Автор: Дмитриков В.Ф.   Сергеев В.В.   Самылин И.Н.  

Теги: электротехника   полупроводниковые устройства   электроника   радиотехника   полупроводниковые приборы  

ISBN: 5-256-01785-3

Год: 2005

Похожие

Силовая электроника. Учебное пособие для бакалавров

Основы теории цепей. Основы схемотехники. Радиоприемные устройства. Лабораторный практикум на персональном компьютере

Электротехнический справочник. Том 3

Системы и устройства коротковолновой радиосвязи

Текст
                    В.Ф. Дмитриков
B.I. Сергеев
И.И. Самым


УДК 621.383.8
ББК 32.852
Д53
Рецензенты:
доктор техн. наук, профессор кафедры «Электротехническая и преобразовательная
техника» Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета
(ЛЭТИ) С. В. Дзлиев', доктор, техн. наук, профессор, зав. каферой «Электротехника и
электропривод» Санкт-Петербургского государственного университета растительных
полимеров В. Д. Кулик.
Дмитриков В. Ф., Сергеев В. В., Самылин И.Н.
Д53 Повышение эффективности преобразовательных и
радиотехнических устройств. - М.: Радио и связь, Горячая линия-Телеком,
2005.-424 с: ил.
ISBN 5-256-01785-3.
Изложена энергетическая теория реактивных фильтрующих цепей и на
этой основе методы расчета LC-фильтров с минимальной массой,
габаритными размерами, потерями энергии и нестабильностью характеристик.
Рассматриваются схемы и методы дискретного синтеза выходного напряжения
ключевых генераторов с улучшенным спектральным составом. С использованием
разработанного метода гармонической «стационаризации» проведен анализ
ключевого генератора напряжения с учетом цепей постоянного тока,
сводящегося к нестационарным системам с периодически изменяющимися
коэффициентами; найден и исследован режим с улучшенным спектральным составом и
улучшенной электромагнитной совместимостью. Изложены вопросы
проектирования ключевых источников питания; проведен анализ их устойчивости и
динамических характеристик при использовании однозвенных
и двухзвенных сглаживающих фильтров с характеристиками Чебышева, Бат-
терворта и равнозвенных фильтров. Исследована устойчивость систем
распределенного питания. Проведен анализ качественных характеристик
активных и реактивных корректоров коэффициента мощности.
Для специалистов в области радиотехнических и преобразовательных
устройств. Будет полезной преподавателям вузов, аспирантам и студентам
соответствующих специальностей.
Ил. 208. Табл. 63. Библ. 193 назв. ББК 32.852
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru
ISBN 5-256-01785-3 © В. Ф. Дмитриков, В. В. Сергеев,
И. Н.Самылин, 2005
© Оформление издательства
«Горячая линия-Телеком», 2005


Предисловие
Одной из основных тенденций в развитии современных
радиотехнических и преобразовательных устройств и систем является разработка
энерго- и ресурсосберегающих методов формирования, усиления и
фильтрации электрических колебаний и информационных сигналов, которые
обеспечивают минимизацию потерь энергии, массы, габаритных
размеров и стоимости указанных устройств.
Энергетически наиболее эффективными являются ключевые
режимы усиления, которые позволяют в 5-10 раз снизить мощность потерь в
усилительных приборах (транзисторах, электронных лампах, тиристорах
и т.д.), повысить электронный КПД до 95-98 %, уменьшить мощность
потребляемой энергии, резко уменьшить массогабаритные показатели
охлаждающих устройств и создать принципиально новые устройства,
реализация которых традиционными методами невозможна.
Однако ключевые режимы принципиально характеризуются
широким спектром побочных колебаний и требуют фильтрующих устройств
с высокой избирательностью. Реактивные фильтрующие цепи являются
неотъемлемой частью рассматриваемых устройств и систем и во многом
определяют указанные выше показатели эффективности. Так, в
транзисторных радиопередатчиках, использующих энергетически
эффективные ключевые режимы усиления, вес и габаритные размеры
фильтрующих устройств, построенных традиционными методами, может
достигать 50-70 % общего веса и габаритных размеров радиопередающего
устройства. Аналогичные проблемы возникают при реализации
фильтров инверторов, выпрямителей, импульсных стабилизаторов
напряжения и других преобразовательных устройств. В такой ситуации
дальнейший рост эффективности радиопередающих и преобразовательных
устройств сдерживается нерешенными проблемами снижения и
минимизации массогабаритных характеристик фильтрующих цепей.
Классическая теория синтеза реактивных четырехполюсников,
каковыми являются LC-фильтры, сложилась в 40-е годы нынешнего
столетия. Основоположниками ее были В. Кауэр и С. Дарлингтон. В
последующие годы теория синтеза реактивных четырехполюсников по
заданным частотным характеристикам разрабатывалась в трудах
отечественных и зарубежных ученых: А.Ф. Белецкого, А.Е. Знаменского,
А.А. Ланнэ, И.И. Трифонова, Я.А. Собенина, Э.А. Гиллемина, Д.А. Ка-
лахана и многих других. Одним из основных направлений современного
синтеза фильтрующих цепей является оптимальный синтез. В
настоящее время наиболее развиты методы оптимального синтеза, в
которых минимизируется порядок или число элементов цепи. Однако
число элементов не является адекватным показателем массы и габарит-


4
Предисловие
ных размеров фильтра. Во многих случаях в качестве такого показателя
используют суммарную запасаемую энергию во всех индуктивностях и
емкостях цепи или суммарную реактивную мощность элементов цепи.
Реактивная энергия определяет также потери энергии и
параметрическую чувствительность (стабильность) характеристик фильтрующих
цепей. Основные теоретические результаты исследования энергетических
функций реактивных четырехполюсников были опубликованы в 70-х
годах и относятся к LC-четырехполюсникам с двухсторонней нагрузкой.
С тех пор не было опубликовано новых результатов, касающихся
энергетических функций реактивных четырехполюсников, а задача
синтеза частотных фильтров с минимальной реактивной энергией вообще не
разработана и в литературе не рассматривалась. Известны лишь
постановки частных задач оптимизации массогабаритных показателей для
реактивных двухполюсников, используемых в качестве фильтров
некоторых преобразовательных устройств. Этот пробел особенно ощущается
в настоящее время, когда вновь проявляется интерес к исследованию
энергетических функций как универсальных показателей
эффективности реактивных фильтрующих цепей.
Снижение массы и габаритных размеров радиотехнических и
преобразовательных устройств достигается не только путем минимизации
массогабаритных характеристик реактивных фильтров, но также с
помощью использования ключевых генераторов со специальной формой
выходного напряжения. При этом компенсируется ряд низших
гармонических составляющих генерируемых колебаний и, следовательно,
снижаются требования к избирательности фильтрующих цепей, что ведет к
уменьшению их массы и габаритных размеров. Для достижения этой же
цели используются ключевые генераторы с квазисинусоидальной
формой выходного напряжения и синусоидальной формой тока, в которых
помимо улучшения спектрального состава выходного напряжения
достигается «мягкая» коммутация усилительных приборов при напряжениях
на них и токов через них близких к нулю. Это позволяет уменьшить
коммутационные потери и снизить уровень электромагнитных помех.
Неотъемлемой частью любого радиотехнического или
преобразовательного устройства является источник питания, от габаритных
размеров и надежности которого, а также от его статических, динамических и
энергетических показателей зависят габаритные размеры, надежность и
технические характеристики всего устройства. Современным
требованиям в наибольшей степени удовлетворяют импульсные
стабилизированные источники питания с промежуточным звеном высокой частоты,
глубокой отрицательной обратной связью, содержащие реактивные
сглаживающие фильтры. Такие источники являются дискретно-нелинейными
устройствами, содержащими непрерывную линейную часть
(сглаживающий фильтр), дискретную часть (регулирующий элемент — транзистор,
работающий в ключевом режиме, и широтно-импульсный модулятор) и
цепь отрицательной обратной связи. В импульсных стабилизированных


Предисловие
5
источниках питания сглаживающие реактивные фильтры являются
звеном, определяющим массу, габаритные размеры, статические,
динамические характеристики и устойчивость работы импульсного источника.
В книге рассмотрены вопросы теории и методы исследования
энергетических функций реактивных четырехполюсников и на этой основе
разработана методика и алгоритмы синтеза и оптимизации
фильтрующих цепей преобразовательных и радиотехнических устройств по
критериям массы, габаритных размеров и стабильности характеристик. На
основании разработанных методов получены и приведены номограммы
и справочный материал для практического использования при расчете
реактивных фильтров различного назначения с минимальными массой,
габаритными размерами и нестабильностью характеристик.
Рассмотрены принципы построения и исследования ключевых
генераторов со специальной формой выходного напряжения (ступенчатой,
одноуровневой однополярной и одноуровневой двухполярной), в
которых отсутствует ряд низших гармонических составляющих
генерируемых колебаний. Рассмотрены и исследованы также ключевые
генераторы с квазисинусоидальной формой выходного напряжения и
синусоидальной формой тока.
Следующей проблемой, рассматриваемой в работе, является
исследование и разработка методик расчета импульсных источников питания
с отрицательными обратными связями, которые удовлетворяют
требуемым статическим (коэффициент стабилизации, величина пульсаций)
и динамическим (перерегулирование по току и выходному напряжению,
длительность перерегулирования при скачкообразном изменении
выходного напряжения и сопротивления нагрузки) характеристикам с
использованием частотных и временных методов. Рассмотрены вопросы
обеспечения устойчивости импульсных источников с глубокой
отрицательной обратной связью.
В первой главе рассмотрена связь функций накапливаемой
энергии с такими показателями эффективности реактивного фильтра как
масса, габаритные размеры, потери энергии и стабильность его
характеристик.
Во второй главе систематизированы результаты, относящиеся к
энергетической теории реактивных фильтров. Дан общий подход для
анализа энергетических функций, приведены известные и вновь
полученные фундаментальные соотношения для энергетических функций,
на основании которых научно обоснованы принципы минимизации
реактивной энергии фильтрующих цепей, приводящие к повышению
эффективности их функционирования и к снижению их массогабаритных
показателей.
В третьей главе разработан эффективный метод расчета и
произведен численный анализ энергетических функций классических
лестничных LC-фильтров. Показано, что минимизация реактивней
энергии, массы и габаритных размеров фильтра может быть осуществлена


6
Предисловие
за счет уменьшения неравномерности затухания в полосе пропускания
при сохранении заданного гарантированного затухания в полосе
задерживания. На основании проведенных теоретического и численного
исследований обоснованы и разработаны новые методы синтеза и
оптимизации LC-фильтров с минимальными реактивной энергией, массой
и габаритными размерами.
В четвертой главе исследована взаимосвязь между
параметрической чувствительностью и функцией реактивной энергии фильтрующих
цепей, развита теория инвариантности вариаций функций и суммарных
параметрических чувствительностей характеристик LC-фильтров. На
основании указанной теории разработаны методы анализа стабильности
характеристик фильтрующих цепей в частотной и временной областях.
Пятая глава посвящена постановке задач оптимального синтеза
(оптимизации) реактивных фильтров по массогабаритным
(энергетическим) показателям и критериям стабильности, а также разработке
методов их решения. Все поставленные задачи оптимального синтеза и
разработанные алгоритмы их решения сопровождаются рассмотрением
практических примеров, которые показывают, что применение
разработанных методов позволяет существенно (в отдельных случаях на
порядок) улучшить качественные показатели фильтрующих и формирующих
цепей по сравнению с традиционными решениями.
В шестой главе рассмотрены принципы построения и исследования
ключевых генераторов с выходным напряжением ступенчатой формы, а
также в виде одноуровневой однополярной и одноуровневой двухполяр-
ной последовательности импульсов прямоугольной формы в течении
периода генерирумых колебаний. С использованием рядов Фурье и
функций Уолша проведен дискретный синтез формы выходного напряжения,
в которой отсутствует наибольшее число низших гармоник при заданном
количестве импульсов на периоде выходных колебаний.
В седьмой главе исследованы ключевые генераторы с
квазисинусоидальной формой выходного напряжения и синусоидальной формой
тока. Такой режим работы реализуется при определенных
соотношениях цепей постоянного тока (фильтр выпрямителя) и переменного тока
(выходной фильтр и нагрузка). Исследование ключевых генераторов с
учетом цепей постоянного и переменного токов, сводящихся к
нестационарным системам с периодически изменяющимися параметрами,
осуществлено с помощью разработанного авторами метода гармонической
«стационаризации». При использовании данного метода
нестационарная система сводится к стационарной.
В восьмой главе рассмотрены методы исследования дискретно-
нелинейных структур импульсных источников питания с
отрицательными обратными связями, которые основаны на усреднении уравнений
переменных состояния, полученных для различных интервалов работы
импульсного источника и линеаризации полученного непрерывного
нелинейного уравнения. Таким образом дискретно-нелинейные схемы
импульсных источников сводятся к непрерывным линейным системам.


Предисловие
7
На основании этого подхода проведено описание импульсных
стабилизированных источников питания понижающего типа,
преобразующих переменный ток в постоянный или постоянный ток (напряжение)
одной величины в постоянный ток (напряжение) другой величины.
Исследованы устойчивость, входное и выходное сопротивления, пульсации
и перерегулирование по току и выходному напряжению, стабилизация
при скачкообразных изменениях выходного напряжения и
сопротивления нагрузки.
Исследование импульсных источников понижающего типа
проведено при использовании однозвенных и двухзвенных сглаживающих
фильтров с различными характеристиками и с параллельной,
последовательной и комбинированной коррекцией отрицательной обратной связи.
В девятой главе описаны импульсные стабилизированные
источники питания повышающего типа с отрицательной обратной связью,
преобразующие постоянное напряжение одной величины в постоянное
напряжение другой величины. Данные источники являются
устройствами с переменной структурой. Они имеют передаточные функции
неминимально-фазового типа, что их принципиально отличает от
импульсных источников понижающего типа. Последние являются
устройствами с постоянной структурой и обладают гораздо большей
устойчивостью при заданной глубине отрицательной обратной связи. Проведено
исследование тех же характеристик, что и для импульсных источников
понижающего типа при использовании простого емкостного и сложных
сглаживающих фильтров с многоконтурной обратной связью и
различными корректирующими звеньями в цепях обратной связи. Выявлены
оптимальные структуры импульсных стабилизированных источников
повышающего типа и их режимы.
В десятой главе исследованы активные и пассивные корректоры
коэффициента мощности, которые позволяют обеспечить не
импульсную, а синусоидальную форму тока в цепи питания импульсных
источников и коэффициент мощности близкий к единице.
В одиннадцатой главе исследованы факторы, влияющие на
устойчивость работы децентрализованных систем электропитания.
Разработана методика проектирования распределенных систем электропитания
с учетом снижения или устранения вредного влияния различных
подсистем друг на друга.
Авторы выражают благодарность аспирантам О.И. Беловицкому,
СВ. Калмыкову, М.Е. Станкееву и Д.В. Шушпанову за помощь в
проведении расчетов на ЭВМ.


Глава 1
Реактивные фильтры
радиотехнических и
преобразовательных устройств
и показатели их эффективности
1.1. Энергетические функции,
массогабаритные показатели
и характеристики стабильности
реактивных четырехполюсников
Классические методы синтеза реактивных четырехполюсников
предусматривают минимизацию порядка или числа элементов фильтра.
Однако, как было отмечено, число элементов не всегда является
адекватным показателем массы и габаритных размеров фильтрующей
цепи. Во многих случаях мерой массы, габаритных размеров и стоимости
катушек индуктивностей L и емкостей С различных преобразовательных
цепей мощных радиотехнических устройств принято считать амплитуду
запасаемой в них энергии [1-3]. В режиме гармонических колебаний
максимальная реактивная энергия элементов определяется
следующими соотношениями:
(l.i)
где Im(I), Um(U) — амплитудные (действующие) значения тока и
напряжения. Важной характеристикой является также реактивная
мощность [4, 5], которая связана с максимальной запасаемой энергией на
реактивных элементах:
Массогабаритные показатели катушек индуктивности и
конденсаторов определяются по их удельным энергоемкостям. Удельные
энергоемкости 7L и 7с — это коэффициенты, представляющие собой
отношение номинальной накапливаемой энергии к массам или габаритным
объемам дросселей и конденсаторов [6, 7]. Значения удельных
энергоемкостей зависят от конструкции реактивного элемента, его
добротности, а также от номинальной запасаемой энергии. Однако для
реактивных элементов определенных типов удельные энергоемкости могут
быть постоянными величинами.
В большинстве случаев фильтрующие цепи мощных
радиопередающих устройств выполняются из однотипных катушек индуктивностей и


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
9
из однотипных конденсаторов. Поэтому можно принять, что для всех
индуктивностей удельные энергоемкости одинаковы и равны 7l Дж/кг
или 7l Дж/м3 (номинальная накапливаемая энергия, отнесенная к
единице веса или к единице объема). Аналогично для всех конденсато-
G v
ров 7с и Тс-
Таким образом, полную массу G и полный объем V фильтрующей
цепи можно оценить с помощью следующих соотношений:
(1.2)
В дальнейшем будем считать, что массогабаритные показатели
фильтрующей цепи определяются суммарной максимальной энергией
Wl, запасаемой во всех катушках индуктивности Ц, к = 1,...,JV*l;
Nl — число катушек индуктивности) и суммарной максимальной
энергией Wc, запасаемой во всех емкостях С», г = 1,...,А^с; Nq — число
емкостей (см. (1.2)). В некоторых случаях на массу, габаритные
размеры и стоимость фильтрующей цепи наряду с максимальной запасаемой
в реактивных элементах энергией влияет и их количество N. В этих
случаях можно использовать комбинированный массогабаритный
показатель Ф = к\\?ъ + \z2Wc + &зАГ, где ii,&2 и ^ — положительные
весовые коэффициенты.
Потери в элементах фильтрующей цепи влияют не только на ее
частотные функции, но и на массогабаритные показатели. Оценка
потерь в элементах производится по их добротностям или по
коэффициентам потерь dk = Rk/uoLk и d,- = Gi/ujod, где Я* —
сопротивление потерь катушки Ц; G, — проводимость потерь конденсатора С,-;
loo — средняя частота рабочего диапазона [8, 9]. В большинстве
случаев рассматривают полуоднородные потери, когда для всех
индуктивностей djfc = Jl и для всех емкостей dt- = с/с- Тогда мощность потерь
в элементах фильтрующей цепи
Мощность потерь пропорциональна накапливаемой в реактивных
элементах энергии. Минимизация реактивной энергии приведет к
минимизации потерь энергии в фильтрующей цепи при заданных
коэффициентах потерь в элементах. Уменьшение коэффициентов потерь,
т.е. увеличение добротностей элементов, может быть достигнуто только
ценой увеличения массы и габаритных размеров, что на практике
нежелательно или невозможно. Если допустима определенная мощность
потерь, то при уменьшении реактивной энергии можно применять эле-


10
Глава 1
Рис. 1.1. Нагруженный реактивный четырехполюсник
менты с меньшими добротностями, следовательно, с меньшими массо-
габаритными показателями. Таким образом, максимальная запасаемая
энергия является адекватным показателем массы и габаритных
размеров при рассмотрении реального фильтра с определенными потерями
в его элементах.
В 70-е годы была разработана энергетическая теория
чувствительности [10-12], согласно которой чувствительность функции передачи
нагруженного реактивного четырехполюсника по отношению к
реактивному элементу /& определяется по модулю средним геометрическим от двух
значений энергий, накопленных в элементе при прямой Wki и
обратной Wk2 передаче:
(1.3)
где H(jw)
нормированная комплексная функция
передачи четырехполюсника (рис. 1.1); \Н\ — ее модуль; Ргтах = Ul/AR\\
Pimax = Ui/4R,2 — максимальные средние мощности, передаваемые от
источника в нагрузку при прямой и обратной передачах.
Как известно [13], комплексная функция чувствительности (ФЧ)
определяет относительную ФЧ амплитудно-частотной характеристики
|#| и полуотносительную ФЧ фазочастотной характеристики 0(u>), a
именно:
(1.4)
Поэтому на основании (1.3) и (1.4) можно сделать общее заключение
о том, что суммы ФЧ частотных характеристик по элементам одного
вида определяются накапливаемой в них суммарной энергией.
Следовательно, минимизация реактивной энергии должна приводить к
уменьшению сумм параметрических ФЧ фильтрующей цепи, т.е. к
увеличению ее стабильности.
Таким образом, реактивная энергия является довольно
универсальным показателем эффективности фильтрующей цепи и определяет не
только массу, габаритные размеры, потери энергии, но и стабильность
характеристик фильтра.


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
11
1.2. Основные функции реактивных
фильтров
Рассмотрим основные функции реактивных фильтров с резистив-
ными нагрузками R1 и R2 со стороны входных и выходных зажимов
(см. рис. 1.1), а также связь этих функций с энергетическими
характеристиками фильтра.
Рабочая операторная передаточная функция [14]
(1.5)
где U\{p) и С/г(р) — операторные напряжения источника и в нагрузке;
f(p) и v(p) — полиномы относительно комплексной переменной р с
вещественными коэффициентами.
Условия физической реализуемости рабочей операторной
передаточной функции реактивного четырехполюсника с резистивными
нагрузками [15, 16]:
а) v(p) — полином знаменателя является полиномом Гурвица;
б) /(р) — полином числителя является четным или нечетным,
степень его не превосходит степени v(p). Его можно представить в
следующем виде:
(1.6)
где /i(p) — четный или нечетный полином с нулями на мнимой оси
плоскости комплексного переменного р\ vi(p)vi(— р) — произведение
полинома Гурвица и ему сопряженного. Нули этого произведения
находятся в квадрантной симметрии на плоскости р\
в) \н(р)\ ^ 1 при р = ju.
Дополнительные условия схемной реализуемости:
а) для неуравновешенных четырехполюсников без элементов
взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной
функции неотрицательны и не превосходят соответствующих
коэффициентов знаменателя. Кроме того, передаточные функции таких цепей не
могут иметь нулей на вещественной положительной оси
комплексного переменного;
б) для лестничного LC-четырехполюсника нули операторной
функции передачи расположены на мнимой оси плоскости р, т.е. в этом слу-
чае /(р) = h{p) (см. (1.6)).
При р = ju имеем комплексную рабочую передаточную функцию
(1.7)
где U\ = U\ exp(jf<?>i); U2 = t^expC?^) — комплексы соответствующих
напряжений; |#(j>c<;)| = C^/t/i —амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ); О(^) = <?>2 — Ч>\ — фазочастотная характеристика (ФЧХ).


12
Глава 1
Квадрат модуля комплексной рабочей передаточной функции
является коэффициентом использования мощности источника и имеет
следующий вид:
(1.8)
где Р2 = U2/R2 — мощность в нагрузке; Ргтах = U?/4Ri —
максимальная мощность, которая может быть передана от источника с
сопротивлением Ri в нагрузку; <р(р) и (р(—р) — функция фильтрации и ей
сопряженная. При этом рабочее затухание (ослабление) фильтра
(1.9)
Из (1.9) с учетом (1.5) следует, что функция фильтрации может
быть представлена как отношение полиномов с вещественными
коэффициентами:
(1.10)
причем полином знаменателя функции фильтрации совпадает с
полиномом f(p) числителя передаточной функции (1.5), а полином h{p)
определяется из соотношения
(l.ii)
Полиномы v(p), h(p) и /(р) называются характеристическими. По
ним осуществляется реализация электрического фильтра [15, 16].
Другой важной функцией фильтрующей цепи является
коэффициент отражения
(1.12)
где ZbXi(juj) — комплексное входное сопротивление
четырехполюсника, нагруженного на резистивное сопротивление R2 (см. рис. 1.1).
Известно [15-18], что для реактивного четырехполюсника с резистивными
нагрузками модули коэффициента отражения и рабочей функции
передачи связаны соотношением
(1.13)
Умножим обе части этого равенства на Ргтах- Тогда первое
слагаемое левой части будет равно мощности Р2 в нагрузке (согласно (1.8)),
а второе — мощности, отраженной обратно к генератору. Таким
образом, (1.13) показывает распределение максимальной мощности,
которую можно получить от генератора, на мощность, поступающую в
нагрузку, и отраженную мощность. При этом, если коэффициент
отражения равен нулю, то мощность в нагрузке равна Ргтах и отраженная
мощность отсутствует.


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
13
Из (1.12) и (1.15) следует, что
(1.14)
Таким образом, коэффициент отражения может быть представлен
в виде
(1.15)
Из (1.11) и (1.13) получим выражение для входного сопротивления:
(Мб)
Полученное выражение вместе с (1.11) определяют связь входного
сопротивления с рабочей функцией передачи (1.5) реактивного
четырехполюсника с резистивными сопротивлениями нагрузок.
Необходимо отметить, что полюсы коэффициента отражения,
согласно (1.12), должны находиться в левой полуплоскости р. Поэтому
для его знаменателя должен быть выбран полином Гурвица v(jp) из
произведения v(p)v(—p). На нули коэффициента отражения такого
ограничения не накладывается, и для полинома h(p), который находится
из (1.11), в общем случае существует некоторая совокупность решений
[15]. Этой совокупности решений будет соответствовать совокупность
реактивных четырехполюсников, имеющих одну и ту же функцию
передачи, но, различные коэффициенты отражения и входные
сопротивления. Из этого множества реактивных четырехполюсников может быть
выбран тот, который удовлетворяет некоторым дополнительным
критериям, к числу которых могут быть отнесены рассматриваемые здесь
минимальные массогабаритные показатели, максимальная стабильность
характеристик и т.п.
При обратном направлении передачи энергии через реактивный
четырехполюсник рассматривается коэффициент отражения
где ZBX2(Juj) — комплексное входное сопротивление со стороны зажимов
2 четырехполюсника, нагруженного на резистивное сопротивление R1
(см. рис. 1.1). Для реактивных четырехполюсников \р\\ = |/?г| и
(1.17)
где знак «—» относится к случаю, когда в (1.5) f(p) — четный, а знак
«+» — нечетный полином [15].
Из (1.15) и (1.17) следует, что нули р2 равны нулям р\, :эятым
с обратным знаком.


14
Глава 1
На практике LC-фильтры часто реализуются в виде симметричных
или антиметричных реактивных четырехполюсников. Напомним, что
симметричным называется четырехполюсник, у которого сопротивления
холостого хода (короткого замыкания) при прямой и обратной передаче
равны друг другу. Для антиметричного четырехполюсника
сопротивление холостого хода при прямой (обратной) передаче обратно
пропорционально сопротивлению короткого замыкания при обратной (прямой)
передаче. При структурной симметрии четырехполюсник может быть
разбит относительно горизонтальной средней линии на два одинаковых
четырехполюсника, а при структурной антиметрии — на два обратных
четырехполюсника [15]. Для симметричных реактивных
четырехполюсников с резистивными нагрузками функция фильтрации <р(р) —
нечетная и р2 — pi, а для антиметричных — (р(р) — четная и рч — —р\.
Фазочастотная характеристика Q(u) (cm. (1.7)) фильтрующей цепи
определяет сдвиг фаз, вносимый фильтром при передаче
гармонического сигнала. Во многих случаях наряду с ФЧХ рассматривают частотную
зависимость ее производной или групповое время задержки (ГВЗ)
Групповое время характеризует задержку огибающей группы
гармонических сигналов при прохождении через фильтрующую цепь.
Если операторная функция передачи представлена как отношение
Н(р) = f(p)/v(p), то функция ГВЗ может быть рассчитана по
формуле [18]
В случае реактивного фильтра f(p) — четный или нечетный
полином с вещественными коэффициентами, и отношение f'(p)/f(p) —
нечетная функция, которая при р = ju> будет мнимой величиной.
Поэтому выражение для ГВЗ реактивного фильтра может быть записано
в более простой форме:
(1.18)
Если известны нули рк — crk -\- jujk полинома v(p), то выражение
для функции ГВЗ примет вид
(1.19)
Выражение (1.19) особенно удобно применять для вычисления ГВЗ
классических фильтров, для которых нули соответствующих
полиномов приведены в многочисленных справочниках по расчету фильтров


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
15
или могут быть рассчитаны по известным аналитическим
соотношениям [9, 15, 18].
Аналогичные выражения могут быть записаны и для
соответствующих функций коэффициента отражения р\ — h{p)/v{jp) — \р\ | exp[jf©i]
(см. (1.12)), а именно:
(1.20)
Добавочное слагаемое
(1.21)
гдер{ = oci+jfii — корни полинома h(p); n — степень полиномов v(p) и
Л(р). Необходимо отметить, что если h(p) будет четным или нечетным
полиномом, то т/, = 0 и ti(lj) = t(lj).
1.3. Характеристики и схемы классических
LC-фильтров
Перейдем к рассмотрению схем и функций конкретных LC-фильт-
ров, которые нашли широкое применение в мощных радиопередающих
и преобразовательных устройствах.
Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются
в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так,
рабочее затухание в полосе пропускания не должно превышать некоторого
допустимого значения Да, а в полосе задерживания не должно быть
ниже некоторого значения а^. Для фильтров, используемых в мощных
радиопередающих и преобразовательных устройствах, значения Да
находятся в пределах 3...0,001 дБ, а значения ао могут быть 20...100 дБ.
На рис. 1.2 эти требования изображены графически для фильтра
нижних частот (ФНЧ), где wo и wK — граничные частоты полос
пропускания и задерживания.
В дальнейшем будем рассматривать ФНЧ. Другие типы фильтров
(верхних частот, полосовые и режекторные) могут быть получены из
ФНЧ путем известных [14, 18] преобразований частоты.
Для упрощения расчетов при синтезе фильтров широко
используется нормирование по сопротивлению и частоте. В качестве
нормирующего сопротивления часто выбирают сопротивление генератора R\, а в
качестве нормирующей частоты — граничную частоту и>о полосы
пропускания (частоту среза) ФНЧ. При этом получим нормированные
сопротивления z = Z/R\ и нормированные частоты П = uj/ujq, в частности
нормированное сопротивление генератора г\ = 1 и нормированную
частоту среза По = 1- Такой нормированный ФНЧ называется фильтром
прототипом нижних частот (ФПНЧ). Можно также считать, что ФПНЧ


16
Глава 1
Рис. 1.2. Основные требования к Рис. 1.3. Характеристика затухания
характеристике затухания ФНЧ ФПНЧ Баттерворта
имеет частоту среза По = 1 рад/с и сопротивление генератора г\ = 1 Ом.
При расчете ФПНЧ должны быть заданы Аа, ао и нормированная
граничная частота Пк = шк/шо полосы задерживания.
Характеристика проектируемого фильтра должна вписываться в
заданные требования. Для примера на рис. 1.3 изображена характеристика
фильтра Баттерворта, удовлетворяющего приведенным на рисунке
требованиям. Кроме фильтров с характеристиками Баттерворта широко
используются фильтры с характеристиками Чебышева и Золотарева-
Кауэра.
Для указанных фильтров функция фильтрации (f(jQ) в (1.8)
является четной (при четном порядке п) или нечетной (при нечетном
порядке п) функцией частоты. Поэтому рабочее затухание (1.9) может
быть записано в следующем виде:
(1.22)
где е — некоторый коэффициент, определяющий допустимую неравно-
мерность Аа, дБ, затухания в полосе пропускания (е = \/10°>1Ла — 1).
Если в выражении (122) в качестве функции фильтрации
используются полиномы Баттерворта <?>(П) = Qn, где п — порядок фильтра, то
получаем так называемую, максимально плоскую характеристику,
пример которой изображен на рис. 1.3. Соответствующие фильтры
называются фильтрами Баттерворта.
Фильтры Чебышева — это фильтры с равноволновой
характеристикой затухания в полосе пропускания и более крутой, чем у фильтров
Баттерворта характеристикой в полосе задерживания (рис. 1.4). В
качестве функции фильтрации в этом случае используются полиномы
Чебышева y?(Q) = ТП(П). Полиномы Чебышева могут быть определены
по рекуррентной формуле
при To(Q) = 1 и T\(Q) = П. Для примера приведем полиномы
Чебышева порядка п = 2...4:
Фильтры с характеристиками Баттерворта и Чебышева называются
полиномиальными, так как их функции фильтрации являются
полиномами. Полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего прибли-


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
17
Рис. 1.4. Характеристика
затухания фильтра Чебышева
Рис. 1.5. Характеристика затухания фильтра
Золотарева-Кауэра пятого порядка
жения, так что при одинаковых значениях п из всех полиномиальных
фильтров, ослабление которых в полосе пропускания не превышает Да,
наибольшие значения ослабления в полосе задерживания имеет фильтр
Чебышева. В частности рабочее затухание фильтра Чебышева в полосе
задерживания может превышать (и весьма значительно) рабочее
затухание фильтра Баттерворта при одинаковых п и Да.
Частотные характеристики полиномиальных фильтров имеют
монотонный характер в полосе задерживания. Рабочее затухание таких
фильтров монотонно возрастает по мере удаления от полосы
пропускания (см. рис. 1.3 и 1.4).
При жестких требованиях к частотным характеристикам (малая
переходная область между полосами пропускания и задерживания, а
также большая величина рабочего затухания в полосе задерживания)
порядок фильтра п может быть очень большим даже в случае
применения полиномов Чебышева. Это приведет к усложнению фильтра и к
излишнему количеству элементов.
В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками
рабочего затухания в полосе задерживания (рис. 1.5).
На частотах всплесков QqoL ^оо2 и т.д. рабочее затухание
фильтра стремится к бесконечности, а функция передачи обращается в нуль.
За счет этого возрастает крутизна характеристики затухания в
переходной области.
Для выполнения указанных условий в качестве функции
фильтрации используются рациональные дроби Чебышева и Золотарева,
которые имеют следующий вид:
(1.23)
где ЛП(П) — четный либо нечетный полином степени п.
Когда П принимает значения Пооь ^оо2 и т.д., тогда функция
фильтрации (1.23) обращается в бесконечность, что приводит к бесконечно
большому рабочему затуханию. В полосе пропускания рассматриваемые
дроби ведут себя так же, как и полином Чебышева, т.е. рабочее
затухание фильтра имеет равноволновый характер.
Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать как
частный случай фильтров, построенных на основе дробей Чебышева, ко-


18
Глава 1
гда значения минимумов затухания в полосе задерживания равны друг
другу, а число всплесков максимально возможно при выбранном
значении п (см. рис. 1.5). Эти фильтры называют также фильтрами Кау-
эра, который впервые использовал дроби Золотарева в качестве
функции фильтрации. В дальнейшем эти фильтры будем называть
фильтрами Золотарева-Кауэра, следуя терминологии, установившейся в
отечественной литературе.
Необходимо отметить, что для фильтров Баттерворта, Чебышева и
Золотарева-Кауэра в справочниках [19-23] имеются весьма полные
таблицы полюсов и коэффициентов передаточных функций для
различных величин Аа и п, а также схемы и параметры элементов
нормированных LC-фильтров прототипов нижних частот. Для расчета
параметров элементов ФПНЧ в некоторых случаях могут быть использованы
известные аналитические выражения [9, 15].
Традиционный подход к расчету фильтров заключается в
определении значения порядка п фильтра, при котором выполняется условие
а(П) ^ ао при П ^ Пк. Это значение п определяется из (1.22) путем
подстановки заданных значений Да, ао и Пк. Такой расчет можно
произвести также по графикам и номограммам, приведенным в справочниках.
Предварительно должен быть выбран вид функции фильтрации <р(П).
Другой подход к расчету фильтров предусматривает определение
некоторого множества вариантов фильтров, удовлетворяющих
заданным требованиям. Например, при заданных ао и Пк принимается
конкретное значение порядка п = п\ и из (122) определяется
соответствующее значение неравномерности затухания Аа\. Затем порядок
увеличивается на единицу (пг = п\ +1) и определяется значение Аа,2 и т.д. Все
варианты фильтров, для которых неравномерность затухания в полосе
пропускания меньше заданной, будут удовлетворять заданным
требованиям. Эти варианты будут отличаться порядком п и неравномерностью
Аа. Чем больше порядок, тем меньше Да при фиксированных ао и
Пк. При этом будут различными и некоторые другие характеристики
фильтров, в частности, ФЧХ, ГВЗ, показатели стабильности, масса,
габаритные размеры и другие. Возможен выбор оптимального варианта
фильтра по тому или иному критерию.
Схемы LC-фильтров представляют собой реактивный лестничный
четырехполюсник, включенный между генератором с внутренним
сопротивлением R1 и нагрузкой R2 (см. рис. 1.1). Если фильтр со стороны
входных зажимов рассматривать как двухполюсник, образованный
реактивным четырехполюсником и нагрузкой R2, то, зная выражение для
входного сопротивления ZBXi(p), можно реализовать данный
двухполюсник одним из известных в теории цепей методов синтеза
двухполюсников. Таким образом задача реализации (определение схемы и ее
параметров) фильтра сводится к реализации двухполюсника по его
заданному входному сопротивлению. Выражение (1.16) для ZBXi(p) определятся
характеристическими полиномами фильтра. Реализация ZBX\(p) осуще-


Реактивные фильтры и показатели их эффективности
19
Рис. 1.6. Схемы полиномиальных ФНЧ седьмого порядка
Рис. 1.7. Схемы ФНЧ Золотарева-Кауэра пятого порядка
ствляется разложением в цепную (лестничную) дробь по методу Кауэра,
из которой определяются параметры элементов лестничной цепи.
Если реализуются полиномиальные функции передачи ФНЧ, то в
ходе разложения в продольных ветвях лестничного
четырехполюсника выделяются индуктивности, а в поперечных — емкости (рис. 1.6).
Количество реактивных элементов определяется порядком фильтра п.
Отличие фильтра Баттерворта от фильтра Чебышева будет
заключаться в разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе
реализации соответствующих передаточных функций.
Аналогично осуществляется реализация передаточных функций
фильтров со всплесками затухания (Золотарева-Кауэра). Разложение
входного сопротивления таких фильтров в цепную дробь приведет к
схемам, содержащим резонансные контуры, в которых резонансы
происходят на частотах fiooi, Qoo2 и т.д. Наличие этих контуров и обеспечивает
бесконечно большое затухание на частотах всплеска.
Так, ФНЧ пятого порядка (п = 5) со всплесками затухания на
частотах Qooi и Поо2 реализуется в виде одной из схем, приведенных на
рис. 1.7. В обеих схемах контуры рассчитаны на резонансные
частоты Qooi и Поо2- В первой схеме сопротивление параллельных контуров
принимает бесконечно большие значения на резонансных частотах. В
результате на этих частотах происходит обрыв продольных ветвей
фильтра, и сигнал от генератора в нагрузку не поступает, т.е. фильтр вносит
бесконечно большое затухание. Во второй схеме сопротивление
последовательных контуров обращаются в нуль на резонансных частотах,
поперечные ветви закорачивают нагрузку, и сигнал на выход не поступает,
что соответствует бесконечно большому затуханию.


Глава 2
Энергетическая теория
реактивных фильтров
2.1. Теорема Теледжена и ее применение
для анализа энергетических функций
нагруженных реактивных
четырехполюсников
В теории электрических цепей энергетические функции
использовались для обоснования свойств функций передачи и входного
сопротивления электрических цепей [14, 17]. В последнее время вновь
проявляется интерес к исследованию энергетических функций как
показателей массы, габаритных размеров и стабильности характеристик т.е.
как одного из важнейших критериев оптимизации электрических схем
[1, 4, 24-26]. Наиболее универсальный и строгий метод анализа
энергетических функций основан на известной теореме Телледжена [12, 27].
Рассмотрим различные формы указанной теоремы, необходимые для
дальнейшего исследования.
Пусть А — оператор Кирхгофа. Например, если некоторые токи
подчиняются первому закону Кирхгофа, то тогда и их производные по
времени также будут удовлетворять этому закону. Таким образом, операция
взятия производной по времени является оператором Кирхгофа.
Другими примерами операторов Кирхгофа являются преобразование Лапласа,
взятие комплекса или сопряженного комплекса, дифференцирование по
параметру и так далее [12]. Различают токовые операторы и операторы
напряжения в зависимости от того, к какому закону Кирхгофа они
относятся. Один и тот же оператор может быть как токовым оператором, так
и оператором напряжения, но это не обязательно. Будем предполагать,
что в электрической цепи имеются внутренние ветви с элементами
сопротивлений, индуктивностей, емкостей, взаимными индуктивностями,
идеальными трансформаторами, а также входы для подключения
независимых источников. Предположим, что для внутренних ветвей
положительные направления токов и напряжений выбраны согласно, а для
входов — встречно. Тогда наиболее общая форма («сильная форма»
[12]) теоремы Телледжена выглядит следующим образом:
(2.1)


Энергетическая теория реактивных фильтров
21
где аир — индексы суммирования по внутренним ветвям и входам
соответственно; А' и А" — операторы Кирхгофа; га(иа) и гр{ир) —
мгновенные значения токов (напряжений) внутренних ветвей и входов
соответственно.
Наиболее простая трактовка (2.1) имеет место при условии, что Л' и
X" являются операторами умножения на единицу (операторами
тождественности). Тогда уравнение (2.1) будет уравнением баланса
мгновенной мощности, в правой части которого представлена сумма мощностей
внутренних ветвей цепи, а в левой — сумма мощностей, отдаваемых
источниками в каждый момент времени. Во многих приложениях
используются так называемые «слабые формы» теоремы Телледжена [12],
которые получаются, если в (2.1) поменять местами операторы А' и X",
а затем полученное равенство сложить или вычесть из (2.1):
(2.2)
В обеих частях (2.2) берутся либо знаки «+» (суммовая форма) либо
знаки «—» (разностная форма).
На основании теоремы Телледжена получены общие теоремы и
соотношения для активных и реактивных мощностей, накапливаемой
энергии, параметрической чувствительности и другие [12]. Хорошо
известны и изучены результаты, относящиеся к энергетическим функциям LC-
двухполюсников [14, 17]. В [4, 5] эти результаты использованы для
исследования и определения путей улучшения энергетических и массо-
габаритных показателей простейших индуктивно-емкостных
преобразовательных устройств. Вероятно, указанные работы являются одними из
первых, в которых энергетические функции рассматриваются как
критерии оптимизации таких показателей экономичности, как масса,
габаритные размеры и стоимость мощных преобразовательных цепей.
Далее будем рассматривать применение теоремы Телледжена для
анализа энергетических функций нагруженных реактивных
четырехполюсников (см. рис. 1.1), каковыми являются фильтрующе-согласующие
цепи мощных радиотехнических и преобразовательных устройств.
Следует отметить, что в известной литературе исследованию
энергетических функций четырехполюсников, в частности LC-фильтров,
уделено недостаточно внимания. Поэтому необходимо определить и
исследовать связь энергетических функций нагруженных реактивных
четырехполюсников с их внешними характеристиками (функцией входного
сопротивления, коэффициентами отражения и передачи) с целью
обоснования путей и методов оптимизации показателей эффективности
мощных фильтрующих цепей. Для этого рассмотрим общую методику
получения соотношений для энергетических функций нагруженных
реактивных четырехполюсников, основанную на теореме Телледжена. В
рассматриваемом случае электрическая цепь (см. рис. 1.1) имеет один
вход, к которому подключен источник гармонического напряжения щ,


22
Глава 2
а остальные ветви являются внутренними. Тогда из общей формы
теоремы Телледжена (2.1) получим
(2.3)
где Ц и /* —сопряженные комплексы токов (комплексно-сопряженные
действующие значения); U\ и Ua — комплексы напряжений. Далее
раскроем сумму в правой части (2.2) отдельно для резистивных,
индуктивных и емкостных элементов. Для примера рассмотрим
соответствующее слагаемое для емкости Q:
где Yf = —ju>C — комплексно-сопряженная емкостная проводимость.
После аналогичного преобразования остальных слагаемых, а также
правой части из (2.3) получим
Заметим, что в квадратных скобках имеем разность суммарных
максимальных энергий (Wl — Wc)- Учитывая это и приравнивая мнимые
части, из последнего равенства получим соотношение для разности
магнитной и электрической энергий фильтрующей цепи:
(2.4)
где Im {ZBxi} — мнимая (реактивная) составляющая комплексного
входного сопротивления реактивной цепи с нагрузкой R2 (см. рис. 1.1).
Полученное соотношение показывает, что разность магнитной и
электрической энергий фильтрующей цепи определяется реактивной
составляющей ее входного комплексного сопротивления. Если при
определенных частотах указанная составляющая обращается в нуль (например,
в точках согласования, когда ZBX\ — R\)y то максимальные суммарные
накапливаемые энергии по индуктивностям и емкостям равны по
величине. Более детальную информацию об энергетических характеристиках
фильтрующих цепей можно получить из соотношений, определяющих
максимальные суммарные энергии отдельно по индуктивностям W\, и
по емкостям Wc, а также их сумму W — Wl -f Wc- Указанные
соотношения также могут быть получены на основании теоремы Телледжена.
Для этого используем суммовую форму теоремы (2.2) при условии, что
А' — оператор взятия сопряженного комплекса, а А" — оператор
взятия производной по комплексной частоте s = jm от комплекса тока или


Энергетическая теория реактивных фильтров
23
напряжения. При этом для схемы рис. 1.1 получим
(2.5)
Обозначения в (2.5) аналогичны принятым выше. Заметим, что
первое слагаемое в левой части (2.5) равно нулю, так как напряжение
источника не зависит от частоты. Далее раскроем сумму в правой части
(2.5) по отдельным элементам. При этом для резистора R1 имеем
Аналогичное преобразование справедливо и для другого резистора R2.
Для ветви с индуктивностью LK получим
Аналогично для ветви с емкостью Сг:
Принимая во внимание последние равенства, из (2.5) получим
(2.6)
Если в составе реактивного четырехполюсника имеется идеальный
трансформатор, то, как показано в [12], при применении теоремы Тел-
леджена в любой ее форме и при любых операторах Кирхгофа А' и А"
часть суммы, имеющая отношение к ветвям трансформатора
обращается в нуль. Как известно, реальные трансформаторы во многих случаях
могут быть представлены схемами замещения, содержащими идеальные
трансформаторы, индуктивности и емкости. Поэтому полученные выше
соотношения (2.4) и (2.6) будут справедливы и для реактивного
четырехполюсника с индуктивными связями. Указанные соотношения
являются основополагающими для определения энергетических функций Wi,
и Wc через внешние функции четырехполюсников, работающих в
режимах как двухсторонней, так и односторонней нагрузки.
2.2. Энергетические функции реактивных
четырехполюсников с двухсторонней
нагрузкой
Перейдем к рассмотрению энергетических функций нагруженных
реактивных четырехполюсников. Очевидно, интерес будет
представлять связь между энергетическими функциями и рассмотренными выше


24
Глава 2
основными функциями фильтрующей цепи. Для выявления этой связи
необходимо преобразовать правую часть соотношения (2.6) следующим
образом. Поскольку Ц = U[/(R\ -f Z*xl) (см. рис. 1.1), то первые два
слагаемые в (2.6) преобразуются к виду:
(2.7)
где Z*xl, р[ — комплексно-сопряженные входное сопротивление и
коэффициент отражения; s = juj.
С учетом очевидного равенства 1^ — H(ju)U\ /y/4R\R2, где H(ju)
— рабочая функция передачи, последнее слагаемое (2.6) представим
в следующем виде:
(2.8)
где H*(ju) = H(—jlj) — комплексно-сопряженная рабочая функция
передачи. Далее из (1.12) получим
(2.9)
Подставим (2.7)-(2.9) в (2.6) и после элементарных
преобразовании получим следующее равенство:
Приравнивая вещественные части полученного равенства и принимая
во внимание обозначения, принятые в (1.7) и в (1.12), получим
соотношение для суммарной реактивной энергии рассматриваемого класса
электрических цепей:
(2.10)
где Ргтах = Ul/AR\ — максимальная мощность, которую может
передать источник в нагрузку. Введем следующие обозначения: г = —dQ/du
— функция группового времени задержки; т\ = —dQ\/duj —
аналогичная функция для коэффициента отражения. Тогда из равенства (2.10)
окончательно получим
(2.11)
Это соотношение является известным [10, 12], хотя и получено
несколько другим способом в указанной литературе. Оно связывает
максимальную запасаемую энергию в реактивном нагруженном
четырехполюснике с его внешними функциями. Максимальная запасаемая энергия


Энергетическая теория реактивных фильтров
25
в общем случае зависит от частоты и определяется входной и
передаточной функциями четырехполюсника. В точках согласования |pi| = О,
|#| = 1 и максимальная реактивная энергия Wl + Wc = 2P2max^. т.е.
пропорциональна ГВЗ четырехполюсника. Если обратиться к
простейшей избирательной цепи — последовательному RLC резонансному
контуру, то, как известно, максимальная запасаемая энергия в реактивных
элементах в режиме гармонических колебаний на резонансной частоте
будет равна W = 2PqQ/ujo, где Ро — мощность в резистивном
сопротивлении контура, Q и ыо — добротность и резонансная частота
контура. При увеличении добротности контура будет увеличиваться крутизна
(скорость изменения) его частотных функций и реактивная энергия.
Таким образом, можно связать запасаемую в контуре энергию со скоростью
изменения ФЧХ или с функцией ГВЗ контура, которая на резонансной
частоте принимает значение 2Q/wq.
В дальнейшем будет произведено обобщение указанных
результатов, произведен детальный анализ (2.11) и других аналогичных вновь
полученных соотношений, а также выявлены специфические
особенности и условия для минимизации энергетических функций реактивных
фильтров.
Во многих случаях необходимо оценить энергетические и массогаба-
ритные характеристики отдельно по индуктивностям и по емкостям. Для
получения соответствующих результатов рассмотрим (2.11) совместно с
(2.4). Предварительно преобразуем (2.4) следующим образом. Сначала
представим коэффициент отражения (1.12) в виде
Учитывая последнее равенство, после очевидных преобразований
из (2.4) получим
(2.12)
Далее из (2.11) и (2.12) получим искомые соотношения для
суммарных максимальных энергий, накапливаемых отдельно только
емкостями или только индуктивностями:
(2.13)
Полученные соотношения могут быть использованы для исследования
и расчета энергетических функций фильтрующих цепей по их внешним
характеристикам, а именно по входной и передаточной функциям.
Качественный анализ (2.13) позволяет сделать следующие выводы.
1. В согласованном режиме работы реактивного четырехполюсника
\р\ | « О, |Я | и 1, и согласно (2.13) суммарная накапливаемая энергия по


26
Глава 2
всем индуктивностям примерно равна суммарной накапливаемой
энергии по всем емкостям и обе они определяются групповой задержкой, а
именно Wq « Wl ~ ^2 maxт- Для уменьшения накапливаемой энергии
(при передаче одной и той же мощности) должна быть возможность
варьирования (минимизации) ГВЗ фильтрующей цепи. В
рассматриваемом случае легко произвести сравнение различных вариантов фильтров
по энергетическому критерию, так как функции ГВЗ для многих
реактивных фильтров приведены в справочниках [21, 22] или могут быть
рассчитаны по известным алгоритмам [9, 15] на основании справочных данных.
2. Для рассматриваемых цепей модули коэффициента отражения
и рабочей функции передачи связаны соотношением (1.13). Поэтому
для четырехполюсников с одним и тем же модулем рабочей функции
передачи накапливаемая энергия, по существу определяется фазовыми
функциями 0(cj) и ©i(u;) согласно (2.13) и может быть изменена путем
изменения этих функций. Если же задана рабочая функция передачи в
целом, то минимизация энергетических функций может быть
произведена только за счет фазовой функции ©i(cj) коэффициента отражения.
Во многих случаях реактивные фильтры работают в режиме так
называемой односторонней нагрузки [15], когда одно из резистивных
сопротивлений R1 или R2 (см. рис. 1.1) отсутствует. Режим
односторонней нагрузки характерен для энергетически эффективных ключевых
радиотехнических и преобразовательных устройств [28-30]. Для
дальнейших исследований необходимо получить соответствующие
соотношения для энергетических функций односторонне нагруженных
реактивных четырехполюсников.
2.3. Энергетические функции реактивных
четырехполюсников с односторонней
нагрузкой
Различные схемы односторонне нагруженных четырехполюсников
представлены на рис. 2.1. Схемы а и 6характерны, например, для
ключевых радиопередающих и преобразовательных устройств [30]. Во
многих случаях выход четырехполюсника можно считать разомкнутым или
замкнутым накоротко (схемы виг). В подобном режиме используются,
в частности, входные цепи широкополосных усилителей [15, 29].
Необходимо отметить, что широкий класс реактивных цепей, предназначенных
для формирования мощных импульсов заданной формы, т.е.
формирующие фильтры, также могут быть отнесены к четырехполюсникам с
односторонней нагрузкой [31, 32]. В режиме односторонней нагрузки
работают сглаживающие LC-фильтры выпрямителей и стабилизаторов
постоянного напряжения.
Энергетические функции рассматриваемых четырехполюсников
могут быть определены через их внешние характеристики на основании


Энергетическая теория реактивных фильтров
27
Рис. 2.1. Режимы односторонней нагрузки LC-четырехполюсника
общей методики, изложенной в разд. 2.1. Сначала будем рассматривать
режим заданного входного напряжения (рис. 2.1,а).
Определим суммарную реактивную энергию (2.6) применительно к
рассматриваемому режиму. Учитывая, что в данном случае R\ = 0;
h = UiYBXi', U2 = I2R2, из (2.6) найдем
Приравняем вещественные составляющие полученного равенства
и используем следующие обозначения: YBXi = GBXi + jBBXi\ U2 =
U2 exp(jil>2)', H(ju>) = U2/U1. Тогда получим
WL + Wc = и?В'вх1-212и2ф'2 = (U?/R2)[B'bx1R2 + 2\H(jw)\2t], (2.14)
где штрих обозначает взятие производной по частоте и от
соответствующей функции; г = —jp2 — функция ГВЗ.
Таким образом, в данном случае суммарная реактивная энергия,
также как и для реактивного четырехполюсника с двухсторонней
нагрузкой, определяется входной и передаточной функциями. Однако для
рассматриваемого режима с односторонней нагрузкой указанные функции
однозначно связаны между собой. Действительно, поскольку
реактивный четырехполюсник не может рассеивать энергию, то, приравнивая
средние мощности источника и нагрузки, имеем
(2.15)
В данном случае вещественная часть комплексной входной
проводимости определяется модулем функции передачи. Известно [17], что
по определенной вещественной составляющей GBXi однозначно
определяется мнимая Ввх\ и сама функция YBXi при условии, что последняя
является функцией минимальной проводимости. С практической
точки зрения именно такие четырехполюсники имеет смысл рассматривать


28
Глава 2
(2.17)
в данной схеме включения (см. рис. 2.1,а). Таким образом, в
рассматриваемом случае суммарная реактивная энергия (2.14) определяется
по существу комплексной функцией передачи и если последняя
задана, то уменьшить запасаемую энергию, массу и габаритные размеры
фильтрующей цепи невозможно.
Для определения энергетических функций отдельно по индуктивно-
стям и по емкостям преобразуем (2.4) с учетом того, что R\ = 0:
(2.16)
Тогда из (2.14) и (2.16) получим:
где Pq = U1/R2 — средняя мощность в нагрузке Дг. подключенной
непосредственно к источнику напряжения (без реактивного
четырехполюсника). Энергетические функции Wq и Wi, также как и их сумма,
определяются модулем и аргументом комплексной функции передачи и не
зависят от конкретной реализации реактивного четырехполюсника, т.е.
одинаковы для всех реактивных четырехполюсников, реализующих данную
функцию передачи H(ju) в режиме включения по схеме рис. 2.1,а.
Аналогично или на основе принципа дуальности могут быть
получены энергетические функции для схемы рис. 2.1,6", когда
четырехполюсник работает в режиме заданного входного тока. Соответствующие
соотношения имеют следующий вид:
(2.18)
где Р0 = /?Я2; *вх1 = lm{ZBXl}; H(ju) = hlh\ G2 = 1/Я2.
На основании (2.18) могут быть сделаны выводы, аналогичные
приведенным выше.
Далее рассмотрим режим холостого хода (рис. 2.1,в). В этом случае
функция передачи по напряжению может быть выражена через
параметры холостого хода реактивного четырехполюсника [15, 17]:
где jXn и jX\2 — входное и передаточное сопротивления холостого
хода реактивного четырехполюсника. При этом аргумент комплексной
функции передачи
(2.19)


Энергетическая теория реактивных фильтров
29
Слагаемое ±ктг появляется при смене знака у функции Х\2, где к —
число изменений знака в диапазоне от нуля до и. Коэффициент
отражения на входе реактивного четырехполюсника
Из (2.19) и (2.20) нетрудно определить следующие соотношения:
(2.21)
где штрих, как и ранее, обозначает производную по частоте и.
Равенства (2.19)—(2.21) выражают связь между входной и
передаточной функциями реактивного четырехполюсника, работающего в
режиме холостого хода и будут использованы ниже.
Далее из (2.6) при условии, что li = 0, получим
(2.22)
Учитывая, что в данном случае входное сопротивление
четырехполюсника ZbXi = jX\\, преобразуем каждый сомножитель (2.22)
следующим образом:
Подставляя эти два соотношения в (2.22) и учитывая (2.21),
получим
(2.23)
Таким образом, в рассматриваемой схеме включения
четырехполюсника запасенная в нем максимальная реактивная энергия зависит только
от ГВЗ фильтрующей цепи и параметров источника. При реализации
заданной АЧХ минимизацию реактивной энергии можно осуществить за
счет ГВЗ. Как известно [17], для минимально фазовых цепей АЧХ и
ФЧХ связаны преобразованием Гильберта. Следовательно, если задана
АЧХ на всей оси вещественных частот, то изменить функцию ГВЗ не
представляется возможным для указанных цепей. Однако практически
во всех случаях задается не сама АЧХ а требования к ее параметрам
в определенных частотных диапазонах. Поэтому при синтезе
фильтрующих цепей как минимально фазового, так и неминимально фазового


30
Глава 2
типов имеются возможности для варьирования и оптимизации
функций ГВЗ и реактивной энергии.
Для нахождения отдельных суммарных энергий W\, и Wq
предварительно определим их разность, подставив в (2.4) второе равенство
из (2.21V
Используя (2.23) и (2.24), окончательно получим:
(2.24)
(2.25)
где Pi = Ul/R\ — средняя мощность в резисторе R1, когда он
подсоединен непосредственно к источнику без четырехполюсника.
Таким образом, максимальные суммарные электрическая и
магнитная энергии при работе фильтрующей цепи в режиме холостого хода
полностью определяются функцией передачи, а точнее ее ФЧХ.
Аналогично или на основе принципа дуальности можно получить
энергетические функции для режима короткого замыкания (рис. 2.1,г).
А именно:
(2.26)
где Pi = ЦRi\ 0 и т — аргумент и ГВЗ для комплексной функции
передачи H(jw) = h/h-
В заключении отметим, что полученные в данном разделе
соотношения для энергетических функций реактивных четырехполюсников
с односторонней нагрузкой позволяют выявить определенные свойства
рассматриваемых функций и определить методы анализа, синтеза и
оптимизации реактивных фильтров с учетом энергетических критериев.
2.4. Энергетические и массогабаритные
показатели сглаживающих фильтров
источников электропитания
Сглаживающий фильтр (СФ) является одним из основных
функциональных узлов источников вторичного электропитания. Частотные
характеристики фильтра оказывают значительное влияние на режим
работы всего источника, а его масса и габаритные размеры во многом
определяют размеры всего устройства в целом. В этой связи возникает


Энергетическая теория реактивных фильтров
31
проблема проектирования фильтра с минимальными весовыми
показателями с учетом требований, предъявляемых к его частотным и
динамическим характеристикам.
В настоящее время в качестве критерия массы и габаритных
размеров используется максимальная запасаемая энергия (1.2) в реактивных
элементах фильтра. Для частотных фильтров токи и напряжения,
входящие в (1.2), определяются в рабочем диапазоне частот. СФ
выпрямителей, преобразователей постоянного напряжения должны подавить все
гармоники входного напряжения и передать только постоянную
составляющую. Поэтому для СФ в качестве массогабаритных показателей
используются значения суммарных запасаемых энергий при и=0, т.е. при
постоянном входном напряжении. Обозначим эти значения И^ь(О) и
Wc{0) соответственно для катушек индуктивностей и для емкостей СФ.
В качестве массогабаритного показателя СФ можно также использовать
взвешенную сумму запасаемых энергий:
(2.27)
В большинстве случаев СФ выполняются в виде однозвенного или
многозвенного полиномиального лестничного LC-фильтра (см. рис. 1.6),
работающего в режиме односторонней нагрузки (см. рис. 2.1,з).
Поэтому для анализа энергетических функций СФ можно воспользоваться
полученным выше соотношением (2.14) для рассматриваемого режима.
Путем предельного перехода при cj = 0 получим
(2.28)
Таким образом, суммарная запасаемая энергия, масса и габаритные
размеры СФ зависят от вида его частотных характеристик при малых
частотах, а именно, от реактивной составляющей входной проводимости,
АЧХ и ГВЗ фильтра. Для СФ, как правило, АЧХ при малых частотах
близка к единице, и поэтому запасаемые электрическая и магнитная
энергии во многом определяются ГВЗ на нулевой частоте.
Более детальную информацию об энергетических функциях СФ
можно получить из соотношений, определяющих суммарные энергии
отдельно по индуктивностям и по емкостям. Эти соотношения можно
получить при рассмотрении разности суммарных магнитной и
электрической энергий. Заметим, что полученные ранее результаты (2.16) и
(2.17) для частотных фильтров не могут быть использованы при ш = 0.
Выражение для разности между электрической и магнитной энергиями
в режиме постоянного тока может быть получено на основании
разностной формы теоремы Телледжена.
Рассмотрим два способа возбуждения цепи рис. 2.1,а, а именно:
постоянным напряжением (U\) и гармоническим напряжением низкой
частоты и (U\(lo)). Рассматриваемая электрическая цепь имеет один
вход, к которому подключен источник напряжения U\, а остальные ветви


32
Глава 2
являются внутренними. Поэтому на основании (2.2) можно записать
(2.29)
Далее рассмотрим сумму в правой части (2.29) отдельно для
индуктивных и емкостных элементов. Сумма по емкостным элементам
так как в режиме постоянного тока через емкостной элемент ток IQ = 0.
Аналогично для индуктивных элементов
при условии, что в режиме постоянного тока Ua = 0.
После подстановки в (2.29) полученных результатов имеем
Далее (2.30) разделим на jw и ju —> 0. Тогда получим
или
(2.31)
Таким образом, разность между электрической и магнитной
энергиями в режиме постоянного тока определяется производной от входной
проводимости СФ при ju) = 0.
Если обозначить YbxiO^) — ^вх1 4- jBbX\, то
Разность энергий вещественна, поэтому согласно (2.31) она
определяется производной по частоте от реактивной составляющей входной
проводимости фильтра при lj = 0:
(2.32)
Решая совместно (2.28) и (2.32), получаем выражения для
запасаемых энергий отдельно по емкостям и индуктивностям для режима
постоянного тока:


Энергетическая теория реактивных фильтров
33
Таким образом, запасаемая энергия в реактивных элементах СФ
определяется его частотными функциями при малых частотах. Для
обеспечения заданного коэффициента фильтрации не важен вид
частотных зависимостей функций СФ. Эта степень свободы может быть
использована для минимизации запасаемой энергии, массы и
габаритных размеров СФ.
Далее рассмотрим аналитическое решение задачи минимизации
энергетического критерия для простейшего случая идеализированного
полиномиального СФ без потерь, состоящего из п идентичных Г-об-
разных звеньев (см. рис. 1.6 и 2.1,а)
В режиме постоянного тока напряжения на всех емкостях Uk = U2,
и токи во всех индуктивностях /,- = /г, поэтому справедливы
следующие равенства:
Следовательно, в данном случае энергетический критерий (2.27)
эквивалентен взвешенной сумме суммарных емкостей и индуктивно-
стей СФ:
где Кс и Ki, — некоторые положительные коэффициенты.
Для обеспечения заданного коэффициента передачи или
коэффициента фильтрации произведение суммарных параметров простейшего
СФ, состоящего из п идентичных Г-образных звеньев, должно быть
вполне определенной величины [2, 3]
где /\ф = Umi/Um2 — коэффициент фильтрации на частоте ш\ первой
гармоники выпрямленного напряжения; Um\ и Vmi — амплитуды
первой гармоники напряжения на входе и выходе фильтра. Поэтому задача
минимизации энергетического критерия в данном случае может быть
сформулирована следующим образом: определить
и соответствующие суммарные параметры Се и Le при ограничении
(2.33)
где A'l. Кс и аф — заданные положительные числа.
Сформулированную задачу можно решить аналитически методом
множителей Лагранжа [33]. Для этого составим функцию Лагранжа


34
Глава 2
где Л — вещественный множитель Лагранжа.
Определим Се и Le, которые соответствуют минимуму функции
Лагранжа из условия равенства нулю соответствующих производных:
В результате получим
(2.34)
Полученные значения подставим в дополнительное условие (2.33)
Се^е = KqKl/X2 = аф, откуда найдем значение множителя
(2.35)
Подставив (2.35) в (2.34), определим искомые оптимальные
значения суммарных параметров СФ:
В качестве примера определим оптимальные параметры однозвен-
ного СФ при следующих условиях: lj\ = 628 рад/с, Kq — 1» Kl = 0,25
и А'ф = ОД. Согласно полученным соотношениям Сопт = 2500 мкФ
И LonT = Ю М1~Н.
2.5. Основные свойства энергетических
функций LC-фильтров
На основании результатов, полученных в предыдущих разделах,
сформулируем, докажем и обсудим ряд свойств энергетических
функций LC-фильтров.
Свойство 1. Для реактивных фильтров с двухсторонней нагрузкой
и с четной либо нечетной функцией фильтрации справедливы
следующие соотношения для энергетических функций:
(2.36)
В последнем равенстве знак «плюс» относится к Wc, а знак «минус» — к
W\t. Доказательство (2.36) следует из приведенных выше соотношений.
Действительно, из представления (1.10) для функции фильтрации
следует, что для рассматриваемых случаев полином h(p) будет либо
четным, либо нечетным. При этом, как было отмечено выше, в
соотношении (120) Th = 0 и ГВЗ будет совпадать с соответствующей
функцией для коэффициента отражения, а именно т\ — т.
Подставив это условие в (2.11) и в (2.13) и учитывая (1.13), получим
искомые соотношения (2.36).


Энергетическая теория реактивных фильтров
35
Рис. 2.2. Функция ГВЗ для фильтра нижних частот
Широко используемые симметричные и антиметричные реактивные
фильтры Баттерворта и Чебышева, а также Золотарева-Кауэра и другие
удовлетворяют условиям свойства 1. Максимальная запасаемая
энергия в них пропорциональна ГВЗ фильтра. Для минимально фазовых
фильтров ГВЗ однозначно связано с АЧХ и для селективных АЧХ
функция ГВЗ имеет вполне определенный вид. Типичный характер этой
функции для указанных выше фильтров нижних частот (ФНЧ)
показан на рис. 2.2.
В полосе пропускания фильтра (0 ^ w ^ ujq) функция ГВЗ
возрастает и принимает максимальное значение, как правило, на
граничной частоте и = ljq. При этом экстремальное значение ГВЗ находится
вблизи граничной частоты и в большинстве случаев за пределами
полосы пропускания фильтра. Поэтому для уменьшения ГВЗ и реактивной
энергии можно рекомендовать рассматриваемые классические фильтры
с неполным использованием полосы пропускания, т.е. рабочий диапазон
частот должен быть несколько меньше полосы пропускания фильтра.
Это приведет к увеличению числа элементов фильтра при
определенных требованиях в полосе задерживания, но позволит получить
меньшие массу и габаритные размеры. Для неминимально-фазовых
фильтров нет жесткой связи между ГВЗ и АЧХ. Однако, как показывает
анализ, проведенный в [34], для селективных неминимально-фазовых
цепей конечного порядка функция ГВЗ также будет иметь максимум
вблизи частоты среза фильтра.
Другой путь уменьшения реактивной энергии состоит в определении
или корректировке какой-то данной аппроксимирующей функции
фильтра так, чтобы при заданных требованиях к АЧХ иметь минимально
возможное ГВЗ или реактивную энергию. Эта задача является задачей
оптимального синтеза. В дальнейшем она должна быть корректно
поставлена и для ее решения должны быть определены соответствующие
методы. В связи с этим необходимо заметить, что классический
синтез фильтров предусматривает минимизацию числа элементов. Однако,
как следует из приведенного анализа, массогабаритные и
энергетические показатели определяются свойствами аппроксимирующих функций


36
Глава 2
фильтра и непосредственно не связаны с числом элементов фильтра.
Поэтому актуальной является задача синтеза электрических фильтров с
минимизацией их энергетических характеристик, которая в полной мере
будет отвечать требованиям получения минимальных массогабаритных
показателей фильтра.
Из энергетической теории электрических цепей известно, что сумма
энергий (VVl + ^c) определяется значениями ГВЗ фильтра на частотах
согласования, при которых |pi| = 0 и |Я| = 1. Свойство 1
распространяет этот результат на всю частотную область. Это значительно упрощает
анализ и минимизацию энергетических функций, так как позволяет
вести расчет реактивной энергии по функции ГВЗ, не прибегая к расчету
токов и напряжений на элементах реактивного четырехполюсника.
Если рассматривать отдельные суммарные реактивные энергии W^
и Wq, то можно отметить следующее. Мнимая составляющая
коэффициента отражения, входящая в (2.36), в полосе пропускания для
реактивных фильтров с равными резистивными нагрузками R\ = R2 может
быть оценена из очевидного неравенства
(2.37)
где Аа — неравномерность характеристики затухания в полосе
пропускания фильтра, дБ. Здесь использована связь (1.13) между
модулями коэффициента отражения и рабочей функции передачи, а также
соотношение (1.9).
Для широко используемых на практике реактивных фильтров Бат-
терворта, Чебышева, Золотарева-Кауэра и других допустимая величина
модуля коэффициента отражения в полосе пропускания во многих
случаях не превышает 25-50 % (Да ^ 0,28...1,25 дБ), а в некоторых
случаях составляет единицы процентов [19, 29]. Расчеты показывают, что
в этих случаях в полосе пропускания т ^> \\m{pi(jw)}\/(jj. При этом,
как следует из (2.36), функции Wc и Wi, будут в основном определяться
функцией ГВЗ, и, следовательно, их максимальные значения Постах и
Wz,max будут соответствовать граничной частоте фильтра.
Свойство 2. Для классических ФНЧ Баттерворта, Чебышева и
Золотарева-Кауэра с согласованными нагрузками с достаточной для
практики точностью
(2.38)
Погрешность этого соотношения определяется с помощью неравенства
(2.39)
где ljq — частота среза ФНЧ.
Доказательство. Из (2.36) следует, что относительная разность


Энергетическая теория реактивных фильтров
37
энергий
Если записать это соотношение для граничной частоты, принимая во
внимание приведенные выше рассуждения и (2.37), то получим
искомое неравенство (2.39).
В качестве примера рассмотрим ФПНЧ Чебышева с числом
элементов п = 5, Да = 1,25 дБ (\р\\ ^ 50 %) [19]. Для этого фильтра
расчетным путем получено cjo^(^o) = 13,14 и относительная разность энергий
8W, оцененная по (2.39) будет не более 0,038. С увеличением порядка
фильтра произведение и>от(шо) будет увеличиваться, и относительная
разность энергий будет уменьшаться. Так, для такого же фильтра с
п = 9 относительная разность энергий 8W ^ 0,012. При меньших
значениях Да (или коэффициента отражения) рассматриваемая разность
энергий будет еще меньше. Например, для фильтра Чебышева с п = 9
и Да = 0,28 дБ получено ДW ^ 0,0084. Такая малая величина
относительной разности максимальных суммарных магнитной и электрической
энергий позволяет считать их одинаковыми.
Далее рассмотрим случай несогласованной нагрузки R\ ф #2- При
этом, как известно [23], вводится так называемое плоское (независимое
от частоты) затухание 6а, величина которого определяется
соотношением между нагрузками г = Яг/Яъ а именно:
Этому плоскому затуханию будет соответствовать некоторая частотно-
независимая составляющая коэффициента отражения. Полином h{jp)
для функции фильтрации (1.10) и коэффициента отражения (1.15)
будет полиномом общего вида (в случае согласованных нагрузок h(p) —
четный или нечетный полином) и его нули могут быть отобраны из
нулей произведения h(p)h(—p) (1.11) уже не единственным образом. В
частности, часть нулей или все они могут находиться в правой
полуплоскости комплексного переменного.
Для рассматриваемого режима справедливо следующее
утверждение.
Свойство 3. Для реактивного четырехполюсника с
несогласованными нагрузками минимальные значения накапливаемой энергии при
заданной функции передачи будут соответствовать минимально
фазовой функции коэффициента отражения.
Доказательство. Используя представление (120) для т\ и
учитывая (1.13), преобразуем выражение (2.11) для суммарной реактивной
энергии к следующему виду:
(2.40)
Заметим, что при заданных нагрузках и функции передан',: могут
быть подвергнуты изменению только знаки перед вещественными частя-


38
Глава 2
Таблица 2.1
Фильтр
1
2
3
т, с
18,07
18,07
18.07
тьс
38,49
-2,35
6,29
\щ
0,62
0,62
0,62
ы
0,78
0,78
0,78
WL, Дж
31,08
5,8
11.08
Wc. Дж
30.12
5,32
10,64
W, Дж
61,2
11,12
21,72
ми комплексно сопряженных нулей коэффициента отражения, т.е.
полинома /i(p). Изменяя эти знаки, мы тем самым выбираем различные
варианты расположения нулей коэффициента отражения на плоскости
комплексного переменного. Следовательно, единственной величиной,
которая может варьироваться в (2.40) является гд. Если все нули
полинома /i(p) находятся в левой полуплоскости комплексного переменного,
т.е. имеют отрицательные вещественные части, то тогда все слагаемые в
выражении (1.21) для тд будут положительными. При этом для каждой
частоты значения т^ будут максимально возможными по сравнению с
другими вариантами, когда хотя бы один нуль находится в правой
полуплоскости. Поэтому в рассматриваемом случае значения реактивной
энергии согласно (2.40) будут минимальными по сравнению со всеми
другими возможными вариантами расположения нулей коэффициента
отражения при реализации заданной функции передачи реактивным
четырехполюсником с фиксированными несогласованными нагрузками.
В качестве примера рассмотрим варианты реализации реактивного
ФПНЧ с характеристикой затухания по Чебышеву с неравномерностью
затухания в полосе пропускания Да = ОД дБ, порядка п = 8ис
соотношением между нагрузками г = 0,121. Реализация различных вариантов
фильтров производилась по алгоритмам, изложенным в [23].
В табл. 2.1 приведены данные для трех вариантов ФПНЧ,
удовлетворяющих приведенным выше требованиям. Первый вариант
соответствует случаю расположения нулей коэффициента отражения в правой,
а второй вариант — в левой полуплоскости комплексного переменного.
Третий вариант является некоторым промежуточным. Нули
коэффициента отражения этого фильтра чередуются в левой и правой
полуплоскостях. Анализ проводился по7алгоритмам, описание которых приведены
в следующей главе настоящей работы. В таблице приведены данные
для ФПНЧ с граничной частотой ljq = 1 рад/с и Ргтах = 1 Вт.
Нагрузки Ri = 1 Ом и #2 = 0Д21 Ом. Все данные соответствуют
граничной частоте, на которой реактивные энергии Wl. Wc и W принимают
максимальные значения в полосе пропускания. Как видно из таблицы
вариант с минимально фазовым коэффициентом отражения (фильтр 2]
имеет меньшие значения т\ (см. (2.11)) и соответственно W\,y Wq v
W. Причем по сравнению с фильтром 1 значения реактивных энергий
у фильтра 2 меньше в 5,5 раза, что довольно существенно.
Фильтры с несогласованными нагрузками используются в случаях,
когда необходимо трансформирование сопротивления нагрузки, а
также при реализации LC-фильтров с учетом потерь в элементах. Следует


Энергетическая теория реактивных фильтров
39
отметить, что приведенные в справочниках, в частности в [20, 21],
табулированные варианты ФНЧ при несогласованных нагрузках и фильтров с
компенсацией потерь являются неудачными или, точнее,
неоптимальными в смысле минимизации реактивной энергии, а, следовательно, массы
и габаритных размеров. Это свидетельствует о необходимости
корректировки некоторых справочных таблиц по расчету реактивных фильтров.
Свойство 4. Частотные функции суммарных реактивных энергий
Wl. Wc и W инвариантны к схемной реализации заданной функции
передачи в классе симметричных или антиметричных реактивных
четырехполюсников, а также для режима односторонней нагрузки по
одной из схем рис. 2.1.
Для симметричных и антиметричных реактивных
четырехполюсников коэффициент отражения р\ и функция ГВЗ, которые определяют
реактивную энергию (2.36), однозначно связаны между собой и
определяются комплексной функцией передачи. Таким образом, при
реализации заданной функции передачи в данном случае невозможно
уменьшить накапливаемую энергию за счет рационального выбора
реализующей схемы из некоторого множества эквивалентных схем (относительно
функции передачи).
Для четырехполюсников с односторонней нагрузкой комплексные
входная и передаточная функции, определяющие накапливаемую
энергию, также однозначно связаны между собой. Поэтому, как уже
отмечалось, суммарные максимальные реактивные энергии по существу
однозначно определяются функцией передачи (см. соотношения (2.17),
(2.18), (2.25) и (2.26)) и не зависят от реализующей схемы
четырехполюсника (лестничная, мостовая или любая другая).
В большинстве практических случаев задается не функция
передачи, а лишь требования к основным параметрам ее АЧХ и ФЧХ. Для
фильтрующих цепей, как правило, задаются требования к
характеристике затухания, а именно, неравномерность затухания Да в полосе
пропускания и гарантированное затухание ао в полосе задерживания. Поэтому
остается возможность варьирования вида аппроксимирующей функции
и, следовательно, изменения накапливаемой в цепи энергии.
Сформулированные и доказанные в настоящем разделе свойства
энергетических функций реактивных фильтров в дальнейшем будут
использованы для корректной постановки и решения задач анализа и
синтеза электрических фильтров с учетом энергетических показателей.
2.6. Энергетические функции фильтров,
полученных путем преобразования
частоты из низкочастотного прототипа
Для расчета фильтров верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускаю-
щих (ППФ) и полосно-задерживающих фильтров (ПЗФ)
используются известные [14, 19] преобразования частоты и нормированные
фильтры — прототипы нижних частот. При этом функции преобразованного


40
Глава 2
Таблица 2.2
Фильтр
ФНЧ
ФВЧ
ППФ
ПЗФ
фильтра связаны с соответствующими функциями ФПНЧ. Определим
эту связь для энергетических функций.
Обозначим через 1У(П) и W(u) энергетические функции ФПНЧ
и преобразованного фильтра соответственно. Предположим, что при
преобразовании ФПНЧ используется некоторое преобразование
частоты П = /(и;), где Q — нормированная частота ФПНЧ; и — частота
преобразованного фильтра. Для простоты будем рассматривать режим
двухсторонней согласованной нагрузки. Полученные ниже соотношения,
связывающие реактивные энергии ФПНЧ и преобразованного фильтра,
будут справедливы и для других режимов включения фильтра. В
рассматриваемом режиме включения справедливо следующее соотношение
для реактивной энергии (см. (2.36)):
(2.41)
где 6(w) = —0(w) — рабочая фаза фильтра, равная ФЧХ с обратным
знаком. Очевидно, что 6(w) = 6(П) при П = /(w), поэтому для
производной по частоте от характеристики рабочей фазы можно записать:
(2.42)
Последнее равенство справедливо при П = f(u). Далее, используя
(2.41) и (2.42), получим
(2.43)
При расчете нормированных функций Й^(П) было принято, что
нормированная максимальная мощность в нагрузке Р2тах = 1. поэтому при
переходе к реальным энергетическим функциям согласно (2.43)
необходимо нормированные энергетические функции умножить на реальную
максимальную мощность Р2тах, Вт, которую генератор может передать
в согласованную нагрузку. Входящие в (2.43) производные по частоте
/'(и;) для различных преобразований представлены в табл. 2.2, где
использованы следующие обозначения: uq — граничная частота полосы
пропускания ФНЧ или ФВЧ; и\, u>_i и woi = ^/u;iu;_i — граничные
и средняя частоты ППФ и ПЗФ.


Энергетическая теория реактивных фильтров
41
Очевидно, что наибольший интерес представляют максимальные в
полосе пропускания запасаемые энергии. Для преобразованного
фильтра так же, как и для ФПНЧ, они будут приходиться на граничные
частоты. Соответствующие соотношения, связывающие максимальные
запасаемые энергии преобразованного фильтра и ФПНЧ, приведены в
предпоследнем столбце табл. 2.2. Они получены после подстановки в
(2.43) и> = и0 для ФВЧ, и) = cj_i для ППФ и и = ш\ для ПЗФ. Из
анализа указанных соотношений следует, что запасаемая энергия тем
больше, чем меньше граничная частота ujq ФНЧ (ФВЧ) или чем меньше
разность граничных частот ППФ (ПЗФ).
В случае узкополосного фильтра, для которого ljq ^> uj\ — cj_i,
с достаточной для практики точностью справедливо упрощенное
соотношение
Таким образом, для узкополосных фильтров максимальная
реактивная энергия обратно пропорциональна абсолютной полосе
пропускания. При этом максимальная реактивная мощность Qm = Wmu;oi
будет обратно пропорциональна относительной полосе пропускания
фильтра. Как уже отмечалось, массогабаритные показатели могут
характеризоваться также и суммарной реактивной мощностью. Она называется
суммарной установленной реактивной мощностью [9, 27] и для
режима гармонических колебаний однозначно связана с суммарной
реактивной энергией, а именно
Максимум этой функции в полосе пропускания также приходится на
граничные частоты фильтра.
В последнем столбце табл. 2.2 приведены соотношения,
позволяющие вычислить суммарную максимальную установленную реактивную
мощность Qm преобразованных фильтров через максимальную
реактивную энергию Wm ФПНЧ.
Полученные соотношения позволяют произвести как качественный,
так и количественный анализ энергетических функций преобразованных
фильтров. Очевидно, минимизация реактивной энергии ФПНЧ
приведет к минимизации реактивной энергии, реактивной установленной
мощности и массогабаритных показателей преобразованного фильтра при
заданных граничных частотах.
Кроме преобразований частоты, рассмотренных выше, часто
используется преобразование вида:
(2.44)


42
Глава 2
При этом интервал нормированных частот —1 ^ П ^ 1 будет
соответствовать рабочему интервалу cj_i ^ ш ^ lj\. Преобразование
частоты (2.44) используется в частности при синтезе фильтров гармоник
и фильтров-трансформаторов [35]. Такие фильтры имеют структуру
ФНЧ и наряду с фильтрующими обладают трансформирующими
свойствами, т.е. свойствами согласующей цепи. Используя (2.43),
определим связь реактивной энергии ФПНЧ с реактивной энергией фильтра-
трансформатора, полученного путем преобразования частоты (2.44):
Очевидно, что максимальное значение этой функции в полосе
пропускания будет соответствовать верхней граничной частоте и = и>\ (с учетом
того, что максимум W(Q.) соответствует П = 1).
Таким образом, максимальная реактивная энергия
фильтра-трансформатора будет обратно пропорциональна его полосе пропускания так
же, как и для ППФ. Известно [35], что при реализации относительно
больших коэффициентов трансформации необходимо уменьшать
полосу пропускания. Следовательно, введение трансформации приводит к
увеличению реактивной энергии, массы и габаритных размеров по
сравнению с обычным ФНЧ.
В заключении отметим, что уменьшение или минимизация
реактивной энергии, массы и габаритных размеров преобразованных
фильтров сводится к минимизации реактивной энергии ФПНЧ. Методика
расчета ФНЧ Чебышева и Золотарева-Кауэра с минимальной
реактивной энергией обоснована ниже с использованием полученных в данной
главе результатов.


Глава 3
Расчет LC-фильтров
с минимальными реактивной
энергией, массой и габаритными
размерами
В современных мощных радиотехнических и преобразовательных
устройствах широко используются классические реактивные фильтры
Баттерворта, Чебышева, Золотарева-Кауэра и другие. Для них
разработаны обширные справочные таблицы [8, 20-23], в которых
представлены нормированные параметры элементов для различных схем и
режимов включения фильтра, а также необходимые сведения о функциях
фильтра (функциях передачи, затухания, групповой задержки,
параметрической чувствительности и других). Для многих классических
фильтров имеются аналитические формулы расчета параметров элементов
и функций фильтра [15, 20, 21], что делает возможным производить
расчет любых вариантов фильтров, в том числе и не представленных в
справочниках. Отсутствие сведений об энергетических характеристиках
классических фильтров существенно затрудняет при их проектировании
и практической реализации учет таких технико-экономических
показателей, как масса, габаритные размеры, коэффициент полезного действия,
стоимость и других.
В связи с изложенным представляются весьма актуальными как
задачи разработки эффективных методов расчета, так и задачи
исследования энергетических характеристик классических реактивных
фильтров. Очевидно, что основными результатами решения указанных
задач должны быть рекомендации и методика для расчета классических
реактивных фильтров с минимальными энергетическими показателями.
Рассчитанные по такой методике фильтры могут быть
непосредственно использованы для практической реализации, а также для
начального приближения при оптимизации реактивных фильтров по
энергетическим критериям.
3.1. Алгоритм анализа функций
электрических цепей лестничной
структуры
Эффективность алгоритма расчета энергетических функций имеет
решающее значение при анализе и, особенно, при оптимизации
электрических фильтров по энергетическим критериям. Полученные в
предыдущих разделах соотношения позволяют производить расчет реактивной


44
Глава 3
энергии по входной и передаточной функциям фильтра. Это особенно
удобно, если варьируемыми параметрами при анализе и оптимизации
являются коэффициенты или нули характеристических полиномов v(p),
h(p) и /(р), по которым могут быть определены все функции фильтра
и, следовательно, его энергетические характеристики.
Характеристические полиномы для классических фильтров приводятся в
справочниках [19, 23]. Если же варьируемыми параметрами являются параметры
элементов фильтра, то необходимо применять общие методы анализа
электрических цепей для расчета энергетических характеристик. При
этом в процессе оптимизации необходимо произвести расчет
параметрических ФЧ токов в индуктивностях и напряжений на емкостях по
всем элементам схемы. Такой объем вычислений должен быть
проделан на каждом шаге итеративного процесса оптимизации. Для
эффективности этого процесса определяющее значение будет иметь
быстродействие принятых алгоритмов вычисления функций цепи, в том
числе и параметрических ФЧ.
Для электрических цепей лестничной структуры (электрические
фильтры, линии задержки, формирующие фильтры и др.) наиболее
эффективными в смысле затрат машинного времени являются алгоритмы,
основанные на методе рекуррентных формул [14, 28, 36-38]. В данном
разделе аппарат рекуррентных формул обобщен для расчета
энергетических характеристик, функции ГВЗ, а также функций параметрических
чувствительностей лестничной цепи.
Рассмотрим лестничную электрическую цепь (рис. 3.1). Основное
рекуррентное уравнение для нее имеет следующий вид [14]:
(3.1)
где Х{ и Д- — комплексные ток /г- и сопротивление Zi (при нечетном
г) или комплексные напряжение U{ и проводимость Y{ (при четном г).
При этом Di = Zi + Ri\ Dn = Yn + 1/Д2.
Вычисления начинаются при г = п, причем принимается, что Хп =
= Un = 1 В и Хп+\ = 0. После окончания расчета может быть
определена комплексная функция передачи, входное сопротивление
(проводимость) четырехполюсника и коэффициент отражения на его входе:
(3.2)
Могут быть определены также токи и напряжения ветвей цепи при
заданном напряжении источника Uo [14]. Вычисления по рекуррентной
формуле легко программируются и являются более эффективными, чем
применение общих алгоритмов анализа электрических цепей [28, 39].
Заметим, что по (3.1) могут быть получены и аналитические
выражения для функций цепи.


