать потерю полуволны при ее
отражении на границе с оптически более плотной
средой, т. е. средой, у которой больший показатель пре-
ломления (аналогичная ситуация имеет место и при отра-
жении упругих механических волн, см. § 9.3 в первой части
пособия).
Условия получения устойчивой интерференционной
картины. Мы установили, что одним из условий получения
картины интерференции является когерентность
волн, т. е. равенство их частот и постоянство разности
начальных фаз. В силу поперечности электромагнитных
волн (см. § 6.5) названное условие необходимо дополнить
еще одним, а именно: колебания векторов Е сум-
мируемых электромагнитных полей должны совершаться
вдоль одного и того же направления.
Из повседневного опыта известно, что при наложении
света от двух и более независимых источников никогда
не удается наблюдать явление интерференции. Связано
это с тем, что волны, излучаемые любыми независимыми
источниками света, всегда некогерентны. Атомы
светящегося тела излучают свет независимо друг от друга.
Поэтому начальные фазы соответствующих им цугов
волн, излучаемых каждым атомом за один акт, не связаны
между собой. Даже для отдельно излучающего атома
275
начальные фазы разных цугов хаотически изменяются от
одного акта излучения к другому. Кроме того, ориентация
в пространстве вектора Е различных волн, излученных
атомами или молекулами вещества, хаотична. Все ска-
занное справедливо для спонтанного (самопроизвольного)
излучения атомов или молекул, осуществляющегося во
всех источниках света, кроме лазерных. Основой лазерно-
го излучения является вынужденное, т. е. индуциро-
ванное, излучение, посредством которого как раз и уста-
навливается взаимосвязь между фазами и частотами све-
товых волн лазеров. Только эти источники света являются
когерентными. Поэтому создание когерентных волн за-
ключается в искусственном разделении света
(излучаемого атомами одного и того же источника) на
группы волн, которые в силу общности происхождения
оказываются когерентными. Результат интерференции
этих волн зависит от разности фаз Д<р, приобретенной ими
при прохождении от источника света до рассматриваемой
точки интерференционной картины. Следует отметить,
что в силу ограниченности промежутка времени излучения
каждого цуга (т~10-8 с) наблюдение интерференции
возможно при не слишком больших значениях Лф и соот-
ветствующих им разностях хода волн (геометрических
или оптических).
Рассмотрим несколько способов получения когерен-
тных волн.
Метод зеркал Френеля*. Суть этого метода иллюстри-
руется с помощью рис. 8.6. Два плоских зеркала А\О и
OAz расположены под малым углом а. Свет от точечного
источника S* после отражения от обоих зеркал распро-
страняется в виде двух пучков с центрами S* и S*, которые
являются мнимыми изображениями источника S*. Эти
пучки когерентны и в результате наложения на экране Э
в области ВС образуют устойчивую картину интерферен-
ции. Результат интерференции в некоторой точке М зави-
сит от длины волны X и геометрической разности хода лу-
чей г2 — г। = MS? — MS?. Условия интерференционных
максимумов и минимумов определяются формулой (8.26):
(±rnk— максимум (m = 0, 1, ...);
I ±(2m+ 1) Х/2 — минимум
(m = 0, 1, ...).
(8.27)
* О. Френель (1788—1827) —французский физик.
276
Бипризма Френеля. Она состоит из двух прозрачных
призм с малыми преломляющими углами, сложенных
основаниями (рис. 8.7). В результате преломления света,
испускаемого источником S*, за призмой распространя-
ются уже два расходящихся пучка света, соответствую-
щих мнимым когерентным источникам S* и S*. Условия
интерференционных экстремумов такие же, как и в случае
зеркал Френеля.
Щели Юнга? В этом методе используется непрозрачный
экран Э с отверстиями S* и S*, которые и являются реаль-
ными (не мнимыми) источниками когерентных волн (рис.
8.8). Первичным источником является ярко освещенная
* Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый.
277
щель S* шириной ft, угловой размер Д(3 которой должен
удовлетворять условию пространственной когерентности
источников света (Ap<CX/d).
Расчет интерференционной картины для зеркал Фре-
неля, биопризмы Френеля и щелей Юнга. Во всех трех
случаях интерференция возникает от наложения двух
расходящихся пучков света, распространяющихся от двух
источников (мнимых либо реальных), находящихся на
расстоянии I от экрана Э. Поэтому порядок расчета и ре-
зультат наложения волн будут совершенно одинаковыми.
Пусть эти источники Sf и Sf находятся на расстоянии d
друг от друга (рис. 8.9, а). Проведем перпендикуляр через
середину отрезка 5?5?до его пересечения с экраном в точ-
ке О. Найдем разность хода лучей до произвольной точ-
ки М на экране (х = ОМ — координата точки М). Из тре-
угольников 5М|Л4 и S$A2M следует, что
г? = /2 + (х + d/2)2 | 2 2__
r22 = l2+(x-d/2)4^r' ~Г2 ~2xd^
=> (и — r2) (fl + r2) = 2xd. (8.28)
Поскольку х и d всегда много меньше /, то ri + г2 — 2/
и геометрическая разность хода лучей л — r2 — xd/l.
С учетом условий (8.27) получим уравнения для коорди-
нат точек максимумов и минимумов (т = 0,1, ...):
278
Рис. 8.9
Х™х 4= тк^х^х = mM/d\
. d (8-29)
хГ -=- = (2m + 1)Х/2=>хГ = (2m + l)X//(2d).
Определим расстояние Ах™ между двумя соседними
максимумами с номерами т и т-\- 1:
Ахш = хт +1 — хт = M/d = const. (8.30)
Таким образом, расстояние между соседними макси-
мумами или минимумами оказывается постоянной величи-
ной, которая не зависит от номера т (т — порядок экс-
тремума). Поскольку длина волны X мала (Х~ 10-7 м), для
визуального наблюдения светлых и темных полос на экра-
не следует обеспечить достаточно малое значение величи-
ны d. Практически это достигается за счет малых значений
угла а в методе зеркал и бипризмы Френеля. Расстояние I
не может быть очень большим, поскольку интенсивность
волн быстро уменьшается по мере удаления от источников
Sf и (/~ 1 м).
На рис. 8.9, б схематично изображена зависимость
интенсивности света / от расстояния х, которая вблизи
начала координат имеет вид периодической функции с
практически постоянным значением амплитуды. Это озна-
чает, что на экране будет визуально наблюдаться система
чередующихся темных (минимумы /) и окрашенных (мак-
симумы /) полос, цвет которых определяется длиной вол-
ны X.
При использовании белого света (спектр длин X) на
экране возникает интерференционный спектр цветных
полос, обращенный фиолетовой частью к центру О экрана.
279
Рис. 8.10
Это объясняется тем, что Хф<сХкр, и, следовательно, со-
гласно формуле (8.29), координата (Хф) меньше коор-
динаты (ХКр).
Интерференция света на тонких пленках. Явление ин-
терференции проявляется при отражении света от тонких
прозрачных пленок одинаковой толщины, а также пленок
со слабо изменяющейся толщиной. Рассмотрим процесс
возникновения когерентных световых пучков при отраже-
нии плоской монохроматической волны от пластинки из
прозрачного материала с показателем преломления п
(рис. 8.10). Чтобы упростить расчет, будем считать, что
световой пучок падает из воздуха, причем в месте падения
пучка света пленка имеет толщину Ь. На рис. 8.10 падаю-
щая световая волна представлена двумя лучами 1 и 2, па-
раллельными друг другу и перпендикулярными к фронту
AD. Луч 2 выбран так, чтобы он попал в точку С, в которой
луч /, пройдя расстояние АВС в прозрачной пленке, вый-
дет обратно в воздух, параллельно отраженному лучу 2'.
Лучи и 2' в точке С будут иметь оптическую раз-
ность хода
AL = п(АВ + ВС) - DC. (8.31)
Из треугольников АВС и ACD получим
аг 2дп . о . 2d (n — sin р sin а) /о опч
AL =-----5--26 tg 6 sin а = —-------£------ (8.32)
cos 0 & r cos 0 v '
Из закона преломления света sin а/sin (3 = п следует,
что sin р = и-1 sin а,тогда cos (3 = ^1 — sin2 a/n2. Подста-
вив эти выражения в формулу (8.32), получим
A/. = 2/,_^sin2a)^ =2&V«2 -sin2a. (8.33)
д/n2 — sin2a/n
280
- При вычислении оптической разности хода лучей 1 и
2 в точке С необходимо учесть, что луч 2' отразился от
оптически более плотной среды (п> 1), поэтому фаза его
волны претерпевает изменение на л, что соответствует
изменению разности хода лучей на Хо/2 (потеря отра-
женным лучом полуволны). В результате для разности
хода лучей 1 и 2 получим окончательное выражение:
AL = 2Ьд/я2 — sin2 а + -у— оптическая
разность хода при отражении
от пленки.
(8.34)
Полученная оптическая разность хода для данного
материала пластинки (п — фиксировано) зависит от угла
падения лучей а и толщины пластинки Ь. Поэтому ниже
рассмотрим два возможных предельных случая наблюде-
ния интерференционных полос при отражении монохро-
матического света от тонких пленок, которые получили
название полос равного наклона (пример 8.1) и
полос равной толщины (пример 8.2).
В заключение отметим, что интерференцию можно
наблюдать и в проходящем сквозь пленку свете (см. зада-
ние 8.2). Если пленка освещается белым светом, то интер-
ференционная картина будет состоять из окрашенных
полос, цвет которых определяется длинами волн, обеспе-
чивающими выполнение условий для максимумов интен-
сивности.
Пример 8.1 (интерференция монохроматического света на плоско-
параллельной прозрачной пластине). Определить положения интер-
ференционных максимумов на экране Э, расположенном в фокальной
плоскости линзы Л (рис. 8.11), которая предназначена для фокусиро-
вания отраженных лучей одинакового направления (полосы равного
наклона).
Решение. В данном случае толщина b пластинки фиксирована
(b = const). Поэтому оптическая разность хода лучей монохромати-
ческого света [см. формулу (8.34)] будет зависеть только от угла па-
дения лучей на пластинку. Если такую пластинку освещать рассеянным
светом со всевозможными значениями угла а, то для некоторых значе-
ний углов ат(т = 0, 1, ...) будут выполняться условия максимума интен-
сивности / [см. условия (8.25)]. Тогда подстановка выражения (8.34)
в первое условие (8.25) приведет к уравнению, которое позволяет опре-
делить значения углов ат, а значит, и координат хт центров светлых
полос интерференционной картины на экране:
26д/л2 — sin2 ат + ^- = => 462(л2 — sin2 а) = (2т — 1 )2Х2/4 =>
=> 0 < sin2^ = л2 - (2т — 1)2Х§/(16Ь2) < 1. (8.35)
281
Рис. 8.11
Для заданных значений показателя преломления п и длины волны
Хо можно найти значения углов ат и соответствующих им координат хт
светлых полос (см. задание 8.1), цвет которых определяется длиной
световой волны.
Следует отметить, что полосы равного наклона наблюдают на
экране в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как это делают для на-
блюдения бесконечно удаленных предметов (см. $ 7.3), поэтому говорят,
что полосы равного наклона локализованы в бесконеч-
ности.
Пример 8.2 (интерференция монохроматического света иа прозрач-
ной пластинке переменной толщины). Определить условия, обеспечи-
вающие наблюдение интерференционной картины при падении под
фиксированным углом а плоского пучка монохроматического света на
прозрачный клин К с малым углом 0 при его вершине (рис. 8.12). Линза
фокусирует в одном месте экрана Э лучи, которые отражаются от уча-
стков клииа, имеющих одинаковую толщину (полосы равной толщины).
Решение. Поскольку угол падения фиксирован, оптическая
разность хода лучей, согласно формуле (8.34), будет зависеть только
оттолщины b клина в точке падения соответствующих лучей пуч-
ка (длина волны Хо и показатель преломления п заданы). Поэтому на-
блюдаемые на экране интерференционные полосы получили название
полос равной толщины. С помощью закона преломления света
можно показать, что точки Q', Q" и другие, которые определяют пере-
сечения лучей, отраженных от верхней и нижней плоскостей клина, рас-
положены в одной плоскости, проходящей через вершину О клина.
Светлые и темные полосы равной толщины определяются теми зна-
чениями толщины b клина, которые обеспечивают выполнение условий
(8.25) для интенсивности отраженного света. Учитывая выражения для
оптической разности хода лучей в тонких пленках [см. формулу (8.34)],
запишем условие возникновения светлых полос (при заданной длине
волны монохроматического света):
2b^jn2 — sin2 а + — = mXo.
282
Из рис. 8.12 видно, что интерференционная картина, локализован-
ная вблизи поверхности клина в плоскости пересечения лучей (плоскость
(OQ"Q')> может наблюдаться на экране. Для этого линзу и экран нужно
расположить определенным образом по отношению к плоскости пересе-
чения лучей OQ"Q' (см. рис. 8.12).
Задание 8.1. Определите координаты центров светлых полос равно-
го наклона лучей на экране (см. пример 8.1) и их максимально возмож-
ное число, если пластинку толщиной b = 0,005 мм с показателем пре-
ломления п =1,5 освещать рассеянным светом с длиной волны Хо =
= 500 нм.
Указание. Воспользуйтесь выражением (8.35) и определите те
значения числа т (т — 1, 2, ...), для которых выполняется это неравен-
ство.
Ответ. Поскольку 23^ т 31, максимально возможное число
светлых полос равно девяти, а их координаты определяются по формуле
Хт = f tg am, ат = arcsin -д/n2— (2 т — 1)2Х?/(1662).
Задание 8.2. Получите выражения, определяющие условия мак-
симумов и минимумов интенсивности в проходящем сквозь тонкую плен-
ку свете (рис. 8.13).
Указание. Поскольку прошедший через пленку свет (лучи / и
2 на рис. 8.13) в точках А и В отразился от оптически менее плотной
среды (воздуха) .потери полуволны в этом случае нет, тогда как
в отраженных лучах потеря полуволны имеет место (см. пример 8.1).
В связи с этим интерференционные картины в отраженном и проходящем
283
свете дополняют друг друга, так как светлые полосы одной картины
соответствуют темным полосам другой.
Ответ.
/~2---— (^Хо — максимум /;
26-д/п — sin а = {• , 1Ч, .
у l(2m-j-l)Xo/2 — минимум/.
Задание 8.3 (кольца Ньютона). Определите радиусы интерферен-
ционных колец, которые можно наблюдать в отраженном от воздуш-
ного зазора свете. Воздушный зазор в виде кольцевого клина образован
плосковыпуклой линзой и стеклянной пластинкой (рис. 8.14, а). Монохро-
матический световой пучок падает по нормали к плоской поверхности
линзы (для обеспечения достаточно тонкого воздушного зазора радиус
выпуклой поверхности линзы должен быть достаточно большим —
R ~ 1 м). Вычертите в масштабе на рисунке кольца Ньютона, которые
схематично изображены на рис. 8.15.
Указания. 1. Лучи, отраженные от верхней и нижней поверх-
ностей линзы, а также стеклянной пластины не интерферируют, так как
из-за их больших толщин нарушается условие пространственной коге-
рентности для реального пучка света с длинами волн от к до к -j- ДХ (для
обычных светофильтров ДХ ~ 20 А = 2 • 10“ 9 м).
284
Максимумы l(m=2, 9,...)
Рис. 8.15
2. Лучи Г и отраженные от тонкого клина, т. е. вблизи верши-
ны О линзы (см. рис. 8.14, а), идут практически параллельно падающему
лучу /. Поэтому при расчете оптической разности хода AL этих лучей
можно считать, что точки А и С совпадают, а толщина b клина намного
меньше радиуса R линзы (рис. 8.14, б).
3. Радиусы г темных и светлых колец определите из условий (8.25),
обеспечивающих экстремальность интенсивности / отраженного света.
Ответ. 1. Радиус г окружности в точке В падения луча выража-
ется через толщину b воздушного клина в этой точке: г ~ -\j2bR.
2. Радиусы центров светлых (г£'ах) и темных (гГп) колец Ньютона
(четные значения k соответствуют максимумам, а нечетные — миниму-
мам интенсивности отраженного света, см. рис. 8.15):
^-+^- = |Л=^ = -ДЯ(*-1)/2, k= 1,2, ... (8.36)
t\ z z
Применение явления интерференции. Количественные
закономерности интерференционных явлений зависят от
длины световой волны X, показателя преломления п и гео-
метрических параметров, определяющих оптическую раз-
ность хода интерферирующих лучей (см. примеры 8.1 и
8.2). Поэтому, измеряя геометрические параметры и рас-
стояния между центрами полос в опытах с двумя коге-
рентными источниками света (бипризма Френеля, зеркало
Френеля, щели Юнга) или между центрами колец Ньюто-
на, можно рассчитать длину волны падающего монохрома-
тического света.
Это первый пример решения обратной задачи
по отношению к тем, которые рассмотрены выше при расче-
те интерференционных картин от различных когерентных
источников с заданными длинами волн. Кроме того, явле-
ние интерференции используется и для прецизионных,
285
EZ3 И
т. е. очень точных, измерений малых расстояний и показа-
телей преломления прозрачных сред. Для этих целей ис-
пользуются специальные приборы, называемые интерферо-
метрами.
Интерферометр Майкельсона. В качестве примера
рассмотрим устройство интерферометра Майкельсона*,
схема которого представлена на рис. 8.16.
Пучок света от источника S* после прохождения лин-
зы Л падает под углом 45° на полупрозрачную пластинку
Pi, покрытую слоем серебра (этот слой показан на рис.
8.16 точками). Половина упавшего светового потока отра-
жается пластинкой Pi в направлении луча 1 (в сторону
зеркала Mi), а вторая половина проходит сквозь пластин-
ку Pi и распространяется в направлении луча 2 (в сторону
зеркала М2).
Пучок 1 отражается от зеркала Mi и возвращается
к пластинке Pi, где опять делится на два равных по интен-
сивности луча (/' и /"). Луч Г попадает в зрительную тру-
бу ЗТ, а луч /" уходит в направлении источника S* (он
в дальнейшем интересовать нас не будет).
Пучок 2 проходит до зеркала М2 и, отразившись от
него, возвращается к пластинке Pi, где он вторично делит-
ся на две равные части. Первая часть пучка распростра-
няется вдоль луча 2' и попадает в зрительную трубу,
* С помощью этого прибора американский физик А. А. Майкельсон
(1852—1931) доказал в 1881 г. независимость скорости распространения
света от скорости движения Земли, что явилось одним из неоспоримых
опытных фактов, послуживших созданию специальной теории относи-
тельности (СТО).
286
а вторая часть проходит сквозь пластинку Pi в направ-
лении источника света S*.
Лучи Г и 2' получены от одного источника и при со-
блюдении условий временной и пространственной коге-
рентности будут интерферировать. Результат интерфе-
ренции зависит от оптической разности хода лучей от плас-
тинки Pi до зеркал Mi и М2 и обратно. Луч 2 проходит
толщину пластинки Pi трижды, а луч 1 — только один
раз. Для того чтобы скомпенсировать возникающую за
счет этого оптическую разность хода, на пути луча 1 ста-
вится точно такая же, как Pi, но не посеребренная
пластинка Р2. С помощью этого приема уравниваются
пути лучей 1 и 2 в стекле. Возникающая в зрительной
трубе интерференционная картина настраивается с по-
мощью микрометрических винтов, которые определяют
положение зеркал Mi и М2.
Интерференционный рефрактометр. Интерферометр
Майкельсона можно использовать для очень точного из-
мерения показателя преломления вещества. Для этого на
пути одного из лучей (см. рис. 8.16) нужно поставить
кювету с исследуемым веществом, а на пути другого —
такую же кювету с эталонным веществом, показатель
преломления которого известен. Такой интерференцион-
ный рефрактометр (рефрактометрия — от лат. refractus —
преломленный и .... метрия — совокупность методов и
средств измерения показателей преломления п) позволяет
зафиксировать в эксперименте изменения показателя пре-
ломления в шестом знаке после запятой, т. е. измерять
величину п с относительной точностью \п/п~ 10-6.
Микроинтерферометр Линника*. Из большого числа
разнообразных интерферометров следует упомянуть микро-
интерферометр Линника, который предназначен для конт-
роля за чистотой обработки металлических поверхностей
высокого класса точности (~ О, I длины X световой вол-
ны, т. е. ~0,05 мкм). В техническом отношении микро-
интерферометр состоит из интерферометра и микроскопа.
С помощью микроскопа наблюдают интерференционную
картину полос равной толщины, искривления которых
однозначно отражают микрорельеф исследуемой поверх-
ности.
Просветление оптики. Явление интерференции широко
используется для просветления оптики, сущность которого
состоит в ликвидации вредного отражения света от по-
* В. П. Линник (1889—1984) —советский физик.
287
верхностей линз сложных оптических систем. Современные
оптические приборы содержат, как правило, много линз.
От каждой поверхности отражается примерно 4 % падаю-
щего света, что заметно снижает прозрачность оптики и
вызывает появление вредных «бликов». В связи с этим на
каждую свободную поверхность линзы наносится пленка
из прозрачного вещества с показателем преломления пПл,
меньшим показателя преломления стекла лст, толщиной
d = X/4. При попадении света происходит его отражение
от поверхности воздух — пленка и пленка — стекло. Оба
отраженных луча когерентны и при толщине пленки
d = Х/4 гасят друг друга (оптическая разность хода
лучей равна Х/2).
Расчеты показывают, что при п пл — ~^Мст гашение
будет наиболее полным. Поскольку при интерференции
энергия результирующей волны не изменяется, а только
перераспределяется, в результате такого покрытия свето-
сила линз увеличивается, т. е. оптическая система «про-
светляется».
8.2. Дифракция света
Дифракция и принцип Гюйгенса— Френеля. Явление
дифракции волн (от лат. diffractus—разломанный)
проявляется в огибании световыми волнами препятствий,
что, вообще говоря, свойственно всякому волновому дви-
жению, независимо от его природы (см., например,
дифракцию упругих волн в гл. 9 первой части пособия).
Дифракция имеет место в том случае, когда линейные
размеры препятствий сравнимы с длиной волны X или
несколько больше ее. В результате дифракции волны
заходят в область геометрической тени, при этом нару-
шается основной постулат геометрической оптики, который
состоит в прямолинейности распространения световых лу-
чей в однородной среде.
В оптике различают два вида дифракции: в сходя-
щихся лучах — дифракция Френеля и в параллельных
лучах — дифракция Фраунгофера*. Дифракцию Френеля
получим, если свет от точечного источника направить на
отверстие или непрозрачный диск, расположенный доста-
точно близко от источника. Обычно дифракцию Фраунго-
фера наблюдают при падении пучка параллельных лучей
на щель или систему щелей (дифракционную решетку).
* Й. Фраунгофер (1787—1826) — немецкий физик, изобретатель
дифракционной решетки (1821).
288
Качественно явление дифракции объясняется с помо-
щью принципа Гюйгенса. Согласно этому принципу, каж-
дая точка волнового фронта является самостоятельным
источником вторичных сферических волн, а огибающая
этих волн представляет собой волновой фронт в следую-
щий момент времени. На рис. 8.17 представлено падение
плоской волны на преграду с малым отверстием. Оказы-
вается, что у границ отверстия происходит загибание
волнового фронта и волна распространяется в область
геометрической тени. Отметим, что принцип Гюйгенса не
позволяет выполнить количественный расчет дифракцион-
ной картины, т. е. не позволяет рассчитать амплитуду
(а значит, и интенсивность) волн, распространяющих-
ся в разных направлениях. Для решения этой задачи
Френель дополнил принцип Гюйгенса интерференционной
идеей, согласно которой амплитуда дифрагируемой волны
определяется как результат интерференции вторичных
волн. Согласно этому принципу, каждый элемент dS
волнового фронта S (рис. 8.18) является источником
вторичной сферичной волны, амплитуда которой пропор-
циональна dS. Поскольку амплитуда А сферической вол-
ны убывает (А ~ 1 /г), в наблюдаемую точку М от элемен-
та dS приходят колебания вектора dE, модуль которого
определяется по формуле
d£ = K(p)yCos(<i)/-fer + a)dS. (8.37)
Величина (со/ + а) представляет собой фазу колебания
в месте расположения элемента поверхности dS; г — рас-
стояние от этого элемента до точки наблюдения. Значение
величины ао определяется амплитудой световой волны
в точке расположения элемента dS. Коэффициент К(Р)
289
уменьшается с увеличением угла 0 между нормалью п
к площадке dS и направлением от dS к точке Л4, причем
при р = л/2 коэффициент К(л/2) = 0. Согласно принципу
Гюйгенса — Френеля, результирующее колебание в точ-
ке М представляет собой суперпозицию колебаний, рас-
пространяющихся от всех элементарных участков по-
верхности, т. е.
Е = K(P)-y-cos((i)/ — kr + a)dS —аналити-
s
ческая форма записи принципа Гюйгенса —
Френеля.
(8.38)
В общем случае расчет результирующего колебания Е
является достаточно сложной в математическом смысле
задачей, поскольку необходимо выполнить интегрирова-
ние выражения (8.38). Во многих практически важных
случаях удается приближенно рассчитать дифракционную
картину с помощью метода зон Френеля [без непосредст-
венного интегрирования выражения (8.38)].
Метод зон Френеля. Сущность этого метода рассмот-
рим на примере дифракции сферической световой волны
(дифракция Френеля), распространяющейся от
источника S* в направлении некоторого препятствия, на-
пример непрозрачной преграды с отверстием (рис. 8.19, а).
Необходимо определить амплитуду, а значит, и интенсив-
ность световой волны в точке М экрана, находящегося на
расстоянии Ь от препятствия. Для этого сферическую
поверхность S фронта волны мысленно разделим на
кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния
290
Рис. 8.20
от краев зоны до точки наблюдения М отличались на
половину длины волны (рис. 8.19, б). Такое разбие-
ние можно осуществить путем построения линий пересе-
чения сфер радиусом bm = b + mkl'l (т — номер зоны:
т= 1, 2,...) с центром в точке М с поверхностью фронта
сферической волны (сферы радиусом а). Эти сферы пере-
секаются по окружностям радиусом гт (рис. 8.20). По-
скольку колебания от соответствующих точек соседних
зон Френеля проходят до точки М расстояния, отли-
чающиеся на Х/2, в эту точку они приходят в противофазе
и при наложении ослабляют друг друга (в месте располо-
жения фронта волны фазы колебаний одинаковы для
всех точек поверхности 5). Поэтому, если Ат — ампли-
туда волны от зоны с номером т, то амплитуда А резуль-
тирующей волны в точке М будет определяться по фор-
муле
—A2-I-A3 —А4 -р ... 2±2 Ат “И ... (8.39)
Амплитуды Ат пропорциональны площадям зон Френеля
ASm, которые можно выразить через площади Sm соот-
ветствующих сферических сегментов высотой
— ^JLClhm’i &Sm— Sm Sm—\- (8.40)
Из построений на рис. 8.20 следует, что
Гт— a2 —(a — hmf = (b + mX/2)2 — (b + hm)2 =>
=>2ahm = bmk+ mW/4 - 2bhm=>hm~ ^a'+b) • (8'41 >
В последнем выражении учтено, что длина волны к
много меньше значений отрезков а и Ь. После подстановки
291
выражений для Sm и hm во второе из соотношений (8.40)
получим
ASm=Sm — Sm-i=2na(hm — const. (8.42)
Величина ASm не зависит от номера т, т. е. п л о щ а д и
всех кольцевых зон Френеля приблизительно
одинаковы. Тем не менее амплитуды колебаний от
разных зон при возрастании номера т убывают по двум
причинам. Во-первых, с возрастанием т уменьшается
коэффициент /<(Р) в формуле (8.38), поскольку увеличи-
вается угол р между нормалью к поверхности зоны и
направлением от каждого элемента зоны до точки наблю-
дения М (см. рис. 8.20), и, во-вторых, увеличивается
расстояние г от зоны до точки наблюдения. Поэтому
А 1 > А 2>Л з>... >А т>... С достаточно хорошей точно-
стью можно считать, что Ат ~ (Дш_i + Ат+\)/2. В связи
с этим амплитуда А [см. формулу (8.39)] результирую-
щего колебания от первых /п* зон Френеля может быть
записана в следующем виде:
А = (у-+ у) + (у- А < + у)+ - - у ± 4^’
(8.43)
где знак плюс соответствует нечетным значениям /п*, а
минус — четным. Таким образом, при четном числе т*
открытых зон Френеля в точке наблюдения М будет
наблюдаться ослабление света при дифракции, а при не-
четном т* — усиление (т* = 2, 3,...):
д А •
Л ~ ------если т* — четное (ослабление
света);
А ~ -v+ “7", если т* — нечетное (усиле-
2 ние света).
(8.44)
Пример 8.3. С помощью метода зон Френеля для заданных точек
Mi и М2 определить напряженность Е результирующей волны, созда-
ваемой вторичными источниками сферического фронта радиусом а
(рис. 8.21).
Решение. Вначале оценим общее число N зон Френеля, которые
вносят вклад в результирующую волну в произвольной точке М(х, у, z),
находящейся на расстоянии S*M от точечного источника S* (S*Af =
= a-f-d). Для этого из точки М наблюдения результата дифракции
292
вторичных волн проведем, касательные ВМ и СМ, которые выделят
на сфере радиусом а видимую из точки М часть сферического фронта.
Число зон Френеля, расположенных внутри конуса с углом 2у при вер-
шине М, найдем с помощью формулы (ВМ = -\/(а 4- Ь)2 — а2, к~
~ 500 нм, а ~ b ~ 1 м):
BM = b + N^=>N = 2(В^ ю9 ~ 3 • 106 зон.
Л Л DUV
Таким образом, на видимой из точки М части сферического
фронта волны, создаваемой открытым источником, укладывается огром-
ное число зон Френеля (~ 106). Для крайней видимой зоны (т = N)
угол 0 между нормалью к поверхности зоны в точке В и направле-
нием на точку М равен 90°. Поэтому коэффициент К(р) в формуле
(8.38) для этой зоны равен нулю (£(л/2) = 0), и, следовательно, ампли-
туда An для крайней зоны также равна нулю. В связи с этим амплиту-
да А результирующей волны [см. формулу (8.44)] равна половине
амплитуды волны, создаваемой первой зоной Френеля (A=Ai/2).
Учитывая изложенное выше, напряженность Е в произвольной точке М
найдем по формуле (8.38) при S = S|. В расчетах учтем, что, согласно
формулам (8.40) — (8.42), площадь ASi первой зоны Френеля
равна площади 5| поверхности сферического сегмента высотой h\ =
= 0,5bk/(a + b). При интегрировании по dS примем во внимание, что для
первой зоны Френеля подынтегральная функция в (8.38) является
практически постоянной величиной. Следовательно,
_. . , а0 /л « « । \ лаЬк . Л о / . «I \
Е(х, у, z) ~ Лотгт cos((o/ — kb -f- а) -—- = kQ-т—т- cos(co/ — kr 4- a),
2b a 4" b a-\- b
где величина ko определяет значение коэффициента k(fi) при 0 = 0,
т. е. для первой зоны Френеля, а Ло = аоп.ак/2 не зависит от положе-
ния точки М.
Для точки М\ центр первой зоны Френеля будет находиться в точ-
ке Oi, а для точки М2 — в точке О2. Поэтому напряженность светового
поля в этих точках будет определяться по полученной выше формуле,
если только заменить величину b на ее значения Ь\ и Ь2 (см. рис. 8.21):
b। = х ।; b2 = S*M2 — а = -у/(а 4- Xi)2 4- yl — а.
293
Пример 8.4 (дифракционная картина на экране от непрозрачной
преграды с отверстием радиусом R). Найти расстояние до точки Afi
экрана (рис. 8.22), для которой отверстие радиусом R = 1 мм остав-
ляет открытыми ровно три зоны Френеля, если источник S* излучает
монохроматическую волну из красной области спектра (Хкр = 760 нм).
Определить вид дифракционной картины на экране и порядок чередова-
ния темных и светлых (красных) полос на экране.
Решение. Если для точки Afi остаются открытыми ровно три
зоны Френеля, то расстояние АМ\ = b -f- ЗХ/2 (см. рис. 8.22, а). Из
ДЛО|Л4| следует, что
(b + Ах)2 = R2 + Ь2 => 3U + -|-Х2 = R2 =►
^Ь = ~ 0,43 м.
Поскольку число открытых зон Френеля, посылающих свет в направле-
нии точки Mi, нечетное, в окрестности точки М\ на экране будет
освещенное круглое пятно красного цвета (в точке Л4| при 6 = 0,43 м
для R = 1 мм и X = 760 нм выполняется условие максимума интен-
сивности, см. формулу (8.44)].
Проанализируем далее характер изменения интенсивности света
при смещении точки наблюдения М дифракции вдоль экрана от точ-
ки Л^, т. е. при перемещении из центра М] в точку М. Центр зон Френеля
из точки О| (рис. 8.23, а) переместится в точку О, находящуюся на
отрезке S*M (см. рис. 8.22, а). При этом край отверстия в окрестности
точки В закроет часть третьей (нечетной) зоны Френеля (рис. 8.23,6),
а вблизи точки А откроется часть четвертой (четной) зоны. В резуль-
тате свет, посылаемый третьей и четвертой зонами Френеля в направ-
лении точки М, частично скомпенсируется и интенсивность результи-
294
в
4 -центр окружностей
ра.диусо6 г;,гг,г$
рующей волны в точке Af уменьшится. Когда площади открытых час-
тей третьей и четвертой зон станут приблизительно одинаковыми, а имен-
но такая ситуация зафиксирована на рис. 8.23, в, интенсивность света
окажется минимальной. При дальнейшем удалении точки М от центра
экрана интенсивность света будет сначала увеличиваться (поскольку
начнет закрываться вторая зона и открываться пятая зона), а затем
уменьшаться и т. д. Зависимость интенсивности света от расстояния р до
центра Afi схематично изображена на рис. 8.22, б.
Задание 8.4 (дифракция на круглом отверстии). Получите фор-
мулу для координат хт точек М (рис. 8.24), соответствующих дифрак-
ционным максимумам и минимумам интенсивности света, прошедшего
через отверстие радиусом R. Числовые расчеты проведите для R = 1 мм
и X = 760 нм.
Указание. Воспользуйтесь условиями (8.44) и определите рас-
стояния ОМ = хт, для которых остаются открытыми одна, две, три и так
далее зоны Френеля (см. также пример 8.4).
Ответ. хт = (R2 — m2X2/4)/ (mX), т = 1, 2, 3,...
Задание 8.5 (дифракция на непрозрачном диске). Определите за-
висимость амплитуды результирующей волны в точке М от номера п
первой открытой зоны Френеля (п = 2, 3, ..., N). Радиус R диска и длина
волны X заданы (рис. 8.25).
295
т=М
Указание. Воспользуйтесь методом зон Френеля и убедитесь,
что амплитуда волны в точке Л4(хл), т. е. на оси х, равна половине ампли-
туды волны, посылаемой первой открытой зоной Френеля (Л =Л л/2). Из
Д ОМВ определите зависимость расстояния хл от номера п(п = 2, 3,
Ответ. А = R^a°—-.x.= R2 - "~'1. п = 2, 3, .... N.
Применение метода зон Френеля в дифракции Фраун-
гофера. Наблюдение дифракции в параллельных лучах
осуществляется в эксперименте с помощью установки,
схема которой представлена на рис. 8.26, а. Плоская
монохроматическая волна, формируемая светофильтром и
первой собирающей линзой, падает на непрозрачную пре-
граду с отверстием в виде бесконечно длинной щели
шириной АВ = Ь. Вторичные сферические волны от раз-
личных участков плоского фронта волны, совпадающего
с поверхностью щели, распространяются за преградой
по всевозможным направлениям, определяемым углом
<р( — л/2<ф<л/2). С помощью второй линзы парал-
лельный пучок лучей с заданным углом ср фокусируется
в точке Р экрана, который расположен в фокальной
296
плоскости этой линзы (f — фокусное расстояние). Положе-
ние точки Р для разных пучков определяется коорди-
натой х, зависящей от угла ср (х = f tg ср). Геометрическая
разность хода крайних лучей АА\ и ВВ\ пучка света, иду-
щего под углом ср, равна M = b sin ф. Разбиение щели АВ
на зоны Френеля можно осуществить следующим обра-
зом. Отрезок АС, равный разности хода крайних лучей,
разделим на участки длиной Х/2 и проведем плоскости,
параллельные фронту ВС рассматриваемого пучка лучей
с заданным углом ф. Эти плоскости разобьют поверх-
ность щели АВ на Z = b sin ф/(Х/2) полос Френеля.
Из построений видно, что ширина полос такова, что
разность хода лучей от краев этих полос равна Х/2, т. е.
полученные полосы являются зонами Френеля. Поскольку
число зон Френеля, укладывающихся на ширине b щели,
зависит от угла ф, результат дифракции, т. е. усиление
или ослабление света, будет наблюдаться на экране
для тех углов ф, для которых число зон Френеля соот-
ветственно равно нечетным или четным числам [см. фор-
мулу (8.44) ], т. е.
ts.i%<t> = m* = 2, 3, ...
Л/2
Поскольку угол ф изменяется в пределах от —л/2 до
л/2, значения зтф лежат на отрезке от —1 до +1. По-
этому, полагая формально m* = 2m для четного и
/п* = (2/п4-1) для нечетного числа зон Френеля, для
щели получим следующие условия дифракционных мини-
мумов и максимумов интенсивности света на экране
(рис. 8.26,6):
6зтфш= ±2/Пу — условие минимума /;
6зшфш= ±(2т+ 1)у — условие максимума/,
1, 2, 3, ...
(8.45)
Максимально возможное число дифракционных мини-
мумов и максимумов определяется тем, что модуль
sin ф 1.
В случае нечетного числа зон Френеля в точке Р экра-
на наблюдается дифракционный максимум, соответствую-
щий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля.
297
При ф = 0 щель действует как одна зона Френеля. При
этом наблюдается центральный дифракционный макси-
мум. Отметим, что дифракционная картина зависит от
ширины щели. Сужение щели приводит к уменьшению
яркости максимумов и расширению их на экране. Увели-
чение ширины щели приводит к увеличению яркости мак-
симумов при уменьшении их ширины на экране. При
на экране наблюдается резкое изображение щели,
т. е. явление дифракции отсутствует. Следует напомнить,
что наиболее четкая дифракционная картина получается
в том случае, когда ширина щели b ~ (3 — 5)Х.
Дифракция Фраунгофера на плоской дифракционной
решетке. Особое место в связи с практическим приме-
нением занимает дифракция в параллельных лучах на
препятствии в виде регулярно расположенных неоднород-
ностей среды, образующих некую правильную структуру.
Отличие расчета дифракционной картины в этом случае
от дифракции на одной щели заключается в том, что
необходимо определить результат наложения дифрагиро-
ванных волн от отдельных щелей. Этот дополнительный
интерференционный эффект будет наблюдаться только
в том случае, если расстояния между щелями или от-
верстиями преграды равны друг другу или изменяются
по определенному закону. Только в этом случае при ко-
герентном освещении всей структуры разность фаз между
дифрагированными волнами будет сохраняться постоян-
ной. Наиболее распространенной структурой является
дифракционная решетка, которая представляет собой
систему параллельных щелей равной ширины, разделен-
ных равными по ширине непрозрачными промежутками.
Для простоты рассмотрим дифракционную решетку,
состоящую из щелей шириной b и непрозрачного про-
межутка шириной а (рис. 8.27). Величина d = a-\-b на-
зывается постоянной дифракционной решетки. Разность
хода лучей, идущих, например, от левых краев соседних
щелей в направлении ср,
А = d sin ф.
Проанализируем возможные результаты от наложения
дифрагированных волн от нескольких щелей.
1. Если при некотором угле фш для одной щели вы-
полняется условие минимума интенсивности, т. е.
b sin = dz гпК(1чт = 0), то это условие будет одновремен-
но определять положение основных минимумов и для
всей решетки.
298
t=ftqy>
Рис. 8.27
2. В том случае, когда условие минимума для одной’
щели не выполняется при некоторых значениях угла ср
(/ф =# 0), для дифракционной решетки возникают допол-
нительные минимумы, которые появляются за счет взаим-
ного гашения света от соседних щелей. Кроме того, ока-
зывается, что если на разности хода A = dsincp уклады-
вается четное число полуволн или целое число длин волн,
то волны от всех щелей будут усиливать друг друга и в
соответствующих направлениях фШ' появятся максимумы
интенсивности, называемые главными максимумами для
дифракционной решетки:
d sin qw = ± m'X — условие возникновения главных максимумов для решетки; /п, = 0, 1, 2, ... — порядок главного макси- мума. (8.46)
Для направлений, определяемых этим соотношением,
результирующая волна для решетки из N щелей будет
иметь амплитуду А, равную N амплитудам волн, посы-
лаемых каждой щелью в данном направлении под углом
<рШ', т. е. А = NAV. Интенсивность I света в точках глав-
ных максимумов будет в /V2 раз больше интенсивности,
создаваемой одной щелью:
/~Л2^/р^ = #2/*ели.
299
т‘=-2 /77=-7 /77=+7 /77=+2 Л7*+3
'Области. перекрытия
Рис. 8.29
На рис. 8.28 схематично изображена зависимость ин-
тенсивности света / от sin ср для решетки из четырех щелей
(jV = 4) с параметром d = 3fr.
Максимально возможное число главных максимумов
для решетки определяется из условия |sin <р| 1. Поэто-
му при заданных значениях длины волны X и параметра
решетки d число
Чем больше щелей содержит решетка, тем большая
световая энергия пройдет через решетку и тем более ярки-
ми и узкими будут максимумы дифракционной картины
на экране.
Дифракция белого света на плоской решетке. Если
на дифракционную решетку падает белый свет, то все
максимумы, кроме центрального (<р = 0), разложатся в
спектры, обращенные своими фиолетовыми краями к цент-
ру О дифракционной картины (рис. 8.29). Это свойство
широко используется для создания спектральных при-
боров. В центре находится узкий максимум нулевого
порядка. По обе стороны симметрично главному нулево-
му максимуму расположены два спектра первого порядка
(zn'=l), затем два спектра второго порядка (т' = 2)
и т. д. По мере увеличения порядка дифракционного
300
спектра их ширина возрастает, а интенсивность умень-
шается. Кроме того, для высоких порядков дифракцион-
ных спектров характерно наложение красного участка
спектра порядка т' и фиолетового участка спектра поряд-
ка т'+1. На рис. 8.29 показано перекрытие спектров
второго и третьего порядков (области их перекрытия
заштрихованы). Основными характеристиками всякого
спектрального прибора (в том числе и дифракционного)
являются дисперсия и разрешающая способность.
Дисперсия D равна отношению углового Лф или
линейного А/ расстояний между двумя спектральными
линиями с длинами волн X и X-j-AX к величине этого
интервала АХ. Поэтому используют угловую (ОуГл) и линей-
ную (D лин) дисперсии:
Оугл = Аф/АХ — угловая дисперсия;
/)лин = А//АХ — линейная дисперсия.
Определим угловую дисперсию дифракционной решет-
ки. Для этого условие для главных максимумов [см. фор-
мулу (8.46) ] продифференцируем по X. Опуская знак ми-
нус, получаем
dcos фтт'.
ал
Тогда
---угловая дисперсия
решетки.
(8.47)
В случае небольших углов дифракции cos ф ~ 1 и
Оугл — т'Id. Таким образом, угловая дисперсия тем боль-
ше, чем выше порядок т' спектра и чем меньше период d
дифракционной решетки.
Поскольку расстояние / до спектральной линии на
экране, расположенном в фокальной плоскости линзы,
связано с углом ф (см. рис. 8.27), между линейной и угло-
вой дисперсиями существует связь:
Ddl dtp f г\ и
лин = —--7- = —4—£>угл— линейная дис-
J<p dK cos ф персия решет-
ки.
(8.48)
301
Разрешающая способность /? прибора связана с мини-
мальной разностью длин волн АХ, при которой две спект-
ральные линии с длинами Х| и Х2 зрительно восприни-
маются раздельно.
Согласно Д. Рэлею (1842—1919), разрешающая
способность R спектрального прибора равна Х/АХ, где
X = (Х| + Х2)/2. Можно показать, что в случае дифрак-
ционной решетки величина R равна произведению порядка
спектра т' на число щелей Af:
яреш = -2_ = m'N, (8.49)
По устройству дифракционные решетки бывают про-
пускающие и отражательные. Пропускающие решетки
изготавливаются из стеклянных или кварцевых пластин
путем нанесения алмазным резцом ряда параллельных
штрихов. Промежутки между штрихами являются щеля-
ми. Отражательные решетки изготавливаются нанесением
алмазным резцом штрихов на поверхности металличе-
ского зеркала. Лучшие решетки содержат 1200 штрихов
на 1 мм решетки. Общее число штрихов у таких решеток
длиной порядка 200 мм достигает 200 тысяч.
Дифракция на пространственной решетке. Дифракция
рентгеновских лучей. Ранее мы рассматривали наиболее
простой случай дифракции плоской монохроматической
волны на правильной одномерной структуре из N парал-
лельных щелей. Более сложная ситуация имеет место для
двумерной периодической системы. Получить такую систе-
му можно с помощью двух линейных дифракционных
решеток с периодами d\ и d2. Наложив такие решетки
друг на друга так, чтобы щели одной были перпендикуляр-
ны к щелям другой, мы получим двумерную периоди-
ческую структуру, т. е. плоскую решетку. При освещении
такой решетки монохроматическим светом наблюдается
система цветных и темных пятен. В качестве двумерной
решетки можно использовать кусок кисеи или какой-либо
сетки с очень мелкими ячейками.
Дифракция имеет место и на трехмерных (пространст-
венных) периодических структурах. Примером таких ес-
тественных структур являются кристаллические решетки,
имеющие период порядка 10-1СГ м. Напомним, что для
наблюдения дифракции необходимо, чтобы постоянная
решетки была того же порядка, что и длина волны падаю-
302
щего излучения. Поскольку видимый свет имеет длину
волны Х~5-10“7 м, наблюдение дифракции света на
кристаллической решетке невозможно. Рентгеновское из-
лучение представляет собой электромагнитные волны с
длиной волны примерно от 10-9 до 10-12 м. Поэтому этот
вид излучения можно использовать для наблюдения диф-
ракции на кристаллах.
Впервые дифракция рентгеновских лучей на кристал-
лах была теоретически предсказана и экспериментально
наблюдалась в 1912—1913 гг. немецкими физиками
М. Лауэ (1879—1960), В. Фридрихом (1883—1968) и
П. Книппингом (1883—1935). В этом случае роль межще-
левых промежутков одномерных решеток играют атомы
кристаллической решетки, которые рассеивают волны.
Сначала рассмотрим условие образования дифрак-
ционных максимумов на одномерной периодической струк-
туре, представляющей собой линейную цепочку атомов,
расположенных на оси х на расстоянии d\ друг от друга.
Аналогично для осей у и z периодичность расположения
атомов будет определяться расстояниями d2 и d3 соот-
ветственно.
Пусть на линейную цепочку атомов падает парал-
лельный пучок монохроматического света (рис. 8.30,а),
угол скольжения которого по отношению к оси х равен а0.
Рассеянные в результате дифракции лучи будут распрост-
раняться под всевозможными углами а к оси х (0 а л).
Рассмотрим параллельный пучок рассеянных атомами
лучей /, 2, 3, которые образуют некоторый заданный
угол а с осью х (рис. 8.30,6) и поэтому после прохожде-
ния линзы соберутся в определенной точке Р экрана, рас-
положенного в фокальной плоскости собирающей линзы.
Геометрическая разность хода Ai двух лучей, исходящих
от соседних атомов (точки Л и В на рис. 8.30,6), равна
разности отрезков АС и BD, а условие дифракционных
максимумов будет иметь следующий вид (АС = dicos а,
BD = d\ cos а0):
Aj = di(cosа — cosа0) = k\ =0, 1, 2, ... . (8.50)
Из рис. 8.30,6 видно, что все направления в прост-
ранстве, для которых выполняется условие (8.50), обра-
зуют конус с углом 2а при вершине. Каждому значению
числа k\ соответствует определенное значение угла а,
а значит, и свой конус. В связи с этим на экране будет
303
наблюдаться система полос, которые для линзы, располо-
женной параллельно оси х, имеют вид гипербол*.
Если падающий пучок света образует с осями у и z
углы Ро и уо, то условия усиления интенсивности рас-
сеянных пучков света, образующих углы р и у с линейными
цепочками атомов, расположенных вдоль осей у и z, будут
аналогичны (8.50):
d2(cos р — cos ро) = ±Л2Х; d3(cosy —cosy0)= ±Л3Х. (8.51)
Соотношения (8.50) и (8.51) называются формула-
ми Лауэ. Углы а, р и у, определяющие направление
рассеянных лучей, не являются независимыми, поскольку
они удовлетворяют известному тригонометрическому соот-
ношению:
cos2 а + cos2 р + cos2y = 1. (8.52)
* В случае рентгеновских лучей линзы не используют, так как
для этих лучей показатель преломления практически равен единице.
Поэтому обычно используют узкий пучок рентгеновских лучей, который
и без линзы дает на экране (фотопластинке) малое пятно с большей
либо меньшей интенсивностью.
304
Таким образом, при заданных значениях углов а0, Ро,
уо, длине волны X и наборе чисел fti, k% и k$ имеется систе-
ма четырех у р а в н е н и й для т р ех неизвестных
углова, (Зи у, определяющих направления на соответст-
вующие дифракционные максимумы.
В этом случае система (8.50) — (8.52) может иметь
решение для углов а, (3 и у не при любых возможных
значениях перечисленных выше параметров, а при некото-
рых их определенных значениях.
Если длина волны X, падающего на кристалл света,
фиксирована (монохроматическое излучение), то решение
системы четырех уравнений можно найти только путем
варьирования (перебора) значений углов а0, (Зо и у0. В экс-
перименте это достигается либо поворотом монокристал-
ла относительно фиксированного направления падающего
луча (метод «качающегося кристалла»), либо заменой
монокристалла на мишень из поликристалла, состоящего
из большого числа хаотически ориентированных микро-
кристаллов.
В случае поликристалла (метод Дебая—Шере-
ра) всегда имеется определенная доля кристалликов,
ориентированных так, что условия дифракционных макси-
мумов для них выполняются. В результате на фотопла-
стинке получается система засвеченных пятен, которая
называется дебаеграммой.
Дифракционную картину на неподвижном моно-
кристалле (лауэграмму) можно получить, если его об-
лучать рентгеновскими лучами с различными длинами
волн, образующими, например, сплошной спектр в некото-
ром интервале длин волн (Xi X Хг).
Другой подход к рассмотрению дифракции рентгенов-
ских лучей предложен в 1913 г. русским физиком Ю. В. Ву-
льфом (1863—1925) и независимо от него английскими
физиками У. Г. Брэггом (1862—1942) и его сыном
У. Л. Брэггом (1890—1971). В их методе расчета диф-
ракционной картины дифракция рентгеновских лучей рас-
сматривается как результат их отражения от системы
параллельных кристаллографических плоскостей (плос-
костей, в которых лежат узлы кристаллической решетки).
Пусть на кристаллическую решетку падает под углом
скольжения 0 пучок параллельных рентгеновских лучей
1,2 с, длиной волны X (рис. 8.31). Вторичные лучи Г и 2'
когерентны между собой и будут интерферировать. Мак-
симумы интенсивности наблюдаются для тех углов 0, для
305
которых лучи /' и 2' имеют разность хода Д = 2d sin 6,
равную целому числу длин волн, т. е.
2dsin9 = mX — формула Брэгга — Вульфа;
d—расстояние между атомными
плоскостями,
т = 1, 2, 3, ...
(8.53)
Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах прак-
тически применяется для исследования спектрального
состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектро-
скопия) и изучения структуры кристаллов (рентгеност-
руктурный анализ).
Голография. Голографией (от греч. holos — весь,
полный и grapho — пишу) называют систему методов
записи и воспроизведения пространственной структуры
монохроматических или квазимонохроматических оптиче-
ских полей. Приведенное определение голографии пока-
зывает некоторую общность ее с методами фотографии,
т. е. как запись, хранение и воспроизведение зритель-
ных образов объектов. Однако фотография, где исполь-
зуется только амплитудная характеристика све-
товой волны, т. е. интенсивность, позволяет фиксировать
лишь подобие плоских проекций распределения поверх-
ностной освещенности объекта. При голографической за-
писи информации используются амплитудная и фа-
зовая характеристики световой волны, что дает
возможность точно воссоздать пространственную струк-
туру светового поля рассматриваемого объекта, т. е.
создать его оптическую копию. Для практического созда-
ния голограмм необходимы источники с высокой прост-
ранственной и временной когерентностью. По этой причи-
306
не практическое использование голографии стало возмож-
ным только после создания лазерных источников света.
Основы голографии были заложены английским физиком
Д. Габором (1900—1979) в 1948 г.
Рассмотрим принципиальную оптическую схему для со-
здания голограммы и ее зрительного рассмотрения
(рис. 8.32). Исследуемый объект освещается пучком ла-
зерного света. Рассеянная объектом световая волна
(предметная), а также часть исходной лазерной волны,
отраженной от зеркала (опорная), попадают на фотопла-
стинку (рис. 8.32, а), на которой регистрируется возни-
кающая интерференционная картина. Проявленная фото-
пластинка представляет собой зафиксированную карти-
ну, которая называется голограммой. Для воспроизве-
дения световой волны, ранее отраженной от объекта,
убирают исследуемый предмет и помещают голограмму
307
a
2
в то же место, где находилась фотопластинка при фото-
графировании (рис. 8.32,6). Освещая ее светом того же
лазера, наблюдают мнимое изображение предмета, кото-
рое получается там же, где ранее находился предмет.
Получаемое объемное изображение предмета кажется
столь же реальным, как и сам предмет, при этом изобра-
жение имеет такое же распределение освещенности, как и
предмет при получении голограммы.
Рассмотрим принцип получения голограммы и восста-
новления изображения предмета. Предположим, что на
фотопластинку падают два когерентных пучка световых
лучей, идущих под углом а друг к другу (рис. 8.33, а).
Плоский лазерный пучок 1 является опорным, а рас-
сеянный поверхностью предмета пучок 2 представляет
собой часть предметного. Вследствие их интерференции
на фотопластинке образуется система чередующихся
максимумов и минимумов интенсивности. Пусть точки
А и В соответствуют соседним интерференционным
308
максимумам. Тогда геометрическая разность хода А/ при
т= 1 равна X. Поскольку A/ = dsina, dsina = X.
Зафиксйрованную на голограмме путем проявления
фотопластинки интерференционную картину можно рас-
сматривать как дифракционную решетку с перио-
дом d = X/sina. Поэтому при освещении такой голограм-
мы опорным пучком (рис. 8.33,6) возникает дифракцион-
ная картина, максимумы которой образуют с нормалью
углы фт, определяемые условием
dsinq)m = mX, m = 0,±l,...
Лучи света, отвечающие т = 0 (фо = 0), лежат на про-
должении лазерного пучка. Лучи 2' дифракционного мак-
симума при т = + 1 (ф' = а) имеют такое же направле-
ние, какое имел при получении голограммы предметный
пучок 2. Кроме того, возникает максимум, отвечающий
т = — 1 (ф" = —а).
При получении голограммы предмета на пластинке
интерферируют опорный пучок / и множество расходя-
щихся предметных пучков 2, отраженных различными точ-
ками предмета. В результате на пластинке образуется
сложная интерференционная картина. При освещении
голограммы опорным пучком / возникает пучок 2', который
копирует, т. е. восстанавливает, все лучи пучка 2. Тем
самым восстанавливается полная световая волна, отра-
жавшаяся ранее предметом, которая дает здесь его мни-
мое изображение (см. рис. 8.32,6).
Характерным является то, что даже часть, т. е. кусок,
голограммы восстанавливает полное изображение, однако
его четкость ухудшается, что объясняется уменьшением
разрешающей способности дифракционной решетки [см.
формулу (8.49)], роль которой играет уже только часть
голограммы.
Методы голографии находят в настоящее время широ-
кое применение для записи и хранения информации.
8.3. Дисперсия и поглощение света
Основные положения. Дисперсией света (от лат. dis-
persio — рассеяние) называется зависимость показателя
преломления п вещества от длины волны X или частоты v
света либо соответствующая ей зависимость фазовой ско-
рости v в среде от X или v (и = с/ri). Обычно дисперсия
света представляется зависимостью n = fi(X) или n = /2(v).
309
Зависимости п от X или v существенно нелинейные, т. е.
производная dn/dk =/= const. Для стекла в видимой области
спектра dn/dX<0, т. е. показатель преломления умень-
шается с увеличением длины волны. Аналогичный ход
зависимости п от X наблюдается для всех прозрачных
веществ. Если dn/dX<0, то дисперсия называется нор-
мальной, а если dn/dk > 0,— аномальной. На рис. 8.34
схематично представлены типичный ход зависимости п
от X и полоса спектра поглощения света, т. е. зависимость
коэффициента поглощения а от Х(а = /(X)), который опре-
деляет поглощение света веществом:
1 = lQe ах — закон Бугера — Ламберта*.
(8.54)
Здесь /о и / — соответственно интенсивности света на
входе в слой вещества толщиной х и на выходе из него.
Из рисунка видно, что аномальная дисперсия наблю-
дается в области спектра с длиной волны от Х| до Л2, т. е.
в пределах полосы поглощения света. Из формулы Рэ-
лея**, связывающей групповую скорость и пакета
волн с их фазовой скоростью v, а именно и = v — 'kdv/d'k,
следует, что в случае нормальной дисперсии du/dK =
* Закон поглощения света открыт в 1729 г. французским физиком
П. Бугером (1698—1758), детально изучен в 1760 г. немецким физиком
И. Г. Ламбертом (1728—1777). В 1852 г. немецкий ученый А. Бер
выяснил влияние концентрации с вещества в растворе на поглощение
света (а = хс, х — коэффициент). Следует отметить, что, помимо погло-
щения света веществом, наблюдается еще и явление рассеяния света
по всевозможным направлениям.
** Формула Рэлея приведена в гл. 9 первой части пособия на
примере упругих волн.
310
= — cn~2dn/d'k> 0 и u<v. При аномальной дисперсии
du/dXcO, тогда и > v. Если же среда не обладает дис-
персией (dv/dk =0), то групповая скорость волн равна
фазовой, т. е. и = v.
Таким образом, в окрестности полосы поглощения све-
та на кривой зависимости п от X (или п от v) можно вы-
делить области нормальной и аномальной дисперсии света
(см. рис. 8.34):
dn/dk<Z§ при и — нормальная
дисперсия;
dn/dK>Q при Xi <Х<Х2 — аномальная
дисперсия.
Явление дисперсии света приводит к тому, что в соот-
ветствии с законом преломления белый свет с помощью
преломляющей призмы (см. задание 8.6) разлагается на
отдельные составляющие (цвета). В результате на экране
Э за призмой возникает призматический, или диспер-
сионный, спектр (рис. 8.35, а).
Степень дисперсии немонохроматического пучка света
характеризуют так называемой средней дисперсией Лп,
показывающей, в какой мере расходятся при преломлении
лучи пучка. По определению, она вычисляется по форму-
ле \n = nF— пс, nF и пс — показатели преломления сре-
ды, соответствующие голубой (F) и красной (С) линиям
спектра атома водорода (Xf = 486,1 нм, Хс = 656,3 нм).
Относительная дисперсия равна (nF — nc)/(nD — 1) (nD —
показатель преломления среды для желтой линии натрия,
= 589 нм). Величина, обратная относительной диспер-
сии, называется показателем дисперсии. Поэтому большей
311
относительной дисперсии соответствует меньший ее пока-
затель.
Задание 8.6. Найдите значения угла 0min (рис. 8.35, б) для красных
(Хкр = 656,3 нм, лкр = 1,6444) и фиолетовых (А^ = 404,7 нм, пф = 1,6852)
лучей, если преломляющий угол ср стеклянной призмы равен 60° (см.
табл. III.14 прил. III).
Указание. Воспользуйтесь формулами, полученными в зада-
нии 7.4, и выполните необходимые численные расчеты.
