введение
влинейную
алгебру,
теорию
поля
и ряды
Фурье
АДЗЕРИХО С. Я.,
ПОЛОНСКИЙ И. М., СТОДОЛЬНИК Н. А.
Издательство „Вышэйшая школа11
С. я. Адзерихо, И. М. Полонский, Н. А. Стодольник
Введение
в линейную алгебру,
теорию поля
и ряды Фурье
Под общей редакцией
канд. техн, наук С. Я. Адзерихо
WKBWt
Издательство „Вышэйшая школа64. Минск 1968
Рекомендовано Ученым советом Белорусского технологического
института им. С. М. Кирова
Предисловие
Книга предназначается для студентов технологических
специальностей высших технических учебных заведений и со-
ответствует программам для этих специальностей по соответ-
ствующим разделам. В ней наряду с теоретическим материа-
лом приведено много подробно разобранных примеров и
задач, что несомненно поможет студентам лучше усвоить
теоретическую часть курса.
Уровень строгости при изложении материала соответст-
вует обычно принятому во втузовских курсах.
Учебное пособие составлено сотрудниками кафедры выс-
шей математики Белорусского технологического института
им. С. М. Кирова: канд. техн, наук, доц. С. Я. Адзерихо,
старшими преподавателями И. М. Полонским и Н. А. Сто-
дольник. С. Я. Адзерихо написана глава III и совместно с
Н. А. Стодольник глава II, И. М. Полонским — глава I и IV.
Пользуясь случаем, выносим искреннюю благодарность
Е. Е. Дорскому и А. М. Колобову, внимательно просмотрев-
шим рукопись и давшим ряд ценных указаний.
Авторы

Глава I
Линейные преобразования и матрицы
Линейные преобразования находят широкое применение
при изучении свойств геометрических фигур. Вполне понятно,
что, изучая свойства какой-либо фигуры, можно совершать
только такие преобразования, которые не меняют интересую-
щие нас ее свойства. Линейные преобразования вполне опре-
деляются своими таблицами коэффициентов. Эти таблицы
называют матрицами линейных преобразований. Матрицы
служат очень удобным аппаратом для изучения линейных
преобразований, а значит, и свойств геометрических фигур.
Особенно удобно пользоваться матричным аппаратом для
решения систем линейных уравнений и упрощения уравнений
кривых и поверхностей второго порядка. Этому вопросу и по-
священа глава I.
§ 1.	Линейные преобразования
на плоскости
Если каждой точке М плоскости Р поставлена в соот-
ветствие определенная точка М' той же плоскости, то гово-
рят, что задано преобразование плоскости.
Введем на плоскости Р прямоугольную систему коорди-
нат. Тогда данное преобразование плоскости может быть
представлено аналитически в виде
X' = <Р1 (X, у), 1
У' = <?2 (х, у), /
где х, у — координаты точки 2И; х', у' — координаты точки
ЛГ; a q)i(x, у) и q)2(*, У) —однозначные -«функции перемен-
ных х, у.
Если система (1) при любых х', у' имеет единственное ре-
шение
X = ?1(х', у'),
У = ё2(х', у'),
где ?1(х', у') и	—однозначные функции переменных
х' и у', то соотношения (1') тоже определяют преобразование
плоскости.
Преобразование (1') называется обратным по отношению
к преобразованию (1). Если преобразование (1) переводит
(Г)
5
какую-либо точку М(х, у) в М'(х', у'), то преобразование
(1') возвращает точку М'(х', у') в прежнее положение
М(х, у).
Из определения обратного преобразования следует, что
не всякое преобразование имеет обратное, так как не вся-
кая система вида (1) будет иметь единственное решение
вида (Г).
Частным случаем преобразования плоскости является пре-
образование, которое все точки плоскости оставляет на
месте. Такое преобразование называется тождественным.
Определение. Преобразование (1) плоскости назы-
вается линейным, если q>i(x, у) и q>2(*, у) —линейные функ-
ции относительно переменных х, у.
Таким образом, линейное преобразование плоскости ана-
литически представляется в виде
х' = #пх 4~ а12 у + &i, 1
У' = #21 х + аи У~\~ ^2» I
где #ц, #12, #21, #22, Ь\, Ь2— некоторые числовые коэффи-
циенты.
Полагая Ь\ = Ь2 = 0, мы получим линейное преобразование
плоскости
х' = апх + а12у, I
у' = а21х + а22у, I
которое, как легко видеть, точку 0(0, 0) оставляет на месте.
Примером такого преобразования может служить поворот
плоскости на угол а вокруг начала координат, когда коорди-
наты точки преобразуются по формулам
х' = х cos а — у sin а, |
у' = х sin а + у cos а. J
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные пре-
образования вида (2). Если определитель системы (2)
д = ап #12
#21 #22
не равен нулю, то эта система имеет единственное решение
относительно х, у (при любых х', у')
х =	+ Ь12у', 1
У = b21x' +b22y'. I
Преобразование (2') также будет линейным. По отноше-
нию к (2) преобразование (2') является обратным.
Определитель
д = #11	#12
#21	#22
6
называется определителем линейного преобразования (2).
Очевидно, что определитель обратного преобразования отли-
чен от нуля, так как система (2') должна иметь единственное
решение (2) при любых х, у.
Пример. Дано линейное преобразование
х' = Зх + 2у, I
У' = 7х + 5у. I
Найти обратное преобразование.
Решение.
------7х' + Зу'.
§ 2.	Линейные преобразования в пространстве
Если каждой точке М пространства поставлена в соот-
ветствие определенная точка М' того же пространства, то
говорят, что задано преобразование пространства.
Выберем в пространстве прямоугольную систему коорди-
нат. Тогда данное преобразование пространства может быть
представлено аналитически в виде	*
х' = ?i(x, у, z),
У' = у, 2),
2' = ?з(*, У’ 4 ,
(3)
где ф1(х, у, z), q>2(*, У, 2), <р3(х, У, 2) —однозначные функции.
Если система (3) имеет единственное решение (при лю-
бых х', у\ z')
х = ?1(х', у', 2'),
у = ?2«у', *')>
(3')
2 =	у', И’
то соотношения (3') тоже определяют преобразование про-
странства. Преобразование (3') называется обратным по отно-
шению к преобразованию (3). Если преобразование (3) пере-
водит точку М (х, у, z) в точку ЛГ(х', у', z'), то преобразование
(3') возвращает точку М'(х', у', z') в прежнее положение
М(х, у, г) .
Так как не всякая система (3) имеет единственное реше-
ние при любых х', у', z', то и не всякое преобразование (3)
имеет обратное.
7
Определение. Преобразование (3) пространства на-
зывается линейным, если <pi(х, у, г), <р2Iх, У, z), <рз(х, У, ?) —
линейные функции относительно х, у, г.
Таким образом, линейное преобразование пространства
определяется формулами
х' =anx + a12y + al3z + b1,
У' = а21 х + аи у + a23z + b2,
г' = а31 х + а32у + а33 z + b3,
где a,k, bi (i, k—\, 2, 3) —некоторые числовые коэффициен-
ты. Легко видеть, что линейное преобразование пространства
плоскость преобразует в плоскость.
Полагая Ь\ = Ь2 = &з = 0, получим линейное преобразова-
ние пространства
х' = йцХ + а12у + а13г,
У ~ @21Х “F &22У ^23^ >
z' = а31х + а32у + a33z, ,
(4)
которое оставляет на месте точку О (0, 0, 0). В дальнейшем
будем рассматривать только такие линейные преобразования.
Определитель
& =
аи а12 а13
о 21 а22 а23
° 31 а32 &33
называется определителем линейного преобразования (4).
Если Д=И=0, то система (4) имеет единственное решение
х = b12x’ + b12y' + bl3z',
У = &21*' + ь22у' + ьяг',
2 = 681*' + Ь32у' + bssZ'. .
(4')
Соотношения (4') определяют линейное преобразование, об-
ратное по отношению к преобразованию (4).
Пример. Дано линейное преобразование
х' = х + 2у + г,
у’ = 2х + у + z,
г' = х + Зу + г.
Найти обратное преобразование.
Решение. Найдем переменные х, у, г по формулам
8
где
2 1
1 1
3 1
= — 2х' + У' 4- z';
1 2 х'
2 1 у' = 5х'—у'—Зг',
1 3 z'
х = — 2х' + у' + г',
у = —х' + г',
z = 5х' — у' — Зг'.
Замечание. Если определитель линейного преобразования (плос-
кости или пространства) отличен от нуля, то преобразование называется
невырожденным; если же он равен нулю, то преобразование называется
вырожденным. Вырожденное преобразование не имеет обратного.
§ 3.	Квадратные матрицы второго порядка
Линейное преобразование плоскости (2) вполне опреде-
ляется таблицей коэффициентов, которая называется квад-
ратной матрицей второго порядка и обозначается
/ ап а12 \	ап а12
А =	или А =
\ а21 а22 /	а2х а22
Числа аи, ai2i a2i, а22 называются элементами матрицы А.
Каждому линейному преобразованию плоскости соответст-
вует квадратная матрица второго порядка и наоборот.
Пусть вслед за линейным преобразованием плоскости (2)
выполнено линейное преобразование
х" Ьцх' +	)
У^ + ь^.\	<5>
Последовательное выполнение этих двух преобразований пе-
реводит точку М(х, у) в точку М"(х", у"), т. е. является но-
вым преобразованием
Х” = спх + С121/, |
у" = Спх + С221/, I
которое снова будет линейным, в чем легко убедиться, под-
ставляя в (5) значения для х' и у' из соотношений (2):
X" = 6ц(0цХ 4- а12у) + Ь^а^х + а^у), |
У" = b2i(aux + а12у) + b^a^x + а^у) J
или
х" = (ЬцИц + &12а21)х + (Ьиаи + b^a^y, |
у" = (^21а11 4* ^2ifl2l)X + (^21^12 4"	I
Преобразование (6) имеет матрицу
9
/ #и #1г\
О — I I»
\#21 #22/
где
#11 — Ь\\й\\ + &12#2Ь #12 = &11#12 + &12#22’,
#21 = &21#11 + ^22#21‘» #22 = &21#12 + &22#22-
Таким образом, матрицу С преобразования (6) можно
найти по матрицам А и В преобразований (2) и (5) соответ-
ственно.
Преобразование, полученное в результате последователь-
ного выполнения двух данных преобразований, называется их
произведением. Операция, в результате которой по матрицам
А и В данных линейных преобразований плоскости нахо-
дится матрица произведения этих преобразований, называется
умножением матриц.
Две матрицы
/ #п а12 \	/	&12 \
А =	и В = I ,	,
\ #21 #22 /	\ #21 #22 /
называются равными, если
#11 — Ь\\, й\2 — Ь\2, #21 = &21» #22 — &22,
т. е. если равны элементы матриц, занимающие одинаковые
места.
В рассмотренном примере мы имеем:
/ #11 #12 \	/ ^11#11 + &12#21	^11#12 + ^12#2г\
\ #21 #22 /	\ ^21#11 “Ь ^22#21	^21#12 "4“ ^22#22/
Умножение матрицы В на матрицу А выполняется по
правилу «строка на столбец». Это означает, что при вычис-
лении матрицы С = ВА для получения элемента Cik (i,	2)
матрицы С нужно составить сумму произведений элементов
г-й строки матрицы В на соответствующие элементы й-го
столбца матрицы А. Таким образом, равенство (7) может
быть коротко записано в виде
С = ВА.
Пример 1. Найти результат последовательного выполнения
преобразований
Xх = Зх + 2у, |	х" = х' + Зух, |
У' = х + 5у J И у" = 2х' — у'. J
Решение.
/3 2\	/1	3 \
А = ( 1 5 )' В = \ 2 — 1 )’
10
/1-34-3-1	1 • 2 + з • 5 \ /6	17\
С = ВЛ= \ 2-3—1 • 1	2-2—1-5/ \ 5—1 /’
Произведением данных преобразований будет преобразова-
ние
х" =6х+ 17у, |
у" = 5х — у. /
Пример 2. Найти матрицы АВ и ВЛ, если
Решение.
/3 — 1\ /1 — 3\ /3- 1 + (—1) 2 3(-3)+(—1)5\
ЛВ = \2	4/U	5/ \2 • 1+4-2 2(—3)+4-5 / =
/ 1 — 14\
= \10	14/’
/1 —3\ /3 —1 \ /1 • 3 + (—3)2 1(—1)+(—3)4\ _
ВЛ \2 5 / \2 4/ = \2-3 + 5-2 2(—1)+5 4 / =
/ —з —13
\ 16	18
Последний пример показывает, что АВ =# ВЛ, т. е. при умно-
жении квадратных матриц второго порядка переместительный
закон не имеет места.
Отсюда следует, что результат последовательного выпол-
нения двух линейных преобразований плоскости зависит от
порядка, в котором выполняются эти преобразования.
§ 4. Квадратные матрицы третьего порядка
Линейное преобразование (4) вполне определяется таб-
лицей коэффициентов, которая называется квадратной мат-
рицей третьего порядка и обозначается
		012	013 \	0ц	012	013
д =	021	022	а 23 I или А —	а21	О 22	023
	к 031	fl32	азз /	03i	О 32	03з
Числа aih (i, k = 1, 2, 3) называются элементами матрицы Л.
Каждому линейному преобразованию пространства соответст-
вует квадратная матрица третьего порядка и наоборот.
11
Две квадратные матрицы третьего порядка
(ап ^12 а13 \	/ Ьц Ь12 ^1з
#21 ^22 ^23 ) И & = I ^21 ^22 ^23
^31 ^32 а33 /	\ ^31 ^32 ^33
считаются равными, если
aik = bik (i, k = 1, 2, 3),
т. e. если равны элементы матриц, занимающие одинаковые
места,
Пусть вслед за линейным преобразованием пространства
(4) с матрицей
/аи а12 а13\
А = I П21 ^22 ^23 I
\ G31 fl32 а33 /
выполнено линейное преобразование
х" = bux' + b12y' + b13z',
y,f = 621х' + b22y' + b23z',
z" = b31x'+ b32y'+ b33z' ,
(8)
с матрицей
/ Ьц b12 bi3
В = I 62i Ь22 Ь23
\ Ьзг Ь32 Ь33
Последовательное выполнение этих двух преобразований пе-
реводит точку М(х, у, z) в точку Л4"(х", у", и"), т. е. является
новым преобразованием
х" = спх + с12у + c13z,
j/" = с21х + с22у + c23z, >
z" = c3ix + с32у + c33z, ,
(9)
которое снова будет линейным, в чем легко убедиться, под-
ставляя в (8) значения для V, у', zr из соотношений (4).
Элементы матрицы С линейного преобразования (9) выра-
жаются через элементы матриц А и В следующим образом:
(Ьцвц + ^12а21 + ^13^31 ^11а12 + ^12°22 4" ^13fl32
^21^11 + ^22^21 4" ^23^31 ^21^12 4" Ь22й22 4“ ^23^32
^31а11 4- ^32^21 4- ^З3а31 ^81а12 4" 632#22	b^a32
bnUi3 + &12^2з + Ь^а^Л
^21°13 4~ ^22^23 + ^23^33 I-
^з1а1з 4~ Ь32а23 4~ Ь33а33/
12
Операция, в результате которой по матрицам А и В дан-
ных линейных преобразований пространства находится мат-
рица С произведения этих преобразований, называется умно-
жением квадратных матриц третьего порядка.
Матрица С равна произведению матрицы В на матри-
цу А
С = BA.
Умножение матрицы В на матрицу А, как и в случае умно-
жения квадратных матриц, выполняется по правилу «строка
на столбец».
Пример 1. Найти результат последовательного выполнения
преобразований
х' = 2х — Зу + 5z,
У' = У + 4z,
z' = 2х + 2у + 3z
х" = 3х'+ y' — 2z',
у" = 2х, + 3у’+ г',
г" = 4х'	+ 5z'.
и
Решение.
/2 —3 5 \
А = I 0	14 1,
\2	2 3 /
/3-2+10—2-2 3(—3)+1-1-2-2 3-5+1-4—2-3\
С = ВЛ = ( 2-2+3-0+1-2 2(—3)+3-1+1-2 2-5+3-4+1-3 =
\4-2+0-0+5-2 4(—3)+0-1+5-2 4-5+0-4+5-3/
/ 2 —12 13\
= 6 — 1 25 .
\18 — 2 35/
Произведением данных преобразований будет преобразование
х" = 2х — 12y+13z,'
У" = 6х — у + 25z,
z" = 18х — 2у + 35z.,
Пример 2. Найти произведение матрицы А на матрицу В,
где А и В — матрицы примера 1.
Решение.
/2-3—3-2+5-4 2-1—3 3+5-0 2-(—2)—3-1+5-5 \
АВ =10-3+1-2+4-4 0-1+1-3+4-0 0-(—2)+1 • 1+4-5 1 =
Х2-3+2-2+3-4 2-1 + 2-3+3-0 2-(—2)+2-1+3-5 /
/20 —7 18 \
(18 3 21 I
\22	8	13	/
13
Приведенный пример показывает, что АВ #= ВЛ, т. е. для ум-
ножения квадратных матриц третьего порядка переместительный
закон не имеет места.
Отсюда следует, что результат последовательного выпол-
нения двух линейных преобразований пространства зависит
от порядка, в котором эти преобразования выполняются.
§ 5. Основные действия над матрицами
До сих пор мы рассматривали только квадратные матри-
цы второго и третьего порядков, элементами которых служи-
ли числа. Дадим теперь более широкое определение матрицы.
Определение. Матрицей называется прямоугольная
таблица элементов, состоящая из m строк и п столбцов. Эле-
ментами матрицы могут служить числа или же функции.
Матрица называется прямоугольной, если число ее строк не
равно числу столбцов (гп =# п). Например,
Если же пг = и, то матрица называется квадратной. Число
строк квадратной матрицы называется порядком этой мат-
рицы.
Матрицы Л и В считаются равными, если они имеют оди-
наковое число строк и столбцов и если при этом элементы
матриц Л и В, расположенные на одинаковых местах, равны
между собой. Например, если
/ 1 —3 4 \	/1 —3 4 \
Л = \5	2 3 / И = \5	2 3'
то матрицы Л и В равны, что записывают так: Л = В.
К основным действиям над матрицами относятся умноже-
ние и сложение матриц и умножение матрицы на число.
Умножение квадратных матриц второго и третьего поряд-
ков мы рассмотрели в § 3 и 4. Аналогично выполняется умно-
жение квадратных матриц любого порядка.
Умножение прямоугольных матриц возможно, если число
столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;
в этом случае их произведение находится по правилу «стро-
ка на столбец». Поясним сказанное примером.
Пусть требуется умножить матрицу Л на матрицу В,
где
14
Такое умножение возможно, так как число столбцов матрицы
А равно числу строк матрицы В. Выполняя умножение по
правилу «строка на столбец», получим
2 3 4- 3-2 + (—1)1 \	/11\
3-3+ 1-2 + 4-1 /	\ 15/’
Произведение же ВА в этом случае лишено смысла, так как
число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
Уже из этого примера следует, что для умножения прямо-
угольных матриц переместительный закон не выполняется.
Можно показать, что сочетательный закон умножения вы-
полняется как для квадратных, так и для прямоугольных
матриц, т. е. имеет место равенство (АВ) С = А (ВС).
Определим теперь сложение матриц.
Определение. Суммой двух матриц А и В, у которых
число строк и число столбцов матрицы А соответственно
равны числу строк и числу столбцов матрицы В, называется
такая третья матрица С, элементы которой получаются сло-
жением соответствующих элементов матриц А и В.
Пример. Найти сумму матриц А и В, если
/2 —4	5\	/3	1 2\
А = (з 1	6/	и	В	= \4	2 3/
Решение.
/2 —4	5\	/	3 1 2	\	/5—3	7\
с = Л + В4з 1	б) +	(	4 2 3	/ =\7	3	9/*
Легко видеть, что если сумма
матриц А и В имеет смысл,
то
А + В = В + А.
Определим, наконец, умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы А на число k
называется матрица kA, элементы которой равны соответст-
вующим элементам матрицы А, умноженным на число k:
/ а11 а12 а1з \	/ kan ^а12 ka13
\ ^21 &22 ^23 /  ' ka21 ka22 ka^
Легко показать, что
(kA)B = A(kB) = k(AB)
и что
k(lA) = (kl)A,
где k \\ I — числа, а А и В — матрицы.
15
§ 6. Теорема об умножении определителей
Определитель, составленный из тех же элементов, что
и квадратная матрица (и расположенных в том же порядке),
называется определителем этой матрицы.
Определитель матрицы А мы будем обозначать символом) А |.
Теорема. Определитель произведения двух матриц ра-
вен произведению определителей этих матриц.
Докажем эту теорему для матриц второго порядка.
Пусть
/#ц Я12\	/6ц 6i2\
А =	1 и В =	.
\а21 а22/	\*21 ^22/
Тогда
__ / 0ц6ц + ^12^21 011612 +’ 012^22
\ 021611 + 022^21 ^21612 + 022622
Вычислим произведение определителей | А | и | В |:
|Л| =	0Ц 021	012 022	— #ц#22	012021»
|В| =	6ц 62I	612 622	— 6ц622	6i262i*,
| Л | • | В | — (0Ц022-012021) (6ц622 - 612621) — 0Ц022бц622 -
--0120216ц622	0Ц022612621 + 0120216126г!’
Теперь вычислим определитель | АВ |:
. л . 0ц6ц + 012621 0ц612 + 012622
\АВ =	. ,	,	, .	.	=
021^11 4“ 022^21	021612 + 022^22
= (0ц6ц + 012б21) (021612 + 022622)  (011612 + 012622) (021611+022621) =
= 0ц6ца21612 + fli262i02i6i2 + 011611^22622 + 012621022622
--0116120216ц----0126220216ц----0116120226г!--#1262202262! =
==#ц6цП22622-----0120216ц622---0ц612#22621 + #12621021612-
Отсюда следует, что | АВ | = |Л | • | В |.
В случае квадратных матриц третьего порядка теорема
об умножении определителей доказывается аналогично.
§ 7. Обратная матрица
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю. Если же определитель матрицы не
равен нулю, то матрица называется невырожденной. Соответ-
16
ственно своим матрицам называются и линейные преобразо-
вания.
Из § 6 следует, что произведение матриц, хотя бы одна
2 из которых вырожденная, будет вырожденной матрицей. Про-
изведение же любых невырожденных матриц будет невырож-
денной матрицей.
Рассмотрим тождественное преобразование пространства
х' = х,
У' =У>
г' = z,
(Ю)
которое все точки пространства оставляет на месте. Преобра-
зованию (10) соответствует матрица
/1 0 0\
Е=| 0 1 0 ,
\0 0 1/	'
которая называется единичной.
Легко видеть, что единичная матрица Е перестановочна
с любой матрицей данного порядка, т. е.
АЕ = ЕА.
Введем в рассмотрение обратную матрицу Д-1, т. е. такую,
что
Д-U = ДД-1 = Е.
Ясно, что вырожденная матрица не имеет обратной. В самом
деле, если матрица А вырожденная, то | А | = 0 и, следовательно
АВ =£ Е
для любой матрицы В, так как
| А | • | В | = 0, а | Е\ = 1.
Пусть дана матрица
(#11 #12 а1з \
#21 #22 #23 Г
#31 ^32 #33 /
Матрица, полученная из матрицы А заменой строк столбца-
ми, называется транспонированной к матрице А; мы будем
обозначать ее А'. Таким образом,
(#и a2i #з1 \
#12 #22 #32 Г
#13 #23 #33 /
Составим матрицу Д*, элементами которой являются
алгебраические дополнения к соответствующим элементам
матрицы Д',
17
/ Лц
л* = л12
\Л13
Л21 Л31\
Л22 Л32 I,
Л23 Л33/
где Aik есть алгебраическое дополнение к элементу сцн опре-
делителя
|Л'| =
#и а21 а31
#12 а22 #32 •
#13 #23 п33
(11)
Составленная таким образом матрица Л* называется присое-
диненной (или взаимной) матрицей к матрице Л.
Найдем произведения ЛЛ* и Л*Л. Легко видеть, что
/ #11	#12	#13	к /Лц Л21	Лз1\	/d 0	0\	/1 0	0\
ЛЛ* = 1 а21	а22	#23	II Лх2 Л22	Л32 1	= ( 0 d	° l=d|	0 1	0\ = dE,
\ #31	#32	#33 /	\Л1з Л23	Л 33/	\0 0	dj	\0 0	1/
/ Лц	Л21	Л3^	к / #11 #12	#13 \	/d 0	0\	/! 0	0\
Л*Л = Л12	Л 22	Л32	11 #21 #22	#23 1	= IO d	° =d|	° 1	0 j =</£•,
\Л13	Л2З	Л33 1	\ #31 #32	#33 /	\0 0	d./	\0 0	1/
где d есть	значение определителя				(И).			
Действительно,			умножая	i-ю	строку	матрицы /		4 на i-й
столбец матрицы Л*, мы получим разложение определителя
(11) по Z-й строке. Умножая же i-ю строку матрицы Л* на
Z-й столбец матрицы Л, мы получим разложение определите-
ля (11) по f-му столбцу. Во всех остальных случаях будет
получена сумма произведений элементов некоторого ряда
определителя (И) на алгебраические дополнения параллель-
ного ряда, которая, как известно, равна нулю.
Таким образом, доказано, что АА* = Л*Л = dE.
Теперь покажем, что для каждой невырожденной матри-
цы существует обратная матрица, и найдем ее вид.
Пусть А — невырожденная матрица, а Л* — матрица, при-
соединенная к матрице Л. Разделив все члены присоединенной
матрицы Л* на d, где d есть значение определителя матри-
цы Л, получим матрицу
Лц Л21 Л311
d d d
В = —А*= 412 лзг	(12)
d	ddd
^13 ^23 Аз
। d d di
Легко показать, что матрица (12) является обратной по отно-
шению к матрице
18
/ 0Ц fl12 013 \
т4 = I ^21 022 023 Г
\ 031 032 033/
Действительно,
АВ = Л (-1-Л*) = -±-(АА*) = ±(dE) = Е
И
ВЛ = (4л*)л = ±(Л*Л) = 4 (dE) = Е.
Итак, матрица В = А* является обратной к матрице Л,
т. е. если
(0ц 012 01з \
021 022 023 I
031 032 033 /
есть невырожденная матрица, то обратной к ней
рица
Л-1 =4 Л*.
будет мат-
что опреде-
Действительно, так как
Из теоремы об умножении определителей следует,
литель матрицы Л”1 равен
I А I
ЛЛ"1 = Е,
то
Но |Е| = 1; следовательно, | Л | |Л~11 = 1, откуда
|л-'Н|4г
Таким образом, обратная матрица А~1 будет также невырож-
денной.
Так как Л-1Л = Е, то матрица А будет перестановочна с
обратной матрицей Л-1.
Аналогично определяется и находится обратная матрица для
невырожденной квадратной матрицы второго порядка.
Пример. Дана матрица (см. пример § 2)
Найти обратную матрицу.
/1 2 1\
Л =12 1 1 )
\1 3 1/
19
Решение. Запишем транспонированную к А матрицу А':
/1 2
Д' = (2 I 3 ].
\1 1 1/
Найдем присоединенную к А матрицу А*:
/ —2	1	1 \
Д* =1 —1	0	11.
\ 5—1—3/
Вычислим значение определителя d матрицы А:
1 2
2 1
1 3
1
1
1
d =
= Ц-2 + 6—1—3 —4=1.
Тогда
/ —2 1	1 \
,1-	О	1 I
"	\ 5 -1 -з/
§ 8. Применение матриц к решению систем
линейных уравнений
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя не-
известными
01+1 + 01+2 + О13Х3 = 61,
02+1 “р О33Х3 “|“ О25Х3  — 63,
031Х! + о3+3 + о33х3 = 63.
