/
Автор: Бусленко Н.П.
Теги: математика системный анализ математическое моделирование моделирование систем системная инженерия
Год: 1968
Текст
Н. П. БУСЛЕНКО
Моделирование
сложных систем
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 968
6 П 2.154
Б92
УДК 519.95
Моделирование сложных систем, Б у с л е н к о Н, П., Главная
редакция физико-математической л'итерагуры изд-ва «Наука», М„
1968, 356 стр.
В последнее время возрос интерес к
математическому моделированию различных процессов и систем и
способам реализации моделей на быстродействующих
цифровых машинах (ЭВМ), Книга посвящена
систематическому изложению общих идей и практических
методов статистического моделирования сложных систем
различного назначения, функционирующих в условиях
действия случайных факторов.
В первой части книги (главы I—IV)
рассматриваются основные свойства типичных сложных систем,
распространенных в народном хозяйстве, вводятся
показатели их эффективности, надежности, качества
управления и т. д., а также наиболее популярные приемы
формирования в ЭВМ детерминированных и случайных
элементов моделей.
Дальнейшие главы посвящены методике построения
моделей для важнейших классов сложных систем. Среди
них существенное место занимают системы массового
обслуживания, дискретные и непрерывные
производственные процессы. Кроме того, делается попытка
унификации структуры моделей на базе так называемых
агрегативных систем, позволяющих с единой точки
зрения описывать процессы различной природы. В
заключение приводятся примеры моделирующих алгоритмов
для автоматизированных систем управления
технологией, производственным предприятием, а также систем
обработки информации.
Книга предназначена для инженеров,
занимающихся системными исследованиями в различных областях
народного хозяйства. ч
Табл. 4. Илл. 28. Библ. 49 назв.
3-3-4
121-68
Оглавление
Предисловие » *>
Введение ■* - '
Глава!
Сложные системы ' П
§ 1. Понятие сложной системы 11
§ 2. Эффективность 18
§ 3. Показатели, характеризующие свойства сложных систем > . : . 21
§ 4. Задачи исследования сложных систем 24
Г лав а И
Математические модели 33
§ 5. Вводные замечания " . 33
§ 6. Математическая модель 35
§ 7. Формализация процессов функционирования сложных систем •. . 42
§ 8. Об использовании математических моделей 52
Г лав а III
Метод статистического моделирования . 60
§ 9. Моделирующие алгоритмы 60
§ 10. Принципы построения моделирующих алгоритмов для сложных
систем 69
§11. Фиксация и обработка результатов моделирования . . . . . 73
§ 12. Пример .' . .... 77
§ 13. Точность. Количество реализаций 94
§ 14. Оптимизация систем, заданных моделирующими алгоритмами . - 97
Г лава IV ' -
Моделирование случайных процессов 104
§ 15. Случайные числа \ . 104
§ 16. Моделирование испытаний в схеме случайных событий 111
§ 17. Формирование возможных значений случайных величин с заданным
законом распределения 118
§ 18. Формирование реализаций случайных векторов и.функций .... 131
Глава V
Моделирование систем массового обслуживания . .....".. 137
§ 19. Системы массового обслуживания 137
§ 20. Формирование реализаций случайных потоков однородных событий 152
§ 21. Одноканальная система 160
1»
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 22. Простейшая многоканальная система 171
§ 23. Система массового обслуживания с ненадежными элементами . . .176
§ 24. Система массового обслуживания более общего характера .... 180
§ 25. Пример оптимизации системы массового обслуживания, заданной'
моделирующим алгоритмом 194
Глава VI
Моделирование агрегативных систем 198
§ 26. Агрегаты 198
§ 27. Агрегативные системы 209
§ 28. Моделирование процесса функционирования агрегата 216
§29. Моделирование процессов функционирования агрегативных систем 228
Глава VII
Моделирование дискретных производственных процессов 235
§ 30. Производственные операции 235
§ 31. Отклонения течения производственного процесса от нормального . . 250
§ 32. Моделирование производственных операций 261
§ 33. Моделирование производственных процессов, связанных со сборкой
на конвейере . 275
§ 34. Дискретный производственный процесс как агрегативная снстема 284
Глава VIII
Моделирование непрерывных производственных процессов . . . , • » . 293
§ 35. Формализация непрерывных производственных процессов- .... 293
§ 36. Особенности моделирования 296
§ 37. Моделирование процесса производства целлюлозы; ...,;.. 298
§ 38. Моделирование процесса нефтепереработки 306
§ 39. Непрерывный производственный процесс как агрегатнвная система 313
Глава IX
Моделирование автоматизированных систем управления 317
§ 40. Вводные замечания , .Г^. 317
§ 41. Система управления промышленным предприятием .... V-fs'321
§ 42. Система управления крупным аэродромом Hi 329
Библиография : 353
Предисловие
Возросший повсеместно интерес к математическому Описанию
разнообразных процессов и явлений во всех направлениях
человеческой деятельности, особенно в области сложных систем,
занявших в последние годы видное место в технике,
промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в сфере обслуживания
населения, экономике и т. д., способствовал широкому
распространению метода статистического моделирования. За последние
годы метод статистического моделирования стал применяться не
только для изучения систем массового обслуживания и близких
к ним по своей математической природе дискретных процессов
(в том числе и производственных). Ныне он применяется также
для моделирования непрерывных процессов и особенно в обла-
"сти автоматизации обработки больших массивов информации и
управления в сложных системах с использованием самых
разнообразных принципов и средств управления и регулирования.
Настоящая книга написана в развитие и обобщение идей и
методов, рассмотренных в книге «Математическое
моделирование производственных процессов на цифровых вычислительных
машинах», вышедшей в 1964 г. в издательстве «Наука».
К совершенно новым разделам относятся глава I «Сложные
системы», глава VI «Моделирование агрегативных систем»,
глава VIII «Моделирование непрерывных производственных
процессов», глава IX «Моделирование автоматизированных систем
управления», а также ряд параграфов в других главах.
Из рассматривавшихся ранее разделов исключены модели
производственного процесса автоматизированного стана печной
сварки труб и морского порта. Хотя эти материалы ни в коем
случае нельзя назвать устаревшими, однако они наиболее близки
к подробно рассмотренным системам массового обслуживания и
поэтому с наименьшим сожалением могут быть опущены ради
освобождения места для новых разделов.
По аналогичным соображениям сокращены материалы,
относящиеся к моделированию производственного процесса,
связанного со сборкой на конвейере, а также к проверке качества и
использованию случайных чисел.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Общие сведения о методе статистического моделирования
переработаны в соответствии с новыми результатами,
полученными в последние годы. Предпринята попытка построить
математическое описание дискретных и непрерывных
производственных процессов с единой (агрегатной) точки зрения. С этой целью
написаны § 34 главы VII и § 39 главы VIII, посвященные
рассмотрению соответствующих процессов как агрегативных
систем.
В области моделирования автоматизированных систем
управления и информационных систем в настоящее время, к сожале-
,нию, почти нет публикаций, заслуживающих внимания. Поэтому
пришлось ограничиться только двумя примерами,
иллюстрирующими в общих чертах методику, особенности и объем работ,
связанных с моделированием этих систем.
В книге содержатся и необходимые методические материалы
■по формализации процессов функционирования сложных
систем, принципам построения моделирующих алгоритмов для них,
реализации основных модельных операторов на ЭВМ и др.
Для понимания вопросов, затрагиваемых в книге, достаточно
знакомства с курсом математики высших технических учебных
заведений, а также знания элементарных основ теории
вероятностей.
Автор пользуется случаем выразить благодарность Д. И. Го-
яенко, прочитавшему рукопись, а также Н..Н. Дашковой за
помощь и советы, использованные при окончательном
редактировании книги.
Введение
Одной из новых проблем современной науки является
разработка и внедрение в практику методов исследования динамики
функционирования сложных систем. К классу таких систем
относятся крупные производственные, энергетические и
гидротехнические комплексы с автоматизированным управлением; сами
средства управления, создаваемые на базе автоматики,
телемеханики, электроники и вычислительной техники; вычислительные
комплексы, предназначенные для обработки информации и
планирования народного хозяйства, и т. д.
При проектировании и создании сложных систем, их
испытаниях и эксплуатации возникают многочисленные задачи,
требующие знания количественных и качественных закономерностей,
свойственных рассматриваемым системам.
Особенно большое значение приобрели так называемые
общесистемные вопросы, относящиеся к общей структуре системы,
организации взаимосвязи между ее элементами, совокупному
взаимодействию элементов системы с внешней средой,
централизованному управлению функционированием элементов и т. д.
Эти вопросы составляют существо так называемого
системного подхода к изучению свойств реальных объектов и
содержание нового направления инженерной мысли, получившего
название системотехники.
Классические методы прикладной математики не всегда
пригодны для исследования сложных систем. Поэтому в последние
годы интенсивно развиваются новые методы, связанные с
теорией специальных видов случайных процессов, особенно теорией
массового обслуживания, динамикой средних, теорией игр и
статистических решений, теорией автоматов, алгоритмическим
описанием процессов функционирования сложных систем и т. д.
Такой подход при достаточно общих предположениях о ха- <
рактере рассматриваемых процессов позволяет во многих
случаях получить уравнения характеристик процесса и провести его
весьма общее исследование. На этом пути могут быть получены
не только качественные результаты, относящиеся к таким
свойствам процесса, как устойчивость, эргодичность и т. д.
Оказывается возможным также развить аналитический аппарат,
8
ВВЕДЕНИЕ
позволяющий в приемлемом для практики виде проводить
технический расчет сложных систем.
И хотя зачастую, особенно при громоздких вычислениях, для
расчета сложных систем используются быстродействующие
вычислительные машины, методика исследования остается
принципиально неизменной: она опирается на известные качественные
методы и соответствующий аналитический аппарат.
Наряду с этими методами, которые мы в дальнейшем будем
условно называть аналитическими, широкое распространение
получают разнообразные виды моделирования, в том числе метод
статистического моделирования, реализуемый на цифровых
вычислительных машинах.
Сущность статистического моделирования сводится к синтезу
для исследуемого процесса некоторого моделирующего
алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов слож-i
ной системы с учетом случайных возмущающих факторов. Ими-,!
тация случайных факторов может быть выполнена при помощи
случайных чисел, вырабатываемых в машине по ходу
моделирования. Моделирующие алгоритмы, как правило, реализуются на
универсальных цифровых вычислительных машинах.
Таким образом, в качестве математической модели процесса
функционирования сложной системы выступает некоторый
алгоритм, записанный на языке ЭВМ или, что то же, на каком-нибудь
алгоритмическом языке. Этот алгоритм позволяет при заданных
начальных условиях, а также при заданных численных значениях
параметров системы оценить, с учетом случайных факторов,
любые характеристики системы (функционалы), предусмотренные
программой исследования.
Метод статистического моделирования позволяет решатьа
весьма сложные задачи и обладает существенными преимуществ
вами перед аналитическими методами и другими видами
моделирования.
Основным его преимуществом является возможность решения
задач исключительной сложности: исследуемая система может
одновременно содержать элементы непрерывного и дискретного
действия, быть подверженной влиянию многочисленных
случайных факторов сложной природы, описываться весьма
громоздкими соотношениями и т. д.
В настоящее время существует большое количество примеров,
когда соответствующая сложная система без особого труда
исследуется методом статистического моделирования на серийных
цифровых вычислительных машинах, в то время как для
изучения другими методами (аналитическими,
моделированием на аналоговых машинах и т. д.) она оказывается
недоступной.
ВВЕДЕНИЕ
9
Значительную роль метод статистического моделирования
играет при решении задач, связанных с автоматизацией
управления. Результаты моделирования позволяют вскрыть
закономерности процесса, существенные с точки зрения
автоматизированного управления, определить потоки управляющей информации
и обоснованно выбрать алгоритмы управления. Методом
статистического моделирования может быть оценена эффективность
различных принципов управления, вариантов построения
управляющих систем, а также работоспособность и надежность
управляющей аппаратуры.
Аналитические методы, пригодные для этой цели, еще
недостаточно развиты. Решение перечисленных задач путем
натурного эксперимента приводит к большим затратам времени и
средств, а зачастую практически оказывается невозможным.
Метод статистического моделирования не требует создания
специальной аппаратуры для каждой новой задачи и позволяет
легко изменять значения параметров исследуемых систем и
начальных условий.
Наряду с отмеченными преимуществами метод
статистического моделирования, как любой численный метод, обладает
существенным недостатком: решение всегда носит частный
характер. Оно соответствует фиксированным значениям параметров
системы и начальных условий. Обычно для анализа системы
приходится многократно моделировать ее процесс
функционирования, варьируя исходные данные задачи.
Существует мнение, что моделирующий алгоритм,
позволяющий вычислить значения некоторых функционалов лишь в тех
точках, для которых заданы численные значения параметров
системы, является математическим описанием процесса
функционирования системы менее общим, чем формулы и уравнения,
используемые для описания функционирования «простых» систем.
Это мнение опирается на тот факт, что общие формулы и
уравнения позволяют, помимо нахождения численных значений
функционалов, проводить также и общее (качественное)
исследование систем. Подобное мнение лишено каких бы то ни было
оснований. Моделирующие алгоритмы как раз являются более общей
формой записи соотношений между фигурирующими величинами,
чем формулы и уравнения. Принципиально они допускают
любые общие (качественные) исследования. Другое дело, что в
настоящее время мы еще не умеем представлять сложные
алгоритмы с желаемой наглядностью, а аппарат качественных
методов для этого случая еще недостаточно разработан.
Подчеркивая принципиальные достоинства метода
моделирования, необходимо отметить, что в практическом отношений
10
ВВЕДЕНИЕ
методика исследования сложных систем еще требует
дальнейшей разработки.
Для того чтобы метод моделирования был удобен для
практического применения, нужна унификация моделирующих
алгоритмов и их частей (подалгоритмов), описывающих различные
элементы сложных систем. Чтобы не строить заново модель для
каждой сложной системы, проводится выделение важнейших
классов сложных систем, и создаются унифицированные модели
для классов в целом. В частности, значительный интерес
представляет класс агрегативных систем, состоящих из элементов,
называемых агрегатами.
Проблема унификации формализованных схем и
моделирующих алгоритмов может быть решена. Ее решение не только
способствовало бы ускорению построения моделей для практически
важных сложных систем, но и позволило бы перейти к изучению
некоторых их общих свойств.
В настоящее время на практике пока строятся отдельные
модели для каждой конкретной сложной системы и почти для
каждой вновь сформулированной задачи.
Несмотря на этот весьма серьезный недостаток, метод
статистического моделирования подчас является единственным
практически доступным методом исселодования сложной системы,
особенно на стадии ее проектирования или модернизации.
Необходимо отметить также, что затраты рабочего времени и
материальных средств на реализацию статистических моделей оказы-j
ваются незначительными по сравнению с затратами, связанными
с натурным экспериментом. Вместе с тем результаты статисти]
ческого моделирования по своей ценности для практического ре--
шения возникающих задач часто оказываются близкими к
результатам натурного эксперимента. i
Упомянутые свойства метода статистического моделирования
привлекают к нему внимание научных работников и инженеров]
занимающихся исследованием сложных систем в промышлен
ности, на транспорте, в сельском хозяйстве.
•
Глава I
Сложные системы
§ 1. Понятие сложной системы
Изучение процессов функционирования крупных
производственных, энергетических и гидротехнических комплексов с
автоматизированным управлением, систем обработки информации и
управления, создаваемых на базе автоматики, телемеханики,
электроники и вычислительной техники, вычислительных
комплексов, предназначенных для решения экономических и
инженерных задач, а также некоторых экономических и
биологических систем обусловило возникновение понятия сложной
системы*) и привело к постановке целого ряда специфических
проблем математического и технического характера,
привлекающих в последние годы внимание широкого круга исследователей.
В настоящее время не существует общего определения
сложной системы, обладающего достаточной четкостью и
наглядностью. Тем не менее мы не будем пытаться в рамках настоящей
книги восполнить этот пробел. Более того, мы оставим в
стороне критический разбор встречающихся в литературе
определений, так же как и полемику, связанную с этой трудной
проблемой.
Для понимания содержания рассматриваемых ниже вопросов
достаточно познакомиться с типичными примерами сложных
систем и подчеркнуть их основные отличительные признаки.
Отнесение той или другой реальной системы к разряду
«сложных» или «простых» весьма условно и во многом
определяется задачами исследования системы. Будем считать данную
систему сложной системой в том случае, когда в силу свойств
самой системы и по характеру задач, возникающих при ее
исследовании, необходимо принимать во внимание наличие в системе
большого количества взаимно связанных и взаимодействующих
между собой элементов, обеспечивающих выполнение системой
некоторой достаточно сложной функции.
*) Наряду с термином «сложная система» в литературе для обозначения
этого же понятия иногда используются термины «большая система» и
«система большого масштаба».
12
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
Подчеркнутые признаки нуждаются в разъяснении, однако
мы обратимся сначала к типичным примерам.
Телефонная сеть. В качестве первого примера сложной
системы рассмотрим телефонную сеть крупного города или
района. Кроме абонентских телефонных аппаратов (количество
которых может достигать сотен тысяч или миллионов) и сети
кабельных каналов, такая система содержит коммутационный комплекс
центральной телефонной станции, несколько десятков
периферийных коммутационных устройств, комплекс автоматического учета
разговоров, комплекс автоматического ремонта, аппаратуру за-j
щиты системы от воздействия пиковых нагрузок, комплекс даль-'^
него набора номера и т. д. I
Коммутационный комплекс центральной телефонной станции]
обслуживает обычно до 10 000 главных абонентских установок.';
Координатный переключатель коммутационного комплекса
представляет собой матрицу из горизонтальных и вертикальных
проводов. Когда абонент снимает телефонную трубку с рычага сво-1
его аппарата, на телефонной станции срабатывает реле, сигнал!
которого управляет маркером, определяющим адрес вызываю-1
щей абонентской линии и выбирающим один из свободных
абонентских регистров. Затем маркер находит свободный
соединительный путь от линии вызывающего абонента к абонентскому
регистру. Регистр посылает абоненту сигнал готовности станции.
Пока абонент набирает номер, маркер (и прочие устройства
станции) могут обслуживать другие соединения. После того как
абонент набрал номер, абонентский регистр занимает
свободный маркер и сообщает ему адрес линии вызывающего абонента
и номер телефона вызываемого абонента. Маркер определяет,
относится ли данный вызов к местной станции; в противном
случае производится поиск путей для соединения с другой станцией
Затем маркер проверяет, не занята ли линия вызываемого
абонента. Если она занята, вызывающему абоненту посылаете?
специальный сигнал. Если же линия оказалась свободной, мар
кер соединяет обе линии и посылает вызываемому абоненту
сигнал вызова.
Мы здесь рассмотрели один из простейших типов соединении
и тем не менее убедились, что коммутационный комплекс цеп-
тральной телефонной станции выполняет достаточно сложную
функцию. Не менее сложные функции выполняют и другие
комплексы телефонной сети, например комплекс автоматического
ремонта или комплекс автоматического учета разговоров.
Процесс же функционирования телефонной сети в целом — весьма
убедительная иллюстрация сложности функций современных
автоматизированных систем.
§11
ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
Щ
Производственный процесс. Другим примером
сложной системы может служить производственный процесс
крупного предприятия, оснащенного средствами механизации
трудоемких работ и автоматизации управления
производственными операциями и технологическими циклами.
Производственный комплекс, предназначенный для поточного
выпуска штучных изделий (например, труб, часов, автомобилей
и т. д.), состоит из большого количества станков, обеспечиваю-,
щих выполнение технологических операций (обработка деталей,
сборка изделий или узлов). Отдельные станки объединяются в
технологические линии сборки изделий, на которых изделия
собираются из отдельных узлов. Если некоторые узлы должны
быть изготовлены в рамках рассматриваемого
производственного процесса, то существуют соответствующие линии сборки
узлов из отдельных деталей. Для деталей, изготовление которых
входит в данный производственный процесс, существуют линии
обработки, выполняющие последовательность операций,
обеспечивающую производство этих деталей. Работа станков, линий
и процесса в целом характеризуется частичной или полной
синхронизацией и взаимозависимостью режимов выполнения
операций. В производственный процесс, помимо технологических
операций, обычно включаются некоторые нетехнологические
производственные операции: транспортировка полуфабрикатов,
проверка качества, смазка, упаковка и т. д.
Средства автоматического или автоматизированного
управления производственным процессом (соответствующие датчики,
линии передачи данных и счетно-решающие или вычислительные
устройства) собирают и обрабатывают информацию о
состояниях полуфабрикатов и производственного оборудования и
вырабатывают управляющие команды.
Другими примерами сложных систем могут служить:
городской пассажирский и грузовой транспорт вместе с магистралями,
перекрестками, средствами регулирования уличного движения к
ремонта подвижного состава; энергетические комплексы и
гидротехнические узлы; крупные морские и авиационные порты с
оборудованием управления, погрузки — разгрузки и технического
обслуживания кораблей и т. д.
Выше было отмечено, что сложная система состоит из
большого количества взаимосвязанных элементов. Понятие элемента
системы и расчленение системы на элементы с практической
точки зрения представляются весьма относительным. В самом
деле, рассматривая в качестве сложной системы
производственный комплекс предприятия, мы можем считать его
элементами производственные комплексы отдельных цехов или
отдельные технологические линии. Если же сложной системой служит
14
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
технологическая линия, "то элементами можно считать отдельные
станки и агрегаты, и т. д. При формальном подходе к сложным
системам элементом считается объект, не подлежащий
дальнейшему расчленению на части (при данном рассмотрении
системы). Внутренняя структура элемента не является предметом
изучения. Существенны только такие свойства элемента,
которые определяют его взаимодействие с другими элементами
системы или влияют на свойства системы в целом.
Любая совокупность элементов данной системы может
рассматриваться как ее подсистема. Обычно подсистемы являются
некоторыми самостоятельно функционирующими частями
системы. Например, в производственном комплексе предприятия
можно выделить подсистемы, соответствующие отдельным цехам
или технологическим линиям. В городском пассажирском
транспорте, рассматриваемом в качестве системы, подсистемами могут
служить троллейбусное, автобусное или трамвайное хозяйства,
метрополитен, такси и т. д.
Правильное выделение подсистем сложной системы часто
способствует упрощению расчетов при исследовании и более
наглядной интерпретации его результатов.
В сложных системах важную роль играют вопросы
управления. Управление представляет собой процесс сбора, передачи и
переработки информации, осуществляемый специальными
средствами. От элементов системы к управляющим устройствам
поступает осведомительная информация, характеризующая
состояния элементов системы. Кроме того, средства управления могут
получать информацию извне в виде управляющих команд от
вышестоящих органов управления или воздействий внешней
среды. Управляющие устройства перерабатывают всю поступающую
к ним информацию. В результате этой переработки
синтезируются управляющие команды, которые изменяют состояния и
режимы функционирования элементов системы.
В сложных системах обычно выделяются специфические
контуры управления, вдоль которых циркулируют потоки
информации (осведомительной — от элементов системы к
управляющим устройствам — и управляющей —от управляющих устройств
к элементам системы). Часто контуры управления являются
замкнутыми и носят характер обратной связи: фактическое
значение регулируемого параметра сравнивается со значением этого
параметра, требуемым программой управления; наличие
отклонения от программы служит основанием для выработки
корректирующих сигналов — управляющей информации. Применение
принципа обратной связи позволяет избежать грубых ошибок,
если только средства управления работают исправно.
*п
ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
15
В последние годы в связи с развитием электроники и
вычислительной техники, в качестве средств управления часто
используются цифровые вычислительные машины, выполняющие
функции обработки информации, планирования и оперативного
управления процессами, протекающими в сложных системах. Выполняя
последовательность арифметических и логических операций в
соответствии с заданной программой, электронная цифровая
машина обеспечивает реализацию специального алгоритма
переработки информации, который называется управляющим алгоритмом.
Если управление сложной системой сосредоточено в едином
центре, оно называется централизованным. На практике
встречаются различные степени децентрализации управления, когда
функция управления распределена между главным и
периферийными центрами управления, а также свойственна в определенной
мере и элементам системы. Как правило, структура средств
управления сложной системой является иерархической, при
которой имется несколько уровней управления. На низшем уровне
управления перерабатывается осведомительная информация о
состояниях элементов системы с учетом управляющих команд,
поступивших от более высокого уровня. На высшие уровни
управления осведомительная информация поступает лишь в
обобщенном виде, и здесь она характеризует состояние групп элементов
или подсистем сложной системы.
Многим сложным системам свойственны в той или другой
степени черты самоорганизации. Система называется
самоорганизующейся- если она способна на основании оценки
воздействий внешней среды, путем последовательного изменения своих
свойств прийти к некоторому устойчивому состоянию, когда
воздействия внешней среды окажутся в допустимых пределах.
Многочисленные примеры самоорганизующихся систем можно
наблюдать в живой природе.
Реальные сложные системы функционируют в условиях
действия большого количества случайных факторов. Источниками
случайных факторов являются воздействие внешней среды, а
также ошибки, шумы и отклонения различных величин,
возникающие внутри системы.
Среди факторов внешней среды, наряду со случайными
изменениями различных условий (например, погоды), важное место
занимают так называемые случайные колебания нагрузки. Сюда
относятся непредвиденные скопления в случайные моменты
времени требований абонентов на телефонные переговоры,
значительные перераспределения пассажиропотоков или грузопотокчп
на городском транспорте, внезапное включение или отключение
мощных потребителей энергии и т. д.
16 СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
Как внешние, так и внутренние случайные воздействия
оказывают влияние на режимы работы элементов системы и могут
существенно менять характер ее функционирования.
Остановимся на этом несколько подробнее.
Пусть |—величина, характеризующая некоторое
воздействие на систему со стороны внешней среды или один из
внутренних ее параметров. Будем считать | случайной величиной
С законом распределения f%(x). Пусть, кроме того, U — одна из
величин, описывающих результат функционирования системы.
В общем случае величина U зависит от |,
£/ = ФЙ). (Ы)
и потому также является случайной величиной, закон
распределения которой определяется видом функций ф и f%(x).
Естественно, что каждому возможному значению случайной величины
I соответствует некоторое возможное значение случайной
величины U. Другими словами, в общем случае рассеивание
(разброс) значений воздействий внешней среды или параметров
системы приводит к рассеиванию (разбросу) результатов ее
функционирования.
Возникает вопрос, каково поведение системы в среднем под
воздействием случайных факторов? Дадим более точную
формулировку этого вопроса. Пусть M(Q—среднее значение
(математическое ожидание) случайной величины |, a
M(U)—соответственно среднее значение (математическое ожидание)
случайной величины U. Можно ли считать, что
<p[M(l)]=M(U); (1.2)
иными словами, если случайная величина g принимает значение
Л4(|), то будет ли соответствующее значение случайной
величины U равно M(U)? Иначе, будет ли рассеивание внешних
воздействий или значений параметров системы вызывать только
рассеивание результатов ее функционирования, или, кроме того,
под действием случайных факторов может изменяться
поведение системы в среднем"?
Например, пусть из-за разброса твердости материала
длительность одной из операций производственного процесса носит
случайный характер (имеет рассеивание), но среднее ее
значение остается равным номинальному. Можно ли считать, что
выпуск изделий за смену (длительность операции считается
малой по сравнению с продолжительностью смены) будет таким
же, как и в случае, когда длительность упомянутой операции
всегда постоянна и равна номинальному значению?
Вопреки иногда встречающемуся мнению, под воздействием
случайных факторов ( даже в том случае, когда средние значен
, „ ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ 17
ния флуктуирующих величин равны номиналам) результаты
функционирования системы не только подвергаются рассеиват
нию, но могут также получить смещение своих средних
значений.'Другими словами, равенство (1.2) не всегда справедливо.
Для разъяснения сути дела рассмотрим два различных вида
функций £/=ф(£).
Пусть сначала ф(|) будет линейной функцией
U = al + b. (1.3)
Тогда среднее значение
M[U} = aM{l)~\-b. (1.4)
Сопоставляя (1.4) и (1.2), убеждаемся, что последнее
соотношение оказывается справедливым. Таким образом, в случае
линейной зависимости между случайными факторами и
результатами функционирования системы смещение средних значений
отсутствует.
Пусть теперь ф(|) будет нелинейной функцией, например -
Ф(1) = 12- (1-5)
Тогда
M(U) = M(V). (1.6)
Как известно (см., например, [13]), математическое ожида-
*ие квадрата случайной величины равно второму ее моменту,
М (U) = М (|2) = [М (|)]» + о», (1.7)
~де о2 — дисперсия случайной величины |.
Сопоставляя (1.7) и (1.5), мы видим, что
Ф[Л1(|)1 = [Л*(|)Р, (1.8)
i M(U) задается выражением (1.7), т. е. разница между ними
>авна дисперсии а| случайной величины |.
Таким образом, в рассмотренном случае действие случайных
Факторов вызывает смещение среднего значения результата
'Ункционирования системы на величину а?.
Для сложных систем, встречающихся на практике, как пра-
ило, действие случайных факторов приводит к смещению сред-
их значений результатов их функционирования. Это обстоя-
ельство требует особого внимания к учету случайных факторов
ри исследовании сложных систем.
В заключение настоящего параграфа перечислим основные
гличительные признаки сложных систем:
1-Наличие большого количества взаимно связанных И взаи-
действующих между собой элементов.
* Н. П. Бусленко
18 СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ.:
2. Сложность функции, выполняемой системой и направлен
ной на достижение заданной цели функционирования. ]
3. Возможность разбиения системы на подсистемы, цел]
функционирования которых подчинены общей цели функциа
нирования всей системы.
4. Наличие управления (часто имеющего иерархическу!
структуру), разветвленной информационной сети и интенсивны
потоков информации.
5. Наличие взаимодействия с внешней средой и функционр
рование в условиях воздействия случайных факторов.
Ниже будут рассмотрены некоторые примеры конкретны
сложных систем, достаточно убедительно иллюстрирующие спщ
ведливость перечисленных признаков. .
§ 2. Эффективность
Любую сложную систему мы будем рассматривать как d
вокупность объектов (элементов, подсистем и т. д.), предназг!
чепную для выполнения некоторого определенного вида раб|
или решения достаточно четко очерченного класса задач. В а
ответствии с этим процесс функционирования сложной систем
представляется как совокупность действий ее эле-ментов, пс
чиненных единой цели.
Имеет весьма существенное значение полнота и четко<
описания цели функционирования сложной системы, пере*
решаемых ею задач. Если цели и задачи системы определе:
можно ставить вопрос об оценке качества ее функциониро
ния. Качество функционирования сложной системы будем с
нивать при помощи показателей эффективности. Под показ;
лем эффективности сложной системы будем понимать та!
числовую характеристику системы, которая оценивает степ
приспособленности системы к выполнению поставленных пе
нею задач.
По существу выбор показателя эффективности является
ключительной стадией формулировки целей и задач систем
В самом деле, без указания показателя эффективности фор1^
лировка целей и задач системы не приобретает необходим
четкости. Вместе с тем целесообразно подчеркнуть, что выв
показателя эффективности оказывает существенное влияние]
интерпретацию свойств системы и результатов ее исследован!
Поясним сказанное на следующем примере.
Рассмотрим некоторый производственный процесс как ел
ную систему. При описании целей и задач этой системы нео^
димо указать перечень изделий, для выпуска которых онап{
назначена. Однако, если мы ограничимся только упомяну'
я
ЭФФЕКТИВНОСТЬ
19
1еречнем,' то не получим нужных сведений для обоснованной;
[ценки качества ее "функционирования. Действительно, пусть
юказателем эффективности рассматриваемого производственно-
•о процесса служит производительность, измеряемая количеством
!зделий, выпускаемых в течение фиксированного интервала
времени (за смену, неделю или месяц). Оценивая качество произ-
юдственного процесса с помощью этого критерия (например,
фи проектировании производственного процесса), мы будем
тидавать наиболее существенное значение факторам,
способствующим достижению максимальной производительности. При
Нормальном подходе к делу, который для сложных систем по
полне объективным причинам может оказаться
преобладающим, обеспечение максимальной производительности неизбеж-
о будет сочетаться с ухудшением других характеристик произ-
одственного процесса (экономии сырья, износа оборудования,,
асхода энергии, фонда зарплаты и т. д.).
Аналогичные рассуждения можно привести и для других
оказателей эффективности. Например, при использовании в ка-
1естве показателя эффективности величины себестоимости
проекции такие факторы,как экономия сырья, износ оборудования,
1асход энергии и фонда зарплаты, будут иметь большой вес,
i то время как факторы, связанные с производительностью обо-
удования, отойдут на второй план.
Заметим, что для производственного процесса могут быть
ыбраны такие показатели эффективности, которые учитывают
ак себестоимость продукции, так и производительность обору-,
ования, например величину прибыли, рентабельность.
Из рассмотренных примеров ясно, что только выбор
показания эфффективности делает описание целей и задач системы
полне законченным.
Расчет показателей эффективности для сложных систем пред-
■авляет собой весьма сложную задачу, которая требует привле-
?ния специальных математических методов и, как правило, ре-
ается с помощью быстродействующих вычислительных машин.
Для того чтобы показатель эффективности достаточно полно
зрактеризовал качество работы системы, он должен учитывать
:е основные особенности и свойства системы, а также условия ее:
акционирования и взаимодействия с внешней средой. Таким
>разом, показатель эффективности должен зависеть от струк-
ры системы, значений ее параметров, характера воздействия
ешней среды, внешних и внутренних случайных факторов.
эугими словами, показатель эффективности определяется про-
ссом функционирования системы. С этой точки зрения можно
бе представить множество возможных процессов ф^нкциониро-
ния системы, элементы которого отличаются друг от друга за
2*
' 20 СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ [Г;
счет различных условий и режимов работы системы. Каждо
элементу этого множества можно поставить в соответствие а
мент другого множества, а именно множества значений noi
зателя эффективности системы. Так как значения показате
представляют собой действительные числа, то можно говори
об отображении множества процессов функционирования с
стемы на множество действительных чисел, заключенных внут]
некоторого интервала (в пределах изменения значений показ
теля эффективности). На основании сказанного показатель э(
фективности можно считать функционалом*) от процесса фун
ционирования системы.
Изучение функционалов от процессов функционироваш
сложных систем представляет собой важнейшее направление
-теории сложных систем. Ниже мы познакомимся с многоч!
ленными примерами такого рода функционалов.
В связи с тем, что сложные системы работают в услови
действия случайных факторов, значения функционалов оказ
ваются случайными величинами. Это создает известные неуде
ства при использовании их в качестве показателей эффектив]
сти. Поэтому при выборе показателей эффективности обы!
пользуются средними значениями соответствующих функцио]
лов. Примерами таких средних значений функционалов слуя
среднее количество изделий, выпускаемых за смену, средняя
бестоимость продукции, средняя прибыль (для производств*
ных процессов), средняя длительность поездки, средняя cti
мость перевозки (для городского транспорта), среднее вре
ожидания в очереди (для систем массового обслуживания) ит
Иногда в качестве показателей эффективности используют
вероятности некоторых случайных событий, например веро
Кость успешной посадки самолета (для системы слепой поса
ки), вероятность застать абонентскую линию занятой (для с
стемы телефонной связи), вероятность попасть в очередной авт
бус (для пассажира, находящегося в очереди) и т. д. К
первый взгляд кажется, что мы встретились с принципиалы
новой ситуацией, когда элементам множества процессов фун
ционирования системы ставится в соответствие множество cj|
чайных событий. Однако этот случай легко сводится к пред!
дущему, если каждому событию поставить в соответствие фун
ционал, принимающий два значения: 1 (событие наступило)
0 (событие не наступило). Тогда вероятность события буД
равна среднему значению соответствующего функционала. :
*) Функционалом называется оператор, заданный на некотором mi
жестве функций (в некотором функциональном пространстве) и" принимаю^
значения из области действительных чисел.
ПОКАЗАТЕЛИ. ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ СЙОЙСТВА СИСТЕМ 21
s 3. Показатели, характеризующие свойства
сложных систем
В предыдущем параграфе мы рассмотрели некоторые
функционалы от процессов работы сложных систем, используемые в
качестве показателей их эффективности. На этом пути могут
быть построены (причем различными способами) совокупности
функционалов, характеризующие и другие свойства сложных
систем: их надежность, помехозащищенность, качество
управления и т. д.
Как показывает опыт исследования сложных систем,
наибольшей наглядностью (с точки зрения интерпретации
результатов исследования) и стройностью при постановке задач
отличаются совокупности функционалов, зависящие от
показателей эффективности. В самом деле, в большинстве случаев,
представляющих практический интерес, то или другое свойство
системы имеет значение не само по себе, а лишь как фактор,
влияющий на ее эффективность.
Перейдем к рассмотрению такой совокупности
функционалов. Начнем с построения показателя, характеризующего
надежность сложной системы.
Современные сложные системы состоят из огромного числа
элементов. Некоторые из них в процессе функционирования
могут выходить из строя, требуя замены или ремонта. Задача
оценки надежности системы сводится к выяснению влияния
отказов элементов на качество работы системы.
Оценка надежности производится при помощи специально
выбранных функционалов, называемых показателями
надежности системы.
Заметим, что на практике часто делаются попытки (как
правило, неудачные) использовать для оценки надежности
сложных систем показатели, заимствованные из теории надежности
тростых» систем. Такими показателями обычно служат
«среднее время безотказной работы системы» (среднее время, в тече-
ше которого все элементы системы находятся в рабочем
состояли), «вероятность безотказной работы системы в течение за-
[анного интервала времени» и некоторые другие [14]. Эти пока-
атели учитывают лишь сам факт появления или отсутствия
Указов в элементах системы и не дают никакого представле-
«ия о влиянии отказов на конечный эффект функционирования
системы. т г
»лр ВИДН°' Чт° для многих сложных систем выход некоторых
ементов^из рабочего состояния не только не приводит к не-
1ногДаНН°И потере Работоспособности всей системой в целом, но
Да даже является заранее «планируемым» событием. К таким
22
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. )
случаям относятся поломки автомобилей в городском трансе
порте, порывы отдельных линий в телефонной сети, отказы otj
дельных каналов в многоканальных системах массового обслу.
живания и т. д. Здесь может идти речь не о полной потер!
работоспособности системы, а лишь о снижении качества ее ра
боты, т. е. об изменении эффективности системы. ' ,-
Постановка задачи об оценке надежности сложной систем!
сводится к следующему.
Предполагаются известными характеристики, описывающи
интенсивность отказов элементов сложной системы: среднее кс
личество отказов за определенный интервал времени, закон рас
пределения промежутков времени между последовательными о:
казами и т. j(. Эти характеристики определяются экспериме
тально или другими методами оценки надежности «просты:
систем. ;
Пусть в качестве показателя эффективности сложной сист
мы выбран некоторый функционал R. Естественно, что знач
ния показателя эффективности R зависят не только от стру
туры и параметров системы, но также и от значений хара
теристик надежности (интенсивности отказов) ее элементе
Будем обозначать А!надежн— значение показателя эффективное!
вычисленное в предположении, что отказы элементов имеют и
тенсивности, соответствующие заданным характеристикам, ,
R0 — в предположении, что все элементы системы абсолютно н
дежны (в процессе функционирования отказы не происходят
Тогда в качестве показателя надежности сложной системы м
жет быть выбрана абсолютная величина разности
^"надежи = | Н —*\надежн|' (ljfl
показывающая, насколько снижается эффективность систем!
вследствие возможных отказов ее элементов по сравнению с эф
фективностью идеальной системы, элементы которой абсолюта
надежны. :
Если величина А/^надежн мала, то отказы элементов слаб
влияют на эффективность системы, как бы часто они ни npod
ходили. В этом случае вряд ли целесообразны какие-нибуд
чрезвычайные меры повышения надежности — полученные Щ
зультаты могут не оправдать произведенных затрат. В друго;
случае, когда величину А/?надежн нельзя считать малой, необхс
димо упомянутые меры принять. К ним относятся повышени
надежности или резервирование элементов, отказы которы
оказывают наибольшее влияние на. эффективность, проведенн
специальной профилактики и т. д.
ПОКАЗАТЕЛИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ 23
§3]
Очевидно, что для расчета показателей надежности системы,
омимо характеристик интенсивности отказов элементов,
необходимо также задать характеристики, описывающие затраты
оемени на восстановление их работоспособности — ремонт или
замену.
Аналогично можно ввести показатели, характеризующие и
другие свойства сложных систем. Обратимся к оценке
помехозащищенности системы.
Пусть по-прежнему функционал R является показателем
эффективности сложной системы, и пусть его значение /?„омех
соответствует функционированию системы в условиях действия
помех с заданными характеристиками, а значение R0 относится
к так называемым нормальным условиям, когда помехи
отсутствуют.
Тогда в качестве показателя помехозащищенности системы
можно выбрать абсолютную величину разности
А/? помех —- ЯГ-R помех I. (ЫО)
показывающую, насколько изменяется эффективность системы
под влиянием помех с заданными характеристиками.
Иногда пользуются также относительным показателем
помехозащищенности, в качестве которого используется отношение
величины А/?помех к величине какой-нибудь характеристики
помехи.
Некоторыми особенностями отличается оценка качества
управления в сложной системе. Пусть в данной сложной системе
управление может быть организовано несколькими способами.
Соответствующие варианты обозначим буквами А, В, С, ...
Пусть функционал R является показателем эффективности
системы, а его значения RA, RB, Re, ■ ■ • соответствуют указанным
вариантам управления. Тогда абсолютная величина разности
А/?у5 = 1#л-Я«1 , (1Л1)
может служить сравнительной оценкой вариантов управления
А и В. Для того чтобы произвести абсолютную оценку качества
управления (например, для варианта А), необходимо знать
идеальный вариант управления, при котором эффективность
системы оказывается наибольшей. В общем случае идеальный
вариант управления, а также соответствующее значение
показателя эффективности оказываются неизвестными. Для некоторых
классов систем величину R0 иногда удается оценить косвенным
утем, хотя при этом сам идеальный вариант управления
остается неизвестным.
24
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ I
Очевидно, что показателем качества управления вида (1.11)
можно пользоваться не только для сравнительной оценки
вариантов управления в целом. С его помощью могут быть оценены
и отдельные стороны управления: качество управляющих
операторов или алгоритмов, полнота и точность
осведомительной информации, темп выда'чи управляющей информации и т.д.
Естественно, что эта оценка будет носить также сравнительный
характер.
В заключение настоящего параграфа сделаем одно
замечание, относящееся к смыслу величины R°, фигурирующей в
выражениях для функционалов, характеризующих различные
свойства сложной системы. В некоторых случаях эта величина
(единая для всех показателей) соответствует особому идеальному
варианту системы (идеальное управление, абсолютная
надежность, отсутствие помех и т. д.). В других случаях величина R0
может выбираться для каждого показателя особо, например
рассматривается абсолютная надежность элементов системы,
работающей в условиях действия помех, или идеальный
вариант управления при условии, что элементы системы имеют
реальную надежность, и т. д.
§ 4. Задачи исследования сложных систем
Разработка современных сложных систем представляет
собой многоэтапный процесс, характеризующийся
специфическими техническими и организационными мероприятиями.
Основными этапами создания сложной системы обычно
являются:
1) формулирование требований к системе и обоснование
технического задания на проектирование;
2) разработка эскизного проекта;
3) создание опытного обрзаца;
4) испытания;
5) изготовление и ввод в эксплуатацию готового образца
системы;
6) опытная эксплуатация и доработка головных образцов;
7) организация выпуска, монтаж, наладка и ввод в
эксплуатацию серийных образцов;
8) модернизация системы.
На каждом из перечисленных этапов возникает множество
вопросов, ответы на которые могут быть найдены только в
результате достаточно глубокого исследования системы и
внимательного изучения качественных и количественных данных, nor
лученных при исследовании.
и
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
25
Среди задач, возникающих в связи с исследованием
сложных систем, можно выделить два основных класса: 1) задачи
анализа, связанные с изучением свойств и поведения системы в
зависимости от ее структуры и значений параметров, и 2)
задачи синтеза, сводящиеся к выбору структуры и значений
параметров, исходя из заданных свойств системы.
На практике при проектировании сложных систем, их
модернизации, а также при определении оптимальных режимов
эксплуатации, задачи анализа наиболее часто интерпретируются
как оценка возможных вариантов системы (выбор структуры,
значений параметров). Для каждого из обследуемых вариантов
необходимо вычислить совокупность показателей,
характеризующих свойства системы (эффективность, надежность,
помехозащищенность и т. д.). Сопоставляя эти характеристики, можно
получить первое представление о преимуществах и недостатках
тех или других вариантов системы.
Необходимо заметить, что при выборе практически
подходящего варианта системы нужно обращать внимание не только на
то, чтобы показатели, характеризующие свойства системы, имели
оптимальные значения, но также и на стабильность их при
изменении в определенных пределах самих параметров системы.
Учет этого обстоятельства часто оказывается решающим при
окончательной оценке качества рассматриваемого варианта
системы.
Легко видеть, что, начав с задач анализа сложных систем,
мы постепенно пришли к соображениям, тесно примыкающим
к их синтезу. Это объясняется особой трудностью постановки
и решения задач строгого синтеза сложных систем. Тем не
менее эти задачи встают перед коллективами,
занимающимися системотехникой, и будут в известной степени затронуты
ниже.
К сожалению, ни уровень разработки теоретических
вопросов анализа и синтеза сложных систем, ни характер настоящей
книги не позволяют изложить здесь общие приемы
исследования, пригодные для широкого круга задач. Поэтому
ограничимся рядом примеров, относящихся к различным областям
техники.
• Естественно предположить, что показатели,
характеризующие свойства системы, могут быть определены одним из двух
способов: 1) путем обработки данных натурного эксперимента
и 2) методом моделирования процесса функционирования
сложной системы на цифровых вычислительных машинах.
Принципиально допустимо чисто экспериментальное
изучение существующих сложных систем. Однако для того, чтобы
экспериментальное изучение было практически целесообразным,
26
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 1
необходимо соблюдение, по меньшей мере, следующих
условий:
1. Система допускает такие изменения режимов
функционирования, которые обеспечивают решение поставленных перед
экспериментом задач.
2. Имеется возможность фиксации всей необходимой
информации без чрезмерно больших затрат на специальные датчики
и накопители.
3. Фиксация и статистическая обработка информации в
естественном масштабе времени позволяет в практически
приемлемые сроки накопить данные для решения задач исследования.
4. Изменения режимов функционирования оборудования,
связанные с проведением экспериментов, не приводят к значительным
потерям, авариям и другим нежелательным последствиям и т. д.
Перечисленные условия выполняются на практике далеко не
всегда, поэтому для изучения существующих сложных систем
целесообразно сочетать экспериментальные методы (для
отдельных элементов оборудования) и метод моделирования (когда
речь идет о системе в целом).
Метод моделирования является весьма эффективным
методом оценки вариантов структуры сложной системы на стадии ее
проектирования.
Перед изготовлением опытного образца системы полезно
провести детальное обследование принятого варианта методом
моделирования. При этом может быть получена хотя и
предварительная, но достаточно обоснованная оценка характеристик
системы. Анализ результатов моделирования поможет вскрыть
слабые стороны проекта, обнаружить узкие места, оценить
согласованность отдельных элементов. Такое обследование позволит
внести окончательные коррективы в проект, улучшить принятый
вариант, а характеристики системы выбрать более обоснованно.
Наличие отлаженной модели позволяет приступить к
решению ряда важных в практическом отношении задач. Характер
и содержание этих задач определяются в каждом случае
конкретными условиями. Однако все они связаны с анализом и
интерпретацией количественных результатов, полученных в
результате моделирования. Рассмотрим некоторые примеры.
Предположим, что при моделировании некоторого
производственного процесса были зафиксированы относительные
времена работы и простоев элементов оборудования в динамике его
функционирования. Посмотрим, как эти данные могут быть
использованы для получения практических рекомендаций,
связанных с усовершенствованием производственного процесса.
Как известно, в некоторых случаях износ инструмента и
разладка станков и агрегатов находятся в прямой зависимости от
$ 41 ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 27
времени фактического их использования. Кроме того, иногда
качество продукции определяется длительностью Ьц интервалов
времени между периодическими заменами инструмента и
наладками станков и агрегатов. Здесь i—номер станка или агрегата,
а / — номер очередного интервала времени между наладками.
Длительность наладки (замены инструмента) обозначим щ
(в течение этого интервала времени данный станок или агрегат
не работают). При этих условиях, располагая сведениями об
относительном времени работы и простоя всех станков и
агрегатов, мы можем поставить задачу об оптимальном планировании
режимов наладки и замены инструмента. В простейшем случае
рассматриваемая задача может иметь следующий вид. С
увеличением интервалов ttj растут потери, связанные с ухудшением
качества продукции. Наоборот, когда ttj уменьшаются,
упомянутые потери снижаются; однако увеличиваются потери,
связанные с затратами на наладку и замену инструмента, а также
потери в выпуске продукции за интервалы времени тц. Необходимо
выбрать такие значения ttj, чтобы суммарные потери оказались
минимальными. Естественно, что на практике могут иметь место
и другие подходы к решению этой задачи.
Кроме планирования периодических наладок, сведения о
величинах относительного времени работы и простоя элементов
оборудования могут быть использованы и для других целей.
Сопоставление этих величин для различных станков и агрегатов
зачастую позволяет вскрыть причины, порождающие
завышенные простои отдельных станков или их групп, получить
рекомендации, связанные с более равномерной загрузкой оборудования.
Например, могут быть случаи, когда какой-нибудь агрегат
имеет относительное время простоев, близкое к нулю, а другие
элементы оборудования загружены значительно слабее. В связи
с этим возникает подозрение: не является ли упомянутый агрегат
своеобразным «узким местом», тормозящим работу других
станков и агрегатов? Часто узким местом оказываются средства
внутризаводского транспорта, доставляющие полуфабрикаты к
соответствующим рабочим местам. Ликвидация такого узкого
места может быть осуществлена двумя путями: 1) увеличением
пропускной способности транспортных средств и 2) увеличением
«заделов» (запасов полуфабрикатов), находящихся на рабочих
местах. И первый и второй подходы к этой задаче связаны
с дополнительными затратами. Возникает вопрос: какое
соотношение между пропускной способностью транспортных средств и
размерами заделов оказывается оптимальным?
Если же узким местом оказываются не транспортные средства,
а один из станков, выполняющих обработку полуфабрикатов, то
представляет интерес другой вопрос: будет ли экономически
28
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
оправданным существенное увеличение производительности этого
станка (например, замена более мощным станком или
установка дополнительного станка-дублера)?
Выше было отмечено, что большие объемы заделов на
рабочих местах оказываются экономически невыгодными. Может
быть поставлен вопрос о сокращении заделов до определенных
пределов, когда еще не проявляются отрицательные последствия
этого сокращения (срывы процесса, завышенные простои
станков, общее снижение выпуска продукции и т. д.). Первый шаг
на пути решения этой задачи должен сводиться к оценке
распределения количества полуфабрикатов, выбираемых из задела для
каждого станка, при условии, что объем задела не ограничен.
Это может быть сделано моделированием. Наличие данных о
таком распределении позволяет обосновать максимально
потребные объемы заделов, превышение которых практически не имеет
смысла. Однако это еще не полное решение задачи. Может
оказаться, что и дальнейшее снижение заделов целесообразно, так
как оно экономически выгодно и не приводит еще к
нежелательным последствиям.
Количество примеров анализа показателей эффективности и
других характеристик производственных процессов, получаемых
методом моделирования, можно было бы значительно увеличить.
Однако для дальнейшего изложения более целесообразно
остановиться на некоторых специфических вопросах исследования
сложных систем.
Одной из существенных задач, возникающих на стадии проект
тирования, является оценка различных вариантов структуры
сложной системы.
Решение этой задачи путем эксперимента потребовало бы
создания экспериментальных установок не только для элементов
системы, но и для системы в целом. Во многих случаях это
связано с недопустимыми затратами средств и времени, а также с
необходимостью привлечения многочисленного персонала.
Оценка вариантов структуры сложной системы простейшими
методами, без достаточно глубокого количественного анализа влияния
случайных факторов на динамику функционирования
оборудования, может привести к грубым просчетам. На практике
известны случаи, когда сравнение вариантов структуры для условий
«нормального» или «регулярного» функционирования
оборудования не дало возможности получить их объективную оценку.
Преимущества того или другого варианта с точки зрения
устойчивости процесса по отношению к нарушениям «нормальных»
режимов, различного рода сбоям и отклонениям появляются лишь
тогда, когда сравнение проводится в условиях, близких к реаль-
.ным, :с уяетам широкого круга действующих факторов.
§ 4J ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 29
К задачам оценки вариантов структуры сложной системы
близко примыкают задачи, связанные с выбором тех
параметров системы, которые обеспечивают согласование элементов
системы между собой в процессе функционирования.
Для широкого класса систем массового обслуживания
существенное значение имеет синхронизация отдельных элементарных
актов процесса функционирования системы, выполняемых
различными ее элементами. Метод моделирования позволяет
проверить, действительно ли выбранные значения параметров
обеспечивают достаточна хорошую синхронизацию. Кроме того, если
качество синхронизации оказывается неудовлетворительным,
метод моделирования дает возможность выделить те параметры,
значения которых подлежат корректировке. Необходимые для
этого сведения можно получить, анализируя причины срывов
процесса или нарушений допустимых режимов, связанные с
неудовлетворительной синхронизацией.
Другой задачей, близкой по своему характеру к задаче
синхронизации, является согласование различных элементов
оборудования, узлов и линий по их производительности. Для этого
необходимо по результатам моделирования оценить
производительность отдельных элементов, узлов и линий, провести расчеты
для выбора соответствующих параметров и проверить
приемлемость их путем комплексного моделирования всего процесса.
Исключительно важное значение имеют исследования
сложных систем в связи с вопросами управления.
Современная система автоматизированного управления
взаимодействует с десятками, а иногда, и сотнями различных
элементов и представляет собой весьма сложный комплекс
электронного оборудования, выполняющего с огромной скоростью
функции сбора информации о состояниях элементов оборудования,
ее обработки, оптимального планирования" и формирования
управляющих сигналов.
Для расчета систем управления такого типа необходимо
уметь решать задачи, связанные с анализом процессов
функционирования сложного оборудования, оценкой строения
информационных потоков и законов управления процессами, синтезом
алгоритмов обработки информации и оптимального
планирования, синтезом счетно-решающих устройств, реализующих эти
алгоритмы, выбором значений параметров оборудования,
определением целесообразных режимов его работы и т. д.
Аналитические методы расчета сложных систем автоматизированного
управления еще не разработаны. Имеющиеся в настоящее время
результаты относятся скорее к расчету элементов, чем систем
управления в комплексе. Экспериментальное решение упомянутых
задач практически нецелесообразно как по причинам, связанным
30 СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ.
с большими затратами средств и времени на создание эксперт
ментальных образцов, так и в силу необходимости обследС
вания необозримого количества на первый взгляд равноценны,
вариантов. .]
В ходе расчета сложных систем автоматизированного управ^
ления широкое применение находят различные методы физиче|
ского и математического моделирования. Особенно большими
возможностями обладает в этом отношении метод
статистического моделирования. Пути его использования принципиально
остаются такими же, как и в области проектирования
оборудования, о чем шла речь выше.
Для автоматизации управления необходимо раскрыть
закономерности, характерные для данной системы, и получить
представление о целесообразных методах управления.
Это касается в первую очередь выяснения потоков
информации, которые циркулируют в системе в связи с процессом,
управления. Целесообразно провести классификацию потоков
информации. Обычно рассматривают две большие группы потоков:
1) исходную информацию и 2) управляющие сигналы, или
команды.
В группе исходной информации обычно содержатся
следующие подгруппы:
1) потоки осведомительной информации о воздействиях внеш-
-ней среды;
2) потоки осведомительной -информации о состояниях
элементов оборудования;
3) потоки информации, длительно хранящейся в
накопителях (памяти) системы управления (постоянные параметры,
характеризующие режимы, нормативы);
4) потоки информации, поступающей от вышестоящих
инстанций или плановых органов.
Аналогичную классификацию можно ввести и для потоков
информации, представляющих собой управляющие команды. Об
этом кратко будет идти речь ниже.
После определения характеристик и направлений потоков
информации необходимо решить одну из наиболее важных задач
анализа строения процесса управления — задачу выделения
информации, существенной для управления. Как показывает
опыт, процессы управления являются весьма сложными
процессами, зависящими от большого количества параметров. Если
при построении методов управления учитывать всевозможные
детали и тонкости, свойственные данному процессу, то мы
неизбежно придем к сложным методам управления, требующим для
своей реализации громоздкого и дорогостоящего оборудования.
В то же время мы не гарантированы при этом от бесполезной
§0
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Si
передачи и обработки большого количества ненужной
информации.
Для того чтобы построить оптимальные методы управления,
необходимо выделить такое минимальное количество
информации, которое еще обеспечивает заданное качество управления.
Для оценки качества управления выбираются специальные
критерии. Часто в связи с трудностями обоснованного выбора
критериев качество управления приходится оценивать при помощи
общих критериев эффективности процесса: например, метод
управления, обеспечивающий большую производительность (при
прочих равных условиях), считается лучшим.
Располагая соответствующим критерием качества
управления и имея возможность моделировать процесс, мы в состоянии
по результатам моделирования оценить значимость того или
другого потока информации, того или другого параметра сточки
зрения качества управления. Таким путем можно в первом
приближении выделить информацию, существенную для управления.
В каждом конкретном случае обычно удается найти подходящие
приемы, позволяющие сократить объем вычислений. Однако во
всех случаях процедура оценки значимости потоков
информации или параметров носит характер опробования некоторого
количества выбранных вариантов.
Выделив информацию, существенную для управления, можно
перейти к рассмотрению возможной структуры системы
управления. Одним из вопросов, возникающих при этом, является
оценка оптимальной централизации (децентрализации)
управления.
При высокой степени централизации принципиально
возможно добиться весьма высокого качества управления за счет
возможности решать задачи управления с учетом сведений обо всех
элементах системы. В противоположность этому при
децентрализованном управлении качество управления может снижаться
за счет того, что каждый местный пункт располагает только
местной информацией о связанных с ним элементах. Однако
высокая степень централизации практически влечет за собой
необходимость передавать в центр большое количество
необработанной информации, что чревато непомерным разрастанием
требований к линиям передачи информации и устройствам ее
обработки в центре. Предварительная обработка информации
на местах и передача в центр лишь обобщенных характеристик,
достаточных с точки зрения качества управления,
оказываются обычно более целесообразными. Решение
перечисленных вопросов можно получить, анализируя результаты
моделирования системы при различной степени централизации
управления.
32 СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ ГГЛ j
Аналогично ставится и другой вопрос, связанный со
структурой системы управления, — вопрос о выборе целесообразных
уровней управления. Сущность его состоит в следующем.
Требования к линиям передачи информации и к устройствам ее
обработки в центре можно еще более снизить, если решение
части задач управления передать местным ячейкам управления.
Поскольку эти последние не всегда располагают необходимыми
сведениями, бывает целесообразным вводить промежуточные
пункты управления, объединяющие несколько местных пунктов.
Таким образом, мы приходим к иерархической системе
управления с несколькими уровнями управления. Количество уровней
управления и их состав оказывают существенное влияние на
требования к оборудованию при фиксированном качестве
управления. Метод моделирования позволяет произвести
сравнительную оценку различных вариантов выбора уровней
управления и тем самым выработать рекомендации по оптимальной
структуре системы управления.
Существенной областью применения метода моделирования
является также сравнительная оценка различных алгоритмов
управления и обработки информации. Моделирование процесса
с воспроизведением соответствующего алгоритма управления
позволяет вскрыть недостатки алгоритма, обнаружить случаи
некачественной его работы или прямых ошибок. Накопленные
Сведения представляют большой интерес с точки зрения
усовершенствования алгоритмов управления.
Методом моделирования часто решаются задачи, связанные
с обоснованием требований к элементам системы управления.
• Типичным примером такой задачи является задача об
оптимальном соотношении между точностью и частотой выдачи
информации различными датчиками или решающими
приспособлениями.
Наконец, метод моделирования может быть использован для
получения комплексной оценки эффективности (а также и
рентабельности) тех или других вариантов автоматизации
управления.
Глава II
Математические модели
§ 5. Вводные замечания
Моделирование — один из наиболее распространенных
способов изучения различных процессов и явлений. В настоящее
время известны и широко используются в научных
исследованиях и инженерной практике многочисленные методы и приемы
моделирования. Обычно различают физическое моделирование
и математическое моделирование.
При физическом моделировании модель воспроизводит
изучаемый процесс (оригинал) с сохранением его физической
природы. К этому виду моделированиятггносятсяТфбдувка~моделей
самолетов в аэродинамических трубах, оценка свойств гидро:
технических сооружений при помощи макетов русловых потоков
и т. д. Преимущества физического моделирования перед
натурным экспериментом заключается в том, что условия реализации
процесса-модели могут значительно отличаться от условий,
свойственных процессу-оригиналу, и выбираются, исходя из
Удобства и простоты исследования.
Поскольку при моделировании нет необходимости сохранять
размеры сооружений, скорости течения жидкостей и газов,
нагрузки на элементы конструкций и т. д., имеется возможность
получить существенный выигрыш во времени и стоимости
исследования. Однако условия моделирования выбираются не
абсолютно произвольно. Между процессом-оригиналом и процесс
сом-моделью должны быть сохранены некоторые соотношения
подобия, вытекающие из закономерностей физической природы
явлений и гарантирующие возможность использования
сведений, получаемых путем моделирования, для оценки свойств
процесса-оригинала.
Физическое моделирование имеет ограниченную сферу
применения. Заведомо более широкими возможностями обладает
математическое моделирование. Под математическим моделирова-
■нием понимают способ исследования различных процессов путем
■изучения явлений, имеющих различное физическое содержание,
но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.
Ц Н. П. Бусленко
34
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. И
В простейших случаях для этой цели используются известные
аналогии между механическими, электрическими, тепловыми и
другими явлениями.
Примером такой аналогии могут служить гармонические
колебания. В самом деле, пусть £,{t)—отклонение центра масс
пружинного маятника от положения равновесия в момент
времени t, т — его масса, а —i|)|(0—сила, действующая на
маятник со стороны пружины (г); — жесткость пружины). Тогда
уравнение колебаний маятника имеет вид
mfwL = ~*W> -■ <2-*-)
" Обозначив ^- = ю^ й f(^) =2, можем записать уравнение (2.1)
в общей форме уравнения свободных колебаний
-g£ + «fc = 0. (2.2)
Рассмотрим теперь свободные колебания в электрическом
контуре. Если обозначить емкость конденсатора С, его заряд
в момент времени t через q(t), а индуктивность катушки L, то
уравнение колебаний принимает вид
, tPq(t) , q(t) _n ,9Ч
Введя обозначения Jc==(0o; Q{t)~z' придем опять к (2.2).
Из приведенных соотношений следует, что закономерности,
свойственные колебательному контуру (например, зависимость
амплитуды и частоты колебаний от его параметров L и С)
можно изучать на модели, представляющей собой пружинный
маятник, и наоборот..
Многие механические, электрические и тепловые явления
(например, установившаяся температура и электрический
потенциал внутри однородного изотропного тела, потенциал
скоростей при движении однородной несжимаемой жидкости и т. д.)
описываются так называемым уравнением Лапласа
дх* ' ду* г dz* U ^'7
Мы не можем здесь останавливаться на многочисленных
примерах аналогий, находящих применение в практике
моделирования. Существенным моментом является то обстоятельство, что
при изучении любого процесса методом математического
моделирования необходимо в первую очередь построить его
математическое описание, или, как мы далее будем говорить,
математическую модель. В простейших случаях, таких, как рассмотрен-
§ 8} МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 35
ные выше, математическая модель позволяет для данного
процесса-оригинала подобрать на основании известных аналогий
удобные физические процессы-модели, а также установить
соотношения подобия, связывающие их параметры, без которых
трудно использовать результаты моделирования для изучения
процесса-оригинала. В более сложных случаях, когда для
моделирования создаются специальные моделирующие установки
(стенды) или используются быстродействующие вычислительные
машины, математическая модель необходима для определения
структуры и параметров стенда или построения моделирующего
алгоритма.
Понятие математической модели является одним из
основных для проблематики, изучаемой в настоящей книге. Поэтому
мы остановимся на нем более подробно.
§ 6. Математическая модель
Математическая модель реальной системы является тем
абстрактным формально описанным объектом, изучение которого
возможно математическими методами, в том числе и с помощью
математического моделирования. Сложность и многообразие
процессов функционирования реальных систем не позволяют
строить для них абсолютно адекватные математические модели.
Математическая модель, описывающая формализованный
процесс функционирования системы, в состоянии охватить только
основные, характерные его закономерности, оставляя в стороне
несущественные второстепенные факторы.
Так, при построении математической модели пружинного
маятника (2.1) мы интересовались движением центра его масс,
пренебрегая всеми остальными изменениями в системе
(деформациями пружины, тепловыми движениями молекул и т. д.), а
также, ради простоты модели, и некоторыми факторами,
существенными с точки зрения движения центра масс (внутренним
трением в пружине, сопротивлением воздуха), считая, что иска*
жение результатов не будет слишком заметным.
В дальнейшем в большинстве случаев мы будем иметь дело
не с реальными системами, а с их математическими моделями,
и под словом «система» будем понимать, как правило,
математическую модель реальной системы, описанную
соответствующим образом.
■ Процесс- функционирования любой системы будем
рассматривать как последовательную смену ее состояний в некотором
интервале времени (t0, к)- Состояния системы в каждый момент
времени t из упомянутого интервала характеризуются набором
величин Zi, Z2, ...,, z„. При переходе от одного мгновенного
3«
36
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
состояния системы к другому значения ги z2, ..., г„ в общем
случае меняются. Если рассматривать процесс функционирования
системы как последовательную смену состояний, то Zi(t),
z%(t), . .., zn(t) оказываются функциями времени t. Величины
вида Zi(t), Zz{t), .. ., zn(t), обладающие упомянутыми
свойствами, будем в дальнейшем называть характеристиками
состояний системы. Заметим, что характеристики состояний системы
можно также интерпретировать как координаты точки в
«-мерном фазовом пространстве. Каждому мгновенному состоянию
системы соответствует определенная точка, а процессу
функционирования системы — некоторая фазовая траектория. Фазовая
траектория может быть описана вектор-функцией Z (t) с
составляющими по осям координат zt(t), z2(t), ..., zn(t).
Очевидно, что моменту времени t0 соответствует некоторое
начальное состояние системы с характеристиками (начальными
условиями) zj, z\, ..., z°n. На вход системы в общем случае могут
поступать входные сигналы, которые будем обозначать х{
(t = l, 2, ...). Входные сигналы оказывают влияние на
изменение состояний системы. Таким образом, характеристики
состояний системы Zi(t), z2(t), . . ., zn(t) в произвольный момент /
зависят от начальных условий z\, z\, . . ., z° и входных
сигналов xit поступивших в моменты времени ti^Ct. Заметим, что
функции Zi(t), z2(t), .. ., zn(t) могут также зависеть от
некоторого числа постоянных величин, называемых параметрами
системы. Наконец, система в общем случае может выдавать
выходные сигналы yj (/=1, 2, ...), полностью определяемые ее
состояниями.
Для иллюстрации сформулированных положений рассмотрим
в качестве системы пружинный маятник. В любой момент
времени t его состояние характеризуется величинами Zi(t) =£,(t),
отклонением центра масс от положения равновесия, и z2(t) =*
— v(t), скоростью его движения. Как известно, решение
дифференциального уравнения (2.1) выражается зависимостью
Ut) = Xcos(l/±t-V), (2.5)
где амплитуда X и фаза ср определяются начальными условиями
z£ —10 и z§ = % Например, если/о=0, то
.*=/8+f«8* 4>=«rctsf/|- (2-6)'
Величина, скорости v{t) может быть представлена в виде
v(1) = -Xy±s\n[Y^t'--9)' - (2.7)
§61
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
37
Из соотношений (2.5) и (2.7) видно, что в данном случае
характеристики состояний системы зависят от начальных условий
go и vq, а также от параметров системы ty и т,
Для электрического колебательного контура
характеристиками состояний служат Zi(t)—q(t)—заряд конденсатора, и
z%{t)=-i(t) —ток в цепи. Начальные условия qo и i0. В
произвольный момент времени
угс
(2.8)
X
1
-У
1
*■
г
.
4 ::
з -
_£
Очевидно, что параметрами системы здесь будут величины L
и С. Наконец, рассмотрим в качестве примера замкнутую систему
автоматического регулирования,
схема которой представлена на
рис. 1.
Входной сигнал х поступает
на входное устройство 1. Сюда
же подается выходной сигнал у
с обратным знаком
(отрицательная обратная связь). Разность
х—у, образованная входным
устройством, поступает на усили*
тель 2, имеющий коэффициент
усиления kt и питающийся от источника энергии 4. На выходе
усилителя образуется сигнал k\(x—y). Исполнительный орган 3
вырабатывает выходной сигнал у, скорость изменения которого
пропорциональна (с коэффициентом пропорциональности k2}
сигналу на его входе (на выходе усилителя). - ■-,
Описанную здесь зависимость можнопредставить в виде еле'
дующего уравнения.: • , ..
"- : , % = ь£М-у). (2-9)
или
Рис. 1.
■^Г + кАУ:
' fZiKo-sC*
(2.10)
Состояния рассматриваемой системы можно характеризовать
величинами Zi(t)=x, z2(t)=y, и z3(t) = -^-, а ее параметрами
будут постоянные k\ и &2.
Соотношения вида (2.5), (2.7), (2.8) и (2.10) связывают
характеристики состояний системы с ее параметрами. Эта связь
основывается на учете природы элементов системы и
взаимодействия между ними. Она охватывает, не только количественные
38
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
зависимости между величинами, фигурирующими в системе,
но и ее структуру. Последнее обстоятельство может быть
подтверждено на примере замкнутой системы автоматического
регулирования. В самом деле, замена мест ее элементов (например,
входного устройства и усилителя), ликвидация обратной связи
или изменение ее контура (например, подача величины у на
усилитель) приведут к принципиальному изменению вида
уравнения (2.10).
После сделанных замечаний и рассмотренных примеров
можно перейти к понятию математической модели системы, или,
точнее, к понятию -математической модели процесса
функционирования системы.
- Под математической моделью реальной системы будем
понимать совокупность соотношений (например, формул, уравнений,
неравенств, логических условий, операторов и т. д.),
определяющих характеристики состояний системы (а через них и
выходные сигналы) в зависимости от параметров системы, входных
сигналов, начальных условий и времени. Понятию
«соотношение» в этом определении придается весьма широкий смысл.
В некоторых случаях эти соотношения могут быть представлены
в виде явных функций от параметров системы, входных
сигналов, начальных условий и времени. Примером такой модели
могут служить соотношения (2.5), (2.6) и (2.7) для пружинного
маятника. В самом деле, здесь характеристики состояний \(t)
и v(t) выражаются формулами через параметры гр и т, началь*
ные условия |0 и v0 и время t. To же самое можно сказать и о
соотношениях (2.8) для электрического колебательного контура.
В других случаях математическая модель представляет собой
совокупность уравнений (алгебраических, дифференциальных,
функциональных и т. д.) относительно характеристик состояний
еистемы и выходных сигналов. При этом параметры системы
входят в коэффициенты уравнений, а входные сигналы — в
правые части. Для иллюстрации предлагается рассмотреть
совокупность следующих соотношений (для пружинного маятника):
F{t) = -^l(t),
mw{t) = F(t),
(2.11)
Первое соотношение выражает зависимость силы F(t),
действующей на центр масс маятника со стороны пружины, от
жесткости пружины i|> и отклонения центра масс \{t)\ второе
§ 6] МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 39
соотношение представляет собой второй закон Ньютона; третье
и четвертое —кинематические выражения скорости и ускорения
точки через ее перемещение.
Легко убедиться, что соотношения (2.11) являются матема^
тической моделью пружинного маятника, эквивалентной (2.5),
(2.6) и (2.7), но представленной в другой форме. Для этого
достаточно привести (2.11) к виду (2.1) и получить решения (2.5)
и (2.7).
- Здесь характеристиками состояний системы служат вели*
чины
l{t), F(t), w(t) и v(t),
а параметрами и начальными условиями по-прежнему остаются
т, гр и |0, ^о соответственно.
Другим примером такого типа является уравнение (2.10),
описывающее работу замкнутой системы автоматического
регулирования.
Однако при исследовании реальных систем не всегда удается
построить математические модели в виде явных функций или
уравнений. Подтверждением сказанного служат модели
конкретных сложных систем, рассматриваемые в заключительных
главах настоящей книги. Сейчас в качестве примера рассмотрим
процесс теплообмена металлической заготовки с внешней средой"
при ее горячей обработке. В соответствии с технологией,
заготовка помещается в нагревательную печь для разогрева. По
истечении определенного времени она извлекается из печи и
транспортируется к месту выполнения операции обработки
(ковка, горячая штамповка и т. д.). При транспортировке и
обработке заготовка постепенно остывает. Требуется построить
математическую модель, описывающую процесс изменения
температуры Т заготовки с течением времени t.
Для построения модели в качестве характеристик состояний
системы можно выбрать следующие величины: Т(t)
—температуру заготовки, AT(t) —разность температур заготовки и
внешней среды и A(t) — скорость теплопередачи. Эти характеристики
зависят от параметров системы и начальных условий.
Параметрами системы в данном случае служат: 0 — температура
пламени в печи, т.—время пребывания заготовки в режиме
нагрева, / — расстояние от печи до места производства операции
обработки, v — скорость транспортировки, с — теплоемкость
элементов внешней среды. Начальными условиями, естественно,
являются величины Го, АТ0 и Л0.
Очевидно, математической моделью данного процесса может
служить совокупность соотношений вида
Wt{T,AT, Л,. 0, х, I, v, а, Г0,.А70,:Л^ i)^0.
40 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ [ГЛ. I
• Однако практически при построении модели таких соотно
шений получить не удалось. Пришлось ограничиться имеют,*
мися таблицами статистики, отражающей изменение характер*
стик T(t), AT(t) и Л(^) при различных значениях параметров,
начальных условий.
Перейдем к некоторым общим замечаниям, связанным с ni
нятием математической модели.
Первое из них касается однозначности определения характер
ристик состояний системы и выходных сигналов через пара-;
метры системы, входные сигналы и начальные условия. Это
требование выполняется для так называемых детерминированных
моделей, представляющих собой совокупность неслучайных
соотношений. Если при этом начальные условия и входные
сигналы не случайны, то модель оказывается вполне
детерминированной. В качестве примеров вполне детерминированных
моделей можно указать на рассмотренные выше модели пружинного
маятника, электрического колебательного контура и
замкнутой системы автоматического регулирования при условии, что
параметры, входные сигналы и начальные условия
фиксированы.
На практике нередко приходится рассматривать случайные
процессы функционирования различных систем. Характеристики,
состояний системы для таких процессов оказываются случай-'
ными функциями времени.
Как известно (см., например, [38]), случайные процессы
могут быть описаны соответствующими распределениями
вероятностей, заданными на множестве реализаций.
Реализациями являются неслучайные, вполне
детерминированные процессы, в виде которых проявляется случайный процесс
при каждом отдельном эксперименте, проводимом над
случайным процессом.
Характеристики состояний системы могут быть случайными
функциями времени в силу различных причин. Иногда
изучаемый процесс по существу является неслучайным, вполне
детерминированным, в то время как начальные условия оказываются
случайными величинами. Часто случайными величинами
оказываются параметры соответствующей системы или входные
сигналы. Сами рассматриваемые процессы могут быть тоже
случайными, несмотря на то, что параметры системы, входные
сигналы и начальные условия вполне детерминированы.
Случайный характер протекания процесса в этом случае
чаще всего объясняется действием на элементы системы
случайных возмущений, возникающих внутри системы. Однако
типичной, наиболее часто встречающейся на практике ситуацией
оказывается такая, когда и начальные условия, и выходные
§ 6]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
41
сигналы, и параметры системы, и сами процессы являются
случайными.
Имея в виду этот последний случай, будем говорить, что при
помощи математической модели однозначно определяются
распределения вероятностей для характеристик состояний системы,
если заданы распределения вероятностей для начальных
условий, параметров системы и возмущений, действующих на ее
элементы, а также для входных сигналов.
Следующее замечание касается выбора совокупности
параметров, характеризующих исследуемую систему. Для построения
математической модели процесса можно пользоваться
несколькими различными (в общем случае, неравноценными) наборами
параметров системы. Для того чтобы отдать предпочтение тому
или другому из возможных наборов параметров, необходимо
знать, какие особенности процесса считаются главными и
определяющими, а также учесть специфику дальнейшего
использования математической модели. Вместе с тем выбор удачного
набора параметров, как правило, зависит от опыта
исследователя.
Реальные процессы, если их рассматривать во всех деталях,
весьма сложны, а явления, их сопровождающие, чрезвычайно
разнообразны. Тем не менее, учет большого количества
второстепенных деталей оказывается практически нецелесообразным.
В большинстве случаев при решении прикладных задач
достаточно учитывать лишь основные стороны исследуемого процесса.
Поэтому обычно при построении математической модели
процесса ограничиваются сравнительно небольшим количеством
параметров. В таких условиях, естественно, об однозначности
определения набора параметров, характеризующих систему, не
может быть и речи.
Последнее замечание относится к определению совокупности
начальных условий. На этапе формализации процесса, когда
контуры математической модели еще недостаточно выяснены,
определить перечень начальных условий не представляется
возможным, так как неизвестно, какие начальные условия нужны
для решения задачи. Когда же математическая модель построена,
перечень начальных условий может быть определен однозначно.
Естественно, что перечень начальных условий зависит от того,
какие выбраны характеристики состояний системы.
Математическая модель может появиться только как
следствие четкого формального описания рассматриваемого процесса
с требуемой степенью приближения к действительности, только
в результате формализации процесса.
Построение математической модели представляет собой
необходимый шаг любого серьезного исследования. Однако на
42
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. 1
этом исследование не заканчивается. Дальнейшим важным ша
гом является использование математической модели для полу
чения общих закономерностей, связанных с исследуемым про;
цессом, или конкретных числовых зависимостей между фигу'
рирующими величинами.
§ 7. Формализация процессов функционирования
сложных систем
Математическая модель является результатом формализЩ
ции процесса, т. е. построения четкого формального (математик
ческого) описания процесса с необходимой степенью приближе-1
ния к действительности. ]
Сущность формализации в общих чертах сводится к сле^
дующему.
Поскольку математическая модель определяет зависимость
характеристик состояний системы от ее параметров, в первую
очередь необходимо решить вопрос о выборе совокупности
характеристик и параметров. В качестве характеристик состояний
целесообразно выбирать такие функции, которые, с одной
стороны, обеспечивали бы удобство определения искомых величин
при исследовании системы методом моделирования, а с
другой — давали бы возможность получить достаточно простую
математическую модель. При этом весьма существенным
обстоятельством, определяющим выбор совокупности
характеристик состояний, как правило, оказывается использование
известных аналогий между явлениями различной природы и
соответствующими им математическими схемами.
Выбор параметров, характеризующих процесс
функционирования системы, обусловлен теми факторами, которые должны
учитываться при формализации процесса и обеспечивать
достаточную полноту описания различных его сторон. Конкретные
рекомендации по этому поводу могут быть даны только при
рассмотрении сравнительно узких классов систем с учетом
их структуры и природы явлений, составляющих процесс
функционирования. В дальнейшем мы подробно остановимся на
этом.
Следует заметить, что ни здесь, ни в дальнейшем мы не
имеем возможности указать какие-либо формальные правила
для выбора характеристик состояний и параметров
исследуемых реальных систем. Исследователь в этом отношении может
руководствоваться лишь собственной интуицией, опирающейся на
постановку прикладной задачи и понимание природы процесса
функционирования системы. .,
§7] •■• ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ 43
Отсутствие формальных правил исключает из рассмотрения
вопросы, связанные с полнотой и единственностью системы
характеристик и параметров.
В дальнейшем при построении математической модели
может возникнуть необходимость в корректировке характеристик
состояний и параметров системы. Поэтому упомянутый выше
выбор их представляет собой предварительную наметку.
Наметив характеристики состояний и параметры системы,;
можно приступить к построению соотношений между ними.-;/
В общем случае для сложных систем эта задача может
оказаться непосильной. Поэтому обычно приходится расчленять
систему на большое количество элементов, математическое
описание которых не представляет непреодолимых трудностей.
Пусть, например, речь идет о некотором процессе А (процессе
функционирования некоторой сложной системы), для которого
в качестве характеристик состояний выбраны функции Xi(t),
Xz(t) xn(t), а в качестве параметров — величины ось аг, ...:
..., aft.
Математической моделью для дроцесса А могла бы служить"
система соотношений вида
•*1 (0 = f 1 С' °1> '«2 •••> «*)•
-^2 (^) = f 2 (^' «1- «2 aft)>
*e(') = fn(<» aV °2> •-•; «ft)' .
Если бы функции /i, f2, ..., fn были известны (точно или
с необходимой степенью приближения), то соотношения (2.12)
оказались бы идеальной в данных условиях математической
моделью процесса А. Однако на практике получение модели
такого вида, когда характеристики процесса являются явными
функциями от его параметров и времени, оказывается весьма
редким случаем. Обычно приходится иметь дело с более
громоздкими соотношениями.
Расчленим мысленно процесс А на ряд элементарных актов
(подпроцессов) А{ (/=1, 2, ..., т) таким образом, чтобы
построение математической модели для каждого из подпроцессов
At было заведомо возможно и не представляло чрезмерно
большого труда. Пусть характеристиками состояний подпроцессов
А, будут соответственно функции Zij(t) (/=1, 2, ..., rt).
Естественно, что среди функций Ztj(t) в общем случае могут ока*
заться функции, совпадающие с Xi(t), Xz{t), • • •» *п(0- В
качестве параметров для описания подпроцессов At выберем
соответственно величины ргг (/=1, 2,-..., Ы). Некоторые из них
могут совпадать с ai, az, ..., a&.
(2.12)
44
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. It
При сделанных предположениях мы можем построить
математические модели для подпроцессов Л,-. Б общем случае нх
можно выразить соотношениями
; Vtg(?tv ziv, •••> Z/г,' P/i' Рй- ••' Р«|? О"0 (2ЛЗ)
(g=\, 2, ...,gi),
связывающими характеристики состояний каждого подпроцесса
А{ с соответствующими параметрами.
Аналогично решается вопрос о входных и выходных
сигналах для подсистем, соответствующих подпроцессам Л*, а также
о начальных условиях.
Необходимо отметить, что совокупность математических
моделей вида (2.13) для подпроцессов Аи рассматриваемых
совместно для всех /=1,2, . . ., т, в общем случае, еще не соста-
рляет математической модели для процесса Л. Эта совокупность
рока характеризует лишь отдельные изолированные
подпроцессы А{.
Помимо соотношений (2.13), необходимо иметь
соотношения вида
%('v •••.■■*». <*i ak,zn, ..., zmrm,$n , pmAm, *) = 0 (2.14)
(/г—1, 2, .... s),
связывающие характеристики zjj подпроцессов Л,- с
характеристиками хи х2, ..., хп процесса Л. Совокупность соотношений
вида (2.13) и (2.14) может служить математической моделью
процесса Л. -
Обратим внимание на величины, входящие в соотношения
{2.13) и (2.14). Наряду с характеристиками Xi, x2, . .., хп
процесса Л, а также его параметрами аь ос2, .. ., оси там имеется
еще ряд переменных вида z{j и величин Р«, наличие которых не
предполагалось при выборе характеристик и параметров
процесса Л. В некоторых случаях часть этих «промежуточных»
величин может быть исключена из математической модели.
Оставшиеся промежуточные величины должны рассматриваться,
наряду с выбранными ранее, как характеристики или параметры
процесса Л.
Возвратимся к соотношениям вида (2.13), представляющим
Собой математические модели для подпроцессов Л*. Как
упоминалось выше, разбиение процесса на элементарные акты
производится таким образом, чтобы построение соотношений
вида (2.13) было практически доступно. Сущность
формализации подпроцессов состоит в подборе подходящих
математических схем (например, динамических систем, систем массового
обслуживания, вероятностных схем ури и т.д.), которые доста-
§ 7] ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ 45>
точно точно описывали бы главнейшие черты реальных
явлений, составляющих подпроцессы, с точки зрения постановки
прикладных задач. Такого рода схемы для ряда
распространенных случаев рассматриваются ниже.
Формализации любого реального процесса предшествует
изучение структуры составляющих его явлений. В результате этого
появляется так называемое содержательное описание процесса,
которое представляет собой первую попытку четко изложить
закономерности, характерные для исследуемого процесса, и
постановку прикладной задачи. Содержательное описание
является исходным материалом для последующих этапов формализа-».
ции: построения формализованной схемы процесса и математик.
ческой модели для него.
В качестве примера сложной системы, процесс
функционирования которой при формализации легко расчленить на
отдельные подпроцессы, рассмотрим упоминавшийся выше
производственный процесс выпуска штучных изделий.
Производственный процесс изготовления штучных изделий'
будем представлять себе в виде совокупности отдельных
производственных операций. В эту совокупность входит ряд
технологических операций, например обработка полуфабрикатов
(ковка, штамповка, обработка на металлорежущих станках и др.),
сборка отдельных узлов изделия, сборка готовых изделий
и т. д. К этой совокупности будем также относить другие виды
производственных операций, например подготовку материалов,
транспортировку полуфабрикатов, проверку качества, упаковку
готовых изделий.
Таким образом, рассматриваемый процесс можно предста:
вить как совокупность процессов — производственных операций,
расположенных в виде последовательности во времени, отсчет
которого связан с историей каждого полуфабриката или
изделия. После этого можно перейти к построению математических
моделей для подпроцессов и взаимодействия с ними.
Естественно, что сведения, необходимые для
математического описания отдельных явлений процесса, должны быть
получены путем обобщения экспериментальных данных. Однако
не всегда необходимо создавать оригинальные математические
зависимости для рассматриваемых явлений. Многие из них уже
имеют достаточно удобное и проверенное практикой
математическое описание. Поэтому в первую очередь нужно обратиться
к типовым случаям математических схем, использовать их для
формализации и лишь при необходимости создавать
оригинальные зависимости.
Типовые математические схемы, используемые для
описания процессов функционирования сложных систем, связаны
46
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
с определенными группами факторов, учитываемых при
формализации.
Как было отмечено выше, существенное влияние На процесс
функционирования сложной системы оказывают случайные
факторы. Для формального математического описания различных
случайных объектов, фигурирующих в системе, могут быть
использованы вероятностные схемы случайных событий,
случайных величин и случайных процессов (функций).
При помощи случайных событий обычно описываются
ситуации, связанные с выполнением или невыполнением
определенных качественных требований, предъявляемых к поведению
элементов системы, а также некоторых логических условий,
связывающих их характеристики и параметры. Примерами таких
ситуаций могут служить: появление брака в производственных
процессах, пересечение трасс самолетов в данной точке
пространства, опоздание автобуса в системе городского транспорта
и т. д.
Для всех случайных событий, рассматриваемых ниже,
будем считать известными их вероятности. В некоторых случаях
эти вероятности придется вычислить в зависимости от
заданных параметров процесса (например, вероятность брака
определяется временем, прошедшим с момента последней наладки
станка).
При помощи случайных величин описываются отклонения
различных параметров системы и ее элементов, например
размеров, температуры и других свойств заготовок в
производственном процессе, скорости движения в городском транспорте
и т. д.
Случайные величины, как правило, будем задавать законами
распределения. Иногда для простоты будем ограничиваться их
числовыми характеристиками — средними значениями,
средними квадратическими отклонениями (или дисперсиями) и
корреляционными моментами (для нескольких случайных величин).
Большинство случайных факторов, учитываемых при
построении математических моделей для производственных
процессов, описывается в рамках случайных событий и случайных
величин.
В некоторых случаях для описания поведения элементов
системы используются случайные процессы (функции). Сюда
относятся флуктуации характеристик, зависящих от времени,
координат или других непрерывных параметров. Примерами
могут служить колебания температуры заготовки или флуктуации
координат самолета как функции времени, распределение
скорости и направления ветра как функции координат точки
пространства и др. Случайные процессы (функции) будем задавать
§ Т\ ФОРМАЛИЗАЦИЯ -ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ 47
соответствующими законами распределения или более просты*
ми вероятностными характеристиками — средними значениями»
корреляционными или спектральными функциями и т. д.
Элементарные правила оперирования характеристиками слу?