От в е т. п sin (q>/2) = sin ((0m,„ + <р)/2)=>0Х = 52°29', 0*in = 54°50'.
Задание 8.7. Используя зависимость показателя преломления п
от длины волны к (см. рис. 8.34), постройте схематично на рисунке
зависимость п от частоты <о и установите области нормальной и ано-
мальной дисперсии.
Указание. Необходимо от переменной к перейти к переменной
to = 2nv (к = c/v = 2лс/(о).
Ответ. См. рис. 8.37, б. Нормальная дисперсия, если dn/dk<zQ
или dn/du) > 0, и аномальная дисперсия, если dn/dk > 0 или dn/dm < 0.
Элементарная электронная теория дисперсии. Класси-
ческая теория дисперсии света исходит из представления
о взаимодействии электромагнитной волны (света) с си-
стемой заряженных частиц, входящих в состав атомов и
молекул данного вещества.
Согласно теории Максвелла, абсолютный показатель
преломления среды определяется выражением (8.11), т. е.
Для прозрачных сред, которые являются диа-
или парамагнетиками, магнитная проницаемость ц ~ 1
(значения ц в статических полях приведены в табл. III.6
прил. III), и поэтому
п ~ — показатель преломления прозрач-
ных немагнитных сред.
(8.55)
Отсюда видно, что зависимость п от длины волны или
частоты является следствием того, что диэлектрическая
проницаемость е среды зависит от частоты внешнего
электрического поля. Частота световых волн порядка
1015 Гц, т. е. очень велика. Следовательно, основной вклад
в е среды для таких частот вносит электронная поляриза-
ция вещества, которая определяется вынужденными коле-
баниями электронов в атомах и молекулах под действием
312
электромагнитного поля световой волны. Таким образом,
для объяснения явления дисперсии света необходимо тео-
ретически обосновать зависимость е от со. Учитывая выра-
жения (4.8) и (4.19), запишем соотношения для диэлект-
рической восприимчивости х, е и п2:
(8.56)
где ео — электрическая постоянная; Р — проекция векто-
ра поляризации на направление вектора напряженности
Е электрического поля.
Для электронной поляризации Р = пара, где па— чис-
ло атомов или молекул в единице объема, т. е. их концент-
рация; ра — наведенный дипольный момент атома или мо-
лекулы в данный момент времени t.
Наибольший вклад в поляризацию вещества вносят
внешние, т. е. наиболее подвижные, электроны, для
которых используют термин оптические электроны. Для
атомов с одним оптическим электроном
Ра = Ре = — Р = ПаРа = ~ enaZ,
(8.57)
где е — заряд электрона; z — смещение электрона в неко-
торый момент времени от положения равновесия под дейст-
вием электрического поля £*(/) световой волны. Таким об-
разом, из выражений (8.56) и (8.57) следует, что
(8.58)
Смещение z оптического электрона от положения рав-
новесия можно найти с помощью второго закона Ньютона.
С одной стороны, на электрон действует возмущающая
электрическая сила со стороны электрического поля све-
товой волны E = E0cos(cd/ — kr + а0) (рис. 8.36):
Fe = — еЕ = — еЕ^ cos (со/ + а),
Положение рабнобесия
О Fynp F9 Ett)
Электрон
Рис. 8.36
313
где а= — Лг + а0 — начальная фаза волны в точке рас-
положения атома или молекулы. С другой стороны, на
электрон действует квазиупругая сила взаимодействия
электрона с остальной частью атома или молекулы, кото-
рая пропорциональна смещению z\ Fynp = k*z. Коэффи-
циент fe* связан с частотой собственных колебаний опти-
ческого электрона (Л* = /песоо). При отсутствии сопротив-
ления дифференциальное уравнение вынужденных колеба-
ний электрона будет иметь следующий вид (maz=Fze +
+ ^Упр):
(Fz
те -j- = — meMoZ — еЕ0 cos (со/ + а).
Частное решение этого уравнения находится, например,
с помощью векторной диаграммы:
2 =------; ef° ' z- cos (“< + а).
me((Oo — (о )
Подставив выражение для z в соотношение (8.58),
получим _____________
п = л/^—(8.59)
V теео((Оо — со )
Вдали от резонансной частоты со = соо для большинства
прозрачных веществ второе слагаемое под корнем в соот-
ношении (8.59) намного меньше единицы. Поэтому вос-
пользуемся разложением -д/1 + х ~ 1 + х/2 и запишем
приближенное выражение для показателя преломления
среды:
fl — 1 И---7“,--2^.
2теео((0о — (о )
Полученная теоретическая зависимость схематично
представлена на рис. 8.37, а. При со = соо функция п = f(co)
скачком изменяется от + оо до — оо, что не имеет физи-
ческого смысла и является следствием используемой меха-
нической модели, которая не учитывает наличия сил со-
противления при любом механическом движении. Поэтому
если учесть еще и силу сопротивления Fc= то для
коэффициента преломления получится выражение, ко-
торое уже учитывает поглощение энергии световых волн
при их взаимодействии со средой:
+ = <8-60>
314
Из выражения (8.60) следует, что при со = соо пока-
затель преломления равен единице (бесконечный нефизи-
ческий разрыв уже отсутствует) и зависимость п от со ока-
зывается непрерывной функцией частоты (рис. 8.37, б), что
согласуется с приведенной ранее экспериментально наблю-
даемой зависимостью п(Х) (см. рис. 8.34, на котором
Xi < Х2, а соответствующие им частоты на рис. 8.37, б удов-
летворяют условию: (01 >>(О2, поскольку (о = 2лс/Х).
Если в атомах или молекулах под действием электри-
ческого поля световой волны приходит в колебательное
движение несколько оптических электронов, по-разному
связанных с атомами или молекулами (разные значения
коэффициентов А* и ц в выражениях для квазиупругих
сил и сил сопротивления), то вещество будет характери-
зоваться несколькими собственными частотами (оо/ (/ =
= 1,2, ...). В окрестности этих частот возникнут соответ-
ствующие полосы поглощения, которые на рис. 8.38 за-
штрихованы и совпадают с интервалами частот, где дис-
персия аномальна (dn/d(& < 0). Незаштрихованные обла-
сти соответствуют нормальной дисперсии (dn/d(o>>0).
Методы наблюдения дисперсии света. Из всех способов
наблюдения дисперсии наиболее наглядным для экспери-
ментального изучения является метод скрещенных призм,
который иллюстрируется рис. 8.39. Белый свет, выходящий
из щели 5, попадает на призму 1 и разлагается в спектр,
который можно наблюдать на экране Э|, расположенном
за этой призмой. Призма // с преломляющим ребром, рас-
положенным перпендикулярно к ребру призмы /, искрив-
ляет спектр в изогнутую полоску, форма которой напо-
315
минает приведенную на рис. 8.34 зависимость п(Х) для
области с нормальной дисперсией, где п> 1.
Вместо призмы // поставим газовую горелку и внесем в
ее пламя соль натрия. В этом опыте роль второй призмы
играет пламя газовой горелки, имеющее различную плот-
ность газа по вертикальному направлению. Вследствие
наличия у натрия двойной линии поглощения (Xi =
= 589,0 нм, Х2 = 589,6 нм) кривая дисперсии испытывает
излом, который удается обнаружить в эксперименте
(рис. 8.40, а).
Другой метод наблюдения аномальной дисперсии,
предложенный русским физиком Д. С. Рождественским
(1876—1940), получил название метода «крюков» Рож-
дественского. Применив несколько видоизмененный интер-
ферометр Жамена*, Д. С. Рождественский получил кар-
тину кривых дисперсии для паров натрия, изображенную
на рис. 8.40,6. По вершинам «крюков» можно непосред-
ственно рассчитать показатель преломления вблизи линий
поглощения.
* Ж. Жамен (1818—1886) —французский физик.
316
a
Рис. 8.40
Рис. 8.41
Применение дисперсии. На явлении нормальной дис-
персии основано действие призменных спектрографов и
спектроскопов. Их принципиальная оптическая схема
(рис. 8.41) состоит из следующих узлов: коллиматора К,
призмы А и зрительной трубы Т. Щель 5 коллиматора
находится в фокусе линзы Л\, что обеспечивает падение
света на призму параллельным пучком. В призме свет
разной длины волны отклоняется на различные углы и
собирается линзой Л2 зрительной трубы в фокальной пло-
скости этой линзы. Спектр может регистрироваться с
помощью фотопластинки, помещенной в фокальной пло-
скости линзы Л2. Основной особенностью дисперсионного
спектра является его нелинейность, т. е. угловая диспер-
сия d^/dK =/= const, что определяет неодинаковую разре-
шающую способность прибора для различных участков
спектра. Работа с таким прибором требует его градуиров-
ки по эталонному линейчатому спектру.
317
8.4. Поляризация света
Естественный и поляризованный свет. Поляризация
света состоит в упорядоченности ориентации векторов
напряженностей электрического Е и магнитного Н полей
световой волны в плоскости, перпендикулярной к свето-
вому лучу. Поляризация света является одним из явлений,
где очень наглядно проявляются волновые свойства.
Отметим, что только это явление подтверждает попереч-
ность световых, а значит, и любых других электромаг-
нитных волн. В естественном свете, который испус-
кается обычными источниками, колебания векторов элект-
рического Е и магнитного Н полей в различные проме-
жутки времени совершаются в различных направлениях,
перпендикулярных к лучу (рис. 8.42,а). Колебания раз-
личных направлений достаточно быстро (за время порядка
10“8 с) и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в ко-
тором направления колебаний Е и Н электромагнитной
волны упорядочены каким-либо образом, называется поля-
ризованным светом. Если колебания светового вектора
(напомним, что так называется вектор Е) происходят
только в одной, проходящей через луч плоскости, то свет
называется плоско- или линейно поляризованным. Приме-
ром такой поляризации (рис. 8.42,6) является гармони-
ческая монохроматическая волна [плоская (Л = const)
либо сферическая (Л =Л0/г), см. формулу (8.3)]:
Е = A cos(cd/— к, г). (8.61)
Возможны и другие виды поляризации света. Напри-
мер, упорядоченность может заключаться в том, что век-
тор Е поворачивается вокруг луча (в определенном на-
правлении) и его конец описывает в пространстве эллипс.
Такой свет называется эллиптически поляризованным.
Если конец вектора Е описывает окружность, то свет на-
зывается поляризованным по кругу. Понятно, что линей-
но и циркулярно (по кругу) поляризованный свет
представляет собой частные случаи эллиптически поля-
ризованного света. Поэтому особое внимание при рассмот-
рении свойств поляризованного света необходимо уделять
эллиптической поляризации.
Рассмотрим два взаимно перпендикулярных электри-
ческих колебания одинаковой частоты, совершающиеся
вдоль осей х, у и отличающиеся по фазе на 6:
Ех = А1 cos со/; Еу = Л 2 cos (со/ + 6). (8.62)
318
Результат сложения этих линейно поляризованных ко-
лебаний, как известно*, описывается уравнением
F2 El F F
% + -2 ra-cos 6 =sin б- <8-63)
А | 712 1^*2
Напомним, что необходимым условием когерентности
света является постоянство 6 во времени. В том случае,
если 6 хаотически меняется во времени, результирующее
колебание будет характеризоваться скачкообразным не-
упорядоченным изменением вектора Е. В соответствии с
этим естественный свет можно представить как результат
наложения двух некогерентных электромагнитных волн,
поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях
и имеющих одинаковую интенсивность. Такое представ-
ление о естественном свете сильно упрощает теоретиче-
ское рассмотрение его прохождения через поляризующие
устройства и оптически анизотропные среды.
В зависимости от того, какие значения принимает
разность фаз двух накладываемых друг на друга коге-
рентных колебаний (6 = const), можно выделить три
частных случая.
Случай I. Если разность фаз 6 двух колебаний равна
л/2 + пл (п = О, ± 1, zt 2, ...), то cos 6 = 0, a sin 6 = zb 1,
и уравнение (8.63) упрощается:
F2 F2
> + >=L <8-64)
1. При А । =/= А 2 выражение (8.64) является уравнением
эллипса с центром в начале координат и полуосями Ai и Л2,
* Сложение взаимно перпендикулярных механических колебаний
рассматривалось в гл. 7 первой части пособия.
319
совпадающими с осями хну системы координат (рис.
8.43). Отметим, что вектор Е вращается по ходу часовой
стрелки (луч распространяется на наблюдателя, т. е. вдоль
z) при нечетном п и против хода часовой стрелки при
четном п. В первом случае говорят о правой эллиптиче-
ски поляризованной волне, а во втором — о левой эллип-
тически поляризованной волне.
2. При А 1 = А 2 конец вектора Е (точка М) движется
по окружности, так что волна будет уже иметь круговую
поляризацию (правую или левую).
Случай II. Если разность фаз 6 = ил (п = 0, ±1,
±2, ...), то cos6= ±1, a sin 6 = 0, и общее выражение
(8.63) вновь упрощается:
4+4 ±2 S-=± -йУ =°- <8-65>
В этом случае Еу = kEx, где k = ±Л 2/А ь т. е. конец ре-
зультирующего вектора Е (точка М) совершает колебания
по прямой с положительным (рис. 8.44, а) либо отрица-
тельным (рис. 8.44,6) угловым коэффициентом £ = tga.
Случай III. Если 0<|cos6|<l при 6 = const,
то уравнение (8.63) будет уравнением эллипса, полуоси
которого повернуты на некоторый угол по отношению к
координатным осям (рис. 8.45,а). Его ориентация и полу-
оси а, b зависят от значения разности фаз 6, причем эллип-
тически поляризованная волна получается и при А\ =Лг.
Наглядно представить эллиптически поляризованную вол-
ну для фиксированного момента времени t можно следую-
щим образом. Если на поверхности прямого эллиптиче-
ского цилиндра провести винтовую линию (рис. 8.45, в),
то начала векторов Е будут находиться на оси цилиндра,
320
со^^1 у k-tg^A^
CO$fr~-1 у
k = tg*~-A^Ar
Рис. 8.44
а концы — на винтовой линии. Сами векторы Е в любой
точке волны перпендикулярны к оси цилиндра (рис.
8.45,6).
Очевидно, что сложение двух волн с правой и левой
круговыми поляризациями приводит к линейно поляри-
321
Рис. 8.46
зованной волне (рис. 8.46), поскольку результирующий
вектор E=Ei4-E2 будет все время совпадать с верти-
кальной линией, если только их частоты и амплитуды
равны.
Линейно поляризованный свет характеризуется плос-
костью колебаний, представляющей собой плоскость, в ко-
торой колеблется световой вектор (вектор Е). Линейно
поляризованный свет можно получить из естественного с
помощью приборов, называемых поляризаторами (рис.
8.47, а). Эти приборы свободно пропускают световые коле-
бания, параллельные некоторой плоскости, называемой
плоскостью пропускания поляризатора, и полностью или
частично задерживают колебания, перпендикулярные к
этой плоскости.
Предположим, что линейно поляризованный
луч интенсивностью /о падает на поляризатор с верти-
322
кально расположенной плоскостью поляризатора
(рис. 8.47,6). Колебание вектора Е совершается в пло-
скости, образующей с плоскостью поляризатора угол ср.
Это колебание с амплитудой Ао разложим на два колеба-
ния с амплитудами Лц = ЛоС05ф и А ± = Ао sin ср. Первое
колебание пройдет через поляризатор, а второе не пройдет.
Поскольку интенсивность падающей на поляризатор вол-
ны пропорциональна квадрату амплитуды Ао (1о ~ Ао),
интенсивность I прошедшей через поляризатор волны бу-
дет пропорциональна квадрату Лц (/ — Л 2), т. е.
Л у = Al соэ2ф=>/ = /0cos2(p — закон Малюса
для падающего линейно поляризованного
света.
(8.66)
Соотношение (8.66) было получено в 1810 г. француз-
ским физиком Э. Малюсом (1775—1812). Из закона (8.66)
видно, что при вращении поляризатора вокруг луча интен-
сивность I прошедшего света будет меняться в пределах
от нуля, когда угол ф = 90° (плоскость поляризатора
перпендикулярна к плоскости колебаний вектора Е), до
/тах = /о ПРИ ф = 0°.
Если на поляризатор падает естественный свет,
то угол ф в формуле (8.66) будет хаотически изменяться
во времени (все значения углов ф равновероятны), поэто-
му интенсивность прошедшего через поляризатор линейно
поляризованного света будет определяться средним зна-
чением косинуса угла ф (<соэ2ф> = 1/2):
/ = Io< cos2ф>=>/ = /0/2 — закон Малюса
для падающего естественного света.
(8.67)
Вращение поляризатора вокруг луча не приводит в этом
случае к изменению интенсивности прошедшего поляризо-
ванного света.
Если на поляризатор падает эллиптически поляризо-
ванный свет, то при вращении поляризатора интенсив-
ность прошедшего света изменяется от /тах, получающейся
при совпадении плоскости поляризатора с большой полу-
осью эллипса, до /min, получающейся при совпадении пло-
скости поляризатора с малой полуосью эллипса. Такая же
ситуация реализуется, если на поляризатор падает частич-
323
но поляризованный свет. Для света, поляризованного по
кругу, вращение поляризатора не приводит (как и в случае
естественного света) к изменению интенсивности света,
прошедшего через прибор. Таким образом, с помощью
поляризатора невозможно отличить эллиптически поляри-
зованный свет от частично поляризованного, а также
циркулярно поляризованный свет от естественного.
Если какой-либо поляризационный прибор использу-
ется для получения линейно поляризованного света, то
его называют поляризатором, если этот же прибор исполь-
зуется для исследования (анализа) поляризованного све-
та,— анализатором.
Поляризация света при отражении и преломлении.
Если на границу раздела двух диэлектриков (например,
воздух — стекло) падает естественный свет, то имеет место
его частичное отражение и частичное преломление. Ана-
лиз отраженного и преломленного лучей с помощью поля-
ризатора показывает, что оба они в общем случае ча-
стично поляризованы. В отраженном луче преобладают
колебания, перпендикулярные к плоскости падения (на
рис. 8.48 они обозначены точками), а в преломленном —
колебания, параллельные плоскости падения (на рис. 8.48
эти колебания изображены стрелками). Степень поляри-
зации отраженного и преломленного лучей зависит от
угла падения естественного света и показателя прелом-
ления второй среды относительно первой. Оказывается,
что отраженный луч полностью линейно поляризован,
если значение угла падения а = аБр удовлетворяет условию
324
tgaBp = rt2/ni —закон Брюстера.
(8.68)
Соотношение (8.68) было открыто в 1815 г. английским
физиком Д. Брюстером (1781 —1868). Что касается пре-
ломленного луча, то он остается частично поляризо-
ванным.
Задание 8.8. Определите значение угла 6 между отраженным и
преломленным лучами, если угол падения а равен углу Брюстера
(а = аБр).
Указание. Воспользуйтесь законом Брюстера и законом пре-
ломления.
Ответ. Угол 6 = 90°.
Поляризация при двойном лучепреломлении. Прохож-
дение естественного света через все прозрачные кристаллы
(за исключением кристаллов кубической системы) связано
с явлением двойного лучепреломления, заключающемся
в том, что упавший на кристалл луч расщепляется
внутри кристалла на два луча, которые распростра-
няются с разными скоростями и в различных направле-
ниях.
Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением,
подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных
кристаллов имеется только одно направление распрост-
ранения луча света, для которого не наблюдается двойное
лучепреломление. Это направление называется оптиче-
ской осью кристалла. Плоскость, проходящая через па-
дающий луч и оптическую ось в точке его падения, назы-
вается главным сечением или главной плоскостью кри-
сталла. Двуосные кристаллы имеют два направления, для
которых двойное лучепреломление не наблюдается.
У одноосных кристаллов один из преломленных лучей
удовлетворяет обычному закону преломления. Этот луч
называется обыкновенным и характеризуется коэффициен-
том преломления по. Для другого луча, называемого не-
обыкновенным, коэффициент преломления пе отличен от
по, и для этого луча отношение синусов угла падения и
угла преломления не остается постоянным при изменении
угла падения. Кроме того, необыкновенный луч не лежит,
как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нор-
малью к преломляющей поверхности. Отметим, что у
325
Необыкновенный луч
Обыкновенный луч
Рис. 8.49
двуосных кристаллов оба луча являются необыкновен-
ными.
Остановимся более подробно на одноосных кри-
сталлах как наиболее часто используемых для создания
оптических приборов. Обыкновенный и необыкновенный
лучи полностью линейно поляризованы во взаимно перпен-
дикулярных направлениях (рис. 8.49). Плоскость коле-
баний обыкновенного луча перпендикулярна к
главному сечению кристалла. В необыкновенном
луче колебания светового вектора совершаются в пло-
скости, совпадающей с главным сечением. При падении
на кристалл пучка естественного света интенсивности
обыкновенного и необыкновенного лучей одинаковы.
Двойное лучепреломление света является следствием
анизотропии диэлектрических свойств кристаллов. В таких
кристаллах диэлектрическая проницаемость е зависит от
ориентации вектора Е световой волны. В одноосных кри-
сталлах значения е в направлении оптической оси и в на-
правлениях, перпендикулярных к ней, различны (ец =/= е±).
Поэтому эллипсоид диэлектрической проницаемости явля-
ется эллипсоидом вращения (рис. 8.50, а). Поскольку
п = скорость световых волн v = с/п зависит от направ-
ления колебаний светового вектора Е в кристалле.
Одноосные кристаллы характеризуются показателем
преломления обыкновенного луча по = c/vo и показателем
преломления необыкновенного луча ne=c/ve, распрост-
раняющегося вдоль оптической оси. В зависимости от
соотношения vo и ve одноосные кристаллы подразделяются
на положительные и отрицательные. У положительных
кристаллов Ve > ио(Пе < По), ОТрНЦаТвЛЬНЫХ—Ve<Vo(ne>
> По).
Предположим, что на грань кристалла падает естест-
венный луч 1 под некоторым углом а. За счет двойного
326
Рис. 8.50
лучепреломления в кристалле будут распространяться два
луча — обыкновенный луч 2 (рис. 8.50,6) и необыкно-
венный луч 2* (рис. 8.50, в). Векторы Е для обыкновен-
ных лучей 2, 3, 4 расположены перпендикулярно к оптиче-
ской оси кристалла, независимо от направления их рас-
пространения в главном сечении, т. е. независимо от зна-
чений углов р, соответствующих разным а. Поэтому пока-
затель преломления = а значит, и скорость
vo = c/no не будут зависеть от направления распростра-
нения обыкновенного луча. Следовательно, волновая по-
верхность Гюйгенса для обыкновенных лучей в анизотроп-
ном кристалле оказывается сферической, как и в изотроп-
ной среде.
Иначе обстоит дело с необыкновенными лучами 2*,
5*, 4*, для которых скорость распространения зависит от
угла р* (см. рис. 8.50,в). Для луча 5*, распространяюще-
гося параллельно оптической оси, вектор Е перпендику-
лярен к этой оси, и, следовательно, скорость оз = с/~у/ЁТ.
Для луча 4*, который перпендикулярен к оптической оси,
скорость vS = с/д/ё||Г Поскольку 8и > е±, скорость
Vi < Уз, а скорость уВ меньше Уз и больше у?.
Сейчас можно объяснить, как происходит разделение
падающего луча 1 на два луча в одноосном кристалле.
Для этого рассмотрим плоский пучок естественного света,
который падает под углом а на грань кристалла с одной
оптической осью (рис. 8.51). В момент времени t фронт
падающей волны света достиг точки А на поверхности
кристалла. Преломленные лучи при различных значениях
327
Рис. 8.51
угла а распространяются по всем направлениям в кри-
сталле. Скорость обыкновенной волны не зависит от на-
правления и равна Vo. К моменту времени /4-Л/, когда
фронт падающей плоской волны достигнет точки В (Л/ =
= СВ/с), фронт вторичной обыкновенной волны будет
представлять собой полусферу с центром в точке А и ра-
диусом, равным УоЛ/. Поэтому фронт преломленной обык-
новенной волны будет определяться плоскостью роВ, каса-
тельной к сферическому фронту. Преломленный обыкно-
венный луч 2 проходит через точку касания М плоскости
роВ со сферическим фронтом. Фронт вторичных необыкно-
венной волны (см. рис. 8.50, в) является эллиптическим,
и, следовательно, необыкновенный луч проходит через
точку Л/, которая является точкой касания плоскости
реВ и эллиптического фронта.
Получение и анализ поляризованного света. Описан-
ные выше явления лежат в основе работы оптических
устройств для получения линейно поляризованного света.
Эти устройства как раз и являются поляризаторами.
Принцип их действия основывается на использовании
закона Брюстера или явления двойного лучепреломления.
При применении закона Брюстера пользуются системой
одинаковых стеклянных пластинок (до 8—10 шт.), распо-
ложенных друг за другом таким образом, что свет, выхо-
дящий из первой пластинки, падает под углом Брюстера
на вторую, из второй — на третью и т. д. Такая система
пластинок называется стеклянной стопой (стопой Столе-
328
това). Устройство стеклянной стопы несложно, однако
она имеет существенный недостаток: обладает малой све-
тосилой и поэтому редко применяется на практике.
Наиболее часто в основе создания поляризаторов ле-
жит принцип двойного лучепреломления. В качестве при-
мера такого устройства рассмотрим призму Николя (на-
зываемую часто нйколем), изобретенную в 1828 г. англий-
ским физиком У. Нйколем (1768—1851). Эта призма вы-
резается из кристалла исландского шпата. Ее геометрия
представлена на рис. 8.52. Оптическая ось кристалла
MN образует с гранью призмы угол, равный 48°. Призма
разрезана и склеена канадским бальзамом по диагональ-
ной плоскости BD. Канадский бальзам прозрачен для
видимой области спектра и является оптически изотроп-
ным веществом. Абсолютный показатель преломления
канадского бальзама для света с длиной волны Х =
= 589,3 нм равен п= 1,550. Естественный свет от источ-
ника S* в призме раздваивается на два луча — обык-
новенный с Ио= 1,659 и необыкновенный с ие= 1,486 (см.
табл. III.13 прил. III). Приведенные значения показателей
преломления удовлетворяют соотношению ne<n<no.
Поэтому обыкновенный луч на границе раздела исланд-
ский шпат — канадский бальзам (ио > п) может испыты-
вать полное внутреннее отражениеи поглощать-
ся зачерненной оправой призмы. Необыкновенный луч про-
ходит через слой канадского бальзама и после преломле-
ния на грани CD выходит из призмы параллельно падаю-
щему лучу. Таким образом, призма Николя преобразует
естественный или частично поляризованный свет в свет
линейно поляризованный с плоскостью колебаний вектора
Е в главной плоскости призмы, проходящей через падаю-
щий луч и оптическую ось.
Призма Николя по своему устройству и работе имеет
329
Рис. 8.53
ряд недостатков и в последнее время мало применяется
в практике. Основным ее недостатком является то, что
естественный свет падает на переднюю грань АВ под неко-
торым углом, что приводит к значительным потерям при
отражении на этой грани. В связи с этим имеется ряд
призм, например призма Аренса, в которых пучок света
падает перпендикулярно к их передней грани. Это способ-
ствует увеличению прошедшего через призму светового
потока. Призма Аренса состоит из трех склеенных призм
(рис. 8.53), вырезанных из кристалла исландского шпата
таким образом, что его оптическая ось параллельна реб-
рам двугранных углов а и 2а. Угол а выбирается таким,
чтобы необыкновенный луч выходил из призмы, не изме-
няя направления, а обыкновенный луч вследствие полного
внутреннего отражения сильно отклонялся и поглощался
оправой. Значение угла а определяется материалом, ко-
торый используется в качестве клея (канадский бальзам,
льняное масло, глицерин).
Отметим, что к настоящему времени создано боль-
шое число поляризационных призм, устройство которых
обусловлено спецификой их практического применения.
Приведем в качестве примера схему еще одной призмы,
состоящей из стекла и исландского шпата (рис. 8.54).
Оптическая ось исландского шпата перпендикулярна к
плоскости чертежа. Показатели преломления материалов
призмы: для исландского шпата по= 1,659, ие = 1,486;
для стекла Ист — 1 , 490. Обыкновенный луч преломляется в
шпате два раза и сильно отклоняется. Необыкновенный
луч выходит практически без отклонения, так как пока-
затель преломления используемого в призме стекла близок
к пе.
Некоторое двоякопреломляющие кристаллы по-раз-
ному поглощают свет в зависимости от направления элект-
330
рического вектора (дихроизм* поглощения). Примером
кристалла с сильной дихроичностью является турмалин.
В этом кристалле обыкновенный луч поглощается значи-
тельно сильнее, чем необыкновенный, и при толщине пла-
стинки 1 мм обыкновенный луч видимого света с соответ-
ствующей ориентацией вектора Е практически полностью
поглотится. Особое значение приобрели дихроические
вещества в последнее время благодаря изобретению по-
ляроидов. Поляроид представляет собой пленку очень
сильно дихроического кристалла — герапатита. Прин-
цип изготовления поляроидов состоит в покрытии прозрач-
ной пленки мелкими, одинаково ориентированными кри-
сталликами герапатита. Чешуйка герапатита толщиной
около 0,1 мм полностью поглощаем один из лучей.
Искусственная оптическая анизотропия. Естественная
оптическая анизотропия для ряда кристаллов связана с
ориентационной и пространственной упорядоченностью в
них атомов, молекул или ионов, т. е. анизотропией среды.
В общем случае такая упорядоченность отсутствует у
аморфных твердых тел и жидкостей (за исключением
жидких кристаллов, см. гл. 12). Поэтому эти вещества
являются оптически изотропными, т. е. их оптические
свойства одинаковы по всем направлениям. Существует
ряд способов создания некоторой упорядоченности и в
этих веществах. Оказывается, что оптически изотропные
вещества приобретают анизотропные свойства под дей-
ствием одностороннего сжатия (или растяжения),
электрического или магнитного полей. В этом
случае вещество приобретает свойства одноосных кристал-
лов, оптическая ось которых совпадает с направлением
деформации электрического или магнитного полей.
* Дихроизм (от греч. dichroos — двухцветный) —различная ок-
раска одноосных кристаллов в проходящем белом свете при наблюдении
вдоль оптической оси и перпендикулярно к ней.
331
Мерой возникающей оптической анизотропии служит
разность показателей преломления обыкновенного п0 и
необыкновенного пе лучей, распространяющихся в направ-
лении, перпендикулярном к оптической оси.
При механических воздействиях п0— пе = k\G, где k\—
коэффициент, характеризующий вещество; о — механиче-
ское напряжение.
Явление оптической анизотропии, возникающей под
действием механических напряжений, широко использу-
ется для изучения распределения этих напряжений в мо-
делях сооружений и устройств. Принципиально этот метод
иллюстрирует рис. 8.55. Плоскости пропускания поляри-
затора П и анализатора А взаимно перпендикулярны,
поэтому при отсутствии механических сил F свет через
систему не проходит. Интенсивность прошедшего света за-
висит от разности По —Не, а значит, и от механических
напряжений. Поэтому при нагрузках в поле зрения наблю-
дателя интенсивность прошедшего через систему света
определяется в конечном счете распределением механиче-
ских напряжений в модели конструкции.
Оптическая анизотропия, возникающая под действием
электрического поля, зависит от напряженности Е этого
поля. Это явление открыто в 1875 г. английским физиком
Д. Керром (1824—1907) и называется эффектом Керра.
Мера анизотропии в этом случае определяется соотно-
шением п0 — Не = kzE2, где Й2 — коэффициент, характе-
ризующий вещество; Е — напряженность приложенного
электрического поля.
На рис. 8.56 представлена электрическая схема наблю-
дения эффекта Керра. Интенсивность прошедшего света
при скрещенных под углом 90° поляризаторе /7 и анали-
заторе А зависит от напряженности электрического поля.
Наиболее часто в ячейке Керра используется нитробензол.
Эффект Керра находит широкое практическое приме-
332
нение. Возникновение и исчезновение оптической анизо-
тропии при включении и выключении электрического поля
практически безынерционно (составляет примерно
10“10 с). Поэтому ячейка Керра используется как хоро-
ший световой затвор и применяется в быстро
протекающих процессах (запись и воспроизведение звука,
скоростная фото- и киносъемка, оптическая телефония
и т. д.).
Оптическая анизотропия, возникающая под действием
магнитного поля (эффект Коттона — Мутона*), описы-
вается соотношением п0 — пе = k3H2, где k3 — коэффи-
циент, характеризующий вещество; И — напряженность
магнитного поля.
Исследование эффектов, связанных с искусственной
анизотропией среды, позволяет получить информацию о
структуре и ориентационной подвижности молекул в ве-
ществе.
В заключение отметим возникновение оптической ани-
зотропии под действием мощного светового (лазерного)
потока. Электрическое поле световой поляризованной
волны также способно поляризовать молекулы или атомы
вещества и обусловливать оптическую анизотропию сре-
ды. Большие успехи в применении этого метода для изуче-
ния быстро протекающих релаксационных процессов в
жидкостях достигнуты благодаря использованию пико-
секундных лазерных потоков (длительность светового им-
пульса 10“12 с).
Оптически активные вещества. Некоторые твердые
вещества (кварц, сахар, киноварь) и жидкости (водный
раствор сахара, винная кислота, скипидар) обладают спо-
* Эффект открыт Д. Керром и независимо от него итальянским
физиком К. Майораной в 1901 г., однако детально он исследован фран-
цузскими физиками Э. Коттоном и А. Мутоном.
333
собностью вращать плоскость поляризации
света. Такие вещества называются оптически активными.
Оказалось, что все вещества, оптически активные в жид-
ком состоянии (в том числе и в растворах), обладают
этим свойством и в кристаллическом состоянии. В то же
время некоторые вещества, оптически активные в кристал-
лическом состоянии, являются оптически неактивными в
жидком. Следовательно, оптическая активность опреде-
ляется как строением самих молекул, так и их располо-
жением в кристаллической решетке.
Некоторые вещества вращают плоскость поляризации
по часовой стрелке (для наблюдателя, смотрящего на-
встречу лучу), некоторые — против часовой стрелки.
В первом случае проявляется действие правовращающей
модификации вещества, во втором — левовращающей.
В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях
угол поворота плоскости поляризации пропорционален
толщине I слоя вещества, т. е. ф=а/. Коэффициент про-
порциональности а называется удельным вращением. Он
зависит от природы вещества, температуры и длины волны
света. Для растворов удельное вращение а пропорцио-
нально концентрации раствора, и, следовательно,
Ф = аог/,
(8.69)
где с — концентрация оптически активного вещества в
растворе ([с]= кг/м3); а0 — коэффициент удельного
вращения (а = аос).
Например, коэффициент удельного вращения а0 при
температуре 20 °C и длине волны Х = 589,3 нм имеет для
раствора сахара следующие значения (в угл. мин • м2 X
Хкг“ ): тростниковый — ао= +39,86, виноградный —
ао= +31,50 (правое вращение) и фруктовый — а0 =
= —55,14 (левое вращение).
Явление оптической активности лежит в основе очень
334
точного и быстрого метода определения концентрации с
оптически активного вещества. Применяемые для этого
приборы называются поляриметрами или сахариметрами.
Принципиальная оптическая схема такого прибора пред-
ставлена на рис. 8.57. Анализатор А может вращаться
вокруг оси, совпадающей с лучом света. При измерениях
определяют два его положения, при которых свет не вы-
ходит из поляриметра, содержащего в одном случае кюве-
ту с растворителем, а во втором — кювету с раствором
оптически активного вещества. В результате находят
угол ф поворота плоскости поляризации света, прошед-
шего слой исследуемого вещества толщиной /. Обычно
коэффициент ао известен для растворенного вещества
либо его предварительно определяют путем градуировки.
Поэтому по формуле (8.69) концентрация с = ф/(ао/).
Оптически неактивные вещества способны вращать
плоскость поляризации света при помещении их в магнит-
ное поле. Это явление было обнаружено Фарадеем в
1845 г. и названо в его честь. Явление Фарадея наблю-
дается только при распространении света вдоль направ-
ления вектора намагниченности вещества. Угол поворота
Ф плоскости поляризации пропорционален пути /, прохо-
димому светом в веществе, и намагниченности J вещества,
которая пропорциональна напряженности Н магнитного
поля. В конечном итоге можно записать:
у=У01Н — для явления Фарадея.
(8.70)
Коэффициент пропорциональности Vo называется
постоянной Верде* или удельным магнитным вращением.
Величина Vo зависит от природы вещества, длины волны X
и практически не зависит для большинства веществ от
температуры. Значение постоянной Верде Vo не превышает
нескольких угловых минут на ампер. Так, для бензола
она составляет 2,59, воды — 0,016, сероуглерода —
0,053, этилового спирта— 1,072 угл. мин/А. Магнитное
вращение плоскости поляризации света обусловлено
прецессией электронных орбит во внешнем магнитном
поле, что приводит к вращательной анизотропии вещества.
Известно, что линейно поляризованную волну можно пред-
ставить как результат сложения двух волн с правой и
* Названа по имени французского математика М. Верде (1824—
1866).
335
левой круговыми поляризациями (см. рис. 8.46). Их взаи-
модействие с веществом будет различным, поскольку вра-
щение вектора Е одной волны совпадает по направлению
с прецессионым движением орбит, а второй — противопо-
ложно ему. В результате плоскость падающей линейно
поляризованной волны поворачивается при прохождении
в оптически активной среде.
Весьма значительным вращением плоскости поляриза-
ции света обладают некоторые жидкие кристаллы (см.
гл. 12), что нашло широкое применение при изготовлении
жидкокристаллических индикаторов.
Эффект Комптона — игра в бильярд
фотонами и электронами.
Макс Борн
9. КВАНТОВАЯ ОПТИКА
Существует ряд оптических явлений, которые не могут
быть объяснены на основе волновых* свойств света. Такие
явления, как фотоэффект, равновесное тепловое излуче-
ние и его свойства, а также явление Комптона, объясня-
ются только с позиции квантовых представлений об излу-
чении, поглощении и распространении света как о потоке
частиц — фотонов.
Основы квантовых представлений о характере излуче-
ния и поглощения света телами были заложены в 1900 г.
немецким физиком М. Планком (1858—1947) для объяс-
нения законов теплового излучения. Тем самым было по-
ложено начало развитию квантовой физики как науки о
строении и свойствах микрообъектов.
9.1. Свойства равновесного теплового
излучения тел
Виды излучения и его характеристики. Тепловое излу-
чение является наиболее распространенным видом излу-
чения. В случае изолированной системы испускание
электромагнитных волн происходит за счет внутренней
энергии тел, находящихся в термодинамическом равнове-
* Волновые свойства электромагнитного излучения рассмотрены
в гл. 8.
336
сии между собой и своим излучением (равновесное тепло-
вое излучение). Возможность установления равновесия
в системе тело — излучение обусловлена тем, что интен-
сивность теплового излучения возрастает при нагревании
тел. Все остальные виды свечения тел являются нерав-
новесными* и носят название люминесценции, которая
возникает под действием света (фотолюминесценция),
потока электронов (катодолюминесценция), электриче-
ского поля (электролюминесценция) и химических превра-
щений (хемилюминесценция). Люминесцирующие ве-
щества называются люминофорами.
Тепловое излучение при любой температуре тела со-
держит электромагнитные волны всевозможных частот
(0<v< оо), однако при низких температурах тела пре-
имущественно излучают волны инфракрасного диапазона.
Поскольку тепловое излучение является равновесным,
для описания его свойств в теплоизолированной системе
тел, находящихся при одной и той же температуре, можно
использовать законы термодинамики.
Количественной характеристикой интенсивности теп-
лового излучения является энергетическая светимость**
R(T), под которой понимают энергию, испускаемую еди-
ницей поверхности нагретого тела в единицу времени по
всем направлениям (в пределах телесного угла 2л). Энер-
гетическую светимость измеряют в Вт/м2. Обозначение
/?(Г) отражает тот факт, что энергетическая светимость
зависит от температуры тела. Эта величина является
интегральной характеристикой излучающего тела, так как
описывает излучаемую энергию, приходящуюся на весь
диапазон частот или длин волн. Если в интервале частот
от v до v + dv излучается энергия dR(y, Т), то поток энер-
гии, приходящейся на единичный интервал частот, назы-
вается испускательной способностью тела, т. е.
r(y, Т) = dR% =>dR(y, Т) = r(v, T)dv. (9.1)
Эта величина является функцией частоты и температуры.
Величины /?(Г) и г (у, Т) зависят также от природы из-
* В этом случае излучение является вынужденным, так как возни-
кает под воздействием каких-либо внешних факторов, т. е. система
незамкнута, или вследствие прохождения необратимых химических
реакций.
** Энергетическая светимость R3 тел была введена
в § 7.1, посвященном вопросам фотометрии. Здесь и далее индекс у ве-
личины R3 опускаем.
337
лучающего тела и связаны соотношением
R(T)=\r(y,T)dv. (9.2)
О
Электромагнитное излучение с частотой v часто харак-
теризуют соответствующей длиной волны X (X = c/v) и
используют испускательную способность г(Х, Г) =
= dR(KT)/d\ вместо введенной выше величины r(v, Г).
В выражении (9.2) выполним замену переменных и
перейдем от интегрирования по v к интегрированию по
X (X=c/v, dX = — (c/v2)dv):
R(T) = J r(X, T)dK = - J r(X, T) 4 dv = J г(X, Г) ~2 dv. (9.3)
0 oo V 0 V
Из последнего выражения получается связь между r(v, Т)
и г(X, Г):
r(v, Т) = Г(К Т)± = г(Х, Т) X = 4. (9.4)
Если при температуре Т на элементарную площадку
поверхности тела падает световой поток d<D(v, Г), частоты
электромагнитных волн которого заключены в интервале
v и v + dv, то часть его отразится от поверхности тела
(d(D0Tp(v, Г)), часть поглотится (d<Dno™(v, Г)), а часть потока
пройдет (d<Dnpox(v, Г)). Из баланса энергии можно записать
следующее равенство:
d<D(v, Г) = d<D0Tp(v, Г) + d<Dn0M(v,T) + d<Dnpox(v, Г). (9.5)
Последнее слагаемое зависит от строения и толщины тела.
В большинстве практических случаев оно мало по срав-
нению с первыми двумя, и в дальнейшем им будем пренеб-
регать. Разделив выражение (9.5) на d<D(v, Г), получим
i = ЛФ°тр(у, Т) ЛФП0ГЛ(у, Т) ,
</Ф(у, Т) “Г" </Ф(у, Т) • '
Величина p(v, T) = d<D0Tp(v, T)/d<D(v, Г) называется от-
ражательной способностью тела (коэффициент отраже-
ния), а величина
0-7)
338
называется поглощательной способностью этого тела.
Эти характеристики тела зависят от частоты v, темпера-
туры Г, а также от его природы. Из формулы (9.6)
следует, что a(v, Г) + p(v, Г) = 1. Тело, полностью погло-
щающее падающее на него излучение любой частоты,
называется абсолютно черным. Для него поглощательная
способность a(v, Т)= 1. Тело, для которого поглощатель-
ная способность не зависит от частоты (a(v, Т) = а(Т)),
называется серым.
Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа,
черный бархат, платиновая чернь поглощают все падаю-
щее на них излучение лишь в ограниченном интервале
частот. Например, в дальней инфракрасной области их
поглощательная способность значительно меньше едини-
цы. Моделью абсолютно черного тела может
служить малое отверстие О (рис. 9.1) в непрозрачной
стенке замкнутой полости. Луч света, попадающий внутрь
полости через отверстие, будет испытывать многократное
отражение от ее стенок, каждый раз испытывая частичное
поглощение. Поэтому, независимо от материала стенок,
такая полость будет обладать поглощательной способ-
ностью a(v, Г), практически равной единице. Если стенки
полости поддерживать при некоторой температуре Г, то
из отверстия О выходит излучение, близкое по своему
спектральному составу к излучению абсолютно черного
тела.
Законы Кирхгофа, Стефана — Больцмана и Вина.
Между испускательной r(v, Г) и поглощательной a(v, Г)
способностями любого тела существует связь. Ее можно
установить, рассмотрев следующий мысленный экспери-
мент. Пусть внутри замкнутой эвакуированной оболочки,
стенки которой поддерживаются при определенной тем-
пературе Г, имеется несколько тел (рис. 9.2). Поскольку
339
в оболочке создан высокий вакуум, тела 1, 3, ... могут
обмениваться энергией между собой и стенками полости,
лишь испуская и поглощая электромагнитные волны.
Опыт показывает, что такая система через некоторое
время приходит в термодинамическое равновесйе, т. е. все
тела будут иметь температуру Г, равную температуре
оболочки. Отсюда следует, что тело, обладающее боль-
шей испускательной способностью, должно больше погло-
щать энергии (правило Прево).
Оказывается, что для рассмотренной системы тел
должно выполняться следующее соотношение:
/ r(v, Т) \ _/ г(у,Г)\ / г(у,Т)\
\a(v,T)Ji \a(v,T)j2 \а(ч,Т))з'
(9-8)
В выражении (9.8) индексы 1, 2, 3 относятся к раз-
личным телам, следовательно, отношение испускательной
способности любого тела к его поглощательной способ-
ности не зависит от природы тела и потому является уни-
версальной функцией частоты и температуры, т. е.
r(v, Т)/а(у, T) = f(y, Г) — закон Кирхгофа;
f(v, Г) — универсальная функция Кирхгофа.
Этот закон теплового излучения был установлен в 1859 г.
немецким физиком Г. Кирхгофом и называется законом
Кирхгофа. Если учесть, что поглощательная способность
абсолютно черного тела a(v, Г)=1, то из закона (9.9)
видно, что универсальная функция Кирхгофа является
излучательной способностью абсолютно черного тела.
Поскольку универсальная функция Кирхгофа f(v, Г) не
зависит от природы тел, установление явного вида этой
функции на протяжении длительного времени представ-
ляло важную проблему физической науки.
Для абсолютно черного тела была экспериментально
найдена зависимость* г(Х, Г) = ф(Х, Г) от длины волны
для различных температур. Она представлена графиче-
ски на рис. 9.3, из которого видно, что энергетическая
светимость /?(Г) абсолютно черного тела, равная площади
под соответствующими кривыми [см. формулу (9.2)],
сильно зависит от температуры. Максимум испускательной
* В дальнейшем универсальную функцию Кирхгофа как функцию
длины волны будем обозначать через ф(Х, Г). Понятно, что f(v, Т) и ф(Х, Г)
связаны общим соотношением (9.4).
340
Рис. 9.3
способности с ростом температуры сдвигается в сторону
коротких длин волн.
Анализируя экспериментальные данные, австрийский
физик И. Стефан (1835—1893) в 1879 г. пришел к выводу,
что энергетическая светимость R (Т) любого тела пропор-
циональна Г4. Австрийский физик Л. Больцман (1844—
1906) в 1884 г. на основании законов термодинамики полу-
чил зависимость энергетической светимости абсолютно
черного тела от температуры:
/?(Т) = <уГ4 — закон Стефана — Больцмана,
о = 5,7- Ю~8 2В1.4 — постоянная Стефана —
м Больцмана.
(9.10)
Немецкий физик В. Вин (1864—1928) в 1893 г. теоре-
тически показал, что универсальная функция Кирхгофа
должна иметь следующий функциональный вид:
/(v, 7) = v3F(v/7), (9.11)
где F (у/Т)—некая универсальная функция отношения
частоты к температуре.
Анализируя полученные зависимости, Вин установил
следующие два закона.
1. Длина волны Хш, соответствующая максимуму излу-
341
нательной способности абсолютно черного тела ф (X, Г),
обратно пропорциональна его температуре:
Кт = Ь/Т
— закон смещения Вина,
6 = 2,898-10 Зм-К — постоянная Вина.
Из выражения (9.12) видно, что при нагревании макси-
мум функции ф (X, Т) смещается в сторону меньших длин
волн (см. также штриховую линию на рис. 9.3).
2. Максимальное значение испускательной способно-
сти ф (X, Т) для абсолютно черного тела прямо пропор-
ционально абсолютной температуре в пятой степени, т. е.
ф(Хш, Т) = С\Т5 — второй закон Вина,
(9.13)
С\ = 1,3- 10-5 Вт/(м3К5) — вторая постоян-
ная Вина.
Стремясь получить явное выражение для универсаль-
ной функции Кирхгофа, Вин предложил для нее формулу:
ф(Х, =
(914)
которая (см. задание 9.1) согласуется с термодинамиче-
ской зависимостью (9.11). При определенном подборе па-
раметров аир выражение (9.14) дает достаточно хорошее
совпадение с экспериментальными данными в области
коротких длин волн, но сильно расходится с эксперимен-
тальными значениями в области больших длин волн.
Применив методы классической статистической физи-
ки, У. Рэлей (1842—1919) и Д. Джинс (1877—1946) в
1905 г. получили для универсальной функции Кирхгофа
выражение:
2nv2
f(v, Т) = —— < ev > — формула Рэлея —
с Джинса,
(9.15)
где <Z^>=kT — среднее значение энергии, приходя-
щейся на одну колебательную степень свободы, а коэффи-
циент 2jiv2/(t определяет общее число степеней свободы
для системы стоячих волн в единице объема полости.
342
Рис. 9.4
Формула Рэлея — Джинса хорошо согласуется с опы-
том только для малых частот или больших длин волн.
Однако она не удовлетворяет закону смещения Вина,
а также закону Стефана — Больцмана. В самом деле, для
абсолютно черного тела энергетическая светимость R (Г),
определяемая формулой Рэлея — Джинса, оказывается
равной бесконечности:
R(T) = Jf(v, 7’)dv=-?^-Jv2dv= оо.
О о
Согласно же закону Стефана — Больцмана, энергети-
ческая светимость R (Т) = о Г4, т. е. является конечной
величиной. Результат (9.15) противоречит также закону
сохранения энергии. Наиболее сильное расхождение меж-
ду полученным по законам классической физики выраже-
нием (9.15) и экспериментальными данными наблюдается
в области частот ультрафиолетового диапазона и поэтому
получило название «ультрафиолетовой катастрофы» (см.
рис. 9.4). Поскольку вывод формулы (9.15) был безупреч-
ным в своей строгости и последовательности, решение
упомянутой проблемы в рамках классической физики ока-
залось невозможным в принципе. Выход из создавшейся
ситуации был найден немецким физиком М. Планком,
который получил свою знаменитую формулу и тем самым
заложил основу для построения квантовой оптики.
Формула Планка. В 1900 г. М. Планк впервые выдви-
нул гипотезу о дискретных значениях энергии осциллято-
ров, равных целому числу квантов энергии e = /iv, т. е.
£n = nhv, и = 0,1,2,... (9.16)
Согласно этой квантовой гипотезе, Планк мо-
делирует твердое тело с помощью системы квантовых
343
осцилляторов, что естественным образом постулирует
дискретный характер теплового излучения
нагретых тел. Выполнив усреднение энергии осциллятора
с помощью функции распределения Больцмана*, Планк
получил выражение для среднего значения энергии осцил-
лятора, приходящейся на одну степень свободы:
hv
<е*>= е_Х_, (9.17)
После подстановки соотношения (9.17) в формулу
Рэлея — Джинса [см. выражение (9.15)] была получена
формула для испускательной способности абсолютно чер-
ного тела:
fly, Т) = ^г е^т_1 — формула Планка.
(9.18)
Использовав соотношение (9.4), перепишем формулу
Планка в виде функции от длины волны излучения:
ф(Х, Т) = ^(v, Г) ^тк_х . (9.19)
Формула Планка (9.18) согласуется с формулой Ви-
на (9.11). Результаты эксперимента очень хорошо описы-
ваются формулой Планка во всем интервале длин волн
(ф(Х, Г)) или частот (f(v, Г)). При малых частотах из фор-
мулы Планка получается формула Рэлея — Джинса. В са-
мом деле, разлагая экспоненту в знаменателе выражения
(9.17) в ряд и ограничившись первыми двумя членами для
средней энергии осциллятора, получим
<C8vZ>
hv hv
— ~ 1 1 hv । i
ekT -1 1-F + --1
Этот предельный результат квантового подхода (ftv<c£r)
совпадает с выражением для среднего значения энергии
классического осциллятора, которая приводит к формуле
Рэлея — Джинса.
В другом предельном случае больших частот (ehy>,kT 1)
формула Планка с учетом соотношения (9.4) приводит
к приближенным выражениям:
♦ Функция распределения Больцмана f =Ae~t/{kT) подробно рас-
сматривалась в гл. 15 первой части пособия.
344
Av he
2nhv3 ~ Jr rx 2nhc2 \kf
T) =-^- e kT^^K V)-------------e , (9 20)
которые при a = 2jihc2 и p = hc/k совпадают с формулой
Вина [см. выражение (9.14)]. Из формулы Планка полу-
чаются формула Стефана — Больцмана R (Т) = о Г4, а так-
же закон смещения Вина (см. задания 9.2 и 9.3).
Гипотеза Планка не только положила начало кванто-
вым представлениям о природе света, но и заложила базу
для создания основ квантовой механики, т. е. квантовой
теории строения материи (см. гл. 12 первой части посо-
бия). Применение уравнения Шрёдингера к вопросам
строения атомов и молекул рассматривается в следующей
главе.
Задание 9.1. Покажите, что предложенная Вином приближенная
формула (9.14) удовлетворяет термодинамическому соотношению (9.11),
и определите явный вид функции F(y/T).
Указание. Воспользуйтесь строгим соотношением (9.4), которое
устанавливает связь между испускательной способностью любого на-
гретого тела, а значит, и абсолютно черного тела.
Ответ. Выражение (9.14) согласуется с соотношением (9.11),
поскольку функция F (у/Т) ~ e_pv/(cr).
Задание 9.2. Используя экспериментальные зависимости для
ф(Х, Г), которые приведены на рис. 9.3, постройте соответствующие им
зависимости для универсальной функции f(v, Г). Убедитесь также, что
если функция ф(Х, Г) при кт = Ь/Т принимает максимальное значение,
то соответствующая ей функция f(v, Г) при ут = с/\т не имеет макси-
мума, т. е. df/dv =#= 0 при vm = с/Хт.
Указание. Воспользуйтесь соотношением (9.4) для характерных
точек экспериментальных кривых <р (X, Г), найдите соответствующие зна-
чения функции f(v, Т) и постройте кривые зависимости f (v, Г) для трех
X2
температур. Поскольку f(v, Т) = <р(Х, Т) то df/dv =#= 0 в точке макси-
мума функции ф(Х, Г).
Ответ. Максимумы функции при увеличении температуры Т сме-
щаются в область больших частот, причем производная df/dv =
= (dy/db. • Х2/с + ф(Х, Т) • 2Х/с) dX/dv не равна нулю при <ftp/dX = 0.
Задание 9.3. Покажите, что максимальное значение функции
ф(Х, Г), соответствующей функции f(v, Т) в виде соотношения (9.11),
пропорционально абсолютной температуре в пятой степени [см. соотно-
шение (9.13)].
Указание. В выражение для ф(Х, Г) = f(y, Т) • (с/Х2) подставьте
значение Хт = b/Т (см. закон смещения Вина).
Ответ. При Х = Хт функция ф(Х, Т) равна С|Т5, причем й =
= c*b~bF(c/b) = const.
345
Задание 9.4. Используя формулу Планка, получите закон смещения
Вина.
Указание. Исследуйте выражение (9.20) для <р(Х, Т) на экстре-
мум и определите длину волны соответствующую максимальному
значению испускательной способности абсолютно черного тела. В про-
цессе упрощения полученного уравнения введите новую переменную
x = hc/(kTk).
Ответ. Значение определяется из решения трансцендентного
уравнения
хе* — 5е* + 5 = 0,
которое имеет единственный корень, равный 4,965. Тогда кт =
= Лс/(4,965 kT).
Задание 9.5. С помощью формулы Планка получите закон Стефа-
на — Больцмана.
Указание. Воспользуйтесь общим выражением для энергетиче-
ской светимости [см. формулу (9.2)] нагретого тела. Примените его для
абсолютно черного тела, заменив r(v, Т) на f (v, Т) и выполнив интегриро-
вание по x = hv/(kT) (х — новая переменная). Значение интеграла
оо
/ —f
J
о
приведено в табл. II.2 прил. II.
9П5Ь4
Ответ. /?(7')=о7'4; а =-----.
9.2. Фотоэлектрический эффект
Внешний фотоэффект. Явление внешнего фотоэффекта
заключается в испускании электронов поверхностью твер-
дых тел и жидкостью под действием электромагнитного
излучения. Это явление было впервые обнаружено Г. Гер-
цем в 1887 г. Он заметил, что проскакивание искры между
электродами разрядника облегчается, если отрицательно
заряженный электрод осветить ультрафиолетовыми луча-
ми. Дальнейшее экспериментальное исследование фотоэф-
фекта было проведено В. Гальваксом (1859—1922) в
1888 г. и А. Г. Столетовым (1839—1896) в 1888—1890 гг.
В 1898 г. Ф. Ленард (1862—1947) и Д. Д. Томсон (1856—
1940) определили заряд частиц, испускаемых поверх-
ностью тел под действием света, и установили, что частицы
являются электронами, которые называются фотоэлектро-
нами.
Принципиальная схема для исследования фотоэффек-
та приведена на рис. 9.5. В вакуумной трубке имеются два
346
Свет
электрода: катод К из исследуемого вещества, на который
падает свет, и анод А. Потенциометр R позволяет изменять
значение и знак подаваемого на электроды напряжения U.
Возникающий в цепи ток при освещении катода светом
измеряется с помощью микроамперметра.
Полученные с помощью такой установки вольт-ампер-
ные характеристики приведены на рис. 9.6. Кривые 1 и 2
соответствуют постоянным значениям светового потока,
причем Ф2 Z> Фь Из рис. 9.6 видно, что фототок /, начиная
с определенного значения анодного напряжения (7*, оста-
ется практически постоянным, т. е. достигает насыщения.
Это означает, что при U > U* все электроны, выбитые из
катода, достигают анода.
Оказывается, что если на фотокатод подать возрастаю-
щее напряжение противоположного знака, то фототок
347
постепенно уменьшается и при некотором значении напря-
жения U=— U3 прекращается (U3—задерживающий
потенциал). Это значит, что вылетающие из катода фото-
электроны имеют кинетическую энергию, которая меньше
либо равна некоторому максимально возможному ее зна-
чению mumax/2, причем очевидно, что
-2^ = е(/з.
(9.21)
Экспериментально установлены следующие три за-
кона фотоэффекта*.
1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов
определяется частотой света и не зависит от его интенсив-
ности.
2. Для каждого вещества существует красная граница
фотоэффекта, т. е. минимальная частота vo света, при ко-
торой еще возможен внешний фотоэффект. Величина v0
зависит от химической природы вещества и состояния его
поверхности.
3. Число фотоэлектронов п, вырываемых с единицы
площади катода за единицу времени, пропорционально
интенсивности света (фототок насыщения пропорционален
энергетической освещенности Еэ катода, т. е. /нас^Еэ).
Приведенные первый и второй законы фотоэффекта
трудно объяснить с помощью волновой природы света.
Для объяснения этих законов А. Эйнштейн (1879—1955)
развил идеи Планка о квантовом характере теплового
излучения. Он предположил, что свет не только излучается
отдельными квантами, но распространяется и поглощается
веществом в виде квантов энергии. В связи с этим распро-
странение электромагнитного излучения рассматривается
уже не как непрерывный волновой процесс, а как поток
дискретных квантов, движущихся в вакууме со скоростью
света с. Эти кванты электромагнитного излучения были
названы фотонами (1926 г.). Процесс поглощения света
сводится к тому, что фотоны передают всю свою энергию
частицам этого вещества. С позиции квантовой природы
света Эйнштейн дал наглядное объяснение явления фото-
эффекта. Для вырывания электрона из вещества необхо-
димо совершить работу, которая называется работой вы-
* Основные закономерности фотоэффекта установил в 1888 г. рус-
ский ученый А. Г. Столетов, который сформулировал их в несколько
иной форме.
348
хода А. Поэтому, если энергия кванта hv Д, то фотоэф-
фект будет наблюдаться. В соответствии с законом сохра-
нения энергии Эйнштейн предложил следующее урав-
нение:
hv = А + mumax/2 — уравнение Эйнштейна
для внешнего фотоэф-
фекта.