(13)
Используя умножение прямоугольных матриц, систему (13) мож-
но записать в матричной форме
АХ = В,
где
(Оц 012 013 \	/хД	/6Д
o2i а22 а23 1, X = I х2 I и В = I 62 )•
o3i а32 а33 /	\х3/	\63/
Пусть матрица А — невырожденная. Тогда она имеет обратную
матрицу Д—>. Умножая обе части равенства АХ = В слева на
матрицу Д-1, получим
А-1 (АХ) = Д-'В,
откуда
X = Д-'В,
20
так как
А-'(АХ) = (А~'А)Х = EX = X.
Произведение А~1В есть матрица, состоящая из одного столбца,
элементами которого являются неизвестные xlf хг, х8. То, что
полученные значения неизвестных действительно являются ре-
шением системы, легко проверить, подставляя X — А~1В в урав-
нение АХ = В:
А(А-'В) = (АА~‘)В = ЕВ = В.
Пример 1. Решить систему уравнений
х + 2у— z = 8, ’
2х — у + z = —3,
Зх + у — 2z = 11.
Решение. Запишем данную систему уравнений в матрич-
ной форме
/1	2 —1 \ /х\	/ 8\
12—1	1 (у = —3 .
\3	1 —2 / \z /	\ И /
Здесь
/1	2 — 1 \	/х\	/ 8\
А = I 2 — 1	1 I. X = | у и В = —3
\3 1 —2 /	\z )	\ 11 /
Найдем матрицу Л-1:
1	2 —1
d = |Л | = 2 — 1	1
3	1 —2
= 2 —2+6 —3—1+8= 10,
/Лц Л21 Л81\	/13
Л* = I Л12 Л22 Л321 = I 7 1 —3 I.
\Л13 Л23 Л33/	\5 5 —5/
/1 3	1\
Л->=2-Л* =1 7 1 -3 .
\ 5 5—5/
Теперь найдем матрицу X:
/13	1\ / 8\	/ 8 — 9 + 11 \
Х = Л~'В; X = -jU 7 1 —3 I -3 1 = -^ 56 - 3 - 33 =
\5 5 —5/\ 11/	\40 — 15 —55/
21
Таким образом, матрица
является решением системы, откуда следует, что
х = 1, у = 2, г = —3.
Пример 2. Решить систему уравнений
х — Зу 4- 2jj = — 3,
2x4- у — Зг = — 13,
Зх 4- 2у 4- z =	4.
Решение. Запишем данную систему уравнений в матрич-
ной форме:
/1—3	2\ /х\	/ — 3\
I 2	1 —3 I I у I = 1 —13 I
\3	2	1 J\z /	\	4 /
или
АХ = В,
где
/1—3	2 \	/ х \	/ — 3 \
А = 12	1—3 1, X = у I и В =| —13 ).
\3	2	1 /	\ z /	\ . 4 /
Тогда
X = А-'В.
Найдем матрицу Л-1:
d =
1 —3	2
2	1	—3
3	2	1
1 4-8 4-27 — 6 4-6 4-6 = 42,
/Лц Л21 Л31\	/	7	77
Л* = I Л12 Л22 Л32 I = I —11 - 5 7
\Л13 Agg Л33 /	\	1	—117
/	7	7 7 \
11 -57 
\	1 —11 7/
22
/	7	7	7\/— 3\	/— 84\	/—2\
Х = А~>В = ± -И - 5 7	-13 =_U 126 I I 3 .
\	1	_ц	7/ \	4/	\ 168/	\ 4/
Матрица	/—2\
X =	3
\ 4/
и является решением системы, откуда следует, что
х = —2, у = 3, z = 4.
§ 9. Ортогональные преобразования
Рассмотрим для определенности трехмерный случай. Линей-
ное преобразование, переводящее точку М(х„ х2, х3) в точку
Mifi/j, у2, у3), определяется формулами
У1 = Ml + «12*2 + Л13Х3. '
У 2 ~ ^21*^1	^22*^2	^23^3*
Уз = «31*1	^32^2 “Ь @33X3 .
и имеет матрицу третьего порядка
(Цц flj 2 а13
^21 ^22 ^23
^31 ^32 ^33
(14)
(15)
Линейное преобразование (14) пространства можно рассмат-
ривать как линейное преобразование векторов в пространстве.
Действительно, пусть линейное преобразование пространства
задано формулами (14). Легко проверить, что оно перево-
дит форму с постоянными коэффициентами Аг (i = 1, 2, 3, 4)
Л]Х] + А2Х2 + А3Х3 + Л4,
называемую линейной формой, в линейную форму
В\У\ + В2У2 + ВзУз + ^4,
а это значит, что преобразование (14) плоскость переводит
в плоскость, пересекающиеся плоскости — в пересекающиеся
плоскости, прямые — в прямые.
Пусть теперь дан вектор MN, где М (х\, х2, х'3>) и N (х,, х'2, х").
По формулам (14) точки М и N преобразуются в точки М^у^, у\,у'А
и (у \, у", у"), координаты которых находятся по формулам:
У\ = йцх\ + а12х'2 + л13х',
У 2 == ^21-^1 “F ^22-^2 “Ь ^23*^3»
Уз = аз1< + а32х' + а33х',
У ] — а11Х\ Д12Х о + Р
У 2 = а21^ 1 а22Х 2 ^23*3»
Уз ~ а31Х\ 4" 032*2 4“ аЗЗХз*
23
Следовательно, вектор
MN {х\—х\, х2—х2, х3—х'3 |
преобразуется в вектор
MV {!/i — У,. у\ ~ Уз> Уз — у'з
причем
У\ —У'1 =	— <) + а12(х; — х'2) + а13(х3 — х'3),
У2 У 2 = ^21(^1 *1)4’ ^22(^2 ^2) 4" ^2з(-^3 *^з)>
Уз Уз = ^31(^1 *1)“Ь Яз2(х3 х2) -f" #з3(х3 х3),
(16)
т. е. координаты векторов преобразуются по тем же форму-
лам (14), что и координаты точек.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие
линейные преобразования пространства в себя, которые со-
храняют расстояние между двумя точками. Такие линейные
преобразования называются ортогональными. Ортогональные
преобразования сохраняют и углы между прямыми, так как
переводят любой треугольник в равный ему треугольник.
Найдем те условия, которые требуется наложить на эле-
менты матрицы (15), чтобы линейное преобразование было
ортогональным.
По формулам (16) единичные векторы координатных осей
/, у, k переходят соответственно в векторы
V = anl + a2J + а31Л,
J = #12^ 4" #22/ 4" #32^»
Л' = a13l + a23J 4- a33k.
(17)
Проверим справедливость приведенных формул. Единичный век-
тор i имеет координаты {1, 0, 0). Пусть вектор /' имеет ко-
ординаты {ix> iy, i'2}. Пользуясь формулами (16), получим:
— #и	•	1	4~ #12	* 0 4~ #13	* 6	— #ц,
iy == #21	*	1	4- #22	’ 6 4~ #23	‘ 6	— #21»
iz = #31	•	1	4- Я32	• 0 + #зз	• 0	= #31-
Таким образом, вектор i { 1, 0, 0 } переходит в вектор /' [#ц, #2Ь #3i].
Аналогично можно показать, что вектор j { 0, 1, 0) переходит
в вектор / {#12» #22» аз21 и вектор k {0, 0, 1 } переходит в век-
тор k' ( #13, #23, #33 } .
Так как мы рассматриваем ортогональное преобразование,
то векторы Z', J' и Л' должны быть единичными и попарно
ортогональными. Эти требования налагают на элементы мат-
рицы шесть условии:
24
/T^a^ + a^+aL = 1,
j'j' +^2 +^2 = h
k'k' = #?3 4-#*34-#з3 - 1,
ij = aua12 + 02ia22 + #31^32 =
Z Й = #ц#13 4" #21^23 4" #31#33 = 0,
j k = #12#13 4“ #22^23 4“ #32^33 =
(18)
Совокупность равенств (18) запишем в виде одного мат-
ричного равенства
(#11 #21	^31\ / #11	^12	^13\	/ 1	0	0\
#12 #22	#32 I I #21	^22	#23 I	=	I	1	0 I	(1®)
#13 ^23	^33/ \#31	^32	#33/	\0	0	1/
Можно показать и	обратное, а	именно: если	удовлетворяется
равенство (19), то линейное преобразование (14) будет орто-
гональным.
Итак, для того чтобы линейное преобразование (14) было
ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство (19).
Условие (19) можно записать в виде
А'А = Е,	(20)
где А' — матрица, транспонированная к матрице А. Из ра-
венства (20) следует, что
Л' =Л“!,	(21)
где Л”1 — матрица, обратная матрице Л.
Матрица, удовлетворяющая условию (21), называется орто-
гональной. Иными словами, ортогональной матрицей называется
такая матрица Л, что транспонированная к ней матрица Л'
совпадает с обратной матрицей Л"1.
Таким образом, в декартовой системе координат ортого-
нальному преобразованию соответствует ортогональная мат-
рица, и обратно, ортогональная матрица определяет ортого-
нальное преобразование.
Ортогональное преобразование плоскости в себя опреде-
ляется аналогично. Для того чтобы преобразование плоскости
в себя было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы
матрица этого преобразования была ортогональной.
Пример 1. Проверить, что преобразование
х = х' cos а — у' sin я, I
у = х' sin а + у' cos а I
является ортогональным.
25
Решение.
/ cos a sin а \ /cosa —sina\_
\—sin a cosa ) (sina cosa/ =
_ / cos2 a + sin2 a — cos a sin a 4- sin a cos a \_ /1 0\ __ -
~ \—sin a cos a 4-cosa • sin a	sin2 a 4-cos2a ’	\0 I) ~
Так как условие (20) выполнено, то данное преобразование
является ортогональным.
Пример 2. Проверить, что преобразование
1.2	2 ч
У1	з	Н-	з	з *з»	।
2	12*
Уг = ~з~	Н	з"	%2 Н	з~*з>	}
♦	2	2	1!
Уз —	3 Х1	3	Х2	з А'з
является ортогональным.
Решение. Проверим выполнение условия (20). Найдем
произведение А'А:
/ 1 2	2\	/1	2 —2 \	/9 0 0\	/1 0 0\
I 21 —2 1.112 1 2j = -ll090j=l0 10l
\—2 2 —1/ 3\2 —2 —1 / 9 \0 0 9/ \0 0 1/
Следовательно, данное преобразование является ортого-
нальным.
§ 10. Собственные векторы и собственные значения
Рассмотрим линейное преобразование (14). Векторы
х | xlt х2, х3| и у {уv уг, Уз) будем записывать в виде матриц:
xi\	/У1\
х I х2 I И у = I Уг I.
\xJ	\yJ
Тогда формулы (14) можно записать в матричной форме
у = Ах,	(22)
где А — матрица преобразования (14).
Если данное линейное преобразование переводит некото-
рый ненулевой вектор а в параллельный вектор Ка, то век-
26
тор а называется собственным вектором этого линейного
преобразования, а число X — собственным значением этого
преобразования.
Чтобы вектор х был собственным вектором линейного
преобразования (14), должно выполняться условие
у = \х, т. е. Ах = Хх,
которое в развернутом виде запишется так:
0ц*1 + я12х2 + 013х3 -- X хх,
021^1 Ч~ 022^2 Ч~ 023^3 ~ ^2»
^31Л1 4“ 032*^2 Ч" ^33*^3 = *3
ИЛИ
(0ц — Х)хх + я12х2 + я13х3 = О,
02Л + («22 — Л)*2 + 023*3 = О»
031*1 Ч” 032*2 Ч~ («33	*3 = О’
(23)
Необходимым и достаточным условием того, что преобразо-
вание (14) будет иметь собственный вектор, является равенст-
во нулю определителя однородной системы (23), т. е.
Яц — X	012	013	
021	022	023	=
031	032	033	
(24)
Уравнение (24) называется характеристическим уравне-
нием матрицы Л, а корни его — характеристическими корнями
матрицы А (или собственными значениями матрицы Л). Ве-
щественные собственные значения матрицы Л и являются
собственными значениями данного линейного преобразования.
Найдя из уравнения (24) какое-нибудь собственное зна-
чение X данного линейного преобразования (14), мы можем
затем найти соответствующий ему собственный вектор, решив
систему (23).
Для линейного преобразования плоскости собственные
векторы и собственные значения определяются аналогично.
Пример 1. Найти собственные векторы линейного преоб-
разования с матрицей
/ 7 —2	0\
Л = ( -2 6 -2 I.
\ 0 — 2	5/
Решение. Составим характеристическое уравнение мат-
рицы Л
7 —X	— 2	0	
—2	6—X	—2	= 0.
0	—2	5 —X	
27
или
X3—18Х2+99Х—162=0.
Подбором находим, что М = 3 является корнем этого уравне-
ния. Тогда
X3— 18Х2 + 99Х - 162 = (X - 3) (X2- 15Х + 54) = 0.
Решая квадратное уравнение
X2- 15Х + 54 = 0,
находим еще два корня: Х2= 6 и Хз= 9.
Найдем собственный вектор, соответствующий собствен-
ному значению Xi=3. Подставляя Xi = 3 в систему (23), по-
лучим
(7 — 3)хх — 2х2 + 0 • х3 = 0,
—2хх + (6 — 3)х2 — 2х3 = 0,
0 • хг — 2х2 4* (5—3) х3 = 0
или
4xj — 2х2 — О,
—2хг + Зх2 — 2х3 = О,
—2х2 + 2х3 = 0.
(25)
Из первого и третьего уравнений системы (25) следует, что
Х2 = 2X1, *2 = х3.
Полагая xi = k, где k — произвольное число, отличное от нуля,
получим
Xi= k, х2 = 2k, х3= 2k.
Таким образом, собственному значению Xi=3 соответствует
собственный вектор
Xi, {k, 2k, 2k}.
Аналогично найдем, что собственными векторами, соот-
ветствующими собственным значениям Х2= 6 и Хз= 9, будут
векторы
Хх, { 2k, k, —2k }
и
xi,\-2k, 2k, —k}.
Из рассматриваемого примера видно, что собственный
вектор линейного преобразования определяется не однознач-
но, а с точностью до коэффициента k (коэффициента растя-
жения).
28
Полагая в приведенном примере k = 1, получим собствен-
ные векторы
хХ1{1, 2, 2}, лгх2{2, 1, —2} и хк {-2, 2, -1 }.
Задача о нахождении собственных векторов линейного
преобразования плоскости решается аналогично.
Пример 2. Найти собственные значения и собственные век-
торы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение мат-
рицы и найдем его корни:
3 —X 4
5	2 —К =0
пли
X2- 5Х — 14 = 0.
Корни Xi=7 и %2= —2 этого уравнения являются собст-
венными значениями матрицы А.
Найдем собственный вектор матрицы А, соответствующий
собственному значению Xi = 7, решая систему уравнений
(au —k)*i +<*12-4=0. ]
<*гЛ + (<*22 — х)4 = О J
при X = 7.
Подставляя значение Х = 7 в (26), получим для данной
матрицы систему
—4хх + 4х2 = 0, 1
5хг — 5х2 = 0, J
откуда следует, что хх = х2. Полагая хг = 1, находим собст-
венный вектор ах,( 1,1 ).
Аналогично найдем, что собственному значению /.2 = —2 соот-
ветствует собственный вектор Ох, { 4, —5 }.
§ 11. Линейные преобразования
с симметрическими матрицами
Симметрической матрицей называется такая матрица, ко-
торая совпадает со своей транспонированной. Поэтому, если
А — симметрическая матрица, то
А = А' или aik = ahi.
Докажем, что все собственные значения симметрической
матрицы второго порядка являются действительными чис-
лами.
29
Пусть дана симметрическая матрица второго порядка
/ fl'll Я12\
А —
\«12 «22 /
Составим ее характеристическое уравнение
Лц — A flfi2
, = о
А^12	«22
ИЛИ
X2 — («и + «22) + «Ц«22	2 = 0.
Покажем, что дискриминант D этого квадратного уравнения
не может быть отрицательным. Действительно,
D = (лц + а22)2 — 4 (апа22 — л;.,) - (лп — л22)2 + 4а;,. (27)
Так как сумма двух неотрицательных чисел не может быть
отрицательным числом, то характеристическое уравнение мат-
рицы А имеет только действительные корни.
Линейное преобразование с симметрической матрицей на-
зывается симметрическим линейным преобразованием. Сим-
метрическое линейное преобразование плоскости имеет пару
собственных векторов, которые перпендикулярны друг к дру-
гу. Направления этих векторов называются главными.
Координаты собственного вектора, соответствующего соб-
ственному значению X матрицы Л, удовлетворяют системе
(Оц — Х)Х1 + а12х2 = 0, I
<112*1 + (°22 — X) Х2 = 0, I	*
где %] и х2— координаты собственного вектора матрицы А.
Представим систему (28) следующим образом:
AXj = ЛцХ! + л12х2, ]
, Т	(29)
лх2 = ai2Xi + а22х2. J	'
Пусть Xi =/= Х2,	т\} и { 4» zn2} —собственные векто-
ры, соответствующие собственным значениям и а2.
Тогда из системы (29) следуют равенства
Xi /i = anl1 + ai2mi, 1
А1/И1 = a12lr + a22mv j	'
Умножая первое из равенств (30) на /2, а второе — на т2
и складывая, получим
(Zi/2 + т^) = ац!^ + Л12 (/1ГИ2 + /2^1) + «22^1^2-	(31)
Меняя ролями и а>,2» совершенно аналогично находим
Л2 (Z2Z1 + ^2^1) =- ап^1 + «12 (/2^1 + zim2) + a22m2mv (32)
30
(33)
(34)
Вычитая из равенства (31) равенство (32), будем иметь
(Х1 — Ч (/Л +	= 0.
Так как — л2 0, то
Z1 ^2 “Н /И 1/^2= 0,
а это и означает, что векторы {lv } и aj /2, т2} взаим-
но перпендикулярны.
Пусть теперь Х1=Хг. Тогда дискриминант (27) равен ну-
лю, откуда следует, что
CL\ 1 = ^22 И ^|2= 0.
Матрица преобразования в этом случае примет вид
_ Ми 0
Я“\0 а2
а преобразование запишется так:
Ух =
у2 = а22х2.
В таком случае
\ _ gll + а22 _ flll '
2	“
и, следовательно,
У1-ЛХ1, |
у2 = Хх2. J
Преобразование (34) является преобразованием подобия. При
таком преобразовании любой вектор окажется собственным
вектором с собственным значением X, значит, любая пара не-
нулевых взаимно перпендикулярных векторов будет парой
собственных взаимно перпендикулярных векторов.
Все собственные значения матрицы симметрического ли-
нейного преобразования пространства также действительные
числа. Можно доказать, что симметрические линейные преоб-
разования пространства имеют три попарно перпендикуляр-
ных собственных вектора, направления которых называются
главными. На доказательстве последних утверждений мы не
останавливаемся.
§ 12. Приведение к диагональному виду матрицы
симметрического линейного преобразования в пространстве
Пусть в некоторой системе координат Ох\Х2Хз симметри-
ческое линейное преобразование в пространстве определяется
формулами
31
У1 = ^11^1 4~ fl12^2 4" #13-^3»
У 2 = ^21Л1 4“ ^22*^2 4“ ^23*^3»
Уз ~ ^31*1 4“ ^32*^2 4- Я33Х3.
(35)
Преобразование (35) переводит точку Л4(хь Хг, *з) в точку
М'(уь У2, Уз) - Если теперь перейти к новой системе координат
в пространстве, то координаты точек М и М' изменятся, а ли-
нейное преобразование будет определяться новой матрицей.
Найдем вид матрицы симметрического преобразования,
если новая система координат выбрана так, что направления
новых осей являются главными.
Обозначим единичные векторы главных направлений ГЛ'.
Примем эти векторы за координатные орты новой системы коор-
динат Ох'ХоХ'3 и найдем матрицу данного преобразования в этой
системе.
Пусть искомое линейное преобразование будет
Так как
У\ &\ 1	+ °1 2 *2	+ а13	*з>	
Уз = ^21	4“ ^22 ^2	+ °23	х'3,	(36)
Уз = ^31	+ ^3 2 % 2	+ а'зз	х3.	
Г { х' = 1, х'2 = 0, Хд = 0 },
J'\x\ =0, х’а = 1, х'3 =0],
k'{x\ =0, х; =0, х'3 = 1},
а преобразование переводит Г в X' f с координатами
ht'{y> = zi- У'з Уз =0)-
то из (36) следует
X, a, t • 1-|-О|2 • 0 + Ojз • 0,
0 = а31 • 1 + а22 • 0 + а23 • 0, 
0=аз! • И-^зз ’0 + азз • 0. .
Из (37) находим:
II а ЬЭ ’ II р cP’ II р
Аналогично получим:
to II р й to ” ю II ьэ*" to II р
II м - СО Q о II со ‘сз’ о II
(37)
Таким образом, матрица искомого преобразования (36) будет
/Хх 0 0 \
А = ( 0 Х2 0 .
\0 0 Х3/
Матрица такого вида называется диагональной.
32
Данное линейное преобразование в новой системе коорди-
нат определится формулами
У\ =
У 2 ~
Уз ~
(38)
Преобразование (38) означает растяжение по трем попарно
перпендикулярным направлениям с коэффициентами Аь Аг,Аз
соответственно, где Ai, Аг. Аз — собственные значения. Анало-
гично можно показать, что матрица симметрического линей-
ного преобразования плоскости, отнесенной к главным на-
правлениям, имеет диагональный вид:
У\ =	1
Уз = hx'i- /
§ 13. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Квадратичной формой от трех переменных xit х2, х3 назы-
вается однородный многочлен второй степени относительно
этих переменных:
7*1 = ЯцХj ”4“ ^22^2 "4” <*33*3 ~1" ^^12^1^2 "4”	+ 2^23X2X31 (39)
где aik (i, k = 1, 2, 3) —числовые коэффициенты.
Матрицей такой формы называется симметрическая мат-
рица
(Лц а12 а13 \
a2i л22 ^2з I = аА/),,	(40)
^31 fl32 азз/
где —коэффициенты квадратичной формы (39).
Будем рассматривать хь х2, *з как декартовы коордйна1ы
в системе Oxix2x3. Перепишем (39) в виде
F = Xi (ацХ1 + ai2x2 + ai3x3) +
+ ^2(^21^1 + £*22*2 + £*23*з) +
+ *з (a3i*i + а32х2 + а33х3).	{39')
Из (39') легко понять, как составляется матрица (40) квад-
ратичной формы F.
Вместе с квадратичной формой F рассмотрим симметри-
ческое линейное преобразование
*i = ЛцХ1 + а1ах2 + а13х8,
*2 = а21хг + ^2 + 02з*з>
~ «31^1 + ^32^2 *4” ^33^3* -
(41)
2 Зак. 539
33
Тогда квадратичную форму можно рассматривать как скалярное
произведение вектора х на вектор х'\
F = ххх\ + х2х' + х3х.л,
где ( хр х2, х3}— координаты вектора х, а {х', х2, х'3 }—ко-
ординаты вектора х', который ставится в соответствие вектору х
преобразованием (41).
В новой системе векторы х и х' будут иметь новые коорди-
наты, а преобразование (41) будет определяться новой матрицей.
Выберем новую систему координат Охгх2х3 так, чтобы на-
правления новых осей совпадали с главными направлениями мат-
рицы А. Такое преобразование пространства будет ортогональ-
ным и, следовательно, сохранит величину скалярного произве-
дения.
Пусть в новой системе координат вектор х имеет координа-
ты {хх, х2, х3), а вектор х' — координаты {х\, х2, х’3 ). В этом
случае матрица линейного преобразования (41) будет иметь вид
/Хх О 0 \
Л= I 0 Х2 О ,
\0 О Х3/
где Хр Х2, Х3— собственные числа матрицы А. Следовательно,
х' = Хххх,
*	х2 — Х2х2, *
Х3 — ^зхз-
Но тогда
F = х • xf = х1\1х1+ х2 Х2 х2 + х3 Х3 х3
или
F = Х1х= + Х2х; 4-Х3х’.
Полученный вид квадратичной формы F называется канони-
ческим. Числа Xi, Хг, Хз называются характеристическими чис-
лами данной квадратичной формы (39). Направления собст-
венных векторов матрицы А называются главными направле-
ниями квадратичной формы.
Таким образом, квадратичная форма принимает канони-
ческий вид, если направления новых осей координат совпа-
дают с главными направлениями квадратичной формы.
Аналогично квадратичная форма двух переменных
F =	+ а22х*2 + 2а12х1х2
определяется симметрической матрицей
/ ап а12 \
А = I •
\ #12 а22 /
34
и приводится к каноническому виду
F = Mi +•	.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную
форму
F — 7x2t + 6х23 + 5*з — 4х1х2 — 4*2*3-
Решение. Запишем матрицу А квадратичной формы
/7—2	0\
А = ( —2	6-2 1
\ 0—2	5 /
Составим характеристическое уравнение матрицы А
7 —X	—2	0	
—2	6—X	—2	= 0 или X» — 18Х2 4- 99Х — 162 = 0.
0	—2	5 —X	
Решая его, найдем характеристические числа данной квад-
ратичной формы: Xi = 3, Хг = 6, Хз = 9.
Следовательно, данная квадратичная форма приводится
к каноническому виду
F = Зх2 + 6х2 + Эх2.
Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную
форму
F = 5х2 + 8ху + 5у2.
Решение. Матрицей этой квадратичной формы является
Найдем ее собственные значения, для чего составим характе-
ристическое уравнение
5 —X 4
4	5 —X
= 0 или X2 — 10Х + 9 = 0,
откуда находим Xi = 1, Хг = 9.
Квадратичная форма F = 5х2 + 8ху + 5у2 приводится к ка-
ноническому виду
F = x2 + 9y2.
2*
35
§ 14. Приведение к каноническому виду
уравнений линий второго порядка
Пусть требуется определить, какая линия задается урав-
нением второго порядка
0цх2 + azzy2 + 2ai2xy + 4Z13X + а,2зу + Лзз = 0.	(42)
Как известно из аналитической геометрии, эта задача решает-
ся преобразованием координат точек кривой с помощью по-
ворота осей и последующего параллельного переноса новой
системы координат. Удачный выбор угла поворота осей коор-
динат дает возможность уничтожить в уравнении кривой член
с произведением текущих координат. Эта часть работы явля-
ется наиболее трудоемкой и значительно упрощается с при-
менением матриц.
При повороте осей координат на угол а вокруг непод-
вижного начала старые координаты х, у произвольной точ-
ки выражаются через ее новые координаты х', у' по фор-
мулам
х = х' cos а — у' sin а, |
у = х' sin а + у' cos а. |
Упрощая уравнение кривой (42) по этим формулам, при-
дется проделать громоздкую работу по определению такого
угла поворота а, чтобы в преобразованном уравнении отсут-
ствовал член, содержащий произведение х'у'. Применение
матриц дает возможность решить поставленную задачу, не
определяя угла поворота а.
Рассмотрим квадратичную форму
F = ДцХ2 + а22У2 + 2ai2xy,
соответствующую кривой второго порядка. Эта квадратичная
форма имеет матрицу
/ ап а12 \
А = I I.
\	^22 /
Перейдем к новой системе координат, направив новые оси
координат по главным направлениям. Тогда квадратичная
форма примет канонический вид
F =	+ \у2,
где Xi и Хз — собственные значения матрицы А, а уравне-
ние (42) преобразуется в уравнение
h*2 + М’ +	+ агзУ1 + азз = °-
Дальнейшее упрощение уравнения достигается параллельным
переносом.
Пример 1. Определить, какая кривая задается уравне-
нием
32х2 + 52ху - 7 у2 + 180 = 0.
Решение. Приведем к каноническому виду квадратич-
ную форму
F = 32х2 + 52xz/ — 7у2.
Матрица этой квадратичной формы будет
/ 32 26\
А = \ 26 — 7/.
Найдем собственные значения матрицы А, для чего составим
характеристическое уравнение
32 —X 26
26	—7 —X
= 0 или л2 — 25л — 900 = О,
откуда Xi = 45 и Хг = —20. Запишем канонический вид квад-
ратичной формы
F = 45х; — 20(/2.
