/
Текст
Alan V. Oppenheim
Ronald W. Schafer
DIGITAL
SIGNAL
PROCESSING
PRENTICE HALL, INC.,
Englewood Cliffs,
New Jersey
А. В. Оппенгейм
Р. В. Шафер
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
Перевод с английского
В. А. Лексаченко,
В. Г. Челпанова
под редакцией С. Я. Ш а ц а
| ?ЕйК«;Ш НГ»
! библиотека
им. В. И. Ленин i i'ACC?
МОСКВА «СВЯЗЬ» 1979
ББК 32.8
0-62
УДК 621.372.542
Оппенгейм А. В., Шафер Р. В.
0-62 Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./
Под ред. С. Я. Шаца.—М.: Связь, 1979.—416 с., ил.
В пер.: 2 р. 60 к.
В книге достаточно полно систематически изложены мате-
матические основы цифровой обработки детерминированных и слу-
чайных сигналов, методы анализа и синтеза цифровых фильтров,
идеи алгоритмов быстрого преобразования Фурье, а также преоб-
разование Гильберта и обработка двумерных последовательностей;
отдельная глава посвящена гомоморфной обработке сигналов.
Книга предназначена для научных работников, занимающихся
цифровой обработкой сигналов.
30602—186
О ----------- 3—79 2402040000
045(01)—79
ББК 32.8
6Ф1
Алан В. Оппенгейм, Рональд В. Шафер
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Ответственный редактор С. Я. Ш а ц
Редактор Е. А. Образцова
Художник А. С. Широков
Художественный редактор Р. А. Клочков
Технический редактор Г. И. Колосова
Корректор М. Ф. Белякова
ИБ № 606
Сдано в набор 25.05.79 г. Подп. в печ. 19.10.79 г.
Формат 60X90/16 Бумага тнп. № 1 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 26,0 Уч.-изд. л. 27,81 Тираж 5000 экз.
Изд. Ns 18347 Зак. № 117 Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Связь». Москва 101000, Чибтопрудиый бульвар, д. 2
Типография издательства «Связь» Госкомиздата СССР
Москва 101000, ул. Кирова, д. 40
© Prentice Hall, Inc., 1975
© Перевод на русский язык, предисловие, сноски, «Связь», 1979 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Вниманию читателей предлагается книга, написанная веду-
щими специалистами США по цифровой обработке сигналов. Це-
лесообразность издания этой книги в русском переводе определя-
ется рядом ее достоинств.
Авторы исходят из того, что вопросы построения устройств
цифровой обработки сигналов разработаны к настоящему времени
настолько, что их уже не следует рассматривать под углом зре-
ния аппроксимации аналоговых методов. Цифровые устройства об-
работки сигналов и, в частности, цифровые фильтры могут и
должны рассматриваться как самостоятельный класс устройств, не
обязательно имеющих подобные себе аналоговые устройства. Ос-
новной недостаток цифровых устройств — их большая схемотехни-
ческая громоздкость — успешно преодолевается современными
достижениями интегральной технологии, с одной стороны, и воз-
можностью алгоритмизации задач с последующим их решением
на универсальных быстродействующих ЦВМ, с другой. В то же
время цифровые устройства обладают столь большим числом пре-
имуществ, благодаря которым можно находить решения ряда за-
дач, нереализуемых в аналоговой технике.
В связи со сказанным цифровые устройства оказываются до-
стойными самостоятельного изучения с использованием специфич-
ного для них математического аппарата.
Такому взгляду на цифровую обработку сигналов подчинены
построение книги и характер излагаемого в ней материала. В кни-
ге дается систематическое фундаментальное изложение математи-
ческих основ, адекватных цифровым методам. Некоторые из них,
как, например, методы z-преобразования, были известны давно;
другие, как, например, методы быстрого преобразования Фурье,
разработаны в последние одно-два десятилетия; в разработке не-
которых методов, таких, как гомоморфная обработка сигналов, су-
щественную роль сыграли сами авторы книги. Наряду с этим ма-
териал книги представляет значительный интерес с прикладной
точки зрения: в ней содержится значительное число графиков,
графов, алгоритмов, которые наглядно поясняют теоретические по-
ложения либо же могут быть использованы при проектировании
устройств.
Книга хорошо отработана методически. В ней последовательно
излагаются основные сведения о дискретных сигналах на базе по-
нятия о единичном импульсе, как имеющем величину (высоту),
5
равную единице; излагается специфичное для дискретных сигналов
z-преобразование, играющее такую же роль, как преобразование
Лапласа при анализе непрерывных сигналов; рассматриваются
дискретное преобразование Фурье и понятие о дискретной сверт-
ке. На основе этих общематематических понятий далее излагается
теория цифровых фильтров, их основных элементов с дальнейшим
развитием применения к ним таких математических аппаратов,
как графы, матрицы, теорема Теледжена. Все это служит основа-
нием для излагаемых ниже методов проектирования цифровых
фильтров. Затем следует изложение методов вычисления дискрет-
ного преобразования Фурье с акцентом на быстрое преобразова-
ние Фурье и методов преобразования Гильберта. Изложенное ис-
пользуется, в частности, в предпоследней главе книги для введе-
ния весьма интересного направления гомоморфной обработки сиг-
налов; с помощью последней линейные методы распространяются
на нелинейные задачи. Заметное место в книге уделяется анализу
воздействия дискретных случайных сигналов и эффектов кванто-
вания, рассматриваемых как аддитивный шум, параметры которо-
го зависят от разрядности регистров.
В оригинале содержится ряд задач, которые из-за ограниченно-
сти объема не включены в русский текст.
Переводчики канд. техн, наук доценты В. А. Лексаченко и
В. Г. Челпанов приложили много усилий по согласованию англий-
ских и русских терминов. В списках литературы ими отмечены ра-
боты, вышедшие в русском переводе.
С. Я. Шац
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Эта книга явилась результатом преподавательской и научной
деятельности в области цифровой обработки сигналов. Она пред-
назначалась первоначально как учебник по цифровой обработке
сигналов для студентов старших курсов. Материалы этой книги
были использованы также и для курса повышения квалификации
инженеров.
Предполагается, что читатель имеет подготовку в объеме ву-
зовского курса математики для студентов электро- и радиотехни-
ческих специальностей, включая введение в теорию функции комп-
лексной переменной и ее применение к теории линейных систем
для непрерывных сигналов, а также преобразования Лапласа и
Фурье. При такой подготовке для работы с этой книгой не по-
требуется дополнительных сведений из математики. В частности,
не предполагаются предварительные знания о дискретных сигна-
лах, z-преобразовании, дискретном преобразовании Фурье и т. п.
В первой главе изложение начинается с определения дискрет-
ных сигналов и класса линейных систем, инвариантных к сдвигу.
Дается представление этого класса систем как во временной об-
ласти на основе понятия дискретной свертки, так и в частотной
области на основе преобразования Фурье. В гл. 2 обобщается пре-
образование Фурье для дискретных сигналов и систем с помощью
z-преобразования. Большая часть гл. 2 посвящена определению и
свойствам z-преобразования, а также определению передаточной
функции для линейной системы, инвариантной к сдвигу. В гл. 1 и
2 изложение завершается кратким обобщением одномерных ре-
зультатов, пригодных для двумерного случая. В гл. 3 вводится дис-
кретное преобразование Фурье. Это преобразование представляет
основу для многих устройств цифровой обработки сигналов и яв-
ляется характерным для понятия дискретного времени. В допол-
нение к развитию идей дискретного преобразования Фурье и его
свойств рассматривается реализация дискретной свертки с по-
мощью дискретного преобразования Фурье. Таким образом, в пер-
вых трех главах приводятся основные методы представления дис-
кретных сигналов.
В гл. 4 анализируются реализации линейных систем, инвари-
антных к сдвигу, описываемых линейными разностными уравне-
ниями с постоянными коэффициентами. Системы этого класса рас-
сматриваются как цифровые цепи, включающие сумматоры, эле-
менты задержки и устройства умножения. Большая часть этой
7
главы посвящена разработке наиболее важных структур цифровых
фильтров. Представление структур в виде графов и матриц, вве-
денное в этой главе, приводит к теории цифровых цепей. Здесь же
обсуждаются теорема Теледжена для цифровых цепей и некото-
рые соотношения для чувствительности результирующей цепи.
В гл. 5 рассмотрены основные вопросы проектирования цифро-
вых фильтров, а также представлены наиболее общие методы рас-
четов (аналитические, алгоритмические или машинные).
Глава 6 посвящена вычислению дискретного преобразования
Фурье. Основное внимание уделено алгоритмам быстрого преобра-
зования Фурье как для одномерных, так и для многомерных по-
следовательностей.
В гл. 7 рассматривается дискретное преобразование Гильберта,
широко используемое при цифровой обработке, в частности при
инверсной фильтрации и комплексном представлении действитель-
ных ограниченных по полосе сигналов. Особое место дискретное
преобразование Гильберта занимает в классе методов обработки
сигналов, известных под названием гомоморфных. Эти методы да-
ны в гл. 10.
В первых семи главах предполагалось, что дискретные сигналы
являются детерминированными. Другим важным классом дискрет-
ных сигналов является класс случайных сигналов, характеризуе-
мых в первую очередь средними значениями, такими, как функции
корреляции и их преобразования Фурье, функции спектральной
плотности. Поэтому в гл. 8 вводятся некоторые основные положе-
ния, относящиеся к дискретным случайным сигналам. В большин-
стве рассуждений, вплоть до гл. 9, сигналы полагаются дискретны-
ми по времени, но непрерывными по амплитуде. При подаче сиг-
налов на цифровую ЭВМ. или при использовании специализиро-
ванного устройства цифровой обработки необходимо осуществить
квантование амплитуд. Эффекты такого амплитудного квантова-
ния в сильной степени зависят как от выбора арифметики и дли-
ны кодового слова, так и от области применения устройства обра-
ботки сигналов. Многие эффекты квантования, обусловленные ко-
нечной разрядностью регистра, могут быть описаны на основе ре-
зультатов гл. 8. Поэтому в гл. 9 эффекты квантования трактуются
как аддитивный шум и анализируются как для алгоритма цифро-
вой фильтрации, так и для алгоритма быстрого преобразования
Фурье.
В гл. 10 вводится класс методов обработки сигналов, именуе-
мых гомоморфными. Этот класс методов, хотя и нелинейных, ба-
зируется на обобщении линейных мето^в, которые были рассмот-
рены в первых главах. Здесь также перечисляются некоторые воз-
можности использования гомоморфной обработки сигналов, кото-
рые, по-видимому, дадут читателю ясное представление широты
применения цифровой обработки сигналов вообще.
В гл. 11 рассматривается другая важная область применения
цифровой обработки — оценка спектра случайного сигнала. Мно-
гие из методов цифровой обработки сигналов, рассмотренных в
'8
этой книге, оказываются полезными для решения этой проблемы.
При этом не ставилась задача исследовать эту проблему исчерпы-
ваюШе: это скорее попытка элементарного введения в очень слож-
ную область.
При отборе и подготовке материала книги основное внимание
концентрировалось на основных принципах построения систем, ши-
роко используемых в разнообразных областях при обработке дис-
кретных сигналов. Многие из практических приложений цифровой
обработки сигналов в более детальном изложении можно найти в
книге Рабинера и Гоулда*.
Большая часть книги написана в результате тесных контактов
с доктором Б. Гоулдом и мистером Ч. Рэйдером из Линкольнов-
ской лаборатории Массачусетского технологического института,
докторами Д. Фланаганом, Д. Кайзером и Л. Рабинером из Bell
Laboratories, а также профессором Т. Стокхэмом из университета
штата Юта. Доктора Гоулд и Фланаган оказали влияние не толь-
ко на содержание книги, но также и на профессиональный рост
авторов. Кроме того, один из авторов (Шафер) имел удовольствие
плодотворно сотрудничать в исследовательской работе с доктором
Л. Рабинером, что также повлияло на содержание книги.
Наши слушатели и коллеги также оказали значительное влия-
ние на содержание настоящей книги, особенно доктор Р. Мерсеро,
помогавший в преподавании этого курса в Массачусетском техно-
логическом институте и бывший нашим лучшим критиком. Доктор
Р. Крошье также помогал в преподавании этого курса и сделал
ряд дельных предложений. Кроме того, его докторская диссерта-
ция значительно повлияла на содержание гл. 4. Д. Джонсон,
М. Портнов и В. Зу работали в качестве ассистентов и высказали
много замечаний и предложений, что улучшило содержание книги.
Многие профессора из других университетов делали критиче-
ские замечания по рукописи, которые были весьма полезны и при-
няты с признанием. Мы также хотим поблагодарить С. Бэйтса,
Д. Дубновски, Р. Куца, Д. Копеца, Д. Макклеллана, Е. Зингера,
В. Стака и перечисленных выше людей за помощь при прочтении
окончательного варианта рукописи.
Мы хотим поблагодарить Массачусетский технологический ин-
ститут и Bell Laboratories за помощь при подготовке материала
книги. Часть книги была написана в то время, когда один из авто-
ров (Оппенгейм) был сотрудником Speech Communication Labora-
tory в Гренобле во Франции. Мы благодарны фонду Гугенхейма за
поддержку и Speech Communication Laboratory за гостеприимство.
Наконец, мы выражаем свою благодарность мисс Д. Джонсон
за помощь при подготовке рукописи, а также мисс М. Эдельман,
миссис А. Касвелл и миссис М. Петижон за их содействие в напе-
чатании многочисленных черновых вариантов этой книги.
А. Оппенгейм, Р. Шафер
* L. R. Rabiner and В. Gold. Theory and Application of Digital Signal Pro-
cessing, Prentice-Hall, Inc., Enqlewood Cliffs, N. J., 1975. (Л. Рабинер, Б. Гоулд.
Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.)
9
ВВЕДЕНИЕ
Цифровая обработка сигналов, базируясь на математике
семнадцатого и восемнадцатого столетий, в настоящее время стала
важным инструментом во многих областях науки и техники. Ме-
тоды и применения цифровой обработки стары, как методы Нью-
тона и Гаусса, и молоды, как цифровые ЭВМ и интегральные схе-
мы.
При цифровой обработке используется представление сигналов
в виде последовательностей чисел или символов. Цель такой
обработки может заключаться в оценке характерных параметров
сигнала или в преобразовании сигнала в форму, которая в неко-
тором смысле более удобна. Формулы классического численного
анализа, такие, как формулы для интерполяции, интегрирования и
дифференцирования, безусловно являются алгоритмами цифровой
обработки. Наличие быстродействующих цифровых ЭВМ благопри-
ятствовало развитию все более сложных и рациональных алгорит-
мов обработки сигналов; последние же успехи в технологии инте-
гральных схем обещают высокую экономичность построения очень
сложных систем цифровой обработки сигналов.
Цифровая обработка сигналов применяется в таких различных
областях, как биомедицина, акустика, звуковая локация, радиоло-
кация, сейсмология, связь, системы передачи данных, ядерная тех-
ника, и многих других. Например, при анализе электроэнцефало-
грамм, электрокардиограмм, а также передаче и распознавании
речи требуется выделять некоторые характерные параметры сигна-
ла. Иногда же возникает необходимость отделения помехи типа
шума от сигнала или приведения сигнала к виду, который наибо-
лее удобен для пользователя. В качестве другого примера обра-
ботки сигналов можно привести случай, когда сигнал, передавае-
мый по каналу связи, подвергается различным искажениям и при-
емник компенсирует их. л
Обрабатываются не только сигналы одной размерности. Так,
в случаях, связанных с обработкой изображений, необходимо ис-
пользовать методы двумерной обработки сигналов. Это нужно
для улучшения рентгеновских изображений, улучшения и анализа
изображений при аэрофотосъемке для обнаружения лесных пожа-
ров или повреждения посевов, анализе фотографий, полученных с
помощью метеорологических спутников, а также для улучшения
телевизионных изображений Луны и дальнего космоса. Для ана-
лиза сейсмических данных, необходимого при разведке нефти, из-
ю
мерениях силы землетрясений и контроле ядерных взрывов, также
используются методы многомерной обработки сигналов.
До недавнего времени обработка сигналов, как правило, вы-
полнялась при помощи аналоговых устройств. Некоторые исклю-
чения имели место в 50-х годах, особенно в областях, где требо-
валась сложная обработка сигналов. Это требовалось, например,
при анализе некоторых геофизических данных, которые могли
быть записаны на магнитную ленту для последующей обработки
на больших ЭВМ. Анализ геофизических данных был одним из
первых примеров обработки сигналов с использованием цифровых
ЭВМ. Этот тип обработки сигналов не всегда мог быть выполнен
в реальном времени. Например, для обработки данных, записан-
ных на магнитную ленту только в течение нескольких секунд, час-
то требовались минуты или часы машинного времени. Даже при
этом универсальность цифровой ЭВМ обеспечивала высокую эф-
фективность обработки.
В дальнейшем использование цифровых ЭВМ в обработке сиг-
налов шло различными путями. Благодаря своей гибкости цифро-
вые ЭВМ были полезны для моделирования систем обработки сиг-
налов до их технической реализации. При таком подходе новые ал-
горитмы обработки сигналов или системы могли быть изучены
еще в экспериментальных условиях без расходования экономиче-
ских и технических ресурсов для построения самих систем. Типич-
ными примерами такого моделирования были моделирования во-
кодера, проведенные в Линкольновской лаборатории в Bell Labo-
ratories. При создании аналогового канального вокодера характе-
ристики фильтра часто влияли на качество результирующего ре-
чевого сигнала непредсказуемым образом. С помощью моделиро-
ваний на ЭВМ были отрегулированы характеристики фильтра, и
качество системы было определено еще до конструирования анало-
гового оборудования.
Применение цифровых ЭВМ давало большой выигрыш из-за
их гибкости и универсальности. Однако обработка не всегда могла
быть выполнена в реальном времени. Следовательно, цифровая
ЭВМ использовалась в основном для аппроксимаций или модели-
рования аналоговых систем обработки. В соответствии с этим в
начале задача цифровой фильтрации в основном сводилась к про-
граммированию фильтра на цифровой ЭВМ так, чтобы при анало-
го-цифровом преобразовании сигнала с последующей цифровой
фильтрацией и цифро-аналоговым преобразованием система ап-
проксимировала хороший аналоговый фильтр. Представление о
том, что цифровые системы могут в действительности быть прак-
тичны для непосредственной обработки сигналов в радиосвязи,
радиолокации или во многих других сферах приложений, казалось
маловероятным. Быстродействие, стоимость и размеры были, ко-
нечно, тремя важными факторами, говорившими в пользу приме-
нения аналоговых устройств.
По мере того как обработка сигналов осуществлялась на циф-
ровых ЭВМ, естественной тенденцией было исследование все бо-
11
лее сложных алгоритмов обработки сигналов. Некоторые из этих
алгоритмов были разработаны с учетом больших возможностей
цифровой ЭВМ, однако из-за сложности не реализовывались в
аналоговой аппаратуре, т. е. многие из этих алгоритмов оказыва-
лись интересными, но до некоторой степени непрактичными. При-
мером класса алгоритмов этого типа был ряд алгоритмов, на-
званных анализом кепстра и гомоморфной фильтрацией. На циф-
ровых ЭВМ было ясно продемонстрировано, что эти алгоритмы
могли быть успешно применены в системах полосового сжатия ре-
чи, развертки и устранения эхо-сигналов. Использование этих ал-
горитмов требует точной оценки обратного преобразования Фурье
логарифма преобразования Фурье входного сигнала. При этом тре-
бования к точности и разрешающей способности были таковы, что
аналоговые анализаторы спектра оказывались непрактичными. Раз-
витие таких алгоритмов обработки сигналов сделало при-
влекательной идею построения полностью цифровых систем
обработки сигналов. Активная работа началась с исследова-
ния цифровых вокодеров, цифровых анализаторов спектра
и других полностью цифровых систем в предположении, что со
временем такие системы станут практичными.
Развитие новой точки зрения на цифровую обработку сигналов
в дальнейшем было ускорено открытием в 1965 г. эффективных
алгоритмов для вычислений преобразований Фурье. Этот класс ал-
горитмов стал известен как быстрое преобразование Фурье
(БПФ). Возможности БПФ были значительными с нескольких то-
чек зрения. Многие алгоритмы обработки сигналов, полученные на
цифровых ЭВМ, требовали времени обработки на несколько по-
рядков больше, чем реальное время. Часто это было связано с
тем, что спектральный анализ был важной составной частью обра-
ботки сигналов, а эффективные средства для его выполнения не
были известны. Алгоритм быстрого преобразования Фурье умень-
шил время вычисления преобразования Фурье на несколько поряд-
ков. Это позволило создать очень сложные алгоритмы обработки
сигналов в реальном времени. Кроме того, с учетом возможностей
действительной реализации алгоритма быстрого преобразования
Фурье в специализированном цифровом устройстве многие алго-
ритмы обработки сигналов, бывшие ранее непрактичными, стали
находить воплощение в специализированных устройствах.
Другая важная особенность алгоритма быстрого преобразова-
ния Фурье связана с тем, что ему внутрефе присуща концепция
дискретного времени. Эта особенность касается непосредственно
вычисления преобразования Фурье дискретного сигнала пли пос-
ледовательности и заключается в ряде свойств и математических
операций, строго относящихся к дискретному времени, в связи с
чем этот алгоритм не является просто аппроксимацией преобразо-
вания Фурье непрерывного сигнала. Это вызвало видоизменение
многих понятий и алгоритмов обработки сигналов на основе мате-
матических методов для дискретного времени, которые затем при-
вели к формулировке ряда четких соотношений для дискретного
12
времени. Все это явилось отходом от представления, что обра-
ботка сигналов на цифровой ЭВМ является лишь аппроксимацией
методов аналоговой обработки. При таком изменении точки зре-
ния возник значительный интерес к новой или, как сказано ранее,
возрожденной области цифровой обработки.
Области применения цифровой обработки сигналов стреми-
тельно расширялись. Этому способствовало развитие больших ин-
тегральных схем и связанное с ним уменьшение стоимости и раз-
меров цифровых устройств при одновременном увеличении их
быстродействия. Цифровые фильтры специального назначения сей-
час могут работать в мегагерцевом диапазоне тактовой частоты;
экономически оправдываются процессоры специального назначения
для выполнения быстрого преобразования Фурье при высокой час-
тоте входных данных; несложные цифровые фильтры выполняют-
ся на отдельных чипах; в настоящее время почти все вопросы,
связанные с системами полосового сжатия речи, рассматриваются
в плане построения полностью цифровых систем как наиболее
практичных; цифровые процессоры также являются неотъемлемой
частью многих современных радиолокационных и звуколокацион-
ных систем. В дополнение к развитию цифровых специализирован-
ных устройств обработки сигналов имеются цифровые программи-
руемые ЭВМ специального назначения, архитектура которых при-
способлена к задачам обработки сигналов. Такие ЭВМ находят
применение при обработке сигналов в реальном времени так же,
как и при моделировании в реальном времени на специализиро-
ванных цифровых устройствах.
Области применения цифровой обработки сигналов постоянно
расширяются. Методы цифровой обработки будут несомненно спо-
собствовать существенным изменениям в областях науки и техни-
ки, где они будут применяться. Характерным примером является
область телефонии, где цифровые методы обещают существенную
экономию и гибкость при реализации систем переключения и пере-
дачи.
Учитывая направление развития цифровой обработки сигналов,
мы убеждены, что ее методы будут применяться скорее по своему
прямому назначению, чем для аппроксимации аналоговых систем:
обработки.
Несмотря на предположение, что читатель знаком с теорией
линейных систем непрерывного времени и представлением сигна-
ла, первая глава начинается с определения ряда сигналов и сис-
тем, которые используются в дальнейшем. Основное внимание в
книге обращено на линейные, инвариантные к сдвигу, системы об-
работки дискретных сигналов, являющиеся аналогами линейных
инвариантных во времени систем обработки непрерывных сигна-
лов. Однако в гл. 10 производится обобщение развитых ранее ме-
тодов, которые приемлемы для более широкого класса систем, в
частности нелинейных.
При изложении материала книги авторы сознательно пытались
избежать прямых аналогий между методами обработки непрерыв-
13
ных и дискретных сигналов, несмотря на то, что многие методы
цифровой обработки являются аналогами соответствующих анало-
говых методов. Например, свертка является важным методом в
представлении линейных, инвариантных к сдвигу систем. Анало-
гично существенную роль играют частотная область и анализ
Фурье. Существуют большие сходства между аналоговой и циф-
ровой обработкой сигналов, а также различия. Следует предосте-
речь читателя, что многие интуитивные представления, используе-
мые при аналоговой обработке сигналов, становятся неприемлемы-
мы при цифровой обработке.
Цифровая обработка сигналов базируется на методах классиче-
ского численного анализа, разработанного еще в XVII веке. Значи-
тельное развитие методы цифровой обработки сигналов получили
в 40—50-х годах при разработке и исследовании дискретных сис-
тем управления. Выбор тем, произведенный авторами в этой кни-
ге, безусловно не охватывает все возможные области применения
цифровой обработки сигналов, однако эта книга дает возможность
читателю создать себе твердую базу для дальнейшего совершен-
ствования знаний в этой области.
Глава 1.
Дискретные сигналы и системы
ВВЕДЕНИЕ
Сигнал может быть определен как функция, переносящая ин-
формацию о состоянии или поведении физической системы. Сиг-
нал может принимать форму колебаний, зависящих от времени
или от пространственных координат. Математически сигналы
представляются в виде функций одной или более независимых пе-
ременных. Так, например, речевой сигнал математически представ-
ляется как функция времени, а изображение — как зависимость
яркости от двух пространственных переменных. Обычно при мате-
матическом представлении сигнала независимой переменной счи-
тают время, и мы будем следовать этому в книге, хотя на самом
деле эта переменная может иметь другой смысл.
Независимая переменная в математическом представлении
сигнала может быть как непрерывной, так и дискретной. Сигналы
в непрерывном времени определяются на континууме моментов
времени и, следовательно, представляются как функции от непре-
рывной переменной. Дискретные сигналы (сигналы в дискретном
времени) определяются в дискретные моменты времени и пред-
ставляются последовательностями чисел. Как мы увидим в даль-
нейшем, такие сигналы, как речь или изображение, могут быть
представлены как с непрерывной, так и с дискретной независимой
переменной, и если удовлетворяются определенные условия, эти
представления полностью эквивалентны.
Вдобавок к тому, что независимые переменные могут быть не-
прерывными или дискретными, амплитуда сигнала также может
быть как непрерывной, так и дискретной. Цифровые сигналы —
это сигналы, у которых дискретны и время, и амплитуда. Сигналы
в непрерывном времени и с непрерывным диапазоном амплитуд
также называются аналоговыми сигналами.
Чтобы облегчить извлечение информации, сигналы должны
подвергаться обработке. Поэтому весьма важно развитие техники,
а также самих систем обработки сигналов. Техника обработки
сигналов заключается в преобразовании сигнала в другой сигнал,
являющийся более предпочтительным. Например, может понадо-
биться разделение двух или большего числа сигналов, которые
ранее были объединены некоторым образом; выделение некоторой
компоненты или параметра сигнала либо оценка одного или не-
скольких параметров сигнала.
Системы обработки сигналов могут классифицироваться точно
так же, как и сами сигналы. Так, системы в непрерывном време-
15
ни — это системы, у которых на входе и выходе имеются сигналы
в непрерывном времени, а дискретные системы (системы в дис-
кретном времени) — это системы, у которых на входе и выходе
дискретные сигналы. Точно так же аналоговые системы — это сис-
темы с аналоговыми сигналами на входе и выходе, а цифровые
системы — системы с цифровыми сигналами на входе и выходе. В
таком случае цифровая обработка сигналов имеет дело с преобра-
зованиями сигналов, являющимися дискретными как по амплиту-
де, так и по времени. Эта глава и большая часть книги посвящены
скорее дискретным, чем цифровым сигналам и системам. Эффекты,
связанные с дискретизацией амплитуды, подробно рассматривают-
ся в гл. 9.
Дискретные сигналы могут появляться при получении выбо-
рок из аналоговых сигналов или же они могут порождаться непо-
средственно некоторым дискретным во времени процессом. Вне за-
висимости от происхождения дискретных сигналов цифровые сис-
темы обработки таких сигналов обладают рядом полезных ка-
честв. Они могут быть реализованы с большой гибкостью на уни-
версальных цифровых вычислительных машинах или с помощью
цифровой аппаратуры. При необходимости их можно использовать
для моделирования аналоговых систем или, что более важно, для
преобразований сигнала, которые невозможно осуществить на ана-
логовой аппаратуре. Поэтому, когда требуется сложная обработка
сигналов, часто желательно представить их в цифровом виде.
В этой главе мы рассмотрим основные понятия, связанные с
дискретными сигналами и системами обработки, вначале для одно-
мерных, а затем для двумерных сигналов. Мы придадим особое
значение классу линейных дискретных систем, инвариантных отно-
сительно сдвига. Из этой и последующих глав будет видно, что
свойства этих систем и полученные нами результаты похожи, на
свойства линейных инвариантных во времени аналоговых систем,
рассмотренных в [1—3]. Действительно, последовательности мож-
но трактовать как аналоговые импульсные сигналы. Такой подход
может служить основой при описании систем, обрабатывающих
выборочные сигналы (выборки) (см., например, [4—6]). Однако
во многих современных применениях цифровой обработки сигна-
лов не все последовательности получаются путем выборки из не-
прерывных во времени сигналов. Кроме того, многие дискретные
системы не являются просто аппроксимациями Соответствующих
аналоговых систем. Поэтому мы не будем пытаться применить вы-
• воды, следующие из теории для аналоговых систем, а получим их
непосредственно для дискретных систем, пользуясь соответствую-
щей этому случаю терминологией и обозначениями. Дискретные
сигналы будут соотноситься с аналоговыми сигналами только тог-
да, когда это будет необходимо.
1.1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ)
В теории дискретных систем мы будем интересоваться обра-
боткой сигналов, представляемых последовательностями. Последо-
16
I
вательность чисел х, в которой п-й член последовательности обоз-
начается как х(п), может быть формально записана в виде
х = {х(п)}, —оа<^п<^оа. (1.1)
Хотя последовательности не всегда получаются путем выборки из
аналоговых колебаний, для удобства мы будем называть х(п)
«п-й выборкой» последовательности. Хотя, строго говоря, х(п)
обозначает п-й член последовательности, запись (1.1) часто слиш-
ком громоздка и более удобно говорить о
х(п)». Дискретные сигналы (после-
довательности) часто изображают-
ся графически так, как это показа-
но на рис. 1.1. Хотя абсцисса изо-
бражена в виде непрерывной ли-
нии, важно сознавать, что х(п) оп-
ределена только для целых значе-
ний п. Неправильно полагать, что
«последовательности
xW
.хф/
♦ /(/)
|Я2)
| J ч ^7 891011
1 2345 6 * LU*
П
X (п) равна нулю ДЛЯ нецелых п, Рис. 1.1. Графическое представле-
Просто х(п) не определена для не- ние дискретного сигнала
целых значений п.
Некоторые примеры последовательностей, играющих важную
роль при дискретной обработке, показаны на рис. 1.2. Единичный
б) г)
Рис. 1.2. Примеры последовательностей:
а) единичный импульс; б) единичная ступенчатая последователь-
ность; в) действительная экспоненциальная последовательность;
г) синусоидальная последовательность
импульс б(н) определяется как последовательность со значениями
«(п) = (°* л^0;
11, п = 0.
Как мы вскоре увидим, единичный импульс играет для дискретных
сигналов и систем ту же роль, какую играет дельта-функция для
аналоговых сигналов и систем. Для удобства единичный импульс
часто называется просто импульсом. Важно отметить, что с еди-
ничным импульсом не связаны те математические затруднения, ко-
торые встречаются при использовании дельта-функции. Его опре-
деление просто и точно.
i — i-'Z --II —.eg w0 _
’ ГййЖ!;.;.. ( 17
ПИ&.ЩЮ Г. '
| 11, И, Ленин . хс ~ '
Единичная ступенчатая последовательность и (л) имеет значе-
, . ( 1, п > О
ния и (п) — I о и связана с единичным импульсом соотноше-
нием
и(п) = £ 6(/г). (1.2)
—СО
Соответственно единичный импульс связан с единичной ступенча-
той последовательностью соотношением
8(п) = и(п)—и(п—1). (1.3)
Действительная экспоненциальная последовательность — это
последовательность со значениями вида ап, где а — действитель-
ное число. Синусоидальная последовательность имеет вид
А соз(й)ол+ф) • Комплексная экспоненциальная последовательность
имеет вид е(<Жш»)п.
Последовательность х(п) по определению называется периоди-
ческой с периодом N, если х(п) =x(n-\-.N) для всех п. Комплекс-
ная экспонента с о=0 и синусоидальная последовательность име-
ют период 2л/соо только тогда, когда это действительное число яв-
ляется целым. Если 2л/®о не целое, но рациональное число, то си-
нусоидальная последовательность будет периодической, однако с
периодом, большим 2л/соо. Если 2л/соо не рационально, то синусои-
дальная и комплексная экспоненциальная последовательности вов-
се не будут периодическими. Параметр ®0 будет называться часто-
той синусоиды или комплексной экспоненты вне зависимости от
того, периодичны они или нет. Частота может быть выбрана в лю-.
бом непрерывном диапазоне значений. Однако без потери общно-
сти можно ограничить этот диапазон, полагая 0+ыо + 2л (или
—л^озо+л), так как синусоидальные и комплексные экспонен-
циальные последовательности, получаемые при изменении ®о в
диапазоне 2л/г^®о^2л (/г+1), в точности совпадают при любых
k с последовательностями, получаемыми при изменении соо в диа-
пазоне О + «о+2л.
Иногда удобно пользоваться термином энергии последователь-
ности. Энергия е последовательности х(п) определяется как
е= V }х(п) |2.
П——СО
При анализе систем обработки дискретных сигналов приходит-
ся производить ряд следующих преобразований последовательно-
стей. Произведение и сумма двух последовательностей х и у опре-
деляются как произведение и сумма выборок соответственно:
ху = {х(п)у(п)}, х+у= {х(п)+у(п)}. Умножение последователь-
ности х на число а определяется как ха=,{ах(п)}.
Говорят, что последовательность у является задержанной или
сдвинутой последовательностью х, если у имеет значения у(п) =
= х(п—п0), где По — целое число.
18
Произвольная последовательность может быть представлена
как сумма взвешенных и задержанных единичных импульсов. На-
пример, последовательность р(п), изображенную на рис. 1.3, мож-
р(п) at
Рис. 1.3. Пример последовательно- п.3 t
сти, представляющей сумму взве- г 2 7 5
шенных и задержанных единичных —•—•—I—•—•—.—1—।—•—•—•—•—।—»-п
импульсов -5 -4 -2 -1 1 | 3 4 5 В 1
° а2 а,
но записать как р(Х)=о_зб(л+3)+О16(л—1)+й2б(л—2) +
4-й76(л—7). В общем случае произвольная последовательность за-
писывается в виде
х(л) = x(k)b(n—k). (1.4)
<30
ГС 3 —*
- I у(п)
1.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ
К СДВИГУ
Система определяется математически как однозначное пре-
образование или оператор, отображающий входную последователь-
ность х(п) (вход) в выходную у(п) (выход), что математически
записывается в виде у(п) = Т[х(п)], а графически часто изобра-
жается так, как показано на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Представление преобразования, отобра-
жающего входную последовательность х(п) в
выходную последовательность у(п)
Классы дискретных систем определяются путем наложения ог-
раничений на преобразование Т[ ]. В дальнейшем будет широко
рассматриваться класс линейных инвариантных относительно сдви-
га систем, потому что они сравнительно просты в математическом
отношении, а также потому, что они дают удобный вид обработ-
ки сигналов. В гл. 10 мы обсудим более общий класс систем,
включающий как частный случай линейные системы.
Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции.
Если У1(/г) и уг(п) —отклики на %1(л) и Xz(n) соответственно, то
система линейна тогда и только тогда, когда
Т (п) + Ьх2 (л)] = аТ (л)] + ЬТ [х2 (л)] = ayt (л) + Ьуг (л) (1.5)
для произвольных постоянных а и Ь. Мы видели, что произвольная
последовательность х(л) может быть представлена в виде задер-
жанной и взвешенной суммы единичных импульсов (1.4). Это
представление вместе с (1.5) предполагает, что линейная система
может быть полностью охарактеризована откликом на единичный
импульс — импульсной характеристикой. А именно, пусть hh(ri) —
отклик системы на б (л—k) единичный импульс в момент n=k.
19
Тогда из
записать
(1.4) у(п) = Т £х(£)б(п-£)
_ со
. С учетом (1.5) можно
У(п) = £ х(6)Т[6(«-£)]= 2 x(k)hh(n). (1.6)
k=—оо Й=-»
Таким образом, согласно (1.6) реакцию системы можно выра-
зить через отклики на 6 (л—k). Если накладывается только одно
условие — линейность, то hk(n) будет зависеть как от п, так и от
k, и в этом случае польза от выражения (1.6) для вычислений не-
велика. Более полезный результат получится, если мы наложим
дополнительное ограничение, состоящее в инвариантности к сдви-
гу-
Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следую-
щим свойством: если у(п) —отклик на х(п), то у(п—k) будет от-
кликом на х(п—k), где k — положительное или отрицательное це-
лое число. Когда индекс п связывается со временем, свойству ин-
вариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во
времени. Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если
/г(п) —отклик на 6 (л), то откликом на 6(л—k) будет просто
h (п—k). Поэтому (1.6) принимает вид
«/(/?) = 2 x(k)h(n—k).
k——tx>
(1-7)
Значит, любая инвариантная к сдвигу система полностью характе-
ризуется импульсной характеристикой h(n).
Выражение (1.7) обычно называется сверткой. Если у(п) —по-
следовательность, значения которой связаны со значениями, двух
последовательностей А(п) и х(п) выражением (1.7), то мы гово-
рим, что у(л) есть свертка х(п) с h(n), и обозначаем у(п) =
= х(п) *h(n). Заменяя переменную в (1.7), получим другое выра-
жение
r/(«)= ^h(k)x(n—k) = h(ri)* х(п). (1.8)
k=—со
Поэтому порядок, в котором две последовательности входят в
свертку, не важен. Другими словами, линейная инвариантная к
сдвигу система со входом х(п) и импульсв^р характеристикой
h(n) будет иметь тот же выход, что и линейная инвариантная к
сдвигу система со входом /г(п) и импульсной характеристикой
х(п).
Две линейные инвариантные к сдвигу системы, включенные
каскадно, образуют линейную инвариантную к сдвигу систему с
импульсной характеристикой, равной свертке импульсных характе-
ристик исходных систем. Так как порядок в свертке не важен, то
импульсная характеристика составной системы не зависит от по-
20
рядка, в котором включены исходные системы. Это свойство иллю-
стрируется рис. 1.5, где изображены три системы, имеющие оди-
наковые импульсные характеристики. Из (1.7) и (1.8) следует,
Рис. 1.6. Параллельное включение линейных
инвариантных к сдвигу систем и эквивалент-
ная система
Рис. 1.5. Три линейные инвариантные к сдви-
гу системы с одинаковыми импульсными ха-
рактеристиками
к сдвигу системы, включенные параллель-
что две инвариантные
но, эквивалентны одной системе с импульсной характеристикой,
равной! сумме импульсных характеристик исходных систем. Это
свойство иллюстрируется рис. 1.6.
Хотя выражение свертки в виде суммы аналогично интегралу
свертки в теории линейных ана-
логовых систем, следует подчерк-
нуть, что свертку в виде суммы
нельзя понимать как приближе-
ние к интегралу свертки. В про-
тивоположность интегралу сверт-
ки, играющему в основном теоре-
тическую роль в применении к
аналоговым линейным системам,
свертка в виде суммы, как мы
увидим в дальнейшем, вдобавок
к своей теоретической значимо
сти может служить для реализ
ции дискретной системы. Поэто
му важно глубже понять свойст-
ва свертки
применении
слений.
Пример.
импульсной ' характеристикой
|ай, п>0;
и получить опыт в
свертки для вычи-
Рассмотрим систему с
Л(п) =
или, что то же, й(п) =
'.ППППП..^
АН
h(O-k)
-2-101 2 3к
h(-k-k)
-3-2-1 0 1 2 3 к
1
h(k-k)
-3-2-101 2 Зк
Рис. 1.7. Последовательности, входя-
щие в свертку [h(n—fe)], показаны для
нескольких значений п
( 0, п<0,
= anu(n). Чтобы найти реакцию на вход-
ной сигнал x(n)=u(n)—и(п—N), заме-
тим, что в силу (1.7) для получения п-го
значения выходной последовательности
нужно сформировать произведение x(k)h(n—k) и просуммировать значения по-
лучившейся последовательности. Две составляющие последовательности показаны
на рис. 1.7 как функции k, причем h(n—k) изображена для нескольких значе-
ний п. Как видно из рис. 1.7, при п<0 Л(п—k) и x(k) не имеют ненулевых пере-
21
крывающихся выборок и, следовательно, у(п)=0 при п<0. При 0^п<У
h(n—k) и x(k) имеют ненулевые перекрывающиеся выборки от k = Q до k=n,
поэтому при
п
У(п)=2 = — в~(п+1))/(1 —a"1 )],0^п<У;
ft=o
при N—ненулевые перекрывающиеся выборки простираются от k—О до
—1 и поэтому
N— 1
У (п) = £ ап~к =ап [(1 — а~ЛГ)/(1 — а~х )], У^п.
й=о
Реакция у(п) изображена на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Реакция системы с
импульсной характеристикой
h(n)=anu(n) на входной сиг-
нал и(п)—и(п—N)
1.3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ
Мы видели, что требования линейности и инвариантности во
времени определяют класс систем, которые представляются сверт-
кой. Добавочные ограничения устойчивости и физической реали-
зуемости определяют практически важный, но более узкий класс
линейных инвариантных во времени систем.
Устойчивой системой назовем систему, в которой каждый огра-
ниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал.
Линейная инвариантная к сдвигу система устойчива тогда и толь-
ко тогда, когда
2lA^l<0°- (1-9)
k——оо
Это можно показать следующим образом. Если (1.9) справедливо
и х ограничено, т. е. |x(n)|<M для всех п, то из (1.8) следует
I У (п) I =
00 00
h(k)x(n—У} < М 2 \h(k)\<Z<x>.
k=—оо k——оо
Поэтому у ограничено. Доказать обратное можно, показав, что ес-
ли S=oo, то существует ограниченный входной сигнал, который
создает неограниченный выходной сигнал. Таким входом является
последовательность со значениями
I й(-«)1
о,
h(n) ф 0;
h (п) = О,
где /г*(п) —комплексно-сопряженная к А^г) величина. Ясно, что
22
х(п) ограничена. Значение на выходе при п=0 равно у(0) =
= 2JC(—k)h(k)= {|й(/г) ]2/)Л(/г) ]}=S. Поэтому при S = oo
Аа=—ОО —<Ю
выходная последовательность не ограничена.
Физически реализуемая система — это система, у которой изме-
нения на выходе не опережают изменения на входе, т. е. в физиче-
ски реализуемой системе, если xi(n)=x2(n), n<n0, то уЦп) =
=у2(п), n<Zn0. Линейная инвариантная к сдвигу система физиче-
ски реализуема тогда и только тогда, когда ее импульсная харак-
теристика равна нулю при п<0. Поэтому иногда удобно называть
последовательность, которая равна нулю при «<0 физически реа-
лизуемой последовательностью, подразумевая под этим то, что она
может быть импульсной характеристикой физически реализуемой
системы.
Как пример устойчивости и физической реализуемости рассмот-
рим линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной ха-
рактеристикой h(n) = апи(п); так как эта импульсная характерис-
тика равна нулю при п<0, то система физически реализуема. Что-
бы определить устойчивость, мы должны вычислить сумму S =
оо оо
= 2 |/г(/г) | =21 Если | а | < 1, бесконечная геометрическая
А—
прогрессия имеет сумму S=l/(1 — |а|), но если |а| 1—ряд
расходится. Следовательно, система устойчива только при |а|<1.
1.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Во многих применениях играет важную роль один подкласс
класса линейных инвариантных к сдвигу систем. Это подкласс со-
стоит из систем, для которых вход х(п) и выход у(п) удовлетво-
ряют линейному разностному уравнению .V-ro порядка с постоян-
ными коэффициентами вида
N М
V aky(n — k) = '£brx(n—r). (1.10)
й=0 г—О
В общем случае системы этого класса не обязательно должны
быть физически реализуемыми. Например, рассмотрим разностное
уравнение.первого порядка
у(п)—ау{п— 1) = х(п). (1.11)
Легко проверить прямой подстановкой, что при х(п)=6(п) урав-
нению (1.11) удовлетворяют как у(п) = апи(п), так и у(п) =
——апи(—п—1). Первое решение соответствует физически реали-
зуемому и при | а | < 1 устойчивому фильтру. Второе решение фи-
зически нереализуемо и устойчиво только при |а| >1. Общепри-
нято полагать, что такое разностное уравнение, как (1.10), ха-
рактеризует физически реализуемую систему, и мы будем придер-
23
живаться этого положения, если только не будет оговорено проти-
воположное.
Без добавочной информации разностное уравнение вида (1.10)
неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом
системы. Это является следствием того, что разностным уравне-
ниям, как и дифференциальным, удовлетворяет целое семейство
решений. Например, если разностному уравнению (1.11) удовлет-
воряет У1(п) при х(п) =Xi(n), то ему также удовлетворяет реше-
ние вида у(п) =yi(n) +kan, где k — произвольная постоянная. В
общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить состав-
ляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению
(т. е. уравнению, у которого правая часть равна нулю), и эта сум-
ма также будет удовлетворять (1.10).
Система, удовлетворяющая линейному разностному уравнению
с постоянными коэффициентами, будет инвариантна к сдвигу толь-
ко тогда, когда мы соответствующим образом выберем однород-
ную составляющую. Если, например, система физически реализуе-
ма, мы должны выбрать начальные условия так, чтобы если
х(п)=0 при n<Zn0, то и у(п)=0 при п<п0. Мы будем полагать,
что если система удовлетворяет линейному разностному уравйч^
нию с постоянными коэффициентами, то она также удовлетворяет
всем необходимым для инвариантности к сдвигу условиям до тех
пор, пока не оговорено противоположное.
Если мы предположим, что система физически реализуема, то
тогда линейное разностное уравнение дает явное соотношение
между входом и выходом. Это соотношение можно получить, пере-
писывая (1.10) в виде
w м
— (akla0)y(n—k) + ^{brla0)x(n—r). (1.12)
k=i r=o
Таким образом, п-е. значение выхода можно вычислить, зная п-е
значение входа и соответственно N и М прошлых значений выхо-
да и входа. Как и в случае свертки, разностное уравнение не толь-
ко дает теоретическое описание системы, но может быть также ос-
новой для реализации системы.
Пример. Разностное уравнение первого порядка (1.11) дает рекуррент-
ную формулу у(п)=ау(п—1)+х(п). Чтобы получить импульсную характеристи-
ку, положим х(п)=$(п) при нулевых начальных условиях. Тогда
h (п) = 0, п <0;
й (0) =ah( — 1)4- 1 = 1;
h (1) = ah (0) = а;
h (п) = ah (п — 1) = ап.
Таким образом, h(n)—anu(n).
Чтобы получить другое решение, положим = и у(7г) = 0 при п>0.
Из (1.11) можно записать рекуррентное соотношение у(п—1) = (1/а)[у(п)—
—х(п)] или у(п)= (l/a)l[i/(n+l)— х(п + 1)]. Тогда
24
h. (n) = 0, n>0;
ft(0).= (l/a) (ft (1) — x (l)]=0;
h ( - 1) = (1/a) [h (0) -x (0)] = -a-i;
ft ( —2) = (1/e) [ ft ( — 1) —x (— 1)1 = -a-?;
ft (n) = (1/a) ft (n-|-1) = — e".
Таким образом, h(n)=—anu(—n—il).
В общем случае линейная система, инвариантная к сдвигу,
может иметь импульсную характеристику как конечной, так и бес-
конечной длительности. В силу определенных свойств цифровой
обработки сигналов полезно различать эти два случая. Будем на-
зывать системы с конечной импульсной характеристикой коротко
КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характерис-
тикой— БИХ-системами. Если в (1.10) положить N=0, так что
г/(п) = (1/а0)
м
^brx(n—r)
-Г=0
тогда оно соответствует КИХ-системе. Действительно, сравнение
с (1.8) показывает, что это разностное уравнение совпадает со
сверткой и, следовательно,
A(n)== |(Мсо), « = 0, 1, • • М;
(0 —в остальных случаях.
Система с конечной импульсной характеристикой всегда может
быть описана разностным уравнением вида (1.10) с N—0. В про-
тивоположность этому для БИХ-системы N должно быть больше
нуля.
1.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
И СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
В предыдущих разделах мы ввели несколько основных поня-
тий теории дискретных сигналов и систем. Мы видели, что для ли-
нейных инвариантных к сдвигу систем представление входной по-
следовательности в виде взвешенной суммы задержанных единич-
ных импульсов приводит к представлению выхода в виде взвешен-
ной суммы' задержанных импульсных характеристик. Дискретные
сигналы могут быть представлены различными способами, причем,
как и для аналоговых сигналов и систем, особо важную роль для
дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплекс-
ные экспоненциальные последовательности. Это объясняется тем,
что основное свойство линейных инвариантных к сдвигу систем со-
стоит в том, что в установившемся состоянии отклик на синусои-
дальный входной сигнал является синусоидой той же частоты с
амплитудой и фазой, определяемыми системой. Именно это свойст-
25
во линейных инвариантных к сдвигу систем делает представление
сигналов через синусоиды и комплексные экспоненты таким полез-
ным.
Чтобы убедиться в справедливости этого для дискретных сис-
тем, предположим, что входная последовательность является комп-
лексной экспонентой круговой частоты со, х(п)=е1юп для —оо<
<n<oo. Тогда, используя (1.8), получим выходной сигнал у(п) =
со оо
= A(£)eiM(n-h, = eiMn V /i(^)e-iwft. Если ввести
k=—со k=—со
Я(е‘“) = £ h(k)e~ia,h' (1.13)
k=—co
то можно записать
^(п) = Я(е'“)е’вп. (1.14)
Отсюда видно, что Н (е‘“) описывает изменение комплексной амп-
литуды комплексной экспоненты как функции частоты го. Величи-
на //(е‘“) называется частотной характеристикой системы, у ко-
торой импульсная характеристика равна h(n). В общем случае
Н (е'ш)—комплексная функция и может быть выражена через
свои действительную и мнимую части //(е‘“) = //Re(ei<0) +i#im (е‘и)
или через модуль и фазу Д(е‘“) = |//(е*“) | eiarg[H(e 1(0)1. Иногда бу-
дет удобнее говорить о групповой задержке, а не о фазе. Группо-
вая задержка определяется как взятая со знаком «минус» первая
производная фазы по <о.
Поскольку синусоиду можно представить как линейную ком-
бинацию комплексных экспонент, то частотная характеристцка
также выражает отклик на синусоидальный сигнал. А именно, рас-
смотрим
х (п) = A cos (®0 п + Ф) = (4/2) еф ei(0°n + (4/2) e-i ф е-110”'1.
Из (1.14) отклик на (4/2) е1<ре1МоП равен yi (п) =Я(е‘Шо) (4/2)е|'Ре‘ШоП.
Если h(n)—действительная функция, то из (1.7) отклик на
(4/2) е-1фе_|МоП является комплексно-сопряженным с откликом на
(4/2) е‘фе-1“”п. Поэтому результирующий отклик равен
у (п) = (4/2) [Н ( е1ш“) е1ф е1ш»" + И (е"110») е~1ф е-1ш“п]
или у(п) = 4|7/(eiMo) |cos (сооп + Ф + 9), где 9 = arg[# (е‘“»)] — зна-
чение фазочастотной характеристики системы на частоте <оО-
Частотная характеристика /7(е’“) является непрерывной функ-
цией частоты. Кроме того, это периодическая функция частоты <в
с периодом 2л. Это свойство следует непосредственно из (1.13),
так как е‘(“+2л)й=е‘“й. То, что частотная характеристика имеет
одинаковые значения на частотах а и ш+2л, означает, что систе-
26
ма реагирует одинаково на комплексные экспоненты этих двух
частот. Такое поведение понятно, так как эти две экспоненциаль-
ные последовательности совпадают друг с другом.
-10 123
Рис. 1.9. Импульсная характери-
стика системы, для которой рас-
считывается частотная характе-
ристика
Рис. 1.10. Модуль и фаза частот-
ной характеристики системы с им-
пульсной характеристикой, изо-
браженной на рис. 1.9
(1.15)
П ример. В качестве примера расчета частотной характеристики рассмот-
рим систему с импульсной характеристикой
... /1. -1 ;
h (п) = <
(О — в остальных случаях.
(рис. 1.9). Частотная характеристика равна
ЛГ-1 /1 _ A-1 aN
Н(ег“)=2 1-----------
п=0
(1-е
= [sin (a AT/2)/(sin (<о/2)] е~* в/2 . (1.16)
Модуль и фаза Н(е’и) изображены на рис. 1.10 для случая М=5.
Поскольку //(е*“)—периодическая функция частоты, она мо-
жет быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13)
и представляет //(е‘“) в виде ряда Фурье, в котором коэффици-
ентами Фурье являются значения импульсной характеристики
h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через
#(е1м) как коэффициенты Фурье периодической функции [1—3],
т. е.
Л(п) = (1/2я) ^H(eia)eianda, (1.17)
—л
где Я(е'“)= 2 Л(п)е-‘шп. (1.18)
П=—оо
Эти равенства можно также трактовать как представление
последовательности /г(п). А именно, полезно рассматривать (1.17)
как представление последовательности /г(п) в виде суперпозиции
(интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды
которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17)
и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последова-
тельности /г(п), где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратно-
го преобразования Фурье. Такое представление существует только
тогда, когда ряд в (1.18) сходится.
27
Представление последовательности преобразованием (1.18)
не ограничивается только импульсной характеристикой системы и
будет справедливо для любой последовательности при условии,
что ряд в (1.18) сходится. Поэтому для произвольной последо-
вательности х (п) мы определим преобразование Фурье соотно-
шением
Х(е‘ш)= х(п)е~,а>п , (1.19)
П=—со
а обратное преобразование Фурье — соотношением
х (п) = (1/2л) J X (е‘“) е‘“" d со. (1.20)
—л
Ряды (1.19) не всегда сходятся, как, например, в случаях, ког-
да х(п) —единичная ступенчатая последовательность либо дейст-
вительная или комплексная экспоненциальная последовательность
для всех п. Имеются различные определения и интерпретации схо-
димости преобразования Фурье. Если х(п) абсолютно суммируема,
оо
т. е. если 21 х(п) | <оо, то ряд называется абсолютно сходящим-
П=— оо
ся и сходится равномерно к непрерывной функции со. Поэтому
частотная характеристика устойчивой системы будет всегда схо-
диться. Если последовательность абсолютно суммируема, то она
00
будет также иметь конечную энергию, т. е. 2 |х(п)|2 будет ко-
nsst—00
нечной. Это прямо следует из неравенства 2 |х(п) |2^ [2 |х(л) | ]2.
Однако нельзя считать, что последовательность с конечной энер-
гией абсолютно суммируема. Примером последовательности, имею-
щей конечную энергию, но не абсолютно суммируемой, является
последовательность х(п) =sin<BOn/nn.
Если последовательность не является абсолютно суммируемой,
но имеет конечную энергию, то можно использовать тип сходимо-
сти, при которой ряд сходится так, что среднеквадратическая
ошибка равна нулю. Сопутствующие такому виду сходимости
гиббсовские осцилляции в точках разрыва имеют практическое
значение при проектировании фильтров и будут рассмотрены поз-
же.
Возможность представления последовательности как суперпо-
зиции комплексных экспонент является очень важным качеством
при анализе линейных инвариантных к сдвигу систем. Именно
вследствие этого факта и принципа суперпозиции реакция такой
системы на комплексную экспоненту полностью определяется час-
тотной характеристикой //(е’“). Если рассматривать _(1.20) как
суперпозицию комплексных экспонент бесконечно малой амплиту-
ды, то отклик линейной инвариантной к сдвигу системы на х(п)
является суперпозицией откликов на каждую экспоненту, входя-
28
щую в представление сигнала х(п). Так как отклик на каждую
комплексную экспоненту получается умножением на //(е'“), то
Л
z/(^ = (1/2л) j Л (е'ю)Х(е1Ю)е'юпЛо. Поэтому преобразование
—Я
Фурье выходного сигнала равно
Г(е‘“)=Я(е1в)Х(е‘“). (1.21)
Этот результат имеет свой аналог в теории линейных систем
с непрерывным временем и может быть, конечно, получен более
строгим образом путем применения преобразования Фурье к сверт-
оо
ке z/(n) = ^ h(n—k)x(k). Хотя этот более формальный подход
k=— оо
дает строгое обоснование формулы (1.21), цель предыдущих рас-
суждений состояла в том, чтобы подчеркнуть, что (1.21) является
прямым следствием особых свойств линейных систем, инвариант-
ных к сдвигу.
Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, рассмотрим
следующий пример.
Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем име-
ет частотную характеристику //(е‘“), вид которой изображен на рис. 1.11, т. е.
для
Н ( е‘“) = Н ’ । 051 аср’
(О, соср < | со | < л.
Так как //(е'“) является периодической функцией, то это соотношение опреде-
ляет частотную характеристику для всех со. Такая система удаляет из входного
сигнала все компоненты в диапазоне частот соСр< |<о| =^л. Импульсная харак-
теристика h(n) определяется по (1.17):
<Оср
/1(л)=(1/2л) j е1 “ " d ш = (sin соср n/л п)
“ср
и показана на рис. .1.12 для шСр = л/2.
"2ЛГ -(2Л-ШСр) -Шрр wCp Д' 2JT-<dcp
I arg [Н(е1Ш)1
Рис. 1.11. Частотная характери-
стика идеального дискретного
фильтра нижних частот
ш
Рис. 1.12. Импульсная характери-
стика идеального фильтра ниж-
них частот с частотой среза
Шер = л/2
Идеальный фильтр нижних частот является примером системы,
которая очень эффективно описывается в частотной области. Лег-
ко видеть, что эта система полностью удаляет из входного сигна-
29
ла компоненты с частотой выше частоты среза <вСр- Ясно, что иде-
альный фильтр нижних частот не является физически реализуемой
системой, более того, можно показать, что он не является устойчи-
вым в смысле определения, данного в 1.3. Тем не менее теорети-
чески этот фильтр является очень важным и в гл. 5 будут рассмот-
рены методы построения систем, близких к идеальному фильтру
низких частот.
1.6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Имеется ряд полезных свойств симметрии преобразования
Фурье. Ниже приводятся некоторые из них.
Сопряженно-симметричной последовательностью хч(п) назовем
последовательность, для которой хч (п) = х*ч (—п), а сопряженно-
антисимметричной последовательностью хн (п) — последователь-
ность, для которой хн(п)=—х*н(—п), где звездочка обозначает
комплексное сопряжение. Произвольная последовательность х(п)
может быть всегда представлена в виде суммы сопряженно-сим-
метричной и сопряженно-антисимметричной последовательностей
х(п) = хч(п) 4-хн(и), (1.22а)
где хч(п) = (1/2) [х(п) + х*( —п)] (1.226)
и хн(п) = (1/2) [х(п)—х*( — п)]. (1.22в)
Действительная сопряженно-симметричная последовательность
удовлетворяет соотношению хч(п) —хч(—п) и обычно называется
четной последовательностью-, действительная сопряженно-антисим-
метричная последовательность удовлетворяет соотношению
хн(п)=—хн(—п) и обычно называется нечетной последователь-
ностью.
Преобразование Фурье Х(е‘“) может быть разложено на сумму
сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной функ-
ций
X (е’“) = ХЧ (е‘“) + ХН (е‘“), (1.23а)
где Хч (е‘“) = (1/2) [X (е1 “) + Х* (е~’ “)] (1.236)
и Х„ (е‘ “) = (1/2) [х( е1 “)-X* ( (1.23в)
где Хч(е'“) =X*4(e~i(0)—сопряженно-симметричная, а Хн(е’“) =
= —Х*н(е‘“) —сопряженно-антисимметричная функции.
Как и в случае последовательностей, если действительная функ-
ция сопряженно симметрична, то ее обычно называют четной функ-
цией, а если сопряженно антисимметрична, то — нечетной функци-
ей.
Рассмотрим сначала общую комплексную последовательность
х(п) и ее преобразование Фурье Х(е‘“). Можно показать, что пре-
образование Фурье от х*(п) равно Х*(е_1<0), а преобразование
Фурье от х*(—п) равно Х*(е'“). Поэтому, учитывая, что преобра-
30
зование Фурье от суммы последовательностей равно сумме пре-
образований, нетрудно убедиться в том, что преобразование Фурье
от (1/2) [x(n)+x*(n)]=Re[x(n)] равно (1,2) [Х(е‘“) +Х*(e-i(0)]
или сопряженно-симметричной части Х(е'“). Аналогично
(1/2) [х(п)—x*(n)] =ilm[x(n)] имеет своим преобразованием
Фурье сопряженно-антисимметричную часть Хн(е‘“). Рассматривая
преобразование Фурье сопряженно-симметричной хч(п) и сопря-
женно-антисимметричной хн(п) компонент последовательности
х(п), убеждаемся в том, что преобразование Фурье от хч(п) равно
Re[X(e‘“)], а преобразование Фурье от хн(«)—iIm[X(ei<0)].
Если х(п)—действительная последовательность, эти свойства
симметрии становятся особенно наглядными и полезными. А имен-
но, для действительной последовательности преобразование Фурье
сопряженно симметрично, т. е. Х(е’“) =Х* (e-i“). Представляя
Х(е'“) через действительную и мнимую части X(ei“)=Re[X(ei“)] +
+ iIm[Az(e‘“) ], получим Re[A(e‘“) ] =Re[X(e‘“) ] = Im[X(e-1“) ] =
=—Im[X(e-i“)], т. e. действительная часть преобразования
Фурье — четная функция, а мнимая — нечетная. Аналогично пред-
ТАБЛИЦА 1.1
Последовательность Преобразование Фурье
Х(«) X* (п) X* (- п) Re [х (п)] i Im [х (п)] X ( е‘ “) X* ( е—‘ “) X* ( е‘ “) Хч(е‘“) {сопряженно-симметричная часть Х(е1®)] Хн(е*“) [сопряженно-антисимметричная часть Х(е‘о>)]
хч(п) {сопряженно-симмет- ричная часть х(п)] Хн(п) {сопряжеиио-аити- симметричная часть х(п)] Re [Х( е1 “)] i Im [X ( е‘ “)] Х( е‘ “) = X* ( е—’ “ ) (преобразование Фурье ’ сопряженно-симметрично^ Re [X ( е‘ “)] = Re [X ( e-i “ )] (действительная часть четная)
Любое действительное х(п) Im [х( е‘“)] = — Im [X ( е—' “ )] (мнимая часть нечетная) | X ( е1 “) | = | X ( е—1 “ ) | (модуль четный) arg[X( е‘ “)] = - arg [X ( е-'“ )] (фаза нечетная)
х,(п)[четная часть х(п)] Re [Х( е’“)]
хн(п) (нечетная часть х(п)] i Im[X( eitt>)]
31
ставляя X (е’“) в полярных координатах X (eitt>) = | X (eit0) | X
X|eIarec x(ei<a)1, получим, что для действительной последовательности
модуль преобразования Фурье |Х(е’“)| —четная функция, а фаза
arg,[X(ei“)] —нечетная функция со. Для действительной последо-
вательности также справедливо следующее: четная часть х(п)
преобразуется в Re[X(e‘“)], а нечетная — в iIm[X(e*“) ]. Все пе-
речисленные свойства симметрии преобразования Фурье сведены
в табл. 1.1.
1.7. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
В предыдущих разделах этой главы мы старались не сопо-
ставлять дискретные сигналы и системы с аналоговыми сигналами
и системами, за исключением указаний на сходство некоторых ос-
новных теоретических понятий. Однако часто дискретные сигналы
получаются из аналоговых сигналов с помощью периодической
дискретизации; поэтому важно понять, как последовательности,
полученные таким образом, связаны с исходным сигналом.
Рассмотрим аналоговый сигнал xa(t), имеющий представление
Фурье [1—3]:
ха(0 = (1/2л) J* Ха(iQ)е,ш dQ; (1.24а)
—оо
Xa(iQ)= Jxa(Oe-iCfdt (1.246)
— оо
Говорят, что последовательностьх(п) созначениями х(п) =х&(пТ)
получена из xa(t) периодической дискретизацией, а Т называется
периодом дискретизации. Величина, обратная Т, называется часто-
той дискретизации или скоростью дискретизации. Чтобы опреде-
лить, в каком смысле х(п) представляет исходный сигнал ха(/),
удобно связать Xa(iQ)-преобразование Фурье аналогового сигнала
ха(О с Х(е‘“)-преобразованием Фурье последовательности х(п).
Из (1.24а) видно, что
х(п) = ха(п7’) = (1/2л) J Xa(iQ)e‘“nTdQ. (1.25)
— 00
Преобразование Фурье в дискретном времени также дает пред-
ставление
х(п) = (1/2л) J X(eia>)eia>nda. (1.26)
— Л
Чтобы связать (1.25) и (1.26), удобно выразить (1.25) в виде
суммы интегралов по интервалам длиной 2я/Т: х(п) =
32
00 (2г+1)л/Т
= (1/2л) У* J Xa(iQ)elfl'2lWQ. Каждый член суммы может быть
г=—оо (2г—1)Л/Т
сведен к интегралу по отрезку от —л/Т до +л{Т путем замены пе-
со л/Т
ременных х(п) = (1/2л) j Xa[iQ + i(2nr/7)]e1Qn're12ro'ndQ.
/=—00 —л/Т
Если изменить порядок суммирования и интегрирования и
учесть, что ei2jIrn=l для всех целых г и п, то
л/Т
х(п) = (1/2л) J
—л/Т
00
У Xa{iQ + i(2лг/Т)}
•=—00
eiQnTd&.
(1-27)
Вводя подстановку Q = to/7 в (1.27), получим х(п) =
= (l/2n)J* {(1/Т)А'а[(ico/T) +i(2nr/7)]}eiwnd(o, что совпадает
— л г=—00
по форме с (1.26). Поэтому можно записать следующее равенство:
X (е‘“) = (1/Т) £ Ха [(i ®/Т)+ i (2л г/Т)].
r=—оо
(1.28)
С другой стороны, мы можем записать (1.28) через аналоговую
частотную переменную Q:
X (е‘°т) = (1/Т) £ Xa[(iQ)-Н(2лг./Т)]. (1.29)
Из соотношений (1.28) и (1.29)
становится совершенно ясной
связь между преобразованием
Фурье в непрерывном времени
и преобразованием Фурье по-
следовательности, полученной
посредством дискретизации.
Например, если Xa(iQ) имеет
вид, изображенный на рис.
1.13а, то Х(е'“) будет иметь
Рис. 1.13. Преобразование Фурье ана-
логового сигнала (а), преобразование
Фурье дискретного сигнала, получен-
ного при периодической дискретиза-
ции; период дискретизации велик, и
поэтому периодически повторяющиеся
преобразования Фурье аналогового
сигнала перекрываются (б); период
дискретизации мал настолько, что пе-
риодически повторяющиеся преобра-
зования Фурье аналогового сигнала
не перекрываются (в)
2—117 33
вид, показанный на рис. 1.136, если Йо/2>л/7\ На рис. 1.136 мы ви-
дим, что если период дискретизации слишком велик, сдвинутые ва-
рианты спектра Xa(ico/7') перекрываются. В этом случае верхние ча-
стоты Xa(i£2) отражаются в более низкие частоты в Х(е’“). Явле-
ние, когда высокочастотные компоненты в Ха(1Й) отождествляются
с более низкими частотами, называется наложением (эффектом на-
ложения) спектров. Из рис. 1.13s ясно видно, что если По/2<л/7',
т. е. если скорость дискретизации, по крайней мере, вдвое больше
наивысшей частоты спектра Xa(iQ), то Х(е‘“) совпадает с Ла(®/7’)
на интервале —л^со^л. В этом случае можно ожидать, что xa(t)
может быть восстановлено по выборкам ха(пТ) при помощи под-
ходящей интерполяционной формулы. Эта скорость (частота) дис-
кретизации иногда называется скоростью (частотой) Найквиста.
Чтобы вывести интерполяционную формулу, предположим, что
йо/2<л/7' (рис. 1.13s). Тогда
Х(е12Г) = (1/Л^а(1Й). — < л/Т. (1.30)
В соответствии с преобразованием Фурье в непрерывном времени
л/Т
ха(/) = (1/2л) J Xa(iQ)eiaf6Q.
—л/Т
(1.30) и (1.31), можно записать
Объединяя
Л/j
= (1/2л) j 7'X(eiQT)eiS(dQ. Так как X(eiST)=y^ xa(kT)e
—Л/Т
л/Т “
xa(0 = (T/2n)j %ха(кТ)е-^™
*а(0 =
t—i Q Т k ТО
eiS/dQ или, меняя порядок сум-
мирования и интегрирования, xa(t)= 2 ха (kT) [ (772л) X
fe=—оо
л/Т
Xj eiQ((-hT,dQ]. Вычисляя интеграл, получим
—л/Т
xa(t) = £ xa(kT){[sin(n/T)(t~kT)]![^/T)(t-kT)]}. (1.32)
h=—<х>
Выражение (1.32) дает интерполяционную формулу для восста-
нЬвления аналогового сигнала xa(t) по его выборкам. Представле-
ние аналогового сигнала в виде (1.32) справедливо только для
функций с ограниченным спектром при достаточно малом Т, т. е.
отсутствии эффекта наложения. Выражение (1.32) можно пони-
мать как разложение сигнала с непрерывным временем в ряд вида
*а(0= 2 (L33)
k~—оо
где коэффициенты ch и функции Ф^(/) определяются выражениями
с4 = ха(йТ’) (1.34а)
34
и ФА (/) = fs!n(л/Т)(/— kT)]i\(n/T) (t—kT)]. (1.346)
Существует много классов функций Фк(1), которые можно ис-
пользовать для представления функции с непрерывным временем
в виде (1.33), включая синусоидальные функции, функции Лагер-
ра и полиномы Лежандра. При любом представлении вида (1.33).
последовательность коэффициентов ch можно рассматривать как
дискретный сигнал, представляющий аналоговый сигнал ха(0 [7].
Однако не все такие представления в равной степени полезны.
Большим преимуществом выбора функции Фь(/) вида (1.346) яв-
ляется то, что коэффициенты легко получаются путем дискретиза-
ции сигнала с непрерывным временем. Второе преимущество за-
ключается в том, что такое представление сохраняет свертку; если
ya('t) является сверткой в непрерывном времени функции ха(/) и
ha(t), то уй{пТ) будет дискретной сверткой последовательностей
Xa(nT) и ha(nT) при условии, что период дискретизации Т доста-
точно мал, чтобы избежать наложения частот, т. е. справедливо
выражение (1.32). Преимущество представления, сохраняющего
свертку, состоит в том, что оно позволяет моделировать и выпол-
нять линейные инвариантные во времени системы с непрерывным
временем с помощью дискретных инвариантных к сдвигу систем.
Недостатком представления с использованием функций (1.346) яв-
ляется то, что оно применимо только к сигналам с ограниченным
спектром.
Имеется ряд других способов выбора функций Ф&(/) в (1.33),
которые дают дискретное представление аналоговых сигналов, со-
храняющее свертку [8].
1.8. ДВУМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СИСТЕМЫ
В предыдущих параграфах было рассмотрено представление
одномерных сигналов и систем. В этом параграфе обобщим некото-
рые из полученных результатов на двумерные сигналы и системы.
Много важных задач сводится к обработке многомерных сигналов.
Все свойства сигналов и систем, которые
мы вывели до сих пор в этой главе, лег-
ко распространяются на многомерный
случай. Однако результаты последую-
щих глав в общем случае не распростра-
няются на многомерные сигналы и си-
стемы.
Двумерная последовательность — это
функция двух целочисленных перемен-
ных, которая часто изображается так,
как показано на рис. 1.14. Как и в одно- Рис. 1.14. Графическое
мерном случае, полезно определить еди- представление двумерной
- последовательности
ничныи импульс, единичную ступенча-
тую, экспоненциальную и синусоидальную последовательности.
Двумерный единичный импульс f>(m, п) определяется как последо-
35
вательность, равная нулю всюду, за исключением начала коорди-
нат, т. е.
„, . (О, т, п=£0;
Ь(пг, п)=
( 1, /и = п = 0.
Двумерная единичная ступенчатая последовательность и(пг, п) оп-
ределяется как последовательность, равная единице в первом
квадранте (т, п) плоскости и равная нулю в других точках, т. е.
, . ( 1, m >0, и > 0;
и (т, п) = {
I 0 — в остальных случаях.
Двумерная экспоненциальная последовательность имеет вид атЬп.
Двумерная синусоидальная последовательность представляется в
виде Лсоз(о)от + Ф)соз(о)1П4-0)- Разделимой последовательностью
называется последовательность, которую можно представить как
произведение одномерных последовательностей, т. е. х(т, п) раз-
делима, если она имеет вид x(m, п) = Xi (т) Х2 (п).
Единичный импульс-, единичная ступенчатая, экспоненциальная
и синусоидальная последовательности разделимы. Примером не-
разделимой последовательности является последовательность х(т,
п) =cos(coomn).
Как и в одномерном случае, произвольная двумерная последо-
вательность может быть представлена в виде линейной комбина-
00 00
ции сдвинутых единичных импульсов х(т, п) =2 г)б(т—
h=—оо г=—<»
—k, п—г). На основе этого выражения двумерная линейная систе-
ма может быть описана с помощью откликов на сдвинутые еди-
ничные импульсы. А именно, при у(т, п) = Т[х(т, /г)], где Т обоз-
начает преобразование, производимое линейной системой,
У(т,
п) — Т
оо оо
У* У, x(k, г)8(т—k, п — г)
—оо г——оо
00 00
- S S x(k, г)Т[Ь(т—k, п—г)].
ft=—оо оо
Обозначая через hh,r(m, п) отклик системы на 6(ш—k, п—г), по-
лучим
оо оо
у(т, п)— 2
г=—оо
(1.35)
Если на систему наложено только одно условие линейности, то
hu,T{tn, п) будет зависеть от четырех переменных k, г, т, п.
Однако полезно ввести дополнительное ограничение — инвари-
антность к сдвигу. Класс двумерных инвариантных к сдвигу сис-
тем характеризуется следующим свойством: если у(т, п) есть от-
клик на х(т, п), то у(т—k, п—г)—отклик на х(т—k, п—г).
36
При этом условии, если h(m, п) есть отклик на 8 (tn, п), то h(m—
—k, п—г)—отклик на 6(т—k, п—г) и (1.35) перепишется так:
у(т, п) = у ^x(k, r)h(m—k, п — г). (1.36)
k=— оо —оо
Выражение (1.36) есть свертка для двумерной инвариантной к
сдвигу линейной системы. Заменяя переменные в (1.36), получим
у(т, п)= 2 г)х(ш—п~~г)- (1-37)
fe=—оо /•=—оо
Таким образом, как и в одномерном случае, операция свертки
двух последовательностей коммутативна, т. е. порядок, в котором
они свертываются, не важен. Из этого, в частности, следует, что
импульсная характеристика каскадно соединенных линейных инва-
риантных к сдвигу систем не зависит от порядка их соединения.
Устойчивая система — это такая система, у которой любой ог-
раниченный вход создает ограниченный выход. Используя аргу-
менты § 1.3, можно показать, что двумерная инвариантная к сдви-
гу линейная система устойчива тогда и только тогда, когда
S i \h(k, r)|<oo. (1.38)
ft=—Ой Г=—00
Двумерная система называется физически реализуемой, если из ус-
ловия, что два входа Х\(т, п) и х2(т, п) равны при m<mb n<nb
следует, что соответствующие выходы у^т, п) и у2(т, п) равны
при m<mb «<;«!. Для линейной инвариантной к сдвигу системы
физическая реализуемость означает, что импульсная характеристи-
ка равна нулю при т<0, п<0. Если импульсная характеристика
равна нулю при т<0, п<0, то система физически реализуема.
Важным подклассом двумерных инвариантных к сдвигу линей-
ных систем является класс систем, вход и выход которых удовлет-
воряет линейному разностному уравнению с постоянными коэф-
фициентами вида
м, N, м, n2
n—r) = ^^bkrx(m—k,n — r), (1.39)
7г=0 г=о k=0 г=0
где наложено дополнительное условие: если х(т, n)=Q для всех
т и п, то у(т, п) — 0 для всех тип. Как и в случае с одномер-
ными разностными уравнениями, двумерное разностное уравнение
(1.39) может соответствовать как физически реализуемой, так и не-
реализуемой системе. Если предположим, что система физически
реализуема, то (1.39) можно записать в виде рекуррентного соот-
ношения
у(т, п) = (1/аев) I 2 £bkrx(m—k, п—г) —
I fe=O г=0
37
M, Nt 1 I
— 2 ^akry^—k, П—r) . (1.40)
*=0 r=o J
k, ry=0 одновременно
Например, если x(m, n) равно нулю при m<0, и<0, то вследст-
вие физической реализуемости у(т, п) равно нулю при m<0, n<Z
<0. Это дает начальные условия для уравнения (1.40).
Для двумерных инвариантных к сдвигу линейных систем от-
клик на комплексную экспоненту вида е'0)|Не‘0)2П является комп-
лексной экспонентой тех же частот. А именно, при х(т, п) =
_ei<o,mei<o2n из выражения для свертки имеем у[т, п) —
со со
= 2 S g * co 1 Wg i со,. ?? g— >C0j/tg i (О2Г - j-f у g i co ] g i 0)2 g i co ini g I co 2 n p ^g
k——00 r=—00
tf.(eiw-, e’“2)= £ У h (k, r) e-i k e~! “2 r. (1.41)
Jl —— 00 r=—00
Функция Я(е‘И1, е‘Юг) является частотной характеристикой двумер-
ной системы. Это — непрерывная функция от оц и ш2 и периодиче-
ская функция по этим переменным с периодом 2л. Можно пока-
зать, что если h(m, п) разделима, то и Я(е‘“', е‘“!) разделима, т. е.
может быть выражена в виде //(eiWl, ei(°2) —Нх (eiw')^2(eil02). По-
следовательность h(m, п) может быть выражена через частотную'
характеристику:
h(m, п)=((1/4)л2) J ^Д(е!ю*, eia‘) еа'т el d^da^. (1.42)
—л — п
В общем случае мы определим двумерное преобразование Фурье
последовательности х(ш, п) соотношением
Х(е‘“1, е'“2) = 2 V x(m, «)e-ico‘me-ia2fl (1.43)
tn——00 n=—00
с обратным соотношением
х(т, п) = ((1/4) л2) J ^Х(е1И‘, е1 “2) е1 “*те1 “2 nd<&\ d&2. (1.44)
—Л —л
Применяя преобразование (1.43) к свертке, получим связь между
преобразованиями Фурье входа и выхода двумерной линейной ин-
вариантной к сдвигу системы
У(е'“‘, е'“2) =//( е'е’“2) X (е‘е’“2). (1.45)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрели ряд основных определений, от-
носящихся к дискретным сигналам и системам. В частности, мы
рассмотрели определения ряда основных последовательностей, оп-
38
ределение и представление линейных инвариантных к сдвигу сис-
тем с помощью свертки, устойчивость и физическую реализуемость
таких систем. Важным подклассом линейных инвариантных к
сдвигу систем является класс систем, у которых вход и выход
удовлетворяют линейному разностному уравнению с постоянными
коэффициентами. Было обсуждено итеративное решение таких
уравнений и определены классы КИХ- и БИХ-систем.
Важным средством анализа линейных инвариантных к сдвигу
систем является представление их в частотной области. Рассмотре-
на реакция системы на входной сигнал в виде комплексной экспо-
ненты и дано в связи с этим определение частотной характеристи-
ки. Соотношение между импульсной и частотной характеристика-
ми интерпретировалось как соотношение между парой преобразо-
ваний Фурье. Дан вывод некоторых свойств этой пары преобразо-
ваний Фурье.
Хотя материал этой главы был дан без прямой связи с анало-
говыми сигналами, важный класс задач цифровой обработки воз-
никает при дискретизации таких сигналов. Поэтому в § 1.7 мы
рассмотрели соотношение между аналоговыми сигналами и после-
довательностями, получающимися при периодической дискретиза-
ции аналоговых сигналов. Кроме того, дано краткое введение в
двумерные последовательности и системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Е. A. Guillemin. Theory of Linear Physical Systems, John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1963.
2. A. Papoulis. The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1962.
3. Мезон Л., Цимерман Г. Электронные цепи, сигналы, системы. М.: ИЛ, 1963.
4. J. R. Ragazzini and G. F. Franklin, Sampled Data Control Systems, McGraw-
Hill Book Company, New York, 1958.
5. H. Freeman. Discrete-Time Systems, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1965.
6. В. C. Kuo. Discrete-Data Control Systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N. J, 1970.
7. K. Steiglitz. «The Equivalence of Analog and Digital Signal Processing»,
Inform. Cintrol, Vol. 8, No. 5, Oct. 1965, p. 455—467.
8. A. V. Oppenheim and D. H. Johnson. «Discrete Representation of Signals»,
Proc. IEEE, Vol. 60, No. 6, June 1972, p. 681—691.
Глава 2.
z-преобразование
ВВЕДЕНИЕ
В теории систем с непрерывными временем преобразование
Лапласа может рассматриваться как обобщение преобразования
Фурье. Подобным образом можно обобщить преобразование Фурье
для дискретных сигналов и систем на основе z-преобразования.
39
Важную роль ^-преобразование играет при анализе и представле-
нии дискретных инвариантных к сдвигу систем. В этой главе мы
определим ^-преобразование последовательности и подробно изу-
чим связь свойств последовательности со свойствами ее z-преобра-
зования.
При обсуждении z-преобразования нам понадобится ряд ре-
зультатов теории функции комплексного переменного. При приме-
нении этих результатов мы постараемся быть точными, но не бу-
дем пытаться поддерживать высокий уровень математической
строгости.
2.1. ПРЯМОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
z-преобразование X(z) последовательности х(п) определяется
следующим образом:
X (z) — V х (п) z~n, (2.1)
П=—00
где z — комплексная переменная. Иногда будет удобно обозначать
^-преобразование последовательности х(п) как £[х(п)]. В некото-
рых случаях полезно называть z-преобразование (2.1) двусторон-
ним z-преобразованием и рассматривать также одностороннее z-
00
преобразование, определяемое как Xj(z) = x(n)z~n. Ясно, что
п=0
если х(п)=0 при п<0, то одностороннее и двустороннее z-преоб-
разования эквивалентны, обратное в общем случае неверно. В этой
книге мы будем рассматривать только двустороннее z-преобразо-
вание, определенное (2.1).
Если представить комплексную переменную z в полярных-коор-
динатах z = reiw, то (2.1) можно интерпретировать как преобразо-
вание Фурье в соответствии с определением гл. 1. А именно, при
подстановке z в таком виде (2.1) становится равным
X(re’“)= £ х (п) (г е‘,
П==—00
или X(reia)= £ x(n)r~ne~ia>n. (2.2)
П=—00
Поэтому согласно (2.2) z-преобразование х(и) можно интерпре-
тировать как преобразование Фурье последовательности х(л), ум-
ноженной на экспоненциальную последовательность. При г=1, т. е.
при [z] = 1, z-преобразование равно преобразованию Фурье после-
довательности.
Как мы видели в гл. 1, ряд, представляющий преобразование
Фурье, сходится не для всех последовательностей. Аналогично z-
преобразование сходится не для всех последовательностей и не
для всех значений z. Для любой последовательности множество
40
тех значений z, для которых z-преобразование сходится, называет-
ся областью сходимости. Как мы констатировали в § 1.5, для рав-
номерной сходимости преобразования Фурье требуется, чтобы эта
последовательность была абсолютно суммируемой. Применяя это
условие к (2.2), мы потребуем, чтобы
2 |Х(п)г-п|<оо. (2.3)
П=—00
Из (2.3) должно быть ясно, что вследствие умножения последова-
тельности на действительную экспоненту г~п, возможен случай, что
z-преобразование сходится даже тогда, когда не сходится преобра-
зование Фурье. Например, последовательность х(п)=и(п) не яв-
ляется абсолютно суммируемой, и, следовательно, ее преобразова-
ние Фурье не сходится. Однако г~пи(п) — абсолютно суммируемая
последовательность при |г|> 1, и, следовательно, z-преобразова-
ние единичной ступенчатой последовательности существует с об-
ластью сходимости l<|z|<oo.
В общем случае степенной ряд (2.1) будет сходиться в кольце-
вой области z-плоскости:
Я,_<И<Я,+ . (2.4)
где Rx- может достигать нуля, a Rx+ — бесконечности. Например,
область сходимости z-преобразования последовательности х(п) =
= ц(п) определяется значениями /?х_=1 и /?х+=оо.
Степенной ряд вида (2.1) является рядом Лорана. В связи с
этим для изучения z-преобразования можно использовать многие
теоремы из теории функций комплексного переменного (см., на-
пример, [3]). Ряд Лорана, а следовательно, и z-преобразование
представляют аналитическую функцию в каждой точке области
сходимости, поэтому z-преобразование и все его производные долж-
ны быть непрерывными функциями переменной z внутри области
сходимости.
В § 1.5 мы говорили о том, что существуют некоторые последо-
вательности, которые не являются абсолютно суммируемыми, но
имеют конечную энергию, и что в таких случаях можно считать,
что преобразование Фурье все же существует, если понимать схо-
димость в смысле стремления среднеквадратичной ошибки к нулю.
Примером такой последовательности является импульсная харак-
теристика идеального фильтра низких частот. В этом случае z-пре-
образование не существует, так как для идеального фильтра ниж-
них частот преобразование Фурье не является непрерывной, а сле-
довательно, и аналитической функцией. В тех случаях, когда су-
ществует преобразование Фурье, но не существует z-преобразова-
ние, мы все же будем считать преобразование Фурье как значе-
ние z-преобразования при |z| = l, хотя это, строго говоря, непра-
вильно.
Важный класс z-преобразований представляют преобразования
A’(z), являющиеся рациональными функциями, т. е. отношениями
41
полиномов от z. Корнями полинома числителя являются те значе-
ния z, при которых A'(z)=0; эти значения называются нулями
X (г). Значения z, при которых X(z) бесконечно, называются по-
люсами X(z). Полюсы X(z) при конечных z являются корнями по-
линома знаменателя. Кроме того, полюсы могут быть в точках z—
= 0 или z =—оо. Для рациональных z-преобразований имеется
ряд важных соотношений между расположением полюсов X(z) и
областью сходимости z-преобразования. Ясно, что в области схо-
димости не может быть полюсов X(z), так как z-преобразование
не сходится в полюсе. В дальнейшем мы покажем, что область
сходимости ограничена полюсами.
Часто удобно изображать z-преобразование графически с по-
мощью диаграммы нулей п полюсов в z-плоскостп. Например, рас-
смотрим последовательность х(п) =апи(н). Ее z-преобразование
20 30
дается рядом X(z) = V anu(n)z~n — у (az'1)", который сходит-
n=—X) п=0
ся к X(z) = l/(1—az'1) для | z| > | а |. Переписывая X(z) как от-
z-плоскость
Рис. 2.1. Диаграмма полюсов
и нулей п область сходимоста
в z-плоскостп для z-преобра-
зования последовательности
апи(п)
ношение полиномов от z, мы видим, что
X (z) имеет нуль в точке z = 0 и полюс
в точке z = a. Это показано на рис. 2.1,
где нуль обозначен кружком, а по-
люс — крестиком. Область сходимости
обозначена штриховкой и включает
все z на плоскости, удовлетворяющие
условию |z|>a.
Свойства последовательности х(п)
определяют область сходимости X(z).
Чтобы увидеть, как область сходимо-
сти связана с последовательностью,
рассмотрим ряд частных случаев;
1. Последовательности конечной
длины. Предположим, что только ко-
нечное число членов последовательно-
сти отлично от нуля так, что
п2
X (г) = V x(n)z~n,
n=nt
(2-5)
где П\ и п2 — конечные целые числа. Для сходимости этого выра-
жения требуется, чтобы | х (лг) | <С оо при ,a1^/z^/Z2. При этом z
может принимать все значения, за исключением z=oo, если щ<0,
п z = 0, если л2>0. Таким образом, последовательности конечной
длины имеют область сходимости, включающую, по крайней мере,
все z, удовлетворяющие неравенствам 0<|z|<oo; она может
включать также либо z = 0, либо z=oo.
2. Правосторонние последовательности. Правосторонней после-
довательностью называется последовательность, у которой х(п) =
= 0 при n<Z.ni. z-преобразование такой последовательности равно
42
X(z)= \\x(ti)z~n. (2.6)
n=nx
Областью сходимости этого ряда является внешняя область круга.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что ряд абсолютно сходит-
ся при z=z{, так что
сю
У |x(n)z~"|< ОО. (2.7)
оо
Если рассмотрим ряд у | x(n)z~n |, то увидим, что если |z|>|zi|,
n=nJ
то при tii0 каждый член этого ряда меньше соответствующего
сю
члена ряда (2.7) и поэтому У \x(n)z~n | <оо для \z\ > |zi |. Если
Til<0, то мы запишем ряд в виде
£ | х (л) z~n | = I х («) г~П I + £ Iх («) г~П I- (2-8)
П=П1 п=пх п=0
Первая сумма в правой части (2.8) конечна для любого конечного
z. Второй ряд по предыдущим соображениям сходится при \z\>
> | zi |. Поэтому, если — наименьшее значение |z|, при кото-
ром ряд (2.6) сходится, то он сходится при 7?x_<|z|, за исклю-
чением z = оо при Л1<0*. Поэтому правосторонняя последователь-
ность имеет область сходимости, являющуюся внешней частью
круга радиуса Rx— Заметим, что если л^О, т. е. последователь-
ность является физически реализуемой, то z-преобразование будет
сходиться при z=oo. Если Л1<0, то оно не сходится при z=°o.
Поэтому если область сходимости z-преобразования последова-
тельности есть внешняя часть круга, то эта последовательность —
правосторонняя. Более того, если область включает z=oo, то по-
следовательность является физически реализуемой.
Из (2.7) мы также отметим, что так как ряд сходится, то каж-
дый его член ограничен и поэтому существует конечная постоян-
ная А, такая, что
|х(л)г~п | < А, п > лР (2.9)
Выражая |zj как |z1|==ir, где г — положительное число, боль-
шее /?ж_, получим |х(л)| <Дгп, л^П1, и, следовательно, для схо-
димости z-преобразования последовательность должна расти не
быстрее экспоненты при л—>-оо. Если область сходимости прости-
рается внутрь единичного круга, так что г может быть выбрано
меньше единицы, то |х(л)| должно стремиться к нулю со ско-
ростью экспоненты при /г—-оо.
* Отметим, что — радиус сходимости по отрицательным степеням г в
^-преобразовании последовательности х(п). Поэтому мы используем индекс х—.
43
Пример: Примером правосторонней последовательности является после-
довательность х(п)=апи(п), которая, как мы видели, имеет г-преобразование
X (г) = 1/(1 -аг-1), |г|> |а|. (2.10)
3. Левосторонние последовательности. Левосторонней последо-
вательностью называется последовательность, у которой х(п)=0
при п>п2. Ее г-преобразование равно
Па
Х(г)= j x(n)z~n. (2.11)
П=— СО
Заменяя индекс суммирования путем подстановки п=-—т, полу-
со
чим Х(г) = 2 х(—m)zm. Следовательно, результаты, справедли-
т=—п2
вые для правосторонних последовательностей, применимы к этому
случаю при замене п на —п, а г на г-1. Можно показать, что об-
ластью сходимости будет внутренность круга |г|<У?ж+, за исклю-
чением точки г=0, если п2>0*'>. Если г-преобразование левосто-
ронней последовательности сходится при z—Q, то последователь-
ность равна нулю при п^О. Далее, если Х(г) сходится при |г| =
= г, то |х(л)|<Дгп при п^.п2, где А — конечная постоянная.
Поэтому для сходимости г-преобразования необходимо, чтобы по-
следовательность росла не быстрее экспоненты при п-^>—оо. Если
область сходимости включает единичный круг, то х(п) должно
стремиться к 0 при —оо.
П р и м е р. В качестве примера левосторонней последовательности сначала рас-
смотрим х(п) =—Ьпи(—п—1). г-преобразование этой последовательности равно
X (г) = £ - 6" г~п = У - ft-" г" = 1 - 2 Ъ~п гп.
п——00 П=1 п=0 ’
Этот ряд сходится при |&—Iz|<l или при |г| < 11>|, и в этом случае
X (г) = 1 - [1/(1 — fe1z)] = г/(г — 6) для | г | < | 6 |. (2.12)
Полюс и нуль, а также область сходимости Х(г) показаны на рис. 2.2. От-
метим, что если Ь = а, то функция Х(г) в (2.12) совпадает с функцией (2.10).
Это иллюстрирует тот важный факт, что для точного определения г-преобразо-
вания последовательности требуется знание не только функции Х(г), но также
и области сходимости.
4. Двусторонние последовательности. Двусторонней последова-
тельностью называется последовательность, простирающаяся от
п =—оо до п = оо. В этом общем случае можно записать
оо со —1
X (z) = х (n) z~n — 2 х (л) г~~П + У x(n)z~n. (2.13)
П=—СО П==0 П=—00
* В этом случае используем индекс х+ для обозначения радиуса сходимо-
сти ряда с положительными степенями г в z-преобразовании последовательно-
сти х(п).
44
Первый ряд соответствует правосторонней последовательности и
сходится при |г|; второй ряд соответствует левосторонней
последовательности и сходится при z<Rx+. Если 7?ж_<|/?ж+, то
имеется общая область сходимости, определяемая неравенствами
/?,_<И<Ях+. (2.14)
Если RX->RX+, то нет общей области сходимости и поэтому ряд
(2.13) не сходится. Для области сходимости, определяемой соотно-
шением (2.14), последовательность х(п) не может расти быстрее
Рис. 2.2. Диаграмма по-
люсов и нулей и об-
ласть сходимсти в z-
плоскости для г-преоб-
разования последова-
тельности — Ьпи(—п—1)
Рис. 2.3. Диаграмма полюсов и нулей
и область сходимости для последова-
тельности х(п) = апи(п)—Ьпи(—п—1)
экспоненты в обоих направлениях, и если RX-<A<.RX+, то после-
довательность стремится к нулю экспоненциально в обоих направ-
лениях. Такие последовательности имеют как преобразование
Фурье, так и г-преобразование.
Пример. Рассмотрим последовательность
fa", п >0;
и<-1, (2‘15)
где |a| <|t>|. Используя результаты двух предыдущих примеров, получим
X (г) = [г/(г —а)] + [г/(г —6)] = z (2г — а— Ь)/(г — a) (г — Ь), (2.16)
где область сходимости определяется иеравеиствами
|a|<|z|<|t|. (2.17)
Полюсы, нули и область сходимости показаны на рис. 2.3. Областью сходимости
является пересечение заштрихованных областей.
2.2. ОБРАТНОЕ /-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Соотношение для обратного z-преобразования можно выве-
сти, используя теорему Коши. Согласно этой теореме
(l/2ni)^zft-1dz= | 11 * = 0: (2.18)
10, k о,
45
где интеграл берется против часовой стрелки по контуру С, окру-
жающему начало координат.
Согласно § 2.1 г-преобразование определяется выражением
X(Z)= £ х(п)г~п. (2.19)
п——СО
Умножая обе части (2.19) на zh~l и беря интеграл по контуру,
окружающему начало координат и лежащему полностью в области
сходимости А'(г), получим
(1/2л1)г|х(г)2^1^2 = (1/2л1) f х (n) z-n+'i~1 d2. (2.20)
С С п=—оо
Меняя порядок интегрирования и суммирования в правой части
равенства (2.20) (что допустимо в том случае, когда ряд сходит-
ся), получим
(l/2ni)<£X(z)zft-1dz = У x(n)(l/2ni) £ z~n+h~1 dz, (2.21)
С п=—оо С
откуда согласно (2.18) (l'/2ni) ф X(z)zh~1dz—x(k). Следователь-
с
но, обратное z-преобразование дается контурным интегралом
x(n) = (l/2ni)^X(z)z"-1d2, (2.22)
с
где С — контур с направлением обхода против часовой стрелки,
расположенный в области сходимости X(z) и окружающий начало
координат на г-плоскости. Следует подчеркнуть, что при выводе
(2.22) не делалось никаких предположений относительно тогб, по-
ложительны или отрицательны k и п в (2.20), и, значит, (2.22)
справедливо как для положительных, так и для отрицательных п.
Для рациональных z-преобразований контурные интегралы ви-
да (2.22) удобно вычислять с помощью теоремы о вычетах, т. е.
х(п) == (1/2л i) X (z) zn~l dz = V [вычеты X(2)zn-1 в полюсах
внутри контура С]. (2.23).
В общем случае, если X(z)z'1U— рациональная функция от z, то
ее можно записать как
X(z)2n-I-i|)(z)/(z—20)s, (2.24)'
когда X(z)zn-' имеет полюс порядка s в точке z = Zo, ф(г) не" име-
ет полюсов в: z=z0. Вычет X(z)zn-r в точке z=z0 дается форму-
лой . 1 !
Res [X(z)z'I“I при 2 = 20] = [l/(s—1)!] [(^-1ф(2)/^/_1]г=г>..
(2.25)
Я
В частности, если в точке го имеется только полюс первого поряд-
ка, то
Res [X(z)z',~1 при г = г0] = 4>(z0). (2.26)
Как пример использования обратного г-преобразбвания, рас-
смотрим обратное преобразование от X(z) = 1/(1—лг '), | г | > |а|,
выведенного в предыдущем примере. Используя (2.23), получим
x(n) = (l/2ni)(j) [г""1 I (l—az~l)]dz-=
с
= (1/2л i)(| [г'г dz!(z — а)],
с
где контур интегрирования С является окружностью радиусом
больше а. Тогда при контур интегрирования содержит толь-
ко один полюс в точке г = а. Следовательно, для п^О х(п) равно
х(и)=а'г, /г^О. При /г<0 в точке г = 0 имеется кратный полюс,
порядок которого зависит от п. При п=— 1 этот полюс имеет пер-
вый порядок с вычетом, равным —а~‘. Вычет в полюсе z = a равен
а Следовательно, сумма вычетов равна нулю в поэтому
л (—1)=0. При п=—2
г, Г 1 1-2
Res ------при z = а = а
|z2 (z — а) ]
и Res[------------при z = 0|=—а"2
[г2 (г - a) J
и поэтому х(—2)=0. Продолжая эту процедуру, можно прове-
рить, что в этом примере ,г(н)=0 при п<0. При больших по аб-
солютной величине отрицательных п вычисление вычета в полюсе
большого порядка становится утомительным. Хотя выражение
(2.22) справедливо для всех п, использование его при п<0 часто
приводит к громоздким вычислениям из-за высокой кратности по-
люса в точке г=0.
Этого можно избежать, преобразуя выражение (2.22) путем за-
мены переменной с тем, чтобы сделать его более удобным для
применения при л<0. А именно, сделаем замену переменной г=
=р-1 в (2.22). Тогда
х («) = ( — \/2ni)^X(\/p)p~n+1 p~2dp. (2.27
С' ц
Заметим, что так как направление обхода контура в (2.22) было
выбрано против часовой стрелки, то в (2.27) направление обхода
должно быть по часовой стрелке. Умножая на (—1) и изменяя на-
правление обхода контура в (2.27), придем к выражению
x(n) = (l/2ni)^X(l/p)p~n-1 dp. ' (2.28)
47
Если контур С в (2.22) есть окружность радиуса г в 2-плоско-
сти, то С' в (2.28) —окружность радиуса 1/г в p-плоскости. Полю-
сы X(z), которые были вне контура С, соответствуют теперь полю-
сам Х(1/р) внутри контура С' и наоборот. Возможно появление до-
полнительных полюсов и (или) нулей в начале координат и в бес-
конечности, но это обстоятельство не является критическим для
наших доводов. Для конкретного примера, который мы рассмат-
ривали выше, х(п) с учетом этой замены переменной равно
х (и) = (1/2л i) [ p~n~l/( 1 — ар)] dp.
С'
Контур интегрирования С' теперь окружность радиуса меньше Г/а.
При /г<0 внутри этого контура интегрирования нет никаких осо-
бенностей и, следовательно, x(n)—Q. Это выражение неудобно
(хотя и справедливо) для вычислений х(п) при л>0 из-за крат-
ного полюса, появляющегося в начале координат.
Во многих случаях вычисления по (2.22) или (2.28) слишком
сложны. Часто помогает ряд специальных приемов, которые рас-
смотрим ниже.
Степенной ряд. Если z-преобразование имеет вид степенного
ряда, то мы можем просто заметить, что значение х(п) последова-
тельности есть коэффициент при zn в этом ряде X(z) —
оо
= x(n)z~n. Если X(z) дается в замкнутом виде, то часто мож-
П=—оо
но вывести соответствующий степенной ряд или использовать из-
вестное разложение в ряд.
Пример. Рассмотрим z-преобразование
X (z) = log (1| а| < | г|. (2.29)
Используя разложение в ряд для log (1 +х), получим
Отсюда
I 0, п 0.
Для рациональных z-преобразований разложение в ряд может
быть получено делением.
Пример. Рассмотрим г-преобразование
X (г) = 1/(1 — az~х), | z | > | a |. (2.31)
Так как областью сходимости является внешность круга, то это преобразование
соответствует правосторонней последовательности. Так как X(z) имеет конеч-
ный предел при стремлении г к бесконечности, то эта последовательность физи-
чески реализуема. Поэтому мы будем производить деление так, чтобы получить
ряд по степеням г-1. Проводя деление, получим
48
1 +аг *4-иаг 2 .
Т1---------------------
1 — аг~1
az~ 1
аг-1 — n2z~2
a2z~2
или 1/(1—az-1) = 14-az-1+n2z~2+..., так что х(п) = апи(п).
Пример. В качестве другого примера можно рассмотреть то же самое от-
ношение полиномов (2.31), но с другой областью сходимости, т. е.
X (z) = 1 /(1 - az-х) ,| z | < | а |. (2.32)
При такой области сходимости это преобразование соответствует левосторонней
последовательности, и так как X(z) конечно при z = 0, то эта последователь-
ность равна нулю при п>0. Поэтому мы будем производить деление так, чтобы
получить ряд по степеням z:
— a-iz — a2z2 — . . .
— а+ z -----------------------
I z
z-— a"1 z2
a~1 z2
Следовательно, x(n) = —anu(—n—1).
Разложение на элементарные дроби. Другим часто используе-
мым приемом для рациональных z-преобразований являются раз-
ложение на элементарные дроби и нахождение обратных z-преоб-
разований для этих более простых составляющих. Если Е(х) —
отношение полиномов от х с порядком числителя меньше порядка
знаменателя и с однократными полюсами, то F(x) может быть
представлено в виде разложения на элементарные дроби
N
F (х) = (Р (x)/Q (х)) = £ [Ak/(x-xh)i, (2.33)
fe=i
где Xk—-полюсы F(x), а Д* — вычеты в этих полюсах, т. е.
Ah = (x-xh)F(x)\x=Xh. (2.34)
Если порядок числителя выше порядка знаменателя, то к правой
части (2.33) добавляется полином, порядок которого равен раз-
ности порядков числителя и знаменателя. Таким образом, если
порядок Р(х) равен М, а порядок Q(x)—N и то (2.33) за-
меняется выражением
F(x) = BM_yXM~N + + - • .+В1х + В0 +
N
+ (2.35)
h=l
49
Коэффициенты Bi получаются делением, а Ак— по (2.34). Если
F(х) имеет кратные полюсы, то в (2.35) вносятся дополнительные
изменения. В частности, если F(x) имеет полюс порядка s в точке
x=Xi, то (2.35) преобразуется в
^(х) = Вм_.ухм-ЛЧВи_х_1хЛ,-Л'-1+ • .^В1Х + В0 +
h=l h=l
Коэффициенты А), и В, определяются, как и прежде. Коэффициен-
ты Ск получаются из соотношения
1 ( /7s—& 1
Ск =---{------- —-[X—Л-ГЕ (х) .
(«-*)! Uvs-*
При применении разложения на элементарные дроби мы можем
рассматривать z-преобразование как отношение полиномов или от
Z, или ОТ Z
Пример. Рассмотрим правостороннюю последовательность с z-преобразо-
ванием X (г) = 1/(1—аг-1) (1—Лг1) =z2/ (г—а) (г—Ь) = a-,b~,/(z-l—(l/a)) (г-1 —
— (1/Ь)). Проводя разложение на элементарные дроби, полагая Х(г) как отно-
шение полиномов от г-1, получим
Y ( ) а~11 ' ' 1 X
(z—1 —(1, a)) (z—1 — (!,&)) (ь~ а) (z-1—а"1) (а — Ъ)
1_________ / а \! 1 \ / b \
(г-1 _ ft-1) \ а — b I \ 1 _ аг~1 J 1 \ ь — a J ''
х(—(2.36)
\ 1 — bz"1 J
Так как мы предположили, что исходная последовательность является .пра-.
восторонней, то и каждый член в (2.36) соответствует правосторонней последо-
вательности. Эти z-преобразования первого порядка встречались в предыдущих
примерах, и поэтому можно сразу написать ответ
х (п) = [а/(а — 6)] ап и (п) -j- [b/(b — а)] ba и (п).
Нужно заметить, что метод разложения на элементарные дроби
также применим и к левосторонним, и к двусторонним последова-
тельностям. Нужно только внимательно рассмотреть вопрос о том,
какие полюсы относятся к правосторонним, а какие к левосторон-
ним последовательностям.
2.3. ТЕОРЕМЫ О / ПРЕОБРАЗОВАНИИ. СВОЙСТВА
/ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
2.3.1. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РАЦИОНАЛЬНЫХ
/-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
При решении задач обработки сигналов важно обладать по-
ниманием и навыками в использовании свойств z-преобразования.
В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных ре-
зультатов. Другие теоремы и свойства можно найти в [1] и [2].
50
Как упоминалось ранее, для последовательности с рациональ-
ным z-преобразованием область сходимости не может содержать
полюсов и ограничивается либо полюсами, либо нулем, либо бес-
конечностью. То, что она не содержит полюсов, следует из того
факта, что по определению z-преобразование не сходится в полю-
се. Чтобы доказать, что область сходимости ограничивается полю-
сами, рассмотрим сначала случай правосторонней последователь-
ности и предположим, что полюсы находятся в точках а0, Яь ...,
. ...,яЛг, где aN имеет максимальный модуль. Для простоты рас-
суждений будем предполагать, что все полюсы однократны, хотя
это доказательство легко обобщается на случай многократных по-
люсов. Тогда для п>«о последовательность состоит из суммы экс-
понент вида
*(n) = V Ah(ak)n, n>n0. (2.37)
h=0
Область сходимости определяется множеством значений z, при ко-
торых последовательность x(n)z_" абсолютно суммируема. Так
как правосторонняя последовательность вида (ah)nz~n абсолютно
суммируема только при |z| >Яь, то отсюда следует, что последова-
Im im
Im Im
z-плоскость
5)
S) г)
Рис. 2.4. Примеры четырех г-преобразований с
одинаковым расположением полюсов и нулей,
иллюстрирующие различные виды областей схо-
димости при:
а) правосторонней последовательности; б) лево-
сторонней последовательности; в, г) двусторонних
последовательностях
51
тельность (2.37) имеет область сходимости, определяемую нера-
венством |z| > Таким образом, она ограничена изнутри по-
люсом с максимальным модулем, а извне — бесконечностью. Из
аналогичных рассуждений следует, что область сходимости для
левосторонней последовательности ограничена извне полюсом с
минимальным модулем и изнутри нулем. Для двусторонних после-
довательностей часть полюсов соответствует п^О, а остальные —
л^О. Область сходимости ограничена изнутри полюсом с макси-
мальным модулем, соответствующим а извне — полюсом с
минимальным модулем, соответствующим л^О. Для примера на
рис. 2.4 изображен один и тот же график полюсов и нулей при че-
тырех возможных случаях выбора области сходимости. В общем
случае область сходимости связана. Мы не можем например, счи-
тать, что область сходимости определяется неравенствами
|z| < |а| и |z| > [с|. Если бы это было допустимо, то обратное z-
преобразование давало бы разные последовательности в зависимо-
сти от того, как выбран контур интегрирования.
2.3.2. ЛИНЕЙНОСТЬ
Рассмотрим две последовательности х(п) и у(п) с z-преобра-
зованиями X(z) и У (z) соответственно: £[х(/г) ] =X(z), Rx-<
< |z| <Rx+ и £[(/(«)] = V(z), Ry< |z| <Ry+. Тогда
t [ax (n) + by (n)] = aX (z) 4- bY (z), R_ < | z | < R+, (2.38)
где область сходимости равна, по крайней мере, пересечению об-
ластей сходимости X (z) и У(г). Для последовательностей с ра-
циональными z-преобразованиями, если полюсы aX(z) +bY(z) яв-
ляются объединением полюсов X(z) и Y(z), область сходимости
точно равна пересечению областей сходимости X(z) и Y (z) и по-
этому R_ будет максимальным из чисел Rx- и Rv~, a R+ — мини-
мальным из чисел Rx+ и Ry+. Если линейная комбинация такова,
что некоторые нули компенсируют полюсы, то область сходимости
может быть больше. Простым примером такого положения явля-
ется случай, когда х(п) и у(п) имеют бесконечную длительность,
а их линейная комбинация — конечную. В этом случае областью
сходимости линейной комбинации является вся z-плоскость за воз-
можным исключением нуля и (или) бесконечности. Например, по-
следовательности апи(п) и апи(п—1) имеют область сходимости,
определяемую неравенством |z| > |а|, а последовательность, соот-
ветствующая разности [апи(п)—апи(п—1)], имеет областью схо-
димости всю z-плоскость.
2.3.3. СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим последовательность х(п), такую что £[х(п)] =
=X(z), Rx-< |z| <?Rx+. Тогда для последовательности со значе-
ниями х(п + по) имеем
их(п + н0)] = гп’Х(2), Rx_<|z|<Rx+. (2.39)
52
Области сходимости х(п) и х(п-{-По) одинаковы, за исключе-
нием точек z—0 или z—<x>. Например, последовательность 6(п)
имеет z-преобразование, которое сходится на всей z-плоскости, но
z-преобразование от 6(п—1) не сходится в точке z=0, а z-преоб-
разование от 6(п+1) не сходится при z=oo. Как видно из (2.39),
для положительных п0 появляются нули при z—Q и полюсы при
z=oo; при отрицательных п0 полюсы появляются в начале коорди-
нат, а нули — в бесконечности.
2.3.4. УМНОЖЕНИЕ НА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНУЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Если последовательность х(п) умножается на экспоненциаль-
ную последовательность ап, где а может быть комплексным, то
?[апх(п)]=Х(а-12), | а 1< | z | < | а17?*+. (2.40>
Если X(z) имеет полюс при z=zb то X(az-1) будет иметь по-
люс при z=az\. В общем случае координаты всех полюсов умно-
жаются на коэффициент а. Если а — положительное действитель-
ное число, то это можно трактовать как сжатие или растяжение
z-плоскости, т. е. положение полюсов и нулей сдвигается по ради-
альным линиям в z-плоскости. Если а — комплексное число еди-
ничного модуля, то умножение на а соответствует вращению z-
плоскости, т. е. положение полюсов и нулей перемещается по ок-
ружностям с центром в начале координат.
2.3.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ X (г)
Производная z-преобразования, умноженная на —z, есть z-
преобразование линейно-взвешенной исходной последовательности,
т. е.
£[пх(п)] = — z [dX (z)/dz], Rx_ < | z | < Rx+ . (2.41)
2.3.6. ПЕРЕХОД К КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
t, [х* (n)] = X* (z*), Rx_ < 121 < Rx+ , (2.42)
что следует из определения z-преобразования.
2.3.7. ТЕОРЕМА О НАЧАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ
Если х(п) равно 0 при п<0, то
х (0) = lim X (z). (2.43)
Z->00
Эта теорема легко доказывается рассмотрением предела каждого
члена ряда (2.1).
53:
2.3.8. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Если W(n) —свертка двух последовательностей х(п) и у(и),
то г-преобразование W (п) равно произведению г-преобразований
х(п) и у(п), т. е. если
со
да(п)= V x(k)y(n—k),
k=— co
(2.44)
то W(z)=X(z)Y(z). Чтобы показать это, запишем W(z)~
со Г со
= 2 ^x(k)y(n—k) z~n. Меняя порядок суммирования W(г) =
П~—оо[_ь=— »
оо со
= 2*(&) 2 г/(л—k)z~n и заменяя индекс суммирования во вто-
Ь=—-со п—— со
рой сумме с п на т = п—k, получим IE(z)=2 х(^)Х
k—~ со
z~\ Поэтому для значений г внутри области
х 2 //(т)г-т
. т=—со
сходимости как X (z), так и Y (г) можно записать
Г(г) = .¥(г)Г(г), Ry_<Z\z\<zRy+, Rx_<\z\<Rx+, (2.45)
где область сходимости включает пересечение областей сходимо-
сти X(z) и Y(z). Если полюс, ограничивающий область сходимо-
сти одного из г-преобразований, компенсируется нулем другого, то
тогда область сходимости W(z) будет больше.
Пример. Пусть у(п)=апи(п) и х(п) = и(п). Соответствующие г-преобра-
зоваиия равны
00 1
Г(г) = S anz~n = 1/(1 —az-1), |z|>|a|
со
Х(г)= J 1/(1 — г-1), | г | >1.
п=0
Преобразование свертки тогда равно
1F (г) = 1 /(1 — az-1) (1—z—г) = z2,'(z — a) (z — 1), |z \ >1.
Полюсы и нули W(z) изображены на рис. 2.5, а область сходимости есть пере-
сечение заштрихованных областей.
Последовательность w(n) может быть получена обратным г-преобразова-
нием:
w (п) = (1/2 л i) [z"+1 dz. (г — а) (г — 1)],
С
где контур С выбирается в области сходимости так, как показано на рис. 2.5.
.При в точке z = 0 нет полюсов. Поэтому, используя теорему вычетов, по-
лучим
w (п) = [(1)п+‘ (1 — a)] 4-[an+1 (а - 1)] = (1 - а”-1 ) (1 - а), п >0.
64
Хотя при г = 0 в точке л<— 1 имеются
полюсы, нам не нужно вычислять контур-
ный интеграл, чтобы убедиться, что w(n)
должно быть равно нулю при п<0. Заме-
тим, что так как обе последовательности
х(п) и у(п) равны нулю при п<0, то и
w(n) также должно равняться нулю. За-
метим, что в этом примере область сходи-
мости W'(z) была равна пересечению обла-
стей сходимости, соответствующих х(п) и
у(п). Однако, если бы мы выбрали у(п)
такой, что Г(г) = (1— г-‘)/(1— az^1),
|г| > |а|, то тогда полюс при z=l был бы
скомпенсирован и область сходимости для
w(n) простиралась бы внутрь до полюса
в точке г=а.
Рис. 2.5. Диаграмма полюсов
п нулей для г-преобразования
свертки последовательностей
и(п) и а"и(п)
2.3.9. ТЕОРЕМА О КОМПЛЕКСНОЙ СВЕРТКЕ
Мы показали, что г-преобразование свертки последователь-
ностей равно произведению г-преобразований входящих в нее по-
следовательностей. В непрерывном случае свертка временных
функций приводит к произведению преобразований! Фурье и ана-
логично свертка преобразований Фурье получается из произведе-
ния временных функции. В случае последовательностей и г-пре-
образованпй нельзя ожидать такого соотношения из-за того, что
последовательности дискретны, а их г-преобразованпя непрерывны..
