/
Автор: О’Брайен Дж. Шривастава С.
Теги: экономика отдельных стран экономика мирового океана финансовый анализ фондовый рынок ценные бумаги
ISBN: 5—86461—193—X
Год: 1995
Текст
Дж. О'Брайен
С. Шри вастава
FAST
Financial Analysis and Security Trading
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ
И ТОРГОВЛЯ
ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ
Financial Trading System
Time Remaining 37
Cash : 3534 Interest Rate : 10.00
Bid Ask Units Payout
Firm 1 70/30 72/15 50
Put 30 3/20* 5/99 0
Call 30 17/ 1 25/ 7 -2
курс лекций и описание торговых сессий
John O‘Brien, Sanjay Srivastava
FINANCIAL ANALYSIS
AND
SECURITY TRADING
Graduate School of Industrial Administration
Carnegie Mellon University
Дж.О‘Брайен, С.Шривастава
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ
И
ТОРГОВЛЯ ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ
Перевод с английского
FAST-Центр
Академии народного хозяйства
при Правительстве Российской Федерации
Москва
“Дело Лтд”
1995
ББК 65.9(2)25
О 11
Перевод
канд. физ.-мат. паук И.С.Меньшикова,
капд. физ.-мат. паук О.Р.Меньшиковой,
А.II. Чабана, Ю.М.Чебанюка
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук II.С.Кукушкин
Общая редакция канд. физ.-мат. наук М.Г.Клепиковой
О’Брайен Дж., Шривастава С.
О 11 Финансовый анализ и торговля ценными бумагами
(FAST): Пер. с англ. — М.: “Дело ЛТД”, 1995. — 208 с.
ISBN 0—538—84809—X (англ.)
ISBN 5—86461—193—X (русск.)
Учебное пособие дает полное представление об основных положени-
ях теории финансового анализа и ее применении в практике торговли
пенными бумагами и производными финансовыми инструментами в со-
временной электронной системе торгов.
Данное издание содержит курс лекций по четырем модулям пер-
вой ступени программы FAST: временная структура процентных ставок;
управление риском и доходностью портфеля корпоративных акций; про-
изводные ценные бумаги (фьючерсы и опционы); информационная эффек-
тивность рынка. Приведено описание компьютерной сетевой Финансовой
Торговой Системы и торговых сессий по каждому модулю.
Для финансовых специалистов предприятий, работников фондовых
бирж, брокерско-дилерских фирм, банков, инвестиционных компаний,
слушателей курсов и коммерческих школ бизнеса, экономических вузов.
О^в^^Без объявл.
4М4(ОЗ) —95
ББК 65.9(2)25
ISBN 0—538—84809—X (англ.)
ISBN 5—86461—193—X (русск.)
© 1995 by OS Financial Trading
System. All rights reserved.
© Перевод на русский язык,
И.С.Меньшиков, О.Р.Меньшикова,
А.Н.Чабап, Ю.М.Чебанюк, 1995
Содержание
Предисловие к русскому изданию 8
1 ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ПРОЦЕНТНЫХ
СТАВОК 16
1.1 Риск, связанный с изменением процентной став-
ки, и теорема об иммунитете облигаций... 23
1.2 Процентный риск и форвардные контракты . . . 30
1.3 Откуда берутся текущие процентные ставки? . 35
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕН ОСНОВНЫХ АКТИВОВ 44
2.1 Введение................................ 44
2.2 Представление неопределенности.......... 46
2.3 Вероятность............................. 47
2.4 Описание модели определения цеп основных ак-
тивов 50
2.5 Диверсификация Марковица..................... 52
2.6 Вид границы.................................. 55
2.7 Добавление безрисковых активов............... 56
2.8 Определение рыночного портфеля............... 61
2.9 Резюме....................................... 63
2.10 Равновесный анализ формирования цеп в усло-
виях неопределенности...................... 64
2.11 Следствие для проблемы структуры капитала . 69
2.12 Процентная ставка, скорректированная с уче-
том риска.................................. 72
2.13 Приложение: ожидаемая полезность и Петер-
бургский парадокс.......................... 75
3 ОПЦИОНЫ 77
3.1 Основные определения ........................ 77
3.2 Платежи ..................................... 78
5
3.3 Пример оценки европейского одиопериодного
колл-опциопа................................. 79
3.4 Биномиальная модель цепы: европейский одло-
периодпый колл-опцион........................ 83
3.5 Взаимосвязь “пут—колл” для европейских оп-
ционов ...................................... 86
3.6 Несколько периодов: европейский колл-опцион . 87
3.7 О нейтральной к риску оценке............ 90
3.8 Много периодов ......................... 95
3.9 Лог-пормальпая модель................... 99
3.10 Американский колл-опцион ..............100
3.11 Американский нут-опцион................100
3.12 Дивиденды и американские колл-опциопы .... 101
3.13 Приложение: опционные стратегии........102
4 ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЫНКА 111
4.1 Равновесие при рациональных ожиданиях .... 112
4.2 Предварительная формулировка............113
4.3 Аккуратная формулировка.................114
4.4 Гипотеза об эффективности рынка.........120
4.5 Эмпирическая оценка эффективности рынка . . 120
4.6 Арбитраж и эффективность рынка..........124
4.7 Рациональные ожидания с помехами........128
4.8 Приложение: премия за риск в форвардных цепах 135
5 ФИНАНСОВАЯ ТОРГОВАЯ СИСТЕМА 137
5.1 Основные элементы торговли..............137
5.2 Модуль 1................................145
5.2.1 Торговая сессия ВО1...............145
5.2.2 Торговая сессия ВО2...............149
5.2.3 Торговая сессия ВОЗ...............153
5.2.4 Торговая сессия ВО4...............158
5.3 Модуль 2................................163
5.3.1 Торговая сессия СА1...............163
6
5.3.2 Торговая сессия СА2................169
5.3.3 Торговая сессия СЛЗ................172
5.4 Модуль 3.................................176
5.4.1 Торговая сессия 0Р1................176
5.4.2 Торговая сессия 0Р2................178
5.4.3 Торговая сессия ОГЗ................181
5.5 Модуль 4.................................185
5.5.1 Торговая сессия RE1................185
5.5.2 Торговая сессия RE2................190
5.5.3 Торговая сессия НЕЗ................193
5.6 Приложение: формальное определение рынка . . 196
Вместо послесловия 202
Предметный указатель 205
Предисловие к русскому изданию
Предлагаемая вашему вниманию книга является переводом
уникальных учебных пособий: лекций и торговых сессий ба-
зового курса международной компьютерной учебной програм-
мы FAST — Financial Analysis and Security Trading (Финансо-
вый анализ и торговля ценными бумагами), разработанной в
бизнсс-школе УКМ — Университета Карнеги Меллон (Питтс-
бург, США). По рейтингу на 1 января 1995 г. этот Универ-
ситет является первым в США по разработке компьютерных
программ. По программе FAST ведется обучение в универси-
тетах и бизнес-школах США, Англии, Мексики, Японии, Ав-
стралии, Гонконга, Кореи, России. Среди партнеров FAST —
Уортоновская школа бизнеса, лидирующая в области финан-
сового обучения.
В настоящее время Академия народного хозяйства при
Правительстве России (АПХ) — единственное российское
учебное заведение, получившее лицензию Университета Кар-
неги Меллон на проведение программы FAST в СНГ с правом
выдачи международного сертификата.
Впервые мы услышали об этой программе в августе 1992 г.
на проходившем в АНХ Десятом Всемирном конгрессе Меж-
дународной экономической ассоциации. Участник конгресса,
один из авторов программы FAST профессор УКМ Сапджей
Шривастава предложил применить методы эксперименталь-
ной экономики для изучения финансового рынка — одного из
наиболее сложных современных экономических механизмов.
Экспериментальная экономика — новая наука, интенсивно
развивающаяся на Западе последние 15 лет, изменила предста-
вления о методах исследования экономики и принципах обуче-
ния. В се основе — воссоздание рынка в сетевом компьютер-
ном классе и погружение слушателей в реальную конкурент-
ную среду. Это позволяет не просто услышать о рынке, а сра-
8
зу ощутить на себе его законы, а значит, и понять их, хотя бы
на интуитивном уровне.
В феврале 1993 г. мы побывали в Питтсбурге, где про-
фессора С. Шривастава и Дж. О’Брайен познакомили нас с
настоящим и будущим FAST. Обучение по первой ступени
программы FAST в АПХ началось в августе 1993 г. В под-
готовке и открытии первого семинара участвовал профессор
УКМ Крис Телмер.
Программа FAST в России проводится силами Лаборато-
рии экспериментальной экономики, созданной в АПХ в 1991 г.
при активном содействии ректора АПХ академика А.Г. Аган-
бегяна, сразу же сумевшего оценить актуальность программы
для развития фондового рынка в России и перспективность
использования новых компьютерных технологий в учебном
процессе. Коллектив Лаборатории сформировался в Вычисли-
тельном Центре Российской Академии паук и состоит из спе-
циалистов в области таких математических дисциплин, как
теория игр, исследование операций, имеющих богатый опыт
прикладных экономических исследований.
За 18 месяцев курс обучения по программе FAST в АПХ
прошло более 400 слушателей, в том числе 69 работников Цен-
трального Банка; все они высоко оцепили эту программу. Ди-
ректора Департамента подготовки персонала Г. Шураева при-
влекла петрадициошюсть методики обучения по программе
FAST, а заместитель начальника Управления ценных бумаг
ЦБ РФ К.П. Корищенко, прошедший обучение по программе
FAST в октябре 1993 г., принимает участие почти в каждой
программе, рассказывая о развитии рынка государственных
ценных бумаг в России.
Слушателями программы FAST были сотрудники 90 бан-
ков. Среди них — Автобанк, Агропромбанк, Альфа-банк, Де-
ловая Россия, Газпромбанк, Гута-банк, Диалог-банк, Инком-
банк, Международный московский банк, Менатеп, Мосбизнсс-
9
байк, Мост-банк, Мытищинский коммерческий банк, Нефте-
химбанк, Промрадтехбанк, Промстройбанк, Российский кре-
дит, РНКБ, Сбербанк России, Солидарность, Тверьунивер-
салбанк, Токобанк, Уникомбанк, Элбим-банк, Электробанк.
Обучение по программе FAST прошли представители 16
учебных и научных организаций, 33 инвестиционных фондов
и финансовых компаний, а также более 100 других финан-
совых структур. В числе учебных организаций — Государ-
ственная финансовая академия, Московская международная
финансово-банковская школа, Московский государственный
университет, Московский физико-технический институт, Рос-
сийская академия управления, Санкт-Петербургский универ-
ситет, Уральский государственный технический университет,
Учебно-консультационный центр “Ценные бумаги” (г. Рига),
Финансовый институт повышения квалификации при Мин-
фине.
Учитывая потребности отечественного фондового рынка,
сотрудники Лаборатории внесли в американскую программу
FAST ряд дополнений. Для некоторых слушателей программа
является чересчур интенсивной и насыщенной новой информа-
цией. Учитывая это обстоятельство, а также стремясь шире
внедрить эффективную и перспективную технологию обуче-
ния, сотрудник Лаборатории А.С. Злобин разработал ориги-
нальную авторскую компьютерную версию заочного обучения
по программе FAST.
В курсе заочного обучения “проигрывание” торговых сес-
сий не требует компьютерной сети и команды торгующих
трейдеров: их заменяют “роботы” — программы, имитиру-
ющие действия остальных участников торгов. По желанию
можно замедлить или ускорить ход торгов, т.е. подобрать наи-
более подходящий режим работы для каждого обучающегося
в зависимости от его потребностей и возможностей. Успеш-
ность участия в торговых сессиях оценивается автоматически:
10
после завершения очередной попытки па экране высвечивается
результат.
Другим дополнением является сетевая программа “Аукци-
он размещения”, написанная по заказу ЦБ РФ. В пей сравнива-
ются два типа аукционов: голландский и американский. Один
из них — аналог аукциона размещения ГКО (государственных
краткосрочных облигаций).
Программа FAST состоит из нескольких ступеней. Базо-
вый курс, по которому составлена книга, — первая ступень
(FASTI). Па ней слушатели погружаются в последовательно
усложняющиеся учебные финансовые ситуации: им предлага-
ется выступить в роли спекулятора, хеджера, финансового ме-
неджера, финансиста-аналитика. Для успеха в торговой сессии
необходимо освоить определенные элементы теории.
FASTI построен по модульному принципу. В соответствии
с ним написана книга — опа состоит из 5 частей: лекции по
четырем модулям и в пятой части — описание Финансовой
Торговой Системы и торговых сессий по каждому модулю.
Первый модуль посвящен рынку государственных облигаций,
который является основой финансового рынка. В рамках это-
го модуля слушатели знакомятся с временной структурой про-
центных ставок и учатся управлять риском, связанным с изме-
нением процентных ставок. Второй модуль посвящен методам
управления риском и доходностью портфеля корпоративных
акций, третий — производным цепным бумагам (фьючерсам
и опционам). Изучаются различные виды опционных страте-
гий, принципы дельта-хеджирования, модель Блэка—Шоулза.
Четвертый модуль связан с вопросами информационной эф-
фективности рынка, агрегирования и перераспределения ин-
формации на финансовом рынке, а также с изучением модели
рациональных ожиданий.
Двухнедельный курс очного обучения строится на сочета-
нии теоретических занятий и учебных торговых сессий, ко-
торые проводятся в учебном классе на сети персональных
11
компьютеров. В рамках каждой торговой сессии слушатели
рассматривают конкретную учебную ситуацию, соответству-
ющую определенному разделу теории. Занятия проходят по
схеме практика — теория — практика, по принципу — от
простого к сложному. Торговые сессии проводятся по пра-
вилам двойного аукциона, широко распространенного па за-
падных финансовых рынках и уже зарекомендовавшего себя
в России, в частности в электронной системе торгов ГКО па
ММВБ.
Дальнейшее обучение па продвинутых ступенях програм-
мы FAST предполагает переход от гипотетических учебных
ситуаций к анализу реальной финансовой информации, посту-
пающей с ведущих бирж мира в реальном времени по ка-
налам Рейтер. В 1994 г. благодаря сотрудничеству АПХ с
Европейским Фондом Менеджмента и Развития и Междуна-
родным Информационным Агентством Рейтер создан FAST-
Цснтр.
Компьютерный класс, в котором проводятся занятия, обо-
рудован английской фирмой ICL локальной сетью из 21
компьютера SX/48G и сервера. С агентством Рейтер заключен
договор о сотрудничестве, в соответствии с которым оно пре-
доставило FAST-Цсптру соответствующее оборудование, про-
граммное обеспечение и информационные услуги. Сотрудни-
чество с Лондонской биржей LIFFE позволило нам получить
доступ к информации в реальном времени с этой биржи, кото-
рая является крупнейшей в Европе по торговле производны-
ми цепными бумагами. Компьютерная фирма Leading Market
Technology, партнер Университета Карнеги Меллон, стала и
нашим партнером, предоставив в наше распоряжение про-
грамму EXPO, предназначенную для пользователей информа-
ции Рейтер и позволяющую удобно представить се графиче-
ски, проводить статистический и технический анализ.
Наличие информации в реальном времени позволило со-
трудникам FAST-Цсптра разработать повый семинар “Ва-
12
лютиыс рынки в реальном времени”. В нем большое внима-
ние уделяется техническому анализу, валютным котировкам
в системе Рейтер и управлению риском изменения валютных
курсов с использованием валютных фьючерсов и опционов.
Появление в России программы FAST несколько опережает
развитие финансового рынка в нашей стране, хотя его темпы
впечатляют — за год Россия преодолевает такие рубежи, ко-
торые па Западе требовали десятилетий. Недостаточная под-
готовленность слушателей к восприятию данного курса учи-
тывалась нами при чтении лекций. Текст адаптированного
курса лекций готовится к печати. Это будет следующий шаг
в серии изданий на русском языке по программе FAST. Далее
— материалы второй ступени программы (FAST2). Плани-
руется работа по переводу издаваемого в США трехтомника
тех же авторов “Investments. A Visual Approach” (“Инвести-
ции. Визуальный подход”). Предполагается, что каждый том
будет сопровождаться компьютерной программой, позволяю-
щей выработать интуитивное понимание теории, научиться
применять теорию к реальным рыночным данным, самостоя-
тельно проработать большое количество примеров.
Первый том этой серии уже вышел, он посвящен совре-
менной теории портфельного инвестирования и сопровожда-
ется программой САРМ TUTOR, которая обеспечивает связь
между портфельной теорией и традиционными примерами из
учебников, с одной стороны, и историческими и даже реальны-
ми данными, с другой стороны. Электронный учебник снаб-
жен необходимым набором исторических данных, по кроме то-
го можно конструировать свои множества данных, используя
для этого лк5бые доступные источники получения реальных
данных о рынке акций. Важным следствием такого подхода
является возможность изучения сложных вопросов портфель-
ного инвестирования каждому со своей скоростью, накапливая
свой личный опыт.
13
В заключение хочется выразить глубокую признатель-
ность канд. физ.-мат. паук II.С.Кукушкину, взявшему па себя
труд по прочтепию предварительного варианта книги. Его за-
мечания помогли устранить ряд недостатков и погрешностей
в переводе, что способствовало улучшению качества книги.
Благодарим переводчиков этой книги, наших друзей и кол-
лег А.П. Чабана и 10.М. Чебапюка, без активного участия
которых невозможно представить программу FAST, а также
канд. физ.-мат. наук М.Г. Клепикову, оказавшую неоценимую
помощь в подготовке этой кпиги к печати.
Меньшиков И.С., Меньшикова О.Р.,
канд. физ.-мат. наук, канд. физ.-мат. наук,
ведущий научный сотрудник директор
FAST-Центра АПХ, FAST-Центра АПХ,
ст. научный сотрудник зав. Лабораторией
ВЦ РАН экспериментальной
экономики
Об авторах
Джон Р. О’Брайен (John R. O’Brien) — профессор эк-
каунтинга и финансов Университета Карнеги Меллон, один
из директоров (по технологии и обучению) программы FAST.
Защитил диссертацию по финансам в Университете Миннесо-
ты в 1985 г. Известен своими работами по теоретическому и
экспериментальному исследованию финансовых рынков. Один
из создателей FTS (Financial Trading System — “Финансовой
торговой системы”) — программного обеспечения программы
FAST. Читает лекции и ведет практические занятия по этой
программе в университетах Мексики, Японии, Австралии.
Сапджей Шривастава (Sanjay Srivastava) — профессор эко-
номики и финансов Университета Карнеги Меллон, директор
программы FAST. Защитил диссертацию по экономике в Мас-
сачуссстском технологическом институте в 1982 г. Известен
своими теоретическими и экспериментальными исследования-
ми финансовых рынков. Вместе с Джоном О’Брайеном создал
программу FAST. Является автором нескольких книг и боль-
шого количества статей по экономике и финансам. Член мно-
гих научных обществ: Эконометрического, Королевского эко-
номического, Общества развития экономической теории, Эко-
номической Научной Ассоциации. Получил грант от Колум-
бийского Центра исследования фьючерсных рынков, а также
много академических грантов Национальной Научной Ассоци-
ации.
1 ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА
ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
Долговые контракты (например, облигации — bonds) отно-
сятся к наиболее важным финансовым активам. Долговой кон-
тракт характеризуется
1) номинальной стоимостью;
2) сроком погашения;
3) купоном или процентными выплатами, которые будут
производиться па протяжении срока действия контракта.
Самыми распространенными долговыми контрактами яв-
ляются государственные облигации. Например, тридцатилст-
пис казначейские облигации имеют номинальную стоимость
от $10 0001 до $1000000 и различные купонные ставки. По
ним выплачиваются проценты каждые полгода. Если та-
кая облигация имеет номинальную стоимость $10 000 и ку-
понную ставку 10%, то по облигации будет выплачиваться
$500(= 10 000-0.1/2) каждые шесть месяцев (мы делим 10%
на 2, так как 10% — годовая процентная ставка), а также
будет выплачена поминальная стоимость $10 000 в конце 30-
летпего периода.
Другой важный тип облигаций — это бескупонныс облига-
ции (zero-coupon bond), по которым не производятся купонные
платежи, а выплачивается только номинальная стоимость в
момент погашения (например, казначейские векссли).
’При переводе была сохранена применяемая в западной литературе
форма записи долларовых сумм: знак доллара $ ставится впереди числа,
а точка употребляется для отделения дробной части от целой. Например,
$.20 означает: 0 целых, 20 сотых доллара.
16
Наша цель — определить стоимость облигации, т. е. цену,
по которой следует ею торговать. Давайте начнем с изуче-
ния бескупонной, или дисконтной, облигации, по которой вы-
плачивается номинальная стоимость F в следующем периоде.
Предположим, облигация имеет цену Р. Если г — процент-
ная ставка (interest rate) за один период, тогда должно быть
выполнено равенство:
Р(1 + г) = F или Р — ? . (1.1)
1 + г
Чтобы доказать это, предположим от противного, что
P(l-f-r) < F. Тогда мы займем $Р под процент г и купим обли-
гацию. В следующем периоде мы будем должны уже Р(1 + г),
но получим за облигацию F > Р(1 + г), т. е. получим чистый
арбитражный выигрыш. Поэтому остается предположить, что
Р(1 + г) > F. Однако, если Р(1 + г) > F, мы продадим об-
лигацию и инвестируем деньги под процент г. В следующем
периоде мы будем должны F (так как обязаны выплатить но-
минальную стоимость облигации), но инвестиции принесут
нам Р(1 + г) > F. Отсюда Р(1 + г) < F. Поскольку ранее
мы получили, что Р(1 + г) > F, формула доказана:
P(l + r) = F.
Теперь предположим, что мы знаем цену облигации —
Р, ее номинальную стоимость — Р и срок погашения — ко-
нец первого периода. Какова тогда подразумеваемая процент-
ная ставка? Эта процентная ставка, называемая доходностью
(yield), равна доходу от облигации, выраженному в процен-
тах. Для любой ценной бумаги такой доход равен будущей
цене, деленной на текущую, минус 1. В нашем случае буду-
щая цена равна номиналу, т. е. F. Текущая цена равна Р,
поэтому доходность равна
17
У
Заметим, что процентная ставка на один период должна
быть равна доходности, иначе появится возможность арби-
тража (arbitrage opportunity). Такая возможность возникает,
когда можно получить гарантированный (безрисковый) доход
без каких-либо инвестиций. В нашем случае предположим, что
процентная ставка при займе па один период равна г, а доход-
ность нашей облигации равна у > г. Тогда мы займем деньги
под процент г и купим облигацию. Если у < г, то мы продадим
облигацию и инвестируем их под процент г.
В случае облигации на два периода (с выплатой номиналь-
ной стоимости F в конце второго периода) нам нужно знать
процентную ставку на два периода. Или наоборот, мы мо-
жем вычислить доходность облигации к погашению (yield to
maturity), исходя из цены на такую облигацию, т. с. вычис-
лить г2 из уравнения:
(1 + ri>)2‘
При рассмотрении широкого диапазона сроков погаше-
ния нужная информация содержится в кривой доходности
(yield curve), показывающей зависимость доходности к по-
гашению от срока погашения облигации. Взаимоотношение
между доходностью долговых контрактов и сроком погашения
называется временной структурой процентных ставок (term
structure of interest rates) или кривой доходности. Практиче-
ски эта кривая строится по текущим рыночным ценам на го-
сударственные долговые обязательства (которые признаются
безрисковыми — risk-free asset) различных сроков погашения.
(Получаемые процентные ставки — безрисковые — risk-free
interest rates.) Отметим, что цена облигации и соответствую-
щая процентная ставка (доходность) взаимо заменяемы: если
18
известно одно, всегда можно вычислить другое. Обычно пред-
полагается, что кривая доходности имеет наклон вверх. Это
значит, что доходность к погашению возрастает с ростом вре-
мени погашения. Если rt обозначает доходность /-периодной
бескупонной облигации, то т( > гт для t > т. Фактически
отмечались весьма разнообразные формы кривой доходности.
Имеется несколько теорий, пытающихся объяснить времен-
ную структуру процентных ставок, в том числе базирующихся
на концепциях ожиданий и предпочтения ликвидности.
Если известна временная структура процентных ставок,
то несложно определить цену других долговых контрактов,
таких как купонная облигация. Вообще, если мы знаем про-
центную ставку, по которой следует дисконтировать будущие
платежи, мы можем вычислить цену любой последовательно-
сти платежей, развернутой во времени(потока платежей —
cash flow). Наоборот, если известна цена облигации, то мож-
но определить се доходность к погашению. Например, рас-
смотрим долговой контракт, по которому Ct выплачивается
каждый период в течение Т периодов. Если Р — текущая ры-
ночная стоимость этого контракта, то внутренняя доходность
контракта равна процентной ставке г, удовлетворяющей ра-
венству:
р = ,С1 . + _£2_ + + . CL и 2)
(l + r) + (l + r)2+---+(l + r)T-
Пример
Рассмотрим бескупонную облигацию со сроком погашения
12 месяцев от данного момента и номинальной стоимостью
$1000. Безрисковая процентная ставка на рынке на 12 месяцев
равна 12%. Чему равна стоимость облигации?
Из уравнения (1.1) получаем, что стоимость бескупонной
облигации равна
19
Если процентная ставка упадет до 10%, то стоимость об-
лигации возрастет до $909.091.
Пример
Рассмотрим купонную облигацию с номинальной стоимо-
стью $1000, ставкой 7% годовых, выплачиваемых ежемесячно,
и сроком погашения 12 месяцев. В этом случае владелец об-
лигации получает $5.83 каждый месяц и $1000 в конце года.
Если текущая безрисковая процентная ставка — 1% в месяц,
то стоимость облигации равна $953.1. Это можно проверить
при помощи равенства (1.2), где = С2 = ... = Си = $5.83,
а С12 — $1005.83. Если текущая процентная ставка упадет до
5 — 6% в месяц, то стоимость облигации возрастет до $971.56.
Ординарной рентой называется поток платежей на Т пе-
риодов, при котором в каждый период выплачивается одна и
та же сумма, т. е. С = Сх = ... = Ct. Типичным примером
ординарной ренты является закладная с фиксированной став-
кой. В этом случае мы можем преобразовать формулу (1.2)
следующим образом:
С С С
1 + г + (1 + г)’+ +(1 + гУ
С С , , С С С
“ 1 ф Г + (1 + Г)2+' "+(1 + г7 + (1 ф Г)Т+! +(1 + г)Т+2+' ’ ’
С с
(1 + г)^1 (1 + г)7’+2 +
_ С _ С________________с _
г (l + r)T+1 (1 + т)т+2
20
_С__ 1 с с
г (1 + г)т .(1 + г) (1 + г)2
_ С _ 1 С
Г (1 + г)Т г ’
и получить формулу
р=£[1________!_1
Г I (l + r)TJ
Эту формулу, называемую формулой ренты, как и раньше,
можно применять двумя способами. Если известна процентная
ставка, то с ее помощью можно вычислить цену (или теку-
щую стоимость — present value) будущих платежей. Если же
известна цена и будущий поток платежей, то по этой формуле
можно вычислить процентную ставку, которая в этом случае
называется доходностью.
При рассмотрении временной структуры становится ясно,
что существует много различных процентных ставок. Чтобы
не запутаться в них, будем использовать следующие обозначе-
ния. Символом trT будем обозначать доходность к погашению
в периоде t бескупонной облигации со сроком погашения в пе-
риоде Т. Текущим периодом всегда будет нулевой период. Та-
ким образом оГг будет обозначать сегодняшнюю доходность к
погашению бескупонной облигации со сроком погашения в пе-
риоде Т. Если 0Г1 и 0Г2 известны, то определим 1Г2 как решение
уравнения:
(1 + оП)( 1 + 1^2) — (1 + о^г)2-
Величина гг2 называется наведенной будущей процентной
ставкой (implicit interest rate) или наведенной форвардной
процентной ставкой (forward interest rate). Кривая доход-
ности обычно показывает ставки типа отч и 0г2. Наведенная
форвардная ставка может быть вычислена через них. Вообще
21
наведенной форвардной ставкой между периодами t и Т, вычи-
сленной сегодня, называется величина trr, удовлетворяющая
уравнению:
(1 + оП)*(1 + егт)Т = (1 + огт)Г- (ТЗ)
Если мы знаем доходность к погашению в любом периоде,
мы можем вычислить цену, или текущую стоимость, любого
потока платежей. Таким образом, если ог( является доходно-
стью /-периодной бескупонной облигации и мы получаем пла-
теж Ct в момент времени /, тогда
Р=-.-£.._+. с<_+. + (14)
(1+.Г1) (1+.гг)2 (1 + «гг)т ' 1
При расчете доходности к погашению нельзя забывать, что
мы неявно исходим из предположения, что все денежные по-
ступления каждый период реинвестируются под процент, со-
ответствующий доходности, на оставшееся до погашения вре-
мя. Чтобы доходность облигации реализовалась в виде реаль-
ного дохода, нужно чтобы либо не было неопределенности в
процентных ставках, либо облигация была бескупонной.
Рассмотрим купонный контракт, составленный как порт-
фель (portfolio) бескупонных облигаций. Этот портфель сфор-
мирован так, чтобы платежи от Т бескупонных облигаций в
точности соответствовали платежам купонной облигации. В
этом случае каждая бескупонная облигация должна иметь соб-
ственный срок погашения так, чтобы были представлены все
даты от 1 до Т. Пусть поток платежей такого портфеля соот-
ветствует платежам в уравнении (1.2) (С^Сг,... Теку-
щая стоимость этих будущих платежей определяется текущи-
ми доходностями в соответствии с равенством (1.4). Уравне-
ния (1.2) и (1.4) будут эквивалентны, если кривая доходности
горизонтальна (т. е. текущая процентная ставка нс зависит от
времени до погашения). Эквивалентность предполагает, что
22
купонные выплаты сразу реинвестируются под процент, соот-
ветствующий текущей доходности к погашению. В мире без
неопределенности процентных ставок будущие значения до-
ходности к погашению точно определены, и для держателя об-
лигаций нет реинвестиционного риска (reinvestment risk). Од-
нако на практике неопределенность процентных ставок имеет
место, поэтому изменения доходности имеют стохастический
характер и существует реинвестиционный риск.
1.1 Риск, связанный с изменением
процентной ставки, и теорема
об иммунитете облигаций
Одним из способов контроля риска при изменении цеп обли-
гаций в связи с изменением процентных ставок (процентный
риск), или хеджирования (hedging) риска, является управле-
ние дюрацией портфеля облигаций и использование теоремы
об иммунитете. Понятие “дюраций (duration) было впервые
введено Макколи и характеризует чувствительность стоимо-
сти облигаций к изменению процентных ставок. Пиже мы вре-
менно опустим индексы при г для упрощения обозначений.
Пусть г обозначает доходность облигации к погашению, то-
гда г удовлетворяет уравнению:
С С С С+ F
1 ~ 1 + г + (1 + г)2 + • • ’ + (1 + гХ-1 + (1 + rf ’
где С — выплата по купону, F — номинальная стоимость об-
лигации, Т — срок погашения и Р — текущая цепа облигации.
Перепишем равенство:
P = £c't.(l + r)-\
t=i
где Ct = С при t<T V. Ст — CFF.
23
Тогда можно записать
яр т
^ = -Еад(1 + г)-‘
дР/Р Vf
Идг/(14-т) “ Р(1 + т)г
Формально Левая часть равенства является эластичностью
цены облигации по отношению к (1 4- г) и характеризует про-
центное изменение цены облигации по сравнению с процент-
ным изменением (1 + г). Но есть и другая интерпретация. За-
метим, что Ct (1 + г)-*-1 является текущей стоимостью пла-
тежа в периоде t. Поскольку
_ С‘
Wt Р(1 + г)‘
является долей цены, которую вносит платеж в момент вре-
мени t.
Теперь мы можем переписать то же равенство как
дР/Р уЧ
^/(1 + г)
и поскольку
т
= !>
1=1
эта эластичность равна средневзвешенному времени погаше-
ния с весами w(. Тогда определим дюрацию Макколи так:
24
_ А А U1 / Л
S Wt S ^G + r)1 дг/(1 + гУ
Отметим, что дюрация бескупонной облигации в точно-
сти равна времени погашения, в то время как для купонной
облигации она меньше этого времени.
Поскольку дюрация характеризует чувствительность це-
ны облигации, или, в более общем смысле, потока платежей,
к изменению доходности к погашению, мы можем пытать-
ся управлять риском, связанным с изменением процентной
ставки, используя дюрацию. Например, предположим, что вы
должны заплатить $1000 ровно через два года. Тогда дюрация
вашей задолженности равна 2. Одним из способов защиты от
изменения процентных ставок является покупка бескупонной
облигации с номинальной стоимостью $1000, погашаемой че-
рез два года. Если 0г2 — процентная ставка на два года, то эта
покупка обойдется вам в 1000/(1 4-ог2)2 и ваши обязательства
будут в точности соответствовать вашим активам.
Теорема об иммунитете (впервые получена Самуэльсоном)
утверждает, что риск, связанный с изменением процентных
ставок, можно хеджировать, выравнивая дюрации активов и
задолженностей. Это правило основано на том факте, что про-
центный риск возрастает с уменьшением цены облигации и,
наоборот, уменьшается с увеличением цены, и что облигации
с разными сроками погашения реагируют по-разному на из-
менения процентных ставок. В результате, если процентная
ставка растет, доход от реинвестиции купонов возрастает,
но рыночная стоимость облигации падает, и наоборот, если
процентная ставка падает, то стоимость облигации растет.
Проиллюстрируем это правило на примере простого обяза-
тельства выплатить $С в момент времени t. Тогда текущая
стоимость задолженности равна
25
(1 + r)‘ ’
и дюрация равна t. Назовем такую задолженность облигацией
1. Рассмотрим две бескупонные облигации с номинальными
стоимостями Ci и С*2 и временами погашения tr и t2 соответ-
ственно. Тогда
, С2
(14-r)‘i (1фг)'»‘
Портфель из двух таких облигаций назовем облигацией 2.
Предположим, что
й < I < t2, Р1 = Р2, и D1 = D2,
где D1 и D2 — дюрации облигаций 1 и 2 соответственно.
Пример
Рассмотрим текущую стоимость как функцию процентной
ставки для двух потоков платежей:
Альтернатива А:
В конце года 10 платеж равен $109. Других платежей нет.
Альтернатива Б:
В конце года 2 платеж равен $22, а в конце года 18 — $135.
Других платежей нет.
Альтернатива А имеет дюрацию 10. Если процентная
ставка равна 12%, то дюрация альтернативы Б также рав-
на 10. Заметим, что хотя дюрация каждой из компонент аль-
тернативы Б известна (2 и 18 соответственно), мы нс можем
определить дюрацию этого потока платежей в совокупности,
не делая предположений о процентной ставке. При ставке 12%
оба этих потока платежей имеют одинаковую текущую сто-
имость. Текущая стоимость (ТС) как функция процентной
ставки определяется следующей таблицей:
26
Процентная ТС(А) ТС(Б) Дюрация Б ТС(Б)~
ставка —ТС(А)
0.05 66.92 76.05 13.80 9.13
0.06 60.86 60.88 13.32 6.02
0.07 55.41 59.16 12.80 3.75
0.08 50.49 52.65 12.27 2.16
0.09 46.04 47.14 11.71 1.10
0.10 42.02 42.46 11.15 0.44
0.11 38.39 38.49 10.58 0.10
0.12 35.09 35.09 10.00 0.00
0.13 32.11 32.19 9.44 0.08
0.14 29.40 29.69 8.88 0.29
0.15 26.94 27.54 8.34 0.60
0.16 24.71 25.68 7.81 0.97
0.17 22.68 24.07 7.32 1.39
0.18 20.83 22.66 6.84 1.83
Отметим, что текущие стоимости равны при 12% (когда
равны дюрации), а при любых других процентных ставках
альтернатива Б всегда более ценна, чем альтернатива Л.