В новой системе координат уравнение кривой будет
45х2 — 201/1 + 180 = 0
или
— 1
9	4 — *’
Как видим, данное уравнение определяет гиперболу.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение
кривой
5х2 - бху + 5у2 -32 = 0.
Решение. Найдем характеристические числа квадратич-
ной формы
F = 5х2 — Оху + 5у2.
Составим характеристическое уравнение
5 —X—3	I
о _	. = 0 или а2 — 10Х +16 = 0.
—О О — Л|
Тогда Xi = 2 и fa = 8 — характеристические числа.
Следовательно, данное уравнение кривой приводится к
виду
2x2 + 8t/i—32 = 0
Итак, данное уравнение определяет эллипс с полуосями
а = 4, Ь = 2.
37
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение
линии
Зх1 2 + Юху + Зу2 — 2х — 14у — 13 .= О
и построить ее.
Решение. Запишем матрицу А квадратичной формы
F = Зх2 + Юху + Зу2:
Из характеристического уравнения
3 —X 5
5	3 —X
= 0
найдем собственные значения матрицы Л:Х1 = 8, Х2= — 2.
Квадратичная форма F примет канонический вид
Е = 8х2-2у2.
Главные направления ее найдем из системы
(ахх —Х)хх + <*12*2 = 0,1
a12Xi+ (а22 —Х)х2 = 0. J
Пусть {/х, тх} — собственный вектор, соответствующий соб-
ственному значению Хх = 8. Тогда
—5/х + 5/их = 0, 1
5/х — 5тх = 0, J
откуда /i = 1, mi = 1.
Единичным вектором этого главного направления будет
вектор
fJ_____L1
1 1/2 ’ /2 /'
Другое главное направление будет перпендикулярно к вектору I'.
Повернем оси координат так, чтобы направления новых
осей были главными. Тогда координаты вектора I' соответст-
венно— значения косинуса и синуса- угла поворота а. Такой
поворот определяется формулами преобразования координат
1 1
X — yyXl т/г?- У1>
1 А (43)
У г 2 Х1 + /2 f/v j
По формулам (43) имеем
-2х - 14у = -2 (р=- хх - ух) - 14 хх + ^ух) =
38
16 „_12_
~ ' /2 1	/2 У1’
и, следовательно, исходное уравнение примет вид
8х;-29;-^х,_ 21s,-13-0.
Преобразуем полученное уравнение путем выделения полных
квадратов:
З^-^-ф+^З + З.4-2.А,
8(х1-^_2(91 + ^-8.
Совершая параллельный перенос
по формулам
х =x1--L,
1	/2
V	1	3
У = У1 + ГГ’
получим уравнение гиперболы
X2—-^-= 1.
4
Построим ее. Система координат Охууг получается из системы
Оху поворотом на угол а = 45°. Система ОхХУ получается па-
раллельным переносом системы Ох1у1 так, что новое начало Ох
координаты (J=, ~^=)-
имеет в системе Оххух
Построив систему координат O\XY, вычерчиваем кривую
(рис. 1).
§ 15. Приведение к каноническому виду
уравнений поверхностей второго порядка
В прямоугольной системе координат поверхность второго
порядка представляется уравнением вида
«и*2 + а22у2 + 0зз22 + 2^12.4/ + 2ai3xz +
+ 2023*/Z + 014* + 024# + «34^ + «44 = 0-	(44)
39
Направив оси координат по главным направлениям квадра-
тичной формы
F = ацх2 + а22у2 + a33z2 + 2ai2xy 4- 2ai3xz + 2a23yz,
приведем ее к каноническому виду
F =	4- Х^2 + М?,
где Хь Х.2, Хз — характеристические числа квадратичной формы.
В новой системе координат уравнение (44) примет вид
4- Х^у* 4- М? + «'14*1 + аиУ1 + «34zi + аи = °-	И5)
Дальнейшее упрощение уравнения (44) производится с по-
мощью параллельного переноса.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение по-
верхности
4х2 + 4z/2 + z2 + 12ху - 20 = 0.	(46)
Решение. Квадратичная форма
F = 4х2 + 4у2 + z2 + 12ху
имеет матрицу
/4 6 0\
4= 6 4 01.
\0 0 1/
Составим характеристическое уравнение этой матрицы
4 — X 6	0 6	4	—X 0 0	0	1	—X	= 0
или
(X2 —8Х —20) (1 —X) = 0,
откуда
Xi = 1, Х2 = 10, Хз = —2.
Таким образом, уравнение (46) приводится к виду
х? + 10у?— 2z* =20
или
xi । У у______ 1
20 г 2	10 ь
а это, как известно, уравнение однополостного гиперболоида.
Если уравнение поверхности второго порядка содержит
члены первого измерения, то задача значительно усложняет-
ся, ибо в этом случае нужно найти формулы, выражающие
старые координаты через новые, чтобы затем преобразовать
к новым координатам и члены первого измерения. На рас-
смотрении задач такого рода мы не останавливаемся.
40
Глава II
Теория поля
При изучении многих явлений, встречающихся в природе
и технике, нас часто интересует не только характер измене-
ния переменных величин, участвующих в описании этих явле-
ний, но и характер изменения первых и вторых производных
этих величин, а также некоторых комбинаций производных.
Знание свойств этих производных или их комбинаций позво-
ляет получить более полное математическое описание изу-
чаемого явления и характера процессов, протекающих при
этом. Так как каждая переменная величина может изменять-
ся в некоторой области (ограниченной или неограниченной),
то изучение характеристик, связанных с изменением данной
величины, мы также должны проводить в этой области. Так
мы приходим к понятию поля.
§ 1. Скалярное поле
Полем называется пространство (или часть его), в каждой
точке которого задана некоторая величина. Если эта величина
есть скаляр, то поле называется скалярным, а если вектор,
то векторным. Примером скалярного поля может служить
поле температур внутри некоторого нагретого тела, поле дав-
лений в некотором объеме, поле плотности массы и др. При-
мером векторного поля является поле скоростей, силовое
поле и др. Часто в одной и той же части пространства могут
иметь место одновременно скалярное и векторное поля. На-
пример, в атмосфере можно одновременно рассматривать поле
температур и поле скоростей воздуха и т. д.
Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке
пространства определена скалярная функция и(х, у, z).
В дальнейшем будем предполагать эту функцию непрерывной
в рассматриваемой области вместе с частными производными
первого порядка по всем переменным.
Рассмотрим все точки скалярного поля и(х, у, z), в кото-
рых данная функция принимает постоянное значение
и(х, У у z)*=c. Геометрическое место таких точек заполняет
некоторую поверхность, которая называется поверхностью
уровня. Часто функцию и(х, у, z), задающую скалярное поле,
называют потенциалом, а поверхности уровня, соответствую-
щие этой функции (при различных значениях с),— эквипотен-
циальными поверхностями.
41
Если поле задано не в пространственной, а в плоской обла-
сти, то оно описывается функцией двух переменных и(х, у).
Равенство и(х, у) = с при различных фиксированных с опре-
деляет, вообще говоря, различные кривые. Такие кривые назы-
ваются линиями уровня плоского скалярного поля. С помощью
линий уровня на топографических картах обозначают рельеф
местности; они соединяют точки, имеющие одинаковую высоту
над уровнем моря, и называются горизонталями. С помощью
линий уровня на специальных картах изображают распределе-
ние атмосферных осадков, температур, давлений и т. д.
Пример 1. Найти поверхности уровня функции и = х2 +
+ у2 — Z2.
Решение. Приравняем
значение функции к постоян-
ному:
Рис. 3
х2 + у2 — z2 = с.
При с<0 поверхностями
уровня (рис. 2, а) является
семейство двуполостных ги-
перболоидов; при с>0 —
семейство однополостных
гиперболоидов (рис. 2, б);
у при с = 0 — круговой конус
с вершиной в начале коор-
динат (рис. 2, в).
Пример 2. Найти линии
уровня функции г = -а- + у2 ,
изображенной на рис. 3.
42
решение. Придавая г постоянное значение cf, получим
□----= с'. Положив -Д— = с2, будем иметь х2 + у2 = с2, т. е.
х2 + У2	с
линиями уровня при различных значениях с являются окруж-
ности.
§ 2. Производная по направлению
Для изучения скалярного поля важно знать скорость из-
менения функции и(х, у, z), задающей это поле, при переходе
от одной точки пространства к другой. С этой целью возь-
мем фиксированную точку М и какую-нибудь переменную
точку М\ (рис. 4). Отрезок ММ\ будет считаться направ-
ленным, при этом направление берется со знаком плюс, если
оно совпадает с направлением прямой /, и со знаком минус,
если они противоположны.
Если существует предел
отношения
lim
м^м
и^)- и(М)
ММ!
то этот предел называется
производной функции и(Л1)
по направлению I в точке М
и обозначается
_ i;_	и(М!)-и(М)
Рис. 4
Если для функции одной независимой переменной
y = f(x)
Л х-0
показывает скорость изменения ординаты по абсциссе в точ-
ке с координатой х, то производная по направлению
характеризует быстроту изменения функции и(М) в точке
Л4(х, у, z) в направлении /.
Покажем, что производная по любому направлению вы-
ражается через производные по трем взаимно перпендику-
лярным направлениям х, у, z по формуле
ди ди	. ди п , ди	/1ч
-gr = —cosa+ — coscosT,	(1)
где cosa, cos 0, cosy — направляющие косинусы луча /. Для
этого обозначим расстояние MMi через t. Так как функция
43
и(х, у, г) по предположению дифференцируема (имеет непре-
рывные частные производные первого порядка), то ее полное
приращение можно записать
Ди = ы(х4-Дх, у+ Ay, z + Дг)—и(х, у, г) =
ди *	 ди .	. ди л
где е — бесконечно малая более высокого порядка, чем Л
Выразим Дх, Ду, Дз через t и направляющие косинусы на-
правления /:
Дх = t cos а, Ду = t cos р, Дг = t cos у.
Запишем разность
uGNJ — и(М) = и(х + t cos а, у + t cos z + t cos у) — u(x, у, z) =
= "gr*cosa‘t- -^-/cos? + -J-^cosT + e. (2>
Разделим все члены равенства (2) на t;
~ = aTcosa + Wcosp + ^Tcost + ~
и перейдем к пределу при t -* 0. При этом стремится к ну-
лю, когда
u(Mi) — u(M) du du_______~	. du а , du /о.
lim  IV.J.J. =	_ cos a + ^- cos p + ^- cos т. (3)
Как видно из (3), производная зависит как от частных
du du du
производных -g^-,	—& в точке M, так и от направления
луча I.
Пример 1. Найти производную функции w = xyz в точке
Л (5,1,2) в направлении, идущем от этой точки к точке В(9,4,14).
Решение. Примем направление АВ за /, тогда
dw dw , dw a i dw __
~дГ = -drC0Sa+ ‘d7’C0SP_*-	(*)
где cos a, cos8, cosy — направляющие косинусы прямой /.
Найдем координаты вектора АВ {ах, ау, аг} и направляю-
щие косинусы:
av = 9 —5 = 4, ау=4— 1=3, аг=14 —2 = 12;
_______ал____________4	_ _4_
C°S “ “	+	+	“ /4’+3*+125	13 ’
ау	3	“г _ 12
cos? c°S'r“ 13'
44
Найдем частные производные функции а> в точке А:
tL=^=2;<L=^=10' Я=ч|<=5'
Полученные значения подставим в формулу (*)
&w _9 . 4 -LIO 3 . с .
dl	13 + 1и 13	13 ~ 13 •
Пример 2. Найти производную функции г = 1п(х 4- у) в точ-
ке (1, 2), принадлежащей параболе у2 = 4х, по направлению этой
параболы.
Решение. За направление кривой в данной точке прини-
мают направление касательной в этой точке. Установим на-
правление параболы в точке (1, 2).
Найдем направляющие косинусы касательной:
2уу' = 4, у' tga = y'\x^i = 1;
If
cos а =	1	— = -4=, cos 3 = sin а =   1	— =
/l + tg2a /2	Fl + Ctg2a К
dz = ___________1_
дх х=, х+у
dz =	1
ду х=\~ x-f- у
К=2
Полученные значения подставим в формулу производной (3):
dz dz . dz о
~д7- = -Т— cos а 4- -д— cos з,
dl dx	dy
dz =_1_ _ 1	1	1 _ /Т
dl ~ 3 у Y	3	y~2 ~ 3
Пример 3. Найти скорость изменения скалярного поля, за-
данного функцией и = 5x2yz — 7xy2z 4- 5xyz2 в направлении век-
тора a = 8i— 4/4-8Л в точке Л4(1,1,1).
Решение. Найдем частные производные функции и в
точке М:
-g-l =(l0xyz-7y2z + 5yz2) =8,
Л 1м	м
= (5x2z — 14xyz 4- 5xz2)м = — 4,
У м
=(5хг«/-7х1/а4- Юхуг) =8
м	*
45
и направляющие косинусы
cosa ~ /64 + 16з"- cos 3 =	~~ 3 ’
cos у = —Д_ = —.
/144	3
Скорость изменения функции (производная по направлению)
ди ди .ди о t ди
-ST ~ TF “s " + TjT сга ? + ST “s -Г =
= 8.^- + (-4)(-4-)+8.4_12.
§ 3. Градиент
Можно поставить вопрос, по какому направлению возраста-
ние функции и(М) в данной точке будет наибольшим? Этот во-
прос имеет смысл в том случае, если производные
ди	ди	г	ди
^-=а,	-^—=0,	—~=с
ох	ду	dz
не равны нулю одновременно	(иначе	производная по любому
направлению была бы нулем).
Преобразуем правую часть равенства (3):
аи	. ии л , аи	, »	0 .
-г- cos а + -j- cos р 4- cos т = a cos а 4- b cos 3 4- с cos т =
dx 1 dy г ' dz 1	'	'	1
— 1/а2 _L	_|_ с2 ( . а —cos а 4----г ~ ь = COS 0 4
И	+	+С\/а2+&24-с2	/а2 + 62 + с2 г
4---Г С = COS Y ).
/а24-624-с2	/
Выражения
а	b	______с_____
и а2 + й2 + С2 ’	/а2+62 + с2 ’	|/а2 4- Ь2 + с2
можно рассматривать как направляющие косинусы некоторого
вектора g {а, в, с,}, т. е.
а	b
/а2+&2+с2	/а2+62+с2	Г.
с	<4>
г .	---г- = COS V
/а2 + 62 4- с2
(cos2 л 4- cos2 р. 4- cos2 v = 1), и тогда получим
= )/а2 4- & 4- с2 (cos X cos а 4- cos у. cos ? 4- cos v cos 7).
46
Обозначив через (g I) угол между направлениями g и I и вос-
пользовавшись формулой скалярного произведения в координа-
тах, запишем
= |/ а2 + Ь2 + с2 cos (g, /).
Эта производная имеет наибольшее значение, если направления
g и I совпадают, т. е.
du ди г—----------------- -ж / / ди \2 , / ди \2 , / ди \2
dl ~ ~dg~ “	+ Ь2 + С2 — у ^7 j + ^7 ) +	’ (6)
Вектор g*, проекции которого на оси координат определя-
ются равенствами (4), указывает направление наиболее быстрого
возрастания функции, а его длина дает величину соответст-
вующей производной. Этот вектор называют градиентом функ-
ции u(x,t/,z) и обозначают
g =grad u(x,t/,z).	(7)
Определение. Градиентом функции и(М) = и (х, у, z)
называется вектор, отнесенный к точке М, координатами ко-
торого являются значения частных производных этой функ-
ции; т. е.
~	1 ди . , ди . , ди <	/оч
gradu =	(8)
Проекции градиента, а следовательно, и он сам зависят от
координат точки.
Введя понятие градиента скалярного поля, равенству (5)
можно придать вид
ди ,
~дГ = ISI c°s (g.	(9)
т. е. производная по направлению равна проекции градиента
функции на это направление.
Обозначив единичный вектор направления луча I через Г,
производную по направлению (2) можно записать и так:
-^- = (grad и • Г),	(10)
т. е. производная функция по данному направлению равна ска-
лярному произведению градиента функции на единичный вектор
этого направления. Из равенства (10) непосредственно вытекает
выведенное нами условие направления наибольшего возрастания
функции. Действительно, принимает наибольшее значение, ес-
ли вектор grad и и единичный вектор Г параллельны и одина-
ково направлены.
47
Проведем через точку Мо (рис. 5) поверхность уровня
и = с и покажем, что вектор gradu(Af0) направлен по норма-
ли к поверхности. Действительно, уравнение нормали в точке
Мо(хо, I/O, Zo)
запишется
х~ х0
У — Уо
= Z~Z(>
 '
Из приведенного уравнения
следует, что нормаль к поверх-
ности, имеющая проекции на
/ ди \	/ ди \
оси координат
и (-г-) , совпадает с градиентом функции и(х,у,г) в точке Мо,
\ аг )M0
что и доказывает наше утверждение.
Рис. 5 дает наглядное представление производной по на-
правлению как проекции grad и на это направление. Для это-
го выражение (10) запишем в виде
-зт- = | gradu ] cos <р,
где ф — угол между grad и и направлением луча I. В точке Mq
к поверхности уровня и = с восстановим перпендикуляр и от-
ложим на нем вектор grad и. На этом векторе, как на диа-
метре, построим сферу. Из точки Мо проводим вектор I
и обозначаем точку пересечения его с поверхностью сферы
через К- Тогда из рисунка видно, что
МЛ = -qt- = | grad и | cos <р.
Если обозначить единичный вектор нормали через п°, а про-
.	.ди
изводную функции по направлению этой нормали через , то,
очевидно, будет иметь место равенство
gradu
Из определения градиента легко получить следующие его
свойства, доказательства которых предлагаем вывести чи-
тателю.
1.	grad (и + с) = grad и (с = const).
2.	grad си = с grad и.
48
3.	grad(«i + Иг) = gradui 4- gradu2.
4.	grad(uv) = u grad v 4- v grad u.
5.	grad u2 — 2u grad u.
6.	grad	(v grad и — и grad v).
7.	gradF(u) =F'(u)gradu.
Пример 1. Найти величину и направление градиента ска-
лярного поля и = х2 + у2 + z2 — 2xyz в точке Mq (1, — 1, 2).
Определить, в каких точках градиент перпендикулярен к
оси х, в каких точках он равен нулю.
Решение. Находим частные производные в точке Л4о:
-^-1 = (2х 2уг)ми = 6,	= (2 у 2хг)м> = 6,
|Л1О	м„
= (2г-2ху) = 6.
м0
grad «(М.) = (>) / + j + (f) * = 6/ - 6J + в*.
Величина градиента
| grad и | = J/62 4- (—6)2 4- 62 = б/З?
Градиент функции и в произвольной точке М
gradи(Л4) = 2(х — yz)i + 2(y — xz)j4- 2 (z — ху)к.
Вектор, перпендикулярный к оси х, имеет равную нулю
первую координату, поэтому
2(x—yz) = 0.
Следовательно, для всех точек М, лежащих на поверх-
ности х = yz, grad и будет перпендикулярен к оси х. Гра-
диент равен нулю, если
х — yz = 0, у — xz = 0, z — ху = 0.
Решая эту систему, находим искомые точки
ЛМО, 0, 0), М2(-1, 1, -1), Mz (1, -1, -1),
ЛМ-1, -1, 1), М5 (1, 1, 1).
Пример 2. Найти градиент потенциала электростатического
поля <р = -у- (q — электрический заряд, г — расстояние точки
от начала координат, г = ]/х2 4- У2 4- z2).
Решение.
gradT = 4j/4-^4-4?-*,
д? _	qx dtp	_ _ qy d <p _____ qz .
dx ~~	r3	’ dy	r3	’ dz	r3 '
grad <? =--(xi 4- yj + zk) ------Д- r.
49
Физический смысл полученного результата состоит в том, что
градиент потенциала электростатического поля равен напря-
женности поля.
Пример 3. Найти grad (г, а), где г = xi + yj +- zk, а — по-
стоянный вектор: а = axi 4- ayJ + azk.
Решение.
(г а) = хах + уау + гаг,
-^(хах) = ах, J_(yay)=ay,
= а<-
Тогда
grad (га) = axi +ayJ + a2k.
Из этого равенства видно, что grad (га) во всех точках поля
сохраняет одинаковое направление, совпадающее с направлением
вектора а. Для скалярного произведения (га) поверхностями
уровня будут плоскости, перпендикулярные к вектору а, т. е.
ахх + ауу + azz = с.
Пример 4. Найти наибольшую крутизну поверхности z =
= xv в точке Д(2, 2, 4).
Решение. Найдем частные производные в точке А:
дг
дх
дг
ду
= {уху-')д = 4,
А
= (х? 1п х)А = 41п 2;
А '
grad z (Д) = 4Z + 41п 2 j.
Направляющие косинусы градиента
4	1
cos а = -—== = г
/42 + (4 In 2)2 К1 + 1п22
Q	4 In 2	In 2
/42 + (4 in 2)2	/1 + 1п22
Обозначим угол наиболее крутого подъема поверхности z
в точке А (в направлении gradz) через ф, тогда быстрота
изменения функции в этом направлении или, что то же, tg ф
определится из соотношения
cos а + cos 3 = 4
ду г
А
+ 41п2—=------
/1-р1п22
1
/1 + In2 2
, dz
tg Ср = -ч—
ь ‘ дх
А
1п2
50
tg? = 4/1 + In2 2 ^4,87;
? = 78° 24'.
§ 4. Векторное поле
Как указывалось в § 1 настоящей главы, векторным по-
лем называется часть пространства, в каждой точке М кото-
рого определен некоторый вектор а = а(М).
Если обозначить проекции вектора а (М) на оси коорди-
нат через ах, ау, az, а координаты точки М через х, у, z, то
вектор а (М) и его проекции будут функциями координат точ-
ки, т. е. а = а (х, у, z) или
а = ах (х, у, z) i + ау (х, у, z) j + а2 (х, у, z) к.
В дальнейшем будем предполагать, что проекции aXl ау и az—
однозначные непрерывные функции
щие непрерывные частные произ-
водные первого порядка. Это зна-
чит, что в каждой точке поля имеет-
ся только один вектор, изменяю-
щийся непрерывно при переходе от
точки к точке.
Графически векторное поле изо-
бражается векторными (силовыми)
линиями (рис. 6.)
Определение. Векторной
линией поля называется такая кри-
вая, в каждой точке которой касательная совпадает с направ-
лением вектора, приложенного в этой точке.
В качестве примера векторных линий могут служить линии
тока жидкости, т. е. линии, по которым движутся частицы
жидкости. В электростатическом поле векторными линиями
являются его силовые линии и т. д.
Составим уравнения векторных линий. Если г {х, у, z| —
радиус-вектор какой-нибудь векторной линии, то вектор
dr = dxi+ dyj+ dzk
направлен по касательной к этой линии. По определ ению векторных
линий вектор а (М) также направлен по касательной. Следовательно,
векторы а {ал, ау) а2} и dr (dx, dy, dz} коллинеарны. В таком
случае их проекции пропорциональны, т. е.
dx   dy   dz	(1 П
ax ~ ay ~ az	' '
Мы получили систему дифференциальных уравнений вектор-
ных линий.
51
Иногда рассматривают поверхности, составленные из век-
торных линий; их называют векторными поверхностями. Они
характеризуются тем, что в каждой точке М такой поверх-
ности соответствующий вектор а (М) лежит в касательной
плоскости к поверхности. Если взять замкнутый контур и про-
вести через все точки этого контура векторные линии, то
образуется поверхность, называемая векторной трубкой
(рис. 7).
Пример 1. Найти век-
торные линии поля
а(М) = (у + z) i — xj —xk
Решение. Уравнения
векторных линий получим
из системы уравнений
dx _  dy    dz
у+г ~	х ~ х
ИЛИ
xdy = xdz,
xdx = — (y + z)dy.
Из первого уравнения системы следует dy = dz\ интегрируя
его, находим у — z = с. Используя равенство dy= dz, второе
уравнение системы запишем
xdx + ydy + zdz = 0.	t
Решением его будет
х2 + у2 + z2 = R2 (R = const).
Следовательно, уравнениями векторных линий являются линии
пересечения концентрических сфер и семейства параллельных
плоскостей, т. е. окружности
у — z = с,
х2 + у2 + z2 = R2.
Пример 2. Найти векторные линии поля
а(М) = (г — у) I + (х — z) j + (у — х)к.
Решение. Здесь ах = г — у, ay = x — z, az = y — x.
Уравнения векторных линий:
dx ____ dy _____ dz
z — y ~ x — z ~ y — x'
52
Система распадается на два уравнения:
dx _ г —у j
dz у — х* I
dy _ x — z |
dz y — x' I
Сложим правые и левые части (*)
dx . dy _ z — y + x — z ___.
dz dz	у — x
или
dx + dy + dz = 0,
откуда
x + y + z = c.
Затем первое уравнение (*) умножим на х, второе — на у и
сложим
xdx . ydy _ (г —у) х . (x — z) у
dz ' dz у — х ' у —jc ’
xdx , ydy______
dz ' dz	’
xdx + ydy + zdz = 0,
откуда
x2 + у2+ z2 = R2.
Итак, решениями нашей системы являются окружности, обра-
зованные пересечением сфер с центром в начале координат
и плоскостей:
х2 + у2 + z2 = R2, 1
х + У + z = с. |
Пример 3. Определить векторные линии магнитного поля,
образованного электрическим током, сила которого /, теку-
щим по бесконечно длинному прямолинейному проводу.
Решение. Если принять провод за ось z, то вектор на-
пряженности искомого магнитного поля Н выражается фор-
мулой (вывод опускаем)
H = ^-(-yl+xJ),
где г — расстояние от точки М до провода. В нашем случае
21у	21х	п
ах	ri » ау г2 » аг —
Уравнениями векторных линий будут
dx   dy   dz
-у ~ х	0
53
Система распадается на. два уравнения
dz = 0, z — С
Рис. 8
и dx _ dy
— У х '
Решая последнее уравнение
xdx + ydy = 0, находим
х2 + у2 = R2
(R = const).
Итак, уравнения векторных ли-
ний магнитного поля суть
z = с и х2 + у2 = R2-
Это будут окружности с центром
на оси г, лежащие в плоскостях,
перпендикулярных этой оси
(рис. 8).
§ 5. Поток вектора через поверхность
Пусть в пространстве, в котором задано векторное поле,
определена поверхность о, а вектор а (Л4), задающий это
поле, определяет поле скоростей текущей жидкости. Считая
движение установившимся, т. е. не изменяющимся со време-
нем, рассмотрим точку М на поверхности. Вычислим коли-
чество жидкости, протекающее через поверхность а за еди-
ницу времени. Если принять площадку Да, окружающую точ-
ку М (рис. 9), достаточно Малой, то ее можно считать
плоской, а вектор а (М) и единичный вектор нормали п—
постоянными. Количество жидкости, протекающей через пло-
щадку Да, приблизительно можно принять равным объему
цилиндра, изображенного на рис. 9:
Д<2 ^ап Да = (ап) Да.
Переходя к пределу, когда диаметр
площадки Да—>0, получим
dQ г AQ / ч
~г- = игл = (ап),
Да-0 Да	'
откуда
dQ = (an) d а.
Количество жидкости, протекающей
Рис. 9
54
*
через всю поверхность, определится интегралом по поверх-
ности
Q = JJ(an)da.
а
Теперь отвлечемся от конкретного вида поля. Рассмотрим
векторное поле, образованное вектором а(М) = axi + ayJ + a2k,
и в этом поле некоторую поверхность а, в каждой точке кото-
рой определено положительное направление нормали п. [Обозна-
чим площадку, окружающую точку Л1, через Да (см. рис. 9).
Потоком вектора а (М) через поверхность о называется
интеграл по поверхности
Q = JJ (ап) d о = fJ and а,	(12)
а	а
где ап — проекция вектора а (М) на внешнюю нормаль к по-
верхности а.
Поток вектора — скаляр. При перемене ориентации по-
верхности а меняет знак и поток вектора, так как при этом
изменяется знак нормали п.