(9.22)
Величина mumax/2 представляет собой максимально воз-
можную кинетическую энергию вырванного электрона.
Уравнение (9.22) объясняет все экспериментально
установленные законы фотоэффекта: во-первых, из соотно-
шения (9.22) следует, что максимальная скорость вырван-
ных фотоэлектронов зависит не от интенсивности /, а от
частоты v света и работы выхода А (первый закон
фотоэффекта); во-вторых, внешний фотоэффект воз-
можен только в том случае, если энергия фотона hv боль-
ше или равна А. Поэтому частота vo, соответствующая
красной границе фотоэффекта (второй закон фото-
эффекта), равна
Vo = A/h — красная граница фотоэффекта. (9.23)
И, наконец, общее число п фотоэлектронов, вылетающих
из вещества за единицу времени, пропорционально числу
фотонов, падающих за это время на поверхность веще-
ства, т. е. пропорционально интенсивности падающего
света (третий закон фотоэффекта).
С помощью соотношений (9.21) и (9.23) уравнение
Эйнштейна для фотоэффекта можно переписать в виде
ft(v — vo) = eU3. (9.24)
Если значения v и vo известны, то, определив из опыта
величину задерживающего потенциала (Л, можно с по-
мощью формулы (9.24) найти постоянную Планка:
h = eU/(y - vo). (9.25)
Совпадение найденного по этой формуле значения h
с результатами ее измерения в других опытах, в частности
в опытах с тепловым излучением абсолютно черного тела,
349
подтверждает справедливость уравнения Эйнштейна для
фотоэффекта.
При больших интенсивностях света (лазерное излуче-
ние) возможен многофотонный фотоэффект. Он наблюда-
ется при поглощении электроном энергии N фотонов (N =
= 2, 3, ...). Уравнение для многофотонного фотоэффекта
имеет вид
NllV = A +/numax/2. (9.26)
Красная граница при многофотонном эффекте опре-
деляется соотношением
vj=^. (5К27)
Внешний фотоэффект используется в фотоэлементах,
которые служат для регистрации и измерения световых
потоков путем преобразования световых сигналов в элек-
трические. Вакуумный фотоэлемент представляет собой
эвакуированный стеклянный баллон, внутренняя поверх-
ность которого покрыта слоем металла, играющего роль
фотокатода. Анод изготовляется в виде петли или сетки,
помещенной внутри баллона. Вещество фотокатода подби-
рается в зависимости от области спектра света, в которой
будет работать фотоэлемент. Обычно на фотоэлемент
подается анодное напряжение, обеспечивающее фототок
насыщения. В этом случае в согласии с третьим законом
фотоэффекта сила тока в цепи фотоэлемента будет строго
пропорциональна световому потоку, падающему на фото-
катод. Вакуумные фотоэлементы практически безынерци-
онны, однако чувствительность* их мала. Например, сурь-
мяно-цезиевые фотоэлементы обладают чувствитель-
ностью 80 мкА/лм. Для увеличения тока в фотоэлементе
стеклянный баллон наполняют инертными газами (неоном,
аргоном) и подают на фотоэлемент такое напряжение,
чтобы ускоренные под действием этого напряжения элек-
троны могли ионизировать атомы газа. Для этого давле-
ние газа в баллоне должно быть достаточно малым (сотые
доли миллиметров ртутного столба), чтобы электроны на
длине свободного пробега могли приобрести энергию, до-
статочную для ионизации газа. Такие фотоэлементы на-
зываются газонаполненными. Они дают значительное
увеличение фототока по сравнению с вакуумными, но при
этом теряется строгая пропорциональность между фото-
♦ Под чувствительностью фотоэлемента понимают отношение фото-
тока насыщения к световому потоку.
350
током и световым потоком, а инерционность увеличива-
ется.
Другой способ увеличения слабых фототоков — вто-
ричная электронная эмиссия, используемая в
фотоэлектронных умножителях (ФЭУ), впервые предло-
женных Л. А. Кубецким (1906—1959) и названных труб-
ками Кубецкого. ФЭУ представляет собой вакуумную
трубку, содержащую фотокатод и несколько анодов, на-
зываемых динодами или эмиттерами (рис. 9.7). Здесь D —
делитель напряжения, позволяющий подавать на каждый
следующий эмиттер положительный потенциал по отно-
шению к предыдущему; /?н — сопротивление нагрузки.
Слабый поток фотоэлектронов, ускоренный электри-
ческим полем между катодом и первым динодом, выбивает
вследствие вторичной электронной эмиссии большее число
электронов, которые направляются на второй динод, и т. д.
При коэффициенте вторичной эмиссии о = п/по>1
(о ~ 3—10) (по — число падающих на динод электронов;
п — число вылетающих из него электронов) в ФЭУ дости-
гается значительное (в миллионы раз) усиление фототока.
Для успешной работы ФЭУ необходимо подбирать веще-
ство динодов с возможно большим коэффициентом о, а
также придать им такую форму и расположение в про-
странстве, чтобы вторичные электроны следовали по необ-
ходимым траекториям.
Внутренний фотоэффект. Он наблюдается при освеще-
нии диэлектриков или полупроводников светом определен-
ной частоты. Под действием поглощенных квантов света
в этом случае происходит увеличение электропроводности
вещества за счет возрастания у них числа свободных но-
сителей заряда. Это явление еще называют фотопрово-
351
димостью. Для его объяснения используется зонная теория
твердых тел (см. гл. 11). Явление внутреннего фотоэффек-
та применяется для изготовления фоторезисторов, сопро-
тивление которых зависит от поглощенного светового по-
тока. Основной их недостаток состоит в большой инерци-
онности.
Вентильный фотоэффект, или фотоэффект в запираю-
щем слое. Сущность этого явления состоит в возникнове-
нии вследствие внутреннего фотоэффекта электродвижу-
щей силы вблизи контакта между металлом и полупро-
водником или между полупроводниками р- и n-типа (см.
далее, § 11.3).
При освещении р — n-перехода светом в контакте двух
полупроводников возникают дополнительные носители за-
ряда (электроны в p-области и дырки в n-области), кото-
рые беспрепятственно проходят через переход. В резуль-
тате в p-области образуется избыточный положительный
заряд, а в и-области — избыточный отрицательный. Воз-
никающая в контакте разность потенциалов представляет
собой фотоэлектродвижущую силу (фотоЭДС). Значение
фотоЭДС при небольших световых потоках пропорцио-
нально падающему на кристалл потоку. На явлении вен-
тильного фотоэффекта построено действие фотоэкспоно-
метров, а также солнечных батарей. Солнечные батареи
представляют собой несколько десятков кремниевых р—п-
переходов, соединенных последовательно. Это единствен-
ные в своем роде приборы, непосредственно преобразую-
щие световую энергию в электрическую. Применяются на
искусственных спутниках Земли и космических станциях.
Масса и импульс фотона. Фотоны как квазичастицы
света обладают не только энергией е = hv, но и массой т.
Масса фотона находится с помощью выражения для энер-
гии микрочастицы в релятивистской механике: е = тс2.
Следовательно,
Шф = hv/c2 — масса фотона.
(9.28)
Введенное таким способом понятие массы фотона су-
щественно отличается от понятия массы обычных микро-
частиц. Фотон не обладает массой покоя, т. е. для него
то = О. Если бы масса mQ фотона была отлична от нуля,
то из формулы т = т^/ д/1 — и2/с2 при v = с получилось
352
бы, что т = оо. Отсюда следует, что масса то для фотона
равна нулю.
Импульс фотона
Импульс р фотона можно выразить через волновой вектор
к=(2л/Х)п (п — единичный вектор нормали к фронту
волны), т. е.
p=T = T=fe 2т = й^р = йк- (9-29)
Наличие у фотона импульса экспериментально проявля-
ется в давлении света на твердые тела и газы (см. при-
мер 9.1 и задание 9.6). Фотон как элементарная частица
обладает спином, равным 1 (в единицах Й), и, следова-
тельно, относится к классу бозонов.
Пример 9.1. Найдем световое давление р*, исходя из квантовых
свойств света. Рассмотрим случай, когда поток фотонов с импульсом
p — hv/c падает по нормали к площадке dS с коэффициентом отраже-
ния р. Интенсивность пучка падающего света пропорциональна кон-
центрации п фотонов (п — число фотонов в единице объема).
Решение. Доля поглощенных фотонов от их общего числа равна
1 — р. Каждый поглощенный фотон (рис. 9.8) передает площадке им-
пульс ^p\—hv/c. Отраженный фотон за счет изменения импульса на
противоположный (р' = —р) передает площадке импульс Ap2 = 2/iv/c.
Поскольку число фотонов в единице объема равно п, то все фотоны,
заключенные в объеме dV = cdtdS, долетят до площадки dS, где про-
изойдет соответствующее изменение их импульса. Согласно второму
закону Ньютона, это изменение импульса фотонов будет равно импуль-
су сил давления: Fdt = p*dSdt. С учетом сказанного можно записать
выражение:
fyhpndV + ДД1(1 — p)ndV = p*dSdt=>
= (1 + P)nhv^p* = (1 + р)Еэ/с. (9.30)
Здесь учтено, что энергия фотонов в единице объема (w = dW/dV =
= nhv) численно равна освещенности Е3 площадки dS, умноженной на
353
скорость с (Е3 = dW/(dSdt) = wc). Полученное выражение согласуется
с формулой для давления [см. выражение (8.15)], полученной на основе
волновых свойств света.
Задание 9.6. Получите выражение для давления р* света, падаю-
щего на площадку под углом а к нормали.
Указание. Воспользуйтесь законом изменения проекции им-
пульса фотонов нд нормаль к площадке dS.
Е
Ответ, р* = (1 + p)w cos а = (1 + р) — cos а.
9.3. Рассеяние рентгеновского
излучения веществом
Эффект Комптона. В 1923 г. американский физик
А. Комптон (1892—1962) обнаружил, что при рассеянии
монохроматических рентгеновских лучей «легкими» веще-
ствами* наряду с исходной длиной волны X в рассеянных
лучах содержатся также лучи с большей длиной волны X'
(эффект Комптона). Схема опыта Комптона показана
на рис. 9.9. Узкий пучок лучей, выделяемый диафрагмами
D\ и О2, падал на мишень из рассеивающего вещества.
С помощью рентгеновского спектрографа измерялись длина
волны X' рассеянных под углом 0 лучей и их интенсивность.
Было установлено, что разность ДХ = Х' — X не зависит
ни от природы рассеивающего вещества, ни от длины X
падающих лучей, а зависит только от угла рассеяния 0,
образуемого направлениями падающих и рассеянных лу-
чей. Эта экспериментально найденная зависимость имеет
следующий вид:
X' —X=2XKsin20/2— эффект Комптона, Хк—
комптоновская длина
волны.
(9.31)
Было также замечено, что интенсивность рассеянных
лучей больше для веществ с малой атомной массой и мень-
ше для веществе большой атомной массой. Интенсивность
рассеянного пучка растет с увеличением угла рассеяния 0.
Элементарная теория эффекта Комптона. Обнаружен-
* «Легкими» веществами в опытах по рассеянию рентгеновских
лучей являются вещества, состоящие из элементов с малыми атомными
номерами (графит, парафин и т. д.).
354
ная на опыте независимость величины ДХ = X' — к от рода
вещества указывает на то, что рассеяние рентгеновских
лучей происходит на внешних электронах атомов, которые
слабо связаны с атомами рассеивающего вещества. Оцен-
ки показывают, что энергия рентгеновских квантов значи-
тельно больше энергии связи внешних электронов в ато-
мах. Поэтому с достаточной степенью точности можно
считать, что рассеяние рентгеновских квантов происходит
на «свободных» электронах в отличие от фотонов, которые
при фотоэффекте рассеиваются на «связанных» электро-
нах (для фотона hv ~ Л, А — работа выхода).
Для вывода формулы (9.31) предположим, что нале-
тающий рентгеновский фотон упруго взаимодействует с
покоящимся «свободным» электроном мишени (рис.
9.10, а). Поскольку энергия налетающего фотона сравнима
с энергией покоя электрона (hv ~ пг0с2), при использова-
нии законов сохранения нужно энергию и импульс элек-
трона определять по формулам релятивистской механики
(p = mv, m = гпь/ V1 — v2/c2\ Е = тс2 = с ~\/р2 + т^с2).
После взаимодействия электрон начинает двигаться
с некоторой скоростью (его называют электроном отдачи)
под углом к направлению налетающего фотона (рис.
9.10, б), а рассеянный на угол 0 фотон будет иметь импульс
рф = Йк'.
В соответствии с законами сохранения импульса и
энергии в системе фотон — электрон запишем систему
двух уравнений (закон сохранения импульса графически
иллюстрируется на рис. 9.10, в) :
355
Йк = р + Лк' — закон сохранения импульса;
Йо) + т0с2 = Йо/ + сл/р2 + ^оС2 — закон
сохранения энергии.
Если из первого и второго уравнений системы выразить
квадрат импульса электрона отдачи, то получатся следую-
щие два уравнения:
р2 = й2(к - к')2 = й2(й2 - 2йй' cos 0 + й'); (9.33)
р2 = й2(й2 - 2йй' + й'2 + 2Йт0г(й - й')). (9.34)
Приравнивая эти выражения, получаем
mQc(k — k') = ййй'(1 — cos 0). (9.35)
Поскольку й = 2л/Х; й' = 2л/А/, а Й = й/(2л), из фор-
мулы (9.35) после простых преобразований получим
Х'-Х = 2— sin2 4-- (9.36)
тос 2 v 7
Из сопоставления с зависимостью (9.31) получаем вы-
ражение для комптоновской длины волны при рассеянии
на электронах:
Лк = ? = 2,42 • 10“12 м = 0,0242 А.
тос 9,109 • 10-3 • 3,0 • 108
Из приведенных расчетов следует, что в эффекте Комптона
отчетливо проявляются корпускулярные свойства
света.
С увеличением массы атомов рассеивающего веще-
356
ства уменьшается относительное число «свободных» элек-
тронов, а значит, и число рассеянных квантов. Интенсив-
ность рассеянных лучей падает.
В заключение еще раз отметим, что исследование
свойств теплового излучения абсолютно черного тела при-
вело к созданию основ квантовой оптики (1900 г.), которая
в свою очередь сыграла большую роль в построении в
30-х гг. 20 в. квантовой механики — механики микромира
(основы квантовой механики изложены в гл. 12 первой
части пособия). Квантово-механический подход к рассмо-
трению строения атомов и молекул, а также процессов
излучения и поглощения будет рассмотрен в следующей
главе. Применение квантовой теории к изучению электрон-
ных свойств твердых тел кратко обсуждается в гл. 11 при
объяснении проводимости металлов и полупроводников.
Лучше работать даже в том случае,
когда ничего не выходит, чем стоять
на одном месте.
М. Фарадей
III. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
И ЕГО СВОЙСТВА
На основе квантовых представлений рассмотрены
строение атома водорода и водородоподобных атомов,
структура электронных оболочек многоэлектронных ато-
мов, типы химических связей в молекулах и энергетические
уровни молекул. Даны основные положения зонной теории
твердых тел, и на ее основе детально рассмотрены свой-
ства полупроводников. Элементы квантовой теории метал-
лов, а также явление сверхпроводимости описаны в рам-
ках представлений об электронных состояниях. Учитывая
большую практическую значимость жидких кристаллов,
в раздел включена глава, посвященная описанию их
свойств. В заключение даны основные представления
теории ядра и явления радиоактивности, а также некото-
рые вопросы, связанные с радиационной безопасностью.
Нельзя проводить грань между боль-
шим и малым, ибо то и другое оди-
наково важно для единого целого.
Н. Бор
10. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
Атомистические представления о строении вещества,
в основе которых лежит идея о существовании атомов как
мельчайших, неделимых и неизменных частиц материи,
связаны с именами древнегреческих философов и мысли-
358
телей Демокрита (ок. 460—370 гг. до н. э.) и Эпикура
(341—270 гг. до и. э.). В период становления естествозна-
ния в 17—18 вв. атомистический подход в различных фор-
мах развивали И. Кеплер (1571 —1630), Р. Декарт (1596—
1650), И. Ньютон (1643—1727), М. В. Ломоносов (1711 —
1765) и др. Однако эти представления носили гипотети-
ческий характер, и лишь к середине 19 в. эксперименталь-
ные исследования свойств вещества (Дж. Дальтон (1766—
1844), А. Авогадро (1766—1856), Я. Берцелиус (1779—
1848)) привели к представлению об атоме как о мельчай-
шей частице каждого отдельного химического элемента.
Становление и развитие современной физики атомов и
молекул обязаны ряду важнейших открытий конца 19 в.
Это относится прежде всего к обнаружению рентгеновских
лучей в 1895 г. немецким физиком К. Рентгеном (1845—
1923) и радиоактивности в 1896 г. французским физиком
А. Беккерелем (1852—1908), а также к открытию элек-
трона в 1897 г. английским физиком Дж. Дж. Томсоном
(1856—1940).
В 1903 г. английские ученые Э. Резерфорд (1871 —
1937) и Ф. Содди (1877—1956) объяснили явление радио-
активности, рассматривая его как процесс химического
превращения элементов, и тем самым опровергли пред-
ставление о неизменности и неделимости атомов. Первые
экспериментальные данные, подтверждающие сложную
структуру атома, были получены в 1911 г. Э. Резерфордом
и интерпретированы в 1913 г. на основе квантовых пред-
ставлений датским физиком Н. Бором (1885—1962). Даль-
нейшее развитие физики атомов и молекул неразрывно
связано со становлением квантовой механики, в рамках
которой удалось понять и объединить все многообразие
экспериментальных данных, относящихся к вопросу строе-
ния и свойств большинства атомов и молекул. Тем не ме-
нее для успешного усвоения основных представлений
квантовой физики атомов и молекул чрезвычайно важно
проследить развитие основных идей и понятий, которые
привели к современному состоянию этой области нау-
ки.
10.1. Планетарные модели атома
по Резерфорду и Бору
Опыты Резерфорда по изучению строения атома. Как
уже отмечалось, первые прямые эксперименты по изуче-
359
Рис. 10.1
нию строения атома были предприняты Э. Резерфордом*
в 1911 г. Эти эксперименты стали возможны благодаря
открытию явления радиоактивности, при котором в резуль-
тате естественного радиоактивного распада тяжелых эле-
ментов выделяются а-частицы. Они имеют положительный
заряд, равный заряду двух электронов, и массу примерно
в четыре раза больше массы атома водорода, т. е. являются
ионами атома гелия (Не+2). Энергия а-частиц, испускае-
мых различными тяжелыми элементами, изменяется от
4,05 • 106 эВ для урана до 8,78 • 106 эВ для тория. Их ско-
рость составляет около 107 м/с, и поэтому они могут ис-
пользоваться для «простреливания» тонкой металлической
фольги. Анализ результатов рассеяния а-частиц позволяет
получить определенную информацию о строении атомов
мишени.
Схема установки Резерфорда представлена на
рис. 10.1. Металлическая камера А, сверху закрытая стек-
лянной пластинкой Р, прикреплялась к подставке В, на
горизонтальной окружности которой были нанесены деле-
* Изначально цель опытов Резерфорда состояла в том, чтобы
экспериментально проверить основные положения модели атома, предло-
женной Томсоном. Согласно этой модели, атом представляет собой равно-
мерно заряженный шар с зарядом q=+e, внутри которого находится
электрон, испытывающий действие квазиупругой силы F =±= — еЕ = — kr
(см. задание 4.5). Поэтому колеблющийся электрон (осциллятор) может
испускать электромагнитную волну (см. § 6.3).
360
Источник
и-частиц
fly чох падаю- Мишень
ьциха-частиц ((ролью)
Рис. 10.2
ния в градусах. Вся подставка вместе с камерой могла
вращаться вокруг вертикальной оси. Сбоку в камеру А
был вделан микроскоп Л4, перед объективом которого
укреплялся экран S, покрытый сернистым цинком. При
попадании на такой экран а-частиц он флюоресцировал.
Источник а-частиц R помещался в свинцовом футляре F
с диафрагмой D, формирующей пучок а-частиц. На их
пути помещалась золотая фольга Е толщиной 10-6 м, что
эквивалентно примерно 400 слоям из атомов золота. Ис-
точник и фольга прикреплялись неподвижно к трубке Г,
совпадающей с осью прибора. Через эту трубку из камеры
откачивался воздух, что предотвращало рассеяние а-ча-
стиц на молекулах воздуха. Такая конструкция установки
позволяла при повороте камеры на различные углы на-
блюдать вспышки на экране от а-частиц, рассеянных на
эти углы.
Исследования прохождения а-частиц через золотую
фольгу показали, что в среднем только одна из 20 000
а-частиц резко отклонялась от первоначального направ-
ления. В некоторых случаях угол рассеяния был даже
близок к 180°. Схематическое изображение опытов по
рассеянию а-частиц показано на рис. 10.2. Из того факта,
что сильное отклонение от первоначального направления
движения испытывает лишь незначительное число а-ча-
стиц, а также учитывая, что электроны не могут существен-
но влиять на рассеяние тяжелых и быстрых а-частиц,
Резерфорд сделал выводы, которые легли в основу плане-
тарной модели атомов:
1) практически вся масса атома и весь его положи-
тельный заряд сосредоточены в ядре, линейные размеры
которого значительно меньше, чем размеры самого атома;
2) электроны, входящие в состав атома, движутся
вокруг ядра по круговым орбитам.
Исходя из этих двух предпосылок и предполагая, что
361
взаимодействие между налетающей а-частицей и поло-
жительно заряженным ядром определяется кулоновскими
силами, Резерфорд установил, что атомные ядра имеют
размеры 10“ 5—10“ *4 м, т. е. они в 104—105 раз меньше
размеров атомов. Модель атома, предложенная Резер-
фордом, напоминает Солнечную систему: в центре системы
находится ядро — «Солнце», а вокруг него по орбитам
движутся электроны — «планеты». Именно поэтому мо-
дель Резерфорда получила название планетарной модели
атома. Эта модель явилась значительным шагом на пути
к современным представлениям о строении атома. Лежа-
щее в ее основе понятие атомного ядра, в котором сосре-
доточены весь положительный заряд атома и практически
вся его масса, сохранило свое значение до настоящего
времени. Однако предположение о движении электронов
по круговым орбитам несовместимо ни с законами клас-
сической электродинамики, ни с линейчатым характером
спектров излучения атомарных газов.
Проиллюстрируем сказанное о планетарной модели
Резерфорда на примере атома водорода, состоящего из
массивного ядра (протона) и движущегося вокруг него
по круговой орбите электрона. Поскольку радиус орбиты
го = О,53- 10“10 м (первая воровская орбита), а скорость
электрона v ~ 106 м/с (см. пример 4.3), его нормальное
ускорение ап = v2/rQ ~ 1022 м/с2. Электрон, движущийся
с ускорением по круговой орбите, является двумерным
осциллятором, и, следовательно, согласно классической
электродинамике (см. вибратор Герца в § 6.3), он должен
интенсивно излучать энергию в виде электромагнитной
волны. В результате электрон должен будет непрерывно
приближаться к ядру, и, как показывают оценки, он упадет
на ядро за время ~10“ 14 с. Однако в действительности
атом водорода образует достаточно устойчивую и «долго-
живущую» электрическую систему.
Линейчатый спектр атома водорода. Исключительно
важное значение в развитии планетарной модели атома
сыграли эмпирические закономерности, установленные для
линейчатого спектра атома водорода. В 1885 г. швейцар-
ский физик И. Бальмер (1825—1898) установил, что часто-
ты всех известных в то время девяти линий в видимой об-
ласти спектра водорода удовлетворяют соотношению
(10.1)
362
Здесь v — частота световой волны; R — постоянная, полу-
чившая название постоянной Ридберга (/? = 3,2931193 X
X Ю15 с-1) ; m = 3, 4, 5, ..., 11. Все спектральные линии,
удовлетворяющие соотношению (10.1), получили название
линий серии Бальмера. Из формулы (10.1) видно, что по
мере увеличения ш частоты линий спектра сближаются.
Максимальное значение частоты в серии Бальмера, полу-
чающееся при гп= оо, называется границей серии Баль-
мера.
В начале 20 в. в спектре водорода был обнаружен еще
ряд спектральных линий, которые группируются в серии.
В ультрафиолетовой области спектра находится серия
Лаймана:
v = /?(T“i)’ m==2-3’-’ °°- (10-2)
В инфракрасной области спектра расположены еще
четыре серии:
v = ---2) ~ 5, 6, ..., оо — серия Пашена, (10.3)
v = /?(^-—^0, m —5, 6, ..., оо — серия Брэкета, (10.4)
v = r(±---, m = 6, 7, ..., оо — серия Пфунда, (10.5)
\5 m /
v = /?(^-—^0, пг = 7, 8, ..., оо —серия Хэмфри. (10.6)
Все экспериментально найденные серии спектральных
линий атома водорода могут быть описаны одной фор-
мулой:
vmn = r/1----1Л — обобщенная формула
' Бальмера.
(Ю.7)
Для каждой серии число п принимает одно из шести
значений (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6), a m пробегает весь бесконеч-
ный ряд целочисленных значений, начиная с л + 1. Эмпи-
рические формулы (10.1) — (10.6) неопровержимо ука-
зывали на особую роль целых чисел в спектральных зако-
номерностях, которые, как тогда уже было понятно, связа-
ны с энергетическими уровнями атома водорода.
363
Модель водородоподобного атома по Бору. В 1913 г.
Н. Бор разработал модель водородоподобного* атома,
с помощью которой ему удалось теоретически увязать
в единое целое планетарную модель атома Резерфорда,
эмпирические закономерности линейчатых спектров атома
водорода, а также известные к этому времени квантовые
закономерности излучения и поглощения света. Разрабо-
танная Н. Бором модель представляла собой первую по-
пытку построения неклассической, т. е. основанной
не только на законах классической физики, модели атома.
В этой модели впервые классическое описание поведения
электрона в атоме было дополнено условиями, которые
накладывались на возможные состояния электрона. Эти
ограничения были сформулированы им в виде двух посту-
латов, которые не только не могли быть обоснованы в
рамках классической физики, но и находились с ней в пря-
мом противоречии. Постулаты Бора гласят следующее.
1. Существуют стационарные, т. е. не изменяющиеся
во времени, состояния атома, характеризуемые дискрет-
ным набором «разрешенных» значений энергии: Еь Е2,
Е3, ... В этих состояниях атом не излучает энергии. Изме-
нение энергии атома возможно лишь при скачкообразном
переходе из одного энергетического состояния в другое
(первый постулат).
2. Атом испускает и поглощает электромагнитное излу-
чение определенной частоты vmn в виде кванта света,
т. е. фотона с энергией hvmn (h— постоянная Планка).
При этом он переходит из одного стационарного состояния
с энергией Ет в другое состояние с энергией Еп (второй
постулат).
При испускании фотона атом переходит в состояние
с меньшей энергией (Ет > Еп), при поглощении — с боль-
шей (Еш < Ел). Набор возможных дискретных частот элек-
тромагнитного излучения следует из закона сохранения
энергии:
\Em — En\ =hvmn^vmn=-^-. (10.8)
Тем самым сразу становится понятным линейчатый харак-
тер спектра атрма водорода.
Сформулированные Бором постулаты давали ключ
* Термин «водородоподобный атом» применим, помимо атома водо-
рода, ко всем ионам, состоящим из ядра и только одного электрона
(Не+, Li+2 и т. д.).
364
к пониманию стабильности атома в рамках планетарной
модели и согласовывались с введенным А. Эйнштейном
представлением о квантовом характере излучения, но они
еще не позволяли теоретически получать эмпирические
закономерности в спектрах водородоподобных атомов
[см. формулу (10.7)]. Однако проведенный Бором анализ
показал, что если момент импульса L электрона на стацио-
нарной орбите будет кратен h = й/(2л), то из разработан-
ной им модели будут естественным образом следовать все
спектральные закономерности. Данное утверждение полу-
чило название правила квантования орбит Бора, которое
гласит: в стационарном состоянии атома электрон, дви-
гаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные,
т. е. квантованные, значения момента импульса, удовле-
творяющие условию
L = mevr = nh, п= 1,2, ..., оо. (10.9)
Рассмотрим далее следствия из двух постулатов Бора
и правила квантования момента импульса, которое факти-
чески является третьим постулатом.
Дискретность радиусов орбит и энергии стационарных
состояний. На электрон, движущийся по круговой стацио-
нарной орбите (рис. 10.3), действует электрическая,
т. е. кулоновская, сила притяжения со стороны ядра (Fe =
1 Ze2
4лео г2
, где Ze — заряд ядра; е — заряд электрона).
По второму закону Ньютона запишем:
и2 1 Z&2
теап = Fe=^me—=——(10.10)
г 4ле0 Г*
Подставляя в формулу (10.10) выражение для v из
(10.9) и решая полученное уравнение относительно г, по-
лучаем набор дискретных значений радиусов орбит элек-
трона в водородоподобных атомах:
гп = п2, п = 1, 2, ..., оо. (10.11)
meZe*
Это соотношение определяет радиусы разрешенных ста-
ционарных орбит в воровской полуклассической (полу-
квантовой) модели атома. Ближайшей к ядру орбите со-
ответствует п= 1, и для атома водорода (Z = 1) радиус
первой орбиты
4лерД2
тее2
4.3,14.8,85- КГ12 - 1,052 • 10"68
9,1 • 10-31 • 1,62.10"38
~5,29-10-9м.
(10.12)
365
V
Рис. 10.3
Именно этот наименьший радиус г\ = ао называется пер-
вым воровским радиусом, и мы уже не один раз пользова-
лись этим термином. Из соотношения (10.11) видно, что
радиусы более далеких от ядра орбит возрастают пропор-
ционально квадрату числа п:
Гп = аоп2, п = 1, 2, ..., оо. (10.13)
Первые три орбиты (п = 1, 2, 3) электрона в плане-
тарной модели Бора для атома водорода изображены
на рис. 10.4.
Теперь рассчитаем полную энергию электрона на каж-
дой из разрешенных орбит, которая складывается из его
кинетической и потенциальной энергий:
и2 7е2
Е = Ек + ЕП = т'±-- (10.14)
Следует напомнить, что потенциальная энергия элект-
рона в поле положительно заряженного ядра является
величиной отрицательной [см. формулу (2.3)]. Подстав-
ляя в выражение (10.14) значение скорости v из формулы
(10.9), а затем используя формулу (10.11), получаем
с._ Д2 Ze2 ___ Z2mee4 1 __ <
2meflon2 4neoflon2 8Л2ео п2 ’ П
(10.15)
Из выражения (10.15) видно, что в планетарной мо-
дели Бора энергетические состояния атома водорода
характеризуются бесконечной последовательностью энер-
гетических уровней Еп. Значения Еп обратно пропорцио-
нальны квадрату числа п, которое получило название глав-
ного квантового числа. Энергетическое состояние атома
с п = 1 называется основным, т. е. невозбужденным, со-
366
стоянием, которое соответствует минимальному значению
энергии. Если же п>\, то состояние атома является
возбужденным (Еп> Е\ при п > 1). После подстановки в
формулу (10.15) значений массы пге, заряда е электрона,
а также постоянных е0 и h = 2лй находим величину наи-
меньшей энергии электрона, т. е. энергию основного со-
стояния атома водорода (Z = 1, п = 1):
£|==-да-=-13’53 эв-
оЛ Со
(10.16)
Эта энергия одновременно является максимальной энер-
гией связи электрона с ядром в атоме водорода и назы-
вается также энергией ионизации атома водорода.
Спектральные закономерности. Планетарная модель
Бора позволяет получить все сериальные закономерности
линейчатого спектра атома водорода [см. форму-
лу (10.7)]. Действительно, в соответствии со вторым
постулатом Бора при переходе атома водорода из т-го
возбужденного состояния с энергией Ет в п-е состояние
с более низкой энергией Еп выделяется квант электромаг-
нитного излучения с частотой vmzl = (Em — E^/h. Подстав-
ляя в эту формулу значения Еп и Ет из (10.15), получаем
выражение для частоты излучаемого кванта света:
тее* ( 1 1 \
= -г), гп>п\
on во \ п т /
R = — постоянная Ридберга.
8А3е§
(10.17)
Подстановка числовых значений массы те и заряда е
электрона, а также универсальных постоянных h и е0
показывает, что значение выражения тее*/(8ftM) с очень
хорошей точностью совпадает с постоянной Ридберга из
обобщенной формулы Бальмера [см. выражение (10.7)].
На рис. 10.5 показаны схема уровней энергии в атоме
водорода, а также переходы, соответствующие сериям
Лаймана (п=1), Бальмера (п = 2) и Пашена (п = 3).
На этой схеме разрешенные значения энергии атома водо-
рода изображены в виде горизонтальных линий. Для пяти
нижних уровней указаны значения квантовых чисел п
и энергии Еп. Переходы электрона с более высоких уровней
на более низкие указаны стрелками. Например, переход
электрона с уровня т = 3 на уровень п = 2 соответствует
367
частоте V32 = 4,57 • 1014 Гц (или длине волны, равной
656 нм), принадлежащей серии Бальмера.
Изображенные на рис. 10.5 переходы образуют спектр
излучения электромагнитных волн (света), причем процесс
перехода атома водорода из возбужденного состояния в
основное или «менее возбужденное» состояние сопровож-
дается отделением от атома участков электромагнитного
поля (см. вибратор Герца в § 6.3). Эти участки поля рас-
пространяются со скоростью света и в дальней зоне пред-
ставляют собой так называемый «цуг электромагнитной
волны». Его длина равна некоторому числу длин волн, ко-
торое зависит от продолжительности т процесса перехода
атома из одного состояния в другое. Понятно, что обрат-
ные переходы будут связаны с поглощением порции энер-
гии в виде электромагнитной волны, т. е. кванта света.
Соответствующий набор частот vmn образует спектр погло-
щения атома водорода, причем ясно, что vmn = Vnm- В част-
368
ности, отметим, что при температуре 300—400 К электроны
в атоме водорода находятся преимущественно в основном
состоянии, и поэтому при поглощении энергии будут по-
глощаться кванты света с частотой, соответствующей
серии Лаймана.
Задание 10.1. Рассчитайте значение индукции магнитного поля в
центре атома водорода, которое создано электроном, движущимся по
стационарной орбите с номером п = 2 [см. формулу (10.11)].
Указание. Примите во внимание, что поле быстро движущегося
по орбите электрона эквивалентно полю кругового витка с током /=
= ve (v — частота обращения электрона). Индукция кругового тока
определяется по формуле (3.16) (см. также задание 3.2).
Ответ. Индукция В = 0,43 Тл при л = 2.
Экспериментальное обоснование постулатов Бора. Экс-
периментальное подтверждение постулатов Бора было
реализовано в 1913 г. немецкими физиками Д. Франком
(1882—1964) и Г. Герцем (1887—1975). В опытах Франка
и Герца изучалось столкновение электронов с атомами
паров ртути методом задерживающего потенциала. Прин-
ципиальная схема их установки изображена на рис. 10.6.
Она состоит из стеклянного сосуда, наполненного парами
ртути, катода К и сетки С|, между которыми создается
ускоряющее напряжение U (область /). В области II меж-
ду сетками С\ и С2 электроны, прошедшие через сетку
Ci, испытывают столкновения с парами ртути. В области
III между сеткой С2 и анодом А приложен небольшой
(0,5 В) задерживающий потенциал. Гальванометр Г ре-
гистрирует силу тока I в цепи, а значит, и между катодом
и анодом. Изменяя ускоряющее напряжение U и измеряя
ток /, Франк и Герц получили зависимость I = f(U).
Результаты эксперимента представлены на рис. 10.7
и могут быть интерпретированы следующим образом.
Электроны, вылетающие из катода, испытывают столкно-
369
вения с атомами ртути (упругие — без потерь энергии,
неупругие — с потерями энергии). Электроны, испытавшие
упругие столкновения, способны преодолеть небольшой
задерживающий потенциал между сеткой С2 и анодом А
и практически при любом ускоряющем напряжении U
дают вклад в измеряемый ток. Электроны, испытавшие
неупругие столкновения, отдают часть своей энергии ато-
мам ртути, которые в результате этого возбуждаются,
т. е. переходят на более высокие энергетические уровни.
Поэтому если в атомах действительно существуют стацио-
нарные состояния, то электроны при неупругом соударе-
нии должны передавать свою энергию дискретно, опреде-
ленными порциями, равными разности энергий Д£ соот-
ветствующих стационарных состояний атома ртути. Это
означает, что если электроны в области / получили энер-
гию е(7, превышающую скачки энергии между стационар-
ными состояниями атомов ртути, то ток в цепи должен
уменьшиться, поскольку увеличится доля неупругих столк-
новений в области II. Из рис. 10.7 видно, что резкое умень-
шение силы тока наблюдается после периодического увели-
чения ускоряющего напряжения U на величину, кратную
4,86 В. Следовательно, разность энергий между основ-
ным £о и ближайшими возбужденными уровнями Ek(k>0)
для ртути равна AEoi = 4,86 эВ, Д£о2 = 2 • 4,86 = 9,72 эВ,
Л£оз = 3 • 4,86 = 14,58 эВ и т. д.
Таким образом, данный опыт является прямым экспе-
370
риментальным подтверждением наличия дискретных уров-
ней энергии в атоме ртути, что и было вначале постулиро-
вано Н. Бором для атома водорода. Более того, в этих
опытах было найдено, что возбужденные атомы ртути
являются источником ультрафиолетового излучения с дли-
ной волны 253,7 нм, что соответствует переходу электрона
из первого возбужденного состояния Е2 в основное
Fl(v2l=AF2I/ft = 1,14- 10=5 с_ 1Д = c/v = 3 • 108/(1,14Х
XI О15) = 253,7 нм).
Теория Бора явилась крупным шагом в развитии физи-
ки атома. Она позволила объяснить спектры и рассчитать
частоты спектральных линий атома водорода и водородо-
подобных атомов. Однако эта теория встретилась с рядом
принципиальных трудностей при попытке применить ее
для объяснения спектральных закономерностей сложных
атомов, содержащих более одного электрона, и молекул,
а также для объяснения механизма образования молекул
из атомов, т. е. при создании физической теории химиче-
ских реакций. Кроме того, теория Бора являлась в прин-
ципе непоследовательной. Введенное в теории Бора прави-
ло квантования момента импульса [см. формулу (10.9)]
в принципе несовместимо с используемым классическим
описанием поведения электрона. Сущность этого несоот-
ветствия прояснилась лишь в 1923 г. в связи с гипотезой
де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме (см. гл. 12
в первой части пособия).
Согласно де Бройлю, каждой частице соответствует
длина волны, определяемая соотношением K = h/p (р =
= mv — импульс частицы). С помощью этого соотноше-
ния правило квантования (10.9) можно представить в
виде (Й = й/(2л))
mvr = nh=>-^r = nh=>2nr = nX. (10.18)
A
Смысл данного условия сводится к тому, что на элект-
ронной орбите радиусом г должно укладываться целое
число волн де Бройля. Из этого следует и происхождение
дискретности величин, описывающих внутреннее движение
электрона в атоме. Если длина волны такова, что не по-
зволяет волне «замкнуться» на себе, то на круговой орбите
возникает ослабляющая интерференция бегущей волны,
и такое состояние не реализуется. Именно на этом условии
основано утверждение о дискретных орбитах и уровнях
энергии.
371
Таким образом, дискретность состояний обусловлена
волновой природой материи. Однако изложенные сообра-
жения справедливы только в одномерном случае. Реальное
движение электрона происходит в трехмерном простран-
стве, и соответствующая ему волновая конфигурация
более сложная. Она описывается волновой функцией
^(х, у, z, /), которая находится путем решения уравнения
Шрёдингера (см. § 12.2 в первой части пособия).
10.2. Квантово-механическое описание
водородоподобных атомов
Уравнение Шрёдингера для водородоподобных атомов.
Если не учитывать те взаимодействия, которые обуслов-
лены наличием спина у электрона, то полную информацию
о возможных состояниях внешнего электрона в водоро-
доподобных атомах дает трехмерное уравнение Шрёдин-
гера для стационарных состояний (см. уравнение (12.2)
в первой части пособия):
где U — энергия кулоновского взаимодействия электрона
с атомным ядром; Е — собственное значение энергии;
ф — собственная функция стационарного состояния*.
Так как кулоновское взаимодействие в водородоподоб-
ном атоме является сферически симметричным, т. е. энер-
гия U = £7(г), то уравнение (10.19) упрощается при пере-
ходе к сферическим координатам г, 0, ср. Между декарто-
выми и сферическими координатами существует связь,
которая определяется тремя соотношениями (рис. 10.8):
х = г sin 0 cos q>; у= г sin 0 sinq>; z = rcos0. (10.20)
Если оператор Лапласа А = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2
представить в сферической системе координат (см. табл.
II.3 прил. II), то уравнение Шрёдингера преобразуется
к следующему виду:
1 д (г2ЁИЕ\ I 1 A <ty\ ,
’J + 7J^e'»(slnlSsS') +
* Волновая функция Т и собственная функция ф связаны соотно-
шением ^(х, у, z, /) = ф(х, у, z)e~iti>t. В дальнейшем для краткости функ-
цию ф(х, у, z) будем иногда называть волновой функцией.
372
Поскольку требуемый объем математического аппа-
рата, необходимый для решения уравнения (10.21), выхо-
дит за пределы нашего курса, в дальнейшем мы укажем
лишь основные результаты такого решения (подробное
решение можно найти в курсах квантовой механики).
Оказывается, что решение дифференциального уравне-
ния (10.21) можно искать в виде произведения трех функ-
ций, каждая из которых зависит только от одной пере-
менной:
гр=/?(г)0(0)ф(ф). (Ю.22)
После подстановки волновой функции (10.22) в уравне-
ние (10.21) и разделения переменных г, 9 и ф получается
система трех обыкновенных дифференциальных урав-
нений:
d<D • гТч
—- = — £тф;
аф
(10.23)
+ 1)6=0; (10.24)
sin 9 М \ </9 / sin2 6 ' ' '
^d_(r2—} + ^(E + —---------------— z(<+1))/?=0. (10.25)
г2 dry dr / ft2 \ 4ле0г 2те г2 /
Из решения уравнений (10.23) и (10.24) следует, что
величины I и т принимают только целочисленные значе-
ния. Они определяют наборы дискретных значений орби-
373
тального момента импульса Li электрона и его проекции
Liz на избранное направление (ось z):
Ц = I) ft, l = Q, 1,2, .... n- 1; (10.26)
Llz = mh, m = 0, ±1, ±2, ±1. (10.27)
Аналогично из решения (10.25) следует, что при Е < 0
собственные значения энергии электрона образуют энерге-
тический спектр, который в точности совпадает со спектром
модели Бора [см. выражения (10.15) и (10.17)], а именно
л=1’ 2, оо. (10.28)
он, ео п
Число и, определяющее энергию стационарных состоя-
ний, является главным квантовым числом (в модели Бора
это число появилось в связи с квантованием орбит [см.
выражение (10.9)].
Число /, определяющее допустимые дискретные значе-
ния момента импульса электрона, называется орбиталь-
ным квантовым числом. Имеет смысл сопоставить формулу
(10.26) с выражением (4.97) для спинового (собственно-
го) момента импульса ls электрона.
Число т, определяющее набор значений проекций мо-
мента импульса на некоторую ось z, называется магнит-
ным* квантовым числом.
Если радиальную часть /?(г) волновой функции ф пред-
ставить в виде
R(r) = x(r)/r (10.29)
и подставить в уравнение (10.25), то получится более про-
стое дифференциальное уравнение для функции х(<’)‘
+ + 2E+1LV = о. (10.30)
dr h \ 4ле0г 2me г / '
* Согласно соотношению (4.89), орбитальный магнитный момент
рт электрона связан с механическим моментом Lo (pm = — gop6Lo, причем
gop6 __ еЦЪте) — орбитальное гиромагнитное отношение). Поэтому его
проекция ртг= — gop6Lz = — emh/(2me) = — тцБ(цБ—магнетон Бора),
т. е. проекция магнитного момента определяется квантовым
числом т, которое в связи с этим называется магнитным кван-
товым числом.
374
Формально это уравнение совпадает с уравнением
Шрёдингера для одномерного движения электрона в
эффективном поле с потенциальной энергией
+ (10.31)
4ле0г 2тег
Из рис. 10.9 видно, что эффективное поле имеет вид
потенциальной ямы конечной глубины t/0, причем мини-
мальное значение энергии £| больше Uq.
Собственные функции ф = фп/т, соответствующие неко-
торым заданным наборам квантовых чисел и, /, т для
атома водорода, приведены в табл. 10.1, в которой р =
= r/aQ — безразмерное расстояние от ядра (а0 — первый
боровский радиус), a Yim = 0(0)Ф(ф)— угловая часть
собственной функции ф(г, 0, ф).
В качестве примера на рис. 10.10 графически представ-
лены зависимости радиальных функций /?ю, /?го и /?зо от
расстояния г до ядра атома водорода. Видно, что функция
/?ю не пересекается с осью г, т. е. соответствующая ей
волновая функция ф не имеет узлов. Функции /?2о и /?зо
определяют положения соответственно одного и двух
узлов для волновой функции ф = /?(г) У(0, ф). Оказывается,
что здесь и во всех других случаях при / = 0 число узлов
определяется главным квантовым числом и, а именно чис-
ло узлов равно п—\.
Квантование L/ и L/z. Кратность вырождения энерге-
тических уровней. Следует отметить также, что орбиталь-
ное квантовое число I и магнитное квантовое число т опре-
деляют величину угла, образованного вектором момента
375
Таблица 10.1
Квантовые числа стационарных состояний атома водорода Собственная функция стационарного состояния Фп/m — Rnl(r) Y 1т(&, ф)
п / т Rm(r) Г/т(0. Ф)
1 0 0 Cl0e-p CJo
2 0 0 С20(1 — р/2)е_р/2 Cfro
2 1 1 Cfi sin 0?’
2 1 0 • C2ipe“p/2 Cfo cos 0
2 1 -1 Cf_i sin 0e-n₽
3 0 0 Сзо(1 - 2р/3 + CJo
+ 2р2/27)е_р/3
3 1 1 Cfi sin 0e“₽
3 1 0 ’ С3|(1 -р/6)е-^3 Cf0 cos 0
3 1 - J CT-1 sin 0e_,<₽
3 2 2 CJ2 sin2 Ge2*
3 2 1 CJi sin 0 cos 0е/ф
3 2 0 • С32р2е-Р/3 CJ0(3 cos2 0 — 1)
3 2 -1 CJ-i sin 0 cos 0е_,ф
3 2 -2 d-2 sin2 0в-2,ф
импульса L/ электрона с направлением оси z. Из рис. 10.11
видно, что
cosa=-^= т /п = 0, ±1, ±2, .... ±/. (10.32)
Lt V/(/ + l)
376
Таким образом, вектор
орбитального момента им-
пульса электрона для атома
водорода при заданном зна-
чении квантового числа / мо-
жет иметь 2/+ 1 направление
в пространстве, каждое из
которых определяется соот-
ветствующим значением угла
ат = а(пг). Например, при
/ = 1 (т = 0, 1, — 1) вектор L/
имеет три разрешающих на-
правления по отношению к
оси z(cosa0 = 0, ao = 9O°;
cos ai = -\/2/2, ai = 45°;
cosa_i = — '\/2/2, a_i =
= 135°). Эта дискретность в
ориентации вектора L/ озна-
чает пространственное кван-
тование момента импульса
электрона в атоме водорода.
Для обозначения состоя-
ний квантовой системы (в
данном случае атома водоро-
да) с различными значениями
квантового числа / в атомной
физике принята специаль-
ная система буквенных обозначений этих состояний, кото-
рая приведена в табл. 10.2. Такое обозначение состояний
исторически связано с буквенными обозначениями линий
спектра, принятыми в оптике еще до того, как выяснилась
их связь с квантовым числом /.
Таблица 10.2
Квантовое Буквенное Название
число / обозначение состояния
0
1
2
3
4
5
S
р
d
f
g
h
s-состояние
р-состояние
d-состояние
/-состояние
^-состояние
Л-состояние
и т. д. по алфавиту
377
т=0
Рис. 10.12
На рис. 10.12 представлено распределение электронной
плотности* для состояний атома водорода с низшими
значениями квантовых чисел и, /, т. Напомним, что
электронная плотность пропорциональна квадрату модуля
волновой функции электрона в атоме водорода, который
определяет плотность вероятности f обнаружения электро-
на в окрестности данной точки пространства: f = |ф|* =
= фф*, где ф*— функция, комплексно-сопряженная с
функцией ф (статистический смысл волновой функции ф
см. в § 12.2 первой части пособия). Из рисунка видно,
что распределение электронной плотности для состояний
с заданным главным квантовым числом и, но с разными
значениями орбитального I и магнитного т квантовых
чисел существенно отличаются, хотя, согласно формуле
(10.16), им соответствует одна и та же энергия (Еп~
~ 1 /гг). Такая ситуация, когда одному и тому же энерге-
тическому уровню Еп соответствует несколько различных
квантовых состояний системы (волновые функции фл/т
отличаются значениями / и ли), называется вырождением
уровней энергии. Уровень энергии называется невырож-
денным, если ему отвечает лишь одно состояние фп/т, и
g-кратно вырожденным, если система в g различных со-
стояниях имеет одинаковую энергию. В атоме водорода
при заданном числе п орбитальное квантовое число I мо-
жет принимать п значений (/ = 0, 1,2, ..., п — 1), а магнит-
ное квантовое число т изменяется в пределах от — / до +1
* Значение плотности вероятности Д0)=|У/т|2 отложено в неко-
тором масштабе по радиусу-вектору, проведенному под углом 0 к ocrt z.
378
и, следовательно, принимает 2/+ 1 значение. Поэтому
кратность вырождения g уровня энергии Еп определяется
суммой арифметической прогрессии:
п — I
g= 2 (21+ 1) = п2. (10.33)
I = о
Пример 10.1. Покажем, что радиальная функция /?!0 = Се~т/а явля-
ется решением уравнения (10.25) для атома водорода при а = а0 (оо —
первый боровский радиус), и определим собственное значение энергии Е.
Решение. Из табл. 10.1 видно, что функция /?!0 описывает ста-
ционарное состояние с квантовыми числами п = 1 и / = 0. Поэтому
после подстановки радиальной, функции /?ю в уравнение (10.25) или,
что то же самое, вспомогательной функции хю = rR\0 в уравнение (10.30)
получим
Сю( - — е~'/а+ -^е-,/в4- ^-Еге~"‘ +
\ a a
+ (Ю.34)
/г2лео /
После сокращения на Сюв г/а соберем коэффициенты при одина-
ковых степенях г:
(- —+ ^,zf2)+г (Л+^^-)=°- <В * 10-35)
\ а 2ле0Й / \ a h)
Это уравнение превратится в тождество, если свободный член
и коэффициент при г будут равны нулю. В результате получаем систему
двух уравнений:
2 meZe2
--------—г =0
а 2ле0^
а п,
_4леоЛ2
meZe2 ’
Е =------^-7
2mea2
meZ2e*
32nMft2 '
(10.36)
В случае атома водорода Z = 1, поэтому величина а = а0 =
= 0,529 • 10“10 м, а энергия Е = Е\ = — 13,53 эВ [см. формулу (10.28)].
Таким образом, функция /?10 = С\^е~г/а° является решением уравнения
(10.25) для атома водорода. Из выражения /?ю = Сюе-г/ао следует, что
на расстоянии г, равном радиусу первой электронной орбиты в модели
Бора (г = ао), значение радиальной функции Rio в е раз меньше, чем
при г = 0.
379
Задание 10.2. Запишите выражения для плотности вероятности
распределения электрона в атоме водорода для следующих квантовых
состояний: а) п=1, 1 = 0, т = 0; б) п = 2, /=1, т=±1; в) п=3,
/ = 2, т = ±2.
Указание. Для плотности вероятности f = 2 воспользуй-
тесь соответствующими решениями для радиальной R(r) и угловой
У(0, ф) частей волновой функции фя/т = R(r)Y(0, ф), которые выписаны
в табл. 10.1.
Ответ. Плотность вероятности (р = r/a0, ani = CniCfm)2:
{aioe~2p ПРИ п = \ и 1 = 0, т = 0;
fl2ip2e_p sin2 0 при п=2 и l=\, т = ± 1, (10.37)
а32р4е~2р/3 sin4 0 при п=3 и 1 = 2, т=±2,
Задание 10.3. Определите вероятность dpr нахождения электрона
в тонком шаровом слое толщиной dr и радиусом г для всех состояний,
рассматриваемых в задании 10.2. Постройте также зависимость функции
fr = dpr/dr от расстояния г.
Указание. Вероятность dp нахождения электрона в элементе
объема dV равна плотности вероятности f, умноженной на элемент
объема dV = г2dr sin OdOdy (см. рис. 10.8), т. е.
dp = fdV = f(r, 0,ф)г2^г sin OdOdy.
Для определения вероятности dpr нужно проинтегрировать dp по
углу 0 (от нуля до л) и углу ф (от нуля до 2л).
Ответ. Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое
для разных состояний определяется по формулам (р = г/oq):
C20e~2pr2dr при п = 3, 1 = 2;
dpr= Chp2e~pr2dr прип = 1,/ = 0; (10.38)
СЗ2р4е_^/3г2dr при п = 2, I = 1;
2л л
SI Ip./» I г<1 V = 1 =► $ $ I У,„ 12 sin2 0d9dq> = 1.
V 0 0
Зависимость плотности вероятности fr от расстояния г представ-
лена на рис. 10.13.
Задание 10.4. Найдите положение максимумов функции fr, опреде-
ляющей распределение электронной плотности в радиальном направле-
нии. Сравните полученные значения расстояний г\ (при п = \, 1 = 0),
Г2 (при п = 2, I = 1) и гз (при п = 3, I = 2) с радиусами орбит в модели
Бора [см. формулу (10.11)].
Указание. Воспользуйтесь формулами (10.38) и запишите выра-
жения для функции fr = dpr/dr, а затем найдите ее экстремальные
точки.
Ответ. Положения максимумов совпадают с радиусами боровских
орбит (а0 — первый боровский радиус) r\ = oq, r2 = 4а0, r3 = 0oq.
380
Рис. 10.13
Спин-орбитальное взаимодействие. Проведенный ана-
лиз состояний водородоподобных атомов, основанный на
решении уравнения Шрёдингера (10.21), является, однако,
неполным, так как не учитывает собственный момент
импульса электрона, т. е. его спин. В квантовой механике
показывается, что собственный момент импульса и его
проекция на ось z определяются формулами, аналогич-
ными выражениям (10.26) и (10.27):
Ls = -\/s( s+ 1) Й, s = 1 /2; (10.39)
Lsz = msh, ms= ±1/2. (10.40)
Число ms является четвертым квантовым числом, ха-
рактеризующим состояние электрона в атоме, и называ-
ется магнитным спиновым квантовым числом. Происхож-
дение этого названия такое же, как и для орбитального
магнитного квантового числа т.
Следует отметить, что вначале американские физики
Дж. Уленбек (1900—1988) и С. Гаудсмит (1902—1979)
выдвинули в 1925 г. гипотезу о существовании собствен-
ного момента импульса L$ (спина) и связанного с ним
собственного магнитного момента р$ электрона, основы-
ваясь на анализе спектроскопических данных. В дальней-
шем было установлено, что условия квантования этих мо-
ментов определяются соотношениями (10.39) и (10.40).
С помощью гипотезы о существовании спина электро-
на удалось истолковать результаты опытов О. Штерна и
В. Герлаха (1921 г.), в которых наблюдалось расщепле-
381
ние пучка атомов серебра на две части при их движении
в сильно неоднородном магнитном поле. Эти два расщеп-
ленных пучка соответствовали двум возможным проек-
циям спинового магнитного момента внешнего электрона
атомов серебра на направление напряженности Н маг-
нитного поля. С помощью понятия спина электрона уда-
лось также обосновать наблюдаемое в опытах с железным
сердечником значение гиромагнитного отношения gy кото-
рое оказалось равным е/теу вместо значения е/(2те)У полу-
чаемого для орбитальных моментов [см. формул (4.89)],
т. е. gs = е/теу £орб = е/(2те).
В 1928 г. английский физик П. Дирак (1902—1984),
развивший квантовую механику для описания движения
электронов со скоростями, близкими к скорости света,
пришел к выводу о существовании спина электрона из
анализа полученного им релятивистского волнового урав-
нения.
Оказалось, что модуль проекций собственного магнит-
ного момента ps на направление магнитного поля равен
по значению магнетону Бора [см. формулу (4.98)],т. е.
I Psz I = gs I Lsz I = ~ I I 2т НБ*
Наличие спина у электрона и пренебрежение в урав-
нении (10.19) соответствующими ему взаимодействиями
предполагает вырождение энергетического уровня Еп и по
числу ms. Поэтому кратность вырождения gn квантовых
состояний удваивается по отношению к (10.33), т. е.
gn = 2n2. (10.41)
В табл. 10.3 представлены все возможные квантовые
состояния электрона в атоме водорода для п = 1, 2, 3 и
соответствующие им ориентации орбитального L/ и спино-
вого Ls моментов электрона (стрелками условно обозна-
чены направления векторов L/ и L$). Необходимо, однако,
отметить, что вырождение уровня энергии по магнитному
спиновому квантовому числу mSy т. е. предполагаемая
независимость энергии Еп уровня от значения mSy которая
позволяет классифицировать состояния электрона с по-
мощью квантовых чисел пу 1У т и mSy имеет место лишь
приближенно, если не учитывать так называемое спин-
орбитальное взаимодействие.
Возникновение спин-орбитального взаимодействия мож-
но качественно представить следующим образом. При дви-
382
Таблица 10.3
п / Квантовое состояние т т,= = ±l/2 Число состояний gn
1 0 1s • пг=0 2 2
2 0 2s • m — Q 2 8
1 2р г /т-o' \ 6
3 0 3s • m—Q •l 2 16
1 Зр 2 — >./77= 7 /W=Q\ \ X/ ^т=-1 6
2 3d Е\ •I н ю
383
жении электрона в электрическом поле ядра в системе от-
счета, связанной с электроном, возникает магнитное поле,
поскольку в этой системе заряженное ядро будет казаться
движущимся по круговой орбите. Спиновой магнитный мо-
мент электрона ps будет взаимодействовать с этим магнит-
ным полем, которое оказывается пропорциональным векто-
ру орбитального магнитного момента. Спин-орбитальное
взаимодействие является релятивистским эффектом и по-
этому имеет порядок v2/с2 по отношению к кулоновскому
взаимодействию. Это достаточно слабое взаимодействие
приводит к тому, что проекции орбитального L/ и спиново-
го L$ моментов не сохраняются, т. е. каждое число / и s
в отдельности уже не являются квантовыми числами. Со-
храняется лишь полный момент импульса электрона, рав-
ный сумме его орбитального и спинового моментов. По-
этому при учете спин-орбитального взаимодействия со-
стояние электрона в атоме характеризуется уже другим
набором квантовых чисел: главным квантовым числом и;
орбитальным квантовым числом I; внутренним кванто-
вым числом j, определяющим значение полного момента
импульса электрона согласно соотношению

(10.42)
причем квантовое число / выражается через / и $, так что
/ = | / — s | и j = I + s; для электрона s = 1/2 и при / =/= 0
число / = /±1/2, а при / = 0 оно равно 1/2; четвертое
квантовое число ml> = m -(- ms обычным образом опреде-
ляет проекцию полного момента импульса на некоторую
ось z:
Ljz = mjh, т,= —j, — j + 1,..., j — 1, j. (10.43)
Таким образом, квантовые числа / и mj являются
уже полуцелыми. Учет спин-орбитального взаимо-
действия приводит к тому, что уровни энергии, описывае-
мые формулой Еп = — Z2/nee4/(8ft2eon2), расщепляют-
ся на несколько уровней, соответствующих различным
значениям / и j. Схема уровней атома водорода с уче-
том спин-орбитального взаимодействия представлена
в табл. 10.4.