Покажем, что соотношение между стоимостью облигаций
и доходностью к погашению, продемонстрированное на этом
примере, имеет общий характер.
Таким образом, когда доходность к погашению возрастает,
текущая стоимость задолженности падает сильнее, чем теку-
щая стоимость облигации 2, в то время как, если доходность
падает, то стоимость задолженности растет медленнее, чем
стоимость облигации 2. Поэтому облигация 2 “защищает” за-
долженность. Доказательство заключается в следующем. Мы
знаем, что эти две облигации имеют одинаковые стоимости
и одинаковые дюрации при ставке г. Это означает, что две
кривые должны касаться в точке (г,Р). Известно также, что
цена убывает при возрастании доходности, поэтому обе кри-
вые наклонены вниз. Теперь покажем, что вторая производная
27
для первой кривой меньше, чем для второй кривой при рав-
ной дюрации. Значит, кривые касаются в точке (г, Р), причем
вторая лежит выше первой, что и показано на рисунке:
Результат для вторых производных вытекает из неравен-
ства Йенсена следующим образом:
дР1
— = -/С(1 + г)-‘-1,
от
—— — —ZjCifl + r) tl ^<>2(1 + г) <2 1
^ = ^ + 1)С(1 + г)-‘-2 =
t2C tc
- (l + r)t+2 + (l + r)t+2 “
Аналогично
28
Я“2р2
+ 1)G(1 + г)-'1’2 + t2(l + t2)c2(l + г)-'2-2 =
ОТ*
= Р 4- + Л21
(1 + г)2 |P(l + r)‘i Р(1 + г)Ь . ’
Для того чтобы увидеть, что первое выражение превосхо-
дит второе, вспомним определение дюрации, обозначив
_ Ci С2
W1 “ P(l + r)f‘ И W2~ +
Wi 4- w2 = 1 и, поскольку дюрации двух облигаций равны,
получим
t = tiWL 4- t2W2.
Поэтому, если нам удастся показать, что t2 < w^t2 4- w2t2,
мы докажем, что вторая производная облигации 1 меньше, чем
вторая производная для облигации 2. Это следует из неравен-
ства Йенсена и того, что t2 — выпуклая функция. Неравенство
Йенсена утверждает, что если /(г) — строго выпуклая функ-
ция, то f{axi 4- (1 — q)z2) < 4- (1 - a)J(z2)- Обозначив
a = W!, 1 — a = w2 к x = t, получим требуемый результат.
Рисунок также показывает, что мы не получим точную
меру чувствительности к изменению процентных ставок про-
стым вычислением и. На рисунке обе облигации имеют одина-
ковые дюрации, но облигация 2 более чувствительна. Зависи-
мость цены от процентной ставки для облигации 2 — “более
выпуклая”, что показывает вычисление второй производной.
Вообще более выпуклая зависимость лучше менее выпуклой.
Меру выпуклости характеризует вторая производная, обычно
нормализованная либо на цену облигации, либо на удвоенную
цену.
Теорема об иммунитете опирается на нереалистическое
предположение об изменениях процентных ставок, а именно на
29
то, что изменение доходности нс зависит от времени погаше-
ния. Папример, если доходность одномесячных казначейских
векселей изменилась на 5 базисных пунктов (1/100 процента
равна 1 базисному пункту), то и доходность тридцатилетних
правительственных облигаций должна измениться на 5 базис-
ных пунктов. Это предположение нереалистично, потому что
допускает только параллельные сдвиги во временной струк-
туре процентных ставок. Однако существует другой подход к
управлению процентным риском. Для этого нужны дополни-
тельные рынки, называемые форвардными рынками, которые
позволяют торговать непосредственно риском.
1.2 Процентный риск
и форвардные контракты
Форвардный контракт является обязательством покупки или
продажи какого-то (реального или финансового) актива в
определенный момент в будущем и по оговоренной цене. Эта
цена называется ценой поставки (delivery price) и устанавли-
вается в момент заключения контракта. Однако поскольку
никаких платежей в момент заключения контракта нс про-
изводится, цела поставки устанавливается так, чтобы теку-
щая стоимость форвардного контракта была равна нулю. В
противном случае появилась бы возможность для арбитра-
жа, при которой либо продавец, либо покупатель бесплатно
получил бы финансовый актив с положительной текущей сто-
имостью.
Это можно увидеть следующим образом. Пусть on обозна-
чает процентную ставку на один период, 0г2 — на два периода,
a f — форвардная цена двухпериодной бсскупонной облигации
с номинальной стоимостью F и поставкой в периоде 1. Тогда
текущая цена облигации равна:
30
(1 + oJ"i)(l + 1Г2) (1 + огг)2
Мы утверждаем, что для предотвращения арбитража фор-
вардная цена должна быть равна
Для доказательства предположим, что f > F/(l + jr2).
Тогда рассмотрим следующую стратегию: занять f/(1 + оп)
на один период, использовать часть этой суммы для покупки
бсскупонной облигации и продать один форвардный контракт.
Поскольку цена облигации строго меньше, чем //(1 + оп), мы
получим положительный платеж сегодня. В периоде 1 мы по-
лучим /, поставим нашу облигацию и вернем /, т. о. пол-
ностью закроем пашу позицию в периоде 1. При этом у пас
останутся рапсе полученные деньги, так что мы получили ар-
битражную прибыль. Если f < Р/(1 + 1Г2), тогда мы прода-
дим облигацию в короткой позиции, инвестируем полученные
деньги и купим форвардный контракт.
Это доказательство устанавливает, что стоимость фор-
вардного контракта равна пулю, поскольку текущая стои-
мость поступающего потока платежей равна текущей стои-
мости уходящего потока. Если процентная ставка изменится,
то изменятся и стоимость уже заключенных контрактов и фор-
вардная цена на новые контракты.
Доказательство для многолетних контрактов несколько
сложнее. Рассмотрим 7’-периодную бескупонную облигацию и
форвардный контракт на поставку этой облигации в перио-
де 2, так что у поставленных облигаций останется (Т — 2)
периодов до погашения. Пусть текущая цена облигации рав-
на Р, a /2 — форвардная цена. Мы хотим доказать, что
J2 = Р(1 + 0Г1 )(1 +1 г2), т. е. форвардная цена равна стоимости
31
облигации в периоде 2, наведенной текущей временной струк-
турой. Это доказательство немного усложняется тем фактом,
что если мы будем пытаться придерживаться той же страте-
гии, что и в однопериодном случае, то нам потребуется занять
деньги на два периода под текущую двухпериодную процент-
ную ставку. Нам нужно занять сумму
_______/2______
(1 + ori)( 1 + 1гг)
Если есть возможность занять эту сумму на два периода
по наведенной доходности к погашению, т. е. процентной став-
ке, удовлетворяющей равенству (1 + 0Г2)2 = (1 + оп)(1 + i^2),
то мы сможем придерживаться той же стратегии, что и рань-
ше. Если же такой возможности нет, то появится процентный
риск и нам не обязательно удастся закрыть нашу позицию
в периоде 2 без дополнительных затрат. Например, если мы
займем под 0П сегодня, но столкнемся с изменившейся про-
центной ставкой при попытке продлить наш заем завтра, то
можем понести потери, если, например, процентная ставка до-
статочно сильно возрастет.
Чтобы избежать этого, нужно занять на два периода под
процент, определяемый сегодняшней временной структурой.
Это достигается следующей стратегией: продаем двухпери-
одные облигации в таком количестве, чтобы их суммарная
номинальная стоимость в периоде 2 была равна /2, и на по-
лученные деньги покупаем Т-периодную облигацию. В пери-
оде 2 мы поставляем облигацию, получаем /2, платим /2 по
двухпериодным облигациям и закрываем нашу позицию. Лег-
ко проверить, что если /2 окажется больше, чем следует, то за
продажу двухпериодных бескупонных облигаций мы получим
больше, чем заплатим за Т-периодную облигацию.
С другой стороны, мы можем вычислить наведенную про-
центную ставку при одалживании (у кого-то/кому-то) денег
на два периода. Одним из способов одалживания денег на два
32
периода является покупка двухпериодной бескупонной обли-
гации. Пусть 0г2 — двухпсриодпая процентная ставка при
торговле этой облигацией такая, что
(1 + 0П)(1 + 1Г2) — (1 + ог2)2-
Другим способом такого займа является покупка Т-псриод-
ной облигации с Т > 2 и заключение на форвардном рынке се-
годня контракта на продажу доходов от облигации в третьем и
последующем периодах, т. е. контракт на поставку облигации
в конце периода 2 по цене f2. Рассмотренное доказательство
просто утверждает, что эти два вида займа должны принести
одинаковые доходы.
Здесь мы использовали текущие и форвардные рынки для
хеджирования процентного риска в периоде 2. Аналогичные
рассуждения можно применить при хеджировании процентно-
го риска в более общем виде. Например, вернемся к примеру с
дюрацией. Имея обязательство выплатить L в периоде t, для
хеджирования изменений в процентных ставках можно купить
сегодня дисконтную облигацию с номинальной стоимостью L.
Если же этого сделать нельзя, тогда альтернативой является
покупка облигаций с более поздними сроками погашения и их
форвардная продажа в момент времени I по известной цене,
опять-таки избегая риска, связанного с изменением процент-
ных ставок.
Конечно, если бы процентные ставки изменились, то из-
менилась бы и стоимость форвардного контракта. Главным
различием между форвардными и фьючерсными контракта-'
ми (кроме того, что фьючерсные контракты стандартизова-
ны и торгуются на биржах, в то время как форвардные кон-
тракты — па внебиржевых рынках) является то, что владе-
лец фьючерсного контракта должен отслеживать на периоди-
ческой основе (ежедневно либо еженедельно) рыночную сто-
' имость своих фьючерсных позиций. Это означает, что если
33
контракт имеет отрицательную стоимость, то короткая пози-
ция (тот, кто поставляет данные активы в будущем) должна
компенсировать разницу (или процент от нее) в деньгах. Если
же стоимость положительна, то разницу должна компенсиро-
вать длинная позиция. Значит, процентный риск нельзя про-
сто игнорировать, когда мы говорим о фьючерсных, а не о
форвардных контрактах. Однако если нет неопределенности в
динамике процентных ставок, то форвардные и фьючерсные
контракты на один срок должны иметь одинаковые стоимости.
Во всех этих рассуждениях мы считали временную струк-
туру данной и, исходя из этого, определяли цены форвардных
контрактов. Однако можно считать данными цены на фор-
вардные контракты, тогда цены на дисконтные облигации и
процентные ставки вычисляются по ним. Таким образом, мы
можем говорить о форвардной цене, определяющей форвард-
ную процентную ставку (forward interest rate), и применять
арбитражные рассуждения к процентным ставкам, получае-
мым при различных инвестиционных стратегиях.
Все это приводит нас к эквивалентному способу определе-
ния форвардной цены. Предположим, что мы можем положить
деньги на депозит под от\ на один период и под 0г2 — на два
периода, так что наведенная процентная ставка в следующем
периоде 1 равна ir2. Рассмотрим форвардное соглашение на
депонирование в периоде 1 па один период, и пусть ji2 —
форвардная процентная ставка на депозит, согласованная се-
годня. Тогда по соглашению вы должны депонировать в
периоде 1 на один период, а другая сторона — заплатить вам
А'(1 + ii2) в периоде 2. В этом случае должно выполняться
равенство:
1г2 = 1Г2>
иначе существует возможность для арбитража. Например,
если ii2 > 1Г2, то вы займете деньги на два периода под 0г2,
34
депонируете их на один период под огх и войдете в форвард-
ное соглашение. В периоде 1 вы просто получите ваш депозит
плюс процент и выполните форвардное соглашение. В периоде
2 вы получите больше денег, чем будете должны.
Из этих рассуждений не следует, что процентные ставки в
следующем периоде будут равны наведенной форвардной став-
ке, и не следует даже, что вы ожидаете, что они будут равны.
Фактически мы ничего не сказали о том, откуда взялись эти
ставки! Мы обсудим это в следующем параграфе; сейчас мы
лишь отметим, что временной структуре посвящены несколь-
ко теорий. В одной из них, “теории ожиданий”, утверждается,
что наведенные будущие ставки равны ожидаемым будущим
ставкам. Из этой теории следует, что инвесторы могут ви-
деть, как рынок оценивает любую форвардную ставку. Прак-
тически было обнаружено, что временная структура содержит
“премию за риск” так, что наведенные форвардные процент-
ные ставки отличаются от ожидаемых рынком ставок. Ана-
логичный эффект наблюдается и для форвардных контрактов
другого рода, например для валют.
1.3 Откуда берутся текущие
процентные ставки?
В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что нам из-
вестны цепы некоторых активов, и, используя арбитражные
соображения, определяли цепы других активов. Однако мы
совсем не объяснили, откуда взялись цены, с которых мы
начали. Возникает интересный экономический вопрос: отку-
да берутся текущие процентные ставки? Они публикуются
каждый день в финансовой прессе на основе реальных сделок
между заемщиками и кредиторами. Практическое взаимодей-
ствие участников финансового рынка регулируется сложным
35
множеством правил. Например, по правилам двойного аук-
циона заявки на покупку или на продажу (они называются
соответственно бидами — bid и асками — ask) можно пред-
лагать таким образом, чтобы цены бидов увеличивались, а
асков — уменьшались. Хотя эти правила описывают процесс
установления цен, они ничего не говорят о фундаментальных
причинах, определяющих их конечные значения.
В конечном счете, процентные ставки определяются уров-
нем спроса и предложения на активы, приносящие доход. На-
пример, если спрос на определенные бескупонные облигации
невелик, то цена этих облигаций будет падать, а доходность
расти. То же самое произойдет, если предложение этих об-
лигаций окажется слишком большим. Реагируя на дисбаланс
между спросом и предложением, равновесные цены определят
временную структуру.
Уровень спроса и предложения на эти облигации зависит
от многих причин. Предложение обычно формируется прави-
тельством, корпорациями и частными лицами, которые хотят
занять денег. Спрос формируется лицами, желающими сбе-
речь часть своего дохода для потребления в будущем. Напри-
мер, рассмотрим экономику, в которой только один потреби-
тель и п бескупонных облигаций с номинальной стоимостью
F, рассчитанных на один период. Предположим, что потреби-
тель имеет доход ПЛ0 сегодня, но не будет иметь дохода завтра.
Пусть Со обозначает количество денег, которое он тратит на
потребление сегодня, а С\ — завтра. Пусть Р — цена одной
бескупонной облигации. Тогда Со = Wo — zP, где z — число
приобретенных облигаций, и = zF, поскольку потребитель
получит номинальную стоимость каждой облигации. Каким
образом потребитель определяет, каковы Со, или (что то
же самое) zl
В экономической теории предполагается, что потребитель
некоторым образом оценивает предпочтительность для него
36
разных вариантов потребления. Это моделируется при помо-
щи функции полезности (utility function). В нашем случае за-
дача потребителя заключается в выборе z, максимизирующем
U(Со) + Д(/(С1) при условии, что
Со = Жо - zP и Ci = zF.
Здесь V — функция полезности, а /3 называется дискон-
тирующим фактором. Если /3 = 0, то потребитель совсем не
ценит будущее потребление. Если же /3 > 1, то потребитель
ценит потребление в будущем выше, чем настоящее в следу-
ющем смысле. Предположим, мы начали с позиции, в которой
Со = Ci, и предложили потребителю немного уменьшить Со,
увеличив на ту же величину С^. Тогда если ft > 1, то потре-
битель примет наше предложение. Аналогично, если (3 < 1, то
потребитель отвергнет это предложение, поскольку потребле-
ние в настоящем для него ценнее, чем в будущем. Обычно мы
считаем, что 0 < [3 < 1.
Подставляя значения Со и С± в функцию полезности, при-
ведем задачу потребителя к следующему виду:
U(IF0 — zP) + (3U(zF) —> max.
Тогда условие первого порядка для этой задачи имеет вид:
-PV'(Wo - zP) + (3FV'(zF) = 0.
Условие второго порядка будет выполнено, если U —
(строго) вогнутая функция, что обычно предполагается. Во-
гнутость функции полезности связана с антипатией к риску.
Это означает, что при прочих равных условиях потребитель
всегда предпочтет более равномерную структуру потребле-
ния.
Условие первого порядка можно переписать:
37
V'^ F
U'(CX) Р'
Если г — процентная ставка па один период, то мы знаем,
что Р = F/(l + г), так что F/P = (1 + г). Поэтому
(/•(С,) П '
Таким образом, если Д = 1/(1 +г), то потребитель уравни-
вает маргинальные полезности потребления в обоих периодах;
поскольку функция строго вогнута, это также означает рав-
ные потребления.
Эту формулу можно воспринимать следующим образом. /3
характеризует процентную ставку, по которой потребитель
оценивает потребление в будущем по отношению к настояще-
му. (1 + г) характеризует ставку, по которой настоящее потре-
бление превращается в будущее. Поэтому если /3 > 1/(1 + г),
то потребитель предпочитает большее потребление в буду-
щем, чем в настоящем, и наоборот, если /3 < 1/(1 + г).
Продолжим определение г (или, что то же самое, Р). Для
этого рассмотрим конкретную функцию полезности:
U(C) = 1о§(С),где log обозначает натуральный логарифм.
В этом случае Д'(С) = 1 /С, поэтому условие первого по-
рядка переписывается в виде:
откуда
z Ч + /Р Р’
Мы предположили, что существует п облигаций, в то вре-
мя как z — спрос на эти облигации. Таким образом, если спрос
равен предложению, мы получим
38
п
Р JVo
1 + /Г Р ’
и цепа (Р) облигации определяется уравнением
Р
1 + р} п '
Р = (
Отсюда видно, что рост предложения (п) приведет к паде-
нию цены облигации и увеличению процентной ставки, в то
время как увеличение JV0 приведет к росту цены облигации.
А что же /3? Увеличение /3 увеличивает как числитель, так и
знаменатель дроби в равенстве. Однако дробь растет с ростом
/3, поэтому увеличение (3 приведет к росту цены или падению
процентной ставки.
В общем случае мы можем рассмотреть другие функции
полезности и случай многих потребителей с различными пред-
почтениями. Вместо двух периодов можно рассмотреть боль-
ше. Этот случай мы разберем позже, что позволит нам рассмо-
треть множество разнообразных форм, которые может прини-
мать временная структура.
Рассмотрим экономику с идентичными потребителями с
логарифмическими предпочтениями потребления (С) на че-
тырехточечной оси времени. Предположим, что предпочтения
потребителей описываются
V = tZ(C0) + pu(Ci) + р2и(с7) + р3и(Съ),
где функция полезности U(C) = log(C) — монотонно возра-
стающая и строго вогнутая по потреблению С (т. е. первая
производная от U по С, 1/С, положительна, а вторая произ-
водная, — 1/С2, отрицательна). Коэффициент /3 представляет
коэффициент предпочтения будущего потребления перед на-
стоящим для каждого потребителя; будем предполагать, что
О </?<!.
39
Предположим, что существует три вида бескупонных об-
лигаций со сроками погашения в периодах 1, 2 и 3 соответ-
ственно. Типичный потребитель i сталкивается со следующи-
ми бюджетными ограничениями:
1- Со = Wo — Z{y Ру — Zy2P2 — Zi3P3,
2. Су = ZiyF,
3. С2 = zi2F,
4- С3 = zy3F,
где Zyj — число бескупонных облигаций с погашением в перио-
де j, приобретенных или проданных (в зависимости от знака)
потребителем г. Задача каждого потребителя состоит в макси-
мизации функции полезности при ограничениях (1.—4.); при-
чем подставляя ограничения непосредственно в целевую функ-
цию, получим задачу безусловной максимизации. При наших
предположениях о функции V условия первого порядка по z{j
являются необходимыми и достаточными условиями максиму-
ма. Условия первого порядка:
= _р (_____________i____________', = 0
5ztl Ц Wo - ZiyPy - zi2P2 - zi3P3} Г ZiyF
= ( 1__________________________
dzy2 W0 — ZiyPy — Zy2P2 ~ Zi3P3 Zi2F
(___________1____________). ££
dzi3 31 Wo - ZiyPy- zi2 P2 - zi3P3} r zi3F
40
F
Преобразуя эти уравнения, получим описание спроса в ви-
де системы линейных по z уравнений:
(1 + /3)P1Z|1 + P?2zi2 + РРзг13 =
P2Plzil -Ь (1 -|- (P}P2zi2 + P2P3zi3 —
P3Plzil + Д3 P?zi2 + (1 + P3)P3zi3 =
Эта система проще выражается в матричном виде:
Azi = С
и решается обращением А:
z* = А~'С.
В конкурентном рыночном равновесии цена каждого вида
облигаций такова, чтобы спрос уравновешивал предложение,
тогда:
z*- = суммарный выпуск облигаций вида j,
которое эквивалентно условию, что вектор цен должен удовле-
творять равенству:
52,(А-1С)у = суммарный выпуск облигаций вида j.
Для демонстрации нахождения конкурентного равновесия
сделаем следующие дополнительные предположения.
Пример
Равновесный анализ временной структуры
процентных ставок
В экономике, определенной выше, сделаем дополнительные
предположения:
(/(G) = log(Ct).
Общее число идентичных инвесторов равно 1 000 000.
Р = 0.909091, Wo = $1000.
41
Общее предложение бескупонных облигаций каждого типа
равно 2 287 916.
Мы определим и найдем конкурентное равновесие, полудив
некоторые выводы относительно временной структуры про-
центных ставок.
Конкурентное равновесие
Конкурентные цены (Р1,Р2)^з) бескупонных облигаций со
сроком погашения 1, 2 и 3 соответственно удовлетворяют сле-
дующим условиям:
1. При данных ценах спрос z*- максимизирует функцию
полезности инвестора при бюджетных ограничениях.
2. При этих ценах спрос и предложение на рынке каждого
вида облигаций равны.
Нахождение равновесия
Спрос па каждую бескупонную облигацию определяется
условиями первого порядка из задачи типичного инвестора.
Учитывая предположения о функции V и подставляя ограни-
чения в целевую функцию из условий первого порядка, полу-
чаем оптимальный спрос в матричной форме (как выше):
= А~'С,
и условие баланса каждого рынка требует:
2,*- = суммарный выпуск облигаций вида j.
Данным параметрам соответствует следующее решение.
Текущая/форвардная ставкав периоде 1 = 0.1,0.1, 0.1 (т. е.
кривая доходности горизонтальна).
Текущие цены (ставки) для рынка бескупонных облигаций
(Г = $100):
Погашение в год 1 90.909, (0.10).
Погашение в год 2 82.645, (0.10).
Погашение в год 3 75.131, (0.10).
42
Для каждого инвестора z*j = 2.8679 для каждого типа об-
лигаций.
Потребление в каждом периоде = 286.7916 единиц потреб-
ления.
Заметим, что симметрия данного примера обусловливает
горизонтальность кривой доходности, а уровень потребления
равномерен во времени в соответствии со свойствами функции
полезности.
Реакция временной структуры
на скачок предложения
Предположим, что правительство дополнительно выпу-
стило 7000 двухгодичных бескупонных облигаций, а началь-
ный уровень благосостояния инвесторов не изменился. Даже
в нашей простой экономике произойдет довольно сложное из-
менение процентных ставок. Старые цены не обеспечат ба-
ланса спроса и предложения. При логарифмической функции
полезности на одногодичные и трехгодичные облигации бу-
дут направлены те же доли начального капитала. Однако цена
двухгодичной бескупонной облигации упадет до $80.675 вви-
ду возросшего предложения, а значит, форвардная ставка в
первый год возрастет до (0.1268) в ответ на скачок предло-
жения. Более того, сохранение цены на трехгодичные облига-
ции потребует изменения форвардной ставки на третий год.
Она упадет до (0.07378) так, чтобы геометрическое среднее
(1.10 • 1.12685 • 1.07378)^3> осталось равным 1.10. Это из-
менение форвардной ставки ца год 3 возникает в ответ на
эффект возросшего благосостояния, имеющий место в нача-
ле года 3 после погашения двухгодичных облигаций с повы-
шенным предложением. В результате новая кривая доходности
имеет пик в средней позиции: 0.10, 0.113, 0.10 и соответствую-
щие однопериодные текущие/форвардные ставки равны: 0.10,
0.1268, 0.07379.
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕН
ОСНОВНЫХ АКТИВОВ
2.1 Введение
Прибыль, получаемая любой фирмой, так же как индивидуу-
мом, неизбежно сопряжена с риском. Стоимость акции (share,
stock) фирмы будет зависеть от рискованности ее будущих
доходов, от отношения акционеров к риску и от процентных
ставок по безрисковым ценным бумагам. Вопрос, который бу-
дет разбираться в данном тексте, звучит так: если заданы на-
бор рискованных ценных бумаг (акций) и группа избегающих
риска инвесторов, то как можно определить цену каждой из
акций?
Пытаясь ответить на этот вопрос, сделаем некоторые
упрощающие . Во-первых, будем рассматривать только одпо-
псриодные цепные бумаги, так что временная структура про-
центных ставок и изменение рискованности во времени оста-
ются за пределами рассмотрения. Во-вторых, будем считать,
что рискованность портфеля акций можно оценить дисперсией
дохода. Такие допущения приводят к простой и элегантной те-
ории, известной как Модель определения цен основных акти-
вов (the Capital Asset Pricing Model), впервые предложенной
У. Шарпом (W. Sharpe) в 1964 г.
Для начала рассмотрим следующий пример. Фирма X хо-
чет привлечь $1000 для инвестиций в проект, сулящий 50%
шансов па успех. В случае успеха фирма получит доход $2000,
который целиком выплатит инвесторам. В противном случае
фирма сможет заплатить только $200. Предположим, что без-
рисковая процентная ставка на один период равна 10%. В этом
44
случае ни один избегающий риска инвестор не будет финанси-
ровать данную фирму, поскольку точно такой же ожидаемый
доход оп сможет получить без всякого риска. Следовательно,
фирма нс сможет привлечь капитал для инвестирования сво-
его проекта.
Разумеется, если бы фирма увеличила свои выплаты, ска-
жем до $2400 в случае успеха, кое-кто из инвесторов мог бы
рассмотреть возможность вклада денег в данную фирму. Ожи-
даемая доходность превышает в данном случае 10% и может
компенсировать имеющийся риск. Один из вопросов, па кото-
рый мы хотим получить ответ, звучит так: какую премию за
риск должна выплачивать фирма, чтобы привлечь требуемый
капитал?
Проблема усложняется тем фактом, что фирма не может
рассматриваться изолированно. Для того чтобы попять это,
перепишем наш пример следующим образом:
С остояние Выплаты Доходность
Хорошее 2000 100%
Плохое 200 —80%
Предположим, что имеется другая фирма, фирма Y, ко-
торая также нуждается в $1000 привлеченного капитала, по
выплачивает $200 в хорошем состоянии и $2000 в плохом, так
что хорошее состояние для фирмы X является плохим для
фирмы Y и наоборот. Ранее мы говорили, что ни одни из из-
бегающих риска инвесторов не будет вкладывать капитал в
фирму X. Аналогичные аргументы убеждают, что.никто не
будет инвестировать и проект фирмы У.
Тем не мопсе присутствие на рынке сразу обеих фирм при-
водит к тому, что любой инвестор будет готов сделать вложе-
ния сразу в обе фирмы! Для того чтобы понять это, рассмо-
трим инвестора с $2000 капитала. Если этот инвестор вложит
по $1000 в каждую из фирм, то доходность составит 10% вне
45
зависимости от состояния. Это легко видно из следующей таб-
лицы:
Состояние Выплата X Выплата Y Суммарные
выплаты
Хорошее 2000 200 2200
Плохое 200 2000 2200
Получилось так, что весь риск, связанный с фирмой А”,
может быть устранен путем одновременного инвестирования
в фирму Y. В данном примере выплаты фирм в точности от-
рицательно скоррелированы, так что весь риск может быть
устранен. Вообще говоря, это довольно редкий случай, а в
общем случае имеются два вида риска: диверсифицируемый
(diversify) (устранимый) и недиверсифицируемый (системати-
ческий).
Для того чтобы выяснить, какая доля риска является ди-
версифицируемой, мы должны рассмотреть все существую-
щие у инвесторов возможности и характеризующие их риск и
доходность. Когда мы выделим педиверсифицирусмую часть
риска, мы сможем рассмотреть вопрос о том, сколько фирма
должна платить инвесторам в качестве компенсации за риск.
Это исключительно важно для фирмы, ибо определяет стои-
мость ее собственного капитала.
2.2 Представление
неопределенности
Удобный способ формализации неопределенности состоит в
использовании концепции “состояния мира” (state of world).
Состояние полностью определяет все переменные, являющи-
еся внешними по отношению к рынку. Например, состояние
может включать спрос на продукцию фирмы, цены ресурсов
46
и полуфабрикатов и т.д. Различные состояния представляют
различные реализации неопределенности.
Мы будем обозначать состояние буквой s. Во всех случаях
будем рассматривать конечный набор состояний. Как прави-
ло, мы будем ссылаться на конкретное состояние, скажем, со-
стояние к. Обозначим через К общее количество состояний;
запись st будет обозначать к-е состояние, к = 1,... ,К.
Каждому состоянию приписана вероятность, обозначаю-
щая шапсы па появление данного состояния. Запись 7r(s) будет
использоваться для обозначения вероятности состояния s.
2.3 Вероятность
Если даны набор возможных состояний и приписанные каждо-
му состоянию вероятности, то можно определить случайную
величину как нечто такое, что имеет различное значение в
различных состояниях. Например, предположим, что фирма
выпустила 100 акций и выплачивает по акциям весь свой до-
ход. Предположим, что есть два состояния и что доход фирмы
в состоянии 1 равен $1000 и в состоянии 2 равен $500. Тогда
доход фирмы является случайной величиной. То же самое от-
носится и к дивиденду на одну акцию, который равен 10 в
состоянии 1 и 5 в состоянии 2.
В общем случае пусть x(s) обозначает значение случай-
ной величины в состоянии s. В предыдущем примере вели-
чина z(s) могла бы обозначать доходы фирмы в состоянии s,
величину дивиденда на акцию в состоянии s или цену фирмы
в состоянии s.
Ожидаемое значение случайной величины х, обозначаемое
через Е(х'), задается формулой
Е(х) =
47
Дисперсия/вариация (variance) х, обозначаемая <т2( х), опре-
деляется
<т2(х) = £л(5)[Ф) -
Если заданы две случайные величины, например х и у, то
ковариация (covariance) х и у задается
о(х,у) = ЕлООЬОО - £(x)][3/(s) - Е(у)].
Очевидно, что а(х,х) = сг2(х) и <t(x,j/) = а(у,х). Ко-
рень квадратный из дисперсии, tr(a:), называется стандарт-
ным квадратичным отклонением (standard deviation).
Заметим, что если х — случайная величина, то ах для
любого а также случайная величина. Мы можем вычислить
среднее и вариацию ах:
Е(ах) = У^7г(а)[аг(а)] = аЕ(х),
S
a2 (ax') = 7r(s)[<i2:(s) — Е(ах)]2 — а2а2(х).
Аналогично, для любого /? и любой другой случайной вели-
чины у величина /Зу также случайна и имеет характеристики:
Е(0у) = рЕ(у); а2(ру) - Р2а2(у).
Наконец, если мы объединим ах и Ру и рассмотрим новую
случайную величину ах + Ру, мы можем вычислить матема-
тическое ожидание и вариацию этой новой величины:
Е(ах + Ру) = 527t(s)[q!z(s) + (3y(s)] = аЕ(х) + РЕ(у),
s
а2(ах + fly) = 52 7г(«)[аф) + Py(s) - Е(ах + Ру)]2 =
S
= а2а2(х) + Р2а2(у) + 2a/3a(z, у).
48
Последние две формулы весьма полезны при расчетах ожи-
даемой доходности и дисперсии портфеля ценных бумаг.
Пример
Имеются три состояния: s1, s2, s3. Каждое состояние может
реализоваться с равными шансами. Есть два вида акций: А и
В. Цены акций в каждом из состояний задаются следующей
таблицей:
Состояние А В
з1 10 25
з2 20 15
53 30 5
В соответствии с приведенными выше определениями
Е(Л) = 10/3 + 20/3 + 30/3 = 20,
Е(В) = 25/3 + 15/3 + 5/3 = 15,
ст2(Л) = (10 - 20)2/3 + (20 - 20)2/3 + (30 - 20)2/3 =
= 200/3 = 66.67,
ст2(В) = (25 - 15)2/3 + (15 - 15)2/3 + (5 - 15)2/3 =
= 200/3 = 66.67,
<т(Л, В) = (10 - 20)(25 - 15)/3 + (20 - 20)(15 - 15)/3+
+(30 - 20)(5 - 15)/3 = -66.67.
Портфель, состоящий из +1 акции Ли +1 акции В, имеет
ожидаемую доходность 35 и нулевую дисперсию.
49
2.4 Описание модели определения цен
основных активов
Имеется N типов акций. Срок жизни каждой акции — один
период. В конце периода все фирмы ликвидируются, а полу-
ченные доходы раздаются акционерам в качестве дивидендов.
Дивиденды, выплачиваемые на акции каждого типа, являются
случайными величинами.
Пусть Z\(s) — дивиденд, выплаченный на акцию i в состо-
янии 5 (в конце периода), и пусть Pi — цена акции i (в начале
периода). Тогда
является доходностью акции i в состоянии s. Ожидаемая до-
ходность (expected value) акции i равна
Ж) = Ел(5)г’(5)>
9
и дисперсия (доходности) акции i равна
ст.? = £ф)(г.(а) “ £(г>))2 •
в
Ковариация акций i и j равна
S
Портфель (portfolio) акций определяется как набор
а = (о15... ,адг), где о,- есть доля акции i в портфеле.
Ожидаемая доходность портфеля равна
ад = £а,£(г.).
50
f
a дисперсия портфеля
» i
Для каждого допустимого портфеля мы можем отметить
на графике ожидаемую доходность и стандартное квадратич-
ное отклонение. Это приведет к следующей диаграмме:
Данный рисунок показывает возможные соотношения меж-
ду риском и доходностью на данном рынке. Заметим, что
каждая точка па диаграмме соответствует портфелю бумаг.
Если инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой до-
ходности и минимизации стандартного отклонения, то можно
заметить, что некоторые из портфелей доминируют осталь-
ные. Так, при фиксированной доходности (отклонении) доми-
нируемые портфели имеют большее отклонение (меньшую до-
ходность). Можно предполагать, что рациональные инвесто-
ры будут делать свой выбор среди недоминируеМых портфе-
лей, которые занимают левый верхний угол на рисунке.
