/
Автор: Арнольд И.В.
Теги: математика алгебра арифметика школьная алгебра школьная математика пособие для учителя
Год: 1947
Текст
I
ПЕД ГОГ ЕС
jj!l!ll ii i!i!i !!i!il!!l!! II ШШПН11 II' ШН II! lit Ml : m
II!
. i'
Ш11II I||li!i,j| U f 1} И И I ,, H
И. ДАТЕЛЬСГ О
АКАДЕМИИ ПЕД I ОГИЧ АУК PC CP
ОС ВА 19 'Л
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
проф. И. В. АРНОЛЬД
Член ко регао«дент АРМ РСФСР
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
1IOOO' ИЕ ДЛЯ ' ЧИТЕЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
Москва 1917 Ленинград
^
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
(Методическое пособие для учителей и студентов
педагогических институтов)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Введение отрицательных чисел в самом начале курса
гебры связано с целым рядом методических затруднений,
это вполне естественно. При всяком обобщении и расши-
ении понятий в математике приходится введенные ра-
- термины и способы выражения употреблять в новом
чысле, нарушая установившиеся привычные представления
ащихся. Так, приходится говорить о числах, которые
н ь ш е нуля, между тем как учащиеся привыкли к
¦ ", что меньше нуля «ничего быть не может»; сумма мо-
- оказаться меньше обоих слагаемых; при умножений
'От новые правила («минус на минус дает плюс»),
> чащемуся трудно связать с привычными пред-
*» и относящимися к действию умножения н,а-
Все эти обстоятельства не случайны, а полностью повто-
те недоумения и сомнения, которые и исторически
повождали процесс освоения новой категории чисел,
требовалось несколько столетий для того, чтобы в
ти вопросы внести ясность и включить новые объекты —
лшательные числа—в качестве равноправных членов в
о ч и с е л. В преподавании мы не можем, конечно,
и по тому извилистому пути, которому при этом следо-
1 человечество, и вынуждены добиваться того, чтобы
зщнеся быстро овладевали математическим аппаратом
в той его форме, в какой он в конечном итоге применяется
йчас. Но это должно заставить нас отнестись с тем
ольшим вниманием к психологии учащихся и принять
все зависящие от нас меры к устранению тех естественных
недоумений и сомнений, о которых идет речь. Можно ут-
утверждать, что именно на это направляются в основном
силия всех составителей учебников по алгебре и препо-
3
давателей, желающих облегчить . чаш"чся усвоение этого
раздела курса. Обилие и разнообразие относящихся сюда
способов изложения и методических приемов, предлагае-
предлагаемых различными авторами, свидетельствуют о неизменной
актуальности вопроса и о том, что удовлетворительное его
разрешение еще не достигнуто.
Мы думаем, что и по существу здесь возможны
различные способы изложения и разные подходы
к делу— в конечном итоге решающей является привычка
обращаться с новыми понятиями, приобретаемая учащи-
учащимися в процессе их применения. Вычислительной практикой
закрепляются установленные определения и формальные
правила действий: при применении к различного рода вели-
величинам в процессе решения задач выясняется и закреп-
закрепляется конкретный смысл и осознается практическая по-
полезность новых понятий. Из этих положений, имеющих
весьма общее значение в преподавании математики, выте-
вытекает, прежде всего., первостепенное значение упражне-
упражнений и задач при прохождении любой математической
дисциплины, в соответствии с классическим указанием
Ньютона: «Примеры учат не меньше, чем правила». Этим
объясняется и то, что при самых разнообразных подходах
к вопросу и различных способах построения теории, иногда
даже и дефектных с той или иной точки зрения, в конечном
итоге, после достаточного числа упражнений, достигается,
в среднем, требуемый результат. С какого конца ни начи-
начинать, нодействоват ь-т о приходится всем одинаково: в
процессе активной деятельности учащихся отдельные де-
дефекты большей частью сглаживаются, и выкристаллизовы-
выкристаллизовывается именно то, что нужно.
Это обстоятельство, однако, не снимает основного
вопроса о психологических затруднениях учащихся при
освоении новых понятий.
Начальные объяснения и определения, подбор и распре-
распределение соответствующих иллюстрирующих примеров и
упражнений—все это в практике преподавания определяет
как степень трудности для учащихся в усвоении того или
иного раздела курса, так и качество этого усвоения—ту
или иную степень одного из распространенных недостатков
нашей школы—«формализма» в овладении новым мате-
материалом, быстроту и уверенность ориентировки учеников в
вопросах, требующих отчетливых представлений о связи
абстрактного с конкретным и т. д.
4
Дл(. того чтобы выбрать здесь правильный путь, помочь
тщимся быстрее преодолеть естественно возникающие
—уцнения, преподаватель должен с возможно большей
тливостью и полнотой ориентироваться как в теорети-
теоретической стороне дела, так и в тех методических приемах,
.. горые могут найти применение в нужных случаях. Насто-
Настоящая брошюра и имеет целью помочь в этом преподава-
преподавателю.
§ 2. ВВЕДЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
С ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
В законченной форме систематический курс геометрии
чавляет собой, к.як известие, цепь логически-связанных
г с другом предложений, причем последующие теоремы
.феделения опираются на ранее установленные опреде-
я, аксиомы и теоремы. Такой способ изложения отве-
т cavofi сущности математического метода, характерной
енностью которого как раз и является вывод одних по-
еннй из других с помощью логического рассуждения
д.кция). В такую форму облекаются все математические
•цнтины, в разработке которых достигнута соответству-
1 гтепень законченности. В частности, так оформляется
• иной математике и тот материал, который отве-
чыч курсам арифметики и алгебры. В школьном
*< и этих учебных предметов эта сторона дела отра-
ia гораздо менее отчетливо, чем в курсе геометрии, и
го совсем ускользает от снимания учащихся, воспркни-
эющнх арифметику на основе непосредственных конкрет-
представлений о числах и действиях над ними, а
1гебру—как совокупность некоторого числа технических
~равил буквенного исчисления. В отношении арифметики
"¦ "я установка неизбежна и естественна, хотя и
ь можно высказать уверенность в целесообразности
нчения удельного веса логического рас-
с д е н и я при прохождении курса, с одной стороны, и
необходимости, с другой стороны, большего внима-
Hi я к действительно конкретному и осяза-
осязательному пониманию учащимися числовых
соотношений (в особенности при изучении дробей).
Не останавливаясь сейчас на этом, отметим только, что
«асто встречающаяся (даже у оканчивающих среднюю
шкслу) неуверенность в обращении с нулем и единицей
5
свидетельствует о довольно серьезном неблагополучии в
указанных отношениях уже в курсе арифметики.
Однако при переходе к алгебре, в частности, в интере-
интересующем нас вопросе об отрицательных числах, неясности
в отношении методологической структуры предмета спо-
способны привести—при неудачном методическом подходе—к
своего рода кризису. Привыкнув в арифметике восприни-
воспринимать законы действий над целыми числами как нечто кон-
конкретно-осязательное и придавая второстепенное значение
соответствующим определениям, учащиеся теряются при
изучении отрицательных чисел, для которых конкретное ис-
истолкование действий уже не носит столь непосредственного
характера. Приобретающие в связи с этим значнтелиио I
большее значение определения воспринимаются уча-
учащимися как нечто чужеродное, их «условность» кажется
неубедительной, ученики ищут и требуют чего-то другого,
чего обычное изложение в учебнике им не в состоянии дать.
В поисках большей убедительности более активные мето-
методисты и преподаватели стремятся отойти от обычного изло-
изложения, иногда подменяя стандартные определения непол-
неполноценными с теоретической точки зрения формулировками,
а иногда даже прибегая к суррогату доказательств там, где
о доказательствах по существу не может быть и речи.
Прежде, чем обращаться к методике вопроса необхо-
необходимо поэтому отдать себе достаточно ясный отчет в том,
как же здесь обстоит дело по существу, с точки зрения
требований безупречного с логической стороны дедуктив-
дедуктивного построения этого раздела курса. После этого можно
будет вернуться к вопросу о том, чего же именно нехва-
нехватает учащимся и в какой форме можно пойти навстречу
их запросам, вполне закономерным с психологической точ-
точки зрения.
Подчеркиваем еще раз, что дальнейшее изложение в
этом параграфе отнюдь не должно рассматриваться, как
возможный вариант школьного изложения предмета. Имея
в виду охарактеризованные выше цели, мы остановимся
на теоретической стороне вопроса, адресуясь к читателю,
у которого уже есть основания специально ею интересо-
интересоваться.
С другой стороны, мы не намерены заниматься здесь
детальным анализом относящихся сюда определений и
строить аксиоматическую теорию с соблюдением требования
независимости аксиом, установлением связи с общими
6
энцепциями кольца, поля и т. д., ограничиваясь более
кон задачей — установлением определений, возможно
лее близких к тем, которые принимаются в школьном
vpce, и необходимым для дальнейшего комментированием
гн\ определений.
Итак, поставим себя в то положение, в котором мы
аходммся при введении отрицательных чисел. Мы можем
паться, как на известный материал, на всю совокуп-
~ть сведений о натуральных числах и обыкновенных дро-
~. е. на все соответствующие определения, свойства
ч и т. д. Все это мы будем считать так или иначе
(ленным и не будем подвергать здесь дальнейшему
. Но это еще не все. Можно трактовать вопрос на
...и ином уровне абстракции. При введении отрица-
1 х чисел и обосновании действий над ними мы мо-
1 юо привлекать к рассмотрению конкретные величины
юности, геометрические) и использовать те или иные
..ства, либо же можем потребовать, чтобы новые по-
г ми построены чисто арифметическим п у-
( -3 привлечения постороннего конкретного материала.
тяснения логической структуры дела целесообразно
тать именно на эту последнюю точку зрения. Так
1ем, то-есть ограничим себя пока очерченной
с ю натуральных чисел и дробей
~1я нашего построения.
h u ввести новые числа. Что это значит?
npti .ом должны сделать? Если следовать обычной
, к которой мы так привыкли в геометрии, то надо,
.де всего, дать определение вводимым новым
там. Но здесь мы сразу же наталкиваемся на неко-
е отличие от таких геометрических определений, как,
¦¦мер, определение треугольника, квадрата, ромба и
В этих случаях речь идет о фигурах, образованных
_ ютавленных из известных элементов, и определение,
'ванвающее наименование какому-либо виду фигур,
"таточно для того, чтобы, опираясь на известные уже
эчетрические факты, доказывать в качестве теорем по-
жения, характеризующие дальнейшие свойства этих
iryp.
Но не так обстоит дело с введением новых чисел. На-
ть с того, что отрицательные числа в обычном изложе-
и не сконструированы непосредственно из прежнего
7
арифметического материала, а пг дставляют собой суще-
существенно новые объекты, которыми мы попочняем имею-
ющуюся у нас область чисел. То, что обычно называют
определением, сводится здесь к присвоению наиме-
наименования тому или иному обозначению, которое мы
уславливаемся применять для новых объектов.
Таковы, в частности и нижеследующие определения,
которые нам придется для начала принять (об определе-
определении, полноценном с логической точки зрения, см. ниже—
в начале § 3).
Определения. Отрицательным числом назы-
называется число (натуральное или дробное), соединенное со
знаком «—» (минус), поставленным перед ним, например:
1, 2. — о и т. п.
Положительным числом называется всякое
число (натуральное или дробное), соединенное со знаком
«+» (плюс) перед ним, например:
+ 1.-J-2,-. ]у и т. д.
Положительные числа считаются, по определению, рав-
равными соответствующим натуральным и дробным числам,
написанным без всякого знака перед ними, так что
+ 1 = 1, +2 = 2 и т. д.
Число нуль, обозначаемое знаком «О», занимает осо-
особое положение и не причисляется ни к отрицательным, ни
к положительным числам, хотя перед ним можно писать
или подразумевать любой из знаков + или —, так что
+ 0 = — 0 = 0.
Абсолютной величиной, или модулем, отри-
отрицательного числа называется положительное число, полу
чающееся из данного отрицательного путем перемены зна
ка — перед ним на знак -f- (который может быть, соглас-
согласно установленному выше определению, и опущен).
Абсолютная величина числа обозначается с помощью
прямых черточек. Так, I == | — 1 | есть абсолютная вели-
величина числа —1, аналогично 2 = |—2| есть абсолютная
величина числа — 2 и т. д.
8
Абсолютной величиной положительного числа (и нуля)
называется само это число (со знаком + или без этого
лчака перед ним), так что
1,2=2 (или +2), |0| = 0 и т. д.
Совокупность определенных, таким образом, положи-
положительных и отрицательных чисел и нуля объединяют под
общим названием рациональных чисел (после введе-
введения иррациональных чисел приведенные определения со-
< тветственно обобщаются и приводят к совокупности по-
>жительных и отрицательных действительных чи-
1)
Рассматривая только 0 и натуральные числа с
или иным знаком, мы придем к системе
.... -3,-2, -1, 0, +1, +2, +3...
?х целых рациональных чисел.
Числа, одинаковые по абсолютной величине, но отлича-
неся знаком, называются противоположными
> знаку), или «симметричными»; говорят, что одно из
iv получается из другого путем перемены знака
in «изменения знака на обратны й». Перемена знака
значается знаком —, поставленным перед числом, за-
-ючаемым в этом случае в скобки. Так, например,
~ (+3) =-3,-(-3) =+3 и т. д.
Иногда могут встретиться и отдельно стоящие выра-
ения со знаком -f- перед числом, например, + (—3) и
(+3). Мы установим, в качестве дополнительного опре-
1еления, что этот знак -f- можно опускать во всех таких
гучаях,так что не только + (+3) = +3, но и + (—3) =
-—3.
Часто при преподавании забывают обращать внимание-
_. чащихся на эти последние соглашения; между тем, в осо-
особенности важно помнить их при употреблении буквенных
бозначений для чисел (в уравнениях и неравенствах).
Именно, какая-либо буква, например, х, может сама по
е б е обозначать отрицательное число (скажем, х = — 1),
в этом случае «-|-#» будет обозначать отрицатель-
отрицательно е, а «—х» будет обозначать положительное чи-
¦10. Так, при х = —\ будет +* = +(—1)= — 1, в то
время, как — х = — (—1) = +1 = 1-
В частности, \а\ = а, если а—положительное число
ли нуль и а\ ~ —а, если а—отрицательное число (тогда
как раз — а, а не + а, будет положительным).
9
Примечание. В методичес. литературе распростра-
распространен термин «относительчые» чжла npi ьяемьш для ха-
характеристики всех (положительных и отриц тетьиых) как це-
целых, так и дробных рациональных чисел. Ввиду наличия при-
приведенной выше, достаточно определенной и вполне установив-
установившейся в математике терминологии, сохранение наименования
«относительное число» в качестве .специального технического
термина для целей преподавания следует считать нецелесооб-
нецелесообразным.
По меткому выражению проф. В. Л. Гончарова, на уроках
математики дети должны знакомиться с математикой и с ма-
математической терминологией, а не с методикой математики и
методической терминологией.
Второе замечание относится уже к вопросу, который нель-
нельзя считать чисто терминологическим. Введение отрицательных
чисел можно рассматривать—и что естественнее зсего—как при-
присоединение новых элементов к уже готовому запасу натураль-
натуральных чисел и дробей, которые при этом получают наименование
положительных чисел. С этой точки зрения понятия, напри-
например, о положительном числе +2 и натуральном числе 2 отожде-
отождествляются, как мы это и сделали выше. Такое отождествление
отвечает установившемуся и математике словоупотреблению и ни
к каким недоразумениям по существу привести не может. Одна-
Однако при построении новой числовой системы—положительных и
отрицательных чисел (и нуля) иногда смотрят иа дело не-
несколько иначе, именно, говорят о построении новых объек-
объектов — положительных и отрицательных чисел, для которых
вводятся новые определения и устанавливаются заново законы
действий, При такрй точке зрения приходится—во всяком слу-
случае на известной стадии построения—отличать положительное
число + 2 от натуралнюго ииолэ 2, положительное число + '/г
от дроби 1/г и т. п. Поскольку, однако, определяемые таким об-
образом «положительные числа» по всем своим свойствам совпадают
с натуральными .числами и дробями, положенными в основу по-
построения и в конечном итоге обязательно должны быть с ними
отождествлены, то различение положительных и «абсолютных»
(беззиачиых) чисел по существу бессмысленно, а в преподава-
преподавании является проявлением излишнего и даже—в сипу сказан-
сказанного выше—антинаучного педантизма.
Аналогичное замечание относится к определению абсолют-
абсолютной величины числа. Часто говорят: «абсолютной величиной чи-
числа называется это число, взятое без знака». С точки зрения
внешнего соответствия тем определениям, которые были только
что приведены, такое определение действительно передает то,
что имеется в виду. 11о если при этом стоять на точке зрении
различения чисел просто («без знака») и положительных чисел,
то под абсолютной величиной числа придется при таком опре-
определении разуметь именно «число, взятое без знака», а не соот-
соответствующее положительное число (или нуль). И здесь
такое различение представляется ненужным педантизмом, а за-
запрещение считать абсолютную величину отличного от нуля чи-
числа положительным числом, перед которым в случае на-
надобности можно поставить знак +, противоречит установившей-
10
ся в математике практике, вследствие чего и самая формули-
формулировка «число, взятое без знака» режет слух.
Последнее замечание уже непосредственно относится к ме-
методике. Вводя знаки + и — в качестве знаков, поставленных
перед числами, рассматриваемыми независимо от действий над
ними и сохраняя те же знаки для действий сложения и вычи-
вычитания, мы создаем повод для смешения «знака действия» и
«знака числа». Во избежание этого в обычном изложении при
одновременном их применении, число вместе со своим зна-
знаком заключают в скобки. Для той же цели были предложены
и более радикальные средства: помещение знака числа не перед,
а над. цифровым обозначением его абсолютной величины,
например, 5 вместо — 5 или 2 вместо + 2. Несмотря иа неко-
некоторые преимущества таких обозначений, трудно—ввиду расхож-
расхождения с общепринятым в математике знакоположением — защи-
защищать приемы этого рода и приходится мириться с обычным за-
заключением в скобки.
Вернемся теперь к характеристике приведенных опре-
лений с логической стороны. Как мы уже подчеркнули
_чале, здесь речь идет об установлении терминологии и
"начений, нужных для дальнейшего — из того, что мы
¦""вились писать знаки нида «+ 3» и «— 3» и т. п.—и на-
ать их так-то и так-то, никаких следствий, кроме тав-
гагических, очевидно, вывести нельзя. В этом смысле
~енные определения, по существу, еще не являются
ак эы содержание самого понятия «отрицательное чи-
¦¦о» и- и ' че не фиксируется. Что же еще надо сделять?
"in иметь в вид\, как это мы сейчас и делаем, отвлечен-
) арифметическую сторону дела, то полное определение
ых чисел должно заключать в себе исчерпывающие
"зания на то, как, по каким законам эти числа надле-
1т сравнивать друг с другом и с обычными нату-
.оными и дробными числами, как и по каким законам
л_ ет производить над ними действия.
Критерии сравнения чисел и правила производ-
ва над ними действий сложения и умножения
этом ни откуда не могут быть выведены и не могут
доказаны логическим путем; так как для такого
1тельства — до принятия соответствующих о п р е д е-
и и — отсутствует исходный пункт. Прежде, чем утвер-
[ъ что-либо о сложении отрицательных чисел, надо
вить, что значит «сложить два отрицательных
или отрицательное с положительным». До тех же
п а это не установлено с помощью определения,
И
понятие «суммы» для новых чисел просто лишено смысла,
и делать относящиеся к этому понятию выводы — неотку-
неоткуда. Наоборот, нижеследующие определения действия как
раз и служат основой для дальнейших выводов, в частно-
частности, для доказательства справедливости переместительного
и сочетательного законов и т. д. и' для установления
свойств обратных действий — вычитания и деления. Эти по-
последние не нуждаются в особых определениях, фиксирую-
фиксирующих способ производства этих операций, так как при по-
построении теории отрицательных чисел мы принимаем для
вычитания и деления общие для всех категорий чисел оп-
определения этих действий, как действий, обратных по отно-
отношению к сложению и умножению, т. е. полагаем
х = а — Ь, если b + х = а и у = а:Ъ, если by = a.