чайных событий, случайных величин и случайных функций,
рассматриваемые в учебниках по теории вероятностей, будем счи-
тать известными читателю. Типичные приемы моделирования
случайных объектов на цифровых вычислительных машинах мы
подробно рассмотрим ниже.
Для сложных систем весьма существенное значение
приобретает группа факторов, связанных с режимом, занятости или
загрузки элементов системы. Проиллюстрируем это
обстоятельство на примере производственных процессов. • i
Как было упомянуто выше, современным производственным
процессам свойственна частичная или полная синхронизация
отдельных элементарных актов. Вместе с тем интервалы врет
мени, характеризующие синхронность операций, практически
оказываются не всегда достаточно стабильными. Часто такие
величины, как длительность операций, время подготовки
станков к началу новой операции, время, затрачиваемое на наладку
станка или транспортировку изделия, и т. д., оказываются
случайными, следствием чего является нарушение синхронности
элементарных актов процесса. Это обстоятельство приводит
к тому,что потребности в использовании того или другого станка
появляются тогда, когда станок еще занят выполнением
операции над предыдущим изделием или, наоборот, к станку,
готовому к выполнению операции, очередная деталь еще не
поступила. Следствием нарушения синхронности операций
оказываются очереди изделий или простой станков, которые не
остаются неизменными, а наоборот, весьма интенсивно
флуктуируют во времени, создавая своеобразный динамический режим
занятости элементов производственного оборудования.
Аналогичные ситуации возникают в системах связи
(занятость линий и очереди абонентов), городском транспорте,
уличном и воздушном движении и т. д.
Для математического описания режима занятости средств
с успехом могут быть применены методы теории массового
обслуживания. Наиболее важным в этом отношении являются
результаты, связанные с потоками однородных событий и ве^
роятностями состояний обслуживающей системы. Необходимые
сведения из теории массового обслуживания, а также
некоторые обобщения понятий, полезные для исследования сложных
систем, рассматриваются ниже.
Следующая группа факторов связана с надежностью
элементов сложных., систем. Сюда, относятся поломки, сбои (отказы,
48
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ II
Непредвиденные выходы параметров за допустимые пределы
и т. д.). Все такого рода случаи мы будем обозначать
обобщенно словом «отказ» и рассматривать их как случайные
события.
Для современной аппаратуры и сложных производственных
комплексов понятие отказа, применяемое к комплексу в целом,
не обладает четкостью, необходимой для математического
описания и использования. Мы в дальнейшем будем рассматривать
отказы лишь для отдельных элементов, а по отношению к
системе в целом будем изучать следствия, к которым приводят
отказы отдельных элементов. Такими следствиями в некоторых
случаях являются срывы процесса функционирования. В
других случаях полного срыва процесса может и не быть, но
могут возникнуть явления, приводящие к снижению качественных
показателей процесса, рассматриваемых в разнообразных
аспектах. Распространенные приемы формализации и
математического описания действия отказов элементов сложных систем
будут рассмотрены ниже.
Близкими по характеру к отказам являются другие случаи
выхода оборудования из рабочего состояния: износ
инструмента, разладка станков и т. д. Эти факторы обладают известной
определенностью и могут быть отнесены к разряду
«предвидимых». Поэтому прекращение функционирования тех или других
элементов оборудования здесь не связано со срывами
процесса, а скорее носит характер периодических событий, органически
присущих самому процессу. Для приведения оборудования
в рабочее состояние в этих случаях планируются мероприятия
(замена инструмента, наладка станков и т. д.).
Однако фактор случайности и здесь занимает видное место:
например, зачастую интервалы времени, затрачиваемого на
наладку и другие аналогичные мероприятия, имеют случайную
длительность. Поэтому математические схемы, используемые
при формализации таких явлений, близки к соответствующим
построениям теории надежности.
Мы затронули здесь лишь наиболее распространенные
группы факторов, учитываемых при математическом описании
процессов функционирования сложных систем. Они в той или иной
мере свойственны любому реальному процессу. Имеются также
специфические факторы, характерные для конкретных классов
систем. В настоящее время для таких факторов еще не могут
быть предложены сколь-нибудь общие рецепты формализации.
^Читатель имеет возможность познакомиться со случаями такого
рода на примерах, рассматриваемых в последней части книги.
В заключение необходимо отметить, что стремление к учету
очень большого круга действующих факторов не всегда оказы-
§ 7) ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ 49
вается оправданным. Как правило, учет факторов, влияние
которых не является определяющим для оценки характеристик и'
параметров данного процесса, приводит лишь к тому, что
математические модели становятся чересчур громоздкими и плоха
обозримыми, а точность решения задач при этом практически
не увеличивается.
Выше мы остановились, главным образом, на
принципиальных вопросах формализации процессов функционирования,
определяющих возможность построения подходящей
математической модели. Однако не менее важным обстоятельством
является сама методика или процедура проведения формализации-:
Как было упомянуто ранее, для сложных систем построение
математической модели непосредственно по результатам
наблюдения за процессом, как правило, невозможно. Обычно форма*
лизация выполняется постепенно, в несколько этапов, части
совместными усилиями инженеров и математиков. Поэтому воз*
никает необходимость подведения итогов для каждого этапа и
фиксации достигнутых результатов. Таким образом, появляется
несколько описаний исследуемого процесса, отличающихся
между собой по степени формализации: содержательное описание
процесса, его формализованная схема и математическая модель.
Естественно, что в ряде случаев такое деление не
выдерживается и, конечно, является в значительной мере условным. Все
же, как правило, оно отражает достаточно полно ту
последовательность действий, которая сложилась на практике, в работе
коллективов, занимающихся моделированием сложных систем
на цифровых вычислительных машинах.
Первым шагом на пути формализации является составле*
нйе содержательного описания процесса.
Содержательное описание в словесном выражении
концентрирует сведения о физической природе и количественных
характеристиках элементарных явлений исследуемого процесса,
о степени и характере взаимодействия между ними, о месте и
значении каждого элементарного явления в общем процессе
функционирования рассматриваемой реальной системы.
Содержательное описание может быть составлено в результате
достаточно обстоятельного изучения процесса. Зачастую изучение
процесса сводится к наблюдению за ним и фиксации
количественных характеристик при проведении натурного
эксперимента на реально существующей аппаратуре и оборудовании.
Однако не менее распространены случаи, когда требуется
построить содержательное описание процессов, для которых
соответствующие аппаратура и оборудование реально не
существуют, а имеются только в виде проектов, технической
документации или замысла конструктора. В этих случаях для
4 Н. П. БуслеиК9
50
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
составления содержательного описания процесса используются
накопленный опыт и результаты наблюдения за процессами
функционирования аналогичных систем с учетом особенностей
исследуемой системы.
Помимо сведений, непосредственно характеризующих
процесс, в содержательное описание включаются дополнительные
-материалы. К ним в первую очередь относится постановка
прикладной задачи, определяющая цели моделирования
исследуемого процесса. Она должна содержать перечень искомых вели-;
чин с указанием их практического предназначения и требуемой;
точности. По поводу постановки прикладной задачи
целесообразно заметить следующее. Содержательное описание процесса
составляется, как правило, специалистами соответствующей ;
прикладной области техники, практически без
непосредственного участия математиков. Поэтому постановка прикладной
задачи может и не иметь строгой математической формулировки.
Однако она должна обязательно содержать четкое изложение
идеи предполагаемого исследования, перечень зависимостей,
подлежащих оценке по результатам моделирования, а также
окончательно установить те факторы, которые должны
учитываться при построении математической модели процесса.
Кроме постановки прикладной задачи, в содержательное
описание включаются исходные данные, необходимые для
исследования: численные значения известных характеристик и
параметров процесса (в виде таблиц, графиков и т.д.), а также
значения начальных условий.
Содержательное описание процесса обычно
самостоятельного значения не имеет, а служит лишь основой для
дальнейшей формализации этого процесса — построения
формализованной схемы и математической модели процесса.
Формализованная схема процесса является промежуточным
звеном между содержательным описанием и математической
моделью. Она разрабатывается не во всех случаях, а лишь
тогда, когда из-за сложности исследуемого процесса или
трудностей формализации некоторых его элементов непосредственный
переход от содержательного описания к математической модели
оказывается невозможным или нецелесообразным.
Формализованная схема процесса должна разрабатываться совместными
усилиями математиков и специалистов соответствующей
прикладной области техники. Хотя форма представления материала
в ней, как и в содержательном описании, может оставаться
словесной, однако она должна быть уже строго формальным
описанием процесса. Для построения формализованной схемы
необходимо выбрать характеристики процесса, установить
систему параметров, определяющих процесс, вполне строго опре^
$'7]~ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ* ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ $1
делить все зависимости между характеристиками' и
параметрами процесса с учетом тех факторов, которые принимаются во
внимание при формализации. На этапе построения
формализованной схемы должна быть дана точная математическая
формулировка задачи исследования с указанием окончательного
перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей.
Наконец, к формализованной схеме прилагается
систематизированная и уточненная совокупность всех исходных данных,
известных параметров процесса и начальных условий. Эти величины
могут оставаться представленными таблично или графически,
но должны быть полностью выяснены все вопросы, связанные
с интерполяцией и экстраполяцией экспериментального
материала.
Обычно содержательное описание включает сведения,
достаточные для построения формализованной схемы. Однако
бывают случаи, когда материал содержательного описания,
относящийся к некоторым элементам процесса, не дает оснований'
для точного их описания. В этих случаях могут потребоваться
дополнительные эксперименты или наблюдения, уточняющие
представления об исследуемом процессе.
Следует подчеркнуть, что формализованная схема полностью
подводит итог изучению и экспериментальному обследованию
процесса. Все сведения о процессе, которые мы имеем
возможность почерпнуть из эксперимента или технической
документации, должны быть использованы на этапе построения
формализованной схемы.
Дальнейшее преобразование формализованной схемы в
математическую модель выполняется математическими методами
без притока дополнительной информации о процессе.
Математическая модель представляет собой систему
соотношений, связывающих характеристики процесса с его
параметрами и начальными условиями. Для преобразования
формализованной схемы в математическую модель необходимо прежде
всего, воспользовавшись соответствующими математическими
схемами (например, случайное событие, система массового
обслуживания и т. д.), записать в аналитической форме все
соотношения, которые еще не были записаны, выразить логические
условия в виде систем неравенств, а также придать
аналитическую форму по возможности всем другим сведениям,
содержащимся в формализованной схеме. В частности, это касается и
числовых данных, характеризующих процесс. Как отмечалось выше,
формализованная схема содержит эти данные в виде таблиц
или графиков. Обычно при моделировании процессов на
цифровых вычислительных машинах числовой материал
используется не в первоначальном виде, а в форме аппроксимирующих
4*
52
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
выражений, удобных для вычислений. Например, вместо таблиц
частот для значений случайных величин используются
аналитические выражения функций плотности типичных законов
распределения (нормального, показательного и т. д.), которые с
достаточной точностью представляют упомянутые частоты. Многие
таблицы и графики заменяются интерполяционными
полиномами и т. д.
Естественно, что такого рода замены не влияют
существенно на точность математического описания процесса. Вместе с
тем они позволяют сделать математическую модель достаточно
удобной для дальнейшего использования.
Несмотря на то, что при переходе от формализованной
схемы к математической модели имеют место лишь малые
искажения количественных характеристик процесса, тем не менее,
строго говоря, математическая модель в общем случае не
идентична формализованной схеме. Это обстоятельство в
некоторых случаях может играть заметную роль с точки зрения
совпадения результатов моделирования с опытными данными.
Поэтому при построении математических моделей необходимо
очень осторожно подходить к использованию приближенных
зависимостей, представляющих данные эксперимента.
В дальнейшем мы рассмотрим вопросы использования
математических моделей, реализуемых на цифровых вычислительных
машинах, для исследования процессов функционирования
сложных систем.
§ 8. Об использовании математических моделей
При любом способе использования математической модели
для исследования некоторого реального процесса в первую
очередь необходимо наметить совокупность искомых величин, т. е.
тех характеристик процесса, параметров системы и начальных
условий или функций от них, определение которых является
целью исследования.
..;• После того как искомые величины выбраны, .начинается
поиск способа использования математической модели для их
определения.
Остановимся кратко на следующих основных способах
использования математической модели:
1) аналитическом исследовании процессов;
2) исследовании процессов при помощи численных методов
(в том числе и с применением всех видов вычислительной
техники);
3) аппаратурном моделировании или моделировании
процессов на вычислительных машинах непрерывного действия (ана-
i 8] ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 53
лотовых или моделирующих машинах) и специальных
моделирующих установках (стендах);
4) моделировании процессов на цифровых вычислительных
машинах (машинах дискретного действия).
В большинстве случаев моделирование процессов последним
методом производится с учетом и имитацией случайных
факторов. Поэтому такой метод часто называют методом
статистического моделирования.
Каждый из перечисленных способов имеет специфические
свойства, определяющие сферу его эффективного применения
ири решении различных теоретических и прикладных задач.
Рассмотрим вкратце мероприятия, проводимые при
аналитическом исследовании процессов.
Как правило, математическая модель в своем
первоначальном виде не может быть использована для аналитического
исследования процесса. В частности, математическая модель
вообще может не содержать в явном виде искомых величин.
Необходимо преобразовать математическую модель в такую
систему соотношений (например, уравнений) относительно
искомых величин, которая допускает получение нужного результата
аналитическими методами. Это преобразование является
наиболее существенным и в то же время часто наиболее трудным
шагом при аналитическом исследовании процессов. Под
получением результата здесь будем понимать построение явных
формул для искомых величин, либо приведение уравнений к виду,
для которого решения известны, либо, наконец, проведение
исследования уравнений качественными методами (например,
оценка асимптотических значений искомых величин, оценка
устойчивости решений и т. д.).
Некоторое представление о сущности преобразования
математической модели в систему уравнений относительно искомых
величин дает рассмотрение перехода от математической модели
(2.11) к уравнению вида (2.2), решение которого известно.
Получение результатов такого характера обычно является
настолько полным решением задачи, что к аналитическому
исследованию процессов на практике стремятся в первую очередь.
Однако воспользоваться аналитическим исследованием удается
сравнительно редко, так как преобразование математической
модели в систему уравнений, допускающую эффективное
решение, .является трудной задачей, а для сложных процессов эти
трудности часто оказываются непреодолимыми.
Тем не менее использование аналитических методов столь
заманчиво, что при решении многих прикладных (а иногда и
теоретических) задач идут на умышленное отступление от пер*
воначальной модели, на упрощение и огрубление ее ради
54
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ' МОДЕЛИ
ГГЛ'.' II
возможности получить хотя бы приближенное решение задачи.
Типичным примером такого упрощения реальной картины
явлений может служить предположение о пропорциональности
силы F растяжению пружины (см. (2.11)).
: Как показывает эксперимент, на самом деле зависимость
силы от растяжения пружины |,
оказывается заведомо более сложной. Однако получить с
учетом этой зависимости уравнение, которое допускало бы
аналитическое решение, не представляется возможным. Полученное
без учета влияния сил тяжести и внутреннего трения, а также
сопротивления воздуха решение (2.5) уравнения (2.1) плохо
согласуется с реальными колебаниями пружинного маятника в
экспериментах. В частности, последние никогда не бывают
строго свободными, они сопровождаются весьма заметным
затуханием. Тем не менее это решение позволяет получить многие
полезные выводы и рекомендации и поэтому широко используется
в теоретических и прикладных расчетах.
В тех случаях, когда не удается преобразовать
математическую модель в подходящую систему уравнений, а упрощения
задачи приводят к недопустимо грубым результатам, от
аналитического исследования отказываются и переходят к другим
способам использования математической модели.
Более широкую сферу применения имеет исследование
процессов при помощи численных методов, особенно в связи с
интенсивным внедрением в практику быстродействующих
вычислительных машин. Содержание работы при численном
исследовании процессов остается в основном таким же, как и при
пользовании аналитических методов. Разница заключается
в том, что после выполнения наиболее трудной части работы —
преобразования математической модели в систему уравнений,
допускающую эффективное решение численными методами, —
необходимо вручную или с использованием вычислительной
техники произвести расчеты — реализовать соответствующий
численный метод. При исследовании процессов численными
методами результатами служат таблицы значений искомых величин
Для конечного набора значений параметров системы,
начальных условий или времени.
Необходимо отметить, что класс уравнений, которые могут
быть решены приближенно численными методами, значительно
шире, чем класс уравнений, доступных аналитическому
исследованию. Вместе с тем решение задач при использовании
численных методов бывает обычно менее полным по сравнению
3 8] ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 55
с аналитическим исследованием, а в некоторых весьма
распространенных случаях ограничивается обследованием небольшого
количества частных реализаций процесса.
Чрезвычайно неприятным является то обстоятельство, что
математические модели сложных процессов в своем
первоначальном виде далеко не всегда оказываются пригодными для
применения численных методов, а преобразования
математических моделей в соответствующую систему уравнений, как
правило, остаются столь же сложными, как и в случае
аналитического исследования.
Применение средств вычислительной техники (в том числе
и быстродействующих цифровых машин) при исследовании
процессов численными методами ограничивается лишь
автоматизацией вычислений — автоматическим воспроизведением
выбранного численного метода.
При моделировании процессов не обязательно
преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений
относительно искомых величин. Для моделирования
характерно воспроизведение явлений, описываемых математической
моделью, с сохранением их логической структуры,
последовательности чередования во времени, а иногда и физического
содержания, выполняемое при помощи специальных моделирующих
установок или средств вычислительной техники. В
противоположность аналитическому и численному методам содержание
операций, выполняемых при моделировании, слабо зависит от
того, какие величины выбраны в качестве искомых. Для оценки
искомых величин может быть использована любая подходящая
информация, циркулирующая в модели, если только она
доступна регистрации и последующей обработке.
В случае аппаратурного моделирования для исследования
процесса используются специальные моделирующие установки,
принцип работы которых опирается на аналогии между
механическими, электрическими, гидравлическими, тепловыми и
другими явлениями. Математическая модель при этом дает
возможность не только обоснованно выбрать для данного
оригинала процесс-аналог подходящей природы, но и установить
значения соответствующих коэффициентов подобия.
Моделирование процессов на вычислительных машинах
непрерывного действия по существу является специальным видом
аппаратурного моделирования, а вычислительные машины
непрерывного действия, как правило, представляют собой
комплекс многих моделей, способных имитировать разнообразные
явления- Естественно, что вычислительные машины
непрерывного действия строятся для решения крупных классов задач (на-
пример,,обдановенцых.лиае|ных дифференциальных уравнений),
56 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ' [ГЛ. it
а их элементы являются моделями для процессов, наиболее ча>
сто встречающихся в задачах данного класса.
Вычислительные машины непрерывного действия обладают
известной универсальностью, так как составляющие их модели
можно настраивать на заданные значения параметров, а тип
решаемой задачи менять путем вариации структуры схемных
связей между моделями.
Однако существуют многочисленные теоретические и при*
кладные задачи, решение которых при помощи моделирующих
установок или вычислительных машин непрерывного действия
оказывается практически недоступным или нецелесообразным.
Причины этого, как правило, заключаются либо в
недостаточной точности результатов, получаемых на вычислительных
машинах непрерывного действия, либо в необходимости
непроизводительной затраты сил и средств, связанной с построением
специальных моделирующих установок, каждая из которых
пригодна для решения только весьма узкого класса задач.
Несмотря на отмеченные обстоятельства, методы
аппаратурного моделирования и особенно решения задач при помощи
вычислительных машин непрерывного действия имеют широкое
распространение и пользуются заслуженной популярностью.
Для моделирования процесса на цифровых вычислительных
машинах необходимо преобразовать математическую модель его,-,
в специальный моделирующий алгоритм.
В соответствии с этим алгоритмом в машине
вырабатывается информация, описывающая элементарные явления
исследуемого процесса с учетом их связей и взаимных влияний.
Определенная часть циркулирующей информации выводится «на
печать» и используется для определения тех характеристик
процесса, которые требуется получить в результате
моделирования.
Естественно, что явления исследуемого процесса и явления;
происходящие в цифровой вычислительной машине,
реализующей моделирующий алгоритм, по своему физическому
содержанию в общем случае оказываются существенно различными.
Тем не менее они должны быть по возможности близкими с
точки зрения состава и характера информации, описывающей
поведение реальной системы, и информации, перерабатываемой
машиной по ходу моделирования. При этом условии сведения
о состояниях процесса-модели, получаемые в ходе
моделирования, с достаточным основанием могут быть использованы для
оценки характеристик и параметров процесса-оригинала.
Название «статистическое моделирование процессов на
цифровых вычислительных машинах» для рассматриваемого метода
исследования процессов является в значительной мере услов-
§ 8] ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 57
ным. Оно ни в коем случае не означает наличия физического
сходства между явлениями процесса-оригинала и явлениями,
происходящими в цифровой вычислительной машине. Из этого
также не следует, что специализированные цифровые
устройства машины решают отдельные уравнения математической
модели. Рассматриваемый здесь метод моделирования процессов
на цифровых вычислительных машинах является скорее особого
рода численным методом, имеющим своеобразные отличия от
обычных численных методов.
При использовании обычных численных методов
первоначальная математическая модель исследуемого процесса должна
быть преобразована в систему уравнений, допускающую
численное решение, К полученным уравнениям применяется
некоторый численный метод, в общем случае по своей логической
структуре весьма далекий как от математической модели, так
и от процесса-оригинала. Его логическая структура и характер
фигурирующей информации обусловлены скорее типом тех
уравнений, к которым удалось привести первоначальную
математическую модель.
.• -В противоположность этому при статистическом
моделировании реализация моделирующего алгоритма является, в
некотором смысле, имитацией элементарных явлений, составляющих
исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры,
последовательности протекания во времени и особенно
характера и состава информации о состояниях процесса.
С этой точки зрения можно указать на имеющуюся
аналогию между исследованием процессов методом статистического
моделирования и экспериментальным исследованием процессов
в натуре. В том и в другом случаях имеется возможность
использовать для решения поставленных задач любую
информацию о состояниях процесса, если только она доступна
соответствующей регистрации.
г Отсюда следует, что структура моделирующего алгоритма
слабо зависит от совокупности искомых величин, а
определяется главным образом строением математической модели. При
исследовании процессов численными методами дело обстоит по*
другому: изменение совокупности искомых величин, как правило,
требует перехода к уравнениям, существенно отличным от пер^
воначальных. Аналогичное обстоятельство имеет место и при
Исследовании процессов аналитическими методами.
Исходя из вышеизложенного, можно утверждать, что для
исследования процессов методом статистического моделирования
нет необходимости создавать специальные моделирующие уста*
-новки или специализированные цифровые вычислительные
машины. Исследование большинства встречающихся на практике
5ft
" МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. П
процессов вполне может быть проведено при помощи цифровых
вычислительных машин универсального назначения. Поэтому в
дальнейшем мы будем предполагать, что в нашем
распоряжении имеется какая-нибудь универсальная цифровая
вычислительная машина, обладающая обычными для такого класса
машин объемом памяти и быстродействием.
Решение многих практических задач приводит к
необходимости анализировать процессы с учетом действия случайных
факторов.
В отличие от других методов статистическое моделирование
оказывается весьма удобным аппаратом для исследования
случайных процессов. При использовании аналитических или
численных методов для исследования процессов с учетом
случайных факторов возникают дополнительные трудности, связанные
с синтезом уравнений относительно неизвестных законов
распределения или других вероятностных характеристик (средних
значений, дисперсий, корреляционных функций и т. д.)
анализируемых процессов, а также с решением полученных уравнений.
Это обстоятельство имеет существенное значение в том случае,
когда зависимости между случайными возмущениями и
искомыми величинами описываются сложными нелинейными
соотношениями. Для метода статистического моделирования
дополнительные трудности упомянутого характера оказываются
обычно сравнительно легко преодолимыми.
Рассмотрим основные особенности моделирования
процессов с учетом действия случайных факторов.
В соответствии с замечаниями § 6 результаты
моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации
процесса, в силу действия случайных факторов будут
реализациями случайных процессов и не смогут объективно
характеризовать изучаемый объект. Поэтому искомые величины при
исследовании процессов методом статистического моделирования
обычно определяют как средние значения по данным большого
количества реализаций процесса.
Если количество реализаций N, используемых для оценки
искомых величин, достаточно велико, то в силу закона больших
чисел получаемые оценки приобретают статистическую
устойчивость (порядок дисперсии оценок равен \fN), и с достаточной
для практики точностью могут быть приняты в качестве
приближенных значений искомых величин.
Отсюда и происходит название «метод статистического
.моделирования». Заметим, что последняя особенность характерна
для так называемого метода Монте-Карло (метода
статистических испытаний)—одного из численных методов, получивших
распространение в связи с появлением быстродействующих
5 8] ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 59
вычислительных машин. Обычно метод статистического
моделирования считают распространением применявшегося ранее
только в специфических случаях метода Монте-Карло на случай
сложных систем.
При моделировании процессов с учетом случайных факторов
приходится воспроизводить большое количество реализаций
и определять искомые величины как средние значения. Возникает
следующий вопрос: нельзя ли обойтись воспроизведением одной
реализации процесса, а для того чтобы получить средние
значения искомых величин, вместо случайных значений исходных
данных подставлять их средние значения? Ответ на этот вопрое
в общем случае оказывается отрицательным.
Это подтверждается, например, рассуждениями § 1,
относящимися к соотношениям (1.1) — (1.8).
Как будет показано ниже, метод статистического моделиро-
вания, рассматриваемый в настоящей книге, имеет весьма
обширную сферу применения. Он дает возможность проводить дот
статочно полное исследование разнообразных процессов
независимо от физической природы явлений, составляющих данный
процесс, выбора совокупности искомых величин и формулировки
прикладных задач.
i
Глава III
Метод статистического моделирования
§ 9. Моделирующие алгоритмы
Выше отмечалось, что для моделирования на цифровых
вычислительных машинах любого процесса, заданного при помощи
математической модели, необходимо построить
соответствующий моделирующий алгоритм. Цифровая вычислительная
машина, реализуя моделирующий алгоритм, выполняет диктуемую
программой последовательность операций. Естественно, что
машина может выполнять только такие операции, которые
предусмотрены ее системой команд. Поэтому программа
вычислений составляется применительно к конкретному типу цифровой
вычислительной машины. Обычно структура программы зависит
не только от строения и вида воспроизводимого алгоритма, но
и от характеристик самой машины. Так, быстродействие
машины, объем ее оперативной памяти, адресность команд, способ
задания порядка чисел, состав системы команд, порядок
выполнения стандартных программ и другие характеристики
накладывают существенный отпечаток на структуру программы.
Типичными элементарными операциями современных
цифровых вычислительных машин универсального назначения
являются сложение, вычитание, умножение, деление, вычитание
модулей двух чисел, выделение целой части числа, сравнение двух
чисел, определение большего (меньшего) из двух чисел, перенос
числа из одной ячейки памяти в другую, безусловная передача
управления, передача управления по признаку и т. д.
Как правило, запись алгоритма, предназначенного для
моделирования сложного процесса, сразу в виде программы при
помощи столь элементарных операций представляет значительт,
ные трудности. Кроме того, эта запись оказывается весьма
неудобной. В самом деле, нагромождение всевозможных деталей,
связанных с организацией вычислительной процедуры, делает ее
малообозримой и затрудняет ориентировку в структуре
моделирующего алгоритма. Желательно записывать моделирующий
алгоритм в таком виде, который отражал бы в первую очередь
особенности его структуры, без излишних второстепенных деталей.
§9]
МОДЕЛИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ
61
Заметим, что построение моделирующего алгоритма являет:
ся таким этапом исследования процесса, когда уже решены все
принципиальные вопросы создания математического аппарата
для исследования. Программирование задачи и решение ее на
машине относятся скорее к технической части работы. Учитывая
это обстоятельство, а также необходимость сохранять
некоторую свободу в выборе типа цифровой вычислительной машины,
предназначенной для реализации моделирующего алгоритма,
обычно стараются сделать запись алгоритма независимой от
характеристик машины.
Поэтому, как правило, моделирующие алгоритмы (так же,
как и алгоритмы решения других сложных задач)
представляются в виде операторной'схемы, содержащей
последовательность операторов, каждый из которых изображает достаточно
крупную группу элементарных операций. Такая запись
алгоритма, хотя и не содержит развернутых схем счета отдельных
промежуточных величин, тем не менее позволяет свободно
ориентироваться в общей идее построения моделирующего
алгоритма и достаточно полно отражает его логическую структуру.
Операторная форма представления алгоритма еще не учитывает
особенностей системы команд той или другой вычислительной
машины. Учет этих особенностей, а также построение
развернутых схем счета для воспроизведения отдельных операторов
алгоритма можно осуществить при программировании задачи.
Выбор системы операторов для представления
моделирующего алгоритма играет существенную роль, так как он
определяет степень наглядности изображения алгоритма и удобство
его дальнейшего использования. Обычно к системе операторов,
используемых при решении рассматриваемого класса задач,
предъявляются два основных требования. Во-первых,
желательно, чтобы каждый оператор имел достаточно ясный наглядный
смысл, связанный с природой моделируемого процесса. В этом
случае сама структура процесса будет подсказывать пути
построения моделирующего алгоритма. Во-вторых, должна быть
полная уверенность, что любой оператор может быть выражен
последовательностью элементарных операций без особых
затруднений. Лишь при этих условиях можно рассчитывать на
успех с точки зрения программирования задачи.
Операторной формой представления моделирующих
алгоритмов мы будем широко пользоваться при рассмотрении задач,
излагаемых в настоящей книге.
Заметим, что моделирующий алгоритм для любого процесса
можно рассматривать как другую форму записи математической
Модели. Однако полного совпадения математической модели и
&2 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ.-Щ
соответствующего моделирующего алгоритма, как правило, не
бывает.
Среди операторов моделирующего алгоритма обычно
находятся операторы, не связанные с воспроизведением
математической модели процесса. Соотношения математической модели|
записанные в операторной форме, составляют главную част!
моделирующего алгоритма. Помимо этого, в нем содержите*
еще ряд операторов, обеспечивающих переработку информация
о состояниях процесса, необходимую для правильного функцио™
нирования модели. j
Вся совокупность операторов, составляющих моделирующий,
алгоритм, может быть разделена на три группы: 1) основные
операторы, 2) вспомогательные операторы и 3) служебные
операторы. Основные и вспомогательные операторы составляют
главную часть моделирующего алгоритма.
К основным мы будем относить операторы, используемые
для имитации отдельных элементарных актов исследуемого
процесса и взаимодействия между ними. Другими словами,
основные операторы реализуют соотношения математической модели,
описывающие процессы функционирования реальных элементов
системы с учетом воздействия внешней среды. В отличие от них
вспомогательные операторы не предназначены для имитации
элементарных актов процесса. Они производят вычисление тех?
параметров и характеристик, которые необходимы для работы
основных операторов.
'Служебные операторы моделирующего алгоритма не
связаны с соотношениями математической модели. Они обеспечивают
взаимодействие основных и вспомогательных операторов при
моделировании процесса в автоматическом режиме,
синхронизацию работы алгоритма и выполняют некоторые второстепенные
функции. В частности, служебные операторы производят
фиксацию величин, являющихся результатами моделирования, а
также их обработку.
При построении моделирующего алгоритма в первую оче-:
редь намечаются основные операторы для имитации процессов:
функционирования отдельных элементов системы. Они должны
быть увязаны между собой в соответствии с формализованной
схемой исследуемого процесса. Выяснив, какие параметры
необходимы для обеспечения работы основных операторов, введем
в операторную схему вспомогательные операторы для
вычисления значений этих параметров. Основные и вспомогательные
операторы должны охватывать все соотношения математической
модели, составляя главную часть моделирующего алгоритма.
Следует тщательно проверить соответствие совокупности
основных я вспомогательных операторов системе соотношений мате-
§9] МОДЕЛИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ 63
матической модели, чтобы избежать ошибок в главной части
моделирующего алгоритма и связанных с этим грубых просчетов.
После того, как главная часть моделирующего алгоритма
будет достаточно отработана, можно перейти к следующему
шагу— введению служебных операторов. Для этого необходимо
обратиться к рассмотрению динамики функционирования
исследуемой системы и учету взаимодействия между различными
фазами процесса, а также к анализу хода информации при моде'
лировании. ?
Существенное значение здесь имеет уточнение перечня и
вида величин, фиксируемых в процессе моделирования, и
соотношений, используемых для их обработки.
Примеры построения моделирующих алгоритмов для
конкретных процессов будут рассмотрены ниже.
Для изображения операторных схем алгоритмов удобно
пользоваться операторами двух принципиально различных классов:
1) арифметическими операторами и 2) логическими операторами.
Арифметические операторы производят действия, связанные
с вычислениями, понимаемыми в весьма широком смысле слова.
Ниже мы рассмотрим различные типы арифметических
операторов, имеющих узкое назначение. Здесь под арифметическим
оператором мы будем понимать совокупность операций,
реализующих какое-нибудь соотношение или систему соотношений
между величинами. Арифметические операторы будем
обозначать заглавными полужирными буквами латинского алфавита
с индексами, указывающими номер оператора. Например,
запись Аз1 означает, что имеется в виду арифметический оператор
№ 31. В случае графического изображения алгоритмов (при
помощи так называемых блок-схем) арифметические операторы
будем представлять в виде прямоугольников с записанными
внутри наименованием или функцией оператора (например,
реализуемым соотношением).
Существенным свойством любого арифметического оператора
является то обстоятельство, что после выполнения изображен:
ных им операций, независимо от результатов расчета,
производится переход (или, как мы будем говорить, передача
управления) к какому-нибудь одному определенному оператору.
Другими словами, после выполнения операций, предусмотренных
арифметическим оператором, процесс вычислений может быть
Продолжен по одному-единственному пути, независимо от
результатов, выдаваемых данным оператором.
Передачу управления от арифметических операторов будем
обозначать следующим образом. Если от данного оператора
управление передается некоторому другому оператору, то к
символу, обозначающему данный оператор, приписывается справа
64 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Ifj
вверху номер того оператора, которому передается управление.
Например, Ails означает, что от оператора А16 управление
передается оператору № 36.
При графическом представлении моделирующих алгоритмов
в виде блок-схем передача управления от арифметического
оператора изображается стрелкой, выходящей из прямоугольника,
обозначающего оператор, от которого передается управление.
Острие стрелки направлено к изображению того оператора, ко*
торому управление передается. -:
Перейдем к рассмотрению логических операторов.
Логические операторы предназначены для проверки справедливости^
заданных условий и выработки признаков, обозначающих ре-1
зультат проверки. В наиболее простом случае проверка задан-5
ного условия может быть сведена к сравнению двух чисел. Сим-*
волически операцию сравнения удобно изображать в виде не-;
равенства, например: х<у. Сравнивая значения величин х и у&
будем полагать признак ш, обозначающий результат сравнения,]
равным 1, если неравенство х<у оказывается справедливым, щ
равным 0, когда это неравенство несправедливо. В общем слу-*
чае результатом работы логического оператора является
значение признака <в = 1, когда условие, проверяемое данным
логическим оператором, выполнено, и со = 0 в противном случае.
Характерным свойством логических операторов (в отличие
от арифметических) служит то обстоятельство, что после
реализации логического оператора управление передается одному из j
-двух операторов алгоритма в зависимости от значения
признака, вырабатываемого данным логическим оператором. Другими
словами, направление продолжения процесса вычислений
зависит от результатов вычислений, а именно от значения признака,
вырабатываемого данным логическим оператором.
В операторных схемах .алгоритмов логические операторы
•обозначаются большей частью при помощи буквы Р с указанием
номера оператора, например: Рд. При графическом
представлении алгоритмов с помощью блок-схем логический оператор
изображается кругом, внутри которого записывается словами
или символически условие, проверяемое данным логическим
оператором.
Для изображения передачи управления от логических
операторов используются особые обозначения. В операторных
схемах алгоритмов символ логического оператора, от которого
передается управление, снабжается стрелками с номерами тех
операторов, которым передается управление. Стрелка, поставленная
справа вверху от символа логического оператора, обозначает
направление передачи управления в случае, когда условие,
проверяемое данным логическим оператором, выполнено. Ана-
§ 9] МОДЕЛИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ 65
логично стрелка, поставленная справа внизу от символа
логического оператора, обозначает направление передачи управления
для случая, когда условие, проверяемое данным логическим
оператором, оказывается невыполненным. Например, Рзб^12
означает, что от логического оператора Р35 управление следует
передавать оператору № 22, если условие, проверяемое Р35,
выполнено, или же оператору № 12, если оно не выполнено. При
графическом изображении передачи управления от логических
операторов на блок-схемах алгоритмов стрелки, указывающие
направление передачи управления, отмечаются единицей или
нулем, в зависимости от значения признака, вырабатываемого
данным логическим оператором. Таким образом, от логического
оператора управление передается по стрелке, отмеченной
единицей, если условие, проверяемое оператором, выполнено, и
по стрелке, отмеченной нулем, если оно оказывается
невыполненным.
Для операторов всех классов, как арифметических, так и
логических, в операторных схемах алгоритмов обозначение
передачи управления от одного оператора другому,
непосредственно за ним следующему, опускается.
Рассмотрим теперь обозначения, используемые в
операторных схемах алгоритмов для изображения передачи управления
данному оператору от других операторов. Передача управления
данному оператору обозначается номером того оператора, от
которого передается управление, записываемым слева вверху
от символа данного оператора. Например, 16-24А18 означает, что
оператору А18 управление передается от операторов № 16
и 24.
Передача управления данному оператору от предыдущего
изображается лишь в том случае, когда данному оператору
передается управление от нескольких операторов.
Эти последние замечания, естественно, относятся только к
случаю обозначений, принятых для операторных схем
алгоритмов. При графическом изображении алгоритмов на блок-схемах
передачу управления легко проследить по соответствующим
стрелкам.
В схемах алгоритмов иногда используется еще один
специфический оператор, не входящий в рассмотренные выше
классы,— оператор, означающий окончание вычислений.
В операторных схемах его обычно обозначают символом Я.
При графическом изображении алгоритмов на блок-схемах этот
Оператор изображают прямоугольником с соответствующей
надписью. Часто с оператором окончания вычислений совмещают
некоторые другие операции, например выдачу результатов,
переход к другому варианту задачи и т. д.
Б Н. П. Бусленко
66 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. III
В качестве иллюстрации принятых обозначений рассмотрим
пример алгоритма, предназначенного для отыскания корней
квадратного уравнения вида
x2 + px-+q = 0. (3.1)
Как известно, решение этого уравнения выражается
формулой ,
х.
j.а— .т- К 4 ч-
Введем следующие операторы:
Aj— вычисление —-£-, ~
А2 — вычисление D = ^--r-q,
А3 — определение R—y \A q\ (извлечение корня),
Р4 — проверка условия D > О,
А5 — определение действительных корней xli2 = —v ± R,
А6 — определение комплексных корней хи2 — —f-± Ф'>
Я7 — окончание вычислений и выдача результата.
Тогда операторная схема рассматриваемого алгоритма
будет иметь вид
\l/\2A3f44-6A5 Л6
А,А2А3Р4^4А65'6Яг
На рис. 2 представлена блок-схема этого алгоритма,
позволяющая получить наглядное представление о его работе.
Работа алгоритма протекает следующим образом. Оператор
Aj вычисляет значение величины —~f~ и передает управление
оператору А2. Оператор А2 вычисляет значение величины D=*
= 4 ^ и пеРеДает управление оператору А3. Оператор А3 оп-
и передает
юверяет ус-
/I п2
ределяет арифметическое значение R=~y -^ Я
управление оператору Р4. Логический оператор Р4 п
ловие D>0 и вырабатывает признак со=1, если это условие
выполнено (£>>0), или со = 0, если оно не выполнено (£><0).
Предположим сначала, что условие ■£>> 0 выполнено. Тогда
от оператора Р4 по стрелке с индексом 1 управление передается
оператору А5. Оператор А5 определяет значения действительных
корней уравнения (3.1) и передает управление оператору Я7,
означающему окончание вычислений (выдачу Х\, х2).
$9]
МОДЕЛИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ
67
Вычисление -
г
Вычисление
*-И?
р*
Возвратимся теперь к оператору Р4. Пусть условие D^-Q
оказалось невыполненным. Тогда от оператора Р4 по стрелке, с
индексом 0 управление передается оператору А6.
Оператор А6 определяет значения комплексных корней
уравнения (3.1) и передает управление оператору Я7-
На этом мы закончим рассмотрение данного простейшего
примера. Аналогичным образом будем изображать операторные
схемы и блок-схемы других, более
сложных алгоритмов, с которыми
придется иметь дело в дальнейшем.
Как показывает опыт
моделирования некоторых сложных процессов,
среди всевозможных операторов
моделирующего алгоритма, как правило,
удается выделить типы операторов,
близких по своему функциональному
назначению. Изучение свойств таких
типичных операторов, часто
встречающихся при моделировании, имеет
большое значение как для развития
методики построения моделирующих
алгоритмов, так и для совершенствования
приемов программирования задач.
В настоящем параграфе мы кратко
остановимся на важнейших типах
операторов и введем дляних специальные
обозначения.
1. Вычислительные
операторы. Наибольшее распространение
среди арифметических операторов
имеют вычислительные операторы, или,
иначе, операторы счета. В операторных ■
схемах моделирующих алгоритмов каждый вычислительный
оператор может описывать любую сколь угодно сложную и
громоздкую группу операций, если она удовлетворяет требованиям,
предъявляемым к операторам алгоритма. В. частности, сюда
относится требование, чтобы сформированный оператор передавал
управление только какому-нибудь одному оператору алгоритма,
хотя этому оператору управление может передаваться от любого
количества операторов. Если это требование не выполняется,
необходимо сформированный оператор представить в виде
последовательности составляющих операторов, каждый из которых
упомянутому требованию удовлетворяет.
Кроме того, нужно четко определить, какие величины
должны быть вычислены в результате реализации сформированного
*v=-f *'
Xl,2 = -T±Ri
\
Выдача, результатов
(хь хг)
J
Рис. 2.
5*
68 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. III
оператора, и убедиться в том, что все необходимые данные,
получаемые от других операторов алгоритма, к моменту начала
работы его уже имеются.
За вычислительными операторами мы в дальнейшем
сохраним обозначения \t.
2. Операторы формирования реализаций
случайных процессов. Для имитации действия различных
случайных факторов, сопровождающих исследуемый процесс,
при моделировании возникает необходимость формировать
реализации случайных событий,, случайных величин, случайных
функций, а иногда и случайных объектов более сложной
природы.
Исходным материалом для формирования в цифровых
вычислительных машинах реализаций, несущих в себе элемент
случайности, обычно служат так называемые случайные числа.
Случайные числа могут быть получены и введены в машину
различными способами. Например, можно хранить в
запоминающих устройствах машины специальные таблицы случайных
чисел и выбирать из них отдельные числа по мере надобности.
Чаще на практике случайные числа вырабатываются в самой
машине по особым программам или при помощи специальных
приставок к машине — генераторов (датчиков) случайных
чисел. Способы получения и преобразования случайных чисел
достаточно подробно мы рассмотрим ниже.
Однако случайные числа, как отмечалось выше, являются
только исходным материалом для получения реализаций
различных случайных процессов, необходимых при моделировании.
Операторы формирования реализаций случайных процессов и
решают задачу преобразования случайных чисел стандартного
вида в реализации случайных процессов с заданными
свойствами. Обстоятельному рассмотрению сущности такого рода
преобразований посвящена гл. IV.
В операторных схемах моделирующих алгоритмов операторы
формирования реализаций случайных процессов мы будем
обозначать СИМВОЛОМ Ф,-
3. Операторы формирования неслучайных
величин. При моделировании сложных процессов приходится
формировать не только реализации случайных объектов, но и
различные константы и не случайные функции времени.
Сущность операций, выполняемых при таком формировании,
принципиально ничем не отличается от сущности обычных
вычислительных операций. Однако часто оказывается удобным из всей
совокупности вычислительных операторов выделять
специфический тип операторов формирования неслучайных величин, к
которому относятся, главным образом, операторы, полностью
§ 101 ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИРУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ 69
повторяющие либо в каком-то смысле имитирующие работу
вычислительных или управляющих средств реального
оборудования. В операторных схемах операторы формирования
неслучайных величин обычно обозначают символом Ft.
Заметим, что вычислительные операторы А*, как правило,
оказываются вспомогательными операторами моделирующего
алгоритма, а операторы F* — основными.
4. Счетчики. Среди служебных операторов
моделирующего алгоритма всегда имеются арифметические операторы, при
помощи которых производится подсчет количества различных
объектов, обладающих заданными свойствами. Такого рода
операторы обычно называют счетчиками.
Счетчики имеют весьма широкое распространение. Они
служат для подсчета количества деталей, прошедших ту или
другую стадию обработки, количества свободных или занятых
станков, количества бракованных или доброкачественных изделий,
количества циклов производственного процесса и т. д.
Результаты, выдаваемые счетчиками, часто являются исходными
данными для логических служебных операторов, обеспечивающих
синхронизацию моделирующего алгоритма.
В операторных схемах счетчики мы будем обозначать
символом Кг.
При более детальном рассмотрении операторов
моделирующего алгоритма могут быть выделены и другие типы
операторов, обладающие некоторыми общими функциональными свой-,
ствами. По мере надобности они будут рассматриваться ниже.
§10. Принципы построения моделирующих алгоритмов
для сложных систем
Процесс функционирования сложной системы можно
рассматривать как последовательную смену ее состояний,
описываемую характеристиками z^t), z2(t), ..., zn(t) в «-мерном
фазовом пространстве. Очевидно, задачей моделирования
процесса функционирования системы является построение функций
Zi(t), z2(t) zn(t), а также вычисление некоторых величин
(например, показателей, характеризующих свойства системы) по
значениям этих функций. '
В нашем распоряжении- имеются соотношения
математической модели, связывающие характеристики состояний системы
zi(t), z2(t), .... zn(t) с ее параметрами и временем, а также
начальные условия z\, z\, ..., z°n для начального момента
времени t0. Предположим сначала, что речь идет о вполне
детерминированной системе (случайные факторы отсутствуют). Тогда
состояние системы в момент времени ^о+А/ может быть однозначно
70 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ , [ГЛ. Ш
определено из соотношений математической модели по
известным начальным условиям.
Это обстоятельство позволяет строить моделирующий
алгоритм следующим образом.
Преобразуем соотношения математической модели к такому
виду, чтобы, по возможности, сделать удобным вычисление
значений Zi(t+M), z2(t + At), ..., zn{t + At) по значениям гг(т),
взятым в моменты времени т-С/. Выделим некоторую ячейку
памяти для фиксации текущего значения / и назовем ее «часами».
В начальный момент времени часы «показывают» t0. Как
известно, для этого момента времени Zi(t0)=z°p i=\, 2, ...,
«..Прибавим к t0 величину A/j (часы показывают tx = t0 + At\) и в
соответствии с соотношениями математической модели вычислим
значения 2{(г0+Д^); затем перейдем к t2—ti + At2 и т. д. Если
шаг At достаточно мал, то таким путем можно получить
приближенные значения г,(/).
Рассмотрим теперь процесс функционирования системы с
учетом случайных факторов. Для таких систем состояние z{(t),
z2(t), ..., zn(t) в моменты времени т-С/ и соотношения
математической модели определяют лишь распределение вероятностей
величин Zi(t + At) в момент t + At. В общем случае и начальные
условия г? могут быть случайными, задаваемыми
соответствующим распределением вероятностей.
Структура моделирующего алгоритма для систем такого
рода в основном остается прежней. Однако вместо состояния
z(t + At) теперь необходимо вычислять распределение
вероятностей для возможных состояний. Пусть часы показывают t0-
В соответствии с заданным распределением вероятностей для
начального состояния выбирается по жребию*) одно из
возможных начальных состояний z°r Затем часы переводятся на
t0 + At и вычисляется условное распределение вероятностей
состояний для t0 + At при условии z\- Далее по жребию
определяется состояние системы Zi(t0 + Ati) и т. д. до тех пор, пока не
будет построена одна из возможных реализаций случайного
многомерного процесса Z{(t) в заданном интервале времени
(to,T).
Рассмотренный принцип построения моделирующего
алгоритма, позволяющий определять последовательные состояния
сложной системы через некоторые интервалы времени, иногда
называют «принципом At».
Заметим, что принцип At является наиболее универсальным
принципом построения моделирующих алгоритмов, охватываю-
*) Способы выбора объектов по жребию рассматриваются в гл. IV.
§ 10] ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИРУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ 71
щих весьма широкий класс реальных сложных систем и их
элементов дискретного и непрерывного характера. Вместе с тем
принцип At оказывается весьма неэкономичным с точки зрения,
расхода машинного времени; если можно так выразиться, —
самым расточительным из всех известных в настоящее время
принципов построения моделирующих алгоритмов для сложных,
систем. Эту последнюю черту принципа At легко проследить в
сравнении с другими принципами построения моделирующих-
алгоритмов, на которых мы имеем возможность кратко
остановиться.
При рассмотрении некоторых сложных систем, например
производственных процессов специального вида, можно обнаружить
существенную неравноправность состояний системы в заданном
интервале времени t. Применительно к системам такого рода
удается выделить два типа состояний: 1) обычные (неособые) есь
стояния, в которых система находится почти все время, и 2)
особые состояния, характерные для системы в некоторые
изолированные моменты времени, совпадающие с моментами
поступления в систему входных сигналов от внешней среды, выхода
одной из характеристик (координат) Zi(t) на границу области
существования и т. д.
Особые состояния системы характерны еще и тем
обстоятельством, что координаты zt(t) в эти моменты времени
изменяются, как правило, скачком, а между особыми
состояниями изменение координат zt(t) происходит плавно и
непрерывно.
Например, пусть в простейшей многоканальной системе
массового обслуживания z0(t) ■—количество свободных каналов,
z*Q(t)— количество заявок в очереди, z,(/) — время, оставшееся
до момента освобождения г-го канала, и т. д. Особые состояния
появляются в моменты поступления новых заявок (количество
свободных каналов или количество заявок в очереди меняется
скачком) или в моменты освобождения каналов после
окончания обслуживания (Zi(t) выходит на границу области
существования).
Заметим, что, как правило, свойства таких систем
оцениваются по информации об особых состояниях, а неособые
состояния интереса для исследователя не представляют.
Бывают случаи, когда соотношения математических мо*
делей систем удается преобразовать таким образом, что для
определения особого состояния системы достаточно знать
предыдущее особое состояние или несколько предыдущих особых
состояний.
Легко видеть, что моделирующие алгоритмы для таких
систем, построенные по принципу At, оказываются не особенно
72 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Ill
эффективными, В самом деле, при малых At будет затрачено'
очень много машинного времени на бесполезное определение
большого количества неособых состояний. Если At сделать
недостаточно малым, появится опасность пропуска некоторых
особых состояний, что вообще исключает возможность получения
правильных результатов при моделировании. Правда, в
некоторых случаях для предотвращения пропуска особых состояний
могут быть приняты специальные меры, например разработаны
приемы обнаружения пропуска и возврат к предыдущему
моменту времени для повторного прохождения данного интервала
с малым At.
Очевидно, для описанного типа систем могут быть
построены моделирующие алгоритмы по так называемому принципу
«особых состояний». Он отличается от принципа At только тем,
что включает в себя процедуру определения момента времени,
соответствующего следующему особому состоянию по
известным характеристикам данного или предыдущих состояний.
При моделировании процессов обработки заявок в системах
массового обслуживания иногда удобно строить моделирующие
алгоритмы по принципу, в корне отличающемуся от
рассмотренных выше. Идея его состоит в последовательном
воспроизведении истории отдельных заявок в порядке поступления их в
систему: алгоритм обращается к сведениям о других заявках
лишь в том случае, если это необходимо для решения вопроса
о дальнейшем порядке обслуживания данной заявки. Такого'
рода моделирующие алгоритмы весьма экономны, не требуют
специальных мер для учета особых состояний системы, однако
они имеют весьма сложную логическую структуру и не всегда'
доступны для построения человеку, не обладающему
достаточным опытом решения задач методом статистического
моделирования. Ниже, в параграфах, посвященных моделированию
систем массового обслуживания и дискретных производственных
процессов, как правило, используется этот принцип, называемый
иногда «принципом последовательной проводки заявок».
На практике не всегда строго выдерживается один из упс
мянутых здесь принципов построения моделирующих
алгоритмов. Иногда моделирующие алгоритмы строятся на нескольких
принципах одновременно. Например, общая структура модели-,
рующего алгоритма базируется на принципе особых состояний,
а между особыми состояниями используется принцип
последовательной проводки заявок, и, кроме того, в моменты особых
состояний реализуются жребии для определения случайных
значений параметров и характеристик системы. Легко привести и
другие примеры комбинирования различных принципов
построения моделирующих алгоритмов.
§ II) ФИКСАЦИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ 73
Заметим, что выше были перечислены
наиболее.распространенные и в то же время наиболее элементарные соображения
о структуре моделирующих алгоритмов, названные, быть может,
чересчур громко, «принципами».
Современное состояние разработки метода статистического
моделирования не дает оснований для рекомендации
универсальных подходов к построению моделирующих алгоритмов и
их строгой классификации.
В настоящее время структура моделирующего алгоритма
имеет специфику, связанную с узкими классами сложных систем
и типом задач, для решения которых предназначается та или
другая модель.
§ 11. Фиксация и обработка результатов
моделирования
При реализации моделирующих алгоритмов на цифровых
вычислительных машинах вырабатывается информация о
состояниях исследуемых систем. Эта информация является
исходным материалом для определения приближенных значений
искомых величин, или, как принято говорить, оценок для искомых
величин [32], [33].
Для сложных систем и большого количества реализаций,
воспроизводимых при моделировании, объем информации о
состояниях системы может быть настолько значительным, что
запоминание ее в памяти машин, обработка и последующий
анализ оказываются практически невозможными или, во всяком
случае, чрезмерно трудоемкими. Поэтому необходимо, таким
образом организовать фиксацию и обработку результатов
моделирования, чтобы оценки для искомых величин
формировались постепенно по ходу моделирования, без специального
запоминания всей информации о состояниях системы. Ниже мы
рассмотрим некоторые распространенные приемы формирования
оценок для искомых величиц.
Если при моделировании данной системы учитываются
случайные факторы, то и среди результатов моделирования
присутствуют случайные величины. В такой ситуации в качестве
оценок для искомых величин используются средние значения,
дисперсии и другие вероятностные характеристики
соответствующих случайных величин, полученных по результатам
многократного моделирования. Это обстоятельство позволяет
формировать оценки таким образом, что в памяти машины для
запоминания самой оценки занимается только одна ячейка (или
иногда две-три ячейки), а все остальные величины, уже
Использованные в данной оценке, не запоминаются.
74 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. III
В самом деле, пусть в качестве искомой величины
фигурирует вероятность некоторого события. Например, при
исследовании производственных процессов практический интерес могут
представлять вероятность срыва процесса в течение заданного
интервала времени (например, за смену), вероятность
получения доброкачественного изделия за цикл его обработки и т. д.
В качестве оценки для искомой вероятности используется
частота наступления соответствующего события А при некотором
количестве испытаний. Выделим специальную ячейку памяти, в
которую будем записывать количество наступлений события А:
если событие А наступило при воспроизведении на машине
данной реализации, то к содержимому упомянутой ячейки
прибавляется единица, если же оно не наступило, то прибавляется
нуль. Пусть в результате воспроизведения N реализаций
процесса (количество воспроизведенных реализаций записывается
в специальной ячейке) мы получили т случаев наступления
события А, Тогда оценкой р(А) для вероятности р(А) события Л
может служить величина (см., например, [32])
рИ)«-Jr.
Аналогично можно подойти к оценке вероятностей
возможных значений случайной величины (ее закона распределения).
Разобьем область возможных значений случайной величины на
п интервалов. В специальных ячейках будем накапливать
количества гпи (k=l, 2, ..., п) попаданий случайной величины в эти
интервалы. Тогда оценкой для вероятности попадания
случайной величины в интервал с номером k служит величина
Для оценки среднего значения х случайной величины | в
специальной ячейке будем накапливать сумму 2jXk возможных
значений х*. случайной величины, которые она принимает при
различных реализациях процесса. Тогда [32]
N
* = -^S*ft- (3-2)
Как известно, оценкой S2 для дисперсии случайной
величины | может служить [32]
N
52=w£(**-^2- ■ (3-3)
ft-1
§Т1) ФИКСАЦИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ?5
Непосредственное вычисление S2 по формуле (3.3) неудобно,
так как х изменяется в процессе накопления значений Xh, а это,
в свою очередь, приводит к сложным расчетам либо требует
запоминания всех N значений Хь.. Более удобно можно
организовать фиксацию результатов для оценки дисперсии, если
исходить из другого выражения для S2. Легко показать, что
несложные преобразования (3.3) приводят к формуле
N / N v 2
Отсюда следует, что для определения S2 достаточно
накапливать значения 2-*й и 2-*^-
В случае оценки корреляционного момента /(ь, для
случайных величин | и т) с возможными значениями Хь и ук,
соответственно, употребляется выражение
N
К=^(хк-х)(ук-у). (3.5)
Аналогично его можно преобразовать к более удобному виду
N N N '
К —7Г S ХкУк ~ лГ2 S х" 2 У» (3-6)
ft-1 й=1 ft-1
требующему запоминания небольшого количества величин.
Иногда искомыми величинами являются математические
ожидания и корреляционные функции случайных процессов,
например X(t), зависящих от времени t. Обычно оценки для этих
характеристик находят, разбивая интересующий нас интервал
времени (О, Т) на части с постоянным шагом At. Накапливая
значения Xh(t) реализаций случайного процесса X(t) для
фиксированных моментов времени /*, можно вычислить оценки для
математического ожидания по формуле, аналогичной (3.2):
N
и оценки для корреляционной функции по формуле
N
4-1
рде ИИ5 пробегают все значения U (см. [38]).
76
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Ill
Выражение (3.8) целесообразно преобразовать по аналогии
с (3.6), т. е.
N N ' N
К ("■*) = jr 2 Хи (и) ХМ^т^Хн («) J Xk («)• (3-9)
ft-i ft-i k-i
Для дальнейшего существенно отметить особенности
фиксации и обработки результатов моделирования, связанные с
оценкой характеристик стационарных случайных процессов,
обладающих эргодическим свойством.
Пусть рассматривается процесс X(t), для которого верны
упомянутые предположения. Тогда поступают в соответствии
с правилом: «среднее по времени равно среднему по
множеству». Это означает, что для оценки искомых величин
выбирается одна достаточно продолжительная реализация процесса
X(t), для которой целесообразно фиксировать результаты моде-'
лирования. Как известно, в рассматриваемом случае
математическое ожидание процесса X выражается формулой
■Т - ' . .
X=\\m±-[ xfadt, (3-10)
а корреляционная функция — соотношением
К{х)= lira ■—- Г X(t)X(t-{-x)dt — X2. (3.11)
Г-»оо J
На практике интервал (0,Г) оказывается ограниченным и,
кроме того, значения X(t) удается определить только для ко- ;
нечного набора моментов времени ti. Поэтому для определения ;;
величин X и К(х) используются приближенные формулы [38]
m
X^-f%X(tt), (3.12)
m-l
K{x)^y~^ XiQXfr + x)-*2, -(3-13)
где
. 1 . J_
m~ ДГ ' At
Исходя из соотношений (3.12) и (3.13), можно установить
целесообразный порядок фиксации и накапливания результатов
моделирования.
SI2)
ПРИМЕР
77
Мы затронули только простейшие случаи определения
оценок искомых величин. Особые случаи, связанные
непосредственно с исследуемыми системами, будем рассматривать по мере
изложения дальнейшего материала.
§ 12. Пример
Рассматриваемый здесь элементарный пример имеет целью
проиллюстрировать мероприятия, связанные с моделированием
процессов функционирования сложных систем на цифровых
вычислительных машинах, а также подчеркнуть особенности неко- ,
торых понятий, рассмотренных выше. Для этого приводятся
краткие обзоры основных этапов формализации процесса
(содержательного описания, построения формализованной схемы и •'
математической модели) и, кроме того, рассматривается
примерная структура моделирующего алгоритма, предназначенного .
для реализации модели на цифровых вычислительных машинах.'
При подборе примера учитывалась, главным образом,
возможность достаточно просто и наглядно пояснить сущность
построения математической модели и различные подходы к
использованию ее для исследования процесса.
Кроме того, выбранный пример позволяет дать доступное
изложение подхода к численному и аналитическому решению
такого рода задач. Он позволяет также показать методическое
различие между типичными случаями использования цифровых
вычислительных машин при исследовании сложных процессов:
моделированием процесса, реализацией выбранного численного
метода и, наконец, массовыми расчетами по аналитическим
формулам.
Следует оговорить, что пример получился несколько
искусственным, слишком быстро обнаруживающим свою формально-
математическую сущность. Как показывает опыт решения задач,-
встречающихся на практике, обычно математическое
существо их оказывается заведомо более завуалированным различ*
ными второстепенными атрибутами реальных процессов. Пере*
ход от содержательного описания процесса к подходящей
математической модели, в принципе, является наиболее трудным
делом, требующим от исследователя широкого математического
и технического кругозора, знания типичных математических
схем, используемых для формального описания различных
физических явлений, а также значительного опыта в применении
математических методов для решения прикладных задач.
В качестве примера рассматривается производственный про'
цесс изготовления подшипников роликового типа.
Предпринимаемое исследование не предполагает проведения всестороннего
78 МётоД статистического моделирования tM. m
анализа производственного процесса. В этом нет
необходимости, так как опыт эксплуатации оборудования подтверждает
правильность технических решений, принятых при создании
производственного комплекса. Оптимальность организации труда
также не вызывает сомнений.
Исследование посвящено решению частной задачи —
определению оптимальных интервалов времени между
последовательными наладками оборудования.
Исходя из стремления уменьшить непроизводительные
простои оборудования и затраты на содержание бригад
наладчиков, целесообразно, по возможности, увеличить длительность
интервалов времени между наладками. Однако с увеличением
длительности этих интервалов существенно возрастает доля
бракованных подшипников, что значительно повышает потери
за счет расхода материалов и рабочего времени. В настоящее
время приняты такие продолжительности интервалов времени
между последовательными наладками, которые обеспечивают
высокое качество продукции. Вместе с тем проведенные
эксперименты, значительная часть которых оказалась удачной,
показывают, что имеется реальная возможность увеличить выпуск
продукции и повысить рентабельность производства путем
увеличения упомянутых интервалов. К сожалению, результаты
экспериментов не дают основания для решения поставленной
задачи— определения обоснованных значений длительности
интервалов. По-видимому, количество накопленного статистического
материала недостаточно. Продолжение экспериментов крайне
нежелательно, так как оно отрицательно сказывается на
ритмичности производства. Предполагается решить поставленную
задачу методом статистического моделирования на цифровых
вычислительных машинах.
После предварительных бесед с математиками выяснилась
принципиальная возможность решения такой задачи, а также
определился круг тех сведений о производственном процессе,
которые необходимы для решения. Ниже приводится
содержательное описание процесса.
Подшипник представляет собой устройство, содержащее,
помимо других деталей, специального вида ролики. При сборке
каждого экземпляра подшипника расходуется п роликов. Целое
число п в зависимости от типа подшипника может изменяться
от П\ до п2 (даны конкретные числа). Анализ результатов
обследования большого количества партий готовой продукции
показывает, что основным фактором, определяющим качество
подшипника с точки зрения его дальнейшего использования,
является однородность диаметров роликов. Другими словами, для
обеспечения высокого качества подшипников необходимо, чтобы
« 12]
ПРИМЕР
79
диаметры всех п роликов, взятых для сборки данного
экземпляра подшипника, были по возможности одинаковыми.
Практически добиться полной однородности диаметров
роликов не представляется возможным. Опыт показывает, что
диаметры роликов всегда несколько отличаются друг от друга
(имеют «разброс») из-за производственных погрешностей.
Подшипник считается годным, если разброс диаметров
содержащихся в нем роликов не превышает заданной величины б. В
противном случае подшипник считается бракованным.
В результате наблюдения за работой производственного
оборудования, занятого изготовлением роликов, установлено, что
разброс диаметров роликов не остается постоянным.
Наблюдается некоторый рост разброса по мере увеличения
продолжительности работы оборудования после очередной наладки. В
интервалы времени, значительно удаленные от момента наладки
оборудования, разброс'становится недопустимо большим.
Для характеристики разброса диаметров роликов можно
использовать статистические данные, полученные следующим
образом. Весь интервал времени (О, Т) наблюдения был разбит
на подынтервалы (0,^), {t\,t2), . •., (tr-i,tr)- Ролики,
изготовленные в течение каждого из упомянутых подынтервалов
времени, разбивались, на группы в соответствии со значениями их
диаметров zf. (zuz2), (z2, z3), ..., (zp_b zp).
В результате длительного наблюдения за производственным
процессом удалось определить частоты кц попадания роликов в
определенные группы по диаметру для различных интервалов
времени. Полученные результаты могут быть представлены
в виде табл. 1 (даны конкретные числа).
ТАБЛИЦА!
Время
tr'-i+t.
Диаметры
«1 + *2
Л12
hn
hlr
гг^Ч
h.%2
ha
> hir
z . -s- z
,' V-ы
hp-1,2
"Р-1Л
hp-ът
Учитывая вышеизложенное, требуется: 1) дать
математическую формулировку рассматриваемой задачи об определении
зависимости доли бракованных подшипников от длительности
интервалов времени между последовательными наладками
оборудования; 2) подготовить задачу для решения на цифровой
80 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ 1П
вычислительной машине; 3) выполнить решение и дать
интерпретацию полученных результатов.
В случае необходимости могут быть получены более
подробные сведения о существе производственного процесса, а также
проведены дополнительные эксперименты для пополнения
статистического материала, характеризующего разброс диаметров
роликов.
На этом содержательное описание процесса заканчивается.
Переходим к его формализации. Построение формализованной
схемы является промежуточным этапом формализации процесса
между созданием содержательного описания и разработкой
математической модели; этот этап обязателен только для
случая очень сложных процессов. Поскольку материалы настоящей
главы носят чисто методический характер, мы помещаем
описание формализованной схемы, хотя рассматриваемый здесь
процесс представляется весьма элементарным.
Основой формализованной схемы любого процесса является
точная математическая формулировка задачи. Для того чтобы
ее получить, необходимо начать с представления в формальном
виде сведений, имеющихся в содержательном описании процесса.
В соответствии с этим будем рассматривать процесс
следующего содержания. В результате изготовления роликов,
диаметры которых обозначаются zit образуется некоторая
совокупность чисел {Zi}. Из-за наличия производственных погрешностей
диаметры роликов zi в общем случае оказываются различными,
несколько отличающимися друг от друга. Влияние
производственных погрешностей носит случайный характер. Поэтому на
{г,} можно смотреть как на совокупность чисел, представляющих
собой возможные значения случайной величины £. По
терминологии, заимствованной из математической статистики, будем
называть эту совокупность генеральной совокупностью.
Для комплектации очередного подшипника из генеральной
совокупности извлекается случайная выборка ziU zi2, ..., zin
объема п. В этой выборке всегда имеются наибольшее z
i max И
наименьшее zimm значения z{ (не обязательно единственные).
Разность между наибольшим и наименьшим значениями zt
называется размахом выборки. Очередной подшипник будем
считать годным, если р#азмах соответствующей выборки не
превышает заданной величины 6. В противном случае подшипник
будем считать бракованным.
Пусть за некоторый интервал времени изготовлено М
подшипников и т из них оказались годными, а М — т —
бракованными. Тогда величина
Р = % (3-14)
из
ПРИМЕР
81
будет представлять собой долю годных подшипников, а
1 = 1—Ж (зл5>
— долю бракованных.
- . Естественно, что величины р и q для каждой реализации
производственного процесса принимают фиксированные
значения, определяемые конкретно складывающимися случайными
обстоятельствами. Для того чтобы доля бракованных изделий
могла быть использована в качестве достаточно объективной
характеристики процесса, необходимо принять меры для
обеспечения статистической устойчивости величины (3.15). С этой
целью в качестве критериев, .фиксируемых при моделировании,
можно применять либо среднюю долю q, вычисленную по
данным большого количества ' реализаций производственного
процесса, либо саму величину q, полученную по большому
количеству выборок из генеральной совокупности.
Забегая несколько вперед, заметим, что в зависимости от
выбора одной из упомянутых возможностей будут использованы
соответствующие процедуры фиксации результатов
моделирования. Это неизбежно окажет влияние как на структуру
моделирующего алгоритма, так и на смысл тех величин, которые
получаются при моделировании. Поэтому выбор способа
обеспечения статистической устойчивости доли бракованных изделий
должен быть сделан при построении формализованной схемы и
соответствовать картине явлений, присущих исследуемому
процессу.
Как решение рассматриваемого вопроса, так и дальнейшее
■построение формализованной схемы процесса требуют
раскрытия природы случайной величины Z, и определения способа ее
математического описания. К сожалению, сведения,
изложенные в содержательном описании производственного процесса,
' для этой цели оказываются недостаточными и не обладают
необходимой четкостью. В самом деле, отсутствие точного
описания процедуры формирования генеральной совокупности {г*]
не дает возможности'продолжить формулировку задачи.
Наиболее простым, но не наиболее целесообразным
поведением в сложившейся ^гегу^ции будет запрос дополнительных
сведений о процессе. Действительно, нет никакой гарантии, что
Дополнительные сведения, полученные в ответ на запрос,
сформулированный в общем виде, не окажутся столь же
расплывчатыми и неопределенными. Более целесообразно рассмотреть
несколько вариантов формализации, исходя из удобных
математических схем, и предложить их для одобрения авторам
Содержательного описания. После выбора схемы, достаточно
6 Н. П. Бусленко
82 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. III
близкой к реальной картине явлений, можно будет
сформулировать конкретный перечень недостающих сведений.
Применительно к исследуемому процессу целесообразно в
первую очередь рассмотреть следующие две схемы.
Схема I. Начало отсчета времени ^ = 0 совпадает с
моментом начала работы линии изготовления роликов после
очередной наладки. Изготовленные ролики поступают непосредственно
на сборку подшипников. Производительность линии
изготовления роликов и потребность в них приблизительно совпадают,
поэтому ролики, изготовленные в некоторый интервал времени,
расходуются на сборке в близкие интервалы времени. По мере
удаления от начала отсчета времени разброс диаметров
роликов увеличивается; поэтому если в моменты времени, близкие
к началу отсчета, доля бракованных изделий оказывается
небольшой, то с ростом t она увеличивается.
При этих предположениях можно использовать следующую
достаточно простую формализацию. Рассматривается случайная
функция t,{t), вероятностные характеристики которой
(математическое ожидание z(t), корреляционная функция Кг, {ti,t2)
или соответствующие многомерные законы распределения)
зависят от времени t. Поэтому вероятности того или другого
значения размаха, а также доля бракованных подшипников
являются функциями времени t.
Из сказанного вытекают два вывода, важных для
дальнейшего. Во-первых, статистические данные, характеризующие
разброс диаметров роликов (табл. 1), недостаточны. Они
приближенно могут характеризовать лишь одномерный закон
распределения случайной функции Z,{t), а для решения задачи
необходимо иметь многомерные законы распределения. Во-вторых,
при моделировании необходимо воспроизвести на цифровой
вычислительной машине большое количество реализаций
рассматриваемого процесса и определить среднюю долю брака
N
<7ср(') = жЕ^) (?Л6)
/-г
как функцию времени по результатам N реализаций.
Схема II. Изготовление роликов и сборка подшипников
синхронно не связаны между собой в производственном
процессе. Изготовленные ролики поступают на склад, а оттуда уже
доставляются на линию сборки. Поэтому для данного
экземпляра подшипника могут быть использованы ролики,
изготовленные в любое время. Разброс диаметров роликов в партии,
хранящейся на складе, а также в совокупности, доставляемой на
сборку, зависит от длительности интервалов, времени между по-
§121
ПРИМЕР
S3
следовательными наладками оборудования линии Изготовления
роликов. Если длительность интервалов увеличивается, то и
разброс диаметров роликов в партиях увеличивается. Вместе с ним,
естественно, увеличивается и доля бракованных подшипников.
Для такой процедуры формирования совокупности {г<} более
подходящей будет другая формализация.
Рассматривается случайная величина Z,, вероятностные ха-
рактеристики которой (математическое ожидание г, дисперсия
а\, функция распределения Ft, (z) и т. д.) зависят от параметра
Т, длительности интервала времени между последовательными
наладками оборудования линии изготовления роликов. Поэтому
вероятности того или другого значения размаха, а также доля
бракованных подшипников являются функциями параметра Т.
Изложенное позволяет сделать следующие два вывода. Во-
первых, статистические данные, характеризующие разброс
диаметров роликов (табл. 1), могут быть использованы для реше^
ния задачи. Правда, они обработаны и записаны неудачно. Как
было о.тмечено выше, такая запись статистических данных
соответствует оценке одномерного закона распределения
случайной функции £,(t). Нам же необходимо иметь оценку для закона
распределения случайной величины £, где аргумент t являлся
бы параметром Т. Другими словами, желательно иметь
таблицу, аналогичную табл. 1, где содержались бы частоты кц
попадания г, в соответствующие интервалы как функции
параметра Т. Чтобы понять разницу в смысле частот hij и hi],
рассмотрим способы их определения из опыта.
Выше отмечалось, что ftjj являются частотами, полученными
по результатам измерения диаметров роликов, ( изготовленных
только в течение интервалов времени (U-i, /,•). Частоты hij
соответствуют интервалам времени (0, ^-), т. е. (0,t\), (0,tz),...
..., (О, U), и являются в этом смысле «накопленными» частотами,
Если h^ определить по формуле
*« = ^f. . (3-17)
где Кг — количество всех роликов, изготовленных в течение
интервала времени (^-ь U), а кц — количество той части из них,
которая имеет диаметры в пределах (Z), Zj+i), то h\j
вычисляются по формуле
i~i
1Ч— i=t ■
2 к»
Z-1
(3.18)
§»
84 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Ill '■
где суммирование распространяется на все индексы /, соответ- s
ствующие «накопленным» интервалам времени (0,7^).
Таким образом, вместо данных табл. 1 необходимо иметь
аналогичные данные, которые могут быть представлены в виде
табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
Параметр
.0-*-Г,
О-т-77
Диаметры
Z •+■ Z
11
л11
Л12
и*
к
г2 + г9
Л21
Л22
1*
h2r
"":'
• I** *•
г - -*- г
р-1 р
Н*Р-1Л
"р-1,2
h'p-l.r
Второй вывод связан с порядком определения доли брака
по результатам моделирования. Поскольку процесс
изготовления роликов не связан синхронно со сборкой подшипников, нет
необходимости моделировать все N реализаций процесса.
Допустимо иметь единственную реализацию, если только количество
выборок из генеральной совокупности достаточно велико.
Будем предполагать для определенности, что авторы
содержательного описания одобрили вторую схему и представили
статистические данные в виде табл. 2. В этом случае можно
переходить к рассмотрению математической модели процесса.
Для того чтобы превратить формализованную схему
процесса, рассматриваемого в данном элементарном примере, в
математическую модель необходимо установить соотношения,
связывающие фигурирующие здесь величины.
Рассматривается случайная величина £, имеющая функцию
распределения F^(z) или плотность вероятностей fi(z).
Функции Ft(z) и fz,(z) зависят от параметра Т. Совокупность {z{}
представляет собой множество возможных значений случайной
величины £ при фиксированном значении параметра Т, т. е.
генеральную совокупность.
Из генеральной совокупности извлекаются случайные
выборки Z\, z2, ..., zn объема а. Для каждой выборки определяются
наибольшее
zraax = max [zv z2, .... Zn) (3.19)
и наименьшее .
Zmin — min [zy zv .... zn\ (3.20)
§ 121
ПРИМЕР
85
значения величины г, а также размах
"■== ^max ^mln* (o.2l)
Пусть ц— величина, равная единице, если
и<6 (3.22)
(подшипник оказался годным), и равна нулю в противном
случае (подшипник оказался бракованным). Тогда количество
годных подшипников из М рассмотренных равно
м
т = 2 М-;. (3.23)
а количество бракованных
т = М — т. (3.24)
Располагая этими данными, можно вычислить долю годных '
подшипников
„ т
и долю бракованных
9 = -ж'=^Ъ- (3-25)"
Количество выборок М назначается, исходя из соображений
статистической устойчивости величины q. В результате
исследования необходимо установить зависимость величины q от
параметра Т:
q = q(T). (3.26)
Для этого проводятся аналогичные вычисления при
нескольких значениях Г с шагом т:
Г,«Г1м + т. (3.27)
Перейдем к рассмотрению закона распределения случайной
величины £. При моделировании удобно пользоваться функцией
плотности вероятностей )i (z). В нашем распоряжении имеются
статистические данные, представленные в табл. 2. Нужно
использовать их в качестве оценки для fj (z). Для этой цели
необходимо решить два вопроса — о нормировании значений hi/,
заданных в табл. 2, и о сглаживании их.
86 Метод СтАтЙСтИЧёсКОГо Моделирования \ГЛ. m
Первый вопрос связан с тем обстоятельством, что любая
функция плотности 1(х) удовлетворяет условию
со
j f(x)dx=l. (3.281
V -ОО
Если значения fij рассматриваются как ординаты некоторой
ступенчатой функции, постоянной внутри интервала (Zj, z,-+i),
то из (3.28) вытекает следующее условие:
ДМ2у+1-гу)=»Ь (3-29)
где zv— верхняя, а г\ — нижняя граница области возможных
значений z4 случайной величины \ (соответствующей i-му
значению параметра Г).
Естественно потребовать, чтобы вероятность попадания в
интервал (Zj, Zj+i) была равна hij. Поэтому
fij(*w-*j) = Kj (3-30);
или
'f^TJ^JJ- (3-31):
Таким образом, в качестве приближения для функции плотности
fl(z) мы будем пользоваться ступенчатой функцией с
ординатами fij, вычисляемыми по формуле (3.31).
В связи со сглаживанием значений htj заметим, что весьма
удобно для вычислений на цифровых машинах
аппроксимировать hij (точнее, fa) подходящими аналитическими
зависимостями, например выражениями для функции плотности
нормального, показательного законов распределения, одной из
кривых системы Пирсона и т. д. Можно, однако, пользоваться и
табличным представлением значений fit. Как в том, так и в
другом случае возникает проблема интерполяции ft, (z) для
промежуточных значений параметра Т. Если для ft(z) подобрано
аппроксимирующее выражение, то подлежат интерполяции
только значения параметров аппроксимирующей функции. При
табличном задании f^ (z) необходимо интерполировать fi} для
всех значений z. Желательно иметь табл. 2 столь подробной,
чтобы была допустима линейная интерполяция.
§ i2j пример 87
Разрешив все перечисленные вопросы, можно выписать
соотношения математической модели. В данном случае они имеют
вид *
«
тт
Цу:
= г.
q{T) =
= МГ
to,.
max ^
м
.7-1 .
к<6,
й>6;
mini
(3.32)
гтах—Шах {Zj, Z2, ..., ZnJ; ■
^min^niin [zv z2, ..., zn};
где Z\, z% ..., zn — случайная выборка объема п из генеральной
совокупности, определяемой ft (z):
,ьч ' [0 вне этих интервалов;
г -- НЬ
in —
Помимо уже упомянутых величин, в качестве исходных дан-.
ных для.решения задачи должны быть заданы количество
испытаний Мт, шаг т параметра Т, а также интервал (О, Т*)
параметра Т, на котором проводится исследование.
Таким образом, будет построена математическая модель
исследуемого процесса. Теперь можно перейти к построению
алгоритма, Цмоделирующего этот процесс на цифровой
вычислительной машине.
Для того чтобы показать примерную структуру
моделирующего алгоритма, соответствующего математической .модели
(3.32), рассмотрим следующие операторы:
А4 — определение очередного значения Ti параметра Т.
Оператор выполняет действие, предусмотренное соотношением (3.27).
Р2 — проверка условия Ti^T*.
А3 — интерполяция закона распределения h{z) для
значения параметра T=Tt. Этот же оператор реализует
соотношение (3.31). ,
Pi — проверка условия k<n. Здесь k — количество величин
Zj, уже попавших в очередную (v-ую) выборку объема п
(количество роликов, уже отобранных для комплектации v-ro
подшипника). .
88
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
[ГЛ. II
Кб — счетчик количества роликов k. Реализует операции
*+1- ... . i
0 Фб — формирование очередного значения z& при помощи сл|
чайных чисел.
7Г
Рис. 3.
К7—счетчик количества выборок v (подшипников).
Реализует операцию v+1.
F8—формирование k = 0.
Н9 — определение максимального г в соответствии с
соотношением (3.19). .
SI2]
ПРИМЕР
89
Н10—определение минимального г в соответствии с
соотношением (3.20).
Аи — вычисление размаха и в соответствии с соотношением
(3.21). . :
Pi2 — проверка условия «<-б (проверка годности данного
экземпляра подшипника).
Fi3 — формирование ц=1.
F14 —формирование }д, = 0.
Ki5 — подсчет количества годных подшипников (реализация
соотношения (3.23) или mT,v-\ + [i).
Pie — проверка условия v<MT.
А17 — вычисление доли бракованныхтюдшипников.
• Я\ь — окончание счета и выдача результатов.
Тогда операторная схема моделирующего алгоритма будет
иметь вид
А1Р2148А3' Р^Кб^б
4K7F8H9H10 A„P,^,4F!§12F,413л4К15Р?бА{72Я18 (3.33)
Для наглядности на рис. 3 изображена блок-схема модели-'
рующего алгоритма.
Рассматриваемый алгоритм работает следующим образом.:
В момент начала работы Т0~0, & = 0, v = 0, [j, = 0. Оператор Aj
определяет очередное значение Ti параметра Т. Оператор Рг
сравнивает Тг с Т*. Если окажется, что Ti > Т*, то
моделирование должно быть прекращено. Тогда от Рг по стрелке с индек-'
сом 0 управление передается оператору Я18 для формирования
и выдачи результатов моделирования (конец вычислений).
Если же условие, проверяемое оператором Рг, окажется
выполненным, то управление от Р2 по стрелке с индексом 1
передается оператору А3. Оператор А3 подготавливает сведения
о законе распределения случайной величины £ (интерполяция,'
нормировка и т. д.). Далее можно приступить к реализации вьн
ОЬрки объема п из генеральной совокупности. Оператор Р4
проверяет условие k<n, т. е. определяет, полностью ли уже набрана'
выборка или объем ее еще не достиг п. Если условие, проверяв-'
мое оператором Р4, выполнено, т. е. выборка еще не полностью
укомплектована, то управление от Р4 по стрелке с индексом 1'
передается оператору Ks. Оператор Ks прибавляет единицу к'
количеству k роликов в выборке, а оператор Ф6 формирует
очередное случайное значение диаметра ролика zh и передает
управление снова оператору Р4. Если и теперь k<n, то цикл уве-'
личения объема выборки повторяется. В противном случае
(k = n) управление от Р4 по стрелке с индексом 0 передается
К?. Легко видеть, что цепочка операторов Р4КбФбР4 имитирует
производство выборки объема п из совокупности {z{}. Оператор
90 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Щ
К7 прибавляет единицу к количеству v выборок (готовых пощ
шипников) и передает управление оператору F8. Оператор F8;
формирует k = 0, так как в дальнейшем, начиная новую
выборку, мы должны счет роликов повести с нуля. ;
В результате работы рассмотренной части алгоритма мы
«получили» очередной подшипник. Теперь необходимо
проверить его качество. Операторы Н9 и Ню определяют наибольшее
гтах и наименьшее 2min значения zk (диаметров ролика) из
данной выборки объема п (данного подшипника). Это делается
последовательным сравнением значений zk между собой и
фиксацией большего (соответственно меньшего) из них. Далее
оператор Ап вычисляет размах и в соответствии с (3.21).
Оператор Pi2 сравнивает полученное значение и с заданным числом
6. Если ы<6 (подшипник годен), то оператор F13 формирует
М- = 1 - В противном случае, когда и>6 (подшипник оказался
бракованным), оператор Fu формирует ц = 0. Полученное
значение |i прибавляется к количеству годных подшипников тт
(оператор Kig). На этом оценка качества укомплектованного
подшипника заканчивается. Управление передается оператору
Pie, который проверяет условие v<MT. Если это условие
оказывается выполненным — количество обследованных выборок
(подшипников) еще не достигло заданной величины Мт, — то
управление от Pie по стрелке с индексом 1 передается оператору Р4.
Тем самым начинается формирование новой выборки
(комплектование нового подшипника). Если же условие, проверяемое
оператором Р16, не выполнено, т. е. v=MT, то набор
необходимого количества выборок (подшипников) закончен, и можно
приступить к определению доли брака. Управление в этом
случае от Pi6 по стрелке с индексом 0 передается оператору А17ДЛЯ
вычисления q в соответствии с соотношением (3.25). От
оператора Ап управление передается А], и начинается моделирование
процесса при новом значении параметра Т.
На этом мы закончим краткое описание работы
моделирующего алгоритма. Сделаем некоторые замечания общего
характера. В рассмотренном алгоритме в качестве искомой величины <
была взята доля бракованных подшипников q. Легко видеть, что ;
незначительные изменения алгоритма позволяют получить в ка- ;
честве искомых величин целый ряд других характеристик. В ча- \
стности, можно получить дисперсию доли брака, »ее закон рас- .
пределения и т. д. Если фиксировать величину размаха й, то
можно получить среднее значение, дисперсию, закон распреде- \
ления размаха, можно классифицировать подшипники по «сор- :
там» в зависимости от величины к и т.'д.
Это обстоятельство присуще не только данному алгоритму.
Оно является общим свойством метода статистического модели-
§ 12]
ПРИМЕР
91
рования, его важным преимуществом перед другими методами
решения прикладных задач.
В заключение отметим, что структура моделирующего
алгоритма в своем существе изменилась бы незначительно, если бы
мы поставили задачу в более широких предположениях или
учли дополнительные факторы, свойственные данному
производственному процессу. Например, можно было бы вместо Т*
задать верхний предел q и установить автоматический выбор
максимального Т. При комплектации подшипников можно
ввести процедуру отбраковки роликов с диаметрами, выходящими
за указанные пределы, и т. д. Построение возможных вариантов
моделирующего алгоритма для этих случаев предоставляется'
читателю в качестве упражнения.
Для того чтобы подчеркнуть разницу в постановке и в
некоторых принципиальных моментах решения прикладных задач
с использованием цифровых вычислительных машин методом
статистического моделирования и другими методами, мы оста-.
новимся кратко на особенностях численного и аналитического
исследования рассматриваемого процесса.
Численное или аналитическое решение задачи возможно
только в том случае, если имеются уравнения относительно
искомых величин. Поэтому мы в первую очередь займемся
получением соответствующих уравнений.
Известно, что не во всех случаях из математической модели
можно получить уравнения относительно искомых величин.
Обычно для этого приходится накладывать дополнительные
ограничения на фигурирующие в задаче закономерности.
Типичным такого рода ограничением, характерным для
рассматриваемой задачи, является предположение о том, что закон
распределения случайной величины £ слабо зависит от параметра Т, и
поэтому для построения интересующей нас зависимости q =
=q(T) достаточно получить набор значений q при
фиксированных Т. Заметим, что такое же предположение мы сделали для
простоты и выше, при построении математической модели
процесса, хотя принципиалыю метод моделирования этого не
требует: Здесь же такое предположение обязательно. Итак, пусть
ft (z) — плотность расппеделения вероятностей случайной вели-
яины £ при некотором фиксированном значении
параметра Т.
Легко видеть, что доля брака равна вероятности того, что
W>b. Рассмотрим сначала вероятность противоположного
события Л, состоящего в том, что u*Cb. Событие А может
осуществиться в одном из вариантов Лг-, когда некоторая величина Zi из
выборки объема п попадает в интервал (z,z+dz), а остальные
п—1 величин этой выборки расположатся в интервале (z, z + 6).
92 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. Ill
Легко видеть, что таких вариантов будет п в зависимости от
того, какая из величин выборки попадает в интервал (z,z+dz).
Вероятность любого события А{ при фиксированном г равна
г-г+Ь -,"-1
pdz = fz(z)
J h(t)dt
dz.*
(3.34)
Отсюда по формуле полной вероятности можно перейти к
вероятности события А (хотя бы одного из событий At) при
произвольном z:
гИ+5
л-1
du.
(3.35)
я{й<6} = п|/£(«) j* ktfdt
о L« .
