ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Ю.А. РОЗАНОВ
ТЕОРИЯ
ОБНОВЛЯЮЩИХ
ПРОЦЕССОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Ю. А. РОЗАНОВ
ТЕОРИЯ
ОБНОВЛЯЮЩИХ
ПРОЦЕССОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1974
517.8
Р64
УДК 519.21
Теория обновляющих процессов. Ю. А. Роза-
нов, Главная редакция физико-математической
литературы изд-во «Наука», 1974.
В книге изучаются закономерности обновления
данных о «наблюдаемом» случайном процессе в зада-
чах линейного оценивания, прогнозирования и филь-
трации, которые приводят к проблеме факторизации
корреляционного оператора. Она рассчитана на
специалистов по теории вероятностей и функцио-
нальному анализу.
© Издательство «Наука», 1974 г.
Розанов Юрий Анатольевич
ТЕОРИЯ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ
М., 1974 г., 128 стр.
Редактор М. П. Ершов
Техн, редактор 4. П. Колесникова Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 15/Х 1973 г. Подписано к печати 8/IV 1974 г. Бумага
84Х108|/з2, тип. № 1. Физ. печ. л. 4. Услов. печ. л. 6,72. Уч.-изд, л. 5,75.
Тираж 6800 экз. Т-20864. Цена книги 39 коп. Зак. № 848
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
_20203_-_058_
053(01)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора............................................... 4
Глава I. Обновляющие процессы и канонические пред-
ставления ............................................. 5
§ 1.	Введение.................................. 5
§ 2.	Структурные типы и подчиненные	процессы ...	14
§ 3.	Некоторые примеры обновляющих	процессов ...	29
Глава	II. Регулярные процессы.................. 39
§ 1.	Изометричные семейства и некоторые примеры . .	39
§ 2.	Некоторые модели случайных процессов. Понятие
регулярности и проблема факторизации........... 47
§ 3.	Одна теорема о факторизации................... 56
Глава III. Регулярные стационарные процессы............	66
§ 1.	Структурный тип регулярного стационарного про-
цесса ............................................ 66
§ 2.	Представление Вольда и факторизация спектраль-
ной плотности.................................. 71
§ 3.	Кратность регулярного стационарного процесса . . 79
§ 4.	Условия регулярности........................   83
Глава IV. Эквивалентные случайные процессы.............100
§ 1.	Понятие эквивалентности. Вероятностная интер-
претация в случае гауссовских распределений . . 100
§ 2.	Эквивалентность стационарных процессов .... 102
§ 3.	Случайные процессы, эквивалентные винеровскому
процессу.......................................  .	124
ОТ АВТОРА
В этой небольшой книге излагаются новые во-
просы общей теории случайных процессов второго
порядка, в рамках которой случайный (одномерный)
процесс рассматривается как функция со значениями
в гильбертовом пространстве случайных величин,
имеющих конечный второй момент. Основные про-
блемы касаются «обновления» данных о случайном
процессе с течением времени. Типичной в этом смысле
является проблема о полной недетерминированности
(бесконечномерного) стационарного в широком смысле
процесса. Как оказалось, эти проблемы (и особенно
общий вопрос о регулярности случайного процесса)
тесно связаны с вопросом о факторизации опера-
торов в гильбертовом пространстве относительно за-
данной цепочки расширяющихся подпространств, и
в силу этого обстоятельства в книге дается также по-
дробное доказательство некоторых, сравнительно не-
давних, результатов в этой области функционального
анализа.
ГЛАВА I
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Введение
Пусть £(/) = {£/ (0)Г, tQ < t < Г,—многомерный слу-
чайный процесс с компонентами h (/), i — 1, 2, ..т
(число пг может быть равным оо). Предположим, что
все значения & (/) имеют нулевые средние E£f(/) = 0
и конечные вторые моменты Е| h (t) |2 < оо. Обо-
значим замкнутую (в среднем квадратичном)
линейную оболочку всех значений g/(s),	и
будем рассматривать Ht(l) как подпространство гиль-
бертова пространства всех комплекснозначных слу-
чайных величин т), Е| л |2 < оо, со скалярным произ-
ведением
01b Пг) = ЁП1П2
(не делая различия между величинами, совпадаю-
щими с вероятностью 1).
В линейных задачах теории случайных процессов
таких, например, как линейное прогнозирование и
фильтрация, соответствующее подпространство
представляет собой «совокупность данных», которыми
располагает «наблюдатель» к моменту времени t
оценивания той или иной величины т], Е|т]|2<оо
(за наилучшую оценку принимается проекция этой
величины на подпространство /7Д£)).
Обозначим Pt оператор ортогонального проектиро-
вания на и введем пространство
и
h<t<T
6
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
Семейство проекционных операторов Pt, tQ<t < Т,
в Я(£), а также семейство соответствующих подпро-
странств
растущих с течением времени /:
= при
будут главным объектом нашего исследования. Основ-
ной вопрос, который нас будет интересовать, заклю-
чается в следующем. Как охарактеризовать эволюцию
подпространств Ht(g) с течением времени /?
Чтобы пояснить общий подход к решению этого
вопроса, обратимся к одномерному случайному про-
цессу I (/), t0<t < Т, с некоррелированными
приращениями. Будем предполагать, что этот
процесс непрерывен слева:
lim g(/-A) = g(/),
h->+0
и положим F (t) = Е| £ (/) |2. Назовем монотонно не-
убывающую, непрерывную слева функцию F(f), tQ<
< t< Г, структурной функцией. Соответствующее под-
пространство //(g) состоит из всех величин т), пред-
ставимых в виде стохастического интеграла
т
п = / С (t)d£ (О,
*0
где комплекснозначная функция c(t),	удо-
влетворяет условию
т
J|c(/)|2dF(0<oo.
/о
Если рассмотреть гильбертово пространство С всех
таких функций c(t),	< Т, со скалярным произ-
ведением
т
§ П
ВВЕДЕНИЕ
7
и в нем подпространства Ct всех функций, обращаю-
щихся в 0 вне интервала [/0, 0> то окажется, что инте-
ресующие нас подпространства будут унитарно
изоморфны соответствующим подпространствам Ct,
поскольку состоит из всех величин вида *)
t
П= J c(«)^(s).
t
где j* | c(s) pdF(s) < оо. Грубо говоря, семейство под-
^0
пространств Ht (g), <0</< Т, устроено точно так же, как
и семейство подпространств Ct> t0<.t < Т, эволюция
которых с ростом t представляется достаточно нагляд-
ной и полностью характеризуется соответствующей
функцией F(t).
Рассматривая общий случай, мы будем предпола-
гать пространство Н(g) сепарабельным, а семей-
ство Ht(g), t0<t < Т, непрерывным слева:
lira =	(1.1)
Л-»+0
Эти условия будут выполнены, например, если исход-
ный случайный процесс £ (/) = {£//0 < t < Г,
является непрерывным слева:
lim — A) = gj(f), /=1, ..., m.
Л->+0
t
*) Здесь и далее в интегралах вида J интегрирование
S
ведется по интервалу [s, /), замкнутому слева и открытому
справа. При этом
t	t
j =	pg(«) = g(/)-g(S)
t9	s
И
t	t
j dF (s) = F (t), J dF (u) = F (t)-F (s),	t0<s<t<T.
8
8
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. 1
Вопрос об эволюции подпространств Ht (£), /0< /< Г,
для произвольного случайного процесса £(/) = {£/
tQ<t<T, можно было бы считать решенным, если бы
удалось найти некоррелированные между собой про-
цессы Xj (/), j = 1, ..., М, t0< t < Tf с некоррелиро-
ванными приращениями, такие, что отвечающие много-
мерному процессу X(/) = {X/tQ<t<T, подпро-
странства Ht(X) совпадают с интересующими нас
подпространствами
Ht(X) = Ht®, t0<t<T.	(1.2)
Действительно, тогда можно было бы представить
подпространства Ht(g) в' виде ортогональной суммы
где каждое из ортогональных друг другу семейств
Ht(Xj), tQ<t< Т, описывается, как указывалось выше,
с помощью соответствующей структурной функции
Fj(t) = E\Xi(t)\\ tQ<t<T-	(1.3)
Случайный процесс X (/) = {Xj (t)}™ с ортогональ-
ными компонентами Xj (/), tQ < t < Т (Xf (s) ± Xk (/)
для всех 5, t при / У= /?), каждая из которых пред-
ставляет собой процесс с некоррелированными прира-
щениями, удовлетворяющий условию (1.2), будем назы-
вать обновляющим процессом для случайного процесса
U0 = •&(<> k<t<T.
Отметим, что при нашем предположении (1.1),
согласно которому
lim Ht_h{X) — Ht(X),
h~>+0
обновляющий процесс является непрерывным слева.
Очевидно, обновляющий процесс всегда существует.
Его компоненты Xj (f), tQ< t < Т, можно построить,
например, следующим образом. Выберем какой-либо
элемент х1 е Н (I) и определим процесс с некоррели-
рованными приращениями ХД/) = PtxXi t0<t<T (на-
§ И
ВВЕДЕНИЕ
9
помним, что Pt обозначает оператор проектирования
на подпространство	Если Н (Л\) У= Н (g), то
выберем затем какой-либо элемент х2еЯ(£), орто-
гональный подпространству Я(^), и определим про-
цесс с некоррелированными приращениями Х2(7) =
= Ptx2, t0<t<T. Поскольку подпространство Н (Л\)
и его ортогональное дополнение инвариантны относи-
тельно проекционного семейства Pt, tQ<t < Т, про-
цесс Х2(7), tQ<t<Tf будет некоррелирован с про-
цессом Jfi(7), t0<t<T. Если Я(Л'1)фЯ (Х2) У= #(g),
то выберем следующий элемент х3, ортогональный
подпространствам Н (Xj) и Я(Х2), и определим про-
цесс с некоррелированными приращениями Jf3(7) =
= PfXa, t0<t < Т, который будет некоррелирован с (7)
и Х2 (7), t0 < t < Т. Аналогичным образом выбирая по-
следующие элементы х^\
k-\
xkA. ф H(Xk),
мы в конце концов исчерпаем все пространство 77(g),
получив некоррелированные между собой процессы
=	70<7<Г;	/ =	(1.4)
с некоррелированными приращениями (их число М
может быть бесконечным). Очевидно, X (7)=={Xy (7)}f\
t0 < t < Т, является обновляющим процессом для g (7),
70 < t < Т, поскольку Pt+hXj — PtXj _L Ht (g) при h > 0
и система величин Psx^ tQ<	Pt+hXj—Ptx]f h> 0;
/= 1, ..., Л7, полна в H (g), так что система величин
PsXj, to< j = 1, ..., M, полна в Ht(g), и, таким
образом,
= Ш t.<t<T,
Если ввести гильбертово пространство С всех век-
торных функций с (7) = {с}- (7)}^, 7о<7<Г, с число-
выми компонентами ^(7), 70^7<Т, удовлетворяю-
щих условию
т м
j	(!-5)
/=1
10
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
со скалярным произведением
т м
(С1/(С, {С2/(СеС.
t, 1=1
где
F/(0 = E|Xz(0P, t0<t<T,
— соответствующие структурные функции обновляю-
щего процесса X(t)== {Xz(/))^( t0<t<T (см. (1.3)),
то можно описать пространство Н (g) как совокуп-
ность всех величин вида
г м
(1.6)
*. i=i
где (cjf1 е С, и, очевидно,
t м
Pt^ ^ct(s)dX1(s),	(1.7)
to /=1
поскольку Н (X) = //(£) и Ht (АЭ = Ht (£). Видно, что
подпространство Н,(£) = PtH (X) состоит из всех вели-
чин вида
t м
П = J ^icj(s)dXl(S), {ct(S)}“<=C,
t0 /=1
и, имея в виду унитарный изоморфизм ц <-> \Cj (s)}f*,
можно сказать, что семейство Н( (g), tQ<t < Т, того же
типа, что и семейство подпространств Cti t$<t <Т, ка-
ждое из которых образовано функциями {Cj(s)]M <= С,
обращающимися в 0 при s > t (для соответствую-
щего /).
Формула (1.6) в применении к значениям рассмат-
риваемого процесса £(/) = {g/ (/)}{”, tQ < t < Т9 дает так
называемое каноническое представление
t м
^(/)== J s)dX/(s)’	(1.8)
§ 1]
ВВЕДЕНИЕ
11
которое позволяет описать проекционные опера-
торы Pt, tQ<t < Т, в пространстве Н (£):
и М
/ ^c4(t, s)dXf(s), i=l, tn, (1.9)
to /=1
при tQ^u < t < T.
С точки зрения приложений, по-видимому, наи-
более важным следует считать вопрос об эффектив-
ных методах построения линейных преобразований,
связывающих процессы £(/) и X(f),—в частности,
эффективных методов построения канонического пред-
ставления (1.8). В теоретическом плане большой
интерес представляют и вопросы о том, как опреде-
лить тип обновляющего процесса X(f) = {Xf (/)}^,
tQ < t < Т, или как сравнить его с некоторым задан-
ным типом, зная корреляционную функцию исходного
процесса £(/) == [Ь (/))™, tQ<t<T.
Особый интерес к этим вопросам возник после
одного примера Г. Крамера*), показавшего, что обно-
вляющий процесс для одномерного непрерыв-
ного процесса g(/), /0 < t < Г, может быть, вообще
говоря, произвольным. Отправляясь от заданного
обновляющего процесса X (t) — {Xj (/)}f, tQ<t < Т,
произвольной структуры (с произвольными структур-
ными функциями Fj (t) = Е| Xj (/) |2,	М)
соответствующий процесс £ (f), /0 < t < Г, может быть
построен следующим образом.
Пусть Ду, / = 1, ..., М, — непересекающиеся между
собой измеримые множества на интервале (/0, Г)»
м
(J Ду = (/0, Г) (mod 0), обладающие тем свойством, что
/«1
пересечение каждого из них с любым интервалом (s, f),
tQ< s < t < T, имеет положительную меру. Определим
интегрируемый процесс £(/), t0 < t < Т, над-
*) Н. Cramer, Stochastic processes as curves in a Hilbert
space, Теория вероят. и ее прямей. IX, 2 (1964), 193—204.
12
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. 1
лежаще выбрав функцию а (0 > 0 и положив | (0 =
=	при /еДр	М. Рассмотрим
t
g (/) = J i ($) ds. Очевидно, Ht (g) s Ht (X) при всех t,
^0
причем A’y(s) совпадает с производной g'(s) для почти
всех seAy, и поскольку	при
а множества Ду всюду плотны в интервале (tQ, Т) и
процессы Xj(s) непрерывны слева, то JQ (s) s Ht(g)
при всех так что Ht (X) s Ht (£) и, следова-
тельно, X (/) является обновляющим процессом для
непрерывного процесса g (/), /0 < t < Г.
Приведем один из примеров такого типа множеств
Al, Д2, ...
Пусть Д’— канторово множество интервала / =
= (/0, Г), получающееся последовательным выбрасы-
ванием «смежных» интервалов /1/2; /1/4, /3/4’, /1/8, /з/8,
/5/8, Л/8 и т. д., которые выбираются так, чтобы мера
Н (Ю = Н U) — 5 Н (4) = т,
а
где т>0 — заданное число (m<Jp(/)).
На каждом смежном интервале/О1 «первого класса»
возьмем свое канторово множество Ка1 меры mai,
которое получается выбрасыванием из Iai смежных
интервалов /ai, a2 (a2 пробегает двоично-рациональную
последовательность 1/2,	1/4, 3/4,...). Положим
/С(1) = (J /Ох,- Далее, на каждом смежном интервале ZaiCt2
at
«второго класса» возьмем снова канторово множе-
ство меры maia?, получающееся выбрасыванием
из /aja2 смежных интервалов /aia2a3. Положим 7<(2) =
= U ZCata2. Продолжая эту процедуру последова-
(*1, а2
тельно для всех смежных интервалов 1а{ ... и пола-
гая	(J ... ал, мы получим последова-
ar ...» а„
тельность непересекающихся множеств Д(°)=Д,
Д(1), /С(2), • • •> /С(п), • • •• Предположим, кроме того, что
§ I]	ВВЕДЕНИЕ	13
00	oo
объединение (J KWl имеет полную меру: 2 И (К(п>) “
п—О	п=0
— у. (Г) (этого можно добиться, выбрав надлежащим
образом меры та1 ... а„ > 0 отдельных канторовых
компонент 7Ц ... ап)-
Напомним, что канторово множество К.а{ ... ап
нигде не плотно в 1а{ ... ап и всякий интервал
slai...an имеет непустое пересечение с некоторым
смежным интервалом следующего класса 7а1 ... апа„+1.
Возьмем любой интервал (a, b)sl и рассмотрим
вложенный в него интервал (а', Ь'), а' = а^-г;
b' = b — е. Как было отмечено, (а', Ь') имеет непустое
пересечение с некоторым смежным интервалом 1а1‘,
положим б1 = (а', Z/)f|Zai. Интервал 6^/а, имеет не-
пустое пересечение с некоторым смежным интерва-
лом /а,/а2; положим 62 = 61 fl /а1а2. Уже ясно, что интер-
вал (а', Ь') при любом п имеет непустое пересечение
с некоторым смежным интервалом ...«„• Но
ц(At] ... ага)->0, и при достаточно больших п (для
которых ... а„) < е) соответствующий интервал
Iat ... ап, пересекающийся с интервалом (а4~е, b — е),
целиком входит в первоначальный интервал (а, Ь).
Итак, всякий интервал (a, b)^.I для всех достаточно
больших п содержит некоторый смежный интервал
«n-го класса» /Я1 ... ап, а следовательно, содержит и
множество К(п) с:/а1 ... ап положительной меры
ц (K(n)) — tnw- Разобьем теперь последовательность
целых положительных чисел п — О, 1, ... на счетное
число непересекающихся подпоследовательностей пп,
п12, ...; /г21, /г22,	и положим
Р=1>2, ...
Ф=1
Очевидно, всякий интервал (a, b) s I содержит при
достаточно больших q множества К\пря> положитель-
14
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
ной меры	так что
ц{(а, Ь) Л Др} >0
для всех р = 1, 2, ...
§ 2. Структурные типы и подчиненные процессы
1. Некоторые вспомогательные предложения *).
Пусть Ht (g), tQ < t < Г, — семейство монотонно воз-
растающих непрерывных слева подпространств
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н (|),
и Pt, tQ<t < Т, — соответствующее семейство про-
екционных операторов (Pt — операторы ортогональ-
ного проектирования на Ht (g), tQ < t < T).
Возьмем произвольный элемент х^Н(£) и рас-
смотрим замкнутую линейную оболочку всех величин
tQ<t<T, обозначив ее Н(х). Подпространство
Н (х) состоит из всех величин вида
т
т)= J ф(0<*Ф(0,	(2.1)
t0
где = t0 < t < Т, а функция <р(£) удовлетво-
ряет условию
т
J | ф(0 fdF(t) < ОО
t0
(F(t) = Е| Ф(/) I2 — структурная функция процесса с не-
коррелированными приращениями Ф (/), tQ < t < Т).
Пусть у^.Н(х). Согласно общей формуле (2.1)
величина у представима в виде стохастического
интеграла
т
У = / <fyx(t)d<I>(t),
to
*) По существу, здесь в основном излагаются хорошо
известные факты теории «спектральных типов» (см., например,
обзорную статью А. И. Плеснера и В. А. Рохлина,
Спектральная теория линейных операторов, Успехи матем.
наук I, 1 (11), (1946)).
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 15
так что
t
Р{У— J <Pyx(s)dO(s), t0<t<T,
и структурной функцией процесса Т (/) = Pty, t0 <
<t <Т, будет
t
G(O = E|^(OP=f I Фг/Х (s) Ws), t0<t<T.
Как мы знаем, пространство Н (у) состоит из всех
величин вида
п = / ф (/) dw (/) = / ф (0 <рух (О ЙФ (О,
fo	^0
где
т	т
J | ф (0 I2 dG (/) = J | ф (/) <р^ (0 I2 dF (/) < оо.
t0
Обозначим А носитель меры dG(t). Очевидно,
т
J Ф (/) dT (t) = J ф (0 ач (/) = J ф (/) <?ух (0 йф (0.
f«	Л	Л
Поскольку dG(t)=] cpyX(t) \2dF(f), то	почти
всюду на множестве Д, и, положив <р (/) = ф (/) (рух (0
при /еД, получим, что пространство Н(у) состоит
из всех величин вида
Т) = / <р (0 d(b (0,	(2.2)
А
где 11 <р(0 fdF(t) < оо. Полезно отметить, что в слу-
Л
чае, когда меры dG(/) и dF(t) эквивалентны
dG ~ dF, Д есть одновременно носитель меры dF(t) и
имеет место равенство
Н(у) = Н(х).
16
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
Обратимся теперь к некоторому обновляющему
процессу X (/) = {Xj tQ<t < Т, определенному
соотношениями типа (1.4): Xj (/) = PtXj,	М,
где элементы х; выбраны таким образом, что
Xy(s) ± Xk(t) для всех s, t при / =/= k, так что
м
Н®=® Я(х7).
/=i
Поскольку каждое из ортогональных между собой
подпространств Нинвариантно относительно
проекционных операторов Pt, t0<t<T, для всякого
элемента у^Н(£) имеем
м
Pty = Ф Р{Уи, t0<t<T,
a=i
где yk — проекция у на соответствующее подпростран-
ство Н (xk), k = 1, ..., М. Мы знаем, что структурные
функции Gk (0 = Е | Ptyk I2 абсолютно непрерывны от-
носительно соответствующих функций Fk — Е | Ptxk |2,
/0<^<Г, и, следовательно, структурная функция
G(t) = Е| Pty I2,
м
G{f)=^Gk(f}, t0<t<T,
k=l
очевидно, F* (/) = Е| Ptx* |2 при
. Мы видим, что все возможные «струк-
абсолютно непрерывна относительно функции
м
О) =2^(0, t0<t<T,	(2.3)
k=l
где постоянные с^, сг2> ••• выбраны так, чтобы схо-
м
дился ряд 2 оЦхкII2
м ~~
* V
X = 2j GkXk
k=\
турные типы» dG(t) абсолютно непрерывны относи-
тельно некоторого максимального структурного типа
dF (/).
Пусть Н — некоторое подпространство, инва-
риантное по отношению к семейству проекционных
операторов Pt, t0<t<T, Назовем элемент х^Н
максимальным в Н, если для любого у^Н струк-
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 17
турная функция G (/) = Е | Pty (2, tQ<t < Т, абсолютно
непрерывна относительно структурной функции F(t) =
= Е | Ptx |2, /0 < t < Т (G (t) F (/)). Как было факти-
чески показано выше, максимальный элемент х^Н
с максимальным структурным типом dF (/) всегда
существует (см. (2.3)).
Пусть хх^Н(£) — максимальный элемент в про-
странстве и F{ (/) = Е| PtXi |2, tQ<t<T. Пусть х2—
максимальный элемент в подпространстве Н (%) QH (xj
и F2(t) — Е) Ptx212, t0 < t < Т. Вообще, пусть xk —
максимальный элемент в подпространстве
W)e[®W/)
и
/М0 = Е| Ptxk |2, to<t<T\
Очевидно, обновляющий процесс X (/) = {X; (/)}^,
tQ < t < Т, с компонентами Х^ — Ррсф t0<t<T-,
j = 1, ..., М, будет иметь структурные функции Fj(t),
tQ<t<M, упорядоченные в том смысле, что
dFi(t)>dF2(f)> ... >dFM(tY (2.4)
(т. е. каждая из мер dFj(f) абсолютно непрерывна
относительно предшествующих dFi(t), ..., dFy-JO).
Ниже мы покажем, что упорядоченные структурные
типы (2.4) определяются однозначно по семейству
tQ<t<T\ точнее, для любого обновляющего
процесса У (/) = {/*(< (Ht(Y) =	t0<t<T)
с упорядоченными структурными функциями Gk (t) =
= Е| Yk(t)\2, iQ<t<T (т. е. такими, что dGJ/)^
>йЮ2(/)> ... >^(/)),
N = M,	(2.5)
dGj(t)~	/ = 1, M
(соответствующее число М обычно называют крат-
ностью).
Будем для краткости говорить, что мера dG(t)
подчинена dF(t), если она абсолютно непрерывна
относительно меры dF (/): dG (t) dF (/), и dG (t) орто-
18
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
гональна dF(t), если эти меры имеют непересекаю-
щиеся носители: dG(t) ± dF(t).
Пусть dF (/)— произвольная положительная огра-
ниченная мера на отрезке [/0, Г), подчиненная макси-
мальному структурному типу dF* (t) ~ dF{ (I). Суще-
ствует элемент x^H(g) со структурным типом,
в точности равным dF(t), т. е. такой, что
t
Е|Лх|2= j dF (s'),	t0<t<T,
to
например, можно взять
*0
где, напомним, (/) = Е| Х1 (/) |2 — максимальная
структурная функция (см. 2.4)). Очевидно, все эле-
менты у е //(g) со структурными типами dG(f), под-
чиненными dF (t), образуют линейное подпрост-
ранство, которое инвариантно относительно проекто-
ров Pt, tQ<t <Т.