Выразим единичный вектор нормали п через его про-
екции
п = cos (л, %) I + cos (л, у) j + cos (n, z) k,
где (n, x), (n, y), (n,z) — углы, составленные нормалью и со-
ответствующими осями координат.
Подставим в интеграл (12) выражение векторов а (М)
и п через их проекции, получим поток в системе декартовых
координат
Q = П (an) d о = Я cos («• х) + ау cos (п, у) +
+ аг cos (п, z) 1 d а.
Используя равенства, известные из анализа *,
d о cos (п, х) — dydz,
d о cos (п, у) = dxdz,
d з cos (п, z) = dxdy,
(13)
(14)
* H. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.
М., 1962, стр. 664.
55
где dydz, dxdz, dxdy — проекции площадки da на соответст-
вующие координатные плоскости, поток вектора можно запи-
сать и в таком виде:
Q = П ^ах dydz + ау dxdz + az dxdy].
(15)
Наибольший интерес представляет тот случай, когда по-
верхность а замкнута и ограничивает некоторый объем V.
Тогда за направление вектора п берут направление внешней
нормали.
В случае, если вектор а (Л4) является скоростью жидко-
сти, то величина потока Q, вычисленная для замкнутой по-
верхности, дает разность между жидкостью, вытекающей из
данного объема и поступающей в него. Если Q = 0, то это
означает, что количество втекающей и количество вытекаю-
щей жидкости из объема, ограниченного поверхностью а,
одинаковы. Когда Q>0, то жидкости вытекает больше, чем
втекает. Это обстоятельство указывает на то, что в данном
объеме V существуют источники (места, где жидкость воз-
никает). Отрицательный поток (Q<0) указывает на то, что
в объеме имеются стоки (жидкость исчезает).
Рассмотрим, как практически определятся значения век-
тора нормали п.
Пусть поверхность а задана уравнением
z = f(x, у).
Направляющие косинусы нормали для этой поверхности вы-
ражаются формулами
cos (п, х)
тогда единичный вектор нормали определится формулой
56
Знак плюс отвечает острому углу, составленному нор-
малью и осью z, и соответствует выбору верхней стороны
поверхности; знак минус — тупому углу, составленному нор-
малью и осью z, и соответствует выбору нижней стороны
поверхности.
Если поверхность а задана уравнением
F(M)=F(x, у, z)=O,
то градиент функции F(M) направлен по нормали к поверх-
ности F(M) в точке М и единичный вектор нормали можно
записать
dF dF dF k
gradF(M) _ J* dy dz
~ (grad F (M) |	~ 1/ ( dF / dF / dF \2 ’
V ( dx ) +\diT) +\ dz )
причем знак перед дробью должен быть таким, чтобы полу-
чить вектор п на выбранной стороне поверхности.
Может оказаться, что поверхность состоит из нескольких
частей, тогда вектор нормали п вычисляется для каждой
части отдельно, а знак определяется заданием одной из сто-
рон всей составной поверхности.
Пример 1. В некоторой точке пространства находится элек-
трический положительный заряд q, создающий в окружающей
его однородной среде вектор-
ное поле, так что в каждой
точке пространства определя-
ется вектор F. По закону Ку-
лона
F+k-^-rO,
где г—расстояние рассматри-
ваемой точки от начала коор-
динат, г° — единичный вектор^
направленный по радиус-век-
^тору данной точки (рис. 10),
k — постоянный коэффициент
(диэлектрическая постоянная).
Определить поток, выходящий
из сферы радиуса R.
- 1 qda
еры элемент потока равен k -^а *
Так как k постоянно для всей сферы, то весь выходящий из.
№
сферы поток равен
57
Но (г°я) = 1 (скалярног произведение единичных коллинеарных
векторов), поэтому
о = 4k fl* = 4^.
<3
Пример 2. Вычислить поток векторного поля
а = (х — 2z) i + (3z — 4x)J + (5x + y)k
через внешнюю сторону поверхности пирамиды с вершинами
Л(1, 0, 0), В(0, 1, 0), 0(0, 0, 0,) и 3(0, 0, 1) (рис. 11).
Решение. Поверхность состоит из четырех плоских тре-
угольников: ЗЛВ, BOS, SOA, ОАВ. Поток через всю поверх-
ность
Q = Я (««) d о +	(an) d а + Я (ап) d о + Я (an) d о.
ASHB	ABOS	А50Д	АОДВ
Рис. 11
Рассмотрим каждый интеграл в
отдельности.
1)	Напишем уравнение плоскости
треугольника ASB
Итак, уравнение плоскости тре-
угольника ASB
х 4" у 4“ z — 1 =0.	(18)
Принимая
В(х, У, 2) = x+y+z- 1,
найдем единичный вектор нормали к этой плоскости по фор-
муле (17)
qrad F _ i + J -f- k
| qrad F | Y 3
Здесь cos (n, z) =  * > 0,
что соответствует внешней по-
верхности пирамиды.
Определение потока сводится к вычислению двойного интег-
рала по области Dxy) лежащей в плоскости х у,
Qi = jf (an) d a = П’—
’	Ъ,у I cos (п, 2) |
dxdy,
2=Z (х, у)
(19)
где под знаком интеграла вместо z нужно подставить выраже-
ние, взятое из (18),
38
= у=- К* - 2Z) + (3z - 4x) +
I cos (n, z) I
+ (5x + У)У—J— = 2x + у + z.
/3
Из уравнения плоскости ASB (18) находим
Тогда
(an)
I cos (n, z) |
z = 1 — X — y.
= 2x -J- у + (1 — x — y) = x + 1.
z=z (x. y)
Возвращаясь к (19), получим
Qi = f f-----— dxdy = J J (x + 1) dxdy =
D^y I cos (П, z) | г=г (x’ Dxy
= J (x + 1) dx j dy = J (1 — X2) dx =
о	oo
2)	Треугольник BOS лежит в плоскости yz, уравнение кото-
рой х = 0. Вектором нормали будет п = — I. Здесь
cos (п, х) = cos 180° = — 1;
(ап)	_ — (х — 2г) _
~	~ |-1|
I cos (п, х) | х=0
Q2 = ^(an)d° = СГ—
’	icos(n^)i
dydz = Jj 2zdydz.
ABOS
x= 0
Интегрируя сначала по у, а затем по z, найдем
Q2 = 2JzdzJdt/ = 2Jz(l—z)dz = -|-
о о о
3)	Треугольник SOX лежит в плоскости xz, уравнение его
плоскости у = 0. Внешний вектор нормали п = —j,
cos (л, г/) = — 1;
_ _(зг_4х)	4	3
—	| — i|	’5Z>
I cos (л, у) | y=0
Оз = JJ (an) d а = JJ (4х — 3z) dxdz = J dx J (4х — Зг) dz =
<з	&SOA	о о
(an)
59
4)	Треугольник О АВ лежит в плоскости ху, уравнение его
плоскости z]= 0. Вектором нормали будет п = — Л,
cos (л, z) = — 1;
- *~(5х+У) е
-	“ I-ц	&Х —</,
l!cos>,z)| г=0
I	1—х
Q< = j J (an) da = Г Г——— dxdy = — J dx §(5x+y)dy = 1.
2А lcos(^l ° °
Поток через всю поверхность составит
Q = Qi + Qa + Qs + Q* — 2 -g*.
Пример 3. Найти поток
векторного поля а — 21 —
— xj + Ьгк через верхнюю
сторону поверхности тре-
угольника ASB, получен-
ного при пересечении
плоскости x+2y+3z—6=
= 0 с координатными
плоскостями (рис. 12).
Решение. В нашем
случае
F (х, у, z) = х + 2у +
+ 3z-6=0.	(20)’
Уравнение (20) однозначно
разрешимо относительно
каждой из переменных,
быть вычислен по форму-
ле (15). Спроектируем вектор а на три координатные плоскости,
причем знак перед каждым слагаемым в (15) возьмем таким,
каков знак cos(n, х), cos (п, у), cos(n, z) на поверхности <з (см.
формулу 13).
Решая уравнение (20) относительно каждой из переменных,,
получим

Рис. 12
Поток векторного поля может
х = — (2у 4- 3z) 4-6, ах [х (у, г), у, г] = 2,
У   4- 3, ау [х, у (х, z), г] = — х,
z = х + 2у- 4- 2, az [х, у, z (х, у)] = 5z =
= 5 (-Ц2* + 2)=	ю.
\ и	/	О
(21)
60
Нетрудно видеть, что внешняя нормаль к плоскости тре-
угольника ЛВ5 составляет острые углы с осями координат,
поэтому в формуле (15) dydz, dxdz, dxdy — положительные.'
С учетом (20) будем иметь
Q = J 2dydz — JJ xdxdz 4* J J — -5/х + 2у). + 10j dxdy =
Dyz	^zx	Dxy
з
2 3~T2 2	6—3z	3	6-2y
= 2 J dz J dy — J dz J xdx---J dy J (5x + 10i/ — 30) dx =
0 Q	0 Q	d Q 0
= 6— 12 + 30 = 24.
Решение задач на вычисление потока вектора через замк-
нутую поверхность значительно упрощается (см. § 5), если
воспользоваться формулой Остроградского*, известной из
теории кратных интегралов, осуществляющей преобразование
интеграла по замкнутой поверхности в интеграл по объему,
ограниченному этой поверхностью:
[J [Р cos (и, х) + Q cos (и, у) + R cos (п, z)lda =
а
§ 6. Дивергенция
Как указывалось в предыдущем параграфе, поток векто-
ра в одних случаях может быть положительным, в других от-
рицательным. Будем рассматривать векторное поле как поле
текущей жидкости. Тогда, если поток отрицательный, то внут-
ри выделенного объема имеется сток (отрицательный источ-
ник). Однако в одном и том же объеме может быть несколько
источников и стоков, и, следовательно, суммарное значение
потока зависит от мощности каждого из них, где под мощ-
ностью источника понимается количество жидкости, вытекаю-
щей или втекающей в рассматриваемый объем в единицу
времени. Если, например, поток равен нулю, то в данном объ-
еме либо нет ни источников, ни стоков, либо мощности их
равны и взаимно компенсируются.
В связи с этим для характеристики потока векторного поля
вводится понятие плотности источника. Рассмотрим векторное
* М. В. Остроградский (1801—1861)—выдающийся русский
математик и механик.
61
поле а (М). Пусть в этом поле некоторый малый объем ЛК
ограниченный замкнутой поверхностью а, содержит точку М.
Вычислим поток вектора через поверхность а и возьмем отно-
шение этого потока к объему ДУ. Выражение
а
можно рассматривать как среднюю плотность источника в
объеме ДУ, приходящуюся на единицу объема.
Переходя к пределу, когда объем ДУ стягивается в точку,
получим плотность источника в данной точке, которая назы-
вается дивергенцией (расходимостью) вектора а и обозна-
чается
fj(an)da
div а = lim J . v----= lim -°	—.	(22)
Из формулы (22) следует, что div а не зависит (инвариант-
на) от выбора системы координат. Дивергенция векторного
поля — скалярная величина. Вычисление ее по формуле (22)
неудобно, и на практике обычно пользуются координатной
формой.
По формуле Остроградского в декартовой системе коорди-
нат * поток вектора а можно представить в виде
f Ja„d а = JJ (axdydz + aydxdz + a2dxdy) =
<23>
По теореме о среднем значении
\ дх ' ду dz /Mi
откуда
И^3	/ дах 4 дау даг\
V ~ \ дх ду ‘ dz /Мг
Если область V стягивается к точке Л1, то Afi -* Л4, и в пределе
получим
дах дай даг
<“’“ = тг + тл + тг 	<24>
♦ Определение дивергенции и других характеристик векторного и ска-
лярного полей в криволинейных координатах мы опускаем. Интересую-
щихся этим вопросом отсылаем к книге Б. М. Б у д а к, С. В. Ф о-
м и н. Кратные интегралы и ряды. М., 1965.
62
Последнее равенство позволяет формулу Остроградского (23)
записать в векторной форме
=П(ал)«/а = Щdiva • dV,	(25)
т. е. поток вектора а через замкнутую поверхность а равен
тройному интегралу от дивергенции по области, ограниченной
этой поверхностью.
Заметим, что формула Остроградского (25) справедлива,
если проекции вектора а на координатные оси и их первые
производные непрерывны во всех точках области V.
Отметим три свойства дивергенции, облегчающих
на практике ее вычисление.
1.	div (a + b) = div a + div b.
2.	div (<? a) = c? div a + (a grad cp),
где ф = <р(х, у, z) —скалярная функция.
Действительно,
div (? я) = яv) + -^ (? ay) + -5— ( ? az) = ?	+ av +
> дх чт х' ду у' dz ' т 21 ‘ох х dx
Выражение в последних скобках есть скалярное произведение
векторов а и grad <р, поэтому
div (<? а) = <р div а + (a grad <?).
3.	div (с <р) = (с grad ®),
где с — постоянный вектор.
div (с <р) = (сх с?) + (су ?) + -^- (сг ?) =
=с- 4г+§rad '?)•
Правая часть последнего равенства есть скалярное произведе-
ние вектора с и градиента функции <р.
Векторные поля, у которых во всех точках div а = 0, не
имеют источников и называются соленоидальными или труб-
чатыми. Название «трубчатый» обусловлено тем, что в соле-
ноидальном поле векторные линии нигде не начинаются и не
кончаются, они могут уходить в бесконечность, быть замкну-
тыми или иметь начало и конец у границ поля. Примерами
таких полей являются: напряженность магнитного поля, со-
здаваемого электрическим током, текущим по бесконечно
длинному прямолинейному проводу; поле линейных скоростей
63
жидкости, вращающейся вокруг какой-нибудь оси, и др. Век-
торные линии таких полей — замкнутые кривые (окружности).
Для соленоидального поля поток вектора а (М) через лю-
бое поперечное сечение векторной трубки имеет одну и ту же
величину. В самом деле, возьмем векторную трубку (рис. 13)
и проведем в ней два сечения, обозначив их через си и <тг- Рас-
смотрим замкнутую поверхность трубки, заключенную между
сечениями. Обозначая через V объем, лежащий внутри по-
верхности о (о = 01 + 02 + сгббк), применим формулу Остро-
пг градского (25)
JJ and а = ууу div a dV.
а	vJ
Но по условию div а = 0, следо-
вательно,
jya„da = O
а
или, что то же самое,
yya„da + Jfanda + yya„da = °.
’»	’бок
На боковой поверхности векторной трубки ап = 0, так как
вектор а (М) направлен по касательной в любой точке поверх-
ности. На поверхностях си и ог направления внешних норма-
лей противоположны; изменив направление у одной из них,
получим, что поток изменит знак и тогда
УУ and а = уу	а.	(26)
а1 а1
Поток вектора а через поверхность о можно рассматривать
как число векторных линий, пересекающих эту поверхность.
Поэтому, обращаясь к равенству (26), можно сказать, что че-
рез сечение си вдоль векторной трубки число векторных линий
не меняется, откуда и вытекает, что в соленоидальном поле
векторные линии нигде не могут ни начинаться, ни кончаться.
Пример 1. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора г,
где
г = xi -f- yj -j- zk.
Решение.
дх . ди . dz q
Пример 2. Найти дивергенцию поля линейных скоростей
v = — wyi + wxj
жидкости, вращающейся вокруг оси г.
64
Решение.
..	д(—<0 у)
div v = 
дх
д (о) х)	ду	.	дх	п
\	-	= — <0	+ о) -д— — 0.
дг/	дх	1	ду
Пример 3. Вычислить div уур где г — радиус-вектор.
Решен ие.
div J— = div ( _х/ + у/ + г* =	....X------\ +
|г| у Ух2 + у2 + z2 у дх у Ух2 + у2 + z2 )
 д /_______у_______\	_д_/______z______\ =
дД /х2+ «/2 + г2 / дД /х3 + у2 + г2 /
_	2(х2 + у2 + г2)	_	2	_2_
~ (И*2+</2 + г2)» “ (х2 + 02 + г2)'/а	| г | ‘
Пример 4. Вычислить поток радиус-вектора через любую
замкнутую поверхность.
Решение. Пользуясь формулой Остроградского, найдем:
JJ Г„(/а — JJJ div rdV = 3 JJj dV = 31Л
Пример 5. Вычислить поток вектора а = xyi + yzj + xzk
через границу части шара х2 + у2 + z2 = 1, находящейся в пер-
вом октанте.
Решение. Воспользуемся определением дивергенции (24)
и формулой Остроградского:
diva = -^- + -^ + -^-=!/ + Z + x,
дх 1 ду 1 дг 9 1	1	’
Q = j’]’ (an) da — jjj div a dV =	(x + у + z) dxdydz.
Перейдем к сферическим коорди-
натам (рис. 14)
х = г sin<p cos0,
у = г sin<p sin0,
z = г cosq>,
d|/ = r2sin<p drdq> dQ.
В нашем случае
Рис. 14
65
0<r < 1.
3 Зак. 539
к/2 7t/2	1	Q
Q = J d 0 j sin cp d ср f r3 [cos cp + sin cp (sin 0 + cos 6)] dr = -jg-.
oo	b
Пример 6. Вычислить поток векторного поля
а = (х — 2z) i + (3z — 4x)j + (5х + у) k
через внешнюю сторону поверхности пирамиды с вершинами
в точках 0(0, 0, 0), Л(1, 0, 0), В(0, I, 0), С(0, О, I).
Решение. Довольно громоздкое решение этой задачи
дано в примере 2 § 4. Оно значительно упрощается, если вос-
пользоваться формулой Остроградского:
diva = d(x —2*) . д (3z — 4х)	d(5x+*/) = i
дх * ду * dz	9
<2 = JJJdiv adV = JfJ dV = V.
где V — объем пирамиды АОВС, равный произведению пло-
щади основания на треть высоты:
у = JL . — . 1 =_L.
У 3	2	1	6
Следовательно,
z
<? = 4-
Пример 7. С помощью формулы Остроградского вычислить
поток векторного поля
а = 2xi — yj + zk
через замкнутую поверхность
9 —z = x2 + y2 (0<z<9).
Решение.
diva =	+
— 1+1=2;
(27)
Рис. 15
Q - SivadV = 2 j^dV.
Поверхность представляет собой часть параболоида вращения,
отсеченную плоскостью z = 0. Перейдем к цилиндрическим
координатам (рис. 15)
х = г cos<p, у = г sin<p, z = z,
66
где 0 < <р < 2л, О < г < 3, О < z < 9. Выражение для элемента
объема dV = rd <р drdz подставим в (27)
2ч	9	з
Q = 2 f d <р J dz]rdr = 2л • 9 • 9 = 162 л.
6	o’	о
Пример 8. С помощью формулы Остроградского найти по-
ток векторного поля
а = 2xi + 2yJ + (z — x)k
через цилиндрическую поверхность х2 + у2 = 4, ограниченную
плоскостями
z = 0, x + t/ + z+ l=0.
Решение. Найдем
div « =	(2*) + -^г(2«/) + (г — х) = 5.
Перейдем к цилиндрическим координатам
X = г coscp,
у - г sincp,
2 = 2.
Элемент объема
dV = rdr dtp dz.
Q = jyydiv a dV = 5 JJJdV;
V	V
2к 2	— (1 + rcos <f>+rsin <p) 2k 2
Q = 5 У d <₽ Jrdr У dz	= — 5j d <? [ (r+r’cos <p+r2sin <p) dr =
ooo	do
2k
— 20*.
= — 5 J 2 + (cos <p sin <p) j d <p =
Полученное отрицательное значение Q = —20л указывает на
наличие в рассматриваемом объеме отрицательного источ-
ника.
§ 7. Линейный интеграл и циркуляция
Пусть векторное поле задано вектором а {аЛ, ау, аг]. Возьмем
в этом поле некоторую кривую L, соединяющую точки М2,
и разобьем ее радиус-векторами rt (i = 1, 2, ..., л) на элемен-
тарные участки Дг,=яг<+1 — rf (рис. 16). Составим теперь сумму
скалярных произведений векторов а и Дг4:
п
2 (а{ Л. rt).
/=1
3*
$7
Перейдем к пределу при п->оо, считая, что длина наиболь-
шего участка Дг4—>0. Полученный предел, если он сущест-
вует, называется линейным интегралом вектора а вдоль кри-
вой L и обозначается
/а	п
/lim 2 (а. Д г,.) = С (adr),	(28)
а где dxi + dyj + dzk.
/В декартовых координатах
--------------------------------J (adr) = J axdx + aydy + a2dz. (29)
-----------------L	L
Puc 16	Линейный интеграл есть вели-
чина скалярная.
Если точка перемещается по кривой L под действием силы а,
проекции которой на оси координат равны ах, ау, az, то инте-
грал (29) выражает собой работу, совершенную этой силой.
Для векторных полей иной природы этот интеграл имеет, ко-
нечно, другой физический смысл.
Линейный интеграл обладает обычными свойствами кри-
волинейных интегралов. Его величина зависит как от кри-
вой L, так и от конечной и начальной точек интегрирования.
При изменении направления интегрирования интеграл меняет
знак.
Линейный интеграл (29) может быть записан и в другой
форме.
Заметим вначале, что если г — радиус-вектор точки г {х, у, z).
принадлежащей кривой L, то дифференциал его
dr = d (xi + yj + zk) = dxl + dyj + dzk
и модуль
I dr | = У dx2 + dy2 + dz2.
С другой стороны, дифференциал дуги кривой dL, как из-
вестно, определяется формулой dL = У dx2 4- dy2 4- dz2. Таким
образом, имеем:
\dr\ =dL.
Теперь обозначим через at проекцию вектора а на касатель-
ную к кривой в направлении обхода, получим (adr)=atdLf
и тогда линейный интеграл
J(adr) =§atdL.
L	L
(30)
68
Вычисление линейного интеграла ничем не отличается от
вычисления криволинейных интегралов. Уравнение кривой L
(контура интегрирования) обычно выражают через какой-ни-
будь параметр, и тогда вычисление линейного интеграла сво-
дится к вычислению определенного интеграла.
Если кривая L замкнутая, то линейный интеграл называет-
ся циркуляцией С вектора а вдоль кривой L и обозначается
одним из интегралов:
C = f(adr),	(31)
L
С = £ axdx + aydy 4- a2dz,	(32)
C = §zatdL.	(33)
L
Пример 1. Найти линейный интеграл вектора
а — х31 — y3J
вдоль первой четверти окружности г = Rcos/ i 4- RsintJ.
Решение. На окружности х = R cos t, у = R sin t и тогда
вектор а запишется а = R3cos3t I — R3sin3/y. Найдем
d г = (— R sin 114- R cos tj) dt.
Скалярное произведение
(a d r) = (— R4cos3/ sin/ — R4sin3/ cos /) dt  -R4sin 2/ dt.
За направление обхода примем направление, противоположное
вращению часовой стрелки; параметр / будет меняться в преде-
лах от 0 до
"Л
J (adr) =---J- R4 f sin 2/ dt =-----R*.
L	0
Пример 2. Вычислить линейный интеграл векторного поля
а = х 14- yj + (х + у — 1) k
вдоль отрезка прямой L от точки А (1, 1, 1) до точки В (2, 3,4).
Решение. Согласно формуле (29),
(2, 3.4)
(' atdx 4- aydy 4- azdz = J xdx 4- ydy 4- (x 4- У — 1)dz- (*)
L	(1. 1. 1)
Составим уравнение прямой AB:
x— 1 _ y—\ _ z — 1
i	“	2	“	3 '
G9
Из последнего уравнения выразим х и z через у:
* = 4“ + Т’ z=-^-у-----dx = dz = dy-
. Подставим в (♦) и проинтегрируем по у:
3
J(-у + -у) у + ydy + (у + “у + У— 1)-у dy =
1 4
з
=-4 Jf(7y-I)^ = 13-
Пример 3. Вычислить циркуляцию С радиус-вектора вдоль
одного витка АВ винтовой линии
х = a cos t,
у = a sin/,
z = bt,
где А и В — точки, соответствующие значению параметра
/i = 0, ti = 2л.
Решение.
Г = X 1 + yj + zk,
dx = — a sin t dt, dy = a cos t dt, dz = bdt-,
2k
C = J (rdr) = J" (— alsin/ cos/ + a2sin/ cos/ + b*t) dt = 2к2 Ьг.
Пример 4. Найти циркуляцию векторного поля
а = у i + zj + х k
вдоль замкнутого контура, полученного от пересечения сферы
x2 + «/2+z2 = ^2 координатными плоскостями в первом октан-
те (рис. 17).
Решение. Вычислим цир
куляцию вдоль линии АВ-.
z = 0, dz = 0,
тогда
а = yi + xk,
r = xi + yj>
dr ='dxi + dyj.
Скалярное произведение
(a dr) = ydx.
70
Из уравнения линии АВ х2 + у2 = R2 найдем у —VR2 — х2.
Переменная х изменяется в пределах от R до 0. Итак,
о _______________
С = у dx = [4’arcsin-J- + -Y VR^T2 я = -
Легко подсчитать, что значения линейных интегралов вдоль ВС
и СА будут такими же, как и по контуру АВ. Таким образом,
Л Г»/’’ Л	Зя /?3
циркуляция по замкнутому контуру АВС А равна-------я—.
§ 8. Вихрь векторного поля
Рассмотрим поверхность о, ограниченную замкнутым кон-
туром L. По известной формуле Стокса * (устанавливающей
связь между интегралом по поверхности и криволинейным
интегралом по границе этой поверхности) циркуляцию век-
тора а вдоль этого контура выразим через поверхностный
интеграл:
(f axdx + aydy + a2dz
L
da2
|cos (n, x) +
(dax ddv \	'''''''	/ ddfv	dcix \
“я----------/Г"	cos fa, У)	+ -5---------------s—	COS (n, z)	d a, (34)
dz	dx } v	1 \ dx	dy J v 7J	'
где cos(n, x), cos(n, t/), cos(n, z) — направляющие косинусы нор-
мали n к поверхности a.
Вектор, проекциями которого являются
\da2 day dax daz	da y	dax
~dy dz* dz dx ' dx dy '
называется вихрем или ротором* ** векторного поля и обозна-
чается
da2	day
dy	dz
dax	da2
~dz	dx
day	dax
~dx	dy
(35)
Этот вектор часто записывается в виде символического опре-
делителя
rota —
I j k
dx dy dz
ax ay az
♦ Д. Стокс (1819—1903)—английский физик и математик.
** rotation (англ.) — вращение.
о	, ,	д д d
Здесь дифференциальные операции	-^-применяются к
функциям ах, ar az (например, ах ~ и т. д.). Определитель
раскрывается по элементам первой строки.
Для плоского поля вихрь вектора a ^--axi-\-ayj имеет вид
/ dav	да х \
rot a Hr-------".
\ дх ду ]
Пользуясь определением ро-
тора, формулу Стокса можно за-
писать в векторной форме
f = f f (п rot a) d a =-
= |’J rot„a d a,
(36)
ротора вектора а на нормаль я к по-
где rotn а —проекция
верхностп о (рис. 18); обход вдоль контура L совершается
против часовой стрелки.
Формулу Стокса можно выразить словами: циркуляция
векторного поля а вдоль замкнутого контура L равна потоку
вихря этого поля через поверхность, ограниченную указанным
контуром.
Так как вектор rota в общем случае в каждой точке про-
странства имеет различное значение, то вихрь векторного поля
образует новое векторное поле. Векторные линии поля вихрей
называются вихревыми линиями.
Если в векторном поле всюду rota = 0, то такое поле на-
зывается безвихревым или потенциальным.
Формула (36) позволяет определить ротор вне связи с вы-
бором координатных осей. Пусть п есть некоторое направле-
ние, проходящее через точку М поверхности, и До — элемен-
тарная площадка поверхности о (в силу малости ее можно
плоской), проходящая через эту точку нормально
к п (рис. 19).