Однако можно вывести похожий тип соотношения, при котором
г-преобразование произведения последовательностей имеет вид,,
похожий на свертку.
Чтобы вывести теорему о комплексной свертке, положим
00
w(n) =х(п)у(п), так что W(г) = ^Y:(n)y(fi)z ", но у(п) =
П——оо
— (l/2ni) ф Y(v)v“-1dv, где С\ — контур с обходом против часовой.
с,
стрелки в области сходимости У(с). Тогда
W (z) =-- (1/2л i) 2 х (л) ф (г) (г'г) " и 1 = 0/2л i) ф X
п=—ос? (\
х 2 ^(«)(г/у) ”
. п=— х>
v 1 Y (v) dv,
или W (г) = (1/2л i) фХ (z/v) Y (v) v 1 dv, (2.46a)i
c,
где Ci — замкнутый контур в пересечении областей сходимости
X{z/v) и У (у). Другое выражение для W (?) имеет вид
-55'
W (2) = (1/2л i) X (v) Y (z/v) v 1 dv,
c2
(2.466)
тде C2 — замкнутый контур в пересечении областей сходимости
X{z) и У (z). Чтобы определить область сходимости, связанную с
W(z), положим, что области сходимости X(z) и У (z) определяют-
ся соответственно неравенствами: X(z) : RX_<Z [z| <Rx+ и У (z) :
: Ry-< |z| <Rv+. Тогда в (2.46a) Ry-< | v | <Ry+ и Rx-<\z/v | <
<ZRx+. Объединяя эти два выражения, мы потребуем, чтобы
Rx-Ry-<Z |z| <ZRx+Ry+- Опять в определенных случаях область схо-
димости может быть больше области, определяемой этим нера-
венством, но всегда будет включать эту область и простираться
внутрь и вовне до ближайших полюсов.
Чтобы убедиться, что (2.466) действительно похоже на свертку,
'.выберем в качестве контура интегрирования окружность ц = ре‘е
и г=гё‘ф. Тогда (2.466) примет вид
п
W (г е’ ф) = (1/2л) J Y [(r/p)ei(O^0,]x(pei0)d9, (2.47)
—Л
•что по форме похоже на свертку. В частности, за исключением
пределов интегрирования, приведенное выражение совпадает со
•свертками A’(pei0) и У (ре10), рассматриваемыми как функции 0.
•Отметим, что эти функции являются периодическими и интегриро-
вание производится на протяжении одного периода. Свертка тако-
го вида часто называется периодической сверткой (гл. 3).
При использовании теоремы о комплексной свертке в виде
(2.46а) или (2.466) основная трудность состоит в том, чтобы опре-
делить, какие полюсы подынтегрального выражения находятся
внутри контура интегрирования, а какие — вовне. Простой пример
использования теоремы о комплексной свертке послужит иллюст-
рацией этой процедуры.
Пример. Пусть х(п)=апи(п) и у(п) = Ьпи(п). Тогда г-преобразования
X(z) и У(г) соответственно равны X(z) = l/(1—аг-'), |г|>|а| и У(г) = 1/(1—
—Ьг~‘), |г| > |Ь|. Подставляя их в (2.46а), получим
W(z) = (l/2ni) ^{_(г/а)/(у_
:/а)} [1/(у — 6)] dv.
Подынтегральное выражение имеет два
полюса, один из которых расположен в
Рис. 2.6. Полюсы подыинтеграль-
ного выражения и контур инте-
грирования в примере на исполь-
зование теоремы о комплексной
свертке
556
точке v = b, а другой — в точке v = z/a. Контур интегрирования в этом выраже-
нии должен быть в области сходимости Y(v) и, следовательно, будет окружать,
полюс при v = b. Чтобы определить, будет ли контур окружать полюс в точке-
v = z/a, мы учтем, что z-преобразование X(z) справедливо только при |z| >|а|.
Следовательно, соответствующее выражение для X(z/v) справедливо только при*
| z/v | > | а |. Таким образом, если | zjv | > | а|, то | z/a| > | v |. Следовательно, этот-
полюс должен лежать всегда вне контура интегрирования по v. Расположеиие-
полюсов и контура интегрирования показано на рис. 2.6 при предположении,,
что а и b — действительные числа. Используя теорему вычетов Коши для рас-
чета W(z), получим
1У (z) = — (г/а)/(Ь — г/а) = 1/(1 — abz~х), | г | > ab.
Заметим, что это выражение получается в результате вычисления
вычета в полюсе только внутри контура интегрирования. Легко
убедиться, что если мы ошибочно подсчитаем, что полюс в точке-
z,'a находится внутри контура интегрирования, то результат вычис-
ления интеграла будет всегда равен нулю.
2.3.10. СООТНОШЕНИЕ ПАРСЕВАЛЯ
Известно соотношение Парсеваля для преобразования Фурье.
Обобщение этого соотношения на z-преобразование следует из тео-
ремы о комплексной свертке. В частности, мы рассмотрим две*
комплексные последовательности х(п) и у(п). Тогда соотношение-
Парсеваля утверждает, что
V х(п) у*(п) = (1/2л i) ф X (и)У*(1/у*)и-1 dv, (2.48)1
п——со С
где контур интегрирования выбирается в пересечении областей
сходимости X(v) и Y*(l/v*). Приведенное соотношение можно вы-
вести, определив последовательность w (п) как
w (п) = х (п) у* (п), (2.49)*
учитывая, что
£ №(н) = Г«=1. (2.50)*
П——00
Тогда из соотношения (2.42) и теоремы о комплексной свертке
следует, что
W (г) = (1 /2л i) ф X (у) Y* (г*/у*) v~x dv.
с
Поэтому, учитывая (2.49) и (2.50), получим (2.48). Если X(z) и
У(z) сходятся на единичной окружности, то мы можем выбрать.
V — eiw и (2.48) превратится в
у х(п)у*(п) = (1/2л) (x(e^)Y*(eie>)d^ (2.51>
П~—оо —Л
57
2.3.11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
И СВОЙСТВАХ г-ПРЕОБРАЗОВАНИИ
В предыдущих параграфах были сформулированы и выведе-
ны теоремы и свойства z-преобразований. Многие из них полезны
при работе с z-преобразованиями и поэтому сведены в табл. 2.1.
Указанные в таблице области изменения z входят в область сходи-
мости, но в некоторых случаях область сходимости больше указан-
ных областей.
ТАБЛИЦА 2.1
Последовательность z-преобразование Область изменения [ г [
1. X (п) Х(2) < 12! < Rx+
2. у(п) У (2) Ry~<\z\S_Ry+
3. ах (п) 4- by (п) аХ (г) 4- bY (г) max [ Rx_, R;/] < I z | < < min [ Rx__y RyJ]
4. х (п + п0) гп° X (г) Rx - < 1 г 1 < Rx+
5. ап х (п) хСа-Ч) 1 a | Rx__ < | г | < | a | Rx+
€. пх(п) dX (г) ~Z dz Rx-< iг; <rx~
7. х*(п) X* (г*) Rx^<\z\<Rx+
8. х(— п) Х(1/г) l/Rx+< i г i < \/Rx_
9. Re [х (п)] у [X (г) + X* (г*)] Rx-<\z\ <RX+ 1
10. Im[x(n)] ут[Х(г) -X* (г*)] Rx— < !г' < Rx+
И. х(п) * у (п) X (г) Y (г) max[Rx , Ry_] < | 2 | < <min[Rx+, ^+]
12. х(п)у(п) Rx— Ry- < !г! < Rx± Ry+
2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
В гл. 1 рассмотрено описание линейных инвариантных к
сдвигу систем с помощью преобразования Фурье импульсной ха-
рактеристики. Как видно, преобразование Фурье импульсной ха-
рактеристики является частотной характеристикой системы. Кроме
того, в частотной области соотношение между входным и выход-
ным сигналами получается просто умножением преобразования
Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной ха-
рактеристики.
58
Более общим образом можно описать линейные инвариантные к
сдвигу системы с помощью z-преобразования импульсной характе-
ристики. Обозначая х(п), у(п) и h(n) вход, выход и импульсную'
характеристику соответственно и X(z), У(z) и //(z) их z-преобра-
зования и используя результаты предыдущего раздела, получим из
у(п) =х(п)* h(n) соотношение
У(г) = Х(г)Я(2). (2.52>
Как и в случае преобразования Фурье, соотношение между
входом и выходом для линейных инвариантных к сдвигу систем
получается умножением z-преобразований входного сигнала и им-
пульсной характеристики.
Часто z-преобразование импульсной характеристики называется
передаточной или системной функцией. Передаточная функция па
единичной окружности (т. е. при |z|=l) является частотной ха-
рактеристикой системы.
В гл. 1 показано, что необходимым и достаточным условием
устойчивости системы является абсолютная суммируемость им-
пульсной характеристики h(n). Область сходимости z-преобразо-
вания определяется теми значениями z, при которых h(n)z~n —
абсолютно суммируемая последовательность. Поэтому, если об-
ласть сходимости передаточной функции включает единичную ок-
ружность, система устойчива и наоборот. Кроме того, мы можем
утверждать, что для устойчивой и физически реализуемой системы
область сходимости будет включать единичную окружность и всю
z-плоскость вне единичной окружности, включая z = oo.
Если систему можно описать линейным разностным уравнени-
ем с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция
является отношением полиномов. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рим систему, вход и выход которой удовлетворяют общему раз-
ностному уравнению N-vo порядка
w м
aky (n—k) = Ьгх(п — г). (2.53)>
fe=0 г=0
Применяя z-преобразование к обеим частям (2.53), получим
м
£ = ? ^bTx(n—r) ,
_fe=0
табл. 2.1
а с учетом свойства 3>
_г=0
jv м
^ak^[y (n—= (« — ?)]•
h=0 r=0
Обозначая X(z) и Y(z)-преобразования x(n) и у(n) соответст-
венно и учитывая свойство последовательности 4 табл. 2.1, полу-
чим Цу(п—k)=z~hY(z) и £[х(п—г)] — z~rX (z). Поэтому
w м
\ahz~hY (z) — \'brz~r X (z).
k=0 r=0
59'
Из (2.52) имеем Н (z) — У (z)/X(z), поэтому
М I N
H(z)^£brz~r Г£ак2~к. (2.54)
г—О / k=0
Эта формула дает конкретное выражение для передаточной функ-
ции, и коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе явля-
ются соответственно коэффициентами в правой и левой частях
разностного уравнения (2.53).
Так как выражение (2.54) есть отношение полиномов от z-1, то
его можно записать в виде*
М I N
Н(г)=АП(1-сгг-') П (1-^г"1). (2.55)
Г=1 / k = l
Каждый из сомножителей (1—crz') в числителе (2.55) дает
нуль при z=cr и полюс при z=0. Аналогично каждый сомножи-
тель вида (1—t//;Z ') в знаменателе дает полюс при z=dk и нуль
в начале координат. То, что передаточная функция системы равна
отношению полиномов от z~', является характерной чертой систем,
описываемых линейными разностными уравнениями с постоянными
коэффициентами. Следовательно, с точностью до скалярного мно-
жителя А в (2.55) передаточная функция может быть полностью
описана картиной полюсов и нулей в z-плоскости.
Соотношение (2.54) не содержит указаний об области сходимо-
сти передаточной функции. Это находится в соответствии с тем
фактом, что, как видно из первой главы, разностное уравнение не-
однозначно определяет импульсную характеристику линейной ин-
вариантной к сдвигу системы. Для передаточной функции (2.54)
имеется ряд способов выбора области сходимости в соответствии
с требованиями, чтобы она была кольцевой, ограниченной полюса-
ми, но не содержащей их. Для данного отношения полиномов
различные способы выбора области сходимости приведут к раз-
личным импульсным характеристикам, но они все будут удовлетво-
рять одному и тому же разностному уравнению. Если предполо-
жим, что система устойчива, то нужно выбрать кольцевую область,
включающую единичную окружность. Если предположим, что сис-
тема физически реализуема, то в качестве области сходимости
нужно выбрать внешность окружности, проходящей через самый
дальний полюс H(z). Если система к тому же устойчива, то тогда,
конечно, все полюсы лежат внутри единичного круга и область
сходимости будет содержать единичную окружность. По этой при-
чине при описании передаточной функции диаграммой полюсов и
нулей в z-плоскости удобно изображать также единичную окруж-
* В (2.55) подразумевается, что 60 и До, входящие в (2.54), не равны ну-
лю. В общем случае, когда b0, bj, ..., Ьм, и аа, at, .... ап, все равны нулю, (2.55)
М-М, N-.V,
можно записать в виде H(z) = Bz~Mt П (1—c,z~l) /z~Ni П (1—dkZ~l).
r=i A=i
60
ность, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой
окружности.
Пример. В качестве простого примера рассмотрим физически реализуе-
мую систему, описываемую разностным уравнением у(п) = ау(п—1)+х(п). Пе-
редаточная функция равна
Я(г) = 1/(1—аг-1), (2,56)
и в силу предположения о физической реализуемости область сходимости опре-
деляется неравенством |z|>|a|, откуда следует, что импульсная характеристи-
ка равна h(n) =а”и(п).
В частном случае, когда Лг=0 в (2.54) или (2.55), система не
имеет полюсов, за исключением точки г=0, и ее импульсная ха-
рактеристика имеет конечную длительность. При N>Q система
имеет полюсы, каждый из которых прибавляет экспоненциальную
последовательность к импульсной характеристике. Таким образом,
если передаточная функция имеет полюсы, то импульсная характе-
ристика имеет бесконечную протяженность.
Одним из преимуществ представления передаточной функции
посредством ее полюсов и нулей является то, что оно дает полез-
ный геометрический способ получения частотной характеристики
системы. Вспомним, что отклик системы на синусоидальное воз-
буждение описывается частотной характеристикой, т. е. поведени-
ем передаточной функции на единичной окружности. В частности,
отклик на выходе является синусоидальным с той же частотой, что
и на входе, а амплитуда на выходе равна амплитуде на входе, ум-
ноженной на модуль передаточной функции на частоте возбужде-
ния. Фазовый сдвиг выхода относительно входа равен аргументу
передаточной функции на частоте возбуждения.
Чтобы определить передаточную функцию на единичной окруж-
ности на частоте ш0, нужно подставить z=eiw° в (2.55). Рассмот-
рим, например, множитель (1—crz-1), который дает нуль и полюс,
как это обозначено на рис. 2.7. При z=elw° модуль комплексного
Рис. 2.7. Геометрический спо-
соб определения частотной ха-
рактеристики по диаграмме
полюсов и нулей
Рис. 2.8. Геометрическое
определение частотной ха-
рактеристики системы вто-
рого порядка
числа, представляемого этим коэффициентом, равен длине векто-
ра, выходящего из нуля в соответствующую точку единичной ок-
ружности, поделенной на длину вектора, выходящего от полюса
61
до этой же точки единичной окружности. Аргумент этого комплек-
сного числа равен аргументу вектора, выходящего из нуля, минус
аргумент вектора, выходящего из полюса. Модуль комплексного,
числа, представленного произведением таких сомножителей, равен
произведению модулей сомножителей, а аргумент — сумме аргу-
ментов сомножителей.
Полная частотная характеристика получается как результирую-
щий эффект от векторов, соответствующих всем нулям и полюсам.
В качестве примера на рис. 2.8 показана диаграмма нулей и полю-
сов для системы второго порядка. Из картины изменения векто-
ров, соответствующих нулям и полюсам, ясно, что пики частотной
Рис. 2.9. Диаграмма полюсов и нулей (а) фильтра первого
порядка и соответствующие частотные характеристики (б)
характеристики получаются вблизи полюсов. Из этой геометриче-
ской картины должно быть понятно, что полюса и нули в начале
координат не влияют на модуль частотной характеристики и вво-
дят только линейную компоненту в фазу. Эти понятия иллюстри-
руются рис. 2.9, на котором показаны диаграмма полюсов и нулей
и частотная характеристика для разностного уравнения первого
порядка, соответствующего передаточной функции 7/(г) = 1/(1—
—аг"1) и импульсной характеристике h(n) =апи(п).
В качестве второго примера рассмотрим случай, когда импульс-
ная характеристика системы является усеченной импульсной ха-
рактеристикой предыдущего примера, т. е.
/1(„)=|а'г, 1;
| 0, в остальных случаях.
Тогда передаточная функция равна
м— 1
Я(г)= V anz~n = (\—aMz~M) / (1—аг-1) (2.57)
n=0
или Н(г) = (гм—ам)/гм"! (г — а). Так как числитель имеет нули
при zfe=aei(2jt/M)fe, /г=0, 1,...,М—1, где а считается положитель-
ным числом, то полюс при г=а компенсируется нулем в той же
62
точке. Диаграмма полюсов и нулей и соответствующая частотная
характеристика для случая М — 8 показана на рис. 2.10. Заметим
наличие пика при ы = 0 (z=l), где нет нулей, и провалов в час-
тотной характеристике в окрестности каждого нуля. Эти свойства
частотной характеристики легко выводятся геометрически из диа-
граммы полюсов и нулей.
Рис. 2.10. Диаграмма полюсов и нулей (а) и частотные характеристи-
ки КИХ-системы, импульсная характеристика которой является усечен-
ной импульсной характеристикой для примера рис. 2.9(6)
2.5. ДВУМЕРНОЕ / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Из гл. 1 видно, что многие понятия и свойства одномерных
дискретных сигналов и систем можно распространить на много-
мерные сигналы и системы. В предыдущих разделах этой главы
•рассмотрено z-преобразование применительно к одному измере-
нию. В этом разделе рассмотрим, как распространяются эти ре-
зультаты на двумерный случай.
Двумерное z-преобразование X(zi, Z2) последовательности х(т,
п) определяется следующим образом:
z2) = n)2~(-mz-n. (2.58)
т~—оо оо
где Zi и Z2 — комплексные переменные. Выражая Z\ и Z2 в поляр-
ной форме Zj^rie'"1 и Z2 = r2eil,>i, выражение (2.58) можно запи-
сать в виде
Х(г1е“\ r2eiw=)= У £ х(т, п) г~т т п .
т=—оо п——оо
(2.59)
Таким образом, как и в одномерном случае, двумерное z-преобра-
зование можно трактовать как двумерное преобразование Фурье
от х(т, п), умноженной на двумерную экспоненциальную последо-
63
вательность ггтг2~п. При |zi | — | г2| = 1, т. е. при ri=r2= 1, г-пре-
образование совпадает с преобразованием Фурье. Для сходимости
двумерного г-преобразования мы потребуем, чтобы последователь-
ность х(т, n)zi~mZ2~n была абсолютно суммируемой, т. е. чтобы
V 2 \х(т, n)z~mz-n\< оо. (2.60)
т=—оо п~—оо
Множество значений zv и г2, при которых сходится двумерное z-
преобразование, называется областью сходимости.
Обратное двумерное г-преобразование может быть получено
путем применения обратного преобразования Фурье (1.44) к выра-
жению (2.59)
х(т, п) = (1/2л)а С е1 r2e'“2). z-^r^e1 m е1 п dcoj d(o2.
Оно может быть также представлено в виде контурного интеграла
х(т п) = (1/2л i)a J Х(г1? z2)z™~1 z”~l dz1dz2, (2.62)
с, с2
где С] и С2 — замкнутые контуры в области сходимости, окружаю-
щие начало координат. В противоположность одномерному г-пре-
образованию обычно очень трудно определить область сходимости
X(zt, г2), а следовательно, и контуры интегрирования С\ и С2.
Двумерное г-преобразование X(zi, г2) называется раздели-
мым, если его можно представить в виде Х(гь г2) =%i (zi)X2(z2).
Преобразование вида X(zi, г2) будет разделимым только тогда,
когда разделима последовательность х(т, п), которая порождает
X (zi, г2), т. е. х (т, п) — xt (т) х2 (п). В этом случае Xi (Ci) и
X2(z2) —одномерные г-преобразования хДт) и х2(п) соответст-
венно.
Все свойства одномерных г-преобразований, сведенных в
табл. 2.1, легко распространяются на два измерения, что отражено
в табл. 2.2. Доказательства этих свойств аналогичны соответст-
вующим доказательствам для одномерного случая.
Двумерное г-преобразование свертки двух двумерных последо-
вательностей равно произведению их г-преобразований. Следова-
тельно, соотношение вход — выход для двумерных линейных инва-
риантных к сдвигу систем, выраженное через г-преобразование,
соответствует произведению г-преобразований входного сигнала и
импульсной характеристики. Как и в случае одного измерения, дву-
мерное г-преобразование импульсной характеристики называется
передаточной (системной) функцией. Передаточная функция, вы-
численная при | Zi | = | г21 = 1, совпадает с частотной характеристи-
кой системы.
В том случае, когда система описывается линейным разност-
ным уравнением с постоянными коэффициентами, ее передаточ-
64
ТАБЛИЦА 2.2
Последовательность z-преобразование
1. х (т, п) 2. у(т, п) 3. ах(т, п)-[-Ьу(т, п) 4. х (т + и0, п п0) х (3t, г2) У («!> Z2) аХ^, г2) + Ь¥(г!, z2) z^z^X(zlt г2)
5. ат Ьпх(т, п) X(a~Izl, 1 zj
6. тпх (т, п) d2X(zt, z2) dz^dz2
7. х* (т, п) х*(г;, г;)
8. х (— т, —п) X( zf1, z2->)
9. Re [х (т, п)] У [^(Z1, z2)4-X*( z*, z’)]
10. Im [х (т, п)] [X(zlt z2)—X*(Z], z2)]
11. х (т, п) * у (т, п) X (zv z2)Y(zlt z2) 1 .2 *- v
12. х (т, п) у (т, п) X dvxdv2
ная функция есть отношение полиномов двух переменных. В част-
ности, если вход и выход удовлетворяют разностному уравнению
М, Nt М, N,
У акгу(т—k, п — г) = У ^bhrx(m—k, п — г), (2.63)
k=Or=0 h=0 r=0
то, применяя г-преобразования к обеим частям уравнения. (2.63)г
и используя свойства, приведенные в табл. 2.2, получим ч:;*
У(2у, z2)
- М, N,
Jt=0r=0
= ^(Z1, Z2)
'M, n2
У у
_ r=0
откуда определяется передаточная функция
Мг N, 1 Mt N,
H(zx, г2) = Г(г1, z2)/X(zlt г2) = у / 2 2 Х
h=0 r=0 / k~0 г=0
X akrzYhz-r. (2.64)
В одномерном случае, когда передаточная функция равнялась
отношению полиномов, ее можно было описать полюсами и нуля-
ми, т. е. корнями полиномов в числителе и знаменателе. В проти-
воположность этому полином двух переменных общего вида не
3-117 6&
может быть разложен на аналогичные сомножители. В этом основ-
ное отличие двумерного случая от одномерного.
При сравнении условия устойчивости (1.38) двумерных линей-
ных инвариантных к сдвигу систем с требованием сходимости
(2.60) двумерного г-преобразования видно, что система устойчива
тогда и только тогда, когда передаточная функция сходится при
|zi| = |z2| = l. Для одномерных физически реализуемых систем об
устойчивости можно было легко судить по расположению полюсов.
В том случае необходимым и достаточным условием устойчивости
было условие, что все полюса передаточной функции лежат внутри
единичного круга. В частном случае, когда импульсная характерис-
тика пли, что эквивалентно, передаточная функция разделима, то
же самое условие применимо для анализа устойчивости физически
реализуемого фильтра. Это следует из того, что в данном частном
случае при h(m, п) =hi(m')h2(n') импульсна'я характеристика абсо-
лютно суммируема тогда и только тогда, когда абсолютно сумми-
руемы hi (m) и /г2 (п). Поэтому физически реализуемая раздели-
мая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы
Hi(zi) лежат внутри единичного круга zj-плоскости, а полюсы
H2(z2) лежат внутри единичного круга г2-плоскости.
В общем случае необходимым и достаточным условием для то-
го, чтобы отношение полиномов двух переменных соответствовало
передаточной функции физически реализуемой устойчивой систе-
мы, является неравенство нулю знаменателя при | zt | > 1 и | z21 >
>1 [4, 5]. Это условие согласуется с вышеприведенным условием
для разделимой системы, так как, например, наличие полюса
Hi(zi) вне единичного круга, т. е. при |zi| >1, приведет к тому,
что полином знаменателя будет равен нулю при этом значении Zi
и при всех значениях z2, включая и те, когда |z2|>l.
Один из путей применения приведенной теоремы об устойчиво-
сти — разложение полинома в знаменателе, как полинома от zt на
элементарные сомножители; при этом корни будут функциями от
г2. В этом случае полюсы Н(zb z2) являются функциями z2, и мы
требуем, чтобы эти полюсы лежали внутри единичного круга Z\-
плоскости при |z21 < 1.
Пример. Рассмотрим H(zt, z2) вида H(zit z2) = l/(4—Zi-i + 2z2~i—Zi-1z2-1)
«ли H(zltz2) = 1/[(1 +2г^‘) - z]-‘ (l-^1)]. (2.65)
Поэтому корни знаменателя равны
Zi =(l+z71)/(l + 2z7I). (2.66)
Для устойчивости необходимо, чтобы для всех z2, | z21 > 1 модуль Zj, давае-
мый выражением (2.66), был меньше единицы, т. е. | (1 + 2z2~!)/(l +г2-1) I < 1
или | l+z2-1|< 11+2г2-Ч. Это условие можно переписать как 11 +z2-112< 11 +
+ 2г2-']2. Непосредственно проверяется, что при z2-1=—(1 /3) + i(1 /6) это не-
равенство не удовлетворяется и, следовательно, передаточная функция (2.65)
не соответствует устойчивой системе.
Ясно, что обсужденное условие устойчивости трудно применять
на практике. Имеется ряд других формулировок условий устойчи-
вости, которые мы не будем приводить, менее прозрачных с точки
зрения теории, но более простых при применении на практике.
66
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе даны обобщение результатов гл. 1, в частности,
определение г-преобразования и области его сходимости для пра-
во-, лево- и двусторонних последовательностей. Затем были рас-
смотрены обратное г-преобразование и его вычисление посредст-
вом контурного интегрирования, разложения на элементарные дро-
би и с помощью разложения в степенные ряды. Были даны также
свойства г-преобразования, аналогичные свойствам преобразова-
ния Фурье, рассмотренным в гл. 1.
Представление с помощью г-преобразования линейных инвари-
антных к сдвигу систем привело к понятию передаточной функции.
Передаточная функция систем, характеризуемых линейными раз-
Ъ костными уравнениями с постоянными коэффициентами, является
отношением полиномов, и в этом случае она может быть определе-
на по диаграмме полюсов и нулей в г-плоскости. Это представле-
ние, в частности, приводит к удобному геометрическому методу по-
лучения частотной характеристики системы. Глава завершается
кратким введением в двумерное г-преобразование.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. R. Ragazzini and G. F. Franklin. Sampled Data Control Systems. McGraw-
Hill Book Company, New York, 1958.
2. E. I. Jury. Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley &
Sons, Inc., New York, 1964.
3. R. V. Chuchill. Complex Variables and Applications, McGraw-Hill Book Compa-
ny, New York, 1960.
4. J. L. Shanks, S. Treitel and J. H. Justice. «Stability and Synthesis of Two-
Dimensional Recursive Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust, Vol. AU-20,
No. 3, June 1972, p. 115—128.
5. T. S. Huang. «Stability of Two-Dimensional Recursive Filters», IEEE Trans.
Audio Electroacoust., Vol. AU-20, No. 2, June 1972, p. 158—163.
Глава 3.
Дискретное преобразование Фурье
ВВЕДЕНИЕ
В гл. 1 и 2 рассмотрено представление последовательностей
и линейных инвариантных к сдвигу систем на основе преобразо-
вания Фурье и г-преобразования. Для частного случая, когда
представляемая последовательность имеет конечную длитель-
ность, т. е. имеет только конечное число ненулевых значений,
можно разработать другой вид преобразования Фурье, называе-
мый дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Как мы уви-
дим в этой главе, ДПФ есть преобразование Фурье последова-
тельности конечной длины, являющееся само по себе также по-
3* 67
следовательностью, а не непрерывной функцией, и соответствует
равноудаленным по частоте выборкам преобразования Фурье
сигнала. Кроме своей теоретической важности, ДПФ играет цент-
ральную роль при разработке ряда алгоритмов обработки сигна-
лов вследствие существования эффективного алгоритма вычис-
ления ДПФ [1, 2]. Этот алгоритм будет детально рассмотрен в
гл. 6.
Имеются различные подходы к выводу и интерпретации пред-
ставления последовательностей конечной длительности с помо-
щью ДПФ. Мы выбрали представление, основанное на соотноше-
нии между последовательностями конечной длины и периодиче-
скими последовательностями, и поэтому мы рассмотрим сначала
ряды Фурье периодических последовательностей. Представление
по Фурье периодических последовательностей важно само по
себе, и мы используем его также для представления последова-
тельностей конечной длины. Это делается путем конструирования
периодической последовательности, каждый период которой сов-
падает с последовательностью конечной длины. Как мы увидим
далее, ряд Фурье этой периодической последовательности соот-
ветствует дпф последовательности конечной длины.
3.1, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДИСКРЕТНЫМ РЯДОМ
ФУРЬЕ
Рассмотрим периодическую* последовательность х («) с пе-
риодом N, т. е. х(п) =x(n-\-kN) для любого целого значения k.
Такие последовательности не могут быть представлены г-преоб-
разованием, так как не существует ни одного значения г,
для которого бы сходилось г-преобразование такой последо-
вательности. Однако можно представить х(п) рядом Фурье,
т. е. суммой синусоидальных и косинусоидальных последова-
тельностей или, что то же, суммой комплексных экспонен-
циальных последовательностей с частотами, кратными основ-
ной частоте 2n/N периодической последовательности. В про-
тивоположность рядам Фурье непрерывных периодических
функций имеется только N различных комплексных экспонент с
периодом, равным целой части основного периода N. Это являет-
ся следствием того, что комплексная экспонента
ек(п)^^(2я,^п11 (3.1)
периодична по k с периодом N. Так, е0(п) —eN(n), (п) —
= е_х+1(и) и т. д., и, следовательно, множество .V комплексных
экспонент (3.1) с k=Q, 1, 2, ..., N—1 определяет все различные
комплексные экспоненты с частотами, кратными 2n/.V. Поэтому
* Мы будем использовать тильду для обозначения периодических последо-
вательностей, когда будет важно различать периодические и непериодические
последовательности.
68
N— 1
1 VI р! (2л//У) пг
n 2j
п=0
N— 1 Ar—1
22 Г(л)е-‘(2пт "' = V Х(£)
n=0 k=0
представление периодической последовательности х (л) в виде
ряда Фурье содержит только У этих комплексных экспонент и,
следовательно, имеет вид
х(л) = (Ш)УX(k)ei(2n/N)nk . (3.2)
fe=0
Множитель 1/N введен для удобства и, конечно, не влияет на ха-
рактер представления. Чтобы получить коэффициенты X (k), вос-
пользуемся тем, что
1, r = mN, т — целое число;
(3.3)
О — в остальных случаях.
Поэтому, умножая обе части (3.2) на e-1(2lT/JV)"r и суммируя от
п = 0 до N—1, получим
N— 1 N— 1 N— 1
V х(п) е-‘ " = (W£ £ X (k) е
п=0 п=0 й=0
или. меняя порядок суммирования в правой части этого выраже-
ния, получим
N-1
(1/Х) у е‘ (2jVN) (ft—И п
п=0
Учитывая (3.3),
У^х(п)е~'(2лт пг = Х(г).
п=0
Таким образом, коэффициенты X(k) в (3.2) получаются из со-
отношения
Х(й) = V'?(«) е1 (2Я/ЛГ) пй. (3.4)
п=0
Отметим, что последовательность X(k), даваемая выражением
(3.4), периодична с периодом N, т. е. Х(0)=Х(Х), Х(1) =
=X(X+1) и т. д. Это, конечно, соответствует тому, что комплек-
сные экспоненты (3.1) различны только при #=0, 1, ..., N—1 и
поэтому может быть только N различных коэффициентов в ряде
Фурье периодической последовательности.
Коэффициенты ряда Фурье можно рассматривать как после-
довательность конечной длины, определяемую (3.4) для £ = 0, ...
..., N—1 и равную нулю при других k, или как периодическую
последовательность, определяемую для всех k выражением (3.4).
Ясно, что оба определения эквивалентны. Обычно более удоб-
но рассматривать коэффициенты ряда Фурье X(k) как периоди-
ческую последовательность. В этом отношении существует дуаль-
ность между временной и частотной областями представления
69
периодических последовательностей рядами Фурье. Выражения
(3.2) и (3.4) могут рассматриваться как пара преобразований и
будут называться в дальнейшем представлением периодической
последовательности дискретным рядом Фурье (ДРФ).
Для удобства записи введем обозначение ff'^e '1'2^'). Тогда
ДРФ пары представляются в виде
ЛГ— 1
= x(n)Wfr; (3.5)
n=0
7(н) = (1/Х)£Х(Л)1^л'!, (3.6)
й=0
где как X(k), так и х(п) — периодические последовательности.
Удобно интерпретировать X(k) как равноудаленные по углу
выборки г-преобразования одного периода х(п), взятые на еди-
ничной окружности. Чтобы получить это соотношение, положим,
что х(п) представляет один период х(п), т. е. х(п)=х(п) при
—1 и х(п)=0 при других п (рис. 3.1). Тогда X(z), яв-
1 Т Т т t Т Т Т т ♦__Т Т Т Т т
-NON
. ,х<п)
О N
ляющееся г-преобразованием
сО
X(z) = у x(n)z~n, или так
П=—00
—1, то
N— 1
X (г) = у х (п) г-п.
п—О
Сравнивая (3.5) и (3.7), мы
соотношением
X (k) = X (г) (2jl/N) k=w-k
п
Рис. 3.1. Последовательность конеч-
ной длины х(п), равная периодиче-
ской последовательности х(п) на про-
тяжении одного периода и равная
П нулю в других точках
х(п), выражается формулой
как х(п)=0 вне промежутка
(3.7)
видим, что X(z) и X(k) связаны
(3.8)
Это соответствует взятию выборки г-преобразования X(z) в N
равноудаленных по углу точках на единичной окружности, при-
чем первая выборка берется при г=1. На рис. 3.2 показаны эти
точки.
Пример. Как иллюстрацию представления периодической последователь-
ности рядом Фурье рассмотрим последовательность х(п), изображенную на
рис. 3.3. Из (3.5) имеем
70
4 4
X(k)=^ = £ е~г <2 л/10> nk =е-г <4ltft/10> [sin (n£/2)/sin X
n—0 n=0
X (л £/10)].
(3.9)
Амплитуда и фаза периодической последовательности X(k), определяемой (3.9),
показаны на рис. 3.4. Значение г-преобразования одного периода х(п) на еди-
ничной окружности дается формулой X(e’w) = e~i2<4sin(5<o/2)/sin(<o/2)]. В этом
z-плосмсть
Рис. 3.2. Точки z-плоско-
сти, в которых г-преоб-
разоваиие одного перио-
да периодической после-
довательности равно ко-
эффициентам ряда Фурье
х(п)
-10 0 1 23 45 6 7 8 910
Рис. 3.3. Периодическая последователь-
ность, для которой нужно вычислить ряд
Фурье
случае легко проверяется выполнение равенства (3.8). Амплитуда и фаза функ-
ции Х(е’®) показаны на рис. 3.5. Важно отметить, что последовательности на
рис. 3.4а, б соответствуют выборкам функций на рис. 3.5а, б.
JWi
1 l.T.T .T.I II.T.T.T.I II. A
-1 1 2345678910 15 20
a]
...t..]. ....t-t.-»
Г1 T
X -неопределенность
g) (модуль раден 0)
\x(e'ah
arg\x(e
Рис. 3.5. Модуль (а) и фаза (б) г-
преобразования одного периода по-
следовательности рис. 3.3, вычислен-
ные в точках единичной окружно-
сти
Рис. 3.4. Модуль (а) и фаза (б) коэф-
фициентов ряда Фурье последователь-
ности рис. 3.3
3.2. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ
Аналогично преобразованиям Фурье и Лапласа сигналов с
непрерывным временем и ^-преобразованию дискретных аперио-
дических последовательностей дискретные ряды Фурье обладают
важными свойствами, которые позволяют успешно применять их
при обработке сигналов. Многие из них аналогичны свойствам
z-преобразования. Однако периодичность как х(п), так и X(k~)
приводит к некоторым важным отличиям. Кроме того, существует
71
дуальность между временной и частотной областями в ДРФ
представлении, которая не имеет места в представлении последо-
вательностей ^-преобразованием.
3.2.1. ЛИНЕЙНОСТЬ
Если две периодические последовательности Xi(ri) и .с2(п) с
периодом, равным А, объединяются так, что x3(n) = ах1 (п) +
+ Ьх2(п), то коэффициенты ДРФ представления хз(п) определя-
ются как
Х3 (k) = аХ (k) + ЬХ3 (k), (3.10)
где все последовательности периодичны с периодом N.
3.2.2. СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если периодическая последовательность х(п) имеет коэф-
фициенты Фурье X(k), то легко показать, что сдвинутая последо-
вательность х (п+т) имеет коэффициенты WN~hmX (£). Ясно, что
любой сдвиг, превышающий период (т. е. m^N), нельзя отли-
чить во временной области от меньшего сдвига т'=т по мо-
дулю N.
Вследствие того что коэффициенты ряда Фурье периодиче-
ской последовательности представляют периодическую последо-
вательность, аналогичные результаты справедливы для сдвига
коэффициентов Фурье. А именно, значения периодической последо-
вательности А(й+1) являются коэффициентами Фурье последова-
тельности Wjfnlx (п), где I — целое число.
3.2.3 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
Как и в случае с преобразованием Фурье, рассмотренном в
гл. 1, у ДРФ представления периодической последовательности
имеется ряд свойств симметрии. Вывод этих свойств сходен по
форме с выводами в гл. 1, и они приводятся ниже.
Если у комплексной последовательности х(п) коэффициенты
Фурье равны X(k), то у последовательности х*(п) эти коэффи-
циенты равны А*(—k), а у х* (—п) равны X* (k). Следствием
этого является то, что ДРФ для Re[x(/i)] есть X4(k) -сопряжен-
но-симметричная часть X(k), а ДРФ для iJm[x(n)] есть XH(k)-
сопряженно-антисимметричная часть X(k). Кроме того, ДРФ для
хч(п) есть Re[A(^)], а ДРФ для хн(п)—iJm[A(&)]. Из этого сле-
дует, что для действительной последовательности х (п),
Re[A(£)]—четная последовательность, a Jm[A(^)]—нечетная
последовательность, а также амплитуда X(k) — четная последо-
вательность, а фаза — нечетная. К тому же для действительной
последовательности Re[X(^)] является ДРФ представлением для
хч(п), a iJm[X(6)] является ДРФ представлением для ха(п).
72
3.2.4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СВЕРТКА
Пусть (п) и х2(п)—две периодические последовательно-
сти периода N с дискретными рядами Фурье Xi(k) и X2(k) соот-
ветственно. Мы хотим определить последовательность х3(п), для
которой ДРФ равен Xi(k)X2(k). Чтобы найти это соотношение,
N-1 ДГ-1
отметим, что Х{ (k) = M (т) WNmh, М2(й) = J? x2(r)WNrh, так
m—О r=0
N—l N—l
что X\(k)X2(k) = S X Xi (m)x2(>r) WNk(m+r\ Тогда
m—0 r=0
x3 (n) = (1/M) X, (k) X2 (k) = <m) 1'^2 W X
ft=0 m=0 r=0
Рассмотрим x3(n) для Q^.n^zN—1.
Замечаем,
что
SN для r = (n-m) + lN-,
h 0 N ( 0 — в остальных случаях,
где I — любое целое число. В результате получаем
N— 1~ ~
х3(п) = £хДт)х2(п —т).
т=0
Выражение (3.11а) пока-
зывает, что х3(п) получает-
ся путем объединения хДп)
и х2(п) способом, похожим
на свертку. Важно, однако,
отметить, что в противопо-
ложность свертке апериоди-
ческих последовательностей
последовательности Xi(ni) и
х2(п—т), входящие в (3.11а),
периодичны по т с перио-
дом N и, следовательно, пе-
риодичны их произведения.
Суммирование производится
только по одному периоду.
Этот тип свертки обычно на-
зывается периодической сверт-
кой. Изменением индекса
суммирования в (3.11а) мож-
но показать, что
(3.11а)
Хг(Л7) '
х2(2-т)
И,(т)х2(2-т)\
Рис. 3.6. Процедура формирования пе-
риодической свертки двух периодиче-
ских последовательностей
73
ТАБЛИЦА ?..l
Периодиче ская последовательность (период N) Коэффициенты ДРФ
1. ~(п) 2. ^(п) 3. ale (п) + Ьу(п) 4. £"(« + т) 5. N—l 6. 'х(т)'у(п — т) т=0 (периодическая свертка) 7. Г(п)Ил) 8. 7 *(п) 9. ~ *(— п) 10. Re[7(n)J 11. 1 Im [x"(n)] 12. хе(п) ([сопряженно-симметричная часть х(п)] 13. х0(п) [сопряженно-антисимметрич- ная часть х(п)] 14. Любое действительное х(п) 15. 'хе(п) 16. х^(п) X (k) [периодично с периодом IV] F(ft) [периодично с периодом AZ] aX(k) + bY (k) W^hmX(k) X (ft + I) X(k)Y(k) N-l (1/ao£x(Z) 1=0 X* (— k) X*(k) Xe(k) [сопряженно-симметричная часть Я(й)] Xo (k) [сопряженно-антисимметричная часть X(ft)] Re [X i Im [X(k)] X (fe) (— k) Re [X (Jfe)] = Re {X(- k)] lm[X(k)] = — 1m[X(-k)] \X'(k)\^\X(-k)[ arg [X (ft)] = -arg [X(- ft)] Re [JT(ft)] i Im [X (ft)]
74
N-I
х3 (п) = >' х2 (т) хг (п~т). (3.11 б)
т=0
Иллюстрация процедуры формирования периодической сверт-
ки двух периодических последовательностей в соответствии с
(3.11а) дается на рис. 3.6. При этом типе свертки, когда один
период выходит из интервала, на котором вычисляется свертка,
следующий период входит в него.
Если поменять ролями время и частоту, получим почти идентич-
ный результат, т. е. периодическая последовательность Хз (п) =
=xt(n)x2(n), где Xi(n) и х2(п)— периодические последователь-
ности периода /V, имеет коэффициенты Фурье, определяемые фор-
мулой
__ N—1
ЗД) = (1/ЛП (3.12)
Z=0
п равные с точностью до коэффициента 1W периодической сверт-
ке Xi (k) и X2(k).
3.3. СВОЙСТВА ДРФ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Как и в случаях преобразования Фурье и г-преобразования,
полезно знать свойства ДРФ, полученные в § 3.2 (табл. 3.1).
3.4. ВЫБОРКИ ИЗ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В § 3.1 мы видели, что значения X(k) ДРФ представления
периодической последовательности равны выборкам г-преобра-
зования одного периода х(п) в N равноудаленных точках на
единичной окружности. Рассмотрим соотношение между аперио-
дической последовательностью с г-преобразованием X(z) и пе-
риодической последовательностью, ДРФ коэффициентами кото-
рой являются распределенные по углу выборки из X (г) на еди-
ничной окружности. Рассмотрим апериодическую последователь-
ность х (л), г-преобразование которой
Х(г)= £ х(п)г~п (3.13)
П——СО
имеет область сходимости, включающую единичный круг; это ус-
ловие всегда выполняется для последовательности конечной дли-
ны. Если мы вычислим г-преобразование в X равноудаленных
75
точках единичной окружности, как показано на рис. 3.7, то полу-
чим периодическую последовательность
z-плоскость
Рис. 3.7. Точки на единичной окружности, в которых
берутся значения X(z) для получения периодической
последовательности X(k)
X(k) = X(z)
Z=1
= V r(n)IF£"
—k ' ' N ’
N n=—co
(3-14)
где WN==e~lt-2n^').
Мы только что убедились, что существует однозначная связь
между периодической последовательностью X(k) и периодиче-
ской. последовательностью х(п), определяемая формулой
7V-1
(3,15)
й=0
Чтобы выяснить соотношение между периодической последо-
вательностью х(п) и исходной последовательностью х(п), подста-
вим значение X(k) из (3.14) в (3.15), и тогда х(п) =
N— 1 »
— (I.IN) у у х(т) WNkmWN~kn. Меняя порядок суммирова-
k=0 т=—а>
ния, получим
оо Г N— I
x(n) = V х(т) (1/N) (п-т) .
т=—со L ft=O J <
I
Из (3.3) следует, что (1/А^) У 1 для m = n+rN и
ь=о
равно нулю в других случаях, так что
x(n) = V х(п + rN). (3.16)
Г=—00
Таким образом, результирующая периодическая последова-
тельность формируется из исходной апериодической последова-
тельности путем наложения ее сдвинутых копий. Это напоминает
рассмотренное в § 1.7 соотношение между преобразованием
Фурье непрерывного сигнала и преобразованием Фурье дискрет-
ного сигнала, полученного путем периодической выборки из не-
прерывного сигнала. Это сходство проявляется в аналогии меж-
ду (1.29) и (3.16). Из (3.16) видно, что если апериодическая по-
следовательность х(п) имеет конечную длительность, меньшую,
чем N, то каждый период х(п) будет повторением х(п), если ее
длительность больше N, то будет перекрытие ненулевых выборок,
76
аналогичное эффекту наложения, рассмотренному в 1.7. Отсюда
следует, что если последовательность х(п) по длительности мень-
ше, чем к, то она может быть точно восстановлена из х(п) про-
стым выделением одного периода или, что эквивалентно, последо-
вательность конечной длительности N (или менее) может быть
точно представлена М выборками своего г-преобразования на
единичной окружности. Так как исходная последовательность
х (п) может быть восстановлена по N выборкам из X (г) на еди-
ничной окружности, то ясно, что X(z) также может быть восста-
новлено по тем же самым выборкам. Если х(п) равно нулю при
n^N, то
ЛГ-1
Х(г) = V х{п)ъ~п. (3.17)
л=0
Так как х(п) =х(п) при —1, можно подставить (3.15) и
N— 1 N—1
(3.17), полсчая X(z) = У, (1 /N) 2 X(k)WN~hnz~n. Меняя по-
п=0 й=0
N—l rN— 1
рядок суммирования, получим X(z) = (l/N) X(k) У. X
й=0 |_«=0
X (ЗЕл- 'х 4)"], что можно записать как
X (г) = (1/М) £ ’ X (k) [ (1 —z~N) / (1 - IV г'1) ] =
h-0
= [(1 — г—,v)/7V] £ [X (£)/ (1 г"1)]. (3.18)
fc=0
Эта формула дает выражение для Х(г), г-преобразования по-
следовательности конечной длины N через N «частотных выбо-
рок» из X(z) на единичной окружности. Как будет показано в од-
ной из последующих глав, это выражение является основой для
одной из возможных реализаций системы, имеющей импульсную
характеристику конечной длины. Делая замену z=e1“, можно по-
казать, что (3.18) превращается в
Л-1
X (е‘ “) = V X (k) Ф [о—(2п/М) k], (3.19)
й=0
где 0(®) = [sin(coX/2)/Xsin(co/2)] e-i “[(JV-1)/2]. (3.20)
Функция sin(coM/2)/[M sin(co/2)] изображена на рис. 3.8 для
N = 5. Отметим, что функция Ф(со) обладает свойством
^/2л । 0, k=l, 2, • • •, N— 1;
Ф( —k =
\N J (J, k = Q,
так что
X ( е1 “) |ш=(2я/Л-> k = X (k), k = 0, 1, • • М-1, (3.21)
77
т. е., как и ожидалось, интерполяция является точной в исходных
точках, в которых брались выборки. i
sln(ti>N/2)
N sln(a>/2)
Рис. 3.8. Функция sin(coA72)/pVsin(co/2)] при У = 5
3.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ФУРЬЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОНЕЧНОЙ
ДЛИТЕЛЬНОСТИ — ДИСКРЕТНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В предыдущем разделе мы рассмотрели представление пе-
риодических последовательностей дискретными рядами Фурье.
При правильной интерпретации то же самое представление
можно применить к последовательностям конечной длины. По-
лученное в результате представление по Фурье последовательно-
стей конечной длительности будет называться дискретным преоб-
разованием Фурье (ДПФ).
Результаты предыдущего параграфа дают возможность подой-
ти к представлению по Фурье последовательностей конечной дли-
тельности двумя путями. А именно, мы можем представить ' по-
следовательность конечной длины N периодической последова-
тельностью периода N, один период которой совпадает с данной
последовательностью *. В этом случае исходная последователь-
ность имеет такое же ДРФ представление, что и периодическая
последовательность, поскольку можно вычислить с использовани-
ем ДРФ один период периодической последовательности, а следо-
вательно, и последовательность конечной длины.
Другой путь вытекает из предыдущего параграфа, в котором мы
показали, что последовательность конечной длины может быть
точно представлена выборками из ее z-преобразования. А имен-
но, мы показали, что периодическая последовательность, получен-
ная посредством выборки z-преобразования в N равноотстоящих
точках на единичной окружности, совпадает с коэффициентами
дискретного ряда Фурье периодической последовательности, сфор-
* Для простоты обычно полагают, что область ненулевых значений опреде-
ляется неравенствами —1, однако этот выбор произволен и результа-
ты можно сформулировать так, чтобы они были справедливы для любого интер-
вала из N выборок.
78
мированяой так, как было показано выше. Последовательность,
соответствующая этим выборкам z-преобразования, является та-
кой периодически повторяющейся копией исходной последова-
тельности) что если используется N выборок, то отсутствует эф-
фект наложения. Таким образом, обе эти точки зрения ведут к
представлению последовательности конечной длины как одного
периода периодической последовательности.
Рассмотрим последовательность х(п) конечной длины N, для
которой х(п)=0 всюду, за исключением интервала —
1). Ясно, что если последовательность длиной М меньше N, то
такую последовательность можно рассматривать как последова-
тельность длиной N, у которой амплитуды в последних (N—М)
точках интервала равны нулю. Соответствующая периодическая по-
следовательность периода N, одним периодом которой является
х(п), обозначается х(п) и
х(га) = у x(n + rN), (3.22а)
Г——СО
Так как х(п) имеет конечную длину N, то отсутствует перекрытие
между членами x(n + rN) для различных значений г. Поэтому
(3.22а) можно записать также в другом виде*
х(п) = х (п по модулю Af). (3.226)
Для удобства мы будем использовать запись ((«))n вместо
(га по модулю W), и при такой записи (3.226) примет вид
х(л) = х((п))дг. (3.23а)
Последовательность конечной длины х(п) получается из х(п)
выделением одного периода, т. е.
х(п)=|Г(п), 0<n<JV-l;
(О — в остальных случаях.
Опять-таки ради удобства записи полезно ввести обозначение
прямоугольной последовательности
D Z Х_| h 0<n^7V-l;
( 0 — в остальных случаях.
При такой записи предыдущее выражение имеет вид
х (га) = х (п) RN (га). (3.236)
Как было определено в § 3.1, коэффициенты %(k) дискретного
ряда Фурье периодической последовательности х(п) сами явля-
ются периодической последовательностью с периодом N. Чтобы
сохранить дуальность между временной и частотной областями,
сопоставим последовательности конечной длины в частотной об-
* Если п представляется в виде n=ni+n2A^, где —1, то п по мо-
дулю N равно Пь
7Ф
ласти, соответствующие одному периоду последовательности X(k).
Таким образом, обозначая X(k) коэффициенты Фурье, увязанные
с х(п), получим следующие соотношения между X(k) и X(k):
X(fe)==X((fe))N; j (3.24а)
X(k) = X(k)RN(k). I (3.246)
В соответствии с § 3.1 X(k) и х(п) связаны соотношениями:
N—1 \
Х(/г) = Ух(п)^п; (3.25а)
п=0
7(n) = (l/X) £X(k)WNhn. (3.256)
й=0
Так как суммирование в (3.25а) и (3.256) распространяется
только на интервал от 0 до N—1, то из (3.23) — (3.25) следует,
что
Х(£) =
х(п) =
N—I
х(п) Wff, O^k^N— 1;
n=0
О — в остальных случаях;
I N—1
±^X(k)W^,0^n^N-V,
fe=0
(3.26а)
(3.266)
О
остальных случаях.
Пара преобразований, определяемая соотношениями (3.26), бу-
дет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
Причем (3.26а) называется прямым, а (3.266) — обратным дис-
кретным преобразованием Фурье. Отметим, что в соответствии с
рассуждениями, приведенными в § 3.4, ДПФ последовательности
конечной длины соответствует равноудаленным выборкам из
2-преобразования на единичной окружности. Нужно подчеркнуть
следующее обстоятельство: различие между последовательно-
стью конечной длины А и периодической последовательностью
периода N невелико в том смысле, что обе они определяются X
значениями и поэтому различия между (3.25) и (3.26) также не-
велики. Однако, как мы увидим ниже, всегда важно помнить, что
когда речь идет о ДПФ, последовательность конечной длины
представляется как один период периодической последователь-
ности.
3.6. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ
Рассмотрим ряд свойств ДПФ последовательностей конеч-
ной длины. Эти свойства по существу похожи на свойства, приве-
денные в § 3.2 для периодических последовательностей, и вытека-
«0
ют из подразумеваемой периодичности в ДПФ представлении по-
следовательности конечной длины.. Наша цель состоит в том, что-
бы вновь рассмотреть эти свойства с точки зрения последователь-
ностей конечной длины, определенных только на интервале
OsCrtC'A — j.
3.6.1. Линейность
Если Две последовательности конечной длины %i(n) и х2(п)
линейно складываются так, что x3(n)=axl(n) +Ьх2(п), то ДПФ
х3(п) равно Лз(&) =aXi (k) + bX2(k). Ясно, что если хДп) имеет
длительность М, а х2(п) имеет длительность N2, то
максимальная длительность х3(п) будет равна M3=max [AG, N2],
Поэтому в общем случае ДПФ должно вычисляться при N=N$.
Если, например, то Xt (k) является ДПФ последователь-
IV,—1
ностп -Vi (п), дополненной N2—нулями, т. е. Xi(k')= У xt(n)X
п=0
n,-i
Х№йпл-2, 1 и X2(k) = 2 x2(n)WhnNt , L
n=0
3.6.2. КРУГОВОЙ СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим последовательность х(п), показанную
на
рис. 3.9а. Ее периодический аналог х(п) показан на рис. 3.96, .а
х(п + т)—результат сдвига
Последовательность ко-
нечной длины, которую
мы обозначим %i(n), по-
лучается выделением од-
ного периода х(п + т) на
интервале —1,
как показано на рис. 3.9г.
Сравнение рис. 3.9а, г яс-
но показывает, что xi(n)
не соответствует линейно-
му сдвигу х(п) ив дей-
ствительности обе после-
довательности сосредото-
чены на интервале от О
до N—L Из рис. 3.96, в
видно, что при сдвиге пе-
риодической последова-
тельности и рассмотрении
интервала от 0 до N—1
как только одна из выбо-
рок выходит из интерва-
ла, такая же выборка
входит в интервал с дру-
гого конца. Поэтому мы
можем представить себе
х(п) на т выборок —на рис. 3.9в.
Рис. 3.9. Круговой сдвиг последовательно-
сти
81
формирование Xi(n) из х(п) таким образом, что как только выбор-
ка выходит из интервала от 0 до N—1 с одного конца, она входит
в него с другого. I
Для трактовки такого сдвига представим, что последователь-
ность конечной длины х(п) расположена на поверхности цилинд-
ра в N точках. При движении по поверхности цилиндра наблю-
даемая последовательность будет периодической последователь-
ностью х(п). При этом линейный сдвиг периодической последова-
тельности х(п) соответствует вращению цилиндра. Такой сдвиг
последовательности обычно называется круговым сдвигом. Бо-
лее формально мы можем выразить круговой сдвиг, используя
(3.23а) и (3.236). А именно, Xi (п) =х(п + т) = х( (п + т) )n, по-
этому из (3.236) имеем xt (п) =х( (п + т) )nRn(h) .
Теперь мы хотим связать ДПФ х(п) с ДПФ хг(п). В соответ-
ствии с § 3.2.2 ДРФ периодических последовательностей х(п) и
Xi (п) =х(п + т), обозначаемые соответственно X(k) и Xi(k), свя-
заны соотношением
Х1(£) = №^'"Х(6). (3.27)
Следовательно, из (3.246) вытекает, что
Х^^-^ХЩ. (3.28)
Вследствие дуальности между временной и частотной областя-
ми аналогичные результаты справедливы при применении круго-
вого сдвига к ДПФ коэффициентам. А именно, если X(k) и
X{(k) есть соответственно ДПФ х(п) и х^(п) и
X1(k) = X((k + l))NRN(k), (3.29)
то xL (п) = W1" х (п). (3.30)
3.6.3. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
В гл. 1 было рассмотрено разложение произвольной после-
довательности на сумму сопряженно-симметричной и сопряжен-
но-антисимметричной компонент и дан ряд симметричных соот-
ношений для их преобразований Фурье. При рассмотрении
свойств симметрии ДПФ последовательности конечной длины мы
не можем в общем случае использовать определения сопряженно-
симметричной и сопряженно-антисимметричной компонент, дан-
ные в § 1.6, так как для последовательности х(п) длительности
N сопряженно-симметричная хч(п) и сопряженно-антисимметрич-
ная компоненты х^(п) имеют длительность (2N—1). Заметим, од-
нако, что для периодической последовательности х(п) с периодом
N сопряженно-симметричная и антисимметричная компоненты
также периодичны с периодом N. Это дает возможность разло-
жить х(п) на две последовательности конечной длины N, соот-
ветствующие одному периоду сопряженно-симметричной и сопря-
женно-антисимметричной компонент х(п). Будем обозначать эти
компоненты хчр(п) и хнр(п). Таким образом, при
S2
х(л)4х((л))л;
хДл) 4(1/2) [7(n) + x*(—n)]
~ i ~ ~
и xH (л) = (1 /2) [x(n)—x* (— ri) ]
(3.31)
(3.32)
(3.33)
мы определим хчр(п) и хнр(п) следующим образом:
Хчр(п) = ХЧ (л) Ду (л); (3.34а)
xBP(n) = xii(n)RN(n) (3.346)
или хч р (л) = (1/2) [х ((л))лг + х* ((—л)^] Rn (п)’, (3.35а)
хя р (п) = (1/2) [х((л))м—х* (( —л)Ц Rn (п). (3.356)
Ясно, что хчр(п) и х11Р(п) не эквивалентны хч(п) и хн(п), опре-
деляемым (1.22). Однако можно показать, что
хч р («) = [Лч («) + хч (n—N)] RN (л) (3.36а)
и х„р(п) = [хя(п)+х„(п—X)]RN(n). (3.366)
Другими словами, хчр(п) и хнр(п) могуть быть получены с по-
мощью процесса наложения хч(п) и хп(п) на интервале ОгСиет
—1. Последовательности хчр(п) и хнр(п) будут называться пе-
риодической сопряженно-симметричной и периодической сопряжен-
но-антисимметричной компонентами х(п). Если хчр(п) и хяр(п) дей-
ствительны, то они будут называться периодической четной и пе-
риодической нечетной компонентами соответственно. Эта терми-
нология может ввести в заблуждение, так как последовательно-
сти хчр(п) и хвр(п) не являются периодическими, а представляют
один период периодических последовательностей хч(п) и хн(п).
Выражения (3.35а) и (3.356) определяют хчр(п) и хчр(п) через
х(п). Обратное соотношение, выражающее х(п) через хчр(п) и
хвр(п), может быть получено с помощью выражений (3.32) и
(3.33): х(п)=хч(п) +хн(п). Поэтому
х (п) = х(п) Ду (п) = [хч(л) + хн (л)] Rn (п) = хч (л) RN(п) 4-
+ хи(л)Дл(л). (3.37)
Объединяя (3.34) и (3.37), получим
х(л) = хчр(л)4-хнр(л). (3.38)
Свойства симметрии ДПФ теперь получаются прямым примене-
нием результатов § 3.2.3.
Рассмотрим последовательность х(п) конечной длины N,
ДПФ которой есть X(k). Тогда ДПФ х*(л) равно
Х*((— k))NRN(k), а ДПФ х*((—n))^RN(n) равно X*(k). ДПФ
Re[x(n)] равно ХЧР(&), а ДПФ iJm[x(n)] равно XHP(fe). Анало-
гично ДПФ хчр(п) равно Re[X(70], а ДПФ хнр(п) равно
83
iJm[X(&)]. Отсюда следует, что для действительной x(fi) Re [%(&)]
и есть периодические четные последовательности, а
и arg[X(&)]—периодические нечетные последователь-
ности; кроме того, действительная последовательность Re[X(^)]
является ДПФ для хчр(п), a iJmfXf&J] —ДПФ для ksp(ti).
3.6.4. КРУГОВАЯ СВЕРТКА
В § 3.2.4 мы выяснили, что умножение коэффициентов ДРФ
двух последовательностей соответствует периодической свертке
этих последовательностей. Рассмотрим последовательности хДп)
и х2(п) конечной длительности N с ДПФ Xi(k) и X2(k) и опреде-
лим последовательность х3(п), для которой коэффициенты ДПФ
равны Xi(k)X2(k). Чтобы найти х3(п), применим результаты
§ 3.2.4. А именно, х3(п) соответствует одному периоду последова-
тельности х3(п), выраженной (3.11). Поэтому
N— 1
хз («) = ^xi(^)x2(n—т) Rn (и) =
т=0
‘N— 1
У Х1 ((m))N х2 ((n—m))N RN (п).
(3.39}
,т=0
Выражение (3.39) отличается от линейной свертки хДп) и х2(п),
определяемой (1.7). Для линейной свертки основные операции
включают умножение хДп) на обращенную во времени п линей-
но-сдвинутую копию х2(п), а также суммирование значений про-
изведений. Чтобы получить последовательное значение свертки,
эти последовательности сдвигаются по отношению друг к другу.
В противоположность этому для свертки по (3.39) следует пред-
ставить, что одна из последовательностей расположена на поверх-
ности цилиндра в N равноудаленных точках. Вторая последова-
тельность обращается по времени и также располагается на по-
верхности цилиндра в N точках. Если вообразить, что один ци-
линдр помещен внутрь другого, то тогда значение свертки может
быть получено путем умножения значений на одном цилиндре на
соответствующие значения на другом цилиндре и суммирования
полученных произведений. Чтобы получить последовательные зна-
чения свертки, один цилиндр поворачивается относительно дру-
гого. Это эквивалентно формированию сначала двух периодиче-
ских последовательностей и затем получению свертки по (3.11)
(см. рис. 3.6). Такая свертка часто называется круговой. Круго-
вая свертка двух последовательностей Xi(n) и х2(п) в Л' точках
будет записываться как %| (п) |Лг|х2(лг).
Пример. Простой пример круговой свертки связан с результатами § 3.6.2.
Пусть х2(п) — последовательность конечной длины N и xt(n)=b(n—п0), где
no<.N. Ясно, что х:(п) может рассматриваться как последовательность конечной
длины
10, 0 < п < п0;
1, п = п0;
О, По < п С N — 1 •
х2(т)
_1_Г
N
*з(п)=х,(пХ£)Хг(п)
т
Xj (п) = х2 (п) =
п
0 N
Рис. 3.10. Круговая свертка
двух последовательностей
Тогда ДПФ xi(n) равно Xl(k) = WnKn'>. Если
сформировать произведение Xs(k) = №к*п°Х2(к),
то мы видим по результатам § 3.6.2, что последо-
вательностью конечной длины, соответствующей
Xz(k), является последовательность Xzfn), повер-
нутая вправо на п0 выборок, т. е. круговая сверт-
ка последовательности х2(п) с задержанным еди-
ничным импульсом дает поворот последователь-
ности xz(n) на интервале —1.
Этот пример иллюстрируется рис. 3.10 для
У=5 и По=1- Здесь показаны последовательно-
сти х2(т) и а затем х2((0—т)) и
х2((1—m))N. Последняя последовательность, по-
казанная на рис. 3.10, является результатом кру-
говой свертки Х1(л) и х2(л).
Пример. Пусть
1, 0<n^Af—1;
0 — в остальных случаях.
Тогда
Xi (k) = Х2 (fe)= V W*" = [*’ k = 0;
10 — в остальных случаях.
п=0 J
Поэтому
£ —о;
Хз (fe)=Xx (k)X2 (£) =
10 — в остальных случаях,
п мы видим, что Xz(n) = N, —1. Это иллюстрирует рис. 3.11. Ясно, что
при повороте х2(7г) относительно Xi(n) сумма произведений х1(т)х2(п—т) бу-
дет всегда равна N, как показано на рис. 3.11. Конечно, можно рассматривать
xt(n) и х2(п) как 2ЛЛточечные последовательности, пополняя их W нулями. Тог-
да, если выполнить 2Д-точечную круговую свертку этих пополненных последо-
вательностей, получим последовательность, изображенную на рис. 3.12, которая
идентична линейной свертке последовательностей конечной длины х/н) и
х2(Х).
Этот пример указывает на одну полезную интерпретацию
круговой свертки. Рассмотрим две последовательности конечной
длины х1(п) и х2(п) с преобразованиями Фурье
/V—1 N—1
= S Х|(п)е^1ип; Х2(е1и) = 2 х2(п)е~™п.
п=0 п=0
Последовательность х3(п), соответствующая произведению
2V—1
Лз(е1и) =Х’1(е1и)Х’2(е1га) и равная х3(п) = У xi(m)x2(n—т), соот-
т=0
ветствует линейной свертке %i(n) и х2(п) и имеет длительность
2N—1 выборок. Дискретные преобразования Фурье
= Х2(Л) = NyXi(n)Wtf
п=0 п=0
85
являются выборками преобразований Фурье ^(е10) и A2(eto) на
частотах ®ь=2л£/Л\ причем частота выборки достаточна для
представления xi(n) и х2(п) без эффекта наложения. Последо-
вательность х4(п), соответствующая X4(fe)=X1(fe)X2(fe), равна
6) °
x}(n)=Xi(n№)t2(n)
N • t T f
е) о n
Рис. 3.11. JV-точечная кру-
говая свертка двух прямо-
угольных последовательно-
стей длины JV
Рис. 3.12. 2Аг-точечная кру-
говая свертка двух пря-
моугольных последователь-
ностей длины
6) О N 2N
Xjfnhx^n} @)Х2(п)
а)с о N 2N
(3.40)
Так как х3(п) имеет длительность 2N—1, то ясно, что х4(п)
будет получено из Хз(п) с эффектом наложения. Это можно ви-
деть сравнивая рис. 3.11в и 3.125. Рисунок 3.11s соответствует
yV-точечной круговой свертке, а рис. 3.12d соответствует 2У-то-
чечной круговой свертке, совпадающей с линейной сверткой двух
последовательностей. Согласно (3.40), если мы выполним нало-
жение последовательности по модулю N, показанной на рис.
3.125, то получим последовательность рис. 3.11в. В том, что это
так, можно убедиться, складывая вторую половину треугольной
последовательности на рис. 3.125 с первой половиной и умножая
результат на RN(n).
Рассмотренные выше свойства дискретного преобразования
Фурье сведены в табл. 3.2.
86
ТАБЛИЦА 3.2
Последовательность конечной длительности (длительность N) ДПФ
1. х(п) 2. у(п) 3. ах (ге) + Ьу (п) 4. х ((n-j-m))NRN (re) 5. VlNnx(n) -N—l 1 6. Vx((m))Ny((n —m))N x _m=0 J X Rn (n) 7. x(re)j/(re) 8. x* (re) 9- x* ((n))N Rn (re) 10. Re[x(re)] 11. i Im [x (re)] 12. xep (re) 13. Xqp (re) 14. Любое действительное x(re) 15. хчр (re) 16. xHP(n) X(k) Y(k) aX (k) + bY (fe) WxhmX(k) X((k + l))N Rn (k) X (fe) У (k) 1 rN 1 — Vx((/))wy((fe_/))N x L T=o X Rn (fe) X* ((-fc))N rn (fe) X* (k) xep (fe)= Y [X ((*))„ + X* ((- fe))N ]X x Rn (k) Xap (k) = Y [X ((k))N - x* ((- k))N ]X x Rjy (k) Re [X (fe)J i Im [X (k)] fX (k) = X* ((-k))N RN(k) Re [X (ft)] = Re [X ((- k))N ] RN (k) Im [X (fe)] = - Im [X ((-fe))N ] Rn (fe) \X(k) | = |X((-fe))N|/?N (k) arg [X (ft)] = -arg [X ((-k))N } RN {k} Re [X (fe)] iIm[X(fe)J
87
3.7. ЛИНЕЙНАЯ СВЕРТКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Как будет показано в последующей главе, имеются весьма
эффективные алгоритмы вычисления дискретного преобразова-
ния Фурье последовательности конечной длины. По этой причи-
не стоит рассмотреть вычисление свертки двух последовательно-
стей путем вычисления их дискретного преобразования Фурье,
умножения и вычисления обратного преобразования Фурье. В
большинстве случаев нас интересует линейная свертка двух по-
следовательностей. Это необходимо, например, тогда, когда мы
хотим отфильтровать последовательность, являющуюся речевым
пли радиолокационным сигналом. Как мы видели выше, умно-
жение дискретных преобразований Фурье соответствует круговой
свертке последовательностей. Если же нам нужно получить ли-
нейную свертку, то мы должны позаботиться о том, чтобы круго-
вая свертка давала тот же результат, что и линейная. Это мож-
но сделать так, как было сделано во втором примере § 3.6.4.
Рассмотрим сначала две A-точечные последовательности
Х[(п) и х2(п) и обозначим х3(п) их линейную свертку,' т. е.
Ц—1
х3(п) = S х1(т)х2(п—т). Непосредственно проверяется, что
т—0
х3(ц) имеет длину 2Д7—1, т. е. она может иметь самое большое
2N—1 ненулевых точек. Если она получается после умножения
дискретных преобразований Фурье Х\(п) и х2(п), тогда каждое
из этих преобразований Фурье Xi(^) и X2(k) должно вычи-
сляться на основе 2Х—1 точек. Поэтому, если определить
2N—2
п=0
2ЛГ—2
п=0
х3(п)=1/(2Х-1)
2N—2
V
_ k=0
(3-41)
^2N—l (°)’
то x3(n) будет линейной сверткой Xi(n) и х2(п). Конечно, линей-
ная свертка была бы также получена, если бы дискретное преоб-
разование Фурье вычислялось на основе более чем 2N—1 точек.
Но в общем случае линейная свертка не получалась бы, если бы
ДПФ вычислялось на основе меньшего числа точек. Как другую
интерпретацию этой процедуры вычисления линейной свертки,
мы отметим, что вычисление ДПФ на основе 2N—1 точек соот-
ветствует ряду Фурье периодической последовательности, состав-
ленной из %1(п) и х2(п) так, что последние N—1 точек каждого
периода равны нулю. Эти периодические последовательности по-
казаны на рис. 3.13. Этот рисунок также иллюстрирует процесс
88
получения периодической свертки. Отметим, что из-за того, что в
каждом периоде добавлены нули, ненулевые значения одного пе-
риода %1(и) взаимодействуют с ненулевыми значениями только
одного периода Xz (п).
Рис. 3.13. Периодические последова-
тельности периода (2N—1), полу-
ченные из ЛГ-точечных последова-
тельностей конечной длины (послед-
ние (У—1) точек каждого периода
равны нулю]
В общем случае нам может понадобиться свертка двух после-
довательностей неравной длины. Если %i(n) имеет длительность
а х2(п) —длительность N2, то их свертка будет иметь длину
Ni + Nz—1. Поэтому следует умножать дискретные преобразования
Фурье, вычисленные на основе N^Ni + Nz—1 точек.
Указанная процедура позволяет вычислить линейную свертку
двух последовательностей конечной длины, используя дискретное
преобразование Фурье. Иногда желательно вычислить свертку по-
следовательности конечной длины с последовательностью беско-
нечной длины, например, при фильтрации речевого сигнала. Хотя
теоретически мы можем запомнить все колебания и затем реали-
зовать вышеприведенную процедуру на основе ДПФ для большо-
го числа точек, такое ДПФ обычно слишком сложно вычислять.
Кроме того, при таком методе фильтрации нельзя рассчитать ре-
зультат фильтрации до тех пор, пока не будут получены все
входные данные. Как правило, мы хотим избежать такой боль-
шой задержки при обработке. Чтобы сделать это с использова-
нием дискретного преобразования Фурье, сигнал нужно разделить
на секции длиной Л[3, 4]. Каждая секция затем свертывается с
импульсной характеристикой конечной длительности, и отфиль-
трованные секции собираются вместе подходящим образом. Та-
кой способ блочной фильтрации может быть выполнен, как и
прежде, с использованием дискретного преобразования Фурье.
Чтобы проиллюстрировать эту процедуру и разработать про-
цедуру подгонки отфильтрованных секций друг к другу, рассмот-
рим импульсную характеристику h(rt) длины М и сигнал х(п),
изображенные на рис. 3.14. Представим х(п) как сумму отдель-
ных секций, причем каждая секция имеет только L ненулевых то-
чек. Пусть k-я секция
Xh („) = (*(")- kL ^n<(k + !)L~ 1: (342)
I 0 — в остальных случаях.
Тогда х(п) равна сумме Xk(n), т. е.
89
(п) = £ xk (п), (3.43)
k=0
и свертка х(п) с h(n) равна сумме сверток xh(n) с h(n), т. е.
л(п)*й(л) = ^хДл)*й(л). (3.44)
k=0
Так какхй(/г) имеет только L ненулевых значений и h(n) имеет дли-
ну М, каждый из членов суммы [xk(n) * h(n)] имеет длительность
Т + .М—1. Поэтому линейная свертка Xk(n)* h(n) должна быть
Рис. 3.14. Импульсная характеристика конечной
длины h(n) и сигнал х(п), который нужно про-
фильтровать
получена с использованием (L + M—1)-точечного ДПФ. Так как
начало каждой секции отделено от соседней на L точек и каждая
отфильтрованная секция имеет длину L+M—1, ненулевые значе-
ния отфильтрованных секций будут перекрываться в М—1 точках
при суммировании по (3.44). Это иллюстрируется на рис. 3.15.,На
рис. 3.15а изображены входные секции хк(п), а на рис 3.156 по*
казаны отфильтрованные секции Хь(п) * h(n). Входное колеба-
ние восстанавливается путем сложения колебаний на рис. 3.15а,
а результат фильтрации x(n) *h(n) получается сложением от-
фильтрованных секций, изображенных на рис. 3.156. Эта процеду-
ра получения отфильтрованного выходного сигнала по отфильт-
рованным секциям часто называется методом перекрытия с сум-
мированием в соответствии с тем, что выход получается путем
сложения перекрывающихся отфильтрованных секций. Перекры-
тие вытекает из того, что линейная свертка каждой секции с им-
пульсной характеристикой в общем случае длиннее, чем длина
секции.
Другая процедура, обычно называемая методом перекрытия с
накоплением, соответствует выполнению круговой свертки h(n)
с Xh(n) п выделению той части круговой свертки, которая соот-
ветствует линейной свертке. В частности, если мы рассмотрим
круговую свертку Af-точечной импульсной характеристики с .V-
точечной секцией, то первые М—1 точки будут неправильными, в
то время как остальные точки совпадают со значениями линейной
90
свертки. В этом случае мы должны были бы разбить х(п) на
секции длиной N так, чтобы каждая входная секция перекрыва-
лась с предыдущей в М—1 точках, т. е. мы определим секции
Xk(n) следующим образом: Xh(n)=x(n + k(N—М + 1)),
—1, где мы определяем точку начала отсчета времени для
каждой секции в начале этой секции, а не в начале последова-
ло (п)
xa(n)(S)h(n) , ।
х2(п)
а)
Рис. 3.15. Разложение х(п) на неперекрывающиеся секции длины L(a) и ре-
зультат свертки каждой секции с h.(n) (б)
xt(n)®h(n).
О
x2(n)®h(n)
О
S)
тельности х(п). Этот метод секционирования изображен на рис.
3.16а. Круговая свертка каждой секции с h(n) обозначается
у\(п). Эти последовательности изображены на рис. 3.166. Часть
каждой выходной секции в промежутке —2 должна
быть отброшена. Отфильтрованная последовательность получает-
Рис. 3.16. Разложение х(п) на перекрывающиеся секции длины N(a) и резуль-
тат круговой свертки каждой секции с h(n) (б) (Указаны части каждой от-
фильтрованной секции, которые нужно отбросить при формировании линейной
свертки)
91
ся путем примыкания оставшихся частей последовательных сек-
ций, т. е.
у (п) = у y'k (п—k (N + М — 1)). где
h=0
[ у'(п), Л1—1;
(О — в остальных случаях.
Эта процедура — метод перекрытия с накоплением — получила
свое название потому, что каждая последующая входная секция
состоит из N—Л1 + 1 новых точек и М—1 точек из предыдущей
секции.
3.8. ДВУМЕРНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ
В гл. 1 и 2 мы видели, что многие из свойств преобразова-
ний одномерных сигналов можно распространить на многомер-
ные сигналы. Аналогичные обобщения применимы к дискретным
рядам Фурье и дискретным преобразованиям Фурье.
Представление двумерной последовательности дискретным
преобразованием Фурье имеет большое значение при дискретной
обработке двумерных сигналов (фотографии и данные от решет-
ки сейсмических датчиков). Кратко рассмотрим двумерные ДРФ
и ДПФ аналогично тому, как это делалось в предыдущих пара-
графах этой главы. Начнем с рассмотрения определения двумер-
ной периодической последовательности. Будем говорить, что по-
следовательность периодична по первому индексу с периодом М
и по второму индексу с периодом N, если х(т, n)=x(m-\-qM, п +
+ rN), где q и г — произвольные положительные или отрицатель-
ные целые числа. Такие последовательности имеют представле-
ние рядом Фурье в виде конечной суммы комплексных экспонент
М—1 N— 1
х (т, п) = (1/W) £ £ X (£, 0 ^мкт W^!n, (3.45)
Ь=0 1=0
где
М— 1 N—1
х (*> z) = S S ?(m’w* (3,46)
m=0 n=0
и U7M=e-i(2jt/M), IK2V=e 'i(2l,''iV). Из (3.46) видно, что I) =
=X(kJ-qM, 1+rN) для целых значений q и г, и поэтому X(k, I)
имеет такую же периодичность, как и последовательность
х(т, п).
Одномерное дискретное преобразование Фурье вытекает из
интерпретации последовательности конечной длины как одного
периода периодической последовательности и представления ее
дискретными рядами Фурье. Аналогичным образом можно приме-
92
нить двумерные ряды Фурье для представления двумерной по-
следовательности, которая не равна нулю только в конечной об-
ласти (т, и)-плоскости. Такая последовательность будет назы-
ваться последовательностью с конечной площадью и является
двумерным аналогом последовательности конечной длительности.
Результирующие представления по Фурье называются двумерным
дискретным преобразованием Фурье.
Чтобы вывести ДПФ для двумерных сигналов, рассмотрим
последовательность с конечной площадью х(т, п), которая рав-
няется нулю вне интервала О^'т^М—1, O^n^N—1, и образу-
ем периодическую последовательность
Т(т, п) = х [((/П))Л1. ((«))N]- (3-47)
Исходная последовательность х(т, п) получается выделением од-
ного периода из х(т, п) и т. е.
х(т, п)=х(т, n)RM'N(m, п), где (3.48)
_ , . I 1, 0</п<Л4—1, —1;
7?Л1У(/п, и) =
[О — в остальных случаях.
Мы определим дискретное преобразование Фурье последова-
тельности х(т, п) так, чтобы она соответствовала коэффициен-
там ряда Фурье последовательности х(т, п). Однако, как мы по-
ступали в одномерном случае, так и здесь будем стараться со-
хранить дуальность между временной и частотной областями,
интерпретируя ДРФ коэффициенты как последовательность с ко-
нечной площадью. Таким образом, обозначая через X(k, I) ДРФ
от х(т. п), получим:
х(т ri) = (l/MN)
~М— 1 N— 1
У l)^hmWNln
k=0 1=0
n)- (3-51)
Рассмотрение двумерного ДПФ с использованием одномерного
ДПФ удобно, если заметить, что прямоугольная функция
Км.я(к. I) является разделимой и может быть записана в виде
x(k, l) = RM(k)RN(l). (3.52)
Тогда (3.50) может быть выражено следующим образом:
Xlk, 1) =
^G(k,
n=0
(3.53а)
где G (k, п) =
М—1
V х (т, п)
m—0
(3.536)
Функция G (k, п) соответствует М-точечному одномерному ДПФ
93
для каждого значения п, т. е. состоит из N одномерных преобра-
зований для каждого значения второго индекса х(т, п). Тогда
двумерное ДПФ X(k, I) получается согласно (3.53а) с помощью
М одномерных преобразований для каждого первого индекса по-
следовательности G(k, п).
Выражение (3.50) может быть записано в другом виде:
(3.54а)
где Р(т, 1) =
£x(m, n)Wl"
п=0
(3.546)
Функция Р(т, I) соответствует множеству Л’-точечиых преобра-
зований х(т, п) по второму индексу, тогда X(k, I) получается со-
гласно (3.54а) преобразованием Р(т, I) по первому индексу. В
общем двумерное ДПФ может быть выполнено с помощью од-
номерного преобразования сначала по второму индексу, а потом
по первому или наоборот. Аналогичная трактовка, конечно, при-
менима и к обратному ДПФ в соответствии с (3.51).
Интересным частным случаем является такой, когда последо-
вательность разделима, т. е.
х(т, п) = х1(т)х2(п). (3.55)
В этом случае можно рассматривать раздельно Xi(k) и X2(k),
являющиеся ДПФ для Х\(т) и х2(п) соответственно, причем дву-
мерное ДПФ является произведением X{(k) и Х2(1), т. е.
X(k, l) = Xl(k)X2(l). (3.56)
Тогда вычисление только одного Л1-точечного ДПФ и одного
A-точечного ДПФ позволяет вычислить X(k, I) для всех k п I.
Ясно, что двумерное дискретное преобразование Фурье линей-
но, т. е. если х3(т, п)=ахх(т, п)+Ъх2(т, п), то
Xa(k, Ij^aX^k, l) + bX2(k, I),
где предполагается, что хДт, п) и х2(т, п) имеют одинаковые
размерности.
В случае одномерных последовательностей конечной длитель-
ности мы отмечали, что сдвиг по временной области должен ин-
терпретироваться как вращение основного интервала
^А—1. В случае двумерной последовательности х(т + т0, п + пп)
с конечной площадью можно показать, что соответствующее ДПФ
равно /). В этом случае сдвиг в пространствен-
ной области рассматривается как вращение по первому индексу
на т0 выборок, а затем по второму на по выборок. В частотной
области имеется аналогичное свойство.
Как для одномерного, так и для двумерного ДПФ имеется ряд
свойств симметрии. Важное применение двумерного ДПФ со-
94
стоит в вычислении результатов фильтрации с помощью сверток.
Рассмотрим две последовательности хД/п, п) и х2(т, п) с ко-
нечной площадью, где х} (иг, п) имеет размеры (ЛЕ, N[), а
х2(т, п)— (М2, N2). Пусть X}{k, I) и X2(k, I) обозначают (Л4, А’)
ДПФ Хх(т, п) и х2(т, п), дополненных, если необходимо, нуле-
выми выборками. Тогда произведение
X3(k, l^X^k, l)X2(k, I)
(3.57)
соответствует последовательности
х3(щ, п)=У Vxi[((?))M((r))w]x2[((m-q))M.
(('*—7’))л]Ям> пУ (3-58)
Выражение. (3.58) представляет собой периодическую свертку
периодических последовательностей Хх(т, п) и х2(т, п), сформи-
рованных из Xi(m, п.) и х2(т, п), как в (3.47). Для последова-
тельности конечной площади это есть круговая свертка по двум
измерениям. Если мы хотим получить линейную двумерную
свертку Xi (т, и) и х2(т, п), мы должны быть уверены, что М и N
выбраны так, чтобы избежать эффекта наложения, как и в одно-
мерном случае. Свертка последовательности размеров (Мх, Nx) с
последовательностью размеров (М2, N2) дает последовательность
размеров [(М14-Л42—1), (Л^-рЛ^—1)]- Поэтому мы должны
выбрать М^Мх + М2—1 и A'^A’i-HV2—1 для того, чтобы круго-
вая свертка совпадала бы с линейной сверткой.
Это иллюстрируется рис. 3.17, где заштрихованы ненулевые
области, занимаемые последовательностями хх(т, п) и х2(т, п).
На рис. 3.17 х2(т—q, п—г) наложено на Xx(q, г). Ясно, что если
Рис. 3.17. Реализация двумерной линейной свертки с помощью кру-
говой свертки:
a) Xx(q, г) и х2[((т—q))M, ((n—r))N]; б) х2(д, г)
удовлетворяются вышеуказанные неравенства, х2(т—q, п—г) ни-
когда не будет «заворачиваться» так, чтобы захватить ненулевую
95
часть от X\(q, г), и, следовательно, круговая свертка будет сов-
падать с линейной сверткой. Если требуется свернуть небольшую
площадь со значительно большей площадью, мы можем обоб-
щить методы перекрытия с суммированием и перекрытия с накоп-
лением, изложенные в предыдущем параграфе. Если одна из по-
следовательностей, участвующая в свертке, разделима, то дву-
мерная свертка может быть выполнена путем повторного вычи-
сления одномерных сверток. Разделимые последовательности ко-
нечной длины часто используются при фильтрации, поскольку, как
было сказано выше, вычисления при этом упрощаются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрели представления по Фурье по-
следовательностей конечной длины, названные дискретным пре-
образованием Фурье. Это представление было основано на связи
между последовательностями конечной длины и периодическими
последовательностями. А именно, если периодическая последова-
тельность сформирована так, что каждый ее период идентичен
последовательности конечной длины, то дискретное преобразова-
ние Фурье последовательности конечной длины соответствует ди-
скретному ряду Фурье периодической последовательности. По-
этому мы сначала рассмотрели представление периодических по-
следовательностей рядами Фурье, включая свойства рядов Фурье и
интерпретацию их коэффициентов, как равноудаленных выборок
на единичной окружности из z-преобразований одного периода
периодических последовательностей. Затем дискретные ряды
Фурье были применены к представлению последовательностей
конечной длительности. Были рассмотрены свойства дискретного
преобразования Фурье, а также вопросы вычисления линейной
свертки с использованием дискретного преобразования Фурье.
Глава заканчивается кратким введением в двумерное дискретное
преобразование Фурье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. W. Cooley and J. W. Tukey. «An Algorithm for the Machine Computation of
Complex Fourier Series», Math. Computation, Vol. 19, Apr. 1965, p. 297—301.
2. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
3. Н. D. Helms. «Fast Fourier Transform Method of Computing Difference Equa-
tions and Simulating Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. 15, No. 2,
1967, p. 85—90.
4. T. G. Stockham. «High Speed Convolution and Correlation», 1966 Spring Joint
Computer Conference, AFIPS Proc., Vol. 28, 1966, p. 229—233.
Глава 4.
Представление цифровых фильтров
с помощью графов и матриц
ВВЕДЕНИЕ
В гл. 1 и 2 было рассмотрено представление линейных ин-
вариантных к сдвигу цифровых систем, для которых соотноше-
ние между входной и выходной последовательностями определя-
лось разностным уравнением, а передаточная функция — их z-npe-
образованиями. При этом основное внимание обращалось на ха-
рактер взаимосвязи между входом и выходом. При построе-
нии цифрового фильтра программным путем на универсальной
ЦВМ или в виде специализированного устройства эта взаимо-
связь между входом и выходом должна быть преобразована в
форму алгоритма вычисления. В зависимости от способа построе-
ния такой алгоритм будет определяться совокупностями либо ос-
новных математических операций, либо элементов схемы. Для
построения дискретных систем, описываемых линейными разнос-
тными уравнениями с постоянными коэффициентами, в качестве
основных операций целесообразно выбрать суммирование, за-
держку и умножение на константу. В этом случае расчетный ал-
горитм будет определен либо структурой программы, либо схе-
мой устройства, устанавливающими взаимосвязь этих основных
операций. В качестве примера рассмотрим систему с передаточ-
ной функцией
м I / N \
H(z)^^bkz~k / l-Vn^ = К(г)/Х(г). (4.1)
Ь=0 / V fc=l /
Из (4.1) может быть легко получено разностное уравнение, оп-
ределяющее зависимость между входом и выходом системы
X м
у(п) — \^аку(п—к) + ^Ькх(п—к). (4.2)
й=1 k=0
Это уравнение можно трактовать как расчетный алгоритм, в ко-
тором задержанные величины входной и выходной последователь-
ностей умножаются на коэффициенты Ьк и ак соответственно и
результаты умножения суммируются. В дальнейшем будет пока-
зано, что существует очень много структур, которые в результате
будут давать одну и ту же зависимость между входными х(п) и
выходными у(п) выборками.
В следующих параграфах будет рассмотрено представление
структур фильтров с помощью схемы, направленного графа и
матричной записи. Кроме того, будет рассмотрен ряд основных
структур. Следует учитывать, что две структуры могут быть эк-
вивалентны (по отношению к характеристике взаимосвязи меж-
4—117 97
ду входом и выходом) в случае, когда точность представления
коэффициентов и переменных в фильтре неограничена, и они мо-
гут иметь существенно различные характеристики, когда указан-
ная точность представления ограничена. В этой главе рассматри-
ваются эффекты представления коэффициентов в фильтре с ог-
раниченной точностью. Эффекты усечения плн округления ре-
зультатов промежуточных вычислений анализируются в гл. 9.
В дальнейшем в качестве основной формы представления
цифровых цепей используется представление с помощью потока
сигналов, проходящего через эти цепи. Следует отметить, что для
важнейших свойств цифровых цепей (теория которых достаточ-
но разработана) ряд результатов можно позаимствовать из тео-
рии линейных сигнальных графов. В § 4.6 рассматривается одно
из таких важных и полезных свойств цифровой цепи, как теорема
Теледжена для направленных сигнальных графов.
4.1, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ
С ПОМОЩЬЮ НАПРАВЛЕННОГО СИГНАЛЬНОГО
ГРАФА
Для построения цифрового фильтра необходимо иметь
предшествовавшие значения выходной, входной п промежуточ-
ной последовательностей. Это подразумевает необходимость за-
держки или запоминания этих величин. Наряду с этим следует
обеспечить умножение задержанных выборок па коэффициенты и
суммирование полученных результатов. Как отмечалось, цифро-
вой фильтр может быть построен либо на базе регистров памяти,
арифметического устройства и устройства управления универ-
сальной ЦВМ, либо в виде специализированного цифрового уст-
ройства. В первом случае структура фильтра может рассматри-
ваться как детализация расчетного алгоритма, на основе которо-
го строится программа для ЦВМ. Во втором случае ее удобно
представлять в виде конкретной схемы специализированного ус-
тройства.
Если обратиться к графическому представлению разностного
уравнения, на базе которого построен цифровой фильтр, то ос-
новными элементами будут сумматор, элемент задержки и ум-
ножитель на константу. На рис. 4.1 последовательно представле-
г~1 I Рис. 4.1. Обозначения основных операций в
fl) цифровой цепи:
°' а) сложение двух последовательностей; б)
умножение последовательности на константу;
в) единичная задержка
ны наиболее часто используемые обозначения операций суммиро-
вания двух последовательностей (рис. 4.1а), умножения последо-
вательности на константу (рис. 4.16) и запоминания предшество-
98
вавших величин последовательности (рис. 4.1в). Указан-
ное представление для единичной задержки выборочной последо-
вательности основано на том, что z-преобразование от х(п—1)
равно z-преобразованию от х(п), умноженному на z 3
Для иллюстрации использования вышеуказанных элементов
обратимся к представлению на их основе разностного уравнения
второго порядка y(n)=aiy(n—1)+а2у(п—2) + Ьх(п). Соответст-
вующая цифровая цепь показана на рис. 4.2. Если указанная
Рис. 4.3. Представление разностного1
уравнения У-го порядка в виде схе-
мы
Рис. 4.2. Пример пред-
ставления цифровой це-
пи второго порядка в
виде схемы
цепь реализуется в виде программы для ЦВМ, то из рис. 4.2
следует, что необходимо обеспечить запоминание (хранение) пе-
ременных у(п—1) и f/(rt—2) и констант щ, а2 и Ь. Для вычисле-
ния текущего значения выходной выборки следует сформировать
произведения а^у^п—1) и а2у(п—2), просуммировать их, а затем
сложить полученный результат с произведением Ьх(п). Если дан-
ная цепь строится в виде специализированного устройства, то в
соответствии с рис. 4.2 в нем должны быть элементы, обеспечива-
ющие хранение указанных переменных и констант, а также уст-
ройства для умножения и сложения. Таким образом, с помощью
схем, аналогичных показанной на рис. 4.2,' можно продемонстри-
ровать либо сложность алгоритма цифрового фильтра, реализуе-
мого на ЦВМ, либо количество необходимого оборудования спе-
циализированного устройства.
На рис. 4.3. показан еще один пример графического пред-
ставления разностного уравнения с помощью схемы, в частности
разностного уравнения У-го порядка, соответствующего выраже-
нию (4.2). Следует заметить, что за счет изменения порядка по-
строения элементов или модификации различными способами мо-
жет быть получено большое разнообразие конкретных вариантов,
без изменения результирующей передаточной функции. Такие
различные преобразования будут соответствовать различным
структурам или формам построения фильтров.
Для анализа различных структур фильтров более удобно
пользоваться представлением цифровых цепей с помощью линей-
4* 99
ных направленных сигнальных графов. Такое представление эк-
вивалентно представлению с помощью схемы с некоторыми от-
личиями, обусловленными принятой формой обозначений. При-
ведена форма записи сигнального графа, которая будет использо-
ваться в дальнейшем. В § 4.2 рассматривается эквивалентность
представления цифровых фильтров с использованием направлен-
ных сигнальных графов и матриц.
Сигнальный направленный граф представляет цепь направ-
ленных ветвей, которые соединяются в узлах [1, 2]. Каждому
узлу приписывается некоторая переменная или узловая величина.
Величина, связанная с узлом k, обозначается wk. Ветвь (jk)
обозначает ветвь, исходящую из узла j и входящую в узел k, с
направлением от / к k, указанным стрелкой на ветви (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Пример изо-
бражения узлов и вет-
вей в направленном сиг-
нальном графе
Рис. 4.5. Изобра-
жение истокового
узла
Рис. 4.6. Изобра-
жение стокового
узла
Каждая ветвь имеет входной и выходной сигналы. Входным сиг-
налом от узла j для ветви (jk) является величина w,; выходной
сигнал из ветви jk к узлу k обозначается через Зависимость
между выходным и входным сигналами ветви определяется вы-
ражением
vik = fik 1^1. ’(4-3)
т. е. fjk [ ] обозначает преобразование входного сигнала ветви
в ее выходной сигнал.
Для обозначения включения в граф внешних сигналов или ис-
точников использовано понятие истокового узла (или простого
истока). Истоковый узел не имеет входящих ветвей. В общем слу-
чае удобно нумеровать истоковые узлы и узлы цепи по-разному.
Поэтому величина, связанная с истоковым узлом /, обозначена
Xj, а выходной сигнал ветви, соединяющей исток / с узлом цепи
k, обозначен Sjk- На рис. 4.5 показано изображение истокового
узла.
Аналогично использованному определению истокового узла
для образования входных сигналов графа для представления его
выходных сигналов удобно воспользоваться понятием стокового
узла (или просто стока), т. е. узла, имеющего только входящие
ветви. Стоковый узел изображен на рис. 4.6. Величина, связанная
со стоковым узлом k, обозначена ун, а выходной сигнал ветви,
соединяющей узел цепи j со стоковым узлом k, обозначен г^.
По определению величина сигнала в каждом узле цепи опре-
деляется суммой выходных сигналов всех входящих в него вет-
100
вей. Иногда для удобства записи целесообразно допустить, что
между каждой парой узлов цепи в каждом направлении сущест-
вует ветвь и что каждый истоковый узел соединяется с каждым уз-
лом цепи (хотя очевидно, что некоторые из выходных сигналов вет-
вей могут при этом быть нулевыми). С учетом введенных обозна-
чений и предполагая наличие в составе графа N узлов цепи (про-
нумерованных от 1 до N), М истоковых узлов (пронумерованных
от 1 до Л1) и Р стоковых узлов (пронумерованных от 1 до Р),
можно записать следующую систему уравнений:
N М
£ = 2> • • (4-4а)
/=1 /=1
*==!. 2, • Л (4.46)
/=1
В качестве примера того, как вышеприведенное понятие гра-
фа может быть использовано для представления разностного
уравнения, рассмотрим схему цифрового фильтра первого поряд-
ка, показанную на рис. 4.7а. Направленный сигнальный граф, со-
Устокобый Стокойый
узел! ; 2 j узел!
задержки
Рис. 4.7. Представление цифрового фильтра первого по-
рядка:
а) схема; б) направленный сигнальный граф
ответствующий этой цепи, показан на рис. 4.76. Здесь перемен-
ные ветвей представляют собой последовательности. Данная цепь
имеет один истоковый узел, соединенный с узлом 1, и один сто-
ковый узел, соединенный с узлом 3. Записывая уравнения (4.4)
для этого графа, получим:
(га) = su (га)+ а41 (га); ay2(n)=o12(n); w3(n)=v23(n) + vi3(n);
w4 (га) = а24 (га); у (га) = ы3 (га).
Из рис. 4.76 следует, что выходными сигналами ветвей являются:
8ц(га) = х(га); о12 (га) = f12 (w4) = (га); и23 (га) = f23 (о>2) =
= sy2(n); У4з(«) = /!4з(^4) = ^4(«); ^41(«)=Л1(®4) = й®4(«);
и24 («) = fa И) = а>2 (га — 1) (задержка); у (п) = щ3 (га).
В результате решения этих уравнений получается единственное
разностное уравнение первого порядка у(п) = ау(п—1) + х(п) +
+ Ьх(п—1). Нетрудно видеть, что все ветви, за исключением од-
101
ной (ветви 2, 4), могут быть охарактеризованы с помощью их пе-
редаточных способностей (или просто передач), т. е. выходной
сигнал просто равен входному сигналу ветви, умноженному на
некоторый коэффициент. Ветвь же (2, 4) представлена операто-
ром задержки. Действительно, в общем случае /Д[ ] обозначает
некоторый оператор преобразования входной последовательности
ветви в ее выходную последовательность. Для линейных инвари-
антных во времени дискретных систем, описываемых разностны-
ми уравнениями, сигнальный направленный граф может также
представлять соотношение между z-преобразованиями. При этом
каждая ветвь может быть охарактеризована ее собственной пе-
редаточной функцией, т. е. передачей, которая является функци-
ей z. Таким образом, можно записать
' Л (z) = ik (2) Wj (z). (4.5)
Для таких графов передаточная способность ветви будет обозна-
чаться определенным индексом, записанным около стрелки, ука-
зывающей направление передачи ветви. В том случае, когда та-
кое специальное обозначение отсутствует, будет считаться, что
ветвь имеет единичную передачу. Следует отметить также, что
иногда узловые переменные более удобно представлять в виде по-
следовательностей, а не их z-преобразований. В таком случае под
передачей ветви подразумевается единичная задержка в.ход-
Рис. 4.8. Направленный
сигнальный граф цепи
рис. 4.76 с обозначе-
нием передач ветвей
ной последовательности. На рис. 4.8 пока-
зан граф цепи для предыдущего примера в
той форме, которая будет использована в
дальнейшем.
Сравнение рис. 4.7а с рис. 4.8 показыва-
ет, что существует прямое соответствие-ме-
жду ветвями в цифровой цепи и ветвями
графа. Единственное важное различие ме-
жду ними состоит в том, что узлы в направ-
ленном графе обозначают как точки пере-
сечения ветвей, так и сумматоры в цифро-
вой цепи. Так, например, узлы 1 и 3 соответствуют сумматорам,
а узлы 2 и 4 — точкам соединения ветвей исходной схемы. Таким
образом, изображение цифровых систем с помощью направленных
сигнальных графов является средством графического представле-
ния цепей и помогает понять на основе графических перестроений
их свойства.
Если все ветви направленного графа могут быть охарактери-
зованы их передачами, то он может быть описан системой ли-
нейных уравнений и преобразование графа эквивалентно преоб-
разованию этой системы уравнений. Таким образом, кроме на-
правленных сигнальных графов, для представления цифровой
цепи может быть использована система линейных уравнений-
Этот подход будет соответствовать матричному представлению
цепи, который рассматривается в следующем параграфе.
102
4.2. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ
Для направленного сигнального графа система линейных
уравнений, полученная из (4.4) с учетом z-преобразования вели-
чин, принимает вид
rft(z) = VP/ft(z)+ (2), k = \, 2, • -, N; (4.6а)
/=1 /=1
Y k{z)-. VRjb(z), /е = 1, 2, • -, Р. (4.66)
/=1
Если граф представляет линейную инвариантную к сдвигу систе-
му, то каждая ветвь может быть полностью охарактеризована ее
передачей. В общем случае удобно предположить, что ветви, сое-
диняющие узлы цепи с истоками и стоками, обладают постоян-
ными передачами, не зависимыми от z. При этом не происходит
потери общности, так как, в случае необходимости, можно ввес-
ти узел цепи, связанный непосредственно с потоковым узлом, и
этот узел, в свою очередь, может иметь ветви к другим узлам с
непостоянной передачей. Подобная процедура может быть ис-
пользована, если необходимо, и для стоковых узлов. Тогда
V jb(z) = R;/i(z)lF;(z); (4.7)
Syfe(z) = ^A;.(z); (4.8)
Rjk(z)^clkW,(z). (4.9)
В результате подстановки (4.7) — (4.9) в (4.6) мы получаем си-
стему линейных алгебраических уравнений:
Д' м
Wk (2) - Fjk (г) W}- (г) + £ Ь}кХ, (г); (4.10а)
7=1 7=1
Yh(z)^c!hWj(z). (4.106)
/=1
Эти уравнения более компактно можно записать в матричной
форме:
W(z) = F‘(z)W(z) + B‘X(z); (4.11а)
Y (z) = C<W(z), (4.116)
где W(z)— вектор-столбец величин Wh(z), k=l, 2, ..., N; Xfz)—
вектор-столбец величин Xj(z), j=l, 2..... Al; Y(z)— вектор-стол-
бец величин Yj(z), /=1, 2, ..., Р. Матрица F((z) является транс-
понированной матрицей F(z) (размерностью NxN), определяе-
мой выражением
F(z) = {Ffe;(z)}. (4.12)
Для ветвей, которые отсутствуют в графе или, что эквивалентно,
103
Имеют нулевую передачу, соответствующий элемент в матрице
Fkj(z) будет нулевым. Матрицй £' является транспонированной
матрицей (размерностью УХЛ4) от матрицы
в={М.
а С( — транспонированной матрицей (размерностью PXN) от
матрицы C={ckj}. Операция транспонирования матриц, обозна-
ченная буквой I, необходима в выражениях (4.11) для согласо-
ванности обозначений условными индексами графов и матриц.
Уравнение (4.11а) может быть решено для W(z) путем об-
ращения матриц
W(z) = [l —F'(z)]-1 B'X(z) = Tz(z)X(z), (4.14а)
где матрица передаточной функции системы
. Т* (z) = [ I — F* (г)]-1 в‘ = {T]h (г)}. (4.146)
Как следствие (4.14), можно записать выражение для сигнала в
fe-м узле:
м
ИМг) = £ 7^00 *,(*)- (4.15)
/=1
т. е. каждая узловая переменная выражается в виде линейной
комбинации сигналов истоков. Если в цепи имеются только один
ненулевой истоковый узел (узел а с величиной входного сигнала
Xa(z')') и только один стоковый узел с выходным сигналом У (г),
причем Y(z) = C'W(z), то величина У(z) будет определяться вы-
ражением
K(2) = C‘w(z) = C<T<Xa(z); (4.16)
при этом передаточная функция будет иметь вид
Я(г) = С'т‘. ' (4.17)
В том случае, когда передаточная функция каждой ветви цепи
имеет порядок не выше первого, т. е. содержит либо умножитель
на константу, либо такой умножитель совместно с элементом еди-
ничной задержки, то элементами матрицы в (4.11а) будут либо
постоянные числа, либо постоянные, умноженные на z-1. Если отде-
лить элементы матрицы, содержащие задержку, от элементов,
которые ее не содержат, то выражение для F'(z) можно пред-
ставить в виде
F((z) = F^ + z-' Fa, (4.18)
где F(c и F(d — матрицы размера NXN. С учетом обозначения
(4.18) выражение (4.11а) принимает вид
W(z) = F'w(z) + z~I FdW(z) + B‘X(z). (4.19)
Аналогичным путем на основании (4.146) получается выражение
для T((z):
Г (Z) = [ I—F* —z-1 Fd]“1 В(, (4.20)
104
где I — единичная матрица. Поскольку Ffc и Ffd постоянные и
не зависимые от z матрицы, то в результате обратного z-преоб-
разования (4.19) получим
w (/г) = F* w (/г) + Fj w (п— 1) 4- В* х (п). (4.21а)
В (4.116) подразумевается также, что
у (п) = С* w (п). (4.216)
Выражения (4.21) могут, конечно, быть записаны прямо из графа
или обратно, можно построить граф непосредственно из системы
уравнений.
Пример. В качестве примера рассмотрим систему первого порядка, на- правленный сигнальный граф которой представлен на рис. 4.9. Этому графу со-
ответствует система уравнений
(п) 0 0 0 u't (л) 0 0 0 0 (п — 1) 1
и»2 (л) 1 0 0 0 w2 (п) 0 0 0 0 w2(n — 1) 0
w3 (л) — 0 Ьо 0 br w3 (л) 0 0 0 0 ш3 (п — 1) 0
и»4 (л) 0 0 0 0 (л) 0 10 0 (п. — 1) J 0
(4.22)
(л)1
(Л)
у(п) = ||00 10|! Шз (П) =^з (»)•
tt>4 (Л)
Очевидно, что вид матриц F‘c и F'j зависит от порядка расположения уравне-
ний или, что то же самое, порядка нумерации узлов. На рис. 4.10 показан граф
Рис. 4.9. Направленный сиг-
нальный граф системы перво-
го порядка, соответствующий
выражению (4.22)
Рис. 4.10. Направленный граф
цепи рис. 4.9 с измененной ну-
мерацией узлов
рис. 4.9 с узловыми переменными (обозначенными ик), пронумерованными в
другом порядке. Для этого графа можно записать следующую систему уравие-
ний:
щ (л) 0 0 0 0 (л) 10 0 10 иг(п~ 1) 0|
«2 (л) 0 0 0 и2 (л) !о 0 0 0 и2 (л — 1) 1,
и3 (л) =оюо и3 (л) + о о о о и3(л — 1) + о 1|х(п)11;
«4 (л) 0 Ьа 0 ,«4 (л) 0 0 0 0 «4 (л — 1) 0
II 1 (4.23)
ui (п)
«2 («)
у (л) = || 000 1 II из =«4 (л).
Л4 (Л)
105
Из анализа графа рис. 4.9 или, что то же самое, уравнений
(4.22) очевидно, что узловые переменные не могут вырабатывать-
ся последовательно, т. е. сначала wt, затем w2 и т. д. Так, на-
пример, величина необходима для вычисления иц. С другой
стороны, тот же самый граф, но с нумерацией узлов рис. 4.10 мо-
жет быть вычислен последовательным образом.
В некоторых случаях не существует способов переупорядоче-
ния узлов в графе для того, чтобы вырабатывать узловые пере-
менные в последовательном порядке. Граф такого вида считается
невычислимым. Простой пример невычислнмого графа показал
на рис. 4.11, где все ветви имеют постоянную передачу. Необхо-
а димо подчеркнуть, что случай, когда граф
т » оказывается невычислимым, не означает,
°(-П)э **---- уй что система уравнений, представляющая та-
кой граф, не может быть решена. Это зна-
Рис. 4.11. Пример левы- чит что они и М0ГуТ быть решены непо-
числимого направленно- J г
го графа средственно для каждой узловой перемен-
ной в последовательном порядке.
Из (4.23), соответствующих графу рис. 4.10, следует, что в
матрице F'c нулевыми элементами являются все элементы глав-
ной диагонали и все элементы, стоящие выше нее. Этого не вы-
полняется в уравнениях (4.22), соответствующих графу рис. 4.9.
Можно показать, что необходимым и достаточным условием вы-
числимости графа является возможность пронумеровать узлы
так, чтобы в матрице F(c были нулевыми все элементы главной
диагонали и все элементы, стоящие выше нее. Также может
быть показано [3], что эквивалентно необходимым и достаточным
условием вычислимости графа является то, чтобы в графе не
было петель с ветвями, не имеющими задержки. В графе рис.
4.11, например, есть петля, не содержащая задержки, и, следова-
тельно, такой граф является невычислимым.
Система уравнений (4.23) может быть получена из (4.22) пу-
тем замены узловых переменных. В матричной записи это вы-
полняется путем линейного преобразования вектора w(n) в век-
тор и(п), т. е.
и (л) = Pw (л), (4.24)
где Р — невырожденная .VX.V постоянная матрица.
В предыдущем примере эта матрица имела вид
Р =
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
(4.25)
В более общем случае, если Р — любая невырожденная мат-
рица, то можно записать
ж(л) = Р-!и(л) (4.26)
106
(4.27)
и, подставив это выражение в (4.21), получить
u (п) = PF' Р-1 и (га) + PF- Р-i и (га — 1) + РВг х (га);
y(n) = C(p-'u(n).
Уравнения (4.27) записаны в той же форме, что и уравнения
(4.21), но соответствуют другому графу или другой схеме цепи.
Таким образом, существует множество способов построения цепи
с одной и той же передаточной функцией. Этот важный факт слу-
жит основой для § 4.3 и 4.4.
В (4.21) текущие значения узловых переменных выражались
через текущие и предшествовавшие величины, т. е. w(п) формиру-
ется с помощью w(n) и w(n—1). Иногда удобно строить цепи та-
ким образом, чтобы w(n) выражались только через значения
предшествовавших величин узловых переменных и текущих зна-
чений входного сигнала. Это соответствует нулевому значению
матрицы F(c в (4.21). Если использована такая форма выражения
величин в уравнениях цепи, то узловой вектор w(nr) для любого
момента времени пх будет определяться узловым вектором w(ra0)
в момент времени п0 и вектором входного сигнала s(n) для
ra0^ra^«i. Такой подход к представлению цепи эквивалентен
представлению ее методом переменных состояний, хотя в нашей
формулировке число состояний (узлов) оказывается, как прави-
ло, больше, чем число существенных переменных состояний, не-
обходимых для представления цепи. Представление цепи мето-
дом переменных состояний этого типа может быть получено из
представления цепи в виде соотношений (4.21). В частности, вы-
ражение (4.21а) можно записать как
[I — F«] w (га) = F£ w (п — 1) Вг х (л).
Предполагая, что матрица [I—Fzc] является невырожденной, мож-
но получить решение для w(n) в виде
w (л) = [I —F‘]-] F^ w (га— 1) 4- [I —F*]-' В* х(л).
Введя обозначения
D == [I — F*]—1 В* (4.28а)
и A=[I— F']-'F^, (4.286)
получим матричное представление величин
w(ra) = Aw(n—1)4-Dx(ra) (4.29а)
и у (га) = С* w (п). (4.296)
Можно показать, что если система является вычислимой, то
матрица [I—F'c] является невырожденной. Таким образом, мож-
но найти матричное представление в форме соотношений (4.29)
Для любой вычислимой системы.
Отметим, что преобразование узловых переменных согласно
(4.26) соответствует преобразованию направленного графа, т. е.
107
это изменяет его структуру, сохраняя в то же время соотношение
между входом и выходом. Поскольку существует много преобра-
зований типа (4.26), то имеется и много способов построения
цепи, имеющих одну и ту же передаточную функцию. Однако на
практике наибольшее распространение нашли лишь некоторые из
них, которые и будут рассмотрены в следующем параграфе. Не-
смотря на то, что эти цепи связаны друг с другом линейными пре-
образованиями типа (4.26), целесообразно рассмотреть другие
методы для их преобразования. Для этого рассмотрим БИХ- и
КИХ-системы.
4.3. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ БИХ-СИСТЕМ
В результате анализа представления линейных инвариант-
ных к сдвигу во времени дискретных систем, проведенного в двух
предыдущих параграфах, показано, что каждой рациональной
передаточной функции соответствует большое количество форм
построения цепи. Естественно, что одним из важных соображений
при выборе форм построения систем является вычислительная
сложность. Это значит, что цепи с наименьшим количеством ум-
ножителей на константу и наименьшим числом ветвей задержки
часто наиболее желательны, так как умножение является опера-
цией продолжительной по времени и для каждого элемента за-
держки подразумевается использование регистра памяти. Следо-
вательно, уменьшение количества умножителей означает увеличе-
ние быстродействия, а уменьшение числа элементов задержки —
снижение требований к памяти. С другой стороны, необходимо
учитывать, что эффекты конечной длины регистров при построе-
нии цифровых фильтров в виде специализированных устройств
зависят от структуры последних. Поэтому иногда целесообраз-
нее использовать те структуры, которые, хотя и не имеют мини-
мального количества умножителей и элементов задержки, одна-
ко оказываются менее чувствительными к эффектам конечной
длины регистров. Таким образом, важно обсудить некоторые из
наиболее распространенных форм построения цепей. В этом па-
раграфе рассматриваются БИХ-системы, а в § 4.5—КИХ-системы.
4.3.1. ПРЯМАЯ ФОРМА
Напомним, что если рассматривается рациональная переда-
точная функция вида
м I / х \
Н (г) = У bhz~k / 1 - У akz~h , (4.30)
А=0 / \ Л=1 7
то соотношение между входом и выходом такой системы удовле-
творяет разностному уравнению
х м
#(«) = 2 аъУ(п~k) + YbkX(n—k). (4.31)
й=1 *=о
108
Поскольку это разностное уравнение может быть записано непо-
средственно из выражения для передаточной функции (4.30), то
форму построения цепи, соответствующей разностному уравнению
(4.31), называют прямой формой 1. Простая структура реализа-
ции данного разностного уравнения показана на рис. 4.12. При
ь0 У. — S
*(п)\ г'1 Z’’ 1 Ь’ , 1 а? ,ую Z'1 Z"1
Ь2 ч. а2
у -- Ч 1
2"’ ' х(п-Н)> Ьн d 1 1 2"'
Рис. 4.12. Прямая форма 1 реализации раз-
ностного уравнения У-го порядка
построении цепи для простоты принято, что M=N. Если это не
выполняется, то некоторые из ветвей имеют нулевую передачу.
На рис. 4.12 показан такой способ построения графа, при кото-
ром каждый узел имеет не больше двух входов. Несмотря на то,
что эта условность приводит к большему числу узлов, чем необ-
ходимо, она согласуется с тем фактом, что при построении циф-
ровых фильтров (как программным путем на ЦВМ, так и в виде
специализированных устройств) операция суммирования не-
скольких чисел (больше двух) осуществляется на основе форми-
рования отдельных сумм пар чисел. В цифровой аппаратуре в
отдельный момент времени, как правило, суммируются только два
числа.
Поскольку совокупности коэффициентов bk и соответствуют
полиномам числителя и знаменателя передаточной функции
H(z), то структуру, показанную на рис. 4.12, можно трактовать
как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует
нули, а вторая — полюсы системы. В линейных инвариантных к
сдвигу системах общее соотношение между входом и выходом не
зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свой-
ства вытекает вторая прямая форма построения цепи. А именно,
если сначала реализовать полюсы H(z) соответственно правой
части структурной схемы рис. 4.12, а затем — нули, то получим
структуру, показанную на рис. 4.13.