Рассмотрим систему элементов у{, у2, .77(g)
с одним и тем же структурным типом dG(t), такую,
что подпространства H(yk), порождаемые величи-
нами Ptyk, tQ<t < Т, ортогональны при различных
k=l, ..., п. Систему z/b ..., уп назовем макси-
мальной, если ее нельзя расширить; точнее, если не
существует элемента z/^7/(g), ортогонального под-
пространствам H(yk), k= 1, ..., п, и имеющего
своим структурным типом dG(t\ Очевидно, макси-
мальная система существует.
Лемма 1. Если у19 ..., ym — максимальная си-
стема, а у'{, ..., у'п — некоторая система с тем же
структурным типом dG(t), то
п<т.
(2.6)
Доказательство. Предположим сначала, что
m
подпространство L— ф Н (у^ совпадает со всем про-
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
19
странством Н (£). Если ввести У, (/) = PtyfJ tQ < t < Т
/==1,..., m, то элементы y'v ..y'n^L можно
представить в виде
т щ ,
и 1=1
где функции ckj(t) удовлетворяют условию
t, f=i
Поскольку все элементы y'v .... у'п имеют одну и
ту же структурную функцию
G'(O==J ^\ckj(s)?dG[s), k = \,...,n,
*0 /=1
а при условии ортогональности подпространств
Н (у'),	Н(у'^ должно быть
t m
(РМ) = J S Cii (s> dG (S) = °’ еСЛИ Z’ k’
Г. /=1
TO
tn	tn _______
Si ck{(t) |2= 1, 2сц(0М) = ° при i=£k
для почти всех t относительно меры dG(t). Видно,
что векторы ck (/) == {cki (t)}™, k=l, n, с компо-
нентами /=1, ..., tn, в m-мерном векторном
пространстве (с обычным скалярным произведением)
образуют ортонормированную систему. Как известно,
число элементов такой системы не превосходит раз-
мерности пространства, т. е.
Общий случай сводится к только что рассмотрен-
ному с помощью следующего приема. Введем про-
странство Н всех элементов, структурные типы ко-
торых подчинены dG (/), а в нем подпространство
20
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
т
Е—@Н(у]) и его ортогональное дополнение LQ =
— HQL. По определению максимальной системы
yl9 ут в подпространстве Lo нет ни одного эле-
мента со структурным типом dG(f). Поэтому, если
dG0(t)—максимальный структурный тип в инвариант-
ном подпространстве £0, то dG (/) = dG$ (/) ф dG (f),
где dG(t) — некоторая ненулевая мера, ортого-
нальная dGQ(t). Рассмотрим новое пространство
Н — подпространство в Н из всех элементов со струк-
турными типами, подчиненными dG(t). Легко видеть,
что поскольку меры rfGo(O и dG(f) ортогональны,
подпространства £0 и Н с максимальными структур-
ными типами dG0(/) и dG(t) будут также ортого-
~	т
нальны, и потому H^L, где, напомним, L= ф Н(у^.
Если До и Д— непересекающиеся носители орто-
гональных Mep.dGo(Z) и dG(Z), то всякая величина
x\^H{yk) может быть представлена в виде
т
п = j (t) dW, (0 = J (0 dv} (О Ф / ф (0 dwl (/)
^9	До	Д
(Т/(0 = р^, t0<t<T),
где
По = / Ф (0 I (0 <= Ль Й = j Ф (0 dWf <= Н.
До	А
Ясно, что элементы 2/ — |	j(f), j—l, .... т,
д
с одним и тем структурным типом dG(t) образуют
в Н максимальную систему, причем подпространство
т	~
£=ф//(3у) совпадает с пространством Н. Таким
образом, вместо исходных систем ylt ..., ут и
у\, ..., у'п со структурным типом dG(t) мы можем
рассматривать системы элементов zjt j=l, ..., mt
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
21
И z' = p4"fc(/), k = \..n (Tft(0 = W> t,<t<T)
д
в пространстве И со структурным типом dG(t). Как
было установлено выше (в случае L = Н), имеет
место неравенство п^т.
Вернемся к обновляющему процессу X(t)—{Xj (/)}“,
t0 < t < T, с упорядоченными структурными функ-
циями F!(t) = E\X!(,t)?, t0<i<T (см. (2.4)).
Пусть Y (/) = {Уй tQ<t < Т,— некоторый про-
цесс с некоррелированными компонентами вида
Yk (t) = Ptt/k, t0<t <T, структурные функции кото-
рого Gk(t) — Е| Yb(t) [2, t0 < t < Т, также упорядочены:
dG\(t)>dG2> ... >dGN(t).
Лемма 2. Имеют место следующие соотношения:
N^M,
dGk(t)<dFk(f), k —
(2.7)
Доказательство. Предположим, что неко-
торая мера dGn (/) не является подчиненной соответ-
ствующей мере dFn(t~). Тогда существует нену-
левая мера do (/), подчиненная dGn (7) и ортого-
нальная dFn(t). Поскольку меры dP}(t) при j^n
подчинены dFn(f), все они будут ортогональны da(t).
С другой стороны, daft) подчинена максимальному
структурному типу dF\(f) и, вообще, каким-то dFj(f),
1 т, где число т всех таких структурных типов
из последовательности dF{ (t) )> dF2 (t) )> ... строго
меньше п. Если xh х2, ..., хм — элементы, поро-
ждающие обновляющий процесс X (/) = {Xt (Z)}^
(Xj(t) = Ptxlt	то, учитывая структуру
ортогональных подпространств И (xft) (см. (2.1), (2.2)),
легко понять, что элементы 2/~ J ^/(0> j— 1>..-> tn,
д
где А — носитель меры do(t), образуют максимальную
систему в Н (g) со спектральным типом da{t). Соот-
22
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
ветствующие элементы j dYk(t), k = l, .п,
д
также образуют систему со спектральным типом do(/),
причем п > т, что противоречит неравенству (2.6)
леммы 1. Следовательно, на самом деле мера dGn(t)
подчинена dFn(t) при любом п. Фактически доказано
также, что N М.
Добавим здесь, что если рассматриваемый про-
цесс Y (/) = {Yk (/)}/, t0<t<T, сам является обно-
вляющим: Ht(Y) = tQ<t<T, то процессы
Y (/) и X (/), фигурирующие в лемме 2, можно поме-
нять местами, и в этом случае вместо «неравенств»
^2.7) будем иметь N = M, dGj(t)~dF/==1,..., N
(см. указанные ранее соотношения (2.5)).
Пример. Пусть g (/) = (Z)}7, /0 < ^ < Л — про-
извольный процесс с некоррелированными прираще-
ниями. Предположим, что заданы
^(0 = EU0W •••>'"•
Найдем соответствующие структурные типы dFj (/)>*...
...^dFM(t). Очевидно, максимальным типом будет
т
dF4t)~2fidFkk(t),
где строго "положительные .... <т^ выбраны так,
чтобы функция 2i&kFkk(t) была ограниченной. Вместо
самих структурных типов dFj (t) можно указать плот-
ности fi(t) — dFj^dF* (/) или множества
А/={Л 7/(0 > 0}
— носители мер dFj(t), j = l, ..., М. В рассматри-
ваемом случае носители \} можно описать, обра-
тившись к матричной функции f (/)}, t0 < t < T,
с компонентами
dFij (t)
fij (t) = о,. dF,-^ <Jlt i, / = 1, ..., tn.
§ 21 СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 23
Именно, если	...	—упорядо-
ченная система всех ненулевых собственных зна-
чений матричной функции f(t), то
Д, = {t: Kj (0 > 0},	/=1.............М.
Соответствующий обновляющий процесс X (/) =
= {X,(7)}|М, t0 <t<T, с упорядоченными структурными
типами может быть получен как
t tn
t0 Z = 1
где и (/) = {щ/ (/)) — унитарное преобразование, при-
водящее положительную матрицу	к диа-
гональному виду (с элементами
kk(f)==O при М < k^n, на главной диагонали).
2. Подчиненные процессы. Рассмотрим пару про-
цессов: £(0 —UiWir И п(0= Говорят, что
процесс т](/) может быть получен из процесса £(/)
неупреждающим (линейным) преобразованием, если

(2.8)
Обозначим Ht (г])1 ортогональное дополнение в п р о-
странстве Н(ц) к подпространству Н((т\У, ЯДт))1 —
= Н (n) © Ht (-и). Аналогично, ЯД^)1 = Я(£)@ЯД£).
Будем говорить, что процесс ц(/) подчинен процессу
£(/), если
ЯДт))еЯД£) и ЯДт])х S ЯД|)х, t0<t<T. (2.9)
Второе из соотношений (2.9) означает, что всякая
величина уеЯ(т|), ортогональная подпространству
ЯДт]), должна быть также ортогональна и более
широкому подпространству ЯД£).
Рассмотрим два важных примера подчиненных
процессов.
24
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
Пример (каноническое представление). Пусть
I(0= {Ь (0)Г» to<t <	— процесс с некоррелиро-
ванными приращениями и
t m
n* = J S Cki V’ s) d^l (s)’ to < Z < T’ (2 10)
k = 1, ..., n.
Обозначим Qt операторы ортогонального проектиро-
вания на подпространства Ht (г|), /0 < t < Т. Выраже-
ние (2.10) называется каноническим представлением,
если проекции значений на подпространства
#иСп)> u^t, получаются по формулам
Q«nfe(0= f У ck}{t, s)dZj(s), t0<t <Т,
/tf	(2.Н)
k = 1, . .., n.
(Например, так будет в случае, когда £(/), t0 < t < Т,
является обновляющим процессом для ц(/), /0 < / > Т.)
Очевидно, представление процесса '*1(0= {лИО}”
в виде стохастического интеграла (2.10) возможно
тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
(2.8). При условии же (2.11) имеем
nfe (0 —	(0 = / У Ckj (t, s) d% j(s);
U /—1
видно, что величины (t) —Q^i (/), и; k = 1,n,
порождающие подпространство //„(ц)1, ортогональны
Яи(£), и, таким образом, имеет место соотношение
(2.9), т. е. процесс г)(/) = {тр. (/))", t0 < t < Т, подчи-
нен процессу с некоррелированными приращениями
Пример. Пусть g (/), t0 < t < Т, — случайный про-
цесс со стохастическим дифференциалом
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 25
точнее,
t
Ц0=/ a(s)ds + W(t), t0<t<T,	(2.12)
/о
где а (/), /0 < t < Л — некоторая случайная функция
со средним Еа (/) = 0 и конечным вторым моментом
Е| a(t) |2,
t
j Е | a (s) |2 ds < oo, tQ < t < T,
A)
и W (/), t0 < t < T, — процесс с некоррелированными
приращениями, такими, что при h > 0
+	tQ<t<T
(величины W (t + h) — W (/), h > 0, некоррелированы
co значениями g(s), s^Z).
Рассмотрим процесс ц(/), t0 < t < T, получающийся
из процесса g(/), /0 < t < Г, линейным неупреж-
дающим преобразованием вида
t
п (0 = ЦО — / «(«)ds =
t,
t
= J[a(s) —4(s)]Js + IF(0, tQ<t<T,
где d(s) — Psa(s) обозначает проекцию величины a (s)
на подпространство Hs (g). Поскольку a (s) — d(s)LHt (g)
при приращения
t+h
П(/ + ^)-П(0= J {a(s)-a(s)]4/s + [F(/ + A)-r(/)]
t
обладают тем же свойством, что и приращения
IF(/ +A) —а именно, при А>0
+ — т](0 ±	t0<t<T.
При этом
26
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
так что ц (0, to<t < Г, — процесс с некоррели-
рованными приращениями. Для такого типа
процесса подпространства (т))1 порождаются при-
ращениями т](/ + А)—т](/), h > 0, а мы видели, что
они ортогональны соответствующим пространствам
/7Д£), и, таким образом,
t0<t<T,
т. е. процесс ц (/) подчинен процессуg(/),t0 < t < Т.
Обратимся к произвольной паре процессов |(/) =
= & « и Т) (0 = {Т]А (<, /о < t < т. Пусть dFx (/) >
>...> dF м (t) и dG{ (/)>...> dGN (/) — упорядо-
ченные структурные типы их обновляющих процессов,
Теорема 1. Если процесс т](0, t0 < t < Т, под-
чинен процессу g (t), t0<t < Т, то
dGk(t)<dFk(t), k = l, .... N. (2,13)
Доказательство. Обозначим Pt и Qt опера-
торы ортогонального проектирования на подпростран-
ства Ht (£) и Ht (ц), t0 < t < Т. В силу соотношений
(2.9) имеем
ЗД(ц) = ДДт1), ад(п)х = 0
И
PtH (Т)) = Pt [Ht (п) е Ht (п)Ч = PtHt (n) =
=	=	(2.14)
Для проекторов Pt и Qt отсюда вытекает, что опера-
тор Pt в инвариантном подпространстве Н (т]) s Н (£)
совпадает с оператором Qt) tQ<t < Т. Следовательно,
обновляющий процесс Y (/) = {}% для процесса
т](/), tQ<t<T, получается по формуле
Yk(t)=-=Ptyki k = \y ..., N.
где z/i, ..., yN — некоторая система величин в под-
пространстве Н (ц) Н (£), и теорема 1 является,
таким образом, простым следствием доказанной ранее
леммы 2.
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
27
Попутно отметим здесь, что обновляющий про-
цесс Х(/)== {%,(/)} f, tQ<t<T, для процесса £(/),
/0 < t < Т, обладает следующим свойством. Инте-
гральное представление
t м
П* (О = / S ck! (t, s) dX^s), t0<t<T,
t, /=i
k = 1, ..., n,
подчиненного процесса я (t) — {т)& (/)}", t0 < t < T, яв-
ляется каноническим:
и M
Qu^k (i) = Pa^]k w = f S Ckl S) dX№’ u^(-
При рассмотрении процесса t](0, tQ < t < T, полу-
чающегося из процесса g (t), t0<t <T, некоторым не-
упреждающим линейным преобразованием (ЯДт)) s
s Ht (g), t0 < t < T) может возникнуть вопрос о том,
является ли это преобразование «обратимым», точ-
нее, вопрос о том, выполняется ли условие
= tQ<t<T.	(2.15)
Если рассматриваемое преобразование таково, что
процесс т](7) подчинен процессу g (/), /0 < t < Т, то
условие (2.15) равносильно (вообще говоря, более
слабому) условию
н®=щц),	(2.16)
поскольку в этом случае
= PtH ® =	=
при всех t, t0< t < Т (см. (2.14)).
Теорема 2. Если процесс т](/) подчинен про-
цессу Z (f), to<t<T, и они имеют обновляющие про-
цессы одного и того же типа кратности
М < <х>
(dGk(t)~ dFk(t), k = i.......М),
то имеет место соотношение (2.15).
28
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим,
что она неверна в случае бесконечной кратности
М — оо. Например, если £(/) = &(/)}“» to<t <Т,—
процесс с ортогональными компонентами, каждая из
которых является процессом с ортогональными при-
ращениями, причем структурная функция F(t) =
= E|gz(/)|2, t0<t<T, одна и та же для всех
/=1,2,..., то процесс г] (/) = {т)й (/)}~, t0 < t < Т,
с компонентами (О — b+i (/), 6 = 1,2... будет
того же типа, что и процесс £ (0 = {£/(0)Г> будет
подчинен g(/), t0 < t < Т, но, очевидно, Н(г)) не со-
держит значений g( (t), t0<t < Т, так что /У (r))=#//(g).
Доказательство теоремы 2. Предположим,
что Н (т|) #= Н (g) и возьмем ненулевой элемент
Пусть F (/) = Е | Ptx |2, t0 < t < Т.
Среди упорядоченных структурных типов dFx (/) )> ...
.. .>dFM(t) процесса g(/), t0 < t < T, выделим те,
которым подчинен тип dF(fy, пусть это будут
dFt (/) >- ... >> dFp (/), где dFр (t) — самый «младший»
из них (р^М < оо). Если xlt ..., хм — система эле-
ментов в пространстве Н (g), порождающая обно-
вляющий процесс Х(/) = {X/ (/)}“, t0<t< Т; Xj(f) =
= PtXj, и F, (/) = Е | Ptx, |2, to < t < T:
то система элементов
Xj = j dXjit), j=l, p,
Д
где A — носитель меры dF(t)y очевидно, буде^ макси-
мальной ортогональной системой со структурным
типом dF (t) (см. определение на стр. 18).
Не ограничивая общности, можно считать dGj(t) =
= dF j(t), взяв соответствующие элементы уъ ..., ум^
порождающие обновляющий процесс Y (/) =
= {Y1 (С, to < t < Т (У, (/) = Ptyi, Gj (t) = Е | Ptyi |2,
tQ < t < Г). Ортогональная система элементов
/=!>•••> P>
Д
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 29
с тем же структурным типом dF (t) и той же крат-
ности р, что и максимальная система xJf j = 1, ..., р,
может быть дополнена выбранным ранее элементом х,
и, таким образом, в Н (g) найдена система у[9 ..., ур, х
кратности р +1, большей, чем максимальная крат-
ность р, что невозможно (см. неравенство (2.6)).
Следовательно, предположение о том, что Н (ч\)^Н (g),
является неверным, и тем самым теорема доказана.
§ 3. Некоторые примеры обновляющих процессов
1. Марковские процессы. Мы рассмотрим ниже
два важных класса процессов — марковских и ста-
ционарных в широком смысле.
Многомерный случайный процесс g (/) = {gz (/)}™
называют марковским в широком смысле, если для
любого t проекции Pfa (t + h) величин gt- (t + h),	0,
на все «прошлое» //z(g) принадлежат замкнутой
линейной оболочке значений gz(Z), Z = 1, ..., tn.
Ограничимся расмотрением лишь конечномерных
процессов. В этом случае для любого
tn
Psb(t) = ^c4(t,	(3.1)
где коэффициенты cZ/(Z, s) легко определяются по
корреляционным функциям
s) = Egz(OiT(s), Z, /=1, т.
Например, в случае линейно независимых
значений gy (s), / = 1, ..., tn, когда матрица В (s, s) =
= {Bij(s, s)} является невырожденной и существует
обратная матрица В (s, s)“! = {bki (s, $)}; коэффициенты
в выражении (3.1) можно найти по формуле
Q/(Z, «)= 2 Bih(t, s)bkl(s, s), i, j=\...m.
k
Согласно общему предположению (1.1)
lim =
s->t
30
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
и в случае линейно независимых значений
/==1, т, имеется некоторый интервал /j s t
такой, что величины
=	/=1, т,
образуют базис в линейной оболочке значений Е/(s),
Z=l,..., tn. Поэтому ортогональное дополнение
Ht (g) @ Htx (g) к подпространству (£) в простран-
стве порождаемое всеми величинами
(s) — Pt& (s), /1 < s < /; i = 1, ..., m,
совпадает с замкнутой линейной оболочкой величин
Л/ (з)—Л/ (О = Л/(з)—^.Л«(Д	z = l,...,m.
Случайный процесс г] (s) = {т)г ($)}{", tt s t, является
процессом с некоррелированными приращениями и
обладает тем свойством, что
^2(g)e^,(g)=^(n)e^.h)	(з.2)
при любых t\ S] s2 t, ив этом смысле является
обновляющим процессом для g (s) = {gz (з)}™,
(Можно затем перейти к обновляющему
процессу с некоррелированными компонентами и
упорядоченными структурными типами, как это сде-
лано в примере на стр. 22.)
Простейшим примером марковского в широком
смысле процесса может служить многомерный про-
цесс g (/) = {£; (/)}”, t > t0, удовлетворяющий системе
стохастических дифференциальных уравнений вида
т
^z(0=2	+	z = l, ..., tn, (3.3)
/=i
или, в матричной форме,
dl(t) = A(t)Z(t)dt + dx](t),
где A (t) = {Atj (i)} — непрерывная матричная функция
(неслучайная), а т](0 — (Л/ Ю}Г> —процесс с не-
коррелированными приращениями.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ
31
Решение системы (3.3) при заданных начальных
значениях £ (/0) =	(4)}”, точнее, решение интеграль-
ного уравнения
t
&(/) = £ (/о) + J A (s) I (s) ds + [n (0 - T) (Ш t > /о- (3.3')
t<s
может быть представлено в виде
t
= Ш Ш(/о)+/Я(Л	(3.4)
tr\
где m X-матричная функция R(t, s) — {Rl{(t, s)},
t^s,—так называемая резольвента—есть ре-
шение обыкновенного дифференциального уравнения
d^ ^’-s—= A(t) R(t, s), t> s,
с начальным условием R(s,s) = / (I — единичная
матрица). Действительно, по самому определению
имеем
t
R(t, s) = 1 + j A (и) R (и, s) du
s
И
t
s
t
t
j R(t, s) dv\ (s) = j I + J A (w) 7? (u, s) du d^is) —
to	to L
t
= [»] (/) — П (f0)] + J J A (u) R (u, s) du dx\(s) =
to
t Г и
= h (/) —11 (f0)] + J A («) J R(u, s) df](s) du.
Видно, что
to
0>
to
32
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
есть решение интегрального уравнения (3.3') с на-
чальным значением |(/о) = О; разность же х(/) =
— W)~W), как решение однородного диф-
ференциального уравнения dx (t)/dt = А (/) х (/) с на-
чальным условием x(tQ) = имеет вид
x(t) = R (t, to) g (t0).
Предположим, что приращения T)z (/)—т|£- (s),
/=1, т, некоррелирован ы с начальными
значениями (/0), j = 1, ..т. Тогда, если переопреде-
лить процесс т](/)={т]г- (/)}™, t < tQ, точнее, рассматривая
вместо первоначального процесса т)(/), t < tOf процесс
с некоррелированными приращениями W)— Wo)+
+ £(/0), можно (не меняя обозначений) считать
Пг (0 = ^(0, 1=1,..., т (3.5)
и переписать выражение (3.4) в виде
t
R(t, s) dt\(s).	(3.6)
^0
Очевидно, подпространства ЯДт]) порождаются
значениями (/0) и приращениями тр ($) — T]z (/о),
/0< s^t. Используя тот факт, что резольвента R(t, s)
удовлетворяет условию
+ s) = R(t + h,t)- R(t, s)
при всех t^s и /г^О, из формулы (3.6) получаем,
что
t
R(t + h,t)Z(f)=A RU + h, t) R (t, s) (h}(s)
= j R(t + h, s) dx\(s)
h
и
t+b
l(t-^h)-R(t + h,	J R(t + h, s)dr\(s).
t
Видно, что разности
litt+V-^Rtjit + h, t)li(t), i^l, ..., m,
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 33
ортогональны подпространству	т. е. величины
т	t т
+ 1)^(1) = J	h, s)dr\j(s)
/=i	и. /=1
являются проекциями значений g; (t + Л), i = 1.т,
на подпространства	s //z(r|).
Таким образом, процесс £(/) = {М0}Г, t^t0,
является марковским в широком смысле, а фор-
мула (3.6) дает нам его каноническое предста-
вление с помощью описанного выше (см. (3.5)) про-
цесса г] (/) = {т](- (Z)}j , t^tOt с некоррелированными
приращениями.
Очевидно, Ht (t]) S Ht (g) (см. (3.3')), т. е. этот про.
цесс является обновляющим для §(/) = {?;(/)}”,
а именно,
при всех t^t0.
2. Стационарные процессы. Рассмотрим стацио-
нарный в широком смысле процесс g (t) — {gj. (/)}{",
— oo < t < oo, т. e. такой, что корреляционные функ-
ции Bkl (t, s) = Eg* (/) gy (s) зависят лишь от разности
t — s:
M,s) = M-s)’ fe,/ = l,...,m.
Стационарный процесс g (/) = {gi (f)}", — oo < t < oo,
называют регулярным, если
f|^(g) = °.	(3.7)
t
Как известно *), регулярный процесс имеет спек-
тральную плотность / (Л) = {^/(Л)}; это положительно
определенная матричная функция от X, — оо < А, < оо,
компоненты	которой связаны с корреляцион-
ными функциями соотношением
оо
Bfe/(0= J e^fkji^dKj,	m.
*) См., например, Ю. А. Розанов, Стационарные слу-
чайные процессы, М., Физматгиз, 1963,
2 Ю. А. Розанов
34
обновляющие процессы
[ГЛ. 1
Более того, условие (3.7) равносильно тому, что
спектральная плотность f (X) почти всюду имеет один
и тот же ранг и представима в виде
/(А) = ^ф(А).ф(А)* п.в.,	(3.8)
где tn X «-матричная функция <р (Z) = {фА/-(А.)} удовле-
творяет условиям
оо
/ || ф (А) ||2 dK < оо,
—-оо
(3.9)
J ешф (A) dA = 0 при t < О,
—-оо
а ф(А)* обозначает матрицу, сопряженную к ф(А).