Расчет LC-фильтров
45
Рис. 3.1. Лестничная цепь
Входящие в выражение для реактивных энергий функция ГВЗ, а
также аналогичные функции т\, В'ъх, Х'ъх (см. (2.13), (2.17), (2.18),
(2.25), и (2.26)) не могут быть вычислены непосредственно по (3.1).
Однако метод рекуррентных формул может быть распространен и на
расчет указанных функций. Покажем это на примере вычисления
характеристики ГВЗ. Отметим, что для приближенного расчета ГВЗ (и
аналогичных функций) можно применить численное
дифференцирование. При этом производится расчет приращения ФЧХ Д0(и>) при
малых приращениях частоты До; и вычисляется отношение приращений
AQ/Au « Q'(l>) = —t(lj). Такой способ вычислений часто
сопровождается ошибками округления и в конечном счете приводит к
увеличению времени расчета по сравнению с методами, основанными на
аналитических формулах [39]. Поэтому рассмотрим метод вычисления
ГВЗ с помощью рекуррентной формулы.
Используя (3.2), нетрудно убедиться, что справедливы следующие
равенства:
откуда следует, что
(3.3)
где штрих, как и прежде, обозначает производную по частоте и.
Таким образом, для вычисления ГВЗ на каждой частоте
необходимо вычислить величину Хо по (3.1), а также значение соответствующей
производной Х'0. Последнее может быть также вычислено по
соответствующей рекуррентной формуле, для получения которой достаточно
продифференцировать (3.1) по ш. В результате получим:
(3.4)
При этом Х'п — О, Х'п+1 = 0. Производные D\ могут быть легко
определены при конкретном задании цепи. Например, для ФНЧ с
пренебрежимо малыми потерями Д- = .jwli, где /г- — значение индуктивности или
емкости (при г = 1 или п добавляется сопротивление генератора или
проводимость нагрузки). Следовательно, в данном случае D[ — jU.
Вычисления по (3.4) выполняются совместно с (3.1), так как в (3.4)
используются величины Хг, определяемые по (3.1). При вычислении


46
Глава 3
ГВЗ по данному алгоритму в полной мере используются преимущества
аппарата рекуррентных формул.
Аналогично могут быть вычислены производные других функций.
Например, для коэффициента отражения, согласно (3.2) имеем:
Входящие в последнее равенство величины могут быть рассчитаны по
рекуррентным формулам (3.1) и (3.4).
Таким образом, полученная рекуррентная формула (3.4) вместе с
известной (3.1) позволяет в едином вычислительном цикле на каждой
частоте ш определять значения основных функций лестничной цепи
(АЧХ, ФЧХ, входное сопротивление, коэффициент отражения) а также
значения ГВЗ и соответствующих энергетических функций. Необходимо
отметить, что полученные в гл. 2 соотношения справедливы для
реактивных четырехполюсников. Поэтому в некоторых случаях, например
для фильтров с потерями, расчет энергетических функций необходимо
производить через токи и напряжения, т.е. непосредственно по (1.2) с
использованием основной рекуррентной формулы (3.1).
При использовании градиентных методов оптимизации, а также при
анализе стабильности фильтрующих цепей необходимо произвести
расчет параметрических ФЧ для различных характеристик (АЧХ, ФЧХ,
ГВЗ и других). Рассмотрим применение аппарата рекуррентных формул
для вычисления параметрической чувствительности функций
лестничной цепи, включая энергетические.
Наиболее сложным является расчет параметрической
чувствительности ГВЗ. Для получения ФЧ, т.е. частной производной от функции
ГВЗ т(ш) по некоторому параметру /*, необходимо
продифференцировать (3.3) по этому параметру. Тогда получим
(3.5)
где к = 1,2....N; N — число элементов лестничной цепи; Хо и Х'0
— обратная функция передачи (см. (3.2)) и ее производная по
частоте. Указанные две последние частотные комплексные функции
вычисляются по рекуррентным соотношениям (3.1) и (3.4). Согласно (3.5)
для вычисления чувствительности ГВЗ необходимо иметь, кроме
рассмотренных функций Хо \л Х'0> еще и функции их частных производных
по параметрам /*. Для вычисления этих функций следует получить
соответствующие рекуррентные формулы. Для этого продифференцируем
(3.1) по параметру /д., предположив, что он входит в соответствующее
сопротивление (проводимость) Dk. Кроме того, учтем, что (3.1) зависит


Расчет LC-фильтров
47
от Djb и Ik только при к ^ г. В результате получим
(3.6)
олк олк-i аик u
при —— = 0; ——— = Я* ——. Напомним, что под л,-
понимаются* oik oik
ся комплексы тока (при нечетном г) или напряжения (при четном г)
на ветвях лестничной цепи. Производная в последнем равенстве
легко определяется для конкретной лестничной цепи. Например, для
полиномиального ФНЧ с пренебрежимо малыми потерями Dk = ju>h и
dDk/dlk = ju, где Ik — параметр индуктивности или емкости.
В результате последовательных вычислений по (3.6) совместно с
(3.1) получим одну из интересующих нас функций, входящую в (3.5),
а именно dXo/dlk.
Аналогично путем дифференцирования по параметру 1к формулы
(3.4) может быть получена рекуррентная формула для вычисления
второй интересующей нас функции dX'0/dlk. Окончательный вид ее
следующий:
При первом обращении к формуле (3.7)
Производная dD'k/dlk может быть определена для конкретной
лестничной цепи. Например, для рассмотренного выше ФНЧ dD'k/dlk = j-
Предполагается, что производные dXi/dlk, входящие в (3.7),
вычислены по (3.6).
Аналогично могут быть вычислены ФЧ второго порядка. Для
получения соответствующих рекуррентных формул необходимо (3.6) и (3.7)
еще раз продифференцировать по параметру Ik или другому
параметру lj.
Что касается параметрических ФЧ АХЧ, затухания и ФЧХ, то они
определяются известными [13, 40] соотношениями:
где Sik(ju>) = —^—-—-—- — ФЧ комплексной функции передачи.
dlk H(jw)
Согласно (3.2) эта ФЧ может быть вычислена на основании соотношения


48
Глава 3
где Хо и dXo/dlk вычисляются по рекуррентным формулам (3.1) и (3.6).
Таким образом, полученные рекуррентные формулы (3.4) и (3.7)
вместе с известными (3.1) и (3.6) позволяют на каждой частоте и
определить значения основных функций лестничной цепи (АЧХ, ФЧХ, токи
и напряжения ветвей), а также значения ГВЗ и соответствующих ФЧ.
Изложенный алгоритм реализован в программе вычислений LAD на
алгоритмическом языке Pascal (см. приложение 1) и используется при
анализе и оптимизации лестничных электрических цепей.
В заключение отметим, что для электрических цепей произвольной
структуры необходимо применять общие методы расчета
параметрических ФЧ. Так в [41] на основании аппарата суммарных алгебраических
дополнений получены соотношения для расчета функции ГВЗ и
соответствующих ФЧ. В некоторых частных случаях чувствительность ГВЗ
может быть вычислена по корневой чувствительности (по
чувствительности полюсов и нулей схемной функции к изменению параметров
элементов цепи) [42]. В настоящее время эффективными также признаны
алгоритмы расчета параметрических ФЧ, которые основаны на методе
обратной матрицы [39, 43]. Эти алгоритмы имеют преимущества перед
другими общими алгоритмами в смысле затрат машинного времени и
оперативной памяти ЭВМ особенно в ситуации, когда требуется
произвести расчет ФЧ всех токов (напряжений) по параметрам всех элементов.
3.2. Численный анализ энергетических
характеристик классических LC-фильтров
С целью выявления зависимостей энергетических функций от
вида характеристики затухания, порядка, режима включения фильтра и
других факторов, а также для определения путей минимизации
реактивной энергии был произведен численный анализ энергетических функций
для классических LC-фильтров Баттерворта, Чебышева и Золотарева-
Кауэра. Для анализа выбирались конкретные фильтры так, чтобы
можно было выявить определенные зависимости и закономерности,
касающиеся энергетических функций. Расчет производился по разработанным
в предыдущем разделе алгоритмам и программе с использованием
таблиц нормированных параметров фильтров прототипов нижних частот
[19]. Для таких фильтров принято, что нормированная полоса
пропускания Qo = 1 и нормированное сопротивление генератора R\ = 1. ^
Режим двухсторонней согласованной нагрузки (на рис. 1.1 R\ —
= Ri = 1). Заметим, что в этом случае рассматриваемые классические
LC-фильтры являются симметричными (при нечетном порядке п) или
антиметричными (при четном п). Энергетические функции таких
фильтров определяются соотношениями (2.36), качественный анализ
которых был произведен в разд. 2.5. В частности, было показано, что в
рассматриваемом случае суммарные реактивные энергии по индуктив-
ностям W\, и по емкостям Wq фильтра мало отличаются друг от друга


Расчет LC-фильтров
49
Рис. 3.2. Энергетические функции ФПНЧ: 1 — Баттерворта (п = 7;
Ла = 1,25 дБ); 2— Чебышева (п = 8; Да = 0,1 дБ)
(при малых неравномерностях затухания Да в полосе пропускания) и
определяются функцией ГВЗ фильтра. На рис. 3.2 представлены
энергетические нормированные функции W = W\, + Wq для конкретных
фильтров Баттерворта и Чебышева. Кроме указанной выше
нормировки при расчетах была произведена нормировка по мощности, а именно,
было принято, что нормированная максимальная мощность^
передаваемая от генератора в нагрузку, Дтах = Щ/^Ri — 1. гДе R\ и U\ —
нормированные сопротивление и действующее напряжение генератора.
Для перехода к реальным значениям энергетических функций
необходимо нормированные значения последних умножить на реальное значение
^2 max и разделить на реальное значение граничной частоты ujq фильтра.
Возвращаясь к рис. 3.2, отметим, что максимальные значения
энергетических функций в полосе пропускания соответствуют граничной
частоте Q = 1, а их максимумы находятся вблизи граничной частоты за
пределами полосы пропускания. Отмеченные особенности, как
правило, сохраняются и для других фильтров.
В табл. 3.1 приведены основные параметры энергетических
функций, а именно, максимальные в полосе пропускания значения W^m,
Wcm, Wm для соответствующих суммарных энергетических функций,
а также максимальные значения тт функции ГВЗ для различных
фильтров Баттерворта (Р), Чебышева (Т) и Золотарева-Кауэра (С). В
скобках указаны буквенные обозначения соответствующих фильтров,
которые использованы в табл. 3.1 и приняты в справочнике [19]. Две
первые цифры после буквенного обозначения указывают порядок п
фильтра, а две последние — максимальный в полосе пропускания модуль
коэффициента отражения \р\\ в процентах. Последний связан
известным соотношением с неравномерностью Да затухания фильтра Да =
— 10lg(l — |pi|2) дБ, значения которой также приведены в таблице.
Для удобства сравнения различных фильтров в таблице приведены
значения гарантированного затухания ао дБ в полосе задерживания на
частоте Q = 1,5, которое характеризует степень избирательности
соответствующих фильтров. Здесь и далее реактивные энергии приводятся
для схем ФПНЧ, которые начинаются с емкости (со стороны генерато-


50
Глава 3
Таблица 3.1
№
1
2.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Фильтр
Р0750
Р1015
Р1403
Р1350
Р1525
Т0725
Т0815
Т0905
Т1215
Т1501
С0515
С0605
С0715
С0901
Да, дБ
1,25
0,1
0,004
1,25
0,28
0,28
0,1
0,01
0,1
0,0004
0,1
0,01
од
0,0004
ао, дБ
20
19
19
41
41
41
43
43
77
79
44
42
74
79
Ттп
7,2
8,0
9,45
15,9
15,75
17,95
17,55
14,75
40,4
27,4
9,025
7,45
18,39
12,2
WCm
7,1
7,9
9,5
15,4
15,9
17,8
17,7
14,7
40,3
27,4
8,91
7,4
18,24
12,2
wLm
7,3
8,0
9,4
16,4
15,6
18,1
17,4
14,8
40,5
27,4
9,14
7,5
18,54
12,2
Wm
14,4
15,9
18,9
31,8
31,5
35,9
35,1
29,5
80,8
54,8
18,05
14,9
36,78
24,4
pa) [19]. Для дуальных схем, начинающихся с индуктивности, значения
m заменяются значениями И^ьт и наоборот.
Анализируя данные, приведенные в таблице, можно сделать
следующие выводы.
1. Для рассматриваемых значении неравномерностей затухания Да
энергетические показатели Wcm ~ И^Ьт « ^т. т.е. с достаточной для
практики точностью определяются максимальным значением функции
ГВЗ. Поэтому для дальнейшего исследования достаточно рассматривать
функцию ГВЗ или ее параметры.
2. С увеличением избирательности (гарантированного затухания ао
или порядка п) при неизменном Аа для всех типов фильтров происходит
увеличение реактивной энергии (фильтры 1 и 4, 7 и 9, 11 и 13).
3. Фильтры Баттерворта и Чебышева имеют близкие
энергетические показатели при прочих равных условиях, т.е. при одинаковых
значениях Да и ао (фильтры 5 и б). При таких же условиях фильтры
Золотарева-Кауэра обладают существенно меньшими энергетическими
показателями (в два раза и более) по сравнению с фильтрами
Чебышева (фильтры 7 и 11, 8 и 12, 9 и 13, 10 и 14).
4. Для фильтров Золотарева-Кауэра с уменьшением
неравномерности затухания Да и неизменном гарантированном затухании ао
реактивная энергия уменьшается (фильтры 11 и 12, 13 и 14). Для фильтров
Баттерворта и Чебышева эта зависимость не столь очевидна. Поэтому
требуется более детальное исследование указанных зависимостей.
Таким образом, с точки зрения минимизации энергетических и мас-
согабаритных показателей существенным является тот факт, что при
прочих равных условиях наименьшей реактивной энергией из
рассмотренных типов фильтров обладают фильтры Золотарева-Кауэра.
Кроме того, уменьшение реактивной энергии может быть достигнуто за счет
уменьшения неравномерности Аа характеристики затухания. Как
известно, при проектировании фильтра задаются гарантированное
затухание ао в полосе задерживания и максимальная неравномерность Аа


Расчет LC-фильтров
51
Рис. 3.3. Зависимость максимального в полосе пропускания ГВЗ от
неравномерности затухания для различных фильтров (ао = 60 дБ; QK = 1,5): 1 — Баттервор-
та; 2 — Чебышева; 3 — Золотарева-Кауэра
затухания в полосе пропускания. При этом допускается увеличение ао
и уменьшение Да. Очевидно, что увеличивать ао нецелесообразно, так
как это приведет к увеличению реактивной энергии. Уменьшение Да
может привести к уменьшению реактивной энергии. Поэтому
целесообразно рассмотреть зависимость последней от Да. Следует отметить, что
уменьшение неравномерности Аа при неизменном затухании ао может
быть достигнуто только за счет увеличения порядка фильтра, т.е.
числа его элементов.
В известных справочниках, например [19-23] приведены данные для
фильтров, порядок которых не более п = 15, а неравномерность
затухания не менее Да = 0,0004 дБ. Для построения требуемых зависимостей
необходимы более широкие пределы изменения указанных параметров.
Для рассматриваемых здесь классических фильтров имеются
аналитические выражения [9, 15], которые позволяют вычислить значения
нормированных параметров элементов лестничной LC-схемы, значения
полюсов функции передачи, а также основные функции фильтра,
включая ГВЗ, при произвольных параметрах п и Да. Используя
указанные аналитические выражения, была разработана программа
вычислений (см. приложение 2) и на ЭВМ были рассчитаны функции ГВЗ для
различных фильтров Баттерворта, Чебышева и Золотарева-Кауэра. По
этим данным были построены зависимости максимального в полосе
пропускания ГВЗ (fm) от неравномерности затухания Да (рис. 3.3). При
этом предполагалось, что полоса задерживания начинается с
нормированной частоты Пк = 1,5, а гарантированное затухание ао = 60 дБ.
Как видно из рис. 3.3, для каждого вида фильтров можно указать
некоторую величину оптимальной неравномерности ДаОПт» при которой
имеет место минимум fm или при дальнейшем уменьшении которой тт
практически не уменьшается. Соответствующее значение
максимального в полосе пропускания ГВЗ назовем оптимальным и обозначим топт,
а соответствующий фильтр назовем оптимизированным по реактивной
энергии ФПНЧ. Для определенности примем следующее правило: если


52 Г л а в а 3
Рис. 3.4. Характеристики ГВЗ (а) и затухания (б) для ФПНЧ Чебышева
с п = 9; Да = 0,5 дБ и п = 13; Да = ДаОПт
после увеличения на единицу порядка фильтра п (при сохранении
гарантированного затухания а$ и уменьшении Аа) максимальное в полосе
пропускания значение ГВЗ уменьшается менее чем на 5 %, то указанное
значение п и соответствующее значение Да будут определять
оптимизированный по реактивной энергии ФПНЧ.
На рис. 3.4 приведены характеристики ГВЗ и затухания фильтров
Чебышева, для которых на частоте П* = 1,5 и ао = 60 дБ и
которые отличаются неравномерностью* затухания Да в полосе
пропускания. Для первого фильтра Да = 0,5 дБ (п = 9), а для второго —
Да = Д
аопт = 0,00023 дБ (тг = 13). Соответствующие значения
максимального в полосе пропускания ГВЗ 34,5 и 19,2 (относительные
единицы). Из рисунка видно, что уменьшение максимального значения ГВЗ
(при уменьшении Да) происходит за счет сдвига экстремума функции
ГВЗ за пределы полосы пропускания. При этом значение самого
экстремума несколько уменьшается. Для фильтра с Да = Ааопт по сравнению
с первым фильтром происходит уменьшение крутизны нарастания АЧХ
на начальном участке переходной области при П > 1, что эквивалентно
некоторому расширению полосы пропускания фильтра.
Как было отмечено ранее, снижение максимального значения ГВЗ
и запасаемой энергии в полосе пропускания можно добиться путем
увеличения последней по сравнению с рабочей областью частот.
Очевидно, что этот тривиальный способ также приведет к
увеличению порядка и числа элементов фильтра. Однако такое решение
не будет оптимальным с точки зрения степени уменьшения реактивной


Расчет LC-фильтров
53
энергии. Например, если рассматривать те же исходные данные, то для
фильтра Чебышева с п = 13 и Ла = 0,5 дБ допустимо ограничить
полосу пропускания нормированной частотой 0,83. Тогда в полосе
задерживания, т.е. при П ^ 1,5 0,83 = 1,25, будет обеспечено гарантированное
затухание а$ = 60 дБ, а максимальное в полосе пропускания
нормированное ГВЗ составит 21,1, что несколько больше, чем у
оптимизированного фильтра, рассмотренного выше, причем дальнейшее увеличение
п > 13 приводит к увеличению указанного значения ГВЗ.
Для практического использования полученных результатов
необходимо рассчитать Даопт и гопт для различных значений Пк и а^.
Такие расчеты были проведены и результаты представлены в разд. 3.3,
где изложена методика расчета фильтров с минимальной реактивной
энергией.
Следует отметить, что значения оптимальных неравномерностей
Д^опт достаточно малы особенно для фильтров Золотарева-Кауэра
(10~5 дБ и менее), что соответствует коэффициенту отражения менее
0,15 %). Поэтому в дальнейшем должны быть рассмотрены
особенности реализации таких фильтров (влияние потерь, параметрическая
чувствительность и т.д.).
Режим двухсторонней несогласованной нагрузки (на рис. 1.1
#1 ф Яг)- В этом случае для энергетических характеристик
справедливы общие соотношения (2.11) и (2.13). Согласно свойству 3 из
разд. 2.5, целесообразно при реализации выбирать вариант фильтра с
минимально-фазовой функцией коэффициента отражения р\(р). При
этом по сравнению с вариантом, когда нули коэффициента отражения
расположены в правой полуплоскости комплексного переменного,
реактивная энергия фильтра может оказаться в несколько раз меньше.
Например, для фильтра Чебышева с п = 9, QK = 1>5, а>о = 60 дБ,
Да = 0,5 дБ и г = R2/R1 = 1/8 имеем Wm = 18,8 для варианта
с расположением нулей pi(p) в левой полуплоскости и Wm = 119,2
для варианта с расположением нулей р\(р) в правой полуплоскости.
Здесь и далее при расчете произведена нормировка по мощности так,
что Ргтах = Щ/bR\ = 1. Дальнейшее уменьшение реактивной
энергии может быть достигнуто за счет уменьшения неравномерности Да
затухания в полосе пропускания.
Согласно методике расчета LC-фильтров с произвольными
нагрузками [23] сначала выбирается первичный ФПНЧ, который удовлетворяет
заданным требованиям в полосе пропускания (а(П) ^ Да при П ^ 1)
и в полосе задерживания (a(Q) ^ ao при П ^ Пк)- Рабочее затухание
такого ФПНЧ в режиме согласованных (равных) нагрузок
(3.8)
Предполагается, что коэффициенты при высших степенях П
характеристических полиномов, входящих в (3.8) равны единице. При этом


54
Глава 3
коэффициент е определяет заданное значение Аа (см. разд. 1.1 и 1.2).
Для фильтра, включенного между произвольными нагрузками R\ и
R2 = rRi, затухание увеличивается на частотно-независимую величину
да = 20 lg(7) и принимает вид:
где 7 = 0,5(Vr + l/\/r)-
Расчеты показывают, что для минимизации накапливаемой
энергии необходимо в качестве первичного ФПНЧ выбирать
рассмотренный выше оптимизированный по реактивной энергии (по ГВЗ) ФПНЧ
с Аа = Да0пт-
В качестве примера рассмотрим расчет LC-фильтра Чебышева с
минимальной реактивной энергией при следующих исходных данных:
ао = 60 дБ; Пк = 1,5; г — 1/8. В табл. 3.2 приведены результаты
расчета максимальных в полосе пропускания значений суммарных
нормированных реактивных энергий Wcm (по всем емкостям), И^ьт (по
всем индуктивностям), Wm = Wcm + WLm и ГВЗ тт в зависимости
от порядка п и неравномерности затухания Да первичного ФПНЧ.
Необходимо отметить, что характеристика ГВЗ определяется первичным
ФПНЧ и не зависит от соотношения между сопротивлениями нагрузок.
Значения реактивной энергии; приведенные в таблице, соответствуют
вариантам фильтра с минимально-фазовым коэффициентом отражения
Pi(p), когда его нули расположены в левой полуплоскости комплексной
переменной. Для справки в скобках указаны соответствующие
значения для вариантов фильтров с расположением нулей р\{р) в правой
полуплоскости комплексной переменной. Все расчеты производились
на ЭВМ с использованием известной методики синтеза фильтров при
несогласованных нагрузках [9, 23], а также алгоритмов анализа,
разработанных в предыдущем разделе. Звездочкой в таблице отмечены
минимальные значения энергетических показателей. Минимальное
значение суммарной энергии соответствует оптимизированному по
реактивной энергии (по ГВЗ) первичному ФПНЧ с п — 14 и Даопт = 3,4 • 10~5
(этот фильтр определен по принятому выше правилу). Как показали
проведенные расчеты, отмеченный результат не зависит от соотношения
между сопротивлениями нагрузок и остается справедливым для других
требований к характеристике затухания. Для рассматриваемого примера
Йтопт = 13,78. Максимальные запасаемые энергии отдельно по
емкостям и по индуктивностям близки друг к другу и имеют минимум также
при Аа = АаОПТ или в непосредственной близости от этого варианта.
Таким образом, при минимизации энергетических и массогабарит-
ных показателей LC-фильтра с произвольными нагрузками необходимо
использовать в качестве первичного оптимизированный по реактивной
энергии ФПНЧ, который используется для тех же целей при
согласованных нагрузках. При этом по сравнению со случаем согласованной


Расчет LC-фильтров
55
Таблица 3.2
п
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Да, дБ
2,6
0,49
0,075
0,011
0,0016
0,00023
3.410-5
510"6
7,3-10"7
1,6.10"7
1,5-Ю-8
Ттп
46,2
34,52
26,63
22,27
20,2
19,2
18,72
18,54*
18,55
18,68
18,9
WCm
23,8 (69,5)
9,16 (60,0)
8,7 (45,1)
7,33 (37,0)
7,37 (32,9)
6,77 (30,7)
7,07 (31,7)
6,72* (33,1)
7,1 (34,5)
6,87 (35,8)
7,3 (37,2)
whrn
23,0 (68,4)
9,74 (59,2)
8,2 (44,5)
7,79 (36,9)
6,95 (33,6)
7,16 (32,1)
6,71* (31,3)
7,07 (30,7)
6,8 (30,0)
7,2 (29,7)
7,0 (30,0)
Wm
46,8 (137,9)
18,9(119,2)
16,9 (89,6)
15,12 (73,9)
14,32 (66,5)
13,93 (62,8)
13,78* (63,0)
13,79 (63,8)
13,9 (64,5)
14,07 (65,5)
14,3 (67,2)
нагрузки возможности минимизации реактивной энергии в
рассматриваемом случае несколько шире за счет появления неоднозначности в
выборе нулей коэффициента отражения.
Режим односторонней нагрузки (см. рис. 2.1). В разд. 2.3
получены соотношения для энергетических функций реактивных
четырехполюсников в режиме односторонней нагрузки. Причем
соотношения (2.14) и (2.17) для режима заданного входного напряжения
(см. рис. 2.1,а) и соотношения (2.18) для режима заданного входного
тока (см. рис. 2.1,6) являются взаимно дуальными и, поэтому,
достаточно провести анализ энергетических функций для одного из этих
режимов. То же можно сказать и о двух оставшихся режимах холостого
хода (см. рис. 2.1,в) и короткого замыкания (см. рис. 2.1,г). Кроме
того, в двух последних случаях суммарная реактивная энергия
определяется функцией ГВЗ фильтра (см. (2.23) и (2.26)). Поэтому на эти
два режима могут быть перенесены все результаты анализа ГВЗ,
приведенные выше для случая согласованной нагрузки. В частности, можно
утверждать, что для указанных режимов с односторонней нагрузкой
существует оптимальное значение неравномерности затухания Даопт, при
котором максимальная запасаемая энергия минимальна для
определенных классов фильтров (Баттерворта, Чебышева или Золотарева-Кауэра).
При этом могут быть использованы результаты расчетов АаОПт.
приведенные выше. Однако в этих режимах необходимо проанализировать
зависимости суммарных реактивных энергий отдельно по емкостям и по
индуктивностям от неравномерности затухания Да.
В силу изложенного будем рассматривать далее две схемы режима
односторонней нагрузки, а именно схему для режима заданного
входного напряжения (см. рис. 2.1,а) и схему для режима холостого хода на
выходе (см. рис. 2.1,в). При расчетах примем, что U\ = 1 и резистивное
сопротивление R\ = 1 (или Яг = 1). При этом нормированное значение
мощностей в соотношениях (2.17) Ро = 1 и (2.25) Р\ — 1. Расчеты были
проведены для некоторых фильтров Чебышева и Золотарева-Кауэра по
разработанному в разд. 3.1 алгоритму. Результаты сведены в табл. 3.3,
в которой представлены максимальные в полосе пропускания значения


56
Глава 3
Таблица 3.3
п
1
2
3
4
5
6
7
Фильтр
Т0815
Т0905
Т1215
Т1501
С0515
С0605
С0715
Аа,
ДБ
0,1
0,01
0,1
0,0004
0,1
0,01
0,1
0-0,
ДБ
43
43
77
79
44
42
74
Тт
17.51
14.75
40.4
27,42
9,02
7,47
18,4
Режим заданного UbX
WCm
12,42
11,74
29.4
23.95
5.94
5,56
12,8
wLrn
13,62
12,8
30,9
25,07
6,96
6,44
14,1
Wm
26,04
24,54
60,3
49,02
13,0
12,0
26,9
Режим хх
WCm
8,73
7,24
20,4
13,59
4.76
3.98
9.26
whrn
8,78
7,51
20,0
13.83
4,27
3,49
9,14
нормированных реактивных энергий для рассматриваемых двух
режимов, а также максимальное в полосе пропускания значение ГВЗ.
Обозначения такие же, как и в табл. 3.1 (ао — гарантированное затухание
в полосе задерживания при Пк > 1,5).
Как видно, основные закономерности для энергетических
функций такие же, как и в случае двухсторонней согласованной нагрузки,
а именно:
1) максимальные значения энергетических функций уменьшаются с
уменьшением Да (при одном и том же значении ао) и с уменьшением
ао (при одном и том же значении Да);
2) фильтры Золота рева-Кауэ pa имеют в два с лишним раза меньшие
значения суммарных реактивных энергий по сравнению с фильтрами
Чебышева (при прочих равных условиях);
3) накапливаемые суммарные энергии отдельно по индуктивностям
и по емкостям отличаются незначительно друг от друга (не более чем
на 10-15 %) для рассматриваемых фильтров.
Очевидно, что для анализируемых режимов с односторонней
нагрузкой, также как и в случае двухсторонней нагрузки, существует
некоторое значение Даопт, соответствующее минимальному значению
запасаемой энергии при заданных ао и 0^. Для иллюстрации этого
положения были рассчитаны зависимости Wcm, Wi,m, Wm, rm от
неравномерности затухания Да для фильтров Чебышева с ао = 60 дБ и Пк = 1,5.
Результаты представлены в табл. 3.4.
Для каждого порядка фильтра п была рассчитана неравномерность
затухания Да, соответствующая заданным ао и Пк. Затем реализовывал-
ся фильтр и рассчитывались его энергетические характеристики. Анализ
приведенных зависимостей показывает, что действительно существует
минимум для каждой энергетической функции. В таблице он помечен
звездочкой. В режиме заданного входного напряжения минимальное
значение всех энергетических функций соответствует одному и тому же
значению неравномерности АаопТ = 3,4 • 10~5 дБ, т.е. соответствуют
оптимизированному по реактивной энергии (по ГВЗ) ФПНЧ. Однако
минимум тт приходится на несколько меньшее значение Аа. В режиме
холостого хода минимумы Wcm и Whm не соответствуют друг другу.
Однако, как отмечалось, в этом режиме суммарная энергия Wm определяется


Расчет LC-фильтров
57
Таблица 3.4
п
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Да, дБ
0,49
0,075
0,011
0,0016
0,00023
3,4-Ю-5
510-6
7,3-Ю"7
1,6-НГ7
1.5-10-8
2.310-9
3.810-10
Тгп
34,52
26,63
22,27
20,2
19,2
18,72
18,54*
18,55
18,68
18,89
19,17
19,5
Режим заданного UbX
WCm
21,64
19,89
17,97
17,14
16,76
16,65*
16,72
16,9
17,15
17,47
17,82
18,21
wLrn
23,12
21,22
19,13
18,21
17,75
17,59*
17,62
17,76
17,99
18,28
18,06
8,98
Wm
44,76
41,11
37,1
35,35
34,5
34,25*
34,33
34,66
35,14
35,74
36,43
37,2
Режим хх
WCm
17,45
13,49
11,23
10,05
9,52*
9,94
10,37
10,8
11,23
11,66
12,1
12,54
wLrn
17,06
13,15
11,05
10,14
9,78
9,61
9,46
9,29
9,16*
9,2
9,43
9,81
характеристикой ГВЗ фильтра и, следовательно, минимальное значение
Wm будет иметь оптимизированный по реактивной энергии ФПНЧ.
Сделанные выводы справедливы также для фильтров Золотарева-Кауэра и
Баттерворта при любых требованиях к характеристике затухания.
Численный анализ, результаты которого изложены в данном
разделе, позволяет сделать общий вывод о том, что при расчете классических
LC-фильтров с минимальными массогабаритными показателями
необходимо при любом режиме включения (односторонняя, двухсторонняя
согласованная или несогласованная нагрузки) использовать введенный
выше ФПНЧ, оптимизированный по реактивной энергии.
3.3. Расчет LC-фильтров с минимальной
реактивной энергией на элементах без
потерь
В разд. 3.2 было проведено численное исследование энергетических
функций различных ФПНЧ и показано, что при заданных требованиях к
характеристике затухания может быть получен некоторый
оптимизированный вариант фильтра с относительно малой неравномерностью
затухания Ааопт и с минимальной реактивной энергией. По существу
определяется оптимизированная по ГВЗ аппроксимирующая функция ФПНЧ,
которая далее может быть реализована в виде лестничного LC-фильтра
для любого режима включения нагрузок (односторонняя,
двухсторонняя согласованная или несогласованная нагрузки). При этом фильтр
будет иметь минимальные энергетические и массогабаритные
показатели в своем классе (Баттерворта, Чебышева или Золотарева-Кауэра).
Как было показано, во многих случаях реактивная энергия LC-
фильтра инвариантна к его реализации, т.е. не зависит от реализующей
схемы. Поэтому минимизация реактивной энергии может быть
произведена только на этапе аппроксимации. Рассматриваемый здесь подход
направлен на решение этой задачи.


58
Глава 3
Очевидно, что для практического использования полученных
результатов наиболее важным является определение оптимизированного
по реактивной энергии ФПНЧ, а точнее определение его функций. Все
остальные этапы расчета, а именно определение параметров элементов
ФПНЧ, частотное преобразование, конструкторская проработка, анализ
влияния паразитных эффектов и другие могут быть выполнены
стандартными методами.
В данном разделе и в соответствующих приложениях приведены
методика расчета оптимизированного по реактивной энергии ФПНЧ,
программа вычислений на ЭВМ, таблицы и номограммы для расчета в
практически важных случаях.
Минимальные энергии, которые достижимы для фильтров Чебыше-
ва, имеют меньшие значения, чем те, которые достижимы для фильтров
Баттерворта при прочих равных условиях. Поэтому из полиномиальных
ФПНЧ далее будем рассматривать только фильтры Чебышева. Будем
считать, что фильтр в дальнейшем реализуется на элементах с
пренебрежимо малыми потерями. Пусть заданы требования к характеристике
затухания ФПНЧ, а именно, гарантированное затухание ао, граничная
частота Пк полосы задерживания и допустимая неравномерность Ла
характеристики затухания в полосе пропускания фильтра. При выборе
класса фильтра (полиномиальный Чебышева или со всплесками
затухания Золотарева-Кауэра) должны быть приняты во внимание
некоторые дополнительные соображения. Минимальное значение реактивной
энергии может быть значительно меньше у фильтра Золотарева-Кауэра,
чем у фильтра Чебышева при заданных требованиях. Однако если
требуется перестраивать фильтр по частоте, то использование фильтра
Золотарева-Кауэра может привести к усложнению элементов
перестройки и в конечном счете к большим массогабаритным показателям. Если
таких дополнительных соображений достаточно много, то можно
просчитать оба варианта и сравнить их после конструкторской проработки.
Определение оптимизированного по реактивной энергии фильтра
может быть выполнено так, как это указано в разд. 3.2 по специально
разработанной программе OPTDEL, описание которой приведено в
приложении 2. В выбранном классе фильтров (Чебышева или Золотарева-
Кауэра) определяется порядок фильтра и неравномерность затухания
Лаопт, при которых обеспечиваются гарантированное затухание ао в
полосе задерживания и минимальная реактивная энергия в полосе
пропускания фильтра. Параметры функции передачи (нули и полюсы) а также
все функции (АЧХ, ФЧХ, ГВЗ и другие) фильтра могут быть определены
по известным аналитическим выражениям [15], которые использованы в
алгоритме и программе расчета. Определение оптимизированного
варианта осуществляется путем уменьшения неравномерности затухания Аа
при сохранении гарантированного затухания ао за счет увеличения
порядка фильтра. Это увеличение порядка происходит до тех пор, пока
не достигнут минимум реактивной энергии.


Расчет LC-фильтров 59
Рис. 3.5. Максимальные значения ГВЗ (тОПт) (а) и неравномерности
затухания (ДаОПт) (б) оптимизированных ФПНЧ Чебышева при различных а0 и QK
30 40 50 60 70 a0, дБ 30 40 50 60 70 a0, дБ
Рис. 3.6. Максимальные значения ГВЗ (гОПт) (а) и неравномерности затухания
(Да0пт) (б) оптимизированных ФПНЧ Золотарева-Кауэра при различных а0 и QK
Для некоторых практически важных случаев определение
оптимизированного варианта может быть выполнено по графикам,
просчитанным по указанной программе и представленным на рис. 3.5 и З.б.
Для построения графиков были выбраны следующие условия: диапазон
значений гарантированного затухания а0 = 30...80 дБ
(отчитываются по оси абсцисс); значения граничной частоты полосы задерживания
Пк = 1,7; 1,5; 1,3 для фильтров Чебышева и QK r 1,5; 1.3; 1,1 для
фильтров Золотарева-Кауэра.
Для каждого из возможных сочетаний uq и Пк по
представленным графикам определяются значения lg(AaonT) и топт
оптимизированного ФПНЧ. Затем могут быть определены порядок фильтра п и
его функции [15].
Значения Ааопт достаточно малы и находятся в диапазонах 10~3...
10~6 дБ для фильтров Чебышева и 10"5...10~9 дБ для фильтров
Золотарева-Кауэра. Параметры и функции фильтров при таких малых не-
равномерностях затухания не представлены в известных справочниках
и, поэтому целесообразно использовать аналитические методы
расчета [9, 15].
Расчет оптимизированных по реактивной энергии функций и их
реализация могут быть произведены по рассмотренной выше программе


60
Глава 3
OPTDEL (приложение 2). Для некоторых практически важных
случаев в приложении 3 приведены рассчитанные по указанной
программе параметры аппроксимирующих функций оптимизированных ФПНЧ
Чебышева и Золотарева-Кауэра. По этим функциям может быть
произведена реализация ФПНЧ для любого режима включения
нагрузочных сопротивлений.
Необходимо отметить, что оптимизированный по реактивной
энергии ФПНЧ имеет увеличенный порядок (число элементов) по сравнению
с неоптимизированным. В некоторых случаях количество элементов
может влиять на массогабаритные показатели так же, как и
реактивная энергия. Например, если фильтр в процессе эксплуатации должен
перестраиваться по частоте и его элементы должны иметь
определенные устройства для изменения параметров, то увеличение количества
элементов в конечном итоге может привести к увеличению массы,
габаритных размеров и стоимости фильтра, несмотря на снижение
запасаемой им энергии. В таких случаях, как уже отмечалось,
целесообразно использовать комбинированный критерий массы и габаритных
размеров, который наряду с максимальной реактивной энергией Wm
включает в себя и количество N элементов. Такой критерий может
быть составлен в виде взвешенной суммы указанных показателей [28],
а именно Ф = k\Wm -f k2N, где к\ и к2 — весовые коэффициенты.
Если вклад каждого показателя в комбинированный критерий должен
быть одинаковым, то весовые коэффициенты выбирают из соотношения
kiWmo = k2No, где Wmo и No — некоторые средние значения
показателей [28]. В результате анализа этих средних показателей получены
следующие значения весовых коэффициентов: к\ — 0,5; к2 = 2,5 для
ФПНЧ Чебышева и к\ — 0,5; к2 = 0,5 для ФПНЧ Золотарева-Кауэра.
Если важность указанных показателей различна, то необходимо
увеличить (уменьшить) соответствующий весовой коэффициент.
Пример. Во многих радиопередатчиках сверхдлинных волн
мощностью 500... 1000 кВт для фильтрации побочных излучений
используется полиномиальный ФНЧ (рис. 3.7), рассчитанный по
характеристическим параметрам, порядок которого п = 7 и Да = 0,5 дБ. Такой
фильтр обеспечивает затухание uq = 35 дБ в полосе задерживания при
П ^ QK = 1,4 и имеет максимальную в полосе пропускания
реактивную энергию W = 29,9 Дж (при мощности в нагрузке Р2 = 1 Вт и
частоте среза П0 = 1 рад/с). Для реальных значений Р2р и П0р
необходимо приведенное выше значение реактивной энергии умножить на
численное значение отношения (Р2р/Оор)-
Рис. 3.7. Схема полиномиального фильтра


Расчет LC-фильтров
61
Рис. 3.8. Схема оптимизированного фильтра
Таблица 3.4
Фильтр
Первоначальный
Оптимизированный
Дж
29,9
10,4
Гн
3,9
2,18
^Ф
7,65
3,69
/2,
А
1,55
1,21
А,
А
2,25
1,8
/б,
А
2,1
1,5
В
0,95
1,0
и2,
В
1,1
и3,
В
1,4
1,2
С/4.
В
1,4
В
1,65
1,28
В
0,81
С/7,
В
1,2
1,0
Определим оптимизированный по массогабаритным показателям
ФНЧ Золотарева-Кауэра, удовлетворяющий тем же требованиям к
характеристике затухания. Будем считать, что фильтр реализуется на
элементах с пренебрежимо малыми потерями. Поскольку фильтр должен
перестраиваться по частоте, то в качестве критерия оптимизации будем
использовать комбинированный критерий Ф= k\Wm-\-^N при &i=0,5;
fc2 =0,5. Используя изложенную выше методику и программу расчета на
ЭВМ, приведенную в приложении 2, был определен оптимизированный
по выбранному критерию ФНЧ. Полученный фильтр (рис. 3.8) имеет
порядок п = 7, число элементов N = 10, Аа0пт = 6 • 10~5 дБ и
максимальную в полосе пропускания реактивную энергию WOTlT = 10,4 Дж,
т.е. почти в 3 раза меньше чем у первоначального варианта ФНЧ.
В табл. 3.4 приведены, кроме реактивной энергии, другие массо-
габаритные показатели первоначального и оптимизированного
фильтров, а именно, суммарные индуктивности Ls и емкости Се, а
также токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (при принятых
Рг = 1 Вт и Qo = 1 рад/с). Нумерация токов и напряжений
соответствует рис. 3.7 и 3.8.
Несмотря на то что оптимизированный фильтр по сравнению с
первоначальным имеет большее число элементов, его суммарные
параметры примерно в 2 раза меньше. Токи и напряжения на
элементах оптимизированного фильтра также в 1,2-1,4 раза меньше, чем у
первоначального варианта. Это подтверждает снижение массы и
габаритных размеров при переходе к оптимизированному по реактивной
энергии варианту фильтра.
Таким образом, разработанная и реализованная в программе
вычислений на ЭВМ методика позволяет реализовать фильтр с
минимальными реактивной энергией, массой и габаритными размерами в классе
фильтров Чебышева или Золотарева-Кауэра. Применение этой
методики позволяет в некоторых случаях в несколько раз уменьшить
массу, габаритные размеры и стоимость фильтрующих цепей радиопере-


62
Глава 3
дающих и преобразовательных устройств по сравнению с
традиционными решениями.
3.4. Влияние потерь в реактивных
элементах фильтрующих цепей на их
энергетические функции
До сих пор предполагалось, что реактивные элементы
фильтрующих цепей обладают пренебрежимо малыми потерями. При
практической реализации электрических фильтров используются катушки
индуктивности и конденсаторы, которые могут иметь существенные
активные потери энергии.
В большинстве случаев эквивалентную схему катушки с потерями
представляют в виде последовательного соединения элемента
индуктивности Ц и сопротивления Rt. Схему же реального конденсатора
представляют в виде параллельного соединения емкости Cfc и резистивной
проводимости Gfc. Оценка потерь в элементах производится по их доброт-
ностям Qi = ujoLi/Ri и Qk = uoCk/Gk. Будем рассматривать
нормированный ФПНЧ, для которого нормированные параметры /г- = uoLi/Ro',
Г{ — Ri/R0] ск = uoCkRo; g% = G{Rq, где и>0 и R0 — нормирующие
частота и сопротивление. Тогда нормированное комплексное
сопротивление катушки Z{ — jQl{ + Г{ = U{jQ. + d{) и нормированная
комплексная проводимость конденсатора Yk = jOc* Л- 9к — ck(jQ + dk),
где di = TilU = Ri/uoU = 1/Q,- и dk = gk/ck = Gk/u0Ck = 1/Qk —
коэффициенты потерь; П = lj/ljq — нормированная частота ФПНЧ.
Наиболее просто учет потерь может быть произведен в случае
однородных потерь, когда коэффициенты потерь всех реактивных элементов
одинаковы (dk = d{ = d). Рассмотрим известные результаты
анализа влияния потерь на рабочие затухание а(П) и фазу 6(П) = —0(П)
(ФЧХ с обратным знаком), дополнив их анализом влияния потерь на
реактивную энергию.
В [15, 16] показано, что с учетом однородных потерь рабочие
затухание ап(П) и фаза 6П(0) могут быть представлены в следующем виде:
(3.9)
где r(Q) — функция ГВЗ; a'(Q) — производная по частоте от
номинальной функции a(fi). Таким образом, влияние однородных потерь
определяется не только коэффициентом потерь, но и свойствами
функции ГВЗ и производной от затухания.
Для классических LC-фильтров эти функции принимают
максимальные значения, как правило, вблизи граничной частоты.
Следовательно, потери в элементах будут оказывать наибольшее влияние на
характеристики фильтра при частотах, близких к граничной частоте (если
интересоваться рабочей областью частот, то есть полосой пропускания).
Кроме того, при малых неравномерностях затухания будет относительно


Расчет LC-фильтров
63
малой и его производная по частоте, а также ГВЗ, фигурирующие в (3.9).
Таким образом, минимизация ГВЗ и реактивной энергии будет
сопровождаться и уменьшением влияния потерь на характеристики фильтра.
Максимальная запасаемая энергия, согласно (2.36), для
классических LC-фильтров определяется функцией ГВЗ фильтра. Для
получения аналогичных (3.9) соотношений для функции ГВЗ или реактивной
энергии необходимо продифференцировать по П вторую формулу из
(3.9). Тогда получим
(3.10)
Влияние потерь на энергетические функции связано со второй
производной от затухания. Как показывают расчеты, проведенные для
конкретных фильтров, максимальное в полосе пропускания влияние однородных
потерь на ГВЗ будет также приходиться на частоту среза фильтра.
Перейдем к численному анализу влияния потерь на энергетические
функции фильтра. Частотные производные, входящие в (3.9) и (3.10)
могут быть вычислены по разработанному в разд. 3.1 алгоритму. Однако
приведенные выше соотношения (3.9) и (3.10) служат скорее для
качественной, а не для количественной оценки влияния потерь. Кроме того,
они получены на основе усеченного ряда Тейлора и поэтому
справедливы для достаточно малых коэффициентов потерь. Для количественного
анализа влияния потерь в элементах целесообразно применять
разработанные выше алгоритмы и программу расчета (см. приложение 1),
которая позволяет рассчитать на ЭВМ основные характеристики реактивного
лестничного фильтра с учетом неоднородных (произвольных) потерь в
элементах. Анализ будем проводить, как и прежде, для
нормированного ФПНЧ. Результаты анализа могут быть перенесены и на другие
фильтры, получаемые путем преобразования частоты из
низкочастотного прототипа. При рассмотрении реактивного фильтра с потерями в
элементах, мощность, отдаваемая в четырехполюсник генератором, уже
не будет равна мощности, потребляемой нагрузкой. Поэтому даже при
равенстве нагрузочных сопротивлений (R\ = Я2), мощность в нагрузке
не может быть равна максимальной мощности Р^тах — \J\jbR\ и
будет зависеть от мощности потерь или от коэффициентов потерь в
элементах. Для того чтобы иметь одинаковые условия при сравнительном
анализе влияния различных потерь на характеристики различных
фильтров, целесообразно принять, что во всех случаях нормированная
мощность, потребляемая нагрузкой, Рч — U^Gi — 1. Основное внимание
уделим оптимизированным по реактивной энергии фильтрам Чебышева
и Золотарева-Кауэра, которые при заданных гарантированном
затухании ао и граничной частоте QK полосы задерживания имеют
неравномерность затухания Аа = АаопТ и минимальную реактивную энергию
в полосе пропускания.
В табл. 3.5 приведены результаты расчетов реактивной энергии для
трех фильтров при различных коэффициентах потерь. Все фильтры
удовлетворяют следующим условиям: Аа ^ 0,5 дБ, Пк = 1,3, ао = 70 дБ,


64
Глава 3
Таблица 3.5
dc
dL
WCm
wLrn
Wm
Omax, ДБ
Aa, дБ
Фильтр Чебышева
п = 13, Ла = 0,47 дБ
0
0
71,25
71,71
143
0,47
0,47
0,001
0,001
82,2
82,8
165
1,08
0,97
0,01
0,01
116
115,6
231.6
5,63
4.52
0,005
0,015
116,2
115,8
232
5,63
4,5
Оптимизированный
фильтр Чебышева
п = 19,
Ааопт = 5,6 • lO"5
0
0
36,56
36,57
73.13
5.710-5
5.710-5
0,001
0,001
37,9
37,9
75,8
0,32
0,19
0,01
0,01
53.63
53,62
107.2
3,16
1,86
0,005
0,015
53,65
53,65
107,3
3,17
1,88
Оптимизированный
фильтр Золотарева-
Кауэра п = 13,
Ааопт = 3,5 • lO"8
0
0
13,6
13,6
27,2
3.510-8
3,5-Ю"8
0,001
0,001
13,8
13,8
27.6
0,12
0,08
0,01
0,01
17,6
17,6
35,2
1,3
0,9
Рг = 1 и реализованы без учета потерь в элементах. Первый фильтр
рассчитан без внимания к энергетическим показателям, второй
(Чебышева) и третий (Золотарева-Кауэра) являются оптимизированными по
энергетическим показателям.
В табл. 3.5 представлены максимальные в полосе пропускания
реактивные энергии Wcm, Wbm и Wm = Wcm + W^m для ФПНЧ без потерь
(dc = c?l = 0), а также для фильтров с различными коэффициентами
потерь по емкостям (dc) и по индуктивностям (^ь)- Отметим, что для
рассматриваемых исходных данных реактивная энергия неоптимизиро-
ванного фильтра в 2 раза больше, чем для оптимизированного фильтра
Чебышева, и в 5,3 раза больше, чем для оптимизированного фильтра
Золотарева-Кауэра. Причем эта разница примерно сохраняется и для
соответствующих фильтров с потерями. Потери в элементах LC-фильтра
приводят к увеличению затухания в полосе пропускания. Это
увеличение максимально на частоте среза фильтра. В таблице кроме
энергетических показателей приведены значения максимального затухания атах
и неравномерности затухания Да в полосе пропускания фильтра.
Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие
выводы. Для неоптимизированного фильтра потери в элементах
существенно влияют на неравномерность затухания и не столь существенно
на энергетические показатели (при d = 0,01 увеличение Да в 9,6 раза, а
увеличение Wm в 1,6 раза по сравнению со случаем отсутствия потерь).
Такой же вывод можно сделать и для оптимизированных фильтров.
Однако для них атах и Да существенно меньше, чем для
неоптимизированного фильтра при одних и тех же коэффициентах потерь. Следует
отметить, что для оптимизированных фильтров значение ДаОПт
достаточно мало и в подавляющем большинстве случаев на несколько
порядков меньше допустимого значения. За счет потерь в элементах эта малая
неравномерность существенно возрастет. Однако величины, до которых
возрастает неравномерность затухания, все же значительно меньше, чем
для неоптимизированного фильтра при тех же коэффициентах потерь.
Потери в элементах увеличивают реактивную энергию фильтра за
счет того, что для фильтра с потерями приходится увеличивать входное


Расчет LC-фильтров
65
напряжение (подаваемую мощность) для того, чтобы сохранить Рг = 1.
т.е. для компенсации мощности потерь. Однако одни и те же
потери в элементах приводят к меньшему увеличению реактивной энергии
для оптимизированного фильтра, чем это имеет место для неоптими-
зированного фильтра.
Таким образом, можно утверждать, и многочисленные расчеты это
подтверждают, что влияние потерь на характеристики фильтра, в том
числе и на энергетические, значительно меньше для
оптимизированных фильтров по сравнению с неоптимизированными.
Дополнительные расчеты показали, что для рассматриваемого оптимизированного
фильтра Золотарева-Кауэра влиянием потерь можно практически
пренебречь, если коэффициенты потерь d ^ 0,005, т.е. требуемая
добротность реактивных элементов Q = l/d = 200. При этом неравномерность
характеристики затухания не превысит заданного значения Да = 0,5 дБ,
а реактивная энергия увеличится не более чем на 7 %. При
современных технологиях при частотах в несколько сотен кГц добротности
катушек индуктивности могут быть доведены до нескольких сотен единиц,
а добротности конденсаторов — до нескольких тысяч единиц. Поэтому
указанные выше значения добротности реактивных элементов вполне
достижимы на практике. В подавляющем большинстве практических
случаев можно считать, что коэффициенты потерь для всех катушек
индуктивности одинаковы и равны d\,. To же справедливо и для
коэффициентов потерь dc для всех конденсаторов. Такие потери
называются полуоднородными. При этом db ^> dc- Тем не менее с достаточной
для практики точностью можно считать в этом случае, что имеют
место однородные потери с коэффициентом потерь d = 0,5(</l + dc) [16].
Приведенные в табл. 3.5 результаты подтверждают справедливость
этого утверждения. Это существенно упрощает как анализ, так и синтез
фильтров на элементах с потерями.
Если влияние потерь на характеристику затухания недопустимо
велико, то необходимо проводить синтез фильтра с учетом потерь.
Методика такого синтеза известна [8, 9] и успешно применяется на практике.
Для минимизации реактивной энергии, массы и габаритныъ размеров
при синтезе фильтров на элементах с потерями в указанную
методику должны быть внесены соответствующие дополнения. В следующем
разделе настоящей работы приведено обоснование этих дополнений и
изложен модифицированный алгоритм синтеза LC-фильтров с учетом
потерь в элементах и с минимизацией реактивной энергии.
3.5. Расчет LC-фильтров с минимальной
реактивной энергией с учетом потерь
в элементах
В предыдущем разделе рассмотрено влияние потерь в элементах LC-
фильтра на его функции и показано, что потери могут существенно вли-


66
Глава 3
ять на характеристику затухания в полосе пропускания
оптимизированного по реактивной энергии фильтра. Малые значения неравномерности
Ааопт под влиянием потерь существенно увеличиваются. При этом
неравномерность затухания оптимизированного фильтра с учетом потерь
либо превысит, либо не превысит допустимую величину Аа, которая, как
правило, на несколько порядков больше Ааопт. Необходимо отметить,
что минимизированное значение реактивной энергии при учете потерь
увеличивается не так существенно, как неравномерность затухания.
Из вышеизложенного следует, что сначала целесообразно
реализовать оптимизированный ФПНЧ на элементах без потерь по методике
разд. 3.3. Затем необходимо провести учет влияния заданных потерь
в элементах по программе анализа (см. разд. 3.1). Если влиянием
потерь на характеристику затухания можно пренебречь (значит тем более
можно пренебречь влиянием потерь на реактивную энергию), то на этом
рассматриваемый этап расчета может быть завершен. В противном
случае необходимо произвести реализацию фильтра с учетом потерь.
При синтезе фильтров на элементах с потерями используется так
называемый метод предыскажений (метод компенсации потерь) [8, 9,
15]. Согласно этому методу, может быть реализован фильтр на
элементах с заданными однородными (или полуоднородными) потерями
по заданной функции передачи с точностью до постоянного множителя.
При этом затухание фильтра с потерями будет отличаться от
затухания исходного ФПНЧ без потерь на независимую от частоты величину
плоского затухания. На основании проведенных выше исследований в
методику синтеза фильтров с компенсацией потерь могут быть внесены
существенные дополнения, позволяющие минимизировать реактивную
энергию, массу и габаритные размеры синтезируемого фильтра.
Далее изложим алгоритм синтеза фильтров с компенсацией потерь
[8], дополнив его соответствующими шагами по минимизации
реактивной энергии.
По заданным исходным данным QK, а0 и Аа выбираем LC-фильтр-
прототип. Определяем из справочника или расчетным путем
характеристические полиномы v(p), f(p) и функцию передачи Н(р) = f(p)/v(p).
Для минимизации реактивной энергии необходимо выбрать
оптимизированный ФПНЧ с Аа = Ааопт. Расчет такого фильтра выполняется
по методике, изложенной в разд. 3.3.
По заданному коэффициенту потерь d = 0,5(dc + ^l) определяем
предыскаженную функцию передачи
где v\(p) = v(p — d)\ p* — р{ -\-d\ pi — полюсы исходной функции Н{р).
В большинстве случаев применяется приближенный метод,
согласно которому полином f[p) предыскажению не подвергается [8].


Расчет LC-фильтров
67
(Определяем минимальное значение амплитудно-квадратичной
характеристики М —
Коэффициент М определяет мини-
малЬно возможное значение плоского затухания ad = — lOlgM.
Составляем реализуемую в классе реактивных четырехполюсников
без потерь рабочую функцию передачи Н\(р) = f(p)\/M/vi(p) и
определяем для нее характеристический полином /ii(p) из следующего
уравнения (см. (1.11)):
На данном этапе возможно неоднозначное решение. Корни для
полинома h\(p) могут быть отобраны из произведения hi(p)hi(-p) как в
левой, так и в правой полуплоскостях комплексного переменного.
Согласно свойству 3, доказанному в разд. 2.5, для минимизации
реактивной энергии фильтра необходимо для полинома h\(p) отобрать корни
из левой полуплоскости комплексного переменного.
По найденным характеристическим полиномам v\(p), /ii(p), f(p) и
коэффициенту М известными методами [15, 37] находим схему и
нормированные значения элементов LC-фильтра.
Алгоритм изложен для случая фильтров со всплесками затухания.
Он справедлив и в частном случае полиномиальных фильтров. В
данном алгоритме используются результаты, полученные в предыдущих
разделах, для минимизации реактивной энергии, массы и габаритных
размеров фильтра.
Приведенный алгоритм был реализован в программе вычислений
для персональных компьютеров на алгоритмическом языке Pascal,
описание которой приведено в приложении 4.
Рассмотрим примеры синтеза фильтров по данному алгоритму с
применением и без применения шагов, вызванных требованием
минимизации реактивной энергии.
Пример 1. Для реализации на элементах с различными потерями
были выбраны исходные ФПНЧ Чебышева, удовлетворяющие следук-
щим исходным данным: Да ^ 0,5; ао = 70 дБ; Пк = 1,3. Причем один
ФПНЧ был рассчитан без учета энергетического показателя,^ второй
является оптимизированным по этому показателю и имеет
неравномерность затухания ДаОПт- При анализе было произведено нормирование
по мощности так, что fy = 1 во всех случаях.
По изложенному выше алгоритму были реализованы
соответствующие фильтры на элементах с различными потерями и произведен анализ
их энергетических показателей. Результаты представлены в табл. 3.6.
Максимальные значения нормированных энергетических функций
указаны для двух случаев, а именно, нули коэффициента отражения
р\ или полинома /ii(p) расположены в левой (первый случай) и в
правой (второй случай) полуплоскостях комплексного переменного. Причем
для второго случая эти значения энергетических функций заключены в


68
Глава 3
Таблица 3.6
d
WCm
wLrn
Wm
flmax, ДБ
Да, дБ
ФПНЧ Чебышева
п = 13; Да = 0,47 дБ
о
71,25
71,71
143
0,47
0,47
0,005
113,9
(116)
112,8
(117)
226,7
(233)
3,6
0,47
0,01
200,4
(238,7)
199
(243,7)
399,4
(482,4)
8,6
0,47
Оптимизированный ФПНЧ Чебышева
п = 19; Да = 5,7 • 10~5 дБ J
0
36,56
36,57
73,13
5,7 Ю"5
5,7-Ю-5
0,005
44,58
(52,07)
44,22
(52,19)
88,8
(104,26)
2,1
5,7-10"5
0,01
55,9
(103)
55,7
(87,8)
111,6
(190,8)
4,7
5,7-10"5
(Ш
10$,7
(488,5)
111,2
(494,9)
219,9
(983,4)
13,4
5,7 • Ю-5
скобки. Коэффициенты потерь d = 0; 0,005; 0,01; 0,02. Для d = 0,02
неоптимизированный ФПНЧ не может быть использован при синтезе,
так как минимальное значение по абсолютной величине реальной части
его полюсов, равное 0,0168, меньше 0,02. Оптимизированный ФПНЧ
позволяет произвести синтез при данном коэффициенте потерь. Для него
минимальное абсолютное значение реальной части полюсов равно 0,028.
Из табл. 3.6 наглядно видно влияние дополнительных шагов,
введенных в модифицированный алгоритм синтеза для минимизации
реактивной энергии. При использовании оптимизированного ФПНЧ получим
в несколько раз меньшее значение реактивной энергии, чем это имеет
место при использовании неоптимизированного ФПНЧ. Так, для
коэффициента потерь d — 0,01 имеем отмеченное выше уменьшение реактивной
энергии в 3,6 раза. Разница между вариантами с различным
расположением нулей коэффициента отражения также может быть существенной.
Так для оптимизированного ФПНЧ при d = 0,02 значения суммарной
реактивной энергии для указанных вариантов отличаются в 4,5 раза.
При большем коэффициенте потерь это отличие будет еще больше.
Отметим, что оптимизированный по реактивной энергии ФПНЧ
имеет в 1,5 раза больше элементов по сравнению с неоптимизирован-
ным. Если фильтр должен иметь перестраиваемые элементы, то при
выборе ФПНЧ, как было указано выше, целесообразно использовать
комбинированный критерий Ф = 0,51^™ + 2,5Л/\ Для
рассматриваемого примера оптимизированный по указанному критерию ФПНЧ имеет
п = 16; Аа0пт = 0,0053 дБ ?i-Wm = 85 (при d = 0).
Пример 2. В справочниках по расчету фильтров с учетом потерь,
например в [21], табулированы параметры ФПНЧ, для которых
коэффициент отражения р\ имеет нули в правой полуплоскости
комплексного переменного, т.е. реализованы неоптимальные в смысле
минимума реактивной энергии варианты. Для иллюстрации этого факта
рассмотрим реализацию ФНЧ Чебышева по следующим исходным данным:
Аа ^ 0,5 дБ; а$ = 50 дБ; QK = 1,3; коэффициент потерь d — 0,02.
Решение без учета энергетических показателей: п = 10, Аа = 0,43 дБ.
Нормированные параметры элементов фильтра приведены на с.
^Справочника [21]. Анализ показал, что максимальное значение нормированной


Глава 4
Параметрическая
чувствительность и стабильность
характеристик реактивных
фильтров
При проектировании мощных реактивных фильтрующих цепей, ках
правило, предъявляются жесткие требования не только к их частотным
либо временным характеристикам, но и к стабильности этих
характеристик, т.е. к допустимым отклонениям их от номинальных значений.
Отклонения характеристик от номинальных значений практически
всегда имеют место, являются случайными величинами, обусловлены
производственным разбросом параметров элементов, а также влиянием
на них различных дестабилизирующ.их факторов, таких, как влажность,
давление, температура окружающей среды, проникающая радиация,
старение и других [16, 40, 43].
В связи с этим при проектировании указанных цепей возникают
задачи двух видов. Задача анализа — расчет и исследование
возможных отклонений характеристик электрических цепей при заданных
вероятностных показателях нестабильности параметров элементов. Задача
синтеза — определение схемы и номинальных параметров ее
элементов по заданным требованиям к ее характеристикам, включая и
требования по стабильности. Перечисленные задачи решаются, как
правило, с использованием методов теории чувствительности
электрических цепей [13, 43, 44].
Все сказанное в полной мере относится и к фильтрам с
минимальной реактивной энергией, которые рассмотрены в предыдущих главах.
Кроме того, при решении задач оптимизации электрических цепей по
критериям реактивной энергии, массы и габаритных размеров расчет
и анализ параметрической чувствительности также являются
необходимым этапом решения задачи. При проектировании перестраиваемых
фильтров методы теории чувствительности используются для
определения требований к точности настройки элементов фильтра. Лестничные
реактивные фильтры используются как фильтры-прототипы при
реализации цифровых и активных RC-фильтров [18, 45, 46]. Поэтому развитие
методов анализа и синтеза малочувствительных реактивных фильтров
является не только самостоятельной актуальной задачей, но и имеет
значение при реализации электронных и цифровых фильтрующих цепей.
Параметрическая чувствительность во многом определяется
функцией реактивной энергии. Исследования в этой области привели к
созданию энергетической теории чувствительности RLC-цепей [11]. По-


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
71
этому проблемы минимизации реактивной энергии и параметрической
чувствительности фильтрующих цепей оказываются тесно связанными
между собой и основываются на общих подходах.
4.1. Показатели стабильности и
математическая модель фильтрующей
цепи с изменяющимися параметрами
Рассмотрим методы анализа параметрической чувствительности и
стабильности применительно к фильтрующим цепям. Схемы
замещения указанных электрических цепей могут быть представлены с
помощью линейных резисторов, индуктивностей и емкостей. Параметры
реальных элементов электрических цепей в общем случае являются
случайными величинами, т.е. имеют случайные отклонения от
номинальных или расчетных значений. Эти отклонения обусловлены
производственным разбросом, влиянием различных дестабилизирующих
факторов, неточностью настройки или систем автоматического регулирования
и другими причинами.
В зависимости от функционального назначения фильтрующей цепи
предъявляются определенные требования к той или иной ее функции
(АЧХ, ФЧХ, переходной или импульсной), а также к ее стабильности.
Будем рассматривать некоторую функцию цепи F(x,l), где х —
независимая переменная (частота или время); I = {/i,..., Ijsr} — вектор
параметров элементов цепи. Рассматриваемая функция цепи F(x,l) как
функция случайных параметров /,, будет случайной величиной при каждом
значении независимой переменной х. Задача статистического анализа
цепи состоит в определении вероятностных характеристик функции цепи
F(x,l) (или ее отклонения) по заданным вероятностным
характеристикам отклонений параметров элементов от номинальных значений. Для
решения этой задачи используется метод, основанный на уравнениях
теории чувствительности (метод моментов), а также метод
статистических испытаний (метод Монте-Карло) [13, 39]. Далее кратко
рассмотрим сущность указанных методов.
Метод моментов. Этот метод основан на представлении
функции цепи в виде усеченного ряда Тейлора, по которому вычисляются
вероятностные характеристики (моменты) отклонения функции от
номинальных значений. Будем предполагать, что отклонения Д/г
параметров под действием дестабилизирующего фактора являются малыми
величинами и такими, что с достаточной степенью точности
справедливо соотношение:
(4.1)


72
Глава 4
где AF/F — относительное отклонение функции цепи от
номинального значения;
чувствительности (ФЧ) первого и второго порядков (вычисляются при
номинальных значениях параметров).
Аналогичное соотношение может быть записано для абсолютных
отклонений функции цепи. Так, при умножении обеих частей
равенства (4.1) на F получим
(4-2)
dF dF
где Qi(x) = —li и Qij(x) = /t/j — полуотносительные ФЧ.
Очевидно, что (4.2) целесообразно использовать, когда
номинальная функция цепи может принимать нулевые значения в заданном
интервале изменения независимой переменной х, т.е. когда нельзя
использовать относительные отклонения функции.
Уравнения (4.1) и (4.2) представляют собой разложения в ряды
Тейлора относительных и абсолютных отклонений от номинальных
значений функции п переменных в окрестности точки, соответствующей
вектору номинальных параметров I. В этих рядах удержано только по
два члена разложения (с первыми и вторыми производными).
Поэтому они называются усеченными и могут быть использованы для
приближенных вычислений. Точность таких соотношений тем выше, чем
меньше величины относительных отклонений параметров. В
некоторых случая удается повысить точность вычислений при использовании
усеченного ряда Тейлора для логарифмической функции по
логарифмическим переменным [40].
При малых вариациях параметров в представлениях (4.1) и (4.2)
ограничиваются первыми (линейными) членами. Приведенные
соотношения называются уравнениями погрешности и являются основными
уравнениями теории чувствительности [13].
Как было отмечено, параметры элементов являются случайными
величинами, поэтому рассматриваемая функция цепи F(x,l) и ее
отклонение AF(x,\) как функции случайных параметров U будут принимать
случайные значения при каждом значении независимой переменной.
Случайная величина полностью определяется законом распределения
вероятностей или его числовыми характеристиками — моментами, которые
будем называть вероятностными характеристиками. Вероятностные
характеристики отклонения функции цепи могут быть определены из (4.1)
или (4.2) согласно правилам теории вероятностей.
При нормальном законе распределения вероятностей отклонений
параметров закон распределения функции цепи при каждом значении
• относительные функции


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
73
независимой переменной х будет также нормальным. Если
отклонения параметров не подчиняются нормальному закону распределения и
малы, то в силу предельной теоремы теории вероятностей можно
считать, что суммарный закон распределения отклонений функции цепи
будет близким к нормальному. В таких случаях достаточно
определить моменты первого и второго порядков, т.е. среднее M[AF(x}l)/F]
и дисперсию D[AF(x,\)/F], которые характеризуют центр
группирования и рассеяние случайной величины. Для примера рассмотрим
влияние на функцию цепи производственных допусков параметров
элементов. Предположим, что отклонения параметров являются
независимыми случайными величинами с нормальными законами распределения
вероятностей с нулевыми средними значениями М[Д/,-//,-] = 0 и с
дисперсиями D[Al{/li] = а?, где <т,- —среднеквадратические относительные
отклонения параметров, которые связаны с относительными допусками
Д,- = 3(7,-, i = 1,2, ...iV. При принятых предположениях
вероятностные характеристики отклонения функции цепи определяются из (4.1) с
помощью следующих соотношений [43]:
(4.3)
Расчет ФЧ является наиболее трудоемкой операцией для
рассматриваемого метода моментов и для сложных схем выполняется на ЭВМ.
В настоящее время разработаны достаточно эффективные алгоритмы
расчета ФЧ первого и второго порядков [39, 43, 47].
Следует отметить, что при использовании представлений (4.1) или
(4.2) с ФЧ первого и второго порядков соответствующие соотношения
типа (4.3) для вероятностных характеристик отклонений функции цепи
получаются достаточно просто лишь при предположении, что
отклонения параметров являются независимыми случайными величинами с
нормальными законами распределения и с нулевыми средними
значениями. В других случаях получить подобные соотношения сложно или они
являются громоздкими, что снижает их практическую ценность. При
использовании ряда Тейлора с ФЧ первого порядка определение
вероятностных характеристик отклонений функции цепи упрощается. Так,
если относительные отклонения параметров малы и статистически
независимы со средними значениями щ и дисперсиями <т? то в
большинстве случаев результирующий закон распределения отклонений функции
цепи будет близким к нормальному со следующими вероятностными ха-


74
Глава 4
рактеристиками [13, 40, 43]:
(4.4)
Эти соотношения являются наиболее распространенными и часто
используются при статистическом анализе электронных схем.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что представления (4.1) и (4.2)
являются приближенными, поэтому все соотношения, полученные на их
основе, в частности (4.3) и (4.4), справедливы с достаточной степенью
точности только при малых вариациях параметров. Вопрос о точности
представления отклонения функции цепи в виде усеченного ряда
Тейлора является наиболее тонким местом в рассматриваемом методе, а
проблема точности является, вероятно, одной из центральных во всей
теории чувствительности. Ниже будет обоснован простой метод оценки
точности уравнений теории чувствительности.
Метод Монте-Карло. Если же вариации параметров элементов
таковы, что результаты анализа по методу моментов не могут быть
признаны достоверными, то остается другой путь — применение метода
Монте-Карло. Этот метод является численным методом статистических
испытаний на ЭВМ и включает в себя следующие операции:
• выработка случайных значений параметров элементов в
соответствии с их законами распределения вероятностей;
• анализ цепи (расчет функции цепи для каждой случайной
реализации значений параметров элементов, т.е. для каждого испытания;
• обработка результатов статистических испытаний, т.е. расчет
вероятностных характеристик функции цепи;
• оценка достоверности получаемых результатов, которая проводится,
как правило, в процессе испытаний.
Для выработки случайных значений параметров элементов
используются стандартные датчики случайных чисел, которые имеются в
математическом обеспечении современных ЭВМ. В большинстве случаев
— это датчик случайных чисел с равномерным распределением
вероятностей на отрезке [0, 1] числовой оси. С помощью определенных
преобразований случайных чисел, получаемых от датчика с равномерным
распределением, могут быть получены случайные числа с другим
(заданным) законом распределения и корреляционными связями.
Часто используемый нормальный закон распределения случайных
чисел может быть получен по следующему алгоритму. Согласно
предельной теореме теории вероятностей, сумма п независимых случайных
величин r]j с равномерным распределением имеет при п —> со
нормальный закон распределения. Практически достаточно принять п = 4...12.
Последовательность случайных чисел с равномерным распределением
на отрезке [0, 1] имеет среднее М[ту] = 1/2 и дисперсию D[t]j] = 1/12.
Удобно принять п = 12, так как при этом результирующая
последовательность случайных чисел будет иметь единичную дисперсию. Таким


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
75
образом, случайные числа jk, имеющие практически нормальный закон
распределения, могут быть получены по алгоритму:
При этом M[7fc] = 6 и D[jk] = 1. Для получения нормально
распределенных случайных чисел со средним и среднеквадратическим
значениями т и <т необходимо произвести преобразование i/k = m -f (7* — 6)<т.
Таким образом реализуется вектор случайных параметров
элементов цепи. В каждом г-м испытании, т.е. при каждой случайной
реализации вектора параметров, получим соответствующую случайную
реализацию функции цепи Ft-(x,l). Как правило, число испытаний по методу
Монте-Карло достаточно велико, поэтому выбор рационального
алгоритма расчета функции цепи в каждом испытании имеет существенное
значение и определяет общее время статистических испытаний.
По результатам некоторого числа испытаний вычисляются
вероятностные характеристики случайной величины AFt(x,l) = Ft(x,l) —
F(x,l) при заданных дискретных Значениях независимой переменной х.
Во многих случаях достаточно оценить среднее значение и дисперсию.
Согласно положениям математической статистики:
где L — число испытаний; г — номер варианта моделирования. При
этом среднеквадратические погрешности в определении среднего и
дисперсии по приведенным формулам могут быть найдены с помощью
следующих соотношений:
Как видно, погрешности уменьшаются с ростом числа испытаний.
Оценку погрешностей проводят в процессе испытаний. После определенного
числа испытаний, когда уже можно определить приближенные значения
для Мр и ар, подсчитывают погрешности. Если хотя бы одна из них
превышает допустимое значение, то испытания продолжают. Например,
при L = 5000 и (Мр/ар) = 1 получим относительные погрешности
расчета среднего и дисперсии ем — 3 % и Ed' = 7 %, что
приемлемо для практических расчетов.
Рассмотрим сравнительную оценку двух методов статистического
анализа. Преимущества метода статистических испытаний состоят в


76
Глава 4
том, что он допускает произвольные законы распределения случайных
параметров, а также большие отклонения параметров. Недостатки —
значительные затраты машинного времени, а также то, что в процессе
испытаний невозможно выявить влияние отклонений отдельных
параметров. Эти недостатки особенно сильно проявляются при оптимизации
цепей по критериям точности и стабильности, когда в течение
итеративного процесса оптимизации необходимо многократно проводить
статистический анализ.
В силу изложенного при малых вариациях параметров элементов
целесообразно использовать усеченный ряд Тейлора (4.1) или (4.2) и
метод моментов для статистического анализа электрических цепей.
Далее рассмотрим особенности анализа стабильности фильтруют
щих и формирующих цепей, механизм их дестабилизации и
математическую модель этих цепей с учетом изменяющихся параметров элементов.
Относительные отклонения параметров, обусловленные влиянием
дестабилизирующих факторов, в большинстве случаев определяются
соотношением [39, 40]:
(4.5)
где Д0 = в — во — отклонение дестабилизирующего фактора
(например, температуры) от нормального значения 0oi <*t — фактор влияния
(например, температурный коэффициент) элемента /,-; N —
количество элементов цепи.
В качестве дестабилизирующих факторов, кроме температуры,
могут рассматриваться влажность, ядерная радиация, старение элементов
и другие. Воздействие множества случайных факторов на
технологический процесс производства радиоэлементов приводит к рассеянию
величин их параметров, включая температурные и другие коэффициенты,
которые становятся случайными величинами.
В большинстве случаев факторы влияния являются независимыми
случайными величинами с нормальными законами распределения, со
средними значениями а,о и дисперсиями d?0 [44, 46]. При этом согласно
(4.5) средние значения и дисперсия отклонения параметров:
(4.6)
(4.7)
Предположим, что отклонение дестабилизирующегося фактора Д0
может принимать любые значения из некоторого промежутка
[—Д0т, Д0т]- Тогда можно принять в соответствии с (4.6) и (4.7)
(4.8)


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
77
Рис. 4.1. Предельные функции плотности
распределения вероятности для относительного
отклонения от номинала г-го параметра
где га, = аг-оД0т, af = d^AO^ — предельные среднее значение и
дисперсия относительного отклонения г-го параметра; Л — коэффициент
дестабилизации, изменяющийся в пределах [—1,1].
Необходимо отметить, что принятые предположения не являются
принципиальными и могут быть изменены. Так, может быть принят
другой закон распределения вероятностей для случайных параметров,
может быть несимметричным интервал изменения дестабилизирующего
фактора А Е Е\ — [Ai, Л2] и т.д.
В процессе эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры
дестабилизирующий фактор изменяется непрерывно и циклически в определенных
пределах. При этом изменения параметров могут носить обратимый
(например, температурные изменения) или необратимый (старение)
характер. В любом случае важны предельные значения среднего и дисперсии
для случайного отклонения параметра. Эти предельные значения будут
соответствовать предельным значениям дестабилизирующего фактора и,
следовательно, двум значениям коэффициента дестабилизации Ai и А2
в (4.8). Указанные предельные значения вероятностных характеристик
соответствуют предельным распределениям отклонений
рассматриваемого параметра (рис. 4.1).
Если принять А = 1 и <7,- = 0, то соотношения (4.8) будут
соответствовать детерминированному разбросу параметров, а при А = 1 —
производственным допускам на элементы. При этом необходимо в (4.8)
принять, что га,- —среднее значение, а сгг — среднеквадратическое
значение относительного допуска (разброса) параметра элемента.
Таким образом, принятая модель элементов (4.8) является
довольно общей и включает в себя наиболее важные практические случаи
отклонений параметров элементов от номинальных значений.
Необходимо отметить, что введение в рассмотрение коэффициента
дестабилизации А является принципиальным моментом, позволяющим разработать
удобную и адекватную реальному механизму дестабилизации
математическую модель фильтрующей цепи с изменяющимися параметрами.
Приступим к ее рассмотрению. Далее будем предполагать, что:
• факторы влияния являются независимыми случайными величинами
с нормальным законом распределения;
• вариации параметров, вызванные дестабилизирующими факторами,
являются малыми величинами и для статистического анализа могут
быть использованы уравнения теории чувствительности.
Эти предположения в большинстве случаев выполняются на практике


78
Глава 4
[40, 43]. При этом случайные отклонения функции цепи будут
подчиняться нормальному закону распределения вероятностей.
Используя (4.8) и (4.4), получим выражения для среднего значения
и дисперсии относительного отклонения функции цепи:
(4.9)
где Л — коэффициент дестабилизации, изменяющийся в промежутке
Е\ = [Ai, Аг]; ш,- и <п — предельные значения среднего и среднеквадра-
тического относительных отклонений 2-го параметра, вызванных
воздействием дестабилизирующих факторов.
По правилу трех среднеквадратических отклонений найдем
граничные значения отклонений при каждом значении переменной х:
(4.10)
Очевидно, что граничные отклонения будут функциями двух
независимых переменных х (частота, время) и А (коэффициент
дестабилизации). Представляют интерес максимальные по переменной А
(предельные) значения отклонения
(4.11)
В большинстве случаев предельные отклонения будут
соответствовать одному из предельных значений коэффициента дестабилизации Ai
или Аг. Таким образом, при каждом значении независимой
переменной х могут быть найдены предельные отклонения функции цепи,
вызванные воздействием дестабилизирующих факторов. Эти предельные
отклонения не будут превышены с вероятностью Рг ^ 0,9973
(гарантированная надежность).
Приведенные соотношения (4.9)—(4.11) по существу представляют
собой математическую модель электрической цепи с изменяющимися
(нестабильными) параметрами и позволяют эффективно решать
задачи анализа и синтеза фильтрующих и формирующих цепей с учетом
нестабильности параметров элементов. Примеры решения этих задач
будут даны ниже.
В подавляющем большинстве случаев фильтрующие и
формирующие цепи выполняются из однотипных элементов, которые находятся в
примерно равных условиях относительно влияния внешней среды. При
этом температурные коэффициенты, коэффициенты старения,
увлажнения и другие характеристики, влияющие на величину отклонения пара-


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
79
метров элементов от номинальных значений, будут примерно
одинаковыми для элементов одного вида. Следовательно, будут одинаковыми
и вероятностные характеристики отклонений параметров элементов
одного вида [16, 48-51]. Например, для катушек индуктивности схемы в
соотношениях (4.8), характеризующих нестабильность параметров,
необходимо положить тп{ = mi, и <7{ = ох для г = 1,2,..., TVl, где Nl, —
число индуктивностей схемы. То же будет справедливо и для других
параметров. При этом среднее и дисперсия (4.9) отклонения функции цепи
от номинальных значений будут определяться суммами и суммами
квадратов ФЧ, которые назовем суммарными показателями стабильности.
Для примера рассмотрим LC-фильтр, в котором отклонение
функции цепи определяется нестабильностью реактивных элементов. При
принятых условиях вероятностные характеристики отклонения функции
цепи, согласно (4.9), будут определяться соотношениями:
(4.12)
где ть и тс — средние предельные относительные отклонения индук-
тивностей и емкостей схемы от номинала; ях и ас — соответствующие
среднеквадратические отклонения; Ni, и Nq — число индуктивностей
и емкостей. Суммы ФЧ по элементам одного вида характеризуют
среднее отклонение, а суммы их квадратов — разброс отклонений функции
цепи при любом значении независимой переменной х.
В более общем случае, когда необходимо учитывать два члена в
разложениях (4.1) или (4.2), в приведенных выше соотношениях появятся
суммы с ФЧ второго порядка.
Как известно [13, 44, 52], суммы ФЧ функции цепи определяются
свойствами рассматриваемой функции, т.е. зависят от способа
аппроксимации, и одинаковы для всех цепей, реализующих данную функцию
цепи, т.е. не зависят (инвариантны) от конкретной реализации.
Поэтому среднее значения функции цепи может быть вычислено по
известной номинальной функции и одинаково для всех эквивалентных схем
в принятом элементном базисе. Суммы квадратов ФЧ, определяющие
дисперсию отклонения функции цепи, зависят как от вида функции
цепи, так и от реализующей схемы.
В некоторых случаях можно пренебречь разбросом отклонений
параметров и считать, что эти отклонения равны для элементов одного
вида, являются детерминированными и могут быть определены из
выражений (4.1) или (4.2), в которых при рассматриваемых условиях будут
фигурировать суммы ФЧ. Однако при детерминированных отклонениях
параметров не обязательно прибегать к приближенному представлению


80
Глава 4
отклонения функции цепи усеченным рядом Тейлора, как это было
необходимо при анализе случайных отклонений. В этих случаях
целесообразно рассчитать вариацию функции цепи по точной формуле
Как будет показано ниже, вариации функции цепи при
одинаковых детерминированных отклонениях параметров элементов одного вида
являются инвариантными к реализации электрической цепи и
определяются свойствами номинальной функции F(z,lo)- Свойства
инвариантности сумм ФЧ и вариаций функций цепей широко используются при
анализе и синтезе стабильных фильтрующих цепей и будут
рассмотрены в следующих разделах работы.
4.2. Свойства суммарных показателей
чувствительности и их связь с
энергетическими функциями LC-фильтров
В разд. 1.1 было отмечено, что параметрическая чувствительность
комплексной функции передачи нагруженного реактивного
четырехполюсника по отношению к реактивному элементу определяется по
модулю средним геометрическим от двух значений энергий, накопленных в
элементе при прямой Wki и обратной Wk2 передаче (см. (1.3)). Как
было показано в предыдущем разделе, представляют интерес
суммарные показатели стабильности, в частности суммы параметрических ФЧ
по элементам одного вида. В дальнейшем будем рассматривать
симметричные четырехполюсники. Аналогичное рассмотрение мЬжет быть
проведено и для антиметричного четырехполюсника. Напомним, что
классические LC-фильтры относятся к этим двум классам. Очевидно,
что для симметричного четырехполюсника Wk\ = Wk2 = Wk\ R\ = R>2',
?2max = Лтах- Тогда, согласно (1.3), суммы модулей ФЧ по элемен-
там одного вида будут равны:
(4.13)
где TVl и Nq — число соответствующих элементов; W\, и Wq —
суммарные функции реактивной энергии, которые были введены ранее
(см. (1.2)).
На основании (4.13) можно сделать заключение о том, что суммы
ФЧ частотных характеристик по элементам одного вида определяются
накапливаемой в них суммарной энергией. Следовательно,
минимизация реактивной энергии должна приводить к уменьшению сумм
параметрических ФЧ фильтрующей цепи, т.е. к увеличению ее стабильности.