При построении теории естественно начать с определе
ний, фиксирующих расположение чисел по величине.
Определения. Два рациональных числа называются
равными, если они имеют один и тот же знак и если
равны их абсолютные величины (числу нуль не приписы-
приписывают определенного знака и считают, как было отмечено
выше, что -f- 0 = — 0 = 0).
Положительные числа располагаются по величине в
обычном порядке (в соответствии с определениями, приня-
принятыми в арифметике для натуральных чисел и дробей).
Отрицательные числа располагаются по
величине в порядке, обратном расположе-
расположению их по абсолютной величине, то есть, из
двух отрицательных чисел больше то, у ко-
которого абсолютная величина меньше.
Для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто говорят,
что «из двух положительных чисел больше то, у которого абсолют-
абсолютная величина больше». Сама по себе эта фраза представляет собой
тавтологию, так как положительное число и его абсолютная вели-
величина— одно и то же; в преподавании, однако, эта формулировка
применяется для противопоставления с установленным выше опре-
определением для отрицательных чисел.
Каждое положительное число считается большим нуля
(так же, как и нуль) — большим каждого из отрицатель-
ых чисел.
Мы определили здесь из двух понятий „больше" и „мень-
„меньше" только первое, принимая, что число а меньше числа Ь,
т. е. а<^Ь, если Ь, по определению, больше числа а, т. е.
если
12
Расположение чисел по величине наглядно иллюстри-
ется схемой
-4, -3, -2, -1, 0, + 1, + 2, +3, +4....,
в которой большие числа расположены правее меньших.
Из этих определений легко вывести следствия; „а = аи
i всякое число равно самому себе , ..если п = Ь, то b — а"
имметричность отношения равенства , если a = b и Ь = с,
) а = с" (транзитивность' отношения равенства: если два
шсла порознь равны третьему, то они равны м -жду собою),
-тли а<СЬ и Ь<^с, то о < с" (транзитивность отношения
.меньше"). Очевидно, что всякие два числа и и b срав-
сравнимы между собой в том смысле, что между ними долж-
"" иметь место одно и только одно, из трех соотношений
— b, a <b или а^>Ь.
Далее из определения следует, что, если а = Ь, то—
а = — b и если а<^Ь, то — л^> Ь. Таким образом,
отношение „меньше" заменяется при перемене знака у
оих чисел соотношением „больше" и наоборот.
На схеме расположения чисел п^ величине перемена
ака у числа отвечает переходу к числу, расположен-
му симметрично с ним относительно числа руль. Ясно,
>, если в этой схеме два числа а и b расположены, пер-
z левее второго, то симметричные с ними числа распо-
гаются в обратном порядке: первое — а правее второго,
Ь.
Перейдем к определениям действий.
Определения. Сложить два числа одинаковых зна-
, по определению, значит: сложить их абсолютные
тичины и поставить перед полученным числом общий
1ак слагаемых.
Сложить два числа противоположных знаков, по оп-
елению, значит: найти разность их абсолютных ве-
ин и поставить перед ней знак того из слагаемых, у
торого абсолютная величина больше.
Сложить какое-либо число с нулем, значит — оставить
число без изменения.
1 От латинского слова „переходить". Отношение равенства „пере-
г' пли „передается" от а к с через промежуточные этапы а - b и
13
Таким образом,
( + 3) + ( + 2)=+C
5 () E
) () ( j
(— 5) + (+ 2) i5—2j 3
( + 5) + (-2)=+E-2)=+3
(-5) + 0 = 0+(-5)=-5
(+l) + 0 =0+(+l)= + l
Для математика привычней в этих определениях гово-
говорить не о действии сложения, а о сумме чисел, т. е
формулировать их так: «с у м м о й двух чисел и т. д., п .
определению, называется и т. д. Мы предпочли
определения, более близкие к тексту школьных «правил»
Для положительных чисел установленные определени
приводят нас к обычной сумме (натуральных чисел ил
дробей), в полном соответствии с' соглашением, даюшиг
возможность опускать знак -f- перед числом.
Рассматривая все возможные случаи, легко убедиться'
что от прибавления положительного числа всякое число уве-
увеличивается, а от прибавления отрицательного —
уменьшается. Таким образом, при г~>0 всегда будет
а + г>а, а при г<0 будет а-'-г<а.
Далее, нетрудно доказать — в качестве теорем
справедливость переместительного и сочетательного зако-
закона для сложения, а также убедиться в том, что после вве-
введения отрицательных чисел и нуля операция вычитания
оказывается всегда выполнимой и однозначной, т. е. для
всяких двух рациональных чисел а и
можно найти одно и только одно третье
число г такое, что
Действительно, из равенства
должно следовать
Здесь через (—Ь) обозначено число, противоположи
числу b по знаку.
Согласно определению сложения
ь) = о
и, следовательно, из A) получаем
г
14
Приведенное рассуждение показывает, что число,
¦влетворяющее требованию b^-r — а, должно рав-
я т ь с я сумме числа а и числа, противоположного по
аку с числом Ь. Обозначая, в соответствии с общим
ределением вычитания, как действия, обратного сложе-
ию, число г знаком a — b (разность чисел а и Ъ), мы
¦«лучим, следовательно:
г = а — & = а + (— Ь).
Эта формула избавляет нас, таким образом, от рас-
мотрения операции вычитания как самостоятельного
^йствия — после введения отрицательных чисел вычита-
не можно рассматривать как прибавление числа,
о знаку, противоположного вычитаемому.
Поэтому результат последовательных прибавлений и
ычитаний, например,
a b-> c — d—e = a+(—b) + c + (—d) + (—e)
зывают в общем случае алгебраической суммой
сел.
В сил> соответствующих свойств сложения для таких
«м справедлив переместительный и сочетательный закон
Относительно операции „перемены знака" можно за-
гить еще, что
— (a-<-b)= — a + (-b) = — a — b
— (а — Ь) = — a-\-b = b — a
вообще,
-(а-Ь -c-d) = -a + (+b) + (-c)-\-(-d)
= — a-\-b — с -\- d,
. для того чтобы переменить знак у алгебраической
1мы, достаточно переменить знаки у всех слагаемых
лученные результаты сложить. Для доказательства
таточно рассмотреть случай двух слагаемых а и Ь.
i одновременном изменении их знаков абсолютная
ичина суммы, согласно определению сложения, не
енится, но знак суммы изменится во всех случаях на
атный.
С рассмотрением разности двух чисел можно связать
вопрос об их взаимном расположении. Именно верна
рема: а больше Ь, равно b или меньше Ь, в соответствии
тем, будет ли разность а — b положительным числом,
1ем или отрицательным числом.
15
Действительно, как мы видели выше, при г = Ь -а 0 будет Ъ=а
\-г -а, а при r=-b-a = 0 получим й = я + /- = й + 0 = я, при г = Ь—а
получим b^a + r <_ я.
Отсюда, как следствие, выводим: если а Ь (или а = Ь) и с d. то
a + c<b + d (почленное сложение неравенств). Действительно, b а-
где г -0 и d = c-. s, где s -0. так что b- d = (a + c) + (s r), где &¦ г
s *0, т. е. s + r — положительное число. Поэтому Ъ — й а- с.
Так как соотношение a — b + r при г 0 очень наглядно пере,
смысл неравенства а <-Ь и позволяет сравнительно просто и единои
разно устанавливать свойства неравенств, то в элементарных учебн
ках обычно принимают (и это вполне целесообразно) указанное соо
ношение за определение неравенства а>Ь. Однако при этом прнчо
дится определения понятий „больше" и „меньше" ставить в завпси
мость от определения действий, в чем прямой необходимости, как мы
видели, нет.
Перейдем к операции умножения.
Определение. Для умножения на положительное чис-
число сохраняются те же определения, которые установлены
для натуральных чисел и дробей.
Именно произведение числа (положительного, отри-
отрицательного или нуля) а на натуральное число k есть, по
определению, сумма k слагаемых, каждое из которых
равно а
а ¦ k = а -,- а . . . . -a (k слагаемых);
так,
( 5)-( 3) = (-5)+(-5) +(-5)= -15.
Для k = 1 полагаем а ¦ 1 = а.
Произведение а на — , где п — натуральное число,
есть, по определению, — -ая часть а, то есть' такое чис-
число, взяв которое п раз слагаемым, мы получим а.
Так (—12) ( + -q~)z —^' потому что
_12 = (-4)-T-(-4)-i (-4).
Произведение а на - , где тип — натуральные чис-
числа, есть, по определению, сумма т слагаемых, каждо
из которых равно— части а.
Так
(-15) .(+-2-)-(_15) 4 + (--15) -L
= (-5)+ (-5) = -10.
Новым является только
16
Определение. Умножить какое либо число а на отри-
ательное число 6= — р (здесь Р = |&|) значит, по опреде-
ению, умножить а на абсолютную величину' числа Ъ и
в результате переменить знак, так что
а • b = а • (— р) = — сщ.
Всякое число при умножении на нуль дает, по определе-
определению, в произведении нуль, т. е. а • 0 = 0.
Так
( + 3) .(_5)=-[( + 3) -5] = -15
(-3) .(_5)=-[(-3) -5] = -(-15)=+ 15
( + 3) - 0 = 0; (-3) -0 = 0.
Поэтому можно было бы принять в качестве определения умно
ения для сомножителей любых знаков правило, согласно которому
ри перемножении двух чисел а и b перемножаются их абсолютные
величины и полученное произведение снабжается знаком +,еслиа и b
меют одинаковые знаки и знаком —, если разные. При этом необхо-
мо было бы отметить, что в случае, когда множитель — положительное
пело, это определение оказывается согласованным с принятым ранее
я натуральных и дробных чисел.
Как следствие из принятого определения вытекает, что
ри изменении знака у одного (любого) из со-
ножителей произведение меняет знак. Да-
. е, чрезвычайно важное значение (в особенности при ре-
енин уравнений) имеет следующее следствие: п р о и з в е-
ение двух (или нескольких) чисел равно нулю
огда и только тогда, когда один из сомно-
ителей равен нулю. В противном случае, произве-
ние нескольких сомножителей имеет знак +, если в не-
невходит четное, и знак —, если входит нечетное число
гр щавельных сомножителей.
Умножение какого-либо числа на (—1) сводится к пере-
•\е знака этого числа. (—1) = + 1, если п четное и
— 1, если п — нечетное. Англичане пишут даже вместо
\)ппросто (—)п. Непосредственно, очевидно, соблюде-
переместительного закона умножения: ab всегда равно
Сочетательный закон (ab)c = a (be) также доказывается
i труда — абсолютные величины и знаки обеих частей
санного равенства одинаковы при любых значениях
и с. Верен и распределительный закон
(а + Ь) с = ас + be. (*)
В Арнольд 17
Именно, в силу распределительного закона умножения положитель-
положительных чисел мы будем иметь (а + р)-у = a-j + fi-y ... A), если а, р и -у -
положительные числа и (а — р)-( = а7 — р-у • • -B). если а > fi з О и 7*
Используя сделанное выше замечание об изменении знака произведе-
произведения, мы можем к этим случаям свести все формы осуществления ра-
равенства (*) при любых значениях букв. Так, если, например,
а = —а, Ь~— р, с-—7,
то, по определению,
(а + Ь)с= -(а + Р) (—у) = (а + р)Т -arj + р7.
Но и
ас + 6с=(-а)(—у)+ (—р)(-7) = a-j + p-y.
Аналогично, если а = а, 6 = —р и а*-р, то при с = ±7
получим
(а + 6)с - (а-Р)( + 7) = н (а_рO = ± а7 + р7.
Но и
ас + 6с - а ( 1 -у) + (—Р)( ± 7) = + cry ± р-у и Т. Д.
Поэтому, рассматривая операцию перемены знака чис-
числа, как умножение на (—1), а знак — а, как сокращенное
обозначение произведения (—1) а, мы можем правило рас-
раскрытия скобок
— (а—Ь+с—... + /)= — а + Ь—с +...—1
трактовать как частный случай распределительного зако
на умножения.
Так как по самому определению умножение есть дей
ствие однозначное, то очевидно, что из а = Ь и c = d еле
дует ac = bd и, в частности, из а = Ь следует ac = bc (pa
венства можно почленно перемножать, обе части равенст
ва можно умножить на одно и то же число). Если ж*
а<Ь и c<d, то отсюда нельзя сделать заключения, чт<_
ас : bd.
Действительно положим Ь = а+р, где р>0 и d = c + q, гдед>0.
Мы получим
bd
Сумма fc + aq +fq будет наверно не отрицательной, если а>0 и О 0 ям
а>0 и с>0. В остальных случаях никакого определенного заключени
сделать нельзя, если исходить только из знания того, что а<Ъ и с (/
Так, например,
-1<2 и —3<1, ио (— 1). (—3)>2. 1,
-4<— 2 и 2<5, но (—4). 2>(—2) 5.
С другой стороны
—1<2 и —3<5 и (-1). (—3) <2 • 5.
—4<—2 и 2<3 и (—4). 2<(—2) -3. и т. п
Именно поэтому такого рода „почленное перемноже
ние" (и, конечно, также и деление) неравенств, члены ко
18
ых имеют отрицательные знаки, никогда не применяет-
я. В противоположность этому очень часто приходится
6а члена неравенства а^Ь умножать на одно и то же
число с. Здесь из равенства Ь = а + р, где р>0, получим
Ъс-ас-рс, причем рс>0, если с>0 и рс<0, если с<0.
Следовательно, при с>0 из а< b следует ас<Ьс, а при
с 0 изй<.й следует ас:- be (при умножении на отрицатель-
отрицательное число знак неравенства изменяется на противополож-
противоположный).
Действие деления, определяемое как действие, обрат-
обратное умножению, сводится к делению абсолютных вели-
величин чисел с тем же правилом знаков, что и для произ-
произведения.
Действительно, если а иЬфО имеют одинаковые знаки,
то неотрицательное число Цр, будучи умножено на Ь,
1ает в произведении число а по величине и но знаку,так
что а:Ь = ^г- Если же а и b — противоположных знаков,
— ' - -Ь=--а, так что а-Ь = — р-. В частности, при афО
а -а л , , а — Ь .
¦дет — = — = — 1, а при афЬ будет ^г^= ~~ *•
Действие деления на нуль исключается из рассмотре-
1ия, так как символу— при афО нельзя приписать ника-
го чисювого значения, а символу-^- можно было бы
» смыслу действия деления, приписать любое числовое
чение, что могло бы привести, в случае включения этого
•вола в систему чисел, к различного рода недоразуме-
ям и ошибкам.
Нельзя также и делить обе части равенства на нуль,
е. при с?=0 из равенства ad=bd нельзя заключать, что
ft; например, 1.0 = 2.0, но 1^2. Таким образом, вклю-
> символы, содержащие в знаменателе нуль, в вычис-
ня наравне с числами — нельзя.
"помянутое выше свойство произведения обращаться
.ль только при обращении в нуль одного из сомножи-
и равносильно со свойством однозначности дейст-
[еления (на число, отличное от нуля) или, что то же,
авом почленного деления равенств на число, отлич-
г нуля. Действительно, если ас = Ьс, то (а — Ь)с = О
.. этому, при сфО непременно а — Ь = 0, то есть, а = Ь
19
(иными словами, деля число N=ac = bc на сфО мы не
можем получить двух различных частных: аи Ъфа).
Формальные свойства операции деления можно свести
к соответствующим свойствам умножения, так как деле-
деление на Ъ можно рассматривать как умножение на-г-.
Б частности, при почленном делении обеих частей
неравенства на отрицательное число 0, знак нера-
неравенства изменяется на противоположный.
Отметим еще, что при ЬфО и ^фО из b<bt следует— > —., если
b b
i
Ъ и Ъ\ — одного знака и следует — < —, если Ъ и fct — разных зна-
b bi
ков, как это сразу видно из тождества — — = 1 ~ .
b bx bb1
Этим по существу и исчерпывается формальная сторо-
сторона дела. Можно строить теорию и иначе, но мы намерен-
намеренно придерживались определений, возможно более близких
к тем, которые обычно помещаются в учебной литературе.
Из других вариантов изложения упомянем только о теории пар,
о которой мы скажем несколько слов ниже (стр. 25—26) и о теории,
в которой в основу кладется вводимое сверх числа 0 основное отри-
отрицательное число — 1 (отрицательная единица), подчиняемое правилам
действий
+ 1+(-1)-0. ( + 1) (-1) — 1, (-1) (-1)-+1 .(*)
Вводя далее обозначения—2, — 3,. . . и т. д. для сумм (— 1) -t-
+ (—1)-2 - ( —1), (— 1+( — 1) + (— 1)-3 ¦ ( — 1) и условившись
при сложении и перемножении чисел вида а (±1) иЬ (±1) применять
сочетательный и переместительный законы для того, чтобы ввести в
действие правила (*). мы придем в итоге к той же системе определе-
определений, что и выше. Совокупность положительных и отрицательных (здесь
пока только целых) чисел можно, таким образом, рассматривать, как
систему чисел вида
с «двумя единицами», комбинирующимися друг с другом по законаи
(*). Это по форме аналогично введению комплексных чисел с по-
помощью присоединения мнимой единицы L
§ 3. МОТИВИРОВКА ОПРЕДЕЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРИНЦИПА ПЕРМАНЕНТНОСТИ
Вернемся к поставленному в § 1 вопросу. Если придер-
придерживаться узко формальной точки зрения, то можно, ко-
конечно, при построении теории отвести всякие вопросы, тре-
требующие разъяснения принятых определений. Так, на во-
вопрос: «Что такое отрицательные числа?» можно ответить:
20
»то—объекты, которые могут входить наравне со знако-
знакомыми нам натуральными числами и дробями в любые вы-
выявления на основе принятых (§ 2) определений. Совокуп-
Совокупность этих последних, т. с. принятые нами условия, уста-
устанавливающие отношения равенства и неравенства и дей-
действия сложения и умножения для отрицательных чисел ис-
исчерпывающим образом определяют эти последние.
Вполне законно пожелать дать отрицательным числам полное
формальное определение (не сводящееся к простому обо-
обозначению, как на стр. 8). Соединивши все принятые условия в од-
одно, можно сформулировать такое определение следующим образом:
«(.трицательньши числами называются объекты, обозначаемые так-то
дтя которых равенство и неравенство определяется так-то и так-то,
а действия сложения и умножения так-то и так-то». Название «чи-
«числа» оправдывается при этом тем, что над этими объектами можно
гроизводить действия и сравнивать их между собою по формаль-
формальным законам, являющимся обобщением тех, которые имеют ме-
место для натуральных чисел и дробей с натуральным числителем и
знаменателем. В силу этого после присоединения отрицательных
чисел и нуля можно говорить о новой числовой области всех р а-
циональных чисел. В ней, в отличие от области положитель-
положительных чисел, операция вычитания всегда выполнима,
так что в буквенной записи символ разности а—b всегда имеет
смысл, каковы бы ни были а и Ь.
Предположим, что кто-нибудь этим ответом не удовлетворится
и заинтересуется тем, почему же, с какой стати отрица-
отрицательные числа сравниваются именно по таким-то законам, склады-
складываются по таким-то законам. Ответ может оказаться таким.
«Вопрос излишен и даже бессодержателен. Мы именно и на-
называем отрицательными числами объекты, которые подчинены ука-
указанным законам. Объекты, подчиняющиеся иным законам, мы не
называем числами, а если и называем, то это будут другие числа,
ну, там, комплексные или еще какие-нибудь. Почему мы принимаем
вот те определения и называем удовлетворяющие им объекты осо-
особым именем и интересуемся этими объектами, вводим нх в вычи-
вычисления? Так нам угодно. Если Вам неугодно, не делайте этого — то-
тогда нам с Вами не по дороге, у нас будет своя арифметика и ал-
алгебра, с отрицательными числами, а Вы—как хотите. Сейчас, ведь,
идет речь о формальном построении теории. Для нас достаточно
того, что принятые нами определения не содержат противоречий и
полностью определяют законы действий над новыми объектами.