Тогда долю бракованных подшипников как вероятность
противоположного события можно записать (при фиксированном
значении параметра Т) в виде
-н+5 -,п-1
q(T)=l-njft(a) J h(t)dt
da.
(3.36)
Полученное соотношение (3.36), выражающее долю брака q
как функцию Тип, решает поставленную задачу. Для
определения значений q{T) может быть использован один из численных
методов вычисления квадратур. Мы на этом здесь
останавливаться не будем. Заметим, что такая задача хотя и не является
простой, но с применением цифровых вычислительных машин
может быть решена без особого труда. Необходимо обратить
внимание читателя на то обстоятельство, что изменение
искомых величин влечет за собой коренное изменение системы
уравнений, а потому и метода численного решения задачи.
Для упражнения предлагается читателю подумать над
способом определения дисперсии доли брака, если долю брака
рассматривать как случайную величину, или над оценкой других
вероятностных характеристик размаха.
Перейдем теперь к особенностям, связанным с
аналитическим решением задачи. В столь общей постановке продвинуться
вперед по пути аналитического решения по сравнению с (3.36)
не представляется возможным. Однако можно получить
несложные формулы для q(T) при дополнительных предположениях.
В первую очередь необходимо задать конкретное
распределение ft (г). Наиболее подходящим с практической точки
зрения здесь обычно оказывается нормальное распределение
, (г-а)'
(3.37)
f(*) =
2а2
У1яс
§ 12]
ПРИМЕР
93
Однако, к сожалению, для нормального распределения
интегралы (3.36) в конечном виде не беруется. Они могут быть
вычислены только численными методами. В чисто методических
целях рассмотрим показательное распределение
ft{z) = le~Kz. (3.38)
При сделанных предположениях для доли брака можно
воспользоваться соотношением (3.36):
q(T) = \-n\ h{u) I h(y)dy ■ du.
.. - о . L»
Вычислим внутренний интеграл /, считая, что вместо f(y)
подставлено выражение; (3.38)
«+6 г+ь
I =%[ e~h»dy = —е~х» =-_е-Л<г+*)'-+-г-**
или
Тогда
/==*-** (1-е-»). (3.39)
00
q (Т) — 1 — пХ JV^-<«-i> %л (1 _ e-w>f-i dz.
о
Вынося за знак интеграла величины, не зависящие от г,
получим
со
но
оо
j e uz— nV
о
Поэтому
?(Г) = 1—(1 — е-™)"'1. > (3.40)
В этом выражении параметр Я, является функцией Т:
1 = 1{Т).
Естественно, что для решения прикладных задач, где
необходим массовый счет по формулам вида (3.40), могут быть
использованы цифровые вычислительные машины. Однако
различие между массовыми вычислениями по готовым формулам,
исследованием процесса численными методами по формуле (3.36)
и его моделированием на цифровых вычислительных машинах
представляется очевидным.
94 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [Гл. ц,
§13. Точность. Количество реализаций
Выше было отмечено, что результаты, получаемые методом
статистического моделирования, неизбежно носят случайный
характер. Для обеспечения статистической устойчивости их
соответствующие оценки вычисляются как средние значения по
большому количеству реализаций.
Выбор количества реализаций зависит от того, какие
требования предъявляются к результатам моделирования. Пусть в
качестве оценки для некоторого параметра а, оцениваемого по
результатам моделирования хи выбирается величина х,
являющаяся функцией от Хг. В силу случайных причин х будет в
общем случае отличаться от а. Это отличие можно
характеризовать следующим образом. Величину е, такую, что
|а — ~х\<г, (3.41)
назовем точностью оценки #, а вероятность л того, что
неравенство (3.41) выполняется, достоверностью ее. Тогда
Р(\а—х\<е) = а. (3.42)
Соотношению (3.42) можно дать наглядную частотную
интерпретацию. Если для оценки параметра а мы будем
систематически использовать величину х с точностью е и
достоверностью а, то в среднем на каждые 100 случаев применения
этого правила, в 100 а случаях х будет отличаться от а меньше
чем на е, и только в (1 —а) • 100 случаях разница между ними
может превосходить е.
Воспользуемся сформулированным принципом
(соотношением (3.42)) для определения точности результатов,
получаемых методом статистического моделирования.
Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности
р появления некоторого случайного события А,
определяемого состояниями исследуемой системы. В каждой из N реализаций
процесса на модели рассматриваемое событие А может
наступить или не наступить; другими словами, количество £
наступления события А в данной реализации процесса является
случайной величиной, принимающей значение xt=l с вероятностью
р, и значение х2 = 0 с вероятностью 1 —р.
Легко определить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины |, В самом Деле, по определению,
математическое ожидание '
"' М(1) = х1р + х2(\-р) = р,. (3.43)
а дисперсия
D(|) = [хг-М(£)]'р + [х2-М(#.(1 -р) = р(1 -р). ;(3.44)
I 131
ТОЧНОСТЬ. КОЛИЧЕСТВО РЕАЛИЗАЦИЙ
95
В качестве оценки для искомой вероятности р принимается
частота m/N наступлений события А при N реализациях.
Но частоту m/N можно представить в виде
N
'■=1
где £ — количество наступлений события А в реализации с
номером i.
Из формул (3.43), (3.44) и (3.45) можно определить
математическое ожидание и дисперсию частоты m/N
N
(3.4,6)
ТАБЛИЦА 3
В силу центральной предельной теоремы теории
вероятностей (которую здесь можно взять в форме теоремы А. Я. Хин-'
чина) частота m/N при
достаточно больших Af
имеет распределение,
близкое к нормальному.
Поэтому для каждого значе--
ния достоверности а
можно выбрать из таблиц
нормального распределения
такую величину ta, что
точность е будет равна
iss'°VD[w\- (3-47>
s
Вероятность
0,1
0,2
0,3
0,4
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,05
140
250
330
380
390
Точность е
0,02
900
1500
2100
2300
2400
0,01
3600
6200
8400
9400
9800
Например, для а=0,95 £а=1,96; для а = 0,997 7а=3 и т. д.
Р)
Подставляя в (3.47) вместо дисперсии DI-^-|ee значение из
(3.46), получим ,
.-«УН:
N
(3.48)
Отсюда можно определить количество реализаций N,
необходимых для получения оценки m/N с точностью е и
достоверностью а,
)у — л Р0--Р)
л, — га rj2
(3.49)
Количество реализаций N дли а=0,95 и различных значений
Р и е задается табл. 3.
96 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [ГЛ. III
В практике моделирования вероятность р обычно
неизвестна. Поэтому для определения количества реализаций поступают
следующим образом. Выбирают N0 = 50-M00, по результатам
No реализаций определяют m/N0, а затем окончательно
назначают N, принимая, что p^mlN0.
Другим распространенным случаем является оценка по
результатам моделирования среднего значения некоторой
случайной величины. ■
Пусть случайная величина | имеет среднее значение « и
дисперсию а2.
В реализации с номером I она принимает значение xt. В ка*
честве оценки для среднего значения (математического
ожидания) а используется среднее арифметическое
N
1
=f2*'- <3-50)
(=1
В силу упомянутой выше центральной предельной теоремы при
больших значениях N среднее арифметическое (3.50) будет
иметь приблизительно нормальное распределение с
математическим ожиданием а и дисперсией o2/N. Поэтому точность
Отсюда количество реализаций
N = ^-. (3.52)
Аналогично можно определить количество реализаций,
необходимых для оценки дисперсий, корреляционных моментов и
других характеристик случайных величин.
Необходимо обратить внимание читателя на следующее
обстоятельство. Количество реализаций N в выражении (3.49)
зависит от вероятности р, а в выражении (3.52) от дисперсии с2.
Здесь кроется еще один подход к снижению необходимого
количества реализаций. А именно, целесообразно так строить
моделирующий алгоритм (формулировать задачу), чтобы
методом статистического моделирования оценивались параметры
Случайных величин, имеющих возмржно меньшую дисперсию,
или вероятности случайных событий, не очень близкие к 0,5. По
поводу последнего заметим, что вероятности не должны быть
также очень близкими к нулю или единице, так как при этом
Эффективность метода статистического моделирования резко
снижается.
§74) ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ЗАДАННЫХ АЛГОРИТМАМИ 97
Здесь мы привели только общие соображения, связанные
с точностью результатов статистического моделирования.
Они позволяют получить ориентировку в вопросе об объеме
вычислений при использовании метода статистического
моделирования. В каждом отдельном случае моделирования сложной
системы оценка точности должна рассматриваться особо.
§ 14. Оптимизация систем, заданных моделирующими
алгоритмами*)
Выше, при рассмотрении метода статистического
моделирования, мы обращали главное внимание на возможность
определять этим методом характеристик состояний системы и
показателей качества ее функционирования для любого момента
времени через известные параметры системы.
Такой подход к использованию метода статистического
моделирования ограничивает нас задачами анализа сложных систем.
Однако, как уже подчеркивалось выше, запросы практики
повседневно выдвигают задачи, ш некотором смысле обратные
задачам анализа, — задачи синтеза систем. Сущность этих задач
состоит в том, чтобы выбрать такие значения параметров
системы, при которых показатели качества функционирования
приобретают оптимальные значения.
Задачи выбора параметров системы, обеспечивающих
оптимальное значение некоторого функционала (показателя,
характеризующего определенное свойство системы), как правило,
сводятся к задачам оптимального распределения. Примерами
могут служить распределение заявок между каналами системы
массового обслуживания с тем, чтобы процент отказов был
минимальным, распределение средств на резервирование
малонадежных элементов системы для достижения максимальной ее
эффективности, распределение подвижного состава городского
пассажирского транспорта между маршрутами для обеспечения
наилучших условий перевозок и т. д.
Возникающие в технике, экономике и исследовании
операций задачи оптимального распределения обычно приводят к
схеме математического программирования для случая, когда
функционалы, подлежащие оптимизации, и функции,
описывающие связи и ограничения, накладываемые на
параметры системы, задаются в весьма произвольном виде:
аналитическими выражениями, моделирующими алгоритмами, таблицами,
*) При первом чтении этот параграф можно пропустить, так как он не
содержит материала, необходимого для овладения методикой синтеза
моделирующих алгоритмов. С содержанием параграфа целесообразно
ознакомиться непосредственно при решении задач оптимизации систем,
7 Н. П. Бусленко
138 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ [Гл ц
полученными экспериментально или методом статистического
моделирования, и т. д.
К сожалению, в настоящее время не существует
универсальных методов решения задач оптимального распределения в столь
общей постановке.
Для случая, когда функционалы, подлежащие оптимизации
и функции, описывающие ограничения, задаются в виде
аналитических выражений, имеются многочисленные примеры
решения и практического использования задач выпуклого и особенно
линейного программирования [27], [44], [45]. В этой области
накоплен значительный опыт формализации и математического
описания исследуемых процессов и построения соответствующих
моделей. Разработаны также удобные вычислительные приемы,
позволяющие реализовать упомянутые модели на электронных
цифровых вычислительных машинах [2], [47].
Однако широкое использование методов оптимального
распределения в практике исследования сложных систем, и
особенно в управлении ими, затрудняется тем обстоятельством, что
реальные модели сложных систем не укладываются в рамки
задач выпуклого и линейного программирования в традиционной
постановке. Во-первых, чересчур стеснительным оказывается
требование аналитической записи соответствующих
функционалов и ограничений. С другой стороны, исключительную роль в
реальных сложных системах играют случайные факторы,
учитываемые в традиционных моделях выпуклого и линейного
программирования весьма ограниченно.
В силу приведенных здесь обстоятельств на практике часто
идут по пути огрубления реальной модели до такой степени,
чтобы получить одну из традиционных постановок задачи
оптимального распределения, для которой имеется приемлемый
способ машинного решения задачи. Вследствие этого зачастую
решения задач оптимального распределения, полученные на
основе грубой формализации не представляют интереса для
практики. s
Одним из наиболее универсальных и практически удобных
методов исследования процессов функционирования сложных
систем с учетом широкого круга действующих факторов
является метод статистического моделирования, широко используемый
для решения многих задач. Реализация моделирующего
алгоритма на цифровой вычислительной машине позволяет накопить
информацию для оценки' функционалов, характеризующих
свойства сложной системы. С этой точки зрения метод
статистического моделирования сходен с натурным экспериментом: в обоих
случаях могут быть построены таблицы значений функционалов
для различных вариантов распределения (значений параметров
, ]4] ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ЗАДАННЫХ АЛГОРИТМАМИ 09
системы) при условии, что все ограничения, накладываемые на
параметры и функции, выполнены.
Ниже мы рассмотрим один из возможных приближенных
способов решения задачи оптимального распределения
(оптимизации системы) в постановке выпуклого программирования для
случая, когда функция цели (оптимизируемый функционал) и
ограничения не заданы аналитически, а могут быть по мере
надобности вычислены методом статистического моделирования
или определены натурным экспериментом.
Здесь мы остановимся только на сути вопроса и
вычислительных процедурах; соответствующие обоснования и
доказательства теорем можно найти в [12].
Пусть, как и прежде, характеристики состояний системы
Zi(t) будут случайными функциями времени, зависящими от
параметров системы cci, а2, • • •, ап-
Параметры ai, <хг, ..., ап обычно делят на две группы: 1)
параметры управления (обозначим их, например, а*, а*, .... а^), -
вырабатываемые специальными управляющими устройствами в
некоторые моменты времени и определяющие дальнейший
порядок функционирования системы, и 2) так называемые
собственные параметры системы (ccm+i, am+2, . .., <хп), характеризующие
свойства системы и ее элементов, не зависящие от управления.
Набор величин а*, Ц; ■■■< а*т иногда называют планом или
распределением. Величины же ат+и ост+г, ■ ■ ■, ап описывают
свойства элементов системы в нормальных условиях,
характеристики действия случайных шумов и отклонений,
характеристики надежности элементов и т. д.
Пусть некоторое свойство системы (например,
эффективность, надежность и т.д.) описывается функционалом Ф,
взятым в качестве показателя н определенным в пространстве
функций Zi(t). Тогда
ф = Ф(а*, ^ а;;" ат+1, ат+2, .... а„). (3.53)
Обычно на величины а* и а*} накладываются ограничения вида
gh(a\, а^, ..., <£; ат+г ат+1, ..., ап) <0; (3.54)
А = 1, 2, ,.., h*,
0<а*<а*/; 0<а,<аг (3.55)
Задача оптимального распределения состоит в выборе
значений а, и а* величин <xt и а*, реализующих минимум
(соответственно, максимум) функционала Ф при выполнении всех
ограничений.
7»
100
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
[ГЛ. щ
Сформулированная общая задача может иметь различные
практические интерпретации. Например, если am+i, am+2, ..., a
считаются известными (параметры системы заданы), а a*, a*, ...
..., a^ подлежат определению, исходя из оптимального
значения функционала Ф, го, очевидно, речь идет о выборе
оптимального управления (плана, распределения), обеспечивающего
заданные свойства процесса функционирования системы,
оцениваемые показателем Ф. В другом случае могут быть
фиксированы величины а*, а*, .... а*т, а параметры сст+ь ат+2, ■ ■ .,ап
требуется подобрать таким образом, чтобы функционал Ф
приобрел экстремальное значение. Смысл этой задачи сводится
К выбору оптимальных параметров системы при заданном
управлении. Возможны и другие постановки задачи, но мы на них
останавливаться не будем. Для определенности будем считать,
что выбираются параметры cti, a2, . . ., оси, удовлетворяющие
условиям (3.55) и обеспечивающие минимум функционала Ф
(3.53). При аналитическом задании функций Ф, gh, а, и т. д. и
выполнении ряда ограничений имеются хорошо
зарекомендовавшие себя методы решения задач выпуклого и особенно
линейного программирования.
Мы здесь остановимся на том случае, когда аналитических
выражений для Ф, gh, a^ нет, а имеется возможность лишь
вычислять их по известным ccj методом статистического
моделирования или определять по результатам натурного эксперимента.
Перейдем к изложению метода решения этой задачи. В
дальнейшем звездочки при символах щ будем опускать. В [12]
показано, что если функции Ф(сс1, а2, • •., а„) и gh{oci, а2, ..., ап)
являются выпуклыми (вниз) и непрерывно
дифференцируемыми функциями п переменных, то наша задача асимптотически
эквивалентна задаче нахождения минимума функции
Ч^Ф + Л^е^л .(3.56)
h
при условиях 0 ^ ctj *C<ij (с>0— некоторое постоянное число).
Эквивалентность этих задач означает, что решение одной из
них является также решением и другой, причем минимальные
значения функций Ф и 4х совпадают. Под асимптотической
эквивалентностью мы будем понимать эквивалентность при
С -> оо.
Таким образом, после замены задачи (3.53) эквивалентным
ей соотношением (3.56) мы пришли к задаче, которая может
быть решена любым из известных методов отыскания
экстремума. Однако мы остановимся здесь лишь на одном из них [12],
достаточно хорошо приспособленном с точки зрения машинной
JI4J
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ЗАДАННЫХ АЛГОРИТМАМИ
101
реализации к случаю, когда функции Ф и gh заданы при
помощи статистической модели (моделирующего алгоритма).
Суть его сводится к следующему. Пусть искомыми
величинами будут av а2 ak. Тогда в ^-мерном пространстве
выбираем произвольную точку а®, а2, ..., adk, принадлежащую
множеству 0<а°<:<2/, / = 1, 2, . . ., k. Эту точку будем
называть точкой нулевого приближения, а значение Ч*7а°, а°, .. ., а°)
будем обозначать 4го. Отправляясь от этой точки, используем
итерационную процедуру покомпонентной минимизации
величины W как функции одной переменной. Для этого сначала
находим число а^, O^a^^aj, такое, что ^(а,, а2 а£)
имеет минимум при а1 = а(11>, затем 0 <; а2') <; aft из условия
минимума Ч^а'1', а2 а°) при ^—а^) и т. д.; наконец,
0Ка^^ак из условия минимума \Р(а^>, а2'), ..., аА) при ак=а^\
Полученная на этом пути точка а^, а2Ч ..., а^ называется
точкой первого приближения, а значение Ч? (а\£\ а$\ ..., а£')
обозначается WW. Исходя из точки первого приближения,
начинаем строить точку второго приближения. Для этого
находим 0-^а^-^.а такое, что W(av a^\ ..., а*,1') имеет
минимум при а, = а(12', затем О^с^1' <ia2 из условия минимума
W(af\ ау .... а^1') при а2 = а22) и т. д.
Таким образом, построив п приближений, мы придем к
соотношению
4го > Ч*4 > ¥(2) > ... > Ч"л) -^ rnin V (в1. а2 а„), (3.57)
0<а,<а,-.
Минимизация функции Ч? по каждой переменной может быть
проведена различными способами. Например, в [41]
используется весьма простой и удобный прием. Пусть речь идет о
минимизации функции Ч7 по переменному ссь От середины
интервала (0, а,\) в обе стороны откладывается б-окрестность. Далее
при щ=-^- и«,=-^-(-в методом статистического
моделирования (соответственно экспериментально) определяем значения
функционала Ф и функций g^ и образуем значение
функционала W. Если
v(t+&)>v{%)* (3-58)
то функционал Ч* в окрестности точки -у- возрастает по
переменному cti. Тогда методом статистического моделирования
102 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (ГЛ. 1ц
определяем Фи^ дляа1 = -г~—6. и формируем функционал *р.
Если
*$--*)<*(-£■). (3.59)
то поиск минимума продолжаем в интервале 0 <^ ctj <J-W-прЙ
помощи аналогичной процедуры.
В том случае, когда неравенство (3.58) имеет
противоположный смысл, поиск минимума переносится в интервал
-f < ах < ах.
Наконец, может наступить случай для некоторого а
W(a±6)^W(a); (З.ЬО)
тогда минимум находится в 6-окрестности точки ос, и поиск его
с нужной точностью может быть осуществлен одним из
известных методов интерполяции или дальнейшим дроблением б-окре-
стности, в зависимости от требуемой точности и удобства
вычислений. Заметим, что этот способ является далеко не
экономным с точки зрения количества операций машины.
Для определения минимума функции одной переменной
можно также поступить, как указано в [12]. В зависимости от
требуемой точности отрезок (0, а$) отображается на отрезок (0, Ln),
где Ln — fi-e число Фибоначчи. Затем определяется значение
функционала W в точках kLn^i и kLn~2- Здесь k — коэффициент
перехода от одного масштаба к другому. Если ^(kLn-i)<
<W(kLn-2), то минимум достигается на отрезке (Ln_2, Ln)
длины Ln-i. Если же х¥(кЬп-{)>л¥(kLn_2), то минимум
достигается на отрезке (0, Ln_j), длина которого также равна L„_4.
Таким образом, ценой вычисления функции в двух точках
область поиска экстремальной точки сужается от длины L„ до
длины Ln_i. Далее процесс повторяется таким же способом,
причем значение функции в одной точке уже известно, поэтому для
перехода к отрезку длиной L„_2, содержащему экстремальную
точку, достаточно вычислить значение функции еще в одной
точке.
Существует безусловно еще одна возможность: 4r(kLn-i) =
= 4{kLn^2). В этом случае экстремальная точка принадлежит
отрезку (Ln_2, L„-i) длиной Z-„_3. Ради экономии машинного
времени этот случай можно было бы учесть, однако обычно
более важной оказывается простота алгоритма, поэтому этот
случай относят к одному из рассмотренных выше.
Легко видеть, что описанные способы приближенного
определения экстремума функции одного переменного, если эта
§14]
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ЗАДАННЫХ АЛГОРИТМАМИ
103
функция задана статистической моделью, оказываются
надежными лишь в том случае, когда в результате статистического
моделирования получаются весьма стабильные значения величин
ф п gh (например, за счет большого количества реализаций
статистической модели). Если же нельзя рассчитывать на
достаточную стабильность величин Ф и gh, получаемых в результате
статистического моделирования, необходимо принимать
специальные меры против ошибок в оценке неравенств вида
(3.58) — (3.60) (и им соответственных с числами Фибоначчи),
которые могут возникнуть в результате случайных флуктуации
величин Ф и gh.
Из вышеизложенного следует, что необходим о оценивать
разность двух средних значений вида
v = ¥(*,) — y(x2) = AW(xv л,). (3.61)
' Другими словами, речь идет о статистической проверке
возможных гипотез
l)v>0, 2) v = 0, 3)v<0 (3.62)
или, с учетом замечания, сделанного выше, одной из двух пар
гипотез:
l)v>0, или 2)v>0,
v<0 v<0.
Мы не будем подробно останавливаться.на способах
проверки статистических гипотез, так как этот вопрос достаточно
подробно освещается в общедоступных курсах математической
статистики (см., например, [13], [26] и др.). Однако заметим, что
в рассматриваемом случае использовать непараметрические по-:
рядковые критерии (например, Вилкоксона или Ван дер Вар-
дена) предпочтительнее, чем параметрические критерии или
метод последовательного анализа Вальда.
Рассмотренный в этом параграфе метод оптимизации
сложных систем, заданных моделирующими алгоритмами, имеет
весьма простую и удобную машинную реализацию. Скорость
сходимости итерационного процесса зависит от постоянной с
(3.56) и пока еще в общем случае не исследована. Для
некоторых классов задач экспериментальная оценка показала весьма
обнадеживающие результаты.
Ниже мы остановимся на простейших примерах,
иллюстрирующих практическое применение рассмотренной здесь методики.
Глава IV
Моделирование случайных процессов
§ 15. Случайные числа
При исследовании сложных систем методом статистического
моделирования существенное внимание уделяется учету
случайных факторов.
В качестве математических схем, используемых для форма-
лизации действия этих факторов, используются случайные
события, случайные величины и случайные процессы (функции).
Формирование на электронной цифровой машине
реализаций случайных объектов любой природы сводится к выработке
и преобразованию случайных чисел.
Количество случайных чисел, используемых для
формирования одной реализации моделируемого процесса, колеблется
в достаточно широких пределах. Оно исчисляется в простейших
случаях десятками тысяч, но нередко может достигать
миллионов чисел и более.
При исследовании систем методом статистического
моделирования существенное количество операций расходуется на
действия со случайными числами. Поэтому не будет
преувеличением сказать, что наличие простых и экономных способов
формирования последовательности случайных чисел во многом
определяет возможность практического использования этого
метода.
Мы кратко остановимся на рассмотрении наиболее
употребительных способов образования последовательностей случайных
чисел.
В качестве исходной совокупности случайных чисел,
используемых для образования случайных элементов различной при^
роды, необходимо выбирать такую совокупность, которая
может быть получена с наименьшими, по возможности, затратами
машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и
удобство дальнейших преобразований.
Обычно считают, что этим требованиям удовлетворяет
совокупность случайных чисел с равномерным распределением в
интервале (0, 1).
§ 15]
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА
105
В дальнейшем будет показано, что с помощью равномерно
распределенных случайных чисел можно конструировать как
случайные события, возникающие с любой заданной
вероятностью, так и случайные величины, обладающие практически
любым законом распределения.
Напомним основные свойства равномерного распределения.
Непрерывная случайная величина г) имеет равномерное
распределение в интервале (а, Ь), если ее функция плотности равна
[ 0 вне этого интервала..
Функция распределения случайной величины ц имеет вид
0, у<а,
у — а
tin)-
(4.1)
Г{У) =
у>ь.
(4.2)
Ь — а •
1,
Математическое ожидание М fa] и среднее квадратическое
отклонение ап соответственно равны
Ь — а
a«n=£±*.
(4-3)
4 2/3- ' .
В. частном случае равномерного распределения в отрезке
[0, 1] случайная величина ri* имеет функцию плотности
f 1 при 0<«/<1,
f (и) = \
' х ' { 0 вне этого отрезка.
функцию распределения
■ . [0, у<0,
Р{У)^\У, О<0.<1, (4.4)
1, у>\,
а математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение соответственно равны
*wi-i- ^ш
(4.5)
Рассмотрим дискретную случайную величину z,, принимаю-
Щую только два значения:
zt =
1 с вероятностью -*■.
0 с вероятностью -я.
106 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (Гл. IV
Например, бросая монету, можно принять гг=1, если выпал
герб,- и 2t- = 0, если выпала решка.
Представим себе бесконечную последовательность значений
?i, г2, ... и будем рассматривать эту последовательность нулей
и единиц как двоичные знаки некоторого числа |, равного
1 = г1.2-1Ч-г2-2-Ч...- +гя-2-"+ ... (4.6)
Число | — случайное число, оно лежит в пределах 0^1 < 1.
Вероятность попадания £ в интервал 10, -^\ равна -^; в
интервал (0, -jj равна j; в интервал (Q, g-j равна -g-.
Вообще вероятность попадания числа 1 в любой интервал
вида 1-rjTf. 2n -I равна его длине -^.
Следовательно, % — равномерно распределенная случайная
величина. Отсюда и вытекает способ формирования равномерно
распределенной случайной величины. Нужно взять
бесконечную последоват€льность независимых случайных величин zt и
считать их двоичными знаками некоторого числа £.
Строго говоря, на цифровой вычислительной машине
получить последовательность возможных значений случайной
величины с равномерным распределением не представляется
возможным в силу ограниченного количества используемых
двоичных разрядов или, другими словами, членов ряда (4.6).
Пусть речь идет о цифровой вычислительной машине, для
которой характерно представление чисел k двоичными
разрядами. Тогда количество несовпадающих между собой чисел,
каждое из которых можно записать в ^-разрядную ячейку
машины, равно 2h. Поэтому приходится вместо непрерывной
совокупности случайных чисел с равномерным распределением в
качестве исходной использовать дискретную совокупность 2h чисел
с одинаковыми вероятностями появления любого из них.
Такое распределение иногда называют квазиравномерным^
Случайная величина £, имеющая квазиравномерное
распределение в интервале (0, 1), принимает значения
*1вЭггГ' * = 0\ L % •■■• 2*-1' (4J)
с вероятностями * • _
В выражении (4.7) в качестве знаменателя берется величина
2к — 1, а не 2ft. Это делается для того, чтобы в количество 2"
§ 15]
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА
107
величин Xi можно было включить как 0. так и 1, а интервалы
между ними на числовой оси были одинаковыми.
Найдем математическое ожидание и среднее квадрэтическое
отклонение случайной величины g
0« 1
Учитывая, что
получим
£] =
л
S'
1-0
2
п
*
2*—1
(n+Y)
2
1
2*
"la-l-ar-HF- (*-9)
(4.10)
л* [I] =4- / (4Л1>
Для определения дисперсии случайной величины 1
воспользуемся, кроме (4.10), тождеством*
' j?/a=" (» + № + !). (4Л2)
(-1
Тогда
или
^И=-|:^7 (4-13)
(4.14)
Легко видеть, что при k —* оо среднее квадратическое
отклонение о-, квазиравномерной совокупности асимптотически равно
1/2|/"3. Поэтому при достаточно больших значениях k разницей
между о? и о* (см. (4.5)) можно пренебречь. Для малых
значений k эта разница может оказаться существенной.
В следующей таблице приведены значения ст? в зависимости
от количества разрядов, а также отношения o.J(f (с точностью
до четырех и трех десятичных знаков после запятой
соответственно)..
Заметим, что
сг* =-4^^0,28868.
108 ' МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [Гл. iv
ТАБЛИЦА 4 '
*
4-
2
0,3727
1,290
3
0,3274
1,140
5 '
0,2979
1,030
10
0,2889
1,001
15
0,2887
1,000
Для сравнения приведем значения математического
ожидания М* и среднего квадрэтического отклонения о* для
случайной величины | при -у (/ = 0, 1, 2, ..., 2k~ )
"-И1-■?)•■ "•"wr/13?- <415>
Сравнивая (4.15) с (4.11), мы обнаруживаем смещение М*
относительно -к, что крайне неудобно с точки зрения
оперирования над случайными числами.
В дальнейшем фигурируют квазиравномерные случайные
числа только вида (4.7).
На практике обычно используются два способа получения
этих случайных чисел: 1) формирование случайных чисел
специальной электронной приставкой к вычислительной
машине—датчиком случайных чисел и 2) получение так называемых
«псевдослучайных» чисел непосредственно на вычислительной машине
при помощи специальных программ.
Принцип работы датчика случайных чисел состоит в
следующем. Предположим, что нам необходимо вырабатывать й-раз-
рядные двоичные случайные числа, имеющие квазиравномерный
закон распределения.
Это означает, что в каждом,из k разрядов в момент выдачи
случайного числа должно появляться число г, принимающее
значения Z\ = 0 и z2=l с вероятностями р\ = р2=\/2.
Рассмотрим один из двоичных разрядов. Источником
«случайности» может служить любой физический случайный
процесс: внутриламповый шум, радиоактивный распад,
атмосферный шум и т. д.
Будем считать, что выбран достаточно удобный генератор
шума, и на его выходе имеется сигнал, амплитуда которого
изменяется во времени случайным образом. Этот сигнал
пропускается через ограничитель уровня и далее при помощи
электронного счетчика подсчитывается количество импульсов сиг-
§15]
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА
109
нала, превышающих заданный уровень. Если в момент снятия
показаний счетчик выдает четное число, будем считать, что в
разрядной ячейке находится нуль, если нечетное — единица.
Как показывают исследования, при достаточно большом
количестве импульсов вероятности появления нулей р и единиц q
весьма близки к -j.
Использование пар образуемых следующим образом чисел
также дает хороший эффект с точки зрения получения р и q,
близких к-т,-- Пусть в момент ti на счетчике получено значение
z(ti), а в момент ti+1 — соответственно z(ti+1). Здесь возможны
следующие комбинации:
z(tf|) = l, z(ttи) = 1 с вероятностью р-
г(^,) = 1, z(/m) = 0 С вероятностью pq.
г(^)=0, z(/m) = l с вероятностью qp,
z(tt) = 0, г(//+г) = 0 с вероятностью q2.
Теперь в качестве значения г = 1 можно выбрать
комбинацию z(U) = 1, z(ti+i) = 0, а в качестве z = 0 комбинацию г(^) = 0,
z(ti+i) = l, вероятности которых одинаковы при любых р и <7*
Остальные комбинации отбрасываются.
Параллельное соединение k одноразрядных датчиков
случайных чисел представляет собой й-разрядный датчик. Он
должен вырабатывать случайные числа с частотой,
соответствующей быстродействию машины, с тем, чтобы в любой такт счета
была возможность выбрать и ввести в машину очередное
случайное число.
Помимо случайных чисел, вырабатываемых датчиком, для
реализации метода статистического моделирования могут быть
использованы псевдослучайные числа, формируемые в
вычислительной машине по специальным программам. В настоящее
время известно (см. [23]) несколько такого рода программ. Их
выбирают, исходя из двух требований: 1) формируемая
последовательность чисел должна иметь заданную статистическую
структуру (например, быть последовательностью независимых
случайных величин с квазиравномерным распределением) и
2) количество операций машины, затрачиваемых на
формирование одного числа, должно быть небольшим.
В качестве примера рассмотрим следующую процедуру
формирования псевдослучайных чисел. Пусть Xi — некоторое й-раз-
рядное двоичное число. Будем считать его первым из
последовательности псевдослучайных чисел. Возведем Х\ в квадрат и
ПО МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. Iv
рассмотрим k средних разрядов х\ как новое ^-разрядное
двоичное число х2. Затем возведем в квадрат х2 и k средних
разрядов х\ будем считать числом х3 и т. д.
Как показывают исследования, псевдослучайные числа хи
х2, х3, . .., полученные при помощи такой процедуры, весьма
близки к последовательности независимых случайных чисел
с квазиравномерным распределением. Несмотря на то, что на
формирование псевдослучайных чисел таким путем
затрачивается небольшое количество операций машины, данная
процедура редко используется на практике. Причина этого кроется
в возможности появления в ряду чисел х{ повторяющихся групп
чисел, а также вырождения процесса, когда во всех разрядах
оказываются нули.
Вообще говоря, как псевдослучайные числа, так и случайные
числа, вырабатываемые датчиком, используются при
статистическом моделировании в виде достаточно длинных
последовательностей. Для того чтобы модель функционировала правильно,
а точность решения совпадала с заданной, эти
последовательности должны иметь статистическую структуру, соответствующую
вероятностным свойствам ряда независимых случайных величин
с квазиравномерным распределением. В противном случае
возможны грубые ошибки, значительно снижающие качество
результатов расчета.
Существует ряд типичных отклонений от статистической
структуры последовательности случайных чисел. К ним
относятся наличие периодичности в повторении определенных чисел
или их групп, наличие корреляции между разрядами или
последовательными числами, отличие закона распределения
случайных чисел от квазиравномерного, отличие параметров закона
распределения (таких, как математическое ожидание, дисперсия
и т. д.) от требуемых значений и др. В арсенале моделирования
имеются (см., например, [23]) специальные тесты, позволяющие
осуществить статистический анализ качества последовательности
случайных чисел и выявить те или другие отклонения. На этом
пути проводится сравнительная оценка способов формирования
случайных чисел и выбираются для практического
использования наиболее точные и экономичные способы.
Заметим, что в настоящее время методика получения
случайных чисел на цифровых вычислительных машинах достаточно
хорошо отработана и широко известна специалистам,
эксплуатирующим вычислительные машины.
Случайные числа с изученным выше квазиравномерным
распределением служат исходным материалом для
конструирования случайных объектов более сложной природы: случайных
5 16J ч МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ \\\
величин с произвольным законом распределения, многомерных
случайных векторов и случайных процессов.
Мы переходим к рассмотрению приемов преобразования
случайных чисел и формирования реализаций случайных процессов.
§ 16. Моделирование испытаний
в схеме случайных событий
В настоящем параграфе рассматриваются приемы
моделирования простейших случайных объектов — случайных событий
и дискретных случайных величин. Эти объекты находят
широкое применение при моделировании процессов функционирования
сложных систем.
Будем считать, что в нашем распоряжении имеются
случайные числа xt—возможные значения случайной величины £,
распределенной равномерно в интервале (0, 1). Вопросы,
связанные с отличием квазиравномерных случайных чисел от чисел #,-,
мы пока оставляем в стороне.
Пусть необходимо реализовать случайное событие А,
наступающее с заданной вероятностью р.
Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное
значение xt случайной величины £ удовлетворяет неравенству
*,<> (4-16)
Легко видеть, что вероятность события А равна
р
P(A)=j dx = p. (4.17)
о
Противоположное событие Л тогда состоит в том, что х%
удовлетворяет неравенству
- xt> р
и его вероятность равна Р{А) — \—р.
Процедура моделирования испытаний рассматриваемого
вида состоит в выборе значений xt и сравнении их с
величиной р. Если при этом условие (4.16) выполняется, то исходом
испытания является событие А. Если условие (4.16) не
выполняется, то исходом испытания будем считать событие А.
Изложенные соображения могут быть обобщены на группу
событий.
Пусть А и Ai, .:., As— полная группа событий," наступающих
с вероятностями pi, p2, ..., ps. Как известно, в этом случае
112 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
Определим событие Ат как событие, состоящее в том, что
выбранное значение xt случайной величины | удовлетворяет
неравенству
/„-,<*,</„, (4.18)
где
г
H2JA- (4Л9)
Аналогично (4.17) можно записать
Р(Ат)= \dx = pm. (4.20)
'm-i
Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит
в последовательном сравнении случайных чисел' xt с
величинами 1Т. Исходом испытания оказывается событие Ат, если
выполняется условие (4.18).
Эту процедуру иногда называют определением исхода
испытания по жребию в соответствии с вероятностями рь р2, . .., ps.
Очевидно, что та же самая процедура может быть
использована для формирования реализаций дискретной случайной
величины т), принимающей конечное число возможных значений
Уи Уъ ..., уа с вероятностями pi, рг, . .., ps- Для дискретной
случайной величины, принимающей бесконечное (счетное) число
возможных значений, этот путь позволяет получить
приближенное решение задачи. В самом деле, пусть дискретная случайная
величина т) принимает счетное множество возможных
значений ук с вероятностями pk (k = \, 2, ...), a ph задается соотно*
шением
Р» = РШ> . (4-21)
где
со
Выберем очередное случайное число хи имеющее
равномерное распределение в интервале (0, 1). По аналогии с (4.18) и
(4.19) одним из приближенных численных методов (например,
методом последовательных приближений) определим такое у*,
которое достаточно точно удовлетворяло бы равенству
Ьр(Ун) = х1. (4.22)
ft — l
§ 16) МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ ИЗ
Если у* совпадает с одним из уи, то оно и принимается в
качестве очередного значения случайной величины ц. В противном
случае будет иметь место неравенство
Vn-i <У*г< Ун- (4-23)
Тогда можно считать, что очередным значением случайной
величины г] будет у&.
Заметим, что конкретные процедуры формирования
дискретных случайных величин со счетным множеством возможных
значений, основанные на этой идее, могут оказаться весьма
громоздкими и поэтому мало пригодными для практического ис-
. пользования. Другие подходы к этой проблеме будут изложены
ниже.
Рассмотренные ранее правила оказываются справедливыми
лишь в том случае, когда для испытаний используются
случайные числа Xi, имеющие равномерное распределение в интервале
(0,1). -
Однако при реализации алгоритмов на электронных
цифровых машинах имеется возможность пользоваться только
случайными числами с квазиравномерным распределением. В этом
случае возникают особенности, на которых целесообразно
кратко остановиться.
Пусть в нашем распоряжении имеются ^-разрядные числа
с возможными значениями-
*)=-зггг /==0'1,2 2*-1- (4-24)
Подставим теперь в неравенство (4.16) вместо xt число х*.
Тем самым моделируемое событие А* определяется как событие,
состоящее в том, что
**</?. (4.25)
Вероятность Р(А*) может быть найдена как отношение
количества п чисел вида (4.24), меньших или равных р, -к
количеству N всех чисел вида (4.24). Как известно, /V=2ft. Таким
образом,
Р(А*) = ф: (4.26)
Из соотношения (4.26) можно сделать следующий вывод: если
вероятность р события А изменяется в пределах
%<P<JL$Lr (4-27)
TOp(i*)-£.
3 Н. П. Бусленко
1147 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV:
Отсюда следует, что использование чисел к* вместо xt прн-
водитк ошибке в определении вероятности события
Ир^±-р. (4.28)
Ясно, что максимальное значение ошибки Ар не превосхо-
• 1 - '
Дит —г .
.. 2* — 1
Заметим также, что центр области возможных ошибок
смещен влево относительно рт (4.20) на величину 2~hpm.
Для уменьшения влияния ошибок, вызываемых
дискретностью исходной совокупности случайных чисел, можно
использовать два пути: 1) увеличить разрядность случайных чисел и
2) усложнить процедуру моделирования испытаний. Первый из
них очевиден, поэтому на нем останавливаться не будем.
Обратимся к краткому рассмотрению второго.
Часто бывает удобным использовать комбинации событий,
получающихся при повторении испытаний. Пусть выход
случайного числа х* определяет собой наступление события Вь
■ При выполнении п испытаний появляются комбинации
событии (событие Bi наступает mi раз, событие В2 — т2 раз,
событие Вг — т, раз, где mi + m2+ ... +mr=n), вероятности
которых
Рп (т„ щ, ..., тг) = - "Т** „ . ' (4,29)
представляют "собой коэффициенты при .х™* х™* ... х™т в
разложении полинома (piXi + р2х2 + ... +prXr)n, где pm — 2~ .
Полученную совокупность' комбинаций событий Bj можно
разделить на s классов А\, Аъ ■ ••> As таким образом, чтобы
вероятности Р(Ат), по возможности, более точно совпадали с
рт. Будем считать, что событие Ат происходит в том случае,
когда при п испытаниях появляется хотя бы одна из
комбинаций событий Bj, принадлежащая классу Ат.
Процедура моделирования такого рода испытаний состоит в
следующем. В оперативной памяти машины отводится 2h ячеек
(с адресами от а до a + 2h— 1) для фиксации промежуточных
результатов моделирования.
. Проводим испытания, каждое из которых состоит в
извлечении случайного числа х*. Если в т-м испытании появилось
число x*jm, то к содержимому ячейки с адресом о,-\-х*.т (2* — 1)
прибавляется единица. В результате п испытаний в отведенных
ячейках накапливается индекс mi, т2, ..., тг одной.из
комбинаций событий Bj. ' - '
§ is] Моделирование испытании 115
Полученный индекс сравнивается с индексами
всевозможных комбинаций событий Bj и устанавливается принадлежность
комбинации к одному из классов Аг, Аь . . ., As.
Более компактной реализации рассмотренной схемы и более
высокой точности можно иногда добиться, используя прием,
основанный на объединении событий Bj перед каждым
испытанием в классы С\, Су, ..., С г . Если в испытании с
номером т вероятности событий CW равны q[m\ q^m), , . .., д(™\ то
вероятности комбинаций событий, появляющихся при п
испытаниях, соответствуют производящему полиному
ДО'-*, 4- дух2 + • • • + ?<Ч) (<№*i 4- яух, 4- •.. 4- <?<Ч) • • •
.... (#°*,4-#44- ... 4-#яЧ)'
Заметим, что усложнение схемы испытаний по сравнению
с проверкой справедливости неравенств вида (4.18) приводит
обычно к существенному увеличению количества машинных опе-
'раций,, необходимых для ее реализации.
Часто бывает необходимо осуществить такие испытания, при
которых искомый результат является сложным событием,
зависящим от двух или нескольких простых событий.
Пусть, например, независимые события А я В имеют вероят-
, ности рА и рв, соответственно. Возможными исходами совмест-
."ных испытаний в этом случае будут события
АВ, АВ, АВ, АВ (4.30)
с вероятностями
РаРв> '0 — Ра) Рв> Ра (1 — Рв)' (! — Ра) 0 ~ Рв)- (4-3^
Очевидно, что для моделирования совместных испытаний могут
быть использованы два варианта процедуры. Первый из них
состоит в последовательной проверке условия, аналогичного (4.16),
относительно событий А и В. Однако можно поступить и по-
другому. Второй вариант процедуры можно построить по
аналогии с (4.18), как определение одного из исходов (4.30) по
жребию в соответствии с вероятностями (4.31).
Первый из рассмотренных вариантов требует использования
двух чисел Xi и двух сравнений — проверок условия (4.16). При
втором варианте можно ограничиться одним числом xh однако
сравнений в общем случае может потребоваться больше. При
практическом решении задач выбор того или другого варианта
процедуры определяется соображениями удобства построения
алгоритма и экономией количества операций машины и ячеек
оперативной памяти. В среднем первый вариант оказывается
более экономным, чем второй.
8*
116
Моделирование случайны* процессов [гЛ. iv
Рассмотрим случай, когда события А и В не являются
независимыми. Пусть по-прежнему вероятности событий А и В
обозначаются через рА и рв. Кроме того, будем считать заданной
условную вероятность p(BjA) события В при условии, что
событие А произошло.
Первый вариант упомянутой выше процедуры в этом случае
выглядит следующим образом.
Из совокупности {Хг} извлекается очередное число х„ и
проверяется справедливость неравенства
хп<Ра- (4-32)
Если неравенство (4.32) оказалось справедливым, то
наступило событие А. Поэтому для испытания, связанного с
событием В, используется вероятность р(В/А). Из совокупности {х,}
берется очередное число хп+\ и проверяется условие
xa+i<P(BlA). ■ (4.33)
В зависимости от того, справедливо или_нет неравенство (4.33),
исходом испытания является АВ или АВ.
Если неравенство (4.32) оказалось несправедливым, то это
значит, что наступило событие А. Поэтому для испытания,
связанного с событием В, необходимо использовать вероятность
Р(В/А).
Эту вероятность можно определить по формуле, полной
вероятности
р (В) = р (А)р (В/А) + р(А)р (В/А), (4.34)
откуда следует, что
P(B,A) = ^-^JWAK (4.35)
Выберем из совокупности {xj} число xn+i и проверим
справедливость неравенства _
хп+1<р(В1А).
В зависимости от того, справедливо или нет это_неравен-
етво, мы получим в результате испытания АВ или АВ. Можно
использовать и второй вариант процедуры моделирования- Для
этого достаточно заметить, что события
АВ; АВ; АВ и АВ
составляют полную группу и имеют вероятности, соответственно,
р(А)р(В1А), р(А)[\-р(В1А)],
\\-р(А)\р(В1А), [\-р{А)\\\-р(В1А)\,
где р(В/А) определяется соотношением (4.35).
§ (в] МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ Ш
Аналогично можно построить и более сложные алгоритмы,
укажем лишь на принцип моделирования простых цепей
Маркова.
Простая однородная цепь Маркова определяется матрицей
перехода
Ри Рп ••■ Риг
Р21 Р22 • - • Р%ь
П =
Рь\ Pki •' • Pkk
(4.36)
Возможными результатами испытаний являются события
Ai, Аг, ..., Ah. Вероятность pi} есть условная вероятность
наступления события Aj в данном испытании при условии, что
результатом предыдущего испытания было событие Л,-.
Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе
событий Aj по жребию в соответствии с вероятностями р^. Оно
состоит в следующем.
Сначала выбирается начальное состояние, задаваемое
начальными вероятностями рои р02, . ■., Роь-
Для этого из совокупности чисел (х»} берется число хп
и сравнивается с величинами 1Г (4 18), где в качестве/?, в (4.19)
-Используются величины pai, ра2, ■ ■ ■, рш-
Этим путем определяется номер т0, для которого
оказывается справедливым неравенство 1та < хп^ /m„+i.
Тогда начальным событием данной реализации цепи будет
■событие Ато. Затем выбираем следующее случайное число
Хп+и которое также сравниваем с величинами 1Т. Однако здесь
в качестве вероятностей pi для определения 1Г используются
элементы матрицы перехода рт„\, Рт£, ■■■, рт„/г- Путем сравнения
устанавливается номер т4, для которого справедливо
проверяемое условие. Тогда следующим событием данной реализации
цепи будет событие Ami. Аналогично поступаем и далее.
Очевидно, что каждый номер т{ определяет собой не только
очередное событие Ami формируемой реализации, но и
распределение вероятностей рт.\, ртр, ..., ртр для выбора
последующего номера m.i+i.
Заметим, что для эргодических цепей Маркова влияние
начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера
испытаний. Поэтому в качестве величин роь Рог, ■ ■ •, Рок могут
быть выбраны произвольные величины, например,
__ _ _ !
Pol—Pw— ••• —Pok — "£•
118 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ, IV
Рассмотренная процедура в своей идее сохраняется и для
более сложных случаев цепей Маркова, например для
неоднородных цепей.
На этом мы закончим ознакомление со способами
моделирования реализаций случайных объектов в схеме событий.
Рассмотренные здесь примеры дают представление о наиболее
типичных процедурах формирования реализаций, но ни в коем
случае не исчерпывают всех частных приемов, используемых
в практике статистического моделирования-
§ 17. Формирование возможных значений
случайных величин с заданным законом
распределения
Для формирования возможных значений случайных величин
с заданным законом распределения исходным материалом
служат случайные числа xit имеющие равномерное распределение
в интервале (0, 1). Другими словами, случайные числа xit как
-возможные значения случайной величины |, имеющей
равномерное распределение в интервале (0, 1), могут быть
преобразованы в возможные значения у{ случайной величины г\, закон
распределения которой задан-
Существуют два основных пути такого преобразования
случайных чисел. Один из них, который может быть назван
прямым, состоит в реализации некоторой операции над числом Хи
формирующей число у,-, имеющее (точно или приближенно)
заданный закон распределения. Другой основывается на
моделировании условий соответствующей предельной теоремы теории
вероятностей.
Рассмотрим сначала сущность первого пути преобразования
случайных чисел.
Идея построения интересующих нас операций вытекает из
следующей теоремы (см:, например, [26]): если случайная
величина г\ имеет плотность распределения f(y), то распределение
случайной величины
ч
' 6= J (4-37)
"О
•является равномерным в интервале (0, 1).
На основании этой теоремы можно прийти к
следующему правилу. Чтобы получить число, принадлежащее
совокупности случайных чисел {#*}, имеющих функцию плотности f(y),
§ I7J ФОРМИРОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ц9
необходимо разрешить относительно у* уравнение
\f(y)dy^xt. (4.38)
— QO
Для обоснования этого правила рассмотрим случайную
величину |, имеющую равномерное распределение в интервале
(О, 1), и случайную величину т|, связанную с |
соотношением (4.37).
Мы будем предполагать, что f(y) ни на одном интервале
не обращается тождественно в нуль. Тогда | является, согласно
(4-37), монотонно возрастающей функцией г\. В свою очередь
величина т), соответственно, может быть выражена как
функция от £:
Л = Фф- (4.39)
Легко видеть, что обратная функция
| = Ф-Чт1) ,
в данном случае выражается соотношением (4.37). Имея это
в виду, найдем плотность распределения случайной величины г\.
Функция распределения Fп(у) равна вероятности того, что ц<у
^\, («/) = Я (Л <«/)•■ - (4.40)
Подставим в (4.40) вместо ц его значение из (4.39)
^(у)-я[ф©<{/]- МЧ
Поскольку функция г| = ф(|) монотонно возрастает, то
/неравенство . . ■"• ■
эквивалентно неравенству
1<<гЧуУ
Поэтому
- Л(*)==PG<<r'(«/)]• (4-42)
Вероятность, фигурирующую в соотношении (4.42), можно
вычислить, так как функция плотности fi(x) случайной
величины известна: мы приняли, что | имеет равномерное
распределение в интервале (0, 1). Поэтому
/%(</) = { h(x)dx
о
или' ф - - ; I '.; , '_-'' ....
....... F4(y)= | dx^^iy). (4.43)
о "..
120 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
Подставляя в (4.43) вместо <рт1(У) его выражение из (4.37),
получим
у
Л, 00= ff(y)dy.
— со
Последнее соотношение показывает, что случайная величина г\
имеет функцию плотности f{y).
Соотношение (4.38) в ряде случаев может быть
непосредственно использовано для практических целей. Рассмотрим
некоторые примеры.
Пусть требуется получить случайные числа #* с
показательным законом распределения -
/(у) = Яе-Л* ({/>0). (4.44)
В силу соотношения (4.38) получим
Я Г e-%ydy=xt
6
(где xt— случайное число, имеющее равномерное
распределение в интервале (0,1)), или, после вычисления интеграла,
1 _*-**'==*,.
Разрешая это уравнение относительно уи имеем
У1 = ~^Щ\-х{). (4.45)
Учитывая, что случайная величина £i = l—| имеет также
равномерный закон распределения в интервале (0, 1),
соотношение (4.45) можно заменить соотношением
j/^-liln*,. ' (4.46)
Если в нашем распоряжении имеются случайные числа х{ с
равномерным распределением в интервале (0, 1),то,
воспользовавшись формулой (4.46), можно вычислить последовательность
случайных чисел yi, имеющих показательное распределение (4.44).
Пусть требуется получить случайные числа Х{ с законом
распределения
/(«/)=Я(1—%-у). 0<</<-|. . (4.47)
Эти числа находят применение при решении некоторых задач
теории массового обслуживания.
5 17) ФОРМИРОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 121
Воспользовавшись соотношением (4.38), можно получить
ь{У1—ТУ§~Хг (4-48)
Отсюда
Учитывая замечание относительно случайного числа |i = l — g,
сделанное выше, соотношение (4.49) можем записать в виде
У1 =4(1-1^). С4-50)
В качестве следующего примера рассмотрим функцию
плотности
Соотношение (4.38) в этом случае имеет вид
Поэтому
Аналогично можно показать, что величины
yL = о У— In xL
распределены по релеевскому закону с параметром о:
У2
I е №> У^-0,
0. у < 0.
Аналогично могут быть построены процедуры формирования
возможных значений дискретных случайных величин. Этот
вопрос уже кратко освещался в предыдущем параграфе. Здесь мы
только отметим особенности, связанные с соотношением (4.38).
Пусть, например, необходимо получить случайные числа у,.
имеющие распределение Пуассона
Р{я) = ~е-а, я = 0, 1. 2, ... (4.54)
Для этого будем брать случайные числа- Х{ и Проверять
справедливость неравенств вида (4.18)
/„_, < х, < /„, (4.55)
где *
'r^OS-Jf- (^=0. Ь 2. ...; /_,=0).
122 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
Если неравенства (4.55) выполнены, то очередное случайное
число у принимается равным п. Ясно, что величина у имеет
распределение, близкое к распределению Пуассона.
Таким же образом строятся процедуры и для других
законов распределения.
Необходимо иметь в виду, что в большинстве практически
важных случаев уравнение (4.38) точно не решается
относительно г/, (например, нормальное распределение и т. д.). Более
того, такие сравнительно простые выражения, как (4.46) и
(4.49), оказываются неудобными для вычисления на
электронных цифровых машинах потому, что стандартные программы
универсальных цифровых вычислительных машин,
предназначенные для вычисления элементарных функций, требуют для
своей реализации сравнительно большого количества операций
машины. В силу этих обстоятельств на практике, как правило,
более выгодно использовать приближенные приемы
преобразования случайных чисел. Об этих приемах речь будет идти ниже.
Достаточно удобными и универсальными можно считать
приближенные приемы преобразования случайных чисел,
основанные на кусочной аппроксимации функции плотности-
Пусть требуется получить последовательность случайных
чисел у{ с функцией плотности /,,(«/). Если область определения
случайной величины г\, задаваемой функцией плотности /„(г/),
не ограничена, то переходим к соответствующему усеченному
распределению в интервале (с, d). Далее разбиваем (с, d) на п
интервалов. Тогда случайная величина г) может быть
представлена в виде суммы
Л = а*-М*> (4<56)
где Oft — абсцисса левой границы k-ro интервала,
щ—случайная величина, возможные значения которой располагаются
внутри этого интервала.
Можно показать, что функция плотности случайной
величины rift имеет вид
1М = ^0щ^ (4-57)
где вероятность р (/ = Щ = J /„ (у) dy. Функции fk (у), в общем
Ч
случае, для каждого интервала различны.
Машинная процедура рассматриваемого вида преобразова,-:
ния случайных чисел сводится к следующему:
]) извлечение случайным образом интервала из п
возможных интервалов (определение значения а^)\
Ы7] ФОРМИРОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 123
2) случайная выборка чисел ум, распределенных в интервале
с номером к; '■'■-,
3) формирование Случайного числа «ft-в соответствии с
соотношением '' ■ Ч ,
- 'У1 = акЛ-Уы- (4.58)
Наиболее удобным для этого класса приемов является
случай, когда вероятности выхода р (i = k) для всех интервалов
принимаются одинаковыми.
Рассмотрим этот случай более детально.
Зададим количество п интервалов из условия обеспечения
требуемой точности преобразования случайных чисел. Это число
удобно выбирать таким, чтобы п = 2т и т<Ст*, где т* —
количество двоичных разрядов случайных чисел исходной
квазиравномерной совокупности.
В оперативной памяти машины помещается таблица (а*),
содержащая для каждого k—\, 2, ..., п значения параметра ak
и в общем случае некоторые вероятностные характеристики
величины щ. Существенно, чтобы ah в таблице располагались в
порядке возрастания.
Для получения г'-го случайного числа преобразованной
совокупности выбираем пару чисел (x2i-i, x2i) из исходной
квазиравномерной совокупности. Первые т разрядов (m = log2n)
числа х2г-\ используются в качестве адреса для выборки из
таблицы (flft) значений параметра ah и других имеющихся там
характеристик. Очередное искомое случайное число yi
преобразованной совокупности определяется как
• J/i = а* + Ч> (■*«)• (4-59)
Вид функции ty зависит от аппроксимирующего выражения,
которое используется на данном интервале. Перейдем к
рассмотрению способа определения величин, содержащихся в
таблице («й), и функции г|з. В соответствии с (4.57) функция
плотности fk(y) равна
Ы</) = "Мг/)- . ;■ . (4-6°)
На интервале небольшой длины (ak+i^-ah) ее можно
достаточно точно аппроксимировать некоторой функцией <р.(«/)--,' для
которой интеграл (4.38). берется и приводит к простому
выражению Уг через х-;.
Поскольку мы предполагаем, что вероятность выхода любого
интервала равна \\п, то ;.;
e**i ' ' '
124 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
Равенство (4.61) может служить рекуррентные
соотношением для определения величин ah.
Обратимся к наиболее употребительным частным случаям.
Пусть фь (у) = const (рис. 4). Это значит, что случайные
величины f\k распределены равномерно в интервалах (а&, ah+1).
у i м i ii i i: —i —^J >
О г 4 6 8 W 12 14 16 у
Рис. 4.
Значения q^ кусочно-постоянной функции в интервалах
(aft, Gfc+i) удовлетворяют, очевидно, соотношению
(«*+1-«*)Ч>; = 1- (4-62)
Поскольку расчет параметров а& производится не в процессе
преобразования случайных чисел, а относится к
подготовительной работе, объем вычислений здесь особого значения не имеет.
Легко видеть, что
й = а* + (а*+1 — «*)•%• (4-63)
Преобразование случайных чисел в этом случае является
достаточно простым и требует весьма малого количества
операций машины. Таблица (ak) содержит только п значений ak или
Aah = ak+i—ak.
Когда требуется обеспечить особенно высокую точность
преобразования случайных чисел, могут оказаться полезными
также и другие аппроксимирующие выражения (р(у).
Пусть (f>h(y)—линейная функция на интервале (ah, au+\)-
С точки зрения простоты преобразования случайных чисел и
обеспечения необходимой точности аппроксимации функции
f{y) удобно выбрать угловой коэффициент q прямой щ(у)
равным
а — fk+\ —fk
<4i+\—ak '
где
fr = /„(ar)'
§ 17) ФОРМИРОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 125
а среднюю линию трапеции ср^ — из условия,. (4.62). Тогда
Ъ<У) = П + ЯУ- N (4-64)
где
г* „* /fe+i — fk
Га = <Р* 2 (4.65)
Соотношение (4.38) имеет вид
-H + f^=-V (4-66)
Поэтому
»<-*+ •.L 1,.,-ТГ ' -• <4-67>
Таблица (ak) должна содержать значения а* и fk. Более
простое выражение для tfi получается при
ъм-тгта*- (4,68)
Выбор параметров этой функции может быть осуществлен,
исходя из двух условий: 1) совпадения f„ (у) и щ{х) в
некоторой точке, 2) нормировки
J <b(x)dx = \. (4.69)
о
Таблица (ah) должна содержать а&, bk, Си-
Рассматриваемые приемы преобразования случайных чисел
особенно удобны тогда, когда число п может быть выбрано
сравнительно небольшим (например, не более чем 16, 32 или 64).
Заметим, что количество операций, затрачиваемых на
преобразование случайных чисел, не зависит от количества
интервалов п (т. е. не зависит от точности аппроксимации закона
распределения). Точность аппроксимации определяет только объем
таблиц (ah).
Недостатком такого преобразования случайных чисел
является то обстоятельство, что точность аппроксимации функции
f(y) не одинакова во всей области определения (с, d). Она
зависит от величины ординаты /&: при малых /& точность
аппроксимации убывает. Поэтому приходится выбирать число
интервалов п с учетом обеспечения заданной точности на интервалах с
наименьшими значениями ft,-
Иногда оказывается целесообразным использовать таблицы
(ctk), соответствующие весьма большим значениям п, например
1024, 2048 и более. При этом интервалы (а^н. «ь) настолько
126 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. IV
уменьшаются (особенно в области больших значений fk), что
случайные числа в пределах каждого интервала становятся
практически неразличимыми в силу ограниченной, разрядности.
Тогда имеет смысл рассматривать в качестве возможных
случайных чисел величины ak. Часто для приближенных расчетов
такой путь практически оправдан и при меньших значениях п,
так как в этом случае значительно сокращается количество
операций на преобразование случайных чисел. Легко видеть, что
таблица (ah) играет роль таблицы случайных чисел с законом
распределения f(y). Случайные адреса Хгг-ъ имеющие
квазиравномерное распределение, служат для перемешивания этой
таблицы и выдачи чисел в случайном порядке.
Использование таблиц (а&) для больших значений п при ■
расчетах на современных электронных цифровых
вычислительных машинах оказывается особенно удобным в том случае,
когда для таблиц (а&) предоставляются специальные
запоминающие устройства. Эти дополнительные устройства должны
обладать способностью быстрой выдачи чисел (в каждый такт
работы машины), однако запись чисел может осуществляться
заранее и быть долговременной.
Специальные таблицы (а/4), помещаемые в дополнительные
запоминающие устройства, имеет смысл применять лишь для
наиболее широко используемых распределений (нормального,
показательного и др.).
Заметим, что способ преобразования случайных чисел,
основанный на кусочной аппроксимации закона распределения, дает
22k несовпадающих, чисел при разрядности квазиравномерных
чисел, равной k.
Рассмотрим некоторые приемы преобразования случайных
чисел, не связанные непосредственно с решением уравнения
(4.38).
Первый из них состоит в том, что из равномерно
распределенной совокупности отбираются случайные числа, удовлетво-.
ряющие некоторому условию таким образом, чтобы
отобранные числа подчинялись заданному закону распределения.
Предположим, что необходимо получить последовательность
случайных чисел yit имеющих функцию плотности fn(y). Если
область определения функции fn (у) не ограничена с одной или
обеих сторон, необходимо перейти к соответствующему
усеченному распределению. Пусть область возможных значений для
усеченного распределения равна {а,Ь).
От случайной величины т), соответствующей функции
плотности fn(y), перейдем к
5-ТЁ7- (4'70)
§ 17) - ФОРМИРОВАНИЕ -ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 127
Случайная величина £, как легко проверить, будет иметь
область возможных значений (0, 1) и функцию плотности ft(z),
задаваемую выражением
Н{г) = (Ь-а)^[а + (Ь-а)г\. (4.71)
Пусть максимальное значение ft(г) равно fm. Изменением,
масштаба на оси Ог приведем интервал (0, fm) к длине, равной
.единице. Тогда
(4.72)
$foi-t>-
Рассмотрим единичный
квадрат (рис. 5).
Зададим равномерные
распределения в интервалах (0, 1)
случайных чисел x2i~i на оси Оу и
х2{ на оси Oz.
Так как вероятность
попадания случайной величины £ в
бесконечно малый интервал
(г, 2+dz) пропорциональна /^ (г),
то к совокупности случайных чисел Х*п, имеющих плотность
вероятности fi(z), причисляем лишь те числа хц, для которых
справедливо неравенство
*;, <№«-!) (4-73)
или
■^ < Чт- ^ \а+{Ь- а^ Хп-А - (4-74)
Процедура получения последовательности г/j случайных
чисел, имеющих функцию плотности /^ (у), сводится к
следующему:
1) из исходной совокупности выбираются пары случайных
чисел x2i-\, x-ii, 2) для этих чисел проверяется справедливость
неравенства (4.74); 3) если неравенство (4.74) выполнено, то
очередное число у\ определяется из соотношения • '
yi = a-Jr(b-a)x;r (4.75)
Легко видеть, что случайные числа г/* будут иметь функцию
плотности /ц(г/). . ,. . .
Заметим, что описание процедуры отбора случайных чисел
.может потребовать значительного количества операций для
своей машинной реализации, особенно за счет вычисления правой
части неравенства (4.74). ■■>-.■■■ i
138 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
Если для преобразования случайных чисел таким способом
используются случайные числа с квазиравномерным
распределением в интервале (0, 1), то появляются погрешности,
вызываемые дискретностью исходной совокупности. Ошибка АР в
вероятности неравенства (4.74) всегда отрицательна и имеет (в
случае оперирования с ^-разрядными случайными числами)
максимальное значение, равное fm •2~h.
Другая группа приемов преобразования случайных чисел
основывается на приближенном воспроизведении условий, при
которых оказываются справедливыми соответствующие
предельные теоремы.
Например, пусть требуется получить последовательность
случайных чисел Хи имеющих нормальное распределение с
математическим ожиданием а и средним квадратическим
отклонением а
Здесь можно воспользоваться центральной предельной
теоремой теории вероятностей и построить случайные числа xt
в виде сумм последовательных случайных чисел, имеющих
равномерное распределение в интервале (0, 1).
• Так как исходным материалом для суммирования служат
случайные числа, имеющие равномерное распределение в
интервале (0, 1), то мы можем воспользоваться центральной
предельной теоремой для одинаково распределенных случайных
величин: если независимые случайные величины |4, |2,... имеют все
одно и то же распределение вероятностей, и если каждое g4
имеет математическое ожидание а4 и среднее квадратическое
отклонение ait то сумма
£ = !, + 12+ ... +1л (4.77)
асимптотически нормальна с математическим ожиданием а =
— па\ и средним квадратическим отклонением а = а1\гп.
Как показывают расчеты, сумма g имеет распределение,
близкое к нормальному, уже при сравнительно небольших п.
Практически для получения последовательности нормально
распределенных случайных чисел можно пользоваться значениями
п, равными 8-М2, а в простейших случаях и меньшими
значениями п, например 4-J-5.
Как известно, математическое ожидание для случайных
величин, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1),
равно 0,5, а среднее квадратическое отклонение /—-• Поэтому
§ if] ФОРМИРОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 129
сумма п слагаемых будет иметь математическое ожидание
а. = Т " . (4-78).
и среднее квадратическое отклонение
«.Ц/^- (4-79)
Если при формировании последовательности нормально
распределенных случайных чисел используются числа с
квазиравномерным распределением, то имеют место особенности,
вызванные дискретностью совокупности.
Как известно, случайная величина с квазиравномерным
распределением в интервале (0, 1) имеет математическое ожидание
а* = 0,5 и среднее квадратическое отклонение
1 iVJ V 2ft-i
В этом случае соотношения (4.78) и (479) имеют вид
^ЦелГЩ.. . (4.80)
" 2/3 У 2* —1 _ '
Выражение (4-80) необходимо принимать во внимание тогда,
когда для решения задач используются малоразрядные
случайные числа.
Для обеспечения достаточно точного совпадения закона
распределения суммы (4.77) с нормальным, очевидно, требуется
увеличивать число слагаемых п. Однако это не единственно
возможный путь.
Как показано в работе [3], для улучшения асимптотической
нормальности случайных чисел можно воспользоваться
специальными преобразованиями.
Так, если имеется сумма
п
случайных величин %it равномерно распределенных в интервале
(—h, A-h), то величина
^^--i-^-Ti3) (4.82)
9 Н. П. Бусленке
130 ■ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
будет иметь распределение, достаточно близкое к нормальному,
при п, существенно меньших, чем это требуется для (4.81). По
данным [3] при п = Ъ закон распределения случайной величины
| оказывается заведомо близким к нормальному.
Еще более точным в этом, смысле является преобразование
^ = ч - iw ^ ~ 10т13 + 15т1)> (4-83)
для которого, по-видимому, достаточно иметь п = 2.
Практическое использование преобразований вида (4.82) и
(4.83) может оказаться весьма полезным при решении многих
задач.
Окончательное мнение о целесообразности выбора
определенного значения п и использования того или другого
преобразования может сложиться лишь в результате оценки затрат
рабочего времени электронной цифровой вычислительной
машины при решении данного класса задач.
В качестве второго примера использования предельных
теорем рассмотрим получение случайных чисел, имеющих закон
распределения Пуассона
P(k)^e-« (4.84)
с математическим ожиданием а.
Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона:
если рп — вероятность наступления события А при одном
испытании, то вероятность наступления k событий при п
независимых испытаниях при п—*оо и рп —»0 асимптотически равна
(4.84).
Выберем достаточно большое п, такое, чтобы
а -
' Р" = Т
оказалось меньшим единицы. Будем проводить серии по п
независимых испытаний, в каждом из которых событие А
происходит с вероятностью рп, и подсчитывать число t/j случаев
фактического наступления события А в серии с номером i. Числа
Уг будут приближенно следовать закону Пуассона, причем тем
точнее, чем больше п. Практически п должно выбираться таким
образом, чтобы рп было не более 0,1ч-0,2.
Машинная процедура получения последовательности
случайных чисел состоит в следующем.
Из совокупности случайных чисел с равномерным
распределением в интервале (0, 1) выбирается число х, и сравнивается
с рп. Если Xj<pn, к содержимому специальной ячейки (которая
§ 18] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ ВЕКТОРОВ И ФУНКЦИИ 131
носит название «счетчик числа событий») прибавляется
единица, а если xf^-pn, прибавляется нуль.
После проведения п испытаний такого рода содержимое
счетчика числа событий считывается и используется в качестве
случайного числа с законом распределения Пуассона.
Особенности выработки случайных чисел yiy связанные
с использованием для этой цели случайных чисел с
квазиравномерным распределением, могут быть учтены по аналогии
с (4.27).
Рассмотренные здесь примеры иллюстрируют существо
наиболее распространенных приемов формирования
последовательности случайных чисел с заданным законом распределения при
решении задач методом статистических испытаний на
электронных цифровых вычислительных машинах. '.
§ 18. Формирование реализаций
случайных векторов и функций
При решении прикладных задач .методом статистического
моделирования часто возникает необходимость в формировании,,
реализаций случайных векторов и случайных процессов,
обладающих заданными вероятностными характеристиками. Для
получения возможных значений случайного вектора можно
воспользоваться различными приемами.
Рассмотрим сначала соотношения, аналогичные (4.38).
Пусть требуется получить последовательность возможных
значений tji, Zi составляющих tj, £ случайного вектора, заданных
совместной функцией плотности f(y, z). Найдем частную
функцию плотности случайной величины £
+ СО
h(z)= J f{y> z)dy. (4.85)
—oo
Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным
распределением в интервале (0, 1) число jn^f-i и одним из
способов, рассмотренных выше, определим соответствующее ему
число z^ имеющее функцию плотности fi{z).
Затем найдем условное распределение случайной величины г\
№'2<)=-w-: <4-86>
Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным
распределением в интервале (0, 1) число x2i и определим
соответствующее ему число уь имеющее функцию плотности
9*
132 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. IV
lr\{ylzi)- Можно показать, что получаемая таким образом
последовательность (г/,, Zj) имеет совместную функцию плотности
Ну, г).
Аналогичные соотношения можно записать и для
многомерных векторов. Например, если задано совместное распределение
f(x, у, z), то случайные числа хи'уи z{ выбираются в
соответствии с функциями плотности
+оо +оз
Ы*)= / ] f(x, у, z)dxdy, (4.87)
— СО —СО
+оо
h(*ly» zi)=t i(wy/*? г (4-89)
Практическое использование рассмотренных соотношений
для получения составляющих случайного вектора связано
.с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех
сравнительно редких случаев, когда интегралы вида (4.38) берутся
в конечном виде. Поэтому, как правило, для этой цели
приходится пользоваться различными приближенными приемами.
В двумерном случае можно считать приемлемым следующий
приближенный прием. Рассматривается функция плотности
\l{z) и совокупность функций плотности f^(y/Zi) для заранее
определенного набора значений z, (i=l, 2, .. ., п).
Все перечисленные функции плотности аппроксимируются
кусочно-постоянными функциями в соответствии с методикой,
рассмотренной выше-
В запоминающих устройствах электронной вычислительной
машины хранятся таблицы (а^, а%\ .... fl(ft"+1)) для каждой
из л+1 функций плотности. Чтобы получить пару
значений yt, zc составляющих случайного вектора, приходится
затрачивать четыре случайных числа, имеющих равномерное
распределение в интервале (О, 1): число -%_3 для выбора интервала
(значений afe) в таблице (а^) функции f^(z); л:4г_2 —для выбора
случайного числа z; и строки (а<£>\ таблицы (а<£>, aty а*£+1))
соответствующей функции fn(ylzt); x4i_1— для выбора
интервала (значений oft) в таблице (а£) функции f^^yjz.y, xu — для
выбора случайного числа yt.
Рассмотренный прием оказывается достаточно громоздким в
двумерном случае, а в случае числа измерений, большего чем
два, совершенно недоступным для практического использования.
18]
ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРОВ И ФУНКЦИИ
133
В пространстве с числом измерений более двух практически
доступным оказывается получение реализаций составляющих
случайного вектора в том случае, когда случайный вектор
задается в рамках корреляционной теории. В качестве примера
рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями
Ci, a%,..., ап и корреляционной матрицей
К--
«12
^21
^Щ
*12
kn
&t&
ь
%2п
Кп
(4.90)
Здесь kij — kji.
Пусть в нашем распоряжении находится последовательность
{у,-} некоррелированных случайных чисел, с математическим
ожиданием, равным а, и дисперсией о2.
Реализации хг- составляющих | случайного вектора удобно
определить в виде
*2 = Ci2G/i — а) + Са(у2 — а) + а». ,4 9]ч
*» = Сщ (УХ — а) + с2« (Уз — а) + • • • + спп (Уй — а) 4-е,,.
как линейное преобразование случайных величин t/j.
Коэффициенты преобразования сц можно определить из уравнений вида
. *i/ *= СцСцсР 4- с2/с2;о2 -f- ... -+- ^i/»* (/ > 0-
Например, коэффициент Сц определяется из уравнения
коэффициенты иг и С22 — из уравнений
(4.92)
«49 ClfC-
ь22-
и т. д.
При таком формировании реализаций случайного вектора на
электронных цифровых машинах требуется хранить в
запомнят 41) ,
нающих устройствах —^-к—- корреляционных моментов Яц и
п математических ожиданий щ. Если алгоритм предусматривает
предварительное определение всех коэффициентов Сц и
последующее формирование реализаций в соответствии с (4.91), то
при известных сц возникает необходимость в запоминании
п(п + 1)
2 величин c4j. При больших п в связи с этим могут
134 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
встречаться серьезные затруднения, касающиеся размещения
информации в запоминающих устройствах.
В различных частных случаях находят применение другие
приемы получения реализаций составляющих случайного
вектора. Так, при решении задач классической теории стрельбы
используются схемы «повторяющихся» и «неповторяющихся»
ошибок, приводящие к рассмотрению условно
некоррелированных составляющих случайного вектора.
Оригинальный способ образования случайных чисел,
имеющих равномерное распределение на поверхности сферы
единичного радиуса, рассматривается в [46]-
Пусть случайные числа г,- распределены равномерно в
интервале (—1, 1). Выбираем четыре последовательных значения ги
•Г2, г3, г4 и проверяем справедливость условия
rJ+rl + rl + r'Kl. (4.93)
Если условие (4-93) выполнено, то случайные числа
Г _ 2('У4 + 'Уз)
r\~Vr2 + r3 + ri
2 Су 4 — rtr2)
У~ rl + 4 + rl + ri ' < (4-94)
2,2 2 '2
Z~rl + 4 + rl+rl
изображают точки, которые распределены равномерно на
поверхности сферы единичного радиуса.
Перейдем к краткому рассмотрению приемов формирования
реализаций случайных функций.
В связи с вычислениями методом статистического
моделирования на электронных цифровых машинах могут быть
использованы лишь дискретные реализации случайных функций для
некоторой последовательности значений аргумента, например
ti, h,..., tn. Так, при исследовании дифференциальных
уравнений возмущенного движения динамической системы реализации
случайных возмущений достаточно формировать один раз на
каждом шаге численного интегрирования.
Если изучаются случайные функции в рамках
корреляционной теории, то для характеристики случайной функции x(t)
достаточно задать математическое ожидание ax(t) и
корреляционную функцию Kx(t', t"). Рассматривая значения этих
характеристик для последовательности значений аргумента tu t2, ..., tn,
получим математическое ожидание и корреляционную матрицу
(4.90) того же вида, что и для rt-мерного случайного вектора.
§ 18] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРОВ И ФУНКЦИИ 135
Задача формирования реализаций случайного процесса в
этом случае ничем не отличается от задачи построения
«-мерного случайного вектора.
Как уже упоминалось выше, для больших п формирование
реализаций случайного вектора становится громоздким и
неудобным для использования на электронных цифровых
вычислительных машинах.
В ряде случаев для машинного выполнения оказывается
доступным построение реализации случайных функций по их
каноническому разложению (см., например, [38]).
Пусть случайная функция x(t) задана каноническим
разложением
x(t) = mx(t) + 2lvlyl(t), (4.95)
где rnx(t)—математическое ожидание, ср,(0 — координатные
функции, Vi— некоррелированные случайные величины с
математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями Dt.
Значения x(tj) вычисляются с помощью выражения (4.95)
непосредственно в ходе моделирования.
При этом в качестве vt используются случайные числа,
преобразованные таким образом, чтобы их дисперсии были равны
заданным значениям. Если для вычисления функций mx(t) и
q>i(t) требуется много операций, то они могут быть
аппроксимированы более простыми функциями, которые вычисляются
проще (например, полиномами) или заданы в виде таблиц с
необходимым шагом аргумента /.
Выработка реализаций случайной функции на электронной
цифровой вычислительной машине значительно облегчается в
случае стационарных случайных функций.
Пусть задана корреляционная функция R(x) стационарной
случайной функции x(t). Пусть требуется определить значения
реализаций процесса в точках t(, t%, ..., tn.
Будем рассматривать эти значения в виде
x{ti) = cli[l-\-c2i\2-\- ... + сят]я, |
л:(^)=с,т12-)-с2т1з-)- ... + сят]я+1, ' |
" ". ' - ' " .• * ' ,' ' * * } (4.96)
■«(<н) = с1т1я4-с2т1я+1Ч- ••• -+с,Л«-1' ,
где т], — некоррелированные случайные числа с
математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией а2.
Легко видеть, что формирование дискретных реализаций
стационарной случайной функции x(ti) в соответствии с (4.96)
136 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IV
требует запоминания 2и величин: коэффициентов с* и
случайных чисел щ.
Коэффициенты Ci могут быть найдены заблаговременно
решением системы уравнений вида
^(^-<i) = (V*-fVw+--+f»-HA)«2- (4-97)
Для некоторых частных случаев /?(т) система (4.97)
решается точно. В общем случае здесь используются различные
численные методы.
Рассмотренные приемы формирования случайных
реализаций не исчерпывают всех случаев, встречающихся при
использовании метода статистических испытаний для решения
прикладных задач на электронных цифровых машинах- Они
иллюстрируют лишь наиболее употребительные случаи. Ряд специальных
.вопросов формирования реализаций будет затронут ниже, при
рассмотрении конкретных задач.
Глава V
Моделирование систем массового обслуживания
§ 19. Системы массового обслуживания
При исследовании многих практически важных сложных
систем возникает необходимость в решении задач, относящихся
к массовому обслуживанию. Эти задачи встречаются наиболее
часто в физике частиц, организации производства, телефонии,
планировании, автоматическом управлении сложными агрега-
тами и т. д. Характерной особенностью таких задач является
наличие обслуживающей системы, к которой в случайные
моменты времени поступают заявки. Обслуживающая система'
имеет линии (каналы), выполняющие совокупность операций»
подразумеваемых под словом «обслуживание».
Типичным примером системы массового обслуживания может^
служить телефонная связь (снятием трубки с рычага
телефонного аппарата абонент дает заявку на обслуживание разговора
одной из линий телефонной сети).
Заметим, что теория массового обслуживания первоначально
и развивалась как совокупность математических методов
исследования хода обслуживания абонентов в телефонии. Однако в
настоящее время применение этих методов выходит далеко за
рамки телефонии.
В качестве другого примера системы массового
обслуживания может рассматриваться автозаправочная станция. Заявки
на обслуживание возникают тогда, когда на станцию
прибывают автомобили для пополнения запасов горючего.
Отдельными линиями (каналами), самостоятельно обеспечивающими
полный цикл операций, связанных с обслуживанием заявок,
являются бензоколонки.
Аналогично можно рассматривать посадку самолетов
(заявки на обслуживание) на взлетно-посадочные полосы
(обслуживающие каналы) крупного аэродрома, разгрузку судов Hia
причалах, обслуживание покупателей в магазинах и т. д.
Рассмотрение процесса обслуживания отдельно взятой
заявки представляет лишь ограниченный интерес. Обычно
предполагается, что заявки образуют поток — последовательность
138 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
заявок со специальным чередованием моментов их появления во
времени. Если с точки зрения обслуживания все заявки данного
потока оказываются равноправными, то играет роль лишь сам
факт наступления в данный момент времени события,
состоящего в появлении заявки. Такие потоки, называемые потоками
однородных событий, в настоящее время обстоятельно изучены
и имеют изящное и удобное математическое описание.
При решении практических задач иногда необходимо учесть
неоднородность событий потока. В этих случаях может
оказаться недостаточным использование потоков однородных
событий в качестве математических схем для описания потоков
заявок. Ниже мы остановимся на некоторых случаях такого рода.
Начнем рассмотрение вопроса о математическом описании
потока заявок с простейшего случая, когда этот поток можно
считать потоком однородных событий.
Каждое событие потока в этом случае характеризуется
моментом времени th в который оно наступает.
Если поток однородных событий является вполне
детерминированным, то необходимо задать последовательность t) одним
из возможных способов: перечислить их, указать соотношение,
описывающее tj как функцию индекса /, или, наконец, привести
рекуррентные зависимости, позволяющие определить текущее
значение tj по предыдущим.
Однако детерминированные потоки представляют собой
■лишь частный случай. Более существенное значение имеют
случайные потоки однородных событий. Чтобы описать случайный
поток однородных событий как случайный процесс, достаточно
задать закон распределения, характеризующий
последовательность случайных величин t\, t2, ..., tm, ...
Обычно бывает удобным вместо величин h, t2,..., tm
рассматривать случайные величины £i, £2, ..., £m, являющиеся
длинами интервалов времени между последовательными
моментами tj,
**=Ь- •.-.';■= )
Совокупность случайных величин t>i считается заданной, если
определена совместная функция распределения
F(zv z2, .,., zk) = P$i<zl; £2 < z2; ...; &*<z*). (5.2)
Обычно рассматривают только непрерывные случайные
величины £4, поэтому часто пользуются соответствующей (5.2)
функцией плотности f(zu z2,..-., zh).
§ 19]
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
139
Для решения многих прикладных задач можно ограничиться
частными случаями потоков, оперирование которыми
оказывается более простым и доступным- К такого рода потокам
однородных событий относятся так называемые потоки с
ограниченным последействием.
Случайный поток однородных событий называется потоком
с ограниченным последействием, если случайные величины &
являются независимыми.
Очевидно, что для потоков с ограниченным последействием
совместная функция плотности f(zu z2,..., zh) представляется
в виде
f («р г2 Ч) = fM h (22) • • • fk (г*^ v (5.3)
Функции fj(Zj) при />1 являются условными функциями
плотности величин £3- при условии, что в начальный момент
интервала £j(/>l) поступила заявка. В отличие от этого функция
fi{Zi) является безусловной функцией плотности, так как
относительно появления или непоявления заявки в начальный
момент времени не делается никаких предположений.
Большой теоретический и практический интерес
представляют так называемые стационарные потоки, для которых
вероятностный режим не зависит от времени.
Более точно: поток однородных событий называется
стационарным, если вероятность pu{t, t0) появления k событий за
промежуток времени ,(*о, t0+t) не зависит от t0, а зависит только
от t и k. ч
Для стационарных потоков с ограниченным последействием
имеет место соотношение
h (*0 = h (*) = • • • = f k («) = f (г). (5.4)
Это значит, что при />1 интервалы £3- одинаково
распределены.
Рассмотрим математическое ожидание ц случайной
величины £,■ при /> 1
оо
ц= ( zf (z)dz.
о
Величина \i имеет смысл средней длины интервала между
последовательными заявками. .
Легко видеть, что для стационарных потоков с ограниченным
последействием величина
* = -£- • Ф-5)
140
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ MAcCOfiOfO ОБСЛУЖИВАНИЯ
[ГЛ. V
имеет смысл среднего количества событий, наступающих за
единицу времени. Параметр К носит название плотности или
интенсивности потока.
В качестве примера стационарного потока с ограниченным
последействием можно привести поток с равномерным
распределением интервалов времени между заявками. Функция
плотности f(z) в этом случае имеет вид
(5.6)
f(z) = -f, 0<z<6.
Поскольку математическое ожидание величины £ равно Ь/2,
то плотность потока, задаваемого функцией плотности (5-6),
равна
(5.7)
, = 1
Для стационарных потоков с ограниченным последействием
имеет место соотношение (формула Пальма, см.
[42]),-связывающее функции плотности fi(zj) и f(z):
/l(Zl) = *
1
]m
du
(5.8)
ПОЛЬЗУЯСЬ (5-8), МОЖНО ПОЛуЧИТЬ фуНКЦИЮ ПЛОТНОСТИ fi(Zi)
для различных стационарных потоков с ограниченным
последействием. Например, для потока с равномерным распредел.ением
интервалов
M*i)=-
I
J
du
Т
ИЛИ
, 2(&-г1)=,Л \
О'"
(5.9)
Легко видеть, что математическое ожидание M[£J первого
интервала £4 для потока (5.6) равно
MU-S-
(5.10)
■•-- Случайный-ташж однородных событий с равномерным
распределением интервалов времени между последовательными
заявками часто используется для решения различных задач,
возникающих на практике.
До сих пор рассматривались так называемые ординарные
потоки однородных событий. Поток называется ординарным,
если вероятность ^(t0, t) появления двух.и более событий за
§ [9] СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 141
промежуток времени (t0, t0+t) при любом t0 является
величиной малой по сравнению с /, т. е. ;-
В приложениях иногда приходится сталкиваться с задачами,
связанными с обслуживанием групповых заявок, создающих
сгустки событий, т. е. рассматривать неординарные потоки
однородных событий. Для того чтобы описать неординарные потоки,
необходимо, помимо моментов tj, задать распределение
количества заявок, поступающих в каждый из моментов времени tj.
В частном случае, когда количество наступающих событий
является случайной величиной, независимой от моментов tj,
достаточно задать вероятность ри того, что в произвольный
момент tj наступает ровно k событий.
Случайный поток однородных событий с ограниченным
последействием может быть потоком без последействия, если
отсутствует вероятностная зависимость последующего течения
событий потока от предыдущего. Точнее, поток однородных
событий называется потоком без последействия, если вероятность
ph{to, t) наступления k событий за промежуток времени (t, to+t)
не зависит от чередования событий до момента t0, т. е.
условная вероятность наступления k событий за интервал
времени (^о, t0+t), вычисленная при любом предположении о
чередовании событий до момента t0, равна безусловной вероятности
того же события.
Легко видеть, что поток без последействия является частным
случаем потока с ограниченным последействием.
В теории массового обслуживания и на практике очень
важную роль играет так называемый простейший поток однородных
событий. Поток называется простейшим, если он является
стационарным, ординарным и потоком без последействия.
Можно строго доказать, что для простейшего потока
вероятность Ph(t) наступления k событий за интервал времени длины/
выражается законом распределения Пуассона ■
Л(0 = -^г«-"- (5-И)
Поэтому ~часто простейший поток называют пуассоновским
потоком.
Из (5.11) следует, что функция плотности f(z) случайной
величины £j при />0 для простейшего потока имеет вид
показательного распределения с параметром Я,
f(z) = Xe-**, (5.12)
где Я, — интенсивность (плотность) потока.