51
2.5 Диверсификация Марковица
Множество недоминируемых портфелей, называемое эффек-
тивной границей, может быть построено решением общей за-
дачи минимизации риска, впервые рассмотренной Маркови-
цем:
= 52 52 Wu min
• i
при двух ограничениях. Первое ограничение фиксирует же-
лаемый уровень доходности, а второе ограничение нормирует
весовые коэффициенты портфеля (без ограничений на корот-
кую позицию):
J2 - Ё(а) = О,
I
52 ~ 1 = °’
t
Целевая функция Лагранжа для задачи минимизации рис-
ка при фиксированном уровне доходности записывается так:
L = + А1(52а*^(г*) ~ £(“)) + Аг(52 ai ~ !)•
i j i i
Портфель, минимизирующий риск, находится, если поло-
жить dL/da, = dL/dXj = 0 для всех акций i и для j = 1,2.
Эти условия первого порядка определяют систему уравнений,
линейную по весовым коэффициентам портфеля и множите-
лям Лагранжа и потому решаемую с помощью матричных
методов (с возможностью использования стандартных паке-
тов). Например, целевая функция для задачи с тремя типами
акций записывается так:
L = ajoy + O3O33 + 4* Зача^о^з + Заг^зО’гзФ
-j- OL2E2 + «з^з ~ Ё) + А2(а1 + «2 + аз — !)•
52
Условия первого порядка для данной задачи
dL/doii — 2а1<т11 4* 2а2<т12 4* 2аз<Т1з 4* Ajj^i 4~ А2 — О,
3L/da2 = 2а2^22 + 2oi(7i2 4* 2аз<Тгз 4* Aj Е2 4* А2 = О,
dL/da3 — 2оз<Тзз + 2ai<Ti3 + 2а2<т23 + Х^Е3 + А2 = О,
dL/dXi = агЕ^ 4- а2Е2 + а3Е3 - Ё = О,
3LIЗХ2 ~ Qj 4* о2 4* «з — 1 = 0.
В матричной форме
^2(7ц 2(712 2(713 Ё1 < О1> f ° \
2(721 2(722 2(72з Е2 1 «2 0
2(731 2(732 2(7зз Е3 1 Оз = 0
j?i Ё2 Е3 0 0 Ai Е
\ 1 1 1 0 0? \ ^2 /
Если обозначить матрицу “риск—доходность” через V,
вектор (а,А) через А и вектор в правой части через W, то
мы должны решить относительно А систему уравнений
VA = W.
Инвертируя матрицу “риск—доходность”, получим реше-
ние:
А = V-^V.
Данное решение определяет оптимальный портфель из ак-
ций трех типов, реализующий требуемую доходность (при ми-
нимальной дисперсии). Варьируя желаемую доходность, мож-
но построить всю эффективную границу. Заметим, что для
определения эффективной границы как функции Ё достаточ-
но двух последних столбцов матрицы V-1, поскольку первые
три компоненты вектора W равны нулю. Это иллюстрируется
следующим примером.
Пример
Рассмотрим три рисковые ценные бумаги, характеризую-
щиеся следующими рисками и доходностью:
Ожидаемая доходность Вариация доходности Ковариация (ч)
Акция 1 .03 .25 -.05 (1,2)
Акция 2 .07 .45 .45 (2,3)
А кция 3 .15 .90 .20 (1,3)
При данной информации матрица V равна
/ 0.5 -0.1 0.4 0.03 1\
-0.1 0.9 0.9 0.07 1
0.4 0.9 1.8 0.15 1
0.03 0.07 0.15 0 0
\ 1 1 1 0 0/
а вектор JK равен
/°\
О
О
Ё
\1/
Обратная матрица для V равна
/ 0.430108 -0.64516 0.215054 -5.10753 0.787634 \
—0.64516 0.967742 -0.32258 -4.83871 0.693548
0.215054 -0.32258 0.107527 9.946237 -0.48118
-5.10753 -4.83871 9.946237 -79.9731 0.490591
( 0.787634 0.693548 -0.48118 0.490591 —0.14671/
54
' Умножая W иа V-1 спереди, получим общее решение за-
дачи минимизации дисперсии портфеля как функции Ё для
акций 1, 2 и 3:
Акция 1 = -5.10753Г + 0.787634.
Акция 2 а2 = -4.83871Г + 0.693548.
Акция 3 а3 = 9.946237Е1 - 0.48118.
Например, если мы хотим получить ожидаемую доход-
ность .1 (т. с. 10%), мы должны подставить .1 вместо Ё в
приведенные выше формулы минимизирующих дисперсию ве-
совых коэффициентов:
Акция 1 0.276882.
Акция 2 0.209677.
Акция 3 0.513441.
Сумма 1.000000.
2.6 Вид границы
Если мы найдем решение задачи минимизации риска в боль-
шом диапазоне ожидаемых доходностей, то увидим, что гра-
ница имеет форму “пули”. Интуитивное понимание, почему
граница имеет именно такую форму, можно получить, рас-
смотрев случай двух типов акций. Предположим, имеются два
вида акций с ожидаемой доходностью и Е(г2), стандарт-
ными отклонениями (Tj и о2 и ковариацией <т12. Если мы рас-
смотрим комбинацию из а акций первого типа и (1 — а) вто-
рого, ожидаемая доходность портфеля aE^r^ + (1 — а)К(г2)
будет находиться где-то между JE7(ri) и Е(г2). Стандартное
отклонение портфеля равно
[а2а2 + (1 - а)2ст2 + 2а(1 - а)<т12]1/2.
55
Для того чтобы граница имела выпуклую форму, требу-
ется, чтобы стандартное отклонение портфеля было меньше
линейной комбинации а<7! + (1 — а)<72 при 0 < а < 1 и боль-
ше — при а < 0 или а > 1. Другими словами, мы должны
проанализировать неравенство
[a2af + (1 - а)2а2 + 2а(1 - а)<712]1/2 < ааг + (1 - а)<т2.
Возводя обе части в квадрат и упрощая, получим
а(1-а)<712 < а(1 - а)<7!<72.
Величина р12 = <7i2/<7i<72 называется коэффициентом кор-
реляции (correlation coefficient). В теории вероятностей дока-
зываются неравенства — 1 < р12 < 1 Для любых случайных
величин. При -1 < р12 <1 мы получаем требуемое неравен-
ство:
а(1 - а)<712 < а(1 - a)oia2,
если 0 < а < 1, или
а(1 - а)<712 > а(1 -
если а < 0 или а > 1. Если же р12 = 1 или pl2 = —1, то
граница может быть кусочно-линейной. Мы, однако, не будем
всерьез рассматривать этот вырожденный случай.
2.7 Добавление
безрисковых активов
Предположим теперь, что имеется безрисковый актив с до-
ходностью Гу. Это соответствует точке на оси У, поскольку
безрисковый актив, по определению, имеет нулевую диспер-
сию.
56
г
™ Наличие безрисковых активов меняет открытые перед на-
ми инвестиционные возможности, поскольку мы можем ком-
бинировать его с рисковыми активами. Фактически меняется
эффективная граница инвестиционных возможностей. Проил-
люстрируем это положение, используя следующий рисунок:
Рассмотрим точку типа Л, которая соответствует портфе-
лю с ожидаемой доходностью Е(гА) и стандартным отклоне-
нием <тл. По мы можем получить ту же самую ожидаемую
доходность, но с меньшей дисперсией, составив комбинацию
портфеля точки В с безрисковым активом. Если мы инвести-
руем а в г/ и (1 - а) в В, то ожидаемая доходность будет
arj + (1 — о)Е'(гв), а стандартное отклонение (1 — а)ав. Выб-
рав а подходящим образом, как показано на рисунке, мы
получим ту же самую ожидаемую доходность с меньшим
риском.
Продолжая в том же духе (рассмотрев, например, точку
С), мы обнаружим, что самое лучшее, что мы можем сделать,
это составить комбинацию из безрискового актива и точки М
па рисунке. Это приводит к следующей эффективной границе:
57
Точка М называется рыночным портфелем (market port-
folio). Эффективная граница превратилась в прямую, прохо-
дящую из rj через М, и любой инвестор с предпочтениями,
определенными выше, будет выбирать портфель так, чтобы
ожидаемая доходность и стандартное отклонение лежали бы
на этой прямой. Эта прямая часто называется Capital Market
Line (CML). Заметим, что эта прямая касается “пули” в точке
АГ. Пусть 7?(гд/) и — ожидаемая доходность и стандартное
отклонение в точке М. Наклон прямой тогда равен
Л' = (Е(гЛ/) -
Э го число показывает, какой долей ожидаемой доходности
мы должны пожертвовать, чтобы уменьшить риск, и говорит
об имеющихся возможностях компромисса между риском и до-
ходностью. Иногда эту величину называют рыночной ценой
риска.
Каждый раз, когда заданы цепы всех акций на рынке, тем
самым определены и все возможности для компромисса между
риском и доходностью. Инвесторы торгуют па рынке и форми-
руют портфели. Равновесие наблюдается, если цепы на акции
таковы, что пи один из инвесторов пе захочет изменить свой
58
портфель и предложение активов (как рисковых, так и безрис-
ковых) равно спросу. Это условие определяет равновесную ры-
ночную цепу риска. Если рыночная цепа риска известна, мы
можем определить ожидаемую доходность или эквивалентно
цепы на все рисковые активы.
Это делается следующим образом. Предположим, рассма-
тривается возможность инвестирования доли 8 всего капитала
в акции i и доли (1 — 0) в М. Это приведет к следующей диа-
грамме (как функции 0):
Заметим, что внутренняя линия касается внешней грани-
цы “пули” в точке АГ, поскольку лежит целиком внутри внеш-
ней и проходит через АГ.
Ожидаемая доходность равна
БГ£(0) = 0Е(г1) + (1-0)Е(гЛ/),
а стандартное отклонение
<т(0) = yjd^af + (1 - 0)2а2л1 + 20(1 - 0)аш.
59
Мы можем вычислить, как ожидаемая доходность и дис-
персия зависят от параметра в. Если продифференцировать
каждое из выражений по 0, мы получим
«=ад
= 1<72(<?)'1/2[20<7? - 2(1 - 0)а2м + 2(1 - 6)<цм - 26aiM].
UU £
Отношение этих двух производных, вычисленное в точке
в = 0, даст наклон внутренней линии в точке М. Поскольку
эта внутренняя “пуля” касается внешней “пули” в точке М,
то она касается в точке М и прямой, проходящей из rj через
М. Отсюда получаем:
dER{9) _ Е(т$ - E(rM) _ E(rM) - r{
g=0 l&iAf ~ ^Af
Решая это уравнение, получим
Е(т\) = rs + к{Е(тм) - г;].
Коэффициент Д = а.лг/од, называется “бета” актива г.
Приведенное уравнение определяет Security Market Line
(SML). Это уравнение говорит, что в равновесии ожида-
емая доходность Е'(г1) актива i связана с ожидаемой до-
ходностью рыночного портфеля 1?(гЛ/) через цену риска,
А' = (Е(тм) — г у)/a At, задающую наклон прямой CML. Выра-
жение в квадратных скобках есть превышение ожидаемой до-
ходности рыночного портфеля над безрисковой доходностью.
Модель определения цен основных активов (САРМ) говорит,
что избыточная доходность актива i (равная Е(г{) — rj) долж-
на быть пропорциональна избыточной доходности рыночно-
го портфеля, где коэффициентом пропорциональности служит
“бета” актива.
60
В терминах рыночной цепы риска уравнение SML перепи-
сывается следующим образом:
/ х А'
ДГ() = Г/ + ---
&м
В такой записи SML в равновесии есть функция, линейная
по ковариации актива с рыночным портфелем и по “рыночной
цене риска”, определяемой в этом случае как
А = (Е(гМ) ~ г,)/<т2м.
2.8 Определение рыночного портфеля
Точка М на диаграмме представляет риск и доходность порт-
феля, называемого рыночным портфелем. Как указывалось
ранее, рыночный портфель определяется условием равенства
спроса и предложения. Например, если все инвесторы ней-
тральны к риску, то E(rM) должно равняться rj (если бы
доходность рыночного портфеля была выше, то все инвесто-
ры захотели бы купить его, так что спрос превысил бы пред-
ложение). Этот факт может использоваться при вычислении
рыночного портфеля.
Во-первых, докажем теорему об инвестировании в два
фонда (two-fund theorem). Эта теорема утверждает, что если
инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и
стандартным отклонением своего портфеля, то каждый инвес-
тор будет комплектовать портфель только из М и безрисково-
го актива. Это ясно из последнего рисунка: каждый инвестор
будет выбирать точку на прямой между Г; и М. Точка, вы-
бранная инвестором, определит пропорции, в которых данный
инвестор будет распределять свой капитал между безриско-
вым активом и рыночным портфелем.
Таким образом, мы можем представить решение инвестора
к числом ак, определяющим долю в его портфеле безрисковых
активов, тогда (1 — а*) определит долю рыночного портфе-
ля. Итак, если ак = 1, инвестор вкладывает весь капитал
в безрисковые активы; если ак < 0, инвестор занимает (под
безрисковый процент) и покупает рыночный портфель. Если
17* — суммарный капитал инвестора к, то Yk = (1 — a*)J7*
— капитал, вложенный в рыночный портфель.
Пусть rrii — доля актива г в М. Для того чтобы получить
ожидаемую доходность Е(гм) и стандартное отклонение аЛ1,
мы должны инвестировать долю т,- нашего капитала в ка-
ждый актив г. Предположим, что рынок находится в равнове-
сии. Чему равны т,- для каждого г?
Поскольку спрос равен предложению, суммарный капитал,
вложенный в М, должен равняться рыночной стоимости М.
Другими словами, если мы спросим каждого инвестора, сколь-
ко денег он вложил в М, и просуммируем, мы получим сум-
марный капитал, инвестированный в М. С другой стороны,
если мы посмотрим на рыночные цены акций, умножим их на
количество акций и просуммируем по всем видам последних,
мы получим рыночную стоимость М. Ясно, что эти величины
должны быть равными. Более того, мы можем проделать то
же самое для каждого типа акций: рыночная стоимость актива
должна равняться капиталу, вложенному всеми инвесторами.
Пусть V{ = Pi X Qi, где Qi — количество акций типа г.
Тогда Vi — рыночная стоимость фирмы г.
Вспомним, что Yk — капитал, вложенный в М инвестором
к. Тогда rriiYk — капитал, вложенный инвестором к в акцию
г. Суммируя, получим
£т,У* = V.
к
62
Решим относительно m,-:
Vi
mi Et Ук ’
По мы знаем, что
к «
поскольку суммарный капитал, инвестированный в рынок, ра-
вен рыночной стоимости всех активов. Подставляя, получим:
V
что говорит о том, что доля акций типа г в М просто равна
доле акций па i рынке. Поэтому-то М называется рыночным
портфелем.
Замечание.
Безрисковые активы играли существенную роль в преды-
дущих рассуждениях. Однако мы фактически использовали
лишь тот факт, что ковариация безрискового актива с рыноч-
ным портфелем равна нулю. Если бы нашелся такой портфель
Z, что aZM = 0, то наши рассуждения были бы справедливы
и при отсутствии безрисковых активов.
2.9 Резюме
Центральным выводом модели САРМ является то, что ожи-
даемая доходность акции должна удовлетворять уравнению
Е(п) 0i[E(rM) - гу].
Это уравнение говорит, что избыточная доходность акции
i пропорциональна избыточной доходности рыночного порт-
феля, где коэффициент пропорциональности является “риско-
ванностью” акции г. Как мы увидим позднее, этот факт может
63
применяться для определения процентной ставки, которую мы
используем при дисконтировании рисковых финансовых пото-
ков.
При выводе этого уравнения мы использовали тот факт,
что инвесторы оценивают только ожидаемую доходность и ее
дисперсию. Предположив, что рынок находится в равновесии,
мы получили приведенное выше уравнение, которое характе-
ризует равновесные доходности. Очень важно, однако, попять,
что данное уравнение характеризует равновесные цены лишь
частично. Фактически, нс производя дальнейшего анализа, мы
нс обладаем даже достаточной информацией для определения
равновесных цен: нам необходимо знать рыночную цену риска.
Для этого нам потребуется детально рассмотреть проблему со
стороны инвесторов, что мы до сих пор в основном игнориро-
вали.
2.10 Равновесный анализ формирования
цен в условиях неопределенности
Формулировка, которую мы примем, слегка отличается от
той, что рассматривалась ранее. Мы предполагаем, что ин-
весторы избегают риска и интересуются размером капитала
на конец периода. Капиталы в начале периода считаются за-
данными. Выплаты по ценным бумагам, в которые можно ин-
вестировать капитал, являются стохастическими, и мы снова
предполагаем, что конкретные выплаты в конце периода бу-
дут зависеть от реализованного состояния мира. Инвесторы
могут формировать портфели рисковых активов, и следова-
тельно, финальные выплаты будут зависеть от состояния ми-
ра. Мы предполагаем, что инвесторы оценивают портфель по
величине ожидаемой полезности (см. приложение). Мы сдела-
ем более специфическое допущение относительно предпочте-
ний инвесторов, а именно, предположим их квадратичными.
64
F
* Следствием такого допущения является то, что инвесторы ин-
\ тересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией, но
не другими характеристиками своего портфеля.
Инвесторы будут формировать портфель так, чтобы мак-
симизировать ожидаемую полезность при ограничениях по на-
чальному капиталу и по предложению бумаг на рынке. В усло-
виях конкурентного рынка установление равновесных дсп па
финансовые активы означает, что:
1. Инвесторы формируют портфели, максимизирующие
ожидаемую полезность.
2. Предложение активов каждого вида равно спросу.
Конкурентное равновесие в экономике с неопределенно-
стью строится следующим образом.
Во-первых, при данных цепах мы докажем справедливость
теоремы об инвестировании в два фонда. Во-вторых, мы опре-
делим равновесную стоимость каждой фирмы в экономике. По-
сле этого легко подсчитываются равновесные цепы па каждую
акцию.
Напомним, что если инвесторы интересуются только ожи-
даемой доходностью и дисперсией доходности портфеля, то
они будут формировать свой портфель как комбинацию толь-
ко рыночного портфеля М и безрискового актива. Одним из
следствий этого результата является факт, что доля стоимо-
сти фирмы г, принадлежащая инвестору к, равна доле фирмы
j. Пусть V, и Vj обозначают рыночные стоимости этих фирм, а
zk и zk — доли стоимостей, принадлежащих инвестору к, так
что количество денег, вложенных инвестором к в фирму г, рав-
но ZfVi. Тогда легко получить равенство zk = zk. Напомним,
что Yk обозначает количество денег, вложенных инвестором к
в рисковые активы, и т,- обозначает долю фирмы i в рыночном
портфеле. Тогда стоимость фирмы г в портфеле инвестора к
равна rriiYk. Таким образом, мы имеем zkVi = rriiYk, так что
условие zk = zk будет выполнено, если = rrijYk/Vj,
65
1
или rrii/Vi = mj/Vj. По последнее равенство следует непосред-
ственно из определения т, и rrij. Поскольку m; = V./V, где
V — суммарная рыночная стоимость всех фиръг, мы получаем
ич/Vi = 1/V = mj/Vj.
Для аналитического удобства спрос каждого инвестора за-
дается как желаемая (для владения) доля каждой фирмы. Мы
покажем, что из предположения о квадратичпости функций
полезности вытекает, что каждый инвестор желает владеть
одной и той же долей во всех фирмах. Этот факт существенно
используется при выводе основного уравнения для рыночной
стоимости фирмы. Оказывается, что стоимость каждой фир-
мы может рассматриваться как текущая стоимость со буду-
щих доходов, “скорректированных с учетом риска”.
Обозначения и допущения
F — Конечная оценка капитала
г — Единица плюс безрисковый
процент (кредиты даются
под данный процент)
Zj — Доля фирмы j,
принадлежащая инвестору к
Vj — Рыночная стоимость фирмы j
Xj(s) — Выплаты фирмы j в состоянии s
tt(s) — Вероятность состояния s
jij — Математическое ожидание
— величины Xj
aij — Ковариация величин z, и Xj
Wk — Начальный капитал инвестора к
Uk — F — ckF2 — Функция полезности инвестора к
Построение равновесия
Капитал инвестора к в состоянии s (в копце периода) оце-
нивается формулой
Г4(5) = г1У‘ + £^(5)-гУ,]. (2.1)
j
66
В этом выражении rWk определяет доход от начального
капитала, —zkrVj есть потери дохода из-за вложения капитала
в фирму j, наконец zkXj(s) есть выплаты фирмы j инвестору
к.
Ожидаемая полезность конечного капитала, заданного
формулой (2.1), в случае квадратичной функции равна
2>М(Г‘(а)(2.2)
t
и, если нот ограничений на короткую позицию, необходимое и
достаточное условие для максимизации ожидаемой полезности
по переменным zk записывается
В[(1 - 2?Г‘(з))(х,(а) - rV;)] = 0, (2.3)
где Е обозначает математическое ожидание выражения в ква-
дратных скобках.
Можно вывести следующие соотношения:
= rWk + - rV,), (2.4)
J
E[Fk(s)Xj(s)] = + ЖОО(£Ж - rK))], (2.5)
i
^[гХфДз)] = (2.6)
Раскрывая (2.3) и используя (2.4)—(2.6), можно записать
условия первого порядка по отношению к zk в следующем виде:
+ = (/zy-rV,)(l/2cl-rlVl). (2.7)
i
~ Отметим, что характеристики инвесторов входят в пра-
вую часть множителем. Поэтому можно решить соответству-
ющую систему относительно вспомогательных переменных Zj,
67
умножив которые затем на (1/2ск — гИ7*), мы получим иско-
мые переменные zk. Теорема об инвестировании в два фонда,
в сущности, основана на возможности представить уравнение
в такой форме. Окончательно, пусть Zj — решение следующей
системы:
52 zi <<Ъ + 0х*’ ~ rVd^j ~ = (Д, “ rVi\ (2-8)
I
Тогда Zj определяется уравнением
zkj = z](l/2ck- НК*). (2.9)
В равновесии должно выполняться условие zk = 1, т. е.
сумма долей любой из фирм по всем инвесторам должна рав-
няться единице. Отсюда мы имеем
= 1 = ^(Е(1/2с‘) - (2.10)
к к к
и, тем самым,
^• = 1/(Е1/2с*-г£|И*)- (211)
к к
Из (2.10) и (2.11) следует
zk = (l/2cfc - гРГк)/(^(1/2с') - г (2-12)
i i
Из (2.12) видно, что zk не зависит от j, так что доля любой
фирмы для инвестора к определяется только характеристика-
ми инвестора. Эту долю обозначим через zk.
Используя данный результат, становится относительно
легко определить V) — рыночную стоимость фирмы j. Урав-
нение спроса (2.7) можно теперь переписать в виде
^EK+(M.-^)(^-rh)J = (m-rVj)(l/2ck-rWk). (2.13)
68
Поскольку ^2kzk = 1, мы имеем
Ekv + (Mi ~ rVi)(jij - rv;-)] =
I
= te-rh)(E(i/2^)-’-Ew'*)- м
к к
Наконец, используем тот факт, что $2,- И = IK4, т- с-
суммарная рыночная стоимость всех активов равна суммар-
ному капиталу в экономике. Подставляя в (2.14), получаем
+ (w - П',)(£,,. - £1/2с‘) = 0. (2.15)
t i к
Раскрывая, получаем
Vj = (Ж - Е *и/(Е 1 /2с* - ЕМ.)]. (2.16)
• к i
Уравнение (2.16) определяет рыночную стоимость фирмы
в целом. Уравнение утверждает, что стоимость фирмы j равна
текущей стоимости (по проценту безрискового актива) скор-
ректированных с учетом риска ожидаемых платежей. Поправ-
ка на риск зависит от среднего отношения инвесторов к риску
и от ковариаций платежей данной фирмы со всеми другими
фирмами в экономике (систематический риск).
2.11 Следствие для проблемы
структуры капитала
Уравнение (2.16) определяет рыночную стоимость фирмы в це-
лом; значимыми параметрами являются рисковые потоки пла-
тежей, задаваемые через ij(s) в каждом состоянии. Из этого
следует, что способы инвестирования в фирму по имеют зна-
чения. Таким образом, пока величина хДл) не зависит от того,
выпускает фирма акции или облигации, рыночная стоимость
фирмы также не зависит от структуры капитала (capital
structure) фирмы. Если под фирмой мы понимаем набор про-
ектов, каждый из которых порождает рисковый финансовый
поток, то вышеизложенное будет означать, что рыночная сто-
имость фирмы также нс зависит от способа финансирования
проектов. В действительности этот вывод, впервые получен-
ный Модильяни и Миллером (F. Modigliani, М. Miller) в 1961
г., нс требует специфических гипотез, лежащих в основе моде-
ли САРМ. Заметим, однако, что мы предполагаем совершен-
ный рынок; теорема Модильяни — Миллера перестает быть
справедливой, если, например, процентные платежи и диви-
денды облагаются налогами по-разному.
В случае совершенного рынка мы проиллюстрируем неза-
висимость стоимости фирмы от структуры капитала па про-
стом примере, когда фирма может выпустить акции или об-
лигации. Мы покажем, что если облигации являются безрис-
ковыми (т. с. номинальная стоимость выпущенных облигаций
покрывается в любом состоянии), то инвесторы могут прямо
реализовать желаемую структуру капитала, формируя порт-
фель из безрисковых облигаций и рисковых акций, выпущен-
ных фирмой.
Пример
Пусть имеются две фирмы, доходы которых совпадают во
всех трех возможных состояниях и приведены в таблице ниже.
Для простоты будем считать (как в модели САРМ), что в
конце периода обе фирмы ликвидируются, выплачивая долги и
распределяя остаток дохода среди акционеров. Фирма А имеет
5 единиц долга, фирма В — 10.
Состояния 12 3
Доход
каждой фирмы: 10 20 30
70
Платежи
Фирма А
акционерам 5 15 25
кредиторам 5 5 5
Фирма В
акционерам 0 10 20
кредиторам 10 10 10
Обозначим А полную стоимость акций фирмы А, В — пол-
ную стоимость акций фирмы В и Т — стоимость безрисковой
облигации, по которой в конце периода выплачивается одна
единица. Поскольку обе фирмы способны погасить свои долги
в любом состоянии, они должны оплачивать кредит по безрис-
ковой ставке (иначе был бы возможен очевидный арбитраж).
Таким образом, полная стоимость фирмы А равна А + 5Т, а
фирмы В — В + ЮТ.
Поскольку рассматриваемые фирмы различаются лишь
структурой капитала, теорема Модильяни—Миллера утвер-
ждает, что (в условиях совершенного финансового рынка) их
полные стоимости должны совпадать:
А + 5Т = В + ЮТ.
В самом деле, предположим, что рынок предпочитает вто-
рую структуру, так что цена фирмы В выше. Отсюда следует
В > А - 5Т. (2.17)
Рассмотрим следующую стратегию акционера фирмы В:
продать свою долю в фирме В (выручив аВ), взять в долг 5аТ
единиц по безрисковой ставке процента (например, продав в
короткой позиции 5а облигаций), купить такую же долю в
фирме А (заплатив аА). Неравенство (2.17) означает, что в
начальный момент наш акционер будет иметь положительное
71
сальдо; в конце же периода, получив дивиденд от фирмы А и
выплатив долг, он окажется в том же положении, как если бы
он сохранял акции фирмы В.
Разумеется, такую же арбитражную прибыль можно полу-
чить и нс будучи акционером фирмы В; для этого достаточно
продавать ее акции в короткой позиции. Так или иначе, воз-
можность арбитража показывает, что цена акции фирмы В
должна падать, а фирмы А — расти, пока (2.17) не переста-
нет выполняться. При обратном неравенстве работает “двой-
ственная” арбитражная стратегия: продать акции А и купить
акции В и безрисковые облигации.
2.12 Процентная ставка,
скорректированная с учетом риска
Одна из главных причин развития моделей ценообразования
типа САРМ заключается в том, что с их помощью можно
оцепить ставку дисконтирования рисковых потоков налично-
сти. Если цепа риска эмпирически оценена, то САРМ позво-
ляет найти доходность любой конкретной акции в равнове-
сии, которая одновременно, как было показано при равновес-
ном анализе, является коэффициентом дисконтирования бу-
дущих рисковых потоков платежей. Последняя формулировка
позволяет оценивать будущие платежи в терминах более при-
ближенных к фундаментальному или эконометрическому ана-
лизу. Оцениваются три важные характеристики: величина и
сроки ожидаемых платежей и ставка дисконтирования, при-
нимающая во внимание “рискованность” ожидаемых потоков
платежей. Соответствующий коэффициент дисконтирования,
скорректированный с учетом риска, связан с коэффициентами
“бета”, определенными в модели САРМ.
Ожидаемая доходность акции i за один период равна
72
Л о
где Ро — текущая цена, Pi — будущая цена, Di — дивиденд,
выплачиваемый за период 1. САРМ утверждает, что
Дг.) = г/ + Р,[Е(гм) - 17].
Объединяя, получим
£(Р!}.+ Д- =1 + г, + ДО(г1,)-г,1
*0
или
Д(Р,) + Д,
0 1+г,+иад-г,г ( 8)
В этой формуле числитель равен ожидаемым от акции пла-
тежам, а знаменатель равен единице плюс процентная ставка,
требуемая инвесторами. Чем больше риск, тем больше требуе-
мая ставка доходности и, следовательно, тем меньше цепа при
заданном уровне будущих потоков платежей. В формуле (2.18)
цена акции выражена с помощью коэффициента дисконтиро-
вания, скорректированного с учетом риска: мы дисконтируем
будущие платежи с помощью процентной ставки, учитываю-
щей риск.
Риск—нейтральная форма записи для скорректированных
с учетом риска платежей выводится так:
f ДЛ + Di) — Ро А
cov(r,-,rA/) = cov(--------,ГМ) =
1 о
= д([№ + ^-р° _ - д(ГА,)п =
___________1______
Росоу(Рх + Di,rMy
73
Вспоминая определение “бета”, перепишем приведенную
выше формулу для Ро:
____________Е(Р1 + Р1)____________
1 cov(Px +Di,rM) ’
1 + Г/ + —-----2-------(P(rM) - 17)
Л) ам
откуда
Po(l + r/) + COV(fl +2D1- r~~(E(rM) - rj) = E(Pr + A)
и, наконец,
_ E(PV + A) — cov(P{ + Di,• A
°” F+^i
где
£(rM) - r}
A = —1—5------ —цена риска.
°м
В данной формуле мы, чтобы учесть риск, скорректиро-
вали числитель, а дисконтирование проводим по безриско-
вой ставке. Числитель в (2.19) иногда называют безрисковым
эквивалентом (certainty equivalent) будущим платежам.
Как подход с корректировкой коэффициента дисконтирова-
ния (risk adjusted discount rate — RADR), так и подход с без-
рисковым эквивалентом (certainty equivalent — С EQ) могут
применяться для оценивания фирмы или, более общо, любого
множества будущих платежей. Итак:
2.19)
(RADR) : Pj =
E(Pl + D\)
l+rf +0{[Е(гм) - rz]’
(CEQ) • Pl = + D^~X cov(fi + ’Гм^
74
2.13 Приложение: ожидаемая полезность
и Петербургский парадокс
Рассуждение, известное как “Петербургский парадокс”, бы-
ло изложено в статье Даниила Бернулли, представленной в
1738 г. Императорской Академии паук в Петербурге. Пробле-
ма была сформулирована следующим образом:
“Петр бросает монету раз за разом, пока опа нс выпадет
“орлом”. Он обязуется выплатить Павлу один дукат, если
“орел” выпадет при первом бросании, два дуката — если
при втором, четыре — если при третьем, восемь — если при
четвертом и так далее, так что каждый неудачный бросок
удваивает величину платежа. Предположим, что мы хотим
определить ожидаемый результат Павла”.
Ожидаемый платеж может быть вычислен как сумма воз-
можных платежей, умноженных на их вероятности:
£ 1/2+ 2/4 + ...
При любом конечном числе бросаний п получается сумма
п/2, а при п —> оо опа становится бесконечной. Следователь-
no, если исходить из математического ожидания, Павел дол-
жен быть готов заплатить бесконечную цену за право участия
в такой игре. Тем нс мопсе мало кто согласится с таким вы-
водом, несмотря па быстрый рост выплат в случае длинной
серии “решеток”.
В попытках разрешить этот парадокс (Крамером, а затем
самим Бернулли) было выработано понятие “полезности” де-
нег. Крамер предположил, что полезность растет медленнее,
чем сама величина платежа. В независимо предположенном
решении Бернулли маргинальная полезность денег была при-
нята обратно пропорциональной имеющемуся капиталу.
Этот пример имеет прямое отношение к современной фи-
нансовой теории, поскольку в нем обсуждается, сколько сле-
дует платить за обладание рйековым активом. В принятии
75
инвестиционных решений всегда можно выделить следующие
этапы: описание доступных инвестиционных возможностей;
оценка для каждого варианта величины, сроков и надежности
будущих платежей; оценка капитальных затрат для каждого
варианта; наконец, окончательная оценка каждого варианта с
учетом индивидуального отношения к риску. Петербургский
парадокс может рассматриваться как частный случай такой
оценки рискового инвестирования.
Один способ общего решения проблемы предложен теорией
ожидаемой полезности. Эта теория постулирует, что если т(з)
— это платеж, ассоциированный с каким-то инвестиционным
проектом, в состоянии з, а т(з) — это вероятность реализации
состояния з, то “истинная ценность” проекта для инвестора
равна
527Г(з)^(х(з)).
»
В ситуации Петербургского парадокса з соответствует бес-
конечной последовательности “орлов” и “решеток”, а зг(з)
означает платеж, полагающийся при реализации этой после-
довательности. Парадокс возникает, если tZ(ar(s)) = z(s), т. с.
“ценность” просто равна ожидаемому платежу. Если же функ-
ция U ограничена, то ожидаемая полезность будет конечной.
Для наших целей достаточно просто принять гипотезу, что
все инвестиционные решения оцениваются ожидаемой полез-
ностью. В формальной же теории исходят из индивидуальных
предпочтений на множестве стохастических исходов, а затем
изучают условия, при которых эти предпочтения действитель-
но могут быть описаны с помощью функции полезности.
3 опционы
3.1 Основные определения
Опцион (option) на ценную бумагу (акцию) характеризуется
своим сроком погашения/временем исполнения (maturity) Т
и ценой исполнения (exercise price) А’. Опцион “колл” (call —
колл-опцион, опцион на покупку) дает держателю (владельцу)
опциона право купить ценную бумагу по цене исполнения, а
опцион “пут” (put — путп-опцион, опцион на продажу) — пра-
во продать ценную бумагу по цене исполнения. Если держа-
тель опциона исполняет пут-опциоп (совершает сделку, право
на которую дает опцион), он отдает ценную бумагу, получая
$Л’. Продавец (также — надписатель) опциона обязан совср-
' шить указанную в опционе сделку (т. е. продать или купить
цепную бумагу) по требованию другой стороны (держателя,
покупателя опциона). Американский опцион может быть ис-
полнен (exercise) в любой момент до наступления срока по-
гашения, в то время как европейский опцион — только при
наступлении срока погашения.
Предметом опциона могут быть также иностранная валю-
та, фьючерсы или даже индексы акций. Торгуют опционами
преимущественно па биржах; крупнейшие опционные торги
проходят па Чикагской бирже. Цены на опционы устанавли-
ваются в процессе взаимодействия трейдеров, выставляющих
свои биды и аски. Биржи стандартизуют опционные контрак-
ты, устанавливая допустимые значения цены исполнения, а
также выступают гарантом исполнения.