Обозначим И2 класс всех матричных функций-
ф(А), удовлетворяющих условиям (3.9). Преобразо-
вание Фурье
оо
= i pw<p(W (3.10)
—оо
функций из Н2 обращается в 0 при t < 0 и
Ф (X) = [ е~шс (/) dt
о
аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость
ImX<0 комплексного переменного X.
Отправляясь от спектрального представления
= feiMd<Pk(K), k =	(3.11)
—оо
где Ф (X) = {Ф& (Х)}^, —оо < X < оо,—процесс с не-
коррелированными приращениями, такой, что
н
ЕФ*(н)Фу(н)= ^fkl(y)dk, k,/=1, ..., m,
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 35
можно получить следующее выражение для рассма’
триваемого стационарного процесса:
t п
lk(t)= f	(3.12)
— oo /=!
где m X «-матричная функция c (t) = {ckj (/)}, />0,
есть преобразование Фурье матричной функции <р(Л) =
= {фй;(А)} класса Я2, удовлетворяющей условию (3.8),
а сам стохастический интеграл в правой части вы-
ражения (3.12) отвечает некоррелированным
приращениям
оо
Г piKt —	,
n/W-n/(s)= J -e ./......ф(А)~‘ЛФ(Л), (3.13)
—сю
j = 1, ..., n.
Уточним здесь, что, во-первых, ср (А,)-”1 есть п X w-
матричная функция, обратная к (р(Л) (т. е. про-
изведение ср (Л)-”1 ср (Л) есть п X ^-единичная матрица),
и, во-вторых, для непересекающихся интервалов (sb
и ($2, Q величины nz (^1) — П/и П/ОУ — П/(^2) не-
коррелированы, причем
E|n/W-n/(s)|2 = /-s, /=1, п, (3.14)
а величины (У — i}k (У и П/(У~П/(52) некоррели-
рованы, для любых интегралов, если k =/= /. Можно
рассматривать выражение (3.12) как неупреждающее
линейное преобразование я-мерного обобщенного про-
цесса л (0 = {'П/(0}? типа «белого шума», переписав
(3.12) в виде
Ц0 = J c(f —s)r)(s)ds.	(3.15)
— 00
Обозначим ЯДц) подпространство, порожденное
всеми величинами цД/)—t]/(s)>	/ = 1......
и Qt — оператор проектирования на Поскольку
Ht(i])=>Ht(l),	—00 </<00,
2*
36
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
имеют место следующие неравенства: для любого
Л>0
h т п	т
I ckj(s) |2ds= 2 El b{t + h) -Q£k+
0 fel >1
m
C 2E|^(/ + A)-P^(/ + A)f,
k—i
где Pt, как и раньше, обозначает оператор проекти-
рования на подпространство Если допустить,
что среди матричных функций ф(А) класса Я2, удо-
влетворяющих условию (3.8), найдется функция ф°(А),
для которой соответствующие приращения (/) — (s),
j = 1....п, дают равенство
=	(3.16)
оо
то матричная функция cQ(f) = J ешф° (Л) tZZ по от-
ношению ко всем матричным функциям c(t) —
оо
— J еш<р (A.) dK будет максимальной в том
— оо
смысле, что
h т п	т
о k=\ /=1	k=\
h т п
I S S' Ck>^'2rfs
о £=1 /=1
при всех	Такая функция ф°(Л)^Я2 действи-
тельно существует и определяется тем условием, что
она максимальна в прямом смысле этого слова:
пт	пт
II <Р° (А) II2 = 2 21 Ф°А/ (А) I2 > 2 2 I ф6/ (А) I2 = (| ф (А) II2
т k 1 II 1 1	(3.17)
при всех комплексных А, 1тА<0.
Фактически мы уже описали обновляющий про-
цесс, задав соответствующие приращения tjJ(/) —
§ 31 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 37
/=1, т. Как показывает общая формула (3.14),
кратность М обновляющего процесса равна п — рангу
спектральной плотности f(K):
М = п,
а в упорядоченной системе структурных типов
dF{ (/)>...>• dFM (t) (см. (2.4)) все dFj(t) эквива-
лентны лебеговской мере
dFj(t)^dt, /₽1.......М. (3.18)
Несколько иначе обстоит дело, если стационарный
процесс £(0 = {|i (t)}™, — оо < / < оо, рассматривается
лишь на конечном интервале t0 < t < Т (или при
Поясним это на примере одномерного стационар-
ного процесса £(/) со спектральной плотностью вида
п
vjifi P(z)=^i pkZk — полином степени п, все корни
fe=0
которого лежат в левой полуплоскости Re z < О
(в частности, р0 0). В этом случае максимальной
функцией, удовлетворяющей условию (3.8), будет
а формула (3.13) дает
f № _
П (0 - n(s) =	----.т— Р (Л) ЙФ (А) =
J	Ifv
с piM_JKs
= а	-Ро^Ф(М +
J	L'v
— ОО
00	п-1
+ /	- eiKs) 2 Pfe+i W =
— оо	k—Q
*	П — 1
=ро J । («)<*«+S pk+i	(*)]• (3-20>
38
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. I
Если это соотношение переписать в дифференциаль-
ной форме
dr\ (t) = 2 pkl^ (t) dt + pn (t),
k*=0
то легко заметить, что многомерный процесс (^ (/)}”,
с компонентами
k = \,...,n,
удовлетворяет системе стохастических дифференциаль-
ных уравнений типа (3.3), а именно,
=	k = \, ..., п-1,
= + (3’21)
\ Рп	/ Рп
Кроме того, как и в случае общего стационарного
процесса, определяемые выражением (3.20) величины
т](/) — л^о), ортогональны к замкнутой линей-
ной оболочке всех значений g(s), и> в част-
ности, к величинам
=	k = l,..., п. (3.22)
Таким образом, многомерный процесс (/)}”,
принадлежит к тому типу, что был уже рас-
смотрен нами, и из полученных выше результатов
(см. стр. 33) следует, что в рассматриваемом случае
обновляющим для {^(/)}р будет процесс
{лИО}?» t^tQ, с компонентами
=	k = 1, ..., п — 1,
nn(O = n(O-n(^o) + ^(^	(	}
Очевидно, этот же процесс будет обновляющим
и для исходного стационарного процесса £(/), t^tQ.
ГЛАВА II
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Изометричные семейства и некоторые примеры
Пусть Ht, t$<t < Т, —семейство подпространств
в гильбертовом пространстве Я, удовлетворяющее
условиям (1.1) гл. I. Пусть Ut, tQ<t<T,—другое
семейство (в гильбертовом пространстве Я). Будем
называть эти семейства изо мет ранными, если суще-
ствует изометрический оператор X из U в Н такой,
что
Ht = XUt, tQ<t<T.	(1.1)
Чтобы не вводить новых обозначений, будем счи-
тать, что Н и U являются замыканием объединения
всех подпространств Ht, tQ<t<T, и Ut, tQ<t <Т
соответственно; тогда X — унитарный оператор,
отображающий U на Н.
Обозначим Pt оператор проектирования на Ht,
Qt — оператор проектирования на Ut,	Оче-
видно, при условии (1.1)
Pt = XQtX~\ t«<t<T,	(1.2)
поскольку для унитарного оператора X вместе
с условием (1.1) выполняется также условие Ht~ =
= xuj- (где =	U^UQUt), и потому
при h^Ht
X'lh<=Ut, QtX~'h = X~xh, XQtX~'h = h,
а при h ± Ht
X'‘hLUlt QiX~ih = G, XQtX~lh = Q.
40
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. И
Возьмем произвольные элементы и[9 um^U,
порождающие «обновляющий» процесс	/0 <
< t < Т, для семейства Ut, tQ<t<T (т. е. подпро-
странства Uky порождаемые всеми величинами Qtuki
tQ<t < Т, ортогональны между собой при различных
k = 1, ..., N, и U = ф Uk). Положим Fk (/) = || Qtuk ||2,
k=\
tQ<t<T; 6 = 1, N. Очевидно, соответствующие
элементы xk = Xuk, k = \, ..., N, порождают в про-
странстве Н обновляющий процесс [Ptxk]^9 tQ <t < Т,
точно такого же типа, поскольку
Ptxk = XQtuk, t0<t<T,
откуда видно, что подпространства Hk = XUk (поро-
ждаемые величинами Ptxk, tQ<t<T) ортогональны
между собой и
II Ррсь II2 = II XQtuk II2 = II Qtuk II2 = Fk (/),
t0<t<T-, k = \, ..., N.
Таким образом, для изометрических семейств Ufi
tQ<t < Т, и Ht, tQ<t < Т, обновляющие процессы
имеют один и тот же тип.
Верно и обратное утверждение. Действительно,
рассматривая «циклические» подпространства Uk и Hk
с эквивалентными структурными типами, можно вы-
брать порождающие элементы uk е U k и xk е Hk так,
чтобы их структурные типы в точности совпадали:
IIQ/«dl2 = ll^ll = ^W. * = 1, .... N.
N	X
Пространства U — ф Uk и Н=® Hk унитарно изо-
k=\
морфны пространству С всех векторных функций
c(t)=^ [ck (Z)}^, tQ^t< T, с компонентами, удовлетво-
т N
ряющими условию J ck(t) ^dFk(t) < оо, в котором
/0
§ И
ИЗОМЕТРИЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА
41
скалярное произведение элементов с, (/) = [clk (Z))^ и
c2(Z)= {с2И0)Г определено как
Т N
J	(1.3)
причем при унитарном отображении Н, U-> С под-
пространствам Ht и Ut соответствует подпростран-
ство Ct всех функций c(s),	из простран-
ства1 С, таких, что с($) = 0 при s>t (см. § 1 гл. I,
стр. 10).
Представьте теперь, что имеются два семейства
подпространств: Ht> t0<t<T, и Ut, to<t <Т, свя-
занных друг с другом следующим образом:
Ht = AUt, t0<t<T,
(1.4)
где А — некоторый линейный оператор из гильбертова
пространства U в гильбертово пространство Н. Или
представьте еще, что соотношение типа (1.4) связы-
вает (незамкнутые) подпространства Я? и (7?:
Я° = ЛС/?,	(1.4')
замыкания которых есть
Ht^Hi Ut = lft, to<t<T.
Спрашивается, для каких операторов А можно утвер-
ждать, что соответствующие семейства Ht и Ut,
tQ<t < Т, будут изометричны?
Чтобы пояснить, какое отношение этот вопрос
имеет к теории обновляющих процессов, рассмотрим
несколько примеров.
Пусть г](/) = {ц£ (/)}Г, tQ<t < Т,—какой-либо «стан-
дартный» процесс, для которого известен тип обнов-
ляющего процесса или даже определены проекторы Qt
на подпространства ЯДт])> ^<1<Т>
Пусть £(/) = {£, (/)}{", tQ< t< Г, —другой процесс,
который мы желаем сравнить со стандартным про-
цессом п(/) = {т]х (/)}?, tQ<t<T, Введем оператор Л:
=	tQ<t<T, (1.5)
42
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
и линейно продолжим его на линейную оболочку Я0 (ц)
всех значений г)г- (/), i = 1, ..., m, tQ < t < T (это воз-
можно, например, если указанные значения (t)
линейно независимы). Если обозначить Я?(т]) ли-
нейную оболочку значений щ (s), *’=1, •••> k <
< s /, то, очевидно,
И	____ ______________
Мы видим, что поставленный выше вопрос в отно-
шении оператора А и #, = //,(£), Ut = Ht(y^ озна-
чает следующее: при каких условиях на оператор А
обновляющий процесс для £(/), /0 < t < Г, имеет тот
же тип, что и обновляющий процесс для т](/), tQ <
< t< Т?
Отметим здесь, что для процессов одного и того
же типа важной является задача отыскания соот-
ветствующего изометрического оператора X*.
=	t0<t<T
(см. (1.1)), с помощью которого проекторы Pt на
подпространства	могут быть определены по
формуле (1.2):
Pt — XQtX~\ t0<t<T.
Рассмотрим несколько примеров, показывающих,
что структурный тип может меняться самым неожи-
данным образом при переходе от семейства подпро-
странств Ut, t0<t<T, к семейству Ht = AUt, /0 <
< t < Г, где А — ограниченный линейный опе-
ратор.
Пусть ц(/), 0 < t < 1, — стандартный винеровский
процесс. Как известно,
п(0 = 2паФаЮ, о</<1,
£=0
1
где па = J П (0 Фа (t) dt, а ср* (/) = sin (k + 1/2) nt — соб-
О
ственные функции ядра В (s, f) = min (s, /), 0 s, t 1.
§ И
ИЗОМЕТРИЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА
43
Пусть А — оператор проектирования на конечномер-
ное подпространство L, порожденное величинами
(отметим, что т)^., £ = 0, 1, ..., есть орто-
гональный базис в пространстве £/ = //(£)). Рассмот-
рим процесс
п— 1
g (/) = аТ] (/) = 5 ад* (/),	0 < t < 1.
/г=0
Для любого t > 0 при надлежащем выборе точек
О < tj < ... < tn < t матрица {<р* (//)} будет невырож-
денной, и из уравнений
п—1
n*<Pfe (tj) = I (if), j=l, • • •, «,
находим, что величины т]э, ..., являются линей-
ными комбинациями значений gft), ..., l(tn) и при-
надлежат подпространству Очевидно,

0</< 1,
и процесс X (/) = {Xk (t)}” с компонентами Xk (/) = ти-н
k = 1, ..., п, будет обновляющим для g (/), 0 < t < 1.
Таким образом, если исходное семейство U t =
имело кратность 2V=1 (обновляющим
является сам процесс ц(/), 0 < / < 1, со структурным
типом Л), то семейство Ht = AUt, 0</<1, будет
иметь кратность М — п, а структурным типом (крат-
ности М) будет мера, целиком сосредоточенная
в точке t— 0.
Как показывает этот пример, даже для ограни-
ченного оператора А на месте точек непрерывности
семейства Ut (U/+0= Ut) у нового семейства Ht = AUt
могут появиться «скачки» (Нм =# Ht).
Вообще, для простейшего стандартного семейства
Ut = ЯДц), 0</< 1, где ц(/) — винеровский процесс,
можно указать такой проектор Л, что семей-
ство Ht = AUt, 0</<1, будет иметь произвольный
44
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
заранее заданный структурный тип. Именно, если
взять процесс вида
f	/ 1
О	'О
для которого обновляющий процесс имеет заданный
структурный тип (о существовании такого процесса g (/),
0<t < 1, с любым наперед заданным структурным
типом говорилось ранее на стр. 11), и взять орто-
гональный ему стандартный винеровский процесс
W(t), 0</<1 (Я (Г) ±//(g)), положив
n(/) = g(/) + lF(/),	0</<1,
то семейство Ht(г|), 0 < t < 1, будет изометрично
семейству Ut =	0</<1 (см. стр. 25). При
этом
£(/) = ЛШ 0</< 1,
где А — оператор проектирования на под-
пространство Н (g).
Вернемся к произвольным семействам подпрост-
ранств Ut и Ht = AUt, tQ<t<T (Л — ограниченный
линейный оператор).
Будем называть оператор А обратимым, если
существует ограниченный обратный оператор Л-1.
Для операторов такого типа вопрос об изометрич-
ности семейств Ut и Ht — AUt, tQ<t<T, легко ре-
шается в случае, когда Ut, tQ < t < Т, есть дискретная
цепочка подпространств, а именно,
Ut= ®	(1.6)
tk<t
где tk, k = 1, 2, ..., — конечное или счетное мно-
жество точек интервала [/0, Г), в которых
= Utk + о ©	(Utk+h © Utk) ¥= 0.
Структурные типы
dFl(t)>dF2(t)>...>dFN(t)
§ И
ИЗОМЕТРИЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА
45
такого семейства являются чисто дискретными, со
скачками в точках tk, k = l, 2, ... Напомним, что
Fj (t) = || Qtuj ||2, tQ < t < T, где Qt — оператор проек-
тирования на подпространство Ut, a щ, ..., uN —
полная система «циклических» векторов в гильбер-
товом пространстве U, для которых порождаемые
элементами Qtu^ tQ< t < Т, подпространства Uj орто-
гональны при различных	и U=®Uf
/=i
(см. стр. 40). В рассматриваемом случае цикличе-
ские векторы щ, ..., uN могут быт выбраны следую-
щим образом:
Uj = 2 Ckuk}, j=l, N,
где ukj, j=\, , Nk, — ортонормированный базис
в соответствующем подпространстве Ак== Utk+0Q Utk
размерности Nk (Nk^N), ukj = Q при j>Nk и
2l Ck I2 <
k
Очевидно, семейства Ut и Ht — AUt, tQ<t<T,
будут изометричными тогда и только тогда, когда Ht,
t0<t<T, будет чисто дискретной цепочкой со скач-
ками в тех же самых точках tk, k = 1, 2, ..., причем
dim (Я^+о © Htk) = dim (Utk+o ©	(1.7)
при этом условии, выбрав любой унитарный
оператор X:
х(Uik+0k = 1, 2.......
будем иметь
Ht = XUt, t0<t<T.
Пусть A — ограниченный обратимый оператор
и Ht = AUt,	Поскольку AUt+0 S AUt+h =
= Ht+h при всех h > 0, имеем AUt+b s f~) Ht+h = Ht+0.
h>0
Учитывая, что Ut = A~xHt, tQ< t < T, имеем A~'Hf+0 S
s Ut+0> Ht+Os AUt+0 и в итоге получаем
Hi+0 = AUt+0, t0<t<T.	(1.8)
46
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. И
Равенство (1.8) показывает, что семейство Ht,
tQ< t < Т, является дискретной цепочкой подпро-
странств и может иметь скачки лишь в тех же точ-
ках tk, что и семейство Ut, /0 < / < Г, поскольку при
Ut+o = Ut имеем Ht+0 = AUt+0= AUt = Ht.
По поводу этого уместно заметить здесь, что без
условия обратимости оператора А, вообще говоря,
равенство (1.8) может не выполняться; более того,
что кажется несколько неожиданным для ограни-
ченного оператора Л, может оказаться, что f/z+0 =
= lim [//+л==0, тогда как Я/+о = lim AUt+h =# О
h-»+0	/i->+0
(ср. с примером на стр. 42).
Покажем, что выполняется условие (1.7). Дей-
ствительно, обратимый оператор А прямую сумму
подпространств Utk+o = UtkA~ переводит в пря-
мую же сумму Я^ + о = Htk + ЛА* (точнее, ни при
каком и е А* элемент х = Аи не принадлежит Ht^
откуда следует, что подпространство
Htk+oeHtk=(i~ptk) лд,
(Pt означает оператор проектирования на имеет
ту же размерность, что и подпространство ЛА*, ко-
торая совпадает для обратимого оператора Л с раз-
мерностью подпространства
Ай = Utk>
Таким образом, справедливо следующее предло-
жение.
Пусть Ut,	—дискретная цепочка под-
пространств в гильбертовом пространстве U и Л —
ограниченный обратимый оператор из U в гильбер-
тово пространство Н\ тогда семейства Ut и Ht = AUh
t0<t < Т, изометричны *).
*) Существует гипотеза о том, что это верно для обра-
тимого оператора Лив случае произвольного семейства £//,
<t <Т,
§ 2] НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 47
§ 2.	Некоторые модели случайных процессов.
Понятие регулярности и проблема факторизации
В дальнейшем нам удобнее будет рассматривать
обобщенные случайные процессы. Например, сравни-
вая «обычный» процесс g (/) = {gz (Z)}™, t0 < t < T,
с некоторым стандартным процессом ц (/) = {щ (/)}?*,
/0 < t < Т, можно ввести обобщенный процесс (g, и),
и е £7°, на предгильбертовом пространстве 47° — Н° (13)—
линейной оболочке всех значений т]/ (/), положив
(g, и) = Аи,	(2.1)
где А— линейный оператор из 47° в Н (g), опреде-
ленный формулой (1.5) (а именно, Ax\t (/) = gz (/), i —
= 1, ..., m, /0 < t < T).
Представьте, что «наблюдается» некоторый обоб-
щенный случайный процесс (g, и), и е 47°, опреде-
ленный на некотором подпространстве 47° в гиль-
бертовом пространстве U со скалярным произведе-
нием (и, v), u, v U, в котором задано некоторое
семейство подпространств 4/?, /о < t < Г, такое, что
к моменту времени t «наблюдатель» располагает
всеми величинами (g, и), и е 47?. Предположим, что 47°
плотно в U '.U = UQ, и в гильбертовом пространстве
задан корреляционный оператор В:
Е (£, и) (g, и) = (Ви, v), и, v(= UQ.
Обозначим Ht замыкание подпространства всех
величин (g, и), и е 47?. Спрашивается, при каких
условиях на корреляционный оператор В семейства Ht,
tQ<t<T, и Ut = UQt, to < t < T, имеют один и тот
же тип, точнее, являются изометричными?
Если ввести оператор А, удовлетворяющий условию
А*А = В	(2.2)
(например, можно взять Л = В1/2 — положительный
квадратный корень из положительного оператора В),
то будем иметь
Е (g, и) (g, v) = (Ви, v) = (Au, Av), и, U°,
48
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
откуда видно, что изометричными являются семей-
ства и Alft, to<t<T, и поставленный выше
вопрос можно переформулировать следующим обра-
зом: при каких условиях на оператор А будут изо-
метричными семейства
tft = AU° и Ut = Ul h<t<T
(2.3)
(ср. (1.4) и далее)?
Вообще, рассматривая вопрос о типе семейства
подпространств //,(£), tQ < t < Г, возникающих при
«наблюдении» обычного случайного процесса £(/),
/0 < t < Т, или сравнивая /7z(g), t$<t<T, с некото-
рым другим «стандартным» семейством (7Z, t0 < t < Т,
в том или ином гильбертовом пространстве £7, как
правило, можно перейти к описанной выше схеме
обобщенного процесса (£, и), и е t/°, гильбертовом
пространстве U с заданным семейством подпространств
£7?, to < t < Г, таких, что совпадает с замы-
канием подпространства всех величин (g, и), и s [7?,
a Ut = UQt, tQ<t< Т.
Проведем эту простую редукцию для беско-
нечномерного процесса, заданного таким обра-
зом, что его компоненты, обозначаемые {£(/)> х},
to<t < Т, отмечены «индексом» хе /?, где 7?— сепа-
рабельное гильбертово пространство со скалярным
произведением {х, у}, х, у R. Будем предполагать
при этом, что корреляционная функция B(t, s), tQ <
< t, s < T, такого процесса, определяемая из соот-
ношения
ВО), *}U(s), = s)x, у},	x,y<=R,	(2.4)
является слабо непрерывной операторной функцией
в R.
Введем линейное пространство £7° всех функций
со значениями в /?, являющихся линейными комби-
нациями вида
и (/) = 2 Xkck (/),	to < t < Т,
k
§ 2]
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
49
где коэффициенты xk есть элементы из гильбертова
пространства R, а числовые функции ck(f) финитны
(обращаются в 0 вне конечного интервала) и удо-
т
влетворяют условию J | щ,(/) |2Л < оо. Обозначим [7?
^0
подпространство, образованное всеми функциями
u = u(s), tQ<s<T, указанного типа, удовлетворяю-
щими дополнительному условию u(s) = 0 при 5>Л
Введем также гильбертово пространство U = L2(R)
всех измеримых функций u = u(t),	со зна-
т
пениями в /?, для которых J || u(t)\\2dt < оо, опреде-
лив скалярное произведение элементов и, v е U как
т
(и, у) = | {и (/), v (/)} dt.	(2.5)
to
Очевидно, замыкание if} в U представляет собой
подпространство Ut всех функций w = w(s),
из U — UQ, удовлетворяющих условию
и ($) = 0 при s>t,	(2.6)
и структура семейства подпространств U(, t^<t<T,
может быть принята за определенный стандарт.
Введем обобщенный случайный процесс (g, и),
u^U, положив
т	т
(I, ы) = / а (0.«(/)} dt=2 J а ю, xk) мо dt (2.7)
to	k to
при и (0 = 2 xkck (f) e U°.
k
Очевидно, замкнутая линейная оболочка //z(g)
всех значений {£($), х},	tQ< s^t, совпадает
с замыканием подпространства //?(£) всех величин
(g, u),	(напомним, что мы считаем корреля-
ционную функцию B(s, t) слабо непрерывной, а это
50
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
равносильно непрерывности в среднем квадратичном
всех компонент {g(/), х}, t0<t< Т, исходного процесса).