142 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
,....В соответствии с формулой Пальма (5.8) можно найти
функцию плотности f\(zi) для первого интервала ^:
или
1
^(zx) = \e-u>. (5.13)
Таким образом, в случае простейшего потока fi(zi)=f(z).
Как легко видеть из предыдущего примера, в общем случае это
неверно.
Рассмотрим некоторые примеры стационарных ординарных
потоков с ограниченным последействием. Как мы уже отмечали,
простейший поток и поток с равномерным распределением
интервалов времени между последовательными заявками играют
существенную роль в теории и практике массового
обслуживания.
Кроме них, представляют интерес и другие потоки с
ограниченным последействием, в частности потоки типа Эрланга.
Потоком Эрланга порядка т называется ординарный
стационарный поток с ограниченным последействием, для которого
f(z^J^Tjizm~'e~KX (5Л4>
Плотность (интенсивность) этого потока
Легко показать, что интервалы £,• при />1 потока Эрланга
порядка т представляются в виде суммы т независимых
случайных величин, имеющих показательное распределение
^параметром к*.
Иногда оказывается удобным использовать потоки, которые
мы назовем обобщениями потоков Эрланга.
Рассмотрим поток, у которого интервалы t,} являются
суммами случайных величин, подчиняющихся показательному
закону с различными параметрами ?,v.
В общем случае т слагаемых
( т \ т -\*
/(*н НчЕ-тг—— <5Л5)
\v-i /v-1 JI^ — Av)
-V- ' i-li
§ 191 СИСТЕМЫ МАССОВОГО' ОБСЛУЖИВАНИЯ
Для случая двух слагаемых
143
f(z) = kfc' ЯгД . (5.16)
Интенсивность потока X может быть вычислена по формуле
*, = ■
Я,Я2
Распределение длины первого интервала £i имеет вид
к (*)
4 AjA2
Аа At
(Я,2е-м _ а^-М).
(5.17)
(5.18)
Аналогично для случая трех слагаемых
f(z) = V^3[^r
-Я,г
^l) (^з — ^i)
-А-гг
»-М
(Я,— Я2)(Я3— Я2) (Я2— Яа)(А1 — Яа)
х =
AjA2^3
Л(г) =
A j/^/^
А(Л2 -j~* AJA3 -~х~ А2А3
я,я2 -\- я,я3 -(- я2я3 L (Я2 — Я() (я3 — Я|)
Ъ,^К^в
(Я! — Я2) (Я3 — Я2) (Ях — Я3) (Я2
^2 — ^з) J
(5.19)
(5.20)
(5.21)'
Другое обобщение потока Эрланга выглядит следующим
образом.
Пусть интервалы £,■ при />1 являются суммами независимые
случайных величин, равномерно распределенных в интервалах
(0, bj), соответственно.
Например, в случае двух слагаемых с параметрами fei и Ьг
при &i<&2 получим функцию плотности7(z) в виде
f(z) =
Ъф2 '
bj + b2 — z
0 < г < *,,
6,<z<62,
(5.22)
Интенсивность потока такого типа
2
*.=
6, + 6,'
(5.23)
144 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ V
Распределение длины' первого интервала &
0<г<&!,
^<г<й2, (5.24)
Ы*) =
<*, -|-Ая)
2(62-г) + 6,
г2 2 (г — Ь2)
ь, — ьг
\ 6,M*i + *«)
М2
6,6,
, 6,-^г < Ь1-{- &2,
Для решения ряда прикладных задач бывает необходимо
рассматривать потоки, у которых интервалы £,• являются
суммами постоянной а и случайной величины |.
В случае, когда | имеет показательное распределение с
параметром X *, будем иметь
i О, 0<г<а,
'^ = | №-*■'(*-*, г>а,
Г+йЯ.*
Ы«) =
1+аА* '
V
> а,
0 < г < а.
(5.25)
(5.26)
1+аЯ/
_ e-x*(z-a)j г>а.
(5.27)
Если 5 имеет равномерное распределение в интервале длины
b—а, то
f 0, 0 < г < а,
О,
Х =
а < г < 6,
г>6,
а +•* '
■М*)Ч 2 6
О < г < а,
j a-f-6 6 — а '
I О, г > Ь.
(5.28)
(5.29)
(5.30)
Приведенные здесь потоки используются как математические
схемы для приближенного представления реальных потоков,
встречающихся в практических задачах.
В качестве примера нестационарного потока рассмотрим
пуассоновскин роток с переменным параметром, т. е. поток со
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 145
следующим законом распределения (см. [42]):
P{k, ^-O^e-A^oJM^a!, (5.31)
где
A(t0, t)= J X(u)du. (5.32)
to
Величина A(to,t) является математическим ожиданием
числа событий, наступающих за интервал времени (t0, t0+t).
Функция X(t0) представляет собой мгновенную плотность
потока в момент t0, а величина уЛ(/0, t)—среднюю
плотность потока в интервале времени (t0, t0 + t). -
Исходя из (5.31), легко найти закон распределения^длины
интервала времени между произвольным моментом t и
моментом наступления очередного события. В самом деле,
/>(£,< я) = 1—*-■*•«.«>. . ; (5.33)
Дифференцируя (5.33) по и, получим функцию плотности
Ф (Л и) = Л„ (Л и) г_Л(Лu). (5.34)
Заметим, что функция плотности /i(z) для первого интервала
будет иметь вид
/i(z) = A;(0, z) *-•»•<?■ *>. (5.35)
а в случае произвольного интервала выражается соотношением
(5.34).
Ознакомившись с методами математического описания
потоков однородных событий, можно перейти к формальному
представлению процессов функционирования самих систем
массового обслуживания.
В общем случае система массового обслуживания может
состоять из п линий, способных одновременно и независимо друг
от друга обслуживать заявки. В любой момент времени линия
находится в одном из двух состояний — линия свободна или
линия занята.
Предположим, что в некоторый момент времени в
обслуживающую систему поступает заявка. Если в этот момент времени
имеются свободные линии, то заявка принимается к
обслуживанию. В противном случае, т. е. когда все линии заняты, заявка
остается в системе в течение некоторого времени (тп — время
пребывания заявки в системе) как претендент на обслуживание.
За интервал времени тп заявка должна быть принята к
обслуживанию, в противном случае она считается потерянной
(получает отказ).
10 Н. П. Бусленвд
146 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
В зависимости от величины тп системы массового
обслуживания делятся на три существенно различных класса, имеющих
свою специфику как в строении процесса обслуживания, так и
в математической формулировке относящихся к ним задач.
Если тп = 0, то поступившая в данный момент времени заявка
либо немедленно принимается к обслуживанию, если имеются
свободные линии, либо получает отказ, если все линии заняты.
Такие системы массового обслуживания называются системами
с отказами. Для систем с отказами показателями качества об-
; служивания обычно считаются вероятность отказа, среднее
число отказов за данный интервал времени и т. д.
"" В другом крайнем случае, когда тп = °°, поступающие в
систему заявки отказов не получают, а ожидают (если все линии
■заняты) в очереди до того момента, когда они будут приняты
- к обслуживанию. Такого рода системы массового обслуживания
называются системами с ожиданием. Показателями качества
обслуживания в этом случае могут быть среднее время
ожидания заявки, средняя длина очереди и т. д.
Наконец, если 0<тп<оо, заявка, заставшая все линии
занятыми в момент поступления, ожидает в течение тп в очереди, а
■по истечении этого времени получает отказ. Такие системы
массового обслуживания называются смешанными системами.
Качество обслуживания в этом случае оценивается вероятност-
,ными характеристиками как количества отказов, так и времени
ожидания, а иногда более сложными показателями,
учитывающими обе эти стороны качества обслуживания.
Помимо параметра тп, для характеристики свойств обслужи-
•вающей системы необходимо задать также т3—время
обслуживания заявки или, как его иначе называют, время занятости
■линии. Заявка, принятая к обслуживанию, занимает одну из
линий на время т3; по истечении этого времени линия
освобождается и может приступить к обслуживанию новой заявки.
Обычно величины т3 и тп считаются случайными величинами
с заданными законами (или совместным законом)
распределения. Иногда предполагают, что одна из них или обе
фиксированы.
Перейдем к рассмотрению распространенных вариантов
порядка занятия линии заявками, поступающими на
обслуживание. Если в системе массового обслуживания имеется очередь
заявок, то освобождающиеся линии занимаются немедленно в
порядке их освобождения. В случае, когда очереди заявок нет,
и имеются свободные линии, появившаяся заявка может
занимать одну из свободных линий в соответствии со специальными
-правилами. Наиболее часто на практике используются
следующие правила,
§19J СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 147
1. Линии занимаются в порядке их номеров. Линия с
большим номером не может быть привлечена к обслуживанию
заявки, если имеется свободная линия е меньшим номером.
2. Линии занимаются в порядке очереди. Освободившаяся
линия поступает в очередь и не начинает обслуживания заявок
до израсходования всех ранее освободившихся линий.
3. Линии занимаются в случайном порядке в соответствии
с заданными вероятностями. Если в момент поступления
очередной заявки имеется псв свободных линий, то в простейшем
случае вероятность занять некоторую определенную линию
может быть принята равной /? = ——• В более сложных случаях
вероятности ри Р2, ..., рп занять линию считаются зависящими
от номеров линий, моментов их. освобождения и других
параметров.
Аналогичные предположения могут быть сделаны и
относительно порядка принятия заявок к обслуживанию в том случае,
когда в системе образуется очередь заявок.
1. Заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди.
Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки,,
которая ранее других поступила в систему.
2- Заявки принимаются к обслуживанию по минимальному;
времени получения отказа. Освободившаяся линия приступает
к обслуживанию той заявки, которая в кратчайшее время
может получить отказ.
3. Заявки принимаются к обслуживанию в случайном
порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в
момент освобождения линии имеется т заявок в очереди, то в
простейшем случае вероятность выбрать для обслуживания неко-
торую определенную заявку может быть принята равной <7 = —•■
В более сложных случаях вероятности qu q2, ..., qm считаются
зависящими от времени пребывания заявки в системе, времени,
остающегося до получения отказа, и других параметров.
Перечисленными предположениями, естественно, охваты-,
ваются не все случаи, возникающие на практике, а лишь
наиболее распространенные.
Реальный процесс функционирования системы массового
обслуживания для удобства исследования удобно представлять в
виде последовательности отдельных актов (фаз) обслуживания,
выполняемых различными агрегатами. При этом, как правило,
соблюдается такой порядок, при котором следующий агрегат
может приступить к обслуживанию заявки лишь тогда, когда
работа предыдущего агрегата с данной заявкой полностью
закончена.
10»
148 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
В частном случае обслуживание может быть однофазным.
Простейшим примером многофазного обслуживания является
обслуживание покупателей в магазине. Сначала покупатель
занимает одного из работников прилавка, демонстрирующего
товары и оформляющего товарные чеки (первая фаза)- Отобрав
товары и получив чек, покупатель должен пройти через вторую
фазу — оплатить чек в кассе. И только с оплаченным чеком
покупатель может быть принят на обслуживание в отдел
контроля и выдачи покупок (третья фаза).
Более сложным примером многофазного обслуживания
может служить технологический процесс, связанный с
последовательной обработкой изделий при помощи оборудования
различного назначения. Изделие может поступить на обработку
станком n + 1-й фазы лишь тогда, когда его обработка на станке
л-й фазы закончена.
• Весьма распространенным типом обслуживания является
обслуживание с преимуществом. Каждой заявке, поступающей в
систему, приписывается некоторый коэффициент преимущества.
При этом могут быть различные варианты дисциплины очереди.
При одном из вариантов в момент освобождения канала на
обслуживание поступает заявка из очереди, у которой
коэффициент преимущества наибольший.
При другом варианте дисциплины очереди с преимуществами
возможно прекращение обслуживания заявки, занимающей
канал, если в систему поступила заявка с большим значением
коэффициента преимущества, чем у обслуживаемой заявки.
- Примером систем массового обслуживания с преимуществом
может служить доставка телеграмм: в первую очередь
доставляются телеграммы типа «молния», затем срочные и в
последнюю очередь обыкновенные.
Рассмотрев основные модификации процесса
функционирования систем массового обслуживания, перейдем к вопросу
о величинах, которые являются искомыми при решении задач,
связанных с массовым обслуживанием (показатели качества
обслуживания).
•• Для систем с отказами наиболее широко используемым
показателем качества обслуживания является средняя доля
отказов R(t0, t) за промежуток времени (t0, t0 + t). Эта величина
определяется следующим образом-
• Рассмотрим совокупность реализаций процесса
обслуживания на интервале (t0, t0 + t)- Количество заявок, поступивших на
обслуживание за этот интервал времени для выбранной_наудачу
реализации, будет случайной величинойNi(t0, t)-TlycTbN(to, t) —
среднее количество заявок, поступающих на обслуживание в
течение интервала времени (t0, t0+t). Количество заявок nii(t0,t),
5i9] еистбмы массового йбсЯуЖиёания 149
получивших отказ в""течениё того же'интервала времени, также
будет случайной величиной. Среднее значение m(t0,t) является
средним количеством отказов за интервал времени (^0, t0+t).
Тогда средняя доля отказов R(t0, t) определяется как
R(t0, t)= тУй'1) . (5.36)
Кроме средней доли отказов R(t0, t) как показатель
качества обслуживания иногда используется вероятность Po(U, t)
того, что за время (^о, t0 + t) не будет ни одного отказа.
В случае стационарного входного потока величина N (to, t)
не зависит от ^о и равна
• Л?=№, (5.37)
где X — интенсивность потока заявок.
Для систем обслуживания с постоянными параметрами и
моментов времени, достаточно удаленных от начала
обслуживания, величина m(t0, t) также не зависит от t0 и может быть
выражена соотношением, аналогичным (5.37):
m = W> (5.38)
где Кот — интенсивность потока отказов.
Тогда средняя доля отказов R равна постоянной величине
/? = -^ = Ь>™, (5.39)
не зависящей от длительности интервала времени t. В связи
с соотношением (5.39) величина R имеет также смысл
вероятности отказа для заявки, поступившей в систему в
произвольный момент времени.
Для систем с ожиданием показателями качества
обслуживания могут быть среднее значение времени ожидания или
среднее значение длины очереди (количество заявок, ожидающих
обслуживания). Иногда используются и другие параметры
закона распределения времени ожидания или длины очереди.
Для смешанных систем показателями качества обслужива--
ния служат как те, так и другие величины-
Известные (см. [42], [43], [22] и др.) аналитические
соотношения теории массового обслуживания, связывающие
характеристики потока заявок и параметры системы с показателями
качества обслуживания, обычно представляют собой
асимптотические формулы, дающие значения показателей для
моментов времени, достаточно удаленных от начала обслуживания.
150 моделирование систем массового обслуживания [гл. v
Такие формулы имеются, главным образом, для случая, когда
заявки образуют простейший (пуассоновский) поток
однородных событий, а обслуживание является однофазным.
В качестве примера такого рода асимптотических формул
можно привести формулу Эрланга (см., например, [42]).
Рассмотрим однофазную систему с отказами (тп = 0),
состоящую из п линий. Для обслуживания поступившей заявки линии
выбираются в случайном порядке с одинаковыми
вероятностями. Время занятости линии (время обслуживания) является
случайной величиной с конечным математическим ожиданием \и
Предположим, что в такую систему поступает простейший
поток заявок с интенсивностью X.
Тогда асимптотическое (при t —*■ оо) значение вероятности
отказа R может быть определено по формуле
*= „ "' • (5-40)
V (Я.Ц)*
Jj fcl
fc-i
Рассмотренная схема обслуживания является одной из
наиболее элементарных. Для других схем соответствующие
формулы оказываются более сложными. Мы не будем
останавливаться на других формулах такого типа, они рассматриваются
в упоминавшейся выше литературе по теории массового
обслуживания.
Для многих прикладных задач предположения, при которых
справедливы такие формулы, оказываются слишком
стеснительными. При решении задач методом статистического
моделирования некоторые предположения могут быть существенно
ослаблены.
В-первую очередь это относится к многофазному
обслуживанию. Мы будем рассматривать обслуживающие системы,
состоящие из нескольких последовательно действующих, в общем
случае, неоднотипных агрегатов.
Другим важным обобщением задачи является
предположение о характере потока заявок, поступающих на обслуживание.
Допускаются потоки однородных событий с практически
произвольным законом распределения. Последнее обстоятельство
оказывается существенным по следующим двум причинам. Во-
первых, реальные потоки заявок в некоторых случаях заметно
отличаются от простейшего. Для пояснения второй причины
предположим, что исходный поток заявок достаточно точно
аппроксимируется простейшим потоком. При этом поток заявок,
обслуженных на первой фазе, уже, строго говоря, не будет про-
§19] СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 151'
стейшим. Поскольку поток, являющийся выходным для первой
фазы, будет входным потоком для агрегата, обслуживающего,
заявки на второй фазе, мы снова приходим к задаче
обслуживания потоков, не являющихся простейшими.
В качестве следующих обобщений задачи будем
рассматривать схемы обслуживания с произвольными предположениями
относительно порядка привлечения линий и выбора заявок, а
также судьбы заявок, обслуживаемых линиями, выходящими из
строя по причине неабсолютной надежности.
Кроме того, ряд существенных обобщений постановки
задачи будет рассмотрен в конце настоящей главы.
Сущность метода статистического моделирования
применительно к задачам массового обслуживания состоит в
следующем. Строятся алгоритмы, при помощи которых можно
вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных
событий, а также моделировать процессы функционирования
обслуживающих систем. Эти алгоритмы используются для
многократного воспроизведения реализации случайного про2
цесса обслуживания при фиксированных условиях задачи.
Получаемая при этом информация о состоянии процесса
подвергается статистической обработке для оценки величин,
являющихся показателями качества обслуживания.
Метод статистических испытаний позволяет более полно, по
сравнению с асимптотическими формулами, исследовать
зависимость качества обслуживания от характеристик потока заявок
и параметров обслуживающей системы.
С одной стороны, при решении задач теории массового
обслуживания методом статистического моделирования может
быть использована более обширная информация о процессе,
чем это обычно удается сделать, применяя аналитические
методы. С другой стороны, значения показателей качества
обслуживания, получаемые из асимптотических формул, строго
говоря, относятся к моментам времени, достаточно удаленным от
начала процесса. Реально, для моментов времени, близких
к началу процесса, когда еще не наступил стационарный режим,
значения показателей качества обслуживания в общем случае
существенно отличаются от асимптотических значений. Метод
статистического моделирования ^позволяет достаточно
обстоятельно изучать переходные режимы.
Перейдем к краткому изложению методики моделирования
процессов массового обслуживания на электронных цифровых
машинах универсального назначения. В первую очередь рас-'
смотрим способы формирования реализаций случайных потоков
однородных событий, используемых при моделировании
процессов обслуживания.
152- МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
§ 20. Формирование реализаций случайных потоков
однородных событий
Рассмотрение способов формирования потоков заявок
начнем с простого случая, когда имеется поток однородных
событий.
Будем считать заданным совместный закон распределения
f(zi, z2, . . ., zh) случайных величин £1, £2. • • •. D» являющихся
интервалами времени между последовательными моментами
появления заявок (5.1). Для того чтобы получить реализацию
потока однородных событий tit t2 th, необходимо
сформировать реализацию zu z2, . . ., zk ^-мерного случайного вектора
Si. S2. .. ., £а и вычислить значения t{ в соответствии с (5.1).
Способы формирования случайных векторов рассмотрены выше. Как
известно, для больших k эта операция оказывается весьма
громоздкой. Это обстоятельство существенно ограничивает
использование потоков однородных событий общего вида при решении
задач теории массового обслуживания.
Процедура формирования реализаций потоков однородных
событий значительно упрощается для случая стационарных
потоков с ограниченным последействием.
Пусть стационарный ординарный поток с ограниченным
последействием задан функцией плотности f(z) (5.4). В
соответствии с (5.8) найдем функцию плотности fi(zi) для первого
интервала zt. Теперь можно сформировать случайное число zt,
соответствующее функции плотности fi(zi), и получить момент
■появления первой заявки t\ = Z\. Далее формируем ряд
случайных чисел, соответствующих функции плотности f(z), и при
помощи соотношения (5.1) вычисляем значения величин t2, t3,...
.. ., th. Ниже описанная процедура иллюстрируется рядом
примеров.
В дальнейшем будем считать, что в нашем распоряжении
имеются случайные числа х* с равномерным распределением в
интервале (0, 1). Как известно, для того чтобы получить
случайные числа j/i с функцией плотности f(y), необходимо
разрешить относительно \ji уравнение
Н
,\\{y)dy = xl. (5.41)
—°°
Соотношением (5.41) мы будем пользоваться, наряду с
другими способами, при формировании потоков однородных
событий.
. Рассмотрим приемы формирования реализаций простейшего
потока. Как было указано в предыдущем параграфе, функция
§20] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ 1-53
плотности f(z) интервалов между вызовами £j при/>1 Для
простейшего потока имеет вид (5.12) .
f(z) = U-**m
В силу (5.13) такое же выражение сохраняется и для функ-
-ции плотности f\(zi) первого интервала Z,x. Поэтому построение
реализаций простейшего потока однородных событий может
быть, в частности, сведено к формированию последовательности
независимых случайных чисел, имеющих показательное
распределение (5.12).
Для этой цели можно воспользоваться соотношением (5.41)
zi
Я Г e~kz dz—xt
о
или
v
Разрешая это уравнение, относительно г*, получим
г, = — yln(l— х,) (5.42)
или, в силу того, что Х{ распределены равномерно на (0, 1),
г, = -4-1пхг. (5.43)
Далее, для получения последовательности моментов появле»
ния вызовов tu ti, .. ., th, . ■. воспользуемся (5.1).
Заметим, что для вычисления значений z* в соответствии
с (5.43) требуется выполнить сравнительно много операций.
Это объясняется тем обстоятельством, что вычисление
логарифмов на универсальных цифровых машинах связано с
использованием стандартных программ, основанных на разложениях в
степенные ряды. Поэтому для формирования
последовательности случайных чисел с показательным законом распределения
.часто используются приближенные методы.
Например, для малых значений X (практически при Я,<0,5)
оказывается удобным следующий приближенный прием, идея
которого основана на моделировании условий соответствующей
предельной теоремы.
Используемые в данной задаче единицы времени
(например, минуты) будем нумеровать числами 1, 2, ..., т, ...
Разобьем каждую единицу времени на равные части длины
т = 0Д, где 0 < 9 < Я,< 1 и V6 — целое число. Внутри каждой
единицы времени введем нумерацию полученных интервалов:
154 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
1,2, ..., i, ..., X/Q. Затем используем следующую процедуру
случайных испытаний. Из совокупности случайных чисел с
равномерным распределением в интервале (0, 1) выбираем случайное
число х,- и проверяем справедливость неравенства
Xj < 9. (5.44)
Если неравенство (5.44) выполнено, считаем, что заявка
поступила в момент времени
tj = (m-l)+(i-\)T + ±Xj. (5.45)
Если неравенство (5.44) не выполнено, то считаем, что
заявка не поступила, и переходим к очередному случайному
числу xi+i.
Начиная с нулевого момента времени (т=\; /=1),
проверяем при помощи описанных выше испытаний, поступает ли
заявка в течение первого интервала длины т первой единицы
времени. Если неравенство (5.44) выполнено, то момент
поступления первой заявки
Если неравенство (5.44) не выполнено, то переходим ко
второму интервалу длины т первой единицы времени (т = \, i = 2)
и т. д., пока не будут исчерпаны все интервалы первой единицы
времени. Тогда переходим ко второй единице времени (т = 2;
1=1) и т. д.
Для более точного соответствия закона распределения
формируемого таким образом потока закону распределения
Пуассона необходимо уменьшать 0. Препятствием этому служит
увеличение объема вычислений, которое при очень малых т=0Д
(практически т<0,05) делает процедуру не менее громоздкой,
чем расчет zt в соответствии с (5.43).
При решении задач, связанных с массовым использованием
реализаций простейшего потока, практически наиболее
приемлемым способом формирования реализаций оказывается способ,
основанный на кусочной аппроксимации /(г).
Для потока с равномерным распределением интервалов
времени между заявками функция плотности /(г) для
интервалов £j при />1 имеет вид (5.6)
f(z)=-J-, 0<z<6,
а функция плотности fi{zi) первого интервала £ имеет вид
§ 20] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ 155
где
Процедура формирования реализации этого потока сводится
к следующему.
Для получения значений первого интервала Z\ воспользуемся
соотношением (5.41)
ги
■p-J (b — z)dz = x,.
о
Тогда ,*
zu = b{\ — /l—*,).' (5.46)-
При равномерном распределении в интервале (0, 1) величины к
и 1 — х распределены одинаково, поэтому
*»==*(! — V"*i\
где Хг — случайные числа с равномерным распределением в
интервале (0, 1).
Затрата сравнительно большого количества операций
машины на вычисления по формуле (5.46) не имеет значения, так
как это приходится делать весьма редко — один раз на каждую
реализацию потока. В качестве возможных значений Zj (/>1)
используются случайные числа, имеющие равномерное
распределение в интервале (О, Ь). Очевидно, они могут быть получены,
преобразованием
ги = Ьх,. (5.47)
Реализация потока Эрланга (5.14) формируется из величин
&f (/>!)> каждая из которых представляет собой сумму т
независимых случайных чисел, имеющих показательное
распределение с параметром %*.
Для получения случайных значений гц. первого интервала £t
в общем случае рекомендуется воспользоваться приближенными
■методами.
Больший интерес представляют приемы формирования
реализаций для обобщений потоков Эрланга, описанных в
предыдущем параграфе.
Например, применительно к (5.16) для получения
возможных значений гц интервалов £,• при />1 можно воспользоваться
процедурой суммирования последовательных случайных чисел
с показательным распределением, приведенных к
соответствующим значениям Л.
156 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ГЛ. V
Чтобы получить случайные значения Zij первого интервала £ь
необходимо в (5.41) подставить (2.18). Тогда получим
соотношение
Л^-^+Л^4 (5-48)
которое можно разрешить относительно Z\y методом
последовательных приближений.
Аналогичные соотношения можно получить и для случая
трех слагаемых.
Если слагаемые имеют равномерное распределение, функции
плотности f(z) и fi(zi) представляются соотношениями (5.22) и
(5.24), соответственно.
Для получения возможных значений гц интервалов t,j ПРИ
/>1 суммируются последовательные случайные числа с
равномерным законом распределения, приведенные к
соответствующим параметрам bj. Чтобы получить преобразование,
связывающее возможные значения первого интервала £* со случайными
числами Xj, имеющими равномерное распределение в интервале
(О, 1), необходимо воспользоваться соответствующими
соотношениями предыдущей главы.
Поскольку распределение (5.24) имеет различный вид на
интервалах (0<z<fri), (&<<г ■< b2) и (b2<z ^ bi + b2),
процедура определения величин Zi,- состоит из двух этапов.
1. Выбор интервала, которому принадлежит величина Zij.
2. Вычисление гц при помощи преобразования,
соответствующего выбранному интервалу.
Для реализации первого этапа процедуры необходимо знать
вероятности рь рг и р3 попадания величины Z|,- в
соответствующие интервалы. Эти вероятности могут быть получены
интегрированием /i(z) (5.24) по участкам области определения
ft.
„ -^ f 2b,b2-z' , _Ь1фЬ2-Ь1)
Рх~ J (Ь{ + Ь2)Ьф2 3b2(bt + b2)
. . . .. !"2 3b2(bt+b2) '
О
2(62 — г)-Н, dzr_b2 — bi
p2==l b2(bt+b2) ~~ VfV
p3 = l—Pi—Pv
(5.49)
Выбираем теперь из совокупности случайных чисел с рав*
номерным распределением в интервале (0, 1) число Xj и
сравниваем его с Pi и р2.
§ 20] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ 157
Если
0<Xj<Pv
то zij принадлежит первому интервалу. В этом случае гц
определяется соотношением
■&Г+бГ"~Зй,62(^ + б2) —х1' (5-50)
Если
P\<X]<Pi+Pv
величина z,j принадлежит второму интервалу, и тогда она
может быть найдена из уравнения
« 26, , (bl + 2b2)z z* _ "-/ЧЧП
Наконец, если
Xj>Pi+Pv
то Zi^ принадлежит третьему интервалу и определяется
соотношением
fi + tf + Ufa h + b2 ; z2 z3
А+А 36,(6, + 62) "+" btb2 Z b^b,^ Zbib2(blJrb2)~XJ-
(5.52)
Так как потребность в реализации описанной процедуры
возникает сравнительно редко, то можно пойти на выполнение
громоздких расчетов, связанных с решением уравнений (5.50),
(5.51) и (5.52).
Для потока с фиксированным минимальным интервалом
(5.25), (5.27) процедура формирования величин гц при />!■
очевидна: необходимо суммировать постоянную а и возможные
значения уц случайной величины ц, имеющей показательное
распределение с параметром X*. Величину X* можно вычислить
из соотношения (5.26), если требуемая плотность потока X
задана.
Для получения реализаций Zij первого интервала £i с
функцией плотности (5.27) можно поступить следующим образом:
найти вероятности р (0, а) и р (а, оо) попадания величины £t
в соответствующие интервалы и применить к (5.27)
соотношение (5.41). Получаются следующие выражения для
вероятностей р (0, а) и р (а, оо):
Р(0. «)=tf^' (5'53)
р(а, '°o)==t,-+ay (5-54)
158 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
Используя (5.41), имеем-
'1Х*аХу J du==x}' 0<Xj*Cp(0, a) (5.55)
о
и
Р(0. а)+Т^я?- J e-*ia-a)du = XJ> (P(0. *)< *у < !)■ (5.56)
а
Разрешая уравнения (5.55) и (5.56) относительно г}, по»
лучим
и
ги = а—^1п{1-(Ц-ал*) [*,.-/> (О, a)}}. (5.58)
Процедура формирования величин гц состоит в следующем.
Из совокупности случайных чисел с равномерным
распределением в интервале (0, 1) выбираем случайное число х{ и
сравниваем его с р (0, а). Если
х,<1(0. а). (5.59)
то вычисляем гц в соответствии с (5.57). Если неравенство
(5.59) не выполнено, то для вычисления 24,- используем (5.58).
Если случайные слагаемые имеют равномерное
распределение, то соответствующие формулы находятся аналогично и
имеют более простой вид.
Рассмотрим один из возможных способов формирования
реализаций пуассоновского потока с переменным параметром
(5.31).
Чтобы получить возможные значения z,- интервалов между
вызовами, воспользуемся соотношением (5.41). Применим его
к функции плотности (5.34). Тогда
Л (Л z) = — ln(l -Xj), (5.60)
где Xj — случайное число, имеющее равномерное распределение
в интервале (0, !).
Легко показать, воспользовавшись функцией плотности
(5.35), что соотношение (5.60) справедливо не только для z$
при / > 1, но и в случае первого интервала &, если положить
1=0.
Разрешая уравнение (5.60) относительно г, можно получить
Искомую последовательность величин zt.
§ 20] ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ 159
Остановимся подробнее лишь на одном из простейших
примеров. Пусть мгновенная плотность потока K(t) линейно
зависит от времени
Щ—'at + b. (5.61)
Тогда в силу (5.32)
K(t,z)=z~ + z(at^-b), (5.62)
а выражение (5.60) принимает вид
^- + z{at + b) = — ln(l— xj). (5.63)
Полагая для первого интервала £t, что /=0, получим
-£ + Ьг1 = -Щ\-х$ (5.64)
или
г1 = И__ ^. (5.65)
Для второго интервала £> полагаем t=zt. Тогда
azi
-J--\-z2(azx-\-b)^ — In (1 — х}) (5.66)
или
_ -r~(gs;l-^-b)-i-V(aZi + b) — 2a\nxj
Для интервала с номером i полагаем /==2^. Тогда
г,= V l=1 ■ ' \Ы' !— • (5-67)
Аналогично можно получить последовательность Zi и при
других выражениях для %(t), отличных от (5.61).
В заключение отметим особенность формирования
реализаций неординарных потоков.
Если количество вызовов, поступающих в момент времени th
является случайной величиной, независимой от tj, то можно
предложить следующую процедуру получения возможных
значений количества вызовов k. Пусть вероятность того, что в
момент tj поступает k вызовов, равна pk\ 2/>а = 1- Тогда вели*
к
чина k должна быть выбрана по жребию в соответствии
с вероятностями pk. Для этого выбираем случайное число xj,
160 Моделирование систем массового обслуживания [гл. v
имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1) и
сравниваем его с последовательными суммами ри-
Количество вызовов равно k в том случае, когда
ft-i k
2 Pi < X] < S Pi> (5-68)
i=o i~a
где Ро = 0. '
Рассмотренные здесь приемы формирования реализаций
случайных потоков однородных событий широко используются в
практике статистического моделирования.
§ 21. Одноканальная система
Моделированию процессов функционирования систем
массового обслуживания мы уделяем серьезное внимание по двум
соображениям. Во-первых, многие элементы и подсистемы
различных сложных систем хорошо описываются как системы
массового обслуживания. Поэтому модели типичных систем
массового обслуживания представляют непосредственный интерес.
Кроме того, приемы моделирования, характерные для систем
массового обслуживания, широко используются при построе-
Нии моделей для сложных систем других типов.
Мы начинаем изучение методики моделирования систем
массового обслуживания с простейшего случая системы с одним
обслуживающим агрегатом (каналом).
Итак, рассмотрим одноканальную систему массового
обслуживания, в которую поступают заявки, образующие ординарный
поток однородных событий с заданным законом
распределения. Время занятости канала т (длительность обслуживания)
является случайной величиной с законом распределения f(t).
Заявки в системе обслуживаются в порядке очереди (в том
порядке, в котором они поступили в систему). Если поступившая
заявка застает канал занятым, то она ожидает освобождения
канала, но не более чем т<ж\ после чего получает отказ.
Величина т(ж) представляет собой случайную величину с законом
распределения ф(т<ж)).
- В результате моделирования желательно получить
характеристики качества обслуживания: долю обслуженных заявок,
долю заявок, получивших отказ, среднее время ожидания и т. д.
Процесс функционирования системы массового
обслуживания будем рассматривать в интервале времени [0, Т]. Это
значит, что заявки, появившиеся в момент tj>T, в систему не
попадают и не обслуживаются. Кроме того, обслуженными
считаются только те заявки, для которых время окончания
обслуживания
№ «Г.
§211
ОДНОКАНЛЛЬНАЯ СИСТЕМА
161
Если для данной заявки время начала обслуживания
^Н)<Г, а время окончания обслуживания /<СВ>>Г, то заявка
считается получившей отказ.
Для построения алгоритма, моделирующего процесс
функционирования такой системы массового обслуживания, нам
потребуются следующие операторы.
Ф4—формирование случайных значений моментов tj
поступления очередной заявки в систему (формирование
реализаций потока заявок).
Р2—проверка условия tj<T, где Т—граница интервала
времени [О, Т], на котором изучается функционирование системы.
Р3—-проверка условия tj<.t{/-i, где t{jl\—момент
освобождения канала от обслуживания предыдущей заявки.
Ф4—формирование случайных значений длительности
ожидания в соответствии с законом распределения ф(т<ж').
А5 — вычисление верхней границы ty интервала [tj, ^ж)] ожи*
дания заявки в очереди.
Р6—проверка условия tfp-<.tj-\.
F7 — формирование момента начала обслуживания /-и заявки:
А») Лев)
Ч — 4-1-
- F8—формирование момента начала обслуживания /-и за-
явки:
tf^tj.
Фа — формирование случайных значений длительности
обслуживания т (времени занятости канала) в соответствии с
законом распределения f(x).
Аю — вычисление момента £(/в> окончания обслуживания
/-Й заявки (момента освобождения канала).
Рн— проверка условия ^св)^ Т.
Ki2 — счетчик количества m обслуженных заявок.
Ai3—вычисление длительности tj — tj ожидания
обслуживания (времени пребывания в очереди) для /-й заявки.
Ки — счетчик количества заявок in, получивших отказ.
Ki5 — счетчик количества реализаций N при моделировании..
Pie—проверка условия jV<jV*, где N* — заданное
количество реализаций, необходимое для обеспечения требуемой
точности расчета.
F17 — переход к очередной реализации.
Aig—обработка результатов моделирования.
Яш —окончание вычислений и выдача результатов.
Теперь можно записать операторную схему алгоритма,
моделирующего процесс функционирования рассматриваемой
11 Н. П. Бусленко
. 162 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
одноканальной системы массового обслуживания. Она имеет
следующий вид:
13, 14, 17.,, п г» гЬ » 1уН4с9 Зг-7,8 .,. .
Ф1Р2+15Р3+8Ф4А5Р6 г7 Fs ФэАю
Pllil4Kl2Ai36'nKl142Kl5Pl6il8Fl716A18fll9. (5.69)
Перед началом моделирования должны быть заданы
начальные условия, соответствующие практической сути дела.
Например, если при ^ = 0 канал свободен, и заявки в систему еще не
поступили, то начальные условия будут иметь вид
*o = 0, tfl\ = 0, т = 0, т = 0, N = 0. (5.70)
В качестве исходных данных для решения задачи должны
быть указаны граница интервала Т исследования процесса,
закон распределения потока заявок, законы распределения /(т) и
<р(т(ш>), а также количество реализаций N*, обеспечивающее
заданную точность.
Для наглядности на рис. 6 представлена блок-схема
моделирующего алгоритма, соответствующая операторной схеме
(5.69).
Остановимся кратко на работе алгоритма и его основных
операторах.
Оператор 4>i формирует случайные числа, которые
имитируют поток однородных событий tj в соответствии с заданным
законом распределения и правилами, рассмотренными в
предыдущем параграфе. Оператор Рг проверяет условие lj<T. Если
это условие выполнено, то заявка, появившаяся в момент tj,
поступает в систему и рассматривается как претендент на
обслуживание. Поэтому по стрелке с индексом 1 управление
передается оператору Р3 для дальнейшего оперирования над
заявкой. Если же условие, проверяемое оператором Рг, не
выполнено, то заявка в систему в пределах интервала (0, Т) не
поступает, и тогда по стрелке с индексом 0 управление
передается оператору Kis для подсчета количества реализаций.
Оператор Р3 проверяет условие ^ < 49-ь или, другими
словами, определяет, занят или свободен канал в момент
поступления у'-й заявки. Если tj < /()-\ (в момент поступления
заявки канал занят), то управление от оператора Р3 по стрелке
с индексом 1 передается оператору Ф4- Рассмотрим сначала
эту ветвь алгоритма (<l>4-r-F7). Оператор Ф4 формирует
случайные значения длительности ожидания т(ж>, оператор А5
вычисляет /ljK), а оператор Р6 сравнивает величины tf и tj-i.
Если *(;*\-</f, то имеется возможность обслужить заявку,
причем момент начала обслуживания t] совпадаете моментом
. 21]
ОДНОКЛНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
163
освобождения канала (оператор F7). Если же tf < t(j% то
заявка не может быть обслужена, и тогда от оператора Рб
/,
Счетчик количества т
обслуженных заявок
14
Счетчик_
количества т отказов
15
N + 1
17
18
Переход' к очередной
реализации
19
Обработка
результатов моделирования
ВыЗача
Рис. 6.
ty=tj
по стрелке с индексом 1 управление передается оператору К14
для подсчета количества отказов.
Возвратимся к оператору Р3. Пусть теперь t(jl\-^tj — в
момент поступления заявки канал свободен (условие,
проверяемое оператором Р3, оказывается невыполненным). Тогда от
11*
164 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
оператора Р3 по стрелке с индексом 0 управление передается
оператору F8. Поскольку в момент tj поступления заявки канал
свободен, обслуживание может быть начато немедленно:
tj —t].
Теперь переходим к работе операторов Ф9 и Ai0. Они
имитируют сам факт обслуживания заявки (работу обслуживающего
канала над заявкой номер /). Одним из операторов F7 или F8
уже определен момент начала операции tj . Оператор Ф9
формирует случайное^значение длительности обслуживания т;-, а
оператор А10 определяет время освобождения канала (момент
окончания обслуживания) t{jB).
На этом, собственно, заканчивается рассмотрение основной
части моделирующего алгоритма. Далее рассматриваются
операторы, хотя и не имеющие отношения к имитации работы
обслуживающего канала, но играющие существенную роль при
моделировании.
Оператор Ри проверяет условие tj -< Т. Если это условие
выполнено, то весь интервал времени, в течение которого
продолжалось обслуживание заявки, принадлежит интервалу [О, Т].
Поэтому рассматриваемую заявку можно считать обслуженной.
От оператора Рц по стрелке с индексом 1 управление
передается оператору Ki2 Для подсчета количества обслуженных
заявок. Далее вступает в строй оператор Ai3, который
вычисляет для рассматриваемой обслуженной заявки время ее
пребывания в системе t{f — tj (время ожидания в очереди). Эта
величина может оказаться необходимой для формирования
одной из искомых величин (например, среднего времени
ожидания) при обработке результатов моделирования (оператор Ai8).
От оператора А13 управление передается оператору Ф, для
формирования момента поступления новой заявки.
Если же t{jB)> T (возвращаемся к оператору Р„), то
окончание обслуживания не помещается в интервале [О, Т], и мы
должны считать, что заявка получает отказ. В связи с этим от
оператора Р,, по стрелке с индексом 0 управление передается
оператору Кн Для подсчета количества отказов и, поскольку
история данной заявки закончилась, далее оператору Ф, для
формирования момента поступления новой заявки.
В связи с рассмотрением работы оператора Р2 мы уже
отмечали, что при невыполнении условия tj<T очередная заявка на
обслуживание не поступает, заканчивается соответствующая
реализация процесса обслуживания, и управление от оператора Р2
(по стрелке с индексом 0) передается оператору Kis- Оператор
Kis прибавляет единицу к количеству обследованных
реализаций процесса. Полученное число N сравнивается (оператор Р16)
§2M
ОЛНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
165
с N*, и если N<N*, то моделирование продолжается
(операторы FI7, Ф[ и т. д.), в противном случае моделирование
заканчивается (операторы А]8 и Яю).
Обработка результатов моделирования предусматривает
использование сведений, накопленных счетчиками Ki2 (количество
обслуженных заявок), Кн (количество отказов), а также
оператором А13 (длительность пребывания заявки в системе), для
оценки искомых величин (вероятность отказа, среднее время
ожидания и т. д.).
Иногда требуется знать вероятностные характеристики
длины очереди (количество заявок в очереди). В рассмотренном
нами моделирующем алгоритме не предусмотрена фиксация
такой информации, которая позволила бы оценить эти
характеристики. Однако модификация алгоритма, обеспечивающего
фиксацию такой информации, оказывается несложной. Для этого
достаточно фиксировать следующие события: поступление новой
заявки в систему, начало обслуживания очередной заявки и уход
из системы заявки, получившей отказ. Некоторые варианты
алгоритма с учетом этого обстоятельства будут изложены ниже.
Мы рассмотрели систему массового обслуживания, где
заявки обслуживались в порядке очереди, т. е. в том порядке, в
котором они поступили в систему. В ряде важных в
практическом отношении задач такой порядок обслуживания заявок
оказывается невыгодным, и используются другие варианты,
описанные выше. Как известно, моменты поступления заявок в систему
массового обслуживания удовлетворяют условиям
*!<*2< ... <tk< ... (5.71)
Если учесть то обстоятельство, что время ожидания т<ж>
является случайной величиной, то может оказаться, что для моментов
({M)=tj^rx{p условия, аналогичные (5.71), будут
невыполненными. Нередки случаи, когда заявки, имеющие право (в
порядке очереди) на немедленное обслуживание, могут находиться
в системе довольно долго (т'ш> велико) и обслуживаться после
других заявок, имеющих малое т(ш)и поэтому быстро
покидающих систему. Очевидно, что обслуживание в порядке
очередности tj приводит к дополнительным отказам для тех заявок,
которые в силу случайности величин т(ж> вынуждены сравнительно
быстро покинуть систему. Часто бывает выгодно обслуживать
в первую очередь ту заявку, которая имеет наименьшее время
#ж\ т. е. ранее других покидает систему.
Модификация моделирующего алгоритма для исследования
систем с таким порядком обслуживания имеет существенные
особенности по сравнению с (5.69). Основное отличие
моделирующего алгоритма состоит в следующем. В момент освобождения
166 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
линии fljl\ в очереди может оказаться несколько заявок.
Для отбора всех т'ж), соответствующих заявкам, находящимся
в очереди, необходимо предусмотреть специальные операторы.
Далее, при рассмотрении #ж> для всех заявок, ожидающих
обслуживания, требуется выбрать наименьшее Аж\ обозначаемое
в дальнейшем Гщ['а, и по отношению к нему решать вопрос о
возможности обслуживания соответствующей заявки. Наконец,
после начала обслуживания очередной заявки необходимо
оставшиеся в очереди заявки перегруппировать и рассматривать их
как претендентов на обслуживание наряду с заявками,
поступившими позднее.
Перейдем к структуре моделирующего алгоритма. Нам
потребуются следующие операторы.
Ф[ — формирование tj. Совпадает с Ф| в (5.69).
Р2 — проверка условия tj<T. Совпадает с Рз в (5.69).
Рз — проверка условия k>0, где & —количество заявок в
очереди.
Р4 — проверка условия tj<t(jl\. Совпадает с Рз в (5.69).
А5 — запоминание t)< — значейий tj, соответствующих
заявкам, находящимся в очереди.
Кб — счетчик количества k заявок в очереди (выполняет
операцию k+1).
Р7 —совпадает с Р3.
F8 — формирование tf = tj. Совпадает с F8 в (5.69).
А9—запоминание tj —значения tj для заявки, поступившей
после t{lj%
Ф10 — формирование т<ж> для всех заявок, находящихся
в очереди. Совпадает с Ф4 в (5.69).
Ац — определение /(ж) = tj -f- т(ж) для всех заявок,
находящихся в очереди. Совпадает с А5 в (5.69).
Р12—проверка условия £>1.
А13 — определение t^in — наименьшего значения £(ж) для
заявок, находящихся в очереди.
Р14 —проверка условия t$„ < tjl\. Совпадает с Р6 в (5.69).
Ki5 — счетчик количества т заявок, получивших отказ
вследствие недостаточного времени ожидания.
F16 —формирование ({р = ^1\. Совпадает с F7 в (5.69).
Ki7 — счетчик количества заявок в очереди (выполняет
операцию k — 1).
Р18 — совпадает с Р3.
А19 — перегруппировка tj.YL.t) и перенос их в" ячейки,
из которых выбираются ^ для.работы оператора Рг
§21]
ОДНОКАНАЛЬНЛЯ СИСТЕМА
167
Ф20 — формирование х}. Совпадает с Ф9 в (5.69).
А21 — вычисление момента t{<ja) — t{f-\-тj окончания
обслуживания. Совпадает с А10 в (5.69).
Р22 —проверка условия г(ув> <Т. Совпадает с Рп в (5.69).
Кгз — счетчик количества m обслуженных заявок. Совпадает
с К12в (5.69).
А24 — вычисление длительности ожидания tj—tj. Совпадает
с А13в (5.69).
К25 — счетчик количества ш' заявок, получивших отказ
вследствие окончания интервала [О, Г].
К26 — счетчик количества реализаций при моделировании.
Совпадает с Kis (в 5.69).
Р27 — проверка условия N<N*. Совпадает с Pie в (5.69).
F2s—переход к очередной реализации. Совпадает с Fi7 в
(5.69).
А2э — обработка результатов моделирования. Совпадает с
А18 в (5.69).
Язо — окончание вычислений и выдача результатов.
Операторная схема моделирующего алгоритма для
рассматриваемой системы массового обслуживания имеет вид
Ч>1^2 г^26 Г.Ц.7А5К.6 Р7 Г8 Аэ 4*10All
11, 18г> » 12, 13rv ,,17 14с20 15,, пЩ 18, 24 .4
1^12^14^13 Н14^1бК.15 Г16 K.17"l8 Al9
8' 16Ф20А21Р22^25К2зА24 '^25 '' 25К26Р27+29р28 ^АгэЯзО- (5.72)
Начальные условия и исходные данные для решения задачи
читателю легко установить самостоятельно по аналогии с (5.70).
Для наглядности на рис. 7 представлена блок-схема
моделирующего алгоритма (5.72).
Рассмотрим особенности его работы. Начальная цепочка
операторов (Фь Р2, Р4) работает совершенно аналогично
цепочке (Фь Р2, Р3) алгоритма (5.69). Только тогда, когда
условие, проверяемое оператором Р2, оказывается невыполненным,
управление передается оператору Р3. Если fe = 0, то управление
передается оператору К26 так же, как и в алгоритме (5.69);
в противном случае t^T является сигналом для прекращения
отбора заявок в очередь, и управление передается оператору Фщ.
Цепь операторов Ф]Р2р4А5КбФ1 работает циклически,
отбирая и запоминая t*j для заявок, обладающих свойством
tj<t)li (оператор Р4). Когда же условие, проверяемое
оператором Р4, оказывается невыполненным, цикл отбора заявок
прекращается, и управление передается оператору Р7. Если
k — О (в очереди нет ни одной заявки), то канал свободен,
и поступающая очередная заявка немедленно принимается к
168
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
[ГЛ. V
обслуживанию. Тогда цепочка операторов РвФго. • -Язо работает
аналогично РаФ-э-Яю алгоритма (5.69). Если жеk>0 (оператор
к+7
Запоминание t/
Счвтчик количества т
Обслуженных заявок
24
у'*
25
Счетчик
количества т' ртказов
2ВГ
N+1
28
J—1
Переход к очередной
реализации
29
Обработкарезулша-
тор моделирования
30
Рис. 7,
Запоминание tf
rue z^
tfx>=tf-f-r(x>
деление ti
Счетж
количества m отказов
V-/
IB,
Перенос tf*
в ячейка tj
P7), то управление передается оператору Ад, который
запоминает fj\tj для заявки, поступившей после /("i). Далее
операторы Фю и Ац работают так же, как Ф4 и As алгоритма (5.69),
§21]
ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
169
а цепочка операторов Pi2Ai3P14 является особенностью
рассматриваемой модели. Поскольку в очереди имеется несколько (k)
заявок (оператор Р12), необходимо сначала определить /й —
наименьшее из всех ^(/t) (оператор А13), а затем сравнивать его с
$*\ (оператор Рц). Здесь оператор Ри играет роль оператора
Р6 алгоритма (5.69). Поэтому от него по стрелке с индексом О
управление передается Fi6, а по стрелке с индексом 1
—оператору Kis, что соответствовало бы операторам F7 и Кн
алгоритма (5.69).
Оператор Кп выполняет роль счетчика количества заявок
в очереди. Если таковые имеются (оператор Р18), то управление
(по стрелке с индексом 1) передается оператору Р12. Цепочка
операторов Pi2A!3.. .P18 работает циклически до тех пор, пока
имеются заявки в очереди как претенденты на обслуживание.
Когда же будут отвергнуты все заявки, или начнется
обслуживание, вступает в действие оператор А!9, переносящий заявку с
моментом поступления tj в регистр tj для рассмотрения ее в
связи со следующим моментом освобождения канала tj. От
оператора А19 управление передается оператору Р4, и заново
производится отбор заявок по признаку tj < tjl\. Таким
образом, начинается уже новый цикл работы алгоритма с новым
1) . Помимо величины tj, появляются и новые моменты
поступления заявок. Далее работа алгоритма протекает в
соответствии с описанием, данным выше. Величины tf] (оператор
Ац), оставшиеся от предыдущего цикла работы алгоритма,
присоединяются к новым, вычисленным оператором Ап, и
сравниваются с новым значением tj-i (оператор Рц).
Заметим, что величины tj, tjl\ и т. д., строго говоря, не
упорядочены по индексам /, так как иногда они относятся
к группе заявок. Мы будем воспринимать их как символы,
отображающие чередование событий по циклам функционирования
алгоритма.
В конце описания предыдущего алгоритма шла речь о
фиксации в процессе моделирования вероятностных характеристик
длины очереди заявок (количества заявок, находящихся в
очереди). Рассмотренный здесь алгоритм более приспособлен к
выдаче такого рода информации. В самом деле, выводя на печать
величину k (операторы Кб и Кп) Для каждого момента
изменения ее значения (поступление новой заявки, взятие очередной
заявки на обслуживание или получение отказа), мы можем
оценивать эти характеристики.
Перейдем теперь к другим возможным вариантам
дисциплины очереди. Предположим,»что заявки выбираются, т..
170 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
очереди для обслуживания в случайном порядке в соответствии
с заданными вероятностями gs, 2 ^=1- На практике могут
ал А,,
встретиться различные варианты
функционирования системы массового
обслуживания. Мы остановимя на
случае, близком к только что
рассмотренному,— когда время пребывания
заявки в системе ограничено случайной
величиной т'ж>, а заявки принимаются к
обслуживанию в соответствии с
вероятностями qs, задаваемыми заранее
или вычисляемыми в ходе
моделирования.
Для того чтобы получить
модификацию алгоритма, соответствующего
этому случаю, достаточно вместо
операторов Р12, A13, Pu алгоритма (5.72)
ввести в него другую группу
операторов, обеспечивающих реализацию
жребия с вероятностями qs. Тогда вместо
t(m\n < tj-l МЫ ПОЛУЧИМ ВыбрЭННуЮ'
по жребию заявку с некоторым г;- = Г,-.
Она и должна быть принята к
обслуживанию.
Процедуры реализации жребия,
основанные на преобразованиях и
сравнениях случайных чисел, подробно
рассмотрены в § 16 гл. IV. Мы здесь на
них останавливаться не будем,
однако одной упомянутой заменой
группы операторов в алгоритме (5.72)
обойтись нельзя. Перед тем как
помещать оператор выбора заявки по
жребию, необходимо обеспечить отбор заявок, для которых
выполняется условие tf ^ ^]1\-
Пусть: 1*12 — проверка выполнения условия *(/° <-t(j-u
F3i — запись tf\ удовлетворяющего условию оператора Pi2,
в специальный регистр; ''
Ki3 — счетчик количества v заявок в регистре (выполняв
операцию v+1);
Р14 — проверка условия v>0;
Ф32 — выбор во жребию заявки, принимаемой к обслуживав
нию.
ал А,
Рис. 8.
§22]
ПРОСТЕЙШАЯ МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
171
Операторы Kis, F18, K17, Pi8r A19 имеют тот же смысл, что и
в алгоритме (5.72).
Используя эти обозначения, можно записать фрагмент
операторной схемы алгоритма по отношению к моделирующему
алгоритму (5.72) следующим образом:
П, 18р ,,17 12р Tj 13,15,, D1>12 5 ,ь P20U, 24.4 /г 7ЧЧ
Hl2^3lKl5 Г31К13 K17H18 Н14^19Фз2Г16 Aig. (О./О)
Если теперь этот фрагмент вставить в (5.72) вместо группы
операторов Р^А^. . .Ai9, то получим искомый моделирующий
алгоритм:
6' 28Ф1РГРз^6 2' 1ЭРц7А^ 4Pf F820 % 3' 9ФюАп
' Pl2^3lKl5 F31K13 K17P18 Р14^19Фз2р1б
14,24.4 8, 16.,. . „ ,, »19 22,, 3,25,, п с1 ^ К а /С ТЛ\
Aig Ф20А21Н22^25К2зА24 К25 К2бН27*29Г28 А29Я3О. (5.74)
На рис. 8 приведена блок-схема фрагмента (5.73)
моделирующего алгоритма. Естественно, что могут быть и другие
модификации моделирующего алгоритма в связи с рассмотрением
такой дисциплины очереди, когда заявки принимаются к
обслуживанию в случайном порядке. Это зависит от конкретных
свойств данной системы массового обслуживания.
Заслуживают также внимания модели для обслуживания
с преимуществом. В простейшем случае, когда речь идет о
выборе заявки для обслуживания в соответствии с коэффициентом
преимущества {см. § 17), моделирующий алгоритм будет весьма
близким к (5.74). В самом деле, вместо Ф32 (выбор заявки по
жребию) можно поставить оператор Ф32 — выбор заявки для
обслуживания в соответствии с коэффициентом преимущества.
Тогда мы получим алгоритм для рассматриваемого случая.
Более сложные ситуации (случайные коэффициенты преимущества,
прерывание обслуживания при поступлении заявки с большим
коэффициентом преимущества и т. д.) могут быть охвачены при
соответствующем обобщении моделирующих алгоритмов. Мы
на этих вариантах останавливаться не будем, так как некоторые
аспекты их будут рассмотрены ниже, при моделировании
производственных операций.
§ 22. Простейшая многоканальная система
Обобщение методики построения моделирующих алгоритмов
для случая простейших многоканальных систем не встречает
принципиальных затруднений. В самом деле, пусть, например,
речь идет о многоканальной системе массового обслуживания,
содержащей п идентичных каналов. Заявки образуют ординарный
172 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
поток однородных событий с заданным законом
распределения и принимаются к обслуживанию в порядке очереди (в
порядке поступления в систему). Если поступившая заявка
застает все каналы занятыми, то она ожидает освобождения
канала, но не более чем т<.ж), после чего получает отказ. Время
обслуживания т — случайная величина. Для обслуживания
заявок привлекаются свободные каналы в порядке очереди
(прежде используется тот канал, который освободился ранее
других).
Легко видеть, что рассматриваемая многоканальная система
по своему характеру близка к той одноканальной системе,
которую мы изучали в начале § 21. Поэтому при построении
моделирующего алгоритма мы будем ориентироваться на алгоритм
(5.69).
Заменим в операторах Р3, Ре, F7 алгоритма (5.69) величину
t^jl\ на mint., под которой будем понимать наименьшее
время освобождения одного из каналов системы.
Соответствующие операторы будем обозначать в дальнейшем Р3, Ре, F7. Кроме
того, введем дополнительно новый оператор А2о—-выбор min гсв ,
наименьшего из №ВК В операторах А]0 и Рц (теперь они будут
обозначаться А10 и Рц) вместо /(}в) необходимо иметь t%\ где
индекс k обозначает номер линии.
Наконец, можно записать операторную схему
моделирующего алгоритма. Она аналогична схеме (5.69):
13'н ^Ф^Рз^АзРГр? 3F8 7' 8Ф9А10А20
Piiii4Ki2A1136'11Kl42Ki5Pi6ii8F{716A18fl19. (5.75) .
С точки зрения процесса работы алгоритм (5.75) также близок
к (5.69). Поэтому на описании его мы останавливаться не будем.
Настоящим примером мы подтвердили сказанное выше о
возможности обобщения методов моделирования на
многоканальные системы массового обслуживания. Необходимо отметить,
что структура моделирующего алгоритма зависит от тех
предположений, которые сделаны относительно дисциплины очереди
заявок и порядка выбора каналов для обслуживания.
Рассмотренный выше пример относится к наиболее простым
предположениям. Выбор заявки из очереди по наименьшему ftm\ как
в случае (5.72), в сочетании с другими правилами выбора
каналов может привести к заведомо более сложному
моделирующему алгоритму. -
Во многих случаях подалгоритм, обеспечивающий выбор
канала для обслуживания в соответствии с заданным правилом,
может быть построен следующим образом.
22]
ПРОСТЕЙШАЯ МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
173
где tj — момент поступле-
4mP2(tj-^T)
Пусть Р31 — проверка условля i<n, где i — текущее, а я —
максимальное значение номера обслуживающего канала;
Кзг — счетчик количества каналов (реализует операцию
t+Q; (с.
Р4 — проверка условия tj< tfB,
ния очередной заявки, a
tfB)—-момент освобождения /-го канала;
F33 — запись в регистр tfB), для
которых справедливо условие,
проверяемое оператором Р4;
Кз4 — счетчик количества
свободных каналов (реализует операцию
ясв+1, где «ев —количество
свободных каналов);
Р35 — проверка условия псв>0,
т. е. имеются ли свободные каналы
в момент tj]
F36—реализация заданного
правила выборки канала для
обслуживания.
Тогда подалгоритм приобретает
следующий вид:
ftA5-*r
2'4' MP3H3sK32Pt31 F33Km 3lP^sFle. (5.76)
(ятнгн/amte tj)
■SB
Реализация
правила выбора канала
K0g(t(">=tj)
Рис. 9.
Здесь под операторами Рг, А5 и Ф»
условно понимаются проверка
условия tj < Т, запоминание /;- и
формирование № — tj соответственно.
Более наглядно сущность работы под-
алгоритма и его связь с другими частями (операторами)
моделирующего алгоритма представлена на рис. 9.
Операторы P3i и Кзг обеспечивают перебор всех каналов
(/ изменяется от 1 до п). Оператор Р4 проверяет (для каждого
канала) условие tj < tfB\ т. е. выясняет, не является ли
данный канал свободным в момент tj. Если условие, проверяемое
оператором Р4, выполнено, т. е. данный канал в момент tj занят,
то управление передается опять оператору P3i. В противном
случае канал свободен, и управление передается операторам F33
и Кз4- Циклическая работа подалгоритма продолжается до
перебора всех каналов (i=n, условие, проверяемое
оператором Р31, не выполнено). Тогда управление передается опера-
Т0РУ Р35, который проверяет наличие хотя бы одного свободного
канала. Если свободные каналы имеются, то переходим к
1?4 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ {ГЛ. V
оператору F36 для выбора канала. В противном случае в
момент tj свободных каналов нет. Тогда начинаем набирать
новые tj до освобождения очередного канала.
Оператор F3e может реализовать практически любое правило
выбора канала для обслуживания заявки, например: определить
min Лсв>, если каналы используются в порядке очереди, выбрать
канал по жребию, если они выбираются в случайном порядке,
и т. д. В каждом конкретном случае подалгоритм (5.76) может
иметь тот или другой вид. Например, для условий
моделирования, принятых в начале настоящего параграфа, он значительно
упрощается (сводится к одному оператору А2о—выбору min Лсв>)
и связывается с другими частями моделирующего алгоритма
так, как показано в операторной схеме (5.75).
Рассмотрим еще один пример. Пусть имеется п-канальная
система массового обслуживания со свойствами, аналогичными
свойствами системы,, которую мы рассматривали в начале
настоящего параграфа (см. моделирующий алгоритм (5.75)
и т.д.), за исключением порядка выбора каналов для
обслуживания. Пусть теперь каналы выбираются в случайном порядке
по жребию. , .
Операторная схема моделирующего алгоритма для этого
случая имеет вид -
6. 28rh г>131 п№° 32„А31 35 . , Л 4n^9 36.-.20
^lHi Нз^26 гЧ(,7 А5К6 "7^33 Г8
7 А З^сЬ А ". Ир . 12, 13р ,Л7Нр20
15к р+12 18, 24.31 8, 16л . р и » 19 22,,
К17Г18 Al9 Ч»20А21Г,22*25К23А24 К.25
3,25,, D Р1 27. а 2, 4, 19, 34р ,,4 7Р ^31 31р Р8 /с- --.
К.26Г27^29Г28 А29Л30 Г31^35К.32 ГззК.34 г'зз^ГЗб- (0-'<)
Этот же алгоритм в виде блок-схемы представлен на рис. 10.
Мы не будем подробно описывать работу алгоритма (5.77),
так как отдельные его подалгоритмы мы уже описывали выше.
Сделаем некоторые замечания но его структуре. Будем сравни-
вать рассматриваемый моделирующий алгоритм (5.77) с
алгоритмом (5.72), который был достаточно подробно описан в
предыдущем параграфе.
Легко видеть, что часть алгоритма (5.77), состоящая из
операторов F8, Ф20 и т. д., вплоть до выдачи результатов
(оператор Язо) полностью совпадает с соответствующей частью
алгоритма (5.72) и в дополнительном описании не нуждается. То же
самое можно сказать относительно части алгоритма (5.77),
состоящей из операторов Р7 (при условии, что k>0) и т.д. вплоть
до оператора А19. Она тоже совпадает с соответствующей частью
алгоритма (5.72). Это обстоятельство можно интерпретировать
22]
"ПРОСТЕЙШАЯ МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
175
следующим образом. Если нет свободных каналов, а очередь
заявок имеется (первый случай) или имеется очередь заявок
Счетчшлолтеспиат
оИслумепных заявок
Счетчик
количества т' отказов
2В\
N + 1
28
36
Выбор канала
по мрео'ию
Переход к очеред-
ной реализации
гз
Обработка'результа-
тое мо^елиротлия
30
Счетчик кзличе-
спеа т отказа/
t""=t<c»
17
13
Перенос If
Рис. 10.
при наличии одной свободной линии (второй случай), то
алгоритм (5.77) работает совершенно аналогично алгоритму (5.72).
Заметим, что, кроме отмеченных здесь первого и второго
176 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
случаев, никаких других случаев быть не может (например, не
может быть случая, когда одновременно имеется очередь
заявок и очередь свободных каналов).
Отличие алгоритма (5.77) от (5.72) начинается с
оператора Р7 (когда k = 0). Однако необходимо начать рассмотрение
с несколько более раннего этапа работы алгоритма. Если tj<T
(оператор Ра), то управление передается оператору P3i.
Операторы Р31 и Кзг обеспечивают просмотр всех каналов. Если
условие tj<^t{r) выполнено (оператор Р4), то данный канал занят
в момент tj и управление передается оператору P3i для
перехода к следующему каналу. Если же tj ^> tfB\ условие,
проверяемое оператором Р4, не выполнено: в момент tj данный
(i-й) канал свободен, — то управление передается оператору Р7.
Если &>0 (оператор Р7), то работа алгоритма продолжается
по описанному ранее пути: А9, Ф40 и т.д. При & = 0 (очереди
заявок нет) имеется возможность образования очереди
обслуживающих каналов. Управление передается оператору F33 для
записи в регистр момента освобождения tfB) канала, способного
обслуживать данную заявку. В связи с этим прибавляется
единица к количеству свободных каналов псв. Таким образом,
отбираются те каналы, которые оказываются свободными в
момент tj. Оператор Р35 проверяет наличие свободных каналов.
Если таковых нет, то управление передается оператору А5
(аналогия с алгоритмом (5.72) — передача управления от
оператора Р4 оператору А5, если tj < t(j-\)- Когда свободные каналы
имеются, работает оператор F36 (выбор канала по жребию), и
управление передается оператору F8 (канал выбран, начинается
обслуживание заявки).
Таким же образом могут быть построены моделирующие
алгоритмы и для других условий работы многоканальных систем
массового обслуживания.
§ 23. Система массового обслуживания
с ненадежными элементами
Многие практические задачи приводят к необходимости
рассматривать системы массового обслуживания с ненадежными
элементами. Рассмотренные случаи, как правило, сводятся
к тому, что в некоторый момент времени ^сб> происходит отказ
(сбой) в работе обслуживающего канала. Отказавший канал
может быть отремонтирован за время т<р> и снова находиться
в готовности к обслуживанию, начиная с момента времени
/(г)=/(сб) + т(р)#
§ 23] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 177*
Надежность канала задается функцией распределения,
интервала безотказной работы P(t), равной вероятности того, что
P(t) = p{t(c6)>t}. (5.78)
Время ремонта т'р> считается случайной величиной с
заданным законом распределения.
Моделирование сбоев в работе обслуживающего канала
можно осуществить двумя путями. Первый из них состоит в
следующем. Пусть г/'—момент начала обслуживания /-и заявки.
Вероятность сбоя до момента г/ может быть вычислена из
выражения
p{tf) = \-P{tf). (5.79)
Зная вероятность p{tj]), можно выбрать по жребию
соответствующий результат испытания для события «получение сбоя».
Другой путь связан с имитацией случайного числа ^'сб>
непосредственно по известной функции распределения 1 — P(t) и
сравнением момента начала обслуживания t-P с моментом,
сбоя t(c6K
Иногда удается построить удобные моделирующие
алгоритмы, интерпретируя отказ и ремонт как обслуживание
фиктивной заявки с моментом начала обслуживания #сб> и
длительностью обслуживания т<р). Весь период времени, пока обслужи*
вающий канал ремонтируется, его можно считать фиктивно
занятым.
Другой существенной стороной функционирования системы'
массового обслуживания с ненадежными элементами является
вопрос о судьбе заявки, в процессе обслуживания которой
наступает сбой. Здесь могут быть различные варианты: заявка
получает отказ, обслуживание заявки должно быть продолжено
по окончании ремонта канала и т. д.
Рассмотрим на типичных примерах методику построения
моделирующих алгоритмов для систем массового обслуживания с
ненадежными элементами.
Пусть речь идет об одноканальной системе массового
обслуживания, описанной в начале § 21, которая характеризуется
моделирующим алгоритмом (5.69). Дополним ее определение
следующими свойствами: в случайные моменты времени №б\
задаваемые функцией распределения P{t), канал выходит из
строя. Ремонт его продолжается случайное время т(р> с
заданным законом распределения. Заявка, при обслуживании
которой наступил сбой канала, получает отказ.
Используем второй из описанных выше подходов к
построению моделирующих алгоритмов.
12 Н. П. Бусленкр
178 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
Пусть в нашем распоряжении будут следующие операторы:
Р4о — проверка условия а>0;
Фи—формирование случайного числа #сб> в соответствии
с функцией распределения (5.78);
F42 — выбор £(сб> из памяти;
Р43 — проверка условия #сб)<#св);
F44 — запись ^сб> в памяти, формирование а = 1;
F45 — формирование а = 0;
Р46— проверка условия ^(сб><Дн>;
Ф47 — формирование случайного значения тФ' времени
ремонта обслуживающего канала;
А48 — определение момента #г) готовности канала к
обслуживанию после ремонта; -
Р49 — проверка условия #г><#ж> (возможности обслужить
заявку после ремонта).
Операторная схема подалгоритма учета надежности может
быть представлена в виде
Р40 Ч>41 Г 42 Г*43 Г 44 Г 45 Н46*14Ф47 А48^49|14- (O.OU)
Этот подалгоритм работает следующим образом. От
оператора Ри алгоритма (5.69), если условие, проверяемое Ри,
выполнено, управление передается Р40. Оператор Р40 проверяет
условие ос>0. Смысл этого условия состоит в следующем: если
а=1, значение ^сб> уже сформировано и записано в памяти
машины, оно может быть выбрано при помощи оператора F42;
если а = 0, величину №б) предстоит сформировать (для этой
цели служит оператор Фи). Таким образом, значение ^сб>
может быть получено одним из упомянутых здесь способов.
Оператор Р43 проверяет условие ^сб)<^св>.
Если это условие окажется невыполненным (сбой канала
происходит после окончания обслуживания), то, во-первых,
заявка может быть обслужена, а во-вторых, значение Лсб> нужно
записать в память, так как оно пригодится при рассмотрении
последующих заявок. Поэтому от оператора Р4з по стрелке с
индексом нуль управление передается оператору F44, который
фиксирует ^сб> и формирует сс=1 (^(сб> имеется в памяти). От
оператора F44 управление передается оператору Ki2 алгоритма
(5.69) для подсчета количества обслуженных заявок.
Пусть теперь условие, проверяемое оператором Р43, будет
выполнено. Это значит, что /(сб><#св>, и вопрос о возможности
обслужить заявку остается пока открытым. Вместе-с тем
значение ^'сб) уже не пригодится при рассмотрении последующих
заявок, поэтому управление по стрелке с индексом единица
передается оператору F45 Для формирования а = 0.
§23] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 179
При #сб><#св) имеются две возможности: 1) сбой канала
произошел до начала обслуживания (Лсб> < ^н>; это условие
проверяется оператором Р46), поэтому для решения вопроса
о возможности обслужить заявку необходимо учесть время
ремонта канала; 2) сбой канала произошел в процессе
обслуживания заявки, и тогда (по предположению) заявка получает
отказ. В соответствии с этим от оператора Р46 по стрелке с
индексом нуль управление передается оператору Ки алгоритма (5.69)
для подсчета количества отказов. С другой стороны, от
оператора Р46 по стрелке с индексом единица управление передается
оператору Ф47. Оператор Ф47 формирует длительность ремонта
т*), а оператор А48—момент ^г). Наконец, оператор Р49
позволяет проверить условие #Г)<ЛШ> и тем самым решить судьбу
заявки. Если условие, проверяемое оператором Р49 выполнено,
то управление передается оператору Ф9 алгоритма (5.69)
(заявка обслуживается), в противном случае управление передается
оператору Ki4 для учета количества отказов.
Если данный подалгоритм подставить в (5.69), то мы
получим алгоритм для моделирования процесса функционирования
соответствующей системы массового обслуживания с
ненадежными элементами. Выполнение этой подстановки и проверку
функционирования моделирующего алгоритма мы*
предоставляем читателю.
Рассмотрим теперь одноканальную систему массового обслу-'
живания, в которой заявки принимаются к обслуживанию по
минимальному ftmK К этой системе относится моделирующий
алгоритм (5.72). Чтобы обеспечить учет возможной
ненадежности обслуживающего канала, помимо операторов,
использованных в подалгоритме (5.80), введем еще два оператора:
■ F5o — подстановка величины #г) в оператор Р4 вместо t(jl\; '
• A5i — перенос tj в ячейки для работы оператора Р4
(аналогичен А19 алгоритма (5.72) и др.).
В этом случае операторная схема подалгоритма для учета
надежности как дополнение к алгоритму (5.72) имеет вид
22DA42 л43 40— 41,42,^45—23 43- г» а а - * 19 /с о,\
РЬ Ч>41 F42 РЗз F44 Р45Р46*15Ф47А48Р50А51. (5.81)
Подалгоритм (5.81) мало отличается от описанного выше
(5.80). Здесь не участвует оператор Р4д, однако вместо него
использованы F5o и А51. Необходимо отметить очень важное
обстоятельство: подалгоритм (5.81) полностью применим для учета
надежности каналов в многоканальной системе. Его можно
рассматривать как дополнение к моделирующему алгоритму (5.77).
До сих пор мы имели дело лишь с таким вариантом судьбы
заявок, когда в результате сбоя канала заявка получает отказ.
12*
180 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ /ГЛ. V
Представляют интерес и другие случаи. Некоторые из них будут
рассмотрены ниже. Например, для дискретных
производственных процессов изучается случай, когда заявка дообслуживается
после ремонта отказавшего канала.
Соответствующие подалгоритмы учета ненадежности
обслуживающих каналов предоставляется построить читателю.
§ 24. Система массового обслуживания
более общего характера
Описанные приемы моделирования относились к случаям
наиболее элементарных систем массового обслуживания. Они
заслуживали достаточно подробного изложения не только как
введение в методику, но также как типичные приемы
моделирования весьма распространенных классов систем.
Рассмотренные выше системы массового обслуживания по
существу являются математическими схемами, которые можно
- использоеать для формализации и математического описания
V некоторых реальных систем. Весьма важным оказывается то об-
■; - стоятельство, что для упомянутых схем при некоторых предпо-
* ложениях относительно структуры потока заявок и процесса
У функционирования системы получены аналитические решения
.' задачи оценки качества обслуживания. Однако во многих слу*
чаях те ограничения, которые позволяют получить
аналитические решения, являются неприемлемыми, они препятствуют
использованию соответствующих математических схем для
описания реальных процессов с достаточной для практики
точностью.
К такого рода стеснительным ограничениям в первую
очередь относятся предположения о характере потока заявок,
обслуживаемых системой. Часто реальный поток заявок
недостаточно рассматривать как поток однородных событий, а тем
более как простейший поток, имеющий распределение Пуассона.
На практике заведомо более распространены задачи,
требующие учета имеющейся неоднородности заявок в потоке. Это
обстоятельство оказывается существенным тогда, когда
параметры процесса обслуживания (например, его длительность,
качество и т. д.) зависят не только от времени поступления
заявки, но и от других ее характеристик. Так, при обработке
детали на токарном станке время обработки заведомо зависит
от первоначальных размеров заготовки, твердости материала
и т. д. Если в качестве заявок на обслуживание
рассматриваются самолеты, прибывающие в крупный аэропорт, то,
помимо времени прибытия, необходимо учитывать тип самолета,
его скорость, высоту, курс, длину пробега на посадочной полосе
§ 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 181
и т. д. Все эти параметры оказывают существенное влияние на
характеристики обслуживания.
Для того чтобы математическая схема массового
обслуживания могла быть с успехом использована при формализации
достаточно широкого класса реальных процессов, ее необходимо
соответствующим образом обобщить. Первым такого рода
обобщением является расширение понятия потока заявок на те
случаи, когда заявки оказываются неоднородными и для описания
их требуется привлекать, помимо момента поступления в
систему, другие параметры.
В общем случае будем предполагать, что каждая заявка
характеризуется моментом поступления tj и п параметрами
ai, а2, .. ., ап. Другими словами, каждая заявка представляет
собой (п+1)-мерный вектор вида
Vj = v (tj, aiy, a2j anj) (5.82)
в пространстве параметров t, ai, аг, . .., ап. :.:
На практике часто приходится учитывать случайный харак-f
тер параметров заявок. В самом деле, время поступления зая-*
вок не всегда подчиняется строго детерминированным законам.
Часто бывает необходимо считаться со случайными
отклонениями от нормы не только моментов поступления tj, но и других
параметров заявок (размеров, температуры, твердости,
координат, скорости и т.д.). Поэтому в общем случае заявки
описываются случайными векторами. Таким образом, мы приходим
к необходимости рассматривать случайные потоки векторов
«1, vz, . ■., vh, . . ., где vk имеет вид (5.82).
В общем виде случайный поток векторов как случайный
процесс может быть описан совокупностью многомерных
законов распределения (см. [14], [38]). Чтобы не выписывать
каждый раз соответствующие одномерные, двумерные и т. д;
функции распределения, обозначим совокупность их символом
L(x), где под х понимается тот случайный объект, о котором
идет речь в данной задаче. Тогда закон распределения
случайного потока векторов vi, и2, ..., Vk, ... будет обозначаться
L\vv v2, .... v» ...].
Заметим, что оперирование случайными потоками
многомерных векторов в общем случае оказывается весьма сложным
делом как с точки зрения моделирования реализаций, так и
в связи с трудностями практического определения параметров
закона распределения по опытным данным. Поэтому на
практике при моделировании сложных систем обычно отказываются
от общего случая и рассматривают различные частные виды
182 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
потоков случайных векторов, наиболее существенные для
приложений. Мы кратко остановимся на важнейших случаях
такого рода-
Зададим последовательность tj моментов поступления заявок
в систему массового обслуживания как поток однородных
событий. В этом случае он может быть описан методами,
рассмотренными выше- Остальные параметры заявок можно
задать условными законами распределения Lt[v\, v2, ■ ■., vk, ...]
при условии, что поток [tj] фиксирован.
В качестве первого упрощения, которое для ряда задач
оказывается приемлемым, можно принять гипотезу о
независимости параметров заявки аь а2, • • •, ссп от моментов
поступления заявок tj как случайных величин. Тогда поток моментов tj,
с одной стороны, и векторы (аь а2, .. ., ап) — с другой, могут
быть описаны отдельно как независимые случайные объекты
соответствующими законами распределения.
Дальнейшие упрощения сводятся обычно к следующему.
При описании потоков tj используют только потоки однородных
событий с ограниченным последействием (как стационарные,
-так и нестационарные). Это позволяет рассматривать
интервалы времени между последовательными заявками как
независимые случайные величины. Некоторые из параметров заявок
аь а2, • •., ап могут быть фиксированными или случайными
величинами, не зависящими от остальных. Иногда векторы
■(аь GC2, • •., осп) могут быть описаны в рамках корреляционной
теории-
Упомянутые предположения позволяют значительно
упростить оперирование над случайными потоками векторов. Вместе
с тем рассмотрение заявок как случайных векторов является
единственной в настоящее время возможностью использовать
•идеи теории массового обслуживания для математического
описания и моделирования сложных систем-
Другие ограничения относятся к процессу
функционирования системы массового обслуживания.
В системах массового обслуживания, рассмотренных выше,
параметры системы (количество линий, характеристики закона
распределения времени занятости линии, например, среднее
время обслуживания и т. д.) предполагались независимыми от
характеристик потока заявок. В реальных системах часто эта
зависимость играет существенную роль. Если считать поток
заявок потоком случайных векторов, то параметры системы
массового обслуживания могут быть функциями tj и величин
аь сб2, • • •, ссп. Например, длительность обработки детали может
определяться ее размерами, твердостью материала,
температурой (при горячей обработке) и т. д. В более сложных случаях
§ 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 183
характеристиками потока заявок определяется даже структура
процесса обслуживания- С этим обстоятельством необходимо
считаться при формализации сложных систем.
До сих пор мы встречались лишь с такими системами
массового обслуживания, для которых порядок использования
свободных линий, а также порядок выбора заявок из очереди для
обслуживания устанавливался заранее, в процессе
обслуживания не изменялся и не зависел от характеристик потока заявок.
Однако встречаются такие реальные процессы, которые могут
быть с достаточной точностью представлены в виде систем
массового обслуживания лишь в том случае, когда последние
содержат элемент, способный определять оптимальный порядок
обслуживания. Легко видеть, что к таким процессам относятся
все процессы с управлением, особенно с централизованным
управлением.
Для математического описания процессов с управлением
удобно использовать такие системы массового обслуживания,
которые снабжены специальным алгоритмом, позволяющим по
известным данным о заявках и состояниях обслуживающих
средств определить порядок обслуживания, а иногда и
целесообразное изменение структуры самой системы Примеры таких
систем массового обслуживания будут, рассмотрены ниже в
связи с моделированием дискретных производственных
процессов.
Наконец, описанные выше системы массового обслуживания
были однофазными. На практике приходится нередко
сталкиваться с так называемыми многофазными системами. В
простейшем случае многофазная система состоит из нескольких
однофазных систем, работающих последовательно. Это значит,
что заявки, обслуженные первой из систем (на первой фазе),
поступают на обслуживание во вторую систему (на вторую
фазу). Заявки, обслуженные на второй фазе, поступают на
третью фазу и т. д. Системы массового обслуживания,
составляющие различные фазы обслуживания, в общем случае, могут
быть неодинаковыми. Более того, характер операций,
составляющих обслуживание на различных фазах, может быть
принципиально различным.
Простейшим примером многофазного обслуживания может
быть обслуживание покупателей в магазине: первая фаза —■
выбор (или примерка) покупки, вторая фаза — оплата чеков
в кассе и, наконец, третья фаза — получение покупок в отделе
контроля'и выдачи.
В более сложных случаях на последующих фазах могут пот
явиться заявки, которые не поступали на предыдущие фазы, но
обладают определенными признаками или свойствами. Может
184 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
случиться, что обслуживание, относящееся к последующей фазе,
начинается еще до окончания обслуживания на предыдущей
фазе и т. д.
Если отказаться от перечисленных выше ограничений или
даже от некоторой их части, то об аналитическом решении
задачи уже не может быть и речи. Метод статистического
моделирования позволяет получать решение многих задач
практически без упомянутых ограничений.
Для сложных систем в настоящее время не существует
общих методов и приемов моделирования. Эти методы еще
ждут своей разработки. Поэтому методику можно показать на
ряде типичных примеров. В настоящем параграфе мы
рассмотрим в качестве такого примера одну из систем массового
обслуживания достаточно общего вида.
Процесс функционирования системы выглядит следующим
образом. В момент времени tj (/=1,2, . . .; tj+\ ^ tj) в систему
поступают заявки на обслуживание. Каждая заявка, помимо tj,
характеризуется параметрами ар (t) (k=l, 2, ..., m), которые
в общем случае могут быть функциями времени t. Будем
считать, что заявки образуют случайный поток, т. е. моменты
времени tj образуют поток однородных событий, а параметры
заявок a(p(t) являются реализациями случайных функций AW(t)
с заданными законами распределения.
Система массового обслуживания состоит из общего
агрегата, выполняющего операции управления, и п каналов,
обслуживающих заявки. Общий агрегат и каналы описываются
параметрами рр (t), которые представляют собой реализации
случайных функций
B{P{t)r / = 0, 1, 2, .../л; г=1, 2 /,
с заданными законами распределения. Здесь г'=0 относится
к общему агрегату- На порядок обслуживания заявок
накладываются ограничения. Канал с номером i может быть
привлечен для обслуживания /-й заявки, если он свободен и
выполняются условия вида
и$[а<*>(/), РИ0]<й#. (5.83),
где uff)—возможные значения случайных величин ufj.
Обслуживание /-и заявки каналом с номером i может быть
начато не в любой момент времени, а лишь в момент
удовлетворяющий условиям
tij<t?]<t"i» (5-84)
4 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 185
где функционалы ? и t" определяются величинами a^(t), P(/'(/)>
K(t) ntj.
Функционирование системы массового обслуживания
происходит следующим образом. Предположим, что в систему в
момент времени tj поступила заявка с параметрами a(p(t). Тогда
в общем агрегате определяются значения функционалов u(s) для
данной заявки и всех каналов.
Путем проверки условий (5.83) отбираются каналы,
способные обслужить данную заявку. Если условия (5.83) не
выполняются ни для одного канала, то заявка получает отказ. В
противном случае в общем агрегате для заявки с номером / и
каналов, способных ее обслужить, вычисляются функционалы
tij и ttj. Среди каналов, удовлетворяющих условию (5.83),
отбираются те, которые оказываются свободными в течение
интервала времени (5.84) или его части. Эти каналы считаются
претендентами на обслуживание заявки. Если же свободных
каналов не оказалось, то заявка получает отказ.
Информация о заявках, не получивших отказа, и каналах,
способных их обслуживать, накапливается в общем агрегате.
В моменты времени t^\ h=\, 2 образующие случайный
поток однородных событий с заданным законом распределения,
общий агрегат реализует специальный оператор G, который
выделяет каналы для обслуживания поступающих заявок и
определяет моменты начала обслуживания Все заявки, для
обслуживания которых в момент t\ ) выделены каналы, делятся
на две группы. К первой группе принадлежат заявки,
удовлетворяющие условию
$)<№* (5-85)
Они немедленно закрепляются за соответствующими каналами
и принимаются к обслуживанию. Ко второй группе относятся
заявки, для которых
tf)>tfU , (5.88)
Они за каналами не закрепляются и пока к обслуживанию не
принимаются, а остаются в общем агрегате и учитываются в
момент ttf+i (наряду с вновь поступившими заявками) при
распределении каналов.
Если в момент времени А. для обслуживания данной заявки
не были, выделены каналы, то судьба заявки решается в
зависимости от соотношения между величинами t[j и $+ь' В слут
чае, когда
t'ljKtfli, (5.87)
186 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
заявка получает отказ. В противном случае она остается в
системе как претендент на обслуживание и подлежит учету при
реализации оператора G в момент времени Д0^.
Перейдем к рассмотрению самого процесса обслуживания.
Начиная с 4 . каналы, выделенные для обслуживания заявок
первой группы (5.85), считаются занятыми. Момент окончания
обслуживания tfj определяется как
(?} = {?)+хи, (5.88)
а момент освобождения iff — как
tf;> = 4Hj + Ti/+T</-j.- (5.89)
Длительность обслуживания Хц и время, требуемое (после
окончания обслуживания /-й заявки) на подготовку г'-го канала к
обслуживанию новой заявки хр,, в общем случае зависят от
величин af(t), f>p(t) и tf].
Обслуживающие каналы не являются абсолютно надежными
и могут выходить из строя в процессе обслуживания заявок.
Моменты tf выходов из строя и потребное время ремонта
т'^Р) описываются так же, как и в предыдущем параграфе.
В случае выхода канала из строя обслуживание заявки
прекращается, а время освобождения линии определяется в со-
. ъ ответствии с соотношением
t^^tff^xfj + x^. (5.90)
Рассматривая заявку, при обслуживании которой канал
вышел из строя, будем считать, что заявка учитывается в
момент 4°н при распределении каналов, если tij^-t^+i, и
получает отказ, если t'tj < tf+\.
Качественное облуживание гарантируется с вероятностью
1 —pfj] (в случае безотказной работы канала) и 1 —<?№ (в
случае, если в процессе обслуживания канал выходит из строя).
Величины />f;> и ^зависят от a{f(t), ftp (t), /<Hj и if К
На выходе рассматриваемой системы массового
обслуживания мы сталкиваемся с потоком заявок, покидающих систему
.(выходным потоком). Мы будем придерживаться следующих
^предположений относительно характера выходного потока
заявок. Заявки, получившие отказ (за исключением случаев
брака), выбывают из системы с неизменными параметрами
aW(t). Качественно обслуженные заявки при выходе из си-
' стемы имеют параметры а'*1^), а в случае брака — а^ (t). Вы-
§24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА ]87
ходные значения параметров заявок зависят от. a(.ft)(0> f>{p(t)>
*<;>, /<;;. xf и т. д.
Предполагается, что для всех операторов и функционалов
(G, t', t", t(n\ т, т(г), /??, /р>, aflt), af(t) и т. д.) заданы
алгоритмы, позволяющие вычислить их значения по известным
значениям аргументов.