Если Вас интересует история вопроса, происхождение этих опреде-
ений — займитесь этим, это особая статья, не имеющая прямого
отношения к делу. Если же Вас интересуют, какие проистекают по-
последствия — изучайте вместе с нами алгебру, и Вы усидите, что от-
отрицательные числа полезны: с их помощью упрощаются многие вы-
вычисления и решаются важные задачи».
Если точку зрения, с которой здесь даны „ответы, возвести в
философский принцип, то мы придем к системе, известной под на-
занием «конвенционализма» (конвенция—условие, соглашение). Для
нас же было здесь существенно лишь подчеркнуть формально-логи-
21
ческую сторону вопроса, которая действительно очень рельефно вы-
выступает при такой трактовке.
Остающееся и после приведенных ответов чувство неудовлетворен-
неудовлетворенности в достаточной мере свидетельствует об узости этой концепции—
отказ от дальнейшего исследования как раз и характерен для идеа-
идеалистических философских установок в области методологии математики
и поэтому для нас неприемлем.
В более детальное рассмотрение относящихся сюда философских
вопросов мы здесь входить не можем и позволим себе отослать инте-
интересующегося ими читателя к специальной литературе.
Но постараемся выяснить, почему принимаются
именно такие, а не другие определения и зачем это де-
делается, то есть попытаемся подробнее мотивировать
принятие этих определений.
Такую мотивировку можно дать, не выходя за преде-
пределы арифметической постановки вопроса, т. е. упоминая
только о числах и их свойствах.
Это делается обычно так. Говорят: в области положи-
положительных чисел операция вычитания не всегда выполнима.
В буквенной записи с — Ь приходится всегда подразуме-
подразумевать оговорку, что а>Ь. Уравнение типа х + Ь = а имеет
решение не всегда, а только тогда, когда а>Ь. Так вот,
это неудобно. Для того чтобы вычитание сделать
всегда выполнимым, т. е. для того, чтобы уравне-
уравнения типа. х + Ь = а всегда имели решения, мы и вводим
нуль и отрицательные числа, стремясь при этом сохранить
те формальные законы действий, которые нам известны в
системе обыкновенных (положительных) чисел. Вот из
этой цели и этого стремления и вытекает необходимость
принять именно те определения, которые мы привели в
§ 2. Эту необходимость можно обнаружить путем логи-
логического рассуждения, но только нельзя принимать эти
рассуждения за доказательство определении —определения,
по самому своему смыслу, доказательству не подлежат.
Именно рассмотрим уравнение х + Ь = а. Введем при
а<Ь новое число f в качестве решения этого уравнения,
т. е. положим -\-\-b = d. Посмотрим, не будет ли то же
самое Y решением еще других аналогичных уравнений.
Пусть еще -\ + d=c. Так как мы собираемся сохранить од-
однозначность действия сложения, то, складывая написан-
написанные равенства крест на крест, получим (т + Ь) + с = а + (ч + с1).
Из условия сохранения сочетательного и переместитель-
ного закона должно следовать, далее ^ + {b + c) = ^+(d+a).
Если мы желаем сохранить и монотонность действия
сложения (увеличение суммы при увеличении одного из
22
гаемых), то отсюда необходимо будет следовать, что
с должно равняться d+c или, что то же, Ъ — a = d — сз
гими словами, одно и то же f должно отве.
ать всем тем парам чисел а, Ь, для которых
азность г = Ь — а имеет одно и то же значе-
и е. Число ч, таким образом, вполне определяется этой
j3HOCTbio. Назовем ее абсолютной величиной чис-
а 1 и введем (при Ь^а) обозначение i = (— r) = a — Ь.
Равенство Ъ + ( — г) = а, стало быть, равносильно равенству
Ь
В случае же Ь = а введем обозначение f = 0. Нуль, „О"
есть, следовательно, число, вводимое в качестве разности
чвух любых, равных между собой чисел, т. е. число,
определяемое соотношением b + O = b при любом Ъ.
Точка зрения, с которой мы здесь подходим к отри-
отрицательным числам, может быть образно охарактеризована
так: отрицательное число (—г) вводится в вычисления с
таким расчетом, чтобы в сумме оно уничтожало
г положительных единиц;еслиЬ = а + г,тоЬ + (—г) =
= а + г + (— г) = а.
Если потребовать при этом выполнения сочетательного
н переместительного законов сложения, то из только что
указанного расчета вытекает, очевидно, необходимость
принять при сложении положительных и отрицательных
чисел определения стр. 13—14.
(—r) + (—s)= —(r + s); +r + (— s) = r — s при r>s;
+ r + (— s) = — (s — г) при s<r и ( + /¦) + ( —г) = 0.
Более подробно это выясняется следующим образом.
Пусть Ь + а = а и d + $ = c; тогда из условия сохранения
формальных свойств действия сложения получим b + d-\-
-а + Р = о + с и, следовательно, а + р = (а + с)~{b-\- d).
В этой формуле правая часть обозначает положитель-
ое число при a + ob + d и отрицательное число или нуль
ри a + cKb + d. В ней, как легко убедиться, заключены все
1учаи, перечисленные в определении стр. 13. Действительно,
1иа = р— г и р = —s получим b = a + r и d=c + s, так что
- (а + с)] = — (»"+*)•
23
При
а = г и р= —s и r>s
получим
а = Ь + г и c = d—s,
так что
a + p = r + (— s) = (а + с) — (b + d) = b + r + d— s—&— rf=r—s,
а при
r<s из b = a — r и d=
получим
p ()
p () [ )( )]
= —[a — r + c—s—a—c] = — (s — r).
При r=s придем к необходимости положить
a+P=r+(— r) = 0.
Заметим Сэто нам позже понадобится), что требование
равенства абсолютных величин а и if при различии знаков
есть необходимое условие равенства:
Подчеркнем смысл приведенных рассуждений: ими до-
доказывается, что требование сохранения для сложения ие-
реместительного и сочетательного законов и закона моно-
монотонности приводит нас к необходимости принять при вве-
введении новых чисел указанные определения действия сло-
сложения.
Перейдем к умножению. Если распределительный за-
закон умножения по отношению к сложению должен сох-
сохраниться, то прежде всего (так как а—а = 0),
О ¦ y = (g — a) f = af—- flf = O.
Теперь из равенства г+(—г) = 0 будет следовать на
основании того же требования сохранения распределитель-
распределительного закона:
rf + (— r) y=0 Tf = 0 при всяком f.
Согласно сделанному выше замечанию о равенстве а + р = О,
заключаем отсюда, что определение умножения должно
быть сформулировано так, чтобы было
(—г)т=-п,
т. е. при перемене знака у одного из сомножителей (в силу
переместительного закона, который мы также стремимся
сохранить — все равно у какого) — произведение должно из-
изменить знак. Оставляя для положительных чисел обычное
24
ножение (+r)( + s) = rs получим (— r)( + s) = (+ r) (— s) =
— rs и (— r) (— s) = — (— rs) = rs.
Умножение на натуральное число s при этом сохраняет,
к раз в силу распределительного закона, обычный
ысл образования суммы s слагаемых,' равных множи-
¦чу:
(-/¦) + (- г)+ +(-/¦) = (-/¦) s=-rs.
Формальные требования, наложенные на число нуль и
на отрицательные числа, как на корни уравнений типа
-Ь = а, при Ь -а не определяют еще расположения чисел
о величине; однако, замечая, что для положитель-
ых чисел а и Ъ разность а — Ъ равна положительному
челу, если а>Ь, нулю, если а = Ь, и отрицательному чис-
у, если а<Ь, естественно распространить эти положения,
в качестве определений, и на случай, когда а и Ъ — числа
юбых знаков. Таким образом, найдем, что нуль меньше
юбого положительного и больше любого отрицательного
числа, отрицательные числа меньше всех положительных
тем меньше, чем их абсолютная величина больше, в
согласии с определением (стр. 12).
Изложенная здесь мотивировка определения опирается
в основном на стремление сохранить при введении
новых чисел те формальные законы действий,
которые имели место в прежней числовой системе и пото-
потому известна под названием «принципа перманент-
перманентности (сохранения, постоянства) формальных за-
законов» (Ганкеля).
Этот принцип может служить для той же цели и при введении
робных, мнимых и — в известной мере — иррациональных чисел. Для
учая отрицательных чисел ему часто придается несколько отличная
¦ принятой нами, но равносильная ей по существу формулировка.
уенно, вместо того, чтобы исходить из свойств операции сложения,
ак мы это сделали выше, исходят из формальных свойств операции
ычитания и говорят так. Мы вводим символ разности а и Ъ для
>чая, когда эта разность не существует в области положительных
исел и производим над ним действия по формальным законам, кото-
м подчиняется разность положительных чисел в тех случаях, когда
а существует. Так, мы положим
а — 6=с — d, если а + d=b + с
(a — b) + (c — d)^(a + c) — (b + d)
(а — b) • (с — d) = ac + bd — (be + ad).
25-
При этой форме изложения трудно проследить за тем, в како>
смысле применяется знак (—): как составная часть нового символ
или как знак вычитания. Поэтому здесь предпочитают новые числ
вводить в форме пар положительных чисел (a, ft), избегая до nopL
до времени писать знак „—" между числами а и Ь. Число нуль буде!
представлено парами равных чисел (а, а). (Ь. Ь), . . . , число ( — 1)
парами вида (г, г+\) и т. д. Отметим, в качестве одного из формаль
ных преимуществ такой теории, отсутствие необходимости в словесных
объяснениях при производстве действий: так, сложение пар (я, 6),
(b, d) всегда можно произвести, написав пару (а + с, b + d) и ничего
не упоминая о взаимоотношении между абсолютными величинами.
Изложенное еще нельзя считать исчерпывающим отве
том на поставленный вопрос.
Действительно, и сейчас мы вправе спросить: хорошо,
а зачем же нужно стремиться к тому, чтобы уравнения
типа х -J- Ь = о были всегда разрешимы? Зачем понадоби-
понадобилось, чтобы операция вычитания была всегда выполнима?
На этот вопрос также можно дать до некоторой степе-
степени убедительный ответ, не выходя за пределы самой алге-
алгебры—ответ, уже по причине этого последнего ограничения,
конечно, не охватывающий всей ситуации в целом.
Именно, прежде всего совершенно очевидны преимуще
€тва, которые проистекают в отношении буквенного исчи
сления (и некоторых частных случаев в производстве и
арифметических действий) от введения отрицательных чи-i
сел. Мы всегда можем оперировать теперь с символом а—Ъ
не оговаривая, что а должно быть больше Ъ. Операция
вычитания включается, как частный случай прибавления
числа противоположного знака в операцию сложения, с
единой для всех случаев формулировкой распределитель-
распределительного закона и т. д. Если даже стать на ту точку зрения
что знак а—Ъ при а<^о сам по себе «не имеет реально
го смысла», то применение его в промежуточных вычнсле
ниях может подчас оказаться весьма полезным и, во вся
ком случае, развязывает нам руки в цепи последователь
ных сложений и вычитаний. Так, можно написать 15+3
—6-J-2—4=15—3—2=15—5=10, вместо того, чтобы про
изводить действия по порядку, и если промежуточные ре
зультаты «—3» и «—2» признавать «не имеющими смы
ела», то начальная и конечная часть формулы имею,
смысл и выведенное равенство между ними — верно. Вво
димые по таким соображениям «идеальные» объекты мо
гут играть роль катализаторов в математических «реак-
«реакциях», и применение их впилне законно.
26
С еще большей рельефностью такая роль отрицатель-
х чисел проявляется при решении уравнений. Изве-
ые правила о перенесении членов из одной части ра-
нгтва в другую с обратным знаком и т. д. выражают
ошения между компонентами действий и могут быть
-ведены и независимо от введения отрицательных чисел,
только с оговоркой—если левая и правая части имеют
ысл, т. е., если все вычитания выполнимы. Однако эта
эворка стеснительна — решая уравнение, мы можем не
ать заранее, выполнимо ли или нет то или иное дей-
11 е, и если оно окажется, после подстановки найденных
чений неизвестных, невыполнимым в области положи-
ьных чисел, то это—без введения отрицательных чисел—
ынуждало бы нас отвергнуть выбранный метод преобра-
вания и усомниться в полученном результате, в чем дей-
гвительной надобности (это и обнаруживается путем по-
троения теории отрицательных чисел) нет.
Приведем пример. Пусть какая-либо задача привела
с к уравнению
B + Зх) - 4 = 2A +х) - 3
аскрывая скобки, получим
2+Зл;-4 = ()
тбрасывая слагаемое 2 в обеих частях, найдем
Зх— 4 = 2х - 3 (••)
, далее,
Зх~ 2л: = 4— 3, л = 1.
Но подставляя это значение х в уравнение (**), полу-
нм
3-4 = 2-3,
-есть, равенство, обе части которого не имеют смысла
области положительных .чисел. Исходное уравнение,
шако, удовлетворяется при х=1, именно, мы получим
венство B + 3) — 4 = 2 • 2 — З.обе части которого равны 1.
ми не вводить отрицательных чисел, то при переходе
(*) к (**) мы должны были бы сказать; вычитаем из
^их частей равенства по 2, что выполнимо при условии
Зх — 4^-2. Проверяя это условие законности преобра-
эния для х=\, мы нашли бы 2 + 3 —4=1 <2 и, следо-
льно, не могли бы решать уравнение указанным пу-
ы и должны были бы искать другого способа. Но и это
27
было бы не так-то просто. Например, написать вместо (*
уравнение 4 — Зх — 2 = 3 — 2х — 2 тоже нельзя было бь
так как, если обе части (*) имеют смысл, то обе част
нового уравнения наверно не имели бы смысла, хот
получаемое отсюда прибавлением 2 уравнение 4— Зх
= 3 —2л; вновь имеет смысл при х=1 (в области поло
жительных чисел).
Трудно даже вообразить, сколько добавочных огозо
рок — рогаток на пути производства самых обычных преоб-
преобразований—возникло бы при отсутствии отрицательных чи-
чисел. Неудивительно, что эти числа при < о д и г с я вво-
вводить в самом начале курса алгебры. Такого рода аргумента
ция может быть соэ1щст лчащимся в лучшем случае
форме обещания — «подождите, увидите».
Надо, впрочем, отметить, что в ряде современных учеб-
учебников алгебры (английских и американских) отрицатель-
отрицательные числа вводятся сравнительно поздно — тогда, когда
учащиеся уже ознакомились не только с основами бук-
буквенного исчисления, но и с решением уравнений простей-
простейшего типа и с применением координатной сетки для иллю-
иллюстрации числовых соотношений.
Нам кажется, однако, что ознакомление с понятием от-
отрицательного числа и законами действий над ними целе-
целесообразнее вести в возможно тесной связи со знакомым
учащимся арифметическим материалом и притом по воз-
возможности раньше (см. § 6).
§ 4. МОТИВИРОВКА ОПРЕДЕЛЕНИИ В ПРАКТИКЕ
ПРЕПОДАВАНИЯ
Совершенно очевидно, что изложенный в § 3 ответ на
яоставленный на стр. 22 вопрос не может служить целям
яреподавания — в лучшем случае с ним можно рассчиты-
рассчитывать ознакомить учащихся в старших классах.
В поисках возможно более близкого к знакомому уча-
учащимся арифметическому материалу разъяснения правил
действий над отрицательными числами неоднократно дела-
делались попытки частично использовать указанный ход рас-
рассуждения. Здесь, однако, то, что может претендовать лишь
ча роль мотивировки определения, воспринимается обыч-
обычно учащимися, как «доказательство правил» сложения в
умножения отрицательных чисел.
28
Сюда относится, прежде всего, подход к объяснению
ого знака отрицательного числа и объяснению действий
жения чисел разных знаков на основе истолкования
ча(— r), как „вычитаемого", оторванного, однако, отсоот-
ствующего „уменьшаемого", которое может сначала
хразумеваться, а потом и совсем перестает упоминаться.
'jtom смысле равенство — r + s = —(г — s) при r>s оз-
чает, что если нужно было вычесть г, а потом приба-
ь s < г, то останется еще вычесть г — s, а равенство
r + s = +(s—г) при s>r означает: „еслинужно быловы-
сть г, а потом прибавить s, то вместо этого можно
¦ибавить s — г". Аналогично — г — s = — (r + s) толкует-
, как запись того, что два последовательных вычитания
авносильны вычитанию суммы г + s и т. п. Не подлежит
мнению, что такой подход к вопросу частично помо-
ает учащимся приобрести нужные навыки в обращении
числами разных знаков на чисто арифметической ос-
ове. Однако здесь, с одной стороны, остается в тени
ведение отрицательных чисел, как самостоятельных объ-
ктов (для характеристики значений величин) и с другой
стороны, методологическая путаница сказывается уже и в
бозначениях: неясно, почему пишется, например, ( —г) +
( — s) вместо — г — s, и действие называется „сложением",
то время, как речь идет о последовательно произведен-
ых вычитаниях. Несмотря на все это, простота схемы за-
1уживает внимания с методической точки зрения и мы
иже (§ 6) попытаемся отвести ей соответственное место
преподавании.
Видоизменением того же приема является пояснение, при котором
— п воспринимается, как число, в качестве слагаемого „уничтожа-
-Цее" в сумме г положительных единиц. Это ближе к изложенной
_у 3 формальной мотивировке и хотя для закрепления правил дей-
вий такое пояснение — именно в качестве такового — и может счи-
ться полезным, все же и здесь отрицательные числа лишаются, так
азать, самостоятельного существования, и фигурируют только в ка-
¦ тве „слагаемых".
То же отождествление знака числа и знака действия,
котором мы только что говорили., может быть использо-
но и для установления определения умножения. Именно,
ходя из тождества
— b) (c — d)=(a — b)c — (а — b) d = ac — be — (ab — bd) =
= ас — be — ad л- bd,
водимогоэлементарным путем из основных свойств дей-
ий- и рассматривая правую часть, как сумму произведе-
29
ний чисел а, Ь, с к d с теми знаками, с которыми
они входят в левую часть, получим
0 + ( + () ;
Здесь, по существу, дело сводится к требованию со-
сохранения (перманентности) распределительного закона, но
рассуждения неизменно производят на учащихся впечат-
впечатление доказательства. За таковое они и выдавались в свое
время в некоторых учебниках так же, как и соответствую-
соответствующая геометрическая интерпретация на чертеже:
Здесь площадь незаштри-
ХХ?////У///////У//УШ&ШШ хованного прямоугольника,
Vй ШШ/^Ш/"ЩШш Равная (a~b) (c — d), равна
I | 'У7/уУу/л//ууу/,//?^^^^^ площади ас без площадей
с f ЩШШ заштрихованных прямоуголь-
i_d t §sn\snss^ ников и be, но с поправкой:
I | ^ШШ^ построенный на „отрицатель-
t-i . ^X^X^j ных" отрезках — b и —с?прямо-
~ а~ь—Л.— ь—- угольник bd нужно приба-
прибавить, так как он был вычтен
Че т j дважды: и как часть прямо-
р ' угольника ad и как часть пря-
прямоугольника be.
Чаще расчленяют определение умножения и, сохраняя
для положительного множителя обычный смысл действия
умножения, пишут (—5) (+3) = (—5)-f (—5)+(—5)=—15.
Определение -(+3) (—5)=—15 мотивируется стремлением
сохранить переместительныи закон. Однако для определения
(—5) (—3)=+15 основания приходится искать попрежне-
му в распределительном законе. Убедительной для уча-
учащихся представляется здесь аргументация, по форме напо-
напоминающая принцип перманентности: при умножении поло-
положительного числа на отрицательный множитель, надо ум-
умножить множимое на абсолютную величину множителя и
у результата изменить знак. Применяя то же прави-
правило к умножению отрицательного числа на отрицательное,
придем к формуле
(-5) (-3)=-(-5) 3 = -(-15)=+15.
Так, мы читаем в учебнике начала XIX века: «Началь-
«Начальные Основания Алгебры, извлеченные из Оснований сея
Науки знаменитого Эйлера и ныне вновь изданные от
главного Правления Училищ» A810 г.):
30
„Остается рассмотреть, какой знак будет иметь произ-
тение количества —а, умноженного на —Ъ. Во-первых,
естно, что произведение относительно букв будет ab\
поставить ли перед сим произведением знак + или знак—г
том сказать еще ничего не можно, известно только то,
о одному которому-нибудь тут быть должно, поелику
е числа суть либо положительные, либо отрицательные.