384
Таблица 10.4
п / / Символ с< ЭСТОЯНИЯ Уровни энергии En,,
3 (7/2 5/2 4^7/2 4^5/2 E4, 7/2
2 (5/2 4^5/2 , £4. 5/2
4 (3/2 4^з/2 ^4. 3/2
1 13/2 4рз/2 ‘
(1/2 4р\/2 1 £4, 1/2
0 1/2 4«|/2 ,
о (5/2 3^5/2 /7 e n
Z 3/2 3d3/2' c3, 5/2
Q 1 3/2 Зрз/2 E3. 3/2
О 1 11/2 3pi/2
0 1/2 3S|/2 Ез. 1/2
1 (3/2 2рз/г p
О 1 (1/2 2Pl/2 ] c2, 3/2
0 1/2 2s 1/2 J E2, 1/2
1 0 1/2 lSi/2 E\, 1/2
10.3. Уравнение Шрёдингера
и периодическая система Менделеева
Уравнение Шрёдингера для многоэлектронных атомов.
В многоэлектронных атомах значительную роль играют
эффекты взаимодействия электронов друг с другом, среди
которых в первую очередь необходимо отметить электро-
статическое отталкивание электронов и специфическое
квантово-механическое обменное взаимодействие между
ними, связанное с тождественностью электронов.
При строгом квантово-механическом рассмотрении со-
стояние многоэлектронного атома характеризуется волно-
вой функцией ф, зависящей от координат yt и всех N
электронов атома и определяемой из решения стационар-
ного уравнения Шрёдингера:
N » 2
+ (10.44)
< = 1 i = 1
где Л, = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2 — оператор Лапласа
для /-го электрона; г, — расстояние от Z-го электрона до
ядра; —Ze2/(4neori)—потенциальная энергия взаимодей-
385
ствия /-го электрона с ядром; U — потенциальная энергия
взаимодействия электронов друг с другом; Е — полная
энергия электронов атома.
В настоящее время не существует методов для на-
хождения точного аналитического решения уравнения
(10.44). Есть, однако, приближенные методы его решения,
которые позволяют с достаточной точностью найти
функцию ф.
В первом приближении при описании свойств
многоэлектронных атомов обычно исходят из того, что
каждый электрон в атоме находится в квантовом состоя-
нии, определяемом, как и в атоме водорода, четырьмя
квантовыми числами и, /, /и, ms> т. е. без учета спин-орби-
тального взаимодействия. Поэтому состояние атома в це-
лом сводится к сочетанию индивидуальных квантовых
состояний всех его электронов (одноэлектронное прибли-
жение). Опираясь на принцип тождественности квантовых
частиц и учитывая, что электроны являются фермио-
нами (спин электрона равен 1/2), применительно к много-
электронному атому сформулирован принцип запрета
Паули: в каждом квантовом состоянии, определяемом
четырьмя квантовыми числами, может находиться не бо-
лее одного электрона, т. е. состояния всех электронов в
сложном атоме должны отличаться хотя бы одним из че-
тырех квантовых чисел и, /, m, ms.
Характеристика состояний отдельных электронов с по-
мощью квантовых чисел позволяет ввести определенную
систему для описания уровней энергии многоэлектронного
атома и распределения электронов по этим уровням.
Энергия каждого отдельного электрона атома в рас-
сматриваемом нами простейшем приближении может быть
представлена в виде, аналогичном выражению для энергии
электрона в водородоподобных атомах [см. выражения
(10.17) и (10.28)]:
Enl = -Rh(Z = -Rh^-, (1045)
п л
где oni — постоянная экранирования заряда ядра атома,
приближенно учитывающая вклад взаимодействия между
выделенным и остальными электронами.
Величина ол/ зависит от квантовых чисел пи/. Эф-
фективный заряд ядра 2Эф = Z — ол/, введенный в фор-
муле (10.45), определяет значение заряда ядра с учетом
его экранирования отрицательно заряженными электрона-
386
ми. Постоянная экранирования ол/ возрастает с увеличе-
нием числа п, а при заданном п — с увеличением числа /,
потому что, чем больше квантовые числа пи/, тем дальше
от ядра находится электрон. Следовательно, большее
число внутренних электронов будет экранировать действие
ядра на рассматриваемый электрон.
Электронные оболочки и подоболочки атомов. Из вы-
ражения (10.45) видно, что энергия электрона в много-
электронном атоме зависит уже от двух квантовых чи-
сел пи/, тогда как в атоме водорода энергия Еп опре-
деляется только числом п. Совокупность электронов
с одинаковым числом п образует электронную оболочку,
которая состоит из подоболочек, соответствующих раз-
ным значениям орбитального числа /. Все электроны
каждой подоболочки характеризуются разными зна-
чениями квантовых чисел m и ms, однако имеют одну
и ту же энергию Eni и поэтому называются эквивалент-
ными.
Таким образом, состояния электронов с заданными
числами пи/ вырождены по отношению к двум другим
квантовым числам m и ms. Кратность g этого вырождения
равна числу возможных различных пространственных
ориентаций орбитального L/ и спинового L$ моментов
электрона, которые определяются возможными значе-
ниями магнитных квантовых чисел пг и ms (m = 0, ±1,
±2,...±/; ms = ±1/2). Это означает, что вектор L/ имеет
2/ + 1 ориентацию, а вектор L$ — две ориентации по от-
ношению к некоторой оси z. Следовательно, кратность
вырождения энергетического уровня Eni для электронов
подоболочки
grt/ = 2(2/ + 1), / = 0, 1, 2,... n — 1. (10.46)
Поскольку, согласно принципу Паули, в каждом из
этих состояний может находиться только один электрон,
максимальное число электронов в данной электронной
подоболочке равно 2(2/+ 1). Если все состояния в элект-
ронной подоболочке заняты, то она называется замкну-
той. Например, замкнутая s-подоболочка (/ = 0) содержит
2 электрона, р-подоболочка (/=1) — 6 электронов, d-
подоболочка (/ = 2)—10 электронов и т. д. (см. табл.
10.3). Общее число состояний gni в электронной оболочке
определяется формулой (10.41), так что максимально
возможное число электронов в оболочке с номером п
равно 2п2. В ближайшей к ядру электронной оболочке
387
(и = 1) может находиться 2 электрона, в следующей
(и = 2) — 8, а при п = 3 может быть уже 18 электронов
и т. д.
Распределение электронов по электронным оболочкам
и подоболочкам. Для указания расположения электронов
в атоме выписывают последовательно в один ряд сим-
волы заполненных электронных подоболочек (Is, 2s, 2р,..),
начиная с самой близкой к ядру, а индексом справа
вверху указывают число электронов, находящихся в каж-
дой подоболочке. Например, у атома алюминия (заряд
ядра Z = 13) в оболочке с п = 1 имеются два электро-
на в s-состоянии; в оболочке с п = 2 находятся два s- и
шесть р-электронов, а в оболочке с п = 3 расположены
остальные три электрона — два в s- и один в р-состоянии.
Указанное распределение электронов, т. е. электронная
конфигурация атома, записывается в виде Is2 2s2 2р2
3s2 Зр.
Учет спин-орбитального взаимодействия в атоме. Как
и в случае водородоподобных атомов, спин-орбитальное
взаимодействие в многоэлектронных атомах приводит к
расщеплению вырожденных уровней энергии и тем самым
к появлению тонкой электронной структуры у атомов, т. е.
зависимости энергии уровня и от магнитных квантовых
чисел т и ms. В зависимости от величины спин-орбиталь-
ного взаимодействия различают два предельных способа
сложения орбитальных и спиновых моментов отдельных
электронов атома.
Первый способ реализуется, когда спин-орбиталь-
ное взаимодействие мало, т. е. когда интенсивность взаи-
модействия между орбитальными моментами отдельных
электронов и их спиновыми моментами больше спин-
орбитального взаимодействия. В этом случае векторы
орбитальных и спиновых моментов всех электронов ато-
ма складываются порознь, образуя вектор результирую-
щего орбитального Ml и результирующего спинового Ms
моментов атома, которые квантуются по тем же правилам,
что и для отдельных электронов, т. е.
Ml = ^L(L+ \)h, L — целое число либо нуль;
I------ (Ю.47)
Ms = ~\S(S+ l)ft, S — целое либо полуцелое число.
Здесь квантовые числа для атома обозначаются про-
писными буквами L и S.
388
Полный момент атома определяется как векторная
сумма результирующих орбитального и спинового мо-
ментов, а его числовое значение определяется кванто-
вым числом 1 по формуле*
= 1) h. (1-0.48)
Ввиду возможной различной ориентации векторов орби-
тального и спинового моментов атома квантовое число J
полного момента принимает ряд значений, зависящих от
квантовых чисел L и S:
7 = L + S, L + S- 1,..., IL-SI. (10.49)
Расчеты показывают, что число J имеет 2S + 1 значение
при L S и 2L + 1 значение при L S.
Рассмотренный случай связи между полным моментом
атома и определяющими его орбитальными и спиновыми
моментами электронов атома называется LS-связью или
связью Рессела — Саундерса. В чистом виде такая связь
моментов реализуется главным образом для основных
состояний легких атомов.
Второй способ связи между орбитальными и спи-
новыми моментами атомных электронов и полным момен-
том атома осуществляется в том случае, когда взаимо-
действие орбитального и спинового моментов каждого
электрона значительно сильнее, чем взаимодействие орби-
тальных и спиновых моментов различных электронов. Та-
кой способ связи реализуется преимущественно в тяжелых
атомах и называется сильной или jj-связью. В этом слу-
чае векторы орбитального и спинового моментов каждого
электрона атома складываются в отдельности, а полный
момент импульса электронов атома образуется сложе-
нием полных моментов отдельных электронов. Числовое
значение полного момента атома квантуется так же, как
и в первом случае, т. е.
= + i)h.
Необходимо, однако, отметить, что у большинства ато-
мов реализуется связь, промежуточная между LS- и
//-связью.
* Для многоэлектронных атомов результирующие орбитальные
и спиновые моменты импульса для удобства обозначены буквой М
(вместо буквы L, которая использовалась в случае атома водорода).
389
Периодическая система элементов Менделеева. Рас-
смотренные выше закономерности заполнения электрон-
ных оболочек с учетом принципа Паули, а также усло-
вие, что в основном, т. е. невозбужденном, состоянии
атома его энергия должна быть минимальной, позволяют
объяснить периодический закон изменения физических и
химических свойств элементов, открытый в 1869 г.
Д. И. Менделеевым (1834—1907). Действительно, поря-
док заполнения квантовых состояний в электронных
оболочках, а в пределах оболочки — в его электронных
подоболочках совпадает с порядком расположения энер-
гетических уровней с данными квантовыми числами п и I.
Сначала электроны заполняют квантовые состояния с на-
именьшей возможной энергией £10, затем — состояния с
более высокой энергией, что соответствует заполнению,
как правило, оболочек с наименьшими и, а при заданном п
заполняются подоболочки с наименьшими /.
Последовательность, с которой возрастают уровни
энергии электронов и происходит формирование электрон-
ных оболочек и подоболочек в соответствии с принципом
Паули, имеет вид Is, 2s, 2р, 3s, Зр, (4s, 3d), 4р, (5s, 4d), 5р,
(6s, 4f, 5d), 6p, (7s, 6d, 5f). В скобках стоят символы под-
оболочек, в которых электроны имеют почти одинаковую
энергию, так что эти оболочки заполняются не всегда
в указанном выше порядке. Наблюдаемые отдельные от-
клонения отражены в табл. 10.5. Там же приведены
значения энергии ионизации атомов.
Таблица 10.5
Z Символ Название Масса Основная конфигурация Энергия ионизации, эВ
1 2 3 4 5 6
1 Н Водород 1,0079 1s 13,595
2 Не Гелий 4,0026 Is2 24,581
3 Li Литий 6,941 | [Не] 2so 5,390
4 Be Бериллий 9,0122 2s2 9,320
5 В Бор 10,811 2s22p 8,296
6 С Углерод 12,0111 2s22p2 11,256
7 N Азот 14,0067 2s22pJ 14,545
8 О Кислород 15,9994 2s22p4 13,614
9 F Фтор 18,9984 2s22p5 17,418
10 Ne Неон 20,1797 2s22p6 21,559
11 Na Натрий 22,9898 | [Ne] 3s 5,138
12 Mg Магний 24,3050 3s2 7,644
390
Продолжение табл. 10.5
1 1 2 I 3 1 4 ! 5 ! 6
13 Al Алюминий 26,9815 3s23p 5,984
14 Si Кремний 28,0855 3s23p2 8,149
15 Р Фосфор 30,9738 3s23p3 10,484
16 S Сера 32,066 3s23p4 10,357
17 Cl Хлор 35,453 3s23p5 13,01
18 Аг Аргон 39,948 3s23p6 15,755
19 К Калий 39,098 [Ar] 4s 4,339
20 Са Кальций 40,078 4s2 6,111
21 Sc Скандий 44,956 3d4s2 6,54
22 Ti Титан 47,880 3d24s2 6,83
23 V Ванадий 50,942 3d34s2 6,74
24 Сг Хром 51,996 3d54s 6,76
25 Мп Марганец 54,938 3d54s2 7,432
26 Fe Железо 55,847 3d64s2 7,87
27 Со Кобальт 58,933 3d74s2 7,86
28 Ni Никель 58,69 3d’4s2 7,633
29 Си Медь 63,54 3d'“4s 7,724
30 Zn Цинк 65,39 3d'°4s2 9,391
31 Ga Галлий 69,72 3d'°4s24p 6,00
32 Ge Германий 72,61 3d104s24p2 7,88
33 As Мышьяк 74,921 3d'°4s24p3 9,81
34 Se Селен 78,96 3d'°4s24p4 9,75
35 Br Бром 79,90 3d'°4s24p5 11,84
36 Kr Криптон 83,80 3d‘°4s24p6 13,996
37 Rb Рубидий 85,467 [Kr]5s 4,176
38 Sr Стронций 87,62 5sJ 5,692
39 Y Иттрий 88,905 4d5s2 6,377
40 Zr Цирконий 91,224 4d25s2 6,835
41 Nb Ниобий 92,906 4d45s 6,881
42 Mo Молибден 95,94 4d65s 7,10
43 Tc Технеций 97,907 4ds5s2 7,228
44 Ru Рутений 101,07 4<f5s 7,365
45 Rh Родий 102,905 4d*5s 7,461
46 Pd Палладий 106,42 4d10 8,33
47 Ag Серебро 107,868 4d'°5s 7,574
48 Cd Кадмий 112,411 4d105s2 8,991
49 In Индий 114,82 4d'°5s25p 5,785
50 Sn Олово 118,71 4d'°5s25p2 7,342
51 Sb Сурьма 121,75 4d‘°5s25p3 8,639
52 Те Теллур 127,60 4d105s25p4 9,01
53 J Йод 126,9044 4d105s25p5 10,454
54 Xe Ксенон 131,29 4d105s25p6 12,127
55 Cs Цезий 132,905 [Xe]6s 3,893
56 Ba Барий 137,327 6s2 5,210
391
Продолжение табл. 10.5
1 2 3 4 5 6
57 La* Лантан 138,905 5d6s2 5,61
58 Се Церий 140,115 4fsd6s2 6,54
59 Рг Празеодим 140,907 4f6s2 5,48
60 Nd Неодим 144,24 4f6s 5,51
61 Pm Прометий 144,912 4f 6s
62 Sm Самарий 150,36 4f 6s 5,6
63 Eu Европий 151,965 4f 6s2 5,67
64 Gd Гадолиний 157,25 4f5d6s2 6,16
65 Tb Тербий 158,925 4f’6s' 6,74
66 Dy Диспрозий 162,50 4f°6s2 6,82
67 Ho Гольмий 164,930 4f“6s2
68 Er Эрбий 167,26 4fW
69 Tu Тулий 168,934 4f 36s2
70 Yb Иттербий 173,04 4fl46s2 6,22
71 Lu Лютеций 174,967 4fl45d6s2 6,15
72 Hf Гафний 178,49 4fl45d26s2 7,0
73 Ta Тантал 180,948 4fl45d36s2 7,88
74 W Вольфрам 183,85 4fl45d46s2 7,98
75 Re Рений 186,207 4/l45d56s2 7,87
76 Os Осмий 190,2 4fl45d66s2 8,7
77 Ir Иридий 192,22 4/l45d76s2 9,2
78 Pt Платина 195,08 4fl45d*6s2 8,88
79 Au Золото 196,967 4fl45d‘°6s 9,22
80 Hg Ртуть 200,59 6s2 10,434
81 T1 Таллий 204,38 6s26p 6,106
82 Pb Свинец 207,16 6s26p2 7,415
83 Bi Висмут 208,980 6s26p3 7,287
84 Po Полоний 208,982 6s26p4 8,43
85 At Астат 209,987 6s26p5
86 Rn Радон 222,017 6s26p6 10,745
87 Fr Франций 223,0197 | [Rn]7s
88 Ra Радий 226,0254 7s2 5,277
89 Ac” Актиний 227,0278 6d7s2 6,9
90 Th Торий 232,038 6d27s2
91 Pa Протактиний 231,036 5f6d7s2
92 U Уран 238,029 5f36d7s2 4,0
93 Np Нептуний 237,048 5f46d7s2
94 Pu Плутоний 244,064 5f7s2
95 Am Америций 243,061 7s2
96 Cm Кюрий 247,070 5f6d7s2
97 Bk Берклий 247,070 5f*6d7s2
98 Cf Калифорний 251,079 5f°7s2
99 Es Эйнштейний 252,083 5f"7s2
100 Fm Фермий 257,095 5f'27s2
101 Md Менделевий 258,10 5f37s2
102 No”* (Нобелий) 259,101 5C7? ,
103 Lr (Лоуренсий) 260,105 5f146d7s2
♦ Лантаноиды (Z = 58—71).
♦♦ Актиноиды (Z = 90—103).
♦♦♦ Названия и символы элементов, приведенные в скобках, не
являются общепринятыми.
392
Окончание табл. 10.5
1 2 3 4 5 6
104 Ku (Курчатовий) 261,11 5f46d27s2
105 Ns (Нильсборий) 262,114 5/'46d37s2
106 □ 1 1 263,118 5f46d47s2
107 □ 1 1 262,12 5fl46d57s2
Действительно, уже у калия (Z = 19) и кальция (Z =
= 20) начинается заполнение подоболочки с / = 0 в обо-
лочке с п = 4(4$-состояние), хотя подоболочка с 1 = 2
в оболочке с п = 3 остается свободной, т. е. состояния 3d
не заняты. Причина этого в том, что 45-состояние со зна-
чением п = 4 имеет меньшую энергию, чем З^-состояние
со значением п = 3. Однако в дальнейшем продолжается
достраивание 3d подоболочки (см. табл. 10.5). Элементы,
у которых происходит достройка предыдущих электрон-
ных под оболочек (3d, 4d, 4Д 5d) при уже частично запол-
ненных последующих подоболочках, называют пере-
ходными.
Сравнение внешних электронных состояний атомов по-
зволяет понять причину сходства химических свойств эле-
ментов, находящихся в одной группе периодической си-
стемы Менделеева. Атомы, отнесенные к одной группе
периодической системы, имеют одинаковые внешние элект-
ронные состояния, что и определяет их близкие хими-
ческие свойства.
При увеличении числа электронов в заполняющейся
подоболочке их энергия связи, т. е. энергия ионизации,
увеличивается (см. табл. 10.5). Наибольшую энергию
связи всегда имеют электроны в замкнутой, т. е. полностью
заполненной, подоболочке. Атомы с одним или двумя
электронами в незаполненной подоболочке имеют наимень-
шую энергию ионизации и достаточно легко отдают их
в химических реакциях, т. е. эти вещества проявляют
металлические свойства. Атомы, которым не хва-
тает нескольких электронов для заполнения внешней
электронной подоболочки, ведут себя как неметаллы,
поскольку они достаточно легко присоединяют недостаю-
щие электроны в химических реакциях*. Если у атомов
* Способность некоторых атомов присоединять добавочный электрон
носит название сродство к электрону.
393
внешние подоболочки полностью заполнены, то при обыч-
ных условиях эти элементы (инертные газы) не вступают
в химические реакции.
Внешние электроны определяют не только химические,
но и магнитные свойства атомов (см. § 4.4). В заполненном
s-состоянии спины электронов в соответствии с принци-
пом Паули имеют противоположную ориентацию, и поэто-
му магнитные спиновые моменты скомпенсированы. В за-
полненных р-, d-, f-состояниях скомпенсированы также
магнитные орбитальные моменты электронов. Поэтому
суммарный магнитный момент атома [см. формулу (4.99) ]
с полностью заполненными электронными оболочками ра-
вен нулю, и такие вещества обладают диамагнитными
свойствами. В атомах с незаполненными электронными
оболочками нескомпенсированный орбитальный магнит-
ный момент обусловливает парамагнетизм, а неском-
пенсированный спиновый магнитный момент приводит в
определенном температурном интервале к ферро- или
антиферромагнетизму.
10.4. Атом во внешнем магнитном
и электрическом полях
Эффекты Зеемана и Штарка. Взаимодействие атома
с внешними электрическими и магнитными полями при-
водит к изменению энергий квантовых уровней, а следо-
вательно, и спектров испускания и поглощения. Явления,
обусловленные взаимодействием атома с внешним
магнитным полем, получили название эффекта Зее-
мана, по имени нидерландского физика П. Зеемана
(1865—1943), исследовавшего в 1896 г. расщепление
спектральных линий натрия во внешнем магнитном поле.
Расщепление спектральных линий атома во внешнем
электрическом поле называются эффектом Штарка,
по имени немецкого физика И. Штарка (1874—1957),
обнаружившего в 1913 г. расщепление спектральных
линий атома водорода во внешнем электрическом поле.
Эффект Зеемана. Схема установки, на которой воз-
можно наблюдение эффекта Зеемана, представлена на
рис. 10.14. Источник линейчатого спектра И (например,
светящиеся пары натрия) помещается в электромагнит М.
Наблюдение излучения с помощью спектрометра Сп ведет-
ся вдоль и перпендикулярно к направлению магнитного
поля В. Свет в Сп попадает, пройдя фокусирующую
линзу Л и поляризационную призму П. При наблюдении
394
в
Рис. 10.14
вдоль поля свет проходит также пластинку толщиной -^-Х,
превращающую свет с круговой поляризацией в линейно
поляризованный. Различают следующие разновидности
эффекта Зеемана: нормальный и аномальный, а также
продольный и поперечный. Продольный эффект наблю-
дается вдоль направления магнитного поля, попереч-
ный — в направлении, перпендикулярном к направлению
магнитного поля.
Нормальный эффект Зеемана наблюдается в магнит-
ных полях, для которых энергия взаимодействия магнит-
ного момента атома рш с внешним магнитным полем В
больше расстояния между соседними энергетическими
уровнями атома Ei и Ej в отсутствие поля:
pmB^> If/-£•/!.
Аномальный эффект наблюдается в тех случаях, когда
выполняется обратное условие, т. е. в достаточно слабых
магнитных полях:
ртВ < |Е/ —Е/1.
При нормальном эффекте Зеемана излучение
с частотой too, распространяющееся перпендикулярно к
направлению внешнего магнитного поля В, расщепляется
симметрично на три компонента с частотами <оо, (Оо + А(о
и (оо —Асо (рис. 10.15, а). При этом все три компонента
излучения оказываются линейно поляризованными. У
среднего компонента (Оо, называемого я-компонентом,
колебания электрического вектора Е направлены вдоль
395
а
------------^8
Рис. 10.15
внешнего поля В, а у крайних компонентов (в - ком по не н-
та) — перпендикулярно к направлению внешнего по-
ля В.
При наблюдении излучения, распространяющегося
перпендикулярно к внешнему полю, линия с частотой соо
исчезает (рис. 10.15,6), а крайние компоненты соо + Лсо
и соо — Дсо оказываются поляризованными по кругу с про-
тивоположными направлениями поляризации.
При аномальном эффекте Зеемана расщепле-
ние линий спектра оказывается значительно более слож-
ным, чем при нормальном эффекте. Число компонентов
излучения может значительно превышать их число при
нормальном эффекте Зеемана.
Объяснение нормального эффекта Зеемана можно по-
лучить в рамках как классической, так и квантовой фи-
зики, аномальный эффект может быть объяснен только
в рамках квантово-механических представлений. Рассмот-
рим квантовую интерпретацию продольного нормального
эффекта Зеемана. Поскольку энергия электрона с орби-
тальным магнитным моментом рт в магнитном поле В
равна Em= — рт • В (см. табл. 3.1), электрический уро-
вень ЕП1, на котором находится электрон с магнитным
моментом рт,также приобретает дополнительную энергию
£**, равную Ет. Тогда с учетом соотношения (4.89) по-
лучим
Если ось z направить по вектору В и воспользоваться
правилом квантования проекции Loz [см. формулу
396
l=o а)р-ла)0 оэ0 (jo0+ao)0
без поля Сполем
Рис. 10.16
(10.27)], то дополнительную энергию £** можно выразить
через магнетон Бора (цб = eh/(2me):
Е* = ^-ВЬог = т\къВ. (10.50)
Поскольку магнитное квантовое число т принимает
21 + 1 значение, энергетический уровень Eni расщепляет-
ся на такое же число равноотстоящих друг от друга по-
дуровней, т. е. внешнее магнитное поле В снимает вы-
рождение по числу т.
Известно, что фотон обладает собственным моментом
импульса, равным h (спин s=l), так что при излуча-
тельных квантовых переходах момент импульса Li и его
проекция Llz не могут изменяться больше чем на h. Сле-
довательно, для орбитального и магнитного квантовых
чисел существуют правила отбора:
Д/= ±1, Лт = 0, ±1, (10.51)
в соответствии с которыми и реализуется расщепление
спектральных линий на три компонента (рис. 10.16). По-
лучающееся при нормальном эффекте Зеемана смещение
компонентов спектральных линий
А<о =^1 = -!±_в. (10.52)
h h х '
На зеемановском расщеплении энергетических уровней
атомов в магнитном поле основано явление электронного
парамагнитного резонанса (ЭПР), сущность которого
состоит в избирательном поглощении энергии переменного
электромагнитного поля веществом, находящимся в по-
стоянном магнитном поле. Это явление связано с вынуж-
денными переходами между подуровнями энергии, возни-
397
кающими в результате зеемановского расщепления. ЭПР
используется при исследовании строения молекул ве-
щества.
Эффект Штарка заключается в расщеплении
спектральных линий под действием электрического поля.
Он проявляется, в частности, в электрических разряд-
ных трубках.
Задание 10.5. Известно, что в некотором квантовом состоянии атома
водорода момент импульса электрона имеет пять возможных пространст-
венных ориентаций. Какому минимальному значению главного кванто-
вого числа п соответствует это состояние и чему равны значения кван-
товых чисел / и т, а также углы а на схеме пространственного кванто-
вания вектора L/?
Указание. Учтите тот факт, что значения орбитального кван-
тового числа / не могут превышать п— 1, а магнитное квантовое чис-
ло т принимает 2/ + 1 значение.
Ответ. Минимальное значение главного квантового числа п = 3,
орбитальное число / = 2, а магнитное число т = —2, —1,0, 4-1, 4-2.
Задание 10.6. В табл. 10.5 найдите электронные конфигурации цир-
кония и гафния и объясните, почему трудно разделить эти два элемента
химическими методами. Атомные номера циркония и гафния соответст-
венно равны 40 и 72.
10.5. Виды химических связей в молекулах
Общие сведения. Молекула представляет собой наи-
меньшую часть вещества, являющуюся носителем его
основных химических и физических свойств. Молекула
может состоять из одинаковых или различных атомов,
соединенных в одно целое химическими связями. Число
атомов в молекуле может меняться от двух (Н2, О2, N2,
КС1) до многих тысяч (молекулы полимеров). Если моле-
кула состоит из большого числа чередующихся групп
атомов, то ее называют макромолекулой. Первые пред-
ставления о молекулах возникли в 18 в. и полностью
утвердились в 19 в. в связи с развитием термодинамики
и молекулярно-кинетической теории газов. Размеры моле-
кул определяются числом содержащихся в них атомов
и варьируются в пределах от нескольких ангстрем (1 А =
= 10“10 м) до 10-7 м. Электроны в молекулах, как и в
атомах, располагаются, образуя молекулярные электрон-
ные оболочки. Химические и большинство физических
свойств молекул определяются их внешними электронами,
причем внутренние электронные оболочки атомов практи-
398
чески не изменяются при объединении их в молекулу и не
влияют на свойства молекул. Наиболее общими характи-
ристиками молекулы являются ее молекулярная масса,
элементный состав и структурная формула, указы-
вающая последовательность расположения атомов и хи-
мических связей в молекуле. Например, молекулярная
масса воды равна 18 а. е. м., состав ее Н2О, а структур-
ная формула Н—О—Н.
Возможность существования молекулы как устойчиво-
го микрообразования обусловлена тем, что внутренняя
энергия молекулы как системы атомов оказывается мень-
ше суммарной энергии этих атомов в изолированном
состоянии. Соответствующая разность энергий называет-
ся энергией образования молекулы. Она приближенно
равна сумме энергий химических связей, в основе которых
лежат специфические обменные квантово-механические
взаимодействия, обусловленные электрическими взаимо-
действиями электронов и ядер атомов и законами кванто-
вой механики. При классификации молекул обычно выде-
ляются два вида химических связей в молекулах — ион-
ная и ковалентная, хотя в ряде молекул реализуются и
промежуточные виды связей.
Ионная связь. Этот вид связи осуществляется электро-
статическим взаимодействием ионов, образующихся при
переходе электрона от одного атома к другому. Приме-
рами типично ионных молекул могут служить молекулы
NaCl, LiF, KI и др. Поскольку такие молекулы состоят из
ионов, атомы которых обладают существенно различными
свойствами, то связь этих молекул называется ионной
или гетерополярной (от греч. heteros — другой). Как ил-
люстрацию процесса образования ионной молекулы из
атомов рассмотрим молекулу LiF. Для существования
устойчивой системы, каковой является изолированная
ионная молекула, необходимо, чтобы суммарная энергия
Wi молекулы LiF, состоящей из ионов Li4" и F~, была
меньше суммарной энергии Wo нейтральных атомов лития
и фтора в свободном состоянии. В грубом приближении
разность W\ — Wo может быть выражена через энергию
ионизации атома Li (£и = 5,4 эВ) и сродство к электрону
атома F (£*0 = 3,6 эВ):
bW = Wi - UZ0~£c —£и = 3,6 —5,4= —1,8 эВ. (10.53)
Зависимость энергии Л IT от расстояния R между иона-
ми лигия и фтора в молекуле LiF приведена на рис. 10.17.
399
Оказывается, что при R < 8 • Ю-10 м энергия Д1Г отрица-
тельна, причем ее минимум приходится на расстояние
/?о — 1,5 • 10_,° м, что соответствует равновесному зна-
чению длины химической связи в молекуле LiF. На мень-
ших расстояниях R (R < Ro) энергия Л IT резко возрастает
из-за отталкивания внутренних электронных оболочек
ионов Li+ и F-, которое возникает вследствие перекры-
тия волновых функций электронов Li+ и F- (обменные
квантово-механические силы). Энергия диссоциации D
молекулы на отдельные атомы определяется значением
энергии Л IT в точке минимума. Для молекулы LiF
D = -\W(Ro)~4 эВ. (10.54)
Ковалентная связь. Ковалентная, или гомеополярная
(от греч. homoios — подобный), связь возникает при обоб-
ществлении электрона или электронных пар, находящихся
в общем владении двух одинаковых атомов либо атомов
с близкими свойствами. Атомы в таких молекулах могут
быть соединены одинарной (Н2, НзС—СН3), двойной
(Н2С = СН2) или тройной (N2, НС = СН) ковалентной
связью. При образовании таких молекул возникают де-
формация внешних электронных оболочек исходных ато-
мов и их перекрытие по линии, соединяющей атомные ядра.
На некотором расстоянии между ядрами возникающие
силы притяжения уравновешиваются силами отталкива-
ния, т. е. образуется устойчивая система атомов (молеку-
ла), внутренняя энергия которой минимальна. Особен-
ности образования ковалентной связи рассмотрим на при-
мере простейших двухатомных систем — молекулярного
иона водорода Нг1" и молекулы водорода Н2.
400
Молекулярный ион Н^. Этот ион состоит из двух
протонов Н+ и одного электрона, образующего электрон-
ное облако вокруг двух протонов Н + , расположенных
на некотором расстоянии /?. Полная энергия иона в
конфигурации, изображенной на рис. 10.18, равна сумме
кинетической энергии электрона (протоны считаются не-
подвижными — адиабатическое приближение для иона
Нг*-) и потенциальной энергии U взаимодействия прото-
нов Н+ между собой и с движущимся электроном:
U = 4-)- (Ю.55)
4ле0\ г\ г2 R ) v ’
Первые два слагаемых в (10.55) определяют энергию при-
тяжения электрона ядрами Н + , а третий — энергию
отталкивания ядер.
Решение стационарного уравнения Шрёдингера для
молекулярного иона Нг1" позволяет найти собственные
волновые функции ф(г1, г2, /?) для электрона и зависи-
мости соответствующих им энергий Е от расстояния между
ядрами Н + . Квадрат модуля функции ф(гь r2, R) имеет
максимум в точке r\ = r2 = R/2, т. е. плотность вероят-
ности обнаружения электрона между протонами является
наибольшей. На рис. 10.19 представлена схематично за-
висимость Eo = f(R) для основного состояния электрона
в ионе Нг1-. В области значений R > Ro преобладают
силы притяжения, обусловленные обменными квантово-
механическими силами взаимодействия протонов через
посредство электрона, распределенного преимущественно
в области между протонами. При R < Ro имеет место
401
а (S'-состояние
ST- состояние
отталкивание между ядрами, которое обязано наличию
в выражении (10.55) слагаемого е2/(4л£0/?), определяю-
щего основной вклад в энергию Eq. В точке минимума
энергии Eq (т. е. при R = /?0) силы отталкивания уравно-
вешиваются силами притяжения, что соответствует равно-
весному положению протонов в ионе (/?о — длина хи-
мической связи Н—Н).
Каждое возбужденное состояние электрона характе-
ризуется своим значением равновесного расстояния Rq
и соответствующей энергии диссоциации иона :
D = -Е(/?о). (10.56)
Поскольку электрическое поле двухатомных молекул
не обладает сферической симметрией, в таких молекулах
не выполняется закон сохранения полного орбитального
момента и поэтому невозможна классификация состоя-
ний иона Н2+ по значениям квантового числа /. В основу
классификации электронных состояний положены значе-
ния квантового числа X, определяющего проекцию орби-
тального момента импульса на ось симметрии, проходя-
щую через оба атомных ядра. Состояния электрона с тре-
мя наименьшими числами Х(Х = О, 1, 2) обозначаются гре-
ческими буквами о, л, б. Соответственно электроны
в состояниях о, л, б называются о-электронами, л-электро-
нами, Ъ-электронами. Состояния о-, л- и б-электронов
различаются распределением электронной плотности. В
частности, для о-состояния оно симметрично относитель-
но оси, соединяющей центры атомных ядер, причем на этой
оси плотность оказывается максимальной (см. рис.
10.20, а). Для л-состояния электронная плотность обра-
щается в нуль в некоторой плоскости, проходящей через
ось симметрии, но имеются два симметрично располо-
женных максимума вне этой оси (рис. 10.20,6). Кова-
402
-в
Рис. 10.21
лентная химическая связь может осуществляться как о-,
так и л-электронами.
Молекула водорода Н2. В молекуле водорода H2, так же
как и в молекулярном ионе Н^, осуществляется кова-
лентная связь, однако она образуется с помощью уже Двух
электронов (рис. 10.21). Потенциальная энергия молеку-
лы определяется выражением
v= - лЫтг+тг+тг+^-у--i)’ (10-57)
которое зависит от всех взаимных расстояний между
электронами и протонами (rh r2, pi, р2, г, /?)• Решение
уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией U, за-
даваемой выражением (10.57), дает волновую функцию ф
и соответствующую ей собственную энергию Е как функ-
цию расстояния между ядрами /?, имеющую для устой-
чивого основного состояния молекулы Н2 такой же вид,
как и для молекулярного иона водорода Н^. Поскольку
в молекуле Н2 связь осуществляется двумя электронами,
согласно принципу Паули, в устойчивом основном состоя-
нии спины электронов антипараллельны, т. е. суммарный
спин S = 0. Такое состояние называется синглетным.
В возбужденном состоянии спины электронов параллель-
ны, и их суммарный спин S=l. Проекции суммарного
спина на ось могут иметь три значения, и поэтому такое
состояние молекулы водорода называется триплетным.
Многоатомные молекулы. Многоатомными называются
молекулы, состоящие из трех и более атомов. Условием
устойчивости многоатомной молекулы является требова-
ние, чтобы энергия ее электронной конфигурации, зави-
сящая от взаимного расположения ядер атомов, имела
минимум. Пространственное расположение атомов, опре-
403
деляющее размеры и форму молекулы, описывается с по-
мощью соответствующих длин связей (расстояний
между химически связанными ядрами) и углов между
связями, или валентных углов. На рис. 10.22 для
ряда молекул указаны длины связей (в ангстремах) и
валентные углы (в градусах). Пространственное распо-
ложение ядер атомов, при котором молекула является
устойчивой, называется равновесным. Различают следую-
щие виды равновесных конфигураций молекул: линей-
ные молекулы, в которых все ядра лежат на одной пря-
мой, называемой осью молекулы (например, диоксид
углерода СО2, оксид азота N2O, ацетилен С2Н2 —
рис. 10.22, а, б, в); плоские молекулы, ядра которых
лежат в одной плоскости, называемой плоскостью моле-
кулы (вода Н2О, этилен С2Н4, бензол С6Н6 — рис. 10.22, г,
д, е) \ неплоские молекулы, ядра которых образуют прост-
ранственную структуру (аммиак 1ЧНз — пирамидальная
структура, метан СН4 — тетраэдрическая структура —
рис. 10.22,ж, з).
404
В многоатомных молекулах, как и в двухатомных,
химическая связь может быть ковалентной, ионной
или смешанной. Ковалентная связь между атомами
осуществляется парами электронов, которые обычно яв-
ляются о- или л-электронами. Атом с N внешними электро-
нами может образовывать N валентных связей, что и
определяет его валентность. Прочность химических свя-
зей, т. е. энергия связи, зависит от степени перекрытия
волновых функций валентных электронов атомов, другими
словами, чем больше перекрываются их электронные
оболочки при образовании молекулы, тем сильнее обмен-
ные квантово-механические взаимодействия между атома-
ми, образующими связь.
Уровни энергии молекул. Молекулярные спектры. Уров-
ни энергии любой молекулы в принципе должны находить-
ся из решения уравнения Шрёдингера, которое учитывает
электростатические взаимодействия электронов с ядрами,
электронов друг с другом, а также кинетическую энер-
гию электронов и ядер. Для многоатомных молекул, так же
как и для двухатомных, например молекулы водорода Нг,
в настоящее время нет методов, позволяющих найти
точное решение уравнения Шрёдингера. Тем не менее раз-
работанные приближенные методы позволяют получить
достаточно полную информацию о квантовых состояниях
и соответственно об уровнях энергии и многоатомных
молекул. Если рассматривать движения электронов и ядер
молекул как независимые (адиабатическое приближе-
ние), то уравнение Шрёдингера для молекулы распадается
на два независимых уравнения, одно из которых описы-
вает состояния электронов, а второе — ядер атомов,
образующих молекулу. Из решения уравнения Шрёдин-
гера для электронов получаются волновые функции ф
(п, R/), зависящие от радиусов-векторов п электронов при
заданных положениях ядер (R, — радиусы-векторы ядер
атомов). Каждому электронному состоянию соответствуют
некоторая равновесная конфигурация молекулы и опре-
деленное значение энергии Е. Как и в случае молекулы
Нг, важлейшими характеристиками электронного состоя-
ния в многоатомной молекуле, кроме энергии Е, является
квантовое число S, определяющее абсолютную величину
полного спинового момента всех электронов, а также
квантовое число А (лямбда), определяющее абсолютное
значение проекции полного орбитального момента всех
электронов на некоторую ось. Используется еще и кван-
405
товое число Q (омега), определяющее проекцию полного
момента молекулы на выбранную ось. Поскольку спин
направлен вдоль оси либо в сторону, противоположную
оси,
Q = A±S. (10.58)
Химически устойчивые молекулы имеют, как правило,
четное число электронов, и для них спиновое число 5 = 0,
1, 2,... Для основного электронного уровня 3 равно нулю.
Квантовое число Л может принимать значения 0,1,2,...,
для которых используются соответственно прописные бук-
вы греческого алфавита S (сигма), П (пи), А (дельта)
и т. д. Электронные уровни энергии для молекул имеют
вид 25+1 Лй. Например, электронный уровень с 5 = 0, Л = 1
(Q = А + 3 = 1) обозначается 1П i.
Решение уравнения Шрёдингера для ядер молекулы
дает информацию как о периодически изменяющемся
во времени взаимном расположении ядер (колебатель-
ное движение молекулы), так и о вращении молеку-
лы как целого (вращательное движение). Как
колебательное, так и вращательное движения молекулы
квантуются, т. е. возникает дискретный набор кванто-
вых СОСТОЯНИЙ, ОПИСЫВаеМЫХ ВОЛНОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ Ткол и
Тер. Известно, что в гармоническом приближении (кван-
товый осциллятор) энергия колебательных уровней
двухатомной молекулы определяется выражением (см.
§ 12.3 в первой части пособия):
Екол = ft(do(v + у), (10.59)
где соо — собственная частота колебаний ядер; v = 0, 1,
2,...— значения колебательного (вибрационного) кванто-
вого числа.
В многоатомной молекуле колебания всех атомов не
независимы, и при описании сложных колебаний в такой
системе их представляют как суперпозицию независимых
гармонических колебаний, каждое из которых характери-
зуется определенной собственной частотой соо*. Эти коле-
бания ядер называются нормальными колебаниями. По-
этому энергия колебательных уровней многоатомной мо-
лекулы
I
£*ол = 2 Ло)о*(^ + 4)’ = °> *> 2> - (,0-6°)
k = 1
406
Здесь i — число колебательных степеней свободы моле-
кулы.
Энергия вращательных уровней двухатомной молекулы
получается из решения уравнения Шрёдингера для кван-
тового ротатора*, который используют для описания сво-
бодного вращения молекулы вокруг центральной оси.
При этом атомы молекул движутся по сфере с заданным
радиусом г = а, причем молекула не испытывает дейст-
вия внешнего поля (U = 0). Поэтому, полагая в уравне-
нии (10.21) энергию U равной нулю, совершим переход
к уравнению (10.25), в котором учтем, что радиальная
функция /?(r) = /?(a) = const. Тогдапроизводнаяй/?(г)/йг =
= dR(a)/dr = 0, и дифференциальное уравнение (10.25)
превращается в алгебраическое уравнение для уровней
энергии ротатора с вращательными квантовыми числа-
ми / (вместо орбитальных чисел /):
£ = ^-(^=0^£-’ = W'<' + 1)’' = 0- 1....<10-61’
где Jo = ma2 — момент инерции относительно централь-
ной оси, перпендикулярной к оси симметрии молекулы
(оси х или у).
Нелинейные многоатомные молекулы характеризуются
тремя осевыми моментами инерции J х, Jy и ]г относительно
трех главных центральных осей, что приводит к опреде-
ленному усложнению выражений для значений энергии
вращательных уровней.
Таким образом, энергетические спектры молекул со-
стоят из наборов электронных, колебательных
и вращательных уровней, а полная энергия молеку-
лы равна сумме энергий:
Е = Езл + ЕКОл + Евр. (10.62)
По порядку величины отношения разностей расстоя-
ний между соседними уровнями электронной, колебатель-
ной и вращательной энергий удовлетворяют соотношению
ЛЕэл: ЛЕкол: АЕвр
(10.63)
* Ротатор — твердое тело, для которого два осевых момента инер-
ции /х и Jy равны, a Jz = 0 (см. § 6.1 в первой части пособия). При описа-
нии вращательного движения квантовый ротатор играет ту же
роль, что и квантовый осциллятор для колебательного дви-
жения.
407
Рис. 10.23
где те — масса электрона; т — масса молекулы. Из соот-
ношения (10.63) видно, что АЕЭл АЕкол АЕВр.
Для внешних электронов АЕЭл имеет значение порядка
нескольких электрон-вольт, АЕкол ~ Ю-2—10“1 эВ, АЕвр~
~ 10-5—10-3 эВ. В качестве иллюстрации на рис. 10.23
приведена схема энергетических уровней двухатомной мо-
лекулы, где Еэл, Езл — электронные уровни; и', v" — кван-
товые числа колебательных уровней; /', /" — квантовые
числа вращательных уровней.
Из рис. 10.23 видно, что для каждого значения энергии
электронного уровня имеется набор колебательных уров-
ней (у', v" = 0, 1, 2, 3, ...), а для каждого колебательного
уровня—набор значений вращательных уровней (/' =
= /" = 0, 1, 2...).
Структура энергетических уровней молекулы наиболее
явственно проявляется в молекулярных спектрах, кото-
рые возникают при квантовых переходах между уровнями
энергии Ei и Ej согласно соотношению
408
/ио = Ei — Eh (10.64)
где — энергия испускаемого или поглощаемого фотона
частотой со.
Совокупность переходов с верхних уровней на нижние
определяет спектр испускания, а с нижних на верхние —
спектр поглощения. Классификация молекулярных спект-
ров определяется по тем уровням, между которыми на-
блюдаются переходы. Если квантовый переход соверша-
ется только между вращательными уровнями (ЛЕвр^0),
а колебательное и электронное состояния молекулы не
изменяются (ЛЕ кол — 0, ЛЕэл = 0), то возникают вращатель-
ные полосы спектра, расположенные в дальней инфракрас-
ной области. При возбуждении колебательных уровней
(ЛЕкол =/= 0 при ЛЕэл = 0) одновременно изменяется и вра-
щательное состояние молекулы (ЛЕвр =/= 0), что приводит к
появлению колебательно-вращательных полос в ближней
инфракрасной области спектра. При изменении электрон-
ного состояния молекулы (ЛЕэл =/= 0, ЛЕКОЛ =/= 0, ЛЕвр =/= 0)
наблюдаются электронно-колебательно-вращательные по-
лосы, лежащие в видимой и ультрафиолетовой областях
спектра.
Молекулярные спектры являются важнейшим источни-
ком информации о строении и свойствах молекул. В ка-
честве иллюстрации рассмотрим, как с помощью враща-
тельных полос спектра можно определить момент инерции
двухатомной молекулы. Прежде всего учтем, что в соот-
ветствии с правилами отбора для вращательных
квантовых чисел / возможны переходы только между
соседними уровнями спектра, т. е. Л/ = ± 1. Поэтому при
переходе с уровня j на уровень /—1 испускается фотон с
энергией ЛЕ = Йсо, причем, согласно выражению (10.61),
квант энергии
fc2 й2
ЬЕ = Е?-Е” = !)-(/- 1)/]=^-/. (,0-65>
Определив частоту со (для соответствующей линии
спектра), найдем осевой момент инерции молекулы:
а затем по известным массам ядер двухатомной моле-
кулы можно рассчитать равновесное расстояние /?0 между
атомами, т. е. длину химической связив молекуле.
Для молекулы НС1 они имеют следующие значения:
/о = 2,71 • 1О-47 кг м2; Ro = 1,29 - 10“10 м.
409
Подумав как следует, мысль излагай,
А стен без фундамента не воздвигай.
Саади
11. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СВОЙСТВ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Квантовая теория электронных свойств твердых тел
(кристаллов) рассматривает такие их свойства, которые
определяются характером распределения электронов по
квантовым состояниям и обусловливают явления, связан-
ные с переносом электронов. В принципиальном плане всю
информацию о распределении электронов можно было бы
получить из решения уравнения Шрёдингера для си-
стемы N взаимодействующих атомов, составляющих кри-
сталл (квантовая задача многих тел). Однако такой под-
ход нереализуем, так как в настоящее время отсутствуют
методы строгого решения уравнения Шрёдингера для
столь сложной системы. Приближенное решение удается
получить в рамках следующих допущений.
1. Используется прежде всего адиабатическое прибли-
жение, которое состоит в том, что систему N взаимодей-
ствующих атомов можно разделить на две подсистемы,
образованные соответственно тяжелыми и легкими части-
цами — ядрами и электронами. Вследствие большого раз-
личия в их массах и скоростях можно считать, что дви-
жение электронов происходит в постоянном периодиче-
ском электрическом поле ядер, которые жестко закрепле-
ны в узлах кристаллической решетки. Предполагается,
что тепловое движение ядер вблизи узлов решетки не
влияет на энергетические состояния электронов, а только
обусловливает обмен энергией между электронами и ре-
шеткой, что приводит к термодинамически равновесному
распределению электронов в кристалле.
2. На втором этапе применяется одноэлектронное при-
ближение, согласно которому взаимодействие данного
электрона с другими электронами и ядрами заменяется
действием на него некоторого стационарного электриче-
ского поля, обладающего пространственной периодич-
ностью кристаллической решетки.
Таким образом, задача о распределении системы элект-
ронов по квантовым состояниям сводится к задаче о кван-
410
товых состояниях одного электрона в усредненном перио-
дическом поле всех ядер и электронов.
11.1. Зонная теория кристаллов
Основные положения зонной теории. Рассмотрим обра-
зование зонной структуры в кристаллах на примере кри-
сталлической решетки, состоящей из атомов лития. Такой
выбор обусловлен тем, что литий — простейший элемент,
находящийся при обычных условиях в кристаллическом
состоянии. Атом лития содержит два электрона в запол-
ненной оболочке и один валентный электрон. Энергети-
ческая схема состояний атомов лития при больших меж-
атомных расстояниях /? представлена на рис. 11.1, а. Кри-
вые жирные линии представляют потенциальную энергию
электрона в атоме лития, обусловленную его электроста-
тическим притяжением к ядру. Горизонтальные штриховые
прямые — уровни энергии е. На нижнем уровне находят-
ся два электрона с противоположно направленными спи-
нами, на верхнем уровне — один. При сближении атомов
до расстояний г, сравнимых с межатомными расстояния-
о
Состояния / ' ионизации
Ядро Ядро Ядро ядро
Рис. 11.1
411
Рис. 11.2
ми do в кристаллической решетке, возникают несколько
эффектов (рис. 11.1,6). В кристалле из W атомов за счет
их взаимодействия каждое квантовое состояние изоли-
рованного атома расщепляется на W квантовых состояний
с разными энергиями. При этом одни квантовые состоя-
ния смещаются по энергии вверх, другие — вниз
(рис. 11.2)>Таким образом, за счет взаимодействия ато-
мов каждый уровень изолированного атома превращается
в кристалле в энергетическую зону, состоящую из N близ-
ко расположенных друг к другу уровней. На рис. 11.2
показано, что не все уровни расщепляются в одинаковой
степени. Взаимодействие между атомами твердого тела
сильнее всего влияет на энергетические уровни валентных
электронов, которые слабее других связаны со своими
ядрами. Энергетические уровни внутренних электронов,
энергия связи с атомами у которых значительно больше,
чем у валентных электронов, расщепляются очень слабо
даже при весьма малых расстояниях г между атомами в
кристалле (г ~ do — межатомное расстояние).
Проанализируем образование энергетических зощ про-
изведя оценку времени жизни и ширины энергетического
уровня валентного электрона в изолированном атоме
(т, Де) и зоны в кристалле (т*, Де*). Воспользуемся соотно-
шением неопределенности Гейзенберга:
.Д£-Д/> Д. (11.1)
Для изолированного атома под Д£ будем понимать
естественную ширину Де энергетического уровня, на кото-
ром находится валентный электрон, а под Д/ — среднее
412
и
барьер
<4>
Яма &
£j_____
• Ядро

L
Рис. 11.3
время нахождения электрона в возбужденном состоянии,
т. е. время его жизни т. Подставляя экспериментально
найденное значение т ~ 10-8 с, найдем
Де> 10-26 Дж- 10-7 эВ (Н-2)
Далее оценим время жизни т* и соответственно доступ-
ный энергетический интервал Де* для валентного электро-
на в кристаллической решетке. Предположим, что реаль-
ный потенциальный барьер между атомами решетки (см.
рис. 11.1, а) можно заменить прямоугольным потенциаль-
ным барьером, изображенным на рис. 11.3, где Uq— вы-
сота потенциального барьера; е — энергия валентного
электрона; Uq — е — высота барьера для электрона с энер-
гией е; d — ширина потенциальной ямы; L — ширина
барьера, соизмеримая с периодом решетки d0-
Коэффициент прозрачности, т. е. вероятность проник-
новения электрона через такой барьер (туннельный эф-
фект), определяется по формуле*
D ~ е л
(11.3)
Частота v «просачивания» электрона через барьер
равна числу п соударений электрона в единицу времени
о стенку барьера, умноженному на его прозрачность D:
v = nD. (11.4)
Значение п можно принять равным скорости электрона
в потенциальной яме v (в атоме), деленной на ширину
ямы d (диаметр атома):
n~v/d. (11.5)
* Соответствующий материал квантовой механики см., например,
в § 12.3 первой части пособия [формула (12.52)].
413
Тогда среднее время жизни электрона в потенциальной
яме (в атоме) кристаллической решетки равно 1/v, т. е.
* 1 d
т* = — ~ — е А (11.6)
V и ' 9
Подставляя в выражение (11.6) значение Uq — е ~
~ 10 эВ — порядок величины энергии ионизации атома,
d~10-10 м — линейные размеры атома, Л~1О-10 м —
период решетки, 106 м/с — значение скорости элект-
рона в атоме, а также значение постоянной Планка h и
массы электрона ту получим
т*~ 10-15 с.
Таким образом, среднее время принадлежности элект-
рона к некоторому атому в кристалле в 107 раз меньше,
чем в возбужденном состоянии изолированного атома
(т/т*= 10“8/10-15 = 107).
Используя соотношение неопределенности, найдем
энергетический интервал, в котором может находиться
электрон в кристаллической решетке:
Де* > 4 ~ 1 эВ.
т*
(11.7)
Аналогичные оценки, проведенные для внутренних
электронов атома, показывают, что доступный им энерге-
тический интервал в кристалле будет значительно уже,
так как стоящая в экспоненте выражения (11.6) величина
А=(7о — е для них значительно больше.
Рассмотрим формирование зонной структуры кристал-
ла на примере натрия (рис. 11.4). При этом учтем, что в
соответствии с принципом Паули в каждом квантовом со-
стоянии могут находиться не более двух электронов. На
рис. 11.4, а представлены энергетические уровни изоли-
рованного атома натрия и соответствующее число элект-
ронов на каждом уровне; на рис. 11.4, б — соответствую-
щие каждому уровню энергетические зоны в кристалле
натрия и число квантовых состояний в каждой зоне.
Зоны, формируемые из s-уровней, содержат 2А квантовых
состояния, так как на каждом s-уровне в атоме могут нахо-
диться два электрона. Зоны, формируемые из р-уровней,
содержат 6W квантовых состояний. Это обусловлено тем,
что р-уровень в отдельном атоме является трижды вырож-
денным по магнитному орбитальному квантовому числу
mi=—1, 0, +1. В кристалле за счет взаимодействия
414
а б
if &
Уровни 1 Число
г элркг
3S.
электронов
---о
—1
Зоны
-1
3St----
Число
состоянии
---ш
---\2Н
2Р
2S
е zpi-----------15*
2 2S1 12N
IS------2
Атом Na
/SI 12^
Кристалл Na
Puc. 11.4
атомов это вырождение снимается. Следовательно, число
квантовых состояний в p-зонах равно 2jV-3 = 6?V. Анало-
гично происходит процесс формирования зон и из других
уровней.
Из рис. 11.4 видно, что в кристалле натрия зоны Is, 2s,
2р полностью заполнены. Зона 3s заполнена наполовину
(на 2А состояния приходится W электронов). Зона Зр
полностью свободна.
Таким образом, в зависимости от строения электронной
оболочки атома энергетические зоны в кристалле могут
быть полностью заполнены электронами, частично запол-
нены или полностью свободны. Для классификации зон
используется следующая терминология. Самая высоколе-
жащая из полностью заполненных зон называется валент-
ной зоной. Например, для натрия (см. рис. 11.4) валентной
зоной является полностью заполненная зона 2р. Следую-
щая зона, расположенная выше валентной, называется
зоной проводимости. Она может быть либо частично запол-
ненной, как у натрия зона 3s, либо совсем не содержать
электронов. Энергетический интервал между валентной зо-
ной и зоной проводимости называется запрещенной зоной
(в этой области отсутствуют разрешенные квантовые
состояния).
При рассмотрении зонной структуры твердого тела необ-
ходимо также учитывать возможность «перекрытия» зон.
Например, у щелочноземельного металла Be на 25-уровне
имеются два валентных электрона, т. е. внешняя подобо-
415
a
Уровни
гР—
2S---
8 ° 8
Число Зоны Число
11 электронов f состояний
*0
2
2S
QN
1S \ 2
Атом Be
Кристалл Be
К
Рис. 11.5
лочка атома является заполненной. Тем не менее, как пока-
зывает эксперимент, в зоне проводимости у этого металла
имеются электроны, что обусловлено перекрытием зон
(рис. 11.5,а, б). Энергетические зоны, формируемые из
2s- и 2р-уровней, «перекрываются», образуя одну зону, на
которой могут находиться 2W + 6W = 8W электронов. Так
как фактически в этой зоне находятся 2W электронов, то
образованная в результате «перекрытия» зона проводи-
мости является только частично заполненной.
Проведем оценку энергетического интервала между
дискретными квантовыми состояниями внутри зон. Так
как ширина зоны проводимости имеет величину порядка
1 эВ [см. оценку (11.7)], а число квантовых состояний в
зоне проводимости имеет порядок числа атомов в кристал-
ле (М~ 1023), то энергетический интервал между сосед-
ними квантовыми состояниями А — 1 эВ/IO23 ~ 10-23 эВ.
Энергетические интервалы в других зонах из-за их мень-
шей ширины еще меньше.
Таким образом, с точки зрения зонной теории энерге-
тический спектр электронов в кристалле состоит из чере-
дующихся разрешенных и запрещенных зон (рис. 11.6),
подобно тому как в изолированном атоме дискретные
уровни энергии разделены областями недозволенных зна-
чений энергий. Ширина запрещенных зон соизмерима с
шириной разрешенных. С увеличением энергии ширина
разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных
зон уменьшается. Состояние электрона в кристалле опре-
деляется уже не тем, к какому атому он принадлежит,
416
а тем квантовым уровнем, на котором он находится в той
или иной зоне. В этом смысле кристаллическое тело можно
рассматривать как «гигантскую молекулу», состоящую из
множества атомов. Энергетические состояния внутренних
электронов этих атомов практически такие же, как в изо-
лированных атомах, внешние же электроны «коллективи-
зированы», т. е. принадлежат всему кристаллу.
Подобно тому как электроны в изолированном атоме
могут переходить с одного квантового уровня на другой,
электроны в кристалле могут совершать при наличии сво-
бодных квантовых состояний как внутризонные переходы,
для которых требуется энергия порядка 10-23 эВ, так и
межзонные переходы, для чего требуется энергия порядка
I эВ.
Влияние температуры на заполнение квантовых состоя-
ний. Вероятность распределения электронов по квантовым
состояниям в зависимости от температуры описывается
функцией распределения Ферми — Дирака*.
е(е-ер)/(*Г)_|_ 1 ’
(Н.8)
где е — энергия электрона; eF — энергия уровня Ферми;
k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная темпера-
тура; /(е)— вероятность заполнения'уровня с энергией е
(см. § 15.4 в первой части пособия).
На рис. 11.7 (справа) жирной линией при Т>0 пред-
ставлена функция распределения электронов для кристал-
417
Рис. 11.7
лов двух типов, в которых зо-
на проводимости при Т = 0
частично заполнена
(рис. 11.7, а) или полно-
стью свободна (рис.
11.7, б). В целях удобства со-
поставления функции рас-
пределения со структурой
энергетических зон значения
f отложены по оси абсцисс,
а энергии е квантовых уров-
ней — по оси ординат. Слева
на рис. 11.7 изображены две
энергетические зоны и указа-
но положение уровня Ферми
для кристаллов обоих типов.