Применим к этой площадке
формулу (36) и воспользуемся
теоремой о среднем
J atdL = Jj rot„a d <з = rot„a | Mt As,
A L	Ьз
считать
откуда
rot„a |
f afdL
=
Mi	Да
72
где AL — контур, ограничивающий площадку До, а М\— не-
которая точка на площадке До. Переходя к пределу, когда
контур ДЛ стягивается в точку, получим
f atdL
тсЛпа = lim —д7-.	(37)
Мы, следовательно, определили проекцию вектора rot а на
произвольную ось, а значит, и сам вектор, без ссылки на ка-
кую-либо предварительно выбранную координатную систему.
Поясним на примере физиче-
ский смысл ротора. Рассмотрим
поле скоростей, создаваемое век-
тором а{—ш г/,ю х, 0), где in—
угловая скорость вращения частиц
вокруг оси z (рис. 20). Ротор
этого векторного поля опреде-
лим из символического опреде-
лителя
rota =
i j k
A .А
дх ду dz
— Ц) у О) X 0
= 2u) k.
Как видим, rota направлен по оси z, а по величине равен удво-
енному вектору угловой скорости ш. Физически это означает,
что каждая частица жидкости участвует в сложном движении:
в мгновенном переносном со скоростью я {—wy, wx, 0) и мгно-
венном вращательном с постоянной угловой скоростью 2(о. А так
как линейные скорости в каждой точке поля различны, то все
поле как бы заполнено бесконечно малыми завихрениями, чем и
объясняется название «вихрь».
Если поле скоростей создается постоянным вектором а,
то в этом случае rota = 0 и завихрения будут отсутствовать.
Следовательно, неравенство нулю ротора указывает на на-
личие в поле скоростей «вращательной компоненты».
Рассмотрим свойства вихря.
1.	rot с = 0, где с — постоянный вектор.
Свойство легко устанавливается,
ческий определитель
если раскрыть символи-
rot с =
/ j k
А А.
дх ду dz
Сг
73
2.	div (rot л) = 0.
Действительно, пусть to = rot а, тогда проекции вектора
dci2 дйу	dax daz	day dctx
x dy dz 9 У dz dx z dx dy
Найдем частные производные
d u>x d2a2	d2ay	d o>y d2ax	d2a2
dx	— dxdy	dxdz9	dy	~~ dydz	dxdy9
d &2	d2ay	d2ax
dz	dxdz	dydz'
Складывая правые и левые части, получим
da)x d wv day,
т + ^г + т = 0
или
div to = div (rot a) = 0.
Отсюда следует, что вихревое поле является соленоидальным.
3.	rot (а Н- b) = rot а + rot b.
В самом деле, пусть
а = axt + ayJ + azk, b =bj + byJ + bji,
тогда
® + b = (ax + bx) I + (ay + by)j + (az + 6Z) k.
..	, «.x	д(ау4-Ьу)1 fd(ax+bx)
rot (a + b) = —s---------------—— z + --------4-------
v '	[ dy	dz j 1 l dz
d (az + b2) "| f [ d (ay + by) d (ax + У| _
di J + [ di	dy J* “
/ daz day \	/ db2 dby \	/ dax da2 \
~ \ dy dz / \""cty	dz~/	\ dz dx /
I dbx db2 \ I da» dax \	/ dby, dbx \ л
+ (“dz	+ (“dx dy~)k + ("dx Sy") к =
= rot a + rot b.
4.	rot (? a) = <p rota + [grad <? al.	(*)
Здесь <p = <p (x, y, z) — скалярная функция.
Напишем проекцию rot (<р а) на ось х
r°tx (f «) =	(? az) - 4 (<р ау) = ?	+ аг -
day dcp / da2 day \ d^ d y
~^~дг аУ~дг~ =<f>\“dy дГ) +йг ~ду йУ ~дГ ~
= <р rotxa + [grad <? а]х.
74
Итак,
rotx (ср а) = ср rot ra + [grad <р а]х.
Аналогично
roty (<р а) е= rotya + [grad ср а]у,
rot2 (ср а) = <р rotza + [grad ср а]г.
Умножая последние три равенства соответственно на орты i, J
и Л и складывая их, получим (*).
5.	div [aZ>] ® {b rot а) — (a rot b).
Действительно,
div |<») = 4 [«и, + 4 lab], + 4 tab], =
дх	az^y) “Ь ^flz^x ax^z) “Ь	=
(ddr da>\j \	/ dax d&z \	(дах \
— -Л- 4-А	*—_± +6	* _ * _
dy	dz /	1	У \ dz	dx /	1	z \ dx	dy /
[ dbz	dby	[ dbx	dbz'\	(dby	dbx^
ax\dy	dz /	аУ \ dz	dx j	\ dx	dy / ““
= (ft rot a) — (a rot b).
Пример 1. Найти rot (га), где a — постоянный вектор и
И = ]/л-2 + у2 + г2.
Решение. Запишем символический определитель для rot {га).
	1	j	k	
rot (га) =	d dx	д ~ду	d dz	=
	ах У х2+ у2+ z2	ауУ х2+ у2+ г2	агУх2+ y2+z2	
(аг Vх2+ у^+ z2) —	(ayVх2+ у2+ z2) i —
= -Д’	~ i —	— axz) j+{a^c — аху) Л] =
Пример 2. Найти rot [аг], где а — постоянный вектор и
г =xi + yj+zk.
75
Решение.
rot [ar] =
i J k
д д d
dx dy dz
zay — yaz xaz — zax yax — xay
[д	d	"] d
(yax — xay) — (xaz — zax)\ i — (yax — xay) —
d
d
d
dz
(za,
— уаг) k = 2a.
Пример 3. Найти поток вихря поля вектора
а = у i+ 2j + xk
через поверхность параболоида вращения z = 2(l — х2 — у2),
отсеченную плоскостью z = 0 (рис. 21).
Решение. По формуле Стокса
JJ rot„a d a = J axdx + aydy + azdz = f ydx + zdy + xdz.
"a	L	L
Но на контуре L z = 0 и dz = 0. Следовательно,
JJ rot„ad a = J ydx.
a	L
Перейдем к полярным координа-
там
x = cos ф, y = sin ф,
dx = — sin фб/ф,
-у Jj rot„ad a = [ ydx =
о	L
2k
= — J sin2 ср = — tv.
0
Пример 4. Пусть a = yi + zj + xk. Найти вихрь векторно-
го поля
a _ yl+ zj + xk
r ~ V X® + y8 + z» ’
Решение. Положив -у- ='?, найдем rot (f а) по свойству 4.
Так как
w ,	1 w .	1 xl + yj + zk	r
grad <p = — grad r = —t------------= —
76
rot a =
i J k
s_ Q_
dx dy dz
У 2 X

TO
rot (<p a) = cp rot a 4- [grad <p a] --£+/+*_ _|_
i	J	k
JC_______У_______Z_
r3	r3	r3
У	Z	X
±(i + J + k)-±\(Xy-z*)l+
+ (zy — x2)J + (xz — y*)k] = — -^-[(x2 4- y2 4- xy) i +
+ (y2 + z2 + zy)J 4- (x2 4- Z2 4- XZ) Л].
Пример 5. Найти циркуляцию векторного поля
а = уЧ — x2J + z2k
по контуру АВС А (рис. 22), получаемому при пересечении па-
раболоида x2 + z2=l— у координатными плоскостями.
Решение. Часто циркуляцию С векторного поля удобно
находить с помощью определения ротора (по формуле Сток-
са, записанной в векторной форме).
Определим единичный вектор нормали к этой поверхности
по формуле	zi
_ grad F
П “ | grad F | ’
где
F = х2 + у + z2 - 1.	/|
Получим	[	У
п__ 2xi+j+2zk	JF---------
/4х2+1 + 4z« ’	/
х
Отсюда
Рис. 22
COS (n, Z) = 2z -----
/4х2+1 4-4z2
rota —
i	J	к
д	а	а
дх	ду	дг
у2 —X2 Z2
= -2(x + y)k.
77
По формуле Стокса циркуляция
С = ff (rot ап) d а = [
| COS (пг Z) I
dxdy.
Но
_±£1^)_ = _2(х + У),
| cos (л, Z) I
поэтому
1	|~х	41
С = — 2 JJ (х ч- «/) dxdy = — 2\dx\(x + y)dy =-•
О О
в. Найти (по формуле Стокса) циркуляцию вектор-
Пример
ного ПОЛЯ
по контуру
а = (z2 — х2) I + (хг — y2)j + (у2 — z2) k
х2 + у2 + z2= 4, 1
х2 + у2 = z2.	/
Решение. Контуром интегрирования L будет окружность
х2 у2 — 2, z = /2? полученная от пересечения сферы х2 у2+
+ г2 — 4 и конуса х2 + у2 = z2.
Определим
rot a =
I
д
дх
Z2 — х2
д
дУ
X2 — у2
k
д
dz
y2-Z2
= 2yi + 2zJ + 2xk.
За нормаль
оси z, т. е.
п примем единичный вектор k, направленный по
п = k. Тогда
(J (rot an) d a = (J 2xdxdy,
°	&xy
где Dxy — проекция круга x2 + у2 < 2, z = Y^ на плоскость xy.
Переходя к полярным координатам, найдем
2гс	/У
С = 2 f cos <pd<pjp2dp = O.
о	о
§ 9. Оператор Гамильтона* *
Дифференциальные операции — градиент, дивергенция, ротор
удобно представлять при помощи символического вектора — опе-
ратора Гамильтона V (набла)
___	. д . , д  . д
 V = 1~дГ + J~ду' + k ~дГ'
* У. Гамильтон (1805—1865) — английский математик и механик.
78
Сам вектор V не имеет реального смысла, но, действуя на ска-
лярную функцию или вектор, он приобретает вполне Определен-
ный смысл. Так, например,
=	+ А + *“)-
да дау daz
= T + w + ^T- = diva-
i j k
д д д .(даг дау\ I да^ дах \
17 01= дх ~ду ~дг =1\~д^ dTj~J\~dx дГ) +
ах ау az
[ да»	дах \
+ * Нг------3—	= rot а.
1	\ дх	ду /
При действиях с оператором «набла» следует руководствовать-
ся правилами векторной алгебры и правилами дифференцирова-
ния. Например,
rot (а + b) = V х (а + Ъ) — V а х b = rot а + rot Ь.
С помощью оператора «набла» можно записывать дифференциаль-
ные операции второго порядка. Рассмотрим часто встречающиеся
три из них.
1)	div (grad <j>) = V (V <?) = V2 ? =	® =
___ д2 <р Эа ср д2 ср д
~"йхг" +	~дг*~ = А<?-
Символ
v	дх* ' ду* дг*
называется оператором Лапласа* (лапласианом).
2)	div (rot а) = V IV а].
По свойству смешанного произведения переставим векторы
Viva] =alv V1 = O,
так как мы имеем два одинаковых вектора. Итак,
div (rot a) = V IV a] = 0.
3)	rot (grad <p) = V X (V ?) = ? IV V] = 0.
Здесь скаляр <p вынесен за знак векторного произведения.
*П. Лаплас (1749—1827)—французский математик и физик.
79
Глава III
Ряды Фурье. Интеграл Фурье
Тригонометрические ряды Фурье, о которых пойдет речь
в настоящей главе, находят широкое применение не только
в различных областях математики и теоретической физики, но
и в технике, например при исследовании системы автомати-
ческого регулирования, решении уравнений диффузии, изу-
чении различных колебательных систем и многих других во-
просов прикладной математики — всюду, где приходится стал-
киваться с периодическими процессами, а сами явления можно
описать периодическими функциями.
§ 1. Периодические функции
Функция f(x) называется периодической, если существует та-
кое постоянное Т (Т =# 0), что для любого х, взятого из области
ее определения, имеет место равенство
f(x + T)=f(x).	(1)
Число Т называется периодом функции f(x). Число, крат-
ное Т, будет также являться периодом функции, т. е.
f (х + пТ) = f (х) (и — целое),
в чем легко убедиться, если применить п раз условие (1).
Иллюстрацией периодичности явлений может служить, на-
пример, колебание математического маятника, неограниченно
повторяющего свои движения; морские приливы и отливы,
происходящие через определенные интервалы времени, и т. д.
Геометрически периодичность функции f(x) означает, что
ординаты двух произвольных точек с абсциссами, отличаю-
щимися на величину, кратную периоду Т, равны между собой
(рис. 23).
Отметим одно важное свойство периодической функции.
Интеграл от нее по периоду не зависит от положения интер-
вала интегрирования; иначе говоря, если f(х + Т) = f(х), то
интеграл
1 =fr(z)dz = ]f(z)dz	(2)
х	О
и, следовательно, не зависит от х (см. рис. 23). При этом пред-
полагается, что функция f(x) на интервале, равном периоду Г,
непрерывна.
80
Действительно, по правилу дифференцирования сложной
функции и свойству производной определенного интеграла по
верхнему и нижнему пределам запишем:
Рис. 23
Р и с. 24
-g- = f (X + Т) ^±Л-Цх)	= f(x + Т) -f (х) = 0.
Из = 0 следует, что I = С, т. е. от х не зависит.
§ 2. Гармоники
Простейшей периодической функцией является синусои-
дальная, часто называемая простой гармоникой,
у = A sin (сох + фо),	(3)
где А, со и фо — постоянные. Период этой функции равен —,
в чем легко убедиться:
У =
] = A sin f(wx + <?0) + 2к] =
= >lsin(wx+ с?0).
Синусоидальная функция (3) описывает гармонические
колебания, которые возникают в силу самых разнообразных
причин. Например, точка М с массой m движется прямолиней-
но под действием силы притяжения F к неподвижной точке О
(рис. 24). Допустим, что модуль силы F пропорционален рас-
стоянию точки М от центра, т. е. F=—kx. Тогда по второму
закону Ньютона имеем

или

(4)
81
k
где обозначено <u2 = —. Решением дифференциального уравне-
ния (4) будет функция х = A sin (wt -f- <с0), в чем можно убе-
диться, если ее подставить в уравнение (4). Величина А — наи-
большее отклонение точки М от О — называется амплитудой
колебания (размах колебания), аргумент (ш/ + <р0) называется
фазой колебания, где ш — круговая частота и <р0— начальная
фаза. Величина, обратная периоду v=-L- =	, называется час-
тотой; она показывает, сколько раз данное периодическое явле-
ние повторяется за единицу времени.
Синусоидальную функцию (3) часто представляют в виде
a cosio х + b sinco х.	(5)
Воспользуемся известной формулой тригонометрии
A sin (сох + фо) = Л соэфо sinco х + A sincpo cosco х.
Вводя обозначения
а=Л$1пфо, &=Лсозфо,	(6)
получим:
A sin (сох + фо) = a cosco х + b sinco х.	(7)
Для перехода от правой части равенства (7) к левой доста-
точно найти амплитуду А и начальную фазу фо. Из (6)
Л = V а2 + д2, <р0 = arctg
Заметим, что если в гармонике у = Л sin (сох + фо) положить
Л = 1, со = 1, фо = 0, то получим функцию у = sinx, графиком
которой является обычная синусоида.
График гармоники (3) можно получить путем деформации
обычной синусоиды в направлении осей координат и парал-
лельным сдвигом вдоль оси х. Практически построение гра-
фика функции I/= Л sin (сох + фо) проводится следующим
образом.
1.	Строят график синусоиды у = sinx.
2.	Ординаты точек графика синусоиды увеличивают в
Л раз, не изменяя абсцисс. При этом, если Л<0, то ординаты
изменяются не только по абсолютной величине, но и по знаку.
3.	Производится равномерное сжатие по оси х в ш раз, если
w > 1, и растяжение в раз, если w < 1.
4.	Точки графика сдвигаются на —вдоль оси абсцисс.
Полученные точки соединяют плавной кривой.
На рис. 25 показано построение графика функции у =
= 2sin2(x----£-)•
\	4 /
82
Простые гармоники можно складывать, и тогда результи-
рующей окажется простая или сложная гармоника. Если со-
ставляющие гармоники имеют одинаковую частоту, то и сум-
ма их — гармоника с той же частотой и тем же периодом,
y^slnx
y=sin2x
y=Sln2(x--f)
y~2$in 2(х-^)
Рис. 25
т. е. простая гармоника. Наоборот, складывая гармоники раз-
ных частот, получим существенно новую периодическую функ-
цию— сложную гармонику.
Пусть требуется сложить три гармоники:
у = Aisin(cojx + epi) + >l2sin((o2x + ф2) + Лззш((озх + фз), (8)
круговые частоты которых находятся в таком соотношении:
(о2 =2(01 и соз = 3(01,
Т Т
а их периоды соответственно равны Т,-у, -у. Сумма гармо-
ник— функция с периодом Т; график ее значительно отличается
от графика каждого слагаемого.
На рис. 26 показано сложение трех гармоник:
у = sinx + sin 2х-----1- sin Зх.
х	О
Здесь ординаты кривых трех гармоник суммируются алгебраи-
чески.
83
В выражении (8) круговые частоты гармоник являются
соизмеримыми, т. е. их отношения равны целому или отноше-
нию целых чисел:
t02 _ 2	0)3 _2	t02 _ 2
COj	’	со j	’	СО3	3
Если же круговые частоты складываемых гармоник окажутся
несоизмеримыми, т. е. их отношение будет числом иррацио-
нальным, то сумма гармоник будет непериодической функцией.
§ 3. Тригонометрические ряды
В предыдущем параграфе указывалось, что сумма простых
гармоник, частоты которых соизмеримы,— новая периодиче-
ская функция, график которой существенно отличен от графи-
ков составляющих гармоник.
Возникает обратная задача: можно ли заданную перио-
дическую функцию представить в виде суммы конечного или
бесконечного числа гармоник? Оказывается, что широкий
класс функций можно представить бесконечным тригономет-
рическим рядом вида
f (х) = а0 + (axcos х + 6xsin х) + (a2cos 2х + fe2sin 2х) +
4- ... + (аЛсоэ пх 4- fensin их) 4- . •.	(9)
Класс функций, представимых конечным числом гармоник,
весьма ограничен. Мы подробнее остановимся на изучении
ряда (9), который принято записывать в следующем виде:
ею
4“+S (a»cos пх+sin пхУ
Л=1
84
Постоянные ап, bn (n = 1, 2, ...) называются коэффициентами
ряда. Свободный член, как это выяснится из дальнейшего, удоб-
но
но записывать в виде -у-.
Установим несколько вспомогательных формул, которые
нам понадобятся при определении коэффициентов ап и Ьп-
При п =# О
Tt
J cos nxdx =
—It
sin nx
n
(10>
==
—тс
cos nx
Воспользуемся известными формулами тригонометрии:
cos mx cos nx — -у- [cos (tn + n) x + cos {tn — n) x},
sin mx sin nx = ~ [cos (m — ri)x — cos (m + n) x],
sin tnx cos nx = [sin (tn + n) x + sin (tn — n) x].
проверить, что для любых целых т и п (т Ф л) справед-
Легко
ливо
f cos tnx cos nxdx = -jj-J[cos(/n+n)x+cos (tn—n)x]dx=Q,
—Tt	— Tt
Tt	Tt
sin mx sin nxdx =	J [cos (tn—n) x—cos {m± n) x] dx=0;
--Tt	--It
для любых целых тип,
Т.	Tt
J sin mx cos nxdx —	J [sin (m + n) x + sin (tn — n) x] dx = 0;
(12>
для m = n
Tt	Tt
(cos2nxdx — -y [[ 1 + cos 2nx] dx = -±-
—TC	—Tt
sin 2nx
2n
~	Tt
j sin2nxdx =	J[ 1—cos 2лх] dx=	у
— “	—TC
sin 2nx
2n
= K.
(13)
x +
В § 1 было показано, что интеграл от периодической функ-
ции по периоду не зависит от положения интервала интегриро-
вания. Поэтому формулы (10) — (13) будут справедливы не толь-
ко для интервала (— л, л), но и для любого интервала длины
85
§ 4. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
Пусть задана функция /(х) на интервале (—п, я). Предпола-
гаем, что на этом интервале ее можно разложить в равно-
мерно сходящийся ряд
f (х) =	<a«cos пх + 6*sin лх)>	(14)
который можно почленно интегрировать.
Отметим также следующее свойство (без доказательства).
Равномерная сходимость ряда 2 ип (х) на интервале (а, Ь) не
л=!
нарушится, если все его члены умножить на функцию <р (х), не-
прерывную на этом интервале.
Интегрируя правую и левую части (14) в пределах от —л
до л, получим
TZ	К
J f(x)dx = J -^-dx = ^Oo.	(15)
-7t	---7t
Отсюда
к
<*0=4"
— It
Интегралы от остальных членов ряда в силу формул (10)
обратятся в нуль.
Для отыскания коэффициента ат, где т— любое целое
положительное число, обе части равенства (14) умножим на
cos/их и, учитывая только что отмеченное свойство, проинте-
грируем в пределах от —л до л:
К	к	ео	'
J f (х) cos mxdx = "IF J cos mxdx -) •	(an J cos nx cos rnxdx +
--7t	-7t	П= 1	--7t
7t
+ bn J cos tnx sin nxdx).
------7t
Все интегралы в правой части, исключая интеграл при
коэффициенте От, равны нулю в силу формул (И) и
{12). Интеграл же при коэффициенте ат, согласно первой фор-
муле (13), равен к, т. е.
j / (х) cos mxdx = ат J cos2mxdx = г.ат.	(16)
—К	-те
«6
Отсюда
к
ат = f (х) cos mxdx.
--ТС
Для отыскания коэффициента bm умножим обе части равен-
ства (14) на sin/их и проинтегрируем в пределах от —л до л:
к	к
J f (х) sin mxdx =	J s*n mxdx +
-TZ	— тс
+ S (ал f cos nx s*n mxdx + bn J sin nx sin mxdx).
n=\ —TZ	—к
На основании формул (И) и (12) все слагаемые в правой части
равны нулю, кроме интеграла при коэффициенте Ьт. Этот инте-
грал, согласно второй формуле (13), равен л:
к	к
J f (х) sin mxdx = bm§ sin2 mxdx = bm л.
--TZ	—тс
Отсюда
к
bm = -b J f (x) sin mxdx.	(17)
—TC
Коэффициенты, определенные по формулам (15) — (17), на-
зываются коэффициентами Фурье, а ряд
.£®_ 4- V (a„ cos пх -|- b„ sin пх)
2	।	' п	1 п	/
«=1
с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).
При определении коэффициентов ряда Фурье мы вос-
пользовались почленным интегрированием левой и правой
частей равенства (14), исходя из предположения, что данный
ряд равномерно сходится.
Какими свойствами должна обладать функция f (х), чтобы
построенный для нее ряд Фурье равномерно сходился? Преж-
де чем ответить на этот вопрос, дадим некоторые определения.
Определение!. Функция f(x) называется гладкой на
интервале (а, Ь), если на этом интервале она непрерывна вме-
сте со своей первой производной.
Определение 2. Функция называется кусочногладкой
на интервале (а, Ь), если этот интервал можно разбить на ко-
8Т
•нечное число частичных интервалов (а, Х\), (х}, х2)> .
(хп-}, Ь), на каждом из которых функция f(x) —гладкая.
Из определения вытекает, что кусочногладкая функция
/(х) ограничена на интервале (а, Ь) и может иметь лишь ко-
нечное число точек разрыва первого рода.
Напомним, что для непрерывной функции f(x) в точке Xq
предел слева lim f(x0 —0), когда х<х0, и предел справа
lim /(*о + О), когда х>х0, равны между собой, т. е.
lim f (х0 — 0) = lim f (х0 + 0).
х_>х0	х-*х0
Если в точке х0 существует разрыв первого рода, то вели-
чина
6 = f(xo + O)-/(xo-O)
называется скачком функции f(x) в точке xQ (рис. 27).
Графиком гладкой функции является кривая линия с не-
прерывно вращающейся касательной; график кусочногладкой
функции состоит из конечного числа гладких дуг (рис. 28).
Сформулируем теперь теорему (без доказательства) о воз-
можности разложения функции f(x) в ряд Фурье.
Теорема. Если функция f(x) кусочногладкая на интер-
вале ( — л, л), то ее ряд Фурье сходится к значению функции
во всех точках, где она непрерывна; в точках разрыва функ-
ции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее пре-
дельных значений слева и справа, т. е. к значению
Нхо-О)+Нхо + О)
2
где х0 — точка разрыва первого рода; на концах интервала
ряд сходится также к среднему арифметическому предельных
88
значений функции при стремлении независимой переменной
к этим граничным точкам изнутри интервала
/(--+0) + /(т:-0)
2
Условия теоремы охватывают широкий класс функций.
При разложении в ряд Тейлора требовалось, чтобы на интер-
вале сходимости функция была не только непрерывна, но и
бесконечное число раз дифференцируема. Для разложения
функции в ряд Фурье лишь требуется, чтобы функция и ее
первая производная были непрерывными; в отдельных точках
допускается разрыв первого рода.
Условия изложенной выше теоремы о разложимости функ-
ции f(x) в ряд Фурье могут быть несколько иными. Достаточ-
но, чтобы функция f(x) с периодом 2л на интервале ( — л, л)
имела конечное число максимумов и минимумов и была не-
прерывной, исключая, быть может, конечное число точек
разрыва первого рода. В этом случае ряд Фурье сходится
к функции f(x) в каждой точке непрерывности и к сумме
f(xo + O) + f(xo-O)
2
в каждой точке разрыва (условие Дирихле*).
§ 5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Напомним, что функция f(x) называется четной, если для
всех значений х имеет место f (— х) =f (х).
Функция называется нечетной, если для всех х имеет ме-
стр f(-X)= -f(x).
График четной функции симметричен относительно оси
ординат; график нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
Если интегрируемая на интервале ( — а, а) функция f(x)
четная, то
Jf (х) dx = 2 J f (х) dx;
—а	О
если f(x) —нечетная, то
$f(x)dx = 0.
* П. Дирихле (1805—1859) — известный немецкий математик.
89'
Действительно,
а	0	а
У (x)dx = J f (х) dx + р (х) dx.
—а	—а	О
При замене х на — х
О	а
$f(x)dx = $f(—x)dx.
—а	О
Тогда
а	а
y(x)dx = ^[f(x) + f(-x)]dx.	(18)
—а	О
Таким образом, для четной функции f(x)
$f(x)dx = 2$f(x)dx,
—а	6
для нечетной
jf(x)dx = O.
—а
Пусть разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) четная, то-
гда произведение f (х) sinmx—нечетная функция и интеграл,
взятый на интервале ( — л, л) от такой функции, равен нулю.
Все коэффициенты Ьт в ряду Фурье окажутся нулями, а сам
ряд будет состоять из одних косинусов:
-^- + 2a'"cosmx’
m=l
где
It
cos mxdx =
о
cos mxdx
(m = 0, 1,2, ...)•	(19)
Предположим сейчас, что функция f(x) нечетная. В этом
случае функция f(x)cosmx нечетная и все коэффициенты ат
ряда, включая ао, обратятся в нуль.
Ряд Фурье будет содержать только синусы
5 bm sin тх,
т—\
где
Tt	Tt
bm = -j- J f (x) sin mxdx = -2- J f (x) sin mxdx.	(20)
—Tt	0
90
Как показывают формулы (19) и (20), коэффициенты
Фурье можно вычислять, если функция f(x) задана на поло-
вине периода.
§ 6. Примеры на разложение функций в ряд Фурье
Пример 1. Найти ряд Фурье для функции f(x) = x
( —л<х<л). График функции с ее периодическим продолже-
нием показан рис. 29.
Решение. Функция
удовлетворяет условиям
Дирихле — она непрерыв-
на и ограничена на задан-
ном интервале, а потому
допускает разложение в
ряд Фурье. Так как эта
функция нечетная, то ряд
Фурье будет содержать
только синусы. В самом деле
К
1 р .	1
а0 = — I xdx = —
0 к J
—те
Для отыскания ат используем формулу (19), интеграл
возьмем по частям
2 С	2
ат = — | х cos mxdx = —
m те 1	п
0
sin тх 1 С .	,1 А
х------------1 sin mxdx] = 0.