о сей знак не может быть — , потому что —а, умножен-
ое на -|- Ь-, дает—аЪ\ нельзя также, чтобы—а, умножен-
ое на — Ъ, давало то же следствие какое дает —а, умно-
енное на+fc; но должно дать противное, т. е. + о&".
Воспринимаемое, как доказательство, это рассуждение
совершенно замаскировывает наличие нового определения
отвечает наивной точке зрения на отрицательные числа
и законы действий над ними, как на нечто, предустанов-
предустановленное свыше и не зависящее от творческой деятельности
человека.
Для того чтобы примирить начинающего с парадо-
^ сальным для него соотношением, и этот простой прием хо-
чош, но мы вынуждены искать других путей и — во всяком
•лучае—'другой формы применения этого приема: методо-
методологическая путаница в этом вопросе и прямой обман уча-
учащихся при преподавании математики в наше время могут
создать предпосылку непонимания учащимися самих ос-
1 ев математического метода, за что многим из них при-
¦чось бы серьезно расплачиваться в дальнейшем.
Несколько лучше в этом отношении применение общего
определения умножения Коши (Ньютона): «произведение
бразуется из множимого так, как множитель образован
из положительной единицы». Полагая —3=—A+1 + 1) по-
получим, следуя этому определению:
(+5) (-3) = - E+5+5) = -15
(-5), (-3) = [(-5) + (-5) 4- (-5)] = -15 = +15
Против определения Коши неизменно выдвигалось воз-
ряжение, заключающееся в том, что смысл слов «образо-
ан из» недостаточно определен. Что означает «образовать
(—3) из (+1)»? И как это вообще возможно? Если пред-
тзвлять себе дело столь же конкретно, как это обстоит
случае образования числа +3 из трех единиц, то здесь
¦•азу же возникает недоумение: как это можно «образовать»
тпнцательное число «из» положительной единицы? Если
речь идет о формальных способах получения числа
31
(—3) из числа +1, то, может быть, это надо делать так:
—3=1 -1 -1 • — A + 1 + 1 + 1)? Проделывая те же дей-
действия над числом +5, мы получим 5 • 5 • 5—E+5+5+5) =
=125—20=105, а не (—15). Но если дополнить определе-
определение, сказав, что множитель (—3) считается образованным
из +1 так, что берется сумма трех единиц с обратным
знаком, то определение приобретает содержание, о ко-
котором мы будем говорить ниже в § 7. Здесь можно заме-
заметить, что эта поправка делает различие между «общим»
определением и данной выше формулировкой: «умножить
на —3 значит умножить на 3 и в полученном результате
изменить знак» уже совершенно иллюзорным.
Иногда прибегают еще к словесному обороту речи, кос-
косвенным образом отражающему перманентность- ресггреде-
лительного закона и воспринимаемому учащимися, как не-
нечто в достаточной мере естественное: умножить на (+3)
значит взять слагаемым 3 раза, а умножить на (—3) зна-
значит «взять вычитаемым» 3 раза. Недостаток такой форму-
формулировки заключается в том, что здесь опять теряется са-
самостоятельность отрицательных чисел. Написав равенство
(+5) (—3) = —15, приходится при этом истолковании
подразумевать, что откуда-то придется вычитать 15, что не
отвечает тому смыслу, который отрицательные числа имеют
в большинстве приложений.
Резюмируя, мы можем сказать следующее: формаль-
формальная мотивировка определений в строгом изложении
недоступна учащимся на той ступени их развития,
когда вводятся отрицательные числа; ее популярные ва-
варианты таят в себе ряд опасностей неправильного их вос-
восприятия учащимися — если эти варианты и можно частич-
частично использовать в преподавании, то лишь после тщатель-
тщательного обсуждения той формы, в которую они должны был
облечены и того места в преподавании, которое им еле
дует отвести (см. § 6 и 7).
§ 5. КОНКРЕТНЫЙ СМЫСЛ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В конце § 3 мы привели, основания, которые —¦ во вся
ком случае частично — оправдывают введение отрицатель-
отрицательных чисел с точки зрения внутренних, так сказать, целе
и потребностей алгебры. При этом остается неясным, м -
жно ли тут говорить о равноправности новой категори
чисел с прежними, хотя бы с точки зрения приложений -
32
гения различного рода величин и соотношений между
v. Не получится ли, быть может и не бесполезная, игра
определенным правилам с символами, которые сами по
е не имеют никакого отношения к действительности;
1Ь «не может же существовать ничего, что было бы мень-
, чем ничто — отсутствие величины».
Совершенно очевидно, что для понимания смысла и
пчения отрицательных чисел выяснение этой стороны дела
еет неизмеримо более важное значение, чем проведен-
й выше формальный анализ. Те конкретные примеры
(¦ложений отрицательных чисел, которые при этом при-
дится иметь в виду, обычно и используются в препода-
чпи при введении самого понятия об отрицательном
еле, и это, конечно, играет решающую роль в процессе
воения учащимися новых для них, парадоксальных на
овый взгляд, соотношений.
Надо однако, заметить, что в обычном изложении кон-
етное истолкование отрицательных чисел и их арифмети-
-кая теория не вполне согласованы между собой — при-
ры носят слишком частный характер и меняются от
»чая к случаю. Так, схема точек на числовой прямой
юшо иллюстрирует расположение чисел по величине,
при рассмотрении действий сложения и вычитания прихо-
гея переходить к направленным отрезкам,
оемножение которых для иллюстрации правила знаков
шено, однако, того прямого и ясного смысла, который
^йственен операциям сложения и вычитания. Помимо это-
. остается неясным, почему числа, на первый взгляд име-
шие сравнительно ограниченную область применения
( ir — имущество, шкала температур, направленные от-
\и), претендуют на равноправие с пгложителиными
:пами и вычисления с ними составляют неизменный
рибут всего дальнейшего формального аппарата ал-
ры. На этот вопрос мы уже частично ответили в конце
: мы еще вернемся к нему в § 6 и 7.
Нам придется поэтому сейчас с особой тщательностью
анализировать применения отрицательных чисел к изу-
ю конкретных величин. Как мы увидим, этот анализ
лит нам с несколько другой, и притом достаточно
i точки зрения, осветить и те вопросы мотивировки
-шых определений, которые мы рассмотрели с фор-
ной точки зрения в § 3.
Арнольд ^
Начнем с обычных примеров. Наиболее обыденное
менение отрицательных чисел (с которым, кстати
не мешало бы знакомить детей уже в начальной
это—шкала температур. Наличие абсолютного нуля те.,
пературы было обнаружено значительно позже пострс
ння известных термометрических шкал; практически и Сс
час в большинстве случаев можно температуру расемг г
ривать, как вел^ину, могущую изменяться в двух н'
правлениях — в сторону повышения и в сторону пони*.
ния — без определенных крайних границ. В силу этого на
чало отсчета — температура, которой отвечает нулевая точк
шкалы, остается—в известных пределах—п роизволь
н о й. Введения отрицательных чисел для характеристик
температур, которые ниже нуля, можно, конечно, избе
жать, как это часто делается в обыденной речи, применя
обороты «столько-то градусов ниже нуля, столько-то градусов
холода, мороза» и т. п. Целесообразность обозначений—1
—2° и так далее, выясняется, по существу, лишь тогда
когда мы начинаем производить действия над этими числа
ми. Однако в преподавании можно использовать шкал
температур и до введения действий для того, чтобы нагляд
но пояснить расположение отрицательных и положительнь •
чисел по величине. Если желать более теплые состоим
вещества характеризовать большими числами, а более хо
лодные — меньшими, то естественно располагать положи
тельные и отрицательные числа по величине так же, ка
расположены отметки шкалы температур.
.... -3,-2,-1, 0, +1, +2, +3, ...
Однако наряду с такими примерами, в которых нул
отвечает произвольному началу отсчета (к их числу отно
сятся и числочгя прямая в ее обычном истолкоЕании
«пункты направо и налево от станции» и ряд других), мс
жко привести и такие примеры, в которых нуль имеет при
гычное для учащихся значение «отсутствия величины*. Тг
кие примеры психологически лучше отражают то обсто
тельство, что обычный числовой ряд положительных чно»
с помощью введения отрицательных чисел расширяется, п<
лучая естественное симметричное продолжение «по ту сп
рону нуля».
Сюда относится, прежде всего, классический примч
«долг—имущество». И здесь, конечно, наличие этих дв
слов позволяет характеризовать «имущественное состо
34
е» без отрицательных чисел — введение этих последних
здесь оправдывается возможностью производить над ни-
и действия. Тем не менее, определение, согласно которому
трицательные числа меньше нуля и тем меньше, чем боль-
е их абсолютная величина, здесь приобретает, пожалуй,
наиболее ощутимую для учащихся форму: нетрудно, ведь,
огласиться с тем, что наличие долга ухудшает имуще-
имущественное состояние, так что естественно сказать, что (цити-
ую уже упомянутый на стр. 30 учебник) «когда кто ни-
ничего не имеет и даже еще 50 рублей должен, то он дей-
действительно имеет 50 рублями менее, нежели ничего. Ибо,
ежели бы кто подарил ему 50 рублей на уплату долга, то
. тогда бы он ничего не имел, хотя бы был богатее преж-
прежнего». И если, занимая у товарищей по работе деньги, я
буду для памяти класть в кошелек бумажки, с надписями
—3 руб.» «—4 руб.», то естественно сказать, что при на-
-1ЛЧИИ первой—я на 1 рубль богаче, чем при наличии вто-
ой: если бы мне удалось, например, разыскать в кошель-
*е завалившуюся пятирублевку, то в первом случае у ме-
1Я осталось бы в распоряжении 2 руб., а во втором—толь-
,о рубль.
Второй пример несколько сложнее, но зато он допускает
ирокое использование в качестве наглядного пособия
ля иллюстрации действий над отрицательными числами
Представим себе «весы» следующ-эй конструкции:
Черт. 2
Подчеркнем, что это—с хематичные условные
1У>—в детали их конструкции нам вникать не к чему —
35
шкалу мы предположим нанесенной экспериментально—
градуировкой с помощью гирек 1 г, 2 г и т. д. и не будем
смущаться тем, что деления, бкть может, получатся не-
неравномерные.
Когда на чашке А ничего не лежит—стрелка В указы-
указывает на 0, когда лежит 1 г—стрелка подымается вверх и
указывает на деление шкалы, отмеченное +1 и т. д. Те-
Теперь предположим, что на чашке не только ничего не ле-
лежит, но к ней прикреплен (см. черт. 2 на стр. 35) воздуш-
воздушный шарик, не только не оказывающий давления на чашку,
но заставляющий ее подниматься и уравнивающийся гирь-
гирькой в 1 г. При прикреплении такого шарика без гирьки
стрелка опустится вниз и станет против деления (—1),прь
двух шариках—против деления (—2) и т. д. Естественнс
считать, что числа, отвечающие такого рода «отрицатель-
«отрицательным нагрузкам» чашки, следует, как это и сделано на
шкале, располагать по другую сторону нуля в указанно!,
порядке.
Если на чашке весов лежит положительная нагрузк
(гирьки) а и отрицательная (—Ь) г {'о шариков), то по
казание стрелки будет (л — Ь)-, т. е. каждый шарик умень
шает нагрузку на 1 г, уравновешивая гирьку в 1 г—мож
но, не изменяя положения стрелки, отцепить b шарико
снявши одновременно столько же граммовых гиреь
Ум еньшатьнагрузку можно, стало- быть, либо снима
гирьки, либо прицепляя новые шарики. Но пер
вым способом мы можем довести нагрузку только до нул
(если нет шариков), отвечающего положению, когда н
чашке «ничего не лежит»,—прицепляя же шарики, мы мс
жем пойти дальше, получая отрицательные нагрузки п
ту сторону нуля.
Для учебных целей нет, конечно, надобности осущ
ствлять реально такие весы—соответствующее наглядн
пособие может состоять 'из подвижного коромысла -
стрелкой и изображением «противовеса» С и из передвн
ных макетов гирек и шариков. Правильная устан-.;в
стрелки (на нанесенных произвольно—хотя бы и равь
мерно, но отмеченных числами делениях) при разн
нагрузках, сама по себе представит полезное для }
щихся упражнение.
Различие между схемами, отвечающими шкале тем
ратур и числовым отметкам на прямой, для которых я
36
ая точка произвольна, с одной стороны, и схемами
г—имущество» и весов с гирями и шариками, с дру-
.—можно охарактеризовать, в общих чертах, так.
В первом случае положительные и отрицательные чис-
применяются как порядковые характеристики, в
чеднем им присущ и количественный смысл.
°нно, если речь идет о температуре в +3°, то неуместно
то бы сказать, что она «состоит из температуры в 2° и
е пературы 1°»; здесь числовые отметки имеют поряд-
ый смысл, такой же, как номера домов на улице. По-
Пому и сложение их не имеет прямого смысла. Аналогич-
» обстоит дело и при нумерации точек числовой
мой с помощью отрицательных и положительных чи-
1: этим устанавливается лишь положение каждой точки
юсительно выбранного начала, но сложение таких поряд-
j!X отметок не отвечает никакой допускающей прямое
толкование операции над соответствующими точками.
В отличие от этого, имущество «-f-3 p.» можно считать
с стоящим» из +2 р. и +1 р. и, в более общем случае,
з наличности 5 р. и 2 р. долгу и т. д., точно так же, как
грузка 3 г на чашку весов может складываться из
агрузки 2 г и 1 г или, в более общем случае, отвечать,
пример, совокупномудействию на весы 5 г, положенных
а чашку, и 2 прицепленных шариков. Величины этого по-
теднего рода, для которых сложение и разложение на сла-
слагаемые имеет объективный смысл, не зависящий от выбо-
выбора начала отсчета, мы будем здесь для краткости называть
аддитивным и1. (Читателя, интересующегося более под-
т'ным анализом этого понятия, мы позволим себе отослать
гл. III нашей книги «Теоретическая арифметика»).
Проведенному разграничению отвечает и различие в
"толковании действий (сложения 'и вычитания). Фор-
i льно сложение показаний термометра, конечно, осуще-
твнть можно—это и делается при определении средней
¦чпературы. Однако, если здесь легко истолковать значе-
.е получаемой, например, для двух слагаемых полу-
м м ы, то промежуточный результат — сумма показа-
:Л—прямого конкретного смысла, попрежнему, не имеет.
Для того чтобы иметь возможность конкретно истол-
^вать сложение, нам приходится от показаний термомет-
з переходить к разностям температур, т. е. к
1 От латинского слова, означающего «сложение».
37
характеристикам повышений и понижений тем-
температуры с помощью положительных и отрицательных чи-
чисел. Суммирование таких разностей отвечает подсчету
конечного результата последовательных измерений темпе-
температуры. Так равенство (+3) + (—5) Ц- (—2) = —4
истолковывается здесь следующим образом: повышение
температуры на 3°, последующее понижение на 5° и на 2°
влечет за собой снижение температуры на 4° по сравнению
с первоначальной.
Мы видим здесь, что характеристика изменения темпе-
температуры, т. е. осуществляющихся в двух противоположных
направлениях переходов от одной температуры к дру-
другой имеют уже количественный смысл в указанном выше
смысле слова: изменение температуры величиной в +3°
можно вполне осмысленным образом считать состоящим
или складывающимся из трех последовательных изменений
на 1° и т. п. Изменение температуры образует, таким об-
образом,* аддитивную величину в указанном выше смысле
слова.
Но в силу того, что и самые температуры характеризу-
характеризуются положительными и отрицательными числами, здесь
возможно сложение и неоднородных по своему смысловому
значению чисел; так, равенство 3+(—5)=—2 может оз-
означать: понижение на 5° температуры в +3° приводит к
температуре —2°.
Соответственно с этим и вычитание может иметь раз-
различный смысл. Разность двух температур служит, прежде
всего, числовой характеристикой соответствующего измене-
изменения температуры. Так, равенство (—3) — (—5) =+2 озна-
означает, что переход от температуры —5° к температуре —3°
есть повышение температуры на 2°. Но к тому же ра-
равенству мы придем и при решении задачи: сейчас —3°,
сколько было час тому назад, если за это время темпера-
температура понизилась на 5°, а также и при решении задачи: ка-
какое изменение температуры должно произойти после пони-
понижения ее на 5° для того, чтобы в итоге температура упала
на 3°? Такие задачи, конечно, решаются по соображению,
а операция вычитания в этих примерах выступает в свое '
формальном аспекте, как действие, обратное сложению, чтс
полностью выявляется при переходе к буквенной за-
записи решения перечисленных задач. Но отчетливое
представление о том, что изменение температуры, ко-
которое отвечает переходу от температуры Ъ г к температуре
38
ражается во всех случаях разностью а—Ь и чрез"
йно важно для последующих приложений, и по-
го рода примеры должны быть рассмотрены при всех
жных вариантах числового задания а и -
'но, что все сказанное относится и к точкам на прямой
соответствующим направленным отрезкам, характери-
IM перемещения в положительном и отрица-
ом направлениях и образующим уже аддитивную
шу. Сложение здесь иллюстрируется обычным обра-
перемещение, приводящее к тому результату, что и
t-трвательное производство нескольких данных переме-
"[ подряд, называется суммой этих последних; отно-
1ьно вычитания остаются в силе сделанные только что
ыания.
Несколько иначе обстоит дело> в случае аддитивных ве-
н. Возвращаясь к схеме весов с гирьками и шариками,
можем рассматривать прибавление положительного чис-
как увеличение числа гирек, а прибавление отрнца-
ного числа, как присоединение соответствуют его чис-
шариков, равносильное снятию такого же числа гирек
и они есть). В частности, совершенно очевидно©
лкование получает соотношение а-\- (—а) = 0, именно, а
"к и а шариков взаимно уравновешиваются. Вычита-
ю положительного числа отвечает снятие гирек (это
^ожно, если гирьки лежат в достаточном количестве
чашке) или, что во всех случаях равносильно этому в
еле действия на показания стрелки—присоединение
•шков, что возможно всегда. Вычитанию отрица-
отрицаемого числа отвечает снятие шариков (если прицеп-
о достаточное число их) или равносильное добавление
гк (что возможно всегда). Здесь иллюстрируется, та-
образом, замена вычитания сложением и — в связи с
— неограниченная выполнимость этого действия. Вы-
ние а — Ь, как сравнение нагрузок отвечает на вопрос:
нужно присоединить к нагрузке Ъ, чтобы получить и?
ет в форме а — b = а -*-(— Ь) ~(— Ь) -+- аистолковываи1-
к: присоединяя (—Ь) к нагрузке h, мы ураг>нов°шива-
весы, остается еще присоединить а. Здесь самый смысл
¦ации более сложный, чем в первом случае и соот-
венно с этим и истолкование общей формулы менее
средственное.
Для учащихся, впервые знакомящихся с отрицатель-
ми числами, трудность заключается в объединении в
39
одном понятии «сложения» действий, которые — с точ]
зрения операций над положительными числами — сводятх
в одних случаях к сложению, а в других—к в ы ч
т а н и ю положительных чисел. При использовании схеь
направленных отрезков («перемещений», «векторов») эт
трудность на наш взгляд, больше, чем при применена
схемы «долг—имущество» или схемы гирь и шариков
вот почему.
Если требуется решить задачу: «Совершены последе
вательные перемещения +8 км и —3 км, каким число
характеризуется результирующее перемещение?», то дал.
при такой, уже приспособленной к новым понятиям, фор
мулировке вопроса, слишком ясно, что из 8 км надо ч i ¦
честь 3 км, пройденные в обратном направлении. Обоб
щение, которое позволяет это действие назвать с л о ж е н и-
е м, требует от учащегося осознания обобщенного понята
«перемещения», скажем «вправо», которое характеризуете
положительным числом, если оно действительно отвечае
движению вправо, и отрицательным, если оно отвечает фак-
фактическому движению влево. Далее, последовательно
производство таких перемещений с трудом воспринимаете
учащимися, как «сложение перемещений», потому, что t-
результате исчезают всякие следы топ
из каких перемещений данное перемеще-
перемещение составлено, как из слагаемых.