Поскольку в такой схеме имеется два ряда ветвей с переда-
чей z-1 для одного п того же входа, то можно обойтись одним из
них. Таким образом, цепь рис. 4.13 может быть видоизменена
Так, как показано на рис. 4.14. Она часто носит название прямой
формы 2. Следует отметить, что такая цепь имеет минимальное
количество ветвей (большее из М или N) с передачей z~l. Это
109
Рис. 4.13. Цепь рис. 4.12, в которой из-
менен порядок формирования полюсов
и нулей
значит, что при построении си-
стемы с передаточной функцией
И (г) вида (4.30) потребуется
минимальное количество регист-
ров задержки.
Другая структура цепи с ми-
нимальным количеством элемен-
тов задержки может быть полу-
чена на основе представления
передаточной функции в виде
(Ьоаг -у ьг) г г
N
1 - £ акг~к
Ь=1
(4.32)
Рис. 4.14. Цепь рис. 4.13 с объеди-
нением двух рядов задержки в один
ряд
0; Ьоа,^Ь, У(п)
a2
1 aN z’’ boaN*bN
Рис. 4.15. Пример структуры цепи,
отличающейся от структуры на рис.
4.14, однако имеющей также мини-
мальное число задержек
На рис. 4.15 показан направленный граф этой цепи. Существу-
ет много различных форм построения цепи, имеющих то же са-
мое минимальное количество элементов задержки. Такие струк-
туры часто называют канонической формой цепи.
4.3.2. КАСКАДНАЯ ФОРМА
Рассмотренная ранее прямая форма построения цепи следо-
вала непосредственно из выражения для ее передаточной функ-
ции H(z) вида (4.30). Если в выражении для передаточной функ-
ции числитель и знаменатель разложить на простые дроби, то
H(z) можно представить как
м, м2
П(1— &Z-') П (1 — ^z-1) (1 — Z~')
Н (z) = А--------------------------------------- , (4.33)
П (1 — скг~') П (1 --<4z~') (1 - d'h z~')
k=\ k=l
110
где Л1=Л1| + 2Л12 и +2Л^- В этом выражении множители
первого порядка представляют действительные нули в точке gh и
действительные полюсы в точке с^, а множители второго порядка
представляют комплексно-сопряженные нули в точках hk и h*k и
комплексно-сопряженные полюсы в точках dk и d*h- Этот случай
представляет наиболее общее распределение полюсов и нулей,
когда все коэффициенты ah и bh в (4.30) являются действитель-
ными. Соотношение (4.33) предполагает множество структур, об-
разованных каскадным соединением блоков первого и второго по-
рядков. Вполне очевидно, что существует значительная свобода
в выборе как формы построения блоков, так и последовательно-
сти их расположения. На практике, однако, важно выполнить кас-
кадное построение при минимальном объеме памяти, поэтому ап-
паратура часто строится с использованием разделения времени
или мультиплексирования блоков только второго порядка. Этот
подход удобно в общем случае рассмотреть на примере каскад-
ной формы построения цепи, когда передаточная функция имеет
вид
[(.V+O/2] 1 , 2
H(z) — A П + p2ft-L , (4.34)
i=i 1 — «1к z 1 — а2ь г 2
где [ (.V J-1) /2] —наибольшее целое число, содержащееся в (N + 1)/2
(считается Использованная форма записи выражения
для H(z) предполагает попарное объединение действительных по-
люсов и нулей. При этом, если число действительных нулей не-
четное, то один из коэффициентов [ш равен нулю. Аналогично,
если число действительных полюсов нечетное, то один из коэф-
фициентов a.2k равен нулю. Проведенное обсуждение построе-
ния структурных схем в прямой форме показало, что можно соз-
дать каскадную структуру с минимальной памятью, если каждый
Рис. 4.16. Структурная схема системы шестого
порядка с каскадным соединением блоков второ-
го порядка, выполненных в прямой форме 2
показана структурная схема системы шестого порядка, в кото-
рой для построения каждого блока второго порядка использова-
на прямая форма 2.
Как было отмечено, существует значительная гибкость как при
выборе способа попарного объединения полюсов и нулей, так и
порядка последовательности, в которой следует расположить
сформированные блоки второго порядка. В предположении неог-
раниченной точности представления переменных и коэффициентов
lit
порядок расположения блоков и способ группирования нулей с
полюсами не имеют значения (цепи будут эквивалентны). Одна-
ко на практике такие цепи могут значительно различаться из-за
эффектов конечной разрядности представления чисел.
4.3.3. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ФОРМА
В отличие от способа разложения полиномов числителя и
знаменателя передаточной функции на множители, выражение
для H(z) можно представить в виде разложения на простые
дроби
Nt . N‘ I _n
(4.35)
Если коэффициенты ak и b-K в (4.30) являются действительными,
то и величины Ак, Bk, Ск, ch и dk — также действительные. Когда
и—х
M<N, член 2 Ckz~h исключается из (4.35).
ft=0
Структурная схема, реализуемая на основе (4.35), может рас-
сматриваться как параллельная комбинация систем первого и
второго порядков. При таком построении цепи действительные
полюсы могут быть попарно сгруппированы и выражение для
H(z) примет вид
M—N [(N+D/2]
H(z)=Vckz-k+ V -------------Toft+JlfcZ (4-36)
k=o 1~а^г ~а*г
Типовой пример параллельной формы построения цепи при
M=N показан на рис. 4.17.
При обсуждении ’воз-
можных структурных схем
построения цепей были уч-
тены все наиболее часто
встречающиеся варианты.
Однако существует много и
других структур, которые
реализуют различные спо-
собы представления уравне-
ний системы или полиномов
числителя и знаменателя ее
передаточной функции. Не-
которые примеры таких
структур можно найти в ли-
тературе [4—8].
Рис. 4.17. Параллельная форма по-
строения цепи с попарным группи-
рованием действительных и ком-
плексных полюсов
112
4.4. ОБРАЩЕННЫЕ ФОРМЫ
В теории линейных направленных сигнальных графов рас-
сматривается множество процедур преобразования исходного гра-
фа к различным формам, при которых сохраняется неизменной
передача от входа до выхода цепи. Одна из этих процедур, кото-
рую называют методом обращенных графов или транспозицией,
дает множество обращенных структур фильтра. Обращение (ин-
версия пути) направленного графа выполняется путем изменения
направления всех ветвей цепи, т. е. все стрелки на схемах на-
правляются в обратную сторону. Для систем, имеющих один вход
и один выход, результирую-
щий обращенный граф име-
ет ту же передаточную функ- ФП)
цию, что и исходный граф,
однако вход и выход меня-
ются местами. Эта теорема
является прямым следстви-
ем формулы Мезона (Ma-
son) для направленных сиг-
нальных графов (1], а также
Рис. 4.18. Структурная схема цепи, полу-
ченная в результате изменения направле-
ний всех ветвей цепи рис. 4.12 на обратное
вытекает из теоремы для ос-
новной цепи.
На рис. 4.18 показана
структурная схема цепи, по-
лученной в результате применения этой теоремы к цепи рис. 4.12,
при построении которой была использована прямая форма 1. Если
перечертить эту схему, как обычно принято с входом слева и выхо-
Рис. 4.19. Структурная схема цепи, полу-
ченная при изменении расположений
входа и выхода цепи рис. 4.18 (обра-
щенная прямая форма 1)
Рис. 4.20. Обращенная прямая форма
2 (исходная структура цепи показана
на рис. 4.14)
дом справа, то получим структуру на рис. 4.19. Аналогично для
исходной структуры на рис. 4.14 получена обращенная прямая фор-
ма 2, показанная на рис. 4.20.
11»
На основании сформулированной теоремы транспозиции ста-
новится ясно, что любая конфигурация цепи может быть обраще-
на в другую форму с тем же количеством ветвей задержки и
коэффициентов.
4.5. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ КИХ-СИСТЕМ
Предыдущее обсуждение относилось к системам с беско-
нечными импульсными характеристиками, реализация которых
строилась на использовании рекурсивного расчетного алгоритма.
В случае физически реализуемых систем с импульсными харак-
теристиками конечной длины для построения систем используют
нерекурсивный расчетный алгоритм. Для таких систем переда-
точная функция имеет вид
H(z) = ^h(n)z~n. (4.37)
п=0
Это означает, что если длина импульсной характеристики равна
N отсчетам, то H(z) является полиномом по z~{ степени N—1.
Поэтому H(z) имеет N—1 полюсов в точке 2=0 и N—1 нулей,
которые могут быть в любом месте на ограниченной г-плоскости.
Точно так же, как БИХ-системы, КИХ-системы могут иметь мно-
жество форм построения. В этом параграфе будут обсуждены
наиболее важные формы построения цепей КИХ-систем.
4.5.1. ПРЯМАЯ ФОРМА
Прямая форма построения цепи следует непосредственно из
соотношения для сверточной суммы, которое имеет вид
Л-1
у (п) = V h (&) х (п—k). (4.38)
ft=0
Сигнальный граф для соотношения (4.38) показан на рис. 4.21.
Эта структура идентична показанной на рис. 4.14, когда все ко-
h(N-2)
h(N-l)
г Рис. 4.21. Прямая форма построе-
у(П) ния КИХ-системы
эффициенты ah равны нулю. Таким образом, прямая форма по-
строения КИХ-систем является частным случаем прямой формы
БИХ-систем.
Структурная схема, показанная на рис. 4.21, является реали-
зацией соотношения (4.38) и соответствует прямому порядку вы-
полнения сложений и умножений. Очевидно, что есть много и
114
других способов организации вычисления и, таким образом, мно-
го других теоретически эквивалентных структур цепи. Так, на-
пример, к структуре цепи рис. 4.21 можно применить теорему
Г’
Z'l г'
Обращенная форма
4.21
Рис. 4.22.
цепи рис.
транспозиции из предыдущего параграфа и
ную прямую форму цепи, представленную на
получить обращен-
рис. 4.22.
4.5.2. КАСКАДНАЯ ФОРМА
В отличие от прямой формы построения структур при кас-
кадной форме предполагается, что передаточная функция пред-
ставляется в виде произведения сомножителей второго поряд-
ка, т. е.
[А/2]
н (Z) = П (₽оа + Put + p2fe г-2), (4.39)
А=1
где если N — четное, то один из коэффициентов 02й будет равен
нулю в связи с тем, что для четных N приведенное уравнение пе-
редаточной функции H(z) имеет нечетное число действительных
корней. На рис. 4.23 показана структурная схема цепи, соответст-
вующая (4.39). Показано, что каждый сомножитель второго по-
рядка имеет прямую форму построения, приведенную на рис. 4.21.
4.5.3. СТРУКТУРЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КИХ-СИСТЕМ С ЛИНЕЙНОЙ
ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Для многих приложений желательно создать фильтры, име-
ющие линейную фазовую характеристику. В этом случае сигналы,
находящиеся в полосе пропускания, точно воспроизводятся на
выходе фильтра, за исключением задержки, соответствующей
наклону фазовой характеристики. Одной из наиболее важных
особенностей КИХ систем является то, что они могут иметь стро-
го линейную фазовую характеристику. Импульсная характерис-
тика для физически реализуемых КИХ-систем с линейной фазой
обладает свойством симметрии
h(n) = h(N — 1— п). (4.40)
115
Чтобы показать, что это условие означает линейную фазовую ха-
рактеристику, запишем (4.37) в виде
(М2)—1 W-1 (М2)-1
Н(г)= Л(л)г-"+ 2 h(n)z~n^ h(n)z~n +
n=0 n—N/2 n=0
(M2)-l
+ £ h (N— 1 — п) ,
n=0
где N предполагается четным. Используя (4.40), можно записать
(М2)-1
Я(г) = V Л(«) [г~" +г-(Л~'~")]. (4.41)
п=0
Если N нечетное, то нетрудно видеть, что
[(N-1)/2]-1
H(z) = £ Л(п) +h[(N— 1)/2] z~[(JV-l)/2J.
n=0
(4.42)
Если преобразовать (4.41) и (4.42) с учетом z=ela>, то полу-
чим для N четного
/ (М2)-1 1
И ( е’“) = е-1 ° J 2Л(п) cos (п—~ |
I п=0 '
и для W нечетного •
{[((V-3)/2]
Л(^)+ £ W cos X
n=0
В обоих случаях суммы в скобках являются действительными и
учитывают линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке
(N—1)/2 отсчетов. (Заметим, что для N четного (N—1)/2 не яв-
ляется целым.)
Выражения (4.41) и (4.42) подразумевают прямую форму по-
строения цепи, которая требует на N/2 (N четное) или на
(jV+ 1)/2 (N нечетное) умножений больше по сравнению с N
умножениями, необходимыми в общем случае, показанном на
рис. 4.21. Эти цепи показаны на рис. 4.24 для .V четного и на
рис. 4.25 для N нечетного. Из рис. 4.24 и 4.25 могут, конечно,
быть получены обращенные формы, как это делалось раньше.
Наложение условия симметрии (4.40) на коэффициенты поли-
нома Н(z) обусловит то, что нули H(z) образовывали зеркально-
отображенные пары. Это значит, что если z0 является нулем
116
H(z), то l/z0 является также нулем H(z). Кроме то-
го, если коэффициенты h(n) являются действительны-
ми, то нули Н (z) образуют комплексно-сопряженные пары.
Как следствие этого, действительные нули, не лежащие на
единичной окружности, образуют взаимно обратные пары. Ком-
плексные нули, не лежащие на единичной окружности, образуют
группы из четырех комплексно-сопряженных и взаимно обрат-
ной фазовой характеристикой рядка с линейной фазовой харак-
теристикой
ных нулей. Если нуль расположен на единичной окружности, то-
его взаимно обратный нуль является также и комплексно-сопря-
женным. Следовательно, комплексные нули на единичной окруж-
ности оказываются удобно сгруппированными в пары. Действи-
тельные нули, расположенные на единичной окружности, т. е. ну-
ли в точках z=l или z=— 1, являются их взаимно обратными и
комплексно-сопряженными и, следовательно, определяются от-
дельно. Такие четыре случая показаны на рис. 4.26, где нули в-
точках Zi, z*i, 1/Zi и l/z*i рассматриваются
как группа из четырех нулей. Нули в точках
z2 и l./z2 рассматриваются как группа из
двух нулей, так же как и нули в точках гз и
z*3. Нуль в точке Z4 рассматривается от-
дельно. Соответственно этой группе нулей
Н (z) можно представить в виде произведе-
ния сомножителей первого, второго и чет-
вертого порядков. Каждый из этих сомножи-
телей является полиномом, коэффициенты
которого обладают той же симметрией, что
и //(z), т. е. каждый сомножитель является
полиномом с линейной фазовой характери-
нулей КИХ-фильтра с
линейной фазовой ха-
рактеристикой
стикой. Поэтому можно получить реализа-
цию в виде каскада систем с линейной фазовой характеристикой
первого, второго и четвертого порядков. Системы первого порядка,
соответствующие нулю в точках z— ± 1, не требуют умножений. Со-
множители второго порядка будут иметь вид l + az-I + z~2, и по-
этому потребуется только одно умножение. Блоки четвертого поряд-
ка будут иметь вид а + bz~x + cz-2 + bz-3 + az-4, и потребуется три
умножения, если их реализовать как структуры с линейной фазовой
характеристикой, как на рис. 4.25.
117
4.5.4. СТРУКТУРЫ С ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКОЙ
В гл. 3 было показано, что z-преобразование последователь-
ности конечной длины N может быть представлено с помощью
N отсчетов, равномерно распределенных на единичной окружно-
сти. Для КИХ-фильтра выражение (3.18) подразумевает, что
передаточная функция может быть представлена как
Н(z) = (1 -z~N) (1.W) у' [Н(£)/( 1 -Wyh z-*], (4.43)
й=0
где IJ7-ftJV = e1<2lIfe/JV)
и 7/(Л?) -77 — I 77 (^) I е‘6 <Л). (4.44)
Значения Fj(k) называются частотными выборками, так как они
являются просто выборками (отсчетами) частотной характерис-
тики системы*.
Выражение (4.43) означает, что КИХ-система может быть ре-
ализована как каскадное соединение простой КИХ-системы и
БИХ-системы, как показано на рис. 4.27. Передаточная функция
КИХ-системы равна 1—z~N, и
нули этой системы находятся в
точках zfe = exp[i(2n/./V)fe]. Часть
структуры (рис. 4.27), соответст-
вующая БИХ-системе, состоит из
параллельного соединения N
4—о комплексных систем первого по-
У(п' рядка с полюсами в точках Zk =
= exp[i(2n/N)fe]. Эти системы
первого порядка имеют полюсы,
лежащие строго на единичной
окружности, назначение которых
заключается в подавлении точно
одного из нулей КИХ-системы.
На практике трудности обеспече-
ния устойчивости, обусловленные расположением нулей на единич-
ной окружности, исключаются с помощью образования выборок пе-
редаточной функции Н(z) на окружности радиуса г, где г немного
меньше единицы (9]. В этом случае Н (z) представляется как
н (Z) = (1 -z (1 /N) V \н (k)/ (1 -rWNh ?-’)], (4.45)
fc=0
где для точного представления H(z) с помощью (4.45) требуется,
чтобы
/7(£) = tf(rlV). (4.46)
На практике, однако, значение г выбирается близким к единице,
* Напоминаем, что в соответствии с записью в гл. 3 fl(k) является перио-
дической с периодом N, a H(k) |[т. е. ДПФ h(n)] является одним периодом пе-
риодической последовательности H(k).
118
Н(0)
Рис. 4.27. Структура КИХ-i
на Основе частотной выборки
чтобы появлялась небольшая ошибка, если вместо выражения
(4.46) используется (4.44).
В общем случае частотные выборки /?(&) являются комплек-
сными, какими являются величины W !‘ у- Поэтому реализация
КИХ-спстем, таких, как на рис. 4.27, требует комплексных ариф-
метических операций. Однако, как мы знаем из гл. 3, если отсче-
ты импульсной характеристики h(n) являются действительными,
то частотные выборки, выраженные в полярных координатах,
удовлетворяют следующим условиям симметрии:
\H(k)\ — \H(N—k) |;
9(£) = — Q(N-k), £ = 0, 1, • • •, 1,
где если /7(0) >0, то 9(0) =0. Кроме того, поскольку (lK_\v)*=-
= то цепи первого порядка на рис. 4.27 образуют ком-
плексно-сопряженные пары, за исключением цепи с полюсом в
точке W°N, и для .V четного — цепи с полюсом в точке Wn~N/2.
Следовательно, комплексные цепи первого порядка могут быть
сгруппированы в комплексно-сопряженные пары и выполнены
как цепи второго порядка с действительными коэффициентами. В
частности, предполагая У четным, (4.45) можно записать в виде
(4-47)
1 Л г~" Г Н (k)
Н(г) = '~r г V ----------------------------+
L fe=l
__________
1 - rW„k г-1
! Н(0) H(N/2)
1 — rz~1 1 + лг ~ 1
которое при изменении индекса суммирования во второй сумме
становится
Я (г)
,.V Z—N
N
H(k)
1 ~ rWNh Z~'
И (N — k)
1 — rW^N+k z-1
7/(0) , H (N12)
1 — AZ ' 1 + Г24
Используя (4.47) и тот факт, что
(4.48) переписать в виде
г(Л72)-1
) £
tf(z) = (l-rNz
A=1
(4.48)
= ^7_V-(N-M, МОЖНО
1 — rz~1
H(N!2)/N
(4.49)
где
pj . . _ cos (9 (k)) — rz 1 cos [9 (k) — 2л£/ЛЧ
k 1 — 2лг“' cos (2л k/N) -j- л2г 2
(4.50)
119
Этому выражению соответствует структура цепи, показанная на
рис. 4.28, где все арифметические операции теперь включают дей-
ствительные числа.
При нечетном N для k=Nj2 частотного отсчета не будет. Та-
ким образом, составляющая, содержащая |Я(Л^/2)|, должна
«быть исключена из (4.49) и рис. 4.28. Если система имеет линей-
2\нЦ}\
Hfi) N
-rz'1
2r cos(2xk/N^-
-r*
-r cos[6(k)-2sk/N]
Puc. 4.28. Структура цепи на основе ча-
стотной выборки при отсчетах, не лежащих
на единичном круге, и формировании ком-
плексных полюсов в блоках второго по-
ную фазовую характеристи-
ку, то (4.49) и (4.50) могут
быть далее упрощены. По-
добную структуру можно по-
лучить, выразив Z/(z) с по-
мощью отсчетов, смещенных
относительно предыдущих
отсчетов, на угол л/N.
Существуют два принци-
пиальных преимущества ре-
ализаций на основе частот-
ной выборки. Первое заклю-
чается в том, что в умножи-
телях на выходах каждой
системы второго порядка
(рис. 4.28) используются ве-
личины, пропорциональные
отсчетам частотной характе-
ристики, равномерно распре-
деленным по углу на единич-
ной окружности. Эти величи-
ны могут, конечно, быть по-
лучены из ДПФ импульс-
ной характеристики. Если
рядка подлежащий выполнению
фильтр является частотно-
избирательным с одной или более полосой непропускания, то он
может быть спроектирован так, как это будет показано в гл. 5, что-
бы частотные выборки в полосе непропускания были нулевыми, что
уменьшает число подлежащих реализации систем второго порядка
Hk(z). Если большинство частотных отсчетов являются нулевыми,
как в случае узкополосного низкочастотного или полосового фильт-
ра, то структура на основе частотной выборки может потребовать
меньше умножений, чем прямая форма построения. Конечно, реа-
лизация на основе частотной выборки будет всегда требовать боль-
шую память, чем прямая форма построения.
Второе преимущество следует из того, что полюсы п нули
структуры фильтра зависят только от длины импульсной харак-
теристики. Если входной сигнал подлежит обработке с помощью
банка КИХ-фильтров (т. е. нескольких различных импульсных
характеристик длиной А'), то одна реализация множителя (1—z л’)
и каждого блока второго порядка будет служить для всех фильт-
ров. Кроме того, структура, показанная на рис. 4.28, в основном
120
состоит из одинаковых функциональных блоков второго порядка,
что дает возможность реализации этих блоков последовательно
во времени.
4.5.5. СТРУКТУРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ФОРМУЛАХ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПОЛИНОМОВ
Как мы отмечали, передаточная функция КИХ-системы яв-
ляется полиномом степени (N—1) переменной z~l, где N — длина,
импульсной характеристики. Хорошо известно, что полином степе-
ни (N—1) однозначно определяется его значениями в N опреде-
ленных точках. Существует множество полиномиальных интер-
поляционных формул, таких, как формулы Лагранжа и Ньютона,,
которые точно определяют полином с помощью N его значений.
С другой стороны, мы можем точно определить значения полино-
ма и N его первых производных при некоторой величине г' и
создать полином на основе его представления рядами. Тейлора.
Шусслер (Schuessler) [10] показал, что подобные представления
передаточной функции подразумевают структуры для построения-
КИХ-систем.
Структура на основе частотной выборки предыдущего разде-
ла является примером того, где полином, представляющий H(z),
образуется путем тригонометрической интерполяции между рав-
номерно распределенными точками на единичной окружности.
Обобщение структуры на основе частотной выборки, называемое
структурой Лагранжа, легко выводится из (4.43). Во-первых, мы
замечаем, что (4.43) можно представить в виде
н(2) = Р (г) (zh)/[N (1 -zhz~1)]}, (4.51Х
k~0
где
(4.52>
h=0
и zk = е‘(2lW) \
Нетрудно показать, что (4.51) и (4.52) соответствуют полиному от
z~l степени (Л’—1) и что этот полином дает точные значения в-
точках взятия отсчетов.
Выражение (4.51) является особым случаем интерполяцион-
ной формулы Лагранжа, когда выборочные точки равномерно
распределены на единичной окружности. В общем случае выбо-
рочные точки Zh могут браться произвольно на z-плоскости, тогда
H(z) представляется в виде
Н (г) = Р (z) £'{Н (zk)/[Ph (zfe) (1 (4.53>
А = 0
121
N—l
где P(z) = П (1 —M^1) (4.54)
N—l
И /\(г) = П (1— ггг~'). (4.55)
f=0
i=£k
Нетрудно проверить, что (4.53) представляет полином степе-
ни (Af—1) и дает точные значения в точках взятия отсчетов
Поэтому это выражение является подходящим представлением
передаточной функции КИХ-системы. Структура цепи, соответ-
ствующая (4.53), показана на рис. 4.29. Эта структура очень по-
Рис. 4.29. Структура Лагранжа для построения
КИХ-системы
хожа на реализацию, изображенную на рис. 4.27. Если мы выбе-
рем точки взятия отсчетов так, чтобы образовывались комплексно-
сопряженные пары, и если импульсная характеристика h(n) яв-
ляется действительной, то можно объединить комплексно-сопря-
женные члены в сумме в (4.53) в сомножители второго порядка,
как в случае частотной выборки, п получить цепь, подобную по-
казанной на рис. 4.28. Кроме того, можно перемножить либо все
сомножители в полиноме P(z), либо в комплексных парах, что-
бы получить прямую или каскадную форму построения нерекур-
сивной части структуры.
Шусслер [10] рассмотрел другие структуры КИХ-цепи, основан-
ные на интерполяционных формулах Ньютона и Эрмита и разло-
жении H(z) в ряды Тейлора. Все эти структуры, включая струк-
туру на основе частотной выборки, в общем случае требуют
больше умножений и задержек, чем прямая или каскадная фор-
ма. Таким образом, полезность подобных структур заключена в
возможных преимуществах по чувствительности к эффектам
квантования и согласованности расчетной процедуры с реализа-
цией системы.
122
4.6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРА
Линейные инвариантные к сдвигу системы часто использу-
ются для выполнения формирования спектра или операции филь-
трации. При создании подобных систем существует ряд важных
соображений. Во-первых, мы должны сделать выбор между БИХ-
и КИХ-системами. Многие факторы могут влиять на этот выбор.
Например, БИХ-система может потребовать наименьшее число
задержек и умножителей на константу, чтобы удовлетворять за-
данной совокупности требований к фильтру. С другой стороны,
тот факт, что КИХ-фильтры могут иметь строго линейную фазо-
вую характеристику, оказывается часто важным аргументом в
их пользу.
Для выбранного класса системы, т. е. БИХ- или КИХ-систе-
мы, мы должны определить представление передаточной функции
фильтра. Процесс определения таких передаточных функций рас-
сматривается в гл. 5. В конечном счете для реализации системы
в виде программы для ЦВМ или в виде специализированного ус-
тройства должна быть выбрана цифровая цепь или структурная
схема. Приходится учитывать много соображений при выборе
структуры системы: сложность математического обеспечения или
конструкции и трудность получения параметров для фильтра.
Кроме того, почти все созданные схемы, разработанные вплоть
до настоящего времени, приводят к заданию передаточной функ-
ции с помощью параметров, которые предполагают неограничен-
ную точность. Если мы выберем реализацию системы на основе
программы для универсальной! ЦВМ, то точность определения па-
раметров может быть ограничена длиной слова памяти ЦВМ.
При аппаратурной реализации, конечно, желательно минимизиро-
вать длину регистров, которые должны обеспечить хранение па-
раметров фильтра.
Поскольку коэффициенты, используемые при выполнении дан-
ного фильтра, в общем случае не будут точными, то полюсы и
нули передаточной функции будут в общем случае отличными от
требуемых. Это смещение полюсов и нулей (в случае КИХ-систем
только нулей) от требуемых расположений проявится в частотной
характеристике, которая будет отличаться от заданной частотной
характеристики. Если такие ошибки квантования велики, то си-
стема не сможет удовлетворить предъявляемым требованиям.
Кроме того, в случае БИХ-системы один или несколько полюсов
могут оказаться вне единичного круга, что приведет к неустой-
чивости системы и ее непригодности. В общем случае эффект
квантования коэффициентов в сильной мере зависит от использу-
емой для выполнения системы структуры.
Как мы видели, существует бесконечное множество реализа-
ций цепи, которые обеспечивают данную передаточную функцию,
если параметры такой цепи представляются с неограниченной
точностью. Некоторые из этих структур будут менее чувствитель-
ными к квантованию параметров, т. е. передаточная функция та-
123
кой реализации будет более близка, в некотором смысле, к требу-
емой передаточной функции системы. К сожалению, еще не су-
ществует систематического метода для определения наилучшей
реализации при ограничениях на число умножителей, длину сло-
ва и число задержек. На практике выбор, как правило, ограничен
формами цепей, рассмотренных в § 4.3—4.5. Вместо детального
математического анализа проблемы чувствительности к значени-
ям параметров обычный практический подход к определению
приемлемого квантования параметров данной цепи сводится к мо-
делированию. В настоящем параграфе мы обсудим некоторые
простые результаты, которые обеспечат понимание проблемы,
связанной с чувствительностью к значениям параметров. Специ-
ально будет подчеркнуто, что существующее понимание взаимо-
связи между структурой цепи и чувствительностью коэффициен-
тов является в действительности ограниченным. Это остается те-
мой важного и активного исследования.
4.6.1. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В БИХ-СИСТЕМАХ
Эффекты квантования параметров проявляются в отклоне-
ниях характеристик фильтра от заданной частотной характерис-
тики или, что эквивалентно, в смещении полюсов и нулей от тре-
буемого положения [11—13]. Поэтому одной из мер чувствитель-
ности данной реализации цепи к квантованию параметров явля-
ется ошибка в положении полюсов и нулей, обусловленная ошиб-
кой в умножителях на константы в цепи.
Чтобы показать, как квантование параметра влияет на поло-
жение полюсов и нулей, рассмотрим передаточную функцию, вы-
раженную в виде
м I / n \
= Y b^h / 1 - S ' (4‘56)
fc=0 I \ fe=l /
Коэффициенты аь и bh являются требуемыми коэффициентами
лри прямой форме построения системы. При квантованных ко-
эффициентах мы, в действительности, реализуем систему с пере-
даточной функцией
А Л А ь // Л Л .
н (Z) = £ bhz~h / 1 - £ ahz~h I, (4.57)
fe=0 I \ fe=l /
где Йй=ай + Дай, 6h=bh + &bh.
Допустим, что полюсы H(z) располагаются в точках z=zit
i=l, 2, ..., N, т. e. знаменатель полинома передаточной функции,
представленный в виде сомножителей, равен
P(z)=l-X^-ft=n(l-^-1). (4.58)
fe=i fe=i
Кроме того, определим полюсы R(z) при Zi+\Z{, где 1=1, 2, ...,
124
N. Ошибка Az{ может быть выражена через ошибки в коэффици-
ентах:
w
Агг = (дгг/дая) Аай, г=1, 2, • • •, N. (4.59)
fc=l
На основании (4.58) и того факта, что (dP(z')/dZi)z^zi(dzi/dak) =
= (дР (z)ldak}z=zt, следует, что
dzt/dah = z"-* I П (zf—гг). (4.60)
I z=i
Выражение (4.60) является мерой чувствительности i-ro полюса
к изменению (ошибке) в /г-м коэффициенте знаменателя полинома
H(z). [Этот результат справедлив только для простых полюсов,
как это видно из (4.58).] Поскольку при прямой форме построе-
ния нули зависят только от коэффициентов числителя Ьь, анало-
гичный результат может быть получен для чувствительности ну-
лей к ошибкам в коэффициентах bh.
Результат такого представления был впервые использован
Кайзером [12, 13], чтобы показать, что если полюсы (или нули)
плотно сгруппированы, то возможно, что небольшие ошибки в
коэффициентах могут обусловить большие смещения полюсов
(или нулей). Это можно увидеть при рассмотрении знаменателя
выражения (4.60). Каждый множитель (z-t—Zi) можно предста-
вить как вектор в z-плоскости, как показано на рис. 4.30. Вели-
Рис. 4.30. Представление сомножителей выражения (4.58) в виде век-
торов на z-плоскости в случаях:
а) фильтра с узкой полосой пропускания; б) узкополосного фильтра
нижних частот
чина знаменателя в (4.60) равна произведению длин векторов
из всех оставшихся полюсов до полюса z,-. Поэтому если полюсы
(или нули) оказываются плотно сгруппированными, как на рис.
4.30а соответственно фильтру с узкой полосой пропускания или
как на рис. 4.306 соответственно узкополосному фильтру нижних
125
частот, то можно ожидать, что полюсы при прямой форме пост-
роения будут довольно чувствительны к ошибкам квантования
коэффициентов. К тому же очевидно, что чем больше число кор-
ней, тем выше чувствительность.
При каскадной и параллельной формах построения систем, с
другой стороны, каждая пара комплексно-сопряженных полюсов
реализуется отдельно. Таким образом, ошибка для данного полю-
са является не зависимой от его расстояния до других полюсов
системы. Поэтому в общем случае, с точки зрения квантования
параметров, каскадная и параллельная формы оказываются пред-
почтительными перед прямыми формами. Это особенно справед-
ливо в случае узкополосных частотно-избирательных фильтров с
плотно сгруппированными полюсами и нулями.
Даже для систем второго порядка, используемых при постро-
ении каскадной и параллельной форм, сохраняется некоторая ис-
каженность. Рассмотрим комплексно-сопряженную пару полюсов,
полученную при использовании прямой формы построения, как
показано на рис. 4.31. При представлении коэффициентов с неог-
о--
2г cos о
Ь-
2-^
Z"’
>
-г2
4.31. Прямая
пары
Рис.
выполнения
лексно-сопряженных
сов
форма
комп-
полю-
Рис. 4.32. Сетка возможных
положений полюсов цепи на
рис. 4.31 при трехразрядном
квантовании коэффициентов г2
и 2г cos 0
раниченной точностью эта цепь имеет полюсы в точках з=ге'е и
z = re-10. Однако, если коэффициенты 2r cos 0 и —г2 квантованы,
то очевидно, что полюсы могут располагаться только в дискрет-
ном множестве точек. При известном способе квантования полю-
сы должны располагаться на сетке точек на z-плоскости, образо-
ванной пересечением концентрических окружностей (соответству-
ющих квантованным значениям г2) и вертикальных прямых (со-
ответствующих квантованным значениям 2rcos 0). Такая сетка
точек, соответствующая трехразрядному квантованию обоих ко-
эффициентов, изображена на рис. 4.32, т. е. г2 и 2r cos 0 ограниче-
ны вплоть до восьми различных значений. Другой формой постро-
ения является связанная форма, предложенная Голдом и Рэй-
дером [9] и показанная на рис. 4.33. Нетрудно видеть, что пере-
даточные функции цепей рис. 4.31 и 4.33 имеют те же самые по-
люсы при представлении коэффициентов с неограниченной точно-
стью. Для построения цепи, показанной на рис. 4.33, необходимо
126
выполнить квантование коэффициентов rcosQ и г sin 0; таким об-
разом, можно получить дискретное множество положений полю-
сов, как показано на рис. 4.34. Ясно, что можно получить гораз-
Рис. 4.33. Связанная форма выпол-
нения пары комплексно-сопряженных
полюсов
О 0,25 0,50 0,75 1,00 Re
Рис. 4.34. Сетка возможных по-
ложений полюсов цепи рис. 4.33
при трехразрядном квантовании
коэффициентов г cos 0 и г sin 9
до больше различных структур, каждая из которых имеет различ-
ную сетку возможных положений полюсов. На практике выгодно
выбрать структуру, для которой соответствующая сетка является
наиболее частой в той области z-плоскости, где должны быть
полюсы.
Представляют интерес рассмотренные в § 4.3 другие структу-
ры из-за возможности обеспечения ими более низкой чувствитель-
ности к погрешностям коэффициентов при реализации заданной
передаточной функции. В настоящее время мало что известно о
систематических путях определения наплучшей реализации за-
данной передаточной функции. Альтернативой изменения струк-
тур цепи является совместное рассмотрение требований к струк-
турной схеме и квантованию параметров на этапе разработки,
когда решаются вопросы аппроксимаций. Этот подход в общем
случае оказывается сложным, хотя является, безусловно, пер-
спективным для исследования.
4.6.2. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В КИХ-СИСТЕМАХ
Напомним, что в случае КИХ-систем необходимо заботиться
только о положении нулей передаточной функции, поскольку в
физически реализуемой КИХ-системе все полюсы находятся в
точке z=0. Очевидно, что можно получить выражения, подобные
выражению (4.60), для ошибок в нуле, обусловленных ошибками
в значениях коэффициентов (импульсной характеристике) при
прямой форме построения (§ 4.4). Суть этого та же: имеется
больше возможностей управлять положением нулей при каскад-
ной форме, чем при прямой форме построения.
127
Херман (Herrman) и Шусслер [14] рассмотрели эффекты
квантования параметров для частного случая систем с линейной
фазовой характеристикой. В случае прямых форм построения,
показанных на рис. 4.24 и 4.25, очевидно, что, даже если коэффи-
циенты определены с погрешностями, результирующая передаточ-
ная функция будет все еще полиномом Зеркального отображения
и, таким образом, система все еще будет иметь линейную фазо-
вую характеристику. Однако близко расположенные нули на еди-
ничной окружности могут сместиться с нее, в результате чего си-
стема не будет удовлетворять заданным требованиям. При кас-
кадной форме построения, если используются блоки второго по-
рядка вида (1 д-аг1 -рг~2) для каждой комплексно-сопряженной
пары нулей на единичной окружности, то нуль может переме-
щаться только по единичной окружности. Подобным же образом |
нули в точках z=±l могут быть реализованы точно, а действи-
тельные нули, находящиеся внутри или снаружи единичного кру-
га, остаются действительными. Если бы комплексные нули, нахо-
дящиеся вне единичного круга, были реализованы в виде блоков
второго порядка, то мы бы могли найти сетку возможных поло-
жений нулей, как показано на рис. 4.32, где такая сетка распро- ;
странилась бы за пределы единичного круга. Если мы желаем со-
хранить линейную фазовую характеристику, то мы должны для
каждого нуля, находящегося внутри единичного круга, обеспе-
чить существование взаимного комплексно-сопряженного пуля,
расположенного вне единичного круга. Это можно сделать, запи-
сав выражение для множителя четвертого порядка, соответству-
ющего нулям в точках z = re±i0 и z~ (1/г) е±10, в виде
1 + djZ-1 + doz~2 + djZ-3 + z-4 = (1/г2) (1 — 2г cos 0 z-1 ф
+ r2z~2) (г2— 2r cos 0 z~’ + z~2). (4.61}
Это соответствует части цепи, показанной на рис. 4.35. На рис.
4.36 также изображена сетка возможных положений нулей, но
при пятиразрядном квантовании (32 различных значений г2 и
2г cos 0).
о—s
*(п)
-2rcos8 г2
г2
Рис. 4.35. Часть цепи для
Z'1 Z"7
о—.— ,о -»- о
г2 -ZrcosSt
<1 » О —*-----0*0
у(п)
выполнения сомножи-
телей четвертого порядка КИХ-системы, в кото-
рой линейная фазовая характеристика сохраняет-
ся независимо от квантования параметров
Эта реализация, очевидно, требует больше умножителей, чем
для системы четвертого порядка. Если блоки четвертого порядка
реализуются в прямой форме с линейной фазовой характеристи-
кой, то мы получим цепь, представленную на рис. 4.37. Сетка воз-
128
можных положений нулей при прямой форме построения показа-
на на рис. 4.38. Несмотря на то, что при построении КИХ-фильт-
ра с линейной фазовой характеристикой с использованием бло-
Рис. 4.36. Сетка возможных поло-
жений нулей части цепи рис. 4.35
при пятиразрядном квантовании
коэффициентов г2 и 2r cos 9
Рис. 4.37. Прямая формат
выполнения сомножителей
четвертого порядка в КИХ-
системе с линейной фазо-
вой характеристикой
ков четвертого порядка сохраняются линейные фазовые характе-
ристики фильтра независимо от квантования коэффициентов, од-
нако их результирующие характеристики оказываются чрезвы-
Рис. 4.38. Сетка возможных
положений нулей части це-
пи рис. 4.37 при питираз-
рядном квантовании коэф-
фициентов Ь и с
чайно чувствительными к квантованию [14—16]. Следовательно,
часто оказывается более целесообразным выполнить КИХ-филь-
тры с линейной фазовой характеристикой как каскад блоков
второго порядка или же в прямой форме.
Вышеизложенное обсуждение чувствительности к квантова-
нию параметров основывалось прежде всего на рассмотрении
чувствительности положений полюсов и нулей. Анализ структур
можно осуществлять также в соответствии с другими определени-
ями чувствительности. Хотя эта область остается предметом ак-
тивного исследования, некоторые полезные теоремы, относящие-
ся к чувствительности цепи, могут быть получены с помощью ос-
новной теории линейных сигнальных направленных графов. Ниже
рассматривается теорема Теледжена для направленных сигналь-
ных графов. Одним следствием этой теоремы является теорема
5—117 12®
транспозиции для цифровых фильтров, упоминаемая в § 4.4. Дру-
гим следствием, как мы увидим, являются некоторые соотноше-
ния для чувствительности цифровых фильтров.
4.7. ТЕОРЕМА ТЕЛЕДЖЕНА ДЛЯ ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорема Теледжена является важной основополагающей те-
оремой общей теории цепей [17]. Эта теорема достаточно проста,
и многие положения теории цепей (сохранение энергии, взаим-
ности и т. д.) могут быть получены как ее следствие.
Поскольку цепи цифровых фильтров не подчиняются законам
Кирхгофа, теорема Теледжена в ее наиболее общей форме не
может быть применена к ним. Однако можно предложить форму-
лировку теоремы Теледжена, из которой вытекает ряд полезных
свойств цифровых цепей.
Формулировка теоремы Теледжена для цифровых фильтров
впервые была получена Севайэра (Seviora) и Сэблэтэшем
(Sablatash) [18]. Другая ее формулировка была предложена
Фитвейсом (Feetweis) [19], которой мы будем далее пользовать-
ся, опираясь на материал по направленным сигнальным графам,
изложенный в § 4.1.
В классической теории цепей теорема Теледжена выражает
связь между распределениями напряжений в одной цепи и токов
в другой, когда единственным признаком общности цепей явля-
ется то, что они имеют одинаковую топологию. Подобным же об-
разом для направленных сигнальных графов мы будем рассмат-
ривать два графа с одинаковой топологией, но не связанных меж-
ду собой в каких-либо других отношениях. Под «одинаковой то-
пологией» мы понимаем то, что существует однозначное соответ-
ствие между узлами и ветвями в таких двух цепях (в смысле их
расположений и направлений). Важно заметить, однако, что тре-
бование топологической эквивалентности не является относитель-
но трудным. В частности, рассматривая любой граф, имеющий
ветвь в каждом направлении между парой узлов с нулевой пе-
редачей некоторых ветвей, можно любые два графа с одинако-
вым числом узлов рассматривать как топологически эквивалент-
ные.
В последующем будет удобно принять, что каждая цепь вы-
верчивается таким способом, чтобы каждый узел цепи имел свя-
занный с ним истоковый узел, соединенный с ним ветвью с еди-
ничной передачей. Кроме того, будем полагать, что этот ис-
токовый узел не связан с другими узлами цепи. Каждый истоко-
вый узел будет нумероваться так, чтобы соответствовать связан-
ному с ним узлу цепи, т. е. так, что истоковый узел является
.входом для узла цепи k. Если истоковый узел и соответствующая
ветвь не вычерчены, то это означает, что величина истокового
;узла является нулевой.
<130
Теорема Теледжена. Рассмотрим два направленных сиг-
нальных графа с одинаковой топологией. Пусть N обозначает
число узлов цепи. Узловые переменные цепи, выходные сигналы
ветви и величины истоковых узлов в первой цепи обозначены
wh, Vjh и Xj соответственно и во второй цепи — w'k, v' jk и х' j.
Тогда
N N N
S <4-62>
ь=1 /=1 *=1
Доказательство равенства (4.62) следует почти непосредственно
из определения направленного сигнального графа. Напомним,
что выходные сигналы ветвей связаны с узловыми переменными
N
и входными сигналами истоков соотношением Wk= У, п3й4~
7=1
м
+ У Sjk, и поэтому с учетом принятого обозначения для истоко-
1=1
вых узлов получим
Wh=Yvik+xk- (4-63)
/=1
Теперь можно записать тождество
N
У (wkw'k —w'h %) = 0. (4.64),
*=i
Выражение (4.62) получается непосредственно подстановкой
(4.63) в (4.64). Выражение (4.62) будет рассматриваться далее
как теорема Теледжена для направленных сигнальных графов
или, что эквивалентно, для цифровых цепей. Важно, что ее вывод,-
зависит только от соотношения (4.63); при этом не требуется,.
чтобы граф был линейным. Кроме того, можно просто показать,
что если переменные Wk, W'k, V,k, V'jk, Xh и X'k получаются с по-
мощью линейной операции из Wk, w'k, vjk, v'jh, Xk и x'h соответст-
венно, то I
NN N
£ £ (v,x;(4.65)
fc=l /=1 fc=l
Таким образом, теорема Теледжена применима либо к последо--
вательности величин [см. (4.62)], либо к г-преобразованиям [см_.
(4.65)].
В дальнейшем мы будем касаться только линейных направ-
ленных сигнальных графов, которые соответствуют цифровым.'
цепям. Чтобы разъяснить записи идентичных топологий и пере-
менных со штрихами и без штрихов, рассмотрим две цепи, пока- .'
занные на рис. 4.39. Для подчеркивания эквивалентности их'
топологий на рис. 4.39 показаны пунктирными линиями ветви с:
5* 13V
кулевой передачей. Обычно, конечно, подобные ветви не будут
изображаться.
Рис. 4.39. Пример двух топологически эквива-
лентных цепей, удовлетворяющих теореме Те-
леджена
4.7.1. ВЗАИМНЫЕ И ВЗАИМООБРАТИМЫЕ ЦИФРОВЫЕ ЦЕПИ
Для пассивных аналоговых цепей, состоящих из соединений
резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, понятие вза-
имности играет важную роль. Для цифровых цепей существуют
«соответствующие понятия взаимности и взаимообратимости. Для
пояснения понятия взаимности рассмотрим цепь, возбуждаемую
двумя различными совокупностями истоков. Обозначим через
X). и X'h z-преобразования величин истоковых узлов для таких
двух различных совокупностей. Величину узловой переменной
ife-ro узла, когда цепь возбуждается истоками без штрихов, будем
обозначать Wk. Когда цепь возбуждается истоками со штрихами,
то такая переменная будет обозначена W'k- Тогда говорят, что
цепь удовлетворяет требованию взаимности, если для любых двух
распределений сигнала
- r;xft] = o. (4.66)
й=1
В качестве одного следствия взаимности рассмотрим любые два
узла а и Ь в цепи. Кроме того, пусть все величины истоковых
узлов без штриха, кроме Ха, будут нулевыми и пусть все величи-
ны истоковых узлов со штрихом, кроме Х'ь, будут также нуле-
выми . Кроме того, пусть Ха=Х'ь- Тогда из (4.66) следует, что
WbX'b = W'aXa, или
Wb = wa. (4.67)
Другими словами, вследствие взаимности, если мы возбуждаем
>граф в узле цепи а и наблюдаем выходной сигнал в узле Ъ, то
для взаимного графа то же возбуждение в узле b будет давать
такой же выходной сигнал в узле а.
Большинство цифровых цепей не являются взаимными. Родст-
венной концепцией, которая более полезна по отношению к циф-
ровым цепям, оказывается концепция взаимной обратимости. В
этом случае мы рассматриваем два различных направленных сиг-
вальных графа. Пусть Хь — величины истокового узла и Wh —
узловые переменные для одной цепи, а Х'ь и W'k — величины ис-
132
токового узла и узловые переменные для второй цепи. Тогда го-
ворят, что две цепи являются взаимообратимыми, если
f = (4.68)
fe=i
Это выражение подобно (4.66), но важно помнить, что для вза-
имности цепи со штрихом и без штриха различаются только ис-
токами, тогда как для взаимообратимости как истоки, так и
передачи ветвей могут отличаться в цепях со штрихом и без
штриха. Цепь, которая является взаимной, является также взаи-
мообратимой сама с собой. С другой стороны, две цепи могут
быть взаимообратимыми вне зависимости от того, будет ли одна
или другая цепь взаимна.
4.7.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ТРАНСПОЗИЦИИ
Полезное свойство цифровых цепей состоит в том, что они
являются взаимообратимыми с их транспозицией. Чтобы пока-
зать это, напомним (§ 4.4), что транспозиция (обращение) на-
правленного графа производится путем изменения на обратное
направлений всех ветвей при сохранении их передач неизмен-
ными.
Рассмотрим цифровую цепь, в которой Wk обозначает узло-
вую переменную k-vo узла. Передача из узла / к узлу k обозна-
чается Fjk, т. е.
= (4-69)
В обращенной цепи узловая переменная &-го узла обозначается
TF'ft, а передача между узлами j и k обозначается F'jh, так что
V'ik = F'ikW'r (4-70)
JH. /Н J
По определению обращенной цепи, F'jk=Fkj. Чтобы доказать, что
цепь и ее обращенная форма являются взаимообратимыми, т. е.
показать, что (4.68) остается в силе для вышеуказанных условий,
используем тот факт, что цепь и ее обращенная форма имеют
одинаковую топологию, т. е. имеет силу теорема Теледжена
(4.65). Таким образом,
N N N
£ V (»v;,-= 0. (4.71)
/=1 ft=l fc=l
Подставив (4.69) и (4.70) в (4.71), получим
2 £ («v; г;, г,г„)+2 ov; *»)=0
/=1 fe=l k=l
или
NN NN N
/=1 k=l i=l k=l k=l
(4.72)
133
Переменив индексы суммирования в первой двойной сумме в
(4.72), получим
N N N
S S (К + S (W^'-W'h Хк) = 0. (4.73)
1=1 h=l k=l
Однако, поскольку цепи со штрихом и без штриха являются об-
ращенными, то F'kj=Fjh, и поэтому двойная сумма равна нулю:
(4.74)
k=l
Это доказывает, что цепь и ее обращенная форма являются вза-
имообратимыми.
Интересным следствием этого факта является то, что для це-
пей типа «один вход — один выход» цепь и ее обращенная фор-
ма имеют ту же самую передаточную функцию. Этот результат
может также быть получен из формулы Мезона для передачи
сигнальных графов [1]; он был использован в § 4.3 и 4.4 для по-
лучения новых реализаций цепи.
Чтобы показать, что этот результат следует из (4.74), рас-
смотрим любые два узла а и Ь. Кроме того, пусть все истоковые
узлы, кроме Ха, будут нулевыми в исходной (без штриха) цепи
и все истоковые узлы, кроме Х'ъ, будут нулевыми в обращенной
(со штрихом) цепи. Тогда из (4.74)
WbX'b=W’aXa. (4.75)
Отсюда следует, что если одно и то же возбуждение прикладыва-
вается в узле а исходной цепи и в узле b обращенной цепи, то
одинаковый отклик будет наблюдаться в узле а обращенной цепи
и в узле Ъ исходной цепи
4.7.3. ФОРМУЛА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПИ
В § 4.6 обсуждалась проблема чувствительности парамет-
ров с точки зрения перемещения полюсов и нулей. В частности,
сравнивались цепи с прямой, каскадной и параллельной форма-
ми построения. Для более сложных цепей оказывается не так
просто получить общую взаимосвязь между полюсами и нулями
и параметрами цепи. С помощью теоремы Теледжена можно по-
лучить общее выражение для чувствительности передаточной
функции данной цепи к изменениям ее параметров. Формулы это-
го типа оказываются полезными, например, при анализе цифро-
вых цепей с помощью ЦВМ.
Применительно к этому обсуждению удобно определить пере-
даточную функцию между произвольной парой узлов а и b цепи.
В частности, будем считать все истоковые узлы, кроме тех, ко-
торые подсоединены к узлу а, равными нулю. Тогда узловая пе-
ременная Wb(z) будет определяться выражением
Wb(z)==Tab(z)Xa(z). (4.76>
134
В таком случае Tab(z) является передаточной функцией от узла
а к узлу Ь. Чувствительность этой передаточной функции
к изменениям в передаче ветви Fnm(z) определяется как
dTab(z) dF
пт (z). Фитвейс [19], Севайэра и Сэблэтэш [18] пока-
зали, что
dTab/dFnm = ТапТтЬ, (4.77)
где не показана функциональная зависимость от z, а Тап являет-
ся передаточной функцией от узла а к узлу п и ТтЪ — передаточ-
ной функцией от узла т к узлу Ь.
Для проверки этого результата рассмотрим три цепи, изобра-
показанная на рис. 4.40а,
женные на рис.
цепь,
5}
цепи, используемые при выводе
.77) для чувствительности цепи:
1ь; б) обращенная цепь (система
im); в) исходная цепь с ошибкой
ш (система с двумя штрихами)
определяется с помощью переменных без штриха и для удобства
называется цепью без штриха. На рис. 4.405 показана обращен-
ная форма исходной цепи, названная цепью со штрихом, а на
рис. 4.40s — исходная система с погрешностью AFnm в передаче
ветви Fnm- Эта цепь называется цепью с двумя штрихами. Пред-
положим, что каждая цепь возбуждается одним и тем же источ-
ником X, как изображено на рис. 4.40.
Используя (4.65) для систем с одним и с двумя штрихами,
получим
+ f (4.78)
fe=l /=1 fe=l
Путем разделения двойной суммы в (4.78) на две двойные суммы
и смены индексов во второй результирующей двойной сумме по-
лучим
£ I v;,) + f pn х; -rk x;j=о. (4.79)
fe=l /=1 fc=l
Используя (4.79) и тот факт, что, по определению, У"-1Ь=F"jhW"j
и V'jh — F'jkW'j, получим
135
f i r;(г„-г„) + f <r;x; - w; xp - о. (4.so)
ft=l /=1 k=l
Из рис. 4.40 видно, что цепи с одним и двумя штрихами яв-
ляются обращенными, за исключением ветви (пт). Таким обра-
зом, из определения транспозиции F"]h—Р%=0 для всех k и /,
кроме ветви (пт) и F"nm—F'mn=AFnm. Все члены в двойной
сумме (4.80), за исключением одного, равны нулю. Кроме того,
так как только один узел в каждой цепи имеет ненулевой источ-
ник входного сигнала (узел а для цепи с двумя штрихами, узел
b для цепи с одним штрихом), то можно записать, что
Г’ Wm ДFnm + Х (W'a—Wb) = 0. (4.81)
Теперь выразим узловые переменные в (4.81) через входной
сигнал источника X и соответствующие передаточные функции
от входных истоковых узлов в виде
W'=T’baX = TabX-. W'm=rbmX = TmbX; W\=rnx-,
\К = ГаЪХ=\-ТаьЛ-^ТаЬ\Х,
где ДТаь — изменение в передаточной функции, обусловленное
изменением XFnm в передаче ветви Fnm. Подставляя эти выраже-
ния в (4.81), получим [T"anTmb&Fnm + Tab—ТаЬ—Д7’ай]Л'2=0. По-
скольку это выражение справедливо для всех X, то
TTmb\Fnm = \Tab (4.82)
или
Tabl^Fnm = KnTmb. (4.83)
Переходя к пределу в (4.83) прл ДГпт->0, получим
lim [Д Tab/XFnm] = lira [Г„Tmb]. (4.84)
пт пт
По мере того как ДКпт->0, цепь с двумя штрихами приближает-
ся к цепи без штриха так, что
dTab/dFnm = TanTmb. (4.85)
Таким образом, мы получили искомую чувствительность изме-
нения в передаточной функции ТаЬ к изменению передачи ветви
Fnm- Полезным свойством этого выражения является то, что чув-
ствительность выражается через передаточную функцию
цепи, которая может быть вычислена с использованием
матричных методов § 4.2. Чтобы определить изменение ДТа&
в передаточной функции ТаЬ при значительном изменении
ДКпт, можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора
^Tab = (dTab/dFnm)^Fnm + (l/2)(d2Tab/dF2nm)(^Fnm)2 + • • •
(4.86)
Производные более высоких порядков (чувствительности) ТаЬ
136
по отношению к Fnm могут быть получены из (4.85) с помощью
цепного правила дифференцирования. Крошье (Crochiere) [20]
показал, что этот подход приводит к выражению
д Tab = ТапТтЬ Д Fnm/(1 ~Ттп Д Fnm). (4.87)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе было дано представление цифровых фильтров
с помощью структурных схем, направленных сигнальных графов
и матричной записи. После представления направленного сиг-
нального графа и матричного представления в общем виде полу-
чен ряд основных структур БИХ-и КИХ-фильтров.
Одним из важных соображений при выборе структуры для
выполнения фильтра является эффект конечного числа разрядов
коэффициентов. Поэтому было представлено несколько соображе-
ний по квантованию параметров при выборе структуры фильтра.
Затем введена теорема Теледжена для цифровых фильтров, из
которой было получено несколько важных свойств структур
фильтров, включая теорему транспозиции для направленного
сигнального графа. Глава завершалась выводом формулы чувст-
вительности цепи на основе теоремы Теледжена. Эта формула
обеспечивает удобные способы вычисления чувствительности
структур фильтра и, кроме того, приводит к выражению чувстви-
тельности структур фильтров при их значительных изменениях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мезон Л., Цимерман Г. Электронные цепи, сигналы, системы. М.: ИЛ, 1963.
2. Y. Chow and Е. Cassignol. Linear Signal-Flow Graphs and Applications, John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1962.
3. R. E. Crochiere. «Digital Network Theory and Its Application to the Analysis
and Design of Digital Filters», Ph. D. Thesis, Department of Electrical Engi-
neering, MIT, 1974.
4. S. K. Mitra and R. J. Sherwood. «Canonic Realizations of Digital Filters
Using the Continued Fraction Expansion», IEEE Trans., Audio Electroacoust.,
Vol. AU-20, 1972, p. 185—194.
5. A. Fettweis. «Digital Filter Structures Related to Classical Filter Networks»,
Arch. Electronik Ubertragungstechnik, Vol. 25, 1971, p. 70—89.
6. A. Fettweis. «Some Principles of Designing Digital Filters Imitating Classical
Filter Structures», IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-18, 1971, p. 314—316.
7. R. E. Crochiere. «Digital Ladder Structures and Coefficient Sensitivity», IEEE
Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-20, 1972, p. 240—246.
8. S. K. Mitra and R. J. Sherwood. «Digital Ladder Networks», IEEE Trans.
Audio Electroacoust, Vol. AU-21, 1973, p. 30—36.
9. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
10. W. Schuessler. «Оп Structures for Nonrecursive Digital Filters», Arch. Electro-
nik Ubertragungstechnik, Vol. 26, 1972, p. 255—258.
11. J. B. Knowles and E. M. Olcayto. «Coefficient Accuracy and Digital Filter
Response», IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-15, Mar. 1968, p. 31—41.
12. Кайзер Д. Цифровые фильтры, приложение к переводу книги: Голд Б.,
Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
13. J. F. Kaiser. «Some Practical Considerations in the Realization of Linear
Digital Filters», Proc. 3rd Allerton Conf. Circuit System Theory, Oct. 20—22,
1965, p. 621—633.
137
14. О. Herrmann and W. Schuessfer. «On the Accuracy Problem in the Design of
Nonrecursive Digital Filters», Arch. Electronik. Ubertragungstechnik, Vol. 24,
1970, p. 525—526.
15. D. S. K. Chan. «Roundoff Noise in Cascade Realization of Finite Impulse
Response Digital Filters», M. S. Thesis, Department of Electrical Engineering,
MIT, June 1972.
16. D. S. K- Chan and L. Rabiner. «Analysis of Quantization Errors in the Direct
Form for Finite Impulse Response Digital Filters», IEEE Trans. Audio Electro-
acoust., Vol. AU-21, Aug. 1973, p. 354—366.
17. P. Penfield, Jr., R. Spence and S. Duinker. Tellegen’s Theorem and Electric
Networks, MIT Press, Cambridge, Mass., 1970.
18. R. Seviora and M. Sablatash. «А Tellegen’s Theorem for Digital Filters»
IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 1971, p. 201—203.
19. A. Fettweis. «А General Theorem for Signal-Flow Networks, with Applications»,
Arch. Electronik Ubertragungstechnik, Vol. 25, 1971, p. 557—561.
20. R. Crochiere. «Some Network Properties of Digital Filters», Proc. 1973 Intern.
Symp. Circuit Theory, April 9—11, 1973, p. 146—148.
Глава 5.
Методы проектирования и расчета
цифровых фильтров
ВВЕДЕНИЕ
В наиболее общем смысле цифровой фильтр представляет со-
бой линейную инвариантную к сдвигу дискретную систему, кото-
рая реализуется на основе использования арифметического уст-
ройства с ограниченной точностью. Проектирование цифрового
фильтра включает три основных этапа: 1) определение требуемых
свойств системы; 2) аппроксимацию этих требований на основе
использования физически реализуемых дискретных систем; 3) реа-
лизацию системы при использовании арифметики с ограниченной
точностью. Несмотря на то что эти три этапа не являются незави-
симыми, мы находим более удобным в этой главе сосредоточить
внимание в первую очередь на втором этапе, поскольку первый из
них в сильной степени зависит от конкретного применения, а тре-
тий рассматривается в гл. 4 и 9.
При практической постановке задачи наиболее характерен слу-
чай, когда требуемый цифровой фильтр должен быть использован
для фильтрации цифрового сигнала, который получен из аналого-
вого сигнала путем образования периодических выборок. Требова-
ния как для аналоговых, так и для цифровых фильтров часто (но
не всегда) задаются в частотной области, как, например, в случае
частотно-избирательных фильтров, таких, как фильтры нижних или
верхних частот и полосовые фильтры. При заданной частоте дис-
кретизации структура цифрового фильтра может быть получена
путем преобразования частотных требований для аналогового
фильтра в частотные требования для цифрового фильтра. При
этом аналоговые частоты определяются в герцах, а дискретные
138
частоты — в единицах частоты в радианах или углах единичной
окружности с точкой г = — 1, соответствующей половине частоты
дискретизации. Существуют, однако, применения, в которых подле-
жащий фильтрации цифровой сигнал не формируется путем обра-
зования периодических выборок аналоговой временной функции, и,
как отмечалось в § 1.7, кроме образования периодических выборок
существует множество способов представления аналоговых времен-
ных функций с помощью последовательностей. К тому же в боль-
шинстве методов расчета, которые будут рассмотрены, период
дискретизации не играет роли в процедуре аппроксимации.
Отдельной проблемой является определение соответствующего
набора требований для конкретного
мер, в случае фильтра нижних
частот такие требования часто
принимают вид допусков на
ошибки аппроксимации, как
показано на рис. 5.1*. Пунк-
тирная кривая представляет
частотную характеристику си-
стемы, удовлетворяющую за-
данным требованиям.
В данном случае имеется
полоса пропускания, в преде-
лах которой характеристика
должна аппроксимироваться
величиной, равной 1 с ошибкой
цифрового фильтра. Напри-
Переходная
ШШШ полоса
Полоса
непропускания
Ц-
О а)р cig
Рис. 5.1. Допустимые пределы для ап-
проксимации идеального фильтра ниж-
них частот
й)
>ттм»
Имеется полоса непропускания, в которой характеристика
должна аппроксимироваться нулевым значением с ошибкой мень-
ше, чем 6г, т. е. |Я(е'“) | <62, со5^|®|^л. Частота среза для по-
лосы пропускания <ор и для полосы непропускания ®s задана с по-
мощью угловой частоты г-плоскости. Чтобы сделать возможной ап-
проксимацию идеального фильтра нижних частот таким способом,
мы должны также представить переходную полосу ненулевой ши-
рины (сщ—сор), в которой характеристика плавно спадает от значе-
ния в полосе пропускания до значения в полосе непропускания.
Многие из фильтров, используемых на практике, задаются такой
совокупностью допусков (но без ограничений на фазовую характе-
ристику), кроме тех, которые налагаются требованиями устойчи-
вости и физической реализуемости.
При данной совокупности требований (см. рис. 5.1) следующим
этапом является нахождение линейной дискретной системы, харак-
теристика которой изменяется в пределах указанных допусков. С
этой точки зрения проблема расчета фильтра становится пробле-
мой аппроксимации. В случае БИХ-систем мы должны аппрокси-
* На этом рисунке пределы допустимой ошибки аппроксимации определены
горизонтальными линиями со штрихами. Заметим также, что достаточно на-
чертить кривую только для О^со^л, поскольку остальная часть может быть
выведена на основе свойств симметрии.
139
мировать требуемую частотную характеристику с помощью рацио-
нальной функции, тогда как в случае КИХ-системы мы имеем дело
с полиномиальной аппроксимацией. Для удобства рассмотрение
построено так, чтобы провести различие между методами расчета,
которые соответствуют БИХ- и КИХ-фильтрам. Будут рассмотрены
различные методы расчета для обоих типов фильтров. Эти мето-
ды включают как процедуры в замкнутой форме, которые сводят-
ся к подстановке значений заданных параметров в расчетные фор-
мулы, так и метод оптимизации, где решение получается с по-
мощью итерационной процедуры.
5.1. РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ ПО ДАННЫМ
АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Традиционный подход к расчету цифровых БИХ-фильтров
включает преобразование аналогового фильтра в цифровой
фильтр, удовлетворяющий заданным требованиям. Это является
разумным подходом, потому что
1) способы расчета аналоговых фильтров являются хорошо от-
работанными и, поскольку могут быть получены полезные резуль-
таты, оказывается выгодным использовать уже развитые для ана-
логовых фильтров процедуры расчета;
2) многие полезные методы расчета аналоговых фильтров име-
ют сравнительно простые расчетные процедуры в замкнутой форме.
Поэтому методы расчета цифрового фильтра, основанные на таких
аналоговых расчетных формулах, являются довольно простыми;
3) во многих приложениях представляет интерес использование
цифрового фильтра для моделирования работы аналогового линей-
ного инвариантного к временному сдвигу фильтра.
Рассмотрим передаточную функцию аналоговой системы
На (s) = £ dhsh / 2 chsk = Ya (s)/Xa (s), (5.1)
fe=0 / !i=0
где xa(t) и ya(t) —соответственно входной и выходной сигналы, а
Xa(s) и Ya(s) —их преобразования Лапласа. Предполагается, что
Ha(s) была получена с помощью одного из установившихся мето-
дов аппроксимации, используемых в расчетах аналогового фильт-
ра. (Примеры рассмотрены в § 5.2.) Входной и выходной сигналы
такой системы связаны между собой с помощью интеграла свертки
СО
У а (О = J* Ха (т) ha (t — x)d т, (5.2)
— со
где ha(t)—импульсная характеристика, являющаяся обратным
преобразованием Лапласа от Ha(s). С другой стороны, аналоговая
система, имеющая передаточную функцию Ha(s), может быть опи-
сана дифференциальным уравнением
X м
уа (t)/dtk) =ydAdhx, (t)/dtk). (5.3)
h=0 k=Q
140
Соответствующая рациональная передаточная функция для
цифровых фильтров имеет вид
М I N
(Z) = £ bkz~h / £ ahz~k = Y (z)/X (г). (5.4>
ft=0 / ft=0
Входной и выходной сигналы связаны между собой с помощью
сверточной суммы
у(п)= x(k)h(n—k) (5.5)
fc=— 00
или, что то же, с помощью разностного уравнения
N м
2 акУ (п—й) = J] bhx (n—k). (5.6)
h=0 k=0
При преобразовании аналоговой системы в цифровую мы должны
поэтому получить либо H(z), либо /г (и) из расчета аналогового
фильтра. При таких преобразованиях, как правило, требуется, что-
бы существенные свойства аналоговой частотной характеристики
сохранялись в частотной характеристике получающегося в резуль-
тате преобразования цифрового фильтра. Под этим подразумевает-
ся, что необходимо мнимую ось из s-плоскости отобразить в еди-
ничную окружность на z-плоскости. Второе требование состоит э
том, что устойчивый аналоговый фильтр должен быть преобразо-
ван в устойчивый цифровой фильтр. Это означает, что если анало-
говая система имеет полюсы только в левой половине s-плоскости,
то цифровой фильтр должен иметь полюсы только внутри единич-
ного круга. Эти ограничения являются основными для всех мето-
дов, которые должны быть рассмотрены в этом параграфе.
5.1.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Одна из процедур преобразования данных расчета аналогово-
го фильтра для расчета цифрового фильтра соответствует выбору
в качестве импульсной характеристики цифрового фильтра равно-
мерно распределенных отсчетов импульсной характеристики ана-
логового фильтра [1, 4]. Иначе говоря, h(п) = ha(nT), где Т — пе-
риод дискретизации.
Как обобщение (1.29), можно показать, что z-преобразование
от й(п) связано с преобразованием Лапласа от ha(t) соотношени-
ем
00
н (z) |2=esт = ~ £ tfa (s + i у- *) • (5.7)
k=—со
Из соотношения z=esT видно, что полосы шириной Чя/Т иэ
s-плоскости отображаются в целую z-плоскость, как показано на
рис. 5.2. Левая половина каждой полосы s-плоскости отображается
141
во внутреннюю область единичного круга, а правая половина — во
внешнюю область. Мнимая ось s-плоскости отображается в еди-
ничную окружность таким путем, что каждый отрезок длиной
2л/7’ укладывается один раз на единичной окружности. Из (5.7)
\Я s-плоскость
ИЕ
-Зя-
• — — •• — —
Рис. 5.2. Представление
скретизации
периодической ди-
ясно, что каждая горизонтальная полоса из s-плоскости переносит-
ся на г-плоскость для формирования цифровой передаточной функ-
ции из аналоговой передаточной функции. Таким образом, метод
импульсной инвариантности не соответствует простому алгебраиче-
скому отображению s-плоскости на г-плоскость.
Частотная характеристика цифрового фильтра связана с час-
тотной характеристикой аналогового фильтра соотношением
Я(е'“)=ф j ».(if + iy4). (5.8)
k==—QO
Из рассмотрения теоремы дискретизации (§ 1.7) очевидно, что ес-
ли и только если /7o(iQ)=0, |Q| ^л/Т, то Я(е‘“) = (Г/Т)ЯаХ
X[1 (со)//’)], |о)|=Сл. К сожалению, любой практический аналого-
вый фильтр не будет обладать резко ограниченной полосой, и, сле-
довательно, имеет место
явление наложения между
последовательными члена-
ми в (5.8), как показано на
рис. 5.3.
Из-за явления наложе-
ния, которое возникает в
процессе дискретизации, ча-
Рис. 5.3. Графическое представление эф-
фектов наложения прн расчете фильтра
методом инвариантности импульсной ха-
рактеристики
стотная характеристика ре-
зультирующего цифрового
фильтра не будет иден-
тична исходной аналоговой
частотной характеристике.
Важно отметить, что если рассматриваемые при расчете требо-
вания должны быть выражены через требования для цифрового
фильтра, то изменение в величине Т не оказывает влияния на сте-
пень наложения при процедуре расчета на основе инвариантности
импульсной характеристики. Например, обращаясь к рис. 5.3, мож-
но считать, что частота среза рассчитываемого цифрового фильтра
142
должна быть на частоте, отмеченной QaT. Такая точка в частотной
характеристике затем ограничивается как частота среза цифрового'
фильтра нижних частот, и если Т уменьшается, то йа в аналого-
вом фильтре должна быть соответственно увеличена так, чтобы
QaT оставалась постоянной и равной частоте среза, определенной
для цифрового фильтра. Таким образом, если Т уменьшается с
целью снижения эффекта наложения, то Qa должна быть соответ-
ственно увеличена. При таком подходе, если рассчитываемый циф-
ровой фильтр определяется с помощью частот единичной окружно-
сти, то при методе импульсной инвариантности параметр Т оказы-
вается независимым параметром и может быть принят равным еди-
нице. Несмотря на то что при использовании метода импульсной
инвариантности на практике принято учитывать параметр Т, сле-
дует помнить, что этот параметр играет второстепенную роль в
процедуре расчета.
Чтобы исследовать интерпретацию метода расчета на основе
импульсной инвариантности с помощью соотношения между s- и
г-плоскостями, рассмотрим передаточную функцию аналогового-
фильтра, представленную в виде разложения на простые дроби
так, что
= <5-9>
Й=1
Соответствующая импульсная характеристика имеет вид ha(t) =
= ^Аке‘^ u(t), где и (t) — аналоговая функция единичного скачка.
й=1
Тогда импульсная характеристика цифрового фильтра равна
N N
h (n) = ha (пТ) = У Ahe^nT u(n) = \\Ak( eV)" и (п).
й=1 й=1
Передаточная функция цифрового фильтра Н(?) поэтому опре-
деляется выражением
#(*) = £ ^/(i-e^z-1)]. (5.10>
й=1
При сравнении (5.9) и (5.10) замечаем, что полюс в точке s = sft
из 5-плоскости преобразуется в полюс в точке eSftT на г-плоскости,
а коэффициенты в разложении на простые дроби Ha(s) и Н(г)
равны. Если аналоговый фильтр является устойчивым (соответст-
венно чему действительная часть меньше нуля), то величина
будет меньше единицы, так что соответствующий полюс в
цифровом фильтре находится внутри единичного круга и, следова-
тельно, цифровой фильтр является также устойчивым. Несмотря
на то что полюсы s-плоскости отображаются в полюсы z-плоско-
сти в соответствии с соотношением zfe = es?jr, важно отметить, что»
процедура на основе инвариантности импульсной характеристики
не полностью соответствует отображению s-плоскости на г-плос-
143
кость согласно такому или фактически любому другому соотноше-
нию. В частности, нули цифровой передаточной функции являются
функцией полюсов и коэффициентов Ak в разложении на простые
дроби, и они в общем случае не будут отображаться таким же об-
разом, как отображались полюсы.
П ример. В качестве примера определения цифрового фильтра из анало-
гового фильтра на основе инвариантности импульсной характеристики рассмот-
рим аналоговую передаточную функцию Ha(s), заданную в виде Ha(s) = (s+
+а)/[($ + а)2-1-&2] = {[(1/2)/(«+а-н*&)] + [(l/2)/(s-f-a—/&)]}. Соответствующая
передаточная функция цифрового фильтра, полученного методом импульсной ин-
вариантности, равна
7/ (г) =-------—----------+---------------------=
l_s~aTe~ibT г-1 Т _ &-аТ eibT Z~1
__________1—(е~аГсо8&7)2~г____________
“ (1 - е-аТ е-гбт г“1) (1 - е~аТ eibT г"1) ’
Цифровой фильтр, следовательно,
имеет один нуль в начале коор-
динат и нуль в точке z =
= е~аТ cos ЬТ.
На рис. 5.4 показано располо-
жение полюсов и нулей для Ha(s)
в s-плоскости и для Н (z) в z-пло-
скости совместно с аналоговой и
цифровой частотными характери-
стиками. В данном случае частот-
ная характеристика аналоговой
системы спадает довольно медлен-
но по отношению к частоте дис-
кретизации, и поэтому эффекты
наложения в цифровой частотной
характеристике становятся оче-
видными.
Рис. 5.4. Расположение полюсов
и нулей и частотная характери-
стика:
а) аналоговой системы второго по-
рядка; б) дискретной системы, по-
лученной путем дискретизации
импульсной характеристики выше-
указанной системы
Необходимо отметить, что когда аналоговый фильтр является
«достаточно ограниченным по полосе», то вышеприведенная проце-
дура дает цифровой фильтр, частотная характеристика которого на
основании (5.8) имеет вид Н (е‘ю) ~ (1/Т)/7а|д(ш!/Г)].
Таким образом, при высоких частотах дискретизации (малом
7) цифровой, фильтр может иметь чрезвычайно большое усиление.
По этой причине в общем случае вместо (5.10) целесообразно ис-
пользовать выражение вида
//(z) = 2[W(!-Ar2-1)] . (5.11)
й=1
144
Это означает, что импульсной характеристикой является h(n) =
= Tha(nT) [3,4].
Основой для метода импульсной инвариантности, как было ука-
зано выше, является выбор импульсной характеристики для циф-
рового фильтра, которая будет подобной в некотором смысле им-
пульсной характеристике аналогового фильтра. Использование
этой процедуры часто мотивируется не столько желанием сохра-
нить форму импульсной характеристики, сколько знанием того
факта, что если аналоговый фильтр является ограниченным по по-
лосе частот, то частотная характеристика цифрового фильтра бу-
дет точно аппроксимировать аналоговую частотную характеристи-
ку. Тем не менее в некоторых случаях расчета фильтров основной
задаче?! может оказаться создание некоторых свойств отклика, та-
ких, как импульсная характеристика или реакция на единичный
скачок. В подобных случаях естественный подход должен быть свя-
зан с расчетом цифрового фильтра на основе импульсной инвари-
антности или процедуры инвариантности к скачку. В последнем
случае в качестве отклика цифрового фильтра на дискретизован-
ную функцию единичного скачка принимаются отсчеты отклика
аналогового фильтра на единичный скачок. Если аналоговый
фильтр обладает хорошими параметрами переходной характерис-
тики, такими, как малое время нарастания и небольшой выброс,
то эти параметры должны быть сохранены в цифровом фильтре.
Очевидно, эта концепция инвариантности формы сигнала может
быть распространена на случаи сохранения формы выходного сиг-
нала для многих входных сигналов.
Хотя в процедуре расчета на основе импульсной инвариантно-
сти вводятся искажения в частотную характеристику из-за эффек-
та наложения, соотношение между аналоговыми и цифровыми час-
тотами является линейным и, следовательно, за исключением эф-
фекта наложения, форма частотной характеристики сохраняется.
Это отличает изложенное от процедур, подлежащих дальнейшему
рассмотрению, в которых используются алгебраические преобразо-
вания. Необходимо еще отметить, что методы импульсной инвари-
антности оказываются подходящими только в случае фильтров,
существенно ограниченных по полосе частот. Например, фильтры
высоких частот или режекторные фильтры потребовали бы допол-
нительного ограничения полосы частот для того, чтобы избежать
сильных искажений из-за эффекта наложения.
5.1.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ, ОСНОВАННЫЕ НА ЧИСЛЕННОМ
РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Вторым подходом к получению цифрового фильтра является
аппроксимация производных в (5.3) с помощью конечных разно-
стей. Этот метод является стандартной процедурой при численном
анализе [5] и при цифровом моделировании аналоговых систем.
Эта процедура объясняется тем интуитивным понятием, что про-
изводная аналоговой временной функции может аппроксимиро-
145
ваться с помощью разности между последовательными отсчетами
функции, подлежащей дифференцированию. Можно ожидать, что
по мере того, как частота дискретизации увеличивается, т. е. отсче-
ты оказываются ближе друг к другу, точность аппроксимации про-
изводной будет возрастать. Например, предположим, что первая
производная аппроксимируется обратной разностью [5]
I - V10 to(»)1 = . (5.12)
at \t=nT Т
где у(п) =уа(пТ). Аппроксимации для производных более высоко-
го порядка получаются путем повторного применения операции
(5.12), т. е.
(ft Уа (О
dft
_ d / <ft-l
t=nT dt
[y (n)]l •
Для удобства обозначим
i=nT
(й) [У(п)] =
(5.13)
V(0> [*/(«)] =У(п). (5.14)
С учетом (5.12) — (5.14) выражение (5.3) принимает вид
v(fi) [*/(«)] = £ 4 v(ft) [%(«)],
й=0 k=0
где у (n) =ya(nT) и х(п)—Ха(пТ). Заметим, что операция
V(l>[ ] является линейным инвариантным к сдвигу оператором и
что ( ] может рассматриваться как каскадное соединение (k)
операторов V<6[ ]. в частности,
£[v^(«)]H(i-*’W(*)
и [x(n)]] = |(l-
Таким образом, взяв г-преобразования от каждой части, получим
М I N
dh [(1 —z-1)/T]ft / £ ch [(1 -2-‘)/Т]\ (5.15)
й=0 / й=0
Из сравнения (5.15) и (5.1) видно, что цифровая передаточная
функция может быть получена непосредственно из аналоговой пе-
редаточной функции путем замены переменных
s=(l—г“1)/7’. (5.16)
Замена производных конечными разностями обеспечивает точное
отображение s-плоскости на г-плоскость в соответствии с (5.16).
Предварительно было показано, что мнимая ось из s-плоскости
должна отображаться в единичную окружность на г-плоскости и
что устойчивые аналоговые фильтры должны отображаться в ус-
тойчивые цифровые фильтры. Чтобы исследовать эти вопросы
146
применительно к преобразованию вида (5.16), нужно выразить z
как функцию s, т. е. г=1/(1—sT). Заменив s = iQ, получим
г =1/(1 — iQT). (5.17)
Очевидно, что геометрическое место точек оси iQ в s-плоскости не
является единичной окружностью в г-плоскости, поскольку | z | =/= 1
для всех значений й в (5.17). Действительно, выражение (5.17)
можно записать в виде
г = (1/2) (1 + [(1 + i Q Т)/(I - i Q Г)]} = (1/2) [1 + ei2tg~'(й Г)] ,
(5.18)
которое соответствует окружности с центром в точке г= 1/2 и ра
диусом, равным 1/2, как показано на рис. 5.5. Легко проверить
что левая половина s-плоскости отображается во внутреннюю об
ласть малого круга, а правая
часть s-плоскости — во внеш-
нюю область круга. Поэто-
му, несмотря на то что тре-
бование отображения iQ-оси
в единичную окружность не
удовлетворяется, это отобра-
жение удовлетворяет условию
устойчивости, так как полю-
сы левой половины s-плоско-
сти отображаются во внутрен-
нюю область малого круга, ко-
торый располагается внутри
s= 1Я
Рис. 5.5. Отображение s-плоскости на
z-плоскость в соответствии с аппрокси-
мацией производной первой обратной
разностью
единичного круга.
Полезно сопоставить этот результат с обычным интуитивным
представлением. Обычно считается, что моделирование на ЦВМ.
процесса обработки непрерывного сигнала, описываемого диффе-
ренциальным уравнением, может быть выполнено путем замены
производных конечными разностями, если такой сигнал был дис-
кретизирован с достаточно высокой частотой (скоростью). Напри-
мер, если необходимо продифференцировать непрерывный сигнал,
то мы интуитивно ожидаем, что аппроксимация производной мо-
жет быть выполнена с помощью дискретизации непрерывной функ-
ции с достаточно малым шагом и формирования первой обратной
разности полученной последовательности. Чтобы показать совпаде-
ние этого интуитивного подхода с только что полученным резуль-
татом, заметим, прежде всего, что если аналоговый сигнал с огра-
ниченной полосой дискретизируется с частотой Найквиста, то
спектр является ненулевым для всего единичного круга. С увели-
чением частоты дискретизации (уменьшением периода дискрети-
зации) ненулевая часть спектра цифрового сигнала стягивается
все в меньшую и меньшую часть единичного круга и, в частности,
если выбрать период дискретизации достаточно малым, то можно
сконцентрировать ненулевую часть спектра около точки z—\ в z-
147
плоскости. Соответственно, если Т является достаточно малым в
(5.13), то частотная характеристика цифрового фильтра будет
концентрироваться на малой окружности (рис. 5.5) в окрестности
точки 2=1. Таким образом эта точка оказывается точкой касания
малой и единичной окружностей. В случае, если и характеристика
фильтра, и спектр сигнала сконцентрированы в такой области, то
можно ожидать, что цифровой фильтр будет точно аппроксимиро-
вать аналоговый фильтр.
Другой аппроксимацией производной является прямая разность.
Первая прямая разность определяется как [//(лг) ] = г/(м-|- 1) —
—у(п). Можно показать, что отображение, соответствующее этой
аппроксимации, может привести к нестабильным цифровым фильт-
рам.
Главное в предыдущем примере состоит в том, что уменьшение
периода дискретизации теоретически позволяет получить лучший
фильтр по сравнению с методом импульсной инвариантности, так
как спектр сигнала в этом случае имеет тенденцию концентриро-
ваться в очень малую область единичного круга. Однако в общем
случае нет достаточных данных для того, чтобы рекомендовать
использование метода прямых или обратных разностей в цифро-
вой обработке сигналов, так как требуемые высокие частоты дис-
кретизации в результате приводят к очень малоэффективному
представлению фильтра и входного сигнала. К тому же очевидно,
что эти процедуры оказываются крайне неудовлетворительными
для любых фильтров, кроме фильтров нижних частот. Поэтому мы
склоняемся к рассмотрению других отображений, в которых мож-
но избежать проблем наложения, характерных для метода им-
пульсной инвариантности.
5.1.3. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
В предыдущем параграфе цифровой фильтр получался на ос-
нове аппроксимации производных конечными разностями. Другая
процедура основана на интегрировании дифференциального урав-
нения и последующей численной аппроксимации интеграла. На-
пример, рассмотрим уравнение первого порядка
Cj!/a(0+Col/a(0=do^(0> (5.19)
где y'a(t) —первая производная от ya(t). Соответствующая анало-
говая передаточная функция имеет вид Ha(s) =dol (cis + Со) Запи-
t
шем ya(t) в виде интегралаот y'a(t), т. е. ya(t) — § y'a(t)dt+ya(to).
^0
В частности, если t=nT и /0= («—ОД то
«Г
У а (пТ) = f У’а (т) d т + уа ((« — 1) Т).
(п-1) 7
148
Если интеграл аппроксимируется формулой трапеции [5], то мож-
но записать
Уа (пТ) = уа ((п -1) Т) + (Т/2) [ у'а (пТ) + у'а ((п-1) Г)]. (5.20)
Однако из (5.19) у'а(пТ) = (—c0/ci)ya(nT) + (d0/ci)xa(nT). Под-
ставим полученное в (5.20):
[У (п)—у(п—1)] = (Т/2) {(—с0/сг) [у (п) + у (п — 1)] +
+ (d0/Cj) [х (п) +х(п— 1)]},
где у(п)—уа(пТ) и х(п) =ха(пТ). Нахождение z-преобразования
и его решение для Н(г) дает
77(z) = V(z)/X(z) = d0/{c1 (2/Т) [(1 — ?“’)/ (1+z-1)] +с0}. (5.21)
Отсюда очевидно, что Н(г) получается из Ha(s) с помощью заме-
ны
s = (2/T) [(1—г-1)/(1-j-z-1)], (5.22)
т. е.
Н (г) = На (s) [(1_ _1)/(]+_1)Г (5.23)
Можно показать, что это справедливо и в общем случае, так как
дифференциальное уравнение N-ro порядка вида (5.3) можно за-
писать как систему N уравнений первого порядка вида (5.19). Из
(5.22) получим выражение для
z = [ 1 + (Т/2) s]/[ 1 - (Т/2) s]. (5.24)
Преобразование, использующее замену (5.22), является били-
нейным преобразованием [1—4,6]. Чтобы показать, что это пре-
образование обладает свойством, при котором мнимая ось из s-
плоскости отображается в единичную окружность, рассмотрим
г=е‘“. Тогда из (5.22)
s = (2/Т) [(1 - е"’ “)/ (1 + е“’ “) ] = (2/Т) [i sin (®/2)/cos (со/2)] =
= (2/Т) i tg (со/2) = о + i Q.
Таким образом, для г, находящегося на единичном круге, о=0, а
Q и ко связаны соотношением n?/2=tg((o/2), которое графически
показано на рис. 5.6. Из рисунка видно, что положительная и от-
рицательная мнимые оси из s-плоскости отображаются соответст-
венно в верхнюю и нижнюю половины единичной окружности на
z-плоскости.
Кроме того, что мнимая ось из s-плоскости отображается в еди-
ничную окружность на z-плоскости, левая половина s-плоскости
отображается во внутреннюю область единичного круга, а правая
половина s-плоскости — во внешнюю область единичного круга,
как показано на рис. 5.7.
Это можно увидеть и из (5.24). Для действительной части от-
рицательной s величина отношения (l+s7’/2)/(l—sT/2) меньше
единицы, что соответствует внутренней области единичного круга.
149
Для действительной части положительной s величина этого отно-
шения больше единицы, что соответствует внешней области еди-
ничного круга. Таким образом, мы видим, что использование били-
нейного преобразования приводит к устойчивым цифровым фильт-
Рис. 5.6. Отображение оси Рис. 5.7. Отображение s-плоскости на
аналоговых частот на еди- z-плоскость при использовании били-
ничную окружность при ис- нейного преобразования
пользовании билинейного
преобразования
рам из устойчивых аналоговых фильтров. К тому же при билиней-
ном преобразовании отсутствует эффект наложения, встречающий-
ся при использовании импульсной инвариантности, так как оно
отображает всю мнимую ось из s-плоскости в единичную окруж-
ность на z-плоскости. Однако при этом в шкалу частот вводится
искажение. Следовательно, расчет цифровых фильтров на основе
билинейного преобразования оказывается полезным только тогда,
когда такое искажение может быть допустимо или скомпенсиро-
вано. Особый класс фильтров, для которых это справедливо, пред-
ставляют фильтры, для аппроксимации которых выбрана идеаль-
ная кусочно-постоянная характеристи-
ки^! ка. Например, если необходимо рас-
считать фильтр нижних частот, то оты-
7 скивается аппроксимация для идеаль-
----------------------- ной характеристики нижних частот,
_____________________________________, показанной на рис. 5.8. Если можно
2я-шс ш рассчитать идеальный фильтр нижних
п с „ .._____________частот в s-плоскости с частотой среза
Рис. 5.8. Частотная характери- „ /о/-г\ i т\ „
стика идеального фильтра (2/7/ tg (<Вс/2), ТО В результате
нижних частот отображения такого фильтра на г-пло-
скость с помощью билинейного преоб-
разования получится идеальная харак-
теристика (см. рис. 5.8). Конечно, точно реализовать идеальный
фильтр этого типа ни в аналоговом, ни в цифровом случае невозмо-
жно. В общем случае мы аппроксимировали бы подобную характе-
ристику фильтра, допуская некоторое отклонение от единицы в по-
лосе пропускания и некоторое отклонение от нуля в полосе непропу-
скания с переходной полосой частот ненулевой ширины. На рис. 5.9
показаны отображение аналоговой частотной характеристики в со-
ответствующую цифровую частотную характеристику и допуски
150
для их параметров. Если критические частоты аналогового фильтра
предварительно скорректированы как показано, то при преобразо-
вании аналогового фильтра в цифровой, используя (5.23), послед-
ний будет удовлетворять заданным требованиям.
Типичными примерами частотно-избирательных аналоговых
фильтров являются фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптиче-
ские [7, 8]. Как мы увидим в следующем параграфе, эти методы
Рис. 5.9. Деформация шкалы частот при преоб-
разовании аналогового фильтра нижних частот в
цифровой фильтр нижних частот
аналоговой аппроксимации имеют расчетные формулы замкнутой
формы, делающие процедуру расчета довольно простой. Аналого-
вый фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой в
полосах пропускания и непропускания. Чебышевский фильтр име-
ет характеристику с равновеликими пульсациями в полосе пропус-
кания и монотонную в полосе непропускания. Эллиптический
фильтр имеет равновеликие пульсации как в полосе пропускания,
так и в полосе непропускания. Очевидно, эти свойства будут со-
храняться, когда аналоговый фильтр отображается в цифровой
фильтр с помощью билинейного преобразования. Это иллюстриру-
ется пунктирными кривыми частотных характеристик на рис. 5.9.
Хотя билинейное преобразование может быть эффективно ис-
пользовано для отображения кусочно-постоянной амплитудной ха-
рактеристики из s-плоскости на г-плоскость, деформация шкалы
частот будет проявляться в искажениях фазовой характеристики
фильтра. Если бы нас, например, интересовал цифровой фильтр
нижних частот с линейной фазовой характеристикой, то мы не
смогли бы получить такой фильтр, применив билинейное преоб-
разование к аналоговому фильтру нижних частот с линейной фа-
зовой характеристикой.
151
5.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ
АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ
Методы предыдущего параграфа основывались на возможно-
сти использования расчетов соответствующих аналоговых фильт-
ров [7, 8]. В этом параграфе рассматриваются примеры некото-
рых аналоговых методов низкочастотной аппроксимации, включая
аппроксимации Баттерворта, Чебышева и эллиптическую. Рассмот-
рение построено следующим образом: сначала приводятся основ-
ные формулы расчета для каждого отдельного метода аппрокси-
мации; затем при одних и тех же требованиях к фильтру нижних
частот для каждого метода аппроксимации производится расчет
цифрового фильтра, используя как импульсную инвариантность,
так и билинейное преобразование [9].
5.2.1. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА
Фильтры Баттерворта характеризуются тем, что их амплитуд-
ная характеристика является максимально плоской в полосе про-
пускания. Для фильтра нижних частот Лг-го порядка это означает,
что первые 2.V—1 производные квадрата амплитудной характерис-
тики равны нулю в точке £2 = 0. Другое свойство состоит в том,
что аппроксимация является монотонной и в полосе пропускания,
и в полосе непропускания. Выражение для квадрата амплитуд-
ной характеристики аналогового фильтра Баттерворта имеет вид
|7fa(i£2)|2=l/[l+(iQ/i£2cH, . (5.25)
как показано на рис. 5.10.
С увеличением параметра N в (5.25) скаты характеристики
фильтра становятся круче, т. е. становятся ближе к единице для
большей части полосы пропускания и более быстро приближают-
Рис. 5.10. Квадрат
амплитудной характе-
ристики аналогового
фильтра Баттерворта
Рис. 5.11. Зависимость ампли-
тудной характеристики фильт-
ра Баттерворта от его по-
рядка АГ
ся к нулю в полосе непропускания, хотя значение амплитудной
характеристики на частоте среза Qc всегда равно 1/V 2 из-за ха-
рактера (5.25). Зависимость амплитудной характеристики фильт-
ра Баттерворта от параметра N показана на рис. 5.11.
Из (5.25) для квадрата амплитудной характеристики следует,
что Ha(s)Ha(—s) должно быть равно
На (s) На (-s)= 1/[ 1 + (s/i Qc)22V], (5.26)
152
Тогда корни полинома знаменателя (полюсы квадрата амплитуд-
ной характеристики) равны sp — (—1)<1/22V) (iQc).
Таким образом, существует 2N полюсов, равномерно распреде-
ленных по углу на единичной окружности радиуса Qc в s-плоско-
сти. Полюсы располагаются симметрично относительно мнимой оси.
Полюс никогда не попадает на мнимую ось и может находиться
на действительной оси только для N нечетных. Расстояние по уг-
лу между полюсами на единичной окружности составляет л/N рад.
Например, для N=3 полюсы распределены через л/3 рад или че-
рез 60°, как показано на рис. 5.12. Для определения передаточной
Рис. 5.12. Расположе-
ние полюсов в s-пло-
скости для фильтра
Баттерворта третьего
порядка
1~ЯСТ 1+ЯсТ
7+ЯсГ 1-ЯсТ
Рис. 5.13. Окружность Баттер-
ворта, полученная с помощью
билинейного преобразования
функции аналогового фильтра, соответствующей квадрату ампли-
тудной характеристики Баттерворта, необходимо разложить
Ha(s)Ha(—s) на множители. Мы видим, что полюсы квадрата
амплитудной характеристики фильтра Баттерворта образуют пары
так, что если существует полюс в точке s=sp, то также образует-
ся полюс в точке s=—sp. Следовательно, чтобы создать Ha(s) на
основе квадрата амплитудной характеристики, необходимо вы-
брать по одному полюсу из каждой такой пары. Если ограничить
фильтр условиями устойчивости и физической реализуемости, ко-
торые, как правило, требуются, то эти полюсы будут располагать-
ся на части левой полуплоскости круга Баттерворта. Если мы по-
лучаем цифровой фильтр Баттерворта из аналогового фильтра
Баттерворта путем отображения структуры полюсов из s-плоско-
сти на z-плоскость, используя билинейное преобразование, то на
z-плоскости квадрат соответствующей амплитудной характеристи-
ки имеет 2N нулей в точке z=— 1. Тогда круг Баттерворта из s-
плоскости отображается в круг на z-плоскости, так как билиней-
ное преобразование является конформным отображением. Однако
центр круга Баттерворта в z-плоскости не совпадает с началом
координат. Положение этого круга на z-плоскости показано на
рис. 5.13.
Несмотря на то что полюсы в s-плоскости были равномерно
распределены по углу на окружности Баттерворта, это в дальней-
153
шем не выполняется для г-плоскости. Действительно, пара полю-
сов в точках sp и —sp из 5-плоскости отображается в пару полю-
сов в точках zp и V/Zp на г-плоскости. На рис. 5.14 показано по-
ложение полюсов квадрата ам-
плитудной характеристики в z-
плоскости для предыдущего при-
мера при Af=3.
Как правило, при расчете фи-
льтра Баттерворта на основе би-
линейного преобразования наибо-
лее простая процедура получает-
ся, когда сначала определяются
положения полюсов в s-плоско-
сти и затем с помощью соответст-
вующего преобразования полюсы
левой полуплоскости отображают-
ся на г-плоскость вместо попытки
расположить полюсы непосредст-
венно в г-плоскости.
В качестве примера рассмот-
рим расчет цифрового фильтра
щположим, что нам требуется та-
г-плпскость
5 3
Рис. 5.14. Расположение полю-
сов в г-плоскости для фильт-
ра Баттерворта третьего по-
рядка, полученного с помощью
билинейного преобразования
Баттерворта нижних частот.
кой фильтр, у которого амплитуда в полосе пропускания постоян-
на в пределах 1 дБ для частот ниже 0,2л и ослабление в полосе
непропускания больше 15 дБ для частот между 0,3л и л. Таким
образом, если амплитуда в полосе пропускания нормирована к еди-
нице при (о = 0, то требуется, чтобы 201g|7f (е‘°’2я) | —1 и
201g|//(ei0’3lT) | —15. Используя эти требования, произведем рас-
чет цифрового фильтра из аналогового фильтра Баттерворта на
основе как импульсной инвариантности, так и билинейного преоб-
разования. Эти же самые требования будут использованы для' по-
следующих примеров других методов аппроксимации.
Расчет на основе импульсной инвариантности. При расчете
цифрового фильтра на основе импульсной инвариантности анало-
гового фильтра Баттерворта мы, во-первых, должны преобразо-
вать эти требования в требования, определенные с помощью ана-
логовой частоты. Напомним, что импульсная инвариантность соот-
ветствует линейному отображению аналоговой частоты в цифро-
вую частоту при отсутствии эффекта наложения. При расчете
цифрового фильтра на базе импульсной инвариантности удобно
предположить, что эффект наложения пренебрежимо мал. После
того как такой расчет выполнен, можно оценить качество получен-
ного фильтра.
Для данного расчета, ради удобства, будем предполагать, что
параметр Т равен единице. Затем найдем аналоговый фильтр Бат-
терворта с квадратом амплитудной характеристики |//a(iQ)|2, для
которой 201g| Яа(Ю,2л) | 1 и 201g|//a(i0,3n) | —15. Поскольку
фильтр Баттерворта описывается выражением
\на (Ш) i2= i/[i+тН,
154
то расчет фильтра сводится по существу к определению парамет-
ров .У и Qc, удовлетворяющих заданным требованиям. Сначала
определим эти параметры, удовлетворяющие требованиям при вы-
полнении условий
1 + (0,2n/Qc)22V = 10°11 (5.27)
и l+(0,3n/Qc)2JV = 10* 1’5 . (5.28)
Решение этих двух уравнений приводит к значениям jV=5,8858 и
Qc=0,70474. Параметр iV, однако, должен быть целым числом.
Следовательно, чтобы такие требования были удовлетворены или
превышены, округляем JV до значения ближайшего большего це-
лого числа, так что N=6. Теперь требования как для полосы про-
пускания, так и для полосы непропускания не могут быть удовлет-
ворены точно. При изменении величины йс существует компромисс
в количественных значениях, на которые превышаются требова-
ния для полосы пропускания и полосы непропускания. Если под-
ставим N=6 в (5.27), то получим йс=0,7032. При этом значении
N требования для полосы пропускания будут удовлетворены точ-
но, а для полосы непропускания будут превышены (для аналого-
вого фильтра). Это допускает некоторый запас для эффекта нало-
жения в цифровом фильтре. При этом значении йс и N=6 сущест-
вуют три пары полюсов в левой полуплоскости s с координатами:
1) —0,1820±i0,6792; 2) —0,4972±i0,4972; 3) —0,6792±i0,1820, так
что
TJ , . 0,12093
п„ (s) =-----------------------------------------------------
(s2 * * + 0,3640s + 0,4945) (s2+ 0,9945s+ 0,4945) X
X (s2 + 1,3585s+ 0,4945) ’
Если представить Ha(s) в виде разложения на простые дроби и
выполнить преобразование типа (5.11), то результирующая пере-
даточная функция цифрового фильтра будет иметь вид
0,2871 —0,4466г-1 — 2,1428 + 1,1454г-1
Н (z) =----!-----------------+-------------!1----------4-
1 — 1,1297г-1 + 0,6949г-2 1 — 1,0691г-1 + 0,3699г-2
1,8558 —0,6304г-1
1 — 0,9972-1 + 0,2570г-2
Как видно из этого выражения, передаточная функция, полученная
на основе процедуры импульсной инвариантности, может быть
реализована непосредственно в параллельной форме. Если жела-
тельна каскадная или прямая форма, то отдельные члены второго
порядка должны быть скомбинированы соответствующим спосо-
бом.
Частотная характеристика рассмотренной выше системы пока-
зана на рис. 5.15. Напомним, что фильтр был рассчитан так, что-
бы точно удовлетворить требованиям на границе полосы пропуска-
ния и превзойти их на границе полосы непропускания, что, дейст-
155
вительно, и достигнуто. Это является свидетельством того, что ана-
логовый фильтр был достаточно ограниченным по полосе так, что
имеющее место наложение несущественно. Иногда это не выпол-
£У
Рис. 5.15. Частотная характеристика фильтра
Баттерворта шестого порядка, полученного на
основе метода импульсной инвариантности
няется. Если результирующий цифровой фильтр не удовлетворяет
требованиям, то можно попытаться достичь их путем перехода к
фильтру более высокого порядка или различных изменений пара-
метров фильтра, сохраняя неизменным порядок.
Расчет на основе билинейного преобразования. Как было рас-
смотрено ранее, при выполнении расчета с использованием били-
нейного преобразования требования для цифровых частот должны
быть предварительно скорректированы для соответствия аналого-
вым частотам так, чтобы при частотных искажениях, присущих би-
линейному преобразованию, критические аналоговые частоты отоб-
ражались бы в правильные критические цифровые частоты. Для
конкретного фильтра, который мы здесь рассматриваем, с
|Да(К2) |2, представляющей квадрат амплитудной характеристики
аналогового фильтра, мы требуем, чтобы
201g | Яа (i 2tg (0,2я/2)) | >-1
и 201g | На (i 2tg (0,Зл/2)) | < — 15,
где мы снова для удобства полагали Т=\. Из решения уравнений
I + (2tg (0, ln)/Qc)2‘v = 10°'1 (5.29)
156
и 1 + (2tg (0,15л)/йс)2л = 10* 1’5 * *
получим
/V — Ig 1(101,5— 1)/(10°-1)] _додав
2 lg [tg (0,15n)/tg (О,1л J
(5.30)
Рис. 5.16. Расположение
полюсов в s-плоскости
для фильтра Баттервор-
та шестого порядка
s-плоскость
Чтобы удовлетворить заданным требованиям, N должно быть
выбрано равным шести. Если мы определя-
ем Йс путем подстановки N = 6 в (5.30), то
получаем Qc = 0,76622. При этом значении
£2С требования для полосы пропускания пре-
вышаются, а для полосы непропускания
удовлетворяются точно. Это оказывается
приемлемым для билинейного преобразова-
ния, так как мы при этом не должны учиты-
вать эффект наложения. Это значит, что
при соответствующей предварительной кор-
рекции шкалы частот можно быть уверен-
ным, что результирующий цифровой фильтр
будет точно удовлетворять требованиям на
границе заданной полосы непропускания.
В s-плоскости 12 полюсов квадрата амплитудной характеристи-
ки равномерно распределены по углу .на окружности радиуса
0,76622, как показано на рис. 5.16. Передаточная функция в s-
плоскости, соответствующая полюсам левой полуплоскости, имеет
вид
0,20238
На (S) =
(s3 *+ 0,396s-j- 0,5871) (s2+ 1,083s + 0,5871) (s2 +
->+ 1,4802s -f- 0,5871)
Тогда передаточная функция H(z) для цифрового фильтра полу-
чается на основе применения билинейного преобразования к Ha(s)
при Т, равном единице. В результате
н =0,0007378(1 +Z-1)8 х
(1 — 1,2686г-1 + 0,7051г-2) (1 — 1,0106г-' + 0,3583г-2)
1
-------------
(1 —0,9044г-1 + 0,2155г-2) ’
Цифровые амплитудная и фазовая характеристики показаны на
рис. 5.17. Мы замечаем, что при <о=0,2л усиление уменьшается на
0,5632 дБ и при ы=0,Зя — точно на 15 дБ.
Следует также отметить, что амплитудная характеристика на
рис. 5.17 спадает гораздо быстрее, чем аналогичная характеристи-
ка на рис. 5.15. Это происходит из-за того, что билинейное преоб-
разование отображает всю ось iQ из s-плоскости на единичную
окружность. Так как аналоговый фильтр Баттерворта имеет нуль
157
шестого порядка при s=°o, то результирующий цифровой фильтр
имеет нуль шестого порядка в точке z~ — 1.
Рис. 5.17. Частотная характеристика фильтра
Баттерворта шестого порядка, полученного с по-
мощью билинейного преобразования
5.2.2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
В фильтре Баттерворта частотная характеристика является
монотонной как в полосе пропускания, так и в полосе непропуска-
ния. Следовательно, если требования к фильтру заданы с по-
мощью, допустим, максимальной ошибки аппроксимации в полосе
пропускания, то они оказываются превышенными в области ее низ-
кочастотной границы. Более эффективный подход, который обыч-
но приводит к фильтру более низкого порядка, получается при
равномерном распределении точности аппроксимации по всей по-
лосе пропускания или полосе непропускания либо по обеим поло-
сам. Это достигается при выборе аппроксимации, которая имеет
характер равновеликих пульсаций, а не монотонный. Класс фильт-
ров Чебышева обладает тем свойством, что его частотная харак-
теристика имеет либо равновеликие пульсации в полосе пропуска-
ния и монотонный характер в полосе непропускания, либо являет-
ся монотонной в полосе пропускания и обладает равновеликими
пульсациями в полосе непропускания.
158
Первый случай показан на рис. 5.18. Аналитическое выражение
для квадрата амплитудной характеристики имеет вид
|Яа(^)12-1/[1 + 82^(П/Йс)]> (5.31)
где Vjv(x) —полином Чебышева N-ro порядка, по определению
равный
V.v (х) = cos (N cos'1 х) . (5.32)
Например, для N=0 VN(x) = I; для A=1 Vn (х) =cos (cos-1x) =
= x; для N=2 Vw(x) = cos(2cos-1x) = 2x2—1 и т. д.
Рис. 5.18. Аппроксима-
ция фильтра Чебышева
нижних частот
Рис. 5.19. Расположение
полюсов для фильтра Че-
бышева третьего порядка
Из (5.32), которое определяет полиномы Чебышева, нетрудно
получить рекуррентную формулу, из которой УЛ-+1 (х) может быть
получен по Йх(х) и УЛ-_](х)—путем применения тригонометри-
ческих тождеств к (5.32), т. е.
^+1 W = 2xVn (х)-VN_{ (х). (5.33)
Из (5.32) мы замечаем, что V2N(x) изменяется между нулем и
единицей при изменении х между нулем и единицей. Для х больше
единицы cos-*х является мнимой величиной так, что Ул-(х) ведет
себя как гиперболический косинус и, следовательно, монотонно
возрастает с увеличением х. Тогда, как следует из (5.31),
|7/о(Й) |2 имеет пульсирующий характер между 1 и 1/(1 Ч-е2) для
O^Q/Qc^l и монотонно спадает при Q'/Qc> 1. Для полного зада-
ния фильтра требуется три параметра: е, Йс и JV. При типовом рас-
чете е определяется допустимыми пульсациями в полосе пропуска-
ния, а Ос— заданной частотой среза. Порядок А выбирается за-
тем таким, чтобы удовлетворялись требования для полосы непро-
пускания.
Полюсы фильтра Чебышева лежат на эллипсе в s-плоскости
[2, 7, 8]. Из рис. 5.19 видно, что эллипс определяется двумя ок-
ружностями соответственно малой и большой осям эллипса. Ради-
ус малой оси равен аПс, где
а = (1/2) (a1/N — a~l/iV) (5.34)
159
при а = е 1 + 1 + е 2. (5.35)
Радиус большой оси равен bQc, где
Ь = (1/2)(а1/Л' +a“1/iV). (5.36)
Чтобы разместить полюсы фильтра Чебышева на эллипсе, мы
сначала идентифицируем положение точек на большой и малой ок-
ружностях так, чтобы они были равномерно распределены по углу
с интервалом n,/N и чтобы они располагались симметрично отно-
сительно мнимой оси. При этом ни одна из точек не должна по-
падать на мнимую ось, а на действительной оси могут быть точки
только для нечетных >N. Такое деление большой и малой окружно-
стей точно соответствует способу деления окружности при опреде-
лении положений полюсов фильтра Баттерворта. Полюсы фильтра
Чебышева располагаются на эллипсе с ординатой, определяемой
точками на большой окружности, и абсциссой, определяемой точ-
ками на малой окружности. На рис. 5.19 показано расположение
полюсов для случая iN=3.
В качестве примера расчета фильтра Чебышева рассмотрим те
же самые требования, что и для фильтра Баттерворта, и вновь
сравним расчет на основе импульсной инвариантности с расчетом
при использовании билинейного преобразования.
Расчет на основе импульсной инвариантности. Рассчитаем ана-
логовый фильтр Чебышева, для которого квадрат амплитудной
характеристики | На (162) |2 удовлетворяет требованиям 201g|77aX
X (10,2л) —1 и 201g|/fa(i0,3n) | —15. Должен быть выбран та-
кой расчет, при котором удовлетворяются требования на 0,2л при
равновеликих пульсациях частотной характеристики между <2 = 0
и й = 0,2л. Следовательно, йс=0,2л и 6i = 10-0’05=8=0,50885.
Для N=3 201g|/7a(i0,3n) | =—13,4189 и для N—4 201g|/7aX
X (10,3л) |=—21,5834. Поэтому мы выбираем большее значение
N. Для этого значения параметры а, а и b равны: а = 4,1702, а=
= 0,3646 и Ь= 1,0644. Таким образом,
н , ________________0,038286_______________
“ (s2 + 0,4233s+0,1103) (s2+ 0,1753s+ 0,3894)
Передаточная функция цифрового фильтра, полученного на основе
импульсной инвариантности, имеет вид
0,08327+ 0,0239г-1 0,08327 + 0,0246г-1
Н (г) !1.
1 — 1,5658г-1 + 0,6549г-2 1 — 1,4934г-1 + 0,8392г-2
Важно отметить, что благодаря эффекту наложения ослабление на
границе полосы непропускания при £2 = 0,3л оказывается немного
хуже, чем для аналогового фильтра. Однако так как расчет ана-
логового фильтра был произведен для большего ослабления, чем
требовалось (из-за того, что N должно было быть целым), то ре-
зультирующий цифровой фильтр удовлетворяет заданным требо-
160
ваниям. Графики результирующих цифровых амплитудной и фазо-
вой характеристик показаны на рис. 5.20.
Рис. 5.20. Частотная характеристика
фильтра Чебышева четвертого порядка
иижних частот, полученного на основе
метода импульсной инвариантности
нижних частот, полученного иа основе
билинейного преобразования
Рис. 5.21. Частотная характеристика
фильтра Чебышева четвертого порядка
Расчет при использовании билинейного преобразования. В этом
случае требования на аналоговый фильтр являются такими, чтобы
201g | Яа (i 2tg (0,2л/2)) | > —1
и 201g | На (i2tg(0,3n/2)) | < — 15.
Таким образом, параметр Qc равен йс=2tg(0,2л/2) и, как ранее,
61 = 10”°’05=8=0,50885. Наименьшей целой величиной JV, для ко-
торой удовлетворяются требования в полосе непропускания, явля-
ется N=4. Передаточная функция результирующего аналогового
фильтра имеет вид
На (s) =--------------- - °’04381_________________ .
’ (s24- 0,1814S-4-0,4166) (s2+ 0,4378s + 0,1180)
Соответствующий цифровой фильтр при использовании билинейно-
го преобразования имеет передаточную функцию вида
н = __________________0,001836(1 +г-1)4_______________
(1 - 1,49962“1 + 0,8482г-^(1 — 1,5548г-1 + 0,6493г-2) '
Графики результирующих цифровых амплитудной и фазовой ха-
рактеристик показаны на рис. 5.21.
6—117 161
5.2.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
Было показано, что если ошибку аппроксимации распреде-
лить в полосе пропускания равномерно, как в случае аппроксима-
ции Чебышева, то можно удовлетворить расчетным требованиям
при фильтре более низкого порядка, чем в случае монотонного
возрастания ошибки в полосе пропускания, как при аппроксима-
ции Баттерворта. Отметим, что при расчетах по методам как Че-
бышева, так и Баттерворта ошибка в полосе непропускания моно-
тонно уменьшается с частотой, тем самым увеличивая возмож-
ность дальнейших улучшений аппроксимации, если ошибку в по-
лосе непропускания распределить равномерно. Для примера рас-
смотрим аппроксимацию фильтра нижних частот, показанную на
рис. 5.22. Действительно, можно показать [10], что этот тип ап-
проксимации (т. е. с равновеликими пульсациями в полосах про-
пускания и непропускания), который является наилучшим, можно
достичь, когда для данного порядка фильтра N и заданных значе-
ний йр, 6] и ба переходная полоса (Qs — Qp) оказывается мини-
мально возможной. Это значит, что такой тип аппроксимации обе-
спечивает получение частотно-избирательного фильтра с наиболь-
шей крутизной характеристики на-.частоте среза.
Для аналоговых фильтров такая аппроксимация имеет вид
|Да(1Й) |2=1/(1 + е2Д2л-(Й)), где UN(&) —эллиптическая функция
Якоби. Чтобы получить ошибку с равновеликими пульсациями как
в полосе пропускания, так и в полосе непропускания, эллиптиче-
ские фильтры должны иметь как полюсы, так и нули. Как видно
из рис. 5.22, нули такого фильтра лежат на оси iQ в s-плоскости.
Рассмотрение расчета эллиптического фильтра, даже самое по-
162
верхностное, не входит в задачу данного параграфа. Для более
детального рассмотрения рекомендуются книги Гайлемина (Guille-
min) [7], Сторера (Storer) [8], Голда и Рэйдера [1]. Главная
цель состоит в том, чтобы просто подчеркнуть, что этот метод ап-
проксимации приводит к наилучшей амплитудной характеристике
в указанном выше смысле. Поскольку билинейное преобразование
искажает только шкалу частот, то очевидно, что цифровые фильт-
ры, полученные из аналоговых фильтров путем билинейного пре-
образования (с предварительной компенсацией деформаций Qp и
Qs), являются также оптимальными в смысле обеспечения мини-
мальной ширины переходной полосы для заданных значений N,
сор, 6] и ба- С другой стороны, метод импульсной инвариантности
будет нарушать оптимальность такого фильтра.
Характеристики эллиптического фильтра, который удовлетво-
ряет требованиям предыдущих примеров, показаны на рис. 5.23.
В этом случае параметрами аппроксимации частотной характерис-
тики на рис. 5.22 являются: 6i = 10~0 05, ct)J> = 0,2jr, cos = 0,3n и
201g62= —15 дБ. Если зафиксировать 61, со;, и сщ, то это приведет
к тому, что при N=3, 2Q\g82 = —26,71 дБ. Предварительно скор-
ректировав критические частоты так, чтобы Йр = 2tg(0,2л/2) и
Qs=2tg(0,3n/2), получим передаточную функцию аналогового
фильтра
н ,, =____________0,12460(s2 + 1,3040)_____
“ 1 (0,6498s+ 0,2448) (s2 + 0,2521s + 0,4313)
и, используя билинейное преобразование, получим передаточную
функцию цифрового фильтра
/у (2) — 0.05634 (1 —- г1) (1 — 1,0166г~' +г~2)
(1 —0,6830г-1) (1 — 1,4461г1 + 0,7957г'2)
Таким образом, видно, что для рассмотренного примера эллип-
тический фильтр обеспечивает самый низкий порядок фильтра, ко-
торый удовлетворяет требованиям.