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
81
Этот вывод подтверждается результатами численного анализа
показателей чувствительности LC-фильтров, которые изложены в разд. 4.6.
Принципы синтеза фильтров со стабильными характеристиками во
многом аналогичны принципам синтеза LC-фильтров с минимальной
реактивной энергией. Минимизация реактивной энергии фильтрующей цепи
осуществляется за счет уменьшения неравномерности затухания в
полосе пропускания при сохранении гарантированного затухания в
полосе задерживания фильтра (см. гл. 3). Аналогичный подход
используется для уменьшения параметрической чувствительности LC-фильтра.
Это не случайное совпадение, а следствие обсуждаемой связи
функций реактивной энергии и суммарных параметрических чувствительно-
стей LC-фильтра.
Более конкретные выводы ©стабильности реактивных фильтров
могут быть сделаны на основании известных свойств инвариантности сумм
ФЧ частотных характеристик [13, 44]. Например, для сумм ФЧ по
реактивным элементам справедливы следующие равенства:
(4.14)
где т — характеристика ГВЗ; Sl,q} и ??®(С) — суммы ФЧ для ФЧХ и
ФЧХ по элементам одного вида. Для характеристики затухания а =
= — 20lg|#| дБ аналогичное соотношение
(4.15)
получается из первого уравнения (4.14) при использовании
известного [13] равенства
(4.16)
Таким образом, суммы ФЧ и стабильность частотных характеристик
зависят от их дифференциальных свойств. Чем больше крутизна
изменения АЧХ и ФЧХ в окрестности рассматриваемой частоты, тем сильнее
будет влияние на эти характеристики нестабильности параметров
элементов. На основании инвариантных сумм (4.14) и (4.15)
конструируются критерии стабильности частотных характеристик [16, 46, 49, 50], а
также разрабатываются методы анализа и оптимизации фильтрующих
цепей по критериям стабильности [13, 53-58].
Применительно к рассматриваемому здесь классу реактивных
нагруженных четырехполюсников в [48] на основании инвариантных сумм ФЧ


82
Глава 4
получены соотношения для сумм ФЧ по элементам одного вида:
(4.17)
где р\ и р2 — коэффициенты отражения на входе и выходе LC-четырех-
полюсника с двухсторонней нагрузкой. Знак плюс перед вторым
слагаемым в (4.17) относится к суммам ФЧ по индуктивностям, а знак минус
— к суммам ФЧ по емкостям.
Рассмотрим равенства (4.17) для классических LC-фильтров в виде
симметричных или антиметричных реактивных четырехполюсников. В
первом случае р2 = pi, во втором случае р2 — —р\ [15]. Используя эти
условия, получим для симметричных четырехполюсников:
(4.18)
и для антиметричных четырехполюсников:
(4.19)
При преобразовании сумм ФЧ ФЧХ в (4.18) и (4.19) использованы
доказанные ранее соотношения для энергетических функций (2.36).
Полученные уравнения (4.18) и (4.19) позволяют сделать
следующие выводы. Суммы ФЧ ФЧХ по элементам одного вида
пропорциональны запасаемой в фильтрующей цепи энергии. Поэтому результаты
анализа и рекомендации по минимизации функции реактивной
энергии могут быть применены и для суммарных показателей
стабильности. В частности, суммы ФЧ ФЧХ по элементам одного вида, так же
как и суммарные реактивные энергии, инвариантны к реализации
реактивного симметричного (антиметричного) четырехполюсника.
Суммы ФЧ по индуктивностям либо равны, либо мало отличаются от сумм
ФЧ по емкостям в полосе пропускания фильтра (согласно свойству 2
из разд. 2.5). Эти выводы справедливы и для сумм ФЧ АЧХ, так как
последние однозначно связаны с суммами ФЧ ФЧХ для минимально-
фазовых фильтров [59].
Можно также утверждать на основании приведенных рассуждений,
что суммы ФЧ временных (импульсной и переходной) характеристик по
индуктивностям будут равны суммам ФЧ по емкостям для
антиметричных и близки друг к другу для симметричных четырехполюсников. Эти
выводы подтверждаются результатами численного анализа.
Аналогичные соотношения могут быть получены и для сумм ФЧ
фильтрующих цепей с односторонней нагрузкой. В частности, можно


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
83
показать, что для режима холостого хода (см. рис. 2.1,в) суммы ФЧ
ФЧХ по элементам одного вида также пропорциональны запасаемой в
них энергии, а именно:
где Рх = Ul/Rx.
Таким образом, параметрическая чувствительность и стабильность
фильтрующих цепей определяются функцией реактивной энергии.
Минимизация реактивной энергии при синтезе фильтра будет
способствовать увеличению стабильности его характеристик и наоборот,
минимизация показателей чувствительности характеристик фильтра приведет
к уменьшению его реактивной энергии, массы, габаритных размеров и
потерь энергии. Поэтому подходы к синтезу фильтров по показателям
стабильности и по энергетическим критериям будут общими. Во многих
случаях суммарные показатели чувствительности и стабильности
инвариантны к реализации и определяются свойствами их номинальных
характеристик. Поэтому при синтезе LC-фильтров со стабильными
характеристиками, также как и при синтезе фильтров с минимальной
реактивной энергией, основная нагрузка по обеспечению указанных показателей
эффективности приходится на этап аппроксимации.
4.3. Свойства сумм параметрических
чувствительностей временных функций
фильтрующих цепей
Свойства инвариантности суммарных параметрических частотных
ФЧ, как указывалось выше, широко используются при анализе
стабильности как активных, так и пассивных (реактивных) фильтрующих
цепей. Для LC-фильтров на основании инвариантов сумм ФЧ
разработаны критерии стабильности и чувствительности частотных
характеристик. В случае реактивных формирующих фильтров требования
предъявляются к их временным характеристикам, а именно, к переходной или
импульсной [17, 31, 32]. Причем во многих случаях необходимо
обеспечить весьма жесткие требования к точности и стабильности
указанных характеристик.
При анализе точности и при обосновании критериев стабильности
формирующих цепей целесообразно использовать инварианты
суммарных ФЧ временных характеристик. Однако до недавнего времени
вопросы инвариантности сумм ФЧ временных характеристик не были
достаточно разработаны. В настоящем разделе дано обобщение свойств
инвариантности сумм ФЧ на временные характеристики электрических цепей.
Рассмотрим операторную функцию цепи Н(р,\) = Н(р, R, L,C),
где R, L, С — векторы параметров резисторов, индуктивностей и
емкостей. Доказательство соотношений инвариантности сумм ФЧ основано


84
Глава 4
на свойствах функции цепи, используемых при нормировании по
амплитуде и частоте [13, 14], а именно:
(4.20)
(4.21)
где \х — произвольный параметр; lo = {Ro,Lo,Co} — вектор
номинальных параметров; т = 1,-1 или 0 в зависимости от того,
является ли Н(р) сопротивлением, проводимостью или безразмерной
функцией передачи.
Операторной функции цепи Н(р) соответствуют следующие
функции времени:
(4.22)
где L~l — обратное преобразования Лапласа. Как известно,
импульсная g{i) и переходная h(t) характеристики численно равны реакции
цепи на воздействие в виде единичной импульсной и единичной
ступенчатой функций.
Методику получения инвариантов сумм ФЧ временных функций
рассмотрим на примере переходной характеристики [52]. Для этого
перейдем от уравнений (4.20) и (4.21) для операторной функции
цепи к соответствующим уравнениям для операторной переходной
характеристики. Последняя согласно (4.22) определяется соотношением
Т(р)/Н(р)/р. Поэтому в (4.20) и (4.21) произведем следующие
преобразования: обе части (4.20) разделим на р, а (4.21) — на pfi.
Тогда получим:
где D = {1/С,} — вектор обратных емкостей цепи. Произведем
обратное преобразование Лапласа полученных равенств. При этом для
последнего равенства используем теорему об изменении масштаба [14]. В
результате получим следующие свойства переходной характеристики:
Эти равенства продифференцируем по //, после чего примем /л = 1.
Тогда получим искомые соотношения инвариантности сумм
полуотносительных ФЧ для переходной характеристики:


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
85
Элементы
цепи
R, L, С, D, К
L, С, К
R, С, К
Суммы ФЧ
по элементам
R, L, D
L.C
L
С
R
С
Таблица 4.1
Значение сумм ФЧ для функций
9(t)
тд
-9 ~ tg*
0,5(тд - д - tg')
-0,5(7710 + S +V)
т9 - 9 - tg*
-9 ~ tg'
40
771Д
-th'
0,5(mh-th')
-0,5(mh + th')
mh — th'
-th'
(4.23)
Полученные соотношения (4.23) показывают, что суммарные
чувствительности переходной характеристики одинаковы для всех
эквивалентных электрических цепей в принятом элементном базисе и
зависят от свойств самой переходной характеристики как функции времени.
Заметим, что QhD.{t) = -Qc,(0-
Из полученных соотношений (4.23) находятся суммы ФЧ для RC и
LC-цепей. Доказательство соответствующих соотношений для
импульсной характеристики проводится аналогично.
Инварианты сумм временных полуотносительных ФЧ сведены в
табл. 4.1. Аргументы функций опущены. Штрих означает первую
производную по переменной t. Соотношения таблицы вычисляются при
номинальных параметрах. В первой колонке таблицы представлены три
случая элементного базиса, К — вектор безразмерных коэффициентов
управления зависимых источников. Остальные обозначения таблицы
соответствуют принятым в тексте. Во втором столбце указаны параметры,
по которым вычисляются суммы ФЧ.
Далее рассмотрим метод получения инвариантов сумм ФЧ высших
порядков. Пусть Ik —сумма полуотносительных параметрических ФЧ
к-го порядка, а именно:
где F — рассматриваемая функция цепи; /i,...,/jv — параметры
элементов. Тогда сумма [к + 1)-го порядка может быть вычислена по
следующей формуле:
(4.24)
Доказательство приведено в [60]. Согласно (4.24), для вычисления
(А:-г-1)-й суммы ФЧ достаточно знать к-\о сумму. Причем, если сумма ФЧ


86
Глава 4
к-го порядка будет инвариантна к реализации, т.е. будет определяться
только номинальной функцией, то сумма ФЧ (к + 1)-го порядка также
будет инвариантна. В качестве примера ниже приведены суммы
полуотносительных ФЧ второго порядка по параметрам реактивных элементов
для переходной характеристики и затухания:
Приведенные в данном разделе результаты позволяют в некоторых
случаях решать задачи анализа и синтеза линейных электрических
цепей с учетом нестабильности параметров элементов без вычисления
параметрических ФЧ. Они позволяют производить эффективную
проверку правильности расчета отдельных ФЧ, а также оценивать точность
уравнений теории чувствительности. На основании полученных
соотношений инвариантности временных характеристик электрических цепей
могут быть установлены критерии стабильности переходных (ПХ) и
импульсных (ИХ) характеристик фильтрующих и формирующих цепей.
Пример 1. Анализ соотношений инвариантности сумм ФЧ для ИХ
показывает, что при изменениях параметров реактивных элементов
стабильность послеимпульсных осцилляции определяется в основном
функцией tg'{t). Действительно, отклонение ИХ Ag(t) при одинаковых
относительных отклонениях А/// параметров реактивных элементов,
согласно табл. 4.1, определяется соотношением:
В моменты времени, когда ИХ пересекает ось t, значения
отклонения ИХ будут пропорциональны tg'(t). Стабильность точек перехода
через нуль (отсчетных точек) ИХ фильтрующей цепи во многих случаях
является важным показателем, например, при передаче дискретных
сигналов. В этих случаях значения tg'(i) в отсчетных точках ИХ следует
рассматривать как критерии стабильности ИХ.
На рис. 4.2 приведена ИХ и указанный показатель стабильности для
формирующего фильтра с оптимальной ИХ и с паспортом 5,2; 5; 0,01
[61], который имеет ИХ минимальной длительности при заданных
максимальном выбросе послеимпульсных осцилляции (5 %), уровне АЧХ
в полосе задерживания (0,01), порядке числителя функции передачи,
равном 2, и знаменателя, равном 5. Как видно из рисунка, значения
критерия стабильности ИХ в отсчетных точках довольно существенные
и имеют максимумы в этих точках, наибольший из которых равен 1,3
(на рис. 4.2 изображена функция tg'(t), умноженная на коэффициент


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
87
Рис. 4.2. Импульсная характеристика и показатель ее стабильности для
формирующего фильтра
0,1). По этим результатам может быть сделан вывод о допустимых
отклонениях параметров, а именно, для того чтобы в отсчетных точках
изменение значений ИХ не превышало 5 % ее максимального
значения, равного 1,53, необходимо ограничить изменения (нестабильность)
параметров величиной Д/// « 6 %.
4.4. Свойства вариаций функций
фильтрующих цепей
В данном разделе сформулированы и доказаны общие свойства
вариаций (отклонений от номинальных значений) функций цепей,
вызванных конечными (не обязательно малыми) и одинаковыми (для
элементов одного вида) относительными отклонениями параметров элементов.
Показано, что вариации функций цепей при указанных отклонениях
могут быть вычислены по номинальной функции цепи. Таким образом,
сформулированные и доказанные ниже свойства вариаций функций
цепей аналогичны свойствам инвариантности суммарных параметрических
чувствительностей, но имеют более общий характер, так как
справедливы при произвольных вариациях параметров.
Будем рассматривать вариацию АН(р) функции цепи, вызванную
конечными и одинаковыми относительными отклонениями Д///о от
номинала всех резисторов, индуктивностей и обратных емкостей схемы, а
также вариацию ДЯьс(р). вызванную указанными отклонениями
только индуктивностей и емкостей. Сформулируем и докажем ряд свойств
вариаций функции цепи [62].
Свойство 1. Вариации АН(р) и АЯьс(р) инвариантны к
реализации цепи и определяются через номинальную функцию Н(р) и
отклонения параметров:
(4.25)
(4.26)
где га = 1, -1 или 0 (см. (4.20)); v — (1 + Д///о). Предполагается, что
для первого равенства Д///о — одинаковые относительные отклонения


88
Глава 4
для всех резисторов, индуктивностей и обратных емкостей Д- = 1/Сг-, а
для второго равенства А///о — одинаковые относительные отклонения
для всех индуктивностей и емкостей схемы.
Для доказательства рассматриваемого свойства положим в
равенствах (4.20) и (4.21) /i = v и из обеих частей каждого равенства
вычтем номинальную функцию Н(р). Тогда получим искомые
соотношения (4.25) и (4.26). Таким образом, рассматриваемые вариации зависят
от свойств номинальной функции цепи и одинаковы для всех
эквивалентных цепей, реализующих данную функцию.
Следующее свойство будет относиться к цепям без резистивных
параметров и к вариациям Д#ь(р) и АЯс(р), которые вызваны
конечными и равными относительными отклонениями только индуктивностей
или только емкостей.
Свойство 2. Инварианты Д#ь(р) и Д#с(р) определяются из
соотношений:
(4.27)
(4.28)
где i/L = (1 + AL/L0); i/c = (1 + AC/Co); AL/L0 и AC/Co —
относительные изменения индуктивностей (одинаковые для всех
индуктивностей) и емкостей (одинаковые для всех емкостей).
Для доказательства (4.27) исключим из (4.20) и (4.21) вектор R и
применим к левой части (4.21) правило (4.20). Тогда получим:
(4.29)
Подставляя (4.21) в правую часть (4.29) и полагая /i = у/йь, имеем
откуда следует (4.27). Доказательство (4.28) аналогично предыдущему
за исключением того, что (4.21) необходимо вместо р подставить 1/р,
а в окончательном соотношении положить р = 1/y/Uc-
Следствие. Предположим, что все индуктивности
рассматриваемой цепи получают равные относительные отклонения AL/Lo, а все
емкости — АС/Со. Тогда вариация функции цепи, обусловленная
указанными изменениями индуктивностей и емкостей LC-цепи
(4.30)
Для доказательства (4.30) перепишем (4.27) и (4.28) в следующем
эквивалентном виде:
где в левых частях равенств представлены функции цепи при
номинальных параметрах Cq (Lq) и варьированных параметрах L (С). Применяя


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
89
последовательно эти соотношения, получим функцию цепи при
варьированных параметрах L и С:
(4.31)
откуда следует искомое равенство (4.30).
Аналогичные результаты могут быть получены для активных RC-
цепей [62].
Из полученных соотношений для операторной функции цепи
следуют аналогичные соотношения и свойства для частотных характеристик
электрических цепей. Для примера рассмотрим инварианты вариаций
частотных характеристик для RLC-цепи при вариациях параметров
реактивных элементов. В этом случае из (4.26) получим соответствующие
свойства для частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ):
Рассматриваемые частотные функции на частоте из при
варьированных параметрах определяются величинами вариаций параметров и
номинальной функцией, вычисленной на частоте ил/ = из{\ + Д///о).
Следовательно, изменение частотных характеристик под действием
вариаций параметров будет тем больше, чем больше изменение
номинальной характеристики в окрестности рассматриваемой частоты. Вариации
частотных функций получаются из приведенных равенств вычитанием
из обеих частей номинальной функции. Эти вариации одинаковы для
всех эквивалентных цепей, реализующих одну и ту же частотную
характеристику в принятом элементном базисе, так как определяются
номинальной частотной характеристикой. Аналогично могут быть получены
соответствующие формулы для других частотных функций.
В табл. 4.2 представлены формулы для частотных функций при
варьированных параметрах (варьированные функции \H(jw,\)\, 0(cj,1)
и a(cj,l)) для различных электрических цепей. Соотношения,
представленные в таблице, вычисляются при номинальных параметрах 1о. В
первом столбце указаны три случая элементного базиса, а во втором
— изменяемые параметры. Их относительные отклонения от номинала
предполагаются одинаковыми. Если один из двух векторов
варьируемых параметров заключен в скобки, то предполагается, что
относительные отклонения параметров любого вектора одинаковы, но не
обязательно равны относительным отклонениям параметров другого вектора.
Остальные обозначения аналогичны обозначениям табл. 4.1.
Соотношения, приведенные в таблице, позволяют вычислить в
определенных случаях варьированные функции цепи по номинальным
функциям, не прибегая к пересчету функций при варьированных параметрах.
Это значительно облегчает анализ влияния отклонений
(нестабильности) параметров на функции электрических цепей.


90
Глава 4
Таблица 4.2
Параметры
элементов
R, L, С
L.C К
R, С, К
Варьируемые
параметры
R. L, D
L, С
L
С
L(C)
R
С
R(C)
Значения варьированных функций
|tf(ju,,l)
vm\H{ju)\
|tf(ju/i/)|
i^/2|tf(W^)|
K/^c)m/2x
\H(ju»c)\
v™\H{jujvrvc)\
0(u;,l)
0(u;)
0(ил/)
0(u;i/R)
0(wz/c)
Q(wi/ri/c)
а(и;,1), дБ
а(ш)- 20mlg(i/)
а(шу/й^) - Ют lg г/l
^(u;,/^) + Ют lg i/c
-10mlg(i^/z/c)
а(ил'я) — 20m lg vR
a(ui/c)
a(uji/Ri/c ) - 20m lg i/R
Далее рассмотрим свойства вариаций временных функций.
Методику получения инвариантов вариаций временных функций рассмотрим на
примере переходной характеристики LC-цепи. В соответствии с
определением переходной характеристики (4.22) разделим обе части равенства
(4.31) на р и произведем обратное преобразование Лапласа, используя
при этом теорему об изменении масштаба [14]. Тогда получим
Таким образом, функция переходной характеристики при
варьированных параметрах в каждый момент времени t определяется
номинальной функцией, вычисленной при измененных значениях времени. Для
получения вариаций рассматриваемой функции нужно вычесть
номинальную функцию из обеих частей последнего равенства:
Рассматриваемая вариация инвариантна к реализации и
определяется номинальной переходной характеристикой цепи.
По приведенной методике получены и представлены в табл. 4.3
временные функции при варьированных параметрах (варьированные
функции g(t,l) и Л(/,1)) для различных электрических цепей.
Соотношения, представленные в таблице, вычисляются при
номинальных параметрах (обозначения таблицы соответствуют принятым
выше). Варьированные временные функции (а следовательно, и их
вариации) вычисляются по номинальным временным функциям и поэтому
инвариантны к реализации цепи в заданном элементном базисе.
Полученные соотношения могут быть использованы для оценки точности
уравнений теории чувствительности (см. разд. 4.5), а также при анализе
и синтезе электронных цепей со стабильными характеристиками.
Пример 2. Рассмотрим применение инвариантов вариаций
функций цепей для оценки стабильности характеристики затухания
реактивного ФПНЧ Чебышева порядка п = 7 с неравномерностью затухания


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров 91
Таблица 4.3
Параметры
элементов
R, L, С
(D).K
L, С, К
R, С, К
Варьируемые
параметры
R. L, D
L, С
L
С
L(C)
R
С
R(C)
Значения варьированных функций
9(t,l)
vmg(t)
(i/"M'/")
4т-1)/2Э(*/^)
*с(т+1)/2'(*/>/^
/^ym-D/2 J t \
u^-lg(tluR)
"c'sO/i'c)
"я"1'/с1э('/,/я1'с)
/l(t,l)
i/m^(t)
M'/«0
«/?Л(*/"я)
Да = 0,28 дБ в полосе пропускания и с гарантированным
затуханием ао = 28 дБ в полосе задерживания при П ^ Пк = 1,3
(относительные частоты).
Предположим, что в результате воздействия дестабилизирующих
факторов произошло изменение параметров реактивных элементов на
Д/// = 0,1, т.е. на 10 %. Пусть эти относительные изменения являются
детерминированными и примерно одинаковыми величинами для всех
реактивных параметров. Тогда, согласно полученным выше результатам,
можно определить измененные (варьированные) характеристики
фильтра по его номинальным функциям. В частности, для характеристики
затухания а(П) соответствующая варьированная функция из табл. 4.2:
где и = 1 + Д/// = 1,1.
Произведем оценку изменения неравномерности затухания в
полосе пропускания при П ^ 1. Очевидно, что наибольшее изменение
характеристики затухания произойдет на частоте среза П = 1. При
этом неравномерность затухания варьированной характеристики
составит Давар = а(1.1) = 9,7 дБ. При уменьшении номинальной
неравномерности будет уменьшаться и неравномерность варьированного
затухания. Так, для ФПНЧ Чебышева с п - 9; Да = 0,01 дБ; Пк = 1,3;
ао = 28 дБ, который отличается от исходного величиной номинальной
неравномерности Аа (не считая порядка п), неравномерность
варьированной характеристики затухания составит Давар = 4,5 дБ, что более
чем в два раза меньше чем у исходного фильтра.
4.5. Оценка точности уравнений теории
чувствительности
При решении задач анализа стабильности электрических цепей во
многих случаях используется метод моментов, согласно которому от-


92
Глава 4
клонения от номинала функции цепи определяются по уравнениям
теории чувствительности (4.1) или (4.2). Эти уравнения являются
приближенными, так как получены на основании ряда Тейлора для
функции многих переменных (параметров элементов) с отбрасыванием
слагаемых с высшими производными. Точность этих уравнений тем
выше, чем меньше величины вариаций параметров. Проблема точности
является центральной в теории чувствительности, так как с ней
связана достоверность анализа. В известной литературе [13, 40, 43] имеются
весьма противоречивые сведения и рекомендации по рассматриваемому
вопросу. В данном разделе произведена оценка точности и даны
рекомендации по использованию уравнений теории чувствительности для
широкого класса радиоэлектронных цепей, предназначенных для
фильтрации и формирования сигналов.
Метод анализа. Исследованию подлежит точность уравнений
(4.1) или (4.2) для расчета отклонений функции цепи F(x,l),
например АЧХ, при отклонениях от номинала параметров элементов Д1. Эти
уравнения записываются с ФЧ первого и второго порядков и
являются приближенными. Во многих случаях ограничиваются уравнениями с
ФЧ только первого порядка. Это упрощает анализ стабильности,
однако приводит к увеличению погрешности. В дальнейшем будем
определять допустимые вариации параметров при заданной точности
уравнений. Будем полагать, что относительные вариации параметров
являются детерминированными величинами и одинаковы для элементов одного
вида, т.е. для всех резисторов цепи они одинаковы и равны AR/R, то
же для индуктивностей AL/L и для емкостей АС/С. При этом
примем гипотезу о том, что результаты, полученные для данного
частного случая, могут быть распространены и на общий случай, когда
относительные вариации параметров являются случайными, следовательно,
неравными величинами. Действительно, речь идет об определении
допустимых относительных вариаций параметров, обеспечивающих
достаточную точность усеченного ряда Тейлора. Будут или нет эти вариации
одинаковыми для элементов одного вида, особого значения иметь не
должно. Главное, чтобы они были достаточно малы. Степень
необходимой малости вариаций параметров и подлежит определению. Строгое
доказательство этого утверждения отсутствует, однако проверочные
расчеты показали его справедливость для ряда конкретных цепей. Кроме
того, как было отмечено выше, во многих практически важных случаях
относительные вариации параметров одного вида действительно
являются примерно одинаковыми с небольшим статистическим разбросом,
что соответствует принятым допущениям.
Существо метода оценки точности уравнений теории
чувствительности состоит в следующем [63]. Как известно, при принятых
условиях соответствующие уравнения будут содержать суммы ФЧ, которые
на основании свойств инвариантности можно выразить через
номинальную функцию цепи. Например, для АЧХ реактивных нагруженных
четырехполюсников из уравнения (4.1) при использовании инвариантов


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
93
сумм полуотносительных ФЧ первого и второго порядков (см. разд. 4.2
и 4.3) получим:
(4.32)
где Al/l = AL/L = АС/С; F(u), F'(cj), F"{u) — АЧХ и ее
производные по частоте первого и второго порядков при номинальных параметрах
Lio и Cjo, г = 1,2, ....JVl; j — 1,2, ...,JVc; ATL и Nq — число
соответствующих элементов; Fn(u) — приближенная АЧХ при варьированных
параметрах U = Li0(l + AL/L) и Cj = Cj0(l + АС/С).
С другой стороны, при принятых предположениях могут быть
рассчитаны точные значения варьированной АЧХ также по номинальной
функции на основании свойств вариаций функций электрических цепей,
которые сформулированы и доказаны в разд. 4.4. Так, для
рассматриваемых реактивных нагруженных четырехполюсников точные
значения Ft(lj) варьированной АЧХ могут быть вычислены по следующей
формуле:
(4.33)
где I/ = (1 + Al/l).
Необходимо отметить, что аналогичные соотношения справедливы
и для активных RC-цепей, содержащих зависимые источники с
безразмерными коэффициентами управления. При этом нужно принять, что
изменяются только резисторы или только емкости цепи и положить в
(4.32) и (4.33) Al/l = AR/R (или АС/С).
Из (4.32) и (4.33) следует что, относительная погрешность расчета
варьированной АЧХ 6 = (FT — Fn)/FT на каждой частоте может быть
оценена по номинальной функции. Если рассматривается
определенный класс цепей, например электрические фильтры, то номинальные
функции таких цепей будут вполне определенного вида, что позволит
произвести количественную оценку указанной погрешности.
Предложенная здесь методика является достаточно общей и
может быть использована также для оценки погрешности уравнений
теории чувствительности для других функций цепей (ФЧХ, переходной,
импульсной и т.д.) с учетом результатов, полученных и приведенных
в разд. 4.2-4.4. Ниже приведены результаты применения изложенной
методики для оценки точности уравнений чувствительности в классах
фильтрующих (по АЧХ) и формирующих (по переходной
характеристике) цепей.
Оценка допустимых вариаций параметров для фильтрующих
цепей. Рассмотрим сначала фильтры нижних частот. Во многих
практических случаях АЧХ таких фильтров имеют вид


94
Глава 4
Рис. 4.3. Максимальные относительные погрешности расчета
варьированной АЧХ в зависимости от относительных отклонений параметров
где Сп(ш) — некоторый полином степени п, е — постоянная,
определяющая неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра.
В наиболее распространенных случаях Сп(ш) — полином Чебышева
(фильтры Чебышева) или Сп(о;) = и>п (фильтры Баттерворта). Анализ
проводился для указанных фильтров с конкретными значениями п = 4
и 10 по соотношениям (4.32) и (4.33). При этом для фильтров
Чебышева рассматривались два значения неравномерности АЧХ в полосе
пропускания, а именно 0,1 и 0,01, что соответствует неравномерности
характеристики затухания 0,87 и 0,087 дБ.
На рис. 4.3 представлены зависимости максимальной
относительной погрешности <Smax расчета варьированной АЧХ от величины
относительного отклонения Д/// параметров для двух фильтров: фильтр
Баттерворта при п = 4 (кривые I); фильтр Чебышева при п = 10 с
неравномерностью АЧХ, равной 0,1 (кривые 2). На рисунке по обеим
осям использован логарифмический масштаб. Пунктирные линии
соответствуют погрешностям уравнений с ФЧ первого порядка, сплошные —
погрешностям уравнений с ФЧ первого и второго порядков. Зависимости
для других анализируемых случаев занимают промежуточные
положения между приведенными кривыми. Контролировалась максимальная
погрешность в частотной области, соответствующей полосе
пропускания. Как правило, максимум погрешности находится вблизи частоты
среза фильтра. Рассматриваемые фильтры отличаются в основном
крутизной среза АЧХ или степенью селективности. Чем выше селективность
фильтра, тем больше погрешность уравнений теории чувствительности.
Зависимости 1 на рис. 4.3 можно считать усредненными зависимостями
для фильтров малой селективности, а зависимости 2 — усредненными
зависимостями для фильтров высокой селективности.
Полученные количественные результаты позволяют сделать
следующие выводы. Для допустимой относительной погрешности 1...2 %
расчета варьированной АЧХ по уравнению с ФЧ первого порядка
допустимые вариации параметров |Д///|доп должны быть ограничены
следующими значениями: 7...10 % — для фильтров малой селективности и
0,3...0,5 % — для фильтров высокой селективности. Для уравнений с


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
95
ФЧ первого и второго порядков допустимые вариации параметров
увеличиваются в 1,5...2 раза. Можно показать, что полученные оценки будут
справедливы и для соответствующих фильтров верхних частот.
В [40] применяются уравнения, основанные на усеченном ряде
Тейлора для логарифмической функции A In F(lj) по логарифмическим
переменным A In/, что в некоторых случаях приводит к увеличению
точности расчета. Рассмотренная выше методика оценки погрешности была
использована для анализа указанных уравнений. При этом для
рассматриваемых здесь фильтров не получено выигрыша в точности расчета
по сравнению с обычными уравнениями (4.32).
Далее рассмотрим оценку точности соответствующих уравнений для
полосовых фильтров (ППФ и ПЗФ). Будем рассматривать полосовые
фильтры, полученные путем преобразования частоты из
низкочастотного прототипа (ФПНЧ). При переходе к ППФ используется известное
преобразование частоты:
где П — частота ФПНЧ; и — частота ППФ; uj\ и o>_i — граничные
частоты полосы пропускания ППФ; о;^ = и\Ш-\. Функции ППФ F(uj)
и F'(lj) связаны с соответствующими функциями ФПНЧ F\(Q) и F[(Q)
преобразованием частоты, а именно:
при Q = f(uj).
Используя эти соотношения, запишем уравнение (4.32) для ФПНЧ
и для ППФ по отдельности. Для простоты в (4.32) будем удерживать
только два первых слагаемых. Тогда получим:
(4.34)
(4.35)
где ^1П(П) — приближенная АЧХ при отклонении А/// параметров
ФПНЧ; Fn(uj) — приближенная АЧХ при отклонении (А///)*
параметров ППФ. Соотношение (4.35) справедливо при П = /(и;).
Из сравнения (4.34) и (4.35) следует, что Fn(u>) = ^П(П) при
условии
(4.36)


96
Глава 4
Таким образом, погрешности двух представлений (4.34) и (4.35)
при указанном условии (4.36) также будут равны. Максимальная
погрешность, следовательно, и допустимые отклонения параметров ФП-
НЧ, как указано выше, определяются на граничной частоте П = 1.
Поэтому условие (4.36) целесообразно рассмотреть при и = ш\ (или
при и = cj_i). Тогда из (4.36) получим связь допустимых
отклонений для ППФ и ФПНЧ:
(4.37)
Множитель в (4.37) является отношением полосы пропускания (и\ —
— cj_i) к сумме граничных частот и\ и u>_i ППФ. Для узкополосных
фильтров это отношение может быть достаточно малым (десятые и
даже сотые доли единицы). Следовательно, при использовании уравнений
чувствительности при анализе стабильности узкополосных фильтров
допустимые отклонения параметров элементов таких фильтров могут быть
существенно (в десятки раз) меньше чем для соответствующих фильтров
нижних частот, которые рассмотрены выше. Можно аналогично
показать, что полученные выводы будут справедливы при удерживании трех
слагаемых в уравнении (4.32), а также для узкополосных ПЗФ.
Оценка допустимых вариаций параметров для формирующих
цепей. При анализе стабильности формирующих цепей используются
уравнения чувствительности для переходной или импульсной
характеристик [31, 51]. Рассмотрим соотношение для расчета варьированной
переходной характеристики (ПХ), а именно переходного
коэффициента передачи RLC-формирующей цепи типа фильтра нижних частот при
одинаковых относительных вариациях (А///) индуктивностей и
емкостей. Из разд. 4.3 и 4.4 следует, что соответствующие уравнения для
расчета приближенной hn(t) и точной hT(t) варьированных ПХ могут
быть записаны в следующем виде:
где h(t) — номинальная ПХ; А/// = AL/L = АС/С\ v = (1 + А///).
В первом уравнении использованы инварианты сумм ФЧ первого
и второго порядков для ПХ.
Анализ проводился для фильтров с малыми выбросами ПХ (1 % и
менее — фильтры Бесселя и с оптимальными ПХ [61]) и с большими
выбросами (15 % и более — фильтры Баттерворта и Чебышева).
Номинальная ПХ и ее производные вычислялись по формуле разложения
по известным полюсам и нулям функции передачи фильтра.
Погрешности контролировались, начиная с момента времени достижения уровня
0,5 от максимального значения ПХ. Максимальное значение погреш-


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
97
Рис. 4.4. Максимальные относительные погрешности расчета варьированной
переходной характеристики в зависимости от относительных отклонений параметров
ности расчета варьированной ПХ, как правило, находилось в
окрестности первого выброса ПХ.
На рис. 4.4 представлены усредненные зависимости максимальной
относительной погрешности расчета варьированной ПХ от величины
относительных отклонений параметров. Зависимости 1 соответствуют
фильтрам с малыми выбросами, а зависимости 2 — фильтрам с
большими выбросами ПХ. Пунктирными линиями изображены
соответствующие зависимости для уравнений с ФЧ первого порядка, сплошными —
зависимости для уравнений с ФЧ первого и второго порядков.'
Для определения допустимых вариаций параметров необходимо
установить допустимую погрешность вычислений 6доп. Целесообразно
для ПХ с малыми выбросами принять (5доп = 0,2...0,3 %, а для ПХ с
большими выбросами — 6доп = 2...3 % (в соответствии со значениями
выбросов). При этом, как следует из рис. 4.4, допустимые
относительные вариации параметров для рассматриваемых случаев будут
следующими: (Д///)дОП = 5...6 % при использовании уравнений с ФЧ
первого порядка и (Д///)доп = 8...10 % при использовании уравнений с
ФЧ первого и второго порядков.
В заключении отметим, что разработанный метод оценки
погрешности уравнений теории чувствительности может быть применен
аналогично для других классов и функций электрических цепей. Полученные
рекомендации необходимо учитывать при анализе и синтезе
фильтрующих и формирующих цепей со стабильными характеристиками.
4.6. Сравнительный анализ показателей
стабильности LC-фильтров Чебышева,
Золотарева-Кауэра и с минимальной
реактивной энергией
В литературе имеются достаточно подробные сведения о
параметрической чувствительности характеристик затухания LC-фильтров. В
основном они относятся к полиномиальным фильтрам. Так, в [21]
проведен численный анализ поэлементных и среднеквадратических ФЧ по-


98
Глава 4
линомиальных фильтров и показано, что путем уменьшения
неравномерности Ла характеристики затухания можно достичь существенного
снижения ее чувствительности к изменению параметров элементов.
Исследовано влияние потерь на параметрическую чувствительность LC-
фильтров [21, 64].
В дополнение к указанным результатам в настоящем разделе
приведен сравнительный анализ показателей стабильности реактивных
фильтров Чебышева, Золотарева-Кауэра, а также оптимизированных по
реактивной энергии фильтров. При анализе использовались показатели
чувствительности не только для АЧХ, но и для ГВЗ. Последние
позволяют оценить степень влияния различных дестабилизирующих факторов
на реактивную энергию и определить необходимый при этом запас по
массогабаритным показателям фильтра.
При анализе использованы алгоритмы расчета и программа
вычислений на ЭВМ, описание которых приведены в разд. 3.1 и в
приложении 1. Результаты расчета проверялись по инвариантам сумм ФЧ,
которые определяются следующими соотношениями [44]:
Примем следующие обозначения для сумм относительных ФЧ АЧХ:
Для сумм ФЧ по емкостям соответственно S[c (w) и S2q (^).
Аналогично для суммарных относительных ФЧ ГВЗ: SlL(w), S^u;),
Указанные суммы являются показателями стабильности и
чувствительности фильтра (см. разд. 4.1) и могут быть использованы для
сравнительного анализа чувствительности различных фильтрующих цепей.
Суммы ФЧ определяют детерминированную а суммы их квадратов —
случайную составляющую отклонения соответствующей функции
фильтра. Рассматриваемые показатели являются функциями частоты из. Для
каждого значения частоты можно определить предельные отклонения
(4.11) характеристик фильтра с помощью рассматриваемых
показателей стабильности.
Для анализа были выбраны ФПНЧ с различными порядком п и
неравномерностью Аа затухания в полосе пропускания. Схемы и
параметры фильтров приведены в [19]. На рис. 4.5 для примера приведены


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
99
Рис. 4.5. Зависимости от частоты суммарных (Sic и *^1ь) и суммарных квадрати-
ческих (52с и 52ь) функций чувствительности АЧХ (а и б) и ГВЗ (в и г) для
фильтра Чебышева п = 7, Да = 0,28 дБ
зависимости от нормированной частоты П суммарных ФЧ для
конкретного ФПНЧ Чебышева с п = 7 и Да = 0,28 дБ. Суммы ФЧ АЧХ имеют
экстремум за пределами полосы пропускания, т.е. при П > 1, а суммы
ФЧ ГВЗ в пределах этой полосы. При уменьшении неравномерности Аа
и при сохранении гарантированного затухания ао экстремальные
значения суммарных ФЧ сдвигаются в переходную область и удаляются от
частоты среза а сами эти значения изменяются незначительно.
В большинстве практических приложений представляет интерес
оценка чувствительности характеристик фильтра в пределах его
полосы пропускания при П ^ 1. В этой области значения суммарных ФЧ
могут быть существенно меньше экстремальных особенно для АЧХ. Из
рис. 4.5 также видно, что суммы ФЧ по индуктивностям мало
отличаются от сумм ФЧ по емкостям. Это отличие будет тем меньше, чем меньше
модуль коэффициента отражения в полосе пропускания фильтра. Это
свойство сумм ФЧ реактивных фильтров можно установить и
аналитически (см. разд. 4.2). Поэтому для приближенной оценки стабильности
характеристик фильтра при детерминированных отклонениях
параметров можно использовать инварианты сумм ФЧ, приведенные выше, и
считать, что суммы ФЧ по индуктивностям совпадают с суммами ФЧ по
емкостям и приблизительно равны половине инвариантных сумм в
пределах полосы пропускания фильтра. Это значительно облегчает анализ


100
Глава 4
Таблица 4.4
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фильтр
Т7-25
Т9-5
Т14-25
Т19-опт.
С5-5
С9-5
С8-25
С13-опт.
С8-25-
одн.наг.
С9-5-
одн.наг.
Да, дБ
0,28
0,01
0,28
1,4-Ю"4
0,01
0,01
0,28
1.5-10-7
0,28
0,01
дБ
28
28
74
74
26
73
74
74
74
73
Гщ
17,9
14,7
71,6
39,7
5,9
22,6
35,4
14,4
35,4
22,6
о|Я|
1,65
0,075
6,1
7-10-3
0,037
0,137
3,04
3-Ю"5
2,6
0,5
а\Н\
°1Ст
1,45
0,125
6,1
510-3
0,063
0,185
3,04
4-Ю-5
3,5
0,6
а\Н\
°2Lm
1,2
0,02
юд
8-Ю-4
0,002
0,05
5,15
1.610-7
23,7
12,1
°2Ст
1.3
0,016
10,1
8-Ю"4
0,004
0,026
2,7
ю-7
13,9
7
°lLm
4,8
3,3
16,4
4,5
3,15
6,04
9,5
2,6
9,9
6,5
°1Ст
4,35
3,15
16,4
4,5
2,85
6,07
9,5
2,6
8,9
5,6
or
D2hm
8,1
3,6
57
4
5,4
15,3
35,4
1,9
60,5
33,5
°2Cm
7,8
3,78
57
4
3,2
8,4
18,8
1,1
35,5
18,2
и синтез реактивных фильтров со стабильными характеристиками.
В табл. 4.4 представлены результаты расчета показателей
стабильности для других фильтров. Здесь использованы обозначения,
принятые в [19] и в предыдущих таблицах настоящей работы. В таблице
представлены максимальные значения (по абсолютной величине)
показателей чувствительности в полосе пропускания. Кроме того, для удобства
сравнения в таблице приведены неравномерность Аа затухания в полосе
пропускания, затухание olq на частоте П = 1,3 (характеризует крутизну
нарастания затухания в полосе задерживания) и максимальное в полосе
пропускания значение ГВЗ фильтра rm. Параметры фильтров выбраны
так, чтобы можно было произвести сравнительный анализ их
стабильности и сделать обобщающие выводы. Эти выводы можно
сформулировать в следующем виде.
1. При уменьшении Да и при неизменном ао чувствительность
(нестабильность) АЧХ и ГВЗ уменьшается (фильтры 1 и 2, 3 и 4, 6 и 7).
С увеличением ао в полосе задерживания при неизменной Да
чувствительность возрастает (фильтры 1 и 3, 5 и 6).
2. Для фильтров Золотарева-Кауэра чувствительность значительно
меньше, чем для фильтров Чебышева при одинаковых Да и ао
(фильтры 2 и 5, 3 и 7).
3. Оптимизированные по реактивной энергии фильтры имеют
существенно меньшие значения сумм ФЧ по сравнению с не
оптимизированными (фильтры 3 и-4, 7 и 8). Это подтверждает общий
вывод, сделанный в разд. 4.2, согласно которому минимизация
реактивной энергии приводит к уменьшению параметрической
чувствительности характеристик фильтра.
Следует отметить, что показатели чувствительности ГВЗ могут
иметь достаточно большие значения. Так, для фильтра Т14-25
суммы относительных ФЧ ГВЗ составляют 16,4. Это значит, что
изменение параметров (например, емкостей) на 1 % вызовет изменение ГВЗ
на граничной частоте на 16,4 %. Таким образом, нестабильность
параметров может вызвать значительное увеличение ГВЗ и реактивной


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
101
энергии (т.е. токов и напряжений на элементах). Поэтому при работе
фильтра в реальных условиях при воздействии различных
дестабилизирующих факторов необходимо иметь определенный запас по реактивной
энергии, следовательно, и по массогабаритным показателям фильтра по
сравнению с номинальным режимом его работы. Для
оптимизированных по реактивной энергии фильтров указанный запас, вероятно,
будет минимальным.
При анализе рассматривались схемы фильтров с двухсторонней
согласованной нагрузкой (фильтры 1-8), а также фильтры с
односторонней нагрузкой в режиме холостого хода на выходе (фильтры 9 и 10). Как
видно из таблицы, последние имеют существенно большие значения ква-
дратических чувствительностей, причем это отличие для ФЧ АЧХ может
быть в 100 раз и более (фильтры 7 и 9, 6 и 10). Этот вывод справедлив
и для других режимов с односторонней нагрузкой. Поэтому фильтры
с односторонней нагрузкой будут иметь более значительную случайную
составляющую нестабильности АЧХ по сравнению с фильтрами,
работающими в режиме двухсторонней согласованной нагрузки.
Необходимо отметить, что в таблице приведены результаты
расчетов для фильтров Золотарева-Кауэра с параллельными резонансными
контурами в продольных ветвях лестничной схемы [19]. Для дуальных
схем с последовательными контурами в поперечных ветвях эти
результаты также справедливы при условии замены индексов «L» на «С» и
наоборот. Таким образом, в дуальных схемах значения сумм ФЧ по
индуктивностям и по емкостям как бы меняются местами. Это
можно использовать для уменьшения нестабильности характеристик
фильтра. Например, если требуется реализовать ФНЧ с односторонней
нагрузкой С9-5 при ть = 0, тс = 0 и c?l — 0, (учитывается лишь
разброс параметров емкостей dc), то в этом случае целесообразно
выбрать схему с параллельными контурами, так как она будет обладать
- гс\н\ -7
меньшими значениями квадратических чувствительностей {о2Ст = 7 и
$2Ст = ^8)2), чем схема с последовательными контурами («S^c^ = 12,1
и SJcm = 33,5). С учетом потерь в элементах показатели
чувствительности для АЧХ увеличиваются а для ГВЗ уменьшаются. Так, для
фильтра Т14-25 при учете потерь в элементах с добротностями, равными 200
(коэффициент потерь d = 0,005), показатели чувствительности в полосе
пропускания для АЧХ увеличиваются примерно в 1,4 раза и составляют
Slcln = sJSn = 8>4 и 4cL = 4lL = 14,9, а для ГВЗ уменьшаются в
1,5...2 раза и составляют 5[Cm = 5[Lm = 11,1 и ST2Crn = ST2hm = 24,3.
Необходимо отметить, что при учете потерь оптимизированные
фильтры уже не будут иметь пренебрежимо малые значения сумм ФЧ АЧХ.
Например, для фильтра С13-опт с коэффициентом потерь в элементах
d = 0,005 максимальные показатели чувствительности АЧХ
принимают следующие значения: s'cL = 0,154; S^L = 0.153; s[^m = 0,004;
S2Lm = 0,007. При этом соответствующие показатели чувствительности
ГВЗ практически не изменились.


102
Глава 4
Сделанные выводы относятся к ФПНЧ. Однако они могут быть
распространены и на другие виды фильтров, которые получают из ФПНЧ
путем преобразования частоты. В этом случае существует
определенная связь между показателями стабильности ФПНЧ и
преобразованного фильтра [13, 21]. Так, для наиболее важного с практической
точки зрения полосового фильтра можно показать справедливость
следующего соотношения:
(4.38)
с\н\ с\н\ с\н\
где ^niLm» ^lLm и ^lCm — максимальные в полосе пропускания суммы
ФЧ АЧХ для полосового фильтра и для ФПНЧ; и>о = y/uiuZi] uj\ и cj_i
— граничные частоты полосы пропускания полосового фильтра.
Для суммарной чувствительности по емкостям полосового
фильтра справедливо аналогичное соотношение, которое можно получить из
(4.38) путем взаимной замены индексов «С» и «L». Соответствующие
квадратические чувствительности также подчиняются (4.38) при
условии, что частотные множители здесь возведены в квадрат. Связь сумм
ФЧ ГВЗ полосового фильтра и ФПНЧ несколько сложнее, но при
необходимости также может быть получена с учетом результатов разд. 2.6.
Анализ (4.38) показывает, что чувствительность АЧХ полосового
фильтра определяется его относительной полосой пропускания Alj/ljo
и чувствительностью АЧХ ФНЧ. Для узкополосных фильтров, для
которых Alj/ljo ^ 0,1, частотные множители в (4.38) с
достаточной для практики точностью можно представить в виде ljo/Alj, где
Аш = cji — cj_i — полоса пропускания полосового фильтра.
Следовательно, чувствительность узкополосных фильтров может превосходить
чувствительность ФНЧ в десятки и более раз в зависимости от
относительной полосы пропускания. При этом минимизация чувствительности
ФНЧ является единственным путем минимизации чувствительности
полосового фильтра при заданной его относительной полосе пропускания.
В заключении рассмотрим примеры оценки стабильности
конкретных фильтров.
Пример 3. Оценим возможные изменения неравномерности
затухания и ГВЗ фильтра Золотарева-Кауэра С9-5 в полосе
пропускания при изменении температуры окружающей среды. Предположим,
что температурные коэффициенты применяемых конденсаторов ас =
= асо ± Зстс = (5 ± 1)10~4 1/°С, катушек индуктивности аь = c*lo ±
3<tl = (1±0,2)10~4 1/°С и изменение температуры от номинального
значения АО = ±Авт = ±50 °С. Показатели стабильности выбранного для
анализа фильтра приведены в табл. 4.4. Чувствительность
характеристики затухания связана с чувствительностью АЧХ соотношением (4.16).
Максимальное в полосе пропускания отклонение затухания (можно
трактовать как увеличение неравномерности затухания) согласно (4.11)


Параметрическая чувствительность реактивных фильтров
103
может быть определено из равенства
где А — коэффициент дестабилизации, изменяющийся в пределах от
— 1 до 1. После подстановки в последнее равенство конкретных
данных получим Датах = 0,054 дБ. Таким образом, общая
неравномерность в процессе воздействия дестабилизирующих факторов может
составить Да = 0,064 дБ.
Аналогичные расчеты для отклонения ГВЗ дают максимальное
в полосе пропускания относительное отклонение (Дт/г)тах = 0,198,
т.е. требуется предусмотреть 20%-ный запас по запасаемой энергии в
элементах фильтра с соответствующим увеличением массы и
габаритных размеров фильтра.
Далее произведем оценку влияния потерь в элементах фильтра на
результаты расчетов отклонений его характеристик. Предположим, что
добротности катушек индуктивности Ql = 300, а добротности
конденсаторов Qc = 1000. С учетом указанных потерь максимальное отклонение
затухания составит Датах = 0,106 дБ (т.е. увеличится почти в два раза),
а относительное отклонение ГВЗ — (Дт"/г)тах = 0,19 (т.е. изменится
незначительно). Кроме того потери в элементах увеличивают
неравномерность затухания в полосе пропускания. В данном случае потери приведут
к увеличению неравномерности затухания до величины Аа = 0,312 дБ,
что вместе с возможной нестабильностью даст Да = 0,438 дБ.
Пример 4. Произведем аналогичную оценку отклонений
характеристик затухания и ГВЗ для оптимизированного по реактивной энергии
фильтра Золотарева-Кауэра С13-опт. (см. табл. 4.4). Гарантированное
затухание а0 данного фильтра такое же, как и у фильтра С9-5,
рассмотренного в примере 1. Поэтому результаты расчета отклонений
характеристик для этих фильтров можно сравнивать между собой. Добротности
элементов, их температурные коэффициенты и отклонение температуры
от нормального значения примем такими же, как и в примере 1.
Расчеты показали, что для оптимизированного фильтра с учетом потерь
в элементах при воздействии заданных температурных изменений
максимальное отклонение затухания Датах = 0,013 дБ и максимальное
относительное отклонение ГВЗ (Дт/г)тах = 0,085. Таким образом,
для оптимизированного фильтра по сравнению с обычным при прочих
равных условиях имеем существенно меньшую нестабильность
характеристик, а именно, для ГВЗ в 2,3 раза, а для затухания в 8,2 раза. Это
подтверждает выводы разд. 4.2 относительно стабильности
оптимизированных по реактивной энергии фильтров.


Глава 5
Оптимальный параметрический
синтез реактивных фильтрующих
цепей по энергетическим
критериям и показателям
стабильности
5.1. Задача оптимального синтеза
фильтров
Классический синтез электрических цепей предусматривает
решение задач аппроксимации и реализации. На этапе аппроксимации
определяется физически реализуемая функция цепи, удовлетворяющая
заданным требованиям. На этапе реализации синтезируется
электрическая схема по найденной функции цепи. В общем случае указанные
задачи имеют множество решений, поэтому на каждом этапе
целесообразно определять оптимальное решение по тем или иным критериям. При
решении задачи аппроксимации в большинстве случаев в качестве
такого критерия оптимизации используется порядок функции цепи [15, 54].
Кроме этого, могут быть использованы также некоторые
дополнительные критерии, например показатели чувствительности и стабильности
[16, 54, 56]. В целом методы оптимальной аппроксимации
применительно к функциям электрических цепей разработаны достаточно глубоко и
доведены до алгоритмов и программ расчета на ЭВМ [54, 65-67].
Оптимальная реализация электрических цепей или оптимальный
топологический синтез является более сложной и не так глубоко
разработанной задачей. Здесь можно выделить два основных направления.
Первое базируется на теории эквивалентных преобразований Кауэра [17].
Множество электрических цепей, из которых выбирается оптимальная
структура, формируется путем эквивалентных преобразований
некоторой исходной цепи [68-70]. Основные недостатки данного подхода —
усеченность получаемого множества эквивалентных схем и трудности
учета условий физической реализуемости.
Второе направление базируется на так называемом методе
компонентных уравнений [53]. При этом множество структур получается из
схемы полной или усеченной топологической структуры, а параметры
элементов определяются путем решения системы компонентных
уравнений с учетом определенного критерия оптимальности. В результате
такого решения некоторые параметры элементов могут принимать нулевые
значения и, следовательно, структура (топология) цепи может
претерпевать изменения. Такой топологический или структурный синтез
представляется наиболее перспективным методом оптимальной реализации [53].


Синтез реактивных фильтрующих цепей
105
Кроме рассмотренного выше классического оптимального синтеза
в настоящее время широко используется параметрический оптимальный
синтез электрических цепей или оптимизация характеристик цепи в
рамках заданной структуры [16, 28, 39, 66, 70]. Для решения общих задач
параметрического синтеза применяются методы нелинейного
математического программирования. В качестве начальных приближений могут
быть использованы известные классические решения.
Необходимо отметить, что для рассматриваемого здесь класса
электрических цепей, а именно, реактивных четырехполюсников,
применяемых в мощных радиопередающих и преобразовательных устройствах,
наиболее приемлемой является лестничная структура в силу многих
обстоятельств. К ним, прежде всего, следует отнести низкую
параметрическую чувствительность и высокую технологичность [13, 46]. Кроме
того, вследствие инвариантности к реализующей схеме суммарной
реактивной энергии (см. гл. 2), а также суммарных показателей
чувствительности (см. гл. 4) многие задачи по минимизации массогабаритных
показателей и критериев чувствительности могут решаться в
пространстве коэффициентов функций цепей, а структура реализующей схемы
выбирается из других соображений, так как указанные критерии
оказываются от нее независимыми.
На основании вышеизложенного задачи оптимального'синтеза LC-
фильтров и формирующих цепей по массогабаритным показателям и
критериям стабильности целесообразно рассматривать как задачи
параметрической оптимизации в классе лестничных реактивных
четырехполюсников. Данная глава посвящена постановке указанных задач и
разработке методов их решения.
5.2. Оптимизация реактивных фильтров
по энергетическому (массогабаритному)
критерию
В гл. 3 изложена методика синтеза LC-фильтров с минимальной
реактивной энергией, массой и габаритными размерами в классах
фильтров Чебышева и Золотарева-Кауэра. Минимизация реактивной
энергии осуществляется за счет уменьшения неравномерности Да затухания
в полосе пропускания при сохранении требований к гарантированному
затуханию ао в полосе задерживания, т.е. за счет увеличения числа
элементов (порядка) фильтра.
Однако, как отмечалось, в некоторых случаях масса, габаритные
размеры, стоимость фильтра определяются не только максимальной
запасаемой энергией в его элементах, но также и их числом. В этих
случаях актуальной является задача минимизации максимальной в полосе
пропускания реактивной энергии фильтрующей цепи при
фиксированном числе ее элементов N. Далее рассмотрим постановку и анализ
указанной задачи оптимизации, а также метод ее решения.


106
Глава 5
Согласно (1.2), в режиме гармонических колебаний максимальная
запасаемая энергия в катушках индуктивности Lk и емкостях Сг фильтра
(5.1)
где Т{ — действующее значение тока (напряжения) в индуктивности
(емкости) U\ П — нормированная частота.
Максимальное значение рассматриваемой функции (5.1) в рабочей
области, т.е. в полосе пропускания, как правило, находится вблизи
частоты среза фильтра, определяет массу и габаритные размеры
фильтрующей цепи и может быть использовано в качестве критерия
оптимизации. Общий анализ энергетического критерия (5.1), проведенный
в гл. 2, показал, что во многих случаях функция реактивной энергии
инвариантна к реализации LC-четырехполюсника и определяется его
входной и передаточной функциями. Поэтому при минимизации
реактивной энергии важно иметь возможность изменения характеристик
фильтра, а не его схемы.
В качестве варьируемых параметров могут быть использованы
параметры элементов фильтра или коэффициенты его функции передачи.
В первом случае в качестве минимизируемой функции целесообразно
использовать максимальное значение реактивной энергии (5.1),
представленной через токи и напряжения в элементах, а во втором — тот
же критерий, представленный через функции фильтрующей цепи (одно
из выражений (2.11), (2.13), (2.14), (2.17), (2.18), (2.23), (2.25), (2.26)).
В любом случае зависимость минимизируемой функции от
варьируемых параметров будет нелинейной. При этом, как известно [16, 54],
наиболее важным этапом оптимизации является выбор начального
приближения. В рассматриваемом случае этот выбор может быть сделан
на основании известных методик и классических решений с учетом
результатов, полученных в гл. 2 и 3.
При синтезе фильтрующей цепи в первую очередь должны быть
обеспечены требования к характеристике затухания, а именно должны
быть выдержаны допустимая неравномерность Да в полосе пропускания
и гарантированное затухание ао в полосе задерживания. Эти
требования могут быть обеспечены фильтрами с различными
характеристиками, в том числе и энергетическими. Для того чтобы была возможность
изменения вида характеристик, при оптимизации необходимо выбрать
фильтр начального приближения с некоторым запасом по указанным
параметрам Аа и ао.
Далее для определенности будем рассматривать задачу
оптимизации ФНЧ, которую нетрудно будет распространить и на другие виды
фильтров. Кроме того, оптимизированный ФНЧ может быть
использован как прототип при синтезе фильтров с применением известных [14]
преобразований частоты. Как и прежде, будем использовать следующие


Синтез реактивных фильтрующих цепей
107
обозначения: полоса пропускания Q ? E<i — [0; 1]; полоса
задерживания Q ? Ез = [Пк;оо]; t = {/г} — вектор параметров (варьируемые
параметры); г = 1, 2,..., N; N — Nq -f N\, — количество элементов.
Исходя из изложенного выше, задача оптимизации реактивного
фильтра по энергетическому критерию может быть сформулирована в
следующем виде: определить параметры элементов I при
фиксированном их числе N, для которых максимальная по частоте при П ? Е2
запасаемая энергия в элементах фильтра минимальна, т.е. имеет
место равенство:
(5.2)
При этом должны быть выполнены требования к характеристике
затухания, которые формулируются в виде ограничений при
минимизации W, а именно:
(5.3)
К ограничениям (5.3) добавляются требования положительности
параметров /г- ^ 0, г = 1,2,...,ЛГ.
В некоторых случаях требуется минимизировать комбинированный
критерий Ф = kiWOIlT + ^N, который учитывает влияние на массу и
габаритные размеры фильтра не только запасаемой энергии, но и
количества его элементов. Тогда необходимо решить несколько задач (5.2)
при последовательном увеличении N и выбрать решение с
минимальным показателем Ф.
Сформулированная задача (5.2) при дискретизации частотной
переменной является задачей нелинейного программирования. Причем
нелинейными функциями варьируемых параметров I являются как
минимизируемая функция (5.2), так и ограничения (5.3). В настоящее время
разработаны различные методы решения таких задач, имеется
соответствующее программное обеспечение [28, 33, 39, 65]. Как уже отмечалось
выше, наиболее широкое применение при синтезе фильтрующих цепей
получил метод, основанный на линеаризации минимизируемой функции
и ограничений, — метод возможных направлений [16, 54].
Произведем некоторые преобразования поставленной задачи,
необходимые для решения ее указанным методом. Предположим, что на
каждом шаге оптимизации вектор варьируемых параметров I известен
и каждый параметр /t- получает некоторое малое приращение Д/,.
Тогда функции И^(П,1 + А1) и а(ПД -f Al) после такого изменения
параметров могут быть представлены в виде двух первых членов рядов
Тейлора [16], а именно:


108
Глава 5
где S,- (0,1) = -^ '-; 5?(Q,l) = —^—- — коэффициенты чув-
ствительности, вычисленные на частоте П при значениях параметров I,
известных из предыдущего шага аппроксимации.
Очевидно, что нужно определить такие приращения параметров А/г-,
которые давали бы наибольшее уменьшение минимизируемой функции.
Согласно рассматриваемому методу для определения приращений А/г-,
обеспечивающих движение к минимуму функции VF(Q,l) при
выполнении ограничений (5.3) необходимо решить следующую задачу:
определить приращения параметров Д1 = {А/»}, которые обеспечивают ми-
N
нимум функции Р(А1) = У^5г^(П,1)А/1 при ограничениях (5.3) на
функцию а(П,1 + Д1):
Данная задача при дискретизации частотной переменной является
типичной задачей линейного программирования относительно искомых
приращений А1 и может быть решена с использованием стандартных
программ. Заметим, что функции а(П,1), S?(fi,l), 5,^(0,1) принимают
конкретные числовые значения для каждого значения частоты и
вычисляются по известному на данном шаге вектору параметров I. После
обновления параметров на следующем шаге решается аналогичная задача.
Вычисления повторяются до тех пор, пока уменьшение
минимизируемой функции будет меньше некоторой заданной величины, что будет
свидетельствовать о достижении минимума с заданной точностью.
Эффективность алгоритма минимизации во многом будет зависеть
от методов, используемых для вычисления функций фильтра и
коэффициентов чувствительности на каждом шаге оптимизации. Для
рассматриваемых здесь лестничных реактивных фильтров наиболее
эффективным является метод анализа, основанный на рекуррентных
формулах. Он позволяет с наименьшими затратами времени и памяти ЭВМ
вычислять токи, напряжения на элементах, а также все функции
лестничной цепи, включая параметрическую чувствительность. Необходимо
отметить, что в данной постановке задачи для вычисления реактивной
энергии И^(ОД) целесообразно использовать прямое (через токи и
напряжения на элементах) выражение (5.1). При этом коэффициенты чув-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
109
Рис. 5.1. Схема оптимизируемого фильтра
ствительности 5^(0,1) будут вычисляться с помощью соответствующих
ФЧ токов и напряжений по рекуррентной формуле (см. разд. 3.1).
Разработанный выше алгоритм оптимизации реализован в
программе вычислений на ЭВМ и используется для оптимизации
энергетических характеристик фильтров.
В качестве примера рассмотрим результаты решения поставленной
задачи (5.2) для следующих исходных данных: допустимая
неравномерность характеристики затухания ФНЧ Да = 0,3 дБ в полосе пропускания
при Q G [0; 1]; гарантированное затухание ао ^ 50 дБ в полосе
задерживания при П ^ QK = 1,3. Для начального приближения из [19] выберем
полиномиальный ФПНЧ Чебышева с N = 12 и Аа = 0,28 дБ, который с
некоторым запасом удовлетворяет требованиям по гарантированному
затуханию, а именно для него ао = 60,5 дБ. Как было указано выше, этот
запас может быть использован для уменьшения максимальной
реактивной энергии, которая для выбранного фильтра начального приближения
составляет И^ач = 104,75. Здесь и далее значения энергии
приводятся в относительных единицах. Для перехода к абсолютным единицам
необходимо эти значения умножить на Рг/^о, где Р^ — мощность,
передаваемая в нагрузку, Вт; ujq — граничная частота ФНЧ, рад/с.
После оптимизации по описанному выше алгоритму получено
значение Woiit = 47,13, т.е. в два с лишним раза меньшее значение, чем
для фильтра начального приближения. Схема фильтра представлена
на рис. 5.1, а нормированные значения параметров элементов для
оптимизированного фильтра и начального приближения (для последнего
в скобках) следующие: Lx = 1,2922 (1,4018); С2 = 1,3653 (1,4748)
L3 = 2,0456 (2,1551); С4 = 1,6463 (1,7558); L5 = 1,9493 (2,0589)
С6 = 1,808 (1,9176); L7 = 1,808 (1,9176); С8 = 1,9493 (1,0589)
L9 = 1,6463 (1,7558); Сю = 2,0455 (2,1551); Ln = 1,3653 (1,4748)
Си = 1,2922 (1,4018).
Зависимости от частоты накапливаемой энергии для начального
и оптимизированного фильтров показаны на рис. 5.2. Из сравнения
этих двух функций следует, что уменьшение накапливаемой энергии
при оптимизации происходит за счет сдвига экстремума энергетической
функции за пределы полосы пропускания. Характеристика затухания
оптимизированного фильтра, показанная на том же рисунке, уже не
является равноволновой в полосе пропускания, как это имеет место для
фильтра Чебышева, и ее максимальные отклонения от нуля убывают
по мереХприближения к границе полосы пропускания. Необходимо
отметить некоторое увеличение полосы пропускания оптимизированного


110
Глава 5
Рис. 5.2. Функции реактивной энергии (а), относительные единицы, и
затухания (6), дБ, фильтров начального приближения и оптимального
Таблица 5.1
Фильтр
Начальный
Оптимальный
Wm
104,75
47,13
wLm
52,13
23,64
WCm
52,62
23,68
е|Я|
DlLm
4,42
0,3
о|Я|
6,31
0,25
4,42
0,3
е|Я|
02Cm
6,31
0,25
фильтра по сравнению с рабочей областью П G [0; 1]. За пределами
полосы пропускания затухание оптимизированного фильтра монотонно
возрастает и достигает значения 50 дБ на границе полосы
задерживания при П = Пк = 1,3.
Отмеченные особенности характеристик оптимизированного по
реактивной энергии фильтра свидетельствует также об оптимизации его
параметрической чувствительности. Действительно, волнообразная
функция затухания с убывающими максимальными значениями
характерна для оптимальных фильтров со стабильными характеристиками
(см. разд. 5.4 и 5.5). В табл. 5.1 приведены максимальные (по
абсолютной величине) значения суммарных показателей чувствительности
АЧХ в полосе пропускания для оптимизированного фильтра и
фильтра начального приближения (SjjJn и S1Cm — максимальные значения
\н\ \н\
сумм ФЧ по индуктивностям и по емкостям; S^Lm и ^2Ст —
максимальные значения сумм квадратов). Как видно из таблицы,
оптимизированный по реактивной энергии фильтр имеет существенно (более чем
на порядок) меньшие показатели параметрической чувствительности по
сравнению с фильтром начального приближения.
Таким образом, предложенный метод оптимизации LC-фильтров
по реактивной энергии одновременно приводит к существенному
уменьшению (минимизации) параметрической чувствительности АЧХ
фильтра. Это подтверждает теоретические выводы, которые были
обоснованы в разд. 4.2, и свидетельствует о том, что реактивная энергия
является достаточно универсальным показателем эффективности
фильтрующих цепей.
Интересно сравнить полученный результат оптимизации (И^пт =
= 47,13) с результатом минимизации реактивной энергии в классе филь-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
111
тров Чебышева по методике, изложенной в гл. 3. Напомним, что по
указанной методике минимизация запасаемой энергии осуществляется
за счет уменьшения неравномерности Аа в полосе пропускания фильтра
Чебышева при одновременном сохранении гарантированного затухания
ао, т.е. за счет увеличения порядка (числа элементов) фильтра. Такой
оптимизированный чебышевский вариант имеет N = 15; Аа = 2,4-10~4;
Wm = 51,6; ао = 50 дБ. Таким образом, применение задачи
оптимизации, сформулированной в данном разделе, дает лучший результат и
по числу элементов (АГ = 12) и по реактивной энергии (И^пт = 47,13).
Это, вероятно, обусловлено тем, что при решении задачи оптимизации
допускается более общий класс фильтров, чем фильтры Чебышева.
При решении рассматриваемой задачи оптимизации (5.2) с теми
же исходными данными в классе фильтров со всплесками затухания
можно получить еще меньшее значение максимальной накапливаемой
энергии. Так, если в качестве начального приближения использовать
фильтр Золотарева-Кауэра из [19] порядка п = 7 (число элементов
N = 10) с Да = 0,1 дБ и ао = 60 дБ, то после оптимизации
получим W0nT = 35,6 при начальном значении WH3lH = 42,8. В данном
случае уменьшение реактивной энергии не столь значительное,
однако полученное значение WOTlT в 1,3 раза меньше, чем достигнуто при
оптимизации полиномиального ФНЧ.
Необходимо отметить, что минимальное значение реактивной
энергии, полученное по методике гл. 3 в классе фильтров Золотарева-Кауэра
для рассматриваемых исходных данных составляет WonT — 18,3 и
соответствует фильтру порядка п = 11 с числом элементов N = 16 и
Да = 10~7 дБ. Это значение Wm почти в 2 раза меньше
полученного при оптимизации WonT = 35,6, что свидетельствует о
возможности дальнейшей оптимизации в классе фильтров со всплесками
затухания. Однако для этого необходимо увеличивать количество элементов
по сравнению с N — 10.
Таким образом, рассмотренные примеры показали, что
поставленную задачу оптимизации (5.2) целесообразно решать в сочетании с
результатами, полученными в гл. 3, что позволяет при фиксированном
числе элементов минимизировать запасаемую энергию, массу и
габаритные размеры лестничного реактивного фильтра, а также
нестабильность его характеристик.
5.3. Оптимальный синтез линейных
электрических цепей с учетом
нестабильности параметров элементов
Данный раздел посвящен постановке общей задачи оптимального
синтезе фильтрующих и формирующих цепей со стабильными
(малочувствительными) характеристиками. При постановке задачи
использовалась математическая модель цепи с изменяющимися (нестабильными)


112
Глава 5
параметрами, которая обоснована в разд. 4.1. Разработан метод и
рассмотрены примеры решения поставленной задачи.
Синтез электрических цепей со стабильными характеристиками
является одной из актуальных проблем радиоэлектроники. В настоящее
время можно выделить два основных подхода к решению этой
проблемы. Первый подход предполагает решение задачи синтеза с
минимизацией или с дополнительными ограничениями на определенные критерии
стабильности. Причем эти критерии могут быть учтены на этапах
аппроксимации и реализации либо без разделения синтеза на этапы [54.
56]. При этом критерии стабильности конструируются с
использованием инвариантных сумм ФЧ, а также суммарных квадратических ФЧ. В
качестве критерия стабильности может быть использована суммарная
реактивная энергия цепи. Как теоретически обосновано в разд. 4.2 и
подтверждено на практических примерах в разд. 4.6 и 5.2, минимизация
реактивной энергии приводит к существенному снижению
параметрической чувствительности характеристик фильтрующей цепи.
Второй подход к решению проблемы синтеза электрических цепей
со стабильными характеристиками основывается на том, что возможные
отклонения функции цепи включаются в ошибку аппроксимации,
которая минимизируется в процессе синтеза [55]. Целесообразность
применения того или иного подхода зависит от конкретного содержания
решаемой задачи. Однако второй подход, вероятно, в большей
степени отвечает основной цели синтеза, которая заключается в отыскании
электрической цепи, воспроизводящей заданные характеристики с
требуемой точностью. Следует отметить, что методы второго подхода к
проблеме синтеза цепей со стабильными характеристиками пока еще не
достаточно разработаны. . Так, в цитированной выше работе [55]
рассмотрены лишь фиксированные отклонения функции цепи, тогда как
в большинстве случаев эти отклонения изменяются в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов. Ниже представлена и исследована
задача оптимального синтеза стабильных электрических цепей, в
которой аппроксимирующей функцией является изменяющаяся (под
действием дестабилизирующих факторов) функция цепи и наиболее полно
учтен механизм дестабилизации фильтрующих и формирующих цепей.
Рассмотрим функцию цепи ^(х,1), где х — независимая переменная
(частота или время); I = {/i,/г, ...,/лг} — вектор параметров элементов.
Для широкого круга линейных электронных цепей отклонение
функции цепи от номинальных значений при каждом фиксированном
значении независимой переменной х является случайной величиной,
которая имеет нормальный закон распределения вероятностей со
средним значением
(5.4)


Синтез реактивных фильтрующих цепей
113
и дисперсией
(5.5)
где Qi(x,l) = l{dF(x,l)/dli — полуотносительные ФЧ; тг- и сгг —
предельные значения среднего и среднеквадратического относительных
отклонений г-го параметра, вызванных воздействием дестабилизирующих
факторов; Л — коэффициент дестабилизации, изменяющийся в
пределах от Ai до Х2 (см. разд. 4.1).
Предполагается, что относительные отклонения параметров
элементов под воздействием дестабилизирующих факторов являются
малыми величинами и применим аппарат теории чувствительности.
Практически возможные значения функции цепи в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов будут находиться в пределах,
определяемых соотношением
(5.6)
При этом коэффициент дестабилизации может принимать любое
значение из заданного промежутка Е\ = [А^Аг].
Согласно основной цели синтеза, целесообразно рассматривать в
качестве функций аппроксимирующих заданную зависимость, именно
эти гр/аничные и зависимые от коэффициента дестабилизации функции
(5.6). Таким образом при синтезе будет учтен изменяющийся
(нестабильный) характер функции цепи, что обеспечит воспроизведение
заданной зависимости не только номинальной функцией цепи (при А = 0),
но и ее реализациями, варьированными под действием
дестабилизирующих факторов.
Учитывая изложенное и принимая чебышевский показатель
близости функций [54], сформулируем задачу оптимального синтеза
стабильной электрической цепи: определить вектор параметров элементов I и
функцию цепи F(x,l), для которых величина
(5.7)
принимает минимальное значение.
В (5.7) приняты следующие обозначения: Е2 = [х\, х2] — интервал
изменения независимой переменной; р(х) — неотрицательная функция
веса; ф(х) — заданная (аппроксимируемая) зависимость. Задача
решается при дополнительном условии реализуемости F(x,l) € G, где G —
множество допустимых функций. Условие реализуемости обычно
выражается в виде системы неравенств [54].
Размерность вектора I (сложность цепи) фиксирована. Если
точность воспроизведения заданной функции, полученная в результате
решения задачи (5.7), не удовлетворяет техническому заданию, то
необходимо рассматривать соответствующие задачи при увеличенном числе


114
Глава 5
элементов. Таким образом может быть найдена электрическая цепь
наименьшего порядка, удовлетворяющая требуемой точности
воспроизведения заданной зависимости. Из постановки задачи следует, что на
этапе синтеза известны элементный базис, характеристики
стабильности элементов, а также функция цепи как функция параметров
элементов F(x,l). Последняя может быть определена, если известно
допустимое множество цепей, из которых выбирается оптимальная.
Функция F(x,l) или алгоритм ее вычисления фактически являются
описанием этого множества.
В общем случае допустимое множество цепей может быть задано с
помощью схемы полной топологической структуры при заданном числе
узлов [53], в которой любая пара узлов связана полной совокупностью
базисных элементов. В этом случае охватываются все возможные
цепи с рассматриваемым числом узлов. Представление функции цепи и
чувствительности через параметры элементов находятся на основании
общих методов анализа. В частных случаях могут быть использованы
цепи усеченной (неполной) топологической структуры либо с
фиксированной структурой, видом и числом элементов.
При синтезе мощных фильтрующих цепей целесообразно
использовать именно этот последний частный случай и в качестве допустимого
множества цепей принять множество реактивных четырехполюсников
лестничной структуры с фиксированным числом элементов и с рези-
стивными нагрузками. Как было отмечено выше, лестничная структура
является наиболее предпочтительной в данном случае в силу высокой
технологичности и малой чувствительности, что особенно важно для
рассматриваемой здесь задачи.
Классические методы синтеза LC-фильтров предполагают
использование лестничных структур. Поэтому в данной постановке задачи
облегчается и проблема начального приближения, которое может быть
получено на основании известных классических решений. Для
лестничных схем разработаны быстродействующие алгоритмы вычисления
различных функций цепей и функций чувствительности в частотной
и временной областях, что существенно для эффективности процесса
оптимизации.
При синтезе мощных формирующих цепей, кроме лестничных LC-
четырехполюсников [32], могут использоваться и LC-двухполюсники
канонических структур Кауэра и Фостера [31]. При оптимальном синтезе
формирующих цепей также представляется целесообразным принятие
определенной структуры.
Таким образом, сформулированная задача оптимального синтеза
(5.7) для рассматриваемых классов цепей будет по существу задачей
параметрического синтеза или параметрической оптимизации. Она
является нелинейной минимаксной задачей с ограничениями на варьируемые
параметры. Особенностью задачи является то, что минимизируемое
отклонение является функцией двух независимых скалярных переменных


Синтез реактивных фильтрующих цепей
115
Лих. Естественным путем решения такой задачи является
рассмотрение дискретных значений переменных Л и х из соответствующих
множеств Е\ и Е2. Это всегда можно осуществить так, чтобы не повлиять
на результат решения [67]. В этом случае исходная задача (5.7)
преобразуется в следующую задачу нелинейного программирования: найти
минимальное значение 6 и соответствующий вектор I, для которых
(5.8)
где Aj и Xk независимо принимают все значения из соответствующих
дискретных множеств. В общем случае к системе неравенств (5.8)
должны быть добавлены неравенства, выражающие условия физической
реализуемости. Количество неравенств (5.8) обусловлено числом
рассматриваемых дискретных значений переменных. В конкретных задачах
это количество может быть снижено за счет рассмотрения только двух
предельных значений переменной Л (т.е. Ai и Аг). Необходимая
степень дискретизации переменных может быть определена с помощью
контрольных расчетов [54].
В большинстве случаев минимизируемая функция в
рассматриваемой задаче не является выпуклой функцией варьируемых параметров.
Поэтому в результате решения задачи (5.8) не гарантируется получение
глобального минимума. Оценку близости полученного решения к
глобальному минимуму можно произвести в конкретных случаях на
основании некоторых потенциальных решений или с помощью специальных
приемов [54, 61]. Как будет показано ниже, частные случаи задачи
(5.8) могут быть сведены к задаче дробно-рациональной
аппроксимации, для которой может быть найдено решение, соответствующее
глобальному минимуму.
Выше представлена общая постановка задачи оптимального
синтеза электрических цепей со стабильными характеристиками. Для цепей
фильтрового типа она имеет некоторые особенности [54]. Требования к
АЧХ фильтра предъявляются в полосах пропускания и задерживания.
Обозначим полосу пропускания Е2 — [u>_i3cji], а полосу задерживания
Ез — [cj_jfc,cjjfc]. Множества Е2 и Е$ могут содержать несколько
интервалов. Тогда задача оптимального синтеза с учетом изменяющейся под
действием дестабилизирующих факторов АЧХ фильтра Fa(cj,1) может
быть сформулирована в следующем виде. Определить вектор
параметров I элементов фильтра наименьшего порядка, для которого
(5.9)


116
Глава 5
где Aq —уровень АЧХ в полосе пропускания (например, для LC-фильтра
с одинаковыми резистивными нагрузками на входе и выходе Ао может
быть равно 0,5); Ai и Аг — заданные допустимые отклонения АЧХ в
полосах пропускания и задерживания; Л ? Е\ — [А^Аг].
Как показано в [54], задачи, подобные сформулированной,
целесообразно решать в виде последовательности задач нелинейного
программирования: при фиксированном порядке фильтра определить
параметры I его элементов, удовлетворяющие условиям:
(5.10)
где
(5.11)
Такое определение функций р{ш) и ф(и>) обеспечит при решении
выполнение требований (5.9). Варьируемые параметры I должны быть
положительными.
После дискретизации переменных и \л X задача (5.10) может быть
решена методами нелинейного математического программирования.
Повышая порядок фильтра (размерность вектора I) можно найти решение,
в котором 6 ^ 0,5Ai. В этом случае будут выполнены требования
исходной задачи (5.9). В этом нетрудно убедиться, если подставить 6 = 0,5Ai
и выражения для p{uj) и ф(и) из (5.11) в неравенства (5.10).
Начальное приближение может быть получено на основе
классического синтеза без учета нестабильности АЧХ при несколько
ужесточенных требованиях к допустимым отклонениям Ai и Дг. В процессе
оптимизации для каждого вектора I варьируемых параметров должен быть
произведен расчет функции F\(l>,\), которая включает в себя
номинальную АЧХ, а также ФЧ по всем параметрам /,-. Кроме того, если
предполагается использовать один из градиентных методов оптимизации, то
потребуется расчет ФЧ второго порядка, так как минимизируемая
функция ошибки (5.10) содержит параметрические ФЧ первого порядка. Для
рассматриваемых лестничных структур, как уже отмечалось, наиболее
экономичным и эффективным методом анализа является аппарат
рекуррентных формул, который позволяет производить расчет не только
характеристик цепи, но также и ФЧ первого и второго порядков.
В результате решения последовательности задач (5.10) будут
получены параметры элементов фильтра наименьшего порядка (с
наименьшим количеством элементов), АЧХ которого будет удовлетворять
заданным требованиям (по допустимым отклонениям Ai и Дг) при любом
коэффициенте дестабилизации А из заданного интервала.
Следует отметить, что в некоторых случаях требуется
минимизировать не количество элементов фильтра, а его габаритные размеры,
массу и стоимость. Указанные критерии, как показано в гл. 1 и 2, во
многом определяются максимальной реактивной энергией фильтра в
рабочей частотной области. В этих случаях может быть поставлена задача


Синтез реактивных фильтрующих цепей
117
Рис. 5.3. Полиномиальный ФНЧ в режиме заданного входного напряжения
оптимизации реактивной энергии фильтра при соблюдении заданных
требований (5.9) к изменяющейся его АЧХ.
В качестве примера применения предложенной методики
параметрического синтеза рассмотрим синтез полиномиального ФНЧ с учетом
нестабильности параметров, работающего в режиме заданного
входного напряжения (рис. 5.3).
Исходные данные: полоса пропускания Еч — [0; 1]; полоса
задерживания Ез = [1,6; оо] (в этих множествах указаны нормированные
частоты); допустимые отклонения АЧХ Ai = 0,1 и Д2 = 0,014, что
соответствует неравномерности затухания Да = 0,9 дБ в полосе
пропускания и гарантированному затуханию ао = 37 дБ в полосе
задерживания. При расчете бесконечную частоту необходимо заменить
конечной или использовать обратную шкалу частот в полосе
задерживания [54]. Температурные коэффициенты емкостей и индуктивностей:
ас ± Зс/С = (Ю ± 4)10"4 1/°С; aL ± 3dL = (б ± 2) • 10"4 1/°С.
Пределы изменения температуры ±А0т = ±50 °С. Таким образом,
предельные значения средних и среднеквадратических относительных
отклонений для емкостей тс = 0,05; ас = 0,02/3 и для индуктивностей
шь = 0,03; <tl = 0,01/3. Коэффициент дестабилизации Л
принимает любое значение из множества Е\ = [—1; 1]. Согласно изложенному
выше методу оптимизации, АЧХ в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов
где Qcf и Qu — параметрические полуотносительные ФЧ АЧХ; П —
нормированная частота.
Производим дискретизацию переменных П и Л. В полосе
пропускания рассматриваем дискретные значения частоты с шагом ДП = 0,02. В
полосе задерживания от Qi = 1,6 до Пг = 20 с переменным шагом
возьмем 50 дискретных значений. Из множества Е\ выберем три
дискретных значения Л = —1; 0 и 1. В дальнейшем контрольными расчетами
было установлено, что увеличение степени дискретизации переменных,
а также увеличение максимальной в полосе задерживания частоты Пг


118
Глава 5
Таблица 5.1
Начальное
приближение
Оптимальный
фильтр
и
1,54128
1,50806
Ci
1,74814
1,59157
L2
1,89410
1,78876
с2
1,74629
1,62259
L3
1,76513
1,65038
С3
1,41180
1,30048
и
0,74406
0,70836
Wm
98
65,6
6
0,19
0,05
практически не изменяет получаемых решений.
Далее формулируем задачу параметрического синтеза (5.10) в виде
следующей задачи нелинейного программирования: при фиксированном
числе элементов N = Nq + Nl, определить минимальное значение 6 и
соответствующий вектор параметров элементов I при ограничениях:
где О* и Xj —дискретные значения соответствующих переменных;
функции р(П) и ф(0.) формируются согласно (5.11) при Ао = 1 {Ао — уровень
АЧХ в полосе пропускания в данном режиме односторонней нагрузки).
Сформулированная задача параметрического синтеза фильтра
реализована для вычислений на ЭВМ. В качестве оптимизационной
процедуры использован алгоритм обобщенного градиентного спуска,
описание которого приведено в [54]. Для расчета минимизируемой
функции и ее градиента использованы алгоритмы на основе рекуррентных
формул для лестничных цепей.
Для решения данной задачи в качестве начального приближения
был выбран фильтр Чебышева с N = 6, Аа = 0,6 дБ и ао = 40 дБ, т.е. с
несколько завышенными (без учета нестабильности параметров)
показателями по сравнению с исходными данными. После оптимизации
получено 6т[п = 0,11. Поскольку значение 6тт > 0,5Ai = 0,05, то
приходим к выводу, что полученное решение не удовлетворяет предъявленным
требованиям. Были использованы и другие начальные приближения с
числом элементов N = 6. Однако получить решение с 6тт < 0,05 не
удалось. Поэтому необходимо решать задачу при увеличенном порядке
фильтра. В качестве начального приближения был выбран фильтр
Чебышева с N = 7; Да = 0,28 дБ и ао = 46 дБ [19]. В результате получено
решение с 6т1П = 0,05 = 0,5 Дь удовлетворяющее исходным данным.
Нормированные параметры фильтра начального приближения и
полученного оптимального фильтра приведены в табл. 5.2. Здесь же
представлены значения ошибки 6 аппроксимации для указанных фильтров, а
также максимальная суммарная реактивная Wm (в относительных
единицах), которая характеризует массу и габаритные размеры фильтра.
После оптимизации максимальное отклонение АЧХ с учетом
возможной нестабильности уменьшено почти в 4 раза по сравнению с
начальным приближением. Номинальная АЧХ оптимизированного
фильтра представлена на рис. 5.4. Отметим, что эта характеристика
имеет увеличенную по сравнению с требуемой полосу пропускания или
несколько уменьшенную переходную область между полосами пропуска-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
119
Рис. 5.4. Номинальная АЧХ оптимизированного ФНЧ
Рис. 5.5. Разброс предельных АЧХ в процессе воздействия дестабилизирующих
факторов для оптимизированного ФНЧ
ния и задерживания по сравнению с классическим решением без учета
возможной нестабильности АЧХ. Это можно объяснить тем, что
суммарная параметрическая чувствительность АЧХ зависит от
дифференциальных свойств АЧХ и принимает максимальные значения в области
резкого изменения АЧХ, т.е. вблизи частоты среза Q = 1. Поэтому
нестабильность параметров будет оказывать наибольшее влияние именно
в этой области и для компенсации этого влияния здесь АЧХ
подвергается соответствующему изменению.
На рис. 5.5 представлены границы разброса предельных (т.е. при
Л = ±1) АЧХ оптимального ФНЧ. Другие реализации АЧХ в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов будут принимать
промежуточные значения относительно соответствующих предельных АЧХ.
Отклонения АЧХ от уровня Aq = 1 в полосе пропускания (0 ^ П $С 1)
не превысит А\ = 0,1 при любом значении коэффициента
дестабилизации (—1 ^ А ^ 1). При этом в полосе задерживания (при П J> 1,6)
значения АЧХ не превысят Дг = 0,014.
Для фильтра начального приближения разброс предельных АЧХ
составляет 1,14...0,8, т.е. возможная неравномерность АЧХ в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов может составить Ai = 0,34.
В результате оптимизации возможная неравномерность АЧХ уменьшена
в 3,4 раза и для оптимизированного фильтра равна Ai = 0,1.
Максимальная реактивная энергия оптимального фильтра в 1,5
раза меньше, чем у фильтра начального приближения (см. табл. 5.2).
Этот результат объясняется взаимосвязью между параметрической чув-


120
Глава 5
ствительностью и энергетическими функциями фильтрующей цепи (см.
разд. 4.2).
Как уже отмечалось, при решении задач нелинейной оптимизации
не гарантируется получение глобально-оптимального решения. Поэтому
желательно производить оценку получаемых решений, которую можно
сделать в некоторых случаях по известным потенциальным
характеристикам [54] или путем сравнения полученного результата с другими
решениями на основе известных или традиционных методов.
Для рассматриваемого здесь примера можно произвести оценку
результата оптимизации, используя известный метод увеличения
стабильности характеристик реактивного фильтра. Согласно этому методу,
существенное снижение чувствительности и увеличение стабильности АЧХ
в полосе пропускания можно получить за счет уменьшения величины
неравномерности АЧХ или рабочего затухания фильтра в полосе его
пропускания при сохранении заданного гарантированного затухания а0 в
полосе задерживания, т.е. за счет некоторого увеличения числа элементов
фильтра. При этом используются известные классические решения.
При тех же исходных данных, что и в рассмотренном выше
примере, используя указанный метод, было получено решение в виде ФНЧ
Чебышева с числом элементов N = 8 и с Да = 0,015 дБ; ао = 42 дБ.
Наилучший результат среди фильтров Чебышева с числом элементов
N = 7 дает фильтр с Да = 0,07 дБ и ао = 40 дБ. Для него
неравномерность АЧХ в полосе пропускания в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов Д1 = 0,13, что больше допустимого значения
Дх = 0,1. Дальнейшее уменьшение Да при сохранении N = 7 нарушает
требование исходных данных с АЧХ в полосе задерживания.
Таким образом, рассмотренный известный метод увеличения
стабильности АЧХ фильтра приводит к более заметному увеличению числа
его элементов по сравнению с предложенным в данном разделе методом
оптимального синтеза фильтров со стабильными характеристиками.
5.4. Задача аппроксимации при синтезе
электрических фильтров со стабильными
характеристиками
В данном разделе сформулирована задача оптимального
конструирования функций стабильных электрических фильтров и дан метод
получения глобального оптимального ее решения.
Рассмотрим частный случай сформулированной в предыдущем
разделе общей задачи (5.10) оптимального синтеза электрических
фильтров с учетом нестабильности параметров элементов. Как было
отмечено в разд. 4.1, в подавляющем большинстве случаев фильтрующие
цепи выполняются из однотипных элементов, которые находятся в
примерно одинаковых условиях относительно влияния дестабилизирующих