Далее, из формул (2.4), (2.7) легко вывести, что
Т Т 
= j’ J {В (s, f) и (s), v (/)} ds dt, u,veUr\ (2.8)
to to
и если предположить выполненным условие
т т
J J || В (s, t)ll2dsdt< оо,
to t0
(2.9)
то обобщенный процесс (g, и), и е (/°, по непре-
рывности может быть продолжен на все гильбертово
пространство U = L2(R), а ограниченный положи-
тельный оператор В с ядром B(s, /):
т
Ви (t)= j В (/, s) u(s)ds, u^U, (2.10)
to
будет корреляционным для % (и), u^U.
Как уже отмечалось выше (см. (2.3)), вопрос о том,
будет ли семейство Я/(£), tQ<t< Г, изометрично стан-
дартному семейству Uti tQ<t < Т, сводится к анало-
гичному вопросу для семейства Ht = AUh tQ<t<T,
где A = Bi/2 — квадратный корень из положительного
оператора В.
Остановимся еще на одном важном случае —
бесконечномерном стационарном процессе g(/),
— оо </<оо, с компонентами {£(/), х}, x^R, которые
являются стационарно связанными в обычном
смысле процессами. Условие стационарности состоит
в том, что корреляционная функция В(/, $)— см. (2.4) —
зависит лишь от разности t — s.
Предположим, что имеется спектральная плот-
ность fKi —оо<Л<оо,—измеримая операторная
функция в гильбертовом пространстве R (при фикси-
§ 2] НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 51
рованном А представляющая собой положительный
оператор fK в R), такая, что
Е {£ (0, х} {g (s), у} = {В (t — s) х, у} =
= J elK»-s>{fKx, y}dk, x,yt=R. (2.11)
—оо
Предположим для простоты, что функция fK является
ограниченной (||/%|]< С). Обратившись к соот-
ветствующему обобщенному процессу (g, и),
(в формуле (2.7) нужно положить /0 =— оо и Т == оо),
будем иметь
оо
E(g, н)(П0= /О(Л), 6(Z)}dA,	(2.12)
—оо
где й (Л) обозначает преобразование Фурье соответ-
ствующей функции и е £7°, а именно,
й (Л) = J еши (t) dt =
—оо
оо
= xk j* eiUck(i)dty —оо < Л < оо, (2.13)
k — ОО
При и (/) = S ХкСк (t), —оо <t < оо.
k
Удобнее перейти к новому параметрическому про-
странству, взяв вместо £/° пространство UQ всех функ-
ций й(к), которые связаны с функциями u(f)^UQ
с преобразованием Фурье, и положив
(g, u) = (g, и), йе=й°.	(2.14)
Из формулы (2.12) видно, что обобщенный процесс
(g, й), й е £7°, имеет своим корреляционным операто-
ром «оператор умножения» на спектральную плот-
ность fK:
[Вй](к) = /\й(Л),	—оо<Л<оо. '	(2.15)
52
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
Обозначим U°t подпространство в пространстве 0й,
образованное всеми элементами й е U0, которые по-
лучаются преобразованием Фурье (см. 2.13)) функций
u = u(t) из соответствующего подпространства U°t,
-- ОО < t < оо.
Как известно, преобразование Фурье есть унитар-
ный оператор в L2(7?), и, следовательно, семейства С/?
и Я?, —оо <t< оо, унитарно изоморфны. Как пока-
зывает формула (2.12), унитарно изоморфными
будут также семейства подпространств Я?(£) и ЛЯ?,
— оо < t < оо, где А — Вх'2 есть «оператор умноже-
ния» на fj/2:
[лвд=^2ад,
— оо < Л < оо.
(2.16)
Таким образом, вопрос о том, при каких условиях
на спектральную плотность fK семейство ЯД£) будет
того же типа, что и описанное выше стандартное
семейство U t, — оо < / < оо (см. (2.6)), является част-
ным случаем общего вопроса об изометричности
семейств вида ЛЯ?, t0 < t < Г, и Я t = UQv tQ<t<T,
обобщенного процесса (g, и), и е Я0, на пред-
гильбертовом пространстве Я0 с корреляционным
оператором В = Л*Л.
Обратимся к произвольному обобщенному про-
цессу (g, и), UQ, с корреляционным оператором В
в гильбертовом пространстве Я = Я0 с заданным
семейством подпространств Я?, /о < t < Г, и рассмо-
трим соответствующее семейство ЯД£), /0 < t < Т
(напомним, что ЯД£) обозначает замкнутую линей-
ную оболочку всех величин g (и), и е Я?). Положим
Ut = lPt и будем считать, что пространство Я совпа-
дает с замыканием объединения всех подпро-
странств UtJ tQ<t <Т.
Назовем процесс (g, и), и е Я0, регулярным, если
семейства Я,^) и Ut, tQ<t<T, изометричны:
tQ<t<T,

(2.17)
§ 2]
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
53
где X — некоторый унитарный оператор из U
в пространство Н (g) — замкнутую линейную оболочку
всех величин g(u), и е 77°.
Будем говорить, что оператор В допускает соб-
ственную факторизацию, если он представим в виде
В = С*С,	(2.18)
где С—некоторый линейный оператор из U° в U
такой, что
CU*=Ut, tQ<t<T.
(2.19)
Теорема. Процесс (g, и), u^U°, является регу-
лярным тогда и только тогда, когда его корреляцион-
ный оператор В допускает факторизацию.
Доказательство. Как уже отмечалось, семей-
ство Ht(Q, tQ<t<T, изометрично любому семейству
подпространств вида AU°f, tQ<t<T, где А — линей-
ный оператор, определенный на UQ и удовлетворяю-
щий условию А*А = В. Поэтому если процесс (§, и),
и е 77°, регулярен, то семейство подпространств АЩ,
tQ<t < Т, где А = В1/2 — положительный квадратный
корень из корреляционного оператора В, изометрично
семейству Ut = UQt, t^<t < Т, т. е. существует уни-
тарный оператор X из U = UQ в AUQ, такой, что
AUQt = XUt, tQ<t<T. Очевидно, оператор С = Х~1А
удовлетворяет условиям (2.18), (2.19).
С другой стороны, если корреляционный опера-
тор В допускает факторизацию (т. е. существует
некоторый оператор С, удовлетворяющий условиям
(2.18), (2.19)), то подпространства AUQt при А = С
просто совпадают с Ut, а как только что было
доказано, регулярность равносильна изометричности
семейств AUQt и Ut,tQ<t<T (для какого-либо А,
А*А —В). Следовательно, если корреляционный опе-
ратор В допускает собственную факторизацию^ то
процесс (£, и), и е £7°, является регулярным.
54
регулярные Процессы
[ГЛ. п
Как показывают приведенные ранее примеры,
отнюдь не всякий оператор В допускает фактори-
зацию.
По поводу факторизации отметим также следую-
щее.
Предположим, что положительный оператор В
в гильбертовом пространстве U представим в виде
В = С*С. Такое представление, конечно, не един-
ственно; например, имеем также В — С\-С\ для
С1 = ХС, где X — произвольный унитарный опе-
ратор в U. С другой стороны, если для каких-либо С
и Cj выполняется условие В = С*С = C\Ci, то опе-
ратор X, определенный на подпространстве CU° ра-
венством ХСи = Сщ, u^UQ, будет и з о м е тр и че-
с к и м:
(ХСи, XCu) = (CJu, С^)=:
= (С1Сщ, v) = (С*Си, v) = (Cu, Cv), и, v^U.
При условии же, когда Си] = Схи^= Ut для всех t
(см. (2.19)) имеем CU° — C}UQ = U, и, следовательно,
оператор X однозначно продолжается до унитарного
оператора на всем пространстве U. Кроме того, по-
скольку для любого u^Ut найдется последователь-
ность Un^U°t, п=\, 2, ..., такая, что и = lim Сип, то
Хи = lim ХСип = lim Сщп е Ut.
Таким образом, при условии (2.19) факторизую-
щий оператор С в соотношении (2.18) определен одно-
значно с точностью до унитарного множителя X,
удовлетворяющего условию
xut=ut, t0<t<T.
(2.20)
Для заданного семейства t/0, t0 < t < Г, со струк-
турными типами dFx (/)>... ";>dFN (t) можно исполь-
зовать следующую стандартную модель: U—простран-
ство векторных функций и (/) = {uk (/)}^, /0 < t < Г,
с компонентами uk(t),
uk (0 = 0 при dFk (t)/dF{ (/) = 0, k = 1, ..., N,
§ 2]
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
55
в котором скалярное произведение элементов u(t) =
= {uA,(/)}^ и v (0 = {vk (01Г определено формулой
(«, <0 =
Uk (О Vk (О
dFx(fy,
семейство Ut, tQ<.t<T, в функциональном простран-
стве U реализуется как семейство подпространств
Ut = {u(s), t0 < s < Т: &($) = 0 при s > t}
(см. по этому поводу § 2 гл. I). Обозначим Е TV-мерное
векторное пространство с обычным скалярным произ-
ведением S xktfk векторов х = {xjf, у = {ykW е Е и
k=\
£z — подпространство в нем, образованное векторами
х = с компонентами
Xk — 0 при dFk (t)ldFx (/) = 0.
Пусть X — унитарный оператор в U, удовлетво-
ряющий условию (2.20). Тогда при всех t
t N
J '^i(Xu)k(s)-(XvK(sjdFl (s) =
to k~l
t
= j uk (s) • Vk ($) dF{ (s), u, V (= U.
t0
Видно, что при фиксированном s отображение
{^а<->{(хи)и<,
определенное для почти всех s, является унитарным
в подпространстве Es Е. Отсюда уже легко вывести
формулу, описывающую общий вид унитарного опе-
ратора . X, который удовлетворяет условию (2.20)
в функциональном пространстве U:
(Xu)(f) = Xtu(t), tQ<t<T, (2.21)
где Xt при фиксированном t есть произвольный уни-
тарный оператор в подпространстве Et векторного
пространства Е (необходимо только, чтобы оператор-
ная функция Хр t$<t <Т, была измеримой),
56
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
§ 3.	Одна теорема о факторизации
Нашей целью будет здесь доказательство следую-
щего предложения *).
Теорема. Положительный (обратимый) опера-
тор В в гильбертовом пространстве U вида В = 1 -— G,
где G — оператор Гильберта — Шмидта, допускает
собственную факторизацию
В = С*С (CUt = Ut, tQ<t<T) (3.1)
относительно любого семейства подпространств Ut,
t0<t<T.
Предварительно отметим, что оператор В допускает
факторизацию (3.1), если он представим в виде
В = С_ • С+,	(3.2)
где операторы С_ и С+ являются обратимыми и
удовлетворяют условиям
C+Ut = Ut, C-Ut- S Uh, to < t < T;
здесь «сопряженное» семейство подпространств
u^-=ueut,
to < t < T,
инвариантно относительно оператора C_ тогда и
только тогда, когда само семейство Ut, tQ<t<T,
инвариантно относительно сопряженного оператора
CL : CLUt <= Ut.
Действительно, в случае положительного опера-
тора В положительным будет также оператор
d = (с;1)’ вс+1 = (с’+) 1 вс+1 =
=(с’+)’|с,+с:с;,=с’_с;1,
для которого, очевидно, DUt^Ut. Поскольку опе-
ратор D является обратимым, на самом деле имеем
*) Ср. с изложенным по этому поводу в книге И. Ц. Г о х-
берга и М. Г. Крейна, Теория вольтерровых операторов
в гильбертовом пространстве и ее приложения, М., «Наука»,
1967 (теоремы 6.2 гл. IV и 10.1 гл. I).
ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ
57
§ 3]
DUt=Ut. Если ввести оператор £>1/2—положитель-
ный квадратный корень из D, то получим, что
В = С*+£>С+ = С*С,
где оператор С — Dil2C+ удовлетворяет условию
< cut — ut, t0<t< т.
Мы покажем далее, что обратимый оператор
В = I — G можно факторизовать с помощью операто-
ров С+ и с_ = вс;‘ (см. (3.2)), взяв С+= (/+ G+)~‘,
где оператор G+ определен как своего рода интеграл
G+ = / / (/ - QtGQt-)-' dQsG dQt (3.3)
s<t
по «операторной мере» dQsG dQt (здесь Qt — проек-
торы на подпространства Ut, t0<t<T).
Отметим’ сразу, что поскольку В — положительный
обратимый оператор, то
sup (Gu, и) = 1 — inf (Ви, u) — r< 1
II «11=1	II «11=1
и для любого проектора Q
inf ([/ — QGQ] и, и) — 1 — sup (QGQu, и)^ 1 — г > О,
Цы||=1	И«11=1
и следовательно, I — QGQ является положительным
обратимым оператором, причем
II7 — QGQ 1Г‘<.	(3.4)
Выберем конечное разбиение у = {/о<Л<
... < tn < tn+\ — T}. Положив AQ/fe = Q/fe+1—Qtk, всякий
оператор А можно представить в виде
Л =( 2 AQfjX ( 5 AQf,) =
U=0	\f=o	4
= 2 AQ/ XAQ/ + 2 AQ/.XAQ/.,
k<i R 1	R	1
где
5(Л)= s AQ^AQz.
k<j R '
58
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
обладает тем свойством, что
п
Utk =
Аг-1
= 2 (QtjA &Qtj) Utk S utk_t, a = 1,..., n 4-1, (3.5)
и
S(X) Ut, = 0,
а дополнительная часть S'(X) = X — S(X),
S'M)= 2 AQi/AQ/.,
такова, что
n
S'WUi=^Q AQ =
n
= 2 (AQtAQf\ ut = ut, j = O,...,n. (3.6)
R.=J x	К	K~r I / J	]
Посмотрим, что дает «операция усечения» S(A)
для оператора
X = G(/ + G+),
где G = I — В и
G+ = 2 (/ - QtjGQtjy' &QtkG SQtj. (3.7)
Имеем
5(G-G+)=2Q//(G-G+)AQ,/ =
n	n
= 2 Q,,c 2 (l -	()-’ Q,fi AQ,t AQ,t =
= 2 Q,tC II - QitGQlty’ Q,fi AQ,t,
а поскольку каждое из подпространств t/^ инвариантно
относительно операторов I — QtfGQtk, (/ — QtkGQtkyl
и проектор Qtk перестановочен с ними, то
s(G • G+) = 2 QiaGQ<a(/ -QtkGQtkY' Qt/G\Qt
& I fv	/V \	/V	/V/	/V	гм
§ 3]	ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ	59
В итоге получаем
S[G(Z4-G+)] = S(G)4-S(G-G+) =
п
= 2 [' + Q'fiQ',. (' - <?<,««<,)I Q'fi -
= 2 у -QifiQltr' Gift ЭД, = <;+
। \	/V	К/	К	K>
Таким образом, оператор G+ получается «операцией
усечения» оператора А — G (Z + G+):
S[G(/ + G+)] = G+.
Легко проверить, что
5(ЛГ = 0	(3.8)
(ср. с (3.5)), и следовательно, спектр усеченного опе-
ратора G+ = S (Л) состоит из единственной точки
Л = 0, так что оператор (/ + G+) является обратимым.
Если взять G~ = S'(Л) для X = G(/ + G+), то будем
иметь
G+ + G^ = G(/ + GJ
и
(7-G)(/+GJ = / + G+--G(/ + G+)==
= /+ G+ —G+ —G_ = / —G_,
откуда находим
(Z —G) = (Z —G_)(Z+G+)-1.	(3.9)
Подпространства Utk, k = 0, 1, ..., n + 1, инвариантны
относительно усеченного оператора G+ = S [G (I + G+)]
(cm. (3.5)), а следовательно, и относительно опера-
торов Z4-G+, (Z + G+)-1. В свою очередь, подпро-
странства Ut~k, k = 0, 1, ..., п+1, инвариантны
относительно операторов G_ = S' [G (Z + G+)] и Z — G_
(см. (3.6)). Таким образом, соотношение (3.9) дает
нам факторизацию оператора B — I — G с помощью
С+ — (I + G+)-1 и С_=1—G_ относительно дискрет-
ной цепочки Utk, t0 < tt < ... < tk+i — T (см. (3.2)).
60
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. и
Выражение (3.7) для оператора G+ = G+* напоми-
нает своего рода интегральную сумму, и если пред-
ставить себе, что при все более мелком разбиении
V —{/о<Л < ••• <tn<tn+i — T} существует пре-
дельный оператор G+ == lim G(+\ то его естественно
П-»оо
было бы обозначить так, как это сделано в фор-
муле (3.3). Очевидно, если существует предельный
(в смысле сильной сходимости) ограниченный опера-
тор G+, такой, что Z4-G+ имеет обратный оператор
C+ = (/ + G+)~1’ то существует также предельный
оператор
С_ = lim В (/ + G(;0 = В (Z + G+)
П->оо
и равенство В = С_ • С+ дает факторизацию отно-
сительно полного семейства Ut, t0< t < Т.
В самом деле, всякий элемент u<=Ut есть предел
элементов Uk^Utk при tk->t — 0, и потому
G+uk = lim G{t^uk е Ut. s Ut, G+u = lim G+uk s U(,
П->оо	t^t—O
так что каждое из подпространств Ut инвариантно
относительно операторов I-\-G+, (/4-G+)-1. Анало-
гичные рассуждения применимы к оператору С_ =
= lim С{-, где С(- = В (/ + G+*) удовлетворяет уело-
П->оо
вию C{-Ut~k — UДля любых tk из соответствующего
разбиения = {/0 < tx < ... < tn < Т}.
Покажем теперь, что существует равномерный
предел limG(+) = G+ в случае, когда
G = l — В
есть оператор Гильберта — Шмидта с конечной
«следовой нормой»:
| G |2 = Sр G*G = 21| Gup |р = 51 (Gup, uq) |2 < oo (3.10)
P	P,q
(где щ, u2, ... —какой-либо ортонормированный базис
в гильбертовом пространстве G), причем, так же как
§ 31
ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ
61
и операторы G(+, предельный оператор G+ имеет
лишь единственную точку спектра Л = 0, так что
оператор (Z4-G+) будет обратимым.
Для любых разбиений —{/0 < s1 < ... < sm <
< sm+1 < Т} и y(rt) = {/0 <	. <tn<tn+l==T}, таких
что г у(п) (каждый интервал разбиения [$г, s/+I)
совпадает с объединением некоторых интервалов
k/> ^/+i)), разность G{+—G^1’ можно представить
в виде
G(n) _	= 2	_ Fs	Q
где Ft = (l — QtGQt) a $(/) обозначает левый конец
интервала из разбиения у(,п\ содержащего точку
i/<=yM (Si<tz< su.! при s (j)=- st), —см. фор-
мулу (3.7).
Заметим, что для любых операторов Л,
12 Afi \Qt. |2 = 2 | Afi\Q{j |2.	(3.11)
Это равенство легко получить, если выбрать полные
ортонормированные системы в ортогональных
подпространствах = UtJ+1 Q Utj; j = 0, 1, ..., n,
и взять их объединение щ, u2j ... за базис во всем
пространстве U. Действительно, A}G \Qt.up = 0 при
j ф j (р), если ир е AQZ/ (р), откуда следует, что
[2 Afi \Qtjup||2 = 21| Afi \Qt.up||2
и
A,G &Qtj |2 = 2 j 2 A}G \Qtjup |2 =
= 2 2 И/G &Qtjup ||2 = 2 [21| AG aq<7«p II2] =
= 21 AjG &Qt] I2.
62
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
Кроме того, для любых ограниченных Alt А2 спра-
ведливы следующие соотношения:
] A,GA2]2 = H\(A1GA2up, uq)? =
= 21 (A'2GAiUq, ир)? = [ A*2GAi |2
P> q
|Д,ОД2|2=2|| Д^Д^ДС
< IIЛ Ip • 2II GA,up IP = II A! II2 • IGД212 =
= ||Д1|р.|Д5О|2<|| Д, |p-|| АИР -1 G|2 =
= || AJp-H A2[p-|G|2. (3.12)
Используя соотношения (3.11), (3.12), легко полу-
чаем, что
I G<;' - G(r г = 2 I (F4Qtj - Fs(i)QS(i}) G AQt{12 =
= 2 | (Ft -Fs (1))QS (I)G bQt/+Ftj (Qt-QS(n) G |2<
<2 2 (|| (Ftf - Fs (>>) J)21| Qs (n II21G \Qt/12 +
+ ||FZ/||2|AQs(/)GAQZ/|2,
где AQH/) = Qtj—Qs (,)(s (j)<*/)- Поскольку || Qs (/) ||= 1
и \\Ft 5^ t 2. r (см. неравенство (3.4)), имеем
I G(;> - G(+m) I2 < 2 2 (I Ftj - Fs (/) ||21G AQZ/12 Д-
/=1
+ 7r^7F SlA^</)GAQ//|2- (3.13)
/=1
Согласно общей формуле (3.11) функция Л(Д/) =
= |GAQJ2 на полуинтервалах Д/ = [/, s) является
аддитивной. Выбрав собственный для оператора G
§3]
ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ
63
ортонормированный базис щ, и2, ... \Gup = kpup,
JjAp < °°У имеем
р	/
| G \Qt |2 = | \QtG |2 = 2II &QtGup IP =
p
= ^lK2p\\NQ(up\^Q при /->s, (3.14)
p
поскольку проекторы Qs непрерывны слева: AQZ =
= Q5 — Qt~>0 при t->s, и для любого фиксирован-
ного элемента u^U его проекция AQziz на под-
пространство АС/1= USQUt такова, что || &Qsu || —> 0.
Таким образом,
Л (АО = | G \Qt |2
является не только аддитивной, но и непрерывной
функцией множеств А/ = [/, s) и, следовательно, может
быть продолжена до ограниченной борелевской меры
на интервале [/0, Т).
Очевидно, такими же свойствами обладает и функ-
ция множеств
|i(AsXA/) = |AQsGAQJ2,
определенная на прямоугольниках AsXA^ = [si> s2)X
X [G, G)‘, именно, из общей формулы (3.11) вытекает,
что ц (As ХА/) аддитивна, а из оценки (3.14) — что
она непрерывна, и следовательно, продолжается до
ограниченной борелевской меры на квадрате [/0, Г)Х
Xko, Т).
Положим f(t) = ц {[/0, t) X [Лъ t)}> tQ<t<T. Для
операторов Ft = (I — QtGQt)~l имеем
F;'-Frl = QsGQs-QtGQt,
|F71-FrI|2 = f(0-f(s),
I Ft - Fs |2 = | F, (F71 - Ff1) Fs |2 <
< (147)2-1 FT1 - FJ2 = -^4^ [f (0 - f (s)].
Видно, что первый член в правой части неравенства
64
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. II
(3.13) удовлетворяет условию
п	п
SII Ftj -Ps(n ||21G \Qt. |2 <	If (//) - f (s (/))] =
/=1	/=1
~ — г)2	Im)’
m	n
где lm = 2 f (s (i)) A, In = 2 f (^/) к (МЛ есть «лево-
го	/=0
интегральные суммы» для неубывающей функции
f(t),tQ<t<T. Очевидно, последовательность интег-
ральных сумм In, п = 1,2, ..., является ограниченной
и неубывающей (при все более мелких разбиениях),
так что существует lim 1п и, следовательно, при
П->оо
т, п -> оо
п
2 и<, - А I’ I са<г,, |= <	(/„ -1 „) -» 0.
/=1
Далее, введем множество
Ал ==={«, /: s < t < s + h}.
п
Очевидно, объединение (J [s (/), О Х[0> О+i) содер-
/=i
жится в Алпри/г = max] sz+1 — s, |, когда/,-+1 — з(/)</г.
Следовательно, для второй суммы в правой части не-
равенства (3.13) справедлива оценка
2 I AQS (f)G AQt I2 < ц (АЛ) -> 0 при Л->0.
/==11 71
Из полученных оценок вытекает, что для последо-
вательности вложенных друг в друга разбиений
п = 1, 2, ..соответствующие операторы G{± таковы,
что	при п, т->оо, и следова-
тельно, существует предельный оператор О+:
(О^ — О+|2->0 при п->оо. (3.15)
Нам осталось показать, что предельный опера-
тор G+ имеет, как и операторы G™ = S(G(l + <?'+))
(см. (3.8)), единственную точку спектра Л = 0.
§3]
ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ
65
Являясь вполне непрерывным оператором (и даже
оператором Гильберта — Шмидта), G+ может иметь
лишь не более счетного числа точек спектра, причем
предельной для них может быть лишь точка Л = 0.
Таким образом, всякая точка Z 0 имеет окрест-
ность, за вычетом X целиком принадлежащую резоль-
вентному множеству оператора G+, и на любом
замкнутом контуре Г этой окрестности определена
резольвента RZ = (G+— zl)~\ которая непрерывна и
ограничена на Г, При условии равномерной схо-
димости G^~>G для всех достаточно больших п
№ = (G(;’ - z/)"‘ = Rz[l - Rz (G+ -	=
= Rz J Rkz(G+-G^k
k—Q
и R(z}->Rz при n->oo равномерно по геГ, так что
zkRz dz = lim f
ГС~>ОО
zkR{z} dz = Q при всех k 0,
поскольку единственной особой точкой аналитических
функций R{z} является z = 0 и j zkRzn) dz = 0. Таким
г
образом, J zkRzdz = 0, что означает аналитичность Rz
г
в точке Л. Следовательно, единственной точкой спек-
тра оператора G+ является /1 = 0.