Для построения алгоритма, моделирующего процесс
функционирования такой системы массового обслуживания, введем
в рассмотрение соответствующие обозначения и операторы.
Количество заявок, поступающих в систему, будем
обозначать N- Количество каналов, удовлетворяющих условиям (5.83),
обозначим к, условиям tij^iff — обозначим ц, условиям
tij~>ti —обозначим v; количество каналов, выделенных one--
ратором G для обслуживания заявки, обозначим 6. Количество
обследованных реализаций процесса обслуживания
обозначим К. Максимальное значение К обозначается К*.
Очередные значения t\ ) и 4+i будем хранить в ячейках
памяти машины, называемых «регистром t». Параметры U., а<?'
и т. д.) заявок, поступивших позднее, чем А \ записываются
в регистре I. Номера заявок и каналов, подготовленных для
очередного распределения оператором G, записываем в
регистр G], а результаты работы оператора G — в регистр G2.
Кроме того, в регистре II будем хранить параметры заявок, для
которых справедливо (5.86).
Количество величин 4 \ содержащихся в регистре t,
обозначим через ф, количество заявок в регистре I — через 8i, в
регистре II — через бг, в регистре G\—через Хл, в регистре
G2 — через £2.
В моделирующем алгоритме фигурируют следующие
операторы: .
Ф4 — формирование случайных значений моментов
времени th ;
Кг--счетчик количества q> величин th) в регистре t
(реализует операцию ср+1);
А3 — запись 40) в регистр t;
Р4— проверка условия ф> 1;
Р5— проверка условия £i > 0;
Р6 — проверка условия 02 > 0;
А7 — выбор очередной заявки из регистра II;
Ks — счетчик количества заявок в регистре II (реализует
операцию Э2 — 1);
Р9—проверка условия 64 > 0;
188 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
Аю — выбор очередной заявки из регистра I;
Кн — счетчик количества заявок в регистре I (реализует
операцию 94 — 1);
Ф42 — формирование реализаций t} и aW(t);
К13 — счетчик количества N заявок, поступивших в систему
(реализует операцию N+\);
Рн — проверка условия tj < ^0);
Ai5— запись tj и aj} (t) в регистр I;
Ki6 — счетчик количества заявок в регистре I (реализует
операцию 01 + 1);
Ф17 — формирование реализаций $([]{t)\
Ais — вычисление величин u\s) и щ], фигурирующих в
неравенствах (5.83);
F!9 — отбор каналов, удовлетворяющих условиям (5.83);
Р2о — проверка условия Х>0;
К21 — счетчик количества отказов;
А22 — вычисление значений tu и tu\
F23 — отбор каналов, удовлетворяющих условию 4 < tij\
Р24 — проверка условия ц, > 0;
F25 — отбор каналов, удовлетворяющих условию iff < t'ifi
Р26—проверка условия v > 0;
А27 — запись сведений о заявках и каналах в регистр Gt;
К28 — счетчик количества заявок в регистре G4 (реализует
операцию £i+l);
F29 — реализация оператора G, запись результатов в регистр
Ог, формирование £,2^=Zu a ^i = 0;
Рзо — проверка условия £2 > 0;
А31 — исключение из регистра t значения 40) н запись
вместо него 4+ь
Кзг — счетчик количества заявок в регистре Ог (реализует
операцию ^ — 1); .
А3з — выбор очередной заявки из регистра G2;
Р34 — проверка условия б > 0;
Рз5 — проверка условия tij < ti+f,
Кзб — счетчик количества отказов;
А37 — запись параметров заявок в регистр II;
Кзз —счетчик количества заявок в регистре II (реализует
операцию 02+1);
Рзэ — проверка условия t(tj < $+i или (5.85);
Р4о — проверка условия 6Н)<Т\
Ф41 — формирование случайных значений хц времени
обслуживания;
§ 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 189
А42—вычисление момента tf) окончания обслуживания
(5.88);
Ф4з — формирование случайных значений моментов сбоя if
(отказа) обслуживающего канала;
Р44— проверка условия tf6) < tf);
Ф45—формирование случайных значений tXrj;
А46 — вычисление момента ti освобождения канала (5 89);
А47 — вычисление вероятности брака р<бР>;
Р48 — проверка условия %t < р^\ где %t — случайное число
с равномерным законом распределения в интервале (0, 1.)
(реализация жребия);
К49 — счетчик количества обслуженных заявок;
Ф5о — формирование реализаций выходных значений a^{t)n
а(Р (t) параметров заявок;
Ф51 — формирование случайных значений т'р>;
А52 — вычисление момента освобождения канала в
случае сбоя (5.90);
А53 — вычисление вероятности брака q(u&;
Р54 — проверка условия ^<д(б?) (см. оператор Р48);
Кьб — счетчик количества случаев брака;
Р56 — проверка условия К < К*;
F57 — переход к очередной реализации процесса;
Кбв — счетчик количества К обследованных реализаций
процесса (реализует операцию /С+1);
А5э — обработка результатов моделирования;
Ябо — конец вычислений и выдача результатов.
Мы не останавливались на детальном описании тех
операторов, которые уже встречались ранее в более простых схемах,
считая их хорошо известными.
Кроме того, мы не поясняли обозначений, введенных в
предыдущих параграфах.
Имея необходимый набор операторов, можно записать
операторную схему моделирующего алгоритма в следующем виде:
4,58d>WA 3-31D D*295-21>28D A I/236D A I/14
Ф1К2А3 Гщ Н5 Р&И> А7К3 1*9*12 AloKll
9<h V ll' !3D^17 A I/31 14<h A P D+22 20' 24> ^l/6
Ф12К13 H14 AisKie 4>i7A18r lyHio K21
20 A 8, 22c n en * I^fi 5C 29,36, 38, 50nA32
A22 Г23Г244-21Г25"264-21А27К.28 Г29 г 30
16, ЗЭ . 4 30,, A nX39 34,54n ,,30 35, 39« ,,30
А31 1Чз2АззГ34 ГЗ'^37 1\Ч6 А37К.38
• 34Рз9^37Р40^бФ41А42Ф4зР!45!Ф45А4бА47Р1855
и 49,55л30 44л A A D 48, 54,,50 •
1W Ф50 Ф51А52А5зН51*з> К.55
40P56^9F57l456A59Heo. (5.91;
190 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
Для наглядности на рис. 11 приведена блок-схема моделирую-
, щего алгоритма (5.91).
Остановимся кратко на работе алгоритма. Алгоритм состоит
из пяти основных частей. Первая часть (операторы 1-^4)
обеспечивает формирование и хранение в памяти машины
моментов /л0> реализации оператора G.
Вторая часть (операторы 5 + 28) производит формирование
заявок, поступающих на обслуживание, и отбирает те заявки,
которые могут быть обслужены системой. Сведения о таких
заявках и обслуживающих каналах записываются в регистр Gt.
Они служат исходными данными для работы оператора G-
Третья часть (операторы 29-f-38) моделирует реализацию
оператора G, а также сортирует заявки, обработанные
оператором G, на принятые к обслуживанию и подлежащие
рассмотрению при следующей реализации оператора G. Четвертая
часть (операторы 39-=-55) связана с моделированием собственно
операции обслуживания заявок. Наконец, пятая часть
(операторы 56 -V- 60) обеспечивает управление процессом
моделирования и обработку его результатов.
Остановимся подробнее на работе всех упомянутых частей
алгоритма (подалгоритмов).
Первая из них обеспечивает наличие в регистре t двух пос-
„ АО) ,10)
ледовательных значении гл и гц+\ моментов реализации
оператора G. В самом деле, передача управления от оператора Р4
оператору Ps происходит лишь в том случае, когда <р > 1.
В противном случае управление передается по стрелке с
индексом 0 оператору Ф1 для формирования очередного значения 4 •
Работа второй части алгоритма начинается с оператора Р5
Прежде чем формируется новая заявка (оператор Ф^),
производится проверка ряда условий (операторы 5-?-11). Однако мы
пока это обстоятельство оставим в стороне и вернемся к нему
несколько позже. Начнем рассмотрение второй части с работы
оператора Ф12. Оператор Ф12 формирует момент поступления tj
и параметры a<*>(tf) очередной заявки. Оператор Ki3 (счетчик
количества N заявок, поступивших на обслуживание)
прибавляет единицу к числу N и передает управление оператору Ри
для проверки условия tj < f/, . Если это условие выполнено,
то оператор Ф17 формирует значения параметров ftp для
каналов системы массового обслуживания, а оператор А!8 вычисляет
значения uf) и u*f}. Это дает возможность приступить к отбору
каналов, удовлетворяющих условиям (5.83) (оператор F!9).
Оператор Рго проверяет условие Х>0. Если это условие не
выполнено, т. е. нет ни одного канала, удовлетворяющего условиям
§ 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 191
(5.83), то заявка получает отказ. Поэтому от оператора Р2о по
стрелке с индексом 0 управление передается оператору Кг1 для
подсчета количества отказов. Если же условие Я>0,
проверяемое оператором Р2о, выполнено, то переходим к отбору каналов
по другим критериям. Аналогичным образом происходит
обработка всех заявок до тех пор, пока tj < 4°' (оператор Ри).
Когда для очередной заявки t} окажется большим, чем t{h '',
формирование заявок должно быть прекращено, так как tj+i
всегда больше или равно tj. Поэтому от оператора Ри по -
стрелке с индексом 0 управление передается оператору А15 для
записи последней заявки в регистр 1. В связи с этим прибав*
ляется единица к величине 0i (оператор Kie), и осуществляется
переход к следующему моменту Д+i (оператор A3i).
Возвратимся к оператору Р2о. По стрелке с индексом 1
управление передается оператору А22, который вычисляет
значения величин tij и tij. Далее оператор F23 производит отбор
каналов, удовлетворяющих условию 40) < ttj. Количество
таких каналов обозначено \х. Оператор Р24 проверяет условие
ц>0. Если это условие не выполнено, то управление передается
оператору K2i для подсчета количества отказов. В противном
случае производится отбор каналов, удовлетворяющих условию
$? <.tij (оператор F2s). Если количество таких каналов v = 0
(оператор Р26), то управление передается опять оператору Кц-
Если же v>0, то от оператора Р2е управление по стрелке с
индексом 1 передается оператору А27 для занесения данной заявки
в регистр Gt. Величина £i увеличивается на единицу (оператор
Кгв). Заметим, что в регистре Gt накапливаются сведения о всех
без исключения заявках, которые могут быть обработаны
оператором G в очередной момент 4 .
Перейдем теперь к оператору Р5- Если £i>0 (имеются заявки
в регистре Gt), то необходимо реализовать оператор G. В
противном случае от оператора Р5 по стрелке с индексом 0
управление передается оператору Р6.
Смысл работы группы операторов 6ч-11 заключается в
сборе всех заявок, находящихся в регистрах I и II, которые
поступили в систему, но из-за невыполнения условия tj<Jk ' не
были обработаны оператором G или же не получили каналов
для обслуживания (6 = 0, оператор Р34). Только после того, как
все заявки такого рода исчерпаны, начинается формирование
параметров новых заявок (оператор Ф12), так как tj+h>tj.
Оператор Р6 проверяет условие 62>0. Если оно выполнено (в
регистре II имеются заявки), то оператор А7 выбирает очередную
заявку из регистра II, а оператор Кз уменьшает 02 на единицу,
192 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
От оператора Ks управление передается оператору F23, так как
для заявок, содержащихся в регистре II, все операции,
выполняемые операторами 9-^22, выполнялись ранее. Если 02 = О, то
управление от оператора Р6 передается оператору Рд для
проверки наличия заявок в регистре I. В случае 04>О оператор А10
выбирает очередную заявку из регистра I, а оператор Ки
уменьшает 0i на единицу. Управление передается оператору Р44.
Дальнейшую работу алгоритма, начиная от оператора <J>i2, мы
рассмотрели выше.
На этом заканчивается рассмотрение второй части
моделирующего алгоритма. Перейдем к рассмотрению третьей части.
Пусть теперь £i>0 (оператор Р5). Переходим к реализации
оператора G (оператор .Ргэ), а затем к оператору Р30. Если в
результате работы оператора G £2 = 0, то управление передается
оператору A3i, а затем оператору Р4. Тем самым мы приступаем
к подбору заявок, которые будут обрабатываться при
следующей реализации оператора G. Если же £2>0, то уменьшаем £2
на единицу (оператор Кзг) и выбираем очередную заявку из
регистра С2 (оператор А3з).
Оператор Рз/, проверяет наличие каналов, выделенных для
обслуживания заявки (6>0). Если 6 = 0, то управление
передается оператору Р35 для проверки условия ttj < 4+ь При
выполнении этого условия заявка не может быть обслужена
системой Управление передается оператору К36 для подсчета
количества отказов и далее — оператору Р3о. Если же условие,
проверяемое оператором Р35 не выполнено, то имеется надежда
обслужить заявку. Поэтому она заносится в регистр II
(оператор А37) и будет фигурировать при очередной реализации
оператора G. В связи с этим 02 увеличивается на единицу
(оператор К3в) • Управление опять передается оператору Р3о-
Возвратимся к оператору Р34. Пусть 6>0 (для
обслуживания заявки каналы выделены). Тогда управление передается
оператору Рзэ- С него начинается четвертая часть
моделирующего алгоритма. Пусть условие tfj < A+i не выполнено
(оператор Рзэ), обслуживание заявки начинается после очередной
реализации оператора G. В этом случае заявка должна еще
раз пройти обработку оператором G, она заносится в регистр II
(от оператора Р39 управление передается оператору А37).
Если условие, проверяемое оператором Р39, выполнено, то
начинается обслуживание заявки. Оператор Р4о проверяет
условие t(fj < Т. Если это условие не выполнено, то закончилась
очередная реализация процесса обслуживания. Управление
Передается оператору Р56. Когда условие, проверяемое операто-
'ром Р4о, выполнено, формируется длительностьобслуживания т^-
§ 24] СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 193
(оператор Ф41), а также вычисляется tfj (оператор А42) и
формируется момент сбоя ti ' (оператор Ф43). Оператор Р44
проверяет условие// <г;К;-Если это условие не выполнено, то до
конца обслуживания данной заявки сбой не наступает. Тогда
оператор Ф45 формирует очередное значение x^j, а операторы
А46 и А47 вычисляют время освобождения канала tfB) и
вероятность брака /?(бр> соответственно. Пусть теперь условие,
проверяемое оператором Р44, оказывается выполненным (в процессе
обслуживания данной заявки наступает сбой). Тогда
управление передается оператору Ф51 для формирования длительности
ремонта канала %Р- Далее вычисляются момент освобождения
канала в случае сбоя (оператор А5г) в соответствии с
соотношением (5.90) и вероятность брака д(бр) (оператор А5з).
Операторы Р48 и Р54 реализуют жребий с вероятностями
-р(бр) и q^v). Если условия, проверяемые операторами Р48 и Р54,
-выполнены, то имеет место брак. Тогда управление передается
(по стрелкам с индексами 1) оператору К55 для подсчета случаев
брака, а затем оператору Ф5о для формирования выходных
параметров заявок. В противном случае, если брака нет, от
оператора Р48 управление передается оператору К4д для подсчета
количества обслуженных заявок, а затем оператору Ф5о. В этом
же случае (когда брака нет) от оператора Р54 управление
передается оператору Р35 для выяснения возможности передать
заявку на обработку при следующей реализации оператора G.
На этом четвертая часть моделирующего алгоритма
исчерпывается.
Пятая, заключительная часть начинает работу в случае,
если закончена очередная реализация процесса (условие tfj <
<Г, проверяемое оператором Р40, оказывается невыполненным).
Управление передается оператору Р56, который проверяет
условие К < К*- Если это условие выполнено, необходимо перейти
к моделированию следующей реализации процесса
обслуживания. Управление передается оператору F57, величина К
увеличивается на единицу (оператор Kss), а затем управление
передается оператору Ф4 для начала моделирования очередной
реализации. Если условие, проверяемое оператором Р5в, не
выполнено, то моделирование закончено. Тогда управление
передается оператору А5д для обработки результатов моделирования
и оператору Яво Для выдачи их на печать.
Искомыми величинами, получаемыми путем моделирования
такой системы массового обслуживания, обычно служат доля
обслуженных заявок, доля брака, а также вероятностные
характеристики потоков обслуженных и бракованных заявок.
В случае необходимости можно выводить на печать и ряд
13 Н. П. Буслснко
194 Моделирование систем массового обслуживания [Гл. у
других величин (времена пребывания заявок в системе, временя
простоев каналов, доля отказов за счет сбоев и т. д.). -
Рассмотренная модель может быть использована для
исследования многих встречающихся на практике сложных систем.
§ 25. Пример оптимизации системы массового обслуживания,
заданной моделирующим алгоритмом
Мы рассмотрели методику и примеры построения
моделирующих алгоритмов для сложных систем, которые могут быть
формализованы в виде систем массового обслуживания.
Наличие статистической модели, реализуемой на цифровой
вычислительной машине, позволяет провести интересные в
теоретическом и практическом отношении исследования системы
массового обслуживания. В первую очередь очевидны пути
решения ряда задач анализа системы. К ним относятся
определение показателей эффективности, надежности,
помехоустойчивости и других свойств системы по известным ее параметрам:
интенсивности потока требований, количеству каналов и их
характеристикам, времени обслуживания и т. д.
Большой интерес представляет исследование влияния
вариаций параметров системы на показатели, характеризующие ее
основные свойства. На этом пути могут быть получены
рекомендации, полезные с точки зрения синтеза системы. Важнейшим
этапом такого исследования можно считать оптимизацию
параметров системы, в основу которой положены показатели
эффективности.
В настоящем параграфе на одном из элементарных
примеров мы проиллюстрируем методику, изложенную в § 14,
применительно к системам массового обслуживания.
Следуя [41], рассмотрим трехканальную систему массового
обслуживания с продолжительностями обслуживания,
имеющими показательное распределение с параметрами р,ь ■ 1*2 и \i3
соответственно номерам каналов.
Требования поступают к системе двумя потоками,'
имеющими распределение Пуассона с интенсивностями Xi и Х2.
Порядок обслуживания поступивших требований состоит в
следующем. Требование первого потока поступает на обслуживание
на первый канал и, если он занят, — на второй. В случае
занятости второго канала требование получает отказ. Требование
второго потока поступает на второй канал; если он занят, — то
на третий, а если и последний занят, — получает отказ.
Отказ в обслуживании требования первого потока приводит
к убытку «1, а второго — к убытку аг. Если требования
отсутствуют, то простой первого канала в единицу времени приводит
§25]
ПРИМЕР ОПТИМИЗАЦИИ /СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
195
к убытку ей второго канала.— к-убытку с2 и третьего— к
убытку с3.
В связи с упомянутой системой массового обслуживания нас
будет интересовать выбор оптимальных значений средней
длительности обслуживания \ii, [д,2 и \i3- Здесь представляют
интерес два случая: 1) выбор р,; при отсутствии ограничений на их
сумму (задача на безусловный экстремум) и 2) выбор р,,, когда
сумма их ограничена (задача на условный экстремум).
Рассмотрим сначала первую задачу. Требуется определить
такие ць р,2 и \i3, чтобы суммарный убыток при эксплуатации
системы в течение заданного времени (О, Т) был минимальным.
Заметим, что такая задача (безусловный экстремум) имеет
точное решение (см. [31]), полученное при аналитическом опи*
сании процесса функционирования системы.
Построение моделирующего алгоритма для данной системы
массового обслуживания не должно представлять затруднений
для читателя, знакомого с предыдущими параграфами
настоящей главы.
Формируется поток однородных событий с показательным
распределением интервалов времени между событиями,
параметром которого служит К = Х1 + Х2. Из этого (суммарного)
потока по жребию с вероятностью W(Xi + ta) выделяются
события, которые мы считаем принадлежащими первому потоку^
Остальные события принадлежат второму потоку.
Далее, как обычно, проверяется занятость каналов и
возможность обслужить то или другое требование. Если такая
возможность имеется, для соответствующего канала формируется
время обслуживания т по показательному закону с
параметром р,;, где номер i совпадает с номером обслуживающего
канала.
Обратим внимание на порядок формирования величины
убытка и при моделировании процесса функционирования
рассматриваемой системы массового обслуживания
и = а,от, 4- a2m2 -f- p.,2, +- ц2Е2 + M-3'S3> (5.92)
где mi и т2 — средние значения количества отказов для
требований первого и второго потоков, а 2Ь 22, 23—средние
суммарные времена простоев для соответствующих каналов.
Сказанного достаточно для представления о работе этого
весьма простого моделирующего алгоритма.
Остановимся кратко на процедуре оптимизации. В
соответствии с методикой, рассмотренной выше, выбираем точку
нулевого приближения М-?, м|, \1%- Затем, обращаясь к
моделирующему алгоритму для исследуемой системы массового
13*
196 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. V
обслуживания, при p,j = p°, р2 = р°, р3 = р,^ проводим
моделирование процесса функционирования системы в интервале
времени (О, Т) с количеством реализаций модели, требуемым
заданной точностью решения задачи. В результате моделирования
получаем значения величин Ши m2, Si, S2 и S3, а затем по
формуле (5.92) вычисляем убыток ы<°).
Далее последовательно для каждого переменного (р,ь рг, р3)
проводим минимизацию убытка как функции одной переменной,
фиксируя значения других переменных и обращаясь каждый
раз к модели системы массового обслуживания для
определения убытка. Таким образом, получаем точку первого
приближения \ip, \i<£K \i$) и соответствующее значение убытка ы<!).
Аналогичным путем, исходя из точки первого приближения, можно
получить второе приближение и т. д.
В качестве примера приведем результаты восьми
приближений для рассматриваемой задачи при Xi = 0,4 и к%=0,6;
llf»=l.
(4°>=з,
ц§» = 4,
|if> = 5,
,41) = 8,75,
^) = 7,5,.
(if) = 8,12,
ц^> — 5,
(if = 9,84,
(if = 7,5,
(43> = 7,5,
,43) = 8,75,
^(4) = 8,75,
(i24> = 9,53,
ul4> = 8,12,
и«» = 35 525;
и<1> = 34257;
• и<2> = 34 009;
и<3> = 29 795;
и<4> = 29 697;
ц<5> = 7,5,
р,(5) = 7,5,
ц35> = 5,
мА6,=5.
(if = 7,5,
ц(,6>=1,72,
^7> = 5,
М47,=»8,75.
р!7) = 5,
pf) = 5,
pf> = 8,75, ■
^) = 5, ,
и<5> = 29544;
и<«> = 29377;
и<7> = 29 356,9;
и<8> = 29 356,9.
По-видимому, результаты 7-го и 8-го приближений могут
отличаться лишь в пределах точности вычислений.
На этом мы закончим рассмотрение примера задачи на
безусловный экстремум.
§ 25] ПРИМЕР ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 19F
В случае, если заданы дополнительные ограничения на
величины (Xi, \х,2 и р,3, например, функции вида gh в выражении
(3.54), получаем задачу на условный экстремум.
Одним из условий такого рода может быть условие
M-i + M-2 + И.зО (5-93)
которое можно понимать в некотором смысле как ограничение
суммарных возможностей обслуживающей системы.
В этом случае рассмотренная выше процедура минимизации
должна применяться к выражению
f = и -f-— e° (л+^+и.-р), (5.94)
где величина и задается соотношением (5.92).
Для иллюстрации проведем расчет при тех же значениях,
переменных a*, Sj и с = 0, 1; р=10.
(l°j
[ p,j = 5, /:; f Ht = 7,5,
8,7»; j*sj ц2 = 4,3,
р,3 = 5, ; I (13 = 7,5,
Иг = 8,7^.. цМ ц2 = 4,3, f(n5) = 33 654,4;
( щ = 6,2,
ц1 ц2 = 8,7, f (ц1) = 34 466,7; ц6 J Щ, = 5- f И = 33586,3;
И2
f [яг = 5,
р,3 —8,4, I ц3 =
(А, = 9,7,
На = 8,1, /(|i») = 34 436,7; ц7{ (i2 = 3,7, / (ц7) = 33 484,4;
Из = 5,
iM^i = 6,2,
(i2 = 8,7, f(n3) = 34 428,4; ц8{ (i2 = 4,0, / (ц8) = 33 267,5;
Из = 8,4, _
1^ = 8,7,
^ = 7,6, f(n4) = 34304,3; ц9{ (i2 = 3,5, f(|A9) = 33124.5.
М-з — 6,2,
Глава VI
Моделирование агрегативных систем
§ 26. Агрегаты
При выборе той или другой схемы формализации процесса
функционирования сложной системы основную роль играют два
соображения: а) обеспечить требуемую точность решения
задачи, б) получить как можно более простую модель-
Ни для одного из этих требований (точности и простоты)
не могут быть предложены формальные критерии, позволяющие
проверить, действительно ли полученная формализация обеспе-,.
чивает заданную точность и является достаточно простой. Тем
не менее общая тенденция такого рода обычно интуитивно
осуществляется.
Достаточно широкий класс сложных систем, имеющих
важное практическое значение, формализуется в виде систем
массового обслуживания. Однако схема массового обслуживания
еще не является столь общей, чтобы охватить любые элементы
современных сложных систем. Желание дать единое
математическое описание всем элементам сложной системы и тем самым
добиться решения ряда важных теоретических и практических
вопросов приводит к возникновению все более и более общих
абстрактных схем, предназначенных для формализации
реальных объектов.
В настоящем параграфе мы рассмотрим одну абстрактную
схему функционирования сложной системы, которую в
дальнейшем будем называть агрегатом ([8], [5])
При рассмотрении этой схемы может возникнуть вопрос:
зачем нужны более простые схемы, например, схемы массового
обслуживания, являющиеся частным случаем данной?
Принципиально общая схема в состоянии заменить все частные.
Однако она сложнее, и для частных случаев ее применение
приводит к значительному усложнению вычислений. Тем не менее
существуют задачи, для которых частные схемы не работают
или работают плохо. В этих случаях приходится пользоваться
общей схемой, пока не разработана более простая -частная.
Главным стимулом применения общих схем оказывается унифи-
§ 26]
АГРЕГАТЫ
199
.кация математического описания и операторов моделирующего
алгоритма для всех элементов сложной системы.
Перейдем к определению агрегата.
В каждый момент времени /£ (О, Т) агрегат находится в
одном из возможных состояний. Состояние агрегата
характеризуется набором символов Zi, z2, ..., Zi*, являющихся элементами
некоторого множества Z. Если состояния z = (zu z2, . .., zt*)
оказываются действительными или комплексными векторами, Zi
обычно называются фазовыми координатами. Когда аргумент /
пробегает свои значения в интервале (О, Т), символы 2;
изменяются как функции времени zt(t). В дальнейшем функции z(t)
мы часто будем называть фазовыми траекториями.
Заметим, что в общем случае функции Zi(t) представляют
собой реализации случайных функций Zt(t). Исчерпывающее
вероятностное описание случайных функций Z;(/) требует
знания всей совокупности многомерных законов распределения
(см. [14], [38]). Для целей, поставленных в настоящей книге, нет
необходимости выписывать подробно эти законы распределения.
В дальнейшем достаточно иметь для них символическое
обозначение L[Zi(t)].
. Кроме того, будем считать, что функции Zi(t) (или их ве-
■ роятностные характеристики) могут зависеть от ряда
параметров, которые мы будем обозначать рт, т=1,2, .... т*. В
начальный момент времени t0 состояния zx имеют значения,
равные z°. В соответствии с этим начальное состояние агрегата
имеет закон распределения L[Zi(t0)], получающийся из L[Zt(t)]
при t = t0.
- ■ Состояния агрегата z(t) для произвольного момента времени
■■t~>ta определяются по предыдущим состояниям случайным
оператором Я:
•г (0 = tf[z (*„),*]. (6-1)
Это. означает, что Данному z(t0) ставится в соответствие в
общем случае не одно определенное z(t), а множество
значений z(t) с некоторым законом распределения, зависящим от
вида оператора Я. Конкретное значение z(t) состояния z(t)
определяется как реализация в соответствии с этим законом
распределения. Агрегат имеет входные полюсы, способные
воспринимать воздействия внешней среды. На вход агрегата в
моменты времени tj, /=1, 2, . . .; tj+i^-tj, поступают входные
сигналы. Входной сигнал х является элементом некоторого
множества X.
В общем случае последовательности вида (tj, Xj)
оказываются реализациями случайных последовательностей (Qj, Xj)
о; законом распределения 1[0, X].
200 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
Агрегат имеет особый входной полюс, к которому
поступают в моменты времени т* управляющие сигналы.
Управляющий сигнал g является элементом множества Г. В общем
случае последовательности вида (т,, gi) оказываются реализациями
случайных последовательностей (9*, у*) с законом
распределения L(6, у).
Будем предполагать, что за конечный интервал времени в
агрегат поступает конечное число входных и управляющих
сигналов.
На выходе агрегата образуются выходные сигналы.
Выходной сигнал у является элементом некоторого множества У и
определяется по состояниям агрегата
z(t) при помощи оператора G (рис. 12)..
Аналогично будем предполагать, что
за конечный интервал времени агрегат
у(Г) выдает лишь конечное число выходных
сигналов.
Оператор Н обычно называют опера-
Рис. 12. тором переходов (в новое состояние), а
.оператор G — оператором выходов.
Возвратимся к состояниям агрегата z{t). Наряду с z(t)
будем рассматривать также г(/ + 0). Договоримся считать, что
для любого ti>t момент / + 0 принадлежит полуинтервалу
(t, hi
Состояния агрегата z(t) для произвольного момента
времени t, как известно, определяются оператором Н. Вид
оператора Н зависит от того, содержит ли рассматриваемый
интервал времени моменты так называемых особых состояний
агрегата или не содержит. При этом под особыми состояниями
агрегата будем понимать его состояния в моменты получения
входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного
сигнала.
Все остальные состояния агрегата будем называть
неособыми.
Из особых состояний агрегат может переходить в новое
состояние скачком. Пусть z(t*) — некоторое особое состояние
агрегата, а g-s—последний управляющий сигнал gs £Г. Примем
следующие обозначения для операторов, являющихся частными
видами оператора Н и определяющих состояния агрегата в
момент t* + 0. Если t* — момент поступления в агрегат входного
сигнала х, то
г(*Ч0) = */ [г(О. *.£.]• (6.2)
Аналогично, если t* — момент поступления в агрегат управляю-
*(VZZ
Н; G
z(t)
§26]
АГРЕГАТЫ
201
щего сигнала g, то '
■г(<Ч0)=/[г(0. ё\- (6-3)
При одновременном поступлении входного х и управляющего g
сигналов
z(t* + 0)=V[z(t*),x,g]. (6.i)
Наконец, если t* — момент выдачи выходного сигнала у, то
z(/* + 0)= Щг(/*),г«]. (6.5)
В интервалах между особыми состояниями значение z(t)
определяется при помощи операторов Ut*, вид которых в
общем случае зависит от особого состояния, являющегося для
данного интервала времени начальным состоянием:
г (t) = Up [z (f + 0), gs, t\. (6.6)
Здесь t* — момент особого состояния, являющегося, исходным
для данного интервала времени.
Естественно, замечание о том, что Н является случайным
оператором, без изменения переносится на его частные виды
U, \", V", V и W.
Перейдем к рассмотрению работы оператора G. Во
множестве Z состояний z(t) агрегата выделяется система подмножеств
{Zy}, обладающая следующими свойствами. Выходной сигнал у
выдается в момент ? в тех случаях, когда: 1) состояние z(t')
принадлежит подмножеству Zy, но при достаточно малых е>0
значение z(t' — е) не принадлежит подмножеству Zv, и 2)
состояние z(t' + 0) принадлежит подмножеству ZV, но z(t') не
принадлежит подмножеству Zv Таким образом, оператор G можно
себе представить в виде совокупности двух операторов — G',
вырабатывающего выходной сигнал
y = G'[z{V),gs] (6.7)
и G", проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к
одному из подмножеств Zv. Заметим, что в общем случае
операторы G' и G" являются случайными операторами.
В некоторых случаях в качестве одной из составляющих z(t),
например, Z\(t), можно рассматривать время, оставшееся до
выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G" проверяет
неравенство Z\(t)> 0.
Агрегат функционирует следующим образом. В начальный"
момент времени t0 заданы начальное состояние агрегата z0 и
начальное значение управляющего сигнала g0-
Пусть ti и tz — моменты поступления первого Х\ и второго х$
входных сигналов, tj—момент поступления первого управляю*
202 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
щего сигнала g\ и, для определенности, ti<Xi<t2. Рассмотрим:
полуинтервал (t0, t\\ Состояния агрегата изменяются с течением
времени по закону
z(t) = Uto{z0, gvt] У0<(<^)
до тех пор (оператор G"), пока в момент f (пусть f <U)
состояние z(t') не окажется принадлежащим подмножеству Zy,
хотя состояние z(t'—е) не принадлежало Zy при достаточно
малых е>0. В этом случае в момент f выдается выходной
сигнал у', вырабатываемый оператором G'. Вместе с тем закон
изменения состояний (б.б) агрегата нарушается и
z{t' + 0)=W\z{t'),g0\.
Прежде чем рассматривать дальнейшие изменения состояний
агрегата во времени, необходимо проверить (оператор G"), не
удовлетворяет ли состояние z(t' + 0) условиям выдачи выходного
сигнала, или, другими словами, не принадлежит ли (в смысле
условий 1) и 2), упомянутых выше) состояние z(t' + 0)
некоторому подможеству Zy, отличному от Zy. Если состояние г(/' + 0)
удовлетворяет условиям выдачи выходного сигнала
(принадлежит подмножеству Zy), то в момент f выдается второй
выходной сигнал у" (оператор Go), а состояние агрегата описывается
соотношением
■ z(t' + Q + QS)=W\z{t'+%ga\=W{W\z(t,)1g0\,g0\ (6.8)
и т. д.
Напомним, что в силу принятого выше соглашения в момент
f (как и в любой другой момент времени) может быть выдано
лишь конечное число выходных сигналов. Это свойство агрегата
является ограничением, накладываемым на структуру
подмножеств Zv и оператор W. Предположим теперь, что z(t' + 0) не
принадлежит никакому из подмножеств Zv. Поэтому состояние
агрегата изменяется в соответствии с законом
z(() = Ut, [z(t' + 0). g0, t] = Ut:{W[z(t'), g0], g0, (}, t' < t.<tv
(6.9)
Аналогично решается вопрос о выдаче последующих выходных
сигналов и изменении состояний с течением времени.
Пусть теперь в момент А поступает входной сигнал х\.
Проследим поведение агрегата в момент /4 при различных
вариантах возможных ситуаций.
;§26]
•\ АГРЕГАТЫ
203
Если при достаточно малых е>0 в момент fi — е состояние
агрегата не принадлежало подмножеству Zy, а в момент tt г(^)
принадлежит Zy, то условимся, что в момент ti выдается
выходной сигнал у*, а состояние агрегата есть
г,& + 0) = W [г (d), g„]. (6.10)
Вместе с тем действие входного сигнала Xi приводит к тому,
что -
. г (Л + 0 + 0) = V [г <*, + 0), xv g0\ = V {W [z (tx), g0\, xx, g0).
: ■ (6.П)
Очевидно, что состояние г(^ + 0 + 0) должно быть проверено
(оператором G") по отношению к условиям выдачи выходного
сигнала. Предположим теперь, что в момент tt не было
оснований для выдачи выходного сигнала у*. Гогда вместо (6.10) и
(6.11) в силу действия входного сигнала хх состояние агрегата
имеет вид
z(ti + 0) = V'[z((1),xl,g0\, (6.12)
а в дальнейшем, если состояние (6.12) не соответствует выдаче
выходного сигнала:
z.(1) = Utl{V'[z(ti)'xv io]'8v *}' Л <.'<*■ (6.13)
Пусть в момент т4 в агрегат поступает управляющий
сигнал gi. Тогда состояние агрегата имеет вид
z(xl + 0) = V"[z(x1), gl], (6.14)
.если в момент ti не происходит выдача выходного сигнала, или
z(^^0 + Q) = V"{W[z(x1), g0\, gl), (6.15)
если в момент т4 выдается выходной сигнал у.
Необходимо отметить, что управляющий сигнал g в общем
случае является параметром, определяющим операторы Н и G,
или, что то же самое, операторы V, V", W, U^t), G' и G".
Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего
сигнала g0 в этих операторах должно использоваться
значение gi до тех пор, пока не поступит следующий управляющий
сигнал g2. Например, в полуинтервале (ti, t2], если нет
оснований для выдачи выходного сигнала
* z(() = UXi[z(xl + 0), gvt], T,<f<V (6.16)
В частном случае операторы Я и G могут оставаться
неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала.
204 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЁГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
Аналогично оператор U-t может быть одним и тем же при
любых выходных сигналах (при попадании z(t) в любые
подмножества Zy).
Перейдем к примерам представления некоторых систем в
виде агрегатов.
Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания
следующего вида. В моменты времени tj, представляющие
собой случайный поток однородных событий с заданным законом
распределения, в систему поступают заявки, каждая из которых
характеризуется параметром ocj. Величина а} является
случайной величиной с условным законом распределения f(a/t) при
условии, что t = tj. Если линия обслуживания занята, заявка по-
,падает в очередь и может находиться там (ждать) не более чем
т(*) = ф(а/> р,). (6.17)
Величина fy является случайной величиной с условным законом
распределения f($/t) при условии, что t=%i. Величины т4
образуют случайный поток однородных событий с заданным законом
распределения, независимый от tj.
Заявка должна быть принята к обслуживанию не позднее
чем в момент времени t,-\-t^f-\ в противном случае она
получает отказ.
Время обслуживания заявки или время занятости линии
rf = q(ar р,). (6.18)
Представим эту систему массового обслуживания в виде
агрегата.
Состояния агрегата будем характеризовать вектором z{t) 6 Z
со следующими компонентами:
Zi(t)—временем, оставшимся до конца обслуживания за*
явки (для заявки, которая находится на обслуживании);
zz(t) —значением величины рг;
z3(t) — количеством заявок в очереди;
Zi(t)—оставшимся временем ожидания первой заявки из
очереди (временем, оставшимся до того момента, когда эта
заявка получит отказ);
Zb{t)—оставшимся временем ожидания второй заявки из
очереди и т. д.;
Zh(t)—оставшимся временем ожидания последней заявки
из очереди.
Входной сигнал Xj поступает в момент времени tj и несет
с собой информацию об а,, т. е. Xj = aj. Управляющий сигнал gi
поступает в моменты времени tj и несет с собой информацию
о величине р{, т. е. gi = pt.
$26]
АГРЕГАТЫ
205
Рассмотрим подмножества Zv и соответствующие им
выходные сигналы у, операторы W и О.
Подмножество Z(y- Пусть в момент времени t\: г4 (^) =
= 0; 2i(t)>0; 1 — 3, 4, .. ., k. Это означает, что обслуживание за*
явки закончилось. Выходной сигнал у{ — (г//*, гД2>). Здесь у*/' —
признак «заявка обслужена», yf) = yf)(oir pr /Л — выходной
параметр заявки, зависящий от аг- и р4. Заметим, что случайный
характер оператора G' может проявляться в том, что у{2) =
= yf> (а ,, рг, (Л представляет собой случайную функцию щ, Рь h-
Оператор W, определяющий состояние агрегата в момент
ti + 0 задается следующим образом. Из всех Zi(t{), где / =
= 4,5, .. ., k = z3(t), выбирается наименьшее, и соответствующая
заявка, например номер т, m^k, принимается к обслуживанию
со временем обслуживания (занятости канала) т^1 = т|) (ат, рг).
Поэтому
z2((l + 0) = z2(ti).
' ] (6-19)
Количество заявок в очереди уменьшится на единицу
2з(Л + 0) = 23(^)-1, (6.20)
а величина zm(ti + 0) не определяется. Все остальные 2;(^ + 0)
при 1=4, 5, ... (за исключением zm):
zl(t1 + 0)=zl(t1). (6.21)
Оператор £/(<), определяющий состояния агрегата для моментов
времени t>'ti (до следующего особого состояния), HMeet вид:
'*i(0 = M'i+0)-(*-*i),
г2 (/) = z2 (tx -f 0) = const,
г3 (() — z3 (tx 4-0) == const,
■г4(0 = «4^ + 0)-^-^),
M0 = z*('i + 0)-(<-*i).
<6.22)
Под множество Zffl. Пусть в момент времени r2: 2i(/2)>0;
2з(4)>0; гт(4)=0, 4<т^<&. Это означает, что время
ожидания одной из заявок в очереди истекло. Поскольку заявка до
момента t2 не была принята к обслуживанию, она получает
отказ. Выходной сигнал у2 = (у$\ у22)).
206
МОДЕЛИРОВАНИЕ АТРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI;
Здесь г$) — представляет собой признак «заявка получила;
отказ», у22) = у22> (а;-> Рг> t2\ — выходной параметр .заявки.
Оператор f в момент £> + 0 описывается соотношениями ,
z2{t2+0)=z2(t2),
?3{t2-±0)^z3(t2)-\, \ (6.23)
zl{t2 + 0) = zl(t2)\ / = 4, 5,
k\ I Фт,
Величины zm{t2+0) не определяются.
Оператор Ut для моментов времени t>t2 определяется
равенствами
«*(*) = г2 (*2-+Ф) =? Const,
23 (*) = г3 (*2 + 0) = const,.
} (6-24)
Zl(t)=Zl(t2 + 0) — (t — t2); / = 4, 5, .... Л; /^от. j ' ;
Подмножество zf. В момент времени t3: 21(/з)=0;
2з(^з) = 0. Это значит, что очередь заявок отсутствует, и
обслуживание закончилось в момент/3. Выходной сигнал У3~(у[з}' У^).
Здесь у31) признак «система свободна», a yf> = i3 показывает
момент освобождения системы. Оператор W: Zi(/3 + 0)=0;
,2з(4 + 0)= 0; другие Zi не определяются. Оператор U-t для всех
t > ts задается соотношениями: Zi(t)=0, z3(/) = 0; zt(t) при
/ > 0 не определяются (до следующего особого состояния).
Пусть теперь в момент tj поступает входной сигнал Xj = a,j
(заявка с параметром ocj). Оператор V имеет следующий вид.
Если входной сигнал поступил после выходного сигнала у3
(действовал оператор U.), то это означает, что система была сво-
бодной, и заявка сразу поступила на обслуживание с
= т|)(а,, р^. Поэтому ...
xf =
2,(^ + 0) =
z3(*y + 0)=0.
:Xf:
■ y(af, р,),
(6.25)
Величины Zi(tj + 0) для./.>3 не определяются. Если входной
сигнал поступил после выходных сигналов уи или у2, то заявка
§ 26] АГРЕГАТЫ
попадает в очередь, т. е.
' z1(tj + 0) = zl(tJ),
z2(tj + 0) = z2(tj),
z3(tj + 0) = z3(tj)+L
' *i Vj +'0) ='zl{t])\' I = 4,' 5, ' •.', 'k
В дальнейшем (оператор Vtj) состояния z(t) определяются
аналогично (6.22).
Пусть теперь в момент т« поступает управляющий сигнал
gi = $i- При этом изменится только значение z2(t): вместо
прежнего значения £;__! должно быть z2(t) =Pi. Остальные zt(t) не
зависят от pi- Из этого легко усмотреть содержание операторов
W и U.
На этом рассмотрение примера мы считаем возможным
закончить. Обзор процесса функционирования такой системы
массового обслуживания, как агрегат, предоставляется читателю.
Возвратимся к определению агрегата. Во многих случаях
оказывается практически удобной более компактная запись
операторов, определяющих состояния агрегата z(t) (частных видов
оператора Н). Здесь принципиальное значение имеет то
обстоятельство, что в одном случае состояние агрегата z(t) зависит
•лишь от предыдущих состояний z(t*), где t*<.t, а в другом—.
также и от воздействий, поступающих извне (входных и
управляющих сигналов). Обратимся сначала к первому случаю.
Пусть полуинтервал (t0, t\] не содержит ни одного момента
поступления входных или управляющих сигналов. Тогда для
любого t ИЗ (ft), t,]
z(t) = U[z(t0-\-0),g0,t], , (6.27)
где U'•—некоторый случайный оператор. Заметим, что здесь под
символом U понимается вся совокупность действий и процедур,
которая выше описывалась последовательностью операторов
Ut и W и порядком их применения.
Аналогично будем рассматривать входные сигналы х в
широком смысле (и входные и управляющие сигналы). Пусть в
момент t поступает входной сигнал х. Тогда
■/Г.
?(/-|_0)=V{z(*),4 (6.28)
207
(6.26)
208 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГЛТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
Заметим, что агрегат представляет собой математическую
схему весьма общего вида, частными случаями которой
являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы,
конечные автоматы, всевозможные классы систем массового
обслуживания, динамические системы, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями, и некоторые другие
объекты.
С точки зрения моделирования агрегат выступает как
достаточно универсальный переработчик информации, — он
воспринимает входные и управляющие сигналы и- выдает выходные
сигналы.
Выше уже отмечалось, что за конечный интервал времени в
агрегат поступает конечное число входных и управляющих
сигналов и выдается конечное число выходных сигналов. В таком
случае входные сигналы можно пронумеровать в порядке их
поступления. Это означает, что если сигнал х, поступивший в
момент /', следует за сигналом х", поступившим в момент
времени /", то Г > t".
Совокупность входных сигналов, расположенных в порядке
их поступления, будем называть входным сообщением или
(х)-сообщением. Входное сообщение, состоящее из сигналов,
поступающих в агрегат в течение полуинтервала времени (ti, t2]
будем обозначать (х]'(~.
Совокупность управляющих сигналов, упорядоченная
относительно времени поступления в агрегат, называется
управляющим сообщением или (g)-сообщением. Управляющее
сообщение, состоящее из сигналов, поступающих в агрегат в течение
полуинтервала времени (tit /2], обозначается {g]'t2.
Для любого полуинтервала времени (t\, /2] можно построить
совокупность входных и управляющих сигналов, упорядоченную
относительно моментов их поступления в агрегат. Пусть
входные сигналы Xj поступают в моменты времени t} (/ = 1, 2, ...),
а управляющие сигналы gi — в моменты времени %i(i=l, 2, . . .).
Тогда первым сигналом будем считать сигнал, поступивший в
момент времени tfi = min(/i, xi), вторым —в момент t*2= rnin(г?2. xi),
если t* = ti, или ^2 = min (tlt х2), если t* = t\ и т. д. Если входной
и управляющий сигналы поступают одновременно, то
преимущество отдается управляющему сигналу. В дальнейшем такую
совокупность сигналов будем называть (x,g) -сообщением и
обозначать \х, g\t2. Легко видеть, что (х, £)-сообщения,
поступающие в агрегат, оказываются обычными входными
(х)-сообщениями, когда мы не выделяем особо управляющих
сигналов из общего множества входных сигналов. Совокупность вы-
$27)
АГРЕГАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
209
ходных сигналов, упорядоченная относительно времени выдачи,
называется выходным сообщением или (у)-сообщением.
Выходное сообщение, состоящее из сигналов, выдаваемых агрегатом
в течение полуинтервала времени (tlt t^\, обозначается («/]/.
Этими обозначениями мы будем пользоваться в дальнейшем.
§ 27. Агрегативные системы
Несмотря на то, что агрегат может служить достаточно
общей схемой для формального описания элементов сложных
систем, с теоретической и практической точек зрения представляет
несомненный интерес изучение также и более сложных
конструкций. В частности, в настоящем параграфе мы выделим
класс сложных систем, представляющих собой конструкции из
агрегатов.
Рассмотрим класс сложных систем, обладающих следующим
свойством: существует такое (в общем случае неоднозначное)
расчленение системы на элементы, при котором каждый
полученный элемент представляет собой агрегат. В дальнейшем
такого рода сложные системы мы будем называть агрегативными
или А-системами.
Естественно, что каждый элемент Л-системы, будучи в
общем случае агрегатом, не обязательно должен обладать полным
комплексом свойств агрегата; он может быть и более простым
объектом, представляющим собой частный случай агрегата.
Вместе с тем среди элементов Л-системы не может быть ни
одного элемента, который не являлся бы агрегатом (с полным
комплексом свойств или частным случаем). Другими словами,
среди элементов Л-системы не могут содержаться объекты более
общего характера, чем агрегат.
В качестве примера одна из возможных схем Л-системы при-*
водится на рис. 13. Прямоугольники, помеченные буквами Аи
А2 и т. д., обозначают агрегаты Л-системы.
Функционирование Л-системы связано с переработкой
информации. На рис. 13 передача информации показана
стрелками.
Вся информация, циркулирующая в Л-системе, делится на
внешнюю (поступающую извне от объектов, не являющихся
элементами данной системы) и внутреннюю, вырабатываемую
агрегатами самой системы.
Обмен информацией между Л-системой и внешней средой
происходит через агрегаты, называемые полюсами системы.
Так, имеются входные полюсы, представляющие собой агрегаты,
для которых входная информация, поступающая в виде
(х) -сообщений [х], является полностью или частично внешней
14 Н, П. Бусленко
210
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
информацией. На рис. 13 входными полюсами являются
агрегаты Л1 и Л4. Все (х) -сообщения, поступающие к агрегату Ль
представляют собой внешнюю информацию. Для агрегата Л4
дело обстоит иначе. Соответствующие (х) -сообщения
оказываются лишь частично внешней информацией. Некоторая часть
(х) -сообщений поступает к агрегату Л4 от агрегата Л5 и является
внутренней информацией Л-системы. Наряду со входными
полюсами рассматриваются управляющие полюсы. Управляющими
(X) ЛЛ,
(ff)
_№
W И
Ё
ж.
Уг
-чь
ш
to f
щ
Т5Т
(0
£
Рис. 13.
"М
(V)
полюсами Л-системы называются агрегаты, для которых
(g)-сообщения, поступающие по особым входным каналам,
представляют собой полностью или частично внешнюю информацию.
Для случая Л-системы, представленной на рис. 13,
управляющими полюсами являются агрегаты Ль Л3 и Л6. Все (g)
-сообщения, поступающие к агрегатам Ai и Л3 являются внешней
информацией. Соответствующие (g) -сообщения, поступающие к
агрегату Л6, частично оказываются внешней информацией и
частично внутренней, поступающей от агрегата А2. Заметим, что
агрегат Л4 является одновременно входным и управляющим по-
'люсом Л-системы, а агрегат Л6 — только управляющим
полюсом. Л-система имеет также выходные полюсы. Выходным
полюсом Л-системы называется агрегат, выходная информация
которого, выдаваемая в виде (у) -сообщений [у], оказывается
полностью или частично выходной информацией Л-системы
(поступает во внешнюю среду к объектам, не являющимся
элементами данной Л-системы).
Выходными полюсами Л-системы, схема которой
представлена на рис. 13, являются агрегаты Л3 и Л7. Все (у)
-сообщения, выдаваемые агрегатом Л7, являются выходной
информацией Л-системы.
§ 271 АГРЕГАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 211
\
- Выходные (у) -сообщения агрегата А3 лишь частично
являются выходной информацией Л-системы, некоторые из них
поступают к агрегату Л7. Агрегат Л3 является одновременно
выходным и управляющим полюсом Л-системы, а агрегат Л7—
только выходным полюсом.
Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются
внутренними агрегатами Л-системы. Например, внутренними
агрегатами оказываются агрегаты Л2 и Л5 (см. рис. 13). Входная и
управляющая информация внутренних агрегатов Л-системы, т. е.
соответствующие (х) -сообщения и (g) -сообщения,
вырабатывается исключительно внутри самой системы и состоит из
выходной информации, или (у)-сообщений других агрегатов Л-си-
стемы. Аналогично выходная информация внутренних агрегатов,
выдаваемая ими в виде (у) -сообщений, поступает в качестве
входной или управляющей информации к другим агрегатам
Л-системы. Частично это обстоятельство справедливо и для
полюсов. Например, на рис. 13 выходная информация агрегата Ах
является входной информацией для агрегатов Л2 и Л5 и
управляющей информацией для агрегата Л2. Аналогично выходная
информация агрегата Л2 является входной для агрегата Л3 и
управляющей для агрегата Л6.
В частном случае Л-система может не содержать внутренних
агрегатов и состоять только из полюсов. Могут быть также
случаи, когда в Л-системе отсутствуют входные или управляющие
полюсы. Такая Л-система воспринимает соответственно только
-управляющую или только входную информацию. Наконец
Л-система может состоять лишь из одного агрегата. Этот агрегат
одновременно может быть входным, управляющим и выходным
полюсом Л-системы.
Передача информации в Л-системах происходит мгновенно,
т. е. момент /' выдачи информации каким-нибудь агрегатом
является также моментом поступления входной или управляющей
информации в некоторый агрегат системы или, наконец,
моментом выдачи информации выходным полюсом системы. Такое
предположение не является стеснительным ограничением при
использовании Л-системы для описания процессов
функционирования реальных сложных систем. В самом деле, если в
реальной системе передача информации между ее элементами
происходит с задержкой во времени, то соответствующая линия
передачи информации представляется как самостоятельный
агрегат, осуществляющий задержку. Тогда в формализованной
схеме, системы передача информации между элементами будет
уже происходить мгновенно.
Подводя итог сказанному, дадим следующее определение
Л-системы: любая совокупность агрегатов называется агрегативной
14*
2l2 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЁГАТЙВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. Vt
системой, если передача информации между агрегатами
происходит мгновенно и без искажений.
Свойства Л-системы определяются не только свойствами
составляющих агрегатов, но также и ее структурой. Рассмотрение
структуры начнем с определения соотношений взаимодействия
между агрегатами.
Два агрегата В и С называются непосредственно
связанными, если между ними осуществляется прямая передача
информации, т.е. выходная информация агрегата В является
входной или управляющей для агрегата С, или наоборот. Помимо
непосредственно связанных агрегатов, мы будем также
рассматривать просто связанные агрегаты. Агрегаты В и С называются
связанными, если существует такая совокупность агрегатов В, D,
D2, ..., Ds, С, что каждые два соседних агрегата В, Dx; Du
D2; ...; Ds, С непосредственно связаны. Легко видеть, что
непосредственно связанные агрегаты являются связанными, но не
наоборот.
Если агрегаты В и Сне являются связанными, то мы будем
их называть несвязанными.
Рассмотрим некоторые виды связи между агрегатами. Будем
говорить, что агрегат С непосредственно следует за агрегатом В
{агрегат В непосредственно предшествует агрегату С), если
некоторая часть выходной информации агрегата В является
частью входной информации агрегата С.
Очевидно, что данный агрегат, если даже он является
полюсом Л-системы, может непосредственно следовать за
несколькими (непосредственно предшествовать нескольким) агрегатами
Л-системы. Обратимся к примеру Л-системы, представленному
на рис. 13. Агрегат Л4 непосредственно предшествует агрегатам
Л2 и Л5; агрегат Л5 непосредственно следует за агрегатами Л4 и
Л4 и в то же время непосредственно предшествует агрегатам Л4
и Л6; агрегат Л3 непосредственно следует за агрегатом Л2 и
непосредственно предшествует агрегату Л7 и т. д.
Помимо соотношений непосредственного следования,
характерных для непосредственно связанных агрегатов, рассмотрим
аналогичные соотношения для связанных агрегатов. Будем
говорить, что агрегат С следует за агрегатом В (агрегат В
предшествует агрегату С), если существует такая совокупность
агрегатов В, Du ..., Ds, С, каждый из которых непосредственно
следует за предыдущим. В Л-системе, представленной на рис. 13,
агрегат Л3 следует за агрегатом Аи агрегат Л4 предшествует Л6
и т. д.
Аналогично будем говорить, что агрегат В непосредственно
управляет агрегатом С {агрегат С непосредственно подчинен
агрегату В), если некоторая часть управляющей информации
§2Я
АГРЕгАТИВНЫб СИСТЕМЫ
213
агрегата С представляет собой часть выходной информации
агрегата В. Данный агрегат может непосредственно управлять
несколькими агрегатами или быть непосредственно подчинен
нескольким агрегатам Л-системы.
В рассматриваемой в качестве примера Л-системе (рис. 13)
агрегат Л4 непосредственно управляет агрегатом Л2, а агрегат Л6
непосредственно подчинен агрегату Л2.
Агрегат В управляет агрегатом С (агрегат С подчинен
агрегату В), если существует такая совокупность агрегатов В, Dit
Ог, • •., Ds, С, что каждый из них непосредственно управляет
последующим агрегатом. Например, агрегат Лв (рис. 13)
подчинен агрегату Л4. Данный агрегат может управлять
несколькими агрегатами или быть подчинен нескольким агрегатам
Л-системы.
Очевидно, что любая подсистема Л-системы представляет
собой также Л-систему. Л-системз называется комплексом, если
любой ее агрегат связан хотя бы с одним агрегатом этой
Л-системы.
В общем случае Л-система не является комплексом.
Комплексами могут оказаться некоторые ее подсистемы. Если
условиться, что Л-система, состоящая из одного агрегата, является
комплексом, тогда любая Л-система представляется в виде
совокупности комплексов.
Два комплекса называются несвязанными, если любые пары,
составленные из агрегатов, принадлежащих различным
комплексам, представляют собой несвязанные агрегаты.
По аналогии с агрегатами можно установить соотношения
следования и подчиненности (непосредственного следования и
непосредственной подчиненности) для комплексов. Например,
будем говорить, что комплекс С следует за комплексом В
(комплекс В предшествует комплексу С), если некоторая часть
выходной информации от выходных полюсов комплекса В в
качестве входной информации поступает ко входным полюсам
комплекса С. Комплекс С подчинен комплексу В, если некоторая
часть выходной информации комплекса В представляет собой
часть управляющей информации, поступающей к управляющим
полюсам комплекса С.
Исходя из указанной терминологии, можно выделить
некоторые важные в практическом отношении типы структуры
Л-систем.
Л-система называется m-Фазной, если она состоит из т
комплексов, каждый из которых (за исключением первого,
являющегося входным полюсом) непосредственно следует за одним и
только за одним комплексом Л-системы, вплоть до последнего,
представляющего собой выходной полюс. Легко видеть, что
214 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИЁНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
многофазная Л-система является комплексом. На рис. 14
представлен пример многофазной Л-системы. Здесь агрегаты Ль
Л2, А3 и Л4 представляют собой комплекс Ф4 (первая фаза),
агрегат Л5 является комплексом Ф2 (вторая фаза) и, наконец,
агрегаты Л6, Л7 и Л8 составляют комплекс Ф3 (третья фаза).
Л-система называется л-канальной, если она состоит из п
несвязанных друг с другом комплексов. Очевидно, что многока-
.нальная Л-система имеет входные и выходные полюсы в каждом
из составляющих ее п комплексов, а обмен информацией между
Ф,
ф.
х |
» -Ал
I I
!!
*■
I
I
I 1
Г"
ш
I
Рис. 14
Ti
6 к
I
1_-
"S
отдельными комплексами отсутствует. На рис. 15 представлен
пример многоканальной Л-системы. В комплексе К\ (первый
канал) входным полюсом является агрегат Ль в комплексе К-<
(второй канал) — агрегат Л8, в комплексе Кз (третий канал) —
агрегат Лю. Выходными полюсами соответственно являются
агрегаты Л7, Л9 и А\ъ. Многоканальная Л-система не является
комплексом. Л-система называется иерархической (с одним
уровнем управления), если она состоит из некоторого
количества комплексов, подчиненных одному (управляющему)
комплексу. Если при этом управляющий комплекс не подчинен ни
одному из подчиненных ему комплексов, то Л-система
называется строго иерархической.
Очевидно, что иерархическая Л-система представляет собой
комплекс.
Пусть теперь Л-система состоит 'из" нескольких
иерархических Л-систем, подчиненных одному управляющему комплексу.
Такая Л-система называется иерархической с двумя уровнями
управления. Вновь образованный уровень управления будем
считать высшим. Аналогично могут быть образованы
иерархические Л-системы с произвольным числом уровней
управления.
Рассмотренные здесь типы Л-систем "являются простейшими
конструкциями, состоящими из агрегатов. Тем не менее они
§ 2fl
АГРЕГАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
215
охватывают значительную часть важных в практическом
отношении реальных сложных систем.
В заключение отметим одно весьма важное обстоятельство,
связанное с формальным описанием агрегатов и Л-систем.
Разбиение системы на агрегаты не является единственным. Как
упоминалось выше, возможны различные варианты агрегатного
представления Л-системы, в том числе возможны варианты,
когда совокупность элементов системы, представленная в одном.
Лд ■*■ А
~-| М2\
U.
11
и
11
1 I
J L*
у'J 1
х\ 1
А10
А»
Г
1.
' 1_
А1г
А!3
• А»
Aw
j
Рис. 15.
из вариантов в качестве агрегата, в других вариантах описы-!
вается двумя, тремя и т. д. агрегатами. Отсюда можно сделать
вывод, что объединение двух, трех и т. д. агрегатов Л-системы'
само является агрегатом. Необходимо иметь в виду, что при
объединении нескольких агрегатов в один суммарный
существенную роль играют связи между агрегатами. Характер этих*
связей оказывает значительное влияние на тип и свойства
суммарного агрегата.
К объединению нескольких агрегатов в единый, суммарный'
агрегат можно подойти и чисто формально. Для этого (см.,
например, [9]) должны быть построены операции над агрега-"
тами, отображающие множество агрегатов на себя. Типоперации
216
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
определяется видом связи между агрегатами, подвергающимися
действию операции; для последовательных, параллельных и
других соединений агрегатов должны быть введены специальные
операции.
§ 28. Моделирование процесса функционирования агрегата
В настоящем параграфе мы рассмотрим принципы
построения наиболее распространенных вариантов моделирующего
алгоритма, предназначенного для моделирования процесса
функционирования агрегата.
Известно, что целью моделирования в любом случае является
получение характеристик, определяемых состояниями
моделируемой системы. Для этого необходимо фиксировать в процессе
моделирования достаточно полную информацию о состояниях
системы в соответствующие моменты модельного времени
(времени, отнесенного к функционированию моделируемой системы).
Применительно к агрегату это означает, что необходимо
получать значения состояний z(t) для некоторых моментов
времени интервала исследования (О, Т). Выше было показано, что
вид оператора Я, решающего эту задачу, зависит от того,
поступают (V) или не поступают (Ut) входные и управляющие
сигналы в течение рассматриваемого интервала времени (/0, t).
Моменты поступления входных и управляющих сигналов, как
особые состояния агрегата, играют значительную роль с точки
зрения построения моделирующего алгоритма. В частности, мы
будем рассматривать моделирование как последовательную цепь
переходов из одного особого состояния агрегата в другое,
причисляя условно к особым состояниям также и z(0).
Вид моделирующего алгоритма существенно зависит от того,
известны ли заранее моменты поступления входных и
управляющих сигналов и вообще моменты последующих особых
состояний. Например, в момент /„ модельного времени,
соответствующего n-му особому состоянию агрегата, в памяти машины
имеется или появляется значение tn+1. С этой точки зрения
следует иметь в виду два случая. Первый связан с рассмотрением
агрегата, для которого законы поступления входных и
управляющих сигналов заданы. Сюда относится изолированный
агрегат (Л-система состоит из одного агрегата),
взаимодействующий с внешней средой, а также агрегаты, являющиеся входными
или управляющими полюсами Л-системы. В этом случае,
очевидно, для моделирования агрегата, кроме описания самого
агрегата, необходимо иметь исчерпывающее описание входных и
управляющих сигналов, как воздействий внешней среды. Второй
случай — рассмотрение внутреннего агрегата Л-системы, для ко-
§ 28] ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА 217
торого входные и управляющие сигналы вырабатываются в
процессе моделирования Л-системы как выходные сигналы других
агрегатов.
Рассмотрим сначала первый случай, как более простой
с точки зрения структуры моделирующего алгоритма.
Изучаем процесс функционирования агрегата в интервале
времени (О, Т). Совокупности входных и управляющих
сигналов, поступающих в агрегат в течение интервала времени (0, 7"),
считаем известными. Помимо этого предположения,
представляющегося достаточно ясным с принципиальной точки зрения,
для моделирования необходимо решить ряд относящихся сюда
технических вопросов. В частности, весьма важным является
вопрос о способах ввода в модель входных и управляющих
сигналов. Рассмотрим для сравнения некоторые возможные варианты.
Входные и управляющие сигналы, поступающие в агрегат в
течение интервала времени (О, Г), можно записать в памяти
машины в виде таблицы, содержащей для всех моментов значения
параметров сигналов. Данные из таблицы автоматически
выбираются по ходу моделирования и используются
соответствующим образом. Этот способ ввода входных и управляющих
сигналов является простым и удобным в тех случаях, когда для
хранения таблицы нужно не очень много ячеек памяти. Если же
сигналов много и каждый из них характеризуется большим
числом параметров, необходимо находить другие способы ввода
сигналов в ЭВМ.
Одним из распространенных и достаточно удобных способов
является генерирование сигналов при помощи случайных чисел.
Для его реализации необходимо моменты поступления сигналов
в агрегат представить в виде потока однородных событий,
задаваемого соответствующим законом распределения интервалов
времени между последовательными моментами. Другие
параметры сигнала следует при этом задавать условным
(совместным) законом распределения при условии, что момент посту*
пления сигнала задан. Тогда моделирование совокупности
сигналов сводится к моделированию потока однородных событий и
реализаций случайного вектора, заданного условным законом
распределения. Соответствующие машинные процедуры были
рассмотрены выше.
Существенные особенности возникают лишь в том случае, когда
входной (или управляющий) сигнал приходит от нескольких
источников. Например, пусть агрегат получает входные сигналы
из внешней среды (как входной полюс Л-системы) и вместе с
тем от одного из агрегатов Л-системы (см. агрегат Л4 на рис. 13).
Тогда возможны случаи, когда сигнал от второго источника
приходит ранее сигнала от первого источника, а моделирование
218 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
идет в порядке номеров источников, поэтому в агрегат могут
поступать сигналы, не упорядоченные по времени.
Такого рода обстоятельства могут значительно усложнить
процедуру моделирования агрегата. Выгоднее к подалгоритмам
модели, формирующим входные и управляющие сигналы,
построить дополнительный подалгоритм — сортировщик, который
будет располагать сигналы, вырабатываемые различными
источниками,- в единую последовательность по времени, чем строить
моделирующий алгоритм для агрегата с учетом возможной
неупорядоченности сигналов.
В некоторых случаях упорядоченная последовательность
сигналов может рассматриваться как суперпозиция нескольких
последовательностей, и тогда способы описания сигналов могут
быть в какой-то мере упрощены.
Приняв во внимание перечисленные выше соображения,
перейдем к рассмотрению структуры моделирующего алгоритма.
Введем следующие операторы:
Ф4 — формирование очередного момента т,- поступления в
агрегат управляющего сигнала;
Рг — проверка условия т, ^С Т, где Т—граница интервала
(О, Т) изучения агрегата;
F3 — подстановка вместо т,- величины Т;
А4 — запоминание величины т,;
Р5 — проверка условия /> 1;
Р6 — проверка условия tj<Xi, где tj— момент поступления
входного сигнала, и определение гвх=гшп(тг, tj).
Ф^ — формирование очередного момента tj поступления в
агрегат входного сигнала;
Р8 — проверка условия tj<T;
■ А9— запоминание величины tj\
F10 — подстановка вместо tj величины Т;
Fh — формирование признака ц = 0—.«ближайшим сигналом
•будет управляющий сигнал», tBX = xt;
F12 — формирование признака fi = l—«ближайшим сигналом
будет входной сигнал», tBX = tj\
' ' Ф13— формирование оператора £//„ для определения
состояний z(t) агрегата в промежутках между особыми состояниями:;
Аи — определение ближайшего момента ^вых выдачи
выходного сигнала (реализация оператора G")\
Р15—проверка условия ^вых-^^вх, где под ^вх понимается
- .меньшее из п я tj; •
Ф16 — определение состояния агрегата в момент /Вых (реали-
• зация оператора £//„); -
Ф17 — формирование выходного сигнала у (реализация опе«
ратора G');
§■28] ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА' 219
4>i8—формирование состояния 2(^Вых + 0) после выдачи
выходного сигнала (реализация оператора W);
Pi9—проверка принадлежности состояния г(^ВЫх+0)
подмножеству Zy (реализация оператора G");
Рго — проверка условия tBX<T;
Ф21—определение состояния агрегата z(tBX) в момент- tBX
(реализация оператора £/<„);
Р22 — проверка условия ц > 0 (ближайшим сигналом
является управляющий сигнал):
Ф23 — формирование управляющего сигнала g;
Ф24 — определение состояния z(t, + 0) агрегата после
управляющего сигнала (реализация оператора V"); •
Р25 — проверка принадлежности состояния г(тИ-О)
подмножеству Zv (реализация оператора G");
Ф26— формирование входного сигнала х;
Ф27 — определение состояния 2(^ + 0) агрегата после
входного сигнала (реализация оператора V);
P2g — проверка принадлежности состояния 2(^ + 0)
подмножеству Zv (реализация оператора G")\
F2g — подстановка вместо t0 момента t00 последнего особого
СОСТОЯНИЯ (^вх, /вых ИЛИ ^ = 0).
Ф3о — определение состояния агрегата z(T) в момент Т
окончания моделирования (реализации оператора Uta);-
А31 — фиксация результатов, полученных при моделировании
данной реализации процесса;
Кзг — счетчик количества N реализаций (выполняет
операцию N+ 1);
Р33 — проверка условия /V</V*, где /V* — заданное
количество реализаций;
F34—переход к моделированию очередной реализации;
А35—обработка результатов моделирования;
Язв ~ выдача.
Операторная схема моделирующего алгоритма имеет вид
25,34л D|4p5 2A 3, 4„ 5, 9; HW.12 5, 28^, „ А6 8р6
<PlP2 ГЗ А4 Н5|7 1*64-11 Ч>7Г!Н10А9 Гю
6р29 6р29 29л д р л 16, 19, 25, 28Л л D|17 15D
Гц Г12 Ф13А14Г15420Ф16 Ф17Ф18Г 19^29 -г20*30
ФяР226ФйФ24Р^17ИФ2бФ27р2Н7 "''^ "^29 2°ФзоА31
Кз2Рзз435Рз433Аз5Я36. (6.29)
Для наглядности на рис. 16 приведена блок-схема
моделирующего алгоритма (6.29).
Работа моделирующего алгоритма протекает следующим
образом.
220
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
Группа операторов Ф4 — Fi2 предназначена для
формирования моментов поступления входных и управляющих сигналов и.
определения момента поступления ближайшего сигнала. One-
Co/iMUfrtumuewepiimtj ^
- tj#&
Определение z(tsx)
реализации
Определение z(T)
Фиксация реэулылй-
тае за реализацию
N + 1
Рис. 16.
раторы 4>i и 4>7 вырабатывают моменты %х и tj соответственно.
Операторы Р2 и Р8 определяют, находятся ли эти моменты в
пределах интервала моделирования агрегата. Если это условие
выполнено, то моменты Хг (оператор А4) и tj (оператор А9)
запоминаются. Если же моменты т* и t$ находятся вне интервала
§28]
ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА
221
(О, Т), то вместо них подставляется граничное значение
времени t = T (операторы F3 и Fi0). Оператор Р6 сравнивает
моменты т< и tj и определяет ближайший момент гвх поступления
в агрегат внешнего сигнала. Результаты сравнения фиксируются
операторами Fu и Fi2, если ц, = 0— ближайшим'будег
управляющий сигнал; аналогично, если ц=1, ближайшим оказывается
входной сигнал.
Группа операторов Ф43 — Pig моделирует процесс функцдо-
нирования агрегата в интервале времени между
последовательными моментами поступления внешнего сигнала. Поскольку в
течение этого интервала внешних сигналов нет, состояния
агрегата определяются оператором Ut0 (оператор алгоритма Ф13).
Единственным видом особых состояний агрегата в этом случае
являются состояния выдачи выходных сигналов или, другими
словами, состояния, принадлежащие подмножествам Zy. Задача
оператора Ац состоит в том, чтобы путем совместного
моделирования состояний z(t) и условий, определяющих
подмножества Zy, определить моменты ty выдачи выходных сигналов
(оператор G" агрегата) и найти наименьший из них. Пути решения
этой задачи (реализации оператора А44 моделирующего
алгоритма) зависят от свойств агрегата и способа задания
оператора G". В некоторых, наиболее простых случаях задача
сводится к проверке неравенств вида tBhls_ — г>0 или к совместному
решению уравнений (неравенств), описывающих состояния z(t)
агрегата и подмножества Zv. Могут быть и более сложные
подходы. В худшем случае приходится прощупывать состояния
агрегата через малые интервалы времени А? и проверять
принадлежность их подмножествам Zv на каждом шаге. Выбор
минимального tv, т. е. rBbix = minr!/, обычно не представляет особой
проблемы. Если момент /вых выходит за пределы интервала
моделирования (О, Т) или не существует, то гВыХ принимается
равным Т + Ь, где 6>0.
Если момент /вих выдачи выходного сигнала оказывается
внутри интервала между внешними сигналами (оператор Р45),
то выходной сигнал у должен быть фактически выдан. Поэтому
необходимо найти г(гвых) (оператор Ф^) и сформировать сам
сигнал у (оператор Ф47). Обычно при моделировании
оператора С его расчленяют на две части: 1) формирование для
заданного Zy закона распределения случайного выходного
сигнала у и 2) выбор самого сигнала по жребию в соответствии
с этим законом распределения. Затем, поскольку агрегат нахо-i
Дится в особом состоянии г(Гвых), необходимо определить его
состояние г (гвых + 0) (оператор Ф48) и проверить (оператор Pi9)
не принадлежит ли г(^Вых + 0) одному из подмножеств Zv.
Если это условие выполнено [г(^вых-|-0) принадлежит Zy\, то
222 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТКВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
управление передается опять оператору Ф^ для формирования
второго выходного сигнала, выдаваемого в момент tBbIX, и т. д.
Если же состояние г(^вь1х + 0) не принадлежит Zu; то через
оператор F29 управление передается операторам Ф13И Aj4 для
формирования новых* моментов /вь11.
Возвратимся к оператору PJ5. Если условие, проверяемое
оператором Р15, не выполнено, т. е. 4ых -^ ^вх, то переходим
к рассмотрению поведения агрегата под воздействием внешнего
сигнала. Будем считать, что tBX<T (оператор Р2о). В противном
случае наступает конец интервала моделирования и мы
переходим к определению состояния z(T) (оператор А3о). Оператор А21
вычисляет состояние агрегата z(tBX), а Р22 определяет тип внеш-.
него сигнала (входного, управляющего).
Группа операторов Ф23— Р25 моделирует прием
управляющего сигнала в момент т,, а группа Фгв— Рг8 — прием входного
сигнала в момент tj. Работа этих групп аналогична работе
рассмотренной выше группы Ф*п — Pig, поэтому мы на ней
останавливаться не будем. Заметим только, что z(7BX + 0) сразу может
принадлежать одному из подмножеств Zv. Это условие
проверяется операторами Р25 и Р28 соответственно. Если условие
справедливо, то управление передается оператору Фп для
формирования выходного сигнала. В случае, когда условие, проверяемое
оператором P2s(P2s), оказывается невыполненным, управление
передается оператору Ф4(Ф7) для формирования очередного
момента поступления управляющего (входного) сигнала.
На этом, собственно, и заканчивается рассмотрение основной
части моделирующего алгоритма. Группа служебных
операторов, содержащаяся в конце его, типична для моделирования
систем и уже рассматривалась в предыдущих главах.
Из рассмотрения структуры моделирующего алгоритма
видно, что машинная реализация его весьма проста и доступна
с точки зрения как программирования, так и требований к
возможностям ЭВМ.
Перейдем теперь к особенностям моделирования
неавтономного агрегата. Представим себе, что входные и управляющие
сигналы, поступающие в агрегат, не только не известны заранее,
но и не могут быть описаны до начала моделирования своими
законами распределения (поскольку эти законы неизвестны).
Факт поступления или непоступления внешнего сигнала может
быть выяснен по ходу моделирования процесса
функционирования той системы, в которую входит данный агрегат.
Очевидно, что для этого случая в моделирующем алгоритме
должны быть предусмотрены процедуры проверки факта
поступления внешних сигналов, за некоторый интервал модельного
времени. Кроме того, нужно обратить внимание на выбор такого
§ 28] ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА 223
интервала времени. Поскольку момент следующего состояния,
при котором поступает внешний сигнал, оказывается
неизвестным, приходится выбирать определенный «шаг»
моделирования At.
Таким образом, основной особенностью моделирования
неавтономного агрегата является наличие подалгоритма, который
выясняет факт поступления каждого внешнего сигнала на
интервале времени Л^, определяет моменты поступления, а также
занимается сортировкой моментов поступления внешних
сигналов или, другими словами, построением на интервале А^
соответствующего (х, g) -сообщения.
Для пояснения структуры рассматриваемого варианта
моделирующего алгоритма нам потребуются следующие
операторы:
Pi — проверка условия ф>0 (смысл условия поясняется
ниже);
F2 — формирование очередного момента времени tk = tu~i+At;
. Р3 — проверка условия 4 -^ Г, где Т — граница интервала
(О, Т) моделирования системы; .
.. F4 — формирование At—T — 4-i и признака ср=1 (данный
шаг моделирования является последним в интервале О, Г);
F5—регистрация и упорядочение моментов поступления tBX
внешних сигналов; построение (х, g)-сообщения на интервале Л^
и запись его в специальный регистр;
Р6 — проверка условия т>0, где пг — количество сигналов
из (х, g) -сообщения, находящихся в регистре ,к данному
моменту времени; .
. F7 — выбор наименьшего ^вх на интервале At, формирование
признака \i (равного нулю, если внешний сигнал управляющий,
и равного единице в противном случае), формирование Л = 0 (в
регистре имеется очередной внешний сигнал);
Ks — счетчик количества сигналов, оставшихся в (х, g)
-сообщении (реализует операцию m—1);
Р9—проверка условия г|з>0 (гр = 1—очередной выходной
сигнал не учтен — оператор F32); >
F10—формирование -ф = 0 (очередной, выходной сигнал
учтен);
Фи—формирование оператора Ut„ для определения
состояний z(t) агрегата в промежутках между особыми состояниями;
А и — определение ближайшего момента tBblx — выдачи
выгодного сигнала (min tv; реализация оператора G");
Pi3—проверка условия /bhi4 tBX;
Fi4 — формирование признака v= 1 (^вых^^вх)?
A is.— определение состояния агрегата в момент tBUX
(реализация оператора £/,,);
224 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
Ф16 — формирование выходного сигнала у (реализация
оператора С);
Фп —формирование состояния г(£Вых + 0) после выдачи вы-
ходного сигнала (реализация оператора W);
Pis — проверка принадлежности состояния г(£Вы*+0)
подмножеству Zy (реализация оператора G")\
F19 — подстановка вместо t0 момента t0c — последнего
особого состояния;
Р2о—проверка условия v>0;
F2i — подстановка tBX = th и формирование признака А,= 1 —
«в момент 4 в регистре внешнего сигнала нет»;
F22 — формирование признака v = 0 (^вых>^вх)'. - ■
Р23— проверка условия Х>0; .. ■
Рг4 — проверка условия р,>0, признак ц=1 означает
«очередным внешним сигналом является входной сигнал», а ц,=0—
«очередным внешним сигналом является управляющий сигнал»;
Ф25 — формирование управляющего сигнала g;
А26 — определение состояния г(Тг + 0) агрегата после
получения управляющего сигнала (реализация оператора V");
Р27 — проверка принадлежности состояния z(xt + 0)
подмножеству Zy (реализация оператора G");
Фг8 — формирование входного сигнала х;
А2э—определение состояния z(tj + 0) после входного
сигнала (реализация оператора V);
Рзо—проверка принадлежности состояния z(tj + 0) подмно-
жеству Zy (реализация оператора G");
A3i — запоминание очередного момента ^вых!
F32 — определение состояния z(th) агрегата в момент пере»
хода к очередному А^ (реализация оператора U^); формиро--
вание признака \|з= 1;
F33 — переход к очередному At;
А34 — фиксация результатов, полученных при воспроизведем
нии на ЭВМ данной реализации процесса;
Кз5 — счетчик количества yv реализаций (выполняет
операцию N+1);
Рзб — проверка условия /V</V*, где /V* — заданное
количество реализаций процесса на модели;
F37 — переход к очередной реализации процесса;
А38—обработка результатов моделирования;
■' Язэ— выдача результатов.
Нетрудно заметить, что некоторые операторы совпадают с
операторами предыдущего моделирующего алгоритма.
Ниже легко будет усмотреть, что ряд подалгоритмов или
групп операторов обоих этих алгоритмов выполняет при моде*
лированин одну и ту же функцию.
§28] ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА __ 225
Рассмотрим операторную схему моделирующего алгоритма.
33ПЛ34 1,37р. „15,, 3,4Р 5, 20, 27, 30п р v 8,21D
Fl Г2Г3 Г 4 Г5 , Рб|21Г71\8 1*9+11
p. 13 9,20 А д Ю, 12 D с д 15, 18,27,30Л Л
ПО ФЦА12 "13+22Г14А15 Ф 16*17
D|16p „ЛИ 6р9 13р рЛ31„Л28Л . „Л16
Г18 Г19Р2О+6 Г 21 Г22"23 Г21 Ф25А26Г27+6
Ф28А29Р3016 A31F32F33 A34K35P36+38F37 АззЯз
На рис. 17 представлена блок-схема моделирующего алгоритма.
Работа моделирующего алгоритма сводится к следующему.
Оператор F2 формирует очередное tk = tk~i + At. Оператор Р3
проверяет условие 4 -^ Т. Если это условие выполнено,
управление передается оператору F5 для формирования (х,
^-сообщения, поступающего в агрегат в течение данного Д^. Если
tk>T (оператор Р3), то очередное At должно быть сокращено
до величины Т — 4-i- Эта операция выполняется оператором F4.
Он же формирует признак ф=1 (данный шаг моделирования
является последним в интервале (0, Т)). От оператора F4
управление опять передается оператору F5. Учитывая наличие
признака ф, необходимо иметь оператор, проверяющий условие
Ф>0 (оператор Pi). Если ф = 0 (предыдущий шаг
моделирования не был последним), управление передается оператору F2.
Если же ф=1 (предыдущий шаг был последним), управление
передается группе операторов окончания моделирования А34—Я3э-
Оператор Р6 проверяет, остались ли еще (т>0) в (х, у)-
сообщении внешние сигналы или нет (/л = 0). Если сигналы
остались, управление передается группе операторов F7— Ки,
которые выбирают из (х, у) -сообщения внешний сигнал с
наименьшим tBX, формируют признаки ц (входной или
управляющий сигналы) и Я = 0 (оператор F7), подсчитывают количество
оставшихся внешних сигналов (оператор Kg) и определяют
состояния агрегата z(t) в интервале между особыми состояниями
(оператор Фц). Работу операторов Р9 и F[0 мы рассмотрим ниже.
Далее совместная работа операторов Фц и AJ2 обеспечивает
определение очередного момента ^вых выдачи выходного
сигнала как наименьшего из возможных значений ty—моментов
достижения состояниями z(t) подмножеств Zv. Здесь остается в
силе замечание, упомянутое в связи с моделирующим
алгоритмом (6.29): если tv не существует (по крайней мере в
интервале времени (0, Г)), то tBax принимается равным Т + Ь,
где Ь > 0. Оператор Pj3 проверяет условие г'вых ^ 4х-
Рассмотрим сначала случай, когда это условие выполнено.
Вырабатывается признак v=l (оператор Fu), определяется состояние
агрегата z(tBblx) "в момент ^ВЫх (оператор Ais) и формируется
выходной сигнал у (оператор Ф1б). Оператор Ф17 реализует W
15 Н. П. Вусленко
226
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
и определяет состояние агрегата z(tBUX+0), а оператор Р!8
проверяет, принадлежит ли z(tBUX + 0) одному из подмножеств Zy.
Рис. 17.
Если это условие выполнено, то должен быть сформирован еще
один выходной сигнал; поэтому управление передается оператору
Фи. В противном случае t0 заменяется последним значением t0c,
соответствующим особому состоянию — в данном случае ^Вых
§ 28] ПРОЦЕСС ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТА 2$7
(оператор Fj9)—и если v=l, управление передается от
оператора Рго оператору Фи для определения (совместно с
оператором AJ2) очередного значения tBbl%. Когда v = 0, от оператора
Р20 управление передается оператору Р6, так как ^Вых>^вх, и
необходимо рассматривать следующий внешний сигнал, если ой
существует.
Возвратимся к оператору Pi3. Если ^Вых>^вх, вырабатывается
признак v = 0 (оператор F22) и рассматривается поступление
в агрегат внешнего сигнала. Управление передается
оператору Р23. Поскольку Я = 0 (оператор F7), управление от Р23
передается Р24- Оператор Р24 определяет вид внешнего сигнала. Если
[i = 0, поступает управляющий сигнал. Тогда формируются
очередные г, и gi (оператор Ф25), определяется состояние агрегата
г(Тг + 0) и проверяется условие принадлежности его одному из
подмножеств Zy (операторы А26 и Р27). Если ц=1, в агрегат
поступает входной сигнал. Оператор Ф28 формирует очередные
t) и Xj, а операторы А29 и Р30 определяют г(^ + 0) и
принадлежность его Zy. Если г(тг + 0), соответственно z(tj + 0),
принадлежит Zy, управление от Р27, соответственно Р30, передается
оператору Фю для формирования выходного сигнала у. В
противном случае управление передается оператору Р6.
Пусть теперь условие т>0, проверяемое оператором Р6,
оказывается невыполненным: т=0, все внешние сигналы в преде»
лах данного А^ исчерпаны. Тогда управление передается
оператору F2b который формирует фиктивное ^вх = 4 и признак
Х=1. Управление опять передается оператору Р9. Поскольку
оператор F32 еще в действие не вступал, \|з = 0. Поэтому мы опять
переходим к знакомой нам цепочке операторов Фп -f- P20. Если
(оператор Р13) 4ых ^С tux, которое теперь уже равно th,
вырабатываются соответствующие выходные сигналы. Особенность
появляется тогда, когда ^Вых>^вх- От оператора PJ3 управление
передается F22 и далее Р23. Но теперь, в силу действия
оператора F2i, tiix = th, очередного внешнего сигнала в пределах
данного А^ нет и А,= 1. Рассматриваемое ^ВМх также выходит за
пределы данного А^ и должно быть зафиксировано для учета в
дальнейшем. Управление от Р23 передается оператору А31 для
запоминания ^ВЫх, далее оператору F32 для формирования z(th)
и признака -ф = 1 и, наконец, оператору F33 для перехода к
очередному А^ (оператор Р4).
В заключение обратимся к операторам Р9 и Fw. Если -ф = I»
имеется неучтенный момент ^Вых. зафиксированный
оператором Азь Поэтому при новом М, прежде чем формировать
очередные ^вых (операторы Фи и А12), необходимо учесть ^вых-
Операторы Р9 и Fio позволяют миновать формирование
очередных ^вых и перейти сразу к Р13.
15*
228
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
§ 29. Моделирование процессов функционирования
агрегативных систем
Опыт построения моделирующих алгоритмов для
агрегативных систем еще недостаточен и не дает возможности делать
обобщения или давать рекомендации общего характера. В
самом деле, до последнего времени для сложных систем модели
строились и реализовались на ЭВМ, как правило, без
использования понятий агрегата и агрегативнои системы. Учитывая
это обстоятельство, а также очень большое разнообразие
структур агрегативных систем, вряд ли есть смысл пытаться создать
унифицированную схему моделирующего алгоритма для
агрегативных систем. Поэтому мы рассмотрим здесь лишь основные
принципы построения моделирующих алгоритмов для Л-системы.
В первую очередь отметим, что на практике могут оказаться
полезными оба общих подхода к построению моделирующих
алгоритмов: по особым состояниям и по А^. В самом деле, до
настоящего времени не существует веских соображений против
возможности их использования.
Рассмотрим сначала идею построения моделирующего
алгоритма для случая, когда процесс функционирования Л-системы
моделируется по особым состояниям.
Обратимся к одному из агрегатов — входных полюсов
Л-системы. Для такого агрегата (автономного) можно было бы ис^
пользовать моделирующий алгоритм (6.29), если бы этот
агрегат был единственным в данной Л-системе. Учитывая, что мы
находимся в другой обстановке» поступим следующим образом.
Определим ближайший момент ^вх поступления внешнего
сигнала в рассматриваемый агрегат (№ 1) —входной полюс, а
затем определим первый момент ty выдачи выходного сигнала у.