77
й
3.2 Платежи
Рассмотрим платежи, индуцируемые одним европейским колл-
опционом со сроком погашения один период (однопериодный
колл-опцион). Предположим, что в момент исполнения оп-
циона цена на акцию, на которую подписан опцион, может
принимать значения 20 либо 40, а цена исполнения опциона
равна 30.
Пусть у вас есть один колл-опцион. Тогда вы имеете пра-
во купить одну акцию за 30. Ясно, что не следует исполнять
опцион при цене акции 20. В этом случае затраты па покуп-
ку акции равны 30, а за саму акцию можно выручить только
20 (это се рыночная цена), так что вся операция дает чистый
убыток 10. С другой стороны, при цене акции 40 опцион выгод-
нее исполнить. При исполнении опциона вы покупаете акцию
за 30 и продаете ее же за 40 (такова в данном случае рыночная
цепа), получая в итоге чистую прибыль 10.
Таким образом, при цене акции 20 опцион пе исполняется,
так что платеж от опциона равен нулю, а при цепе акции 40
опцион следует исполнить, и в этом случае платеж от опциона
составит 40 - 30 — 10.
В общем случае платеж от колл-опциопа с ценой испол-
нения X при цепе акции на момент исполнения опциона S
составит
Cs = max{0, S — А'}.
Колл-опцион ничего пе дает при S < А', а при превыше-
нии ценой акции цены исполнения платеж линейно возраста-
ет. Итак, если вы — держатель колл-опциона, он принесет вам
выигрыш, если цена на акцию станет выше цены исполнения;
в противном случае он не принесет выигрыша. Конечно, что-
бы стать держателем колл-опциона, его нужно сначала купить
(т. е. понести некоторый расход).
78
Па графике это выглядит так:
Аналогично, платеж от пут-опциона составляет
Ps = max{0,A' — S},
а график будет таким:
В этом случае вы выигрываете, если цепа акции надает
ниже цены исполнения.
3.3 Пример оценки европейского
однопериодного колл-опциона
Чтобы разобраться с тем, сколько стоит опцион, вернемся к
предыдущему примеру. Акция может стоить 20 или 40, и мы
рассматриваем европейский колл-опцион па эту акцию с це-
ной исполнения 30. Пусть для удобства безрисковый процент
равен нулю. Обозначим через S текущую цепу акции. Рассмо-
трим следующую стратегию:
79
— купить 1 акцию;
— продать 2 колл-опциопа.
Предположим, что цена акции стала равна 20. Тогда, если
мы придерживались объявленной стратегии, мы выручим 20
от продажи акции, а колл-опцион при цене акции 20 его вла-
дельцем исполняться не будет. Таким образом, финальный
платеж равен 20.
Предположим, что акция стоит 40. Тогда мы выручим от
продажи акции 40, по колл-опцион в этих условиях будет ис-
полнен, и мы должны будем продать владельцу опциона две
акции по цене 30 за каждую. Учитывая, что рыночная цена
акции равна 40, мы будем иметь такие доходы и расходы:
+40 от имеющейся у нас акции,
+60 от двух исполненных опционов,
-80 на покупку на рынке двух акций, которые мы должны
передать исполнителю опциона,
и в результате платеж равен 20.
Таким образом, независимо от того, какой оказалась цена
акции, наш платеж в конце периода равен 20. Это означает,
что портфель ценных бумаг из 1 (одной) акции и -2 (минус
двух) колл-опционов (т. о. двух проданных колл-опционов)
должен продаваться и покупаться за 20 при условии, что без-
рисковый процент равен нулю. Чтобы доказать это, предпо-
ложим, что S — 2С > 20, где S — цена акции, а С — цена
колл-опциона. Тогда каждый, кто продаст такой портфель,
выручит от продажи больше 20, а в конце периода потеряет
не более 20. Аналогично, если S — 2С < 20, то каждый будет
стремиться купить такой портфель. Любая из этих двух си-
туаций предоставляет возможность арбитража (т. е. возмож-
ность получить чистый доход, ничем не рискуя). Единствен-
ная ситуация, в которой арбитраж невозможен, достигается,
если S — 2С = 20.
80
Так как S — 2С = 20, то С = (5 — 20)/2, так что если мы
знаем цену акции, мы можем вычислить цену колл-опциона на
нее. Пут-опционы рассматриваются аналогично (при помощи
портфеля с покупкой акций и покупкой пут-опционов). Мож-
но показать, что портфель, состоящий из одной акции и двух
пут-опционов, приносит платеж 40 в конце периода. Так как
стоимость портфеля составляет S + 2Р, то S + 2Р = 40, так
что Р = (40 — 5)/2 есть цена пут-опциона.
В этом примере мы оценивали опцион через составление
безрискового портфеля. Кроме того, мы использовали тот
факт, что безрисковый портфель должен продаваться по ней-
тральной к риску цепе (т. е. по его текущей стоимости, дис-
контированной на безрисковый процент) для получения цены
опциона.
Другой способ оценки стоимости опциона — воспроизве-
дение, если это возможно, потока платежей от опциона при
помощи других цепных бумаг. Чтобы посмотреть, как это де-
лается, вспомним, какой платеж поступает от опциона:
0,
Ю,
если цена акции равна 20, и
если цена акции равна 40.
Рассмотрим следующую стратегию: занять $20 под безрис-
ковый процент (который в этом примере равен нулю) и купить
одну акцию по цепе S. Общая “стоимость” этой стратегии есть
20 — S, так как мы получаем 20 путем займа и платим S за
акцию. Предположим, что цена акции оказалась (в конце пе-
риода) равной 20. Тогда мы можем выручить за акцию 20, но
должны отдать долг в размере 20. Итак, наш платеж есть
0, если цена акции равна 20.
При цене акции 40 мы имеем 40 от реализации имеющейся
у нас акции и должны вернуть долг 20, имея в итоге
81
20, если цена акции равна 40.
Таким образом, наша стратегия дает в точности такие же
платежи, что и два колл-опциона. Из соображений отсутствия
арбитража следует, что эти два портфеля (акция плюс долг
20, с одной стороны, и два колл-опциона, с другой стороны)
должны иметь одну и ту же цену. Тогда 2С = 5 — 20, т. е.
С = (5 - 20)/2. Заметим, что при оценке стоимости опциона
мы не делали никаких предположений о вероятности, с кото-
рой понижается или растет цена акции.
Этот пример демонстрирует простой факт: если мы можем
воспроизвести поток платежей от опциона с помощью других
ценных бумаг, то цена опциона полностью определяется цена-
ми этих бумаг.
Если же соответствие между ценой акции и ценой колл-
опциона на нее нарушается, можно получить арбитражную
прибыль. В описанном примере соответствие задается равен-
ством С = (S - 20)/2.
Пусть Сь обозначает заявку на покупку (бид) колЛ-
опциона, Sb — заявку на покупку акции; Са и Sa — заявки
на продажу (аск), соответственно, колл-опциона и акции. То-
гда можно получить арбитражную прибыль, если, например,
Сь > (Sa - 20)/2 либо если Са < (Sb - 20)/2.
В первом случае следует продать колл-опцион и купить
акцию. Во втором — купить колл-опцион и продать акцию.
Заметим, что если на рынке есть текущая заявка на покупку
акции Sb и вы выставляете заявку на продажу колл-опциопа,
удовлетворяющую второму неравенству, то тем самым вы да-
ете возможность осуществить арбитраж кому-то другому!
82
3.4 Биномиальная модель цены:
европейский однопериодный
колл-опцион
Биномиальная модель (binomial option pricing model) предпо-
лагает, что в любом периоде цена акции может сместиться
либо вверх, либо вниз от текущей цены. Пусть u > 1 — сдвиг
вверх, a d < 1 — сдвиг вниз. В рамках использовавшихся нами
обозначений: высокая цена Su = Su, низкая цена Sd = Sd, где S
есть текущая цена акции. Как и ранее, при определении цены
опциона нам не потребуются вероятностные предположения
об изменении цены акции.
Мы будем использовать следующие обозначения:
S = текущая цена акции;
Su = будущая высокая цена акции (состояние II);
Sd = будущая низкая цена акции (состояние L);
г = 1 + безрисковый процент;
X = цена исполнения;
С — цена колл-опциона,
которую и надо определить.
Будем предполагать, что и > г > d, — это необходимо
для предотвращения арбитража (если г > и, то надо продать
акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый
процент г; если d > г, то надо занять деньги под безрисковый
процент г и купить акцию). Определим
Си = max{0, Su - X},
Cd = max{0,5d - X].
Если и Си , и Cd равны нулю, то колл-опцион заведомо не
будет исполняться, так что предположим, что Си > 0.
А) Рассмотрим портфель из +1 акции и —к колл-опционов.
Будущие платежи от этого портфеля составят:
83
Состояние L Состояние Н
Sd - kCd Su - kCu
Выберем к так, чтобы
Sd-kCd = Su-kCu,
т. е. получился безрисковый портфель. Для этого необходимо,
чтобы
(Su - Sd)
~ (Cu-cdy
Это отношение называется коэффициентом полного хед-
жирования (hedge ratio).
Стоимость приобретения такого портфеля в настоящий
момент есть S — кС. Так как портфель дает гарантирован-
ный доход Su — кСи , должно быть выполнено соотношение
с (Su — kCu)
г
откуда
S (Su-kCu)
к кг
Цена колл-опциона С есть функция текущей цены акции,
будущих возможных цен акции, цены исполнения опциона (от
которой зависят Си и Cd ) и безрискового процента.
В нашем примере было X = 30, Su = 40, Sd = 20, г = 1,
так что
Си = 10, Cd = 0, к = 2,
что дает S — 2С = 20 и С = (S — 20)/2, как и рапсе.
Б) Мы можем также определить цену опциона, используя
акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей,
порождаемых опционом. Пусть мы покупаем д акций и зани-
маем $&. Мы хотим выбрать д и Ь так, чтобы
84
Си = dSu + rb и
Cd = dSd+ rb.
Из этих двух уравнений следует, что д и b должны быть:
я _ Си-Са .uCd- dCu
S(u-d)’ r(u-d) ’
Если мы выбираем д и b в соответствии с этими урав-
нениями, то наш портфель из д акций и безрисковых ак-
тивов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион.
Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене (эквива-
лентного) портфеля, иначе можно было бы получить чистую
арбитражную прибыль. Это означает, что цена опциона есть
С = dS + b.
Подставляя данные из рассмотренного выше примера, мы
снова получим С = (5 — 20)/2.
Это уравнение имеет вид линейной зависимости между S
и С, так что д можно рассматривать как производную от С
по S, т. е. как меру чувствительности цены колл-опциона па
акцию по отношению к цене этой акции. Эта величина обычно
называется “дельтой” опциона. Ясно, что д = 1/к, где к —
коэффициент полного хеджирования.
Аналогичная зависимость выводится и для европейского
пут-опциона. Требуя, чтобы
Ри = dSu + rb,
Pd = dSd+rb,
получим, что
я Ри I иРа dPu _ яс । а
д = b = и Р - dS + Ь-
S(u — d) r(u — d)
85
Дж. О'Брайен
С. Шри вастава
FAST
Financial Analysis and Security Trading
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ
И ТОРГОВЛЯ
ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ
Financial Trading System
Time Remaining 37
Cash : 3534 Interest Rate : 10.00
Bid Ask Units Payout
Firm 1 70/30 72/15 50
Put 30 3/20* 5/99 0
Call 30 17/ 1 25/ 7 -2
курс лекций и описание торговых сессий
Заметим, что дельта пут-опциона отрицательна, так как
Ри < Ра •
3.5 Взаимосвязь “пут—колл”
для европейских опционов
Кроме связи между ценами акций и опционов, показанной на
биномиальной модели, существуют и другие, более сложные
зависимости между ценами акций и опционов. Одна из таких
зависимостей называется взаимосвязь “пут—колл” (put—call
parity). При нулевом проценте она имеет вид
Р - С + S = X.
Для доказательства предположим сперва, что
Р - С 4- S > X.
В этом случае поступим так: продадим акцию, продадим
пут-опцион и купим колл-опцион. От этой операции мы вы-
ручим Р — С + S. Если цена акции в конце периода окажется
больше X, то пут-опцион не исполняется, а колл-опцион надо
исполнить, чтобы получить акцию по цене X. Эта акция за-
кроет нашу короткую позицию, так что в конце периода весь
расход составит X. Если же цена акции в конце периода ока-
жется меньше X, то колл-опцион исполнять невыгодно, зато
против нас исполняется пут-опцион, и мы обязаны купить ак-
цию по цене X. Эта акция закроет нашу короткую позицию.
Итак, независимо от того, больше цена акции, чем X, или
меньше, мы тратим X в конце периода. Но мы получили ра-
нее Р — С + S > X, так что наша прибыль гарантируется
независимо от колебаний будущей цены акции. Таким обра-
зом, данное соотношение цен невозможно.
86
Аналогично, если предположить, что Р — С + S < X,
мы можем получить гарантированную прибыль, купив ак-
цию, купив пут-опцион и продав колл-опцион. Таким обра-
зом, гарантированная прибыль невозможна только тогда, ко-
гда Р — С + S = X, что и представляет собой взаимосвязь
“пут—колл”.
Если г = 1 + безрисковый процент > 1, то взаимосвязь
“пут—колл” для европейских опционов имеет вид
S + Р - С = Х/г.
Это означает, что портфель, состоящий из акции, пут-
опциона и короткой позиции по (проданному) колл-опциону,
будет продаваться и покупаться по цене, равной текущей цене
исполнения, дисконтированной на безрисковый процент.
3.6 Несколько периодов:
европейский колл-опцион
Когда цена акции может принимать лишь одно из двух воз-
можных значений, поток платежей от колл-опциона можно
воспроизвести при помощи портфеля, состоящего из акций и
безрисковых активов. Когда число возможных значений цены
больше двух, непосредственное воспроизведение, вообще гово-
ря, невозможно. Однако можно рассмотреть процесс измене-
ния цен, состоящий из нескольких периодов, где в каждом пе-
риоде используется уже рассмотренная биномиальная модель.
Полагая число периодов достаточно большим, а длину периода
достаточно малой, можно получить много возможных состоя-
ний (возможных значений цены) на финише. В пределе этого
процесса получается модель Блэка—Шоулза для цен на опци-
оны.
Общая формулировка двухпериодной задачи такова.
87
S = текущая цена акции,
С = цена на колл-опцион, подлежащая определению.
Предположим, что в конце первого периода цепа может
принимать два значения:
Su — высокая цена акции в конце периода 1
(состояние Н),
Sd — низкая цена акции в конце периода 1
(состояние L).
Предположим, что в конце второго периода для каждого из
состояний (Я и Z) снова возможны два значения цепы:
Suu = высокая цена акции в конце периода 2
при высокой цене акции в конце периода 1;
Sud — низкая цена акции в конце периода 2
при высокой цене акции в конце периода I;
Sdu = высокая цена акции в конце периода 2
при низкой цене акции в конце периода .1;
Sud = низкая цена акции в конце периода 2
при низкой цене акции в конце периода 1.
Возможные траектории цен представлены на следующей
диаграмме:
88
Обозначим X = цена исполнения,
г =14- безрисковый процент на активы
за один период
(одинаков для обоих периодов).
Терминальные значения для колл-опционов таковы:
Сии — max{0,5uu — X},
Cud — max {0, Sud — X},
Cdu = тах{0,5йи - X},
Cdd = max{0,5d</ — X},
где предполагается, что Suu > X (в противном случае опцион
никогда не исполняется и цена его равна нулю).
В начале периода 2 мы знаем, как найти цену опциона на
этот период, так как эту задачу мы уже решали. Пусть Си —
цена колл-опциона, a ки — коэффициент полного хеджирова-
ния при условии, что в периоде 1 цена выросла (реализовалось
состояние П):
Си — Su/ku - (Suu - kuCuu)/kuT, где
ka = (Suu - Sud)/(CUu ~ Cud)-
Аналогично выражается Cd •
По тогда через Си и Cd можно выразить значение С —
цену колл-опциона в начале периода 1:
С = S/k — (Su- kCu)lkr, где
k = (Su-Sd)KCu~Cd).
Разница между этими формулами и аналогичными форму-
лами для задачи на один период состоит в том, что Си и Cd
89
получены на основе информации о периоде 2 вместо прямого
вычисления по формуле максимума.
Двухпериодную модель можно расширить на любое число
периодов. При этом коэффициенты и и d, а также ставка про-
цента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каж-
дом шаге цена акции может принимать лишь два значения,
при большом числе периодов можно аппроксимировать доста-
точно плавно изменяющуюся цену. Например, если опционы
исполняются в конце торгового дня, “периодом” можно счи-
тать один час (соответственно подобрав величины и, d и г).
Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции,
в соответствии с многопериодной биномиальной моделью, мо-
жет иметь 27 = 128 значений.
Далее мы совершим предельный переход, когда число пери-
одов бесконечно увеличивается, а длительность одного перио-
да становится бесконечно малой. А сейчас рассмотрим при-
ем, называемый нейтральной к риску оценкой (risk-neutral
probability) и упрощающий этот предельный переход, приво-
дящий к формуле Блэка—Шоулза.
3.7 О нейтральной к риску оценке
Как мы уже видели, для вычисления цены европейского колл-
опциона можно использовать портфель из акций и безриско-
вых активов, воспроизводящий поток платежей от опциона.
Из соотношений
Cu = dSu + rb, Cd = dSd+rb
мы получили, что
_ Cu-Cd _ uCd - dCu
S(u — d) ’ r(u — <Z)
и цена колл-опциона С = dS + b. Подставляя д и b, получим:
90
' р _ Cu — Cj uCd — dCu _
Ц S(u — <Z) r(u — <f)
_ rCu - rCd + uCd - dCu _ (r - d)Cu + (u - r)Cd
• r(u - d) r(u - d) ’
C = %Cu/r + (1 - ^Cd/r,
где
„ - (r~d') i _ _ _ (ц ~ r)
lu-d)' 1 (u-d)’
Так как и > г > d, то 0 < % < 1, так что тг можно тракто-
вать как вероятность. Тогда, согласно полученному выраже-
нию, цена колл-опциона есть средняя будущая цена опциона,
дисконтированная на безрисковый процент, а среднее значение
подсчитывается на основе вероятности появления цены акции,
равной Su.
Отсюда следует, что если мы имеем нейтрального к рис-
ку субъекта, который считает, что колл-опцион будет стоить
Си с вероятностью тг и Cd с вероятностью (1 — тг), то этот
субъект будет вычислять текущую цену опциона с полном со-
ответствии с выведенным нами уравнением. Заметим, что мы
нигде не предполагали наличия априорных вероятностей по-
явления той или иной цены акции и, соответственно, будущей
оценки опциона. Изложенный подход называется нейтральной
к риску оценкой.
“Вероятность” тг допускает и другую интерпретацию, свя-
занную с ценой акции. Заметим, что
irSu + (1 — Tr)Sd =
(г — d}Su (и — r}Sd
(и — d) + (u — d)
(г - d)u + (и - r)d ru - du + du - rd
= 5{----(^d)-----} = 5{---(^d) } = Sr’
так что
91
S = irSu/r + (1 — Tt)Sd/r.
Другими словами, только вероятность тг совместима с ги-
потезой нейтральности к риску инвесторов при данных теку-
щей цене S и возможных будущих ценах Su и Sd, а также
коэффициенте дисконтирования г. Поэтому тг можно назвать
“нейтральной к риску вероятностью”.
Еще раз подчеркнем, что в наших начальных предположе-
ниях не было ни вероятностей, ни рассчитывающих на сред-
ний доход инвесторов, ни самого понятия среднего дохода. Мы
всего лишь воспроизвели поток платежей от колл-опциона с
использованием финансовых инструментов — акций и безрис-
кового актива, цены на которые предполагались известными
(г — цена кредита, Su, Sd — цены на акции). По наш под-
ход работает лишь тогда, когда возможно воспроизведение.
Если бы такое воспроизведение оказалось невозможным, мы
бы ничего по смогли сделать.
Каким образом можно согласовать нейтральную к риску
оценку с моделью определения цены на фонды, такой как
САРМ, в которой для оценки активов приходится решать
сложные задачи? Ответ заключается в том, что весь риск,
связанный с обладанием опционом, может быть устранен с
помощью акций и (безрисковых) облигаций. Эта возможность
и лежит в основе принципа нейтральной к риску оценки.
Этот принцип, применимый, в частности, к биномиаль-
ным моделям событий, в других случаях требует модифи-
кации. Пусть, например, цена акции к концу периода может
нс только повышаться до Sи и понижаться до Sd, но и оста-
ваться постоянной на уровне S. Рассмотрим однопсриоднйй
колл-опцион, и пусть цена исполнения X отвечает условиям
Sd < X < S < Su. Платежи по опциону будут Su - X, Sd — X
и 0. Если мы хотим воспроизвести их посредством п акций
и т безрисковых облигаций, мы должны выполнить условия
92
(здесь В — цена безрисковой облигации в начале периода):
nSu + mBr = Su — X,
nS + mBr = S — X,
nSd + mBr = 0.
Эта система из трех уравнений с двумя неизвестными (п
и гп) решения пе имеет. Таким образом, только при помощи
акций и облигаций нельзя полностью устранить риск от опци-
она. Это можно было бы сделать лишь при наличии третьей,
“независимой” от первых двух, ценной бумаги.
В рамках многопериодной биномиальной модели можно
определить цену опциона и тогда, когда число возможных
конечных значений цены акции больше двух. Если, напри-
мер, в двухпериодной модели положить и = 1/d, то два
из четырех возможных конечных значений цепы сольются,
Sud = Sdu = S', если дополнительно предположить, что
Sdd < X < S < Suu, то возникает задача с тремя состоя-
ниями, которая не может иметь решения в рамках биномиаль-
ной модели. Тем нс менее решение есть даже в более общем
случае, когда и 1/d. В чем же здесь дело?
Дело в возможности продолжить торговлю после первого
периода. Мы нс обязаны сохранять наш портфель неизмен-
ным во втором периоде и можем его изменить. Собственно,
мы уже видели в предыдущем разделе, что коэффициент пол-
ного хеджирования изменяется от периода к периоду.
Итак, пусть пи, nd, ти, md разрешают систему уравне-
ний:
nuSuu + ти Br2 = Suu — X,
nuS + muBr2 — S - X,
ndS + mdBr2 = S — X,
ndSdd + mdBr2 = 0
93
(индексы и и d соответствуют двум состояниям, II и L, на
конец первого периода). Отсюда цены опционов для каждого
из состояний суть
Си = nS и + тВг, \
Сл = nSd + тВг.
Теперь осталось найти п и тп на первый период из системы
nSu + тВг = Си ,
nSd + тВг = Cd ,
что позволит определить текущую цену опциона:
С = nS + тВ.
Возможность продолжать торговлю, т. е. изменять порт-
фель при переходе от периода к периоду, как бы “увеличивает”
количество имеющихся в нашем распоряжении ценных бумаг.
Кроме оценки опциона мы можем применить данный под-
ход к задаче хеджирования (ограничения) риска. Пример —
динамическое хеджирование портфеля ценных бумаг. Пусть
мы управляем портфелем ценных бумаг и хотим застрахо-
ваться от падения стоимости этого портфеля ниже определен-
ной величины, например X, через три месяца. Простейший
способ —- это купить пут-опцион на этот портфель с ценой
исполнения X и сроком погашения три месяца. Пусть, одна-
ко, торговля такими опционами не производится. Если цена
портфеля изменяется согласно биномиальной модели (либо со-
гласно обсуждаемой ниже лог-нормальной модели), то можно
воспроизвести пут-опцион посредством достаточно частой (в
пределе — непрерывной) торговли, создавая тем самым искус-
ственный опцион на этот портфель. Разумеется, при слишком
94
активной торговле мы столкнемся со значительными транзак-
ционными издержками, так что в реальности точное воспро-
изведение требуемого пут-опциона невозможно.
3.8 Много периодов
Метод нейтральной к риску оценки распространяется на мно-
гопериодные модели. Если и, d и г постоянны, формулы упро-
щаются. Для двух периодов, подставляя в формулу нейтраль-
ной к риску оценки С выражения для Си и С л через Сии, CUd,
С du, Cdd посредством той же формулы, получим:
С = [№/г2]Сии + [тг(1 - тг)/г2]С7„д+
+[(1 - ^Ir^Cdu + [(1 - ^)lr2]Cdi
2 fn\ .
или С = (1/гп)У^ I . jr’(l ~ 7Г)2 2 max{0,5uJd2 J - А'}.
;=о V/
(Здесь и далее (") = n!/j!(n - j)!)
Для п периодов формула имеет вид
С7 = (1/г")
n-Jmax{0,— А'}.
Пусть т — наименьшее целое значение, при котором
Sumdn~m > X, тогда
" fn\ ...
С = (1/гп)У -А’] =
V/
= Sr~n ±
j=m
ir\l-T)n-iuidn-i -Xr—
95
Второй член этого выражения представляет собой (ней-
тральную к риску) вероятность исполнения колл-опциона,
помноженную на цену исполнения и деленную на коэффи-
циент дисконтирования за п периодов. Таким образом, вто-
рой член — это дисконтированный ожидаемый расход. Пер-
вый же член есть дисконтированный ожидаемый доход.
Сомножитель-сумма в выражении для дохода не является ве-
роятностью исполнения опциона, так как доход зависит от ре-
ализации различных значений цен акций (а расход — нет).
Однако можно еще продвинуться по пути упрощения и прояс-
нения. Используя определение тг, преобразуем выражение для
С:
с = 8^2 [П\(1си/гУ(1-ки/г)п^-Хг-п^ .р(1-к)п-<
j—Гп / j~rn \3 /
Пусть в = тти/т. Тогда
С = 6'Ф(т,п;0) — Л'г-"Ф(т, п;тг),
где Ф(т,п;0) есть вероятность того, что биномиальная слу-
чайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью в
и значение 0 с вероятностью (1 — 0), примет значение 1 как
минимум тп раз в п попытках.
Чтобы совершить, как было обещано ранее, предельный
переход, предположим, что опцион погашается за время Т, а
п есть число периодов, на которые мы делим интервал времени
между настоящим моментом (примем настоящий момент за 0)
и моментом Т. Соответственно мы должны подобрать значе-
ния г, и и d, чтобы учесть малую длину периода; например,
значение и = 1.5, правдоподобное для периода в одну неделю,
совершенно не годится, если период длится пять секунд.
Проще всего скорректировать г. Требуется, чтобы тт пред-
ставляло собой стоимость 1-долларового актива в момент Т.
96
Поэтому определим
р = гт'п, так что рп = гт,
т. е. р есть единица плюс безрисковый процент за интервал
времени длины Т/п.
Займемся теперь подбором и и d. Пусть ST есть (случай-
ная) цена акции в периоде Т. Ожидаемая величина темпа ро-
ста цены акции (если считать рост непрерывным с постоян-
ным темпом) за интервал времени длиной 1 от t до t + 1 есть
£{log(5<+1/5<)}-
Обычно делается предположение, что темпы роста незави-
симы и одинаково распределены; обозначим среднее значение
через р, а дисперсию — через а2. Тогда за Т периодов средний
рост цены составит рТ, а дисперсия — а2Т.
Пусть за п шагов было j увеличений и (n — J) уменьшений
цепы. Тогда Sr = Sv?dn~i , так что
log(5T/S) = j log(u) + (n - j) log(d).
Это выражение можно переписать как
log(5r/5) = jlog(u/d) + nlog(d),
так что
E{log(ST/S)} = E(j)log(u/d) + nlog(d).
Если q есть истинная вероятность повышения цены (ко-
торая не обязана совпадать с тг), то E(j) = nq. Дисперсия
есть log(u/d)2[E{j2} - (E{j})2] = п[д(1 - 9)log(u/tZ)2], так как
E{j} = nq2 + (n2 - n)q2.
Если требуется, чтобы в пределе для темпа роста цены
получились среднее значение рТ и дисперсия сг2Т, мы должны
выбрать и, d и q так, чтобы
97
lim [nglog(u/d) + nlog(d)] = fiT,
П—*00*’
lim n[g(l - ?)log(u/d)2] = ct2T.
n—*00
Эти условия удовлетворяются, если
и = exp{ayjT/n}, d — ъхр{-о^Т/п},
q=l/2 + (l/2)(ii/a)y/T/^
При подстановке в первую формулу левая часть равна [1Т
независимо от п, а правая часть второй формулы дает
п(1/2 + (1/2)(///а)УтМ)*
*(1/2 - (1/2)(р/а)х/тМ)1оё(ехр{2ах/т7;}) =
= п/4(1-(/1/ст)2Т/п)4о-2Т/п = с2Т—ц2Т2/п —» сг2Т при п —> оо.
Ранее мы получили выражение для цены колл-опциона:
С = ЗФ(т,п,,в') — А'г-"Ф(т,п; тг),
где 0 = тти/г и тг = (г — d)/(u — d).
Можно показать, что если в эту формулу подставить най-
денные значения и и d и перейти к пределу при п, стремящемся
к бесконечности, то получится формула Блэка—Шоулза
С = SN(d?) - Xr-TN(d2),
где dv = 1оё[5/(Хг-т)]/аТТ+(1/2)ах/7, d2 = d^ay/Т, a N(d)
есть функция распределения для нормального распределения
с параметрами (О, 1).
98
3.9 Лог-нормальная модель
Пусть St — случайная цена акции в периоце /, t = 1,... ,Т —
заданный интервал периодов. Вместо того, чтобы переходить
к пределу в биномиальном процессе, можно напрямую предпо-
ложить, что темп роста цены акции \v.{Stl St-i) распределен
нормально со средним /г и дисперсией <т. (Заметим, что при
переходе к пределу в биномиальном процессе нам не понадо-
билось такое предположение.) Если темпы роста цены незави-
симы во времени, то величина 1п(5т/5) также распределена
нормально со средним значением р.Т и дисперсией сгТ. Соот-
ветственно, St распределена лог-нормально со средним зна-
чением 5ехр{(/г + <т2/2)Т}, а величина (1п(5т/5) -
распределена нормально со средним 0 и дисперсией 1.
При этих предположениях техника нейтральной риску
оценки дает нам, что
С = Е(Ст)г~т, где Ст — случайная цена колл-опциопа на
дату погашения.
Но
Е(СТ) = E(ST\ST > X) - X P(ST > X).
(Р(5Т > А’) обозначает вероятность того, что St > А'.)
Можно показать, что
P(St > Л ) — N(аг), 5
E(ST\ST > X) = Se^’^X^), d. = Iog(5/A7+^
CTV1
Используя некоторые свойства лог-нормального распреде-
ления и нейтральной к риску оценки, можно получить фор-
мулу Блэка—Шоулза для цены опциона (Black—Scholes
option pricing formula):
C = SNidJ- Xr-TN(d2).
99
Здесь
= + (i/2)<rv/T, и d2 = - crx/f.
сту/Т
3.10 Американский колл-опцион
Анализ европейского колл-опциона, проведенный нами выше,
применим и к американскому колл-опциону, по крайней ме-
ре если до наступления срока погашения не выплачиваются
дивиденды. Чтобы убедиться в этом, вернемся к однопериод-
ной биномиальной модели. Цена колл-опциона С удовлетворя-
ет следующей цепочке соотношений:
Сг = тгСи 4- (1 - Tr)Cd =
= 7гшах{0, Su — X} + (1 - 7r)max{0,5tZ - X} =
= 7rmax{X,S'u} + (1 — jr)max{X,StZ} — X > Sr — X,
откуда
С > S — X/r > S — X, так как г > 1.
Таким образом, цена колл-опциона превышает доход от его
исполнения, т. е. колл-опцион не будет исполнен досрочно.
з.и Американский пут-опцион
Оценим теперь выгодность досрочного исполнения пут-оп-
циона:
Рг — 7гРи + (1 - 7r)Pd =
= тгтах{0,Х — Su} + (1 — тг)тах{0,Х — Sd} =
= X + 7гтах{-Х, —Su} + (1 - 7г)тах{-Х, —Sd} =
100
= X - тгmin{A',Su} — (1 — тг)min{X,Sd} >
> X -Sr,
следовательно, P > X/r — S. Тем не менее досрочное исполне-
ние может оказаться выгодным, поскольку может оказаться,
что
X - S > Р > X/r- S.
Фактически, если S находится на достаточно низком уров-
не по отношению к X, исполнить пут-опцион выгодно. Напри-
мер, если X > Su, так что опцион будет обязательно исполнен
в конце срока, нейтральная к риску оценка составит
Р = -(X - Su) + - Sd),
г г
так что Р = X/r — S, что строго меньше, чем X — S, поскольку
г > 1. В этом случае пут-опцион следует исполнить досрочно.
Из-за возможности досрочного погашения мы не можем ис-
пользовать формулу Блэка—Шоулза для оценки американско-
го пут-опциона. Фактически таких формул нет, и для вычисле-
ния цены приходится прибегать к численным методам. Один
из таких методов (Кокс, Росс, Рубинштейн) использует бино-
миальную аппроксимацию, когда в каждом узле оценивается
возможность досрочного погашения.
3.12 Дивиденды и американские
колл- опционы
Еще один случай, когда досрочное исполнение оказывается
выгодным, возникает при выплате дивидендов. Пусть теку-
щая цена акции есть S и на одну акцию полагается дивиденд
D в конце периода, когда наступает срок погашения колл-
опциона. Тогда в однопериодной биномиальной модели цена
изменяется следующим образом:
101
Su - D
s <77
- Sd - D
Заметим, что цена акции в конце упадет ровно на величину
дивиденда; если бы она понизилась больше или меньше, был
бы возможен арбитраж.
Используя нейтральную к риску оценку, получим:
С = — шах{0,5н - X — D} -f- —--max{0, Sd - X — D},
т т
и это выражение вполне может быть меньше, чем S — X. На-
пример, когда Su — D — X = 0, a S — X > 0.
3.13 Приложение: опционные стратегии
Опционы можно комбинировать между собой и с другими бу-
магами, что позволяет получить широкий набор платежей.
Обычно эти платежи определяются стоимостью ценной бума-
ги, на которую выдан опцион. Некоторые опционные страте-
гии имеют собственные названия; мы рассмотрим их далее в
этом разделе. Стратегии удобно конструировать с помощью
программы OPTUT (параллельно с их изучением по этому
тексту).
Далее описываются четыре наиболее часто встречающиеся
группы опционных стратегий: открытые позиции, закрытые
позиции, спрэды и комбинации. На всех диаграммах по оси X
— цена акции, по оси Y — стоимость опциона или портфеля.
Открытые позиции
При открытой позиции в вашем портфеле есть толь-
ко что-то одно: либо акция, либо опцион, либо обязательство
102
продать акцию либо опцион. Если, к примеру, вы купили колл-
опцион и больше ничего, это будет называться “открытый
колл” (говорят также: “У вас открытый колл”). Всего име-
ется шесть разных открытых стратегий:
купить колл (колл-опцион)
купить пут (пут-опцион)
купить акцию
продать (надписать) колл
продать (надписать) пут
продать акцию.