Синтез реактивных фильтрующих цепей
121
факторов. Поэтому характеристики стабильности параметров
элементов одного вида одинаковы, например, для всех емкостей предельные
значения среднего и среднеквадратического отклонений га,- = гас и
(Л — ас- То же относится к резисторам и индуктивностям. Для них
примем аналогичные обозначения предельных средних и среднеквадра-
тических отклонений гая, <tr, mi, и ох. Поэтому изменяющаяся под
действием дестабилизирующих факторов АЧХ фильтра Fa(cj,1)
согласно (5.4), (5.5) и (5.6) будет определяться суммами ФЧ по элементам
одного вида и суммами их квадратов. Кроме того, во многих
практически важных случаях можно не учитывать статистическую составляющую
нестабильности АЧХ (третье слагаемое в (5.6)). Последнее допущение
может быть принято в следующих ситуациях:
1) разброс коэффициентов влияния пренебрежимо мал, и в (5.5)
и (5.6) можно положить (Ti « 0;
2) для допустимого множества цепей суммарные квадратические
чувствительности достаточно малы; предварительную их оценку можно
провести на основании инвариантных сумм ФЧ [13];
3) на этапе реализации могут быть приняты меры по минимизации
суммарной квадратической чувствительности.
Известно [16], что за счет рационального выбора реализующей
схемы в активных RC-фильтрах может быть уменьшена статистическая
составляющая нестабильности АЧХ. Для LC-фильтров суммарная квадра-
тическая чувствительность может быть сделана сколь угодно малой
величиной за счет уменьшения неравномерности АЧХ в полосе
пропускания и увеличения числа элементов фильтра.
При принятых выше предположениях изменяющаяся АЧХ фильтра
F\{uj,\) согласно (5.4) и (5.6) будет определяться номинальной
функцией F{uj,\) и суммами ФЧ, которые могут быть выражены через
номинальную функцию на основании инвариантных свойств суммарных
чувствительностей. Например, для LC-фильтров при гаь = гас = га/
имеем:
(5.12)
Далее, используя инварианты сумм ФЧ АЧХ, представленные в
разд. 4.2, из (5.12) получим
(5.13)
где F'(w,l) — производная по частоте от номинальной АЧХ.
Аналогичное соотношение справедливо и для активного RC-фильт-
ра, если принять га/ = [tur + гас).
Как показано в разд. 4.6, для реактивных фильтров при малых
неравномерностях АЧХ в полосе пропускания суммы ФЧ по
индуктивностям мало отличаются от сумм ФЧ по емкостям. На этом
основании можно принять, что каждая из указанных сумм равна половине


122
Глава 5
общей инвариантной суммы ФЧ. Поэтому (5.13) будет справедливо с
достаточной для практики точностью и в общем случае, когда для LC-
фильтра тс Ф mi,. При этом необходимо в соотношении (5.13) принять
га/ = 0,5(шс + гаь)- В рассматриваемой задаче (5.10) минимизируемое
отклонение с учетом (5.13) будет зависеть от номинальной функции
цепи и ее производной по частоте и, следовательно, может быть выражено
через параметры (коэффициенты) номинальной АЧХ. Таким образом,
данная задача оптимального синтеза (5.10) становится по существу
задачей аппроксимации для функции F\{w,X) двух независимых переменных
cj и А. Она может быть решена в пространстве коэффициентов функции
цепи. Ее решение может быть использовано и при двухэтапном синтезе
электрических фильтров, когда сначала определяется
аппроксимирующая функция, а затем — реализующая схема. Как было отмечено выше,
в этом случае реализацию целесообразно проводить с минимизацией
суммарной квадратической чувствительности.
Во многих случаях при синтезе реактивных, а также ARC-фильтров
конструирование оптимальной АЧХ или характеристики затухания
сводится к конструированию оптимальной четной или нечетной функции
фильтрации:
(5.14)
где П — нормированная частота; / — четный полином степени 2п\\
h — четный (при к = 0) или нечетный (при к = 1) полином степени
2п + к; с = {с,} — вектор коэффициентов полиномов числителя и
знаменателя; г = 1,2, ...,М; М = п + п\ н> 2; п ^ п\.
Как известно [15], функция фильтрации (5.14) однозначно
определяет АЧХ F(Q) и затухание а(П) фильтра, а именно:
(5.15)
Отметим, что в классе реактивных фильтров нечетная функция
фильтрации реализуется симметричным, а четная — антиметричным
четырехполюсниками. Причем условиями физической реализуемости
для функции фильтрации (5.14) указанных четырехполюсников
являются условия четности полинома / и четности либо нечетности полинома
h [15, 54]. Таким образом, условия физической реализуемости учтены
в структуре функции фильтрации (5.14).
Сформулируем задачу оптимального синтеза (оптимальной
аппроксимации) (5.10) в терминах функции фильтрации. Необходимо
отметить, что обычная (без учета возможной нестабильности) задача
оптимальной аппроксимации для функции фильтрации является нелиней-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
123
ной относительно вектора варьируемых параметров с задачей
оптимизации. Для ее решения разработан специальный алгоритм дробно-
рациональной аппроксимации, который обеспечивает глобальное
оптимальное решение [54, 67]. Покажем, что функция фильтрации в
процессе воздействия дестабилизирующих факторов ip\(Q,l) в
рассматриваемом случае может быть представлена в виде дробно-рациональной
функции частоты П и что для задачи оптимального синтеза (5.10)
стабильной функции фильтрации может быть найдено глобальное
оптимальное решение по алгоритму дробно-рациональной аппроксимации
[57]. Для этого запишем указанную функцию в следующем виде:
(5.16)
— полуотносительные ФЧ полиномов h и
/, а остальные обозначения соответствуют ранее принятым.
Можно показать, что аналогично суммам ФЧ АЧХ для сумм ФЧ
функции фильтрации <р(П,1) и полиномов ее числителя /i(Q,l) и
знаменателя /(П,1) справедливы соотношения инвариантности, а именно:
Доказательство (5.17) следует из того, что для рассматриваемых
функций выполняется свойство (4.21), используемое при нормировании
функций цепей по частоте и из которого вытекают инвариантные
свойства сумм параметрических ФЧ.
Используя (5.17), из (5.16) получим
(5.18)
В полученном соотношении (5.18) фигурируют номинальные
полиномы /i(fi,l), /(fi,l) и их производные по частоте. Поэтому функция
фильтрации (5.18) в процессе воздействия дестабилизирующих
факторов будет определяться коэффициентом дестабилизации Л, коэффици-


124
Глава 5
ентами номинальных полиномов с и будет представлять собой дробно-
рациональную функцию частоты. Действительно, согласно (5.14) и
(5.18) получим
(5.19)
Функция фильтрации (5.19) в полосе пропускания (при Q. Е #г)
фильтра должна быть близка к заданной зависимости ^(П) (в обычном
случае ф(&) = 0), а в полосе задерживания (при П Е Ез) должна быть
максимальной при заданном диапазоне изменения дестабилизирующего
фактора А Е Е\ = [А^Аг] (в обычном случае Ai = —1; А2 = 1).
С учетом вышеизложенного сформулируем задачу оптимального
синтеза стабильных реактивных фильтров в следующем виде: при
ограничениях
определить вектор с параметров функции фильтрации у?(П,1), для
которой
(5.20)
где р(П) — неотрицательная функция веса; Lq — заданное
максимальное отклонение функции фильтрации от требуемой зависимости ф{0.)
в полосе пропускания.
Из постановки задачи (5.20) и из (5.15) следует, что в
простейшем случае, когда р(П) = 1 и тр(&) = 0 параметр Lq определяет
неравномерность характеристики затухания фильтра в полосе
пропускания Да = 10lg(l + ?q) дБ, а полученная в результате решения задачи
(5.20) величина 6 — гарантированное затухание в полосе
задерживания ао = 10lg(l -Ь 1/<52) дБ. Как обычно, должны быть рассмотрены
задачи (5.20) при последовательном увеличении размерности вектора
с до тех пор, пока не будут выполнены требования технического
задания относительно величины 6 и ао. В результате будет найден
вектор полиномиальных коэффициентов наименьшей размерности,
обеспечивающий заданные требования не только для номинальной функции
фильтрации, но и для ее реализаций (5.19) при заданном диапазоне
изменения дестабилизирующего фактора.
Сформулированная задача (5.20) является нелинейной
минимаксной задачей для функции двух независимых скалярных переменных А и
П. Покажем, что она может быть решена с помощью алгоритма дробно-
рациональной аппроксимации, который, как указывалось выше,
позволяет найти глобальное оптимальное решение. Для этого заменим непре-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
125
рывные множества Е\, Е^ и Е$ дискретными множествами. Для
простоты, положим р(П) = 1 и т/>(П) = 0 и будем решать задачу с равномерной
ошибкой аппроксимации для фильтра нижних частот, что не
ограничивает общности рассмотрения. Тогда, имея в виду, что <p\(Q,l) при
каждом фиксированном значении Л является отношением двух частотных
полиномов (см. (5.19)), задача (5.20) может быть переформулирована
в виде задачи нелинейного математического программирования: найти
минимальное значение 6 и соответствующий вектор с при ограничениях:
(5.21)
где A*, Qj и fi, независимо принимают все значения из соответствующих
дискретных множеств Е\, Е^ и Е$.
Предполагается, что знак /i(A,Q,c) не меняется в полосе
пропускания, а знак /ii(A, П, с) — в полосе задерживания [54]. Число неравенств
системы (5.21) будет равно 2di(d2 + ds), где rf,- — количество элементов
в соответствующем дискретном множестве Е{ [г = 1,2,3). Необходимая
степень дискретизации переменных может быть определена на
основании контрольных расчетов. Подобные расчеты, в частности, показали,
что число элементов во множестве Е\ можно ограничить тремя
значениями: А = Ai, 0 и Аг.
Как нетрудно убедиться, система (5.21) является линейной
относительно элементов искомого вектора с. Он может быть найден путем
последовательного уменьшения параметра 6 и решения систем линейных
неравенств до достижения минимального значения 6т1П (аналогично
алгоритму дробно-рациональной аппроксимации [54, с. 207-211]).
Необходимо отметить, что сформулированная задача (5.20) наиболее близка
по своему смыслу к так называемой задаче совместного приближения,
которая рассмотрена в [67]. Полученная в результате решения функция
фильтрации будет оптимальна в силу того, что алгоритм ее решения
приводит к глобальному оптимуму. В рассматриваемом случае должны
быть справедливы известные специфические признаки оптимального
решения, которые имеют место при обычной оптимальной аппроксимации
[54]. Только в данном случае функцию фильтрации нужно
рассматривать как функцию двух независимых переменных А и П или как
совокупность функций (p\(Q,c) при различных значениях коэффициента
дестабилизации А. В частности, для оптимальной функции фильтрации
должны выполняться известные алтернансные свойства, которые для
рассматриваемого здесь случая можно переформулировать следующим
образом: для глобально-оптимальной функции фильтрации <^а(0,с),
полученной в результате решения задачи (5.20), существуют такие пары
значений (Ajt; Qj), называемые экстремалями, при которых она прини-


126
Глава 5
мает в полосе пропускания п + 1 раз, а в полосе задерживания ni + 1
раз равные по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения.
Эти значения равны в полосе пропускания Lo, а в полосе задерживания
l/*min при p(fi) = 1 и ф(П) = 0.
Таким образом, предложенный метод аппроксимации позволяет
учесть изменяющийся характер функции цепи и получить глобальное
оптимальное решение задачи аппроксимации при синтезе стабильных
фильтров. Данный метод может быть распространен и на другие
характеристики электронных цепей, которые являются
дробно-рациональными функциями.
Пример. Рассмотрим задачу конструирования оптимальной
функции фильтрации для ФНЧ при следующих исходных данных. Степень
полинома числителя 2п + к = 5, т.е. п = 2; к = 1 в (5.14) и (5.19).
Степень полинома знаменателя 2п\ — 4, т.е. п\ =¦ 2. Предельные
относительные отклонения параметров элементов в результате воздействия
дестабилизирующих факторов га/ = 0,05 (5 %), а коэффициент
дестабилизации А может принимать любое значение из интервала Е\ = [—1; 1].
Полоса пропускания Е^ — [0; 1] и полоса задерживания Ез = [1,3; оо]
(нормированные частоты). Допустимое отклонение от нуля в полосе
пропускания Lq = 0,1, что соответствует неравномерности рабочего
затухания Да = 0,043 дБ.
При решении задачи (5.20) произведена дискретизация переменных.
В полосе пропускания с шагом 0,02 рассматривались 50 дискретных
значений нормированной частоты, а в полосе задерживания с переменным
шагом также 50 значений. Высшая нормированная частота полосы
задерживания была принята равной 10 (вместо бесконечности).
Рассматривались три значения коэффициента дестабилизации А = —1; 0; 1.
Контрольными расчетами было установлено, что увеличение степени
дискретизации переменных практически не влияет на решение. В
результате получена оптимальная функция фильтрации
и <5min = 0,073. Это значение 6т1П соответствует гарантированному
затуханию ао = 22,8 дБ в полосе задерживания.
На рис. 5.6 представлены предельные (при А = ±1) и номинальная
(при А = 0) функции рабочего затухания, вычисленные согласно (5.15)
и (5.16) по полученной функции фильтрации. Рабочее затухание при
произвольном коэффициенте дестабилизации А Е Е\ будет занимать
промежуточное положение между предельными функциями.
Детальный анализ полученных функций показал, что в полосе
пропускания имеются три экстремали, а именно: 1) А = —1; П = 0,45;
2) А = — 1; П = 0,99; 3) А = 1; Q = 1. В процессе воздействия
дестабилизирующих факторов в этих точках функция фильтрации
принимает предельно допустимые и чередующиеся по знаку значения ±0,1,


Синтез реактивных фильтрующих цепей
127
Рис. 5.6. Номинальная (Л = 0) и предельные (Л = ±1) зависимости затухания
оптимального фильтра от нормированной частоты
что соответствует Да = 0,043 дБ. В полосе задерживания также
имеются три экстремали: 1) А = —1; П = 1,3; 2) А = —1; П = 1,47;
3) А = 1; Q = 2,91. В этих точках рабочее затухание принимает
минимальное значение 22,8 дБ.
Таким образом, для полученного решения выполняются альтер-
нансные свойства, о которых говорилось выше, что свидетельствует о
его оптимальности. Из рис. 5.6 видно, что как в полосе пропускания,
так и в полосе задерживания имеются другие точки, в которых
рабочее затухание близко к указанным выше экстремальным значениям, но
все же не равно им. Это можно выяснить путем анализа численных
значений соответствующих функций.
5.5. Расчет аппроксимирующих функций
полиномиальных стабильных фильтров
В данном разделе показано, что задача аппроксимации при
синтезе стабильных полиномиальных фильтров несколько упрощается по
сравнению с общей задачей, рассмотренной выше, и сводится к задаче
линейного математического программирования. Для практически
важных случаев приведены табулированные решения.


128
Глава 5
Оптимальная функция фильтрации стабильного полиномиального
фильтра может быть найдена в результате решения общей задачи
аппроксимации, сформулированной в предыдущем разделе. Эту задачу
необходимо решать для каждого конкретного значения граничной
частоты fifc полосы задерживания Ез = [П*; оо], что затрудняет получение
табулированных решений. Однако в данном случае, как будет
показано ниже, оптимальная аппроксимация функции фильтрации в полосе
пропускания обеспечивает минимальные ее значения и в полосе
задерживания при любом Пь большем некоторого критического значения
Пкр. Это обстоятельство позволяет получить обобщенные решения и
представить их в виде, удобном для практического использования.
Сохраняя обозначения, принятые в предыдущем разделе в
формуле (5.19), будем рассматривать функцию фильтрации полиномиального
ФНЧ в процессе воздействия дестабилизирующих факторов
(5.22)
При этом номинальная функция фильтрации
(5.23)
полиномиального ФНЧ является четным (при к = 0) или нечетным
(при к = 1) полиномом относительно частоты П, степень которого
равна N = (2п -f к). Оптимальная функция фильтрации должна
наименее отклоняться от нуля в полосе пропускания при П ? Еч = [0; 1]
и при заданном диапазоне изменения коэффициента дестабилизации
А е Ег = [-1,1].
С учетом изложенного сформулируем задачу оптимального
конструирования стабильной функции фильтрации полиномиального ФНЧ:
определить вектор с коэффициентов четного (нечетного) полинома
<р(П,с) степени не выше N = 2п + к, для которого
В результате решения задачи (5.24) будет найдена функция
фильтрации заданного порядка, наименее отклоняющаяся от нуля в полосе
пропускания фильтра при заданном диапазоне изменения
коэффициента дестабилизации. Полиномы, удовлетворяющие (5.24), будем
называть оптимальными. В частном случае при А = 0 получим задачу
Чебышева, решением которой являются известные полиномы Чебыше-
ва, используемые при расчете полиномиальных фильтров.
Сформулированная задача (5.24) относительно варьируемых
коэффициентов с,- является линейной минимаксной задачей для двух незави-


Синтез реактивных фильтрующих цепей
129
симых переменных А и Q. Подобно обычной линейной аппроксимации
она может быть решена методами линейного математического
программирования. Для этого необходимо заменить непрерывные множества Е\
и #2 на дискретные и добавить к вектору варьируемых параметров еще
один сп+2- Тогда исходная задача (5.24) может быть заменена
эквивалентной: найти минимум функции Ф(с, сп+2) = сп+2 при ограничениях
где Лг и Qj независимо принимают значения из соответствующих
дискретных множеств. Эта эквивалентная исходной задача является
задачей линейного программирования и может быть решена по стандартным
программам на ЭВМ [54, 67].
Приведенная выше методика была использована для расчета
аппроксимирующих функций полиномиальных фильтров — прототипов
нижних частот различных порядков N =¦ 2...10 с предельными
относительными отклонениями параметров т/ = 0,03; 0,05 и 0,07. Результаты
сведены в табл. 5.3, в которой представлены коэффициенты
нормированных оптимальных полиномов (см. (5.23)).
Нормировка коэффициентов произведена таким образом, что
максимальное отклонение от нуля (в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов) на интервале —1 ^ Q ^ 1 для всех полиномов равно
единице. Аналогичная нормировка принята для полиномов Чебышева
[14]. В каждой клетке таблицы представлены три коэффициента,
первый из которых соответствует пц = 0,03, второй — т/ = 0,05,
третий — гп/ = 0,07.
На рис. 5.7 показана типичная нормированная функция,
являющаяся решением рассматриваемой задачи, а также соответствующие
предельные функции при А = ±1 в полосе пропускания ФНЧ для N = 7 и
ш/ = 0,07. Интересно отметить альтернансные свойства решения,
подтверждающие его оптимальность. Согласно критерию Чебышева [14,
15], примененному к рассматриваемой задаче, оптимальная функция
фильтрации в процессе воздействия дестабилизирующих факторов в
полосе пропускания должна не менее п + 1 раз принимать максимальные
по абсолютной величине значения чередующихся знаков. Для данного
примера п = 3 и имеются четыре экстремали: 1) Ai = —1; fix = 0,26;
2) А2 = -1; Q2 = 0,73; 3) А3 = -1; Q3 = 1,0; 4) А4 = 1; П4 = 1. "В точке
А = 1; П = 0,23 функция близка, но все же не равна 1.
Далее рассмотрим свойства оптимальных полиномов в полосе
задерживания, точнее за пределами полосы пропускания. Назовем
допустимым полином N-ro порядка <p(Q:c), для которого
(5.26)
при любых A G Е\ и Q Е Ег- Обозначим оптимальный полином,
полученный в результате решения задачи (5.24) после указанной выше
(5.25)


Синтез реактивных фильтрующих цепей
131
мальный полином в процессе воздействия дестабилизирующих факторов
<p\(Q,c*) принимает наибольшие по абсолютной величине значения из
всех допустимых полиномов, т.е.
(5.27)
Для примера на рис. 5.8 представлена оптимальная функция
фильтрации при N = 7 и га/ = 0,07 в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов при П ^ 1 (сплошные линии). Для сравнения здесь
же приведены номинальная (А = 0) и предельные (А = ±1) функции
фильтрации, построенные на основе полиномов Чебышева при тех же
параметрах N и т\.
Необходимо отметить, что исходный полином Чебышева в полосе
пропускания имеет максимальное отклонение от нуля равное 1.
Однако если рассматривать его в процессе воздействия дестабилизирующих
факторов по (5.22), то максимальное отклонение от нуля увеличится
до 4,43. Для того чтобы сделать этот полином допустимым, т.е.
удовлетворяющим неравенству (5.26), необходимо его коэффициенты
разделить на указанное значение. Полученный таким образом полином за
пределами полосы пропускания будет принимать меньшие в 4,43 раза
значения чем исходный полином Чебышева. Это нужно иметь в виду
при анализе функций рис. 5.8. Как видно, наименьшие значения
функций фильтрации соответствуют коэффициенту дестабилизации А = — 1
(наихудший случай). Однако при любом А, в том числе и в
наихудшем случае для Q > 1,3 значения оптимальной функции фильтрации
больше соответствующих значений функции фильтрации, построенной
на основе полинома Чебышева. Очевидно, что гарантированное
затухание в полосе задерживания фильтра необходимо оценивать по
наихудшей характеристике, т.е. при А = —1. Частота Пкр, удовлетворяющая
(5.27), может быть найдена из решения следующей задачи
аппроксимации: найти вектор с, для которого
(5.28)
и 6 принимает минимальное значение.
Заметим, что последнее неравенство требует максимизации
функции фильтрации за пределами полосы пропускания при фиксированных
А = — 1 и Q = Qi > 1. Задача (5.28) может быть решена по
алгоритму дробно-рациональной аппроксимации (см. разд. 5.4). Если
предположить, что существует частота Пкр > 1, для которой выполняется
условие (5.27), то тогда решения задач (5.24) (после соответствующей
нормировки коэффициентов) и (5.28) будут совпадать, если Q\ ^ ПКр-
Поэтому для определения значения Пкр нужно рассмотреть
последовательность задач (5.28) при уменьшающихся значениях Q.\. Наименьшее


132
Глава 5
Таблица 5.4
mi
0,03
0,05
0,07
N
2
1,13
1,23
1,33
3
1,13
1,23
1,34
4
1,13
1,24
1,36
5
1Д4
1,25
1,41
6
1,14
1,29
1,52
7
1,15
1.34
1,62
8
1Д7
1,39
1,8
9
1,18
1,46
2,04
10
1,18 i
1,48 '
2,28
значение fii, при котором решения задач (5.24) и (5.28) будут
совпадать, принимается за Пкр. Например, для рассматриваемого
примера (см. рис. 5.8) начальное значение fii было принято 1,8 и получено
Окр = 1,62. Для других оптимальных полиномов также найдены
значения Пкр, которые приведены в табл. 5.4.
Таким образом, если считать полосу 1 < Q < Пкр переходной
областью, а П > Якр — полосой задерживания, то в полосе задерживания
оптимальный полином, полученный в результате решения
сформулированной задачи (5.24), принимает наибольшие значения из всех
допустимых полиномов при любом A G Е\. Следовательно, полученные
оптимальные полиномы обладают экстремальными свойствами как в полосе
пропускания, так и в полосе задерживания при заданном диапазоне
изменения коэффициента дестабилизации.
Для конструирования функций затухания стабильных
полиномиальных фильтров на основе полученных оптимальных полиномов
необходимо задать коэффициент е, определяющий максимальную
неравномерность Дал характеристики затухания в полосе пропускания
фильтра в процессе воздействия дестабилизирующих факторов. При этом
Дал = 10lg(l + ?2), а функция фильтрации <?>(П) = e<pH(Q), где <рн(&)
— нормированная функция фильтрации порядка N, составленная по
(5.23) с коэффициентами с» из табл. 5.3.
В качестве иллюстрации на рис. 5.9 изображена номинальная
характеристика затухания, сконструированная на основе полученных
оптимальных полиномов при N — 7, ггц = 0,05 и Дал = 0,5 дБ. Характерной
особенностью таких функций является волнообразный вид с убыванием
максимумов по мере приближения к границе полосы пропускания.
Номинальная характеристика рассматриваемого фильтра при П > 1
монотонно возрастает. Если сравнивать номинальное затухание полученного
фильтра с затуханием обычного фильтра Чебышева при тех же iV и
Аа, то первый имеет несколько меньшее затухание в полосе
задерживания. Так при П = 1,5 сравниваемые фильтры имеют номинальные
затухания 39 и 43 дБ соответственно.
Найденная оптимальная функция фильтрации будет изменяться в
пределах от —е до е, а рабочее затухание — от 0 до Дал в полосе
пропускания соответствующего фильтра в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов при заданных величине предельного относительного
отклонения параметров га/ и диапазоне изменения коэффициента
дестабилизации Л ? [—1; 1]. По определенным выше оптимальным функциям


Синтез реактивных фильтрующих цепей
133
Рис. 5.9. Номинальная характеристика
затухания оптимального фильтра при
N = 7, ттц = 0,05 и ЛаЛ = 0,5 дБ
Таблица 5.5
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ЛаЛ = 0,01 дБ
—а
2,336499
1,665974
0,832987
0,431111
1,040359
0,858731
0,695546
0,26618
0,182861
0,496848
0,675801
0,593722
0,536362
0,375045
0Д35544
0,104593
0,292430
0,430736
0,505138
0,453369
0,233957
0,427082
0,351303
0,083052
0,362825
0,291489
0,191579
0,067609
0,400175
Р
2,451372
0
1,703774
1,418937
0,587989
0
0,795362
1,285207
1,21337
0,890832
0,326619
0
0,52597
0,944822
1,172106
1,142404
0,974438
0,653696
0,229843
0
0,990484
0,393654
0,738465
1,119413
0,513026
0,797129
0,999615
1,101596
0,176952
Дал =0,1 дБ
—а
1,244074
1,016479
0,50824
2,77707
0,669562
0,566919
0,460145
0,176686
0,124404
0,33504
0,45285
0,401154
0,363265
0,257584
0,094896
0,294251
0,203877
0,074906
0,343384
0,309233
0,291844
0,241894
0,165102
0,060435
0,249211
0,202318
0,136659
0,049797
0,273823
0
1,448351
0
1,263395
1,174352
0,487073
0
0,700015
1,129001
1,103775
0,813035
0,298299
0
0,491797
0,882685
1,089485
0,62077
0,924367
1,077885
0,218254
0
0,377869
0,708787
0,949408
1,067749
0,49633
0,770953
0,965277
1,059263
0,171203
Лал = 0,5 дБ |
— ОС
0,747604
0,657215
0,328607
0,184895
0,445094
0,381517
0,310732
0,119973
0,307132
0,229505
0,864436
0,273059
0,248001
0,179774
0,068303
0,234511
0,202206
0,144676
0,055485
0,211457
0,200039
0,167445
0,118780
0,045646
0,187596
0,17158
0,141238
0,099539
0,038143
Р
1,053049
0
1,070
1,062295
0,441286
0
0,656264
1,055489
0,285254
0,777512
1,050765
0
0,476152
0,854902
1,04804
0,212939
0,605811
0,902171
1,044625
0
0,370681
0,695402
0,931084
1,040632
0,168601
0,488802
0,759213
0,949728
1,03675
фильтрации известными методами [15, 37] могут быть рассчитаны все
характеристики и параметры элементов соответствующих фильтров. В
табл. 5.5 представлены полюсы a±j/3 функций передачи стас^пьных
полиномиальных ФПНЧ с т/ = 0,05 и Дад = 0,01; 0,1 и 0,5 дБ.


134
Глава 5
Данные, представленные в табл. 5.3-5.5 могут быть
использованы для реализации конкретных LC-фильтров, а также активных RC-
фильтров со стабильными характеристиками. По разработанному
выше алгоритму могут быть рассчитаны аппроксимирующие функции и
для других исходных данных (m/, N и Аа\), которые отсутствуют в
указанных таблицах.
5.6. Оптимальный синтез формирующих
LC-двухполюсников со стабильными
переходными характеристиками
Оптимальный синтез стабильных формирующих цепей может быть
выполнен в рамках общего подхода, предложенного в разд. 5.3. Как уже
отмечалось, синтез формирующих цепей осуществляется по временным
характеристикам (переходной, импульсной или переходной амплитуде).
В качестве примера применения общего метода рассмотрим постановку и
решение задачи оптимального синтеза стабильного LC-двухполюсника,
формирующего импульсы, по форме близкие к прямоугольной на ре-
зистивной нагрузке [31].
На рис. 5.10 представлена эквивалентная схема импульсного
генератора с формирующим двухполюсником Z$. В мощных импульсных
генераторах при формировании видеоимпульсов прямоугольной
формы в качестве формирующего двухполюсника используется
разомкнутый на конце отрезок однородной длинной линии или искусственная
линия (ИЛ), выполненная из конечного числа сосредоточенных
элементов (индуктивностей и емкостей) по одной из канонических схем. Будем
рассматривать схему формирующего двухполюсника (см. рис. 5.10) с
последовательными резонансными контурами. Переход к другим схемам,
в частности, к часто используемой лестничной, может быть выполнен
по известным формулам пересчета.
При формировании прямоугольных видеоимпульсов на резистивной
нагрузке переходная проводимость (ток через входные зажимы при
воздействии единичного ступенчатого напряжения) формирующего
двухполюсника должна иметь вид знакопеременной прямоугольной
функции, представленной на рис. 5.11 [31]. Длительность полупериода этой
Рис. 5.10. Эквивалентная схема импульсного генератора (а) и формирующий
двухполюсник (б)


Синтез реактивных фильтрующих цепей
135
Рис. 5.11. Переходная
проводимость формирующей линии
Рис. 5.12. Функция переходной проводимости
формирующего двухполюсника
кривой равна длительности формируемого импульса г, а амплитуда 1/р,
где р — волновое сопротивление ИЛ.
Далее будем рассматривать нормированную функцию переходной
проводимости единичного значения и с длительностью полупериода
т — -к.
Переходная проводимость ИЛ (см. рис. 5.10) с конечным числом
N контуров определяется соотношением
(5.29)
где А{ = \fCi/Li\ uji = l/y/CiLi', I = {Za,Ci, ....Ln,Cn} — вектор
параметров формирующего двухполюсника.
Оптимальный синтез формирующего двухполюсника предполагает
отыскание такого вектора его параметров, при котором
минимизируется принятый критерий близости двух функций, одна из которых
равна переходной проводимости (5.29), а другая — идеальной функции
(см. рис. 5.11). Подобная задача была рассмотрена и решена в [61], где
получены специальные нечетные тригонометрические полиномы,
наименее отклоняющиеся от единицы и которые могут быть использованы
в качестве переходной проводимости (5.29). При этом решалась
задача обобщенной линейной аппроксимации, когда в (5.29) варьировались
только коэффициенты А{ при синусоидах, а частоты Ш{ были
фиксированы в виде нечетных чисел 1, 3, 5,.... В качестве примера на рис. 5.12
показана такая функция при следующих условиях: N = 7; допустимое
отклонение от единицы 6 = ±0,007; относительное время нарастания от
уровня 8 до уровня (1 — 6) составляет тн = 0,29.
Для данного решения имеем минимальное время нарастания тн при
заданных N \л 6, или, что эквивалентно, минимальный выброс 6 при
заданных N и тн (при условии, что частоты ы,- в (5.29) фиксированы).
Если в качестве варьируемых параметров принять А{ и cj,- или
параметры элементов L{ и С», то обсуждаемая задача оптимального синтеза
будет нелинейной и может быть решена методами нелинейного
математического программирования.


136
Глава 5
Далее рассмотрим постановку задачи оптимального синтеза
формирующего двухполюсника с учетом нестабильности параметров
элементов. Согласно общему методу (см. разд. 5.3), будем рассматривать
переходную проводимость формирующего двухполюсника в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов. Предположим, что разбросом
коэффициентов влияния параметров элементов реактивного
двухполюсника можно пренебречь, т.е. положим, что аи « ста ~ 0. Как и прежде,
примем, что предельные средние относительные отклонения для
элементов одного вида одинаковы и равны тс для емкостей и шь для ин-
дуктивностей, а коэффициент дестабилизации Л может принимать
любое значение из интервала Е\ = [—1; 1]. Как указывалось выше, такой
механизм дестабилизации во многих случаях имеет место на практике и
приводит к детерминированным и примерно одинаковым для
элементов одного вида относительным отклонениям параметров. При
принятых предположениях переходная проводимость LC-двухполюсника в
процессе воздействия дестабилизирующих факторов может быть
записана через инварианты вариаций переходных функций, которые
получены в разд. 4.4. Согласно табл. 4.3, варьированная функция
переходной проводимости LC-цепи
(5.30)
где i/c = 1 + Лшс; vl = 1 + Ашь.
Таким образом, в общей задаче (5.7) (см. разд. 5.3) оптимального
синтеза электрической цепи со стабильными характеристиками для
рассматриваемого случая необходимо принять следующие конкретные
условия. Функция цепи — функция переходной проводимости (5.30);
интервал изменения независимой переменной t задается как Е2 = [^i(7r~~^)]»
где е определяет время нарастания переходной характеристики;
аппроксимируемая функция \p(t) = 1 при t G E2 (см. рис. 5.11); весовая
функция p(t) — 1.
Необходимо отметить, что функция переходной проводимости
(5.30) в процессе воздействия дестабилизирующих факторов
определяется номинальной функцией и не зависит от конкретной схемы
формирующего двухполюсника. Поэтому при постановке задачи (5.7) для
данного случая целесообразно в качестве варьируемых параметров
рассматривать коэффициенты А{ и Ш{ функции переходной проводимости.
Полученная в результате решения оптимальная функция будет таковой
для любой схемы формирующего двухполюсника, а параметры его
элементов однозначно определяются по коэффициентам оптимальной
переходной проводимости. Наиболее просто это определение можно сделать
для схемы рис. 5.10, а именно: L{ — 1/(Ди;г); С,- = А{/и{.
Учитывая изложенное выше, сформулируем задачу оптимального
синтеза стабильного формирующего LC-двухполюсника: определить
коэффициенты А{ > 0 и и>{ > 0 (г = 1,2,...,7V) функции переходной


Синтез реактивных фильтрующих цепей
137
Таблица 5.6
i
Aio
^tonx
1
1,26213
1
1,26312
0.96048
2
0,39199
3
0,39282
2,8843
3
0,20349
5
0.20425
4,81358
4
0,11586
7
0,11629
6,75217
5
0,06523
9
0.06539
8,70293
6
0,0341
11
0,03331
10,6569
7
0,0179
13
0.01681
12,6377
Рис. 5.13. Оптимальная функция переходной проводимости в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов
проводимости (5.29), для которых величина
принимает минимальное значение.
Задача (5.31) решается при фиксированном числе контуров N
реактивного двухполюсника. Если полученная величина 8 минимального
отклонения от единицы (выброса) переходной характеристики больше чем
допустимо техническим заданием, то задача решается вновь при
увеличенном числе N. Таким образом, будут определены коэффициенты Д- и
Ui, а следовательно, и параметры элементов реактивного
двухполюсника наименьшего порядка, переходная проводимость которого в процессе
воздействия дестабилизирующих факторов будет удовлетворять
заданным требованиям по времени нарастания и максимальному выбросу.
Сформулированная задача (5.31) после дискретизации переменных
Ли/ становиться задачей нелинейного программирования с линейными
ограничениями на варьируемые параметры в виде А{ > О и cj,- > 0.
Нелинейный характер задачи обусловлен тем, что часть
варьируемых.параметров представлены в минимизируемой функции под знаками
тригонометрических функций.
В качестве начального приближения целесообразно принять
рассмотренное выше известное решение аналогичной задачи без учета
возможной нестабильности при фиксированных частотах cj,-, полученное в
результате обобщенной линейной аппроксимации [61].
Сформулированная задача (5.31) реализована для вычислений на ЭВМ. В качестве
оптимизационной процедуры использован метод возможных
направлений, описание которого приведено в [54].
(5.31)


138
Глава 5
Для примера рассмотрим решение поставленной задачи при
следующих исходных данных: предельные относительные отклонения емкостей
тс = 0,07 и индуктивностей ть = 0,03; интервал изменения
коэффициента дестабилизации Л Е Е\ = [—1; 1]; интервал изменения независимой
переменной t Е #2 = [0,3; (7г — 0,3)] (интервал аппроксимации); число
контуров формирующего двухполюсника N = 7.
В табл. 5.6 представлены параметры переходной характеристики
формирующего двухполюсника для начального приближения из [61]
(Л,о и cj,o) и для полученного оптимального решения (А,-ОПт и ^опт)-
Максимальное отклонение от единицы в процессе воздействия
дестабилизирующих факторов для начальной характеристики <50 = 0,303, а
для оптимальной — бопт = 0,0269. Графики номинальной (Л = 0) и
граничных (А = ±1) переходных характеристик на интервале
аппроксимации приведены на рис. 5.13.
Таким образом, в результате решения сформулированной задачи
существенно (в 11,3 раза) уменьшено отклонение переходной
характеристики от заданной идеальной с учетом возможной нестабильности
параметров элементов формирующего LC-двухполюсника.


Глава 6
Ключевые генераторы
с улучшенным спектральным
составом выходного напряжения
6.1. Принципы построения ключевых
устройств с улучшенным спектральным
составом выходного напряжения
Основной недостаток ключевых генераторов (КГ) гармонических
колебаний, используемых в радиопередатчиках, усилителях,
преобразовательных устройствах и т.д., обладающих высокой энергетической
эффективностью, заключается в широком спектре гармоник выходных
колебаний. Фильтрация гармоник до требуемого уровня с помощью только
пассивных фильтрующих устройств ухудшает массогабаритные
характеристики КГ и уменьшает диапазон рабочих частот, перекрываемых без
перестройки фильтров. Устранение указанных недостатков возможно в
КГ с улучшенным спектром выходных колебаний [71-75]. В таких КГ
выходное напряжение в течение полупериода генерируемых колебаний
образуется из нескольких импульсов. Число импульсов, их амплитуда
и угловые координаты выбираются так, чтобы отсутствовал ряд низших
гармоник, которые, как правило, имеют наибольшую амплитуду [71-78].
Самыми эффективными по энергетическим показателям
являются КГ, выполненные на основе последовательных резонансных
инверторов (рис. 6.1). Важное достоинство таких КГ состоит также в том,
что на их основе могут быть созданы ключевые формирователи
гармонических колебаний (КФГК) с улучшенным спектральным составом
выходного напряжения. Форма выходного напряжения таких
формирователей состоит из ряда прямоугольных импульсов и синтезируется из
условия минимизации коэффициента гармоник выходного напряжения
или устранения наибольшего числа гармоник низких номеров при
заданном числе импульсов. В результате синтеза выходное напряжение
формируется из периодической последовательности прямоугольных
импульсов, характеристиками которых являются их амплитуда,
длительности, фаза и частота повторения. В соответствии с этим
синтезирование напряжения может осуществляться при неизменных или
изменяющихся амплитудах импульсов.
В первом случае импульсы могут быть одинаковой длительности,
но с различным взаимным расположением (время-импульсная модуля-


140
Глава 6
Рис. 6.1. Ключевой генератор на основе последовательных резонансных
инверторов
ция, ВИМ) или переменной длительности (широтно-импульсная
модуляция, ШИМ).
При формировании выходного напряжения из импульсов, имеющих
неодинаковые амплитуды, различают амплитудно-импульсную
модуляцию (АИМ), при которой длительности импульсов остаются
неизменными, и амплитудно-широтно-импульсную модуляцию (АШИМ), при
которой по определенному закону изменяются не только амплитуды
импульсов, но и их длительности. Наилучшие показатели по гармоническому
составу позволяет получить ступенчатая модуляция выходного
напряжения (СН) с одинаковыми или различными по ширине ступенями,
которая является частным случаем АИМ и получается из последней при
выполнении требования отсутствия пауз между импульсами.
Все методы рассматриваемого синтезирования формы выходного
напряжения КФГК с улучшенным спектром, которые можно назвать
дискретным синтезом, реализуемы при любой частоте выходного
напряжения.
Формирование выходного напряжения с улучшенным спектральным
составом производится непосредственно в КФГК (см. рис. 6.1).
Транзисторы, попарно отпираясь (VT1, VT3) и запираясь (VT2, VT4), образуют
прямоугольное напряжение (рис. 6.2,э) с амплитудой, равной
напряжению питания, при допущении, что внутреннее сопротивление источника
питания и сопротивление транзисторов в открытом состоянии равны
нулю. Переключая транзисторы в этой схеме по определенному алгоритму,
на входе формирователя можно получить напряжения, формы которого
приведены на рис. 6.2,6" и в. В данном КФГК улучшение спектрального
состава выходного напряжения ограничивается условием Е = const, и
на выходе формирователя можно получить напряжение с равными
амплитудами импульсов и угловыми координатами 0,-.
Синтезирование выходного напряжения КФГК с различными
амплитудами импульсов а{ может быть осуществлено при наличии
нескольких уровней напряжения питания формирователя (рис. 6.3).
Переключая транзисторы по требуемому алгоритму, можно получить
напряжение, форма которого показана на рис. 6.2,г. В формирователях
с улучшенной формой выходного напряжения выходной трансформатор


Ключевые генераторы
141
Рис. 6.2. Формы выходных напряжений КФГК
Рис. 6.3. Формирователь с тремя уровнями напряжения питания
помимо своих обычных функций (согласование с нагрузкой и
гальванической развязки формирователя и нагрузки) открывает
дополнительные возможности построения КФГК, обеспечивающих синтезирование
заданной формы кривой напряжения.
В КФГК без выходного трансформатора (см. рис. 6.1) могут
применяться как методы ШИМ, основанные на реализации специальных
алгоритмов переключения активных приборов в формирователе с несек-
ционированным источником, так и методы АИМ и СМ, реализуемые в
КФГК с несколькими источниками (рис. 6.3-6.6).
Секционирование первичных или вторичных обмоток
трансформаторов не только значительно расширяет возможности ключевых
формирователей, но и позволяет создать много устройств с различными
свойствами: комбинированные формирователи с секционированием по
первичной и вторичной обмоткам (рис. 6.7, 6.8); формирователи с не-


142
Глава 6
Рис. 6.4. Формирователь с несколькими ступенями выходного напряжения
сколькими раздельными трансформаторами (рис. 6.6), синтезирование
напряжения в которых происходит суммированием соединенных
последовательных вторичных обмоток; составные формирователи,
основанные на сочетании структурных особенностей нескольких вариантов схем
(например, с секционированием первичных обмоток и с несколькими
источниками и т.п.).
Рассмотрим формирователи выходного ступенчатого напряжения,
которое обладает наилучшим спектром при заданном числе
импульсов [75].
В схеме формирователя на рис. 6.3 число ступеней выходного
напряжения равно числу источников питания, причем уровни ступеней
равны соответственно Е\, Е\ + #2, #2 + Ез- При формировании
положительной полуволны выходного напряжения включены транзистор
VT8 и один из транзисторов VT1-VT3 в зависимости от уровня
напряжения, который необходимо получить в этот момент; при формировании
отрицательной полуволны эти же функции выполняют транзистор VT7
и группа транзисторов VT4-VT6.
Схема, изображенная на рис. 6.4, отличается тем, что в ней при том
же числе источников питания можно получить большее число ступеней:
где т — число источников питания.
Добавление одного (т + 1)-го источника напряжения увеличит
число ступеней на 2т, и при этом дополнительно потребуются лишь один
(т+1)-й диод. Применение нескольких источников питания с
переключателями, выполненными на активных приборах, усложняет источник
питания и увеличивает потери в переключательных элементах. Сумми-


144
Глава 6
Рис. 6.7. Комбинированный формирователь с секционированием по первичной и
вторичной обмоткам
Рис. 6.8. Комбинированный формирователь с секционированием по первичной и
вторичной обмоткам
рование выходных мощностей нескольких генераторов (рис. 6.5)
целесообразно при построении КФГК большой мощности.
В КФГК с многообмоточным трансформатором ключевые элементы
могут располагаться как по одной (первичной), так и по двум
(первичной и вторичной) его обмоткам. Наиболее простые варианты
расположения ключей по первичной обмотке показаны на рис. 6.7 и 6.8. В
схеме рис. 6.7 первичные обмотки трансформатора имеют числа витков
W\ = W3 и И^2 = Wi, причем W\ = W3 > W2 = W4. Подключив
к источнику питания при помощи транзисторов VT1-VT4 поочередно
обмотки трансформатора Wl (W3) и W2 (W4), на выходе
формирователя получим двухступенчатое напряжение. Недостатком схемы является
неполное использование трансформатора, так как каждая из обмоток
работает только часть периода. В схеме рис. 6.8 этот недостаток
частично устраняется, так как двухступенчатое напряжение формируется
подключением к источнику обмоток с числом витков обмоток W\ -f W2
(W3 + WA) (ступень UH2).
Если требуется увеличить число ступеней в выходном напряжении,
то в обеих схемах необходимо добавить два транзистора и две секции
в первичной обмотке на каждую следующую ступень (штриховые
линии на рис. 6.7 и 6.8).


Ключевые генераторы
145
6.2. Дискретный синтез выходного
напряженния ключевых устройств
с улучшенным спектральным составом
в базисе тригонометрических и в базисе
кусочно-постоянных функций
В ключевых генераторах (КГ), выполненных по схеме генератора
напряжения рис. 6.1 или генератора тока, нашедших широкое применение
на практике, выходное напряжение или ток, прикладываемое к входу
выходного тракта (фильтрующе-согласующей системы), имеют
знакопеременную прямоугольную форму (рис. 6.2,а,6). Наличие в спектре
прямоугольных импульсов гармонических составляющих с низким
порядковым номером большого уровня требуют для обеспечения ЭМС
применения фильтрующих систем с высокой избирательностью, что ухудшает
массогабаритные характеристики всего устройства.
Вначале рассмотрим методы формирования выходного напряжения
КГ специальной формы, в которых уменьшены или полностью
скомпенсированы низкие гармоники. При заданном числе переключений
активных приборов в течении полупериода генерируемых колебаний
большее число гармоник устраняется в напряжении ступенчатой формы (СН)
рис. 6.2,г, а при заданном спектре ключевые генераторы СН имеют
меньшее число переключении, а следовательно, меньшие динамические
потери. Напряжение ступенчатой формы может быть реализовано как с
различными, так и с одинаковыми величинами ступеней.
Синтез формы СН, т.е. определение угловых координат,
соотношения величины ступеней, номера и амплитуды низшей гармонической
составляющей, коэффициента гармоник и т.д., может быть осуществлен
в базисе как тригонометрических, так и прямоугольных функций. Для
синтеза формы СН в базисе тригонометрических функций, т.е.
определения угловых координат и соотношения ступеней, когда отсутствует
максимальное число низших гармоник при заданном числе ступеней, его
следует представить как сумму более простых функций, имеющих вид
симметричных прямоугольных импульсов, начала которых
определяются угловыми координатами в\, 02,...,0т, а амплитуды соответственно
равны a\, a2,...,am. Раскладывая эти функции в ряды Фурье и
суммируя коэффициенты при одинаковых гармониках, для исходной
функции СН записываем
Чтобы устранить гармоники 3, 5,...,гг, необходимо решить (п — 1)/2


146
Глава 6
равенств:
(6.i)
Значение п определяется числом независимых переменных,
входящих в каждое уравнение системы (6.1), и является функцией числа
ступеней S. В [71] проведено решение системы численными методами для
разных S и получены выражения для соотношения угловых координат
9т-\л ступени и амплитуды ступеней ат.
Синтез формы СН в базисе ортогональных прямоугольных функций
Уолша при заданном числе ступеней выходного напряжения
производится по двум критериям: минимума коэффициента гармоник (Кгт1П)
и максимума числа компенсируемых низших гармоник М.
Основная задача синтеза КГ ступенчатой формы оптимальных по
^rmin и числу компенсируемых гармоник М — определение высот
ступеней. Длительности ступеней СН одинаковы и равны 2tt/N, где N —
порядок аппроксимирующего ряда функций Уолша. Величины ступеней
определяются как алгебраическая сумма соответствующих
коэффициентов функций Уолша [72, 73, 78]:
где Y\, У2,...,Уз — система ортогональный функций Уолша на
интервале [0,27г].
Такой путь нахождения значений ступеней, особенно при их
большом числе, приводит к громоздким вычислениям и требует
определения коэффициентов ряда Уолша. Использование свойств ортогональных
функций позволяет получить общую формулу для вычисления
ступеней квазигармонического сигнала при представлении его рядом
функций Уолша [72, 73].
Формулы для вычисления ступеней ат СН и коэффициента
гармоник A'rmin в соответствии с [72, 73] имеют вид:
(6.2)
(6.3)
Формулы для определения амплитуды первой гармоники и
относительных амплитуд, присутствующих в спектре, можно записать


Ключевые генераторы
147
При ступенчатой аппроксимации синусоидального сигнала с
помощью функций Уолша в его спектре отсутствуют 2(7V/4 — 1), ближайших
к первой, нечетных гармоник. В частности, при N = 8 имеем
двухуровневую TV/4-аппроксимацию, и в спектре отсутствуют гармоники 3,
5. При N = 16 имеем четырехуровневую аппроксимацию, и в спектре
сигнала отсутствуют 3, 5 13 гармоники.
Недостаток ключевых генераторов СН с различными величинами
ступеней заключается в трудности их практической реализации.
Поскольку получаемые амплитуды ступеней различны и некратны, то для
их реализации необходимо применять ячейки с различными
напряжениями источников питания или выходные трансформаторы с некратным
отношением коэффициентов трансформации. Это приводит к
неидентичности ячеек и затрудняет технологичность их изготовления. Указанный
недостаток устраняется при реализации СН с одинаковыми ступенями.
Для определения угловых координате равными ступенями запишем
их в виде рядов Фурье так, чтобы отсутствовали низшие гармоники до
(2к+1) включительно, где к = 1,2,...,/ [75, 76]:
(6.4)
Функция F\(e) не содержит также гармоник S(2k -f 1), где S =
1,3,5.... Преобразуя произведение косинусов в (6.4), можно показать,
что для устранения третьей; третьей и пятой; третьей, пятой и седьмой
гармоник функция F\(0) должна соответственно иметь следующий вид:
(6.5)
(6.6)


148
Глава 6
(6.7)
Как следует из (6.5) и (6.6), для устранения третьей гармоники
достаточно одной ступени с угловой координатой 9\ = 30°; для устранения
третьей и пятой гармоник — двух ступеней с угловыми координатами
9\ = 12° и #2 = 48°. Для устранения каждой последующей гармоники
необходимо число ступеней увеличить в 2 раза.
Как отмечалось выше, в КГ синусоидальных колебаний со
ступенчатой формой выходного напряжения удается получить меньший
коэффициент гармоник или компенсировать большее число гармоник при
заданном числе переключений активных приборов по сравнению с
другими способами улучшения спектрального состава выходных колебаний.
Это позволяет получить больший коэффициент эффективности и
повысить частоту генерируемых колебаний. Однако ступенчатую форму
напряжения можно получить или путем секционирования переключаемых
с помощью активных приборов обмоток трансформатора, или с
использованием одного КГ и нескольких переключаемых источников питания,
или нескольких источников питания и нескольких КГ.
В первом случае формирователи характеризуются сравнительно
большим числом элементов, большой установленной мощностью
трансформатора и низким использованием активных приборов по
напряжению. Наличие же нескольких источников питания с переключателями,
выполненными на активных элементах, усложняет источник питания и
увеличивает потери в переключательных элементах.
Спектральный состав можно улучшить с помощью одной ячейки
КГ формируя несколько одноуровневых импульсов в течение
полупериода генерируемых колебаний рис. 6.2,в. Ширина импульсов изменяется
(модулируется) по определенному закону. Анализу спектрального
состава КГ, работающих в режиме широтно-импульсной модуляции (ШИМ),
когда ширина импульсов изменяется по определенному закону
(синусоидальному, треугольному или трапецеидальному) посвящены ряд работ.
Существенный недостаток КГ с ШИМ — наличие субгармоник,
фильтрация которых затруднительна, и необходимость использования большого
значения отношения тактовой частоты импульсов к частоте
генерируемых колебаний, что приводит к возрастанию динамических потерь.
Гораздо меньшая тактовая частота импульсов при заданном
спектральном составе одноуровневого напряжения получается при
исключении низших гармоник выбором определенных фиксированных
угловых координат импульсов. При этом формируемое напряжение может
быть как одноуровневым однополярным напряжением (ООН, рис. 6.9)
на полупериоде генерируемых колебаний, так и одноуровневым двухпо-
лярным напряжением (ОДН, рис. 6.10). ООН можно получить, если
КГ выполнен по мостовой схеме с диодами встречного тока, а ОДН —
по полумостовой. Для определения угловых координат импульсов ООН


Ключевые генераторы
149
Рис. 6.9. Одноуровневое однополярное напряжение
Рис. 6.10. Одноуровневое двухполярное напряжение
Таблица 6.1
Относительная амплитуда низших гармоник
иг/и2
1.10
1,06
1.04
1.02
1.01
U5
0,200
0
0
0
0
и7
0,143
0,259
0
0
0
и9
0
0,386
0,187
0
0
ип
0,091
0,263
0,201
0
0
Г/и
0,077
0,081
0,069
0,183
0
1/15
0
0,227
0,218
0
и17
0,059
0,075
0,086
0,181
и19
0,053
0,108
0,228
0,226
U2i
0
0,049
0,126
0,094
U23
0,0435
0,039
0,023
0,229
Таблица 6.2
Относительная амплитуда низших гармоник
Ux
1
1
UZ
0
0
Ub
0
0
и7
0,30
0
и9
0,49
0,29
Uu
0,36
0,53
UiZ
0,035
0,378
Ui/E
1,065
1,045
А'г
0,659
0,679
и ОДН следует так же, как и для СН, разложить эти напряжения в
ряд Фурье и приравнять коэффициенты соответствующих гармоник
нулю. Решением полученной системы уравнений на ЭВМ [75] определены
оптимальные угловые координаты импульсов для ООН и ОДН.
В табл. 6.1 и 6.2 приведены угловые координаты импульсов на
четверти периода выходных колебаний соответственно для ООН и ОДН.
Проведенное сравнение различных методов формирования
гармонических колебаний ключевыми генераторами показывает, что улучшение
спектрального состава выходных колебаний достигается усложнением
схемы и увеличением динамических потерь в КГ со ступенчатой формой
и динамических потерь с выходным напряжением типа ООН и ОДН.
Из проведенного анализа видно, что методы формирования
выходного напряжения позволяют улучшить массогабаритные характеристики
выходного тракта радиопередатчика путем компенсации низших
гармоник. Однако насколько они будут отличаться для одно-, двух- или
трехступенчатого выходного напряжения КГ со ступенчатой формой или для
КГ с формой выходного напряжения типа ООН или ОДН с различным


150
Глава 6
количеством импульсов в течение полупериода выходных колебаний,
т.е. как усложнение КГ или увеличение динамических потерь связано
с улучшением массогабаритных характеристик фильтрующей системы,
— ответ не получен.
На выбор той или другой формы выходного напряжения ключевых
генераторов с улучшенным спектральным составом (СН, ООН или ОДН),
синтез которого рассмотрен в данном параграфе при допущении, что
источник питания и активные элементы являются идеальными, могут
оказать влияние различные факторы. Этими факторами являются
конечное внутреннее сопротивление источника питания; конечные
сопротивления и напряжения отсечек в выходных характеристиках
транзисторов и диодов, конечные времена переключения транзисторов и диодов
и т.д. Эти факторы приведут в конечном итоге к тому, что выходное
напряжение в реальных ключевых генераторах, а следовательно, и его
спектральный состав будет отличаться от приведенного в данном
разделе. В следующих разделах будет рассмотрено влияние неидеальности
источников питания, транзисторов и диодов на спектральный состав КГ
с формой выходного напряжения типа СН, ООН и ОДН и
рекомендована та или иная форма выходного напряжения КГ и пути уменьшения
этого вредного влияния.
6.3. Расчет фильтра выпрямителя
ключевого генератора с уменьшенным
содержанием гармоник
Величина гармонических составляющих ступенчатого напряжения
(СН) на выходе ключевого генератора зависит не только от числа
ступеней, их угловых координат и соотношения амплитуд, но и от параметров
фильтра выпрямителя. Влияние фильтра обусловлено тем, что
гармонический состав выходного напряжения может изменяться, во-первых, в
результате паразитной модуляции СН напряжением пульсаций на
емкости Сф фильтра выпрямителя с частотой Q = дшс, где ис — круговая
частота сети; д — число пульсаций за период выпрямляемого
напряжения, во вторых, в связи с пульсациями напряжения на Сф,
вызванными протеканием импульсов тока в цепи питания генератора.
Следовательно, параметры фильтра выпрямителя должны быть рассчитаны
так, чтобы величины гармонических составляющих в нагрузке
генератора СН, обусловленные пульсациями напряжений на Сф, не
превышали допустимой величины.
Напряжение симметричной ступенчатой формы можно записать с
помощью рядов Фурье:


Ключевые генераторы
151
где Е — напряжение питания генератора; j — номер ступеньки
выходного напряжения; Tj — угловые координаты СН; к — число ступеней
(ячеек генератора); N = 0,1,2,3,....
Ступенчатое напряжение, амплитудно-модулированное
синусоидальным сигналом с частотой Q, описывается следующим выражением:
где m — индекс паразитной модуляции.
Все гармоники с их боковыми частотами в значительной степени
ослабляются антенным, согласующим и фильтрующим устройствами, а
боковые частоты несущей wt±Qt практически всегда находятся в
полосе пропускания избирательной нагрузки генератора. Единственный путь
их уменьшения состоит в снижении индекса паразитной модуляции до
такого уровня, чтобы мощность каждой из боковых частот несущей не
превышала допустимого значения Рдоп (для стационарных передатчиков
— 50 мВт, для передвижных — 200 мВт). Для генератора СН,
принципиальная схема включения фильтрующей системы и нагрузки которого
приведена на рис. 6.11, имеем [74]:
где Zi — последовательный индуктивный (1_ф) элемент фильтра, на
котором выделяются гармоники напряжения; Z2 — параллельный
емкостный (Сф) элемент фильтра, уменьшающий гармоники тока в
нагрузке ZH.
Будем считать, что суммарное сопротивление источника питания и
дросселя г <С дшсЬф, активная составляющая проводимости емкости
фильтра ЯуТСф < ZH, a ZH > 1/(дисСф). Тогда в Г-образном фильтре
выпрямителя, наиболее часто используемом в передающих устройствах,
необходимая величина т достигается при
(6.8)
где А'п — коэффициент пульсации, величина которого зависит от
схемы выпрямителя.
Определение величины индуктивности и емкости фильтра может
быть произведено, если установить дополнительные требования,
характеризующие сглаживающий фильтр. Такими требованиями могут быть:


152
Глава 6
Рис. 6.11. Генератор ступенчатого напряжения
получение минимальной массы или габаритные размеры фильтра,
получение определенного качества переходного процесса или расчет Сф
из следующего соображения.
Протекание импульсов тока в цепи питания приводит к пульсациям
напряжения Д{/сф на емкости фильтра с удвоенной частотой
генерируемых колебаний. Это вызывает появление четных гармоник
напряжения в выходном сигнале. Определим выражение для Д{/сф в
генераторе СН, питание всех ячеек которого производится от одного
источника, что позволяет существенно уменьшить габаритные размеры
фильтра выпрямителя.
Каждая ступенька выходного напряжения формируется в тот
момент, когда включаются два транзистора или два диода, расположенные
по диагонали моста. При этом величина импульсов тока гп(0) в цепи
питания изменяется скачком (рис. 6.12).
Будем считать, что достаточную для практики точность расчета
А?/сф обеспечивает аппроксимация формы тока косинусоидальными
импульсами. Тогда, полагая, что через дроссель фильтра
выпрямителя протекает только постоянная составляющая импульсов тока, а через
емкость — переменная, найдем напряжение пульсаций на Сф:
(6.9)
где U\ — амплитуда первой гармоники СН; ZBX — входное сопротивле-


Ключевые генераторы
153
Рис. 6.12. Ток в цепи питания генератора (а) и через емкость фильтра (б);
напряжение пульсаций на емкости фильтра (в)
ние нагрузки генератора; п — коэффициент трансформации выходного
трансформатора; (р — сдвиг фазы тока относительно первой гармоники
СН; tjy — частота генерируемых колебаний.
В интервале времени, когда ток через емкость фильтра
отрицателен, происходит заряд Сф, когда ток положителен — разряд. Таким
образом, полный перепад напряжения на Сф определяется либо
отрицательным, либо положительным зарядом, переносимым током г'сф.
Моменты времени 0с и в'с, соответствующие экстремальным
значениям напряжения на емкости фильтра, определяются как два наименьших
положительных значения уравнения
(6.10)
Как видно из рис. 6.12,6", 9q всегда находится в первой четверти
(0 ^ Ос ^ 7г/2), а в'с — во второй (7г/2 ^ в'с ^ 7г); при отсутствии
решения уравнения (6.10) следует считать 0с = 0 и в'с = 0.
Полагая, что величина пульсаций Д?/сфтах равна половине
перепала напряжения на емкости Сф, находим
(6.11)
Если генератор СН нагружен на последовательный контур, то с уве-


154
Глава 6
личением расстройки последнего растет величина реактивной энергии,
рекуперирующей в источник питания через обратные диоды. При этом
возрастают амплитуда и длительность отрицательных импульсов тока в
цепи питания генератора, что приводит к увеличению тока через Сф^ и
Д?Л:фтах- Своего наибольшего значения At/сфтах достигает при
расстройке контура относительно шу на половину полосы пропускания:
(6.12)
Из выражений (6.11) и (6.12) легко определить емкость фильтра
Сф по допустимой величине пульсаций Af/сфтах-
Амплитуду пульсаций напряжения на Сф, приводящих к появлению
второй гармоники в нагрузке, можно найти, разлагая выражение (6.9)
в ряд Фурье. Однако с необходимой для практики точностью ее
можно вычислить проще, разлагая в ряд Фурье выражение для тока в цепи
питания in(t) = (Ui/ZBX)n2k2s\n(ujt — (р) и умножая амплитуду второй
гармоники тока на сопротивление емкости фильтра для удвоенной
частоты генерируемых колебаний:
(6.13)
Следовательно, чтобы мощность второй гармоники в нагрузке не
превышала допустимой, емкость фильтра выпрямителя должна быть
где Z[, Z'i и Z'H — соответственно сопротивления
последовательного и параллельного элементов фильтрующей системы и
сопротивление нагрузки на частоте, в два раза превышающей частоту
генерируемых колебаний.
Таким образом, выведены соотношения, позволяющие рассчитать
параметры фильтра выпрямителя, исходя из допустимых мощностей
гармоник и величины пульсаций напряжения. Определив величину
емкости Сф с помощью выражений (6.8) и (6.11)—(6.14), при
проектировании фильтра берем большее из получившихся значений.
Для экспериментального подтверждения расчетных данных был
изготовлен лабораторный макет ключевого генератора мощностью 500 Вт с
двухступенчатой формой выходного напряжения, ступени которого
имели равные амплитуды и угловые координаты т\ = 12°, т^ — 48°.
Генератор был собран по схеме, представленной на рис. 6.9, и работал
в диапазоне частот 40...80 кГц.
Отношение допустимой мощности гармоник к мощности первой
гармоники Рдоп/Pi = —40 дБ. Третья и пятая гармоники, измеренные на
входе фильтра нижних частот (ФНЧ), составляли соответственно —48


Ключевые генераторы
155
и —46 дБ. Наибольшую из оставшихся, седьмую гармонику,
составляющую —23 дБ, ФНЧ должен был ослабить не менее, чем на —17 дБ.
Такое подавление во всем диапазоне частот обеспечивал ФНЧ второго
порядка с максимально плоской амплитудно-частотной
характеристикой, рассчитанной по Баттерворту.
Емкость фильтра выпрямителя, рассчитанная из условия, чтобы
мощность второй гармоники в нагрузке была не более 50 мВт, равнялась
8 мкФ, а из условия, чтобы величина пульсаций напряжения с удвоенной
частотой генерируемых колебаний не превышала 5 %, — 3,5 мкФ.
Гармонические составляющие в нагрузке, обусловленные
пульсациями напряжения на Сф = 8 мкФ, были измерены анализатором
спектра С4-25. Экспериментальные данные превысили расчетные не более
чем на 25 %.
Выбрав наибольшую емкость фильтра, рассчитанную из условий,
чтобы величина пульсаций напряжения на Сф не превышала
допустимые величины или чтобы мощность второй гармоники тока в нагрузке
не превышала 200 или 50 мВт, из выражения (6.8) рассчитаем
индуктивность фильтра источника питания Ьф.
6.4. Влияние неидеальности ключевых
свойств активных элементов на ухудшение
спектрального состава КГ
Синтез формы выходного напряжения с уменьшенным
содержанием гармонических составляющих осуществляется при ряде допущений.
Первое допущение — идеальность источника питания КГ, т.е. источник
имеет нулевое внутреннее сопротивление. Второе допущение —
транзисторы и диоды идеальны, т.е. падение напряжения на них равно
нулю; переключаются транзисторы и диоды мгновенно, т.е. длительность
фронта и спада напряжения на выходе ключевого усилителя равны
нулю. Неидеальность источника питания, как рассмотрено в разд. 6.3,
приводит к пульсациям напряжения на емкости фильтра и появлению
четных гармоник тока.
Влияние остаточного напряжения Uq на транзисторах и диодах и
их инерционности проявляется в том, что форма выходного
напряжения ключевых генераторов СН, ООН и ОДН отличается от идеальной,
рассчитанной в [74, 79], и низшие гармоники будут компенсироваться
неполностью. Уровень некомпенсированных гармоник тем выше, чем
больше напряжение Uo и меньше напряжение источника питания, а
также чем больше инерционность приборов и выше частота
генерируемых колебаний.
Рассмотрим влияние падения напряжения Uo на транзисторах и
диодах в открытом состоянии на спектральный состав КГ СН и в КГ с
формой выходного напряжения ООН и ОДН с дополнительным числом


156
Глава 6
Рис. 6.13. Формы выходного напряжения генератора с учетом падения
напряжения на активных элементах: а — ступенчатое; 6 — одноуровневое однополярное; в
— одноуровневое двухполярное
коммутаций на полупериоде коммутаций при исключении низших
гармоник. На рис. 6.13 штриховыми линиями показаны напряжения СН,
ООН и ОДН при идеальных активных приборах, угловые координаты
ступеней и отдельных импульсов которых такие, что исключены низшие
гармоники. Сплошными линиями изображены напряжения СН, ООН и
ОДН с учетом uo(t), из-за которого полностью не удается исключить
низшие гармоники. Для определения не полностью исключенных
низших гармоник следует записать реальное выходное напряжение на
отдельных интервалах времени и разложить его в ряд Фурье. Реальное
напряжение можно представить как разность напряжения с
идеальными ключами и напряжения uo(t). Поскольку в спектре выходного
напряжения указанных КГ с идеальными активными элементами низшие
гармоники равны нулю, значение последних при использовании
реальных приборов определяется uo(t).
Таким образом, для расчета спектров генераторов необходимо
определить зависимости Uq от тока нагрузки IH sm^ut — (p), сопротивления
насыщения транзисторов и дифференциального сопротивления диодов,
а также напряжения отсечки их выходных характеристик и разложить
их в ряд Фурье. При определении напряжения Uq на различных ин-


Ключевые генераторы
157
тервалах работы КГ СН, ООН и ОДН следует иметь в виду, что когда
формируется импульс напряжения, ток в КГ (см. рис. 6.5, 6.6)
протекает от источника питания через два транзистора диагонали моста или
от нагрузки, имеющей на практике всегда комплексный характер, в
источник питания. Когда формируется пауза напряжения, ток протекает
через нагрузку, верхние по схеме транзистор и диод и положительную
шину питания или через нагрузку, низшие по схеме транзистор и диод
и отрицательную шину питания.
Длительность паузы равна временному сдвигу импульсов
управления между транзисторами диагонали моста. С учетом отмеченного
напряжения S-ступенчатой формы uo(t) в течение полупериода
колебаний можно записать [76]
(6.15)
где га — номер ступеньки, изменяющейся от 0 до s\ t — текущее время
в интервале m-й ступеньки, изменяющееся в пределах tm ^ t ^ *m+i
для восходящих ступеней и Т/2 — tm+i ^ t ^ Т/2 — tm для
нисходящих ступеней; гтр и гд — соответственно сопротивление насыщения
транзистора и дифференциальное сопротивление диода; 1Н и <р —
амплитуда и фаза тока нагрузки; Е' — напряжение отсечки на выходных
характеристиках диода и транзистора.
В уравнении верхний и нижний знаки следует брать
соответственно в интервалах времени
(6.16)
(6.17)
Разложение напряжения щ{1) в ряд Фурье дает нечетные
гармоники, определяемые коэффициентами при синусоидальных и косинусои-
дальных членах функции разложения:
(6.18)


158
Глава 6
, (6.19)
где A: = 1,2,3...; 9m = utm (u; — круговая частота генерируемых
колебаний; tm — временные координаты ступеней).
В выражениях индекс г равен наибольшему номеру ступеньки,
угловая координата которой меньше (р. Так, если 0 ^ (р ^ в\, то
следует полагать г = 0. Тогда
Если 9\ ^ (р ^ $2, то г*1 = 1 и т.д. При <р = О
(6.21)
Для ООН и ОДН (см. рис. 6.13,6, в) с числом дополнительных
коммутаций на четверти периода выходного напряжения, равным п,
остаточное напряжение в течении полупериода выходного напряжения
можно записать в виде
(6.22)
где 2 — текущее время, изменяющееся в пределах tm ^ t ^ <m+i Для
первой четверти периода и Т/2 — tm+\ ^ t ^ Т/2 — tm для второй;
а = 1, /? = 0 для ООН; о = 1/2, /? = 1 для ОДН.


Ключевые генераторы
159
Для двухполярного напряжения /? равно 0 или 1, если при t = О
напряжение соответственно положительно или отрицательно. Если в
ООН при t = 0 напряжение равно нулю, то в (6.22) индекс
суммирования начинается с нуля.
Коэффициенты разложения Uo(t) в ряд Фурье при одноуровневом
напряжении составляют:
(6.23)
(6.24)
В уравнениях (6.23) и (6.24) индекс г определяется, как и в (6.19)
и (6.20). При <р = 0 получим
(6.25)
С помощью выражений (6.18)—(6.21) и (6.23), (6.24) рассчитаны
значения неполностью скомпенсированных низших гармоник в
генераторах СН, ООН и ОДН в зависимости от (гтр - гд)/Ян для отношений
Е'/Е, равных 0, 0,1, 0,015, 0,02, и <р, равных 0, 10, 20, 30, 40°. Для


260
Глава 8
8.3.2. Исследование коэффициента подавления
низкочастотных пульсаций с использованием
частотных характеристик импульсной модели ИПН
На рис. 8.22-8.26 были приведены АЧХ и ФЧХ ИПН для
приближенной модели, полученной методом усреднения и линеаризации, которая
не учитывает влияние нелинейного элемента RS-триггера в цепи
управления. Наряду с частотными характеристиками приближенной
непрерывной и линеаризированной модели, никак не учитывающей влияние
вводимого нелинейного элемента RS-триггера, исследовались
коэффициенты подавления НЧ пульсаций с использованием импульсной модели
с учетом и без учета RS-триггера.
На рис. 8.27 приведены низкочастотные пульсации напряжения на
выходе ИПН с частотой / = 1 кГц, рассчитанные временным методом
переменных состояния при использовании корректирующего звена с
постоянными времени Т\ = 100 мкс, Гг = 10 мс, Ку = 300 и амплитудой
гармонической составляющей на входе {/вх~ = 10 В соответственно для
ИПН без и с RS-триггером в цепи управления. Полный размах пульсаций
на выходе при учете триггера составляет 1,45 В, ослабление
низкочастотной составляющей происходит в 15 раз (22,8 дБ). Без учета триггера
размах пульсаций 37 мВ, ослабление низкочастотной составляющей — 540
раз (54,6 дБ). В соответствии с АЧХ (рис. 8.25,а), рассчитанной для
непрерывной усредненной модели, ослабление низкочастотных
пульРис. 8.27. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева при Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, UbX.nyjI = 10 В,
/ьх.пул = 1 кГц: а — с RS-триггером; 6— без RS-триггера


Исследование характеристик преобразователей напряжения 261
Рис. 8:28. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева при Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, ?/вх.пул = 50 В,
/вх.пул = 1 кГц: а — с RS-триггером; б— без RS-триггера
саций с частотой 1 кГц при данных постоянных времени звена коррекции
составляет 40 дБ (« 100 раз). Аналогичные расхождения подавления
низкочастотных пульсаций, рассчитанных для импульсных моделей с
учетом и без учета RS-триггера, а также для непрерывной усредненной
модели, имеют место при других амплитудах гармонических
составляющих на входе ([/вх = 50 В, рис. 8.28), других постоянных времени цепей
коррекции и коэффициентов усиления УПТ.
Естественно, что рассчитанная данным способом АЧХ с помощью
точного временного метода переменных состояния с учетом RS-триггера
более точна, чем АЧХ разомкнутой петли ОС, рассчитанная по
приближенной модели. Поэтому на рис. 8.29-8.33 приведены коэффициенты
ослабления входных НЧ пульсаций, рассчитанные с помощью
импульсной модели при разных амплитудах низкочастотных пульсаций на входе
ИПН, для различных коэффициентов усиления УПТ в цепи ОС и
различных постоянных времени корректирующих звеньев.
Без RS-триггера имеет место гораздо лучшее подавление низко-


162
Глава 6
торов с одноуровневым напряжением и дополнительным числом
коммутации. Поскольку с увеличением числа ступеней от одного до трех
спектр СН с учетом uo(t) улучшается, а при дальнейшем увеличении
числа ступеней ухудшается, то двух- и трехступенчатую формы с
равными величинами ступеней следует считать наиболее целесообразными не
только с учетом ранее рассмотренных факторов, но и uo(t).
Влияние инерционности активных элементов на качественные
характеристики сигнала формирователей со специальной формой
выходного напряжения проявляется, во-первых, в том, что фронт и срез
имеют конечную длительность, а во-вторых, угловые координаты ступеней
и импульсов напряжения отличаются от оптимальных. В транзисторных
КГ на длительности этого отклонения влияют: коллекторные емкости,
амплитуда и форма управляющих импульсов.
Уменьшение влияния падения напряжения на активных приборах
на ухудшение спектрального состава КГ с уменьшенным содержанием
гармоник можно осуществить, выбирая приборы с меньшим остаточным
напряжением (как правило, более дорогие), либо осуществляя
параллельное соединение приборов, т.е. усложняя и удорожая устройство. В
[80] показано, что при заданных дифференциальных сопротивлениях
транзистора, диода, сопротивлении нагрузки и напряжения отсечки Е'
можно уменьшить уровень неполностью скомпенсированных гармоник,
изменяя отношение напряжения отсечки транзисторов и диодов (Е1) к
напряжению источника питания (Е) Е'/Е с помощью дополнительной
вторичной обмотки входного трансформатора, включенного
последовательно с диодами.
Можно уменьшить влияние падения напряжения на активных
приборах на ухудшение спектрального состава КГ, осуществляя работу КГ
со ступенчатой формой тока, а не с синусоидальной. Это возможно,
когда КГ работает на «вилку» фильтров ФНЧ и ФВЧ [81, 82],
которая имеет постоянное резистивное сопротивление в диапазоне частот.
Однако формирователи с резонансной нагрузкой, т.е. синусоидальной
формой тока имеют более простой выходной тракт, потери мощности,
обусловленные высшими гармониками, могут быть очень малы при
достаточной избирательности нагрузки. Однако с ростом тока
коллектора или снижением напряжения питания существенно искажается форма
выходного СН при синусоидальной форме тока КГ и возникают низшие
компенсирующие гармоники (третья, пятая, седьмая и т.д.) достаточно
большой величины —30... — 45 дБ, что делает нецелесообразным
реализацию КГ с числом ступеней более трех.
6.5. Синтез выходных фильтрующих
устройств ключевых генераторов с
уменьшенным содержанием гармоник
В данной главе проведен обзор ключевых генераторов с
уменьшенным содержанием гармоник: КГ со ступенчатой формой выходного на-


Ключевые генераторы
163
пряжения (СН), однополярной одноуровневой (ООН) и однополярной
двухуровневой (ОДН) формами выходного напряжения. Рассмотрено
количество компенсируемых низших гармоник в КГ СН в зависимости
от числа ступеней с равными и различными амплитудами ступеней, с
кратными и некратными угловыми координатами ступеней, а также в
КГ ООН и КГ ОДН в зависимости от числа дополнительных
коммутаций активных приборов на четверти полупериода выходных
колебаний. Рассмотрено влияние реальных характеристик активных приборов
(остаточного падения напряжения на транзисторах и диодах и конечного
времени их переключения) на спектральный состав выходного
напряжения таких КГ, т.е. на величину низших неполностью
скомпенсированных гармоник. Показано, что величина неполностью
скомпенсированных низших гармоник (3-й, 5-й, 7-й) в КГ СН не может быть без особых
технических усложнений уменьшена более чем на 40...45 дБ по
сравнению с первой гармоникой и она больше неполностью
скомпенсированных гармоник в КГ ООН. Наименьшее значение величина неполностью
скомпенсированных низших гармоник (—50 дБ) имеет место в КГ ОДН.
Показано, что на величину побочных излучений в КГ с уменьшенным
содержанием гармоник, оказывают влияние пульсации напряжения на
емкости фильтра выпрямителя с частотой пульсаций сети и с
частотой импульсов тока, протекающих в цепи питания, равной удвоенной
частоте генерируемых колебаний.
Увеличение числа компенсируемых гармоник позволит
соответственно увеличить граничную частоту полосы задерживания фильтров Пк,
а следовательно, как видно из рис. 3.5,а и 3.6,а, уменьшить реактивную
энергию, массу и габаритные размеры фильтрующих устройств. Чтобы
осуществить оптимизацию фильтрующей системы с целью минимизации
ее реактивной энергии, массы и габаритных размеров для КГ с
уменьшенным содержанием гармоник в выходном напряжении следует более
подробно исследовать зависимости реактивной энергии в
оптимизированных фильтрах от fiK для различных значений рабочего затухания а$.
В табл. 6.3 приведены зависимости реактивной энергии Wonr от Пк
для ао = 30, 40, 50 и 60 дБ оптимизированных вариантов фильтрующих
устройств. Из таблицы видно, что с увеличением Пк для всех рабочих
затуханий в полосе задерживания ао, реактивная энергия WOTlT
уменьшается в одинаковое число раз. Так при QK = 7 уменьшение WonT по
сравнению с И^опт = 1>2 происходит в 25 раз; при Пк = 5 в 17 раз; при
QK = 3 в 9 раз, а при QK — 2 в 4,8 раза. Следует особо подчеркнуть, что
выигрыш в уменьшении реактивной энергии с ростом QK; получен
дополнительно за счет уменьшения гармоник в выходном напряжении КГ.
При выборе Пк, которое зависит от типа КГ с уменьшенным
содержанием гармоник, следует учитывать ряд факторов. Так, например, при
выходных мощностях ключевых генераторов в десятки-сотни киловатт,
когда требуется не только большое затухание в полосе задерживания
ао ^ 60 дБ, но и целесообразно суммирование мощностей отдельных


164
Глава 6
Таблица 6.3
ао. дБ
30
40
50
60
Порядок фильтра п
9
7
5
5
4
3
3
12
9
9
7
5
4
4
15
12
11
8
6
5
5
18
14
12
10
7
6
6
Ок
1.2
1,4
1.6
2,0
3.0
5.0
7,0
1.2
1.4
1.6
2.0
3,0
5,0
7.0
1,2
1,4
1,6
2,0
3,0
5,0
7.0
1,2
1,4
1.6
2,0
3,0
5,0
7.0
гУопт
39,0
20,5
13,6
8,36
4,3
2,3
1.6
55
28
18,7
11,4
6,0
3,2
2.2
71
35
23,7
14,6
7,7
4
2,7
87
43
29
17,7
9,5
5
3,4
ЖоптЙк = 1,2
wonT
1
1.9
2,9
4,7
9
17
24,4
1
1.96
3
4,8
9,2
17
25
1
2,0
3,0
4,8
9.2
17;7
26,3
1
2
3
4,9
9,0
17,4
25,8
блоков, следует использовать трехступенчатое выходное напряжение, в
котором будут скомпенсированы третья, пятая, седьмая и девятая
гармоники до —45 дБ [71, 75]. Низшей некомпенсируемой гармоникой будет
одиннадцатая гармоника, которая меньше первой более чем на —20 дБ.
При этом если рабочий диапазон частот составит Q = 0,4 ... 1, тогда
граничная частота полосы задерживания Пк = 4,4. Если бы выбрали КГ,
выполненный по классической мостовой схеме с диодами встречного
тока (см. рис. 6.1), выходное напряжение которого имеет форму меандра, в
котором низшей является третья гармоника, составляющая по величине
33 % первой, то в этом случае граничная частота полосы задерживания
фильтра Пк = 1,2. Воспользовавшись результатами табл. 6.3,
нетрудно определить, что дополнительный выигрыш в уменьшении реактивной
энергии фильтров за счет увеличения граничной частоты полосы
задерживания с Пк = 1,2 до QK = 4,4 составят 13 раз.
Таким образом, выигрыш в уменьшении WonT при переходе от
классической схемы КГ рис. 6.1 с формой выходного напряжения типа
«меандр» к трехступенчатой форме, в которой отсутствуют третья, пятая,


Ключевые генераторы
165
седьмая и девятая гармоники более значителен, чем выигрыш,
получаемый при оптимизации фильтрующей системы по реактивной энергии.
С уменьшением мощности до нескольких киловатт, когда
суммирование блоков может оказаться нецелесообразным из-за усложнения
выходного ключевого усилителя мощности, можно либо выбрать
мостовую схему КГ (см. рис. 6.1), которая реализует одноступенчатую
форму выходного напряжения с нулевой ступенью (т\ = 30°), в которой
устранена низшая третья гармоника. При этом низшей гармоникой,
которая должна фильтроваться, будет пятая и она составляет от первой
примерно —17 дБ. При этом если рабочий диапазон частот
составляет й) = 0, 6... 1, то Пк = 3. Граничная частота полосы задерживания
КГ, выполненного по схеме рис. 6.1 с формой выходного напряжения
типа «меандр» равна Пк = 1,8. Выигрыш в уменьшении WonT
составит 2,5 раза. С расширением рабочего диапазона частот Q — 0,4... 1
граничные частоты полосы задерживания соответственно будут Пк = 2
и Пк = 1,2. В этом случае выигрыш в уменьшении WonT
фильтрующей системы составит 4,5 раза.
При необходимости этот выигрыш можно существенно увеличить,
реализуя КГ по схеме, приведенной на рис. 6.1, но с таким
алгоритмом управления транзисторами, когда выходное напряжение имеет
одноуровневую однополярную форму с дополнительным числом
коммутаций на полупериоде выходных колебаний, в которой будут устранены
ряд низших гармоник (см. табл. 6.1). Этим самым увеличивается QK
и уменьшается WOTlT, но при этом увеличиваются динамические потери
в транзисторах, что приведет не только к снижению КПД, но и к
снижению надежности работы генератора. Снижение динамических потерь
приводит к техническому усложнению генератора.


Глава 7
Переходные и установившиеся
процессы в ключевых генераторах
с квазисинусоидальной формой
выходного напряжения и
синусоидальной формой тока
7.1. Ключевой генератор
с квазисинусоидальной формой выходного
напряжения и синусоидальной формой
тока
Широкое применение в радиотехнических и преобразовательных
устройствах нашли энергетически высокоэффективный ключевой
генератор тока (рис. 7.1) и генератор напряжения (рис. 6.1). В
преобразовательной технике ключевой генератор тока и генератор напряжения
получили соответственно название параллельный инвертор и
последовательный инвертор по типу нагрузочного контура.
В генераторах тока (рис. 7.1) в цепь источника питания
включается реактор с большой индуктивностью, ток в цепи питания постоянный,
а ток через активные приборы и на входе суммарной нагрузки имеет
близкую к прямоугольной форму, а форма и фаза выходного
напряжения зависит от параметров нагрузки.
В генераторах напряжения (рис. 6.1) в цепь питания включается
конденсатор достаточно большой емкости; напряжение,
прикладываемое к активным приборам и суммарной нагрузке, имеют прямоугольную
форму, а форма и фаза выходного тока зависят от характера нагрузки.
К недостаткам ключевых генераторов тока следует отнести:
возможность возникновения чрезмерных перенапряжений на дросселе и
активных приборах при скачкообразных изменениях параметров нагрузки,
Рис. 7.1. Ключевой генератор тока


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 167
напряжения питания или импульсной работе генератора. В режимах
холостого хода инвертор тока неработоспособен вследствие чрезмерного
увеличения амплитуды прямого и обратного напряжения на
транзисторах. В генераторах тока, благодаря большой индуктивности входного
реактора, облегчается построение токовой защиты.
В ключевом генераторе напряжения источник питания работает в
режиме генератора напряжения. Если генератор питается не от
аккумулятора, то, как отмечалось выше, на его входе включается конденсатор
достаточно большой емкости для обеспечения проводимости
источника постоянного напряжения в обратном направлении. Это необходимо,
когда нагрузка имеет реактивный характер, при этом в течение части
полупериода генерируемых колебаний ток через диоды протекает от
нагрузки в источник питания. Конденсатор Сф в генераторе напряжения
выполняет функции фильтра высших гармоник тока в цепи питания,
поскольку через него протекает переменная составляющая тока в цепи
питания с удвоенной частотой генерируемых колебаний,
представляющая собой разность между входным и переменным выходным токами
в цепи питания. Генератор напряжения в отличие от генератора тока
может работать в режиме холостого хода.
Основное достоинство генераторов тока и напряжения — большой
коэффициент использования активных приборов по мощности. Это
обусловлено большими коэффициентами использования, равными
единице по току и напряжению соответственно в генераторах тока и
напряжения.
Критерий мощности устройства [83] определяется как отношение
выходной мощности в нагрузке Рвых к эталонной мощности Рэ:
В качестве «эталонной» является мощность во внешней цепи Р3,
отдаваемая прибором, работающим на активную нагрузку в ключевом
режиме с электронным КПД rj = 1. При этом токи и напряжения имеют
прямоугольную форму с амплитудами, равными максимально
допустимым значениям тока /тд0п и напряжения С/тдоп со скважностью, равной
двум. Эта мощность определяется соотношением
В [83] показано, что при тех же самых значениях тока /тд0п и
напряжения итдоп во внешней цепи мощность Рвых усилительного прибора в
любом другом режиме окажется меньшей, чем мощность Рэ.
Поскольку электронный КПД ключевого генератора близок к
единице, то потребляемая мощность Pq практически совпадает с отдаваемой
во внешнюю цепь мощностью Рьых'-


168
Глава 7
где Eq — напряжение источника питания; Iq — постоянная
составляющая тока.
Критерий мощности
При полном использовании активного прибора по току и
напряжению максимальные (пиковые) значения тока 1т и напряжения Um
выбираются равными предельно допустимым значениям /mAon и ^тдоп-
Тогда выражение для критерия мощности можно представить в виде
Оба отношения Ки = Eo/Um и А"/ = 1о/1т, которые называют
соответственно коэффициентами использования прибора по
напряжению Кц и току Ki, не зависят от величины тока и напряжения и
определяются лишь их формой, т.е. режимом работы активного прибора.
Чем больше коэффициент Ккр.м, тем большая мощность может быть
получена от прибора.
Отдаваемая во внешнюю цепь мощность устройства
пропорциональна эталонной мощности Рэ используемого в нем активного прибора:
К третьей группе ключевых генераторов следует отнести
резонансные инверторы. По сравнению с ключевыми генераторами тока и
напряжения схемы резонансных инверторов более разнообразны.
Резонансные инверторы могут питаться от источников, работающих в режиме
генератора ЭДС или тока. В первом случае источник питания обладает
малым, а во втором — большим сопротивлением для переменной
составляющей входного тока инвертора. Поскольку резонансные инверторы
имеют близкую к синусоидальной форму напряжения и тока в нагрузке,
плавное нарастание и спад тока через активные приборы, то они имеют
малые коммутационные потери в активных приборах.
Основной недостаток резонансных инверторов —существенно
меньший (в несколько раз) коэффициент использования усилительных
приборов по мощности, т.е. меньшая выходная мощность при заданном типе
и числе активных приборов по сравнению с коэффициентом
использования по мощности генераторов тока и напряжения.
Следует отметить, что конкретные схьмы ключевых генераторов
часто обладают одновременно признаками разных классификационных
групп в зависимости от соотношения параметров, режима работы и т.д.
Например, генератор тока при малой индуктивности дросселя в цепи
питания по существу становится резонансным инвертором, токи и
выходные напряжения которого имеют квазисинусоидальную форму.