Если окажется, что ty •< ^вх, перейдем к тому агрегату, для
которого сигнал у является входным сигналом. Обозначим этот
агрегат № 2. Если неравенство tv ■< ^вх не выполняется,
необходимо перейти к очередному внешнему сигналу агрегата № 1.
Очевидно, что ближайший момент ^вх поступления внешнего
сигнала для агрегата № 2 нам известен — это момент выдачи
выходного сигнала агрегатом № 1. Определим для агрегата №2
ближайший момент ty выдачи выходного сигнала у'. Найдем тот
агрегат (обозначим его № 3), для которого у' является
внешним сигналом, и т.д. Таким образом можно действовать до тех
пор, пока не произойдет одно из следующих событий: 1)
очередной агрегат (номер т) не будет иметь выходного сигнала с
моментом выдачи tv ■< ^вх; 2) очередной сигнал yW окажется
выходным сигналом не только агрегата номер s, но и Л-системы в
§ 29J ПРОЦЕССЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ 229
целом (агрегат номер s окажется выходным полюсом Л-систе-
мы); 3) очередной сигнал г/(г) окажется внешним сигналом для
агрегата номер (г + 1), который получает внешние сигналы от
двух (или более) источников.
В первом случае от агрегата с номером т возвратимся
к агрегату с номером (т— 1) и определим для него следующий
момент tv выдачи выходного сигнала у. Если ty^tBX, то
сигнал у считаем внешним сигналом для агрегата с номером т
и поступаем в соответствии с обычной процедурой,
рассмотренной выше. Если агрегат с номером (т—1) не имеет выход*
ного сигнала у с моментом выдачи tv ■< ^Вх, то переходим к аг*
регату с номером (т — 2), и т.д. Если же и при внешнем
сигнале у агрегат с номером т не будет иметь выходного сигнала
с моментом выдачи ty ^C ty, то возвращаемся опять к агрегату
с номером (т— 1) и определяем следующий выходной сигнал'.
Когда выходной сигнал агрегата с номером т — 1 будет иметь
tv>tBx, перейдем к агрегату с номером (т — 2), и т.д. Другими
словами, нужно найти такой агрегат (если он существует) с
номером «<т, выходной сигнал которого, будучи выдан в момент
времени ty*CtBX (для агрегата с номером «), обеспечит в даль*
нейшем выдачу агрегатом с номером т выходного сигнала у
в момент tv^LtBX (для агрегата с номером т). Если искомый
агрегат (с номером п) не существует, возвращаемся к
агрегату № 1 и переходим к следующему внешнему (входному или
управляющему) сигналу.
Во втором случае очередной сигнал уг оказывается
выходным сигналом Л-системы. Если этот сигнал выдается в момент
ty^-tiix (для агрегата — выходного полюса Л-системы), то мы
формируем его, выдаем во внешнюю среду и переходим к
следующему выходному сигналу этого же агрегата — выходного
полюса. Эта процедура продолжается до тех пор, пока
очередной момент выдачи ty выходного сигнала не станет больше»
чем ^вх- После этого моделируется прием агрегатом — выход'
ным полюсом — Л-системы внешнего сигнала #(s) (определение
z(tBX + 0), проверка принадлежности z(tax + 0) подмножеству Zv
и т. д.). Далее необходимо вернуться к предыдущему агрегату.
Если для него существуют выходные сигналы, выдаваемые в
моменты времени ty^CtBX, то они принимаются в качестве внешних
сигналов для агрегата — выходного полюса Л-системы, а
процедура моделирования опять сводится к формированию
выходных сигналов Л-системы и переходу к другим возможным
сигналам. Если упомянутые выходные сигналы не существуют, необ'
ходимо возвратиться еще на один агрегат назад и повторить
процедуру по отношению к нему, и т. д.
230 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI
Наконец, в третьем случае очередной сигнал г/г> оказывается
внешним сигналом для агрегата с номером (г+1), который
получает внешние сигналы от двух (или более) источников.
Очевидно, что этими источниками могут быть как агрегаты данной
Л-системы, так и внешние источники. То обстоятельство, что
внешние сигналы приходят в агрегат номер (г+1) от
различных агрегатов Л-системы, не может гарантировать
независимости их происхождения. В самом деле, в цепях агрегатов,
предшествующих агрегату с номером (г+1), или управляющих
агрегатом номер (г+1), могут содержаться общие агрегаты. Если
хотя бы один общий агрегат имеется, сигналы не являются
полностью независимыми. Если общего агрегата нет, то
независимые цепи начинаются различными входными полюсами
Л-системы и в этом случае сигналы можно считать независимыми.
Аналогично сигналы можно считать независимыми и в том
случае, когда один из них является внешним (агрегат оказывается
■входным или управляющим полюсом Л-системы), а другой
поступает от агрегата, который не подчинен данному и не следует
за данным (не обязательно непосредственно).
С другой стороны, внешние сигналы, поступающие в агрегат
с номером (г+1), могут быть одного вида (оба входные или
оба управляющие) или различных видов.
Предположим сначала, что внешние' сигналы, поступающие
в агрегат с номером (г+1) являются сигналами одного вида.
Тогда задачей процедуры моделирования на данном этапе
будет построение для агрегата номер (г+1) такой
последовательности внешних сигналов (от различных источников),
упорядоченных по времени поступления, которая позволяет с полной
достоверностью определить наименьший ^вх- Приемы построения
этой последовательности сводятся к следующему. Если сигналы
независимы, необходимо обратиться к агрегатам — входным
полюсам Л-системы, управляющим или предшествующим агрегату
с номером (г+1), отличным от агрегата № 1, и, применяя
обычную процедуру моделирования, последовательно переходить от
одного агрегата к другому, пока не появится соответствующий
внешний сигнал на агрегате номер (г+1). Для зависимых
сигналов приемы аналогичны, за тем исключением, что обращаться
нужно не ко входным полюсам, а к общему агрегату в цепи
управляющих или предшествующих агрегатов.
После получения последовательности внешних сигналов и
выбора наименьшего ^Вх моделирование продолжается обычным
порядком до момента ^у>^вх, а затем постепенным переходом
к агрегатам с номерами г, (г—1) и т. д. перебираем
всевозможные ty ^ ^вх,. пока не~дойдем до общего агрегата или
входного полюса.
§29] ПРОЦЕССЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ 231
Если агрегат с номером (г+1) получает внешние сигналы
различных видов, то тем же самым приемом обращения ко вход-'
ному полюсу или к общему агрегату строим наименьшее т,- —-
момент поступления ближайшего управляющего сигнала, затем
для t ^ ti определяем наименьшее t, и лишь после этого
переходим к обычной процедуре моделирования.
Развивающийся таким образом процесс перехода от одного
особого состояния к другому позволяет постепенно
продвигаться вперед по времени и фиксировать необходимую
информацию о состояниях агрегатов и Л-системы в целом.
На более подробном описании идеи построения
моделирующего алгоритма мы останавливаться не будем. Из изложенного
ясно, что принципиальная возможность моделировать А-систему
таким способом существует.
В качестве отрицательных сторон моделирования А-систем
по особым состояниям следует отметить необходимость иметь'
большой объем памяти для хранения промежуточных
результатов расчета и сложность логического построения
моделирующего алгоритма. Оба эти недостатка являются следствием того;
что по мере вовлечения в процесс моделирования все новых и
новых особых состояний количество их, одновременно
фигурирующих в ЭВМ, становится для сложных Л-систем чрезвычайно
большим.
Естественно, что упрощение процедуры моделирования
сводится к уменьшению количества состояний системы,
одновременно фигурирующих в ЭВМ. Одним из таких способов
является рассмотрение состояний системы в течение малого
интервала времени, так как за малый интервал времени количество'
особых состояний обычно оказывается небольшим. Таким
образом, мы приходим к методу моделирования по At. Идея
построения моделирующего алгоритма аналогична (6.30).
Другими словами, независимо от того, рассматривается ли
один агрегат или несколько (Л-система), в интервале (0, Т)
выделяется малый промежуток времени At и совершается
пересчет состояний системы за At. Учитывая малость промежутка
Д^, некоторые соотношения пересчета могут быть существенно
упрощены. Структура моделирующего алгоритма
предусматривает переход от одного агрегата Л-системы к другому в
произвольном порядке. Процедура обследования каждого агрегата
сводится к постепенному перебору всех особых состояний в
промежутке At и вычислению значений z(tk) в конце его. :
Моделирование начинается с того, что в ячейки памяти ЭВМ,
предназначенные для хранения состояний системы, вводятся
данные (начальные условия) 6 состояниях ее в момент /=0.
Затем текущее (модельное) время делается равным ti = &ti
232 МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ {ГЛ. VI
Начиная с входных и управляющих полюсов Л-системы,
определяем моменты особых состояний, принадлежащие промежутку
At. Некоторые входные и управляющие полюсы Л-системы за
время Л^ получат внешние сигналы. Если эти агрегаты выдадут
выходные сигналы у такие, что ty-*CtBX (за время At), то есть
возможность рассмотреть еще несколько агрегатов, получивших
эти сигналы в качестве внешних, и т. д.
Агрегаты, не получившие к моменту ti внешних сигналов,
будут изменять свои состояния в соответствии с оператором Uto.
Для них необходима проверка принадлежности состояний
подмножествам Zy и наличия на интервале At моментов выдачи
выходных сигналов. В связи с этим может появиться новая
совокупность агрегатов, получивших в интервале At внешние
сигналы. Так, моделирование продолжается до тех пор, пока
состояние системы не будет зафиксировано для момента t± по
всем агрегатам. Далее текущее (модельное) время становится
равным t2 — ti + At. Процедура формирования состояний и
выходных сигналов повторяется и т. д. Выходные сигналы,
выдаваемые агрегатами — выходными полюсами Л-системы,
фиксируются как выходные сигналы системы, поступающие во
внешний мир.
Сказанного достаточно для того, чтобы принципиальная
возможность моделирования Л-системы таким способом стала
очевидной. В качестве отрицательной стороны моделирования Л-си-
стем по At необходимо отметить большое количество операций
ЭВМ, требуемое для реализации алгоритма, особенно если
интервал моделирования (О, Т) складывается из большого
количества At.
При моделировании сложных систем на современных ЭВМ
часто возникает трудность, связанная с тем, что для реализации
моделирующего алгоритма требуется объем памяти,
превышающий объем оперативной памяти ЭВМ. Для преодоления этой
трудности существуют различные способы размещения задачи
в ЭВМ. Мы остановимся кратко на двух наиболее перспективных.
Первый назовем способом саморазвертывающихся
алгоритмов. Сущность его заключается в следующем. При
формализации разбиваем моделируемую Л-систему на максимально
необходимое число агрегатов, позволяющее с высокой степенью
точности описать процесс функционирования реальной сложной
системы. Помимо этого разбиения, подготовим еще один или
несколько вариантов разбиения на меньшее число агрегатов,
которые, естественно, будут описывать реальную систему более
грубо. Таким образом, одному агрегату любого варианта
нового разбиения будет соответствовать подсистема, состоящая
из нескольких агрегатов первоначального разбиения. Такие со-
§ 29] ПРОЦЕССЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ 233
ответствия устанавливаются путем выполнения некоторых
формальных операций над агрегатами, позволяющих агрегаты
любой подсистемы объединить в единый агрегат, либо
непосредственно объединяя агрегаты в группы при разбиении Л-системы.
Используя эти разбиения, можно построить различные
варианты представления реальной системы в виде Л-системы.
Имея в виду различные цели моделирования, можно для каждой
из них выбрать наилучший вариант агрегатного представления
Л-системы. В самом деле, если целью моделирования является
оценка некоторого параметра, то в основу моделирующего
алгоритма должно быть положено такое представление Л-системы,
в котором оцениваемый параметр явно входит в описание
одного из агрегатов. Более того, в этом представлении должны
быть достаточно подробно описаны те факторы, от которых
наиболее существенно зависит оцениваемый параметр. Остальные
элементы системы могут быть описаны весьма грубо и
составлять нечто вроде фона для моделирования существенных
агрегатов Л-системы.
Применение такого подхода подсказывает следующий способ
моделирования сложных Л-систем в ЭВМ с ограниченной
оперативной памятью. Во внешнем накопителе ЭВМ (на магнитных
барабанах или лентах) располагаются наборы подпрограмм, из
которых можно автоматически составить программу
моделирования Л-системы, обладающую определенным свойством. По
специальному коду, зависящему от целей моделирования,
комплектуется и переводится в оперативную память ЭВМ конкретная
программа, обладающая заданными свойствами. Дальнейшая
автоматизация этого процесса, приводящая к созданию
саморазвертывающихся алгоритмов и программ, должна идти ио
двум параллельным направлениям:
1. Автоматический выбор варианта структуры алгоритма по
определенному критерию в ходе моделирования Л-системы.
2. Автоматическое выполнение операций над агрегатами,
представленными моделирующими алгоритмами. По мнению
автора, для сложных систем, имеющих существенное практическое
значение и требующих повседневного исследования методом
моделирования на ЭВМ, построение такого аппарата весьма
целесообразно и перспективно, несмотря на необходимость
серьезной затраты времени, сил и средств.
Второй способ размещения сложных моделей на ЭВМ с
ограниченной оперативной памятью, который мы будем называть
регистровым моделированием, состоит в следующем.
Модель Л-системы состоит из трех частей: 1) регистра,
ч 2) набора моделей автономных агрегатов и 3) операционного
подалгоритма. Регистр представляет собой совокупность ячеек
234
МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТИВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
оперативной или внешней памяти, в которых записаны данные
об агрегатах Л-системы и взаимодействия между ними. В
регистре каждому агрегату соответствует свой подрегистр,
содержащий набор характеристик агрегата и связи его с другими
агрегатами. Здесь предполагается, что конечный набор
характеристик может точно (или приближенно) описывать агрегат.
Связанные с этим вопросом весьма тонкие математические
проблемы мы оставляем в стороне.
Набор моделей автономных агрегатов в принципе может
состоять всего из одной модели агрегата, однако на практике
бывает выгодно иметь две-три и более моделей, в зависимости
от типа моделируемой Л-системы.
Операционный подалгоритм предназначен для выполнения
операций взаимодействия между агрегатами Д-системы и
формирования внешних сигналов.
Процедура регистрового моделирования выглядит
следующим образом. Операционный подалгоритм формирует внешние
сигналы для одного из агрегатов — входных полюсов Л-системы.
Кроме того, операционный подалгоритм переносит данные этого
агрегата из соответствующего подрегистра в модель
автономного агрегата, настраивая тем самым модель на моделирование
именно этого агрегата. Далее на модели агрегата проводится
исследование его функционирования (определение (у^С(Вх,
формирование z(tBhlx + 0) и т.д.). После окончания этого
исследования данные об агрегате (с учетом изменений,
полученных в результате моделирования) переносятся опять в
подрегистр, соответствующий этому агрегату. Далее операционный
алгоритм определяет, к какому агрегату следует переходить
(в зависимости от выходных сигналов первого агрегата), и
переносит в модель автономного агрегата данные из
соответствующего подрегистра. При этом в качестве внешних сигналов для
следующего агрегата операционный алгоритм отбирает
необходимые сигналы из числа выходных сигналов первого агрегата.
После этого проводится моделирование процесса
функционирования следующего агрегата и т. д.
В заключение отметим, что в теории моделирования агре-
гативных систем сделаны только первые шаги, и методы
моделирования еще нуждаются в дальнейшем серьезном
совершенствовании.
Г л а в а VII
Моделирование дискретных
производственных процессов
§ 30. Производственные операции
В силу исключительного разнообразия встречающихся на
практике производственных процессов и недостаточной
изученности их математического описания в настоящее время нет
возможности предложить единый набор конкретных правил и
готовых математических схем для формализации. Более того,
необходимо считаться с тем обстоятельством, что порядок
расчленения производственного процесса на элементы и выбор
математических схем для их описания существенно зависят от
структуры исследуемого процесса и природы составляющих его
явлений.
Для того чтобы выяснить основные приемы формализации
и иметь возможность иллюстрировать их достаточно изученными
конкретными примерами, целесообразно рассматривать отдельно
различные крупные классы производственных процессов.
В настоящей главе основное внимание уделено изучению
производственных процессов, связанных с поточным производством
штучных изделий (например, труб, часов, автомобилей и т.д.)..
Этот класс производственных процессов является весьма
широким: охватывающим многие важные в практическом отношении
случаи. Вместе с тем применительно к исследованию процессов
производства штучных изделий могут быть рекомендованы
апробированные методы формализации, моделирования и
исследования операций. В дальнейшем производственные процессы,
относящиеся к этому классу, мы будем называть дискретными
производственными процессами.
Сущность формализации и построения математической
модели для производственного процесса можно себе представить
следующим образом. Производственный процесс расчленяется
на некоторое количество элементарных актов. Необходимость в
расчленении обусловлена тем обстоятельством, что для
сложного процесса подбор удачного математического описания
может оказаться слишком трудным делом. Поэтому элементарные
акты должны быть в первую -очередь достаточно простыми и
236 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
удобными с точки зрения подбора соответствующих
математических схем.
Для каждого полученного элементарного акта необходимо
построить удовлетворительное математическое описание. Кроме
того, после описания элементарных актов требуется построить
математическое описание также и для взаимодействия между
ними, характеризующего совокупность элементарных актов как
единый процесс. ;
В результате описанной здесь процедуры формализации
каждому элементарному акту реального производственного
процесса ставится в соответствие некоторый элемент
формализованной схемы (математической модели). Другими словами, наряду
с элементарными актами реального производственного процесса
приходится рассматривать элементарные акты
формализованной схемы процесса как математические образцы
соответствующих элементарных актов реального процесса.
Наиболее существенные элементарные акты реального
производственного процесса (или совокупности некоторого
количества таких актов) обычно называют производственными
операциями. Например, технологические операции (обработка детали,
сборка изделия и т.д.), контроль количества изделий, упаковка
являются типичными производственными операциями. Для того
чтобы при формализации конкретных производственных
процессов иметь удобную систему понятий, наряду с реальными
производственными операциями целесообразно рассматривать
формализованные производственные операции, под которыми мы
будем понимать наиболее существенные элементарные акты
формализованной схемы (или совокупности некоторого
количества таких актов).
Однако не всегда выгодно строить формализованные
производственные операции как математические образы конкретных
.производственных операций реального процесса. В самом деле,
если данная операция реального производственного процесса
оказывается с точки зрения удобства формализации
недостаточно простой, то она может быть описана при помощи
совокупности нескольких формализованных операций,
удовлетворяющих упомянутым требованиям. Не являются исключением и
такие случаи, когда совокупность производственных операций
реального процесса описывается при помощи одной
формализованной операции. Это обстоятельство обычно имеет место тогда,
когда с точки зрения поставленной задачи нет необходимости
очень детально описывать процесс; другими словами, когда до-
■ыполнительная информация, которую можно было бы получить
: при более детальном описании процесса с учетом всех промежу-
§30]
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
237
точных производственных операций, не оказывает
существенного влияния на значения искомых величин.
Таким образом, мы убедились, что расчленение заданного
производственного процесса на отдельные операции может быть
выполнено многими способами. В силу отмеченной
неоднозначности возникает проблема выбора оптимального варианта
представления формализованной схемы процесса в виде
совокупности операций. Эта проблема в настоящее время не может
быть решена в общем виде. Некоторые ее аспекты
рассматриваются лишь в частных случаях применительно к каждому
конкретному производственному процессу. Тем не менее из
постановки (Проблемы вытекает необходимость тщательного анализа
различных обстоятельств, возникающих при попытке построить
систему формализованных операций для производственных
процессов определенного класса.
Возвратимся к сущности понятия формализованной
операции. Заметим, что выполнение той или другой производственной
операции над каким-нибудь полуфабрикатом или изделием
обязательно связано с изменением свойств рассматриваемого
полуфабриката или изделия. В противном случае данная операция
не может считаться существенным актом производственного
процесса. Изменение свойств любого объекта можно отобразить
особенно наглядно тогда, когда эти свойства описаны
числовыми характеристиками или параметрами. В этом случае вьь
полнение операции над ним будет в той или иной степени
связано с изменением значений его параметров.
Из этих рассуждений следует, что при построении
математического описания производственных операций в первую очередь
необходимо выбрать систему параметров, описывающих
состояния (свойства) заготовок, полуфабрикатов, изделий, а также и
других объектов, участвующих в производственном процессе.
В этом случае каждая производственная операция может
рассматриваться как преобразователь (оператор), определяющий
изменение значений параметров изделий. Тогда математическая
модель производственного процесса как совокупность
формализованных операций будет представлять собой
последовательность операторов, перерабатывающих информацию о состояниях
изделий (заготовок, полуфабрикатов) в процессе производства.
Установив, что формализованная операция представляет
собой оператор переработки информации об изделиях, мы должны
обратить внимание на следующее существенное обстоятельство.
Как известно, на практике встречается большое количество
разнообразных видов производственных операций. Можно ли
при этих условиях для формализации производственных
процессов использовать только некоторые типичные формализованные
338 дискретные производственные процессы [гл. vii
операции? Как показывает опыт моделирования различных
производственных процессов, при построении математического
аппарата можно ограничиться набором небольшого количества
абстрактных операций, соответствующих крупным классам
конкретных формализованных операций.
В дальнейшем мы рассмотрим следующие три" абстрактные
операции: операцию обработки, операцию сборки и операцию
управления. Для этих абстрактных операций мы в первую
очередь построим необходимые математические описания.
Естественно, что они и будут играть главную роль при
моделировании рассматриваемых ниже производственных процессов.
Конечно, не всегда при описании производственных процессов
удается обойтись только этими тремя операциями. Иногда
придется заниматься специально формализацией и математическим
описанием некоторых других операций.
; Итак, мы установили, что для построения математического
описания элементов производственного процесса в первую
очередь нужно выбрать систему величин, при помощи которых мы
будем характеризовать полуфабрикаты (заготовки, изделия,
детали, сборные узлы и т. д.).
г Одним из наиболее существенных параметров любого
полуфабриката является начальный момент времени, начиная с
которого рассматривается история полуфабриката в связи с
данным производственным процессом. Пусть, например, / — номер
станка (агрегата, линии и т.д.), а /—номер экземпляра
полуфабриката заданного типа. Тогда через t^ будем обозначать
момент поступления /-го экземпляра полуфабриката к станку
с номером L Часто t^— момент поступления /-го экземпляра
полуфабриката к первому станку — является также и
начальным моментом истории полуфабриката, т. е. моментом его
появления в производственном процессе. В случаях, когда
необходимо отличать tij от момента первого появления
полуфабриката в производственном процессе, последний будем
обозначать t0j. Например, t0j — момент выхода заготовки из
нагревательной печи, tij — момент поступления ее к агрегату, где
выполняется первая операция, t2j — момент поступления к
агрегату, где выполняется вторая операция и т.д.
Рассматривая моменты поступления различных экземпляров
полуфабриката данного типа к какому-нибудь фиксированному
агрегату, мы будем опускать первый индекс (номер агрегата)
и пользоваться обозначением tj.
Последовательности моментов tj поступления
полуфабрикатов к агрегату могут быть детерминированными и случайными.
В первом случае момент tj жестко определяется
закономерностями синхронизации отдельных операций в данном произвол-
§ 30] ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 239
ственном процессе. Во втором случае приходится считаться со
случайными колебаниями величин tj.
Для детерминированных последовательностей tj в качестве,
формализованной схемы обычно используется зависимость, по-
зволяющая определить tj через другие известные величины,
например через tj-u и т. д. В простейшем случае tj определяется ,
соотношением
tj = tJrl + bt, (7.1)
где Д£ — постоянная величина. (
Для случайных последовательностей tj, как правило,
пользуются двумя видами формализации. Первый из них основан на
рассмотрении случайных приращений btj величин tj, имеющих
заданные распределения. Второй путь заключается в описании
последовательности tj как случайного потока однородных
событий по аналогии с потоками заявок в теории массового
обслуживания.
При выборе того или другого вида схемы для учета
случайного характера последовательности необходимо иметь в виду
следующее обстоятельство. Поток однородных событий
оказывается весьма удобным и достаточно просто реализуемым
представлением величин tj для ситуации, когда учет случайных
отклонений btj не меняет смысла неравенств вида
tJ+l-tj>0 (7.2)
для всех значений индекса /. Эти неравенства можно считать
выполненными в тех случаях, когда очередность следования
полуфабрикатов в пределах рассматриваемого интервала временя
не нарушается, или нарушение очередности полуфабрикатов t
точки зрения описания процесса оказывается несущественным.
Если же нет гарантии относительно выполнения неравенств
(7.2) или порядок следования полуфабрикатов оказывается
существенным, то использование потоков однородных событий
затрудняется. В этом случае более удобно пользоваться законами
распределения для случайных отклонений btj, особенно если они
являются одномерными (последнее обстоятельство будет иметь
место в том случае, когда 6^ можно рассматривать как
независимые случайные величины).
Помимо момента поступления tj полуфабрикат обычно
характеризуется некоторым набором других параметров. Среди
4 них могут быть так называемые количественные характеристики
полуфабриката, описываемые параметрами с непрерывным рас*
пределением, а также качественные характеристики или
признаки полуфабриката, описываемые параметрами с дискретным
распределением,
240» ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Типичными непрерывными параметрами полуфабриката
являются его размеры, вес, температура, координаты,
определяющие положение полуфабриката в пространстве,
характеристики твердости, вязкости и других свойств материала. Каждый
параметр такого рода может принимать свои значения из
некоторого интервала на числовой оси.
Дискретные параметры или признаки в простейшем случае
являются двузначными величинами, принимающими значения
О или 1, и описывают такие свойства полуфабрикатов, как
годен — не годен, проверен — не проверен, прошел — не прошел
(обработку на данном станке), смазан — не смазан, окрашен —
не окрашен и т. д. В некоторых случаях дискретные параметры
оказываются многозначными, принимающими некоторое
конечное множество значений. Например, годный полуфабрикат
может иметь признак принадлежности к классу (высший, первый,
второй и т.д. сорт). Многозначный дискретный параметр
может быть использован для кодирования типа (вида)
полуфабриката, если производственный процесс связан с переработкой
разнородной продукции, и т.д.
В общем случае непрерывные и дискретные параметры
полуфабриката могут быть случайными величинами. Для их
исчерпывающей характеристики необходимо задавать
соответствующие многомерные законы распределения. Это всегда сопряжено
с громоздкими выкладками и длительными- вычислениями.
При малейшей возможности для упрощения
вычислительного аппарата от сложного общего случая стараются перейти
к более простым частным. Например, некоторые параметры
полуфабриката могут оказаться неслучайными величинами. К
неслучайным можно также приближенно отнести те величины, для
которых допустимо пренебрежение имеющимися флуктуациями.
Значительные упрощения получаются и в том случае, когда
некоторые случайные параметры оказываются независимыми от
остальных (или могут приближенно считаться независимыми). ,-
Особенно простыми являются задачи, где случайные вели-;
чины задаются в рамках корреляционной теории, т. е. с точ-Г
ностью до вторых моментов (средние значения, дисперсии, кор- ■
реляционные моменты).
Вместе с тем для математического описания
полуфабрикатов со случайными параметрами можно использовать понятие
потока случайных векторов, рассмотренное выше.
Из перечисленных здесь схем в каждом конкретном случае -
требуется выбрать наиболее удобную с точки зрения
поставленной задачи.
В дальнейшем параметры полуфабриката мы будем обозна-
чать щ, az, ■. ., ац. Если возникает необходимость, то для дис*
§30]
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
241
кретных параметров могут быть использованы особые обозна-
чения: гь г2, .. ., гт. Тогда обозначения ai, «2, ..., a„
сохраняются для непрерывных параметров.
Перейдем к формальному описанию основных
производственных операций.
Начнем с абстрактной операции обработки
полуфабрикатов.
Под абстрактной операцией обработки мы будем понимать
такой элементарный акт производственного процесса над
данным полуфабрикатом, в результате которого меняется значение
хотя бы одного из параметров полуфабриката. К классу
операций обработки будем относить многие технологические
операции, связанные с изменением размеров полуфабрикатов
(обработка резанием, ковка, штамповка и т. д.), их положения в
пространстве (транспортировка, повороты), сообщением
дополнительного признака (окрашен, проверен) и т. д. Иногда в
качестве операций обработки могут быть формально представлены
и некоторые естественные акты производственного процесса,
обычно не относящиеся к операциям, например остывание
(металлической заготовки, вышедшей из нагревательной печи и
ожидающей очереди на обработку), высыхание, окисление.
Как уже упоминалось выше, представление
производственного процесса в виде совокупности последовательно
выполняемых операций не является однозначным. В соответствии с
данным здесь определением мы могли бы, например, считать
операцией обработки любой акт изменения значения только одного
параметра полуфабриката. В равной степени под операцией
обработки можно понимать любые объединения
последовательных актов такого рода. Однако при решении практических задач
нужно стараться не злоупотреблять этой свободой. Желательно,
чтобы каждая операция данного процесса относилась к
некоторому конкретному производственному оборудованию,
обеспечивающему ее выполнение. Тогда моделирование процесса,
а также интерпретация результатов моделирования
оказываются особенно простыми и наглядными.
В дальнейшем для краткости любой комплекс
производственного оборудования, обеспечивающий выполнение операции
обработки, будем называть станком независимо от его
реальной структуры и назначения.
Таким образом, каждая операция обработки выполняется
вполне определенным (формализованным) станком.
Для того чтобы построить математическое описание
операции обработки, необходимо установить соотношения между
параметрами, характеризующими взаимодействие станка и
полуфабриката в процессе обработки.
16 г!- П. Буслёнко
242 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
• Пусть момент начала операции обработки обозначается #н>,
а длительность ее т(оп>. В рассматриваемой задаче нам известны
значения всех параметров ащ полуфабриката как непрерывных,
так и дискретных для моментов времени t4^№\ т. е. до
операции. Требуется определить значения ащ параметров полуфаб;
риката для моментов времени t^-tw (после операции), где
величина
,(к) = /(н)+т(оп) (73)
является моментом окончания операции обработки. Поэтому,
первой частью математического описания операции обработки
должны быть соотношения вида,
«п k = «п k («i i> ai 2> • • • > ai n> Pi> h Pm) (7-4)
для всех k=l, 2, ...,«, Где Pi — некоторые параметры,
характеризующие станок.
В ряде случаев необходимо считаться с тем обстоятельством,
что am представляют собой случайные величины. В самом деле,
случайными могут оказаться параметры полуфабрикатов аы
или параметры станка |3(, или, наконец, функции <хш
(случайные флуктуации возникают в процессе выполнения операции).
Независимо от природы возникновения флуктуации обычно
применяется простейшая формализация этого процесса. Вместо
(7.4) используются соотношения вида
/
«И А = «И * («I 1' «I 2- • • • - «I „. Pi- h> < • '' P«)+ 6aH k> <7'5)
где бацй — случайные отклонения величины am от некоторого
неслучайного значения a°Uk, заданные соответствующими
законами распределения или в рамках корреляционной теории
(с точностью до моментов второго порядка).
Однако соотношения вида (7.4) или (7.5) не исчерпывают
математического описания операции обработки. К ним
необходимо присовокупить зависимости, определяющие режим
функционирования станка во времени. Помимо #н> и #к> = #н> + т(°п>,
нам будут нужны следующие величины: tf — момент
поступления /-го экземпляра полуфабриката к станку, т'г)—время,
затрачиваемое на подготовку станка к выполнению следующей
операции, а также
^)==^) + TW (7.6)
— момент готовности станка к выполнению операции.
Рассмотрим некоторые распространенные предположения
относительно ^н>. Существует класс процессов, не имеющих
централизованного управления режимом производственных циклов
136] производственные операции 243
во времени. В этом случае операция может начаться в любой
момент, если только выполнены необходимые для этого
условия: станок готов к работе, и к нему уже поступил очередной
полуфабрикат. Если считать, что дополнительные простои
оборудования исключаются, то момент начала операции можно
определить так:
r/j", если ;<;11+т<;>!«;<;>,
- ' i^i + tfb если #, + #,><?. К }
Любые дополнительные простои станка, связанные с
"особенностями производственных циклов, могут быть учтены
соответствующим обобщением понятия т'г>, т. е. включены в т'г).
Однако имеются примеры процессов с централизованным
управлением производственными циклами. В качестве
простейшего случая такого рода можно указать процесс, когда режим
работы станков линий обработки деталей жестко синхронизован
с режимом сборки изделий на конвейере. Для процессов этого
класса обычно справедливо предположение о том, что
операция обработки может начинаться только в моменты времени,
отстоящие друг от друга на величину т<т) — длительности
такта. Другими словами, допустимыми моментами начала операции
могут быть только моменты времени вида t0 + kx^\ & = 0, 1,2, ....
где t0— начало отсчета времени. Естественно, что операция
Может начаться в любой из указанных моментов, если к этому
времени станок готов к работе, и уже поступил очередной
полуфабрикат. Последние два условия можно записать так:
*<"> + тм >fw.
t0+kx™ < /к> + т(г)< t0 + {k+ 1)*(Л
или
;0+ь(Т><;<п><г0+(А+1)тт.
>.} ~V*
(7.9)
Легко видеть, что соотношения (7.8) и (7.9) могут быть
записаны более компактно:
t0 + Arm < тх < t04- (k +1)тго, )
T2<t0 + (k + \)TW, J (7Л°)
*
где под fi и Г2 понимаются № или ДО+т^ взятые в любом
порядке.
Правило определения момента #н> начала операции может
быть сведено • к следующему. Если для некоторого значения
16*
244 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ - [ГЛ. VII
k = k* оказывается справедливым одна из систем неравенств
(7.8) или (7.9), то .
/« = /0 + (А'+1)^. (7.Ц)
Мы указали здесь на два наиболее простых, но достаточно
распространенных случая определения момента /М — начала
операции обработки. При решении практических задач может
возникнуть необходимость в рассмотрении и других приемов
описания №. К ним мы будем обращаться по мере надобности.
Помимо рассмотренных уже временных параметров /<п> и Ин\
при построении математического описания операции обработки
фигурируют и другие величины: т<г', т<т>, т<оп> и т. д. В общем
случае они могут рассматриваться как случайные величины.
Время т<г) подготовки станка к работе после окончания
обработки предыдущего полуфабриката обычно является
случайной величиной с заданным законом распределения. В качестве
последнего иногда используется показательный закон
f(z) = Xe-^. (7.12)
Параметры закона распределения случайной величины т<г>,
например, X, зависят обычно от характеристик самого станка,
а иногда и от характеристик полуфабрикатов (отдельные
полуфабрикаты или структура их совокупности как потока
случайных векторов могут иметь такие особенности, которые
способствуют увеличению времени на подготовку станка к
выполнению следующей операции).
Длительность такта т'Т) обычно считается зависящей только
от свойств станка и весьма часто принимается неслучайной
величиной.
Важнейшей характеристикой операции обработки является
ее длительность т<оп>. Величина т<ол> зависит обычно как от
свойств станка, так и от параметров полуфабрикатов.
Например, длительность обработки металлов резанием зависит от
размеров полуфабриката, а длительность горячей штамповки — от
температуры и т. д. Если станок имеет жесткий такт работы,
а случайные колебания величины т'оп> несущественны, то
хорошо соответствует сути дела предположение о том, что т(оп)
является фиксированной неслучайной величиной, зависящей
только от свойств станка.
В более широких предположениях т(оп) представляет собой
случайную величину, вероятностные характеристики которой
зависят от параметров станка и полуфабрикатов.
На практике заметную роль играет следующая тенденция
синтеза математического описания случайной величины т<оп>. Во-
первых, случайную величину т<оп> обычно считают независимой
§301
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
245
от других случайных величин, фигурирующих в задаче.
Наиболее частым исключением из этого правила является учет
корреляции между т<оп> и #п> или между т'оп) и #н). Во-вторых,
считают достаточным описывать случайную величину т<оп> с
точностью до двух моментов. Это значит, что вероятностными
характеристиками т<оп) служат среднее значение и дисперсия.
И, наконец, в-третьих, среднее значение т<оп> обычно считается
зависящим от параметров полуфабрикатов, а дисперсия — от
характеристик станка, описывающих его состояние. Например,
по мере удаления от момента, наладки станка (замены
инструмента) обычно наблюдается увеличение дисперсии т<011'.
Как было указано выше, под абстрактной операцией обра-
ботки мы понимаем такой элементарный акт производственного
процесса над данным полуфабрикатом, в результате которого
изменяет свое значение хотя бы один из параметров
полуфабриката. В отличие от этого абстрактная операция сборки пред*
полагает участие нескольких (не менее двух) полуфабрикатов.
Среди них необходимо различать ведущий полуфабрикат (сбор*
ный узел) и ведомые полуфабрикаты (детали, присоединяемые
к узлу). Для многих производственных процессов выбор одного
из полуфабрикатов в качестве ведущего оказывается в большой
степени условным, особенно для первых сборочных операций,
свойственных начальному этапу сборки. В некоторых случаях
особенности изделия или технологии делают этот выбор
определенным и однозначным.
Мы будем придерживаться следующего формального
определения абстрактной операции сборки. Под операцией сборки
изделия понимается такой элементарный акт производственного
процесса над совокупностью полуфабрикатов (ведущим и
ведомыми), в результате которого изменяется значение хотя бы
одного из параметров ведущего полуфабриката (за счет
присоединения к нему ведомых), а соответствующие ведомые
полуфабрикаты прекращают существование.
Предполагаем по аналогии с операцией обработки, что
существует соответствующий набор производственного
оборудования, обеспечивающий выполнение операции сборки. В даль*
нейшем его для краткости будем называть сборочным
агрегатом. Для моментов начала и конца операции, поступления
полуфабрикатов, готовности агрегата, длительности операции
и т.д. сохраним в основном обозначения предыдущего
параграфа: /W, Пк>, №, №, т<011> и т. д. соответственно.
Очевидно, что сущность формализованной операции сборки
состоит в переработке информации, описывающей состояния
полуфабрикатов, участвующих в сборке. Точнее, пусть в
сборке участвуют узел (ведущий полуфабрикат) и т деталей
246 ДИСКРЕТНЫЕ ПРбЙЗбОДСТВЕННЫЁ' ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. VII
{ведомых полуфабрикатов). Параметры их,для моментов
времени £■< #н> обозначим a, k , а,. , ..., а1н .
В результате операции сборки мы получим сборный узел
с новыми значениями параметров <хи k , а детали прекратят
существование.
Поэтому для построения математического описания опера^
ции сборки в первую очередь необходимо задать соотношения
вида
aHfty~aiifty(aifty' ai*,* •••» aikm> Pi> fa- •••> Pzk (7-13)
где рг- — параметры, зависящие ют характеристик сборочного
лгрегата.
Что касается моментов прекращения существования деталей,
использованных на сборке, то выяснение их точных значений
приводится лишь в случае необходимости. Если же для
дальнейшего они особой роли не играют, то можно условно их считать
равными между собой и, кроме того, равными одному из
введенных уже в рассмотрение моментов, например, № или /<к>, и т. д.
На практике приходится сталкиваться со случайными
значениями аи k . В этих случаях по аналогии с (7.5) используются
соотношения
аи*у = аЦ(а1у «I*, ai*m* Pi-Ра Р^ + ^иу (7Л4)
где ба„ к — случайные отклонения, задаваемые
соответствующим законом распределения или другими вероятностными
характеристиками. :
' Сделаем несколько замечаний относительно параметров,
определяющих синхронизацию элементов операции сборки.
Пусть речь идет о моменте № начала оперании. Здесь могут
быть использованы различные предположения, в первую очередь
те, которые мы уже рассматривали по аналогичному поводу для
операции обработки. Если 4" —момент поступления на сборку
узла, а tf\, ti2, ..... t\m — моменты поступления деталей, и
операция начинается в момент готовности всей совокупности
элементов, то по аналогии с (7.7) можно записать выражение
tf = max {if, $>, t® tfl t% 4-'t(j1i}. (7.15)
На практике встречаются и более сложные случаи.
Например, весьма общим и достаточно распространенным является
случай, когда отдельные сборочные работы (части операции
сборки) начинаются по мере поступления на сборку тех или
иных деталей или по мере готовности соответствующих элемен-
§ЭД
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ
247
тов производственного оборудования. Этот случай, являясь
заведомо сложным, если речь идет об описании его
непосредственно, сводится к предыдущему, более простому. Для этого
достаточно рассматриваемую операцию сборки расчленить на
несколько последовательно выполняемых операций.
Перейдем теперь к соотношениям для. #н) в случае, когда
операция сборки может начинаться только в момент начала
такта сборочного агрегата. По аналогии с (7.10) и (7.11) будем
иметь
если выполнены условия:
7\<'4> + (А+1)т<т>,
Г2<*о+(А+1)тт.
FmH <*„ + (*+1)т(т>, „'
, ■ t0 + Лт<т> < Г%+2 <*„+(*+ 1) tm, ■ (7.16)
где под Ти Т2,..., Тт+2 понимаются tf\ все величины tf), a
также t(K) 4" т > взятые в любом порядке.
Другим существенным параметром, определяющим режимы
взаимодействия производственного оборудования во времени, явт
ляется величина т'оп). Способы математического описания этой
величины существенно зависят от структуры формализованной
операции сборки.
При формализации операцию сборки удобно представлять в
виде последовательных этапов, которые условно можно назвать:
1) установкой деталей на узле, 2) креплением деталей и 3) ре_-
гулировкой узла. В соответствии с этим и длительность
операции т(°п) может рассматриваться как сумма трех слагаемых:
тСу), х<кр), т»ег), соответственно, которые в общем случае являются
случайными величинами с заданными вероятностными
характеристиками.
Другие характеристики, связанные с взаимодействием
элементов процесса во времени, например, тФ, т<г) и др., могут быть
описаны при построении формализованной схемы таким же
образом, как это было сделано применительно к операции
обработки.
В заключение заметим, что особенностью формализации
операции сборки является некоторая «неравноправность»
участвующих в' сборке полуфабрикатов — предпочтение всегда отдается
сборному узлу по сравнению с деталями. Например, при
описании следствий тех или других действий агрегатов судьба сбор-:
ного узла всегда описывается с исчерпывающими подробностями,
248 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
в то время как относительно судьбы каждой отдельной детали
информация обычно оказывается ограниченной. Часто можно
обойтись фиксацией параметров только сборного узла, а
параметры деталей не фиксировать. При этом соотношения вида
(7.13) и (7.14) существенно упрощаются.
Операции обработки полуфабрикатов и сборки изделий
являются основными производственными операциями,
составляющими фундамент любого производственного процесса.
Формально они сведены к преобразованию параметров полуфабрикатов
при помощи соотношений вида (7.4), (7.13) или (7.5), (7.14)
соответственно. В отличие от этого операции управления сами по
себе не изменяют параметров полуфабрикатов, не оказывают
влияния на их физические свойства и непосредственного
отношения к обработке и сборке не имеют.
В результате операций управления вырабатывается
информация, необходимая для согласованной работы отдельных
элементов производственного комплекса. В качестве примеров
операций управления можно назвать регулирование скорости
производственного процесса, регулирование усилий, температуры
или других основных параметров, характерных для той или
другой операции, распределение полуфабрикатов между
параллельно работающими станками или линиями, выработку признаков
прекращения или возобновления подачи полуфабрикатов к
станку или линии в зависимости от длины очереди, некоторые
мероприятия, связанные с контролем хода производства и качества
продукции и т. д.
По аналогии с другими операциями будем считать, что
существует некоторый набор оборудования, называемый
управляющим устройством, который обеспечивает выполнение данной
операции управления. Реально операцию управления может
выполнять не только специальное устройство, но и человек-оператор.
Однако с точки зрения математического описания процесса это
обстоятельство принципиального значения не имеет, так как мы
будем строить описание только для тех действий
человека-оператора, которые производятся в полном соответствии с четко
сформулированными правилами и легко формализуются. Заметим,
что в общем случае при моделировании процессов управления
реальными объектами с участием человека встречаются и
некоторые принципиальные трудности, требующие дополнительных
исследований. Однако эти более сложные вопросы выходят за
рамки настоящей книги.
При построении математического описания абстрактной
операции управления будем исходить из некоторого
формализованного процесса функционирования столь же абстрактного
управляющего устройства.
§ 30] ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 249
В первую очередь рассмотрим переработку информации в
управляющем устройстве. Пусть речь идет о некотором
комплексе производственного оборудования (станок, группа станков,
технологическая линия и т.д.) с параметрами Рь, k=\, 2 т.
Будем рассматривать очередной i-й акт производственного
процесса, связанный с этим комплексом, например, операцию или
группу операций. Значения параметров оборудования,
относящиеся именно к этому акту, снабдим индексом I и будем
записывать в виде рй(. Аналогично обозначим (символически)
параметры полуфабрикатов, связанных с i-u актом, через ац (до
начала г'-го акта) и аПг (после его окончания). В результате
операции управления мы должны получить информацию о
требуемых изменениях технологических режимов и строения
производственного процесса для рассматриваемого комплекса
оборудования. Эту информацию удобно представить в виде
поправок A|3ft к параметрам производственного оборудования.
В общем случае соотношения для Др^ можно записать в виде
ДР« = дР«(ап. h,i-v aii.i-i)- ' (7-17)
Кроме соотношений (7.17) необходимо описать прохождение
сигналов управления во времени. Это можно сделать таким же
образом, как описывалась синхронизация для других операций.
Будем обозначать символом #н> момент начала операции
управления, т'оп) — ее длительность, а tw = #н> + т'оп> — ее конец. На
практике встречаются различные случаи определения №>. при
наличии жесткого такта, без него, по готовности всех
участвующих элементов и т. д.
Существенным обстоятельством является привязка операции
управления ко времени выполнения самого производственного
акта, связанного с ней (для простоты будем говорить —
производственной операции). Приходится рассматривать различные
случаи. Может оказаться, что операция управления
заканчивается до начала производственной операции, а начинается
после поступления соответствующего полуфабриката. Такая
схема имеет преимущества, если наибольшее влияние на Др
оказывают параметры поступающего полуфабриката c&i
(главная задача управления — настроить станок на режим,
соответствующий параметрам поступающего полуфабриката).
В другом случае, когда задача управления состоит в
основном в поддержании стабильных значений параметров ац или
стабильных режимов работы оборудования, а Др определяются
главным образом значениями величин ац и р, иногда удобно
считать, что операция управления начинается после окончания
производственной операции. Не является исключением и такая
возможность, когда производственная операция и операция
250 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ, VII
управления выполняются более или менее одновременно,
причем соотношение (7.17) часто превращается в уравнение
саморегулирования для р. Рассмотренные здесь и другие подобные
варианты операций управления могут быть легко описаны и
приведены к виду, удобному для моделирования.
Представляют несомненный теоретический и практический
интерес случаи, когда необходимо считаться с возможными
ошибками, сопровождающими операции управления
(случайными функциями могут быть как а\, <хц, |3, так и сама Д|3). Для
описания ошибок используются обычные методы задания
вероятностных характеристик.
§ 31. Отклонения течения производственного процесса
от нормального
В предыдущем параграфе мы рассмотрели некоторые
абстрактные схемы, пригодные для формализации различных
производственных операций. Эти схемы исходят из предположения
о так называемом «нормальном» течении процесса. Под
нормальным (требуемым, желательным и т. д.) течением
производственного процесса будем понимать случаи, когда все
контролируемые параметры процесса находятся в допустимых пределах.
Однако реальные процессы иногда сопровождаются
явлениями, способными вывести параметры процесса за эти пределы.
Такие явления будем называть нарушениями нормального
течения процесса или отклонениями течения процесса от
нормального. Настоящий параграф посвящается способам
формализации и математического описания основных нарушений течения
процесса, связанных с расстройством режима синхронизации,
выходом из строя элементов оборудования и его ремонтом, а
также периодическими наладочными мероприятиями.
Обратимся сначала к случаям расстройства режима
синхронизации производственного процесса. Как известно, интервалы
времени, определяющие синхронизацию элементарных актов
производственного процесса, зачастую бывают случайными
величинами. В связи с этим могут появиться особенности
протекания процесса, являющиеся по своему характеру нарушениями.
Например, при идеальной синхронизации всегда было бы
справедливым равенство
^W/lx+t^i. (7.18)
Однако на практике данное равенство весьма часто нарушается.
Вследствие этого имеет место ожидание полуфабрикатов у
занятых станков и даже образование очереди полуфабрикатов, а
также простои станков из-за отсутствия полуфабрикатов.
§ ЗЦ ОТКЛОНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТ НОРМАЛЬНОГО 251
Сами по себе эти. особенности не создают дополнительных
трудностей при моделировании. Необходимо только обратить
внимание на учет следствий, к которым могут привести эти
явления. Рассмотрим некоторые из них.
Предположим, что поступивший к станку очередной полу-.
фабрикат застает станок занятым (выполняющим операцию над
предыдущим полуфабрикатом или находящимся в стадии
подготовки к выполнению очередной операции). Наиболее
распространены следующие предположения о дальнейшем ходе
процесса: 1) полуфабрикат ожидает начала операции, и нормальное
течение процесса не нарушается; 2) происходит срыв
производственного процесса, могут быть случаи, когда обрабатываемый
или поступивший полуфабрикат или оба вместе исключаются из
производственного процесса (например, уходя в брак) с
заданными вероятностями; 3) полуфабрикат может ожидать начала
операции в течение интервала времени т'ж>. Если
/h)<^) + tW -(7.19)
то производственный процесс протекает нормально; в противном
случае в момент времени /(п) + т'ж> полуфабрикат исключается из
производственного процесса.
Для всех трех возможностей легко подобрать конкретные,
практические примеры. Мы на этом останавливаться не будем,:
ограничимся только некоторыми замечаниями. Очевидно, что
существуют процессы, для которых необходимо соблюдение
условий (7.19). Например, при горячей обработке детали за счет
длительного ожидания ее температура может снизиться до такой
степени,,что выполнение операции окажется невозможным.
Существует много других примеров такого рода. Однако, для
проверки условий вида (7.19) необходимо запоминать время
ожидания или равнозначные параметры каждого полуфабриката
(в примере с горячей обработкой вместо времени ожидания,
можно было бы запомнить температуру). Необходимость
запоминания информации о состояниях полуфабрикатов вносит свои
особенности в математическое описание процессов подобного
рода. Предположим, что имеются средства для записи и
хранения необходимой информации.
Если условие вида (7.19) не выполняется, то очередной
полуфабрикат, как уже отмечалось выше, исключается из
производственного процесса. Однако, только этих сведений бывает
недостаточно, для решения поставленных задач. Обычно необходимы
уточнения, связанные с конкретизацией судьбы исключенного
полуфабриката. Типичные предположения такого рода сводятся
к следующему: 1) полуфабрикат ухОдит в брак; 2) полуфабрикат
252 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
хранится вблизи станка и поступает на обработку, когда
станок простаивает из-за недостатка полуфабрикатов; 3)
полуфабрикат дорабатывается вручную или каким-нибудь другим
способом. Заметим, что во втором случае необходимо фиксировать
новый параметр станка — максимальный объем местного склада
(кармана) для хранения ожидающих полуфабрикатов.
Интервал ожидания т<ж> в общем случае может быть
случайной величиной с заданным законом распределения. Часто ее
считают детерминированной, зависящей от параметров
полуфабрикатов.
Поскольку чрезмерное увеличение длины очереди
полуфабрикатов (переполнение местного склада) чревато вредными
последствиями, в некоторых случаях принимаются меры для регу-
лирования длины очереди (количества полуфабрикатов в
очереди). Простейшая формализованная схема, могущая учесть это
обстоятельство, сводится к следующему. Если количество п
полуфабрикатов в очереди меньше некоторого заранее заданного я*,
то производственный процесс протекает нормально. При п = п*
дальнейшая подача полуфабрикатов прекращается. Иногда это
не сказывается на нормальном течении процесса (например,
если полуфабрикаты поступают со склада), а в других случаях
приводит к срыву работы некоторых станков или процесса в
целом. Так как подача полуфабрикатов была прекращена, то через
некоторое время количество их в очереди уменьшится и станет
меньше некоторого заранее заданного п**<п*. Этот факт
служит сигналом для возобновления подачи полуфабрикатов.
Описанная здесь схема, несмотря на ее крайнюю
элементарность, может служить для формализации многих реальных
процессов. На практике встречаются, конечно, схемы и более
общего характера.
Наконец, из всевозможных случаев расстройства
синхронизации процессов необходимо также выделить простои (ожидания)
станков, вызванные задержками в поступлении полуфабрикатов.
Если
ty>tf-i + rf., (7.20)
(в момент #г) готовности станка к работе очередной
полуфабрикат не поступил), то могут иметь место следующие
предположения о дальнейшем ходе производственного процесса: 1) станок
не работает до момента #п), нормальное течение процесса не
нарушается; 2) станок работает вхолостую, нормальное течение
процесса не нарушается; 3) происходит срыв процесса и т. д.
Заметим, что во втором случае учитывается время холостой
работы станка, что бывает существенным для подсчета времени
наработки оборудования.
§ 31] ОТКЛОНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТ НОРМАЛЬНОГО 253
, В результате тех или других нарушений нормального течения
производственного процесса могут быть случаи, когда
полуфабрикат или изделие оказывается бракованным. Рассмотрим
математическое описание закономерностей, связанных с
появлением брака в процессе выполнения некоторой производственной
операции".
Пусть полуфабрикат появляется в результате выполнения
операции с номером / на станке с номером /. Данному
полуфабрикату поставим в соответствие число pfj\ 0 -K-Pf^]^, 1,
называемое вероятностью брака (тогда qtj=\—pf?) означает
вероятность получить годный полуфабрикат). Случайное
событие — получение годного (бракованного) полуфабриката в
результате данной операции — полностью характеризуется
величиной pff-
В общем случае вероятность брака //бр) зависит от
параметров полуфабриката, а также от параметров станка. Обычно
наиболее существенна зависимость /?№>) от тех характеристик
станка, которые описывают его состояние как функцию интер?
вала времени, прошедшего с момента последней наладки станка.
Этим замечанием подчеркивается, что по мере удаления от
момента наладки станка качество выпускаемой продукции не
улучшается, а брак возрастает.
Иногда целесообразно рассматривать брак как следствие
выхода некоторых параметров изделий за заданные пределы.
В этих случаях существенно учитывать зависимость
вероятностных характеристик параметров полуфабриката от тех
факторов, которые определяют собой вероятность брака.
Отдельные варианты формализации этого явления рассматриваются
ниже.
По-видимому, еще более существенным фактором, чем
расстройство режима синхронизации производственного процесса,
являются случаи срыва процесса за счет недостаточной
надежности оборудования. Сущность проявления этого фактора
заключается в том, что при вполне нормальных внешних условиях
течения процесса в случайные моменты времени выходят из строя
отдельные элементы производственного оборудования. Для того
чтобы возможные отказы оборудования можно было учесть при
исследовании процесса, нужны соответствующие схемы
формализации этих явлений и их математического описания.
Некоторые наиболее простые схемы, приспособленные для описания
производственных процессов, мы рассмотрим в настоящем
параграфе.
Д.да определенности будем рассматривать некий станок,
обеспечивающий выполнение операции обработки. Пусть этот станок
254 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ • [ГЛ. VII
состоит из устройств, которые мы в дальнейшем будем называть
блоками или первичными элементами.
Каждый блок (элемент) в данный момент времени может
находиться лишь в одном из двух возможных состояний: либо
быть исправным (работать), либо быть неисправным (отказать,
выйти из строя). Выход из строя каждого блока представляет
собой случайное событие. Вероятностное описание этого
события может быть построено следующим образом.
Пусть #отк> — момент отказа блока — случайная величина.
Как известно, функция распределения F(t) случайной величины
<(отк) равна вероятности того, что
i(0TK) <t,
т. е. !
F(t)==P{t{om)<t}. (7.21)
Функция F (t) исчерпывающим образом характеризует надеж^
ность рассматриваемого блока, так как она полностью
описывает момент отказа /<отк> как случайную величину.
На практике часто принимают
F(t) = \—e-u. (7.22)
Как известно, этому распределению соответствует функция
плотности вероятностей
f(t) = le-u. (7.23)
Мы вновь встретились со знакомым нам законом распределения,
поэтому легко установим смысл параметра Я. В данном случае!
представляет собой среднее значение количества отказов,
приходящихся на единицу времени (интенсивность отказов).
Столь же простой, но, на наш взгляд, заведомо более
наглядной характеристикой надежности блока (элемента) является
среднее время безотказной работы Гср, которое для показатель^
ного распределения оказывается равным
Пр =4- (7.24)
Для законов распределения F(t)f отличных от
показательного, тоже удобно пользоваться такой простой характеристикой
надежности, как среднее время безотказной работы Гср. В
общем случае оно связано с законом распределения следующими
соотношениями:
оо
-■•'■•' ТС9= I tf.(t)dt,
...... . - ' ■■ . О
5 31] ОТКЛОНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТ НОРМАЛЬНОГО 253
ИЛИ
со
Tcp=ll\-F(t)]dt._ . , (7.25)
о
Как следует из (7.21), вероятность того, чтб момент отказа
#отк) находится в пределах интервала (tu t2),7. e.
может быть определена по формуле
P{ti<t™<t3)=F{t2)-F(tl).' (7.26)
В случае показательного распределения
P{t, < *(отк)< t2) =e-"'(l — e-Klt,-tiy). (7.27)
Закон распределения случайной величины #отк> или ее другие
вероятностные характеристики (например, среднее значение, дис^
персия и т. д.) могут быть определены по опытным данным
путем обработки достаточно обширного статистического материала.
Помимо самих моментов отказа (выхода из строя) блоков
или первичных элементов оборудования, необходимо дать
описание следствий, к которым эти отказы приводят. Мы будем
рассматривать следствия только с двух точек зрения: какова
судьба полуфабриката, при обработке которого случился отказ,
а также в каком состоянии оказывается станок под влиянием
отказа одного из его блоков (элементов).
В связи с рассмотрением дальнейшей судьбы полуфабриката,
при обработке которого произошел отказ одного из блоков
станка, обычно пользуются рядом предположений. Например,
полуфабрикат уходит в брак. Это предположение находит
применение в тех случаях, когда при выходе из строя элементов
оборудования выходит из строя также и обрабатываемый
полуфабрикат. Так, при поломке резца могут получиться царапины
и другие неисправимые дефекты на поверхности
обрабатываемой детали. Естественно, мы перестанем интересоваться
историей полуфабриката, если он уходит в брак.
В некоторых случаях более соответствующим сути дела
оказывается предположение о том, что при выходе из строя
элементов оборудования обрабатываемый полуфабрикат может
оказаться бракованным с вероятностью /?<6р) или годным с
вероятностью 1—р(бр>. Иногда вопрос о годности полуфабриката, при
обработке которого произошел отказ оборудования, решается
•при помощи«| специальной контрольной операции (в
простейшем случае такой контрольной операцией является наружный
осмотр).
256 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VI!
Как отмечалось выше, мы перестаем запоминать сведения о
полуфабрикатах, которые оказались бракованными. Если же при
отказе оборудования полуфабрикат оказался годным,
необходимо следить за его историей и далее. Наиболее распространены
при этом следующие предположения: обработка полуфабриката
не прекращается, а продолжается нормально; обработка
полуфабриката прекращается и продолжается после ввода станка в
строй (после ремонта оборудования); обработка полуфабриката
производится вручную или на специальном (резервном)
оборудовании и т. д.
В первом из этих случаев, когда при выходе из строя
элементов оборудования обработка полуфабриката продолжается
нормально, станок, как правило, либо оказывается непригодным
для начала обработки нового полуфабриката, либо снижает
качество работы. Но о судьбе станка речь будет идти ниже.
После ремонта отказавшего оборудования может возникнуть
необходимость продолжить обработку полуфабриката. Возникает
вопрос о длительности операции обработки т<оп>. Перед началом
операции для случайной величины т<оп) уже было выбрано
некоторое возможное значение т'. Однако, это возможное значение
не было реализовано из-за отказа оборудования. Операция
продолжалась некоторое время т*<т'. Иногда имеет место такое
положение, что после ремонта станка операция обработки
продолжается в течение интервала времени х'—т* с тем, чтобы
Полностью реализовать выбранное перед отказом время х'. В
некоторых случаях время обработки после ремонта оказывается
отличным от %' — т*. Бывают случаи, когда оно уменьшается
(вместе с ремонтом производится наладка станка, смена или
заточка резцов и т. д., что способствует ускорению обработки
полуфабриката), но в большинстве случаев это время
увеличивается зз счет повторного ввода оборудования в требуемый
режим или затраты дополнительного времени на исправление де-
'фектов, вызванных отказом оборудования. В связи со вторым
этапом обработки полуфабриката (после отказа оборудования
и ремонта) появляется новая случайная величина тМ — время
дополнительной обработки полуфабриката. Закон распределения
т<д> зависит от параметров станка й полуфабриката.
Мы здесь остановились лишь на наиболее типичных случаях
судьбы полуфабрикатов, обработка которых была
приостановлена из-за отказа оборудования. В практических задачах могут
быть и другие, более сложные варианты.
Перейдем к рассмотрению состояния станка после отказа
одного из его элементов или блоков. Здесь необходимо иметь в
виду два важных класса случаев. Первый класс характеризуется
тем, что при выходе из строя блока или элемента ломается и
§ 3i] отклонения течения процесса от нормального 257
весь станок. Иными словами, при выходе из строя блока или
элемента сам станок становится непригодным к выполнению
операции. Второй класс случаев характеризуется тем, что при
выходе из строя блока или элемента станок полностью не
отказывает, но качество его работы снижается (например,
увеличивается вероятность брака, снижается период времени между
последовательными наладками станка, увеличиваются
отклонения параметров изделий а^р после операции от их требуемых
значений и т. д.).
Одним из существенных вопросов формализации
производственных процессов является индикация неисправности или
отказа оборудования. В модели должно быть четко отражено, в
какое время и по сигналу какого индикатора (прибора,
человека и т. д.) становится известным факт отказа оборудования.
Кроме того, необходимо указать следствия (судьба полуфабриката,
состояние станка), к которым приводит отказ, в интервале
времени между т'отк> и моментом, когда становится известным факт
отказа.
При моделировании обычно требуется не очень детальное
описание следствий отказов элементов оборудования, связанных с
состоянием станка. Более важные сведения концентрируются,
как правило, в судьбе полуфабриката. Для станка важно знать
одно: сколько времени потребуется на его ремонт, и когда
станок снова окажется пригодным для выполнения свойственной
ему операции.
Предполагается, что всегда (за исключением случаев,
которые оговариваются особо) вышедший из строя элемент
оборудования может быть отремонтирован или заменен исправным.
Время ремонта (замены) т№ем> является случайной величиной с
заранее известным законом распределения, зависящим, как
правило, только от характеристик используемого оборудования.
До сих пор мы рассматривали влияние надежности
производственного оборудования на ход операции обработки. Основные
принципы описания отказов и их следствий остаются такими же
и для других операций (сборки, управления и т. д.). Естественно,
что каждая операция может вносить особенности в методику
учета отказов.
На практике встречаются производственные процессы, для
которых характерны различные типы отказов оборудования.
Например, возможны отказы, при которых станок или агрегат
может быть сравнительно быстро отремонтирован (введен в строй).
К этому типу относятся главным образом случаи, когда
отказавшая деталь легко обнаруживается и быстро заменяется
исправной. Могут, однако, иметь место отказы, связанные с длительным
поиском и устранением неисправности.
Х7 Н.*П. Бусленко
258 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Почему существенно различать эти два типа отказов? Дело
в том, что при кратковременном ремонте оборудования (замене
отказавшей детали) обычно другие блоки и элементы не
затрагиваются. Наоборот, при длительном, более фундаментальном
ремонте, как правило, приходится затрагивать многие блоки и
элементы оборудования. Таким образом, наряду с устранением
неисправности в каком-то конкретном блоке попутно
производится наладка многих других блоков и элементов.
Чтобы формализованная схема отражала ситуации,
возникающие на практике, необходимо использовать соответствующие
предположения. Например, пусть /(°тк> — момент наступления
отказа в случае быстрого ввода оборудования в строй, a f(0TK) —
момент наступления отказа для случая длительного ремонта.
Величины ^отк) и f<0™) будем считать случайными величинами с
законами распределения (вероятностями безотказной работы)
p(t) и p(t) соответственно. Начало отсчета для #отк> и ?(отк) —
момент окончания последней наладки станка.
С точки зрения взаимозависимости отказов первого и
второго типов можно использовать следующее предположение. Если
в момент #отк) произошел отказ первого типа (быстрый ввод в,
строй оборудования), то вероятности p(t) отказов второго типа
не изменяются. Когда же в момент времени ?<отк) происходит
отказ второго типа (длительный ремонт), производится
переоценка вероятностей p(t) и /5(0- Определяются время ремонта
х(Рем) оборудования и момент ввода его в строй t(°тк> + т(рем).
Вероятности p(t) и p(t) пересчитываются таким образом, чтобы
моментом последней наладки являлся момент ?(°тк)-}-т(Рем).
Интервалы времени, потребные на ремонт оборудования,
т(рем) — дЛЯ отказов первого типа и т(рем> — для отказов второго
типа, предполагаются независимыми случайными величинами с
заданными законами распределения.
В зависимости от типа отказов делаются соответствующие
предположения относительно судьбы полуфабрикатов,
участвующих в операции. Типичные варианты предположений такого рода
были рассмотрены выше.
Мы остановились здесь на кратком описании наиболее
распространенных схем, используемых для формализации отказов
производственного оборудования, и их основных следствий.
Такой арсенал позволяет охватить весьма широкий класс
производственных процессов.
Естественно, что рассмотренными здесь схемами не
ограничиваются все без исключения случаи, возникающие при решении
практических задач. Зачастую приходится пользоваться схемами
более общего характера, вытекающими из предположений общей
§ 31] ОТКЛОНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТ НОРМАЛЬНОГО 259-
теории надежности. Однако принципы их применения для
исследования производственных процессов методом моделирования
аналогичны рассмотренным выше.
Мы изучали случаи перехода производственного
оборудования в нерабочее состояние, наступающее внезапно, в случайные
моменты времени. При исследовании разнообразных
производственных процессов часто приходится сталкиваться также и с
другого рода нарушениями нормального течения процесса —
постепенными выходами оборудования из рабочего состояния. Как
•правило, причиной постепенных отказов является износ
отдельных элементов оборудования или нарушение требуемого
взаимодействия между ними.
Однако изучение причин постепенного выхода оборудования
из рабочего состояния стоит в стороне от рассматриваемой здесь
проблематики, являясь вполне самостоятельным вопросом. При
формализации производственных процессов мы их будем
объединять условным понятием «износ» и интересоваться лишь
внешними проявлениями этого фактора, т. е. судьбой полуфабрикатов и
состояниями соответствующих станков.
Наибольшее распространение имеют три типа предположений
о судьбе полуфабрикатов и состояниях оборудования. В первом
случае конкретным следствием износа оборудования служит
заметное увеличение доли бракованных изделий после
соответствующей операции. Формально факт увеличения доли брака в
зависимости от времени, прошедшего с момента очередной
наладки оборудования, может быть описан в том случае, когда
вероятность брака ,0<бр) является функцией t — #н), где №> —
момент окончания последней наладки оборудования. Типичными
зависимостями вида р<бр) = р(бр)(t), используемыми при решении
практических задач, служат следующие соотношения:
(/7<бР) ' .ПРИ /-*(Н)</КР),
pm==\p™+v(t-tW-t™) при t~-tM>t^. (7<28)
Здесь #кр>— момент времени, начиная с которого сказывается
износ оборудования. Иногда пользуются соотношением
/*> = p№>4-v(*-*<■>)*. (7.29)
более удобным для расчетов, чем (7.28). Здесь нужный
характер зависимости обеспечивается соответствующим подбором
параметров v и s. Могут быть использованы, естественно, и другие
"^обные соотношения.
Во втором случае следствием износа оборудования считается
увеличение разброса параметров полуфабриката после операции.
17"
260 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Формально этот факт описывается соотношениями вида
< = <(*-*(н)), (7.30)
где 0^ —дисперсии параметррв полуфабрикатов a}j, afj a\f
после операции. Конкретные зависимости для (7.30) выбираются
по аналогии с (7.28), (7.29).
Наконец, в третьем случае следствием износа оборудования
оказывается увеличение среднего значения, а иногда и разброса
длительности выполнения операции т'оп). Другими словами,
вероятностные характеристики случайной величины т(оп1
оказываются функциями аргумента t — /№. Для среднего значения и
дисперсии при весьма широких предположениях могут быть
использованы соотношения, аналогичные (7.28) и (7.29).
Рассмотренные здесь три типа следствий износа
оборудования являются распространенными, но отнюдь не единственно
возможными. На практике могут встретиться разнообразные
особые случаи, связанные со спецификой технологии или
организации производства.
Для ликвидации пагубных последствий износа оборудования
принимаются специальные меры. Обычно они сводятся к
периодическим прерываниям производственного процесса для замены
. или ремонта износившихся элементов (например, смена резцов,
. подшипников и т. д.), а также для наладки нарушенного
взаимодействия между элементами станков и агрегатов. Эти
мероприятия в дальнейшем мы будем объединять в понятие «наладка
оборудования».
При формализации зависимости периода времени между
последовательными наладками от условий течения процесса
обычно пользуются различными предположениями, зависящими
от хода процесса. Наиболее распространены следующие
предположения: 1) период 7"(н) между последовательными наладками
имеет постоянную длительность; 2) очередная наладка
производится в момент, когда суммарное время работы станка 2тА0П>
i
достигает заданного значения 7"(н); 3) очередная наладка
назначается тогда, когда вероятность брака р^\ дисперсия о1
параметров изделия после операции или разброс длительности
операции т<оп) и т. д. выходит за некоторые условные пределы,
содержащиеся внутри допустимых интервалов для этих величин.
Имеются и другие признаки, по которым определяется момент
очередной наладки #н>.
Длительность наладки тХн> в общем случае считается
случайной величиной с заданным законом распределения.
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ 26?
Для некоторых производственных процессов характерно то,
что наладка оборудования является единственным основным
занятием персонала или его специально выделенной части
(бригады наладчиков). Тогда пропускную способность наладчиков
планируют, исходя из разумной их загрузки в процессе работы.
В этом случае могут возникать очереди станков, требующих на--
ладки, а также простои наладчиков. Для формального описания
закономерностей, связанных с наладкой оборудования в таких
случаях, можно использовать соответствующие типы систем
массового обслуживания.
В заключение целесообразно отметить случаи, когда
очередная наладка оборудования производится после каждого
получения бракованного изделия или полуфабриката. Здесь важно
четко определить порядок переоценки законов распределения
безотказной работы p(t), моментов очередной наладки /№,
вероятности брака р<бр) и других параметров, характеризующих
различные виды нарушений нормального течения процесса.
§ 32. Моделирование производственных операций
В настоящем параграфе будут рассмотрены моделирующие
алгоритмы для основных производственных операций: операции
обработки, операции сборки и операции управления. Для того
чтобы, в отличие от систем массового обслуживания,
абстрактные производственные операции могли хорошо описывать
реальные операции, встречающиеся на практике, необходимо при их
моделировании учитывать различные возмущающие факторы.
Основными возмущающими факторами являются те нарушения
нормального течения производственных процессов, которые мы
рассматривали выше: расстройство режима синхронизации
(очереди полуфабрикатов, простои станков и т. д.), выход из строя
элементов оборудования и его ремонт, а также периодические
мероприятия, связанные с наладкой и ликвидацией последствий
износа оборудования.
Для моделирования возмущающих факторов и их действия
используются специфические приемы построения алгоритмов.
Некоторые из них уже известны читателю по гл. V. Например, для
моделирования нарушений режима синхронизации можно
воспользоваться группами операторов, представленных в
алгоритмах (5.69), (5.72) гл. V, связанных с имитацией.очереди заявок
и порядка выбора свободных каналов для обслуживания
пришедшей заявки.
То же самое можно сказать о приемах моделирования
выходу из строя оборудования и его ремонта. Этому вопросу посвяч
Щен специальный § 23. Правда, там рассмотрен только один из
262 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
двух распространенных подходов к моделированию сбоев —
реализация жребия с вероятностью р(сб). Другой подход состоит в
следующем. По известной функции распределения момента сбоя
№б) формируются возможные значения самих моментов сбоя, а
затем производится сравнение №б) с /№, №к\ № и другими
узловыми моментами производственного процесса. Результаты
сравнения интерпретируются как всевозможные следствия выхода
из строя оборудования. Примеры построения моделирующих
алгоритмов с использованием этого подхода будут рассмотрены
ниже.
Наконец, необходимо уметь моделировать периодическую на-
.ладку оборудования и плановый ремонт или замену его
элементов. Рассмотрим три наиболее распросграненных случая.
Первый случай характеризуется постоянством интервала
наладки. Поэтому моменты остановки производственного процесса
для наладки 7W известны заранее. Второй случай — моменты 7"М
заранее не известны, а должны быть определены в процессе
производства как функции 2Т< суммарного времени работы
оборудования (см. § 28). В отличие от этого, третий случай связан
с определением 7"(н) в зависимости от поведения характеристик
обработанных полуфабрикатов: увеличения процента брака,
увеличения разброса параметров изделий или длительности
операции т(°п).
В первом случае обычно прерывают процесс не строго в
момент TW, а в ближайший к нему интервал между
последовательными операциями. Для учета этого обстоятельства при
моделировании производственной операции необходимо иметь оператор
сравнения очередного момента наладки Г(н) с моментом начала
г'№ или моментом окончания № операции над очередным
полуфабрикатом. Например, пусть F81 — формирование очередного
момента наладки Г(н); Р82 — проверка условия #к)<7"(н); Ф83 —
формирование длительности наладки оборудования; F84 —
переход к обработке очередного полуфабриката; А85 — определение
момента готовности № оборудования к выполнению очередной
операции. Тогда операторная схема подалгоритма учета
наладки оборудования будет иметь вид
80F81P82i84<I>83A85. (7.31)
где под оператором с номером 80 понимается определение
момента окончания операции. Графически подалгоритм (7.31)
представлен на рис. 18.
Во втором и третьем случаях идея построения подалгоритма
остается той же, разница возникает только за счет определения
•момента 7"W. Во втором случае для этого нужны операторы вида
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ 263
А86— формирование накопленной суммы т, (реализация
операции 2 ^ori>-j-■ т/+1) и Р87 —проверка условия 2 T^-f- т ; < *.
Тогда схема подалгоритма имеет тот же вид, что и (7.31), но
вместо оператора F81 необходимо подставить А86, а вместо Р82—
оператор Р87.
В третьем случае необходимо иметь операторы (аналогичные
А86 и Р87), которые следили бы за поведением параметров р^\ а
или т(°п>, а также проверяли бы условие, что данный параметр
от Fg0 (определение tw)
Определение t<r>
Рис. 18.
меньше своего предельного значения. Замена этими
операторами F8i и Р82 в подалгоритме (7.31) дает требуемый подалго-
ритм учета прерывания процесса для наладки.
На этом мы закончим предварительное ознакомление с
методами учета возмущающих факторов при моделировании
производственных операций. Некоторые, более общие случаи мы
кратко рассмотрим ниже.
Как известно, в результате операции* обработки изменяется
хотя бы один параметр обрабатываемого полуфабриката. С этой
точки зрения операция обработки есть оператор переработки
информации о полуфабрикате. Соотношения, определяющие
параметры аш полуфабриката после обработки через известные
параметры полуфабриката до обработки и параметры станка (5(г)
задаются в виде (7.4). Необходимо также иметь в виду
соотношения (7.5), учитывающие случайные погрешности баш
параметров полуфабриката.
С другой стороны, операция обработки выполняется
некоторым конкретным станком. Поэтому моделирование операции
обработки является по существу моделированием процесса
функционирования соответствующего станка. -
В настоящее время имеется уже необходимая -база для
построения алгоритмов, моделирующих операцию, обработки.
(переход к щи
'рсотгго полуфш
264 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
В отношении обозначений и принципов формализации мы
будем придерживаться содержания §§ 31 и 32.
Рассмотрим следующую формализованную схему операции
обработки. Полуфабрикат с номером / поступает к станку в
момент t(f и имеет параметры «до. Если станок свободен, то он
приступает к обработке полуфабриката в момент tj\ В
противном случае полуфабрикат ожидает освобождения станка. Время
ожидания не ограничено. Когда количество т полуфабрикатов в
очереди достигает величин от*, подача их к станку
прекращается. Возобновление подачи полуфабрикатов производится по
признаку т<от**. Операция продолжается случайное время т/.оп),
зависящее от а;ш и длительности работы станка после наладки.
Станок не является абсолютно надежным. Вероятность
безотказной работы для сбоев первого типа (см. § 32) есть р\{Т{) для
второго типа — Рг{Тъ). Соответственно продолжительность
ремонта: т4р) и х^р)- Сбой первого типа не влечет за собой
переоценки характеристик надежности. В случае сбоев второго типа
характеристики надежноости переоцениваются. Если сбой
произошел в период обработки г'-го полуфабриката, то после
ремонта обработка его продолжается с временем доработки т<д>.
Наладка станка начинается по признаку ^т{?п) — Т. Время
наладки т<н) — случайная величина. Вероятность брака р(бр) зависит от
тех же величин, что и г(оп\ Если /-й полуфабрикат оказался
бракованным, то производится подналадка станка за время т<,р) и
время очередного сбоя первого типа пересчитывается заново.
Когда время t от начала процесса достигает значения Т,
обработка нового полуфабриката не производится (конец реализации).
Момент tw окончания операции обработки может быть
определен по известным № и времени занятости станка тА3) (с
учетом xfn> и возможного ремонта, наладки или доработки)
следующим образом:
t^^t^ + x^. (7.32)
Таким же образом определяется момент #г) готовности станка
к обработке нового изделия:
t^=:^ + T?\ (7.33)
где т<г) — случайная величина, имеющая смысл времени
подготовки станка к операции.
Для построения алгоритма, моделирующего описанную здесь
операцию обработки, необходимо иметь следующие операторы:
4>i — формирование очередного момента t{f поступления
полуфабриката к станку; •
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ 265
Р2 — проверка условия ty < г , *
Р3 — проверка условия т;>1;
К* — счетчик количества th полуфабрикатов в очереди
(реализует операцию от+1);
А5 — запись величин ty в специальные ячейки;
F6 — переход к обработке очередного полуфабриката;
F7 — формирование tj\
Р8 — проверка условия tf < Т;
Ф9— формирование значения т(г°п)!
А10 — определение ty в соответствии с (7.32);
Фи — формирование ближайшего значения #сб> и признака ш:
в соответствии с pi(7"i) и pz{T2) определяются Т\ и Т& а затем
/'c5) = min [т\, Г2}; если Т\<Т\, то со =1, в противном случае
}о = 0;
Pt2 — проверка условия t(c '< ff;
Pi3—проверка условия и>0 (см. Фи);
Фи — формирование новых значений Т\, 4°\ т2р), где ^ —
новое начало отсчета времени для сбоев (второго типа);
- Ф15 — формирование новых значений Т\, %{v\ t\';
А к — определение min \T\, Г2} и признака « в соответствии
с правилом, описанным при определении оператора Фи",
Ф17 — формирование случайного значения времени доработки
т(д) полуфабриката после ремонта станка и нового значения #к>;
•Aie — подсчет 2Ti°n) рабочего времени станка;
Pt9 — проверка условия 2 ХТЩ < Т\
Ф2о —формирование новых значений Т\, Т\, min [Т\, Т1),
А0), » после очередной наладки станка;
Ф21— формирование времени т(н> наладКи станка и момента
"Пк) конца наладки;
Ф22 — формирование случайных значений т^;
А23 — определение момента ^(г> готовности станка с учетом
времени наладки, если таковая имела место;
А24 — определение вероятности брака р<бр>;
Р25 — проверка условия | < р(бр\ где | — случайное число с
равномерным распределением в интервале [0, 1]; при выполнении'
этого условия обрабатываемый полуфабрикат оказывается
бракованным; _
Фге — формирование случайного значения т<р> при получении
брака;
Ф27 — формирование Т\, min \Т\, Тг). £\ © — после наладки
станка;
266 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
А28 — определение нового значения #г) с учетом подналадки
станка;
Ф2э — формирование значений параметров полуфабриката
аш после обработки;
Кзо — подсчет количества обработанных (годных)
полуфабрикатов;
К31 — подсчет количества бракованных полуфабрикатов;
F32 — формирование момента готовности станка #г>;
Кзз — счетчик количества полуфабрикатов в очереди
(реализует операцию т — 1);
Р34 — проверка условия р>0; (3 = 0 означает, что подача
полуфабрикатов прекращена, р=1 —что подача полуфабрикатов
производится;
Р35 — проверка условия т<т**;
F36 — формирование признака Р = 1;
Р37 — проверка условия т<т*\
F38 — формирование признака (3 = 0;
А39 — обработка результатов моделирования;
Я4о — окончание вычислений и выдача результатов.
Располагая этими операторами, можно записать
операторную схему алгоритма, моделирующего операцию обработки:
34, 36. 37ф1р|46 р^бК4Д5 3, 5, 3-„ 38рбр7р8^ф9А]оф11
РщыРГМ6* 13ф15 н 15а16ф17 12- 17а18рГф2оф1?
19Ф22А23 "■ 23А24Р25|29Ф2бФ27А238 25Ф29Кз1 ^Км
30'31РзЖззР^РзчбР1б 2К 6 \ eP^F» 8А39Я40. (7.34)
Блок-схема этого алгоритма представлена на рис. 19.
Сделаем замечания относительно работы алгоритма (7.34).
Алгоритм состоит из двух частей. Первая часть, моделирующая
собственно операцию обработки, начинается оператором Ф9 и
заканчивается операторами А2в и Фгэ- Рассматривать ее, однако,
удобнее с операторов F6 (переход к обработке очередного
полуфабриката), F7 и Р8. Если условие, проверяемое оператором
P&(ty < Т), выполнено, то управление передается оператору Ф9.
В результате работы операторов Ф9, А10, Фи формируется xfn),'
t{f, а также #сб> и (о.
Оператором Фц сначала определяются случайные значения
П и 7,2ОТ) ближних моментов сбоя первого и второго типов
в соответствии с функциями распределения Pi [7fT)] и P2[7l!OT)].
Затем решается вопрос о том, какого типа сбой произойдет
раньше — определяется /сб) = min {7l°T'( Т$г)] и вырабатывается
значение Признака ю.
МОДеЛИРЬЬАНИЁ НЮЙЗЬОДсТЙЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ
т + 1
J?=0
Переход it обробопке ow-
вредного полулафикапн^
т + 1
Формирование tj
Запоминание t/"'
Jff,
Of д . I ~л?ду моделирования
\ijm<T) щ_ _ t zz:
Обработка реэульта
Wb/dava реоул,
Рис. 19.
268 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Далее переходим к совокупности операторов Р12, P19 и Р25.
однотипных по логике взаимодействия в модели. Если условие,
проверяемое оператором Pj2, не выполнено (до конца обработки
сбой не происходит), то переходим к проверке условия
2 т(оп) < Т (операторы AJ8 и Pig), т. е. к проверке
необходимости наладки станка из-за износа. Если условие, проверяемое
оператором Р4д, выполнено (в наладке необходимости нет), то
переходим к проверке условия |<р(бр) (операторы А24 и P2s).
Если полуфабрикат оказался годным (условие, проверяемое
оператором Р25, не выполнено), то переходим к оператору Кзо
для подсчета количества обработанных полуфабрикатов.
Возвратимся теперь к операторам Р12, Pig. Если условие,
проверяемое оператором Р12, выполнено, то наступает сбой.
Управление передается оператору Р]3, выясняющему, к какому типу
относится происшедший сбой. Если со = 1, то сбой — первого
типа, если со = 0, то сбой — второго типа.
В случае сбоя первого типа \Т\ < Гг) характеристики
надежности для сбоев второго типа не изменяются, и поэтому заново
определяются лишь величины Т\, %\ и t\ (оператор 4>i5). Для
сбоя второго типа (со = 0, Ti*CTi) определяются Т2, т(2р) и t^K
все характеристики надежности обновляются. Оператор А1в
определяет /<сб> и со, а оператор Фц— величины тХд) и №. Управление
передается оператору А18.
Аналогично происходит работа алгоритма и в случае наладки
станка (условие, проверяемое оператором Pig, не выполнено).
Оператор Ф2о формирует те же величины, что и оператор Фц,
но в связи с произведенной наладкой станка, а оператор Ф2<—
длительность наладки т/н) и момент ее конца TW. Наконец, если
появился брак (условие, проверяемое оператором Р25,
выполнено), то производится подналадка станка, определяются тХр)
(оператор Ф2в), Т\, t{), minfYi, Г2) и со после подналадки станка
(оператор Ф27). Далее определяется #г> (оператор А28), и
управление передается оператору Кз1 для подсчета количества
бракованных полуфабрикатов. На этом работа первой части
алгоритма (7.34) заканчивается.
Вторая часть алгоритма (7.34) непосредственно операцию
обработки не моделирует, а обеспечивает связь и синхронизацию
ее с другими актами производственного процесса (подача
полуфабрикатов, регулирование ее и т. д.), а также управление
самим процессом моделирования (фиксация и обработка
результатов, переход к очередному полуфабрикату и т. д.). Эта часть
алгоритма моделирует некоторую систему массового
обслуживания и существенно напоминает моделирующий алгоритм (5.69).
Рассмотрение ее работы предоставляется читателю. «•
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ. 269
На практике могут встретиться различные модификации
операции обработки и ее взаимодействия с другими актами произг
водственного процесса. Так же, как и в случае систем массового
обслуживания, эти модификации требуют тех или других
изменений моделирующего алгоритма. Читатель в состоянии построить
нужный вариант самостоятельно по аналогии с приведенными.
Остановимся лишь на одной модификации: полуфабрикат,
поступивший к станку, ожидает готовности станка к началу
обработки не более чем т(ж>; по истечении времени тХж> полуфабрикат
на обработку не поступает (например, из-за падения темпера-'
туры ниже допустимого предела) и остается необработанным.
Моделирующий алгоритм для такой модификации остается
близким к (7.34). Введем операторы:
F4i — формирование максимального времени ожидания At
полуфабриката в очереди, Д^ = тах{/Г)— /(п)},
Р42 — проверка условия Л/<х<ж>;
К43 — подсчет количества необработанных полуфабрикатов по
причине Д/<т(ш>;
К44 совпадает с Кзз; Р45 совпадает с Рз- В этом случае под-
алгоритм учета ограниченного ожидания имеет вид
5'?3'45F41Pt26K43K44Pt54!l. (7.35)
Графически подалгоритм (7.35) представлен на рис. 20.
Легко видеть, что подстановка (7.35) в алгоритм (7.34) дает
34, 36, 37, 45ф1рГ5рз|бК4д41 3, 35, «№Р8|39Ф9
АюФиРпцаР^Фи 13Ф15 И'15А16Ф17 12'17А18
Р?92Ф20Ф21 "ФйАю 21' 23А24Р25|29Ф2бФ27Ай
ФгэКзо Кз1 ' F32K33P 34P35^eF 35K46A56
I'M 8Аз9Я40 5' 38' 45F4lPt!K43K44Pi5{l. (7.36)
Аналогично могут быть построены моделирующие алгоритмы
и для других модификаций операции обработки.
В отличие от обработки, в операции сборки участвуют
несколько (не менее двух) полуфабрикатов. Как уже говорилось
выше, необходимо различать ведущий полуфабрикат (основу
сборного узла) и ведомый полуфабрикат (детали,
присоединяемые к узлу). Операция сборки, так же как и обработка, является
операцией переработки информации о полуфабрикатах. Этот
факт достаточно полно отражается соотношениями (7.13) и
(7.14). Однако реализация соотношений переработки
информации о полуфабрикатах является только одной стороной
моделирования операции сборки. Не менее важным обстоятельством
оказывается процесс функционирования соответствующего
2?0 Дискретные Производственные процессы (г~Л. vlt
производственного оборудования (сборочного агрегата). Моде*
лирование этого процесса дает возможность учесть
синхронизацию операции сборки с другими производственными
операциями, а также влияние различных возмущающих факторов.
В настоящее время еще нет достаточного опыта
моделирования, позволяющего рекомендовать единый моделирующий
алгоритм для операции сборки, пригодный во всех без исключения
случаях. Вместе с тем можно указать
типичные моделирующие алгоритмы,
удобные для распространенных
модификаций.
Рассмотрим следующий
сравнительно простой пример. Пусть
операцией сборки предусматривается
присоединение к сборному узлу / деталей.