Продать (надписать)
открытый колл
Продать (надписать)
открытый пут
103
Закрытые позиции
Второй тип опционных стратегий — закрытые, или
хеджированные позиции. В закрытой позиции вы торгуе-
те вместе акцией и опционом на нее. Так, вы подписываете
закрытый колл, если вы продаете колл-опцион и покупаете
акцию. Если колл исполняется, вы “закрыты”, потому что
у вас есть акция для исполнения. Закрытые позиции часто
называются также хеджированными, вы можете изменять
количество опционов, приходящихся на одну акцию в порт-
феле, т. е. менять коэффициент, или пропорцию хеджирова-
ния. Например, пропорция хеджирования коллом 2:1 означа-
ет, что покупается одна акция и продается два колл-опциона.
Обратная позиция, когда продается одна акция и покупает-
ся два колл-опциона, соответственно обозначается как обрат-
ное хеджирование коллом в пропорции 2:1. Разумеется, хеджи-
ровать можно и пут-опционами. Платежи от закрытой колл-
позиции совпадают с платежами от продажи открытого нута,
что следует из уравнения связи “пут—колл”.
Закрытый колл
Продать (надписать)
(+1 акция, -1 колл)
открытый пут
104
Такое же соответствие имеется между упомянутым вы-
ше обратным хеджированием коллом (“защищенная короткая
продажа”) и покупкой открытого пута.
Пропорция хеджирования может быть переменной.
Спрэд-позиции
Третий тип стратегий — спрэд-позиции. Эта стратегия
определяется портфелем колл-опционов (колл-спрэд) или пут-
опционов (пут-спрэд).
Применяя колл-спрэд, вы покупаете и продаете различные
колл-опционы. Если они отличаются только ценой исполнения
— это вертикальный колл-спрэд. Термин “вертикальный”
связан с обычной формой публикации цен опционов, посколь-
ку различные цены исполнения размещены по вертикали, а
различные сроки погашения — по горизонтали:
Срок Срок
погашения 1 погашения 2
Цена
исполнения 1
Цены опционов
Цена
исполнения 2
Следуя этой терминологии, горизонтальный (или кален-
дарный) спрэд фиксирует цену исполнения, но варьирует срок
погашения. При диагональном спрэде варьируются и цепа,
и срок.
Спрэды различаются и по своему назначению: “быки” и
“медведи”. Если вы собираетесь выиграть от повышения це-
ны на акцию, вы встаете в позицию “быка”, а если от пони-
жения цены — в позицию “медведя”.
105
Колл-спрэд “бык”
(купить колл К\,
продать колл К2)
Колл-спрэд “медведь”
(продать колл К\,
купить колл К2)
Пут-спрэд “бык”
(купить пут Ki,
продать пут К2)
Пут-спрэд “медведь”
(продать пут К\,
купить пут К2)
106
Другие типы спрэд-позиций — это “пропорциональные”
спрэды.
Пропорциональный
колл-спрэд
(купить 1 колл Klf
продать 2 колла К2)
Пропорциональный
пут-спрэд
(купить 2 пута К1}
продать 1 пут К2)
Пропорция — это число купленных коллов на один продан-
ный колл (продавец такого портфеля имеет “обратно пропор-
циональный” спрэд). На предыдующих диаграммах показаны
платежи от колл-спрэда в пропорции 2:1 и от пут-спрэда в
пропорции 2:1.
Спрэды можно также использовать для того, чтобы из-
влекать прибыль при стабильности цены. Пример — спрэд
ибабочка”(ЬиИег/1у), который формируется путем покупки
двух коллов — одного по высокой и одного по низкой цене
исполнения — и продажи двух коллов по средней цене испол-
нения. Точно такая же “бабочка” формируется при помощи
путов: покупкой одного пута по низкой и одного по высокой
цене и продажей двух путов по средней цене.
107
Спрэд “бабочка”
(купить 1 колл (пут) К^,
продать 2 колла (пута) К2,
купить 1 колл (пут) К3)
Календарные, или горизонтальные, трудно проиллюстри-
ровать, поскольку даты исполнения опционов различны. Од-
нако можно оценить опцион с более поздней датой погашения
на дату исполнения более раннего опциона. Тогда можно вы-
разить результирующий платеж от календарного спрэда как
функцию цены соответствующей акции.
Комбинированные
стратегии
Как следует из названия, комбинированная стратегия
есть портфель, включающий как путы, так и коллы, причем
в одинаковой — либо длинной, либо короткой — позиции. Ком-
бинированные стратегии имеют звучные названия: стрэдл
(straddle—“вилка”; иногда эта комбинация называется также
“стеллаж”'), стрэнгл (strangle—“удавка”), стрип (strip)
и стрэп (strap). Обычно комбинации используются либо
при ожидании стабильности цены, либо при ожидании су-
щественного изменения цены, но без расчета на определенное
108
направление отклонения (т. е. как на рост, так и на падение
цены). Стрэдл есть комбинация пута и колла с одной и той
же ценой исполнения. Выигрыш достигается либо при доста-
точно сильном росте, либо при достаточно сильном падении
цены, а при стабильных ценах покупатель такого портфеля
понесет убытки.
Поскольку стрэдл приносит прибыль при изменчивой цене,
покупка стрэдла иногда называется покупкой изменчивости.
Заметим, что продавец (надписатель) стрэдла выигрывает
от стабильности цены и, таким образом, “продает изменчи-
вость” .
Более дешевая альтернатива стрэдлу — стрэнгл, когда
пут покупается с меньшей ценой исполнения, чем колл. Цепы
на эти опционы меньше, покупается колл с большей, а пут —
с меньшей ценой исполнения, чем в стрэдле. Вот диаграмма
стрэдла и стрэнгла:
Если ввести пропорции между путами и коллами в этих
стратегиях, можно больше выигрывать от роста либо от па-
дения цены.
109
Стрип — это модификация стрэдла, когда приобретается
больше путов, чем коллов; эта стратегия приносит больше при
падении цены, чем при ее повышении. При стрэпе, наоборот,
покупается больше коллов.
В заключение заметим, что теоретически любой платеж
можно воспроизвести соответствующей комбинацией опцио-
нов. Некоторые опционы, однако, имеют недостаточную ли-
квидность. Фактически для большинства акций в реальном
обращении находятся лишь опционы с ценой исполнения, ле-
жащей вблизи от текущей цены акции.
4 ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЫНКА
Концепция эффективности рынка занимает исключительно
важное место как в финансовой теории, так и в практике.
Обсуждение дисконтированных потоков платежей и модели
САРМ выше ясно показывает, насколько информация о буду-
щих платежах важна при определении цен активов. В общем
случае естественно ожидать, что различные трейдеры на рын-
ке обладают различной информацией относительно будущих
платежей. Например, управляющий фирмой обычно облада-
ет более точной информацией относительно будущих потоков
платежей, чем рядовые акционеры. Индивидуальные инвесто-
ры, как правило, имеют меньше информации, чем трейдеры,
тщательно следящие за положением фирм.
Возникает вопрос: как формируются цены финансовых ак-
тивов, когда различные трейдеры имеют различную инфор-
мацию?
В 50-е — начале 60-х годов зародились два течения эконо-
мической мысли. Во-первых, Саймон (Simon) предложил кон-
цепцию “ограниченной рациональности” и, во-вторых, Мут
(Muth) разработал идею “рациональных ожиданий”. Теория
ограниченной рациональности предполагает, что лица, при-
нимающие решения в сложной ситуации, используют простые
правила (эвристики), которые могли бы быть оптимальными
в упрощенной ситуации. В качестве примера можно указать
популярные правила, основанные на отношении цены к дохо-
дам.
111
Мут, с другой стороны, сосредоточил внимание на взаи-
модействии между фактическими значениями экономических
показателей и их прогнозами, которые, определяя индивиду-
альные решения, тем самым влияют на прогнозируемые ве-
личины. Он заключил, что в равновесии должна иметь место
определенная согласованность, что привело его к следующей
гипотезе:
“Кажется естественным предположить, что ожидания, ко-
торые суть предсказания будущих событий, основанные на те-
кущей информации, в основном совпадают с предсказаниями
соответствующей экономической теории. Мы назовем такие
ожидания “рациональными”, хотя понимаем, что нашу чи-
сто описательную (дескриптивную) гипотезу могут принять
за нормативное положение о том, как фирмы должны посту-
пать”.
Исходная посылка Мута прямо противоположна посыл-
кам Саймона: традиционная экономическая теория предпола-
гает поведение недостаточно рациональным! Мут предполо-
жил, что трейдеры ведут себя так, как если бы их прогно-
зы относительно экономических показателей (например, цен)
формировались в точности так же, как эти показатели в дей-
ствительности формируются в экономике.
4.1 Равновесие при рациональных
ожиданиях
Точное описание гипотезы рациональных ожиданий можно по-
лучить, построив модель спроса и предложения на финансовом
рынке. В целях упрощения мы будем рассматривать однопс-
риодную экономику. Как и в модели САРМ, обозначим через
S набор возможных состояний мира, а через х;(з) — доход
фирмы j в состоянии з. Если а:Дз) — стоимость фирмы в кон-
це периода в состоянии з, то какова же ее равновесная цена
112
в начале периода? Предположим, что имеется п инвесторов,
и пусть U' означает функцию полезности инвестора i, опре-
деленную относительно капитала на конец периода (который
будем обозначать И7).
Информированность участников определяется следующим
образом. Если истинным состоянием является состояние з, то
инвестор i знает только, что произошло событие E'(s'). E'(s)
является подмножеством множества S. Если Е'(з) = {з}, то
инвестор i обладает точной информацией. Если E*(s) = S, то
инвестор i нс обладает никакой информацией. В общем случае
мы ожидаем, что в отношении информированности инвесторы
занимают некоторое промежуточное положение. Важный слу-
чай возникает, если E'(s') {з} для всех г, но Г),Е'(з) = {з}.
В этом случае ни один из инвесторов не обладает точной ин-
формацией, по рынок в целом точной информацией обладает.
Пусть 7г(£) — априорная вероятность состояния I. После
того, как инвестор i получает информацию Е‘(з), он может
переоценить вероятности согласно формуле Байеса:
7г(/|Е*(з)) =
О,
*•(0 .
7Г(Я’(5))’
если I £ Е'(з)
если I € Е‘(з) ’
4.2 Предварительная формулировка
Следуя обычной схеме описания спроса на финансовые акти-
вы, выбор каждым инвестором i набора а, акций фирмы j и
безрисковых вложений С будем рассматривать как решение
задачи максимизации ожидаемой полезности:
J27r(«|E,(5))L/,(iy,(4)) -> max
t
при условии
113
17* (/) = + TC для любого Z,
j
£ад + с- = <
i
Здесь U* — функция полезности инвестора i, первое огра-
ничение есть определение капитала на конец периода в состо-
янии t, второе ограничение — финансовый баланс. Через т
обозначен безрисковый процент плюс единица, р — цены.
Решение задачи определяет спрос инвестора i па ак-
ции фирмы j — это решение будем обозначать а](р; J5*(s)).
Решение является функцией как цен, так и информиро-
ванности инвестора. Решив задачу нахождения цен, вы-
равнивающих спрос и предложения, получим вектор цеп
как функцию информированности всех инвесторов па рынке:
Х^(з),...,^(а)).
Пока мы рассматриваем проблему с позиций обычного ми-
кроэкономического подхода, мы упускаем из вида одно важ-
ное обстоятельство: вырабатывая решение, инвестор может
использовать нс только информацию E'(s), но и наблюдаемый
вектор цен для дальнейшей корректировки своих представле-
ний относительно реального состояния мира. Например, пред-
положим, что высокие цены на акции некоторой фирмы дела-
ют определенное состояние более вероятным; тогда каждый
инвестор может пересмотреть свои оценки в зависимости от
того, наблюдается или нет повышение спроса на данные акции
при данных высоких ценах.
4.3 Аккуратная формулировка
Традиционную концепцию равновесия следует пересмотреть
так, чтобы учесть информацию, извлекаемую из цен. Сделать
это можно следующим образом.
114
Обозначим через E'(s,p') информацию инвестора i при це-
нах р и первоначальной информации £"(з). Тогда вектор цен
р будет формировать равновесие при рациональных ожида-
ниях (rational expectations equilibrium), если в результате ре-
шения каждым инвестором задачи максимизации собственной
функции полезности при ограничениях на финансовый баланс
и при информированности, пересмотренной с учетом данных
цен, спрос на рынке окажется равным предложению.
Важный аспект этого определения состоит в том, что це-
ны играют двоякую роль. Во-первых, они выявляют инфор-
мацию. Во-вторых, они выравнивают спрос и предложение. В
то время как традиционная экономическая теория рассматри-
вает в основном распределительную роль цеп, литература но
рациональным ожиданиям помогает прояснить информацион-
ную роль цен.
Цепы (равновесные) р называются полностью выявляю-
щими (fully revealling prices/cquilibrium), если спрос каждо-
го инвестора таков, как если бы он обладал не информацией
E‘(s), a n,E'(s). В этом случае цепы эффективно выявляют
всю имеющуюся на рынке информацию. Практическим след-
ствием из концепции равновесия при рациональных ожида-
ниях является обсуждаемая ниже гипотеза эффективности
(efficient markets hypothesis) рынка.
В качестве отправной точки рассмотрим простой случай,
когда n,-.J?(s) = {5}, так что рынок в целом обладает точной
информацией. В этом случае полностью выявляющие цепы па
акции фирмы j равны просто Xj(s)lr. Почему? Дело в том,
что если бы каждый инвестор имел всю имеющуюся на рын-
ке информацию, т. е. n,£"(s) = {з}, то он точно знал бы, что
произошло событие s. По в этом случае, когда нет никакой не-
определенности, цена акции будет, как известно, просто равна
будущей цепе, дисконтированной на безрисковый процент.
Например, рассмотрим случай фирм, функционирующих в
115
течение двух периодов, в отличие от рассмотренной выше про-
стейшей модели. Безрисковый процент равен пулю. Дивиден-
ды, выплачиваемые фирмой в конце первого периода, и лик-
видационные выплаты в конце второго периода определяются
как функции состояний мира в соответствии со следующей
таблицей:
Состояние Период 1 Период 2
XX 0 0
?У 0 0
XZ 0 12
ух 12 0
УУ 12 12
yz 12 24
ZX 24 12
zy 24 24
zz 24 24
Мы можем считать, что х отмечает плохое состояние для
фирмы, у — среднее, z — хорошее. Мы помечаем каждое состо-
яние двумя метками ( гак, скажем, второе состояние помечено
ху) с тем, чтобы различать сложившиеся для фирмы условия
в периоде 1 и периоде 2. Так, мы можем интерпретировать со-
стояние xz как такое, в котором обстоятельства складывались
для фирмы неудачно в первом периоде и удачно во втором.
Предположим, что истинное состояние — zz, так что фир-
ма выплачивает по 24 в конце каждого периода. Если все инве-
сторы обладают такой информацией, то рыночная цепа акции
будет 48 (поскольку безрисковый процент равен нулю).
Предположим, что в начале первого периода одна группа
инвесторов знает, что истинное состояние первого периода —
по х, а другая группа знает, что это состояние — по у. Пред-
положим, далее, что третья группа инвесторов знает, что ис-
тинное состояние второго периода — нс х, а четвертая — что
не у.
116
Если мы соберем вместе информацию всех инвесторов, мы
сможем точно предсказать состояние (zz), и полностью вы-
являющая цепа на акции будет равна 48. Если бы ни один
из инвесторов не обладал информацией относительно второго
периода и каждый из них ней трально относился к риску, то
равновесная цена равнялась бы 24 + (12 4- 24 + 24)/3 = 44.
Естественно возникает вопрос: как же такая цена склады-
вается на рынке? Имеются различные подходы к решению
этого вопроса, по в значительной степени он нс разрешен.
Существующие подходы включают модели обучения, страте-
гические модели и модели, основанные па арбитраже. В мо-
делях обучения инвесторы используют цены для получения
информации с помощью определенных методов и пересматри-
вают свой спрос. Этот новый спрос приводит к новым цепам,
и процесс повторяется. Стабильная точка процесса является
равновесием. Один из изъянов такого рода моделей заключа-
ется в том, что инвесторы предполагаются наивными в том
отношении, что они, пересматривая спрос в соответствии с
информированностью, пе понимают, что тем самым передают
определенную информацию партнерам. Стратегические моде-
ли учитывают такую возможность: инвесторы пересматрива-
ют спрос на основе их информации, принимая во внимание,
как это повлияет па новые цепы. Третий тип моделей предпо-
лагает только, что исключены возможности для арбитража,
па основе чего показывается, что если структура рынка до-
статочно богата, то цены должны быть полностью выявляю-
щими. Позднее мы слегка коснемся этой модели.
Если цены по являются полностью выявляющими, мы пе
можем определить равновесный уровень цеп столь же лег-
ко. Фактически мы сталкиваемся с двумя проблемами. Во-
первых, поскольку неопределенность теперь полностью нс
устранена, цепы будут зависеть от отношения инвесторов к
риску. Во-вторых, мы должны более явно определить, как ин-
весторы используют цепы для пересмотра информации, т. е.
117
определить, что такое £'(.?,р). В конце данного раздела мы
приведем модель, рассматривающую эти вопросы.
Прежде чем перейти к вопросам практической интерпрета-
ции равновесия при рациональных ожиданиях, отмстим, что
определение цеп является ire столь простой задачей, как описа-
но выше, даже в том случае, когда цепы являются полностью
выявляющими, но рынок в целом не обладает точной инфор-
мацией. Предположим, что П, Е'(5) = {s,l, и}, так что, собрав
всю имеющуюся на рынке информацию, мы все же не сможем
точно определить истинное состояние мира. В этом случае нам
потребуется решить задачи максимизации функций полезно-
сти для определения цеп па акции, поскольку последние бу-
дут зависеть от отношения инвесторов к риску. Например,
если все функции полезности являются квадратичными, то
мы можем воспользоваться методами, которые рассматрива-
лись при обсуждении модели САРМ. В этом случае полностью
выявляющие цепы па акции фирмы j будут равны дисконти-
рованной на безрисковый процент будущей стоимости фирмы
минус премия за риск. В качестве альтернативы можно ис-
пользовать формулу с приведенным по риску коэффицисп гом
дисконтирования.
4.4 Гипотеза об эффективности
рынка
Сильная интерпретация равновесия при рациональных
ожиданиях заключается в том, что цены агрегируют всю име-
ющуюся информацию. Рынки, в которых цены выявляют всю
имеющуюся информацию, называют эффективными рынками,
где эффективность понимается как информационная эффек-
тивность (в отличие от распределительной эффективности).
Из этого предположения следуют определенные практиче-
ские выводы. Главное соображение состоит в том, что никто
118
ис в состоянии использовать информацию для получения си-
стематического выигрыша. Причина очевидна: любая подоб-
ная информация уже отражена в ценах и тем самым ис имеет
дальнейшей ценности. Во-вторых, получается, что пет смы-
сла платить за уточнение информации. Причина в том, что
эта информация все равно будет отражена в ценах, так что
расходы на се приобретение нс окупятся.
Последний вывод ведет к парадоксу: если никто нс полу-
чает информацию, то нечего и выявлять, и появляется сти-
мул к уточнению информации. По стоит кому-либо приложить
усилия и что-либо выяснить, как эта информация тут же вы-
является ценами для всех, нс принося своему первоначальному
владельцу никаких преимуществ! Один из способов разреше-
ния этого парадокса дастся моделью рациональных ожиданий
с помехами (noisy rational expectations). В этой модели цены нс
являются полностью выявляющими, и трейдеры используют
как собственную информацию, так и информацию, содержа-
щуюся в ценах.
Та формулировка гипотезы об эффективности рынка, ко-
торую мы обсуждали до сих пор, называется гипотезой в силь-
ной форме. Она утверждает, что в цепах отражается вся име-
ющаяся у кого бы то пи было информация. Гипотеза в квази-
силыюй форме говорит только, что в цепах отражается вся об-
щедоступная информация. Наконец, гипотеза в слабой форме
постулирует, что текущие цены отражают всю информацию,
которую можно извлечь из прошлых цеп. Именно эта форма
гипотезы наиболее часто тестируется на практике. Заметим,
что если мы отвергаем гипотезу в слабой форме, то мы отвер-
гаем и остальные, поскольку слабая форма содержится в двух
остальных формах.
119
4.5 Эмпирическая оценка
эффективности рынка
Эмпирическая проверка гипотезы об эффективности рынка
может проводиться различными способами. Первый связан
с так называемой гипотезой “несмещенности” (unbiasedness
hypothesis); второй — с использованием механических торго-
вых стратегий. Тест несмещенности для проверки гипотезы
об эффективности основан па том соображении, что наличная
в данный момент информация нс должна способствовать пред-
сказанию изменений в цепах. В терминах сформулированной
выше формальной модели э го записывается так.
Предположим, что П,- = {зД,и] и что г = 1 (г. с. без-
рисковый процент равен пулю). Пусть Xj(s'), Xj(l~) и Xj(u') —
будущая стоимость акций фирмы j при данной информации
на рынке. Тогда, как мы знаем, па нейтральном к риску рын-
ке полностью выявляющие цепы акций фирмы j будут равны
условному математическому ожиданию величины x,j, т. е.
Pj = 7г(/| И,E'(s))xj(l') + тг(з| П,- E*(s))xy(s) 7г(и] П, Е’(зУ)х^и).
Другими словами, Pj есть несмещенная оценка будущей
цепы акций. Это также означает, что если мы наблюдаем
временной ряд цен на акции j, скажем pj в период т, и zj
— реальная реализация Xj в период т, то в среднем разность
pj - xj (средняя ошибка прогноза) должна быть равна пулю.
Типичные способы проверки эффективности рынка основаны
на этом факте. Обычно тест строится в терминах доходности.
Если мы обозначим через rj = xTjlpTj - 1 доходность акции j
в период т, то пуль-гипотеза состоит в том, что, используя
любую информацию в момент времени т, нельзя прсдсказат13
доходность. Другими словами, изменения в ценах акций чисто
случайны.
120
Тесты эффективности рынка используют эти соображения
и проверяют, являются ли доходности систематически пред-
сказуемыми. Строится регрессия реализованной серии доход-
ностей но набору таких факторов, как прошлые доходности,
доходности каких-то рыночных индексов, макроэкономические
показатели типа инфляции и др. Если регрессия объясняет су-
щественную часть разброса в доходностях, гипотеза рыночной
эффективности должна быть отвергнута.
Такие тесты проводились на различных финансовых рын-
ках. Конкретный пример — форвардные рынки. В этом случае
тест на эффективность состоит в том, чтобы проверить, дают
ли форвардные цепы несмещенную оценку будущих реальных
цен. Если мы обозначим через FT форвардные цены (фиксиро-
ванные в момент г на срок г ф 1) и через — реальные
будущие цепы, то гипотеза пссмсщсппости утверждает
F = 7?(5г+1|/т),
где 1Т — информация, имеющаяся в момент времени т. Если
мы признаем гипотезу об эффективности рынка (или о ра-
циональных ожиданиях), то паша ошибка прогноза, которая
равна Е(5т+11/т) — 5T + i, должна в среднем равняться пулю.
Таким образом, мы можем записать
5t+i = E(ST+if/T) + Ст-ц,
где ошибка прогноза ст+1 должна быть независимой от на-
личной в момент т информации. Подставляя в это уравнение
форвардные цены, получим
FT — S't+i + £r+l •
Данное соотношение можно тестировать статистическими
методами; например, если мы строим регрессию
7‘т = в + + cT-t-i,
121
то гипотеза несмещенности подразумевает, что а = 0и/3 = 1.
Делая из подобных тестов выводы за или против эффектив-
ности рынка, важно осознавать, что они применимы только к
случаю нейтральных к риску инвесторов. Если же инвесторы
избегают риска, то гипотеза несмещенности перестает быть
верной. Мы уже знаем из обсуждения модели САРМ, что если
инвесторы избегают риска, то цепы нс равны математическо-
му ожиданию будущих цен, но будут ниже. Разность между
ценой и ожидаемой стоимостью составляет премию за риск,
которая должна быть выплачена инвестору для того, чтобы оп
согласился занять рисковую позицию. В таком случае отказ от
гипотезы несмещенности нс будет означать неэффективность
в каком-либо смысле.
Проиллюстрируем это обстоятельство на примере фор-
вардного рынка. Для падала вспомним, как определяют-
ся цены па одпопсриодпыс форвардные контракты в риск-
пейтральпом мире. Если F — цепа форвардного контракта,
г — единица плюс безрисковый процент, S — (случайная) бу-
дущая цепа акции, то рассмотрим следующий набор действий:
— покупаем (1+г) форвардных контрактов (что нс требует
немедленных затрат);
— вкладываем $Е под безрисковый процент (что требует
затрат $Е).
Тогда в конце периода мы получим Е( 1+г) но безрисковым
вложениям и (1 + r)(S - Е) по форвардным контрактам. Паш
чистый доход составит
(1 + r)(S - Г) + (1 + т)Е = (1 + т)5.
Суммарные инвестиции составляли $Е. Таким образом,
$Е, вложенные сегодня, принесут (1 + г)5 завтра. Если име-
ется хотя бы одни нейтральный к риску инвестор, то F долж-
но равняться ожидаемой при имеющейся информации стои-
мости акции, дисконтированной па безрисковый процент, так
122
что J1 = £(5|/),гдс1— наличная сегодня информация. С дру-
гой стороны, если все инвесторы избегают риска, аналогичные
соображения неприменимы. Пам известно, что §.7Л, инвестиро-
ванные сегодня, принесут случайный доход (1 фг)5 через один
интервал времени. Инвестор с функцией полезности U явным
образом потеряет в полезности сегодня и приобретет случай-
ное количество полезности завтра. Такой инвестор в качестве
компенсации за риск должен получить больше “справедливой”
цены. В этом случае соответствующее уравнение примет вид
Л = £’(5т+1 |/т) + RPT,
где RP — премия за риск. В этом случае форвардные цепы
являются смещенной оценкой прогнозируемых будущих цеп,
что, однако, не противоречит гипотезе эффективности рынка.
Второй тин тестов эффективности рынка касается исполь-
зования механических торговых стратегий, т. с. стратегий,
основанных па техническом анализе. Популярной стратегией
такого типа является стратегия, называемая фильтром. При-
мер: пусть р0 — начальный уровень цен (опорная отметка).
Если цена pi > р0, продаем один контракт, если Pi < ро —
покупаем один контракт. Теперь опорной отметкой становит-
ся pi, и процесс повторяется. Таким образом, мы продолжаем
покупать, пока цепы падают, и продолжаем продавать, по-
ка цепы растут. Если рынок эффективен, такая стратегия
ые может давать чрезмерную прибыль на протяжении дли-
тельного периода. Под чрезмерной подразумевается прибыль,
превосходящая ту, что может быть получена вложениями,
скажем, в хорошо диверсифицированный портфель цепных
бумаг. Фактически па полностью эффективном рынке ника-
кая стратегия не может обеспечить чрезмерную доходность.
123
4.6 Арбитраж и эффективность рынка
Гипотеза об эффективности рынка занимает фундаменталь-
ное положение в теории финансов, поэтому значительные уси-
лия направляются на изучение взаимосвязи между информи-
рованностью и ценами. Фактически мы до сих пор нс обсужда-
ли механизм агрегирования информации в ценах. Например,
если часть трейдеров знает, что в будущем цепа акции бу-
дет либо 0, либо 25, а другие знают, что случится 0 или 15,
то модель рациональных ожиданий предсказывает, ч то цена
равна 0. Однако модель рациональных ожиданий ничего не
говорит о том, как цены упадут до пуля. Если все состояния
равновероятны, то в данном примере весьма правдоподобно,
что цепы будут колебаться вблизи 20, поскольку это ожида-
емая стоимость для одной группы трейдеров и одна из воз-
можных стоимостей для другой группы. Объяснение реакции
цеп па информированность является одной из наиболее слож-
ных проблем, возникающих перед участниками рынка. Здесь,
на относительно простом примере, мы покажем, что если па
рынке имеется достаточно много производных ценных бумаг
(в частности, опционов), то, если рынок неэффективен, кто-
либо из трейдеров будет обладать возможностями для арби-
тража. Это сильный аргумент в пользу эффективности. На-
помним, что возможность арбитража означает, что трейдер
может получить чистый доход без каких-либо расходов.
В пашем обсуждении роли опционов для эффективности
рынка мы будем использовать следующий пример. Имеется
один вид акций, и стоимость акции в будущем задастся таб-
лицей:
Состояние Стоимость
х 0
У 25
z 45
124
Помимо акций на рынке обращаются колл-оиционы с це-
ной исполнения 30 и нут-опционы с ценой исполнения 30, оба
сроком па один период. Для того, чтобы еще больше упро-
стить пример, предположим, что безрисковый процент равен
пулю (в противном случае нам следовало бы дисконтировать
все будущие платежи на безрисковый процент).
Предположим, что истинным является состояние z и неко-
торые трейдеры (типа 7’1) знают, что истинное состояние “нс
у", другие (типа 7’2) знают, что истинное состояние “не z”.
В равновесии при рациональных ожиданиях (REE) це-
на акции равна 0, а цены опционов в таком равновесии
вычисляются следующим образом. Как мы знаем из разде-
ла, посвященного опционам, колл-опцион должен иметь цепу
С — тах{0,5 — 30}, а нут-опцион — цепу Р = тах{0,30 — 5},
где S — цепа акции. Таким образом, REE-цспа колл-опциопа
равна 0 и REE-цспа пут-опциона равна 30. Заметим, что эти
цепы основаны па понятии равновесия при рациональных ожи-
даниях, что в данном случае означает, что пет никакой не-
определенности, поскольку цепа акции выявила всю наличную
информацию.
Чтобы увидеть роль производных бумаг для эффективно-
сти рынка, рассмотрим два типа трейдеров и их информиро-
ванность:
Тип трейдера Информация Возможные цены
Т1 не у 0, 45
7’2 не z 0, 25
Рассмотрим портфель, состоящий из +1 акции и —3 колл-
опционов. Пусть S означает цепу акции, С — цепу колл-
опциопа и Р — цепу пут-опциона. Тогда для трейдера типа
7Т этот портфель приносит 0 независимо от того, будет цепа
акции 0 или 45. Отсутствие арбитража требует, чтобы цепа
портфеля равнялась пулю, т. с. S — ЗС = 0. Если S — ЗС < 0,
125
то трейдер типа 7’1 должен купить столько портфелей, сколь-
ко возможно, поскольку оп получит доход при покупке, а по-
тери в конце периода, будут равны пулю. Аналогично, если
S — ЗС > 0, то трейдер 7’1 должен продавать сколько воз-
можно.
Трейдер 7'2 знает, что колл-опцион ничего не принесет
(поскольку цепа исполнения равна 30), так что мы получа-
ем С = 0. Вместе эти два ограничения дают S = 0, С — 0.
Чтобы определить цену пут-опциона, используем взаимосвязь
“пут—колл” (это соотношение обсуждалось в разделе, посвя-
щенном опционам): S + Р - С — 30, откуда получаем Р = 30.
Заметим, что требование отсутствия арбитража реально
накладывает ограничения па цепы покупки и продажи (биды
и аски), поскольку единственный способ получить арбитраж-
ный выигрыш — это принять имеющийся бид или аск. Таким
образом, отсутствие арбитража подразумевает, ч то
1. Sa — 3Cb > 0, так что трейдер Т1 не может купить такой
портфель по отрицательной цене,
2. Sb — ЗС° < 0, так что трейдер 7'1 не может продать
такой портфель по положительной цене,
3. Сь < 0, так что трейдер 7'2 не может продать колл-
опцион по положительной цейс,
4. Са > 0, так что трейдер 7’2 нс может купить к'олл-
опцион по отрицательной цепе.
Поскольку биды и аски должны быть неотрицательны,
условие 3 сводится к Сь = 0, а условие 4 является несуще-
ственным.
В этом примере мы обратились к двум портфелям:
S — ЗС = 0 и С = 0, называемым “сепарирующими”, посколь-
ку они разделяют информацию двух типов трейдеров. Оказы-
вается, что для каждого из трех состояний отсутствие арби-
тража влечет рациональные ожидания. Сепарирующие порт-
фели для двух типов трейдеров приведены в таблицах:
126
Состояние Т1
Информация Портфели
X 0, 45 S - ЗС = 0
У 25, 45 35 - 4С = 75 /
Z 0, 45 S - ЗС = 0
Состояние
Т2
X Информация 0, 25 Портфели С = 0
У 0, 25 С = 0
Z 25, 45 35 - 4С = 75
Связь между арбитражем и эффективностью легко видна
на графике. Например, если истинное состояние z, кпд можем
нарисовать графики уравнений сепарирующих портфелей:
Па этом рисунке трейдер типа Т1 захочет купить любой
такой портфель, что 5“—ЗС6 < 0, и продать, если Sb — ЗС° > 0.
Диалогичное утверждение относится к трейдера типа 72. Это
означает, что мы не будем наблюдать какие-либо комбинации
127
бидов на акцию/асков па колл-опцион в области, помеченной
I, и по будем наблюдать комбинации асков на акцию/бидов
па колл-опцион в области, помеченной ТГ. В областях III и
IV трейдеры одного типа захотят осуществить покупку, а
другого — продажу. Одпако поскольку желаемые соотноше-
ния между акциями и колл-опционами различны для разных
групп, такая ситуация ис может сохраняться.
Особенно простой случай сепарирования возникает для со-
стояния у. Здесь для агрегирования информации достаточно
границ па цены акций, поскольку трейдерам тина 7'1 извест-
но, что S > 25, а трейдерам типа 7’2 — что S < 25. Таким
образом, минимально возможная стоимость для типа Т2 явля-
ется максимально возможной для типа 7’1. В общем случае,
если портфель является сепарирующим, то он может быть
охарактеризован в терминах минимального и максимально-
го платежей. Пусть min, обозначает минимальный платеж по
портфелю при имеющейся у трейдера i информации, a max,
обозначает соответствующий максимальный платеж. Тогда
портфель сепарирует в том и только в том случае, когда
max {min,} — min {max,}
i i
Эти рассуждения по будут иметь места, если количество
опционов недостаточно. В предельном случае, если опционов
пет вовсе, требование отсутствия арбитража почти не огра-
ничивает цены.
4.7 Рациональные ожидания с помехами
Цель данной теории — попытаться навести мост между на-
блюдаемыми явлениями и предсказаниями теории рациональ-
ных ожиданий. Рассматривается рынок цепных бумаг, па ко-
тором трейдеры формируют рациональные ожидания, одпако
128
равновесные цены нс отражают всей наличной информации. В
этих целях в теоретические построения включается потенци-
альный источник помех, который мешает цепам агрегировать
информацию.
В изложении этой теории мы сосредоточим внимание па
ожиданиях, использующих линейные правила прогнозирова-
ния. Следует заметить, что концепция равновесия при ра-
циональных ожиданиях с помехами не налагает ограничений
на источник помех. Любой источник помех, который разруша-
ет статистическую достаточность цен по отношению к
приватной информации трейдеров, приведет к аналогич-
ному эффекту.
Условия
Пусть имеются один рйековый и один безрисковый актив,
каждый сроком зга один период.
Выплаты по рисковому активу в конце периода равны
d ~ 7V(v,ct2), доходность безрискового актива равна Г] (можно
полагать г/ = 1).