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 169
Особое место занимает ключевой генератор с малой емкостью в
цепи питания, схема которого не отличается от схемы генератора
напряжения. Однако благодаря уменьшению емкости конденсатора фильтра
источника питания данный генератор приобретает принципиально
другие свойства и характеристики по сравнению с генератором
напряжения. В отличие от генератора напряжения имеет квазисинусоидальные
формы напряжения и тока, прикладываемые к активным приборам и
нагрузке. В этом генераторе отсутствуют основные недостатки,
присущие генератору напряжения: существенно улучшается спектральный
состав выходного напряжения; резко уменьшаются коммутационные
потери, улучшается электромагнитная совместимость благодаря снижению
высокочастотных электромагнитных помех и т.д., но при этом
уменьшается коэффициент использования активных приборов по мощности по
сравнению с ключевым генератором напряжения.
Таким образом, параметры фильтра источника питания
существенно влияют на свойства и характеристики ключевых генераторов.
Поэтому исследование последних необходимо проводить с учетом цепей
постоянного тока(параметров фильтра источника питания). В то же
время такой учет резко осложняет анализ ключевых генераторов,
поскольку сводится к анализу замкнутых систем, процессы в которых
описываются дифференциальными уравнениями с переменными
коэффициентами [84-90]. Поэтому необходимо разработать эффективный метод
анализа генераторов при их работе на сложные нагрузки (различные
типы антенн, пьезокерамические преобразователи и т.д.) с учетом
цепей постоянного тока в установившемся и переходном режимах, а также
синтез цепей постоянного и переменного тока по требуемым
характеристикам генератора.
7.2. Методы анализа ключевых
генераторов с учетом цепей постоянного
тока
В ряде работ [84-90] показано, что ключевые генераторы с учетом
цепей постоянного тока (фильтров источников питания) представляют
собой нестационарные системы с переменными во времени и
периодически изменяющимися параметрами и описываются дифференциальными
уравнениями с переменными коэффициентами.
Точный метод анализа систем, описываемых дифференциальными
уравнениями с переменными (скачкообразно и периодически
изменяющимися) коэффициентами, может быть проведен методом припасовы-
вания (кусочно-непрерывный метод), методом сведения к интегральным
уравнениям Фредгольма с использованием Z-преобразования [91], или
метода производящих функций [92], или импульсно-частотных
характеристик [93]. Данные методы даже для систем второго порядка весьма


170
Глава 7
сложны и громоздки, поэтому для исследования таких систем обычно
используются численные методы.
В настоящее время для расчета периодически нестационарных
систем существует немалое число методов, позволяющих строить высшие
приближения: методы Ляпунова [94], асимптотические методы [95],
метод параметрической передаточной функции [96-97], спектральный
метод [98]. Однако нельзя признать, что решение данных методов
совершенны и пригодны для практики в связи с их громоздкостью, вызванной
необходимостью вычисления корней характеристического уравнения, и
трудностями вычислительного характера.
В связи со сложностью точных методов актуальной становится
задача применения приближенных методов. При приближенном
исследовании периодически нестационарных систем используют начала
асимптотических методов: метод малого параметра, методы усреднения [99],
метод Ван-дер-Поля [100], метод медленно меняющихся амплитуд [101]
и др. Большинство приближенных методов, пригодных для анализа
систем с периодически изменяющимися параметрами, могут быть
применены при наличии малого параметра в системе дифференциальных
уравнений. Применение метода малого параметра возможно при
малом изменении амплитуды переменного параметра. При исследовании
ключевых генераторов предположение о выполнении условия малого
параметра является слишком ограничительным условием.
В общем случае исследование периодически нестационарной
системы является непростой задачей. Нет недостатка в подтверждающих
высказываниях, например: «...в подавляющем большинстве случаев
исследование уравнений с периодическими коэффициентами весьма трудная,
а часто невыполнимая задача» [102], или: «в общем случае
исследование решений уравнений с периодическими коэффициентами
наталкивается на непреодолимые трудности» [103]. В свете вышесказанного
очевидно, что необходим новый подход к аналитическому исследованию
ключевых устройств. С целью преодоления трудностей, свойственных
известным методам, для анализа процессов в ключевых генераторах с
учетом цепей постоянного тока (фильтра выпрямителя), сводящихся к
нестационарным системам с переменными параметрами, авторами был
развит метод обобщенного гармонического баланса, традиционно
применявшийся для нелинейных систем с постоянными параметрами, для
исследования нестационарных систем [84-90]. Применение этого
метода позволяет свести анализ дифференциальных уравнений с
переменными параметрами к анализу обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными параметрами, что дает возможности существенно
упростить исследование и оптимизацию ключевых генераторов. Достоинство
предлагаемого подхода — возможность структурного и
параметрического синтеза непрерывной части (фильтрующих цепей и нагрузки)
ключевых генераторов по заданным характеристикам. Авторами выполнена
оценка погрешности метода обобщенного гармонического баланса, рас-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 171
сматриваемого в данном разделе, что необходимо для получения
достоверных результатов и позволяет обосновать применимость метода для
рассматриваемых ключевых генераторов.
7.3. Структурные схемы ключевых
генераторов
Анализ ключевых генераторов, рассматриваемых в данной главе,
включает следующие основные моменты: составление математических
моделей КГ, представление их в виде структурных схем, а также
разработку эквивалентного метода анализа и исследование его
погрешности. Целесообразность использования структурных схем,
соответствующих дифференциальным уравнениям данной математической модели,
значительно облегчает процесс исследования, поскольку структурные
схемы показывают направление распространения сигнала, дают
наглядное представление о взаимодействии элементов, составляющих схему, и
позволяют применять структурные преобразования, делающие анализ и
расчет схем более общим и простым, чем решение интегродифференци-
альных уравнений, описывающих процессы в генераторах на отдельных
этапах их работы. Указанные преимущества структурных схем
способствовали их широкому применению в ряде областей техники, в частности
в теории автоматического регулирования.
Для анализа генераторов с учетом параметров цепей постоянного
и переменного токов (фильтра источника питания и нагрузки) запишем
основные соотношения, описывающие процессы в схеме генератора, и
составим их структурные схемы.
Переключение пар транзисторов VT1, VT3 и VT2, VT4 в генераторе
(см. рис. 6.1) происходит в моменты времени t = пТ, где п = 0,1, 2,3 ...;
Т — период генерируемых колебаний. При этом к суммарной нагрузке
генератора прикладывается напряжение
(7.1)
где a(t) = sign sincjtf — коммутирующая функция (рис. 7.2); ?/д(*) —
напряжение на конденсаторе фильтра выпрямителя.
Ток нагрузки можно записать в виде
(7.2)
где УВх(р) — операторная форма записи проводимости нагрузки; р =
= d/dt — оператор дифференцирования.
Операторная форма записи позволяет более компактно записать
дифференциальное уравнение. Запись
проводимости или сопротивления в
операторной форме совпадает с
записью при использовании
операционного исчисления с нулевыми начальными Рис- 7-2- Функция a(t)


172
Глава 7
условиями. Целесообразность применения операторного метода,
связывающего между собой напряжения и токи во временной области, а не
операционного метода, связывающего изображения этих величин,
объясняются необходимостью отражения на структурных схемах операций
умножения временных функций вида (7.1). Использование
операционной формы записи потребовало бы для отражения операции
умножения во временной области применить операцию свертки в комплексной
области. Это привело бы к введению некоторого функционального
звена, что затруднило бы использование структурных схем и сделало бы
их менее наглядными [104].
Ток нагрузки
(7.3)
Поскольку a2(t) = 1, то из (7.3) следует, что г'д(?) = a(t)iH(t).
Воспользовавшись методом суперпозиции, запишем выражение для напряжения
на конденсаторе фильтра выпрямителя Ua{1) в операторном виде:
(7.4)
где Кф(р) — коэффициент передачи со входа на выход фильтра при
отключенном генераторе, т.е. при гд(?) = 0; Z^{p) — операторное
сопротивление фильтра выпрямителя со стороны выхода при коротком
замыкании на его входе.
Для рассматриваемого на рис. 6.1 1_фСф-фильтра
Использовав зависимости (7.1)-(7.4), составим структурную схему
(рис. 7.3,а), отражающую процессы в КГ. Отрицательная обратная связь
в этой структурной схеме учитывает влияние тока на величину и форму
напряжения ?/4(0- те- обратная связь учитывает зависимость величины
и формы пульсаций напряжения на Сф от режима работы КГ. При
большой постоянной времени фильтра выпрямителя, когда и2ЬфСф ^ 1,
а 1/ш2ЬфСф <С 1, обратную связь можно разомкнуть и считать, что
Рис. 7.3. Структурные схемы КГ: а — схема с отрицательной обратной связью;
6— разомкнутая схема


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 173
Ua(^) = Е. В разомкнутой структурной схеме (рис. 7.3,6) анализ
процессов КГ сводится к анализу процессов в линейной цепи под воздействием
знакопеременного прямоугольного напряжения Es\gn sincj/ [75, 104].
7.4. Метод гармонической линеаризации
Поскольку замкнутый контур автономных преобразователей с
замкнутой структурой имеет периодически изменяющиеся
коэффициенты, использование для расчета автономных инверторов методов
анализа систем с обратной связью, широко известных для систем с
постоянными параметрами, затруднено. Поэтому исследование и
проектирование подобных схем существенно осложняется. Таким образом, наличие
в контуре обратной связи периодически изменяющихся коэффициентов
— основное препятствие при создании аналитических методов расчета
ключевых схем с замкнутой структурой.
В тех случаях, когда обратная связь содержит нелинейные
элементы, одним из наиболее общих и часто применяемых аналитических
методов расчета замкнутых систем, является метод гармонической
линеаризации [103]. Поскольку этот метод опирается на физические понятные
допущения, выполнение которых можно проконтролировать в каждой
конкретной задаче, его использование позволяет получить простые и
наглядные результаты. Однако в случае применения метода для расчета
замкнутых структур автономных преобразователей возникают серьезные
затруднения, связанные с тем, что основные результаты метода
гармонической линеаризации получены и обоснованы для систем, содержащих
в обратной связи хотя и нелинейные, но стационарные элементы. В то
же время модели автономных преобразователей, сформированные с
помощью коммутационных функций, содержат нестационарные элементы
— коммутаторы. В результате непосредственное использование
метода гармонической линеаризации для анализа автономных инверторов и
преобразователей оказывается невозможным.
С целью сохранения основных достоинств метода гармонической
линеаризации при расчете автономных инверторов с замкнутой
структурой необходимо основные его положения перенести на периодически
нестационарные системы. Впервые метод гармонической линеаризации
был применен к классу систем автоматического управления с
периодически изменяющимися параметрами в [105]. Основная идея
предложенного в [105] подхода заключается в замене периодически
нестационарного блока или параметра a(t) исходной системы на
«эквивалентный» по основной гармонике блок или параметр с постоянными
коэффициентами, которые рассчитываются по известным формулам
метода гармонической линеаризации. Под основной понимается гармоника
с частотой колебания сигнала на нагрузке инвертора. Частота
основной гармоники и>о всегда кратна частоте изменения параметров
системы и: и>о = пи/2 (п — целое число). В противном случае
напряжение на нагрузке будет иметь вид почти периодического колебания,


174
Глава 7
т.е. не будет периодическим. Так, если на выходе системы установился
сигнал x(t) « Лs\n(nu>t/2), n — 1,3,5,..., то коэффициент
гармонической линеаризации периодически нестационарного коммутатора a{t)
(см. рис. 7.2) по основной гармонике
где в соответствии с методом гармонической линеаризации:
(7 Л)
Если использовать разложение в ряд Фурье периодического
коэффициента
то вычисления по формулам (7.6) приводят к следующим
выражениям для действительной и мнимой частей коэффициента гармонической
линеаризации:
В результате комплексный коэффициент гармонической линеаризации
(7.7)
и в комплексной плоскости представляет собой окружность с центром,
совпадающим с постоянной составляющей переменного коэффициента,
и радиусом, равным модулю n-й гармоники; г = \ап\. Полученный
коэффициент затем используется в структурной схеме в качестве
коммутатора с периодическим коэффициентом передачи a(t) (см. рис. 7.2).
Таким образом, задача расчета преобразователя сводится к анализу
системы с постоянными параметрами. Неизвестный первоначальный сдвиг
фазы (р между основной гармоникой колебания и периодической
коммутационной функцией определяется в результате решения уравнения
гармонического баланса [105].
За счет перехода к расчету системы с постоянными параметрами
(стационарной системы) значительно упрощается задача анализа
электромагнитных процессов в автономных преобразователях.
Следует указать, что эквивалентная замена коммутатора на блок с
постоянным коэффициентом передачи может выполняться только
приближенно, так как сигнал на входе реальной периодически
нестационарной системы не является моногармоническим, а содержит спектр
гармоник, формируемых в результате умножения на коммутационную


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 175
функцию. Необходимо также пояснить использование термина
«гармоническая линеаризация» применительно к линейным периодически
нестационарным системам, которые служат моделями для
преобразователей с замкнутой структурой. Традиционно этот термин применяется к
нелинейным стационарным системам и означает замену исходного
нелинейного стационарного звена эквивалентным по основной гармонике
линейным звеном с постоянным коэффициентом усиления, зависящим от
амплитуды А входного сигнала. В случае линейных периодически
нестационарных систем происходит не линеаризация нелинейного
стационарного блока, а замена нестационарного звена стационарным, т. е. «стаци-
онаризация». Принимая во внимание, что подобный термин не является
общепринятым, а выражения (7.6) — следствие аналогичных
выражений, определяющих коэффициенты гармонической линеаризации
нелинейного стационарного блока, совпадают с ними по форме и имеют тот
же физический смысл, далее будем использовать для коэффициентов
qi(<p) и q[((f) термин «коэффициенты гармонической линеаризации».
При расчетах автономных преобразователей, как правило, требуется
найти параметры вынужденных колебаний. В этом случае для
составления уравнения баланса используется принцип суперпозиции. Процедура
составления такого уравнения при расчете вынужденных колебаний
полностью повторяет известную для нелинейных систем.
Если частота исследуемых колебаний на выходе системы
совпадает с частотой изменения параметров ио = и или и$ = пи, где
п= 1,2,3,..., то при вычислении коэффициента гармонической
линеаризации следует учитывать и постоянную составляющую колебаний.
Поэтому для сигнала на входе нестационарного блока a(t) вида яо + sin nut
коэффициенты гармонической линеаризации вычисляют по формулам,
аналогичным тем, которые используются для несимметричных
колебаний нелинейных стационарных систем:
Параметры выходных колебаний определяются в результате
решения системы уравнений гармонического баланса для постоянной
составляющей и основной гармоники с частотой uq = пи [105].
Нестационарная часть системы может состоять не только из
безынерционного звена умножения, но и включать соединенные в различных
комбинациях звенья умножения и линейные динамические блоки. Так,
для инверторов напряжения и тока, работающих в непрерывном режиме,


176
Глава 7
нестационарная часть системы образуется последовательным соединение
ем блоков: звено умножения — линейное динамическое звено — звено
умножения (см. рис. 7.3). Формулы для определения коэффициентов
гармонической линеаризации подобной системы отличаются от
приведенных выше коэффициентов гармонической линеаризации для одного
периодического параметра a(t), но сама идея стационаризации
переносится на указанный более общий случай.
Пусть W(p,t) (р = d/dt) — периодический оператор,
определяющий преобразование входного сигнала нестационарной частью системы
в выходной сигнал y(t): y(t) = W(p,*)x(tf). Тогда коэффициенты
гармонической линеаризации для гармонической составляющей с частотой
wo = пи = 2жп/Т определяются по формулам:
где оператор W^w^t) означает правило преобразования входного
сигнала x(t) в выходной y(t) в установившемся режиме.
Коэффициент гармонической линеаризации динамического
периодически нестационарного блока можно записать в комплексной форме:
(7.8)
Полученное выражение лежит в основе расчетов автономных инверторов
напряжения, выполненных в настоящей главе.
В качестве примера запишем выражение для коэффициента
гармонической линеаризации нестационарного блока, показанного на рис. 7.3.
Для описания оператора W(juj,t) данной системы в явном виде
воспользуемся методом импульсно-частотных характеристик.
При входном сигнале x(t) — sincj< (n = 1) сигнал на выходе первого
звена умножения Xi(t) = a(t — r)x(t) = a(t — r)sinu^. При описании
сигнала x\{i) учтено, как и ранее, что фаза входного сигнала, с которым
совмещено начало отсчета временных интервалов, и фаза периодической
коммутационной функции a(t) не совпадают.
Для нечетно-симметричных коммутационных функций a(t) =
= —a(t -f Т/2), используемых в математических моделях
автономных преобразователей, сигнал x\(t) является четно-симметричным, т.е.
*i(0 = *i(* + Т/2). Действительно, xi(t + Т/2) = a(t + T/2)s\nu(t +
+Т/2) = —a(t)sin(cj* + 7г) = a(t)sin wt — x\(t). Поэтому спектр сигнала
x\(t) будет содержать только четные гармоники с частотами 0, 2ш, 4ш, ...


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 177
Вводя ИЧХ линейного стационарного звена W(p) в виде
установившуюся реакцию периодически нестационарного блока можно
записать как
Подставляя полученное выражение в (7.8), приходим к коэффициенту
гармонической линеаризации (стационаризации) рассматриваемого
нестационарного блока:
(7.9)
Таким образом, для расчета колебаний с основной гармоникой,
совпадающей с таковой для периодических коэффициентов a(t),
нестационарную часть системы следует заменить на коэффициент гармонической
линеаризации исходного нестационарного блока, который для
динамических нестационарных блоков вычисляется по (7.8). В частности, для
широко распространенных в моделях автономных преобразователей
нестационарных структур, показанных на рис. 7.3 и состоящих из
последовательно соединенных цепочек умножителей и линейных стационарных
звеньев, коэффициент гармонической линеаризации вычисляется с
помощью (7.9). Использование предлагаемого метода позволяет указать
на единый путь расчета многих схем автономных преобразователей с
замкнутой структурой, заключающийся в замене нестационарных блоков
исходной системы на эквивалентные по основной гармонике
стационарные. Основу расчета параметров эквивалентных стационарных блоков
составляют уравнения метода гармонической линеаризации.
Метод гармонической линеаризации придает предлагаемому
подходу еще одно важное преимущество по сравнению с известными
методами автономных инверторов. Помимо единообразия предлагаемый
подход позволяет строго оценить погрешность результатов, возникшую
в результате допущения о синусоидальности сигнала x(t) на входе
нестационарного блока. Кроме того, все известные частотные методы расчета
преобразователей требуют для установления погрешности проведения
численного моделирования с последующим сравнением результатов, а
метод гармонической линеаризации позволяет не только качественно,
но и количественно ответить на вопрос о погрешности результатов и
области применения приближенного метода. В основе оценок
точности и применимости метода гармонической линеаризации лежат
апостериорные оценки погрешности, выдвинутые в [106-108]. При
использовании указанных результатов к расчету автономных преобразователей


178
Глава 7
потребовалось, однако, распространить их на класс периодически
нестационарных систем.
Идея оценок погрешности базируется на представлении входного
сигнала нестационарного блока в виде суммы: x(t) = xnp(t) + Д(?),
где xnp(t) — приближенный входной сигнал, состоящий из основной
гармоники (для несимметричных колебаний еще и из постоянной
составляющей); A(t) — составляющая входного сигнала, включающая все
высшие гармоники и определяющая погрешность метода.
В результате точный коэффициент гармонической линеаризации,
вычисленный с учетом всех гармоник, представляется суммой двух
составляющих:
где Wnp(j(p) — составляющая коэффициента гармонической
линеаризации, обусловленная наличием во входном сигнале x(t) составляющей
?пр(0' содержащей основную гармонику; AW — дополнительная
составляющая, учитывающая влияние высших гармоник на коэффициент
гармонической линеаризации по основной гармонике. Однако в
отличие от приближенного коэффициента Wnp(j<p), найденного ранее,
дополнительную составляющую AW нельзя вычислить непосредственно,
так как функция Л(?), описывающая высшие гармоники, неизвестна. В
то же время именно коэффициент AW определяет точность
приближенного расчета.
Чтобы для нахождения функции высших гармоник А(/) не
прибегать к численному моделированию, а затем уточнению коэффициента
гармонической линеаризации AW в [102, 108] предложено
использовать оценку рассматриваемых величин сверху: |Д(*)| < Д, |Д1У(*)| < г.
В качестве оценки функции высших гармоник часто удобнее
использовать среднеквадратическое значение функции высших гармоник Д =
= у ^ lo A2(t)dt, так как это упрощает вычисление оценок
погрешности.
В случаях, когда нестационарный блок описывается
безынерционным периодическим коэффициентом передачи a(t), дополнительные
составляющие коэффициента гармонической линеаризации
рассчитываются по формулам [109]
(7.10)
Соотношения (7.10) вытекают из формул (7.6), определяющих
коэффициент гармонической линеаризации нестационарного блока,
причем приближенное выражение для колебаний xnp(t) = s\r\(ujt/2)
заменено в (7.6) на функцию высших гармоник A(t). Оценка
модуля дополнительного комплексного коэффициента передачи |ДИ^| =


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 179
= \Aqn(<p) + jAq'n(<p)\ для колебаний с частотой и/2 (п = 1) составляет
Здесь aj; — комплексные коэффициенты Фурье функции a(t).
Полученная оценка вытекает из уравнений (7.6) после применения
неравенства Коши-Буняковского [102]. Более точные, но трудно
вычисляемые оценки, можно дать на основе вариационного подхода [107].
Аналогичный вид \AW\ ^ МД имеет оценка погрешности и для
колебаний других частот, синхронных с частотой изменения параметров
системы. Конкретный вид числового коэффициента М определяется
видом периодического параметра и самой системы. Для конкретных видов
автономных преобразователей также оценки будут получены ниже.
Не имеют существенных отличий и оценки дополнительных
коэффициентов гармонической линеаризации сложных частотно-зависимых
блоков. Из соотношения (7.8) следует, что модуль дополнительного
коэффициента гармонической линеаризации таких блоков
определяется такой зависимостью:
(7.11)
Оценка коэффициента lAH^I вытекает из (7.11) после применения
неравенства Коши-Буняковского
Однако полученная таким способом оценка не является наиболее
точной, так как при ее вычислении не учитывались важные особенности
функции высших гармоник A(t), а именно, что функция высших
гармоник A(t) не содержит гармоник с основной частотой пи/2.
Математически этот факт записывается равенством
(7.12)
Оценки дополнительного коэффициента гармонической линеаризации,
найденные с учетом условий (7.12), называются улучшенными [110]. В
то время как для нелинейных стационарных систем установление
улучшенных оценок возможно только с помощью численных методов [110],
для линейных периодически нестационарных моделей подобная задача
решается сравнительно просто. В этой связи для автономных
преобразователей будут получены и положены в основу всех расчетов только
улучшенные оценки, учитывающие выражение (7.12).


180
Глава 7
Для вычисления численных значений оценок помимо
коэффициента М, зависящего в основном от ключевой нестационарной части
структурной схемы инвертора, необходимо получить оценку функции высших
гармоник A(t). Требуемая оценка вытекает из интегрального уравнения
для функции высших гармоник, которое в операторной форме имеет вид
(7.13)
где /д(0 — составляющие высших гармоник во входном сигнале
системы; И^д(р,<) — оператор, отражающий прохождение высших гармоник
в замкнутом контуре математической модели преобразователя.
Уравнение (7.13) показывает, что высшие гармоники в выходном
сигнале системы порождаются высшими гармониками входного
воздействия, основной гармоникой выходного сигнала (в результате
нестационарности обратной связи), а также при прохождении самих высших
гармоник по замкнутому контуру.
Вид функции /д(*) и оператора WA(p,t) будут указаны при
изучении конкретных типов автономных преобразователей. Как правило,
в режиме установившихся периодических колебаний уравнение (7.13)
описывается с помощью импульсно-частотных характеристик блоков и
является интегральным. Присутствие функции высших гармоник A(t)
в правой и левой частях уравнения отражает замкнутость структурной
схемы преобразователя. Из уравнения (7.13) следует искомая оценка
функции высших гармоник
(7.14)
где 7д = ||/д(0 - WA(p,t)xnp(t)\\; SA = \\WA(p,t)\\. Знаком ||.. .||
обозначены нормы соответствующих периодических функций и оператора
в пространстве L2(T) [110-112]. Конкретные значения коэффициентов
«/д и 5д будут установлены при изучении отдельных схем.
Условием результативности приведенных оценок служит неравенство 5д < 1,
обеспечивающее конечность оценки для A{t).
Установление верхней и нижней границ для возможных значений
точного коэффициента гармонической линеаризации позволяет
перейти от приближенного уравнения гармонического баланса W~l(juj) -f
+Wnp(j^) = 0, где W~l(juj) — обратный годограф линейной
стационарной части преобразователя [84, 113, 114], к неравенству
(7.15)
определяющему погрешность приближенного решения.
Принципиальное достоинство проведенной оценки погрешности
метода состоит в том, что она позволяет установить область применимости
метода гармонической линеаризации для конкретной схемы
преобразователя без нахождения самого точного решения. Это подводит
надежную теоретическую основу под приближенные расчеты в отличие от всех
других аналогичных методов [112, 115-119], использующих для своего


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 181
обоснования ссылки на точные численные расчеты или моделирование,
возможное лишь при ограниченных типах нагрузки и для
ограниченного набора значений параметров.
Изложенный подход лежит в основе расчетов электромагнитных
процессов в автономных преобразователях, выполненных далее, а здесь
рассмотрены только основные фундаментальные положения
предлагаемого метода, которые конкретизируются и уточняются при
выполнении расчетов отдельных схем. После определения параметров
периодических колебаний на выходе автономного преобразователя необходимо
убедиться, что найденный периодический режим будет устойчив, так
как физически реализуем только такой режим.
Из анализа структурных схем автономных преобразователей видно,
что в общем случае они представляют собой замкнутые нестационарные
системы с внутренней обратной связью. Устойчивость вынужденых
колебаний таких систем не является очевидной и требует специального
исследования. В литературе по этому вопросу отсутствуют исчерпывающие
сведения. Например, в [120, 121] на основании проведенного аналогового
моделирования ключевого генератора с закрытым входом утверждается,
что если в схеме с линейными элементами существует симметричный
стационарный процесс, то при жестком управлении он всегда устойчив.
В [122] отмечается, что проверка устойчивости необходима еще и
потому, что в результате неконвергентности режимов возможно несколько
установившихся режимов, зависящих от начальных условий.
Некоторые из этих режимов могут оказаться неустойчивыми. Исследования
устойчивости стационарных режимов содержатся и в [123, 124]. Однако
все названные работы указывают только на необходимость
исследования вопроса об устойчивости стационарных процессов и не предлагают
пути решения данной задачи. Если следовать рекомендациям, то
исследование устойчивости установившихся процессов оказывается такой же
сложной задачей, как и само определение параметров колебаний. Для
реальных схем такое исследование может проводиться лишь
численными методами и требует составления сложных программ. В этой связи
целесообразно исследовать вопрос об устойчивости стационарных
процессов в автономных преобразователях аналитическими методами для
широкого класса преобразователей, цепи постоянного и переменного
токов которых образованы линейными пассивными элементами.
Как указывалось выше, допущение о линейности и пассивности
электрических цепей преобразователей справедливо для большой
группы схем различного назначения. Такое исследование позволяет
решить вопрос об устойчивости автономных преобразователей для
указанной группы схем без привлечения численного моделирования
процессов [125].
Для исследования устойчивости периодических процессов в
автономных преобразователях рассмотрим математическую модель
преобразователя с замкнутой структурой, полученную в разд. 7.3. Обобщая
описание инверторов напряжения и тока в непрерывном режиме, можно


182
Глава 7
записать следующую систему дифференциальных уравнений (р = d/dt):
(7.16)
Если изучается инвертор напряжения, то в соответствии с (7.1)-
(7.5) до = кф(р)Е\ yi{t) = n(0; уз(0 = t2(0; *i(0 = «i(0; *2(0 =
= u2(t)\ Wi(p) = Y(p); W2{p) = Z<$>{p)\ Wi(p) и И^(р) характеризуют
цепи соответственно переменного и постоянного токов.
Коммутационные функции a(t) для. непрерывного режима в
простейшем случае равны sign smut. Для более сложных схем
преобразователей они могут отличаться от меандра, например для схем с широтным
регулированием выходного напряжения или со ступенчатым
формированием выходного сигнала. Таким образом, исследование устойчивости
обобщенной математической модели преобразователя позволяет решить
вопрос об устойчивости для всех схем преобразователей с замкнутой
структурой, работающих в непрерывном режиме.
Перейдем от системы уравнений (7.16) к дифференциальным
уравнениям, описывающим процессы в приращениях от установившегося
режима: Дя!(2); Д?/1(2). Уравнения для отклонений от такого режима
имеют вид:
(7.17)
где 2/J(2)(0' x?(2)(0 — функции, описывающие процессы в инверторе
для установившегося режима. Поскольку эти функции будут решениями
уравнений (7.17), то для них справедливы равенства:
(7.18)
Вычитая (7.18) из соответствующих уравнений (7.17), получаем искомые


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 183
соотношения в вариациях для непрерывного режима
Поведение решений системы уравнений в приращениях
определяет устойчивость стационарных режимов автономных преобразователей
[125]. Характерной особенностью системы (7.19) является наличие
периодических коэффициентов a(t). Следовательно, для решения вопроса
об устойчивости процессов в автономных преобразователях
необходимо исследовать устойчивость линейной периодически нестационарной
системы. Если все решения системы (7.19) удовлетворяют условиям
A^i(2) —*• 0 и Ду1(2) —> 0 при t —> 0, то она асимптотически устойчива,
а значит, асимптотически устойчивы и все электромагнитные
процессы в преобразователях [124, 125].
Сложность исследования на устойчивость системы
дифференциальных уравнений (7.19) обусловлена нестационарностью данной
системы, что не позволяет воспользоваться хорошо известными
результатами теории устойчивости линейных стационарных систем. В общем
случае строгое исследование устойчивости линейных периодически
нестационарных систем возможно только путем численных процедур, но
для рассматриваемого класса преобразователей решение можно
получить аналитически.
Для этого воспользуемся результатами теории Флоке о виде
решения линейной системы с периодически изменяющимися
коэффициентами [126, 127]. На основании данной теории частное решение
периодической системы (7.19) имеет вид
(7.20)
Периодические, а в общем случае комплексные функции Ф^) =
= Фх(< + Т), Фг(0 = Фг(* + Т) представим в виде комплексных
рядов Фурье:
(7.21)
Подставляя уравнения (7.20) и (7.21) в (7.19), находим приращения
(7.22)
(7.19)


184
Глава 7
Рассмотрим теперь два вторых уравнения системы (7.19), из
которых вытекает следующее равенство:
(7.23)
Поскольку в формулах (7.20), (7.22) используются в общем случае
комплексные переменные, распространим соотношение (7.23) на
комплексные переменные [128]:
(7.24)
Домножив уравнение (7.24) на ехр{—2ReA*} и проинтегрировав за
период Т, получим эквивалентное равенство в интегральной форме:
(7.25)
Подставим в (7.25) значения Дхцг) и At/i(2) из (7.20), (7.22) и
проинтегрируем. Члены, содержащие множители t?ku)t с к ф 0, при
интегрировании обратятся в нуль, и (7.25) примет вид
(7.26)
Система дифференциальных уравнений в приращениях (7.19)
может иметь только решения вида (7.20), при которых удовлетворяется
равенство (7.26). Если ВкВ*к = \Вк\2 ^ 0 и СкС*к = \Ск\2 ^ 0, то
равенство (7.26) возможно только в случае, когда ReM^i(A + jku>) и
ReW^A +jktj) имеют, хотя бы при некоторых к, различные знаки.
Поскольку рассматриваются нетривиальные решения системы
дифференциальных уравнений, равенства Ск = Вк = 0 невозможны для всех к.
Вследствие известных свойств пассивных электрических цепей их
схемные функции удовлетворяют неравенствам
(7.27)
Для цепей с потерями, характерными для реальных
преобразователей, неравенства всегда строгие (хотя бы для одной из цепей постоянного
или переменного тока, содержащей нагрузку), поэтому равенство (7.26)
не выполняется при Re A ^ 0. Следовательно, система
дифференциальных уравнений в приращениях может иметь только затухающие частные
решения с Re A < 0, а это означает, что система дифференциальных
уравнений (7.19) асимптотически устойчива.
Таким образом, автономные преобразователи с замкнутой
структурой, содержащие линейные пассивные цепи, имеют всегда устойчивые
стационарные процессы. Если цепи нагрузки или фильтра
автономного преобразователя не пассивны или нелинейны, то возможна потеря
устойчивости стационарных процессов. Такие неустойчивые процессы
при нелинейных нагрузках с падающей характеристикой
зафиксированы экспериментально [129]. Поскольку теория Флоке справедлива и для


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 185
систем с распределенными параметрами, полученный вывод об
устойчивости автономных преобразователей справедлив и в случае
распределенных нагрузок.
7.5. Анализ установившегося режима
работы ключевого генератора с ШИМ
Ключевой генератор, выполненный по схеме инвертора напряжения
(см. рис. 6.1 и 7.2), обладает наибольшим коэффициентом
использования по мощности, т.е. наибольшей мощностью при заданных
предельных значениях токов и напряжений транзисторов и напряжения
источника питания Е, поэтому находит широкое применение в устройствах
преобразовательной техники и радиотехнике.
При попеременном включении пар транзисторов VT1, VT3 и VT2,
VT4 в случае идеального источника питания с нулевым внутренним
сопротивлением к суммарной нагрузке генератора прикладывается
знакопеременное напряжение прямоугольной формы и через нагрузку
протекает ток квазисинусоидальной формы. Исследованию ключевого
генератора, работающего в таком режиме, посвящены работы [75, 130, 131].
Однако реализация источника питания, близкого к идеальному, с
нулевым внутренним сопротивлением требует применения конденсаторов
фильтра источника питания с большой емкостью, что приводит к
значительному увеличению габаритных размеров фильтра и всего генератора.
Поэтому источник питания, близкий к идеальному, на практике обычно
не реализуется. В случае, показанном в [84, 113, 132], на характер
стационарных и переходных режимов существенно влияют параметры цепей
постоянного тока (фильтров источника питания).
Чтобы провести аналитическое исследование процессов в
генераторе, следует получить его математическую модель — составить систему
уравнений, описывающих процессы в схеме ключевого генератора.
Данная модель [84] аналогична полученной ранее (7.1)—(7.5):
(7.28)
Здесь р = d/dt; uH(t) и iH(t) — напряжение и ток нагрузки ZH\ ид (2)
и г'д(^) — соответственно напряжение, прикладываемое к генератору, и
ток потребления; Кф(р) — коэффициент передачи со входа на выход
фильтра при отключенном ключевом генераторе (г'л(2) = 0); ^ф(р) —
операторное сопротивление фильтра со стороны выхода при коротком
замыкании на его входе.
Коммутационная функция a(t) (см. рис. 7.2) отличается от
использованной ранее и имеет вид
(7.29)


186
Глава 7
где а — угол регулирования, 0 ^ а ^ 7г/2.
Для приведенного на рис. 6.1 фильтра источника питания
коэффициент передачи и операторное сопротивление определяются по
формулам
(7.30)
Полученная в соответствии с системой уравнений (7.28) структурная
схема изображена на рис. 7.3. Проведем исследование схемы методом
гармонического баланса. Как следует из основных положений метода,
изложенных в разд. 7.4, для этого необходимо заменить нестационарную
часть системы (в данном случае состоящую из последовательно
соединенных звеньев a(t), ^ф(р), а(0) на эквивалентный по основной
гармонике постоянный коэффициент передачи, равный отношению
комплексных амплитуд основных гармоник выходного сигнала и гармонического
входного. Следовательно, для вычисления эквивалентного
коэффициента передачи необходимо определить основную гармонику сигнала на
выходе цепочки a(t) — ^ф(р) — а(0 при подаче на ее вход
гармонического сигнала. Отметим, что в реальной схеме в установившемся режиме
выходной сигнал генератора — периодическая функция, полезной
составляющей которой служит ее первая гармоника. Наличие высших
гармоник является вредным с точки зрения электромагнитной совместимости,
увеличение потерь и т.д., поэтому практически нагрузка ключевого
генератора всегда имеет фильтрующие свойства, а форма тока нагрузки
близка к гармонической и представляется в виде
(7.31)
где /т и ^ — неизвестные амплитуды и фаза первой гармоники гн(<);
A(t) — высшие гармоники.
Обычно |Д(*)| «С 1т, поэтому влиянием высших гармоник на
процессы в схеме можно пренебречь (оно будет учтено при оценке
погрешности метода). Тогда
(7.32)
При представлении выходного сигнала в виде (7.32) анализ ключевых
генераторов значительно упрощается, а полученные соотношения с
достаточной для практики точностью отражают основные закономерности
процессов, протекающих в схеме.
В соответствии с (7.28) г'л(*) = a(t)iH(t) = a(t)cos(ujt — <р).
Представив коммутационную функцию в виде комплексного ряда Фурье,
получим


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 187
(7.33)
Воспользовавшись соотношениями (7.28) и (7.33), найдем
(7.34)
Выражение (7.34) справедливо, если #ф(0) / оо и Z^jlkuj) ф оо.
Учитывая (7.30), получаем
(7.35)
Принимая во внимание потери в фильтре -Кф(О) < 1, что
эквивалентно некоторому уменьшению напряжения питания Е, без потери
общности можно полагать Кф(0) = 1. Параметры фильтра обычно
выбирают такими, что ш2ЬфСф > 1, поэтому, пренебрегая влиянием
потерь на Z$(j2k(jj), можно записать
Использовав (7.34), определим напряжение на нагрузке
(7.36)
(7.37)
Для составления уравнения баланса по первой гармонике рассмо-


188
Глава 7
трим ее амплитуду UH\. Из соотношения (7.37) получаем
(7.38)
При отсутствии потерь в фильтре RtZ$(jui) = 0, тогда \n\Z$(juj) =
= Z$(jw). В силу свойств линейных цепей Z$(ju) = —Z$(—ju).
Учитывая, что при изменении знака индекса суммирования величина
cos(2/+l)acos(2/-1)а
не изменяется, получаем
Следовательно, выражение (7.38) можно представить в виде
или с учетом (7.36)
(7.39)
Бесконечную сумму, входящую в (7.39), можно переписать в виде
Учитывая, что


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 189
находим
где
(7.40)
Отметим, что замкнутое выражение для В(а) можно получить,
воспользовавшись для вычисления первой гармоники напряжения
методом ИЧХ.
Множитель Im*?*/2 является комплексной амплитудой первой
гармоники тока нагрузки 1Н\. Обозначив множитель в скобках через
(7.41)
(7.42)
перепишем (7.40) в виде
(7.43)
Очевидно, что коэффициент W(ip,x>a) равен отношению первой
гармоники выходного сигнала к амплитуде первой гармоники
входного и представляет собой искомый эквивалентный стационарный
коэффициент замещения нестационарной ключевой части инвертора. В
соответствии со структурной схемой (см. рис. 7.3) ключевого генератора
составим уравнение гармонического баланса Uhi(%h)~1 = 7„i.
Подставляя UH\ из (7.43), получаем уравнение, из которого определяют-


190
Глава 7
Рис. 7.4. Графическое решение уравнения (7.44)
ся неизвестные 1т и <р:
(7.44)
Годограф амплитудно-фазовой характеристики непрерывной
(линейной) части ключевого генератора
определяется типом и параметрами нагрузки. Значение W(<p,x,a)
характеризует в структурной схеме ключевую часть ключевого генератора
и определяет коэффициент передачи по первой гармонике от тока гн(*)
к напряжению un(t). Как следует из (7.41), на комплексной плоскости
коэффициент W((p,x,a) представляет собой при фиксированных X и а
семейство окружностей с центром в точке
(7.45)
лежащей на действительной оси, и радиусом
Уравнение (7.44) можно решать как аналитически, так и
графически. Графическое решение, определяющее 1т = шСфЕ/х, показано на
рис. 7.4. Точки пересечения семейства окружностей с годографом
позволяют найти искомые значения <?> и х = ?rr/4cosa. Для пассивных
нагрузок ReZH(ju) > О, следовательно, \rc\V = —juCfyRt Zn(ju) < 0.
Поэтому точки пересечения всегда лежат в нижней полуплоскости и
фаза тока нагрузки находится в пределах 0 ^ <р ^ 7Г. Аналитическое
решение запишем как
(7.46)
(7.47)
(7.48)
Определение основных характеристик. Решив уравнение
гармонического баланса, далее следует рассчитать все основные характеристи-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 191
ки ключевого генератора. Если при составлении уравнения
гармонического баланса выражения для токов и напряжений в ключевом
генераторе целесообразнее записать в виде рядов Фурье, то для определения
характеристик, таких, как максимальные и средние значения напряжения
на транзисторах, удобно использовать выражения в замкнутой форме.
Их можно получить методом ИЧХ.
Перепишем соотношение (7.34) в виде
(7.49)
где
— импульсно-частотная характеристика системы; Ф = ut. В [108]
показано, что 6(Ф) является периодической функцией на интервале [0,7г]
и описывается выражением
(7.50)
При интегрировании уравнения (7.49) необходимо использовать
значение 6(Ф) при Ф^г;. В соответствии с (7.50)
(7.51)
Подставив соотношение (7.51) в (7.49) и проинтегрировав, получим
(7.52)
Выражение (7.52) представляет собой напряжение на транзисторах в
интервале 0 — 7Г, которое состоит из постоянной Е и переменной ип
составляющих. Среднее значение г/п(Ф) за период равно нулю.
Для исследования формы анодного напряжения вычислим
производную
(7.53)


192
Глава 7
На интервале Ф Е [ктг — а, ктг + а] ип(Ф) представляет собой
линейно-возрастающую функцию, так как конденсатор Сф
заряжается постоянной составляющей /о тока г^ по линейному закону. При
предельных значениях угла Ф = 0,7Г, соответствующих реактивной
нагрузке ключевого генератора, /о = 0 и заряда конденсатора Сф для
Ф Е [ктг — а, ктг + а] не происходит.
Рассмотрим поведение dun/d^ на интервале Ф Е [а,7г — а]:
Найдем области значений <р, при которых йи„(Ф)/с/Ф|ф=а ^0:
Таким образом,
Рассмотрим dun/c№ при Ф = 7г — а:
— cos а sin <р -f cos(a + <р)
7Г
при 0 ^ (р < 7г — arcctg(2/7r — tga);
при 7г — arcctg(2/7r — tg а) < <р ^ 7г.
В зависимости от значения </? можно выделить три области: в
первой 0 ^ (р ^ arcctg(2/7r - tga), dun(a)/dV < 0 и du„(7r - а)/с/Ф > 0; во
второй arcctg(2/7r - tga) < (p < ж — arcctg(2/7r - tga), dun((*)/d4l > 0;
в третьей 7Г — arcctg(2/7r — tga) ^ (р ^ 7г; dun(a)/dV > 0; Л/„(7г -
а)/с№ > 0.
Следует отметить, что вторая область значений <р существует
только при a < arctg2/7r и отсутствует при arctg2/7r < а < 7г/2, а
первая и третья перекрываются.
Исследуем ип(Ф) на экстремум. Для этого найдем экстремальные
значения ФЭКстр. при которых с/г/„(Ф)/с/Ф = 0:
(7.54)
Проверим условие а ^ ФЭкстр ^ тг — а для первой области значений угла:
(7.55)


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 193
Для знака плюс в (7.55)
(7.56)
При (р ^ а неравенство (5.56) выполняется, так как arccosv > 0 при
<р < acos(a — (р) > |- cos a sin (р, следовательно, ctgip < |- — tga, что
совпадает с границей области. Для знака минус в неравенстве (5.55)
получаем (р — а > arccos (|- cos a sin <р), т.е. ctg кр < |- — tg а. Это
означает, что неравенство (5.55) при знаке минус не выполняется,
следовательно, в первой области может быть экстремум только при ФЭкстр =
= <p-f arccos (|- cos a sin у?). Проверив условие (р + arccos (|- cos а sin <p) <
7Г — а, получим ctg у? > —{2/ж — tga). Таким образом, в первой
области значений <р переменная составляющая г/п(Ф) в интервале Ф Е
[а,7г — а] имеет экстремум в точке ФЭКстр = <Р + arccos (|- cos a sin (p),
если arctg(2/7r - tg а) < ж/2.
В случае arcctg(2/7r — tg а) ^ 7г/2 переменная составляющая ип(Ф)
имеет экстремум только при (р < arcctg(tga — 2/7г), а в области
arcctg(tga — 2/7г) ^ <р ^ arcctg(2/7T — tga) внутри интервала Ф Е
[а, 7Г—а] экстремумов нет, максимальное и минимальное значения ип(Ф)
принимает в точках Ф = аиФ = тг-а. По знаку второй производной
определим вид экстремума в точке ФЭкстр-
т.е. Фэкстр = <Р + arccos (|- cos a sin (p) соответствует минимуму. Далее
будем обозначать это значение как Фтт.
Проведя аналогичные вычисления во второй области значений (р,
получим, что при 0 ^ а ^ arctg2/7T переменная составляющая ип(Ф)
имеет максимум при Фтах = ^ — arccos (|- cos a sin <p) и минимум при
^min-
В третьей области кр Е [я- — arcctg(2/7r — tga),7r] в случае
arcctg(2/7r — tga) ^ 7г/2 составляющая ип(Ф) имеет максимум в
точке Фтах. а при arcctg(2/7r — tga) > 7г/2 — в точке Фтах только для
(р > arcctg(2/7r —tga). Для других <р из третьей области экстремальные
значения ип(Ф) принимает на концах интервала Ф = а, Ф = 7Г — а.
На рис. 7.5 показана форма г/д(Ф) при различных значениях а \мр.
Экстремальные значения ua(^) определяются по формулам:
(7.57)


194
Глава 7
Рис. 7.5. Формы напряжения, прикладываемого к генератору
(7.58)
(7.59)


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 195
(7.60)
Напряжение г/^(Ф) не должно принимать отрицательных значений,
т.е. Е + иппип(У) > 0. Для обеспечения этого условия необходимо,
чтобы 1 + 1/Xf(a,(f) > 0, где f(a,<p) = иптт(Ъ - Х)/Е. Поэтому
годограф линейной части не должен заходить в область, ограниченную
ХгР(а,У?) = -/(<*, у>).
Зная форму ид(Ф) и значения 1т, <р, определяем максимальное
напряжение на транзисторах ?/ттах, максимальный ток через них /Ттах»
средний ток в цепи питания /о, мощность Pq, потребляемую от
источника питания, и мощность первой гармоники в нагрузке Р\\
(7.61)
(7.62)
(7.63)
(7.64)
(7.65)
Схемные коэффициенты использования транзисторов по
напряжению Ки, току К{ и мощности Км можно представить в виде:
(7.66)
(7.67)
(7.68)
Для вычисления коэффициента гармоник напряжения на нагрузке
Кгн воспользуемся соотношением
Тогда Кгн можно записать как
Поскольку кн(Ф) = а(Ф)ид(Ф), с учетом (7.52) имеем


196
Глава 7
где
или, учитывая (7.44), имеем
(7.69)
В уравнение (7.69) не входят параметры нагрузки, что позволяет
построить зависимость Кгн от х и (Р-
Относительные амплитуды высших гармоник напряжения uH(t),
нормированные к амплитуде первой гармоники и величине АЕ/тг (первая
Представляя |(/Hi| в виде |f/Hi| = Im/2\ZH(ju)\, получаем


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 197
гармоника при а = О, х = °°), определяются соотношениями
полученными при разложении в ряд Фурье:
(7.71)
Здесь п = 1,3,5,... — нечетное число; В\ — (1 — 8/тг2)5(а) —
\V(ju)\ cos ipv', Bi = \V(ju)\s\n(pv', Bs = cos a cos па; В\ = sin a cos па,
где <ру ¦— фаза годографа V(juj), определяемая из соотношения
V = \V\e^ipv. Между UHn/UHi и инп/(4Е/тг) существует простая связь:
Зная UHn/UHi, нетрудно определить отношение высших гармоник тока
в нагрузке к первой гармонике:
а также коэффициент гармоник тока нагрузки, характеризующий
справедливость принятой предпосылки о моногармоничности колебаний.
Важной характеристикой ключевого генератора является скачок
анодного напряжения на транзисторах (равный Е в случае
идеального фильтра в цепи питания (Сф —> оо)). Для регулируемого генератора
скачок напряжения на транзисторах Ur равен ид(а) и ид^к — а),
причем согласно (7.48) ua{k — а) ^ w^(a). Поэтому будем рассматривать
только wT(a) = ua(q)- На основании (7.57) запишем
Таким образом, определена форма напряжения на транзисторах и
получены основные соотношения для ключевых генераторов с
постоянной структурой.
(7.70)


198
Глава 7
7.6. Инженерная методика расчета
ключевого генератора
Проведенный анализ позволяет рассчитать установившийся режим
работы ключевого генератора с учетом цепей постоянного и переменного
токов по следующей методике: по заданным значениям и, Сф, ZH
определяется точка годографа V = —jujC^Zn. Затем, задаваясь значением
а, аналитически по формулам (7.47), (7.48) или графически находим
значения 1т и <р и все характеристики генератора из соотношений (7.54),
(7.57)-(7.72). Однако такой подход не позволяет в явном виде найти
зависимость характеристик генератора от типа нагрузки, ее параметров,
частоты колебаний и параметров цепи постоянного тока. Эта трудность
преодолевается построением в комплексной плоскости частотного
годографа непрерывной части нагрузки и фильтра источника питания
ключевого генератора линий равных значений всех характеристик генератора
или функций <р, х и а. Тогда методика расчета ключевого генератора
сведется к определению точки годографа на комплексной плоскости при
заданных частоте колебаний, параметрах нагрузки и цепи постоянного
тока и нахождению значений характеристик ключевого генератора,
соответствующих этой точке. Использование линий равных значений
характеристик в комплексной плоскости годографа V(ju), кроме упрощения
методики расчета генератора на нагрузку произвольной сложности,
позволяет осуществить синтез его линейной части.
Рассмотрим характеристики ключевого генератора в режиме
максимальной мощности. Проведем указанные построения для режима
максимальной мощности (а = 0), поскольку он характеризуется
наибольшими значениями токов и напряжений на элементах ключевых
генераторов при регулировании мощности и широко применяется в схемах
без регулирования.
Для 1т и (р получаем
Рассмотрим форму напряжения на транзисторах
(7.73)
(7.74)
(7.75)
(7.76)
В зависимости от значения ip можно выделить три области:


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 199
В первой ил(Ф) имеет минимум в точке Фтш = <р + arccos (|- sin tp)
и максимум при Ф = 0; 7г (г/л(0) = u>i(7r)). Во второй — два
экстремума в точках Фтш и Фтах — ф — arccos (|- sin (р). В третьей —
UA mini UA max = ид(Фтах). Скачок анодного
напряжения на транзисторах при переключениях равен ит(0) = ид(0) = ^л(тг).
Значения указанных напряжений определяются соотношениями:
(7.77)
(7.78)
(7.79)
Для первой и второй областей граничное значение х равно
В третьей области Хгр = — f cos<p. Подставляя Хгр в (7.73), находим
границу непрерывного режима (рис. 7.6).
На основании формул (7.74)-(7.79) определим характеристики
ключевых генераторов:
(7.80)
(7.81)
(7.82)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)


200
Глава 7
Рис. 7.7. Характеристики ключевых генераторов
(7.87)
(7.88)
Характеристики Pi и Ки находятся из (7.65) и (7.66).
Приведенные выражения позволяют определить характеристики ключевых
генераторов как функции двух параметров х и V?- На рис. 7.7 приведены
зависимости UTTn2iX/E и UT(0)/E (a); UHi/E и Uh3/Uhi (6); /\Г.Н и Л'м
(в) от <р для различных значен^ х. гДе показано, что КГтН, инз/ин\
и UT(0)/E уменьшаются с ростом <p, a UH\/E увеличивается. Режим
работы ключевых генераторов при tp > 7г/2, что соответствует
индуктивному характеру нагрузки, имеет лучшие качественные
характеристики по сравнению с режимом ip < 7г/2 (емкостная расстройка) и случаем
идеального фильтра в цепи питания (х —> со). При ip = 130° и \ « 0,5


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 201
спектральный состав напряжения, прикладываемого к нагрузке по
сравнению с генератором с идеальным фильтром улучшается в 6 раз. Кроме
того, переключение транзисторов происходит при напряжении,
значительно меньшем Е, что приводит к уменьшению динамических потерь в
транзисторах и цепях, снижающих duT/dt, и облегчает (в случае
необходимости) параллельное или последовательное включение нескольких
транзисторов в плечах схемы ключевого генератора.
Для создания методики расчета ключевых генераторов построим
линии равных значений Ки и Км (рис. 7.8,a), UH\/E (рис. 7.8,6), UT(0)/E
и UT тъх/Е (рис. 7.8,в) и КТМ (рис. 7.8,г) в плоскости годографа V.
Линии равных значений К{ = siny?/7r представляют собой лучи,
проведенные из центра 5=1 — 8/7Г2, линии равных значений максимального
тока через транзисторы 1Тт&х/шСфЕ — 1/х — окружности с центром
S и радиусом ri = — —-—, а линии UT(0)/E и Un\/E — окружно-
Я" -*ттах
сти соответственно с центрами
и радиусами
Линии равных значений Ки, Км, UTm&x/E и Кг.н строятся как решения
трансцендентных уравнений, полученных на основании формул (7.31),
(7.80), (7.85), (7.86).
Рассмотрим годографы наиболее типичных нагрузок. В случае
использования в качестве нагрузки генератора последовательного
колебательного контура
где 7 = w0/w; wo = l/y/LnCn\ QH = lj0Lh/Rh.
Построенные на основании (7.89) годографы показаны на рис. 7.9.
По заданным параметрам нагрузки (7, QH, CH) и цепи
постоянного тока (Сф) определяются характеристики генератора, для чего
годограф накладывают на линии равных значений Ки, А',-, Км, Кги и
т.п. (см. рис. 7.8,а-г).
Для обеспечения требуемых характеристик необходимо, чтобы
годограф проходил через соответствующую точку (область). В
декартовых координатах получаем


202
Глава 7
Рис. 7.8. Линии равных значений параметров ключевых генераторов


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 203
Рис. 7.9. Генератор
последовательного колебательного
контура (а) и годографы V(jw) (б)
в полярных —
По координатам выбранной точки в комплексной плоскости
рассчитываются параметры у, QHt Сф/Сн.
При использовании в качестве нагрузки электроакустического
преобразователя эквивалентная схема замещения представляется
соединением резистивной RH и емкостной Со ветвей или емкостной Со ветви и
последовательного колебательного контура LH-CH-RH На входе такого
преобразователя обычно включают Г-образный LCo-фильтр нижних
частот (ФНЧ), который может выполнять три функции: фильтрацию
выходного сигнала генератора; обеспечение работоспособности
передатчика при коротком замыкании преобразователя; согласование с нагрузкой.
Рассмотрим годограф для ФНЧ, нагруженного на резистор, к
которому сводится простейшая схема замещения электроакустического
преобразователя:
где 7с = и/ис\ ис = 1/(ЯнСо).
Частота среза ФНЧ ис рассчитывается по Баттерворту, а параметр
d выбирается из соображений согласования: d = L/Lo, Lq = Rh/ujc-
В зависимости от условий эксплуатации резистивное
сопротивление ЭП может изменяться, что приводит к изменению режима
ключевого генератора. В этом случае для определения его характеристик
достаточно построить в комплексной плоскости годограф V(R) в
зависимости от сопротивления ЭП. Введем безразмерный коэффициент к,
принимающий любые положительные значения, тогда для сопротивле-


204
Глава 7
Рис. 7.10. Фильтр нижних частот и годографы V(jlj)
ния нагрузки kRH можем записать
Таким образом, при изменении R нормированный к Со/Сф
годограф имеет вид окружности с центром Sr = y\d — 0,5 и радиусом
Г? = 0,5. На рис. 7.10,а изображены годографы V(jw) в зависимости
от частоты для ФНЧ при d = 1 (сплошные кривые) и V(R) (штриховые
кривые) в зависимости от сопротивления нагрузки в точках ус = 1.
Для ФНЧ, нагруженного на колебательный контур, получаем
(рис. 7.10,6)
где Q3 и QM — эквивалентная электрическая и механическая
добротность преобразователя, Q3 = u>oCoRH; QM = \/LH/CH/RH.
При 7 = 1 выражение для годографа совпадает с (7.90), если
7с = Q37. Для обеспечения требуемого режима по заданным Q3 и QM
рассчитываются значения Сф/Со и d (табл. 7.1).
В качестве примера рассмотрим годографы, проходящие через точ-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 205
Qm
10
3
3
3
Q*
2
2
1.5
1.5
Таблица 7.1
Сф/Со
5
5
5
1
d
0,04
0,04
1.4
1,2
Таблица 7.2
Яэ
1
3
5
Сф/Со
1
1.67
2,6
d
1Д
0,14
0,05
Sr
0,71
1,29
1,79
TR
0,5
0,84
1,3
Рис. 7.11. Ключевой генератор и годографы V(R) и V(7)
ку с координатами Re V = 0,6; ImV = 0,5, в которой UT(0)/E — 0,2;
-Кг.н = 0,12. Для j = I получаем
откуда находим
В табл. 7.2 приведены значения Сф/Со, d, а также радиуса гд и
центра S# окружности, по которой движется точка V(R) при
изменении сопротивления R и у = 1. Для данного примера на рис. 7.11
сплошными кривыми представлены V(y), штриховыми — V(R)\1=i. Ширина
полосы частот, соответствующая нахождению годографа в непрерывной
области, приведена в табл. 7.3.
Описанный анализ ключевого генератора проведен при условии
и2ЬфСф > 1, что практически всегда выполняется. Исследования,
проведенные при любом значении параметра ш2ЬфСф, показали, что
рациональный режим генератора, работающего на индуктивную нагрузку
при малых значениях х. появляется для и2ЬфСф ^ 4 [134].


206
Глава 7
Таблица 7.3
Qa
1
1
1
2
3
3
5
5
5
Qm
3
6,5
10
3
6,5
10
3
6.5
10
Tmin
0,96
0,97
0,99
0,90
0,97
0,98
0,87
0,98
0.99
7max
1,32
1,20
1.15
-
1.07
1,05
-
1,06
1,03
Л7
0,34
0.23
0,16
-
0,1
0,08
-
0,08
0,04
Рис. 7.12. Амплитудные регулировоч- Рис. 7.13. Фазовые регулировочные
ные характеристики характеристики
Характеристики ключевого генератора в режиме
регулирования. В режиме максимальной мощности (а = 0) при индуктивном
характере нагрузки и малых емкостях Сф (и>СфЕ/1т < 1) ключевой гене-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 207
Рис. 7.14. Зависимости фазы выходного сигнала от а
ратор обладает улучшенной формой выходного напряжения по
сравнению со случаем идеального фильтра в цепи питания (шСфЕ/1т ^$> 1).
Рассмотрим, сохраняется ли указанное преимущество при
регулировании, а также особенности регулировочных характеристик.
Регулировочные амплитудная и фазовая характеристики
генератора определяются соотношениями (7.47) и (7.48). При значениях \V\ ^ 1
амплитудные регулировочные характеристики отличаются от идеальных
косинусоидальных (рис. 7.12,э-в). Из фазовых регулировочных
характеристик (рис. 7.13,а-а) следует, что при значениях \V\ ^ 1 в процессе
регулирования фаза выходного колебания изменяется.
На рис. 7.14,а и 6 показаны зависимости фазы выходного
сигнала от а (соответственно от 0 до 90° (сплошные кривые) и от 30 до
90° (штриховые)).
Зависимости UT/E от а (соотношение (7.72)) для различных
значений модуля \V\ и фазы <ру приведены на рис. 7.15,э-в. Из рис. 7.15,6
следует, что UT(a)/E < 1 при индуктивном характере нагрузки (<ру =
— —40°) и только для а < 20°. При глубоком регулировании для
значений \V\ ^ 1 скачок напряжения на транзисторах существенно
превышает Е.
Анализ спектрального состава выходных колебаний на основании
соотношений (7.70) и (7.71) показал, что наименьшие амплитуды
ближайших к первой гармонике получаются в случае индуктивного
характера нагрузки.
Из рассмотренных характеристик видно, что положительные
качества, которыми обладает ключевой генератор при малом Сф в
режиме максимальной мощности (а = 0), сохраняются только для а < 25°
(уменьшение мощности на 20 %). При глубоком регулировании нет
смысла уменьшать Сф, так как выигрыша в спектре почти нет, а значение
UT(a) возрастает и становится больше Е для любого типа нагрузки.
Кроме того, амплитудная и фазовая регулировочные характеристики
становятся зависимыми от нагрузки.


208
Глава 7
Рис. 7.15. Зависимости Ur/E
от а для различных
значений модуля |V| и фазы у у
7.7. Погрешность метода гармонического
баланса
Оценку погрешности проведем в три этапа. Определим влияние
высших гармоник тока iH(t) на величину первой гармоники напряжения Un\
и соответственно погрешность определения 1т и <р из уравнения
гармонического баланса в зависимости от высших гармоник тока iH(t). Затем
рассмотрим влияние A(t) на остальные характеристики ключевого
генератора и, наконец, проведем оценку A(t) в зависимости от параметров
генератора и режима работы.
Первый этап. Пусть выходной ток ключевого генератора содержит
первую гармонику Im cos(u>t — (р) и высшие гармоники Д(?). Тогда
(7.91)
где индекс «т» — точные значения величин. Приближенные значения,
найденные в разд. 7.5, обозначим индексом «п».
Воспользовавшись структурной схемой и методом интегральных
уравнений, найдем
Для иА(Ф) получим выражение ид(Ф) = и'Л(Ф) — Дид(Ф), где


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 209
(7.92)
(7.93)
Слагаемое и'А(Ф) совпадает по форме с выражением для мл(Ф).
которое найдено приближенно и отличается от последнего тем, что
вычисляется при точных значениях 1^ и (рт, т.е. и*д = ufA(SIf, 7^,^п).
Слагаемое Дг/д(Ф) определяет влияние высших гармоник тока iH(t) на
напряжение ид.
Напряжение на нагрузке uH(t) = a(t)uA(t) полностью
определяется выражениями (7.92) и (7.93). Для составления обобщенного
уравнения гармонического баланса необходимо определить первую
гармонику напряжения uH(t):
Используя результаты разд. 7.5, находим
Обозначив
для комплексной амплитуды первой гармоники напряжения uH(t),
получим
(7.94)
Использовав структурную схему (см. рис. 7.3), составим уравнение
гармонического баланса
(7.95)
Подставив в (7.95) значение [/н1 из (7.94), найдем обобщенное
уравнение гармонического баланса
(7.96)


210
Глава 7
где V(juj), как и раньше, — годограф непрерывной части генератора.
Уравнение (7.96) отличается от (7.44) наличием члена AW и
является точным, поскольку учитывает все гармоники тока iH(t). Для его
решения нужно найти значение AW. Однако это невозможно, так как
не известна функция A(t). Можно оценить погрешность, возникающую
при пренебрежении слагаемым AW. Для этого оценим значение |AVF|.
Обозначим
Тогда
(7.97)
(7.98)
Для интеграла (7.98) воспользуемся оценкой, зависящей от
коэффициента гармоник тока нагрузки
(7.99)
Учтем некоторые свойства функции Д(^). Приняв во внимание,
что A(t) включает в себя все высшие гармоники (нечетные) и не
содержит первой, получим
(7.100)
Продолжим функцию Ъ'(и)ч определенную в (7.97) на интервале
v Е [0,7г], на всю числовую ось таким образом, чтобы Ь'{у) = —&'(7r + i/).
Тогда ее можно разложить в комплексный ряд Фурье:
(7.101)
где 6'в уже не содержит первой гармоники.
Подставляя соотношение (7.101) в (7.98) и учитывая (7.100),
находим
(7.102)
Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, из (7.102)
получим
Учитывая равенства (7.100), оценку представляем в виде
(7.103)


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 211
где
(7.104)
Чтобы вычислить М, найдем значение 6^. Для этого определим
Таким образом, получим
Подставляя Ь'в в (7.104), находим
Используя оценку (7.103), из обобщенного уравнения гармонического
баланса получаем неравенство, которому должны удовлетворять
точные значения /^ и <рт:
(7.105)
Неравенство (7.105) определяет область возможных значений для
амплитуды тока первой гармоники и ее фазы в зависимости от
коэффициента гармоник тока нагрузки.
Для решения неравенства (7.105) учтем, что из приближенного
уравнения гармонического баланса (7.44) следует W((pn,xn) = V(ju).
Тогда (7.105) примет вид
(7.106)
Подставив в неравенство (7.106) значение W((pn,xn) из (7.41),
получим
(7.107)
Обозначая Дх = Хт ~ Хп. ^ = рт — <рп v\ используя Д% и Д<?>,
преобразуем (7.107) к виду
(7.108)
Из (7.108) следует, что погрешность в определении хп и <рп составляет
(7.109)


212
Глава 7
(7.110)
После вычисления Дх и Aip заканчивается первый этап решения задачи.
Второй этап. Определим погрешности вычисления всех временных,
энергетических и качественных характеристик ключевых генераторов в
зависимости от Дх, Д<?> и Кг.т.
Амплитудное значение тока
(7.111)
Поскольку погрешность в определении хт известна, из (7.111)
находим /Й1 ^ Im ^ Im\ ГДе
(7.112)
Подставив в (7.112) значение х11 из (7.42), (7.47) и Дхтах из (7.110),
определим
Зная амплитуду первой гармоники тока iH(t), нетрудно определить
колебательную мощность генератора Pi:
(7.113)
Из приближенного уравнения гармонического баланса (7.44) на-
ходим
(7.114)
Определим среднее значение тока г'д(?):
Поскольку оценки Im и <рт известны, для вычисления /о надо
найти только оценку интеграла, входящего в (7.115). Учтем, что Д(<) не
содержит первой гармоники. Поэтому
(7.116)
(7.115)


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 213
Оценивая (7.116) с помощью неравенства Коши-Буняковского, получаем
(7.117)
где
(7.118)
Тогда из уравнения (7.115), принимая во внимание (7.116) и (7.117),
получаем оценку среднего значения тока г'л(*):
где при ipn e [0,тг/2]
а при
Зная значение /о, нетрудно получить оценку мощности,
потребляемой ключевым генератором:
Рассмотрим погрешность в определении величины и формы
переменной составляющей напряжения на конденсаторе фильтра
выпрямителя. Для этого необходимо оценить значение Дид(Ф), обусловленное
высшими гармониками тока iH(t). Поскольку A(t) не содержит основной
гармоники, выражение (7.93) можно записать в виде
Комплексные амплитуды первой и минус первой гармоник функ-


214 Главу 7
ции 6(Ф — и):
Используя (7.51) для 6(Ф — и), находим
Оценивая значение Дид(Ф), получаем
где
Подставляя в (7.20) значения Ь(Ф — v)\ 6х(Ф); 6_1(Ф), находим
(/.l^UJ
Как следует из (7.92), (7.93) и (7.118), точное значение напряжения
определяется следующим выражением:
(7.121)
Для вычисления мажо- и миноранты напряжения ил(Ф) в (7.121)
следует вместо 1^ и (рт соответственно подставить Im , Im' и (рп -f
+Ду?тах, (рп — Д^тах» дающие необходимые экстремальные значения
ид(Ф). Рассчитывая мажо- и миноранту для г/д(Ф), одновременно
определяем максимальное и минимальное значения напряжения на
транзисторах с учетом возможной погрешности.
Перейдем к оценке погрешности вычисления гармонического
состава тока и напряжения. Найдем комплексную амплитуду (2k + 1)
гармоники напряжения
Значение {/H(2Jfc+i) можно представить в виде суммы двух слагаемых:


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 215
где
Из разд. 7.5 следует, что
Составляющая напряжения Дг*л(Ф), обусловленная высшими
гармониками тока гн(*), дает дополнительную составляющую к
амплитуде (2к + 1) гармоники
(7.122)
Для оценки величины A?/H(2Jfc+i) перепишем интеграл (7.122)
следующим образом:
(7.123)
где
Проведя вычисления, найдем
Оценка выражения (7.123) аналогична сделанным ранее.
Определим


216
Г л а у а 7
Оценивая уравнение (7.122) с помощью неравенства Коши-Буня-
ковского, получаем
Интегрируя (7.125), определяем значение
(7.124)
(7.125)
Поскольку у- ^ « 1, величину T(2fc+i) можно оценить по
упрощенной формуле: Т(2*+1) ^ l/(2fc + l). Теперь получим оценку
относительной величины (2& + 1) гармоники напряжения uH(t):
(7.126)
При практическом использовании полученных оценок вместо хт и
<рт в (7.126) надо подставлять значения Хп±ДХтах и <рп ± Д<?>тах •
Комбинации знаков выбираются таким образом, чтобы получать для оце-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 217
нок гармонического состава максимальные или минимальные значения
в прямоугольнике \п ± ДХтах и (рп ± А^тах- На этом заканчивается
второй этап решения задачи о погрешности.
Третий этап. На этом этапе оценивается коэффициент Кг.т,
определяющий погрешность вычисления характеристик ключевого
генератора. Выразим высшие гармоники тока iH(t) в виде ряда Фурье:
где
(7.128)
Из соотношений (7.127) и (7.128), пользуясь определением (7.99),
находим
(7.129)
где с учетом (7.95) и (7.99)
(7.130)
Используя (7.124), оцениваем
где
(7.132)


218
Г л а в-а 7
Из уравнений (7.128) и (7.131) находим
(7.133)
Оценка состоятельна при S < 1.
Упростив выражения (7.130) и (7.132), получим
0,65, a /\"T показан на рис. 7.7.
Таким образом, из формулы (7.133) с учетом (7.130), (7.132) или
(7.134) получаем оценку коэффициента Кг.т, после чего оцениваем все
остальные характеристики ключевого генератора.
Полученные результаты позволяют, не проводя численных расчетов
на ЭВМ, оценить при любой нагрузке области, внутри которых лежат
точные значения характеристик.
В качестве примера определим погрешность расчета ключевого
генератора, работающего на последовательный контур с координатами
годографа ReV — 0,6, \xx\V — —0,5. Пусть QH = 0,3, тогда согласно
(7.44), (7.89) т = 0,82; Сн/Сф = 0,812, Хп = 0,5, ipn = 129°. Для
этих параметров имеем
На основании формул (7.87), (7.130) и (7.132) получаем К*т «
« 1,7 %, S = 0,18. Тогда согласно (7.133) tfrTT ^ 2,13 %. Примем
его равным 2,2 %. Из соотношения (7.110) находим Ду?тах = 1,5°,
ДХтах = 0,007. Точное значение первой гармоники тока нагрузки 1^
будет лежать в пределах 0,97 ^ I^X7/иСфЕ ^ 1,02. Получение оценок
остальных величин не представляет труда.
7.8. Анализ переходных процессов
при управлении колебаниями
В рассматриваемых ключевых генераторах, математической
модели которых соответствует замкнутая структурная схема, цепи
постоянного и переменного токов оказывают влияние как на установившийся,
так и на переходные режимы работы. Точный анализ процессов в
таких генераторах можно выполнить методом припасовывания или после
преобразования ключевого генератора к импульсной модели —
методами Z- или D-преобразований. Реализация указанных методов
вследствие необходимости решения характеристических уравнений высокого


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 219
порядка возможна в конечном счете только численными методами на
ЭВМ. При этом невозможно сделать качественный анализ, затруднена
оптимизация режимов и синтез линейной непрерывной части ключевого
генератора при сложной нагрузке.
С целью устранения этих недостатков воспользуемся
приближенным методом усреднения в операторной форме, строго обоснованном
для периодически нестационарных систем [134]. Упрощение анализа
переходных процессов при использовании данного метода достигается
благодаря переходу от дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами и
использованию частотных методов исследования.
Воспользовавшись системой уравнений (7.28), описывающей
процессы в ключевом генераторе, запишем уравнение для напряжения на
конденсаторе Сф:
(7.135)
Выражение YH(p,t) = a(t)YH(t)a(t) в (7.135) представляет собой
линейный периодический по t оператор, являющийся функцией двух
переменных р и t. Воспользовавшись известным правилом преобразования
операторов [135] Y(p)eXt = eAtY(p-f А), запишем оператор в виде
где
Для перехода к уравнению с постоянными коэффициентами
следует использовать среднее значение нестационарного оператора Ун(р, t),
т.е. его постоянную составляющую при п — 0:
(7.136)
С учетом (7.136) из формулы (7.135) находим среднее напряжение
из которого получим
(7.137)


220
Глава 7
Рис. 7.16. К определению основных параметров переходного процесса
Если применить преобразование Лапласа, то
(7.138)
где E(S) = E/S\ W3(S) — передаточная функция усредненной
замкнутой системы от Е к йл(2), которая получается при замене в структурной
схеме, приведенной на рис. 7.3, цепи a(t) — YH(p) — a(t) на звено Уно(р)-
Рассмотрим решения уравнений (7.138), (7.137). Уравнение (7.138)
можно решить, применив обратное преобразование Лапласа. Для этого
необходимо найти корни характеристического уравнения:
(7.139)
При ограничении конечным числом членов 2q в выражении для
Уно(р) порядок уравнения (7.139) будет равен Ыф + 2qNH (ЛГф —
порядок цепи постоянного тока Z$(S), a NH — порядок YH(S)).
Поскольку обычно NH ^ 2, АГф = 2, порядок характеристического уравнения
(7.139) всегда будет выше шестого (g ^ 1). Следовательно, возможно
только численное решение (7.139).
В связи с изложенным становится перспективным применение
частотных методов анализа ключевых генераторов, позволяющих
преодолеть трудности, вызванные высокой степенью характеристического
уравнения (7.139). Частотные методы позволяют либо рассчитать
переходной процесс во времени по вещественной частотной характеристике
замкнутой системы ReW3(juj):
либо оценить основные параметры переходного процесса, такие, как
максимальный выброс а, время окончания переходного процесса tB и
период колебаний Тк (рис. 7.16,а) по виду вещественной ReW3(juj) или
амплитудно-частотной |РУ30^)| характеристик (рис. 7.16,6).
Методы непосредственного определения значений <т, tB, TK
благодаря простоте очень удобны в инженерной практике. Характеристики
переходного процесса можно оценить, например, по следующим при-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 221
ближенным соотношениям:
(7.140)
Параметры, входящие в (7.140), определяются так, как показано на
рис. 7.16,6", где параметр формы F = M/i//2l показатель
колебательности системы М = тахы |И^0'^)|. При М — \ переходный процесс
близок к апериодическому. В этом случае следует полагать F = /1//2;
М' = М = 1; /{ = Д. При М ^ 1 значение а определяется из
выражения ст = 1 — 1/М.
Для вычисления ReW3{jQ) или |И^0"П)| необходимо найти
значение YHo(jQ). В случае простых нагрузок YHo(jQ) можно представить
в замкнутом виде [136]:
где pi — корни полинома Ф(р/) = 0.
В общем случае приходится ограничиваться конечным числом
членов ряда (7.136). Погрешность вычисления YHo(jQ) при этом равна
где Jb = q,±(q + l),±(q + 2),...±oo, q = 1,2,3,...
Чтобы метод усреднения был достаточно точен, должно
выполняться условие |W3(jfi)| С 1 при Q > и, которое всегда справедливо, если
нагрузка обладает фильтрующими свойствами.
Для вычисления перенапряжения а в переходном процессе надо
знать показатель колебательности М. Его значение можно найти с
помощью как передаточной функции замкнутой системы W3(jQ), так и
передаточной функции разомкнутой системы Wp(jQ), где W3(jQ)
определяется из соотношения
(7.141)
Для показателя колебательности М нужно построить годограф
Wp(jQ) в комплексной плоскости, на которую нанесено семейство
окружностей с радиусом гм = М/(М2 — 1) и центром SM = —М2/(М2 - 1).
Радиус наименьшей окружности, которой коснется годограф Wp(jQ), и


тп
Глава 7
будет значением М. При М — 1 окружность вырождается в прямую,
параллельную оси ординат и сдвинутую от нее влево на 0,5.
Учитывая (7.30) и (7.141), запишем
Если показатель колебательности М не должен превышать
заданную величину, то необходимо, чтобы годограф Wp(jQ) не заходил в
область, ограниченную соответствующей окружностью. Отсутствие
перенапряжений на элементах ключевого генератора в переходном режиме
соответствует случаю М = 1, для чего годограф Wp(jQ) не должен
заходить за вертикальную прямую, отстоящую от оси ординат влево на
0,5, т.е. ReWp(jn) ^ -0,5.
Рассмотренный метод позволяет осуществить синтез цепей
постоянного и переменного токов таким образом, чтобы выбросы во время
переходного процесса не превышали допустимого значения. Параметры
нагрузки и емкость Сф выбираются обычно из соображения
обеспечения необходимых характеристик генератора в установившемся режиме.
Выбором индуктивности дросселя фильтра Ьф, которая входит в
выражение (7.142) для Wp(jQ.), можно обеспечить требуемое значение М
и соответственно <т.
Приведенные выражения для йл{{) получены при нулевых
начальных условиях в цепях постоянного и переменного токов. При
использовании ключевого генератора как усилителя мощности и передатчиков,
работающих в режимах амплитудной (AM), частотной (ЧМ) и
фазовой (ФМ) модуляций генерируемых колебаний, начальные условия на
конденсаторах и катушках индуктивности не равны нулю, что
приводит к изменению uA(t).
Запишем систему уравнений (7.28) с учетом ненулевых начальных
условий. В случае использования Г-образного фильтра выпрямителя и
последовательного контура в нагрузке ключевого генератора получаем
(7.143)
Поскольку uH(t) = a(t)uA(t); iA(t) = a(t)iH(t); iH(t) = YH(p)uH(t) -
С учетом (7.139) и (7.140)
(7.145)
Применив преобразование Лапласа, выражение (7.145) можно за-


Переходные и установившиеся процессы в ключевых генераторах 223
писать в виде
где
(7.146)
При ненулевых начальных условиях йд(^) можно рассчитать на
основе (7.146) с помощью частотных методов по аналогии с
рассмотренным случаем нулевых начальных условий. Значения Ua(0)/E]
Uck{0)/E\ 1Ьф{0)/Е;, Ilk(0)/E определяются из установившегося
режима.
В режиме AM, когда UA = Е\ 1ьф(0) = /lk(0) = UCk(Q) = О,
выражение (7.145) упрощается к виду
(7.147)
Используя проведенный анализ, исследуем переходные процессы в
ключевом генераторе, нагруженном на последовательный контур. На
основании (7.142) запишем
i
Годографы Wp(jQ), рассчитанные по формуле (7.148),
приведены на рис. 7.17. Значения параметров Сн/Сф, j, QH для
обеспечения высоких показателей ключевого генератора в установившемся
режиме выбраны так, чтобы Re V(juj) = 0,6; \n\V(jw) = -0,5; V(jw) =
= —ju}C^ZH{juj). Во избежание перенапряжений в переходном режиме
при пуске необходимо, чтобы М — 1. Из рис. 7.18 видно, что при 7ф = 4
это условие выполняется для QH = 3. Для обеспечения равенства М = 1
при других QH необходимо увеличить 7ф так, чтобы ReWp(jQ) ^ —0,5.
Для проверки точности приближенного анализа выполнен расчет
переходного процесса на ЭВМ при QH = 3, 7ф = Ю, Сн/Сф = 0,04...0,82.
Результаты расчета приведены на рис. 7.19,а, 6. Расхождение между
результатами приближенных расчетов и сделанных на ЭВМ не превышает


Глава 8
Исследование статических
и динамических характеристик
преобразователей напряжения
понижающего типа
Современные радиотехнические и связные системы и устройства
предъявляют все более жесткие требования к статическим (стабильность
выходного напряжения, величина высокочастотных и низкочастотных
пульсаций), динамическим (величина перерегулирования, время
установления выходного напряжения при включении или отключении
источника питания, скачкообразном изменении входного напряжения или
нагрузки) и массогабаритным характеристикам вторичных источников
электропитания.
В настоящее время широкое применение находят импульсные
источники питания с промежуточным звеном повышенной частоты. В
импульсных источниках питания сглаживающие фильтры занимают до
40...50 % массы и габаритных размеров всего источника. Для сниже^-
ния их массы и габаритных размеров при заданной величине
высокочастотных пульсаций необходимо либо повышать частоту коммутации
транзисторов, либо использовать многозвенные фильтры [143-150, 155].
Однако увеличение частоты коммутации транзистора приводит к
снижению КПД источника из-за возрастания коммутационных потерь
мощности и к ухудшению электромагнитной совместимости, что имеет очень
важное значение для радиотехнических и связных устройств. Поэтому
для дальнейшего улучшения массогабаритных показателей импульсных
источников представляется целесообразным использование
многозвенных фильтров.
Специалистами по преобразовательной технике до сих пор не
используется глубоко разработанная классическая теория синтеза
реактивных LC-фильтров; не рассматриваются многозвенные фильтры Че-
бышева с равноволновыми характеристиками, которые обладают
максимальным затуханием в полосе задерживания при заданном количестве
элементов и заданном произведении LeCe, где Ls и Се —
суммарные значения индуктивностей и емкостей фильтров; не
рассматриваются фильтры Баттерворта с максимально плоскими
характеристиками в полосе пропускания и линейными фазовыми характеристиками в
полосе задерживания.
Для стабилизации выходных характеристик обычно используется
обратная связь по выходному напряжению или току, а для обеспечения
или повышения запаса устойчивости используются корректирующие зве-


226
Глава 8
нья в цепях обратной связи или контура обратной связи по различным
переменным состояния [137-142, 151, 156-158].
Основная проблема, которую необходимо решить при
использовании однозвенных и многозвенных фильтров в импульсных источниках
питания с отрицательной обратной связью (ОС) по выходному
напряжению, заключается в обеспечении достаточно большой глубины
отрицательной ОС, а следовательно, коэффициента стабилизации выходного
напряжения или тока и одновременно обеспечении достаточного запаса
устойчивости по фазе и амплитуде. Исследование импульсных
источников с двухзвенными фильтрами, но не с характеристиками равнозвенных
фильтров, Чебышева, Баттерворта, проведено в [143, 147, 148, 151].
Импульсные преобразователи являются дискретно нелинейными
системами. Для исследования устойчивости работы данных устройств
широко используется метод усреднения и линеаризации дискретно
нелинейных систем [137-142, 151, 156-158]. Этот метод позволяет перейти от
дискретно нелинейной системы к непрерывной линейной с
использованием метода усреднения и линеаризации дифференциальных уравнений,
получить частотную передаточную функцию разомкнутой петли ОС и с
использованием частотных критериев определить устойчивость
системы, полосу подавления низкочастотных пульсаций и коэффициент
стабилизации выходных параметров [137-142, 151, 156-158]. Передаточная
функция замкнутой или разомкнутой системы импульсных
преобразователей напряжения (ИПН) зависит от передаточной функции ее
непрерывной части (сглаживающих фильтров), а также типа и числа контуров
обратной связи и корректирующих звеньев в цепи обратной связи.
Метод усреднения и линеаризации является приближенным
методом. Причем погрешность возникает как при усреднении, т.е. замене
уравнений, описывающих переменные состояния системы на различных
интервалах работы ИПН, одним непрерывным дифференциальным
уравнением, так и при линеаризации полученного непрерывного нелинейного
уравнения на этапе усреднения. Погрешность метода усреднения и
линеаризации в указанных работах не рассматривалась.
Точность метода усреднения и линеаризации зависит от
величины возмущений (величины скачка входного напряжения и
сопротивления нагрузки); коэффициента заполнения (отношения длительности
импульса тока через транзистор преобразователя к периоду коммутации);
отношения частоты коммутации силовых транзисторов к резонансной
частоте фильтра; величины пульсаций и т.д. Поэтому в данном разделе
для исследования коэффициента стабилизации, устойчивости ИПН,
полосы амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) разомкнутой петли
ОС ИПН используются и сравниваются приближенный метод
(усреднения и линеаризации) и точный метод (по мгновенным значениям
параметров) переменных состояния.
При работе ИПН для устранения многократного переключения
транзистора («дрожащий режим») на периоде колебания, как правило, в