В итоге мы установили, что положительный обра-
тимый оператор B — I — G, где G есть оператор
Гильберта — Шмидта (см. условие (3.10)), допускает
представление В = С~ • С+ типа (3.2); в качестве С+
можно взять оператор С+ = (/4-С+)-’1, где G+ = lim G^
есть предел по «следовой норме» операторов Гиль-
берта — Шмидта G+\ определенных формулой (3.7).
Отсюда, как уже отмечалось, вытекает возможность
факторизации относительного любого семейства под-
пространств U(,
3 Ю. А. Розанов
ГЛАВА III
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Структурный тип регулярного
стационарного процесса
Обратимся к описанной ранее модели стационар-
ного процесса £(/), — оо < t < сю, со стационарно
связанными компонентами {| (/), х}, x^R, каждая
из которых соответствует некоторому х е R, где
R — сепарабельное гильбертово пространство со ска-
лярным произведением {х, у}, х, у е R, Будем счи-
тать, что существует спектральная плотность fK,
— оо <Д < оо, —- измеримая операторная функция
в гильбертовом пространстве R (при фиксирован-
ном Л представляющая собой положительный опера-
тор в А?) такая, что
со
Е {£ (0» • {s («), У} = J	(i~s) {f\x, у} dk =
iK(t-s) fifty} X,IJ<=R, (1.1)
где f^2 обозначает «квадратный корень» из точ-
нее, /J/2, — оо < Л < оо, — операторная функция, удо-
влетворяющая условию (f}/2)2==/л-
Введем гильбертово пространство L2(R) интегри-
руемых в квадрате функций х(Л), —оо < Л < оо, со
СТРУКТУРНЫЙ тип
67
§ 1]
значениями в /?, определив скалярное произведение
в L2(R) равенством
(*, у) = / {X (Л), у (Л)} dK, х, у ^L2 (/?).
—оо
Формула (1.1) показывает, что отображение
{g (/), х} еа71/2*,	— оо</<оо, (1.2)
является изометрией из //(g) в L2(R). Поэтому,
рассматривая такие вопросы, как, например, вопрос
о структуре семейства подпространств 77z(g), — оо <
< t < оо (Z/z(g) есть замкнутая линейная оболочка
всех значений {g (s), х}, х е /?;	можно вместо
самого стационарного процесса
{g(0, х}, хе/?;	— оо</<оо,
использовать изометричную ему функциональную
модель
^Ш^/2Х, — ОО < Л < оо}, хе /?;	— оо < / < оо,
в гильбертовом пространстве А2(/?). В этом смысле
семейство //Jg), — оо</<оо, имеет ту же струк-
туру, что и семейство подпространств
Ht = V e^f^R, - оо < / < оо (1.3)
s
(Ht есть замкнутая линейная оболочка подпространств
eiKsfl/2j^ Е [2 (fy,	И Т. П. Положим
Я = V e^f^R.	(1.4)
—оо < s < ОО
Обозначим Pt оператор проектирования в про-
странстве Н на подпространство Hf и Et — унитар-
ный оператор умножения на функцию е1М от Л,
— оо < А, < оо.
Очевидно,
V eiKis+tV2X = Ht+a
s^t
(1.5)
3*
68
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
при всех и, t. Поскольку оператор Еи унитарный,
также имеем EuHi = Ht+U (где Hi = HQ Ht обозна-
чает ортогональное дополнение к подпространству Н^.
Таким образом, для любого элемента хе Ht+u имеем
Е—цХ s Н0 Н/Е—цХ — Е—цХ, ЕиРtE_ux — х,
а для хе Hi+u
E_ux^Hi, PtE-ux = 0, EuPtE-ux = 0,
откуда видно, что произведение EuPtE_u совпадает
с проектором Pt+u- Учитывая, что Е_и = Ей\ полу-
чаем следующее равенство:
Pt+u = EuPtEul, —oo<t<oo. (1.6)
Оно, по существу, равносильно условию (1.5), по-
скольку при всех t, и
Pt+u(EuHt-) = Eu (PtHi) = 0
И
EuHi S Hi+U, Hi = Е-и (EuHi) S E.uHi+u,
откуда (заменив параметры t, и на t-\-u, —и) полу-
чаем также, что Hi+U Е EuHi, и следовательно,
EuHt — Ht+u, EuHt — Ht+u.
Соотношение (1.6) показывает, что семейства Н,
и Ht+u> — оо < / < оо, изометричны при любом ut
— ОО < U < оо (см. § 1 ГЛ. II).
Ясно, что если Fj (t) > F2 (f) > ... >FM (/) — упоря-
доченная система структурных функций для семей-
ства проекторов Pt, —оо </<оо, то F\(t—и)>-
>-F2(/—-м))> ...	— «) будет аналогичной си-
стемой для семейства Pt+U, — 00 < t < °°, и поскольку
семейства Ht и Ht+u, —оо < / < оо, изометричны,
структурные функции Ff(t) и Ff(t — и) должны быть
одного и того же типа:
dFt(t)~ dF^t — u), /=1, .... Al, (1.7)
при всех и, — оо < и < оо.
СТРУКТУРНЫЙ тип
69
§ 11
Свойство (1.7) обычно называют квазинвариант*
ностью относительно сдвигов. Если рассматривать
наши меры dF/(t) лишь на прямой —оо </< оо (без
точки t0 —— оо), то, как известно, при условии ква-
зиинвариантности
dFjify'^dt	(1.8)
(отметим, что значение F, (/0) = lim Fj(t) может быть
/-> —00
положительным).
Для удобства читателя приведем здесь простое
доказательство того, что всякая квазиинвариантная
мера и эквивалентна лебеговой мере. Если взять
свертку ограниченной квазиинвариантной меры ц
с гауссовским распределением Р, имеющим плотность
p(t) = JLr е~/2/2, то окажется, что
У 2л
Ц * р (Д) = | р, (Д — t) р (/) dt = О
тогда и только тогда, когда р (Д) = 0, т. е. что р * Р~ р.
Но свертка р * Р имеет преобразование Фурье вида
ср (X) e~v/2, где ср(^) — преобразование Фурье ограни-
ченной меры р, а следовательно, р * Р имеет гладкую
плотность, которая совпадает с обратным преобразо-
ванием Фурье функции ф(Л)в“Л2/2, —оо < X, < оо. По-
скольку мера р*Р является также квазиинвариантной,
то ее (гладкая) плотность не должна обращаться в О
ни на каком интервале, откуда следует, что эта
плотность положительна почти всюду.
Напомним, что в свое время мы приняли за стан-
дарт структурный тип семейства подпространств
Ut = Lt (Rm), — оо < t < оо, в функциональном про-
странстве U = L2(RM), где RM — некоторое гильбер-
тово пространство размерности М (Lt (Rm) есть под-
пространство всех функций u(s), —оо<$<оо, из
L2(PM), обращающихся в 0 при s>t).
Остановимся подробнее на структурном типе
семейства подпространств Ut = L2i(Rm), —оо </< оо.
Обозначим Q/ проекторы на Ut. Функция u(s),
— оо < $< оо, как элемент гильбертова пространства
70
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
t/z = L2(/?M), имеет своей структурной функцией
t
F(t) — J || tz(s)||2ds, — оо < t < co. Таким образом,
т-ОО
всякий элемент и е U такой, что и (s) #= 0 почти
всюду, имеет максимальный лебеговский тип:
dF(t)~dt, Очевидно, элементы
Uj (s) == c(s) —оо < s < oo; j= 1, ..., M
(где числовая функция c(s), —оо < s< оо, интегри-
руема в квадрате и почти всюду отлична от 0,
а х{, ..., хм — ортонормированный базис в гильбер-
товом пространстве RM), образуют максимальную
систему в L2(RM) с максимальным структурным ти-
пом (см. § 2 гл. I). В частности, соответствующая
кратность М совпадает с размерностью простран-
ства RM.
В силу соотношения (1.8) семейство Ht, —оо <
</<оо, имеет тот же структурный тип, что и се-
мейство Ut = Lt (Rm), — оо < / < оо, тогда и только
тогда, когда
0
(1.9)
(что равносильно условию Ff(to) = O в точке /0 = — оо
для всех j = 1, . . ., М).
Обратимся теперь к самому стационарному про-
цессу £(/), — оо < t < оо. Следуя ранее предложен-
ному определению регулярности (см. стр. 52), назовем
процесс £(/), —оо</<оо, регулярным, если семей-
ство Ht(Q, — оо < / < оо, изометрично «стандартному»
семейству Ut — Lt (Rm), — оо < t < оо. Выше мы полу-
чили фактически следующий результат.
Теорема. Стационарный процесс % (t), — оо <
</<оо, регулярен тогда и только тогда, когда
выполняется условие
Г\Н№ = Ъ.	(1.10)
§ 2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА
71
Отметим, что условие (1.10) было положено в основу
хорошо известного понятия регулярности, введенного
А. Н. Колмогоровым при рассмотрении одномерных
стационарных процессов (dim/?=l) с дискретным
временем *).
§ 2. Представление Вольда и факторизация
спектральной плотности
1. Группы унитарных операторов, связанных со
стационарным процессом. Стационарный процесс £(/),
— оо</<оо, можно представлять себе следующим
образом: в гильбертовом пространстве Н (£) задана
группа унитарных операторов Et, — оо < t < оо, и
некоторое подпространство Я0, «сдвиги» которого
Н* = порождают все Н (g); совокупность стацио-
нарно связанных процессов, определенных соотноше-
ниями {£(/), х} = £zx, — оо < t < оо, где х е Я0, будет
стационарным процессом рассмотренного ранее вида.
С другой стороны, если заданы стационарно связан-
ные компоненты {£(/), х}, —оо < t < оо (где параметр
х е /?, а гильбертово пространство R может быть
произвольным), то соотношение
£/{£($), x} = {g(s + /), х}, — oo <s<oo; хе/?, (2.1)
определяет в H(g) унитарные операторы Et, — оо <
</< оо, которые образуют (непрерывную) группу:
EsEt = Es+(.	(2.2)
Взяв за Я0 замыкание подпространства величин
,{g(0), х), хе/?, мы получим пару (Bz, Я0) описанного
выше типа. (Ранее, в § 1 мы фактически использовали
функциональную модель стационарного процесса как
пары (/?„ Я0), рассматривая подпространство HQ = f^2R
в функциональном пространстве Л2(/?), и группу уни-
тарных операторов Et — операторов умножения на еш.)
Предположим, что стационарный процесс £(/)>
— оо < t < оо, удовлетворяет условию (1.10) (или, что
*) А. Н Колмогоров, Стационарные последовательности
в гильбертовом пространстве, Бюлл. МГУ 2, № 6 (1941), 1—40.
72
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III
то же, его спектральная плотность удовлетворяет
условию (1.9)). Как мы знаем, в этом случае семей-
ство подпространств Ht(%), — оо < /< оо, изометрично
семейству Ut = Lt (Rm), — оо < t < оо, где Rm — гиль-
бертово пространство размерности М (М — кратность
обновляющего процесса для £(/), —оо < t < оо,
a Lt (Rm)—подпространства в функциональном про-
странстве L2(RM), состоящие из функций u(s), — оо <
< s < оо, равных 0 при s > t).
Покажем, что существует обновляющий процесс
с некоррелированными приращениями Х](Ь)—Х;(а),
— оо < а, b < оо; /=1,..., обладающий сле-
дующим свойством:
Et [X, (b) - X, (а)] = Х} (b + t)- Xi (a +1), (2.3)
—.00
t
oo,
где Et— унитарные операторы в пространстве Н (g),
связанные со стационарным процессом £(/) соотноше-
ниями (2.1). Обновляющий процесс, обладающий ука-
занным свойством, будем называть стационарно
связанным с процессом £(/), — оо < t < оо.
Сначала покажем, что группа унитарных операто-
ров Et, — оо < / < оо, изометрична группе унитар-
ных операторов в функциональном пространстве
U = L2(RM), имеющих вид VtTt, где Г,—оператор
сдвига:
Ttu (s) = u(s — t), — оо < 5 < оо,
a Vti —оо </ < оо, —некоторая группа унитарных
операторов в гильбертовом пространстве RM, дейст-
вующая в L2(RM) по правилу:
(Vtu) (s) = Vtu (s), — oo < s < oo.
Действительно, если обозначить Qt проекторы в про-
странстве U на подпространства Ut = L2t(RM),—оо <
< t < оо, то будем иметь
Qt +$—TsQtTs , Pt+s — EsPtEs ,
— oo < s, t < OO
(2.4)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА
73
§ 2]
(ср. с (1.5), (1.6)). Учитывая, что
Pt = XQtX~\ — оо < t < ОО,
где X — некоторый унитарный оператор из U —
= L2(RM) в из второго соотношения (2.4) по-
лучаем
Q<+S = (X-'£SX) Qt(X~'EsX)~l,
что равносильно условию
(X~lEsX) Ut = Ut+s.
Очевидно, унитарный оператор (X~'ESX) T-s = Vs об-
ладает тем свойством, что
VsUt = Ut, -оо</<оо,	(2.5)
а как мы знаем, этим свойством обладают лишь
«операторы умножения» на унитарный множитель
(в гильбертовом пространстве RM); см. формулу (2.21)
на стр. 55. В итоге получаем, что
X~'ESX=VSTS, — oo<t<eo.
Очевидно, для любых s', s" операторы Vsf и Ts„
перестановочны.
Возьмем теперь ортонормированный базис xlf ...
.. ., хм в гильбертовом пространстве RM и рассмот-
рим функции интервала \ — [а,Ь) со значениями
в функциональном пространстве U = L2(RM), опреде-
ленные следующим образом:
(х/ —%“)(/) = VfX/• %д (/), — оо</<оо, (2.6)
где хл(0 обозначает индикатор интервала Д = [а, Ь):
%д(/)=1 при /еД, хд(/) = 0 при /<£Д. Очевидно,
w? - «я	</-»)]=
= vtxr Х4+,(<) = ^+‘--'“+'-
Очевидно также, что «приращения» хЬ—х“1, хь.г—xaf
ортогональны в L2(RM), если интервалы Д1 = [а1, &2),
Д2 = [о!2, 6) не пересекаются, а при различных j. они
74
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
ортогональны для любых А] и Д2, поскольку при
различных j ортогональны в RM элементы Vtxr
Кроме того, поскольку при любом s элементы Vsx^
/ = 1,	А4, образуют ортонормированную систему
в гильбертовом пространстве Z?(/?M), функции
— оо < s < оо, Д = [a, b), ~оо < a; b < t; ]=== 1М,
порождают все подпространство U t = [^(R^. Поло-
жим
%.(&) — X. (а) = Х(хъ. — х“\ /=1, М, (2.7)
где, напомним, X есть унитарный оператор из U =
=L2(RM) в Н (g), удовлетворяющий условию XUt=Hz(£),
— оо < t < оо. Ясно, что определенный выше процесс
с некоррелированными приращениями {Х^Ь)~ХДа)}^,
— оо < а\ Ь < оо, является обновляющим процессом
для g (/), — оо < t < оо. При этом
Et [J, (b) - (a)j = EtX (х> - х*) =
= W/W -	- */) ==
= Х/(& + 0-^(а + /)>
так как по определению оператора Vt
X~iElX = VtTt,
а кроме того,
||Х/(гО-*Да)||2 = &-а, /=1,...,Л1. (2.8)
Таким образом, построенный нами обновляю-
щий процесс со «стохастическим дифференциалом»
{dXj(t)}M является стационарно связанным со ста-
ционарным процессом £(/), —оо < t < оо *).
*) Другой метод построения обновляющего процесса был
предложен Ханнером в одномерном случае, dim 7? = 1 (О. Han-
ner, Deterministic and non-deterministic stationary random
processes, Arkiv for Matematik 1, 44 (1950), 161 — 177. См. также
G. К a 1 1 i a n p u г, V. Mandrekar, Multiplicity and represen-
tation theory of purely non-deterministic stochastic processes,
Теория вероят. и ее примен. X, 4 (1965), 614 — 644, где метод
Ханнера применяется к многомерным процессам).
§ 2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА
75
Теорема. Имеет место следующее канониче-
ское представление:
t м
U(0,4 = j^CjO-OdX^s), -со</<оо. (2.9)
— оо /=1
(Обычно его называют представлением Вольда.)
Действительно, величину {g (0), х} е Яо (g) можно
представить в виде
о м
й(0),4 = ^c/(s)dXl (с),
— оо /=1
где	о м
J I Cj (s) |2 ds < OO	(2.10)
— oo /=1
(см. формулу (1.8) гл. I), и в случае обновляющего
процесса, который стационарно связан с процессом
|(0, имеем
{g(/),4 = Ez{g(0),4 =
ом	t м
= J 2 <4 (s) dxs (s + t)--= / £ с, (s -1) dxs (s).
— oo f==l	— oo /==1
2. Факторизация спектральной плотности. Как мы
знаем, стационарный процесс со спектральной плот-
ностью /(Л) регулярен тогда и только тогда, когда
выполнено условие (1.9), а именно,
Л [sV e‘^K2R] = 0.
Докажем следующее предложение *).
*) По-видимому, впервые это предложение появилось для
случая дискретного времени в статье Ю. А. Розанова,
Спектральная теория многомерных стационарных случайных про-
цессов с дискретным временем, Успехи матем. наук ХП1, 2 (80),
(1958). Одновременно для .невырожденной спектральной
плотности проблема факторизации рассматривалась в работах
Винера и Мазани, а также Хелсона и Лоуденслегера (N. W i е-
п е г, Р. Masani, The prediction theory of multivariate stoc-
hastic processes. II, Acta Math. 99 (1958); H. H e 1 s о n, D. Low-
den s 1 ager, Prediction theory and Fourier series in several
variables, Acta Math. 99 (1958)).

РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Теорема. Для регулярности стационарного про-
цесса необходимо и достаточно, чтобы спектральная
плотность допускала факторизацию
— оо<Л<оо,
(2.Н)
где срл при почти каждом К есть линейный оператор
из гильбертова пространства Д в М-мерное гильбертово
пространство Дм, а как функция от К, — оо < А < оо,
Флх е L2 (Д) для всех х е Д, причем
оо
J е~ш<рхх dK = 0 при / > 0.
—оо
(2.12)
(Ср. с факторизацией корреляционного оператора В, one-
ратора умножения на fK, рассмотренной в § 2 гл. II.)
Доказательство. Рассмотрим определенную»
почти всюду функцию
м
их ($) = 2 С/ (^) xh —оо < s < оо (их (s) = 0 при $ > 0),
/=1
где Xi, ..., хм — ортонормированный базис в Дм,
а коэффициенты с{ (s), ..., см (s) те же, что и в пред-
ставлении Вольда (2.9) для компоненты {£(/), х}
(ОО м	М
напомним, что J I cj (s) I2 ds < оо, V| су (s) I2 < оо
-оо /==1	/=1
при почти всех s и функция их (s)eZ.2 (А?л1)^. При усло-
вии (2.8) из формулы (2.9) следует, что
оо
EOi)> 4-Ш у}= J {«%($ —иу(s — 4)}ds.
—oo
Положим
oo
фх (Л) = J eiKsux(s)ds, —oo < Л < oo.
—oo
Легко видеть, что соответствие элементов (/), х
§ 2]	ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА	77
из НЦ) и ешфх(Л), — оо < Л < оо, из L2 (Rm) является
изометрическим:
Е{Ш, М У} =
= j eiK{ti~t2) {fKx, y}dk = J {фх (Л), qy (Л)} dk
— OO	—00
при всех tlt t2 и x, у e R. Поэтому
{fax, i/} = (<Px(X), <рг/(Л)}
при почти всех Л для любых х, у R. Соответствие
х -> фх (X) е L2 (R^ (такого же типа, как x->f\[2x^
е L2 (/?)) является линейным, иначе говоря, ф есть
линейный оператор из гильбертова пространства R
в функциональное пространство А2(/?м). При этом
мы можем определить ф таким образом, чтобы на
некотором всюду плотном в R подпространстве R
каждое значение фх(Л) было бы линейным оператором
фх (Л) = ф^х, х е R,
при почти всех Л (например, можно взять надлежащие
п
ФХ*(Л), 6 = 1, 2, и положить Фа* == 2 (Ч
П
при х== S ckxk, где х}, х2,... —базис в /?). Из ра-
k=^\
венства
{/\*, У} = {<IV,	У R,
вытекает, что при почти всех Л оператор фЛ в R
является ограниченным и может быть однозначно
продолжен с подпространства R на все пространство R
(напомним, что самосопряженный положительный опе-
ратор fK, определенный на всем пространстве R,
является ограниченным при почти всех Л). В итоге
получаем

78
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
где — оператор из RM в 7?, сопряженный к фл;
Фь удовлетворяет условию (2.12), поскольку
о
= "Йл- J* e‘KSUx dS’ Ux S L2
В свою очередь, факторизация спектральной плот-
ности fK влечет за собой справедливость условия
регулярности (1.9)—(1.10). Действительно, взяв в функ-
циональном пространстве U = L2(RM) подпространство
{7°^£о(^м)> порожденное функциями
оо
= f e~iKt^xdk, xeeR
у 2л J
—оо
(их (/) = 0 при t > 0),
будем иметь
оо
Е{Ш-	= / e^~*{fKx, y}dk =
— оо
оо	оо
= / el^b~a} {qKx, <px£/}dZ,= J {Taiix(t), Tbuy(t)}dt,
—оо	— оо
где Ts — операторы сдвига в L2(/?M). Видно, что ото-
бражение {g(a), х} <-> Таих есть изометрия из Н (g)
в L2(RM), и поэтому семейство ЯД£), — оо < t < оо,
изометрично семейству подпространств вида
Ht=\J TSU\ — оо </< оо.
Поскольку Ht ^L2 (Rm) и Q Ht £ Q L2 (RM) = 0, имеем
t
В заключение этого пункта введем аналити-
ческие классы Я6, 6=1, 2, операторных функций Гх,
— оо < Z < оо, значения которых суть линейные опе-
раторы в гильбертовом пространстве (I\: R'R").
Будем говорить, что функция 1\, —оо < Z < оо, при-
§ 3]
КРАТНОСТЬ
79
надлежит классу Я6, если для всех х е /?', у е /?"
скалярное произведение {1\х, у} как функция от А,
принадлежит пространству L6 (на прямой) и
J e~~iKt {1\х, у} dk = 0 при t < 0 *).	(2.13)
—оо
Например, если операторная функция <рА удовле-
творяет условию (2.12), то сопряженная функция
фА = ФА принадлежит классу Н2, поскольку для любых
№ R', у е R" (где R' — RM, R" = R)
{ФлХ, у} = {х, qKy}(=L2 (на прямой)
и
| е-ш{фАх, y}dk = J etM{<pKy, x}dK — 0 при t < 0.
—оо	—оо
Отметим, кстати, что если
/л = "Фл ' "Ф!» — оо<Л.<оо,
где операторная функция е Я2, то функция
будет удовлетворять условию (2.12).
§ 3. Кратность регулярного стационарного процесса
Рассмотрим регулярный стационарный процесс
g(Z), —оо </ < оо, с компонентами {£(/), х}, —оо<
</<оо, где хе/? (/?— «параметрическое» гиль-
бертово пространство). Пусть fK — спектральная плот-
ность. Как мы знаем, тип семейства ЯД£), — оо <
</<оо, и, в частности, кратность М обновляющего
*) По поводу определения ‘ классов Я6 и их свойств
см., например, книгу К. Г о ф м а н а, Банаховы пространства ана-
литических функций, М., ИЛ, 1963, и обзор В. И. Крылова,
О функциях, регулярных в полуплоскости, Матем. сб. 4, 46
(1938), 9—30. См. также: И. И. Привалов, Граничные свой-
ства аналитических функций, М.—Л., Гостехиздат, 1950; Б. Секе-
фаль ви-Надь и Ч. Ф о я ш, Гармонический анализ опера-
торов в гильбертовом пространстве» М»» изд-во «Мир», 1970,
80
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
процесса для £(/), —оо</<оо, целиком опреде-
ляются спектральной плотностью /х(см. § 1). Возни-
кает вопрос, как по спектральной плотности fK найти
кратность М обновляющего процесса.