т т J	Jo
По формуле (20)
bm = — f х sin mxdx = — [— хсо$ — +	cos mxdx =
'"те J	те	tn tn j	jo
0
= _2_[_X_£2^L + -".Г = (_ ij-+i2_	(m = 1, 2, ...'
те |_ tn 1 tn2 Jo 4	' m v
f(x) = 2
Запишем теперь ряд
sinx sin 2x
2~
Sin3x ... I ( l)'"+lsinz”* I
Ряд сходится во всех точках, кроме точек разрыва. В точ-
ках разрыва х= (2&-|-1)л (&=0, ±1, ±2, ...) значение функ-
ции равно среднему арифметическому ее пределов справа и
слева, т. е. нулю.
Пример 2. Найти ряд Фурье для функции f(x) = |x|
(—л < х < к). График функции вместе с ее периодическим про-
91
должением на всю числовую ось с периодом 2я показан на
рис. 30.
Решение. Так как функция | х | четная, то все коэффици-
енты Ьт равны нулю. По формуле (19) имеем:
к
а0 = xdx = -к,
о
К
ат = j* х cos mxdx.
b
У

~5Я ~ЧЯ 'ЗЯ -2Я -Я О
# ЗЯ 4Я 5Я
Рис. 30
Интегрируя по частям, находим
2 Г sinmx 1	___j
~ I х m
2	р
= ----2 cos tnx
itm2	I о
2 (1 — cos rm)
л m2
2 Гх sin mx , 1	I*
— —™-------b cos mx
я L m	m£	Jo
’4
лт2
0
при т нечетном,
при т четном.
Следовательно,
Мх)=1‘
Полагая х
4 { cos x , cos 3x ( cos 5x
“	1	32	1	52“
= 0, получим
+ ...4
cos (2m—1) x
(2m — I)2
т
° = Т
З2 52
откуда
±_1 + _L + 1 + 1+
8	1 T 3i T 5i T 72	
Полученным рядом можно. воспользоваться для вычисления сум-
мы ряда
•S=l+^r + -g2’ + -j2-+-gi- + -- - = ^Ti2’
п = 1
92
который представим в таком виде:
5 = (l + -^r + -gr + -^- + ...j +	+ -^г + -gr + • • •) =
= Zi 4-J_fl < _L I J_ 4. J, 'l-jJ.A.
8'г4\"Г2г'гЗг“,_ 4s 'r ’ ’ 7	8-r4
-2
Тогда S = -tt, t. e.
О
S~ — = —
n2 6 ’
n=l
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x
(О < х < 2я). График функции с ее периодическим продолжением
представлен на рис. 31.
Решение. Данная функция на интервале (—к, л) задается
двумя формулами:
[ х 4- 2^ при — ~ < х < О,
f(x) = {	п .
I х при 0 < х < к.
Для вычисления коэффициентов Фурье интервал (—к, к), где
функция задается двумя формулами, заменим отрезком длины 2к,
где она задана формулой f(x) — x, и, воспользовавшись свойст-
вом периодической функции (см. формулу (2) § 1), найдем:
2л
1 Р	Y2
a0 = -jxdx=—
О
= 2к;
Г	-Юл-
If	j 1 xsin/их ,	1	п
ат = — I х cos mxdx = —---------------------- cos mx = 0;
m Л J	Tt L m /и2	JO
o
2k
U 1 f	.	1
bm = — 1 x sin mxdx = —
m n J	Tt
b
x cos tnx . sin tnx
m * m2 Jo
2
m
93
Поэтому для 0 < х < 2я
п( .	. sin2х , sinЗх , sin тх .	\
X = к - 2 (sinx +	+-3- + ...	. .) =
= «— 2y^f.
т
т=1
Из полученного разложения можем получить сумму тригоно-
метрического ряда
V Sinmx  к-X (0<х<24
т=1
В точках разрыва х = 2кт (т = 0, 4- 1, 4-2, ...) сумма ряда
равна среднему арифметическому предельных значений функции
f(x) справа и слева, т. е. к.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию
У
Рис. 32
— 1 при — к < X < О,
/(х) =
1 при
О при
О < х < а,
а < х < к.
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а по-
тому может быть разложена в ряд Фурье.
Определим коэффициенты Фурье:
а0 = ^f(x)dx = -1- [- fl • dx 4- fl • dx + f 0 • dx] =
—тс	0
94
ip	i 0	a
am = — l f (x) cos mxdx = — Г— J 1 • cos mxdx 4- [ 1 • cos mxdx 4-
--Г.	TC	0
-f- f 0 - cos mxdx ] =	[ j cos mxdx 4- f cos mxdx] =
a	0	0
1 r •	1 I, .	1 г • пл 1 sin ma
=----- [sin/nx]-" 4-------Г sin mx a = — ----------
itm L Jo ’em L J о я rn
IP	1	0	a
bm= — \f(x) sin mxdx = — [— Jsin mxdx 4- J sin mxdx 4-
—It	n	0
Tt	1 — тс	a
+ j1 0 • sin mxdx] = — [ J sin mxdx 4- J sin mxdx] =
a	0	0
------— [cos mx]~* ——[cos mx]a —-— [cos m~—24-cos ma] =
nm I Jo nml Jo nml	1 J
(1 — cos ma	*
------------- при tn четном,
_____________ ntn v
3 — cos ma
------------- при m нечетном.
nm r
Поэтому
- z . a 1 ,	1 Г sin a ,3 — cos a .	,
ZW = 2? —^- + —[—j—C0SXH---------j s,nx +
4- sl g2a cos 2x 4——c°s2a sjn 2X £E3a cQs
,	3 — cos 3a . o .	1
4-------s----sin 3x 4-... .
u	J
Ряд сходится в точках непрерывности функции. В точках раз-
рыва сумма ряда равна нулю при х = 0 и равна у для зна-
чений х = а.
Пример 5. Найти ряд Фурье для функции f(x) = 5x4-2
{ — л <х< л).
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле,
а потому может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэф-
фициенты ряда:
к
a0 = -^-J(5x + 2)dx = v + 2х]1 = 4’
.	1 Г5х + 2
cos mxdx =— ——
к т

5 Г .
sin тх--1 sin mxdx
т I
5х Ч- 2	5	1тс
——— sin тх 4---г- cos /их = 0.
т	та	J—к
95
Полученное равенство ат = 0 можно было предвидеть и за-
?>анее, так как функция f (х) = 5х + 2 отличается от нечетной
j(x)=5x только постоянным слагаемым, которое увеличивает
соответствующие ординаты на две единицы.
Ьт =	(5х + 2) sin mxdx =	2- cos тх +
—тс
।	5	•	1 cos пт	10 z 1 \т-ii
H---5- sin mx = — 10-----------= — (— 1)'"+1.
1	тг	J—я	m m '	'
Итак,
f (x) = 2 + 10 J] +- sin mx.
m=\
В точках разрыва сумма ряда равна числу 2.
1ЛААА1
-5Я -ЦЯ-ЗЯ ~2Я ~Я О Я 2Я ЗЯ 4Я 5Я
Рис. 33
Пример 6. Разложить функцию f(x) = х2 ( —л<х<л) в ряд
Фурье. Функция всюду непрерывная. Ее график с периодиче-
ским продолжением изображен на рис. 33.
Решение. Функция f(x) четная, а потому коэффициенты
Ьт равны нулю.
Два раза интегрируя по частям, найдем
9 Г	2 С
ат = ~ \ f(x)cos mxdx = — I x2cos mxdx =
b	b
2	x2sin/nx 2 C	i
= ”-----------------x sin mxdx 
[ /и mJ	Jo
1	. P 4 Г	V
_L —T- sin mx = —5 x cos mx
r m*	Jo	r.m1 [	Jo
4 x cos mx
~tn [	ni
4cos rjn   4 /
m2 ~~ ni1 '
96
Следовательно,
г2	/__ п/л
/ W = 3-+ 4^-Ц^-cos/nx--у -
COS X COS 2х ! cos Зх
—Р	22 I 32
Пример 7. Найти ряд Фурье
для функции f(x)=x2 (0<х<
<2«). График периодически
продолженной функции изо-
бражен на рис. 34.
Решение. Функция f(x)
не относится ни к классу чет-
ных, ни к классу нечетных
функций.
Рис. 34
2гс	2'
Два раза интегрируя по частям, находим:
2л
1 f 2	.	1
ат = — I х2 cos mxdx = —
т тс J	тс
О
x2sin тх
т
4 .
~ т2
2	2 I
=	[х cos тх — J cos mxdxy*=	I х cos тх —
1 .	I2” 
-----------------sin тх
т Jo
2л---------------2л
Ьт =* — V х2 sin mxdx  ---— Fx2cos mxla* -|—IJ
m тс J	tz m L	Jo'rcmJ
0	0
2л
__ 4tc 2 f
m тс m2 J
0
4тс
т
Разложение в ряд Фурье примет вид
,, ч 4тс2 , . /	.	. cos 2х n sin 2х ,
f(x) = — 4-4(cosx — irsinx Н------22-------2----|-
cosmx	icsinmx ,	\
। • • • ।--^2-------z; i~ • •, =
тл	m	/
‘Л4 Зак 539
97
4я2 . . \ ’ cosmx . \i smmx
m=l	m—\
Пример 8. Написать ряд Фурье для функции
[	4 при 0 < х < я,
График функции с ее периодическим
рис. 35.
продолжением показан на
~2Л
У
Л, ~2Л ЗЛ
। 1 ।
Рис.
35
J-J
Решение. Воспользовавшись периодичностью функции, ин-
тервал интегрирования, равный 2я, возьмем в промежутке (—-, я).
Тогда
1 Г	1	9	?
а0 = — f(x)dx = -±- []3dx + J4dx] =
	7t	0
—Л
те---------------------------0
am = J f (x) cos mxdx =
cos mxdx =
б
=	- [sin тх]° + -i- [sin тх]* = 0;
1 С	] 9	“
bm ~ — \ f (х) sin mxdx — — [ j 3sin mxdx 4- J 4sin mxdx] —
V	--7t	0
,	3	,	10	4 r	— 7	— 1
=--------cosmx]0---------cosmxr — — • -1—-------
nml	J — s	л m L Jo я	m
Итак,
/«=4
-— ------sin mx =
m
98
__ 1 • 14 / sin х . sin Зх \
2“+ ~ у-Г- + —— + • •
В точках разрыва сумма ряда равна -у.
Пример 9. Разложить в ряд Фурье функцию f (х) = е°х (а =#0,
— к < X < к).
Решение.
а0 =	— (е0" — е~а") = 2sha”-,
* J	па 4	• ап '
— г.
где sh ак = ---------------гиперболический синус.
Пользуясь формулой интегрирования по частям, находим:
г.	те
ат =	J f (х) cos mxdx = 4~ J e^cos mxdx =
—n	—те
_ 1 Г a cos mx 4~ m sin mx flVln nm 1 2ashg7t .
n [ tn2 + a2	J—те	' я m2 4- a2 *
я	к
bm = 4" J f(x) sin mxdx = -i-j e?x sin mxdx —
—те	—те
К
a sin mx — tn cos mx
m2 + a2
2m
m2 + a2
shat:.
Таким образом, в интервале (—я,
it) получим разложение
la cos тх — т sin тх] •
Пример 10. Найти ряд Фурье для функции /(x)=it— х
(0 < х < 2к). График функции с ее периодическим продолжением
на всю ось х изображен на рис. 36.
Решение.
2п
„	1 С /	\ j 1Г х2 т л
а0 — —I (к — x)dx — — it х---=-	=0.
tt J ' я L 2 Jo
о
Интегрируя по частям, найдем остальные коэффициенты:
if/ X J 1
ат — — I (я — х) cos mxdx = —
b
-------Ц- Icosmxl2'1 = 0;
п т2 L Jo
_	। Р	2т
sin тх 4	1 sin mxdx
т	т J	Jo
7:4*
99
(к — x)siniwxdx
о
1
cos тх—
' 2тс
.0
Л — X	1	12п
-----cos тх	= sin тх
т----тг Jo
Разложение в ряд Фурье имеет вид
1 Г	12п
— (х—я) cos тх
7 Jo
2
tn
т
Пример 11. Разложить в ряд Фурье функцию
Г 0 при — к < х < 0,
f(x)= Р
' I х при 0 < х < к.
График функции вместе с периодическим продолжением на всю
ось х представлен на рис. 37.
100
к	Т.
1 С	if	I' г
ао = —J f(x)dx - — \xdx = — о=-^-;
—тс	о
ат = vj f C0S тХС^Х =	Х C0S тХ<^Х = 4~
—х	О
х sin тх
т
if	ln	1
-----sin mxdx = —5 [cos mx]?- =
mJ	Jo	m£ L jo
2
ТС
т3
ьт = 4-J f (X) sin mxdx =
о
х cos тх
т
х cos тх
т
। 1 f л ?
Н----| cos mxdx =
т J	_ о
Следовательно,
f (х) = ----4 COSX + sinx —
я	2 / cos
4	л \ 1
sinx	sin2x
~1	2~
sin 4х
cos/пл _(—l)m+1
т — т
sin 2х 2 о , sin Зх
~2-------9Г COS3X+ —
V . COS Зх ! cos 5х .	\
32	1	52“ + - • 7
! sin Зх
Н 3	. •
л
1
В точках разрыва функции f(x)
сумма ряда равна
§ 7. Ряд Фурье на произвольном интервале
Часто приходится рассматривать задачу о разложении в ряд
Фурье периодической функции f(x), заданной на интервале (—I, I),
где I — произвольное число (/>0).
Если функция /(х) на заданном интервале (—/, /) удовлет-
воряет условиям Дирихле (см. § 4), то ее разложение может
быть легко осуществлено путем замены независимой переменной
t = -у- х. Когда х пробегает интервал (— I, I), переменная t про-
бегает интервал (—л, л). В этом случае функция f(x) = /(4^)
будет иметь период 2л и, следовательно, может быть разложена
в ряд Фурье
f (х) = f (4	= -у + S (amcosmZ + bmsmmt),
m=l
иначе
f (X) = + S (°mcos + b- sin	<21>
m=l
4 Зак. 539
101
где
п	i
a0 = -^f(-^-t) d/=-J-Jf(x)dx;
—~	—I
Tt	I
am = — f f (— t) cos mt dt = -J- f f (x) cos m^x- dX;
m Tt J 1 \ Tt J	I J ' I
-7t	-I
к	I
bm= f (4~ s‘n = “Г J f (x) sin ^x-
—z	—I
(22)
Ряд (21) представляет собой функцию с периодом 21.
Заметим, что формулы для определения коэффициентов Фурье
в случае четных и нечетных функций записываются по аналогии
с формулами (19) и (20).
Для четных функций
i
а0= y-p(x)dx,
о
I
2 Сг/ч rmtXj
ат=—} f (х) COS —j—dx,
о
(23)
6m = 0 (т = 1,2,3, ...).
Если функция /(х) нечетная, то ее ряд Фурье
f (х) = JXsin-^-
содержит только синусы, где
i
bm = -^f(x)sin^dx.	(24)
о
Коэффициенты ат = 0 (т = 0, 1, 2, ...).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f (х) = х с пе-
риодом 21 на интервале (—2, 2). График функции, периодически
продолженный на всю числовую ось, показан на рис. 38.
Решение.
Функция f(x) нечетная, следовательно, ее ряд Фурье будет
содержать только синусы
S,	. л тх
Мп-у-;
102
Пример 2. Разложить функцию с периодом 21 = 2, опреде-
ляемую равенством f (х) = | х | — 1 при — 1 < х < 1 в ряд
Фурье.
Решение. Функция четная, следовательно, Ьт = 0 и
а0 = -J-J/(x)dx = 2 J(x — \)dx = (х — I)21‘ = — 1;
— I
1 с	1
ат = —J f (х) cos ~^х dx = 2 j (х — 1) cos к mxdx =
— 2 Г*-1 sinitmx------— f sin it mxdx] = 2 f 1 sin к mx -k
L Tt tn	к mJ	joL7t/7Z
+ Tt2m2 C0SKmX\o n* ’ ' m*	n2 (2m —I)2
103
Таким образом,
г / ,  	1	4	cos (2т — 1) л х
1(х)—	2 ~’ n2Zj (2т — I)2
т=1
Пример 3. Разложить в ряд Фурье с периодом 21 = 6 функ-
цию f(x)—x— 6 на отрезке 3<х<9. График функции, пери-
одически продолженной на всю ось, показан на рис. 39.
Решение.
I	9
а0 = -J-J f (х) dx = -^-J(x — 6) dx = -g- [ (x — 6)2]| = 0;
-Z	3
I	9
am =	(x) cos ^^-dx = (x — 6) cos dx =
-Z	3
1 [ 3(x —6)	tnnx
— 3 L	3
m к x - I9
—74—dx
3 з
x — 6 • m я x
----Sin —X—
о
tn z
3 tn к x l9 Л
-—-? cos —x— = 0;
3 J3 ’
Z	9
bm - -J-J /(x)sin ^-dx = -i-j (x — 6)sin —g—-dx =
—Z	3
(x — 6) tn я X
	 COS -^4—
tmt	3
3 mzxl9
f vO SIH Q
(tn я)2	3 J3
6cos/nn ____ 6	(— l)m+l
tntz 7t tn
104
Итак,
»	(_ 1)^ + 1 sin
m=l
Опираясь на соотношение (2) и рис. 39, заданную функцию
можно рассматривать на интервале ( — 3,3),тогда вычисления
коэффициентов Фурье будут проще, а именно:
f (х) = х, — 3 < х < 3,
а0 = 0, ат = 0,
i	з
#	1 С г / \ • тпх 1	2 С	tnnx 1
bm = —r\ f(x) sin —-г— dx =-T- xsin —5— dx =
it)	*	*5 t)	□
-l	0
2
з
3x
/лк
COS
nvtx
T"
6	6
-----cos mu = —
mn---tz
§ 8. О разложении в ряд Фурье
непериодических функций
До сих пор шла речь о разложении в ряд Фурье периоди-
ческих функций. Покажем, что если непериодическая функ-
ция f(x), заданная на интервале ( —Z, Z), удовлетворяет усло-
виям теоремы разложимости
представить рядом Фурье.
Для этого рассмотрим про-
извольную кусочногладкую
функцию ср(х) с периодом
2p^2Z, которая совпадает
на (-Z, Z) с функцией f(x)
(рис. 40).
Разложим функцию ф(х)
в ряд Фурье. Сумма этого
(см. § 4), то ее также можно
ряда во всех точках интер-	р dn
вала ( — Z, Z) будет совпа-	ис'
дать с f (х) и вместе с темф(х) периодически продолжена
на всю ось х. В действительности разложение осуществляется
без привлечения вспомогательной функции ф(х) по форму-
лам (22), в которые входит интервал ( —Z, /).
На практике нередко функция f(x) задается на интерва-
ле (0, /). Дополняя определение этой функции на интерва-
ле ( —Z, 0) по произволу, мы можем ее также разложить в ряд
Фурье.
105
Функция может быть определена так, чтобы при —/^х<0
выполнялось f(x)=f( — x), и в результате получится четная
функция. В этом случае говорят, что функция продолжена с
(О, /) на ( —Z, 0) четным образом (рис. 41, а).
Функция f(x), продолженная четным образом, при разло-
жении в ряд Фурье содержит только косинусы. Коэффициен-
ты Фурье в этом случае вычисляются по формулам (22):
i
ат = f(x) cos -у — dx (tn = 0, 1, 2, ...).
b
Функция f(x) на интервале ( —Z, 0) может быть опреде-
лена п так: f(x) = — f( — x) (рис. 41, б). В этом случае гово-
рят, что функция продолжена нечетным образом; при разло-
жении в ряд Фурье она будет содержать только синусы. Тогда
коэффициенты Ьт определяются по формуле
/
bm = f f (х) sin— dx (т = 1, 2, ...).
о
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, определенную
равенствами
0 при 7г < х < 2тс;
1 при 2к < х < Зк.
Решение. Функция задана на интервале длины 21 = 2л.
Периодически продолжив ее на всю ось х, получим функцию
с периодом 2л (рис. 42).
Определим коэффициенты Фурье:
к	к
а0 = -i- J f(x)dx — J 1 • dx = 1;
— те	0
106
It	к
am =	J f (x) cos mxdx =	J cos mxdx =
—7t	0
1 [sin mx
7t m
n	it
bm = V J	sin mxdx = v Jsin = v[~
—7t	0
1	(—l)m  1
it m
-гл -я 0	#
2Л ЗЛ
P и c. 42
Запишем ряд Фурье для функции f(x):
fw=4 +
оо
2 V'sin (2т — l)x
2m — I
m=l
В точках разрыва сумма ряда сходится к значению, равно-
му-2.
Пример 2. Разложить в ряд по косинусам функцию
f(x) = х (0<х<к)
Решение. Для разложения f(x) в ряд по косинусам про-
должим ее на интервал (—л, 0) четным образом. График
функции с таким продолжением и последующим периодиче-
ским продолжением на ось х (по периоду 2л) показан на
рис. 43.
107
= -^f(x)dx = $xdx = 4|° = тс;
—тс	о
тс	it
а = — f f(x) cos mxdx = — f x cos mxdx — — [ xsinmx—
m it J '' '	nJ	тс [ m
— -	0
if 1TC 2 Г 1	1*	2
------sin mxdx = — —5 cos mx =-----------------x- (cos к m — cos 0)
tn J	Jo Tt [ /П2	Jo Tt tn2 v	'
или
n	I	4
2	Г1 — (— l)ml I----ПРИ m нечетном,
Tt I	fn?	I	I	r\
L	m	J	|	0	при m четном.
Поэтому
p, ч к 4 /	. cos 3x , cos 5x .	\
f(x) = -y-— (cosx + — + — + ...).
Получили такое же разложение, как в примере 2 (§ 6). Если бы
заданная функция f(x) = х была продолжена нечетным образом
на (—л, 0), то получили бы разложение ее по синусам, как
в примере 1 (§6).
Пример 3. Функцию f(x) — | sin х | (0 < х < к) разложить по
косинусам. График функции вместе с его четным продолжени-
ем на интервал (—к, 0) и последующим продолжением на ось х
приведен на рис. 44.
Решение. Функция непрерывна на всей оси х, четная,
поэтому
1 Г,, . ,	2 f .	,
а0 = — I f (х) dx = -у I sin х dx = —
—тс	о
108
_ 2 C sin (1 + т) x + sin (1 — tn) x «	1 Г cos (1 + tn) x
Vj	2	ax “ V [	1 + m
0
cos (1 — m) x TC_ 1 Г 1 —cos (1 4~
1— tn Jo“ Tt L m+1
1 — cos (/И — 1) 7t
1 —tn
1 Г 1—(-~l)^+i i _(_ i)^—i
7t L m + 1	m — 1

X
1 + ( - l)m
m + 1
tn— 1
tn — 1
m2 —1
= 2±t^(m_1_m) = 4.±HziirL (m=A1).
Если m = 1, to
2 C .	,	2 sin2 x Г	n
am = — | sin x cos x dx = — • —F— = 0.
m к J	7C 2	0
о
Таким образом,
( 0 при m нечетном,
П = i 4 •	1
----------------------	-- при tn четном.
( 7t-----------m*— 1 1
Итак,
. . i 2	4 / cos 2x , cos 4x . cos 6x ,
I Sin x I = — - — (-3- + -ЗУ5- +	+ ...
Пример 4. Функцию f(x), определенную равенством
f(x) =
TZX	r\	I
COS —j— при 0 < X < “2" »
0 при -g- < x < Z,
разложить по косинусам. График функции вместе с ее четным
продолжением на (—Z, 0) изображен на рис. 45.
Решение. Заданная функция четная, поэтому Ьт = 0;
/
1	2	L
2	С т^х j 2 С j 2 . г.х \ 2	2
а0 = -г- cos -7- dx = -7- I cos -7- dx =— sin -7-	= —;
V l J l	I J I	7t I Io Я
0	0
У
Рис. 45
1 °
2
109
I
I	2
2 Г г/ \ /лк x i 2 | nx mnx 1
ат = — J f(x) cos -у- dx = — j cos — cos—— dx =
о	о
c
1 f Г (m + 1) я .
= — I I COS ----j ' X + cos
b L
л -
1 I
i L(^+ о*
,in (/n+l)r.
dll -------
1Г—»._.sinMm+D
л [m + 1 Sln 2

o>-v(-4 + i) = K’“- = 0'“*=-t|-«- °«=0'
2	2
a®= зёй? = 0> as= — 637;
I	I
2	2
2 f nx	i 1 f 11 ,	2 nx \ j
(h = — cos — cos — dx = — (1 + cos -y- jdx =
о	0
/_
1 Г , I . 2 nx 1 2	1
= -7- *+ -z-Sin—V-	=-?r.
I |_	1 2k /Jo 2
Итак,
£/ 4	1.1 nx 2 V (- l)m 2k tnx
fix) =----H t* cos ------2_! ? 2 cos —.
' к 1 2	/ к 4m2 — 1 I
m=l
Пример 5. Разложить в ряд по синусам функцию, опреде-
ленную равенством
К*) =
х при 0 < х < -j-’
I — X при -у < X < I .
График функции вместе с ее продолжением на (—I, 0) и
последующим продолжением по периоду 2 I на всю ось х по-
казан на рис. 46.
Решение. Функция всюду непрерывная, нечетная. Поэтому
а0 =0, ат = 0;
i
I	2
,	2 С v . птх .	2 С птх . .
Ьт = — f(x) sin -у— dx = — х sin -у- dx -|~
о	6
ПО
I
. 2 f z, ч . те mx «
+ — (/ — X) Sin-— dx.
I
2
Производя замену j = / и интегрируя по частям, найдем:
к
~2	it
Ьт = тг sin mtdt + J (л — t) sin mtdt —
О	к
~2
к
Т
, 21 С ... . 21 Г (я’—/) cos zn/l,T .
+ J cosmtdt +	[-<-----1-----]ж +
0	2
2/ Г t sin mt 2
л2 [ т Jo
। 2/ С ...	4/	. пт 41 t i
+ J cos mtdt = sin — = —	1)-+1.
It
T
Следовательно,
fW =
4/ V (— O'”*1
n2 (2m — l)2
/71=1
s.n(2/n-l)^
Sin -J- sin —
32 I б2-
Полученный ряд сходится в каждой точке оси х к функции,
изображенной на рис. 46.
§ 9. Комплексная форма ряда Фурье
Ряд Фурье
оо
f(x) =	+ S (ат cos тх + bm sin тх),
т=\
111
где
ат = — I f(x) cos mxdx (m = 0, 1, 2, ...), I
} (26)
~ J f(x) sin mxdx (m= 1, 2, ...), j
—к
иногда бывает предпочтительнее представить с помощью формул
Эйлера* в комплексной форме.
Формулы Эйлера
cos тх = -у (е1тх + е~‘тх),
sin тх = у- (е1тх — е~‘тх) =	(е~
imx___glmx'
подставим в ряд (25), получим
оо
,, . а„ , V’/' 'е‘тх + е~‘тх । a e-imx — eimx
f(x) — 2	“ ym 2	2
т=1
ОО
т=1
(27)
Заметим, что если в формулах (26) поменять т на —т, то
коэффициент ат сохранит знак, тогда как Ьт изменит знак на
противоположный, что символически можно записать так:
ат = а_т, bm = — b_m.
Учитывая это замечание, выражение (27) можно записать
f(x) =	elmx + ^ат~1Ьт е1тх =
т=1	т=—1
оо	оо
= S ат ~2'Ьт е‘тх = S сте‘тх,
т =—ео	т=—оо
Оm —
где ст = т 2 т.
Мы получили ряд Фурье в комплексной форме
оо
/(X) = S cmeimx-	(28)
__________ m«—оо
* Л. Эйлер (1707— 1783) — знаменитый математик, механик и физик.
112
Чтобы найти коэффициенты ст, умножим обе части (28) на
е~1пх и проинтегрируем результат в пределах от —к до z при
фиксированном т (т =# п):
Tt
(*	х it
cme~inx eimxdx = ст r =
J m	m (m — n) i —r.