Источник неопределенности
Пусть S — фиксированное предложение акций на рын-
ке. Рассматриваются два типа трейдеров. Одних приводит
на рынок необходимость сберегать для будущего потребле-
ния, другие, обладая приватной информацией, рассчитывают
на успешные спекуляции. Если объективная потребность в
сбережениях стохастична, то и предложение на спекулятив-
ном рынке стохастично. Например, пусть предложение ак-
ций фиксировано (= 5), а потребность “вынужденных инве-
сторов” Sic — нормально распределенная случайная величи-
на. Тогда чистое предложение акций па спекулятивном рын-
ке является нормально распределенной случайной величиной
(S - SLC) = Xt(N). Стохастичпость предложения служит су-
щественным источником помех в рассматриваемой экономике.
129
Кроме того, предполагается, что суммарная дисперсия пред-
ложения будет расти с увеличением числа грейдеров, чтобы
гарантировать, что этот источник помех нс пропадет, когда
количество спекулянтов станет достаточно большим (так что
рынок окажется конкурентным).
В начале периода каждый трейдер-спекулянт получа-
ет некоторую приватную информацию у* относительно вы-
плат в конце периода по рйековым вкладам. Таким образом,
у' = d + с,, с,- ~ JV(0,y>2).
Предположим, что потребность каждого трейдера в риско-
вых активах задастся линейной формулой
z,- — (E(d\Jf пф ормация^ — RjP}/Ц*
+V(<1\Инф ормация^. (4.1)
В уравнении (4.1) потребность является линейной функци-
ей как цепы, так и условного ожидания и условной дисперсии
дивиденда на конец периода при заданной информированно-
сти. В результате, если трейдеры-спекулянты имеют одина-
ковые предпочтения, но различную информированность, то
торговля будет обусловлена только различиями в информи-
рованности.
Помехи
В вышеописанных условиях способность цеп агрегировать
информацию существенно ослабляется стохастической соста-
вляющей спроса. Проблема в том, что трейдеры па рынке
пе могут отличить спекулянтов от вынужденных инвесто-
ров. Высокая (низкая) цена может теперь возникать как за
счет “хорошей” (“плохой”) информации, так и за счет высо-
кого (низкого) спроса вынужденных инвесторов.
Ожидания
Ожидания воздействуют па условные среднее и дисперсию
в уравнении (4.1) выше. Это, в свою очередь, влияет па цепу,
поскольку за счет цены выравниваются спрос и предложение.
130
Предположим, что трейдеры ограничиваются правилами
прогнозирования, линейными по цепам и по приватной ин-
формации относительно ожидаемых дивидендов. В одном пре-
дельном случае, когда коэффициент перед ценой равен пулю,
трейдер использует только приватную информацию. В другом
предельном случае трейдер при выработке своих инвестицион-
ных решений обращает внимание только на цепы. Это можно
интерпретировать так, что он абсолютно не интересуется ни-
какой реальной информацией о фирме. Запишем такую форму
правила прогнозирования в виде
ад = д-о+д-1/’+д-2к-. (-1-2)
Полностью выявляющее равновесие
и равновесие с помехами
Для построения (временного) равновесия подставим пра-
вило (4.2) в функцию спроса, просуммируем спрос и прирав-
няем к суммарному предложению. Цены будут являться ли-
нейной функцией двух нормально распределенных случайных
величин: предложения и взвешенного среднего всех приватных
сигналов в экономике.
Отмстим, что для таких временных равновесий выполня-
ются следующие условия:
1. Трейдеры максимизируют ожидаемую полезность капи-
тала па конец периода при заданных правилах прогнозирова-
ния.
2. Сирое равен предложению.
Заметим, что существует континуум временных равнове-
сий, поскольку для произвольно выбранных коэффициентов
найдется цена, выравнивающая спрос и предложение. Если
трейдеры не полностью игнорируют свои информационные
состояния, то равновесная цена передает определенную ин-
формацию, поскольку в ней воплощены ожидания, основанные
131
на индивидуальной информации. Таким образом, цена являет-
ся источником информации, которая должна использоваться
трейдерами на рынке. В равновесии при рациональных ожи-
даниях эта информация используется оптимальным образом,
так что правила прогнозирования по являются произвольны-
ми. Так, в равновесии при рациональных ожиданиях должно
удовлетворяться третье условие:
3. Для каждого трейдера прогноз должен подтверждаться
реальной реализацией.
Условие 3 устанавливает, что если мы позволим каждо-
му трейдеру пересматривать свои правила прогнозирования с
использованием реализованных значений выплат по рйековым
активам, то исходные правила прогнозирования нс будут пе-
ресмотрены. Тем самым мы получим неподвижную (т. с. рав-
новесную) точку в пространстве линейных правил прогнози-
рования.
Чтобы оцепить различие между полностью выявляющим
равновесием и равновесием при рациональных ожиданиях с
помехами, проанализируем смысл коэффициентов в оптималь-
ном правиле прогнозирования. Если оптимальные весовые ко-
эффициенты в уравнении (4.2) таковы, что Д2 — 0 для каждо-
го трейдера, то равновесие является полностью выявляющим
равновесием в рациональных ожиданиях. С другой стороны,
в равновесии при рациональных ожиданиях с помехами опти-
мальные веса (Зц и Д2 по равны пулю. Тем самым как це-
на, так и приватная информация являются существенными
для принимаемых трейдерами решений. В рассматриваемой
постановке помехи, создаваемые стохастической компонентой
спроса, гарантируют, что оба коэффициента окажутся нену-
левыми.
Построение равновесия
Построим временное равновесие путем суммирования спро-
са (уравнение (4.1)) и приравнивания этой суммы рсализован-
132
ному предложению рисковых активов ('Г. С. Л’|(ДГ)). Исходя из
этих условий получим равновесную цену как линейную функ-
цию относительно d и A'i(a’). Итак,
Р = a^d + a2(p}XlW. (4.3)
Заметим, что для любого множества начальных ожиданий
рыночная равновесная цепа является суммой двух нормаль-
но распределенных случайных величин. Коэффициенты в этой
линейной функции являются, в свою очередь, функциями ко-
эффициентов в правилах прогнозирования трейдеров, задава-
емых уравнением (4.2) (/3 — вектор коэффициентов). В этой
экономике наблюдаемыми (ex ante или ex post) величинами
являются случайные величины d, Р и 7* — все нормально
распределенные со следующей ковариационной матрицей:
d Р 7'
d а2 ст2
Р Ojcrj a2<Td ф a2cr| ai<Td
7*' a2d arf <?d + S2
В данной линейной экономике оптимальные правила про-
гнозирования определяются с помощью метода наименьших
квадратов. Из анализа вышеприведенной ковариационной ма-
трицы и уравнения (4.3) следует, что элементы, включающие
цены Р, являются функциями прогнозных весовых коэффици-
ентов каждого трейдера. Таким образом, данные коэффициен-
ты определяют цени ex ante, а с помощью метода наимень-
ших квадратов мы можем вычислить отображение, опреде-
ляющее пересчет каждым трейдером своих правил прогно-
зирования па основании информации, полученной по реали-
зованным значениям d. Обозначим это отображение через Л/,
так что М(Р) = (М0(Р), Mi(P), М2(Р)). В равновесии при ра-
циональных ожиданиях мы должны получить неподвижную
точку: М(Р^ = (Ро,Р{,Р2}, так что коэффициенты правил
133
прогнозирования остаются неизменными при пересчете в све-
те реализованных состояний. Построение равновесия при ра-
циональных ожиданиях с помехами как неподвижной точки
такого отображения можно проиллюстрировать следующим
образом.
Па основании предыдущего отображение для пересчета
Л/(/3) вычисляется как сложная функция от о(Д), непосред-
ственно с помощью метода наименьших квадратов. Отсюда
получаем (в предположении, что переменные понимаются как
отклонения от их средних значений, так что р0 = 0):
W) =
г- _ I С'2„ 2 2 । _2„2„2
V = О + о •
Эти функции получены непосредственно из ковариацион-
ной матрицы; V есть детерминант подматрицы, заданной Р и
7*-
Отсюда можно получить следующий результат:
Если р{ = 1/(14- S2t) и - S2TOd/((l + S2t)<Tj + S4t),
то = р1,
где liinAr_oo tfA-((jv)/(^7r)2 = т > 0> так что дисперсия агреги-
рованного предложения отделена от пуля в случае, когда эко-
номика достаточно большая. Наконец, подставив равновесные
весовые коэффициенты в уравнение (4.3), получим равновес-
ную цену при рациональных ожиданиях с помехами.
134
4.8 Приложение:
премия за риск в форвардных цепах
Пусть U — функция полезности, Со — текущее потребление,
Ci — потребление через один период. Тогда полезность инве-
стора равна
1/(С’о)+Е{П(С'1)}.
Предположим, мы просим инвестора вложить aF сегодня
с получением о(1 + r)S завтра, а инвестор выбирает значение
а. Безразличие для инвестора между потреблением Со — aF
сегодня и случайным потреблением Су + о(1 + E)S означает,
что производная по о равна нулю, т. с.
^-((/(Со - oF) + E[U(Cy + а(1 + г)5)}) == 0.
иск
Подставляя а — 0, получаем
FF'(CO) = (1 +r)F{SF'(C'l)}.
Обозначим через М = U'(Ci')/U'(C0') предельную норму
замещения между нынешним и будущим потреблением. Тогда
F = (1 + r)E(5Af).
Легко видеть, что E(SM') — E(S')E(AJ') ф cov(5, Л/). Под-
ставляя, получим
F = (1 фг)Е(5)Е(А/)ф(1 Ф r)cov(5,Л/).
Ниже показывается, что Е(М') = 1/(1 ф г). Отсюда полу-
чаем
F = E(S) ф (1 ф r)cov(S,A/).
Таким образом, форвардная цепа равна ожидаемой цепе ак-
ции плюс премия за риск, и эта премия связана с ковариацией
135
между предельной нормой замещения и будущей ценой акции.
Для завершения вывода осталось показать, что
£(М)= 1/(1+г).
Мы проведем рассуждения, аналогичные вышеизложен-
ным, по будем использовать безрисковые активы. Предполо-
жим, инвестор вкладывает а в безрисковые бумаги. Тогда по-
лезность равна
U(Со — о ) + 1-j (U (Cj -|- а(1 + г))}.
Дифференцируя по а и приравнивая к пулю в точке а = О,
получим
1/'(С0) = (1 + г)Д{(/'(С1)},
что и требовалось показать.
5 ФИНАНСОВАЯ
ТОРГОВАЯ СИСТЕМА
Финансовая Торговая Система (ФТС) даст возможность уча-
щимся, находящимся в учебном классе, почувствовать себя
брокерами реальной фондовой биржи. Обучение финансам с
использованием ФТС позволяет сочетать лекции с торговыми
сессиями, во время которых учащиеся, сидя за компьютерами,
торгуют друг с другом в реальном времени.
Сеть компьютеров образует финансовый рынок. Па этом
рынке можно торговать различными цепными бумагами: ак-
циями, облигациями, опционами, фьючерсами и более слож-
ными финансовыми инструментами, такими как кэп, флор и
своп.
5.1 Основные элементы торговли
Конкретная рыночная ситуация определяется набором цепных
бумаг, которыми разрешено торговать; начальным распреде-
лением этих ценных бумаг по участникам торгов (трейдерам),
а также начальным запасом денег у каждого участника. Пара-
метрами рынка являются также платежи по ценным бумагам,
продолжительность одного торгового периода и т.д.
Во время торгового периода каждый участник может сде-
лать бид (выразить готовность купить), аск (выразить го-
товность продать), принять текущий бид (продать цепную
бумагу) или принять текущий аск (купить цепную бумагу).
При этом, трейдеры должны указывать количество ценных
137
бумаг, которое они хотели бы купить или продать. Если трей-
дер сформировал свое предложение и послал его иа рынок, то
отозвать или отменить его уже невозможно (кроме случаев,
описанных в п.В). Приказы трейдеров обрабатываются в по-
рядке их поступления.
Торговля па ФТС рынках осуществляется по правилам
двойного аукциона (double auction) разъясняемым далее.
А. УСТАНОВЛЕНИЕ ЦЕНЫ
Бид (заявка па покупку) состоит из цены и количества. Це-
на каждого следующего бида на любую цепную бумагу долж-
на быть больше цепы существующего (текущего) бида. Если
текущего бида нс существует, то любая положительная цепа
допустима в качестве бида. После того, как вес выставленные
единицы текущего бида куплены, он больше ггс существует,
при этом предшествующий максимальный бид не становится
текущим (кроме случаев, описанных в и.Б).
Аск (заявка па продажу) состоит из цепы и количества. Це-
на каждого следующего аска па любую цепную бумагу долж-
на быть меньше цены существующего (текущего) аска. Если
текущего аска tic существует, то любая положительная цена
допустима в качестве аска. После того, как все выставленные
единицы текущего аска проданы, он больше не существует,
при этом предшествующий минимальный аск нс становится
текущим (кроме случаев, описанных в n.D).
В. ПРАВИЛА ТОРГОВЛИ
В любой момент времени трейдер может купить акции,
приняв текущий аск, и продать, приняв текущий бид. Купле-
но или продано может быть любое количество единиц, не
превышающее предложенного в текущей заявке. Трейдерам
разрешается брать деньги взаймы под безрисковый процент.
Разрешена также короткая позиция (sell short), т. с. прода-
жа цепных бумаг, которых в данный момент пет на руках.
138
Могут существовать ограничения на покупку и продажу па
некоторых рынках.
С. МЕХАНИКА ТОРГОВЛИ
Объясним на примере, как ведется торговля. При разбо-
ре этого примера мы будем использовать ту же форму запи-
си, что и в программе trainer.exe, которая предназначена для
обучения механике торговли. Возможно, при чтении данного
раздела вы захотите ее запустить.
Предположим, что па рынке ведется торговля тремя вида-
ми акций, назовем их STC J, STC 2 и STC 3 соответственно.
Каждый торговый период продолжается 300 секунд. Если в
начальный момепт у трейдера имеется 100 акций вида ST С 1
и $1000 наличными, то верхняя половина экрана перед нача-
лом торговой сессии выглядит так:
Time 300
Bid Ask Units
STC 1 100
STC 2 0
STC 3 0
Cash 1000
При открытии рынка раздастся звуковой сигнал и па экра-
не появляется курсор под словом Bid. Начинается обратный
отсчет времени (торговый период кончается, когда время ста-
нет равным нулю).
С помощью стрелок на клавиатуре вы можете перемещать
курсор. Горизонтальные стрелки помогут вам выбрать нуж-
ный столбец (Bid или Ash'), а вертикальные — нужную стро-
ку, т. с. вид акции.
139
С.1 Как вводить бид
Предположим, что пс существует бида на акцию STC 2, а
вы хотели бы купить 50 акций по цепе $20. вы можете сооб-
щить рынку о своем желании, выставив бид па акцию STC 2.
Для того чтобы это сделать, вы должны установить курсор на
пересечении строки ST С 2 и столбца с названием Bid. После
этого наберите
20.50 < Enter >
Это все, что нужно сделать, для того чтобы выставить
желаемый бид.
Замечание 1: Если бы текущий бид был больше или равен
20, то, согласно правилам рынка, вы бы пс могли выставить
свой бид.
Замечание 2: Во время торговой сессии текущий бид по-
является па пересечении строки STC 2 и столбца Bid ла экра-
не каждого трейдера. Он будет зеленым па экране того, кто его
выставил, и желтым — на экранах всех остальных трейдеров.
С.2 Как вводить аск
Так же легко выставить аск, т. с. предложение продать ак-
ции. вы должны установить курсор на пересечении желаемой
строки и столбца Ask, после чего ввести с клавиатуры цепу и
количество в форме p.q, где р — цепа, a q — количество. Па
вашем экране ваш аск будет изображен зеленым цветом, а па
экранах других трейдеров — желтым. Если в момент устано-
вления вашего аска существовал текущий аск, то вы должны
указать цену, меньшую текущей.
С.З Как делать исправления
Вы можете корректировать неправильно введенные дан-
ные с помощью клавиши BackSpa.ee (ВS'). Клавиша Escape
(Esc) позволит стереть все, что вы набрали. Запомните, если
вы послали па рынок свой аск или бид, нажав клавишу Enter,
140
то вы уже не можете отозвать его или отменить (кроме слу-
чаев, описанных в n.D).
С.4 Как покупать
Можно купить любую цепную бумагу, например акцию
STC 3, двумя способами:
1) Вы можете выставить бид (предложение купить) па ак-
цию STC 3. Возможно, кто-нибудь примет ваше предложение
и продаст вам акции по указанной вами цене.
2) Вы можете сами согласиться с чьим-нибудь аском, т. с.
с предложением продать акции. Это означает, что па вашем
экране в строке STC 3 и столбце Ask должен существовать
текущий аск желтого цвета (поскольку вам ire разрешено тор-
говать самому с собой). Для того чтобы принять аск, вы долж-
ны установить курсор в нужную позицию и нажать букву Ь
(buy).
Компьютер спросит вас, какое количество акций вы хо-
тели бы купить. Вы должны указать любое количество, не
превосходящее предлагаемого. Например, если текущий аск
имеет вид 30.99, а вы хотите купить 25 акций, то последова-
тельность действий должна быть такой:
b
Buy Quantity : 25 < Enler >
Опечатки при наборе вы можете исправлять, используя
клавиши BS и Esc. После покупки акций вы окажетесь в ло-
вом состоянии, которое характеризуется изменениями в пози-
циях Cash и Unit. Может так случиться, что другой трейдер
совершит покупку раньше вас. В этом случае никаких изме-
нений в вашей позиции не произойдет.
С.5 Как продавать
Точно так же, как можно двумя способами купить акции,
существует и два способа продать акции. Выставляя аск, вы
141
объявляете о своем желании продать акции. Кто-нибудь мо-
жет принять ваш аск, т. с. купит предлагаемые вами акции.
Второй способ продать акции состоит в том, что вы принима-
ете чей-нибудь бид. Естественно, что бид, который вы собира-
етесь принять, должен быть желтого цвета. Для того чтобы
принять бид, вы должны установить курсор па пересечении
строки, соответствующей той акции, которую вы собираетесь
продавать, и столбца Bid и нажать s (sell). После этого вам
предстоит ответить на вопрос, сколько акций вы хотите про-
дать. Назовите любое число, не превосходящее предлагаемого
количества. Например, если вы хотите продать 17 единиц, по-
следовательность действий должна быть такова:
s
Sell Quantity : 17 < Euler >
С.6 Цены последних сделок
На экране справа внизу имеется слово Last. Рядом с ним
расположены цепы и количества трех последних сделок па
рынке акций, название которых соответствует строке, в кото-
рой находится курсор. Перемещая курсор вверх или вниз, вы
можете посмотреть па характеристики трех последних сделок
любых акций.
D. МОДИФИКАЦИИ ОСНОВНЫХ ПРАВИЛ
Отмена бида или аска возможна, если это специально ого-
ворено ведущим. Отменить можно только свой бид или аск
(зеленого цвета). Для отмены следует подвести курсор в соот-
ветствующую позицию, набрать цепу отменяемого бида или
аска и точку, но не набирать количества единиц. Например,
для отмены набранного ранее бида 30.40 следует набрать:
30. < Enter >
Отменить ваш бид (аск) можно только пока он не принят.
Аннулировать совершенную сделку невозможно.
142
Автоматическое выполнение сделки происходит, если
выставляемый бид больше текущего иска (равносильно при-
нятию текущего аска) или если выставляемый аск меньше те-
кущего бида (равносильно принятию текущего бида). Данный
режим должен быть специально объявлен ведущим.
Ранговая очередь располагает биды по убыванию цепьт,
а аски — по возрастанию цепы. Если текущий (максималь-
ный) бид принят или отменен, то текущим автоматически
становится следующий бид из ранговой очереди. Аналогично,
если текущий (минимальный) аск принят или отменен, то те-
кущим автоматически становится следующий аск из ранговой
очереди. Данный режим должен быть специально объявлен ве-
дущим.
опционы
Торговать опционами можно точно так же, как и другими
цепными бумагами, т. с. выставляя биды и аски и принимая
биды и аски. Кроме того, если вы торгуете американскими
опционами, то вы можете в любой момент исполнить опцион.
Это делается следующим образом. Вы должны переместить
курсор в строку, соответствующую опциону, и нажать букву
х. Вы можете исполнить опцион только в том случае, если на-
ходитесь по нему в длинной позиции. Программа спросит вас,
какое количество опционов вы хотите исполнить, вы долж-
ны указать любое целое число, не превосходящее того коли-
чества опционов, которое у вас имеется. После этого опцион
будет исполнен против одного из трейдеров, которые нахо-
дятся в короткой позиции по данному опциону. Например,
если вы хотите исполнить американский пут-опцион па ак-
цию, то вы получите цену исполнения, а взамен должны буде-
те отдать одну акцию за каждый исполняемый опцион. Если
вы исполняете опцион на фьючерсный контракт, вы можете
попасть в короткую или длинную позицию по соответствую-
щему фьючерсному контракту, в зависимости от того, какой
143
опцион вы исполняете — пут или колл. В данном случае цена
исполнения совпадает с фьючерсной ценой, а деньги не пере-
ходят из рук в руки. По истечении срока действия опциона он
(в случае выгодности) исполняется автоматически.
ФЬЮЧЕРСЫ
Бид па фьючерсном рыпке является заявкой на покупку
фьючерсного контракта с ценой, равной цене бида. Аналогич-
но, аск есть заявка па продажу фьючерсного контракта с це-
ной, равной цене аска. Когда вы принимаете аск (покупаете
фьючерс), деньги нс переходят из рук в руки. Вы просто под-
писываете обязательство принять соответствующую цепную
бумагу в обмен па фьючерсную цепу в момент исполнения кон-
тракта. Оценка вашей позиции появляется па экране справа от
колонки Units. ФТС по производит переоценки контрактов с
учетом изменения состояния рынка, поэтому фактически дан-
ный тип контракта можно считать форвардным контрактом.
Поскольку деньги нс переходят из рук в руки при торго-
вле фьючерсными контрактами, совершение сделки не отра-
жается на вашем денежном балансе (в отличие от ситуации,
когда вы торгуете акциями или опционами). Зато справа от
столбца Unils появляется оценка вашей фьючерсной позиции.
Например, если вы начинаете из нулевой позиции и покупаете
один фьючерсный контракт по цепе $50, то количество единиц
увеличивается на единицу, а в следующей позиции появляет-
ся число -50. Минус означает, что вы обязаны принять одну
цепную бумагу и заплатить за псе $50.
КОНЕЦ ПЕРИОДА
Когда закончится обратный отсчет времени (Time = 0),
кончится и торговый период. В это время дальнейшая торго-
вля невозможна. Па имеющиеся деньги начисляются процен-
ты, а затем происходят выплаты по всем ценным бумагам. Ис-
полняются фьючерсы и опционы, если для пих наступает дата
144
исполнения. Опционы могут исполняться как самим трейде-
ром, так и автоматически. После этого определяются сумма
денег и запасы цепных бумаг у каждого трейдера па конец
данного периода. Доходы от торговли отображаются па экра-
не. После короткой паузы либо открывается новый торговый
период, либо достигнут конец попытки.
КОНЕЦ ПОПЫТКИ
В конце попытки пи одна из цепных бумаг нс имеет больше
ценности. Эффективность вашей торговли теперь оценивается
исключительно но имеющейся у вас сумме денег. Будем назы-
вать деньги, которые использовались во время торговли, ры-
ночными деньгами. Один из способов оцепить эффективность
вашей торговли состоит в том, чтобы посмотреть, сколько ры-
ночных денег у вас окажется в конце попытки.
Есть еще и другой способ оцепить выполнение инвестици-
онных целей каждого трейдера. Для этого мы будем использо-
вать учебные очки, оговаривая каждый раз особо, как вычи-
сляются очки по финальной сумме рыночных денег у трейдера.
5.2 Модуль 1
5.2.1 Торговая сессия ВО1
НАЗНАЧЕНИЕ
Цель первого занятия состоит в том, чтобы познакомить
вас с Финансовой Торговой Системой (ФТС). Вы приобрете-
те опыт торговли облигациями, научитесь делать свои заявки
па покупку и продажу, а также соглашаться с предложениями
других, т. с. покупать и продавать облигации. Кроме того, вы
поймете, как ваше поведение во время торговой сессии оцени-
вается в очках. Торговая сессия состоит из некоторого числа
145
повторяющихся попыток. Очки за каждую попытку начисля-
ются в зависимости от количества денег, которое вам удалось
скопить к копну попытки.
КУПОННЫЕ И БЕСКУПОННЫЕ ОБЛИГАЦИИ
Когда какие-либо экономические организации СИГА, та-
кие, например, как министерство финансов, хотят запять
деньги у населения, они обычно выпускают облигации и за-
ключают с владельцами облигаций соглашение, которое явля-
ется по сути дела контрактом, в котором в деталях описы-
ваются права и обязанности каждой стороны контракта. В
простейшей форме это соглашение определяет продолжитель-
ность займа, величину платежей (т. с. поминальную стои-
мость и обещанные платежи) и распределение его ио времени.
В данном случае рассматриваются облигации двух типов: ку-
понные и бсскупопиыс. В обоих случаях предполагается, что
в конце оговоренного соглашением срока тс экономические ор-
ганизации, которые их выпустили, обязуются выплатить их
владельцам некоторую заранее оговоренную сумму денег, ко-
торая называется поминальной стоимостью. Кроме того, ку-
понные облигации, как следует из их названия, имеют купоны,
по которым выплачиваются определенные платежи в период
до погашения облигаций. Бсскупоппыс облигации пс имеют
таких купонов и по ним выплачивается только поминальная
стоимость при их погашении.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В данной экономике имеются два рынка облигаций и рынок
наличных денег. Погашение облигаций обоих типов происхо-
дит в конце третьего рыночного “года”. Облигация первого
типа — это 20%-купопная облигация с поминальной стоимо-
стью $100 (ценная бумага 1). Облигация второго типа — это
бсскупонпая облигация с номинальной стоимостью $100 (цеп-
ная бумага 2).
146
В течение любого рыночного года вы можете продавать
облигации, которыми не владеете. В этом случае мы будем
использовать термин “короткая позиция”. Если вы продали
облигации, которыми не владее те (заняли короткую позицию),
то все платежи, которые должны получать владельцы облига-
ций данного типа, должны быть обеспечены (оплачены) вами.
Эти платежи автоматически вычитаются из ваших денег в
конце каждого рыночного года и перечисляются на счет вла-
дельца облигаций.
Кроме того, вы можете занимать наличные деньги для по-
купки дополнительных облигаций. В конце каждого рыночно-
го года, по перед тем, как начисляются платежи или выпла-
чивается поминальная стоимость, сумма денег, которую Вы
имеете, увеличивается (если вы находитесь в длинной пози-
ции) или уменьшается (если вы находитесь в короткой пози-
ции) в соответствии с безрисковой (гарантированной) ставкой
25%. Проценты начисляются па ту сумму денег, которая у вас
имеется к концу торгового года.
Ниже приведены схемы распределенных по врсмстги денеж-
ных платежей для каждого из трех рынков (рынка купонных
облигаций, рынка бескупонных облигаций и рынка наличных
денег).
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 1)
II ачало К онец К онец К онец
1 —го 1 — го 2—го 3—го
года года года года
Платежи
по купонам S20 $20 $20
II оминальная $100
стоимость
147
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 2)
IIа чало
1—го
года
Конец
1—го
года
Конец
2—го
года
II оминальна я
стоимость
Конец
3 — го
года
$100
СХЕМА НАЧИСЛЕНИЙ ПА РЫНКЕ НАЛИЧНЫХ ДЕНЕГ
II ачало 1—го года К о н е ч 1—го года 1 К он ец 2—го года К он е ц 3-го года
Со Начальный Ci(L25)+ + Сц C2(L25)+ +С26 С3(1.25) + +Сзб
капитал
Пусть Со — это начальная сумма денег, CL — сумма име-
ющихся у вас денег после окончания всех торговых операций
первого года. Су может быть как положительным, так и отри-
цательным. Си — сумма платежей но всем облигациям, кото-
рые у вас имеются к концу первого года. В нашем случае С14
равно количеству купонных облигаций, умноженному на $20.
Это число может быть отрицательным (если вы находитесь
в короткой позиции к концу первого года). 1.25 — это сумма
единицы и безрисковой процентной ставки.
Аналогичным образом интерпретируются 2-й и 3-й годы.
Отмстим, что C3j включает совокупную поминальную стои-
мость, которую вы получите (если находитесь в длинной по-
зиции) или заплатите (если находитесь в короткой позиции),
а также полученные (или заплаченные) платежи по купонам.
148
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы накопить по возможности боль-
шую сумму на рынке валичных денег. Финальная денежная
позиция в конце 3-го года определит заработанные вами очки.
ОЧКИ
Торговля цепными бумагами каждый рыночный год про-
исходит на наличные деньги. Торговая сессия состоит из не-
скольких (до 20) повторяющихся попыток, каждая из которых
в свою очередь состоит из трех рыночных лет. Если в конце по-
пытки (т. е. к концу 3-го года) у вас имеется $9999 или больше,
вам начислят 6 очков. Если в конце попытки сумма имеющих-
ся у вас денег равна пулю или меньше нуля, вам начислят
О очков. В любом другом случае ваши очки определяются по
формуле:
Очки = (Сумма денег в конце 3—го гоЭп/9999) + G.
5.2.2 Торговая сессия ВО2
НАЗНАЧЕНИЕ
Цель этого занятия состоит в том, чтобы познакомить вас
с принципом “строительных блоков”, который лежит в осно-
ве финансового конструирования. Сложные финансовые цеп-
ные бумаги могут трактоваться двояко: как единый контракт
или как портфель, состоящий из доступных “строительных
блоков” (более простых финансовых контрактов). Если от-
сутствует неопределенность, то оба вышеуказанных подхода
идентичны при совпадении потока платежей по сложному кон-
тракту и портфелю простых финансовых контрактов. Когда
мы говорим о совпадении потоков платежей, имеется в виду
совпадение размеров и времени каждого платежа.
149
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В данном случае имеется 1 рынка облигаций и рынок на-
личных денег. Па нервом рынке торгуют 10% купонными об-
лигациями, которые имеют номинальную стоимость $100 с по-
гашением через 3 года. Назовем такие облигации ценными бу-
магами 1. На трех остальных рынках торгуют бсскуноппыми
облигациями с номинальной стоимостью $100 и погашением
через 1, 2 и 3 года соответственно (будем называть их ценны-
ми бумагами 2, 3 и -I).
В течение любого рыночного года вы можете продавать
облигации, которыми нс владеете. Если вы продали облига-
ции, которыми нс владеете (заняли короткую позицию), то
все платежи, которые должны получать владельцы облига-
ций данного типа, должны быть обеспечены (оплачены) вами.
Эти платежи автоматически вычитаются из ваших денег в
конце каждого рыночного года и перечисляются па счет вла-
дельца облигаций.
Кроме того, вы можете занимать наличные деньги для по-
купки дополнительных облигаций. В конце каждого рыночно-
го года, ио перед тем, как начисляются платежи или выплачи-
вается номинальная стоимость, сумма денег, которую вы име-
ете, увеличивается (если вы находитесь в длинной позиции)
или уменьшается (если вы находитесь в короткой позиции) в
соответствии с безрисковой (гарантированной) ставкой, кото-
рая составляет 4% в первом рыночном году, 10% — во втором
году и 16% — в третьем году, т. с. в начале первого года
4% — это текущая процентная ставка, а 10% и 16% — буду-
щие процентные ставки. В любой торговый год у вас имеется
возможность занимать или размещать деньги.
Ниже приведены схемы распределенных по времени денеж-
ных платежей для каждого из пяти рынков (рынка купонных
облигаций, трех рынков бескупонных облигаций и рынка на-
личных денег).
150
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 1)
И а чал о Конец Конец Конец
1 — го 1-го 2—го 3—го
года года года года 1
Платежи
по купонам $10 $10 $10
11 оминальная $100
стоимость
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 2)
II а чало К о не ц Конец К он е ц
1—го 1 — го 2 —го 3-го
года года года го да
II оминальная $100 $0 $0
стоимость
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕННАЯ БУМАГА 3)
II а чал о Конец К онец Конец
1 — го 1 — го 2—го 3—го
года года года года
II оминальная $0 $100 $0
стоимость
151
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 1)
If а чало Конец Конец Коне ц
1—го 1 —го 2—го 3— го
года года года года 1
11 оминальна я $0 $0 $100
стоимость
СХЕМА НАЧИСЛЕНИЙ ПА РЫНКЕ НАЛИЧНЫХ ДЕНЕГ
][ ачало Конец Коне ц Конец
1 —го 1 — го 2 —го 3-го
года года года года
Со <71(1.01)4- С2(1Л0)+ С3(1Л6)+-
+Сщ ЧСгь + С”;и
И ачалъный
капитал
Пусть CQ — это начальная сумма денег, Сь — сумма име-
ющихся у вас денег после окончания всех торговых операций
первого года. Сь может быть как положительным, так и от-
рицательным (если вы заняли деньги на рынке).
— сумма платежей по всем облигациям, которые у вас
имеются к копи)’, первого года. В нашем случае С1Ь равно сум-
ме двух произведений. Первое — это количество купонных об-
лигаций, умноженное на $10, второе — количество однолетних
бсскупонпых облигаций, умноженное па их поминальную сто-
имость $100. Это число может быть отрицательным (если вы
находитесь в короткой позиции к концу первого года). 1.01 —
это сумма единицы и безрисковой процентной ставки для 1-го
года.
Аналогичным образом интерпретируются 2-й и 3-й годы.
152
Следует только заметить, что Сы включает совокупную поми-
нальную стоимость, которую вы получите (если находитесь в
длинной позиции) или заплатите (если находитесь в короткой
позиции), а также полученные (или заплаченные) платежи ио
купонам.
Цель торговли и схема начисления очков тс же, что и в
торговой сессии В01.
5.2.3 Торговая сессия ВОЗ
НАЗНАЧЕНИЕ
Эта торговая сессия предназначена для того, чтобы по-
знакомить вас с фьючерсным контрактом. Фьючерсный кон-
тракт расширяет допустимое множество финансовых “стро-
ительных блоков”. Как и прежде, сложные финансовые цен-
ные бумаги могут трактоваться двояко: либо как единый кон-
тракт, либо как набор, составленный из допустимого множе-
ства “строительных блоков”.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
Рассматривается ситуация, когда имеются -1 рынка обли-
гаций, 2 фьючерсных рынка и рынок наличных денег. Облига-
ция первого типа (ценная бумага 1) — это 10%-ная купонная
облигация с поминальной стоимостью $100 и погашением че-
рез 3 года. Три оставшиеся типа облигаций (ценные бумаги 2,
3 и 4) — это бсскупонные облигации, имеющие поминальную
стоимость $100 и погашение через 1,2 и 3 года соответственно.
Имеются 2 типа фьючерсных рынков. Каждый фьючерс-
ный контракт обязывает его владельца обменять бсскупоп-
пую облигацию со сроком погашения через год, отсчитывая
от расчетной даты, па деньги в заранее оговоренное время
расчета. На 1-м фьючерсном рынке расчеты производятся в
153
начале 2-го рыночного года (перед началом торговли): бсску-
понпыс облигации (цепная бумага 3) обмениваются на день-
ги. При заключении фьючерсного контракта (на первом году)
деньги по переходят из рук в руки. Па 2-м фьючерсном рын-
ке происходит торговля бсску полными облигациями (цепная
бумага -1). Дата исполнения фьючерсного контракта — конец
2-го или, что то же самое в данной постановке, начало 3-го ры-
ночного года, когда облигации обмениваются па деньги. Эти
фьючерсные контракты называются соответственно ценными
бумагами 5 и 6.