5.2.4. ЧАСТОТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРОВ
НИЖНИХ ЧАСТОТ
Предыдущие примеры иллюстрировали использование мето-
дов импульсной инвариантности и билинейного преобразования
для расчета цифровых БИХ-фильтров на основе аналоговых пере-
даточных функций, обладающих избирательными свойствами на
нижних частотах. Идеальные частотные характеристики четырех
обычно используемых типов частотно-избирательных фильтров
показаны на рис. 5.24. На рис. 5.24а—г изображены идеальные
частотные характеристики фильтров нижних частот, верхних час-
тот, полосового и режекторного типов соответственно. Традицион-
ный подход к расчету подобных частотно-избирательных фильтров
сводится, во-первых, к расчету нормированного по частоте низко-
частотного фильтра-прототипа и затем, на основе алгебраическо-
6* 163
го преобразования, к расчету требуемого фильтра нижних частот,
верхних частот, полосового или режекторного типа по данным низ-
кочастотного фильтра-прототипа [7]. В случае цифровых частот-
ы
ш,
Шг б)
1
top
J Г
ш
Шр Л Ш Ы, шг за Ш
11 »
Рис. 5.24. Частотные характеристики идеальных фильтров:
а) нижних частот; б) верхних частот; в) полосо-
вого; г) режекторного
но-избирательных фильтров можно сначала рассчитать аналого-
вый частотно-избирательный фильтр требуемого типа и затем пре-
образовать этот фильтр в цифровой. Недостаток этой процедуры
состоит в том, что при использовании метода импульсной инвари-
антности нельзя преобразовать фильтры верхних частот и режек-
торный вследствие присущих ему искажений за счет эффекта на-
ложения. Другая процедура заключается в расчете цифрового
низкочастотного фильтра-прототипа с последующим выполнением
для него алгебраического преобразования для того, чтобы полу-
чить требуемый частотно-избирательный цифровой фильтр,[11 —
13]. Эта процедура может применяться вне зависимости от вида
процедуры расчета, использованной для получения цифрового низ-
кочастотного фильтра-прототипа.
Частотно-избирательные фильтры низкочастотного, высокочас-
тотного, полосового и режекторного типов могут быть получены из
низкочастотного цифрового фильтра путем использования рацио-
нальных преобразований, очень сходных с билинейным преобра-
зованием, которое применялось для преобразования аналоговой
передаточной функции в цифровую. Чтобы увидеть, как это выпол-
няется, будем считать, что комплексная переменная z связана с
низкочастотной передаточной функцией Hi(z), а комплексная пе-
ременная Z —с требуемой передаточной функцией Hd(Z). Затем
определим отображение из z-плоскости на Z-плоскость в виде
z-1 = G(Z-1) так, что Н&(2.) =Hi(G~i (Z“!)), где G-1() обозначает
обратное отображение, т. е. Z~1 = G~' (z~l). При этом отображение
должно быть таким, чтобы рациональная передаточная функция
Hi(z), соответствующая устойчивому и физически реализуемому
цифровому фильтру, была преобразована в рациональную переда-
точную функцию Hd(Z), соответствующую снова устойчивому и
164
физически реализуемому цифровому фильтру. Поэтому требуется,
чтобы: 1) G(Z-‘) была рациональной функцией Z-1 (или Z);
2) внутренняя область единичного круга z-плоскости должна
отображаться во внутреннюю область единичного круга Z-плоско-
сти.
Таким образом, если 0 и со являются переменными от частоты
в плоскостях z и Z соответственно, т. е. z=e19 и Z = ei0), тогда
e-i6= |<?(e-it0) |е'arg[G(e~1“)1 при | G (е~‘и) | = 1 п0 =—arg[G(e-i“)].
Приведенное выше выражение определяет соотношение между
частотами в плоскостях z и Z. Было показано [11 —13], что наи-
более общая форма функции G(Z-1), удовлетворяющая всем вы-
шеуказанным требованиям, имеет вид
G(Z-1) = ±n [(Z-1— aft)/ (1-aftZ-1)],
k=i
где | аь| < 1 для устойчивости. Путем выбора соответствующих
значений для Лг и констант можно получить множество отоб-
ражений. Простейшим является то, которое преобразует один
фильтр нижних частот в другой фильтр нижних частот. Для это-
го случая
z-1 = G (Z-1) = (Z“' - a)/ (1 — a Z"1).
Если подставить z=eie и Z=ei0), то получим выражение e-i0=
= (e~i0)—a)/(l—ae"i0)), из которого можно увидеть, что
<о — агеtg[(1—a2)sin 0/(2ос Д- (1 ф-a2) cos0)].
Характер этой взаимозависимости для раз-
личных значений а показан на рис. 5.25.
Хотя искажение шкалы частот очевидно на
рис. 5.25 (за исключением а = 0) в случае,
если исходная система имеет кусочно-посто-
янную частотную характеристику в области
нижних частот с частотой среза 0Р, то пре-
образованная система будет также иметь
подобную низкочастотную характеристику
с частотой среза шр, определенную выбором
а. Выразив а через 0Р и <оР, получим
a = sin ((0Р — <Bp)/2)/sin ((0р + <ор)/2).
Таким образом, чтобы использовать эти
чения Hd(Z) фильтра нижних частот с част
имеющейся Hi(z) фильтра нижних частот с частотой среза 0Р,
следовало бы воспользоваться вышеприведенным соотношением
для определения а из выражения Hd(Z) ~Hi(z)
Аналогичным образом можно получить преобразования для
фильтров верхних частот, полосовых и режекторных по данным
фильтра-прототипа нижних частот. Эти преобразования сведены
в табл. 5.1 [11—13].
Рис. 5.25. Искажения
шкалы частот при преоб-
разовании типа нижние
частоты — нижние ча-
стоты
результаты для полу-
отой среза сор из уже
165
ТАБ Л ИЦА 5.11
Тип фильтра Преобразование Расчетные формулы
Нижних частот м 7 Ч N 1 1 « . ( — Ир \ sin \ 2 / а — , . / 6р + Ир \ 51П \ 2 J (ор—заданная частота среза
Верхних частот Z 1 + а 1 4-aZ-1 / Юр + 6р \ cos — \ 2 / a — — , ( Ыр — 0р \ cos < 2 7 сор—заданная частота среза
Полосовой 9 2а k ~ , k — 1 Z-2 — Z-1 4- *4-1 *4-1 [ ы2 М1 \ cos \ 2 / а— , ( «2 —И1 \ cos ( ) \ 2 ) ‘-C’g( 2 )*8 2 ’ (02, о>1 — заданные верхняя и нижняя частоты среза
* — 1 о 2а * , Z 2— Z-1 4- 1 *+ 1 *4-1
Режекторный z—2_ 2g । 1 ~k 1 “р k 1 k 1 ц>2 ~4 ц>1 \ cos 1 \ 2 J a — , / (02 —<ox \ cos ( ) \ 2 ) (02, (01 — заданные верхняя и ннжняя частоты среза
1 — * 9 2а , Z-2 — Z-1 4- 1 14-* 1-4*
В качестве примера использования этих преобразований по-
лучим параметры фильтра верхних частот по данным фильтра
Чебышева нижних частот из § 5.2.2. Напомним, что частота среза
низкочастотного фильтра была 0р = О,2л. Используя билинейное
преобразование, получим
= _________________0,001836(1 4-г-1)*______________
(1 — 1, 5548г- 1 + 0,6493г-2) (1 — 1,4996г-1 + 0,8482г-2)
Частотная характеристика этого фильтра показана на рис. 5.2L
Предположим, что требуется получить фильтр верхних частот с
частотой среза сор = 0,6л. Из табл. 5.1
166
cos [(0,6л-!- 0,2л)/2]
cos [(0,6л — 0,2л)/2]
— 0,38197.
Таким образом, используя указанное в табл. 5.1 преобразование
вида фильтр нижних частот — фильтр верхних частот, получим
Яй(2) = Яг(г)| =
\z =-((Z —0,38197)/(l—0.38197Z ))
_________________0,02426(1 - Z~')4_________________
(1-1,0416Z4 4- 0.4019Z'2) (1 - 0.5561Z-1 + 0,7647Z“2)
Частотная характеристика этой системы показана на рис. 5.26.
Заметим, что, за исключением некоторого искажения шкалы час-
тот, частотная характе-
ристика фильтра верх-
них частот похожа на
характеристику фильт-
ра нижних частот,
сдвинутую по частоте
на л. Также заметим,
что нуль четвертого по-
рядка в точке 2 = — 1
для низкочастотного
фильтра появляется
теперь в точке z= 1 для
фильтра высших ча-
стот.
Рис. 5.26. Частотная харак-
теристика фильтра верхних
частот, полученная на осно-
ве частотного преобразова-
ния
5.3. МАШИННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ
БИХ-ФИЛЬТРОВ
В предыдущем параграфе было показано, что цифровые
фильтры могут рассчитываться путем преобразования данных
расчета соответствующего аналогового фильтра. Этот подход ока-
зывается целесообразным, когда можно воспользоваться достоин-
ствами аналоговых расчетов, которые даются в виде формул или
обширных расчетных таблиц, например, для частотно-избиратель-
ных фильтров, таких, как фильтры Баттерворта, Чебышева или
эллиптические. Однако в общем случае не существует аналитиче-
ских процедур для расчета аналоговых или цифровых фильтров,
удовлетворяющих требованиям произвольной частотной характе-
ристики или другим типам требований. В этих более общих слу-
чаях получены процедуры расчета, которые являются метода-
ми оптимизации и, как правило, основаны на использовании
167
ЦВМ для решения систем линейных или нелинейных уравнений.
В большинстве случаев машинные методы расчета одинаково ус-
пешно применяются для расчета и аналоговых, и цифровых
фильтров лишь с незначительной модификацией. Поэтому нет
никакого преимущества, если первоначально выполнить аналого-
вый расчет и затем преобразовать данные этого расчета для
цифрового фильтра.
Существует ряд машинных методов расчета для аппроксима-
ции произвольной частотной характеристики. В этом параграфе
будет рассмотрен характер некоторых из этих процедур, чтобы
проиллюстрировать возможности машинного расчета цифровых
БИХ-фильтров. При этом основное внимание будет сосредоточено
на формулировании расчетных уравнений, а не на деталях число-
вых процедур, необходимых для получения решения.
5.3.1. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОИ ОШИБКИ
Штейглиц [14, 15] предложил процедуру расчета БИХ-
фильтра, основанную на минимизации среднеквадратической
ошибки в частотной области. При этой процедуре необходимо,
чтобы требуемая частотная характеристика Hd(eia) была опреде-
лена для дискретного ряда частот {со,}, / = 1, 2, Средне-
квадратическая ошибка на этих частотах определяется как
Е = [| 7/( е1'“/) | —i 77d ( е'“/) |]2- (5.37)
/=1
Предполагается, что передаточная функция фильтра имеет вид
к -1 -2
Н (z) = А П 1 + aftZ + bkZ - = AG (z). (5.38)
, . 1 + Cfez 1 + d^z 2 ,
R—i
Каскадная форма выбрана из-за ее сравнительно низкой чувст-
вительности к точности коэффициентов и для удобства в расчете
производных, необходимых в процедуре оптимизации.
Ошибка, определяемая (5.37), может рассматриваться как
функция параметров (аь tn, Ci, аг, &2, •.dk, Л). Поскольку не-
обходимо найти значения этих параметров, минимизирующих
ошибку Е, то нужно взять частные производные от Е по каждому
параметру и приравнять эти производные нулю. Таким образом,
получается (4К+1) уравнений с (47(4-1) неизвестными.
Уравнение для А оказывается особенно простым, поскольку
м
-77- = V {2 [| А11G ( е'| —177d (е‘“/) | ] | G (е* “>)'I) =0.
о | A I
/=1
Решение этого уравнения для [А | дает*
* Знак А не учитывается при минимизации, поскольку рассматривается
только величина ошибки.
168
м
= /=1____________________
Ai
2 Me1*/) |2
/=1
(5.39)
Дифференцирование по оставшимся 4 К неизвестным параметрам,
определяемым вектором ф=[а1, bi, сь d\, а2, Ь2,... ,dh], приводит
к 4К нелинейным уравнениям дЕ(Ф, А)Удфп = 0, п=1, 2,..., 4К,
где фп — /г-я компонента вектора Ф. Эти уравнения можно решить
с помощью методов оптимизации, используя, например, алгоритм
Флетчера — Пауэла (Fletcher — Powell) [16]. Отметим, что при
этой процедуре учитывается только амплитудная характеристика.
Алгоритм оптимизации может в итоге дать значения параметров,
соответствующих неустойчивому фильтру, т. е. полюсы и нули каж-
дого блока второго порядка окажутся за пределами единичного
круга. Кроме ограничений на расположение нулей и полюсов,
Штейглиц проверял корни каждого множителя второго порядка
после завершения процедуры минимизации, и, если полюс (или
нуль) оказывался вне единичного круга, он заменял его на зер-
кальное отображение, оставляя таким образом амплитудную ха-
рактеристику неизменной. Он нашел, что продолжение процедуры
оптимизации иногда приводит к дальнейшему уменьшению ошиб-
ки.
Следующий пример [14] иллюстрирует применение вышеука-
занной процедуры. Идеальный фильтр нижних частот точно опре-
делялся частотой среза 0,1л, как показано на рис. 5.27. Это зна-
чит, что
1, со = 0, 0,01л, 0,02л, • • -,0,09л;
I тт / i сот I _ 0,5, <о = 0,1л,
1 а 71 | 0, <о = 0,11~, о,12л, . . .,0,19л;
0, (о = 0,2л, 0,3л, • • -,0,9л, л.
л1--1——----1---i---1---1 1---111---------
" О,иг 0,2JT 0,17Г OfiTT И.5ТГ 0,6тГ 0,7зГ 0,8Я 1Ш 7Т W
Рис. 5.27. Фиксированные значения
частотной характеристики для при-
мера использования расчетной про-
цедуры Штейглица
Рис. 5.28. Пример частотной ха-
рактеристики, полученной путем
минимизации среднеквадратнче-
ской ошибки (по Штейглицу (14])
169
Заметим, что здесь отсутствует требование о равномерном распре-
делении заданных частот {со,}. На рис. 5.28 показан результат про-
цедуры оптимизации для Л=1 и /<=2.
5.3.2. КРИТЕРИЙ МИНИМИЗАЦИИ р-ошибки
Дечки (Deczky) [17] обобщил процедуру предыдущего пара-
графа для ряда вариантов. Вместо минимизации среднего квадра-
та ошибки минимизировалось взвешенное среднее значение ошиб-
ки, возведенное в р-ю степень. Кроме того, этот метод применялся
как для амплитудной характеристики, так и для групповой за-
держки. Поэтому выражение для минимизированной ошибки яв-
лялось дискретной аппроксимацией либо для
л
£р= f Г(со) [|Я( е' “)!-1 Hd( е‘ “) |]pd со; (5.40)
о
либо для
Ер= j U7(о) [т(со) — rd(со)]рdсо, (5.41)
6
где групповая задержка т определяется как
т (со) =—(dldtn) {arg [И ( е‘“)]}. (5.42)
Предполагается, что требуемый цифровой фильтр определяется
выражением (5.38). Продолжая, как и в § 5.3.1, процедуру мини-
мизации в виде (5.40) либо (5.41), приходится сталкиваться с ре-
шением (4К+1) нелинейных уравнений с (4/<—|—1) неизвестными
параметрами. Показано [17], что если в результате решения полу-
чена устойчивая аппроксимация, то для р^2 существует такой ло-
кальный минимум функции ошибок, что оптимальные параметры
соответствуют устойчивой передаточной функции. Этот результат
зависит от того обстоятельства, при котором как амплитудная ха-
рактеристика, так и групповая задержка каждого блока второго
порядка в (5.39) стремится к бесконечности по мере того, как по-
люсы приближаются к единичной окружности. Таким образом,
функция ошибок становится неограниченной по мере того, как по-
люсы стремятся переместиться через единичную окружность в не-
устойчивую область. Это условие служит как барьер для переме-
щения полюсов в решении нелинейных уравнений при использова-
нии процедуры Флетчера — Пауэла [16].
В качестве примера применения этого метода был рассчитан
эллиптический цифровой фильтр нижних частот четвертого поряд-
ка. Характеристика ослабления (—201g|/7(е'“) |) этого фильтра
показана на рис. 5.29а, а групповая задержка — на рис. 5.296. По-
скольку эллиптический фильтр имеет оптимальную амплитудную
характеристику и довольно нелинейную фазовую, то отыскивался
такой всепропускающий фазовый компенсатор, чтобы при его
каскадном включении с эллиптическим фильтром улучшалась бы
170
фазовая характеристика, т. е. выравнивалась кривая групповой за-
держки в пределах всей полосы пропускания. С учетом ограниче-
ния на коэффициенты в (5.39) для всепропускающего фазового
Рис. 5.29. Характеристики потерь эллиптического фильтра четвер-
того порядка нижних частот (а) и групповая задержка этого
фильтра, скорректированная с помощью четырехзвенного всепро-
пускаюшего фазового компенсатора (р=10) (по Дечки [17]) (б)
фильтра и использованного значения р=10 в (5.41) в результате
получим кривую групповой задержки рис. 5.296. Видно, что кри-
вая групповой задержки имеет характер равновеликих пульсаций
в пределах всей полосы пропускания. Это объясняется тем обстоя-
тельством, что было использовано относительно большое значение
р. Действительно, в общем случае может быть показано, что по
мере того как р—>-оо, оптимальное решение определяется истинной
аппроксимацией с равновеликими пульсациями.
5.3.3. РАСЧЕТ ОБРАТНОГО ФИЛЬТРА МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
В двух рассмотренных ранее процедурах фильтр задавался в
частотной области и результирующая система уравнений была не-
линейной по отношению к параметрам фильтра. Другая процеду-
ра, основанная на аппроксимации методом наименьших квадратов
для обратной характеристики требуемого фильтра, приводит к сис-
теме линейных уравнений. В этой процедуре фильтр задается с по-
мощью первых L выборочных значений требуемой импульсной ха-
рактеристики: {ftd(n)}, п=0, —1. При обсуждении будет
предполагаться, что передаточная функция фильтра имеет вид
I / Л’ \
Н (z) = b0 / I 1 — V акг~к I . (5.43)
/ \ &=i /
Обобщения этой процедуры, допускающие как нули, так и полюсы,
рассмотрены Шэнксом (Shanks) [19], Баррасом (Burrus) и Парк-
сом (Parks) [18]. В этом упрощенном случае расчет фильтра ба-
зируется на том критерии, что выход в случае передаточной функ-
ции, обратной H(z), должен аппроксимировать единичный скачок,
когда входом является hd(n). Если v(n) обозначает выходной сиг-
нал обратной системы с передаточной функцией то V (z) —
171
= Hd(z)IH(z). Таким образом, можно записать рекуррентную
формулу
.V
bov(n)=hd(n) — \arhd(n —г). (5.44)
Г=1
Напомним, что согласно принятому критерию v(n) должен быть
единичным скачком. Таким образом, разумно потребовать, чтобы
bo=hd(O) и v (п) был минимально возможным при и>0. Поэтому
оставшиеся коэффициенты выбираются так, чтобы минимизиро-
вать Е= 2 (ц(п))2.
п=1
Из (5.44)
£=(1/62) V (hd(n))2 — 2 V hd(n) ^arhd(n—r) +
n=l n=l r=-1
00 Г V "12
+ У У arhd(n—r) .
n= 1 Lr=l
Коэффициенты щ, которые минимизируют E, удовлетворяют вы-
ражениям dEldai = Q, i=l, 2, Дифференцирование по щ и
приравнивание производных нулю дает в результате
У ат у hd(n — r)hd(n~0 = 2 hd(n)hd(n — r).
Г—1
CO
Если определить <p(z, г) в виде <p(if r) = 2 hd(n—r)hd(n—f), to
n=l
коэффициенты щ будут удовлетворять системе линейных уравне-
ний
Д’
V ar<p(i, r) = <p(z, 0), z=l, 2, • • •, N. (5.45)
r=l
Эти уравнения можно решить любыми общепринятыми методами.
Можно показать [18, 19], что матрица величин- <p(i, г) является
положительно определенной. Одна особенно эффективная процеду-
ра была получена Левинсоном (Levinson) [20].
5.4. СВОЙСТВА ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
В предыдущих параграфах рассматривались методы расчета
фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины. Не-
смотря на то что такие фильтры имеют много привлекательных
свойств, они также обладают рядом недостатков. Например, если
необходимо воспользоваться достоинством скорости вычисления
БПФ и выполнить фильтр, как рассмотрено в гл. 3, то неотъемле-
мой будет импульсная характеристика конечной длины. Кроме то-
го, примеры предыдущего параграфа ясно показывают, что БИХ-
172
фкльтры, как правило, обеспечивают превосходную амплитудную
характеристику за счет нелинейной фазовой. В противоположность
им КИХ-фильтры могут иметь строго линейную фазовую характе-
ристику. Таким образом, методы расчета КИХ-фильтров представ-
ляют значительный интерес.
Передаточная функция физически реализуемого КИХ-фильтра
имеет вид H(z) = S A(n)z~n, т. е. H(z) является полиномом z_|
п=0
степени \N—1. Таким образом, H(z) имеет N—1 нулей, которые
могут располагаться произвольно в конечной z-плоскости, и N—I
полюсов, которые все находятся в точке z=0. Частотная характе-
ристика Н(е‘“) представляет собой тригонометрический полином
W-1
7/(eiw)= £/ф)е!'"". (5.46)
п=0
Напомним, что любая последовательность конечной длины пол-
ностью определяется iN выборками ее преобразования Фурье, так
что расчет КИХ-фильтра можно выполнить с помощью нахожде-
ния либо коэффициентов его импульсной характеристики, либо ,N
отсчетов его частотной характеристики. В последующих парагра-
фах будут рассмотрены примеры обоих методов.
Если импульсная характеристика удовлетворяет условию
h(n) = h(N— 1— п), (5.47)
то фильтр имеет линейную фазовую характеристику. Как указы-
валось в гл. 4, это можно легко показать, подставив (5.47) в
(5.46), в результате получим
Н (е1 “) =
e-i и ((.V-1)/2)
(JV—3)/2
1 ) + 2A(n)cosx
п—0
N— нечетное;
(5.48а)
е 1 ш <(У ь/2)Г 2/г cos
I п=0
N—четное.
(5.486)
Из этих выражений видно, что в условии (5.47) подразумевается
линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке (N—1)/2
отсчетов. Заметим, что для нечетного >N фазовый сдвиг соответст-
вует целому числу элементов задержки, тогда как для четного N
задержка представляет собой целое число отсчетов плюс полови-
ну отсчета*. Это различие между нечетным и четным значениями
* Можно показать [6], что соотношение (5.47) является как необходимым,
так н достаточным для того, чтобы физически реализуемый цифровой фильтр
имел линейную фазовую характеристику. Таким образом, только КИХ-фильтр
может иметь линейную фазовую характеристику.
173
N часто имеет важное значение при расчете и построении КИХ-
фильтров. На рис. 5.30 показаны примеры импульсных характе-
ристик с линейной фазой.
Рис. 5.30. Типовые импульсные характеристики КИХ-фильтров
с линейной фазой
Поскольку линейная фазовая характеристика, как правило, же-
лательна и часто необходима, а также учитывая, что условие ли-
нейной фазовой характеристики часто упрощает процедуру расчета,
то большая часть обсуждения будет сконцентрирована на фильт-
рах с линейной фазой.
5.5. РАСЧЕТ КИХ-ФИЛЬТРОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ОКОН
Наиболее простой подход при расчете КИХ-фильтров сводит-
ся к получению импульсной характеристики конечной длины путем
усечения последовательности импульсной характеристики беско-
нечной длины. Если предположить, что /7d(ei0)) является идеаль-
ной требуемой частотной характеристикой, то
/7d(eiM)= У ftd (п) е~*" ” , (5.49а)
п——оо
где hd(n)—соответствующая последовательность отсчетов им-
пульсной характеристики, т. е.
(п) = (1/2л) j7/d(eIo))eio),ldco. (5.496)
—л
В общем случае Hd(eit0) для частотно-избирательного фильтра мо-
жет быть кусочно-постоянной с разрывами на границах между по-
лосами. В таких случаях последовательность hd(n) имеет беско-
нечную длину и должна быть усечена для получения импульсной
характеристики конечной длины. Как отмечалось, выражения
(5.49) могут рассматриваться как представление периодической
частотной характеристики /7d(ei(fl) с помощью рядов Фурье, где по-
следовательность hd(n) выполняет роль «коэффициентов Фурье».
Таким образом, аппроксимация заданных требований идеального
фильтра с помощью усечения идеальной импульсной характеристи-
ки тождественна исследованию сходимости рядов Фурье, т. е. во-
просу, который глубоко исследовался с середины восемнадцатого
столетия. Наиболее хорошо известным понятием этой теории ока-
зывается явление Гиббса. В последующем обсуждении будет вид-
174
но\ как это явление неравномерной сходимости проявляет себя в
расчете КИХ-фильтров.
Если hd(n) имеет бесконечную длину, то единственным путем
для получения физически реализуемой импульсной характеристики
конечной длины является просто усечение h{n), т. е.
h(n) = Ь (5.50)
(0— в других случаях.
В общем случае h(n) можно представить в виде произведения
требуемой импульсной характеристики и «окна» конечной длины
w (п), т. е.
h(h) = hd(n)w(n), (5.51)
где в примере для выражения (5.50)
, . (1,0 1;
w («) = ( (5.52)
(0 — в других случаях.
При использовании теоремы о комплексной свертке, приведен-
ной в гл. 2, видно, что
Л
— f/7d(eie)IT(ei(“-e,)d0. (5.53)
2л J
—л
Это значит, что //(е'“) является круговой сверткой требуемой час-
тотной характеристики с преобразованием Фурье «окна». Поэтому
частотная характеристика /7(е'“) будет «размытой» версией тре-
буемой характеристики /Лг(е‘“). На рис. 5.31а показаны типичные
Рис. 5.31. Процесс свертки,
подразумеваемый как усе-
чение требуемой импульс-
ной характеристики (а) и
типовая аппроксимация,
образующаяся в результате
применения функции окна
к требуемой импульсной
характеристике (б)
W(e'<a>'e>)
функции /7d(ei0) и U7(ei(“~0)), как это требуется согласно (5.53).
(Обе они показаны как действительные функции только для удоб-
ства в отображении процесса свертки.)
Из (5.53) видно, что если 1Е(е‘“) является узкой по
сравнению с изменениями Яа(е‘ш), то Я(е‘“) будет «подобной»
Яа(е'“). Таким образом, выбор окна определяется требованием
иметь w(n) минимально возможной длины для того, чтобы мини-
мизировать вычисления при выполнении фильтра, обеспечивая в то
же время W (е'“) минимально узкой по частоте так, чтобы точно
175
Рис. 5.32. Амплитудная характеристика,
полученная в результате преобразования
Фурье для прямоугольного окна (А=8)
Рис. 5.33. Используемые окна для расчета
КИХ-фильтров
воспроизвести заданную частотную характеристику. Эти требова-
ния являются противоречивыми, что можно увидеть в случае пря-
моугольного окна (5.52), где
IF(е1 “)= “п — (1 —е-'иЛ) / (1 —е-‘и) =
п=0
= е" * “ ((W-1)/2) ((sin(соN/2))/sin(со/2)]. (5.54)
Частотная характеристика lF(ei0)) показана на рис. 5.32 для N=8;
фазовая характеристика, как видно из (5.54), является линейной.
С ростом N ширина «главного лепестка» уменьшается. (Главный
лепесток определяется про-
извольно как область между
значениями to = —2n,/N и
4-2л/Л1.)
Несмотря на то что для
прямоугольного окна «боко-
вые лепестки» являются не-
значительными, в действи-
тельности с ростом W пико-
вые амплитуды главного и
боковых лепестков увеличи-
ваются таким образом, что
площадь под каждым лепе-
стком остается постоянной,
а ширина каждого лепе-
стка уменьшается. В резуль-
тате при увеличении часто-
ты to по мере того, как
IF (е‘ (“-в)) приближается к
точке резкого изменения
Hd (е‘е), величина интеграла
от W (е1<®~в>) На (е10) будет
изменяться в колебательном
режиме в соответствии с из-
менением каждого лепестка
IF (е‘ (|"~0)) после этой точки
резкого изменения. Это по-
казано на рис. 5.316. По-
скольку с увеличением N площадь под каждым лепестком остает-
ся постоянной, то колебания происходят только более быстро, но
не уменьшаются по амплитуде. В теории рядов Фурье хорошо из-
вестно, что эта неравномерная сходимость (явление Гиббса) мо-
жет быть уменьшена путем использования менее резкого усечения
рядов Фурье. С помощью постепенного сужения окна до нуля с
каждой стороны можно уменьшить высоту боковых лепестков, что
достигается за счет увеличения ширины главного лепестка и, та-
ким образом, более широкой переходной полосы в точке резкого
перехода. Примеры некоторых обычно используемых окон показа-
176
\\
ны на рис. 5.33. Эти окна определяются следующими
ниями [21]:
для прямоугольного
w(п) — 1, OsSnCN — 1;
для окна Бартлета (Bartlett)
выраже-
(5.55а)
(5.556)
(5.55в)
(5.55г)
2---— , —1;
ДГ —1 2
для окна с хэннингом (Hanning)
w(n) = ~ [1 — cos (2л n/(N— 1)], 0 < п — 1;
для окна Хемминга (Hamming.)
w(ri) = 0,54 — 0,46 cos (2л n/(N — 1)), 0 < п — 1;
для окна Блэкмана (Blackman)
w (п) = 0,42 -0,5 cos [2л n/(N— 1)] + 0,08 cos [4л n/(N— 1)],
0 < п < N — 1. (5.55д)
Функция 201g| 1^(е*ш) | вычерчена на рис. 5.34 для каждого из
этих окон при .V = 51. Заметим, что поскольку эти окна являются
симметричными, то фазовая характеристика оказывается линей-
ной. Очевидно, что прямоугольное окно имеет самый узкий глав-
ный лепесток и, таким образом, для заданной длины N должно
давать самые крутые спады характеристики переходных полос
Н(е‘“) в точках резкого изменения /7d(eiM). Однако, поскольку
первый боковой лепесток оказывается ниже главного пика только
примерно на 13 дБ, возникают колебания 7/(е‘ш) значительной ве-
личины при резком изменении /7d(eiM). С помощью постепенного
сужения окна до нуля боковые лепестки значительно понижают-
ся, однако при этом появляются гораздо более широкий главный
лепесток и более широкие переходные полосы в точках резких из-
менений Hd (eiM). Кайзер [4] предложил универсальное семейство
окон, определяемых выражением
где /о () — модифицированная функция Бесселя первого рода и ну-
левого порядка. Кайзер показал, что эти окна являются близкими
к оптимальным в смысле обладания наибольшей энергией в глав-
ном лепестке при данной амплитуде пика бокового лепестка. Па-
раметр соа можно подобрать так, чтобы обеспечить компромисс
между шириной главного лепестка и пиком амплитуды бокового
177
S)
Рис. 5.34. Преобразования Фурье для окон рис. 5.33:
а) прямоугольного; б) Бартлета (треугольного); в) с хэннингом; г) Хемминга;
д) Блэкмана
лепестка. Типичные значения —1)/2) лежат в диапазоне
4<ша((Д^—1)72) <9.
В качестве иллюстрации использования окон при проектирова-
нии фильтров рассмотрим расчет фильтра нижних частот. Для вы-
полнения условия необходимой задержки при получении физически
реализуемого фильтра с линейной фазовой характеристикой задан-
ная частотная характеристика определяется в виде
Hd (е1 “) = | e-i ““
(0 — в других случаях.
Соответствующая импульсная характеристика имеет вид
sin [<ое (п — а)]
я (п — а)
Очевидно, что hd(n) имеет бесконечную длину. Чтобы создать фи-
178
зачески реализуемый фильтр с конечной длиной N импульсной ха-
рактеристики и линейной фазой, обозначим h(n) =ha(n)w(n), где
a—(.N—1)/2. Нетрудно проверить, что если w(n) является симмет-
ричной, то такой выбор а приводит к последовательности Л (и),
удовлетворяющей (5.47). На рис. 5.35 показан график lid(n) для
Рис. 5.35. Усеченная импульсная характеристика
идеального фильтра нижних частот (задержка
равна 25 отсчетам, общая длина — 51 отсчету,
а частота среза — сое =л/2)
Рис. 5.36. Влияние различных окон для примера рис. 5.35:
а) прямоугольного; б) Бартлета; в) с хэннингом; г) Хемминга; д) Блэкмана
г)
прямоугольного окна при Лг=51 и соСр = л/2. На рис. 5.36 показаны
зависимости 20 lg|/7(ei(fl) | для импульсной характеристики рис.
5.35 с учетом взвешивания для каждого из пяти окон рис. 5.34.
Отмечаем, что увеличение ширины переходной полосы соответству-
179
ет увеличению ширины главного лепестка, а увеличение ослабле-
ния в полосе непропускания соответствует уменьшению амплиту-
ды бокового лепестка.
Из (5.54) следует, что ширина центрального лепестка обрат-
но пропорциональна N. Это в общем случае верно и иллюстриру-
ется для окна Хемминга на рис. 5.37. Из рисунка совершенно оче-
Рис. 5.37. Зависимость ширины центрального лепестка при преобразовании
Фурье для окна Хемминга от длины окна:
a) #=51; б) #=101; в) #=201
видно, что при увеличении .V вдвое ширина центрального лепест-
ка уменьшается наполовину. На рис. 5.38 показано влияние увели-
чения N на переходную полосу при проектировании фильтра ниж-
них частот. Очевидно, что минимальное ослабление в полосе не-
о
Г
%
— -50
^-80
-100
Рис. 5.38. Влияние длины окна при расчете фильтра (фильтр нижних частот,
сос = л/2 и окно Хемминга):
«.) #=51; б) #=101; в) #=201
180
пропускания остается, по существу, постоянным, будучи зависи-
мым от формы окна, в то время как ширина переходной области:
при резком изменении //Де’ю) зависит от длины окна.
Приведенные примеры иллюстрируют основные принципы ме-
тода использования окон при проектировании КИХ-фильтра. За?
счет выбора формы окна и его длины можно осуществить некото-
рое управление процессом расчета. Например, для заданного ос-
лабления в полосе непропускания, как правило, оказывается спра-
ведливо условие типа А’=Л/Дсо, где Да — ширина переходной по-
лосы [приблизительно ширина главного лепестка lF(e’®)] и А —
постоянная, зависящая от формы окна. Как было показано, форма,
окна является существенной при определении минимального ослаб-
ления в полосе непропускания. Для окон, которые мы рассмотре-
ли, основные параметры для расчета фильтра нижних частот све-
дены в табл. 5.2. Следует отметить, что величины в табл. 5.2 яв-
Т АБЛ ИЦА 5.2-
Окно Амплитуда пика бо- кового лепестка, дБ Ширина переходной полосы главного ле- пестка Минимальное затуха*- ние в полосе непро— пускания, дБ
Прямоугольное — 13 4 л IN —21
Бартлета -25 8л/N —25
С ХЭННИНГОМ —31 8л/У —44
Хемминга —41 8л/У —53
Блэкмана —57 12л/У —74
ляются приближенными; они зависят до некоторой степени от N и
частоты среза требуемого фильтра. Окна Кайзера имеют изменяе-
мый параметр соа, выбором которого определяется компромисс
между амплитудой бокового лепестка и его шириной. Таблицы и
кривые, определяющие области применения этих окон, даны Кай-
зером в [4, 22].
Основные принципы, проиллюстрированные приведенными при-
мерами, являются справедливыми в общем случае и могут приме-
няться при расчете любого фильтра, для которого можно задать-
требуемую частотную характеристику. В этом смысле метод име-
ет большую общность. Однако сложность метода заключается в-
оценке интеграла в (5.496). Если Hd(eiu>) не может быть выраже-
на с помощью простых функций, для которых можно выпол-
нить интегрирование, то аппроксимация для /гДн) должна быть-
получена путем дискретизации /7d(eio)) и использования обрат-
ного дискретного преобразования Фурье, чтобы вычислить hd(n) =
М-1
= (Г/Al) 2 /7d(ei(2.T/.V)fe)ei(2n/,V)fen_ Если М велико, ТО МОЖНО ожи-
*=0
дать, что hd(n) будет хорошей аппроксимацией для hd(n) на ин-
тервале окна. Другим ограничением процедуры является то, что-
до некоторой степени трудно заранее определить тип окна и дли-
ну N, необходимые для удовлетворения заданным требованиям,
1811
частотной характеристики*. Однако для определения этих парамет-
ров можно воспользоваться очень простой программой для ЦВМ,
основанной на методе проб и ошибок. Таким образом, расчет циф-
ровых фильтров с использованием окон часто оказывается удоб-
ным и удовлетворительным подходом.
5.6. МАШИННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ
Метод расчета с использованием окон по своему применению
•является прямым и в этом смысле оказывается довольно общим.
•Однако часто желательно спроектировать фильтр, являющийся
«наилучшим», который может быть создан для данной величины
N. Конечно, не имеет смысла обсуждать этот вопрос при отсутст-
вии определения критерия аппроксимации. Например, в случае
•проектирования фильтров с использованием окон из основных ре-
зультатов теории рядов Фурье следует, что прямоугольное окно
’Обеспечивает наилучшую среднеквадратическую аппроксимацию
для требуемой частотной характеристики при данной величине N.
Это значит, что
(О —в других случаях.
Л
.минимизирует выражение е2=(1/2л) f |Яс!(е'“) —H(eia)\2d<s>. Од-
—Л
нако, как будет видно, этот критерий аппроксимации приводит к
нежелательному режиму при резких изменениях /fd(e'“). Лучшим
критерием для многих типов фильтров является минимизация мак-
симальной абсолютной ошибки. Например, были получены рас-
четные процедуры для минимизации максимальной абсолютной
ошибки в одном или более частотных диапазонах.
В этом параграфе обсуждаются процедуры итерационного, рас-
чета КИХ-фильтров, которые, как правило, дают фильтры лучше,
чем процедура с использованием окон, но отличаются большей
’СЛОЖНОСТЬЮ.
5.6.1. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ
В гл. 3 было показано, что последовательность конечной дли-
ны можно представить с помощью ее дискретного преобразования
Фурье. Таким образом, КИХ-фильтр можно представить с
ломощью «частотных выборок» =H(z) 12=еН2л /кук=
N--1
= X /г (/г) e1(27t'A',/iri, k = Q, —1. Как было показано в гл. 3,
п=0
Н(г) можно представить с помощью отсчетов R(k), используя со-
ютношение
Н (г) = -1^ V------------. (5.5б)
N 12 1 _ ₽' (2л/Х) h -1 7
__________ k=0
* Кайзер [22] систематизировал процесс расчета с использованием окон.
182
Как было показано в гл. 4, выражение (5.56) служит основой для
построения КИХ-фильтра при использовании частотной выборки.
Если предположить г=е’и, то частотная характеристика имеет
представление в виде
н ( е’ ®) = V H(k) =
v 7 N 1 __ k e-i (о
#==0
— V) /jf (M JV)jfe)/2] ем[1 -о /лр]. (5.57).
N Li sin [(co — (2n/N)k)/2]
fe=0
Выражение (5.57) означает простой, но довольно наивный под-
ход к проектированию фильтра, т. е. определение параметров,
фильтра производится по отсчетам требуемой частотной характе-
ристики, соответствующим каждому периоду дискретизации,
ff (k) = Hd (е'(2л/х)й), £ = о, 1, ..., N— 1. При этом предполагается-
интерполяция, указанная в (5.57) и служащая для «заполнения
промежутков» в дискретизованной частотной характеристике. В ка-
честве иллюстрации этого подхода рассмотрим аппроксимацию*
идеального фильтра нижних частот с частотой среза юс—л/2. На*
рис. 5.39а показаны требуемая частотная характеристика Яа(е‘®)
•ф
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516 01 23456 7 8 910111213141516
а) Ь)
Рис. 5.39. Фиксированные отсчеты частотной характеристики идеального
фильтра нижних частот:
а) без отсчета в переходной полосе; б) с одним отсчетом в переход-
ной полосе
и отсчеты H(k) для :V=33. Как видно, частотная характеристика
задается дискретными отсчетами с частотой, кратной 2л/33 рад:
при частоте среза (ос=л/2 и расположенной между <о=16л/33 и
18л/33. Фазовая характеристика выбирается линейной при задерж-
ке, равной (М—1)/2 отсчетов. Импульсную характеристику, конеч-
но, можно получить на основе обратного дискретного преобразова-
ния Фурье, как
й(н) =
е
(2л/Я)Ап, п = 0> j, . _ . дг— 1;
(5.58)4
в других случаях.
183.
Если вычислить частотную характеристику, соответствующую
•такому фильтру, то получится нежелательный результат (рис.
5.40а). На этом рисунке представлена 201g|f/(eio) |, при этом за-
черненными кружками показаны фиксированные точки взятия от-
счетов частотной характеристики в полосе пропускания. Показано
также, что для нулевых отсчетов в полосе непропускания ослаб-
Рис. 5.40. Влияние одного отсчета из переходной полосы:
а) Я1 = 0 (без отсчета); б) Я(=0,5; в) //[ = 0,3904
.ление бесконечно велико. Заметим, что между значениями 16л/33
и 18л,33 существует плавный переход, однако минимальное ослаб-
.ление в полосе непропускания несколько меньше 20 дБ. Этот
• фильтр был бы непригоден для большинства применений. Как бы-
.ло вторично показано, единственным путем для увеличения ослаб-
.ления в полосе непропускания является расширение переходной
полосы. В данном случае это можно легко сделать, взяв отсчет
частотной характеристики на границе между полосой пропускания
и полосой непропускания, имеющий значение, отличное либо от 1,
.либо от 0 (рис. 5.396). На рис. 5.406 показана частотная характе-
ристика при Н\ — 0,5. Заметим, что сейчас переходная полоса ста-
ла примерно в 2 раза шире, однако минимальное ослабление в по-
лосе непропускания значительно возросло.
Из (5.57) видно, что Н(е’“) является линейной функцией от па-
раметров R(k). Таким образом, можно использовать методы ли-
нейной оптимизации для такого изменения этих параметров, чтобы
•обеспечить наилучшую аппроксимацию для требуемого фильтра.
Этот подход, впервые предложенный Голдом и Джорданом (Jor-
dan) [23] и развитый Рабинером и другими [24], использовался
.для синтеза множества фильтров. Например, в рассматриваемом
случае можно использовать простой градиентный метод поиска
для выбора такого значения Н{, чтобы максимальная ошибка бы-
.ла минимальной или в полосе пропускания, или в полосе непропус-
кания. На рис. 5.40в показана характеристика для Н} = 0,3904 —
значения, которое минимизирует ошибку (максимизирует ослабле-
шие) в полосе непропускания (20л/33) | ю| ^л. Таким образом,
184
очевидно, что ослабление в полосе непропускания оказывается;
значительно больше. Если требуется еще большее ослабление, тс
можно и далее расширить переходную полосу, взяв второй* от-
счет, отличающийся от 1 или 0. При этом, если IV сохраняется
фиксированным, то ширина переходной полосы увеличивается:
вдвое. Однако может быть достигнуто и большее ослабление.
Конечно, если удвоить N, то ширина переходной полосы оста-
нется той же самой, но в то же время появляется возможность,
для изменения двух отсчетов в переходной полосе. На рис. 5.41а:
20
\Hd(ew)\,\H(K)\ _ 0.
-
-60-
,..................... . .1 :Л........................ ш
I Л
О 2 4 в 8 10 !2 16 16 18 20 22 26 26 28 30 32
tai
Рис. 5.41. Расчет методом частотной выборки при использовании двух отсчетов-,
в переходной полосе:
а) требуемая частотная характеристика при фиксированном общем числе отсче-
тов и двух отсчетах в переходной полосе; б) результирующая оптимальная ча-
стотная характеристика при двух отсчетах в переходной полосе
показан такой набор отсчетов для рассмотренного случая при N—
— 65**. На рис. 5.416 показана 201g|/7(е'“) | при ^=65 и Нх —
= Я (17) = Н (е'(34л/б5)) = о,5886, Я2=Я (18) = = 0,1065.
Эти значения очень близки к оптимальным отсчетам переходной1
полосы, которые минимизируют максимальную абсолютную ошиб-
ку (максимизируют ослабление) в полосе непропускания. Как мож-
но увидеть из сравнения рис. 5.416 и рис. 5.40в, при использова-
нии двух отсчетов в переходной полосе и увеличении N примерно1
в 2 раза (от 33 до 65) ослабление в полосе непропускания увели-
чивается примерно на 24 дБ; при этом переходная полоса стано-
вится несколько уже (6л/65 в сравнении с 8л/66), чем в случае од-
ного отсчета в переходной полосе при N = 33.
Расчеты методом частотной выборки особенно эффективны в.',
случае узкополосных частотно-избирательных фильтров, когда1
лишь несколько отсчетов частотной характеристики являются не-
нулевыми [25, 26]. В таких случаях реализация на основе метода
частотной выборки, как обсуждалось в гл. 4, может оказаться знаг-
* Рабинер и другие [24] приводят результаты для фильтров нижних ча-
стот, когда количество отсчетов в переходной полосе изменялось вплоть до че-
тырех.
** Заметим, что 2X33 = 66 является четным числом и поэтому потребова-
лось бы нецелое число элементов задержки для обеспечения линейной фазовой
характеристики. Несмотря на то, что расчеты методом частотной выборки обес-
печиваются более просто для N четного, чем для N нечетного, часто существу-
ют практические соображения для выбора Л' целым н нечетным числом [25].
185
'чительно более эффективной, чем метод прямой свертки или сверт-
ки на основе ДПФ. В общем случае, даже если количество нену-
левых отсчетов не очень мало, метод расчета на основе частотной
выборки дает прекрасные результаты. Однако из примера расчета
фильтра нижних частот становится очевидным, что этому методу
не хватает гибкости в точном определении частот среза полос про-
пускания и непропускания, поскольку положение единиц, нулей и
•отсчетов в переходной полосе ограничено целочисленными значе-
ниями, кратными 2nfN. Выбирая N достаточно большим, можно
получить отсчеты произвольно близкими к любой заданной часто-
те, однако эго является неэффективным подходом. По этой причи-
не, особенно если фильтр не должен строиться на основе структу-
ры с частотной выборкой, были разработаны другие методы опти-
мизации с более эффективными свойствами для расчета частотно-
избирательного фильтра в общем виде.
5.6.2. АППРОКСИМАЦИИ С РАВНОВЕЛИКИМИ ПУЛЬСАЦИЯМИ
ДЛЯ КИХ-ФИЛЬТРОВ
Расчет методом частотной выборки использует итерационную
процедуру для получения КИХ-фильтра, имеющего наименьшую
максимальную ошибку аппроксимации в полосе непропускания
(наибольший минимум ослабления) при данной длине N и наборе
заданных частотных отсчетов, часть из которых является незави-
симыми переменными. В случае частотно-избирательных фильтров,
рассчитываемых таким методом, имеют место нежелательные огра-
ничения на выбор частот среза. Кроме того, ошибка аппроксимации
имеет тенденцию быть наибольшей около переходной полосы и
иметь меньшую величину в областях, удаленных от той, в которой
располагаются отсчеты переходной полосы. Интуитивно представ-
ляется разумным, что если ошибка аппроксимации была распре-
делена по частоте равномерно, то требования, заданные при про-
ектировании, должны удовлетворяться при фильтре более низко-
го порядка, чем в случае, если аппроксимация удовлетворяет тре-
бованиям только на одной частоте и значительно превышает их
на других частотах. Это интуитивное представление подтверждает-
ся теоремой, которая будет рассмотрена ниже.
На протяжении всего последующего обсуждения мы будем
иметь дело с КИХ-фильтрами с нулевой фазой и частотными ха-
м
рактеристиками вида Я(е|ш)= 2 /i(n)e~i<0". Длина импульсной
М
характеристики равна Ar=2Af-|- 1, а для нулевой фазовой характе-
ристики требуется h (п) = h(—п). Мы замечаем, что физически реа-
лизуемая система может быть получена путем простой задержки
Л(«) на М отсчетов. Благодаря условию симметрии й(«) можно
записать Я(е'“) в виде
м
Н ( е “) = Л (0) + (n) cos (шя). (5.59)
п~1
186
Отсюда следует, что 7/(eiw) является действительной. Предполо-
жим, что нам необходимо рассчитать фильтр нижних частот в со-
ответствии со схемой допусков на ошибки аппроксимации рис. 5.42-
Это значит, что необходимо аппроксимировать частотную характе-
ристику, имеющую значение 1 в полосе частот 0| ю | ыр с мак-
Рис. 5.43. Аппроксимация с равно-
великими пульсациями фильтра ниж-
них частот
Н(е1Ш)
1;_______
Рис. 5.42. Допустимые ошибки
для аппроксимации фильтра
нижних частот
симальной ошибкой 6,, и аппроксимировать ее нулевое значение в
диапазоне частот |«| л с максимальной ошибкой 62.
Конечно, невозможно определить независимо каждый из пара-
метров М, 61, 62, (Ор и со.,. Тем не менее были разработаны алго-
ритмы расчета, в которых некоторые из этих параметров имели:
фиксированные значения и использовалась итерационная процеду-
ра для получения оптимальных изменений остальных параметров.
Были разработаны два довольно различных подхода. Херман:
(Herrmann) и Шусслер (Schuessler) [27, 28], а позднее Хофштет-
тер (Hofstetter) и другие [29—31] получили процедуры, в которых;
М, 61 и 62 фиксировались, а юр и ms варьировались. Паркс (Parks)
и Макклеллан (McClellan) [32, 33] и Рабинер [34, 35] разработа-
ли процедуры, в которых М, юр и <os фиксировались, а 61 и 62 варь-
ировались. Так как работа Хермана и Шусслера была более ран-
ней и стимулирующей последующие подходы к проблеме расчета1
с равновеликими пульсациями, то мы начнем с рассмотрения это-
го подхода.
Предположим, что выводим аппроксимацию с равновеликими
пульсациями для частотно-избирательного фильтра нижних частот,
как показано на рис. 5.43. В дальнейшем увидим, что такие апп-
роксимации являются оптимальными в смысле обеспечения наи-
меньших значений 61 и 62 для заданных значений и <os.
Важным параметром аппроксимаций с равновеликими пульса-
циями является ряд локальных максимумов и минимумов в поло-
се частот О^т^л. При исследовании зависимости этого парамет-
ра от длины импульсной характеристики учитывается тот факт,
187.
‘что cos (ok можно выразить в виде суммы степеней cos-ю. При этом
(5.59) можно записать в виде
Я(е’ “)= 2 aA(cosco)ft,
(5.60)
тде аь — константы, связанные со значениями импульсной характе-
ристики. Из (5.60) очевидно, что Н(е'°) является тригонометриче-
ским полиномом М порядка и что может существовать не больше
.М—1 локальных максимумов и минимумов на интервале 0<ю<л.
Кроме того, если продифференцировать (5.60) по ю, то получим
Н' ( е1 “) — dH ( е "‘)/d а> =—-sinco 2 kah (cos ю)ь 1 j. (5.61)
‘Отсюда видно, что H(eia) будет всегда иметь либо максимум, ли-
бо минимум при (о=0 и ю = л. Таким образом, будет не больше
.М +1 местных экстремумов в закрытом интервале О^ю^л.
Используя этот факт, Херман и Шусслер [27, 28] показали, как
можно записать систему уравнений, гарантирующих для частот-
ной характеристики режим с равновеликими пульсациями, пока-
занный на рис. 5.43. Параметры М, 61 и 62 являются фиксирован-
ными, а юр и 'Юз могут изменяться согласно выражениям Н(е'°р) =
= 1—61, Н(e,as) =62. Для аппроксимации, показанной на рис. 5.43,
:можно записать:
Н( е10) = 1 +6t,
Я (е'“*) = 1 —6Р
Я(е!“2)=1+6Ъ
Я(е* “а) = -62,
Д( е‘°4) = 62,
Я(е‘я) = 62;
Д'(е! °‘) = 0;
Н’ (е' °2) = 0;
Н’ ( е‘ “•) = 0;
Н' ( е‘ °4) = 0;
Н’ ( е‘ °’) = 0.
(Яе1а‘) = -б2,
В этом случае существуют три экстремума в полосе пропускания
и четыре экстремума в полосе непропускания. Поэтому мы долж-
ны иметь М + 1 =4 + 3 = 7, т. е. М = 6 или N = 13. В (5.59) или
(5.60) существует М+-1=7 неизвестных коэффициентов и пять не-
известных частот ®1, юг, ...,(05, на которых имеют место экстрему-
мы, образуя в сумме 12 неизвестных, подлежащих определению в
качестве решения для системы вышеприведенных 12 уравнений.
Вообще можно иметь Np экстремумов в полосе пропускания и А’3
экстремумов в полосе непропускания, где A’P + .VS = M+-1, и мож-
но записать 2А4 уравнений, связанных с М + 1 коэффициентами
•фильтра, и М—1 частот, на которых имеют место экстремумы (два
экстремума наблюдаются при (о = 0 и ю = л). Эти уравнения яв-
ляются, к сожалению, нелинейными и должны решаться с по-
мощью итерационной процедуры. Из-за численной трудности ре-
188
шения нелинейных уравнений этот подход был удовлетворитель-
ным только для довольно малых значений М (порядка 30). Кроме
того, для данных значений М, 61 и 62 существует только М раз-
личных фильтров с равновеликими пульсациями соответственно
тому факту, что могут быть выбраны только М различных значе-
ний Np (или A’s). Это значит, что для фиксированных значений М,
61 и 62 имеется только М различных выборов ©р. Таким образом,
несмотря на то, что расчеты на основе аппроксимации с равнове-
ликими пульсациями, как обсуждалось ранее, будут обеспечивать
самую узкую переходную полосу (<os—юр) для данного значения
М, они не имеют, по существу, преимущества по сравнению с рас-
четом методом частотной выборки в отношении выбора частоты
среза.
Метод, разработанный Хофштеттером, Оппенгеймом и Зигелем
. (Siegel) [29—31], эффективно решает проблему вычислительного
ограничения подхода Хермана — Шусслера, однако, поскольку М,
' 61 и 62 являются фиксированными, как и ранее, то остается огра-
; ничение на выбор <»р и a>s.
! Вместо того, чтобы записывать систему нелинейных уравнений,
1 Хофштеттер и соавторы использовали итерационный метод для по-
, лучения тригонометрического полинома, который обладает экстре-
; мумом требуемой величины. Процедура начинается с выбора Np
1 и Ns, а затем производится оценка частот, на которых имеют мес-
. то экстремумы. После этого используются стандартные методы ин-
• терполяции Лагранжа [5] для вычисления полинома, который
। обеспечивает заданные экстремальные значения (l±6i в полосе
пропускания и ±62 в полосе непропускания) на оцениваемых час-
тотах. Результат вычисления показан на рис. 5.44 в виде сплошной
Рис. 5.44. Типовые последовательные ап-
проксимации в расчетной процедуре Хоф-
штеттера. Пунктирная кривая представ-
ляет аппроксимацию, полученную на ос-
нове определения местоположения экстре-
мальных точек предыдущей аппроксимации
{сплошная кривая) (По Хофштеттеру и
ДР- [29])
кривой для Л'p~N., = 3. Зачерненные точки соответствуют исход-
ным оценкам экстремальных частот. Экстремумы результирующе-
го полинома вычисляются с помощью оценки полинома для точно
распределенного набора частот и поиска локального максимума и
минимума для дискретного набора частот. Если максимум и мини-
мум имеют заданные значения, то процедура заканчивается; в про-
тивном случае вычисляется новый полином с новой оценкой экст-
189
0,500 ,01 и
cS" cS СзГ дд ‘ипниизЬиоаи а о о t/о и д ngfiuinvuHy 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,000 0,050 Нормированная частота, ы/2тг .45. Частотная характеристика фильтра нижних частот при Л1-123, Ур = 32, 1VS = 94, 6i=0 Ю004 (по Хофштеттеру и др. [29])
t о"
1 । 1 1 7 Т 3 i \(п,э)н\ё1 ог II 5 «5'
190
ремальных частот, являющихся экстремумами предыдущего поли-
нома. Пунктирной кривой на рис. 5.44 показан результирующий
полином, где кружками обозначены экстремальные частоты, полу-
ченные в результате оценки.
То, что эта процедура сходится к требуемой аппроксимации с
равновеликими пульсациями, было продемонстрировано расчетным
путем, однако доказательство сходимости не было найдено [29].
Частотная характеристика фильтра нижних частот, рассчитанного
этим методом, показана на рис. 5.45. В этом случае М= 125, Np =
— 32, и jVs=94, 61 = 0,01 и 62 = 0,00004. На рис. 5.46 показана час-
тотная характеристика полосового фильтра, в которой имеются
три разных полосы, в отличие от характеристики с двумя полоса-
ми, показанной на рис. 5.45. В этом случае первая полоса пропус-
кания на нижних частотах содержит NPi= 12 экстремумов, в кото-
рой Н(е'“) =0,25 аппроксимируется с максимальной ошибкой
61г=0,01. Вторая полоса на более высоких частотах содержит
Д^рм = 31 экстремум, и Я(е'“) = 1 аппроксимируется с максималь-
ной ошибкой 61М = 0,02. В полосе непропускания содержится Ns —
= 18 экстремумов, и Н(е'“) =0 аппроксимируется с максимальной
ошибкой 62 = 0,0001.
Эти примеры иллюстрируют гибкость метода аппроксимации с
равновеликими пульсациями, однако ему присущ недостаток, свя-
занный с необходимостью точного регулирования границ полос
пропускания и непропускания. Чтобы осуществлять регулирование
сор и (os при фиксированном М, необходимо обеспечить возмож-
ность изменения 61 и 62. Паркс и Макклеллан [32, 33] показали,
что при фиксированных значениях М, <ор и <os проблема расчета
частотно-избирательного фильтра становится проблемой чебышев-
ской аппроксимации для непересекающихся множеств, т. е. проб-
лемой большой важности в теории аппроксимаций, для которой
уже получен ряд очень полезных теорем и процедур [37]. Чтобы
формализовать проблему аппроксимации в этом случае, опреде-
лим функцию ошибки аппроксимации в виде
£(w) = №(m)[tfd(eiM)-tf(eiM)], (5.62)
где Е(ю) оценивается для всех полос пропускания и полос непро-
пускания требуемого фильтра, a IF (со) является весовой функцией.
Предположим, например, что нам необходимо получить аппрок-
симацию, показанную на рис. 5.42, в которой М, <ор и <os имеют
фиксированные значения. В этом случае
ИДе'") = {^
0 < co < <ор;
(Os (О < л
и
Г(со) =
1,
0 < со < (ор;
cos Sj (О < л.
191
1
192
Такой выбор №(<о) определяет соотношение между относительны-
ми величинами ошибок аппроксимации для полос пропускания и
непропускания. Это значит, что К должно быть равно заданному
отношению 6i/62. В этом случае процедура расчета требует алго-
ритм для минимизации max | Е (со) |, который эквивалентен
Осохсор
COgCQCn
минимизации 62.
Паркс и Макклеллан [32] переформулировали теорему теории
аппроксимации [37] применительно к рассматриваемой выше-
проблеме расчета фильтра, получив в результате следующую тео-
рему.
Теорема чередования. Пусть F будет любым замкнутым:
подмножеством закрытого интервала О^оХ-л. Чтобы Н(е1а>) из-
(5.59) была единственной и наилучшей аппроксимацией на F для
Яй(е1ш), необходимо и достаточно, чтобы функция ошибки £((о)
имела на F, по крайней мере, М + 2 «чередований». Таким обра-
зом, £(coj)=—£(<i)j-i)==±||£'|| = rnax|£'((o) | при <оо^(оХ<о2...
и со;, принадлежащих F.
Применение этой теоремы уместно продемонстрировать при
расчете фильтра нижних частот. В этом случае замкнутое подмно-
жество F образуется интервалами О^ю^сор и Так
как 7/d(eio) является кусочно-постоянной, то частоты, соответст-
вующие максимумам в функции ошибок £((0), также соответст-
вуют частотам, на которых /7(е1<й) точно удовлетворяет допусти-
мой ошибке. Типовой пример изображен на рис. 5.47.
Рис. 5.47. Типовой пример аппроксима-
ции частотной характеристики фильтра
иижних частот, которая удовлетворяет
теореме чередования (М = 7)
н(е'а)
1~Ъ
тг ы
Напомним, что согласно нашему предыдущему обсуждению
Н (eio) может иметь не более М—1 локальных максимумов и ми-
нимумов на интервале 0<(о<л, а также в комбинированных от-
крытых интервалах ОСюСюр и (0з<ю<л. Кроме того, по опреде-
лению полосы пропускания и полосы непропускания, /7(е’“) огра-
ничивается так, чтобы Н(е1ор) = 1—Si, H(eias) = +б2. Напомним
также, что Я(е'°) будет всегда иметь локальный максимум или
минимум при (о = 0 и со=л. Таким образом, может быть не более
Л4 + 3 частот, на которых кривая ошибки достигает своего макси-
мума. Поэтому единственная наилучшая аппроксимация для за-
7—117 193
данной характеристики фильтра нижних частот имеет либо М + 2,
либо М + 3 чередований функции ошибок. Четыре различные воз-
можные кривые частотной характеристики для значения М = 7
показаны на рис. 5.48. На рис. 5.48а показан случай, когда мак-
Рис. 5.48. Возможные оптимальные аппроксимации частотной характери-
стики фильтра нижних частот при Af = 7:
а) Л1+3 чередований (случай дополнительной пульсации); б) М+2 че-
редований (экстремум при со = л); в) М + 2 чередований (экстремум при
<а = 0); г) М + 2 чередований (экстремумы как при и = 0, так и при и = л)
симальная ошибка достигается как при <о = 0, так и при со=л
и имеется М + 3 чередований. На рис. 5.486, в показаны слу-
чаи, где максимальная ошибка достигается только при щ = л
и ш=0 соответственно. В этих двух случаях имеется толь-
ко М + 2 чередований. На рис. 5.48а показан случай, где име-
ется только М + 2 чередований и максимальная ошибка дости-
гается как при (о = 0, так и при <о = л. В соответствии с тео-
ремой чередования все эти фильтры имеют оптималь-
ные* аппроксимации для заданных частот среза полос про-
пускания и непропускания. Фильтры типа показанных на рис.
5.48а были названы Парксом и Макклелланом фильтрами «с до-
полнительной пульсацией» [32]. Эта терминология мотивирова-
лась тем фактом, что такие фильтры обладали большим, чем ми-
нимальное числом (М + 2) чередований функции ошибки, требуе-
мым для оптимальности. Если учитываются конечные точки <аР и
(Us, то фильтры, рассчитанные по методам Хермана—Шусслера и
Хофштеттера, имеют М + 3 точки, в которых частотная характери-
стика достигает заданного допуска, и поэтому эти фильтры тож-
дественны фильтрам с дополнительной пульсацией.
В дополнение к четкой формулировке условий оптимальной
КИХ-аппроксимации Паркс и Макклеллан [32] представили так-
* Под оптимальными понимаются аппроксимации, имеющие минимумы мак-
симальной ошибки в полосах пропускания и непропускания.
194
же итерационную процедуру для расчета оптимальных фильтров.
Эта процедура аналогична алгоритму Хофштеттера с той только
разницей, что в этом случае К, М, а>р и огч являются фиксирован-
ными параметрами, а б2 — варьируемым параметром. Согласно
теореме чередований процедура начинается с нахождения оценки
М + 2 частот {<Oj}, / = 0, 1, ..., М +1, при которых функция ошибки
£(&)) достигает своего максимального значения. Эти частоты
должны лежать в областях (Хло + гор и со8^со^л. Так как (оР и
CDs являются фиксированными, то <Dp равна одной из т. е.
(Ур = (ог, где 0</<Л4 + 1 и (Ds=(Dz+i. Предполагая, что эти оценен-
ные частоты являются заданными экстремальными частотами
ошибки, можно из (5.62) вычислить значение максимальной ошиб-
ки, которое мы называем р. Это значит, что можно записать систе-
му Л4+2 уравнений
Л1
Hd ( е'°— h (0) — £ 2h (п) cos (ti)j п)
л=1
.=—(—1/р, / = 0, 1, • • •, .М+1.
Эта система уравнений может быть решена для всех М + 2 неиз-
вестных {h(n)} и р, однако более целесообразно сначала найти
решение только для р. Затем определяется тригонометрический
полином, который имеет заданные значения на частотах {®J, т. е.
1 ±Кр, если 0 + (i)j + <i)r,, и ±р, если Шя+ш. + л. Этот подход иллю-
стрируется на рис. 5.49, из которого видно, что оценка экстремаль-
Рис. 5.49. Оптимальная аппроксима-
ция в соответствии с алгоритмом
Паркса—Макклеллана
Рис. 5.50. Зависимость ширины пе-
реходной полосы от частоты среза
для оптимальной аппроксимации
фильтра нижних частот при М = 5,
S, =S2=O,1
ных точек была такой, что вычисленное значение было слишком
маленьким. Как и в алгоритме Хофштеттера, отыскивается новая
оценка экстремальных частот, соответствующих пикам интерполя-
ционного полинома. Эти пиковые значения находятся с помощью
поиска среди точно распределенного набора точек в полосе пропу-
скания и полосе непропускания. В этом случае а>р и (os являются
снова известными, так как они являются частотами экстремумов
7* 195
функции ошибки. Кроме того, существует М—1 локальных мини-
мумов и максимумов в открытых интервалах 0<<о<<Ор и <os<
Оставшийся экстремум может быть либо при со = 0, либо
при ю=л. Если пик функции ошибки существует как при 0, так и
при я, то частота, на которой присутствует наибольшая ошибка,
выбирается в качестве новой оценки экстремальной частоты. Цикл,
включающий вычисление р, подбор полинома для предполагаемых
пиков ошибки и последующее определение местоположения дейст-
вительных пиков ошибки, повторяется до тех пор, пока р не изме-
нит своего предыдущего значения. Это значение р и является за-
данным минимумом 62-
Результирующий фильтр имеет минимум 62(61 = 7(62) для за-
данной переходной полосы (ю8—соР). Если заданными величинами
являются 61 и 62, то вышеописанный алгоритм может применять-
ся итеративно для определения фильтра с требуемыми значениями
6, и .62 путем фиксирования и изменения оц до тех пор, пока
не будут получены заданные 61 и 62. Обобщение результатов это-
го типа дано на рис. 5.50, где показана зависимость Aw = (os—
от (ор для фиксированных значений 7И, 62 и 6] (7(=1). Эта кривая
показывает, что с увеличением <ор ширина переходной полосы Аш
имеет локальные минимумы. Эти точки на кривой соответствуют
фильтрам с дополнительной пульсацией (7И + 3 экстремумов). Все
точки, расположенные между минимумами, соответствуют фильт-
рам, которые являются оптимальными согласно теореме чередова-
ний. Таким образом фильтры, полученные на основе методов
Хермана—Шусслера и Хофштеттера, являются частными случая-
ми аппроксимаций, найденных с помощью алгоритма Паркса—
Макклеллана.
В приведенном выше алгоритме величины всех импульсных ха-
рактеристик h(n) неявно изменяются на каждой итерации для по-
лучения требуемой оптимальной аппроксимации. Заключительным
этапом алгоритма является определение h(n) с помощью взятия
отсчетов оптимальной частотной характеристики в N или более
точках и вычисления обратного дискретного преобразования
Фурье.
Рабинер [34, 35] проанализировал задачу расчета фильтра при
аппроксимации с равновеликими пульсациями, которая эквива-
лентна расчету Паркса—Макклеллана и обеспечивает возмож-
ность использования методов линейного программирования. Суть
этого подхода состоит в том, что 7У(е*“) может быть выражена в
виде линейной комбинации функций косинуса, как в (5.59), или в
виде линейной комбинации функций вида sin[7V(w)—
— (2jt/7V)&)/2]/sin[ (<о—(2л/У)&/2], как в (5.57). В (5.59) такими
коэффициентами являются значения импульсной характеристики
h(n), а в (5.57) — значения частотных выборок ff(k). В обоих
рлучаях некоторые или все коэффициенты могут изменяться сим-
метрично для удовлетворения заданным расчетным допускам.
Если только небольшое число параметров является переменным,
то получаются фильтры, описанные в предыдущем параграфе.
196
Если все параметры изменяются, то достигаются оптимальные ап-
проксимации. Проектирование с использованием метода линейно-
го программирования не обеспечивает высокой скорости вычисле-
ния, однако является более универсальным, так как в этом случае
могут быть учтены ограничения как во временной, так и в частот-
ной области. Более подробно с расчетами КИХ-фильтров при про-
извольных требованиях к частотной характеристике можно озна-
комиться в [36].
5.7. СРАВНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ БИХ- И КИХ-ФИЛЬТРОВ
В этой главе были рассмотрены методы расчета линейных ин-
вариантных к сдвигу цифровых фильтров, обсужден широкий диа-
пазон методов расчета фильтров с импульсными характеристиками
как конечной, так и бесконечной длины. Естественно возникающи-
ми вопросами являются: какой тип системы является лучшим —
БИХ- или КИХ-тип? Почему дается так много методов расчета?
Какой метод дает наилучшие результаты? Ответом на эти вопро-
сы является обсуждение большого числа различных методов рас-
чета как БИХ-, так и КИХ-фильтров, учитывая, что ни один из ти-
пов фильтра, ни один из методов расчета не является наилучшим
при всех обстоятельствах.
Выбор КИХ- или БИХ-фильтра зависит от достоинств и недо-
статков фильтра каждого типа. Например, БИХ-фильтры облада-
ют тем достоинством, что множество частотно-избирательных
фильтров может быть рассчитано при использовании расчетных
формул замкнутой формы. Это значит, что сначала определяются
требования, соответствующие данному типу фильтра (например,
Баттерворта, Чебышева или эллиптического), а затем коэффи-
циенты (полюсы и нули) нужного цифрового фильтра получаются
путем прямой подстановки в систему расчетных уравнений. Этот
вид простоты расчетной процедуры является эффективным в том
случае, если лишь несколько фильтров подлежат расчету или если
в распоряжении имеются вычислительные средства, обладающие
ограниченными возможностями.
В случае КИХ-фильтров расчетные уравнения замкнутой фор-
мы не существуют. Несмотря на то что метод окна может приме-
няться довольно прямым путем, некоторая итерация может быть
необходима для удовлетворения заданным требованиям. Большин-
ство других методов расчета КИХ-фильтров являются итерацион-
ными процедурами, требующими для своего выполнения довольно
мощных вычислительных средств. В противоположность этому за-
частую возможно произвести расчет частотно-избирательного циф-
рового БИХ-фильтра, используя лишь ручной калькулятор и таб-
лицы рассчитанных параметров аналогового фильтра. Однако из-
за простоты такой расчетной процедуры происходит уменьшение
гибкости получаемой частотной характеристики фильтра. Расчеты
БИХ-фильтров на основе замкнутых формул имеют ограниченное
применение и предназначены прежде всего для расчета фильтров
нижних и верхних частот, полосовых и других. Кроме того, в этих
197
расчетах, как правило, не учитывается фазовая характеристика
фильтра. Таким образом, несмотря на то что мы можем получить
эллиптический фильтр нижних частот с прекрасными амплитудны-
ми характеристиками с помощью относительно простой расчетной
процедуры, его фазовая характеристика будет существенно нели-
нейной (особенно на границе полосы).
В противоположность этому КИХ-фильтры могут иметь строго1
линейную фазовую характеристику. К тому же метод окна и боль-
шинство из методов оптимизации обеспечивают возможность ап-
проксимации более произвольных частотных характеристик при
несколько большей сложности, чем те, которые встречаются при
расчете фильтров нижних частот. Также очевидно, что процедура
расчета КИХ-фильтров в большей мере поддается управлению,
чем процедура расчета БИХ-фильтров, так как для КИХ-фильт-
ров существует теорема оптимальности, которая оказывается очень
важной в широком диапазоне практических ситуаций.
В конечном счете существуют вопросы экономичности выполне-
ния цифрового фильтра. Экономические показатели обычно оце-
ниваются с помощью аппаратурной сложности или скорости вы-
числения. Оба этих фактора в большей или меньшей степени пря-
мо связаны с порядком фильтра, необходимым для удовлетворе-
ния заданным требованиям. Если не учитывать фазовую характе-
ристику, то, как правило, заданные требования к амплитудной ха-
рактеристике будут обеспечиваться более эффективно БИХ-фильт-
ром. Однако во многих случаях линейная фазовая характеристика,
характерная для КИХ-фильтра, может быть получена в результа-
те дополнительных затрат, а в некоторых случаях [38] в этом нет
необходимости. Детальное обсуждение этих вопросов дано в [39].
Таким образом должно быть рассмотрено множество компро-
миссных вариантов при проектировании цифрового фильтра. Оче-
видно, что окончательный выбор чаще будет производиться на
основании инженерного опыта в таких вопросах, как формулиро-
вание требований, методов выполнения п вычислительных средств,
доступных для расчета.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе были рассмотрены различные методы расчета
цифровых фильтров с импульсной характеристикой как бесконеч-
ной, так и конечной длины. Основное внимание было обращено на
требования к частотным характеристикам фильтров в частотной
области, поскольку они наиболее часто задаются на практике. На-
шей задачей было дать общую картину большого разнообразия
методов расчета цифровых фильтров, в то же время давая доста-
точную информацию о некоторых из них, позволяющих непосредст-
венно производить расчеты без дальнейшего обращения к литера-
туре по расчету цифровых фильтров. Поэтому значительное вни-
мание уделено хорошо разработанным методам импульсной инва-
риантности п билинейного преобразования и гораздо меньше —
глубокому рассмотрению оптимальных методов расчета БИХ-
198
фильтров, так как они гораздо реже используются на практике.
Аналогично для КИХ-фильтров обширный материал посвящен ме-
тодам расчета с использованием окон и частотной выборки, а оп-
тимальным методам расчета уделено незначительное внимание.
В конце главы даются некоторые рекомендации по выбору циф-
ровых фильтров любого из двух классов. При этом отмечается,
что этот выбор не всегда простой и может зависеть от многих
труднооценимых факторов. Цифровые фильтры характеризуются
большой гибкостью при проектировании и построении, что дает
возможность выполнять на их основе довольно сложные схемы об-
работки сигналов, которые во многих случаях при аналоговом по-
строении были бы сложными или вообще нереализуемыми.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
2. С. М. Rader and В. Gold. «Digital Filter Design Techniques in the Frequency
Domain», Proc. IEEE, Vol. 55, Feb. 1967, p. 149—171.
3. J. F. Kaiser. «Design Methods for Sampled Data Filters», Proc. 1st Allerton
Conf. Circuit System Theory, Nov. 1963, p. 221—236.
4. Кайзер Д. Цифровые фильтры, приложение к переводу книги: Голд Б., Рэй-
дер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
5. F. В. Hildebrand. Introduction to Numerical Analysis, McGraw—Hill Book
Company, New York, 1956.
6. A. J. Gibbs. «On the Frequency—Domain Responses of Causal Digital Filters»,
Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, 1969.
7. E. A. Guillemin, Synthesis of Passive Networks, John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1957.
8. J. E. Storer. Passive Network Synthesis, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1957.
9. R. M. Golden and J. F. Kaiser. «Design of Wideband Sampled—Data Filters»,
Bell System Tech. J., Vol. 43, No. 4, Pt. 2, July 1964, p. 1533—1545.
10. A. Papoulis. «On the Approximation Problem in Filter Design», IRE Conv.
Record, Pt. 2, 1957, p. 175—185.
11. A. G. Constantinides. «Frequency Transformations for Digital Filters», Elec.
Lett., Vol. 3, No. 11, Nov. 1967, p. 487—489.
12. A. G. Constantinides. «Frequency Transformations for Digital Filters», Elec.
Lett., Vol. 4, No. 7, Apr. 1968, p. 115—116.
13. Коистаитииидес А. Спектральные преобразования для цифровых фильт-
ров. — ТИИЭР, 117, № 8, 1970.
14. К. Steiglitz. «Computer—Aided Design of Recursive Digital Filters», IEEE
Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-18, June 1970.
15. L. R. Rabiner and K. Steiglitz. «The Design of Wide—Band Recursive and
Nonrecursive Digital Differentiators», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol.
18, No. 2, June 1970, p. 204—209.
16. R. Fletcher and M. J. D. Powell. «А Rapidly Convergent Descent Method for
Minimization», Computer J., Vol. 6, No. 2, 1963, p. 163—168.
17. A. G. Deczky. «Synthesis of Recursive Digital Filters Using the Minimum
P Error Criterion», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-20, Oct. 1972,
p. 257—263.
18. C. S. Burrus and T. W. Parks. «Time Domain Design of Recursive Digital
Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-18, No. 2, June 1970,
p. 137—141.
19. J. L. Shanks. «Recursion Filters for Digital Processing», Geophys., Vol. 32,
No. 1, Feb. 1967, p. 33—51.
20. N. Levinson. «The Wiener rms Error Criterion in Filter Design and Prediction»,
J. Math. Phys., Vol. 25, No. 4, 1947, p. 261—278.
21. R. B. Blackman and J. M. Tukey. The Measurement of Power Spectra, Dover
Publications, Inc., New York, 1958.
199
22. J. F. Kaiser. «Nonrecursive Digital Filter Design using the I0-sinh Window
Function», Proc, 1974 IEEE International Symp. on Circuits and Systems,
San Francisco, April, 1974, p. 20—23.
23. B. Gold and K. L. Jordan, Jr., «А Direct Search Procedure for Designing
Finite Duration Impulse Response Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
Vol. AU-17, No. 1, Mar. 1969, p. 33—36.
24. L. R. Rabiner, B. Gold and C. A. McGonegal. «An Approach to the Approxima-
tion Problem for Nonrecursive Digital Filters», IEEE Trans. Audio Electro-
acoust., Vol. AU-18, No. 2, June 1970, p. 83—106.
25. L. R. Rabiner and R. W. Schafer. «Recursive and Nonrecursive Realizations
of Digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques», IEEE Trans.
Audio Electroacoust. Vol. 19, No. 3, Sept. 1971, p. 200—207.
26. L. R. Rabiner and R. W. Schafer. «Correction to Recursive and Nonrecursive
Realizations of Digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques»,
IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. 20, No. 1, Mar. 1972, p. 104—105.
27. ,O. Herrmann. «On the Design of Nonrecursive Digital Filters with Linear
Phase», Elec. Lett., Vol. 6, No. 11, 1970, p. 328—329.
28. O. Herrman and H. W. Schuessler. «Design of Nonrecursive Digital Filters
with Minimum Phase», Elec. Lett., Vol. 6, No. 11, 1970, p. 329—330.
29. E. Hofstetter, A. V. Oppenheim and J. Siegel. «А. New Technique for the De-
sign of Nonrecursive Digital Filters», Proc. Fifth Annual Princeton. Conf.
Inform. Sci. Systems, 1971, p. 64—72.
30. E. Hofstetter, A. V. Oppenheim and J. Siegel. «On Optimum Nonrecursive
Digital Filters». Proc. 9th Allerton Conf. Circuit System Theory, Oct. 1971.
31. J. Siegel. «Design of Nonrecursive Approximations to Digital Filters with
Discontinuous Frequency Responses», Ph. D. Thesis, MIT, June 1972.
32. T. W. Parks and J. H. McClellan. «Chebyshev Approximation for Nonrecursive
Digital Filters with Linear Phase», IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-19,
Mar. 1972, p. 189—194.
33. T. W. Parks and J. H. McClellan. «А Program for the Design of Linear Phase
Finite Impulse Response Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol.
AU-20, No. 3, Aug. 1972, p. 195—199.
34. L. R. Rabiner. «The Design of Finite Impulse Response Digital Filters Using
Linear Programming Techniques», Bell System Tech. J., July—Aug. 1972,
p. 1177—1198.
35. L. R. Rabiner. «Linear Program Design of Finite Impulse Response (FIR)
Digital Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. 20, No. 4, Oct.. 1972,
p. 280—288.
36. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.
М.: Мир, 1978.
37. Е. W. Cheney. Introduction to Approximation Theory, McGraw—Hill Book
Company, New York, 1966.
38. R. W. Schafer and L. R. Rabiner. «А Digital Signal Processing Approach to
Interpolation», Proc. IEEE, Vol. 61, No. 6, June 1973, p. 692—702.
39. L. R. Rabiner, J. F. Kaiser, O. Herrmann and M. T. Dolan. «Some Compari-
sons between FIR and HR Digital Filters», Bell Syst. Tech. J., vol. 53, No. 2,
Febr. 1974, p. 305—331.
Глава 6.
Вычисление дискретного преобразования
Фурье
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах мы видели, что дискретное преобразо-
вание Фурье играет важную роль при анализе, синтезе и разра-
ботке систем и алгоритмов цифровой обработки сигналов. После-
200
дующие главы дадут дальнейшее подтверждение этому выводу.
Одна из причин того, что анализ Фурье играет такую важную роль
в цифровой обработке сигналов, заключается в существовании
эффективных алгоритмов дискретного преобразования Фурье [1].
Вспомним, что дискретное преобразование Фурье (ДПФ) опре-
деляется выражением (см. гл. 3)
N—1
X(k) = Y*(n)WNn> 6 = 0. 1......TV—1, (6.1)
л=0
где IFJv = e_i<2lt/JV>. Обратное дискретное преобразование Фурье
(ОДПФ) имеет вид
N-1
x(n) = ^^X(£)IF-*", « = 0, 1, . . ., N— 1. (6.2)
k=0
В (6.1) и (6.2) как х(п), так X(k) могут быть комплексными. Вы-
ражения в (6.1) и (6.2) отличаются только знаком экспоненты от
WN и скалярным коэффициентом 1/JV. Поэтому рассуждения, ка-
сающиеся вычислительных процедур для (6.1), применимы с оче-
видными изменениями к (6.2).
Чтобы проиллюстрировать важность эффективных вычисли-
тельных алгоритмов, поучительно сначала рассмотреть непосред-
ственное вычисление ДПФ. Так как х(п) может быть комплекс-
ным, то можно записать
X (k) =^'{ (Re [х («)] Re [Wtf] -Im [х (n)J Im [Wtf]) +
n=0
+ j (Re [x (ra)] Im [IF*"] 4- Im [x (n)J Re [IF*"])},
k = Q, 1, . . ., N— 1. (6.3)
Отсюда видно, что для каждого значения k при непосредственном
вычислении X(k) требуется 4N умножений и (4N—2) сложений
действительных чисел*. Так как X(k) должно вычисляться для N
различных значений k, непосредственное вычисление дискретного
преобразования Фурье последовательности х(п) требует 4N2 умно-
жений и N(4.V—2) сложений действительных чисел или N2 умно-
жений и N(.V—1) сложений комплексных чисел. Вдобавок к умно-
жениям и сложениям при выполнении вычисления ДПФ на уни-
версальных или специализированных цифровых вычислительных
машинах требуются, конечно, средства для хранения значений по-
следовательности х(п) и коэффициентов IFw*n и средства обраще-
ния к памяти. Так как количество запоминаний и обращений к па-
мяти в вычислительных алгоритмах обычно пропорционально чис-
* Количество вычислений указывается только приблизительно. Например,
умножение на М7°к на самом деле не требует умножения. Тем ие менее общая
.зависимость сложности вычислений от N при учете и таких умножений полу-
чается достаточно точной для того, чтобы можно было сравнивать различные
классы алгоритмов.
201
лу арифметических операций, то оно считается разумной мерой
сложности вычислительного алгоритма или времени, необходимого
для вычислений. Таким образом, приемлемой мерой эффективно-
сти непосредственного вычисления дискретного преобразования
Фурье является тот факт, что оно требует 4№ умножений и
N (4N—2) сложений действительных чисел. Так как количество вы-
числений, а следовательно, и время вычислений приблизительно
пропорциональны <N2, то ясно, что при прямом методе необходимое
число арифметических операций становится очень большим при
больших значениях А. По этой причине представляют значитель-
ный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количест-
во умножений и сложений.
Большинство подходов к улучшению эффективности вычисле-
ния ДПФ использует следующие свойства величин WNhn:
1) WNW~n)= (WNkn)*; 2) WNkn=WNk^+N)=WN^^n. Например,
используя первое свойство, т. е. свойство симметрии функции cos
и sin, можно сгруппировать слагаемые в (6.3) следующим обра-
зом:
Re [х (л)] Re [№*"] + Re [х(А—/г)J Re [№*(*-")] = (Re [x (n)] +
+ Re [x (N — n)]) Re
и —Im [%(«)] Im [^n] —Im [x(N—л)] Im ррмл'-") ] _
= —(Im [x (n)]— Im [x (M—n)J) Im [IT*"].
Аналогичную группировку можно произвести для других слагае-
мых в (6.3). Посредством этого метода число умножений можно
сократить приблизительно вдвое. Можно также использовать тот
факт, что для определенных значений произведения kn функции
sin и cos принимают значения 1 или 0, при которых не требуется
умножение. Однако при сокращениях такого типа количество вы-
числений все еще остается приблизительно пропорциональным А2.
К счастью, второе свойство, т. е. периодичность комплексной пос-
ледовательности WNkn, позволяет достигнуть существенно больше-
го сокращения количества вычислений.
Вычислительные алгоритмы, использующие как симметрию,
так и периодичность последовательности WNkn, были известны за-
долго до появления быстродействующих ЦВМ. В то время привет-
ствовалась любая схема, уменьшающая количество ручных вычис-
лений даже в 2 раза. Рунге (Runge) [2], а позже Даниэльсон
(Danielson) и Ланцош (Lanczos) [3] описали алгоритмы, при ко-
торых количество вычислений было приблизительно пропорцио-
нально A log А, а не №. Однако это различие не было слишком
важным для тех малых значений N, которые можно было осущест-
вить при ручных вычислениях*. В 1965 г. Кули (Cooley) и Тьюки
(Tukey) [1] опубликовали алгоритм вычисления дискретного пре-
* В интересной статье Кули (Cooley), Льюиса (Lewis) и Уэлча (Welch)
[4] излагается история попыток улучшения эффективности вычисления ДПФ.
202
образования Фурье, применимый при составном N, т. е. когда N
является произведением двух или большего числа целых чисел.
Опубликование этой статьи вызвало значительный интерес к ди-
скретному преобразованию Фурье при обработке сигналов и при-
вело к открытию ряда вычислительных алгоритмов, которые ста-
ли известны под названием алгоритмы быстрого преобразования
Фурье (БПФ). В целом все множество таких алгоритмов часто на-
зывается БПФ [5].
Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разло-
жении операции вычисления дискретного преобразования Фурье
последовательности длины N на вычисление преобразований
Фурье с меньшим числом точек. Способы, которыми осуществля-
ется этот принцип, приводят к различным алгоритмам. Все они
сравнимы по эффективности. Первый, названный прореживанием
по времени, получил такое название от того, что в процессе вычис-
лений х(п)‘ (индекс п часто ассоциируется со временем) разлага-
ется на уменьшающиеся подпоследовательности. Во втором об-
щем классе алгоритмов последовательность коэффициентов диск-
ретного преобразования Фурье X(k) разлагается на меньшие под-
последовательности, откуда идет название прореживание по ча-
стоте.
В этой главе будет рассмотрен ряд алгоритмов вычисления ди-
скретного преобразования Фурье, которые отличаются друг от
друга по эффективности, но все они более эффективны, чем пря-
мое вычисление по (6.3). Первым будет рассмотрен метод Герцеля
(Gortzel) [6, 7], который требует количества вычислений, про-
порционального №, но с меньшим, чем при прямом методе, коэф-
фициентом пропорциональности. Наибольшее внимание будет уде-
лено алгоритмам БПФ, т. е. алгоритмам, при которых количество
вычислений приблизительно пропорционально NlogN. Мы не бу-
дем стараться рассмотреть все алгоритмы, но проиллюстрируем
общие принципы всех алгоритмов этого типа, рассматривая де-
тально только несколько из наиболее часто используемых схем.
6.1. АЛГОРИТМ ГЕРЦЕЛЯ
Алгоритмом Герцеля [6] называется вычислительная проце-
дура, несколько более эффективная, чем прямой метод. Этот ал-
горитм является примером того, как можно использовать перио-
дичность последовательности WNkn для сокращения вычислений.
Убедимся, что дискретное преобразование Фурье можно рассмат-
ривать, как отклик цифрового фильтра, который может быть по-
строен так, чтобы уменьшить число арифметических операций.
Чтобы вывести алгоритм Герцеля, заметим, что
W„hN = е' (2"/JV) Nk = е'2Я h = 1. (6.4)
Это, конечно, непосредственный результат периодичности WN~hn.
Согласно (6.4) можно умножать правую часть (6.1) на W^kN.
203
Таким образом,
N-l N-1
х (k)=2х (г) = 2 х (r) w»h {N~r)- (65)
г=0 г=0
Для удобства записи определим последовательность
N—1
yAn)=^x(r)W^^. (6.6)
г=0
Из (6.5) и (6.6) следует, что X(k)=yk(n)]n=N- Выражение (6.6)
является, как нетрудно видеть, дискретной сверткой последова-
тельности конечной длины х(п), Q^Zn^zN—1 с последователь-
ностью WN~hn. Следовательно, ук(п) можно рассматривать как
отклик системы с импульсной характеристикой W^~hn на входной
сигнал х(п). В частности, X(k) является значением выхода при
п=N; Система с импульсной характеристикой WN~hn изображена
на рис. 6.1.
В силу того что вход х(п) и — комплексные величины^
вычисление каждого нового значения уь(п) требует четырех дей-
ствительных умножений и четырех действительных сложений. Так
как для вычисления yk(N)'=X(k) необходимо вычисление всех
промежуточных значений г/й(1), Уь(2), ..., z/ft(JV—1), использование1
схемы рис. 6.1 потребует 4.V действительных умножений и 4ЛГ
действительных сложений при вычислении X(k) для каждого кон-
кретного значения k. Таким образом, эта схема несколько менее
эффективна, чем прямой метод. Однако можно заметить, что ме-
тод рис. 6.1 не требует ни вычисления, ни запоминания коэффи-
циентов WNkn, так как эти величины вычисляются посредством ре-
куррентного процесса, предполагаемого схемой рис. 6.1.
Возможно сохранение этого упрощения при уменьшении числа
умножений в 2 раза. Чтобы увидеть, как это можно сделать, за-
метим, что передаточная функция системы рис. 6.1 равна
//ft(z)=l/(l-^z->). (6.7)
Умножая числитель и знаменатель Нк(г) на коэффициент (1 —
—WNhz~l), получим
1 — z~l
Hk(z) =--------------------=
(1_^г-1)(1_^г-*)
1-2 cos ((2л/N) k)z~l 4- z~2
Направленный граф на рис. 6.2 соответствует передаточной функ-
ции (6.8).
Требуется только два умножения для реализации полюсов этой
системы, так как коэффициенты действительны и (—1) не следует
считать умножением. Как и прежде, для реализации полюсов тре-
буется четыре сложения. Так как необходимо вычислить только<
у1:(Х), комплексное умножение на —WNk, требуемое для реализа-
204
ции нуля, не нужно выполнять на каждой итерации разностного
выражения, а только после №й итерации. Таким образом, необхо-
димо 2/V действительных умножений и 4/V действительных сложе-
ний для полюсов плюс четыре действительных сложения для нуля.
Следовательно, полное число вычислений равно 2(М + 2) действи-
тельных умножений и 4(^+1) действительных сложений, что при-
Рис. 6.1. Направленный граф
системы первого порядка для
рекурсивного вычисления ком-
плексных величин X(k)
Рис. 6.2. Направленный граф си-
стемы второго порядка для ре-
курсивного вычисления X(k) (ал-
горитм Герцеля)
близительно вдвое меньше по числу умножений по сравнению с
прямым методом. В этой более эффективной схеме опять-таки
имеется преимущество в том, что cos( (2л/А^)й) и Wnh — единст-
венные коэффициенты, которые нужно вычислить и запомнить.
Множество коэффициентов WNhn опять вычисляется неявно с по-
мощью схемы рис. 6.2.
Чтобы убедиться в дополнительном преимуществе этой цепи,
рассмотрим вычисление z-преобразования от х(п) в сопряженных
точках единичной окружности, т. е. вычисление X(k) и X(N—k).
Непосредственно проверяется, что цепь вида рис. 6.2, требуемая
для вычисления X(N—k)\ имеет те же самые полюсы, что и цепь
на рис. 6.2, а коэффициент, необходимый для реализации нуля,
является комплексно-сопряженным по отношению к коэффициен-
ту схемы рис. 6.2. Так как нуль реализуется только на последней
итерации, то 2N умножений и 4JV сложений, требуемых для полю-
сов, можно использовать для вычисления двух значений ДПФ. Та-
ким образом, для вычисления дискретного преобразования Фурье
во всех N точках при использовании алгоритма Герцеля требуется
приблизительно № умножений и приблизительно 2№ сложений.
Однако, как и при прямом методе, количество вычислений все еще
пропорционально №.
При прямом методе или методе Герцеля нет необходимости
вычислять все ,N различных значений X(k). В общем случае мож-
но вычислить X(k) для любых М значений k. В этом случае об-
щее число вычислений пропорционально NM. Эти схемы привле-
кательны при малом М. Имеются более хитроумные алгоритмы,
Для которых число вычислений пропорционально N\ogzN при N,
являющемся степенью 2. Поэтому при М, меньшем logjiV, как ме-
тод Герцеля, так и прямой метод могут быть наиболее эффектив-
ными методами. Но когда требуются все W значения X(k), алго-
205
ритмы, которые будут рассмотрены ниже, приблизительно в
(N/iogzN) раз более эффективны, чем прямой метод или метод
Герцеля.
6.2. АЛГОРИТМЫ БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ
. ПО ВРЕМЕНИ
Чтобы достичь существенного улучшения эффективности, к
которому мы стремимся, необходимо разложить вычисления ДПФ
на набор ДПФ меньшего порядка. В этом процессе используют
как симметрию, так и периодичность комплексной экспоненты
WNhn = e~l(2nlN)hn. Алгоритмы, в которых это разложение основано
на разложении последовательности х(п) на меньшие подпоследо-
вательности, называются алгоритмами с прореживаниями по вре-
мени. Принцип прореживания по времени наиболее удобно иллю-
стрируется в частном случае, когда N является целой степенью
числа 2, т. е. N=2V. Так как N — четное число, можно рассмот-
реть вычисление X(k) путем разбиения х(п) на две А/2-точечные*
последовательности, состоящие из точек х(п) с четными номера-
ми и точек х(п) с нечетными номерами соответственно. Пусть
М-1
Х(#) = V x(n)W™, 6 = 0, 1, . . ., N—\. (6.9)
п=0
Разделяя х(п) на четные и нечетные точки, получим
X(fe) = V x(n)W<* + 1] x(n)Wtf
п—четные п—нечетные
пли, заменяя индексы суммирования на п = 2г при четном п и п=
— 2г + 1 при нечетном п, получим
(M/2) —1 (JV/2)—1
X(k) = V x(2r)W%b+ £ х (2r+ 1) H7(2r+D ft =
r=0 r=0
(M/2)-1 (M/2)—1
= yx(2r)(FKy4^ 2 х(2г+1)(Гм)гг1- <6-10)
~0 r=0
Ho W/2№ Wn/2, так как W2N = er2i(2:rlN' = eri2:r!(N!2> = WN/2. Следо-
вательно, (6.10) можно записать в виде
(М/2)—1 (M/2)—1
Vx(2r)W^2+W^ 2 X(2r+1)^2 =
г-=0 г=0
= G(k)+W^NH(k). (6.11)
Каждая из сумм в (6.11) является Х/2-точечным ДПФ. Первая
сумма Х/2-точечное ДПФ четных точек исходных последователь-
* При обсуждении алгоритмов БПФ мы будем использовать попеременно
слова выборка и точка, подразумевая под этим значения элемента последова-
тельности, а также будем говорить о последовательности длины N, как о /V-то-
чечной последовательности, а ДПФ последовательности длиной N будет назы-
ваться У-точечной ДПФ.
206
ностей, а вторая — ^/2-точечное ДПФ нечетных точек исходных
последовательностей. Хотя индекс k простирается на iN значений,
й=0, 1, N—(1, каждая из сумм требует вычислений только для
k от 0 до i/V/2—|1, так как G(k) и H(k) периодичны по k с перио-
дом N/2. После' того как ДПФ, соответствующие двум суммам в
Рис. 6.3. Направленный граф, иллю-
стрирующий разложение ^-точечного
ДПФ на два Д/2-точечных ДПФ в ал-
горитмах с прореживанием по времени
(Д=8)
ся и дают ДГ-точечное ДПФ
X(k). Рисунок 6.3 иллюстриру-
ет вычисление X (А) в соответ-
ствии с (6.11) для восьмито-
чечной последовательности,
т. е. для N = 8. На этом ри-
сунке использованы направ-
ленные сигнальные графы,
Рис. 6.4. Направленный граф, ил-
люстрирующий разложение Д/2-то-
чечного ДПФ на два Л74-точечных
ДПФ в алгоритмах с прорежива-
нием по времени (Д=8)
которые были введены в гл. 4 для представления разностных
уравнений [5, 7]. При этом предполагается, что ветви, входящие
в узел, суммируются, давая узловую переменную. Предполагает-
ся, что когда не указываются коэффициенты, передача по ветви
равна единице. Для других ветвей передача по ветви является це-
лой степенью WN. Таким образом, из рис. 6.3 видно, что вычисля-
ются два четырехточечных ДПФ; G(k) обозначает четырехточеч-
ное ДПФ четных точек, a H(k) — четырехточечное ДПФ нечет-
ных точек. Затем Х(0) получается путем умножения Н(0) на lF°jy
и прибавления G(0). Значение Х(1) получается умножением Н(1)
на и прибавлением G(l). Для Х(4) нужно было бы умно-
жить Й(4) на W*N и прибавить G(4). Однако так как G(k) и H(k)
периодичны по k с периодом 4, то 7/(4) = 77(0) и G(4)=G(0).
Таким образом, Х(4) получается путем умножения Н(0) на
и суммирования результата с G (0).
Перестроив вычисления согласно (6.11), можно сравнить тре-
буемое число умножений и сложений с числом умножений и сло-
жений, Необходимым при прямом вычислении ДПФ. Раньше мы
видели, что при прямом вычислении без использования симметрии
требуется N2 комплексных умножений и сложений*.
* Для простоты будем предполагать, что N настолько велико, что можно
приближенно считать N—1 равным N.
207
Выражение (б.п) требует вычисления двух /N/2-точечных
ДПФ, что, в свою очередь, требует 2(Л72)2 комплексных умноже-
ний н приблизительно 2(JV/2)2 комплексных сложений. Затем два
А'72-точечных ДПФ должны быть объединены, что потребует N
комплексных умножений, соответствующих умножению второй
суммы на Whx и затем W комплексных сложений,, соответствую-
щих сложению произведения с первой суммой. Следовательно, вы-
числения по (6.11) для всех значений k требуют 4-2 (Л7/2)2 или
Лт + (N2/2) комплексных умножений и комплексных сложений.
Легко проверить, что при Nz>2 N-\-N2/2 будет меньше, чем N2.
Выражение (6.11) соответствует разбиению исходного ^точеч-
ного вычисления на два /V/2-точечных вычислений. Если N/2 —
четное число, что имеет место всегда, когда N равно степени 2, то
можно вычислять каждое А/2-точечное ДПФ в (6.11) путем раз-
биения сумм на два Л74-точечных ДПФ, которые затем объединя-
ются, давая /V/2-точечное ДПФ. Таким образом, G(k) и H(k) в
(6.11) могут быть вычислены как
(М2)-1 (М4)-1
О (Ч = 2 S (О1% “ 2 В (2!) г» +
г=0 1=0
(М4)-1
+ 2 ^(2/+!)^+» \
1=0
(M4)-l (JV/4)—1
илиО(^)= 2 g(2l)W‘^ + W^2 2 ^(2Z+l)nft/4- (6-12)
1=0 1=0
Аналогично
(N/i)-1 (N/4)-l
H(k)= ;2 hMWlN\ + WhN/2 2 Л(2/+1)^/4. (6.13)
l =0 1=0
Таким образом, если четырехточечные ДПФ (см. рис. 6.3) вычис-
ляются согласно (6.12) и (6.13), то эти вычисления могут быть
произведены так, как показано на рис. 6.4. Вводя вычисления, ука-
занные на рис. 6.4, в граф на рис. 6.3, получим полный граф, изо-
браженный на рис. 6.5. Отметим, что использован тот факт, что
Fw/2 = W2N.
Для восьмиточечных ДПФ, которые мы использовали для ил-
люстрации, вычисления сводятся к вычислению двухточечных
ДПФ. Двухточечные ДПФ от, например, х(0) и х(4) изображены
на рис. 6.6. Если ввести вычисления, изображенные на рис. 6.6, в
граф на рис. 6.5, то мы получим полный граф для вычисления
восьмиточечного ДПФ, который имеет вид, показанный на рис. 6.7.
В более общем случае, когда W является более высокой сте-
пенью 2, мы бы продолжили разложение ^4-точечных преобразо-
ваний в (6.12) и (6.13) в А/8-точечные преобразования и продол-
жали бы до тех пор, пока не остались бы только двухточечные
преобразования. Это потребует v ступеней вычисления, где v =
208
= log2^. Рцнее мы определили, что при разложении исходного
Лг-точечного\ преобразования на два Л72-точечных преобразования
требуемое чйсло комплексных умножений и сложений равно W +
Рис. 6.5. Результат подстановки направленного
графа рис. 6.4 в граф рис. 6.3
4-2(jV/2)2. При разложении ЛГ/2-точечных преобразований на N/4-
точечные преобразования коэффициент (N/2)2 заменяется на
Л72-|-2(У/4)2, так что общее число умножений и сложений равно
^+jV-;-4(A^/4)2- Если N=2v, эту операцию нужно проделать v=
= log2^V раз; проведя
разложение максимально
возможное число раз, по-
лучим общее число комп-
лексных умножений и сло-
жений, равное Vlog2 N.
Рис. 6.6. На-
правленный
граф двухто-
чечного ДПФ
Рис. 6.7. Направленный граф для полного
разложения восьмиточечного ДПФ в алго-
ритме с прореживанием по времени
Граф на рис. 6.7 показывает явно эти операции. Подсчитав вет-
ви с передачами вида WN, замечаем, что на каждой ступени необ-
ходимо N комплексных умножений и N комплексных сложений.
Так как число ступеней равно log2^, получаем, как и прежде, об-
щее число комплексных умножений и сложений, равное N log2N.
209
Это существенная экономия вычислений. Мы увидим, йто исполь-
зование симметрии и периодичности коэффициентов WrN даст
дальнейшее уменьшение количества вычислений. /
6.2.1. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЗАМЕЩЕНИЕМ |
Граф вычислений, изображенный на рис. 6.7, ойисывает ал-
горитм вычисления дискретного преобразования Фурье. В графе
на рис. 6.7 важны ветви, соединяющие узлы, и передачи каждой
ветви. Как бы не были переставлены узлы в этом графе, он всег-
да будет представлять одно и то же вычисление при условии, что
соединения между узлами и передачи этих соединений остаются
прежними. Частный вид графа, изображенного на рис. 6.7, по-
явился в результате вывода алгоритма путем разделения исход-
ной последовательности на четные и нечетные точки, а затем полу-
чения все более мелких подпоследовательностей аналогичным об-
разом. Интересным промежуточным результатом этого вывода яв-
ляется то, что граф рис. 6.7 вдобавок к описанию эффективной
процедуры вычисления дискретного преобразования Фурье пред-
лагает полезный способ запоминания исходных данных и резуль-
татов вычислений в промежуточных массивах.
Чтобы убедиться в этом, полезно отметить, что согласно рис.
6.7 на каждой ступени вычислений происходит преобразование
множества из N комплексных чисел в другое множество из N
комплексных чисел. Этот процесс повторяется v = log2 X раз, да-
вая в результате дискретное преобразование Фурье. При конкрет-
ных вычислениях согласно рис. 6.7 можно использовать два мас-
сива (комплексных) запоминающих регистров: один — для вы-
численных данных, а другой — для данных, используемых для вы-
числений. Например, при вычислении первого массива согласно
рис. 6.7 одно множество запоминающих регистров содержало бы
входные данные, а второе множество запоминающих регистров —
результаты первой стадии вычислений. Несмотря на то что граф
на рис. 6.7 не связан с порядком, в котором запоминаются вход-
ные данные, упорядочим множество комплексных чисел так, как
они появляются на рис. 6.7 (сверху вниз). Обозначим последова-
тельность комплексных чисел, получающихся на m-й ступени вы-
числения, через Хт(1), где 1=0, 1, ..., N—1 и т=\, 2, ..., v. Кро-
ме того, для удобства обозначим множество входных выборок че-
рез Хо(1). Можно считать Хт(1) входным массивом, a
выходным массивом на т + 1-й ступени вычислений. Таким обра-
зом, для случая Х = 8, как показано на рис. 6.7,
Хо(0) = х(0); Х0(4) = х(1);
Х0(1) = х(4); Х0(5) = х(5);
Х0(2) = х(2); Х0(6) = х(3);
Хо(3) —х(6); Х0(7) = х(7).
Используя эту запись и это упорядочение, можно видеть, что ос-
новным вычислением в графе на рис. 6.7 является вычисление по
210
(6-14)
этому графу, имеет
схеме рисдб.8. Уравнение, соответствующее
вид
^+1И = ^(р)+^Хт(9); |
Xm+l (q) = Хт (р) + W'+W Хт (q). J
Из-за вида графа на рис. 6.8 эта операция
кой».
Выражение (6.15) подсказывает метод
комплексных умножений вдвое. Чтобы увидеть это, заметим, что
W7NiV/2=e_i(2n/N)X72=.e-iJ-t_ — j, так чТ0 (6.15) превращается в
Xni+1(p) = Xm(p) + W’NXm(qy,
Xm+l(q) = Xm(p)-WrNXm(q).
Выражения (6.16) изображены графом на рис. 6.9. Следовательно,
так как имеются N/2 «бабочек» ви-
да рис. 6.9 на каждую ступень и
log2 N ступеней, то общее требуемое
число умножений равно (N/2)log2 N,
а не N logs X, как это может пока-
заться на рис. 6.7. Используя основ-
ной граф рис. 6.9 вместо «бабочек»
вида рис. 6.8, получим из графа на
рис. 6.7 граф, изображенный на
рис. 6.10. Общее число комплексных
умножений непосредственно видно
из рис. 6.10.
В (6.16) р, q и г изменяются от ступени к ступени, и это изме-
нение легко вывести из рис. 6.10 и (6.10), (6.12), (6.13) и т. д. Из
рис. 6.9 и 6.10 ясно, что для вычисления элементов р и q (т + 1)-го
(6.15)
называется «бабоч-
сокращения числа
(6.16)
Ыч)
*т(р)
граф
основ-
Рис. 6.8. Направленный
операции «бабочка» —
ной операции на рис. 6.7
Рис. 6.9. Направленный
граф упрощенной «бабоч-
ки», требующий только од-
ного комплексного умно-
жения
Рис. 6.10. Направленный граф восьмн-
точечного ДПФ, использующий «бабоч-
ку», изображенную на рис. 6.9
массива требуются комплексные числа, расположенные на местах
р и q т-го массива. Поэтому реально необходим только один ком-
211
(6.17)
плексный массив из N запоминающих регистров для того, чтобы
выполнять вычисления, если запоминать Хт+](р) и Xg+i(q) в тех
же самых запоминающих регистрах, что и Хт(р) и Am(q) соот-
ветственно. Этот тип вычисления обычно называется вычислением
«с замещением». Преимуществом его является то, что результаты
вычисления нового массива могут быть записаны в те же самые
запоминающие ячейки, что и исходный массив. Графы на рис. 6.7
и 6.9 представляют вычисление с замещением, при этом мы свя-
зали узлы графа, находящиеся на одной горизонтальной линии, с
одной и той же ячейкой памяти. Вычисления между двумя масси-
вами состоят из операций «бабочка», в которой входные и выход-
ные узлы на одной горизонтали примыкают друг к другу.
Чтобы вычисления выполнялись так, как сказано выше, вход-
ные данные должны быть записаны в необычном порядке, который
называется двоичной инверсией. Чтобы понять смысл этой терми-
нологии, заметим, что для рассматриваемого восьмиточечного гра-
фа требуются три двоичные цифры для нумерации данных. Если
мы запишем индексы в (6.14) в двоичной форме, получим
Хо (ООО) = х (ООО); Хо (100) =-- х (001);
Хо(ОО1) = х(1ОО); Хо (101; = х (101);
Хо(010) = х(010); Хо(11О) = х(О11);
Хо(О11) = х(11О); Х0(1Н) = х(111).
Если (n2nin0) — двоичное представление номеров последователь-
ности х(п), то элемент последовательности x(n2nin0)< запоминается
в массиве на месте А'о(n0riin2). Это означает, что при определении
положения х(п2Пхп0) во входном массиве нужно заменить порядок
двоичных разрядов индекса п на обратный.
Понять, почему для алгоритма с замещением необходима дво-
ичная инверсия, можно, если вспомнить процесс, который привел
к алгоритму, изображенному на рис. 6.7. Последовательность х(п)
была сначала разделена на четные и нечетные выборки, причем
четные выборки появились в верхней половине рис. 6.3, а нечет-
ные — в нижней. Формально такое разделение данных можно про-
вести путем рассмотрения младше-
го разряда (ио) в индексе п. Если
этот младший разряд равен 0, то
значение последовательности соот-
ветствует выборке с четным номе-
ром и, следовательно, появится в
верхней половине, а если младший
разряд равен 1, значение последо-
вательности соответствует выборке
с нечетным номером и, следователь-
но, появится в нижней половине
массива Хо(/). Затем четные и не-
четные подпоследовательности, в
свою очередь, сортируются на чет-
ные и нечетные части, и это можно
212
Рис. 6.11. Дерево, изображающее
двоичную инверсию
сделать, рассматривая второй разряд в индексе. Рассматривая сна-
чала подпоследовательность с четными номерами, убеждаемся, что
если второй разряд равен 0, то значение соответствует четному чи-
слу этой подпоследовательности, а если второй разряд равен 1, то—
нечетному. Тот же процесс проводится и для подпоследовательно-
сти, сформированной из нечетных членов исходной подпоследова-
тельности. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не получит-
ся N подпоследовательностей длины 1. Эта сортировка на четные
и нечетные подпоследовательности изображена на рис. 6.11.
Таким образом, необходимость упорядочения последовательно-
сти х(п) в соответствии с инверсией разрядов является результа-
том способа разложения ДПФ исходной последовательности на
ДПФ последовательностей меньшей длины.
6.2.2. ДРУГИЕ ФОРМЫ АЛГОРИТМОВ
Хотя результаты каждой стадии вычислений разумно запо-
минать в том порядке, в каком появляются узлы на рис. 6.10, вов-
се нет необходимости делать именно так. Не важно как перестав-
лены узлы на рис. 6.10, результатом будет всегда дискретное пре-
образование Фурье последовательностей х(п), если только переда-
чи ветвей не изменятся. Изменится только порядок, в котором по-
ступают и запоминаются данные. Если связать узлы с комплекс-
ными запоминающими ячейками и порядок этих узлов с индексом:
массива комплексных запоминающих ячеек, то из предыдущего'
рассуждения станет ясно, что направленный граф соответствует
алгоритму с замещением только тогда, когда узлы расположены
таким образом, что входные и'выходные узлы каждой «бабочки»
горизонтально смежны. В противном случае потребуются два мас-
сива комплексных запоминающих ячеек. На рис. 6.10 изображено^
именно такое расположение узлов. Другой вариант изображен на
рис. 6.12. В этом случае входная последовательность имеет обыч-
ный порядок, а преобразование Фурье имеет порядок с двоичной
инверсией. Рисунок 6.12 можно получить из рис. 6.10, если поме-
нять местами все узлы, которые горизонтально смежны с х(4), с-
узлами, горизонтально смежными с х(1). Аналогично все узлы,,
которые горизонтально смежны с х(6) на рис. 6.10, меняются ме-
стами с узлами, горизонтально смежными с х(3). Узлы, горизон-
тально смежные с х(2), х(5) и х(7), не изменяют своего положе-
ния. Результирующий сигнальный граф на рис. 6.12 соответствует
алгоритму с прореживанием по времени, первоначально предло-
женному Кули и Тьюки [1].
Как можно видеть, единственным различием между рис. 6.10 й
6.12 является порядок следования узлов. Передачи ветвей (сте-
пени остаются теми же. Имеется, конечно, множество воз-
можных упорядочений, однако большинство из них не имеет боль-
шого смысла с точки зрения вычислений. В качестве одной из по-
лезных возможностей предположим, что узлы упорядочены так,,
что входные и выходные данные появляются в обычном порядке.
213э
Рис. 6.12. Перегруппировка рис. 6.10,
при которой входы имеют обычный
порядок, а выходы — двоично-ин-
версный
Рис. 6.13. Перегруппировка рис. 6.10,
при которой как входы, так и выхо-
ды имеют обычный порядок
Сигнальный граф такого типа показан на рис. 6.13. В этом случае,
однако, нельзя провести вычисления с замещением. Поэтому по-
надобилось бы два комплексных массива для того, чтобы провести
вычисления в соответствии с рис. 6.13.
При реализации вычислений, изображенных на рис. 6.10, 6.12
и 6.13, как нетрудно видеть, необходим доступ к элементам про-
межуточного массива в произвольном порядке. Поэтому для боль-
шей скорости вычислений комплексные числа должны запоминать-
ся в запоминающем устройстве с произвольным доступом. Напри-
мер, согласно рис. 6.10 для того, чтобы вычислить первый массив
из входного массива, входы каждой «бабочки» находятся по со-
седству друг с другом и поэтому предполагается, что они будут за-
поминаться в соседних запоминающих ячейках. При вычислении
второго промежуточного массива из первого входы каждой «ба-
бочки» разнесены друг от друга на две запоминающие ячейкй, а
при вычислении третьего массива из второго входы «бабочки»
разнесены на четыре ячейки. Если Af>8, разнос между входами
«бабочек» будет равен 8 на четвертой ступени, 16 — на пятой сту-
пени и т. д. Разнос на последней (v-й) ступени равен JV/2.
На рис. 6.12 имеет место аналогичная ситуация. При вычисле-
нии первого массива из входного мы используем данные, разне-
сенные на 4, при вычислении второго массива из первого мы ис-
пользуем данные, разнесенные на 2, и, наконец, при вычислении
последнего массива мы используем данные, находящиеся в сосед-
них ячейках. Хотя легко представить себе простые алгоритмы из-
менения индексных регистров для доступа к данным как для сиг-
нального графа на рис. 6.10, так и для графа на рис. 6.12, доступ
к данным не будет последовательным, и поэтому было бы жела-
тельно иметь память с произвольным доступом. В направленном
графе на рис. 6.13 доступ к данным не является последователь-
ным, вычисления не проводятся по алгоритму с замещением, а
схема индексации данных значительно сложнее, чем в любом из
предыдущих случаев.
.214
На рис. 6.14 изображена перегруппировка направленного гра-
фа, показанного на рис. 6.10, которая особенно полезна в том слу-
чае, когда отсутствует память с произвольным доступом. Этот
граф представляет собой алгоритм с прореживанием по времени,
данный Сингльтоном (Singleton) [8]. Отметим сначала, что на.