Исследование характеристик преобразователей напряжения 227
схеме управления используется нелинейный элемент — RS-триггер.
Работа триггера при использовании метода усреднения и линеаризации
не учитывается, что является дополнительным источником
погрешности этого метода.
В данной главе проводится исследование устойчивости работы,
коэффициента стабилизации выходного напряжения ИПН, полосы АЧХ
передаточной характеристики разомкнутой петли ОС ИПН, величины
перерегулирования по току силового транзистора и выходному
напряжению при изменении нагрузки и входного напряжения для ИПН с одно-
звенными и двухзвенными фильтрами с характеристиками Чебышева и
Баттерворта при разных контурах обратной связи; разной величине
пульсаций на емкостях фильтра и разной величине коэффициента усиления
усилителя постоянного тока в цепи обратной связи. Также
сравниваются коэффициенты стабилизации и устойчивость работы ИПН
полученные при использовании приближенных методов усреднения и
линеаризации и точного метода переменных состояния, т.е. проводится оценка
погрешности приближенного метода.
Для улучшения качества динамических процессов при различных
возмущающих воздействиях, т.е. обеспечения малой величины
перерегулирования (для современных цифровых систем связи величина
перерегулирования ограничивается очень жесткими нормами адин = ±2 %),
малой длительности переходных процессов до десятков микросекунд,
снижения низкочастотных пульсаций до десятков-единиц милливольт,
стабильности выходных характеристик до единиц-долей процента при
обеспечении устойчивой работы ИПН, необходимо исследовать устойчивость
работы и динамические характеристики ИПН с различным
ослаблением фильтров в полосе задерживания, различными контурами обратной
связи, различными коэффициентами усиления постоянного тока в
цепи обратной связи.
8.1. Математическая модель ИПН
понижающего типа
Динамические характеристики (перерегулирование по току и
напряжению при включении и отключении ИПН, скачкообразном
изменении входного напряжения и нагрузки, высокочастотные пульсации
тока дросселя и выходного напряжения) могут быть найдены из решения
системы дифференциальных уравнений, описывающих переменные
состояния — токи в индуктивностях и напряжения на емкостях на
этапах работы ИПН, когда транзистор находится в открытом и закрытом
состоянии.
Исследование статических характеристик ИПН (коэффициент
стабилизации выходного напряжения и тока, запас устойчивости по фазе,
полоса подавления низкочастотных пульсаций) осуществляется с
помощью критерия Найквиста по частотным характеристикам передаточной


228
Глава 8
Рис. 8.1. Схема импульсного преобразователя напряжения понижающего типа
с однозвенным СФ и двумя контурами ОС
функции разомкнутой петли ОС. Частотные характеристики могут быть
получены путем сведения дискретно-нелинейных моделей
импульсного преобразователя напряжения к непрерывной линейной модели с
использованием метода усреднения и линеаризации дифференциальных
уравнений.
На рис. 8.1 приведена схема импульсного преобразователя
понижающего типа при использовании однозвенного LC-фильтра с обратными
связями по выходному напряжению и току конденсатора.
При использовании обратной связи по току конденсатора для
предотвращения дробления импульса необходимо вводить в схему
управления RS-триггер.
В схеме приняты следующие обозначения:
t*l. ^c — сопротивления потерь в элементах фильтра L, С;
Кдь г\ц2 — делитель напряжения с коэффициентом передачи а =
— Яц2/(Дд1 + Ддг) Для обеспечения ОС по выходному напряжению;
U3T — опорный эталонный источник;
^вх. С^вых — соответственно входное и выходное напряжения ИПН;
^ош(0 — сигнал ошибки, равный разности опорного напряжения и
суммарного напряжения обратной связи;
р(?) = Un(t — пТ)/Т — выходное напряжение генератора
пилообразного напряжения, Un — амплитуда, Т — период, п —
порядковый номер пилы.
Сигнал ошибки
Uom(*) = АУ(С/ЭТ - а(7вых) - А,--
где xi и Х2 — переменные состояния, т.е. ток в индуктивности и
напряжение на емкости; Ку — коэффициент усиления УПТ в цепи обратной


Исследование характеристик преобразователей напряжения 229
Рис. 8.2. Временная диаграмма, демонстрирующая принцип
управления работой компаратора в импульсном преобразователе напряжения
связи; Rm — сопротивление шунта для обеспечения ОС по току
конденсатора фильтра С; Ki = KmRm — коэффициент усиления УПТ в
цепи ОС по току конденсатора.
На компаратор подаются два сигнала: сигнал ошибки и сигнал
пилы. В зависимости от их соотношения
на выходе компаратора формируются импульсы напряжения, которые
управляют работой RS-триггера (рис. 8.2).
Если s(t) > О, то транзистор VT открыт, диод VD закрыт.
Если s(t) < О, то на выходе компаратора ноль, транзистор закрыт,
диод открыт. Если выходное напряжение (7ВЫХ увеличилось, то
сигнал ошибки уменьшается, и соответственно уменьшится длительность
закрытого состояния транзистора, что приведет к уменьшению UBblx до
прежнего (установившегося) значения. Таким образом осуществляется
стабилизация выходного напряжения.
Переменные состояния на интервале проводимости транзистора
определяются уравнением
(8.1)
на интервале выключенного состояния транзистора — уравнением
(8.2)
На основании законов Кирхгофа получены дифференциальные
уравнения переменных состояния при s(t) > 0 и s(t) < 0.
Матрицы коэффициентов переменных состояния Ai и Аг и
матрицы коэффициентов вынужденного воздействия Bi и Вг для ИПН с од-
нозвенным фильтром имеют вид:


230 Г л а в а 8
Приведенные выше выражения для матричных коэффициентов Аь
Аг, Bi, B2 соответствуют режиму непрерывного или безразрывного
тока индуктивности схемы ИПН. Режим прерывистого тока реактора [161],
при котором в интервале паузы ток имеет разрывной характер, т.е.
снижается до нуля, имеет место, когда величина индуктивности меньше
критической. Как известно, это является недостатком, так как ухудшает
сглаживание пульсаций на выходе ИПН и поэтому обычно недопустимо.
Выполнение условия LKp > RH/2fT обуславливает непрерывность
тока индуктивности в установившемся режиме. Для многих
динамических характеристик ИПН наибольший интерес представляет режим
работы вблизи номинального значения сопротивления нагрузки RHOM.
Однако в переходных режимах (при запуске ИПН, резком уменьшении тока
нагрузки, т.е. резком увеличении RH), учет особенностей режима
прерывистого тока индуктивности является необходимым.
В соответствии с [162], длительность отсечки тока в индуктивности
характеризуется временным интервалом, в течение которого ток
реактора х\ = О, и поэтому силовая часть ИПН вырождается в цепь первого
порядка, состоящую из выходного конденсатора С, включенного
параллельно нагрузки RH. Для такой цепи VT закрыт, VD открыт. То есть
на этом временном интервале силовая часть ИПН характеризуется
матричными коэффициентами Аз, Вз:
На рис. 8.3 изображена схема ИПН понижающего типа при
использовании двухзвенного LC-фильтра с обратными связями по току
первого конденсатора сглаживающего фильтра и по выходному
напряжению. В контур отрицательной ОС по выходному напряжению
включено корректирующее пропорционально-инерционное звено. Приняты
следующие обозначения:
Пл» т*сь t*L2. *"С2 — сопротивления потерь в элементах фильтра
LI, CI, L2, С2;
Кдь Кд2 — делитель напряжения с коэффициентом передачи а =
= Яд2/(ЯД1 + Ядг) для обеспечения ОС по выходному напряжению;
Rm — сопротивление шунта для обеспечения ОС по току
конденсатора фильтра О;
U3T — опорный эталонный источник;
UBX, ^вых — соответственно входное и выходное напряжения ИПН;
р(<) = Un(t — пТ)/Т — выходное напряжение генератора
пилообразного напряжения; Un — амплитуда пилы, Т — период, п —
порядковый номер пилы;


Исследование характеристик преобразователей напряжения 231
Рис. 8.3. Схема импульсного преобразователя напряжения понижающего типа
с двухэвенным СФ и пропорционально-инерционным корректирующим звеном в
цепи ОС
^ош(0 = КуХь — К{{хз -" ^i) — сигнал ошибки при использовании
корректирующей цепи, где Xi и хз — переменные состояния,
описывающие токи в индуктивностях; Х5 = L~1[aW]c(s)(U3T — UBblx(s))] —
обратное преобразование Лапласа; Wk(s) = (1 + Tis)/(1 + T2s) —
передаточная функция корректирующего звена; 7\ и Тч — постоянные цепи
коррекции, Ti = Як3Ск; Т2 = (ДК2 + Дкз)Ск; Ку = RKi/RK2 —
коэффициент усиления в цепи ОС по выходному напряжению; К% — КШН,Ш
— коэффициент усиления в цепи ОС по току конденсатора.
На компаратор подаются два сигнала: сигнал ошибки и сигнал
пилы. В зависимости от их соотношения
на выходе компаратора формируются импульсы напряжения, которые
управляют работой RS-триггера.
Матрицы коэффициентов переменных состояния и матрицы
коэффициентов вынужденного воздействия для ИПН с двухзвенным
фильтром имеют вид:


232
Глава 8
Здесь
Пунктиром выделены матрицы при отсутствии цепей коррекции.
При использовании метода переменных состояния по мгновенным
значениям параметров на каждом шаге вычислений определяется
сигнал s(t) и в зависимости от его знака решаются уравнения состояния
либо для цепи с открытым транзистором, либо для цепи с закрытым
транзистором.
Решение уравнений состояния может быть осуществлено одним из
стандартных численных методов, например методом Эйлера [151, 163].
Согласно этому методу для дифференциального уравнения х = /(2,х)
решение х(п+1) при t = (n+l)/i, т.е. на (п+1)-й итерации, определяется
следующим образом: х(п + 1) « х(п) + /(2,я(п)), где х(п) — известное
значение искомой переменной, вычисленное на предыдущей итерации.
Таким образом, вычисления производятся последовательно, начиная с
заданного начального значения х(0). Для ИПН с однозвенным
фильтром решение уравнений состояния по методу Эйлера принимает вид:
Описанный метод реализован в программах вычислений на
алгоритмическом языке Pascal, которые использовалась при исследовании
переходных процессов в ИПН.
Для исследования устойчивости работы ИПН следует определить
передаточную функцию по управляющему воздействию импульсного


Исследование характеристик преобразователей напряжения 233
преобразователя в частотной форме. Для этого необходимо от
дискретной импульсной системы перейти к усредненной и линеаризированной
[137-142, 151, 156].
Система уравнений (8.1)—(8.2) описывает преобразователь как
дискретное устройство и справедлива только на своем временном
интервале, т.е. отражает информацию только при включенном (8.1) или
выключенном (8.2) ключевом элементе и является математической
моделью дискретной системы. Идея метода усреднения состоит в замене
матрично-векторного описания двух различных линейных цепей,
описываемых уравнениями на двух интервалах периода Т, одним
эквивалентным уравнением на всем периоде Т.
Усреднение двух уравнений, справедливых на двух интервалах
работы преобразователя, выполняется с учетом, что уравнение (8.1)
справедливо только на части периода dT, а система (8.2) — на части
периода (1 - d)T.
Таким образом, усреднение представляется как результат
суммирования уравнений на интервале включения транзистора, умноженных на
коэффициент заполнения d, и уравнений на интервале выключенного
транзистора, умноженных на (1 — d), т.е.
• (8.3)
В уравнении (8.3) х является усредненным вектором состояния, и он не
несет уже информации о каждом этапе работы преобразователя.
Уравнение (8.3) описывает преобразователь как непрерывную систему. Такой
подход исключает необходимость сшивания систем уравнений на
границе этапов работы, что существенно упрощает решение.
Уравнение (8.3) можно представить в виде
(8.4)
В системах с отрицательной обратной связью коэффициент
заполнения d является функцией переменных состояния х и входного
воздействия и, т.е. d = /(x,u). Таким образом, с помощью метода
усреднения две линейные системы, справедливые на своем интервале работы,
аппроксимируются одной непрерывной нелинейной системой.
Любая непрерывная нелинейная система может быть
аппроксимирована линейной в окрестности рабочей точки или точки,
соответствующей ее положению равновесия.
Для получения линейной модели, описывающей поведение
усредненной импульсной системы, линеаризуем уравнение (8.4) в окрестности
рабочей точки. Выделим для преобразователя постоянные
составляющие переменных состояния х, входного воздействия и, коэффициента
заполнения d и их приращения, т.е. переменные составляющие:
(8.5)


234
Глава 8
где хо, uo, D — постоянные составляющие; х, й, d — приращения
(переменные составляющие).
Подставляя (8.5) в (8.4) и пренебрегая членами, содержащими
второй порядок малости, т.е. произведения xd и ud, получим
(8.6)
где Ао = AiD + А2(1 - D)\ В0 = В2?> + В2(1 - D)\ Е = (Ai -
-А2)х0 + (Bi - B2)u0.
Так как дифференциальное уравнение (8.6) линейное, то
применив преобразование Лапласа и учитывая нулевые начальные условия
х(0) = О, получим
(8.7)
откуда
(8.8)
где I — единичная матрица.
Пусть приращения коэффициента заполнения d(s) не зависят от
x(s) или от u(s), тогда имеют место следующие матричные
передаточные функции:
(8.9)
Первая соответствует передаточной функции разомкнутой системы по
возмущающему воздействию со стороны входного воздействия UBX.
Вторая — передаточной функции по управляющему воздействию, т.е.
коэффициенту заполнения d.
Однако для замкнутой системы d является как функцией
переменных состояния х, так и функцией и, т.е. d = /(x, и). После линеаризации
закон управления может быть записан в виде
(8.10)
где матричные коэффициенты PT(s) и QT(s) являются функциями
комплексной переменной s и зависят от корректирующих цепей.
Подставляя (8.10) в (8.8), получаем
(8.11)
Выражение (8.11) является матрицей передаточных функций для
приращений переменных состояния x(s) = [х\{s) x2(s) ]T замкнутой системы
стабилизации, где за входное возмущение принимается вектор
переменных составляющих напряжений источников u(s) = [uBX(s) 0]T.
Для импульсного преобразователя коэффициент заполнения d
может быть найден из уравнения переключения широтно-импульсного
преобразователя. На каждом цикле работы ШИМ момент включения клю-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 235
чевого элемента совпадает с импульсом синхронизации задающего
генератора, а момент выключения ключевого элемента совпадает с
моментом когда пилообразное напряжение Uu пересекает сигнал ошибки иош.
Для импульсных систем, использующих один компаратор ШИМ,
при замыкании через него пути обхода цепей обратной связи как по току,
так и по напряжению, результирующая передаточная функция может
быть представлена как сумма соответствующих передаточных функций
токового контура и контура по напряжению:
(8.12)
В ИПН с однозвенным фильтром:
— функция управления по разомкнутой петле
ОС по току конденсатора С;
— функция управления по разомкнутой
петле ОС по выходному напряжению.
В ИПН с двухзвенным фильтром матрицы Ai, Bi, A2, В2
подставляются для случая отсутствия коррекции, т.е. отсутствует пятый
столбец и пятая строка:
— функция управления по разомкнутой пе-
зомкнутой петле ОС по выходному напряжению.
Передаточные функции разомкнутой системы импульсного
преобразователя определяются подстановкой (8.10) в (8.8). Принимая, что
возмущающее воздействие напряжения источника питания и = const,
т.е. приращение u(s) = 0 и d(s) = PT(s)x(s), получим
(8.13)
Как видно из (8.13), передаточная функция разомкнутой системы
зависит от параметров сглаживающего фильтра, потерь на реактивных
элементах, уровня входного напряжения, коэффициента заполнения D,
коэффициента усиления УПТ в петле ОС, амплитуды пилообразного
напряжения.
Импульсные преобразователи напряжения исследовались при
следующих параметрах: сопротивление нагрузки ИПН в номинальном
режиме Ян = 1,92 Ом; сопротивления потерь в индуктивностях tli =
= rL2 = ОД Ом, в емкостях rci = гс2 = 0,05 Ом; входное напряжение
функция управления по ра-
тле ОС по току С1;


236
Глава 8
Цъх = 160 В; выходное напряжение UBblx = 48 В (номинальная мощность
в нагрузке 1,2 кВт); опорное напряжение U3T = 24 В; амплитуда
пилообразного напряжения Un = 18 В; частота переключений силового
транзистора /т = 132 кГц; коэффициент усиления по току емкости К{ = 10.
Ослабление фильтров на частоте коммутации силового транзистора
при номинальной нагрузке выбрано для сравнения Ао = 64 и 44 дБ.
Параметры используемых однозвенных фильтров:
Чебышева Aq = 64 дБ — L = 50 мкГн, С = 40 мкФ;
Чебышева Ао = 44 дБ — L = 23 мкГн, С = 10 мкФ;
Баттерворта Ао = 64 дБ — L — 130 мкГн, С — 18 мкФ;
Баттерворта Ао — 44 дБ — L — 43 мкГн, С = 6 мкФ;
произведение LsCs = 2000 и 230 мкГнмкФ для фильтра
Чебышева, 2340 и 258 мкГнмкФ для фильтра Баттерворта с ослаблением
64 и 44 дБ соответственно.
Параметры исследуемых двухзвенных фильтров:
Чебышева А0 = 64 дБ — L\ = Li = 17 мкГн, С\ = 4,4 мкФ,
С2 = 2,3 мкФ;
Баттерворта Ао = 64 дБ — L\ = 23 мкГн, L2 = 16 мкГн,
d = 6,4 мкФ, С2 = 1,6 мкФ;
равнозвенный Ао = 64 дБ — L\ — L2 = 12 мкГн, С\ = С2 = 5 мкФ;
произведение LsCe = 227,8 мкГнмкФ для фильтра Чебышева,
308 мкГнмкФ для фильтра Баттерворта и 240 мкГнмкФ для равно-
звенного фильтра.
8.2. Импульсный преобразователь
напряжения понижающего типа
с однозвенными фильтрами
8.2.1. Исследование устойчивости и коэффициента
стабилизации с использованием частотных
характеристик непрерывной линеаризированной
модели И ПН
Использование в качестве сглаживающих фильтров равнозвенных
[150, 155] и классических фильтров Баттерворта, Чебышева, имеющих
различные передаточные функции при одинаковом коэффициенте
ослабления, приводит не только к различным массогабаритным
показателям, но может также привести к различным амплитудно- и фазоча-
стотным характеристикам передаточной функции разомкнутой системы
с обратной связью, а следовательно, к различным запасам
устойчивости по фазе и амплитуде, различной полосе пропускания АЧХ
передаточной функции.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 237
Цель данного раздела состоит в исследовании устойчивости и
возможности реализации максимальной величины коэффициента
стабилизации (коэффициента усиления на постоянном токе А'о). а
следовательно, минимально возможной величины низкочастотных выходных
пульсаций и максимально возможной стабильности выходных характеристик
под влиянием возмущающих воздействий при использовании
классических фильтров с различными характеристиками ослабления
(максимально плоскими у фильтров Баттерворта, равноволновыми у
фильтров Чебышева) и различными контурами обратной связи не
получивших освещения в литературе. Значительный интерес представляет мало
изученный в литературе вопрос — влияние ослабления высокочастотных
пульсаций фильтра Ао, а также влияние различных контуров обратной
связи на устойчивость импульсного преобразователя напряжения,
величину коэффициента стабильности, полосу пропускания АЧХ
передаточной функции разомкнутой системы с ОС.
На практике для оценки устойчивости системы широкое
применение получили частотные критерии и прежде всего критерий Найквиста.
В соответствии с критерием Найквиста по передаточной функции
разомкнутой системы с использованием логарифмических амплитудно- и
фазочастотных характеристик могут быть оценены как устойчивость, так
и запасы устойчивости по модулю и по фазе.
Как упоминалось в предыдущей главе, импульсные
преобразователи напряжения являются нелинейными дискретными системами и для
получения передаточных функций коэффициента усиления
разомкнутой петли обратной связи ИПН использовался метод линеаризации и
усреднения уравнений переменных состояния (токов в индуктивностях и
напряжений в емкостях) сглаживающего фильтра для различных
этапов работы ИПН.
Устойчивость работы и динамические характеристики ИПН
исследовались при использовании однозвенных фильтров с различными
характеристиками, различными ослаблениями; различными
коэффициентами усиления усилителя постоянного тока в цепи обратной связи,
работающими в режиме номинальной нагрузки, нагрузки уменьшенной и
увеличенной относительно номинальной на 50 % и режиме, близком
к режиму холостого хода.
На рис. 8.4,а приведены частотные характеристики для ИПН с од-
нозвенным СФ Чебышева (А0 — 64 дБ, Ку = 40, RH = RHOM = 1,92 Ом)
с одним контуром ОС по выходному напряжению. Из кривой 3 на фазо-
частотной характеристике, которая приведена для одноконтурной ОС по
выходному напряжению, следует, что запас устойчивости составляет
порядка 20° (табл. 8.1). На практике этого может оказаться недостаточным
из-за разброса параметров фильтра и влияния задержки сигнала,
вызванной инерционностью транзисторов, диодов и системы управления.
Увеличение запаса устойчивости по фазе А<р можно реализовать
уменьшением коэффициента усиления петли обратной связи (табл. 8.1).


238
Глава 8
Рис. 8.4. АЧХ и ФЧХ ИПН с однозвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
терворта (б) при А0 = 64 дБ, Ку = 40, К{ = 10, Ксгл6 = 44,2 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Таблица 8.1
Тип
фильтра
Чебышева
Баттерворта
Чебышева
Баттерворта
Чебышева
Баттерворта
Чебышева
Баттерворта
А0,
дБ
64
64
44
44
64
64
44
44
Ку
40
40
40
40
160
160
160
160
Вид ОС
й^Гх
иъых + /с
иъых
иъых + /с
С/вых
иьых + /с
Ь'ВЫХ
иьых + iG
Ь'вых
^вых + ^С
^вых
иьых + 1с
^вых
^вых + /с
l^BUX
иъых + /с
Лср, град., при сопротивлении нагрузки
ЛЯН = -50 %
27^0
81,9
25,4
76,2
26,1
79,3
25,4
76,2
27,0
50,6
25,4
46,7
26,1
48,6
25,4
46,7
-Яном
20,7
70,3
18,6
60,4
19,6
65,8
18,6
60,5
20,7
40,3
18,6
35,0
19,6
37,6
18,6
35,0
ДЯН = +50 %
18,0
64,6
15,5
52,5
16,6
59,1
15,5
52,5
18,0
35,8
15,5
29,5
16,6
32,6
15,5
29,6
Rxx
10,0
46,6
4,2
21,3
7,4
36,1
4,2
21,4
10,0
22,2
4,2
9,4
7,4
16,6
4,2
9,5
Однако при этом стабильность выходных характеристик под действием
возмущающих воздействий (изменения сопротивления нагрузки,
входного напряжения) ухудшается, и увеличиваются низкочастотные
пульсации в нагрузке.
Для увеличения коэффициента стабилизации и запаса устойчиво-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 239
сти по фазе необходимо применять параллельную или
последовательную коррекцию (возможна их комбинация), позволяющие
корректировать АЧХ и ФЧХ.
Параллельная коррекция реализуется введением дополнительной
петли обратной связи по какому-либо параметру системы (токи и
напряжения в индуктивностях и емкостях, входное напряжение).
Последовательная коррекция реализуется добавлением к уже существующему
контуру ОС корректирующих звеньев.
Выбор того или иного вида коррекции производится исходя из
необходимости корректировать АЧХ (увеличение коэффициента усиления
на нулевой частоте, расширение полосы частот) или ФЧХ (увеличение
запаса по фазе).
Для увеличения запаса по фазе можно воспользоваться
параллельной коррекцией: ввести дополнительный контур ОС, сигнал которого
не будет иметь постоянной составляющей, — по току емкости или
напряжению индуктивности. Введение ОС по напряжению индуктивности
чревато использованием трансформатора, который имеет ряд
негативных свойств: при протекании через него постоянной составляющей тока
он намагничивается и увеличивает массогабаритные показатели
системы. С точки зрения практической реализации предпочтительней
использовать ОС по току конденсатора или ее аналога с эквивалентной
передаточной функцией по напряжению емкости.
При введении второго контура ОС по току конденсатора Iq (кривая
1 на рис. 8.4,а) запас по фазе ИПН с двумя контурами ОС и фильтром
Чебышева (кривая 3 на рис. 8.4,з) увеличивается до 70° (табл. 8.1).
Аналогичная ситуация наблюдается и у ИПН с однозвенным СФ Бат-
терворта (рис. 8.4,6", Aq = 64 дБ, Ку = 40, RH = йНОм). где запас
по фазе повышается с 18 до 60°.
При исследовании коэффициент усиления в петле ОС по току
емкости был выбран равным К{ = 10. Следует отметить, что
пропорциональное увеличение или уменьшение коэффициентов Ку и К{ при
использовании непрерывной линеаризированной модели приводит только к
пропорциональному изменению усиления на постоянном токе, при этом
запас устойчивости по фазе сохраняется тем же. В импульсной модели,
которая использует точный временной метод переменных состояния, на
устойчивость системы и коэффициент стабилизации влияет в основном
отношение коэффициентов усиления Ку и A't, но не значения самих
коэффициентов. Поэтому в дальнейших исследованиях коэффициент
усиления в петле ОС по току емкости принимается равным К{ = 10.
При увеличении коэффициента усиления УПТ в петле ОС по
выходному напряжению с 40 до 80 и далее до 160 коэффициент усиления
на постоянном токе, а следовательно, и коэффициент стабилизации
возрастает по 6 дБ (44,2 дБ — рис. 8.4, 8.9; 50,2 дБ — рис. 8.5; 56,2 дБ
— рис. 8.6). В усредненной и линеаризированной модели коэффициент
стабилизации не зависит от типа фильтра (рис. 8.4-8.9, табл. 8.1), а
зависит только от коэффициента усиления Ку.


240
Глава 8
Рис. 8.5. АЧХ и ФЧХ ИПН с однозвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
терворта (б) при А0 = 64 дБ, Ку = 80, К{ = 10, Кстаб = 50,2 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Рис. 8.6. АЧХ и ФЧХ ИПН с однозвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
терворта (5) при А0 = 64 дБ, Ку = 160, А\ = 10, А'стаб = 56,2 дБ:
1 — контур по току; 2— контур по напряжению; 3— разомкнутая цепь


Исследование характеристик преобразователей напряжения 241
Рис. 8.7. АЧХ и ФЧХ ИПН с одноэвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
терворта (б) при А0 = 44 дБ, Ку = 20, К{ - 10, /Сстаб = 38,2 дБ:
1 — контур по току, 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Рис. 8.8. АЧХ и ФЧХ ИПН с однозвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
терворта (б) при Aq = 44 дБ, Ку = 30, К{ = 10, А'стаб = 41,2 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь


242
Глава 8
i
Рис. 8.9. АЧХ и ФЧХ ИПН с однозвенным фильтром Чебышева (а), Бат-
тсрворта (б) при А0 — 44 дБ, Ку = 40, К{ = 10, Кстаб = 44,2 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Рис. 8.10. АЧХ и ФЧХ разомкнутой петли ИПН с однозвенным фильтром
Чебышева (а), Баттерворта (б) с различной нагрузкой при Aq = 64 дБ, Ку = 160,
К{ = 10: 1 — при Ян = 0,5ЯНом; 2— при Ян = ЯНОм; 3— при Ra = 1,5ЯНОм;
4 — при Ян = Яхх


Исследование характеристик преобразователей напряжения 243
Рис. 8.11. АЧХ и ФЧХ разомкнутой петли ИПН с однозвенным фильтром Че-
бышева (а), Баттерворта (б) с различной нагрузкой при Aq = 44 дБ, Ку = 40,
К{ = 10: 1 — при Ян = 0,5Яном1 2 — при Ян = ЯНОм; 3— при Ян = 1,5Яном;
4 — при Ян = Яхх
Из сопоставления АЧХ и ФЧХ преобразователей с выходными
фильтрами с характеристиками Чебышева и Баттерворта следует, что
использование фильтров с характеристиками Чебышева при одинаковом
ослаблении фильтра (Ло = 64 дБ) позволяет увеличить запас
устойчивости по фазе на 10° и уменьшить произведение L^Ce на 17 % с
2340 мкГнмкФ для фильтра Баттерворта до 2000 мкГнмкФ для
фильтра Чебышева.
Согласно усредненной модели ИПН с однозвенными фильтрами
с характеристиками Баттерворта и Чебышева уменьшение ослабления
фильтра Ао на 20 дБ практически не изменяет запас устойчивости по
фазе, но увеличивает полосу пропускания в 2,5 раза, где ослабляются
низкочастотные пульсации благодаря действию ОС (рис. 8.4 и 8.9).
Для преобразователей с однозвенными сглаживающими фильтрами
с характеристиками Чебышева и Баттерворта с одноконтурной и двух-
контурной обратной связью при увеличении сопротивления нагрузки Ян
уменьшается запас устойчивости по фазе Д<р (рис. 8.10, 8.11, табл. 8.1).
При двухконтурной ОС, когда вводится дополнительная ОС по току
конденсатора, наблюдается существенное увеличение запаса
устойчивости по фазе до Aip = 70° при Ян = Яном и до А(р = 46° при RH = Яхх
для фильтра Чебышева, а для фильтра Баттерворта А<р = 60° при
Ян = ^ном и до А<р = 21° при Ян = Яхх.
При увеличении Ян (см. табл. 8.1) от номинального значения


244
Глава 8
RH = 1,92 Ом до режима холостого хода Rxx запас устойчивости по
фазе А(р уменьшается примерно на 10...15° для одноконтурной
обратной связи и на 30...40° для двухконтурной обратной связи.
Таким образом, для увеличения коэффициента стабилизации
выходного напряжения и запаса устойчивости по фазе для однозвенных
сглаживающих LC-фильтров целесообразно использовать два контура
обратной связи: по выходному напряжению и току конденсатора.
Наибольшим запасом по фазе обладает ИПН с однозвенным фильтром Че-
бышева с ослаблением высокочастотных пульсаций Ло = 64 дБ.
8.2.2. Исследование коэффициента подавления
низкочастотных пульсаций с использованием
частотных характеристик импульсной модели ИПН
На рис. 8.4-8.11 приведены АЧХ и ФЧХ ИПН для приближенной
модели, полученной методом усреднения и линеаризации, которая, как
отмечалось, не учитывает влияние нелинейного элемента RS-триггера в
цепи управления. Наряду с АЧХ непрерывной линеаризированной
модели, представляется целесообразным исследовать коэффициент
подавления НЧ пульсаций импульсной модели [141], т.е. прохождение
низкочастотных составляющих напряжения питания ИПН со входа на выход,
рассчитанных для импульсной модели методом переменных состояния.
Эта АЧХ импульсной модели рассчитывалась как отношение амплитуд
низкочастотных составляющий входного напряжения к выходному для
различных частот и амплитуд.
Расчет АЧХ импульсной модели проводился следующим образом.
На вход ИПН вместе с постоянным напряжением питания подавалось
гармоническое низкочастотное колебание с различной частотой — 100,
200, 400 Гц, 1 кГц и т.д.; с разной амплитудой — 5, 10, 20 и 50 В; на
выходе ИПН определялась форма и амплитуда низкочастотной
составляющей. Были рассчитаны и построены АЧХ для ИПН с различными
типами фильтров (фильтр Чебышева, Баттерворта) и различным
подавлением высокочастотных пульсаций на тактовой частоте Aq.
Для всех типов фильтров подавление низкочастотных пульсаций в
импульсной модели (рис. 8.12-8.17) значительно больше по сравнению
с усредненной линеаризированной моделью, а также зависит от типа
фильтра (для фильтра Чебышева на 10 дБ, для фильтра
Баттерворта — на 20 дБ). Кроме того, полоса подавления низкочастотных
составляющих для фильтров с ослаблением высокочастотных пульсаций
Ао = 64 дБ в 2 раза больше в импульсной модели (рис. 8.12-8.14),
чем в приближенной (см. рис. 8.4-8.6), а разницы в ширине полосы
между фильтрами с ослаблением 64 и 44 дБ, которая была
выявлена в предыдущем разделе для непрерывной линеаризированной
модели, практически нет.
Из рис. 8.12-8.17 видно, что коэффициент подавления НЧ
пульсаций для ИПН с фильтрами Чебышева и Баттерворта, построенных для


Исследование характеристик преобразователей напряжения 245
Рис. 8.12. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Aq = 64 дБ, Ку = 40
Рис. 8.13. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (6) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Aq = 64 дБ, Ку = 80
Рис. 8.14. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Aq = 64 дБ, Ку = 160
импульсной модели, зависит от амплитуды входного низкочастотного
сигнала. Это, естественно, не следует из рис. 8.4-8.11, на которых
приведены АЧХ и ФХЧ ИПН для приближенной (непрерывной и линейной)
модели. В этом их принципиальное отличие.
Таким образом выявлено, что в линейной модели полоса частот


246
/Глава 8
Рис. 8.15. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Aq = 44 дБ, Ку = 20
Рис. 8.16. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Л0 = 44 дБ, Ку = 30
Рис. 8.17. Зависимость коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б) при разных значениях амплитуды НЧ
пульсаций на входе; Aq = 44 дБ, Ку = 40
АЧХ передаточной функции разомкнутой петли ОС в ИПН имеет
существенное отличие по сравнению с полосой частот подавления
низкочастотных пульсаций в импульсной модели. В импульсной модели
подавление входных низкочастотных составляющих зависит от их
амплитуды.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 247
8.2.3. Исследование статических и динамических
характеристик с использованием импульсной
модели И ПН
Практика эксплуатации транзисторной аппаратуры и особенно
аппаратуры в микросхемном исполнении показала, что наиболее часто
сбои имеют место в переходных режимах: при включении источника
питания, резком изменении величины напряжения источника питания
или тока нагрузки, когда выбросы и провалы выходного напряжения
велики. В таких режимах динамическая погрешность источника
питания обычно много больше статической, которая имеет место в
установившемся процессе. Поэтому к системам электропитания
предъявляются высокие требования не только по надежности, экономичности,
точности в стационарном режиме, но и по динамическим
характеристикам, которые оценивается обычно следующими основными
показателями [151-154].
1. Устойчивость работы в установившемся режиме. Нарушение
устойчивости приводит к появлению на выходе низкочастотных
колебаний достаточно большой амплитуды или к появлению на выходе
колебаний с частотой равной половине частоты коммутации ключевого
элемента импульсного преобразователя. Работа преобразователя является
устойчивой, если динамическая ошибка <тДИн(0 = &Ubblx(t)/UBbiX.HOM с
увеличением времени стремится к статической ошибке Пт<7дин(?) —> <гСТ;
2. Качество переходного процесса выходного напряжения
импульсного преобразователя. Качество характеризуется:
• величиной максимального перерегулирования <ттах;
• временем переходного процесса, когда регулируемая величина
(выходное напряжение) после внешнего возмущающего воздействия
отклоняется от номинального значения не более чем на заданное,
обычно ±2 %;
• временем максимального перерегулирования (первый полупериод
колебательного процесса);
• характером переходного процесса (колебательный,
апериодический).
Из теории автоматического регулирования известно, что при
возмущении со стороны входного напряжения статическую ошибку
можно найти как
а при возмущении со стороны тока нагрузки
где Яи — выходное активное сопротивление силовой части
импульсного преобразователя (при разомкнутой цепи обратной связи); А'о —


248
Глава 8
Рис. 8.18. Зависимость А'стаб.я от нагрузки для И ПН с однозвенным
фильтром Чебышева для разных Ку\ а — при Aq = 64 дБ (L = 50 мкГн,
С = 40 мкФ); 5— при А0 = 44 дБ (L = 23 мкГн, С = 10 мкФ)
Рис. 8.19. Зависимость А"стаб.я от нагрузки для ИПН с однозвенным
фильтром Баттерворта для разных А'у: а — при Aq = 64 дБ (L = 130 мкГн,
С = 18 мкФ); 6— при А0 = 44 дБ (L = 43 мкГн, С = 6 мкФ)
коэффициент стабилизации системы, равный коэффициенту усиления
разомкнутой системы на постоянном токе.
Общая динамическая ошибка выходного напряжения существенно
больше статической, т.е. <тдин >• сгст, что обуславливает важность
определения и оценки динамических характеристик.
3. Степень подавления выходных низкочастотных пульсаций, т.е.
степень ослабления, с которой модуляционная составляющая входного
напряжения (при ее наличии) передается на выход импульсного
преобразователя, характеризует фильтрующие свойства импульсного
преобразователя в области низких частот.
Ослабление или подавление входных низкочастотных пульсаций
обусловлено действием цепи отрицательной обратной связи, что
характерно для всех импульсных стабилизаторов напряжения.
На рис. 8.18-8.20 приведены зависимости коэффициента
стабилизации выходного напряжения (А'Стаб) от относительного изменения на-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 249
Рис. 8.20. Зависимость А'стаб.^ от входного напряжения для ИПН с однозвен-
ным фильтром для разных Ку при Aq = 64 дБ: а — Чебышева (L = 50 мкГн,
С = 40 мкФ); б—Баттерворта (L = 130 мкГн, С = 18 мкФ)
грузки ДЯн/Лн.
(8.14)
и относительного изменения входного напряжения AUBX/UBX —
(8.15)
для ИПН с однозвенными фильтрами с характеристиками Чебышева и
Баттерворта при различных коэффициентах усиления УПТ в цепи
обратной связи (Ку) и различных ослаблениях высокочастотных пульсаций
сглаживающего фильтра Ао = 64 и 44 дБ. Изменение нагрузки
осуществлялось в пределах ±50 % номинального значения ДНом = 1,92 Ом
(при номинальной нагрузке выходная мощность РВых = 1,2 кВт),
входного напряжения в пределах ±25 %. Выходное напряжение ИПН
равно 48 В.
Коэффициент стабилизации (рис. 8.18-8.20) увеличивается
практически пропорционально с ростом относительного изменения
сопротивления нагрузки (ДДн/Дн) и относительного изменения входного
напряжения (Д?/вх/[/Вх) и возрастает с ростом Ку. На рис. 8.20,а для
коэффициентов усиления УПТ Ку = 250 и 300 приведены
зависимости коэффициента стабилизации от относительного изменения входного
напряжения в пределах от —10 до 25 %, при которых работа ИПН
понижающего типа устойчива (рис. 8.21,а). В диапазоне изменения от
—25 до —10 % работа ИПН неустойчива (рис. 8.21,6). В этом
случае возникают автоколебания на второй субгармонике, т.е. на частоте
66 кГц, поэтому в этом диапазоне зависимость коэффициента
стабилизации не приведена. По этой же причине коэффициент стабилизации
для фильтра Баттерворта при Ку = 160 приведен в пределах от —20
до 25 % (рис. 8.20,6).


250
Глава 8
Рис. 8.21. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с одно-
звенным фильтром Чебышева Aq = 64 дБ (L = 50 мкГн, С = 40 мкФ)
приКу = 250: а —ЛС/ВХ/С/ВХ = -0,10; 6— &UbX/UbX = -0,25
В табл. 8.2 приведены изменения статических характеристик ИПН
— нестабильности выходного напряжения (Д{/Вых/^вых),
коэффициента стабилизации выходного напряжения Астаб.я, пульсации тока
дросселя и выходного напряжения от RH — для различных Ку и динамических
характеристик — перерегулирования по току дросселя <т/ и выходному
напряжению аи при включении ИПН для номинального
сопротивления нагрузки Дном = 1,92 Ом и входного напряжения равного 160 В
(полужирный шрифт). Значения <т/ и сц для других значений Дн
приведены для скачкообразного изменения RH от номинального RHOM при
С^вх = 160 В. Курсивом Приведены Сц, Ас/вых/^'вых -"^стаб-Л При ИЗ-
менении сопротивления нагрузки в 100 раз, т.е. в режиме, близком к
холостому ходу. В таблице приведены также коэффициенты
заполнения D и передачи а.
С увеличением высокочастотных пульсаций, т.е. уменьшением
ослабления фильтра Ло с 64 до 44 дБ коэффициент стабилизации снижается
практически на 20 дБ для ИПН с СФ с характеристиками Чебышева при
изменении сопротивления нагрузки и входного напряжения, а для ИПН
с СФ с характеристиками Баттерворта А'стаб.я снижается с
уменьшением ослабления фильтра Ао только при изменении RH. Это обусловлено
влиянием пульсаций и начальных условий тока через дроссель и
напряжения на конденсаторе СФ на устойчивость работы ИПН. При большей
величине пульсаций тока через дроссель и напряжения на конденсаторе
СФ устойчивость работы ИПН нарушается при меньших коэффициентах
усиления Ку, а следовательно, и меньших коэффициентах
стабилизации. Пульсации тока и напряжения начинают резко возрастать, т.е.
нарушается устойчивость работы для ИПН, с ослаблением СФ Ло = 44 дБ
при меньших Ку, а следовательно, и меньших коэффициентах
стабилизации по сравнению с ИПН с СФ с Aq = 64 дБ.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 251
Таблица 8.2
*У
а
Я„, Ом
D
40
80
160
0,48
0,49
0,49
192,00
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
192,00
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
192,00
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1.34
0,96
0,097
0,312
0,314
0,315
0,317
0,320
0,324
0,333
0,096
0,311
0,313
0,314
0,316
0,319
0,323
0,332
0,096
0,314
0,315
0,317
0,319
0,322
0,326
0,335
с
40
80
160
0,49
0.49
0,50
192,00
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0.96
1.92
2,88
2,50
2.21
1,92
1,63
1,34
0.96
1,920
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
0,154
0,312
0,313
0,315
0,317
0,320
0,323
0,332
0,255
0,314
0,316
0,317
0,319
0,322
0,326
0,335
0,151
0,309
0,311
0,312
0,314
0,317
0,321
0,330
<т/, %
<?и, %
Пульс.
/l, %
Фильтр Чебышева Aq -
-
34,3
16,4
13,2
166,5
9,9
10,7
10,6
-
34,3
16,4
12,8
236,6
10,2
13,8
18Д
-
34,4
17,0
14,0
274,5
11,1
17.2
25,1
Фильтр
-
43,9
24,8
10,4
74,6
6,7
9.6
9,4
-
44,0
24,8
10,4
88,3
8.7
13,9
15,8
-
43,9
24,7
10,3
97,8
10,7
17,4
19,0
10,0
0,8
0,3
0,3
1,8
0,2
0,2
0,2
11,0
0,8
0,3
0,3
31,6
0,2
0,2
0,2
11.5
0.8
0,3
0.3
49,4
0.2
0.2
0.2
Баттере
62,9
6,2
2,8
0,6
16,4
0,1
0,1
0,1
63,4
6,2
2,8
0,6
f27,l
0,2
0,5
2,5
63,6
6,2
2,8
0,6
34,3
0,5
2,4
5,2
-
31,1
27,0
24,0
20,9
17,9
14,8
10,7
-
31,1
27,1
24,0
20,9
17,9
14,8
10.7
-
31,0
27,0
23,9
20,9
17,8
14,8
10,7
юрта Ао
-
12,0
10,4
9,2
8,1
6,9
5,7
4,1
-
11,9
10,4
9,2
8,0
6,8
5,7
4,1
-
12,0
10,5
9,3
8,1
6,9
5,7
4,1
Пульс.
С/ьых, %
= 64 дБ
0,19
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,19
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,19
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
= 64 дБ
0,16
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,16
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,16
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
At/вых 0/
и—¦/о
1,813
0,018
0,012
0,007
-
0,010
0,023
0,049
0,938
0,011
0,007
0,004
-
0,006
0,013
0.028
0,510
0,007
0,005
0,003
-
0,003
0,008
0,018
0,583
0,017
0,012
0,007
-
0,009
0,021
0,046
0,295
0,010
0,007
0,004
-
0,005
0,012
0,027
0,149
0,007
0,005
0,003
-
0,003
0,008
0,018
-^стаб.Я>
ДБ
74,7
68,7
67,9
66,8
-
63,6
62,5
60,2
80,5
73,3
72,3
71,2
-
68,8
67,5
65,0
85,8
77,3
76,3
75,3
-
72,8
71,4
68,9
84,6
69,4
68,3
67,1
-
64,8
63,2
60,7
90,5
74,0
72,9
72,4
-
69,2
67,8
65,3
96,5
77,7
76,5
75,5
-
72,9
71,4
68,8


252
Глава 8
Приведенные зависимости коэффициента стабилизации от
коэффициента усиления УПТ в цепи обратной связи, ослабления
высокочастотных пульсаций фильтра Ао, нагрузки RH и входного напряжения
подтверждают, что коэффициент стабилизации, при котором ИПН
находится на границе устойчивости АСтаб.кр. также зависит от Ку, Ао, RH, UBX и
позволяет рассчитать критический коэффициент стабилизации с учетом
всех параметров. В [159] с использованием Z-преобразования получено
приближенное выражение для А'стаб.кр.с/-
(8.16)
где Кш = и}к/шф — отношение частоты коммутации ключевого элемента
к резонансной частоте фильтра.
В [160] также с использованием Z-преобразования получено
(8.17)
где D — коэффициент заполнения импульсов; Тт = 1//т — период
коммутации ключевого элемента.
Полученные в [159, 160] выражения (8.16) и (8.17) для КСтаб.кр.и
являются оценочными и не позволяют учесть влияние Ку, Ао, RH и UBX
на граничный коэффициент стабилизации.
При использовании ИПН с однозвенным фильтром Чебышева с
ослаблением Ло = 64 дБ, параметрами L = 50 мкГн, С = 40 мкФ и
частотой коммутации /т = 132 кГц критический коэффициент
стабилизации, рассчитанный по формуле (8.16), Астаб.кр.с/ = 138 (42 дБ), по
формуле (8.17) — Кстаб.кр.и = 290 (46 дБ), а найденный с использованием
точного временного метода переменных состояния Кстг,в.кр.и = 69 дБ
при Ку = 160 и сопротивлении нагрузки, изменяющемся от
номинального RH = 1,92 Ом до Rn = 0,96 Ом (табл. 8.2).
Кроме существенного занижения КСт&б.кр.и, рассчитанного по
приближенным формулам (8.16) и (8.17), а также полученным с
использованием Z-преобразования, здесь не учтена, как отмечалось, зависимость
-Кстаб.кр.С/ ОТ Ку, Ао, RH И ?/вх.
Необходимо также провести сравнение коэффициентов
стабилизации и устойчивости работы ИПН, рассчитанных с помощью частотных
характеристик, полученных с использованием приближенного метода
усреднения и линеаризации, и рассчитанных методом переменных
состояния. Результаты расчета коэффициента стабилизации,
рассчитанные с помощью частотных характеристик и временным методом
переменных состояния для различных коэффициентов усиления УПТ при
уменьшении сопротивления нагрузки на 5 %, приведены в табл. 8.3.
Расхождение в значении А'стаб.д (табл. 8.3), рассчитанного с
использованием приближенного метода усреднения и линеаризации и
точного временного метода переменных состояния, достигает 20 дБ (до 10
раз) при устойчивой работе ИПН. Полужирным шрифтом в табл. 8.3


Исследование характеристик преобразователей напряжения 253
Таблица 8.3
Ку
40
80
160
200
250
300
40
80
120
160
20
40
50
60
20
40
| 50
Частотный метод
^стаб- ДБ
44
50
56
58
60
62
44
50
54
56
38
44
46
48
38
44
46
Д</>, град.
Временной метод
о-и, %
Пульс.
С/вых, %
Фильтр Чебышева Aq = 64 дБ
70
53
40
37
34
32
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,3
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
Д^вых о/
Т^Г' /о
0,003
0,002
0,001
0,001
0,001
0,001
Фильтр Баттерворта Ао = 64 дБ
60
46
39
35
0,1
0,1
0,2
0,2
0,28
0,27
0,27
0,27
Фильтр Чебышева Ао = 44 дЕ
83
66
60
56
1.2
1,2
1.2
1,2
2,53
2,46
2,45
2,45
Фильтр Баттерворта Ао = 44 д
79
60
55
1Д
1Д
1.1
2,08
2,06
2,05
0,003
0,002
0,001
0,001
0,024
0,014
0,012
0,011
Б
0,019
0,014
0,013
^стаб.Я»
ДБ
65,1
69,8
73,1
74,8
75,5
76,3
65,0
69,9
72,6
73,6
46,5
50,8
52,7
53,4
48,2
50,9
51,8
приведены результаты при максимальном значении коэффициента
усиления УПТ в цепи обратной связи, при котором сохраняется
устойчивая работа ИПН. При дальнейшем увеличении Ку происходит
самовозбуждение ИПН, характеризующееся резким увеличением пульсаций
на субгармониках тока через дроссель и напряжения на конденсаторе
сглаживающего фильтра.
В этой же таблице приведен и запас устойчивости по фазе,
рассчитанный частотным методом. Для ИПН с фильтрами Чебышева и
Баттерворта с ослаблением Aq = 64 дБ (табл. 8.3) неустойчивая
работа происходит при Ку = 350 и 200 соответственно. При ослаблении
фильтра Ао = 44 дБ неустойчивость при использовании фильтра
Чебышева имеет место при Ку = 70, а Баттерворта — при Ку = 60. В
то же время при использовании частотного метода исследования при
Ао = 64 дБ и Ку = 350 для фильтра Чебышева имеется запас
устойчивости по фазе Д^> = 31°, для фильтра Баттерворта при Ку = 200
— Aip = 32°; при Ао = 44 дБ и Ку = 70 для фильтра Чебышева
А(р = 52°, для фильтра Баттерворта при Ку = 60 запас устойчивости
по фазе равен А<р = 51°. Следует отметить, что эти запасы
устойчивости по фазе являются погрешностью приближенного метода и не
существуют в действительности.
При включении ИПН имеет место большая величина
перерегулирования по току сг/ (табл. 8.2), что приводит к необходимости исполь-


254
Глава 8
зования плавного запуска или режима ограничения тока нагрузки.
Использование двухконтурной обратной связи по выходному напряжению
и току конденсатора СФ ограничивает величину перерегулирования по
выходному напряжению до 7 % при скачкообразном изменении нагрузки
в диапазоне ±50 % и входного напряжения ±25 %.
Таким образом, проведенные сравнения коэффициентов
стабилизации и устойчивости работы ИПН, полученные приближенными
методами (методом усреднения и линеаризации, методом Z-преобразования) и
точным временным методом переменных состояний дискретных
нелинейных систем, показали, что приближенные методы имеют большую
погрешность и могут использоваться только для качественных
исследований и оценок.
8.2.4. Выводы
Проведенное исследование устойчивости, статических и
динамических характеристик ИПН понижающего типа с однозвенными LC-
фильтрами с характеристиками Чебышева и Баттерворта, с различным
ослаблением на частоте коммутации транзистора позволяет сделать
следующие выводы.
1. Для увеличения коэффициента стабилизации выходного
напряжения и запаса устойчивости по фазе для ИПН с однозвенными
сглаживающими LC-фильтрами целесообразно использовать два контура
обратной связи: по выходному напряжению и току конденсатора.
Наибольшим запасом по фазе обладает ИПН с однозвенным фильтром Чебышева
с ослаблением высокочастотных пульсаций Aq = 64 дБ.
2. Выявлено, что в линейной модели полоса частот АЧХ
передаточной функции разомкнутой петли ОС в ИПН имеет существенное отличие
в характере по сравнению с полосой частот подавления
низкочастотных пульсаций в импульсной модели. В импульсной модели подавление
входных низкочастотных составляющих зависит от их амплитуды.
3. Проведенные сравнения коэффициентов стабилизации и
устойчивости работы ИПН, полученные приближенными методами (методом
усреднения и линеаризации, методом Z-преобразования) и точным
временным методом переменных состояний, показали, что приближенные
методы имеют большую погрешность и могут использоваться только для
качественных исследований и оценок.
4. По совокупности массогабаритных показателей, статических и
динамических характеристик (при скачкообразном изменении нагрузки
и входного напряжения, скачкообразном отключении нагрузки), запаса
устойчивости по фазе преимущество имеет ИПН с однозвенным
фильтром Чебышева с ослаблением Ао = 64 дБ и двухконтурной обратной
связью по выходному напряжению и току конденсатора СФ.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 255
8.3. Импульсный преобразователь
напряжения понижающего типа
с двузвенными фильтрами
8.3.1. Исследование устойчивости и коэффициента
стабилизации с использованием частотных
характеристик непрерывной линеаризированной
модели И ПН
Для улучшения массогабаритных показателей импульсных
источников представляется целесообразным использование многозвенных
фильтров.
Цель данного раздела состоит в исследовании устойчивости и
возможности реализации максимальной величины коэффициента
стабилизации (коэффициента усиления на постоянном токе Ко), а
следовательно, минимально возможной величины низкочастотных выходных
пульсаций и максимально возможной стабильности выходных характеристик
под влиянием возмущающих воздействий при использовании
классических фильтров с различными характеристиками ослабления
(максимально плоскими у фильтров Баттерворта, равноволновыми у
фильтров Чебышева, характеристиками равнозвенных фильтров) и
различными контурами обратной связи и дополнительными звеньями
коррекции.
Основная проблема, которую необходимо решить при
использовании многозвенных фильтров в импульсных источниках питания с
отрицательной обратной связью (ОС) по выходному напряжению,
заключается в обеспечении достаточно большой глубины отрицательной
ОС, а следовательно, коэффициента стабилизации выходного
напряжения или тока и одновременно обеспечении достаточного запаса
устойчивости по фазе и амплитуде. Исследование импульсных
источников с двухзвенными фильтрами, но не с характеристиками
равнозвенных фильтров, Чебышева, Баттерворта проведено в [143, 147, 148,
151]. При этом исследование устойчивости работы осуществляется с
помощью критерия Найквиста по частотным характеристикам
передаточной функции разомкнутой петли ОС. Частотные характеристики
получены путем сведения дискретно-нелинейных моделей
импульсного преобразователя напряжения (ИПН) к непрерывной линейной
модели с использованием метода усреднения и линеаризации
дифференциальных уравнений. Как отмечалось, метод усреднения и
линеаризации является приближенным методом. Причем погрешность
возникает как при усреднении, т.е. замене уравнений, описывающих
переменные состояния системы на различных интервалах работы ИПН,
одним непрерывным дифференциальным уравнением, так и при
линеаризации полученного непрерывного нелинейного уравнения после
усреднения.


256
Глава 8
Рис. 8.22. АЧХ и ФЧХ ИПН с фильтром Чебышева (а) и фильтром Бат-
терворта (б) при Т\ = 10 мкс, Т2 = 1 мс, Ку = 300, А'стаб = 61,7 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
При работе ИПН для устранения многократного переключения
транзистора («дрожащий режим») на периоде колебания, как правило, в
схеме управления используется нелинейный элемент — RS-триггер. Работа
этого триггера при использовании метода усреднения и линеаризации,
как отмечалось, не учитывается, 4TJ является дополнительным
источником погрешности этого метод3.
Были исследованы частотные характеристики передаточной
функции разомкнутой петли ОС ИПН с различными контурами и различными
корректирующими звеньями с целью реализации наибольшего
коэффициента стабилизации и запаса устойчивости по амплитуде и фазе.
Выявлено, что оптимальной является двухконтурная ОС по току первого
конденсатора СФ и по выходному напряжению с использованием
корректирующего пропорционально-инерционного звена (см. рис. 8.3).
На рис. 8.22-8.26 приведены АЧХ и ФЧХ ИПН (кривая 3) с двухзвен-
ными фильтрами Чебышева и Баттерворта с контурами отрицательной
ОС по току конденсатора и выходному напряжению с корректирующим
пропорционально-инерционным звеном. Кроме того, приведены
частотные характеристики токового контура (кривая I) и контура по выходному
напряжению с корректирующим звеном (кривая 2).
На частоте среза АЧХ ИПН с контуром отрицательной ОС по
напряжению без коррекции ФЧХ имеет фазовый угол более 300°.
Коррекция фазового сдвига с помощью только контура отрицательной ОС
по току, который имеет положительный фазовый сдвиг порядка 90°,


Рис. 8.23. АЧХ и ФЧХ ИПН с фильтром Чебышева (а) и фильтром Баттер-
ворта (б) при Тх = 10 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, /Сстаб = .61,7 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Рис. 8.24. АЧХ и ФЧХ ИПН с фильтром Чебышева (а) и фильтром Баттер-
ворта (б) при Ti = 10 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 3000, А'стаб = 81,7 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Исследование характеристик преобразователей напряжения 257


Рис. 8.25. АЧХ и ФЧХ ИПН с фильтром Чебышева (а) и фильтром Баттер-
ворта (б) при 7\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, Кстаб = 61,7 дБ:
1 — контур по току, 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
Рис. 8.26. АЧХ и ФЧХ ИПН с фильтром Чебышева (а) и фильтром Баттер-
ворта (б) при Тх = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 1500, А'стаб = 75,6 дБ:
1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — разомкнутая цепь
258 Г л а в а 8


Исследование характеристик преобразователей напряжения 259
недостаточна. Целесообразно для увеличения запаса устойчивости по
фазе, кроме контура ОС по току конденсатора (параллельное звено
коррекции), вводить в контур отрицательной ОС по напряжению
корректирующее пропорционально-инерционное звено (последовательное звено
коррекции). Корректирующее звено деформирует АЧХ контура
отрицательной ОС по напряжению таким образом, что его частота среза
становится существенно меньше частоты среза токового контура.
После частоты среза контура ОС по напряжению ФЧХ И ПН определяется
в основном фазовым сдвигом токового контура и не превышает —90°.
До частоты среза контура ОС по напряжению с коррекцией его
фазовый сдвиг не превышает —180°, фаза токового контура имеет
опережающий характер порядка 90°, а результирующий запас по фазе ИПН
составляет примерно 90°.
На рис. 8.22 приведены АЧХ и ФЧХ ИПН при следующих
параметрах: постоянные времени корректирующего звена Т\ = RKzC = 10 мкс,
^2 = (#к2 + Икз)С = 1 мс, коэффициент усиления УПТ в цепи ОС
Ку = 300. Коэффициент усиления разомкнутой петли ОС на нулевой
частоте, определяющий коэффициент стабилизации выходного
напряжения непрерывной линейной модели, /Сстаб = 61,7 дБ, запас
устойчивости по фазе Ар « 80°. С увеличением постоянной времени Тг = 10 мс
несколько увеличивается запас устойчивости по фазе А(р « 90°, но
существенно уменьшается полоса (рис. 8.23). Так, при Тч — 1 мс на
частоте / = 1 кГц ослабление составляет 45 дБ, на частоте / = 6 кГц
ослабление равно 25 дБ; при Тч — 10 мс уже на / = 1 кГц
ослабление 25 дБ, на / = 3 кГц ослабление 0 дБ. Однако при постоянной
времени Тг = 10 мс возможно существенное увеличение
коэффициента усиления УПТ (Ку = 3000) со значительным расширением полосы
частот и коэффициента стабилизации КСтаб ^ 81,7 дБ при
сохранении устойчивой работы ИПН и некотором уменьшении запаса
устойчивости по фазе Ар « 60° (рис. 8.24). Увеличение постоянной
времени Т\ = 100 мкс при сохранении Тг = 10 мс приводит к
увеличению Д<р w 100° и к существенному изменению формы АЧХ (рис. 8.25,
8.26). В полосе частот от 0 до 55 кГц ослабление не снижается
менее 22 дБ.
У ИПН с равнозвенным фильтром АЧХ и ФЧХ близки к частотным
характеристикам ИПН с фильтрами Чебышева и Баттерворта, но
имеют некоторые количественные отличия. Так, например, запас
устойчивости по фазе на 5...10° больше, чем в ИПН с фильтрами
Чебышева и Баттерворта.
Таким образом, выбранная структура контуров ОС (параллельная
коррекция) и звена коррекции ОС по выходному напряжению
(последовательная коррекция) позволяют обеспечить высокий коэффициент
стабилизации (более 60 дБ), большую полосу частот подавления
низкочастотных пульсаций (более 10 кГц) с подавлением более 40 дБ и
большой запас устойчивости по фазе (не менее 60°).


260
Глава 8
8.3.2. Исследование коэффициента подавления
низкочастотных пульсаций с использованием
частотных характеристик импульсной модели И ПН
На рис. 8.22-8.26 были приведены АЧХ и ФЧХ ИПН для
приближенной модели, полученной методом усреднения и линеаризации, которая
не учитывает влияние нелинейного элемента RS-триггера в цепи
управления. Наряду с частотными характеристиками приближенной
непрерывной и линеаризированной модели, никак не учитывающей влияние
вводимого нелинейного элемента RS-триггера, исследовались
коэффициенты подавления НЧ пульсаций с использованием импульсной модели
с учетом и без учета RS-триггера.
На рис. 8.27 приведены низкочастотные пульсации напряжения на
выходе ИПН с частотой / = 1 кГц, рассчитанные временным методом
переменных состояния при использовании корректирующего звена с
постоянными времени Т\ = 100 мкс, Тч = 10 мс, Ку = 300 и амплитудой
гармонической составляющей на входе ?/вх~ = 10 В соответственно для
ИПН без и с RS-триггером в цепи управления. Полный размах пульсаций
на выходе при учете триггера составляет 1,45 В, ослабление
низкочастотной составляющей происходит в 15 раз (22,8 дБ). Без учета триггера
размах пульсаций 37 мВ, ослабление низкочастотной составляющей — 540
раз (54,6 дБ). В соответствии с АЧХ (рис. 8.25,а), рассчитанной для
непрерывной усредненной модели, ослабление низкочастотных
пульРис. 8.27. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева при Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, ?/вх.Пул = Ю В,
/вх.пул = 1 кГц: а — с RS-триггером; 6— без RS-триггера


Исследование характеристик преобразователей напряжения 261
Рис. 8.28. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева при Ti = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку = 300, С/»х.Пул = 50 В,
/вх.пул = 1 кГц: а — с RS-триггером; б— без RS-триггера
саций с частотой 1 кГц при данных постоянных времени звена коррекции
составляет 40 дБ (« 100 раз). Аналогичные расхождения подавления
низкочастотных пульсаций, рассчитанных для импульсных моделей с
учетом и без учета RS-триггера, а также для непрерывной усредненной
модели, имеют место при других амплитудах гармонических
составляющих на входе (f/BX = 50 В, рис. 8.28), других постоянных времени цепей
коррекции и коэффициентов усиления УПТ.
Естественно, что рассчитанная данным способом АЧХ с помощью
точного временного метода переменных состояния с учетом RS-триггера
более точна, чем АЧХ разомкнутой петли ОС, рассчитанная по
приближенной модели. Поэтому на рис. 8.29-8.33 приведены коэффициенты
ослабления входных НЧ пульсаций, рассчитанные с помощью
импульсной модели при разных амплитудах низкочастотных пульсаций на входе
ИПН, для различных коэффициентов усиления УПТ в цепи ОС и
различных постоянных времени корректирующих звеньев.
Без RS-триггера имеет место гораздо лучшее подавление низко-


262
Глава 8
Рис. 8.29. Зависимость
коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б)
и равнозвенным фильтром (в) при
разных значениях амплитуды НЧ пульсаций
на входе; Т\ = 10 мкс, Тг = 1 мс, Ку =
=300
Рис. 8.30. Зависимость
коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (6)
и равнозвенным фильтром (в) при
разных значениях амплитуды НЧ пульсаций
на входе; Т\ = 10 мкс, Тг = 10 мс, Ку =
=300
частотных пульсаций, но, к сожалению, без RS-триггера происходит
многократное переключение транзисторов за период коммутации. Это
приводит к резкому увеличению коммутационных потерь в транзисторе,
уменьшению КПД ИПН и ненадежной работе источника питания.
Из рис. 8.29-8.33 видно, что коэффициент подавления НЧ
пульсаций в ИПН с фильтрами Чебышева и Баттерворта, построенных для


Исследование характеристик преобразователей напряжения 263
Рис. 8.31. Зависимость
коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б)
и равноэвенным фильтром (в) при
разных значениях амплитуды НЧ пульсаций
на входе; Т\ = 10 мкс, Т2 = 10 мс, Ку =
=3000
Рис. 8.32. Зависимость
коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (6)
и равноэвенным фильтром (в) при
разных значениях амплитуды НЧ пульсаций
на входе; Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку =
=300
импульсной модели, зависит от амплитуды входного низкочастотного
сигнала. Это, естественно, не следует из рис. 8.22-8.26, на которых
приведены АЧХ и ФХЧ ИПН для приближенной (непрерывной и линейной)
модели. В этом их принципиальное отличие.
Из сравнения рис. 8.22 и 8.29; рис. 8.23 и 8.30; рис. 8.24 и 8.31 и
т.д., где приведены коэффициенты ослабления входных НЧ пульсаций
импульсной модели, рассчитанной точным временным методом
переменных состояния, и АЧХ приближенной модели при одинаковых Ку,
Т\ и Тг, видно, что они имеют хорошее качественное соответствие как
для ИПН с фильтром Чебышева, так и для ИПН с фильтром
Баттерворта. Так, с увеличением постоянной времени Тг корректирующего
звена минимум ослабления в АЧХ обеих моделей смещается в сторо-


264
Глава 8
Рис. 8.33. Зависимость
коэффициента подавления НЧ пульсаций в ИПН с
фильтром Чебышева (а), Баттерворта (б)
и равноэвенным фильтром (в) при
разных значениях амплитуды НЧ пульсаций
на входе; Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс, Ку =
=1500
Рис. 8.34. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
равноэвенным фильтром: а — Ку = 300, Ti = 10 мкс, Тг = 10 мс, /вх = 2 кГц;
6— Ку = 1500, Tj = 100 мкс, Т2 = 10 мс, /вх = 200 Гц, UbX = 50 В
ну более высоких частот. С увеличением коэффициента усиления УПТ
Ку расширяется полоса АЧХ, а минимум АЧХ смещается в сторону
более высоких частот.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 265
С увеличением амплитуды НЧ-пульсаций на входе ИПН возникает
возможность неустойчивой работы ИПН, и это в наибольшей мере
проявляется в ИПН с равнозвенным фильтром. Зависимость АЧХ
импульсной модели ИПН с равнозвенным фильтром, приведенная на рис. 8.30,в
и 8.33,8, при амплитуде НЧ-пульсаций С/вх~ = 50 В соответствует
неустойчивому режиму (рис. 8.34).
8.3.3. Исследование статических и динамических
характеристик с использованием импульсной
модели ИПН
Наряду с такими характеристиками, как коэффициент
стабилизации выходного напряжения и тока, запас устойчивости по фазе, полоса
подавления низкочастотных пульсаций, важными также являются
динамические характеристики такие, как перерегулирование по току и
напряжению при включении и отключении ИПН, скачкообразном изменении
входного напряжения и нагрузки, высокочастотные пульсации тока
накопительного дросселя и выходного напряжения.
На рис. 8.35 и 8.36 приведены зависимости коэффициента
стабилизации выходного напряжения (7<стаб.я и А'стаб.с/) от относительного
изменения сопротивления нагрузки и относительного изменения
входного напряжения для ИПН с двухзвенными фильтрами с характеристиками
Чебышева, Баттерворта, равнозвенных фильтров при различных
коэффициентах усиления УПТ в цепи ОС (А"у).
Рис. 8.35. Зависимость коэффициента
стабилизации от относительного
изменения сопротивления нагрузки для ИПН с
фильтром Чебышева (а) Баттерворта (б)
и равнозвенным фильтром (в) для
разных Ку при Т\ = 100 мкс, Тг = 10 мс


266
Глава 8
Рис. 8.36. Зависимость
коэффициента стабилизации от относительного
изменения входного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева (а) Баттерворта (б)
и равнозвенным фильтром (в) для
разных Ку при Т\ = 100 мкс, Т2 = 10 мс
Изменение нагрузки осуществлялось в пределах ±50 %
номинального значения RHoM = 1,92 Ом, входного напряжения в пределах ±25 %
(^вх.ном = 160 В). Выходное напряжение ИПН равно 48 В.
Коэффициент стабилизации (рис. 8.35,а, 8.36,а) увеличивается с
ростом относительного изменения сопротивления нагрузки и ростом
относительного изменения входного напряжения, возрастает с ростом Ку
и практически не зависит от постоянных времени цепей коррекции (Т\
и Тг) при заданном Ку. Это следует и из АЧХ для петлевого
усиления непрерывной линеаризованной модели (рис. 8.22-8.26). Однако с
ростом Т\ и Тг увеличивается запас устойчивости по фазе ИПН,
следовательно, возможно увеличение коэффициента усиления в цепи ОС
и коэффициента стабилизации.
Наибольшим коэффициентом стабилизации при заданном
коэффициенте усиления в цепи ОС обладают ИПН с фильтром
Баттерворта, а наименьшим — преобразователи с равнозвенным фильтром
(см. рис. 8.35 и 8.36).
В табл. 8.4 и 8.5 приведены изменения характеристик ИПН для
различных Ку: статических — пульсации тока дросселя и выходного
напряжения, нестабильность выходного напряжения (Д?/Вых/^вых).
коэффициент стабилизации напряжения (Л'стаб.я, ^стаб.с/); динамических —
перерегулирование по току дросселя <jj и выходному напряжению ац. Для
номинального сопротивления (ЛНом = 1,92 Ом) и номинального
входного напряжения ([/вх ном = 160 В) статические и динамические
характеристики приведены при включении ИПН (полужирный шрифт), для


Исследование характеристик преобразователей напряжения 267
Ку
а
Ян, Ом
D
*1, %
сги* %
Пульс.
/ll %
Фильтр Чебышева Ао = 64 дБ, Т\ =
300 1
500
750
1000
1250
0,49
0,49
0,50
0,50
0,50
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1 1|34
1 0,96
Фильтр
300
1000
0,49
0,50
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
1 0,96
0,324
0,327
0,330
0,334
0,340
0,347
0,365
0,325
0,328
0,332
0,336
0,341
0,349
0,367
0,319
0,323
0,326
0,330
0,335
0,343
0,361
0,320
0,323
0,326
0,330
0,336
0,344
0,361
0,320
0,323
0,326
0,330
0,336
0,344
0,362
Баттер
0,325
0,328
0,331
0,335
0,341
0,349
0,366
0,320
0,323
0,326
0,330
0,336
0,344
0,362
89,0
66,2
49,1
32,1
28,4
24,5
19,7
85,4
63,9
47,9
32,0
29,6
26,9
24,4
81,7
61,6
46,8
32,3
30,7
28,8
27,7
77,9
59,1
45,4
33,0
31,9
29,5
28,2
79,0
56,7
44,1
48,4
32,5
31,0
28,6
26,2
16,9
9,0
0,1
1Д
1,9
3,5
26,0
16,8
9,0
0,1
2,7
5,3
9,9
25,7
16,6
8,9
0,1
4,5
8.6
15,9
25,4
16,5
8,8
3,1
6,0
11,9
20,2
25,2
16,3
8,7
18,2
7,2
14,6
22,7
>ворта Ао = 64
73,6
53,4
38,3
23,5
20,7
18,1
15,4
61,2
45,0
33,7
23,6
22,8
21,2
1 19,3
28,8
18,4
9,7
0,1
0,7
1,5
3,5
28,4
18,2
9,6
0,1
4,5
9,0
10,9
94,2
82,1
73,0
63,9
54,7
45,6
33,3
94,0
81,9
72,8
63,7
54,6
45,5
33,2
94,8
82,6
73,4
64,3
55,1
45,9
33,6
94,8
82,6
73,4
64,2
55,1
45,9
33,5
94,7
82,5
73,4
64,2
55,0
45,9
33,5
дБ, Та =
69,1
60,2
53,5
46,8
40,1
33,4
24,4
69,5
60,6
53,9
47,1
40,4
33,6
24,6
Пульс.
Е/вых, %
100 мкс, Т:
0,30
0,30
0,30
0,30
0,27
0,29
0,28
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,29
0,27
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,28
0,27
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,28
0,27
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,28
0,27
= юо мкс,:
0,25
0,23
0,24
0,24
0,22
0,22
0,20
0,24
0,24
0,24
0,23
0,22 '
0,22
0,19
Таблица 8.4
At/вых 0/
и—'
1 = 10 МС
0,022
0,015
0,009
-
0,010
0,025
0,056
0,012
0,009
0,005
-
0,007
0,015
0,034
0,008
0,006
0,003
-
0,004
0,010
0,023
0,006
0,004
0,002
-
0,003
0,008
0,017
0,005
0,003
0,002
-
0,003
0,006
0,013
Г2 = 10 мс
0,016
0,011
0,007
-
0,008
0,019
0,043
0,005
0,003
0,002
-
0,003
0,006
0,013
^стаб.Я»
ДБ
67,3
66,2
65,1
-
62,2
61,1
59,0
72,3
70,9
70,2
-
67,6
66,0
63,4
75,5
74,4
73,3
-
70,5
69,4
66,9
78,1
77,0
75,8
-
73,2
71,9
69,3
80,2
79,1
77,9
-
75,1
73,9
71,5
69,7
68,4
67,2
-
65,1
63,8
61,3
80,7
79,5
78,6
-
75,7
74,4
71,8


268
Глава 8
Окончание табл. 8.4
ку
1500
2000
a
0,50
0,50
RH, Ом
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
Равнозвс
300
500
700
900
1100
0,49
0,50
0,50
0,50
0,50
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
2,88
2,50
2,21
1,92
1,63
1,34
0,96
D
0,320
0,324
0,327
0,331
0,336
0,344
0,362
0,321
0,324
0,327
0,331
0,336
0,344
0,362
ННЫЙ (
0,322
0,325
0,328
0,332
0,338
0,346
0,363
0,318
0,321
0,324
0,328
0,333
0,341
0,359
0,319
0,322
0,325
0,329
0,334
0,342
0,360
0,319
0,322
0,325
0,329
0,335
0,343
0,360
0,319
0,323
0,326
0,330
0,335
0,343
0,361
ai, %
64,1
42,4
31,2
62,0
25,7
24,0
18,5
99,0
58,2
37,7
108,8
28,8
30,3
18,8
эильтр
112,7
85,9
65,8
45,8
41,6
35,4
24,8
111,0
85,0
65,5
46,1
43,6
39,0
30,5
108,9
83,7
64,8
46,0
44,8
41,7
34,6
106,7
82,3
64,1
47,8
45,6
43,5
37,7
104,8
81,1
63,4
69,5
46,3
44,4
40,4
°и, %
28,1
18,1
9,5
18,2
6,6
12,0
10,6
28,0
17,9
9,4
35,8
8,6
14,2
18,3
Пульс.
/ы, %
69,5
60,5
53,8
47,1
40,4
33,6
24,6
69,5
60,5
53,8
47,1
40,4
33,6
24,6
А0 = 64 дБ, Ti
18,5
12,2
6,6
0,1
1,4
1,8
0,9
18,2
12,1
6,6
0,1
2,8
5,1
6,7
18,0
11,9
6,5
0,1
4,1
7,8
12,2
17,8
11,8
6,4
0,1
5,1
10,1
16,9
17,6
11,7
6,4
5,3
6,1
12,3
21,1
134,3
117,0
104,0
91,0
78,0
65,0
47,5
135,1
117,7
104,7
91,6
78,6
65,5
47,9
135,0
117,6
104,5
91,5
78,4
65,4
47,8
134,9
117,5
104,5
91,4
78,4
65,3
47,7
134,9
117,5
104,4
91,4
78,3
65,3
47,7
Пульс.
С/ьых, %
0,24
0,23
0,24
0,23
0,22
0,21
0,20
0,24
0,24
0,23
0,23
0,22
0,21
0,19
= 100 мкс,
0,26
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,28
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,27
0,25
0,27
0,25
0,25
0,25
0,23
0,31
0,27
0,27
0,25
0,25
0,25
0,24
~и '
0,003
0,002
0,001
-
0,002
0,004
0,008
0,002
0,001
0,001
-
0,001
0,003
0,006
Г2 = 10 мс
0,029
0,019
0,011
-
0,014
0,035
0,078
0,017
0,013
0,006
-
0,010
0,021
0,048
0,013
0,008
0,005
-
0,006
0,015
0,034
0,010
0,007
0,004
-
0,005
0,012
0,026
0,008
0,006
0,003
-
0,004
0,009
0,021
•^стаб.Я»
ДБ
84~3
83,2
82,1
-
79,5
78,0
75,5
87,3
86,4
85,4
-
82,9
80,5
78,0
64,7
64,0
62,6
-
60,0
58,7
56,1
69,4
67,6
66,7
-
64,1
63,0
60,4
71,9
71,4
70,0
-
67,5
65,8
63,5
74,2
73,1
72,0
-
69,2
68,2
65,6
75,6
74,5
73,5
-
70,8
69,8
67,5


Исследование характеристик преобразователей напряжения 269
Таблица 8.5
к,
Q
иъх,в\
D
VI, %
(Гц, %
Пульс.
/и, %
Фильтр Чебышева Aq = 64 дБ, Т\ =
300
500
750
1000
1250
0,49
0,49
0,50
0,50
0,50
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
0,267
0,290
0,318
0,334
0,352
0,393
0,446
0,268
0,292
0,320
0,336
0,353
0,395
0,448
0,264
0,287
0,314
0,330
0,347
0,388
0,440
0,264
0,287
0,314
0,330
0,348
0,389
0,440
0,264
0,287
0,315
0,330
0,348
0,389
0,441
Фильтр Батте
300
1000
0,49
0,50
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
0,268
0,291
0,319
0,335
0,353
0,394
0,447
0,264
0,287
0,315
0,330
0,348
0,389
0,441
35,3
34,2
32,8
32,1
32,8
34,9
38,2
35,2
34,1
32,7
32,0
32,4
33,6
35,3
35,4
34,3
33,0
32,3
32,5
33,0
33,9
35,4
34,3
33,0
33,0
32,3
32,6
32,8
35,4
34,3
33,0
48,4
32,3
32,5
32,9
рворта
25,8
25,0
24,0
23,5
23,9
25,1
26,8
26,0
25,2
24,2
23,6
23,6
23,6
23,6
0,5
0,4
0,2
0,1
1,6
5,3
11.3
0,5
0,4
0,2
0,1
1,3
4,2
8,6
0,4
0,3
0,2
0,1
1,1
3,4
6,7
0,4
0,3
0,2
3,1
1,0
3,2
6,1
0,4
0,3
0,2
18,2
0,9
2,9
5,6
А0 =64
0,4
0,3
0,2
0,1
1,1
3,6
7,2
0,3
0,2
0,2
0,1
0,6
1,8
1 3,3
70,2
68,0
65,4
63,9
62,2
58,3
53,2
70,1
67,9
65,2
63,7
62,0
58,1
53,0
70,5
68,3
65,8
64,3
62,6
58,7
53,8
70,5
68,3
65,7
64,2
62,6
58,7
53,8
70,4
68,3
65,7
64,2
62,6
58,7
53,7
ДБ, Ti =
51,5
49,9
47,9
46,8
45,5
42,6
38,9
51,7
50,1
48,2
47,1
45,9
43,0
39,4
Пульс.
Е/ьых, %
Д^ьых 0/
~и—' °
100 мкс, Т2 = 10 мс
0,32
0,32
0,30
0,30
0,29
0,27
0,23
0,32
0,31
0,28
0,29
0,28
0,27
0,25
0,32
0,31
0,30
0,29
0,29
0,27
0,25
0,32
0,31
0,30
0,29
0,29
0,27
0,25
0,32
0,31
0,30
0,29
0,28
0,26
0,24
= 100 мкс, '
0,25
0,25
0,24
0,24
0,22
0,21
0,20
0,24
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,19
0,097
0,064
0,023
-
0,026
0,086
0,165
0,059
0,038
0,014
-
0,015
0,052
0,100
0,038
0,025
0,009
-
0,010
0,034
0,064
0,028
0,019
0,007
-
0,007
0,025
0,048
0,023
0,015
0,005
-
0,006
0,020
0,039
Г2 = 10 мс
0,067
0,044
0,017
-
0,018
0,060
0,114
0,020
0,013
0,005
-
0,005
0,017
0,033
•^стаб.Я»
ДБ
48,2
47,4
46,8
-
45,7
44,8
43,6
52,5
51,9
50,8
-
50,3
49,1
48,0
56,4
55,7
54,8
-
54,0
52,9
51,8
58,9
58,1
57,1
-
56,6
55,5
54,3
60,8
60,1
59,3
-
58,3
57,3
56,2
51,4
50,6
49,6
-
48,9
47,9
46,8
62,1
61,4
60,3
-
59,8
58,7
57,6


270
Глава 8
Окончание табл. 8.5
ку
1500
2000
a
0,50
0,50
С/»х. В
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
Равнозв
300
500
700
900
1100
0,49
0,50
0,50
0,50
0,50
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
200,0
184,0
168,0
160,0
152,0
136,0
120,0
D
0,265
0,288
0,315
0,331
0,348
0,389
0,441
0,265
0,288
0,315
0,331
0,348
0,389
0,441
енный
0,265
0,289
0,316
0,332
0,350
0,391
0,444
0,262
0,285
0,312
0,328
0,345
0,386
0,438
0,263
0,286
0,313
0,329
0,346
0,387
0,439
0,263
0,286
0,314
0,329
0,347
0,388
0,440
0,264
0,287
0,314
0,330
0,347
0,388
0,440
VI, %
26,0
25,1
24,2
62,0
23,6
23,6
23,7
26,0
25,1
24,2
108,8
23,6
23,6
23,7
фильтр
50,4
48,8
46,9
45,8
47,2
51,0
56,7
50,6
49,0
47,1
46,1
47,1
49,9
54,1
50,5
49,0
47,1
46,0
46,8
49,0
52,4
50,5
48,9
47,1
47,8
46,6
48,2
50,6
50,5
48,9
47,0
69,5
46,5
47,9
49,6
сг[/, %
0,3
0,2
0,2
18,2
0,5
1,5
2,8
0,3
0,2
0,2
35,8
0,5
1,3
2,4
Пульс,
/ы, %
51,7
50,1
48,2
47,1
45,9
43,0
39,4
51,7
50,1
48,2
47,1
45,9
43,0
39,4
Л0 = 64 дБ, Ti
0,5
0,4
0,2
0,1
2,0
7,2
15,6
0,5
0,4
0,2
0,1
1,7
5,9
12,3
0,5
0,3
0,2
0,1
1,6
5,4
11,0
0,4
0,3
0,2
0,1
1,4
4,9
10,0
0,4
0,3
0,2
5,3
1,4
4,7
9.4
99,9
96,9
93,1
91,0
88,7
83,1
76,0
100,4
97,4
93,7
91,6
89,3
83,8
76,8
100,3
97,2
93,6
91,5
89,1
83,7
76,6
100,2
97,2
93,5
91,4
89,1
83,6
76,6
100,2
97,2
93,5
91,4
89,1
83,6
76,5
Пульс.
t/ьых, %
0,25
0,25
0,23
0,23
0,22
0,21
0,19
0,25
0,24
0,23
0,23
0,23
0,21
0,19
= 100 мкс,
0,27
0,27
0,23
0,25
0,24
0,23
0,21
0,27
0,27
0,23
0,25
0,25
0,23
0,21
0,27
0,27
0,26
0,25
0,22
0,23
0,20
0,27
0,27
0,27
0,25
0,24
0,23
0,21
0,29
0,28
0,26
0,25
0,24
0,24
0,21
и—•
0,013
0,009
0,003
-
0,003
0,012
0,022
0,010
0,007
0,002
-
0,003
0,009
0,017
Т2 = 10 мс
0,143
0,094
0,036
-
0,039
0,129
0,247
0,083
0,055
0,021
-
0,022
0,075
0,143
0,061
0,039
0,014
-
0,016
0,054
0,103
0,047
0,031
0,011
-
0,013
0,042
0,080
0,038
0,025
0,009
-
0,011
0,035
0,066
^стаб.Я»
ДБ
6^5
64,9
63,9
-
63,2
62,2
61,1
68,0
67,2
66,2
-
65,7
64,7
63,6
44,8
44,0
42,8
-
42,1
41,2
40,0
49,6
48,6
47,7
-
47,0
45,9
44,8
52,3
51,6
50,8
-
49,9
48,8
47,7
54,5
53,7
52,9
-
51,9
51,0
49,9
56,3
55,6
54,9
-
53,5
52,7
51,6


Исследование характеристик преобразователей напряжения 271
остальных нагрузок (табл. 8.4) и входных напряжений (табл. 8.5) при
их скачкообразном изменении относительно номинальных значений. В
таблицах также приведены коэффициенты заполнения D и передачи а.
Из сравнения динамических характеристик ИПН с различными
фильтрами следует, что наименьшие перерегулирования по напряжению
(Ти при включении ИПН имеют преобразователи с равнозвенными
фильтрами, а наибольшие — с фильтрами Баттерворта. Значения
перерегулирования по току входного дросселя и току транзистора сг/ как при
включении ИПН, так и при скачкообразном изменении сопротивлении
нагрузки имеют меньшие значения для ИПН с фильтром Баттерворта.
Величина пульсаций тока входного дросселя фильтра и
соответственно транзистора минимальна у ИПН с фильтром Баттерворта, в 1,5
раза больше у ИПН с фильтром Чебышева и два раза больше у ИПН
с равнозвенным фильтром.
При скачкообразном отключении нагрузки перерегулирование по
выходному напряжению <ти при коэффициенте усиления в цепи ОС
Ку = 300, #стаб.я = 81 дБ, Ti = 10 мкс, Т2 = 1 мс достигает у ИПН
с фильтром Чебышева 135 %; у ИПН с фильтром Баттерворта 165 % и
с равнозвенным фильтром — 77 %. С увеличением постоянных
времени цепей коррекции Т\ и Т% значение ац возрастает. Для его
снижения необходимо одновременно увеличивать обе емкости сглаживающего
фильтра, что приводит в свою очередь к уменьшению полосы частот
и затягиванию переходных процессов.
Устойчивую работу ИПН с двухзвенным фильтром при высоком
коэффициенте стабилизации иъых, т.е. большом значении коэффициента
усиления Ку УПТ в цепи ОС, можно обеспечить увеличением
постоянной времени цепи коррекции Т\. С другой стороны, при
увеличении Т\ и работе ИПН с фильтрами Чебышева и Баттерворта в
режимах близких к холостому ходу (при увеличении сопротивления нагрузки
в 10 и более раз) и больших Ку на выходе ИПН возникают
пульсации на субгармониках.
На рис. 8.37 представлены временные диаграммы выходного
напряжения (t/вых) при Ку = 200, Т\ = 10 мкс, Тг = 1 мс и сопротивлениях
нагрузки увеличенной и уменьшенной относительно номинального
значения на 50 % (#стаб.я = 55,3 дБ для RH = 0,96 Ом и Л'стаб.я = 63,8 дБ
для Ян = 2,88 Ом) для ИПН с фильтром Чебышева. Двойной размах
пульсаций выходного напряжения составляют 0,27 %. По оси абсцисс
отложено время в периодах коммутации силового транзистора ИПН.
Временные диаграммы для ИПН с фильтром Баттерворта и равнозвенным
фильтром аналогичны.
С увеличением Ку до 450 при сопротивлении нагрузки RH — 0,96 Ом
ИПН с фильтром Чебышева возбуждается на 15-й субгармонике, а с
фильтром Баттерворта — на 18-й субгармонике. Величина колебаний
выходного напряжения составляет соответственно 144 % (рис. 8.38,а) и
147 % (рис. 8.38,6). При использовании фильтра Чебышева и
увеличении сопротивления нагрузки на 50 % по сравнению с номинальным


272
Глава 8
Рис. 8.37. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН с
фильтром Чебышева при Т\ = 10 мкс, Т2 = 1 мс, Ку = 200: a ARa/RB = -0,5;
5 — ДЯн/Я„ = 0,5
Рис. 8.38. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН при
Т\ = 10 мкс, Тг = 1 мс, А'у = 450, ARn/RB = —0,5: а — с фильтром Чебышева;
6 — с фильтром Баттерворта
(Ян = 2,88 Ом) величина пульсаций составляет 0,30 %, коэффициент
стабилизации Л'стаб.я = 70,9 дБ (рис. 8.39,а); с фильтром Баттерворта


Исследование характеристик преобразователей напряжения 273
Рис. 8.39. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН при
Т\ = 10 мкс, Тг = 1 мс, Ку = 450, ARn/Rn = 0,5: а — с фильтром Чебышева;
6 — с фильтром Баттерворта
Рис. 8.40. Временные диаграммы выходного напряжения для ИПН при
10 мкс, Т2 = 10 мс, /Су = 450, ЛЯН/ЯН = -0,50: а — с фильтром Чебышева;
6 — с фильтром Баттерворта
— размах пульсаций 0,26 %, А'стаб.я = 73,5 дБ (рис. 8.39,6).
С увеличением постоянной времени Тг до 10 мс при Ку = 450,
Ян = 0,96 Ом ИПН работает устойчиво (рис. 8.40). Коэффициент
стабилизации Л'стаб.я = 62,3 дБ, величина пульсаций выходного
напряжения равна 0,26 % для фильтра Чебышева; размах пульсаций 0,19 % и
А'стаб.я — 64,7 дБ для фильтра Баттерворта.