Если в необходимый момент времени
соответствующая деталь имеется, то
операция сборки продолжается, если
деталь отсутствует, то операция
сборки срывается. Деталь, взятая для
присоединения к сборному узлу,
подвергается проверке за время т<пр'. Она
может оказаться негодной с
вероятностью jt>(6p). В этом случае она
заменяется другой деталью (если таковая
имеется). Операция сборки может
продолжаться лишь ограниченное время. Если операция в норму
времени не укладывается, то наступает срыв операции сборки.
После окончания операции сборки и получения готового изделия
или срыва операции сборки переходим к сборке последующего
изделия. Процесс продолжается до тех пор, пока t(f < Т, где
t(f — момент поступления очередного ведущего полуфабриката
на сборку.
Для моделирования данную операцию сборки (которую в
дальнейшем будем называть составной операцией сборки)
разобьем на совокупность операций с номерами 1, 2, ..., /. Каждая
i-я операция, получаемая при разбиении, состоит в
присоединении к сборному узлу лишь одной детали. Длительность с'-й
операции для /-го узла обозначим хц, а иомен"? ее окончания (fj>
Если к моменту ^/данная операция не закончена, то происходит
срыв процесса, и /-й сборный узел исключается из рассмотрения.
Для записи моделирующего алгоритма, отображающего
рассмотренную формализованную схему составной бперации сборки,
нам потребуются следующие операторы:
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ 271
Ф1 — формирование момента поступления ведущего
полуфабриката на сборку;
Р2— проверка условия t(p<J\
Р3— проверка условия t>/;
Ф4 — формирование значений параметров изделия (если
операция сборки завершена) или параметров сборного узла ajr
(в случае срыва операции сборки) на выходе из сборочного
агрегата;
Кб — счетчик количества iV готовых изделий (реализует
операцию N+\);
Ка — счетчик номеров ведущих полуфабрикатов (реализует
операцию / + 1);
F7 — формирование t=l*
F8 — переход к новому сборному узлу;
F9 — подготовка к i-й сборочной операции;
Рю — проверка условий п{>0, где я,- — количество деталей
под номером i, имеющихся в сборочном агрегате;
Кп — счетчик количества срывов составной операции сборки;
Ki2 — счетчик количества деталей номер i (реализует
операцию tii + l);
Ф!3 — формирование значения длительности ^f проверки
детали;
Р14 — проверка условия £<pfp), где | — случайное число с
равномерным распределением в интервале [0, 1]; *
*i5 — формирование длительности операции %ц\
Ai6 — определение момента tf) окончания t'-й операции
сборки с учетом потери времени;
Рп — проверка условия t% < tif,
Ki8 — счетчик номеров сборочных операций (реализует
операцию i + l);
Fi9—формирование i = /+l;
К20 — счетчик количества готовых изделий (реализует
операцию JV— 1);
A2i — обработка результатов моделирования;
Я22 — выдача результатов и конец вычислений.
Операторная схема моделирующего алгоритма для составной
операции сборки имеет следующий вид:
8/Ь О 2> 18, 20D Л I/ „ п с1 Зп 9, 14DM2 10, 17.Л9
Ф1Г2|21 _, Рз|9Ф4К5КеР7Г8 Г 9 FlO Kll
10Ki20i3Pti>i5Ai6Pi7ii,K?811Fl9Klo 2А21Я22. (7,37)
Для наглядности на рис. 21 показана блок-схема
моделирующего алгоритма (7.37),
Сущность работы алгоритма (7.37) состоит в следующем.
272
ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
Оператор Ф4 формирует момент поступления на сборку
/п)
(п)
ведущего полуфабриката //''• Величина tyf сравнивается с Т
(оператор Рг). Если t[ij' < Т, то моделирование продолжается, в
Формирование txffl
ffo&mem количества.
]ганюеш изделий N+1
I
i = 1
Wpcxoff x новому
сборному узлу
19
i=l+1
20s
H-1
21\
Обработка резутта\
mos мвЗелиротния
22 x
T
Buffam
losm к i-u
сборочной onepauuu\
f/oUcvem количества
срывов операции сборки
п,-1
Tf\
Формирование Ту
Определение t[f'
18
i+7
Рис. 21.
противном случае управление передается оператору A2i для
обработки результатов моделирования. Оператор Р3 проверяет
условие />/. Пусть сначала i>l. Это значит, что сборка данного
изделия закончена. Тогда осуществляется переход к новому
сборному узлу (оператор F8) с попутным формированием а(Д;
(оператор Ф4), подсчетом количества готовых изделий (оператор Ks)>
§ 32] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ 273
определением номера нового сборного узла (оператор Кб) и
формированием £=1 (оператор F7). Если же условие, проверяемое
оператором Рз, оказывается невыполненным, то сборка изделия
не закончилась, и мы переходим к оператору F9 для подготовки к
. очередной сборочной операции. Оператор Рю проверяет, имеются
ли (rtj>0) детали, необходимые для сборки. Если деталей нет,
то происходит срыв сборки (как г'-й сборочной операции, так и
составной операции), и управление передается оператору Кп для
подсчета количества срывов, а затем оператору F19. Оператор F19
формирует t" = /+l (т.е. имитирует конец сборки), а оператор К20
вычитает единицу из количества готовых изделий для
компенсации действия оператора Кб-Управление передается оператору Р3.
Теперь t>l, поэтому работа алгоритма будет продолжаться по
знакомой нам цепи Р3Ф4 • • ■ F84>j. Будем теперь считать, что
имеются детали для сборки, щ>0 (оператор Рю). Оператор Ki2
вычитает единицу из щ (деталь взята для проверки), а Ф13
формирует длительность проверки ifp- Затем по жребию
(оператор Рн) определяется качество детали. Если деталь негодна,
то возвращаемся к оператору Рю и выбираем новую деталь.
Если деталь годна, то продолжаем сборку: оператор Ф15
формирует длительность, а оператор А)6 определяет момент tfj ее
окончания. Если t%<tij (оператор Р17), то переходим к
оператору Ki8 (i + l),a затем к Рз- Если это условие не выполнено,
то получается срыв сборки (оператор Ки). Представляется, что
сказанного достаточно для понимания работы алгоритма (7.37).
На практике встречаются и другие, более сложные
модификации операции сборки. Их моделирование потребует,
естественно, соответствующих изменений моделирующего алгоритма.
Рассмотрим некоторые особенности, часто встречающиеся в
реальных производственных процессах.
, Иногда по сути дела необходимо сравнивать с t*/ не tfj,
(к)
свойственное г-и отдельной операции, at) —момент окончания
составной операции сборки. В этом случае в качестве t(f можно
взять наибольшее из tfj, и изменения алгоритма будут
незначительными. В самом деле, вместо оператора Р)7 необходимо
поставить оператор, обеспечивающий запоминание tfj. Кроме того,
после оператора Р3 (если i>l) нужен оператор, выбирающий
max {tf}}, а также Р17 для сравнения max {t\Kj} с /*_,-. От
оператора Р17 теперь управление будет передаваться Ki8, если условие,
проверяемое оператором Pi7, выполнено, и Ки — в противном
случае.
Построение операторной схемы такого видоизмененного мо^
делирующего алгоритма предоставляется читателю,
18 Н. П. Вусленко
274 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Рассмотрим теперь другой случай. В алгоритме (7.37)
предусмотрено, что отсутствие детали (п; = 0) приводит к срыву
сборки. Часто более приемлемым оказывается предположение,
что при отсутствии детали сборный узел ожидает ее появления
(например, с линии обработки), но не более чем т<ж' и только
в случае, когда деталь не появилась к моменту истечения т(ж>,
происходит срыв сборки.
Изменение моделирующего алгоритма и в этом случае не
представляет особого труда. Вместо цепочки операторов PioKia
нужна модель соответствующей системы массового
обслуживания с очередью деталей и простоем оборудования из-за
отсутствия очередной детали. Моделирующие алгоритмы для таких
систем массового обслуживания мы рассматривали в гл. V.
Наконец, если речь идет об учете надежности сборочного
агрегата, можно построить модификацию моделирующего
алгоритма, воспользовавшись фрагментами алгоритма для операции
обработки. Так, после оператора Aie алгоритма (7.37) можно
вставить фрагмент алгоритма (7.34), начиная с оператора Фп и
затем Р12, Pi3 и т. д. до оператора Фп включительно.
Некоторые примеры моделирующих алгоритмов для
операции сборки встретятся ниже при рассмотрении комплексных
моделей производственных процессов.
Операции управления не изменяют непосредственно
параметров изделий. Однако в результате операций управления
вырабатывается информация, необходимая для согласованной
работы всех элементов производственного комплекса. JTaKHM
образом, при моделировании операций управления необходимо
моделировать соответствующую переработку информации. Обычно
на практике при рассмотрении операций управления может быть
указан некоторый алгоритм управления (алгоритм вычисления
управляющих величин), например, задаваемый соотношением
вида (7.17) или каким-нибудь другим способом.
Одним из простейших приемов моделирования операций
управления является воспроизведение в модели алгоритма
управления. Другими словами, алгоритм управления в виде
некоторого подалгоритма включается в моделирующий алгоритм.
В некоторых случаях это приводит к вполне приемлемым
результатам.
В других случаях непосредственное включение в модель
алгоритма управления может сделать моделирующий алгоритм
слишком громоздким, неприемлемым для практического
использования. Иногда выходом из создавшегося положения
является приближенное представление алгоритма управления в
модели. Этим приемом нередко пользуются при решении
практических задач.
I Щ ПРОЦЕССЫ. СВЯЗАННЫЕ СЬ CBOF-кОЙ НА кОНВЕЙЁ^Ё 2?5
Помимо переработки информации часто приходится
обращаться и к процессам функционирования управляющих устройств
(например, для учета их надежности, пропускной способности
и т. д.). Во многих случаях эти устройства могут быть
представлены в виде простых формализованных схем, для которых
моделирующие алгоритмы близки к рассмотренным выше. Однако
не всегда удается подобрать простую схему. В общем случае
управляющее устройство может быть представлено в виде
абстрактного агрегата, схема функционирования которого
рассматривалась в § 26.
Моделирование таких агрегатов проводится методами,
изложенными в гл. VI.
Мы рассмотрели моделирующие алгоритмы для некоторых
типичных операций, используемых при решении практических
задач. К сожалению, в настоящее время невозможно построить
общие методы моделирования производственных процессов. Речь
может идти лишь о более или менее удачных приемах
построения моделирующих алгоритмов для отдельных задач. Кроме
того, в настоящее время существуют примеры комплексных
моделей для конкретных и практически важных производственных
процессов.
Сущность комплексирования моделирующих алгоритмов мы
рассмотрим на примере сборочного конвейера.
§ 33. Моделирование производственных процессов,
связанных со сборкой на конвейере
Рассмотрим пример построения комплексной модели для
одного из возможных вариантов процесса поточного производства
штучных изделий.
Пусть производственный процесс складывается из операций
обработки, сборки и управления, рассмотренных выше. Линия
сборки (совокупность агрегатов, обеспечивающих сборку
изделия) состоит из / агрегатов. Каждый агрегат выполняет только
одну сборочную операцию.
На сборку поступают ведущий полуфабрикат (основа
сборного узла) и присоединяемые к узлу ведомые полуфабрикаты
(детали) с номерами 1,2,..., /.
Будем предполагать, что режим перемещения сборного узла
от места выполнения одной операции к месту выполнения
последующей операции- является жестким (конвейер). Это
означает следующее. Пусть t?j — момент начала t'-й сборочной
операции над /-м узлом. Очевидно, что момент t^ доставки /-го
узла к месту выполнения j-й сборочной операции удовлетворяет
УСЛОВИЮ tij^tfj.
18»
276 дискретные производственные процессы [гл. vtl
Рассмотрим величину t\j — момент подачи /-го узла к месту
выполнения первой сборочной операции. Очевидно, что t^
одновременно является моментом подачи (/— 1)-го узла к месту
выполнения второй операции, а (/ — 2)-го узла — к месту
выполнения третьей операции и т.д. Поэтому
^y = ^+i, 4~\~tt+2, j-2 — ti+k, j-k> (7.38)
если
i<l, j — k>0.
В момент времени tyj начинается проверка качества
очередной детали 1-го типа, которая длится тЛпр>. С вероятностью р(бР)
деталь может оказаться бракованной. В этом случае она
исключается из процесса и выбирается новая деталь.
Продолжительность сборки т(Д?'. Если к моменту t*i} данная сборочная
операция не закончена, то происходит срыв операции сборки.
Каждой из / сборочных операций соответствует линия,
обеспечивающая обработку деталей (изготовление детали, ее
наладку, доставку со склада и т.д.). Для простоты будем считать,
что на каждой линии выполняется только одна операция
обработки. Формализованная схема операции обработки совпадает
с той, которую мы рассматривали в § 32. Другими словами,
процесс функционирования соответствующего станка
(преобразование параметров полуфабриката в соответствии с
соотношениями (7.4), (7.5)) сопровождается основными
возмущающими факторами: занятостью станка и возникновением очереди
полуфабрикатов, возможными отказами ненадежных элементов
оборудования, возможностью появления брака, постепенным
износом оборудования и т. д. Основные аспекты формализованной
схемы сводятся к следующему. Полуфабрикат с номером,k
(заготовка j-ro типа) поступает к линии обработки в момент
времени tfl- Если соответствующий станок свободен, то начинается
обработка полуфабриката. Если станок занят, то полуфабрикат
ждет момента освобождения станка. Поскольку время
ожидания предполагается неограниченным, возникает очередь
полуфабрикатов, но не более чем из т = т* штук в очереди, иначе
подача полуфабрикатов временно прекращается.
Возобновление подачи полуфабрикатов производится по признаку т<т**.
Операция обработки длится т(г°й6р). где т^°6р>— случайная
величина с заданным законом распределения. Допускаются сбои
(отказы) оборудования двух типов. Функция распределения
вероятностей для момента сбоя первого типа есть I—Pi(Ti),
а для второго есть 1 —PziTz). Продолжительности ремонта
равны т^р' и yf> соответственно, время доработки полуфабриката
равно т(я), а время наладки станка есть т(н). В результате обра-
§ 33] ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СБОРКОЙ НА КОНВЕЙЕРЕ 277
ботки может быть получен брак с вероятностью р^\ В этом
случае требуется подналадка станка длительностью т^>>.
Прекращение моделирования производственного процесса
производится в случаях, когда очередной ведущий
полуфабрикат поступает на сборку позднее момента времени Г.или когда
момент начала операции обработки 4'* J> Т.
Рассматриваемая ниже модель позволяет получить в
результате моделирования разнообразные характеристики
производственного процесса. Для простоты мы ограничимся фиксацией
некоторых величин: количества готовых изделий, количества
срывов операции сборки, количества обработанных деталей
каждого (г-го) типа, количества бракованных деталей каждого
типа и некоторых других.
Комбинация операций обработки со сборкой изделия (а
также с простейшими операциями управления) и дает тот
абстрактный процесс поточного производства штучных изделий, о кото-;
ром идет речь. Он может служить формализованной схемой для
широкого круга реальных производственных процессов.
Перейдем к рассмотрению структуры моделирующего
алгоритма. В первую очередь необходимо познакомиться со струк- ,
турой подалгоритмов, описывающих взаимодействие линии сбор-г
ки изделий с линиями обработки деталей и синхронизацию
отдельных операций для организации единого производствен-..
ного процесса, а также наметить структуру сводного
моделирующего алгоритма. При этом мы будем придерживаться такой
структуры моделирующих алгоритмов для производственных
операций, которая приводилась выше.
Для того чтобы моделирующие алгоритмы сделать менее
громоздкими, займемся компактной записью (укрупнением)
моделирующих алгоритмов, соответствующих отдельным
производственным операциям.
Рассмотрим операцию обработки полуфабрикатов, которая
моделируется при помощи алгоритма (7.34). Сохранив сущность ;
самой операции, перейдем к более компактной записи
моделирующего алгоритма путем укрупнения некоторых операторов.
Попробуем применительно к операторной схеме (7.34) BBei
сти следующие обозначения:
Робр = ФвА1оФцР12|18Р|з5Фи 13Ф15Н 15АтФ17 ^ 1?Al8
Pff Ф»ФЯ >22А23 Л' 23А24Р25+29Ф2бФ27 А^ ^фЦ. (7.39)
Р 34,36,37^0*460 „ . 3,5, 35, 38р7 2„ .37 /7 лгл\
riv= Ф1Н2 "з^КлАв Г6 К.4бА5б; (7-40)
Av = FttKaP^Pas+eFae; (7.41)
Яу^АавЯ*,.* (7.42)
Ш Дискретные Производственные ПРОЦЕССЫ [1*Л. vft
Логический оператор Р0бр является символом, заменяющим
подалгоритм, моделирующий собственно операцию обработки
детали. Если в результате обработки получается качественная
деталь, то от оператора Р0бр управление по стрелке с
индексом 1 (оператор Ф29) передается оператору Кзо- В случае, когда
в результате обработки получается бракованная деталь,
управление от оператора Р0бр по стрелке с индексом 0 (оператор
A2s) передается оператору Кзь Другими словами, символ
собственно операции обработки можно записать в виде Ровр^зь
В операторе Fiv для передачи управления служит
оператор F6, который передает управление оператору F7. Оператор
Av получает управление от операторов Кзо и Кзь а передает его
оператору Ф4 через оператор F3e. Оператор Яу1 получает
управление от оператора Р8 через оператор А39.
С учетом сказанного операторная схема моделирующего
алгоритма (7.34) может быть записана более компактно:
р р п+обр 8р|ЗЭ o6p,,V обр,, 31,31. 8а П Л1\
Пу^Р^-У! "обр4-31 КзЭ Кз1 Ay Mvi- ('•49)
Эта запись сохраняет в общих чертах логику взаимодействия
операторов в моделирующем алгоритме (7.34), хотя и не
является равноценной записью этого алгоритма.
Перейдем к операции сборки изделий. Возьмем за основу
моделирующий алгоритм (7.37). Для того чтобы не было
путаницы с нумерацией операторов в алгоритмах (7.34) и (7.37),
все номера операторов в алгоритме (7.37) снабдим звездочкой,
например: 2*, 8* и т.д.
Введем следующие обозначения:
Ki
Рсб
Кн
я,„
Тогда операторную схему алгоритма (7.37), моделирующего
операцию сборки, можно записать следующим образом:
U г» 2*. сб, HnAI З'.г^З*^. пАсб 10*, сб.гЗ'* 10*ПАЗ* 2*а /тла\
Ф1*Р2*4-ш Рз*4-э* Ki F9*Pio*in Кп Pc64.11* Яш- (7.48)
Заметим, что к оператору Ki управление передается от
оператора Рз* через оператор Ф4, а от Ki — оператору Ф1* через
оператор Fe*. Логический оператор РСб моделирует собственно
операцию сборки. Он получает управление от оператора Рю*.
Если сборка выполнена успешно, то от оператора РСб управле-.
ние по стрелке с индексом 1 передается оператору Рз* через
= <J>4*K5*K6*F7*F8*. (7.44)
= К12*Ф13*Р|4**Ф15*А16*Р17-ЧИ*К18*. (7-45)
= Кп-"'FiicKm», (7.46)
= Аг1*Я22*. (7-47)
§ 33] ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СБОРКОЙ НА КОНВЕЙЕРЕ 279
оператор Kie»- Если происходит срыв операции сборки, то or
оператора РСб по стрелке с индексом 0 управление передается
оператору Ки (оператору Кп*) через оператор Рп*.
Оператор Кп получает управление от операторов Р]ь* и Рп
через оператор Кп*. Оператор Яш получает управление от
оператора Рг*.
- Для построения сводного алгоритма, моделирующего
рассматриваемый производственный процесс в комплексе, введем
следующие операторы:
Ки — счетчик количества деталей £-го типа, готовых для
использования в i-й сборочной операции;
' Р42—проверка условия Йвр < hj (см. оператор Рп*);
Р43—проверка условия Сбр < №■ Если последнее условие
выполнено, то продолжается моделирование обработки
очередной детали г'-го типа, в противном случае совершается переход
к операции сборки (оператор Рю*).
Сущность связи сборки с операциями обработки деталей со- ;
стоит в следующем. При рассмотрении изолированной опера-:
ции сборки (см. алгоритм (7.37) и др.) предусматривалось, что-
если деталь t'-ro типа отсутствует, то происходит срыв операции
сборки. Этому соответствует передача управления от оператора
Рю* оператору Кп* по стрелке с индексом 0 для подсчета
количества срывов операции сборки, когда /г, = 0.
В моделируемом процессе производства предусматривается
другой исход в случае, если п,г = 0 (условие, проверяемое
оператором Рю*, оказывается невыполненным). Здесь допускается,
что линия обработки, может быть,- еще успеет поставить на
сборку нужную деталь, и поэтому в отсутствие детали
начинается операция обработки.
Таким образом, от оператора Рю* по стрелке с индексом 0 -
управление передается оператору Ф1 (операция обработки,
алгоритм (7.34) и т.д.) для формирования момента поступления .
полуфабриката на обработку. Производится моделирование:
операции обработки. Если момент окончания обработки t^bpi
наступает ранее чем tij (оператор Р42) и результат обработки!
положителен (поступила годная деталь), то можно попытаться/
успеть провести операцию сборки до момента tij. Для этого
через оператор Р43 управление передается оператору Рю* и за-,'
тем оператору РСб для моделирования операции сборки. Если
же условие, проверяемое оператором Р42, оказывается
невыполненным, <го управление передается оператору Ки для подсчета
количества срывов операции сборки. ?
Обратим внимание на оператор Р43. Его роль заключается
в том, чтобы обеспечить повторный переход к операции
280 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII .
обработки, если, конечно, позволяет время. Точнее, если условие,
проверяемое оператором Р4з, не выполнено, т. е. к концу
операции обработки уже нужно начинать операцию сборки, то по
стрелке с индексом 0 управление передается оператору Рю* и
далее РСб- Если же <обф<*сб> то будем пытаться заготовить
еще одну или несколько деталей г'-го типа. Для этого по стрелке
с индексом 1 управление передается оператору FIV для
формирования нового значения tfk — момента поступления на
обработку полуфабриката г-го типа.
Более наглядно эти связи можно представить в виде
укрупненной схемы алгоритма, моделирующего весь
производственный процесс в комплексе.
Чтобы записать такой.алгоритм при помощи операторной
схемы, мы используем некоторые операторы алгоритмов (7.34)
и (7.37), причем номера последних снабдим звездочкой, а
также вновь введенные операторы К«> Р42, P43 и обобщенные
операторы, которые были введены ранее: Ki, Кп, Яш, Fiv, Ay, Робр
и РСб-
Смысл этих обобщенных операторов ясен из соотношений
(7.39) —(7.42) и (7.44) —(7.47). Однако для большей
наглядности мы дадим им особые названия. Заметим, что названия
обобщенных операторов не отражают их полного содержания, а
скорее соответствуют их логической роли в моделируюшем
алгоритме.
Итак, будем использовать операторы: Ki — подсчет
количества готовых изделий, Кп — Подсчет количества срывов
операции сборки, Ящ —выдача, FIV — формирование /$, Av —
переход к операции сборки, Р0бр — обработка и, наконец, Рса —
сборка.
Тогда укрупненная операторная схема алгоритма,
моделирующего процесс поточного производства штучных изделий,
имеет следующий вид:
Irh D 2*,сб, IID 3*,Л*3*р. 9*,43р+сб
*Ф1»Р2*^Ш 1*3**9* K.I Г 9* Г1Щ1У
10*п|3* 10*, 43с IVf п+обР 8П|ЗЭ обр«И1 39,,V
*сб*П Г1У Г7Н8*1П г"0бр4,31 IV.30 К.41
обр,Л' 31, 41.42 VDI43 42nMV сб, 42^,3* 2*, 8а ,тлп\
Кз1 Av F424.11 "431-ю* Кп Мщ. (7-49)
Для наглядности на рис. 22 изображена блок-схема
моделирующего алгоритма (7.49). Принцип работы этого алгоритма
можно понять, ознакомившись с описанием моделирующего
алгоритма (7.37), а также со сказанным выше в настоящем
параграфе об описании взаимодействия между сборкой и операциями
обработки в процессе производства.
§33)
ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СВОРКОЙ НА КОНВЕЙЕРЕ
281
ffoi/cvem
количества
гргтть/х изделий
Ш
Выдат
Подсчет количества
одрадета/тш изделий
t
г/, +7
31
Подсчет количества
Црашатт изделий
Переход
/(операции cffepm
Рис. 22.
282 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Заметим, что данный алгоритм позволяет моделировать
рассматриваемый процесс при произвольной (не обязательно
постоянной) скорости конвейера, или, другими словами, при
произвольном законе образования величин ttj-
Укрупненная схема (7.49) дает представление лишь об идее
построения алгоритма, моделирующего процесс поточного
производства штучных изделий. Некоторые детали, связанные со
взаимодействием между сборкой и операциями обработки, не
могут быть показаны на укрупненной схеме. Для этого
обобщенные операторы, введенные выше, оказываются непригодными.
Поскольку рассматриваемая здесь модель может быть
использована для решения ряда практических задач,
целесообразно привести также и полную схему сводного моделирующего
алгоритма, на которой отражаются все необходимые детали.
Полная схема моделирующего алгоритма получается
подстановкой в (7.49) вместо обобщенных операторов Ki, Ки, Яш, FIV
и т. д. их выражений через первичные операторы алгоритмов
(7.34) и (7.37), а также детализацией связей между некоторыми
операторами. Такая схема содержит 65 операторов, значения
которых приводились выше, и имеет следующий вид:
8*Л D 2*-18*' ; °*D Л U I/ Р Р1* 3*Р
'9*,14»,43D\l2* 17», 42^.19» 10*,, л п|Ю*л .
PlO^l KlI* Kl2*4>13*-"l4* 4>15*Al6*
О ij-З* И»- ,,3* ;*,8« а 10», 37, 43^,
"17*^11*1418* Г19*К20* А21*Л22* Ч»1
Р^РцеКЛ 2K46Af6 *5' 38F6F7P8^2i*09
АюФпР^.вР^Фн 13Ф15Н15А1бФ1712' 17А18
Р£922Ф2оФ2119Ф22А2321,23А2.1Р2Н29Ф2бФ27
А3125Л 1/41281Г 3I-4IP U D*42D P42
А28 ФгэКзо Кз1 гзгКззгз4 У-щ^^
5бг,|1»-.6 3D,,32 34, 35, 36D nfl /7 КЛ\1
Г"37ГЗЗ К41 Н42^П*Г43^10»- ('-OU^
i
Для наглядности на рис. 23 приведена блок-схема
моделирующего алгоритма (7.50).
Для понимания принципа работы этого алгоритма достаточно
ознакомиться с описаниями моделирующих алгоритмов: (7.34) —
операция обработки, (7.37) — операция сборки, а также с
описанием функционирования сводного алгоритма (7.49).
Аналогичным образом могут быть подставлены в (7.49)
вместо Р0бр и РСб выражения, свойственные другим вариантам
операций обработки детали и сборки изделия. Сводный алгоритм
при этом заметно не усложняется.
§ 33] ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СБОРКОЙ НА КОНВЕЙЕРЕ 283
Построение таким путем различных модификаций сводного
моделирующего алгоритма предоставляется читателю в качестве
упражнения.
Мы не ставили своей задачей создать модель столь общего
вида, чтобы любые реальные процессы являлись частными
случаями ее. В настоящее время это, по-видимому, невозможно.
Рассмотренная выше модель охватывает лишь важнейшие,
наиболее часто встречающиеся свойства процессов поточного
производства штучных изделий.
Когда речь идет о применении метода статистического
моделирования для исследования некоторого конкретного
производственного процесса, моделирующий алгоритм может обладать
многими особенностями, свойственными этому процессу, и
поэтому значительно отличаться от (7.50). Мы остановимся кратко
на некоторых особенностях, характерных для конкретных
процессов.
В первую очередь необходимо отметить, что структура
производственного комплекса, характерная для (7.50) (каждая
линия обработки состоит из одного станка), выглядит весьма
искусственно. В практических задачах количество станков в
каждой линии обработки может быть произвольным. Это
обстоятельство не является существенной трудностью при построении
моделирующего алгоритма. В самом деле, если в алгоритме
(7.50) перед переходом к операции обработки установить
счетчик количества операций S и логический оператор (подобный
оператору Рз), проверяющий условие s<s*, где s*—количество
станков в одной линии обработки, то можно без существенных
изменений других частей алгоритма прийти к решению
поставленной задачи.
Реальные производственные комплексы могут иметь и другие
особенности в своей структуре и характеристиках. Одним из
наиболее часто встречающихся является случай так называемой
многоступенчатой сборки. Сущность ее заключается в том, что
изделие собирается из отдельных узлов, а каждый узел
собирается из более мелких узлов и блоков и т. д. и, наконец,
имеются узлы и блоки, которые собираются из отдельных деталей.
Моделирующий алгоритм для многоступенчатой сборки может быть
построен на том же принципе, что и (7.50). В самом деле, пусть
для простоты рассуждений рассматривается двухступенчатая
сборка. На первой ступени из отдельных деталей собираются
узлы, а на второй ступени из узлов собираются изделия. В этом
случае моделирующий алгоритм такой структуры, как (7.50),
с учетом особенностей процесса может быть использован для
моделирования процессов сборки узлов на первой ступени. Если
же теперь получаемые узлы представить как отдельные детали,
284 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ, VII
то алгоритм вида (7.50) можно приспособить для
моделирования сборки изделия из отдельных узлов. Объединение таких
алгоритмов и будет представлять собой моделирующий алгоритм
для двухступенчатой сборки. Сущность объединения
заключается в следующем. Пусть операция сборки в сводном алгоритме
(7.49) относится к сборке второй ступени. Если же «; = 0
(условие, проверяемое оператором Рю*, оказывается
невыполненным), то управление передается не Fiv (который увязывает
сборку с обработкой), а другому аналогичному оператору,
например, Fiv*, для увязки сборки второй ступени со сборкой узла
г-го типа первой ступени. Этот оператор должен иметь
структуру, аналогичную цепочке операторов Фр, Рг», Рз*> Кь Fn*,
Рю* алгоритма (7.49), и передавать управление уже таким
образом, чтобы обеспечить увязку сборки первой ступени с
операциями обработки Построение сводного алгоритма такого рода
не встречает принципиальных затруднений.
Аналогичным образом могут быть учтены и такие
особенности производственного комплекса, как наличие параллельно
работающих линий сборки или обработки. Моделирующий
алгоритм для каждой из параллельных линий может быть взят в
соответствии с рекомендациями предыдущего параграфа, а для
построения сводного алгоритма целесообразно воспользоваться
приемами моделирования многоканальных или обобщенных
систем массового обслуживания.
Помимо учета особенностей структуры производственного
комплекса, при решении практических задач возникают -и
другие вопросы. Например, для конкретных производственных
процессов может возникнуть необходимость в пересмотре перечня
величин, фиксируемых в качестве результатов моделирования.
Моделирующие алгоритмы, аналогичные (7.50),
неоднократно использовались для исследования различных конкретных
процессов. При этом типичными прикладными задачами,
которые решались методом статистического моделирования, обычно
были следующие задачи: определение оптимальных заделов
деталей и полуфабрикатов, оценка оптимальных объемов
карманов и местных складов, определение узких мест,
ограничивающих производительность оборудования, и некоторые другие.
§ 34. Дискретный производственный процесс
как агрегативная система
В настоящем параграфе мы собираемся показать, что
дискретный производственный процесс при той формализации,
которую мы приняли в настоящей главе, является частным слу*
чаем агрегативной системы.
§ 34]
ПРОЦЕСС КАК АГРЕГАТИВНАЯ СИСТЕМА
285
Как отмечалось выше, общие схемы разрабатываются не
для того, чтобы заменить все охватываемые ими частные схемы
при математическом описании и моделировании тех или других
реальных систем, а для того, чтобы иметь единое
математическое описание для разнообразных подсистем некоторой сложной
системы. Применительно к данному случаю этот тезис имеет
следующий смысл. Для производственных процессов,
рассмотренных в настоящей главе, мы не собираемся вместо
совокупности абстрактных (формализованных) операций обработки,
сборки и управления использовать в качестве математического
описания агрегаты или агрегативные системы и вместо частных
моделирующих алгоритмов — общие моделирующие алгоритмы
вида (6.29), (6.30) или еще более общие. Это могло бы только
усложнить математическое описание, моделирование и анализ
ряда практически важных производственных процессов. Если
речь идет об исследовании только дискретных
производственных процессов, абстрактные операции остаются вполне
достаточными и практически удовлетворительными математическими
схемами, пригодными для формализации процессов
функционирования реальных систем, а методы их моделирования на
ЭВМ — основным аппаратом анализа.
Однако существуют задачи, для решения которых аппарат
дискретных производственных процессов недостаточен. Здесь
весьма удобными схемами могли бы служить формальные
схемы агрегатов и агрегативных систем. Например, пусть речь идет
о моделировании и исследовании производственного процесса,
имеющего дискретную часть, непрерывную часть (см. гл. VIII)
и информационную систему управления на ЭВМ (см. гл. IX).
Если мы для описания и моделирования дискретной части
производства используем аппарат настоящей главы, для
непрерывной части — аппарат и методы гл. VIII и т. д., то комплексное
исследование производственного процесса в целом может ока-
заться либо невозможным, либо связанным с громоздкими и
сложными вычислениями при значительно менее существенных
результатах, чем может дать общий аппарат. В этом случае,
безусловно, будут очень полезными математические схемы и
методы моделирования агрегативных систем, так как не только
дискретные производственные процессы, но и непрерывные,
а также информационные системы являются частными случаями
агрегативных систем. Подобных примеров можно привести
сколько угодно.
Перейдем непосредственно к агрегативному описанию
абстрактных операций обработки, сборки и управления.
Абстрактную операцию обработки полуфабрикатов на
некотором станке будем представлять следующим образом.
286 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
В дискретные моменты времени ty к станку поступают
полуфабрикаты, описываемые параметрами «и, an, • •., ajn, под
которыми будем понимать как непрерывные (а), так и
дискретные (г) параметры. Закон образования моментов времени t(f
задан одним из возможных способов (таблица значений t(f;
соотношения для вычисления tf, например, рекуррентные,
задающие t{f через tf-\\ закон распределения случайных интервалов
времени ktf = t(f — tj\\ и т. д.). Аналогично задаются законы
образования значений других параметров полуфабриката.
Момент начала операции £<н> определяется как max {tj\ tm},
где #г>—момент готовности станка к выполнению операции,
tp = tj-i -f- т(г). Здесь tjli — момент конца предыдущей
операции, a т<г> — длительность подготовки станка к очередной
операции. Операция заканчивается в момент t{p = t*p -f- т(оп), где
т(оп) — продолжительность выполнения операции. В результате
операции параметры изделия аш получаются равными
ttiu = aiu(an» aI2> .... ft„. §v P2 М> (7-51)
где Pi, p2, ..., Pm — характеристики станка. В случайный момент
времени #сб), описываемый законом распределения F(t), станок
выходит из строя. Длительность ремонта станка равна т(рем>.
В случае отказа станка параметры обрабатываемого
полуфабриката в момент #сб) приобретают значения ащ. Величины т<г\
т<оп\ Pi, р2, • • ., pm, t№eM) и аш — случайные величины с
заданными законами распределения.
Агрегатное описание операции обработки может быть дано
следующим образом.
Входной сигнал (поступление очередного полуфабриката)
появляется в момент t) и имеет вид an, a^, . .., ain.
Управляющий сигнал (изменение режимов обработки) поступает в
момент %г и имеет вид рь р2, ..., рт.
Состояния агрегата описываются следующими обобщенными
координатами:
Zi(t) —время, оставшееся до окончания обработки
полуфабриката;
z2(t)—время, оставшееся до окончания Подготовки станка
к работе;
z3(t) —время, оставшееся до выхода станка из строя
вследствие недостаточной надежности; ■ • '
Zi(t) —время, оставшееся до окончания ремонта станка;
z5(t), z6(t), ..., zn+i:(t) — параметры обрабатываемого
полуфабриката; .
§ 34] ПРОЦЕСС КАК АГРЕГАТИВНАЯ СИСТЕМА 287
(7.52)
• zn+s(t), zn+6(0, ••'. z2n+4(t) — параметры вновь
поступившего полуфабриката;
z2n+b(t), z2n+6(t),..., z2n+m+i(t) — параметры станка.
Подмножества Zy и выходные сигналы у имеют следующий
вид.
Подмножество Zyi -2i(^)=0; z2 и 24 не определены.
Обработка полуфабриката закончилась. Выходной сигнал у\== (ост,
с4п2, • •., сны) выдается в момент #4 Оператор Wyi,
определяющий состояние 2(tw-\-6), имеет вид:
г,(^к)-)-0) не определяется,
г,(^ + 0) = ^,
2l^(K)-|_0) не определяется,
г5*г-г„+4 не определяются,
г„ (5-^-22„+4 не определены, если новый
полуфабрикат не поступил, и равны
параметрам полуфабриката, если
последний уже поступил.
Остальные координаты имеют вид z (t(K)-\-6) = z (tiK)); в
частности, 22п+5 -*• 22n+m+4 равны параметрам станка рь (32, • • •, Рт-
Оператор £/&для моментов времени ^(к) < t < t(T) (если не
поступает входной или управляющий сигналы) сводится к тому, что
z1(t) не определяется, }
z2(t) = ^-(t-^), | .(7.53)
г8(<) = <(св)-<- )
Остальные координаты не меняются по сравнению с (7.52).
Подмножество Zy2-z2(t)—0; z4 и z4 не определены.
Подготовка станка к работе закончилась. Выходной сигнал у2
выдается в момент ^(г>. Он несет в себе признак готовности
станка 'к работе и предназначен для использования в
управлении. Оператор WBt, определяющий состояние гг (/(г) -f- 0), имеет
вид:
zi(0 —т(оп)> если полуфабрикат поступил,
zx{t) не определяется в противном случае;
z2(t) и гАЦ) не определяются;
zs(t)s-z„+4(t) равны параметрам полуфабриката, если
операция началась, и не определяются,
если.операция не началась.
288
ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. Vlt
Соответственно этим случаям координаты z-n+s ~^~ ^п+ч не
определяются или равны параметрам полуфабриката.
Координаты г2п+5 -*- zin+m+i равны параметрам станка рь р2, • • •, Рт-
Относительно оператора U£ в интервале между моментом
готовности станка и началом операции (новый полуфабрикат на
Обработку еще не поступил) заметим, что состояния агрегата
для любых моментов времени этого интервала определяются
теми же соотношениями, что и в момент /м + о.
Если же очередной полуфабрикат уже поступил и ожидает
.готовности станка, то в моменты времени между #н> и
очередным особым состоянием оператор Us дает следующие
'значения координат:
z5 (i) = a, (t), z6 (t)
{ h (7.54)
= a2(*), ..., zn+4(t) = an(t), J-
где a.i(t) —- параметры полуфабриката в процессе обработки
(между #н> н #к> или #сб>). Координаты z2, z4 и zn+5-bz2n+4 не
определяются,
г3(0 = <(св) — <. (7.55)
Заметим, что соотношение (7.55) для обобщенной
координаты z3(t) сохраняется на всех подынтервалах интервала
исследования агрегата (О, Г); только в моменты z3(t) =0 скачком
меняются значения /<сб>. Это объясняется тем обстоятельством, что
в момент очередного сбоя определяется момент последующего
•выхода станка из рабочего состояния.
Аналогично значения координат z2n+b(t), z2n+6 (/),..., z2n+m+i,
равные Pj, P2, ..., Pm, остаются постоянными на всех
подынтервалах интервала (О, Г), за исключением моментов т,-
(поступления управляющего сигнала), при которых координаты
Z2n+b(t) + z?.n+m+i(t) меняются скачком.
Подмножество Zy3-z3(t) = 0, 24 не определяется.
Станок вышел из строя из-за ненадежности. Выходной сигнал
У$= (am, «иг, • •., ann) выдается в момент #сб>. Оператор Wy^
для состояний г(/сб) + 0):
zfr?\ 1 '(«*
z„ (t) = т(Ре»), J 1
координаты Z2n+5 + Z2n+rn+i равны параметрам станка Pi, р2, ...
•. •, Рт. остальные координаты агрегата не определяются. Зна-
§ 34] ПРОЦЕСС КАК АГРЕГАТИВНАЯ СИСТЕМА 289
чения состояний в интервале между выходом станка из строя и
окончанием ремонта определяются оператором Ug:
**=№-'- \ <7Ц7,
координаты 2n+5-i-Zzn+L равны параметрам полуфабриката
(нового), если таковой Поступил. Координаты z2n+b+-z2n+m+k равны
параметрам станка {$t, р2, • •.. Рт- Остальные координаты не
определяются.
Подмножество ZUt • zk (t) — 0. Ремонт станка закончился.
Выходной сигнал г/4, несущий в себе этот признак, выдается в
момент окончания ремонта станка (в момент готовности станка
к работе) ?(г). Оператор Wy< для состояний г(Лг,-|-0)
совпадает с Wy,- Состояния, определяемые оператором Us°> имеют
такой же вид, как и после прохождения подмножества ZVl.
Перейдем к рассмотрению процедуры приема агрегатом
входных и управляющих сигналов. Пусть в момент tj поступает
входной сигнал (новый полуфабрикат), Xj~(an, aI2, .. ., ain)-
Тогда в момент tj + О состояния агрегата определяются опера--
тором Vх. В данном случае они изменяются следующим
образом. Если станок выполняет обработку полуфабриката или
ведется подготовка станка к работе, то оператор Vx в момент
tj + О делает координаты zn+e,-^z2n+b равными параметрам
поступившего агрегата, а остальные координаты не меняет. Если
же станок готов к работе и только ждет поступления
полуфабриката, то
г3(^) = Лсб)-*, Г
(7.58)
координаты 2б -т- 2п+5 становятся равными параметрам
обрабатываемого полуфабриката, а координаты z2, z4, zn+e-+- z2n+b не
определяются. Координаты z2n+b -г- zin+m+i, как всегда, равны
параметрам станка Рь р2, ..., рт- В последующие моменты
времени состояния z(t) определяются оператором Ui- Вид его
зависит от состояния агрегата в момент tj. Здесь нужно
различать три случая. Если в момент tj выполняется операция
обработки, то координаты
zl{t) = x{on)-{t-tw), |
' z3{t) = tic6)-t, [ (7-59)
19 Н. П. Бусленко
290 ДИСКРЕТНЙЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
координаты zn+6 + z2n+5 равны параметрам ап вновь
поступившего полуфабриката, a z2 и Zk не определяются. Координаты
22п+5 -г- 22n+m+4 равны параметрам станка рь р2, .... Рт- Если в
момент ij станок готовится к выполнению следующей
операции, то
Координаты 2п+6 -г- z2n+5 равны параметрам поступившего
полуфабриката, z2n+5 -*■ 22n+m+4 — параметры станка Pi, p2, ..., рто,
а координаты z\, z4, z5 -*- zn+5 не определяются. Наконец, если
в момент tj начинается новая операция обработки (7.58), то
21(г)^т(0П>-('-'<н)).
25(0 = ai(0, 26(0 = a2(0 z„+4 (*) = <*„(*),
координаты 22п+5-5-Z2n+m+4 равны параметрам станка Рь р2, ...
..., рт, а координаты z2) z4, zn+5-f-z2n+4 не определяются.
Пусть теперь в момент т, поступает управляющий сигнал
g=(Pi, P2, .... Pm). Тогда оператор Vg для г(тг + 0) изменяет
значения координат z2rt+5 -=- z2rt+m+4 на новые р4, р2, .. ., рт, не
затрагивая других координат агрегата. Оператор U~s работает
так же, как и до поступления управляющего сигнала. Влияние
новых значений Pi, р2, ..., рт сказывается через
соотношение (7.51).
Таким образом, мы подробно остановились на агрегатном
представлении операции обработки. Подробное описание
процесса функционирования полученного агрегата представляется
читателю.
Перейдем к рассмотрению операции сборки изделий. Пусть
в момент 4,П) к сборочной установке поступает сборный узел,
а в моменты t\i — детали, присоединяемые к узлу.
Параметры узла и деталей при их поступлении к сборочной"
установке принимают значения соответственно alk , a|ft, ...
..., aIft . Начало каждой сборочной операции совпадает с
моментом поступления детали, а длительность — т(°п>, т^оп>, .... тХ£"),
По окончании сборки параметры изделия:
. °ИАу —аНйу(а1йу> ai*, aUm> Pi- &>• •••> Р;)> (7-6l)
где Pi, p2) . ..,'fy — параметры сборочного агрегата.
§ 34]
ПРОЦЕСС КАК АГРЕГАТИВНАЯ СИСТЕМА
291
Представим описанную.здесь операцию сборки в виде
агрегата. Будем считать, что в моменты времени t'"\ tfi, ..., tm\
в агрегат поступают входные сигналы xk = (a, k \ xk = (а, k \,...
,.., хк = (а,k V Аналогично можно было бы ввести в
рассмотрение управляющие сигналы gu g2. ■.., понимая их как
изменения параметров р4) р2 Рг сборочной установки. Однако
мы на этом достаточно ясном вопросе останавливаться не
будем.
В качестве обобщенных координат, характеризующих
состояния агрегата, выберем:
Zi(t)—время, оставшееся до окончания первой сборочной
операции;
z2(t) — время, оставшееся до окончания второй сборочной
операции, и т. д.;
Zm(t) —время, оставшееся до окончания m-й сборочной
операции;
Zm+u zm+2r ... — параметры сборного узла и деталей,
поступающих на сборку.
Входной сигнал xk поступает в момент tf\ При этом (в
момент ^уП) —j— 0 и в дальнейшем) координаты zm+i, zm+2 и т. д.,
введенные как параметры сборного узла, становятся равными
alk , а другие координаты не определяются. В момент ^п)
поступает входной сигнал Хм. Тогда в момент ^п>+0
координаты, введенные как параметры первой детали, становятся
равными a, k , 2j (t) — х{°"\ а другие координаты не определяются.
В дальнейшем (до нового входного сигнала)
г1(г)=тГ>-('-4п))>
причем Zi(t) >• 0, а для других координат справедливы
соотношения z (^) —,г(^п>-|-0). В момент 4П) поступает входной
сигнал xk. Тогда в момент ^п) + 0 координаты, введенные как
параметры второй детали, становятся равными alk, zl(t) = Q,
z2 (t) = т£>п>. В дальнейшем
z2 (г) = тГ>-(;-#>)
и т. д. до тех пор, пока zm{t) не достигнет нуля. Это значит, что
состояние агрегата достигло подмножества Zy. В данном случае
имеется единственное подмножество Zy, определяемое
равенствами
«!(*) = О, г2(0 = 0 гт(()^=0,
19»
292 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
достигаемое состоянием агрегата в момент ty = tm~{- ТтП).
Выходной сигнал y—(auk\ ^ момент ty + 0 и далее состояния
'а'грегата не определяются до поступления нового входного сиг-
«ала *fty = (aIfty}
Теперь легко воспроизвести процесс функционирования
построенного агрегата.
Выше мы рассмотрели один из возможных (типичных)
вариантов операции обработки и один из возможных
(простейших) вариантов операции сборки. Изложенное позволяет понять
подход к описанию в виде агрегата основных производственных
операций. Мы не будем, ввиду ясности вопроса,
останавливаться на других вариантах операций обработки и сборки
(например, операция сборки с учетом надежности оборудования
и др.), а также на операциях управления. Подходы к
агрегатному описанию их остаются теми же. В заключение сделаем
замечания, связанные с комплексным моделированием дискретных
производственных процессов как агрегативных систем.
Поскольку операции обработки, сборки и управления можно
представить в виде агрегатов, то любой дискретный
производственный процесс оказывается агрегативнои системой, состоящей из
этих элементов. При построении моделирующих алгоритмов
,важна не только принципиальная сторона дела, но и многие
вопросы техники. В первую очередь это касается структуры Л-си-
стемы, которая положена в основу формализации
производственного .процесса. С этой точки зрения можно вести речь об
оптимальной структуре Л-системы. Практически речь идет о том,
что некоторые группы агрегатов, описывающие соответственно
совокупности операций, полезно сводить в единые агрегаты. При
этом может быть достигнута известная экономия памяти и
количества операций ЭВМ.
Дальнейшие приемы упрощения моделей сводятся к
использованию регистрового моделирования и саморазвертывающихся
^алгоритмов.
Глава VIII
Моделирование непрерывных
производственных процессов
§ 35. Формализация непрерывных производственных процессов
Рассмотренные в предыдущей главе приемы математике*
ского описания и моделирования на ЭВМ производственных
процессов обеспечивают решение весьма широкого круга
практических задач. Однако необходимо отметить, что они относятся
только к так называемым дискретным производственным
процессам или процессам производства штучных изделий и не
охватывают значительного числа производственных процессов,
распространенных в народном хозяйстве.
Для дискретных производственных процессов характерны
две особенности: 1) - оперирование над отдельными деталями,
полуфабрикатами, узлами и т. д., из которых в конце концов
собирается изделие, и 2) возможность расчленения
производственного процесса на отдельные элементарные акты,
называемые операциями.
Класс производственных процессов, которые мы в
дальнейшем будем называть непрерывными, лишен этих особенностей
и характеризуется в некотором смысле противоположными
свойствами. В непрерывных производственных процессах
фигурируют компоненты сырья или исходных продуктов, которые в
твердом, жидком или газообразном состоянии непрерывным
потоком поступают к технологическим установкам или агрегатам;
аналогичный вид имеют компоненты готовой продукции,
выходящие из соответствующих технологических установок и
агрегатов. Кроме того, непрерывные производственные процессы,
строго говоря, не могут быть расчленены на отдельные
производственные операции, а должны рассматриваться как
постоянно действующие преобразования компонентов сырья в
компоненты готовой продукции.
Рассмотрим одну из возможных формализованных схем,
позволяющих построить математическое описание непрерывного
производственного процесса. Конкретные примеры описываемых
здесь непрерывных производственных процессов легко найти в
химической, целлюлозно-бумажной, пищевой и других
областях промышленности. • ,
294 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VI11
Предположим, что рассматриваемый непрерывный '
производственный процесс реализуется на некоторой установке
(оборудовании), характеризующейся параметрами уи, &= 1,2, ...,&*
(например, емкость или весовая вместимость резервуаров,
сечения входных, промежуточных и выходных отверстий, объемы
промежуточных бункеров, силовые и энергетические
характеристики приводов и т. д.).
К установке поступают т компонент сырья с интенсивно-
стями прихода щ, i=l, 2, . . ., т (единицы веса или объема в
единицу времени), и параметрами ац, а*2 а*Г/- Установка
выдает п компонент готовой продукции с интенсивностями
выхода Vj, /= 1, 2, ..., п и параметрами Рл, pj2, . . ., Ря,.
Процесс, происходящий в установке, характеризуется
параметрами (реагирования) 6S, s=l, 2, . . ., s*.
При этих обозначениях математическим описанием процесса
могут служить соотношения
. Ру1 = РлО**. *»!• Y*. Й* V;),- I
Г (ol)
описывающие зависимость каждого из параметров Vj, Pj
компонент готовой продукции от параметров сырья, установки и
процесса.
Для понимания существа соотношений (8.1) необходимо
иметь в виду следующее. Все величины, фигурирующие в (8.1),
могут быть функциями времени, а сами соотношения — явно
зависеть от времени t.
Кроме того, эти соотношения могут быть случайными в том
>смысле, что каждой совокупности значений аргументов ставится
в соответствие не одно определенное значение параметра,
входящего в левую часть соотношений (8.1), а закон
распределения вероятностей для значений этого параметра.
В некоторых случаях соотношения (8.1) могут быть
дополнены рядом соотношений весового или объемного баланса,
например сумма количеств поступающих компонент сырья равна
сумме выдаваемых количеств компонент продукции; сумма
количеств поступающих компонент сырья равна сумме емкостей
резервуаров или бункеров и т. д. Однако соотношения
количественного баланса не всегда нужны, поскольку в процессе могут
фигурировать неучитываемые отходы.
Рассмотренная здесь формализованная" схема приспособлена
для учета технологических факторов при описании непрерыв-
§36] ФОРМАЛИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ Щ
ного производственного процесса, но в явном виде не учитывает
факторов управления производством. Чтобы ослабить значение
этого обстоятельства, к соотношениям (8.1) добавляются one*
раторы или алгоритмы переработки информации, свойственные
процессу управления производством. Эти соотношения мы будем.,
рассматривать отдельно от модели технологической части
процесса и выносить в особую формализованную схему. При этом
возникает проблема взаимодействия обеих формализованных
схем. Для ее разрешения в первую очередь необходимо согла^
совать выходы схемы управления со входами технологической
схемы. Это достигается выделением специальных параметров
управления из числа параметров, фигурирующих в
математическом описании технологической части модели. В самом деле,
управление непрерывным производственным процессом сводится
к регулированию количества и свойств сырья, поступающего
к установке (параметры ц(. и а.\, регулированию условий
протекания процесса (параметры 6S), а иногда — изменению
параметров \k установки или регулированию количества и свойств
готовой продукции (параметры отбора компонент продукции
Выделенные таким образом параметры управления можно
разбить на группы, соответствующие оперативному управлению
установкой, оперативному управлению группой установок или
предприятием в целом, текущему и перспективному
планированию и т. д.
Предлагаемая формализованная схема непрерывного
производственного процесса может быть использована для
математического описания и последующего моделирования широкого
круга реальных процессов. В связи с этим целесообразно
обратить внимание на следующие два обстоятельства. Во-первых, на
практике не всегда удается построить математическое описание
непрерывного производственного процесса в виде явных функ*
ций параметров \iiy a,, Vj и т. д., как это показано в
соотношении (8.1). Иногда соотношения могут иметь неявный вид
F(\l„ a„ v,, р,, Y*. 6,) = 0. (8.2)
Тогда возникает дополнительная трудность приведения -их к
виду (8.1) или нахождения численных методов определений
искомых параметров из соотношения (8.2) (например, методом
последовательных приближений и др.).
С другой стороны, производственные процессы,
представляющие практический интерес, как правило, не относятся ни к
дискретному, ни к непрерывному типам. Чаще всего на практике
производственные процессы состоят из нескольких дискретных
296 Непрерывные производственные процессы [гл. viii
и непрерывных частей. Например, могут быть случаи, когда все
или некоторые технологические операции (подпроцессы) носят
непрерывный характер, в то время как остальные
(нетехнологические) производственные операции (транспортировка сырья и
продукции, упаковка, проверка и т. д.) имеют дискретный
характер.
Учитывая эти обстоятельства, мы рассмотрели сначала
методику моделирования дискретных производственных процессов.
Теперь мы переходим к изучению особенностей моделирования
непрерывных производственных процессов на ЭВМ.
§ 36. Особенности моделирования
Если при моделировании дискретных производственных
процессов преобладал принцип моделирования «по особым
состояниям», характерный для систем массового обслуживания, то в
случае непрерывных производственных процессов ведущее
значение принадлежит принципу «по At».
Другими словами, основной идеей построения
моделирующего алгоритма для непрерывных производственных процессов
является последовательный переход от одного состояния
процесса к следующему за ним через интервал времени Д*.
Сведения о состояниях процесса в различные моменты времени
фиксируются и используются затем для оценки искомых величин.
Необходимо отметить, что в соответствии с
формализованной схемой и соотношениями (8.1) характеристики процесса
(например, Vj и Pj) зависят от его параметров (уц, а,-, ун, 6S
и т. д.). Известно, что некоторые из перечисленных параметров
процесса являются параметрами управления и не могут быть
заданы в виде исходных данных или начальных условий.
Однако знание всех параметров оказывается необходимым
условием для моделирования процесса. Поэтому параметры
управления должны.быть заданы (как функции времени i) для всего
интервала моделирования процесса, либо в модели должны
присутствовать подалгоритмы, реализующие модель системы
управления, по крайней мере в части выдачи управляющих команд
в зависимости от состояний процесса и внешних воздействий
(например, указаний руководящих и планирующих органов).
Практически моделирующие алгоритмы обычно содержат
Подалгоритмы, относящиеся как к технологической, так и к
управляющей частям.
Реализация на ЭВМ моделирующего алгоритма, основанного
на точном воспроизведении соотношений (8.1) вд!и (8.2),
наталкивается на значительные трудности в связи с отсутствием и
общем случае точных методов решения соответствующих урав-
§36]
ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
297
пений, содержащих нелинейные и стохастические зависимости.
Поэтому, как правило, приходится прибегать к дальнейшим
упрощениям и огрублениям постановки задачи и математической
модели. В частности, при реализации соотношений вида (8.1) и
(8.2) все переменные в интервале Д* заменяются постоянными,
равными средним значениям рассматриваемых величин в этом
интервале. Изменения значений переменных происходят
скачком в моменты времени, соответствующие моментам перехода
к очередным At. Для уменьшения влияния ошибок, связанных
с такого рода огрублением математического описания процесса,
пользуются особого рода средними значениями переменных,
определяемыми из условия минимума суммарных ошибок.
Рассмотрим особенность моделирования непрерывных
производственных процессов, связанную с реализацией случайных
операторов вида (8.1). При прямом подходе процедура
моделирования сводится к синтезу закона распределения
соответствующего параметра как случайной величины и выбору значения
параметра по жребию в соответствии с этим законом
распределения. Такая процедура оказывается чрезвычайно
громоздкой главным образом за счет операций, связанных с построением
закона распределения. Для упрощения процедуры
моделирования удобно преобразовать соотношения (8.1) таким образом,
чтобы искомый параметр представлялся в виде
детерминированной функции от других параметров и некоторой фиктивно
вводимой случайной величины | с заданным законом
распределения. Например,
v, = v}(iv a., prv*. б,. 1> (8.3)
В этом случае возможное значение | формируется по общим
правилам преобразования случайных чисел, а параметр v;-
вычисляется как вполне детерминированная функция своих apry*
ментов.
Моделирующий алгоритм для непрерывного производствен»
ного процесса содержит операторы, уравнивающие значения па«
раметров для каждого М в соответствии с соотношениями фор*
мализованной схемы (8.1), (8.2) или (8.3).
Наличие весьма небольшого опыта моделирования такого
рода производственных процессов не позволяет предложить до-
статочно унифицированную структуру моделирующего
алгоритма. Вид моделирующего алгоритма пока существенно
зависит от конкретной природы моделируемого процесса и
характера нетехнологических производственных операций. Поэтому
для изучения методики моделирования непрерывных производи
ственных процессов на данной стадии развития вопроса
целесообразно рассмотреть ряд типичных примеров,
298 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Ниже мы описываем два примера построения модели
производственных процессов, содержащих установки непрерывного
действия. Эти модели создавались путем непосредственного
изучения и описания процессов функционирования действующих
предприятий.
§ 37. Моделирование процесса производства целлюлозы
В качестве первого примера производственного процесса с
непрерывными подпроцессами рассмотрим производство
сульфатной целлюлозы [17].
Будем предполагать, что завод состоит из трех цехов: цеха
периодической варки целлюлозы, цеха непрерывной варки
целлюлозы и цеха регенерации щелоков.
Цех периодической варки целлюлозы содержит некоторое
количество линий, каждая из которых имеет батарею из двух
варочных котлов и семи диффузоров, обеспечивающих отделение
целлюлозы от черного щелока.
Перед началом варки в котлы загружается древесная щепа,
раствор белого щелока и слабый черный щелок. Затем в котел
Подается пар, происходит нагрев и подъем давления.
Длительность варки определяется качеством щепы (главным образом
ее влажностью). После окончания варки полученная масса
передувается в диффузор для отделения целлюлозы от черного
щелока, а освободившийся котел готов к следующей загрузке.
Причинами задержек, помимо аварий и отказов отдельных
элементов оборудования, оказываются отсутствие необходимого
количества белого щелока, поступающего из цеха регенерации и
отсутствие свободного диффузора для передувки целлюлозы.
В цехе непрерывной варки целлюлозы имеются варочный
котел и батарея вакуум-фильтров для промывки сваренной массы.
В котел непрерывно поступают щепа, белый щелок и черный
щелок. Кроме того, в котел непрерывно подается пар. Под
действием пара происходит варка массы и поступление
сварившейся массы в вакуум-фильтры. На выходе установки
получаются целлюлоза и черный щелок. Поток этих продуктов
смешивается с соответствующими продуктами цеха периодической
варки в общий поток.
Для восстановления белого щелока из черного щелока
предназначается цех регенерации щелоков. Черный щелок
выпаривают и сжигают, а полученный промежуточный продукт
(«зеленый щелок») подвергают каустизации. Эти операции
выполняются двумя параллельно работающими технологическими
линиями. Одной из них служит семикорпусная выпарка — новый
содовый агрегат (НСА), а другой'—пятикорлусная -выпарка —
§,37] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ЦЕЛЛЮЛОЗЫ 299
четырехкорпусная выпарка — печи Вагнера. После НСА и печей
Вагнера общий поток зеленого щелока идет на каустизацию.
На выходе цеха регенерации щелоков получается белый щелок.
При формализации процесса производства целлюлозы
работу цеха периодической варки можно описать как
последовательность двух дискретных операций: одной операции сборки
изделий (из полуфабрикатов — порции щепы, порции белого
щелока и порции черного щелока) и одной операции обработки
(передувки и промывки целлюлозы). Поскольку щепа, пар и
черный щелок всегда имеются в избытке, то началом операции
сборки будем считать момент, когда в бачках перед котлом
появляется достаточное количество белого щелока. Временем
загрузки его в котел пренебрегаем. Момент начала операции
обработки определяется как более поздний из двух моментов:
освобождения диффузора и окончания варки целлюлозы.
Момент окончания операции сборки не совпадает с моментом
окончания варки, так как котел освобождается лишь после
окончания передувки целлюлозы в диффузор. Длительности
выполнения операций считаем случайными величинами с заданными
законами распределения. Нам достаточно знать общее
количество целлюлозы и черного щелока, получаемых в результате
работы цеха периодической варки за фиксированный интервал
времени, например, за сутки.
Работу цеха непрерывной варки целлюлозы можно описать
как непрерывный производственный процесс, рассмотренный в
§ 35. Здесь параметры рц и а, — количество и характеристики
соответственно щепы, черного щелока и белого щелока.
Параметры 6S характеризуют параметры пара (количество в единицу
времени, температуру, давление), величины yh задают объем
котла, пропускную способность вакуум-фильтров и т. д.
Наконец, параметры vj и |3j есть количество целлюлозы и черного
щелока, выдаваемое в единицу времени, и их характеристики.
Соотношения вида (8.1) отражают производительность
установки непрерывной варки целлюлозы в зависимости от условий
(крепости щелока, влажности щепы, параметров пара) с уче-
том действия случайных факторов.
Интервал функционирования установки разбит на
подынтервалы, внутри которых все параметры считаем постоянными.
Таким образом процесс представляется в виде кусочно-постоянного
случайного процесса.
Работа печей Вагнера, НСА и установок каустизации может,
быть представлена в виде отдельных дискретных операций
обработки, поэтому мы на них останавливаться не будем.
Некоторые особенности имеют место при описании работы выпарок.
В результате нормального функционирования выходные объемы
39G НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. Vltt-
и крепость черного щелока оказываются постоянными.
Определение ч текущих (суточных) значений емкостей производится
с учетом саморегулирования: если нормальная работа выпарок
приводит к переполнению бачков или нехватке черного щелока,
производительность снижается до уровня, необходимого для
Полноты бачков к концу суток или для переработки всего
имеющегося количества черного щелока.
Сказанного достаточно для формального описания
производственного процесса.
Перейдем к рассмотрению структуры моделирующего
алгоритма. Учитывая наличие в системе как дискретных, так и
непрерывных элементов, будем использовать принцип
моделирования по At, а где это возможно — переход от одного особого
состояния к другому. Для описания моделирующего алгоритма
нам потребуются следующие операторы:
Ф1 — формирование начальных данных: запасов сырья и
полуфабрикатов, моментов освобождения варочных котлов и
диффузоров и т. п.;
Кг — счетчик числа k интервалов ht, в данном случае суток
(реализует операцию k+\);
Р3 — проверка условия k<T, где 7" — конец периода
моделирования;
А4 — подсчет суммарного объема Vlf черного щелока,
находящегося в емкостях перед цехом регенерации к началу суток;
Ф5 — формирование значений производительности установок
ветви новых содовых агрегатов (НСА);
Рв—проверка возможности нормальной работы установок
ветви НСА;
А7 — последовательное снижение производительности
установок НСА;
А8—подсчет остатка черного щелока, направляемого на
Ветвь печей Вагнера (ПВ); оператор реализует операцию
V^I — Vbx< где VBX—объем черного щелока, переработанного
семикорпусной выпаркой;
Ф9 — формирование возможного числа М перекачек печей
Вагнера и количества NnB зеленого щелока с одной перекачки;
Кю—счетчик числа т перекачек (реализует операцию т+ 1);
Рн —проверка условия mNm + NHGA<NKayCT (здесь тМпв—
суммарное количество зеленого щелока за сутки от печей Ваг»
пера, Л/НСА — суммарное количество зеленого щелока, получен*
ное за сутки НСА, а ЯкаУ°т — суточная производительность
установки каустизации по зеленому щелоку);
Р12 — проверка условия т *> М;
*1з—формирование результатов работы цеха регенерации
за сутки;
§ St] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ЦЕЛЛЮЛОЗЫ 301
F14 — формирование Драб = 0; здесь Драб — длительность
работы установки непрерывной варки в течение суток;
Fis— проверка условия а=1;
Fie — формирование P = fe;
Рп — проверка условия ^а8<&+1, где /а8 — момент начала
аварии установки непрерывной варки;
Ais —подсчет Араб! оператор реализует операцию ДРаб +
+ (*ав - Р);
Ф19—формирование момента tl окончания ремонта
установки непрерывной варки, здесь $ = *ав + трем» где трем — дли*
тельность аварийного ремонта;
Р2о — проверка условия tZ<k-\-\\
Ф21 — формирование момента очередной аварии и Р = /к;
F22 —формирование а=1;
А2з — подсчет Араб; оператор реализует операцию Драа +
+ (fe+l-p);
Ф24—формирование результатов работы цеха непрерывной
варки за сутки;
Ф25—формирование а=0;
А26—выбор очередного момента tm^ освобождения вароч--.
ного котла;
Р27 — проверка условия tmm<k+ 1;
Агв — сдвиг начала загрузки следующего котла;
*29—формирование момента t3aB начала завалки котла;
Ф3о — формирование момента t* конца варки;
А31 — определение момента ^н начала передувки;
Ф32 — определение момента tl01 Освобождения варочного
котла;
Фзз— формирование момента tf освобождения диффузора;
*34— формирование результатов варки;
Ф35 — формирование результатов работы целлюлозного за*
вода за сутки;
Кзв — счетчик числа п реализаций при моделировании;
Р37 — проверка условия п>п*, где п* — назначенное число
реализаций;
Язе—обработка и выдача результатов моделирования.
Операторная схема алгоритма имеет вид
37Ф! 35К2Рз|з6А4Ф5 7Pf А? 6А8Ф99' 12KioPn+i3
РщЮ ' Ф13р14Р15|20р16 ' Р17|22А18Ф19 Р20|25
Л17 17Р д 23,25р26 20р24 24,34 д D АЛЛ
4*21 Г22А23 г 24 г 25 АгбНгт^ззАгвФгэФзо
А31Ф32Ф33Ф34''Фад'КзбРзуцЯзз- (8.4)
302 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ - [ГЛ. VIII
Блок-схема моделирующего алгоритма приведена на рис. 24.
Алгоритм работает следующим образом.
Оператор Ф4 формирует начальные данные: моменты
освобождения котлов и диффузоров, начальный уровень щелока
в емкостях, момент первой аварии котла непрерывной варки
и т.п. После этого оператор К2 осуществляет переход к
очередным суткам. Если&<Г (оператор Р3), где Т — момент конца
моделируемого отрезка времени, то моделирование
продолжается (в этом случае переходим к оператору А4), в противном
случае управление передается оператору Кзб, прибавляющему
к счетчику числа произведенных реализаций единицу.
Оператор Р37 проверяет, все ли реализации произведены. Если все,
то оператор Язе производит обработку и выдачу результатов.
В этом случае счет окончен. Если не все реализации
произведены, то возвращаемся к оператору Фь подготавливающему
необходимую информацию для очередной реализации. Цепочка
операторов А4— Ф13 моделирует работу цеха регенерации.
Сначала происходит подсчет суммарного объема черного щелока,
находящегося в емкостях перед цехом регенерации к началу
текущих суток. Оператор А4 прибавляет к остатку черного
щелока предыдущих суток тот объем черного щелока, который
дали цехи периодической и непрерывной варок за предыдущие
сутки.
Значения производительности установок ветви НСА
формирует оператор Ф5, после чего оператор Р6 проверяет
возможность нормальной работы установок этой ветви (например,
обеспеченность сырьем НСА и семикорпусной выпарки, отсутствие
угрозы переполнения промежуточных емкостей и т. д.) в
рассматриваемые сутки. При отрицательном ответе
производительность установок последовательно снижается (оператор А7), и
вновь проверяется возможность нормальной работы. В случае
положительного ответа оператор А8 вычисляет остаток черного
Щелока, направляемый на ветвь печей Вагнера. Такая
последовательность в распределении черного щелока между ветвями
цеха регенерации объясняется отмеченной ранее более высокой
экономичностью НСА по сравнению с печами Вагнера.
При моделировании работы ветви печей Вагнера исполь*
зуются в основном те же приемы. Но в этом случае приходится
учитывать не только ограничения по сырью, но и
невозможность хранения зеленого щелока, что обусловлено технологией
процесса.
Оператор Ф9 определяет возможное число перекачек печей
Вагнера (с учетом наличия сырья, запасов в промежуточных
емкостях и состояния установок) и количество jVnB зеленого
щелока с одной перекачки (с учетом его плотности). Перекачкой
Формирв/ание
начальных йвввых
Хт//т+Нт'<>1т1сЬ)
121
Фщщштшерезуль-
+. тствв pafoaiM цеха
вегенерециа за сутки
Формирование ре
зультагпав работы
цеха непрерывней
варки за сутки
<: 1
Формирвеание t%#
34, *
a = ff
м
К
•о
О
ш
>
I
к
м
•и
о
с
и
п
о
>
я
•о
о
S
U
03
о
fa
о
-э
ш
>
ь
5
ь
о
Рис. 24.
304 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
называют цикл работы печи Вагнера; напомним, что эта
установка дискретна по выходу. Счетчик Кю суммирует число т
перекачек, а операторы Рц и Р12 проверяют выполнение
указанных выше ограничений. Если общее количество полученного
(с НСА и печей Вагнера) зеленого щелока не меньше мощности
установки каустизации (оператор Рц) или уже произведено
возможное число перекачек (оператор Pi2), управление
передается оператору <J>i3, формирующему выходные параметры
.установки каустизации (и всего цеха регенерации), т.е.
плотность и объем белого щелока. В противном случае
осуществляется очередная перекачка (возврат к оператору Кю)-
Цепочка операторов FI4, . •., F25 имитирует работу цеха
непрерывной варки. Сначала (оператор Fi4) засылается нуль в
ячейку, где накапливается Драб длительность работы цеха в
текущие сутки. Оператор Pis проверяет, работает ли цех к на-
чалу суток.
Рассмотрим вначале утвердительный ответ, что
соответствует условию а=1. Оператор Fi6 засылает число k во
вспомогательную ячейку р, которая используется при подсчете времени
работы установки непрерывной варки. После этого оператор Pi7
проверяет выполнение условия tRB<k + \, т. е. наступит ли
авария в текущие сутки. Если нет, то оператор F22 засылает в
ячейку а единицу (это необходимо, когда мы приходим к
оператору Pi7 по другой ветви). Затем оператор А23 подсчитывает,
какую часть суток установка непрерывной варки работала,
прибавляя к длительности работы Драб величину (k + l) — р. После
этого оператор Ф24 формирует величины производительности
установки непрерывной варки и объема черного щелока,
переданного на регенерацию, и подсчитывает, с учетом величины
, Араб, расход белого щелока, а также количество полученной
' за сутки целлюлозы и черного щелока.
Если же t^Kk+l (оператор Pi7), то величину Драб
подсчитывает оператор Ais, который реализует операцию Apag +
+ (4в — Р). Затем формируется (оператор Ф19) случайное
значение длительности ремонта трем и подсчитывается момент
конца ремонта: ^к = ^ав + трем.
Если в течение данных суток ремонт не закончится
(оператор Р20), то засылают нуль в ячейку а (оператор F25) и
переходят к оператору Ф24. В противном случае оператор Ф21
формирует момент новой аварии, а величину £« засылает в ячейку р.
После этого вновь выясняется, наступит ли эта авария в
текущие сутки, т. е. переходят к оператору Pi7.
И, наконец, если к началу суток установка не работает
(оператор Pi5), управление сразу передается оператору Р^.
§37] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ЦЕЛЛЮЛОЗЫ 305
С оператора А26 начинается работа цеха периодической
варки целлюлозы. Этот оператор определяет очередной момент ^m!n
освобождения варочных котлов. Затем проверяется условие
knin<£ + l (оператор Р27). Нарушение этого условия означает,
что моделирование рассматриваемых суток закончено,
оператор Ф35 формирует результаты работы всего целлюлозного
завода за истекшие сутки, и мы переходим к следующим суткам
(оператор Кг). Если же tmm<k+\, то оператор А28 осуществляет
операцию сдвига момента начала загрузки очередного
варочного котла, если есть необходимость. Это возможно, когда оба
котла принадлежат одной батарее и разность между
моментами загрузки меньше среднего времени передувки.
Оператор Ф29 определяет момент ^Зав заварки котла. Здесь
возможны различные ситуации, связанные с ожиданием белого
щелока (например, предыдущий котел простаивает в ожидании
белого щелока). Эти ситуации типичны для систем массового
обслуживания, и мы не будем специально на них
останавливаться.
Работа оператора Ф30 сводится к формированию момента
окончания варки tl = ^зав-г-^агр + ^в. где Тзагр и Дв —
длительности загрузки (случайная величина) и варки (сезонная
величина) соответственно. Оператор A3i определяет номер
диффузора, в котором происходит передувка (по номеру батареи и
моменту освобождения диффузора), подсчитывает хь. —
длительность ожидания котлом диффузора и определяет момент t\
начала передувки.
Операторы F32 и F33 формируют соответственно момент
освобождения варочного котла и диффузора (по длительности
передувки).
Наконец, оператор Ф34 формирует результаты
рассматриваемой варки (количество целлюлозы и черного щелока), после
чего мы переходим к очередной варке (оператор А2в).
На этом описание работы алгоритма можно считать
законченным.
Воспроизведение такой модели на цифровой
вычислительной машине требует примерно 1500 ячеек оперативной памяти
и 100 000 трехадресных операций для моделирования одной
реализации процесса.
Моделирующий алгоритм позволяет вычислять следующие
показатели (функционалы), характеризующие свойства
процесса производства целлюлозы: суммарное количество целлюлозы,
производимое в течение заданного интервала времени (0, Г),
например за год; коэффициент использования оборудования
(для каждого вида оборудования), равный отношению времени
20 Н. П. Бусленкр
306 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
■фактической работы оборудования к общему рабочему времени
предприятия; коэффициент производительности оборудования,
равный отношению количества продукта, фактически
выработанного за определенный интервал времени к нормальной
производительности оборудования; средние времена простоя котлов
-по различным причинам (отсутствие белого щелока, занятость
диффузора, ожидание другого котла, батареи и т. д.) и другие
характеристики.
Помимо выдачи средних значений перечисленных величин
в программе, может быть предусмотрено накопление
статистического материала, построение гистограмм распределения
искомых величин, а также вычисление некоторых экономических
показателей: прибыли, рентабельности, себестоимости и т.д.
Возможность оценки функционалов от процесса работы
такой системы по результатам ее моделирования позволяет
провести интересные для практики исследования
системотехнического характера — определить эффективность, надежность,
помехозащищенность и т. д. оборудования и процесса в целом.
В частности, представляет интерес поиск так называемых
«узких мест» в производительности отдельных элементов
оборудования и оценка различных вариантов мероприятий,
направленных на ликвидацию узких мест. С помощью модели можно
оценить целесообразность замены некоторых видов
оборудования новыми, более производительными (например, замены
диффузоров непрерывной промывкой), а также целесообразность
изменения некоторых технологических режимов работы
оборудования (например, загрузки котла без пропаривания щепы,
которое снижает время оборота котла; правда, при этом
снижается и выход целлюлозы с одной варки).
Среди конкретных задач, решаемых на модели, может
рассматриваться задача оценки эффективности подключения одной
из выпарок (четырехкорпусной или пятикорпусной) перед семи-
корпусной с целью полууплотнения щелока (в случае введения
в строй второго НСА), а также задача оценки промежуточных
емкостей перед различными элементами оборудования.
§ 38. Моделирование процесса нефтепереработки
В качестве другого примера производственного процесса,
содержащего непрерывные технологические подпроцессы, можно
привести процесс нефтепереработки [34].
На рассматриваемом нефтеперерабатывающем предприятии
процесс осуществляется на двух параллельно действующих
установках: атмосферно-вакуумной трубчатке (АВТ) и
комбинированной крекинг-установке (ККУ). Каждая из них предста-
§38) МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА;НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ 307
вляет собой сложный комплекс производственного
оборудования (который мы за неимением места не детализируем), ис-.
пользующий в качестве сырья нефть, доставляемую на завод
танкерами.
- На выходе АВТ получаются газ, прямогонный бензин,
дизельное топливо, моторное топливо, прямогонный мазут и
гудрон. В результате работы ККУ получаются сухой газ, жидкий
газ, крекинговый бензин, керосин, дизельное топливо и крекинг-
остаток. Полученные компоненты смешиваются в нужных
пропорциях и выдаются в качестве готовой продукции: бензина,
дизельного топлива, жидкого газа, керосина, моторного
топлива, гудрона (или битума) и котельного топлива. Готовая
продукция отгружается с завода по железной дороге.
Установки АВТ и ККУ работают непрерывно в течение
продолжительного времени (нескольких недель). Прерывание
процесса возможно для остановки оборудования на
предупредительный ремонт (ППР), либо в связи с нарушением
нормального режима функционирования (аварии, нехватка сырья,
переполнение товарных емкостей и т.д.).
При построении формализованной схемы мы будем считать,
что процесс функционирования установок АВТ и ККУ является
непрерывным производственным процессом в изложенном выше
смысле (§ 35). Заметим, что установки АВТ и ККУ по своим
свойствам аналогичны установкам непрерывной варки
целлюлозы. Поэтому при описании их мы не будем останавливаться
на деталях, которые уже затрагивались выше.
По сравнению с моделью, предложенной в § 37, сделаем
ряд упрощений, позволяющих исключить второстепенные вопрос
сы. Например, емкости всех элементов производственного
оборудования будем считать неограниченными. В этих предполо-*
жениях можно не рассматривать режим простоев танкеров и не
следить за накоплением и отгрузкой готовой продукции. Спо<
собы описания процесса с учетом ограниченности емкостей"
можно заимствовать в предыдущем параграфе.
Для дальнейшего нам потребуется характеристика выход*
ного продукта, называемая коэффициентом отбора компонент.
Под коэффициентом отбора мы будем понимать отношение ко-,
личества получаемого продукта к количеству переработанного-
сырья за определенный период времени.
При формальном описании процесса в виде соотношений
(8.1) или им аналогичных, помимо интенсивности прихода
сырья \i, фигурируют также его характеристики а* (удельный
вес, фракционный состав и т.д.) и параметры режима техноло*
гического процесса 6.$ (температура, давление и др.). _.
20*
308 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. Vltl
Для описания структуры моделирующего алгоритма потре^
буются следующие операторы:
\i— перенос исходной информации;
F2—формирование установочных значений
производительности JVy и коэффициентов отбора а] продуктов для обеих
установок;
А3—выбор момента t очередного существенного изменения;
F4—формирование длительности т периода
функционирования;
Ф5 — формирование фактических значений
производительности N и коэффициентов отбора сц продуктов для обеих уста^
новок;
А6 — вычисление количеств У* полученной продукции для
каждой установки и по заводу в целом;
Р7 — проверка условия «окончание смены»;
Рз — проверка t=tac, где tnc — момент поступления сырья;
Фэ — формирование количества g поступившего сырья и
величины Тпс — интервала между очередными моментами
прибытия танкеров;
Fio — формирование величины G запасов сырья и
очередного tnc;
Рн — проверка t = tmB, где tH&B—момент начала аварии
какой-либо из установок;
Ф12—формирование длительности тав аварийного ремонта
соответствующей установки;
Pi3 — проверка возможности совмещения аварии с ППР
этой установки;
Fu — формирование момента tKV конца ППР; tKP=t +
+ ГПаХ (Тав, Трем) j
Fi5 — формирование момента tKa,B конца аварии; ^Кав = ^+тав;
Pie —проверка t = t„p, где 4р—момент начала ППР;
Fi7—запоминание прежнего значения Л/у и формирование
Л>у=0;
Fis— формирование *кр; 4р = *+Трем;
Pig — проверка t=tK№\
F20 — восстановление прежнего значения Л/у;
Ф21 — формирование длительности т^ав безаварийного
периода;
F22 — формирование tuaB момента начала аварии;
Ргз — проверка t = tKp; . -^
F24— формирование ^нр; j
F25 — формирование №—0; /л
Кгв — счетчик количества К прошедших смен;
Р27 — проверка условия К<К*, где К* — заданное число
смен;
j 38] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ 309
Кг8 — счетчик количества п реализаций;
Р2э — проверка условия п<п*, где п* — заданное количество
реализаций;
Язо — обработка и выдача результатов моделирования;
В этих обозначениях операторная схема принимает следую»
щий вид:
29 д 10,14,15, 27Р 18, 22, 25А р л л D^D rh P2 8D
Al Г2 А3Г4Ф5А6Н7 Ив^цФэГю ГЩ16
Ф„ р2 13р2 11D р р3 16„ 19, 24р л р3
12"13|15Г14 Г15 И16Ц9Г17Г18 Hl9|23 Г20Ф21Г22
19P23|25F^23F2357K26P|72K28P|9fl30. (8.5)
Для наглядности на рис. 25 приведена блок-схема
моделирующего алгоритма.
Поясним приведенную схему. Алгоритм моделирует работу
завода в течение намеченного промежутка времени (например,
квартала). Оператор Ai осуществляет перенос всей
необходимой информации (параметры установок, нормативы и т.д.)
в память ЭВМ. Оператор F2 осуществляет согласование
алгоритма управления заводом с моделью технологического
процесса. Конкретно, этот оператор выдает значения параметров
оперативного управления для каждой установки на очередной
интервал М, в данной модели равный смене. Такими
параметрами являются производительности JVy и коэффициенты от»
бора а\ продуктов.
Оператор А3 определяет очередной момент t перехода си-«
стемы в другое состояние, находя минимальный из моментов tnc,
^нав- tBP, /кав, ^кр, tao (начало останова из-за нехватки сырья),
рассматриваемый для обеих установок. После этого оператор F4
формирует длительность т периода функционирования, равного
смене (если в рассматриваемую смену не происходит ни одного
существенного изменения) или в противном случае величине
(b—a)t где
Ь = min (t, tKC), а= max it', /нс).
Здесь ^нс(^кс) —момент начала (конца) смены, а V —
предыдущее значение t.
Оператор Р5 имитирует воздействие случайных факторов на
технологический процесс, вырабатывая случайные значения
фактических величин производительности Nt и коэффициентов
отборов а,-. • При этом установочные значения Ny и а\
считаются средними (при отсутствии систематической ошибки) для
величин N и а^. Заметим для дальнейшего, что при Л^ = 0
полагаем Д/=0.
31(1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIl^
Соотношения (8.1) в этой модели реализуются оператором
Ае, который вычисляет результаты функционирования каждой
* ];
L - Формирование
*н.р.
Ц
L Ну=в
Рис. 25.
установки и завода в целом за период т, т. е. количество npof
дукции (и ее качественные характеристики). Здесь же подсчи*
тываются и суммарные (от начала периода моделирования)
цифры.
При описании оператора F4 указывалось, что концом
периода функционирования может и не быть момент tKc. Оператор
Р7 выясняет, с каким случаем мы имеем дело. Если наступил
§38] МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ 3ll
конец смены, работает счетчик Кгв числа k смен, цосле чего
оператор Р27 проверяет, не закончился ли период
моделирования. При положительном ответе переходим к моделированию
очередной смены (оператор F2), при отрицательном —
стандартные операторы К28, Ргэ и Язо обеспечивают переход к
следующей реализации и окончание счета.
Пусть теперь период функционирования заканчивается
(оператор Р7) наступлением какого-либо существенного изменения.
Оставшаяся часть алгоритма является традиционной для
моделирования по состояниям и слагается из некоторого количества
ветвей, каждая из которых отвечает определенному
существенному изменению, осуществляя «ликвидацию последствий» этого
изменения, т. е. меняя характеристики системы в соответствии
с типом наступившего события.
Оператор Р8 проверяет, не является ли момент t моментом
поступления сырья. Если t=tnc, оператор Фэ формирует
случайные значения количества g поступившей нефти и величины т1Тс,
после чего оператор Fi0 реализует очевидные операции G + g и
г+Тпс- Последствия прихода танкера учтены (в общем случае
следует еще учесть ограниченность сырьевых емкостей, что
может привести к простою танкера, и длительность перекачки
нефти из танкера в заводские резервуары), и мы обращаемся
к оператору F2 для выдачи новых установок. Необходимость
этого шага становится очевидной, если вспомнить хотя бы то
обстоятельство, что при нехватке нефти одна из установок
могла бы быть остановлена.
Заметим, что при учете отгрузки готовой продукции
соответствующая ветвь алгоритма должна иметь аналогичный вид.
Если t=Etnc (оператор Рд), существенное изменение
происходит с одной из установок (ее пуск или останов). В
приведенной нами укрупненной схеме алгоритма рассмотрен случай
произвольной установки. Естественно, что при конкретизации
алгоритма каждая из описываемых ниже ветвей должна
фигурировать для обеих установок.
И еще одно общее замечание. Так как пуск и останов любой
системы обязательно должны чередоваться, то в каждой из
последующих ветвей, кроме последней, вырабатывается момент
поступления противоположного по смыслу события, к примеру
при t=tup вырабатывается tKp, при этом, естественно, в ячейку,
где хранится tup, засылается достаточно большое число
(большее, скажем, чем величина периода моделирования), чтобы в
блоке А3 не выбрать тот же момент; в ветви t=tac такое число
засылается в ячейку для ^Но.
Итак, пусть t=tn& (оператор Ри). Оператор Ф42 формирует
случайную величину- длительности -та'в - "аварии, т-е., точнее,
312 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
*ав — продолжительность ликвидации аварии, аварийного
ремонта. Очевидно, что при некоторых условиях имеет смысл
использовать факт аварийного останова установки для
проведения ППР. Эта возможность проверяется оператором Pi3, и, если
она имеется, мы засылаем упомянутое выше большое число не
только в ячейку для tHan, но и в ячейку для tHp, формируем (опе-
.ратор FI4) /1ф, прибавляя к t величину max (тав, тРеМ)> где
Трем — длительность ППР, и переходим к оператору F2, так как
не предусмотренный планом факт аварии принуждает
выработать новые установки. Если же в операторе Pi3 получен
отрицательный ответ, оператор Fi5 формирует tK&B и также передает
управление F2.
Так как о моменте остальных существенных изменений
руководству завода бывает известно заранее (во всяком
случае— до их наступления), то и решение принимается заранее.
Поэтому после этих ветвей управление передается оператору
А3, с работы которого начинается определение следующего
периода функционирования, причем для работающей установки
исходные параметры остаются теми же.
Пусть теперь t = tHp (оператор Pi6). В операторе Fi7
запоминается уставочное значение производительности
останавливаемой на ППР установки, а на время ремонта ее Ny полагается
равным нулю (кстати, при t — tlluB мы получим Л/у=0 в
блоке F2), после чего оператор Fig формирует tKV и, как
указывалось, мы переходим к оператору А3.
Ветви t = tKdLB (оператор Р,9) и t = tKV (оператор Р2з) почти
совпадают. При t = tKaB мы восстанавливаем (оператор F20)
выработанное ранее в F2 значение Л/у отремонтированной
установки '(напомним, что на время ремонта в этой ячейке находился
нуль), формируем (оператор Ф21) случайную величину Тбав, после
чего оператор F22 определяет момент следующей аварии. Если
же * = ^кр, мы предварительно находим (оператор F24) момент
следующего ППР (прибавляя нормативную величину
межремонтного пробега), после чего переходим к оператору F2o.