Как показывают расчеты,
которые мы здесь не воспро-
изводим, для кристаллов,
у которых зона проводимости
частично заполнена, уровень
Ферми лежит в зоне проводи-
мости, а энергия Ферми равна
максимальной энергии, кото-
рой может обладать электрон при абсолютном нуле темпе-
ратуры. Для кристаллов со свободной зоной проводимости
уровень с энергией Ферми лежит посредине запрещенной
зоны. Из выражения (11.8) следует, что при абсолютном
нуле температуры (Г = 0) функция f(e)= 1 для всех уровней
с энергией меньше энергии Ферми. Это значит, что при Т=0
все уровни с e<eF заполнены электронами, а все уровни
с е> ef свободны (Де) = 0 при е > eF). При температуре
выше абсолютного нуля значения функции Де) отличаются
от нуля и единицы в некоторой узкой окрестности уровня
Ферми. Это означает (см. рис. 11.7, а), что часть электро-
нов с энергией меньше eF за счет энергии теплового дви-
жения атомов переходит на квантовые уровни с энергией
больше энергии Ферми. По этой же причине и для тех кри-
сталлов, у которых уровень Ферми лежит посредине запре-
щенной зоны (см. рис. 11.7, б), имеется определенная ве-
роятность перехода электронов из валентной зоны на дно
зоны проводимости. Вероятность реализации такого пере-
хода зависит от ширины запрещенной зоны и температуры
кристалла.
418
Электрическая проводимость с позиции зонной теории
кристаллов. Зонная теория твердых тел позволяет с еди-
ной точки зрения объяснить электрические свойства про-
водников (металлов), диэлектриков и полупроводников.
Рассмотрим поведение электронов кристалла, находяще-
гося в электрическом поле.
В соответствии с принципом Паули на каждом энерге-
тическом уровне могут находиться два электрона, импуль-
сы которых с одинаковой вероятностью направлены в про-
тивоположные стороны. Поэтому в отсутствие внешнего
электрического поля средний импульс электронов в неко-
тором избранном направлении равен среднему импульсу
электронов в противоположном направлении, так что пол-
ный импульс всех элекотронов равен нулю. Преимущест-
венное движение электронов в каком-либо направлении
отсутствует, и, следовательно, электрический ток также
равен нулю.
Если же имеется внешнее электрическое поле, то в на-
правлении поля происходит ускорение или замедление
электронов в зависимости от направления их хаотическо-
го теплового движения. Это приводит к изменению полной
энергии электрона. Но изменение энергии электрона озна-
чает его переход на другой энергетический уровень, кото-
рый, конечно, должен быть для этого свободным. Поэтому
направленное движение электронов в электрическом поле
в соответствии с зонной теорией возможно только для элек-
тронов тех зон, в которых имеются свободные квантовые
состояния.
С точки зрения зонной теории кристаллы подразделя-
ются на проводники (металлы), у которых в зоне про-
водимости при Т = 0 имеются электроны, и диэлектри-
ки, у которых в зоне проводимости при Т = 0 отсутствуют
электроны. В свою очередь диэлектрики в зависимости
от ширины запрещенной зоны подразделяются на соб-
ственно диэлектрики, у которых ширина запрещен-
ной зоны Ае ~ 3 эВ, и полупроводники, у которых
ширина запрещенной зоны меньше (Ае~ 1 эВ), и поэтому
оказывается возможным переброс электронов из валент-
ной зоны в зону проводимости либо за счет теплового воз-
буждения, либо за счет внешнего источника, способного
передать электронам энергию порядка 1 эВ.
Таким образом, проводники отличаются от диэлектри-
ков не тем, что в одних электроны могут двигаться, а в дру-
гих нет (именно это предполагалось в классической физи-
ке). Электроны могут с одинаковым успехом двигаться
419
как в тех, так и в других. Различие между проводниками
и диэлектриками состоит в том, что из-за различного ха-
рактера заполнения зон в одних случаях возможно пере-
распределение импульсов электронов, что и обеспечивает
электрическую проводимость, а в других — нет.
11.2. Полупроводники
Собственные и примесные полупроводники. Рассмо-
трим применение зонной теории для объяснения электри-
ческих свойств полупроводников. Напомним, что полупро-
водниками называются вещества, удельное сопротивление
которых составляет 10-5—10“8 Ом-м, т. е. находится
между удельным сопротивлением проводников и диэлек-
триков. Электрическая проводимость полупроводников
имеет совершенно другую по сравнению с проводниками
зависимость от температуры. С точки зрения зонной тео-
рии, как уже отмечалось, к полупроводникам относятся
кристаллы, ширина запрещенной зоны которых составляет
примерно 1 эВ. Из химически чистых элементов к полупро-
водникам относятся В, С, Si, Р, S, Ge, As, Se, Sb, Sn, Те, I.
Кроме того, к полупроводникам относятся оксиды, суль-
фиды, селениды, теллуриды многих металлов. Имеются
также полимерные композиции, обладающие полупровод-
никовыми свойствами. Различают два вида полупровод-
ников — собственные (естественные) и примесные (искус-
ственные).
Собственным является полупроводник, у которого из-за
малости запрещенной зоны часть электронов вследствие
теплового движения или за счет другого внешнего источ-
ника может быть переведена из валентной зоны в зону
проводимости. Для этого нужно затратить энергию, рав-
ную по крайней мере ширине запрещенной зоны. Эта энер-
гия является важнейшей характеристикой электрических
свойств полупроводника и называется энергией актива-
ции. Для того чтобы полупроводник был естественным,
необходимо, чтобы это был химически чистый кристалл
с идеальной решеткой. К числу естественных полупровод-
ников относятся, в частности, германий и кремний. У атома
германия 32 электрона распределены так, что на внешней
оболочке имеются четыре валентных электрона. В кристал-
ле германия между внешними электронами четырех сосед-
них атомов устанавливается ковалентная связь (рис. 11.8),
так что свободных электронов при Г = 0 нет. Из 14 электро-
420
Рис. 11.8
нов атома кремния во внешней оболочке также имеются
4 электрона, которые, как и у германия, ковалентно связа-
ны с внешними электронами соседних атомов в решетке.
Следует отметить, что не только электроны, перешед-
шие в зону проводимости, обусловливают электрическую
проводимость естественных полупроводников. В резуль-
тате перехода части электронов из валентной зоны в зону
проводимости соответствующие места в валентной зоне
освобождаются — образуются так называемые дырки.
Благодаря им электроны в валентной зоне могут
перераспределять свои импульсы в пределах валентной
зоны. Поэтому при наличии электрического поля возникает
асимметрия распределения электронов валентной зоны по
направлениям импульсов (скоростей), т. е. появляется
электрический ток. Перераспределение электронов в ва-
лентной зоне сопровождается соответствующим перерас-
пределением дырок. Дырка ведет себя как положительно
заряженная частица. Возникающую в результате «дви-
жения» дырок проводимость называют дырочной.
Таким образом, естественные полупроводни-
ки наряду с обычной электронной проводимостью (в зоне
проводимости) обладают также и дырочной проводи-
мостью (в валентной зоне).
Наличие в полупроводнике примесей сильно влияет на
его электрические свойства. Под примесями под-
разумевают как атомы или ионы посторонних электронов
в узлах решетки, так и различного рода дефекты кристал-
лической решетки, в частности отсутствие ионов в узлах
решетки (вакансии) и наличие лишних атомов между
узлами решетки (междуузельные атомы). Наличие приме-
421
сей в кристаллической решетке нарушает периодичность
усредненного потенциала решетки вблизи каждой при-
меси. Вследствие этого изменяется состояние электронов,
возникают дополнительные энергетические уровни, распо-
ложенные в запрещенной зоне, которые называются при-
месными или локальными энергетическими уровнями,
а сами полупроводники — примесными. По своей природе
примеси могут быть либо дополнительными поставщиками
электронов в кристалле — донор (от лат. dono — дарю),
либо центрами локализации для электронов исходного
кристалла — акцептор (от лат. acceptor — принимаю-
щий). Например, если в кристалле германия один атом за-
мещен атомом, имеющим пять электронов на внешней
оболочке (фосфор, мышьяк, сурьма), то четыре электрона
примесного атома будут находиться в химической (кова-
лентной) связи с соседними атомами германия, а лишний
электрон может сравнительно легко перейти в зону про-
водимости. Это обусловлено тем, что энергетические уров-
ни «лишних» электронов находятся вблизи дна зоны про-
водимости (рис. 11.9). Энергетические уровни «лишних»
электронов, расположенные вблизи дна зоны проводимо-
сти, получили название донорных. Например, если ширина
запрещенной зоны в германии составляет 0,72 эВ, то до-
норный уровень от атома сурьмы находится в запрещенной
зоне всего на 0,1 эВ ниже дна зоны проводимости. Таким
образом, в результате переброса электронов с донорных
уровней в зону проводимости возникает электронная при-
месная проводимость, которая называется также проводи-
мостью n-типа (от лат. negativus — отрицательный).
Если же, например, в германий ввести атом примеси
с тремя внешними электронами (бор, алюминий, индий),
то для образования ковалентной связи с четырехвалент-
ным германием такой атом должен «заимствовать» элек-
трон у соседнего атома германия. В результате на месте
«ушедшего» электрона образуется положительная дырка,
которая может быть заполнена электроном какого-либо
соседнего атома германия. Это эквивалентно перемеще-
нию дырки в противоположном направлении. Квантовые
уровни примесей, способных присоединять электроны, на-
зываются акцепторными уровнями. Они образуются в за-
прещенной зоне и располагаются вблизи верхней границы
валентной зоны (рис. 11.10). Например, акцепторный уро-
вень трехвалентного бора лежит всего на 0,08 эВ выше
валентной зоны кристалла. Вследствие этого электроны из
валентной зоны могут достаточно легко переходить на
422
примесный акцепторный уровень, что ведет к возникнове-
нию дырочной примесной проводимости, так как нижняя
валентная зона в этом случае будет содержать свободные
электронные состояния (дырки). Дырочная примесная
проводимость полупроводников называется проводи-
мостью p-типа (от лат. positivus — положительный).
Динамика электронов в кристаллической решетке полу-
проводника. Электрическая проводимость полупроводни-
ка, как уже отмечалось, обусловлена движением электро-
нов, относящихся к зоне проводимости и валентной зоне.
Рассматривая электроны'как квантовые частицы, мы мо-
жем использовать для их описания понятие групповой
скорости волнового пакета, которая определяется в кван-
товой механике соотношением*
1"’>
где е — полная энергия электрона; р — его импульс.
Подставляя в это выражение значение импульса элек-
трона, определяемое формулой де Бройля p = hk, где
£ = 2л/1, установим дифференциальное соотношение для
групповой скорости электрона в кристалле:
v^ = h~xdz/dk. (11.10)
Проанализируем групповую скорость электрона в ва-
лентной зоне, используя энергетический спектр электрона
* В случае свободной квантовой частицы энергия е = mv2/<l =
= p2/(2m). Поэтому dt/dp = 2p/(2m) = v.
423
Рис. 11.11
(зависимость энергии электрона е от волнового числа k),
представленный на рис. 11.11. Из рисунка видно, что ско-
рость электрона игр = h~ {dt/dk при удалении от дна ва-
лентной зоны сначала возрастает (скорость для рассма-
триваемого графика пропорциональна тангенсу угла на-
клона касательной), а затем начинает убывать. Величина
е является полной энергией электрона, т. е. суммой его
кинетической и потенциальной энергий. Следовательно,
при приближении к границе валентной зоны скорость и
соответственно кинетическая энергия электрона умень-
шаются, а потенциальная энергия электрона возрастает.
Ускорение электрона определяется как первая произ-
водная групповой скорости по времени:
а==~7Г = Тг (,1Л,)
at at \ик/ dk at
Поскольку скорость вблизи верхней границы валентной
зоны уменьшается с увеличением волнового числа fe, уско-
рение будет отрицательным (после точки перегиба кривой
на рис. 11.11 производная d2e/(dfe2<0)). Для описания
движения электрона в кристалле полупроводника вводится
понятие эффективной массы. Эффективная масса пг* вво-
дится с той целью, чтобы движение электрона в периоди-
ческом поле кристалла и заданном внешнем поле можно
было рассматривать как движение электрона с эффектив-
ной массой во внешнем поле. Этот прием предполагает,
что действие, как правило, неизвестного периодического
поля решетки будет учитываться соответствующей эффек-
тивной массой.
Введем это фундаментальное понятие с помощью за-
кона сохранения энергии во внешнем поле. Для электрона
с энергией е во внешнем поле справедливо соотношение
dt/di = Fv, (11.12)
424
где F — сила, действующая на электрон; v — его скорость.
Отсюда для внешней силы, действующей на электрон,
получим соотношение
_ । de _ 1 de dk
F = v — = v — —
r u dt dk dt'
Подставляя сюда выражения для dt/dk и dk/dt из
формул (11.10) и (11.11), приходим к уравнению
h2 dv _______р
d2e/dk2 dt
(11.13)
которое по виду совпадает со вторым законом Ньютона.
Это позволяет коэффициент при dv/dt трактовать как эф-
фективную массу электрона, т. е.
h2
т* = — эффективная масса элект-
d */dk рона.
(Н.14)
Проанализируем знак второй производной d2e/dfe2,
используя энергетический спектр полупроводника (см.
рис. 11.11). Поскольку первая производная dt/dk, как
видно из рисунка, вблизи верхнего края валентной зоны
убывает (после точки перегиба), вторая производная
d2t/dk2 в этой области спектра будет величиной отрица-
тельной. А это значит, что эффективная масса электрона
в верхней части валентной зоны также является величиной
отрицательной. В нижней же части валентной зоны и в зо-
не проводимости, как видно из рис. 11.11, эффективная
масса электрона будет положительной.
Покажем далее, что движение электронов с отрица-
тельной эффективной массой (в верхней части
валентной зоны) можно рассматривать как движение
дырки (с положительным зарядом), имеющей положи-
тельную эффективную массу.
Подставляя в уравнение (11.14) вместо силы F ее зна-
чение во внешнем электрическом поле (F = —еЕ, где Е—
напряженность электрического поля), получаем
"115)
Поскольку величина, стоящая в скобках, есть эффек-
тивная масса, которая вблизи верхнего края валентной
425
зоны отрицательна, умножив обе части уравнения (11.15)
на минус единицу, мы увидим, что уравнение движения
электрона с отрицательной эффективной массой вблизи
верхнего края валентной зоны эквивалентно движению
частицы с положительной эффективной массой и поло-
жительным зарядом, равным заряду электрона, что совпа-
дает с понятием дырки, т. е.
— ( z/2 = 4-еЕ=> /п?ырки = —/и?,^дыРки = + е. (11.16)
xd z/dk Jdt '
Таким образом, дырки можно рассматривать как по-
ложительные заряды с положительной эффективной мас-
сой и все вопросы дырочной проводимости рассматривать
так же, как вопросы электронной проводимости, учитывая
только изменение знака заряда.
Из энергетического спектра полупроводника также
видно, что вследствие разной кривизны функции е = e(fe)
(см. рис. 11.11) в верхней части валентной зоны и нижней
части зоны проводимости эффективные массы электронов
[формула (11.14)] и дырок [формула (11.6)] могут быть
разными по величине, т. е. в общем случае /и? =/= — т*ырки.
Уровень Ферми в полупроводниках. В собственном
полупроводнике (без примесей) уровень Ферми, как и в
диэлектриках, находится в середине запрещенной зоны
(рис. 11.12). Качественно такое расположение уровня
Ферми можно понять, исходя из следующих рассужде-
ний. Энергия активации, затрачиваемая при перебросе
электрона из валентной зоны в зону проводимости, равна
ширине запрещенной зоны. Эта энергия делится поровну
между электроном и образовавшейся дыркой. Поэтому
если энергию Ферми взять за уровень отсчета энергии, от
которого идет образование возбужденных состояний, то
в собственном полупроводнике он должен находиться
в середине запрещенной зоны.
Положение уровня Ферми в примесных полупровод-
никах зависит от типа проводимости. Расчеты показыва-
ют, что в случае полупроводников n-типа при Т = 0 уро-
Рис. 11.12
426
вень Ферми eFo расположен посредине между дном зоны
проводимости и донорным уровнем (рис. 11.13, а). В полу-
проводниках p-типа уровень Ферми eFo оказывается посре-
дине между потолком валентной зоны и акцепторным
уровнем (рис. 11.13, б). Зависимость положения уровня
Ферми от температуры имеет довольно сложный характер
(сплошная кривая линия на рис. 11.13, а, б). Однако изве-
стно, что при высоких температурах он стремится к своему
предельному положению, совпадающему с серединой за-
прещенной зоны чистого полупроводника, т. е. при е = eF.
Электрическая проводимость полупроводников. В слу-
чае собственной проводимости плотность тока в полупро-
воднике складывается из упорядоченного движения элек-
тронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.
Обозначим через пп и пр концентрации электронов и ды-
рок, которые для собственного полупроводника равны друг
другу (пп = пр = п). Тогда формула для плотности тока
[см. формулу (4.42) ] может быть переписана в следующем
виде:
j = q+n+u+ 4- q_n_u_ = en(bp-\- bn)E, (11.17)
где E — напряженность электрического поля, под влияни-
ем которого возникает электрический ток с плотностью /;
Ьп, Ьр — подвижности электронов и дырок, определяемые
как средняя скорость и их дрейфа в электрическом поле
единичной напряженности (u + = bpE\ и_ = — ЬпЕ).
427
Сравним выражение (11.17) с законом Ома в диффе-
ренциальной форме:
/ = уЕ.
(11.18)
В результате запишем выражение для удельной элек-
трической проводимости собственного полупроводника:
Y = + (11.19)
Проанализируем температурную зависимость электри-
ческой проводимости у собственных полупроводников.
Так как для собственных полупроводников при малых Т
ширина запрещенной зоны Ае намного больше kT
(Ае kT), для электронов вблизи дна зоны проводимости
распределение Ферми — Дирака (11.8) переходит в рас-
пределение Максвелла — Больцмана (см. задание 11.1):
/(«, Г) ~ => f(J) ~ е~^/{2кГ}, е - eF ~ Де/2.
(11.20)
Объемная концентрация электронов, а значит, и дырок
пропорциональна функции f(T), т. е.
п = пое~^2кТ\
(11.21)
где по — объемная концентрация носителей заряда при
Т-^оо (1/Т-+0).
Температурная зависимость подвижностей Ь электро-
нов и дырок в полупроводнике определяется рассеянием
электронов на колебаниях кристаллической решетки и ее
дефектах. В полупроводниках подвижность Ь носителей
заряда из-за рассеяния на колебаниях решетки и ней-
тральных дефектах с ростом температуры убывает как
Т“3/2, а из-за рассеяния на заряженных дефектах увели-
чивается пропорционально Т3/\ Результирующая темпе-
ратурная зависимость b оказывается слабой по сравнению
с экспоненциальной зависимостью концентрации п носи-
телей заряда, поэтому в первом приближении можно счи-
тать подвижности Ь не зависящими от температуры.
Таким образом, выражение (11.19) для удельной элек-
трической проводимости полупроводников можно предста-
вить в виде
У = еп (Ьр 4- Ьп) = Уое ^/{2kT> => In у = In у0 — у-,
(11.22)
где у0 = en0(bp + bn) — const
428
Если изобразить температурную зависимость электри-
ческой проводимости в полулогарифмических координатах
In у и 1/Т (рис. 11.14), то для собственных полупровод-
ников получим прямую, по наклону которой можно найти
ширину запрещенной зоны Де, а по ее продолжению —
In уо (прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный
In Уо).
В случае примесного полупроводника концентрации
электронов в зоне проводимости (пп) и дырок в валентной
зоне (пр) зависят от концентрации примесей (ппр), причем
пп =/= Пр. Поэтому удельная электрическая проводимость
примесных полупроводников сильно зависит не только от
температуры, но и от концентрации примесей:
у = е(ппЬп + ПрЬр). (11.23)
Температурная зависимость концентраций носителей
заряда в примесном полупроводнике имеет вид, аналогич-
ный (11.21):
Лл = Попе-<е"-‘р)/<*г); (11.24)
пр = поре-^-^/т. (11.25)
Здесь ел, ер — энергии соответственно электронов вблизи
дна зоны проводимости и дырок вблизи потолка валентной
зоны; eF — энергия уровня Ферми, положение которого
сильно зависит от температуры (см. рис. 11.13) и концен-
трации примесей, что и приводит к зависимости концен-
траций пр и пп от концентраций примесей ппр (акцепторных
или донорных). Опыт показывает, что подвижность b но-
сителей заряда в примесных полупроводниках в первом
приближении также можно считать не зависящей от тем-
пературы. При низких температурах основной вклад в
концентрацию носителей вносит примесная проводимость,
а при высоких, наоборот, главную роль играет собствен-
ная проводимость. График температурной зависимости
удельной электрической проводимости примесных полу-
проводников представлен на рис. 11.15. Участок АВ опи-
сывает примесную проводимость полупроводника, участок
ВС является переходом от примесной к собственной про-
водимости, а участок CD описывает собственную прово-
димость полупроводника.
Фотопроводимость полупроводников. Увеличение про-
водимости полупроводника под действием электромагнит-
ного излучения называется фотопроводимостью. Фотопро-
429
водимость обусловлена внутренним фотоэффектом (см.
§ 9.2). Различают собственную и примесную фотопрово-
димость. В тех случаях, когда энергия фотонов больше
или равна ширине запрещенной зоны (hv > Ле), электро-
ны из валентной зоны могут переходить в зону проводи-
мости. Такая проводимость называется собственной фото-
проводимостью. Если же проводник содержит примеси,
то фотопроводимость может возникнуть для полупровод-
ников с донорной примесью при hv Дер, где Дер — энер-
гетический интервал между донорным уровнем и дном зоны
проводимости (см. рис. 11.13, а), а для полупроводников
с акцепторной примесью — при условии hv Дел, где
Дел — энергетический интервал между акцепторным уров-
нем и верхней границей валентной зоны (см. рис. 11.13, б).
Такая проводимость называется примесной фотопроводи-
мостью.
Условие hv > Де, где Де — соответствующий энерге-
тический интервал, означает, что существует красная гра-
ница внутреннего фотоэффекта, определяемая из условия
ftvKp. г = Ae=>vKp. г = Ле/й. (11.26)
Переходя от частоты к длине волны, получим
Хкр. г — he/(Де).
(Н.27)
При ширине запрещенной зоны в собственном полу-
проводнике Де ~ 2 эВ красная граница внутреннего фото-
эффекта Хкр г-600 нм, что соответствует желтому свету.
Для примесных полупроводников, у которых Ле ~ 0,01—
0,1 эВ, красная граница Хкр.г ~ 10“*—ю-* м, что соответ-
ствует инфракрасной области спектра.
430
Рекомбинация носителей заряда. Электроны в зоне
проводимости полупроводника при Г>0и дырки в ва-
лентной зоне находятся в возбужденном состоянии и по-
этому имеют конечное время жизни, которое определяется
процессами их рекомбинации. Возможны два пути реком-
бинации электронов. Первый путь — рекомбинация
при непосредственной встрече движущихся электронов и
дырок. Однако вероятность такой встречи невелика ввиду
больших скоростей их движения. Второй, главный,
путь рекомбинации состоит в захвате электрона или
дырки примесными атомами. Захваченный электрон или
дырка удерживаются около примесного атома до тех пор,
пока они не рекомбинируют с пролетающей мимо дыркой
или электроном. В результате при заданной температуре
устанавливается равновесная концентрация электронов и
дырок. В германии и кремнии продолжительность жизни
носителей заряда в возбужденных состояниях в среднем
составляет ~ 10-4 с.
Задание 11.1. Покажите, что температурная зависимость функции
распределения электронов у дна зоны проводимости имеет вид
f(T) ~ e~'f/{2kT\ kT <Ле,
где Ле — ширина запрещенной зоны.
Указание. Совершите предельный переход для функции рас-
пределения Ферми — Дирака при е — eF » kT. Вблизи дна зоны про-
водимости е — eF ~ Ле/2 (см. рис. 11.12).
11.3. Контактные явления в полупроводниках
Контакт электронного и дырочного полупроводников
(п — р-переход). Область кристаллического полупровод-
ника, в котором происходит смена электронной проводи-
мости на дырочную или наоборот, называется электронно-
дырочным переходом или п—р-переходом. Такой переход
образуется в кристалле полупроводника, если в нем с по-
мощью соответствующей обработки или путем введения
соответствующих примесей будут созданы отдельные об-
ласти с п- и р-проводимостью.
Рассмотрим физические процессы, происходящие на
границе между этими областями, т. е. в п—р-переходе
(рис. 11.16). Электроны из области с п-проводимостью
будут диффундировать в область с р-проводимостью (на
рис. 11.16, а слева направо). В результате диффузии про-
изойдет обеднение электронами приграничной области
полупроводника n-типа, что приведет к возникновению
431
Область
перехода
Рис. 11.16
ных и положительных
избыточного отрицательного
заряда в р-кристалле и соот-
ветствующего положительно-
го заряда в и-кристалле.
Диффузия дырок из ^-обла-
сти происходит в противопо-
ложном направлении и спо-
собствует увеличению этих
избыточных зарядов в пере-
* ход ной области между п- и
р-кристаллами. При одина-
ковой концентрации электро-
нов и дырок у границы обра-
зуются распределенные заря-
ды в областях одинаковой
толщины. Плотность распре-
деления концентрации заря-
дов изображена на рис. 11.17.
Эти заряды создают в об-
ласти п — р-перехода вну-
треннее электрическое поле,
контактная разность
потенциалов которого
равна (рк=(рл — Фр (т. е. воз-
никает потенциальный барьер
высотой и0 = ефк). Поскольку
Фл > Фр, напряженность Е
направлена от полупровод-
ника n-типа к полупроводни-
ку p-типа. В результате про-
цесс диффузии отрицатель-
носителей заряда затрудняется и
устанавливается динамическое равновесие, при котором
уровни Ферми в и- и p-областях выравниваются* (eF=eF,
рис. 11.16, в). При этом зоны искривляются так, что
энергетические уровни р-полупроводника оказываются
поднятыми относительно уровней n-полупроводника на
величину, равную разности энергий уровней Ферми в полу-
проводниках, образующих п—р-переход (eFn — eFp= вфк).
Толщина п—р-перехода обычно составляет — 10-6 —
—-10-7 м. Контактная разность потенциалов имеет ве-
личину порядка десятых долей вольта.
* В состоянии равновесия химические потенциалы в различных
областях равны, а энергия Ферми совпадает с химическим потенциалом
электронной подсистемы (см. § 15.4 в первой части пособия).
432
Вольт-амперная характеристика п — р-перехода. Рас-
смотрим п — р-переход, к которому приложена разность
потенциалов U (рис. 11.18), и установим зависимость
тока, проходящего через п—р-переход, от величины U
(/ = /({/)). Ток, идущий через переход, определяется дви-
жением электронов и дырок, формулы для которых ана-
логичны, поэтому в явном виде будем записывать форму-
лы только для электронных токов. Последовательно рас-
смотрим два способа подключения источника к п — р-пе-
реходу, соответствующие созданию запирающей и про-
пускной разности потенциалов.
1. В случае запирающего направления для тока через
п — р-переход подключают плюс источника к п-полупро-
433
воднику, а минус— к р-полупроводнику (см. рис. 11.18).
В результате энергия электронов проводимости в п-полу-
проводнике уменьшается по отношению к их энергии в
p-области на величину eU. Потенциальный барьер уве-
личится для электронов, перемещающихся из п-области
в p-область. Поэтому создаваемый этим потоком диффу-
зионный ток уменьшится в exp {eU/(kT)} раз по сравне-
нию с током /оЛр при U = 0, т. е.
= /Гпр exp {-eU/(kT)}. (11.28)
Диффузионный поток электронов из p-области в п-об-
ласть не изменится (Ipn~"n = /gfn) • При отсутствии внешней
разности потенциалов ([7 = 0) результирующий ток равен
нулю, поэтому /оЛР = = /о. Таким образом, элек-
тронный ток через п — р-переход при заданной запираю-
щей разности потенциалов U будет определяться следую-
щим выражением:
/Г = /0 „(ехр { — eU/(kT)} - 1). (11.29)
Аналогичное выражение справедливо для дырочного
тока, обусловленного результирующим потоком дырок
через п— р-переход (см. задание 11.2).
2. В случае пропускного направления для тока через
п — р-переход плюс источника подключается к р-области,
а минус — к n-области (рис. 11.19). Высота потенциаль-
ного барьера уменьшится на величину eU. Очевидно, что
434
в этом случае результирующий электронный ток будет
определяться по формуле
/"р°п = /0> „(ехр {eU/(kT)} - 1). (11.30)
Вольт-амперная характеристика п — р-перехода, обус-
ловленная электронными и дырочными токами, показана
на рис. 11.20. Сравнивая значения токов в пропускном и
запирающем направлениях, можно сделать вывод, что
п — р-переход обладает практически односторонней про-
водимостью для тока, т. е. пропускает преимуществен-
но ток в направлении от p-области к n-области. Этим и
объясняются соответствующие названия для пропуск-
ного тока и пропускной разности потенциалов. В на-
правлении от n-области к p-области через п — р-переход
идет ток значительно меньший, п — р-переход играет роль
«запирающего слоя», что и учитывается в обозна-
чениях соответствующих токов / и напряжений U на п —
р-переходе.
Задание 11.2. Получите формулу для дырочного тока, обусловлен-
ного движением потока дырок через п — р-переход, и запишите окон-
чательные выражения для полного тока в случае пропускной и запи-
рающей разностей потенциалов.
Указание. Примите во внимание, что «движение> дырок с по-
ложительным зарядом в полупроводниках описывает движение элек-
тронов в верхней части валентной зоны [см. формулы (11.15) и (11.16)].
Ответ. Полный ток в пропускном и запирающем направлениях
определяется соответственно по формулам:
/проп = /о(ехр {eU /(kT)} — 1); /зап = /0(ехр [ — eU/(kT)} — 1),
435
где /о =/о, л-f-/о, р—полный диффузионный ток электронов и дырок
в одном направлении при отсутствии внешней разности потенциалов.
Задание 11.3. Рассчитайте сопротивление п — р-перехода при тем-
пературе t = О °C для запирающего напряжения, равного заданному
пропускному напряжению /Л Известно, что при U = 0,1 В пропускное
сопротивление /?проп — Ю Ом.
Указание. Воспользуйтесь законом Ома для постоянного тока
и формулами, полученными в предыдущем задании.
От в ет. Сопротивление /?зап = /?проп(ехр {eU/(kT)} — 1)/(1 —
— exp {—eU/(kT)}) и при заданных значениях приблизительно равно
700 Ом.
Транзистор. Транзистором называется полупроводни-
ковый монокристалл, в котором соответствующим введе-
нием примесей создаются два достаточно близко распо-
ложенных п — р-перехода. Первый транзистор создан
в 1948 г. Различают транзисторы п — р — п- и р — п — р-
типов (рис. 11.21, а, б). Условные обозначения этих тран-
зисторов, которые используются в электронных схемах,
представлены на рис. 11.22. Узкий слой между двумя об-
ластями с п- либо р-проводимостью называется базой.
Крайние области называются эмиттером и коллектором.
Обычно коллектор содержит большую концентрацию при-
месных атомов. Важнейшим фактором, определяющим ра-
боту транзистора, является толщина базы. Она должна
быть достаточно малой, чтобы большинство носителей
заряда из эмиттера могло, не рекомбинируя, достигать
коллектора. Обычно ширина базы составляет 0,1—0,2 мкм.
Явления, происходящие в п—р—п- и р—п—р-тран-
зисторах, аналогичны. В первом случае основными носи-
телями зарядов являются электроны, во втором — дырки.
Транзисторы могут использоваться как усилители тока и
напряжения. В этих случаях используются различные
схемы включения транзистора в электрическую цепь. В ка-
честве примера рассмотрим работу транзистора п — р — п
как усилителя тока. Схема включения транзистора в цепь
436
в этом случае представлена на рис. 11.23 и называется
схемой включения с общим эмиттером. При таком вклю-
чении потенциал на коллекторе должен быть больше потен-
циала на базе. Общая точка контуров обозначена буквой
О, а токи /б, /э и /к являются соответственно токами, иду-
щими через базу, эмиттер и коллектор. Источник постоян-
ного тока включен между базой и эмиттером в пропускном
направлении. Поэтому изменение напряжения U от пере-
менного сигнала очень сильно влияют на ток /э от эмиттера
к базе. Так как база представляет собой очень узкую об-
ласть полупроводника, почти все электроны переходят
через базу в коллектор, который находится под положи-
тельным потенциалом. Таким образом, ток коллектора
определяется потоком электронов, прошедших от эмиттера
через базу в коллектор. Напряжение на сопротивлении
/?н, включенном в цепь коллектора, определяется перемен-
ным напряжением на базе. Из первого правила Кирхгофа
(/э = /б + /к) следует, что изменения тока эмиттера, базы
и коллектора будут связаны соотношением
Л/э = Л/б +АЛ. (11.31)
Если ввести коэффициент усиления по току
(П-32)
то с учетом соотношения (11.31) получим
__ А/э 1
~ Л/
437
При достаточно малых толщинах базы отношение
Л/э/Л/б~50, поэтому коэффициент усиления по току для
транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером,
также примерно равен 50.
Применение полупроводников. Полупроводниковая
техника и технология не только совершили подлинную
революцию в электронике, но и нашли самое широкое при-
менение в многочисленных областях современной техники.
Ниже мы кратко опишем принцип действия ряда полупро-
водниковых приборов, нашедших широкое применение
в различных отраслях промышленности.
Интегральные схемы. Интегральными схемами назы-
ваются сложные многоэлементные устройства, созданные
с помощью специальной технологии в кристалле полупро-
водника и включающие транзисторы, диоды, сопротив-
ления. Поверхностная плотность размещения этих твер-
дотельных элементов в современных интегральных схемах
достигает пятидесяти тысяч на квадратный сантиметр.
Именно разработка и внедрение таких схем позволили
создать современную вычислительную технику — от ми-
крокалькулятора и персональных ЭВМ до суперЭВМ.
Солнечные батареи. Принцип действия полупроводни-
ковых солнечных батарей заключается в следующем (см.
также § 9.2). При попадании потока фотонов на п — р-пе-
реход образуются возбужденные электронно-дырочные
пары. В результате на п — р-переходе возникает разность
потенциалов, которая способна создавать в замкнутой
цепи электрический ток. Например, кремниевый элемент
солнечной батареи дает напряжение 0,5 В при КПД при-
мерно 15 %. В настоящее время солнечные батареи нашли
применение в качестве источников энергии на космических
кораблях. В перспективе при снижении стоимости произ-
водства солнечных элементов они могли бы стать одним
из альтернативных источников энергии на Земле, непо-
средственно преобразуя солнечную энергию в электри-
ческую.
Светодиоды. Светодиоды представляют собой полупро-
водниковые диоды, в которых под действием внешней раз-
ности потенциалов рождаются пары электрон — дырка,
которые при последующей рекомбинации испускают фо-
тоны с энергией hv. Например, чтобы получить светодиоды,
используемые в микрокалькуляторах и часах и испускаю-
щие красный свет, необходимо, чтобы энергия, выделяю-
щаяся при рекомбинации, составляла ~2 Эв. Этим усло-
438
виям, в частности, удовлетворяет арсенид галлия, ширина
запрещенной зоны которого равна 2 эВ. Эффективность
использования электрической энергии в светодиодах при-
ближается к 100 %.
Фотоэлементы. Фотоэффект в полупроводниках широко
применяется при создании фотоэлементов. Полупроводни-
ковые фотоэлементы чрезвычайно чувствительны к интен-
сивности падающего света и используются во многих при-
борах для регистрации и изменения интенсивности падаю-
щего света.
Термисторы. Сильная температурная зависимость
электрической проводимости полупроводников нашла при-
менение при разработке термисторов — очень чувстви-
тельных датчиков температуры.
11.4. Квантовые свойства
электронного газа в металлах
Основные характеристики электронного газа в метал-
лах. Как уже отмечалось ранее, коллективизированные
электроны металлов, находящиеся в зоне проводимости
(их называют электронами проводимости), могут доста-
точно свободно перемещаться по всему объему кристал-
лической решетки. Концентрация электронов проводимо-
сти велика, поскольку ионы кристаллической решетки
находятся на достаточно малых расстояниях (параметр
решетки ~10-1°—10-9 м). Поэтому если каждый атом
отдает хотя бы один электрон в зону проводимости, то в
1 см3 будут находиться порядка 1022 электронов, что в
тысячу раз превышает концентрацию молекул в воздухе.
Притяжение, действующее на каждый отдельный электрон
проводимости со стороны положительно заряженных
ионов, в среднем компенсируется отталкиванием от осталь-
ных коллективизированных электронов металла. Поэтому
движение любых двух электронов можно считать незави-
симым и ввести понятие об электронном газе в металле
как о газе невзаимодействующих свободных электронов.
Необходимо, однако, отметить, что между свободными
электронами в металле существует специфическое взаимо-
действие, обусловленное законами квантовой механики.
Согласно принципу Паули, электрон, находящийся в опре-
деленном квантовом состоянии, «не пускает в него» другой
электрон. Однако электроны, находящиеся в различных
квантовых состояниях, являются полностью независимы-
439
ми. В этом смысле электронный газ в металле можно рас-
сматривать как идеальный газ фермионов, свойства кото-
рого описываются функцией распределения Ферми —
Дирака:

1
е ~кТ + 1
где е — энергия электрона; eF — энергия Ферми, т. е. ма-
ксимальная энергия, которую может иметь электрон в ме-
талле при абсолютном нуле температуры.
Для расчета основных характеристик электронного
газа необходимо также знать число квантовых состояний
gWkb, в которых может находиться электрон с энергией в
интервале отедое + de или импульсом в интервале от
р до p + dp (е = р2/(2т)).
Не воспроизводя всех выкладок, воспользуемся окон-
чательным результатом, согласно которому число кван-
товых состояний для электронов в металле с импульсом
в пределах от 0 до р определяется выражением (см. далее
задание 11.5)
NKB=^p3- (11.33)
Тогда число квантовых состояний с импульсами в интер-
вале от р до р + dp или, что то же самое, с энергией от е
до е + de будет
dNKB= ^p2dp = ^(2m)3/2el/2de. (11.34)
п п
В качестве примера рассчитаем основные параметры
электронного газа при абсолютном нуле температуры.
Функция распределения Ферми — Дирака при Т = 0, пред-
ставленная на рис. 11.24, а, имеет вид ступеньки, которая
определяется равенствами:
!1,
1/2,
О,
е < eF;
е = eF;
е > eF.
(11.35)
Определим число электронов проводимости в единице
объема металла, т. е. концентрацию и0 с помощью функции
(11.35):
= $ f^)dNKB=\ dNKb.
о о
440
Подставив dA/кв из формулы (11.34) и проинтегриро-
вав по е от О до eF, получим
Ер
no= ^(2mre'/2 *de=^(2meFr. (11.36)
О
Из соотношения (11.36) следует выражение для энер-
гии Ферми:
1,2 / ЗпоУ/з /11071
• (11-37)
Средняя энергия электронного газа на единицу объема
металла вычисляется по формуле
< е > = ^ef(e)d^B = -^-е^3/2 e3/2de = -|-EFno,
о о
(11.38)
а энергия ео, приходящаяся на один электрон при Т = О,
определяется выражением
<е> 3 ЗЛ2 / Зи0\2/3 Z11 QO4
Е0= -------=“E-eF=-^—I-------1 . (11.39)
«о 5 r 40m \ л / v 7
Давление р0 электронного газа в металле рассчитыва-
ется по основному уравнению молекулярно-кинетической
теории идеального газа (см. § 14.2 в первой части посо-
бия) :
2 ИоЛ2 / Зио\2/3 Z1 «
ро— -уПоео— -20^-(—) (11.40)
441
Пример 11.1. Найти максимальную скорость свободных электро-
нов в меди при абсолютном нуле температуры.
Решение. При Т = 0 максимальную скорость имеют электроны
с кинетической энергией, равной энергии Ферми. Отсюда с использова-
нием выражения (11.37) имеем
h
-eF=>vm3X- 2^-
2
(11.41)
С другой стороны, концентрацию и0 электронов проводимости
можно выразить через плотность вещества р, молярную массу р, и по-
стоянную Авогадро NА. Для одновалентного вещества (например, меди)
(11.42)
Подставляя выражение (11.42) в (11.41) и используя числовые
значения, получаем (р = 8,9 • 103 кг/м3 — плотность меди)
Л 3 / 3p/VA 6,62-1034 3 /3-8,9- 103-6,02- 1023
2mV ~2-9,11 • 10~31 V 3,14 • 0,0635
~ 1570 км/с.
Задание 11.4. Установите зависимость энергии Ферми eF (при
Г = 0) от плотности р и молярной массы р, одно- и двухвалентных ме-
таллов. Проведите расчеты для меди и железа.
Указание. Воспользуйтесь формулой (11.37) и выражением,
аналогичным (11.42), для металла валентностью z*.
Ответ. Энергия Ферми
F 8m у лр /
Задание 11.5. Определите число квантовых состояний для электро-
нов проводимости в металле, имеющих импульс в пределах от 0 до р
(в расчете на единицу объема проводника).
Указание. Определите объем Уф шестимерного фазового про-
странства (координат и проекций импульса р), равный произведению
объема V в пространстве координат и объема Vp в пространстве проек-
ций импульса (Vp = (4/3) лр3 — объем сферы с радиусом, равным задан-
ному импульсу р).
Затем воспользуйтесь тремя соотношениями неопределенности Гей-
зенберга для координат х, у, z и проекций рх, ру, рг (см. формулу (12.18)
в первой части пособия):
Дх • Дрх ~h\ by • кру ~ h\ Az • \рг ~ h
и найдите минимальный объем фазового пространства ДУФ = ДУ • ДVp,
в котором могут находиться не более двух электронов с противополож-
ными спинами. Тогда общее число квантовых состояний будет равно
442
удвоенному числу ячеек с минимальным объемом ЛУФ, которые заполнят
объем Уф фазового пространства:
NKB = 2УФ/ЛУФ.
Ответ. Число NKB определяется формулой (11.33) при V = 1 м3.
Свойства электронного газа при Т > 0. Рассмотрим
основные характеристики электронного газа при темпера-
туре выше абсолютного нуля. Функция распределения
Ферми — Дирака в этом случае имеет вид кривой, изобра-
женной на рис. 11.24,6. Тогда практически все квантовые
состояния ниже границы Ферми, для которых eF —
заполнены электронами, как и при Т = 0. Вблизи границы
Ферми, т. е. при |е —eF| ~ kl\ функция Де) слегка «раз-
мыта», так что относительно малая доля электронов про-
водимости находится в состояниях с энергией, большей
энергии Ферми. Этим и обусловлена очень малая теплоем-
кость электронного газа в металлах. Опуская достаточно
громоздкие вычисления интегралов, приведем окончатель-
ное выражение для концентрации электронного газа:
« = «°(1+^-7’2)> (11.43)
его средней энергии (для единицы объема проводника):
<e> = Aeffl(l+^p) (11.44)
и энергии, приходящейся на один электрон проводимости:
‘ = т‘Л'+^-тУ (,L45)
Выражение (11.45) позволяет рассчитать молярную
теплоемкость электронного газа в проводнике:
C3. = N^=N^T = ^RT.
Теплоемкость электронов проводимости линейно зави-
сит от температуры и даже при комнатных температурах
оказывается намного меньшей, чем теплоемкость по клас-
сической теории (см. сноску на с. 175):
c,, = ^Rr«iR
443
Это существенное различие объясняется тем, что при на-
гревании проводника энергия может изменяться только у
тех электронов проводимости, которые имеют
энергию, сравнимую с энергией Ферми, и потому
могут переходить в свободные квантовые состояния в уз-
кой области «размытия» функции Ферми — Дирака (см.
рис. 11.24,6). Доля таких электронов очень мала по
сравнению с общим числом свободных электронов в зоне
проводимости (классическая теория предполагает, что все
свободные электроны металла изменяют свою энергию при
нагревании).
Для сравнения различных вкладов приведем еще фор-
мулу для теплоемкости, обусловленной тепловыми колеба-
ниями ионов металлической решетки (в первой части
пособия см. формулу (16.34) для решеточной теплоем-
кости в модели Дебая):
Среш = yJ?/?(770D)3 ~ Г3.
Оказывается, что только при низких температурах
вклад в теплоемкость от электронов проводимости срав-
ним с теплоемкостью, обусловленной колебаниями решетки
(Сэл ~ Среш). Например, для серебра при Т = 2 К теплоем-
кость Сэл = 0,0013 Дж/(моль - К), а теплоемкость Среш =
= 0,00155 Дж/(моль-К).
Электрическая проводимость металлов в нормальном
состоянии. Нормальным* состоянием металла называется
такое состояние, в котором его электрическая проводи-
мость имеет конечную величину. Рассмотрим процесс про-
хождения электрического тока в обычном, т. е. нормаль-
ном, состоянии проводника при Т = 0.
Для этого рассмотрим зависимость энергетических
уровней еп электрона от его волнового числа kn = nn/L или
импульса pn = hkn (рис. 11.25, а) для случая свободного
(без внешнего поля) движения в одномерной яме
шириной L (см. § 12.3 в первой части пособия):
Л2Л2 2 h2 .9 Рп ПЛ. 1 Л о
е" —— 2m^n = ~2m~' Р" ~ ~Lh' п— 11 2> 3’ “
В случае макроскопического образца (L ~ 1 см) им-
пульсы рл, а значит, и значения энергии ел образуют
* Сверхпроводящее состояние металлов будет рассмотрено отдельно.
444
a
Напряженность О Напряженность Е*о
Энергия Энергия
£=р*/(2т) г=р?(2т)
р -р
Рис. 11.25
практически непрерывные спектры (Аел — n2h2/(2mL2) ~
~ 10-33 Дж). Поэтому на рис. 11.25 набор заполненных
электронами квантовых состояний с энергиями ел изобра-
жен сплошной жирной линией, а незаполненные состоя-
ния — штриховой линией. Видно, что на каждом энерге-
тическом уровне с энергией е могут находиться два элект-
рона с противоположными спинами (р и — р). В результа-
те никакого результирующего направленного движения
электронов в отсутствие поля не наблюдается (нет
электрического тока).
При наложении внешнего электрического по-
л я напряженностью )Е свободные электроны, движущие-
ся в направлении поля, будут замедляться, а электроны,
движущиеся против поля, будут ускоряться, т. е. увели-
чивать свой импульс р и переходить в более высокое
квантовое состояние. Поэтому число занятых состояний
с импульсами, направленными против поля, будет боль-
ше, чем состояний с импульсами, направленными по
полю (рис. 11.25,6). В результате в проводнике возникает
электрический ток.
При температуре выше абсолютного нуля общая кар-
тина перераспределения электронов по импульсам не ме-
няется. В возникающий под действием внешнего поля по-
ток электронов дают вклад только те электроны, которые
находятся в узком интервале энергий Ае ~ kT вблизи уров-
ня Ферми (см. рис. 11.24) и импульсы которых не ском-
пенсированы. С точки зрения квантовой механики дви-
жение свободных электронов идеального газа можно рас-
445
сматривать как процесс распространения электронных
волн де Бройля. Поэтому идеальная кристаллическая
решетка металла, в которой расстояние между узлами
намного меньше длины волны де Бройля для электронов,
не должна оказывать сопротивления проходящему току.
Однако реальная кристаллическая решетка имеет различ-
ные нарушения строгой периодичности расположения
ионов в узлах. Нарушения кристаллической структуры
могут быть вызваны как присутствием чужеродных ато-
мов, т. е. дефектов решетки, так и тепловыми колебания-
ми ионов в узлах решетки. Вследствие этого происходит
рассеяние электронных волн де Бройля на указанных
неоднородностях, и удельная электрическая проводимость
имеет конечное значение для металлов в нормальном
состоянии.
Строгий вывод выражения для электрической прово-
димости металлов на основе квантовой статистики Фер-
ми — Дирака является достаточно сложным и не может
быть приведен в нашем курсе. Поэтому мы дадим только
окончательный результат и обсудим его физический смысл.
Формула для удельной электрической проводимости у,
полученная на основе квантовой статистики Ферми —
Дирака, имеет вид.
где п — концентрация электронов; е — заряд электрона;
Xf — величина, учитывающая рассеяние электронных волн
де Бройля; т — масса электрона; vF— скорость электро-
на с энергией Ферми. По внешнему виду уравнение (11.46)
совпадает с выражением (5.8) для электрической про-
водимости в классической физике (см. §5.1), где v — сред-
няя квадратичная скорость электрона, а X трактуется как
средняя длина свободного пробега электрона. В кванто-
вой же физике понятие средней длины свободного пробега
отсутствует, а величина Xf при комнатных температурах
определяется выражением
bF = Ed/(jinkT), (11.47)
где £ — модуль Юнга кристаллической решетки; d —
период решетки. Подстановка выражения (11.47) в
(11.46) дает следующее выражение для удельной электри-
ческой проводимости:
У = е2-Е-ьт • (11.48)
1 nmVfkT ' '
446
Так как скорость электрона на уровне Ферми практи-
чески не зависит от температуры, из формулы (11.48) вид-
но, что полученное выражение для удельной электри-
ческой проводимости металла хорошо согласуется с экспе-
риментальными данными, в соответствии с которыми
у~\/Т (при комнатных температурах). Напомним для
сравнения, что классическая электронная теория (см.
§5.1) дает прямо пропорциональную зависимость между у
и корнем квадратным из абсолютной температуры (у ~
~ ~у/т\ что, как и отмечалось раньше, противоречит экспе-
рименту.
При очень низких температурах величина
поэтому формула (11.48) перестает быть справедливой,
и, согласно формуле (11.46), удельная электрическая
проводимость у ~ Г-5, что также хорошо согласуется
с экспериментом. Таким образом, только в рамках кван-
товой теории удается получить теоретическое обоснование
экспериментальной зависимости электрической проводи-
мости металлов от температуры.
Сверхпроводящее состояние металлов. Как уже отме-
чалось, в нормальном состоянии сопротивление металлов
непрерывно уменьшается с понижением температуры, ос-
таваясь все время конечным. Однако в 1911 г. голландским
физиком X. Камерлинг-Оннесом (1853—1926) было обна-
ружено, что при Т=4,2 К электрическое сопротивление
ртути для постоянного тока резко падает до нуля. Явле-
ние исчезновения сопротивления постоянному току
получило название сверхпроводимости. Эксперименты
показали, что в сверхпроводящем кольце ток сохраняет-
ся неизменным в течение многих лет. В дальнейшем
явление сверхпроводимости было обнаружено у многих
других металлов и их соединений. Сверхпроводящими
свойствами обладают Al, Cd, In, Pb, Nb, Os, Zn и ряд дру-
гих. Интервал температур, в котором происходит падение
сопротивления до нуля, очень мал и уменьшается с умень-
шением концентрации дефектов. Например, для монокри-
сталла олова он составляет тысячную долю градуса.
Поэтому можно говорить о вполне определенной темпера-
туре перехода проводника в сверхпроводящее состояние,
т. е. о критической температуре Гкр. Добавление приме-
сей, ведущее к ухудшению регулярности структуры, уве-
личивает температуру перехода, но не исключает появле-
ния сверхпроводимости. В качестве иллюстрации на
рис. 11.26 приведена температурная зависимость удельно-
447
го сопротивления р проводника с примесями (кривая /),
очень чистого проводника (кривая 2) и сверхпроводника
(кривая 3).
Свойства сверхпроводящего состояния металлов. Опы-
ты по дифракции рентгеновских лучей при переходе
вещества в сверхпроводящее состояние показывают, что
структура кристаллической решетки металла в сверхпро-
водящем состоянии изменений не испытывает. Не меняют-
ся также механические и оптические свойства металла
в видимой и инфракрасной областях спектра. Однако
при переходе в сверхпроводящее состояние качественно
меняются магнитные свойства вещества, скачком меняет-
ся теплоемкость. У образца, находящегося во внешнем
магнитном поле, при переходе в сверхпроводящее состоя-
ние скачком изменяется теплопроводность и выделяется
теплота перехода. Если напряженность магнитного по-
ля И становится больше некоторой критической величины
Якр, зависящей от температуры, то сверхпроводимость
исчезает и восстанавливается нормальное состояние про-
водника. На рис. 11.27 показана кривая зависимости
ЯкР от температуры. Область под кривой АВ соответствует
тем значениям температуры и магнитного поля, при кото-
рых возможна сверхпроводимость. В области над кри-
вой АВ реализуется нормальное состояние. Сверхпро-
водящее состояние может быть разрушено током, про-
ходящим по сверхпроводнику, если его величина превы-
шает некоторое критическое значение.
Важным свойством сверхпроводящего состояния яв-
ляется отсутствие магнитного поля внутри мас-
сивного сверхпроводника, помещенного во внешнее маг-
448
нитное поле. Силовые линии этого поля при напряжен-
ности Н меньше некоторого критического значения //кр
(// < //Кр) как бы выталкиваются из сверхпроводника.
Выталкивание внешнего магнитного поля из сверхпро-
водника было открыто в 1933 г. немецким физиком В. Мейс-
снером (1882—1974) и получило название эффекта Мейс-
снера. Этим сверхпроводник отличается от идеального
проводника, у которого при падении удельного сопротив-
ления до нуля магнитное поле внутри проводника должно
сохраняться без изменения.
Отсутствие магнитного поля в объеме сверхпровод-
ника позволяет заключить, что в нем существует поверх-
ностный ток, который занимает некоторый тонкий слой
вблизи поверхности. Магнитное поле такого тока уничто-
жает внешнее магнитное поле внутри сверхпроводника.
Полный эффект Мейсснера, т. е. полное вытесне-
ние внешнего магнитного поля из сверхпроводника, на-
блюдается только у очень чистых веществ. Эти вещества
получили название сверхпроводников первого рода.
У сплавов обычно наблюдается лишь частичное вытесне-
ние магнитного поля, и такие сверхпроводники получили
название сверхпроводников второго рода.
Поскольку переход вещества в сверхпроводящее со-
стояние является обратимым процессом, учитывая его об-
ратимость и различие свойств металла в нормальном
и сверхпроводящем состоянии, этот переход можно рас-
сматривать как фазовый переход между нормальным
и сверхпроводящим состоянием одного и того же ве-
щества.
Природа сверхпроводимости. Очевидно, что для воз-
никновения сверхпроводимости необходимо, чтобы элект-
роны в проводнике двигались без потери энергии. Иссле-
дуя различные возможности объяснения этого явления,
американские ученые Дж. Бардин, Л. Купер и Дж. Шриф-
фер в 1957 г., а также советский физик Н. Н. Боголюбов
(1909—1992) в 1958 г. построили последовательную
микроскопическую теорию сверхпроводимости. В модели,
предложенной Бардином, Купером и Шриффером (БКШ
модели), предполагается, что два движущихся электрона
с противоположными спинами взаимодействуют через по-
средство кристаллической решетки. Это взаимодействие
осуществляется путем обмена фононами, что приводит
к образованию связанного состояния — куперовской пары,
заряд которой равен 2е. Это предположение подтверждает-
ся экспериментальными данными, полученными в 1961 г.,
449
когда была измерена эффективная величина заряда ку-
перовской пары при сверхпроводимости и оказалось,
что она равна 2е.
Для понимания процесса возникновения сверхпрово-
димости существенно, что образовавшаяся куперовская
пара обладает нулевым спином и поэтому является
бозоном, а не фермионом, т. е. подчиняется статистике
Бозе — Эйнштейна. К бозонам, как известно, не приме-
ним принцип Паули, и число бозонов, находящихся в од-
ном квантовом состоянии, не ограничено. Поэтому при
Т < Ткр подавляющее большинство куперовских пар будет
находиться в основном состоянии с нулевым импульсом.
В предельном случае при Т = 0 все куперовские пары
должны иметь нулевой импульс и находиться в основ-
ном состоянии. Это означает, что импульсы электронов,
образующих пару, не являются независимыми, а должны
в точности равняться друг другу по абсолютной величине
и быть противоположно направленными. Чтобы разрушить
куперовскую пару, надо затратить некоторую энергию,
которая идет на преодоление сил взаимодействия элект-
ронов пары. В принципе определенная вероятность такого
процесса имеется. Однако этого не происходит, потому что
при Т < Пр имеется не одна изолированная куперовская
пара, а коллектив взаимодействующих друг с другом
электронов, в котором все куперовские пары связаны
друг с другом. В результате электрон надо отрывать не
от отдельной пары, а от всей системы взаимодействующих
электронов, для чего требуется достаточно большая по
квантовым масштабам энергия.
Энергетический интервал, численно равный значению
энергии, которую необходимо затратить, чтобы оторвать
электрон от системы взаимодействующих пар и пере-
вести в возбужденное состояние, называется энергети-
ческой щелью. Наличие конечной энергетической щели
в спектре энергии сверхпроводящего состояния объясняет
явление сверхпроводимости, в частности отсутствие
электросопротивления постоянному току. Если нет внешне-
го электрического поля, то все куперовские пары имеют
нулевой импульс и нет результирующего потока частиц,
а следовательно, и тока. При наложении внешнего элект-
рического поля оба электрона куперовской пары начинают
двигаться в направлении, противоположном полю. В ре-
зультате весь коллектив взаимодействующих куперовских
пар смещается в пространстве как целое, т. е. возникает
электрический ток. Если наложенное поле не превосходит
450
некоторого критического значения, то возникшее направ-
ленное движение стабильно и наступает явление сверх-
проводимости. При увеличении температуры увеличивает-
ся вероятность разрушения куперовских пар, уменьшается
их число, и при Т = ГКр сверхпроводимость исчезает.
Рассмотренные нами качественные аспекты возникно-
вения сверхпроводимости не позволяют детально рас-
смотреть другие явления, связанные со сверхпроводи-
мостью, однако почти все они имеют обоснованное объяс-
нение в рамках модели сверхпроводимости Бардина —
Купера — Шриффера.
Применение сверхпроводимости. В настоящее время
известно более 500 сверхпроводящих металлических ма-
териалов и их сплавов с максимальной критической темпе-
ратурой 7^ = 23,2 К (низкотемпературная сверхпроводи-
мость). Кроме того, в 1986 г. был открыт новый класс
сверхпроводящих проводников, относящихся к керами-
ческим материалам, для которых максимальная крити-
ческая температура выше 90 К (высокотемпературная
сверхпроводимость). Наиболее интересным представляет-
ся применение сверхпроводников в обмотках соленоидов
для получения сильных магнитных полей. Уже создано
множество электромагнитов со сверхпроводящими обмот-
ками. Эти электромагниты обеспечивают получение маг-
нитных полей с индукцией порядка 10 Тл при полном отсут-
ствии электрических потерь в обмотках. Такие электро-
магниты применяются при управлении плазменными пуч-
ками в установках при исследовании возможности полу-
чения управляемых термоядерных реакций и в современ-
ных ускорителях заряженных частиц. При использовании
сверхпроводников энергию надо затрачивать только на их
охлаждение до температуры ниже критической. Другим
направлением практического использования сверхпрово-
димости является разработка сверхпроводящих линий
электропередач. В настоящее время уже разработан сверх-
проводящий кабель для передачи переменного тока мощ-
ностью 4- 106 кВт. Третьим перспективным направлением
сверхпроводимости является создание транспортных
средств на магнитной подушке. Кроме того, весьма перс-
пективным представляется применение сверхпроводящих
элементов в компьютерной технике.
451
Жидкие кристаллы прекрасны и зага-
дочны, и поэтому я их люблю.
П. де Жен
12. ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Открытие в 1888 г. австрийским ботаником Ф. Рейнит-
цером (1857—1927) и немецким кристаллографом Ф. Ле-
маном (1855—1922) жидких кристаллов разрушило рас-
хожее представление о том, что вещество существует
в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газооб-
разном. Такое представление относится к так называемым
простым веществам, состоящим из атомов или молекул,
форма которых близка к сферической. Эти молекулы
взаимодействуют друг с другом посредством сил притяже-
ния и отталкивания, линия действия которых проходит
через центры масс частиц (центральные силы).