Иначе обстоит дело с величинами в схемах «долг-
имущество» и «гирь и шариков». Самая Смыслова
неравноправность положительных и отрицательных
значений величины (положительные числа употреблены б
привычном смысле, в каком они употреблялись и раньше
облегчает здесь восприятие долга, как «отрицательного
имущества» и воздушного шарика, как «отрицательно)"
нагрузки». Во-вторых — и это не менее важно—всяког
имущественное состояние, как и всякая нагрузка весов
слагается в каждом конкретном случае из определен-
определенного имущества и определенного долга, из определенно)
положительной и определенной отрицательной нагрузку
Для схемы «долг—-имущество» это становится особенно на
глядным, если представить себе кошелек, в котором наря-
наряду с деньгами (монетами, банкнотами) содержатся бл
мажки с надписями—3 р.,—1 р. и т. д., положенные туд-
скажем, для памяти и обозначающие наличие соответ
ственного долга. Конкретные представления об этой «с~-
40
ставленности» нисколько не нарушаются от того, что один
и тот же итог [4-2= (-J-4) + (—2) — ~\-3-\~ (—1)] может
отвечать различным комбинациям имущества и долга, одно
и то же положение стрелки весов — различным распреде-
распределениям положительной и отрицательной нагрузки. «Ре-
«Результирующее перемещение» не несет с собой никаких
указаний на то, из каких «составляющих перемещений»
оно получено, но всякое показание стрелки весов отвечает
какой-то комбинации положенных на весы гирь и при-
прикрепленных шариков: без представления о такой комби-
комбинации теряет содержание и представление о «показании
стрелки». Поэтому и истолкование вычитания отрицатель-
отрицательного числа как отнятия («изъятия из суммы») соответ-
соответствующего слагаемого приобретает столь же простой
и очевидный смысл, как и знакомое учащимся «отнятие
положительных единиц. Так, «отнимая» от суммы
(+ 2) = D-3) 4" (—6) 4- (+5) отрицательное слагаемое
(—6), мы очевидно, увеличим результат на 6 единиц,
получив D-3) 4~ (~Й>) = "Г"8. Таким образом (+'-') —
-(-6) = D-2) 4-D-6) =4-8.
Оставляя в стороне случай порядковых характеристик
(отметки шкалы температур, числовые отметки для точек
прямой), мы можем сказать, что для аддитивных величин
всех рассмотренных типов (положительных и отрицатель-
отрицательных нагрузок чашки весов, имущества и долга, направ-
направленных отрезков на прямой и т. п.), целесообразность
введения отрицательных чисел и установленных для них за-
законов действий обусловлена следующим обстоятельством.
Для всех них можно определить операцию сложения так,
что каждому значению величина а будет отвечать некото-
некоторое «противоположное» значение а', в сумме с а дающее
куль а-\-а' =0.
Принимая некоторое значение е такой величины за
единицу D-1), естественно характеризовать противопо-
ижное значение е' числом (—1), сумму ё4-е1 —числом
(-2) и т. д.
Наличие таких величин как раз и обусловливает це-
есообразность, с точки зрения конкретных приложений,
соответствующего расширения числовой области. Приня-
•е определения расположения и действий над, отрица-
льными числами находят свое оправдание (а с истори-
жой точки зрения — свою отправную точку) в свойствах
ких «направленных величин». Для этих величин опера-
41
ция вычитания оказывается всегда выполнимой, и в этом
— основа формальной мотивировки «введения новых чисел
в качестве решений уравнения х -\- Ь = а при b > а». Дей-
Действительно, при изучении направленных величин такие
уравнения могут встречаться столь же часто при Ь~^>а,
сколь и при b <Ca, и их решение может иметь смысл пря-
прямого или косвенного ответа на поставленный в задаче
вопрос.
§ 6. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
K«K ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕНЕНИЙ ВГЛ '\ЛН
Приведенными в § 5 примерами возможные конкрет-
конкретные приложения отрицательных чисел не исчерпываются;
наоборот, эти примеры можно в известной мере тракто-
трактовать, как сравнительно частные случаи. Именно, отрица-
отрицательные числа могут применяться и при изучении таких
аддитивных величин, которые сами по себе не могут иметь
отрицательных значений: дело в том, что изменение
любой величины в общем случае может иметь два проти-
противоположных направления (в сторону возрастания и убы-
убывания). Каждому изменению в одну сторону отвечает про-
противоположное ему изменение в другую сторону, причем
последовательное осуществление двух таких изменений
возвращает величину к ее исходному значению. Можно, по-
поэтому, сказать, что эти изменения сами образуют «направ-
«направленную аддитивную величину», для характеристики зна-
значений которой естественно ввести отрицательные числа
и говорить о положительных и отрицатель-
отрицательных «приращения х».
Так, говоря о массе или весе тела или о посевной пло-
площади, занятой той или иной культурой, т. е. о величинах,
которые могут принимать только положительные или ну-
нулевые значения, мы все же можем при возрастании этих
величин говорить о положительных, при убывании
— об отрицательных приращениях. Правда, при
данном начальном (или — во многих случаях — «среднем»
с которым сравниваются остальные) значении не вся-
всякое отрицательное приращение возможно, но это не ме-
мешает нам, отвлекаясь от величины начального значения,
построить все же исчисление положительных
и отрицательных приращений (например, в
предположении, что начальное значение достаточно велико
для того, чтобы все рассматриваемые отрицательные при-
приращения были осуществимы).
42
Аналогично этому, имея в распоряжении только нату-
ачьный ряд, чисел
1, 2, 3, 4, 5, ...
вводя в рассмотрение два противоположных направления
ерехода от одного члена этого рада к другому, мы мо-
.ем естественным образом ввести отрицательные числа для
арактеристики переходов от больших чисел к меньшим
(отрицательных приращений). На этом, по существу, и
основана возможность арифметической теории отрицатель-
aix чисел, как пар положительных чисел (стр. 25—26).
Легко видеть, что такая интерпретация близка с упо-
ннавшимся нами уже на стр. 29 истолкованием стри-
i ательных чисел, как вычитаемых: присоединение
нлка действия к числу позволяет здесь всегда гово-
ггь о «приращениях» (зато—положительных и отрица-
отрицательных) и о «сложении приращений», как о последова-
последовательном осуществлений соответствующих изменений. При
этом в этой новой области операция сложения прираще-
1ИЙ объединяет в одно любую последовательность дей-
действий сложения и вычитания, с правом производить дей-
~гвия в любом порядке, применяя сочетательный и пере-
честительный закон, заключение в скобки и раскрытие
скобок и т. д., без каких-либо ограничений в отношения
^личины рассматриваемых чисел.
С другой стороны, так как приращения представляют
,'обой как раз разности двух значений величины, это исчи-
исчисление приращений отвечает упомянутой на стр. 25 фор-
тальной теории отрицательных чисел, при которой эти па-
с!едние вводятся, как разности а—b при а > Ь. Мы видим,
таким образом, что потребность ввести в рассмотрение та-
.ие разности обусловлена не только формальными сообра-
соображениями, но также и необходимостью построить аппарат
зчисления двусторонних изменений величин (прираще-
.пй).
Под эту концепцию можно подвести и рассмотренные
лше случаи, например, характеристику температур. При-
чмая произвольную начальную температуру за нулевую
и отсчитывая от нее положительные и отрицательные при-
f зщения, мы можем все остальные температуры охарак-
охарактеризовать с помощью этих приращений, устанавливая
тим скалярное расположение всех температур по отноше-
лю в выбранной начальной. Первоначальные колнче-
43
ственные характеристики прчращений (изменения тем-
температуры) превращаются при этом в порядковые характе-
характеристики температурных состояний. Этому аналогичн<_
и построение координат точек на прямой. Вводя сначал
отрицательные числа для характеристики направленных
отрезков и откладывая эти отрезки от произвольной,
выбранной в качестве начала, точки прямой, мы можем
отнести те же числа в качестве координат тем точкам,
с которыми совпадают концы этих отрезков.
Не подлежит сомнению, что при изучении отрицатель-
отрицательных чисел в школе необходимо с самого начала
ознакомить учащихся с теми, различными, по своему смыс-
смыслу, но постоянно встречающимися на практике конкрет-
конкретными применениями отрицательных чисел, о которых мы
подробнее говорили выше. Сюда относится а обычная схе-
схема долг — имущество, к которой мы рекомендовали бы
присоединить и «весы с шариками», а также и характери-
характеристики температур и изменений температуры. Это обычно,
в той или иной форме, и делается. Однако последнее
истолкование, о котором мы только что говорили (харак-
(характеристика приращений), несмотря на высокую степень об-
общности и ясно выраженную арифметическую при-
природу, обычно оставляется в тени. Между тем именно это
истолкование может быть с большим успехом использовано
в методических целях.
Приведем примерную схему ознакомления учащихся с
этим истолкованием; оно настолько элементарно, что р
принципе могло бы быть доступно детям еще задолго до
начала систематического курса алгебры.
Вообразим большой склад, из которого увозят и куда
привозят мешки с грузом. Запись последовательных опе-
операций дана в левом столбце таблицы на стр. 45.
Но если нет надобности подводить итог каждый раз, то
можно оставить только второй столбец, указывающий от-
отдельные операции и к концу дня из суммы чисел, перед
которыми стоит знак -)-, вычесть сумму чисел, перед ко-
которыми стоит знак «—» (или наоборот, в зависимости от
того, какая сумма больше), и результат прибавить к на-
начальному количеству 2728 (или вычесть от него). Это —
совершенно естественный переход к сложению чисел оди-
одинаковых знаков и — в конце дня — также и разных знаков.
Во втором столбце числа со знаками -)- и — перед ни-
ними выступают, как характеристики противополож-
44
1
2728
+ 2
2/30
+ 18
2748
2743
—23
272t.
—4
2716
+ 12
2728
—S
2725
2
Опера-
Операция
+ 2
+ 18
— 5
—23
— 4
+ 12
— 3
3
Результат последова-
последовательных операций
+ 2 + ( + 18)»+20
+ 20 + (— 5)=+15
( + 15)+ (—23)--8
-8 + 0—4)—12
(—12) + (+12) = 0
О + (—3)-— 3
4
Состоян.
склада
+ 2
+ 20
+ 15
— 8
—12
0
— 3
кых действий (привезти, увезти) или, что то же, как
арактеристики изменений рассматриваемой величины
1 оличества мешков на складе), причем увеличение хэграк-
рризуется знаком -|-, а уменьшение знаком —.
Видоизменим теперь постановку вопроса. Пусть, сверх
го (контора требует!) нужно иметь числовую характери-
чку состояния склада в каждый момент (по сравне-
;тю с первоначальным). Тогда естественно последова-
чьно подводить итог так, как это сделано в третьем
т \пбце, вводя кстати скобочные обозначения для знаков
граций и обозначая знаком -)- между скобками после-
овательное выполнение их. Так, запись
(+20)+(-5)=+15
удет означать: увеличение числа мешков на 20 и умень-
уменьшение затем на 5 приводит в итоге к увеличению числа
* ешков на 15 по сравнению с первоначальным. Состояние
скчада после первых трех операций характеризуется, сле-
гвательно, числом —|—15 (на складе на 15 мешков больше,
гм было вначале). Следующее действие
(+15)-И-23)=-8
45
истолковывается так: к началу четвертой операции бы
констатировано увеличение на 15 мешков по сравнению
первоначальным количеством, потом увезли 23 мешка,
итоге на складе станет на 8 мешков меньше, чем первона
чально. Состояние склада после четвертой операции харак
теризуется числом (—8); если понадобится знать, каков
действительное число мешков в этот момент, то придете
только написать 2728—8=2720.
Положительные и отрицательные числа (и нуль), пол>
чающиеся в результате и выписанные в четвергом столбце,
характеризуют, таким образом, состояние склада
относительно выбранного начального со-
состояния (аналогично отметкам температурной шкалы и
координатам точек на прямой).
Если желать по числам четвертого столбца судить о
том, в каких случаях количество мешков на складе боль-
больше, а в каких — меньше, то мы заметим, что отметка (—3)
отвечает меньшему фактическому количеству, чем отметка
(—2); обе они—меньшему, чем количество, характеризуе-
характеризуемое числом 0 в четвертом столбце (обозначающем отсут-
отсутствие изменения по сравнению с первоначальным количе-
количеством), и все перечисленные отметки отвечают фактиче-
фактическим количествам мешков, меньшим, чем те, которые
характеризуются отметками (+1), (+2) и т. д.
Это приводит естественным образом к расположению
положительных и отрицательных чисел по величине в
обычном порядке
.,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,.
При этом сравнение состояний (определение
того, на сколько в одном состоянии, отвечающем отметке
а в четвертом столбце, число мешков на складе больше,
чем в другом состоянии с отметкой Ь) может быть осу-
осуществлено с помощью операции вычитания. Действительно,
вопрос равносилен следующему. Сколько (х) надо привез-
привезти при состоянии Ъ, чтобы получить состояние а? Слово
„привезти" употреблено здесь в обобщенном смысле слова —
фраза „привезти ( — 3) мешка" равносильна фразе „увезти
3 мешка". Точнее было бы сказать: какому измене-
изменению надо подвергнуть Ь, чтобы получить а? или,
что то же: какова та операция х, выполнение
46
которой перевело бы состояние b в состоя-
состояние а:
Для ответа на вопрос надо, следовательно, найти неиз-
неизвестное слагаемое х в этой сумме, что во всех случаях,
согласно общему определению вычитания, записывается
так:
х — а — Ь.
В конкретных случаях х следует искать по соображению
и сейчас же проверять. Начать, конечно, лучше с поло-
положительных характеристик и случая а > Ь. Но з^ тем, по-
поставив вопрос о сравнении состояний а = -\-2 и Ь = -\-4,
мы получим вопрос
Ответ ясен: надо было бы увезти 2 мешка, чтобы перейти
от состояния +4 к состоянию -1-2, т. е. х = —2 = (+2) —
— (+4). Аналогично, при а = — 8 л Ъ = —12 запись
—12 + х = —8 и ответ х +4 = (—8) — (—12) озна-
означает, что нужно еще привезти 4 мешка, чтобы вместо за-
записи —12 в четвертом столбце получить —8. Этому отве-
отвечает суждение о величине: число —8 характеризует
состояние, при котором число мешков на складе на 4
больше, чем в состояний —12 и более короткое суждение
о числах: «Число —8 на 4 единицы больше числа —12».
Действие вычитания выступает здесь, как разностное
сравнение чисел, отвечающее на вопрос: на сколько первое
число больше или меньше второго, аналогично тому, как
действие нахождения отношения двух чисел отвечает на
вопрос: во сколько^ раз первое число больше второго или
какую часть второго числа оно составляет? В этих, с фор-
формальной точки зрения не безупречных, формулировках со-
согласование ответа с двумя частями вопроса определяется
формой ответа (положительное или отрицательнее число в
результате вычитания, целое число или дробь в результате
деления) и производится по соображению. Если быть пе-
педантичным, то надо слова «или меньше.» отбросить и
истолковывать отрицательный результат з ответе после
того как он получен. Но тогда придать конкретный общий
смысл операции вычитания можно, только следуя пример-
примерно по намеченному нами выше пути.
Однако интерпретация действия вычитания, как разно-
разностного сравнения, обязательно требующая специального
47
внимания со стороны преподавателя на той или иной ста-
стадии прохождения курса, является менее непосредственной
нежели обычное арифметическое истолкование «этого дей-
действия, как отнятия некоторого числа единиц. Поэтому в
начальной стадии ознакомления учащихся с действиями
над отрицательными числами целесообразно обобщить
именно это, более примитивное и конкретное, смысловое
значение рассматриваемой операции, как отнятия от сум-
суммы двух слагаемых одного из входящих в нее слагаемых
для получения другого («п о г а ш е н и е» слагаемого).
Этот смысл действия вычитания без труда переносится в
нашей схеме и на отрицательные числа и более удобен для
пояснения правил производства этого действия. К этому
можно подойти, например, так:
Представим себе, что после сведения одного из итогов
третьего столбца, например, второго, оказалось, что опера-
операция + 18 на деле не состоялась. Тогда правильный итог
(сумма +15 без слагаемого +18) будет, очевидно,
+ 15—(+18)=—3.
Если бы вместо этого предположить, что не состоялась
третья операция (—5), то правильный итог [сумма +15 без
слагаемого (—5)] был бы
+ 15—(—5)=+20.
Если бы то же обстоятельство было обнаружено только
после четвертой операции, то мы внесли бы поправку
—(—5) в сумму —8 и получили бы
—8— (—5) = — 3 и т. п.
Правило, согласно которому вычитание (погашение)
слагаемого с положительным знаком влечет уменьшение,
а вычитание (погашение) слагаемого с отрицательным зна-
знаком—увеличение на соответствующее число единиц, имеег
здесь совершенно отчетливый арифметический смысл.
От такта преподавателя зависит порядок изложения и
место в нем приведенных схем (схема весов с шариками,
схема склада), для которых легко изготовить нужные на-
наглядные пособия (макет весов, изображение склада), огра-
ограничившись, в крайнем случае, соответствующими схемати-
схематическими изображениями на доске. Можно начинать с этих
примеров и потом формулировать основные определения,
касающиеся расположения отрицательных чисел и произ-
производства над ними действий сложения и вычитания, можно
48
осматривать их параллельно или даже после установле-
я основных определений. Отметим здесь, что в учебнике
гебры Александрова и Колмогорова отрицательные чи-
а с самого начала вводятся, как характеристики измене-
ш величин. Дополнив это в нужный момент указанием
а возможность характеризовать отрицательными и поло-
положительными числами значения величины («состояния»), мы
олучим уже достаточно общую схему, в которую уклады -
аются все обычные приложения.
Приведем в заключение пример применения отрицательных чисел
1Я подсчета долга и имущества, в котором практичность такого
:пособа подсчета выступает особенно ярко. Предположим, что
компания из четырех лиц А, Б, В к Г (скажем, при совместном
путешествии) желает вести запись расходов, которые могут произ-
¦ > питься каждым из участников и одновременно учитывать задол-
задолженность, возникающую при этом у остальных.
Такой учет можно вестн с помощью таблицы из четырех граф
А
1
Б
В
1
Г
. голбцов), записывая со знаком «-J-» в каждую графу произве-
-нный соответствующим лнцом расход и занося одновременно со
1 аком «—» в графы всех участников падающую на них долю дол-
•. Записывать, кому именно причитается долг, при этом не нужно.
тя окончательного расчета сводятся итоги каждого столбца. В
мме эти итоги должны дать нуль; лица, в графе которых итог от-
щательный, уплачивают соответствующую сумму, распределяемую
жду теми участниками, итог в графе которых- положительный.
Так, если А заплатил за билеты для всех 80 р., Б заплатил за
fд Б, В н Г 30 р., В заплатил за арбуз, которого сам не ел, 6 р.,
и Г заплатили по 20 р. каждый за ночлег всех четырех, Г дал 3 р,
и заплатил поровну за себя и за Б 4 р. на почте, то запись будет
еть вид:
Билеты
Обед
Арбуз
Ночлег
Почта
Итого
А
+ 80 — 20
— 2
- 10
г 48
Б
-20
+ 30—10
— 2
+ 20—10
— 2
¦J- 6
В
-20
— 10
+ 6
— 10
3
— 37
Г
- 20
— 10
— 2
20 - 10
+ 3 + 4--2
— 17
Итак, В должен 37, а Г — 17 рублей. Из этих 54 рублей 48 Дол-
я получить А, а остальные 6 должен получить Б. t
В. Арнольд 4У
§ 7. КОНКРЕТНОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ПРАВИЛА ЗНАКОВ
ПРИ УМНОЖЕНИИ ЧИСЕЛ
Перейдем теперь к более трудному с методической toi
ки зрения вопросу — к опирающейся на конкретные пред
ставления мотивировке правила знаков, устанавливаема
му при определении умножения отрицательных чисел.