Из условия факторизации fx = qp*.(pA, где qpx —
операторная функция из гильбертова пространства R
в гильбертово пространство RM (см. формулу (2.11),
вытекает, что
(3.1)
Действительно, положив фл=(р*, получим
М =	(3.2)
поскольку fKx — Q тогда и только тогда, когда
{/\х, х} = {<Рлх> Фх-Н = 0, и если — подпространство
всех элементов х е R, для которых fKx = <ркх = 0, то
Заметим, кстати, что из условия (3.2) вытекает
следующее свойство спектральной плотности fK:
dim fKR = const.	(3.3)
Действительно, если взять любые конечномерные
подпространства /?' RM, R" R (выбрав в них
ортонормированные базисы х', ..., х'т и х", ..., х")
и рассмотреть проекции элементов фхх, xg R', на R",
то окажется, что соответствующее подпространство
п
элементов вида S х'£\ х'£, х' е /?' (обозначим
k—\
его qpx^7^,z) будет иметь постоянную почти всюду
размерность, поскольку она совпадает с рангом ана-
литической матрицы с компонентами (фдХ<, х^},
/ = 1, ..., m; k=l, ..., п, каждый из миноров
которой как функция от Л, —оо < Л < оо, принад-
лежит одному из хорошо известных аналитических
классов Н6 при надлежащем 6 > 0 и либо почти
всюду отличен от 0, либо равен 0 тождественно *)♦
*) См. сноску на стр. 79,
КРАТНОСТЬ
81
§ 3]
Теперь уже ясно, что размерность
dim^7?z==max(dim tyKR'/R")
R”^R
постоянна почти всюду для любого конечномерного
подпространства R' RM, а следовательно, постоянна
и размерность
dim dim = dim fKR.
Покажем, что
М < dim fKR.	(3.4)
Наше определение кратности М случайного процесса
£(/), —оо < / < оо j связано с семейством проекто-
ров Pt на подпространства ЯД£), —оо</<оо.
Будем исходить из того, что М равно минималь-
ному числу циклических подпространств, замкнутая
линейная оболочка которых совпадает со всем про-
странством Н (£) — см. § 2 гл. I — (напомним, что
«циклическим» по отношению к проекторам Pif
— оо < t < оо, мы называем подпространство в Н (£),
порождаемое величинами вида Ptx, — оо < / < оо,
где х— некоторый элемент из Я(£)).
Рассмотрим циклические подпространства ЯД£),
/ = 1, ..., Л4, порождаемые соответствующими при-
ращениями Xj (/) — Xj (s), — оо < s, t < oo, обновляю-
щего процесса в представлении Вольда (2.9) (поро-
ждающим элементом является, например,
оо
&/ = / С ($) dXf(S),
— ОО
где подынтегральная функция интегрируема в квад-
рате и отлична от 0 почти всюду). Выберем такую
функцию c(s),	— оо < s < оо, чтобы ее сдвиги
c(s — t), —oo<s<oo, где параметр t меняется
в пределах —оо</<оо, порождали все простран-
ство L2 (на прямой). Ясно, что тогда величины
оо
= / c(s — f)dXf(s), —оо<К<х>,
порождают все подпространство ЯД£).
82
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Обратимся теперь к группе унитарных операто-
ров Et, —оо</<оо, связанных со стационарным
процессом g(/), —оо</<оо, соотношением (2.1), и
используем известное представление Стоуна *):
Et = \e^dEK,	(3.5)
— оо
где Ек, — оо < Z < оо, —семейство проекционных
операторов в пространстве Н (g). Очевидно,
МО ==£/£/>	— оо</<оо,
откуда следует, что ортогональные подпространства
(g), /= 1, ..., М, являются циклическими также
и по отношению к семейству проекторов Ек,
—оо < Л < оо (Нj (g) порождаются величинами £xgz,
—оо < А < оо). При этом все «циклические векторы» gz
имеют один и тот же «лебеговский тип»: функции
Fj (X) = gy) имеют положительную почти всюду
плотность
оо	2
J eiKs с (s) ds .
—оо
-- ОО < Л < ОО,

и, таким образом, семейство проекторов — оо <
<Х<оо, в пространстве Н (g) имеет М-кратный
«лебеговский тип». Поэтому, М. равно минимальному
числу циклических (по отношению к семейству
—оо < Л < оо) подпространств, замкнутая линейная
оболочка которых совпадает со всем пространством
/7(g). Если же обратиться к функциональной модели
(1.2) рассматриваемого стационарного процесса и
соответствующим операторам Et, — оо < / < оо, умно-
жения на функцию еш, —оо < Л < оо, в гильберто-
вом пространстве L2(R), то легко указать N цикли-
ческих подпространств (N = dim fKR) вида
нк = V еМ№хк,
— oo<Zt < оо
*) См., например: Ф. Рисе, Б. Секефальв и-Н а д ь, Лек-
ции по функциональному анализу, М., ИЛ. 1954.
§ 4]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
83
замкнутая линейная оболочка которых дает все
пространство Н= V etKtf}!2R; именно, можно
— оо < t < оо
взять функции f^Xk, k = 1, ..N, значения которых
образуют базис в подпространстве f[/2R s 7?
(см. далее лемму на стр. 87). Отсюда следует, что
dim f^R(= dim fKR).
Соединяя неравенства (3.1) и (3.4), получаем сле-
дующий результат.
Теорема. При условии регулярности крат-
ность М обновляющего процесса равна размерности
подпространства fKR е R:
М = dim f\!2R п. в.	(3.6)
§ 4. Условия регулярности
1. Общий критерий регулярности. Нашим исход-
ным пунктом будет теорема о факторизации, со-
гласно которой стационарный процесс g(Z), — оо <
< f < оо, со спектральной плотностью —оо<Л<оо
(в гильбертовом пространстве /?) является регуляр-
ным тогда и только тогда, когда существует опера-
торная функция <рх, —оо < К < со, класса Н2
такая, что
^ = Фл-Фх п-В-	<4Л)
(определение класса Н2 и аналогичного класса Я1,
который нам понадобится в дальнейшем, дано на
стр. 78). По сравнению с ранее предложенным усло-
вием (2.11) мы поменяли местами фА и ф*, так что
теперь qp^ — линейный ограниченный оператор из гиль-
бертова пространства R в Л4-мерное гильбертово
пространство RM. Поскольку всегда dim/?^M
(Af = dim/\/? п. в.), то можно считать, что RM S /?,
и доопределить оператор срл = (ф^)* на всем простран-
стве R, положив Ф^(7?@ RM) = 0.
Введем оператор Ух, положив
уЖ/2*) = ф1х> х6Е/?-
84
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
Из равенства (4.1) видно, что
и, таким образом, изометрично отображает под-
пространство f\>2R на подпространство Следо-
вательно, сопряженный к нему оператор
(<₽1Х)= Я/2х’ х *= также является изометриче-
ским; при этом
Поскольку	то для сопряженного опера-
тора = (<₽’)’ получаем, что <рку ±= f%2VKy при y<=q%R,
и если___доопределить оператор VK так, чтобы
= 0, то будем иметь
Фх = П/2^
поскольку ортогональное дополнение RQVkR к под-
пространству ф^Т? состоит из «нулей» оператора ф^,
сопряженного к ф^. Очевидно,
f^KR=i\R = ffR
(здесь и в дальнейшем /\1/2 обозначает обратный
оператор к сужению на подпространстве
Ясно, что функция
(4-2)
удовлетворяет условиям
а кроме того,
/ |	||2 dK < оо, xt=R,
§ 4]
условия . регулярности
85
поскольку
= 1v^x' 11 v>x ч 11 х и-
При этом функция ф^, — оо < Л < оо, принадлежит
классу Н1 П Я2, потому что для любых х, у е R ска-
лярное произведение {«р^х, у} как функция класса Я2
есть преобразование Фурье некоторой функции c(t)
из L2 (на прямой — оо < t < оо), с (/) = 0 при t < 0, а
1
1 — г'Л
J etMe~fdtt
о
и следовательно,
оо
{Фх*, у} = д	= J еМс * e~tdt *= Н' Н2,
О
где с*е~*> t > 0, обозначает свертку указанных
функций.
Докажем теперь следующее предложение *).
Теорема. Стационарный процесс со спектраль-
ной плотностью fK является регулярным тогда и только
тогда, когда существует операторная функция
класса Н] такая, что
f;l,\KR = f^R п. в. (4.3)
и при любом xeR функция Д12ф^х, — оо < А < оо,
принадлежит пространству L2{R):
00
У ||frI/4xl2rfx< °° •
*) При доказательстве мы следуем методу, который был
фактически предложен в одной нашей работе о стационарных
процессах с дискретным временем (Ю. А. Розанов, О ли-
нейном интерполировании стационарных процессов с дискретным
временем, ДАН СССР 116 (1957), 923—926); см. также Yu. A. Ro-
zanov. Some Approximation Problems in the Theory of Sta-
tionary Processes, J. of Multivariate Analysis 2, 2 (1972)„
135-144).
86
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
(При этом необходимым является существование опе-
раторной функции удовлетворяющей условиям
(4.3)—(4.4), которая принадлежит не только классу Я1,
но одновременно также и классу Я2.)
Мы уже убедились выше, что если стационарный
процесс регулярен и, следовательно, его спектральная
плотность fK допускает факторизацию Д —
с помощью операторной функции срх класса Я2, то
определенная формулой (4.2) функция г|^ принадлежит
обоим классам Я1, Я2 и удовлетворяет всем условиям
нашей теоремы. Таким образом, эти условия являются
необходимыми. Докажем, что они являются доста-
точными.
Напомним, что регулярность имеет место тогда и
только тогда, когда выполняется условие (1.9):
»--n[V «Тем.
t Ls < t	J
Рассмотрим в пространстве
Н = v еа7'/2/? <= L2 (/?)
—оо < S < оо
ортогональное дополнение
\ = HQH0
к подпространству Яо = V	Очевидно, все
подпространства eiKt\ (состоящие из функций вида
ешх(А), — оо < Л < оо, где х (Л), — оо < К < оо, е Д)
ортогональны определенному выше подпростран-
ству Я-оо, поскольку eiKt& ортогональны соответствую-
щим подпространствам
Я,= V easf^f> = eiMHQ'
Ясно, что если
V ешд = я,
—оо < t < оо
(4.8)
то Я-оо — 0.
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
87
§ 4]
Определим пространство-функцию Л (Л), —оо <
< Л < оо, для любого подпространства ЛьА2(/?),
выбрав в А полную систему функций {^1(Л),а2(Л),...} = S
и положив А (Л) = Л5 (Л), где (Л) есть замкнутая ли-
нейная оболочка в гильбертовом пространстве У? всех
значений а{ (Л), а2(Л), ... Поскольку для любой функ-
ции a(Z)e4 найдется последовательность линейных
комбинаций вида ^ckak(K), сходящаяся в Л2(7?)ка(Л),
k
то некоторая подпоследовательность S ckak (Л) схо-
k
дится к а (К) п. в., так что a(A)e/ls(Z) при почти
всех Л, й поэтому для любой другой полной системы
Sz= [а! (Л), 6/2 (^), ’ • •} в A^L2(R) имеем
Д5,(Л) = Л5(Л) п. в.
В этом смысле рассматриваемая п. в. пространство-
функция__А (Л), — оо < Л < оо, определяется равен-
ством Л(Л) = Л5(Л) однозначно.
Лемма. Подпространство
L = V ~^А L2 (/?)	(4.6)
—оо < t < оо
состоит из всех функций х(Л), —оо < Л < оо, е Z,2(/?),
значения которых удовлетворяют условию
х(Л)еЛД) п. в.	(4.7)
Доказательство. По определению подпро-
странства L^L2{R) всякая функция .r(Zjs7 есть
предел функций вида ^el tkak(K), где а^(л)еЛ, и,
k
очевидно, значения х(Л) удовлетворяют условию (4.7).
Далее заметим, что для любой функции а (Л) е А
/ оо
и скалярной измеримой функции с(Х) I J | с (Л) I2 X
' —оо
X || а (Л) II2 < °°) произведение х (Л) = с (Л) а (Л) есть
функция из подпространства L, поскольку функция
с (Л) может быть сколь угодно точно аппроксимиро-
вана в среднем (с весом g (Л) —1| а (Л.) |р) линейными
88
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
комбинациями вида S cketUk и для некоторой после-
k
довательности вида ^etKtkcka(X) в L2(R) имеем
k
оо
/ |х(А) —	=
— ОО	k	II
2
с (Л) — ^ckeiM* 2 g (X) <Д->0.
k
Аналогично, для любых функций (Л), ..., аг (Л) е А
и векторной измеримой функции с(А)= (С[(Л), , сг(А)},
ОО
удовлетворяющей условию J с (Л) g (Л) с (Л)* dK < оо
(где g(K)— положительная матричная функция с ком-
понентами gpq (Л) = {ар(Л), aq(h)}, р, q = 1, ..г),
г
функция х (Л) = 2 СР (А) аР (А/) принадлежит подпро-
р=1
странству А, поскольку векторная функция с (Л) может
быть сколь угодно точно аппроксимирована в среднем
(с весом g(A)) линейными комбинациями вида
^etKtkck (с векторными коэффициентами ck =
k
— [ск1, ..., ckr}), и для некоторой последовательности
функций 2 e'Uk S ck[>aD(k) в L2(R) имеем
k	р—1
2
— oo ||	k	P=1
oo
Р=1
k
_ eiMkck
k
Возьмем теперь произвольную функцию х(Л)е£2(/?),
удовлетворяющую условию (4.7), и полную систему
функций aJA.), а2(Х), ... s А, значения которых поро-
ждают подпространство А (Л) s Я при п. в. К. Проек-
ция (в гильбертовом пространстве. R) величины.
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
89
§ 4]
х(А)еЛ(А) на подпространство, порожденное конеч-
ным числом величин (Л), ..., аг(Л), имеет вид
г
хг (Л.) = 2 с₽(^) apW> гДе коэффициенты (Л), ..., сг(К)
p=i
как функции от Л являются измеримыми в силу того,
что для любых функций х(Л), у (Л) е Л2 (7?) скалярное
произведение (х(Л), у(Л)) является измеримой функ-
цией от Л. Мы показали выше, что .ггР.)е£. Но при
каждом фиксированном Л
|| х (Л) — xr (X) ||2-» 0 при г—>оо,
причем || х (X)—хг(К) ||2 ^|| х(Х) ||2, и следовательно,
оо
j || х (Л) — xr (X) II2 dk -> 0 при г-> оо,
—оо
так что	Лемма доказана.
Согласно этой лемме подпространство Н —
= V eiKtfb2R^ L2(R) состоит из всех тех функ-
ций х(л)еА2(/?), значения которых удовлетворяют
условию
x(V^2R п. в.,	(4.8)
и условие регулярности (4.5) можно выразить сле-
дующим образом:_____	___
________	А(Л) = ^п.в.,	(4.9)
где А (Л), — оо < Л < оо, обозначает пространство-
функцию, порождаемую подпространством А =
= HQH^L^.
Предположим теперь, что существует некоторая
операторная функция % класса Я1:
сю
J e~iU {фдх, у} dk = 0 при t < О
—оо
для всех х, у s R, удовлетворяющая требованиям
(4.3), (4.4). Очевидно, функция х(Л) = f^ll2tyKx е L2(R)
удовлетворяет условию (4.8) и, следовательно, при-
надлежит подпространству Н= V elMf'fcR. Кроме
go
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
того,
оо	оо
J [х(Х), f'fcy] dk = | e~iU Цлх, Ц dk—Q при t <0,
— оо	’	—СО
т. е. функция х(Л), — оо < А < оо, ортогональна
подпространству HQ— V eMflJ2R-, иначе говоря, функ-
t < о
ция х{К) = f^i/2фдХ, —оо < Л< оо, принадлежит под-
пространству k = HQHQ. Поэтому
П. В.,
и в силу соотношений (4.3) получаем, что
ДД) = п. в.,
откуда следует условие регулярности (4.5).
Теорема полностью доказана.
2. Некоторые выводы и примеры. Остановимся
подробнее на предложенных выше условиях регуляр-
ности (4.3)—(4.4).
Рассмотрим конечномерный случай, dim/? = JV.
Будем считать, что в унитарном пространстве R
выбран некоторый ортонормированный базис xlf ...
..., xN и спектральная плотность задана соответ-
ствующей матрицей /(Л) = {fkJ (Л)} с компонентами
fkj<X) = {h.Xk, х^, k, / = 1, N.
В одномерном случае, dim/? = l, условия (4.3) и
(4.4), очевидно, означают, что скалярная спек-
тральная плотность /(Л) должна быть отлична от 0
почти всюду и для некоторой скалярной функции ф(Л)
класса Я1:
J J -Ф(Л) Г/(Л)"1 tZX < оо.
—оо
Отсюда следует, что
J ------Г+v--------
—oo
log 1w |2 , f 10g^W/7A<'oo
—1~dK ~ J -Г+Л^Й'Л< °0’
§ 41
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
91.
и поскольку для функции ф(Л) класса Я1
I log I -ф (Л) I21 „ .
--------^<00,
мы приходим к хорошо известному условию Колмо-
горова— Крейна *):
logfW
1 +V
dK
— оо.
(4.Ю)
В случае произвольного конечномерного процесса
с обратимой п. в. спектральной плотностью f(K)
условия (4.3)—(4.4) означают, очевидно, что суще-
ствует невырожденная NXN матричная функ-
ция Ф(Л) = {ф^у(Л)} с компонентами из класса Я1,
для которой
оо
J 8р[ф(Л)Г‘(Л)ф(Л)‘]</Л<оо.
—оо
Отсюда следует, что
log det [i|> (Л) f (Л) ip (Л)*]
det i|> (Л) |2	_
1 + V
? det f (Л)
1 4-V
и поскольку для матричной функции ф(Л) класса Я1
оо
Г I log I det ф (Л) |21 ,,
J ----Г+V ^<оо>
*) В цитируемой ранее работе Колмогорова (см. сноску на
стр, 71) получено условие регулярности для одномерных ста-
ционарных процессов с дискретным временем; на случай непре-
рывного времени оно было обобщено Крейном (М. Г. Крейн,
Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова,
ДАН СССР 46 (1944), 306-309).
92
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
мы приходим к хорошо известному условию регу-
лярности *)
log detf(X)
1 + Л2
dK > — оо.
(4.11)
Отметим, что это условие равносильно следующему:
Iogll/л ‘II
1 + А2
> — оо,
поскольку
log det f (А) = 2 log mk (A), log || fK 11 ‘ = log m, (A),
k—\
где m, (A)	... mN (A) —собственные значения
спектральной плотности fK.
Для регулярного стационарного процесса ранг
спектральной плотности f (А) п. в. равен постоян-
ному М (см. теорему § 3). Следовательно, хотя бы
один из ее главных миноров порядка М отличен от О
на множестве положительной меры. Пусть это будет
определитель М X Л/-матричной функции ?м(Ь) =
= {^р^(Л,)} с элементами fkpk(l (А) = {/Лр, xkq], р,
<7=1, М. Обозначим RM подпространство в R,
порожденное элементами xkp, р=1,..., М. Оче-
видно, является (матричной) спектральной плот-
ностью 7И-мерного регулярного процесса с ком-
понентами (I (0, х}, х е RM, и, следовательно,
det fM (Л) У= 0 не только на множестве положительной
меры, но и почти всюду. Как мы только что отме-
чали, в случае обратимой спектральной плотности fM (Л)
*) Для случая дискретного времени это условие было пред-
ложено в заметке В. Н. 3 а с у х и н а, К теории многомерных
стационарных процессов, ДАН СССР 33 (1941), 435—437. Слу-
чай непрерывного времени рассмотрен в работе Е. Г. Глад ы-
ш е в а, О многомерных стационарных случайных процессах,
Теория вероят. и ее примен. III, 4 (1958), 458—462.
УСЛОВИЯ регулярности
93
ее наименьшее собственное значение tn (К) удовлет-
воряет условию
При этом, очевидно,
м м
inf 5 lifkpk.Wcp <
М	q=\ р=1 р 4
?ыг=*
< inf 2 2 fjkp W ср
м /=»1 р=1 Р
S I с„ |2= 1
1 I р I
inf ||fxx||.
x^Rm, 11*11=1
Рассмотрим теперь подпространство fKR = RQR^,
где R% — нулевое подпространство для положитель-
ного оператора fK. Поскольку dim/\/?M = dim А 7?,
имеем f\RM = f\R п. в., откуда следует, что проек-
ция хк любого элемента х е RM, х =£ О на подпро-
странство fKR отлична от 0 п. в. Кроме того, f^x —
= fKxK для № R, и подпространство всех элемен-
тов хк, xs R, совпадает с fKR. Очевидно,
inf II A* IK inf II А* 11 =
где, напомним, fK 1 есть обратный оператор к поло-
жительному оператору fK в унитарном простран-
стве fKR. Таким образом, т (Л) С | f\l |] п. в., и
следовательно, в регулярном случае
(4.12)
Как мы знаем, кроме этого условия для регуляр-
ности необходимо, чтобы существовала операторная
94
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
функция qpx класса Я2, обладающая следующим
свойством:
П. В.
Очевидно, в конечномерном случае, dim R < оо>
это равносильно условию
fi.R = <PkR п- в.	(4.13)
Из предложенного нами общего критерия регу-
лярности легко вытекает, что
совокупность условий (4.12) — (4.13) не только не-
обходима, но и достаточна для регулярности конеч-
номерного стационарного процесса *)•
Действительно, как известно, при условии (4.12)
интегрируемая скалярная функция
^||Д||) допускает факторизацию Ц^Ц 1 = | 0 (Z) |2 с
помощью некоторой скалярной функции класса Я2
(см. сноску на стр. 79), и если взять функцию
(Л) = 0 (A,) qp (Л), принадлежащую классу Я1, то ока-
жется, что она удовлетворяет всем условиям (4.3) —
— (4.4), поскольку
II fr1/2%x К РГ1/2II • 10 (ЧI • || qv II < II4V ||> *65 Я.
Стоит отметить, что условие (4.12) равносильно
следующему:
log det fM (Л)
1 + V
dK > — оо
(4.129
для некоторого главного минора det fM (%) порядка М
матричной спектральной плотности (ранга М).
*) В случае дискретного времени аналогичные условия
были предложены Хелсоном и Лоуденслегером (Н. Н е 1 s о п,
D. L о u d е n-slager, Vector-valued processes, Proc. Fourth Ber-
keley Symposium Math. Statist. Probability, Berkeley, 1961).
Условия несколько другого типа были ранее найдены Матвее-
вым (Р. Ф. М а т в е е в, О регулярности многомерных стацио-
нарных процессов, ДАН СССР 126 (1959)).
§ 41
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
95
Вместе с условием (4.13) это позволяет, например,
легко получить следующий важный результат: вся-
кий стационарный процесс, имеющий спектральную
плотность f (Л) = {fkj (Л)} с рациональными элемента-
ми fkjWy /—1, ..., является регулярным.
Остановимся теперь на некоторых особенностях
бесконечномерного случая, dim/?==oo.
Вообще говоря, условие (4.12) уже не будет не-
обходимым *). Например, если взять стационарный
процесс со спектральной плотностью вида —
= fk(h)xk, k=l, 2, ..., где х2, ...—ортонорми-
рованный базис в R и скалярные спектральные
плотности fk (Л),
Г Jog fk W
J 1 + X2
dK > — oo,
монотонно убывают таким образом, что
f lim	=
J /г->оо
то окажется, что, хотя процесс регулярен, условие
(4.12) будет нарушено.
В то же время условие (4.12) в случае обрати-
мой спектральной плотности fK является достаточным
для регулярности**).
*) Некоторый класс спектральных плотностей (обладаю-
щих «скалярным кратным»), для которых условие типа (4.12)
является необходимым условием регулярности, указан в книге
Б. Секефальви-Надя и Ч. Фояша, Гармонический
анализ операторов в гильбертовом пространстве, 1970,
**) В случае дискретного времени это фактически было до-
казано в работе Ю. А. Розанова, Спектральная теория
многомерных стационарных случайных процессов с дискретным
временем, Успехи матем. наук XIII, 2(80), (1958), 93— 142; см.
также: A. D е v i n a t z, The factorization of operator-valued
functions, Ann. of Math 73 (1961), 458 — 495.
В связи с условием (4.12) следует упомянуть интересный
пример Лакса, в котором (при обобщении его на случай непре-
96
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
В самом деле, пусть fK равномерно интегрируема:
оо
J Ilf (Л) ИЛ < оо,
—оо
и при почти всех Л существует ограниченный
обратный оператор f^1 в R (7? = удовлетворя-
ющий условию
dK > — оо.
Пусть
। О W г
где О (Л) — скалярная функция класса Я2, фактори-
зующая интегрируемую функцию Ц^Ц 1 (Ц^Ц
<||/\||), а —единичный оператор в /?. Очевидно,
операторная функция класса Я!ПЯ2 будет отве-
чать требованиям (4.3) — (4.4), и следовательно, ста-
ционарный процесс со спектральной плотностью fK
будет регулярным.