Термин «жидкие кристаллы» характеризует новое
агрегатное состояние вещества, образованное из органи-
ческих несферических молекул удлиненной (палочкооб-
разной) или уплощенной (дискообразной) формы. В этом
случае молекулы взаимодействуют с помощью нецентраль-
ных сил, так что молекула испытывает действие не только
силы, приложенной к ее центру масс, но и пары сил,
стремящейся вызвать поворот молекулы (рис. 12.1).
Силы и моменты пар сил, действующие на две моле-
кулы, взаимное положение центров масс которых опреде-
ляется радиусом-вектором гх/, удовлетворяют соотношению
Mt/ + М/7 + rt/ X Ft/ = 0.
Соотношение имеет простой смысл: сумма моментов
сил, приложенных к двум взаимодействующим молекулам,
равна нулю. Это означает, что внутренние силы и соответ-
ствующие моменты пар сил не могут поворачивать систему
двух молекул, рассматриваемых как единое целое, что не
исключает, однако, возможности поворотов отдельных
молекул.
Как и обычная жидкость, жидкокристаллическая фаза
обладает свойством текучести, и в то же время, подобно
твердым кристаллам, имеет анизотропию оптических,
электрических, магнитных, вязких и других свойств.
452
Рис. 12.1
Таким образом, жидкие кристаллы обладают уникальным
сочетанием свойств жидкостей и твердых тел.
В настоящее время установлено, что жидкокристал-
лическую фазу имеют несколько тысяч соединений. Жидко-
кристаллическое состояние является термодинамически
устойчивым и реализуется, как правило, в довольно
узком температурном интервале (порядка десятка граду-
сов) между твердым и жидким состоянием. Промежуточ-
ное положение жидкокристаллической фазы между твер-
дой и жидкой фазами породило еще одно название —
мезофаза, или мезоморфное состояние (от греч. mesos —
промежуточный).
Анизотропия жидких кристаллов обусловлена нали-
чием ориентационного порядка в расположении направ-
лений осей длинных палочкообразных молекул или норма-
лей к плоскостям дискообразных молекул.
Рассматриваемая ориентационная упорядоченность
простирается на макроскопические расстояния, значитель-
но превышающие молекулярные размеры, и называется
дальним ориентационным порядком. В свою очередь жид-
костные свойства мезоморфных фаз обязаны хаотическому
расположению центров масс молекул либо наличию час-
тичного упорядочения в положениях этих центров.
Направление преимущественной ориентации длинных
осей стержнеобразных молекул или нормалей к плоскостям
дискообразных молекул принято описывать с помощью
единичного вектора п, называемого директором. Чаще
всего вещество в жидкокристаллической фазе представ-
ляет собой «поликристаллический» агрегат, образованный
большим числом каплевидных жидких кристалликов, в
каждом из которых директор имеет свое направление.
453
В силу этого жидкий кристалл выглядит как мутная
жидкость: свет рассеивается беспорядочным образом
на границах между упомянутыми капельками. С помощью
магнитного или электрического поля, а также воздейст-
вием стенок сосуда можно достичь одинаковой ориента-
ции директора во всех капельках (доменах), и тогда
получается почти прозрачный однодоменный образец.
Хотя жидкие кристаллы открыты более сотни лет назад,
лишь в последние десятилетия физики, химики, инженеры,
медики и биологи занялись интенсивными исследования-
ми свойств жидких кристаллов. Активизация интереса
к жидким кристаллам вызвана многими причинами. Одна
из них связана с потребностями дисплейной технологии.
Уже в настоящее время широко используются жидко-
кристаллические табло и циферблаты, плоские телевизион-
ные экраны (электронные часы, микрокалькуляторы,
портативные электронные словари-переводчики и «кар-
манные» телевизоры). Преимущества упомянутых устрой-
ств отображения информации состоят в малой потребляе-
мой мощности и миниатюрных размерах.
Жидкокристаллическое состояние присуще многим
биологическим системам, включая человека, и это являет-
ся еще одной важной причиной повышенного внимания
к жидким кристаллам.
Перечисление уже реализованных и других возмож-
ных применений жидких кристаллов может быть про-
должено.
12.1. Типы жидких кристаллов
Термотропные и лиотропные жидкие кристаллы. По
характеру фазовых превращений, приводящих к образо-
ванию мезоморфных фаз, жидкие кристаллы подразде-
ляются на два вида.
Жидкие кристаллы (ЖК), имеющие мезоморфную фа-
зу в определеном интервале температур и давлений, на-
зываются термотропными. Рассматриваемый термин обра-
зован в результате объединения двух греческих слов:
therme — тепло и trope — превращение.
Термотропные ЖК получаются в результате плавле-
ния твердого кристалла, и поэтому определяющим пара-
метром здесь служит температура. К термотропным ЖК
относятся чистые соединения и однородные смеси орга-
нических молекул.
Мезоморфное состояние возникает также при раство-
454
рении так называемых амфифильных молекул в воде,
спиртах и других растворителях. Амфифильные молеку-
лы представляют собой сочетание двух фрагментов:
углеводородной цепочки, растворимой в жирах, и поляр-
ной головки, растворимой в воде. Рассматриваемая жидко-
кристаллическая фаза существует в определенных об-
ластях температур и концентраций растворенного вещест-
ва. Жидкие кристаллы этого типа называются лиотроп-
ными (от греч. 1уо — растворяю). Определяющей физи-
ческой переменной для лиотропных ЖК служит концент-
рация растворенного вещества. Характерным примером
является простое мыло, например Н-октаноат калия, моле-
кулы которого имеют углеводородную часть СНз(СН2)?
и полярную головку СО2—К+.
По структурным особенностям жидкие кристаллы под-
разделяются на три класса: нематические, холестериче-
ские и смектические.
В последние годы исследуются свойства жидких кри-
сталлов, образованных дископодобными молекулами. Та-
кие жидкокристаллические среды, открытые в 1977 г.
индийским ученым Чандрасекаром, называются диско-
тиками.
Нематики. Наиболее простым классом ЖК являются
нематические жидкие кристаллы (нематики). Рассмотрим
однодоменный нематический образец. Центры масс обра-
зующих его молекул распределены по объему образца
хаотически, как в обычной жидкости. Длинные же оси
молекул, или перпендикуляры к плоскостям дискообраз-
ных молекул, в среднем параллельны некоторому на-
правлению преимущественной ориентации, характеризуе-
мому директором п. Другими словами, имеет место
дальний ориентационный порядок. Среда становится оп-
тически одноосной, способной к двойному лучепрелом-
лению (см. § 8.5).
Для характеристики дальнего порядка в ориентации
осей молекул используется параметр порядка s, введен-
ный В. Н. Цветковым:
s = < 3 cos2© — 1 > /2.
Здесь 0 — угол между длинной осью молекулы (или нор-
малью к плоскости молекулы дискообразной формы) и
директором п (рис. 12.2), а угловые скобки означают
усреднение по распределению ориентаций оси молекулы
в пространстве.
455
В идеально упорядоченном состоянии, когда оси мо-
лекул строго параллельны друг другу, параметр порядка
s = 1, в жидкой (изотропной) фазе s = 0, а в нематической
фазе s =/= 0, причем при температуре фазового перехода
от нематической фазы к изотропно-жидкой происходит
скачкообразное падение параметра порядка до нуля.
Направление директора определяется ориентирующим
действием внешних полей, в качестве которых исполь-
зуются электрические и магнитные поля или поле внеш-
них сил, порождаемых стенками сосуда, в котором нахо-
дится нематический слой.
С помощью ориентирующего действия опорных по-
верхностей (подложек), между которыми находится нема-
тический слой, создается во всем объеме слоя одно-
родная в среднем ориентация молекул. Опорные поверх-
ности изготавливаются из стекла, полимеров и твердых
монокристаллов. Эти поверхности подвергаются специаль-
ной обработке, усиливающей их ориентирующее действие.
Обработка состоит в натирании поверхностей полировоч-
ными пастами, содержащими мелкий абразивный поро-
шок, или шерстью, бумагой, кожей. Существуют способы
обработки подложек путем нанесения на поверхность
тонких слоев металлов или особых химических соедине-
ний (ориентантов).
Распространены два характерных случая однородной
456
ориентации: директор параллелен плоскости стенки —
планарная текстура (рис. 12.3, а) и директор перпенди-
кулярен к поверхности подложки — гомеотропная тексту-
ра (рис. 12.3,6). С помощью ориентирующего действия
подложек удается получить нематический слой с одно-
родной ориентацией директора толщиной 5—200 мкм.
Если же упомянутые специальные меры, вызывающие
ориентирующее действие подложек, не предприняты, то
возникает неоднородное распределение директора, и нема-
тический слой становится поликристаллическим, состоя-
щим из отдельных областей (доменов) с одинаковой
ориентацией директора. Границы этих областей с резким
изменением направления директора и, следовательно,
резким изменением оптических свойств в поляризацион-
ном микроскопе видны в виде нитей (от греч. пета —
нить, отсюда и название рассматриваемого класса жидких
кристаллов — нематики).
В качестве примеров нематических жидких кристаллов
рассмотрим два наиболее известных соединения: 4,4'-диме-
токсиазоксибензол (п-азоксианизол), сокращенно назы-
ваемый ПАА и N—п-метоксибензилиден-п-бутиланилин
(МББА). Химические формулы этих веществ имеют
соответственно вид:
Удлиненная форма молекул обусловлена наличием
двух бензольных колец, соединенных мостиками: —N =
= N— и — CH = N —. Обе молекулы имеют метокси-
I
О
группу (СНзО —), кроме того, МББА обладает концевой
бутильной группой С4Н9 —•
При атмосферном давлении нематик ПАА существует
в интервале температур 118 и 135,5 °C, а нематический
жидкий кристалл МББА — в комнатном интервале тем-
ператур 22 и 47 °C.
Температуры 118 °C для ПАА и 22 °C для МББА яв-
ляются температурами плавления, при которых немати-
ческие фазы возникают из кристаллической фазы, а соот-
457
ЗдО J90 ЧОО 410^ 420 К 440
Рис. 12.4
ветствующие им температуры 135,5 и 47 °C представляют
собой температуры фазовых переходов в изотропно-
жидкое состояние.
Жидкокристаллическое состояние существует и при
повышенных давлениях. Об этом свидетельствует фазо-
вая диаграмма для ПАА (рис. 12.4).
Смектики. Вторым и наиболее распространенным
классом жидких кристаллов являются смектические жид-
кие кристаллы (от греч. smegma — мыло; впервые смек-
тический тип жидких кристаллов обнаружен при иссле-
довании мыл).
Смектические жидкие кристаллы (смектики) обладают
слоистой структурой. Существуют несколько типов смек-
тиков. В простейшем типе (смектики А) длинные оси
молекул в среднем перпендикулярны к плоскостям слоев,
в пределах же слоев центры масс молекул распределены
хаотически, как в жидком состоянии (рис. 12.5,а). Тол-
щина слоя близка к длине молекулы. Можно сказать, что
смектики А представляют собой двумерные жидкости
(в плоскостях слоев) и одномерные твердые кристаллы
(в поперечном к слоям направлении).
Существуют смектические жидкие кристаллы (смек-
тики С), у которых длинные оси молекул наклонены к
плоскостям слоев (рис. 12.5,6). Распространены и другие
виды смектических жидких кристаллов. Среди них отме-
тим еще смектик В, у которого средние положения центров
масс молекул в пределах каждого слоя образует гекса-
гональную плотную упаковку.
Характерной особенностью смектических жидких
кристаллов является слабость сил взаимодействия между
слоями по сравнению с силами взаимодействия внутри
458
Рис. 12.5
слоев, и поэтому смектические слои могут проскальзы-
вать друг относительно друга, как слои обычных жид-
костей.
Типичным представителем смектиков А является эти-
ловый эфир азоксибензойной кислоты (ЭАБ), химическая
формула которого имеет вид
С2Н5О2С-
N = N-
I
О
-СО2С2Н5.
Смектическая фаза рассматриваемого соединения су-
ществует при атмосферном давлении в интервале темпе-
ратур 114—120 °C, причем 114 °C являются температурой
плавления твердого кристалла, а 120 °C представляют
собой температуру фазового перехода смектика А в изо-
тропную фазу.
Холестерики. Рассмотрим третий класс жидких крис-
таллов — холестерические жидкие кристаллы (холесте-
рики). Термин холестерик обязан своим появлением тому,
что в большинстве случаев рассматриваемую мезофазу
образуют сложные эфиры холестерина. Как и в немати-
ческих жидких кристаллах, в холестериках отсутствует
упорядоченное расположение центров масс молекул, но
существует дальний ориентационный порядок, описывае-
мый с помощью директора п, однако директор не имеет
постоянного направления в пространстве. Вектор п испы-
тывает периодическое изменение в пространстве, повора-
чиваясь по мере продвижения вдоль некоторой оси.
В итоге образуется спиральная структура (рис. 12.6).
Ось, вокруг которой происходит разворот директора, на-
зывается осью спирали (на рис. 12.6 ось z). Периодич-
ность структуры вдоль оси z определяется половиной шага
спирали (следует учитывать, что состояние среды, харак-
теризуемое векторами п и — п, эквивалентно).
459
Характерное значение шага спирали составляет около
600 нм, что значительно больше размеров молекулы.
Шаг спирали существенно изменяется с изменением тем-
пературы и концентрации примесей.
Молекулы холестерических жидких кристаллов зер-
кально несимметричны, т. е. они не имеют центра сим-
метрии и плоскостей симметрии, представляя собой опти-
чески активные частицы. Их называют также хиральными
молекулами (от. греч. heir — рука), так как они отличают-
ся от своего зеркального отражения, как правая и левая
руки человека.
Холестерические жидкие кристаллы обнаруживают ги-
гантскую оптическую активность (поворот плоскости поля-
ризации на единицу толщины пленки’ ~106 град/м).
Холестерическая мезофаза обладает множеством удиви-
тельных оптических и других физических свойств, иссле-
дованию которых посвящено много работ.
Интересно отметить, что спиральная структура, по-
добная холестерической, может быть искусственно создана
в нематическом слое, заключенном между опорными по-
верхностями (подложками). Пусть вначале в этом слое су-
ществует планарная текстура (см. рис. 12.3, а), созданная
специальной обработкой опорных поверхностей. Тогда,
поворачивая верхнюю подложку относительно нижней на
90°, получим в нематическом слое закрученную, так на-
зываемую твист-текстуру, которая подобна холестериче-
ской структуре. Ячейки с твист-текстурой широко исполь-
зуются в устройствах для отображения цифровой или
буквенной информации (например, циферблат электрон-
460
ных часов). В дальнейшем будет дано более подробное
описание этих устройств.
12.2. Упругие свойства нематиков
Деформация всестороннего сжатия и сдвиговая вяз-
кость. Нематические жидкие кристаллы, обладая жидкост-
ными свойствами, проявляют традиционную упругость
при малых изменениях их объема. Эта упругость харак-
теризуется объемным модулем упругости К*, т. е. моду-
лем всестороннего сжатия, или обратной ему величиной —
коэффициентом сжимаемости К. Например, адиабатиче-
ская сжимаемость Ка для параазоксианизола при темпе-
ратуре 130 °C равна 54- 10-и м2/Н.
При сдвиговых же воздействиях, как и обычные жид-
кости, нематики не проявляют упругих свойств. Будучи
текучими средами, они реагируют на сдвиговое возмуще-
ние в виде сил внутреннего трения, т. е. обнаруживают
обычные вязкие свойства жидкостей, но вязкость их
анизотропна.
Ориентационная деформация нематиков. Нематиче-
ские жидкие кристаллы обладают уникальными упругими
свойствами, отсутствующими в обычных жидкостях. Для
того чтобы представить природу упругости нематиков,
вспомним, как возникает упругость твердых кристаллов.
При действии сил на твердый кристалл центры масс его
атомов или молекул смещаются из положений равновесия,
образующих регулярную пространственную решетку.
При этом за счет взаимодействия атомов (молекул)
возникают силы, стремящиеся возвратить их в положение
равновесия. При малых внешних воздействиях смеще-
ния частиц малы, а возвращающие силы пропорцио-
нальны смещениям.
Средние значения возвращающих сил, отнесенные к
единице площади, представляют собой механические на-
пряжения. Средние же значения упомянутых смещений
образуют пространственно неоднородное распределение
смещений (поле смещений). Градиенты этого поля харак-
теризуют деформацию кристалла. Напряжения в области
упругости пропорциональны деформациям. Коэффициенты
пропорциональности образуют тензор модулей упругости,
который устанавливает связь между напряжениями и де-
формациями анизотропной среды (обобщенный закон Гука
см. в § 16.3 первой части пособия).
461
В жидкостях и нематических жидких кристаллах от-
сутствует регулярная пространственная решетка средних
положений центров масс молекул и при внешних воздейст-
виях происходят необратимые смещения этих центров,
обеспечивающие течение среды.
Но, как мы уже знаем, нематики характеризуются
преимущественной ориентацией осей молекул, определяе-
мой директором. Предположим, что в начальном состоя-
нии в объеме нематика существует однородное пространст-
венное распределение директора. Моменты пар сил, дейст-
вующие на молекулу со стороны соседних молекул, в
среднем равны нулю, так как исходное состояние немати-
ка является состоянием равновесия.
Благодаря внешним воздействиям возникнет неодно-
родное распределение директора. Это означает, что в
среднем молекулы развернулись друг относительно друга.
В результате появятся результирующие моменты пар сил,
описывающие взаимодействие повернутых молекул.
Среднее значение моментов пар сил, отнесенное к
единице площади (как и при определении давления и
обычных напряжений), представляет собой моментное
напряжение. В то время как обычное напряжение (ка-
сательное или нормальное) определяет среднюю интен-
сивность силового взаимодействия молекул, моментное
напряжение характеризует среднюю интенсивность взаи-
модействия молекул посредством пар сил. Моментное
напряжение измеряется в Н-м/м2=Н/м.
Неоднородность распределения директора в объеме,
занимаемом нематиком, приводит к возникновению гра-
диентов директора, аналогично тому как неоднородность
поля смещений определяет деформацию кристалла. Гра-
диенты директора характеризуют новый вид деформа-
ции — ориентационную деформацию.
Пусть в исходном недеформированном состоянии ори-
ентация директора по совпала с осью z. Тогда набор
градиентов директора п выражается производными от его
проекций пх и пу, так как dnz<^dnx и dny (рис. 12.7):
дпх дпу дпу дпх дпх дпу
дх ’ ду ’ дх ’ ду ’ dz ’ dz '
Эти производные описывают ориентационную деформа-
цию и измеряются в м-1, так как проекции директора пх,
пу, п2 являются безразмерными величинами.
При малых деформациях моментные напряжения про-
462
Рис. 12.7
порциональны ориентационной деформации. Коэффициен-
ты пропорциональности в этом специфическом для жидких
кристаллов законе Гука описывают упругость нематиков
и называются константами Франка.
Учитывая, что моментное напряжение измеряется в
ньютонах на метр, установим, что константы Франка,
являющиеся коэффициентами пропорциональности между
моментными напряжениями и ориентационной деформа-
цией, будут измеряться в ньютонах.
Для нематических жидких кристаллов существуют
три константы Франка, соответствующие трем видам
ориентационной деформации. Рассмотрим эти дефор-
мации.
Виды ориентационной деформации. Первый вид ориен-
тационной деформации нематиков по аналогии с изгибом
балки называется поперечным изгибом. На рисунке изо-
бражены развороты директора вокруг осей х (рис. 12.8, а)
и у (рис. 12.8, б). Видно, что при поперечном изгибе ориен-
тационная деформация характеризуется величинами
дпх1дх и дпУ1ду, а упругость нематика описывается мо-
дулем Франка Ki, называемым модулем изгиба.
Второй вид деформации называется кручением
(рис. 12.9,а). На рис. 12.9,6 изображена ситуация, когда
поворот директора произошел относительно оси у. Ориен-
тационная деформация в этом случае равна dnxldy. Если
же поворот осуществлен относительно оси х (рис. 12.9, в),
то мерой деформации служит производная дпу/дх. Упру-
463
Рис. 12.8
Рис. 12.10
гие свойства определяются модулем Франка К2, называе-
мым модулем кручения.
Третий вид ориентационной деформации носит назва-
ние продольного изгиба, который описывается производ-
ными dnxldz (рис. 12.10, а) и дпу/дг (рис. 12.10, б), а упру-
гие свойства характеризуются модулем упругости Кз- Мо-
дули упругости К\у К2, Кз определяются эксперименталь-
но с помощью различных методов или рассчитываются
на основании молекулярно-статистической теории. По по-
рядку величины модули Франка К\, К2, Кз примерно рав-
ны IO’11 Н.
464
Свободная энергия деформированного нематика. Если
деформирование нематика происходит при неизменной
температуре, то этот процесс удобно описывать с помощью
свободной эгнергии. Свободная энергия деформирован-
ного состояния единицы объема нематика записывается
в виде суммы трех слагаемых, характеризующих соответ-
ственно энергию поперечного изгиба, кручения и продоль-
ного изгиба:
F=+»’+4%- ~ М+
л Q
+ Ч0г) + Hr) ]( (12 |>
Если воспользоваться дифференциальными операто-
рами div и rot, применявшимися при записи уравнений
Максвелла, то свободную энергию деформированного не-
матика можно записать в инвариантной форме:
F = y{Ki(divn)2 + К2(п • rot n)2 + K3(n X rot n)2}. (12.2)
С помощью соотношения для свободной энергии можно
рассчитать упомянутые ранее моментные напряжения и
установить закон Гука, согласно которому моментные на-
пряжения пропорциональны компонентам ориентационной
деформации. Выражение для свободной энергии исполь-
зуется для решения многочисленных задач равновесия
нематических жидких кристаллов.
12.3. Поведение жидких кристаллов в электрическом
и магнитном полях
Анизотропия магнитных и электрических свойств. По-
ведение жидких кристаллов при действии на них электри-
ческого и магнитного полей характеризуется рядом не-
обычных эффектов, которые находят широкое применение
в дисплейной технологии. Под влиянием поля происходит
изменение направления директора (оптической оси жид-
кого кристалла), что приводит к изменению оптических
свойств жидких кристаллов. Эффекты, порождаемые дей-
ствием электрического поля, называются электрооптиче-
скими эффектами, а эффекты, определяемые действием
магнитного поля,— магнитооптическими.
В данном случае имеются ввиду оптические явления,
465
связанные с прохождением света через оптически одно-
осную жидкокристаллическую среду (двойное лучепрелом-
ление, интерференция, вращение плоскости поляризации
и другие явления*). Некоторые из этих явлений в ЖК бу-
дут рассмотрены в § 12.4.
Сначала рассмотрим влияние магнитного поля. Учтем,
что большинство органических молекул диамагнитно,
и поэтому жидкие кристаллы, состоящие из таких молекул,
являются диамагнетиками. Их диамагнитная восприим-
чивость х отрицательна.
Благодаря анизотропии жидких кристаллов диамаг-
нитная восприимчивость Хн вдоль директора отличается от
диамагнитной восприимчивости х± поперек директора.
Это означает, что восприимчивость одноосного ЖК яв-
ляется тензором (см. гл. 4):
(Хн ® 0 \
о х± о ) (12-3)
О О XV
Нематик, помещенный в магнитное поле с магнитной
индукцией В, приобретает намагниченность J, характери-
зуемую магнитным моментом единицы объема. Для ин-
дукции В, параллельной или перпендикулярной к дирек-
тору п, намагниченность J выражается в соответствии с
формулой (4.73):
J = Ho-1Xi|B, если В || п;
j = p/5-1X±B, если В±п.
При произвольной ориентации В относительно дирек-
тора п намагниченность определяется соотношением (см.
аналогичное тензорное соотношение (4.13) для поляризо-
ванности р анизотропного диэлектрика)
J = Цо-‘хВ = |V'x±B + Но-1(Хц — Х±)(п • В)п. (12.4)
Разность восприимчивостей Ха = Хц~Х± называется
анизотропией диамагнитной восприимчивости. Для не-
матиков и смектиков ха положительна. Например, в слу-
чае нематиков Ха = 4л • 1,21 • 10-7 для нематика ПАА
при 122 °C и ха = 4л • 1,23 • 10-7 для нематика МББА
при 19 °C.
* Упомянутые здесь оптические явления рассматривались подробно
в разделе «Оптика» вне связи с жидкими кристаллами.
466
Зная намагниченность J, можно найти работу намаг-
ничивания жидких кристаллов, которая определяет сво-
бодную энергию единицы объема, обусловленную взаимо-
действием молекул ЖК с магнитным полем:
bFm=di = - ±И0-‘Х±В2 - 4 Но" 'Хз(п • В)2. (12.5)
Первое слагаемое в выражении (12.5) не зависит от
ориентации молекул, и в тех задачах, где важны ориен-
тационные эффекты, оно может быть отброшено. Второе
слагаемое, содержащее скалярное произведение п • В =
= пВ cos 0, зависит от ориентации молекул относительно
магнитного поля В. При Ха>0 свободная энергия ми-
нимальна, если п || В, т. е. в среднем молекулы стремятся
ориентироваться своими длинными осями вдоль В. Если же
Ха <С 0, то минимум AFm достигается при п ± В, когда
п-В = 0. В этом случае длинные оси молекул стремятся
выстроиться поперек индукции В магнитного поля. Ре-
зультат действия однородного магнитного поля на маг-
нитную среду можно учесть с помощью не только свобод-
ной энергии, но и момента пары сил (вращающего момен-
та), величина которого, отнесенная к единице объема
среды, определяется векторным произведением J и В:
М = J X В = цб"1 Ха(п • B)n X В. (12.6)
Действие электрического поля на непроводящий жид-
кий кристалл описывается аналогичным образом. Связь
между поляризованностью р и электрическим полем Е при
произвольной взаимной ориентации п и Е определяется
тензорным соотношением (4.13). Для одноосной анизо-
тропной среды запишем:
р = еохЕ = eox_i_ Е + ео(хц — х±)(п • Е)п,
где Иц, х±—диэлектрические восприимчивости жидкого
кристалла вдоль и поперек директора.
При анализе влияния электрического поля на ЖК
предпочитают вместо поляризованности р использовать
вектор электрической индукции D и анизотропную ди-
электрическую проницаемость. Известно, что D = еоЕ + р.
Поскольку относительная диэлектрическая проницаемость
467
е связана с восприимчивостью х (ей = 1 +хц, = 1 +
+ Х±),
D = еое±Е + е0(ец — е±)(п • Е)п. (12.7)
Вклад электрического поля в свободную энергию (на
единицу объема) выражается через работу поляризации
диэлектрика (см. соотношение (4.39) для плотности энер-
гии электрического поля):
\Fe= -$D-dE= - 4-eoe±E2-4-eoea(n- Е)2, (12.8)
о z Z
где еа = ец — — анизотропия диэлектрической прони-
цаемости, которая для разных ЖК может быть положи-
тельной или отрицательной. Так же как и в магнитном
поле, молекулы ЖК здесь при еа >> 0 стремятся ориенти-
роваться в среднем по электрическому полю Е, а при
еа < О — перпендикулярно к полю.
Нематик в магнитном поле. Рассмотрим подробнее
ориентирующее действие магнитного поля на молекулы
нематика, заключенного между двумя твердыми плоскими
стенками, расстояние между которыми обозначим через d.
Пусть между стенками и примыкающими к ним молеку-
лами имеет место сильное взаимодействие, создающее во
всем объеме нематика однородную ориентацию, при кото-
рой директор параллелен стенкам и направлен вдоль оси х
(планарная текстура). На рис. 12.11 отмечено направле-
ние только тех молекул, которые непосредственно примы-
кают к стенкам выделенного объема. Направим однород-
ное магнитное поле по оси у и для определенности огра-
ничимся случаем, когда анизотропия Ха>0-
Конкурируя с ориентирующим действием стенок, маг-
нитное поле стремится повернуть молекулы и ориентиро-
468
вать их длинные оси вдоль вектора В. Оказывается, что
при определенном значения В молекула нематика в поло-
жении с координатами х, уу z поворачивается на неко-
торый угол ф. Если не рассматривать краевые эффекты,
то угол ф зависит только от координаты z (рис. 12.12).
Момент пары сил М [см. формулу (12.6)], вызванный
действием магнитного поля, направлен вдоль оси z и вы-
ражается формулой
М = Мг = Ио фСОБф — PoXa^sin фСОБф.
(12.9)
В формуле (12.9) совершен переход к напряженности
Н магнитного поля с помощью соотношения В = р0(Н + J),
в котором в силу малости отброшен член с намагничен-
ностью J, так как намагниченность J = h6"1x±H +
+ Ц(Г'Ха(п • Н)п, а х± и Ха ~ Ю-6, что значительно меньше
единицы.
В свою очередь с помощью выражения для свободной
энергии единицы объема деформированного нематика
[см. формулу (12.2)] установим, что деформационный
вклад
(1210)
При выводе формулы (12.10) на основании (12.2) учте-
но, что пх и пу зависят только от z, а nz = 0. Поэтому
□ • drix I дпу д nZ (\
div п = = 0.
дх 1 ду 1 dz
Кроме того, приняты во внимание явные выражения для
проекций ротора п на оси координат:
(rot П)х = - cos <р £(пу = sin ф);
(rot n)F = = -sin?-J (пх = со5ф);
(rotn)z=>-^ = 0.
В связи с этим скалярное произведение п • rot n = dy/dz,
а векторное произведение n X rot п = 0.
Производная dyfdz описывает ориентационную дефор-
мацию среды. Она определяется средним относительным
разворотом двух молекул, находящихся на расстоянии
469
dz друг от друга. Величина Kzdq/dz представляет собой
момент пары упругих сил, отнесенный к единице площади,
т. е. моментное напряжение (см. § 12.2).
Рассмотрим равновесие элемента объема dV де-
формированного нематика в виде прямоугольного па-
раллелепипеда (рис. 12.13). На верхней грани элемента
объема действует пара сил с моментом M2(z-\-dz) =
= d^z +dz) dxdy, а на нижней — пара сил Л4г(з) =
= —Кч d^ dxdy. Кроме того, к элементу объема среды
приложена пара сил Л4? = Mzdxdydz, обусловленная маг-
нитным полем. Величина dq(z dz)/dz представляет со-
бой производную от <р, вычисленную в точке с координатой
z-\-dz. Ее можно разложить в ряд Тейлора:
+ dz) d<p(z) , J2<p(z) A , /19 1 n
dz dz dz2 1 '
Запишем условия равновесия элемента объема нема-
тика в виде равенства нулю суммы моментов сил относи-
тельно оси z\
[^2 d<p(z + dz) _ dy(z) j __ 0
Учитывая соотношение (12.11) для производной
dq(z + dz)/dz, после сокращений получим
Kt + мг = 0.
470
Наконец, принимая во внимание формулу (12.9) для
момента М2, приходим к дифференциальному уравнению,
описывающему равновесие жидкокристаллической среды:
^2“^" + М-оХа//2 Sin ф cos ф = 0. (12.12)
К этому уравнению нужно, как обычно, добавить гранич-
ные, условия, т. е. условия для угла поворота молекул
на верхней и нижней стенках. Предполагаемое сильное
сцепление молекул ЖК со стенками означает, что при
z = ±d/2 угол ф = 0.
Тривиальное (очевидное) решение уравнения (12.12)
имеет вид ф = 0 во всем объеме нематика. Оно описы-
вает планарную текстуру ЖК. Это решение характеризует
устойчивое равновесие нематика, которое существует,
однако, не при любых значениях напряженности Н маг-
нитного поля. Если напряженность магнитного поля ока-
зывается равной некоторому критическому значению
Якр, то наряду с тривиальным решением ф = 0 появляется
другое решение, для которого ф = ф(г), т. е. направление
директора п изменяется по толщине слоя. В результате
возникает закрученная деформированная структура нема-
тика.
При Н>НК? устойчивой является новая закрученная
форма равновесия среды, а исходная планарная форма
равновесия нематика становится неустойчивой. Переход
под влиянием магнитного поля Н от одного устойчивого
равновесного ориентационного состояния жидкого кри-
сталла к другому равновесному деформированному его
состоянию называется переходом Фредерикса (В. К. Фре-
дерикс (1855—1943) —советский ученый, открывший в
1930 г. рассматриваемый эффект).
Для определения критической напряженности поля
Н линеаризуем уравнение равновесия среды, рассматри-
вая малые углы закручивания молекул ЖК. При этом
cos ф 1, sin ф « ф, и уравнение (12.12) приобретает вид
уравнения гармонического осциллятора:
К2-^ + н°Ха//2ф = °=>-^+ fe2<p = °, (12.13)
где k2 = цхаЯ2/К2.
Общее решение уравнения (12.13) состоит из суммы
двух частных решений:
Ф = С\ cos kz + Сг sin kz.
471
^/^//////////////^<^/^^<‘
111II11 h inn it III II' 11 til • и 1111 It tilt til
Illi III 11111111'111 it 111 Hill illiHII ши 11
inmtn rni r in 111 ii ii i' < 1111 <111 и 11111
///////✓/////////^^^
’/Zzzzzzzzzzzzzz/z//Z////////zz/////Z/zZZ////
rzw//z///zzz//^/ww/^Z:7zw//^^/^
тппппггттптппштттптпттптттт
<////////////////////z//////////////z
7///////////////////////////////////
'7////Z////ZZ//////////////////////
'Н/Ш///////////,////////////////,
11'411111111111111111111111111111111 . ... .
Puc. 12.14
Подстановка граничных условий (ф = 0 при z = ±d/2)
приводит к двум соотношениям, определяющим постоян-
ную интегрирования С2 и критическое значение напря-
женности Якр:
С2 = 0; *4 = T^Wkp= У^ДНоХа)- (12.14)
Постоянная интегрирования С\ в полученном решении
Ф = C\CQskz имеет смысл максимального значения фт
угла поворота директора, достигаемого при z = 0, т. е.
посредине слоя нематика.
Аналогично можно исследовать ориентирующее дей-
ствие сверхкритического магнитного поля (Н>Нкр) при
других исходных ориентациях молекул ЖК и вектора Н.
Во всех случаях происходит заметное изменение ориен-
тации молекул на некотором удалении от границ ячейки,
в приповерхностных же слоях нематика изменения незна-
чительны. Представляющие практический интерес пере-
ходы Фредерикса показаны на рис. 12.14.
На рис. 12.14, а изображен переход от исходной пла-
нарной ориентации (молекулы параллельны стенкам) к
его гомеотропной ориентации, когда они становятся пер-
пендикулярными к стенкам в глубине ячейки. Рис. 12.14,6
отражает обратный переход от исходной гомеотропной
ориентации к планарной в средней части слоя нематика,
такой переход возможен при анизотропии Ха < 0. Наконец,
на рис. 12.14,в представлен переход от исходной закру-
ченной структуры (твист-текстуры) к гомеотропной ори-
ентации молекул. Последний вид перехода широко исполь-
472
зуется в цифровых индикаторах (он получил название
твист-эффекта, см. § 12.4). В перечисленных случаях вы-
ражения для ЯКр аналогичны по своему виду рассмотрен-
ным выше, но содержат уже другие константы Франка
или их линейные комбинации.
Непроводящий нематик в электрическом поле. Если
непроводящий слой нематика помещен в однородное элект-
рическое поле Е, то ориентационные деформации дирек-
тора подобны тем, которые описаны выше. Соответствую-
щие формулы для критического поля £кр получаются из
формул для случая магнитного поля заменой Ц(Г’ха на
Е0Еа и приобретают вид
£кР=ул/^7(ё^Д (12.15)
где К обозначает соответствующие константы Фран-
ка или их комбинации, определяемые исходной ориента-
цией директора и поля.
Критическое напряжение между обкладками (стенка-
ми) определяется соотношением
Uкр — Екр(1 — Л у К/(Со^а)
и не зависит от толщины d слоя нематика. При типичных
значениях К ~ 10"11 Ниеа~3 критическое напряжение
UKp~2 В. Небольшие значения управляющих напряже-
ний переходов Фредерикса, потребляемых мощностей и
размеров оптических ячеек на ЖК предопределяют перс-
пективность их использования в микроэлектронике.
Теория переходов Фредерикса служит основой для
экспериментального определения констант Франка по из-
меренным значениям критических напряженностей Нкр и
£кр и анизотропии магнитной и диэлектрической прони-
цаемостей (ха, ха или Еа). Как уже отмечалось, изменение
ориентации директора нематика означает изменение его
оптических свойств и возникновение интересных оптиче-
ских явлений. Некоторые из них будут рассмотрены в сле-
дующем параграфе при описании устройства цифрового
индикатора.
Проводящий нематик в электрическом поле. Не менее
интересные явления возникают в проводящих жидких
кристаллах. Хотя жидкие кристаллы являются диэлектри-
ками, но за счет примесей или ионизации молекул жид-
ких кристаллов в них появляются ионы и возникает элект-
473
ропроводность, носящая ионный характер. Проводимость
жидких кристаллов, как и другие их свойства, анизо-
тропна. Проводимость вдоль директора у,, отличается
от проводимости поперек директора у±. Чаще всего
Yn>Y±-
Представим себе слой нематика с отрицательной ани-
зотропией диэлектрической проницаемости еа, заключен-
ный между плоскими прозрачными пластинами. На поверх-
ности пластин, обращенных к нематической жидкокристал-
лической среде, нанесен прозрачный электропроводящий
слой диоксида олова или окиси индия, образующий
электроды. В итоге нематик оказывается между прозрач-
ными пластинами конденсатора.
Пусть до включения поля молекулы в среднем парал-
лельны стенкам электродов (планарная текстура). При
включении электрического поля возникает движение
ионов, относительно легкое вдоль директора и затруднен-
ное поперек директора (Тц>у±). Движение ионов порож-
дает движение молекул нематика в виде гидродинамиче-
ского течения среды. Гидродинамические потоки среды
ориентируют директор (длинные оси молекул). Как мы
уже знаем, ориентирующее действие оказывает и электри-
ческое поле. Между этими двумя ориентирующими фак-
торами возникает конкуренция. Вспомним, что конкурен-
ция между полем и упругостью нематика породила пере-
ход Фредерикса. Оказывается, что и в данном случае при
достижении электрическим полем некоторой критической
величины однородная ориентация директора перестает
быть устойчивой. Наступает явление электродинамиче-
ской неустойчивости, в результате которой в нематиче-
ском слое возникает конвективное (вихревое) движение
среды. Вихри образуют упорядоченную и устойчивую
систему цилиндрических валов, оси которых параллельны
электродам. Если на эту систему цилиндров направить
свет, поляризованный параллельно директору, то он будет
взаимодействовать с ними, как с цилиндрическими лин-
зами. В итоге в поляризационном микроскопе можно
наблюдать систему параллельных светлых и темных по-
лос, называемых доменами Капустина — Вильямса (в
честь советского и американского ученых А. П. Капустина
и Р. Вильямса, открывших и изучивших рассматривае-
мый оптический эффект*). Схема эксперимента по наблю-
* Первое наблюдение этого эффекта принадлежит, однако,
В. Н. Цветкову.
474
прозрачное токопроводящее
покрытие
Пучоксбета
Рис. 12.15
дению доменов Капустина — Вильямса представлена на
рис. 12.15.
В тонких жидкокристаллических ячейках пороговое
значение напряжения, при котором возникают домены,
не зависит от толщины ячейки. Величина порога указан-
ной электрогидродинамической неустойчивости зависит
от анизотропии электропроводности уа = Тн— ?±, модуля
упругости нематика, вязкости, диэлектрической анизотро-
пии еа и исходной ориентационной структуры. Типичное
значение указанного напряжения 5—10 В. Доменная
структура существует до напряжений, превышающих по-
роговое значение в 2—2,5 раза.
При дальнейшем росте напряжения система упорядо-
ченных гидродинамических вихрей (а значит, и доменная
структура ЖК) становится неустойчивой. В результате
возникает новое состояние нематического слоя, которое
характеризуется турбулентным гидродинамическим дви-
жением вещества. В этом состоянии показатель прелом-
ления испытывает нерегулярные изменения, при которых
области однородной ориентации директора имеют значе-
ния порядка длины волны света. На границах этих обла-
стей происходит сильное рассеяние света, и ячейка стано-
вится непрозрачной. Рассматриваемое явление получило
название динамического рассеяния света. Это явление
также находит применение в дисплейной технологии.
12.4. Некоторые практические
применения жидких кристаллов
Как уже отмечалось, жидкие кристаллы успешно при-
меняются в устройствах отображения информации. Для
их работы необходимы индивидуальные источники питания
475
3
Рис. 12.16
небольшой мощности (порядка микровольт на квадратный
сантиметр оптической ячейки).
Примерами упомянутых устройств являются индика-
торы наручных электронных часов, микрокалькуляторов,
карманных электронных словарей-переводчиков, плоские
телевизионные экраны, дисплей ЭВМ. В настоящее время
промышленность освоила выпуск буквенно-цифровых ин-
дикаторов на основе динамического рассеяния света и
твист-эффекта.
Наиболее простое устройство имеет индикатор, постро-
енный на эффекте динамического рассеяния света. Инди-
катор представляет собой плоскую ячейку (рис. 12.16),
образованную двумя стеклянными пластинами (7, 3), раз-
деленными диэлектрическими прокладками. На внутрен-
ние поверхности стеклянных пластин наносятся прозрач-
ные электроды. Электроды на одной из пластин изготав-
ливаются в виде нужных цифр либо в виде сегментов.
Число сегментов равно семи (1-сегментный элемент). Их
всевозможные комбинации, как на индексах конвертов,
позволяют составить любую цифру. При необходимости
воспроизведения букв число сегментов может отличаться
от семи. Электрод 2 пластины / изготавливается сплош-
ным. Он может быть прозрачным, если индикатор рабо-
тает на просвечивание, либо зеркальным в случае работы
на отражение. Поверхности пластин предварительно обра-
батываются так, чтобы после заполнения ячейки жидким
кристаллом его молекулы получили определенную ориен-
тацию, соответствующую заданной исходной текстуре.
Сплошной электрод 2 имеет отдельный электровывод 6,
476
Рис. 12.17
а каждый сегмент 4 снабжен своим индивидуальным
токопроводящим проводником (контакты 5). С их по-
мощью ячейка включается в цепь по специальной команде,
которая формируется миниатюрным генератором, рабо-
тающим по определенной программе.
При подаче электрического напряжения на сегменты
на темном фоне возникают молочно-белые цифры, так как
слой нематика между включенными сегментами и сплош-
ным электродом приходит в состояние турбулентного
движения, рассеивающего свет.
Индикаторы, в которых используется эффект динами-
ческого рассеяния света, применяются в микрокалькуля-
торах БЗ-04. Рабочее напряжение составляет в этом случае
15—30 В.
Применение твист-эффекта позволяет еще более сни-
зить рабочее напряжение между электродами жидкокри-
сталлических ячеек. Рассмотрим устройство индикатора,
в котором используется твист-эффект. Конструкция его в
дополнение к описанной выше содержит два поляриза-
тора (3, 8) и отражающее зеркало 9 (рис. 12.17).
Поляризаторы расположены по обе стороны оптиче-
ской ячейки. Плоскости пропускания поляризаторов 3 и 8
скрещены под углом 90°. Стеклянные пластинки 1 и 2
также имеют скрещенные направления полировки, поэтому
477
Рис. 12.18
слой нематика между этими пластинками приобретает
закрученную структуру (твист-текстура). Плоскость про-
пускания верхнего поляризатора 3 совпадает с направле-
нием директора п2 на верхнем стекле 2, на нижнем стекле /
директор П| параллелен плоскости нижнего поляриза-
тора 8.
Цифровой индикатор на твист-эффекте работает сле-
дующим образом. Пусть электрическая цепь разомкнута,
т. е. на электроды не подается напряжение, а на верхний
поляризатор 3 падает луч естественного света. После
прохождения поляризатора 3 свет становится линейно
поляризованным. Пройдя через прозрачную пластинку 2,
пучок света затем продвигается через нематический слой
ЖК. Так как оптическая ось нематика закручена на 90°,
плоскость поляризации света поворачивается вместе с ней.
При достижении светом пластинки 1 и нижнего поляри-
затора угол поворота плоскости поляризации света стано-
вится равным 90°. Но на такой же угол по отношению к
верхнему поляризатору повернута плоскость нижнего по-
ляризатора. Поэтому свет проходит через нижний поля-
ризатор, и, отразившись от зеркала, пучок света возвра-
щается в глаз наблюдателя. В результате освещенный
участок индикатора имеет светлый фон.
Если электрическая цепь некоторого набора сегментов
замкнута, например сегмента 5 на рис. 12.17, и на электрод
7 и сегмент 5 с помощью контактов 6, 4 подано напряже-
ние, то нематик, находящийся между этими электродами,
переходит в гомеотропное состояние (оси молекул рас-
полагаются в среднем перпендикулярно к пластинкам
индикатора). В этом случае плоскость поляризации пучка
478
света после прохождения нематического слоя не поворачи-
вается. Поэтому свет, встретив нижний поляризатор с
повернутой на 90° плоскостью пропускания, не сможет
пройти сквозь него и добраться до зеркала. В итоге пучок
света не возвращается в глаз наблюдателя, и участок
индикатора с включенными сегментами выглядит темным.
Это означает, что на светлом фоне индикатора появляются
нужные темные цифры. По команде генератора аналогич-
ным образом формируются другие цифры.
При простом увеличении числа элементов, из которых
формируется изображение, получается жидкокристал-
лический экран мозаичной структуры. Но на этом пути
возникают большие технические трудности при создании
системы подводящих электродов, так как число их резко
возрастает. Так, для изображения девятиразрядного
числа требуются 64 токопроводящих электрода, ибо каж-
дая из девяти цифр образуется из семи сегментов, и еще
один общий проводник нужен для сплошного электрода,
так что общее число проводников равно 9 • 7 + 1 = 64.
Для преодоления указанных трудностей был предложен
принцип матричного экрана, у которого система провод-
ников состоит из двух наборов взаимно перпендикулярных
прозрачных токопроводящих полос, нанесенных на внут-
ренние поверхности стекол (рис. 12.18).
Стекла разделены зазором шириной несколько микро-
метров. Зазор фиксируется прокладками и заполняется
жидким кристаллом. С помощью специальной предвари-
тельной обработки стекол создается необходимая началь-
ная ориентационная структура на любом из квадратных
элементов матрицы, образуемых пересечением токопрово-
дящих полос. При подаче соответствующего напряжения
на этот элемент возникает эффект Фредерикса, или ди-
намическое рассеяние, которое и формирует изображе-
ние.
Существенно, что число токопроводящих проводов
равно сумме числа строк и столбцов матричного устрой-
ства, а не их произведению, как в случае мозаичного
экрана.
Одной из важных технических проблем построения
жидкокристаллических дисплеев является проблема со-
здания жидкокристаллических материалов с подходящим
временем включения и выключения используемых электро-
оптических эффектов.
Рассмотрим еще некоторые свойства и применения
холестерических жидких кристаллов. Холестерическая
479
спираль может быть раскручена электрическим или маг-
нитным полем, в результате чего холестерик переходит
в нематик. Этот переход подобен рассмотренному ранее
переходу от твист-структуры к однородной ориентацион-
ной структуре. Эффект раскрутки холестерической спи-
рали, как и твист-эффект, применяются для создания
цифровых индикаторов. При этом время перехода холе-
стерик — нематик в сотни раз меньше, чем при использо-
вании переходов Фредерикса, что обеспечивает необходи-
мое быстродействие и является важным достоинством.
Как уже отмечалось в § 12.1, холестерические жидкие
кристаллы представляют собой периодическую структуру
с периодом d, равным половине шага спирали р (d = р/2).
Поэтому холестерические спирали молекул образуют
естественную дифракционную решетку для волн, длина ко-
торых сравнима с шагом спирали.
Замечательно, что величина шага спирали относится
к диапазону длин волн видимой части спектра, в силу
чего свет может дифрагировать на холестерических жид-
ких кристаллах.
Дифракционное отражение пучка света (рис. 12.19),
падающего на холестерический ЖК, подчиняется закону
Брэгга — Вульфа:
2d sin 0 = mX, (12.16)
где к — длина волны падающего света; 0 — угол между
падающим лучом и плоскостью дифракционной решетки;
т — целое цисло. Подчеркнем, что плоскость решетки
располагается перпендикулярно к оси спирали. Как вид-
но из рис. 12.19, величина 2d sin 0 представляет собой
разность хода между двумя лучами падающего пучка
света, которые отразились от двух ближайших плоскостей
решетки, разделенных расстоянием d. Когда разность
480
хода лучей равна целому числу длины волны X, отражен-
ные лучи усиливают друг друга, так как оказываются в
одинаковой фазе.
Если падающий свет монохроматичен, то его отражен-
ные лучи, согласно формуле Брэгга — Вульфа, распрост-
раняются под строго определенными углами 0. В случае
же падения белого света при фиксированном угле 0 ди-
фракцию испытывает свет определенной длины волны в
согласии с формулой (12.16). Таким образом, холестери-
ческая спираль производит отбор (селекцию) света опре-
деленных длин волн, и поэтому рассматриваемое явление
получило название селективного отражения света.
При освещении холестерического жидкого кристалла
белым светом отраженный свет, длина волны которого
удовлетворяет формуле (12.16), определяет окраску холе-
стерика. Окраска будет изменяться при изменении угла 0,
т. е. угла, под которым рассматривается холестерический
жидкий кристалл, поскольку условие (12.16) будет выпол-
няться для разных длин волн при наблюдении под разными
углами.
Длина волны отраженного луча в соответствии с фор-
мулой Брэгга — Вульфа зависит (при фиксированном 0)
от периода структуры d = p/2, т. е. определяется шагом
спирали. Но шаг спирали изменяется под влиянием темпе-
ратуры, давления, деформации, химических примесей,
и поэтому дифракцию испытывает свет с другими длинами
волн, т. е. изменяется цвет холестерика. Чувствительность
шага спирали к перечисленным внешним воздействиям
служит основой применения холестериков при изготов-
линии индикаторов для их измерения.
В качестве примера рассмотрим одно из эффективных
применений холестериков в медицине. Оно состоит в опре-
делении поля температур на некотором участке поверхно-
сти тела человека. Для этого к данному участку тела при-
кладывается тонкая полимерная пленка, в микрополостях
которой находится холестерик. На внешней стороне пленки
возникает цветовая картина, по которой и определяется
распределение поля температур тела человека, что позво-
ляет, например, обнаруживать очаг воспалительного про-
цесса.
481
Есть многое на свете, друг Горацио,
что и не снилось нашим мудрецам.
В. Шекспир
13. ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ
И РАДИАЦИОННОЙ ФИЗИКИ
Ядерной физикой называется раздел физики, посвя-
щенный изучению строения атомного ядра, процессов
радиоактивного распада и механизма ядерных реакций.
Как самостоятельная область знания ядерная физика воз-
никла еще до установления факта существования атом-
ного ядра, возраст ее можно исчислять с момента (1896)
открытия естественной радиоактивности солей урана
французским физиком А. Беккерелем (1852—1908). В про-
цессе развития ядерной физики из нее выделились отдель-
ные направления, ставшие впоследствии самостоятельны-
ми научными и техническими дисциплинами, такими, как
физика элементарных частиц, ядерная энергетика, радиа-
ционная физика.
Ядерная модель атомов была экспериментально обос-
нована Э. Резерфордом в 1911 г. (см. гл. 10). Например,
ядро атомарного водорода состоит из одной частицы —
протона. Протон (от греч. protos — первый, символ р)
имеет массу тр = 1,673 • 10-1?7 кг и положительный элект-
рический заряд е= 1,602- 10“19 Кл, численно равный за-
ряду электрона. Спин протона $ = Й/2, и как квантовая
частица с полуцелым спином протон является фермионом,
т. е. подчиняется статистике Ферми — Дирака. Магнит-
ный момент протона цр = 2,79 ця (ця— ядерный магнетон:
Ця = еЙ/2тр = 5,05 • 10-27 Дж/Тл). В дальнейшем было
показано, что протоны входят в состав всех атомных ядер.
После открытия в 1932 г. английским физиком Дж. Чед-
виком (1891 —1974) нейтрона стало ясно, что в состав лю-
бого атомного ядра входят также и нейтроны. Нейтрон
(от лат. neuter — ни тот, ни другой, символ п) имеет
массу mn = 1,675 • 10-27 кг, не обладает электрическим
зарядом и так же, как протон, имеет спин s = h/2. Маг-
нитный момент нейтрона = — 1,91 ця. Протоны и нейтро-
ны ( в ядерной физике они называются также одним сло-
вом — нуклоны) связаны в атомном ядре особыми силами,
которые называются ядерными. Ядерные силы характери-
зуются очень большой величиной и малым радиусом дейст-
482
вия (~ 10“15 м), что обусловливает очень большую плот-
ность вещества в ядре — порядка 1017 кг/м3. Поскольку
атомное ядро представляет собой систему сильно взаимо-
действующих микрочастиц (протонов и нейтронов), опи-
сание его свойств в рамках классической физики в прин-
ципе невозможно. Поэтому рассмотрение строения и
свойств ядер основывается на идеях квантовой механики.
13.1. Характеристики ядра и ядерные силы
Основные характеристики атомного ядра. Атомное
ядро обладает электрическим зарядом Ze (е — заряд про-
тона; Z — зарядовое число ядра, равное числу протонов
в ядре и совпадающее с порядковым номером химиче-
ского элемента в периодической системе элементов Мен-
делеева). Массовое число А определяет общее число нук-
лонов в ядре, так что число нейтронов равно А — Z. Масса
тя ядра оказывается несколько меньше суммы масс покоя
нуклонов, образующих ядро:
тя < Zrrip + (А — Z)mn- (13.1)
В настоящее время известны ядра с зарядовым числом
Z от 1 до 107 и массовым числом А от 1 до 262. Атомное
ядро обычно обозначают тем же символом, что и соответ-
ствующий химический элемент, указывая слева от симво-
ла сверху число нуклонов А, а снизу зарядовое число
ядра, например ?зА1, 2§Са, 292U- Ядра с одинаковыми за-
рядовыми числами Z, но разными А, называются изото-
пами. Они имеют разное число нейтронов N = A—Z.
Ядра с одинаковыми массовыми числами А, но разными Z,
называются изобарами. Например, водород (Z = 1) имеет
три изотопа:
1Н — ядро протия (М = 0), или обычного
водорода;
2Н — ядро дейтерия (W= 1 — один нейтрон),
или тяжелого водорода;
3Н — ядро трития (М = 2— два нейтрона),
или сверхтяжелого водорода.
(13.2)
Примером изобар служат ядра бериллия, бора и угле-
рода:
'?Ве, *£В, ‘бС — изобары. (13.3)
483
В настоящее время известно около 1500 ядер, отличаю-
щихся либо зарядовым, либо массовым, либо тем и дру-
гим числами.
Радиус ядра достаточно хорошо описывается эмпири-
ческой зависимостью
/? = /?0Л1/3, /?0 — (1,3 — 1,7) 10“15 м. (13.4)
Из выражений (13.4) следует, что объем ядра пропорцио-
нален числу А нуклонов, содержащихся в нем. Типичное
распределение плотности числа нуклонов внутри ядра
представлено на рис. 13.1, где по оси ординат отложена
плотность числа нуклонов р, а по оси абсцисс — расстоя-
ние г др центра ядра. Из рис. 13.1 видно, что плотность
числа нуклонов во внутренних областях примерно одина-
кова и лишь в приповерхностном слое толщиной Ь ~
~ (1,5 — 2) 10“15 м спадает до нуля (на рисунке не пока-
заны небольшие вариации плотности р, характерные для
каждого ядра).
Энергия связи и масса ядра. Измерение массы ядер с
помощью масс-спектрометров* позволило установить, что
масса атомного ядра не равна сумме масс покоя отдельных
нуклонов, а несколько меньше ее. Это обусловлено тем,
что нуклоны в ядре сильно связаны между собой за счет
ядерных сил, и, чтобы разделить ядро на протоны и ней-
троны, надо затратить определенную энергию, которая
называется энергией связи ядра. Используя формулу
Эйнштейна (Е = тс2), энергию связи ядра можно запи-
сать в виде
Есв = \Zrrip + (Л — Z)mn — тя]с2, (13.5)
где тр, тп, тя — соответственно массы покоя протона,
* Масс-спектрометр — прибор для разделения ионизированных ато-
мов или молекул по их массам. Принцип его работы основан на различном
воздействии электрических и магнитных полей на пучки ионов в вакууме,
имеющие различные удельные заряды q/m.
484
нейтрона и ядра атома. Поскольку экспериментально
обычно определяются не массы ядер, а массы атомов,
которые приведены в справочных таблицах, то формулу
(13.5) для энергии связи можно преобразовать в эквива-
лентное выражение:
£св = [ZmH + (Л — Z) тп — т]с2, (13.6)
где тн — масса атома водорода; т — масса атома соот-
ветствующего элемента.
В этой формуле масса электронов, входящая в первое
слагаемое (ZmH), компенсируется массой электронов, ко-
торые вместе с ядром образуют атом массой т. Поэтому
формулы (13.5) и (13.6) приводят к практически одина-
ковому значению энергии связи ядра. Величина Ат =
= Znip + (Л — Z)mn — тя, определяющая энергию связи
ядра (fCB = Ате5), называется дефектом массы.
Энергия связи, отнесенная к одному нуклону, т. е.
полная энергия связи, деленная на число нуклонов в ядре,
называется удельной энергией связи:
ЕЦ= -^- = -^с2. (13.7)
На рис. 13.2 показана зависимость удельной энергии
связи для различных ядер от массового числа Л. Видно,
что удельная энергия связи с ростом Л сначала возрастает,
затем выходит на насыщение при Л ~ 40, а при Л > 100
медленно спадает. Это означает, что наиболее устойчи-
выми с энергетической точки зрения являются ядра с мас-
485
совыми числами А от 50 до 80. Для легких ядер (водород,
литий) энергетически выгодным является процесс их слия-
ния, т. е. синтез более тяжелых ядер; для тяжелых (уран,
плутоний) в определенных условиях возможен процесс
деления. Эти процессы находят практическое применение
при реализации термоядерного синтеза и в ядерных реак-
циях деления.
Спин, электрический и магнитный моменты ядра. Важ-
ными характеристиками атомного ядра являются его спин,
а также электрический и магнитный моменты. Вместе с
электрическим зарядом и массой они определяют внутрен-
нее состояние ядра и его взаимодействие с внешними
электрическими и магнитными полями.
Спином ядра называется собственный момент коли-
чества движения ядра, который определяется соотноше-
нием Mj = V/Q + 1)^, гДе / — спиновое квантовое число
ядра. Оно получается в результате сложения по законам
квантовой механики спиновых и орбитальных квантовых
чисел всех нуклонов, входящих в состав ядра. Спиновое
квантовое число j (его иногда называют спином ядра)
принимает только целые значения 0, 1,2, ..., если число
нуклонов в ядре четное, или полуцелые значения 1/2, 3/2,
5/2,..., если число нуклонов в ядре нечетное. Спины основ-
ных состояний четных ядер (состояний с наименьшей
энергией) равны нулю, а спины основных состояний не-
четных ядер невелики по сравнению с суммой спинов
нуклонов, образующих ядро (для большинства ядер
/^9/2). Это говорит об определенной упорядоченности
спинов нуклонов в ядре, которая приводит к их взаимной
компенсации за счет антипараллельной ориентации.
Электрический момент ядра Q характеризует отклоне-
ние распределения заряда в ядре от сферически симмет-
ричного. Это связано с тем, что многие ядра имеют форму
вытянутого или сплюснутого эллипсоида, а иногда и более
сложную. Величиной, характеризующей отклонение ядра
от сферически симметричной формы, служит квадруполь-
ный электрический момент ядра, определяемый соотно-
шением
Qe = Ze(3<x2> - <г2>),
где <г>, <х > — средние значения квадратов радиу-
са-вектора протона и его проекции на ось симметрии ядра
(ось х); Z — число протонов в ядре. Если распределение
486
заряда в ядре вытянуто вдоль оси симметрии, то Qe > 0;
если же распределение сплюснуто в направлении этой оси,
то Qe < 0. Для сферически симметричных ядер электри-
ческий момент Qe равен нулю.
Магнитный момент ядра определяет магнитные свой-
ства ядер, спин которых /#=0. Магнитный момент ядра
определяется выражением*
н = + О. (13.8)
где gn — ядерное гиромагнитное отношение, которое для
разных ядер меняется в пределах от —4 до +6; ця =
= eh/(2mp) — ядерный магнетон.