В течение любого рыночного года вы можете продавать
облигации, которыми не владеете. Если вы продали облига-
ции, которыми не владеете (заняли короткую позицию), то
все платежи, которые должны получать владельцы облига-
ций данного типа, должны быть обеспечены (оплачены) вами.
Эти платежи автоматически вычитаются из ваших денег в
конце каждого рыночного года и перечисляются на счет вла-
дельца облигаций.
Кроме того, вы можете занимать наличные деньги для по-
купки дополнительных облигаций. В конце каждого рыночно-
го года, по перед тем, как начисляются платежи или выплачи-
вается поминальная стоимость, сумма денег, которую вы име-
ете, увеличивается (если вы находитесь в длинной позиции)
или уменьшается (если вы находитесь в короткой позиции) в
соответствии с безрисковой (гарантированной) ставкой, кото-
рая составляет 4% в первом рыночном году, 10% — во втором
году и 16% — в третьем году. То есть в начале первого года
4% — это текущая процентная ставка, а 10% и 16% — буду-
щие процентные ставки. В любой торговый год у вас имеется
возможность занимать или размещать деньги.
Ниже приведены схемы распределенных по времени денеж-
ных платежей для каждого из семи рынков (рынка купон-
ных облигаций, трех рынков бескупонных облигаций, двух
фьючерсных рынков и рынка наличных денег).
154
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ЦЕННАЯ БУМАГА 1)
II а ч а л о Конец Конец
1 —го 1-го 2—го
года года года
Конец
3—го
года
Платежи
по купонам $10 $10 $10
Иоминальнах $100
стоимость
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 2)
II ачало Конец К онец К онец
1 — го 1 —го 2 —го 3—го
го да года года го да 1
Номинальная $100 $0 $0
стоимость
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 3)
II ачало К онец К онец Конец
1 —го 1 —го 2 —го 3—го
года года года года
II оминальная $0 $100 $0
стоимость
155
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППЫМ ОБЛИГАЦИЯМ
(ЦЕПНАЯ БУМАГА I)
Ца чало Конец Коне ц К онец
1 — го 1 — го 2—го 3-го
года года года 1 го да 1
IIоминальна я $0 $'о $100
стоимость
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО ФЬЮЧЕРСУ
ПА ЦЕПНУЮ БУМАГУ 3
(ЦЕПНАЯ БУМАГА 5)
/Начало
1 — го
года
К one ц
1 — го
года
Конец
2—го
года
Коне ц
3—го
года.
Дата
и спо л иени я
ф ьючерса
Ценная бумага 3
погашение $100
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО ФЬЮЧЕРСУ
ПА ЦЕПНУЮ БУМАГУ 1
(ЦЕННАЯ БУМАГА 6)
Цачало Конец Конец Конец
1—го 1 — го 2—го 3—го
года года года года
Д а т а Ценная бумага '
исполнения погашение $100
ф ьючерса
156
Исполнение одного фьючерсного контракта: фьючерсная
цена, выраженная в наличных деньгах, обменивается на одну
ценную бумагу. Первый фьючерсный контракт (цепная бума-
га 5) обменивается на ценную бумагу 3, второй (ценная бума-
га 6) — па ценную бумагу 1.
СХЕМА НАЧИСЛЕНИЙ ПА РЫПКЕ НАЛИЧНЫХ ДЕНЕГ
Начало
1 — го
года
Со
11 ачальный
капитал
Конец
1 — го
года
Конец
2—го
года
К онец
3 — го
года
С1(1.01)+
+Cij
С2(1.10)+
+C2j
С3(1.16) +
+ C3J
Пусть Со — это начальная сумма денег, С\ — сумма име-
ющихся у вас денег после окончания всех торговых операций
первого года. С\ может быть как положительным, так и о т-
рицательным (если вы заняли деньги на рынке).
Си — сумма платежей по всем облигациям, которые у
вас имеются к концу первого года, минус затраты па покуп-
ку (плюс доход от продажи) фьючерсных контрактов с датой
исполнения в конце первого года. 1.01 — это сумма единицы
и безрисковой процентной ставки для 1-го года. Аналогичным
образом интерпретируются 2-й и 3-й годы.
Цель торговли и схема начисления очков тс же, что и в
торговой сессии В01.
157
5.2.4 Торговая сессия ВО4
НАЗНАЧЕНИЕ
Эта торговая сессия предназначена для того, чтобы на-
учить вас так формировать портфель цепных бумаг, чтобы
защититься от изменения процентных ставок.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
Начальная позиция каждого трейдера в данной ситуации
определяет поток платежей в течение 4 лет. Эта позиция со-
стоит из обязательств, которыми нельзя торговать, и активов,
которые могут быть предметом торговли. В качестве активов
используются два типа финансовых ценных бумаг. Обязатель-
ства задаются в виде короткой позиции по бсску ионным обли-
гациям двух типов: облигации первого тина погашаются через
2 года, второго — через 3 года. Существует также рынок на-
личных денег.
В течение любого рыночного года вы можете продавать
цепные бумаги, которыми пс владеете. В этом случае мы бу-
дем использовать термин “короткая позиция”. Если вы прода-
ли облигации, которыми пс владеете (заняли короткую пози-
цию), то все платежи, которые должны получать владельцы
облигаций данного типа, должны быть обеспечены (оплачены)
вами. Эти платежи автоматически вычитаются из ваших де-
нег в конце каждого рыночного года и перечисляются па счет
владельца облигаций.
Кроме того, вы можете занимать наличные деньги для по-
купки дополнительных облигаций. В конце каждого рыночно-
го года, по перед тем, как начисляются платежи или выплачи-
вается номинальная стоимость, сумма денег, которую вы име-
ете, увеличивается (если вы находитесь в длинной позиции)
или уменьшается (если вы находитесь в короткой позиции)
в соответствии с безрисковой (гарантированной) ставкой для
данного торгового года. Проценты начисляются па ту сумму
денег, которая у вас имеется к концу торгового года.
158
Пижс перечислены возможные варианты последовательно-
сти процентных ставок. Вее они являются равновероятными.
Реализованная процентная ставка для первого года равна 25%,
а для трех оставшихся лет в каждой из возможных реализаций
процентные ставки держатся па одном уровне.
1-й год 2-й год 3-й год 4-й год
Реализованная Возможные ставки
ставка, % % для 2 — 4-го года, % %
25 5 5 5
25 15 15 15
25 25 25 25
25 35 35 35
25 45 45 45
РЕАЛИЗАЦИЯ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ
В данной торговой сессии торги происходят только один
рыночный год. В течение этого года известна процентная став-
ка для этого года, равная 25%, для остальных же трех лет
процентная ставка является стохастической. В конце перво-
го года становится известной процентная ставка для второго
рыночного года, которая, по нашему предположению, остает-
ся неизменной до конца 4-го года. Это упрощающее предпо-
ложение применяется при оценке позиции каждого трейдера к
концу первого рыночного года.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что в кон-
це первого рыночного года реализовалась следующая после-
довательность процентных ставок: 15%, 15%, 15% для 2-4-го
года. Это означает, что все будущие денежные потоки дис-
контируются с процентной ставкой 15% для оценки рыноч-
ной позиции к копну первого рыночного года. Например, 3-
лстпис бсскупонныс облигации будут оценены в $100/(1.15)2,
а 2-лстнис бсскупонныс облигации — в $100/(1.15).
159
Ниже приведены схемы распределенных по времени денеж-
ных платежей для каждого типа финансовых контрактов (тор-
гуемых и псторгусмых).
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ТОРГУЕМАЯ ЦЕПНАЯ БУМАГА I)
II ач ало Конец Конец К онец К о не ц
1—го 1—го 2—го 3—го 4 —го
года года года года года 1
$0 $160 $200 $250
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ТОРГУЕМАЯ ЦЕПНАЯ БУМАГА 2)
11 а чало Конец К о н е ц Конец К о не ц
1 — го 1 — го 2—го 3—го 4—го
года года года года года
$30 $100 $47 $0
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
(ПЕТОРГУЕМАЯ ЦЕПНАЯ БУМАГА 3)
II а чал о
1 — го
года
Конец
2—го
года
Конец
3—го
года
$100
$0
Конец
4—го
года
$0
160
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО БЕСКУПОППОЙ ОБЛИГАЦИИ
(1ТЕТОРГУЕМАЯ ЦЕПНАЯ БУМАГА 4)
II а ч а л о К онец Конец К онец Конец
1 —го 1—го 2—го 3-го 4 —го
года года года года года
80 80 8100 $0
СХЕМА НАЧИСЛЕНИЙ НА РЫНКЕ НАЛИЧНЫХ ДЕНЕГ
II ачало
1 —го года
Конец
1 —го года
Конец
4-го года
Со
II а ча ль ны й
капитал
С’1(1.25)+
рыночная-
ст оимостъ
портф елх
ценных бумаг
по текущим
про центным
ставкам
Снова папомним, что рынок будет функционировать толь-
ко в первом рыночном году. В конце первого года позиция каж-
дого трейдера будет оценена с использованием реализованного
значения процентной ставки. Это означает, что каждая пози-
ция оценивается в наличных деньгах, полученных из различ-
ных источников, к которым добавлена сегодняшняя стоимость
будущего денежного потока, дисконтированная с учетом реа-
лизованных значений процентной ставки.
Как и прежде, Со — это начальная сумма денег, С\ —
сумма имеющихся у вас денег после окончания всех торговых
операций первого года. Ct может быть как положительным,
так и отрицательным (если вы заняли деньги па рынке).
161
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы научиться так формировать
свою позицию к концу первого года, чтобы защититься от
изменений процентной ставки. На рынке будут присутство-
вать трейдеры двух типов. Трейдеры первого типа имеют
начальную короткую позицию (обязательство) по нсторгуе-
мой цепной бумаге 3, длинную позицию но ценной бумаге 1 и
наличные деньги. Трейдеры второго типа имеют начальную
короткую позицию (обязательство) ио иеторгуемой цепной бу-
маге 4, длинную позицию по цепной бумаге 2 и наличные день-
ги. Ваша позиция к копну первого рыночного года оценивается
с учетом реализованного значения процентной ставки для трех
оставшихся лет. Это в свою очередь определяет заработанные
вами очки при условии, что вы не нарушили описанные ниже
торговые пределы.
ОЧКИ
Каждый рыночный год происходит торговля ценными бу-
магами на наличные деньги. В данном случае одной попыткой
считается один рыночный год. Если к концу попытки ваша по-
зиция оценивается в $9999 или выше, вы получаете 8 очков.
Если же позиция оценивается в $5000 или ниже, у вас 0 очков.
В любом другом случае ваши очки исчисляются по формуле:
ОЧКИ = 4 + 4*
{Заключительная денежная оценка позиции — 5000)
* (9999 - 5000) ‘
Торговая сессия представляет собой серию независимых
попыток.
162
5.3 Модуль 2
5.3.1 Торговая сессия СА1
НАЗНАЧЕНИЕ
Па этом занятии вам предстоит торговать акциями. Цель
состоит в том, чтобы научиться управлять риском и доходно-
стью портфеля акций.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
Предположим, что будущие доходы каждой компании за-
висят от состояния экономики в текущем году. Начиная с те-
кущего года экономика может развиваться по десяти возмож-
ным сценариям, ранжированным от глубокого спада (который
характеризуется высоким уровнем безработицы и низким лич-
ным доходом) до подъема экономики (полная занятость и вы-
сокий личный доход). Аналитики детально исследовали общее
состояние экономики и специфические факторы, влияющие на
курсы акций отдельных фирм. Получен прогноз будущих кур-
сов акций:
Компания Сценарий Среднее
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 5 5 5 24 25 30 32 68 75 75 34.4
2 4 5 10 21 66 65 65 20 20 20 29.6
3 55 55 49 22 22 20 10 10 10 10 26.3
Все десять сценариев развития равновероятны, и в конце
года реализуется один из них.
В этой экономике существуют три рынка акций (акция 1
соответствует компании 1 и т.д.) и рынок наличных денег.
В отличие от предыдущих занятий, на этот раз вы пе мо-
жете продавать акции, которыми не владеете, т. е. короткая
163
полиция запрещена. Можно занимать деньги под гарантиро-
ванный процент и покупать дополнительные акции. В конце
каждого торгового года, по непосредственно перед тем, как
ваша позиция подвергнется рыночной оценке в соответствии
с реализованным сценарием, начисляются проценты (12%) на
имеющуюся у вас сумму денег. Если вы находились в короткой
позиции, т. е. у вас имелся долг, он становится еще больше.
НАЧАЛЬНЫЕ ЗАПАСЫ ТРЕЙДЕРОВ
Иа рынке существует 4 типа трейдеров, которые имеют
следующие начальные запасы акций и денег:
Компания 1 Компания 2 Компания 3 Деньги
Тип 1 316 24 52 -S8084
Тип 2 78 100 52 -S3354
Тип 3 78 24 210 -S5364
Тип 4 0 0 0 S4200
Частота появления на рынке трейдеров определенного ти-
па такова. Па каждого трейдера типа 1,2 и 3 приходится при-
мерно 3 трейдера типа 4, т. е. из каждых 6 трейдеров 3 имеют
тип 4 и по одному имеют тип 1, 2 и 3. В разных попытках вы
можете оказаться трейдером разного типа.
Ниже приведены схемы распределенных по времени денеж-
ных платежей на каждом из 4 рынков (3 рынка акций и рынок
наличных денег).
164
СХЕМА ПЛАТЕЖЕЙ ПО АКЦИЯМ (ЦЕПНЫЕ БУМАГИ 1, 2 и 3)
II ачало
1 — го года
Начальный
запас акций
Конец
1—го года
Окончательный запас
акций оценивается на
рынке в соответствии
с реализованным
сценарием
СХЕМА НАЧИСЛЕНИЙ ПА РЫНКЕ НАЛИЧНЫХ ДЕНЕГ
II ачало
1—го года
Со
Начальный
капитал
Конец
1—го года
Ci(1.12) + Cip
Как и прежде, Со — это начальная сумма денег, С\ —
сумма имеющихся у вас допет после окончания всех торговых
операций первого года. С\ может быть как положительным,
так и отрицательным (если вы заняли деньги па рынке). С]р —
это рыночная оценка вашего портфеля акций после реализации
одного из десяти сценариев.
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы научиться управлять риском и
доходностью портфеля акций за счет торговли в начале года.
Количество очков, которые вы заработали, определяется по
рыночной оценке вашей окончательной позиции следующим
образом.
Ваша фирма установила поощрительные контракты, раз-
работанные таким образом, чтобы управление ожидаемой
165
оценкой вашей позиции отвечало вашим собственным инте-
ресам.
Такой поощрительный контракт определяет ваш суммар-
ный торговый выигрыш с помощью большого числа независи-
мых “лотерей” с двумя возможными выплатами — $0 и $.20.
При большом числе независимых испытаний получается, что
чем больше вероятность выплаты $.20 в отдельном испыта-
нии, тем более вероятен более высокий суммарный выигрыш.
В результате, для того чтобы обеспечить себе как можгго боль-
ший выигрыш, вы должны управлять вероятностью выплаты
$.20 в каждой из лотерей.
Поощрительный контракт устроен так, что па вероят-
ность получить $.20 влияют ожидаемая оценка и вариация
вашей финальной позиции па рынке. Таким образом, увели-
чение ожидаемой оценки финальной позиции приводит к по-
вышению вероятности получить $.20, а увеличение вариации
оценки вашей финальной позиции приводит к уменьшению ве-
роятности получить $.20. Итак, чтобы выиграть побольше, вы
должны управлять как доходностью, так и риском формируе-
мого вами портфеля акций.
УЧЕБНЫЕ ОЧКИ
Чтобы попять детали поощрительного контракта, важно
разграничить период торговли до момента, когда происходит
оценка позиции по реализованному состоянию (ex ante), и пе-
риод, когда оценка произведена (ex post). Поощрительный
контракт разработан для того, чтобы оказать влияние на по-
ведение ex ante с помощью выплат ex post суммарного приза,
зависящего от оценки позиции.
Детально поощрительный контракт выглядит так:
1. В конце торгового периода стоимость вашего портфе-
ля переводится в рыночные деньги по курсу, зависящему от
реализованного события.
166
2. Полученный суммарный капитал преобразуется с помо-
щью таблиц 1 или 2 (в зависимости от вашего типа) в вашу
премиальную границу.
3. Случайным образом выбирается целое число в диапа-
зоне от 1 до 10000; выбор любого из чисел равновероятен.
Если ваша премиальная граница больше выбранного числа
либо равна ему, вам начисляется $.20; в противном случае вы
получаете $0.
4. Ваш суммарный выигрыш определяется 25-ю независи-
мыми повторами шага 3.
Следует заметить, что чем больше оценка вашего портфе-
ля акций, тем больше ваша премиальная граница и, следова-
тельно, тем больше у вас шансов выигрыша в “лотерею”. Хотя
премиальная граница и возрастает с ростом оценки портфеля
акций, однако скорость этого роста замедляется. Ниже приве-
ден пример, показывающий, что за счет этого свойства “штра-
фуется” вариация портфеля акций.
Для трейдеров типа 1,2 и 3 правило трансформации в про-
межуточные очки приведено в таблице 1 па странице 170, а для
трейдеров типа 4 — в таблице 2 па странице 171.
Пример
Сравним два следующих портфеля акций — Л и В. В
портфеле А нет акций, а имеется только $5000 наличных де-
нег. Портфель В характеризуется тем, что в конце года (до
того момента, когда стало известно реализованное значение
акций) в пяти состояниях экономики вы получите $1000, а в
пяти оставшихся состояниях — $9000. Поскольку все состо-
яния экономики равновероятны, оба портфеля акций имеют
одинаковую ожидаемую рыночную оцепку, равную $5000.
Из таблицы 1 легко получить, что для портфеля А ко-
личество промежуточных очков равно 7762 (77.62% шансов
заработать $.20 в каждой из 25 независимых лотерей). Для
портфеля В это число равно (1995 + 9994) + 0.5 = 5994.5 (т. е.
167
59.9% шансов заработать $.20 в каждой из 25 независимых
лотерей).
Заметим, что в течение торгового периода (ex ante) порт-
фель А дает больше шансов на выигрыш, несмотря на то,
что оба портфеля акций имеют одинаковую ожидаемую ры-
ночную оценку, поскольку портфель А имеет пулевую вариа-
цию, а портфель В — положительную.
Реализованный суммарный выигрыш (ex post) зависит от
двух важных факторов:
1) от рыночной оценки портфеля акций,
2) от исходов 25 независимых лотерей.
Первый фактор не влияет па портфель А, поскольку порт-
фель А оценивается всегда в $5000; в то же время первый
фактор влияет на портфель В, который может стоить либо
$9000, либо $1000.
Что касается второго фактора, то портфель А приносит
успех примерно в 77.6% случаев, так что ожидаемый суммар-
ный выигрыш будет $3.88. Суммарный же доход портфеля В
зависит от первого фактора. Если рыночная оценка портфе-
ля равна $9000, то суммарный выигрыш будет близок к $5
(99.9% шансов заработать 20 центов 25 раз). Если, однако,
рыночная оценка будет $1000, то суммарный выигрыш ока-
жется около $1 (25 попыток заработать 20 центов с вероятно-
стью 19.9%). Средний ожидаемый выигрыш портфеля В равен
.5 * $5 * .9994 4- .5 * $5 * .1995 = $3.00.
Итак, обобщая приведенное выше правило, можно сказать,
что чем больше вы имеете денег в конце попытки, тем боль-
ше ваш шанс заработать очки. Если вы заработали больше
9999, то вы в любом случае получите суммарный выигрыш
$5, если же количество промежуточных очков у вас отрица-
тельное, ваш шанс заработать очки равен пулю.
На рынках ФТС в конце каждой попытки находится реа-
лизация равномерно распределенной на отрезке от 1 до 10 000
168
случайной величины, и затем автоматически вычисляются
очки.
Обозначим через S — валичные деньги. Тогда формула
вычисления промежуточных очков (с округлением результата
до целого) для трейдеров типа 1, 2 и 3 имеет следующий вид:
(2.105031 t (S - 0.0000525S2),
а для трейдера типа 1 —
(1.282015 + (S — 0.00002252).
5.3.2 Торговая сессия СА2
НАЗНАЧЕНИЕ
Это занятие является продолжением предыдущего. Как и
прежде, цель состоит в управлении риском и доходностью.
Ограничением является отсутствие возможности формиро-
вать свои предложения на акции трех видов. Можно только
принимать предложения (покупать и продавать) но текущим
рыночным ценам (с нулевым спрэдом).
БИД АСК
Компания 1 28 28
К омпания 2 26 26
Компания 3 25 25
169
Таблица 1 для трейдеров типа 1, 2 и 3
Наличные деньги (S) Промежуточные очки Приращение
0 0 0
250 519 519
500 1025 506
750 1517 492
1000 1995 478
1250 2459 464
1500 2909 450
1750 3345 436
2000 3768 423
2250 4177 409
2500 4572 395
2750 4953 381
5000 5320 367
3250 5674 354
3500 6014 340
3750 6340 326
4000 6652 312
4250 6950 298
4500 7235 285
4750 7505 270
5000 7762 257
5250 8005 243
5500 8235 230
5750 8450 215
6000 8650 202
6250 8839 187
6500 9013 174
6750 9174 161
7000 9320 146
7250 9453 133
7500 9571 118
7750 9676 105
8000 9767 91
8250 9845 78
8500 9908 63
8750 9958 50
9000 9994 36
9250" 9999 5
9500 9999 0
9750 9999 0
10000 9999 0
170
Таблица 2 для трейдеров типа 4
Наличные деньги (S) Промежуточные очки Приращение
0 0 0
250 319 319
500 634 315
750 946 312
1000 1254 308
1250 1558 304
1500 1860 302
1750 2157 297
2000 2451 294
2250 2742 291
2500 3029 287
2750 3312 283
3000 3592 280
3250 3869 277
3500 4142 273
3750 4411 269
4000 4677 266
4250 4939 262
4500 5198 259
4750 5453 255
5000 5705 252
5250 5953 248
5500 6198 245
5750 6439 241
6000 6677 238
6250 6911 234
6500 7141 230
6750 7369 228
7000 7592 223
7250 7812 220
7500 8029 217
7750 8242 213
8000 8451 209
8250 8657 206
8500 8859 202
8750 9058 199
9000 9254 196
9250 9445 191
9500 9634 189
9750 9818 184
10000 9999 181
171
5.3.3 Торговая сессия САЗ
Торговая сессия САЗ является модификацией торговой сессии
СА1. Как и прежде, цель состоит в управлении риском и до-
ходностью, по если в СА1 торговцы штрафовались за риск,
то здесь, наоборот, торговцы поощряются к риску. Такое от-
ношение к риску стимулируется способом подсчета очков, ко-
торый задастся приводимыми ниже таблицами и иллюстри-
руется примером. Другое отличие заключается в том, что в
САЗ разрешена короткая позиция по акциям.
Пример
Сравним два следующих портфеля акций — А и В. В
портфеле А пот акций, а имеется только $5000 наличных де-
нег. Портфель В характеризуется том, что в конце года (до
того момента, когда стало известно реализованное значение
акций) в пяти состояниях экономики вы получите $1000, а в
пяти оставшихся состояниях — $9000. Поскольку все состо-
яния экономики равновероятны, оба портфеля акций имеют
одинаковую ожидаемую рыночную оценку, равную $5000.
Из таблицы 1 легко получить, что для портфеля А количе-
ство промежуточных очков равно 1139 (-11.39% шансов зарабо-
тать $.20 в каждой из 25 независимых лотерей). Для портфеля
В это число равно (690 + 8690) + 0.5 = 4690 (т. с. 46.9% шансов
заработать $.20 в каждой из 25 независимых лотерей).
Заметим, что в течение торгового периода (ex ante) порт-
фель В даст больше шансов па выигрыш, несмотря на то,
что оба портфеля акций имеют одинаковую ожидаемую ры-
ночную оценку, поскольку портфель Л имеет пулевую вариа-
цию, а портфель В — положительную.
Реализованный суммарный выигрыш (ex post) зависит от
двух важных факторов:
1) от рыночной оценки портфеля акций,
2) от исходов 25 независимых лотерей.
172
Первый фактор пе влияет па портфель А, поскольку порт-
фель Л оценивается всегда в $5000; в то же время первый
фактор влияет на портфель В, который может стоить либо
$9000, либо $1000.
Что касается второго фактора, то портфель А приносит
успех примерно в 41.4% случаев, так что ожидаемый суммар-
ный выигрыш будет $2.07. Суммарный же доход портфеля В
зависит от первого фактора. Если рыночная оценка портфе-
ля равна $9000, то суммарный выигрыш будет около $4.35
(86.9% шансов заработать 20 центов 25 раз). Если, однако,
рыночная оценка будет $1000, то суммарный выигрыш ока-
жется около $0.34 (25 попыток заработать 20 центов с веро-
ятностью 6.9%). Средний ожидаемый выигрыш портфеля В
равен .5 + $5 + .869 + .5 + $5 + .069 = $2.34.
Итак, обобщая приведенное выше правило, можно сказа ть,
что чем больше вы имеете денег в конце попытки, тем боль-
ше ваш шанс заработать очки. Если вы заработали больше
9999, то вы в любом случае получите суммарный выигрыш
$5, если же количество промежуточных очков у вас отрица-
тельное, ваш шанс заработать очки равен пулю.
Па рынках ФТС в конце каждой попытки находится реа-
лизация равномерно распределенной на отрезке от 1 до 10 000
случайной величины и затем автоматически вычисляются
очки.
Обозначим через S — наличные деньги. Тогда формула
вычисления промежуточных очков (с округлением результата
до целого) для трейдеров типа 1, 2 и 3 имеет следующий вид:
[(0.6557603 * (5 + 0.000052552)],
а для трейдера типа 4 —
[(0.3125215 * (5 + 0.0002252)].
173
Таблица 1 для трейдеров типа 1, 2 и 3
Наличные деньги (S) Промежуточные очки Приращение
0 0 0
250 166 166
500 336 170
750 511 175
1000 690 179
1250 873 183
1500 1061 188
1750 1253 192
2000 1119 196
2250 1650 201
2500 1855 205
2750 2064 209
3000 2277 213
3250 2495 218
3500 2717 222
3750 2943 226
1000 3174 231
4250 3409 235
4500 3648 239
4750 3892 214
5000 4139 247
5250 4392 253
5500 4648 256
5750 4909 261
6000 5174 265
6250 5443 269
6500 5717 274
6750 5995 278
7000 6277 282
7250 6564 287
7500 6855 291
7750 7150 295
8000 7449 299
8250 7753 304
8500 8061 308
8750 8374 313
9000 8690 316
9250 9011 321
9500 9337 326
9750 9666 329
10000 9999 333
174
Таблица 2 для трейдеров типа 4
Наличные деньги (S) Промежуточные очки Приращение
0 0 0
250 82 82
500 173 91
750 273 100
1000 381 108
1250 498 117
1500 623 125
1750 757 134
2000 900 143
2250 1051 151
2500 1211 160
2750 1379 168
3000 1556 177
3250 1742 186
3500 1936 194
3750 2139 203
4000 2350 211
4250 2570 220
4500 2799 229
4750 3036 237
5000 3281 245
5250 3536 255
5500 3799 263
5750 4070 271
6000 4350 280
6250 4639 289
6500 4936 297
6750 5242 306
7000 5557 315
7250 5880 323
7500 6211 331
7750 6552 341
8000 6900 348
8250 7258 358
8500 7624 366
8750 7999 375
9000 8382 383
9250 8774 392
9500 9174 400
9750 9583 409
10000 9999 416
175
5.4 Модуль 3
5.4.1 Торговая сессия ОР1
НАЗНАЧЕНИЕ
На этом занятии вы познакомитесь с основами теории цепы
на опцион, а также узнаете, каким соотношением связаны це-
пы опционов па покупку и продажу. Вывод этого соотношения
базируется на применении арбитражных стратегий.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В рассматриваемой ситуации существует 4 рынка, кото-
рые открыты для торговли в течение одного месяца. На
первом рынке торгуют акциями. Цепы па этом рынке зада-
ны извне, а па грех остальных рынках цепы определяются
торговой активностью участников ФТС. В конце месяца после
окончания торговли цепа акций изменяется. С вероятностью
р цена увеличивается (умножается па величину и > 1), а с
вероятностью 1 — р — уменьшается (умножается па величи-
ну d < 1). Значения и и d подобраны так, чтобы для одного
месяца (А/) ожидаемый рост цепы акции равнялся рЛ1, а сто
дисперсия была равна ст2Д/.
Предположим, что характеристики доходности таковы:
Изменчивость (ст) 240% в год
Текущая цена акции $20
Средний темп роста (/т) 12% в год
Единица времени 1 месяц (0.08333 года)
Переменные и, d и р подобраны так, что ожидаемый рост
цепы акции за один месяц равен 0.12/12, а его изменчивость
(т. е. стандартное отклонение) доходности равна 2.40/12. Та-
ким образом:
и = е2Л0/УГг. d = 1/и. р = (е0.12/12 _ _ dy
176
Нетрудно проверить, что и = 2.0, d = 0.5, а вероятность
р= 0.31.
ФИНАНСОВЫЕ КОНТРАКТЫ
В конце торгового периода па первом рыпт:с происходит пе-
реоценка акций в соответствии с реализацией некоторой слу-
чайной величины. С вероятностью р цена увеличивается, а
с вероятностью 1 — р — уменьшается. Гсализация случайной
величины становится известной после закрытия ФТС рынка.
Па втором рынке торгуют безрисковыми облигациями, ио
которым в конце торгового периода выплачивается $101, не-
зависимо от того, как изменится курс акций.
На третьем и четвертом рынке торгуют европейскими оп-
ционами па исходные акции. Опцион па продажу называется
пут-опционом, а опцион на покупку — колл-опционом. Це-
па исполнения каждого опциона равна $25, срок — 1 месяц.
Окончательный платеж по каждому опциону зависит от цепы
акции, которая становится известной после окончания торгов
па рынках ФТС.
Окончательные значения:
Опцион на покупку — шах(20 * (и или d) — 25,0),
Опцион на продажу -- шах(25 — 20 * (и или </),0).
Опционы не могут быть исполнены во время торгового пе-
риода, в случае их выгодности они автоматически исполня-
ются в конце периода.
ВОЗМОЖНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НА РЫНКЕ
Па рынке акций вы нс можете выставлять свои предло-
жения. Вам позволено лишь покупать и продавать акции по
текущей цепе $20.
На рынках 2-4 вы можете делать свои предложения и при-
нимать предложения других. Цепы на этих рынках определя-
ются только торговой активностью трейдеров.
177
Как трейдеру вам разрешается короткая позиция по цеп-
ным бумагам. Можно также брать деньги взаймы под безрис-
ковый процент для покупки цепных бумаг. В конце периода
па имеющиеся у вас деньги начисляется безрисковый процент,
исходя из 12% годовых.
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы к копну периода накопить по
возможности большую сумму денег. По этой сумме начисля-
ются очки.
ОЧКИ
В течение торгового периода происходит торговля ценны-
ми бумагами, с использованием рыночных денег. В данном
случае одна попытка совпадает с одним торговым периодом.
Если в конце попытки вы накопили $9999 или больше, тогда
вы заработали 4 очка. Если же ваш выигрыш равен $0 или
меньше, количество заработанных вами очков равно 0. В лю-
бом другом случае ваши очки определяются по формуле:
О ЧК И = (Сумма денег в конце пери ода/9999) + 4.
5.4.2 Торговая сессия ОР2
НАЗНАЧЕНИЕ
Теория, изложенная на предыдущем занятии, обобщается
па случай рынков с несколькими периодами.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В рассматриваемой ситуации существует 4 рынка, кото-
рые открыты для торговли в течение двух месяцев. На пер-
вом рынке торгуют акциями. Цепы на этом рынке заданы из-
вне, а на трех остальных рынках цепы определяются торговой
активностью участников ФТС. В копце месяца после оконча-
ния торговли происходит переоценка акций. С вероятностью
178
р цепа увеличивается (умножается па величину и > 1), а с
вероятностью 1 — р —уменьшается (умножается па величи-
ну d < 1). Значения и и d подобраны так, чтобы для одного
месяца (Д1) ожидаемая доходность акции равнялась //А/, а
вариация доходности была равна ст2Д1.
Предположим, что характеристики доходности таковы:
Изменчивость (ст) 240% в год
Текущая цена акции $20
Средний темп роста (//) 12% в год
Единица времени 1 месяц (0.08333 года)
Переменные u, d и р подобраны так, что ожидаемый рост цепы
акции за один месяц равсп 0.12/12, а его изменчивость (т. с.
стандартное отклонение) равна 2.40/12. Таким образом:
U = е2.40/Л2. d = {ju. р = (е0.12/12 _
Нетрудно проверить, что и = 2.0, d — 0.5, а вероятность
р = 0.34.
В результате курс акций в конце второго торгового
периода может принимать одно из четырех возможных
значений: Suu, Sud, Sdu, Sdd, где S — $20.
Трейдеры могут продавать и покупать акции только по су-
ществующим текущим цепам. Для первого периода — это $20,
а для второго периода текущие цепы зависят от реализации
случайной величины в конце первого периода перед открыти-
ем второго, т. с. это либо $20и, либо $20<£. После закрытия
второго торгового периода реализуется случайная величина,
независимая от первой и вновь по этой реализации происхо-
дит переоценка курса акций в соответствии с одной из четы-
рех возможностей.
179
ДРУГИЕ ФИНАНСОВЫЕ КОНТРАКТЫ
Па втором рынке торгуют безрисковыми облигациями, по
которым в конце второго торгового периода выплачивается
$102, независимо от того, как изменится курс акций.
На третьем и четвертом рынках торгуют американски-
ми опционами на исходные акции. Опцион па продажу назы-
вается пут-опционом, а опцион па покупку — колл-опционом.
Цепа исполнения каждого опциона равна $25, срок — 2 месяца.
Окончательный платеж по каждому опциону зависит от цепы
акции, которая становится известной после окончания торгов
на рынках ФТС.
Окончательные значения:
Опцион на покупку = max(20 * (uu,ud,du или dd) — 25,0),
Опцион на продажу = тах(25 — 20 * (uu,ud,du или cZcZ), 0).
Опционы могут быть исполнены во время торгового пери-
ода; в случае их выгодности они автоматически исполняются
в конце периода.
Возможные курсы акций в конце второго торгового перио-
да— Suu, Sud, Sdu, Sdd, где S = $20.
Если в конце первого торгового периода произошло повы-
шение курса акций, то это событие обозначается через “у”.
Понижение курса акций обозначается через “z”.
ВОЗМОЖНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НА РЫНКЕ
На рынке акций вы не можете выставлять свои предло-
жения. Вам позволено лишь покупать и продавать акции по
текущей цепе, которая в первом периоде равна $20, а во втором
периоде — либо $20н, либо $20</. Это означает, что в течение
второго торгового периода вы можете покупать и продавать
акции или по $40, или по $10.
На рынках 2 — 4 вы можете делать свои предложения и
принимать предложения других. Цепы на этих рынках опре-
деляются только торговой активностью трейдеров.