--Tt
=	\e1 (m-n)	e~‘ im-n) "1 = z 2Cm 4  sin те(tn — n) = 0;
(m — n) i L	J (m — n) '	'
при tn = n интеграл равен 2cm г..
Таким образом, коэффициенты ряда (28) вычисляются по
формуле
Tt
cm = J f(x)e~inxdx (tn = 0, ± 1, + 2,...).	(29)
--7С
Для интервала ( — I, I) ряд Фурье в комплексной форме
примет вид
со iiMtx
Кх)=^сте‘	(30)
т=—со *
где коэффициенты ст находятся по формуле
I —irmtx
1 dx- <31)
-Z
§ 10. Приближение функции с помощью
тригонометрического многочлена. Неравенство Бесселя
Если в ряду Фурье некоторой функции f(x) взять конеч-
ное число членов, то получим многочлен Фурье
Sn(x) = -у- + S (a/n Cos тх + bm sin тх)-
т=\
Можно сказать, что многочлен Фурье является приближенным
представлением разлагаемой функции f(x) ~Sn(x).
Приближение будет тем лучше, чем больше взято членов
ряда. На рис. 47 показано приближение функции, определяе-
мой равенством
— 1 при — те < х < 0,
1 при 0 < х < те
с помощью одного и двух членов ряда Фурье.
Допустим, что функцию f(x), заданную на интервале
(а, Ь), мы хотим заменить другой функцией <р(х). При этой
из
замене важно знать величину ошибки приближенного равен-
ства. Чаще всего за величину ошибки, за меру близости функ-
ций f(x) и ф(х) принимают среднее квадратическое отклоне-
ние б, определяемое равенством
Здесь мы решим одну экстремальную задачу. Пусть задана
функция f(x) с периодом 2л и тригонометрические многочле-
ны и-го порядка
8п(х) = -у + у (ат cos тх + pm sin тх).	(32)
zn=l
Среди всех тригонометрических многочленов (32) путем
выбора коэффициентов ат и найти тот, для которого сред-
нее квадратическое отклонение
8 =	—S„(x)Fdx	(33)
достигает наименьшего значения. Таким образом, требуется
найти минимум функции (32) с 2n+l переменными ао,
С12, . . dn, Рь Рг, • • •> рп»
Будем предполагать, что функция f(x) с интегрируемым
квадратом, т. е. существуют интегралы от f(x) и (f(x)]2.
В равенство (33) вместо Sn(x) подставим правую часть
(32) и развернем квадрат, стоящий под знаком интеграла,
П4
тс
Sn = 2Г J {ftX) —	C0S mX + ftn sin	) dx =
—тс	m~\
= 2Г J { f2(x) — 2f(x) -y + £ (% cos mx + sin mx) ] +
—TC	771=1
Гд n	-12)
+ It + £(•- cos mx + pm sin mx) | dx =
m=l
TC	TC	n	TC
= 2Г J f W* — st J Kx)dx ~t S	J Kx)cos mxdx ~
—TC	—TC	771=1 —TC
TC	TC
—vS J wsin mxdx+т • 4 Jdx+
/71=1 —TC	—TC
n p
771= 1	— TC
TC
• У] J sin2 mxdx +
/71=1	—TC
+ 4 X Jcos mxdx+Jsin mxdx+
/71 = 1	—TC
/71=1 —TC
j П П	p
+ vSS amaA j cos mx cos kxdx +
m=l Л=1	—тс
n n	TC
m=l k—1	—тс
n n «	»
• + -1- 3m3A J sin mx sin kxdx (m'=£ k).
Л=1	—тс
Учитывая, что
. am
a0 —
= -i- J f(x) cos mxdx,
--------TC
TC
bm = JL J f(x) sin mxdx
115
коэффициенты Фурье функции
те
J cos2 mxdx = те,
—те
и при m=h k
те
J cos тх cos kxdx = О,
—те
получаем
те
—те
fix), а также
те
У sin2 mxdx — те
—те
те
У sin mx sin kxdx = О,
п
•	(’А +	+ “f' +
т=1
+ 4-£(“т + Рт)-
т=1
Прибавим и вычтем сумму
п,
4+ 4
т=1
Получим:
те	п
8»=4 J	- 4 - 4 S +
—те	т=1
п	п
+4-+4 S +ь^) - — S ш+
т=1	т=*1
п	•	п
i У If (x)]2dx - 4 - 4 S W + bm) +
—те	т=1
+ 4- ь - а»)2+ 4 S	4- (?т - W.
т=1
Первые три слагаемые последнего равенства не зависят от
ао, ai, аг, ..an, pi, ...» рЛ; каждое из остальных слагаемых
п
4 (’о - ао)а + 4 S - aj2 + (?„ - W
m=l
116
неотрицательно; их сумма достигает минимума, равного нулю,
При QLq = CLq, СЦ = Oj, . . ., Ctn = ^п, Р1 =	• • •, Рп = При ТЯ-
ком выборе коэффициентов ось Рг тригонометрический мно-
гочлен
п
Sn(x) = -у + У, (%, COS tnx + sin mx)
будет меньше всего отличаться от функции f(x).
Итак, мы доказали, что среднее квадратическое отклонение
функции f(x) от тригонометрического многочлена порядка п
окажется наименьшим в том случае, если коэффициенты этого
многочлена будут коэффициентами Фурье функции f(x).
Следовательно, наименьшая величина среднего квадрати-
ческого отклонения определяется равенством
К	п
8"=iJ[^)]2dx--------^[4 + S(a- + ^)]- (34)
—тс	m=l
Так как 6«>0, то
п	Тс
4+S (а-+б-) < 4 J dx
m=l	—тс
при любом т. В таком случае при /п-*оо ряд
00
-^ + S'(^ + ^)>	(35)
т=1
составленный из квадратов коэффициентов Фурье, сходится
и можно записать неравенство
00	Тс
4+S (а-+< 4 J (36)
т=1	—п
которое называется неравенством Бесселя.
Из сходимости ряда (35) следует, что предел общего члена
lim (а^ + &т) = °,
т-> оо
т. е. ат->0, 6)П~>0 при т-<-оо.
При возрастании п величина 6* убывает, поскольку в (34)
добавляются отрицательные слагаемые. Если б^->0 при лг-»оо,
то говорят, что многочлен Фурье Sn(x) сходится к функции
f(x) «в среднем».
117
§ 11. Интеграл Фурье
Ранее нами было установлено, что всякая функция f(x),
удовлетворяющая на заданном интервале ( — I, I) условиям
Дирихле, разлагается на этом интервале в тригонометриче-
ский ряд Фурье
К*) = -Т + S (am C0S + Ь” Sin ZTL)’ (37)
/71=1
где
i
ат == -7-J/V) cos ~j~dt
—4
I
sin—d/
—i
(m = 0, 1, 2, ...),
(tn= 1, 2, ...)
(38)
(для удобства переменная интегрирования обозначена бук-
вой /).
Это разложение будет справедливым на всей оси х, если
f(x) —периодическая функция, и на интервале ( — I, I), если
функция f(x) непериодическая.
Рассмотрим непериодическую функцию f(x) на интервале
(— /, /) в случае, когда интервал распространяется на всю ось х,
т. е. при I -► + со. При переходе к пределу ряд Фурье превра-
щается в интеграл Фурье. Если в ряду Фурье разложение функ-
ции Дх) представляет сумму «гармонических колебаний», частоты
которых образуют дискретную последовательность ах = -у, а2 =
= —[, ..., ат — то разложение функции f(x) в интеграл
Фурье также представляет сумму «гармонических колебаний»,
однако частоты их заполняют непрерывно всю полуось 0 < I < оо.
Обратимся теперь к предельному переходу от ряда Фурье
к интегралу Фурье. Будем предполагать, что функция f(x)
на всяком конечном промежутке оси х непрерывна и удовлет-
воряет условиям Дирихле. Пусть, кроме того, функция /(х)
абсолютно интегрируема на всей оси х, т. е. существует несоб-
ственный интеграл от абсолютной величины этой функции,
равный некоторому числу С:
J| Дх) | dx = С.
— оо
Если подставим выражение для ат и Ьт из (38) в ряд (37),
то получим
118
Дх) = ~2i J f(0 dt + -y 2j I J W) cos 44dt lcos "^4 +
—/	m-1 \— I	/
ИЛИ.
I	co I
f(x) = 4 J №dt + “Г X J cos —7~X)' dt-	(39)
—/	m=l -/
Будем теперь неограниченно увеличивать I и посмотрим, ка-
кой вид примут слагаемые правой части (39).
Первое слагаемое, очевидно, обратится в нуль при /-* оо:
/	i
—I	—I
Для выяснения предела второго слагаемого при Z -> оо вве-
дем обозначения:
к	2п	тг.
®1	/ » а2 / »	•••» ат
А	71
Д ат =	+ л — ат — -у-.
т т* А т [
(40)
Тогда второе слагаемое (39) может быть записано так:
оо I	со	I
4-S J ноcos — dt=4-XДа4 Jмcosапи—
m=l —I	т=1	—I
— x)dt}.
Выражение, стоящее в квадратных скобках, при фиксирован-
ном / можно рассматривать как функцию от а все выраже-
ние, которое находится под знаком суммы, напоминает инте-
гральную сумму для функции от переменного а, составленную
для интервала (0, со). Поэтому естественно ожидать, что при
/ -> оо эта сумма будет стремиться к двойному интегралу
со со
J da j f (0 cos a (/ — x) dt
0	—co
119
и вместо формулы (39) получим
оо оо
f(x) = j da J f (/)cos a (t— x)dt.	(41) ,
0	—oo
Равенство (41) называется интегральной формулой Фурье,
а интеграл, стоящий в ее правой части,— интегралом Фурье,
Строгое доказательство полученной формулы мы не приво-
дим. Как видно, интеграл Фурье есть двукратный интеграл от
функции двух аргументов а и t и зависит еще от параметра х.
Формула (41) справедлива для всех точек, где функция
f(x) непрерывна; в точках разрыва первого рода интеграл
Фурье равен
4 f da J /(/) cos a (/ — x) dt = ^o + °)+/fa-°) ,
0	-00
где x0— точка разрыва.
Интеграл Фурье (41) можно записать и в другой форме.
Раскроем косинус разности
cos а(/ — х) = cos at cos ах + sin а t sin а x.
Подставив правую часть последнего равенства в (41), полу-
чим
00	оо
f(x) = ~ j cos а х^а j cosa^dt +
О	— 00
оо	оо
+	J sin а xda J f (t) sin a tdt.	(42)
О	— оо
Внутренние интегралы являются функциями от а; обозна-
чим их через Л(а) и В(а):
оо	00
А (а) = -J- J f(t) cos а tdt', В (а) = J /(/) sin a tdt.
----------00	—00
Каждый из этих интегралов на интервале ( — оо, оо) схо-
дится, так как функция f(t) по условию абсолютно интегри-
руема, следовательно, интегрируемы функции f(t) cos at и
f(t) sin at.
Интеграл Фурье (42) в новых обозначениях запишется:
f(x) = f [Л (a) cos ах + В (а) sin ах] da.	(43)
120
Таким образом, интеграл Фурье (41) или (43) дает разло-
жение функции f(x) в интервале ( — оо, оо) на гармонические
колебания с частотами а, непрерывно изменяющимися от
О до оо, или, как говорят, имеет непрерывный спектр *.
§ 12. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций
Обратимся к формуле (42):
ОО	00
f(x) = cos a xd а f(t) cosa tdt +
О	—ао
00	00
+ -i- j*sin a xda J f(t) sin a tdt.
0	—oo
Пусть функция f(x) четная. Тогда f(/)cosaf также четная,
a f (t) sin at нечетная и, следовательно,
J f(t) cos a tdt = 2 J f(t) cos a tdt,
—оо	0
j f(t) sin a tdt = 0.
--00
В этом случае формула (42) примет вид
00	00
f(x) = — j cos a xd a f(t) cos a tdt.	(44)
b	о
Пусть теперь f(x) — нечетная. В этом случае f(t) cos at—
функция нечетная, а f(t) sin at— четная, и мы получим:
j f(t) cos a tdt = 0;
—оо
j f( t) sin a tdt = 2 j /(/) sin a tdt.
--00	6
Формула (42) для нечетной функции f(x) запишется так:
00	00
f(x) = j sin a xda f f(t) sin a tdt.	(45)
о	о
Если функция определена только на интервале (0, со), то ее
можно продолжить на интервал (—оо, 0) как четным, так и не-
* Зависимость амплитуды от частоты называется амплитудным спект-
ром функции.
5 Зак. 539
121
четным образом, а значит, представить различными интегралами
Фурье — формулами (44) или (45).
В точках разрыва функции левые части равенств (44) и (45)
/ (*1 + 0) + / (х — 0)
нужно заменить на • 	— 2---------т- е* интегРалы Фурье
будут:
1)	для четной функции
ОО	00
/ (* + 0) + / —о) __ cos а а j cos а (4g)
о	О
2)	для нечетной функции
f (X + 0) + f (X — 0)	2 С. , С	/Л7х
—------ 2 --------- =	1 Sln а х(^ а I Sin а (47)
о	о
Возвратимся к формуле (44). Если положить
00
ср(а) = j/-?- p(/)cos а tdt,	(48)
6
то формула (44) примет вид
00
Дх) = |/ JL (Да) cosaxd а.	(49)
о
Функция Да) называется косинупреобразованием для функ-
ции f(x). Если в выражении (48) считать, что ср(а) заданная,
а /(/)—искомая функция, то оно является интегральным
уравнением для функции ф(а) и она находится из (49).
Если положить в (45)
00
Да) = |Z-^- J f(t) sin a tdt,	(50)
о
то из (45) следует, что
00
Дх) = 1^-7- j ^(a)sinaxda.	(51)
b
Функцию ф(а) называют синус-преобразованием Фурье. Си-
нус- и косинус-преобразования Фурье находят широкое при-
менение в различного рода задачах математической физики.
Пример 1. Представить интегралом Фурье функцию

1 при | х | < 1,
Г при | х | = 1,
О при | х | > 1.
122
Решение. Учитывая, что функция f(x) — четная, на
основании формулы (44) имеем
f(x) = “ j cos a xd a j /(/) cos a tdt =
о	о
к J
О
так как
j COS a tdt =
О
Следовательно,
2 Г COS а X sin а
1 при | х|< 1,
у при |х| = 1,
(52)
0	0 при | х | > 1.
Выражение (52) называется разрывным множителем Ди-
рихле. В частности, при х = 0 получим
2 f sin а
ИЛИ
Мы вычислили интеграл, который обычным способом интег
рирования через элементарные функции не выражается.
Пример 2. Представить интегралом Фурье функцию
1 при 0 < х < а,
f(x) = —1 при—а <х<0,
О при | х | > а.
Решение. Заданная функция нечетная, поэтому восполь-
зуемся формулой (45)
f (х) = j sin a xd а j /(/) sin а tdt =
2 (	(
= — I sin а xd а I 1 • sin a tdt =
5*
123
00
2 С .
— I sin а х
к J
О
cos а tla ,	2	С sin а х	1«	ч	J
------- а а	=	— J ------(1	— cos а а) а а
а Jo к J а	'	7
О
Следовательно,
00
9 С /1 Л ч Sin а X 1
_ I (1 —cosa а)—— а а =
о
1 при 0 < х < а,
— 1 при — а < х < О,
О при | х | > а.
Пример 3. Представить интегралом Фурье функцию
f(x) = e~3x (0 < х < оо, р > 0), продолжив ее четным и
нечетным образом.
Решение. Так как функция определена на (0, оо), то про-
должив ее на интервал (— оо, 0) четным образом, можем при-
менить формулу (44)
00	00
f(x) = J cos a j f(t) cos a tdt =
о	’o
2	(	(
= —	| cos a xda | e~‘‘* cos a tdt.
к	J	J
0	0
Рассмотрим интеграл
00
f e-3' cos a tdt.
b
Интегрируя его по частям, получим
e-3'cosa/d/=lim
Е-*00
Р t Sin a / 1 Jjm J3_ f < sjn a _
a Jo °- J
— lim е~&	— lim -Д- e-3 ' cos a t — lim ( e-3' cos a tdt\
e-«o « e— »* L	JO “2 J
e-3 'cos atdt
Из последнего выражения находим
J е-3'cos a tdt = 82 г»-
o	aa~r P
Окончательно
00	00	00
f (x) = — j cos a xd a j e~3' cos a tdt = J cos axda..
bo	о
124
Продолжив функцию е~''х на интервал (—оо, д) нечетным
образом и интегрируя по частям, получим
ео	оо	оо
2 С	С	2 С а
Дх) = — ] sin a xd а j е-3 ' sin а tdt = — j а2_^2 sin a xda.
bo	о
При нечетном продол-
жении точка х — О есть
точка разрыва. И хотя
ДО) = 1, в действительно-
сти значение интеграла здесь
будет равно полусумме зна-
чений справа и слева от
точки х = 0, т. е. нулю
(рис. 48).
Пример 4. Представить
интегралом Фурье функцию
.	| х — 1 при 0 < х < 1,
' W	0 при х > 1,
продолжив ее нечетным образом на отрицательную полуось.
Решение. Воспользуемся формулой (45)
00	00
f(x) = J sin a xd а У f(f) sin a tdt =
о	о
00	00
= У sin a xd a У (/ — 1) sin a tdt =
о	о
00
2 f	.	fcosa/z.	. sin a I1.
= -Js,nax[—(1“Z) + —Joda =
b
00
2 c .	(	1 , sin a \ .
= — \ sin ax------------2— d a.
7Z J	\	a	a2 /
b
Итак,
00
р/ 4	2 C sin a — a .	,
f(x) = - J --~2---Sin a xd a.
о
125
Пример 5. Представить интегралом Фурье функцию
/(х) =
j/ -у- cos х при 0 < X < К,
----Г V ири х =
О при х > я,
продолжив ее нечетным образом на отрицательную полуось.
Решение. Функция кусочногладкая, имеет разрыв первого
рода в точке х = ".
00	00
f(x) = -у sin a xd а J f(t) sin а tdt =
О	—00
00	г
= -у- J sin а xd а J cos t sin а tdt —
о	о
00	л
= |/ -у- У sin а xd а J [sin (а — 1) t + sin (а + 1) /] dt.
о	о
Вычислим внутренний интеграл:
-у- [ [sin (а — 1) t + sin (а + 1) Л dt =	—
О
COS (а + 1) t 1К  1 Г COS (а — 1) тс
1 + а	J0	2 [	1 — а
1_____COS (а + 1)гс 1 1
1 —а	1 + а 1 + а J
1 COS (а — 1) тс	cos (а 1) тс 2а _________ 1	COS атс
2~ [	Г+Ч	Г=“72] “ т L
2а ! COS атс
1 — а2 Т+Т
1 Г	2а . 2а
2 [C°S Я” ’ а2 — 1 "И а2 — 1
= ^ITi(COSa"+ О-
Таким образом,
00
f (х) = ]/ V 72 L j (cos ак + 1)sin а xd «•
о
Пример 6. Пусть f(x) = ег~ах (а > 0, х > 0).
Решение. Найдем косинус-преобразование Фурье. Восполь-
зовавшись (48) и интегрируя по частям, получим
126
?(«) = yr 4 Je-a/ c°s a tdt =--- / 4
b
синус-преобразование найдем по формуле (50)
К
’?(«) = /4f ^at sin a tdt •= /4
0
Так^как e~ax интегрируема на интервале (0, оэ), то по форму-
лам (49) и (51)
2а С COS а х , _v /
— а= е (* > °)
0
И
а sin а X
а2 + я2
(х>0)
ИЛИ
fCOS а х
J ^Н2"
о
2а
a sin а х
a2 -J- а2
d а = 4“ е-ох.
Последние два равенства называются интегралами Лапласа.
§ 13. Интеграл Фурье в комплексной форме
Обратимся к формуле (43) § 11
СО
f(x) = f [Л (a) cos а х 4- В (а) sin а х] d а,
о
(43)
где
оо
Л (а) = J f(t) cos а tdt,
В(а) = J f(t) sin a tdt.
Преобразуем подынтегральное выражение формулы (43) с по-
мощью формул Эйлера
ос
f(x) = ,f
о
Л (а)
е‘а х 4 е~‘а х
2
+ В(а)
eiax — e~iax
2
da. =
127
= 4 J{[Л<а) -е‘*х + [Л(я) + ЭД1 e~iax}da. (53)
о v
Введем обозначения
F (а) = к [Л (а) — IB (а)],
F (а) = л [А (а) 4- iB (а)]
и тогда, подставляя вместо Л(а) и В (а) их значения, получим
F (а) = J f(t) (cos а t — i sin a i) di = J f(t) e~‘ “ * dt,
— oo	—oo
F (a) = J f(t) (cosat + i sin a t) dt = J f(t) d “ * dt.
— oo	—oo
(54).
Обозначив F (a) = F (— а), выражения (54) мы можем рассмат-
ривать как функцию от а и для положительных и для отрица-
тельных значений а.
Если подставим F (а) в интеграл Фурье (53), то получим
оо
f(x) —	Г [F (a) е' °х + F (— a) е-/а х ] d а =
о
оо	оо
= •7^-{J.F(a)ei,I*da4-j17:' (—») e~l а х d a j =
о	о
оо	0	оо
= -J-l fF(a)e/ajcda + ff(a)ez“xda|=-^- \f (a)d'lxda,
0	—00	—oo
так как после замены а на —a
оо	О
f F (— a) e~l а х d а = J F (a) d “ х d а.
О	—оо
Итак, мы получили
оо
/(*) = (a)daxda,	(55)
— 00
где
F(a) = J f(t)e~iatda.	(56)
— оо
Функция F(a), определенная формулой (56), называется
преобразованием Фурье для функции /(/). Функция f(x),
определенная формулой (55), называется интегралом Фурье
128
для функции F(a). Иногда комплексную функцию F (а) назы-
вают спектральной функцией или спектральной характеристи-
кой. Модуль комплексной функции |F(a)| называется ампли-
тудным спектром.
Каждое из равенств (55) или (56) можно рассматривать
как интегральное уравнение, в котором функция вне интеграла
задана, а под знаком интеграла разыскивается.
Пример 1. Найти спектральную функцию (преобразование
Фурье), если
1 при |х| < 1,
О при | х | > 1.
Решение. По формуле (56) находим
e—{a + Za) t
a + Za
Пример 2. Найти спектральную функцию и амплитудный
спектр
| е~ах при х > 0, а > 0;
fW — | q ПрИ х < Q
Решение. Находим спектральную функцию F(a):
F (a) = е~м dt = Ге- <а + '»)' dt =
о	6
°°^ 1
о а + ia ’
Амплитудный спектр
I (a) I = /аг а2 •
Пример 3. Представить интегралом Фурье в комплексной
форме, найти спектральную функцию и амплитудный спектр,
если
( егах sin ох при х > 0;
/ (х) — | Q	ПрИ х < 0.
Решение. По формуле (56) находим спектральную функ-
цию /г(а) (учитывая, что при х<0 f(x)=O)
F(a) = 'U(t)e-M dt = ^e~ate~~M sin utdt =
— 00 .	0
= j* e— t(a + Za) sjn
b
129
Для решения последнего интеграла воспользуемся формулой
интегрального исчисления
j Sin nxdx = ^(asin^x-ncosnx) + с
Тогда
F (а) = J e~f (0 +г,) sin w tdt =
о
__ е	[(а -I- ii) sin<o t 4- о> cos <>/]	®_	ш
(а -|- /а)2 + u)2	0 (а + i*)2 + w2
Итак,
(a + i я)2 + w2	a2 + <o2 — a2 + 2a ai *
Амплитудный спектр
(•)	CD
I= У (a2 + a>2 — a2)2 +	= V(a2 + <n2)2 + a< — 2a2(o>2+ 3a2)’
Интеграл Фурье в комплексной форме
оо	оо
f (х) — f F (a) eZax da — J- I	——z~	dr,
1 ' ' 2л J ' '	2л J (a + la)2 + co2
— оо	0
f , . __ a> C ^x .
f “ 2л J (a + i a.)2 + <02 dl-
0
Пример 4. Найти преобразование Фурье для функции
f(x) =
— х + 1 при 0 < х < 1,
х + 1 при — 1 < х < О,
О при | х | > 1.
Решение. Для того
чтобы найти преобразование
Фурье
F (°) = I f (О dt,
— 00
п ромежу ток и нтегри рова н и я
разобьем на отдельные интер-
валы (—оо, —1), (—1, 0),
(О, 1) и (1 , оо), тогда
-1	о	1
F(a) = J 0 • е~м dt+ j‘(/ 4- 1)е-ы dt 4- f(-t 4- dt 4-
— оо	—1	О
130
+ Jo -e-‘^dt.
Первый и последний интегралы правой суммы, очевидно, равны
нулю. Остальные интегралы, которые соответственно обозначим
через /х и /2, проинтегрируем по частям:
о	о
h = J (t + 1) dt - р+ 7У J «Н‘' dt =
—I	—i
• =_____1_ Г a' 1° ___________L _l J__e<a.
i a [ a2 J—i i a ' a2 a2 *
1
faHl i p—i a i
(-/+l)e~'a'd/= ±zLr-'a'-^- =J-_Ц-+А-
'	L ia	a2 Jo / a a2 a2
0
Следовательно,
i । i _	1 , 1	. 1 e~ia , 1
F (a) = Л + /, - — 77 + j- + —a-------------— + 7- =
= _2___el ° + e~f а
a2	a2
Применяя к последнему слагаемому формулы Эйлера, находим
г/.	2 2 cos а 2(1— cos a) 2-2sin«—
г (а) = —г------г— = —  ;   — 5 .
' '	а2 а2	а-	а2
Окончательно
Глава IV
Понятие об уравнениях
математической физики
Многие задачи физики и техники приводят к дифферен-
циальным уравнениям с частными производными. Дифферен-
циальным уравнением с частными производными называется
уравнение, связывающее неизвестную функцию и(хь х2, ...,
хл), независимые переменные х2, хп и частные произ-
водные от неизвестной функции. Порядок старшей частной
производной, входящей в уравнение, называется порядком
уравнения с частными производными. Решением уравнения
с частными производными называется всякая функция и(хь
х2, •••, хп), которая, будучи подставлена в уравнение вместо
неизвестной функции, обращает это уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения с частными производными
получили название уравнений математической физики. Тео-
рия таких уравнений находит многочисленные применения.
«
§ 1. Основные уравнения математической физики
Основными уравнениями математической физики (для слу-
чая функций двух независимых переменных) являются волно-
вое уравнение
д2и ъд2и	/1ч
"ЭР ~а
уравнение теплопроводности
дх2 1
д2и
дх2
(2)
и уравнение Лапласа
дги , дги _ п
Различные физические процессы могут описываться оди-
наковыми дифференциальными уравнениями. Так, например,
уравнение (1) описывает процессы малых поперечных колеба-
ний струны, продольных колебаний стержня, электрических
колебаний в проводах и многие другие. Именно поэтому изу-
чение основных уравнений математической физики представ-
ляет большой практический интерес.
132
§ 2. Вывод основных уравнений математической физики
1. Уравнение колебаний струны. В математиче-
ской физике струной называют гибкую упругую нить, не ока-
зывающую сопротивления изгибу.
Рассмотрим натянутую струну, которая в начальный мо-
мент совмещена с отрезком 0<л</ оси х. Будем считать, что
концы струны х = 0 и х = I закреплены. Если теперь струну
отклонить от первоначального положения и предоставить са-
мой себе, то она начнет колебаться. Наша задача состоит
в исследовании этих колебаний.
Сделаем ряд допущений. Будем считать, что колебания
струны происходят в плоскости (х, и) и что отклонения точек
струны от Ох малы настолько, что увеличением ее длины в
процессе колебаний можно пренебречь. Такие колебания стру-
ны будут описываться функцией и(х, t)t где и — отклонение
точки струны с абсциссой х в момент времени t. Тогда натя-
жение Т остается одним и тем же во всех точках струны. Стру-
ну же будем считать однородной, имеющей постоянную ли-
нейную плотность р.