Заметим, что в обоих случаях мы определяем момент будущей
аварии. Вообще говоря, функции распределения Тбав должны,
быть различными для случая ППР и ликвидации
незначительной аварии, если только при этом не проводится ППР.
Мы указывали, из каких величин выбирается минимум в
операторе А3. Поэтому отрицательный ответ, полученный в
операторе Р2з, свидетельствует о наступлении tno и оператор F»
засылает нуль в ячейку для Ny. В этом случае незачем
запоминать прежнее значение Му, так как остановленная из-за
отсутствия сырья установка может быть пущена либо при
поступлении нефти, либо при аварии другой установки (напомним,
§391
Процесс как агрегАтивная система
313
что о начале ППР известно заранее). Но в обоих этих случаях
управление будет затем передано оператору F2, который и
выработает новые значения Лг'. Заметим, что моменты
наступления этих событий случайны и заранее неизвестны. Таким
образом, эта ветвь состоит лишь из оператора F25, который, как уже
указывалось, передает управление А3.
С помощью рассматриваемой модели можно оценивать
влияние различных структурных параметров системы и определять
эффективность капиталовложений, направляемых на их
изменение.
§ 39. Непрерывный производственный процесс
как агрегативная система
Выше отмечалось, что схема непрерывного
производственного процесса на практике часто сочетается с подпроцессами,
имеющими дискретный характер. Математическое описание
производств такого типа при помощи единой формализованной
схемы представляет большой теоретический и практический
интерес. Поэтому целесообразно провести исследования,
связанные с использованием агрегатов и агрегативных систем для этой
цели.
Будем рассматривать непрерывный производственный про<
цесс следующего вида.
К технологической установке, характеризуемой
параметрами уи, k=\, 2, . . ., k*, поступают компоненты исходных
материалов (сырья), имеющие интенсивности поступления ц.;, /=1,2,...
..., т, и параметры ац, а,-2, .. ., аг>.. Параметры реагирования
б3) s=l, 2, ..., s*. В результате непрерывного
производственного процесса получаются компоненты готовой продукции,
имеющие интенсивности выхода vj, j—\, 2, . .., п, и параметры
Ря. Pj2, •. ■, Pjb определяемые из соотношений вида (8.1) или
(8.2).
В основу агрегатного представления непрерывного
производственного процесса будет положена эта схема; однако она
требует некоторых дополнений, связанных с динамикой
функционирования. В первую очередь рассмотрим так называемые
контрольные моменты времени. Для многих реальных
непрерывных производственных процессов характерна система
контрольных моментов времени, имеющая иерархическую
структуру. Контррльные моменты времени низшего уровня обычно
связаны с функцией человека — оператора, работающего на
Данной установке. В качестве таких моментов выбирает конец
(начало) смены, моменты отгрузки компонентов готовой
продукции, если таковые существуют, а также другие узловые
314, НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
моменты времени, обусловленные технологией или организацией
производства. В дальнейшем контрольные моменты времени
первого (низшего) уровня будем обозначать t?l)> а интервалы
между ними Тг так, что
,(к1) __ ,(к1)_,,('!)
tr+\ =tr -f-^r •
Совокупность некоторого числа интервалов т(1) первого
уровня обычно составляет интервал т(2) между контрольными
моментами времени второго уровня 4к2) так, что
Аналогично могут существовать контрольные моменты времени
третьего, четвертого и других уровней. В качестве контрольных
моментов времени более высокого уровня обычно фигурируют
конец (начало) суток, месяца, квартала, года (по времени),
конец (начало) периода производства на заданном режиме, конец
(начало) периода производства заданной продукции и т. д.
Для простоты мы будем предполагать, что в
рассматриваемом непрерывном производственном процессе выделяются
контрольные моменты времени первого и второго уровней: #к1> —
конец (начало) смены и #к2> — конец (начало) периода
производства с заданными параметрами реагирования 6S и отбора
компонентов готовой продукции Vj и pji. Такое предположение
не снижает общности наших рассуждений, ибо методика
агрегатного представления процесса остается неизменной.
Переходя к агрегатному описанию непрерывного
производственного процесса, будем считать, что к агрегату в моменты
времени тп = /(к2) поступают управляющие сигналы gn —
— (em, gn2, •.., gnp), несущие информацию об изменении
параметров реагирования 6S, об изменении параметров отбора
готовой продукции vj и р# и длительности такого режима
функционирования т<2>. Кроме того, в моменты времени t% ) и в
случайные моменты времени tj между /д ' в агрегат поступают
входные сигналы х3-=(хд, х&, ,.., XjQ), несущие параметры
входных компонентов сырья \х{ и а,>.
В качестве обобщенных координат агрегата будем
использовать следующие величины:
Zi(t)—время, оставшееся до контрольного момента
первого уровня;
z2(t)—число смен, оставшихся до контрольного момента
времени второго уровня;
z3(t) -i-zv+z(t)—параметры реагирования 68 и отбора
компонентов готовой продукции Vj и j3#;
(8.6)
§ 39] • ПРОЦЕСС КАК АГРЕГАТИВНАЯ СИСТЕМА ' ■ 315
(8.8)
zp+a(t)-i-Zp+g+2(t)—параметры входных компонентов ц{
И CCir.
Подмножества Zy и выходные сигналы определяются
соотношениями относительно обобщенных координат № и %.
Подмножество ZVl. Закончилась очередная смена в
момент времени tfX). Выходной сигнал yi—(yk\ k = \, 2, ..., п*),
где уи представляют собой величины, описывающие количество
продукции, выпущенной за смену по компонентам
-■,'»■
ук= \ vj{t)dt, (8.7)
а также параметры р.,*.
Оператор WUl следующим образом определяет состояния
агрегата в момент /rK '-f-0:
гхС^' + О-тЙ!.
г2(4к1> + 0) = г2(^'-1).
Остальные координаты
г(4к1) + 0) = г(4к1))-
В дальнейшем оператор U*£ формирует координаты (до
следующего особого состояния) .
z^^U-it-tf') (8.9)
и остальные координаты
г(/)=г(4к1)н-о).
Подмножество Zy%. Z\(t) = 0; z2(t) = 0, т. е. /! = /ик2).
Закончилась очередная смена, и одновременно закончился период
производства продукции при заданном режиме (с заданными
параметрами реагирования б5 и отбора компонентов готовой
продукции vj и pj/). Заметим, что момент t{„2) одновременно
является моментом поступления управляющего сигнала, но об
этом речь будет позже.
Выходной сигнал yz—(ун; k=\, 2, ..., л*, ..-., л**), где
к Ун, k=\, 2, ..., п*, характеризующим смену (совпадающим по
смыслу с г/i), добавляются аналогичные характеристики за весь
период производства продукции при заданном режиме.
Оператор Wy2 для момента времени 4К '-f-0 дает
zi(№ + 0) = $lu (8.10)
а остальные координаты не определяются.
316 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Аналогично оператор U$ (который будет иметь смысл
лишь в том ненормальном случае, когда в момент ^ик2) не
поступают управляющий и входной сигналы) дает то же, что
и (8.9).
В моменты времени $ ' в агрегат поступают управляющие
сигналы gn. При-этом в момент времени $'-1-0-1-0
(оператор Ve) координаты z3(t) -н2р+2(£) становятся равными gnt,
gm, .... gnp соответственно, z2(4K2'-f 0 + 0) = Тя+i. а для других
координат имеет место соотношение
г(4"Чо+о)=г(еЧо).
В этот же момент времени поступает входной сигнал Xj. В связи
.с этим координаты агрегата Zp+3-i-Zp+q+2 в момент' времени
4к2)-Ь 0-J-0-f-0 приобретают значения Xjit х&, ■■-, х-п
соответственно. Остальные координаты воздействию не подвергаются.
Такое же положение имеет место и при поступлении входных
сигналов в случайные моменты времени между $2/.
Сказанного достаточно, чтобы понять идею агрегатного
представления непрерывного производственного процесса. Описание
процесса функционирования полученного агрегата
предоставляется читателю.
Естественно, могут быть использованы и другие пути
дополнения и преобразования непрерывного производственного
процесса, облегчающие его агрегатное описание.
Глава IX
Моделирование автоматизированных
систем управления
§ 40. Вводные замечания
Будем считать, что в рассматриваемых здесь системах
функция управления сосредоточена в конкретных устройствах.
Впредь будем также различать управляющие устройства и
управляемые объекты, работающие под воздействием управляющих
сигналов.
В качестве типичной структуры сложной системы, имеющей
автоматизированное управление, выберем систему, которая
взаимодействует с объектами внешней среды, т. е. получает
входные и управляющие сигналы и сама выдает выходные
сигналы. Для этой цели служат входные, управляющие и
выходные полюсы системы.
■ Элементы системы управления (как полюсы, так и
внутренние элементы) в зависимости от их функции в
управляющем процессе можно классифицировать следующим образом:
1) датчики информации о воздействиях внешней среды, 2)
датчики информации о состоянии управляемых объектов системы,
3) средства передачи информации, 4) средства обработки
информации и выработки управляющих сигналов и 5)
исполнительные органы, реализующие управляющие сигналы.
Осведомительная информация о воздействиях внешней
среды, и состоянии управляемых объектов системы отличается от
«истинной» информации за счет представления в другой системе
кодирования, недостаточной полноты, наличия аппаратурных
помех и ошибок (измерения при помощи датчиков) и т. д.
Заметим, что истинная информация не фигурирует внутри системы.
Она может быть известна только постороннему наблюдателю,
обладающему средствами измерения идеальной точности,
способными зафиксировать значения любых величин, связанных
с функционированием системы.
с Осведомительная информация поступает к средствам
передачи информации, которые ее трансформируют (кодирование,
декодирование, задержки во времени, внесение
дополнительных ошибок и помех и т.д.) и передают средствам обработки
318 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
информации (центральным или периферийным). Здесь
производится первичная сортировка и местная обработка
информации и запоминание ее в устройствах памяти системы
управления. Таким образом, средствам обработки информации
передается осведомительная информация о состояниях элементов
системы и воздействиях внешней среды. Это позволяет провести
окончательную" обработку информации, решить задачи
планирования работы системы и выработать управляющие сигналы
для исполнительных органов. Исполнительные органы изменяют
характеристики управляемых объектов в соответствии с
сигналами, полученными от средств переработки информации.
Изменение характеристик управляемых объектов обнаруживают и
измеряют датчики информации. Эти отклонения вместе с
информацией о новых воздействиях внешней среды используются
для выработки новых управляющих сигналов и т. д.
: В таком виде может быть представлена практически любая
из существующих и проектируемых систем управления. Поэтому
вопросы, связанные с математическим описанием ее,
моделированием и исследованием, представляют значительный интерес.
Для математического описания сложной системы с
автоматизированным управлением удобно использовать схему
агрегатов и агрегативных систем. В самом деле, каждый из
перечисленных выше элементов (датчики информации, средства
передачи и т. д.) может быть описан в виде агрегата, а система в
целом — как агрегативная система. В этом случае
исчерпывается и вопрос о методике моделирования системы.
Для частных случаев рассматриваемой системы могут быть
ростроены моделирующие алгоритмы, основанные на частном
математическом описании, учитывающем конкретную специфику
системы. Примеры таких моделирующих алгоритмов приведены
в дальнейших параграфах настоящей главы.
Использование частных моделей свидетельствует не только
о недостаточной еще популярности унифицированных схем, но
и о целесообразности выделения некоторых специальных более
узких (чем агрегативные системы) классов сложных систем для
углубленного изучения. В частности, большой интерес
представляют автоматизированные системы управления одного класса,
которые часто называют информационными системами.
Процессы управления во всех случаях характеризуются наличием
информационных потоков; тем не менее название
«информационных» получили системы управления, которые связаны с
обработкой особенно интенсивных информационных потоков и
структура которых приспособлена к обеспечению специальных
мероприятий, направленных на оптимальный сбор, хранение,
переработку и выдачу больших массивов информации. На практике,
§40]
ВВОДНЫЕ-ЗАМЕЧАНИЯ
319
как правило, не включаются в класс информационных системы
-управления технологическими процессами, работающие в
истинном масштабе времени с реальными объектами (управление
станками, металлургическими процессами, химическими
реакторами и т. д.). К информационным системам обычно относят
системы управления крупными предприятиями в целом, решающие
задачи перспективного и текущего планирования, а также
задачи оперативного управления производством (скорее не на
технологическом, а на организационном уровне).
Информационные системы более крупного масштаба могут быть использованы
для управления группой предприятий, отраслью или экономикой
в целом. Существуют информационные системы и другого
целевого назначения: диагностические (как медицинские, так и
технические), библиографические, диспетчерские и т. д. .
Обобщенная схема процесса, приводящая к решению задачи
планирования, имеет следующий вид [37].
В отраслевую информационную систему поступают заявки,
которые отражают потребность в материально-технических
средствах. Эти данные сортируются по видам запрашиваемых
номенклатур, суммируются и фиксируются в накопителе
системы. Одновременно поступают текущие донесения от
потребителей и поставщиков о наличии и движении
материально-технических средств, которые также фиксируются в системе. По
имеющимся в системе данным о наличии
материально-технических средств, производится сопоставление потребностей с
имеющимися в наличии материально-техническими средствами на
складах, базах, в текущем производстве и у потребителей. На
основе этого сопоставления решается задача о рациональном
распределении или перераспределении имеющихся средств,
вносятся соответствующие изменения в учетные данные о наличии
и движении материально-технических средств, составляется
план перевозок, выявляется количество недостающих
номенклатур. На основе информации о производственных
предприятиях, функционирующих в сфере данной отрасли, данных об
их ресурсах, плане выпуска продукции, снабжении сырьем
и т.д. решается задача оптимального распределения заказов
по предприятиям. Решение этой задачи осуществляется с
учетом факторов времени, стоимости, размещения и т. д. В
некоторых случаях рассматривается вопрос о необходимости
подключения дополнительных предприятий или строительстве
новых. С учетом запросов потребителей, наличия материально-
технических средств и плана заказов производится оптимальное
распределение материально-технических средств (план снаб^
жения).
320 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
При этом имеется в виду, что информационные задачи, свя-'
занные с приемом заявок и донесений, осуществляются в
информационной системе непрерывно. Это обеспечивает
постоянное обновление информации о состоянии системы и правильное
периодическое планирование производства и снабжения.
Мы не будем заниматься вопросами организации
информационных полей и структурой поисковых алгоритмов, так как это
увело бы нас в специальную область моделирования
информационных процессов, стоящую в стороне от проблематики данной'
книги.
Обратимся к замечаниям, связанным с моделированием
автоматизированных систем управления на ЭВМ.
При моделировании автоматизированных систем управления-
очень часто возникают проблемы размещения сложных задач в
ЭВМ с ограниченной памятью и экономии числа операций ЭВМ.
Это объясняется следующими тремя основными причинами.
В любой сложной системе управление должно
способствовать более эффективной работе всех ее элементов. Поэтому для
оценки качества управления используются функционалы,
зависящие от функционирования не только элементов средств
управления, но и управляемых элементов системы. Другими
словами, модель, предназначенная для оценки качества
управления, должна быть моделью системы в целом, достаточно
подробно описывающей функционирование как управляющих,
так и управляемых объектов. Естественно, что такая модель
будет требовать для своей реализации весьма большого объема
памяти ЭВМ и большого числа операций.
Заметим, что вопросы использования результатов
моделирования для оценки качества управления кратко рассмотрены
в §4.
Другим обстоятельством, увеличивающим громоздкость
моделей автоматизированных систем управления (особенно
информационных систем), является сложность моделирования
алгоритмов управления (алгоритмов обработки информации и
планирования). Дело в том, что при моделировании часто
приходится воспроизводить эти алгоритмы полностью, в таком
виде, как они фигурируют в реальной системе, хотя такой путь
объясняется не столько потребностями моделирования, сколько
отсутствием более удобной методики. Это, естественно,
приводит к большому расходу памяти и количества операций ЭВМ,
так как реальные алгоритмы планирования и обработки
информации, как правило, оказываются весьма сложными.
Наконец, третье обстоятельство — трудность компактного
моделирования информационного поля и информационных
процессов.
S 41] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ 32$
Эти обстоятельства являются причиной того, что подробные
модели сложных автоматизированных систем управления,
особенно информационных, представляют собой чрезвычайно
сложные алгоритмы. На практике, для того чтобы решение задачи
на ЭВМ с ограниченной памятью было реальным и при не
очень большом расходе машинного времени, принимаются
специальные меры, связанные с особым построением
моделирующих алгоритмов.
Одним из возможных способов упрощения моделирующего*
алгоритма является замена его набором алгоритмов,
включающим подробные модели подсистем и неподробную комплексную
модель системы в целом. Как показывают исследования,
наличие подробных, отдельно реализуемых на ЭВМ моделей
подсистем позволяет предельно упростить подалгоритмы,
представляющие эти подсистемы в комплексной модели. Другим,
весьма перспективным, но еще мало разработанным приемом
упрощения комплексных моделей является применение
агрегатного описания автоматизированных систем управления и по-?
строение на этой основе саморазвертывающихся моделирующих
алгоритмов.
§ 41. Система управления промышленным предприятием
В качестве примера автоматизированной системы
управления с весьма сложными алгоритмами обработки информации,
планирования и выработки управляющих сигналов рассмотрим
систему управления промышленным предприятием [34].
Процесс функционирования такой системы складывается из
двух частей — технологического (производственного) процесса
и процесса управления предприятием.
Технологическая часть моделируемого предприятия (речь
идет о нефтеперерабатывающем заводе) рассматривалась
нами выше, в § 38. Поэтому здесь на ней останавливаться
не будем. Остановимся кратко на описании системы
управления заводом в той формализации, которая принята при
моделировании.
Основные органы управления завода и их функции выглядят
следующим образом. Руководство завода (директор, главный
инженер и планово-производственный отдел) составляет
производственную программу на месяц. Исходными данными для
расчета элементов производственной программы являются
квартальные показатели, задаваемые вышестоящими
планирующими организациями, нормативные данные (например, сведения
о, возможной производительности установок и другого
оборудования, имеющегося на заводе, и т. д.), а также показатели
21 Н. П. Бусленко
■'322 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ , -{ГЛ. IX
эффективности производства, обусловленные требованиями по
.ассортименту, рентабельности и т. д. ^
Разработка производственной программы составляет
главную задачу текущего планирования.
Другой орган управления — диспетчерская служба завода —
-назначает, каждой технологической установке ежедневные
задания с учетом производственной программы, фактического
наличия сырья и состояния установок, а также запаса
промежуточной и готовой продукции. В этом состоит функция оперативного
управления. Наконец, третий орган управления — руководство
установками — осуществляет регулирование режимов
функционирования самих установок. Контроль за ходом производства
•осуществляется после каждой смены.
Однако производственная программа не является абсолютно
(устойчивой. С течением времени поступают новые указания
ют вышестоящих планирующих органов и, кроме того,
фактический ход производства в силу ряда причин требует ее
корректировки.
Руководство завода проводит время от времени
корректировку производственной программы. Эта корректировка
сводится к разработке оптимальной программы на период от текущего
момента времени до конца планируемого периода.
. В качестве причин отклонений производственного процесса
от нормального фигурируют возможность аварий, отклонение
производительности установок от нормы, что влияет на выход
.продукции и потребление сырья, неравномерность поступления
■сырья и отгрузки продукции и т. д.
Условно к отклонениям можно также отнести изменение
вышестоящими организациями планового задания.
Выходными величинами, характеризующими процесс
производства, являются фактические выходы продукции и
потребления сырья.
Хотя функционирование технологических установок и весь
производственный процесс в целом носят непрерывный
характер, тем не менее имеются некоторые особые состояния
процесса: поступление нового планового задания, приход танкера
(поступление сырья), пуск или остановка (плановая или
аварийная) одной из технологических установок и т. д., при кото-^
рых ход процесса может изменяться скачком.
Обычно существо составления производственной программы'
сводится к решению задачи на экстремум функционала,
выбранного в качестве показателя эффективности. Это, как
правило, весьма сложная задача математического программировав
ния в соответствующей постановке (линейная, выпуклая,
динамическая и т. д.). Необходимый при этом расчет матриц
§,41) СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ 323
эффективности представляет собой совокупность большого
количества расчетных задач, решаемых по сравнительно сложным
программам, а также информационных задач, являющихся
элементами соответствующего информационного процесса.
Применительно к рассматриваемому
нефтеперерабатывающему заводу текущее планирование (разработка
производственной программы) имеет следующий вид.
Перед началом каждого квартала вышестоящие
организации спускают на завод контрольные цифры по количеству и
качественным характеристикам нефти,которая должна поступить
на завод в течение будущего квартала, количеству и
качественным показателям компонентов товарной продукции, а также
основные экономические показатели (план по прибыли,
рентабельности, отчислениям в госбюджет и т. д.) с равномерной
разбивкой их по месяцам. Прежде чем углубляться в детали
производственного планирования, руководству завода необходимо
уточнить исходные данные, связанные с графиками поставки
сырья и отгрузки готовой продукции. Такие графики,
составленные в соответствии с контрольными цифрами и
производственными особенностями предприятия, должны в дальнейшем быть
согласованы со снабжающими, сбытовыми и транспортными
организациями.
Основной задачей текущего планирования является
определение производственного задания всем элементам
технологического комплекса предприятия. Для отдельных установок
определяется количество сырья, которое они должны переработать
за планируемый период. Если производственные возможности
предприятия не соответствуют заданию по сырью, т. е. установки
не могут переработать его за имеющееся время, необходимо
проверить возможность увеличения ресурса времени их работы за
счет сдвига периодов планово-предупредительного ремонта.
После этого определяются задания установкам по
производительности и коэффициенты отборов получаемых с них
продуктов. При этом отдается предпочтение отбору светлых продуктов
(бензин, керосин, дизельное топливо), а затем рассчитывают
отборы темных продуктов. Потенциальные отборы светлых
продуктов в общем случае могут зависеть от производительности
установок. Это обстоятельство обычно усложняет расчеты,
связанные с определением коэффициентов отборов.
Сущность оперативного управления состоит в выработке
таких заданий установкам на предстоящие сутки, которые, с
учетом конкретно складывающихся условий производства,
обеспечивали бы выполнение планов, вытекающих из месячной
производственной программы. В первую очередь необходимо
проверить, обеспечено ли предприятие сырьем до момента
21*
324 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
прибытия очередного танкера. Если сырья недостаточно, то
необходимо произвести корректировку заданий по
производительности для каждой установки с тем, чтобы добиться по возмож--
ности непрерывной работы установок при условии наименьшего
отклонения от производственной программы. Если при
имеющемся количестве сырья нельзя добиться непрерывной работы
установок, органы оперативного управления намечают моменты
их остановки.
Регулирование (изменение параметров технологического
процесса) установок производится в начале каждой смены в
зависимости от данных оперативного планирования и фактического
хода производства. Фактические данные о ходе
технологического процесса, экстраполированные на одну смену вперед,
сравниваются с заданием на предстоящую смену. Если при этом
обнаруживаются существенные расхождения, производится
корректировка параметров технологического процесса.
Перейдем к моделированию описанного здесь процесса
управления предприятием. Мы не будем вникать в содержание
конкретных алгоритмов, процедур и соотношений, при помощи
которых составляются те или другие элементы производственной
программы, оперативного плана или корректировок параметров
установок. В настоящее время эти процедуры весьма слабо
автоматизированы, а соотношения планирования не обеспечивают
оптимальных решений. Поэтому нет смысла заниматься их
формализацией и математическим описанием. Составление же
оптимальных процедур и соотношений абстрактно, вне связи
с конкретным предприятием, представляется невозможным.
Мы остановимся лишь на моделировании динамики процесса
управления, считая, что конкретные соотношения будут введены
в модель в зависимости от особенностей предприятия.
Для построения моделирующего алгоритма потребуются
следующие операторы:
. Fi — засылка исходной информации, определение структуры
информационного поля и фактическое его построение;
F2 — переход к очередной реализации процесса;
Ф3—получение от вышестоящих инстанций контрольных
цифр по плановому заданию;
А4 — разбивка планового (квартального) задания по
месяцам с учетом планируемой продолжительности рабочего
времени установок; -
Р5—проверка возможности выполнить план по"переработке
сырья;
Ре — проверка возможности увеличить ресурс рабочего
времени установок (в основном за счет смещения периода планово-
предупредительного ремонта);
§ 41] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ 325
А7 — увеличение ресурса рабочего времени установок;
А8 — определение требуемых производительностей установок
с точки зрения выполнения производственной программы;
А9 — определение оптимальных отборов компонентов готовой
продукции;
Р10 — проверка условия, состоящего в том, что имеющегося
сырья хватит до прибытия очередного танкера;
Ри — проверка условия, состоящего в том, что установки в
данный момент работают;
Fi2 — выдача нового задания для установок;
F13 — запоминание нового задания в случае, если установки
не работают;
Аи — снижение плановой производительности установок и
определение моментов остановки их, если это необходимо;
Ф45 — моделирование процесса функционирования устано*
вок;"
Fie — переход к очередной смене;
Pi7 — проверка того, что момент окончания данной смены со<
впадает с моментом одного из особых состояний (конец суток,
конец месяца, конец квартала и т. д.);
Pis — сравнение фактического значения параметров технолог
гического процесса установок с плановыми данными; если
'имеются существенные отклонения, будем считать, что условие,
проверяемое оператором Pi8, не выполнено;
Fig — регулирование установок;
Р2о—проверка условия, состоящего в том, что данный мо*
мент смены является моментом окончания суток;
P2i — проверка необходимости пересчета производственной
программы;
Р22 — проверка необходимости пересчета оперативного
задания;
Кгз — счетчик числа суток;
Р24 — проверка условия, состоящего в том, что данный конец
смены совпадает с концом месяца;
Р25 — проверка наличия существенных отклонений условий
функционирования завода, требующих изменения
производственной программы;
К26 — счетчик числа месяцев; *
Р27 — проверка условия, состоящего в том, что данный конец
смены совпадает с концом квартала;
К28 — счетчик числа реализаций;
Р29 — проверка условия, состоящего в том, что текущее число
реализаций N меньше заданного А/*;
Азо — обработка результатов моделирования;
Яз1 — выдача результатов. . . .
22 Н. U. Бусленко
326 ' АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Операторная схема моделирующего алгоритма приобретает
следующий вид:
Р 29Р rt> 3-27A V21, 25D|8D . 5,6,7» А
ri Г2Ф3 A4 г 5 Нб|8А7 АвАэ
9, 22, 25г» 1С Нп г-18 Иг-18 10 .11 18, 19-*. с
Г щи Рц|13Г12 Г13 Ац Ч»15Г16
Р|20 12, 13, 17, 22ПД15 с15 17DA23D^5D^10 2(Vr
17 Г18 Г19 Г20 Г21Г22Ц8 1V23
Р216Р2^1024К2бР27|4К28Р^АзоЯз1. (9.1) |
Для наглядности на рис. 26 представлена блок-схема моде--!
лирующего алгоритма (9.1). Основные особенности его
функционирования можно представить следующим образом.
Служебные операторы Fi и F2 ведают вводом информации
в начале моделирования и при переходе к каждой новой
реализации.
Операторы Ф3 и А4 имитируют получение планового задания
от вышестоящих организаций и разбивку его по месяцам.
Подалгоритм Ps-^-Ag моделирует разработку месячной
производственной программы завода и корректировку ее в случае
необходимости (устанавливается операторами P2i, P22, P25).
Оператор Р5 проверяет, в состоянии ли установки выполнить план
по переработке сырья, соответствующий данным оператора А4.
Если они не в состоянии выполнить план, то проверяется
(оператором Р6) возможность увеличения ресурса времени для
установок за счет перемещения планово-предупредительного
ремонта. В случае, когда такая возможность имеется, ресурс времени
увеличивается (оператор А7) и далее определяются плановые
производительности для всех установок. Кроме того,
определяются (оператор А8) плановые коэффициенты отбора
компонентов продукции для каждой установки.
Аналогично подалгоритм Рю^-Ам моделирует разработку
оперативного задания установкам на сутки. Оператор Р10 про»
веряет, достаточно ли сырья (до прихода очередного танкера)
для того, чтобы выполнялась производственная программа
завода. Если сырья достаточно, то подготовленное задание вы^
.дается установкам (оператор Fi2), если они работают
(оператор Рц), или запоминается (оператор F13), если установки не
работают. В случае необходимости оператор А14 снижает
производительности в соответствии с правилами, описанными выше.
Подалгоритм Ф15-5-Fig описывает функционирование устано-
вок вместе с регулированием их работы. Здесь исходным
интервалом времени служит длительность смены (оператор Fie). Если
конец смены не совпадает (оператор Pi7) ни с одним из особых
состояний процесса, перечисленных выше при описании
структуры управления, то фактический ход технологического процесса
§ 41]
СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
327
сравнивается е планом '(оператор Р]8), и, если это необходимо
производится регулирование установок (оператор F^),
Засылка
исходной, информации
3J
J0
Обработка результата)
N+1
Переход
к очередной реализации.
Получение
планового задания
3Z
Разбивка на месячные
задания длл
Раскидка
по уста носкам
Определение отборов
1 Снижение произвобитель -
пасти и определение
моментов остановки
Выдача задания
Запоминание задания
ТП + 1
Увеличение
ресурса времени
Рис. 26.
Подалгоритм Р2о -з- Р27 моделирует ту часть процесса
управления предприятием, которая стремится осуществить
разработанные планы^ сообразуясь с конкретными условиями, склады*
вающимися по ходу работы предприятия.
22»
328 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ 'УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Операторы Р2о, Ри и P27 проверяют, не совпадает ли конец
смены с одним из особых состояний процесса. Если особых
состояний нет, то процесс протекает так, как это предусмотрено
уже описанной частью алгоритма. Если особые состояния
встречаются, то операторы P2i и Р22 определяют необходимость
срочной корректировки производственной программы или
оперативного плана. Тот же вопрос, но в связи с возможностью
накопления постепенных отклонений, решает оператор Р25.
Заключительная часть моделирующего алгоритма (опера*
торы Кга^-ЯзО связана с обработкой и выдачей результатов
моделирования.
Заметим, что мы старались наиболее кратко изложить саму
идею моделирования такого рода процессов управления и
построения моделирующих алгоритмов для них. Поэтому для
простоты и экономии места был оставлен в стороне ряд факторов,
хотя не второстепенных, но и не играющих главной роли в са-^
мой структуре моделирующего алгоритма. Некоторые из них
целесообразно отметить дополнительно.
В рассмотренном моделирующем алгоритме в качестве
особых состояний процесса выбраны состояния в моменты конца
суток, конца месяца и конца квартала. Эти моменты
детерминированы, наступают регулярно и реакция системы управления на
их появление воспроизводится соответствующими операторами
моделирующего алгоритма. Однако, строго говоря, помимо этих
детерминированных особых состояний, являющихся в некотором
смысле искусственными (они не вытекают самопроизвольно из
характера процесса, а, если можно так выразиться, «навязаны»
человеком, описывающим процесс или управляющим данным
процессом), существуют совершенно естественные случайные
особые состояния, которые процесс приобретает в случайные
моменты времени, такие, как прибытие танкера с сырьем,
прибытие емкостей для готовой продукции, авария одной или
нескольких установок, получение нового планового задания от
вышестоящих организаций и др.
Любое из перечисленных событий можно рассматривать как
входной или управляющий сигнал, поступающий в случайные
моменты времени с заданным законом распределения.
Моделирование таких событий неоднократно освещалось в книге (см.,
например, гл. VI), и мы на этом останавливаться не будем.
Более серьезным вопросом является моделирование реакции
системы на появление особых состояний такого рода. Для того
чтобы моделирующий алгоритм в явном виде учитывал эти
особые состояния, необходимо предусмотреть в нем следующие
изменения. Во-первых, цепь операторов Р20, Р24, P27,
распознающих характер особого состояния, нужно продолжить, дополнив.
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 32§
операторами, распознающими каждое из особых состояний. Во-*
вторых, в каждый из них включить подалгоритм ликвидации
последствий. Например, для учета аварии установок можно
использовать приемы, описывающие работу системы массового
обслуживания с ненадежными элементами (§' 23); для учета
нового планового задания — приемы, описывающие поведение
агрегата в момент поступления управляющего сигнала (§ 28),
и т. д. В качестве общих замечаний отметим, что всегда будут
необходимы операторы типа P2i, Ргг или Рт, проверяющие необ-*
ходимость корректировки производственной программы или
оперативного плана. Кроме того, для простоты можно считать, что
особые состояния ,по времени всегда совпадают с моментом
окончания смены. Для учета смещения этих моментов времени
могут быть использованы простейшие поправки.
В заключение заметим, что описанный здесь моделирующий
алгоритм позволяет решать разнообразные задачи, связанные
с оценкой качества управления и выбором параметров и струк-*
турных характеристик системы управления. Некоторые задачи
такого типа рассматриваются в [34].
§ 42. Система управления крупным аэродромом
В качестве другого примера автоматизированной системы
управления с разветвленной информационной частью и весьма
сложными алгоритмами обработки информации рассмотрим
систему управления полетом самолетов крупного аэродрома
(рис. 27). Она состоит из следующих основных подсистем:
системы дальнего обнаружения и управления, системы
многоканальной дальней связи, многоканальной системы слепой посадки
и взлета самолетов, системы диспетчеризации и бортовой
аппаратуры самолетов. В состав системы дальнего обнаружения и
управления входят: а) радиолокатор (радиолокационная стан-:
ция) дальнего обнаружения, состоящий из радиолокационного
передатчика (агрегат /), радиолокационного приемника
(агрегат 2) и аппаратуры съема данных и ввода в вычислительное
устройство (агрегат 3); б) вычислительное устройство
(агрегат 4); в) аппаратура отображения информации (агрегат 5)
и г) аппаратура выдачи информации наземным системам
(агрегат 6). Система многоканальной дальней связи состоит из
аппаратуры обмена информацией с бортом самолета (агрегат 7),
коммутатора (агрегат 8), радиопередатчика (агрегат 10) и
радиоприемника (агрегат 9).
Многоканальная система слепой посадки и взлета самолетов
имеет в своем составе радиолокатор аэродромного обзора,
радиолокационный передатчик (агрегат 11), радиолокационный
330
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ, IX
приемник (агрегат 12) и аппаратуру съема данных и ввода в
вычислительное устройство (агрегат 13), вычислительное
устройство (агрегат 14), аппаратуру выдачи команд (агрегат 15)
и станцию передачи команд на борт самолета (агрегат 16).
Система диспетчеризации состоит из центрального вычислительного
устройства (агрегат 18), аппаратуры ввода данных в
центральное вычислительное устройство (агрегат 17), коммутатора
(агрегат 20) и устройства отображения информации (агрегат 19).
Рис. 27.
., Процесс функционирования системы управления полетом
самолетов протекает следующим образом.
Радиолокатор дальнего обнаружения просматривает
пространство в зоне аэродрома и обнаруживает самолеты,
находящиеся в этой зоне. Отраженные от самолетов сигналы
радиолокатора расшифровываются, очищаются от помех и проходят
предварительную обработку в аппаратуре съема данных. Далее
вти данные преобразуются в такую форму, в которой они могут
быть введены в вычислительное устройство. Вычислительное
устройство проводит обработки — первичную (определение
координат точек локации) и вторичную (построение трасс движе- ,
ния самолетов) радиолокационной информации.
При помощи системы многоканальной связи с бортом само-'
глетов устанавливается двусторонняя радиосвязь. Сведения, по-<"
ступающие с борта самолетов, позволяют выделять самолеты, ,
§-42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 331
направляющиеся в данный аэропорт, и отсеять самолеты,
следующие в другие аэропорты. Дальнейшей обработке
подвергается информация лишь о тех самолетах, которые
направляются в данный аэропорт. После дополнительной обработки
эта информация через аппаратуру выдачи информации
наземным системам передается в систему диспетчеризации и систему
слепой посадки и взлета самолетов. Связь с самолетами,
следующими в другие аэропорты, поддерживается только для
передачи им метеорологических и топографических данных,
сведений о радиомаяках и т. д.
Таким образом, в систему диспетчеризации, точнее, в
центральное вычислительное устройство, поступает
радиолокационная и другая информация о всех самолетах, прибывающих в
данный аэропорт. Центральное вычислительное устройство
выполняет дополнительную обработку этой информации. Здесь
решается задача анализа собранных данных и определения
порядка обслуживания самолетов в аэропорту. В первую очередь
здесь определяется порядок посадки каждого самолета,
выделяется соответствующая посадочная полоса и канал
многоканальной системы слепой посадки и взлета самолетов. Последняя
через радиолокатор аэродромного обзора должна принять на
сопровождение выделенным каналом соответствующий самолет.
Для этого по команде системы диспетчеризации информация об
определенном самолете от системы дальнего обнаружения
передается в выделенный канал системы слепой посадки.
Обработка информации о дальнейшей истории самолета производится
теперь только в системе слепой посадки. На борт самолета
непрерывно передаются посадочные характеристики. Бортовая
аппаратура системы слепой посадки формирует соответствующее
изменение положения органов управления самолетом и тем
самым обеспечивает движение самолета по закону,
выработанному вычислительным устройством системы слепой посадки. Это
движение должно заканчиваться успешной посадкой самолета.
. Освободившиеся канал системы слепой посадки и взлетно-
посадочная полоса могут быть использованы для обслуживания
следующего самолета. В случае, когда все каналы системы
слепой посадки заняты, самолеты обязаны ожидать своей очереди
на посадку. Необходимо отметить, что время ожидания самолета
в очереди практически ограничено, поэтому система
диспетчеризации должна стремиться к уменьшению интервала времени
между моментами прибытия самолета и начала его посадки.
• Вышеизложенное дает общее представление о процессе
функционирования системы. Очевидно, что такая степень
детализации описания совершенно недостаточна для построения
модели системы. Некоторые дополнения будут сделаны по ходу
332 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
формализации и математического описания тех элементов и
подпроцессов, которые в дальнейшем подвергаются детальному
рассмотрению.
Модель системы должна содержать модель движения
самолетов в районе аэродрома и модели функционирования основных
подсистем: дальнего обнаружения, дальней связи,
диспетчеризации, слепой посадки и взлета самолетов и бортовой аппаратуры.
Ограниченный объем книги и ее назначение не позволяют
нам полностью воспроизвести формализованную схему,
математическое описание и модель системы управления полетом само*
летов крупного аэродрома. Поэтому мы рассмотрим лишь прин-
ципы построения моделей движения самолетов и функциониро-
вания системы дальнего обнаружения. Наш выбор объясняется
тем обстоятельством, что модели названных процессов имеют
специфику, существенно отличающую их от всех ранее
описанных в настоящей книге моделей.
Вместе с тем систему слепой посадки и взлета самолетов
можно рассматривать как многоканальную систему массового
обслуживания с управлением, осуществляемым системой
диспетчеризации. Для ее моделирования оказываются пригодными
приемы гл. V. Система Диспетчеризации по принципам
функционирования имеет много общего с системой планирования и
управления предыдущего параграфа, а алгоритмы
оптимального распределения самолетов — с алгоритмами оптимального
планирования и оперативного управления предприятием, если в
них учитывается очередь самолетов и приоритеты обслуживания
системой слепой посадки. Существенная специфика моделей
этих систем, а также системы многоканальной дальней связи
проявляется лишь при такой детализации, которая представляет
интерес для узкого круга специалистов.
Начнем с модели движения самолетов в районе аэродрома.
Эта модель нужна для следующих целей: 1) имитации полета
самолетов в поле зрения радиолокаторов дальнего обнаружения
и аэродромного обзора, 2) имитации радиолокационной
информации для средств обработки и отображения данных в системах
дальнего обнаружения и слепой посадки, 3) имитации трасс и
режимов движения самолетов для работы средств
распределения их между взлетно-посадочными полосами и каналами си*
стемы слепой посадки (диспетчеризации), а также для
управления в замкнутом контуре системы слепой посадки и т. д.
Перечисленные цели предъявляют разнообразные требования
к точности и подробности моделирования, а также к кругу
учитываемых факторов при имитации движения самолетов.
Например, для распределения самолетов между взлетно-посадочными
полосами достаточно знать зависимость координат, самолетов от
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 333
времени с точностью до минут и километров, а для выработки
команд органам управления самолета при слепой посадке — до
секунд и метров. В первом случае достаточно описывать полет
самолета по плоской кривой (с постоянной скоростью и на
постоянной высоте), а во втором — необходима детальная
картина пространственного движения самолета как твердого тела.
Аналогичные примеры можно привести и в связи с обработкой
радиолокационной информации.
Эти примеры показывают, что удовлетворить столь
разноречивые требования вряд ли удастся, исходя из одной и той же
модели движения самолетов. С другой стороны, создавать
много моделей движения самолетов крайне невыгодно.
Тщательный анализ требуемых точностей и темпов циркуляции
информации в моделях показывает, что для целей создания модели
системы управления полетом самолетов достаточно иметь две
модели движения самолетов в районе аэродрома.
Для того чтобы описать движение центра масс самолета,
необходимо задать текущие координаты его в выбранной системе.
Например, в прямоугольной системе координат OXYZ (ось OZ
направлена вертикально вверх, ось ОХ—в сторону
максимальной интенсивности прибывающих самолетов, ось OY — так,
чтобы получилась правая система координат) движение самолета
можно задать параметрическими уравнениями траектории
(трассы)
x=x{t), y=y{t), z=z(t). (9.2):
Для решения любых вопросов, связанных с описанием
движения центра масс самолета, достаточно задания траектории в
виде (9.2). Однако оперирование функциями вида (9.2)
оказывается весьма громоздким и практически неудобным.
Практически выгоднее использовать параметрическое описание
траекторий с параметрами, имеющими наглядный геометрический и
механический смысл.
Историю каждого самолета будем рассматривать, начиная
с момента влета его в зону действия радиолокатора дальнего
-обнаружения. В других задачах могут оказаться
необходимыми другие начальные точки. Начальную точку зададим
моментом времени tBJi и координатами х0, у0, г0 в прямоугольной
системе или числами /, |30, е0 (наклонная дальность, азимут и
угол места соответственно) в полярной системе координат.
Траекторию самолета произвольной формы представим как
совокупность последовательных виражей (включая виражи с
нулевой перегрузкой, т. е. прямолинейные участки движения) в
двух плоскостях, горизонтальной и вертикальной, и с постоянной
(в пределах виража) величиной скорости V. Таким образом,
334 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
для описания движения самолета необходимо задать начальную
точку гвх, х0, г/о, 20 и последовательность параметров,
характеризующих каждый вираж: т — длительность виража и V, т и п,
где тип — нормальные перегрузки в горизонтальной и
вертикальной плоскостях.
Движение самолета вокруг центра масс можно задавать при
помощи углов атаки и скольжения, а также углов тангажа, рьь
еканья и крена, рассматриваемых как функции времени. Эти
функции с заданной степенью приближения можно описать при
помощи набора параметров.
В реальной ситуации любому крупному аэродрому
приходится иметь дело не с одиночными самолетами, а с
совокупностью самолетов, имеющих специальное распределение моментов
влета в зону аэродрома (например, в зону действия радиолока^
тора дальнего обнаружения) во времени. Такую совокупность
в дальнейшем мы будем называть потоком самолетов. Для мат,
тематического описания потоков самолетов, в связи с
моделированием процессов функционирования систем обнаружения,
• обработки информации и взлета — посадки, целесообразно
использовать некоторые идеи и методы теории массового обслу-i
живания.
Чтобы описать детерминированный поток, состоящий из N
* самолетов, достаточно задать последовательность векторов Cit
С2, .. ., CN вида (tBX, х0, у0, z0, т, V, ш, п). Однако, изучение реак-
- ции моделируемой системы на детерминированный поток само-*
"„летов представляет лишь ограниченный интерес. Дело в том, что
неучитываемые отклонения действующих факторов, невозмож*
ность строго выдержать заданные параметры, ошибки
аппаратуры и т. д. приводят к тому, что потоки самолетов следует
рассматривать как случайные потоки. Поэтому векторы Cir
С2, . .., CN мы вынуждены считать последовательностью
случайных векторов.
Математическое описание потока самолетов столь общего
вида хотя и доступно для современного аппарата теории
вероятностей, однако оказывается весьма сложным. Как
показывают исследования, построение случайных реализаций
последовательности многомерных векторов на ЭВМ приводит к
чрезвычайно громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно
пользоваться некоторыми приближенными частными приемами,
доступными для использования в настоящее время.
Первым из таких приемов задания случайного потока
самолетов является метод реализаций. Сущность его состоит в том,
что задается достаточно большое число отдельных реализаций
данного случайного потока самолетов. Совокупность
реализаций, естественно, представляет собой набор вполне детермини-
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 335
рованных потоков, приближенно представляющих все множе*
ство возможных реализаций случайного потока.
Чтобы задать п реализаций потока, каждая из которых со-
держит ./V самолетов, необходимо задать таблицу nN
многомерных характеристик, содержащих составляющие векторов С*.
Очевидно, что такое описание потока самолетов чрезмерно гро-
, моздко.
Задание потока самолетов значительно упрощается, если ве-<'
личины, фигурирующие в таблице, удается аппроксимировать
элементарными функциями времени или номера самолета для
каждой реализации потока, с переходом от одной реализации
к другой за счет изменения значений некоторых параметров.
Вторым практически приемлемым способом задания потока
самолетов может служить приближенное описание его при
помощи вероятностных характеристик. Для этого необходимо
задать так называемый средний поток, параметры которого
являются математическими ожиданиями параметров случайного
потока, а также указать вероятностные характеристики откло*
нений параметров от соответствующих математических
ожиданий.
Средний поток, как поток вполне детерминированный, мо-
жет быть задан тем же путем, каким задаются отдельные pea*
лизации потока в способе, рассмотренном выше. Отклонения
параметров от математических ожиданий описываются
соответствующими законами распределения (совместными законами
распределения). Некоторые из параметров потока могут быть
фиксированными.
Таким путем можно описать достаточно разнообразные по*
токи и обеспечить компактное моделирование их на
электронных цифровых машинах.
Весьма простую и удобную машинную реализацию
широкого класса потоков можно получить в том случае, когда
моменты влета самолетов tBX в зону аэродрома представляются
в виде потока однородных событий, а остальные параметры
предполагаются независимыми от /Вх и задаются
соответствующими законами распределения. Этот способ задания потока
в настоящее время является наиболее употребительным.
Ознакомившись с некоторыми общими вопросами
формализации движения самолетов, перейдем к двум упомянутым выше
моделям движения самолетов в районе аэродрома.
Первая модель предназначена для грубого описания
движения" самолетов, достаточного с точки зрения работы систем
дальнего обнаружения, диспетчеризации и т.д. Она состоит
в следующем. Точку влета каждого самолета в зону аэродрома
(*о> Уй, Zo), а также параметры его движения в зоне считаем
336 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
случайными величинами с нормальным законом распределения,
заданным соответствующими математическими ожиданиями и
корреляционными матрицами. Моменты влета tBX представляют
собой поток однородных событий. Закон распределения потока
рчитаем известным. Момент влета tB% и начальная точка не
являются независимыми. Совместное их описание всегда сопря-,
жено со значительными трудностями, вызванными учетом
расписания. Поэтому целесообразно начальную точку задавать
условным законом распределения при условии t = tBX.
Вторая схема, необходимая для работы системы слепой
посадки, исходит из того, что точка влета самолета в зону
действия радиолокатора аэродромного обзора и параметры его
движения в зоне, заранее известны, но имеют небольшие
флуктуации, характеризуемые соответствующими законами
распределения и ограничениями, накладываемыми условиями
сопровождения самолета радиолокатором аэродромного обзора и
условиями устойчивого управления в замкнутом контуре
регулирования. Момент влета tBX заранее не задается, а
выясняется по ходу моделирования процесса передачи самолета
в систему слепой посадки. Эти схемы мы будем иметь в виду
как основные для использования в дальнейшем.
-. Перейдем к вопросам моделирования потока самолетов в
первой из рассмотренных схем. Сначала моделируется момент
влета самолета в зону аэродрома как очередное событие
случайного потока однородных событий с заданным законом
распределения. Приемы моделирования рассмотрены в гл. V. Затем
при фиксированном моменте tBX моделируется начальная
точка х0, г/о. 2o для очередного самолета как случайный вектор
с заданным условным законом распределения. Приемы
моделирования рассматривались в гл. IV. Далее траектория
самолета строится в виде сопряженных участков дуг окружностей
и прямых линий в зависимости от заданных параметров
движения. Сущность построения траектории сводится к
следующему.
В первую очередь для всех рейсов расписания строятся так
называемые «шаблоны», представляющие собой траектории
полета самолета от границы зоны действия радиолокатора
дальнего обнаружения до места передачи самолета в систему
посадки при различных вариантах посадочных параметров. Эти
траектории записываются в памяти ЭВМ в виде таблицы,
содержащей начальную точку (х0, у0, г0, tBX), длительность т4 и
параметры Vt, т\, п\ первого виража, длительность х2 и параметры
i>2, rri2 и «2 второго виража и т. д. В дальнейшем величины,
содержащиеся в таблице, служат математическими ожиданиями
соответствующих величин при моделировании реальных траек-
§421 СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 337
торий. В памяти ЭВМ хранятся также элементы
корреляционных матриц, характеризующих случайные флуктуации этих
величин. Процедура моделирования траектории самолета состоит
в том, что на каждом шаге, т. е. при моделировании очередного
виража, из таблицы выбираются математические ожидания
параметров виража, затем при помощи случайных чисел строятся
случайные отклонения их от математического ожидания и,
наконец, строится в соответствующих плоскостях пара прямых
или окружностей, представляющих собой модель траектории,
на заданном участке. Координаты самолета в конечный момент
виража принимаются за координаты начальной точки
следующего виража.
Каждый участок траектории при помощи специальных
ограничений проверяется на принадлежность допустимому полю
траекторий, параметры которого хранятся в памяти ЭВМ.
При моделировании движения самолета по второй схеме
нужна другая таблица, содержащая шаблоны траекторий
применительно к работе системы слепой посадки. Процедура
моделирования аналогична, за исключением начала траектории в
зоне действия радиолокатора аэродромного обзора. Эта
особенность состоит в следующем. Предположим, что система
диспетчеризации выдала команду: «сопровождение самолета № ....
в период слепой посадки выполняет канал №..., начиная с
момента времени t*». Тогда к t* прибавляется случайное время
длительности захвата самолета радиолокатором аэродромного
обзора и получается момент f. В соответствии с траекторией
самолета, вычисленной по соотношениям первой модели,
определяются координаты самолета в момент f. Эта точка и
принимается в качестве начальной для построения траектории
самолета по соотношениям второй модели.
Сказанного достаточно для того, чтобы в общих чертах
представить себе идею моделирования полетов самолетов в
районе аэродрома как в первой, так и во второй схемах. Вывод
формул сопряженных прямых и окружностей в горизонтальной
и вертикальной плоскостях предоставляется читателю.
Перейдем к модели системы дальнего обнаружения.
Основой системы дальнего обнаружения служит
радиолокационная станция кругового обзора, способная выдавать
текущие координаты самолета через заданный промежуток
времени At. Обычно такими координатами являются наклонная
дальность /, азимут |3 и угол места е. Иногда приходится
оперировать другой тройкой величин /, |3 и Н, где Н — высота
полета самолета.
Зона обзора круговой радиолокационной станции
ограничена по наклонной дальности и высоте. Грубые ограничения
338 'АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
зоны можно установить, задавая неравенства
«<«:,} <9-з>
В случае, когда станция кругового обзора выдает
координаты /, р, е, последние неравенства имеют вид
Л ^ 'max'
'max sln e ~С "max*
Для того чтобы более точно охарактеризовать зону, где
обеспечивается эффективное определение координат самолетов,
необходимо учитывать вероятность обнаружения как функцию
координат Р{1, |3, е).
При построении формализованной схемы для простоты
будем рассматривать только движение самолетов в некоторой
плоскости. В самом простом случае, когда выбранная плоскость
является горизонтальной, картина сводится к следующему.
Рассмотрим в этой плоскости систему полярных координат (г, р)
с центром в точке О, где р— полярный угол (азимут),
отсчитываемый от некоторого фиксированного направления О А, г —
радиус-вектор (дальность), О — проекция точки стояния
радиолокационной станции на выбранную горизонтальную плоскость.
Координаты (г, р) могут быть выражены через величины /,
Р, е или /, р, Н.
Так как при переходе к горизонтальной плоскости азимут
-не изменяется, то достаточно выразить величину г через / и е
или / и Н. Очевидно, что
(9.5)
В выбранной горизонтальной плоскости будем
рассматривать подвижный луч, выходящий из точки 0 по радиусу и
движущийся с постоянной угловой скоростью (ол. Этот луч будем
называть лучом радиолокационной станции кругового обзора.
Очевидно, что уравнение движения такого луча можно записать
в виде
" Рл = Рл0+«л*, (9-6)
хде Рло-—положение луча в начальный момент времени t0. ■
Момент времени, когда луч радиолокационной станции
совпадает с направлением на самолет, будем называть моментом
локации данного самолета, а точку на траектории, в которой
(9.4)
r = /cose, 1
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 339
находится самолет в момент локации, — точкой локации
самолета. Если бы отсутствовали ошибки измерения координат
радиолокационной станцией, то координаты точки локации можно
было бы определить как координаты точки пересечения луча
радиолокационной станции с траекторией самолета. Точку с
такими координатами будем называть идеальной точкой локации.^
В отличие от идеальной, будем рассматривать просто точку;
локации, которая получается при учете ошибок измерений. '■
Формализованный процесс функционирования системы об*:
наружения состоит в следующем. Луч радиолокационной стан-1
ции, равномерно вращаясь, пересекает траектории самолетов,?
находящихся в ее зоне обзора. Получающиеся при этом точки'
пересечения являются идеальными точками локации самолетов.?
При измерении координат радиолокационной станцией возни-1
кают ошибки измерения, которые смещают идеальную точку
локации. Помимо отметок, соответствующих реальным самоле-
там в зоне обзора, появляются ложные отметки за счет дейт
ствия различного рода помех. .•;
Из совокупности отметок о реальных самолетах выбираются»
только те отметки, которые соответствуют обнаруженным само-*
летам. Как упоминалось выше, некоторые самолеты могут ока-*
заться необнаруженными из-за того, что вероятность обнару-*
жения в некоторой части зоны отлична от единицы.
■ Обнаруженные реальные и ложные самолеты дают пока
только геометрическую картину, не учитывающую разрешаю-
щей способности радиолокационной станции.
Разрешающая способность радиолокационной станции
задается по каждой из измеряемых координат. Если какие-нибудь
отметки, соответствующие реальным или ложным самолетам,
не разрешаются по всем координатам в совокупности, то будем
считать, что все эти точки радиолокационная станция видит как
одну точку.
После анализа отметок с точки зрения разрешимости всю
имеющуюся информацию необходимо расположить в порядке,
соответствующем направлению движения луча
радиолокационной станции, и привести к виду, в котором информация может
быть выдана для дальнейшей обработки. Сделаем некоторые
уточнения формализованной схемы.
При решении системы уравнений для координат идеальной
Точки локации первая идеальная точка локации считается за«
данной.
Если же необходимо найти первую точку локации, то в
качестве исходной можно принять точку влета самолета в зону^
действия радиолокационной станции, для которой параметру
д!р, г/о. го известны* •
340 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. ТХ
Таким образом, в результате решения соответствующей
системы уравнений получаем координаты идеальной точки
локации для соответствующего момента времени.
Эта процедура проводится последовательно по отношению
ко всем самолетам, находящимся в зоне обзора
радиолокационной станции.
Чтобы перейти от идеальных точек локации к «реальным»,
необходимо учесть ошибки измерения координат
радиолокационными станциями.
Обычно предполагают, что случайные ошибки измерения
координат имеют нормальное распределение.
Кроме того, предполагается, что случайные ошибки
координат /, р и е или /, р и Н независимы.
Гипотеза о нормальности распределения ошибок позволяет
вести расчеты в рамках корреляционной теории, т. е.
описывать случайные величины и случайные векторы с точностью до
моментов второго порядка. Как правило, на выходе подалго-
ритма, моделирующего процесс функционирования системы
обнаружения, оказываются те координаты, которые измеряются
радиолокационными станциями. В некоторых случаях
приходится оперировать с информацией, представленной в других
системах координат, например, в прямоугольной (х, у, г) или
плоской полярной (г, Р).
Полученные случайные ошибки прибавляются к
координатам идеальной точки локации. В результате находятся
координаты точки локации самолета.
Перейдем к вопросу учета помех. При той формализации,
которая принята в настоящей главе, целесообразно действие
Помех рассматривать как появление ложных отметок в зоне
обзора радиолокационной станции.
Методику локации помех можно было бы построить по
аналогии с рассмотренными выше способами определения
идеальных точек локации. Однако это создавало бы известные
неудобства, связанные с селекцией необнаруживаемых помех.
Поэтому целесообразно принять такую методику учета помех,
которая позволяла бы формировать информацию только об
обнаруживаемых помехах и вместе с тем была бы не слишком
сложной. Основными возможными упрощениями по сравнению
с локацией самолетов здесь могут быть совмещение ложной
отметки с лучом радиолокационной станции по времени и
пренебрежение ошибками измерений.
Каждую ложную отметку, так же как и точку локации
самолета, мы будем задавать (при рассмотрении плоской
картины) тремя параметрами: моментом локации t{ и
координатами г и р. В необходимых случаях эти величины снабдим
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 341.
индексами, отличающими их от момента локации,и координат
самолета.
Если время появления отметки t{ задано, то будем считать,
что тем самым определен и азимут ложной отметки
P = P*)-rW*. (9-7)
Так реализуется первое упрощение.
Второе упрощение используется следующим образом. Мы
считаем, что точка (г, р) является не идеальной точкой локации
помехи, а «реальной». Пренебрежение ошибками измерений'
здесь несущественно, так как зоны распределения параметров
ложных отметок бывают известны весьма приближенно.
Принятая методика учета помех позволяет ограничиться
при описании каждой ложной отметки только двумя величи-.
нами г и р. Будем "считать эти случайные величины
независимыми.
При решении практических задач наиболее часто
рассматриваются равномерное и усеченное нормальное распределения
величин риг. Могут быть использованы и другие законы
распределения.
Случайную величину tj — момент появления помехи будем
задавать как поток событий в смысле теории массового
обслуживания. Наиболее распространен случай простейшего
(пуассоновского) потока.
Полученные этим способом точки локации принадлежат са-
молетам, находящимся в зоне обзора радиолокационной
станции. Однако не все самолеты, как упоминалось выше,
обнаруживаются радиолокационной станцией в течение рассматри-.
ваемого обзора.
При той формализации процесса функционирования
системы обнаружения, которая принята в настоящей главе,
достаточно рассматривать вероятность обнаружения самолета как
функцию горизонтальной дальности, т. е.
., р = р{г).
Из физических соображений ясно, что эта функция
возрастает на начальном участке интервала определения (от нуля-
до некоторого положительного значения) и убывает на
конечном участке интервала определения, достигая значения р(г) = 0
на дальней границе зоны обнаружения.
Очевидно, значения р(г) для различных г можно оценить
экспериментально, а затем путем аппроксимации выбрать
подходящий вид аналитической зависимости. Однако результаты-
экспериментального исследования радиолокационных станций
не всегда будут находиться в нашем распоряжении, особенно-
23 Н. П. Бусленко
342 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
в тех случаях, когда речь идет о перспективных или
разрабатываемых средствах. При практическом решении задач мето-
дом моделирования обычно пользуются некоторыми простыми
зависимостями для р(г).
Пользуясь функцией р(г), можно моделировать события
«обнаружения» или «необнаружения» при помощи случайных
чисел.
Все обнаруженные самолеты должны быть подвергнуты еще
одной контрольной операции — проверке на разрешимость их
радиолокационной станцией. Разрешающая способность
задается для радиолокационной станции в виде интервалов
измеряемых координат.
Если какие-нибудь самолеты или ложные отметки имеют
близкие координаты и разности координат находятся в
пределах интервалов разрешимости (для трех ко'ординат в
совокупности), то такие точки будут рассматриваться как одна точка.
Пусть идет речь о радиолокационной станции, измеряющей
координаты /, р, е. Тогда разрешающие интервалы задаются
в виде А/, Др, Де. Если неравенства
|/,— /;|<Д/,
fe,-ti|<A6
(9.8)
выполнены, то точки с координатами /,, If, р,-, Pj и е,, е,
принимаются за одну точку и эта точка привязывается ко времени t,
которое вычисляется как среднее (или среднее взвешенное)
значений tt и tj. Координатами такой точки также считаются
средние (или средние взвешенные) значения величин /, р и е.
Значения весовых коэффициентов для каждого конкретного,
случая задаются особо. В дальнейшем мы, как правило, будем
пользоваться средними значениями координат и времени..
Проверка условий (9.8) может осуществляться различи
ными способами. В частности, удобно от координат Ц и Ц
перейти к соответствующим моментам времени tt и tj, исходя- из
уравнения движения самолета, и проверить условие
\tj — *i\<bt- (9.9).
Если условие (9.9) выполнено, то переходят к проверке
аналогичных условий для р и е или В и Я.
В случае, когда хотя бы одно из условий вида (9.8) не
выполнено, отметки считаются различными.
Аналогичная процедура может быть применена не только'
к двум, но и КО многим отметкам.
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 343
После того как все отметки проверены с точки зрения
разрешающей способности радиолокационной станции, они должны
быть расположены в ряд. в порядке возрастания времени
обнаружения.
Таким образом, может быть получена, информация о
самолетах, находящихся в зоне действия радиолокационной
станции дальнего обнаружения. Эта информация вводится в
вычислительное устройство и соответствующим образом
обрабатывается.
В системе дальнего обнаружения и управления обработка
информации сводится к построению трасс движения самолетов,
отсеву ложных отметок, отсеву самолетов, движущихся в
другие аэропорты (по данным системы многоканальной дальней
связи), подготовке информации о самолетах, прибывающих в
данный аэропорт, для передачи в систему диспетчеризации.
Для построения трасс движения самолетов необходимо из
всех отметок, поступивших от радиолокационной станции,
выбрать отметки, относящиеся к данному самолету.
Весьма распространенным методом разнесения отметок по
трассам является метод пространственной селекции — метод
стробирования. Этот метод основывается на определении
упрежденного положения самолета, т. е. выделении некоторой
области пространства в зоне действия радиолокационной станции,
в которой с заданной вероятностью должна быть получена
отметка от самолета в текущем обзоре.
В качестве критерия принадлежности рассматриваемой
отметки в конкретной трассе в этом случае можно принять факт
нахождения координат самолета в пределах указанного объема
пространства строба. Размер и координаты строба для каждого
сопровождаемого самолета на текущий период обзора
определяются положением данного самолета в пространстве,
параметрами его движения и возможными ошибками
радиолокационной станции.
Алгоритм прокладки трасс с помощью метода стробирования
"производит привязку отметок к одной из существующих в
настоящий момент трасс. Механизм работы рассматриваемого
алгоритма чрезвычайно прост.
Отметки рассматриваемого обзора запишем в оперативную
память машины. Все отметки разобьем на две группы. К
первой отнесем те самолеты, для которых уже имеется трасса,
построенная по засечкам, полученным при предыдущих обзорах
(получено более двух засечек). Ко второй группе отнесем
отметки, для которых трасса еще не построена (одиночные
отметки и пары; их в этой группе условно будем называть
трассами).
23*
344 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
у
Если к рассматриваемому моменту в составе первой группы
не имеется трасс, то производится привязка вновь поступивших
отметок к трассам второй группы. Если же к рассматриваемому
моменту времени в составе первой группы имеются трассы, то
каждая из них просматривается на предмет привязки к ней
одной или нескольких вновь поступивших отметок. Отметки,
привязанные к трассам первой группы, исключаются из
дальнейшего рассмотрения. После просмотра всех трасс
производится исключение из состава первой группы тех трасс, к
которым в течение некоторого критического числа обзоров К не
было привязано ни одной отметки.
Далее проверяется наличие отметок в памяти машины.
При отсутствии их в памяти процесс прокладки трасс в
данном обзоре считается законченным. При наличии отметок в
памяти производится проверка возможности завязки трасс во
второй группе. При наличии трасс второй группы производится
привязка вновь поступивших отметок к этим трассам. Трассы,
к которым были привязаны отметки, переводим в состав трасс
первой группы, исключая их из состава трасс второй группы.
Трассы, к которым не были привязаны отметки, удаляются из
состава второй группы и исключаются из дальнейшего
рассмотрения.
Далее проверяется наличие отметок в памяти. Отметки,
имеющиеся в памяти, переводятся в состав трасс второй группы
с присвоением им порядковых номеров этой группы. На этом
процесс прокладки трасс в данном обзоре считается
законченным.
Процесс прокладки трасс в данном обзоре считается
законченным и в случае отсутствия отметок в памяти.
Исходной информацией для работы алгоритма прокладки
трасс является ряд точек локации и помех на видимых участках
траектории. Кроме того, в качестве исходных данных
необходимо задать критические значения интервалов стробов.
Анализ процедуры стробирования показывает, что для ма^
шинной реализации даже такого простого по своему существу
алгоритма требуется проведение довольно большого числа
операций. Для реализации данного алгоритма необходим также
значительный объем оперативной памяти машины.
Для системы дальнего обнаружения, которая в
формализованном виде здесь представлена достаточно подробно, составим
моделирующий алгоритм. Чтобы не усложнять и без того
весьма сложную модель, мы оставим в стороне вопросы, связанные
с вероятностью обнаружения самолета р(г) и разрешающей
способностью радиолокатора.
§ 42] -СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ .КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 345
Введем следующие операторы:
Aj — определение момента U окончания очередного обзора
радиолокатора дальнего обнаружения;
Рг — проверка условия U<T, где Т — граница
интервала (О, Т) моделирования процесса функционирования
системы;
Ф3 — формирование момента tB* влета самолета в зону
действия радиолокатора дальнего обнаружения и начальной
точки;
Р4 — проверка условия tBx<ti принадлежности момента
влета самолета текущему обзору;
Кб — счетчик числа m самолетов, находящихся в зоне
действия радиолокатора;
А6 — запоминание момента влета самолета, принадлежащего
следующему обзору; ,
Р7 — проверка условия /п>0;
Кв — счетчик числа самолетов, подлежащих обнаружению
В "Течение текущего обзора;
Рэ — проверка условия tKB<ti, состоящего в том, что момент
конца виража tKB принадлежит текущему обзору;
Аю — определение координат точки и момента окончания
текущего виража;
. Fn — выбор из накопителя параметров следующего
виража; " •
Ф12—формирование случайных флуктуации параметров
виража в соответствии с заданными законами распределения;
А43 — определение трассы движения самолета в пределах
•текущего обзора;
Au — определение идеальной точки локации;.
*i5 — формирование ошибок определения координат
самолета радиолокатором дальнего обнаружения;
Fi6—формирование реальной отметки самолета;
•Фп — формирование ложных отметок в соответствии с
заданным законом распределения;
Fis — расположение отметок в" ряд в соответствии с
порядком обнаружения;
Pig — проверка условия д>0, где п — число отметок,
поступивших в вычислительное устройство на обработку;
Кго— счетчик числа отметок, подлежащих обработке;
Р21 — проверка условия &>0, где k — число трасс первой
группы, имеющихся к данному моменту;
К22 — счетчик числа k трасс первой группы;
Ргз — проверка принадлежности данной отметки одной из
трасс первой группы;
- F24 — присоединение отметки к трассе;
346 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Р25 — проверка условия г>0, где г-1-число трасс второй
группы, имеющихся к данному моменту;
Кгв — счетчик количества трасс второй группы;
Р27 — проверка принадлежности данной отметки одной из
трасс второй группы;
F2s — завязка новой трассы;
А2э — передача вновь завязанной трассы в первую группу;
Азо—передача отметки во вторую группу для следующего
обзора;
F3i — исключение трасс, которые не подтверждаются в
течение нескольких обзоров;
F32 — переход к очередному обзору радиолокатора дальнего
обнаружения;
Р33—проверка условия N<N*, где N — текущее число
реализаций, a N*—■ заданное число реализаций процесса;
F34 — переход к очередной реализации;
А35 — обработка результатов моделирования;
Язе—выдача результатов.
Операторная схема моделирующего алгоритма имеет
следующий вид:
AiP2^33 ' ФзР^бКб Аб ' Рт^пКаРд-^зАю
с Л» 9> 12 * * Л» с7 Trh. с 18> 24,29, 30n v,
Fii<Pi2 А13А14Ф15Г16 «PnFia Pi<H<3iK2o
P21V25K22P23^2lF24 ' Р25^3оКгбР27^25р28
«19 25 д 19 19c, r-1 2D cl 33. я /n 1 n\
A29 A30 F31F32 P33135F34 Аз5Яз5- (9.10)
Для наглядности на рис. 28 представлена блок-схема
моделирующего алгоритма (9.10).
Алгоритм работает следующим образом.
Оператор Ai осуществляет переход к новому обзору
радиолокатора дальнего обнаружения.
Если условие, проверяемое оператором Р2 не выполнено, то
кончился интервал моделирования, и мы переходим к очередной
реализации (если условие, проверяемое оператором Р3з,
выполнено) или к обработке и выдаче результатов в противном случае
(операторы А35 и Язе)- Если же интервал моделирования не
закончился (условие, проверяемое оператором Р2, выполнено), то
оператор Ф3 формирует момент влета и начальную точку для
очередного самолета, поступающего в зону действия
радиолокатора в течение данного обзора. Цепочка операторов ФзР^Ав
отбирает все самолеты, поступающие в зону действия
радиолокатора в течение данного обзора.
Последовательность операторов Р7, Кв, ..., F16
моделирует процесс обнаружения самолета радиолокатором дальнего
42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ
-*■ t,T t>.-i +
? к очередной
реализации
loom «а результатов
■ *
Выдача
т + 1 —I
Запоминание для
следующего обзора
Определение граничной
точки виража
Выбор параметров
нового виража
12
Формирование
флуктуации самолгта
■* Формирование момента
влетай начальной точки
Формирование
ложных отметок
Присоединение
отметки к трассе
Завязка новой трассы
Передача трассы
в / группу
Распопожение отметок
пв возрастанию
Передача отметки —'
во 2 группу
Исключение непод-
твержВенных трасс
•* Переход к очередному
обзору
Рис. 28.
348 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
обнаружения. Если текущий вираж не заканчивается в пределах
данного обзора (условие, проверяемое оператором Р9, не
выполнено), то операторы Ai3-f-Fi6 определяют трассу самолета
(оператор AJ3), вычисляют координаты идеальной точки локации
(оператор А14), формируют ошибки измерений (оператор Ф15)
и определяют отметку, соответствующую данному самолету.
Если же вираж заканчивается в пределах обзора, то
определяется точка конца виража (оператор Аю), выбираются из на*
копителя ЭВМ параметры следующего виража (оператор Fu),
формируются флуктуации параметров виража в соответствии
с заданными вероятностными характеристиками и лишь после
этого управление передается оператору А13 для.построения
трассы самолета.
Если т>0 (оператор Р7), то все самолеты, находящиеся
в поле зрения радиолокатора, уже обнаружены; другими
словами, текущий обзор уже фактически закончился, так как
дальнейшее движение луча в пределах оставшейся части обзора не
может дать информации о новых самолетах; переходим
(оператор Ф47) к формированию ложных отметок, а затем к
расположению отметок в ряд в порядке обнаружения, т. е. по
возрастанию времени обнаружения. Полученная таким образом
информация за обзор передается на дальнейшую обработку
(оператор F18).
Операторы Pi9^-F32 моделируют процесс обработки инфор:
мации, существо которой сводится к прокладке трасс самолетов
методом стробирования. В момент времени, когда начинается
обработка информации за данный обзор, в памяти ЭВМ
имеется: п отметок о самолетах или ложных (счетчик Кго и
оператор проверки «>0 Р19), k трасс первой группы (счетчик
К22 и оператор проверки й>0 P2i) и г трасс второй группы
(счетчик Кгб и оператор проверки г>0 Ргб)- Выбрав одну из
отметок, проверяем принадлежность ее к одной из
существующих трасс первой группы (оператор Р2з).
Если отметка находится внутри строба, соответствующего
данной трассе (условие, проверяемое оператором Р2з,
выполнено), переходим к оператору F24, который присоединяет эту
отметку к трассе и готовит данные для расчета строба при
следующем обзоре. Если же отметка оказалась вне строба
(оператор Ргз), возвращаемся к оператору P2i и переходим к
проверке принадлежности отметки другой трассе первой группы
и т. д.
Если все трассы первой группы (для какой-нибудь
отметки) опробованы безуспешно (& = 0, оператор Р21), то
переходим к проверке принадлежности этой отметки одной из трасс
второй группы (оператор Р27). Если условие, проверяемое one-
§ 42) СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 349
ратором Р27, выполнено, т. е. отметка оказалась -внутри строба,
переходим к оператору Р28 для присоединения отметки к
соответствующей трассе второй группы. Поскольку во второй группе
находятся условные трассы — одиночные отметки и пары,
претендующие на то, чтобы их положили в основу будущих трасс,
работа оператора F28 по существу сводится к завязке новых
трасс.
Каждая завязанная таким образом трасса, может быть либо
действительной трассой, либо условной — парой отметок,
пригодных для завязки новой трассы в случае, если в дальнейшем
появится подходящая отметка. Действительные трассы
передаются в первую группу (оператор А29), а условные остаются'
во второй. Если условие, проверяемое оператором Р27, не
выполнено, т. е. отметка оказалась вне строба, переходим к
оператору Р25 для проверки принадлежности отметки другой трассе
второй группы и т. д. Когда все трассы второй группы будут
опробованы, данная отметка, не принадлежащая ни одной из
трасс, сама провозглашается новой (условной) трассой второй
группы и передается в соответствующий участок памяти ЭВМ.
После обработки всех отметок, полученных за обзор (п = 0,
оператор Pi9), проводится проверка имеющихся трасс. Если среди
них (в первой и второй группе) окажутся действительные или
условные трассы, которые в течение К обзоров не
подтверждались (к ним не присоединялись отметки), то такие трассы
признаются ложными и из дальнейшего рассмотрения исключаются
(оператор F3i). Это позволяет избавиться от помех,
создаваемых ложными отметками.
Далее (оператор F32) переходим к очередному обзору
радиолокатора дальнего обнаружения. Управление передается
оператору Аь
На этом описание работы рассматриваемого варианта
алгоритма, моделирующего процесс функционирования системы
дальнего обнаружения, может быть закончено.
Сделаем замечания, относящиеся к учету вероятности
обнаружения самолета р(г) и разрешающей способности
радиолокатора.
Итак, пусть вероятность обнаружения самолета р(г) в
некоторых участках зоны действия (вблизи дальней ее границы)
радиолокатора дальнего обнаружения отличается от единицы.'
Тогда обнаружение самолета, находящегося в этой части зоны,
оказывается случайным событием, реализующимся с
вероятностью р(г).Для учета этого обстоятельства при
моделировании системы.дальнего обнаружения можно поступить
следующим образом.
330 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
О
После того как определена идеальная точка локации
самолета (оператор Аи), управление передавать не оператору 4>i5,
а новому оператору (назовем его А37) для расчета значения
вероятности р(г) по известному теперь г. Далее оператор Рз8
проверял бы, реализуется ли событие — обнаружение самоле^
•та — или нет. Работа оператора Рзв может быть осуществлена
в виде реализации жребия с вероятностью р(г) по правилам,
рассмотренным в гл. IV. Если условие, проверяемое
оператором Рзв, выполнено (самолет обнаружен), то управление нужно
передать оператору Ф]5 для формирования ошибок измерения.
Если же условие, проверяемое оператором Рзв, не выполнено
.(самолет не обнаружен), управление нужно передать
оператору Р7 для прехода к следующему самолету в зоне обзора
радиолокатора дальнего обнаружения.
Пусть теперь речь идет об учете разрешающей способности
радиолокатора и заданы ограничения А/, Д|3 и Ае по
соответствующим координатам и весовые коэффициенты для
определения средневзвешенных значений координат. От оператора Ф17
управление передадим не оператору Fi8, а новому оператору,
например Р39, который проверяет условие п*>0, где п* — число
отметок в поле зрения радиолокатора. Заметим, что параметр п
(оператор Р39) сохраняет свое прежнее значение, но смысл его
будет несколько другим. Если условие, проверяемое
оператором Рзэ. выполнено, то координаты данной отметки сравни-
-ваются (оператор Рм) с координатами всех других отметок.
Если при этом разности координат превосходят заданные
ограничения А/, Д|3, Ае, то условие, проверяемое оператором Р4о,
считается выполненным, и мы переходим к новой отметке (one-:
ратор Рзэ) и т. д. Если же разности всех координат
каких-нибудь двух, трех или большего числа отметок находятся в
пределах ограничений, то все эти точки принимаются за одну точку,
и мы переходим к оператору A4i для вычисления
средневзвешенных координат новой (объединенной) отметки. Далее
управление передается оператору Fi8. Возвращаясь к параметру п
(оператор Pi9), можно сказать, что п теперь число
объединенных (в смысле разрешающей способности радиолокатора) от-,
меток, переданных в вычислительное устройство для
дальнейшей обработки.
Модели рассматриваемого здесь типа могут быть
использованы для решения многочисленных и интересных задач, возни-,
кающих при проектировании, разработке, испытаниях и экс*
плуатации систем дальнего обнаружения. Среди них имеются
задачи, связанные с оценкой и выбором параметров системы,
а также задачи, относящиеся к организации ее функциониро*
вания.
§ 42] СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КРУПНЫМ АЭРОДРОМОМ 351
В качестве примера задачи об оценке параметров системы
рассмотрим обоснование оптимальных размеров
пространственного строба, используемого для прокладки трасс самолетов при
обработке радиолокационной информации. Необходимо иметь
в виду, что при стробировании появляются ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что в результате строби-
рования к рассматриваемой трассе относят отметку, ей не
принадлежащую. Это может случиться из-за ошибки измерений
как других отметок, по которым прогнозировалось движение
самолета и строился строб, так и данной отметки, смещенной
под влиянием ошибок в соответствующую сторону. Причины
ошибок второго рода аналогичны. Ошибка второго рода состоит
в отбрасывании в результате стробирования такой отметки, ко-;
торая в самом деле принадлежит рассматриваемой трассе.
Очевидно, что увеличение размеров строба будет увеличивать
вероятность ошибок первого рода и уменьшать вероятность
ошибок второго рода, а уменьшение размеров строба, наоборот,
приведет к уменьшению вероятности ошибок первого рода и
увеличению вероятности ошибок второго рода.
Располагая моделью системы дальнего обнаружения, можно
в результате моделирования построить так называемые
оперативные характеристики *), представляющие собой графики
вероятностей ошибок первого и второго рода в зависимости от
размеров строба. Эти графики позволяют сопоставить
эффективность стробирования (с точки зрения некоторого критерия
эффективности) при различных вариантах размеров строба.
Очевидно, что при этом будут играть роль соображения,
вытекающие из способов ликвидации последствий ошибок первого
и второго рода, связанных с методами прокладки трасс и
завязки новых трасс. Способы обработки информации в случае
срыва трасс или завязки в новые трассы ложных отметок будут
требовать различного количества операций при одних и тех же
требованиях к точности и достоверности информации о
самолетах. Исходя из этого, могут быть выбраны упоминавшиеся
критерии эффективности.
Мы не останавливаемся на приемах моделирования других
подсистем системы управления полетами самолетов потому, что
для этих подсистем нетрудно найти аналогичные системы из
области описанных ранее, для которых методика моделирования
рассматривалась достаточно подробно. Например, систему
слепой посадки можно рассматривать как многоканальную
систему массового обслуживания с управлением, осуществляемым
*) Термин взят из теории статистических методов контроля массово^
Продукции. - .
352 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
системой диспетчеризации. Моделирование процесса
функционирования такой системы массового обслуживания можно
провести в соответствии с приемами, рассматриваемыми в
гл. V.
Систему диспетчеризации можно моделировать как систему
планирования и управления предыдущего параграфа.
Алгоритмы оптимального распределения строятся с учетом
дисциплины очереди самолетов и их приоритетов при
обслуживании системой слепой посадки.
Аналогично решаются и другие задачи, возникающие на
практике.
»
Библиография
1. Алиев Г. А., Бусленко Н. П., Климов F. П., Назарен-
к о А. И., Моделирование производственного процесса
автоматизированного стана печной сварки труб. Проблемы кибернетики» вып. 9, М., Физ-
матгиз, 1963.
2. Б а р с о в А. С, К л и м а ш и н И. П., Электронные вычислительные ма-:
шины и сельскохозяйственное производство, М., изд-во «Экономика»^
1965. . ft
3. Б о л ь ш е в Л. Н., О преобразованиях случайных величин.; Теория
вероятностей и ее применения, вып. 2, т. 4, 1959.
4. Башарин Г. П., Таблицы вероятностей и средних квадратических
отклонений потерь на полнодоступном пучке линий, М., Изд-во АН СССР,
1962.
5. Б у с л е н к о Н. П., Математическое моделирование производственных
процессов на цифровых вычислительных машинах, М., «Наука», 1964.
6. Б у с л е н к о Н. П., Решение задач теории массового обслуживания
методом моделирования на электронных цифровых вычислительных
машинах. Проблемы передачи информации, М., Изд-во АН СССР, вып. 9,
1961.
7. Б у с л е н к о Н. П., Ш р е й д е р Ю. А., Метод статистических
испытаний (Монте-Карло) и его реализация на цифровых вычислительных
машинах, М., Физматгиз, 1961.
8. Б у с л е н к о Н. П., К теории сложных систем. Техническая кибернетика
№ 5, 1963.
9. Бусленко Н. П., Юркевич О. М., Об операциях над агрегатами
в сложных системах. Техническая кибернетика, № 2, 1964.
10. Б у с л е н к о Н. П. и др., Метод статистических испытаний (метод
Монте-Карло). Под ред. Шрейдера Ю. А., М., Физматгиз, 1962.'
11. Бусленко Н. П., О решении методом Монте-Карло задач, связанных
с массовым обслуживанием. Труды 4-го Всесоюзного математического..
съезда, т. II, М., «Наука», 1964.
12. Бусленко Н. П., Соколов Г. А., Об одном классе задач оптималь-;.
ного распределения. Экономика и математические методы, т. 1, № 1,*
1965.
13. Ван дер Варден, Математическая статистика, М., ИЛ, 1960.
14. Вент цель Е. С, Теория вероятностей, М., Физматгиз, изд. 2, 1962.
15. В е н т ц е л ь Е. С, Введение в исследование операций, М., изд-во
«Советское радио», 1964. у
16. Вентцель Е. С, Элементы динамического программирования, M.f
«Наука», 1964. ;,
17. В о л ков В. И., Корнблюм Н. А., Маргулис X. Ш., Статистиче-'
ское моделирование процесса производства целлюлозы. Экономика и
математические методы, т. III № 2, 1967. '
18. Г л у ш к о в В. М., Некоторые проблемы синтеза цифровых автоматов.
Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 1, № 3,
1961.
354
БИБЛИОГРАФИЯ
19. Г л у ш к о в В. М., Синтез цифровых автоматов, М„ Физматгиз,
1962.
20. Глушков В. М,. Самоорганизующиеся системы и абстрактная теория
автоматов. Журнал вычислительной математики и математической
физики, т. 2, № 3, 1962.
21. Гн еден ко Б. В., Курс теории вероятностей, М., Физматгиз, изд. 3,
1961.
22. Г н е д е н к о Б. В, Коваленко И. Н., Введение в теорию массового
обслуживания, М., «Наука», 1966.
23. Г о л е н к о Д. И., Моделирование и статистический анализ
псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах, М., «Наука»,
• 1965.
24. Г о л е н к о Д. И., Образование случайных величин с произвольным
законом распределения. Вычислительная математика, № 5, 1959.
25. Дли н А. М., Математическая статистика в технике, М., изд-во
«Советская наука», 1953.
26. Д у н и н - Б а р к о в с к и й И. В., Смирнов Н. В., Теория
вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть), М., Гостех-
издат, 1955.
27. 3 о й т е н д е й к Г., Методы возможных направлений, М., изд-во «Мир»,
1965.
28. К о б о з е в В. В., Назаренко А. И., Математическое моделирование
сортопрокатного стана. Техническая кибернетика, № 4, 1964.
29. К о в а л е н к о И. Н., Некоторые аналитические методы в теории
массового обслуживания. Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2,
М.—Л., изд-во «Энергия», 1964.
30. Коваленко И. Н., О некоторых классах сложных систем.
Техническая кибернетика, № 6, 1964; № 1 и 3, 1965.
31. Кофман А., Крюон Р., Массовое обслуживание. Теория и
приложения, М., изд-во «Мир», 1965.
32. Крамер Г., Математические методы статистики, М., ИЛ, 1948.
33. Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы теории
обработки наблюдений, М., Физматгиз, 1958.
34. Маргулис X. Ш, Фридман Г. Я., Имитационная модель
предприятия (на примере нефтеперерабатывающего завода). Сб. трудов
ЦНИИКА, вып. 22, М., изд-во «Энергия», 1967.
35. Мудр о в В. И., К вопросу об определении вероятности отказа в
однолинейных системах массового обслуживания смешанного типа. Проблемы
; кибернетики, вып. 4, М., Физматгиз, 1960.
36. М у д р о в В. И., Очередь с «нетерпеливыми» клиентами и переменным
временем обслуживания, линейно зависящим от времени пребывания
клиента в очереди. Проблемы кибернетики, вып. 5, М., Физматгиз, 1961.
37. Пляцидевский И. А., Информационные системы в технике и
экономике, М., изд-во «Московский рабочий», 1966.
38. Пугачев В. С, Теория случайных функций и ее применение к
задачам автоматического управления, изд. 2, М., Физматгиз, 1960.
39. С е в о с т ь я н о в Б. А., Эргодическая теорема для марковских
'процессов и ее приложение к системам с отказами.'Теория вероятностей и ее
применения, т. 2, вып. 1, 1957.
40. Седов Л.. И., Методы подобия и размерности в механике, М., Гостех-
издат, 1951.
41. Старосельский В. А., К вопросу об оптимизации некоторых систем
массового обслуживания. Кибернетика, № 3, Киев, 1967.
42. X и н ч и н А. Я., Математические методы теории массового
обслуживания, Труды Матем, ин-та им. Стеклова, изд-во АН СССР, т. XLIX,
1956.
БИБЛИОГРАФИЯ
355
43. X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории массового
обслуживания, М., Физматгиз, 1963.
44. X о в а р д Р. А., Динамическое программирование и марковские
процессы, М., изд-во «Советское радио», 1964.
45. Юдин Д. Б., Г о л ь ш т е й н Е. Г., Задачи и методы линейного
программирования, М., Физматгиз, 1961.
46. Cook J. M., Rational formulae for the production of a spherically
symmetric probability distribution, Math. Tables and other Aids Сотр. v. 11,
№ 58, 1957.
47. M a r с о w i t z H. M, Concepts and computing procedure for certain, Xi}
programming problems, Proc. of the Second Symposium Engineer
Programming, Washington, 1955.
48. Steer D. Т., and Page A. C, Feasibility financial studies of a port in
stallation, Operational Research Quarterly, v. 2, № 3, 1961.
49. H a m m e r s 1 e у J. M., H a n d s с о m b D. C, Monte-Carlo methods,
London, Methuen; New York, Wiley, 1964.
f
Запись th<">
в регистр t
wu
заявки из регистра II
заявки из регистра/
0,-1
N+1
Вычисление и$нйШ
гг
%*%
Отбор'шаш tf?J< t"j
Запись заявок
е регистр G,
<,+ '
Счетчик количества
обсружекнш зияет
* —
шх
Счетчик
количества случаев брака
Рис. П.
Формирование aj',,
5*
X
//отчества
гетевш изделии'N+J
6*
3+1
t= 7
X
Перелой к новому
сборном/ уму
i = l-hi
20*г
N-1
г?г.
22\
Выдача
' К L-U
'рочней операции
Формирова/ие Ту
76%
Паределение tip
18*Г
i+7
11*
Шсует imi!uwB№2
срывов операции сборки
4
5
а
т+7
♦
Запоминание t™
+
. Переход к обработке те-
ред/швполуфабрикат
7
*
Формирование til'
30r
ФормированиеЩ.„\
Определение t"~>
количества
"t + 1
бракованне/rдеталей
32
33
т-7
ге£=1
Рис. 23.