180
Как трейдеру вам разрешается короткая позиция ио цеп-
ным бумагам. Можно также брать деньги взаймы под безрис-
ковый процент для покупки ценных бумаг. В конце периода
па имеющиеся у вас деньги начисляется безрисковый процент,
исходя из 12% годовых.
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы к концу периода накопить по
возможности большую сумму денег. По этой сумме начисля-
ются очки.
ОЧКИ
В течение торгового периода происходит торговля цепны-
ми бумагами с использованием рыночных денег. В данном слу-
чае одна попытка совпадает с одним торговым периодом. Если
в конце попытки вы накопили $9999 или больше, тогда вы за-
работали -1 очка. Если же ваш выигрыш равен $0 или меньше,
количество заработанных вами очков равно 0. В любом другом
случае ваши очки определяются по формуле:
О ЧКИ = (Сумма денег в конце периода/9999) + 4.
5.4.3 Торговая сессия ОРЗ
НАЗНАЧЕНИЕ
Па этом занятии задача о цепах опционов рассматривается
с точки зрения надписатсля (продавца) опционов, который в
интересах клиента стремится зафиксировать потенциальный
доход от продажи опционов при наличии риска.
Данная торговая сессия знакомит с принципами дельта-
хеджирования.
181
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
Четыре рынка Финансовой Торговой Системы открыты
для торговли в течение трех месяцев. Па первом рынке торгу-
ют акциями. Цены на этом рынке заданы извне. В конце меся-
ца после окончания торговли происходит переоценка акций. С
вероятностью р цепа увеличивается (умножается па величин}’
и > 1), а с вероятностью 1 — р — уменьшается (умножается на
величину d < 1). Значения и и d подобраны так, чтобы для од-
ного месяца (Д/) ожидаемая доходность акции равнялась //Д /,
а вариация доходности была равна ст2Д/.
Предположим, что характеристики доходности таковы:
И зменчивостъ (ст) 30% в год
Текущая цена акции $400
Средний темп роста (р) 12% в год
Единица времени 1 месяц (0.08333 года)
Переменные u, d и р подобраны так, что ожидаемый рост
цепы акции за один месяц равен 0.12/12, а его изменчивость
(т. е. стандартное отклонение) равна 0.30/12. Таким образом:
Н = e°'3°/vT2. d = ]/к. р = (е0.12/12 _
Нетрудно проверить, что и = 1.0901, d = 0.917, а вероят-
ность р = 0.536.
В результате курс акций в конце третьего торгового пе-
риода может принимать одно из восьми возможных значе-
ний: Suuu, Suud, Sudu, Sudd, Sduu, Sdud, Sddu, Sddd,
где S = $400.
Трейдеры могут продавать и покупать акции только по
существующим текущим цепам. Для первого периода — это
$400, а для второго и третьего периодов текущие цепы зави-
сят от реализации случайной величины в конце предыдущего
182
периода, по перед открытием следующего, т. е. цепа, предыду-
щего периода с вероятностью р умножается па коэффициент
и, а с вероятностью 1— р — на коэффициент d. После закрытия
третьего торгового периода все акции учитываются по цепе,
сложившейся после реализации трех независимых случайных
событий, т. е. по цепе S X Д, где Д — произведение трех ре-
ализовавшихся коэффициентов, каждый из которых равен и
или d.
ФИНАНСОВЫЕ КОНТРАКТЫ
Па втором рынке торгуют безрисковыми облигациями, по
которым в конце третьего торгового периода выплачивается
$103, независимо от того, как изменится курс акций.
Па третьем и четвертом рынках торгуют европейскими
колл- и пут-опциопами па исходные акции. Цепа исполнения
каждого опциона равна $410, срок — 3 месяца. Окончательный
платеж по каждому опциону зависит от цепы акции, которая
становится известной после окончания торгов на рынках ФТС.
Окончательные значения:
Опцион на покупку = max(400 X Д — 410,0),
Опцион на продажу = тах(410 — 400 X Д,0).
Опционы в случае их выгодности автоматически исполня-
ются в конце срока их действия.
Возможные курсы акций в конце третьего торгового пери-
ода —• Suuu, Suud, Sudu, Sudd, Sduu, Sdud, Sddu, Sddd.
Если в конце торгового периода произошло повышение кур-
са акций, то это событие обозначается через “у”. Понижение
курса акций обозначается через “я”.
НАЧАЛЬНЫЕ ПОЗИЦИИ ТРЕЙДЕРОВ
Ваша задача как трейдера — управлять изменением ва-
шей позиции под воздействием случайных факторов (дельта-
хеджирование). Существует два типа начальных позиций
183
трейдеров, что отражает различные действия, предпринятые
вашей фирмой при торговле опционами. Для трейдеров ти-
па А предусмотрена короткая позиция в колл-опциопах, а для
трейдеров типа В — в пут-опционах.
Тип 1 Л аличныс Колл 410 Пут 410 Начальная позиция $32 854 -1 220 0
Тип 2 Наличные Колл 410 П ут 410 Начальная позиция $30 030 0 -1 210
Потенциальный “доход” в каждой позиции связан с тем,
что опционы были проданы клиентам по цепам, слегка пре-
вышающим теоретические цепы. В обоих случаях этот доход
составляет примерно $600. Ваша цель — не упустить этот
доход.
ВОЗМОЖНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НА РЫНКЕ
Па рынке акций вы не можете выставлять свои предло-
жения. Вам позволено лишь покупать и продавать акции по
текущей цепе, которая в первом периоде равна $ 100, а во вто-
ром периоде — либо $ 100м, либо $400</, и т.д. Это означает,
что в течение второго торгового периода вы можете покупать
и продавать акции или по $436, или по $367, в течение тре-
тьего — по $475, по $400 либо по $337.
Па рынке 2 вы можете делать свои предложения и прини-
мать предложения других. Цепы па этих рынках определяют-
ся только торговой активностью трейдеров.
Па рынках 3 и 4 торговля нс разрешена.
184
Смысл вашей торговли состоит в управлении ценовым рис-
ком вашей начальной позиции по опционам посредством тор-
говли на рынках акций, безрисковых облигаций и наличных
денег.
Как трейдеру вам разрешается короткая позиция по ак-
циям и облигациям. Можно также брать деньги взаймы под
безрисковый процент для покупки цепных бумаг. В конце пе-
риода на имеющиеся у вас деньги начисляется безрисковый
процент, исходя из 12% годовых.
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в том, чтобы к концу периода накопить по
возможности большую сумму денег. По этой сумме начисля-
ются очки.
очки
В течение торгового периода происходит торговля ценны-
ми бумагами на рыночные деньги. Три торговых периода со-
ставляют одну попытку. Если в конце попытки вы накопили
$500, то вы заработали 8 очков. Если же ваш выигрыш менее
$500, количество заработанных вами очков равно 0. При вы-
игрыше от $500 до $1000 ваши очки определяются по формуле:
ОЧКИ 8 + СУмма денег в конце периода — $500
500
Выигрыш $1000 и более даст в любом случае максимальное
количество очков — 9.
5.5 Модуль 4
5.5.1 Торговая сессия RE1
НАЗНАЧЕНИЕ
Данное упражнение знакомит трейдеров FTS с гипотезой
об эффективности рынка. Каждый трейдер обеспечивается
185
некоторой приватной информацией относительно конкретной
компании. Эта приватная информация может быть различной
для разных трейдеров, по никогда нс бывает неверной.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В рассматриваемой экономике на два торговых года от-
крыты рынки акций двух промышленных фирм АВС и CRA.
Каждая из фирм относится к индустрии, переживающей упа-
док за счет технологического прорыва в смежных областях.
В результате обе фирмы сворачивают свою деятельность, и
без того ограниченную соответствующими географическими
регионами. Частью этого процесса являются попытки фирм
проводить жесткую политику сокращения затрат, включаю-
щую пересмотр трудовых соглашений.
Дивидендная политика фирм и курс акций зависят для
каждой из фирм от состояний, происходящих в их локальной
экономике. ЛВС рассматривает возможность трех равноверо-
ятных состояний производства и спроса в каждый период,
CRA — четырех равновероятных состояний производства и
спроса в каждый период. Поскольку фирмы действуют в уда-
ленных друг от друга регионах, эти состояния, а следователь-
но, и выплачиваемые каждой из фирм дивиденды независимы.
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ состояния
Состояния для АВС
Код
Очень низкий спрос, забастовки и высокие затраты х
Очень низкий спрос, некоторое снижение затрат у
Низкий спрос, успешное снижение затрат z
186
Состояния для CR.A
Код
Очень низкий спрос, забастовки и высокие затраты ш
Очень низкий спрос, некоторое снижение затрат х
Низкий спрос, некоторое снижение затрат у
Низкий спрос, успешное снижение затрат z
ФИНАНСОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Приведенная ниже информация, связанная с возможными
состояниями, является сводным результатом как планируемой
дивидендной политики на конец года 1, так и прогнозов экс-
пертов относительно цен акций фирм в конце года 2. Диви-
денды па акции выплачиваются в конце года 1 (в рыночных
деньгах). Допускается как заем денег под пулевой безриско-
вый процент, так и короткая позиция по акциям. Если вы на-
ходитесь в короткой позиции к концу года 1, обязательства по
дивидендам будут вычтены из вашего запаса денег, с тем что-
бы покрыть короткую позицию. В конце года 2 ваше состояние
оценивается по будущим ценам, реализуемым после закрытия
второго торгового периода.
Корпорация АВС
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цена акции, если состояние в году 2 равно
X У Z
X 0 0 0 12
У 12 0 12 24
Z 24 12 24 24
187
Корпорация CRA
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цепа акции, если состояние в году 2 равно
W ИЛИ X У Z
W 0 8 12 18
X 12 8 12 18
У 12 8 12 18
Z 21 8 12 18
ПРИВАТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
В начале года 1 каждый трейдер получает приватную ин-
формацию относительно локальной экономики в форме невоз-
можности некоторых состояний. Папримср, трейдер может по-
лучить информацию о фирме CRA в форме “не z” для года 1
и “не для года 2. Эта информация определяет, что фирма
CRA не попадет в состояние z в год 1 и пс попадет в состояние
у в год 2.
В конце каждого года, после завершения торгового перио-
да, реализованное состояние становится известным и опреде-
ляются соответствующие показатели. Папримср, если фирма
CRA оказалась в состоянии у в год 1, то дивиденды будут вы-
плачиваться из расчета 12 па акцию. Если далее в год 2 фирма
CRA окажется в состоянии г, то оценка акций фирмы будет
производиться из расчета 18 за акцию.
ЦЕЛЬ ТОРГОВЛИ
Цель состоит в управлении ожидаемым значением капита-
ла. Значение капитала в финальной позиции (после пересчета
стоимости акций но реализованному курсу) определит ваши
выигрыши следующим образом.
Ваша фирма применяет схему премирования, разработан-
ную таким образом, чтобы управление ожидаемой оценкой ва-
шей позиции отвечало бы вашим собственным интересам.
188
Эта схема премирования определяет ваш суммарный тор-
говый выигрыш с помощью большого числа независимых “ло-
терей” с двумя возможными выплатами — $0 и $.20. При
большом числе независимых испытаний получается, что чем
больше вероятность выплаты $.20 в отдельном испытании,
тем более вероятен более высокий суммарный выигрыш. В
результате, для того чтобы обеспечить себе как можно боль-
ший выигрыш, вы должны управлять вероятностью выплаты
$.20 в каждой из лотерей.
Схема премирования устроена так, что па вероятность по-
лучить $.20 влияет только ожидаемая оценка вашей финаль-
ной позиции па рынке. Таким образом, увеличение ожидаемой
оценки финальной позиции приводит к повышению вероятно-
сти получить $.20. Дисперсия оценки вашей финальной пози-
ции не влияет па вероятности исходов лотереи.
УЧЕБНЫЕ ОЧКИ
Детально поощрительный контракт выглядит так:
1. В конце торгового периода стоимость вашего портфе-
ля переводится в рыночные деньги по курсу, зависящему от
реализованного состояния.
2. Полученный суммарный капитал служит вашей преми-
альной границей.
3. Случайным образом выбирается целое число в диапа-
зоне от 1 до 10000; выбор любого из чисел равновероятен.
Если ваша премиальная граница больше выбранного числа
либо равна ему, вам начисляется $.20; в противном случае вы
получаете $0.
4. Ваш суммарный выигрыш определяется 25-ю независи-
мыми повторами шага 3.
В результате ваш максимальный выигрыш может соста-
вить $5, минимальный — $0. Любые две позиции с одинаковы-
ми ожидаемыми оценками, по различными дисперсиями при-
водят к одинаковым вероятностям получения премии.
189
5.5.2 Торговая сессия RE2
НАЗНАЧЕНИЕ
У каждого трейдера имеется своя информация о некотором
событии, существенно влияющем на рынок. Показывается, как
рынок способствует распространению информации.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В течение двух торговых лет производится торговля ак-
циями трех фирм. Курс акций и дивидендная политика каж-
дой фирмы зависят от успеха или неуспеха каждой фирмы в
попытке выиграть конкурс контрактов на поставку в начале
каждого года. Фирма 1 конкурирует па рынках, отличных от
тех, на которых действуют фирмы 2 и 3. Фирмы 2 и 3 конку-
рируют друг с другом за одни и тс же контракты па поставку.
В результате успех фирмы 2 означает поражение фирмы 3 и
наоборот. В конце первого года каждая фирма объявляет и
платит дивиденды, которые соответствуют сс успешности. В
конце второго года позиция каждого трейдера оценивается па
рынке в соответствии с реализовавшейся в этот момент ценой
акции.
Дивидендная политика фирм и курс акций зависят для ка-
ждой из фирм от успеха в получении контрактов. Возможные
исходы обозначены как “z”, “у” и “z” в соответствии с при-
веденными ниже таблицами.
Фирма 1
Код
Неудача, с получением контракте в х
Относительный успех с получением контрактов у
Явный успех с получением контрактов z
190
Фирма 2 Код
Неудача с получением контрактов х
Относительный успех с получением контр акта в у
Явный успех с получением контрактов z
Фирма 3 Код
Явный успех с получением контракте в х
Относительный успех с получением контрактов у
Неудача с получением контрактов z
ФИНАНСОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Приведенная ниже информация, связанная с возможными
событиями, является сводным результатом планируемой ди-
видендной политики па конец года 1 и прогнозов экспертов
относительно цеп акций фирм в конце года 2. Дивиденды па
акции выплачиваются в конце года 1 (в рыночных деньгах).
Допускаются заем денег под пулевой безрисковый процент и
короткая позиция по акциям. Если вы находитесь в короткой
позиции к концу года 1, обязательства по дивидендам будут
вычтены из вашего запаса денег, с тем чтобы покрыть корот-
кую позицию. В конце года 2 ваше состояние оценивается по
будущим цепам, реализуемым после закрытия второго торго-
вого периода.
Прогнозы экспертов для Фирмы 1
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цепа акции, если состояние в году 2 равно
X У Z
X 0 50 50 50
У 12 50 100 150
Z 24 50 150 150
191
Прогнозы экспертов для Фирмы 2
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цена акции, если состояние в году 2 равно
X У Z
X 0 0 50 100
У 15 0 75 150
Z 30 50 100 150
Прогнозы экспертов для Фирмы 3
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цена акции, если состояние в году 2 равно
X У Z
X 30 150 100 50
У 15 150 75 0
Z о - 100 50 0
ПРИВАТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
В начале года 1 каждый трейдер получает приватную ин-
формацию относительно локальной экономики в форме невоз-
можности некоторых событий. Папримср, трейдер может по-
лучить информацию о фирме 1 в форме “нс z" для года 1 и
“нс у” для года 2. Эта информация определяет, что с фирмой
1 нс произойдет событие z в год 1 и не произойдет событие у
в год 2.
192
В конце каждого года, после завершения торгового пери-
ода, реализованное событие становится известным, и опре-
деляются соответствующие показатели. Например, если для
фирмы 2 реализовалось событие у в год 1, то дивиденды бу-
дут выплачиваться из распета 15 на акцию. Если, далее, в
год 2 для фирмы 2 реализовалось событие z, то оценка акций
фирмы будет производиться из расчета 150 за акцию.
Цель торговли и схема начисления очков тс же, что и в
торговой сессии RE1.
5.5.3 Торговая сессия RE3
НАЗНАЧЕНИЕ
Рассматривается рынок, действующий в течение некото-
рого периода времени. За это время происходят два важных
события, о которых у разных трейдеров имеется различная
информация. Кроме того, дополнительные возможности для
формирования торговых стратегий даст использование рын-
ков опционов.
Базовые концепции, относящиеся к данной торговой сес-
сии: назначение цеп опционов, эффективность рынка, арби-
траж, опционные торговые стратегии.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ
В рассматриваемой ситуации существует 4 рынка, кото-
рые открыты для торговли в течение двух торговых перио-
дов. Па первых двух рынках торгуют акциями, а па третьем
и четвертом — опционами на продажу и опционами па покуп-
ку акций первого типа. Акции, которыми торгуют на первых
двух рынках, выпущены фирмами, которые территориально
расположены в разных местах. Курс акций каждой фирмы
193
зависит от того, удастся ли фирме заключить военные кон-
тракты. Заключение этих контрактов происходит в два тура.
Контракты второго тура более значимые. Отсутствие кон-
трактов ставит фирмы па грань банкротства. Правительство,
размещающее военные заказы, рассматривает регионы, в ко-
торых расположены фирмы, независимо друг от друга, следо-
вательно, независимыми будут и реализации случайных вели-
чии для каждой фирмы. В каждом периоде различные пакеты
контрактов будем обозначать через “z, у и z”.
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ СОБЫТИЯ
События для фирм 1 и 2 Код
Год 1
Военные контракты не заключены х
Возобновлены существующие годичные контр акты у
В озобновлены существующие годичные контр акты
и заключены новые годичные контракты z
Год 2
Военных контрактов нет х
Существующие контракты продлены
на длительный срок у
Существующие контракты продлены
на длительный срок и заключены новые
долгосрочные контракты z
ФИНАНСОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Приведенная ниже информация, связанная с возможными
событиями, является сводным результатом как планируемой
дивидендной политики на конец года 1, так и прогнозов экс-
пертов относительно цеп акций фирм в конце года 2. Диви-
денды на акции в конце года 1 пе выплачиваются. Допуска-
ется как заем денег под нулевой безрисковый процент, так и
194
короткая позиция по акциям. В конце года 2 ваше состояние
оценивается по будущим цепам, реализуемым после закрытия
второго торгового периода.
Прогнозы экспертов для Фирмы 1 и 2
Год 1 Состояние Дивиденды на акцию Год 1 Будущая цена акции, если состояние в году 2 равно
х У Z
X 0 0 20 40
У 0 0 25 45
Z 0 0 35 G0
ПРИВАТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Из частных источников вы можете получить некоторую
информацию раньше ее официального объявления. Другие
трейдеры могут по иметь этой информации. Эта информа-
ция никогда не является точным указанием па реализовавшее-
ся событие, а только исключает некоторые исходы, уменьшая
степень неопределенности. Так, папримср, получение сообще-
ния “не х” первой фирмой в первом периоде означает, что для
псе могут реализоваться только события у или г, т. с. фирма
заключит некоторый контракт в первом раунде.
ОПЦИОННЫЕ КОНТРАКТЫ
Цепа исполнения опционов па продажу и опционов па по-
купку акции первого типа равна $30. Срок действия обеих
этих цепных бумаг истекает в конце периода 2 и оба эти оп-
циона являются европейскими.
Цель торговли и схема начисления очков те же, что и в
торговой сессии RE1.
195
5.6 Приложение:
формальное определение рынка
Пусть S обозначает множество различных состояний. Через
т(й) будем обозначать платежи по цепной бумаге х в состоя-
нии s. Состояния генерируются случайно с помощью генерато-
ра случайных чисел или путем чтения реализаций случайных
чисел из специального файла данных. Мы предполагаем, что
все состояния равновероятны. Это предположение пс ограни-
чивает общность наших рассмотрений. Папримср, если суще-
ствует только два состояния, причем первое встречается в два
раза чаще, чем второе, то эта ситуация эквивалентна такой, в
которой рассматривается 3 состояния, причем в первых двух
состояниях одинаковы платежи по каждой ценной бумаге.
Платежи но каждому виду первичных цепных бумаг опре-
деляются до начала торговой сессии.
Пазовом производной цепной бумагой такую, платежи но
которой определяются с помощью платежей но другим (осно-
вополагающим) цепным бумагам. Эти основополагающие цен-
ные бумаги нс обязательно являются первичными, более того,
возможно даже, что торговля ими пс разрешена. Позже мы
объясним это подробнее.
Индексом акций назовем любое взвешенное среднее пер-
вичных цепных бумаг. Платеж по индексу акций равен взве-
шенному среднему платежей по цепным бумагам, из которых
образован индекс акций.
ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ
Фьючерсный контракт может быть определен па любую
первичную ценную бумагу или па взвешенное среднее пер-
вичных цепных бумаг. В последнем случае исполнение кон-
тракта завершается денежными платежами, а в первом случае
— поставкой первичной цепной бумаги, па которую заключен
196
фьючерсный контракт. Денежное урегулирование фьючерсно-
го контракта может происходить двумя способами. В первом
случае используется цепа закрытия рынка, а во втором — ре-
ализованный платеж по исходным цепным бумагам.
Когда происходит торговля фьючерсными контрактами,
деньги не переходят из рук в руки. Урегулирование контрак-
та производится по наступлении даты его исполнения. Если
вы закрываете вашу фьючерсную позицию, имея определен-
ный доход, то вы получите его пс сразу, а только в момент
исполнения контракта. В рассматриваемой модели пс учиты-
ваются залоговые требования, а также постоянная переоцен-
ка фьючерсных контрактов, поэтому правильнее было бы на-
звать фьючерсные контракты форвардными.
ОПЦИОННЫЕ КОНТРАКТЫ
Американский колл-опцион и пут-опциоп могут быть опре-
делены па первичные цепные бумаги и на фьючерсные кон-
тракты. Они могут быть исполнены во время торгового пери-
ода, и в этом случае ценные бумаги, которые лежат в основе
опционного контракта, обмениваются па цену исполнения оп-
циона.
Европейский колл-опцион и пут-опциоп также могут быть
определены па первичные цепные бумаги. Эти опционы мо-
гут быть также определены па взвешенное среднее первичных
ценных бумаг (так называемый индекс акций). В этом слу-
чае урегулирование контракта представляет собой денежные
платежи. Как и в случае фьючерсных контрактов, денежное
урегулирование может быть осповапо либо па цепе закрытия
рынка, либо па реализованных платежах.
ПЛАТЕЖИ ПО ЦЕННЫМ БУМАГАМ И УРЕГУЛИРОВАНИЕ
В конце действия рынка (который в данном случае совпа-
дает с концом периода 1) производятся расчеты в следующем
порядке:
197
1) Трейдерам предоставляется возможность исполнить оп-
ционы. Если вы имеете опцион па фьючерс, то очень важно
позволить трейдерам исполнить опционы па этой стадии.
2) После этого в соответствии с безрисковой ставкой про-
цента начисляются проценты на имеющуюся к этому моменту
сумму денег. Те трейдеры, у которых к концу периода запас
допет отрицательный (имеется долг), платят проценты.
3) Исполняются фьючерсные контракты па исходные цен-
ные бумаги. Заметим, что урегулирование фьючерсных кон-
трактов и соответствующие денежные платежи происходят
после начисления процентов, т. с. па деньги, поступившие по
фьючерсному контракту проценты пс начисляются.
4) Вее трейдеры получают причитающиеся выплаты по
первичным цепным бумагам. Па эти деньги проценты так-
же пе начисляются. Если по некоторой цепной бумаге трейдер
имеет короткую позицию, то из его денег вычитаются необхо-
димые выплаты по данной цепной бумаге.
5) Затем происходит окончательное урегулирование опци-
онных контрактов. Платежи по опционам (или фьючерсам)
могут быть основаны либо па цепе закрытия, либо па реали-
зованном платеже по данной цепной бумаге (или взвешенному
среднему ценных бумаг). Папримср, при цепе исполнения К и
оценке соответствующей ценной бумаги Р выплата по колл-
опциону есть максимум из пуля и Р — К. Затем происходит
урегулирование точно так же, как и в случае первичных цеп-
ных бумаг: выплачиваются платежи по каждому имеющемуся
опциону. Как и рапсе, тс, кто имеет короткую позицию, долж-
ны покрыть свои обязательства деньгами.
6) Одновременно с урегулированием опционных контрак-
тов происходит урегулирование фьючерсных контрактов. Тс,
кто имеет длинную позицию по фьючерсному контракту, по-
лучают цепную бумагу или пакет цепных бумаг в обмен па
цепу, указанную во фьючерсном контракте.
198
Па этом попытка закапчивается, и финальный денеж-
ный баланс трейдера оценивает эффективность его торговли.
Оценку можно произвести непосредственно по финальной де-
нежной позиции трейдера либо по учебным очкам, которые
высчитываются по ней по определенному правилу.
ПОДСЧЕТ ДОХОДНОСТИ ТОРГОВЛИ
В конце торгового периода каждый трейдер получает неко-
торые указания о том, как его денежная позиция складывается
из торговли отдельными ценными бумагами. Во время пери-
ода доход от торговли цепными бумагами, который по высве-
чивается па экране, складывается следующим образом:
Доход — Оценка проданных ЦБ —
— Оценка купленных ЦБ.
Заметим, что все это происходит до начисления процен-
тов. В конце периода начисляются проценты и добавляются
выплаты по цепным бумагам:
Доход = Доход + (1 + г) + выплаты*
*(конечныйзапас — начальный запас ЦБ).
Это число равно доходу, полученному за счет торговли.
Если опо отрицательно, вы потеряли деньги па торговле цеп-
ными бумагами, если положительно — приобрели. Папомним,
что выплаты по ценным бумагам происходят после начисле-
ния процентов, следовательно, па них проценты не начисля-
ются.
Мы также не высвечиваем доход от фьючерсного контрак-
та до наступления даты его исполнения. Вместо этого ка-
ждый трейдер видит оценку своей фьючерсной позиции. Для
фьючерса с денежным урегулированием доход высвечивается
в момент исполнения контракта:
199
Доход = Количество контрактов*
*(фьючерсная цена — соответствующий платеж'),
где фьючерсная цепа есть средняя цена но всем контрактам.
Заметим, что этот доход реализуется только в момент испол-
нения контракта после начисления процентов.
Для фьючерсных контрактов, которые завершаются по-
ставкой цепных бумаг, явного высвечивания дохода пс пре-
дусмотрено, хотя в период действия контракта его условия
видны па экране. В момент исполнения происходит перерас-
чет ваших позиций по деньгам и соответствующим цепным
бумагам. Например, если вы купили фьючерсный контракт
на акцию с фьючерсной ценой 50, то в момент исполнения
контракта подсчет дохода корректируется таким образом, как
будто бы вы купили акцию за 50.
Поскольку европейские опционы всегда автоматически ис-
полняются в момент погашения, их можно трактовать как
первичные цепные бумаги с аналогичным подсчетом дохода.
Во время торгового периода компьютер отслеживает разницу
между оценкой проданных и купленных опционов. В момент
исполнения контракта вы увидите доходность, рассчитанную
по платежам по опционным контрактам.
Аналогичные правила действуют для американских опци-
онов. Одпако в момепт исполнения опциона мы корректируем
доход от исходных цепных бумаг. Например, если вы купили
колл-опциоп за $5, то доход от покупки равен S5. Если вы ис-
полняете колл-опцион, то доход от акции уменьшается па цепу
исполнения опциона, поскольку фактически вы купили акцию
за эту цепу.
Замечание. Важно заметить, что на доходы пс начисля-
ются проценты. Предположим, что вы купили американский
колл-опцион с ценой исполнения ЗА' за и исполнили его.
Предположим, что в момепт исполнения опциона курс акций
200
равен $5. Пусть г — ставка процента. Тогда доход по опциону
равен —С(1 + г), а по акции S — А'(1 + г). Сложив эти две
величины, вы получите оценку истинной доходности вашей
опционной стратегии.
РЫНОК СО МНОГИМИ ПЕРИОДАМИ
Предположим, что состояния образуют марковский про-
цесс первого порядка. Если в момент I рынок находился в
состоянии s(, тогда в момент I + 1 он будет находиться в со-
стоянии s(+1 с заданной вероятностью. Существуют три типа
платежей по цепной бумаге х:
Xi(s') = платеж в первый период в состоянии s;
z((s,s') = платеж в момент I, если в этот момент
рынок находился в состоянии s,
а в момент I — 1 в состоянии s',
ij’(s) = платеж в последний момент времени 7’,
если рынок в этот момент
находится в состоянии s.
Другим важным параметром рынков со многими перио-
дами является продолжительность жизни каждой ценной бу-
маги. Некоторые ценные бумаги могут исполняться раньше
момента закрытия рынка. Па таких рынках можно имитиро-
вать торговлю разнообразными цепными бумагами.
Вместо послесловия
ОТЗЫВЫ СПЕЦИАЛИСТОВ,
ПРОШЕДШИХ ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММЕ
FAST
— Прежде всего хотелось бы отмстить приобретение прак-
тических навыков посредством моделирования реальных тор-
гов.
АСАДОВ В.В., начальник
управления ресурсами
Российского Брокерского Дома
“С.А. & Co.Ltd”.
— В программе FAST привлекает сочетание теории с ме-
тодически хорошо отработанными практическими занятиями.
КОРИЩЕПКО К.П., зам.
начальника Управления
цепных бумаг ЦБ РФ.
— Методика обучения: торговые сессии — лекции — тор-
говые сессии с постепенным повышением уровня сложности
позволяет усвоить материал быстро и эффективно. Атмосфе-
ра конкуренции способствует концентрации и, как следствие,
лучшему восприятию информации.
МАМИЛОВ Э.С., директор
филиала АБ “Ире”.
— FAST является очень значимой в деле освоения навы-
ков работы с финансовыми инструментами на фондовом рын-
ке. Лекции отличаются доступностью в усвоении и высоким
преподавательским уровнем. Очень поправилось совмещение
202
теории с практикой. Как работник ЦБ я считаю данную про-
грамму полезной па данном этапе развития отечественного
фондового рынка.
МИНИН В.В., ГУ ЦБ РФ но
Ростовской обл.
— Главное достоинство программы — возможность почув-
ствовать себя в реальной обстановке рынка.
СЕРГЕЕВ Л.В., экономист
“Уралвпешторгбапка”.
— Программа FAST, по моему мнению, очень содержа-
тельна и имеет прямое отношение к реальной торговле па
бирже, что необходимо мпс в профессиональной деятельности.
Наиболее ценна связь теории с практикой. Я очень заинтере-
сован в продолжении обучения по этой программе. Благодарю
вас за осуществление программы FAST в России.
СКРЫПИИК А.И., специалист
отдела цепных бумаг
Г азпромбапка.
— Подобные курсы интенсивного обучения с использовани-
ем зарубежного опыта крайне необходимы специалистам ЦБ.
Они позволяют расширить кругозор, упрощают профессио-
нальное общение с коммерческими банками. В содержатель-
ном плане программа FAST превзошла все ожидания. Доста-
точно высокий уровень организации и участие в практиче-
ских торговых сессиях сделали эти две педели интересными,
полными теоретических новинок и знакомств с коллегами. С
удовольствием продолжил бы обучение по этой программе в
будущем.
ХАЦКЕВИЧ Е.М., ГУ ЦБ по
Новосибирской обл.
203
— Содержание курса — классика, которую необходимо
знать каждому мыслящему участнику финансового рынка...
Компьютерные занятия вносят живую струю и весьма спо-
собствуют усвоению материала.
УСТИНОВ Е.В., специалист
аналитического отдела
Тверьуниверсалбанка,
Московский филиал.
— Привлекает нстрадициоппость программы, возмож-
ность творческой активности, совместного обсуждения стра-
тегий и подходов.
ШОТ О.И., ведущий
экономист ЦБ РФ.
Предметный указатель
Акция (share, stock) 2 44
Аск, заявка на продажу (ask) 36, 137
Безрисковая процентная ставка/актив 18
(risk-free interest ralc/asset)
Безрисковый эквивалент (certainty equivalent) 74
Бсскуноппая облигация (zero-coupon bond) 16
Биномиальная модель цепы опциона 83
(binomial option pricing model)
Взаимосвязь “пут—колл” (put—call parity) 86
Бид, заявка па покупку (bid) 36, 137
Возможность арбитража (arbitrage opportunity) 18
Временная структура процентных ставок 18
(term structure of intetest rates)
Гипотеза “несмещенности” (unbiasedness hypothesis) 120
Гипотеза эффективности рынка 115
(efficient markets hypothesis)
Двойной аукцион (double auction) 138
Диверсифицировать (diversify) 46
Дисперсия (вариация) (variance) 48
Доходность (yield) 17
к погашению (yield to maturity) 18
Дюрация (duration) 23, 24
Исполнить (exercise) 77
Ковариация (covariance) 48
Колл-опциоп, опцион па покупку (call) 77
Сказываются только тс страницы, на которых определяются понятия,
включенные в предметный указатель. (Прим, ред.)
205
Короткая позиция (sell short) 138
Коэффициент корреляции (correlation coefficient) 56
Коэффициент полного хеджирования (hedge ratio) 81
Кривая доходности (yield curve) 18
Модель определения цен основных активов -1-1
(САРМ — the Capital Asset Pricing Model)
Наведенная будущая процентная ставка 21
(implicit interest rate)
Облигация (bond) 16
Ожидаемая доходность (expected value) 50
Опцион (options) 76
американский (American) 76
европейский (European) 76
Полностью выявляющие (цепы/равновесие) 115
(fully rcvcalling priccs/equilibrium)
Портфель (portfolio) 22, 50
Поток платежей (cash how) 19
Процентная ставка (interest rate) 17
Пут-опцион, опцион па продажу (put) 77
Равновесие при рациональных ожиданиях 115
(rational expectations equilibrium)
Рациональные ожидания с помехами 119
(noisy rational expectations)
Риск реинвестирования (reinvestment risk) 23
Риск-нсйтральпая оценка (risk-neutral probability) 90
Рыночный портфель (market portfolio) 58
“Состояние мира” (state of the world) 46
Срок погашения (maturity) 77
206
Стандартное квадратичное отклонение 48
(standard deviation)
Структура капитала (capital structure) 70
Текущая стоимость (present value) 21
Теорема об инвестировании в два фонда 61
(two-fund theorem)
Форвардная процентная ставка (forward interest rate) 21, 31
Формула Блэка—Шоулза для цепы опциона 99
(Black—Scholes option pricing formula)
Функция полезности (utility function) 37
Хеджирование (hedging) 23
Цепа исполнения (exercise price) 77
Цепа поставки (delivery price) 30
Джон О’Брайен, Санджей Шривастава
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ И ТОРГОВЛЯ
ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ (FAST)
Технический редактор Л.А.Зотова
Корректор Н.В.Шсрстенникова
Подписано в печать 29.05.95. Формат 60 X 81 1 /jg. Бумага офсетная.
Гарнитура Роман. Печать офсетная. Уел. псч. л. 12,09.
Уч.-изд. л. 9,9. Тираж 10 000 экз. Заказ № 90. Изд. N’ 67.
ЛР № 070877 от 22.02.1993 г.
“Дело Лтд”
117571, Москва, пр. Вернадского, 82.
Отпечатано па полиграфической базе
ООО “Дело Лтд”