Ядерные силы. Атомное ядро, состоящее из определен-
ного числа протонов и нейтронов, является единым целым
благодаря специфическим силам, действующим между
нуклонами и получившим название ядерных сил. Экспе-
риментально доказано, что ядерные силы имеют очень
большую величину, намного превышающую силы электро-
статического отталкивания между протонами, что прояв-
ляется в большом значении удельной энергии связи нукло-
нов. Основные особенности ядерных сил следующие.
1. Ядерные силы являются короткодействующи-
ми силами притяжения и быстро уменьшаются
с увеличением расстояния между нуклонами. На расстоя-
нии (2—3) 10“15 м ядерное взаимодействие практиче-
ски равно нулю. На расстояниях меньших 10“15 м притя-
жение нуклонов сменяется отталкиванием.
2. Ядерные силы обладают свойствами насыще-
ния. Смысл термина насыщения заключается в том, что
каждый нуклон взаимодействует только с определенным
числом ближайших соседей, а не со всеми. Такой харак-
тер ядерных сил проявляется в приближенном постоян-
стве удельной энергии связи нуклона. Действительно, если
бы насыщения не было, то удельная энергия связи возра-
стала бы с увеличением числа нуклонов в ядре.
3. Особенностью ядерных сил является также их з а-
рядовая независимость, т. е. они не зависят от за-
ряда нуклона. Ядерные взаимодействия между прото-
нами и нейтронами совершенно одинаковы.
4. Ядерные силы не являются центральными
и зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов.
* См. аналогичное выражение для магнитного момента электрона
[формула (4.98)].
487
Сложный характер ядерных сил не позволил до на-
стоящего времени разработать единую последовательную
теорию ядерного взаимодействия, хотя было выдвинуто
много различных подходов. Согласно одному из них,
предложенному в 1935 г. японским физиком X. Юкавой
(1907—1981), ядерные силы обусловлены обменом л-мезо-
нами (от греч. mesos — средний), т. е. элементарными
частицами, масса которых приблизительно в семь раз
меньше массы нуклона (тл° = 264 те, тя* = 273 те\ Со-
гласно этой модели, нуклон за время* Л/ ~ Й/(АЕ)(АЕ =
= тс2; т— масса мезона) испускает мезон**, который,
двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, прохо-
дит расстояние Аг ~ сА/~ Й/(тс) ~ 10~15 м, после чего
поглощается вторым нуклоном. В свою очередь второй
нуклон также испускает мезон, который поглощается
первым. Таким образом, в модели X. Юкавы расстояние,
на котором взаимодействуют нуклоны, определяется
длиной пробега мезонов, что соответствует расстоянию
порядка 10-15 м и по порядку величины совпадает с ра-
диусом действия ядерных сил.
13.2. Строение ядер и их свойства
Модель ядра. Под моделью ядра в ядерной физике по-
нимается совокупность упрощающих физических и мате-
матических предположений, с помощью которых можно
теоретически рассчитать характеристики ядерной системы
из А нуклонов. К настоящему времени предложено и раз-
работано достаточно много моделей, поэтому мы ограни-
чимся рассмотрением лишь наиболее распространенных.
Гидродинамическая модель ядра. Гидродинамиче-
ская, или капельная, модель ядра разработана в 1939 г.
Н. Бором и советским ученым Я. И. Френкелем (1894—
1952). В ее основе лежит предположение о том, что бла-
годаря большой плотности нуклонов в ядре и чрезвычайно
сильному взаимодействию между ними независимое дви-
жение отдельных нуклонов невозможно и ядро представ-
ляет собой каплю заряженной жидкости с плотностью,
* \E\t ~ h — одно из соотношений неопределенности в квантовой
механике.
** Известно, что взаимодействие электрических зарядов посредст-
вом электромагнитного поля можно рассматривать как результат обмена
фотонами (каждый заряд испускает и поглощает фотоны, которые и
образуют это поле).
488
Рис. 13.3
Рис. 13.4
равной ядерной плотности р ~ 1017 кг/м3. Как и в капле
обыкновенной жидкости, поверхность в ядре может ко-
лебаться. Если амплитуда колебаний становится доста-
точно большой, ядро разваливается, т. е. происходит про-
цесс деления ядра. Капельная модель ядра позволила
получить формулу для энергии связи нуклонов в ядре,
объяснила механизм некоторых ядерных реакций. Однако
капельная модель не позволяет объяснить большинство
спектров возбуждения атомных ядер, особую устойчи-
вость некоторых ядер с числом протонов или нейтронов
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 и ряд других закономерностей.
Обусловлено это тем, что гидродинамическая модель —
очень простая и удобная — весьма приблизительно «схва-
тывает» суть внутреннего строения ядра.
Оболочечная модель ядра. Оболочечная модель ядра
разработана в 1940—1950 гг. американским физиком
М. Гёпперт-Майер (1906—1972) и немецким физиком
X. Йенсеном (1907—1973). В оболочечной модели пред-
полагается, что каждый нуклон движется независимо от
других в некотором среднем потенциальном поле (потен-
циальной яме 67(г)), создаваемом всеми остальными нукло-
нами ядра. В рамках оболочечной модели функция 67(г)
не вычисляется, а подбирается так, чтобы добиться наи-
лучшего согласия с опытными данными. Приближенная
зависимость этого потенциала от расстояния повторяет
распределение плотности р(г) числа нуклонов в ядре
(рис. 13.3). Глубина потенциальной ямы составляет
обычно ~40—50 МэВ и не зависит от числа нуклонов в
ядре. В соответствии с квантовой теорией нуклоны в поле
489
верхняя граница
потенциальной ямы
О
Рис. 13.5
U(г) находятся на определенных уровнях энергии. На
рис. 13.4 представлена схема заполнения уровней энер-
гии в оболочечной модели. В основном состоянии
(рис. 13.4, а) нуклоны находятся на нижних уровнях
энергии, причем в соответствии' с принципом Паули в
490
каждом квантовом состоянии может находиться не более
одного протона и одного нейтрона. Возбуждение ядра
достигается тем, что нуклон переводится с занятого со-
стояния в свободное с большей энергией (рис. 13.4,6).
Схема уровней энергии е нуклонов в потенциальной яме
для оболочечной модели приведена на рис. 13.5.
Первая цифра — номер уровня с заданным /. Буквами
s, р, d, f, g, h обозначены состояния с орбитальным кван-
товым числом / (/= О, 1, 2, ..., 6), причем нижний индекс
является квантовым числом /, которое определяет полный
механический момент нуклона L;, равный сумме орбиталь-
ного и спинового моментов. Например, обозначение уров-
ней Is, 2s, 3s означает, что это первый, второй и третий
уровни с орбитальным моментом / = 0 (т. е. s-уровни).
Далее обозначения 1 рз/2 и lpi/2 означают, что это первый
уровень с / = 1 (р-уровень), а индексы 3/2 и 1/2 задают
значение числа j = / ± 1/2, т. е. в данном случае j равно
3/2 и 1/2. На каждом уровне может находиться по 2/ + 1
нуклонов каждого типа — протонов и нейтронов. При
определении положения уровней учтено спин-орбитальное
взаимодействие, которое в ядрах, в отличие от атомов,
велико. В результате уровень энергии с заданным I рас-
щепляется (см. рис. 13.5) на два подуровня. При этом
расщепление уровней с большим I настолько велико, что
нижний из расщепленных уровней оказывается в группе
с меньшим значением /. Группы близких уровней обра-
зуют оболочки — отсюда и название модели — оболочеч-
ная. Общее число нуклонов в соответствующих запол-
ненных оболочках приведено справа в круглых скобках.
Ядра, содержащие полностью заполненные протонами или
нейтронами внешние оболочки, являются устойчивыми и
получили название магических. Ядра, магические по про-
тонам и нейтронам, называются дважды магическими
и являются особо устойчивыми. Такими ядрами являются
ядра гелия гНе, кислорода ‘fO, кальция 1оСа, свинца 2в1РЬ.
Особо устойчивым должно быть ядро с Z = 114 и Л = 298
(Д/=184), которое пока не обнаружено в природе. Его
поиски ведутся очень интенсивно.
В заключение отметим, что основное предположение
оболочечной модели о независимом движении нуклонов в
среднем потенциальном поле находится в противоречии
с гидродинамической моделью. Поэтому те характери-
стики ядра, которые хорошо описываются гидродинами-
ческой моделью (например, значение энергии связи), не
491
находят объяснения в рамках модели оболочек и наобо-
рот.
Обобщенная модель ядра. Обобщенная модель ядра,
разработанная в 1950—1953 гг., объединяет основные
положения гидродинамической и оболочечной моделей.
В обобщенной модели предполагается, что ядро состоит
из внутренней устойчивой части — остова, образованного
нуклонами заполненных оболочек, и внешних нуклонов,
движущихся в поле, создаваемом нуклонами остова.
В связи с этим движение остова описывается гидродина-
мической моделью, а движение внешних нуклонов —
оболочечной. За счет взаимодействия с внешними нукло-
нами остов может деформироваться, а ядро может вра-
щаться вокруг оси, перпендикулярной к оси деформации.
Обобщенная модель позволила объяснить основные осо-
бенности вращательных и колебательных спектров атом-
ных ядер, а также большие значения квадрупольного
электрического момента Qe у некоторых из них.
Мы перечислили основные феноменологические, т. е.
описательные, модели ядра. Однако для полного понима-
ния характера ядерных взаимодействий, определяющих
свойства и структуру ядра, необходимо создать такую
теорию, в которой ядро рассматривалось бы как система
взаимодействующих нуклонов. Несмотря на интенсивней-
шие разработки, направленные на создание такой теории,
до настоящего времени не преодолены многие физиче-
ские и математические трудности, возникающие на этом
пути.
13.3. Ядерные реакции
Общие сведения о ядерных реакциях. Ядерными реак-
циями называются превращения атомных ядер, вызванные
их взаимодействием друг с другом или с другими ядрами
и элементарными частицами. Первое сообщение о наблю-
дении ядерной реакции принадлежит Э. Резерфорду.
В 1919 г. он обнаружил, что при прохождении а-частиц
через газообразный азот некоторые из них поглощались,
причем одновременно происходило испускание протонов.
Резерфорд пришел к выводу, что ядра азота превраща-
лись в ядра кислорода в результате ядерной реакции
вида
174N + £He->l£O+ |Н, (13.9)
где 1Не — а-частица; !Н — протий, т. е. протон.
492
Ядерные реакции символически записываются в виде
А -|- а—+ В -|- Ь,
где А, В — исходное и конечное ядра; а, b — исходная
и конечная частицы, участвующие в реакции.
Важным параметром ядерной реакции является энер-
гия ядерной реакции AQ, которая определяется выра-
жением
AQ = (2m — 2т')с2, (13.10)
где 1т, Хт' — суммы масс покоя частиц до и после
реакции.
При AQ < 0 ядерные реакции идут с поглощением
энергии и поэтому называются эндотермическими у а при
AQ >» 0 реакции идут с выделением энергии и называются
экзотермическими.
В любой ядерной реакции всегда выполняются зако-
ны сохранения электрического заряда, со-
хранения числа ну клонов, сохранения энер-
гии и импульса. Первые два закона позволяют пра-
вильно записывать ядерные реакции даже в тех случаях,
когда одна из частиц — участников реакции или ее про-
дуктов — неизвестна. С помощью законов сохранения
энергии и импульса можно найти кинетические энергии
частиц, образованных в процессе реакции, и направления
их разлета.
Пример 13.1. В результате столкновения нейтрона с ядром бора
*5В наблюдается испускание а-частицы. Определить, какое ядро возни-
кает в результате ядерной реакции.
Решение. Уравнение реакции имеет вид
*5 В -|- 0П —► zX -|- гНе.
Общее число нуклонов до реакции равно 11, поэтому Л = 11 — 4 =
= 7. Общий заряд равен 5, и, следовательно, зарядовое число Z = 5—
— 2 = 3. По таблице Менделеева находим, что ядро с Z = 3 является
ядром атома лития (зЫ).
Порог ядерной реакции. Поскольку эндотермические
реакции становятся возможными только в том случае,
когда налетающая частица имеет определенную кинети-
ческую энергию, для характеристики таких реакций вво-
дится понятие пороговой кинетической энергии, или поро-
га ядерной реакции. Порогом ядерной реакции Еп назы-
493
вают наименьшую кинетическую энергию налетающей
частицы (в системе отсчета, в которой ядро-мишень по-
коится), при которой ядерная реакция становится воз-
можной. Используя законы сохранения энергии и импуль-
са, можно показать, что пороговая энергия ядерной
реакции
Еа = т’т.т |AQI’ (13.11)
где AQ — энергия реакции; тя — масса неподвижного
ядра-мишени; т — масса налетающей на ядро частицы.
Пример 13.2. Определить, может ли произойти ядерная реакция
образования ядра 13N при бомбардировке ядра *бС протонами с энер-
гией 2 МэВ.
Решение. Воспользуемся законами сохранения и запишем урав-
нение ядерной реакции:
*бС -|- |Н—► *7N 4~ on.
Рассчитаем энергию предполагаемой ядерной реакции по формуле
(13.10). В расчетах используем табличные значения масс ядер угле-
рода, азота, а также протона и нейтрона: тс = 13,003355 а. е. м., тр =
= 1,007825 а. е. м., mN= 13,005799 а. е. м., тп = 1,008665 а. е. м. По-
лучим
AQ = (2 m — Sm')c2 = 0,003224 • 931,5 ~ 3,0031 МэВ.
Порог ядерной реакции определяется по формуле (13.11) при
М = тс и т = тр:
Еп =
тс 4- тр
13,003355-|-1,007825
13,003355
3,0031 ~ 3,23 МэВ.
&Q =
Поскольку энергия налетающего протона (Ер = 2 МэВ) меньше,
чем порог реакции Еп, такая реакция при данных условиях невозможна.
Реакции деления. В 1938 г. немецкие ученые О. Ган
(1879—1968) и Ф. Штрассман (1902—1980) обнаружили,
что при бомбардировке урана нейтронами иногда возни-
кают ядра примерно вдвое легче, чем исходное ядро урана.
Новое явление было названо делением ядра и представ-
ляло первую экспериментально наблюдаемую реакцию
ядерных превращений. Примером может служить одна из
возможных реакций деления ядра урана-235:
235JJ + niBa + УКг + 3 in. (13.12)
Процесс деления ядер протекает очень быстро (обычно
за время ~10-12 с). Энергия, выделяемая в реакции
494
Рис. 13.6
типа (13.12), составляет примерно 200 МэВ на один акт
деления ядра урана-235.
В общем случае реакцию деления ядра урана-235
можно записать в следующем виде:
292U + 1оп-+ zX + z'Y + нейтроны. (13.13)
Объяснение механизма реакции деления может быть
получено в рамках гидродинамической модели ядра. Со-
гласно этой модели, при поглощении нейтрона ядром ура-
на (рис. 13.6, а) оно пёреходит в возбужденное состояние.
Избыточная энергия, которую получает ядро вследствие
поглощения нейтрона, приводит к более интенсивному
движению нуклонов. В результате ядро деформируется
(рис. 13.6,6), что приводит к ослаблению короткодейст-
вующего ядерного взаимодействия, и приобретает гантеле-
образную форму (рис. 13.6, в). Если энергия возбужде-
ния ядра больше некоторой энергии, называемой энер-
гией активации, то под влиянием электростатического
отталкивания ядро расщепляется на две части (рис. 13.6,г)
с испусканием нейтронов деления. Если же энергия
возбуждения при поглощении нейтрона меньше энергии
активации, то ядро не доходит до критической стадии
495
Рис. 13.7
деления и, испустив у-квант, возвращается в основное
состояние.
Важной особенностью ядерной реакции деления яв-
ляется возможность реализовать на ее основе самопод-
держивающуюся цепную ядерную реакцию. Это обуслов-
лено тем, что в каждом акте деления выделяется в сред-
нем больше одного нейтрона (рис. 13.7). Масса, заряд
и кинетическая энергия осколков X и Y, образующихся
в реакции деления типа (13.13), различны. Эти осколки
быстро тормозятся в среде, вызывая ионизацию, нагре-
вание и нарушение ее структуры. Использование кине-
тической энергии осколков деления за счет нагревания
ими среды является основой превращения ядерной энер-
гии в тепловую. Осколки деления ядра находятся после
реакции в возбужденных состояниях и переходят в основ-
ное состояние путем испускания 0-частиц и у-квантов.
Деление ядра называется асимметричным, если отно-
шение масс наиболее часто возникающих осколков прибли-
зительно равно 3/2. Асимметричное деление характерно
для урана (U) и плутония (Ри). Если отношение масс
испускаемых осколков примерно равно 1, то деление
называется симметричным. Переход от асимметричного к
симметричному делению наблюдается по мере увеличе-
ния массового числа А ядра. Например, у фермия-256
наблюдается симметричное деление. Распределение ней-
496
тронов реакции деления по энергиям можно счи-
тать максвелловским со среднеквадратичной энергией
1,3 МэВ.
Ядерный реактор. Ядерным реактором называется
устройство, в котором осуществляется управляемая ядер-
ная реакция, сопровождающаяся выделением энергии.
Первый ядерный реактор построен в 1942 г. в США под
руководством итальянского физика Э. Ферми (1901 —
1954). В Европе первый ядерный реактор создан в 1946 г.
советскими физиками под руководством И. В. Курчато-
ва (1903—1960). Основными частями ядерного реактора
любого типа являются: активная зона, где находится
ядерное топливо, протекает цепная реакция деления ядер
и выделяется энергия; отражатель нейтронов, окружаю-
щий активную зону; теплоноситель, используемый для
охлаждения активной зоны; система регулирования цеп-
ной реакции и радиационная защита. Мощность ядер-
ного реактора 1 МВт соответствует цепной реакции,
в которой происходит 3 • 1016 актов деления в 1 с. Для
характеристики цепной реакции используется понятие
коэффициента размножения нейтронов К, который равен
отношению числа нейтронов в данном поколении к их
числу в предыдущем поколении. Состояние ядерного
реактора определяют с помощью понятия реактивности
р = (К— 1)/К. Если К> 1, то цепная реакция нарастает
во времени. Ядерный реактор находится в надкритическом
состоянии и его реактивность р > 0; если К< 1, то реак-
ция затухает, ядерный реактор подкритичен (р < 0); при
К = 1 реактивность р = 0 — реактор находится в крити-
ческом состоянии, идет стационарный процесс и число
делений ядер в среднем постоянно во времени. В качестве
делящегося вещества в реакторе можно использовать
уран-235 и плутоний-239.
Если активная зона, кроме ядерного топлива, содер-
жит замедлитель нейтронов (графит, воду или другие
вещества, содержащие легкие ядра), то основная часть
делений ядер происходит под действием тепловых ней-
тронов с энергией 10-3 — 0,5 эВ. Если замедлителя в
активной зоне нет, то основная часть делений происходит
под влиянием быстрых нейтронов с энергией
£>>10 000 эВ. Возможны также ядерные реакторы на
нейтронах с промежуточной энергией (£=1 —10 000 эВ).
Типичная схема реактора на тепловых нейтронах пред-
ставлена на рис. 13.8. В активной зоне реактора располо-
жены тепловыделяющие элементы 1, содержащие несколь-
497
ко обогащенную смесь природного урана, состоящего из
238U и 235U, и замедлитель 2, в котором нейтроны деления
замедляются до ~ 1 эВ. Тепловыделяющие элементы,
или твэлы, представляют собой блоки из делящегося ма-
териала, заключенные в герметическую оболочку, слабо
поглощающую нейтроны. За счет энергии деления твэлы
разогреваются и отдают энергию теплоносителю, который
циркулирует в каналах 3. Активная зона окружена отра-
жателем нейтронов 4. Управление цепной реакцией осу-
ществляется специальными управляющими стержнями 5,
изготовленными из материалов, сильно поглощающих
нейтроны (например, бор, кадмий). Изменяя количество
и глубину погружения управляющих стержней, можно
изменять коэффициент размножения нейтронов и соответ-
ственно регулировать работу реактора.
В настоящее время разработано большое количество
различных моделей ядерных реакторов, которые различа-
ются по виду ядерного топлива (естественный уран, сла-
бообогащенный уран, чистый изотоп урана), по химическо-
му составу ядерного топлива (U, UO2 и т. д.), по виду
теплоносителя (Н2О, D2O, газ, органические жидкости,
расплавленный металл), по роду замедлителя (С, Н2О, Be,
гидриды металлов).
По назначению ядерные реакторы подразделяются на:
498
---Первичный контур-й^~-внешний контур—
Омаждающа я
п 1 о a №
Рис. 13.9
экспериментальные, предназначенные для исследо-
ваний по разработке новых конструкций реакторов; ис-
следовательские, основным назначением которых
является получение мощных потоков нейтронов и у-кван-
тов для научных исследований в области ядерной физики,
физики твердого тела, радиационной физики, биологии
и т. д.; изотопные, предназначенные для производства
различных изотопов; энергетические, основным на-
значением которых является производство электроэнер-
гии. Мощность современного энергетического ядерного
реактора достигает 5 млн кВт. На рис. 13.9 представлена
схема получения электроэнергии на энергетическом ядер-
ном реакторе, т. е. атомной электростанции. В настоящее
время в различных странах работают около 400 энерге-
тических ядерных реакторов суммарной мощностью более
240 млн кВт, что составляет примерно 14 % суммарной
мощности всех используемых на Земле источников элек-
троэнергии.
Реакция синтеза. Ядерным синтезом называются реак-
ции слияния протонов и нейтронов или отдельных легких
ядер. Простейшими ядерными реакциями синтеза явля-
ются:
?Н + ?Н--->!н+1н, AQ = 4,03 МэВ; (13.14)
?Н + ?Н ► Ше + in, AQ = 17,59 МэВ; (13.15)
?Н + ?Н HHe + 2jn, Д<?= 11,33 МэВ, (13.16)
где AQ — энергия реакции.
499
Расчеты показывают, что энергия, выделяющаяся при
ядерных реакциях синтеза на единицу массы, значитель-
но больше, чем в реакциях ядерного деления. Действи-
тельно, для урана-235 в реакции деления (13.12) выделя-
ется примерно 200 МэВ, т. е. 200/235 = 0,85 МэВ на ну-
клон, а в реакции синтеза (13.15) получается примерно
3,5 МэВ на нуклон (17,6/5 ~ 3,5 МэВ). Таким образом,
с точки зрения производства энергии процесс синтеза при-
мерно в 4 раза эффективнее процесса деления урана
(в расчете на один нуклон ядра, участвующего в реакции
деления).
По современным представлениям, именно реакции
синтеза легких ядер лежат в основе процесса энерговы-
деления звезд и Солнца. Однако на пути реализации реак-
ций синтеза в земных условиях возникает проблема пре-
одоления электростатического отталкивания легких ядер
при их сближении до расстояний, на которых начинают
действовать ядерные силы притяжения, приводящие к син-
тезу новых ядер.
Пример 13.3. Определить температуру, которую должна иметь
плазма дейтронов (?Н), чтобы они могли сблизиться до расстояний
10-14 м, на которых начинает проявляться короткодействующий харак-
тер ядерных сил и возможна реакция синтеза типа (13.14).
Решение. Энергия электростатического отталкивания дейтро-
нов на расстоянии 10“14 м
U=—1——=9-\q* (Ьб-.О-'У
4лео г 10 4
= 2,3 • 10-14 Дж.
Если считать, что вся кинетическая энергия дейтрона, равная
ЗЛГ/2, идет на преодоление электростатического отталкивания, то бу-
дем иметь
— kT= и=>т= —
2 3*
2-2,3- 10“14
3- 1,38- 10-23
~ 109 К.
Учет возможности квантового туннелирования показывает (см.
$ 12.3 в первой части пособия), что реакция (13.14) возможна при зна-
чительно меньшей температуре (порядка 30—40 млн градусов), кото-
рая тем не менее остается труднодостижимой в земных условиях. В на-
стоящее время решение проблемы управляемого синтеза легких ядер
(термоядерного синтеза) является одной из приоритетных
задач науки и техники.
13.4. Явление радиоактивности
Радиоактивность атомных ядер. Как уже отмечалось,
историю ядерной физики принято отсчитывать с 1896 г.,
когда французский физик А. Беккерель обнаружил, что
500
содержащий уран минерал обладает способностью засве-
чивать фотопластинку, завернутую в светонепроницаемую
бумагу. Вскоре французские ученые, будущие лауреаты
Нобелевской премии Пьер Кюри (1859—1906) и Мария
Складовская-Кюри (1867—1934) обнаружили, что урано-
вая смоляная руда обладает способностью давать излу-
чение, в четыре раза превосходящее по интенсивности
излучение урана, а в 1898 г. они выделили два новых хими-
ческих радиоактивных элемента — полоний (28°Ро) и ра-
дий (2ieRa). В дальнейшем было установлено, что причи-
ной, приводящей к засвечиванию фотопластинки, является
самопроизвольный распад атомных ядер урана. В резуль-
тате такого распада возникает особое излучение, назван-
ное радиоактивным, а само явление испускания радио-
активного излучения — радиоактивностью.
В настоящее время под радиоактивностью понимают
способность ядер самопроизвольно превращаться в дру-
гие атомные ядра с испусканием радиоактивного излуче-
ния. Радиоактивность подразделяется на естественную,
источником которой являются изотопы, встречающиеся в
природе, и искусственную, которая наблюдается у атомных
ядер, являющихся продуктами ядерных реакций и не
встречающихся в природе. Явление искусственной радио-
активности было открыто французскими физиками Ирен
Жолио-Кюри (1897—1956)—дочерью Пьера и Марии
Кюри—и ее мужем Фредериком Жолио-Кюри (1900—
1958) и отмечено Нобелевской премией в 1935 г. Принци-
пиального различия между обоими видами радиоактив-
ности нет, так как они подчиняются одинаковым законам.
Изучение состава радиоактивного излучения позволи-
ло установить, что по проникающей способности его можно
разделить на три различных компонента (рис. 13.10), кото-
рые впоследствии были названы по первым буквам гре-
ческого алфавита: альфа (а)-, бета (0)- и гамма (у)-из-
лучениями. Исследования показали, что a-излучение пред-
ставляет собой поток положительно заряженных ядер
гелия Не-1"'1", 0-излучение — поток электронов или пози-
тронов, а у-излучение — поток коротковолнового электро-
магнитного излучения.
Альфа-распад. Типичным примером «-радиоактивно-
го распада ядер является реакция
2ilU---^Th + 42He. (13.17)
При а-распаде ядро урана-238 превращается в ядро
с зарядовым числом Z = 90 и массовым числом А =234,
501
т. е. в ядро тория-234. Эксперимент показывает, что выле-
тающие из ядра частицы имеют дискретный спектр энер-
гии. Энергия а-частицы равна разности полных энергий
исходного (материнского) и образовавшегося (дочернего)
атомных ядер. Дискретный спектр а-частиц свидетельству-
ет о наличии в материнском ядре дискретных уровней энер-
гии, набор которых различен для различных а-радиоак-
тивных ядер, т. е. ядер, испускающих а-частицы. Неста-
бильность атомного ядра по отношению к альфа-распаду
обусловлена тем, что полная энергия материнского ядра
оказывается больше, чем полная энергия продуктов рас-
пада. Иными словами, для альфа-радиоактивных ядер
масса материнского ядра всегда больше суммарной массы
дочернего ядра и а-частицы. Энергия, соответствующая
разности этих масс, выделяется в виде кинетической энер-
гии, уносимой а-частицей и дочерним ядром.
Пример 13.4. Вычислить кинетическую энергию а-частицы (та =
= 4,002603 а. е. м.), которая испускается при превращении ядра ура-
на-232 (М1 = 232,03714 а. е. м.) в ядро тория-228 (Мг=228,02873 а. е. м.).
В расчетах следует учесть, что 1 а. е. м. = 931,5 МэВ.
Решение. Энергия ядерной реакции AQ, соответствующая раз-
ности масс Am начальных и конечных продуктов реакции
232g--^Th + JHe, (13.18)
определяется по формуле (13.10):
Am = (Mi - М2 - та) = 0,00581 а. е. м.; AQ = 0,00581 • 931,5 ~
— 5,41 МэВ.
Если предположить, что материнское ядро (ядро урана) покоилось,
то в соответствии сзаконом сохранения энергии избыточная
энергия AQ превращается в кинетическую энергию а-частицы и дочер-
него ядра (ядра тория). Поскольку AQ намного меньше энергий покоя
а-частицы и ядра тория, можно использовать формулу классической
механики:
502
Распределение энергии между а-частицей и дочерним ядром можно
найти, используя закон сохф а нен и я импульса:
M2V2 + maVa = 0=>Af2V2 — tflaVa = 0. (13.20)
Совместное решение уравнений (13.19) и (13.20) приводит к сле-
дующей формуле для кинетической энергии а-частицы:
Подстановка значений всех величин позволяет рассчитать энергию
а-частицы:
Р- ~ 5’41
a” l-hma/M2 “ 14-4,003/228,029 “ '
Видно, что, поскольку масса дочернего ядра М2 намного больше
массы a-частицы, практически вся энергия, выделившаяся при а-распа-
де, превращается в кинетическую энергию а-частицы.
Задание 13.1. Используя условие и результаты решения примера
13.4, определите значения скоростей дочернего ядра и испускаемой
а-частицы.
Явление туннелирования при a-распаде.* Рассмотрим
явление a-распада с точки зрения квантовой механики.
Пока a-частица находится в ядре, на нее действуют мощ-
ные ядерные силы, радиус действия которых имеет вели-
чину порядка 10“15 м. Вне ядра из-за короткодействую-
щего характера ядерных сил вклад во взаимодействие
a-частицы и дочернего ядра отсутствует. Поэтому вне
ядра главной силой, действующей на a-частицу, является
сила электростатического отталкивания между а-части-
цей, заряд которой q = 4-2 е, и образующимся после рас-
пада дочерним ядром с зарядом Z'e = (Z — 2)е (Ze — за-
ряд материнского ядра). На рис. 13.11, а представлена
упрощенная зависимость потенциальной энергии взаимо-
действия a-частицы с дочерним ядром (г — расстояние
м^жду a-частицей и центром дочернего ядра; R — радиус
этого ядра — область /). За пределами ядра — область //,
т. е. при r>R энергия определяется кулоновским электро-
статическим взаимодействием
1 27'г2
<13-22)
Потенциальная энергия внутри ядра аппроксимируется
эффективной прямоугольной потенциальной ямой (дно
* См. § 12.3 в первой части пособия.
503
ямы на глубине Uq). Ее точная форма неизвестна, так как
внутри ядра в мощном поле ^ядерных сил а-частица,
по-видимому, теряет свою индивидуальность. Так как пол-
ная энергия а-частицы равна £а, то именно с этой энергией
будет двигаться а-частица на большом расстоянии от
ядра, где электростатический потенциал спадает до нуля
(см. рис. 13.11, а). Волновая функция а-частицы внутри
ядра представляет стоячую волну с амплитудой В\. Вслед-
ствие туннельного эффекта эта волновая функция имеет
за пределами электростатического барьера U = U(r) не-
большой «хвост» с амплитудой В2 (рис. 13.11, б). Следо-
вательно, вероятность р обнаружить а-частицу за преде-
лами барьера имеет вид
р= \В2\2/\Вх\21
а вероятность испускания а-частицы в единицу времени,
которая называется постоянной распада, будет равна
Л = пр — постоянная распада,
(13.23)
где п — число столкновений а-частицы с барьером в еди-
ницу времени.
Величина, обратная постоянной распада, определяет
среднее время жизни материнского ядра по отношению
к а-распаду:
1 1
т = — = ------среднее время жизни ядра.
(13.24)
Если в образце в момент времени t содержится N ядер,
то число распадов в секунду (т. е. скорость уменьшения
числа ядер) равно N/т. Поэтому
Разделим переменные и выполним интегрирование:
=-----d/=>ln N = —- + const.
N т т
Потенцируя обе части последнего равенства, получаем
W = const е~ч\ (13.26)
504
Постоянную интегрирования находим из условия, что
в начальный момент времени t = 0 число ядер равно No.
В результате получим закон уменьшения числа ядер радио-
активного вещества:
Лф) = NQe — закон радиоактивного рас-
пада.
(13.27)
Экспериментальные исследования подтверждают спра-
ведливость полученного закона для всех трех видов рас-
пада. На рис. 13.12 представлена кривая радиоактивного
распада, определяемая формулой (13.27). Время, в тече-
ние которого распадается половина начального числа
атомных ядер, называется периодом полураспада (Г1/2).
Подставляя в формулу (13.27) значение N = Nq/2 и t =
= Г1/2, получаем уравнение связи между периодом полу-
распада и средним временем жизни ядер:
= /Voe- г'/’/’=> Г1 /2 = 0,693 т. (13.28)
Пример 13.5. Определить вероятность распада в 1 с ядра урана-238,
а также его среднее время жизни т, если известно, что а-частица в ядре
сталкивается со стенкой потенциального барьера п = 5* 102и раз в 1 с,
а отношение амплитуд волновых функций В2/В1 = 10-19 (см. рис.
13.11).
Решение. Вероятность самопроизвольного распада радиоактив-
ных ядер в 1 с, или постоянная распада X, определяется выражением
(13.23):
X = пр = п(В2/В1)2 = 5 • 1020(10-*9)2 ~ 5 • 10”18 с-1.
505
Среднее время жизни ядра т находим по формуле (13.24):
т = — =---------------!---г, = 2 • 10'7 с ~ 6,5 • 10’ лет,
X 5-10-'8
а период полураспада [см. выражение (13.28)]
Т1/2 = 0,693т = 0,693 • 6,5 • 109 ~ 4,5 • 109 лет.
Бета-распад. Бета-распадом называется произвольное
внутриядерное превращение нейтрона в протон или прото-
на в нейтрон, а также превращение свободного нейтрона
в протон, что сопровождается испусканием электрона е~
или позитрона и соответственно электронных антиней-
трино ve или нейтрино уе.
Позитрон и антинейтрино относятся к классу элемен-
тарных частиц, получивших название античастиц. Антича-
стицами называются элементарные частицы, имеющие та-
кую же массу, спин, время жизни и другие внутренние ха-
рактеристики, что и их «двойники»—частицы, но отличаю-
щиеся от них знаком электрического заряда, магнитного
момента и некоторыми другими характеристиками. На-
пример, позитрон отличается от электрона зарядом (за-
ряд позитрона положительный, а заряд электрона отрица-
тельный); антинейтрино отличается от нейтрино поведе-
нием в реакциях рассеяния.
506
В соответствии с определением 0-распада возможны
два вида ядерных превращений, сопровождающихся вы-
летом 0-частиц*:
zX-^+'fY + е + ve— электронный 0-рас-
пад;
zX-^z_^Y + + ve — позитронный 0-рас-
пад.
(13.29)
Простейшими примерами 0“-распада являются пре-
вращения свободного нейтрона в протон и радиоуглерода
“С в изотоп азота 14N:
п-+р + е~ +ve; !бС-----^l^N + e“+ve. (13.30)
Превращение протона в нейтрон (0 + -распад) проис-
ходит в ядрах при их превращениях, сопровождаемых
испусканием позитрона и электронного нейтрино. Напри-
мер, при распаде углерода С-11 с образованием ядра бора
В-11:
---^B + e++ve. (13.31)
Известные в настоящее время периоды полураспада
Т\/2 для 0-активных ядер варьируются в широких пределах
от 10“2 с до 1018 лет. Устойчивость ядер по отношению
к 0-распаду зависит от соотношения числа протонов Z и
числа нейтронов N = А — Z для каждого ядра. Ядра, у ко-
торых N больше величины, требуемой для их стабильно-
сти, испытывают 0“-распад; ядра, у которых N слишком
мало, могут испытывать 0 + -распад. Полная энергия, вы-
делившаяся при 0-распаде, распределяется между пози-
троном и нейтрино или электроном и антинейтрино. Лишь
очень малая часть общей энергии реакции приходится на
ядро, испытывающее распад. Распределение числа N* вы-
летающих 0-частиц (электронов или позитронов) по их
энергиям называется ft-спектром. Типичный пример 0-спек-
тра представлен на рис. 13.13. Общим свойством всех
0-спектров является их непрерывность, причем зависи-
мость N* = f (£) характеризуется максимумом и некоторым
* Иногда к p-распаду относят так называемый е~-захват, при кото-
ром происходит захват протоном ядра электрона с одной из атомных орби-
талей, например с K-орбиталей (К-захват), и превращение протона в
нейтрон: р -f- е~ -+п + ve.
507
Рис. 13.13
предельным значением энергии 0-спектра, которое харак-
терно для каждого вида распадающегося ядра. Именно
на основании этих особенностей 0-спектра швейцарский
физик В. Паули предсказал в 1930 г. существование ней-
трино — элементарной частицы, масса которой близка
к нулю. Действительно, поскольку ядро до и после 0-рас-
пада обладает определенной энергией, то энергетический
спектр 0-частиц должен был бы быть в соответствии с за-
коном сохранения энергии дискретным. Непрерывность
0-спектра можно объяснить только в том случае, если
предположить, что разность энергий материнского и до-
чернего ядер распределяется между вылетающими 0-ча-
стицей и какой-то другой, до этого неизвестной элементар-
ной частицей, получившей впоследствии название нейтри-
но. Теория бета-распада, созданная в 1934 г. итальянским
физиком Э. Ферми (1901 —1954), предполагает существо-
вание четвертого вида фундаментального взаимодействия,
которое получило название слабое взаимодействие. Со-
гласно Ферми, процесс бета-распада рассматривается как
результат «слабого» взаимодействия нуклона с электрон-
но-нейтринным полем, в результате которого нуклон пере-
ходит в другое состояние (р-+п или п-+р), испуская е~ и
ve или И уе.
Гамма-излучение. Гамма-излучение наблюдается в тех
случаях, когда вследствие каких-либо причин атомное
ядро переходит из возбужденного состояния с большей
энергией в возбужденное состояние с меньшей энергией
или в основное состояние. В этом случае при переходе
ядра с верхнего энергетического уровня на нижний испу-
скается гамма-квант с энергией, равной разности энергий
уровней, между которыми происходит переход. Диапазон
энергий у-квантов, испускаемых при радиоактивном рас-
паде, лежит в пределах от 10 кэВ до 5 МэВ, что в 103—106
раз больше энергии фотонов, испускаемых возбужденными
атомами.
508
Кроме того, излучение у-квантов сопровождает а- и
0-распады радиоактивных ядер. Экспериментально уста-
новлено, что образовавшееся в результате альфа- или
бета-распада возбужденное ядро может пройти через ряд
промежуточных, менее возбужденных состояний. Поэтому
у-излучение одного и того же радиоактивного изотопа
может содержать несколько видов у-квантов, отличаю-
щихся друг от друга значениями энергии. Время жизни
гамма-активных ядер определяется квантовыми характе-
ристиками возбужденных состояний (спин, энергия и т. д.),
а также нижележащих уровней, на которые осуществля-
ется переход. Время жизни возбужденных состояний ядер
обычно резко возрастает с уменьшением их энергии и с
увеличением разности спинов ядра в исходном и конечном
его состояниях.
Единицы радиоактивности. Интенсивность самопроиз-
вольного распада атомных ядер в радиоактивном препа-
рате определяется числом ядер, распавшихся в единицу
времени:
Ла/v
п= — активность препарата.
(13.32)
С учетом закона радиоактивного распада получим
Лп= \dN/dt\ = (^/т)е-//т = ^, Х = 1/т. (13.33)
Таким образом, интенсивность радиоактивного распада
в веществе определяется постоянной распада X, характе-
ризующей распадающийся изотоп, и числом радиоактив-
ных ядер N.
Единица активности Ап в СИ — беккерель (1 Бк) —
соответствует одному акту распада радионуклида в се-
кунду. Единица беккерель очень мала, и обычно использу-
ются кратные единицы: кБк, МБк и т. д.
Кроме того, в ядерной физике и дозиметрии использу-
ется внесистемная единица активности — кюри (Ku):
1 Ku = 3,7- 1О10 Бк.
13.5. Взаимодействие радиоактивного
излучения с веществом
Взаимодействие а-, 0- и у-частиц с веществом. При
взаимодействии а-, 0-частиц и у-квантов с веществом их
энергия расходуется на возбуждение и ионизацию атомов
509
среды. Поэтому а-, 0- и у-излучения называются ионизи-
рующими. В отдельных случаях при большой энергии
а-частица может проникать в ядро атомов вещества и вы-
зывать ядерную реакцию. Количественной мерой передачи
энергии Е частиц при взаимодействии ионизирующего
излучения с веществом является коэффициент линейной
передачи энергии (ЛПЭ), определяющий энергию, пере-
данную среде этими частицами и у-квантами на единице
длины их пробега в веществе:
ЛПЭ = ^Ечаст/^Х. (13.34)
Важнейшей величиной, определяющей прохождение
частиц излучения в веществе, является их пробег R, т. е.
расстояние в среде по прямой линии от точки рождения
(появления) до точки остановки или поглощения. Траекто-
рия движения частицы может быть достаточно сложной,
и, следовательно, пробег R не равен пути /.
Коэффициент линейной передачи энергии, т. е. удель-
ные ионизационные потери, для а-частиц определяются
выражением
/ dEa\ _______ 16лпе4 । 2mev2
\ dx /ион mev2 </>
(13.35)
где п — плотность электронов в веществе; v — скорость
а-частиц; < / > — средняя энергия ионизации атомов
вещества: <1> = 13,5 Z эВ; Z — атомный номер веще-
ства.
Средняя длина пробега а-частиц в веществе (мкм)
может быть оценена по полуэмпирической формуле
/?а =
А^/Ё1
(13.36)
где Еа — энергия а частиц, МэВ; А — атомная масса ве-
щества, кг; р — плотность вещества, кг/м3.
Длина пробега а-частиц с энергией 4 МэВ в алюминии
составляет 1,6- 10-5 м, в биологической ткани — 3,1 X
X Ю-5 м, в воздухе — 2,5 • 10-2 м.
Число пар ионов, возникающих на единице длины про-
бега а-частицы (удельная плотность ионизации), зависит
от глубины ее проникновения. На рис. 13.14 представлен
график уделыой плотности ионизации при пробеге а-ча-
стицы с энергией 5,3 МэВ в биологической ткани. Из гра-
510
фика видно, что удельная плотность ионизации резко воз-
растает в конце пробега. Аналогичный характер имеют
графики удельной ионизации для других значений энер-
гии и других веществ.
При взаимодействии 0-частиц (электронов) с веще-
ством имеют место упругие и неупругие процессы (соуда-
рения). При упругих процессах кинетическая энергия
0-частиц практически не изменяется, и, следовательно,
не имеет места передача энергии веществу. При неупру-
гих процессах энергия 0-частиц расходуется на ионизацию
и возбуждение атомов. В процессе взаимодействия с ве-
ществом 0-частицы замедляют движение, и часть энергии
расходуется на образование тормозного рентгеновского
излучения. Коэффициент линейной передачи энергии для
0-частиц имеет вид
dx у
(13.37)
где п — число атомов в единице объема вещества; В —
величина, являющаяся линейной функцией In Ер.
Удельная плотность ионизации, создаваемая 0-части-
цами, примерно в 1000 раз меньше, чем для а-частиц той
же энергии. Для грубой оценки средней длины пробега
0-частиц в веществе применима формула
/?р = (0,5Ер — 0,1)р,
(13.38)
где /?р — средняя длина пробега, см; Ер — энергия 0-ча-
стиц, МэВ; р — плотность вещества, г/см3.
Средняя длина пробега 0-частиц при энергии 4 МэВ
составляет в алюминии 6,8- 10-3 м, в воде 2,6- 10-2 м,
в воздухе 17,8 м.
Гамма-кванты при прохождении через вещество могут
взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов,
так и с их ядрами. Основными процессами этого взаимо-
действия являются: при энергии у-квантов Ет 100 кэВ —
фотоэффект, при Еу ~ 0,5 МэВ — комптон-эффект и при
Еу> 1,02 МэВ — рождение электронно-позитронных пар.
На рис. 13.15 представлена относительная вероятность
w поглощения у-квантов в стандартной биологической
ткани для каждого из трех процессов.
При фотоэффекте под действием у-кванта из /-й обо-
лочки атома вырывается электрон с кинетической энер-
511
Рис. 13.14
Рис. 13.15
гией Ек = Еу — Е» (Еу — энергия у-кванта; Е» — энергия
ионизации i-й оболочки атома). Освободившееся место
заполняется электронами из вышерасположенных оболо-
чек, что приводит к испусканию характеристического рент-
геновского излучения.
Комптон-эффект проявляется в рассеянии у-квантов на
так называемых свободных, т. е. слабо связанных,
электронах вещества, что сопровождается уменьшением
энергии у-кванта (см. § 9.3).
Рождение электронно-позитронных пар в электриче-
ских полях ядер становится возможным, если энергия
у-кванта Еу 2тес2, где те — масса покоя электрона.
Вероятность рождения электронно-позитронных пар про-
порциональна Еу, т. е. увеличивается с ростом энергии
у-квантов. Поэтому при высоких энергиях рождение элек-
тронно-позитронных пар является основным результатом
взаимодействия у-излучения с веществом.
Ослабление интенсивности у-лучей в веществе для
узких пучков происходит по закону
/ = /ое-^, (13.39)
где / — интенсивность у-лучей на глубине х; /0 — их интен-
сивность до входа в вещество.
Величина р, называется линейным коэффициентом
ослабления у-излучения и имеет смысл обратной длины,
на которой излучение ослабляется в е раз.
Проникающая способность у-лучей, равная 1 /ц, зави-
сит от их первоначальной энергии, плотности вещества,
его атомного номера. В конденсированных средах для
энергии 1 МэВ она составляет ~ 1 м.
512
13.6. Детекторы для регистрации
ядерных излучений
Физические принципы работы детекторов. Регистрация
ядерных излучений осуществляется с помощью детекто-
ров, которые используются для обнаружения частиц (про-
тонов, нейтронов, электронов, у-квантов и т. д.), измере-
ния их характеристик и определения ионизационной спо-
собности. Действие детекторов основано на регистрации
эффектов взаимодействия исследуемых частиц с веще-
ством, которое проявляется в образовании свободных
электронов, ионов, люминесцентном свечении, излучении
Вавилова — Черенкова, а также в прохождении реакций,
сопровождающихся тепловыми явлениями. Благодаря
этим эффектам частицы могут быть зарегистрированы
по появлению на выходе детектора электрических импуль-
сов тока или напряжения, почернению фотоэмульсии или
изменению структуры твердого тела. Так как электриче-
ские сигналы на выходе детекторов обычно являются очень
слабыми, для их регистрации используется дополнитель-
ная электронная аппаратура (усилители).
По характеру получаемой на выходе детекторов инфор-
мации их условно можно подразделить на два класса:
детекторы дискретного и непрерывного счета. К детекто-
рам дискретного счета относятся ионизационная камера,
пропорциональный счетчик, счетчик Гейгера — Мюлле-
ра, кристаллический счетчик, полупроводниковый детек-
тор, сцинтилляционный и черенковский счетчики. Кроме
того, можно еще выделить класс трековых детекторов,
в которых можно следы частиц наблюдать визуально,
фотографировать или определять с помощью электронных
устройств. Трековые детекторы, помещенные в магнитное
поле, позволяют определять знак заряда частиц и с боль-
шой точностью измерять их импульсы по кривизне траек-
торий. К числу трековых детекторов относятся камера
Вильсона, пузырьковая камера, ядерные фотоэмульсии.
Основными характеристиками детекторов являются: энер-
гетическое разрешение, характеризующее погрешность,
с которой определяется энергия регистрируемой частицы;
эффективность регистрации, характеризующая отношение
числа зарегистрированных частиц к общему числу частиц,
прошедших через детектор; время разрешения — мини-
мальный промежуток времени, необходимый детектору
для восстановления своей работоспособности; простран-
ственное разрешение — минимальное расстояние между
513
траекториями регистрируемых частиц, при котором эти
траектории различимы. Ниже будут рассмотрены некото-
рые наиболее распространенные типы детекторов ядерных
излучений.
Пропорциональный счетчик. Пропорциональный счет-
чик (ПС) представляет собой газоразрядный детектор,
используемый для измерения ионизирующей способности
частиц и интенсивности их потока. Амплитуда электри-
ческого сигнала на выходе газоразрядного счетчика про-
порциональна энергии, теряемой частицей в счетчике на
ионизацию газа. ПС состоит, как правило, из полого ци-
линдрического катода, вдоль оси которого расположена
тонкая проволочка, служащая анодом. Электроды заклю-
чены в герметически замкнутый резервуар, заполненный
газом. Под действием электрического поля первичные
электроны, образуемые радиационной частицей, смещают-
ся к проволочке и попадают в электрическое поле большой
напряженности, где они сильно ускоряются и производят
вторичную ионизацию атомов газа, т. е. создают электрон-
ные лавины. В результате на анод попадает значительно
большее число электронов, чем образуется непосредствен-
но частицей в счетчике. Принципиальная схема ПС пока-
зана на рис. 13.16, где 1 — анод, 2 — катод, 3 — диэлек-
трический вывод, 4 — область газового усиления потока
электронов, R — сопротивление, V — импульс напряже-
ния, снимаемый со счетчика. В качестве рабочих газов
в ПС чаще всего используются Н2, Не, Аг, метан или их
смеси и добавки паров спирта и эфира. При этом одноатом-
ные газы служат в основном для образования электронных
лавин, а многоатомные — для поглощения фотонов, воз-
никающих в лавинообразном процессе. Типичные харак-
теристики ПС: амплитуда выходного сигнала ~ 10“^ В,
энергетическое разрешение ~15 %, эффективность реги-
страции заряженных частиц практически равна 100 %.
Кристаллический счетчик. Кристаллический счетчик
представляет собой монокристалл диэлектрика (обычно
алмаз или сульфид кадмия объемом в несколько мм3). На
две противоположные грани кристалла нанесены электро-
ды, к которым приложена разность потенциалов. Частица,
проходя через кристалл, вызывает в нем ионизацию, т. е.
образует свободные заряды — электроны и дырки, кото-
рые перемещаются под действием электрического поля и
создают импульс тока во внешней цепи. Отдельная части-
ца образует кратковременный импульс, амплитуда которо-
го пропорциональна энергии частицы. Поток же частиц
514
Рис. 13.16
создает в цепи непрерывный электрический ток, сила ко-
торого пропорциональна интенсивности потока.
Полупроводниковый счетчик. Основным элементом
полупроводникового счетчика является монокристалл из
полупроводника (кремния или германия), выполненный
в виде пластины размером от нескольких до сотен квад-
ратных миллиметров и обладающий электронно-ды-
рочным п — р-переходом. На противоположные поверх-
ности пластины напыляются тонкие электроды, на кото-
рые подают запирающее напряжение в несколько вольт.
Заряженная частица, проникая в кристалл, за счет иони-
зации образует дополнительные электронно-дырочные па-
ры, которые в электрическом поле перемещаются к элек-
тродам и создают на выходе импульс тока. Последний
регистрируется электронной аппаратурой и усиливается.
Заряд, собранный на электродах полупроводникового
счетчика, пропорционален энергии, выделенной частицей
в кристалле. Полупроводниковые счетчики способны изме-
рять энергию частиц с точностью до 0,1 % и имеют время
разрешения 10-8 с.
Сцинтилляционный счетчик. Сцинтилляционный (от
лат. scintillatio — мерцание) счетчик состоит из сцинтил-
лятора (специальные кристаллы, жидкости, пластмассы,
благородные газы), в котором заряженная частица про-
изводит наряду с ионизацией атомов и молекул их воз-
буждение. При возвращении в основное состояние атомы
люминисцируют, т. е. излучают фотоны, которые по-
падают на катод фотоэлектронного умножителя (ФЭУ) —
прибора, чувствительного к очень малым интенсивностям
света,— и выбивают фотоэлектроны. Этот поток фотоэлек-
тронов в ФЭУ многократно усиливается и образует элек-
трический импульс, амплитуда которого пропорциональна
энергии, переданной частицей сцинтиллятору. Нейтроны
в сцинтилляционных счетчиках регистрируются по прото-
нам отдачи, для чего используются водородосодержащие
515
сцинтилляторы. Кванты у-излучения регистрируются сцин-
тилляторами, содержащими иодистый натрий.
Пузырьковая камера. Пузырьковая камера (ПК) пред-
ставляет собой один из основных трековых приборов в фи-
зике частиц высокой энергии, принцип действия которого
основан на вскипании перегретой (метастабильной) жид-
кости вдоль траектории частицы. ПК представляет собой
сосуд, заполненный прозрачной перегретой жидкостью,
в качестве которой обычно используются жидкие водород,
пропан, а также жидкости — фреон и ксенон. От вскипа-
ния перегретая жидкость удерживается высоким давле-
нием, передаваемым на жидкость через подвижную мем-
брану. При быстром понижении давления жидкость ока-
зывается перегретой. Если в этот момент через камеру
пройдет ионизирующая частица, то она дополнительно
нагреет жидкость и вызовет ее вскипание по траектории
движения. Цепочка пузырьков пара отметит след этой
частицы. Если пузырьки быстро осветить и сфотографи-
ровать, то становится видимой траектория движения ча-
стицы. После фотографирования трека частицы на жид-
кость вновь накладывается давление первоначальной ве-
личины, пузырьки «схлопываются», и ПК снова становится
готовой к действию. Продолжительность одного цикла
работы пузырьковой камеры составляет несколько секунд,
пространственное разрешение— 10-3 м. Основное досто-
инство ПК—одинаковая чувствительность камеры по
всему объему и высокая точность измерения.
Ядерные фотоэмульсии. Ядерные фотоэмульсии явля-
ются универсальным средством изучения частиц во всех
диапазонах энергии. Обычно используются ядерные фото-
эмульсии толщиной до 500 мкм. В эмульсии заряженная
частица нарушает на своем пути структуру кристалли-
ческой решетки зерен галоидного серебра. После проявле-
ния цепочки из черных частичек серебра образуют следы
частиц, которые хорошо видны под микроскопом. Степень
почернения треков пропорциональна числу образовав-
шихся ионов, что в совокупности с данными о длине про-
бега позволяет измерять энергию частиц. Характерная
особенность ядерных фотоэмульсий — высокая точность
измерения треков частиц (1 мкм).
516
13.7. Дозы и биологическое действие
ионизирующих излучений
Дозы излучения и их единицы. Для характеристики
ионизирующего излучения и степени его воздействия на
биологические объекты используются понятия экспозици-
онной дозы, поглощенной дозы, эквивалентной дозы, эф-
фективной эквивалентной дозы и коллективной дозы из-
лучения.
Экспозиционная доза используется для характеристи-
ки рентгеновского и гамма-излучений. Экспозиционная
доза определяется как отношение суммарного заряда всех
ионов одного знака (2ф), созданных в воздухе при пол-
ном торможении втор ич н ых электронов и пози-
тронов, образующихся в элементарном объеме ДУ, к мас-
се воздуха Ат в этом объеме:
/>эксп=^-, =
ism
Единицей экспозиционной дозы в СИ является Кл/кг.
Кроме того, широко используется внесистемная единица
экспозиционной дозы — рентген (Р). Рентген связан с еди-
ницей экспозиционной дозы в СИ соотношением: 1 Р =
= 2,57976 • 10-4 Кл/кг.
Экспозиционная доза может быть использована для
расчета поглощенной дозы рентгеновского и гамма-излу-
чений в любом веществе, если известны состав вещества
и энергия излучения.
Поглощенная доза излучения равна энергии ионизи-
рующего излучения, поглощенной единицей массы веще-
ства:
0.= ^-. (13.40)
Поглощенная энергия ионизирующего излучения рас-
ходуется на нагрев вещества, его химические и физические
превращения. Единицей поглощенной дозы в СИ является
один грэй* (Гр). Один грэй определяется как такая погло-
щенная доза излучения, при которой облученному веще-
ству массой 1 кг передается энергия любого излучения,
равная 1 Дж (1 Гр=1 Дж/кг).
* Единица названа в честь английского ученого Л. Грэя (1905—
1965).
517
В радиобиологии и радиационной гигиене широко ис-
пользуется внесистемная единица поглощенной дозы —
рад (1 рад=10-3 Гр).
Для определения степени воздействия различных видов
ионизирующего излучения на биологические объекты ис-
пользуется понятие эквивалентной дозы. Введение поня-
тия эквивалентной дозы обусловлено тем, что величина
биологических эффектов при одной и той же поглощенной
дозе различна для различных видов излучения. Принято
сравнивать биологические эффекты, вызываемые различ-
ными видами излучения (а-, 0-излучение и др.), с эффек-
тами от рентгеновского и у-излучения.
Коэффициент, показывающий, во сколько раз радиа-
ционная опасность при облучении человека для данного
вида излучения выше, чем в случае рентгеновского излу-
чения при одинаковой поглощенной дозе, называется ко-
эффициентом качества излучения (k). Например, коэффи-
циент качества излучения для а-частиц k = 20, для ней-
тронов с энергией 0,5 МэВ k= 10. Эквивалентная доза
Оэкв определяется как произведение коэффициента каче-
ства излучения на поглощенную дозу:
Яэкв = kDn. (13.41)
Единицей эквивалентной дозы в СИ является зиверт*
(Зв). 1 зиверт эквивалентной дозы при k = 1 соответствует
1 грэю поглощенной дозы. При k = 20 (а-частицы) 1 грэй
поглощенной дозы соответствует 20 зивертам эквивален-
тной дозы.
Понятие эффективной эквивалентной дозы вво-
дится для оценки ущерба здоровью человека при нерав-
номерном облучении всего тела или отдельного органа:
Ой = ЛрОэкв', (13.42)
где kp — коэффициент риска, равный отношению ущерба
от облучения органа или тела к ущербу от облучения всего
тела при одинаковых эквивалентных дозах. Коэффициент
риска позволяет рассчитать дозу облучения всего тела,
которая по своим последствиям для здоровья эквивалентна
данной дозе облучения отдельных органов человека. Зна-
чения коэффициентов риска kp для ряда органов и тканей
следующие: для половых желез — 0,25, молочных же-
лез— 0,15, красного костного мозга — 0,12, легких —
0,12, щитовидной железы — 0,03, костей—0,03, остальных
* Единица названа в честь шведского ученого Г. Р. Зизер^. а.
518
органов (тканей) — 0,3. Эффективная эквивалентная до-
за, так же как и эквивалентная доза, измеряется в зи-
вертах.
Для оценки последствий от облучения больших групп
(контингентов) людей используется понятие коллективной
эквивалентной дозы:
п
ркол = 2 мог,
1=1
(13.43)
где DfKB — эквивалентная доза, полученная каждым инди-
видуумом; Ni — число индивидуумов, получивших экви-
валентную дозу DfKB; п — общее число групп индивиду-
умов.
Коллективная эквивалентная доза измеряется в чело-
веко-зивертах.
Биологическое действие ионизирующего излучения.
Ионизирующее излучение представляет собой одно из
редких явлений природы, степень воздействия которого
на организм совершенно неэквивалентна величине погло-
щенной энергии. Например, летальная (смертельная) доза
для млекопитающих составляет 10 Гр, хотя поглощаемая
при этом тканями энергия способна повысить температуру
тела всего на тысячные доли градуса. Более того, непо-
средственные прямые нарушения в химических связях
биомолекул в клетках и тканях, возникающие вслед за
облучением, также ничтожны. Поэтому в настоящее вре-
мя считается, что основной причиной лучевого поражения
являются возникающие в организме после облучения цеп-
ные реакции, которые после возникновения поддержива-
ются независимо от породившей их причины.
На первом этапе взаимодействия ионизирующих излу-
чений с клеткой образуются ионизированные и возбуж-
денные атомы и молекулы, которые в течение 10-6 с
взаимодействуют между собой и с различными молекуляр-
ными системами, давая начало химически активным цен-
трам (свободные радикалы, ионы, ион-радикалы). В тот
же период возможно образование разрывов связей в моле-
кулах как за счет непосредственного взаимодействия с
ионизирующим излучением, так и за счет внутри- и меж-
молекулярной передачи энергии возбуждения. Явления,
возникающие на первом этапе взаимодействия ионизирую-
щего излучения, принято называть пусковыми, поскольку
именно они определяют весь дальнейший ход развития
лучевых поражений.