Трудность здесь вот в чем. Во всех приведенных выше
истолкованиях отрицательные числа выступают, если можнс
так выразиться, как числа именованные. Действительно
мы говорим о 3 р. долгу, об отрицательной нагрузке —3 г
о температуре —3°, о направленном отрезке в —3 еди-
единицы длины, об отрицательном приращении —3 (каких-
то конкретных единиц). Ясно, что ни одно из этих пред-
представлений не может служить для целей конкретногс
истолкования отрицательного множителя, так как этот
последний, по самому смыслу своему, есть число отвле-
отвлеченное (иллюстрация стр. 30, где речь идет об отрица-
отрицательной площади, носит слишком частный и условный ха-
характер: это становится очевидным, если учесть все мно-
многообразие интерпретаций действий сложения и вычитания
отрицательных чисел в только что упомянутых случаях).
С подобным же положением вещей мы сталкиваемся и
в арифметике, когда речь заходит об умножении на дробь:
при сравнении дробей, сложении и вычитании их, символ
, т
дроби — истолковывается, как сумма т. слагаемых, каж-
каждое из которых есть я часть некоторой конкретной
единицы; истолкование действия умножения, естествен-
естественно, не может опираться на постоянно ассоциируемый уча-
учащимися с дробью смысл именованного числа Gг см, 2/
яблока, 3/ю кг и .т. д.) и поэтому обычно это действие с
большим трудом и чисто внешним образом усваивается
учащимися. При всем том, как известно, и умножение на
дробь и умножение на отрицательное число встречаются
в конкретных задачах, и, следовательно, могут быть кон-
конкретизированы в той же мере, как и умножение на целое
положительное число.
Проследим за тем, какой смысл придается числу в ро
ли множителя, начиная с умножения натуральных чисел
Мы будем, в отличие от принятого порядка записи, пи-
писать множитель на первом месте (так, как обыч»
50
шштся коэфициент). Умножить некоторое число а, на-
чимер, на 3, значит взять это число три раза слагаемым:
За = а-Ь-а -\- а.
'шожитель 3 выступает здесь в роли характеристики
1вйствия, которое нужно совершить над числом (или
{ад какой-нибудь величиной, например, отрезком) а, что-
оы получить произведение За. Отвлеченный смысл числа
3 проявляется в речи в том, что оно не снабжается наи-
\енованием, а употребляется в соединении со словом
.раз» или окончанием «-жды», подчеркивающими указан-
указанное смысловое значение множителя 3. Для того чтобы
сгтенить это обстоятельство мы будем говорить, что число
S выступает здесь, как «оператор» — знак операции
,ли действия. Целые числа, как операторы, могут всту-
7ать во взаимодействие друг с другом. Так, если резуль-
результат умножения числа а на 3 надо умножить потом еще
о 5, то мы можем записать
5 (За) =5 -За= 15л.
В операторном истолковании равенство 5 • 3=15 будет
>значать: «утроение» какого-либо числа или величины и
последующее «упятерение» результата может быть заме-
1ено увеличением исходного числа или величины в 15 раз.
В конкретных задачах операторы-множители поро-
порождаются обычно не той величиной, над которой надо
произвести соответствующие действия, а некоторой д р у-
о й, с ней связанной. Переход от характеристики значе-
ля этой последней к отвлеченному операторному смыслу
-"ответствующего числа представляет известный источник
атруднений при записи действий с числами, снабженными
^именованиями в процессе начального обучения—дети
нстинктивно предпочитают либо вовсе не писать наимено-
лний в записи действия, что по существу и пра-
чьно (действия производятся над числами), либо же
¦храняют наименование и для множителя (что близко к
щепринятому в физике способу обращения с размерными
личинами).-Так, уже в простейших задачах: «в каждой
5 корзин по 3 яблока, сколько всего?» оператор 5 перво-
чально обозначает число корзин (вторая величина из
ела двух, участвующих в задаче); аналогично в задаче:
кг стоит 3 р., сколько стоят 5 кг?» оператор 5 поро-
^ается второй величиной — числом килограмм, находя-
51
щейся в прямой пропорциональной зависимости с искомо
стоимостью продукта. Обычные требования о постановке
наименований в записи действий как раз и обусловлены
стремлением вызвать и закрепить у детей отчетливые
Представления об отвечающих решению задачи операциях
шд соответствующими конкретными величинами. При этом
автоматически выявляется роль отвлеченного числа —. мно-
множителя, как оператора, действующего на то или иное зна-
значение величины, выраженной числом, снабженным соответ-
соответствующим наименованием.
Если же стремиться оставаться в рамках одной только
величины, то — несколько искусственно — можно во всех
этих случаях связать вопрос с переменой единицы измере-
измерения. В первом примере число 5 — результат измерения ко-
количества яблок корзинами по 3' яблока в каждой и тре-
требуется найти результат измерения того же количества,
когда за единицу принято одно яблоко; во втором при-
примере от измерения стоимости стоимостью одного кг тре-
требуется перейти к измерению стоимости в рублях.
Аналогично этому обстоит дело и в случае, когда речь
идет об умножении на дробь. Если в последнем примере
A кг стоит 3 р.) потребуется найти стоимость не 5, а ЪЧ^кг,
то надо будет взять 5 7г раз по 3 р., т. е. произвести
умножение
5^ 3=5 3 + ~ 3=16^-
где оператор 5У2 означает, что над числом 3 производятся
действия: упятерения и деления пополам и полученные ре-
результаты складываются (берется пять с половиной троек).
Точно так же, равенство -^- ¦ ^r = ~g~ читаетсЯ: половина
одной трети равна одной шестой и т. д.
Отвлеченное число (множитель-оператор) выступает
во всех этих случаях в той роли, которая ему отведена из-
известной формулировкой Ньютона: «Число есть не столько
ссбрание единиц, сколько отношение одной величины к
другой, принятой за единицу меры». При этом следует
иметь в виду, что выражая отношение числом-оператором,
мы даем прямой ответ на вопрос: как из исходной, приня-
принятой за единицу меры, величины получить требуемую, при-
применяя действия деления на равные части и объединение
нескольких таких частей в одну сумму. Нельзя переоце-
переоценить важность того, чтобы этот смысл понятия «отношение»
52
учащиеся отчетливо чувствовали, и могли, например, ра-
а т т , „
венство-г-=- всегда прочесть так: „а есть- ых о .
и Tl ft
Перейдем теперь к направленным величинам. Если для
величин существенно положительных отношение любых
двух соизмеримых значений выражается некоторым целым
числом, с дробью, так что положительных рациональных
дробей достаточно для того, чтобы указать операцию,
переводящую любое значение величины в любое другое, то
для направленных величин этих чисел уже мало. Действи-
Действительно, так как значения таких величин могут еще дополни-
дополнительно отличаться по направлению (или, как удобнее для
краткости говорить, отличаться знаком), то числа —
операторы, переводящие одно значение в
другое должны включать в себя указание
на то, нужно ли переменить знак или же он
сохраняется прежний.
Естественно, поэтому, ввести в качестве операторов и
отрицательные числа, принимая по определению, что
применение такого оператора сопряжено, помимо всего
прочего, с переменой знака (направления)
той величины, к которой он применяется.
Если воспользоваться схемой направленных отрезков,
то оператор ( — 3), примененный к отрезку а, будет оз-
означать утроение этого отрезка с переходом к направ-
направлению, противоположному направлению отрезка а. Если,
поэтому, а = +5, то
если же а = — 5, то
(-3) а = (-3)(-5) = + 15.
Лравило знаков получает в этом истолковании общий
(мысл: двукратная перемена направления (и, вообще, по-
с шдовательная перемена направления четное число раз)
¦озвращает нас к первоначальному (исходному) направле-
направленно; перемена направления один или последовательно
нечетное число раз приводит нас к направлению, про-
противоположному исходному.
И здесь операторы могут вступать во взаимодействие
руг с другом; так, равенство (—3) (—5) =+15 можно,
столковывая оба множителя, как операторы, прочесть так:
чятерение какой-либо величины с переменой ее направле-
53
ния и последующее утроение с переменой направлен
равносильно увеличению первоначального значения в 15 р
(по абсолютной величине) без перемены направления.
Если обратиться к задачам, которые обычно использ}
ются для иллюстрации правила знаков, то мы увидим, чтх
в них участвуют две направленных величины, приче
одна из них порождает оператор (снабженный знаком)
которым при решении задачи надо воздействовать на зна-
значение другой, в полной аналогии с тем, что мы установили
выше для простейших арифметических задач.
Пример. „Скорость поезда v км в час; где он находится в мо
мент t часов, если в 0 часов он прошел мимо станции Л?". Здесь пре„
полагается, что на линии установлено положительное направление и
скорость v определяется соответственно со знаком, так же как и время
с обычным соглашением о знаке t. Мы будем истолковывать здесь
скорость v как направленный отрезок пути, проходимый
поездом в единицу времени. Ответ — „поезд будет находиться на рас-
расстоянии s = vt от станции А" основан на применении оператора t к
отрезку пути v. Если, например, t = 3l/2, то обычное рассуждение та-
таково: за час поезд проходит v км, следовательно, за Зг/2 часа пройдет
ЗЧ2 v. Взяв t = 3l/2 мы найдем по смыслу задачи, что у найденного ум-
умножением на 3'/2 расстояния 3l/2 v придется еще изменить знак, так
как вопрос поставлен о том. где поезд был за 31/2 часа до прохода
мимо станции А. Если при этом v выражается отрицательным числом,
например, v — — 30, то ясно, что s^ (— 3lj2) (—30)= + 105, так как
поезд двигался в отрицательном направлении
Совершенно аналогичная, но может быть, менее избитая по тема-
тематике задача. Будем считать положительным вращение головки винта
(или ручки штопора) по часовой стрелке (слева направо,', если смот-
смотреть от головки вдоль оси винта. Будем, далее, считать положитель-
положительным направление перемещения самого винта вдоль его оси в сторону
„ввинчивания" (от головки к острию).
Здесь две направленных величины; угол поворота головки в (от-
(отрицательный при вращении против часовой стрелки) и путь погру-
жеыия винта а (отрицательный при вывинчивании винта из гнезда).
Скорости предыдущей задачи соответствует здесь постоянная хода
винта v, которую мы определим, как расстояние (со знаком), которое
проходит винт при повороте на в - + 1 (на 1° или лучше, на один пол-
полный оборот в направлении часовой стрелки). Положительные значения
v отвечают винтам „правой нарезки" (как обычный штопор), отрица-
отрицательные— винтам „левой нарезки" (погружающимся при вращении
против часовой стрелки).
'асстояние а, проходимое винтом при в полных оборотах при вся-
всяких знаках v и G дается формулой
с = 0 ¦ v.
Так, если v= +3 и в = — S, то о = ( — 5) ( + 3) = —15, а если v — — 3,
то с-( — 5) ( — 3) = +15 Действительно, при левом вращении винт
правой нарезки будет вывинчиваться, а винт левой нарезки — погру-
погружаться. Значения В здесь играют роль операторов, с помощью кото-
которых из основного расстояния v получаются расстояния, проходимые
винтом в направлении оси при соответствующем вращении.
54
В этих примерах отрицательные значения обеих величин дают-
"я уже в готовом, так сказать, виде. Но нетрудно составить задачи^
з которых отрицательные сомножители появились бы, как разности
положительных значений величин. Такова задача: „Поезда Рх и Р%,
"[вигающиеся со скоростями пг и v2. встречаются в момент t^. На ка-
каком расстоянии (и в каком направлении по линии) находится поезд Р%
от поезда Р1 в момент t2~>".
Предполагая, что t2>t1>0 и v2>v1>0 мы получим с помощью
обычного арифметического рассуждения ответ
s = (v2 -vt) {t2 - tt).
Будем для простоты положительное направление на линии обоз-
обозначать словом „вправо". В силу того, что разность между значениями
двух направленных величин характеризует величину (со знаком» „пере-
*рда" от второй величины к первой, разность расстояний v2 и vl7 на
которые за час отойдут поезда от места встречи, будет представлять
ло величине и по знаку расстояние от Р] до Р2. На отрезок &3 - &i
«меняется, далее, в силу равномерности движения поездов, расстояние
лежду Р1 и Р2за каждый час времени. С другой стороны, t2 - t\
выражает и при tx<t2 и при t2<h направленную величину отрезка
времени от момента ^ до момента t2; эта разность отрицательная, если
зопрос идет о расположении поездов до момента встречи. Ясно, что
применение оператора t2 — tx к величине v2 — v-y во всех случа-
случаях дает ответ на вопрос о расположении Р2 по отношению
к /-j в момент ^ Если, например, v2 - &j=&»0, но t2 - t^= - t<0, то
очевидно, что поезд Р2, удаляющийся после встречи на v км в час
вправо" от поезда Pi, за т часов до встречи должен был нахо-
иться на расстоянии—тх> от Рг, то есть на расстоянии tv „влево"
от Рг. Если же &2 = &] = - v < 0 и t2 - t-^ - — т < Ь, то поезд Р2, удаляю-
щйся после встречи на v км в час „влево" от Рг должен был за т
«асов до встречи находиться иа расстоянии vz „вправо" от Рх в со-
< гветствии с формулой •
s = (v2 - &j) (t2 - ^i) = ( - v) ( - т) = от.
Разбор всех случаев здесь уже несколько утомителен, однако,
пражнения подобного рода представляют собой неизбежный этап на
ути усвоения учащимися смысла отрицательных чисел в общих фор-
*лах и, в частности, смысла отрицательных решений уравнений.
Обычно проводимая мотивировка правила знаков (как
л, вообще, обобщения определений действий): „При этом
днотипные задачи решаются одним и тем же действием,
"о одним и тем же алгебраическим формулам" достаточ-
о отчетливо выражает фактическое положение вещей,
5нако, носит скорее характер констатации факта. Суть
е дела - - в применении к разобранным только что при-
срам — заключается в том, что параллелизм в дей-
твиях над двумя находящимися в прямой
.ропорциональной зависимости величинами
.с увеличением значения одной и значение другой уве-
увенчивается во столько же раз") распространяется
55
здесь не только на действия сложения и разбиения i
части, выражаемые обычными дробными операторами
множителями, но и на операцию перемены на
правления (знака) двух связанных между собою величин
с изменением направления одной соответствующее зна
чение другой также меняет направление на противополож
ное. Если, поэтому, значение s0 = v одной из этих вели-
величин, „приходится на единицу" другой, то есть отвечает
значению ?0=+ 1, то для определения значения s, отве
чающего произвольному значению t, можно применить к
значению s0 оператор (со знаком), описывающий
способ получения значения t из значения to=-\- 1, т. е
написать
s — tso = tv.
Уже самая формулировка указанной связи, которая
может быть записана и в виде пропорции
s _ t
обе части которой должны быть равны по величине и по
знаку, напоминает общее определение умноже-
умножения Кош и, о котором мы говорили на стр. 31. Это
определение, как мы видим, имеет по существу, о п е р а-
торный смысл.
Остановимся еще на перемене единицы меры, о кото-
которой мы упоминали<Ьыше (стр. 52).
Если при единице меры е= + 1 значения направленной
величины выражаются числами
. . . ,-2, -1, 0, +1, +2, . .
То при переходе к единице меры ег мы должны будем
изменить эти числа. Как? Операторное истолкование не-
непосредственно дает ответ на вопрос. Если величина а
выражалась числом а при единице меры е, то это значит,
что а получается из е применением оператора а, т. е. а=
=ае. Пусть теперь известно отношение старой единицы
меры к новой
е:е1=[>.,
где [1 может быть и отрицательным числом. Это означает,
что е получается из et применением оператора ц, т. е.
е = да . Но тогда а получится из et последовательным
применением операторов |* и а, т. е.
а = ае = a(\ie1 )= (сф.)^.
56
Последние скобки мы вправе поставить потому, что
умножение ар во всех случаях определено так, что число
a -ji выражает действие, равносильное последова-
последовательному производству операций а и р. Таким
образом все числа, измеряющие значения данной величи-
величины при переходе к новой единице меры умножаются
на число [i. Ясно, например, что принимая за ег втрое
меньшую величину противоположного по отношению к е
направления, мы будем иметь е = —Зе1 и значения вели-
величины, характеризовавшиеся числами
• .,-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,...,
будут в новой единице меры характеризоваться „пропор-
„пропорциональными" им числами
+ 15, + 12, +9, +6, +2, 0, -2-6,-9, -12,
с „коэфициентом пропорциональности" ji = — 3, в соот-
соответствии с равенствами
(-3) (-5)=+15, (-3) (-4) = +12,...,
(-3) (+5)=-15..
Ввиду чрезвычайной распространенности и большой
роли линейных зависимостей
у = а + Ъх
между величинами, для которых, между значениями са-
самих величин (при а = 0) или во всяком случае, между
значениями соответствующих приращений у — у0 и х — х0>
связанных соотношением
у-уо = Ь (х — х0)
меет место охарактеризованная нами здесь «полная»
(включая знак) пропорциональность — правило
. наков при умножении приобретает чрезвычайно важное
значение, тесно связанное с разъясненным выше конкрет-
¦ ым операторным смыслом действия умножения. В этом и
< тедует искать ответа на вопрос о мотивировке формального
< пределения умножения отрицательных чисел с точки зре-
чия часто встречающихся приложений и связанного с ними,
привычного нам, конкретного смысла числовых соотноше-
ий. Можно думать, что если бы зависимости указанного
iia встречались на практике редко, то и поводы для при-
57
менения правила знаков, как «удобного для внутренних
целей алгебры формального правила» в самой алгебре
возникали бы лишь в виде исключения, случайно.
Можно сказать, что и самый путь введения отрицательных чисет
для характеристики значений направленных величин идет в направле-
направлении, обратном тому, которому мы следовали в нашем изложении — от
операторов к приращениям и затем к значениям величины. Так, распо-
лнгая положительными и отрицательными операторами, мы с их
помощью прежде всего характеризуем процесс получения направ-
направленных отрезков двух противоположных направлений из од-
одного из них, выбранного в качестве единицы меры
(характеризуемого числом +1); располагая этими характеристиками
направленных отрезков, мы затем, выбрав произвольное начало
отсчета (характеризуемое числом 0), описываем с их помощью
процесс перехода из этого начала в любую точку прямой, получая,
таким образом, числовые характеристики (координаты)
точек в виде положительных и отрицательных чисел (и нуля),
определяющих расположение точек прямой относительно выбранного
начала и при заданной единице меры.
Как в отношении операций сложения и вычитания, так
и здесь от такта преподавателя зависит, в какой форме и
когда провести анализ устанавливаемого определения умно-
умножения отрицательных чисел в применении к конкретным
задачам. Нам думается, все же, что обычно приводимые
примеры в силу своей громоздкости вряд ли достигают
нужных целей в тот момент, когда учащиеся только что
знакомятся с действиями над отрицательными числами. Бо-
Более общее, но вместе с тем достаточно конкретное опера-
операторное истолкование умножения при умелом его проведе-
проведении хотя бы даже на одной только схеме направленных
отрезков представляется нам имеющим больше шансов на
успех.
Такое проведение должно, как нам кажется, следовать
в общих чертах тому изложению вопроса, которое мы дали
в начале этого параграфа. Затраченное на это время с
ь
лихвой окупится, так как истолкование отношения — двух
отрезков или двух чисел Ъ и а, как характеристики опера-
операции, которую надо совершить над а, чтобы получить Ъ, и
само по себе чрезвычайно полезно. Постановка множителя
на первое место оправдывается при этом еще .и общепри-
общепринятой в алгебре записью коэфициента на первом месте.
Для приложений существенно также обратить внимание
учащихся на подробно разобранное выше обобщение поня-
понятия пропорциональности на такие величины, для которых
не только увеличение или уменьшение значения одной из
58
них отвечает увеличению или уменьшению значения другой
во столько же раз, но и изменению направления
одной отвечает изменение направления
другой.
Несколько искусственным путем можно, руководствуясь
и здесь идеей оператора, приспособиться и к классической
схеме «долг—имущество».
Не придавая серьезного значения излагаемой ниже иллюстрации,
мы все же приведем ее здесь, так как она, при благоприятных усло-
условиях и соответствующем оформлении, может дать повод для практики
в обращении с отрицательными числами в процессе безобидной и до-
довольно забавной игры.