В случае, когда спектральная плотность fK при
почти всех Л является обратимой на замкнутом под-
пространстве fKR (fKRc:R), регулярность будет иметь
место, если кроме условия (4.12) потребовать еще,
чтобы пространство-функция fKR, —оо < Л < оо, бы-
ла «аналитической» в том смысле, что
«• в.	(4.14)
рывного времени)
log fk
1 +Л2
dK > — cl,
где с — некоторая постоянная, а I — единичный оператор в
гильбертовом пространстве R, и тем не менее, соответствующий
стационарный процесс не является регулярным (Р. Lax, On
the Regularity of Spectral Densities, Теория вероят, и ее при-
мен. VIII, 3 (1963)).
§ 4]	УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ	97
(ср.с (4.13)) для некоторой операторной функции <рх
из класса Н2.
Действительно, в качестве функции удовлет-
воряющей условиям регулярности (4.3)—(4.4), можно
взять
= 6 (А.) • <р (А,),
где скалярная функция 6 (X) класса Я2, как и прежде,
факторизует функцию Ц^Ц (напомним, что —
ограниченный обратный оператор к fK на замк-
нутом подпространстве fKR = f^R, так что	=
= f'^R, если = fKR).
В заключение выведем из наших условий регуляр-
ности (4.3)—(4.4) одну теорему сравнения.
Для краткости назовем спектральную плотность
регулярной, если регулярным является соответствую-
щий стационарный процесс.
Предположим, что спектральные плотности Д и
gK при почти всех Л имеют в гильбертовом прост-
ранстве R одни и те же «нули» и, более того, для
элементов хп е R
h.xn->0~ gKxn-+0.	(4.15)
Если fK регулярна, а
gx>fk п. в.,	(4.16)
то спектральная плотность gK также регулярна.
Действительно, при условии (4.15)
причем
где С\ — обратимый оператор в подпространстве
R^ (непосредственно из соотношения (4.15) вытекает,
что определенные равенствами CJ^2x = g^2x и
== /д/2х, х е R, операторы Ск и являются
4 Ю. А. Розанов
98
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ, III
непрерывными в R}). Поэтому g1/2 = f’/2C[ и
^/2=^/2(С1)_1’ откуда получаем, что^Я =	=
= fx2cK^K ~ I'kR’ и> аналогично, f^R<= g^R, т. е.
О = п-в-
Для регулярной спектральной плотности fK сущест-
вует операторная функция класса Я!ПЯ2, удо-
влетворяющая условиям (4.3) — (4.4). Учитывая, что
^Г1/2==	гДе — обратимый оператор (со-
пряженный к С\), приходим к заключению, что усло-
вие (4.3) выполняется и в отношении спектральной
плотности g(Z):
(“ftM
Кроме того, поскольку gK fK, имеем	п. в.,
и следовательно, в отношении g’(A) выполняется
также условие (4Л)
оо	со
— оо	—оо
при всех хе/?. Таким образом, спектральная плот*
ность g(Z) является регулярной»
В частности, для конечномерного случая отсюда
вытекает, что если невырожденная спектральная плот-
ность Д является регулярной, то регулярной будет
и всякая спектральная плотность gK, gK^fK- Для
бесконечномерного случая без ограничений типа (4.15)
это, вообще говоря, уже неверно. (Именно, для всякой
функции х(^)еЯ0, х(Х)^0, где Я0 есть замыкание
в L2(R) подпространства всех функций g^2x, — оо <
< Z < оо, x^R, в случае регулярности gK одномер-
ный «стационарный процесс» {eiKtt х(А)} также регу-
§ fl
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
99
лярен и должно быть выполнено условие
f log IIX WII
J 1 4-х2
—ОО
dK > — оо;
в частности, х (Л) =# 0 п. в. Если же взять строго по-
ложительные (постоянные) операторы Р и Q в R та-
кие, что Q Р и Qxn —> х0 #= О, Рхп -> 0 для некото-
рой последовательности хп е R, взять скалярную
функцию 0(Л) класса Я’ПЯ2, |0(Л) ^1, то ока-
жется, что операторная функция fK= 0(Л) |2Р2 регу-
лярна, /Л = ФЛ-<р;, фа = 0(Л)Р, а функция gKi
_( 10 (Л) I2Р2 при |Л| < 1,
10(Л) I2Q2 при |Л | > 1,
хотя и мажорирует fK, не будет регулярной, поскольку
я1/2^„->^(х)={
О при | Л, | I,
| 0 (Л)| х0 при | X | > 1.
Уточним, что этот контрпример существенно беско-
нечномерный. В качестве Р и Q можно взять сле-
дующие операторы: Q — положительный невырожден-
ный оператор, для которого QR R, a P — QnQ,
где л — оператор проектирования на ортогональное
дополнение к элементу х0 е R, х0 ф QR *).
Имея в виду условия регулярности (4.3) — (4.4),
заметим, что для определенных выше плотностей
и gK, IЛ | > 1, g^2fKR = (QnQ)R = nR^^R=R,
и это указывает на невозможность подобрать опе-
раторную функцию <= Н' П Н2, удовлетворяющую
условиям (4.3) одновременно в отношении fK и gK
(как это было сделано выше при доказательстве
нашей теоремы сравнения).
*) См. R. G. D о u g 1 a s , On factoring positive operator
functions, J. Math. Meeh. 16(1966), 119— 126.
4*
Г Л А В A IV
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Понятие эквивалентности.
Вероятностная интерпретация в случае
гауссовских распределений
Пусть £(/) = {£ (О, x}xl-R и t](O = {n(O> 4^ —два
случайных процесса на интервале tQ < t < Т, где па-
раметр х пробегает некоторое множество /?. Имея
в виду вопрос о том, при каких условиях их обно-
вляющие процессы будут одного и того же типа,
рассмотрим отображение
Л: {г|(/), *}->{£(/), Д x^R- tQ<t<T. (I.I)
Будем говорить, что процесс £(/) = {£(/),
эквивалентен процессу ц(/) = {ц(0, x)x<=r на интеР"
вале tQ < t < Г, если это отображение продолжается
до линейного ограниченного обратимого оператора А
из гильбертова пространства Н (т]) в гильбертово
пространство Н (g) и, кроме того, если разность
/—-Л*Л будет оператором Гильберта — Шмидта (на-
помним, что Я(ц) и Н (%)— замкнутые линейные обо-
лочки соответствующих значений {т](0, 4 и {£(0, х}>
хе/?; /0 < t < Г).
Как было предложено ранее (см. § 2 гл. II), при
условии, что А — ограниченный линейный опе-
ратор, вместо исходных процессов g(f) и T](f), /0 <
< t < Tt можно рассмотреть обобщенный процесс
g(u) = Ли, и е U,
(1.2)
§ и
ПОНЯТИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
101
на гильбертовом пространстве U — Н (rf), в котором
выделено семейство подпространств Ut = Ht (r|), to <
< t < Т. Именно, вопрос об однотипности обновля-
ющих процессов для £ (/) и т) (/) (на интервале t0 <
< t < Т) есть, по существу, вопрос о том, при каких
условиях семейство подпространств
Ht(£) = AHt(vi), t0<t<T,
(1-3)
будет изометрично семейству ЯДц), /0 < t < Т:
=	/0</<Л	(1.4)
для некоторого изометрического оператора X.
Было доказано (см. теорему § 3 гл. II), что если
корреляционный оператор В = Л*Д является обрати-
мым и, кроме того, разность 1 — В является опера-
тором Гильберта — Шмидта, то рассматриваемые се-
мейства Ht(g) и ЯДц), tQ<t<T, будут изометрич-
ными, а следовательно, обновляющие процессы для
исходных случайных процессов £(/) и ц(/), /0 < t < Т,
будут одного и того же типа. Таким образом, экви-
валентные процессы £(/) и т) (£), /0 < t < Т, имеют
обновляющие процессы одного и того же типа.
Отметим, что поскольку А = ХВХ1\ где X — уни-
тарный оператор, и
/ — (Л"1)* (Д-1) = I — хвх-' =
= Х (/ — В) X~l = X(I- AM) X-',
то в случае, когда разность I — А*А является опера-
тором Гильберта — Шмидта, оператором такого же
типа будет и разность / — (Л-1)*Л-1. Таким обра-
зом, определение эквивалентности |(£) ~ "П (£) явля-
ется симметричным. Легко видеть, что оно также
транзитивно и, конечно, рефлексивно.
Введенное выше условие эквивалентности хорошо
известно для гауссовских случайных процессов
%(t) и т|(0> t0<t<T, когда оно означает эквива-
лентность (взаимную абсолютную непрерывность) их
102
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
распределений вероятностей и в том или ином
функциональном пространстве *).
В связи с этим стоит сказать, что рассматривае-
мый нами вопрос о структуре обновляющих процес-
сов касается лишь тех свойств случайных процессов,
которые целиком определяются их вторыми момен-
тами (корреляционной функцией), так что можно
было бы, не ограничивая общности, считать эти про-
цессы гауссовскими.
Итак, имеет место следующее предложение.
Теорема. Эквивалентные случайные процессы
имеют обновляющие процессы одного и того же типа.
§ 2. Эквивалентность стационарных процессов
1. Постановка вопроса. Операторы Гильберта —
Шмидта в функциональном пространстве L2(jR).
Пусть £(/) = {£(/), x}x^R — стационарный процесс с ком-
понентами {£(/), х}, хе R (/? — параметрическое гиль-
бертово пространство), который мы рассмотрим на
некотором интервале t$<l <Т.
Обозначим fK его спектральную плотность. На-
помним, что fK — положительная операторная функция
в гильбертовом пространстве R такая, что при всех
х, у е= R
оо
Е(т х} •	= J e^^{fKx,y]dK.
—-оо
Наряду со спектральной плотностью мы будем
использовать и другую характеристику стационар-
*) Это условие эквивалентности гауссовских распределений
было предложено Фелдманом (J. Feldman, Equivalence and
perpendicularity of Gaussian processes, Pacif. J. Math. 8 (1958),
699—708). Подробное изложение разных вопросов, связанных
с эквивалентностью гауссовских распределений, имеется в мо-
нографии Ю. А. Розанова, Гауссовские бесконечномерные
распределения, Труды МИАН 108, (1968).
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ЮЗ
ного процесса £(/)— его корреляционную функцию
оо
В6(0 = J etMfKdh,
—оо
-- ОО < t < оо,
являющуюся (слабым) преобразованием Фурье (слабо)
интегрируемой операторной функции /А, — оо < Л< оо.
Пусть ц(/) = {ц (/),	— Другой стационарный
процесс со спектральной плотностью gK и корреля-
ционной функцией Вп(/) в параметрическом гильбер-
товом пространстве R. Спрашивается, при каких
условиях на спектральные плотности fK и gK (или
на корреляционные функции (/) и Вп(/)) процессы
£(/) и т](/) будут эквивалентными на интервале
/о < t < Г?
Имея в виду изометрию
I (/)	е{М^2, т] (/) eiMgW
(см. § 1 гл. III), рассмотрим в гильбертовом про-
странстве L2 (7?) подпространства Н (f) и Н (g), ка-
ждое из которых есть замыкание соответствующих
линейных подпространств всех функций вида ?А/2х(Л)
И g'^xft), где
х(Л) =	2 e‘KtkXk, — оо < Л < оо; (2.1)
*0<^<Г
именно,
H(f) = \/ eiKtf^2R,
h<t<T
H(g) = V	(2.2)
Эквивалентность процессов и т](/) на интервале
tQ<t<T означает, что отображение
Л:
(2.3)
есть линейный ограниченный обратимый оператор
из гильбертова пространства Н (g) в гильбертово
104
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
пространство H(f), а разность / — А* А— оператор
Гильберта — Шмидта *).
Прежде чем говорить о тех или иных условиях
эквивалентности, покажем, что всякий оператор Гиль-
берта— Шмидта в функциональном пространстве
L2 (7?) в некотором смысле есть «ядро» — факт, хорошо
известный в конечномерном случае dim7?<oo.
Обратимся к гильбертову пространству S2(/?) всех
операторов Гильберта — Шмидта в гильбертовом про-
странстве R, определив скалярное произведение ф,
ф е S2 (7?) как
{(р, ф} = Sp	{<реА, =
k
= 3 {ф^, в/}	et}, (2.4)
i
где eh e2t ••• —ортонормированный базис в /?. Хо-
рошо известно, что стоящие в правой части равен-
ства (2.4) суммы не зависят от выбора ортонорми-
рованного базиса в 7? и что пространство S2(T?) яв-
ляется полным относительно «следовой нормы»:
I <рI2 = Sp <p*<p = S II <f>ek II2 = Si {ф*?ь Sj} I2-
k	k, /
Рассмотрим пространство всех измеримых опера-
торных функций ф(Л, ц), — оо < Л, ц < оо, в гиль-
*) Отметим, что излагаемые ниже методы и результаты
легко распространяются на операторные функции и «мед-
ленного роста»:
оо	оо
J 1^Г2"||МИХ<оо,	j	|X|-2n||gJ|dA< оо
— оо	—оо
при каком-либо п > 0, что соответствует случаю обобщенных
стационарных процессов и процессов со стационарными при-
ращениями. Вместо исходных функций х (Л) типа (2.1) нужно
лишь взять функции
х (Л) = JeiUc (t) dt,
h
являющиеся преобразованием Фурье достаточно гладких функ-
ций с (/), — оо < t < оо, обращающихся в 0 вне интервала (/q, Т).
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Ц)5
бертовом пространстве /?, удовлетворяющих условию
ф (Л, ц) е S2 (/?) и J* J |ф(Л, р)|2 dK d\x < оо, (2.5)
— 00 —оо
определив в нем скалярное произведение формулой
(ф, ф) = / J {ф (X, ц), ф (X, ц)} dX (2.6)
— оо —оо
Это будет полное гильбертово пространство; обозна-
чим его L2 (R X R)-
Примером операторной функции ф(Х, [i)eA2(/?X^)
может служить функция
ф (Л, ц) = х0 (Л) X Уо (н)>	— °° < X, ц < оо,
определенная соотношениями
ф(Х, ц)х = х0(Х) -{t/o(H)> х}, xe=R, (2.7)
где х0 (Л), у0 (%) s L2 (R). Действительно,
| ф (X, и) I2 = II х0 (X) II2 21 {//0 (ц), ek} |2 = II х0(Х) ||2 • || Уо(ц) II2
k
и
J j Iф (X, ji) I2 dX dp — j II Х(Д) II2 dK- | II г/0(р) Ipdp.
— oo —oo	—oo	—oo
ЕслихДХ), x2(X), ... —некоторая ортонормирован-
ная система в функциональном пространстве L2(R),
то система операторных функций
Фй/(Х, Н) =-Vfe (X) X (ц), k, ] = 1,2.... (2.8)
будет ортонормированной в пространстве LPtRXR),
поскольку
{ф//.(^> Н), ФР<7 (Л, р)} =
— {Xi.(X); хр (X)} s {Xj (р), ek} • {xq (ц), ek} =
= [xt (X), хр (X)} • {xt (ц), xq (р.)1
106
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
И
оо оо
(ф</> фр9) = J J {ф;/ (X, и), фр, (X, ц)} d'k du =
= J {xz (X), (X)} </Х • j {Xj (ц), xq (р.)} dp = 0
при i р или j У= q.
Более того, используя тот факт, что всякий опе-
ратор Гильберта — Шмидта есть предел по следовой
норме «конечномерных» операторов *), можно пока-
зать, что если ортонормированная система функций
Xi (X), х2(^)> ••• полна в £2(/?), то соответствующая
система операторных функций qki (Л, ц) = xk (X) X
Х^(ц), £,/=1,2, ..., будет полной ортонорми-
рованной системой в пространстве L2(RXR) (это
предложение нам не понадобится, и его доказатель-
ство мы опускаем).
Теорема. Всякий оператор Гильберта — Шмидта
в функциональном пространстве L2 (R) задается не-
которым ядром ф(Х, ц) е L2 (/? X R)-
Доказательство. Пусть F—некоторый опе-
ратор Гильберта — Шмидта (в некотором подпрост-
ранстве Н L2 (R)). Это значит, что
Sl (Fxk, х}) |2 < оо	(2.9)
k, j
для полной ортонормированной системы функций xk —
= хЛ(Х), £ = 1,2,.,., в пространстве H^L2(R).
Возьмем ортонормированную систему операторных
функций
ФА/ (X, ц) = xk (X) X Xj (ц), k, j= 1, 2, ....
и положим
Ф (X, Н) = 3 bkjfpkj (X, И),
k,i
*) См., например, книгу Н. Данфорда и Дж. Шварца,
Линейные операторы. Спектральная теория, М., изд-во «Мир»,
J966,
§ 2]
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
107
где коэффициентами служат
ьк{ =	х}), Si bkl |2 < оо.
/
Ясно, что <р(Л, ц) есть элемент (полного) функцио-
нального пространства Л2(/?Х^)- При всех k, j и р
Фй/ н) Хр (ц) = Xk (AJ • {хj (ц), Хр (ц)} еЕ /7
и
Фй/ (*> Ц) хр (ц) dp =
при / = р,
при j=£p.
xk W
О
Легко видеть, что операторная функция ф(Л, р)
обладает следующим свойством: для всякой функ-
ции х (Л) = S архр (Л) (Sl«pl2<°°) из пространства
р	\ р	)
Hs=L2(R)
оо
J ф (х, ц) х (ц) dp = ckxk (Л),
— оо	k
где
Сй = 2«рбРй, Si cki2<Siарi2-Siм2<00•
р	k	р	k, f
Можно сказать, что оператор Ф, определенный в про-
странстве L2(R) равенством
G>x(A.) = S<Vft W
h
задается ядром ср (Л, ц) е А2 (7? X Я), и этот опера-
тор Ф совпадает с исходным оператором F, поскольку
(Л) = 2 W = 2^/2 xk W =
i	i k
= 2	xk = 2 Ckxk (^)«
k \ j )	k
Итак, мы показали, что всякий оператор F типа
Гильберта — Шмидта в функциональном пространстве
108
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
Н L2 (7?) задается некоторым ядром ф (Л, р) е
eL2(/?X^)> а именно,
Fx(k) = J ф (Л, p)x(p)dp. (2.10)
— оо
В свою очередь, как легко видеть, всякое ядро
ф(Л, ц) е L2(R X R) задает некоторый оператор F
типа Гильберта — Шмидта в пространстве А2(/?)>
причем
|F|2=Spr’F= J J |<р(Л,	(2.II)
— оо —оо
В дальнейшем нам понадобятся еще некоторые
свойства преобразования Фурье операторных функ-
ций ф (Л, ц) е L2(/? X RY определенного равенством
b(s,f) = J J е-'<Л5-^>(р(Л, ix)dXdn, (2.12);
— оо —оо
— оо < s; / < оо.
В случае интегрируемой функции |ф(Л, ди J f это
обычный интеграл от функции со значениями в се-
парабельном гильбертовом пространстве S2(/?). В об-
щем случае преобразование (2.12) можно определить
в смысле слабой сходимости. Именно, если выбрать
какой-либо ортонормированный базис eh е2, ... в гиль-
бертовом пространстве 7? и рассмотреть обычное
преобразование Фурье интегрируемых в квадрате
функций {ф(Л, ^)е^, ef}, обозначив его {b(s, f)ek, е;},
то окажется, что для любых линейных комбинаций
х = 2 c'kek> 7/ = 2 c"ej функция
{b (s, t) X, у\ = 2 c'kc" {b (s, /) ек,
совпадает с преобразованием Фурье {ф(Л,	//},
и потому мы можем рассматривать это преобра-
зование как билинейный функционал на всюду плот-
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
109
§ 2]
ном в 7? подпространстве 7? всех линейных ком-
бинаций вида x — ^jckek. При этом
J | 5\{b(s, f)ek, ej}\2dsdt =
— оо — оо
оо оо
= S / J |{^(s> t)ek, et}\2dsdt =
k, f —oo —00
oo oo
= 4jl2S I J |{ф(Л, p)eA, еДРrfXcfp. =
k, j
= 4n2 J J | {<p (Л, ц)ек, e/}l2d^dp =
— oo —oo k, i
= 4n2 J J |<р(Л, p) p dk dp < oo,
— 00 —oo
откуда видно, что
2 |{6(s, t)ek, в/}|2< oo п. в.,
k, i
и следовательно, билинейный функционал {b(s, t)x, у]
задается некоторым оператором b(s, t) типа. Гиль-
берта— Шмидта (в пространстве 7?). Как оператор-
ная функция b(s, t) принадлежит функциональному
пространству L2(R%R):
J j \b(s, t)\2 ds dt = 4n2 j J |ф(Л, р.)|2(Д dp < oo.
— OO —OO	—00 —oo
(2.13)
Операторную функцию b(s, t), — oo < $, z < oo, мы
и называем преобразованием Фурье от <р(Л, ц) е
е£2(/?Х^).
В свою очередь, операторная функция <р (X, ц)
может быть получена из операторной функции
по
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕСС^
[ГЛ. IV
#($, t) <= L2(R X R) с помощью обратного преобра-
зования Фуръе\
оо оо
<р(Л, Н) = т”? / / {Ks~'xt) b(s, t)ds dt, (2.14)
— оо < Л, [х < оо.
Используя хорошо известные свойства преобразова-
ния Фурье скалярных функций, легко убедиться,
например, что если для некоторого натурального п
оо оо
J J (1+ЛТ(1+нТ|ф(^, ц)|2^н< оо, (2.15)
— оо —оо
то операторная функция b(s, f) имеет все (слабые),
производные до порядка п—1 по каждому перемен-
ному, причем
-h^b(s’z)=
dsRdtm
= J J (— iX)k (щ)т e"“l(Ks^t} ф (Л, ц) dh
— oo —oo
^2(rt-l)
и, более того, функция c(s, t) =	b (s, ^аб-
солютно непрерывна относительно лебеговой меры
ds^dt в том смысле, что аддитивная функция
множеств
m(A) = c(s2, t2)~ c(s2, tl) — c(sl, t2) + c(sl, tt),
A = (s1, s2]X(/i, t2],
представима в виде интеграла
m(A)== [ f [-?^(М)
J J ds dt
Si ti
ds dt
от функции, которую мы обозначили
д2п
dsndtn
b (s,
О,
являющейся преобразованием Фурье операторной
§ 2]
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
111
функции ф(Л, ц) = (— /V) (/ц)" <р (Л, ц) е L2(R\ R) и,
следовательно, удовлетворяющей условию
d2n I2
dsdKoo. (2.16)
С другой стороны, если операторная функция
b(s, /), скажем, является финитной: b(s, /) = 0
вне некоторого квадрата tQ< s*, t < Т и имеет про-
изводную b(s, О, удовлетворяющую условию
л2"
(2.16), т. е.	----- b (s, f) Л2 (7? X 7?), то все млад-
шие производные (включая саму функцию b(s, /))
также принадлежат пространству L2(R\R), На-
пример,
т т
I2
ds dt
T T
I J dsndtn
2
&(s, t) dsdt.
При этом обратные преобразования Фурье оператор-
^2/г
ных функций ""d~ndtn ^)и	/) связаны равенством
ф(А, ц) = (— /Л/ХфГф^, ц),
которое получается, как и для скалярных функций,
с помощью повторного интегрирования и интегриро-
вания по частям тождества
(/А)-/г(—	ц) =
— OQ
д2п
—-r—^b(s, f)dsdt.
ds dt
112
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
Таким образом, операторная функция ф(Л, р), опре-
деленная формулой (2.14), удовлетворяет условию
оо оо
f / |лПн12п|<р(^ н)12^н =
—оо —00
оо оо
= J J | г|5 (X, р) |2 dk dp, < оо, (2.15z)
— 00 —оо
а значит, и условию (2.15).
В заключение приведем еще один простой факт,
касающийся операторных функций ф (Л, ц) е £2(/?Х^)«
Именно, пусть измеримые операторные функции аА
и Pv — оо < Л < оо, в пространстве R удовлетво-
ряют условию
оо	ОО
J || ajl2	сА < оо,	j	|| ||2	dk<оо.
—ОО	—00
Тогда произведение (Л, р) ац также принадлежит
пространству L2 (R X R)> и для всех х, у е R
ОО
I ф(Л, p^xdp, frKy
—оо
dk —
оо оо
= J J {₽1<Р (Л, ц) z/} dk dp. (2.17)
—оо —оо
2. Общие условия эквивалентности. Как было
отмечено, для стационарных процессов g (/) и т](/) со
спектральными плотностями fK и gK (в гильбертовом
пространстве /?) эквивалентность на интервале t0 <
< t < Т означает, что определенный соотношением
(2.3) оператор Л из пространства Н (g) в простран-
ство Н (f) является ограниченным и обратимым,
а разность / А*А является оператором Гильберта —
Шмидта в Н (g). Уточним, что оператор А:
Аи(к) = ^2х(Л),	— оо < Л < оо?