этом направленном графе вход-
ные данные появляются в по-
рядке с двоичной инверсией, а
выходные — в обычном поряд-
ке. Важной чертой этого графа
является то, что его начерта-
ние на каждой стадии одинако-
во. От стадии к стадии меня-
ются только передачи ветвей.
Это дает возможность последо-
вательного доступа к данным.
Предположим, что имеется че-
тыре блока памяти на магнит-
Рис. 6.14. Перегруппировка рис. 6.10,
при которой каждая ступень имеет
одинаковое начертание, тем самым
позволяя использовать последова-
тельный доступ к данным и их за-
поминание
ной ленте (или четыре после-
довательные области памяти
на магнитных дисках) и пер-
вая половина входных данных
запоминается в порядке с
двоичной инверсией на одной
ленте, а вторая —• на другой. Тогда можно иметь последовательный
доступ к данным на лентах 1 и 2, а результаты записывать после-
довательно на лентах 3 и 5 так, что первая половина нового масси-
ва записывается на ленте 3, а вторая половина — на ленте 4. На-
следующей стадии вычислений ленты 3 и 4 являются входом, а вы-
ходные данные записываются на лентах 1 и 2. Эта процедура пов-
торяется на каждой из v ступеней.
6.3. АЛГОРИТМЫ БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ
ПО ЧАСТОТЕ
Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени были основа-
ны на разложении ДПФ путем формирования уменьшающихся
подпоследовательностей входной последовательности х(п). С дру-
гой стороны, можно рассмотреть такое же разложение выходной
последовательности X(k) на уменьшающиеся подпоследовательно-
сти. Класс алгоритмов БПФ, основанный на этой процедуре, обыч-
но называется классом алгоритмов с прореживанием по частоте.
Чтобы вывести БПФ-алгоритм с прореживанием по частоте для
N, являющегося степенью 2, сначала нужно разделить входную
последовательность на две половины так, что
(N/2)—1 N—1
Х(А)= V х(п)№* +
n=0 nssN/2
(N/2)-l (N/2)-1
или X (k) = yj x(n)Wtf + V'k J} xfn + ^Wff.
n=0 n—0
(6.18>
215.
i
"Важно отметить, что, хотя (6.18) содержит две суммы по N/2 то-
чек, каждая из этих сумм не является Х/2-точечным ДПФ, так как
в каждой из сумм стоит WNnk, а не WN/2nh. Объединяя две суммы
.в (6.18) и используя соотношение (—l)ft, получим
(N/2)-1
Х(*) = [х(») + (-1)\^п +у)(6.19)
nS)
Рассмотрим теперь отдельно четные и нечетные k, обозначив
•через X (2г) и X (2г + 1) суммы соответственно четных и нечетных
•точек, так что
(N/2J-I
х(2г)= ^ [* («)+*[«+у)] Пгп: (6.20)
л=0
W2)-l
X(2r+1)= £ [x(n)-x(n+ r = 0, 1, . . .,
н=0
(Х/2 —1). (6.21)
-Нетрудно видеть, что (6.20) и (6.21) являются Х/2-точечными
.ДПФ; в случае (6.20) — от суммы первой и последней половины
входной последовательности, а в случае (6.21) — от произведения
WnN на разность первой и второй половины входной последова-
тельности. В отличие от (6.19), суммы в (6.20) и (6.21) соответ-
ствуют iX/2-точечным ДПФ потому, что WN2rn= WN/2rn.
Таким образом, на основании (6.20) и (6.21) с g(n)=x(n) +
H-x(n+X/2) и —x(n+N/2) ДПФ можно вычислить пу-
тем формирования последовательностей g(n) и h(n), затем вычис-
ления h(n)WnN и, наконец, вычислением tV/2-точечных ДПФ от
этих двух последовательностей. Процедура, даваемая выражения-
ми (6.20) и (6.21), иллюстрируется рис. 6.15 для случая восьми-
точечного ДПФ.
Рис. 6.15. Направленный граф, иллю-
стрирующий разложение .V-точечного
ДПФ на два JV/2-точечных ДПФ в ал-
горитмах с прореживанием по частоте
(IV=8)
Рис. 6.16. Направленный граф, ил-
люстрирующий разложение восьмнто-
чечного ДПФ на четыре двухточеч-
ных для алгоритмов с прорежива-
нием по частоте
.216
Поступая так же, как и в случае вывода алгоритма с проре-
живанием по времени, замечаем, что так как является сте-
пенью 2, N/2 четно, и, следовательно, Л^/2-точечные ДПФ могут
быть найдены путем вычисления по отдельности четных и нечет-
ных выходных точек этих ДПФ. Как и в случае исходного разло-
жения, приводящего к (6.20) и (6.21), это делается путем объеди-
нения первой и второй половины входных точек для каждого из
Л7/2-точечных ДПФ и затем вычисления М/4-точечных ДПФ. На-
правленный граф, соответствующий этому шагу для восьмиточеч-
ного ДПФ, показан на рис. 6.16. Для восьмиточечного ДПФ вы-
числения теперь сводятся к вычислению двухточечных ДПФ, ко-
торые, как мы видели раньше, получаются путем сложения и вы-
читания входных точек. Таким образом, двухточечные ДПФ на
рис. 6.16 могут быть замечены вычислениями, показанными на
I
-7 М)
Рис. 6.18. Направленный граф при пол-
ном разложении восьмиточечного ДПФ
для алгоритмов с прореживанием по
частоте
Рис. 6.17. Направленный
граф двухточечного
ДПФ на последней сту-
пени разложения для
алгоритмов с прорежи-
ванием по частоте
рис. 6.17 так, что в результате для восьмиточечного ДПФ получим-
граф, изображенный на рис. 6.18.
Подсчитывая число арифметических операций на рис. 6.18 и
обобщая на случай M=2V, убеждаемся, что вычисления по рис.
6.18 требуют jV/21og27V комплексных умножений и jVlog2Ar комп-
лексных сложений. Таким образом, общее количество вычислений
для алгоритмов с прореживанием по частоте и с прореживанием
по времени одинаково.
6.3.1. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЗАМЕЩЕНИЕМ
Направленный граф на рис. 6.18 изображает один из алго-
ритмов БПФ с прореживанием по частоте. Можно заметить ряд
сходных черт и ряд различий при сравнении этого графа с гра-
фом, выведенным на основе прореживания по времени. Конечно,
как и в случае с прореживанием по времени, граф рис. 6.18 соот-
ветствует вычислению дискретного преобразования Фурье незави-
217-
симо от того, как он начерчен, поскольку одни и те же узлы со-
единены друг с другом с соответствующими передачами. Други-
ми словами, как и в случае вывода алгоритма с прореживанием
по времени, сигнальный граф на рис. 6.18 не основан на каком-ли-
бо априорном предположении о порядке, в котором запоминаются
входные данные. Однако, как и в случае алгоритмов с прорежива-
нием по времени, можно считать, что последовательные верти-
кальные узлы на графе рис. 6.18 соответствуют запоминающим
регистрам памяти. В этом случае замечаем, что граф на рис. 6.18
начинается с входных данных в обычном порядке и дает выходные
точки в порядке с двоичной инверсией. Мы также отмечаем, что
основным вычислением является вычисление в форме «бабочки»,
хотя эта «бабочка» отличается от той, которая возникает в алго-
ритмах с прореживанием по времени. Однако в силу такого ха-
рактера вычисления граф на рис. 6.18 можно интерпретировать
как вычисление с замещением дискретного преобразования Фурье.
Как и прежде, обозначим последовательность комплексных чисел
па m-й ступени вычисления через Хт(1), где 1=0, 1, ..., N~ 1, а
и’ = 0, 1, 2, .... v. На рис. 6.19 показана «бабочка» вычислений,
уравнение которой имеет вид
(622,
Сравнивая рис. 6.9 и 6.19 или выражения (6.16) и (6.22), убеж-
даемся, что «бабочки» вычислений отличаются для этих двух клас-
Рис. 6.19. Направленный Рис. 6.20. Направленный граф об-
граф операции «бабоч- ратного ДПФ, получаемый из рис.
ка» для рис. 6.18 6.10 путем обращения операций «ба-
бочка»
Отмечаем также поразительное сходство между вычисления-
ми, соответствующими «бабочкам», и между рис. 6.10 и 6.18, т. е.
то, что рис. 6.18 можно получить из рис. 6.10, изменив направление
сигналов и поменяв местами вход и выход. Согласно терминоло-
гии гл. 4 рис. 6.18 является транспонированным по отношению к
графу на рис. 6.10 и, следовательно, из теоремы о транспонирова-
218
нии характеристики обоих графов должны быть одинаковыми^
Чтобы убедиться в этом, другим путем рассмотрим «бабочку» а
алгоритме с прореживанием по времени, изображенную на рис.
6.9. Соответствующее уравнение имеет вид
Xm+x(q) = Xm(p)-WrNXm(q).]
(6.23).:
Если начать с выхода X(k), как на рис. 6.10, можно обратить
(6.23), выражая Хт через Xm+b т. е.
Xm(<;) = (V2)(Xm+l(p)-X„+1(?))F- }
Таким образом, так как Xv (k}=X(k) и X0(k) равно х(п) в поряд-
ке с двоичной инверсией, то можно вычислить х(п) в порядке с
двоичной инверсией, последовательно применяя (6.24). Направ-
ленный граф для Л/=8 показан на рис. 6.20.
Рисунок 6.20 изображает алгоритм обратного быстрого преоб-
разования Фурье (ОБПФ). Заметим, что обратное дискретное
N-1
преобразование Фурье имеет вид х(п) = (l/N) S X(k) WN~kn, так
fe=C
что для вычисления ОДПФ можно использовать БПФ-алгоритм,
если разделить результат на N и подставить вместо степеней WN
степени Аналогично алгоритм ОБПФ может быть использо-
ван для вычисления ДПФ, если мы умножим выход на N и вместо
степеней будем использовать степени W^-1. Таким образом,
направленный граф на рис. 6.20, представляющий алгоритм
ОБПФ, может быть преобразован в БПФ-алгоритм путем замены
(1/2)1Г!у~г на WNr, так как отсутствие коэффициента 1/2 на каж-
дой стадии эквивалентно умножению выхода на N. При этом из-
менении и при подаче на вход х(п) в обычном порядке и двоично-
инверсном порядке X(k) из рис. 6.20 получим рис. 6.18.
Таким образом, видно, что любому алгоритму БПФ с прорежи-
ванием по времени соответствует алгоритм обратного преобразо-
вания, который является алгоритмом с прореживанием по часто-
те, или, ввиду простой связи между алгоритмами прямого и обрат-
ного преобразования, можно в общем случае утверждать, что для
каждого алгоритма БПФ с прореживанием по времени сущест-
вует алгоритм БПФ с прореживанием по частоте, который соот-
ветствует взаимной замене входа и выхода и обращению направ-
лений всех стрелок в направленном графе.
| 6.3-2. ДРУГИЕ ФОРМЫ АЛГОРИТМОВ
I Из полученного результата вытекает, что все графы в § 6.2
имеют «двойников» типа с прореживанием по частоте. Это, конеч-
I но, соответствует тому факту, что, как и прежде, можно переста-
| вить узлы грйфа без изменения конечного результата.
21!>
Если применить такую процедуру к рис. 6.12, то получим рис.
<6.21. В этом графе выходы расположены в обычном порядке, а
входы — в порядке с двоичной инверсией. Транспонирование гра-
Рис. 6.21. Направленный граф алго-
ритма ДПФ с прореживанием по ча-
стоте, полученный из рис. 6.18 (вхо-
ды имеют двоично-инверсный поря-
док, а выходы — обычный порядок;
рисунок получен транспонированием
из рис. 6.12)
фа на рис. 6.13 дает граф рис. 6.22, где как входы, так и выходы
расположены в обычном порядке. Как и в случае рис. 6.13, этот
граф не соответствует вычислению с замещением.
Рис. 6.22. Перегруппировка направ-
ленного графа рис. 6.18, при которой
как входы, так и выходы имеют
обычный порядок (получен транспо-
нированием из рис. 6.13)
Рис. 6.23. Перегруппировка направ-
ленного графа рис. 6.18, при которой
каждая ступень имеет одинаковое
начертание, тем самым позволяя ис-
пользовать последовательный доступ
к данным н нх запоминание (полу-
чен транспонированием из рис. 6.14.)
Путем транспонирования рис. 6.14 получим рис. 6.23. Каждая
ступень на рис. 6.23 имеет одно и то же начертание, что является
желательным в том случае, когда имеется память с последова-
тельным доступом.
6.4. АЛГОРИТМЫ БПФ ДЛЯ СОСТАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ N
Предыдущий материал иллюстрировал принципы прорежи-
вания по времени и прореживания по частоте для важного част-
ного случая, когда N является степенью 2, т. е. M=2V. В более
220
общем случае эффективное вычисление дискретного преобразова-
ния Фурье связано с представлением N в виде произведения со-
множителей [1, 7, 9, 10]
# = PiP2 . . -Pv. (6.25)
Как мы видели в случае, когда (V является степенью 2 (когда
все сомножители равны 2), такое разложение приводит к высоко-
эффективному вычислительному алгоритму. Кроме того, все необ-
ходимые вычисления имеют вид «бабочки», что, по существу, со-
ответствует двухточечному ДПФ. По этой причине 2v-TO4e4Hbie
алгоритмы особенно просты для реализации; на практике выгодно
всегда иметь дело с последовательностями длины 2V. Это можно
сделать во многих случаях, просто дополняя последовательность
конечной длины нулями, если это необходимо. Однако в некото-
рых случаях невозможно выбрать (V в виде степени 2, что приво-
дит к необходимости рассмотрения более общей ситуации (6.25).
Поэтому рассмотрим применение принципа прореживания по вре-
мени, когда N является произведением сомножителей, не все из
которых равны 2. Пусть q\ = piPz ... pv, так что N=p1ql. Если N
является степенью 2, можно выбрать pi = 2, a q\=Nj2. Используя
прореживание по времени, можно разложить х(п) на две последо-
вательности длины JV/2, состоящие из четных и нечетных выборок
соответственно. Если N—p\q\, то можно разделить входную после-
довательность на pi последовательностей длины qi так, что каж-
дая pi-я выборка попадает в одну последовательность. Например,
если Pi = 3, a </i = 4, так что М=12, то можно разложить х(п)‘ на
три последовательности длины 4, причем первая последователь-
ность состоит из выборок х(0), х(3), х(6), х(9), вторая — из
л(1), х(4), х(7), х(10), а третья — из х(2), х(5), х(8), х(11). В.
общем случае можно записать X(k) в виде
N—1 1 ?,—!
х (£) = 2 х w»n = Sх wNrh + 2х (ps + о х
п=0 г=0 г—0
1
xW*Wp^ + . . .+ 2х(р1г + р1-1)й7<7’х-»ьц7^
r=Q
Pl—1 «1—1
или X (k) = 2 Wfi + I) WP^. (6.26)
7=0 r=0
Внутренние суммы можно представить как ^j-точечные ДПФ:
«1-1
Gt(k)= 2x(/v + Z)«^, (6.27)
л=0
потому что, как легко проверить,
Wp^k = W* при W = Р&. (6.28)
Таким образом, (6.26) представляет X(k) в виде р\ дискретных
221
преобразований Фурье последовательностей длины q\. Чтобы оп-
ределить число комплексных умножений и сложений для вычис-
ления ДПФ по (6.26), будем считать, как и прежде, что ^-точеч-
ное ДПФ получается путем прямого вычисления. Из (6.26) видно,
что нужно рассчитать pi дгточечных ДПФ. Поэтому общее число
требуемых комплексных сложений и умножений равно p\q\. Внеш-
няя сумма в (6.26) получается путем умножения ^-точечных
ДПФ' на коэффициенты WNlk и сложения результатов. Так как
двойное суммирование в (6.26) выполняется для N значений k, то
для объединения pi gi-точечных ДПФ требуется N (pi—1) комп-
лексных умножений и сложений*. Следовательно, общее число
комплексных умножений и сложений, необходимых для расчета
дискретного преобразования Фурье в виде (6.26), равно N(pt—
— \)+piqzi. Теперь gi-точечное ДПФ может быть разложено ана-
логичном образом. В частности, если представить qi в виде qi=
= p2q2, то ^i-точечные последовательности во внутренней сумме
(6.26) могут быть разбиты на р2 подпоследовательностей, каждая
из которых состоит из q2 точек, так что внутренняя сумма в (6.26)
может быть заменена на двойную сумму тем же самым способом,
с которого мы начали. Тогда число операций, требуемых для рас-
чета ^i-точечных ДПФ в (6.26) вместо qz\, станет равным
4i(Pz~ i) + M- (6-29)
Следовательно, коэффициент q\ в N (pi—1)+Pig2i заменяется
выражением (6.29), и поэтому общее требуемое число комплекс-
ных умножений и сложений станет равным
IV (Р1- 1) + (р.-1) + Р1Р^. (6.30)
Если продолжить эту процедуру, разлагая далее д2-точечные
ДПФ, то, в конце концов, общее число комплексных умножений и
сложений станет равным
N(p± + p,+ • • - + Pv-v). (6.31)
Например, при pi = p2 = ... —pv = p число комплексных умноже-
ний и сложений равно N (р—l)v. При р = 2 это число равно Nv,
что согласуется с уже полученными результатами**. В общем слу-
чае, как видно из (6.31), лучше производить разложение N на
максимально возможное число сомножителей. Формально следует
выбирать простые сомножители, поскольку, если pi — rtSi при /у и
s(> 1, то Pi>ri-'rSi, за исключением случая /у=5г = 2, когда pi=
— ri + Si. Однако имеются примеры (в особенности при Цг = 4 или
8), когда получается дополнительная экономия, не вытекающая
из (6.31).
* Суммирование р> членов требует pi—1 сложений и не требует умножении
на Wяк! при 1 = 0. Напоминаем, что в этой главе, как правило, учитываются ум-
ножения на даже тогда, когда равно единице или i. Однако при
интерпретации (6.26) удобно учесть, что при 1 = 0 для того, чтобы на-
ши результаты согласовывались с материалом § 6.2.
** Напоминаем, что число умножений может быть сокращено путем исполь-
зования симметрии,
222
Чтобы проиллюстрировать процедуру с прореживанием по времени для N,
не являющегося степенью 2, рассмотрим вычисление 18-точечного ДПФ, т. е.
W=3-3-2. Полагая р[=3 и (^=6 и следуя вышеизложенному, сначала разобьем
исходную последовательность на три шеститочечные последовательности:
1) х(0), х(3), х(6), х(9), х(12), х(15); 2) х(1), х(4), х(7), х(10), х(13), х(16);
3) х(2), х(5), х(8), х(11), х(14), х(17). Разбив исходную последовательность
1 на эти три подпоследовательности, можно выразить X(k) в виде
2 5
X (fe) = 2^ 18 (3 г + /) W* rft = Go (Л) + Gi {k) + w2| Ga щ (6 32)
(=0 r=0
Внутренняя сумма является шеститочечным ДПФ, соответствующим первой по-
следовательности при 1=0, второй последовательности при 1=1 и третьей пос-
ледовательности при 1 = 2. В этом случае шеститочечные Gi(k) ДПФ имеют
период, кратный шести. Вычисления по (6.32) иллюстрируются рис. 6.24*.
Рис. 6.24. Направленный граф первой ступени
разложения 18-точечного ДПФ
Шеститочечные ДПФ, соответствующие внутренней сумме в (6.32), могут
быть далее разложены путем разбиения последовательностей х(3г+/) на три
двухточечные или две трехточечные подпоследовательности. Разбивая каждую
шеститочечную подпоследовательность на трн двухточечные, заменим внутрен-
5 1
нюю сумму на Gi(k)= x(3r+l)Wsrh='S. W63k'S x(9p+3s + l)Ws3i‘h, тогда об-
r=o s=o p=0
щая формула для вычисления X(k) примет вид
2 2 1
X(fe)=2 X(9p + 3s + /)r2,‘- (6,33)
1=0 s=0 р=й
* На этом рисунке передачи ветвей определяются алгебраическим выраже-
нием, связанным с каждым выходным узлом.
223
Рис. 6.25. Направленный граф после-
дующего разложения одного из ше-
ститочечных ДПФ на рис. 6.24
Одно из' шеститочечных ДПФ (Go(А))
показано подробно иа рис. 6.25. Другие
имеют аналогичную форму. Если рис.
6.25 и соответствующие Gi(k) и Gz(k)
графы расположить в соответствующих
местах рис. 6.24, то входная последова-
тельность будет расположена в следую-
щем порядке: х(0), *(9), х(3), х(12),
х(6), х(15), х(1), х(10), х(4), х(13),
х(7), х(16), х(2), х(11), х(5), х(14),
х(8) и х(17). Из рис. 6.24 и 6.25 видно,
что при таком порядке входов вычисле-
ния будут выполняться по алгоритму с
замещением. Двухточечные преобразова-
ния рис. 6.25 сначала имеют вид «бабо-
чек»; основная операция трехточечного
ДПФ имеет более сложный вид, но тем
не менее является вычислением с заме-
щением. Вместо двоичной инверсии вхо-
ды упорядочены более сложным обра-
зом. А именно, если обозначить через
Ло( ) входной массив, то можно пока-
зать, что Xo(6l-t-2s+p) =x(9p+3s+l).
60(к)
G2(*J
ЧТ"*' к-О,1,...,рг1
Рис. 6.26. Направленный граф основной операции
для коэффициентов, равных 3
где р=0,1; s=0, 1, 2 н 1=0, 1, 2. Иначе говоря, входы должны запоминаться в
обобщенном порядке с разрядной инверсией для того, чтобы проводить вычисле-
ния с замещением. Как видно из рис. 6.24, результирующие выходные отсчеты
появляются в обычном порядке. Конечный этап вычисления БПФ в соответствии
с алгоритмом рис. 6.24 показан на рис. 6.26 для N=3qi.
В случае сомножителей 2 можно уменьшить число умножений в 2 раза, ис-
пользуя симметрию. В случае сомножителей 3 аналогичное преобразование гра-
фа рис. 6.26 дает рис. 6.27. Так как N=3qi, то основным комплексным множите-
лем является Wai 1 = е~W/3). Следовательно Wn4' и все степени этого множи-
теля являются комплексными коэффициентами, требующими умножений. По-
этому граф на рис. 6.27 не более эффективен, чем граф на рис. 6.26.
Можно показать, что основное вычисление в ДПФ при коэффи-
циенте 4 (т. е. при jV=4<7i) имеет вид рис. 6.28. В этом случае на-
правленный граф рис. 6.28 может быть перечерчен в виде рис.
6.29 с сопутствующим сокращением девяти комплексных умноже-
224
Рис. 6.27. Другая перегруппировка рис.
6.26______________________________________
Рис. 6.28. Направленный граф основной-*
операции для коэффициентов 4
имеет место для сомно-
ний из двенадцати. Аналогичная экономия
жителей 8, 16 и т. д. [И]. Таким образом, даже если M=2V, иног-
да выгодно основывать вычисления на сомножителях 4, используя
одну ступень, основанную на коэффициенте
2, если v нечетно.
В этом параграфе предпринята попытка
указать на некоторые преимущества и недо-
статки использования значений N с сомно-
жителями, не равными 2. Основными преи-
муществами являются большая гибкость и
быстродействие в некоторых случаях, ос-
новным недостатком — большая сложность
вычислительного алгоритма. Хотя мы обсу-
дили только алгоритм с прореживанием по
времени, аналогичные рассуждения спра-
ведливы также и для прореживания по ча-
стоте. Более подробно алгоритмы БПФ с
составными N общего вида изложены в [9]
и {10].
Рис. 6.29. Другая перегруппировка рис. 6.28, дающая
экономию числа умножений
6.5. ОБЩИЕ ОСОБЕННОСТИ АЛГОРИТМОВ БПФ
Выше были обсуждены основные принципы эффективного
вычисления дискретного преобразования Фурье. При этом были
использованы представления с помощью сигнальных направлен-
8—117 225
ных графов, а не выписывались детально уравнения, соответст-
вующие таким графам. По необходимости были приведены эти
графы для частных значений N. Обоснованием для такого подхода
является тот факт, что направленные графы даже для такого про-
стого случая, как N=8, легко обобщаются на большие значения
N, т. е., рассматривая такой направленный граф, как, например,
на рис. 6.10, можно увидеть структуру общего/ вычислительного
алгоритма, который применим при любом N=2?
Из рассмотрения направленных графов предыдущих парагра-
фов ясно, что имеется два важных аспекта в любом алгоритме
БПФ. Первым являются доступ к данным и их запоминание в
промежуточных массивах. Второй — конкретное осуществление
вычислений типа «бабочки». Хотя направленные графы предыду-
щего параграфа передают самую сущность изображаемых ими
алгоритмов, имеется масса деталей, связанных с этими основны-
ми аспектами, которые необходимо рассмотреть при осуществле-
нии заданного алгоритма. В этом параграфе будут обсуждены не-
которые детали, которые имеют отношение к осуществлению алго-
ритмов БПФ. Как и прежде, мы будем рассматривать в основном
алгоритмы для N=2V, хотя большая часть материала применима
также к общему случаю.
6.5.1. ИНДЕКСАЦИЯ
Рассмотрим в качестве примера алгоритм, изображенный на
рис. 6.10. В этом случае входные выборки должны иметь двоично-
инверсный порядок для того, чтобы вычисления можно было бы
выполнить с замещением. Тогда результат появится в обычном
порядке. Как правило, по-
следовательность представ-
лена не в двоично-инверс-
ном порядке, и поэтому пер-
вым шагом в осуществлении
алгоритма на рис. 6.10 дол-
жен быть процесс переста-
новки выборок входной по-
следовательности. Этот про-
цесс для Л? = 8 изображен на
рис. 6.30.
Из рисунка видно, что перестановка х(п) может быть сделана
«с замещением». Это удобно сделать, используя индекс, который
«считает» в двоично-инверсном порядке. (Граф такого двоично-
инверсного счетчика дан в [7].) Предположим, что п — обычный
индекс, а I — двоично-инверсный индекс. Тогда исходным масси-
вом является Хо(1) =х(п). Из рис. 6.30 замечаем, что при п — 1
нет необходимости в перестановке, но при п=£1 необходимо пере-
ставить х(п) и х(1). Однако нужно быть уверенными, что эта пе-
рестановка будет сделана только 1 раз. Это можно обеспечить пу-
тем сравнения п и I, осуществляя перестановку только при
226
^пРОр“'й >(0) М
*(5) ф) 1(7)
порядок
Рис. 6.30. Сортировка с двоичной инвер-
сией для N=8
Таким образом, простым алгоритмом двоично-инверсного упорядо-
чивания является следующий алгоритм: пронумеровать последова-
тельность х(п), изменяя п от 0 до N—1 в обычном порядке, в то
время как I изменяется от 0 до N—1 в двоично-инверсном поряд-
ке. При 1>п произвести перестановку х(п) и х(1).
Получив входные выборки в двоично-инверсном порядке, мож-
но перейти к первой ступени вычислений. В этом случае все мно-
жители равны 1 и входами «бабочек» являются соседние
элементы массива Xo(-). На второй ступени вычислений множите-
лями являются либо W°n, либо степени Wnn/4, а входы «бабочек»-
разнесены на две ячейки. На т-й ступени множителями являются
степени WN(NI2m\ а входы «бабочек» разнесены на 2т-1 ячеек. От-
метим, что если вычисления в «бабочках» начинаются с верхнего
края направленного графа рис. 6.10, то степени WN должны появ-
ляться в обычном порядке. Вышеизложенное определяет способ
доступа к данным на каждой стадии вычислений, который, конеч-
но, зависит от графа алгоритма. Например, на т-й ступени вычис-
лений по рис. 6.12 узлы «бабочки» разнесены на 2б'~то), коэффи-
циенты являются степенями Wn^12"1^, и в этом случае эти степени
должны поступать в двоично-инверсном порядке. Входные вы-
борки имеют обычный порядок, а выходные — двоично-инверсный
порядок, так что может понадобиться их перестановка по указан-
ному выше алгоритму.
В общем случае, если рассмотреть все направленные графы
§ 6.2 п 6.3, то увидим, что каждому алгоритму присущи свои проб-
лемы индексации. Выбор конкретного алгоритма зависит от не-
скольких факторов. Преимуществом алгоритмов вычисления с за-
мещением является эффективное использование памяти, хотя и
требуется память с произвольным, а не последовательным досту-
пом. Дополнительным недостатком этих алгоритмов является то,
что либо входные, либо выходные выборки имеют двоично-ин-
версный порядок. К тому же, в зависимости от того, какой из ал-
горитмов выбран (с прореживанием по времени или по частоте),
а также от необходимости упорядочения входных и выходных вы-
борок, доступ к коэффициентам может быть либо в обычном, либо-
в двоично-инверсном порядке. Были рассмотрены алгоритмы бы-,
строго преобразования Фурье, использующие память с последова-
тельным, а не произвольным доступом, но опять же. либо входные,
либо выходные выборки должны иметь двоично-инверсный поря-
док. Граф алгоритма может быть преобразован так, что входы,
выходы п коэффициенты будут иметь обычный порядок, но тогда
структура индексов такого алгоритма будет сложной и потребует-
ся вдвое больше объем памяти с произвольным доступом. Следо-
вательно, использование таких алгоритмов не представляется вы-
годным.
Наиболее часто используемыми алгоритмами БПФ являются
алгоритмы, изображенные на рис. 6.10, 6.12, 6.18 и 6.21, в которых
вычисления производятся с замещением. Если данные должны
8*
227
быть преобразованы только один раз, то, очевидно, двоично-ин-
версную перестановку можно сделать как на входе, так и на выхо-
де. Однако в некоторых случаях данные сначала подвергаются
прямому преобразованию, результат этого преобразования изменя-
ется некоторым образом, а затем подвергается обратному преоб-
разованию. Например, при реализации КИХ-цифровых фильтров
при помощи дискретного преобразования Фурье отрезок входных
данных преобразуется, умножается на ДПФ импульсной характе-
ристики фильтра, и результат подвергается обратному преобразо-
ванию. В другом примере при вычислении авто- или взаимокорре-
ляционной функции с помощью дискретного преобразования
Фурье данные будут преобразовываться, умножаться на ДПФ и
результирующее произведение будет подвергаться обратному пре-
образованию.
В тех случаях, когда два преобразования выполняются таким
же образом, имеется возможность путем выбора подходящего ал-
горитма БПФ избежать двоичной инверсии. Например, при реа-
лизации КИХ-цифрового фильтра посредством ДПФ можно вы-
брать алгоритм прямого преобразования, использующий входные
данные в обычном порядке, а ДПФ в двоично-инверсном порядке.
При этом можно использовать как направленный граф рис. 6.12,
основанный на прореживании по времени, так и граф рис. 6.18,
основанный на прореживании по частоте. Разница между этими
двумя формами графов состоит в том, что граф с прореживанием
по времени использует коэффициенты в двоично-инверсном поряд-
ке, тогда как прореживание по частоте требует, чтобы коэффи-
циенты поступали в обычном порядке.
При использовании любого из этих алгоритмов преобразован-
ные данные появляются в двоично-инверсном порядке, и, следова-
тельно, нужно будет запоминать ДПФ, соответствующее частотной
характеристике фильтра в двоично-инверсном порядке. Тогда для
обратного ДПФ можно выбрать алгоритм, который использует
входные данные в двоично-инверсном порядке, а результаты выда-
ет в обычном порядке. Здесь могут быть использованы как направ-
ленный граф рис. 6.10, основанный на прореживании по времени,
так и граф рис. 6.21, основанный на прореживании по частоте. Од-
нако граф рис. 6.10 использует коэффициенты в обычном порядке,
тогда как для графа рис. 6.21 требуются коэффициенты в двоично-
инверсном порядке. Для использования коэффициентов только в
обычном (что предпочтительнее) или только в двоично-инверсном
порядке необходимо, чтобы при использовании алгоритма с про-
реживанием по времени в случае прямого преобразования для об-
ратного преобразования был выбран алгоритм с прореживанием
по частоте; при этом коэффициенты должны быть в двоично-ин-
версном порядке. Если для прямого преобразования выбирается
алгоритм с прореживанием по частоте, то для обратного преобра-
зования должен быть выбран алгоритм с прореживанием по вре-
мени; при этом коэффициенты должны иметь обычный порядок.
228
6.5.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ
Как было показано, коэффициенты TTrw могут понадобиться
как в двоично-инверсном, так и в обычном порядке. В любом слу-
чае нужно либо запоминать таблицу, достаточную для нахожде-
ния всех необходимых значений, либо вычислять эти значения по
мере необходимости. Первый способ имеет преимущество в скоро-
сти вычислений, но требует дополнительной памяти. Нам требу-
ются при r=0, 1, ..., Х/2—1. Таким образом, для полной таб-
лицы значений необходимо N/2 комплексных запоминающих
ячеек*. В том случае, когда применяются алгоритмы с двоично-
инверсным порядком коэффициентов, эту таблицу необходимо за-
писать в память в двоично-инверсном порядке.
Вычисление коэффициентов по мере надобности дает эконо-
мию памяти, но менее эффективно с точки зрения быстродействия.
Более высокая эффективность получается при применении рекур-
рентной формулы. Отметим, что в общем случае на каждой ступе-
ни вычислений все требуемые коэффициенты являются некоторы-
ми степенями WN, т. е. W^, где q зависит от алгоритма и ступени
вычислений. Поэтому, если коэффициенты требуются в обычном
порядке, то мы можем использовать рекуррентную формулу
= (6.34,
для получения /-го коэффициента по (/—1)-му. Ясно, что алго-
ритмы. требующие коэффициенты в двоично-инверсном порядке,
не очень хороши при таком подходе. При использовании арифме-
тики с конечной точностью ошибки могут нарастать при каждой
итерации этого разностного уравнения. Поэтому, как правило, не-
обходимо производить восстановление значения в заранее выбран-
ных точках (например, WN/4N=—j) так, чтобы ошибки остава-
лись приемлемыми.
6.5.3. МНОГОМЕРНОЕ БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Двумерное дискретное преобразование Фурье было определе-
но в гл. 3 следующим образом:
М-1 K-J
X (k, 1)~ 2 2 х ^т’ ^м* ПРИ ! > • • •
т=0 п=0
. . . , .М—1; Z = о, 1...Л/— 1. (6.35)
Замечаем, что выражение (6.35) очень похоже на (6.26). Дейст-
вительно, можно дать полезную интерпретацию алгоритма БПФ в
терминах многомерного дискретного преобразования Фурье (см.
[7]). Что касается расчетов по формуле (6.35), то можно заме-
* Используя симметрию, это число можно сократить по ценой больших
усилий при поиске нужных значений.
229
тить, что эти расчеты включают вычисление М ДПФ вида
N — 1
А (т, l)= n)^N ПРИ т = 0, 1, . . ., М—1;
п=0
Z = 0, 1, . . ., N—l, (6.36)
а затем >.N ДПФ вида
М-1
X(k, 1)=^А(т, I) Wf^ при k — 0, 1.....Л4—1;
т=0
Z = Q, 1, . . ., N—l (6.37)
Ясно, что можно рассчитать (6.36) и (6.37) с помощью одного из
вышеописанных алгоритмов. Если М и N являются степенями 2,
то число требуемых комплексных умножений будет равно
Af(N/2)log2N + N(M/2)log2.M= (NAf/2) (log2NM) в противополож-
ность N2M2 комплексным умножениям при прямом вычислении по
(6.35).
Основной трудностью при вычислении двумерных ДПФ явля-
ется большое число запоминающих ячеек, необходимых для осу-
ществления вычислений с замещением. Для комплексных данных
требуется 2(N-M) действительных запоминающих регистров для
хранения входных выборок или результирующего преобразования.
Например, при N=M=256 требуется 131 072 регистра. Если тре-
буемого объема памяти с произвольным доступом нет, то можно
использовать один из видов массовой памяти с последовательным
доступом, таких, как магнитный диск или магнитная лента, где
строки или столбцы записываются друг за другом. Это увеличи-
вает сложность реализации вычислений по (6.36) и (6.37). Напри-
мер, если данные записываются в память по строкам, то легко
осуществить строчные преобразования (6.36), но если результаты
строчных преобразований записываются последовательно по стро-
кам, то трудно обратиться к данным, требуемым для столбцовых
преобразований. Один из способов преодоления этой трудности
состоит в выполнении сразу нескольких строчных преобразований,
сохранении результатов и затем записи результирующих значений
А(т, 1)< в транспонированном порядке. После формирования все-
го транспонированного массива А(1, т) требуемые столбцовые
преобразования вычисляются как строчные преобразования тран-
спонированного массива. Результирующее двумерное преобразова-
ние записывается в транспонированном порядке [12].
6.6. АЛГОРИТМ ПРЕРЫВИСТОГО z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Из вышеизложенного очевидна возможность очень эффек-
тивного вычисления ДПФ. Эти процедуры эквивалентны эффек-
тивному вычислению выборок z-преобразования последовательно-
сти конечной длины, взятых в равноудаленных точках единичной
окружности. Для достижения высокой эффективности вычисления
230
^-преобразования необходимо, чтобы N было составным числом,
содержащим большое число сомножителей. Могут также понадо-
биться выборки z-преобразования на каком-нибудь другом конту-
ре или выборки не на всей окружности. Поэтому представляют
значительный интерес схемы, увеличивающие гибкость расчетов
ДПФ.
Предположим, требуется получить выборки z-преобразования
последовательности конечной длины на окружности концентриче-
ской с единичной окружностью, причем выборки должны быть
равно удалены друг от друга по углу. В таком случае может быть
использован алгоритм БПФ с небольшими изменениями. А имен-
но, если имеется последовательность х(п) длиной N, то дискрет-
ное преобразование Фурье последовательности х(п)а~п даст N
выборок, равномерно распределенных на единичной окружности
радиуса а в z-плоскости. Если требуется получить частотные вы-
борки, равномерно распределенные на небольшой части единичной
окружности, то наиболее эффективным подходом будет вычисле-
ние частотных выборок с заданным расположением, но в более
широком частотном диапазоне с помощью алгоритма быстрого
преобразования Фурье. Например, если мы рассматриваем после-
довательность из 128 выборок и нас интересуют 128 выборок г-
преобразования на единичной окружности в диапазоне от со =
——л/8 до й=+л/8, то наиболее эффективной процедурой будет
вычисление 1024-точечного ДПФ, пополняя исходную последова-
тельность нулями и оставляя только интересующие нас 128 точек.
Другой процедурой, которая во многих ситуациях наиболее эф-
фективна, является алгоритм прерывистого z-преобразования
(Н/П). Этот алгоритм предназначен для вычисления z-преобразо-
вания па спиральном контуре с точками, равноудаленными по уг-
лу на некоторой части спирали. А именно, пусть х(п) обозначает
А'точечную последовательность, a X(z) — ее z-преобразование.
Используя алгоритм прерывистого г-преобразования, X(z) можно
вычислить в точках z>, вида
zk = AW~k, /г = 0, 1, ’. . ., М— 1,
где W = lFoe-i4>“, А = Aoei0°, a IFo и Ао —
положительные действительные числа.
Следовательно, контур, на котором полу-
чаются выборки, имеет вид, показанный
на рис. 6.31.
Этот контур является спиралью на z-
плоскости. Параметр Wg управляет ско-
ростью «закрутки» спирали; если 1Е0
больше единицы, то спираль закручива-
ется к началу координат при увеличении
k, а если IFo меньше единицы, то спираль
раскручивается при увеличении k. Пара-
метры Ао и 0о определяют расстояние от
начала координат и угол первой выбор-
Рис. 6.31. Контур в г-пло-
скости для прерывистого
г-преобразования
231
ки (т. е. при £ = 0) соответственно. Остальные выборки расположе-
ны по спиральному контуру с угловым разносом <р0. Следовательно,
если lFo = l, то спираль в действительности является дугой окруж-
ности, и при Ло = 1 эта дуга является частью единичной окружности.
При Zh, определяемых выражением (6.38), необходимо вычис-
лить
N-1
X(zft) = k = 1, . . ., Л4—1, (6.39)
п=0
где N является длиной последовательности х(п). Используя тож-
дество*
nk = (1/2) [n2 + &2 —-{k — п)2], (6.40)
выражение (6.39) можно записать в виде
X (zk) =^х (n) А~п Wn*/2 Wk2/2 W~(h~n)2/2
n=0
или X (zft) = Wk‘/2N^x (n) A~n IT'2 U7-
n—0
Полагая g(n)=x(n)A~nWn212, можно записать
w-i
X(Zft) = rft2/2 2g(n)^_(ft-n)2/2, k = 0, 1, . . ., Л4—1. (6.41)
n—0
h(n)=w "2/2. Если А и w о
Рис. 6.32. Интерпретация выражения
(6.41) как операций, производимых
линейной системой
В X(zk), представленном в виде (6.41), узнаем свертку последова-
тельности g(n) с последовательностью W~n2i2. Поэтому вычисления
по (6.41) можно представить так, как показано на рис. 6.32, где
>i единице, то последовательность
й(п) можно понимать как
комплексную экспоненциальную
последовательность с линейно-
нарастающей частотой. Систе-
мы, аналогичные изображен-
ным на рис. 6.32, обычно ис-
пользуются при спектральном
анализе в радиолокации.
Так как последовательность g(n) имеет конечную длитель-
ность, то согласно гл. 3 свертка (6.41) может быть выполнена с
помощью дискретного преобразования Фурье, с использованием,
конечно, алгоритма БПФ **.
В то время как последовательность g(n) имеет конечную дли-
тельность, последовательность W~n2/2 имеет бесконечную длитель-
ность. Следовательно, если выполнять свертку с помощью дискрет-
* Этот способ был впервые использован в [14].
*’ В [14] показано, что в случае, когда гь = е1(2я/Л')\ где дг — точный квад-
рат, можно получить рекурсивную реализацию схемы рис. 6.32.
232
ного преобразования Фурье, то придется разбивать последова-
тельность W~n2/2 на секции. Отметим также, что, хотя результат
свертки имеет бесконечную длительность, нам нужны только вы-
борки при k = 0, 1, ..., М—1. Следовательно, при секционировании
последовательности W~n2/2 было бы полезно выбрать секции так,
чтобы результат вычисления одной секции давал М требуемых
выходных точек. На рис. 6.33 изображены последовательности,
участвующие в этом процес-
се, для случая М=10 и М =
= 6. Последовательности
g(ri) и IF-n2/2 изображены на
рис. 6.33а, б соответственно.
Для получения результа-
та в промежутке от 0 до
М—1 при осуществлении
свертки g(n) с W~n2,i необ-
ходима только часть после-
довательности а
именно часть от М + 1 до
М—1, включая конечные
точки. Эта часть последова-
тельности W~n2,i расположе-
на между штриховыми ли-
ниями А и В на рис. 6.336.
д(п)
Следовательно, свертка мо-
жет быть осуществлена по-
средством вычисления (Л4 +
+ N—1)-точечного ДПФ от
g(n) (пополненной, конечно,
М—1 нулем) и (М+М—1)-
точечного ДПФ части после-
довательности W~n2/2 в об-
ласти от А до В на рис. 6.336.
д(п)(£Ш^пК№
Рис. 6.33. Последовательности в ал-
горитме П2П при L=N+M—il
Обратное преобразование
от произведения этих двух дискретных преобразований Фурье бу-
дет круговой сверткой последовательности g(ri) с секцией последо-
вательности W~n2i2. Как ясно из рассмотрения метода перекрытия
с накоплением, часть круговой свертки будет соответствовать ли-
нейной свертке, а оставшаяся часть не будет. Можно сделать так,
что «хорошие» точки появятся в интервале Osi/isC+f—1, считая
индекс п вычетом по модулю (N+M—1). Это означает, что требу-
ется вычислять ДПФ последовательности вида
h(n) =
W~n‘/2,
уу- (.V4-.M—1—п)2/2
1;
М < n<N + M—2,
изображенной на рис. б.ЗЗв. Если перемножить дискретные преоб-
разования Фурье последовательностей g(n) и h(n), то первые М
233
значений обратного преобразования будут требуемыми значения-
ми свертки g(n) с W~n2/2. Чтобы получить требуемые М значений
X (k) согласно (6.41), нужно произвести умножение на W~k2'2.
В предыдущем обсуждении порядок ДПФ, которое необходимо
вычислить, был равен (M + N—1). Если для вычисления дискрет-
ного преобразования Фурье требуется применить алгоритм, рас-
считанный на число точек, равное степени 2, то это можно легко
сделать, пополняя (M + N—^-то-
чечные последовательности доста-
точным числом нулей с тем, чтобы
их полная длина равнялась степени
2*. Так как число комплексных ум-
ножений, требуемых для вычисле-
ния каждого ДПФ, имеет порядок
(N+M—1) log-2 (jV+AI—1), то ясно,
что общее количество арифметиче-
ских операций для вычисления по
(6.39) с использованием алгоритма
IlZn пропорционально (Лг+Л4—
— 1) log2 (Л^+Л4—1). В противопо-
ложность этому прямой метод вычи-
сления по (6.39) потребует количе-
ство операций, пропорциональное
N-М. Ясно, что прямой метод будет
наиболее эффективен для малых М
и ЛА Однако для достаточно боль-
ших М и N (порядка 50) алгоритм
П7П будет и самым эффективным.
Вдобавок к высокой эффективно-
сти nzn обеспечивает большую
гибкость при вычислении ёыборок
z-преобразования последовательно-
сти конечной длины. Нам не требу-
ется выполнения равенства M—N,
юо--------1-----1--------------1------l
О 1000 2000 3000 0000 5000
Чистота, Гц
0)
Рис. 6.34. Использование алгорит-
ма П7П:
а) диаграмма полюсов для син-
тетического речевого сигнала; б)
расчеты z-преобразования для не-
скольких спиральных контуров
[13]
как в случае рассмотренных алго-
ритмов БПФ, а также не требуется,
чтобы Af и Л4 были составными чи-
слами с большим числом сомножи-
телей; они могут быть простыми, ес-
ли угодно. Тогда как в алгоритме
БПФ требуется, чтобы параметр <р0
был равен 2л/ЛА в алгоритме flZn
фо — произвольно. К тому же вы-
борки z-преобразования берутся на
контуре более общего вида, част-
ным случаем которого является еди-
ничная окружность.
* Эти нули нужно добавлять в точке В на рис. 6.336.
234
Алгоритм nzn является примером того, как можно осущест-
вить анализ Фурье при помощи линейной фильтрации (алгоритм
Герцеля является другим таким примером). В [15] показано, что
аналогичная процедура может быть использована для вычисления
дискретного преобразования Фурье при простом N.
Пример. Пример использования LIZIl алгоритма для обострения резо-
нансных инков посредством вычисления z-преобразования вне единичной окруж-
ности показан на рис. 6.34. Анализируемый сигнал является отрезком конечной
длины синтетического речевого сигнала. Этот речевой сигнал был получен пу-
тем возбуждения пятиполюсной системы периодической импульсной последова-
тельностью. Имитируемая система соответствовала частоте выборок 10 кГц.
Полюсы соответствовали центральным частотам 270, 2290, ЗОЮ, 3500 и 4500 Гц
с полосами 30, 50, 60, 87 и 140 Гц соответственно.
На рис. 6.34а изображена диаграмма полюсов, используемых для генерации
сигнала. Алгоритм nzfl был применен к одному периоду исходных данных в
установившемся режиме при пяти различных значениях | W|. Результаты пока-
заны на рис. 6.346. Первые два спектра соответствуют спиральным контурам
вне единичного круга; при этом произошло расширение резонансных пиков. Зна-
чение |157| = 1 соответствует вычислению г-преобразовання на единичной окруж-
ности. Прн дальнейшем увеличении |W | контур проходит внутри единичного
круга, приближаясь к полюсам, что приводит к обострению резонансных пиков.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе рассмотрены способы вычисления дискретного
преобразования Фурье и показано, что периодичность и симмет-
рия комплексного коэффициента e-i(2jr/iV)ftn могут быть использова-
ны для повышения эффективности вычислений ДПФ.
Были рассмотрены прямое вычисление ДПФ и алгоритм Гер-
целя ввиду их важности в том случае, когда требуются не все N
значений ДПФ.
Основное внимание уделено алгоритмам быстрого преобразо-
вания Фурье (БПФ). Были детально описаны два класса алгорит-
мов БПФ: алгоритм с прореживанием по времени и алгоритм с
прореживанием по частоте. Для изображения структуры алгорит-
мов БПФ использовались направленные графы.
Наиболее подробно обсуждались алгоритмы при N, являющем-
ся степенью 2. Однако было также рассмотрено применение основ-
ных принципов прореживания в случаях, когда W является произ-
ведением двух или более сомножителей. В качестве последнего
примера был рассмотрен быстрый алгоритм с более широкой об-
ластью применения — алгоритм прерывистого z-преобразования.
Было показано, как вычислить преобразование последовательно-
сти конечной длины в произвольном числе точек спирального кон-
тура на z-плоскости с помощью алгоритма БПФ.
Во всех параграфах главной целью было рассмотрение основ-
ных принципов эффективного вычисления БРФ. Эти принципы ил-
люстрировались примерами применяемых алгоритмов, и поэтому
много внимания уделялось деталям конкретного осуществления
алгоритмов БПФ. С помощью материала этой главы нетрудно
осуществить программирование алгоритмов БПФ для N, являю-
щихся степенью 2.
235
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. W. Cooley and J. W. Tukey. «An Algorithm for the Machine Calculation of
Complex Fourier Series», Math. Computation, Vol. 19, 1965, p. 297—301.
2. C. Runge, Z. Math. Physik, Vol. 48, 1903, p. 443; also Vol. 53, 1905, p. 117.
3. G. C. Danielson and C. Lanczos. «Some Improvements in Practical Fourier
Analysis and Their Application to X-Ray Scattering From Liquids», J. Fran-
kin Inst., Vol. 233, p. 365—380, 435—452.
4. Кули, Льюис, Уэлч. Исторические замечания относительно быстрого преоб-
разования Фурье. — ТИИЭР. 1967, т. 55, № 10.
5. Кокрен У. и др. Что такое быстрое преобразование Фурье? — ТИИЭР.
1967, т. 55, № 10.
6. G. Goertzel. An Algorithm for the Evaluation of Finite Trigonometric Series.
Amer. Math. Monthly. V. 65, Jan. 1958, p. 34—35.
7. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.
8. R. С. Singleton. «А Method for Computing the Fast Fourier with Auxiliary
Memory and Limited High-Speed Storage», IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
Vol. AU-15, June 1967, p. 91—97.
9. W. M. Gentleman and G. Sande. «Fast Fourier Transforms — for Fun and
Profit», in Proc. 1966 Fall Joint Computer Conf., AFIPS Conf. Proc., Vol. 29,
p. 563—578, Spartan Books, Washington, D. C., 1966.
10. R. C. Singleton. «An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier
Transform», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-17, June 1969,
pp. 93—103.
11. G. D. Bergland, «А Fast Fourier Transform Algorithm Using Base 8 Itera-
tions», Math. Computation, Vol. 22, Apr. 1968, p. 275—279.
12. J. O. Eklumdh. A Fast Computer Method for Matrix Transposing, IEEE Trans,
on Computers, Vol. C-21, No. 7, July, 1972, p. 801—803.
13. L. R. Rabiner, R. W. Schafer and С. M. Rader. «The Chirp z-Transform Algo-
rithm», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-17, June 1969, p. 86—92.
14. L. I. Bluestein. «А Linear Filtering Approach to the Computation of Discrete
Fourier Transform», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-18, Dec. 1970,
p. 451—455.
15. С. M. Rader. «Discrete Fourier Transforms When the Number of Data Samples
is Prime», Proc. IEEE, Vol. 56, June, p. 1107—1108.
Г л а в a 7.
Дискретное преобразование Гильберта
ВВЕДЕНИЕ
Почти в каждой области, где применяется техника преобразо-
ваний Фурье для представления и анализа физических процессов,
можно найти ситуации, когда существует связь между действи-
тельной и мнимой частями преобразования Фурье или его моду-
лем и фазой. Эти соотношения известны под разными названиями
в зависимости от интересующей нас области, но часто они назы-
ваются преобразованием Гильберта. В этом отношении область
цифровой обработки сигналов не является исключением.
Мы увидим, например, что если последовательность является
физически реализуемой, то действительная и мнимая части ее пре-
образования Фурье связаны между собой интегралом преобразо-
вания Гильберта. В этой главе выведем ряд таких соотношений,
которые важны как в теории, так и в применениях цифровой об-
236
работки сигналов. Чтобы получить представление о гомоморфном
разложении (гл. 10), необходимо хорошее понимание материала
этой главы.
Комплексные функции, которые возникают при математиче-
ском представлении дискретных сигналов и систем, являются
обычно «очень хорошо ведущими себя» функциями. За нескольки-
ми исключениями, z-преобразования, которые интересовали нас,
имели хорошо определенные области сходимости соответствующих
степенных рядов. Так как степенные ряды представляют аналити-
ческую функцию в области сходимости [1, 2], то отсюда следует,
что z-преобразования являются аналитическими функциями внут-
ри их областей сходимости. По определению аналитической функ-
ции это означает, что z-преобразование имеет производную в каж-
дой точке внутри области сходимости. Далее, из аналитичности
следует, что г-преобразование и все его производные являются не-
прерывными функциями в области сходимости.
Эти свойства аналитических функций заключают в себе до-
вольно сильные ограничения на поведение z-преобразования в об-
ласти сходимости. Одно из таких ограничений состоит в том, что
действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Ко-
ши—Римана. Эти условия дают соотношения между частными
производными действительной и мнимой частей аналитической
функции. Другим таким ограничением является интегральная тео-
рема Коши, с помощью которой определяются значения комп-
лексной функции в области аналитичности через значения этой
функции на границе области. На основе этих соотношений для
аналитических функций возможно при определенных условиях вы-
вести явное интегральное соотношение между действительной и
мнимой частями z-преобразования на замкнутом контуре в обла-
сти сходимости. В математической литературе эти соотношения
часто называются формулами Пуассона [2, 3]. В теории систем
они известны как преобразования Гильберта и традиционно игра-
ют важную роль в теории и практике обработки сигналов [4, 5].
Несмотря на то что преобразование Гильберта может быть
развито формально из свойств аналитических функций, в этой
главе будет принят до некоторой степени интуитивный подход. А
именно, преобразование Гильберта будет развито с точки зрения
того, что действительная и мнимая части г-преобразования (на
единичной окружности) физически реализуемой последовательно-
сти являются преобразованиями четной и нечетной компонент этой
последовательности. Как будет показано, физически реализуемая
последовательность полностью определяется своей четной частью,
откуда следует, что г-преобразование исходной последовательно-
сти полностью определяется своей действительной частью на еди-
ничной окружности. Это рассуждение может быть применено при
определенных условиях для определения z-преобразования после-
довательности через его модуль на единичной окружности.
Понятие аналитического сигнала является важным при обра-
ботке сигналов с непрерывным временем [6]. Аналитический
237
сигнал является комплексной (аналитической) функцией времени,
преобразование Фурье которой равно нулю на отрицательных ча-
стотах. Комплексную последовательность в формальном смысле
нельзя рассматривать как аналитическую, так как она является
функцией целого аргумента. Однако можно аналогичным образом
определить действительную и мнимую части комплексной последо-
вательности, спектр которой равен нулю на единичной окружности
при —л<<о<0. Точно так же можно определить действительную и
мнимую части дискретного преобразования Фурье для периодиче-
ской последовательности и последовательности конечной длины.
В этом случае условие «физической реализуемости» состоит в том,
что периодическая последовательность равна нулю во второй поло-
вине каждого периода.
Таким образом, понятие физической реализуемости будет в
дальнейшем применено для определения четной и нечетной компо-
нент функции или, что то же, действительной и мнимой частей ее
преобразований. Этот подход будет применен в четырех ситуа-
циях. В первой определяются действительная и мнимая части пре-
образования Фурье Z/(eia)) последовательности h(n), которая рав-
на нулю при п<0. Во второй определяются действительная и мни-
мая части логарифма преобразования Фурье при условии, что об-
ратное преобразование логарифма преобразования равно нулю
при п<0. Действительная и мнимая части логарифма спектра со-
ответствуют логарифму модуля и фазе //(eia). В третьей ситуации
будут определены действительная и мнимая части ДПФ для пе-
риодических последовательностей и для последовательностей ко-
нечной длины N, у которых последние 7V/2 членов равны нулю. На-
конец, определим действительную и мнимую части комплексной
последовательности, преобразование Фурье которой, рассматри-
ваемое как периодическая функция от <в, равно нулю во второй
половине каждого периода.
7.1. О ДОСТАТОЧНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ
ЧАСТЕЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ
РЕАЛИЗУЕМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Любая последовательность может быть представлена как
сумма четной и нечетной последовательностей. А именно, обозна-
чая через h4(n) и й^(п) четную и нечетную части последователь-
ности, имеем
<(n) = h4 (n) + ha (п), (7.1)
где h4 (п) = ( 1/2) [h(n) + h(—n)] (7.2)
и Mrt) = ( 1/2) [h(ri) — h(—«)]. (7.3)
Соотношения (7.1) — (7.3) применимы к любой последовательно-
сти. Однако если h(n) физически реализуема, то можно восстано-
238
вить fi(n)\ по h4(n) или h„(n) (в последнем случае только при
«У=0). Рассмотрим, например, последовательность h(n), представ-
ленную на* рис. 7.1, п ее четную и нечетную компоненты. Так как
\ ^(п1
I h(-n)
п
, к Т Н П I ТТТГТттт??
^о(п)
111 Illi , I f Т Т Т Т т f t t
Рис. 7.1. Четная н нечетная части действительной
физически реализуемой последовательности
h(n) физически реализуема, т. е. h(n)=0 при п<0 и /г(—п)=(Г
при /г>0, то между ненулевыми частями h(n) и й(—и) нет пере-
крытия, за исключением точки п=0.
Из рис. 7.1 и выражений (7.2) и (7.3) должно быть ясно, что
для физически реализуемых последовательностей
h (п) =
2йч (п),
/гч (п),
О
, , . j 2йн(п),
и п (п) = ( '
I О,
п> 0;
/г = 0;
/г<0
п 2> 0;
n<Z 0.
Если определить
и+(/г) =
/г>0;
/1 = 0;
п < 0,
то
h (и) = (п) и+ (/г)
и h (/г) = /ги (/г) и+ (п) ф- h (0) 6 (п).
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
23d
Отметим, что h(n) полностью восстанавливается по h^(n). С дру-
гой стороны, hn(n) всегда равно нулю при п=0 и, сле/уэвательно,
h(n) может быть восстановлена по hs(n) только при п,^/=0.
Важным следствием выражений (7.7) и (7.8) является то, что
преобразование Фурье действительной, физически реализуемой и
устойчивой последовательности Я(е'“) =/fRe(eto) +Ш)т(е1<й) пол-
ностью известно, если мы знаем действительную /7ре(е1ю) или
мнимую часть Я|т(е1ю) и /г(0), так как //Re(eiffl) является преоб-
разованием Фурье от h4(n), a 1/Лга(е'“) — преобразованием Фурье
от hn(n). Например, мы можем сначала вычислить h4(n) по
//Re(eira), затем в соответствии с (7.7) вычислить h(n), откуда по-
том определить /7(е1а).
Можно показать, что если h(n) — действительная, физически
реализуемая, устойчивая последовательность, то H(z) можно оп-
ределить всюду вне единичного круга (т. е. в области сходимости
Я(г)), зная только //Re(eIa) или Я|т(е1ю) и /г(0) [7—9]. Рассмот-
рим H(z) вне единичного круга, т. е. для г=ге’“ при г>1. В этом
случае H(z) |z=reltt> = Я(ге1а) = S h(n)r~ne~lan или, используя
п=0
(7-7),
//(ге1й>) = h4(n)u+ (n)r~n e~iM".
П=—00
С другой стороны, это выражение можно трактовать как преобра-
зование Фурье произведения /гч(п) [r~nu+(n)J. Следовательно,
Н(ге1а) можно получить как свертку преобразования Фурье от
h4(n) с преобразованием Фурье последовательности г-и«+(п).
Преобразование Фурье от h4(n) равно //Re(eia)), и если г>1, то
преобразование Фурье от г~пи+{п) равно (1+г-1е~'®)/(1—r_1e~'“).
Отметим, что, строго говоря, преобразование Фурье от г~пи+(п)
не существует при г=1. Теперь, используя теорему о комплексной
свертке (§ 2.3.9), получим
_ 1 F ( е!® + Г 1 p)<fo
(eim —г-*о)р
С '
(7.9а)
на» , |2|>1. (7.96)
2л 1 j (z — v) v
С
В (7.9а) и (7.96) контур С должен быть единичной окружностью,
если предполагается, что известно только /7Ке(е!“). Эти соотноше-
ния особенно удобны тогда, когда ЯКе(е‘“) можно представить ра-
циональной функцией от е*“, так как тогда интеграл можно легко
вычислить с помощью вычетов.
Пример. Предположим, что нам дано Яне(е,<1>) — (1—acoso>)/(l—
—2 acosa> + a2), |а|<1. Найдем H(z) из (7.9). Сначала запишем //не(е‘“) как
рациональную функцию от е1ш:
„ ,Л№ 1 — [а (е‘“ + е—‘ “)]/2
п Re (е ) = : : •
(1 — а е—1 ®) (1 — а е1 “)
240
Тогда, подставляя это выражение в (7.96), получим
Н _ 1 (£ (1 — а (у 4~ у~~‘)/2) z 4~ у dv
2 л i g (1—ап'-1)(1 —а ц) z— v v
где С — единичная окружность. Переписывая это соотношение так, чтобы по-
казать полюсы подынтегрального выражения, получим
н .______1 7 (у — а(у2+ 1)/2) (z4-y) dv .
2л i g (у — а) (1 —а у) (г — у) у
Полюсы подынтегрального выражения изображены на рнс. 7.2, откуда видно,
что только полюсы при у = 0 и у = а лежат внутри единичной окружности. Сле-
довательно, используя теорему о вычетах, получим
Рис. 7.2. Расположе-
ние полюсов в при-
мере вычисления г-
преобразования с ис-
пользованием контур-
ного интегрирования
Рис. 7.3. Интерпретация преобразования
Гильберта как периодической свертки
— (a/2)z , (а — а(а2+ 1)/2) (г Ц-а) 1 , 1 z + a г
п (г) =--------4----------------------= — 4- — ------=------ •
— аг (1 — а2) (г — а) а 2 2 z — а г — а
Полученное выражение было выведено в предположении, что |г| >1, однако мы
замечаем, что область аналитичности определяется соотношением |z|>a. Таким
образом, мы получили z-преобразование непосредственно по его действительной
части на единичной окружности.
Соотношения (7.9а) и (7.96) дают выражения для определе-
ния H(z) вне единичного круга по его действительной части на
единичной окружности. Однако полезно также записать это выра-
жение в виде обыкновенного интеграла. Пусть в (7.9а) с> = е'0.
Тогда
Л
"W| [ик.(е'“)Рг(0-»)<10 +
[z=r е ZU J
—л
л
+ JtfRe(ei0)Qr(9-<o)d9, (7.10)
— Л
/ 1 । г—1 pi 0 \ 1 _г~2
где РГ (9) = Re ( г =----------------Ц---------- (7.11 а)
\ 1 — г 1 е1 0 / 1 — 2г 1 cos 0 4- г 2
241
и Qr (9) = Im
/ 1 + r-1 e1 8 \
к 1-r-1 e‘8 /
2r~' sin 0
1 — 2r~l cos 0 + r~2
(7.116)
Функции Pr(9) и Qr(9) часто называются ядром Пуассона и со-
пряженным ядром Пуассона соответственно [2, 3]. Выделяя дей-
ствительную и мнимую части в (7.10), получим
ЯЕе 0-е' “) = f #Re ( е‘9) Pr (9-о>) d 9 (7.12)
J
—rt
л
и = (Xjei0) Qr(9-®)d9. (7.13)
2Л J
—л
Таким образом, мы вывели соотношения для действительной и
мнимой частей г-преобразования вне единичного круга через дей-
ствительную часть этого преобразования на единичной окружно-
сти. С помощью аналогичных преобразований, начиная с (7.8),
получим следующие представления в виде контурных интегралов:
1 Р Н,т fa) ( е1 “ + г 1 с) dv
И (z) I ( t -------------------------------------— -и (0)
iZ—/-е 2л ,Г ( е1 м — г 1 v) V
с '
(7.14а)
или Н (г) =
Him fa) (?+v)dv
(г —v)v
ТИ(0), |г|>1,
(7.146)
где контуром С снова является единичная окружность. Преобра-
зуя (7.14а) в обыкновенные интегралы и выделяя действительную
и мнимую части, получим
Л
ЯЕ<Ле!М) = -Л f/7Im(ei0)Qr(9-a>)^9 + /z(O) (7.15)
—л
л
и = Л f^im(ei0)Pr(9-®)d0, (7.16)
2Л J
—л
где Рг(9) и Qr(9) определяются (7.11а) и (7.116).
Чтобы получить непосредственную связь между действитель-
ной и мнимой частями на единичной окружности, необходимо
перейти к пределу при г, стремящемся к единице в (7.13) и (7.15).
Это возможно только в том случае, когда сначала выполнено ин-
тегрирование. Однако, если попытаться получить соотношение для
7?im(eiM) через //Re(eim), изменив порядок интегрирования и пере-
хода к пределу, столкнемся с несобственным интегралом, так как
lim Qr(9) = (2 sin 9)/2(1—cos 9) = ctg(9/2), а функция ctg(9/2) име-
Г —♦ 1
ет сингулярность в точке 9 = 0. Желаемое соотношение можно по-
лучить, если позаботиться о вычислении несобственного интегра-
242
ла в окружности сингулярных точек подынтегральной функции.
Формально это можно сделать, интерпретируя интегралы как
главные значения в смысле Коши [10]. Тогда (7.13) становится
равным
р <е'") “О' Р-17)
—л
а (7-15) принимает вид
ЯКе (е'“) =/г (0)—Р [Дт ( е'0) ctgf^W (7.18)
—я
где символ Р обозначает главное значение в смысле Коши. Вели-
чина главного значения в смысле Коши, например, для (7.17) да-
ется соотношением (7.19)
"и < '* •) “ 1™ I f (е' ’) с‘8 (~) в +
е-0 I J \ z /
' 014-8
га-8 _ )
+ J#Re(ei0)ctg(^pW. (7.19)
Мы видим, что /Лт(е‘м) получается из T/Re(eiM) периодической
сверткой с ctg(—<в/2), причем особое внимание уделяется вычис-
лению в окрестности сингулярности при 9 = со. Аналогично (7.18)
включает периодическую свертку ctg(—со/2) с
Две функции, входящие в интеграл свертки (7.17) [или, что
то же, (7.19)], изображены на рис. 7.3. Существование предела в
(7.19) объясняется антисимметричностью функции ctg[(9—w)/2]
относительно точки (9 = (о) и тем, что разрыв симметрично распо-
ложен относительно сингулярности.
Вычисление интегралов в предыдущих выражениях еще более
усложняется, если H(z) имеет полюсы на единичной окружности.
Мы предполагали, что единичная окружность целиком входит в
область сходимости H(z) и, следовательно, H(z) не имеет полю-
сов на единичной окружности. К полюсам на единичной окруж-
ности можно приспособиться, вводя импульсы в преобразование
Фурье или применяя контур «с зазубринами» при контурном ин-
тегрировании. Однако математическое обоснование этих процедур
уведет нас далеко в сторону, и поэтому мы не будем больше об-
суждать этот вопрос.
7.2. УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ ФАЗЫ
В предыдущем разделе z-преобразованпе физически реали-
зуемой последовательности было восстановлено по его действи-
тельной или мнимой части на единичной окружности. В этом раз-
деле будут рассмотрены условия, при которых можно восстано-
243
вить z-преобразование по его амплитуде или фазе на единичной
окружности. Эти условия важны во многих теоретических и прак-
тических ситуациях. Например, цифровые фильтры часто опреде-
ляются своей амплитудно-частотной характеристикой. В этих слу-
чаях фазовая характеристика не может быть выбрана произволь-
но, если мы хотим получить устойчивую и физически реализуемую
систему. Результаты этого параграфа также очень важны для тео-
рии гомоморфных систем, которая развита в гл. 10. Еще один при-
мер характерен для инверсной фильтрации, когда необходимо по-
лучить подходящую фазовую кривую при данной автокорреля-
ционной функции (что эквивалентно квадрату амплитуды преоб-
разования Фурье) [9, 11 —13].
Предположим, что H(z) представлено в полярной форме (амп-
литудой и фазой) H(z) = |Я(г) |е‘ arslff(z)]. Рассмотрим комплекс-
ный логарифм от H(z), определяемый выражением
Л
Н (г) = log [Н (г)] = log | Н (z) |-pi arg [Н (г)]. (7.20)
Если трактовать Й(г) как z-преобразование последовательно-
сти Н(п), то из результатов предыдущего параграфа следует, что
log|Н(е‘и) | и arg[/f(eit0)] будут преобразованиями Гильберта
друг от друга тогда и только тогда , когда И(п) является действи-
тельной и физически реализуемой последовательностью. При рас-
смотрении этого вопроса нужно позаботиться об интерпретации
(7.20). В частности, логарифм расходится в нуле и arg[ff(z)] яв-
ляется неопределенной величиной, так как, не изменяя значения
H(z), к его фазе можно прибавить любое число, кратное 2л:. Так
как мы хотим трактовать Й(г) как z-преобразование действитель-
ной физически реализуемой и устойчивой последовательности, не-
обходимо, чтобы область сходимости fi(z) включала единичную
окружность и, следовательно, функция Й(г) — аналитической в
области, включающей единичную окружность. Тогда в этой обла-
сти Й(г) должна представляться сходящимся степенным рядом
Й(г) = %fi(n)z~n, Rh-<. |z|, где Rh-<zl. Так как Й(г) бесконечно
п=0
как в полюсах, так и в нулях H(z), мы потребуем, чтобы в обла-
сти сходимости Й(г) не было полюсов и нулей H(z). Хотя
arg[ff(z)] в общем случае не однозначная величина, эта неопре-
деленность разрешается тем фактом, что из аналитичности Й(г)‘
следует, что действительная и мнимая части fi(z) должны быть
непрерывными функциями от z и, следовательно, если Й(г) ана-
литична, то мы должны определить arg[H(z)] в (7.20) как непре-
рывную функцию. Кроме того, будем требовать, чтобы для дейст-
вительной последовательности h(n') Й(г) было бы z-преобразова-
нием также действительной последовательности. Поэтому
arg[// (z)] будет определяться так, что при z — е1ю это — нечетная
непрерывная функция со*.
Рассмотрим теперь действительную устойчивую последователь-
Предполагается, что Я(е'ч>)>0 при со = 0.
244
ность fi(n), z-преобразованием которой является Й(г). Из преды-
дущего раздела ясно, что если Н(п) физически реализуема, то
Й(г), а следовательно, и H(z) могут быть восстановлены по
#Re(elM) =log|#(eiM) | или 7?im(eI“) = arg[/f(elM)]. Этому равно-
ценно утверждение, что если И(п) действительна, устойчива и фи-
зически реализуема, то можно применить (7.17) и (7.18) для то-
го, чтобы определить соотношение между логарифмом модуля и
фазой Я(е!м) следующим образом:
л я
log | Н (е' “) | = h (0) - (1/2л) Р J arg [Н (е'8)] ctg d 9;
—л
(7.21)
Л
arg [Н (е’ “)] = (1/2л) Р J log | Н (е! 0) ]ctg d 9. (7.22)
—л
Отметим, что без знания Й(0) |Я(е‘“)| определяется через
arg[Z/(eiM)] только с точностью до постоянного множителя.
Требование, чтобы log|Н(е‘м) | и arg[H(eiM)] были бы парой
преобразования Гильберта, часто называется условием минималь-
ности фазы [4, 5, 14]*. Это соответствует требованию, чтобы по-
следовательность Н(п) была физически реализуемой. Тогда, как
следует из гл. 2, Й(г) должна быть аналитической функцией в об-
ласти |z| , где 1/?л-<1, т. е. Й(г) должна быть аналитиче-
ской всюду вне единичного круга. Таким образом, Й(г)1 не может
иметь сингулярностей вне единичного круга. Так как Й(г) =
= \ogH(z), это сводится к требованию, чтобы H(z) не имело по-
люсов или нулей вне единичного круга. Это требование к
Н (z) можно рассматривать как другое выражение условия ми-
нимальности фазы. Эквивалентным условием является то, что су-
ществует физически реализуемая и устойчивая обратная система
с передаточной функцией: Н~г (z)H(z) = 1. Так как H~l(z) =
— \/H(z), то ясно, что H(z) должна иметь свои полюсы и нули
внутри единичного круга для того, чтобы существовала устойчи-
вая и физически реализуемая обратная система.
В дальнейшем под минимально-фазовой системой будем пони-
мать систему, частотная характеристика которой имеет мини-
мальную фазу, т. е. логарифм модуля и фаза являются парой
преобразования Гильберта. Аналогично минимально-фазовая пос-
ледовательность — это последовательность, преобразование Фу-
рье которой имеет минимальную фазу. Следует подчеркнуть, что
система (последовательность) может быть физически реализуе-
мой, но не минимально-фазовой. Однако все устойчивые мини-
мально-фазовые системы (последовательности) физически реали-
зуемы. Чтобы проследить связь между физической реали-
зуемостью fi(n) и расположением полюсов и нулей H(z), поучи-
тельно рассмотреть средства нахождения Н(п). В частности, из
* Обоснование термина «минимальная фаза» будет ясно из последующего.
245
гл. 2 известно, что —z[dfl(z),ldz] является ^-преобразованием от
nfi(n). Но
—z(dH(z)ldz) = —z(d/dz) [logИ(z)] = [ — z/H(z)] [dH(z)[dz].
(7.23)
Если H(z) — рациональная функция от z, то fi(z) не является
рациональной функцией, но ее производная является таковой.
Следовательно, она может характеризоваться полюсами и нуля-
ми. Если представить H(z) как отношение полиномов H(z) —
= P(z)/Q(z), то
Гл / \ dp (г) о / х & 1
-г ЛН& М~1
Н (г) dz Р (г) Q (г)
Таким образом, видно, что полюсы производной R(z) являются
корнями P(z)Q(z), т. е. полюсами и нулями H(z). Так как мы
считаем, что единичная окружность находится в области сходи-
мости, то пН(п), или, что то же самое, Я(п) будут физически ре-
ализуемы тогда и только тогда, когда полюсы и нули H(z) нахо-
дятся внутри единичного круга*.
Пример. Рассмотрим последовательность h(n) — anu(n), для которой
= —аг-1), |а|<1 имеет один нуль при z=>0 и один полюс при г=а.
Так как |<х| <1, то все нули и полюсы лежат внутри единичного круга и, сле-
довательно, h(n) — минимально-фазовая последовательность. Чтобы доказать,
что fi(n) действительно физически реализуемая, вычислим ее в соответствии с
(7.23): (—z)IH(z)[dH(z)ldz\==al(z—a)=az-1/(l—az-1). Поэтому, так как мы
предположили, что единичная окружность находится в области сходимости, то
пН(п) = (1пи(п—1) и, следовательно, й(п) — физически реализуема.
Свойства последовательности И(п) будут важны для гл. 10.
Здесь же мы сосредоточили внимание на свойствах минимально-
фазовых последовательностей.
Минимально-фазовая последовательность обладает тем свой-
ством, что все полюсы и нули ее z-преобразования лежат внутри
единичного круга. В общем случае устойчивая физически реали-
зуемая система имеет полюсы внутри единичного круга, но ее
нули не обязательно должны лежать внутри единичного круга.
Покажем, что любая система может быть представлена как
каскадное соединение минимально-фазовой системы с всепропус-
кающей системой, которая определяется как система, у которой
амплитуда передаточной функции равна единице для всех частот.
Таким образом, если обозначить через Нар (z) — преобразование
всепропускающей системы, то | Нар (е'и) | = 1 для всех со.
Передаточная функция простой всепропускающей системы
первого порядка имеет вид
H«p(z)=(z~l — a) | (1—az-1). (7.24)
Можно показать, что Hap(e'a), даваемое выражением (7.24) име-
* Это касается полюсов и нулей в бесконечности, т. е. если Н(г) имеет ми-
нимальную фазу, то limZ/fz) — ненулевая конечная постоянная.
2— ОО
246
ет единичную амплитуду. При 0<а<1 соответствующее располо-
жение нулей и полюсов показано на рис. 7.4. В более общем слу-
чае передаточные функции всепропускающих систем представля-
ют собой произведение сомножителей ви-
да (z-1 — а)/(1—az~’) и, следовательно,
обладают тем свойством, что их полюсы
и нули появляются в обратно-сопряжен-
ном расположении.
Рассмотрим неминимально-фазовую
систему H(z), которая имеет, например,
один нуль вне единичного круга в z—1/zo
при |z0|<l, а остальные полюсы и ну-
ли — внутри единичного круга. Тогда
H(z) можно представить в виде
Рис. 7,4. Расположение
полюса и нуля для все-
пропускающей системы
первого порядка
Н H1(z)(z z0),
(7.25)
где Hi (г) имеет минимальную фазу. Можно представить (7.25)
в виде
1 — г* z-i
H(z) — H1(z)(z г0)----(г) (1 —х
1—гог
г — г0
X
= Н (г) —-___
, • — I “МИН ХУ) , • _
1 — г0 г 1 — z0 г
Так как |г0|<1, то сомножитель Н\ (г) (1—г*02-1) имеет мини-
мальную фазу, а сомножитель (г-1—z0)/(l—£*oZ-1) соответствует
всепропускающей системе. Член HKaB(z)=Hi(z) (1—г*ог-1) от-
личается от H(z), тем, что нуль H(z), который был вне единич-
ного круга в точке 2= 1/г0, отражается внутрь единичного круга
при z=z*o функции HMaB(z). Ясно, что этот пример можно обоб-
щить так, чтобы включить общие неминимально-фазовые системы
с рациональными передаточными функциями. Следовательно,
можно сделать заключение, что рациональная передаточная
функция H(z), соответствующая физически реализуемой системе,
может быть представлена в виде
Н(г) = Лмин(г)Яар(а), (7.26)
где HMvm(z) имеет минимальную фазу, a Hap(z) соответствует
всепропускающей системе. Любой полюс или нуль функции H(z),
который лежит внутри единичного круга, появляется также и в
HyBm(z'). Любой полюс или нуль H(z), который находится вне
единичного круга, появляется в H№wa(z) в сопряженно-обратном
расположении, т. е. симметрично относительно единичной окруж-
ности. Таким образом, можно сформировать минимально-фазо-
вую систему из неминимально-фазовой системы, оставляя той же
самой амплитуду частотной характеристики путем отражения
внутрь единичного круга тех нулей, которые были вне единично-
го круга. Обратно, имея передаточную функцию минимально-фа-
зовой системы, можно получить неминимально-фазовую систему
247
путем отражения нулей в область, находящуюся вне еди-
ничного круга. Например, в случае последовательностей конеч-
ной длины г-преобразование является просто полиномом от г-1
и H(z) имеет полюсы только при г, равном 0. Для последова-
тельности длиной М H(z) имеет М—1 нулей. Для заданной час-
тотной характеристики можно получить 2м-1 различных фазовых
кривых путем простого отражения нулей относительно единичной
окружности.
Пример. Рассмотрим минимально-фазовую импульсную характеристику
конечной длины N—5. Импульсная характеристика такой системы изображена
на рис. 7.5а. Передаточная функция, соответствующая этой импульсной харак-
теристике, равна
Ямин (г) = (1/А2) (1 — ге‘0 г—Ъа (1 - те-10 г”1)2, (7.27)
где - = 0,55, а 0 = 2л/3. Амплитудно- и фазочастотные характеристики показаны
на рис. 7.5в, г соответственно. (Отметим, что arg[Z/MnH(elw)] изображен с точ-
4
з”
2 -
1
0
III,,-
7 2 3 4 5 л
а)
Рис. 7.5. Минимально-фазовая система:
а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов
и нулей в z-плоскости; в) 20 log|//MHB(e*“) |; г)
arg[/7MHH(e,<o)]
костью до числа, кратного 2л, a log | Ямин (е1м) | нормирован относительно пи-
кового значения для удобства изображения.) В соответствии с предыдущим об-
суждением можно получить новую систему с той же самой амплитудно-частот-
ной характеристикой, умножая Нмив(г) иа подходящую передаточную функ-
цию всепропускающей системы, как в (7.26). В этом случае можно отразить
одну пару комплексно-сопряженных нулей, используя систему
Яар (z) —
(z 1 — г е * 9)
. (1 — г е* 9 г-1)
(z 1 — re'9)
(1—re-i0z~х)
(7.28)
248
Таким образом,
И (г) = Ниаи (г) 7/ар (г) = (1 — г е; 9 г х; (1 — г 0 г х) X
Х(1 — г—1ег9 г-1) (1 — г~1 е~г 9 г-1). (7.29)
Отмечаем, что четыре нуля функции И (г) симметричны в указанном смысле, что
является характерным свойством линейно-фазовых систем. Действительно, им-
пульсная характеристика h(n), соответствующая Н(г), как видно из рис. ",6а,
а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов
и нулей в z-плоскости; в) 20 log|/f |; г)
argl[//(e‘“)J
симметрична относительно точки п = 2, что соответствует линейной фазовой ха-
рактеристике с наклоном, отвечающим задержке на две выборки. Как видно из
сравнения рис. 7.5в и рис. 7.6в, |//(е'<») | равно |Ямин(е‘“)|, однако импульсные
характеристики и фазовые характеристики, соответствующие ЯМин(г) и Н(г), су-
щественно различны.
На рис. 7.7 показаны расположение нулей и полюсов на г-плоскости (а) и
arg[//ap(е‘“)] (б) для всепропускающей системы. Модуль Hap(eia) равен едини-
це для всех значений ю. Мы опять изобразили arg,[//ap (е'и|)] по модулю 2л для
удобства. Однако из рис. 7.76 ясно, что если бы фаза вычислялась как непрерыв-
ная функция ю, то arg[//ap(е‘“)] был бы всегда отрицательным. Если эту фазо-
вую кривую прибавить к фазе минимальио-фазовой системы (рис. 7.5г), то полу-
чится линейная фазовая характеристика, изображенная на рис. 7.6г.
Этот простой пример иллюстрирует ряд важных свойств ми-
нимально-фазовых систем. Во-первых, сравнение фазовых кри-
вых рис. 7.5г и рис. 7.6г поясняет смысл термина «минимальная
фаза». Как было сказано выше, если рассматривать множество
физически реализуемых действительных и устойчивых последова-
тельностей, имеющих одну и ту же амплитудно-частотную харак-
теристику, то z-преобразования всех этих последовательностей
24»
могут быть представлены в виде произведения минимально-фазо-
вого г-преобразования и функции, соответствующей всепропуска-
юшей системе [см. (7.26)]. Как видно из приведенного примера,
функция, соответствующая всепропускающей системе, имеет от-
Рис. 7.7. Всепропускающая система, с помощью
которой из системы рис. 7.5 можно получить си-
стему рис. 7.6:
а) диаграмма полюсов и нулей; б) argt[/7ap(е‘“)]
рицательную фазу при 0<(о<л, и, следовательно, отражение ну-
ля минимально-фазовой функции в область вне единичного круга
алгебраически уменьшает фазу, т. е. делает более отрицательным
так называемое фазовое запаздывание. Поэтому более точным
термином было бы минимальное фазовое запаздывание. Однако
общепринятым является термин «минимальная фаза».
В случае последовательности конечной длины имеет место си-
туация, при которой все нули находятся вне единичного круга.
Ясно, что если все нули отражаются в область вне единичного
круга, то такая система имеет максимально возможное фазовое
запаздывание и поэтому такие системы ( последовательности) на-
зываются максимально-фазовыми. Можно показать, что макси-
мально-фазовая система имеет передаточную функцию
Ямакс (?) =Z~ (JV-” Нмт ( г”’). (7.30)
Отсюда следует, что
^MaKc(n) = /iMHH(^—1 —«)• (7.31)
Отметим, что в предыдущем примере максимально-фазовая си-
стема получится, если умножить H(z), определяемое выражением
(7.29), на Hap(z), определяемое (7.28).
Последнее свойство минимально-фазовых последовательностей
вытекает из сравнения импульсной характеристики минимально-
фазовой системы hKav(n) рис. 7.5а с импульсной характеристикой
линейно-фазовой системы h(n) рис. 7.6а. Отметим, что полная
энергия обеих последовательностей одинакова, так как модуль
их преобразования Фурье одинаков (по теореме Парсеваля). Од-
нако представляется, что энергия hm (п) сконцентрирована около
250
точки п=0, тогда как энергия h(n) сконцентрирована около точ-
ки п—2. Это свойство можно формализовать, рассматривая часть
энергии, даваемую первыми т+1 выборками последовательности,
т. е.
т
Е (т) = I h (п) |2. (7.32)
п=0
Эта величина изображена на рис. 7.8 для hMim(n) и h(n) пре-
дыдущего примера. Мы видим, что
21Л(«)12< 21 («) |2Для всех от. (7.33)
п=0 п=0
Можно показать, что (7.33) выполняется в общем случае для всех
последовательностей, имеющих один и тот же модуль преобра-
зования Фурье. Можно трактовать (7.33) следующим образом:
из всех последовательностей, имеющих один и тот же модуль
преобразования Фурье, /1МНн(м) имеет
наименьшую задержку. Поэтому мини-
мально-фазовые последовательности
иногда называются минимально-за-
держанными последовательностями.
Аналогично, максимально-фазовые по-
следовательности называются макси-
мально-задержанными последователь-
ностями [12, 131.
Рис. 7.8. Концентрация энергии для двух им-
пульсных характеристик, имеющих преобразо-
вания Фурье с одинаковыми модулями
7.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ДПФ
Как уже было видно, периодические последовательности и
последовательности конечной длины представляются дискретным
преобразованием Фурье. Результаты предыдущих разделов не
могут быть применены непосредственно к дискретному преобразо-
ванию Фурье. Однако при соответствующем определении физиче-
ской реализуемости можно установить соотношения между дей-
ствительной и мнимой частями дискретного преобразования
Фурье так, как это было сделано в § 7.1 [7, 8].
Чтобы вывести эти соотношения, рассмотрим периодическую
последовательность h(n) с периодом N. Напомним (см. гл. 3),
что хотя речь идет о периодических последовательностях, наши
рассуждения применимы к последовательностям конечной длины,
если мы будем интерпретировать все индексы по модулю N. В са-
мом деле, хотя наш вывод будет касаться свойств дискретных ря-
дов Фурье (ДРФ), мы увидим, что результаты непосредственно
применимы к представлению конечных последовательностей дис-
251
кретным преобразованием Фурье (ДПФ). Как и в § 7.2., последо-
вательность h(n) может быть представлена в виде суммы четной
п нечетной последовательностей
h(n) = h4(п) + ka(ri), п=0, 1, . . N— 1, (7.34)
где/i,(n) = [/i(n)-(-/i(—п)]/2, п = 0, 1, . . ., N—1 (7.35а)
и hB(и) = [h(и)—/г(—и)]/2, n = 0, 1, . . ., N—1. (7.356)
В дальнейшем будем предполагать, что N— четное число. Для
нечетных N можно вывести аналогичные результаты.
Периодическая последовательность не может быть, конечно,
физически реализуемой в том смысле, который был принят в
§ 7.1. Мы будем, однако, называть «физически реализуемой» пе-
h(n)
-N N п
ft0(n)
Рис. 7.9. Четизя и нечетная части периодической
действительной «физически реализуемой» последова-
тельности
рнодическую последовательность, у которой Я(п)=0 при N/2<
<n<N, т. е. h(n) равна нулю во второй половине периода. Пред-
положим, что 2V четно. Отметим, что в силу периодичности Я(п),
Н(п)=0 при —N/2<n<S). Для последовательностей конечной
длины это означает, что хотя длина последовательности считает-
ся равной N, в действительности вторая половина ее точек равна
пулю. На рис. 7.9 показаны пример реализуемой периодической
последовательности и ее четная и нечетная части при W=8. Так
как й(п) равно нулю во второй половине каждого периода,
—п) равно нулю в первой части каждого периода, и, следова-
тельно, за исключением п = 0 и n=N/2, ненулевые части fi(n) и
Я(—п) не перекрываются. В связи с этим для «реализуемых» пе-
риодических последовательностей имеем
(2йч (и),
h (п) = <йч (п),
10,
n= I, 2, . . ., (М/2) — 1;
п = 0, N/2;
n = (N/2+\), . . N—i
252
v шЖМ n=l, 2, . . ., (ВД-1;
(0, n=(A/2+l), . . Я—1.
Если определить uN(n) как периодическую последовательность
вида
_ । 1, /1 = 0, N/2;
М«)= 2, п = 1, 2, . . ., (N/2) — 1;
I 0, n=(N/24-l), . . N — 1,
то для четных N можно представить Л (л) в виде
h (и) = h4 (и) uN (л) (7.36)
и h (п) = hu (n)~uN (п) + h (0) 6 (n) + h (N/2) 8(n — (N/2)]. (7.37)
Отметим, что h(n) может быть полностью восстановлена по
h^(n). С другой стороны, hs(n) будет всегда равно нулю при
п = 0 и n=N/2 и, следовательно, /г(п) может быть восстановлена
по fia(n) только при п=£0 и n=£\N/2.
Из гл. 3 видно, что для действительной периодической после-
довательности периода N с дискретным рядом Фурье H(k) дейст-
вительная часть F/(k), /?Re(fe) является ДРФ от /гч(п), a i/7im(fe)
ДРФ от hn(n). Поэтому важным следствием соотношений (7.36)
н (7.37) является то, что для физически реализуемых (в выше-
упомянутом смысле) периодических последовательностей (и по-
следовательностей конечной длины) функция fl(k) может быть
полностью восстановлена по своей действительной части или (поч-
ти полностью) по мнимой части. Аналогично Hlm(k) может быть
восстановлена по flM(k), a ff^(k) —по H\m(k). Дискретный ряд
Фурье последовательности uN(n) имеет вид
Цу {k) =
N,
— i2ctg[(n/A)£],
0,
k = b;
k— нечетное;
k— четное.
(7.38)
Из (7.36) замечаем, что ДРФ h(n) является круговой сверткой
HRe(k) с UN(k). Поэтому.
Я (И = ЯКе (k) 4- i Hlm (k) = (\/N) 2 #Re (m) UN (k~m) —
m=0
= tfRe (k) + (W) 2* #Re (tn) VN(k—m),
m=0
где Ц. (4 - U, (k) - N 6 (Л) - ( -1 Мв <Я “ ”e4eTHOe;
( 0, k—четное.
Приравнивая действительные и мнимые части, получим
i^;m(^ = (l/A) N^H*Jjn)V„(k-m). (7.39а)
253
Аналогично, исходя из (7.37), можно показать, что
N—1 ~ _
(£) = (! /А) 2 i #Im (m) VN(k~m) + h (0) +
т=0
+ /Г(А/2)(—l)ft. (7.396)
Выражения (7.39а) и (7.396) являются круговыми свертками и
могут быть вычислены с использованием ДРФ. Например, для
вычисления (7.39а) сначала нужно вычислить обратный ДРФ от
Дке(^), который равен h4(n), а затем, умножая йч(л) на uN(n)
и вычисляя ДРФ, получим
В § 3.5 мы ввели специальные обозначения для интерпрета-
ции ДРФ в контексте последовательностей конечной длины. Так,
последовательность конечной длины h(n) считалась одним пери-
одом периодической последовательности h(n), т. е. Л(п) =
= H(n)RN(n), где
D / х_Р> 0<н<А-1;
I о
(0 — в остальных случаях.
С другой стороны, мы получим периодическую последователь-
ность h(n), интерпретируя индекс п по модулю N. Для этой цели
мы ввели обозначение h(n) = h((n))^. Эти обозначения также
применялись для того, чтобы связать ДРФ Д(&) с ДПФ H(k). Ис-
пользуя эти обозначения, можно записать (7.39а) в виде
N-!
0<£<А-1;
т=0
0 — в остальных случаях,
(7.40а)
а (7.396) в виде
(1/Л7) 2 i Hlm (т) VN + h (0) + (- 1)* h (A/2),
m=0
0 <fe < A — 1;
0 — в остальных случаях,
(7.406)
.. /l, f — i 2 ctg (nk/N), 0<^<A—1, k— нечетное;
где V (k) =
(0 — в остальных случаях.
Аналогичные определения можно, конечно, ввести для последова-
тельности u.v и ее ДПФ UN(k).
При обсуждении вопросов достаточности действительной час-
ти для восстановления г-преобразования установлена связь меж-
ду логарифмом модуля и фазой для минимально-фазовой после-
довательности. В общем случае невозможно установить аналогич-
ное соотношение между логарифмом модуля и фазой ДПФ. Это
254
объясняется, тем что предыдущие рассуждения применяются к
последовательностям конечной длины, для КОТОрых г-преобразо-
ванпе имеет только нули. Однако логарифм от H(z) имеет осо-
бые точки как в полюсах, так и в нулях H(z), и поэтому его об-
ратное г-преобразование имеет бесконечную длину. Следователь-
но, обратное преобразование от логарифма этого преобразо-
вания не может в общем случае представляться дискретным пре-
образованием Фурье.
Конечно, возможно смоделировать фазовую функцию по ло-
гарифму модуля ДПФ с помощью вышеизложенного процесса,
т. е. вычислить обратное ДПФ от log | H(k) |, умножить на uN(n)
и вычислить ДПФ результирующей последовательности. Действи-
тельная часть результата будет равна log | H(k) |, а мнимая
часть будет аппроксимацией к минимальной фазе.
Чтобы понять этот процесс, предположим, что H(z) является
z-преобразованием последовательности конечной длины h(n).
Если H(z) не имеет нулей вне единичного круга, то можно вы-
числить arg [//(е1ы) ], зная только log |//(eiM) |. Кроме того,
/?(г) =log[//(z)] соответствует физически реализуемой после-
довательности Н(п), которая в общем случае может иметь беско-
нечную длину. Дискретное преобразование Фурье от h(n) равно
Н(k) =H(z) | г=ец2л*гЛ7), k=0, 1,..., N—1, где N не меньше длины
последовательности h(n). Дискретное преобразование Фурье
Hp(fe) = log[H(fe)] = log\H(k) | + i arg[H (fe)] соответствует по-
следовательности fip(n) = S /i(n + rN). Ясно, что чем большим
f——ОО
будет N, тем лучше будет результат. Вычисление ДПФ для того,
чтобы получить log |Д(/г)| для действительной части и аппрок-
симацию минимальной фазы, дает очень полезные результаты в
некоторых практические; ситуациях (см. гл. 10).
7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассмотрим комплексные последовательности, у которых
действительная и. мнимая части связаны соотношениями, похожи-
ми на преобразование Гильберта. Эти соотношения особенно по-
лезны при представлении узкополосных сигналов в комплексном
виде, причем это будет сделано точно так же, как вводится
«аналитический сигнал» в теории аналоговых сигналов [6].
Как и в предыдущих рассуждениях, можно основывать вывод
этих соотношений на понятии физической реализуемости. Так как
нас интересует связь между действительной и мнимой частями
комплексной последовательности, то понятие «физической реали-
зуемости» будет применено к преобразованию Фурье этой после-
довательности. Мы не можем, конечно, требовать, чтобы преоб-
разование Фурье было равно нулю при со<0, так как оно являет-
ся периодической функцией. Однако будем считать, что «физи-
ческая реализуемость» в этом контексте означает то, что преоб-
255
разование Фурье равно нулю в нижней половине (—л^со<0)
единичной окружности. Таким образом, обозначая через s(n) по-
следовательность, а через S(elm)—ее преобразование Фурье, по-
требуем, чтобы
S(eiM) = 0, —л<ш<0. (7.41)
Ясно, что последовательность s(n), соответствующая S(elm),
должна быть комплексной, так как для того, чтобы s(n), была
действительной, требуется выполнение равенства X (e-i“) =5* (е‘“).
Поэтому запишем s(n) в виде
s(n)=s7.(n) + isj(n), (7.42)
где sr (я) и Sj(rc) —действительные последовательности.
В теории аналоговых сигналов похожий сигнал является ана-
литической функцией и поэтому называется аналитическим сиг-
налом. Мы будем применять такую же терминологию к комплек-
сным последовательностям, подобным s(«). Хотя аналитичность
не имеет смысла для последовательностей, заметим, что любой
последовательности s(n) соответствует аналоговый сигнал sa(n)
с ограниченным спектром, когда sa(t) | t=n = s(n). Поэтому, если
Sa(iw) = |s(e'M)’ 0<со<л;
(О — в остальных случаях,
то тогда сигнал sa(t) является аналитической функцией t. В
этом смысле последовательность s(n) действительно соответст-
вует аналитическому сигналу.
Обозначая через Хг(е‘“) и Xj(eiM) преобразования Фурье дейст-
вительных последовательностей sr(n) и Si(n), легко показать, что
Sr ( е’ “) =-- (1/2) [X (е‘ “)+$* ( e“iM)] , (7.43а)
и i5г ( е‘ “)= (1/2) [Х( е‘“)—X* (е~‘“)]. (7.436)
Комплексные преобразования Xr(eiw) и Хг(е1<и) играют роль,
аналогичную той, которую играли в предыдущих разделах дей-
ствительная и мнимая части физически реализуемых последова-
тельностей. Однако отметим, что Хг(е‘“) является не четной, а
четно-сопряженной функцией, т. е. Xr(elm) =Xr* (e-i“). Аналогич-
но 15г(е‘“) является нечетно-сопряженной, т. е. iXj(eim) =
= —iX*,(e-iM).
Если функция Х(е‘“) равна нулю при —л^'со<0, то ненуле-
вые части Х(е1м) и Х*(е-1М) не будут перекрываться. Поэтому
X (е1т) может быть восстановлена по Хг(е1м). Отметим, что так как
Х(е1м) предполагается равной нулю при ы=—л, то X(eiw) может
быть полностью восстановлена по iXi(eiM). Это несколько отли-
чается от двух предыдущих ситуаций, в которых физически реа-
лизуемая функция могла быть восстановлена по нечетной части
во всех точках, за исключением тех, которые расположены на
краях интервала. В частности,
256
s (e' “) = [2Sr (e'M); 0<©<n
I 0, — л < «< 0
и S( e‘“)= f 2iS; (e1 “), 0<co<n;
10, —л < co < 0.
С другой стороны, можно связать непосредственно Sr(eiM) и
Sii(e’“), т. е.
(е’“) = ( ~15>-(е “)> О<со<я; (7 44)
I i Sr (е' “), —лссо<0
или 5г (е’ “) = Н (е1 “) Sr (е! “), (7.45)
где tf(eia) = |-1’ 0<СО<п; (7.46)
I i, —я < со<0.
Итак, пусть Sj(eim) является преобразованием Фурье от
st(n) — мнимой части s(n), a Sr(eto)—преобразование Фурье
от sr(n) •—действительной части s(n). Согласно (7.45) Si(n) мо-
жет быть получено из sr(n) путем пропускания через дискретную
систему с частотной характеристикой /7(е‘м), определяемой
(7.46). Эта частотная характеристика имеет единичную амплиту-
ду и фазовый угол, равный —л/2 для 0^и<л и Ч-л/2 для
—я^со<0. Такая система часто называется фазовращателем на
90° или преобразователем Гильберта. Из (7.45) следует, что
Sr (е‘ “) = [1/(Я (е’ “)] S; ( е* “) =• — Н ( е'м) 5г (е' “). (7.47)
Поэтому —sr(n) может быть также получено из Si(n) с помощью
фазовращателя на 90°.
Импульсная характеристика h(n) фазовращателя, соответст-
вующая частотной характеристике Н (е1м), определяемой (7.46),
имеет вид
о л
М«) = — fieiMndw--------— fieiM"d(B=
2л J 2л J
—л о
1 2 sin2 (л п/2)
1 л п
I о ,
(7.48)
п у= 0;
п = 0.
Нормированная импульсная характеристика изображена на рис.
7.10. Используя (7.45) и (7.47), получим
Si (п) = 2 sr(n—m)h(m)
(7.49)
m=^<x
9—117
257
и sr(n) =
оо
— 2 si(n—
т=—<»
(7.50)
*7* Г
2
5 ~
^h(n)
♦ 7
.1 1 1
, I . P, T*, t7,
123^5678 n
-J-7-8-5-4-J-2-?
Выражения (7.49) и (7.50) явля-
ются требуемыми соотношениями
преобразования Гильберта между
действительной и мнимой час-
тями дискретного аналитического
сигнала.
Рис. 7.10. Нормированная импульсная
характеристика идеального гильбертова
преобразователя или 90-градусиой фа-
зосдвигающей цепи
Другим представлением s(n) является представление через
амплитуду и фазу, т. е.
5(д) = Л(п)е|ф(п)1 (7.51)
где А (п) = ( sj (п) 4- s2 (п))1/2
(7.52а)
и <p(n) = arctg[sJ(n)/sr(n)]. (7.526)
Последовательность амплитуд А(п) часто называется огибающей
последовательности s(n). Понятие минимальной фазы, рассмот-
ренное в § 7.2, имеет аналог в теории аналитических сигналов.
Развитие этого понятия приводит к довольно сложной математи-
ке и, так как нам оно не понадобится, обсуждать его не будем
[15, 16].
7.4.1. СИНТЕЗ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Из (7.48) видно, что z-преобразование от h(n) сходится
только на единичной окружности. Действительно, из-за наличия
00
разрыва в мнимой части ряд Я(е1м)= S h(n)e~l(an сходится к
П=—оо
(7.46) только в среднеквадратическом. Поэтому идеальный гиль-
бертов преобразователь или фазовращатель на 90°, как и идеаль-
ный фильтр нижних частот, а также идеальный полосовой диф-
ференциатор, является теоретическим понятием, соответствующим
физически нереализуемой системе, у которой передаточная функ-
ция существует только в ограниченном смысле.
Конечно, можно получить аппроксимации идеального гильбер-
това преобразователя. В случае аппроксимаций конечной дли-
тельности может быть применена стандартная техника взвешива-
ния, частотной выборки и аппроксимации с равными пульсация-
ми идеальной характеристики (7.46).
На рис. 7.11а показан пример гильбертова преобразователя,
синтезированного посредством взвешивания выражения (7.48)
258
функцией окна Блэкмена при N—27 (см. гл. 5). Амплитудно-час-
тотная характеристика показана для 0<fw<n. Фаза равна —90°
при и +90° при —л^(о<0. Вдобавок имеется линей-
КрдгоВая частота,^
а)
Рис. 7.11. КИХ-аппроксимация гильбертова преобразователя:
a) N = 27, с использованием окна Блэкмена; б) N = 27, аппроксимация с
равными амплитудными пульсациями [17]. В обоих случаях фазовые
ошибки отсутствуют
ный фазовый сдвиг, соответствующий задержке на 13 выборок. На
рис. 7.116 показана аппроксимация с равными пульсациями для
А’=27. Этот фильтр был синтезирован так, чтобы пульсации бы-
ли одинаковыми в диапазоне 0,0874 .теСи0,9126 л. Фазовая ха-
рактеристика такая же, как и в предыдущем примере. Этот син-
тез был произведен по таблицам, приведенным в [171 (см. также
[18])-
Для систем, которые допускают рекурсивную реализацию,
можно воспользоваться результатами работ по синтезу аналого-
вых фазорасщепителей. Эти аналоговые системы имеют вид пары
всепропускающпх фильтров, фазовые характеристики которых от-
личаются друг от друга постоянным фазовым сдвигом на 903.
Используя метод билинейного преобразова-
ния, можно получить соответствующую пару
дискретных всепропускающих систем с теми
же свойствами. Системы, аналогичные изобра-
женным на рис. 7.12, не дают на выходе пре-
образования Гильберта входного сигнала, но
их два выходных сигнала связаны между со-
бой преобразованием Гильберта. Поэтому ес-
ли обозначить через хг(п) входной сигнал, а Рис. 7.12. Представ-
через хДл) — его преобразование Гильберта, ление 90-градусной
то последовательность у{п) =yr(n) +lyi(n) сИас3тХаыЩеПЛЯЮЩеИ
имеет z-преобразование, равное нулю в ниж-
ней половине единичной окружности, а в верхней половине У (е'“)
отличается от преобразования сигнала х(п) —хг(п) -Их»(п) только
по фазе, но не по амплитуде. Пример рекурсивной реализации та-
кой системы приведен в работе [8].
9*
259
7.4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ
Многие применения аналитических сигналов связаны с узко-
полосными связными сигналами. В этих применениях иногда
удобно представить высокочастотный сигнал через низкочастот-
ный. Чтобы увидеть, как это можно сделать, рассмотрим ком-
плексный низкочастотный сигнал x(n)=xr(n) + \Xi(n), где Хг(п)
является преобразованием Гильберта от хг(п) и —Х(е1“)=0,
Хг(е'а)
Х(е ш)
S)
г)
Sr(e,a)
ь8-(е'“)
и
Рис. 7.13. Преобразования Фурье для представ-
ления узкополосных сигналов (сплошные линии
обозначают действительные части, а штрихо-
вые — мнимые части; на рис. б) и е) изображе-
ны функции iXi (е*“) и iSife1*»), где ХДе'ю) и
S<(elm) — преобразования Фурье от преобразо-
ваний Гильберта хг(п) и зт(п) соответственно)
—л^со<0. Преобразования Фурье Хг(е'“) и iXt(е'“) изображены
на рис. 7.13а и б соответственно, а результирующее преобразова-
ние X(elt0)=Xr(elt0)+ьХд(е10)) показано на рис. 7.13в.
Рассмотрим последовательность
s (га) = х (п) е1 “с" = sr (n) + i st (n), (7.53)
где sr(n) и Si(n)—действительные последовательности. Соответ-
ствующее преобразование Фурье равно
<S(el“)=X(ei(m-mc)) (7.54)
и изображено на рис. 7.13г. Преобразования Фурье Sr(ei<a) и
260
iSi(e1M) показаны на рис. 7.13d, е. Ясно, что для узкополосных
сигналов Si(n) является преобразованием Гильберта от sr(n).
Так как х(п) можно представить в виде x(rtJ=A(«)eI4)<n), как в
(7.51), то можно записать s(n) как
s (п) = [хг (п) 4- ixi (n)J е1 “с(7.55а)
s (п) = А (п) е- < мс"+ч> (п)). (7.556)
Таким образом,
sr (п) = xr (п) cos <ос п —xt (n) sin ые n; (7.56a)
sr(n) = A (n) cos [®c n 4- <p (n)] (7.566)
и
st (n) = xr (n) sin wc n + X{ (n) cos wc n; (7.57a)
(n) = Л(п) sin [(Dcn-|-<p(n)]. (7.576)
Выражения (7.56a) и (7.57a) являются требуемыми представле-
ниями узкополосных сигналов через низкочастотные. Отметим,
что (7.566) и (7.576) имеют вид синусоид, модулированных как
по амплитуде, так и по фазе.
Примерами использования этих соотношений являются пред-
ставления узкополосных фильтров и модулированных сигналов.
Другой важной областью применения аналитических сигналов яв-
ляется теория дискретизации высокочастотных сигналов. Извест-
но, что если имеется аналоговый сигнал с преобразованием Фу-
рье Aa(iQ), которое равно нулю при |Q| >(Q0/2), то для того,
чтобы по выборкам можно было бы восстановить сигнал, нужно
брать эти выборки со скоростью, большей (Qq/2jt) выборок в
секунду. Аналогично если имеется действительная последователь-
ность хг(п), преобразование Фурье которой равно нулю при
то темп выборок можно уменьшить, отбрасывая
часть выборок. Например, если соо=л, то первоначальная частота
выборок вдвое больше необходимой и каждую вторую выборку
можно исключить. В более общем случае число выборок в секун-
ду можно сократить в 2л/ы0 раз.
Теперь рассмотрим действительный узкополосный сигнал
sr(n), изображенный на рис. 7.13d. Так как сигнал — действи-
тельная функция, то преобразование Фурье должно быть, конеч-
но, сопряженно-симметричным. При определении минимального
типа выборок шириной спектра следует считать величину
<oo = 2(d)c + A<i)), т. е. в этом случае, хотя реальная полоса равна
Дм, темп выборок можно уменьшить только в 2л/ыо раз. Рассмот-
рим, однако, аналитический сигнал s(n) =sr(n) + ist(n) с преобра-
зованием Фурье S(e1M), изображенным на рис. 7.13г. Так как
5(е‘“) равно нулю всюду, за исключением области
4-Ды, то можно уменьшить темп выборок в 2л/Д<о раз. Это видно
из того что комплексный аналитический сигнал равен
х (п) = s (n) е-’“с", (7.58)
261
как видно из рис. 7.1 Зе. Этот сигнал может быть представлен вы-
борками, следующими со скоростью, в 2л/Дсо раз меньшей перво-
начальной. Дальнейшее рассмотрение показывает, что в действи-
тельности нет необходимости выделять модуляцию в (7.58) пе-
ред уменьшением скорости выборок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В главе был рассмотрен ряд соотношений между действи-
тельной и мнимой частями преобразований Фурье и комплексны-
ми последовательностями. Все эти соотношения называются пре-
образованиями Гильберта.
Наш подход к выводу всех соотношений состоял в применении
принципа физической реализуемости, который позволял восста-
новить функцию или последовательность по ее четной части. Дру-
гой подход основан на специальных свойствах аналитических
функций. Для физически реализуемой последовательности дейст-
вительная и мнимая части преобразования Фурье связаны между
собой интегралом типа свертки. Когда последовательность физи-
чески реализуема и полюсы и нули ее z-преобразования лежат
внутри единичного круга (условие минимальности фазы), показа-
но, что логарифм модуля и фаза преобразования Фурье являются,
преобразованиями Гильберта друг от друга. Кроме того, был рас-
смотрен ряд других важных свойств минимально-фазовых после-
довательностей.
Были выведены соотношения типа преобразования Гильберта
для периодических последовательностей, которые удовлетворяют
модифицированным условиям физической реализуемости, п для
комплексных последовательностей, преобразование Фурье кото-
рых обращается в нуль в нижней половине единичной окружно-
сти.
При обсуждении преобразования Гильберта основное внима-
ние было уделено теоретическим результатам, а не приложениям.
Некоторые из приложений преобразования Гильберта рассматри-
ваются в гл. 10, где результаты данной главы играют очень важ-
ную роль.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. L. V. Ahlfors. Complex Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill Book Company, New
York, 1966.
2. R. V. Churchill. Complex Variables and Applications, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1960.
3. P. M. Morse and H. Feshback. Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill
Book Company, New York, 1953.
4. H. W. Bode. Network Analysis and Feedback Amplifier Design, Van Nostrand
Reinhold Company, New York, 1945.
5. E. A. Guillemin. Theory of Linear Physical Systems, John Wiley, & Sons, Inc.,
New York, 1963.
6. J. Dugundji. «Envelops and Pre-Envelops of Real Waveforms», Trans. IRE.
Vol. IT-4, Mar. 1958, p. 53—57.
262
7. V. Cizek. «Discrete Hilbert Transform», IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
Vol. AU-18, No. 4, Dec. 1970, p. 340—343.
8. B. Gold, A. V. Oppenheim and С. M. Rader. «Theory and Implementation of
the Discrete Hilbert Transform», Proc. Symp. Computer Processing in Com-
munications, Vol. 19, Polytechnic Press, 1970, New York.
9. D. J. Sakrison, W. T. Ford and J. H. Hearne. «The z-Transform of a Realizab-
le Time Function», IEEE Trans. Geosci. Elect., Vol. GE-5, No. 2, Sept. 1967,
p. 33—41.
10. F. B. Hildebrand. Advanced Calculus with Applications, Prentice-Hall. Inc.,
Englewood Cliffs, N. J., 1962.
11. S. Treitel and E. A. Robinson. «The Desing of High-Resolution Digital Fil-
ters», IEEE Trans. Geosci. Elect., Vol. GE-4, No. 1, June 1966, p. 25—38.
12. E. A. Robinson. Random Wavelets and Cybernetic, Charles Criffin and Co.
Ltd., London, 1962.
13. E. A. Robinson. Statistical Communication and Detection, Hafner Press, New
York, 1967.
14. A. J. Berkhout. «On the Minimum Phase Criterion of Sampled Signals», IEEE
Trans. Geosci. Elect., Vol. GE-11, No. 4, Oct. 1973, p. 186—198.
15. H. B. Voelcker. «Toward a Unified Theory of Modulation», Proc. IEEE, Vol.
54, Mar. 1966, p. 340—353 and May 1966, p. 735—755.
16. A. A. G. Requicha. «Contributions to a Zero-Based Theory of Bandlimited
Signals», Ph. D. Thesis, Department of Electrical Engineering, University of
Rochester, 1970.
17. O. Herrmann. «Transversalfilter zur Hilbert-Transformation», Arch. Electronik
Ubertragungstechnik, Vol. 23, No. 12, 1969, p. 581—587.
18. L. R. Rabiner and R. W. Schafer. «On the Behavior of Minimax FIR Digital
Hilbert Transformers», Bell Syst. Tech. J., Vol. 53, No. 2, Febr., 1974,
p. 361—388.
19. O. Herrmann and H. W. Schuessler. Design of Nonrecursive Digital Filters
with Minimum Phase», Elect. Letters, Vol. 6, No. 11, 1970, p. 329—330.
Глава 8.
Дискретные случайные сигналы
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах основное внимание уделялось мате-
матическому представлению дискретных сигналов и систем и тем
понятиям, которые следовали из такого представления. Было по-
казано, что дискретные сигналы и системы могут быть представ-
лены как во временной, так и в частотной области, и каждое из
этих представлений занимает важное место в теории и проекти-
ровании систем цифровой обработки сигналов. До сих пор счита-
лось, что такие сигналы были детерминированы, т. е. каждое зна-
чение некоторой последовательности однозначно определялось ма-
тематическим выражением, таблицей данных или каким-либо пра-
вилом. В гл. 1 и 2 рассмотрено представление таких детермини-
рованных сигналов с помощью ^-преобразований или преобра-
зований Фурье. Последовательности, которые имеют г-преобра-
зование, должны обладать конечной энергией либо должна суще-
ствовать возможность их умножения на некоторую экспоненци-
альную последовательность, чтобы произведение обладало конеч-
ной энергией. Требование конечного значения энергии по сущест-
ву соответствует требованию сходимости z-преобразования. В гл.
263
3 рассматривались периодические последовательности. Строго го-
воря, z-преобразование для периодических последовательностей
не существует, так как не может быть выполнено условие конеч-
ной энергии. Периодические сигналы могут быть однозначно оп-
ределены параметрами одиночного периода. Одиночный период
является последовательностью конечной длительности и, следова-
тельно, конечной энергии. Это свойство периодических сигналов
было использовано в гл. 3 для представления периодических сиг-
налов с помощью рядов Фурье или дискретного преобразования
Фурье.
Существует большое количество сигналов, которые либо не
обладают конечной энергией, либо не являются периодическими.
Например, многие сигналы систем связи имеют неограниченную
длительность и, следовательно, лучше всего описываются с помо-
щью сигналов бесконечной длительности и бесконечной энергии.
В ряде случаев процессы генерирования сигналов являются на-
столько сложными, что их точное описание оказывается чрезвы-
чайно трудным либо даже невозможным. В частности, в гл. 9
будет показано, что многие эффекты, встречающиеся в алгоритми-
ровании цифровой обработки сигналов при конечной длине реги-
стра, могут быть описаны с помощью аддитивного «шума», кото-
рый удобно трактовать как некоторую последовательность с бес-
конечной энергией. Многие механические системы генерируют
акустические или вибрационные сигналы, которые часто могут
быть использованы для диагностики потенциальных отказов;
опять же сигналы такого типа лучше всего описываются при по-
мощи непериодических сигналов с бесконечной энергией. Двумя
другими примерами — из большего числа возможных — являют-
ся речевые сигналы, подлежащие обработке для автоматического
распознавания или полосового сжатия, и музыкальные сигналы,
подлежащие обработке для повышения качества.