Пусть в некоторый момент времени t струна имеет
конфигурацию, изображенную на рис. 50. Выделим элемент
струны
На концах этого элемента по касательным к нему действуют
силы натяжения, величина каждой из которых равна Т. Его
масса равна $ds= pdx, так как, пренебрегая увеличением длины
струны, можно считать, что ds^dx.
Пусть касательные к элементу ds струны образуют с осью х
углы ср и ср-|-Дер. Так как ds^dx, то углы ср и <рД<р
малы, и поэтому можно считать, что
sin ср tg ср ср и sin (ср + Л?) ~ tg (ср + А ?) ~ <? + Д?.
133
На основании второго закона Ньютона (F = та) уравнение дви-
жения элемента ds струны под действием приложенных к нему
сил имеет вид
(pdx)a = R,	(4)
где а — ускорение элемента, a R — равнодействующая сил, при-
ложенных к его концам.
Проектируя векторы а и R на ось и и пользуясь уравнением
(4), получим
fl„ = (pdx)a„.	(5)
Так как
Ra = Т sin + Д<р) — Т sin у	Т (® + Л ?) — Т = ТА?
и ускорение
то из уравнения (5) получим
p-g-dx = W	(6)
Но
.	' ди
tg? = «x = 5r;
тогда
. ди
? = агс^5Г
И
,	1	д2и , д2и ,
d(?~ 1 + (—~^dx ~ d^dx'
Здесь мы пренебрегли величиной — бесконечно малой по
сравнению с единицей, что следует из допущения ds^sdx.
Действительно, если
х 1-Дх __________________________
ds — j У 1	и'2 dx dx,
х	х
ТО
Подставляя значения ds в уравнение (6), получим
2 д2и , гт. д2и ,
Р	— Т дх*йх-
т
Сокращая на dx и обозначая — = а2, получаем уравнение
движения струны:
134
(7)
&и , d2u
dt2 u dx2'
2. Уравнение распространения тепла в
стержне. Пусть однородный стержень помещен в тепло-
изолирующую оболочку и нагрет так, что температура в раз-
личных его поперечных сечениях различна. Если прекратить
нагревание этого стержня, в нем начнет происходить процесс
выравнивания температур: тепло станет распространяться от
более нагретых мест к менее нагретым. Этот процесс будет
описываться функцией и (х, /), где и — температура точек по-
перечного сечения с абсциссой х в момент времени t.
П	х х+лх	i
Рис. 51
Рассмотрим сечение х (рис. 51) нашего стержня и найдем
количество теплоты, протекающее через это сечение за элемен-
тарный промежуток времени dt. В момент t температура
стержня в точке х будет и (х, /), а в точке х + Дх температура
в этот момент будет z/(x + Ax, /). Разность
и (х, /) — и(х + Дх, t)
дает падение температуры при перемещении из точки х в точ-
ку х + Дх. Тогда отношение
и (х, /) •— и (х Д х, /)
Д х
дает падение температуры на единицу длины стержня. Если Дх
мало, то это отношение можно считать равным — Пусть k —
коэффициент теплопроводности, т. е. количество теплоты, кото-
рое будёт протекать за единицу времени через сечение стержня,
если температура стержня падает на 1° при перемещении вдоль
стержня на единицу длины. Тогда, если на единицу длины стерж-
ня на участке [х, х + Д х] приходится падение температуры —
ди
— то за единицу времени через сечение х пройдет количест-
во теплоты, равное —к^кал. За время же dt (от момента
времени t до момента / + Д /) через сечение х перейдет (слева
направо)
Q = — dt кал.
135
Выделим теперь элементарный отрезок [х, х+Дх] стерж-
ня. За время (t, /+Д/) в наш отрезок войдет через сечение х
из левой части стержня
Qi= — ku.'x(x, t)dt кал.
За это же время из нашего отрезка через сечение х + Дх
уйдет направо
Q2= —ku'x(x+h х, t)dt кал.
Таким образом, за время dt рассматриваемый элементар-
ный участок стержня [х, х + Дх] получит
Д Q = Qi — Q2=k[u'x(x + Дх,/) — и'х(х, t)]dt кал.
Так как
«Дх+Д х, /) — их(х, t) =ихх(х, /) dx.
то
д Q = k -Й- dxdt.
дх2
Если с—удельная теплоемкость стержня, то получение
A Q = k 4-у- dxdt кал
дх2
теплоты повысит температуру единицы массы стержня на
— • 4^- dxdt град.
с дх2	к
Вследствие того, что масса отрезка [х, х + Ах] стержня
равна о dx, где р —линейная плотность стержня, которую мы
будем считать постоянной, температура этого отрезка при по-
лучении им AQ калорий теплоты повысится на
k д2и ..	.
— • -ч-5“ dt град,
ср дх2 г
С другой стороны, это повышение температуры стержня в точ-
ке х за время dt равно
и (х, t + A t) — и (х, t) = dt.
Таким образом, мы получим равенство
ди_ _ fe д2и ,,
dt ~ ср ’ дх2 at'
Сокращая на dt и обозначая = а2, получим уравнение тепло-
проводности
ди о д2и
~ЗТ~а aF-
(8)
136
3. Уравнение потенциального течения жид-
кости. Рассмотрим плоскопараллельное течение жидкости
в некоторой пространственной области ш.
Течение называется плоскопараллельным, если картина те-
чения одинакова во всех плоскостях, параллельных заданной
плоскости, например плоскости ху (течение не зависит от
координаты г). В таком случае
ф = ф(х, у),
где у) — поле скоростей текущей жидкости.
Поскольку течение жидкости потенциальное, то вектор ско-
рости ф(х, у) является потенциальным вектором, т. е.
ф = grad u(x, у),	(9)
где и = и(х, у)—потенциальная функция поля скоростей.
Если в области w отсутствуют источники и стоки жидко-
сти, то
divzJ^O.	(10)
Из (9) и (10) следует, что
div grad и(х, у) = 0
или
Таким образом, плоское установившееся потенциальное
течение несжимаемой жидкости (плотность р = const) без
источников и стоков описывается уравнением (11), которое
называется уравнением Лапласа.
§ 3. Начальные и граничные условия
Уравнения (1) — (3) имеют бесконечное множество реше-
ний. Так, например, любая функция вида
и = <р(х — at)'+ ф(х + at),
где cp(z) и ф(з)—дважды дифференцируемые функции, яв-
ляется решением уравнения (1), в чем легко убедиться непо-
средственной проверкой.
Действительно, введя для удобства промежуточные аргу-
менты у = х — at и z = х + at, находим, что
=- ?' (У) + 'К (2).
>=?"(«/) + <?" (2).
137
—a <?'(!/) +а -У (z),
-g- = a2'-?"^ + a2^<2)
и, следовательно,
д2и 2 д2и
dt2 и дх2 *
Вполне понятно, что интересующее нас решение будет опре-
деляться некоторыми дополнительными условиями, вытекаю-
щими из существа задачи. Такими являются условия, задаю-
щие состояние процесса в начальный момент времени (началь-
ные условия), и условия, определяющие течение процесса на
границе области, в которой рассматривается процесс (гранич-
ные условия).
Например, для уравнения (7) колебаний струны начальны-
ми условиями могут быть
«(х, 0) = Дх), 1
иДх, 0) = 0. I	1 '
Первое из условий (12) задает форму струны в начальный мо-
мент времени t = 0, а второе выражает тот факт, что в на-
чальный момент времени все точки струны находятся в покое.
Условия же
u(0,	0=0
являются граничными условиями. Они показывают, что концы
струны х = 0 и х = I закреплены на оси х.
Рассмотрим теперь задачу о распространении тепла в
стержне. Как было показано в § 2 настоящей главы, этот про-
цесс описывается уравнением (8). Начальное состояние этого
процесса может быть описано начальным условием
u(x,0) = f(x),	(13)
задающим в момент t = 0 температуру стержня в любом се-
чении.
Пусть концы стержня погружены в тающий лед. Тогда теп-
ловой режим на концах стержня можно описать граничными
условиями
и(0, /)=и(/, /)=0.	(14)
Задание условий (13) и (14) определяет единственное ре-
шение задачи.
Если же процесс стационарный, т. е. не меняющийся во
времени, как, например, в случае потенциального течения
138
жидкости, которое описывается уравнением (11), то единст-
венное решение определяется заданием граничного условия
и=1(х, у)	(15)
на границе области изменения переменных х и у. Здесь
/(х, у) — известная функция.
§ 4. Метод Фурье разделения переменных
Пусть требуется найти решение волнового уравнения
др ~	(0 X < /, 0 < t < оо),	(16)
удовлетворяющее начальным условиям
и(х, 0)=/(х), }
' t	, . } (0 < х < /)	(17)
ut(x, 0) = <?(*),)'	7	7
н граничным условиям
и (0, /) = 0,)
U(/,/) = 0,l	<18’
Начальными условиями (17) задаются отклонения и на-
чальные скорости точек струны в момент времени t = 0, а гра-
ничные условия (18) указывают, что концы струны х = 0
и х = I закреплены.
Предположим, что искомая функция и(х, /) может быть
представлена в виде произведения
и(х, /)=Х(х)Г(/)^0,	(19)
где Х(х) зависит только от х, a T(t) —только от t.
Будем искать функцию и(х, /) =Х(х) T(t) ^0, удовлетворя-
ющую только граничным условиям (18).
Так как u(x, то существуют такие значения х = х0
и t /0, что
и (х0, tQ) — X (х0) Т (/0) =# 0,
откуда следует, что
Т(/о)=#О.
Но тогда из граничных условий (18) будем иметь
Х(О)Т(/о)=Х(/)Т(/о)=О.	(20)
Из (20) следует, что искомая функция Х(х) удовлетворяет
условиям
Х(0) = Х(/) = 0.	(21)
139
Подставляя функцию
u(x, t)=X(x)T(t)
в уравнение (16), получим
XT" = a2X"Tt
откуда
Обратим внимание, что левая часть равенства (22) не за-
висит от х, а правая часть не зависит от t. Это может быть
в случае, если левая и правая части равенства (22) являются
постоянными величинами, равными между собой. Обозначая
эту постоянную величину через —X, будем иметь
откуда получаем два обыкновенных дифференциальных урав-
нения:
Т" + Ха2Т = 0,	(24)
X" + XX = 0.	(25)
Покажем, что постоянная величина X положительна. Пусть,
например, Х = 0. Тогда из (25) следует, что
X" = 0
и, следовательно,
Х(х) = С\Х + С2.
Но функция Х(х) должна удовлетворять условиям (21), из
которых следует, что
Ci • 0 + С2 = о, |
Ci . I + С2 = О, )
откуда Ci = C2 = 0, а значит, Х(х)=0. Но тогда и и(х, t)=0f
что противоречит условию (19).
Пусть теперь Х<0, например X = — k2. Тогда уравнение
(25) запишется так:
X" - k2X = 0.
Общее решение этого уравнения будет
х = Crekx + C2erkx.
Учитывая условие (21), получим систему уравнений
Ci 4“ С2 — 0,
C±ekl + C2e~kl = 0,
140
откуда находим, что Ci = С2 = 0. Но тогда снова Х(х) = 0 и
л(х, /)=0, что противоречит условию (19). Тем самым по-
казано, что величина X положительна.
Обозначая X через /г2, перепишем уравнение (25) в виде
X" + k2X = 0.	(26)
Найдем решение уравнения (26), удовлетворяющее условиям
(21). Общее решение уравнения (26) есть
X = С\ sin kx + С2 cos kx.
Постоянные Ci и С2 определим из граничных условий (21):
С2 - 0,	]
Cxsin£Z = 0. J	(27)
Постоянная С\ не может быть равна нулю, ибо в этом случае
Х==0 и и(х, t)=0, что несовместимо с условиями (19). Сле-
довательно, С1=7^0, и тогда
X = Cisin&x.	(28)
Из второго равенства (27) следует, что
sin k I = 0,
откуда
k= ™ (л= 1, 2, 3,...).	(29)
Заметим, что п = 0 мы не берем потому, что X > 0 и, сле-
довательно, k = X =# 0. Так как искомое решение (28) содер-
жит произвольный множитель С19 то достаточно взять только
целые положительные значения л, отбросив значения п -- — 1,
— 2, —3, ... Таким образом,
X = C1Sin^x (п = 1; 2, 3, ...)•
Так как при любом п можно выбирать произвольно Сх -+ 0,
мы получаем бесконечное множество решений уравнения (25) при
граничных условиях (21):
X„ = C„sin^ (n= 1, 2, 3, ...),	(30)
где произвольная постоянная Сп не равна нулю при любом п.
Найдем теперь общее решение уравнения (24)
Г' + WT = 0.
Общим решением этого уравнения будет
Т (/) =-. Д4 cos а )/ X t -i- Afsina |/X t,	(31)
141
где М и jV— произвольные постоянные. Так как X = k2, a k =
= ™ (/1 = 1, 2, 3, ...), то при любом из возможных значений X
Tn(/) = M„cos^/ + ^sin^^ (л= 1, 2, 3, ...) (32)
и, следовательно,
ип (х, t) = Xn (X) Т„ (/) = C„sin ^[л4„ cos t + N sin^ t ].(33)
Обозначая C„Mn = /ln и CnNn = Bn, получим:
z	1л	Tt nd j \ n • TZ Hd j \ • ТС ПХ	/r\ л \
u„ (x, t) = 1Л„ cos -j-t -r B„ sin—p t I sin —.	(34)
При любом n функция (34) удовлетворяет уравнению (16)
и граничным условиям (18).
Рассмотрим функцию
оо
/	л	ТС nd л \ т\ .ТС nd j .ТС ПХ	/ОС\
и (*, 0 = / । An cos — t 4- Bn sin — t sin —, (35)
n=l
определенную рядом (35). Если коэффициенты Ап и Вп тако-
вы, что ряд (35) сходится и допускает двукратное дифферен-
цирование по х и по /, то функция (35) является решением
линейного однородного уравнения (16), удовлетворяющим гра-
ничным условиям (18).
Попытаемся подобрать коэффициенты Ап и Вп так, чтобы
удовлетворялись и начальные условия.
На основании первого из начальных условий (17) имеем:
оо
/(х) = £лл51п^-	(36)
л=1
Если функция f(x) допускает разложение в ряд Фурье на
интервале (О, Z), то коэффициенты Ап будут коэффициентами
Фурье функции f(x) и, следовательно,
Ап= j" f (х) sin ™ xdx,	(37)
Дифференцируя равенство (35) по t и пользуясь вторым из
начальных условий (17), получим:
оо
/ \ V г* я nd . тс п	/ооч
? w = 2^В”—s,n—<38)
II - 1
142
Если и функция f(x) тоже допускает разложение в ряд
Фурье в интервале (0, /), то
i
D Tt па 2 f z ч . тг п ,
В"Т = 7 J ?Wsin ~Г xdx’
о
(39)
откуда
Вп
2 (
к па J
о
? (х) sin ™ xdx.
(40)
Таким образом, если коэффициенты Ап и Вп ряда (35) опре-
деляются по формулам (37) и (40), причем ряд (35) сходится
и допускает двукратное интегрирование по х и по Z, то функ-
ция (35) является решением уравнения (16), удовлетворяю-
щим начальным условиям (17) и граничным условиям (18).
§ 5. Физическое истолкование решения
уравнения колебаний струны
Дадим физическое истолкование полученному решению
/ V/л к па , . п . п па Л . к п
и (*, 0 = Z, cos -j- t + sin — t I sin —х. (35)
Л=1
Функции
ип (х, /) = ( А п cos	t 4- Вп sin t) sin ™ х (34)
являются при любом п (п = 1, 2, 3, ...) решениями уравнения
(16) при граничных условиях (18).
Каждая функция (34) представляет собой так называемую
стоячую волну, при которой все точки струны совершают
гармонические колебания с одинаковой фазой и частотой. Это
легко видеть, преобразовав решение (34) к виду
(д
-=^=-cos^/ +
V /1 л Пд *
ВП
• тс па j \ с 1 tn тс п
sin—/) sin — X
или
/	• тс п • /Тс па » ।	\
и„ (х, t) = а„ sin -j- х • sin (-у-1 + <x„),
(41)
где
ап = VАгп + В‘п, sina„ =	. cosa„
У А п -|- В п
ИЗ
Из (41) следует, что все точки струны совершают гармони-
ческие колебания с одинаковой фазой ал, одинаковой частотой
0)л = “7“ и амплитУД°й колебания, равной ansin^x. При та-
ком колебании точки струны
п	/	2/	П_1
х =-- 0, х = —,х =—, ...» х =----------/, I
п п	п
будут оставаться в покое, а струна будет издавать звук, вы-
сота которого зависит от частоты колебаний соп. Самый низкий
тон называют основным. Его частота
it а it i / Т
где Т — натяжение струны, р —линейная плотность, а / —
длина струны. Из формулы (42) видно, что частоты основного
тона тем выше, чем короче струна, чем больше натяжение
струны и чем легче струна.
Тона с частотой соп для п>2 называются обертонами.
Обертоны, частоты которых кратны частоте основного тона,
называются гармониками.
Решение (35) складывается из отдельных гармоник, дей-
ствие которых сводится к созданию тембра звука.
Таким образом, задание начальных условий (17) будет
определять тембр звука, издаваемого колеблющейся струной.
Метод Фурье решения волнового уравнения (1) при гра-
ничных условиях (18) и начальных условиях (17) дает воз-
можность определить коэффициенты функции (35) так, чтобы
удовлетворялись начальные условия, т. е. чтобы был обеспе-
чен заданный тембр звучания струны. Заметим, что начальны-
ми условиями определяется и громкость звучания струны, так
как амплитуда колебания
/ЛА+ Bbin^ х
точек струны определяется начальными условиями (17), что
легко видно из формул (37) и (40) для определения коэффи-
циентов Ап и Вп-
§ 6. Примеры решения уравнений колебаний
струны методом Фурье
Пример 1. Однородная струна длиной I натянута между
точками х = 0 и х = I. В точке х = с струна оттягивается на
небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент
/ = 0 отпускается без начальной скорости. Определить откло-
нение п(х, t) струны для любого момента времени.
144
Решение. Задача сводится к решению волнового урав-
нения
д2и о д2и
___ — л*-----
dt2 дх2
при граничных условиях
и (0, t) = и (I, t) = Q
и начальных условиях
и (х, 0) =
—х при 0 < х < с,
при С < X < I,
lit (х, 0) = 0.
Ищем решение в виде
оо
/ V я к па п л па \ . я п
и (х, t) = / , I Ап COS -у t j- Вп sin — 11 Sin — X,
n 1
(35)
где коэффициенты An и Bn определяются по формулам (37)
и (40).
По формуле (37) находим
I	с
л	2 Гг / х . я п ,	2 С h	л п 1 .
Ап = — I f (х) sin — xdx = — I — х sin — xdx +
о	о
z	c
, 2 C h(x — I) . я n , 2h C . я n , ,
H—r I ——r2 sin -r- xdx = -у- I x sin -j- xdx +
1 Z J с— I	I	Ic J Z 1
c	0
I
+ J (x — 0sin Y xdx-
Интегрируя по частям, находим
с	с
f х sin V xdx = “ ^hx cos ¥ x|o+ T7i JcosZTxdx =
О	0
cl it nc . Z2 . Я n Iе cl______________________ Tt nc , Z2 . я nc
~ C0S ~T~ + S,n I x |o~	. П C0S / + *2 n2 Sln I
Аналогично найдем
1	iz /
J (X - Z) Sin у xdx = - (X - Z) COS — |c+ — J COS — xdx =
145
I , п Л ПС . Z2 . Л п
— (с — 1) cos —F -5—2 sin —г х
л пх 1 I л2 п2 I
1(с — I) л пс
„ COS —------------
л п
Z2 . л пс
Y-o Sin—7-
. и2 /
Тогда

2h
cl
cl л пс .	/2
------COS —Г 4- -5-5 S!n
л п I 1 л2 п2
I (C-I)
л n
COS —
Z2 . л t
^Sin“
sin T
2hl . л nc
(c — Z) л2л2 Sin ~T ~
_ / 2/iZ__________2hl \ . л nc ______________2hl2 1	. л nc _
\ Л2 n2C (c — I) Tt2fl2 ) Sin /	Л2 C (c — I) n2 Sin /
_ 2hl2 1	. Ttnc
~ Л2 c (/— c) * /i2 Sin / •
По формуле (40) находим, что Вп = 0, так как ф(х)=0. Под-
ставляя в (35) вместо Ап и Вп их значения, получим искомое
решение
00
/	«	2/1Z2 V1 1	• л пс л nat л пх
и (х, t) = ---------т— 2_1	sin —ч- COS — sin —.
х ’ } л2 с (Z — с) п2 I	II
п - 1
Пример 2. Однородная струна, закрепленная на концах
х = 0 и х = /, имеет в начальный момент времени формулу
параболы
где М — постоянная. Определить смещение точек струны от пря-
молинейного положения равновесия, предполагая, что началь-
ные скорости отсутствуют.
Решение. Нужно найти решение уравнения колебаний
струны
д2и ___ 2 Эги
Hi2 ~ а ’дИ2’
если граничные условия
м(0, 0 = и(1, о = о
и начальные условия
«(х, 0) = ^^-
ди I
dt р-о
= 0.
146
Решение ищем в виде ряда (35). Коэффициенты Ап нахо-
дим по формуле (37):
Лп = 7^Jx(/-x)sinTdx = 7lf[-iAx(/-x)cosLr |л
О
+	= ^sr
о
/
. 2/ С . тс пх , 1	4/2 Z1	ч 4/2 Г1 ,
4----I Sin-7-dx = -Т (1 — COSK/l) = 3 ядл [1 —(— 1)л1.
1 л п J Z J тс8п3Л4 '	' к9п9М v ' J
О
По формуле (40) находим, что Вп = 0, так как ср (х) == 0. Сле-
довательно, поставленная задача имеет решение
00
/	4/2 V 1—(—1)л	nnat ппх
U (Х> ~ L C0S I S,n / —
/1-1
8/2 V 1	(2Л+1)7:а/ .	(2*4-1)**
— ____ > ________г H’s —— -_____ 41 п —-__ '
т&М (2Л+ 1)3	I	/
А=0
(так как при четном п - 2k 4* 2 имеем 1 — (— 1)л = 0).
Пример 3. Найти уравнение и = и (х, t) формы однородной
струны, закрепленной в точках х = 0 и х = I, в произвольный
момент времени t, если
и (х, 0) = 0 и I =
v ' dt |г о
v0 при \х — с\<^,
0 При |* — d> 47-
Решение. Решение ищем в виде ряда (35). По формуле
(37) находим, что Ап = 0. Коэффициенты Вп находим по фор-
муле (40):
В„
2vol
= л2 и2 а
21>о ( I * пх\ + 2А
----—-----------COS —Г-
тс па \ г. п I \ п '
с 2h
-2— ( v0 sin dx =
тс паJ °	/
147
4у0/
?t2n2a
. 7t nc . л2 n
Sln—Sln —
Подставляя An и Bn в (35), получим искомое решение
/ л 4vol 1 .яле. к8л 'r.nat . п пх
z) = ^4-2j^'sinTs,n-2W sm—7—sin—г‘
л=1
Мы рассмотрели метод разделения переменных (метод
Фурье) для уравнения малых колебаний струны. Этим же ме-
тодом может быть решено и уравнение теплопроводности при
определенных начальных и граничных условиях.
Заметим, что метод Фурье не является общим для
всех уравнений математической физики, так как он применим
только тогда, когда искомое решение w(x, t) представимо в
виде
п(х, t)=X(x)T(t).
Кроме метода Фурье, существует целый ряд других методов
решения уравнений математической физики. Но эти методы
уже выходят за рамки программы общего курса высшей ма-
тематики для высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
д и с л о в и е
3
1.	Линейные преобразования и матрицы
1.	Линейные преобразования на плоскости.....................5
2.	Линейные преобразования в пространстве...................7
3.	Квадратные матрицы второго порядка.......................9
4.	Квадратные матрицы третьего порядка.....................11
5.	Основные действия над матрицами.........................14
6.	Теорема об умножении определителей......................16
7.	Обратная матрица ...	......................16
8.	Применение матриц к решению систем линейных уравнений 20
9.	Ортогональные преобразования............................23
10.	Собственные векторы и собственные значения ....	26
11.	Линейные преобразования с симметрическими матрицами .	29
12.	Приведение к диагональному виду матрицы симметриче-
ского линейного преобразования в пространстве ...	31
13.	Приведение квадратичной формы к каноническому виду .	33
14.	Приведение к каноническому виду уравнений линий второ-
го порядка...............................................  36
15.	Приведение к каноническому виду уравнений поверхностей
второго порядка	.	................................39
II.	Теория поля
1.	Скалярное поле......................................... 41
2.	Производная по направлению .	43
3.	Градиент............................................... 46
4.	Векторное поле......................................... 51
5.	Поток вектора через поверхность	54
6.	Дивергенция............................................ 61
7.	Линейный интеграл и циркуляция	67
8.	Вихрь векторного поля ...	71
9.	Оператор Гамильтона ....	78
111.	Ряды Фурье. Интеграл Фурье
1.	Периодические функции................................
2.	Гармоники......................................  .	.
3.	Тригонометрические ряды..............................
4.	Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье.......................
5.	Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций .
6.	Примеры на разложение функций в ряд Фурье .
7.	Ряд Фурье на произвольном интервале
8.	О разложении в ряд Фурье непериодических функций .
9.	Комплексная форма ряда Фурье.........................
10.	Приближение функции с помощью тригонометрического
многочлена. Неравенство Бесселя .........................
11.	Интеграл Фурье...............................•
12.	Интеграл Фурье для четных и нечетных функций .
13.	Интеграл Фурье в комплексной форме...................
80
81
84
86
89
91
101
105
111
113
118
121
127
149
Глава IV. Понятие об уравнениях математической физики
§ 1.	Основные уравнения математической физики................132
§ 2.	Вывод основных уравнений математической физики .	133
§ 3.	Начальные и граничные условия.......................  .	137
§ 4.	Метод Фурье разделения переменных.......................139
§ 5.	Физическое истолкование решения уравнения колебаний
струны ......................................................143
§ 6.	Примеры решения уравнений колебаний струны методом
Фурье....................................................  .	144
Адзерихо Серафим Яковлевич,
Полонский Иван Мартынович,
Стодольник Нина Александровна.
ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ, ТЕО-
РИЮ ПОЛЯ И РЯДЫ ФУРЬЕ. Под. общ. ред.
С. Я. Адзерихо. Минск, «Вышэйшая школа», 1968.
152 стр. с илл.	517
Редактор Т. К. Майборода
Обложка Г. И. Важнова
Худож. редактор В. Н. Валентович
Техн, редактор М. Н. Кислякова
Корректор Е. Г. Гресик
АТ 04275. Сдано в набор 24/V 1967 г. Подписано
к печати 10/V 1968 г. Бумага 60Х90’/1б типогр. № 3.
Печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 8,2. Изд. № 66—07. Тип.
зак. 539. Тираж 12 000 экз. Цена 23 коп.
Издательство «Вышэйшая школа» Государствен-
ного комитета Совета Министров БССР по печати
Редакция физико-математической литературы.
Тем. план 1968 г. № 23. Минск, ул. Кирова, 24.
Полиграфический комбинат им. Я. Коласа Госу-
дарственного комитета Совета Министров БССР
по печати, Минск, ул. Красная, 23.
Адзерихо С. Я., Полонский И. М., Стодольник Н. А.
А 29 Введение в линейную алгебру, теорию поля и ряды
Фурье. Под общ. ред. С. Я. Адзерихо. Минск, «Вы-
шэйш. школа», 1968.
152 стр. с илл.
Учебное пособие для технологических специальностей втузов.
Книга состоит из теоретических положений, которые подкрепля-
ются большим количеством разнообразных примеров и задач, что
делает ее весьма удобной для студентов-заочников и студентов, зани-
мающихся на вечерних отделениях вузов.
2-2-3
23-68	517