Вообразим игру в лото с такими правилами. У «держателя лото»
и играющих есть «фишки» с написанными на них положительными и
отрицательными числами. Владение фишкой с положительной надписью
дает право на соответствующий «выигрыш», владение фишкой с отри-
отрицательной надписью, обязывает к «уплате» соответственной суммы
(скажем, положительными фишками). Аналогичные фишкам «карты»
находятся у держателя лото в ящике, из которого он вынимаег не-
несколько штук вслепую и раскладывает надписями вниз. Играющие
имеют право поставить на любые карты (надписи на которых оста-
остаются им неизвестными) в качестве «ставки» любые из своих фишек
(в том числе и отрицательные), после чего карты переворачиваются
лицевой стороной вверх. Если на карте написано положительное
Ч1.СЛО, например, +2, то играющий получает от держателя соответ-
соответствующую удвоенную ставку, если написано отрицательное, напри-
например,—3, то играющий получает утроенную ставку фишками противо-
противоположного знака или — что то же — обязан уплатить держателю утроен-
утроенную свою ставку. Затем процесс повторяется и т. д. Таким образом
можно выиграть и проиграть свой выигрыш, «выиграть» и «проиграть»
свой проигрыш. В конце подводится итог «имущества» и «долга» каж-
каждого и выясняется, кто сколько выиграл или проиграл. Эта игра тре-
требует производства не только сложения чисел различных знаков, истол-
истолковываемых, как долг и имущество; но, по сути дела, и перемножения
чисел одинаковых и разных знаков — карты здесь играют роль опера-
операторов.
Нижеследующий пример мы заимствуем из одного
паспространенного учебника XIX в. Представим себе дро-
шной склад (двор), в котором находятся дрова и мусор
(подлежащий вывозу). Воз дров представляет собою иму-
имущество: пусть стоимость его а рублей. Воз мусора пред-
представляет собой потенциальный убыток: за вывозку его
надо платить, скажем, Ъ рублей. Характеристику имуще-
имущественного состояния склада при наличии в нем р возов дров
л д возов мусора можно представить в виде pa , q{— b),
обозначая стоимость воза мусора отрицательным числом—Ъ.
Теперь решим задачу: привезли х возов [при отри-
отрицательном х это означает — увезли \х\ возов], стоимостью
59
у рублей каждый. Как изменится имущественное состо
ние склада?
Ответ х. у обнимает все возможные случаи.
1) Если х = 4- п, у = 4- а, то привезли п возов дров i
склад „богаче"на па рублей.
2) Если х = — п и у = 4- а, то увезли п возов дров
ху — (—п) D-а) =—яа и склад „беднее" на па рублег
3) Если х —- п и _у =—Ъ, то привезли « возов мусора
ху = D-я) (—6)= — п& и для склада это „убыток" в nb
рублей, так как столько придется заплатить за обратный
вывоз мусора.
4) Если х ¦=¦ — п и у = — Ь, то увезли п возов мусора,
ху — (—п) (—Ь) = 4- nb: это „прибыль" в nb рублей, так
как столько надо было бы еще заплатить за вывоз п во-
возов мусора, если бы его не увезли.
Соответственно с этим, склад без убытка для себя
может согласиться в первом и четвертом случае заплатить
\ху\ рублей, а во втором и третьем — вправе потребовать
уплаты в пользу склада \ху\ рублей.
Можно, конечно, найти и другие способы оформления
описанной ситуации.
Так, например, комбинируя схему „привоза и увоза
со склада" (стр. 45) со схемой весов с гирьками и шариками
(стр. 36) мы можем получить такую иллюстрацию правила
знаков. Пусть имеются гирьки весом +йги шарики „от-
„отрицательного веса"'—b г. Операцию прибавления на чашку
весов п гирек или п шариков обозначим знаком 4- п, опе-
операцию снятия с чашки весов п гирек или п шариков зна-
знаком— п, употребляя способ выражения „положить на
чашку весов — п гирек или шариков".
Тогда задача: „На чашку весов положено л предметов,
весом в уг каждый, каково изменение нагрузки ?" во всех
случ'аях решается путем умножения х на у. Так при х — —п,
у — —b произведение ху = (— п) (—Ъ) = + nb отвечает
увеличению нагрузки чашки (стрелка поднимается вверх
на nb делений), происходящему от снятия п шариков от-
отрицательного веса — Ь.
§ 8. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦИФРЫ
В качестве еще одной иллюстрации—в преподавании в порядке
математического развлечения—может служить применение от-
отрицательных цифр в обозначении чисел. В алгебре это делают
обычно лишь при преобразовании мантисс десятичных логарифмов,
при котором вместо, например,—1,2841 пишут 2,7159, дополняй первые
60
цифры мантиссы до 9, а последнюю до 10. Но это преобразование
применимо, конечно, и к любым целым числам. Так, вместо послед-о
вательности действий
3251 —1281 + 2429 - 2561 - 1135
можно произвести сложение
3251 + 2 719 + 2429 + 3439 + 2865.
Далее можно, вводя отрицательные цифры, ограничить таблицу
умножения пределами до 5X5, присоединяя правило знаков. Так
7X9 = 13
хн
13
13
14 3 =63
19X8=21
Х12
42
21
25 2=152
497 X 3S8 = 503
Х402
1006
2012
205206 = 197806
При устном счете этот прием применяется, но обычно лишь для
одного множителя: 8 X 19 = 8 X 2Г= 160 — 8 = 152.
При вычислениях на арифмометре такая замена множителя
сокращает число оборотов ручки: вместо того чтобы умножать
на 2886, умножают на 3 104.
Прн делении целых чисел приходится последовательные кратные
делителя вычитать из делимого. Эти действия можно заменить при-
прибавлением кратных,изменив знак у делимого и, следовательно, у
всех остатков. Определение цифры частного сводится к нахождению
каждый раз наибольшего кратного, прибавление которого оставляет
оста!ток отрицательным, т. е. при записи с одной первой
отрицательной цифрой Гне дает переноса, уничтожающего
эту отрицательную единицу. Приведем пример:
32745 :28 = 167255 | 28
1У52
28_
1980S
168
799735
252
Т99987; остаток 13.
На счетах и арифмометре подбор кратных заменяется последова-
последовательными прибавлениями; число прибавлений в каждом разряде на
арифмометре сосчитывается автоматически, а на счетах откладывается
отдельно.
Можно поступить и наоборот—преобразовать кратные делителя и
прибавлять их, заботясь о том, чтобы все остатки были положитель-
положительные. Таким путем можно свести деление к последовательному при-
прибавлению записанного с отрицательней первой цифрой делителя
61
& различных разрядах.. Приведем пример 382500:112 е± 382500:188b
Повторного подписывания делителя 1 888 при его последовательны
прибавлениях можно избежать, выписав его на бумажку, подводиму1
к очередному остатку сверху. Ниже записаны последовательные ре-
результаты прибавления (столбцы отвечают действиям в последователь-
последовательных разрядах, числа в скобках указывают число прибавлений, т. е.
цифры частного)
382500 46500 1700 580
270500 35300 580 468
158500 24100 356
46500 12900 A) 244 Частное: 3415
1700 132
C) 20 Остаток 20
D)
E)
Если эти действия проделать, отбросив отрицательную единицу
в делителе, т. е. прибавлять просто 888, то ясно, что в старших раз-
разрядах начнут накопляться единицы в числе, отвечающем числу при-
прибавлений. В результате мы получим в старших разрядах цифровое
изображение частного, и рядом—цифровое изображение остатка.
Результаты последовательных прибавлений будут:
38250J
1270500
21585С0
3046500
3046500
3135300
3224100
3312900
3401700
3401700
3410580
3410580
3111468
3412356
3413244
3414132
3415020
К сожалению, этот любопытный прием „превращения делимого в
частное и остаток" путем последовательных прибавлений десятичного
дополнения делителя практически неудобен, так как, вследствие воз-
возможного наложения в одном разряде накопляющихся единиц цифр
частного и убывающих единиц цифр остатка, трудно без подсчета числа
сложений уловить момент, когда надо перейти к следующему разряду.
Однако небольшое видоизменение этого приема v-страняет этот недо-
недостаток и в нижеследующей форме этот способ не лишен практического
значения при вычислениях на арифмометре (где нельзя прибавлять
отрицательные единицы одновременно с положительными), а также и
на счетах, где последовательные прибавления производятся механи-
механически и — в особенности на китайских пятиричных счетах — сравни-
сравнительно быстро. Именно, если бы мы на счетах одновременно с каж-
каждым прибавлением дополнения делителя (включая и отрицательную
единицу) в ближайшем старшем разряде откладывали бы одну еди-
единицу—для счета числа сложений, то такая операция была бы равно-
равносильна прибавлению числа 9888, прн" откладывании „считающих еди-
единиц" еще в большем удалении от остатка—прибавлению числа 99888 и
т. д. При таких операциях появляющиеся цифры частного оказыва-
оказываются отделенными от остатка одним или несколькими ну-
нулями и при прибавлении в данном разряде надо только заботиться
о том, чтобы эти нули—из-за малой величины остатка—н е п р е в р а-
62
тились в девятки Записи последовательных результатов при
вышеуказанном делении и прибавлении числа 9888 будут иметь вид:
382 500 30 046 500 34 (X. 1700 34100 580
10 270 500 3 035 300 34100 580 34110 468
20 158 500 32 024 100 34120 356
30 046 500 33 012900 34130 244
34 001 700 34140 132
34150 Р20
Впрочем, в этом примере цифры частного и остатка и без того не
набегают друг на друга.
При обычном производстве действия деления можно, употребляя
отрицательные цифры в частном, не бояться взять в каком-либо из
разрядов частного цифру, на единицу большую требуемой, образовав
при этом отрицательный остаток и считая следующую цифру частного
(или даже несколько цифр подряд) — отрицательной. Для получения
положительного остатка надо деление отрицательных производить,
определяя отрицательную цифру частного с избытком абсолютной ве-
величины. Например:
50734 : 17
51
3024^2984
50734 :
51 г
— 96
102
17
1гГГа о< ft/i
— 266
74
68
6 6
Рассмотрение отрицательных остатков при делении целых чисел
может облегчить установление и применение признаков делимости, а
также нахождение общего наибольшего делителя чисел с помощью
алгорифма последовательного деления. Так, замечая, что 10 дает при
делении на 11 остаток— 1, заключаем, что остатки от деления степе-
ей 10 на 11 будут—1, (—1J»=+1, — 1, + 1, . . . и т. д., так что,
например, 327489 даст остаток 9--8 + 4 — 7 + 2 — 3 = —3 или 8. Рас-
мотрение остатков от деления на 11 с успехом можно применить
наряду с поверкой остатками от деления на 9 для контроля вычис-
вычислений.
Исходя из равенств a-nq + r и fc= mq + s легко доказать совер-
ленно элементарным п^тем, что остаток от деления на число q сум-
суммы, разности и произведения чисел а и Ь равен остатку от деления
ia q соответственно суммы, разности и произведения остатков г и s
4 [сел а и Ъ. Это предложение верно и в случае, когда для г и s
опускаются отрицательные значения. Таким путем мы можем полу-
полупить не лишенное и практического значения истолкование действий
ад отрицательными числами на простейшем числовом материале. Так,
чея в виду остатки от деления на 9, мы можем равенствам
(-3)-, (- 2)=-5; (- 3) + (+2)= 1
(-3)-(-5)= Л; (- 3) (~2)=+6
т. п. дать такое истолкование: сумма чисел, дающих каждое остат-
i -3 и-2, дает остаток -5, произведение этих чисел даст остаток+ 6
63
и т. д. Все эти соотношения допускают непосредственный контро.и
с помощью замены отрицательных остатков положительными. Так, заме-
заменяя-3 положительным остатком 9-3 = 6 и, аналогично,—2 положитель-
положительным остатком 9-2 = 7 вместо последнего равенства мы могли бь
написать 6 • 7 = 42 и заметить, что 42 дает как раз остаток 6 при
делении на 9. Приведем пример применения этого приема при контро-
контроле вычислений с помощью девятки; контроль результата умножения
47859 ч 75437 = 3610339383
¦остаток первого числа: в сумме цифр 4 + 5 = 9 и цифру 9 отбрасываем;
¦остается 7 и 8, т. е. в отрицательных остатках ( —2) + ( —1)— -3, оста-
остаток второго числа (-2) + ( + 1)=—1 E + 4 = 9 отбрасываем ; 3 + 7 = 10
даст остаток 1). Остаток произведения должен быть равен (-3) (-1) =
= +3. Действительно, группируя цифры, дающие в сумме 9, а именно
3 + 6 = 9, 3 + 3 + 3 = 9, 1+8 = 9, находим остаток 3.
Все эти вычисления, конечно, производятся в уме, и написанные
равенства имеют целью только пояснение того, как можно при этом
использовать действия над отрицательными остатками.
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВЫВОДЫ
Три стороны вопроса — установление формальных опре-
определений, внутри-алгебраическая мотивировка их и выясне-
выяснение конкретного смысла отрицательных чисел и действий
над ними в применении к изучению различного рода ве-
величин, как мы видели выше, тесно связаны друг с другом
и отчетливое представление о роли отрицательных чисел
в алгебре получается только в результате соответствую-
соответствующего всестороннего анализа. Конечно, такой анализ не
может сам по себе найти место в преподавании,—однако,
ориентировка в методической стороне дела дает возмож-
возможность преподавателю сознательно подойти к соответ-
соответствующим методическим проблемам. Решение этих проб-
проблем, конечно, не предопределяется указанным анализом
однозначно.
Тем не менее, резюмируя вкратце сказанное выше,
подчеркнем, что мы считаем целесообразным в препода-
преподавании строить изложение в порядке, в известной мере об-
обратном тому, по которому протекал наш анализ—именно
отправляясь от конкретных схем и в прямой связи с ними
устанавливая соответствующие определения и правила
действий. Конкдетный опыт и наглядное восприятие
должны, по нашему мнению, предшествовать установле-
установлению формальных определений, для последующей иллю-
иллюстрации и закрепления которых материала достаточно. Для
этой цели—первоначального ознакомления с отрицатель-
64
ными числами—мы отдаем—как было сказано выше, схе-
схемам весов с шариками и общей схеме положительных и
отрицательных приращений предпочтение перед обычной
геометрической интерпретацией (направленные отрезки),
считая вместе с тем необходимым приучать учащихся к
различным по своему качественному, а отчасти и фор-
формальному, содержанию (характеристики «переходов» и
«состояний») применениям отрицательных чисел.
В заключение мы остановимся на вопросах, связанных
с дальнейшим применением отрицательных чисел в курсе
алгебры, попутно приводя и некоторые исторические дан-
данные.
§ 10. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
В сочинении Мухамеда Ибн Муса из Хорезма (Аль-
куаризчи, IX в. н. э.) под названием «Альджебр Уальму-
кабала» прибавление к обеим частям равенства поровну
для уничтожения («перенесения в другую часть с обрат-
обратным знаком») отрицательного члена в одной из частей
равенства обозначалось, если следовать традиционному
объяснению историков математики, словом «альджебр»—
восстановление (restitutio), а отнимание поровну от обеих
частей равенства — словом «уальмукабала» — противо-
противоположение (oppositio).
Как мы уже показали на стр. 27 эти преобразования,
лежащие в основе решения уравнений, не могут быть без^
оговорочно применяемы без введения отрицательных чи-
чисел. Уже Диофант (III—IV в. н. э.) пользовался при
решении уравнений как техническим средством (в мысле,
довольно близком к указанному на стр. 26) действиями
над отрицательными числами; все же отрицательных ре-
решений уравнений он не признавал.
Определения индусских алгебраистов (Aryabhata, VI в.,
Brahmagupta, VIII в., Bhaskara, XII в.) почти 'ничем не
отличаются от современных. Обозначая отрицательные
козфициенты не знаком вычитания, а точкой, поставлен-
поставленной над абсолютной величиной коэфициента уравнения,
.•ндусы рассматривали отрицательные числа и изолиро-
изолированно, применяя их к решению арифметических и астро-
астрономических задач (долг, имущество, прибыль, убыток,
расстояния, откладываемые в одну и другую сторону, мо-
моменты времени до и после данного и т. п.)
J И. В. Арнольд 65
Индусские правила, которым сейчас уже свыше тысячи
заслуживают того, чтобы привести их в переводе. Слова «иму
етво)» и «долг» в индусском изложении являются термина,
равносильными нашим «положительное и отрицательное количест
«Сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, и
щества и долга — их разность или, если они равны — нуль. Су
нуля и долга — тот же долг, имущества и нуля — то же имущест
двух нулей — нуль. Правила вычитания: меньшее вычитается из бо.
шего, имущество из имущества, долг из долга; но если вычитает
больше из меньшего, значение избытка меняется. Долг, будучи в
чтен из нуля, делается имуществом, имущество превращается в до.
Долг без нуля остается тем же долгом, имущество — тем же имуще
етвом. Чтобы вычесть имущество из долга или долг из имущества, над
составить их сумму. Произведение двух имуществ или двух неим>-
ществ есть имущество; результат произведения имущества на долг
представляет убыток. То же правило имеет место и при делении
Квадрат имущества или долга есть имущество; имущество имеет
два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корень убытка
не существует, ибо таковой не есть квадрат» (цитируем по И. Т и м-
ченко, «Основания теории аналитических функций»).
Операциям восстановления и противоположения можно
дать наглядное истолкование, несколько обобщая схему
весов с гирьками и шариками стр. 35. Именно, вообразим
себе «алгебраические весы» следующей конструкции (для
классной демонстрации достаточен макет или даже схема-
схематический чертеж на доске):
Черт. 3.
Здесь на весах поставлено уравнение
2+Зх—4=2+2х—3.
«Противоположение» дает, по снятии двух гирек единич-
единичного веса и двух неизвестных нагрузок х, следующее рас-
распределение нагрузок (черт. 4):
«Восстановление»—перенесение четырех гирек с «отри-
«отрицательной» чашки слева на «положительную» справа —
дает, после снятия с обеих чашек справа взаимно уравно-
уравновешивающихся трех гирек, равновесие х и 1. Отметим, что
Черт. 4
во втором из изображенных положений обе части равенства
имеют отрицательное значение (ср. стр. 28) — на «отри-
«отрицательных» чашках лежит больший груз, чем на положи-
положительных; тем не менее ясно, что равновесие при х = 1
должно иметь место.
Эти весы, кроме чрезвычайно наглядной иллюстрации
действий «восстановления» и «противоположения», т. е.
основных преобразований уравнений первой степени в
процессе их решения можно применять и в тех случаях,
когда уравнение имеет отрицательный корень, допуская
истолкование искомой нагрузки х не как гирьки, а как
шарика, в соответствии со схемой стр. 35. Известную
нагрузку, если не иметь в виду буквенных уравнений,
всегда можно изображать с помощью гирек — знаку числа
отвечает помещение нагрузки на соответствующую чашку;
что же касается величины х9 то заранее неизвестно, как
ее придется толковать, как гирьку или как шарик. При-
Приведем пример. Уравнение Зл: + 1 = х — 1 изобразится схе-
Черт. 5
мой, которая преобразуется в изображенную ма черт. 6,
откуда ясно, что х отвечает тяге вверх в 1 ед. {шарику —1),
т. е. х——1.
5*
67
Часто применяемая операция перемены знака у обе
частей уравнения равносильна обмену нагрузок полож
тельных и отрицательных чашек.
L±J
\^ L±J
Черт. 6
Вообще преобразования уравнения как нельзя более
непосредственно иллюстрируются этой схемой и операция
«альджебр» выступает как фактическое перенесение
нагрузок из одной части равенства в другую, но на проти-
противоположную по знаку чашку весов.
Несмотря на широкое использование отрицательных
чисел в конкретных задачах и при преобразованиях урав-
уравнений индусские и арабские математики все же в боль-
большинстве случаев с недоверием относились к отрицатель-
отрицательным корням уравнений: «в определенном отрицательном
числе есть нечто противное общепринятым воззрениям»
(Bhaskara).