Основой математического представления подобных сигналов
является их описание с помощью средних значений. Как будет из-
ложено в данной главе, многие (но не все) свойства подобных
сигналов могут быть обобщены на основе последовательности с
конечной энергией, называемой автокорреляционной или автоко-
вариационной последовательностью, для которой часто существу-
ет г-преобразование или преобразование Фурье. С помощью пре-
образования Фурье автоковариационной последовательности удоб-
но интерпретировать мощность сигнала с помощью спектрально-
го распределения. Автоковариационная последовательность и ее
преобразование обладают также тем важным достоинством, что
эффект обработки сигналов с бесконечной энергией в линейной
дискретной системе может быть описан как результат воздейст-
вия системы на автоковариационную последовательность.
Развивая представление сигналов с бесконечной энергией,
удобно работать с недетерминированными, т. е. случайными или
стохастическими сигналами. При таком подходе рассматривае-
мый сигнал представляется одним из некоторого ансамбля дис-
264
кретных сигналов, который характеризуется множеством функ-
ций плотности вероятности. Теория стохастических сигналов в ее
наиболее общем виде является весьма сложной и абстрактной, в
связи с этим строгое исследование нуждается в математическом
аппарате, лежащем за пределами нашего рассмотрения.
Главной целью этой главы являются подбор и интерпретация
ряда специфических результатов, относящихся к представлению
случайных сигналов (т. е. сигналов, обладающих бесконечной
энергией), которые будут полезны в последующих главах. Поэто-
му здесь исключено детальное обсуждение наиболее сложных во-
просов теории случайных процессов.
8.1. ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Фундаментальным понятием в математическом представле-
нии сигналов с бесконечной энергией является понятие случайного
процесса. При обсуждении случайных процессов как моделей для
дискретных сигналов с бесконечной энергией будем предполагать,
что читатель хорошо знаком с такими фундаментальными понятия-
ми теории вероятностей, как случайные величины, распределение
вероятности и средние значения. Более глубокие сведения по тео-
рии вероятности можно найти в [1—7].
8.1.1. ПРОЦЕСС БЕРНУЛЛИ
Введем понятие случайного процесса, предположив, что по-
следовательность чисел образуется следующим образом: в данный
момент времени п подбрасывается монета, и если в результате вы-
падает герб, то значение этой последовательности для момента
времени п есть х(п) = + 1; если выпадает решетка, то значение
х(п)=-—1. Последовательность, которая может быть получена та-
ким способом, показана на рис. 8.1. Если предположить, что эта
-4 -3 -2
4 5 п
Рис. 8.1. Последовательность +1 и —1
операция производится бесконечно долго, т. е. —оо<п<оо, то по-
лучим последовательность бесконечной протяженности. Если попы-
таться представить эту последовательность с помощью методов
предыдущих глав, то при этом встретятся две основные трудности.
Во-первых, очевидно, что такая последовательность имеет беско-
нечную энергию и для нее не существует ни z-преобразование, ни
преобразование Фурье. Во-вторых, эксперименты с подбрасывани-
ем монеты убеждают нас, что невозможно точно охарактеризовать
такую последовательность, кроме как табулированием множества
265
выборочных значений, и поскольку предполагается, что продолжи-
тельность такого процесса бесконечна, то этот путь также непри-
емлем. Даже данные большого числа предыдущих выборочных
значений последовательности не дают возможности определить
значение последующей выборки с какой-либо уверенностью. Эта
неопределенность приводит в общем случае к описанию такой по-
следовательности с помощью вероятностей и, таким образом, к
средним значениям.
Предположим, что в какой-то момент времени вероятность вы-
падания гербов составляет р. Тогда согласно фундаментальным
аксиомам теории вероятностей вероятность выпадания решеток
должна быть 1—р. Таким образом, п-е значение последовательно-
сти х(п) интерпретируется в качестве отдельного значения случай-
ной величины хп, т. е. функции результата эксперимента с подбра-
сыванием монеты*. Характерно, что каждое значение последова-
тельности может рассматриваться как результат предсказания не-
которого числа для исхода эксперимента с подбрасыванием моне-
ты. Так, для события «выпадает герб» приписывается значение
+ 1. Аналогично для события «выпадает решетка» приписывается
значение —1. Поскольку полная группа возможных исходов для
эксперимента с подбрасыванием монеты состоит из этих двух не-
совместимых событий, то случайная величина хп может принимать
только два значения: х(п} = -|-1 и х(п) =—1. Каждому событию
мы приписываем число, которое характеризует вероятность его на-
ступления. В данном примере вероятность выпадания гербов, т. е.
вероятность того, что хп =+1, есть Р- Подобным образом, по-
скольку вероятность выпадания решеток составляет 1—р, то это
является вероятностью того, что хп = — 1.
Множество случайных величин {хп} для —оо</г<;сю вместе
с вероятностным описанием каждой случайной величины опреде-
ляет случайный процесс**. Данная последовательность значений
{хп} при —oo<Zn<Zoo является реализацией случайного процесса
и называется выборочной последовательностью случайного процес-
са. Количество возможных выборочных последовательностей, кото-
рое может быть получено в процессе эксперимента, оказывается бес-
конечным. Совокупность всех таких последовательностей, которые
могут быть получены в качестве реализаций случайного процесса,
называется ансамблем выборочных последовательностей (или ан-
самблем реализаций). Несколько возможных последовательностей
выборок, относящихся к рассматриваемому примеру, показано на
рис. 8.2. Действительно, если р не равно 0 или -|-1, то любая по-
следовательность + 1 и —1 является представителем ансамбля
процесса Бернулли.
* Случайные величины с таким распределением вероятности известны как
случайные величины Бернулли.
** Поскольку такие случайные величины названы случайными величинами
Бернулли, то в данном примере целесообразно назвать соответствующий случай-
ный процесс случайным процессом Бернулли.
266
При использовании модели случайного процесса в практических
приложениях обработки сигналов мы рассматриваем отдельную
последовательность в качестве одной из ансамбля выборочных по-
следовательностей, соответствующих случайному процессу. Это со-
ставляет основу для представления сигналов с бесконечной энер-
гией в качестве случайного процесса. Получив одну из реализаций
из ансамбля дискретных сигналов, мы обычно не знаем его струк-
туру, т. е. закон распределения вероятности, но должны его найти.
Можно сделать приемлемые предположения о структуре такого
процесса или оценить его свойства на основе конечного отрезка
типовой выборочной последовательности. Например, представля-
ется правдоподобным, что мы могли бы вывести основной закон
распределения вероятности для нашего случая путем наблюдения
достаточно длительного отрезка одной из последовательностей
рис. 8.2. Условия, при которых это может быть сделано, рассмот-
Рис. 8.2. Несколько последовательностей из
ансамбля последовательностей, соответствую-
щих процессу Бернулли
рены в § 8.2.2. В любом случае для того, чтобы продолжить даль-
нейшее обсуждение моделей случайных дискретных сигналов, не-
обходимо более подробно рассмотреть математическое описание
случайного процесса.
8.1.2. ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Формально дискретный случайный процесс является индекси-
рованным семейством случайных величин {хп} [5—7]. Такое се-
мейство случайных величин характеризуется совокупностью функ-
ций распределения вероятности, которые в общем случае могут
быть функцией индекса п. При использовании понятия случайного
процесса в качестве модели для случайных сигналов такой индекс
ассоциируется с временем или с некоторой другой физической в.е-
267
личиной. Отдельная случайная величина хп описывается функцией
распределения вероятности
РХп (хп. «) = вероятность [хп < хп], (8.1)
где хп обозначает случайную величину и хп является частным зна-
чением хп*. Если хп принимает непрерывный ряд значений, то она
эквивалентно определяется функцией плотности вероятности
Рхп (хп, «) = [ дРХп (хп, п)]/д хп (8.2)
или РХп(хп, «)= J Рхп(х, n)dxt (8.3)**
В предыдущем примере случайные величины были квантованными,
т. е. они принимали конечное число значений, равное двум. Для
этого примера распределение имеет вид
Рхп{*п< п) =
1,
1— Р,
О,
хп > 1;
— 1 < хп< 1;
В подобных случаях производная не существует, если не исполь-
зуется дельта-функция. Поэтому вместо предыдущего мы опреде-
лим вероятностную меру квантованной случайной величины в виде
Рх„(хп. п) = вероятность [хп=хп]. (8.4)
Для квантованных случайных величин распределение вероятности
связано с вероятностной мерой соотношением
рхп (хп, п) = вероятность [хп < хп] = рХп(х, п). (8.5)
х<хп
Распределение вероятности и соответствующая вероятностная ме-
ра для процесса Бернулли показаны на рис. 8.3.
a) б)
Рис. 8.3. Распределение вероятности случайной величины для за-
кона Бернулли (а); соответствующая вероятностная мера (б)
* В этой главе полужирный шрифт используется для обозначения частных
значений фиктивных величин функций распределения вероятности, а не векторов
или матриц.
** В отечественной литературе функции, выражающиеся соотношениями (8.2),
(8.3), часто называют дифференциальной и интегральной функциями распределе-
ния вероятности соответственно. (Прим, пер.)
268
Взаимная зависимость двух случайных величин хп и хт слу-
чайного процесса описывается функцией совместного распределе-
ния вероятности
РХп, хп(хп> п, хт, т) = вероятность [хп < хп и хт < хто] (8.6)
или, для случая непрерывных случайных величин, совместной
плотностью вероятности
Рхп, хт(хп> х„„ т) = [дгРХп Хт(хп, п, хт, ш)]/дхпдхт. (8.7)
В случае квантованных случайных величин совместная вероятност-
ная мера определяется как
Рхп, хт{^ п, хт, т) = вероятность [хп = хп и xm=xj. (8.8)
При формулировании процесса Бернулли мы полагали, что по-
следовательные подбрасывания монеты были независимыми, т. е.
для данного подбрасывания монеты вероятность выпадания гербов
(или решеток) не зависит от исходов любых других подбрасыва-
ний. В этом случае такие случайные величины {хп} являются ста-
тистически независимыми, т. е.
Рхп, хт(хп, П, хт, т)=РХп(хп, п)-РХт(хт, т).
Для полной характеристики случайного процесса требуется зна-
ние всех совместных распределений вероятности. Как мы отмеча-
ли, эти функции распределений вероятности могут быть функцией
временного индекса п. В этом случае, когда все функции вероят-
ности оказываются не зависимыми от сдвига начала отсчета по
времени, такой случайный процесс называется стационарным. На-
пример, двумерное распределение стационарного процесса удов-
летворяет условию
“т-Н ( Хп+Й> П + Xm+ft> =^’л„ат (хп> хт> т) •
(8.9)
Процесс Бернулли является примером стационарного процесса, так
как предполагается, что при подбрасывании монеты вероятность
выпадания герба была всегда равна р и каждая случайная вели-
чина предполагалась не зависимой от всех других.
Во многих приложениях цифровой обработки сигналов случай-
ные процессы используются в качестве моделей сигналов с беско-
нечной энергией, которые могут рассматриваться в качестве выбо-
рочной последовательности случайного процесса. Хотя конкретные
детали подобных сигналов оказываются непредсказуемыми, неко-
торые усредненные свойства ансамбля могут быть прогнозирова-
ны на основе заданного вероятностного закона процесса. Эти
усредненные свойства часто служат полезной, хотя и неполной ха-
рактеристикой сигналов, для которых не существует преобразова-
ние Фурье.
269
8.2. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Зачастую оказывается полезным характеризовать случайную
величину ее средним значением и дисперсией. Поскольку рассмат-
риваемый случайный процесс является индексированным множест-
вом случайных величин, его описание возможно с помощью статис-
тических средних случайных величин, образующих этот случайный
процесс. Такие средние величины называются средними по ансамб-
лю.
8.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Среднее или среднее значение процесса определяется как
тХп = Е [xn] — J хрХп (х, п) dx, (8.10)
«—оо
где Е обозначает математическое ожидание. Заметим, что в общем
случае среднее значение (ожидаемая величина) может зависеть от
п. В общем случае, если g( ) является однозначной функцией, то
g(xn) является также случайной величиной и множество случай-
ных величин {g(xn)} определяет новый случайный процесс. Чтобы
вычислить средние значения нового случайного процесса, необхо-
димо получить распределения вероятности новых случайных вели-
чин. Можно показать, что
со
Е [<? (*n)] = J g W Рхп (X, п) dx. (8.11)
—со
Если такие случайные величины являются квантованными, то ин-
тегрирование заменяется суммированием по всем возможным зна-
чениям такой случайной величины
Е 1g (О = 2 S (*) Рхп (х, п). (8.12)
X
В тех случаях, когда нас интересует взаимная зависимость между
двумя (или более) сигналами с бесконечной энергией (т. е. двумя
случайными процессами), необходимо иметь дело с двумя множест-
вами случайных величин {хп} и {ут}. Например, математическое
ожидание функции двух случайных величин определяется как
Я[£(хп> О = J J g(x, у)рХп, ym(xn,nt ут, tn)dxdy, (8.13)
—со —со
где рх п, у m(xn, п, ут, т) является совместной плотностью вероят-
ности случайных величин хп и ут.
Существует ряд простых свойств средних значений, которые
окажутся полезными при последующем рассмотрении. В частности,
может быть легко показано, что: 1) Е[хп + ут]==Е[хп]+Е[ут],
т. е. среднее значение суммы равно сумме средних значений;
270
2) Е[ахп]=аЕ[хп], т. е. среднее значение случайной величины
хп, умноженной на постоянную, равно произведению этой постоян-
ной на среднее значение хп.
В общем случае среднее значение произведения двух случай-
ных величин не равно произведению их средних.
Если же это равенство выполняется, то говорят, что такие две
случайные величины являются некоррелированными. Так, если хп
и ут некоррелированны, то
Е[хпут]= Е[хт]-Е[ут]. (8.14)
Из (8.13) нетрудно видеть, что достаточным условием для некор-
релированности является
РХп, п, ут, т) = РХп(хп, п)-РУт(ут, т). (8.15)
Соотношение (8.15) является более жесткой формулировкой неза-
висимости, чем (8.14). Как было сформулировано ранее, случай-
ные величины, удовлетворяющие (8.15) , называются статистически
независимыми. Если соотношение (8.15) выполняется для всех
значений п и т, то говорят, что случайные процессы {хп} и {ут}
являются статистически независимыми. Статистически независи-
мые случайные процессы являются также некоррелированными,
однако из некоррелированности не следует статистическая неза-
висимость.
Из (8.11) — (8.13) можно заметить, что средние значения в
общем случае являются функциями времени. Однако для случая
стационарных процессов это не верно. Так, в этом случае среднее
значение оказывается одним и тем же для всех случайных вели-
чин, которые составляют такой процесс, т. е. среднее значение ста-
ционарного процесса является постоянной величиной, которую
можно обозначить просто тх.
В дополнение к среднему значению случайного процесса, как
это определено в (8.10), существует ряд средних величин, которые
являются особенно важными применительно к понятиям цифровой
обработки сигналов. Они определяются ниже. [Для удобства обоз-
начений будем полагать, что распределения вероятности являются
непрерывными. Соответствующие определения для квантованных
случайных процессов могут быть получены из (8.12).]
Средний квадрат случайной величины хп определяется выраже-
нием
£[xn]= \х2рХп(х, n)dx. (8.16)
—со
Среднее значение квадрата случайной величины иногда называют
средней мощностью.
Дисперсия хп является средним квадратом [хп—тХп], т. е.
(8.17)
271
Поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то легко
показать, что (8.17) может быть записано как
о2=£[х2]-/п2. (8.18)
хп L п J *п
В общем случае средний квадрат и дисперсия являются функция-
ми времени; однако они оказываются постоянными величинами
для стационарных процессов.
Среднее значение, средний квадрат и дисперсия являются прос-
тыми средними величинами, которые дают лишь небольшое коли-
чество информации о процессе. Более полезной средней величиной
является автокорреляционная последовательность, которая опре-
деляется как
00 СО
(л, m) = E [xnx^] = J J x„x^pIn, Хт (xn, п, хт, tn) d xnd xm,
—оо —оо
(8.19)
где * обозначает комплексное сопряжение. Автоковариационная
последовательность определяется как
vxx(n, т)=Е[(хп —тХп) (хт—тХт)*], (8.20)
которая может быть записана в виде
Vxxfa, т) = (рхх(п, т) — тХптХт. (8.21)
Заметим, что в общем случае как автокорреляционная, так и авто-
ковариационная последовательности являются двумерными после-
довательностями.
Автокорреляция является мерой зависимости между значения-
ми случайного процесса в различные моменты времени. В этом
смысле она описывает изменения случайного сигнала во времени.
Мера зависимости между двумя различными случайными сигна-
лами получается из взаимокорреляционной последовательности.
Если {хп} и {ут} являются двумя случайными процессами, то их
взаимная корреляция
оо оо
<РхАп, т)=Е[хпу'т] = J J ху*рХп, ут(хп, п, ym, m)dxdy,
—со —to
(8.22)
где рХп (х„, п, ут, т) является совместной плотностью вероятно-
стей хп и ут. Функция взаимной ковариации определяется как
Vx</(n. т) =Е[(хп—тХп) (ym — rnym)*] = q>xy(n, т)—тХпшУт.
(8.23)
Как отмечалось, статистические свойства случайного процесса
в общем случае изменяются со временем. Однако стационарный
процесс характеризуется некоторым условием равновесия, заклю-
чающимся в том, что его статистические свойства оказываются
Инвариантными к сдвигу начала отсчета времени. Это означает,
272
что одномерное распределение вероятности не зависит от времени.
Аналогично все функции совместных вероятностей также являют-
ся инвариантными к временному сдвигу начала отсчета, т. е. дву-
мерные совместные распределения вероятности удовлетворяют
соотношению (8.9). Из (8.9) следует, что двумерное совместное
распределение зависит только от разности моментов времени
т—п. Такие средние величины, как среднее значение и дисперсия,
не зависят от времени; автокорреляция фхх(п, rn) оказывается за-
висящей от разности моментов времени т—п. Таким образом, для
стационарного процесса можно записать:
(8.24)
<тх = Е [(хп—тх)2] (8.25)
независимо от п, и если теперь обозначить разность моментов вре-
мени через т, то
ФЛа.(п, п + т) = фяа.(/п) = Е(хп<+т]. (8.26)
Это значит, что автокорреляционная последовательность стацио-
нарного случайного процесса является лишь функцией разности
моментов времени т.
Часто мы встречаемся со случайными процессами, которые не
являются стационарными в строгом смысле, т. е. их распределения
вероятности не обладают временной инвариантностью; тем не ме-
нее для них среднее значение является постоянной величиной и
автокорреляционная последовательность удовлетворяет соотноше-
нию (8.26). Подобные случайные процессы называют стационар-
ными в широком смысле [5].
Пример. В качестве примера описания случайного процесса с помощью
средних величин рассмотрим простой процесс Бернулли. Прежде всего отметим,
что такой процесс является стационарным, поскольку предполагается, что вероят-
ности + 1 и —1 были не зависимыми от времени и случайные величины {хп} по-
лагались статистически независимыми. С учетом (8.12) среднее значение равно
тх = +1-р+(—1) • (!— р) = (2р— 1) и средний квадрат есть £[х2„] = ( + 1)2р+
+ (—1)2(1—р)=1. Поэтому дисперсия равна о2х = 1—(2р—1)2=4р(1—р).
Поскольку мы предполагали статистическую независимость, то автокорреля-
ционная последовательность представляет собой
( Е [х?] = 1 m = 0 ;
фXX (^) = I
[£[xn]-£[xn+m] =mx, m # 0.
В частном случае, если р=1/2, то щх = 0 и фхх(щ)='б(щ). В общем случае по-
добная автокорреляционная последовательность получается всякий раз, когда
все случайные величины случайного процесса являются некоррелированными. Та-
кие процессы (называемые белым шумом) играют важную роль во многих зада-
чах обработки сигналов.
8.2.2. СРЕДНИЕ ПО ВРЕМЕНИ
Как неоднократно отмечалось, понятие ансамбля сигналов с
бесконечной энергией оказывается удобной математической кон-
цепцией, которая позволяет использовать теорию вероятностей для
273
представления сигналов с бесконечной энергией. Однако на прак-
тике мы предпочли бы иметь дело с одиночной последователь-
ностью, нежели с бесконечным ансамблем последовательностей.
Например, мы могли пожелать получить закон распределения или
конкретные средние величины для описания этого случайного про-
цесса на основании измерений только единственного представите-
ля ансамбля последовательностей. Напомним, что для процесса
Бернулли распределения вероятностей не зависят от времени и по-
этому мы могли интуитивно почувствовать, что процентный состав
+ 1 и —1 в течение длительного промежутка одиночной выбороч-
ной последовательности будет очень близок к р и 1—р соответст-
венно. Аналогичным образом арифметическое среднее значение
большого числа выборок одиночной последовательности будет
очень близко к среднему значению процесса Бернулли. Чтобы фор-
мализовать эти интуитивные понятия, определим среднее по време-
ни или временное среднее значение случайного процесса как
<хп>=Нт[1/(2#+1)] Ухп. (8.27)
Аналогичным образом временная автокорреляционная последова-
тельность определяется в виде
N
<хпхп+т> = lim [ 1/(2Л7 + 1)] V хпх'п+т. (8.28)
лг~«> «,
n=—N
Может быть показано, что представленные выше пределы сущест-
вуют, если {хп} является стационарным процессом с конечным
средним значением. Однако доказательство этого результата не
входит в сферу нашего рассмотрения. Как было определено ($.27)
и (8.28), эти временные средние значения являются функциями
бесконечного множества случайных величин и, таким образом, са-
ми могут рассматриваться как случайные величины. Тем не менее
при выполнении условия, известного как условие эргодичности,
временные средние значения в (8.27) и (8.28) равны некоторым
постоянным в том смысле, что временные средние почти всех воз-
можных выборочных последовательностей равны этим константам.
Более того, они равны соответствующим средним значениям по
ансамблю*. Это значит, что для любой одиночной выборочной по-
следовательности {х(п)} при —оо<п<оо
N
<x(n)>=lim[l/(2iV+1)] V х (n) = Е (xn) = тх (8.29)
И
* Более точная формулировка заключается в том, что такие случайные вели-
чины <х(п)> и <х(п)х*(п-\-т)> имеют средние значения, равные тх и
<fxx(m) соответственно, и их дисперсии, равные нулю [6].
274
N
<x(n)x*(n + /n)> = lim[l/(27V+1)] x (n) x*(n + m) =
ЛГ~*°° n=~N
= £[ V^] = Фосос M• (8.30)
Оператор временного среднего значения <> обладает теми же
самыми свойствами, что и оператор среднего значения по ансамб-
лю Е[ ]. Поэтому мы часто не будем затрудняться в различии
между случайной величиной хп и ее значением в выборочной по-
следовательности х(п). Например, выражение Е[х(п)] будем ин-
терпретировать как Е[хп] = <^х(п)>. В общем случае случайный
процесс, для которого временные средние равны средним по ан-
самблю, называется эргодическим процессом [5, 6].
На практике обычно принято считать, что данная последова-
тельность является выборочной последовательностью эргодическо-
го случайного процесса. Поэтому средние могут быть вычислены
из одиночной последовательности с бесконечной энергией. Конечно
в общем случае мы не можем вычислить пределы (8.29) и (8.30),
но величины
<х(п)>Л=[1/(2ЛЧ1.)] 2 -^(п) (8.31)
п=—N
N
и <Zx(n)x(n + m')>N = [1/(2Л/ + 1)] 2 X (п) X* (п + т) (8.32)
n=—N
или подобные величины часто вычисляются на практике для оцен-
ки такого среднего значения и автокорреляции [8, 9]. Нахождение
оценки средних случайного процесса из конечной выборки данных
является задачей статистики, которую мы будем рассматривать в
гл. 11.
8.3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
С БЕСКОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
Хотя z-преобразование сигнала с бесконечной энергией не су-
ществует, автоковариационная и автокорреляционная последова-
тельности подобного сигнала'являются апериодическими последо-
вательностями, для которых z-преобразование и преобразование
Фурье часто существуют. Ниже мы увидим, что спектральное
представление этих средних играет важную роль в описании взаи-
. мосвязи между входом и выходом для линейной инвариантной во
времени системы, когда входным сигналом является сигнал с бес-
конечной энергией. Поэтому оказывается интересным рассмотреть
свойства корреляционной и ковариационной последовательностей
и соответствующие им z-преобразования.
8.3.1. СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ И КОВАРИАЦИОННОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Существует ряд полезных свойств корреляционной и ковариа-
ционной функций, которые непосредственно следуют из определе-
ний.
275
Рассмотрим два действительных стационарных случайных про-
цесса {хп} и для которых автокорреляция, автоковариация,
взаимная корреляция и взаимная ковариация определяются соот-
ветственно следующими выражениями:
фяя(т) = £[хпхп+т]; (8.33)
vxx(tn) = Е [(хп—тх) (хп+т—/ия)]; (8.34)
(рху(т)=Е[хпуп+т]; (8.35)
уху (т) = Е [(хя—тх) ( Уп+т—ту)], (8.36)
где тх и ту являются средними значениями этих двух процессов.
Следующие свойства легко получаются из определений.
Свойство 1:
Ухх(т) = ц>хх(т)—т2х; (8.37а)
Уху (т) = (т) — тхту. (8.376)
Эти результаты непосредственно следуют из (8.21) и (8.23) и по-
казывают, что корреляционная и ковариационная последователь-
ности равны, если тх=0.
Свойство 2:
ч>хх (0)=£[^]; (8.38а)
уXX (0)=о2. (8.386)
Свойство 3:
Чхх (m) = <fxx(—m); (8.39а)
Ухх(т) = ухх(-—т); (8.396)
Ц>ху(т)--=Ц>ух(—т); (8.39b)
Ухи(т) = Уух(—т)- (8.39г)
Свойство 4:
1 4>ху(т) | < [Фхх (0) сруу (0)]1/2; (8.40 а)
1 Уху(т) | < (0) (0)]1/2. (8.406)
В частности,
1 Фяя (т) | < фяя (0); (8.41а)
1 Ухх(т) | < vxx(0). (8.416)
Свойство 5: уп=хп-п ,, то
Чуу (т) = срхх (т); (8.42а)
Ууу(пг)=ухх(ш). (8.426)
Свойство 6: для многих случайных процессов случайные вели-
чины становятся менее коррелированными по мере того, как они
становятся более разделенными во времени. Поэтому
276
lim фжх (m) = (E [xn])2 = m2; (8.43a).
m—co
lim vxx (m) = 0; (8.436)-
m— oo
lim (f>xy (tn) = тхту-, (8.43в)-
m—оо
lim vxy (m) = 0. (8.43r)>
7П—co
Суть этих результатов состоит в том, что корреляция и кова-
риация являются апериодическими последовательностями, которые
имеют тенденцию затухать при больших значениях т. Поэтому
часто оказывается возможным представлять эти последовательно-
сти с, помощью их г-преобразований.
8.3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Обозначим соответственно через Фжж(г), Exx(z), Фху(г) и
Гжу(г) z-преобразования фжж(/?г), vxx(m), ц>ху(т) и уху(т). Из-
(8.43а) и (8.43в) замечаем, что z-преобразования сржж(/?г) и сржу(/?г)
существуют только тогда, когда тх=0 и в таком случае Фжж(г) =
= Гжж(г) и Фху(г)=Гху(г). Ряд других свойств этих z-преобразо-
ваний следует из свойств корреляционной и ковариационной по-
следовательностей, которые были перечислены в § 8.3.1. Эти свой-
ства z-преобразования приводятся ниже.
Свойство 1:
о2 = [ 1 /(2л i)] j Тхх (z) z~l dz, (8.44).
с
где С является замкнутым контуром в области сходимости Гжж(г).
Свойство 2:
Гхх(г) = Гяж(1/2); (8.45а).
ГхЛ2) = г;х(1/г*). (8.456)
Выражения (8.45) непосредственно следуют из третьего свойства
§ 8.3.1. Следствием этого является то, что область сходимости;
Рис. 8.4. Область сходимости и диаграмма
полюсов и нулей типового z-преобразова-
ния ковариационной последовательности
277
t'xx(z) должна иметь вид Ra< |z| < (\/Ra). Кроме того, поскольку
vxx(m) стремится к нулю при т — оо, то область сходимости долж-
на включать единичную окружность, т. е. 0<7?а<1. В важном
случае, когда Гхх(г) является рациональной функцией г, это озна-
чает, что ее полюсы и нули должны появляться парами, как изо-
бражено на рис. 8.4.
8.3.3. СПЕКТР МОЩНОСТИ
Поскольку область сходимости включает единичную окруж-
ность, (8.44) можно записать в следующем виде:
л
о2 = (1 /2л) J Рхх (со) d со, (8.46)
—Л
где Рля((о) = Гля(е’“). (8.47)
Напомним, что когда тх=0, дисперсия равна среднему квадрату
или средней мощности. Поэтому область под Ржж(со) для —
jgCit оказывается пропорциональной средней мощности сигнала.
Действительно, как мы увидим в следующем параграфе, интеграл
•Рхх(<в) по всему диапазону частот является пропорциональным
мощности сигнала в этом диапазоне. По этой причине функция
Дхх(со) называется спектром плотности мощности или просто спек-
тром [9]. Отметим, что принято также определять спектр мощно-
сти как преобразование Фурье автокорреляционной последова-
тельности [5]. Это приводит к трудностям, когда щж=/=0, так как
<Рхх(ш)~>ш2ж, когда т->оо. Поэтому преобразование Фурье авто-
корреляционной последовательности не существует при тж=И=0, ес-
ли не расширить наше определение преобразования Фурье ' так,
чтобы допустить дельта-функцию в спектре мощности при со=0.
Поскольку мы избегали использования дельта-функций, то для оп-
ределения спектра мощности выбрано выражение (8.47). Заметим,
что при тж=0 автокорреляционная и автоковариационная после-
довательности совпадают и поэтому совпадают и их преобразова-
ния Фурье.
Из второго свойства § 8.3.2 следует, что Ржж(со) является сим-
метричной функцией, т. е. Рхх(аз) =РХХ(—со). Важным является то,
что спектр плотности мощности является неотрицательным. Это
свойство будет прямым следствием результатов следующего пара-
графа.
Аналогично взаимный спектр плотности мощности определяет-
ся как
Рху М = (е‘“). (8.48)
Снова на основании второго свойства § 8.3.2 следует, что
РхИ®) = Р;х(^“)- (8.49)
:278
8.4. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА СЛУЧАЙНЫЕ
СИГНАЛЫ
В предыдущих главах рассматривалась теория дискретных
линейных систем, когда входной сигнал является известной функ-
цией времени. Из этих предварительных обсуждений очевидно, что
понятие частотной характеристики, инвариантной к сдвигу линей-
ной системы, и представление дискретного сигнала в частотной об-
ласти занимают важное место в цифровой обработке сигналов. В
этом разделе мы получим ряд результатов для сигналов с неогра-
ниченной энергией, т. е. сигналов, представляемых моделью слу-
чайного процесса.
Рассмотрим устойчивую инвариантную к сдвигу линейную сис-
тему с импульсной характеристикой h(ri). Пусть х(п) будет дейст-
вительной входной последовательностью, которая является выбо-
рочной последовательностью стационарного в широком смысле
дискретного случайного процесса. Тогда выходной сигнал линей-
ной системы представляет собой выборочную функцию выходного
случайного процесса, связанного с входным процессом линейным
преобразованием у(п) = 2 h(n—k)x(k) = 2 h(k)x(n—k). Как
k~—oo k=-—co
было показано, поскольку система является устойчивой, то у(п}
будет ограниченной, если х(п) также ограничена. Ниже покажем,
что если входное воздействие является стационарным, то таким
же является и отклик. Входной сигнал может быть охарактеризо-
ван его средним значением тх и его автокорреляционной функци-
ей фхх(ог), или мы можем также иметь дополнительную информа-
цию об одномерном или даже двумерном распределениях вероят-
ности. Для описания выходного случайного процесса {уп} жела-
тельно иметь аналогичную информацию. Для многих приложений-
оказывается достаточным характеризовать как входное, так и вы-
ходное воздействие простыми средними, такими, как среднее зна-
чение, дисперсия и автокорреляция. Поэтому мы выведем соотно-
шения для этих величин.
Среднее значение выходного процесса есть
ту=^Е[у(п}\= h(k)E[x(n—k)] = mx V h(k), (8.50)
k=— оо k=—оо
где мы использовали тот факт, что математическое ожидание сум-
мы равно сумме математических ожиданий*. С помощью переда-
точной функции можно записать
ту = И ( е‘°) тх. (8.51)-
Так как входной процесс является стационарным, то видно, что
среднее значение выходного процесса также представляет собой
постоянную величину.
* Заметим, что мы стали менее тщательно различать случайную величину и
ее значение.
279’
Полагая временно, что выходной процесс является нестацио-
нарным, получаем автокорреляционную функцию выходного про-
цесса в виде
9уу(п, п + т) = Е[у(п)у(п + т)]== Е £
_&=—со
j? h(k)h(r) х
—00
Xx(n—k)x(n4-tn—r) = у h(k) h(r)E[x(n—k) x
k=—00 r=—00
X х(п + т—г)].
Так как х(п) полагается стационарным, то Е[х(п—k)x(n + tn—г)]
зависит только от разности во времени m+k—г. Поэтому
<$yy(n, n + m)= £ h(k) 2 fl(.r)(Pxx(m + k—r)=(pyy(tn).
k~—oo r=—co
(8.52)
Это значит, что выходная автокорреляционная последовательность
также зависит только от разности т. Таким образом, для инвари-
антной к сдвигу линейной системы, на входе которой действует
стационарный процесс, выходной процесс является также стацио-
нарным.
Произведя подстановку 1=г—k, соотношение (8.52) можно вы-
разить в виде
<Руу(т) = £ 4>хх(т — Г) £ h(k)h(l+k)= £ <ржх(т —Z)v(Z),
/=—оо k=—оо оо
(8.53)
где o(Z) = У h(k)h(l + k). (8.54)
оо
Последовательность вида v(l) часто называется апериодической
автокорреляционной последовательностью или просто автокорреля-
ционной последовательностью h(n). Следует подчеркнуть, что v(l)
является автокорреляцией апериодической (т. е. с конечной энерги-
•ей) последовательности и ее нельзя смешивать с автокорреляцией
последовательности с бесконечной энергией. Действительно, можно
заметить, что v(l) является просто дискретной сверткой h(n) с
h{—п). Выражение (8.53) означает, что автокорреляция выходного
процесса линейной системы является сверткой входной автокорре-
ляции с автокорреляцией импульсной характеристики системы.
Выражение (8.53) наводит на мысль, что z-преобразования мо-
гут быть полезны при описании отклика линейной инвариантной
-системы на входной процесс с бесконечной энергией. Положим
для удобства, что тх=0, т. е. что автокорреляционная и автоко-
1280
вариационная последовательности равны. Тогда из (8.53) и (8.54у
следует
(г) = V (г) Фхж (2) = Н (г) Н (г"1) Фжя (z). (8.55>
С учетом определения спектра плотности мощности выражение
(8.55) принимает вид
Руу (и) = | Н (е* “) |2 Рхх (со). (8.5б>
Выражение (8.56) дает основание для термина «спектр плотности
мощности». Чтобы это увидеть, положим, что тх=0, тогда из.
(8.51) ти=0. Поэтому
я
Фи, (0) = (1/2я) J Руу (со) d со. (8.57>
—д
Подставляя (8.56) в (8.57), получим
Чуу (0) = (1 /2л) j IН (е‘ “) (со)Хсо. (8.58>
—Л
Предположим, что Н (е'“) представляет идеальный полосовой
фильтр, как показано на рис. 8.5. Напомним, что сржж(/?г) является
Рис. 8.5. Частотная характеристика идеаль-
ного полосового фильтра
такой четной последовательностью, что Рхх(а) =РХХ(—со). Анало-
гично |7/(е'ш) |2 является четной функцией со. Поэтому можно за-
писать
“ь
= (i/л) j Рхх (со) d со. (8.59>
“а
Таким образом, площадь под Ржж(со) между соа и соь представ-
ляет средний квадрат входного процесса в этом диапазоне частот.
Заметим, что выходная мощность должна оставаться неотрица-
тельной, таким образом lim Фи(0)^0. Этот результат совмест-
(аь-аа)-0
но с (8.59) означает, что
Ржх(<й)>0. (8.60)
Таким образом, функция плотности мощности действительного сиг-
нала является действительной, четной и положительной.
281
Другой интересный результат относится к взаимной корреля-
ции между входным и выходным процессами линейной инвариант-
гной системы
<pxi, (/n) = Е [х (п) у (п + т)] = Е
х(п) h(k)x(n + m—k)
k — — QD
00
= V] h(k)<pxx(tn—k). (8.61)
h=—оо
В этом случае замечаем, что взаимная корреляция между вход-
ным и выходным процессами представляет собой свертку импульс-
ной характеристики с входной автокорреляционной последователь-
ностью.
Если допустить тх=0 так, что при этом z-лреобразование су-
ществует, то можно записать
ФхУ(г)=*Н (г)Фхх(г) (8.62)
или с помощью спектра мощности
РхИ®) = Я(е1а)РЛЗС(<о). (8.63)
Этот результат оказывается полезным в приложениях, когда
входным процессом является белый шум, т. е. <рЖх(^) = о2жб(т).
При подстановке в (8.61) замечаем, что
<pxZZ(m)=o2ft(/n), (8.64)
т. е. для белого шума на входе взаимная корреляция между вход-
ным и выходным процессами линейной системы оказывается про-
порциональной ее импульсной характеристике. Аналогично спектр
мощности входного белого шума есть Ржж(со) —а2х, —л^со^л.
Поэтому из (8.63) получаем
^(o>) = o2//(e’0), (8.65)
т. е. взаимный спектр мощности в этом случае пропорционален
частотной характеристике системы. Соотношения (8.64) и (8.65)
могут служить в качестве основы для оценки импульсной характе-
ристики или частотной характеристики линейной инвариантной
системы, если оказывается возможным наблюдать выходной про-
цесс системы в качестве реакции на входной белый шум.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В главе сделана попытка показать, как понятие случайного
процесса может быть использовано в качестве представления дис-
кретного сигнала, который не может быть непосредственно пред-
ставлен методами Фурье. Особое внимание было обращено на
свойства корреляционной и ковариационной последовательностей,
спектр мощности и связи между входом и выходом для линейных
инвариантных к сдвигу дискретных систем. При отборе этих ре-
зультатов мы, прежде всего, ориентировались на гл. 9 и 11.
282
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. W. В. Davenport. Probability and Random Processes, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1970.
2. A. W. Drake. Fundamentals of Applied Probability Theory, McGraw-Hill Book.
Company, New York, 1967.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. II. М.: Мир,
1967.
4. Е. Parzen. Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1960.
5. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шу-
мов. М.: ИЛ, 1960.
6. A. Papoulis. Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-
Hill Book Company, New York, 1965.
7. E. Parzen. Stochastic Processes, Holden-Day, Inc., San Francisco, 1962.
8. G. E. P. Box and G. M. Jenkins. Time Series Analysis Forecasting and Control,
Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970.
9. Джеикиис Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир,
вып. 2, 1972.
Глава 9.
Эффекты конечной разрядности регистров
при цифровой обработке сигналов
ВВЕДЕНИЕ
Алгоритмы цифровой обработки сигналов, такие, как линей-
ная фильтрация и дискретное преобразование Фурье, реализуют-
ся либо на основе специализированных устройств, либо программ-
ным путем на универсальных ЦВМ. В обоих случаях переменные
и коэффициенты последовательностей запоминаются в двоичной
форме в регистрах, имеющих конечное число разрядов. Эта конеч-
ная разрядность проявляет себя по-разному.
Параметры цифрового фильтра, рассчитанного одним из ме-
тодов гл. 5, получаются, как правило, с высокой точностью. При
квантовании этих параметров частотная характеристика результи-
рующего цифрового фильтра может значительно отличаться от
расчетной. В действительности может оказаться, что фильтр с
квантованными параметрами не будет удовлетворять требованиям,
которым удовлетворял фильтр без квантования. В гл. 4 было по-
казано, что характеристики фильтра довольно чувствительны к
точности представления его параметров и зависят от структуры
фильтра. Важными областями исследования остаются взаимосвя-
занные проблемы выбора структуры фильтра и прямого синтеза
фильтров с квантованными коэффициентами.
Когда некоторая последовательность, подлежащая обработке,
получается путем дискретизации ограниченного по полосе частот
аналогового сигнала, то в соответствии с требованием конечной
разрядности представления чисел необходимо, чтобы в процессе
аналого-цифрового преобразования формировалось только конеч-
ное число возможных значений для каждой выборки. Это значит,
283
что выборки входного сигнала должны квантоваться в соответст-
вии с конечным числом разрядов регистра. Здесь будет показано,
что этот эффект часто можно проанализировать с помощью источ-
ника аддитивного шума.
Эффекты квантования проявляются и тогда, когда в результа-
те обработки данных для их представления возникает необходи-
мость в дополнительных разрядах (хотя для исходных данных это-
го не требовалось). Например, при умножении выборки данных на
коэффициент, содержащих каждый по b разрядов, для представле-
ния получающегося произведения необходимо иметь 2Ь разрядов.
Если при рекурсивной реализации цифрового фильтра не произво-
дить квантования результатов арифметических операций, то число
разрядов будет бесконечно расти, так как после первой итерации
потребуется 2Ь разрядов, после второй — ЗЬ разрядов и т. д. По-
добным образом в алгоритме БПФ, если коэффициенты являются
•i-разрядными числами, для точного представления результата
каждого шага вычисления БПФ потребуется на b разрядов боль-
ше, чем на предыдущем шаге. Эффект квантования в этих приме-
рах зависит от следующих факторов: используется ли арифметиче-
ское устройство с фиксированной или с плавающей запятой; пред-
ставляют ли числа с фиксированной запятой дробные или целые
числа и выполняется ли квантование путем округления или усече-
ния. В этой главе будут отдельно проанализированы арифметиче-
ские устройства с фиксированной и с плавающей запятыми. Для
устройства с фиксированной запятой вполне естественно примени-
тельно к обработке сигналов рассматривать регистр для представ-
ления дробного числа с фиксированной запятой. При этом произ-
ведение двух чисел остается дробным и длина регистра может ос-
таться ограниченной путем усечения или округления младших раз-
рядов. При таком типе представления чисел результат суммиро-
вания дробей с фиксированной запятой не нуждается ни в округ-
лении, ни в усечении. Однако величина результирующей суммы
может превысить единицу. Этот эффект обычно рассматривается
как переполнение. Чтобы исключить возможность переполнения,
достаточно обеспечить малый уровень входного сигнала. В слу-
чае арифметического устройства с плавающей запятой такие огра-
ничения динамического диапазона, как правило, могут не прини-
маться во внимание благодаря большому диапазону представляе-
мых чисел, однако квантование вводится как для умножения, так
и для сложения.
При последующем обсуждении сначала будет дан обзор мето-
дов представления двоичных чисел с фиксированной и плавающей
запятыми, а также рассмотрено представление отрицательных чи-
сел в обратном, дополнительном и прямом кодах. Затем будет
рассмотрено соотношение между двоичным представлением чисел
и операциями усечения и округления. Усечение или округление
результата арифметической операции представляет собой эффект
введения нелинейности в фильтр. Для простых фильтров и вход-
ных сигналов этот эффект можно проанализировать, рассмотрев
.284
так называемый режим предельного цикла. Для сложных входных
сигналов и фильтров осуществить такой анализ очень трудно. В
этом случае оказывается полезным провести соответствующий ана-
лиз на основе представления эффекта усечения или округления с
помощью сигнала аддитивного шума, который будет приписывать-
ся шуму округления. При этом фильтр считается линейным, а со-
ставляющая шума в выходном сигнале является результатом при-
менения операции округления или усечения. Свойства среднего зна-
чения этого шума могут быть проанализированы на основе мето-
дов гл. 8. Анализ шумов этого типа будет рассмотрен для цифро-
вых фильтров с фиксированной и плавающей запятыми, а также
для быстрого преобразования Фурье.
9.1. ВЛИЯНИЕ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ
НА КВАНТОВАНИЕ
9.1.1. ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА С ФИКСИРОВАННОЙ И ПЛАВАЮЩЕЙ
ЗАПЯТЫМИ
В универсальных ЦВМ и специализированных устройствах
для представления чисел, как правило, используется система счис-
ления с основанием 2, т. е. двоичная система [1]. Поэтому число
представляется последовательностью двоичных разрядов (нулей
или единиц). Точно так же, как десятичное число представляется
строкой десятичных цифр с запятой, отделяющей целую часть от
дробной, последовательность двоичных цифр разделяется запятой
на те цифры, которые представляют целую часть числа, и те, кото-
рые представляют ее дробную часть. Поэтому, если А обозначает
положение запятой в двоичном числе, то двоичное число 1001 д
ОНО в десятичной системе счисления равно (1-23 + 0-22 + 0-21 +
+ 1.20) + (0-2-1+Ь2-2+1-2-3+0-2-4), или 9,375.
Способ построения арифметического устройства универсальной
ЦВМ или специализированного устройства определяется принятой
системой счисления. В системе счисления с фиксированной запя-
той построение арифметики базируется на предположении, что по-
ложение двоичной запятой фиксировано. В арифметическом уст-
ройстве с фиксированной запятой способ выполнения суммирова-
ния не зависит от положения двоичной запятой, если она во всех
регистрах расположена одинаково.
При умножении, как правило, наиболее удобно предположить,
что все числа являются либо целыми, либо дробными, поскольку
произведение целых чисел есть число целое, а произведение
дробных — дробное. В приложениях цифровой фильтрации обыч-
но необходимо аппроксимировать 2&-разрядное произведение двух
^-разрядных чисел числом с b разрядами. В арифметике целых чи-
сел это сделать трудно. В арифметике дробных чисел, с другой
стороны, это может быть выполнено путем усечения или округле-
ния до наиболее значащих b разрядов. При умножении дробных
чисел переполнение может никогда не произойти, так как произ-
285
ведение двух дробных чисел является числом дробным. Например,
если умножаются два дробных 4-разрядных числа 0д 1001 и
0дООН, то 8-разрядное произведение 0д00011011 может аппрокси-
мироваться как Од 0001 (усечение) или ОдООЮ (округление).
Если суммируются два дробных числа с фиксированной запя-
той, то может произойти переполнение. Например, сумма двух
дробных 4-разрядных чисел Од 1101 и Од 1000 равна 1 д0101. Это
значит, что такая сумма не может быть записана в 4-разрядном
регистре. Это ограничение на диапазон чисел, которые должны
быть представлены, можно, по существу, исключить при исполь-
зовании системы счисления с плавающей запятой. В системе счис-
ления с плавающей запятой положительное число F представляет-
ся в виде произведения двух чисел, т. е. F=2C-M, где М — ман-
тисса, представляющая собой дробное число, находящееся в интер-
вале 1/2^Л4<1, и с — порядок, который может быть либо поло-
жительным, либо отрицательным. Когда мантисса М приведена к
указанному интервалу, то говорят, что число нормировано. Про-
изведение двух чисел с плавающей запятой получается в резуль-
тате перемножения мантисс как дробных чисел с фиксированной
запятой и сложения порядков. Поскольку произведение мантисс
будет в интервале между 1/4 и 1, то могут потребоваться норми-
ровка мантиссы и соответствующая корректировка порядка. Это
значит, что если Afd/2, то М сдвигается влево на один разряд,
а порядок уменьшается на единицу*.
Сложение двух чисел с плавающей запятой производится путем
сдвига разрядов мантиссы меньшего числа вправо, пока порядки
чисел не станут равными, и последующего суммирования мантисс,
как показано на следующем примере.
Пример. Рассмотрим сумму чисел и Р2, где Fi = 4 и F2 = 5/4. Тогда в си-
стеме счисления с плавающей запятой f1 = 2c>AlI и Л2 = 2сг,И2 при ci = ll д (3 в де-
сятичной системе), Mi = 0д10000 (1/2 в десятичной системе), с2=01 д (1 в деся-
тичной системе) и Л12 = 0д 10100 (5/8 в десятичной системе). Для выполнения
сложения порядок с2 должен быть изменен так, чтобы быть равным порядку
Ci, и соответственно должна быть скорректирована мантисса Л12. Поэтому пер-
воначальное представление F? изменяется на F2=2C2-Af2, где с2=11д, Х12=
= 0д00101, при котором мантиссы теперь могут быть просуммированы. Резуль-
тирующая сумма представляется числом F=2C-M, где с= 11 и Л1=0д 10101. В
этом случае сумма и М2 равна дробному числу, находящемуся в интервале
между 1/2 и 1, так что дополнительной корректировки с не требуется. В более
общем случае результат суммирования мантисс может оказаться вне установ-
ленного интервала и, следовательно, потребуется корректировка с, чтобы при-
вести мантиссу к заданному интервалу.
Из этого примера должно быть ясно, что при плавающей запя-
той мантисса может превосходить число разрядов регистра как
при сложении, так и при умножении и должна поэтому быть усе-
* Перемещение мантиссы на один разряд вправо соответствует делению на
2, а сдвиг на один разряд влево — умножению на 2. Поэтому порядок увеличи-
вается, когда мантисса сдвинута вправо, и уменьшается, когда мантисса сдви-
нута влево.
286
чена или округлена, тогда как при фиксированной запятой это
оказывается необходимым только при умножении. С другой сторо-
ны, если используется арифметическое устройство с фиксирован-
ной запятой и результат суммирования превзойдет число разрядов
регистра, то усечение или округление не поможет, поскольку был
превышен динамический диапазон. Таким образом, при представ-
лении чисел с плавающей запятой могут возникать ошибки округ-
ления как при сложении, так и при умножении, однако при этом
способе обеспечивается гораздо больший динамический диапазон,
чем при фиксированной запятой. Оба эти эффекта должны учи-
тываться при сравнении реализаций цифровых фильтров с фикси-
рованной и плавающей запятыми.
9.1.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
При цифровой обработке сигналов, как и в большинстве чис-
ловых алгоритмов, необходимо оперировать с относительными чис-
лами. Существуют три основных метода представления отрица-
тельных чисел с фиксированной запятой. Первым и возможно наи-
более известным является метод представления в прямом коде с
использованием знака и величины. При этом представлении ве-
личина (которая, конечно, положительна) записывается в виде
| двоичного числа, а знак представляется стоящей перед ним двоич-
ной цифрой; 0 соответствует положительному числу и 1 — отрица-
тельному (или наоборот). Например, в прямом коде Од0011 пред-
ставляет число 3/16, а 1 й0011 — число —3/16.
I Два других метода представления отрицательных чисел назы-
, вают представлением в дополнительном и обратном кодах. Пред-
1ставление в дополнительном коде можно рассмотреть на основе
интерпретации всех чисел в регистре как положительных. Числа с
общим числом разрядов (& + 1) (с одним разрядом слева от дво-
ичной запятой и b—справа), в случае их интерпретации как по-
ложительных чисел, изменяются в диапазоне от нуля до 2—2~ь.
Половина таких чисел используется для представления положи-
тельных дробных чисел и половина — для отрицательных. А имен-
но, положительные дробные числа представляются так же, как в
прямом коде. Отрицательные дробные числа представляются пу-
тем вычитания их величины из 2,0.
Пример. Знак и величина дробного числа 0д ОНО имеют одинаковое
представление в прямом и в дополнительном кодах. Однако рассмотрим знак
и величину числа 1 д ОНО. Величиной является ОдОНО (т. е. 3/8), которая за-
тем вычитается из 10 д0000 (т. е. 2), образуя в результате 1д 1010. Таким об-
разом —3/8 представляется с помощью 1 д1010.
Представление отрицательных чисел в обратном коде подобно
представлению в дополнительном коде. Положительные дробные
числа представляются как в прямом коде, а отрицательные — пу-
тем вычитания их величины из наибольшего числа, которое может
содержать регистр (т. е. со всеми разрядами, равными единице).
Таким образом, если общее количество разрядов, как и раньше,
287
равно \b +1 (Ь разрядов справа от двоичной запятой и один — сле-
ва), то отрицательные дробные числа представляются путем вычи-
тания их величины из числа 2—2-ь.
Пример. Предположим, что &=4. Положительное дробное число +3/8
представляется в обратном коде в виде 0Д0110. Отрицательное дробное число
—3/8 имеет величину 3/8, поэтому его представление в обратном коде образует-
ся путем вычитания 0д0110 (3/8) из 1 д 1111 (2—2~4), приводя в результате к
1Д 1001. Следовательно, отрицательное дробное число —3/8 представляется в
виде 1Д 1001 в регистре обратного кода.
В табл. 9.1 показано сравнение трех систем представления чи-
сел при 4-разрядной длине кода. Следует заметить, что во всех
трех представлениях чисел первый слева разряд является нулем
для положительных дробных чисел и единицей — для отрицатель-
ТАБЛИЦА 9.1
Двоичное число Представление чисел в коде Двоичное число Представление чисел в коде
прямом дополни- тельном обратном прямом дополни- тельном обратном
0д111 7/8 7/8 7/8 1д000 —0 —1 —7/8
0д110 6/8 6/8 6/8 1д001 -1/8 —7/8 —6/8
0д101 5/8 5/8 5/8 1д010 —2/8 —6/8 —5/8
Од 100 4/8 4/8 4/8 1д011 —3/8 —5/8 —4/8
ОдОН 3/8 3/8 3/8 1 100 —4/8 —4/8 —3/8
ОдОЮ 2/8 2/8 2/8 1д101 —5/8 —3/8 —2/8
0д001 1/8 1/8 1/8 1дИ0 —6/8 —2/8 -1/8
ОдООО 0 0 0 1дШ —7/8 -1/8 —0
ных. По этой причине первый стоящий слева разряд называется
знаковым разрядом. В прямом коде изменение знака числа (но не
его величины) повлияет только на первый стоящий слева разряд.
При представлении чисел в обратном и в дополнительном кодах
изменение знака числа повлияет на все разряды. В частности,
можно показать, что отрицательное значение числа в обратном ко-
де выполняется путем замены всех разрядов их сопряженными зна-
чениями. Отрицательные числа в дополнительном коде формиру-
ются путем замены всех разрядов их сопряженными значениями и
суммирования с числом 2-ь (игнорируя любое переполнение в ре-
зультате такого суммирования). Отметим также, что в системах
с прямым и дополнительным кодами имеют представление как
+0, так и —0. В системах с дополнительным кодом используется
представление только —1 ( + 1 не используется). Каждое из пред-
ставлений имеет свои достоинства и недостатки, и выбор способа
представления отрицательных чисел связан в первую очередь с
особенностями аппаратурного или программного выполнения та-
ких арифметических операций, как сложение, вычитание и умно-
жение.
288
Для представления отрицательных чисел с плавающей запятой
использовалось большое число методов. В этой главе принято, что
отрицательные числа образуют, представляя мантиссу числом с
фиксированной запятой, имеющим знак (т. е. знак числа опреде-
ляется старшим разрядом мантиссы). Мантисса полагается дроб-
ным числом. Для представления такого дробного числа (с учетом
его знака) можно использовать, конечно, прямой, обратный или
дополнительный коды.
9.1.3. ЭФФЕКТ УСЕЧЕНИЯ ИЛИ ОКРУГЛЕНИЯ
Здесь рассматриваются как числа с фиксированной запятой,
так и мантиссы чисел с плавающей запятой, подлежащих пред-
ставлению в виде (Ь +1)-разрядных двоичных дробей, у которых
двоичная запятая находится справа от старшего разряда. Это ус-
ловие не приводит к потере общности, а о его целесообразности
упоминалось ранее. Числовое значение 1 (для положительных чи-
сел) в наименьшем значащем разряде составляет 2~ь. Эта величи-
на будет определяться как шаг квантования, поскольку числа
квантуются шагами размером 2~ь.
Как указывалось ранее, эффект усечения или округления зави-
сит от использования в арифметическом устройстве фиксирован-
ной или плавающей запятой и способа представления отрицатель-
ных чисел. Сначала рассмотрим эффект усечения и округления в
случае фиксированной запятой. При использовании прямого, об-
ратного и дополнительного кодов положительные числа имеют оди-
наковое представление и, следовательно, таким же является эф-
фект усечения и округления. Обозначим через Ь\ число разрядов,
стоящих справа от двоичной запятой до усечения, и через b число
разрядов — после усечения (при условии, что b<zb\). Эффект усе-
чения состоит в отбрасывании наименьших значащих [Ьх—Ь) раз-
рядов, и, следовательно, величина числа после усечения оказыва-
ется меньше или равна его величине до усечения.
Если обозначить число до усечения и после него через х и
Q[x] соответственно, то ошибка усечения будет равна £r=Q[x] —
—х. Эта ошибка будет отрицательной или нулевой для положи-
тельных чисел. Наибольшая ошибка имеет место, когда все отбра-
сываемые разряды содержат единицу; при этом число, содержа-
щееся в регистре, уменьшается на (2-ь—2~ь'). Поэтому при* усече-
нии положительных чисел
_ (2-ь — 2-ь*) <£т < °- (9.1)
Для отрицательных чисел эффект усечения зависит от способа
их представления в прямом, дополнительном или обратном кодах.
Поэтому отдельно рассматривается каждый из этих трех случаев.
При записи числа в прямом коде эффект усечения, как указы-
валось, сводится к уменьшению величины числа. Поэтому отрица-
тельное число становится меньше по величине так, что Ет (величи-
на после усечения минус величина до усечения) будет положитель-
10—117
289
ной. Это значит, что для усечения отрицательных чисел, представ-
ленных в прямом коде,
О < Ет < (2~ь—2~ь'). (9.2)
Величину отрицательного числа Ai в дополнительном коде, за-
писанного в виде строки разрядов 1 Aaia2.. • а.ъ , , можно предста-
вить как
Лг = 2,0—х1;
ь
где Xj = l-|- S a.t2~\ Усечение до b разрядов лает строку l&aia2...
г=1
...аь, где величина числа теперь равна
Л2 = 2,0— х2,
ь
где х2=1-|- 2 аг-2~’. Изменение величины числа составляет
1=1
di
ДЛ = Л2— Аг = of2~‘
i=b+l
si нетрудно видеть, что 0=СЛЛ=С (2-ь—2~Ь1). &
Следовательно, эффект усечения для отрицательных чисел в
.дополнительном коде сводится к увеличению их величины; при
этом ошибка усечения является отрицательной. Таким образом,
для отрицательных чисел в дополнительном коде
— (2“ь —2“ь‘) с Ет<0. (9.3)
Для отрицательного числа в обратном коде, представляемого
строкой разрядов 1да\а2 ..аьt , его величину можно записать в
виде Л[ = 2,0—2~ь<—Xj. Операция усечения до b разрядов даст в
результате величину Л2=2,0—2~ь—х2, где хх и х2 были определе-
ны ранее. Изменение величины числа составляет
bi
ЛЛ = Л2 —Л1= £ ai2~i — (2~b—2~bl), 1
i=b+l
м теперь —(2-ь—2-ь') ^ЛЛ^О. Следовательно, эффект усечения
для отрицательных чисел в обратном коде приводит к уменьшению
величины отрицательного числа; ошибка усечения является поло-
жительной и удовлетворяет неравенству
.0 (2“ь —2“ь‘). (9.4)
Отметим, что для чисел в дополнительном коде диапазон оши-
бок оказывается одним и тем же для положительных и отрица-
тельных чисел, тогда как для чисел в обратном и прямом кодах i
знак ошибки зависит от знака числа, подлежащего усечению.
В противоположность усечению числа могут быть округлены I
для соответствия конечному числу разрядов регистра. Будем счи-
тать (как и прежде), что числа после округления имеют справа от
двоичной запятой b разрядов. После округления величины имеют
290
квантованные значения (с шагом 2~ь), т. е. наименьшая ненулевая
разность между двумя соседними числами составляет 2~ь. Округ-
ление соответствует выбору ближайшего уровня квантования*. По-
этому максимальная ошибка имеет величину (1/2) -2~ь, т. е. ошиб-
ка округления лежит в диапазоне **
(-1/2) ( 2~ь—2-ь‘) < Er < (1/2) (2~6 —2-Ь1). (9.5>
Так как при округлении учитывается только величина числа, то
такая ошибка не будет зависеть от способа представления отри-
цательных чисел. В общем случае можно предполагать, что 2~ь'<^.
<^2-ь и, следовательно, в вышеприведенных неравенствах можно
пренебречь членом 2-b|. С учетом этого замечания можно сделать
некоторые выводы относительно ошибок усечения и округления:
усечение:
—2 ь^£т^/0 (положительные числа
и отрицательные числа в дополнительном коде); (9.6a)j
0^£г<2-ь (отрицательные числа
в прямом и обратном кодах); (9.6б>
округление:
— (1/2) • 2~b < ER с (1 /2) • 2~ь. (9.6в>
Эти ошибки усечения и округления в общем виде приведены на
рис. 9.1.
Окригление Усеченна Усечение
, , (дополнительные (обратный и пря-
- 2'2~D<Q (к) - х коды) мой коды)
<7 ъ -2~b<Q(x)-x<0 -2~b<Q(x)-x<O;x>(J
~2Z 0<Q(x)-x<2'b;x<Q
Рис. 9.1. Нелинейные зависимости, представляющие
операции округления и усечения
В арифметическом устройстве с плавающей запятой усечение
или округление влияет только на мантиссу. Таким образом, при
представлении чисел с плавающей запятой относительная ошибка:
* Конечно, возможны случаи, когда число, подлежащее округлению, нахо-
дится точно посередине между двумя соседними уровнями квантования. В этом:
случае существует несколько возможных стратегий, таких, которые используют'
всегда округление либо до старшего, либо до младшего разряда или по случай-
ному закону.
** В (9.5) предполагается, что число, находящееся точно посередине между
двумя шагами квантования, округляется до ближайшего старшего разряда.
Ю* 291.
более важна, чем абсолютная. Это означает, что ошибки представ-
ления чисел с плавающей запятой являются скорее мультиплика-
тивными, чем аддитивными. Другими словами, если при плаваю-
щей запятой х представляет значение числа до усечения или
округления и ф[х] — после таких операций, то Q[x] =х(1-|-е), где
« — относительная ошибка.
Для случая округления ошибка мантиссы находится в диапазо-
не ±2-в/2, и ошибка в величине числа с плавающей запятой удов-
летворяет неравенствам
—2е-2 ь/2 <Q(x)—х < 2е-2~ь/2,
или поскольку [Q(x)—х]=ех, то
n—“b Q b
—2е-•^-<ех<2с.-^-. 0-7)
Учитывая, что 2с-|^х<2с, можно записать
— 2“ь<е<2^. (9.8а)
Аналогично можно показать, что при усечении мантиссы в обрат-
ном и прямом кодах ошибка будет удовлетворять условию
— 2-2-ь<е<0> (9.86)
а при дополнительном коде эти условия принимают вид
9.2. КВАНТОВАНИЕ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ
Результаты § 9.1 можно использовать для анализа эффектов
квантования при дискретизации аналогового сигнала. В § 1.7 при
рассмотрении дискретного представления непрерывной величины
предполагалось, что в результате дискретизации можно получить
последовательность х(п) =ха(пТ), —oo<Zn<Zoo, где xa(t) —огра-
ниченный в полосе частот аналоговый сигнал. Это значит, что вы-
борки xa(t) предполагались известными с неограниченной точ-
ностью. В этом случае для представления каждой выборки теоре-
тически требуется бесконечное число разрядов. Конечно, физиче-
ские ограничения исключают квантование с неограниченной точ-
ностью, и поэтому каждая выборка должна быть либо усечена,
либо округлена до соответствия ограниченному числу разрядов ре-
гистра. Поэтому на рис. 9.2а показано представление квантования,
несколько отличающееся от идеализированного.
Форма характеристики квантователя зависит от способа пред-
ставления отрицательных выборок и используемых операций округ-
ления или усечения. Для определенности предположим, что вы-
ходные выборки представляются в виде дробных (&~Н) -разряд-
ных чисел с фиксированной запятой в дополнительном коде. Пред-
292
полагается также, что точные значения входных выборок х(н)
округляются до ближайшего уровня квантования, образуя кванто-
ванные выборки х(п). Чтобы непроквантованные выборки находи-
Рис. 9.2. Представление квантования ана-
логового сигнала:
а) нелинейная модель; б) статистическая
модель
лись в пределах (&4-1)-разрядного числа, необходимо отнормиро-
вать аналоговый сигнал так, чтобы
[ - 1 + ( 2-ь/2)] <Xa(nT)<[l-( 2-ь/2)].
(9.9)
При этих условиях характеристика квантователя имеет вид, пока-
занный на рис. 9.3, где предполагается, что Ь = 2.
Если точное значение вход-
ной выборки оказывается за пре-
делами диапазона, определяемо-
го (9.9), то появятся дополни-
тельные искажения. Как показа-
но на рис. 9.3, квантованное зна-
чение 1—2-ь приписывается всем
выборкам, превысившим 1—
—(2-ь/2), а квантованное значе-
ние— 1 приписывается всем вы-
боркам, меньшим —[1 + (2~ ь/2) ].
Это ограничение входных сигна-
лов в общем случае нежелатель-
но, и оно должно быть исключено
ЗА
2А -
5i . ЗА А А
2 Т 2 2 000
л/л)=0[л(л)]
011
010
001
100
110
101
111
г—-^А
А ЗА
г г
-2Д
ЗА
-4А
ЗА 7А 1(п)
2 2
А=2'Ь
путем уменьшения амплитуды Рис. 9.3. Характеристика квантова-
входных сигналов до значений, теля при округлении выборок в до-
, полнительном коде для £ == 2
пока не будет удовлетворено со-
отношение (9.9).
Другое представление квантования показано на рис. 9.26:
х (п) = Q (х (п)] = х (п) + е (п),
где х(п) —точная выборка; е(п)—ошибка квантования. Поскольку
предполагалось округление, то (—Д/2) <е(п) (Д'/2), где Д — ши-
рина шага квантования, т. е. Д=2-ь. Чтобы рис. 9.26 был точно
эквивалентен рис. 9.2а, ошибка квантования е(п) должна быть
точно известна для всех п. В большинстве случаев разумно пред-
293
полагать, что е(п) является неизвестной, и тогда для представле-
ния эффектов квантования может быть полезна статистическая
модель, основанная на рис. 9.26. Такая модель будет использова-
на для описания эффектов квантования в алгоритмах обработки
сигналов. В частности, можно сделать следующие предположения:
1) последовательность выборок ошибки {е(п)} является выбо-
рочной последовательностью стационарного случайного процесса;
2) последовательность ошибок некоррелированна с последова-
тельностью точных выборок {х(п)};
3) случайные величины процесса ошибок некоррелированны,
т. е. ошибка является процессом типа «белый шум»;
4) распределение вероятности ошибок является равномерным
по диапазону ошибок квантования.
Как будет видно, эти предположения, определяемые прежде
всего целесообразностью, приводят к довольно простому анализу
эффектов квантования. Можно найти примеры, где эти предполо-
жения оказываются явно необоснованными. Например, если xa(t)
является ступенчатой функцией, то вышеуказанные предположения
не будут удовлетворяться. Однако, когда последовательность х(п)
является сложным сигналом, таким, как речевой или музыкаль-
ный, быстро флуктуирующим некоторым непредсказуемым обра-
зом, эти предположения оказываются более реалистическими. Экс-
перименты показали [2—4], что по мере усложнения сигнала кор-
реляция между сигналом и ошибками квантования уменьшается,
и сама ошибка также становится некоррелированной. В эвристи-
ческом смысле такие предположения для статистической модели
представляются справедливыми, если сигнал является достаточно
сложным и шаги квантования достаточно малыми, так что ампли-
туда сигнала оказывается достаточной для перехода через многие
уровни квантования при следовании от выборки к выборке.
В случае округления предполагалось, что распределение веро-
ятности ошибок имеет вид, показанный на рис. 9.4а. При усечении
Рис. 9.4. Плотности вероятности ошибок при:
а) округлении; б) усечеиии
и дополнительном коде распределение вероятности полагается рав-
номерным по всему диапазону возможных ошибок квантования,
как показано на рис. 9.46. Кроме того, предполагается, что ошибка
не зависит от величины сигнала. Это предположение оказывается
необоснованным для усечения при обратном и прямом кодах, по-
скольку знак ошибки всегда противоположен знаку сигнала. Не-
294
трудно видеть, что среднее значение и дисперсия шума квантова-
ния должны быть равны: а) для округления те=0, о2е=А2/12 =
= 2—2Ь/12 и б) для усечения в дополнительном коде те=— (2-ь/2),
<+• = (2-2Ь/12). Предполагается, что автоковариационная последо-
вательность ошибки равна vm.(/z) =+,.6(п) как для округления,
“так и для усечения в дополнительном коде.
При цифровой обработке дискретизированных аналоговых сиг-
налов ошибка квантования обычно рассматривается как сигнал ад-
дитивного шума. Отношение мощности сигнала к мощности шума
является полезной мерой их относительных уровней. При округле-
нии отношение сигнал/шум равно (а2х/о2е) = [о2х/(2~2Ь/12) ] =
= (12-22Ь)о2х. При использовании логарифмического масштаба
отношение сигнал/шум равно
10 lg( о2/о2) = 6,02Z> + 10,79+10 1g (о2) (9.10)
и ясно, что отношение сигнал/шум увеличивается примерно на
6 дБ для каждого разряда, добавляемого к длине регистра.
Ранее отмечалось, что если входной сигнал превышает динами-
ческий диапазон квантования, то для исключения ограничения не-
обходимо уменьшить амплитуду входных сигналов. Это значит, что
вместо выборок х(п) квантуются выборки Ах(п), где 0<Д<1.
Поскольку дисперсия Ах(п) равна А2о2х, то отношение сигнал/шум
примет вид
10 lg(X2o2 /о2) = 6Ь+ 10,8+ 10 lg (о2)+ 20 1g (Л). (9.11)
Сравнение (9.10) и (9.11) показывает, что уменьшение амплитуды
входного сигнала для снижения искажений за счет ограничения
уменьшает отношение сигнал/шум. Многие аналоговые сигналы,
такие, как речевые и музыкальные, могут для удобства рассмат-
риваться как случайные процессы. Как правило, такие сигналы ха-
рактеризуются распределениями вероятностей, которые возрастают
в окрестностях нуля и быстро спадают с увеличением амплитуды.
В таких случаях вероятность того, что величина данной выборки в
3 или 4 раза превысит среднеквадратическое значение сигнала,
оказывается очень малой. Таким образом, если А устанавливается
при о2х/4, то с высокой вероятностью не будет происходить иска-
.жений за счет ограничения. В этом случае отношение сигнал/шум
составляет 10 1g (о2х/п2е) =6Ь—1,24 дБ. Таким образом, для получе-
ния отношения сигнал/шум + 80 дБ потребуется Ь = 14 разрядов.
Эта взаимная связь между динамическим диапазоном и ошибка-
ми квантования является основной характеристикой представления
с фиксированной запятой дискретных сигналов и алгоритмов их
обработки, что будет видно из последующего изложения.
Когда квантованные сигналы обрабатываются в соответствии с
некоторым алгоритмом, ошибка входного сигнала (или шум) про-
является в виде ошибки (или шума) в результирующем выходном
сигнале. Например, если квантованная последовательность х(п) =
=х(п) +е(п) является входной для линейной инвариантной к
сдвигу системы, то выходная последовательность может быть пред-
295
ставлена в виде */(п)=у(п)~Н(п), гДе У(«) — реакция системы на
х(п) и /(п) —реакция на е(п). Поскольку х(п) и е(п) независи-
мые последовательности, то при вычислении мощности выходного
шума можно х(п) не учитывать. Используя (8.50) и (8.53) и учи-
тывая тот факт, что входной шум является белым, можно выра-
зить среднее значение и дисперсию выходного шума в следующем
виде:
ту = те h(n) = meH (е'°); (9.12)
П=—00
со 2 Л
= J] |ft(n)|2=^ j|tf(ela)|2d<o. (9.13)
П=—оо —Л
При выводе этих выражений предполагалось, что система была
реализована безошибочно. В действительности — это неверно; од-
нако разумно предположить, что ошибки в выходном сигнале, воз-
никающие за счет погрешности в построении системы, не зависят
от ошибок, обусловленных входным шумом квантования. Поэтому
ошибки, обусловленные округлением или усечением при реализа-
ции цифрового фильтра, рассматриваются отдельно, и их влияние
накладывается на ошибки, обусловленные квантованием входного
сигнала.
9.3. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ РЕГИСТРА
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ
В этом параграфе рассматривается эффект квантования ре-
зультатов арифметических операций при построении БИХ-фильт-
ров. Как отмечалось в гл. 4, основными арифметическими опера-
циями при построении цифрового фильтра являются умножение на
константу (коэффициенты фильтра) и сложение. В арифметиче-
ском устройстве, оперирующем с числами с фиксированной запя-
той, результат умножения должен быть округлен или усечен, од-
нако для результата сложения применения таких операций не тре-
буется. Тем не менее, так как результат сложения может превзой-
ти конечное число разрядов регистра, то при построении цифровых
фильтров с фиксированной запятой необходимо рассмотреть про-
блему ограниченного динамического диапазона. Это сходно с про-
блемой квантования выборок аналогового сигнала, из рассмотре-
ния которой было видно, что большой динамический диапазон и
малые ошибки квантования являются противоречивыми требова-
ниями. В противоположность этому арифметические устройства с
плавающей запятой имеют гораздо менее жесткое ограничение на
динамический диапазон, однако усечение или округление должно
вводиться как после умножения, так и после сложения. Как было
показано в предыдущем параграфе, усечение и округление являют-
ся нелинейными процессами. Это значит, что эффект квантования
296
при построении инвариантного к сдвигу цифрового фильтра сво-
дится к введению нелинейных элементов в определенные ветви его
структурной схемы.
Строго говоря, реализации линейных инвариантных к сдвигу
систем оказываются в общем случае нелинейными. Важно понять
нелинейные эффекты, возникающие в результате квантования, по-
скольку обычно требуется построить цифровой фильтр, имеющий
достаточную точность и в то же время требующий минимальную
аппаратурную сложность. Анализ нелинейных эффектов в цифро-
вых фильтрах оказывается часто сложным и во многих случаях не
до конца понятным. Кроме того, большая часть этого анализа яв-
ляется очень специфической и оказывается за пределами задач
этой книги.
При последующем обсуждении сначала будут рассмотрены не-
которые простые случаи использования арифметического устрой-
ства с фиксированной запятой, когда нелинейность приводит к пе-
риодической ошибке на выходе, а входной сигнал является нуле-
вым, постоянным или синусоидальным. В этих простых случаях
можно детально понять эффекты нелинейности. Однако, когда
входной сигнал не является ни постоянным, ни синусоидальным,
удобно использовать статистическую модель предыдущего пара-
графа для преобразования нелинейной системы в линейную с ис-
точниками внутреннего аддитивного шума. Используя эту модель,
можно вычислить среднюю ошибку на выходе, обусловленную
квантованием результатов арифметических операций при построе-
нии цифрового фильтра.
9.3.1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НИЗКОГО УРОВНЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ
Если устойчивый цифровой фильтр, построенный на основе
арифметического устройства с неограниченной точностью, имеет
на входе нулевое воздействие при количестве выборок п, превы-
шающем некоторую величину п0, то выходной сигнал для
будет асимптотически затухать до нуля. Для такого же фильтра,
выполненного на основе арифметики с конечной разрядностью ре-
гистров, выходной сигнал может уменьшаться до некоторого уров-
ня ненулевых значений амплитуды, после чего он принимает коле-
бательный характер. Этот эффект часто называют режимом пре-
дельного цикла низкого уровня, и он является следствием нелиней-
ности квантователей в петле обратной связи фильтра. Режим пре-
дельного цикла цифрового фильтра является сложным и трудным
для анализа, и мы не будем пытаться исследовать эту тему в ка-
ком-либо общем смысле. Для простых фильтров первого и второ-
го порядков этот эффект можно понять. Объяснить существование
таких колебаний можно с помощью эффективных полюсов фильт-
ра, перемещающихся на единичную окружность [5—10]. Этот
эффект лучше всего иллюстрируется с помощью примера.
297
Пример. В качестве иллюстрации эффектов предельного цикла рассмот-
рим систему первого порядка, характеризуемую разностным уравнением
у(п)=ау(п—\) + х(п). (9.14)
Направленный сигнальный граф этой системы показан иа рис. 9.5а. Предполо-
жим, что а=1/2 и что количество разрядов регистра для хранения коэффициен-
а) S)
Рис. 9.5. Направленные графы для БИХ-систем первого
порядка:
а) идеальная линейная система; б) нелинейная система,
обусловленная квантованием произведения
та а, входного сигнала х(п) и узловой переменной фильтра у(п—1) равно че-
тырем (т. е. знаковый разряд слева от двоичной запятой и три разряда справа
от нее). Из-за конечной разрядности регистров произведение ар(п—1) должно
быть округлено или усечено до четырех разрядов перед суммированием с х(п).
Направленный граф, представляющий действительную реализацию, основанную
на уравнении (9.14), показан на рис. 9.56. В предположении, что использовано
округление произведения, действительный выходной сигнал w(n) будет удов-
летворять нелинейному разностному уравнению
w(n) =Q [aw(n — l)]-f- x(n), (9.15)
где Q[ ] представляет операцию округления. Предположим, что а = 1/2 = 0 д 100
н что входной сигнал является единичной выборкой с амплитудой 7/8=0 д 111.
Из (9.15) видно, что для п=0 а>(0)=7/8=0д 111. Чтобы вычислить ш(1), умно-
жим ц>(0) на а, получая в результате аш»(0) =0 д 011100, т. е. 7-разрядное чис-
ло, которое должно быть округлено до 4-разрядного. Таким числом является
7/16, которое находится точно посредине между двумя 4-разрядными уровнями
квантования 4/8 и 3/8. Если в таких случаях всегда выбирается округление до
старшего разряда, то число 0д 011100, округленное до четырех разрядов, будет
равно Од 100=1/2. Поскольку х(1)=0, то ш(1) =0 д 100= 1/2. Продолжая, полу-
Рис. 9.6. Отклик на единичный скачок в системе первого порядка
с квантованием при:
а) а=1/2; б) а=—1/2
298
чим и>(2) =Q.[aw(l)]=Oл 010=1/4 и w(3) =0 д001 = 1/8. В обоих этих случаях
округление не требуется. Однако чтобы получить ш(4), необходимо округлить
7-разрядное число аш(3) =0 д000100 до 0д001. Такой же результат получает-
ся для всех значений п^З. Выходная последовательность для этого примера
показана на рис. 9.6а. Если а=—1/2, то можно снова проделать вышеуказан-
ные вычисления и показать, что выходная последовательность имеет вид, пред-
ставленный на рис. 9.66. Таким образом, вследствие округления произведения
aw(n—1) выходная последовательность достигает постоянной величины 1/8.
когда а =4/2, и принимает форму установившегося периодического колебания
между +1/8 и —1/8, когда а = —1/2. Эти сигналы являются периодическими
выходными сигналами, подобными тем, которые получались бы от фильтра пер-
вого порядка с полюсом в точке z=±l вместо ±а. Когда а= + 1/2,
период колебания равен 1, и когда а=—1/2, период колебания равен 2. Такие
установившиеся периодические выходные сигналы называются предельными цик-
лами, и их существование было впервые замечено Блэкманом {14], который оп-
ределил интервалы амплитуд, до которых такие предельные циклы ограничива-
лись, как мертвые зоны. В этом случае мертвой зоной является —2~ъ^w(n)
<+2~ь.
Возможное существование предельного цикла низкого уровня
оказывается важным в приложениях, где предполагается продол-
жительная работа цифрового фильтра, поскольку, как правило,
желательно, чтобы выходной сигнал приближался к нулю, когда
входной сигнал является нулевым. Например, рассмотрим дискре-
тизованный речевой сигнал, прошедший через цифровой фильтр и
затем преобразованный снова в акустический сигнал с помощью
цифро-аналогового преобразователя. В такой ситуации было бы
очень нежелательно для фильтра входить в режим периодического
предельного цикла всякий раз, когда входной сигнал равен нулю.
Джексон (Jackson) [5, 6] рассмотрел режим предельного цик-
ла в системах первого и второго порядков путем анализа, осно-
ванного на ранее приведенном наблюдении, т. е. что при достиже-
нии предельного цикла система ведет себя так, как если бы ее
полюсы находились на единичной окружности. В частности, рас-
смотрим фильтр первого порядка. По определению операции
округления,
| (?[аю(п— 1)]-аш(п-1) | <(1/2)2-ь. (9.16)
К тому же для значений п при предельном цикле |Q[aay(n—
— 011 = 1 w(n—1) |, т. е. эффективное значение а равно 1 и соот-
ветствует полюсу фильтра, находящемуся на единичной окружно-
сти. Диапазон величин, для которых удовлетворяется это условие,
равен |ю(н—1) | —|ащ(н—1) | (1/2)2-ь или, решая для |ю(«—
—1)|, получим
I ю(п-1) | С (1/2) 2~ь/(1 — | а | ). (9.17)
Выражение (9.17) определяет мертвую зону для фильтра первого
порядка. Как результат округления, величины, находящиеся внут-
ри мертвой зоны, квантуются с шагом 2~ь. [Отметим, что (9.17)
дает правильную величину для мертвой зоны, когда |а| = 1/2.]
Всякий раз, когда узловая переменная w(n—1) попадает в мерт-
вую зону при нулевом входном сигнале, фильтр входит в режим
предельного цикла и остается в нем до тех пор, пока воздействие,
299
приложенное на входе, не выведет выходной сигнал из мертвой
зоны.
Для фильтра второго порядка существует большее разнообра-
зие режима предельного цикла. Рассмотрим разностное уравнение
второго порядка
у (п) = х (л) + ах у (п — 1) + а2 у (п—2). (9.18)
При а21<—4аг полюсы фильтра являются комплексно-сопряжен-
ными и при а2 =—1 полюсы находятся на единичной окружности.
Практическое представление уравнения (9.18) имеет вид
w (п) = х (n) + Q [«л w (п— 1)] + Q [а2 w (п — 2)], (9.19)
где Q[ ] снова представляет операцию округления указанных
произведений. Как и ранее, по определению операции округления
| С[а2ш(л—2)]—агю(п—2) | <(1/2)2"ь. (9.20)
При х(п)=0 полюсы системы будут лежать на единичной окруж-
ности, если Q[a2u/(n—2)]=®(п—2). Подставив это выражение в
(9.20), получим [w(n—2) | — |а2®(«—2)|^(1/2)2_ь или, решая
для [w(n—2) |,
| w(n~2) | < [(1/2) 2—ь]/(1 — | <х2 |). (9.21)
Таким образом, если w(n—2) попадает в этот диапазон при вход-
ном сигнале, равном нулю, то эффективное значение а2 является
таким, что полюсы системы будут, очевидно, лежать на единич-
ной окружности. При этих условиях величина ctj определяет часто-
ту колебаний.
В другом классе режима предельного цикла, который может
возникать в фильтрах второго порядка, эффект округления приво-
дит к расположению эффективных полюсов в точках z=-]-l и 2—
=— 1. Мертвая зона, соответствующая этому режиму, ограничена
величиной 1/(1 — |aj—a2). Амплитуда колебаний предельного цик-
ла в этой зоне, конечно, квантуется с шагом 2~ь [5, 6].
Кроме вышеперечисленных классов предельного цикла, может
возникать более сильный вид колебаний предельного цикла, обус-
ловленный переполнением. Эффект переполнения приводит к по-
явлению грубой ошибки на выходе, и в некоторых случаях, начи-
ная с этого момента, выходной сигнал фильтра периодически из-
меняется между предельными значениями максимальной амплиту-
ды. Такие предельные циклы называются колебаниями переполне-
ния. Проблема колебаний, обусловленных переполнением, деталь-
но обсуждалась Эбертом (Eoert) и другими [12].
Вышеизложенное обсуждение касалось только предельных цик-
лов низкого уровня, происходящих за счет округления в БИХ-
системах первого и второго порядков. Несмотря на то что анализ
был в некоторой мере эвристическим, было установлено, что полу-
ченные простые формулы согласуются с экспериментальными ре-
зультатами и оказываются полезными в предсказании режима пре-
дельного цикла в цифровых БИХ-фильтрах. Подобный стиль ана-
300
лиза может использоваться и для операции усечения. При парал-
лельной форме построения систем более высокого порядка выход-
ные сигналы отдельных систем второго порядка будут независи-
мыми, когда входной сигнал равен нулю. Следовательно, можно
непосредственно использовать предыдущий анализ. В случае кас-
кадных форм построения только первый блок имеет нулевой вход-
ной сигнал. Последующие блоки могут обусловить появление дру-
гого режима предельного цикла, либо их действие проявится прос-
то при фильтрации выходного предельного цикла предыдущего
звена. Как показывает анализ, для систем более высокого поряд-
ка, реализуемых на основе других структур, режим предельного
цикла становится более сложным. Когда входной сигнал не равен
нулю, эффекты квантования зависят от его вида и приведенный
метод анализа оказывается полностью непригодным, за исключе-
нием простых входных сигналов, таких, как одиночная выборка,
единичный скачок или синусоида. В других случаях сложность яв-
лений квантования заставляет обращаться к статистической моде-
ли.
Кроме того, следует учесть, что вышеприведенные результаты
оказываются полезными, когда отклик системы в виде предельно-
го цикла низкого уровня представляет собой требуемый выходной
сигнал. Это имеет место, например, при разработке цифровых гар-
монических осцилляторов для генерирования сигналов и формиро-
вания коэффициентов при дискретном преобразовании Фурье.
9.3.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ
С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ
Точный анализ ошибок усечения или округления, как прави-
ло, не требуется в практических приложениях. Обычно анализ
ошибок сводится к выбору количества разрядов регистра, необхо-
димых для удовлетворения некоторым требованиям на величины
сигнала и ошибок. Число разрядов регистра, конечно, может из-
меняться только ступенчато по одному разряду. Как будет видно,
добавление одного разряда к регистру уменьшает амплитуду оши-
бок квантования на множитель, примерно равный одной второй.
Таким образом, число разрядов регистра не влияет на неточность
анализа ошибок; точность анализа в пределах 30—40% часто яв-
ляется достаточной. Поэтому можно использовать статистическую
модель, полученную в § 9.2.
Рассмотрим простые системы первого и второго порядков при
иллюстрации способа применения статистической модели для оце-
нивания эффектов квантования в реализациях цифровых фильтров
с фиксированной запятой. Из этих простых примеров можно сде-
лать обобщения, которые окажутся полезными при рассмотрении
многих компромиссных условий для достижения наиболее эффек-
тивных и экономичных реализаций цифровых фильтров.
Рассмотрим построение системы первого порядка с фиксиро-
ванной запятой с использованием операции округления произве-
301
дений. На рис. 9.7а показана система с неограниченной точностью
представления переменных и коэффициентов, а на рис. 9.76 — сис-
тема с ограниченной точностью, где Q[ ] обозначает операцию
округления. На рис. 9.7в изображена та же самая система, где эф-
фект квантователя представляется с помощью источника аддитив-
ного шума e(n)=Q[aw(n—1)]—aw(n—1).
Ь)
Рис. 9.7. Направленные графы для БИХ-системы первого порядка:
идеальная линейная система; б) нелинейная система; в) статистическая мо-
дель для шума округления при фиксированной запятой
Как следует из § 9.2, представления цепи направленными гра-
фами рис. 9.76, в идентичны, когда известно е(п). Сделаем следую-
щие предположения относительно эффекта квантования произве-
дения:
1) последовательность ошибок г(п) является последователь-
ностью белого шума;
2) последовательность ошибок имеет равномерное распределе-
ние на каждом интервале квантования;
3) последовательность ошибок е(п) некоррелирована с вход-
ной последовательностью х(п) и aw(n—1). [Это подразумевает,
что е(п) является некоррелированной с выходным сигналом.]
Эти предположения идентичны тем, которые были приняты для
квантования выборок аналогового сигнала, и условия для их спра-
ведливости являются во многом теми же самыми. Это значит, что
такие предположения выполняются, когда входной сигнал и ре-
зультирующие узловые переменные изменяются от выборки к вы-
борке достаточно сложным образом. Они оказываются, очевидно,
несправедливыми для таких входных сигналов, как единичная
выборка, единичный скачок или синусоидальная последователь-
ность.
Если длина регистра равна (6 + 1) разрядам, то для округле-
ния — (1/2)2-ь<е(п) (1/2)2~ь. Полагая распределение ошибки
по всему этому диапазону равномерным, среднее значение е(п)
будет равно нулю и дисперсия о2е= (1/12) 2~2Ь. Если у(п) является
выходным сигналом, который образовался бы за счет х(п) при от-
302
сутствии ошибки квантования, то действительный выходной сигнал
можно представить в виде
ay(n) = «/(zi)+f(zi),
где f(n) —ошибка в выходном сигнале из-за источника шума-
е(п). Если fte(n) является импульсной характеристикой системы
от узла, в котором подключается источник шума е(п), до выхода,,
то
2 he^ (9,22а>
п~—®
и, поскольку е(п) полагается белым шумом*,
—00
(9.22б>
Из рис. 9.7в видно, что для этого случая импульсная характерис-
тика на участке от источника входного шума до выхода является
такой же, как и для входного сигнала. Это, конечно, неверно в-
общем случае. Для этого примера he(n) = апи(п), так что
-oh 1/(1 -а2)] = (1/12) 2-a> [ 1/(1 -а*)]. (9.23>
В качестве второго примера рассмотрим фильтр второго поряд-
ка с одной комплексной парой полюсов в точке z=re±iQ, описывае-
мый разностным уравнением у(п) =x(n)+2rcos0 у(п—1)—г2у(п—
—2). При округлении произведений получается нелинейное раз-
ностное уравнение w (п) =х(п) +Q [2r cos 0 w(n—1)]—Q[r2o>(n—
—2)]. Поскольку имеются два ум-
ножения, то, как показано на
рис. 9.8, вводятся два источника
шума. Эти источники обозначены
через в\(п) и бг(п). Выходной
сигнал можно снова представить в
виде суммы идеального выходного
сигнала и двух компонент fi (п)
и /г (п) ошибки за счет ei (п) и
в2 (н) соответственно. Как и ранее,
предполагается, что ei(n) и 62(11)
являются последовательностями
О—
Х(П)
Рис. 9.8. Статистическая модель для
шума округления в БИХ-системе
второго порядка с фиксированной’
запятой
белого шума с равномерной плотностью амплитуд между
±(1/2)2-ь и что обе они некоррелированы с входным сигналом,
а также между собой. Поскольку еДп) и 62(11) являются некорре-
лированными, то такими же являются fi(n) и /г(н) и, следователь-
но, a2f=a2f +о2/2. При hi(n) и /i2(«), обозначающими импульсные
характеристики от источников входного шума до выхода,
00 00
af2=< S 2
—оо n=— 00
* Для удобства предполагается, что he(n) является действительной величи-
Заметим, что для этого примера h.{(ri) и /гг(«) равны и опреде-
ляются выражением h\(п) =й2(«) = (1 /sin 0) rn sin [(«+1) 0] и (п).
Можно убедиться, что
(га) = (1 +г2)/(1 —f2) 1/(г* + 1 —2г2 cos 20),
П=—00
так что при О2С , =О2е, = (1/12)2-2Ь
о2= (2/12) 2~2b (1-|-г2)/1 — г2) 1/(г4 4-(1—2г2 cos 20). (9.24)
Эти два примера иллюстрируют характер анализа, который
может быть использован для получения дисперсии выходного
шума, обусловленного округлением в арифметическом устройстве
с фиксированной запятой.
Вышеприведенные результаты легко модифицировать для
случая усечения при дополнительном коде. Отметим, что ампли-
туда ошибки при усечении в дополнительном коде лежит в диа-
пазоне —2-ь<£'т^0. Таким образом, если необходимо предста-
вить эффект усечения чисел в дополнительном коде в том же
стиле, который использовался для округления, то следует рас-
смотреть источник аддитивного шума е(п) с плотностью ампли-
туд, равномерно распределенной между —2-ь и нулем. Снова
предполагается, что е(п) некоррелированна с собственными сдви-
нутыми значениями (белый шум) и больше не имеет нулевого
среднего значения, т. е. Е[е(п)] =— (1/2)-2~ь. Однако дисперсия
е(п) в этом случае оказывается одинаковой с той, которая была
при округлении. Поэтому при усечении в дополнительном коде
дисперсия выходного шума равна соответствующей дисперсии
при округлении, а выходной шум не имеет нулевого среднего
значения, хотя оно легко вычисляется по (9.22а) . Полученные ре-
зультаты применимы для операций усечения в обратном и пря-
мом кодах, хотя, как показано в § 9.2, при этом корреляция 1^еж-
ду сигналом и ошибкой усечения оказывается более сильной из-
за того, что знак ошибки всегда противоположен полярности
сигнала, к которому применяется операция усечения.
Как указано ранее, другая особенность построения цифровых
фильтров, использующих арифметику с фиксированной запятой,
связана с возможностью переполнения. При условии, что каж-
дый регистр представляет дробное число с учетом знака, в каж-
дом узле фильтра должно осуществляться ограничение с целью
поддержания величины меньше единицы с тем, чтобы избежать
переполнения. Предполагая, что х(п) обозначает входной сиг-
нал фильтра, а Уь(п) и hh(n) — соответственно выходной сигнал
k-vo узла и импульсную характеристику от входа до k-vo узла,
со
можно записать Ук(п) = 2 hh(r)x(n—г). Если хМакс обозначает
Г=— СО
максимум абсолютной величины входного сигнала, то
00
I Ул (га) | < хмакс £ I hk (г) | . (9.25)
304
Таким образом, поскольку требуется, чтобы <1, то для
выполнения условия (9.25) необходимо, чтобы
ХМакс<1/ £ 1МГ)| (9.26)
/ Г—-“0°
для всех узлов цепи. Выражение (9.26), таким образом, опреде-
ляет верхнюю границу максимальной величины входного сигна-
ла, гарантирующей, что в k-тл узле не произойдет переполнения.
Масштабирование входного сигнала в соответствии с (9.26) не-
обходимо в более общем случае для гарантии того, что не про-
изойдет переполнения. Это является следствием того факта, что
в (9.25) может быть достигнуто равенство в случае последова-
тельности х(п), для которой при п=п0 х(по—г) =sgn [/ife(r)] [где
sgn(x) = l для и sgn (х) =—1 для х<0]. Условие в выра-
жении (9.26) может быть удовлетворено путем ослабления сиг-
нала на входе фильтра.
В качестве примера рассмотрим входной сигнал х(п), пред-
ставляющий собой последовательность белого шума с равномер-
ной плотностью амплитуд. Затем выберем для фильтра первого
порядка максимальную амплитуду входного сигнала, примерно
равную (1 — |а|). Для этого случая, если о2х обозначает диспер-
сию входного сигнала, а а2у — дисперсию выходного сигнала, то
о2 = (1/3)(1— | <х I )2; (9.27)
<т2 = (1/3) [(1 — | а| )2/(1- | а|)2]. (9.28)
Тогда для этого примера можно вычислить выходное отношение
шум)сигнал как отношение G2jlG2y, которое в результате получа-
ется равным
о^/о2= (1/4) 2~2Ь [1/(1 — | а | )2]. (9.29)
Подобным способом можно получить отношение шум/сигнал
для рассмотренного ранее фильтра второго порядка. Как и в слу-
чае фильтра первого порядка, ограничим амплитуду входного
сигнала для гарантии того, что динамический диапазон регист-
ров не будет превышен. Если рассматриваемая входная последо-
вательность будет белым шумом с равномерным распределением,
то результирующее отношение шум/сигнал будет равно
о2/о2= (1/2) 2-2Ь f £ | h(n) | "j = (1/2) 2-2Ь l(l/sin 0) x
\ n=-co / I
00 12
X £ r” [ sin [(n+ 1)0] [ . (9.30)
n=0 J
Хотя трудно оценить это выражение точно, для него можно най-
ти верхнюю и нижнюю границы. Поскольку S |й(7г)| является
Г2=—00
наибольшим выходным значением, получаемым при входном сиг-
305
нале, который никогда не превышает единицу, то оно должно
быть больше отклика фильтра второго порядка на воздействие
синусоиды единичной амплитуды при резонансной частоте. С уче-
том этого соображения
2 । ш । Т>
1/[(1 —г)2 (1 +г2—2г cos 20)],
(9.31)
где правая часть этого неравенства есть коэффициент усиления
при резонансе (со=0). Кроме того,
(l/sin0) £ гп | sin [(п-4- 1) 0] |
л=0
(l/sin0)
п=0
(9.32)
Поэтому для фильтра второго порядка
1 .2~2Ь___________!__________ < < 1 2—2Ь________1_____
2 (1 — г)2 (14- г2 — 2r cos 20) а2 2 sin20(l — г)2
(9.33)
Частотно-избирательные фильтры с крутыми срезами часто
должны иметь полюсы, очень близко расположенные к единичной
окружности. Поскольку каскадная или параллельная форма по-
строения таких фильтров требует применения систем первого и
второго порядков, то важно рассмотреть вышеприведенные выра-
жения для отношения шум/сигнал при приближении полюсов к
единичной окружности.
Для фильтра первого порядка предположим, что 6=1 — | а|,
тогда при 6—>-0 полюс приближается к единичной окружности.
Тогда с учетом вида 6 отношение шум/сигнал для фильтра перво-
го порядка будет равно
о2/о2 = (1/4)2-2Ь(1/62). (9.34)
Для фильтра второго порядка предположим 6=1—г так, что при
6-^-0 полюсы также приближаются к единичной окружности. Тог-
да, если предполагалось, что 6^>1, то (14-г2—2r cos 20) может ап-
проксимироваться выражением
14-г2 — 2гcos20 s4sin2 0 4-62, (0.35)
которое в случае 4sin20>62 будет аппроксимироваться как
4 sin2 0. Следовательно, объединив эту аппроксимацию, получим
2
— . 2-2Ь----1i < — -2~2Ь------------5---. (9.36)
2 462sin20 q2 2 62sin20
у
Для вышеприведенных примеров видно, что отношение
шум/сигнал можно считать пропорциональным 2-2ь/62. Из этой
зависимости следует, что если 6 уменьшается в 2 раза, то для со-
хранения того же отношения шум/сигнал b должно быть увеличе-
но на единицу, т. е. к длине регистра должен быть добавлен один
разряд.
306
В вышеприведенном анализе входное воздействие фильтра
предполагалось в виде белого шума с равномерным распределе-
нием. По мере того как б приближается к нулю, частотная харак-
теристика фильтров первого и второго порядков становится более
избирательной так, что все больше и больше энергии входного
сигнала оказывается за пределами полосы пропускания. В случае
синусоидального входного сигнала используется другой подход
для определения отношения шум/сигнал. При таком выборе вход-
ных сигналов, конечно, не следует пользоваться общим условием
(9.26) для исключения переполнения, поскольку можно точно оп-
ределить максимально допустимую амплитуду входного сигнала
как функцию параметров фильтра.
В частности, если входной сигнал имеет вид х(п) =А cos щоо,
то выходной сигнал в установившемся режиме равен у(п) —
=В cos (по>о + ф). Чтобы предотвратить переполнение, В должно
быть меньше единицы, а чтобы максимизировать энергию выход-
ного сигнала, оно выбирается максимально возможным. Таким
образом, максимальное отношение шум/сигнал получается, когда
А выбирается так, что у(п) = cos (псоо + ф) • Чтобы выбрать А та-
ким способом, должна быть известна частота входного сигнала.
Для входного синусоидального сигнала с известной частотой А дол-
жно выбираться так, чтобы переполнение не происходило даже в
наихудшем случае, т. е. когда частота входного сигнала совпадает
с максимальным значением усиления передаточной функции филь-
тра [13].
Для фильтров с фиксированной запятой и справедливости ис-
пользуемой модели ошибки шумов округления выходной шум не
зависит от частоты и амплитуды входного сигнала. Таким обра-
зом, для такого выбора входных сигналов отношение шум/сигнал,
получаемое для фильтра первого порядка, равно
о2/о2 = (1/6) 2~2Ь [1/(1 - I а|2)].
Если, как и ранее, предположить, что
а=1—б, то для 6<^С1
(9.37)
О2/а2 = (1/12)(2-27б). (9.38)
В этом случае отношение шум/сигнал пропорционально 1/6, а не
1/б2. При этом, если б умножается на 1/4 и длина регистра уве-
личивается на один разряд, то отношение шум/сигнал останется
постоянным.
Аналогичным образом можно рассмотреть фильтр второго по-
рядка. Для синусоидального входного сигнала выходной сигнал
при максимальной амплитуде имеет форму у(п) =cos(«соо + ф), и
отношение шум/сигнал в этом случае равно
= / 1 \ 2-2Ь1 + f2 _______!_______
а2 \ 12 J 1 — г2 1 + г4 — 2г2 cos 29
Выбирая г=1—б, при 6<С1
o2/cr2 s 2~2Ь/(4б sin2 0).
(9.39)
(9.40)
307
Как и в случае фильтра первого порядка, отношение шум/сигнал
пропорционально 1/6, а не 1/62. Сравнение отношения шум/сигнал
для входного воздействия в виде белого шума и синусоидального
входного сигнала служит для иллюстрации зависимости эффекта
ограничения динамического диапазона от конкретного вида вход-
ного сигнала. В некотором смысле эти два рассмотренных приме-
ра представляют собой крайние случаи. По мере того как вход-
ной сигнал становится более сконцентрированным в известном
узком диапазоне частот, вышеприведенный анализ с использова-
нием синусоидального входного сигнала становится более умест-
ным, а по мере того, как входной сигнал становится более широ-
кополосным, оказывается более целесообразным метод анализа с
входным воздействием в виде белого шума.
В вышеприведенном обсуждении отношение шум/сигнал для
входного воздействия в виде белого шума было получено в пред-
положении, что амплитуда входного сигнала была достаточно
мала для предотвращения переполнения в наиболее общем слу-
чае. На практике масштабирование входного сигнала на основе
(9.26) маловероятно, поскольку равенство в (9.25) практически не-
выполнимо. Обычно допустимо, чтобы амплитуда была не-
сколько большей, чем это определено (9.26), и если результат
сложения приводит к переполнению, то производится фиксация
максимальной величины выходного сигнала тем же способом, ко-
торый предлагался для фиксации входных выборок в § 9.2. Вы-
шесказанное обычно относится к насыщению арифметического
устройства. Насыщение фильтра, конечно, приводит к искаже-
нию, и выбор масштабирования входного сигнала будет зависеть
от того, насколько часто такое искажение допустимо.
Приведенный выше метод анализа можно применить для ис-
следования эффектов квантования в системах, описываемых1 ли-
нейными разностными уравнениями более высокого порядка. Од-
нако трудно получить широко применимые результаты. Это обус-
ловлено тем, что эффекты квантования в сильной степени зави-
сят от свойств требуемой передаточной функции и конкретной
структурной схемы, используемой для ее получения.
В качестве примера рассмотрим две реализации систем вто-
рого порядка, показанные на рис. 9.9. Источники шума проявля-
ются по-разному на выходе этих систем. Поэтому эти две систе-
мы в общем случае будут иметь различные отношения шум/сиг-
нал на выходе при одном и том же входном сигнале. Однако не-
возможно определить, какой вид системы является предпочти-
тельным, пока не известны ее параметры.
Для систем более высокого порядка структура с параллель-
ной формой построения оказывается при анализе наиболее про-
стой. В этом случае анализ систем первого и второго порядков
(включая нули) адекватен определению выходного отношения
шум/сигнал, поскольку эффекты квантования полагаются неза-
висимыми между блоками. Однако даже в этом случае отноше-
ние шум/сигнал зависит от структуры блоков второго порядка.
308
При каскадной форме построения проблема становится более
сложной, поскольку порядок попарного подбора полюсов и ну-
лей может оказать большое влияние на общее отношение
шум/сигнал потому, что шум, генерируемый отдельным блоком
второго порядка, фильтруется всеми последующими блоками. Та-
Рис. 9.9. Статистические модели для шума округления в БИХ-системах
второго порядка при формировании:
а) сначала полюсов, а затем нулей; б) сначала нулей, а затем полюсов
ким образом, возникает интересная проблема определения наи-
лучшего попарного объединения нулей с полюсами и наилучшего
упорядочения размещения результирующих блоков второго по-
рядка для минимизации выходного отношения шум/сигнал. Эта
проблема усложняется тем обстоятельством, что сигналы долж-
ны масштабироваться так, чтобы в любой точке цепи систем вто-
рого порядка не происходило переполнения. Детальный анализ
эффектов квантования при каскадной и параллельной формах
построения дан Джексоном [13, 14]. Из этой работы следует, что
при параллельном построении существует небольшая зависимость
эффектов квантования от формы реализации блоков второго по-
рядка (см. рис. 9.9), что не соблюдается при каскадной форме.
Таким образом, параллельная структура представляется предпоч-
тительной.
9.3.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ
С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ
Из предыдущего ясно, что ограниченный динамический ди-
апазон арифметического устройства с фиксированной запятой
приводит к необходимости тщательного масштабирования вход-
ных сигналов и уровней промежуточных сигналов при построении
цифрового фильтра с фиксированной запятой. Необходимость та-
кого масштабирования может быть исключена при использова-
нии арифметического устройства с плавающей запятой. Однако
при этом вводится шум как за счет умножения, так и сложения
[15—18]. Как было показано в § 9.1, если Q[x(X)] представля-
ет результат применения операции округления к мантиссе сигна-
309
ла при плавающей запятой, то Q[x(n)] может быть выражено в
виде
Q [х («)] = х (n) (1 + е («)) = х (м) + х (п) е(п), (9-41)
где при длине мантиссы в (6+1) разрядов относительная ошиб-
ка удовлетворяет условию
— 2_ь<8(п) < 2"ь. (9.42)
Таким образом, в фильтре, выполненном с арифметическим уст-
ройством с плавающей запятой, эффект квантования можно
представить в виде составляющей аддитивного шума (ошибки)
к фильтру первого порядка,
первого порядка, для кото-
рой предполагается неогра-
ниченная точность арифме-
тического устройства. По-
этому у(п) представляет со-
бой точный выходной сиг-
нал, соответствующий вход-
ному сигналу х(п). На рис.
9.106 представлена система,
в которой для учета округ-
ления мантиссы введены
квантователи после умно-
жения и сложения. В этом
случае w{n) учитывает так-
же выходной шум при вход-
ном сигнале х(п). На рис.
9.10б квантователи замене-
ны источниками аддитивно-
го шума соответственно опе-
рации округления при пла-
вающей запятой. Важно от-
метить, что если в1 (п) и
е2(н) известны, то рис. 9.106
оказывается эквивалентным рис. 9.10в. Чтобы применить статисти-
ческий анализ, необходимо сделать некоторые предположения от-
носительно источников шума 6i(n) и 62(11). При первом рассмотре-
нии эти предположения могут показаться трудно объяснимыми. Од-
нако, как ранее подчеркивалось, здесь не делается попытки полу-
чить точный анализ. Тем не менее результаты, базирующиеся на
модели, которую мы получим и будем использовать, подтвердились
экспериментально.
Предположим, что входной сигнал х(п) является случайным
процессом, при котором входной и выходной сигналы фильтра
могут описываться с помощью их средних значений. Для удобст-
ва предполагается, что х(п) имеет нулевое среднее значение. За-
метим, что источники ошибок ei(n) и е2(п) определяются выра-
жениями
е(п)=х(п)£,(п). Обратимся снова
На рис. 9.10а представлена система
О—
ф
Z'1
д(п) Q[ ]
ч>
QC J
х(л)
5)
Z’’
w(n-1)
у(п)
е2(п)
e^n)
Рис. 9.10. БИХ-системы первого
рядка с плавающей запятой:
а) идеальная линейная система; б)
нелинейная модель; в) статистиче-
ская модель для шума округления
------—— .о
? W[n)=y(n)+f(n)
wln-1)
по-
310
e1(n)=81(zi)aa;(n—1) (9.43)
и e2 (n) = e2 (n) g (n). (9.44)
При отсутствии квантования w(n—l)=z/(n—1) и g(n)=y(n), и
если ошибки невелики, то 8i(n) и е2(п) могут аппроксимировать-
ся как
е± (и) « аех (п) у (п — 1) (9.45)
и ег(п) w е2(п)у(п). (9.46)
Следствие этой последней аппроксимации сводится к возможно-
сти представления аддитивного шума с помощью сигналов иде-
ального фильтра без квантования. В дополнение к этой аппрокси-
мации будем предполагать, как и ранее, что относительные ошиб-
ки 81 (п) и е2(п) являются: 1) белым шумом; 2) некоррелирован-
ными друг с другом; 3) некоррелированными с входным сигна-
лом или любой узловой переменной системы; 4) равномерно рас-
пределенными по амплитуде в диапазоне ±2~ь [см. (9.8а)].
Поскольку 81 (п) является белым шумом и некоррелированна
с у(п—1), то оказывается, что еДп) является белым шумом с
дисперсией
о2 = а2о^-Е [у2(п~ 1)],' (9.47)
или, так как предполагалось, что х(п), а следовательно, и у(п)
имеют нулевое среднее, то
^ = ^0^02. (9.48)
Аналогично е2(н) является белым шумом с дисперсией
= а1 а<2и- (9.49)
При й[(и) и /z2(«), обозначающими импульсные характеристики
от источников входных шумов до выхода, a fi(n) и f2(n), обозна-
чающими составляющие ошибок в выходном сигнале за счет
61(h) и е2(п), имеем f(n)=f1(n) +f2(n). Поскольку 8i(n) и 82(1)
полагались некоррелированными, то и е^п) и е2(п) являются так-
же некоррелированными, как и соответствующие выходные шумы
/1(и) и /2(п). Поэтому дисперсия выходного шума равна
о? = о? + о?, (9.50)
I 11 /2
где 0^=0^ 2 (9.51а)
п——00
и о£=о£ 2 (9-516)
п=— 00
Поскольку
ht (н) = й2 (п) = ап и (п), (9.52)
то из (9.48) —(9.52) следует, что
o^a^l/G-a2)]^2^^). (9.53)
311
В конечном счете, поскольку ei(n) и е2(н) полагаются имеющими
равномерную плотность вероятности на интервале от —2~ь до
+2~b, о281 =ст28,= (1/3) -2~ъ. Поэтому
о2 = (1/3) 2-2Ьст2 [(1 + а2)/(1 - а2)] (9.54)
I у
или выходное отношение шум/сигнал равно
о2/а2 = (1/3)2-2Ь[(1 +«2)/(1-а2)]. (9.55)
Интересно отметить, что отношение шум/сигнал, определяемое
(9.55), для фильтра первого порядка было получено без учета кон-
кретных спектральных свойств входного сигнала. Поэтому соотно-
шение (9.55) применимо как для широкополосных входных сигна-
лов типа белого шума, так и для узкополосных типа синусоид. Одна-
ко для фильтров более высоких порядков отношение шум/сигнал
будет зависеть от формы входного сигнала.
Фильтр второго порядка может быть проанализирован ана-
логичным рассмотренному ранее способом. На рис. 9.11а показан
Рис. 9.11. БИХ-системы второго порядка с плавающей запятой:
а) идеальная линейная система; б) статистическая модель для шума округления
идеальный фильтр второго порядка, а на рис. 9.116 — фильтр’ с
источниками шума. Отметим, что поскольку источники шума дол-
жны вводиться путем суммирования, то важен порядок совмест-
ного суммирования продуктов квантования. На рис. 9.116 изо-
бражен случай, когда сначала суммируются результаты округ-
ления значений 2r cos 6w(n—1) и —r2w(n—2), а затем входной
сигнал х(п) добавляется к этой округленной сумме. Источники
шума а3(п) и е4(п) представляют шум за счет умножений, а ис-
точники шума Ci (п) и е2(п) —за счет сложений. С учетом пред-
положений, аналогичных сделанным ранее, при которых не учи-
тывались члены второго порядка, можно записать
ег (я) = У («) ех (я); е3 (п) = 2r cos 0 у (п— 1) е3 (п);
е2(п) = [у(п)—х(п)]Е2(п); — r2y(n—2)Ei(n).
Снова предполагается, что ei (n), е2(н), е3(п) и е4(п) некоррели-
рованны между собой и с х(п) и являются последовательностями
белого шума с равномерными плотностями амплитуд. Поскольку
Б1(н), ё2(«), бз(«) и б4(л) являются белым шумом и некоррелиро-
312
(9.56)
ванны с х(п) [и, следовательно, также с у(п)], то оказывается,
как и в случае фильтра первого порядка, что ei(n), £2(л), ^3(га) и
е^п) являются белым шумом. Дисперсии еДга), ^г(га), ^з(л) и
et(n) определяются выражениями
= Е [у2 (л)] o2et = 4г2 cos2 0Е [у2 (л — 1)] -о2,;
о2 =Е[(у{п)— х(л))2]о2; о|4 = тлД[г/2(п—2)]ст|.
(9.57)
Поскольку каждый из четырех источников шума полагается не-
коррелированным, то дисперсия выходной шумовой последователь-
ности f(n) равна сумме дисперсий каждого из этих источников
шумов округления. Таким образом, дисперсия выходного шума
равна
°/ = °1 2 W + °e, 2 /l2(ZI) + O2e, 2 W +
Пае—со n=_Qo П=—ад
+< 2
П=—со
Из рис. 9.11 видно, что
Л1 (л) = /г2 (л) = /г3 (л) = /г4 (л) — (1/sin 0) г2 sin (п. + 1) 0 и (п) (9.58)
и поэтому
2 2 /гКп)= S ^2(n)= 2
П=—со n=—со П=—со П=—оо
= 1 + fi _______!______ (g 59)
1 — г2 г*+ 1—2r2cos20 ‘ \ >
Обозначив правую часть выражения (9.59) через G, получим
a2/=G(o2e,+о2е +п2е + а2е4). Затем принимается во внимание
тот факт, что
1. < °е, = °е, = < = (1/3) 2-2Ь.
2. Е [у2 (и)] = Е [у2 (п—1)] = Е [у2 (л-2)] = о2.
3. Е [(у (п)—х (га))2] = Е [у2 (л)] + Е [х2 (n)] — 2Е [у (га) х (га)] =
= + ах—25 [у (п)х (")1 >
tf л
чтобы записать, что
а2 = (1 /3) 2~2Ь G а2 (2 + + 4r2 cos2 0) + (1 /3) 2~2b G(a2 —
— 2Е[у(п)х(п)]. (9.60)
Выражение (9.60) не может быть далее упрощено без введения
каких-либо дополнительных предположений. Однако если пред-
положить, что входной сигнал является белым шумом, то
О2 = а2 £ h2(n) = Go2. (9.61)
313
Окончательно Е[у(п)х(п)] = /г(0)о2ж, или поскольку й(0) = 1, то
E[z/(n)x(n)] = a2. (9.62)
С учетом этих результатов (9.60) можно переписать в виде
о2 = -у • 2“а Go2(2 + ^4-4r2cos26)--1- • 2~2ЬGо2 =
= у -2-2Ьо2{(2 4-г4 +4г2 cos2 0)G-—1}. (9.63)
При большом усилении можно сравнить арифметические ус-
тройства с фиксированной и плавающей запятыми, используя
аппроксимации выражений отношения шум/сигнал. При а=1—6
и 161 <С 1 выражение (9.55) для фильтра первого порядка с ариф-
метическим устройством с плавающей запятой может аппрокси-
мироваться как
cr|/cr2 (1/3) 2~2Ь(1/6). (9.64)
Аналогично для фильтра второго порядка при г=1—6 и 6<С1
о2/о2 s (1/3) 2~2Ь [(3 4- 4 cos2 0)/(46 sin2 0)]. (9.65)
Напомним, что для арифметического устройства с фиксиро-
ванной запятой при входном сигнале в виде белого шума отно-
шение шум/сигнал пропорционально 1/62, а при синусоидальном
входном сигнале оно пропорционально 1/6. Сравнение (9.64) и 9(65)
с (9.34) и (9.36) показывает значительно меньшее отношение шум/
/сигнал для арифметического устройства с плавающей запятой по
сравнению со случаем фиксированной запятой при входном сигнале
в виде белого шума. Важно помнить, что отношения шум/сигнал
для фильтров с фиксированной запятой были вычислены с уче-
том того, что входной сигнал был максимально возможным. Если
уровень входного сигнала уменьшается, то отношение шум/сиг-
нал будет увеличиваться, так как дисперсия выходного шума не
зависит от уровня входного сигнала. С другой стороны, для ариф-
метического устройства с плавающей запятой дисперсия выход-
ного шума пропорциональна дисперсии выходного сигнала и по
мере того, как уровень входного сигнала изменяется в сторону
увеличения или уменьшения, такие же изменения имеет и шум
округления. Также важно отметить, что в проведенном сравнении
предполагалось, что мантисса при плавающей запятой по длине рав-
на целому слову при фиксированной запятой и не учитывает до-
полнительные разряды, необходимые для порядка числа.