274
Глава 8
8.3.4. Выводы
Проведенное исследование устойчивости, статических и
динамических характеристик ИПН понижающего типа с двухзвенными LC-
фильтрами с характеристиками Чебышева, Баттерворта и равнозвенных
фильтров с различными постоянными времени в цепи коррекции
позволяет говорить о следующем.
1. Выбранная структура контуров ОС (параллельная коррекция)
и звена коррекции ОС по выходному напряжению (последовательная
коррекция) позволяют обеспечить высокий коэффициент стабилизации
(более 60 дБ), большую полосу частот подавления низкочастотных
пульсаций (более 10 кГц) с подавлением более 40 дБ и большой запас
устойчивости по фазе (не менее 60°).
2. Для всех значений постоянных времени корректирующего звена
подавление низкочастотных составляющих (до 1-2 кГц) в импульсной
модели ИПН с двухзвенным фильтром в отличие от импульсной модели
с однозвенным фильтром меньше по сравнению с усредненной
линеаризированной моделью. С увеличением амплитуды НЧ-пульсаций на
входе ИПН возникает возможность неустойчивой работы ИПН, и это в
наибольшей мере проявляется в ИПН с равнозвенным фильтром.
3. Проведенные исследования статических и динамических
характеристик с двухзвенными сглаживающими фильтрами с
характеристиками Чебышева, Баттерворта, характеристиками равнозвенных фильтров
с контурами ОС по выходному напряжению и току первого
конденсатора СФ и корректирующим пропорционально-инерционным звеном в
цепи ОС по выходному напряжению позволяют выбрать тип фильтра,
постоянные времени корректирующего звена, коэффициент усиления
УПТ в цепи ОС по требуемым коэффициенту стабилизации,
пульсациям тока транзистора, перерегулированиям входного тока и выходного
напряжения и т.д.
8.4. Особенность работы импульсных
источников питания на комплексную
нагрузку
Современные источники питания, основным звеном которых
являются импульсные преобразователи напряжения понижающего или
повышающего типа с отрицательной обратной связью, являются дискретно-
нелинейными устройствами. Обычно при исследовании устойчивости
импульсных источников питания, их статических и динамических
характеристик нагрузка считается резистивной и рассчитывается по
постоянному току, исходя из требуемого выходного напряжения и
выходной мощности.
В действительности реальная нагрузка, как правило, имеет
комплексный, чаще всего активно-емкостной характер. Это обусловлено


Исследование характеристик преобразователей напряжения 275
тем, что при питании автоматических телефонных станций,
радиопередающих и радиоприемных устройств, усилительных и
преобразовательных устройств и т.д. их вход шунтируется параллельно включенными
электролитическими и керамическими или пленочными конденсаторами
для уменьшения радио- и промышленных помех, а также сглаживания
(интегрирования) высоковольтных наводок.
Более сложный комплексный индуктивно-емкостной характер
может иметь нагрузка источника питания с учетом влияния проводов
питания нагрузки, которые для отдельных систем могут иметь значительную
длину (десятки метров) и, следовательно, значительную индуктивность.
Шунтирование нагрузки конденсаторами изменяет частотную
характеристику непрерывной части прямого канала передачи импульсного
источника питания и может нарушить устойчивость его работы,
изменить полосу частот АЧХ передаточной функции, а также его
динамические характеристики, т.е. время установления переходного процесса,
величину перерегулирования по входному току и выходному напряжению
при включении или отключении источника питания или скачкообразном
изменении входного напряжения или сопротивления нагрузки.
Нарушение устойчивости работы И ПН может привести к выходу из
строя как источника питания, так и его нагрузки — АТС,
радиопередающих, радиоприемных или усилительных устройств и т.д. Выход из строя
нагрузки ИПН возможен также из-за существенного превышения
выходного напряжения ИПН во время переходного процесса при включении
источника питания, работающего на комплексную нагрузку.
Значительное перерегулирование по входному току, а
следовательно, току через транзисторы или диоды ИПН или напряжения на
конденсаторах сглаживающего фильтра может также привести к выходу
из строя источника питания.
Рассмотрим влияние комплексной нагрузки на устойчивость работы
ИПН, полосу частот АЧХ передаточной функции и динамические
характеристики импульсного источника питания, выполненного по схеме
понижающего преобразователя напряжения с однозвенным или двухзвен-
ным фильтрами с двухконтурной ОС и пропорционально-инерционным
звеном коррекции в цепи ОС [137, 140, 141].
Как отмечалось в предыдущих главах, с помощью частотных
передаточных функций определяются такие статические характеристики, как
коэффициент стабилизации, запас устойчивости по амплитуде и фазе,
полоса подавления низкочастотных пульсаций. Исследование
динамических характеристик осуществляется с помощью системы
дифференциальных уравнений, описывающих переменные состояния: токи в индук-
тивностях и напряжения на емкостях.
Анализ частотных передаточных характеристик и динамических
процессов в ИПН, выполненном по схеме преобразователя понижающего
типа с однозвенным LC-фильтром и двумя контурами ОС (см. рис. 8.1),
позволил выявить следующее. Для ИПН при работе на активно-емкост-


276
Глава 8
Рис. 8.41. АЧХ и ФЧХ ИПН понижающего типа с двухзвенным фильтром Че-
бышева (Li = 17 мкГн, С\ = 4,4 мкФ, Li — 17 мкГн, Сг = 2,3 мкФ) с
пропорционально-инерционным эвеном коррекции при Т\ = 100 мкс, Тг = 10 мс,
А'у = 1500: а — без шунтирования нагрузки; 6 — нагрузка шунтируется емкостью
С = 1,38 мкФ; 1 — контур по току; 2 — контур по напряжению; 3 — суммарный
контур
ную нагрузку по сравнению с резистивной нагрузкой увеличивается
запас устойчивости по фазе, уменьшается перерегулирование по
выходному напряжению аи при включении источника питания, но
увеличивается перерегулирование по входному току а\ и может существенно
уменьшиться полоса частот АЧХ передаточной функции, что ухудшает
подавление низкочастотных пульсаций и помех.
В качестве примера рассмотрим ИПН, схема которого приведена
на рис. 8.1. Частота коммутации транзисторов /т = 132 кГц,
входное выпрямленное напряжение сети 160 В, выходное 48 В, выходная
мощность 1,2 кВт. Однозвенный фильтр с характеристиками Чебыше-
ва (L = 50 мкГн, С = 40 мкФ) обеспечивают затухание на тактовой
частоте 64 дБ, при изменении входного напряжения и сопротивления
нагрузки коэффициент стабилизации /iCTa6 = 50 дБ, коэффициент
усиления УПТ в цепи ОС 1С
160.
При работе ИПН на резистивную нагрузку запас устойчивости по
фазе равен 20°, перерегулирование <ти = 50 %, <тг- = 275 %, полоса
частот АЧХ на уровне 40 дБ составляет 6 кГц. При включении
конденсатора с емкостью 100 мкФ параллельно нагрузке запас устойчивости
по фазе увеличивается на 10° и равен 30°, перерегулирование по
выходному напряжению уменьшается на 40 %, однако существенно на 75 %


Исследование характеристик преобразователей напряжения 277
Рис. 8.42. Временные диаграммы выходного напряжения ИПН
понижающего типа с двухконтурной ОС с пропорционально-инерционным звеном
коррекции при работе на реэистивную (а) и активно-емкостную нагрузку (б)
увеличивается сг,-, и полоса частот АЧХ уменьшается с 6 до 2 кГц.
Такое уменьшение полосы частот может вызвать значительные трудности
в обеспечении подавления низкочастотных помех.
В рассмотренном ИПН с однозвенным LC-фильтром и двумя
контурами ОС по выходному напряжению и по току конденсатора фильтра
работа на комплексную активно-емкостную нагрузку по сравнению с
работой на реэистивную нагрузку увеличивает запас устойчивости по фазе.
Совершенно другая картина имеет место в источнике питания,
использующим импульсный преобразователь понижающего типа, двух-
звенный фильтр и два контура ОС: по току первого конденсатора
фильтра и по выходному напряжению с пропорционально-инерционным
звеном коррекции в цепи ОС (см. рис. 8.3). Такой источник питания имеет
практически на порядок меньшие габаритные размеры фильтра по
сравнению с однозвенным фильтром и высокий коэффициент стабилизации
(более 60 дБ). Однако в таком перспективном источнике питания,
имеющем высокие массогабаритные характеристики, высокий коэффициент
стабилизации, к сожалению, может нарушиться устойчивая работа на
комплексную активно-емкостную нагрузку.
На рис. 8.41,а приведены АЧХ и ФЧХ частотной передаточной
функции разомкнутой петли ОС ИПН с двухзвенным фильтром с
характеристиками Чебышева, постоянными времени цепи коррекции Т\ =
= Якз + Ск = 100 мкс, Т2 = (ЯК2 + ЯкзХ^к = Ю мс,
коэффициентом стабилизации А'СТаб = 75 дБ при работе на реэистивную нагрузку.


278
Глава 8
Рис. 8.43. АЧХ и ФЧХ ИПН понижающего типа с двухзвенным
фильтром Чебышева (L\ = 17 мкГн, С\ — 4,4 мкФ, Li — 17 мкГн, Сг =
= 2,3 мкФ) с пропорционально-инерционным звеном коррекции при Т\ =
= 100 мкс, Ку = 500: а — нагрузка шунтируется емкостью С = 8,28 мкФ;
Тг = 10 мс; 6 — нагрузка шунтируется емкостью С = 20,7 мкФ; Тг = 25 мс
Такой коэффициент стабилизации обеспечивается при коэффициенте
усиления УПТ в цепи ОС Л'уПт = 1500. Входное и выходное
напряжения, выходная мощность, частота коммутации транзисторов у данного
ИПН такие же, как у ИПН, приведенного на рис. 8.1. Из рис. 8.41,а
следует, что данный ИПН имеет запас устойчивости по фазе 90°. При
шунтировании нагрузки конденсатором с емкостью всего лишь 1,3 мкФ
запас устойчивости по фазе равен нулю (рис. 8.41,6) и источник питания
переходит в автоколебательный режим (рис. 8.41,6). На рис. 8.42,а
приведены временные диаграммы выходного напряжения при работе на ре-
зистивную нагрузку, а на рис. 8.42,6— при работе на активно-емкостную
нагрузку, из этого рисунка следует неустойчивая работа ИПН.
Уменьшение коэффициента стабилизации на 10 дБ путем
снижения коэффициента усиления УПТ в цепи ОС на 10 дБ с 1500 до 500
не обеспечивает устойчивый режим работы ИПН при работе на активно-
емкостную нагрузку (рис. 8.43,а). Обеспечение устойчивой работы ИПН
при пониженном коэффициенте стабилизации возможно, путем
увеличения постоянной времени звена коррекции Тг до 25 мс (рис. 8.43г6),
но, к сожалению, это приводит к существенному снижению полосы АЧХ
частотной передаточной функции и усложнению проблемы фильтрации
низкочастотных пульсаций и помех.
Таким образом, работа на комплексную активно-емкостную нагруз-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 279
ку ИПН понижающего типа, работающего на простой, но, к
сожалению, больший по массогабаритным показателям фильтр, не ухудшает
устойчивость его работы.
При использовании ИПН понижающего типа с двухзвенным LC-
фильтром, двумя контурами обратной связи и с корректирующим звеном
в цепи ОС по выходному напряжению, позволяющим обеспечить
высокий коэффициент стабилизации, при работе на комплексную активно-
емкостную нагрузку нарушается условие устойчивой работы ИПН.
Обеспечение устойчивой работы ИПН понижающего типа с двухзвенным LC-
фильтром при работе на комплексную нагрузку возможно
увеличением постоянной времени Тг пропорционально-инерционного звена в цепи
коррекции, но это приводит к уменьшению полосы АЧХ частотной
передаточной функции и затруднению фильтрации низкочастотных
пульсаций и помех.
8.5. Сравнительный анализ частотных
характеристик передачи по петле ООС
для импульсной и линейной моделей
преобразователей с ШИМ
понижающего типа
8.5.1. Состояние вопроса
На этапах проектирования, разработки и эксплуатации любой
мощной электронной системы с отрицательной обратной связью (ООС)
требуется выполнять расчеты и измерения АЧХ и ФЧХ функции передачи
по петле ООС (петлевого усиления), анализ которых позволяет оценить
достигнутую глубину ООС, запасы устойчивости, стабильность
основных показателей системы, степень подавления искажений и помех. В
линейных или линеаризованных системах для нахождения частотных
характеристик петлевого усиления, в соответствии с классическим
методом [165-167], в определенном сечении размыкается кольцо ООС,
выходные зажимы которого нагружаются эквивалентным сопротивлением
данного сечения. К входным зажимам разомкнутого кольца ООС
подключается источник гармонического воздействия и определяется
отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов для
заданного диапазона частот.
В импульсных системах с регулированием выходной переменной с
помощью широтно-импульсной модуляции (ШИМ) такая методика
измерения частотных характеристик не может дать достоверной оценки
устойчивости замкнутой системы. Это объясняется тем, что в
реальных замкнутых ШИМ-системах с увеличением глубины ООС
расширяется диапазон усиливаемых частот и напряжение, поступающее с выхода
импульсного преобразователя по цепи ООС на вход блока ШИМ,
становится все более несинусоидальным, т.е. составляющие тактовой частоты


280
Глава 8
и ее гармоник оказывают все большее влияние на процессы в замкнутой
системе и, соответственно, на условия ее устойчивости [171].
Следовательно, в общем случае частотные характеристики функции петлевого
усиления могут адекватно отражать условия устойчивости и возможные
режимы генерации системы с ШИМ при условии их измерения в
нормально функционирующей системе, т.е. при замкнутой обратной связи.
Современные методики и технические средства измерения модуля и
фазы функции петлевого усиления основаны на введении («инжекции»)
в кольцо обратной связи функционирующей замкнутой системы малого
гармонического возмущения и последующем измерении
установившейся реакции на это возмущение в широком диапазоне частот. Учитывая
негармонический (импульсный) характер процессов в точках
приложения возмущения, следует говорить об измерении модуля и фазы
только для составляющих спектра, соответствующих частоте возмущения.
Такая методика, получившая название «метода замкнутого контура»
[168-170] является универсальной и может применяться к любым
видам мощных устройств, охваченным одним или несколькими контурами
обратной связи. Для обеспечения высокой точности измерения точка
«инжекции» сигнала возмущения должна быть выбрана между узлами
схемы, имеющими существенно отличающиеся по величине входное и
выходное сопротивления.
Этот метод положен в основу работы компьютеризированных
анализаторов частотных характеристик (Frequency Response Analyzers),
разработанных рядом западных фирм и широко применяемых, например,
при проектировании и испытании современных модулей AC-DC, DC-DC
конверторов и на их основе — распределенных систем питания
постоянным током [168, 169].
В практике отечественных разработок устройств силовой
электроники подобные измерительные системы пока не получили
распространения, что объясняется, по-видимому, их сравнительно высокой
стоимостью (не менее 11-12 тыс. долл. США), а также необходимостью
длительного освоения методики и приобретения навыков выполнения
измерений для конкретного типа устройства.
Специалистами кафедры теории электрических цепей
Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций (СПбГУТ)
изучены возможности создания отечественного автоматизированного
компьютерного измерительного комплекса, позволяющего определять
частотные зависимости модуля и фазы функции петлевого усиления,
входного и выходного сопротивления мощных импульсных устройств,
имеющих нормальную конфигурацию системы управления, т.е. когда
обратная связь замкнута [164]. Разработаны структурные схемы,
алгоритмы и программное обеспечение для специализированных АЦП и
ЦАП, способных генерировать сигналы возбуждения в широком
диапазоне частот, осуществлять регистрацию соответствующих откликов,
выполнять их цифровую обработку, спектральный анализ и выдачу ре-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 281
зультатов измерений на монитор компьютера. Определены наиболее
рациональные способы усиления и ввода сигнала возбуждения в схемы
устройств с уровнями выходной мощности от нескольких десятков ватт
до киловатта. С целью отработки методов и алгоритмов, положенных в
основу измерительного комплекса, создан его компьютерный аналог,
позволяющий вычислять в автоматическом режиме требуемые частотные
характеристики на математических моделях исследуемых устройств.
Цели данного раздела: а) применение методики
автоматизированного компьютерного расчета частотных характеристик передачи по петле
00С к ключевым преобразователям с ШИМ в режиме их нормального
функционирования, т.е. при замкнутой обратной связи; б)
сравнительный анализ частотных характеристик петлевого усиления реальной
замкнутой импульсной системы с характеристиками ее линейной модели.
8.5.2. Способы введения возмущения в кольцо
ООС преобразователя
Введя в кольцо ООС действующей системы источник
гармонического возмущения определенной частоты, можно измерить реакцию на это
возмущение. Выделение из спектров амплитуд и фаз установившейся
реакции составляющих частоты воздействия позволяет определять
частотные зависимости амплитуд и фаз напряжений в узлах, образованных
зажимами приложенного возмущающего источника напряжения.
Отношение этих амплитуд дает модуль, а разность фаз — аргумент функции
петлевого усиления. В схемах мощных преобразователей такие точки
ввода, как правило, существуют и доступны для измерений. На рис. 8.44
представлена общая структурная схема ключевого преобразователя с
одной петлей обратной связи, на которой отмечены две возможные точки
приложения возмущения.
Как следует из рис. 8.44, в типовой схеме преобразователя
существуют две точки ввода гармонического возмущения в кольцо ООС. Первая
Рис. 8.44. Типовая структурная схема преобразователя с одной петлей ООС и
возможными точками ввода возмущения


282
Глава 8
Рис. 8.45. Ввод источника возмущения в преобразователь с двухконтурной
обратной связью
из них с источником ?/iBo3m расположена между выходом
преобразователя и резистором R1 делителя напряжения, связывающего вход
усилителя сигнала ошибки и выход преобразователя. Вторая с источником
С^2возм расположена между выходом усилителя сигнала ошибки и
входом компаратора. Учитывая, что для каждого из указанных способов
«йнжекции» возмущения выходное сопротивление сечения ZBblx много
меньше входного сопротивления сечения ZBX, можно считать, что
узловые напряжения в точках 1 и 2, 3 и 4 развязаны между собой и
включение идеального источника напряжения между этими узлами не нарушает
этого состояния. Тогда в первом случае комплексный коэффициент
передачи по петле 00С будет равен отношению U(2)/U(l), а во втором —
отношению ?^(4)/?/(3) комплексных амплитуд соответствующих
узловых напряжений на частоте возмущения. Различие в результатах
измерения комплексного коэффициента передачи будет незначительным,
поскольку в обоих случаях сигнал возмущения передается от узла с малым
выходным сопротивлением к узлу со значительно большим входным
сопротивлением, т.е. удовлетворяется условие, обеспечивающее
приемлемую для практики точность измерения.
Из двух рассмотренных способов предпочтение следует отдать
второму, при котором источник гармонического возмущения вводится
между усилителем ошибки и компаратором, поскольку при наличии в
системе нескольких контуров обратной связи, именно этот способ
позволяет найти суммарную функцию петлевого усиления, учитывающую все
обратные связи. В качестве примера на рис. 8.45 представлена
структурная схема преобразователя с двумя контурами обратной связи.
Включение источника гармонического возмущения между входом компаратора
(точка 1) и выходом суммирующего усилителя (точка 2) позволяет
определить эквивалентную комплексную передаточную функцию U(2)/U(l),
учитывающую обратные связи по напряжению и по току.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 283
8.5.3. Описание компьютерной программы
Реализация описанной выше методики измерения АЧХ и ФЧХ
функции петлевого усиления требует введения в кольцо 00С источника
гармонического возмущения и последующего расчета переходных и
стационарных процессов в замкнутой импульсной системе. Спектральный
анализ стационарного режима и выделение из спектров колебаний
соответствующих узловых напряжений составляющих частоты возмущения
позволяет вычислить модуль и фазу функции петлевого усиления на
этой частоте. Повторение такого анализа для различных значений
частоты возмущения позволяет выявить частотные зависимости
исследуемых характеристик.
Выполнение подобных расчетов является весьма трудоемким
процессом и требует больших затрат машинного времени. Известные
универсальные компьютерные программы анализа электрических цепей
(PSPICE, Micro-Cap и др.) не предусматривают автоматизации
подобных расчетов, поэтому их применение для решения такой задачи
следует считать нерациональным.
Полная автоматизация таких расчетов осуществлена в последней
версии универсальной программы моделирования электрических цепей
FASTMEAN 3.0 (демонстрационную версию программы можно получить
на сайте www.fastmean.ru), разработанной в СПбГУТ. Данная
программа основана на новых решениях матричных уравнений цепей и позволяет
существенно (в ряде случаев на порядок) повысить скорость расчета
переходных процессов в ключевых устройствах по сравнению с
программами, использующими традиционные алгоритмы. В сочетании с новыми
встроенными функциями, позволяющими в автоматическом режиме
выполнять расчет частотных характеристик через расчет переходных
процессов, программа FASTMEAN представляет собой эффективное
средство анализа современных мощных импульсных систем во временной
и частотной областях.
8.5.4. Расчет частотных характеристик
преобразователя с одноконтурной ООС
По описанной выше методике с применением программы FAST-
MEAN выполним расчет характеристик петлевого усиления для DC-DC
преобразователя 50-5 В с одним контуром ООС, снимаемой с выхода
однозвенного фильтра L1C1. Схема и параметры элементов
преобразователя представлены на рис. 8.46. Амплитуда пилообразного
напряжения Из, подаваемого на вход компаратора составляет 1 В, а частота —
100 кГц. Источник гармонического возмущения U$ с амплитудой 80 мВ
введен в кольцо ООС между усилителем сигнала ошибки ОУ1 и
компаратором СОМР1. Отношение амплитуд узловых напряжений U(8) и U(9)
на частоте возмущения дает модуль, а разность фаз этих напряжений —
соответственно фазу функции петлевого усиления. Частоту возмущения
будем варьировать в пределах от 0,1 до 60 кГц.


284
Глава 8
Рис. 8.46. Исследуемый преобразователь с одной петлей ООС
Рис. 8.47. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции
петлевого усиления импульсной модели преобразователя с одноконтурной ООС
Рассчитанные по программе FASTMEAN АЧХ (в децибеллах) и ФЧХ
(в градусах) функции передачи по петле ООС U(8)/U(9) представлены
на рис. 8.47. Как следует из анализа этих зависимостей, в диапазоне
частот / ^ 5 кГц глубина ООС составляет более 30 дБ и далее
снижается, достигая значения 0 дБ на частоте 25 кГц. Запас по фазе на этой
частоте составляет 9-10°. На частоте 37 кГц фаза составляет примерно
0°, однако самовозбуждения не происходит, поскольку на этой частоте
имеется запас по усилению ~ 5 дБ.
Сопоставим исследуемый преобразователь (рис. 8.46) с
эквивалентной линейной системой. Для этого заменим нелинейные элементы
преобразователя (компаратор, транзисторный ключ и диод)
широкополосным линейным усилителем ОУ2 (рис. 8.48).
Коэффициент усиления операционного усилителя 0У2 выберем так,
чтобы значения АЧХ и ФЧХ петлевого усиления импульсной и
линейной моделей преобразователя совпали на нижней измеряемой
частоте 100 Гц. Выполним расчет модуля и фазы функции передачи


Исследование характеристик преобразователей напряжения 285
Рис. 8.48. Эквивалентная линейная модель преобразователя
Рис. 8.49. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции петлевого
усиления для импульсной (1) и линейной (2) моделей DC-DC преобразователя 50-5 В
и(Ъ)/и{7) по петле ООС линейной модели (рис. 8.48) в диапазоне
частот ОД...60 кГц и сопоставим эти характеристики с
характеристиками, полученными для импульсной модели. Из анализа характеристик
для импульсной и линейной моделей преобразователя,
представленных на рис. 8.49, видно, что они практически совпадают в диапазоне
0,1...25 кГц. В диапазоне частот более 25 кГц АЧХ и ФЧХ импульсной
модели заметно отличаются от АЧХ и ФЧХ линейной модели.
Исследуем АЧХ и ФЧХ импульсной и линейной моделей
преобразователя для меньших величин входного напряжения. Необходимость
таких расчетов обусловлена возможностью реального уменьшения на
30...50 % напряжения аккумуляторной батареи, питающей
преобразователь. Уменьшение же питающего напряжения в 4-5 раз по сравнению
с номинальным значением для заданного конкретного источника
питания, по-видимому, не представляет практического смысла. Однако столь
значительное уменьшение входного напряжения допустимо для
исследуемой математической модели преобразователя, поскольку оно экви-


286
Глава 8
Рис. 8.50. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции петлевого
усиления для импульсной (I) и линейной (2) моделей DC-DC преобразователя 15-5 В
валентно изменению модуля коэффициента передачи по петле 00С на
постоянном токе и может быть пересчитано, например, в новое значение
коэффициента усиления операционного усилителя 0У1 (см. рис. 8.46)
при сохранении номинального входного напряжения. Поэтому
найденные частотные зависимости для импульсной модели преобразователя
с напряжениями вход-выход 15-5 В (рис. 8.50) аналогичны частотным
зависимостям преобразователя 50-5 В, но с новым значением
коэффициента усиления ОУ1, равным 1,74.
Анализ характеристик (см. рис. 8.50) показывает, что с
уменьшением входного напряжения преобразователя или коэффициента усиления
ОУ1 снижается глубина ООС и, соответственно, частота нулевого
усиления уменьшается до 14...15 кГц, т.е. исследуемая импульсная система
становится более узкополосной. В этом случае частотные
характеристики импульсной и линейной моделей преобразователя, представленные
на рис. 8.50, практически совпадают в диапазоне частот 0,1...60 кГц,
т.е. даже на частотах, находящихся значительно выше частоты нулевого
усиления. Из приведенных зависимостей также следует, что в
преобразователе с одноконтурной ООС без цепи коррекции запас устойчивости по
фазе не превышает 10...15°, т.е. является недостаточным для надежного
обеспечения устойчивости в реальных условиях работы.
8.5.5. Расчет частотных характеристик
преобразователя с двухконтурной ООС
Исследуем преобразователь с однозвенным фильтром L1C1 и
двухконтурной ООС (рис. 8.51). Внешний контур ООС является основным и
охватывает нагрузку, а внутренний — вспомогательным,
предназначенным для повышения запасов устойчивости системы. Преобразователь
работает на тактовой частоте блока ШИМ 132 кГц и обеспечивает
получение стабилизированного выходного напряжения 48 В при входном
напряжении 300 В. Выходная мощность преобразователя составляет
1000 Вт. Источник гармонического возмущения U4 с амплитудой 1 В
вводится между узлами 16 и 17, соответствующими выходу
суммирующего усилителя ОУ4 и входу блока ШИМ. Следовательно, введение


Исследование характеристик преобразователей напряжения 287
Рис. 8.51. Исследуемый преобразователь с двухконтурной ООС
Рис. 8.52. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции петлевого
усиления импульсной модели преобразователя 300-48 В с двухконтурной ООС
источника возмущения между этими узлами обеспечивает измерение с
высокой точностью суммарной функции петлевого усиления,
учитывающей оба контура обратной связи.
Используя программу FASTMEAN, выполним расчеты частотных
зависимостей модуля и фазы функции петлевого усиления U(16)/U(17)
(см. рис. 8.51) в диапазоне частот 0,1...70 кГц. Результаты расчетов
приведены на рис. 8.52.
Как следует из анализа зависимостей, приведенных на рис. 8.52,
частота нулевого усиления в этом случае соответствует 50 кГц, и запас
устойчивости по фазе на этой частоте составляет 50°. Необходимо
также отметить, что ФЧХ импульсной модели показывает резкое
уменьшение значения фазы на второй субгармонике тактовой частоты (66 кГц),
поэтому именно на этой частоте наиболее вероятно самовозбуждение
системы при увеличении модуля петлевого усиления.


288
Глава 8
Рис. 8.53. Эквивалентная линейная модель преобразователя 300-48 В с двухкон-
турной ООС
Сопоставим исследуемый преобразователь (см. рис. 8.51) с
эквивалентной линейной системой. Для этого заменим нелинейные элементы
преобразователя (блок ШИМ, RS-триггер, транзисторный ключ и диод)
линейным усилителем 0У5 (рис. 8.53), коэффициент усиления 0У5
выберем такой, чтобы значения АЧХ и ФЧХ функции петлевого усиления
импульсной и линейной моделей преобразователя совпали на нижней
измеряемой частоте 100 Гц.
Выполним расчет модуля и фазы функции передачи U(10)/U(ll)
по петле ООС линейной модели (см. рис. 8.53) в диапазоне частот
0,1...70 кГц и сопоставим эти характеристики с характеристиками,
полученными для импульсной модели (см. рис. 8.52). Из анализа
характеристик для импульсной и линейной моделей преобразователя,
представленных на рис. 8.54, видно, что в данном случае имеет место
значительное расхождение ФЧХ импульсной и линейной моделей
преобразователя в диапазоне частот более 10 кГц.
Выполним аналогичные расчеты АЧХ и ФЧХ для
преобразователя (см. рис. 8.51) при изменении величины его входного напряжения.
Зависимости, найденные для импульсной и линейной моделей
преобразователя с напряжениями вход-выход 160-48 В и 100-48 В, приведены
соответственно на рис. 8.55, 8.56.
Из анализа полученных кривых (рис. 8.55, 8.56), соответствующих
импульсной модели, следует, что в преобразователе с двухконтурной
ООС с уменьшением входного напряжения увеличивается глубина ООС
и соответственно частота нулевого усиления смещается в область все
более высоких частот. При этом на частоте нулевого усиления
происходит уменьшение запаса устойчивости по фазе. Так, например, ча-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 289
Рис. 8.54. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции
петлевого усиления для импульсной (2) и линейной (2) моделей преобразователя 300-48 В
с двухконтурной ООС
Рис. 8.55. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (6) функции
петлевого усиления для импульсной (1) и линейной (2) моделей преобразователя 160-48 В
с двухконтурной ООС
Рис. 8.56. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции
петлевого усиления для импульсной (2) и линейной (2) моделей преобразователя 100-48 В
с двухконтурной ООС
стотные характеристики импульсной модели преобразователя 160-48 В
(см. рис. 8.55) показывают, что частота единичного усиления
составляет 59...60 кГц и запас устойчивости по фазе на этих частотах
снижается до 40...35°. Для преобразователя 100-48 В (см. рис. 8.56)
частота нулевого усиления еще более увеличивается до 65...66 кГц, а запас
устойчивости по фазе на этих частотах составляет всего 20...15°. Учи-


290
Глава 8
тывая выявленную закономерность, можно утверждать, что снижение
уровня входного напряжения до 85...80 В приведет к
самовозбуждению преобразователя на частоте 66 кГц (вторая субгармоника
тактовой частоты).
Частотные характеристики линейной модели преобразователя
значительно отличаются от характеристик импульсной модели и для
рассмотренных случаев (рис. 8.55, 8.56) не предсказывают возможность
самовозбуждения системы.
8.5.6. Расчет частотных характеристик
преобразователя с двухзвенным фильтром
и двухконтурной ООС
С целью снижения уровня ВЧ пульсаций выходного напряжения
48 В и уменьшения габаритных размеров мощного преобразователя в
схеме с двухконтурной ООС (см. рис. 8.51) произведем замену однозвенного
фильтра L1C1 двухзвенным фильтром L1C1-L2C2 [164]. Введение
такого фильтра во внешний контур ООС без применения соответствующих
мер приведет к самовозбуждению системы. По этой причине во внешний
контур ООС вводится пропорционально-инерционное звено коррекции,
построенное на базе операционного усилителя ОУ1 (рис. 8.57).
Методом замкнутого контура выполним расчет частотных
зависимостей модуля и фазы функции петлевого усиления U(22)/U(23)
(см. рис. 8.57) в диапазоне частот 0,1...70 кГц. Аналогичный расчет
проведем также для линейной модели рассматриваемого
преобразователя (рис. 8.58), функция петлевого усиления которой соответствует
отношению напряжений U(16)/U(18). Найденные частотные
характеристики импульсной и линейной моделей преобразователя приведены
на рис. 8.59.
Анализ частотных характеристик импульсной модели показывает,
что на частоте единичного усиления (55...56 кГц) запас устойчивости
по фазе соответствует 60...55°. Согласно линейной модели частота
единичного усиления расположена выше (65 кГц), и запас устойчивости по
фазе на этой частоте приблизительно равен 95°.
Выполним аналогичные расчеты для преобразователя рис. 8.57 при
изменении его входного напряжения. Частотные зависимости модуля
и фазы функции петлевого усиления импульсной и линейной моделей
для входных напряжений 160 и 100 В приведены соответственно на
рис. 8.60, 8.61.
Как следует из зависимостей рис. 8.60, 8.61, для исследуемой
схемы преобразователя (см. рис. 8.57) с уменьшением входного
напряжения глубина ООС на низких частотах увеличивается, и соответственно
частота единичного усиления смещается в область более высоких
частот. При этом происходит уменьшение запаса устойчивости по фазе.
Так, например, согласно импульсной модели преобразователя 100-48 В
(см. рис. 8.61) частота единичного усиления соответствует 65...66 кГц,


292
Глава 8
Рис. 8.58. Линейная модель преобразователя с двухэвенным фильтром и двух-
контурной ООС
Рис. 8.59. Частотные зависимости модуля и фазы функции петлевого усиления
для импульсной (1) и линейной (2) моделей преобразователя 300-48 В с двухзвен-
ным фильтром и двухконтурной ООС
и запас устойчивости по фазе на этой частоте составляет всего 10... 15°.
Таким образом, при последующем снижении входного напряжения
исследуемого преобразователя (см. рис. 8.57) до 90...85 В можно
ожидать, что в системе также возникнет генерация на частоте 66 кГц, т.е.
на второй субгармонике тактовой частоты. Частотные характеристики
линейной модели исследуемого преобразователя (см. рис. 8.60, 8.61)
в данном случае значительно отличаются от характеристик
импульсной модели и не соответствуют процессам в реальной замкнутой
системе.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 293
Рис. 8.60. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции
петлевого усиления для импульсной (1) и линейной (2) моделей преобразователя 160-48 В
с двухзвенным фильтром и двухконтурной ООС
Рис. 8.61. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) функции
петлевого усиления для импульсной (1) и линейной (2) моделей преобразователя 100-48 В
с двухзвенным фильтром и двухконтурной ООС
8.5.7. Расчет процессов в преобразователе с
двухзвенным фильтром и двухконтурной ООС
С целью подтверждения достоверности оценки устойчивости и
ожидаемой частоты генерации, полученных на основе анализа частотных
характеристик импульсной модели ключевого преобразователя с ШИМ,
для схемы рис. 8.57 выполним расчет переходного и установившегося
режимов напряжения в нагрузке и(13) при изменении входного
напряжения в пределах 90...85 В. Как отмечалось выше, в соответствии с
характеристиками рис. 8.61 в этом случае следует ожидать
возникновение режима генерации на частоте, равной половине тактовой частоты,
т.е. на второй ее субгармонике (66 кГц). На рис. 8.62, 8.63 приведены
осциллограммы переходного и установившегося режима для напряжения
в нагрузке и(13) при входном напряжении 90 В.
Из анализа кривой рис. 8.63 следует, что установившийся процесс
соответствует устойчивому режиму преобразователя. Размах пульсаций
тактовой частоты 132 кГц составляет 0,08 В.
На рис. 8.64, 8.65 также приведены осциллограммы переходного и
установившегося режима для напряжения в нагрузке и(13) при
входном напряжении 87 В.


294
Глава 8
Рис. 8.62. Переходный процесс для напряжения в нагрузке и(13) при UbX = 90 В
Рис. 8.63. Установившийся процесс для напряжения в нагрузке и(13) при
Ubx = 90 В
Рис. 8.64. Переходный процесс для напряжения в нагрузке и(13) при UbX = 87 В
Анализ кривых рис. 8.64, 8.65 показывает, что в этом случае в
преобразователе действительно возникает режим генерации на частоте
66 кГц, т.е. на второй субгармонике тактовой частоты. При этом
значительно увеличивается (до 1,4 В) размах пульсаций частоты 66 кГц.


Исследование характеристик преобразователей напряжения 295
Рис. 8.65. Установившийся процесс для напряжения в нагрузке и(13)
при UbX = 87 В
8.5.8. Заключение
Полученные в данном разделе результаты и их анализ позволяют
сделать следующие выводы.
1. Метод замкнутого контура позволяет определять частотные
характеристики функции петлевого усиления преобразователя с ШИМ,
адекватно отображающие условия устойчивости и возможные режимы
генерации. Метод может быть автоматизирован и реализован в виде
компьютерного измерительного комплекса, способного определять
частотные характеристики модуля и фазы функции петлевого усиления
реальных импульсных источников питания.
2. Для преобразователей понижающего типа с однозвенным и двух-
звенным сглаживающими фильтрами и различными видами обратной
связи методом замкнутого контура получены частотные характеристики
функции петлевого усиления. Сравнительный анализ этих
характеристик с характеристиками линейной модели показывает, что степень их
соответствия определяется отношением частоты нулевого усиления /(0)
к тактовой частоте блока ШИМ /т.
3. Для отношений /(о)//т < 0,15...0,2 частотные зависимости
модуля и фазы функции петлевого усиления замкнутой импульсной модели
практически совпадают в широком диапазоне частот с аналогичными
зависимостями линейной модели. Для этих случаев анализ
устойчивости преобразователя и проектирование его цепей обратной связи могут
осуществляться на основе линейных методов (например, метода
усреднения и линеаризации) без учета специфических нелинейных свойств,
обусловленных принципом ШИМ.
4. Для отношений /(о)//т > 0,2 частотные зависимости модуля и
фазы функции петлевого усиления замкнутой импульсной модели
близки к аналогичным зависимостям линейной модели только в диапазоне
весьма низких частот / < (0,05...0Д)/Т. Для более высоких частот
проявляется заметное различие зависимостей модуля и фазы импульсной и
линейной моделей. Это различие усиливается с ростом частоты и при-


296
Глава 8
водит к существенному уменьшению реальной величины запаса
устойчивости по фазе, по сравнению с величиной, определяемой линейной
моделью. На частотах / « /т/3 реальный запас устойчивости по фазе
может составлять величину на 30...50°, а на частотах, близких к
половине тактовой (/ « Л/2), — на 50...80° ниже запаса, определяемого
линейной моделью. В замкнутом преобразователе это может создавать
условия генерации на третьей и второй субгармониках тактовой
частоты, не предсказываемые линейной моделью.
5. Глубина ООС и соответственно частота нулевого усиления по
петле обратной связи преобразователя существенно зависят от
пределов изменения входного напряжения. В этой связи для
проектирования устойчивой ООС при расчете частотных зависимостей модуля и
фазы импульсной модели необходимо учитывать минимальный (разряд)
и максимальный (заряд) уровни напряжения аккумуляторной батареи
(DC-DC преобразователи) или ожидаемый уровень пульсаций
выходного напряжения выпрямителя (AC-DC преобразователи).
Оценка предельной глубины ООС в ШИМ преобразователях
понижающего типа приведена в Приложении 5.


Глава 9
Исследование статических
и динамических характеристик
преобразователей напряжения
повышающего типа
9.1. Математическая модель импульсного
преобразователя напряжения
повышающего типа
В данной главе рассматриваются импульсные преобразователи
повышающего типа, которые являются нелинейно-дискретными системами
с переменной структурой [173].
Проводится исследование устойчивости, статических и
динамических характеристик ИПН повышающего типа при работе на емкостной
и П-образный CLC фильтр, выбор оптимальной структуры контуров
ОС, типа и параметров звеньев коррекции в цепи ОС, обеспечивающих
устойчивую работу ИПН при глубокой величине ОС, т.е. большой
величине стабилизации выходного напряжения под действием
возмущающих факторов.
Импульсный преобразователь напряжения (ИПН) повышающего
типа является дискретным нелинейным устройством. Для исследования
коэффициента стабилизации и устойчивости работы дискретных
нелинейных устройств с отрицательной обратной связью, как показано в
гл. 8, можно использовать метод усреднения и линеаризации, который
позволяет перейти от дискретной нелинейной системы к усредненной
линейной системе и получить передаточную частотную
характеристику. С использованием критерия Найквиста по частотной передаточной
характеристике определяется коэффициент стабилизации как
коэффициент усиления разомкнутой петли обратной связи на нулевой частоте,
а также запасы устойчивости по фазе и амплитуде.
В данной главе рассматриваются статические и динамические
характеристики импульсного преобразователя напряжения повышающего
типа при работе на П-образный (CLC) и емкостной фильтр. Для
изложения сущности метода анализа будем рассматривать импульсный
преобразователь повышающего типа с емкостным фильтром (рис. 9.1).
На рис. 9.1 приняты следующие обозначения:
гы. rci — сопротивления потерь в элементах LI, C1;
Rm — сопротивление шунта для обеспечения напряжения
трапецеидальной формы на входе компаратора;


298
Глава 9
Рис. 9.1. Схема импульсного преобразователя напряжения
повышающего типа с емкостным фильтром и инерционным корректирующим звеном
Рис. 9.2. Временная диаграмма ШИМ импульсного преобразователя
повышающего типа
Кдь Кд2 —сопротивления делителя выходного напряжения;
УПТ — усилитель постоянного тока;
U3T — опорный эталонный источник;
^вх. ?^вых — соответственно входное и выходное напряжения ИПН;
^ош(0' КО — соответственно напряжения сигнала ошибки и
амплитуда пилообразного напряжения;
/т — тактовая частота ИПН;
Дкь Як2. Ск — параметры корректирующей цепи, причем
отношение RK2/Rk1 определяет коэффициент усиления УПТ, а
произведение RK2CK — постоянную времени цепи коррекции гк. В случае
отсутствия коррекции Ск = 0.
На каждом периоде ШИМ момент включения транзистора
совпадает с импульсом синхронизации задающего генератора, а момент
выключения транзистора совпадает с моментом, когда пилообразное
напряжение p(t), пропорциональное току ключевого транзистора,
пересекает сигнал ошибки uOUI(t).
При увеличении выходного напряжения, например, за счет
входного напряжения UBX происходит уменьшение величины ошибки иош:
иош = Ky(U3T - а[/вых), где а = Яд2/(ЯД1 + #Д2)- Следовательно, для


Исследование характеристик преобразователей напряжения 299
обеспечения условия срабатывания компаратора ШИМ
(9.1)
где гут = *li — токи через транзистор VT и индуктивность L1 на
интервале времени, когда VT открыт, должно произойти уменьшение
интервала проводимости транзистора (рис. 9.1,6). В результате выходное
напряжение уменьшается.
При коротком замыкании или резком возрастании тока через
транзистор происходит резкое увеличение p(t). Это приводит к резкому
уменьшению интервала проводимости транзистора, т.е. его размыканию
и автоматической защиты ИПН от короткого замыкания.
Переменные состояния: ток в индуктивности х\ = г'ы и напряжение
на емкости x<i — uq\ для случая емкостного фильтра преобразователя
с учетом потерь описываются матричными уравнениями: на интервале
включенного состояния транзистора:
где
на интервале выключенного состояния транзистора
где
(9.3)
(9.4)
(9.5)
Схема замещения силовой части преобразователя в случае, когда
транзистор замкнут, представлена на рис. 9.3,а, а когда разомкнут, —
на рис. 9.3,6".
Рис. 9.3. Схема замещения силовой части ИПН повышающего типа с
емкостным фильтром: а — транзистор замкнут; 6— транзистор разомкнут


300
Глава 9
Рис. 9.4. Схема импульсного преобразователя напряжения
повышающего типа с П-обраэным фильтром и инерционным корректирующим звеном
Если в схеме возможен режим разрывного тока индуктивности, то
матрица параметров в этом случае рассчитывается по формуле
где n = L/rL; гн = (rCl + Rh)Ci\ p = y/L^d; Q = p/RH;
LJo = 1/y/LiCi.
Схема импульсного преобразователя повышающего типа при
использовании П-образного CLC-фильтра с обратными связями по
выходному напряжению, по токам конденсаторов фильтра и по току
ключевого транзистора изображена на рис. 9.4.
На рис. 9.4 приняты обозначения: гы, pl.2. rci, гсг —
сопротивления потерь в элементах LI, L2, Cl, С2. Остальные параметры
аналогичны рассмотренным выше для случая использования
емкостного фильтра.
В случае использования П-образного CLC-фильтра переменные
состояния: токи в индуктивностях xi = г'ы, ?з = гЬ2 и напряжения на
емкостях Х2 = itci, ?4 = ^С2 определяются на интервале включенного
состояния транзистора уравнением (9.2), а на интервале
выключенного состояния транзистора — уравнением (9.4). При этом размерность
матриц коэффициентов переменных состояния Ai, A2 и размерность
матриц коэффициентов вынужденного воздействия Bi и Вг
увеличиваются в два раза, и матрицы соответственно имеют вид:


Исследование характеристик преобразователей напряжения 301
В случае режима разрывного тока матрица
Система уравнений (9.2)-(9.5) описывает преобразователь как
дискретное устройство и справедлива только на своем временном интервале,
т.е. отражает информацию только при включенном (9.2) или
выключенном (9.4) ключевом элементе и является математической моделью
дискретной системы. Решая данную систему уравнений, можно
построить временные диаграммы работы преобразователя и исследовать
динамические характеристики.
В интервале импульса, когда транзистор открыт t = dT,
дифференциальное уравнение ИПН в матричной форме принимает вид (9.2).
В интервале паузы, когда транзистор закрыт t = (1 — d)Tt
справедливо уравнение (9.4).
В отличие от ИПН понижающего типа, рассмотренного в гл. 8, в
ИПН повышающего типа для улучшения динамических характеристик и
устойчивости необходимо в качестве сигнала пилообразного напряжения
использовать ток ключевого элемента.
Условия переключения ключевого элемента: s(t) = uoul(t)—p(t) > О
— транзистор включен; s(t) < 0 — транзистор выключен, где uoul(t) =
= Ку(иэт — af/вых) — сигнал ошибки при отсутствии коррекции;
иОш(0 — А'у(С/Эт — хз) — сигнал ошибки при использовании
корректирующей цепи (яз = L~1[aWk(s)UBbiX(s)], L~l — обратное
преобразование Лапласа); p(t) = Я5г'ут = Яв*ь — пилообразное напряжение с
выхода ключевого элемента; Wk(s) — передаточная функция
корректирующего звена.


302
Глава 9
Описанный метод расчета временных характеристик реализован в
программе вычислений на алгоритмическом языке Pascal.
Для исследования устойчивости работы ИПН следует определить
передаточную функцию импульсного преобразователя в частотной
форме. Для этого необходимо от дискретной импульсной системы перейти
к усредненной линейной [137, 138, 151].
Методика усреднения системы дифференциальных уравнений
составленных для различных этапов работы ИПН, аналогична
рассмотренной в гл. 8.
Условие переключения транзистора определяется из равенства
сигнала ошибки выходного напряжения иош с токовой пилой через
транзистор p(t) п-го периода (см. рис. 9.2) и может быть записано как:
(9.6)
где UBXdnT/Li описывает приращение тока через транзистор за время
включения транзистора; dn —коэффициент заполнения на n-м периоде,
г\{пТ) — ток через первую индуктивность.
При достаточно низкой частоте изменения коэффициента
заполнения ШИМ по сравнению с частотой переключения транзистора
уравнение (9.6) может быть усреднено и заменено непрерывным уравнением:
(9.7)
Если заменить ток i\ через переменную состояния х\,
представляющую собой ток через дроссель (см. рис. 9.1), тогда усредненный закон
управления по току имеет вид
(9.8)
Поскольку непрерывная аппроксимация в применяемом методе
усреднения_приводит к зависимости d от ивх, то заменяя иъх = ивхо+йвх
и d — D + d, где иьх и D — постоянные составляющие; йвх, d —
приращения, и подставляя иъх и d в (9.8), получаем линейное уравнение
относительно приращения коэффициента d в окрестности рабочей точки:
(9.9)
Применив к (9.9) преобразование Лапласа и заменив
(9.10)
где Ky(s) — коэффициент передачи сигнала ошибки, получим
(9.11)


Исследование характеристик преобразователей напряжения 303
Запишем (9.11) в виде
(9.12)
где
(9.12а)
(9.126)
Выражения (9.12), учитывающие зависимость коэффициента
заполнения d от выходных (x(s)), входных воздействий (u(s)) и параметров
цепей обратных связей (PT(s), QT(s)), получили название закона
управления исследуемого преобразователя [137, 138, 151].
Для импульсных систем, использующих один компаратор ШИМ при
замыкании через него пути обхода цепей обратной связи как по току,
так и по напряжению, результирующая передаточная функция может
быть представлена как сумма соответствующих передаточных функций
токового контура и контура по напряжению.
Передаточные функции разомкнутой системы импульсного
преобразователя определяются подстановкой (9.12) в (8,11), учитывая, что
возмущающее воздействие напряжения источника питания и = const,
т.е. приращение u(s) = 0 и d(s) = PT(s)x(s) для преобразователя с
емкостным фильтром получим
(9.13)
где передаточная функция токового контура
передаточная функция контура по напряжению
(9.13а)
(9.136)
Здесь


304
Глава 9
Для П-образного CLC-фильтра (без потерь):
передаточная функция токового контура
(9.14a)
передаточная функция контура по напряжению с выхода первого
звена (Ci)
(9.146)
передаточная функция контура по напряжению нагрузки
(9.Ш)
Здесь


Исследование характеристик преобразователей напряжения 305
Как видно из выражений (9.13)—(9.13в), частотная передаточная
функция разомкнутой петли обратной связи импульсного
преобразователя повышающего типа с емкостным фильтром зависит от коэффициента
заполнения D, коэффициента усиления усилителя постоянного тока в
цепи обратной связи Ку, волнового сопротивления р = \jL\jC\,
постоянной времени т = RHC\ и сопротивления потерь в накопительном
дросселе гы и конденсаторе фильтра гсь
С использованием передаточных функций разомкнутой петли
импульсного преобразователя, сведенного к непрерывной линейной
системе (9.13), (9.14), вычислялись амплитудно- и фазочастотные
характеристики, по которым определялся запас устойчивости по фазе Ду? и
коэффициент стабилизации KCTt который равняется значению АЧХ на
нулевой частоте К(0).
Из выражения (9.136) видно, что один из нулей передаточной
функции контура ОС по выходному напряжению лежит в правой
комплексной полуплоскости, т.е. передаточная функция содержит неминимально-
фазовое звено. Это приводит к уменьшению запаса по фазе ФЧХ
преобразователя, что может привести к нарушению устойчивой работы.
Поэтому в контуре ОС по напряжению необходимо использовать
корректирующие цепи.
9.2. Исследование ИПН повышающего
типа с емкостным фильтром
9.2.1. Исследование устойчивости и коэффициента
стабилизации ИПН повышающего типа с
использованием частотных характеристик
непрерывной линеаризованной модели
С использованием математической модели импульсного
преобразователя напряжения повышающего типа описанной в предыдущей главе
можно исследовать изменения коэффициента стабилизации выходного
напряжения и запаса устойчивости по фазе в зависимости от
коэффициента усиления УПТ в цепи обратной связи, величины ослабления
высокочастотных пульсаций сглаживающим фильтром (СФ), коэффициента
заполнения, сопротивления потерь в накопительном дросселе и в
конденсаторе сглаживающего фильтра для различных значений нагрузки [173].
На рис. 9.5 приведена зависимость коэффициента стабилизации от
коэффициента заполнения D при волновом сопротивлении р = 0,15 Ом,


306
Глава 9
Рис. 9.5. Зависимости КСт от коэффициента заполнения D при р = 0,15 Ом;
тС\ = 0 Ом
Рис. 9.6. Зависимости А' ст от
коэффициента усиления УПТ Ку при
D = 0,35; р = 0,15 Ом; rCi = 0 Ом
коэффициенте усиления Ку = 20 и 40,
сопротивлении потерь в дросселе гы =
= 0; 0,1; 0,2 Ом и сопротивлении
потерь в конденсаторе rci = 0.
Коэффициент стабилизации
нелинейно растет с ростом d, Ky и р, что
следует из рис. 9.5, 9.6 и табл. 9.1, и
падает с увеличением гы и rci- При
наличии потерь гы и rci имеет место
резкий минимум Кст при различных D.
При этом с ростом потерь минимум Кст
достигается при меньших D. Однако резкое уменьшение Кст имеет
место при нерабочих значениях коэффициента заполнения D.
С использованием передаточных функций разомкнутой петли
импульсного преобразователя, сведенного к непрерывной линейной
системе (9.13), (9.14), вычислялись амплитудно- и фазочастотные
характеристики, по которым определялся запас устойчивости по фазе А<р и
коэффициент стабилизации Кст, который равняется значению АЧХ на
нулевой частоте А'(0).
В табл. 9.1 приведены изменения Кст и А<р в зависимости от
волнового сопротивления р для различных Ку (20, 40) для емкостного
фильтра с подавлением высокочастотных пульсаций Aq = 44 дБ, для
различных потерь накопительного дросселя гтл и конденсатора сглаживающего
фильтра rci и различных нагрузок RH. Значение сопротивления
нагрузок изменялось относительно номинального значения (ЯНОм = 1,92 Ом),
при котором обеспечивалась выходная мощность 1,2 кВт при выходном


Исследование характеристик преобразователей напряжения 307
Таблица 9.1
Rn
Ao = 4
0,73ЯНОм
Яном
1,ЗЬ/гНом
10ЯНОМ
Ао = 4
0,73Я„ом
ЯНом
1,35Яном
ЮЯном
Ао = 27
0,73ЯНОм
ЯНом
1,ОЭ/Ъном
ЮЯном
Ао = 27
0,73ЯНом
Яном
1,35ЯИом
ЮЯном
4 дБ (Са = 195 л
А'ст, дБ
Дел град.
А'ст, дБ
Дер, град.
А'ст. дБ
Дер, град.
А'ст, дБ
Дер, град.
4 дБ (Ci = 195 iy
А'ст, дБ
Дер, град.
А'ст, дБ
Дер, град.
АГст.дБ
Дер, град.
АГст. дБ
Дер, град.
дБ (Ci = 195 ш
Кет, ДБ
Дер, град.
А'ст. дБ
A(f, град.
А'ст, дБ
Дер, град.
АГст.дБ
Дер, град.
дБ (Ci = 195 м«
АГст. дБ
й^р, град.
АГст, дБ
Дер, град.
А'ст. дБ
Дер, град.
АГст. дБ
Aip, град.
Р, Ом
0,15
лкФ, rL1 =
23,2
93
24,4
92,8
25,3
92,6
27,5
92,2
лкФ, rL1 =
28,1
77,5
29,6
80,3
30,7
81,8
33,4
84,3
сф, rLi = 0
22,8
45,4
24,1
59,2
25
68,1
27,5
89,7
[ф, гы = 0
27,6
29,2
30,4
30,8
33,4
84,1
0,25
0,2 Ом, гС1
32,2
59
33,3
66,9
34,2
70,9
36,4
77,2
0,2 Ом, тС\
36,9
38,5
22
39,6
38,6
42,3
56,8
,2 Ом, гС1 =
31,7
33
33,9
36,3
79,4
,2 Ом, тС\ -
36,4
38,1
39,3
42,3
67,6
0,35
0,45
= 0 Ом), А'у = 20
38 1 42,4
39,2
24,7
40
41
42,2
59,5
43,5
44,4
46,6
47
= 0 Ом), Ку - 40
42,8 1 47,2
44,3
45,4
48,1
40,5
= 0t05 Ом),
37,5
38,8
39,8
42,2
68,2
= 0,05 Ом),
42,3
44
45,1
48,1
44,1
48,7
49,8
52,5
29,9
АГУ = 20
41,9
43,2
44,1
46,5
53,3
Ку =40
46,6
48,3
49,5
52,5
напряжения 48 В. С ростом Ку растет /\СТг но уменьшается запас
устойчивости по фазе Aip. С ростом потерь ты уменьшается Кст, но растет
Aip. При увеличении потерь rci (см. табл. 9.1) незначительно
уменьшается /\ст, но резко уменьшается А(р.
Максимальный коэффициент /\ст с учетом потерь в конденсаторе


308
Глава 9
Рис. 9.7. АЧХ (а) и ФЧХ (б) ИПН без цепей коррекции; Li = 6 мкГн;
С1 = 120 мкФ; rhl = 0,1 Ом; rCi = 0,05 Ом; Я„ = 1,92 Ом; Ку = 40; А'ст = 37 дБ;
Дс/> = 0°
СФ rci « 0,05 Ом при А0 = 27 дБ (без потерь Ао = 44 дБ) достигает
значения 24 дБ при А<р = 59° (см. табл. 9.1); при значительном
увеличении емкости Ао = 64 дБ работа преобразователя повышающего типа
без устройств коррекции в цепи обратной связи неустойчива (А<р = 0).
На рис. 9.7 приведены амплитудно-частотная и фазочастотная
характеристики ИПН, выполненного по схеме рис. 9.1 без цепей коррекции
со следующими параметрами: ?/вх = 48 В; ?/Вых = 60 В; RH = 1,92 Ом;
частота коммутации транзисторов 132 кГц; р = 0,22 Ом (Li = 6 мкГн,
d = 120 мкФ, гы = 0,1 Ом, rci = 0,05 Ом); Ки = 40. Для
заданного ИПН коэффициент стабилизации, равный коэффициенту
усиления разомкнутой системы при нулевой частоте Кст = 37 дБ, а запас
устойчивости по фазе Ар = 0.
Коррекцию АЧХ и ФЧХ данного типа ИПН для получения
необходимого запаса устойчивости и коэффициента стабилизации с помощью
дифференцирующих звеньев нецелесообразно использовать в виду ее
неэффективности, так как в этом случае в цепь управления не поступает
информация о постоянной составляющей на выходе преобразователя.
Наиболее эффективной представляется использование
корректирующего инерционного звена с запаздыванием, представленного на рис. 9.1
пунктирной линией, передаточная функция которого имеет вид
где Ку = RK2/RKi, тк = RK2CK.
В случае использования корректирующего инерционного звена
матрицы (9.3) и (9.5) принимают вид:


Исследование характеристик преобразователей напряжения 309
Рис. 9.8. АЧХ (а) и ФЧХ (б) ИПН с инерционным корректирующим
звеном (тк = 380 мкс; L\ = 6 мкГн; Ci = 120 мкФ; rL1 = 0,1 Ом;
гС1 = 0,05 Ом; Ян = 1,92 Ом; Ку = 120; Кст = 46 дБ; Л^ = 50°): 1 —
контур по напряжению; 2 — контур по току; 3 — результирующий контур
Пунктиром выделены матрицы при отсутствии цепей коррекции.
Передаточная функция контура регулирования по напряжению с
учетом звена коррекции принимает вид
Поскольку резонансная частота ИПН данного типа зависит от
коэффициента заполнения D, то сопрягающую частоту инерционного звена
коррекции /к следует выбирать сравнительно низкой (/к ^ 4 кГц), чтобы
обеспечить устойчивость для наиболее тяжелого режима D = Dm&x. В
этом случае коэффициент петлевого усиления на нулевой частоте
имеет достаточно большую величину Кст = 46 дБ, а запас устойчивости
по фазе Aip = 50° (рис. 9.8). Из рисунка видно, что использование
инерционного корректирующего звена т приводит к завалу АЧХ и
дополнительному фазовому сдвигу контура ОС по выходному напряжению
(пунктирная линия). Однако использование параллельного звена
коррекции, в данном случае это звено ОС по току индуктивности (линия
из точек), позволяет скорректировать ФЧХ результирующего контура
(сплошная линия). На частоте 104 Гц, где АЧХ контура ОС по
выходному напряжению меньше АЧХ контура ОС по току индуктивности на
7 дБ, ФЧХ результирующего контура ОС практически повторяет ФЧХ
контура ОС по току индуктивности и составляет примерно —90°.
Следовательно, использование последовательного корректирующего звена в
цепи ОС по выходному напряжению и параллельного корректирующего
звена (ОС по току индуктивности) позволяет получить импульсный пре-


310
Глава 9
образователь напряжения с частотной передаточной функцией, которая
обеспечивает достаточно высокую стабилизацию выходного напряжения
под действием внешних возмущающий воздействий. Недостатком такой
схемы является уменьшение полосы пропускания АЧХ, за счет
использования инерционного корректирующего звена. Однако в большинстве
случаев ИПН повышающего типа стабилизируют напряжение
получаемое от аккумуляторов и следовательно не требуют широкой полосы
подавления низкочастотных пульсаций.
9.2.2. Исследование статических и динамических
характеристик ИПН
Наряду с такими характеристиками, как коэффициент
стабилизации и запас устойчивости по фазе, для расчета ИПН необходимо
знание таких динамических характеристик, как перерегулирование по
току и напряжению при включении и отключении ИПН, скачкообразном
изменении входного напряжения и сопротивления нагрузки; пульсации
накопительного дросселя и выходного напряжения.
В табл. 9.3, 9.4 приведены результаты расчета коэффициента
стабилизации Кст, дБ, нестабильности выходного напряжения Д?/Вых/^вых.
%, перерегулирования по току дросселя и транзистора <7/, выходного
напряжения ац, пульсаций тока дросселя и транзистора, а также
пульсаций выходного напряжения для волновых сопротивлений р = 0,22 Ом
и р = 0,35 Ом для различных коэффициентов усиления УПТ при
изменении нагрузки в пределах ±50 % (табл. 9.3) и входного напряжения
±25 % (табл. 9.4). При исследовании постоянная цепи коррекции
была выбрана равной тк = 380 мкс. Расчеты проводились с применением
режима ограничения по величине тока транзистора на уровне 75 А.
На рис. 9.9, 9.10 приведены зависимости Кст от относительного
изменения сопротивления нагрузки (Kctr) соответственно для режима
без ограничения величины тока транзистора и с ограничением тока на
уровне 75 А. При превышении величины тока более 75 А схема
управления формирует сигнал, который закрывает транзистор. На рис. 9.11
приведены временные диаграммы тока дросселя, выходного
напряжения и сигнала на выходе RS-триггера без ограничения (рис. 9.11,а) и с
ограничением (рис. 9.11,6) величины тока транзистора. На рис. 9.11 по
оси абсцисс отложены нумерация периодов тактовой частоты с 500-го по
550-й период, а по оси ординат — ток в амперах и напряжение в вольтах.
На рис. 9.12 приведены зависимости А'ст от относительного
изменения входного напряжения (КСт.и) Для различных Ку при
ограничении тока транзистора.
Коэффициент стабилизации увеличивается с ростом Ку,
относительного изменения сопротивления нагрузки и входного напряжения,
достигая наибольшей величины А"ст = 46 дБ при р = 0,22 Ом и Ку = 160.
При работе ИПН в режиме ограничения величины тока транзистора,
который реализуется при уменьшении сопротивления более чем на 30 %


Исследование характеристик преобразователей напряжения 311
Таблица 9.3
Ку
а
Ян, Ом
40
80
160
0,64
0,65
0,66
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1.73
1,34
0,96
2,88
2,50
2Д1
1,92
1,73
1.34
0,96
(
20
40
60
0,63
0,65
0,65
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
D
*i, %
Фильтр L\ = 6
0,2657
0,2718
0,2803
0,2859
0,2930
0,3141
0,2195
0,2628
0,2701
0,2805
0,2874
0,2961
0,3225
0,2195
0,2548
0,2627
0,2739
0,2814
0,2908
0,3196
0,2195
80,0
55,3
30,4
239,9
20,5
16,0
8,3
82,0
56,5
30,9
238,6
23,4
13,7
8,3
82,8
56,9
31,0
243,7
27,3
14,5
8,3
Фильтр L\ = 15
0,2642
0,2679
0,2730
0,2763
0,2805
0,2926
0,2411
0,2555
0,2616
0,2700
0,2757
0,2827
0,3038
0,2411
0,2611
0,2681
0,2778
0,2844
0,2925
0,3173
0,2411
60,2
39,0
17,7
172,9
9,7
12,8
3,4
63,5
40,9
18,4
173,4
13,2
19,1
3,4
64,8
41,8
18,7
167,5
16,3
15,2
3,4
<ти. %
Пульс,
/ы, %
Пульс.
Е/ьых, %
Д?Л>ых о/
^вых
мкГн, С\ = 120 мкФ, р = 0,22
5,4
3,8
1.7
17,9
1.1
1,8
16,9
4,6
3,3
1,5
17,7
1,4
1Д
17,1
3,8
2,8
1.3
18,5
1.6
1.2
16,3
мкГн,
6,8
4,7
2,0
24,7
1.1
3.0
13,6
6,2
4,4
1.9
25,4
1,7
4,4
13,5
5,8
4,2
1,9
24,5
2,2
4,2
14,6
26,5
23,1
19,7
18,0
16,3
12,8
8,3
26,4
23,1
19,7
18,0
16,3
12,9
8,3
26,2
22,9
19,6
18,2
16,3
13,3
8.3
d = 120
10,51
9,15
7,78
7,10
6,42
5,05
3,42
10,40
9,09
7,76
7,10
6,43
5,08
3,42
10,47
9,15
7,82
7,15
6,48
5,12
3,42
0,22
0,27
0,34
0,39
0,45
0,64
0,61
0,21
0,27
0,34
0,39
0,46
0,66
0,61
0,21
0,26
0,33
0,40
0,45
0,71
0,61
мкФ, р = (
0,26
0,30
0,37
0,41
0,47
0,63
0,72
0,25
0,30
0,37
0,41
0,47
0,66
0,72
0,25
0,30
0,38
0,43
0,49
0,69
0,72
1,04
0,73
0,29
-
0,36
1,41
14,10
0,53
0,37
0,15
-
0,18
0,74
14,24
0,26
0,18
0,07
-
0,09
0,37
13,67
Э,35
1,93
1,33
0,53
-
0,64
2,48
11.61
0,98
0,68
0,27
-
0,34
1,32
11,55
0,67
0,47
0,19
-
0,23
0,93
12,38
дБ
33,4
32,1
30,5
-
28,6
26,1
8,1
39,4
38,1
36,5
-
34,5
31,9
8,0
45,6
44,2
42,6
-
40,6
38,0
8,5
27,9
26,7
25,1
-
23,3
20,9
10,4
34,0
32,7
31,1
-
29,2
26,7
10,5
37,3
36,0
34,4
-
32,5
29,9
9,7
от номинального значения ЯНОм = 1,92 Ом, существенно снижается
коэффициент стабилизации.
Для номинального сопротивления (RHOM = 1,92 Ом) и входного
напряжения (иъх = 48 В) величины перерегулирования по току aj и
напряжению ац приведены при включении ИПН (полужирный шрифт), для


312 Глава 9
Таблица 9.4
Ку
а
и, в
D
VI, %
Фильтр L\ =
40
80
160
0,64
0,65
0,66
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
0,0754
0,1582
0,2428
0,2859
0,3297
0,4199
0,5156
0,0716
0,1566
0,2433
0,2874
0,3322
0,4246
0,5155
0,0616
0,1482
0,2365
0,2814
0,3269
0,4218
0,5155
53,9
39,7
25,3
239,9
21,5
26,5
17,2
55,3
40,5
25,6
238,6
23,5
32,7
17,1
55,3
40,4
25,4
243,7
26,3
38,0
17,1
Фильтр L\ = 1
20
40
60
0,63
0,65
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
60,0
55,2
50,4
48,0
45,6
40,8
36,0
0,0695
0,1510
0,2341
0,2763
0,3191
0,4069
0,4989
0,0607
0,1455
0,2318
0,2757
0,3201
0,4115
0,5081
0,0683
0,1535
0,2403
0,2844
0,3291
0,4210
0,5201
36,7
25,0
13,1
172,9
9,5
13,6
17,0
38,8
26,2
13,5
173,4
11.7
21,0
20,2
39,6
26,7
13,7
167,5
13,5
27,8
15,7
<?и< %
6 мкГн,
5,5
3,4
1,4
17,9
0,9
1.9
2.0
4,8
3,0
1,3
17,7
1.1
2,6
2,2
4,1
2,6
1,1
18,5
1,3
3,2
1,7
L5 мкГн,
5,6
3,6
1,5
24,7
0,9
1,9
3,0
5,2
3,3
1,4
25,4
1,2
3,2
4,6
4,9
3,2
1.4
24,5
1,5
4,4
4,2
Пульс.
/ы, %
Пульс.
t/вых, %
ЛС^ьпс
*/»ы»
Ci = 120 мкФ, р = 0,22
8,0
13,9
17,2
18,0
18,3
17,5
15,0
7,7
13,8
17,2
18,0
18,3
17,4
17,1
6,7
13,3
17,1
18,2
18,4
38,0
17,1
Ci = 12(
2,94
5,33
6,73
7,10
7,27
7,06
6,22
2,62
5,20
6,71
7,10
7,27
7,03
6,11
2,90
5,38
6,80
7,15
7,28
17,20
15,74
0,08
0,19
0,32
0,39
0,46
0,62
0,79
0,08
0,19
0,32
0,39
0,47
0,63
1,20
0,07
0,18
0,31
0,40
0,47
3,25
1,20
) мкФ, р =
0,10
0,22
0,35
0,41
0,48
0,63
0,78
0,08
0,21
0,34
0,41
0,49
0,64
0,80
0,10
0,22
0,36
0,43
0,50
2,46
3,67
1,05
0,65
0,23
-
0,24
0,81
1,56
0,53
0,33
0,12
-
0,13
0,42
1.79
0,27
0,17
0,06
-
0,06
0,22
1.14
0,35
1,54
0,98
0,35
-
0,39
1,31
2,54
0,79
0,50
0,18
-
0,20
0,69
1,36
0,54
0,35
0,13
-
0,14
0,43
1,07
Л'стаб.Я>
дБ
27,2
26,9
26,4
-
25,8
24,9
23,5
33,2
32,9
32,5
-
31,8
30,8
22,3
39,3
39,0
38,6
-
37,9
36,4
26,4
23,7
23,1
22,4
-
21,5
20,4
18,9
29,7
29,2
28,4
-
27,5
26,4
24,8
33,1
32,5
31,8
-
30,9
30,6
27,0
остальных нагрузок и входных напряжений при их скачкообразном
изменении относительно номинальных значений. Величина
перерегулирования по току с/ незначительно изменяется с ростом Ку и уменьшается
с ростом р. Величина перерегулирования по выходному напряжению ац
также незначительно изменяется с ростом Ку и увеличивается с ростом


Исследование характеристик преобразователей напряжения 313
Рис. 9.9. Зависимость А'ст от нагрузки для ИПН с емкостным фильтром для
разных Ку при tli = 0,1 Ом, rci = 0,05 Ом, без ограничения по току
транзистора: а— р = 0,22 (Li = 6 мкГн; С\ = 120 мкФ); 6— р = 0,35 (L\ = 15 мкГн;
Сг = 120 мкФ)
Рис. 9.10. Зависимость А'ст от нагрузки для ИПН с емкостным фильтром для
разных Ку при t*li = 0,1 Ом, tq — 0,05 Ом, с ограничением по току
транзистора: а — р = 0,22 (Li = 6 мкГн; С\ = 120 мкФ); 6— р = 0,35 (Li = 15 мкГн;
Сг = 120 мкФ)
р. При скачкообразном изменении RH и ?/вх сц не превышает 10 %,
а при запуске ИПН — 25 %. Большая величина перерегулирования по
току дросселя и транзистора при запуске ИПН приводит к
необходимости использования пускового терморезистора, а при скачкообразном
изменении RH и [7ВХ — устройств ограничения по току.
Величина пульсаций тока дросселя уменьшается с увеличением
волнового сопротивления р, сопротивления нагрузки и уменьшением
входного напряжения. Величина пульсаций выходного напряжения
существенно увеличивается с уменьшением сопротивления нагрузки и
слабо зависит от Ку и р.
В табл. 9.5 приведены результаты расчетов коэффициента
стабилизации и запаса устойчивости по фазе ИПН с корректирующим звеном,
рассчитанные методом усреднения и линеаризации переменных
состояния в зависимости от сопротивления нагрузки для различных
коэффициентов усиления УПТ в цепи обратной связи. Параметр А'ст
рассчитывался как коэффициент усиления разомкнутой линеаризированной


314
Глава 9
Рис. 9.11. Временные диаграммы тока дросселя, выходного напряжения и
сигнала на выходе RS-триггера для ИПН с емкостным фильтром при р = 0,22, Ку = 160:
а — без ограничения тока транзистора; 6— с ограничением тока транзистора на
уровне 75 А
Рис. 9.12. Зависимость А' ст от входного напряжения для ИПН с
емкостным фильтром для разных Ку при tli = 0,1 Ом, rci = 0,05 Ом, с
режимом ограничения по току транзистора: а — р — 0,22 (L\ = 6 мкГн;
Сг = 120мкФ);5— р = 0,35 (Lj = 15 мкГн; С\ - 120 мкФ)
системы на нулевой частоте и, следовательно, характеризует
стабилизацию выходного напряжения ИПН как усредненной линейной системы,
хотя в действительности она является дискретно-нелинейной системой.
Поэтому результаты расчета, полученные точным временным методом
и приближенным методом усреднения и линеаризации переменных
состояния, должны отличаться.
В принципе качественный характер зависимостей Кст от Ян и Ку
совпадает (ср. табл. 9.3 и 9.5). Коэффициент стабилизации растет с ро-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 315
Таблица 9.5
Ky
а
Ян.
Ом
D
Фильтр L\ — 6 г
С\ = 120 мкФ; р
40
80
160
0,64
0,65
0,66
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
0,2657
0,2718
0,2803
0,2859
0,2930
0,3141
0,2195
0,2628
0,2701
0,2805
0,2874
0,2961
0,3225
0,2195
0,2548
0,2627
0,2739
0,2814
0,2908
0,3196
0,2195
Ас/?,
град.
икГн;
= 0,22
93,2
93,1
93,1
93,1
93,0
92,9
93,2
71,4
72,4
73,9
74,7
75,7
78,8
89,8
21,8
21,9
22,2
22,2
22,1
21,1
33,9
дБ
36,2
36,2
36,1
36,0
35,9
35,7
33,0
42,2
42,1
42,0
41,9
41,8
41,5
38,7
48,1
48,0
47,9
47,8
47,7
47,4
44,5
Ку
а
Ян,
Ом
D
Фильтр L\ = 15
С\ = 120 мкФ; р
20
40
60
0,63
0,65
0,65
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
2,88
2,50
2,11
1,92
1,73
1,34
0,96
0,2642
0,2679
0,2730
0,2763
0,2805
0,2926
0,2411
0,2555
0,2616
0,2700
0,2757
0,2827
0,3038
0,2411
0,2611
0,2681
0,2778
0,2844
0,2925
0,3173
0,2411
град.
мкГн;
= 0,35
91,2
91,2
91,1
91,1
91,1
91,0
91,0
63,1
64,5
66,6
67,4
68,5
71,6
82,8
18,8
19,6
20,3
20,7
21,1
20,5
35,0
А'ст.Я,
дБ
38,3
38,3
38,2
38,1
38,1
37,9
36,2
44,1
44,1
44,0
43,9
43,8
43,6
41,5
47,6
47,6
47,5
47,4
47,3
47,1
44,6
стом Ку и RH. Количественно результаты расчетов, полученные точным
и приближенными методами, при р = 0,35 Ом отличаются до 10 дБ.
С ростом Ку (табл. 9.5) уменьшается запас устойчивости по фазе
(Д<р), достигая значений А(р « 20° для ИПН при р = 0,22 Ом и Ку =
= 160, при р = 0,35 Ом и Ку = 60. Хотя приближенный метод расчета
определяет данные режимы как устойчивые (Ду> « 20°), результаты
расчета точным временным методом (см. рис. 9.10, 9.11) показывают,
что данные режимы неустойчивы. Для ИПН с р = 0,22 Ом и Ку =
= 160 имеет место возбуждение на субгармонике с частотой 20 кГц при
тактовой частоте 132 кГц (рис. 9.13,а), а для ИПН с р = 0,35 Ом и
Ку = 80 система возбуждается на частоте 30 кГц (рис. 9.13,6).
Таким образом, проведенные исследования ИПН повышающего
типа, являющегося неминимально фазовой системой с переменной
структурой с корректирующим звеном в цепи обратной связи, показали, что:
• максимальный коэффициент стабилизации импульсного
преобразователя напряжения (ИПН) с емкостным фильтром без устройств
коррекции не может достигать более 25 дБ;
• возможность увеличения коэффициента стабилизации свыше 40 дБ
при запасе устойчивости по фазе А(р больше 60° при использовании
инерционного корректирующего звена в цепи ОС;
• приближенный метод усреднения и линеаризации переменных со-


316
Глава 9
Рис. 9.13. Временные диаграммы выходного напряжения и тока дросселя:
а — р = 0,22, А'у = 160; 6— р = 0,35, Ку = 80
стояния имеет большую погрешность и может использоваться
только для качественных исследований и оценок;
• полученные результаты исследований Кст, Д{/Вых/^вых. &i, &U,
пульсаций тока дросселя, выходного напряжения и т.д.
позволяют рассчитать ИПН по заданным параметрам (транзисторы, диоды,
дроссель, конденсатор).
9.3. Исследование импульсного
преобразователя напряжения
повышающего типа с П-образным
CLC-фильтром
9.3.1. Исследование устойчивости
с использованием усредненной модели ИПН
Для улучшения массогабаритных характеристик импульсных
преобразователей напряжения с ШИМ, широко используемых на практике,
в первую очередь необходимо уменьшать массу и габаритные размеры
сглаживающих фильтров, которые составляют от 40 до 60 %
размеров ИПН. Их уменьшение при заданной величине пульсаций выходного
напряжения осуществляют как повышением частоты коммутации
транзисторов ИПН, так и использованием многозвенных фильтров.
Повышение частоты преобразования электромагнитной энергии в ИПН путем
увеличения частоты коммутации транзисторов сопровождается ростом
коммутационных потерь и часто ухудшением электромагнитной
совместимости ИПН с радиоэлектронной аппаратурой, а использование мно-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 317
Рис. 9.14. АЧХ а и ФЧХ (б) частотной передаточной функции
разомкнутой системы ИПН без корректирующей цепи в ОС при /т = 132 кГц;
L\ = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ; L2 = 10 мкГн; С2 = 26 мкФ; RL1 =
= FtL2 = 0,1 Ом; ЯС1 = ЯС2 = 0,05 Ом; Яном = 1,92 Ом; UbX = 48 В;
D = 0,325; а = 0,64; Ку = 35; А'ст = 35,4дБ;Дс^> = 0°: 1 — контур
по напряжению; 2 — контур по току; 3 — суммарная передаточная функция
гозвенных фильтров в ИПН с ШИМ нарушает устойчивость работы.
Поэтому в данной главе рассмотрен ИПН повышающего типа с П-образным
CLC-сглаживающим фильтром, величина емкостей которого на порядок
меньше, чем при использовании емкостного фильтра при заданной
величине высокочастотных пульсаций, а также исследованы статические
(коэффициент стабилизации выходного напряжения при действии
возмущающих факторов, величина пульсаций тока дросселя ИПН и
выходного напряжения) и динамические (перерегулирования токов и
напряжений ИПН при его включении и отключении, скачкообразном изменении
сопротивления нагрузки и выходного напряжения) характеристики.
Схема ИПН повышающего типа при использовании П-образного
CLC-сглаживающего фильтра с многоконтурными обратными связями:
по выходному напряжению и току ключевого транзистора изображена
на рис. 9.3.
Проведенные исследования частотных характеристик ИПН без цепей
коррекции показали, что работа преобразователя не устойчива, так как
запас устойчивости по фазе А<р = 0 (рис. 9.14).
Коррекцию АЧХ и ФЧХ ИПН данного типа для получения
необходимого запаса устойчивости и коэффициента стабилизации с
помощью корректирующих звеньев с опережением по фазе
нецелесообразно использовать в виду ее неэффективности. Наиболее эффективной
представляется использование корректирующего инерционного звена с
запаздыванием, представленного на рис. 9.3 пунктирной линией,
передаточная функция которого имеет вид:
где Ку = RK2/Rk1> tk = Rk2Ck. При этом матрицы коэффициентов
переменных состояния Аь Аг и матрицы коэффициентов вынужденного


318
Глава 9
воздействия В] и В2 принимают вид:
Пунктиром выделены матрицы при отсутствии цепей коррекции.
Передаточная функция контура регулирования по напряжению с
учетом звена коррекции принимает вид
Поскольку резонансная частота И ПН данного типа зависит от
коэффициента заполнения D, сопрягающую частоту инерционного
звена коррекции /корр следует выбирать сравнительно низкой — не
более (0,05...0,1)/к, чтобы обеспечить устойчивость для наиболее
тяжелого режима D = Dmax.
На рис. 9.14-9.16 приведены частотные характеристики
передаточной функции контура по напряжению нагрузки, токового контура и
суммарная передаточная функция разомкнутой системы ИПН.
Устойчивость работы ИПН зависит от многих параметров:
коэффициента усиления А'у усилителя постоянного тока в цепи ОС, который
определяет коэффициент стабилизации выходного напряжения;
параметров сглаживающего фильтра, от которых зависит величина
высокочастотных пульсаций выходного напряжения; коэффициента заполне-


Исследование характеристик преобразователей напряжения 319
Рис. 9.15. АЧХ (а) и ФЧХ (б) частотной передаточной функции
разомкнутой системы И ПН с корректирующей цепью в ОС при /к = 132 кГц;
тк = 153 мс; L\ = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ; L2 = 10 мкГн; С2 = 26 мкФ;
Ды = RL2 = 0,1 Ом; Яс1 = Яс2 = 0,05 Ом; Яном = 1,92 Ом; UbX = 48 В;
D = 0,325; а = 0,64; Ку = 35; А'ст = 35,4 дБ; Ду> = 30°: 1 — контур
по напряжению; 2 — контур по току; 3 — суммарная передаточная функция
Рис. 9.16. АЧХ (а) и ФЧХ (б) частотной передаточной функции
разомкнутой системы ИПН с корректирующей цепью в ОС при /к = 132 кГц;
тк = 1,53 мс; Li = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ; L2 = 10 мкГн; С2 = 26 мкФ;
Лы = ДЬ2 = О»1 0м: Яс1 = #С2 = 0,05 Ом; Яном = 1,92 Ом; UbX = 48 В;
D = 0,325; а = 0,64; Ку = 200; /Сст = 50 дБ; Дс^ = 81°: 1 — контур
по напряжению; 2 — контур по току, 3 — суммарная передаточная функция
ния, который определяет значение выходного напряжения; параметров
нагрузки и постоянной времени тк звена коррекции в цепи ОС ИПН.
Изменением постоянной времени тк можно изменять запас
устойчивости по амплитуде и фазе ИПН, не ухудшая коэффициент стабилизации,
величину высокочастотных пульсаций, не изменяя выходное
напряжения преобразователя и т.д. От величины тк зависит только полоса
пропускания АЧХ передаточной характеристики замкнутого и
разомкнутого контура ИПН. Полоса пропускания АЧХ уменьшается с ростом тк,
но при этом растет запас устойчивости по фазе и можно существенно
увеличивать коэффициент стабилизации, путем увеличения
коэффициента усиления УПТ в цепи ОС.
При частоте коммутации транзисторов /т = 132 кГц, постоянной
времени гк = 153 мкс и коэффициенте усиления УПТ Ку — 35
коэффициент стабилизации Л'ст — 35,4 дБ, а полоса пропускания АЧХ


320
Глава 9
Таблица 9.6
AV
Q
Ян
¦*Ьном
<т/, %
Фильтр L\ — 6 мкГн,
80
160
200
0,65
0,66
0,66
20,00
1,50
1,30
1.10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1.10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1.10
1,00
0,90
0,80
0,70
-
87,1
59,9
32,6
55,2
18,2
16,5
14,0
-
88,1
60,5
32,8
190,8
21,4
22,7
22,3
-
88,3
60,6
32,9
279,9
23,0
25,9
27,1
Фильтр L\ = 6 мкГн,
80
160
200
0,65
0,66
0,66
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
-
86,5
59,4
32,2
20,8
16,9
14,9
13,0
-
87,4
59,9
32,4
116,8
19,6
19,4
17,6
-
87,5
60,0
32,4
180,2
21,3
22,8
22,4
o\j, %
Метод
Временной
Пульс.
/, %
С\ = 18 мкФ, L2
42,7
10,9
7,3
2,7
6,8
0,3
0,5
0,9
34,8
10,2
6,8
2,6
36,1
1.1
2,0
2.6
34,6
10,2
6,9
2,6
53,2
1,5
2,9
4,0
С1=9
54,9
13,0
8,6
3,3
0,3
0,2
0,5
0,8
47,3
13,1
8,8
3,4
26,6
1.0
1.5
1,7
47,0
13,2
8,9
3,4
42,9
1.5
2,7
3,4
-
27,68
24,25
20,75
18,97
17,16
15,30
13,38
-
27,55
24,16
20,72
18,95
17,16
15,31
13,39
-
27,56
24,18
20,72
18,96
17,16
15,30
13,37
МКФ, Z/2
-
27,36
23,91
20,40
18,62
16,81
14,95
13,03
-
27,22
23,82
20,37
18,60
16,80
14,96
13,04
-
27,25
23,84
20,38
18,61
16,81
14,96
13,03
Пульс.
и, %
= 10 мк
0,006
0,014
0,017
0,020
0,023
0,026
0,031
0,036
0,008
0,016
0,017
0,020
0,023
0,026
0,030
0,036
4,232
0,014
0,018
0,020
0,022
0,026
0,029
0,037
= 10 мк
0,010
0,043
0,048
0,059
0,066
0,076
0,088
0,105
0,012
0,041
0,047
0,059
0,065
0,074
0,087
0,105
0,028
0,041
0,048
0,058
0,066
0,076
0,088
0,106
Д^вых о/
ДБ
Частотный
Лет»
ДБ
град.
Гн, С2 = 26 мкФ, тк = 1,538 мс
1,59
0,59
0,42
0,17
-
0,21
0,49
0,87
0,78
0,29
0,21
0,08
-
0,11
0,25
0,44
0,59
0,24
0,17
0,07
-
0,09
0,20
0,35
61,5
38,4
37,0
35,4
-
33,3
32,0
30,5
67,7
44,6
43,2
41.5
-
39,4
38,1
36,6
70,2
46,5
45,1
43,4
-
41,3
40,0
38,5
40,6
42,5
42,5
42,4
-
42,4
42,3
42,2
46,6
48,4
48,4
48,3
-
48,3
48,2
48,0
48,1
50,4
50,3
50,3
-
50,2
50,1
50,0
85
90
90
90
90
88
86
85
45
85
87
90
90
89
87
85
-
68
72
78
80
84
85
85
Гн, С2 = 15 мкФ, тк = 1,538 мс
1,59
0,59
0,42
0,17
-
0,21
0,49
0,87
0,78
0,29
0,21
0,08
-
0,11
0,25
0,44
0,62
0,24
0,17
0,07
-
0,09
0,20
0,35
61,6
38,5
37,1
35,4
-
33,3
32,0
30,5
67,8
44,6
43,2
41,5
-
39,4
38,1
36,6
69,7
46,5
45,1
43,4
-
41,3
40,0
38,5
40,6
42,5
42,4
42,3
-
42,2
42,1
42,0
46,6
48,4
48,3
48,3
-
48,1
48,0
47,9
48,5
50,3
50,3
50,2
-
50,0
50,0
49,8
88
88
85
82
80
78
76
73
55
88
85
82
80
78
75
72
-
75
80
81
80
77
74
72