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
113
§ 2]
первоначально определен на всех функциях
«(Л) = ^’х(Х)
/х(Л) = 2 elUkXk, — оо < Л < ooY
\	*<4<т	/
причем сами пространства Н (g) и Н ([) совпадают
с замыканием в L2 (R) подпространств из соответст-
вующих функций £'(!х(Л) и (Л) (см. (2.1) — (2.3)).
Будем предполагать в дальнейшем, что спект-
ральная плотность g(K) равномерно интегрируема:
сю
/ UWII<a<oo.	(2.18)
—оо
Положим В —Л* Л и F — I — В. Ясно, что усло-
вие ограниченности и обратимости оператора Л равно-
сильно тому, что теми же свойствами обладает опе-
ратор В. Далее, если F = I — В есть оператор Гиль-
берта— Шмидта, то В = 1 — F будет ограниченным
оператором, причем условие обратимости положи-
тельного оператора В = Л*Л:
inf (Ви, и) = 1 — sup (Fa, и) > О
М=1
равносильно тому, что самосопряженный оператор F
(типа Гильберта — Шмидта) не имеет собственных
значений, равных 1 — его максимальное собственное
значение меньше 1,
sup (Fu, и) < 1.	(2Д9)
Пи [1=1
Уместно отметить, что ограниченность и обратимость
исходного оператора Л означает следующее *):
J {fjxW.jeWJdXX J {g(X)x(A), x(A)}rfA, (2.20)
—оо	—оо
*) Здесь и далее запись аХР для переменных а, Р озна-
чает, что
0 < Ci Су <с2 < оо,
где с 1, с2 — некоторые постоянные.
114
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
где х (Л) пробегает все функции вида х (Л) =
= 2 e^xk.
tk<t<T
Как мы показали выше (см. теорему п. 1), опе-
ратор Гильберта — Шмидта в подпространстве Н (g) =
^L2(R) задается некоторым ядром <р (Л, ц)еЛ2(7?Х^)>
что в отношении оператора F — I — B равносильно
следующему: для полной в Н (g) системы функций
и (Л) = e'Mg^x, tQ<t < Т, хе R,
и некоторого ядра <р (X, ц) е L2 (R X R) должно иметь
место равенство
оо
(Fu, f) = J
оо
J (Л, ц) g'fx dp,, eiKsg'jVy
—<x>
dK =
oo oo
= J J e-!'(Xs-|lZ'{4/2cp(Z,	y] dXdp.
—oo —oo
(см. формулу (2.17)). С другой стороны, для u(X) =
= elKsg^2x, v(K) = eiKtg^2y имеем
(Fu, v) — (u, v) — (Bu, v) —
— J eiK(s-t) (g^x, y] dK— j elKi-s~t} (fKx, y] dK =
—oo	—oo
oo
= J	~ x> y} dK = b(s — t),
— oo
где b(s — t) есть разность корреляционных функций:
b (s — t) = (s — t) — B% (s — /), tQ < s, t <T.
Сравнивая приведенные выше выражения, при-
ходим к следующему результату.
Лемма. Разность I — В является оператором
Гильберта — Шмидта тогда и только тогда,. когда
§ 21
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
115
разность корреляционных функций допускает пред-
ставление
b(s — t)=\ /	p)gWdkdp, (2.21)
—оо —оо
Zo < /, s < Г,
с помощью некоторого ядра q? (Л, ц) е L2 (R X R)»
Здесь подынтегральная функция
Ф(^. P-) = gl/2<₽(^ ^g’/2
принадлежит пространству L2 (R X R), поскольку
| ||gj,/2|f2^ < 00 (см. условие (2.18)), и формула (2.21)
—оо
показывает, что операторная функция b(s — /),
tQ < s, t < T, может быть продолжена в некоторую
функцию
оо оо
b(s, t) = J J e-z ф (A, p)dAdp,
—oo —oo
— oo < s, t < oo,
преобразование Фурье которой
oo oo
ф(А, н) = "4^2’ J J е1{Кз~»*> b(s, t)dsdt,
— 00 — oo
— OO < л, Ц < oo,
удовлетворяет условию
g^ (*. H) g;1'2 e L2 (R x R).	(2.22)
Очевидно также, что если функция b(s — /), /0 <
< s, t < Т, допускает подобное продолжение, то она
допускает и представление типа (2.21) с ядром
<р (А-, и) = grI/24> ц) g^1/2-
116
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
Таким образом, имеет место следующее пред-
ложение *)
Теорема. Разность I — В является оператором
Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда
разность корреляционных функций b(s — f), tQ<s,
t < Г, допускает продолжение в некоторую функцию
b(s, f), — оо < s, /<оо, из L2(/?X^?) с преобразо-
ванием Фурье ф(Л, ц), удовлетворяющим условию
(2.22).
Как это ни кажется странным с первого взгляда,
в случае конечного интервала (/0, Т) при весьма
широких ограничениях на спектральные плотности
fK и gK из условия, что разность I — В является
оператором Гильберта — Шмидта (и даже просто
самосопряженным вполне непрерывным оператором),
вытекает обратимость оператора В, и в этом
случае предложенная выше теорема дает, как мы
убедимся в дальнейшем, весьма эффективный кри-
терий эквивалентности.
Предположим, что спектральная плотность fK
является невырожденной хотя бы на каком-либо
множестве положительной меры. Предположим, что
спектральная плотность gK является регулярной,
точнее,
J iOg1ll+J dX>-oo (2.23)
(ср. с условием (4.12) гл. III). Тогда имеет место
следующее предложение.
Теорема. При условии, что разность I — В
является вполне непрерывным оператором, оператор
В —А*А будет обратимым.
*) Эта и последующие теоремы являются обобщением ре-
зультатов для одномерных процессов, подробное доказательство
Которых имеется в книге И. А. Ибрагимова и Ю. А. Ро-
занова, Гауссовские случайные процессы, М., изд-во «На-
ука», 1970.
§21 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
117
Доказательство этого предложения основано на
том, что при условии (2.23) всякий элемент u(k)^H (g)
представим в виде
и (Л) = §^/2х(Л),	— оо < Л < оо, (2.24)
где х (К) —целая аналитическая функция, являю-
щаяся среднеквадратичным пределом с весом ш(Л) =
===||£Г1|Г1 аналитических' функций типа (2.1) :
х (Л) = lim S емЬхь.
Действительно, всякий элемент ц(А)е//(§) по
определению пространства Н (g) есть предел в L2(R)
некоторой последовательности ип (Л) = g]K12 хп (Л), где
хп (Л) — аналитические функции типа (2.1). Последо-
вательность ц„(Л) является фундаментальной в про-
странстве L2 (R), так что
сю
JH/2 - Xm
— oo
oo
> J IK — xm (в ||2 ® (k)dk -> 0 при n,
— oo
поскольку для любого x^ R
II 0-1/2 II2
OO
и следовательно, существует функция х (Л), J || х(Л.) Ц2 X
X (Л) dk < оо, такая, что
Оо
lim [ || хл (Л) — х (Л) |F w (Л) dk = 0.
п -> 00
— оо
Таким образом, для некоторой подпоследовательности
имеем
xn^)~>x{k), gl/2xn(k)-^g>/2x(k) п. в.,
118
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ ,[ГЛ. IV
что приводит нас к формуле (2.24). Поскольку при
любом х е R
оо
lim [ | {хп (А), х}— {х(А), х} |2да (А)</А = О,
П > оо J
— оо
скалярная функция {х(А), х} как предел функций вида
{хп(А),х}=
(0 < Ч < т
является целой аналитической функцией*). Например,
при условии
(2.25)
где п — некоторое целое положительное число (что
несколько сильнее, чем условие регулярности (2.23)),
для соответствующих функций х(Л) можно дать сле-
дующее представление**):
п-1	т
X (А) = (iK)keiU'xk + (14- г'А)” J емс (t) dt,
k^O	О
где функция c(f) принадлежит пространству L2(R).
Итак, пусть пространство Н (g) состоит из эле-
ментов вида и (Л) = g^2x (Л), где х(Л) — целые анали-
тические функции.
*) Подробное доказательство этого имеется в книге, цити’
рованной на стр. 95. Описание аналитических функций х (Л)
в скалярном случае дается в заметке М. Г. К р е й н а, Об основ-
ной аппроксимационной задаче теории экстраполяции стационар-
ных случайных процессов, ДАН СССР 94 (1954), 13—16; см.
также: N. Levinson, Н. Mckean, Weighted trigonometrical
approximation in with application to the germ field of stationary
Gaussian noise, Acta Math. 112, 1—2 (1964), 99—143.
**) Отметим, что это представление может быть использо-
вано для нахождения проекторов Qt на подпространства
^U)= v eiKsg^R, t0<t<T
<C t
(см. задачу о прогнозе на конечном интервале в книге Ю. А. Р о-
з а н о в а, Стационарные случайные процессы, М., Физматгиз,
1963).
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
119
§ 2]
Предположим, что оператор В = не являет-
ся обратимым. Тогда, как мы показали выше (см.
(2.19)), самосопряженный вполне непрерывный опе-
ратор F — I— В должен иметь равное 1 собственное
значение. Обозначим и (Л) е/7(g) соответствующую
ему собственную функцию. Возьмем последователь-
ность аналитических функций хп(Л) типа (2.1) таких,
что и (Л) = g^2 х (Л) есть предел элементов ип (Л) =
= g^xn (Л) и х(Л) — lim хп (Л) п. в. Получается, что
fl!2хп (^)	/V2 х (М п.в. и одновременно последователь-
ность элементов fH2xn (К) = Аип (Л) такова, что
(Аип, Аип) === (Вип, ип) (цп, ^п) (Fun, ип) > О,
поскольку ип->и, Fun->u. Таким образом, в Л2(/?)
последовательность f\!2xn(h) сходится к 0, так что
Д/2х(Л) = 0 п. в.,
и, следовательно, х(А,) = 0 на множестве положи-
тельной меры (где ^/2не вырождена), а для анали-
тической функции х(Л) это возможно лишь в случае,
когда х(Л) = 0. Но это противоречит тому, чго и(Л) =
= ё\!2х G4— собственная функция с единичным
собственным значением, и значит оператор В = А'А
является обратимым.
3. Некоторые выводы и примеры. Покажем, что
предложенные в п. 2 общие условия эквивалентности
стационарных процессов £ (/) и г](/), /0 < t < Т, со
спектральными плотностями tK и gK в гильбертовом
пространстве В являются достаточно эффективными.
Для- краткости назовем спектральные плотности
Д и g^ эквивалентными, если эквивалентны соответ-
ствующие процессы £(/) и г) (/), /0 < t < Т.
Предположим, что
(2.26)
Тогда, как это следует из условия (2.22) (см. тео-
рему на стр. 116), для эквивалентности необходимо,
120
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
чтобы разность корреляционных функций
оо
b(s—f) = B^fs—f)	J elK (s ~ ° (^ - A) dK
—oo
на квадрате /0 < s, t < T совпадала с некоторой опе-
раторной функцией &(s, /), — oo < s, t < oo, из про-
странства L2 (R X Я) с преобразованием Фурье q) (Л, p),
удовлетворяющим условию (2.15):
oo oo
| J (1 + A.2)"(l + ц2)"|ф (X, n)|2dXdp. < oo,
— oo —oo
поскольку
и)г-1'»Г>+1Т(1 +|?)"|ф(1, Н)|!.
Действительно, в рассмотренном случае
у х ||2 = || g'fg^x II2 < к (1 + кТп К1/2*||2
|£Г,/2ф(*. н)£Л2 = SК1/2фн)^'Ч||2 >
> 2 А-1 (1 +	IIФ (*, Н) g»1/2 хр |(2 =
= /Г'(1+л2)га|ф(^ н)£7'/2|2 =
ц)’Г=
=А-1 (1 4- к2)п 2II г;1/2ф (К, Ц)’ хр II2 >
> /С~2 (1 + Л2)" (1 + ц2)" 2IIФ (л, I*)’ ХРII2 =
иП! =
= к~Ч1 +>.!)’(1+й’1ф(1.н)|2.
Так как b (s, /) = &($ — /) при /0 < s,? t < Т, из усло-
вия (2.15) вытекает, что для эквивалентных спек-
тральных плотнрс.т.еИ и gK операторная, функция.
§ 2]
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
121
b (t) на интервале (— т, т), где т =Т — tQ, должна
иметь все производные до порядка 2п, причем 2п-я
производная (/), —- т < / < т, должна удовлетво-
рять условию
т т
j J | b{2n> (s — /) I2 ds dt < ОО. (2.27)
Предположим теперь, что выполняется соотноше-
ние (2.25), иначе говоря,
+А2)""/.	(2.28)
Если операторная функция £(/), /0 < t < Г, обладает
описанными выше свойствами, а именно, существует
производная -^nbif), удовлетворяющая условию
(2.27), то операторную функцию b(s, t} = b (s — t)
можно продолжить с квадрата /0 < s, t < Т на всю
плоскость — оо < s, / < оо в некоторую финитную
гладкую функцию b(s, t) такую, что*)
оо оо
/ J I ds^dtn b(S’ dsdt < 00 •
—oo —oo
Преобразование Фурье if (Л, p.) такой функции b(s, t)
будет удовлетворять условиям (2.15') и (2.15), а сле-
довательно, и условию (2.22)
оо оо
/ / |	(*-> н) ^1/212 dk dp. < оо,
*) В ортонормированием базисе еь e2i ... R операторная
функция b (s, t) со значениями в S2 (R) задается некоторой
матрицей bkj (s, О, S I (5> О |2< 00 и речь идет об очевид-
fc, /.
ном продолжении каждой скалярной компоненты bkj ($, /)
с квадрата tQ<s, t<T на всю плоскость — oo<s, /<оо в фи-
нитные функции bkj (s, t) с сохранением свойств гладкости и
оо оо
интегрируемости типа J J | bkj (s, t) |2 ds dt < oo.
— 00 —OO kt j
122
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
поскольку в нашем случае
|^(Х, н)^-,/2|2<Ьг,/2||-к71/21|-^(^ н)12<
<Я2(1+Л2)П(1 +fxT|№ н)12.
Поэтому разность / — Л*Л будет оператором Гиль-
берта— Шмидта, что при условии (2.28) равносильно
эквивалентности спектральных плотностей gK и fK
(если только fK не является вырожденной п. в.).
Таким образом, если разность корреляционных функ-
ций на интервале (—т, т), т=Т — /0, имеет произ-
водную Ь(2п) (/), удовлетворяющую условию (2.27), то
спектральные плотности fK ugK6ydyT эквивалентными.
В частности, спектральные плотности fK и gK будут
эквивалентны, каково бы ни было п в условии (2.28)
и каков бы ни был конечный интервал (tOf Т), если
fk = ёх +
где ^ — произвольная финитная функция с интегри-
руемой в квадрате следовой нормой’.
а
Дх = 0 при Р|> a, J |Дх|2<а< ОО. (2.29)
Действительно, в этом случае операторная функция
оо
b (f) = — J eiU Дх d)., t0< s, t < T,
“oo
будет иметь производные всех порядков, которые
удовлетворяют условию (2.27).
В конечномерном случае, dim/?<oo, получаем,
например, что если спектральная плотность fK как
угодно отличается от спектральной плотности gK на
каком-либо конечном интервале (в частности, может
быть Д=0 при | X |*Са), то fK и gK эквивалентны.
Отметим также, что для спектральной плотно-
сти gK типа
+	+V)-"/
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
123
§ 2]
вместо условия (2.29) можно потребовать, чтобы
оо
J |^-,/2W/2|2^<°°-	(2.29')
—ОО
Сформулируем наш основной результат в виде
отдельной теоремы.
Теорема. Если gK К (1 +	/, то для экви-
валентности fK и gK на интервале (/0, /0 + т) необхо-
димо, чтобы операторная функция
оо
b (/) = Въ (/) - Bl (t) = J е™ (gK - fK) dX
—oo
на интервале — т < t < т имела все производные до
порядка 2п, причем
т т
J 11 b(2n] (s — /) |2 ds dt < оо.
о о
Если же gK k (1 + А,2)”"/, то указанные условия
достаточны, для эквивалентности.
В заключение, как следствие полученных выше
результатов, дадим описание обновляющего процесса
для класса стационарных процессов g(f), /0</<Г,
с корреляционной функцией В (/) следующего типа:
на открытом интервале (0, т), х = Т — /0, функция В(/)
имеет все производные до порядка 2п, причем функция
B(2rt“b(0 непрерывна всюду на интервале (—т, т),
кроме точки t = 0, где она имеет разрыв первого рода,
а функция В(2п) (/) удовлетворяет условию
т %
J j | В(2п) (t — s) |2dsdt<<x>.
о о
Каждый такой процесс £(/) эквивалентен стационар-
ному процессу г)(/), tQ<t<T, со спектральной плот-
ностью вида
g W = । р (а) |2 -
где P(iX)— полином степени п с соответствующим
124
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
коэффициентом при старшей степени (г’Л)п. Следова-
тельно, обновляющий процесс X(t) ~{Xk (/)}"+1, 4 <
< t < T, для g (/) будет такого же типа, как и для
процесса т](/), а именно, первые п компонент будут
постоянными:
£=1, и;
они порождают «начальное» подпространство *)
П Ht.+h (g),
h >0
а одна компонента Xn+i (/), описывающая дальней-
шее обновление подпространств
является процессом типа броуновского движения
(см. § 3 гл. I).
§ 3. Случайные процессы,
эквивалентные винеровскому процессу
С точки зрения нашего подхода к вопросу об эво-
люции подпространств	tQ<t<Ty связанных
с соответствующим случайным процессом £(/), tQ <
< t < Т, винеровский процесс г] (/), tQ < t < Т (с компо-
нентами {ц(/), х}, t$<t<Ty где параметр х пробегает
некоторое гильбертово пространство R) может быть
взят в качестве определенного стандарта. Именно,
естественная изометрия
{ц(0, x}«->&(s)x	(3.1)
между величинами {ц (/), х} е Н (ц) и элементами
(s) х s L2(R) позволяет отождествить ЯДц) с под-
пространствами L2(R), t0<t<T\ здесь скалярная
функция %i(s),	есть индикатор интервала
(/0, f], L2(R) — гильбертово пространство во всех изме-
римых /?-значных функций u(s), t0<s<T, с интегри-
руемым квадратом || и (s) II2, со скалярным произве-
дением
т
(и, о) = J {«(s), v ($)} ds, и, vsL2 (/?),
^0
*) При указанных выше условиях процесс J (t) имеет
ровно п — 1 производных.
§ 3]
ПРОЦЕССЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВИНЕРОВСКОМУ
125
a Lt (/?) — подпространство всех функций и (s) е L2(R)
таких, что «(з) = 0 при s>t. Мы считаем, что стан-
дартный винеровский процесс i\(t), t0<t<.T, имеет
нормированную корреляционную функцию
Вп(s, t) — min(s — s0, t —t0) • I, t0<s,t<T. (3.2)
Пусть l(t), t0<t<T,— какой-либо случайный про-
цесс с компонентами {£(/), х}, t0<t<T, хе R, и пусть
В^ (s, t) — его корреляционная (операторная) функция
в гильбертовом пространстве R:
Е {g (s), х}  {g (/), у} = {В* (s, t) х, у}, X, yt=R. (3.3)
Как мы знаем, семейство подпространств Ht(g),
t0<i<T, будет изометричным семейству Lt (R),
to<t<T, если, скажем, процесс g(/), /0</<7’, экви-
валентен винеровскому процессу tj(/), ta<t<T. В дан-
ном случае эквивалентность означает, что оператор А:
Л : &(s)x->{g(i!), х},	(3.4)
определенный на полной в L2(R) системе элементов
и(s) == %<(s)х (/0<s<T; хе/?; t0<t<T) (3.5)
может быть продолжен до линейного ограниченного
обратимого оператора А такого, что разность / — А*А
есть оператор Гильберта—Шмидта в функциональном
пространстве L2(R).
Согласно общей теореме п. 1 § 2 всякий оператор
Гильберта—Шмидта в функциональном пространстве
L2(R) задается некоторым ядром К (s, ^)е/.2(/?Х
X R) — операторной функцией в гильбертовом про-
странстве R со значениями К (s, f) е S2 (R) и интегри-
руемой в квадрате следовой нормой:
т т
/ J |K(s, f)l2dsdt< ОО,	(3.6)
где
K(S, /)|2 = Sp[K(s, ty . Ш /)].
126
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
Следовательно, при условии эквивалентности
т т
(и, v) - (Au, Av) = J j {К. (s, t) и (s), V (/)} ds dt,	(3.7)
^0 ^0
где /С (s, t) — некоторое ядро из L2 (RR).
Очевидно, соотношение (3.7) будет выполнено
для всех элементов и, уе£2(/?), если оно выпол-
няется для некоторой полной системы элементов
(скажем, для системы (3.5)). При и (s) =	(s) х,
x)(t) = ^h(t)y соотношение (3.7) можно представить
в операторной форме:
ЗД, h)-BK(tx, f2)=| J K(s, t)dsdt. (3.8)
to to
Очевидно также, что если представление (3.8) имеет
место, то соответствующий оператор / — А* А будет
оператором Гильберта—Шмидта.
Далее, если разность / — В(В —Л*Л) есть опера-
тор Гильберта—Шмидта, то условие обратимости огра-
ниченного оператора В можно выразить следующим
образом: оператор / — В не имеет собственного зна-
чения, равного 1 (см. по этому поводу стр. 113).
В итоге мы приходим к следующему результату.
Теорема. Для эквивалентности случайных про-
цессов и т](/), t0<t<T9 необходимо и достаточно,
чтобы разность b(s, /) = ВП($, /) — B$(s, t) была абсо-
лютно непрерывна относительно dsy^dt, точнее,
s t
b (S, t) = j J К (s', f) ds' dt', t0<s, t<T, (3.9)
to to
d2
где производная Д (s, t) — ds b (s, t) имеет интегри-
руемую в квадрате следовую норму*.
т т
I3-10)
to to
§ 3]
ПРОЦЕССЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВИНЕРОВСКОМУ
127
а кроме того, у ядра К (s, t) как оператора в L2 (/?)
нет единичного собственного значения *).
Этот критерий эквивалентности сохраняется и
в случае более сложного «стандартного» процесса
т>(/), tQ<t<T, имеющего корреляционную функцию
вида (s, t) = min (F (s), F (/)) • /, где F (/), t0 < t < T, —
непрерывная слева монотонно неубывающая скаляр-
ная функция. Нужно только вместо лебеговой меры
dsy^dt взять соответствующую меру dF (s) X dF (t).
Пример. Пусть т](0, /0 </< Т, — одномерный
случайный процесс с некоррелированными прираще-
ниями и F (t) = Е |ц(/) |2, tQ < t < Т, — его структур-
ная функция. Пусть a (t), t0<t < Т, — случайный
процесс такой, что
т
J Е\ a(f) \2dF (t) < <*>.
to
Пусть, наконец,
т
Ш = J a(sW(s) + n(0. k<t<T. (3.11)
t,
Учитывая, что проекция величины а (и) на под-
пространство Н t (т\) представима в виде стохастиче-
ского интеграла J с (ц,	где подынтеграль-
to
ная функция удовлетворяет условию
t
11 с (и, ti) |2 dF (v)	Е | а (и) |2,
to
*) По-видимому, первые публикации об условиях такого рода
для скалярного случая даны Шеппом (L. A. S h е р р, Ra-
don— Nykodym derivatives of Gaussian measures, Ann. Math. Stat.
37, 2 (1966), 321—354). Отметим, что эти условия легко полу-
чаются из условий эквивалентности стационарному процессу
белого шума с простейшей спектральной плотностью g(X) = /.
128
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
будем иметь
t
Еа (и) т] (0 =
' t
= Е | с (и, f) dx\ (v) • J dr) (v) = | c (u> f) dF (v).
л
Ч,

Элементарные выкладки приводят к равенству:
s t
(s, 0 —	(s, t) = J j к (U, v) dF («) dF (»),
где /((w, v)~—c(u, v) — c(v, u)— E [a (u) a (y)].
Таким образом, при дополнительном условии (3.10)
с заменой dsdt на dF (s)dF (/), случайный процесс £(/),
tQ<t<T, будет эквивалентен процессу ц(/), /0</<Г,
и, следовательно, будет иметь обновляющий процесс
такого же типа, как ц (/), /0 < t < Т. Это условие,
означающее, что оператор

является ограниченным и обратимым, автоматически
выполняется, например, если процессы a(t) и r|(f)
н е к о р р е л и р о в а н ы; Еа (s) ц (/) = 0, /0 < s, КТ.
Действительно, в этом случае ядро К (s, t) =
== — E[a(s)a(/)] является отрицательно опре-
деленным:
2
< О
т т
J j /C(s, t)u(s)int)dF(s)dF(t) =
Т
= —Е J а (/) и (t) dF (t)
т
для любой ненулевой функции u(Z), J| u(t) |2dF(f)<oo.