Как и в случае фиксированной запятой, анализ систем более
высоких порядков становится весьма сложным. Шум квантова-
ния зависит от параметров системы и ее структуры. В общем
случае комментарии в конце § 9.3.2 применимы также к реализа-
циям цифровых фильтров с плавающей запятой. Однако, посколь-
ку при арифметическом устройстве с плавающей запятой, по су-
ществу, не возникает проблемы ограничения динамического диа-
.314
пазона, каскадные реализации оказываются, вероятно, не слиш-
ком чувствительными к упорядочению размещения полюсов и
нулей.
9.4. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ РЕГИСТРОВ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
Приведенный в предыдущем параграфе анализ эффектов
квантования при построении БИХ-фильтров можно также исполь-
зовать для изучения эффектов квантования в цифровых КИХ-
фильтрах, и даже в некоторых отношениях этот анализ для
КИХ-фильтров проще. В частности, при построении нерекурсив-
ных фильтров в прямой или каскадной форме отсутствуют эффек-
ты предельного цикла, так как эти структуры не имеют обратной
связи. Если импульсная характеристика имеет длину в N выбо-
рок, то выходной сигнал при построении нерекурсивного КИХ-
фильтра в прямой или каскадной форме должен быть равен нулю
после того, как на его вход поступит N последовательных вы-
борок. Однако для рекурсивных КИХ-систем и, в частности,
структур на основе частотной выборки характерны проблемы,
рассмотренные в § 9.3. В [19] показано, что анализ систем второ-
го порядка возможен при использовании метода частотной вы-
борки.
В КИХ-системах (так же, как и в БИХ-системах) важные во-
просы связаны с ограничением динамического диапазона и уров-
нем шума округления. Здесь мы рассмотрим некоторые из этих
вопросов применительно к построению систем в прямой или кас-
кадной форме с фиксированной и плавающей запятыми. Главная
цель состоит в том, чтобы на ряде простых примеров дать поня-
тия о некоторых эффектах квантования и общих результатах
при построении цифровых КИХ-фильтров.
9.4.1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ
Рассмотрим линейную инвариантную к сдвигу систему с
импульсной характеристикой h(n), имеющей ненулевые значения
для —1. Построение такой системы в прямой форме со-
ответствует непосредственному выполнению соотношения для
сверточной суммы
N—1
#(«) = 2ft(&)x(n—fe).
k«=0
На рис. 9.12а показан направленный граф построения системы в.
прямой форме, а на рис. 9.126— та же структура с включением
источников шума, характеризующих эффекты округления резуль-
татов умножения h(k)x(n—k). Постоянный коэффициент А вво-
дится для исключения возможности переполнения. При этом, как
ранее, предполагается, что
31&
1) источники ek(n) являются источниками белого шума;
2) ошибки равномерно распределены на каждом интервале
квантования;
Х(П)
Z
"h(0) h(J)
----А-*
Z-' z-!
-о _» о---
'h(Z) "h(3)
6-^———
а.)
г'
»—о
h(N-2) h(N-l)
—»—о—Р
У(П)
с входным сигналом
9,126 следует,
непосредственно
л/-1
что
на
дис-
Л z~7 с е а Z’7
W ^1(2) fyfoflhf/W)
S)
Рис. 9.12. Прямая форма построения КИХ-системы
с фиксированной запятой:
а) идеальная линейная система; б) статистическая
модель для шума округления
3) источники ошибок некоррелированны
и между собой.
Предположим, что 4 = 1. Тогда из рис.
шумы каждого из источников суммируются
выходе; в результате выходной шум равен f (п) = еъ (л)-
k=0
Так как источники шума полагались независимыми, то
Персия выходного шума (при округлении) имеет величину о2/=
=А'(2 2Ь/12), а среднее значение равно нулю. Отметим, что при
прямой форме построения уровень выходного шума не зависит от
параметров фильтра, поскольку шумы показанных источников не
обрабатываются фильтром. Отметим также, что уровень выход-
ного шума пропорционален длине N импульсной характеристики.
Ограничение динамического диапазона арифметического уст-
ройства с фиксированной запятой обусловливает необходимость
масштабирования входного сигнала для исключения переполне-
ния. Было показано (9.25), что наименьшей верхней границей
для выходного сигнала линейной инвариантной к сдвигу системы
является
•макс I h (^0 |>
где Хмакс — максимальная амплитуда входного сигнала. Отсут-
ствие переполнения гарантируется при условии для
всех п. Это означает, что входной масштабирующий коэффициент
А должен удовлетворять неравенству
/ / w—1 \
(9.66)
316
Такое масштабирование уместно для широкополосного сигнала
(типа белого шума), однако оно является чрезмерным в случае
узкополосного (например, синусоидального) сигнала. Было пока-
зано, что при узкополосном сигнале входная последовательность
должна нормироваться максимальным значением частотной ха-
рактеристики системы. Таким образом, другим вариантом выбора
входного масштабирующего коэффициента является
А <1/{хмакстах[| Н (е£ш)|]}. (9.67)
0«а<л
Необходимо отметить, что при использовании в арифметическом
устройстве дополнительного кода, когда количество суммируемых
чисел больше двух (как показано на рис. 9.12), могут происхо-
дить переполнения при вычислении промежуточных сумм; при
этом конечный результат будет верным, если его величина не
превосходит единицу. Поэтому использование маштабирования на
входе в соответствии с (9.66) будет всегда давать правильный
результат на выходе для прямой формы построения системы (за
исключением, конечно, шума округления).
Цифровой КИХ-фильтр можно построить на основе каскадно-
го соединения блоков второго порядка, как показано на рис.
9.13а, где Hh(z) определена прямой формой построения блоков,
ei(n) ег(п) ем(п)
S)
Рис. 9.13. Каскадная форма построения КИХ-
системы с фиксированной запятой:
а) идеальная линейная система; б) статисти-
ческая модель для шума округления
показанной на рис. 9.12а. Для удобства N полагается нечетным,
при этом M=(N—1)/2. Поскольку каждый блок второго порядка
имеет три независимых источника белого шума на выходе, то эф-
фекты квантования можно показать на рис. 9.136, где каждый
источник et(n) генерирует шум с дисперсной 3(2-2Ь/12) =2'2ь/4.
При такой форме построения шумы источника вк(п) будут филь-
троваться последующими блоками, при этом дисперсия выходно-
го шума будет зависеть от порядка размещения блоков в цепи.
Если обозначить через gi(n) импульсную характеристику от ис-
точника шума е,(п) до выхода, то
(N—21 \
2 - <9-68)
п=0 /
317
а общая дисперсия выходного шума
м ( м N—2i \
^=(2~2Ь/4) £ £ £?(«) • (9.69)
i=l \i=l п=0 /
В каскадной структуре для получения правильного конечного
результата необходимо исключить возможность переполнения на
выходе любого блока второго порядка. Таким образом, необходи-
мо вводить операцию масштабирования на входе каждого блока.
Как ранее отмечалось, такая операция использовалась в общем
случае при прямой форме построения системы.
Из (9.68) и (9.69) следует, что дисперсии выходных шумов
зависят от порядка размещения блоков. При наличии М блоков
существует Ml возможных вариантов их размещения и, очевид-
но, в случае больших М исчерпывающий поиск наилучшего ва-
рианта неосуществим. Тем не менее Чаном (Chan) и Рабинером
[20—22] на основе экспериментальных исследований фильтров
нижних частот было установлено, что для большинства вариан-
тов упорядочения размещения блоков обеспечивается приемле-
мый уровень шума. Кроме того, ими был дан алгоритм для выбо-
ра хорошего варианта упорядочения размещения блоков. Их ре-
зультаты показывают, что хорошим вариантом упорядочения
размещения блоков является тот, при котором частотная харак-
теристика переходной характеристики от каждого источника шу-
ма до выхода оказывается относительно плоской и ее максималь-
ная величина сравнительно небольшой.
9.4.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ
При использовании в цифровых КИХ-фильтрах арифметиче-
ского устройства с плавающей запятой по существу не возникает
проблема ограничения динамического диапазона. Это особенно
важно при реализации фильтра программным путем на универ-
сальной ЦВМ, когда главным условием является простота про-
граммирования, а не скорость вычислений. Однако высокая слож-
ность арифметического устройства с плавающей запятой часто не
может быть реализована при построении специализированных ус-
тройств, для которых фактор экономичности является основным.
Рассмотрим прямую форму построения КИХ-системы, пред-
ставленную на рис. 9.14а. На рис. 9.146 показана модель систе-
мы с учетом представления коэффициентов и переменных с огра-
ниченной точностью в арифметическом устройстве с плавающей
запятой. Коэффициенты [1+еЦп)] и [ 1 --х]к(п)] изменяются во
времени и характеризуют эффекты округления результатов ум-
ножения и сложения соответственно. Как и ранее, последователь-
ности eh(n) и т]й(п) предполагаются независимыми последова-
тельностями белого шума с равномерным распределением ам-
плитуд. В этом случае использование неинвариантной к сдвигу
318
модели системы приводит к более компактной системе уравнений,
чем при использовании инвариантной к сдвигу модели с источ-
никами аддитивного шума. Здесь приводится тот же анализ, ко-
z-1 - 2-1 -
°(nf Th?2) ThW ”'W'UfhfolTh(Н-1)
J J p^ew-i(n)
O-4j
. w(n)=y(n')ff(n)
Puc. 9.14. Прямая форма построения КИХ-
системы с плавающей запятой:
а) идеальная линейная система; б) статисти-
ческая модель для шума округления
торый использовался Лиу (Liu) и Канеко (Kaneko) [16] для изу-
чения прямой формы построения БИХ-систем на основе модели
этого типа. Выходной сигнал w(n) системы, показанной на рис.
9.14, равен
ZV-1
w(n) = [1 4- е0(га)] П 11 + Лг («)1h (°)х <n) +11 + ei (п)1 X
Г--1
х п\1 Н-Пг(«)1А(1)х(п—1)4- • • -+[1 + Мп)] X
Г=1
А'-1
х П [1 + Пг(«)IW)*(«—£)+ • • •+[l+ejV-1(n)] х
r=h
N-l
x[l+r\N_1(n)]h(N—].)x(n~N+ 1)= V A(n, k) x
й=0
xh(k)x(n—k), (9.70a)
где A(n, 0) = [l 4-s0(n)] П l1 +Пг(га)К (9.706)
r=I
N-l
A(n, /г) = [1+еНп)1Г1П +»1гШ &#=0. (9.70в)
r=k
Если предположить, что w (га) =у(п) +f(n), то из (9.70а) следу-
ет, что
N—1
f(fi) = 2H(n, k)— l\h(k)x(n—k). (9.71)
ь= с
319
Можно показать, что величина [А (п, k)—1] имеет нулевое сред-
нее значение, поэтому и выходной шум будет иметь нулевое сред-
нее. Общее выражение для дисперсии выходного шума имеет вид
'N-l w-i
а2 = Е[Р(п)]=Е S lA<n’ Z)-l] X
|_Л=0 z=o
N-l N—1
X х(п—k)x(n—l)h(k)h(l) -2 2 Е[[Л(п, k) — 1][Л(п. Z) —
k=0 1=0
-1W)WxxM (9.72)
Если на входе присутствует случайный сигнал с равномерной спек-
тральной плотностью мощности и дисперсией ег2^ то (9.72) можно
переписать так:
N—l N—1
о2 = а2 Л2 (k) Е [(Л (л, k) — I)2] = о2 J & [Л2 (/г’ W ~1>-
Й=0 fe=0
(9.73)
Из (9.706) и (9.70в) с учетом предположений, сделанных относи-
тельно величин Zk(ti) и v\k(n), следует, что
Е [Л2 (л, 0)] = [1 + ( 2-2b/3)]N; (9.74а)
Е [Л2 (л, £)] = [ 1 + ( 2-2bl3)]N+i~h, k=£0. (9.746)
Следует отметить, что (9.746) дает незначительную ошибку при
k=0. Кроме того, поскольку практически всегда 2~2Ь/3<^1, то
(9.746) при использовании биномиальной аппроксимации прини-
мает вид
К[Л2(п, £)] = 14-(W+1—&)(2~2г73). (9.75) ?
Поэтому дисперсия о2/ равна
2~2Ь
о2= (N + 1) о2 £ &(k) [1 ~{k/(N + 1))]. (9.76)
k=n
Отсюда следует ряд выводов. Во-первых, мощность выход-
ного шума (как и при фиксированной запятой) пропорциональна
/V. Во-вторых, видно, что
ZV-1
O2V^(fe){1-[W+1)]}<a2;
k=0
при этом отношение шум/сигнал на выходе, когда на входе при-
сутствует сигнал с равномерной спектральной плотностью мощно-
сти, ограничено величиной
^/о2<(У+ 1)(2-26/3). (9.77)
В заключение, ссылаясь на рис. 9.146, следует напомнить, что
320
вычисление произведений и накопление промежуточных резуль-
татов осуществлялось в порядке возрастания индекса k. Кроме
того, из (9.76) следует, что значения произведений, формируемых
первыми, больше других подвержены действию весового множи-
теля (1—^/(7V+ 1)).
Таким образом, минимальная дисперсия шума на выходе полу-
чается, когда импульсная характеристика удовлетворяет условию
|Л(0) | < |/i(l) | < ... <\h(N— 1) |. Как правило, это не выполняет-
ся. Однако при суммировании произведений в порядке возраста-
ния значений импульсной характеристики может быть получена
наименьшая средняя ошибка. Следует напомнить, что при постро-
ении фильтров с фиксированной запятой такая ошибка не зави-
сит от порядка суммирования. Выполнение умножений и образо-
вание частичных сумм, осуществляемых не в порядке прямой по-
следовательности, будет, как правило, приводить к дополнитель-
ному усложнению программы или аппаратуры. Однако это мо-
жет быть оправдано, когда необходима наивысшая точность.
Следует иметь в виду, что существуют и другие способы упоря-
дочения операций суммирования, также приводящие к уменьше-
нию шума на выходе.
9.5. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ РЕГИСТРОВ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ДИСКРЕТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [19, 24—26]
Поскольку дискретное преобразование Фурье (ДПФ) нахо-
дит широкое практическое применение в цифровой фильтрации и
спектральном анализе, важно проанализировать эффекты, возни-
кающие при вычислении ДПФ за счет конечной разрядности чи-
сел в регистрах. Точный анализ этого вопроса сложен, и часто
для выбора необходимого числа разрядов регистра достаточно
воспользоваться упрощенным методом анализа, который приво-
дится ниже. Этот метод аналогичен рассмотренному в предыду-
щих параграфах. В частности, ошибки округления, возникающие
в различных точках системы в соответствии с алгоритмом вычис-
ления, будут представлены соответствующими источниками адди-
тивного шума. Кроме того, вводится ряд предположений для
упрощения метода анализа. На основе полученных результатов
даются некоторые простые и полезные правила, справедливые
для большинства эффектов шумов округления. Анализ дается ца
примере операции округления. Однако (как и при анализе оши-
бок за счет, шумов округления для цифровых фильтров) получен-
ные результаты в общем случае могут быть модифицированы для
операции усечения в арифметических устройствах с фиксирован-
ной запятой при дополнительном коде и плавающей запятой при
обратном и прямом кодах.
В гл. 6 показано, что существует ряд методов вычисления
ДПФ. В этом параграфе сначала рассматриваются ошибки, воз-
никающие при прямом вычислении ДПФ, а затем анализируются
11—117 323
эффекты шумов округления на примере одного частного класса
алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).
9.5.1. АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ДПФ
Дискретное преобразование Фурье определяется равенством
АГ-1
k=°>1.........N—ь (9.78)
л=0
где WN=&~l(-2nlN)h. Несмотря на то что в общем случае (9.78) вы-
числяется на основе одного из алгоритмов (в совокупности из-
вестных, как алгоритмы БПФ), в ряде случаев (когда требуемое
k мало) наиболее рациональным подходом является прямое на-
копление произведений в выражении (9.78). Анализ процедуры
вычисления ДПФ в этом случае довольно прост и используется в
качестве основы для рассмотрения эффектов квантования.
Нетрудно видеть, что при заданном значении k (9.78) полно-
at— 1
стью аналогично выражению сверточной суммы у[п) = h (k) х(п —
—k), которая была подробно рассмотрена
ном случае величины W1'-"-
Ч?=7 1е(0,к)
—о——
й=0
ранее. В дан-
выполняют роль импульсной харак-
теристики, а X (k) их (п) — выход-
ной и входной последовательностей
соответственно. Следует учитывать,
что все эти величины в общем слу-
чае комплексные. Таким образом,
для прямого вычисления ДПФ мож-
но использовать метод анализа §9.4
с учетом того, что ошибки представ-
ляют собой комплексные последо-
вательности.
На рис. 9.15 показан один из ва-
риантов прямого вычисления X(k).
Здесь через X' (k) обозначен резуль-
тат вычисления X(k) с ограничен-
ной точностью и через F (k) — ошиб-
ка в определении /г-й величины.
Комплексные величины e(n, k)
представляют ошибки, обусловлен-
ные округлением произведений
x(n)WhnN. Может быть показано, что эти комплексные ошибки сум-
мируются на выходе. При этом
°—*—°—*
ц2* рад
х(г)о—* 6-—•-
• lefW-2,*) •
х(у-г)о'" *—о——<
, , 1^-1,к)
—о
Рис, 9.15. Статистическая модель
для шума округления при вычис-
лении ДПФ с фиксированной за-
пятой
F(k)=^e(n, k). (9.79)
п=0
Тогда произведение х(п) WhnN можно представить в виде
322
x(ri) Re [x(n)] cos knj + Im [x (n)] sin knj +
+ i |lm [x («)] cos knj — Re [x («)] sin knj| .
В случае ограниченной точности арифметического устройства с
фиксированной запятой результат округления рассмотренного
комплексного произведения можно представить в виде
Q [х (и) = Re [х («)] cos kn^ + ех (n, k) + Im [х (п)] х
X sin knj 4- е2 (л, k) + i Im [х (n)] cos kn\ + e3 (n, k) —
— i Re [x («)] sin + 84 (/t, k).
Это значит, что каждое действительное умножение создает ошиб-
ку округления*. Чтобы вычислить дисперсию ошибки X'(k), не-
обходимо сделать ряд предположений относительно ее отдельных
составляющих. В частности, предполагается, что ошибки, обус-
ловленные каждым действительным умножением: 1) представля-
ют собой случайные величины, равномерно распределенные на
интервале от —(1/2)2-ь до + (1/2)2-ь. Поэтому дисперсия ошиб-
ки каждого источника равна 2^2ь/12; 2) некоррелированы между
собой; 3) некоррелированны с входным сигналом и, следователь-
но, с выходным.
Среднее значение ошибки за счет операции округления при
комплексном умножении равно нулю. Так как квадрат комплек-
сной ошибки е(и, £), равен |е(л, £)|2=[si(h, й)+ё2(и, &)]2 +
+ [ез(«, А)+б4(га, &)]2, то среднее значение величины |е(п, £)|2
есть
Е[ | 8(n, k) |=] = 4 (2~2Ь/12)= (1/3) 2~2Ь. (9.80)
Среднее значение квадрата выходной ошибки равно
Е [| F (k) = 2 Е 8 12] =- (Л73> 2~2Ь- 0.81)
п=0
Как и при прямой форме построения КИХ-фильтра, здесь уро-
вень выходного шума пропорционален N**.
Как и при прямой форме построения КИХ-фильтра с фиксиро-
ванной запятой, при прямом вычислении ДПФ важной пробле-
мой является ограничение динамического диапазона. Из (9.78)
N— 1
следует, что |Х (k) | < х (n) | < N. Чтобы не происходило пере-
до
* Здесь предполагается, что коэффициенты WinN представлены точно. Эф-
фекты квантования этих коэффициентов рассмотрены в § 9.5.3.
** Необходимо отметить, что (9.81) является приближенной оценкой уровня
выходного шума, так как некоторые умножения (например, 1Уох) могут выпол-
няться без ошибки.
И’
323
полнения, необходимо выполнить условие |X(fe) | <1. Оно выпол-
няется, если
TV—1
2|x(«)]<L (9.82)
п=0
Таким образом, в наихудшем случае для предотвращения пере-
полнения можно разделить входной сигнал на N. Например,
последовательность х(п) = 1, 0 п N—1 имеет ДПФ
X ~ { o' k=£= о’С дРУг°й СТОРОНЫ> |-^(Л)| может быть меньше
единицы, даже если условие (9.82) не выполняется. Рассмотрим,
например, последовательность х(п)=А&(п), которая имеет ДПФ
X(k)=A для Q^k^N—1. Если А>0 и только немного меньше
единицы, то (9.82) не выполняется, однако |X(Jfe)|=A<l.
Существует ряд методов решения проблемы ограничения ди-
намического диапазона. Можно делить входной сигнал на N, од-
нако при этом растет выходное отношение шум/сигнал. Можно
использовать схемы с поблочно плавающей запятой, в которых в
случае переполнения производится деление на два. Можно ис-
пользовать также арифметическое устройство с плавающей за-
пятой, в котором принципиально исключена возможность пере-
полнения. Все эти способы будут в деталях проанализированы
на базе одного из классов алгоритмов БПФ. Будут также сдела-
ны выводы относительно ошибок, обусловленных квантованием
значений коэффициентов.
9.5.2. АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ В АЛГОРИТМАХ
БПФ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ [23]
Существует много различных алгоритмов БПФ, и, естествен-
но, эффекты квантования будут зависеть от конкретного вида
применяемого алгоритма. Наи-
Рис. 9.16. Направленный граф для
алгоритма БПФ с прореживанием
по времени
324
более часто используются алго-
ритмы с основанием 2, для ко-
торых величина вычисляемого
преобразования является це-
лым числом степени 2. Приво-
димое ниже рассуждение в сво-
ей большей части базируется на
алгоритме с основанием 2 и
прореживании во времени. Од-
нако результаты с небольшой
модификацией применимы для
алгоритма с прореживанием по
частоте. Кроме того, большин-
ство идей, используемых при
анализе ошибок алгоритмов с
основанием 2, можно приме-
нить в других алгоритмах.
Алгоритмы БПФ предназначены для вычисления X(k) ДПФ
бесконечной последовательности х(п), определяемой (9.78). На-
правленный граф, представляющий алгоритм с прореживанием
во времени для М=8=23, показан на рис. 9.16. (Построение этой
частной формы алгоритма было использовано в опубликованной
экспериментальной работе.) Эта диаграмма имеет ряд ключевых
аспектов, которые, как упоминалось в гл. 6, являются общими
для всех стандартных алгоритмов с основанием 2. Дискретное
преобразование Фурье вычисляется в течение v = log2yV этапов.
На каждом этапе формируется новый массив N чисел из преды-
дущего массива с помощью линейной комбинации элементов, от-
бираемых по два в данный момент времени. Требуемое ДПФ по-
лучается в v-м массиве. Базовая числовая операция выполняет-
ся над парой чисел в т-м массиве с тем, чтобы образовать пару
чисел в (т + 1)-м массиве. Эта операция, называемая «бабоч-
кой», выражается
х„+1(р)=х„<р)+ЦДХ,.(«М
(У»оо)
Xm+1(q)=Xm(p)-W'NXm(q).l
Здесь индексы т и т+1 относятся к т-му и (т+1)-му масси-
вам соответственно, а р и q обозначают положение чисел в каж-
дом массиве. (Отметим, что т=0 относится к входному массиву
и т=у — к выходному массиву.) Направленный граф, представ-
ляющий базовую операцию алгоритма БПФ («бабочку»), пока-
зан на рис. 9.17.
%т(Р. &
Рис. 9.17. Основная операция вы-
числения БПФ с прореживанием
по времени
Рис. 9.18. Статистическая
модель для шума округле-
ния при выполнении основ-
ной операции вычисления
БПФ с прореживанием по
времени при фиксированной
запятой
Форма базовой операции в алгоритме с основанием 2 и про-
реживанием по частоте несколько отличается от формы базовой
операции в алгоритме с прореживанием по времени; здесь базо-
вая операция представляет
Xm+1(p) = Xm(p) + Xn(q);
Xm+1(q) = [Xm\(p)-Xm(q)]WrN.
На каждом этапе выполняется N/2 базовых операций для обра-
зования следующего массива. Целое число г меняется при изме-
нении р. q я т в соответствии с конкретной формой пспользуемо-
325
(9.84)
го алгоритма БПФ. К счастью, наш анализ не связан с кон-
кретным способом изменения г. К тому же специфическое соотно-
шение между р, q и т, определяющее способ индексации в пг-м
массиве, для анализа не существенно. Детали анализа для ал-
горитмов с прореживанием по времени и по частоте несколько
отличаются из-за различных форм базовой операции, однако ос-
новные результаты изменяются незначительно. При анализе бу-
дем предполагать, что базовая операция имеет форму (9.83), со-
ответствующую прореживанию во времени.
Шум округления будем моделировать с помощью генератора
аддитивного шума, связанного с каждой операцией умножения с
фиксированной запятой. При этой модели для анализа эффектов
шума округления базовая операция алгоритма рис. 9.17 заменя-
ется базовой операцией алгоритма рис. 9.18. С помощью записи
s(m, q) ясно показано, что эта величина представляет собой ком-
плексную ошибку, возникающую при вычислении (т+1)-го мас-
сива из m-го массива, а именно при умножении q-ro элемента
m-го массива на комплексный коэффициент.
Поскольку будем предполагать, что входной величиной для
БПФ является комплексная последовательность, то каждое из
умножений оказывается комплексным и, таким образом, в дей-
ствительности состоит из четырех действительных умножений, вы-
полняемых точно так же, как было рассмотрено в предыдущем
параграфе. Снова предполагается, что
1) шум округления, возникающий при каждом действительном
умножении, равномерно распределен по амплитуде между
±(1./2)2'J и, таким образом, имеет дисперсию <т2е = (1/12)2~2Ь;
2) все источники шума, возникающие при каждом действи-
тельном умножении, некоррелированны друг с другом. Таким об-
разом, для любого заданного комплексного умножения четыре
составляющие шума некоррелированны друг с другом. Кроме то-
го, они некоррелированны с составляющими шума от других ком-
плексных умножений;
3) все источники шума некоррелированны с входным сигна-
лом и, следовательно, с результатами вычисления в каждом мас-
сиве.
Поскольку каждая из этих четырех последовательностей яв-
ляется некоррелированным белым шумом с нулевым средним
значением и все они имеют одинаковую дисперсию, то, как и
в (9.80), имеем
Е[\е(т, t?) |2] = (1/3) 2-2&. (9.85)
Эта дисперсия будет обозначена через о2в. При расчете средне-
квадратического значения выходного шума в любом выходном
узле должна быть учтена роль каждого источника шума, кото-
рый влияет на данный узел. Из рассмотрения направленного гра-
фа рис. 9.16 можно сделать следующие выводы:
1) в направленном графе функция передачи от одного узла к
любому другому, соединенному с ним, сводится к умножению на
326
комплексную константу единичной величины (так как передача
каждой ветви равна либо единице, либо целому числу степе-
ни 1ГЛ-) ;
2) в направленном графе каждый выходной узел соединяется
с 7=(N~ 1) базовыми операциями. Например, на рис. 9.19а по-
казан направленный граф с исключением всех базовых операций,
которые не соединяются с Х(0), а на рис. 9.196 — направленный
граф с исключением всех базовых операций, которые не соединя-
ются с Д(2).
Рис. 9.19. Базовые операции, влияющие на формирование:
а) Х(0); б) Л(2)
Указанные выше замечания можно обобщить на случай .V,
имеющего произвольную степень 2.
Как следствие первого замечания, среднеквадратическое зна-
чение уровня составляющей выходного шума, обусловленной каж-
дым из элементарных источников шума, является одинаковым и
равным о2в. Общий шум в каждом выходном узле равен сумме
шумов, поступающих к такому узлу. Поскольку предполагалось,
что все источники шума некоррелированные, среднеквадратичес-
кое значение уровня выходного шума равно а2 в, умноженной на
число, равное количеству источников шума, воздействующих на
этот узел. При каждой базовой операции вводится не больше од-
ного комплексного источника шума; следовательно, на основании
приведенного выше вывода 2 к каждому выходному узлу посту-
пают шумы не более чем от (Лг—1) источников. В действитель-
ности все базовые операции не создают шумов округления, по-
скольку некоторые (например, все те, которые используются на
первом и втором этапах) включают только умножение на едини-
цу. Однако если предположить, что шум округления возникает
при каждой базовой операции, то общий результат можно рас-
сматривать как верхнюю границу уровня выходного шума. С уче-
том этих предположений среднеквадратическое значение выход-
ного шума для k-й величины ДПФ — F(k) — определяется по
формуле
£[|/W)=(tf-l)a2, (9.86)
327
которую для больших .N можно аппроксимировать как
(9-87)
В соответствии с этим результатом среднеквадратическое значе-
ние выходного шума пропорционально N — количеству точек пре-
образования. Эффект удвоения N или добавления другого этапа
в БПФ выражается в удвоении среднеквадратического значения
выходного шума.
При выполнении алгоритма БПФ арифметическим устройст-
вом с фиксированной запятой должна быть полная уверенность в
отсутствии переполнения. Из (9.83) следует, что
rnax[|Xm(p)|, |Xm(Q) |]<rnax[|Xm+1(p)|, | Хт+1 (q) |], (9.88)
а также то, что
тах [|Хт+1 О’) |» |хт+Л<7)|] < 2тах [| Хт(р) |,) Хт(д) |]. (9.89)
В (9.88) подразумевается, что максимальные значения модулей
являются неубывающими от этапа к этапу; когда величина вы-
ходного сигнала БПФ становится меньше единицы, то величина
точек в каждом массиве должна быть меньше единицы *, т. е.
ни в одном из массивов не будет переполнения.
Чтобы выразить это ограничение в качестве граничного усло-
вия для входной последовательности, из предыдущего параграфа
напомним, что условие
| х(н) | <(1/Х), 1 (9.90)
является как необходимым, так и достаточным для гарантии
|X(fe) | <1, —1. Таким образом, условие (9.90) является
достаточным для гарантии отсутствия переполнения для всех
этапов алгоритма.
Чтобы получить точное выражение для отношения шум/сигнал
на выходе алгоритма БПФ с учетом необходимого масштабирова-
ния, рассмотрим входной сигнал, в котором последовательные
величины последовательности некоррелированны, т. е. входной
сигнал в виде белого шума. Предполагается также, что действи-
тельная и мнимая части входной последовательности некоррели-
рованны и что каждая из них имеет равномерную плотность ам-
плитуд на интервале между—[1/()/~2Х)] и + [ 1/(]/r2N) ]. [За-
метим, что этот сигнал удовлетворяет (9.90).] Тогда средний
квадрат модуля комплексной входной последовательности равен
£[|х(п)|2] = 1/(3№) = о2. (9.91)
* Действительно, можно было бы рассмотреть переполнение с помощью
действительной н мнимой частей данных, а не их величин. Однако | х | < 1 под-
разумевает, что |Re(x) |<1 и |1т(х)|<1, и только небольшое увеличение в до-
пустимом уровне сигнала достигается за счет масштабирования на базе Re и
Im частей.
328
Дискретное преобразование Фурье входной последовательности
N-1
равно X (k) = х (n) Wkn, из которого ясно, что с учетом сделан-
п=0
вых выше предположений относительно входного сигнала
Е [| X (k) р] = ^Е [| х (п) |2]1 Wkn |2 = N & = l/(3tf). (9.92)
А=0
Объединив (9.87) и (9.92), получим
Е [| F (k) |2]/£ [| X (k) ]2] = 3№ а2в = № 2~2Ь. (9.93)
Таким образом, в соответствии с результатом (9.93) выходное
отношение шум/сигнал пропорционально N2. Поскольку о2л про-
порциональна 2~2Ь, то (9.93) указывает, что отношение шум/сиг-
нал возрастает пропорционально N2 или одному разряду на каж-
дый этап. Это значит, что если N удваивается соответственно
прибавлению одного дополнительного этапа к БПФ, то для со-
хранения того же отношения шум/сигнал к длине регистра дол-
жен быть добавлен один разряд. Предположение о том, что вход-
ной сигнал является белым шумом, здесь, на самом деле, не кри-
тично. Для ряда других входных сигналов отношение шум/сиг-
нал также пропорционально №, только с другим коэффициентом
пропорциональности.
Выражение (9.89) допускает другую процедуру масштабиро-
вания. Поскольку максимальные значения модулей увеличивают-
ся от этапа к этапу не более чем в 2 раза, то переполнения мож-
но избежать, потребовав, чтобы \х(п) [<1, и вводя ослабление
входного сигнала на 1/2 на каждом этапе. В этом случае выход
будет состоять не из ДПФ, определяемого (9.78), а из этого
ДПФ, умноженного на 1/N. Хотя среднеквадратическое значение
выходного сигнала будет в 1/N раз меньше, чем при отсутствии
масштабирования, амплитуда входного сигнала может быть в
N раз больше без переполнения. Таким образом, максимально
достижимая амплитуда выходного сиг-
нала (при входном воздействии в виде
белого шума) остается той же, что и
ранее. Однако уровень выходного шу-
ма будет много меньше, чем в (9.87),
поскольку шум, возникающий на более
ранних этапах вычисления БПФ, бу-
дет ослаблен за счет масштабирова-
• ния, используемого для последующих
массивов. А именно, при введении мас-
штабирующего множителя 1/2 на вхо-
де каждой базовой операции можно
модифицировать базовую операцию
рис. 9.18, как показано на рис. 9.20,
Рис. 9.20. Базовая операция с
использованием масштабирую-
щих умножителей и сопутст-
вующим шумом округления
при фиксированной запятой
329
где с каждой базовой операцией теперь связаны два источника шу-
ма. Как и ранее, предполагается, что действительная и мнимая ча-
сти этих источников шума некоррелированы между собой, а также
с другими источниками шума и что действительные и мнимые ча-
сти равномерно распределены на интервале между ± (1/2)2-ь. Та-
ким образом, как и раньше,
Е[\г(т, q)^]^a2B = m-2-2b^E[\e(m, р) |2].
Так как все источники шума некоррелированные, среднеквадра-
тическое значение уровня выходного шума в каждом узле по-
прежнему равно сумме составляющих каждого источника шума
в направленном графе. Однако в противоположность предыдуще-
му случаю ослабление шума каждого источника при прохожде-
нии через направленный граф зависит от массива, в котором он
возник. Шумы источника, возникающие в т-м массиве, будут
при распространении до выхода умножены на комплексный ко-
эффициент с величиной (l/2)v-m-1. Из рис. 9.16 видно, что при
N=8 каждый выходной узел соединяется с: 1) базовой операци-
ей, создаваемой (v—1)-м массивом; 2) базовыми операциями,
создаваемыми (у—2)-м массивом; 3) (v—3)-м массивом и т. д.
В общем случае при N=2V каждый выходной узел соединяет-
ся с базовыми операциями и поэтому с 2<v-m> источника-
ми шума, возникающими в т-м массиве. Таким образом, в каж-
дом выходном узле среднеквадратическое значение уровня шума
равно
V—1 z I ,(2v—2m—2) V~1 / , ,(v—m—2)
m=0 ' m=0 '
При больших У будем предполагать, что (l/2)v пренебрежимо
мала по сравнению с единицей, поэтому
f [| F (^) |2] s 4ощ = (4/3) • 2-2Ь (9.95)
и, таким образом, много меньше результирующей дисперсии шу-
ма, когда для всех входных данных применяется масштабирова-
ние.
Теперь можно объединить (9.95) с (9.92) для получения от-
ношения шум/сигнал в случае поэтапного масштабирования и
белого шума на входе. Получим
E[\F(k)\2]/E[\X(k)\2] = [2No2B = 4N-2~2b, (9.96)
где результат пропорционален N, а не N2. Объяснение того фак-
та, что в (9.96) выходное отношение шум/сигнал возрастает про-
порционально N или половине разряда на каждый этап вычис-
ления, было впервые дано Уэлчем [23]. Важно снова подчерк-
330
нуть несущественность предположения о том, что сигнал являет-
ся белым шумом. Основной результат об увеличении на половину
разряда длины регистра на каждый этап вычисления справедлив
для широкого класса сигналов, при этом только множитель на
константу в (9.96) будет зависеть от свойств сигнала.
Необходимо также отметить, что множитель числителя, обус-
ловливающий увеличение отношения шум/сигнал с увеличением
N, эквивалентен уменьшению уровня сигнала (требуемому для
исключения переполнения) по мере выполнения этапов вычисле-
ния. В соответствии с (9.95) очень небольшой шум (только один
или два разряда) присутствует в конечном массиве. Большая
часть шума была устранена при масштабировании.
В проводимом ранее обсуждении предполагался прямой поря-
док вычисления с фиксированной запятой, т. е. были возможны
только предварительно установленные ослабления и не допуска-
лось изменение масштабирования путем проверки на переполне-
ние. Очевидно, что если возможности аппаратурного или про-
граммного выполнения таковы, что должен использоваться пря-
мой метод вычисления с фиксированной запятой, то следует, по
возможности, вводить аттенюаторы с ослаблением на 1/2 в каж-
дый массив, а не использовать большое ослабление во входном
массиве.
Третий способ для устранения переполнения заключается в
использовании поблочно плавающей запятой. В этой процедуре
исходный массив нормируется до крайнего слева слова ЦВМ с
учетом ограничения |х(п)| <1. Вычисление выполняется по ме-
тоду с фиксированной запятой, за исключением того, что после
каждого сложения производится проверка на переполнение. Ес-
ли обнаруживается переполнение, то весь массив делится на 2 и
вычисление продолжается. Для определения масштабирующего
множителя или порядка для всего выходного массива произво-
дится подсчет необходимого количества сдвигов. Выходное отно-
шение шум/сигнал в сильной степени зависит от того, на каком
этапе вычисления произошли переполнения и от их числа. Место
и время возникновения переполнений определяются преобразуе-
мым сигналом и, таким образом, для анализа отношения
шум/сигнал при выполнении БПФ с поблочно плавающей запя-
той необходимо знать свойства входного сигнала.
Как мы видели, можно найти входной сигнал, для которого
не требуется масштабирование, а также входной сигнал, для ко-
торого требуется деление на N для предотвращения переполне-
ния. Можно ожидать, что случай входного белого шума является
примером входного сигнала, находящегося где-то посередине
между этими двумя крайними вариантами, т. е. масштабирование
на всех этапах вычисления может в общем случае не потребо-
ваться. Этот случай был проанализирован теоретически [19], од-
нако его анализ является довольно сложным и здесь не приве-
ден. Вместо этого представлены некоторые экспериментальные
результаты.
331
На рис. 9.21 представлена зависимость выходного отношения
шум/сигнал от N. На этом рисунке показаны экспериментально
измеренные величины выходного отношения шум/сигнал для пре-
образований с поблочно плавающей запятой входного белого
шума при использовании в арифметическом устройстве операции
г _ теория
: о Эксперимент (округление)
□ Эксперимент (усечение)
□
"тая) а™'Поблочно плавающая
□ ' запятая
О Ь----1---—1------1----'---1---’---
8 76 J2 64 128 256 512 7024 2(748
Р
Рис. 9.21. Экспериментальные и теоретические
зависимости выходного отношения шум/сиг-
нал от N при вычислении БПФ с поблочно
плавающей запятой
округления [26]. Для сравнения также показана теоретическая
кривая, представляющая согласно (9.96) отношение шум/сигнал
при фиксированной запятой. Видно, что для этого типа входного
сигнала использование поблочно плавающей запятой дает неко-
торые преимущества по сравнению с фиксированной запятой, осо-
бенно при больших преобразованиях. Для /V=2048 отношение
шум/сигнал при поблочно плавающей запятой составляет 1/8 от
отношения шум/сигнал при фиксированной запятой, что характе-
ризует улучшение на 3 разряда. Вайнштейном (Weinstein)' [26]
были проведены экспериментальные исследования для проверки
того, как изменятся результаты для поблочно плавающей запя-
той, когда вместо округления используется усечение. Результаты
этого эксперимента также показаны на рис. 9.21. При этом отно-
шение шум/сигнал, как правило, немного хуже, чем для округле-
ния. Скорость возрастания отношения шум/сигнал с увеличением
N представляется примерно такой же, как и при округлении.
9.5.3. АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ В АЛГОРИТМАХ
БПФ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ
Эффекты округления в арифметическом устройстве при
выполнении БПФ с плавающей запятой были теоретически и эк-
спериментально проанализированы Джентлменом (Gentleman) и
Сэндом (Sande) [24], Вайнштейном [26] и Канеко и Лиу [25].
Как и в случае анализа шумов округления в арифметическом ус-
тройстве с фиксированной запятой, шумы возникают при выпол-
нении каждой базовой операции. Как и при рассмотрении оши-
332
бок в цифровых фильтрах с плавающей запятой, здесь не учиты-
ваются составляющие ошибки второго порядка, так что источни-
ки шума вводятся после каждого умножения и сложения. Эти ис-
точники шума предполагаются некоррелированными с дисперси-
ей, пропорциональной дисперсии сигнала в узле. Канеко и Лиу
получили подробные формулы для обобщенной статистической
модели входного сигнала. Однако если предположить, что вход-
ное воздействие не является белым шумом, то анализ и резуль-
таты оказываются довольно сложными. Поэтому, чтобы показать
природу шума округления при выполнении алгоритма БПФ с
плавающей запятой, будет рассмотрен случай входных сигналов
в виде белого шума. На рис. 9.22 показана верхняя половина ти-
Рис. 9.22. Базовая операция в арифметическом
устройстве с плавающей запятой с включением ис-
точников шума
повой базовой операции, содержащей действительные источники
шума q), ..., е8 (т, q), обусловленные четырьмя действи-
тельными умножениями и четырьмя действительными сло-
жениями. Комплексный шум на выходе базовой опера-
ции равен s(m, р)=и(т, p)+iv(m, р). В соответствии с
рассмотренными ранее моделями источников шума при плаваю-
щей запятой 61 (т, q), ..., eXm, q) можно выразить в виде
ei(m, p) = e1(m, ^)Re[r^]Re[Xm^)];
(m, q) = —б2 (m, q) Im [Г^] Im [Хт (<?)];
е3{т, q) = e3(m, q) Re Хт (<?)];
e4(m, g)=e4(m, <?) {Re [Xm (р)]+ Re [№^Xm(g)]}.
Подобные выражения можно записать для е5, ев, е7 и е8. Предпо-
лагается, что все источники белого шума &i(tn, q) некоррелиро-
333
ванны друг с другом и имеют одинаковую дисперсию, которая
будет обозначена через а2е. Кроме того, поскольку входной сиг-
нал является белым шумом с одинаковыми дисперсиями действи-
тельной и мнимой частей, то действительные и мнимые части сиг-
налов в каждом массиве являются компонентами белого шума с
одинаковыми дисперсиями. Таким образом,
Е [(Re [Хт (?)])2] = Е [(Im [Xm to)])2] = (1/2) Е [| Хт (q) |2]. (9.98)
Из (9.97) и (9.98) следует, что
+ °2е, = < = (1/2) Е [| Хт (q) I2],
^=^,=Ое2^[|^(0|2].
Тогда среднеквадратические значения и(т, р) и v(m, р) равны
£[(у(т, р))2] = Е [(и (т, р))2] = 2a2E[Xm to)],
так что среднеквадратическое значение выходного шума ком-
плексного источника s(m, р) равно E[|s(m, р) |2] = 4о2еЕ[|Хтх
<X(q) |2]. Таким образом, дисперсия шума, возникающего при
вычислении (т+1)-го массива, в 4ст2е раз больше среднеквадра-
тического значения сигнала в т-м массиве. Если входной (ну-
левой) массив является белым шумом со среднеквадратическим
значением Е[ |х(п) |2], то шум, возникающий при вычислении
(m-J-l)-ro массива, равен 2тЕ[|х(/г) |2] (4о2е). Как и ранее, каж-
дый выходной узел соединяется с 2<v-m-1) базовыми операциями,
которые формируются в т-м массиве, и, таким образом, с
2(v-m-i) источниками шума, которые образуются в (т+1)-м мас-
сиве. Шум от каждого из этих источников распространяется до
выхода с умножением на комплексную константу единичной ве-
личины. Таким образом, среднеквадратическое значение выходно-
го шума равно
V—1
Е [| F (k) |2] = £ 2т Е [| х (п) |2] (4а2) =
zn=0
V—1
= J(X/2)E[|x(n)|2](4o2)==2vXo2E[|xto)|2]. (9.99)
m=0
Среднеквадратическое значение выходного сигнала равно
Е[|Х(Е9 |2] =Е[\Х(п) |2]Х, и, таким образом, выходное отноше-
ние шум/сигнал равно
E[\F(k)\^]lE[\X(k)\^]=2v^. (9.100)
Из (9.100) видно, что отношение шум/сигнал пропорционально v,
тогда как в случае фиксированной запятой оно было пропорцио-
нально N = 2V. Поскольку о2е пропорциональна 2~2Ь, то учетвере-
ние v (т. е. возведение N в четвертую степень) приводит в резуль-
тате к увеличению отношения шум/сигнал примерно на один раз-
ряд. Таким образом, как и ожидалось, увеличение отношения
334
шум/сигнал как функции от ТУ в случае плавающей запятой ока-
зывается значительно меньше, чем при фиксированной запятой.
В анализе, при выводе (9.100), не учитывался тот факт, что
умножения на единицу могут быть выполнены без образования
шумов. Для частного алгоритма с основанием 2, такого, как ал-
горитм с прореживанием во времени, показанного на рис. 9.16,
эти уменьшенные дисперсии для WZr!V=l и i могут быть введены
в модель сигнала для получения несколько меньшего предска-
занного значения выходного отношения шум/сигнал. Однако для
умеренно больших N этот модифицированный анализ дает ско-
рее лишь несколько лучшее ожидаемое значение выходного шу-
ма, чем упрощает рассмотренный ранее анализ.
Рассмотренные ранее результаты были подтверждены Вайн-
штейном [26] и, как показано на рис. 9.23, хорошо согласовались
Рис. 9.23. Экспериментальные и
теоретические зависимости отно-
шения шум/сигнал от v при вы-
числении БПФ с плавающей за-
пятой:
--------теория (упрощенный ана-
лиз) ; - теория (модифици-
рованный анализ); О эксперимент
(округление по случайному зако-
ну) ; □ эксперимент (неслучайное
округление); -------аппрокси-
мирующая кривая
Рис. 9.24. Ошибки, обусловлен-
ные квантованием коэффици-
ентов при вычислении БПФ:
------ теория (с фиксирован-
ной запятой); О эксперимент
(с фиксированной запятой);
• эксперимент (с плавающей
запятой)
с теорией. Чтобы получить это совпадение результатов, необходи-
мо было, однако, использовать случайную процедуру округления,
т. е. производить округление случайным образом до старшего или
младшего разряда, когда величина мантиссы была точно равна
(1/2) -2~ь. Показанная теоретическая кривая была получена мо-
335
дифицированным методом, где учитывались уменьшенные диспер-
сии источников шума для Wr~l и Wr—i. Показаны также экспе-
риментальные результаты для неслучайного округления. Эти ре-
зультаты сравнивались с эмпирической кривой вида av2, однако
эта квадратичная зависимость не была подтверждена теорети-
чески.
Настоящее обсуждение и все рассмотренные ранее экспери-
менты применимы в случае сигнала в виде белого шума. Некото-
рое экспериментальное исследование было проведено для провер-
ки справедливости ожидаемых результатов в других случаях. А
именно, на примере шума, вводимого в алгоритм вычисления
БПФ для синусоидальных сигналов нескольких частот, для v=
= 8, 9, 10 и 11. Результаты, усредненные по всем использованным
частотам входных сигналов, были в пределах 15% от значений,
предсказываемых формулой (9.100). В этих экспериментах ис-
пользовалась «случайная» процедура округления.
9.5.4. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
В АЛГОРИТМАХ БПФ
Как и при построении цифровых фильтров, при вычислении
алгоритма быстрого преобразования Фурье необходимо исполь-
зовать квантованные коэффициенты. Хотя квантованные коэффи-
циенты по существу не обладают статистическими свойствами,
Вайнштейн [26] получил несколько полезных результатов с по-
мощью приближенного статистического анализа. При этом ана-
лизе к каждому коэффициенту прибавляется «дрожание», т. е.
каждый коэффициент заменяется его истинной величиной плюс
последовательность белого шума. Несмотря на то что детальный
эффект ошибки коэффициента за счет квантования отличается от
эффекта за счет «дрожания», разумно ожидать, что в общем
смысле величины этих ошибок являются сопоставимыми. Полу-
ченный результат показывает, что выходное отношение средне-
квадратических значений ошибки и сигнала равно (v/6)-2~2b.
Несмотря на то что это отношение не обеспечивает предска-
зания ошибки с высокой точностью в алгоритме БПФ из-за кван-
тования коэффициента, оно полезно в качестве приближенной
оценки ошибки. Основной результат, который был проверен экс-
периментально, заключается в том, что отношение ошибка/сигнал
увеличивается очень незначительно с ростом N, будучи пропорци-
ональным v=log2X, так что увеличение N вдвое приводит лишь
к незначительному увеличению этого отношения.
Экспериментальные результаты представлены на рис. 9,24;
величины на графике даны в единицах 2~2Ь, умноженных на вы-
ходное отношение среднеквадратических значений ошибки и сиг-
нала. Экспериментальные результаты в общем случае располага-
ются ниже теоретической кривой и отличаются от теоретических
на множитель, не превышающий 2. Поскольку множитель 2 в от-
ношении ошибка/сигнал соответствует различию в выходной
336
ошибке только на половину разряда, то представляется, что та-
кой анализ дает приемлемую оценку влияния ошибок коэффици-
ентов. Экспериментальные результаты представляются по суще-
ству линейно возрастающими с увеличением v, однако с мень-
шим наклоном, чем это определено анализом.
В вышеприведенных экспериментах предполагалось арифме-
тическое устройство с фиксированной запятой. Однако, посколь-
ку в БПФ с поблочно плавающей запятой будут, как правило,
использоваться коэффициенты с фиксированной запятой, то эти
результаты также действительны для случая с поблочно плаваю-
щей запятой. При некоторых незначительных модификациях мож-
но получить подобные результаты для случая плавающей запя-
той. За исключением постоянного множителя, результаты при
плавающей и при фиксированной запятых совпадают. Экспери-
ментальные результаты для плавающей запятой располагают-
ся несколько ниже результатов для случая с фиксированной
запятой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе были проанализированы некоторые эффекты
использования арифметического устройства с ограниченной точ-
ностью при выполнении алгоритмов цифровой фильтрации и бы-
строго преобразования Фурье. Основная тема обсуждения была
посвящена противоречию между желанием получить точное кван-
тование и большой динамический диапазон при сохранении фик-
сированного числа разрядов регистра. Количество разрядов ре-
гистра является экономическим фактором при аппаратурной ре-
ализации, а при программном выполнении оно определено харак-
теристиками имеющейся в распоряжении универсальной ЦВМ.
Таким образом, очень важно понять эффекты квантования в при-
ложениях цифровой обработки сигналов.
Рассмотрение эффектов конечной разрядности регистров бы-
ло начато с обсуждения различных способов представления чи-
сел, которые обычно используются при выполнении алгоритмов
цифровой обработки сигналов. Затем были рассмотрены алгорит-
мы цифровой фильтрации и БПФ. Основная задача состояла в
том, чтобы обратить внимание на некоторые из проблем, кото-
рые возникают при использовании арифметического устройства с
ограниченной точностью, и продемонстрировать метод анализа,
который можно с успехом применить в специфических задачах
квантования в алгоритмах цифровой обработки сигналов.
Из иллюстративных примеров, которые составляют основу
этой главы, следует ряд общих принципов и выводов. Было проде-
монстрировано, например, существование предельных циклов низ-
кого уровня при рекурсивном построении цифровых БИХ-фильт-
ров и даны некоторые простые формулы для прогнозирования их
величины. Для более сложных входных сигналов было показано,
как на основе статистического анализа можно получить информа-
337
тивные оценки эффектов квантования как в алгоритмах цифровой
обработки сигналов, так и БПФ с помощью отношений шум/сиг-
нал. Были рассмотрены построения БИХ-фильтров, КИХ-фильтров
и алгоритмов БПФ как с фиксированной, так и с плавающей за-
пятой. Основной вывод состоит в том, что при построениях как с
фиксированной, так и с плавающей запятой эффекты квантования
зависят в сильной мере от формы или структуры, выбранной для
реализации конкретного алгоритма обработки сигналов. Также бы-
ло установлено, что эффекты квантования при построении с фик-
сированной запятой зависят от свойств входных данных, тогда как
при плавающей запятой это, как правило, не имеет места.
В главе рассмотрен метод анализа, который можно применить
для изучения эффектов квантования во множестве алгоритмов
цифровой обработки сигналов. Статистические методы хорошо раз-
работаны и широко используются во многих областях, включая
цифровую обработку сигналов. Таким образом, в этой главе даны
предположения и аппроксимации, которые обычно используются
при изучении эффектов квантования. Методы анализа шумов про-
иллюстрированы также в обзорных работах Лиу [27] и Оппенгей-
ма и Вайнштейна [28].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. I. Flores. «The Logic of Computer Arithmetic», Prentice-Hall, Inc. Englewood
Cliffs, N. J., 1963.
2. W. R. Bennett. «Spectra of Quantized Signals», Bell System Tech. J., Vol. 27,
1948, p. 446—472.
3. B. Widrow. «А Study of Rough Amplitude Quantization by Means of Nyquist
Sampling Theory», IRE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-3, Dec. 1956, p. 266—
276.
4. B. Widrow. «Statistical Analysis of Amplitude-Quantized Sampled—Data Sys-
tems», AIEE Trans. (Appl. Indust.), Vol. 81, Jan. 1961, p. 555—568.
5. L. Jackson. «Ап Analysis of Limit Cycles Due to Multiplication Rounding in
Recursive Digital Filters», in Proc. 7th Allerton Conf. Circuit System Theory,.
1969, p. 69—78.
6. L. B. Jackson. «An Analysis of Roundoff Noise in Digital Filters», Sc. D. Dis-
sertation, Departament of Electrical Engineering, Stevens Institute of Techno-
logy, 1969.
7. A. R. Parker and S. F. Hess. «Limit-Cycle Oscillations in Digital Filters»,
IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-8, Nov. 1971, p. 687—697.
8. I. W. Sandberg. «А Theorem Concerning Limit Cycles in Digital Filters», in
Proc. 7th Annual Allerton Conf. Circuit System Theory, 1968, p. 63—68.
9. I. W. Sandberg and J. E. Kaiser. «А Bound on Limit Cycles in Fixed-Point
Implementations of Digital Filters», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol.
AU-20, No. 2, June 1972, p. 110—112.
10. C. Y. Kao. «An Analysis of Limit Cycles Due to Sign-Magnitude Truncation
in Multiplication in Recursive Digital Filters», Proc. 5th Ansilomar Conf.
Circuits Systems, 1971.
11. R. B. Blackman. «Linear Data-Smoothing and Prediction in Theory and
Practice», Addison-Wecley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, 1965.
12. P. M. Ebert, J. E. Mazo and M. C. Taylor. «Overflow Oscillations in Digital
Filters», Bell System Tech. J., Vol. 48, 1969, p. 2999—3020.
13. L. B. Jyckson. «On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamic Range in
Digital Filters», Bell System Tech. J., Vol. 49, 1970, p. 159—184.
14. L. B. Jackson. «Roundoff-Noise Analysis for Fixed-Point Digital Filters
338
Realized in Cascade of Parallel Form», IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
Vol. AU-18, June 1970, p. 107—122.
15. E. P. F. Kan and J. K. Aggarwal. «Error Analysis of Digital Filter Employing
Floating-Point Arithmetic». IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-18, Nov. 1971,
p. 678—686.
16. Лиу Б., Канеко T. Анализ погрешностей цифровых фильтров, реализуемых
арифметическими операциями с плавающей запятой. ТИИЭР, 1969, т. 57,
№ 10, с. 49—63.
17. I. W. Sandberg. «Floating-Point-Roundoff Accumulation in Digital Filter
Realization», Bell System Tech. J„ Vol. 46, Oct. 1967, p. 1775—1791.
18. Вайнштейн, Оппенгейм А. Сравнение шумов округления цифровых фильтров
при их реализации по методу с плавающей запятой и по методу с фиксиро-
ванной запятой. ТИИЭР, 1969, т. 57, № 7, с. 72—74.
19. С. J. Weinstein. «Quantization Effects in Digital Filters», MIT Lincoln Lab.
Tech. Rept. 468, ASTIA DOC. DDC AD-706862, Nov. 21, 1969.
20. D. S. K. Chan and L. R. Rabiner. «Analysis of Quantization Errors in the
Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters», IEEE Trans. Audio
Electroacoust., Vol. AU-21, No. 4, Aug. 1973, p. 354—366.
21. D. S. K. Chan and L. R. Rabiner. «Theory of Roundoff Noise in Cascade
Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters», Bell System Tech.
J., Vol. 52, No. 3, Mar. 1973, p. 329—345.
22. D. S. K. Chan, L. R. Rabiner. «An Algorithm for Minimizing Roundoff Noise
in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters», Bell Sys-
tem Tech. J., Vol. 52, No. 3, Mar. 1973, p. 347—385.
23. P. D. Welch. «А Fixed-Point Fast Fourier Transform Error Analysis», IEEE
Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-17, June 1969, p. 153—157.
24. W. M. Gentleman and G. Sande. «Fast Fourier Transforms — for Fun and
Profit», in Proc. 1966 Fall Joint Computer Conf., AFIPS Conf. Proc., Vol. 29,
pp. 563—578, Spartan Books, Washington, D. C., 1966.
25. T. Kaneko and B. Liu. «Accumulation of Roundoff Error in Fast Fourier
Transforms», J. Assoc. Comput. Mach., Vol. 17, Oct. 1970, p. 637—654.
26. C. J. Weinstein. «Roundoff Noise in Floating Point Fast Fourier Transform
Computation», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-17, Sept. 1969,
p. 209—215.
27. B. Liu. «Effect of Finite Word Length on the Accuracy of Digital Filters —
A Review», IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-18, Nov. 1971, p. 670—677.
28. Оппенгейм А., Вайнштейн. Влияние конечной длины регистра при цифровой
фильтрации и быстром преобразовании Фурье. ТИИЭР, 1972, т. 60, № 8,
с. 41—65.
29. А. V. Oppenheim. «Realization of Digital Filters Using Block—Floating-Point
Arithmetic», IEEE Trans. Audio Electroacoust. Vol. AU-18, Jan. 1970,
p. 130—136.
Глава 10.
Гомоморфная обработка сигналов
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах было дано математическое представ-
ление дискретных сигналов и систем. Наше внимание было сосре-
доточено, главным образом, на линейных инвариантных к сдвигу
системах, причем приложениям не уделялось большого внимания.
Суть содержания этой главы состоит в том, чтобы представить
один класс методов нелинейной обработки сигналов. Анализ этих
методов будет в значительной степени основываться на материале
339
предыдущих глав. Кроме того, эти методы нашли применение в
таких областях, как улучшение изображений, анализ речи, сейс-
мические исследования.
Класс систем, который будет рассматриваться, является обоб-
щением класса линейных систем. Линейные инвариантные к сдви-
гу системы важны, так как они сравнительно просты для анализа
и удобны для математического представления. Поэтому имеется
возможность синтезировать линейные инвариантные к сдвигу си-
стемы, выполняющие ряд полезных функций при обработке сигна-
лов. Например, если имеется сигнал, являющийся суммой двух
компонент, которые при преобразовании Фурье занимают различ-
ные частотные диапазоны, то эти две компоненты можно разделить
с помощью линейного фильтра. Тот факт, что линейные системы
сравнительно просто анализируются и удобны для разделения ад-
дитивных сигналов, является прямым следствием принципа супер-
позиции, который и определяет класс линейных систем. Это при-
водит нас к рассмотрению классов нелинейных систем, которые
подчиняются обобщенному принципу суперпозиции. Такие системы
представляются линейными преобразованиями векторных прост-
ранств и поэтому называются гомоморфными системами.
В этой главе будет дано краткое введение в общую теорию
гомоморфных систем, а затем детально рассмотрены два класса го-
моморфных систем, которые специально приспособлены для обра-
ботки сигналов, объединенных посредством умножения и свертки.
Именно для этих двух классов успешно применена теория гомо-
морфных систем. Обобщенный принцип суперпозиции в этих слу-
чаях можно использовать точно так же, как и в линейных систе-
мах. Кроме того, убедимся, что в действительности задача синтеза
гомоморфных систем для умножения и свертки сводится к задаче
синтеза линейной системы.
10.1. ОБОБЩЕННАЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ
Принцип суперпозиции в том виде, как он сформулирован для
линейных систем, состоит в том, что если Т — преобразование сиг-
нала, производимое системой, то для любых двух входных сигна-
лов Xi (п) и Хг(п) и любого скаляра с
Т [хх («) + х2 (n)] = Т [хх (п)] + Т [х2 (п)] (10.1а)
и Т [cxj (п)]= сТ [xt(n)]. (10.16
Чтобы сформулировать этот принцип в общем виде, обозначим че-
рез □ правило объединения входных сигналов друг с другом (напри-
мер, сложение, умножение, свертку и т. д.), а через : — правило для
объединения входных сигналов со скалярами. Аналогично будем
обозначать знаком О правило объединения выходных сигналов
системы и знаком о правило объединения выходных сигналов со
скалярами. Тогда, обозначая через Н преобразование, осуществля-
340
емое системой, обобщим выражения (10.1), потребовав, чтобы вы-
полнялись соотношения
Н [х, (п) □ х2 (п)] = Н [х, (п)] О Н [х2 (п)] (10.2а)
и
Я[с:х1(п)] = с U Я[хх(п)]. (10.2б>
О таких системах говорят, что они подчиняются обобщенному
принципу суперпозиции со входной операцией □ и выходной опера-
цией О. На рис. 10.1 дано изображение такой системы. Ясно, что
Н
Рис. 10.1. Представление гомоморф-
ных систем со входной операцией □,
выходной операцией О и преобразо-
ванием, осуществляемым системой
Н[ ]
Рис. 10.2. Каноническое представление
гомоморфных систем
линейные системы являются частным случаем, для которого □ и О
являются сложением, а : и о — умножением. Математическое опи-
сание систем такого вида дает теория линейных векторных про-
странств. Если входные и выходные сигналы системы трактовать-
как векторы в векторных пространствах, сложение в которых про-
изводится по правилам □ и О, а умножение на скаляры по пра-
вилам : и о, то преобразование, осуществляемое системой, явля-
ется линейным преобразованием векторного пространства входных
сигналов в векторное пространство выходных сигналов.
Для использования теории линейных векторных пространств
необходимо, чтобы входные и выходные операции удовлетворяли
аксиомам сложения и умножения н.а скаляр. Это означает, напри-
мер, что операции □ и О должны быть коммутативными и ассо-
циативными, т. е.
М (п) □ х2 (п) = х2 (п) □ Xi (п), 1 (1()
yi(n)Qy2(n)=y.i(n)Q)y1(ii) J
и Xi (п) □ [х2 (п) □ х3 (п)] = [хх (п) □ х2 (п)] □ х3 (п), |
У1 («) О 1Уъ («) О Уз («) О Уз («)] О Уз («)- I
Определение соответствующих векторных пространств и их пре-
образований включает ряд математических деталей, в которые мы
не будем вдаваться (см. [1, 2]). Мы просто опишем основной ре-
зультат, полученный при применении теории векторных прост-
ранств к системам, удовлетворяющим обобщенному принципу су-
перпозиции.
Можно показать, что если входные сигналы системы образуют
векторное пространство со сложением □ и умножением на ска-
341
ляр:, а выходные сигналы системы образуют векторное прост-
ранство со сложением О и умножением на скаляр то все систе-
мы этого класса могут быть представлены в виде каскадного сое-
динения трех систем, как показано на рис. 10.2. Эта каскадная
форма называется каноническим представлением гомоморфных си-
стем. Первая система D- характеризуется свойством
Л л
В Ixi (я) □ х2 (n)J = Da I«i (я)] 4- Da \х2 («)] = хх (я) 4- х2 («),
(10.5а)
Da [с: Xj (и)] = cDa [хх («)] = схх (п). (10.56)
Заметим, что Da подчиняется обобщенному принципу суперпози-
ции со входной операцией □ и выходной операцией +. Система
Da преобразует комбинацию сигналов Х[(п) и Хг(п), объединен-
ных по правилу □, в обычную линейную комбинацию соответст-
вующих сигналов Dofxjn)] и £)а[х2(п)]. Система L является
обычной линейной системой, удовлетворяющей условиям
АЛ Л АЛЛ
L [хх (я) 4-х2 («)] = L [хх (я)] 4- L [ха (я)] = у± (п) 4-у2 («),
Л ЛА
L [схх (п)] = cL [хх (n)J = суг (п).
Наконец, система О~‘о преобразует сложение в О и удовлетворя-
ет условиям
1^1 («)4- Уъ («)] = Рд1 1^1 («)] О £>о’ [?2 («)] = У1 (я) о Уг (п),
D-1 [су± (я)] = с (J D~1 (я)] = с U Л («J.
Так как система Da определяется операциями □ и : , то поэто-
му она называется характеристической системой для операции □.
Аналогично система D о является характеристической системой
для операции О. Кроме того, ясно, что все гомоморфные системы с
одинаковыми входными и выходными операциями отличаются друг
от друга только линейной частью. Этот результат очень важен.
Из него следует, что после того, как мы определили характеристи-
ческие системы для рассматриваемого класса, все сводится к ли-
нейной фильтрации. Например, если нужно выделить сигнал
х,(п) из сигнала х(п) =х^ (п) Пх2(я), то нужно выбрать линейную
систему так, чтобы ее выходной сигнал tj(n) был равен &(п) =
=xt(n). Тогда при D о =-0 □ получим у(п) =D~*a[xI (n)] =х1 (и).
Таким образом, чтобы полностью разделить сигналы хг(п) и
х2(я), нужно иметь возможность полностью разделять сигналы
х^(п) и х2(п) с помощью линейного фильтра. Насколько можно
приблизиться к этому идеалу, зависит от операции □ и свойств
сигналов Х1(л) и х2(/г). Далее в этой главе ограничимся классами
систем, у которых входные и выходные операции одинаковы. В
частности, рассмотрим два класса гомоморфных систем с операци-
342
ями умножения и свертки. В каждом из этих случаев рассмотрим
представление системы Da и классы сигналов, для которых обра-
ботка такого вида имеет преимущества по сравнению с другими
методами.
10.2. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ГОМОМОРФНЫЕ
СИСТЕМЫ
Во многих задачах обработки сигналов сигнал может быть
представлен в виде произведения двух или более компонент. На-
пример, при передаче сигнала по каналу с федингами можно
представить эффект замирания как умножение передаваемого сиг-
нала на медленно меняющуюся компоненту. Другим примером яв-
ляется амплитудно-модулированный сигнал, представляющий со-
бой произведение сигнала несущей частоты и огибающей, которая
выделяется в приемнике. Имеются также примеры, связанные со
сжатием динамического диапазона звуковых сигналов и обработ-
кой изображений (см. § 10.3). Во многих задачах такого типа
применение линейных систем для разделения или независимого из-
менения компонент сигнала неэффективно. В противоположность
этому использование систем, удовлетворяющих обобщенному прин-
ципу суперпозиции относительно умножения, дает существенный
эффект. В этом параграфе рассмотрим основы теории гомоморф-
ных систем с операцией умножения, а в следующем — их приме-
нение к цифровой обработке изображений.
Рассмотрим класс гомоморфных систем, подчиняющихся обоб-
щенному принципу суперпозиции, в которых операция □ является
умножением, а операция : — возведением в степень. Это зна-
чит, что нас будут интересовать сигналы вида
х(п) = [х1(п)]“-[х2(п)]е. (10.6)
Легко проверить, что эти операции удовлетворяют аксиомам сло-
жения векторов и умножения на скаляр. Характеристическая си-
стема для умножения должна обладать свойством
£>[[x1(n)]a-[xa(n)]₽] = aD-[хх (n)] +₽£>• [х2 (п)]. (10.7}
Функция, которая формально обладает этим свойством, является
логарифмической функцией. Например, если х(п) =х1 (п)-х2(п),
где Xi(n)>Q и х2(/г)>0 для всех п, то
log [Xj (n)-x2 (n)J = log [Xj (//)] + log [x2 («)]. (10.8)
Однако входной сигнал x(n) может быть не всегда положитель-
ным; действительно, можно рассматривать даже комплексные сиг-
налы. В таких случаях нужно использовать комплексную логариф-
мическую функцию. Поэтому формальное представление канониче-
ских систем, у которых входной и выходной операцией является
умножение, имеет вид, показанный на рис. 10.3, где последователь-
ности х(п), х(п), у(п) и у(п) в общем случае комплексны.
343
Рассмотрим свойства комплексной логарифмической функции.
Если х(п) = \х(п) |е1 arg[х(п>]—комплексная последовательность, то
комплексный логарифм от х(п) запишется в виде
log [х (я)] = log | х (я) | + i arg [х (я)]. (10.9)
Обратной функцией по отношению к log [x(n)J является комплек-
сная экспонента
elog [х (n)] _ eIog I X (л)| ei arg [х (п)] (до
Ясно, что результат (10.10) не изменится, если прибавить целое
Рис. 10.3. Каноническое представление гомоморф-
ных систем с умножением в качестве входной и
выходной операции
число, умноженное на 2л, к мнимой части комплексного логариф-
ма, т. е. к argfxfn)]. Поэтому комплексный логарифм является
неоднозначной функцией. Так как основным требованием в опре-
делении системы является однозначность, то arg [х(п)] нужно вы-
брать так, чтобы не было неоднозначности. К тому же, следует
так определить log [х(п)], чтобы удовлетворялся обобщенный
принцип суперпозиции, т. е. чтобы при x(n)=Xi(n)-х2(п) выпол-
нялось соотношение log[x(7z)]=log[xI(7r)-X2(X)]=log[Xi(X)]-|-
-Ь log [х2 (п) ], откуда следует
log | х (п) I = log I хх (я) I -Hog I х2 (и) ] (10.11)
и arg [х (п)] = arg [хх (л)] + arg [х2 (л)]. (10.12)
Таким образом, неоднозначность в arg[x(7j)] должна быть устра-
нена так, чтобы выполнялось условие (10.12).
Хотя общепринято устранять эту неоднозначность путем заме-
ны arg[x(n)] в комплексном логарифме на главное значение, т. е.
на значение по модулю 2л, в данном случае этого нельзя сделать,
так как условие (10.12) не будет выполняться в общем случае. В
общем случае главное значение суммы двух углов не равно сумме
их главных значений. Чтобы устранить неоднозначность: и выпол-
нить условие (10.12), необходимо, чтобы arg[x] был непрерывной
функцией х. Для строгого обоснования такого подхода необходимо
привлечь теорию римановых поверхностей. Не будем вдаваться в
детали этого определения комплексного логарифма в этом пара-
графе, так как в рассматриваемых приложениях сигналы неотри-
цательны и неоднозначность отсутствует, поскольку arg[x(n)]
всегда может быть выбран равным нулю. Однако эти соображе-
ния не подходят для § 10.4, где рассматриваются гомоморфные си-
стемы относительно свертки и именно в этом параграфе будут рас-
смотрены детали определения однозначного комплексного логариф-
344
ма. Поэтому здесь предположим, что имеется определение одно-
значного комплексного логарифма для реализации характеристи-
ческой системы мультипликативных гомоморфных систем. Тогда
каждая конкретная гомоморфная система этого класса отличает-
ся от другой системы этого же класса только своей линейной ча-
стью. Если вход системы определяется соотношением (10.6). то
на выходе комплексного логарифма получим
д - ’•*< д гл л л
х (п) = а ху (п) 4- р х.2 (п) = хт (п) ф (и), (10.13}
Л Л
где х2 (n) = log [х2 (и)] и х2 (n) = log [х2(п)]. (10.14}
Наиболее общий вид линейной системы для обработки ком-
плексных входных сигналов представлен на рис. 10.4, где Lrr, Lri,
Lir и Lu обозначают действительные линейные системы. Если а и
р — комплексные числа, то действительные линейные системы дол-
жны удовлетворять условиям
Ьгг — Ьц и Lri = —Llr. (10.15}
Если аир действительны, то такие ограничения не нужны.
При применении теории мультипликативных систем следует со-
ответствующим образом выбрать линейную систему. Наш выбор
будет, конечно, зависеть от характера вход-
ного сигнала. Возможна или нет полезная
обработка сигналов вида x(n) =Xi (м)х2 (п)
зависит от характера компонент Xi(«) и
х2 («) на выходе характеристической систе-
мы. Например, если нужно разделить эти
две компоненты или обработать их незави-
симо, необходимо, чтобы их спектры не пе-
рекрывались в значительной степени. Это
означает, что гомоморфная обработка муль-
типликативных сигналов может быть полез-
на тогда, когда одна компонента меняется
быстро, а другая медленно. Это имеет место
Рис. 10.4. Общее
представление линей-
ной системы с комп-
лексными входными
при сжатии динамического диапазона зву- и выходными сигна-
ковых сигналов и при обработке изображе- лами
ний, где с успехом применяется гомоморфная фильтрация [3—6J.
В следующем параграфе будет подробно рассмотрен последний
пример.
10.3. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ
Одним из примеров успешного применения гомоморфной об-
работки сигналов является обработка с целью улучшения изобра-
жения. Это применение основано на модели изображения в виде
произведения двух компонент. С помощью гомоморфной фильтра-
ции эти компоненты можно независимо изменить так, чтобы одно-
временно повысить контрастность и сжать динамический диапазон.
345
10.3.1. МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ [6]
Изображения образуются при отражении света, т. е. изобра-
жение формируется тогда, когда происходит отражение от некото-
рого физического объекта световой энергии, созданной источником
света. Таким образом, формирование изображения можно промо-
делировать как мультипликативный процесс, при котором яркость
изображения является произведением функции освещенности и
функции отражающей способности. Если обозначить функцию ос-
вещенности и функцию отражающей способности через fi(u, v) и
fr(u, v) соответственно*, где и и v — непрерывные пространствен-
ные переменные, то изображение можно математически выразить
так:
f(u, v) = ft(u, v)fr(u, v). (10.16)
Так как компонента освещенности физически соответствует энер-
гии света, то
0<f(u, v)<oo. (10.17)
Компонента, соответствующая отражающей способности, также
всегда положительна и в соответствии с физическими соображени-
ями не превышает единицу, т. е.
0<fr(u, п)<1. (10.18)
В общем, изображение можно представить в виде произведения
двух положительных компонент. Таким образом, по-видимому,
структура изображений идеально подходит для обработки мульти-
пликативными гомоморфными системами.
10.3.2. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ
Изображения представляются в дискретном виде с помощью
двумерной последовательности х(т, п), получаемой посредством
периодической выборки пространственно ограниченного участка
изображения, т. е. х(т, n)=f (тАи, пАи), где Au и Av выбраны
так, что эффектом наложения можно пренебречь. Из предыдущего
следует, что х(т, п) можно представить в виде
х(т, n) = Xt(m, ri)-xr(m, п), (10.19)
где хг(т, п) и хг(т, п) —выборки функций освещенности и отра-
жающей способности соответственно.
Дискретное устройство гомоморфной обработки изображений
имеет канонический вид, показанный на рис. 10.5. Так как
х(т, п)>0, то не нужно беспокоиться о неоднозначности комплек-
сного логарифма, поэтому
л ,
х(т, n) = log[x(m, n)] = log [хг (т, п)-хг(т, «)] =
л л
= logXj(m, п) + logxr(m, n)=Xi(m, ri) + xr(tn, п). (10.20)
* В § 10.3 индексы г и г относятся к отражению и освещенности, а не к
действительной и мнимой частям.
346
Стокхэм (Stockham) показал [6], что выход характеристической
системы хорошо соответствует функции плотности диапозитива, на
котором представлено данное изображение. Поэтому можно на-
звать х(т, п) представлением интенсивности или интенсивностью,
Рис. 10.5. Канонический
вид устройства гомоморф-
ной обработки изображе-
ний
а х(т, п) —представлением плотности или плотностью изображе-
ния. Аналогично $(т, п) можно назвать обработанной плотно-
стью, а у(т, п) — обработанной интенсивностью. Из свойств ли-
нейных систем следует, что
ЛАЛ
y(m, ri) = yi(m, п) + ут(т, п), (10.21)
где yt(m, п) и уг(т, п) —обработанные плотности освещенности и
отражающей способности соответственно. Следовательно, обрабо-
танная выходная интенсивность равна
А А А
у(т, n) = &xp[yt(m, n) + yr(m, n)] = exp [y-t (т, n)] х
л
X exp[yr(m, п)] = г/г(т, п)уг(т, п). (10.22)
Так как уг(т, п) и 0г(т, п) действительны (при предположении,
что импульсная характеристика линейной системы действительна),
то ytljn, п), уг(т, п) и у(т, п) положительны. Таким образом,
физическое требование того, чтобы интенсивность изображе-
ния была строго положительной, выполняется. Это свойство гаран-
тируется для всех систем, имеющих вид, изображенный на рис.
10.5, и резко контрастирует с ситуацией, когда изображение обра-
батывается линейными системами и положительность выходных
сигналов в общем случае не гарантируется.
Хотя продемонстрировано, что мультипликативные гомоморф-
ные системы хорошо согласованы со структурой изображений, ос-
тается пока не решенным вопрос реализации линейной системы,
изображенной на рис. 10.5. Этот выбор конечно зависит от свойств
компонент плотности х,(т, п) и хг(т, п). К счастью, компоненты
освещенности и отражающей способности имеют резко отличаю-
щиеся характеристики. Освещенность обычно медленно изменяется
в пределах сцены, хотя тени, конечно, соответствуют резким изме-
нениям в освещенности. С другой стороны, если сцена содержит
мелкие детали, компонента отражающей способности будет ме-
няться очень быстро из-за изменений в текстуре и конфигурации.
Поэтому будет разумным предположить, что освещенность явля-
ется низкочастотным сигналом, а отражающая способность —
высокочастотным. Аналогично плотность освещенности является
медленно меняющейся функцией, а плотность отражающей способ-
ности— быстро меняющейся функцией. Графики преобразования
Фурье изображения или логарифма изображения обычно характе-
347
ризуются пиком в низкочастотной области и плоской частью в вы-
сокочастотной, что неявно подтверждает справедливость вышепри-
веденных допущений. При этом будет явным упрощением связы-
вать пик на низких частотах только с освещенностью, а высокие
частоты только с отражающей способностью.
Хотя освещенность меняется медленно, но в пределах сцены
юна может изменяться в большой степени, вследствие чего изобра-
жение имеет большой динамический диапазон. Это приводит к зна-
чительным трудностям при передаче изображений по каналу свя-
зи или при записи их на фотопленке. Таким образом, важная про-
блема обработки изображений — сжатие динамического диапазо-
на — переключает наше внимание на обработку компоненты осве-
щенности.
Другой важной проблемой при обработке изображений являет-
ся увеличение контрастности по краям изображений объектов. Так
как эти края характеризуются в основном резкими изменениями
компоненты отражающей способности, то нас в этом случае будет
интересовать обработка именно этой компоненты с целью измене-
ния контрастности изображения.
Чтобы сжать динамический диапазон и усилить контрастность
с помощью канонической системы рис. 10.5, предположим снача-
ла, что линейная система осуществляет идеальное частотно-неза-
висимое усиление в v раз, т. е. у(т, n)—vx(m, п). Тогда выход-
ное изображение будет иметь вид
у{т, п) = [х(т, n)]v = [хг (т, n)]v- [хг (tn, n)]V (10.23)
Динамический диапазон изображения можно сжать путем умень-
шения изменений в компоненте освещенности. Отсюда ясно, что
нужно выбрать v<l. Чтобы повысить контрастность изображения,
нужно так обработать компоненту отражающей способности^ что-
бы отношение между двумя компонентами увеличилось, откуда
•следует требование v>l.
Процесс (10.23), соответствующий простому усилению, можно
получить фотографическим способом, однако такой выбор линей-
ной системы не всегда удовлетворителен, так как при v<l вместе
с динамическим диапазоном уменьшается и контрастность, а при
осЬещенности отражения.
Рис. 10.6. Сечение частотной характе-
ристики, используемой в линейной ча-
сти устройства гомоморфной обработки
изображений для сжатия динамическо-
го диапазона и увеличения контрастно-
сти
^>1 контрастность увеличивается вместе с динамическим диапа-
зоном. Если вспомнить, что освещенность является низкочастот-
ным сигналом, а отражающая способность высокочастотным, то
348
становится ясным, что лучший результат получится, если исполь-
зовать линейный инвариантный к сдвигу фильтр с разным усиле-
нием на высоких и низких частотах. Например, на рис. 10.6 пока-
зано радиальное сечение частотной характеристики, симметричной
относительно вертикальной оси с центром в начале координат. Та-
кая система позволяет, по крайней мере приближенно, одновре-
менно усилить контрастность и уменьшить динамический диапазон,
т. е. у(т, п) приближенно можно представить в виде
у{т, п)—[х1(т, /г)р [xr(m, n)]Vr . (10.24)
Таким образом, для одновременного сжатия динамического диапа-
зона и усиления контрастности нужно выбрать Vj< 1, a vr>l.
Примеры улучшения изображений можно найти в [3].
10,4. ГОМОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
СВЕРТКИ
Имеется множество задач обработки сигналов, в которых сиг-
налы объединяются с помощью свертки. В технике связи или зву-
козаписи вносимые искажения можно представить как результат
свертки шума с требуемым сигналом. При обработке речевых сиг-
налов часто желательно разделить эффекты, вызванные импульс-
ной характеристикой речевого тракта и возбуждением. По крайней
мере, на коротких интервалах времени можно считать, что сигнал
возбуждения и импульсная характеристика свертываются в про-
цессе формирования сигналов речи. Другими примерами являются
разделение функций плотности вероятности, которые свертывают-
ся при сложении независимых случайных процессов, или обработ-
ка сейсмических сигналов, когда импульс сейсмической энергии,
создаваемый взрывом, распространяется в земле.
Обычно разделение компонент таких сигналов, которые будем
называть разверткой, осуществляется методом инверсной фильт-
рации. К сожалению, поскольку линейные системы не согласова-
ны со структурой свертки, для инверсной фильтрации требуется
подробная информация об одной из компонент сигнала. Поэтому
необходимо обращаться к классу гомоморфных систем, которые
подчиняются обобщенному принципу суперпозиции относительно
свертки [4, 7, 8].
10.4.1. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Рассмотрим последовательности, объединенные посредством
дискретной свертки, т. е.
оо
х(п)— У x1(k)x2(n—£) = хДп)*x2(n). (10.25)
k~—оо
Легко показать, что дискретная свертка удовлетворяет аксиомам
векторного сложения и поэтому может служить основной опера-
цией для класса гомоморфных систем. Умножение на целое число
349
а соответствует повторной свертке х(п) с собой а раз, умножение
на скаляр при нецелом а является обобщением этой операции,
рассмотренным в [1,8].
Рис. 10.7. Канонический вид
гомоморфных фильтров со
сверткой в качестве вход-
ной и выходной операций
Каноническая форма гомоморфных фильтров для свертки изо-
бражена на рис. 10.7. Характеристическая система D* обладает
свойством
л л
D* [хг (п) * х2 (л)] =Д, [xt (я)] 4- [х2 (и)] = х2 (и) + х2 (я),
(10.26а)
D* [с: хг (и)] = cP* [Хл (и)] = схг (ri). (10.266)
Система L является линейной, a Р'1*— обратной по отношению к
системе Р* . Таким образом, если определить систему D*, то по-
лучим представление всех систем, подчиняющихся обобщенному
принципу суперпозиции для свертки. Ниже и в § 10.5 и 10.6 по-
дробно исследуем систему D * и свойства сигналов х(я), а затем
в § 10.7 используем эти свойства для нескольких примеров прило-
жения гомоморфной развертки.
10.4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ £>.
Основой математического представления характеристической
системы является тот факт, что z-преобразование выражения
(10.25) имеет вид
Х(г) = Х1(г)-Х2(г), (10.27)
т. е. операция г-преобразования £[х(л)] может рассматриваться
как гомоморфное преобразование, у которого входной операцией
является свертка, а выходной — умножение (рис. 10.8). Используя
х(п) = х^п) *хя(п)
z-преобра-
зование
ес з
Рис. 10.8. г-преобразование
как гомоморфное преобра-
зование от свертки к умно-
жению
Ж
г-преобразование, можно преобразовать свертки в произведения.
Таким образом, если представить сигналы их г-преобразованиями,
то каноническую систему на рис. 10.7 можно заменить системой,
изображенной на рис. 10.9. Так как функция Х(г) обычно являет-
350
<ся комплексной, то придется использовать комплексную логариф-
мическую функцию.
Если сигналы представляются последовательностями, а не их
.^-преобразованиями, то формально можно представить характерис-
тическую систему D* Гак, как показано на рис. 10.10, где g-1—
обратное z-преобразование. Интересно отметить, что g и g-'1 явля-
ются в одно и то же время и линейными преобразованиями в обыч-
ном смысле и гомоморфными преобразованиями между векторны-
ми пространствами со сверткой и умножением в качестве основ-
ных операций.
Представление характеристической системы D* (рис. 10.10)
основано, хотя и неявно, на ряде важных допущений. Во-первых,
комплексный логарифм должен быть определен однозначно, т. е.
Рис. 10.10. Представле-
ние характеристической
системы D,
если X(z) =Xi (z)-X2(z), toX(z) =log[X!(z) •X2(z)]=log[XI(z)] +
+log[X2(z)]. Во-вторых, X(z) должно представлять z-преобразо-
вание. В-третьих, для того, чтобы однозначно определить ic(n),
нужно выбрать область сходимости для X(z) = log[X(z)]. Выбе-
рем сначала область сходимости. Предположим, что х(п) и х(п)
действительные устойчивые последовательности. Это предположе-
ние разумно с практической точки зрения и в действительности не
очень ограничительно, так как требуются только небольшие изме-
нения для того, чтобы включить в рассмотрение случай, когда
х(п) или х(п) неустойчивы. Следовательно, области сходимости
X(z) и X(z) должны включать единичную окружность.
Если X (z) = log[X (z)] является z-преобразованием, то дол-
жно существовать разложение в ряд Лорана X (z) = log[X (z)] =
оо
= у х (п) г~п с областью сходимости, включающей единичную
п=— ОО
окружность. Другими словами, функция X(z) должна быть анали-
тической в области, включающей единичную окружность. На еди-
ничной окружности X(z) можно представить в виде Х(е‘°) =
=^йе(е‘ш) +iXim (е’“). Так как х(п) действительно, то ХКе(е‘")
представляет собой четную функцию со, a ^im(e'“)—нечетную
функцию со. Кроме того, функция X (е‘“) должна быть периодиче-
ской с периодом 2л. Наиболее важным следствием аналитичности
X(z) на единичной окружности является непрерывность Х(е‘")
как функции от со. Так как ЙДе'") =log|X(ei(0) |+
-Н arg[X(е’“)], то отсюда следует, что XRe(e'“) =log|X(eiC0) | и
^im(eiw) =arg[X(ei“)] должны быть непрерывными функциями со.
Если X(z) не имеет нулей на единичной окружности, то непрерыв-
ность Хщ-(c,0J) гарантируется аналитичностью Х(е’“) на единичной
351
окружности. Однако непрерывность Xtm(eiw) зависит от определе-
ния комплексного логарифма. Таким образом, требование исклю-
чения неоднозначности комплексного логарифма связано с требо-
ванием того, чтобы X(z) представляло г-преобразование.
Проблема однозначности и аналитичности комплексного лога-
рифма иллюстрируется рис. 10.11. На рис. 10.11а дана типичная
Рис. 10.11. Типичная фазовая кривая для значений г-преобразования
на единичной окружности (а) и главное значение фазовой кривой (б)
зависимость фазы г-преобразования X (z) от частоты (на единич-
ной окружности). Если Х(г) является произведением двух г-пре-
образований, то эта кривая представляет сумму фазовых кривых
сомножителей. Рисунок 10.116 показывает главное значение фазы
Х(г). Обе кривые представляют фазу Х(г), так как eiarglX(z)' =
_ eiARGxC(z)] Однако нетрудно видеть, что кривая, представляющая
главное значение, не соответствует сумме главных значений фаз
сомножителей и, кроме того, ARG[X(z)] —разрывная функция и
поэтому не удовлетворяет условию непрерывности, вытекающему
из аналитичности X(г) на единичной окружности.
Один подход к проблеме комплексного логарифма использует
понятие римановой поверхности. Другой предполагает получение
комплексного логарифма путем интегрирования его производной.
Если предположить, что комплексный логарифм — однозначная и
дифференцируемая функция, то
(d/dz) log [X (z)] = [ 1/X (z)] [dX (z)/dz] = [dX (z)/dz]. (10.28)
На единичной окружности получим следующее выражение для этой
логарифмической производной: X' ( е‘“) = [X' ( е1и )/Х ( е1®)] =
= Хке (е‘“) 4- i X'Im (е‘“ ),
где штрих означает дифференцирование по со. Отсюда
dXIm (е’“) _ *Re ( е1®) х'т )-Х?т ( '
4е(е1й>) + ^т(е!«>)
При интегрировании (10.29) по со поставим условие
arg[X(eIW) ] ю=о =0, чтобы arg[X(eIt0)] представлял нечетную не-
прерывную функцию.
352
Комплексный логарифм рассматривался так подробно по двум
причинам. Во-первых, это необходимо для того, чтобы при прове-
дении дальнейших формальных преобразований быть уверенными
в их справедливости. Во-вторых, проблемы, связанные с неодно-
значностью комплексного логарифма, являются также важными
вычислительными проблемами. (Эти проблемы будут рассмотрены
в параграфе, посвященном реализации гомоморфных относитель-
но свертки систем.)
Математическое представление схемы, изображенной на рис.
10.12, можно получить, если учесть что теория § 10.2 может быть
применена к z-преобразованиям свертки. Из этого представления
и подразумеваемой аналитичности log[X(z)] можно вывести два
других представления системы D* , используя логарифмическую
производную.
Предполагая, что log[X(z) ] — аналитическая функция, получим.
X'(z)=X'(z)/X(z), (10.30)
где штрих обозначает производную по z. Легко показать, что
zX’(z)= £ 1-«х(/г)]2~п = [гХ'(2)/Х(2)], (10.31)
П=—со
так что
—пх (п) = (1/2л i) (j) [zX’ (z)/X (2)] г"-1 dz,
с
где С обозначает замкнутый контур в области сходимости X(z).
Решая относительно х(п), получим
х (п) = (— 1/2л i п) ф [zX' (z)/X (г)] г"-1 dz, п^=0. (10.32)
с
Значение х(0) можно получить, замечая, что
х (0) = (1/2зт) j X (е*“ ) d со = (1/2л) J XRe (е‘“ ) da +
—л —л
+ (i/2n) J Х1ш (е “) da.
—Л
Так как Xim(eiffl) является нечетной функцией и, это выражение пе-
реписывается так:
х(0)=(1/2л) J Хке(е*“)бйо = (1/2л) j" log | X (elfi)) | da. (10.33)
—л —Л
Исходя из (10.31), можно также получить разностное уравне-
ние, представляющее систему D*. Из (10.31) имеем zX'(z) =
12-117 353
=zX'(z) -X(z). Обратное г-преобразование этого соотношения да-
ет
“ л
пх(п)= 2, kx(k)x(n—k). (10.34)
А;—— со
Производя деление на п, получим
“ л
х(п) = £ (kln)x(k)x(n—k), n^Q. (10.35)
k=—оо
Таким образом, мы получили неявное соотношение между х(п) и
х(п). При определенных условиях это выражение можно преобра-
зовать в рекуррентную формулу, которую можно применить при
вычислениях. Формулы этого типа рассматриваются в § 10.5.
10.4.3. ОБРАТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Г».-1
Математическое представление обратной характеристической
«системы D1* непосредственно следует из представления D* и ил-
люстрируется рис. 10.12. По определению О-1* [О* [%(«)]] =х(п).
Рис. 10.12. Представление системы £>»-
Следовательно, из предположения устойчивости х(п) и х(п) выте-
кает устойчивость последовательностей у(п) и у(п). Поэтому об-
ласть сходимости Y (г) и Y(г) должна содержать единичную ок-
ружность. Тогда
У («) = (1 /2л i) ф Y (z) г"-1 dz,
С'
где С' — единичная окружность, а У (г) = ехр[У(г)]. К счастью,
комплексная экспоненциальная функция однозначна, и если У (г)
аналитична на единичной окружности, то будет аналитичной и
<ехр[У(г)].
10.4.4. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА L
После того как было дано математическое представление ха-
рактеристической системы D * и системы, обратной ей, в канони-
ческой системе рис. 10.9 осталось только найти систему L. Теоре-
тически в канонической системе рис. 10.7 можно использовать лю-
бую систему, подчиняющуюся принципу суперпозиции для сложе-
ния. Однако на. практике наиболее полезным с нашей точки зре-
354
ния является определенный класс линейных систем. Вспомним, что
в случае мультипликативных систем были успешно применены
линейные инвариантные к сдвигу системы. Вспомним также, что в
соответствии с рис. 10.11, если сигналы представляются своими
z-преобразованиями, то можно рассуждать о линейных системах,
преобразующих комплексные логарифмы z-преобразований. Дру-
гими словами, класс сверточных гомоморфных систем аналогичен
классу мультипликативных гомоморфных систем; однако при этом
временная и частотная области в определенном смысле поменя-
лись ролями. Поэтому, хотя теоретически и можно использовать
инвариантные во времени линейные системы, особый интерес пред-
ставляет рассмотрение инвариантных по частоте линейных систем,
для которых
У ( е'“ ) =(1/2л) fx(e'0)L(ei(M“6,)d9. (10.36))
—Л
Для таких систем преобразование Фурье выходного сигнала полу-
чается из комплексного логарифма Х(е1ю) =log[X (eim) ] периоди-
ческой непрерывной сверткой. С другой стороны, во временной об-
ласти такая система представляется соотношением
А Л
у(п) = Цп)х(п), (10.37)
где /(«) —обратное преобразование от L(ei(0). Так как х(п), х(п),
у(п) и у(п) предполагаются действительными и устойчивыми по-
следовательностями, то и /(«) должна быть действительной и в
общем случае устойчивой последовательностью. Отсюда следует,
что область сходимости z-преобразования Ь(г) последовательно-
сти 1(п) должна содержать единичную окружность и что действи-
тельная и мнимая части Л(е‘“) должны быть соответственно чет-
ной и нечетной функциями со.
Возникает естественный вопрос: почему этот частный класс ли-
нейных систем наиболее полезен. Ответ на этот вопрос и на во-
прос о критерии синтеза таких систем может быть получен только
после рассмотрения свойств х(п) или log[X(е‘и) ] (см. § 10.5).
10.4.5. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ТЕРМИНОЛОГИИ
Ниже дается короткая историческая справка, объясняющая
применяемую терминологию. В 1962 г. Богерт, Хили и Тьюки опуб-
ликовали статью с необычным названием [9]. В этой статье они’
заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержаще-
го отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компо-
ненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье-
от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствую-
щем задержке отраженного сигнала. Эту функцию они назвали:
кепстром, изменяя слово спектр потому, что «в общем случае мы
действуем в частотной области так, как принято действовать во>
временной, и наоборот» [9]. Богерт и другие создали целый сло-
12* 35»
варь терминов для этого нового способа обработки сигналов; од-
нако только термин «кепстр» получил широкое распространение.
Так как спектр мощности является преобразованием Фурье от ав-
токовариационной функции и всегда положителен, то кепстр мож-
но рассматривать как выходной сигнал характеристической систе-
мы £>*, когда на вход подается автоковариационная функция.
Так как спектр мощности всегда положителен, то для обработки
потребуется только действительный логарифм. В общем случае
следует использовать комплексный логарифм и комплексное пре-
образование Фурье. Поэтому, чтобы подчеркнуть как сходство, так
и различие этих двух случаев, будем называть выходной сигнал
характеристической системы комплексным кепстром. Поспешим до-
бавить, что комплексный кепстр для действительного выходного
сигнала х(п) является также действительным. Термин кепстр бу-
дем употреблять только в том случае, когда используется действи-
тельный логарифм.
10.5. СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНОГО КЕПСТРА
Чтобы знать возможности использования гомоморфных сис-
тем, следует рассмотреть свойства комплексного кепстра (или, что
то же самое, log[X (е‘“)]) для полезного класса входных сигна-
лов — экспоненциальных последовательностей.
10.5.1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Класс экспоненциальных последовательностей является как
полезным, так и удобным для анализа. Последовательности этого
класса имеют рациональные г-преобразования. Рассмотрим вход-
ную последовательность х(п) с г-преобразованием вида
mi т„
а? П 0—алг“') По-
X(z) =----, (10.38)
Р1 Ро
По- cfcz-’1) П (1 -
s=i й=1
где ] ал], ] , | ck | и меньше единицы, так что множители
вида (1—akz~l) и (1—сйг-1) соответствуют нулям и полюсам внут-
ри единичного круга, а множители (1—bhz) и (1—dkz)—нулям
и полюсам вне единичного круга. Такие г-преобразования харак-
теризуют последовательности, состоящие из суммы экспоненциаль-
ных последовательностей. В частном случае, когда полюсы отсут-
ствуют, т. е. знаменатель выражения (10.38) равен единице, это
выражение соответствует последовательности конечной длины.
Если log[X(z)] вычислять так, как предполагалось в § 10.4, то
формально можно записать
356
A i
X (z) = log [A] + log [ 2r] + £ log (1 — ahz~’) 4-
k=l
m0 pi p0
+ £ log (1 - bhz) -^log (1 - chz~l) - £ log (1 - dhz). (10.39)
k=i k=i k=i
Если считать каждый член в (10.39) ^-преобразованием, то свойст-
ва х(п) будут зависеть от свойств обратных г-преобразований
каждого члена.
Для действительных последовательностей А действительно, и
если А положительно, то первый член log[A] повлияет только на
х(0). А именно
x(0)=log|A|. (10.40)
Если А отрицательно, то вклад члена log[A] в комплексный кепстр
определить труднее. Аналогично член zr соответствует задержке
или сдвигу вперед последовательности х(/г). При г=0 этот член
исчезает из (10.39), однако при ry=0 он влияет на комплексный
кепстр. Хотя случаи, когда А отрицательно и (или) г=^=0, можно
учесть [8], однако это не даст преимуществ, поскольку в случае
перемножения двух преобразований вида (10.38) все равно нельзя
определить степень влияния этих параметров. Это аналогично си-
туации, встречающейся при линейной фильтрации, когда склады-
ваются два сигнала с некоторыми постоянными уровнями. Поэто-
му на практике этот вопрос решается путем оценки знака А и зна-
чения г, а также изменения входной последовательности таким
образом, чтобы ее г-преобразование имело вид
I А | П (1 ~ П (1 — ьиА
X (г) =------. (10.41)
pi Ра
П(1 — CftZ^1) П G — dkA
ft=l Л=1
Аналогично выражение (10.39) превращается в
л т« т°
X (г) = log | А | + J] log (1 — айг”‘) + V log (1 — bhz) —
k=i fc=i
pl Pa
-2i°g(i-^1)-2log(1~d'‘2)- (10-42)
*=i k=i
За исключением члена log|A|, который уже рассматривался, все
члены в (10.42) имеют вид log(l—аг-1) и log(l—рг). Помня, что
эти члены должны представлять г-преобразования с областью схо-
димости, включающей единичную окружность, можно разложить
их в степенные ряды
357
10g(l —«2-*) = —^(an/n)z“n, |z|>|a|
л=1
Hlog(l-0Z)=-£ (рП/п)2П, |2|<|₽ 1
n=l
(10.43)
(10.44)
С учетом этих выражений становится ясным, что для входных сиг-
налов с рациональными z-преобразованиями вида (10.41) х(п)
имеет общий вид
log|/l|, п=0;
mt Pi
-у (<>;/«) +2(фо). ">0;
k=\ k=l
Шо Ра
П<0-
. fe=l й=1
(10.45а)
(10.456)
(10.45b)
Заметим, что в частном случае при последовательностях конечной
длины из (10.456) и (10.45в) исчезает второй член. Из (10.45) вы-
текают следующие свойства комплексного кепстра:
1. Комплексный кепстр убывает не медленнее 1/п, а именно
|х(п) | <C|an/rt|, —оо<п<оо, где С — постоянная, а а равно
максимальному из чисел |aft|, |с&| и | dh |. Это свойство сле-
дует также из (10.32).
2. Если х(п) —минимально-фазовая последовательность (т. е.
если вне единичного круга нет полюсов и нулей), то x(n)=Q, n<Z
<0.
3. Если х(п) —-максимально-фазовая последовательность (т. е.
если внутри единичного круга нет полюсов и нулей), то х(п)=0,
л>0.
4. Если х(п) имеет конечную длительность, то тем не менее
х(п) будет иметь бесконечную длительность.
10.5.2. МИНИМАЛЬНО- И МАКСИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим некоторые важные следствия свойств 2—4. Сна-
чала рассмотрим минимально-фазовую последовательность, z-
преобразование которой имеет вид
mi
П (1 - aftZ"1)
Х(2) = |Д|^-------------
П ( 1 — C&Z-1)
fc=l
Ясно, что
х(п)=0, п<0, (10.46а)
358
и из свойства 2 следует, что
л
х(п) = 0, п<0. (10,466)
Поэтому для минимально-фазовой входной последовательности по-
следовательность х(п) физически реализуема. В этом случае ма-
тематическое представление системы D* можно существенно уп-
ростить. Напомним (см. гл. 7), что z-преобразование физически
реализуемой последовательности полностью определяется вещест-
венной частью ее преобразования Фурье. Так как х(п) и х(п) фи-
зически реализуемы, то, чтобы получить х(п), нужно только вычис-
лить XRe(ei<0) =log]X(ei(0) |. Напомним, что обратное преобразова-
ние Фурье от Лке(е'“) равно четной части х(п), которую обозначим
с(п) = [х(/г) +х(—и)]/2. Так как х(п) =0 при п<0, то
х(п) = с(п)-«+(п), (10.47)
0, п<0;
1, п=0;
2, п>»0.
где и+ (п) =
Эти операции изображены на рис. 10.13. Последовательность <?(«)
называется кепстром входной последовательности х(п) вследствие
-- [0,/7<0
Рис. 10.13. Реализация системы D, для минимально-
фазового входного сигнала
сходства с определением Богерта и других. Заметим, что только в
том случае, когда входные последовательности являются мини-
мально-фазовыми (или максимально-фазовыми), можно получить
комплексный кепстр из кепстра так, как показано на рис. 10.13.
Другое представление получается из разностного уравнения
(10.35). Если учесть (10.46), получим
х (я) = £ (k/n) x(k)x(n~k)=x (n) х (0) + (k/n) х (k) x(n—k),
h=0 k=o
n>0. (10.48)
Решая относительно x(n), получим рекуррентную формулу
Л х(п) = 0, п<0; , . п-i л (10.49) у (k/n) x(k) [х(п —£)/х(0)], п>0. х(о) V ' й=0
359
Легко показать, что
2(0)= log (Л] = log[x (0)].
(10.50)
Следовательно, (10.49) и (10.50) дают представление системы
для минимально-фазовых систем. Из (10.49) также следует,
что для минимально-фазовых входных последовательностей систе-
ма £)# физически реализуема, т. е. ее выходные сигналы при n<Z
<Zn0 зависят только от тех входных значений, для которых n<Z
<Zno, где по произвольно. Аналогичным образом (10.48) и (10.50)
представляют обратную характеристическую систему .
Аналогичные результаты можно получить для максимально-фа-
зовых последовательностей. Так как максимально-фазовая после-
довательность не имеет нулей и полюсов внутри единичного круга,
то
л
х(п)=х(п) — 0, п>0.
(10.51)
Точно так же для вычисления х(п) необходимо знать только
log|X(ei0)) |, так как х(п) = и-(п) -с(п), где
«_(»)= 1,
0,
п<0;
п=0;
п> 0.
(10.52)
Поэтому схема, изображенная на рис. 10.15, применима и к мак-
симально-фазовым последовательностям, если заменить и+(п) на
u-(n).
Если подставить (10.51) в (10.35), то получим
x(n) =
л
2 Wn) x(k)x(n—k), п<0;
k—n
л Л л
X (п) X (0) + У (k/n) X (fe) х(п — k).
(10.53)
fe=n-H
Решая относительно х(п), получим
“ л
[х (п)/х (0)] — У (kin) х (fe) [х (п—k)lx (0)]
п <0;
х (п) =
fe=n+l
log [х (0)],
о
п= 0;
п >;о.
(10.54)
Эти соотношения являются представлением характеристической
системы и обратной к ней для максимально-фазовых входных по-
следовательностей.
Из рассуждений относительно минимально-фазовых и макси-
мально-фазовых последовательностей вытекает интересное следст-
вие для последовательностей конечной длины. Несмотря на свой-
360
ство 4, можно показать, что для входной последовательности дли-
ны N требуется только N выборок х(п), чтобы определить х(п).
Рассмотрим г-преобразование
X (%) ^мин (%) ' -^макс (z)r
где
т1 т,
ХМан(2)=ЛП(1-V-1) И ХмакС(2) = П(1 —М-
А=1 k=l
Соответственно
X (п) Хмин (п) * ХмаКс №)’
где хмин(п)=0 вне интервала и хмакс(«)=0 вне интер-
вала —Поэтому последовательность х(п) отлична от
нуля на интервале —m0^n^.tni. Используя предыдущие рекур-
рентные формулы, можно записать
О,
Хмин (fl)-
Л
х (0)
Л Л
X (п) X (0) + (kin) X (k) хман (n—k),
k=0
о,
п = 0;
п>0
(10.55)
п> 0;
и *макс(«) =
и =0;
л ° л
X (п) + (k/n) X (k)
Хмакс (fl — k),
/г—п+1
(10.56)
Ясно, что требуется /П; + 1 значений х(п) для вычисления хМИн(«)
и т0 значений х(п) для вычисления хмаКс(п). Поэтому для полно-
го восстановления х(п) требуется только /п<4-то+1 значений бес-
конечной последовательности х(п).
10.5.3. СЛУЧАИ, КОГДА ПОЛЮСЫ И НУЛИ НАХОДЯТСЯ
НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ
До сих пор мы полагали, что на единичной окружности нет
полюсов и нулей. С точки зрения теории и расчетов для этого есть
веские причины. Напомним, что при математическом представле-
нии характеристической системы в качестве контура интегрирова-
ния выбирается единичная окружность. Если X(z) имеет полюсы
или нули на единичной окружности, то область сходимости
log[X(z)] не будет содержать эту окружность. Можно показать,
что log( 1—е'0е'“) представляется рядом Фурье
log (1 — е‘6е~‘ “) = - 2 ( е‘ 6 » е~! “ ",
П=1
361
сходящимся в определенном смысле. Однако действительная часть
комплексного логарифма бесконечна, а мнимая разрывна. Было бы
желательным, по возможности, избежать этих дополнительных
трудностей.
Формально этого можно достичь, используя другой контур С
для вычисления x(n) по log[X(z)] или, что эквивалентно, умно-
жая входную последовательность на экспоненциальную w(n) =
= апх(п), где а действительно и положительно. Результирующая по-
следовательность имеет z-преобразование W (z) =X(a~1z). Таким
образом, полюсы и нули X(z) сдвинулись по радиусу в соответст-
вии с коэффициентом а-1. Важно отметить, что если x(n)=Xi(n) *
* Х2(п), то W(z) =X(a~1z) =Xi (a-1z)X2(a-1z), так что w(n) =
= anxi(n)» amX2(n), т. e. экспоненциальное взвешивание свертки
дает свертку экспоненциально взвешенных последовательностей.
Кроме средства смещения особых точек log[X(z)] с единичной
окружности экспоненциальное взвешивание является также полез-
ным способом преобразования сигнала общего вида в минималь-
но-фазовый или максимально-фазовый сигнал.
10.6. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ D„
В § 10.4 были даны математические представления гомоморф-
ного преобразования £)#, названного характеристической системой
для свертки и целью которого было преобразование свертки в сум-
му с тем, чтобы можно было применить линейную фильтрацию. Во
всех этих представлениях подразумевалась однозначность и непре-
рывность комплексного логарифма и только в двух представлени-
ях основным компонентом было преобразование Фурье. , Если
взять за основу численной реализации системы D, эти представ-
ления, то встанет вопрос о вычислении преобразования Фурье и
комплексного логарифма.
10.6.1. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНОГО
ЛОГАРИФМА
Система D* представляется соотношениями:
Х(е’“)= V х(п)е~'ап, (10.57а)
П~ — 00
X (е‘“) = log [X ( е'“)], (10.576)
х(«) = (1/2л) |"х(е‘“)е‘“nd<o. (10.57в)
—л
Так как цифровые вычислительные машины могут выполнять лишь
конечное число операций, то мы ограничены последовательностями
конечной длины и можем вычислить преобразование Фурье только
362
в конечном числ^ точек, т. е. вместо преобразования Фурье мы
должны использойать дискретное преобразование Фурье. Таким
образом, вместо соотношений (10.57) мы имеем их численную реа-
лизацию:
N-1
X(Z0 = X(e'“)L=(2wJV);ft= £х(п)е-‘™*% (10.58а)
п=0
X (k) = log [X ( е* “)] |^(23t/JV) h = log [X (Л)], (10.586)
xp(n) = (l/N) £ X (6) е*<2я/л,) ftn . (10.58b)
!l=0
С помощью выведенной в гл. 3 теоремы о выборке для z-преобра-
зования нетрудно увидеть, что хр (п) связано с требуемой последо-
вательностью х(п) соотношением
хр(п)= У x(n + kN). (10.59)
=—со
Так как комплексный кепстр в общем случае имеет бесконечную
длительность, то хр(п) будет получено из х(п) с эффектом нало-
жения во временной области. Однако согласно свойству 1 в общем
случае х(п) спадает быстрее экспоненциальной последовательно-
сти и можно ожидать, что с увеличением N аппроксимация будет
улучшаться. Поэтому может понадобиться добавить ко входной
последовательности нули, чтобы выборки из комплексного лога-
рифма брались со скоростью, достаточной для того, чтобы избе-
жать существенного наложения при вычислении комплексного
кепстра.
При записи выражений (10.58) и (10.59) предполагалось, что
X(k) представляет выборки из непрерывного комплексного лога-
рифма. Поэтому нужно рассмотреть способы вычисления выборок
arg[X(eiffl)] по ДПФ X(k). В большинстве цифровых вычисли-
тельных машин имеется стандартная подпрограмма вычисления
арктангенса, с помощью которой можно найти —л<ARG[X(£)]
^л. Это выборочное главное значение фазы затем «разворачива-
ется» так, чтобы получились выборки из непрерывной фазовой
кривой. Рассмотрим входной сигнал конечной длительности, пре-
образование Фурье которого равно
М т1
Х(е‘“) = у x(n)e-iM" =Ле-*“т»П(1-«йе-1“) X
п=0 й=1
т0
хП(1-Ае“”), (Ю.60)
k=i
где || и меньше единицы, а М=т0-\-т{. Непрерывная фа-
зовая кривая для последовательности этого вида показана на
рис. 10.14(2. Точки обозначают выборки arg[X(e'“)] при со =
363
= (2it/N)k, требуемые для вычисления хр(п) (N предполагается
четным). На рис. 10.146 показано главное значение и его выбор-
ки, вычисленные из ДПФ входного сигнала. Нетрудно видеть, что
для получения требуемых выборок фазы следует прибавить 2л с
Рис. 10.14. Выборки argt[X(e’“)] (а), главное значение выборки (б) и
корректирующая последовательность для получения arg из ARG (в)
соответствующим целым коэффициентом к главному значению.
Этот коэффициент можно определить по ARG[X(£)], если выбор-
ки близки друг к другу настолько, чтобы можно было бы обнару-
жить разрывы. Если arg[X(eio)] меняется быстро, то можно ожи-
дать, что £(п) будет спадать медленнее по сравнению со случаем,
когда arg[X (eio)] изменяется медленно. Если argl[X (е1ш)] изме-
няется быстро, то это также требует более частной выборки для
обнаружения разрывов ARG[X (е’“)]. Таким образом, желание
уменьшить эффект наложения находится в соответствии с требова-
нием вычисления выборок непрерывной фазовой кривой. Чем боль-
ше N, тем лучше численная аппроксимация. Вследствие наличия
алгоритмов БПФ это требование не слишком ограничительно. На
самом деле открытие алгоритма Кули — Тьюки стимулировало при-
менение гомоморфных систем для свертки.
Заключительные замечания касаются знака коэффициента А и
линейно-фазовой компоненты, обусловленной множителем e-iMm°.
Знак А легко определить, так как он совпадает со знаком X(k)
при 6=0. Значение т0 можно определить по результатам, полу-
ченным после коррекции ARG[X(6)], так как нетрудно показать
из (10.60), что arg[A(ein)]=—тол. Эта линейно-фазовая компо-
нента вычитается из фазы, а знак А можно сделать положитель-
ным до вычисления комплексного кепстра.
10.6.2. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ПРОИЗВОДНОЙ
Альтернативой к вычислению комплексного логарифма явля-
ется математическое представление, основанное на логарифмиче-
ской производной. В терминах преобразования Фурье это пред-
ставление определяется соотношениями:
364
\
J х(п)е-'«“,
«==—<»
X' (е‘“) = Д £ пх(п)е~1ап,
(10.61)
(10.62)
х (п) = (— 1/2лп i) J [X' (е* “)/Х (е‘ “)] е’ “ п d <л, п Ф 0, (10.63)
—Л
J(0) =(1/2л) J log IX ( е‘ “) |d©. (10.64)
—Я
Для последовательностей конечной длительности и с использова-
нием ДПФ вместо преобразования Фурье эти соотношения прини-
мают вид
N-1
Х(6)=£ x(n)e~i(2lt/JV,ftn = X(eJ“) , (10.65)
n=0 <o=2nA/N
N—1
X’(k) = —i^nx (n) e“‘(2lt/W) hn = X' (е‘ “) , (10.66)
п=0 <о=2л k/N
A N-1
xdp (n) = —(1/jnX) 2 IX' № {k)] e‘ <2n/N) ftn, 1 < n <N-1,
ft=0
(10.67)
A
^p(0)=(l/X)2 log|X(£)|, (10.68)
A=0
где индекс d относится к логарифмической производной, а индекс
р подразумевает периодичность ДПФ. В этом случае мы исключа-
ем проблему вычисления комплексного логарифма ценой более
сильного эффекта наложения, так как теперь
xdp (n) = (l/n) (n + kN) x(n + kN). (10.69)
k——CO
Поэтому, предполагая, что выборочная фазовая кривая вычисля-
ется точно, можно ожидать, что для данного N хр(п) в (10.58в)
будет лучшей аппроксимацией для х(п), чем x<iP(n) в (10.67).