519
Следующим этапом лучевого воздействия являются
биохимические изменения, которые происходят как через
несколько секунд после облучения, так и через десятиле-
тия. Они могут явиться причиной немедленной гибели
клеток или таких изменений, которые впоследствии могут
привести к онкологическим или наследственным заболе-
ваниям.
В настоящее время установлено, что наиболее чувстви-
тельными к облучению являются красный костный мозг
и другие элементы кроветворной системы, которые теряют
способность нормально функционировать при дозах облу-
чения 0,5—1,0 Гр. Тем не менее если облучению подверг-
лось не все тело, а какая-то его часть, то уцелевших клеток
костного мозга бывает достаточно для полного возмеще-
ния поврежденных клеток.
Репродуктивные органы и глаза человека также отли-
чаются повышенной чувствительностью к радиации. Одно-
кратное облучение при дозе всего 0,1 Гр приводит к вре-
менной стерильности у мужчин, а дозы свыше 2 Гр могут
привести к постоянной стерильности.
Наиболее уязвимой частью глаза является хрусталик.
Погибшие клетки становятся непрозрачными, а разраста-
ние помутневших участков приводит сначала к катаракте,
а затем к полной слепоте. Помутневшие участки могут
образоваться при дозах облучения 2 Гр и менее.
Крайне чувствительны к радиации дети. Относительно
небольшие дозы при облучении хрящевой ткани могут за-
медлить или вовсе остановить у них рост костей, что при-
водит к аномалиям развития скелета. Облучение мозга
ребенка может вызвать изменения в характере, привести
к потере памяти, а у маленьких детей — даже к слабоумию
и идиотии.
Крайне чувствителен к радиации и мозг плода, осо-
бенно если мать подвергается облучению между восьмой
и пятнадцатой неделями беременности.
Большинство тканей взрослого человека значительно
менее чувствительны к радиации. Например, печень может
выдержать дозу 40 Гр, полученную в течение месяца.
Отдаленные последствия воздействия радиации на
человека проявляются главным образом в увеличении
вероятности заболевания раком и возникновении генети-
ческих дефектов. Согласно имеющимся данным, первыми
в группе раковых заболеваний, поражающих население в
результате облучения, стоят лейкозы. Они вызывают ги-
бель людей в среднем через 10 лет с момента облучения —
520
гораздо раньше, чем другие виды раковых заболеваний.
Согласно имеющимся оценкам, при облучении всего тела
дозой 1 Гр из каждой тысячи человек в среднем от лейкоза
погибают двое. Следующими по распространенности рако-
вых заболеваний, вызванных радиацией, являются рак
молочной железы, рак щитовидной железы и рак легкого.
Рак других органов и тканей встречается среди подверг-
шихся облучению людей значительно реже.
Генетические последствия воздействия радиации могут
проявляться на протяжении многих поколений. Согласно
имеющимся оценкам, облучение дозой 1 Гр на поколение
приводит к появлению 2000 серьезных генетических забо-
леваний на каждый миллион новорожденных.
Таким образом, в настоящее время считается твердо
установленным, что радиация по своей природе вредна
для жизни. Малые дозы облучения могут запустить цепь
событий, приводящую к раку или генетическим поврежде-
ниям. При больших дозах радиация может разрушать
клетки, повреждать ткани и явиться причиной скорой ги-
бели организма.
Естественные и искусственные источники радиации.
Все источники радиации, имеющиеся в настоящее время
на нашей планете, можно разделить на естественные, су-
ществующие независимо от воли человека, и искусствен-
ные, созданные человеком.
Основную часть облучения население получает от есте-
ственных источников радиации — земного и космического
происхождения. Большинство из этих источников таковы,
что избежать облучения от них совершенно невозможно.
Человек подвергается облучению двумя способами. Если
облучение происходит от источников радиации, находя-
щихся вне организма, то говорят о внешнем облучении.
Если же облучение человека обусловлено радиоактив-
ными веществами, поступающими в организм вместе с
пищей, воздухом, водой, то такое облучение называется
внутренним.
Земные естественные источники радиации в сумме
ответственны за 5/6 годовой эквивалентной дозы, получае-
мой населением, и только ‘/в годовой эквивалентной дозы
приходится на космическое излучение.
Наиболее весомый вклад в облучение человека из числа
естественных источников облучения вносит невидимый и
не имеющий запаха и вкуса радиоактивный газ — радон
(Rn). На долю радона вместе со всеми дочерними продук-
тами радиоактивного распада приходится 3/4 годовой ин-
521
дивидуальной эквивалентной дозы облучения, получаемой
населением от земных естественных источников радиации,
что составляет примерно половину дозы от всех естествен-
ных источников. Большую часть этой дозы человек полу-
чает от радионуклидов, попадающих в его организм вме-
сте с вдыхаемым воздухом, особенно в непроветриваемых
помещениях.
В природе радон встречается в двух формах: в виде
радона-222 (2^2Rn), образуемого продуктами распада
урана-238, и в виде радона-220 (220Rn), возникающего
при распаде тория.
Радон высвобождается из земной коры повсеместно,
хотя его концентрация в наружном воздухе различна для
разных точек земного шара. Поступая внутрь помещения
через фундамент и пол из грунта или высвобождаясь из
строительных материалов, использованных в конструкции
дома, радон в ряде случаев может давать достаточно вы-
сокие уровни радиации.
Кроме радона, вклад в земную радиацию вносят встре-
чающиеся в горных породах изотопы — калий-40 (40К)
и рубидий-87 (®7Rb). В среднем человек получает в год
около 180 микрозивертов за счет изотопов калия-40, кото-
рый усваивается вместе с нерадиоактивными изотопами
калия. Среди других изотопов определенный, правда,
небольшой вклад в облучение человека от естественных
источников радиации дают изотопы углерода-14 (14С) и
трития (?Н), образующиеся под действием космических
лучей.
Среднегодовая эффективная эквивалентная доза от
всех источников естественной радиации для одного чело-
века составляет 1,991 миллизиверта, распределяясь сле-
дующим образом: внутреннее облучение от источников
земного происхождения— 1,325 миллизиверта, внешнее
облучение от источников земного происхождения — 0,36
миллизиверта, внутреннее облучение от источников косми-
ческого происхождения — 0,015 миллизиверта, внешнее
облучение от источников космического происхождения —
0,3 миллизиверта.
Основной вклад в дозу, получаемую человеком от ис-
кусственных источников радиации, вносят медицинские
процедуры и методы лечения, связанные с применением
радиоактивности и рентгеновских лучей. Общий вклад
в дозу от источников, используемых в медицине, состав-
ляет в среднем 0,4 миллизиверта в год, или примерно 20 %
дозы от всех естественных источников излучения. Наибо-
522
лее распространенным видом излучения, применяющимся
в медицинских целях, являются рентгеновские лучи. Со-
гласно данным по развитым странам, на каждую тысячу
жителей приходится от 300 до 900 обследований в год (без
учета обследования зубов и массовой флюрографии).
Довольно значительный вклад в дозу, получаемую от ме-
дицинских источников, вносят изотопы, применяемые для
исследования различных процессов, протекающих в орга-
низме, а также радиотерапевтические установки, приме-
няемые для лечения онкологических заболеваний.
Средняя годовая эффективная доза от атомной энер-
гетики в условиях безаварийной работы атомных элек-
тростанций крайне невелика и составляет 0,001 миллизи-
верта в год.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ТАБЛИЦЫ СОКРАЩЕННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ,
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ КОНСТАНТ
И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
1.1. МНОЖИТЕЛИ И ПРИСТАВКИ СИ для
ОБРАЗОВАНИЯ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Множители Приставки Обозначение
ю" экса э
ю'5 пета п
ю12 тера т
109 гига г
106 мега м
103 кило к
ю2 гекто г
10 дека да
10“' деци д
10-2 санти с
10"1 милли м
10“6 микро мк
ю-9 нано н
Ю-'2 ПИКО п
10-'5 фемто ф
10-" атто а
1.2. ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
Буквы Название Буквы Название
А а ал ьфа N v НЮ
в ₽ бета 2 £ КСИ
Г У гамма О о омикрон
А 6 дельта П л ПИ
Е Е эпсилон Р р ро
z Q дзэта S о сигма
Н П эта Т т тау
0 ел тхэта Г и ипсилон
I i йота Ф ф фи
К х каппа X X хи
A X ламбда у ф пси
М ц мю Q о) омега
524
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначение
¥=’ =>
S, П
<Х>, X
Дх
Дх — 0
lim
л! = 1 • 2...(л — 1) • л
Произношение
Меньше, равно, больше
Много меньше, много больше
Меньше или равно, больше или равно
Пропорционально, приближенно
Не равно, следует
Сумма, произведение
Среднее от х
Приращение по х
Стремится к нулю
Предел последовательности (функции)
Факториал
Мнимая единица
Комплексное число
Угол прямой
Параллельно, перпендикулярно
1.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Постоянная Обозначение Числовое значение
1 2 3
Гравитационная постоянная Y 6,67-10-" Н-м2-кг~2
Скорость света в вакууме С 3,00- 10е м-с“'
Магнитная постоянная Но 4л • 10-7 Гн•м"1 = = 1.25-10-* Гн • м“‘
Электрическая постоянная ео=1/(нос2) 8,854- 10~12 Ф-м-‘
Постоянная Планка h = 6,626 • 10“34 Дж - с
Атомная единица массы а. е. м. 1,66- 1О-27 кг
Масса покоя электрона те 9,109- 10-3' кг = = 5,486 • 10-4 а. е. м.
Энергия покоя электрона тес2 0,511 МэВ
Масса покоя протона тр 1,673 - 10-27 кг = = 1,007 а. е. м.
Энергия покоя протона трс2 938,3 МэВ
Масса покоя нейтрона тп 1,675- 10-27 кг = = 1,009 а. е. м.
Энергия покоя нейтрона тпс2 939,6 МэВ
Отношение массы протона к массе электрона тр/те 1836,2
Заряд электрона (абс. велич.) е 1,602 - Ю"19 Кл
Отношение заряда е к те е/те 1,759- 10" Кл • кг-1
Магнетон Бора Нб 9,274- 10"24 Дж-Тл~‘
Ядерный магнетон Ня 5,051 • 10-27 Дж-Тл-'
Магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах . Нп/Ня 1,913
Магнитный момент протона в Нр/Ня 2,793
525
Окончание табл. 1.4
1 2 3
ядерных магнетонах Постоянная Авогадро Мд 6,022 • 1023 моль -1
Универсальная газовая по- R 8,314 Дж • моль-1 • К-1
стоянная Постоянная Больцмана k 1,38 - 10-23 Дж-К-1
Объем моля идеального газа v„ 22,41 • 10-3 м3 • моль-1
при нормальных условиях (р = = 1 атм, Т = 273,15 К) Постоянная Фарадея F = eN, 96484,56 Кл • моль-1
Радиус первой боровской ор- do 0,529 • Ю-10 м
биты Постоянная Ридберга R OO 10973731,77 м-1
R = с/?» 3,29- 101й с-1
Постоянная Стефана — Боль- о 5,67 - 10—8 Вт-м-2-К4
цмана Постоянная закона смещения b 2,90- 10-3 м-К
Вина Комптоновская длина волны XK 2,42- 10-12 м
электрона Энергетические эквиваленты: 1 а. е. м. 1 электрон-вольт Энергетический эквивалент света: 1 люмен 931,5 МэВ 1,602- IO-19 Дж 0,00146 Вт
1.5. ТАБЛИЦА ВАЖНЕЙШИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
И ИХ ЕДИНИЦ (в СИ)
Название Определяющее уравнение Единица
1 2 3
Электрический заряд Электрическая постоян- ная Магнитная постоянная Напряженность элект- рического поля Индукция магнитного поля Потенциал электроста- тический в Со hi т S II II II й II II 5 < S * ~ * £ - со II =4? II II ' “ II 7 II • -i « X е." И 1 S || ^•tJjJi .-Л || ж * 'ч < 5 II 5 И X X II Е(
526
Продолжение табл. 1.5
1 2 3
/\
Поток вектора Е 0e = EScos(E, п) В • м
Электрический диполь- Pe = ql Кл • м
ный момент
Плотность заряда:
линейная X = dq/dl Кл • м “1
поверхностная а = dq/dS Кл • м~2
объемная р = dq/dV Кл • м-3
Магнитный дипольный Pm = IS А • м2
момент
Поток вектора В, или 0m = BScos(Bifn) Тл -м2 = Вб
магнитный поток
Плотность тока j — dl/dS А • м-2
Диэлектрическая про- г = Ео/Е —
ницаемость
Поляризованность, или Р = ДРе/(ДЮ Кл•м-2
вектор поляризации
Диэлектрическая вое- x = P/(eo£) —
приимчивость
Поляризуемость моле- а = x/n м3
кулы
Электрическое смеще- D — eqE -|- P = eoe£ Ф • м —1 • В • м~1 =
ние = Кл • м “2
Электроемкость С=?/ф Кл-В_,=Ф
Электродвижущая си- z=A/q Дж-Кл_, = В
ла (ЭДС)
Электрическое сопро- R = U/l В-А~* =Ом
тивление
Удельное сопротивле- p = RS/1 Ом • м
ние
Удельная электриче- Y= 1/P (Ом • м) _|
ская проводимость
Магнитная проницае- P = В/Во —
мость
Намагниченность I = bpm/(bV) А • м_|
Магнитная восприим- Хв = Pol/B —
чивость
Напряженность маг- H = B/po -j = А • м~* =
нитного поля = £/(Pop) = Тл • Гн-1 • м
Орбитальное гиромаг- g = e/(2me) Кл •кг-1
нитное отношение
Магнетон Бора Рб = eh/(2me) Дж . Тл-1 =
= Кл • Дж • с • кг-1
Индуктивность Е=Ф/1 Вб-А"1 =
= В • с • А-1 = Гн
Поток энергии фэ = ДН7(Д/) Дж • с-1 = Вт
Энергетическая свети- R3 = d®3/dS Вт•м-2
мость
Испускательная спо- rv = dR3/dv Вт•м-2 •с-1
собность
527
Окончание табл. 1.5
1 2 3
Оптическая длина пути Оптическая сила по- верхности Волновое число Энергетическая сила света Энергетическая освещен- ность Энергетическая яркость Экспозиционная доза Поглощенная доза Эквивалентная доза Мощность поглощен- ной дозы Активность радиоактив- ного препарата О О Сй Гй аг О t" 1 Н111 II 11 u а. > II > || ь. § а = ~ — > Go < 3 Ю м м_| м-1 Вт • ср-1 Вт • м —2 Вт • ср-1 • м“2 Кл •кг-1 Дж • кг-1 = Гр (грей) Дж-кг_| =3в(зиверт) Гр • с — 1 = Вт • кг — 1 Бк = 1/с = с-1
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
11.1 . ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
J<F __ р«₽ _1_ р-«Ф
sin ф =-------------; cos ф =-------—------
т 2/ т 2
ctg ф = ——---------г-Ц
6 е™ — е~“*
• е* - е"*
tgq> =

sha =
cha =
ea + <?-a
2
tha =
ea — e
ea + e“a
L(a) = cth a--— — функция Ланжевена;
е±нр _ cos i sjn ф — формула Эйлера;
Ree±,<F = cos ф; Im = e±ut = ±sin ф,
где Re и Im — символы соответственно действительной и мнимой частей
комплексного числа z = е±,ф.
Связь гиперболических и тригонометрических функций:
sh(Za) = i sin a; ch(«х) = cos a; th(Za) = i tg a, cth(Za) = — i ctg a.
528
11.2 . НЕКОТОРЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
е ^x2dx =-\ /----интеграл Пуассона;
V Р
/, = ( хе~^“ dx = — ; /2 = -
J 2₽
О

/3=-----— =(х3е dx\
J
о
оо оо
Sxdx _ л2 Г x3dx _ л4
ех — 1 “ ~б”’ J ех — \ ~ 77
о о
11.3 . ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ГАМИЛЬТОНА
И ЛАПЛАСА В НЕКОТОРЫХ
СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Оператор
Выражения для
оператора
Система
координат
Гамильто-
на
Декартова
Лапласа
Лапласа
1_LZ d A I 1 d2 I д2
р др \ др/ р2 0ф2 dz2
Декартова
Цилиндрическая
Лапласа
—2“------~(sin +
г2 sin 0 00 \ 00/
1 02
г2 sin2 0 0ф2
Сферическая
529
11.4 . СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Виды произведений векторов Формула
Скалярное а • b = ab cos(afb)
Векторное с = а X b с = ab sin (а, Ь)
Смешанное а • (b X с) = с • (а X b) = b • (с X а)
Двойное а X (b X с) = Ь(а • с) — с (а • Ь)
11.5 . НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО
АНАЛИЗА
Правила действия оператора Гамиль-
тона на скалярные и векторные функ-
ции в декартовой системе координат
Формула
V ф(х, у, z) — градиент скаляр- ной функции ф(х, у, z) grad’,= ^,+ ^)+35k
V • А(х, у, z) — дивергенция вектора А(х, у, z) div4 = ^ + ^L + дх ду dz
V X А(х, у, z) — ротор вектора А(х, у, z) / дАг дАу\ rot А = ( -ч 1 1 + \ ду дг } / дА, дАг \ . , / дАу _ дЛ,\ + ( дх ду )
§AndS = J div AdV — теорема Остроградского — Гаусса (преобразует
s v
поток вектора А через замкнутую поверхность S в интеграл от div А
по объему К, заключенному внутри этой поверхности)
фД . d\ = J(rot A)ndS — теорема Стокса (преобразует циркуляцию
L S
вектора А по замкнутому контуру L в интеграл от (rot А)л по произволь-
ной поверхности S, которая натянута на контур L, т. е. в поток вектора
rot А через поверхность S)
530
III. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
111. 1. диэлектрическая проницаемость
ВЕЩЕСТВ (ЖИДКОСТИ ПРИ 18 °C)
Материал е Материал е
Бумага (сухая) 1,2—3,0 Поваренная соль 5,9
Вода 81 Резина твердая 2,5—3,5
Воздух (при нормаль- 1,0006 Сегнетова соль 10 000
ных условиях) Сера 4
Воск 7,8 Слюда 4,5—8,0
Дерево 2,5—10 Стекло 5,0—16,5
Германий 16 Фарфор 5,7—6,3
Кварц 4,5 Эбонит 2,6
Керамика (с ВаО) 1000 Янтарь 2,7—2,9
Керосин 2,0 Ацетон 21,5
Кремний 12 Бензол 2,3
Лед* 3,1 Нитробензол 36,4
Мрамор 8,5—14,0 Метиловый спирт 32
Парафин 2,0—2,3 Толуол Трансформаторное масло 2,4 2,2—2,5
* При t= —18 °C
III. 2. ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ (а) НЕКОТОРЫХ АТОМОВ,
ИОНОВ И МОЛЕКУЛ
Атом, ион или молекула a • IO30, m3
в газовой фазе в кристалле в водном растворе
1 2 3 4
н 0,66
Na 27,00
Cs 42,00
Не 0,21
О 0,15
Na + 0,17 0,41
Cs+ 2,35 3,34
cr 3,05 2,96
SO4-~ 4,10
О-- 1,80
Na + 0,079
531
Окончание
Cs+ 2,59
nh4+ 1,71
cr 3,59
so4-- 5,83
n2 1,74
NH3 2,40
(аммиак)
SO2 4,20
HgCl2 11,6
co2 2,90
C6H6 10,40
(бензол)
С3Н8 6,30
(пропан)
С3Н80з 9,90
(глицерин)
111.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ре МОЛЕКУЛ
НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
Вещество Формула ре • ю30, Кл • м
Азот, водород, кислород n2, н2, 02 0
Аммиак NH3 5,0
Бромистый водород НВг 2,6
Вода Н2О 6,2
Оксид углерода СО 0,4
Хлористый водород НС1 3,4
Хлористый метан CH3C1 6,6
Хлороформ СНС13 3,4
Этиловый эфир (С2н5)2о 3,8
111.4. УДЕЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ р
(при 20 °C)
Проводники р. Ом • м Изоляторы р, Ом • м (примерное значение)
1 2 3 4
Алюминий Вольфрам Графит ОО СЛ ЬО О СЛ ООО 1 1 1 О) оо оо Бензол Бумага Вода (дистиллиро- ванная) 1015—1016 1015 10"
532
Окончание
1 2 1 3 1 1 4
Железо чистое 1,0- 10“7 Вода морская 0,3
Золото 2,2- 10“8 Дерево сухое 109—10”
Константан 5,0- 10-7 Земля влажная ю2
Литая сталь 1,3 - 10-7 Кварцевое стекло ю'8
Магний 4,4- 10“8 Керосин ю10—ю12
Манганин 4,3- 10“7 Мрамор ю8
Медь 1,72- 10“8 Парафин 10й—ю'6
Молибден 5,4 • 10-8 Плексиглас ю'3
Никель 8,7- 10“8 Полистирол ю18
Нихром 1,12- КГ6 Полихлорвинил ю13
Олово 1,2- 10-7 Полиэтилен 10'°—ю13
Платина 1,07- 10“7 Слюда 10”
Ртуть 9,6- 10"7 Стекло 10"
Свинец 2,08 • 10“7 Трансформаторное Ю10— ю'2
масло
Серебро 1,6- 10~8 Фарфор ю"
Угольные щетки 4- 10“5 Эбонит ю18
Цинк 5,9- 10-8 Янтарь ю18
111.5. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ а
СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ 20 °C
Металл а • 103, К-1 Металл а • 103, К"1
Алюминий 4,3 Ртуть 0,92
Вольфрам 4,1 Свинец 4,10
Железо 6,2 Серебро 3,80
Золото 3,9 Константан 0,03
Медь 3,8 Манганин 0,02
Никель 6,5 Нел ьзильбер 0,33
Платина 3,9 Никелин 0,23
Нихром 0,25
111.6. МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ц НЕКОТОРЫХ
ПАРА- И ДИАМАГНЕТИКОВ
Парамагнетики (И— 1)-ю6 Диамагнетики (l-lij.io*
Азот 0,013 Бензол 7,5
Алюминий 21 Висмут 176
Воздух 0,38 Вода 9,0
Вольфрам 176 Водород 0,063
Кислород 1,8 Кварц 15,1
Кислород жидкий 3400 Каменная соль 12,6
Платина 360 Медь 10,3
Эбонит 14 Стекло 12,6
Углекислый газ 5,3
533
III.7. ТЕМПЕРАТУРА КЮРИ Тс, НАМАГНИЧЕННОСТЬ НАСЫЩЕ-
НИЯ /„ас И МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ц
Ферромагнетик rc, К /нас. КГ5, А-м-' и
Г адолиний 293 19,8
Железо 1043 17,5 <22 000
Кобальт 1388 14,5 <240
Магнетит (Fe3O4) 858 5,1
Никель 627 5,1 <150
Си2А1Мп 630 72,6
CoFe2O4 793 4,75
EuO 77 19,1
CuFe2O4 728 1,6
СгВгз 37 2,7
GdCl3 2,2 5,5
111.8. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ рт НЕКОТОРЫХ АТОМОВ,
МОЛЕКУЛ ИЛИ ИОНОВ
Атом, ион или молекула рт • 102\ А • м2
no2 16,06
s2 26,23
NO 17,04
о2 25,80
Мп 53,90
Fe3 + 49,20
Ni2 + 29,94
Сг3 + 35,35
111.9. РАБОТА ВЫХОДА А ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛОВ
И ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Металл или полупроводник А, эВ Металл или полупроводник А, эВ
Барий 2,40 Медь 4,40
Вольфрам 4,54 Натрий 2,35
Галлий 4,00 Никель 4,50
Германий 4,76 Платина 5,30
Железо 4,30 Ртуть 4,50
Золото 4,30 Селен 4,72
Калий 2,20 Серебро 4,30
Кремний 4,80 Цезий 1,80
Литий 2,40 Цинк 4,24
534
111.10. ТЕРМОЭДС Е И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТЕРМОЭДС
de/dt ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТЕРМОПАР
л/, к Константан — Си Константан — Fe Нихром — Ni
е, мкВ мкВ/К at е, мкВ de мкВ/K dt е, мкВ de мкВ/K dt
о о 0 0
20 0,76 41 0,82 40,6
100 4,1 41 5,15 51,5 4^07 40^6
200 8,8 47 10,48 53,3 8,12 40,5
300 14,1 53 15,77 52,9 12,22 41,0
400 19,9 58 20,96 51,9 16,32 41,0
500 26,3 64 26,12 51,6 20,62 43,0
600 — — 31,47 53,5 24,87 42,5
700 — — 31,15 56,8 29,12 42,5
800 — — 43,25 61,0 33,12 40,0
900 — — 49,26 61,1 37,27 41,5
1000 — — — 41,45 41,8
111.11. ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
Материал k, мг/Кл Материал k, мг/Кл
Алюминий 0,0940 Никель 0,304
Водород 0,0104 Свинец 1,073
Кислород 0,0828 Серебро 1,118
Медь 0,3290 Хлор 0,367
Железо 0,2900 Ртуть 2,080
111.12. ПОДВИЖНОСТИ Ь+ и Ь- НЕКОТОРЫХ ИОНОВ В ГАЗАХ
(при р=105 Па и / = 18 °C) И ЭЛЕКТРОЛИТАХ
Газ Положительные ионы Ь+, м2•с-1 • В-1 Отрицательные ионы Ь-, м2 • с- 1 • В- 1
Ионы в газах
Водород 5,91 • 10"4 8,26- 10-4
Кислород 1,29- 10” 1,79- 10”
Азот 1,27- 10” 1,84- 10"4
Аргон 1,37- 10” 1,70- 10”
Окись углерода 1,10- 10” 1,14- 10”
Хлор 0,65- Ю"4 0,51 • 10”
Водяной пар (100 °C) 0,62- 10"4 0.51 • 10”
Ионы в электролитах
NO3“ 6,4-10”
Н + 32,6- 10”
К + 6,7- 10”
СГ 6,8- 10”
Ag + 5.6- IO”8 —
535
111.13. ПОКАЗАТЕЛИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ п НЕКОТОРЫХ
ВЕЩЕСТВ ДЛЯ ЖЕЛТОЙ ЛИНИИ НАТРИЯ
(л =589,3 нм)
Вещество п Вещество п
Алмаз 2,417 Полистирол 1,592
Анилин 1,586 Рубин 1,76
Ацетон 1,359 Раствор сахара в
Бензины 1,38—1,41 воде:
Бензол 1,501 20 °C 1,364
Вода 1,333 80 °C 1,490
Глицерин 1,474 Сахар 1,56
Гранат 1,74—1,89 Серная кислота 1,43
Желатин 1,525 Скипидар 1,460—1,478
Каменная соль 1,544 Соляная кислота 1,254
Канадский бальзам 1,55 Спирты:
Касторовое масло 1,48 метиловый 1,329
Кварц 1,544 этиловый 1,361
Корунд 1,769 Слюда 1,56—1,60
Лед (-4-0 °C) 1,31 Стекло:
Льняное масло 1,47 кварцевое 1,458
Нафталин (100 °C) 1,582 обычное 1,48—1,53
Органическое 1,485—1,500 оптическое 1,47—2,04
стекло Толуол 1,497
Трансформаторное 1,476—1,488
масло
Топаз 1,63
Эфир 1,354
Шпат (исланд- ио = 1,659;
ский) ие= 1,486
Янтарь 1,532
111.14. ЗАВИСИМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ п СРЕДЫ
ОТ ДЛИНЫ ВОЛНЫ Л СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Длина волны X, нм Цвет Среда
стекло (тяжелый флинт) стекло (легкий крон) вода (при 20 °C) каменная соль
656,3 Красный 1,6444 1,5145 1,3311 1,5407
589,3 Желтый 1,6499 1,5170 1,3330 1,5443
546,1 Зеленый 1,6546 1,5191 1,3345 1,5475
480,0 Синий 1,6648 1,5235 1,3374 1,5541
404,7 Фиолетовый 1,6852 1,5318 1,3428 1,5665
536
III. 15. МАССЫ НЕКОТОРЫХ НЕЙТРАЛЬНЫХ ИЗОТОПОВ
В АТОМНЫХ ЕДИНИЦАХ МАССЫ
Изотоп Масса, а. е. м. Изотоп Масса, a. e. m.
on1 1,00867 7n13 13,00574
1Н1 1,00783 7Nu 14,00307
|Н2 2,01410 8О16 16,99491
,н3 3,01605 8О17 16,99913
2Не3 3,01603 9F19 18,99840
2Не4 4,00260 11 Na23 22,98977
3Li6 6,01513 i2Mg23 22,99414
3Li7 7,01601 i3Ar° 29,99817
«Be7 7,01693 i«Si31 30,97535
«Ве9 9,01219 isP31 30,97376
4Ве'° 10,01354 isK41 40,96184
5В9 9,01333 82Pb206 205,97446
5В'° 10,01294 84PO210 209,88297
бС12 12,00000 92u235 235,04253
бС13 13,00335 92u238 238,04947
бСи 14,00324
111.16. ПЕРИОДЫ ПОЛУРАСПАДА НЕКОТОРЫХ
РАДИОАКТИВНЫХ ИЗОТОПОВ
Изотоп Тип распада Период полураспада, Т\/2
Актиний вэАс225 а 10 сут
Америций 9sAm241 а. Y 430 лет
Иод 5з1131 ₽ . У 8 сут
Иридий 7?1г192 ₽ . У 75 сут
Кобальт 27С060 Г. У 5,3 года
Магний i2Mg27 ₽“ 10 мин
Плутоний 9оР239 У 2,4- 104 лет
Плутоний эоР240 а, У 6537 лет
Радий eeRa219 а 10"3 с
Радий 8eRa226 а. У 1620 лет
Радон eeRn222 а 3,8 сут
Стронций 3eSr89 Г 5,1 сут
Стронций 3eSr90 г 28 лет
Торий 9oTh229 а, У 7000 лет
Уран 92U238 о. Y 4,5 • 109 лет
Фосфор 15Р32 г 14,3 сут
Цезий 55CS134 У 2,1 сут
Цезий 5sCs137 У 30 лет
Цирконий 4oZr95 У 65 сут
ЛИТЕРАТУРА
Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики:
В 3 т.— М.: Высш, шк., 1977.—Т. 1.
Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики:
В 3 т.— М.: Высш, шк., 1977.— Т. 2.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: В 3 т.— М.: Высш, шк.,
1979.— Т. 3.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики.— М.: Высш, шк., 1989.
Джанколи Д. Физика: Пер. с англ.: В 2 т.— М.: Мир, 1989.—
Т. 1—2.
Дубровский И. М., Егоров Б. В., Рябошапка К. П. Справочник по
физике.— Киев: Наук, думка, 1986.
Наркевич И. И., Волмянский Э. И., Лобко С. И. Физика для втузов.
Механика. Молекулярная физика.— Мн.: Выш. шк., 1992.
Орир Дж. Физика: Пер. с англ.: В 2 т.— М.: Мир, 1981.— Т. 1—2.
Савельев И. В. Курс физики: В 3 т.— М.: Наука, 1989.— Т. 1.
Савельев И. В. Курс физики: В 3 т.— М.: Наука, 1989.— Т. 2.
Савельев И. В. Курс физики: В 3 т.— М.: Наука, 1989.— Т. 3.
Трофимова Т. И. Курс физики.— М.: Высш, шк., 1990.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Аддитивная характеристика 34
Активная зона реактора 497
Альфа-распад 501, 502
Анализатор 324
Анализ рентгеноструктурный 306
Анизотропия диамагнитной вос-
приимчивости 466
— оптическая 331, 332
— — естественная 331
— — искусственная 331
Антиферромагнетики 143, 144
Античастицы 506
Астигматизм 261
Баллистический гальванометр 165,
166
Беккерель 509
Бета-распад 506
Бета-спектр 507
Бетатроны 25
Бипризма Френеля 277
Бозоны 353
Вебер 65
Веберметр (флюксметр) 166, 167
Вектор плотности тока 80, 81
— Умова 234 •
— Умова — Пойнтинга 222, 238
Вещества оптически активные 333,
334
Взаимодействие спин-орбитальное
382
Вибратор Герца 218, 219
Вихревые токи (токи Фуко) 160,
161
Внешний фотоэффект 185
Волна световая опорная 307
— — предметная 307
— эллиптически поляризованная
левая 320
— — — правая 320
Волноводы 236
Волновое сопротивление контура
Томсона 212—218
Волны когерентные 270, 271
— линейно поляризованные (плос-
кополяризованные) 264
— некогерентные 270, 271
— продольно-поперечные 236
Вольт 28
Вольтов ряд 181
Время разрешения 513
* Составила С. Ю. Липец
539
— релаксации 104 Вторичная электронная эмиссия 351 Вырождение уровней энергии 378 Директор 453 Дискотики 455 Дисперсия 301 — линейная 301 — угловая 301 — света 309
Гальванический элемент 119 Гамма-излучение 508 Генри 151 Гиромагнитной эффект 144 — — обратный 144, 145 — — прямой 144, 145 Гистерезис 95 Главная оптическая ось линзы 255, 259 Главное сечение (главная плос- кость) кристалла 325 — фокусное расстояние 257 Главные максимумы для дифрак- ционной решетки 299 Главный фокус преломляющей по- верхности 257 Голограмма 307 Голография 306 Граница серии Бальмера 363 Грэй 517 — — аномальная 310, 311 — — нормальная 310, 311 — — относительная 311 — — средняя 311 Дифракционная решетка 298, 309 — — отражательная 302 — — пропускающая 302 Дифракция рентгеновских лучей 302 — света 300 — Фраунгофера 288 — Френеля 288 Дихроизм поглощения 331 Диэлектрики 83 — ионные кристаллические 83 — неполярные 83 — полярные 83 Диэлектрическая проницаемость 86 Добротность контура 217
Давление света 266—268 Дальний ориентационный порядок, 453 Дебаевский радиус 198 Дебаеграмма 305 Деление ядра 494 — асимметричное 496 — — симметричное 496 Дефект массы 485 Деформация ориентационная 461, 462 Диамагнетики 85, 139 Дивергенция 49 — индукции 79 Динамическое рассеяние света 479 Диноды (эмиттеры) 351 Диоптрия 261 Диполи квазиупругие 88 Доза излучения поглощения 517 — — эквивалентная 518 — — — коллективная 519 — — — эффективная 518 — — экспозиционная 517 Домены 98 — Капустина — Вильямса 474 — магнитные 143 — электрические 142 Дополнительные минимумы 299 Дуа нт 24 Дырки 421 Емкость аккумулятора 121 Закон Ампера 55—95 — Био — Савара — Лапласа 58, 150
540
— Брэгга — Вульфа 480
— Брюстера 325
— Бугера — Ламберта (поглоще-
ния света) 310
— Видемана — Франца 173
— Вольты второй 181
— — первый 181
— Джоуля — Ленца 125
— Кирхгофа 339, 340
— Кольрауша 200
— Кулона 9, 10
— Малюса 323
— Ома 122—124
— отражения света 245—251
— полного тока 131, 133, 225
— — — в веществе (теорема о
циркуляции напряженности маг-
нитного поля) 131—133
— преломления света 249
— радиоактивного распада 505
— смещения Вина 342
— сохранения заряда 7
— — импульса 356
— — энергии 356, 502
— Стефана — Больцмана 341
— «трех вторых» 186
— Фарадея 147
— — второй 192
— — объединенный 193
— — первый 192
— Фарадея — Ленца (электро-
магнитной индукции) 146—148,
159
Замедлитель нейтронов 497
Зарядовое число ядра 483
Заряды индуцированные (наведен-
ные) 104
Зона валентная 415
— запрещенная 415
— проводимости 415
— энергетическая 412
Излучение вынужденное (индуци-
рованное) 276
— ионизирующее 510
— радиоактивное 501
— рентгеновское 303
— — тормозное 223
— синхронное 223
— тепловое 336
— — неравновесное (люмине-
сценция) 337
— — равновесное 337
— циклотронное 223
— Черенкова 223, 224
Измерительная цепь 163
Измерительный механизм 163
— — магнитоэлектрический 163
— — электродинамический 168
— — электромагнитный 167
Изобары 483
Изображение действительное 248
— мнимое 248, 309
— стигматическое 261
Изотопы 483
Импенданс контура (полное сопро-
тивление контура) 214
Импульс фотона 353
Инвариантность 8
Индуктивность 150
— динамическая 152
— контура 150
Индуктор 219
Интенсивность света 265
— световой волны 266
Интерференционная идея 289
Интерференционный рефракто-
метр 287
Интерференция света 268—272
Интерферометр Майкельсона 286
Интерферометры 286
Ионизация газов 201—203
Испускательная способность 337
Источник света точечный 239
— — — изотропный 240
— — — неизотропный 240
— — — протяженный (неточеч-
ный) 241
Источники ламбертовские 242
541
— радиации естественные 521
— — искусственные 521
— света когерентные 277
— — некогерентные 277
Кандела 243
Квантование 7, 374
Квантовое число главное 366, 374
— — магнитное 374
— — орбитальное 374
— — четвертое (магнитное спи-
новое) 381
Квантовый ротатор 407
Когерентность 269, 270, 272
Колебания ядер нормальные 406
Коллектор 436
Конденсатор 108
Константы Франка 463
Контактная разность потенциалов
179—182, 432
Контур идеальный 208
— колебательный закрытый 218
— — открытый 219
— Томсона 212
Концепция близкодействия 15
Корона 206
— отрицательная 206
— положительная 206
Коэффициент вторичной эмиссии
190, 351
— диссоциации 194
— качества излучения 518
— линейной передачи энергии
(удельные ионизационные по-
тери) 510
— Пельтье 183
— прозрачности 413
— размножения нейтронов 497
— риска 518
Красная граница фотоэффекта 348
Кристаллы двуосные 325
— жидкие 452
— — лиотропные 454
— — нематические (нематики)
455—458
542
— — смектические (смектики)
455, 458, 459
— — термотропные 454
— — холестерические (холесте-
рики) 455, 459, 460
— одноосные 326
Критическая температура 124, 447
Кручение 463
Кулон 7
Кюри 509
Лауэграмма 305
Линейное увеличение предмета 262
Линейный коэффициент ослабле-
ния 512
Линзы (оптические стекла) 255
— оптические 258, 259
— рассеивающие 258, 259, 261
— собирающие 258, 259
— тонкие сферические 259
Линии серии Бальмера 363
Луч 245
— необыкновенный 325
— обыкновенный 325
Лучи параксиальные 246
Люкс 244
Люмен 244
Люминофоры 337
Магнетики 84, 129
Магнетон Бора 136
Магнитная восприимчивость 134
— индукция 15, 17
— проницаемость 130
— сила 11
Магнитный момент 140
Магнитострикция 145
Макромолекула 398
Масса молекулярная 399
— фотона 352
— эффективная 424, 425
— — отрицательная 425
— — положительная 425
Массовое число 483
Масс-спектрометр 484
Мезофаза (мезоморфное состоя-
ние) 453
Метод Дебая — Шерера 305
— задерживающего потенциала
369
— зеркал Френеля 276
— «зеркального изображения» 178
— зон Френеля 290—300
— «качающегося кристалла» 305
— «крюков» Рождественского 316
— скрещенных призм 315
Микроинтерферометр Линника 287
Микротоки 129
Модель атомов планетарная (Ре-
зерфорда) 359—362
— водородоподобного атома по
Бору 364
— ядра гидродинамическая (ка-
пельная) 488, 489
— — обобщенная 492
— — оболочечная 489—492
Модификации вещества левовра-
щающие 334
— — правовращающие 334
Модуль изгиба 463
— кручения 464
— упругости 464
Молекула 398
Молекулы амфифильные 455
— многоатомные 403
— хиральные 460
Молния 205
Момент ядра 486
Намагниченность 129—132
Напряжение зажигания газового
разряда 204
— моментное 462
Напряженность электрического по-
ля 15
Нейтрино 508
Нейтрон 482
Носители заряда 55
Нуклоны 482
Облучение внешнее 521
— внутреннее 521
Омы 122
Оператор Гамильтона 29
Оптика 237
— волоконная 236
Оптическая длина пути луча 252,
253
— ось кристалла 325
— сила линзы 260
Освещенность (облученность) 240
Основная кривая намагничивания
142
— — поляризации сегнетоэлект-
рика 96
— теорема электростатики 32
Остов ядра 492
Ось зеркала 246
— молекулы 404
— спирали 459
Относительная спектральная чув-
ствительность (кривая видно-
сти) 243
Отражатель нейтронов 497
Отражение полное внутреннее 250,
329
— света селективное 481
Парамагнетики 85, 141
Первый боровский радиус 366
Переход Фредерика 471
— электронно-дырочный 431
Период полураспада 505
Петля гистерезиса 142
Плазма 202
— ионная 207
Плоскость молекулы 404
— пропускания поляризатора 322
Плотность распределения заряда 7
543
Показатель дисперсии 311
— преломления 245, 312
— — абсолютный 245
— — относительный 245
Поле магнитное вихревое 79
— — безвихревое 51
— магнитостатическое 54
Полоса спектра поглощения света
310
Полосы равного наклона 281, 282
— равной толщины 281, 282
— спектра вращательные 409
— — колебательно-вращатель-
ные 409
— — электронно-колебательно-
вращательные 409
Полупроводники 84, 420—431
— примесные (искусственные)
420—422
— собственные (естественные)
420—422
Поля макроскопические 85
Поляризаторы 322, 328
Поляризационные заряды 87
— процессы 121
Поляризация диэлектриков 87
— — кристаллических 95
— — полярных ориентационная
91
— — — электронная 91
— круговая 318, 320
— света 318—336
Поляризованность (вектор поляри-
зации) 89
Поляриметры (сахариметры) 335
Поляроид 331
Пороговая кинетическая энергия
493
Постоянная Верде (удельное маг-
нитное вращение) 335
— Вина 342
— — вторая 342
— дифракционной решетки 298
— распада 504
— Ридберга 363, 367
— Стефана — Больцмана 341
— Фарадея 193
— Холла 176—177
Постулаты Бора 364
Потенциал ионизации 202
— поля точечного заряда 28
— электростатического поля 28
Поток вектора 29, 64
— — магнитной индукции 64, 65
— заряженных частиц стационар-
ный 54
— излучения (лучистый) 239
— световой 243
— энергии 238
Потокосцепление 148
Правила Кирхгофа 126—128
— отбора 397
Правило буравчика 60
— знаков для ЭДС в контуре 127
— квантования орбит Бора 365
— елевой руки> 57
— Ленца 147
— отбора 397
— Прево 340
— циклической замены индексов
50, 51
Прецессия Лармора 137
Приближение адиабатическое 401,
410
— — для электрона 401
— одноэлектронное 386
Призма Аренса 330
— Николя (николь) 329
Примеси 421
Принцип Гюйгенса 288
— Гюйгенса — Френеля 288, 290
— запрета Паули 386
— матричного экрана 479
— суперпозиции 33, 38, 269
— Ферма 253
Пробег частиц 510
Пробивное напряжение 109
Пробный заряд 17
Проводимость дырочная 421
— п-типа 422
544
— p-типа 423
— электрическая 427
Проводники 83
— второго рода 83
— первого рода 83
Продольный изгиб 464
Просветление оптики 287
Пространственное квантование мо-
мента импульса 377
Протон 482
Пузырьковая камера 516
Пьезодатчики 102
Пьезоэлектрический эффект 102,
103
Работа выхода 178, 348, 349
Рад 518
Радиационная защита 497
Радиоактивность 501
— естественная 501
— искусственная 501
Радиус Бора 366
Разрешающая сила 302
Разряд в газах 203—207
— — несамостоятельный 203
— — самостоятельный 204
— — — дуговой 206
— — — искровой 205, 206
— — — коронный 206
— — — тлеющий 204
Реактивность атомных ядер 500
Реакция деления ядра 494—497
Резонанс напряжений 215
Резонансные кривые 214
Рекомбинация 193
— носителей заряда 431
Рентген 517
Ротор вектора 51
— индукции 81
«Самовоздействие» заряда 35
Свет линейно поляризованный 318
— плоскополяризованный 318
— поляризованный 318
— — по кругу 318
— эллиптически поляризованный
318
Сверхпроводимость 447
— высокотемпературная 451
— низкотемпературная 451
Сверхпроводники второго рода 449
— первого рода 449
Светимость (излучательность) 241
Световод 236
Светодиоды 438
Свинцовый аккумулятор 121
Свободные носители заряда 83
Свойства обратимости хода свето-
вых лучей 249
Связанные заряды 85
Связь Рассела — Саундерса
(LS-связь) 389
— сильная (//-связь) 389
— химическая в молекулах ионная
(гетерополяркая) 399, 400
— — — ковалентная (гомеопо-
лярная) 399, 400
— — — — двойная 400
— —------одинарная 400
— — — — тройная 400
Сегнетоэлектрики 83, 95
Серия Бальмера 363
— Брэкета 363
— Лаймана 363, 369
— Пашена 363
— Пфунда 363
— Хэмфри 363
Сила Ампера 56
— Лоренца 148, 149
Силовая характеристика магнит-
ного поля 15, 58
Синхротроны 25
Синхрофазотроны 25
Система регулирования цепной
реакции 497
Скин-эффект 161, 162
Скорость волны 233
— электрического дрейфа зарядов
Слабое взаимодействие 508
Собственно диэлектрики 419
Соленоид 69
Солнечные батареи 352
Сольватные оболочки 194
Сопротивление емкостное 159
— индуктивное 159
Состояние атома возбужденное
367
— — основное (невозбужденное)
366
— металла нормальное 444
— — сверхпроводящее 447—449
— электрона синглетное 403
— — триплетное 403
Спектр испускания 409
— поглощения 310, 409
— — атома водорода 362—365,
368
— призматический (дисперсион-
ный) 311
Спектроскопия рентгеновская 306
Спин 138, 353, 486
Способность тела отражательная
338
— — поглощательная 339
Сродство к электрону 393, 399
Стеклянная стопа (стопа Столе-
това) 328
Стерадиан 240
Сторонние силы 116
Структурная формула 399
Схема включения с общим эмит-
тером 437
Схемы интегральные 438
Счетчик кристаллический 514
— полупроводниковый 515
— пропорциональный 514
— сцинтилляционный 515
Счетчики Черенкова 225
Таутохронизм 262
Таутохронные пути лучей 263
Твист-текстур а 460
Твист-эффект 473
Текстура гомеотропная 457
— планарная 457
Тело абсолютно черное 339
— серое 339
Теорема Гаусса 47, 52, 225
— — для индукции 65, 79
— — для напряженности 32
— — для поля системы зарядов
35
— Остроградского — Гаусса 49
— Стокса 51
Теория дальнодействия 14
— дисперсии электронная эле-
ментарная 312—315
— Друде — Лоренца 170—177
— кристаллов зонная 411—417
Тепловые нейтроны 497
Теплоноситель 497
Теплота Пельтье 183
— Томсона 184
Термисторы 439
Термогенераторы 183
Термопады 183
Термоэлектродвижущая сила 182,
183
Ток индукционный 146
— квазистационарный 156
— конвекционный 113
— насыщения 186
— поверхностный молекулярный
130
— проводимости ИЗ
— смещения 227, 228
— электрический переменный 156
Тороид 68
Точка Кюри 143
— — антиферромагнитная (точка
Нееля) 144
Транзистор 436
Трубки Кубецкого 351
Турмалин 331
546
Угол отражения 245
— падения 245
— предельный внутреннего отра-
жения 251
— преломления 245
— скольжения 303
Удельная плотность ионизации 510
Удельное вращение 334
Удельный заряд 7
«Ультрафиолетовая катастрофа»
343
Уравнение неразрывности для
электрического тока 114, 115
— Пуассона 52
— Шрёдингера для водородопо-
добных атомов 372—375
— — для многоэлектронных ато-
мов 385—387
— Эйнштейна для внешнего фо-
тоэффекта 349
Уравнения Максвелла в диффе-
ренциальной форме 229, 230
— — в интегральной форме 226—
228
— — для непроводящей среды
231—232
— — для электромагнитного поля
225—231
Уровень Ферми в полупроводниках
426—429
— энергии g-кратно вырожденный
378
— — невырожденный 378
Уровни квантовые акцепторные
422
— энергетические донорные 422
— — примесные (локальные) 422
Условие временной когерентности
световых волн 272
— отсутствия излучения 224
— потенциальности поля 52, 225
— — — в дифференциальной
форме 51
— — — интегральное 47
Участок цепи неоднородный 117
— — однородный 118
Фазотрон 25
Фарад 107
Фермион 482
Ферриты 161
Ферромагнетики 85, 142
Фокусное расстояние 260
Формула Бальмера 362
— — обобщенная 363
— Богуславского — Ленгмюра
186, 187
---Брэгга — Вульфа 306, 481
— Клаузиуса — Моссотти 90
— Ланжевена 94
— Планка 343—345
— Ричардсона 189
— Ричардсона — Дешмена 189
— Рэлея — Джинса 342, 343
Формулы Лауэ 304
Фотолюминесценция 337
Фотометрия 238
Фотометры 244
Фотоны 348
Фотопроводимость проводников
351
Фоторезистор 352
Фотоэлектронный умножитель 351,
515
Фотоэлектроны 346
Фотоэлементы 350, 439
— газонаполненные 350
Фотоэффект внешний 346—351
— внутренний (фотопроводи-
мость) 351—354
— вентильный (в запирающем
слое) 352
— многофотонный 350
Функция распределения 239
— — Ферми — Дирака 417
— — энергии 239
Характеристики магнитного поля
интегральные 64—71
Хемилюминесценция 337
Химический эквивалент вещества
Циклотрон 23
Циклотронная частота 22
«Цуг электромагнитной волны» 368
Человеко-зиверт 519
Щели Юнга 277
Эквипотенциальная поверхность 31
Экран 105
— мозаичной структуры 479
«Электрический ветер» 106
— диполь 36
— — во внешнем электрическом
поле 43—47
— дрейф 21
— момент диполя (дипольный мо-
мент) 36
Электродвижущая сила 117
— — индукции 146
— — самоиндукции 151
Электроемкость проводника 107,
108
Электролиз 192
Электролитическая диссоциация
118, 191
— проводимость жидкостей 198—
201
Электролиты (проводники второго
рода) 192
Электролюминесценция 337
Электромагнитные колебания 207
— — вынужденные 213—217
Электрон отдачи 355
Электронная оболочка 387
— подоболочка 387
— — замкнутая 387
Электронные умножители 190
Электронный парамагнитный резо-
нанс 397
— газ в металле 439
Электроны оптические 266, 313
— первичные 189
— проводимости 439
— «свободные» 355
— «связанные» 355
— эквивалентные 387
Электростатическая теорема Гаус-
са для поля системы зарядов 35
Электрострикция 103
Электрохимический потенциал 118
— эквивалент вещества 192
Элемент Вольты 119
Элментарная теория эффекта
Комптона 354
Элементарный состав молекулы
399
Элементы переходные 393
Эмиссия автоэлектронная (холод-
ная) 190, 191, 206, 207
— термоэлектронная 185, 206
— электронная 185
— — вторичная 189—191
Эмиттеры 185, 436
Энергетическая светимость 337
— сила света 239
— щель 450
Энергетический поток 239
Энергетическое разрешение 513
Энергия активации 420, 495
— диссоциации 400
— ионизации 399
— образования молекулы 399
— основного состояния атома во-
дорода (ионизации атома водо-
рода) 367
— связи ядра 484
— — — удельная 485
— ядерной реакции
Эффект Зеемана 394
— Керра 332
— Комптона 237, 354
— Коттона — Мутона 333
— магнитострикционный 145
— Мейсснера 449
— — полный 449
— Пельтье 183, 184
— Томсона 183—185
548
— Фредерикса 479
— Холла 175—177
— Штарка 394, 398
— электрострикционный 145
Эффективное значение тока 159
Эффективность регистрации 513
Эффекты магнитооптические 465
— электрооптические 465
Явление взаимной индукции 152,
153
— двойного лучепреломления 325
— намагничивания 129—132
— насыщения 94, 203
— резонанса 159
— самоиндукции 150—152
— сверхпроводимости 124
— туннелирования 503—505
— Фарадея 335
— электромагнитной индукции
146—150, 159
— электростатической индукции
103
Ядерные реакторы 497
— — изотопные 499
— — исследовательские 499
— — энергетические 499
— — экспериментальные 499
— реакции 492—500
— — экзотермические 493
— — эндотермические 493
— силы 482, 487
— фотоэмульсии 516
Ядерный синтез 499, 500
Ядра дважды магические 491
— магические 491
Ядро дочернее 502
— материнское 502
Яркость 241
УКАЗАТЕЛЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
МАТЕРИАЛА
1.1 —1.3 —с. 13—14. 1.4—1.5 —с. 22—23. 2.1—2.3 —
с. 32—33. 2.4—2.7 —с. 40—42. 2.8—2.9 —с. 53. 3.1—3.2 —
с. 64. 3.3—3.4 —с. 70—71. 4.1—4.5 —с. 101 — 102. 4.6—
4.9 —с. 110—111. 4.10 —с. 128. 4.11 —с. 145—146. 4.12 —
с. 153—154. 4.13 —с. 157. 5.1—с. 177. 5.2 —с. 200—201.
6.1—6.2 —с. 209. 6.3—6.5 —с. 211—212. 6.6—6.10—с.
217—218. 6.11—6.12 —с. 230—231. 6.13—6.16 —с. 234.
7.1 —с. 244. 7.2 —с. 249. 7.3—7.4 —с. 251. 7.5—7.6 —
с. 254—255. 7.7 —с. 258. 7.8-7.9—с. 263. 8.1—8.3 —с.
283—285. 8.4—8.5 —с. 295—296. 8.6—8.7 —с. 312. 8.8 —
с. 325. 9.1—9.5 —с. 345—346. 9.6—с. 354. 10.1—с. 369.
10.2—10.4—с. 380. 10.5—10.6 —с. 398. 11.1 —с. 431. 11.2—
11.3 —с. 435—436. 11.4—11.5 —с. 442—443.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 5
1. Законы силового взаимодействия движущихся зарядов 6
1.1. Сила взаимодействия медленно движущихся зарядов 8
1.2. Действие на расстоянии и полевое описание взаимодейст-
вия зарядов .......................................... 14
1.3. Движение зарядов во внешних электрических и магнит-
ных полях 20
2. Электростатическое поле в вакууме 26
2.1. Электростатическое поле точечного заряда и его свойства 26
2.2. Принцип суперпозиции и теорема Гаусса для системы,
зарядов и заряженного тела.............................. 33
2.3. Диполь во внешнем электрическом поле........... 43
2.4. Дифференциальная форма для циркуляции и теоремы
Гаусса 47
3. Магнитостатическое поле в вакууме 53
3.1. Магнитное взаимодействие токов................. 53
3.2. Интегральные характеристики магнитного поля ... 64
3.3. Контур с током во внешнем магнитостатическом поле 71
3.4. Дифференциальные соотношения для индукции магнит-
ного поля 78
551
4. Вещество в электрическом и магнитном полях 83
4.1. Диэлектрики в электростатическом поле............... 85
4.2. Проводники в электростатическом поле. Энергия заря-
женных проводников и их полей............................... 103
4.3. Законы Ома и Джоуля — Ленца. Правила Кирхгофа для
разветвленных электрических цепей 113
4.4. Вещество в магнитном поле.......................... 128
4.5. Явление электромагнитной индукции. Энергия магнит-
ного поля................................................... 146
4.6. Переменный квазистационарный ток................... 156
4.7. Понятие о принципах работы электроизмерительных
приборов 162
5. Классическое рассмотрение электрических явлений в ме-
таллах, электролитах и газах 170
5.1. Классическая электронная теория Друде — Лоренца 170
5.2. Контактные и термоэлектрические явления 177
5.3. Электрический ток в жидкостях 191
5.4. Электрический ток в газах 201
6. Электромагнитные колебания и волны 207
6.1. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания 209
6.2. Электромагнитное поле открытого колебательного кон-
тура 218
6.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля . . 225
6.4. Вывод волнового уравнения для электромагнитной волны 231
II. ОПТИКА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ, ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ 237
7. Фотометрия и геометрическая оптика 238
7.1. Основные фотометрические величины и их единицы 238
7.2. Законы геометрической оптики 245
7.3. Линзы и их использование 255
8. Основы волновой оптики 263
8.1. Интерференция света 268
8.2. Дифракция света.................................... 288
8.3. Дисперсия и поглощение света 309
8.4. Поляризация света 318
552
9. Квантовая оптика . 336
9.1. Свойства равновесного теплового излучения тел 336
9.2. Фотоэлектрический эффект............................ 346
9.3. Рассеяние рентгеновского излучения веществом 354
III. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА И ЕГО СВОЙСТВА . 358
10. Физика атомов и молекул 358
10.1. Планетарные модели атома по Резерфорду и Бору . . 359
10.2. Квантово-механическое описание водородоподобных
атомов 372
10.3. Уравнение Шрёдингера и периодическая система Менде-
леева 385
10.4. Атом во внешнем магнитном и электрическом полях 394
10.5. Виды химических связей в молекулах................ 398
11. Квантовая теория электронных свойств твердого тела 410
11.1. Зонная теория кристаллов 411
11.2. Полупроводники.................................... 420
11.3. Контактные явления в полупроводниках . . . 431
11.4. Квантовые свойства электронного газа в металлах 439
12. Жидкие кристаллы .... 452
12.1. Типы жидких кристаллов . . 454
12.2. Упругие свойства нематиков.........................461
12.3. Поведение жидких кристаллов в электрическом и маг-
нитном полях..................................................465
12.4. Некоторые практические применения жидких кристаллов 475
13. Элементы ядерной и радиационной физики 482
13.1. Характеристики ядра и ядерные силы 483
13.2. Строение ядер и их свойства 488
13.3. Ядерные реакции .... 492
13.4. Явление радиоактивности......................500
13.5. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом 509
13.6. Детекторы для регистрации ядерных излучений . . . 513
13.7. Дозы и биологическое действие ионизирующих излуче-
ний 517
ПРИЛОЖЕНИЯ 524
I. Таблицы сокращенных обозначений, фундаментальных кон-
стант и физических величин . . 524
553
II. Математические формулы....................... 528
III. Таблицы значений различных физических величин 531
ЛИТЕРАТУРА 538
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 539
УКАЗАТЕЛЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРА-
БОТКИ МАТЕРИАЛА 550
Учебное издание
Наркевич Иван Иванович,
Волмянский Эмануил Ильич,
Лобко Сергей Ильич
ФИЗИКА ДЛЯ ВТУЗОВ.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
ОПТИКА. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
Редактор С. Ю. Липец
Художественный редактор А. Г. Звонарев
Технический редактор Г. М. Романчук
Корректор Н. И. Бондаренко
Сдано в набор 05.08.93. Подписано в печать 04.05.94. Формат 84X108/32.
Бумага тип. № 1. Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл.-печ. л.
29,4. Усл. кр.-отт. 29,4. Уч.-изд. л. 28,81. Тираж 5000 экз. Зак. 455.
Издательство «Вышэйшая школа» Министерства культуры и печати Респуб-
лики Беларусь. Лицензия ЛВ № 5. 220048, Минск, проспект Машерова, 11.
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат МППО
им. Я. Коласа. 220005. Минск, ул. Красная, 23.
Наркевич И. И. и др.
Н 29 Физика для втузов. Электричество и магнетизм.
Оптика. Строение вещества: Учеб, пособие /
И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко.—
Мн.: Выш. шк., 1994.— 554 с.; ил.
ISBN 5-339-00964-5.
Рассмотрены вопросы электричества и магнетизма, геомет-
рической, волновой и квантовой оптики, а также строения и
свойств вещества.
Пособие ориентировано на самостоятельную проработку оп-
ределенной части материала, что нашло отражение в специально
подобранных заданиях, выполнение которых позволяет усвоить
материал курса и одновременно получить важные теоретические
следствия из основополагающих принципов и законов физики.
Предназначено для студентов инженерно-технических и тех-
нологических специальностей.
5300000000—029
Н---------------24—94 ББК 22.3я73
М304(03)—94