В средневековой европейской математике соединение
отрицательных чисел в качестве равноправных с поло-
положительными в одну систему рациональных чисел было дости-
достигнуто лишь очень поздно, так как первоначально с ними
оперировали очень формально и конкретный смысл их был
неясен. Числа, меньшие, чем «ничто», дающие при пере-
перемножении вновь нечто положительное, представлялись нере-
нереальными, фиктивными, ложными (как их и называли).
Равноправность их о положительными числами в геометри-
геометрических и алгебраических вопросах впервые отмечена Жи-
Жираром A629) и с большой общностью выяснена Декартом
A637), выдержку из сочинения которого «Geometrie» мы
здесь приведем.
«О ложных корнях» (алгебраических уравнении.—И. Л.)
«Но часто случается, что некоторые из корней ложны
или меньше, чем ничто; предположив, что х с«з-
68
начает недостаток (le defaut) величины, равной 5, получим
уравнение х + 5 = 0, умножая которое на
Xs —9х2 + 26х —24 = О,
найдем уравнение '
я4 — 4xs — 19х2 + 106х— 120 = О,
в котором четыре корня: три действительных 2, 3 и 4 и
один ложный 5».
«Можно, не зная величины корней данного уравне-
уравнения, увеличить или уменьшить их на какую-нибудь данную
величину, для чего нужно только всюду в уравнении за-
заменить неизвестный член другим, большим или меньшим,
чем этот последний на данную величину».
«Нужно заметить, что увеличивая действительные кор-
корни уравнения, мы уменьшаем на ту же величину ложные
корни (т. е. их абсолютную величину.—И. А.) и наоборот,
уменьшение тех и других (т. е. их абсолютных вели-
величин.—И. А.) на равную им величину обращает их в нуль,
если же уменьшение это превосходит их величину, то они
обращаются из действительных в ложные и из
ложных в действительные».
Поясним на примере, что здесь имеется в виду.
Если в уравнении х'1 — 5х + 6 = 0, имеющем отрицатель-
отрицательные корни х, =—2 и х2 =—3 вместо неизвестного х
ввести неизвестное z^x-'-b, большее чем х на величину
Ь, т. е. положить x = z— b, то в новом уравнении
(z — bf + 5 (z — b)-*-6 = z'—Bb + 5) z'+ tf — ЪЬ + 6 = 0
корни будут
z,= — 2 + b и z, = — 3 + 6.
Если b взять достаточно большим, например, Ь>4, то
„ложные" корни хг =—2 и х2 = — 3 превратятся в „дей-
„действительные".
Декарт непосредственно связывал это с геометриче-
геометрическими исследованиями и подчеркивал, что такого рода пре-
преобразования уравнений не влияют на их геометрическое
значение, не изменяют природы кривой линии, выражаемой
данным уравнением. Положительные и отрицательные кор-
корни, переходя друг в друга при простом пре-
преобразовании координат, равноправны, как
характеристики определенных точек кри-
кривой или решения иной определенной гео-
геометрической задачи.
69
В нашем примере как „ложные" корни хг и х2, так и
„действительные" zx и z2 определяют положение одних
и тех же точек Мх и М2 пересечения параболы Р с осью
ОХ, но только по отношению к разным началам отсчета
О и 0х на оси абсцисс.
\v=-3 /х=-2
О, i=+]
В курсе элементарной алгебры часто приходится встре-
встречаться с вопросом об истолковании отрицательных решений
уравнений, выражающих условия конкретных задач. При
этом могут представиться различные случаи.
1) Если величина, о которой идет речь, является в
условиях данной задачи существенно положи-
положительной, не допускающей истолкования отрицательных
значений, то отрицательные решения приходится отбро-
отбросить, а если они являются единственными — сделать зак-
заключение о невозможности удовлетворить
условиям задачи, т. е. об отсутствии решений.
2) Если же величина, о которой идет речь, допускает
отрицательные значения (отвечающие, например, умень-
уменьшению величины вместо предполагаемого увеличения или
противоположному принятому при составлении уравнения
направлению отрезка, или противоположному направлению
вращения, предшествующим, а не последующим моментам
времени, убытку вместо прибыли и т. д.), то отрицатель-
отрицательные решения могут быть истолкованы либо непосред-
непосредственно, как ответ на вопрос задачи, либо
как ответ на аналогичный воп рос, постав-
поставленный в соответственной обобщенной
или измененной форме.
Осмысленность и реальное значение такого истолкова-
истолкования устанавливаются, конечно, в зависимости от содержа-
содержания самой задачи. Эта оговорка, впрочем, не является
70
специфической для отрицательных решений — иногда и по-
положительное (даже целое) число, получающееся в каче-
качестве решения, может свидетельствовать о невозможности
задачи и не поддается истолкованию.
Часто при этом речь идет просто о некоторых неравен-
неравенствах, налагаемых конкретным смыслом условия на вели-
величину искомых значений неизвестных. При соответственном
выборе начала отсчета эти неравенства могут как раз н
сводиться к требованию, чтобы решения выражались по-
положительными числами, но при перемене начала отсчета
(вспомним Декарта) и положительные решения могут
противоречить смыслу вопроса. Приведем примеры.
1. Требуется смешать два раствора крепости 5% и 8%
так, чтобы получить 6 литров раствора 10% крепости.
Сколько литров каждого раствора потребуется для этой
цели?
Уравнения" задачи Ъх -f- 8у = 6 10; х + у = 6 дают
х = — 4; у= 10.
Отрицательное значение для х свидетельствует о невоз-
невозможности удовлетворить условиям задачи — обстоятель-
обстоятельство непосредственно очевидное. Но и положительное зна-
значение для у свидетельствует о гом же, поскольку 10 -6.
Толкование, согласно которому из 10 литров 8% рас-
раствора следовало бы «извлечь» 4 л 5% раствора здесь
явно не отвечает постановке вопроса.
2. Для заправки и поездки к месту работы каждый
трактор расходует 2 л горючего и за каждый час работы
1 л. Утром вышло 18 тракторов, начавших работу на по-
поле в полдень и израсходовавшие к моменту конца работы
на поле все вместе 27 л. В котором часу они кончили ра-
работу на поле?
Уравнение B -\-х) 18 = 27 дает х = j-
Так как отсчет времени возможен в двух направлениях,
то можно было бы предположить, что значение х~- — lj2
приводит к ответу: в И1 2 час. утра. Но в данном случае
такое истолкование лишено смысла и отрицательный ответ
свидетельствует о противоречивости условий
$адачи, что и само по себе очевидно: 27-ми л нехва-
гает даже на то, чтобы добраться до места работы. То
обстоятельство, что решение — отрицательное, не является
пецифическим. Поставив вопрос иначе и ведя счет часов
71
с полуночи, мы получили бы уравнение B A-z—12) 18 = _
и положительный корень z — 111 '„ также свидетельствов
бы о невозможности решения задачи ввиду того, чт
П72 < 12.
3. Отцу 40 лет, сыну 13. Через сколько лет отец буде
вчетверо старше сына?
Уравнение 40 + х — 4 A3 +л:) дает X ——4.
Здесь истолкование очевидно: если понимать вопро
задачи „через сколько лет" в буквальном смысле слова
то задача не имеет решения — требуемый момент никог^^
не наступит. Если же понимать вопрос в более общем
смысле слова („в какой момент времени"), то ответ
х =¦ 4 имеет смысл: требуемое соотношение имело мес-
место за 4 года до рассматриваемого момента.
Поставив вопрос: „в какой момент сын старше отца в
572 раз", мы получим решение х——46, приводящее к
лишенным смысла отрицательным значениям „возраста"
отца и сына. И здесь перенесением начала можно прев-
превратить „ложные" корни в „действительные".
4. Найти на прямой АВ точку С так, чтобы отрезок
АС был средней пропорциональной между АВ и СВ.
А
х-
С А В
Черт. 8 и 9
Обозначая отрезок АС через х, АВ через а, придем
к уравнению
х2 = а(а — х) A),
откуда jc, =-JO/~5—1); х2 = f-(V~5 + 1).
Отрицательное решение отвечает точке С, лежащей
вне отрезка АВ и удовлетворяющей условию задачи.
Подчеркнем, что в уравнении х2 означает квадрат
длины |х| отрезка х, и выражения а и а—х означают
длины отрезков, т. е. положительные числа. Но это
не мешает тому, чтобы х истолковать, как взятую с тем
или иным знаком абсциссу точки С относительно начала
72
А, так как при всех положениях точки С на отрезке АВ
или вне его, слева от А, длина отрезка АС будет выра-
выражена разностью а — х.
Но было бы неправильно применять формулу л;2 == аЪ
для случая, когда а и Ъ означают координаты двух точек
А и В и строить, например, „отрезок", для которого х2 =
= (+ 1)(— 1),т-е.л± V—^ как сРеДнюю пропорциональ-
пропорциональную между „отрезком" (+1) и (—1) с помощью обыч-
обычного построения высоты прямоугольного треугольника,
как это иногда делают для того, чтобы придти к изве-
известному геометрическому истолкованию мнимой единицы /.
В формуле х2 = ab все величины означают длины отрез-
отрезков, взятые без всяких знаков, и поэтому только что опи-
описанному построению отвечали бы значения х=\, а=1,
Ь= 1.
5. Попарно соединяя п точек плоскости, получили 21
линию. При каком и?
Квадратное уравнение п- — п — 42 =0 имеет корни
щ = 7 и «2= — 6. Отрицательное решение в этом случае
приходится просто отбросить.
6. Козфициент при х3 в разложении A + х)п п0 сте"
пеням х равен 21. При каком п?
Здесь, если иметь в виду только обычные элементар-
элементарные разложения по формуле бинома Ньютона, единствен-
единственным решением будет п = 7. Но и второй корень уравне-
уравнения п = —6 имеет смысл, отвечая разложению A + х) ~6=
=yj г^ по возрастающим степеням х, которое можно по-
получить и элементарным путем, деля 1 на A -\- хN по пра-
правилу деления многочленов, расположенных по возрастаю-
возрастающим степеням буквы х.
§ 11. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Повидимому, впервые отрицательные показатели были
применены в XV в. Николаем Шюке (Chuquet, Triparty en
la science des nombres, 1484); у Штифеля (середина XVI
столетия) уже в явной форме встречается соотношение
а0 — 1; с начала XVII в. (в связи с учением о логариф-
логарифмах) отрицательные (и дробные) показатели приобретают
уже полные права гражданства в математике.
В преподавании здесь часто наблюдается то же явле-
явление, что и при введении отрицательных чисел: формаль-
73
ные определения не удовлетворяют учащихся и они рас-
рассматривают как доказательство преподносимые им м о-
тивировки определений.
Формальная сторона дела сводится к следующему.
Определение 1. Пры всяком афО, по определению,
а°= 1.
Определение 2. При всяком а^Оипри и>0, по опре-
определению,
a~n=— ¦
ап
Затем следуют теоремы: при перемножении степе-
степеней с одинаковым основанием, показатели степеней всег-
всегда складываются; при делении — из показателя делимого
вычитается показатель делителя; при возвышении в сте-
степень—показатели перемножаются (в частности, из этих
теорем будет следовать, что равенство а — ~^ имеет
а
место п при и<0).
Мотивировка определений и состоит как раз в том,
что введение отрицательных показателей позволяет фор-
формулировать эти теоремы в самом общем виде, не огова-
оговаривая ни величины, ни знаков показателей.
Так, если желать, чтобы вычитание показателей
при делении можно было бы производить и при рав-
равных показателях, то надо положить
, а т — т п
1=-— =. =«»:
«ели желать, чтобы вычитание показателей м о ж н с
было бы производить и тогда, когда данная буква вхо-
входит в числитель дроби с меньшим показателем степени,
чем в знаменателе, то надо положить
1 _ <i__ _ , я — (я +/') _ —р.
V Н -г р
Вот эти-то цепочки равенств учащиеся и восприни-
воспринимают, как выводы, забывая, что правило вычитания
показателей д о вышеприведенных определений установ-
установлено только для случаев, когда результат вычитания—
положительное число.
74
С этим явлением бороться чрезвычайно трудно, так как
приведенные цепочки равенств внешне, действительно,
чрезвычайно схожи с выводом или доказательством;
умолчать же о них тоже нельзя, так как тогда учащиеся
яикак уже не смогут уловить смысл в новых определе-
определениях. (Эстается только пожелать, чтобы ко времени введе-
введения отрицательных показателей математическое развитие
учащихся позволило преподавателю с достаточной чет-
четкостью провести грань между определением и его моти-
мотивировкой.
Наряду с этим не следует упускать из виду и конкре-
конкретизации вводимых условных соглашений несколько иным
путем.
Прежде всего, можно обратить внимание на то, что в
ряду чисел
а, а~, а*, а4, .
переход от одного элемента к другому, соседнему с ним
справа, отвечает умножению на шл и увеличению пока-
показателя степени на 1, переход к элементу, стоящему на
2-м месте справа — умножению на с2 и увеличению пока-
показателя степени на 2 и т. д. Переходы обратного направ-
направления к соседнему элементу слева, к элементу, стоящему
на 2 места слева, отвечают делению на а, на с2 и т. д.
и уменьшению показателя степени на 1 и на 2. Но
этим путем ряд можно продолжить неограниченно влево,
дополнив его так;
111, ,
¦W> W' ~Б 1' а' а ' а
\ здесь переходы слева направо отвечают }*ножению
а а, с2, . . и т. д., переходы справа налеро че тению
а а, а2, ... Естественно, продолжая прои »днть те
<е действия над показателями, охарактеризовать число
1 показателем 1 - 1=0, число— — показателем 1 — 2 —
:0 1 = 1 и т. д.
В частности, следует обратить особое внимание на
часто встречающуюся в приложениях запись десятичных
дробей с помощью отрицательных показателей числа 10.
Здесь ряд степеней удобнее писать справа напево:
.103=1000;102=100;101-=10; 10"=1; 1СГ -0,1;
1(Г2 = 0,01;.
Здесь отрицательные значения показателя можно не
посредственно связать с характеристикой положени
цифры 1 относительно запятой — или, точнее, относительн
разряда единиц, причем положительное направлен!»
отсчета «координаты цифры» отвечает движению влево
в сторону возрастания чисел.
Для сравнения между собой малых чисел, например
0,00000281 и 0,00000031 удобнее записать первое хотя б
в форме 2,81 • 10~6, а второе в виде 0,31 - 10~6 Физи-
Физические константы обычно пишутся в таком виде, срг"
дающем возможность судить о порядке соответствующе
величины.
Полезны упражнения типа 2,81 10~6 = 28,1 • 10~7 =
= 0.281 10~Б= . . ., а также и такие
0,00000281 -0,00000031=281 10~8 . 31 10"8 =
= B81 31) 10~16
0,00000281 :0,00002 = 281 10~8:2 10~5= 140,5 10 и
т. п.
К истолкованию отрицательных показателей можно по
дойти еще и так. Рассмотрим какое-нибудь выражение А
содержащее множитель Л в достаточно высокой (для начала
степени. Умножение Л на ап можно рассматривать, как п р и-
соединение к Л еще п сомножителей, равных о.
а умножение на —, т. е., деление на а п, как ..погашение'
или „уничтожение" в Л того же числа этих сомножите-
сомножителей. Соответственно с этим при подсчете числ.
множителей а, входящих в выражение, образованно!
путем ряда последовательных умножений и делений, нап-
например,
°10 -я2 -ж -° -°2 -4- •¦¦г-
дробные множители (отвечающие действию деления) даду
в алгебраической сумме 10 -f- 2 -—3 -f- I + 2 ¦— 1—4 отри-
отрицательные члены, так что —у будет при подсчете
представлено в такой сумме числом—3,-^ —
числом — 4 и т. д.
Естественно, поэтому, согласно с обычной условно!
фразеологией, применяемой в приложениях при появлении
76
отрицательных значений величин, сказать, что умноже-
умножение на —отвечает „присоединению отрицатель-
а
ного числа (—п) сомножителей, равных а"
или, что в множителе — сомножитель а „содержится от-
а
рицательное число (—п) раз". Умножение на 1 не присое-
присоединяет и не уничтожает множителя а и потому естествен-
естественно сказать, что в 1 сомножитель а содержится „О раз".
Подчеркнем попутно, что в дальнейшем, при изучении
действия извлечения корня и показательной функции,
необходимо обратить особое внимание на то, что при
показателе х, близком к нулю (очень малом), степень
а* очень близка к 1, так что значение с0 = 1 естественным
образом включается в совокупность значений непрерыв-
непрерывной функции а* . Так, путем последовательного извлече-
извлечения квадратного корня, можно установить, что
1032"= 100-03125^ 1,07; К)» ~ Ю0-0039^ 1,009; 10°l00029~ 1,00056
и т. д. (Для еще меньших показателей х получим приб-
приближенно 10х ^; 1 +2,30258 х, где 2,30258 . . . есть натураль-
натуральный логарифм числа 10).
Обе намеченные формы мотивировки по смыслу равно-
равносильны обычной, но они уже заметно для учащихся от-
отличаются от доказательства и имеют явно выраженный
характер наводящих соображений. Возможно, поэтому,
что их применение выявит для учащихся с достаточной
ясностью конкретный смысл отрицательных показателей,
ie затушевывая при этом того, что смысл выражений
(— п и с0 устанавливается с помощью соответствующих
-пределе ний.
Мы не будем останавливаться на возвышении отрица-
отрицательных чисел в дробную степень (извлечении корня из
отрицательных чисел) и на понятии логарифма отрицатель-
¦ioro числа, так как эти вопросы выходят уже за пределы
начальной части курса алгебры и принадлежат по суще-
существу, к теории аналитических функций (функций комплекс-
комплексного переменного).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Cm
§ 1. Введение ... . . 3
§ 2. Введение отрицательных чисел с формально-логической
точки зрения . 5
§ 3. Мотивировка определений с помощью принципа перманент-
перманентности . 20
§ 4. Мотивировка определений в практике преподавания 28
§ 5. Конкретный смысл отрицательных чисел ... 32
§ 6. Положительные и отрицательные числа как характери-
характеристики изменений величин . 42
§ 7. Конкретное истолкование правила знаков при умножении
чисел . . 50
§ 8. Отрицательные цифры 60
§ 9. Некоторые общие выводы . 64
§ 10. Отрицательные корни уравнений 65
§ 11. Отрицательные показатели 73
Отв. редактор вроф. В. Л. Гончаров. Техн. редактор В. В. Гарнвп
А-08393 Подп. к печ. 20,X 1947 г. Уч.-изд. л. 4,37 Печ. J. 5
Зак. 1596 Тир. 5UUO
Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковскнй, Б/16.
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
в 1947 г.
АБАКУМОВ С. И., проф., Методика пунктуации. 116 стр.,
ц. 3 р.
БОЧАРОВ Г. К., Живое слово преподавателя литературы.
138 стр., ц. 4 р.
ГВОЗДЕВ А. Н., проф., Основы русской орфографии.
69 стр., ц. 2 р.
ГРОМБАХ С. М., Очерки по школьной гигиене. 126 стр.,
Ц- 4 р.
МЕНЧИНСКАЯ Н. А., Очерки психологии обучения ариф-
арифметике. 104 стр., ц. 3 р.
МОНОСЗОН Э. М., Воспитание сознательной дисциплины
в процессе обучения. 200 стр., ц. 6 р. 60 к.
ГУЛЬ И. М., Геометрия Лобачевского. 100 стр., ц. 3 р.
ПЕРЕПЁЛКИН Д. И., Геометрические построения в сред-
средней школе. 84 стр., ц. 2 р. 60 коп.
РЕДОЗУБОВ С. П., Обучение грамоте. 128 стр., ц. 3 р.
ЧЕТВЕРУХИН Н. Ш., проф., Стереометрические задачи.
60 стр., ц. 1 р. 60 к.
ШАЛАЕВ В. Ш., Практическая работа учащихся начальной
школы на пришкольном участке. 126 стр., ц. 3 р. 60 к.
ОПЕЧАТКИ
L/гр.
12
57
69
69
73
Строка
св.
14
21
сн.
7
16
20
Напечатано
нуля
н2, 0,-2,
B6+5)
х2—5х + 6 = 0
•Должно быть
нуля и
+ 3, 0,-3,
BЙ-5)
х2 + 5х + 6 = 0
Xs