Для последовательностей конечной длины с преобразованием
Фурье вида (10.60) можно показать, что
Л
т0= (—1/2лл) J [X/(ei<0) |X(eIO)]d(o. Аппроксимируя это выраже-
—л
ние с помощью обратного ДПФ, получим
N-1
тор= (-l/iA)2 lX'(k)IX(k)].
fe=0
365
Величина тОр будет в общем случае нецелой; однакадля больших
N можно ожидать, что тОр приближается к т0 числу нулей X(z)
вне единичного круга. 7
10.6.3. МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
При минимально-фазовых входных последовательностях ма-
тематическое представление упрощается, как показано на рис.
10.15. В этом случае численная реализация определяется соот-
ношениями
Л(£) = 2 х (ri) е~'{2n/N) hn,
п=0
5cR(^)=log|X(^)|,
сР (n) = (1/N) £XRe (k) е1{2лт hn
А—О
(10.70а)
(10.706)
(10.70b)
В этом случае кепстр получается с эффектом наложения, т. е.
оо
ср{п}— 2 c(n-\-kN). Чтобы вычислить комплексный кепстр по
k=— оо
Ср(п) так, как показано на рис. 10.15, запишем
л [с₽(")>
хСр («) = 2ср (п),
I О,
n = 0, N/2;
\^n<N/2\
N/2<n<N—\.
Ясно, что хср(п) ^хр(п), так как эффект наложения проявляется
в четной части х(п), а не в х(п). Тем не менее при большом N
можно ожидать, что хсР(п) будет незначительно отличаться от
х(п). Аналогично в случае, когда х(п) — максимально-фазовая по-
следовательность, комплексный кепстр аппроксимируется с по-
мощью соотношений
л
*ср («) =
О,
Ср(п),
2ср(п),
1 < п < N/2;
п = 0, N/2-,
N/2<n < А—1.
В случае минимально-фазовых или максимально-фазовых по-
следовательностей имеются также рекуррентные формулы (10.49) —
(10.56), которые дают возможные реализации характеристической
системы и системы, обратной к ней. Эти выражения могут быть
весьма полезны, если входная последовательность очень коротка
или если требуется только несколько выборок комплексного кепст-
ра. При использовании этих формул, конечно, не будут появлять-
ся ошибки, связанные с эффектом наложения.
Збв
10.7. ПРИМЕНЕНИЕ ГОМОМОРФНОЙ РАЗВЕРТКИ
Понятая, рассмотренные в § 10.4—10.6, характерны для ря-
да задач обработки сигналов, в частности при оценке параметров
речи, а также придереверберации, т. е. развертке двух или более
сигналов, один из которых является последовательностью импуль-
сов.
10.7.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РЕЧИ
Звук формируется в результате возбуждения акустической
камеры, называемой голосовым трактом, который оканчивается
с одной стороны губами, а с другой — голосовой щелью [10]. До
тех пор пока голосовой тракт имеет постоянную форму, его можно
представить линейной инвариантной во времени системой, выход-
ной сигнал которой является сверткой импульсной характеристи-
ки голосового тракта с возбуждающим колебанием. Звуки обра-
зуются тремя основными способами. Звонкие звуки образуются
путем возбуждения голосового тракта квазипериодическими им-
пульсами потока воздуха, создаваемыми голосовыми связками.
При прохождении воздуха через суженный голосовой тракт соз-
даются завихрения и в результате образуются фрикативные зву-
ки. Взрывные звуки образуются путем полного закрывания голосо-
вой щели, а затем ее резкого открывания. Образование звуков
можно рассматривать как широкополосное возбуждение голосово-
го тракта и смоделировать в виде фильтра с медленно меняющи-
мися во времени параметрами, который своими частотными свой-
ствами влияет на спектр возбуждения. Голосовой тракт характе-
ризуется своими собственными частотами (называемыми форман-
тами), которые соответствуют резонансам передаточной характе-
ристики голосового тракта.
Если предположить, что источники возбуждения и форма голо-
сового тракта относительно независимы, то приемлемой моделью
формирования речевого сигнала будет схема, показанная на рис,
10.15. В этой модели с дискретным временем выборки звуковой
Основной
Рис. 10.15. Модель формирования речевого сигнала:
/ — генератор импульсной последовательности; 2— генератор
случайных чисел; 3 — коэффициенты цифрового фильтра (пара-
метры голосового тракта); 4 — нестационарный цифровой фильтр
367
волны появляются на выходе цифрового фильтра / изменяющи-
мися во времени характеристиками. Так как голосовой тракт при
непрерывной речи меняет свою форму сравнительно медленно, то
разумно предположить, что этот цифровой фильтр имеет постоян-
ные характеристики на временном интервале иорядка 10 мс. По-
этому этот фильтр можно характеризовать на каждом таком ин-
тервале импульсной или частотной характеристикой или набором
коэффициентов, если фильтр имеет импульсную характеристику
бесконечной длины. В частности, для звонких звуков (за исключе-
нием носовых) передаточная функция цифрового фильтра состоит
из компоненты голосового тракта
/ р
V(z)=A/П(1-сйг->)(1-<г->), |ch |< 1, (10.71)
/ й=1
где Сй соответствуют собственным частотам голосового тракта, и
добавочной компоненты
т1 та
с^впи-^Па-м.
й=1 Л=1
(10.72)
которая появляется вследствие того, что импульсы голосовой щели
имеют конечную длительность и не являются дельта-функциями.
Таким образом, передаточная характеристика цифрового фильтра
на рис. 10.17 имеет вид Hv(z) = G(z) V(z). Этот фильтр возбуж-
дается последовательностью импульсов р(п), в которой расстоя-
ние между импульсами соответствует высоте голоса.
Для глухих звуков согласно теории распространения звуковых
волн передаточная функция голосового тракта имеет как нули,
так и полюса. В этом случае подходящей моделью будет
Ни(?) =
т
Д П (1— aft2-I)(l — a* Z-1)
_ fe=l
-^-^(i-c; z-«)
Г р
П(1-
-й=1
(10.73)
где |сь| <1. В этом случае система возбуждается шумоподобной
последовательностью г(п). Как в случае звонких, так и в случае
глухих звуков с помощью регулировки амплитуды изменяется ин-
тенсивность сигнала на входе цифрового фильтра.
При оценке параметров модели речи можно применить гомо-
морфную развертку, если предположить, что эта модель справед-
лива на коротком временном интервале [11]. Таким образом, ко-
роткий отрезок речи можно считать сверткой s(n) — p(n)* g(n)*
* v(n), —1. Чтобы уменьшить эффекты из-за разрывов
на концах интервала, s(n) умножается на функцию окна, w(n),
так что на вход гомоморфной системы подается х(п) =s(n)w (п).
Если w(n) меняется медленно по сравнению с членом g(n) *v(n),
то можно записать приближенное равенство
368
х(п) ~ pw(n)*[g(n)*v(ti)], (10.74а)
где pw (и) = w (п) • р (п). (10.746)
Рассмотрим вклад каждой компоненты выражения (10.74а) в
комплексный кепстр. Можно предположить, что на коротком вре-
менном интервале р(п) является последовательностью равноуда-
М-1
ленных импульсов р(п) = ^6(п—kn0), так что
h=0
М-1
Pw(n) = 2 w(kn0)6(n—kn0),
й=0
где мы предполагаем, что М импульсов перекрываются функцией
окна. Если определить последовательность
(a)(&n0), k = 0, 1, . . ., М—1;
W (fy =
° (0 — в остальных случаях,
то преобразование Фурье от pw(n) будет равно
м—1
Pw (е‘ “) = £ w (kn0) е~' ° = Wno ( е! ° п°). (10.75)
й=0
Следовательно, Рш(е’“), а также Рш(е'“) являются периодически-
ми функциями с периодом 2л/п0. Комплексный кепстр pw(n) равен
л л
pw(n) ==юПа(п/п0), п = 0, ±п0, ±2п0, . . .
Таким образом, периодичность комплексного логарифма проявля-
ется в комплексном кепстре в виде импульсов, расположенных на
расстоянии п0 выборок друг от друга. Если последовательность
(и) является минимально-фазовой, то pw(n) будет равно нулю
при п<0. В противном случае pw(n) будет иметь импульсы на
расстоянии п0 выборок как при положительных, так и при отрица-
тельных п. В любом случае вклад Ри>(п) в х(п) определяется в
области |п|^п0.
Комплексный кепстр о(п) можно получить из комплексного
логарифма V(z)
Л р
V(г) = log [Л] — £ {log [1 —CftZ-1] -ь log [ 1 — с* г-1]}.
fe=i
Из этого выражения нетрудно видеть, что
0, п<0;
л log [A], п = 0;
«(«) = { Р
—-V [(Cfy+(C;)4, и>о
п &
(10.76)
(10.77)
369
или если Ck = | Ch | е’ч’л, то
л Л
v(п) = (| ck | nln) 2cos<pkn, п> 0. (10.78)
Й=1
Импульс голосовой щели g(n) имеет конечную длительность и
в общем случае предполагается, что последовательность g(n) не
является минимально-фазовой. Поэтому g(n) можно представить
в виде свертки минимально-фазовой и максимально-фазовой по-
следовательностей
g (п) = £мин (п) * £макс (п). (10.79)
Вклад g(n) в комплексный кепстр х(п) определяется выражением
л
Л g(n) = ^мин(«), 0<п; (Ю.80) <?макс (^)’ ^*^0,
где согласно нашим предыдущим рассуждениям можно ожидать,
что основной вклад g(n) в х(п) будет в области около п=0.
В общем случае компоненты комплексного кепстра v(n) и g(n)
спадают довольно быстро, так что для достаточно больших по
вклады голосового тракта и импульсов голосовой щели не пере-
крываются с pw(n)*. Другими словами, комплексные логарифмы
компонент голосового тракта и голосовой щели являются медленно
меняющимися функциями, а компонента основного тона — быстро
меняющейся функцией. На рис. 10.16а показан отрезок речи, по-
лученный путем взвешивания с помощью окна Хэмминга, а на
10.165 показан комплексный логарифм дискретного преобразова-
ния Фурье от функции на рис. 10.16а**. Отметим быстро меняю-
щуюся (почти периодически) компоненту, вызванную pw(n), и
медленно меняющиеся компоненты, вызванные v(n) и g(n). Эти
свойства проявляются в комплексном кепстре, изображенном на
рис. 10.16в в виде импульсов, расположенных на расстоянии при-
близительно 8 мс (период речи на входе) и появившихся благода-
ря компоненте pw(ri) и выборок в районе \пТ\<5 мс, которые мы
относим к и(п) и §(п).
Если требуется разделить эти компоненты речи, то из предыду-
щего ясно, что следует пропустить комплексный логарифм через
фильтр нижних частот для получения v(ti)* g(n) и фильтр высо-
ких частот для получения pw(n). На рис. 10.17а показан пример,
представляющий отрезок, соответствующий гласному звуку. После
взвешивания посредством окна Хэмминга комплексный кепстр име-
ет вид, изображенный на рис. 10.176. После умножения комплекс-
ного кепстра на последовательность
* Для выборок речи с частотой 10 кГц типичный период основного тона на-
ходится в пределах 40<n0<150.
** На всех рисунках этого параграфа выборки всех последовательностей
соединены сплошной линией.
370
'lUUlHUHIU, I и,
Ю
0 600 800 1200 №00 200026002800 32003600 6000
Частота, Ги,
О!
Рис. 10.16. Отрезок речевого сигнала, взвешенный с помощью окна Хэмминга
(а), комплексный логарифм преобразования а) (б) и комплексный кепстр а) (в)
Рис. 10.17. Часть гласного звука (а), комплексный кепстр гласного
звука (б), восстановленная последовательность взвешенных импульсов
основного тона (в), восстановленная импульсная характеристика голо-
сового тракта (г), синтезированная речь с учетом импульсной харак-
теристики г) и основного тона в) (д)
1(п) =
О, | п | < 40;
I, |п|>40
и обработки результата обратной характеристической
системой
371
D~l* результат будет иметь вид, показанный на рис. 10.17e*. С
другой стороны, для восстановления v(n) * g(n) комплексный
кепстр умножается на
В этом случае выход системы Z)-1* показан на рис. 10.17г.
На рис. 10.17<Э показан результат свертки колебания, изображен-
ного на рис. 10.17г с импульсной последовательностью, состоящей
из единичных импульсов одинаковой амплитуды, появляющихся
на месте пиков на рис. 10.17в.
Мы показали, что гомоморфная развертка может быть успеш-
но применена для разделения компонент речи. Однако во многих
приложениях анализа речи нас интересует скорее оценка парамет-
ров речи, а не восстановление вида ее компонент. Например, мо-
жет быть достаточно решить, является тот или иной отрезок ре-
чевого сигнала звонким или глухим звуком, и если это звонкий
звук, то достаточно оценить его основной период или огибающую
спектра log| V(eio) G(eio) |; если же это глухой звук, то достаточно
оценить спектр log|77u(eio) |. В таких случаях мы используем
кепстр, а не комплексный кепстр. Вспомним, что кепстром являет-
ся обратное преобразование Фурье от log|X(eio) | и, следователь-
но, с(п) = (1/2) [х(п)+х(—п)].
Таким образом, можно ожидать, что близкая к нулевому мо-
менту времени часть с (и) соответствует медленно меняющимся
компонентам в log|X(eio) |, определяемым формой голосового трак-
та, и в случае преобладания звонких звуков четная компонента
pw(n) будет содержать импульсы в тех же местах, что и pw(n).
Рисунок 10.18а показывает вычисления, связанные с оценкой пара-
метров речи. На рис. 10.186 показаны типичные результаты для
звонких звуков. Взвешенный речевой сигнал обозначается буквой
A, log|X(£)| —буквой С, а кепстр с(п) —буквой D. Пик в кепст-
ре при 8 мс показывает основной период этого отрезка речи. Оги-
бающая спектра, полученная путем умножения с(п) на «кепст-
ральное» окно, которое пропускает только выборки с |п|<40, и
вычисления ДПФ, обозначена буквой Е и наложена на график
log|X(fe) |. Случай с преобладанием глухих звуков, показанный на
рис. 10.18в, аналогичен во многом только что рассмотренному, за
исключением случайного характера компоненты возбуждения, ко-
торая вызывает появление быстро меняющейся компоненты в
log|X(fe) |. Таким образом, близкие к началу отсчета времени ком-
поненты в кепстре соответствуют передаточной функции голосово-
го тракта; однако вследствие того что быстрые изменения в
log|X(&91 не являются периодическими, отсутствуют ярко выра-
женные пики в противоположность ситуации со звонкими звука-
ми. Следовательно, кепстр является отличным методом для разли-
* Частота выборок равнялась 10 кГц, так что 40 выборок соответствуют
4 мс.
372
чения звонких и глухих звуков и оценки основного периода звон-
кой речи [12].
Методы, изображенные на рис. 10.18, использовались при ана-
лизе речи и синтезе систем. При одном подходе импульсная харак-
теристика вычислялась непосредственно из близкой к нулю части
Входной речевой
сигнал Кепстр
Спектр модуля, S5
\~60 ।____।____|_____|_____L
20 0 1 2 3 4 5
Частота, кГц
Спектр модуля, дБ
С
А И
0 10 20 30 40 0 4 8 12 16
Время, мс Время, мс
В)
входной речевой
сигнал Кепстр
О 10 20 30 40 '0 4 8 12 16
Время, мс Время, мс
60г
2о
-20 - Е ' Т
-W -
—i-fffll--1-----1-----1-----1----1
20 0 1 2 3 4 5
Частота, кГц
Рис. 10.18. Система для гомоморфного анализа речи (а), анализ
звонких звуков (б), анализ глухих звуков (в)
кепстра [13]. С помощью кепстра находился также основной пе-
риод и решался вопрос о преобладании звонких звуков. По этой
информации синтезировалась речь путем реализации системы,
изображенной на рис. 10.15, с помощью свертки импульсной ха-
рактеристики с соответствующей возбуждающей последователь-
ностью. При другом подходе с помощью кепстра оценивались ну-
ли и полюсы выражений (10.71) и (10.73) [14]. В этом случае
речь синтезировалась путем реализации системы, изображенной на
рис. 10.15 в виде каскадного соединения цифровых резонаторов
второго порядка с меняющимися во времени характеристиками.
В обоих случаях неявно предполагалось, что объединенная им-
пульсная характеристика голосового тракта является минимально-
фазовой. То, что при этом сохраняется только кратковременный
амплитудный спектр, не является существенным ограничением, так
как известно, что ухо почти нечувствительно к изменениям фазы
звукового сигнала.
373
10.7.2. ДЕРЕВЕРБЕРАЦИЯ
Согласно предыдущему разделу речевой сигнал с преобла-
данием звонких звуков может быть представлен на коротком ин-
тервале времени как свертка импульса с периодической импульс-
ной последовательностью. Физический мир насыщен сигналами,
которые могут быть представлены подобными моделями. Напри-
мер, во многих областях физических измерений и связи сигналы
передаются или записываются в условиях реверберирующей среды.
В таких случаях сигнал можно представить в виде суммы пере-
крывающихся задержанных копий (отражений) основного сигнала.
В качестве примеров можно привести звукозапись, обнаружение
радиолокационных и звуколокационных сигналов, сейсмические из-
мерения, электрофизиологию. В тех случаях, когда реверберация
рассматривается как искажение, нам желательно восстановить ос-
новное колебание. В других случаях отражения характеризуют
некоторую физическую структуру или процесс. Ниже рассмотрим
несколько примеров применения гомоморфной развертки к сигна-
лам вышеупомянутой природы.
Начнем с рассмотрения последовательности, являющейся взве-
шенной суммой задержанных копий последовательности s(n), т. е.
м
x(n) = s(n)+ 2afts(n—nh)’ (10.81)
fe=i
где • • • <пм. Такой сигнал может быть представлен
в виде свертки
х(/г)= s(n)*p(n), (10.82а)
м
где p(n)=6(n)+ nk). (1О.£2б)
k=i
В качестве примера для иллюстрации применения гомоморфных
систем для этого класса сигналов рассмотрим случай единствен-
ного отраженного сигнала, т. е.
p(n) = 6(n)4-a16(n — щ). (10.83)
Преобразование Фурье от х(п) равно
X(ei“) = S(ei“)(l+a1e-ion*). (10.84)
Следовательно, вклад импульсной последовательности в комплекс-
ный логарифм равен
Р (е1 “) = log (1 +а1е-! (10.85)
В этом простом примере р(е‘“) периодическая функция с перио-
дом 2л/«1 и, следовательно, мы ожидаем, что р(п) будет отлично
от нуля только в моменты, кратные щ. Если | си | < 1, то легко по-
казать, что
374
Р(п}= 2(— l)k+1 /k) 8 (n—knj). (10.86)
k=i
Таким образом, если S(eio) изменяется медленно по сравнению с
изменениями Р(е1ш), то будет разумным разделить эти две компо-
ненты с помощью линейного инвариантного по частоте фильтра.
Например, можно использовать фильтр, пропускающий только
удаленные от начала отсчета времени компоненты кепстра, если
нам нужно восстановить р(п). В общем случае
м
р(п) = 8(п)+ 2айб(п—nh) (10.87)
fe=i
м
и P(eio) = l + 2 (10.88)
fe=i
Если отраженные сигналы равноудалены друг от друга, т. е. если
nti = knl, то, как было видно из § 10.7.1, комплексный кепстр бу-
дет иметь ту же форму, как и в случае единственного отраженно-
го сигнала. Однако в общем случае нельзя ожидать, что отражен-
ные сигналы равноудалены друг от друга и при этом комплексный
кепстр будет состоять из импульсов, появляющихся в моменты
времени, связанные сложным образом с исходными задержками.
В частном случае, когда р(п)—минимально-фазовая последова-
тельность, р(п)=0 при n<ZO. Кроме того, можно показать [8], что
р (п) — 0 при /7<П1, где п\ — наименьшая задержка, и при n>tii
комплексный кепстр будет состоять из импульсов, появляющихся
в моменты времени
м
п1~ 1,2,.. ., (10.89)
k=i
причем с увеличением п амплитуды будут уменьшаться. Имея в
виду замечания в § 10.5.3, нетрудно превратить неминимально-фа-
зовую импульсную последовательность в минимально-фазовую по-
средством экспоненциального взвешивания, т. е. если [1 достаточно
мало, можно добиться того, что последовательность $пр(п) будет
минимально-фазовой. Во многих случаях выгодно применять экс-
поненциальное взвешивание для разделения компонент комплекс-
ного кепстра, созданных последовательностями fins(n) и finp(n).
Учитывая эти факты, касающиеся комплексного кепстра им-
пульсной последовательности, рассмотрим несколько примеров ис-
пользования гомоморфной фильтрации для разделения компонент
свертки вида (10.82).
Отражения в речевых сигналах. Во многих связных каналах ре-
чевые сигналы могут быть искажены отражениями или ревербера-
цией. Из-за непрерывного характера речевых сигналов колебания
должны обрабатываться выборками приемлемого размера с по-
следующей подгонкой результирующих выходных отрезков для
375
получения составной выходной последовательности. На рис. 10.16в
показан комплексный кепстр отрезка речевого колебания. Если
s(n) в (10.82) является речевым сигналом, то комплексный кепстр
отрезка х(п) будет содержать импульсы, вызванные р(п), при дли-
тельности окна больше пм (максимальной задержки). Если наи-
меньшая задержка п\ больше максимального основного периода
(приблизительно 15 мс), то вклад компоненты, вызванной р(п), не
будет существенно перекрываться с комплексным кепстром рече-
вого сигнала. Один из примеров показан на рис. 10.19а. В этом
Рис. 10.20. Пример гомоморфной обра-
ботки с целью удаления отражений:
а) отрезок речевого сигнала длитель-
ностью 410 мс, дискретизованный с ча-
стотой 10 кГц и разбитый на четыре ча-
сти по 102,5 мс; б) сигнал а) с отра-
жением на расстоянии 50 мс; в) сигнал
б), обработанный с целью удаления от-
ражений
Рис. 10.19. Комплексный кепстр от-
резка речевого сигнала с отражением
на расстоянии в 50 мс (а), характе-
ристика фильтра для удаления отра-
жения (б)
случае выборки речи, следующие с частотой 10 кГц, были задер-
жаны и сложены с исходными выборками, в результате чего сиг-
нал принимал вид
x(n)=s(n)+ ^8^—11^. (10.90)
Чтобы восстановить s(n) из х(п), следует убрать компоненту
комплексного кепстра, созданную отражением. Это можно сделать
путем использования инвариантного по частоте фильтра, показан-
ного на рис. 10.196. На рис. 10.20а показан сигнал $(п), на рис.
10.206 — сигнал х(п), а на рис. 10.20в — выход системы Л-1* для
«гребенчатого» фильтра рис. 10.195. В этом случае речь обрабаты-
валась отрезками по 2048 выборок каждый, а затем результаты
обработки отдельных кусков объединялись. Детали процесса объ-
единения описаны в [8].
Сейсмические сигналы. Выражение (10.82) является также по-
лезной моделью сейсмических сигналов. В этом случае взрыв соз-
дает импульс сейсмической энергии, распространяющийся внутри
земли и отражающийся от различных слоев земной коры. На
376
рис. 10.21 показана модель сейсмического колебания. Импульсная
последовательность р(п) содержит информацию о структуре зем-
ной коры, а сейсмическое колебание s(n) зависит от характера
возбуждения и рассеяния при распространении.
Так как в общем случае сейсмические импульсы перекрывают-
ся во времени, тем самым скрывая структуру р(п), то необходимо
-------* Pin)
s(n) и
x(n)=s(n)* р(п) Рис. 10.21. Простая модель
сейсмического колебания
разделить эти компоненты. В [15] показано, что к решению этой
задачи можно успешно применить гомоморфную развертку. На
рис. 10.22 показан синтезированный пример. Сигналы р(п), s(n)
и х(п) показаны соответственно на рис. 10.22а, в. Комплексный
кепстр £(п) показан на рис. 10.22а, на рис. 10.22(9, е показаны по-
лученные с помощью инвариантных по частоте фильтров резуль-
Рис. 10.22. Пример гомоморфной развертки сейсмических сигна-
лов:
а) теоретическая импульсная характеристика земной коры около
Ледук, Альберта (по О. Йенсену); б) предполагаемое сейсмиче-
ское колебание; в) синтетическая сейсмограмма; г) комплексный
кепстр сигнала в), экспоненциально взвешенный с а=0,985; д),
е) выходные сигналы вблизи начала координат и в удаленных
от начала координат зонах (15]
377
тэты, содержащие части х(п), расположенные соответственно
вблизи начала координат и в удаленной от начала координат зо-
нах. Сравнение рис. 10.22а, д с рис. 10.22в, е показывает значи-
тельный эффект разделения, полученный в этом примере. На рис.
10.23а показано реальное сейсмическое колебание. Комплексный
кепстр показан на рис. 10.236, а результат фильтрации компонен-
П 20 40 60 ВО
IS
а)
S)
Рис. 10.23. Пример гомо-
морфной развертки:
и) сейсмическое колебание,
происшедшее в Ледук, Аль-
берта (Венесуэла) в
1968 г.; б) комплексный
кепстр сигнала а) после
экспоненциального взвеши-
вания с а = 0,985; в) оцен-
ка сейсмического колеба-
ния, полученная фильтра-
цией б) 1(15]
ты, расположенный около начала координат, показан на рис.
10.23в. Эта оценка сейсмического сигнала может быть полезна при
оценке его затухания и рассеяния по пути распространения. В
обоих примерах применялось экспоненциальное взвешивание.
10.7.3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗВУКОЗАПИСЕЙ
Хорошо известным приемом уменьшения шума является ус-
реднение большого числа реализаций, в которых полезный сигнал
стационарен, а шум случаен. Этот прием был применен при оцен-
ке искажений в звукозаписях, сделанных акустическими метода-
ми (в частности, записи Энрико Карузо) [16]. Упрощенная модель
таких записей показана на рис. 10.24, где s(n) —голос певца, а
8(П)
i(n)=s(n)»h(n)
Рис. 10.24. Упрощенная модель звукозаписи,
искаженной звукозаписывающей системой с
импульсной характеристикой h(n)
h(n) •—импульсная характеристика звукозаписывающей системы,
включая записывающую трубу и механическое устройство для на-
резки записи. Кроме царапин на поверхности пластинки наиболее
заметным является искажение, вызванное резонансами записываю-
щей трубы.
378
Для оценки импульсной характеристики h(n) с целью компен-
сации ее влияния путем инверсной фильтрации колебание разби-
валось на части хт(п) — х(п-\-т), O^n^N—1. Несмотря на то что
это является грубой аппроксимацией, предполагалось, что
xm(n)~sm(n)* h(n), так что Xm(eio) ~Sm(eiw)/f (eim) и
log|Xm(eite) | ~log|Sm(eim) | + log|//(el0) |. Результат усреднения
M частей колебания равен
м-i м—t
(1/М) Slog|Xm(ei“)| = (l/M) 2 log|Sm(e*“)|-+-
т=0 т—0
+ log 17/(е* “) |,
М-1
где (1/М) 21°ё I ( е‘ “) | « l°g IS (е‘ “) | является оценкой
т=0
логарифма низкочастотной составляющей спектра мощности речи
или пения. Хорошая аппроксимация оценки логарифма спектра
составляющей мощности может быть получена на основе совре-
менных грамзаписей, в которых искажения минимальны. Оценка
частотной характеристики /7е(е*“) записывающей трубы получает-
ся из
М-1 ____________
logl^Ue1")^ (1/Af) 21°glx-(e‘“) I-log|S(e‘“) |.
m=0
Обратный фильтр для компенсации влияния h(n) должен удов-
летворять соотношениям
|Я7,(е'")| =
О, <os < | <01 < л,
(10.91)
где частотная характеристика падает линейно в интервале между
йр и (os. Импульсная характеристика с нулевой фазой получается
посредством обратного преобразования Фурье от соотношения
(10.91), и результирующая h~1e(n) свертывается с х(п) с помощью
алгоритма быстрой свертки [15].
Несмотря на большое число приближений, вышеописанный ме-
тод дал поразительное улучшение субъективного качества запи-
сей Карузо. Аналогичное улучшение можно ожидать при обработ-
ке речи или музыки, записанной в реверберирующей среде.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В главе рассмотрен один класс методов нелинейной обработ-
ки сигналов и их применение в ряде областей, включая улучшение
изображения, анализ речи и сейсмические исследования.
Сначала был рассмотрен общий класс гомоморфных систем и
сосредоточено внимание на двух подклассах, для которых были
найдены различные применения. Первым является класс мульти-
379
пликативных гомоморфных систем. Были рассмотрены специфиче-
ские для данного класса подробности и применение к обработке
изображений. Затем был рассмотрен класс систем, гомоморфных
относительно свертки. Ряд важных теоретических выводов для
этого класса систем основан на том факте, что характеристическая
система требует специальной интерпретации комплексного лога-
рифма. Поэтому были подробно рассмотрены свойства выходных
сигналов характеристической системы, т. е. комплексный кепстр
и ряд реализаций характеристической системы. Кратко рассмотре-
ны применения этих методов к обработке речи, удалению отраже-
ний в речевых сигналах, анализу сейсмических сигналов и восста-
новлению акустических записей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. V. Oppenheim. «Superposition in a Class of Nonlinear Systems», Tech.
Rept. 432, Research Laboratory of Electronics, MIT, Cambridge, Mass., Mar.
1965.
2. A. V. Oppenheim. «Generalized Superposition», Inform. Control, Vol. 11, Nos.
5—6, Now.-Dec. 1967, p. 528—536.
3. А. Оппенгейм, P. Шафер, T. Стокхем мл. Нелинейная фильтрация сигналов,
представленных в виде произведения и свертки. М.: ТИИЭР, 1968, т. 56,
№ 8, с. 5—46.
4. А. V. Oppenheim. «Generalized Linear Filtering», Chapter 8 in Digital
Procrssing of Sirnals, B. Gold and С. M. Rader, McGraw-Hill Book Company,
New York, 1969.
5. T. G. Stockham, Jr. «The Application of Generalized Linearity to Automatic
Gain Control», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-16, June 1968.
p. 267—270.
6. T. G. Stockham, Jr. «Image Processing in the Context of a Visual Model»,
Proc. IEEE, Vol. 60, No. 7, July 1972, p. 828—842.
7. A. V. Oppenheim. «Nonlinear Filtering of Convolved Signals», Quart. Progr.
Rept. 80, Research Laboratory of Electronics, MIT, Cambridge, Mass.. Jan.
1966, p. 168—175.
8. R. W. Schafer. «Echo Removal by Generalized Linear Filtering», Tech. Rept.
466, MIT Research Laboratory of Electronics, MIT, Cambridge, Mass., Frb.
1969. Also Ph. D. Thesis, Department of Elec. Engineering, MIT, Feb. 1968.
9. В. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey. «The Quefrency Analysis of
Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo-autocovariance, Cross-Cepstrum,
and Saphe Cracking», Proc. Symp. Time Series Analysis, M. Rosenblatt, Ed.,
New York, John, Wiley & Sons, Inc., New York, 1963, p. 209—243.
10. Дж. Л. Фланаган. Анализ, синтез и восприятие речи. М.: Связь, 1968.
11. А. V. Oppenheim and R. W. Schafer. «Homomorphic Analysis of Speech 2,
IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-16, No. 2, June 1968, p. 221—226.
12. A. M. Noll. «Cepstrum Pitch Determination», J. Acoust. Soc. Amer., Vol. 41.
Feb. 1967, p. 293—309.
13. A. V. Oppenheim. «А Speech Analysis—Synthesis System Based on Homo-
morphic Filtering», J. Acoust. Soc. Amer., Vol. 45, Feb. 1969, p. 458—465.
14. R. W. Schafer and L. R. Rabiner. «System for Automatic Formant Analysis
of Voiced Speech», J. Acoust. Soc. Amer. Vol. 47, No. 2, Pt. 2, Feb, 1970,
p. 634—648.
15. T. J. Ulrych. «Application of Homomorphic Deconvolution to Seismology»,
Geophys., Vol. 36, No. 4, Aug. 1971, p. 650—660.
16. T. G. Stockham, Jr. «Restoration of Old Acoustic Recordings by Means of
Digital Signal Processing», Preprint, 41st Convention, Audio Engineering
Society, New York, Oct. 1971.
380
Глава 11.
Оценка спектра мощности
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важных областей применения методов цифровой
обработки сигналов, например, таких, как алгоритмы быстрого
преобразования Фурье, является оценка автоковариации и спект-
ра мощности случайной последовательности. Необходимость оцен-
ки спектра мощности возникает во многих ситуациях, включая из-
мерение спектра шума для синтеза оптимальных линейных фильт-
ров, обнаружение узкополосных сигналов на фоне широкополос-
ного шума, оценку параметров линейной системы с помощью шу-
мового возбуждения.
Формальное математическое обоснование методов оценки спект-
ра мощности можно найти в теории оценок. Однако оптимальные
методы оценки, такие, как метод максимального правдоподобия,
обычно требуют больше информации о сигнале, чем имеется. По
этой причине оценка спектра мощности в том виде, как она прак-
тикуется в настоящее время, имеет эмпирическую основу, причем
выбор того или иного метода связан с компромиссом и, как прави-
ло, нет общего согласия относительно того, какой из эмпириче-
ских методов является наилучшим.
Цель настоящей главы состоит в том, чтобы дать короткое и
элементарное введение в методы оценки спектра мощности и по-
нять роль, которую могут играть методы цифровой обработки сиг-
налов, рассмотренные в предыдущих главах.
Основными работами по оценке спектра являются книги Барт-
лета [1], Блэкмана и Тьюки [2], Гренандера и Розенблатта [3]
и Хеннана [4]. Более поздними работами являются книги Джен-
кинса и Баттса [5] и Купменса [6]. Последующий материал в
значительной степени позаимствован из этих книг. Вначале позна-
комимся с основными понятиями общей теории оценок в примене-
нии к оценке средних случайного процесса. Затем рассмотрим
применение этих основополагающих идей к задаче оценки авто-
корреляционной последовательности или автоковариационной по-
следовательности стационарного случайного процесса. Далее наше
внимание будет направлено на оценку спектра мощности с учетом
трудностей, встречающихся при применении стандартных мето-
дов. Наконец, обсудим применение некоторых методов цифровой
обработки сигналов, рассмотренных в предыдущих главах, к оцен-
ке корреляционных последовательностей и спектра мощности.
11.1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ОЦЕНОК
В гл. 8 было рассмотрено понятие случайного процесса и дана
его характеристика на основе средних значений. При эмпириче-
381
ском описании сигнала моделью случайного процесса часто необ-
ходимо оценить средние значения случайного процесса по единст-
венной выборочной последовательности, т. е. по последовательно-
сти х(п), которая считается реализацией случайного процесса, оп-
ределяемого множеством случайных величин {хп}. Кроме того,
вычисление оценки возможно только тогда, когда она основана на
конечном отрезке выборочной последовательности х(п). Если рас-
сматриваются эргодические случайные процессы, т. е. процессы, у
которых вероятностные средние равны средним по времени, то
вполне вероятно, что можно вычислить оценки различных требуе-
мых средних значений случайных величин {хп} по конечному от-
резку х(п), —1, единственной выборочной последователь-
ности. Например, рассмотрим случайный процесс, для которого
QO
тх = Е[хп] = J xpx(x)dx, для всех п. (П-1)
—оо
Более того, предположим, что
N
тж=<хп>=Цт[1/(2#+1)] Ухп (11.2)
и для каждой выборочной последовательности случайного процес-
са
N
тж = <х(п)> = 11т[1да+1)] У х(п). (11.3)
n=_N
л
Тогда величина тх = (1/N) х (п) могла бы быть достаточно
п=0
точной оценкой тх, если Af «достаточно велико». Ветвь статистиче-
ской теории, которая имеет отношение к подобным ситуацйям, на-
зывается теорией оценок. В более общей ситуации, по сравнению
с рассматриваемой здесь, также имеется большое число вопросов,
требующих ответа. Например, если случайная последовательность
генерируется дискретной линейной системой при возбуждении ее
белым шумом, то представляет интерес оценка параметров этой
линейной системы. Другой возможной целью анализа может быть
просто решение вопроса о том, является ли процесс белым или не-
белым. Для характеристики процесса можно оценить такие пара-
метры, как среднее, дисперсия, автоковариационная последова-
тельность или спектр мощности. В следующих параграфах будут
оценены именно эти параметры.
Рассмотрим стационарный случайный процесс {х„}, —оо</г<
<оо. Его среднее значение тх определяется выражением (11.1),
а временное среднее—(П-2). Предположим также, что времен-
ное среднее каждой выборочной последовательности (11.3) равно
тх. Дисперсия случайного процесса определяется как
<% = Е [(хп—mx)2l = <(хп—тх}2>. (11.4)
382
Автоковариационная последовательность определяется как
^хх\т)-=Е \(хп — тх) ( х*п+т—т*:)] = <(х„ —mJ ( х*п+т — пР )>,
(11-5)
а спектр мощности как
Рхх^)= £ vxx(m)e~'am. (11.6)
ГП=—со
Параметр случайного процесса определяется по конечному от-
резку единственной выборочной последовательности, т. е. имеется
N значений х(п) при 0=С/1=СД'—1, по которым оценивают некото-
рый параметр, обозначенный а. Оценка а параметра а, таким об-
разом, является функцией случайных величин хп, 0^n^.N—1, т. е.
а=А[х0, xi,..., Xjv-i] , и, следовательно, а также случайная вели-
чина. Плотность вероятности а будем обозначать р - (а). Аналити-
СО
ческое выражение для р- (а) и ее форма будут зависеть от выбо-
сс
ра алгоритма оценки F[ ] и плотностей вероятности случайных ве-
личин хп, как показано па рис. 11.1. Резонно называть алгоритм
Рис. 11.1. Плотность распреде-
ления вероятности двух оце-
нок
Рис. 11.2. Доверительные пре-
делы для оценки
«хорошим», если оценка с большой вероятностью близка к а. С
. этой точки зрения оценка 2 на рис. 11.1 лучше оценки 1, так как
плотность вероятности оценки 2 более сконцентрирована около ис-
тинного значения а.
Один из способов, с помощью которого можно охарактеризо-
вать концентрацию плотности вероятности, состоит в задании дове-
рительного интервала. Например, для плотности распределения,
изображенной на рис. 11.2, площадь под функцией плотности рас-
’ пределения в пределах а—Д2^а^а+Д1 представляет вероятность
того, что оценка будет лежать в этих пределах. Поэтому если
. обозначить эту площадь как (1—р), то вероятность [—Д2^(а—
• —а)^Д1] = (1—р). Таким образом, например, если для данной
оценки найдено, что при Д1 = Д2 = 0,1 площадь (1—р) равна 0,95,
то в этом случае можно сказать, что с 95 %-ной уверенностью
оценка будет в пределах ±0,1 около истинного значения.
383
Вообще, вероятно, что для хорошего алгоритма оценки функ-
ция плотности р - (а) должна быть узкой и сконцентрированной
СО
около истинного значения и на этой основе можно сравнивать раз-
личные алгоритмы. В соответствии с этим замечанием, как прави-
ло, в качестве критерия для сравнения оценок выбираются сме-
щение и дисперсия. Смещение определяется как разность между
истинным значением параметра и средним значением оценки:
л
смещение = а—£[а]АВ. (1-1.7)
Несмещенной называется оценка, для которой смещение равно ну-
лю. Это означает, что среднее оценки равно истинному значению,
т. е. если плотность вероятности р - (а) симметрична, то ее центр
СО
совпадает с истинным значением а. Дисперсия оценки является
мерой ширины плотности вероятности и определяется выражением
л л л 2
var[a] = £[(a—£[а])2] = а„. (П-8)
а
Малая величина дисперсии предполагает, что плотность вероят-
ности р (а) сконцентрирована около среднего значения, которое в
СО
случае, когда оценка не смещена, будет совпадать с истинным зна-
чением параметра. Во многих случаях сравнение оценок осложня-
ется тем, что оценка, имеющая малое смещение, имеет большую
дисперсию или наоборот. Следовательно, иногда удобно рассмат-
ривать среднеквадратическую ошибку, которая определяется вы-
ражением
Л 2
среднеквадратическая ошибка = £[(а—а)2] = а. 4-В2. (11.9)
а
Оценка называется состоятельной, если с увеличением числа на-
блюдений ее смещение и дисперсия стремятся к нулю.
В качестве иллюстрации вышеизложенного рассмотрим случай-
ный процесс с гауссовой плотностью вероятности, т. е. рХп (х) =
= (V J/ 2noJC)e_(x-mx)2/2<’2x. Будем также предполагать, что случай-
ные величины {хп} статистически независимы, в частности х0,
Xi....Xjv-i действительны и статистически независимы. Часто ис-
пользуются оценки максимального правдоподобия. Оценка макси-
мального правдоподобия основана на рассмотрении совместной
плотности наблюдаемых N значений как функции оцениваемого
параметра. Оценка максимального правдоподобия является тем
значением параметра, при котором вероятность наблюдаемых зна-
чений максимальна. Хорошо известно [7], что для рассматривае-
мой задачи оценка максимального правдоподобия среднего значе-
ния тх гауссового случайного процесса является выборочным
средним:
л
выборочное среднее =/пх—(1/Х) (11.10)
1=0
384
Это один из способов оценки параметра тх. Так как тх является
взвешенной суммой независимых гауссовых случайных величин, то
плотность вероятности р * (tnx) также гауссова [7] и, следова-
тх
тельно, полностью определяется смещением и дисперсией оценки.
Математическое ожидание тх равно математическому ожиданию
хп и, следовательно, смещение равно нулю. Чтобы получить дис-
персию выборочного среднего, необходимо вычислить
Е[т2] = (!/№) 2 = (!/•№) +
i=0 /=0 1=0
N-l N-l 1
+ 2 =(1/^)£[%2 ]+m2[(N—
i=0 i=o J
i^i
Поэтому
АЛ Л
var [mx]=E [tn2 ] — {E [tnx]}2=(\/N) (E [x2n] — m2x) = (1/N)a2x.
(11-11)
Выражение (11.11) говорит о том, что с увеличением числа наблю-
дений дисперсия выборочного среднего уменьшается и, так как
смещение равно нулю, то выборочное среднее является состоятель-
ной оценкой.
Если среднее значение известно, а нужно оценить дисперсию, то
оценкой максимального правдоподобия будет
=(1/^2(М-^х)2- (П-12)
i=0
Непосредственно проверяется, что эта оценка состоятельна. Од-
нако требуется, чтобы параметр тх был известен. В том случае,
когда нужно оценить как среднее, так и дисперсию, оценкой
максимального правдоподобия, для среднего как и прежде, будет
выборочное среднее, а оценкой максимального правдоподобия для
дисперсии будет выборочная дисперсия, определяемая выраже-
нием
Л N~' Л
MW) (11лз>
i=0
где тх является выборочным средним. Выражение (11.13) отли-
чается от (11.12) тем, что в первом случае использовалось истин-
ное среднее значение, а во втором — оценка этого среднего. Для
определения смещения выборочной дисперсии (11.13) вычислим
сначала математическое ожидание о2х
л 2V-1 л л
Е [ ] = (Ш) 2 (Е [ X?] + Е - 2Е [х^]) =
i=0
13—117
385
N—1 N— 1 N— 1
= (1/N) 2^[х?]+(1/№) 2 ^E[XiXj]-(2/N^ x
i=0 z=0 /=0
N—1 N— 1
x 2 2£[x^=i(yv-1)/yv]£[xf]-[(jv-i)/^imx =
i=0 /=0
= [(N—1)/N]o2. (11.14)
Следовательно, среднее значение выборочной дисперсии не равно
дисперсии и, таким образом, выборочная дисперсия является сме-
щенной оценкой. Однако при увеличении N среднее выборочной
дисперсии приближается к дисперсии и оценка асимптотически не
смещена. Для определения дисперсии выборочной дисперсии пред-
положим сначала для удобства, что процесс имеет нулевое сред-
нее, так что v=o2 = (l/N) 2 Тогда
i=0
N N
£[г>2] = (!/№) 2 2£Ил>]=(1^2)[Л^К] +
i=l r=l
+ ^^-1){£[х2]}2]=(1^) [£[x< ]+(ЛГ-1) {E[x2n ] }* ].
Нетрудно заметить, что E[v] = E[x2n], и поэтому
var [q2 ] = £[о2] —(£[&])* = ( 1/ЛГ) {Е [<]-(£[х2 ])2 }. (11.15)
Таким образом, из (11.14) и (11.15) видно, что выборочная дис-
персия является состоятельной оценкой.
Целью предыдущего обсуждения была иллюстрация методов
анализа при описании свойств оценок. Этот анализ дает представ-
ление о точности оценки и о том, как эта точность зависит от чис-
ла выборок, используемых для оценки.
Чтобы вычислить доверительные пределы для оценок, нужно
знать распределение вероятности случайных величин хп- Когда ве-
роятностные распределения неизвестны, что типично в задачах об-
работки сигналов, то обоснованно предполагается, что распределе-
ния являются гауссовыми. Для этого предполагаемого распреде-
ления случайных величин хп часто оказывается возможным при-
ближенно вывести доверительные пределы для оценок среднего,
дисперсии и т. д. Однако во многих случаях достаточно выраже-
ний для смещения и дисперсии оценок. Даже приближенные вы-
ражения, показывающие зависимость смещения и дисперсии от
длины выборочной последовательности, полезны при применении
методов цифровой обработки сигналов, рассмотренных в преды-
дущих главах, к задаче оценки средних значений случайных сигна-
лов. Поэтому в следующих параграфах будут получены выраже-
ния для смещения и дисперсии различных оценок автоковариации
и спектра мощности стационарного случайного сигнала. Эти выра-
жения помогут понять проблемы, встречающиеся при вычислении
таких оценок.
386
11.2. ОЦЕНКИ АВТОКОВАРИАЦИИ
Понятия, введенные в предыдущем параграфе, можно приме-
нить при изучении оценок автоковариационной последовательности
случайного процесса. Снова предположим, что {хп}, —оо<п<оо—
стационарный случайный процесс и среднее равно нулю, т. е. тх=
=£[хп]=0 для всех п. Тогда автоковариационная последова-
тельность имеет вид
Vkx (т) = Е [хпхп_|_т]
и равна также автокорреляционной последовательности <рхх(т).
Поэтому впредь будем говорить об оценках автокорреляционной
последовательности, сознавая, что автокорреляция и автоковариа-
ция совпадают при нулевом среднем процесса. Предположим да-
лее, что
vxx{m) = <.x{n\ х* (п + т)> (11.16)
для всех выборочных последовательностей. Выражение (11.16)
можно записать также в виде vxx(m) = <2gт (п)>, где gт (п) =
= х(п) х* (п-\- т). Следовательно, оценку автоковариации процесса
с нулевым средним можно понимать как оценку среднего значе-
ния процесса gm(n)- При N последовательных значениях х(п) име-
ется (.V—т) последовательных выборок gm(n), по которым оцени-
вается среднее значение gm(n). Применяя выборочное среднее,
рассмотренное в предыдущем параграфе, получим оценку авто-
корреляционной последовательности
<x(m)= [1/(1V—|m|)J 2 x(n) x* (n +m), (11.17)
n=0
где |m|<.V. Если последовательность gm(n) гауссова, то (11.17)
является оценкой максимального правдоподобия автокорреляцион-
ной последовательности. В общем случае формальная процедура
для определения оценки максимального правдоподобия приводит
к системе уравнений, которая не поддается решению, даже если
известно вероятностное распределение gm(n). Однако, даже если
(11.17) не будет формально оптимальной оценкой, тем не менее
это выражение дает приемлемую оценку автокорреляционной по-
следовательности. Легко видеть, что с'хх(т) является несмещенной
оценкой q>xx(m), так как Е[х(п)х* =q>xx(m). Дисперсия
с'хх(т) может быть найдена так, как это сделано в § 11.1, однако
это связано с утомительными математическими преобразованиями,
которые здесь опускаются. Приближенное выражение для диспер-
сии [5] имеет вид
09
var [с1хИ] И!]2} 2 [ + Фхх (r + m) X
г=—со
(11.18)
13*
387
Это выражение справедливо при JV, много большем, чем т, но в
общем случае с'хх(т) пропорционально 1/JV, как и в (11.18). Так
как смещение равно нулю и
lim {var [z/x(m)]}-^0,
то с'хх является состоятельной оценкой <рхж(ш).
Другой оценкой автокорреляционной последовательности явля-
ется
JV-lml-l
cxx(m) = (l/N} x(n)x(n + m). (11.19)
п=0
Эта оценка отличается от с'хх(т) в (11.17) только сомножителем
перед суммой. Сравнение (11.17) и (11.19) дает
Схх(т) =[(N — \m\)/N] с'хх(т). (11.20)
Так как математическое ожидание с'хх(т) равно <рхх(т), то мате-
матическое ожидание схх(т) равно
£ [схж (m)] = [(W— ]m\)/N]<f>xx(m). (11.21)
Следовательно, схх(т) является смещенной оценкой автокорреля-
ционной последовательности, хотя асимптотически она не смещена.
В частности, смещение оценки схх(т) равно
смещение = <рхх(т) [m/N], (11.22)
Из (11.20) следует, что дисперсия схх(т) равна дисперсии с'хх(т)
с коэффициентом [ (N—| т |) /N\2, и поэтому при больших по срав-
нению с т значениях N
оо
var[cxx(m)] s (1/Л/) [Ф^Н + Фхх^ + ^Фхх^—«Ж (П-23)
г=—оо
При приближении т к N дисперсия оценки с'хх(т) становится
очень большой. Это следует из того, что оценка с'хх(т) основана
на вычислении выборочного среднего последовательности gm(n)-
Если т такого же порядка, что и УУ, то имеется только небольшое
число точек для вычисления выборочного среднего gm(ti). По этой
причине при приближении т к длине выборки дисперсия оценки
с'хх(т) становится очень большой и такая оценка бесполезна. С
другой стороны, дисперсия смещенной оценки схх(т) не будет та-
кой большой при т порядка длины выборки. Однако при прибли-
жении т и N смещение стремится к <рхх(т), т. е. среднее значение
оценки стремится к нулю. Так как смещение сравнимо с самой
функцией, которую мы оцениваем, то эта оценка также не может
считаться приемлемой при т порядка N.
Вышеприведенные выводы были основаны на рассмотрении
смещения и дисперсии при увеличении задержки т, когда длина
выборки фиксирована. Можно зафиксировать задержку и рассмот-
реть смещение и дисперсию оценки при увеличении N. При посто-
' 388
янном т из (11.18) видно, что дисперсия несмещенной оценки
с'хх(т) уменьшается с увеличением N. Для смещенной оценки из
(11.22) и (11.23) видно, что как смещение, так и дисперсия умень-
шаются при увеличении N. Дженкинс и Ватте |[5] предположили,
что во многих случаях среднеквадратическая ошибка у смещенной
оценки меньше, чем у несмещенной. Будучи справедливым, это
предположение обосновывало бы выбор смещенной оценки схх(т).
Однако обе оценки асимптотически не смещены, и поэтому в об-
щем случае можно добиться улучшения оценки автокорреляцион-
ной последовательности за счет увеличения числа выборок.
11.3. ПЕРИОДОГРАММА КАК ОЦЕНКА СПЕКТРА
МОЩНОСТИ
В предыдущем параграфе были рассмотрены две возможные
оценки автоковариационной последовательности, откуда видно, что
эти оценки являются состоятельными асимптотически несмещенны-
ми оценками автоковариации. Кажется, что преобразование Фурье
от таких оценок автоковариационной последовательности даст хо-
рошую оценку плотности спектра мощности. К сожалению, это не
так. Покажем, что преобразование Фурье состоятельных оценок ко-
вариации не является состоятельной оценкой спектра мощности,
так как дисперсия не стремится к нулю при увеличении длины вы-
борки ЛЛ Однако увидим, что путем сглаживания преобразования
Фурье оценки ковариации можно получить хорошую оценку спек-
тра мощности.
В общем случае точные выражения для дисперсии оценок спек-
тра становятся очень громоздкими. Чтобы получить наглядные ре-
зультаты спектрального анализа, полезно вывести приближенные
выражения, которые легко интерпретировать. Поэтому многие вы-
ражения, выведенные ниже, будут только приближенными.
11.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММЫ
В качестве оценки плотности спектра мощности рассмотрим
преобразование Фурье смещенной оценки схх(т) автокорреляции,
т. е.
N-I
ZN(W)= 2 схх{т)е-'1<йп. (11.24)
m=—(N—I)
Так как преобразование Фурье действительной последовательности
конечной длины х(п), O^n^N—1 равно
N-1
X (е' ®) = 2 х (га) е-' ° П > т0 можно показать,
п=0
что/N(w)=(l/^|x(e,<B)|2- (11-25)
389
Оценка спектра /л-(со) часто называется периодограммой.
Представляет интерес определить смещение и дисперсию перио-
дограммы как оценки спектра мощности. Математическое ожида-
ние равно
£[7„(<О)]= 2* Е И1 е' “ т-
(11.26)
Так как для процесса с нулевым средним было показано, что
Е[схх(т)] = [(N—\m\) /N]<pxx(m), |m| <N, то
N—l
£[M“)]= 2 (11.27)
m=-(N—I)
Таким образом, из-за конечных пределов суммирования и сомно-
жителя (N— | т |) /N E[In (со)] не равно преобразованию Фурье от
Ц>хх(т), и, следовательно, периодограмма является смещенной
оценкой спектра мощности Pxx(co).
С другой стороны, рассмотрим преобразование Фурье оценки
с'хХ(т), т. е.
pn^= 2 с«Ме 1
т=— (N— 1)
(11.28)
Математическое ожидание PN(a>) равно
(<”)] = S’ £[<x(/n)]e-iffl'”= 2‘
zn=—(TV—1) m=— (N— I)
(11.29)
Из-за конечных пределов суммирования это будет смещенная
оценка Лтх(<о), несмотря на то, что с'хх(т) —несмещенная оценка
<рхх(т).
Можно трактовать (11.27) и (11.29) как преобразования Фурье
взвешенных автокорреляционных последовательностей. В случае
(11.27) функция окна имеет треугольный вид
TV — | tn I . I v
----!1, \т < N;
N 1 1
0 — в остальных случаях.
В гл. 5 мы назвали ее окном Бартлета. Для (11.29) окно— прямо-
угольное, т. е.
(11.30)
»BW
| т | < N;
в остальных случаях.
(11.31)
Используя понятия, введенные в гл. 5, нетрудно видеть, что
(11.27) и (11.29) можно трактовать как свертки в частотной обла-
сти
390
£[Лу(®)]=(1/2л) j\x(0)rs(e,(“-0))d0 (11.32)
—Л
и Е[Р„И] = (1/2л) (11.33)
—Л
где WB (е* ®) = (Д/N) (sin [<» A7/2]/sin [ш/2])2 (11.34)
и UMei;“)={sin[w(2W—l)/2]/sin[co/2]} (11.35)
— преобразования Фурье окна Бартлета и прямоугольного окна
соответственно.
11.3.2. ДИСПЕРСИЯ ПЕРИОДОГРАММЫ
Чтобы получить выражение для дисперсии периодограммы,
удобно сначала предположить, что последовательность х(п),
QtS^n^.N—1 является реализацией действительного белого про-
цесса с нулевым средним и гауссовой плотностью вероятности.
Периодограмму /N(co) можно записать в виде
N—I N—1
4(®) = (1/ЛГ) | Х(е1<“)|2 = (W) ££ x(Z)x(m)e,ffl'”e-i‘‘>;.
1=0 т=0
Чтобы оценить ковариацию 1^(а>) на двух частотах coi и сог,
рассмотрим сначала
N—1 N—1 N— I N—I
я [ (®i) iN (®2)] = (i/№) 2 2 S S?[х х ®х х (п)] х
А=0 Z=0 т=0 п=0
х ej [®, (A—l)+a>2 (т-п)] (1 1.36)
Упростим выражение (11.36). В общем случае не представляется
возможным получить очень простой результат, даже когда х(п)—
белый шум, потому что равенство Е[х(п)х(п + т)]=о2х8(/п) не
гарантирует простое выражение для E[x(k)x(l)x(m)x(n)] для
всех комбинаций k, I, т и п. Однако в случае белого гауссова про-
цесса можно показать [7], что
Е [х (k) х (Z) х (т) х («)] = Е [х( k) х (Z)] Е [х (т) х («)] +
+ Е [х (k) х (m)] Е [х (Z) х (и)] + Е [х (k) х (и)] Е [х (Z) х (т)].
Следовательно,
/
Е [х (k) х (Z) х (т) х (п)] =
<^, k = l и т = п;
или k = т и Z = п;
или k =п и Z — т;
О— в остальных случаях.
(11.37)
Для других совместных плотностей вероятностей результат не
обязательно будет таким простым, но наша цель в том, чтобы по-
нять проблемы оценки спектра, а не в том, чтобы получить общую
391
формулу, которая была бы применима во многих случаях и неиз-
бежно была бы трудна для интерпретации. Если подставить
(11.37) в (11.36), то
Е [ IN (со,) IN (а>а)] = (<#№) <№ + ^'e1 +
I т=0 п=0
N—IN—I
д 2 2 е* (п—<<>!—<о2)
т=0 п=0
или Е Г / (со,) /, (со2) ] = о4 (1 + ( + +
L nv v nv 2/j \ ;v sin [(co, + coa)/2] >
/ sin [(co, — а>2) (V/2 у 1
\Wsin [(со,— co2)/2] ) / ’
(Если сигнал не гауссов (11.38) содержит добавочные члены, про-
порциональные 1/Л'[4, 8].) Ковариация периодограммы равна
cov [ IN (со,), IN (со2)] = Е [ IN (со,) IN (<o2)]—E [ IN (co,)] E [ IN (<o2)].
(11.39)
Так как E[IN (coi)] =E[IN(a2)] = o2x, то из (11.38) и (11.39) полу-
чим
cov ГIN (co,), IN (co2) j = <4 f pi" [(<>!+^)Л//2] у +
[ N V 1/ NV 2/ J [(Ш1+ <o2)/2] )
/sin [(co, — co2) (V/2] \2| (11 40)
\^sin[(co,-co2)/2] / / V f
Из (11.40) можно получить несколько интересных выводов от-
носительно периодограммы. Дисперсия оценки спектра на частоте
co = coj = co2 равна
var [ IN (со)] = cov [ IN (со), IN (со)] = {1 + [(sin [со N])/N sin со]2}.
(11.41)
Ясно, что дисперсия Лу (со) не стремится к нулю при N, стремя-
щемся к бесконечности. Поэтому периодограмма не является со-
стоятельной оценкой. В действительности var[In(со)] имеет 'поря-
док ю4х при любом М
Из (11.40) также видно, что для частот coi = 2n£,/W и coz^nZ/.V,
где k и I — целое число,
г г / . г , [/ sin [л (k +01 \2 ,
cov [ Е, (со,), (со.,) ] = а* {(--L—1—1—-— ) +
[ nV и> nv wsin[n(fe + l)/W] /
+ (- sin УI (11.42)
\ (Vsin[n(fc — l)/N] J }
выражение (11.42) равно нулю при /г=/=/. Таким образом, значе-
ния периодограммы, разнесенные по частоте на величину, кратную
2n/N, некоррелированны. При увеличении эти некоррелирован-
ные частотные выборки приближаются друг к другу. Можно ожи-
392
дать, что хорошая оценка спектра мощности будет приближаться
к константе при увеличении N, так как мы предположили, что сиг-
нал является белым процессом. Вследствие того, что дисперсия пе-
риодограммы приближается к ненулевой постоянной и что рас-
Рис. 11.3. Периодограммы, показывающие увеличение флуктуаций с ростом ЛГ:
а) #=14; б) #=51; в) #=135, г) #=452
стояние между некоррелированными спектральными выборками
уменьшается при увеличении N, скорость флуктуации периодо-
граммы увеличивается при увеличении длины отрезка реализации.
Это иллюстрируется рис. 11.3, где изображена периодограмма для
Л^=14, 51, 135 и 452.
11.3.3. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ
Предыдущие рассуждения касались оценки спектра белого
шума. Если рассматриваемый процесс гауссов, но не белый, то
анализ значительно затрудняется. При расчете ковариации между
спектральными выборками в этом более общем случае полезно
придерживаться эвристического подхода и вывести приближенное
выражение. Мы будем придерживаться этого подхода; более стро-
гий вывод дан Дженкинсом и Ваттсом [5]. Основой для данного
эвристического подхода является то, что небелая (окрашенная) по-
следовательность может генерироваться при воздействии белого
шума на линейную систему. Спектральная плотность мощности вы-
ходного шума равна произведению спектральной плотности на
входе на квадрат модуля частотной характеристики системы. Рас-
смотрим выборку небелого шума длины N. Конечно неверно счи-
тать, что отрезок небелого шума получается путем фильтрации от-
резка белого шума линейной системой из-за наличия переходных
процессов в начале и в конце отрезка. Тем не менее если длина
выборки велика по сравнению с длительностью импульсной харак-
теристики фильтра, то кажется вероятным, что выборка небе-
лого шума может быть аппроксимирована таким образом.
393
Теперь рассмотрим небелый гауссов процесс со спектральной
плотностью мощности Pxxfco). Пусть xN(n) обозначает отрезок не-
белого шума, состоящий из N точек, и пусть wN(n) обозначает та-
кой же отрезок белого шума с единичной дисперсией. Тогда наша
аппроксимация состоит в том, что х^(п) является результатом об-
работки wN(n) линейной системой, квадрат модуля частотной ха-
рактеристики которой равен Рях (со). Обозначая через /n(co) пери-
одограмму окрашенного шума, а через Iwn(g>) —периодограмму
белого шума, имеем
М<о)==(1/М)|ХЛ.(е1“)|2 ,
1% (со) = (W) |1М е‘“) |2,
и так как |Xjv(ei<0) |2Рх*(со) |^N(ei<0) | 2, то
^(ю)еРхх(®)/”(со).
Следовательно, используя (11.40), ковариацию периодограммы
можно приближенно выразить в виде
cov ГI IN (со2) 1 Рхх (coj Рхх (со2) | fSin + N/2^ V 4-
L JV ' JVC 2/J - XXC и xxc ^^Arsin[(W1_|_(O2)/2] )
, /sin [(CO! — a>2) N/2] \2| . (11.43)
К Nsin [(оц — g>2)/2] / J ’
Если вычислить (11.43) при частотах, разнесенных на величину,
кратную 2n/N, то снова убедимся, что выборки периодограммы на
этих частотах некоррелированны. Кроме того, дисперсия периодо-
граммы равна
var[ /„(«,)] =P’,W [1 +(^£L)’} • (11.44)
так что при увеличении N дисперсия становится пропорциональной
квадрату спектра. Таким образом, в общем случае периодограмма
не является состоятельной оценкой и можно ожидать, что она бу-
дет сильно флуктуировать около истинного значения спектра. Хо-
тя результаты, выведенные в этом параграфе, были основаны на
допущении, что плотности вероятностей являются гауссовыми, они
качественно справедливы и для более широкого класса распреде-
лений.
11.4. СГЛАЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ СПЕКТРА
Так как периодограмма не является состоятельной оценкой
спектра и ее поведение при увеличении N имеет крайне нежела-
тельный характер, то необходимо изучить другие оценки, дающие
лучшие результаты. Покажем, как можно использовать периодо-
грамму для получения состоятельной оценки спектра. Наш инте-
рес к периодограмме объясняется тем, что, как будет ясно в даль-
нейшем, ее можно легко получить, используя алгоритмы БПФ.
394
11.4.1. УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММ (ПРОЦЕДУРА БАРТЛЕТА)
Стандартный подход к уменьшению дисперсии оценок состо-
ит в усреднении независимых оценок. Применение этого подхода
к оценке спектра часто приписывается Бартлету. При этом подхо-
де последовательность данных х(п), —1 делят на К
отрезков тю М выборок каждый, так что N — КМ, т. е. формирует
отрезки
x(i) (n)=x(n + iM—М), О^п^М— 1, 1 (11.45)
и вычисляют периодограммы
/(б (со) = (1/М)
М—1
2 x(i) («) е*(<в) л
(11.46)
1 < i < К.
Если мало при т>М, то можно предположить, что пери-
одограммы взаимно независимы. Тогда оценка спектра оп-
ределяется выражением
к
5ХхИ = (1//0£^(®). (11.47)
«=1
Математическое ожидание этой оценки спектра равно
Е [Вхх (со)] = (1/К) 2 Е [ IW (Ш)] = Е [ ((й)] .
i=i
Из (11.32) и (11.34) замечаем, что
Л
Е («,)]=£[ К» («>)] = (1/2л М) J(0) 'У** ’
—Л
(11.48)
т. е. математическое ожидание оценки Бартлета равно свертке
истинного спектра Рхх(а) с преобразованием Фурье треугольной
функции окна, соответствующей М-выборочной периодограмме
при M—N/K. Таким образом, оценка Бартлета также является
смещенной. Если предположить, что К периодограмм, усреднен-
ных согласно (11.47), статистически независимы, то Вхх(со) явля-
ется выборочным средним К независимых наблюдений периодо-
граммы 1м (со) • Поэтому из (11.11) и (11.44) имеем
уаг|В,,(И)1 -(!/*) var [ l„ (<о) (1 +(f^))!)
(11.49)
Отсюда ясно видно, что дисперсия Вхх(со) обратно пропорциональ-
на числу усредняемых периодограмм и при увеличении К стремит-
ся к нулю. Таким образом, оценка Бартлета состоятельна.
Сравнение выражения (11.48) для Е[5хх(со)] с выражением
(11.32) для E[/jv(co)] показывает, что в обоих случаях математи-
395
ческое ожидание оценки имеет вид свертки истинного спектра со
«спектральным окном» вида
П7 ( е1 “) = — Zsin [(0 Y
в N’ \ sin [<о] / ’
где N'=N для периодограммы и N'=M=NJK для оценки Бартле-
та. Смещение Вхх(со) больше смещения /n(<o) из-за большей ши-
рины главного лепестка спектрального окна. Следовательно, сме-
щение можно связать со спектральной разрешающей способно-
стью. При фиксированной длине выборки с увеличением числа пе-
риодограмм дисперсия уменьшается, но уменьшается и М, и по-
этому ухудшается разрешающая способность. Таким образом, име-
ется компромисс между смещением или спектральной разрешаю-
щей способностью и дисперсией оценки в процедуре Бартлета.
Конкретный выбор и jV при измерении спектра будет опреде-
ляться'априорными сведениями о сигнале. Например, если мы зна-
ем, что спектр имеет очень узкий пик и если его важно выделить,
то нужно выбрать М достаточно большим для получения необхо-
димой спектральной разрешающей способности. Из выражения для
дисперсии можно определить длину выборки N=KM, необходимую
для получения приемлемой дисперсии оценки спектра.
11.4.2. ВЫБОР ОКНА
Итак, дисперсия спектральной оценки Бартлета уменьшается
за счет увеличения смещения и ухудшения спектральной разреша-
ющей способности. В процедуре Бартлета разрешающая способ-
ность уменьшается из-за использования более коротких отрезков
выборочной последовательности. Другой подход состоит в сглажи-
вании периодограммы путем свертки ее с подходящим спектраль-
ным окном [2], т. е. если 5ХХ(<») обозначает сглаженную периодо-
грамму,
Л
5хх(®) = (1/2л) J /2V(0)r(ei(B~e’)de, (11.50)
—Л
где №(е1м)—спектральное окно. Так как периодограмма являет-
ся преобразованием Фурье от схх(т), то Зхх(со) является преобра-
зованием Фурье от произведения схх(т) на обратное преобразова-
Л
ние Фурье от IF(elw). Таким образом, если w(m) = (\12л. j 1F-X
—Л
X (e1M)e1Mmd® — окно длины 2М—1, то
м—1
Зхх((о)= ^(/п)щ(/п)е-,ит. (11.51)
т=—(М-Г)
Окно w(m) должно быть четной последовательностью, чтобы
Зхх(со) было действительной и четной функцией при действитель-
ных х(п). К тому же, вспомним, что спектр мощности является
неотрицательной функцией частоты и, следовательно, резонно по-
396
требовать, чтобы Зхх(со) была также неотрицательной функцией.
Отметим, что как периодограмма, так и оценка Бартлета — неот-
рицательные функции частоты. Из (11.50) ясно видно, что доста-
точным, хотя явно не необходимым, условием для неотрицатель-
ности Зхх(со) является IF(e1M)^0, —л^со^л. Это условие вы-
полняется для треугольного окна (называемого также окном Барт-
лета), но не выполняется, например, для окна Хэмминга или окна
Хэннинга. Поэтому последовательности, соответствующие послед-
ним окнам, могут давать отрицательные оценки спектра мощности,
хотя и дают лучшую разрешающую способность по частоте и
меньшие боковые лепестки.
Легко видеть, что математическое ожидание от (11.50) равно
я
^[5ХХ(®)1 = (1/2л) р[7„(0)]Г(е1ММ. (11.52)
—л
Так как из (11.32) следует, что
л
Е [<v(0)]=(l/24 J Pxx(T)^B(ei(e-'p))dcp,
—л
то £[Sxx(co)] является сверткой в частотной области №B(eiM) и
№(е1м) с Рхх(со). Поэтому E[Sxx(co) ] является преобразованием
Фурье от (рхх(т), умноженной на треугольное окно wB(m) и w(tn),
т. е.
М-1
Е [Sxx (<£>)] = V фхх(т)щв(т)ш(т)е“‘<0'”, (11.53)
т=—(М—1)
где wB(m) = \—(|m|//V), | tn\ <N. Если М. мало по сравнению с
N, то U7(e1Q) будет широким по сравнению с 1Кд(е'01) и (11.52) бу-
дет приближенно представляться в виде
Е [Sxx (со)] « (1 /2л) J Рхх (0) W ( е1 (в“0)) d 0. (11.54)
—л
Как из (11.52), так и из (11.54) видно, что расширение спектраль-
ного окна приводит к дополнительному сглаживанию спектральной
оценки и уменьшению разрешающей способности по частоте.
Для рассмотрения влияния окна на дисперсию оценки спектра
можно рассчитать ковариацию сглаженной периодограммы точно
так же, как это делалось ранее. Ковариация между значениями на
двух частотах ап и сог равна
cov [Sxx (co±), Sxx (со2)] — E [(Sxx (cOj) E [5XX (озА)]) (Sxx (<o2)
—E[Sxx(cd2)])J.
Из (11.50) и (11.52)
Sxx(v)-E[S„x (cd)] s (1/2л) j"( Zn(0)-E[/„(©)])№(e; (B”0))d0,
—Л
397
поэтому
cov [Sxx (©О, 5XX (со2)1 = (1 /4л2) f fw ( e’ (ffl‘-0)) W (e* * x
Xcov[/n(9), IN(<p)]dQd<p. (11.55)
Однако из (11.43) следует, что
cov Г (9), /„ (ср) 1 = (9) Рхх (ср) Г( sin«e + <t>)jV/2l \2 +
L N' ’’ ) ХХСГ/Ц Arsin[(0 + (p)/2] )
/ sin [(6 — <р) (V/2] \21
\ №in [(6 — ф)/2] / J ’
Если предположить, что члены {sin [ (9 + cp)A72]/N sin [ (9 + q>)/2]}2
и {sin [(9—cp)N,/2]/N sin [(9—ср)/2]}2 узки по сравнению с измене-
ниями (9) и IF(ei0) и что они сильно сконцентрированы около
9=—ср и 9 = ср соответственно (при большом IV), то, приближенно
вычисляя интеграл по 9, получим*
cov [Sxx (сй^), Sxx (со2)] = (1/2л N) fp2xx (ср) W ( е’ (Й2~Ф)) х
X [Г (е1 (“1+ф)) + W (е' (ю‘~'г))] d ср. (11.56)
Если далее предположим, что спектральное окно достаточно узко,
чтобы пренебречь членом ^(е1<Ш1+<₽>) ^(е1^2-^), то (11.56) стано-
вится равным
я
cov [Sxx (coj, Sxx (со,)] = (1/2л Л/) J Р2ХХ (ср) Г (е' (в‘-ф)) X
—л
X Г(еЧи2-ф))с/ср. (1J.57)
Из (11.57) становится ясным, что при увеличении ширины спект-
рального окна lF(e1M) увеличивается перекрытие между W (е1<М1“’Р>)
Ц7 (е‘<Ю2-т)); ковариация между оценками на различных частотах
увеличивается.
Чтобы получить дисперсию спектральной оценки Sxx(со), под-
ставим в (11.57) со = (01 = иг- Тогда
var[Sxx(co)]s(l/2K^ pL(T)^2(ei(G,^))dcp. (11.58)
—л
Теперь предположим, что IF(e1M) узко по сравнению с изменения-
ми Ахх(со), т. е. что можно выбрать ширину окна w(n) достаточно
большой для получения необходимой разрешающей способности.
Тогда (11.58) можно аппроксимировать выражением
л
* Мы используем соотношение (1/2 л) J (sin [9 V/2J/M sin [0/2])2 d 9 = (1/М).
—я
398
л
var [S^ (co)] = (1/У) P2XX (co) (1 /2л) J IF2 ( e1 ф) d <p. (11.59a)
— Л
В соответствии -с теоремой Персеваля
л м—1
(1/2л) J IF2 (е‘ф) d ср = £ w2(m)
—Л zn= — (М—1)
при w(m)=^w(—т). Отсюда
(М —1 ч
-у w2 (т) j Р2ХХ (ш). (11.596)
т=—(М—1) '
Соотношения (11.54) и (11.59) являются приближенными вы-
ражениями для среднего и дисперсии спектральной оценки
£.та(со). Эти выражения справедливы при предположениях, что
ширина (2Л4—1) окна w(m) такова, что спектральное окно
W(е1ю) в одно и то же время узко по сравнению с изменениями
спектра Рхх(со) и широко по сравнению с sin [coAr/2]/sin [со/2])2.
Чтобы понять преимущества, даваемые окном, эти выражения
можно сравнить с соответствующими выражениями для периодо-
граммы. Из (11.27) видно, что периодограмма асимптотически не
смещена, т. е. lim£[Лу(со)] —Рж^(со). Из (11.54) видно, что при
увеличении длины отрезка N можно сделать ширину окна боль-
шой, так что спектральное окно W (е1и) будет узким по сравнению
с изменениями спектра Ржх(со), откуда следует, что
lim Е [Sxx (со)] = Рхх (со)} 1/2л) f W (е1 “) d со.
M — <o J
—л
Таким образом, для того чтобы сглаженная оценка спектра
была асимптотически несмещенной, нужно потребовать, чтобы
л
гс (0) =(1/2л) JU7(e‘“)dco= 1. Как-видно из (11.44), дис-
—л
Персия периодограммы равна приблизительно
(2Р2Д0), со = 0;
var (со)] =
2Р|х(л), со = л;
P2x(co)—в остальных случаях.
Следовательно, при 0<со<л дисперсия сглаженной периодограм-
мы sxx(co) отличается от дисперсии Av (со) коэффициентом
. м—I л
— £ w2(m) = (l/2n^ [ Г2 (е‘ “) dсо. (11.60)
т=— (М—I) —Л
Ясно, что нужно стремиться к тому, чтобы выбрать форму окна
и М, так, чтобы дисперсия Sxx(co) была меньше дисперсии
т. е. коэффициент (11.60) должен быть меньше единицы.
399
11.4.3. УСРЕДНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПЕРИОДОГРАММ
(МЕТОД УЭЛЧА)
В работе Уэлча (Welch) [9] была введена модификация про-
цедуры Бартлета, которая особенно хорошо приспособлена для вы-
числения оценки спектра мощности с помощью БПФ. Выборочные
данные опять разбиваются на K=N/M отрезков, по М выборок
каждый, в соответствии с выражением (11.45). Однако в этом слу-
чае окно w(n) применяется непосредственно к отрезкам данных до
вычисления периодограммы. Таким образом, мы определяем К. мо-
дифицированных периодограмм
^>И = (1/М(7)
М-1
где U= (1/М) £ щ2(и),
п=0
и оценка спектра определяется выражением
к
втхИ=(1/Ю2^)М-
i=l
(11.62)
(11.63)
Можно показать, что математическое ожидание равно Bwxx (®):
я
Е [в*х («>)] = (1/2") J Р.х (6) (е* (и“9>) d 0,
—л
где r(elB) = (l/Mt/)
М—1 2
V W(n)
п=0
(11.64)
(11.65)
Нормирующий множитель U необходим для того, чтобы оценка
/^хДсо) была асимптотически несмещенной. Уэлч [9] показал, что
если отрезки х(п) не перекрываются, то var (со) ] ~
« (1 /К) Р2ХХ (со), что, как мы видели, имеет место для процедуры
Бартлета. Уэлч [9] также рассматривает случай, когда отрезки
x(i)(«) перекрываются и модифицированные периодограммы не
независимы. Таким образом, взвешиванием отрезков данных до
вычисления периодограммы достигается уменьшение дисперсии ис-
ходной процедуры Бартлета и в то же время сглаживание спектра
с сопутствующим ему ухудшением разрешающей способности. В
этом случае спектральное окно пропорционально квадрату модуля
преобразования Фурье исходного окна, а не просто его преобразо-
ванию Фурье. Это означает, что при любой функции окна, с кото-
рой взвешиваются исходные данные, спектральное окно будет не-
отрицательно и спектральная оценка Bwxx(a) будет также неотри-
цательна.
400
11.5. ОЦЕНКА ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИИ
И ВЗАИМНОГО СПЕКТРА
Методы предыдущих разделов применимы с небольшими из-
менениями и к оценке взаимной ковариации и взаимного спектра
двух различных случайных сигналов. Например, предположим, что
х(и) и у(п) —случайные сигналы с нулевым средним, так что
Тогда аналогично оценке автоковариации схх(т),
даваемой выражением (11.19), имеем оценку взаимной ковариа-
, ции (или корреляции):
N—т—I
сху(т) = (1/Л^) 2 х(.п)У(п + т), (11.66а)
п=0
N—т—I
сху(—т)= (1/А) х(п + т)у(п), 0 < m<N. (11.666)
п=0
и Отметим, что при у(п)=х(п) (11.66) переходит в (11.19). Мате-
матическое ожидание (11.66) равно E[cxy(m)] = [1 — (m/N)]ipxy(m),
где уху(т) — истинная взаимокорреляционная после-
довательность. Аналогично из (11.666)
Е \схУ (—m)] = [1 — (m/N)] ц>Ух (m) = [1 — (m/N)] <рху(—т),
О с пг < N.
Объединяя вышеприведенные соотношения, получим
£[^("01 = 11 — (\m\/N)yxy(m), — (11.67)
Как видно, оценка сху(т) будет асимптотически несмещенной
оценкой взаимной ковариации уху(т). Как и в случае оценки
схх(т), дисперсия оценки обратно пропорциональна N.
Оценку взаимного спектра мощности можно получить путем
преобразования Фурье последовательности
N—1
Сху(у>)= 2 сху(т)е~'1ат. (11.68)
m=-(N-l)
Если х(п) =у(п), то, учитывая (11.24), нетрудно видеть, что
(11.68), переходит в периодограмму. Отметим, что в общем слу-
чае сху(т) не обладает свойствами симметрии и сху(со), как пра-
вило, является комплексной функцией. Легко показать, что
Е[СХИ“>)] = "з [14!m<^He~iam. (11.69)
г т=—(N-1)
Хотя из (11.69) следует, что Сху(а)—асимптотически несмещен-
ная оценка взаимного спектра, как и в случае периодограммы,
’ дисперсия Сху((о) не стремится к нулю при увеличении N. По-
этому для уменьшения дисперсии и сглаживания оценки требует-
ся применение взвешивания с помощью функции окна или ус-
401
реднения оценок, полученных на коротких отрезках выборочной
последовательности. Например, рассмотрим оценку спектра
М-1
'2 cxy(tn)w(m)e~iam. (Ц.70)
т=— (М— 1)
При допущениях, аналогичных допущениям § 11.4, можно пока-
зать, что
Е[5жИ<о)1 = (1/2л) JPsH0)^(ei(ti,“0))de. (11.71)
—л
Точно так же можно показать, что var [Sxy(co)] уменьшается при
увеличении длины отрезка и уменьшении ширины окна. Таким об-
разом, компромисс между ухудшением разрешающей способности
и уменьшением дисперсии оценки имеет точно такой же харак-
тер, как и при оценке спектра мощности одного сигнала.
Деталям при оценке взаимной ковариации и взаимного спек-
тра мощности и применению последних посвящено несколько
глав в [5].
11.6. ПРИМЕНЕНИЕ БПФ ПРИ ОЦЕНКЕ СПЕКТРА
Быстрое преобразование Фурье дает эффективное средство
вычисления оценок спектра мощности на равноудаленных часто-
тах сой= (2n/M)k. Используя методы вычисления сверток, приве-
денные в гл. 3, можно также применить БПФ для вычисления
оценок ковариации. Рассмотрим подробности таких вычислитель-
ных процедур.
11.6.1. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ БАРТЛЕТА И УЭЛЧА
Предположим, что требуется вычислить оценку спектра на
равноудаленных частотах путем усреднения периодограмм так,
как это делалось в § 11.4.3, т. е. нужно вычислить
к
В»х[(2л/М)6] = (1/Х) [(2л/М)6], 6=0, 1, . . ., М-1,
г—1
где [(2n/M)k]=(\/MU)
М-1 2
п=0
при i=l, 2, ..., К и 6=0, 1, ..., М— 1. Это можно сделать следу-
ющим образом: вычислить
М-1
Х$(6) = 2 x(i\n)w(n)e-i(2*'M)hn, 6 = 0, 1, . . ., М-1,
п=0
для каждого отрезка, используя подходящий алгоритм БПФ\
* Заметим, что w(n) = l при —1 соответствует методу Бартлета
(§ 11.4.1); любой другой выбор ш(п) соответствует методу Уэлча (§ 11.4.3).
402
затем вычислить для каждого отрезка | Хмм (k) |2, потом сложить
эти результаты и после того, как накопится К оценок, можно раз-
делить полученный результат на KMU. Для действительных дан-
ных х(п) можно вычислить сразу для преобразования, тем са-
мым значительно уменьшая количество вычислений.
Эта очень простая процедура дает непосредственную оценку
спектра мощности, причем всегда неотрицательную. Интерпрета-
ция этой оценки приводится в § 11.4.1 и 11.4.3. Однако если
нужно оценить ковариационную оценку и спектр мощности, то
лучше сначала вычислить оценку корреляции схх(т), а затем
вычислить оценку спектра мощности. Дело в том, что сравнитель-
но простое средство, состоящее в вычислении обратного ДПФ от
Bwxx(:(2n/M)k), дает оценку ковариационной последовательности
с эффектом наложения. Поэтому следует рассмотреть применение
БПФ для вычисления оценки ковариации.
11.6.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ОЦЕНОК
Быстрое преобразование Фурье можно эффективно исполь-
зовать для вычисления оценки автокорреляции
схх (т) = (1Ж) х(п)х(п + т), 0 < т <Л4— 1, (11.72)
п=0
где M^N. (Если из х(п) было вычтено выборочное среднее, то
схх(т) является оценкой автоковариации.) Если вспомнить,
что схх(—т)—схх(т), то становится ясно, что вычисления в
(11.72) нужно проводить только для положительных значений т.
Ключом к пониманию применения быстрого преобразования
Фурье при расчете схх(т) является тот факт, что схх(т) есть
дискретная свертка х (п) и х (—п). Предположим, что мы вычис-
лим X(k) — ДПФ от х(п) и умножим на X*(k). Тогда обратное
ДПФ от X(k)X*(k) = \X(k)\2 соответствует круговой свертке х(п)
с х(—п), т. е. круговой корреляции. Пополняя последователь-
ность x(n)(L—N) нулями и вычисляя L-точечное ДПФ, можно
добиться того, чтобы значения 'Круговой корреляции совпадали с
автокорреляцией на интервале —1.
Чтобы понять, каким образом следует выбирать L, рассмот-
рим рис. 11.4. На рис. 11.4а показаны две последовательности
а) б) '
Рис. 11.4. Вычисление оценки автоковариации:
а) х(п) и х(п+т) для последовательности длиной N; б)
х(п) и х(п+т), используемые в круговой корреляции
403
х(п) и х(п+т) для конкретного значения т. На рис. 11.46 по-
казаны две последовательности х(п) и x((n + m))L, участвующие
в круговой корреляции, соответствующей |X(&)|2. Ясно, что кру-
говая корреляция будет равна Ncxx(m) при O^m^Af—1, если
x((n+m))L не перекрывается (заворачиваясь) с х(п) при
—1. Из 11.46 видно, что этого перекрытия не будет при
L^N + M— 1.
Таким образом, можно вычислить схх(т) при O^m^Af—1
следующим образом:
1. Сформируем /.-точечную последовательность, добавляя к
х(п) (М—1) нулей.
2. Вычислим A-точечное ДПФ:
L—1
%(£)== 2 x(n)e“i(2lt/L)ftn , k = 0, 1, . . ., L—\.
n=0
3. Вычислим /.-точечное обратное ДПФ:
L—1
v(m) = (l/L)^ \ X(k)\2e {2пт hm, т = 0, 1, . . ., L— 1.
п=0
4. Тогда получим
схх(т) = (1/N)v(tri), т = 0, 1......AI—1.
Если AI мало, то наиболее эффективным методом может
быть простой расчет по (11.72). При этом количество вычисле-
ний пропорционально MN. В противоположность этому вышепри-
веденная процедура требует количества вычислений, пропорцио-
нального L log L= (Л/+/И)log (jV + Al), так что для достаточно
больших AI эта процедура более эффективна. Точное пороговое
значение AI конечно зависит от конкретной реализации алгоритма
БПФ, но можно ожидать, что это значение будет меньше
100[10].
Как было видно, для уменьшения дисперсии оценки схх(т)
нужно увеличить ЛЛ В таких случаях может быть неудобно или
невозможно эффективно вычислять требуемое /.-точечное ДПФ.
Однако так как М обычно много меньше N, то можно разбить
входной сигнал на секции аналогично тому, как это делалось в
§ 3.9 для вычисления свертки. Чтобы понять, как это делается,
перепишем (11.72) в следующем виде:
М-1
cxx(m)=(l/N)
V х (ц) х (п + т) +
п=0
2М—1
2 х (п) х (п + т) +
п=М
КМ-1
-|- . . . “Е х (п) х (п tn)
п=(к7-1) м
где М=/<Л4. При этом учтено, что х(п) считается равным нулю
вне интервала —1, и поэтому верхний предел в (11.72)
404
можно заменить на N—1. Производя соответствующие преобра-
зования, можно записать
схХ (m) = (1/2V) 2 х М)х(п + (1— 1)м + тУ
1 = 1 П=0
Если определить
м—1
V} (т) = + — 1) М)х(п + (t— 1) М-\-т), (11.73}
п=0
к
то сжж(/и) = (1/2V) (щ), 0 </и < М—1. (11.74>
г=1
Чтобы вычислить (11.73), целесообразно определить L-точеч-
ные последовательности
,,(„)=(х[,,+<‘'-1>ад- <><'<«-1; (11.75а>
К 7 (О, M^n<L-i
и У1 (п) = х 1« + (< — 1) М], 0 п < L—1. (11.756}
Тогда круговая корреляция
м— 1
Vt (т) = У Xi (n) у{ ((n + m))L
п=0
равна v(m) при —1, если L^2M—1. Типичные после-
довательности изображены на рис. 11.5. Если Xi(k) и Yi(k) есть
L-точечные ДПФ от Xi(n) и yi(n), то при L^2M—1
L-1
Vj (/я) — (1/L) V; (k) WkLm, 0 с т < М—1,
fe=0
уЛп)
Рис. 11.5. Две L-точечные последовательности, необходимые для вы-
числении вклада i-ro отрезка в оценку автоковариации
где V^^XtikyY-.ik). (И.76>
Если вместо (11.74) вычислять
к
J/(A>)= ^Vi(k), k = 0, 1, . . ., L-1, (11.77}
i=l
TO Cxx (rn) = (1/M V (m) = (1/L) £ V (k) e‘(2lt/L) km,
A=0
0<m<M-l. (11.78}
405-
Таким образом, можно вычислить М значений схх(т) посредст-
вом вычисления 2К. L-точечных ДПФ и одного A-точечного обрат-
ного ДПФ.
Отметим, что приведенная процедура применима также для
вычисления оценки взаимной корреляции сху(т). Предположим,
что имеются выборочные реализации двух последовательностей
х(п) и у(п) длиной N. Как и прежде, определим
_ (x(n + (i—1)М), 0 с п < М — 1;
10, М < п < L— 1,
и в данном случае
yi(n)=y(n+(i— 1)М), 0<п <1—1,
(11.79а)
(11.796)
при i=l, 2, ..., К. Тогда, используя (11.76) и (11.77), получим
cxy(m) = (l/N)v(m), 0 < т < М— 1. (11.80)
При /д<0 сху(т) вычисляется точно так же, только х и у меня-
ются местами, так как сух(т) = сху(—т).
Рэйдер [10] показал, что можно значительно уменьшить объ-
ем вычислений при вычислении оценок автокорреляции в част-
ном случае L = 2M. На рис. 11.6 изображены два набора последо-
вательностей Xi(n), yi(n) и Xi+i(n),
yi+l (п) при L = 2М. Из этого рисун-
ка
Ч(п)
тп
2М-1
ЯСНО,что
Hi («) =Xi (n) + xi+i (n—M).
(11.81)
М-1
№)
м-1 2М-1
*1+1 (п)
м-l 2М-1
У^(п)
м-1 2М-1
Рис. 11.6. Набор последователь-
ностей, в которых первая полови-
на Х(+1(п) совпадает с последней
половиной yt(n) при L=2M
Из (11.81) следует, что
Ki(^) = Xi(^) + (-l)'iXi+1^),
k=0, 1, . . ., 2Л4— 1. (11.82)
Следовательно, У, (k) можно найти
по (11.82), а не с помощью вычис-
ления отдельных БПФ. Кроме того,
два преобразования Хг(К) и Xi+i(k)
можно вычислить, используя толь-
ко одно БПФ. Таким образом, про-
цедура вычисления схх(т) сводится
к следующему:
1. Сформировать последователь-
ность
Iх (п)’ — 1;
X1 (П~ [О, M<n^2M — 1
и вычислить 2Л1-точечное преобра-
зование Xi (k). Положить по опреде-
лению Ло (k) = 0.
406
2. Для i=l, 2, .... Д сформировать
x(n-\-iM), OcncM —1;
.0, М^п<2М — 1
и вычислить 2М-точечное преобразование Xi+i(k). Положить по>
определению XK+i (£) = 0. Затем для 0^k^2M— 1 и i = 1, 2./С
вычислить
Л, (k) = А._, (k) + Xt (k) [X* (k) + (-l)ftX!+1 (&)].
3. Наконец, пусть V(k)=AK(k) и v(m)—2-М-точечное обрат-
ное ДПФ от V(X). Тогда схх(т) = (1/N)v(m), 0^,'т^М.
Таким образом, в частном случае вычисления схх(т) и L = 2M
нужно вычислить К преобразований XX К) и одно обратное пре-
образование.
11.6.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СГЛАЖЕННЫХ ОЦЕНОК СПЕКТРА
ПО схх (т)
После того как с помощью вышеприведенного метода вычис-
лена схх(т), можно вычислить выборки сглаженной спектраль-
ной оценки Sxx(co), сформировав последовательность
cxx(rri)w(m), 0 < т < М — 1;
sxx (т)= о, М с т < L—М;
cxx(L—tri)w(L — tn), L——1,
(11.83>
где w(m) •—соответствующее временное окно. Тогда ДПФ от
sxx(m) равно Sxx(k)=Sxx(a) | ш=(2л/ь)*, k=0, 1, ..., L—1. Отме-
тим, что, хотя L можно выбрать сколь угодно большим (с учетом
практических ограничений), получая тем самым Sxx(a) на близко
расположенных частотах, разрешение по частоте будет все же оп-
ределяться формой и шириной окна w(m).
11.7. ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ СПЕКТРА
В гл. 9 предполагалось, что ошибка квантования является:
белым шумом и шум квантования некоррелирован с исходным
сигналом. Можно проверить эти предположения, оценивая кова-
риационные последовательности и спектр мощности с помощью,
методов этой главы.
В качестве примера рассмотрим эксперимент, изображенный
на рис. 11.7. Речевой сигнал xa(t), пропущенный через фильтр,
нижних частот, подвергся дискретизации со скоростью 10 кГц, в
результате чего была получена последовательность выборок
х(п). (Мы будем предполагать, что эти выборки получены абсо-
лютно точно.) Диапазон амплитуд выборок определялся неравен-
ствами —16,ООО-^х(п) 16,000. Эти выборки были квантованы с
помощью восьмибитового квантователя, а затем была вычислена
407
Рис. 11.7. Схема для определения
параметров шума квантования
последовательность ошибок е(п) =
= Q[x (и)] — х (п).
На рис. 11.8а показаны 400 пос-
ледовательных выборок речевого
сигнала, а на рис. 11.86 — соответ-
ствующая последовательность оши-
Л д/ л
101 200
201 000
001 WO
61
Рис. 11.8. Речевой сигнал (а) и соответствующие ему ошибки квантования
(б) при восьмибитовом квантовании (увеличено в 66 раз по сравнению с а)
бок. (Выборки соединены прямыми линиями для удобства построе-
ния графика.) Визуальное наблюдение и сравнение этих двух гра-
фиков усиливают нашу уверенность в справедливости высказанных
допущений, хотя при внимательном осмотре можно предположить
наличие некоторой корреляции.
На рис. 11.9 показаны нормированные автоковариация и
спектр мощности последовательности ошибок при длине выбороч-
ной последовательности jV=2000. Среднее и дисперсия • е(п)
г, о
0,8
Рис. 11.9. Нормированная оценка автоковариацин для шума при восьмиби-
товом квантовании (а) (длина записи равна 2000), оценка спектра мощно-
сти с использованием окна Бартлета при М = 512 (б), нормированная оцен-
ка автоковариации О^т^бО (в) и оценка спектра мощности с использова-
нием окна Бартлета при А1 = 50 (г)
408
были оценены так, как предлагалось это сделать в § 11.1. Эти
оценки были равны те = — 1 и о2е = 1300. Затем из е(п) вычита-
лись те и оценка ковариации при М = 512 по методу, изложенно-
му в § 11.6.2. Наконец, результирующая оценка ковариации дели-
лась на о2е — оценку дисперсии е(п). Результирующая нормиро-
ванная оценка ковариации, обозначаемая рее(т), показана на
рис. 11.9а, в. Отметим, что автоковариация равна 1,0 при т=0 и
значительно меньше единицы по модулю при других значениях т.
В. действительности, —0,0548=Cpw(m) ^0,0579 при 1=С7п<;512.
Очевидно, это подтверждает предположение о том, что последо-
вательность ошибок некоррелированна от выборки к выборке.
Спектр мощности оценивался посредством взвешивания нор-
мированной автокорреляционной функции окном Бартлета
(Л4=512) согласно § 11.6.3. Результат в децибелах, изображен-
ный на рис. 11.96, показывает наличие беспорядочных флуктуа-
ций около уровня 0 дБ (значение нормированного спектра мощ-
ности белого шума). Более гладкая оценка показана на рис.
11.9г). В этом случае использовалось окно Бартлета с Л4=50.
Результат сглаживания, соответствующий ухудшению разрешаю-
щей способности, очевиден, если сравнить рис. 11.96 с г. Из рис.
11.9г видно, что оценка спектра находится от —1,097 до 1,631 дБ
для всех частот. Таким образом, снова убеждаемся в том, что
модель белого шума соответствует эффектам квантования.
Хотя мы получили количественные оценки автоковариации и
спектра мощности, наша интерпретация этих результатов была
лишь качественной. Возникает вопрос: насколько мала автокова-
риация, если бы ошибка е(п) была бы действительно белым шу-
мом. Чтобы дать количественные ответы, следует вычистить до-
верительные интервалы для наших оценок и применить теорию-
статистических решений. Тесты для белого шума можно найти в
[5]. Во многих случаях, однако, можно обойтись без этой допол-
нительной статистической проверки и довольствоваться тем, что-
нормированная автоковариация при 1<?т<;512 значительно-
меньше, чем при т=0.
Один из наиболее важных выводов этой главы состоит в том,,
что оценки автоковариации и спектра мощности должны улуч-
шаться с увеличением длины выборочной последовательности.
Это иллюстрируется рис. 11.10, который соответствует рис. 11.9,
за исключением того, что IV увеличилось до 14 000 выборок.
Вспомним, что согласно (11.23) дисперсия оценки автоковариа-
ции пропорциональна 1/N. Поэтому увеличение М с 2000 до 14 000
должно дать приблизительно семикратное уменьшение диспер-
сии оценки. Сравнение рис. 11.9а с рис. 11.10а подтверждает
этот результат. При jV=2000 оценка попадала в пределы от
—0,0548 до 0,0579, тогда как при М=14 000 эти пределы стали
соответственно равны —0,0254 и +0,0239. Согласно (11.58) ожи-
дается аналогичное уменьшение дисперсии оценки спектра, что-
опять подтверждается сравнением рис. 11.96, г с рис. 11.106, г.
409>
Чтобы проверить наше второе предположение о процессе
квантования, была вычислена нормированная взаимная ковариа-
ция между х(п) и е(п). В этом случае средние тж=1 и те=—1
были вычтены до расчета оценок взаимной ковариации по мето-
дике, изложенной в § 11.5 и 11.6.2. Результат делился на <ух<уе
Рис. 11.10. Нормированная оценка автоковариации для шума при восьмиби-
товом квантовании (а) (длина записи равна 14 000), оценка спектра мощно-
сти с использованием окна Бартлета при 44 = 512 (б), нормированная оценка
автоковариации О^т^.50 (в) и оценка спектра мощности с использованием
окна Бартлета при Af=50 (г)
для получения нормированной оценки взаимной ковариации, ко-
торая была бы равна 1,0 при полной корреляции и 0 в случае,
когда х(п) и е(п) некоррелированны. Нормированные оценки
Рис. 11.11. Нормированная оценка взаимной ковариации при восьмнбитовом
кваитоваиии (длина записи равна 14 000):
a) PxV(m) при Oigm^oll; б) pVx = pxV(—т) при 0<zn<511
Рхе(т) И pex(tn) = Pxe(—т) ПОКЭЗЭНЫ НЭ рИС. 11.11а, б ДЛЯ N =
= 14 000. Отметим, что значения нормированной взаимоковариа-
ционной последовательности лежат в пределах от —0,0279 до
+ 0,0222 при 511<7n==S511. Если вспомнить, что при полной кор-
реляции нормированная взаимная ковариация равна единице, то
получим еще одно подтверждение того, что шум квантования не-
коррелирован с сигналом на входе квантователя.
В гл. 9 говорилось о том, что модель белого шума приемлема
при малом шаге квантования. Когда число двоичных разрядов
мало, это условие не выполняется. Чтобы понять влияние этого
обстоятельства на спектры шумов квантования, предыдущий эк-
410
сперимент был повторен только при восьми уровнях квантова-
ния (т. е. трех двоичных разрядах). На рис. 11.12 показана ошиб-
ка квантования при трехбитовом квантовании отрезка речевого
Рис. 11.12. Ошибка квантования при трехбитовом
квантовании (масштаб такой же, как и на гра-
фике исходного сигнала, изображенного на
рис. 11.8а)
сигнала, показанного на рис. 11.8а. Отметим, что отдельные час-
ти кривой ошибки становятся похожи на исходный сигнал. Мож-
но ожидать, что это отразится на спектре мощности.
На рис. 11.13 показаны оценки автоковариации и спектра
мощности для трехбитового квантования последовательности дли-
Рис. 11.13. Нормированная оценка автоковариации при трехбитовом кванто-
вании (а) (длина записи равна 14 000), оценка спектра мощности с исполь-
зованием окна Бартлета при т = 511 (б), нормированная оценка автокова-
рнацни 0^т^50 (в) н оценка спектра мощности с использованием окна
Бартлета при т = 50 (г)
ной в 14 000 выборок. Автоковариация для этого случая, показан-
ная на рис. 11.13а, в в меньшей степени похожа на идеальную>
автоковариацию белого шума. В табл. 11.1 даны первые десять
значений рхх(т) для этого случая.
411
ТАБЛИЦА 11.1
т рхх <т>
0 1,000
1 0,192
2 0,084
3 0,055
4 0,040
5 0,056
6 0,050
7 0,045
8 0,037
9 0,038
Рисунки 11.136, г показывают оценки
спектра для окон Бартлета с М = 512 и М =
= 50 соответственно. В этом случае спектр
явно не плоский. (В действительности, он
стремится к общей форме спектра речи.) Та-
ким образом, модель белого шума может
считаться только грубым приближением для
шумов квантования в этом случае.
На рис. 11.14 показана нормированная
взаимная ковариация между сигналом х(п)
и шумом квантования е(п). В этом случае
ковариация несколько выше, однако все же
можно принять допущение, что сигнал и
ошибка квантования некоррелированны.
Этот пример показывает, что оценки ковариации и спектра
мощности часто используются для подтверждения теоретических
моделей. В частности, мы продемонстрировали справедливость не-
которых предположений, высказанных в гл. 9, и показали, что эти
0,0^г-
Рис. 11.14. Нормированная оценка взаимной ко-
вариации при трехбитовом квантовании:
а) Рху(т) при 1; б) рух(т) = рХу(—т)
при
предположения становятся неверными при очень грубом кванто-
вании. Это только один из простых, но полезных примеров того,
как методы этой главы часто применяются на практике.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В главе были рассмотрены методы оценки средних значе-
ний дискретных случайных процессов. Наша цель состояла в том,
чтобы ознакомиться с некоторыми результатами статистической
412
теории оценок и проиллюстрировать смысл этих результатов. Нас
особенно интересовали приближенные результаты для среднего
и дисперсии оценок автоковариации и спектра мощности стацио-
нарной случайной последовательности. Основное внимание было
уделено процедурам вычисления оценок и применению БПФ. По-
следний раздел иллюстрирует применение некоторых из описан-
ных в этой главе методов для изучения свойств шума квантова-
ния.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бартлет М. С. Введение в теорию случайных процессов. М.: ИЛ, 1958.
2. R. В. Blackman and J. W. Tukey. The Measurement of Power Spectra, Dover
Publications, Inc., New York, 1958.
3. U. Grenander and M. Rosenblatt, Statistical Analysis of Stationary Time
Series, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
4. Хеннан Э. Анализ временных рядов. М.: Наука, 1964.
5. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1.
М.: Мир, 1971. Вып. 2. М.: Мир, 1972.
6. L. Н. Koopmanns. Spectral Analysis of Time Series, Academic Press, New
York, 1974.
7. W. B. Davenport, Probability and Random Processes, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1970.
8. D. R. Brillinger and M. Rosenblatt. «Asymtotic Theory of Estimates of kth
Order Spectra», in Spectral Analysis of Time Series, B. Harris, ed., John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1967.
9. P. D. Welch. «The Use of Fast Fourier Transform for the Esimation of Power
Spectra», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol. AU-15, June 1970, p. 70—73.
10. T. G. Stockham. Jr. «High-Speed Convolution and Correlation», Spring Joint
Computer Conf., AFIPS Proc., Vol. 28, Spartan Books, Washington, D. C.,
1966, p. 229—233.
И. С. M. Rader. «An Improved Algorithm for High-Speed Autocorrelation with
Applications to Spectral Estimation», IEEE Trans. Audio Electroacoust., Vol.
AU-18, Dec. 1970, p. 439—441.
Стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию..................................................
Из предисловия авторов .....................................................
Введение .......................................................................
Глава I. Дискретные сигналы и системы ............................
Введение ...................................................................
1.1. Дискретные сигналы (последовательности)....................................
1.2. Линейные системы, инвариантные к сдвигу....................................
1.3. Устойчивость и физическая реализуемость....................................
1.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами ....
1.5. Представление дискретных сигналов и систем в частотной области
1.6. Некоторые свойства симметрии преобразования Фурье..........................
1.7. Дискретизация сигналов с непрерывным временем..............................
1.8. Двумерные последовательности н системы ....................................
Заключение..................................................................
Список литературы ..........................................................
Глава 2. z-преобразование . ........................................
Введение ...................................................................
2.1. Прямое z-преобразование....................................................
2.2. Обратное z-преобразование..................................................
2.3. Теоремы о z-преобразованни. Свойства z-преобразования......................
2.3.1. ' Область сходимости рациональных z-преобразований...................
2.3.2. Линейность...........................................................
2.3.3. Сдвиг последовательности.............................................
2,3.4. Умножение на экспоненциальную последовательность.....................
2.3.5. Дифференцирование X(z) ............
2.3.6. Переход к комплексно-сопряженной последовательности..................
2.3.7. Теорема о начальном значении.........................................
2.3.8. Свертка последовательностей..........................................
2.3.9. Теорема о комплексной свертке........................................
2.3.10. Соотношение Парсеваля...............................................
2.3.11. Некоторые теоремы о z-преобразованиях н свойствах z-преобразований
2.4, Передаточная функция.......................................................
2.5. Двумерное z-преобразование.................................................
Заключение..................................................................
Список литературы ..........................................................
Глава 3. Дискретное преобразование Фурье........................................
Введение....................................................................
3.1. Представление периодических последовательностей дискретным рядом Фурье
3.2. Свойства дискретных рядов Фурье............................................
3.2.1. Линейность ..........................................................
3.2.2. Сдвиг последовательности.............................................
3.2.3. Свойства симметрии . . ........................................
3.2.4. Периодическая свертка...............................................
3.3. Свойства ДРФ представления периодических последовательностей ....
3.4. Выборки нз z-преобразования..............................................1
3.5. Представление по Фурье последовательностей конечной длительности — дискрет-
ное преобразование Фурье .......................................................
3.6. Свойства дискретного преобразования Фурье..................................
3.6.1. Линейность..........................................................
3.6.2. Круговой сдвиг последовательности...................................
З.б.З. Свойства симметрии . ...........................................
3,6.4. Круговая свертка....................................................
3.7. Линейная свертка с использованием дискретного преобразования Фурье
3.8. Двумерное дискретное преобразование Фурье..................................
Заключение.................................................................
Список литературы .........................................................
5
7
10
15
15
16
19
22
23
25
30
32
35
38
39
39
39
40
45
50
50
52
52
53
53
53
53
54
55
57
58
58
63
67
67
67
67
68
71
72
72
72
73
75
75
78
80
81
81
82
Глава 4. Представление цифровых фильтров с помощью графов и матриц 97
Введение.......................................................................97
4.1. Представление цифровых цепей с помощью направленного сигнального графа . 98
4.2. Матричное представление цифровых цепей.........................................ЮЗ
4.3. Основные структурные схемы при построении БИХ-систем..........................108
4.3.1. Прямая форма............................................................Ю8
4.3.2. Каскадная форма.........................................................ИО
4.3.3. Параллельная форма......................................................Н2
4.4. Обращенные формы...............................................................ИЗ
4.5. Основные структурные схемы при построении КИХ-снстем......................И 4
4.5.1. Прямая форма............................................................И4
4.5.2. Каскадная форма....................................................... И5
4.5.3. Структуры для построения КИХ-систем с линейной фазовой характеристикой 115
4.5.4. Структуры с частотной выборкой..........................................ИЗ
4 5.5. Структуры, основанные на формулах интерполяционных полиномов . . 121
4.6. Эффекты квантования параметра.................................................123
4,6.1. Эффекты квантования параметров в БИХ-системах..........................124
4.6.2. Эффекты квантования параметров в КИХ-системах..........................127
414
Стр.
4.7. Теорема Теледжена для цифровых фильтров и ее применения....................130
4.7.1. Взаимные и взанмообратные цифровые цепи..............................132
4.7.2. Доказательство теоремы транспозиции...................................133
4.7.3. Формула чувствительности цепи.........................................134
Заключение...................................................................137
Список литературы............................................................137
Глава 5. Методы проектирования и расчета цифровых фильтров .... 138
Введение.....................................................................138
5.1. Расчет цифровых БИХ-фильтров по данным аналоговых фильтров . . . . 140
5.1.1. Инвариантность импульсной характеристики..............................141
5.1.2. Методы расчетов, основанные на численном решении дифференциального
уравнения...................................................................145
5.1.3. Билинейное преобразование.............................................148
5.2. Примеры расчета фильтров на основе аналого-цифровой трансформации . . 152
5.2.1. Цифровые фильтры Баттерворта..........................................152
5,2.2. Цифровые фильтры Чебышева.............................................158
5.2.3. Эллиптические фильтры.................................................162
5.2.4. Частотные преобразования БИХ-фильтров нижних частот . 163
5.3. Машинное проектирование цифровых БИХ-фильтров...............................167
5.3.1. Минимизация среднеквадратической ошибки..........................168
5.3.2. Критерий минимизации р-ошибки.........................................170
5.3.3. Расчет обратного фильтра методом наименьших квадратов .... 171
5.4. Свойства цифровых КИХ-фильтров..............................................172
5.5. Расчет КИХ-фильтров при использовании окон..................................174
5.6. Машинное проектирование КИХ-фильтров .......................................182
5.6.1. Расчет методом частотной, выборки.....................................182
5.6.2. Аппроксимации с равновеликими пульсациями для КИХ-фильтров . . 186
5.7. Сравнение цифровых БИХ- и КИХ-фильтров .....................................197
Заключение...................................................................198
Список литературы .......................................................... 199
Глава 6. Вычисление дискретного преобразования Фурье.............................200
Введение . .........................................................200
6.1. Алгоритм Герцеля............................................................203
5.2. Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени....................................206
6.2.1. Вычисления с замещением...............................................210
6.2.2. Другие формы алгоритмов...............................................213
5.3. Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте....................................2’5
6.3.1. Вычисления с замещением...............................................217
6.3.2. Другие формы алгоритмов...............................................219
6.4. Алгоритмы БПФ для составного значения М.....................................220
•6.5. Общие особенности алгоритмов БПФ ..........................................225
6.5.1. Индексация............................................................226
6.5.2. Коэффициенты..........................................................229
6.5.3. Многомерное быстрое преобразование Фурье . 229
6.6. Алгоритм прерывистого г-преобразования......................................230
Заключение................................................................. 235
Список литературы.......................................................... 236
Глава 7. Дискретное преобразование Гильберта.....................................236
Введение......................................................................236
7.1. О достаточности действительной и мнимой частей преобразований для представ-
ления физически реализуемых последовательностей...................................238
7.2. Условие минимальности фазы . 243
7.3. Преобразование Гильберта для ДПФ.............................................251
7.4. Преобразование Гильберта для комплексных последовательностей .... 255
7.4.1. Синтез гильбертовых преобразователей...................................258
7.4.2. Представление узкополосных сигналов....................................260
Заключение....................................................................262
Список литературы ........................................................... 262
Глава 8. Дискретные случайные сигналы.............................................263
Введение ................................................... .
8.1. Дискретный случайный процесс......................................
8.1.1. Процесс Бернулли........................................ .
8.1.2. Описания случайного процесса...............................
8.2. Средние значения................................................
8.2.1. Определения................................................
8.2.2. Средние по времени.........................................
8.3. Спектральные представления сигналов с бесконечной энергией • •
8.3.1. Свойства корреляционной и ковариационной последовательностей .
8.3.2. Представление с помощью z-преобразования . .
8.3.3. Спектр мощности .......................................
8.4. Реакция линейных систем на случайные сигналы . . • • •
Заключение ..................
Список литературы ............................................
263
265
265
267
270
270
273
275
27j>
279
282
283
415
Глава 9. Эффекты конечной разрядности регистров при цифровой обработке сиг-
налов . ...........................
Введение .................................................................
9.1. Влияние способов представления чисел на квантование......................
9.1.1. Двоичные числа с фиксированной и плавающей запятыми . . . .
9.1.2. Представление отрицательных чисел..................................
9.1.3. Эффект усечения или округления.....................................
9.2. Квантование при дискретизации аналоговых сигналов........................
9.3. Эффекты конечной разрядности регистра при построении цифровых БИХ-фнльтров
9.3.1. Предельные циклы низкого уровня при построении цифровых фильтров с
фиксированной запятой ................................................
9.3.2. Статистический анализ квантования при построении цифровых БИХ-фильт
ров с фиксированной запятой ..........................................
9.3.3. Статистический анализ квантования при построении цифровых БИХ-фильт
ров с плавающей запятой...............................................
9.4. Эффекты конечной разрядности регистров при построении цифровых КИХ
фильтров . ......................................................
9.4.1. Статистический анализ квантования при построении цифровых КИХ-фильт
ров с фиксированной запятой ..........................................
9.4.2. Статистический анализ эффектов квантования при построении цифровых
КИХ-фильтров с плавающей запятой .....................................
9.5. Эффекты конечной разрядности регистров при вычислении дискретного преобразо
вания Фурье [19, 24—26]...................................................
9.5.1. Анализ квантования при вычислении ДПФ...........................
9.5:2. Анализ эффектов квантования в алгоритмах БПФ с фиксированной запя
той [23]..............................................................
9.5.3. Анализ эффектов квантования в алгоритмах БПФ с плавающей запятой
9.5.4. Эффекты квантования коэффициентов в алгоритмах БПФ
Заключение.............................................................
Список литературы .....................................................
Глава 10. Гомоморфная обработка сигналов
Введение .................................................................
10.1. Обобщенная суперпозиция..............................................
10.2. Мультипликативные гомоморфные системы................................
10.3. Гомоморфная обработка изображений ...................................
10.3.1. Модель формирования изображений [6]...........................
10.3.2. Цифровая обработка изображений................................
10.4. Гомоморфные системы относительно свертки.............................
10.4.1. Каноническая система .........................................
10.4.2. Математическое представление характеристической системы D*
10.4.3. Обратная характеристическая система ...................
10.4.4. Линейная система L............................................
10.4.5. Замечания по поводу терминологии..............................
10.5. Свойства комплексного кепстра........................................
10.5.1. Экспоненциальные последовательности .......
10.5.2. Минимально- и максимально-фазовые последовательности
10.5.3. Случай, когда полюсы и нули находятся на единичной окружности
10.6. Численная реализация характеристической системы D*..................
10.6.1. Реализация с использованием комплексного логарифма
10.6.2. Реализация с использованием логарифмической производной
10.6.3. Минимально-фазовая реализация.................................
10.7. Применение гомоморфной развертки....................................
10.7.1. Оценка параметров речи........................................
10.7.2. Дереверберация................................................
10.7.3. Восстановление звукозаписей...................................
Заключение............................................................
Список литературы ....................................................
Глава 11. Оценка спектра мощности..........................................
Введение....................................................
11.1. Основные принципы теории оценок......................................
11.2. Оценки автоковариации................................................
11.3. Периодограмма как оценка спектра мощности............................
11.3.1. Определение периодограммы.....................................
11.3.2. Дисперсия периодограммы.......................................
11.3.3. Общие выражения для дисперсии.................................
11.4. Сглаженные оценки спектра............................................
11.4.1. Усреднение периодограмм (процедура Бартлета)..................
11.4.2. Выбор окна....................................................
11.4.3. Усреднение модифицированных периодограмм (метод Уэлча)
11.5. Оценка взаимной ковариации и взаимного спектра.......................
11.6. Применение БПФ при оценке спектра....................................
11.6.1. Реализация методов Бартлета и Уэлча...........................
11.6.2. Вычисление корреляционных оценок..............................
11.6.3. Вычисление сглаженных оценок спектра по схх(т) ....
11.7. Примеры оценки спектра...............................................
Заключение............................................................
Список литературы ....................................................
Стр.
283
283
285
285
287
289
292
296
297
301
309
315
315
318
321
322
324
332
336
337
338
339
339
340
343
345
346
346
349
349
350
354
354
355
356
356
358
361
362
362
364
366
367
367
374
373
379
380
381
381
381
387
389
389
391
393
394
395
396
400
401
402
402
403
407
407
412
413
416