Исследование характеристик преобразователей напряжения 321
Таблица 9.7
А'у
а
АС/ВХ
Unou
D
Фильтр L\ = 6 мкГн, С\ :
80
160
200
0,65
0,66
0,66
1,25
1.15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
Фильтр L\ = 6 к
80
160
200
0,65
0,66
0,66
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
0,1212
0,2028
0,2861
0,3285
0,3715
0,4602
0,5553
0,1122
0,1954
0,2801
0,3232
0,3670
0,4572
0,5540
0,1134
0,1968
0,2816
0,3248
0,3686
0,4589
0,5560
якГн, С\
0,1217
0,2040
0,2877
0,3302
0,3734
0,4621
0,5585
0,1126
0,1964
0,2817
0,3249
0,3688
0,4590
0,5574
0,1139
0,1978
0,2832
0,3265
0,3704
0,4608
0,5594
<У1, %
а и, %
= 18 мкФ, L2 =
57,3
42,1
26,7
55,2
19,8
19,8
17,6
58,1
42,5
26,9
190,8
22,3
27,0
29,7
58,2
42,6
26,9
279,9
23,6
30,6
36,3
= 9 мкС
56,6
41,5
26,3
20,8
18,7
17,5
17,0
57,3
41,9
26,4
116,8
20,9
23,6
24,9
57,4
42,0
26,4
180,2
22,1
27,2
32,2
11,5
6,9
2,3
6,8
0,3
0,7
0,9
11,5
6,9
2,3
36,1
0,9
2,5
4.0
11,4
6,8
2,3
53,2
1,2
3,4
5,7
>, ь2 =
13,0
7,9
2,7
0,3
0,2
0,5
1.0
13,2
8,0
2,7
26,6
0,8
2,1
3,3
13,1
8,0
2,7
42,9
1,2
3,3
5,4
Пульс.
/, %
10 мкГн,
11.9
16,4
18,6
19,0
18,8
17,3
14,3
11,3
16,1
18,6
19,0
18,9
17,4
14,3
11.4
16,2
18,6
19,0
18,9
17,3
14,3
10 мкГн,
11,6
16,1
18,3
18,6
18,5
17,0
17,0
10,9
15,8
18,2
18,6
18,5
17,1
17,0
11,0
15,8
18,2
18,6
18,5
17,1
16,9
Пульс.
и, %
С2 =26
0,009
0,015
0,020
0,023
0,026
0,031
0,034
0,010
0,014
0,019
0,023
0,025
0,031
0,035
0,010
0,014
0,020
0,022
0,024
0,030
0,035
— , /о
^Лмлх
Act»
ДБ 1
мкФ, тк = 1,538 мс |
0,536
0,336
0,119
-
0,129
0,437
0,870
0,269
0,168
0,060
-
0,065
0,219
0,438
0,216
0,135
0,048
-
0,052
0,177
0,354.
33,2
32,8
32,3
-
31,5
30,5
28,9
39,3
38,9
38,4
-
37,6
36,6
35,0
41,2
40,8
40,3
-
39,5
38,5
36,9
С2 = 15 мкФ, тк = 1,538 мс
0,026
0,041
0,056
0,066
0,074
0,090
0,351
0,024
0,041
0,056
0,065
0,074
0,089
0,308
0,025
0,042
0,057
0,066
0,074
0,090
0,347
0,535
0,335
0,119
-
0,130
0,438
0,909
0,268
0,168
0,060
-
0,065
0,220
0,458
0,215
0,135
0,048
-
0,052
0,177
0,370
33,2
32,8
32,3
-
31,5
30,4
28,5
39,3
38,9
38,4
-
37,6
36,6
34,6
41,2
40,8
40,3
-
. 39,5
38,4
36,5
разомкнутой петли ИПН на уровне 25 дБ составляет примерно 3 кГц
(см. рис. 9.15). При этом запас устойчивости по фазе А<р = 30°. Такой
запас устойчивости А(р без учета инерционности времени переключения
транзисторов и диодов схемы управления может оказаться явно
недостаточным. При гк = 1,53 мс, А'у = 200, А'ст = 50 дБ, Ар = 81° полоса
пропускания АЧХ на уровне 25 дБ А/ = 1,6 кГц (см. рис. 9.16); при


322
Глава 9
Таблица 9.8
Ку
а
-«ьном
OJ, %
Фильтр L\ — 6 мкГн, С
80
800
1600
0,65
0,66
0,66
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1.10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
Фильтр L\ = 6
80
800
1600
0,65
0,66
0,66
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
20,00
1,50
1,30
1Д0
1,00
0,90
0,80
0,70
-
87,3
60,0
32,7
55,2
17,2
15,3
13,4
-
89,3
61,3
33,1
54,8
18,3
16,6
13,9
-
89,4
61,3
33,1
191,9
21,6
23,0
22,5
мкГн, С
-
86,7
59,5
32,3
18,6
16,8
14,9
13,0
-
88,7
60,8
32,7
20,7
16,9
14,9
13,0
-
88,7
60,7
32,7
116,4
19,7
19,4
17,6
*и, %
Метод
Временной
Пульс.
/, %
1 = 18 мкФ, L2
92,6
15,9
10,2
3,7
0,0
0,2
0,5
0,9
44,3
11,5
7,6
2,9
7,2
0,3
0,4
0,2
35,8
10,5
7,1
2,7
36,8
1,2
2,1
2,7
?! = 9ь
111,8
17,0
10,9
3,9
0,1
0,2
0,5
0,8
56,6
13,6
9,0
3,4
0,3
0,1
0,1
0,1
48,4
13,5
9,0
3,4
26,6
1,0
1,6
1,7
-
27,68
24,25
20,75
18,97
17,16
15,30
13,38
-
27,62
24,22
20,74
18,97
17,15
15,28
13,31
-
27,63
24,23
20,76
18,97
17,15
15,27
13,30
1КФ, Z/2 =
-
27,36
23,91
20,40
18,61
16,81
14,95
13,03
-
27,30
23,88
20,40
18,62
16,80
14,93
12,98
-
27,31
23,89
20,40
18,62
16,80
14,93
12,97
Пульс.
и, %
и—¦
ДБ
Частотный
КСТ,
дБ
град.
= 10 мкГн, С2 = 26 мкФ, тк = 15,38 мс
0,006
0,014
0,017
0,020
0,023
0,026
0,031
0,036
0,004
0,015
0,017
0,020
0,023
0,026
0,030
0,037
0,503
0,015
0,017
0,022
0,022
0,026
0,031
0,036
= 10 мкГ
0,010
0,043
0,048
0,058
0,066
0,076
0,088
0,105
0,011
0,042
0,048
0,059
0,066
0,076
0,090
0,108
0,011
0,041
0,048
0,059
0,067
0,076
0,090
0,108
1.59
0,59
0,42
0,17
-
0,21
0,49
0,87
0,16
0,06
0,04
0,02
-
0,02
0,05
0,09
0,08
0,03
0,02
0,01
-
0,01
0,03
0,05
н, С2 = 15 ы
1.59
0,59
0,42
0,17
-'
0,21
0,49
0,87
0,16
0,06
0,04
0,02
-
0,02
0,05
0,09
0,08
0,03
0,02
0,01
-
0,01
0,03
0,05
61,5
38,4
37,0
35,4
-
33,3
32,0
30,5
81,6
58,4
57,0
55,3
-
53,2
51,9
50,3
87,8
64,4
63,0
61,3
-
59,2
57,9
56,3
1КФ, ТК
61,6
38,5
37,1
35,4
-
33,3
32,0
30,5
81,6
58,5
57,0
55,3
-
53,2
51,9
50,3
87,6
64,5
63,0
61,3
-
59,2
57,9
56,3
40,6
42,5
42,5
42,4
-
42,4
42,3
42,2
60,6
62,4
62,4
62,3
-
62,2
62,1
62,0
66,6
68,4
68,4
68,4
-
68,3
68,2
68,0
= 15,:
40,6
42,5
42,4
42,3
-
42,2
42,1
42,0
60,6
62,4
62,3
62,2
-
62,1
62,0
61,8
66,6
68,4
68,3
68,3
-
68,1
68,0
67,8
90
90
90
90
90
88
85
83
80
90
90
90
90
89
86
84
-
81
85
88
89
89
87
84
58 мс
90
88
85
82
80
79
75
72
75
88
85
81
80
79
76
73
-
88
85
82
80
79
75
72


Исследование характеристик преобразователей напряжения 323
Таблица 9.9
Ку
а
АС/»«
^ном
Фильтр L\ = 6 мк
80
800
1600
0,65
0,66
0,66
1,25
1Д5
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1.15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
Фильтр L\ = 6 mi
80
800
1600
0,65
0,66
0,66
1,25
1.15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1.25
1,15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
1,25
1.15
1,05
1,00
0,95
0,85
0,75
D
Гн, d =
0,1212
0,2028
0,2861
0,3285
0,3715
0,4602
0,5553
0,1173
0,2010
0,2862
0,3295
0,3734
0,4643
0,5623
0,1180
0,2017
0,2869
0,3302
0,3742
0,4652
0,5633
сГн, Сх -
0,1217
0,2040
0,2877
0,3302
0,3734
0,4621
0,5585
0,1178
0,2021
0,2877
0,3312
0,3752
0,4661
0,5655
0,1185
0,2028
0,2885
0,3320
0,3761
0,4670
0,5666
ст1г %
<?и, %
Пульс.
/, %
Пульс.
с/, %
Д^ьых о/
~Гг • '°
Е/ьых
^ст>
дБ
18 мкФ, L2 = 10 мкГн, С2 = 26 мкФ, тк = 1,538 мс |
57,3
42,1
26,7
55,2
18,8
17,3
14,3
59,0
43,1
27,0
54,8
19,9
19,9
17,5
59,1
43,1
27,1
191,9
22,4
27,2
30,2
12,5
7,6
2.6
0,0
0,2
0,5
0,9
12,0
7,2
2,4
7,2
0,3
0,8
1.0
11,7
7,0
2.4
36,8
0,9
2,6
4,2
: 9 МКФ, Z/2 = 1
56,6
41,6
26,3
18,6
18,5
17,0
17,0
58,2
42,5
26,6
20,7
18,7
17,4
16,6
58,2
42,5
26,6
116,4
20,9
23,6
25,5
13,2
7,9
2,7
0,1
0,2
0,5
1.0
13,5
8,2
2,8
0,3
од
0,2
0,4
13,4
8,1
2,8
26,6
0,8
2,2
3,2
11.9
16,4
18,6
19,0
18,8
17,3
14,3
11,6
16,4
18,6
19,0
18,8
17,2
14,0
11,7
16,4
18,7
19,0
18,8
17,2
14,0
0 мкГн, С
11,6
16,1
18,3
18,6
18,5
17,0
17,0
11,3
16,0
18,3
18,6
18,5
16,9
16,6
11,4
16,0
18,3
18,6
18,5
16,9
16,5
0,009
0,014
0,020
0,023
0,026
0,030
0,034
0,010
0,014
0,021
0,023
0,026
0,030
0,035
0,010
0,017
0,021
0,022
0,026
0,030
0,035
72 = 15 м
0,026
0,041
0,056
0,066
0,074
0,090
0,350
0,025
0,041
0,058
0,066
0,074
0,090
0,364
0,026
0,043
0,057
0,067
0,074
0,090
0,368
0,536
0,336
0,119
-
0,129
0,437
0,870
0,055
0,034
0,012
-
0,013
0,045
0,091
0,027
0,017
0,006
-
0,007
0,023
0,046
33,2
32,8
32,3
-
31,5
30,5
28,9
53,2
52,8
52,3
-
51,5
50,4
48,7
59,2
58,8
58,3
-
57,5
56,4
54,7
кФ, тк = 1,538 мс
0,535
0,335
0,119
-
0,130
0,438
0,908
0,054
0,034
0,012
-
0,013
0,045
0,095
0,027
0,017
0,006
-
0,007
0,023
0,048
33,2
32,8
32,3
-
31,5
30,4
28,5
53,2
52,8
52,3
-
51,5
50,4
48,4
59,2
58,8
58,3
-
57,5
56,4
54,4
гк = 15,3 мс Ку = 200, А'ст = 50 дБ, Aip = 104° — А/ = 400 Гц.
Коэффициент стабилизации и запас устойчивости ИПН по фазе
приведены в табл. 9.6-9.9. Коэффициент стабилизации рассчитывается
из передаточной частотной характеристики разомкнутой системы ИПН и
определяется как коэффициент усиления АЧХ на нулевой частоте iv (0).
Импульсный преобразователь с передаточной функцией, частотные ха-


324
Глава 9
рактеристики которой представлены на рис. 9.16, обеспечивает высокую
стабилизацию выходного напряжения под действием внешних
возмущающих воздействий и обладает большим запасом устойчивости.
9.3.2. Исследование статических и динамических
характеристик И ПН с П-образным CLC-фильтром
С помощью частотных передаточных функций определяются
такие статические характеристики, как коэффициент стабилизации, запас
устойчивости по фазе, полоса подавления низкочастотных пульсаций.
Наряду с данными характеристиками для расчета ИПН необходимо
также знание и динамических характеристик, таких, как перерегулирование
по току дросселя и транзистора, выходного напряжения и напряжения
на входном конденсаторе фильтра при включении и отключении ИПН,
скачкообразном изменении входного напряжения и нагрузки,
высокочастотные пульсации тока накопительного дросселя и выходного
напряжения. Эти динамические характеристики могут быть найдены из
решения системы дифференциальных уравнений (9.2), (9.4),
описывающих переменные состояния — токи в индуктивностях и напряжения
на емкостях на этапах работы ИПН, когда транзистор находится в
открытом и закрытом состоянии.
Наряду с расчетом динамических характеристик временной метод,
являясь точным методом, позволяет оценить погрешность
приближенного метода усреднения и линеаризации переменных состояния.
В табл. 9.6-9.9 приведены результаты расчета полученные из
решения уравнений (9.2), (9.4) коэффициента стабилизации (КСт, дБ),
нестабильности выходного напряжения, перерегулирования по току дросселя
и транзистора (07), выходного напряжения (сц), пульсаций тока
дросселя и транзистора, а также пульсации выходного напряжения для
различных коэффициентов усиления УПТ в цепи ОС и различных параметров
сглаживающих фильтров при изменении нагрузки в пределах ±50 % и в
режиме близком к режиму холостого хода RH = 20RnoM (табл. 9.6, 9.8)
Рис. 9.17. Зависимость А'ст от нагрузки (а) и входного напряжения (б) для ИПН
с CLC-фильтром (L\ = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ; L2 = 10 мкГн; Сг = 26 мкФ) для
разных Ку при #li = #L2 = ОД Ом; Rqi = Rc2 = 0,05 Ом; тк = 1,538 мс


Исследование характеристик преобразователей напряжения 325
Рис. 9.18. Зависимость Кст от нагрузки (а) и входного напряжения (б) для ИПН
с CLC-фильтром (Li = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ; Ь2 — 10 мкГн; С2 = 26 мкФ) для
разных А'у при RL1 = RL2 = 0,1 Ом; RCi = Rc2 = °»05 0м| тк = 15,38 мс
Рис. 9.19. Зависимость сгиьых при
включении ИПН от Ку для
различных фильтров при тк = 1,538 (1,
2) и 15,38 мс (2, 3) для СФ1 (1,
3; L\ = 6 мкГн; Ci = 18 мкФ;
Z/2 = 10 мкГн; С2 — 26 мкФ) и
СФ2 (2, 4, Li = 6 мкГн; Сх =
= 9 мкФ; Ь2 — 10 мкГн; С2 =
= 15 мкФ)
и изменении входного напряжения ±25 % (табл. 9.7, 9.9). В табл. 9.6
и 9.7 приведены результаты расчета для значения постоянной времени
цепи коррекции гк = 1,538 мс, а в табл. 9.8, 9.9 — для тк = 15,38 мс. На
рис. 9.17 и 9.18 приведены зависимости коэффициента стабилизации при
изменении нагрузки и выходного напряжения для различных значений
коэффициента усиления УПТ в цепи ОС при тк = 1,538 и 15,38 мс.
Коэффициент стабилизации (см. рис. 9.17, 9.18 и табл. 9.6, 9.7)
увеличивается с ростом коэффициента усиления в цепи ОС,
сопротивления нагрузки и входного напряжения, а также с ростом постоянной
времени цепи коррекции гк. Последнее обусловлено тем, что с ростом
тк увеличивается запас устойчивости по фазе, что позволяет
увеличивать коэффициент усиления УПТ в цепи ОС, а следовательно, и Кст.
Коэффициент стабилизации при тк = 15,38 мс можно получить более
60 дБ при изменении как нагрузки, так и входного напряжения при
коэффициенте усиления УПТ в цепи ОС Ку = 2000.
Величины преререгулирования по току сг/ и напряжению g\j
приведены при включении ИПН для номинального сопротивления нагрузки
(Яном ~ 1'92 0м) и входного напряжения (?/вх = 48 В), для
остальных значений нагрузки и входных напряжений при их скачкообразном
изменении относительно номинальных значений.
Величина перерегулирования по току <tj и выходному напряжению


326
Глава 9
Рис. 9.20. Зависимость (?иъых ПРИ бросках нагрузки и входного
напряжения ИПН от Ку с CLC-фильтром (L\ = 6 мкГн; С\ = 18 мкФ;
1/2 = 10 мкГн; Сг = 26 мкФ) при тк = 1,538 мс (а) и тк = 15,38 мс
(б): 1 — +20 % иъх\ 2 20 % UbX; 3 — +30 % Ян; 4 30 % Ян
Рис. 9.21. Зависимость j[/BbIX при бросках нагрузки и входного
напряжения ИПН от Ку с CLC-фильтром (L\ = 6 мкГн; С\ = 9 мкФ;
Z/2 = 10 мкГн; С2 = 15 мкФ) лри тк = 1,538 мс (а) и тк = 15,38 мс
(б): 1 — +20 % С/вх; 2 20 % С/вх; 3 — +30 % Я„; 4 30 % Ян
<хс/ при включении ИПН увеличивается с ростом Ку, зависит от
постоянной времени корректирующего звена тк и уменьшается с
уменьшением емкостей (увеличением волновых сопротивлений) сглаживающего
фильтра (см. табл. 9.6-9.9, рис. 9.19). Большая величина
перерегулирования по току накопительного дросселя Ы и транзистора при
включении ИПН приводят к необходимости использования пускового
терморезистора, а при скачкообразном изменении йн и UBX — устройств
ограничения по току.
Увеличение постоянной времени корректирующей цепи гк в ОС ИПН
не только позволяет увеличить запас устойчивости по фазе,
коэффициент стабилизации выходного напряжения, но, что очень важно,
уменьшает величину перерегулирования по току входного дросселя и
транзистора <т/, выходного напряжения ац при включении ИПН (рис. 9.19).
Однако увеличение тк практически не сказывается на значении <jj и ац


Исследование характеристик преобразователей напряжения 327
Рис. 9.22. Временные диаграммы выходного напряжения и тока дросселя при
включении при Ку = 3000 и тк = 15,38 мс (L\ = 6 мкГн; L2 = 10 мкГн):
a—Ci = 18 мкФ; С2 = 26мкФ;5— Сг = 9 мкФ; С2 = 15 мкФ
при скачкообразном изменении сопротивления нагрузки и входного
напряжения (см. табл. 9.6-9.9, рис. 9.20, 9.21). Полученные зависимости
07 и (Гц от тк (см. табл. 9.6-9.9, рис. 9.19-9.21) для ИПН повышающего
типа, представляющего дискретно нелинейное устройство с переменной
структурой, не подтверждают высказываемое в ряде статей мнение, что
с уменьшением полосы пропускания АЧХ разомкнутой петли величина
перерегулирования по току и напряжению при включении, выключении


328
Глава 9
Рис. 9.23. Временные диаграммы выходного напряжения и тока дросселя при
включении при Ку = 3300 и тк = 15,38 мс (L\ = 6 мкГн; Ь2 = 10 мкГн):
а— С\ = 18 мкФ; С2 = 26мкФ;6 — С\ = 9 мкФ; С2 = 15 мкФ
и скачкообразном изменении возмущающих факторов возрастает.
Величина пульсации тока дросселя и транзистора уменьшается с
уменьшением сопротивления нагрузки, величина пульсаций выходного
напряжения, естественно, растет с уменьшением сопротивления
нагрузки. От Ку и тк величины пульсаций тока дросселя и выходного
напряжения не зависят.
Параметры фильтра существенно влияют на величину
перерегулирования и длительность установления стационарного режима (рис. 9.22),
а также на частоту субгармоник в автоколебательном режиме (рис. 9.23).


Глава 10
Корректоры коэффициента
мощности
10.1. Исследование динамических и
качественных характеристик активных
корректоров коэффициента мощности
В соответствии с новыми ГОСТами на качество потребляемой
энергии практически любой сетевой импульсный источник вторичного
электропитания (ИВЭП) должен содержать корректор коэффициента
мощности (ККМ). ИВЭП характеризуется коэффициентом мощности (А'м),
который определяется, как отношение активной мощности,
потребляемой нагрузкой, к полной мощности, потребляемой источником. Для
устройств питания аппаратуры связи с марта 2001 г. Минсвязи РФ
введен ОСТ 45.188-2001, в котором указано, что коэффициент мощности
оборудования электропитания должен быть не менее 0,95 для устройств
с коррекцией мощности. Для решения проблемы электромагнитной
совместимости, которая приобретает особую актуальность в системах
связи, указаны допустимые величины гармоник для различных частотных
диапазонов, коэффициент гармоник (Кг) и коэффициент нелинейных
искажений (КИ11) потребляемого из сети тока.
Анализ ККМ на основе преобразователя напряжения
повышающего типа с непрерывным потреблением энергии рассмотрен в ряде работ
[74-79]. Однако анализ проводился в основном с использованием метода
усреднения переменных состояния, который, к сожалению, имеет
большую погрешность. В известной литературе не проведены исследования
изменения А'м, Кг, Кни от коэффициента преобразования входного на-
пряжения, величины характеристического сопротивления (р = y/L/C),
постоянной времени (тн = RHC), величин потерь в элементах
преобразователя напряжения, глубины отрицательной обратной связи (ООС) по
выходному напряжению.
Анализ ККМ традиционно проводится при работе ККМ [74-79] на
резистивную нагрузку. Однако корректор коэффициента мощности, как
правило, работает не на резистивную нагрузку, а на импульсные
преобразователи напряжения повышающего или понижающего типа, имеющие
отрицательное входное сопротивление по переменному току. Поэтому
режим работы ККМ и его характеристики могут отличаться при работе


330
Глава 10
Рис. 10.1. Схема корректора коэффициента мощности на основе
преобразователя повышающего типа, нагруженного на резистивную нагрузку
на резистивную нагрузку от режима работы ККМ на импульсный
преобразователь повышающего или понижающего типа.
В данной главе проводится анализ процессов ИВЭП с активным
корректором коэффициента мощности на основе преобразователя
напряжения повышающего типа с использованием программного обеспечения
Micro-Cap 7.O. Исследуются такие характеристики, как коэффициент
мощности, коэффициент гармоник, коэффициент нелинейных
искажений потребляемого тока; пульсации выходного напряжения, величина
перерегулирования по току и напряжению, длительность установления
выходного напряжения при включении и выключении ИВЭП. Указанные
характеристики исследуются при работе ККМ как на резистивную
нагрузку, так и на импульсный преобразователь напряжения понижающего
типа при различных характеристических сопротивлениях (р = y/L/C),
постоянных времени (rH = RHC), потерях в элементах ККМ и
различной величине 00С по выходному напряжению.
На рис. 10.1 приведена схема корректора коэффициента мощности
на основе преобразователя повышающего типа, нагруженного на
резистивную нагрузку, без вспомогательных узлов — радиочастотного
фильтра на входе преобразователя, который защищает питающую сеть от
высокочастотных помех, которые возникают в ККМ при
переключениях силовых ключей; цепей защиты и т.д. Выпрямитель (D1-D4)
выпрямляет входное напряжение. Преобразователь (VT, VD, L, С)
преобразовывает это выпрямленное напряжение в постоянное
стабилизированное напряжение.
В схеме управления преобразователя используются две петли
обратной связи. Одна цепь ОС стабилизирует выходное напряжение
преобразователя. Вторая цепь ОС отслеживает потребляемый из сети ток,
обеспечивая его синусоидальную форму. Сигнал ОС по выходному
напряжению, снимаемый с делителя RA\, ЯД2, вычитается из опорного


Корректоры коэффициента мощности
331
эталонного сигнала U3T. Сигнал ошибки, усиленный в А'г Раз-
поступает на один вход умножителя. На другой вход умножителя
подается сигнал пропорциональный выпрямленному входному
напряжению преобразователя. Сигнал с умножителя поступает на
инвертирующий вход компаратора, а на неинвертирующий вход компаратора
поступает сигнал с датчика входного тока. На каждом периоде работы
ШИМ момент включения транзистора совпадает с импульсом
синхронизации задающего генератора, а момент выключения транзистора
совпадает с моментом, когда напряжение, пропорциональное току
ключевого транзистора p(t) = |гвх|, пересекает сигнал с выхода умножителя
e(t) = I<i\uBX(t)\uoul(t) = Ki\uBX(t)\I<2(U3T - а*/Вых(*))- Такая схема
управления заставляет изменяться максимальное значение входного
тока по синусоидальному закону, и поэтому она называется схемой
управления по максимальному значению тока.
В главе исследуется ККМ с выходной мощностью 1 кВт, частотой
коммутации силового транзистора /к = 132 кГц и резистивной
нагрузкой RH = 122,5 и 250 Ом. Результаты исследования Км, Кг, Кни, cos<p,
величины перерегулирования выходного напряжения &и\ максимальной
амплитуды входного тока во время переходного процесса при
включении ККМ; коэффициента пульсаций Кп, равного отношению величины
полного размаха переменной составляющей выходного напряжения к его
среднему значению; времени установления tycT выходного напряжения в
периодах выпрямленного сетевого напряжения приведены в табл. 10.1-
10.5. В этих таблицах а = ДД2/(ЛД1 + Rj&) — коэффициент передачи
выходного напряжения; р = \JLJC— характеристическое
сопротивление; гн = RHC — постоянная времени силовой цепи преобразователя;
<2l = 27r/KL/rL — добротность дросселя; tg6 = 1/(2ж/кСгс) —
тангенс угла потерь конденсатора.
В табл. 10.1 приведены значения Кг, Км, Кни, cos<p, стц, /Вхтах.
Km *усг при различных р и гн при отсутствии потерь в накопительном
дроссели и фильтрующем конденсаторе, в табл. 10.2 — при учете потерь
в накопительном дросселе, когда добротность дросселя Ql = 100; 200;
300; в табл. 10.3 — при учете потерь в конденсаторе. Из табл. 10.1 и
рис. 10.2 видно, что коэффициент гармоник Кг вначале уменьшается, а
коэффициент мощности Км, коэффициент нелинейных искажений Кни,
cos<p растут с ростом р. При р > 1,5 Ом рост Км, АГНИ, cos(p и
уменьшение А'г практически прекращается, а при р > 3 Ом наблюдается даже
незначительный рост Кг и уменьшение Км, КН1Л. Это свидетельствует
о нецелесообразности увеличения р больше 2 Ом. С ростом
постоянной времени тн происходит практически пропорциональное уменьшение
А'г и рост Км, А'ни, cos<?>.
Из табл. 10.1 и рис. 10.2 следует, что наименьший А'г = 5,1 % и
наибольшие Км — 0,997 и А'ни = 0,999 имеют место при р = 2 Ом и
гн = 122 мс. При этом <ти = 66 %, /вхтах = 145 А, время
установления выходного напряжения равно 15 периодам выпрямленного
сетевого периода.


332
Глава 10
Таблица 10.1
Ubblx = 350 В, Я„ = 122,5 Ом, RL = Rc = 0 Ом, Uon = 200 В, кх = 0,1, к2 = 0,01
р,
Ом
L,
мкГн
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
125
250
500
1000
2000
4000
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
250
500
1000
2000
4000
8000
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
500
1000
2000
4000
8000
16000
а
0,4811
0,4905
0,4957
0,4992
0,5010
0,5019
0,4982
0,5033
0,5064
0,5080
0,5089
0,5094
0,5056
0,5085
0,5100
0,5109
0,5114
0,5117
Густ
1
1
1
1
2
3
3
3
3
5
6
9
4
10
13
14
15
15
°и>
%
А'пС/,
%
'вх.эф .
А
С - 250 мкФ (тн =
-
-
-
-
10,9
47,8
12,2
11,6
11.1
10,7
10,4
10,4
4,94
4,85
4,81
4,79
4,79
4,79
С - 500 мкФ (тн =
-
-
9,7
33,6
61,4
83,7
6,0
5,7
5,5
5,3
5,3
5,3
4,70
4,65
4,63
4,62
4,62
4,62
С = 1000 мкФ (тн =
9,9
35,7
56,9
65,8
58,9
38,0
2.9
2,7
2,7
2,6
2,6
2,7
4,60
4,58
4,57
4,57
4,57
4,57
max.
А
Ани
COSC?
А'м
Кт,
%
30,63 мс)
52,4
52,3
52,2
52,3
54,0
60,3
0,953
0,965
0,978
0,981
0,982
0,980
0,97830
0,98177
0,98060
0,98094
0,98171
0,98190
0,933
0,947
0,959
0,963
0,964
0,962
31,7
27,3
21,2
19,6
19,4
20,4
61,25 мс)
103,2
101,7
99,0
95,1
92,2
92,2
0,980
0,989
0,993
0,994
0,994
0,994
0,99483
0,99273
0,99391
0,99390
0,99412
0,99406
0,975
0,982
0,987
0,988
0,988
0,988
20,3
15,0
12,2
11,1
10,9
11,3
: 122,5 МС)
195,4
183,9
167,6
145,2
121,2
92,6
0,993
0,997
0,997
0,999
0,998
0,998
0,99815
0,99839
0,99842
0,99841
0,99845
0,99861
0,991
0,995
0,996
0,997
0,997
0,997
12,2
7,6
7,2
5,1
5,7
6,4
Рис. 10.2. Графики зависимостей Кг от р (а) и Ки от р (б) при
разных емкостях конденсатора (постоянной времени силовой части) без
потерь (сплошные линии) и с потерями — Ql = Ю0 (пунктирные линии)
Для уменьшения сц необходимо уменьшать р, но при этом растет
А'г. Так при гн = 122 мс, р = 0,71 Ом величина ац < 10 %,7\м > 0,99,
но коэффициент гармоник возрастает до А'г = 12,2 %.
На рис. 10.3-10.6 приведены временные диаграммы выходного
напряжения ККМ, выпрямленного входного напряжения и входного тока
при различных р и тн. На рис. 10.3 приведена диаграмма при р = 2 Ом
и гн = 122 мс. При этом А'г = 5,1 %, входной ток имеет
синусоидальную форму и малую величину высокочастотных пульсаций с частотой
коммутации транзистора. С уменьшением характеристического сопроти-


Корректоры коэффициента мощности
333
Рис. 10.3. Временные диаграммы выпрямленного входного
напряжения (v(ln))t входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out))
ККМприр = 2 0митн = 122,5 мс(А'м = 0,997; Кт = 5,1%)
Рис. 10.4. Временные диаграммы выпрямленного входного
напряжения (v(ln)), входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out))
ККМ при р = 0,71 Омит„ = 122,5 мс (А'м = 0,991; Кт = 12,2 %)
вления р огибающая входного тока сохраняет синусоидальную форму,
но возрастают высокочастотные пульсации. Это видно из рис. 10.4,
который приведен для р = 0,71 Ом и тн = 122 мс, при этом Кг = 12,2 %
и Км = 0,991. В этом случае спектральный состав входного тока
находится в высокочастотной области.
С уменьшением постоянной времени тн искажается синусоидальная
форма тока (рис. 10.5), а величина высокочастотных пульсаций
относительно мала. На рис. 10.5 приведены временные диаграммы
выпрямленного входного напряжения, входного тока при р = 4 Ом, гн = 30 мс.
При этом /vr = 20,4 % и А'м = 0,962.
И, наконец, при малых р < 1 Ом и малых тн искажается
огибающая входного тока, резко увеличиваются высокочастотные пульсации
и существенно увеличивается Кг = 31,7 % и уменьшается Км = 0,933


334
Глава 10
Рис. 10.5. Временные диаграммы выпрямленного входного
напряжения (v(ln)), входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out))
ККМ при р - 4 Ом и тн = 30,63 мс (Км = 0,962; Кт = 20,4 %
Рис. 10.6. Временные диаграммы выпрямленного входного
напряжения (v(ln)), входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out))
ККМ при р = 0,71 Ом и тн = 30,63 мс (А'м = 0,933; А'г = 31,7 %
(рис. 10.6). При этом спектральные составляющие входного тока
располагаются как в низкочастотной области (гармоники частот сетевого
напряжения), так и в высокочастотной области (гармоники с
частотой коммутации).
При наличии потерь в накопительном дросселе (табл. 10.2)
незначительно изменяется коэффициент гармоник, /уст, и отсутствует
перерегулирование по выходному напряжению ац = 0. Значительно меньше
на величину Кг и ац влияют потери в конденсаторе ККМ (табл. 10.3).
Однако потери в накопительном дросселе не только снижают Кг, ац,
*уст. при больших р и гн, но и приводят к нерабочему режиму, когда
преобразователь повышающего типа перестает выполнять свои функции
(рис. 10.7). Вместо необходимого значения напряжения 350 В
напряжение на выходе составляет всего около 20 В. Для устранения нера-


Корректоры коэффициента мощности
335
Таблица 10.2
р,
Ом
L,
мкГн
а
tyCi
<TU,
%
Л'пС/,
%
-*вх.эф »
А
*ъх max.
А
Ани
coscp
Ки
кт,\
%
С = 250 мкФ (т„ = 30,63 мс), QL = 100
0.71
1,00
1.41
^2,00
125
250
500
0,4811
0.4905
0,4957
2
2
2
-
-
-
12,2
11.7
11,0
5,03
5,04
5.22
26,7
24,6
30,3
0,952
0,971
0,977
0,97726
0,98285
0,98409
0,930
0,954
0,962
32,1
24,6
21.7
Нерабочий режим
С = 250 мкФ (т„ = 30,63 мс), QL = 200
0,71
1,00
1,41
2.00
?2,83
125
250
500
1000
0,4811
0.4905
0.4957
0,4992
1
2
2
2
-
-
-
-
12,3
11.7
11.1
10,7
4,97
4,94
5,00
5,20
33,4
29.5
25.9
31,5
0,953
0,971
0,977
0,983
0,97733
0,98299
0,98209
0,98351
0,931
0,954
0,960
0,967
31,9
24,8
21,7
18,6
Нерабочий режим
С = 250 мкФ (тн = 30,63 мс), QL = 300
0,71
1.00
1,41
2,00
2,83
?4,0
250
500
1000
2000
4000
0,4811
0,4905
0,4957
0,4992
0,5010
1
1
1
2
3
-
-
-
-
-
12,3
11.7
ИД
10,7
10,5
4,97
4,91
4,94
5,05
5,38
37.7
33,9
29,9
26,7
55,9
0.964
0,968
0,978
0,982
0,984
0,97733
0,98320
0,98124
0,98291
0,98527
0,942
0,952
0,960
0,966
0,969
27,4
25,9
21,1
19,0
18,3
Нерабочий режим
С = 500 мкФ (тн = 61,25 мс), QL = 100
0,71
1,00
?1,41
250
500
0,4982
0,5033
3
4
-
-
6,0
5,7
4,87
5,02
41,7
35,8
0.977
0.987
0,99556
0,99531
0,973
0,937
21,9
16,2
Нерабочий режим
С = 500 мкФ (тн = 61,25 мс), QL = 200
0,71
1,00
1,41
?2,0
250
500
1000
0,4982
0,5033
0,5064
2
3
4
-
-
-
6,0
5,7
5,5
4,78
4,82
5,00
51,2
43,2
37,0
0,980
0,988
0,994
0,99575
0,99403
0,99445
0,976
0,982
0,989
20,4
15,5
10,8
Нерабочий режим
С = 500 мкФ (тн = 61,25 мс), QL = 300
0,71
1,00
1,41
2,00
? 2,83
250
500
1000
2000
0,4982
0,5033
0,5064
0,5080
2
3
3
6
-
-
-
-
6,0
5,7
5,4
5,3
4,75
4,76
4,86
5,16
59,1
50,4
41,0
55,9
0,980
0,990
0,993
0,995
0,99530
0,99326
0,99449
0,99525
0,975
0,983
0,988
0,990
20,3
14,5
11,6
10,1
Нерабочий режим
С = 1000 мкФ (тн = 122,5 мс), QL = 100
0,71
?1,0
500 10,50561 9 | - | 2,8 | 4,96 | 45,5 10,9951 0,995 10,9941 9,9
Нерабочий режим
С = 1000 мкФ (тн = 122,5 мс), QL = 200
0,71
1,00
? 1.41
500
1000
0,5056
0,5085
8
11
-
-
2,8
2,7
4,76
4,94
66,4
47,7
0,992 1 0,99829
0,997 0,99862
0,990
0,995
12,8
8,0
Нерабочий режим
С = 1000 мкФ (т„ = 122,5 мс), QL = 300
0,71
1,00
1.41
^2,0
500
1000
2000
0.5056
0,5085
0,5100
8
10
13
-
-
-
2.9
2,7
2,7
4,71
4,81
5,09
80,4
59,1
55,9
0,991
0,997
0,998
0,99846
0,99860
0,99873
0,990
0,995
0,997
13,3
8,3
5,5
Нерабочий режим
бочего режима (рис. 10.8) надо в схеме управления к входному току
добавить пилообразное напряжение p(t) = |гвх(*)| + Uu^nnоd TK/TK
(показано пунктиром на рис. 10.1).


336
Глава 10
Рис. 10.7. Временные диаграммы выпрямленного входного напряжения
(v(ln)), входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out)) KKM
при р = 1,41 Ом, т„ = 122,5 мс, Ql = 200 (rL = 8,294 Ом) - нерабочий режим
Рис. 10.8. Временные диаграммы выпрямленного входного напряжения
(v(ln)), входного тока (ABS(i(Vin))) и выходного напряжения (v(Out)) KKM
при р = 1,41 Ом, тн = 122,5 мс, QL = 200 (rL = 8,294 Ом), при
добавлении внешнего пилообразного напряжения Un = 20 В (А'м = 0,93, Кт — 39,6 %)
На величину коэффициента гармоник, максимального значения
входного тока существенно влияет величина обратной связи по
выходному напряжению Л'г (табл. 10.4). Коэффициент гармоник Кг
уменьшается с уменьшением А'г, но при этом уменьшается коэффициент
стабилизации выходного напряжения и коэффициент фильтрации
низкочастотных пульсаций. С ростом величины обратной связи по
выходному напряжению Кг увеличивается. При этом возрастают
коэффициент стабилизации выходного напряжения и коэффициент фильтрации
низкочастотных пульсаций.
При увеличении сопротивления нагрузки при заданном значении гн
качественные характеристики (Л'г, Км, Кни, cos ip) хуже, а динамические


Корректоры коэффициента мощности
337
Таблица 10.3
(/вь.х = 350 В; Ян = 122,5 Ом; Rh = 0 Ом; Яс = 0,1 Ом;
иоп = 200 В; *i = ОД; к2 = 0,01
p,
Ом
L,
мкГн
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
125
250
500
1000
2000
4000
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
250
500
1000
2000
4000
8000
0,71
1,00
1.41
2,00
2,83
4,00
500
1000
2000
4000
8000
16000
a
tycT
%
%
С = 250 мкФ (тн
0,4811
0,4905
0,4957
0,4992
0,5010
0,5019
1
1
1
1
2
3
-
-
-
-
8,9
45,2
13,0
11,9
11,2
10,8
10,6
10,5
С = 500 мкФ (т„
0,4982
0,5033
0,5064
0,5080
0,5089
0,5094
2
2
3
5
6
8
-
-
6,4
32,3
57,4
79,0
6,1
5,8
5,6
5,4
5,4
5,4
С = 1000 мкФ (т„
0,5056
0,5085
0,5100
0,5109
0,5114
0,5117
6
10
12
13
13
12
4,3
28,7
48,9
58,5
54,0
34,5
3,0
2,9
2,8
2,8
2,8
2,8
^вх.эф»
А
= 30,63
4,95
4,86
4,82
4,80
4,79
4,80
= 61,25
4,71
4,67
4,63
4,63
4,63
4,63
= 122,5С
4,61
4,58
4,58
4,57
4,57
4,58
'вх max,
А
мс; tg6 =
59,0
48,6
49,5
50,3
52,4
59,1
мс; tgS =
93,0
94,3
93,7
91,4
89,6
89,9
) мс; tg?
175,8
170,3
157,0
138,0
117,3
91,1
ЛНи
0,048;
0,952
0,970
0,975
0,980
0,981
0,980
cosy?
А'м
%
0,97768
0,98243
0,98186
0,98097
0,98153
0,98199
0,930
0,953
0,957
0,962
0,963
0,962
32,3
25,2
22,8
20,2
19,7
20,2
0,024)
0,979
0,987
0,991
0,994
0,994
0,994
0,99484
0,99329
0,99398
0,99413
0,99414
0,99404
0,974
0,981
0,985
0,988
0,988
0,988
20,9
16,1
13,5
10,8
10,8
11,4
= 0,012)
0,990
0,997
0,998
0,999
0,999
0,998
0,97300
0,97346
0,97343
0,97350
0,97356
0,97433
0,963
0,970
0,972
0,972
0,972
0,973
14,4
7,2
6,1
5,4
5,4
5,8
Таблица 10.4
иьых = 350 В; Ян = 122,5 Ом; Яь = Яс = 0 Ом; Uon = 200 В; кх = 0,1
Р.
Ом
4,00
L.
мкГн
8000
0,71
1.00
1.41
2,00
2,83
4,00
250
500
1000
2000
4000
8000
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
500
1000
2000
4000
8000
16000
а
0,4513
tycx
8
<ги.
%
62,5
Кии,
%
5,3
*вх.эф 1
А
4,57
С = 500мкФ (тн =61,25
0,5309
0,5336
0,5353
0,5362
0,5366
0,5368
1
1
2
4
6
7
-
-
11.6
49,5
102,2
131,7
5,9
5,6
5,4
5,2
5,2
5,3
4,85
4,81
4,79
4,78
4,79
4,80
С = 1000 мкФ (тн = 122,5
0,5374
0,5389
0,5397
0,5401
0,5404
0,5405
4
6
9
11
10
10
9,9
36,7
62,7
85,0
79,5
60,8
2,9
2,7
2,7
2,7
2,7
2,7
4,65
4,63
4,62
4,62
4,62
4,63
*вх max.
А
72,2
Л^ни
0,999
COS (fi
0,99875
Ки
0,998
кт,\
4,8
мс); к2 = 0,02
103,8
103,9
107,3
120,1
143,3
147,2
0,963
0,974
0,975
0,977
0,976
0,975
0,98124
0,97686
0,97825
0,97861
0,97880
0,97824
0,945
0,952
0,954
0,956
0,956
0,953
28,1
23,1
22,6
21,7
22,1
22,9
0 мс); к2 = 0,02
196,8
189,2
183,4
182,4
163,6
110,6
0,986
0,992
0,993
0,993
0,993
0,992
0,99274
0,99303
0,99307
0,99342
0,99326
0,99338
0,979
0,985
0,986
0,986
0,986
0,985
16,7
12,7
12,0
12,0
11,9
12,9
характеристики (аи, ^вхтах, ^уст) лучше (табл. 10.5).
При работе ККМ не на резистивную нагрузку, а на
преобразователь понижающего типа (рис. 10.9), тенденции изменения
коэффициента гармоник, коэффициента мощности, коэффициента нелинейных


338
Глава 10
Рис. 10.9. Схема корректора коэффициента мощности на основе
преобразователя повышающего типа, нагруженного на преобразователь понижающего типа
искажений и т.д. от характеристического сопротивления и постоянной
времени силовой части ККМ, сопротивления нагрузки одинаковы.
Однако численные их значения незначительно ухудшаются (табл. 10.6).
Ухудшение качественных показателей возрастает с уменьшением
выходной емкости ККМ.
На рис. 10.10 приведены диаграммы выходного напряжения и тока
дросселя при работе преобразователя понижающего типа от источника
постоянного напряжения, а на рис. 10.11 — от ККМ. Из этих
рисунков видно, что выходное напряжение преобразователя в обоих
случаях равно 48 В.
Таким образом, исследованы изменения коэффициента гармоник,
коэффициента мощности, коэффициента нелинейных искажений,
коэффициента перерегулирования выходного напряжения,
максимального значения входного тока, частотного спектра входного тока ККМ от
характеристического сопротивления, постоянной времени и сопротивле-


Корректоры коэффициента мощности
339
Таблица 10.5
t/вых = 500 В; Ян = 250 Ом; RL = Rc = 0 Ом; Uon = 300 В; кг = 0,1; к2 = 0,01
Р.
Ом
L,
мкГн
0,71
1,00
1.41
2,00
2,83
4,00
250
500
1000
2000
4000
8000
0,71
1,00
1.41
2,00
2,83
4,00
500
1000
2000
4000
8000
16000
0,71
1,00
1.41
2,00
2,83
4,00
1000
2000
4000
8000
16000
32000
а
0,5402
0,5480
0,5526
0,5551
0,5564
0,5571
0,5490
0,5533
0,5558
0,5571
0,5578
0,5582
0,5536
0,5560
0,5573
0,5580
0,5583
0,5584
tyci
5
5
5
3
7
10
13
10
13
15
15
13
26
30
26
24
22
24
°и,
%
KnU*
%
*вх.эф •
А
С - 500 мкФ (тн =
-
-
-
-
25,9
48,7
3,1
2,9
2,8
2,7
2,6
2,6
4,84
4,69
4,62
4,60
4,59
4,59
С - 1000 мкФ (тн
-
-
11.9
22,3
20,4
6,9
1.5
1.4
1.3
1.3
1.3
1.3
С = 2000 ь
10,5
15,4
9,1
-
1.7
-
0,7
0,7
0,7
0,6
0,7
0,7
4,65
4,59
4,57
4,56
4,56
4,56
чкФ (тн
4,59
4,56
4,55
4,55
4,55
4,55
*вх max,
А
/Гни
COSC/?
А'м
Кг,
= 125 мс)
103,2
102,0
101,1
103,3
112,9
120,1
0,942
0,977
0,991
0,995
0,996
0,996
0,97278
0,99647
0,99636
0,99587
0,99630
0,99634
0,916
0,974
0,987
0,990
0,992
0,992
35,8
21,6
13,7
10,5
9,2
9,3
= 250 мс)
195,4
185,0
172,8
159,5
142,4
104,0
= 500 мс'
332,3
280,7
224,7
169,7
110,4
75,3
0,979
0,996
0,997
0,998
0,999
0,999
0,99887
0,99900
0,99912
0,99908
0,99908
0,99921
0,977
0,995
0,996
0,997
0,998
0,998
21,0
9,4
7,6
5,9
4,7
5,1
0,990
0,997
0,999
1,000
1,000
0,999
0,99980
0,99980
0,99979
0,99980
0,99984
0,99999
0,990
0,997
0,998
1,000
0,999
0,999
14,3
7,6
5,5
2,2
3,0
4,7
Рис. 10.10. Временные диаграммы тока дросселя (i(Ll)) и выходного напряжения
(v(Rn)) преобразователя понижающего типа с фильтром Баттерворта (Ао = 64 дБ;
ДЛ = 3 дБ; L = 130 мкГн; С = 18 мкФ) без потерь и с двумя контурами
обратной связи (Кц = 100; Кг = 10) при Я„ = 2,56 Ом (РВых = 900 Вт)
ния нагрузки. Проведено сравнение режимов работ и характеристик
преобразователя понижающего типа с корректором коэффициента
мощности и без корректора.


340
Глава 10
Рис. 10.11. Временные диаграммы выпрямленного входного напряжения
(v(ln)), входного тока (ABS(i(Ll))), тока дросселя (i(L2)), выходного
напряжения (v(Out)) и напряжения с выхода ККМ (v(Out-ln)) при р = 4 Ом,
тн = 30,63 мс, нагруженного на преобразователь понижающего типа с
фильтром Баттерворта (Ао = 64 дБ; АА = 3 дБ; L = 130 мкГн; С — 18 мкФ)
без потерь и с двумя контурами обратной связи (Ки = 100; Kj = 10)
при Ян = 2,56 Ом (Рвых = 900 Вт); Ки = 0,959; Кт = 20,8 %
Таблица 10.6
Р.
Ом
L,
мкГн
а
0,71
2,00
4,00
125
1000
4000
0,4811
0,4992
0,5019
0,71
2,00
4,00
250
2000
8000
0.4982
0,5080
0,5094
0,71
2,00
4,00
500
4000
16000
0,5056
0,5109
0,5117
tycT
%
%
•'вх.эф 1
А
С = 250 мкФ (т„ =
1
1
4
52,8
10,9
9,5
9,2
4,42
4,28
4,28
С = 500 мкФ (тн =
2
7
11
44,0
88,1
5,3
4,7
4,7
4,21
4,15
4,15
С = 1000 мкФ (тн =
7
19
15
12,9
69,5
39,5
2,5
2,3
2,4
4,14
4,12
4,12
*ъх max t
А
30,63 мс
61,8
65,4
66,2
61,25 мс
120,0
108,9
96,5
АНи
COS(p
км
Кт.
) |
0,948
0,979
0,979
0.97690
0,97991
0.97996
0,926
0,959
0,959
33,7
20,9
20,8
)
0,981
0,994
0,993
0,99419
0,99395
0,99405
0,975
0,988
0,988
20,0
ИД
11,5
122,50 мс)
212,8
154,2
94,6
0,992
0,998
0.998
0,99817
0,99846
0,99859
0,990
0,997
0,997
12,9
5,5
5,5
10.2. Исследование пассивных
корректоров коэффициента мощности
Пассивные корректоры коэффициента мощности (ПККМ) имеют
существенно худшие массогабаритные показатели по сравнению с
активными ККМ, но они не имеют высокочастотных составляющих
(гармоник с тактовой частотой коммутации транзисторов) входного тока. В
этом их принципиальное преимущество перед активными ККМ. Это
позволяет высокоэффективные импульсные источники питания с ПККМ
использовать в медицине, измерительной аппаратуре, в малошумящих


Корректоры коэффициента мощности
341
Рис. 10.12. Выпрямитель с резистивной нагрузкой и емкостным
фильтром: а —схема; 6— выходное напряжение С/вых, модуль входного
напряжения \UbX\ и модуль входного тока |/вх|; в — спектр амплитуд
входного тока; Кпш = 0,593; cos <р = 0,99283; Ки = 0,589; Кт = 135,7%
усилителях, в усилителях с высоким коэффициентом усиления и т.д.,
где обычные импульсные устройства не применяются из-за ухудшения
электромагнитной совместимости.
В данном разделе исследуются пассивные корректоры
коэффициента мощности, проводится их анализ с использованием программного
обеспечения Micro-Cap 7.0. Рассматриваются особенности работы ПККМ
с импульсным преобразователем напряжения (ИПН), охваченным
обратной связью (стабилизатор), и импульсным преобразователем
напряжения, не охваченным обратной связью (регулятор). Исследуются
коэффициент мощности, коэффициент гармоник, коэффициент нелинейных
искажений потребляемого тока, пульсации напряжения на выходе ПККМ
и на выходе импульсного преобразователя напряжения.
На рис. 10.12,а представлена схема выпрямителя, нагруженного на
резистивную нагрузку с емкостным фильтром С. В данной схеме из сети


342
Глава 10
Рис. 10.13. Пассивный корректор коэффициента мощности: а - схема
(т2 = 7-L2 + т*С2 = ОД Ом); выходное напряжение Ubblx, модуль входного
напряжения \UbX\ и модуль входного тока |/Вх|- 6— в переходном режиме, в —
в установившемся режиме; Кни = 0,999; cosy? = 1; Км = 0,999; Кт = 3,6 %
потребляется ток с малым углом отсечки 0 (7ВХ > 0, когда ?/ВЬ1Х < |^вх|)
(рис. 10.12,6), поэтому он имеет плохие качественные характеристики
\ки = 0,589; Кг = 135,7 %).
Чтобы улучшить спектральный состав входного тока, что
достигается при увеличении угла отсечки тока, потребляемого из сети, надо перед
диодным мостом включить индуктивность, которая увеличит угол от-


Корректоры коэффициента мощности
343
сечки и уменьшит гармоники тока. Входной ток имеет спектр амплитуд,
состоящий из нечетных гармоник частоты сети (рис. 10.12,е), поэтому
для улучшения спектра входного тока и увеличения коэффициента
мощности следует параллельно входу диодного моста включить
последовательный колебательный контур, настроенный на наибольшую третью
гармонику сетевого напряжения — 150 Гц (рис. 10.13,а). Этим
достигается существенное улучшение спектрального состава тока в сети и
увеличение выходного напряжения выпрямителя, таким образом, что оно
может превышать амплитудное значение напряжения сети (рис. 10.13,6",
в). При этом могут существенно повышаться Кни и cos (р. В данном
ПККМ значения индуктивности L\ и емкости С\ выбираются из
соображения получения максимального значения cos</?, который увеличивается
с ростом Li и Сь а значения элементов колебательного контура L2 и
С2 выбираются так, чтобы обеспечивались требуемое выходное
напряжение ?/вых и резонансная частота /о = l/fiiry/L^C^) = 150 Гц. Для
увеличения выходного напряжения ПККМ необходимо уменьшить Li и
увеличить Сг. Данная схема имеет хорошие качественные
характеристики (Км = 0,999, Кг = 3,6 %).
Другой тип ПККМ представлен на рис. 10.14,а. В него входят
включенный последовательно с выпрямительным мостом дроссель L и
емкости С2 и СЗ, включенные параллельно диодам VD2 и VD4. В
такой схеме ПККМ пульсации выходного напряжения имеют почти
синусоидальную форму (рис. 10.14,6", в), и в 2 раза снижается величина
входного дросселя по сравнению с предыдущей схемой (см. рис. 10.2)
(Ки = 0,982; Кт = 19,2 %).
На рис. 10.15,а приведена схема ПККМ, достаточно широко
используемая на практике. На выходе данного ПККМ, в отличие от
предыдущих схем (рис. 10.13 и 10.14), реализуется пониженное выходное
напряжение с прямоугольной формой пульсаций. Величина выпрямленного
напряжения и пульсации выходного напряжения в основном
определяются входным дросселем L и в меньшей степени емкостями С1 и С2.
Чем больше величина входного дросселя L, тем меньше пульсации
выходного напряжения, улучшается КНИ и уменьшается cosy? (А'м = 0,952;
Кг = 22,7 %).
Результаты исследования характеристик ПККМ, нагруженных на
резистор, приведены в табл. 10.7.
Анализ ККМ (как активных, так и пассивных) в [178-181]
рассматривался при их работе на резистивную нагрузку. Однако корректор
коэффициента мощности, как правило, работает не на резистивную
нагрузку, а на ИПН. В случае с активным ККМ, рассмотренным в [182],
было показано, что его характеристики при работе на резистивную
нагрузку и на ИПН (понижающего и повышающего типов) не сильно
различаются, и поэтому возможно с целью уменьшения длительности расчета
производить анализ активного ККМ на резистивную нагрузку, а затем
оптимизировать его (если надо) на конкретный импульсный
преобразователь. Но в случае с пассивным корректором, который в отличие


344
Глава 10
Рис. 10.14. Пассивный корректор коэффициента мощности: а—
схема; выходное напряжение иъых, модуль входного напряжения \UbX\ и
модуль входного тока |/Вх|: &— в переходном режиме; в — в
установившемся режиме; А'ни = 0,982; cos кр = 1; Ки = 0,932; Кт = 19,2%
от активного не охвачен обратной связью и не отслеживает ни форму
тока в сети, ни выходное напряжение, характеристики корректора
коэффициента мощности (Км, Кг, costp, А'ни) могут изменяться совсем
по-другому, если вместо резистивной нагрузки его нагрузкой является
стабилизатор (рис. 10.16,а) или регулятор (рис. 10.16,6) [183].
При работе пассивного ККМ (рис. 10.13) на импульсный
стабилизатор напряжения (ИСН) понижающего типа (рис. 10.16,а) последний
перестает выполнять свои функции (рис. 10.17), т.е. не обеспечивает


Корректоры коэффициента мощности
345
Рис. 10.15. Пассивный корректор коэффициента мощности: а—
схема; выходное напряжение иъых, модуль входного напряжения \UbX\ и
модуль входного тока |/Вх|: ^— в переходном режиме, в — в
установившемся режиме; КНя = 0,975; cos^> = 0,975; Ки = 0,862; Кт = 22,7
Схема
Рис. 10.13
Рис. 10.14
Рис. 10.15
С/.ых, В
350,0
350,2
216,0
А'п,%
5.2
2.9
69,0
^вх.эф» А
4,65
4.73
1,95
АНи
0,999
0,982
0,975
COS(?
1,00000
1,00000
0,97592
Таблица 10.7
Ам
0,999
0,982
0,952
Аг. %
3.6
19,2
22,7


346
Глава 10
Рис. 10.16. Схема пассивного корректора мощности, нагруженного на: а—
импульсный стабилизатор напряжения понижающего типа; 6— импульсный
регулятор напряжения понижающего типа
Рис. 10.17. Временные диаграммы при работе ПККМ (L\ = 105 мГн; tli = 1 Ом;
L2 = 30,4 мГн; С2 = 37 мкФ; г2 = 0,1 Ом; С\ - 940 мкФ; тС\ = 0 Ом) на ИСН
понижающего типа: модуль входного напряжения |(/вх|, напряжение с выхода ПККМ U\,
ток в дросселе ИСН /l, выходное напряжение С/вых, модуль входного тока |/Вх| —
нерабочий режим


Корректоры коэффициента мощности
347
Рис. 10.18. Временные диаграммы при работе ПККМ (L\ = 55 мГн; t-li = 1 Ом;
L2 = 25,4 мГн; С2 = 44,3 мкФ; г2 = 0,1 Ом; С\ = 940 мкФ; тС\ = 0 Ом)
на ИСН понижающего типа: модуль входного напряжения |С/ВХ|, напряжение с
выхода ПККМ U\, ток в дросселе ИСН Jl, выходное напряжение иьых, модуль
входного тока |/вх| — Квп = 0,997; cosy> = 0,86637; Кы = 0,862; Кт = 22,7
требуемое выходное напряжение (48 В), заданную величину пульсаций,
заданную стабильность. Это связано с тем, что выходная емкость ПККМ
С1 (рис. 10.13) не успевает зарядиться до необходимой величины, т.е.
напряжение на входе ИСН меньше, чем должно быть — требуемое
напряжение на его выходе, и напряжение на нагрузке ИСН UBblx
становится равным напряжению на его входе U\. Для устранения этого режима
надо уменьшить индуктивность дросселя L1 пассивного корректора, но
как было показано в случае ПККМ с резистивной нагрузкой,
уменьшение индуктивности входного дросселя приводит к уменьшению соыр и,
следовательно, Км (рис. 10.18).
Нерабочий режим в системе ПККМ-ИСН возникает также при
увеличении выходной емкости ПККМ С1, увеличении потерь в дросселях
как в ПККМ, так и в ИСН, а также уменьшении сопротивления нагрузки.
В табл. 10.13,3 приведены характеристики ПККМ: U\ — выходное
напряжение ККМ, Кп — коэффициент пульсаций выходного напряжения
ККМ U\, /вх.эфф —действующее значение входного тока, Кнк, соыр, Км
и Кг. В табл. 10.13,6"приведены характеристики ИСН: Кпц и Kni
—соответственно пульсации выходного напряжения {/Вых и тока в дросселе
ИСН /l. 0и и <т/ — величина перерегулирования выходного
напряжения ?/вых и тока в дросселе ИСН Д,-
При скачкообразном увеличении сопротивления нагрузки на 30,
50 %, значения выходных напряжений корректора U\ и ИСН ?/Вых
меняются незначительно (не более 6 %), отрицательная обратная связь
преобразователя стабилизирует напряжения U\ и ?/Вых, но
уменьшается cos<?> и Км (табл. 10.14,а). При уменьшении сопротивления
нагрузки на 30 % выходное напряжение корректора U\ уменьшается, суще-


348
Глава 10
Таблица 10.13,3
Li = 55 мГн, L2 = 25,4 мГн, С2 = 44,3 мкФ
ult в
357,8
А'п,%
4,7
^вх.эф •"
4,89
АНи
0,997
COS(?
0,86637
А'м
0,864
А'г, %
7,3
Таблица 10.13,5
L\ = 55 мГн, L2 = 25,4 мГн, С2 = 44,3 мкФ
^ьых. В
47,4
А'пс/, %
0.3
<?и, %
-
/L, A
19,0
А'п/. %
12,0
*/. %
-
Таблица 10.14,а
ДЯн/ЯНом, %
+30
-30
+50
-50
х.х.
Al/iM,%
4,03
10,21
5,91
18,04
А'ст, дБ
16,2
5,8
17,5
54,9
А'п, %
•*вх.эф » "
АНи
3,4 1 4,57 10,999
5,8 6,02 0,998
2.8 | 4,51 10,999
Нерабочий режим
0,2 | 4,69 11,000
cose/?
0,70830
0,99891
0,61107
-
А'м
0,707
0,997
0,610
А'г, %
5.4
5,7
4,8
Таблица 10.14,5
ДЯн/Яном, %
+30
-30
+50
-50
х.х.
ьиьых/иьых, %
0,01
0,02
0,02
78,00
А'ст, дБ
71,0
64,0
68,0
KnU, %
0,3
0,3
0,3
try, %
2,0
2,0
3,9
Нерабочий режим
42,1 | 2.3 f -
/L3.A
14,6
27,0
12,3
1.0
А'п/, %
16,5
8,7
19,6
200,0
*J. %
16,4
7,6
25,0
Рис. 10.19. Временные диаграммы при работе ПККМ (L = 58 мГн; t*li = 1 Ом;
С\ = С2 = 58,8 мкФ; С\ = 940 мкФ; тС\ = 0 Ом) на ИСН
понижающего типа: модуль входного напряжения \UbX\, напряжение с выхода ПККМ
U\, ток в дросселе ИСН /l. выходное напряжение иъых, модуль
входного тока |/вх ; А'„„ = 0,959; cosy» = 0,98849; А'м = 0,942; А'г = 31,9%


Корректоры коэффициента мощности
349
Рис. 10.20. Временные диаграммы при работе ПККМ (L = 41 мГн;
rLi = 1 Ом, С\ = С2 = 470 мкФ) на ИСН понижающего типа:
модуль входного напряжения \UbX\, напряжение с выхода ПККМ U\% ток
в дросселе ИСН 1]_,, выходное напряжение UbbIX, модуль входного
тока |/вх|; А'ни = 0,969; cosц> = 0,74005; А'м = 0,717; А'г = 25,5%
Таблица 10.15,а
и1щ в
408,1
350.0
407,9
А'п, %
2,2
2.8
2.1
¦*вх.эф | А
L\ = 58 мГн
4,43
L\ — 58 мГн
4.29
L\ = 64 мГн
4.37
АГни
С\ = С2 =
0,953
С\ = С2 =
0,974
С\ = С2 =
0,959
cosy»
= 28,8 мкФ
0,98849
= 25,1 мкФ
0,99600
= 28,8 мкФ
0,99418
Ки
0,942
0,970
0,953
Кт, %
31,9
23,1
29.7
Таблица 10.15,6
C^BUXi В
47.4
47,4
47,4
KnU. %
*и, %
/L2.A
кп1. %
Li = 58 мГн; С\ = С2 = 28,8 мкФ
0,3 | - | 19.1 | 11,8
Li = 58 мГн; Сг = С2 = 25,1 мкФ
0,3 | - | 19,0 | 11,9
Li = 64 мГн; d =С2= 28,8 мкФ (С/С3 = 350 В)
0,3 | 84,4 | 19,1 | 10,9
*/. %
-
-
180,2
ственно увеличиваются cosy?, коэффициент мощности (А'м = 0,997), и
преобразователь обеспечивает требуемое выходное напряжение — 48 В
(табл. 10.14,а). Но при уменьшении нагрузки на 50 % выходное
напряжение ПККМ резко падает и ИСН переходит в нерабочий режим
(напряжение на входе преобразователя U\ равно напряжению на нагрузке
ИСН ?/Вых)- При скачкообразном отключении нагрузки (режим
холостого хода) выходное напряжение корректора U\ увеличивается, разность
фаз между входным током и входным напряжением становится равным


350
Глава 10
Таблица 10.16,а
ДЯн/Яноы. %
+30
-30
+50
-50
х.х.
At/i/C/i. %
53,14
26.56
58,6
71,98
А'ст, дБ
-17,8
42,8
к„, %
-'вх.эф • "
АНи
1,1 3,63 10,910
6,0 6,30 0,996
0,9 | 3,03 10,895
Нерабочий режим
4,7 | 0,38 10,588
COSV?
0,96903
0,95565
0,99156
0,98024
Км
0,881
0,952
0,888
0,576
Кг. %
45,7
8,7
49.8
137,72
Таблица 10.16,5
ДЯн/Яном, %
+30
-30
+50
-50
х.х.
Д^ых/С/ьых, %
0,04
0.05
0,05
159,69
А'ст, дБ
57,0
54,7
60,0
KuU. %
0,2
0,2
0,2
<ти> %
1,4
2,1
3,9
Нерабочий режим
36,0 | 2,6 | 6,5
/L2.A
14,6
27,2
12,3
1,5
А'п/, %
17,3
8,3
20,5
200.0
ai. %
16,4
7,7
24,8
.-_
Таблица 10.17,а
ult в
205,3
209,5
213,8
194,7
А'п, %
85,4
85,2
85,0
76,3
-*вх.эф 1 А
L\ = 41 мГн
7.90
L\ = 38 мГн
7,90
L\ — 35 мГн
7.90
L\ = 41 мГн
8,00
АНи
; С\ = Сг :
0,969
; Ci = С2 :
0,961
; С\ = Сг =
0,948
0,978
cosy?
= 470 мкФ
0,74005
= 470 мкФ
0,76321
= 470 мкФ
0,78517
= 940 мкФ
0,72523
Ки
0,717
0,734
0,744
0,709
А'г. %
25,5
28,7
33,6
21,6
Таблица 10.17,5
иьых, в
47,3
47,3
47,3
47,3
KuU, %
<?и, %
/L2.A |
Li = 41 мГн; Ci = С2 = 470 мкФ
0,2 | - | 19,0 |
Li = 38 мГн; Сг =С2 = 470 мкФ
0,2 | - | 19,0 |
Li = 35 мГн; Сг =С2 = 470 мкФ
0.3 | - | 19,0 |
Li = 41 мГн; d = С2 = 940 мкФ
0,3 | - | 19,0 |
Кщ. %
8,9
9,6
9,6
9,2
01. %
"
"
-
"
90°, т.е. потребление мощности в нагрузке не происходит, ИПН
переходит в режим прерывистого потребления тока и напряжение на нагрузке
резко возрастает до 90 В.
Пассивный корректор коэффициента мощности, изображенный на
рис. 10.14,а, при работе на ИСН, нагруженный на номинальную нагрузку,
в отличие от ПККМ рис. 10.13, обеспечивает Км (табл. 10.15,а) в
соответствии со стандартами Минсвязи РФ ОСТ 45.188-2001 (А'м ~ 0,95).
Также как и в предыдущем случае (работы ПККМ,
изображенного на рис. 10.13, на ИСН понижающего типа) система ПККМ-ИСН при
включении данного корректора переходит в нерабочий режим (напряже-


Корректоры коэффициента мощности
351
АЯ„/Я„ом, %
+30
-30
+50
-50
х.х.
ДСЛ/С/ь %
4.52
10,54
30,37
17,13
А'ст, дБ
15,0
5.3
-3,8
55.3
Ап, %
80,9
95,3
13,8
*ьх.эф 1 А
4,13
8,86
3,45
АНи
0,927
0,977
0,914
Таблица 10.18,а
cosip
0,83634
0,71365
0,85351
А'м
0,776
0,697
0,780
Ar, %
40,35
21,82
44.53
Нерабочий режим
67,0 | 0.07 10,58810,9802410,5761137,72
Таблица 10.18,5
АЯ„/ЯНОм, %
+30
-30
+50
-50
х.х.
АС/ВЫХ/С7ВЫХ. %
0,04
0,04
0,04
0,64
А'ст, дБ
58,4
57,5
61,7
кпи, %
0,0
0,3
0.0
Нерабочий
83,9 | 0,1
О U у %
1,7
5,1
4,4
режим
49,3
/L2.A
14,5
27,1
12,3
°>4
Кщ, %
12,8
6,2
15,4
200,0
а7. %
14,8
12.5
23.2
4043
Рис. 10.21. Временные диаграммы при работе ПККМ (Li = 105 мГн;
rLl = 1 Ом; L2 = 30,4 мГн; С2 = 37 мкФ; г2 = 0,1 Ом; Ci = 940 мкФ;
rci = 0 Ом) на ИРН понижающего типа при разных коэффициентах
заполнения D: а — напряжение с выхода ПККМ U\\ 6— выходное напряжение
иъых', в — модуль входного напряжения \UbX\, модуль входного тока |/вх|
ние на входе преобразователя U\ равно напряжению на нагрузке ?/Вых)-
Для устранения этого режима можно либо уменьшить дроссель L пас-


352
Глава 10
Рис. 10.22. Временные диаграммы при работе ПККМ (L = 64 мГн; ги = 1 Ом;
С\ = Сг = 28,8 мкФ; С\ = 940 мкФ; ты = 0 Ом) на ИРН понижающего типа при
разных коэффициентах заполнения D: а — напряжение с выхода ПККМ U\\ 6 —
выходное напряжение ?/Вых, в — модуль входного напряжения \UbX\, модуль
входного тока |/вх|
сивного корректора, либо можно зарядить выходную емкость ПККМ С1
до номинального значения до включения ИСН и после заряда С1
включить ИСН. Но при этом увеличивается время переходного процесса (1 с)
и заметно увеличивается напряжение на выходе ПККМ U\ (408 В вместо
рассчитанных 350 В). Чтобы уменьшить U\ и длительность переходного
процесса, надо уменьшить емкости С2 и СЗ (рис. 10.14).
Характеристики ПККМ (А'м, Аг, cosy? и т.д.) и характеристики ИСН
приведены соответственно в табл. 10.15,а и 10.15,6.
При скачкообразном увеличении сопротивлении нагрузки на 30,
50 % напряжение на выходе ПККМ U\ увеличивается (560 В),
заметно уменьшаются А'ни, А'м и увеличивается А'г (табл. 10.16,а).
В случае работы пассивного ККМ, изображенного на рис. 10.15, на
импульсный стабилизатор напряжения понижающего типа (рис. 10.16,а)
коэффициент мощности Л'м = 0,717 ниже требуемых норм (А"м = 0,95),
сильно ухудшается cos<p по сравнению с резистивной нагрузкой, и в этом
его принципиальное отличие от ПККМ, работающего на резистивную на-


Корректоры коэффициента мощности
353
Рис. 10.23. Временные диаграммы при работе ПККМ (L = 41 мГн; t*li = 1 Ом;
С\ = Сг = 470 мкФ) на ИРН понижающего типа при разных коэффициентах
заполнения D: а — напряжение с выхода ПККМ U\\ 6— выходное
напряжение иьых\ в — модуль входного напряжения |?/вх|, модуль входного тока |/вх|
грузку (табл. 10.17,а). На рис. 10.20 приведены временные диаграммы
токов и напряжений. Из него видно, что выходное напряжение ПККМ
U\ имеет как синусоидальные низкочастотные пульсации, так и большие
высокочастотные пульсации прямоугольной формы, появляется
перерегулирование по выходному напряжению ПККМ U\.
При скачкообразном увеличении сопротивлении нагрузки на 30,
50 % отрицательная обратная связь преобразователя стабилизирует
напряжение ?/вых (табл. 10.18,6), незначительно уменьшается.ХНи.
существенно увеличивается cos^>, и несколько улучшается Км (табл. 10.18,а).
При скачкообразном уменьшении нагрузки на 30 % наоборот:
улучшается А'ни. уменьшается cosy? и ухудшается Км. При небольших
изменениях нагрузки (30 %) также стабилизируется U\ (табл. 10.18,а). При
скачкообразном отключении нагрузки (режим холостого хода) в
отличие от предыдущих схем разность фаз между входным током и
входным напряжением становится равной 10°, но резко ухудшаются KHli
и, следовательно, А"м.
При работе пассивного ККМ на импульсный регулятор напряжения


354
Глава 10
Таблица 10.19
пккм
Рис. 10.13
Рис. 10.14
Рис. 10.15
D
0,1
0,2
0,3
0.4
0,5
0,6
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,1
0,2
0.3
0.4
0,5
0,6
•*вх.эф| "
4,44
5,35
6,22
6,61
6.79
6.88
4,24
5,87
8,40
9,96
10,65
10,94
0,57
1,91
3,89
6,36
9,20
12,18
Ани
0,999
1,000
1,000
0,997
1,000
1.000
0,943
0,998
0,998
0,999
1,000
1,000
0,750
0,866
0,927
0,964
0,985
0,995
COSC.P
0,79894
0,83306
0,48489
0,30506
0,21439
0,16575
0,98768
0,97065
0,79600
0,58732
0,43166
0,32908
0,94619
0,89596
0,84301
0,78495
0,72122
0,64853
Ки
0,798
0,833
0,485
0,304
0,214
0,166
0,932
0,968
0,795
0,587
0,432
0,329
0,709
0,776
0,781
0,757
0,710
0,645
А'г, %
4,4
1.5
2.0
8,0
0,7
1,6
35,2
7,0
6,1
3,5
1,2
1.0
88,3
57,7
40,5
27,6
17,7
10,4
(ИРН) понижающего типа (рис. 10.16,6) все характеристики ПККМ (Кы,
KTt cosip, KHll, U\) и ИРН (с7вых, Кпц, си и т.д.) сильно зависят от
величины коэффициента заполнения D, выбранного в схеме регулятора.
На рис. 10.21-10.23 показаны временные диаграммы работы ПККМ
на ИРН понижающего типа при разных коэффициентах заполнения D:
рис. 10.21 — при ПККМ, изображенном на рис. 10.2; рис. 10.22 — при
ПККМ, изображенном на рис. 10.14, и рис. 10.23 — при ПККМ,
изображенном на рис. 10.15. Качественные характеристики ПККМ
(коэффициент мощности, cos^>, коэффициент гармоник и т.д.), работающего на
ИРН понижающего типа, приведены в табл. 10.19.
Таким образом, проведен анализ качественных показателей
(коэффициент мощности, cosip, коэффициент гармоник) пассивных
корректоров коэффициента мощности при работе на резистивную нагрузку,
импульсный стабилизатор напряжения и импульсный регулятор
напряжения понижающего типа. Показано, что при работе на резистивную
нагрузку коэффициент мощности всех рассматриваемых в работе ПККМ
удовлетворяет требованиям ГОСТ Минсвязи РФ. При работе на ИСН и
ИРН понижающего типа только ПККМ, содержащий дроссель,
последовательно включенный с выпрямительным диодным мостом, и
конденсаторы, параллельно включенные паре диодов, включенных параллельно
нагрузке, удовлетворяет требованиям ГОСТ Минсвязи РФ по
коэффициенту мощности. Показано, что при работе ПККМ на ИРН коэффициент
мощности зависит от коэффициента заполнения — резко уменьшается
с ростом коэффициента заполнения. Исследованы условия
возникновения нерабочих режимов и способы их устранения при работе ПККМ
на ИСН понижающего типа.


Глава 11
Устойчивость высокочастотных
импульсных источников
в распределенных системах
постоянного тока
В настоящее время в различных областях техники широко
используются децентрализованные системы электропитания по постоянному
току. В качестве подсистем используются энергетически
высокоэффективные бестрансформаторные высокочастотные импульсные источники
питания различных типов (понижающие, повышающие, инвертирующие;
однотактные и двухтактные, многофазные и т.д.).
Известно, что для обеспечения высоких статических и
динамических характеристик импульсных источников питания: стабилизация
выходного напряжения или тока под действием возмущающих
факторов; устойчивости; малой величины перерегулирования при
включении источника, скачкообразном изменении параметров нагрузки,
входного напряжения; малой величины как низкочастотных пульсаций, так
и пульсаций тактовой частоты используется выходные сглаживающие
фильтры с различными характеристиками (максимально-плоскими —
Баттерворта, равноволновыми — Чебышева, со всплесками затухания
— Золотарева-Кауэра) и многоконтурными системами обратной связи
[137-142, 167, 173].
Сложность анализа и проектирования распределенной
энергосистемы (РЭС), использующей в качестве подсистемы высокочастотные
импульсные источники как целой системы, чрезвычайно сложна. Поэтому
в настоящее время существует отечественная практика, когда каждая
подсистема разрабатывается индивидуально без учета взаимного
влияния подсистем друг на друга, а затем они интегрируются, чтобы
сформировать полную РЭС.
Одной из наиболее важных задач, возникающей при интеграции
отдельных блоков в систему, является обеспечение устойчивости РЭС,
которая нарушается из-за взаимодействия подсистем. Подсистема,
работающая в автономном режиме с большим запасом устойчивости по фазе
и амплитуде и обладающая хорошими статическими и динамическими
свойствами, может перейти в режим автоколебаний, и в ней могут
существенно ухудшиться статические и динамические характеристики после
интеграции подсистем в единую систему [184-187]. Эти обстоятельства
приводят к необходимости исследовать причины, влияющие на
устойчивость работы РЭС, ухудшение ее характеристик и разработать методику


356
Глава 11
проектирования РЭС с учетом снижения или устранения вредного
влияния различных подсистем друг на друга.
11.1. Вывод комплексного коэффициента
передачи системы каскадно-соединенных
взаимодействующих четырехполюсников
Рассмотрим отдельно два четырехполюсника (рис. 11.1), каждый
из них описывается матрицей Л-параметров.
При каскадном соединении четырехполюсников их Л-матрицы
перемножаются.
На основе этих матричных преобразований можно показать, что
комплексный коэффициент передачи системы четырехполюсников
(рис. 11.2) имеет следующий вид:
где ZiJx(juj), Zbx\ju) — входные сопротивления первого и второго
четырехполюсника соответственно.
Из последнего соотношения следует, что комплексный
коэффициент передачи каскадно-соединенных четырехполюсников H(jlj) в
общем случае зависит не только от произведения комплексных
коэффициентов передачи H\(ju) и H2(ju>) отдельных четырехполюсников, но
и от отношения входного сопротивления ^выхО^) предыдущего
четырехполюсника к входному сопротивлению Z±x (ju>) последующего. Из
структуры полученного выражения для H(jw) следует, что отношение
Zbbix{ju)/Zbx \3U) играет такую же роль, что и функция петлевого
усиления цепи с обратной связью. При условии, что один из
рассматриваемых четырехполюсников является активным, на некоторой частоте
Рис. 11.1. Исследуемые четырехполюсники
Рис. 11.2. Каскадное соединение четырехполюсников


Устойчивость высокочастотных импульсных источников 357
возможно, что ZbJx(jlj)/Znx (ju) = — 1, т.е. выполняются амплитудные
и фазовые условия самовозбуждения системы, даже если каждый из
рассматриваемых четырехполюсников устойчив.
Таким образом, при проектировании системы электропитания,
состоящей из отдельных устойчивых подсистем (четырехполюсников),
необходимо контролировать выполнение условия 1 +Zbdx(jw)/Zix(jv) Ф
ф 0, получившего в зарубежной литературе название критерия
устойчивости Мидлбрука [184-186].
11.2. Постановка задачи исследования
В ряде случаев при включении на входе источника вторичного
электропитания сетевого фильтра или при объединении источников между
собой возникает проблема обеспечения устойчивости системы сетевой
фильтр — ШИМ-преобразователь либо системы ведущий источник-
генератор — ведомые источники-потребители. В соответствии с
критерием Мидлбрука устойчивость такой системы гарантируется при
выполнении соотношения
(li.i)
где Zbdx{ju) — комплексное выходное сопротивление предыдущего
звена; Z*x (jv) — комплексное входное сопротивление
последующего звена.
Таким образом, возникает необходимость обоснования понятий
комплексных входного и выходного сопротивлений преобразователя и
разработки методов их расчета. Известны различные приближенные
аналитические методы, как правило, основанные на усреднении и
линеаризации нелинейно-дискретных характеристик преобразователя [151,
184, 185]. Погрешность таких методов и границы их применимости
зависят от ряда факторов и, как правило, нуждаются в
дополнительной оценке.
Цель данной главы состоит в описании универсальной
компьютерной методики расчета входного и выходного сопротивлений, основанной
на моделировании и спектральном анализе переходных и стационарных
процессов преобразователя. Такая методика учитывает реальный
нелинейный характер протекающих процессов и может применяться к
различным типам преобразователей.
На рис. 11.3 представлена схема, позволяющая определить входное
сопротивление практической схемы замкнутого ШИМ-преобразователя
понижающего типа. Во входную цепь преобразователя
последовательно с постоянным напряжением, подлежащим преобразованию, вводится
гармонический источник возмущающего напряжения, амплитуда и
частота которого варьируются в широких пределах. Исследование спектра


Устойчивость высокочастотных импульсных источников 359
Необходимо отметить, что для анализа системной устойчивости
соединений источников представляют интерес частотные зависимости
выходного сопротивления преобразователя в режиме, близком к холостому
ходу. Так, например, схема на рис. 11.4 позволяет определить выходное
сопротивление преобразователя при величине нагрузки Ri — 200 Ом,
существенно большей номинальной нагрузки R\ — 1,92 Ом.
Для реализации данной методики использована универсальная
автоматизированная программа расчета процессов в электрических цепях
FASTMEAN, разработанная на кафедре ТЭЦ СПбГУТ. В отличие от
известных программ типа PSPICE, Micro-Cap и Electronics Workbench
данная программа основана на новых матричных решениях
дифференциальных уравнений цепей [188] и позволяет существенно повысить
точность и скорость расчета переходных и стационарных процессов в
ключевых устройствах.
На рабочем поле программы производится сборка схемы
исследуемого преобразователя и вводится источник гармонического напряжения
(см. рис. 11.3), либо источник гармонического тока (см. рис. 11.4).
Задаются параметры линейной части схемы, управляющей цепи обратной
связи, силового ключа и широтно-импульсного модулятора,
обеспечивающие требуемый рабочий режим преобразователя. Для обеспечения
высокой стабильности характеристик устройства вводится достаточно
глубокая ООС (около 36 дБ) с запасами устойчивости по амплитуде
6 дБ и по фазе 30°.
Далее производится расчет переходного и стационарного процессов
в исследуемой схеме. Работа с программой FASTMEAN выполняется в
диалоговом режиме. Пользователь задает конечное время процесса и
точность его расчета, а также необходимые токи и напряжения схемы.
В качестве примера на рис. 11.5 представлено диалоговое окно расчета
переходного процесса исследуемой схемы преобразователя.
После расчета процессов во временной области в соответствии с
заданной инструкцией программа автоматически выполняет
спектральный анализ стационарного процесса для искомой переменной. Для этого
на заданном временном интервале, равным периоду колебаний, в
соответствии с алгоритмом быстрого преобразования Фурье (FFT)
проводится расчет спектра амплитуд (mag(FFT)) и спектра фаз (phs(FFT))
искомой переменной. В представленном на рис. 11.5 диалоговом
окне данные операции выполняются над искомым входным током
преобразователя l(VCKl).
Выполняя указанные расчеты для различных значений частоты w и
амплитуды Um входного гармонического воздействия и определяя
комплексную амплитуду входного тока /т, можно найти величину
комплексного входного сопротивления преобразбвателя ZBX(ju) = Um/Im
для широкого диапазона частот. Для нахождения комплексного
выходного сопротивления преобразователя (см. рис. 11.4) выполняются
аналогичные расчеты применительно к комплексной амплитуде выход-


360
Глава 11
Рис. 11.5. Диалоговое окно расчета переходного процесса и анализа
спектрального состава искомых переменных преобразователя
ного напряжения при варьировании частоты и амплитуды
гармонического источника тока.
11.3. Анализ результатов расчета
сопротивлений
По описанной выше методике проведены расчеты спектра амплитуд
и спектра фаз входного тока для параметров схемы и режима работы
преобразователя, представленных на рис. 11.3. В качестве иллюстрации
на рис. 11.6 приведен расчет спектров тока для гармонического
воздействия амплитуды Um = 10 В и частоты / = 1 кГц.
С целью выявления общего характера частотных зависимостей
модуля и фазы входного и выходного сопротивлений преобразователя
частота гармонического воздействия варьировалась в пределах от 100 Гц
до 50 кГц. Амплитуды возмущающего гармонического воздействия
изменялись в пределах от 1 до 10 В. Результаты проведенных расчетов
представлены в табл. 11.1, в которой приведены частоты гармонического
воздействия, нормированные по тактовой частоте ШИМ, т.е. / = ///т,
где /т = 100 кГц.
Анализ данных табл. 11.1 показывает, что модуль входного
сопротивления практически не зависит от амплитуды воздействия.
Исключение составляет нормированная частота / = 1/3 (третья субгармоника
тактовой частоты блока ШИМ). Для этой частоты характерна сильная
зависимость модуля входного сопротивления от амплитуды воздействия.
Так, для амплитуды воздействия Um = 10 В модуль входного
сопротивления имеет минимальное значение равное 0,89 Ом.
С ростом частоты воздействия значение модуля входного
сопротивления уменьшается, достигая минимума на частоте воздействия / =


Устойчивость высокочастотных импульсных источников
361
Рис. 11.6. Пример расчета спектра амплитуд и спектра фаз входного тока
преобразователя
Таблица 11.1
Частотные зависимости входного сопротивления преобразователя с ООС
Нормированная
частота
воздействия ///т
0,001
0,010
0,050
0,100
0,200
0,250
0,333
1 0,500
Модуль выходного
сопротивления |ZBX|, Ом,
При C/mi В
1
7,81
7,69
7,46
6,76
4,44
3,13
2,29
4,23
5
7,730
7,690
7,460
6,790
4,460
3,125
2,680
4,270
10
7,68
7,69
7,42
6,74
4,48
3,03
0,89
4,38
Фаза выходного
сопротивления arg(ZBX).
град, при Um, В
1
-182,40
-179,31
-176,00
-173,03
-159,66
-143,61
-135,10
-88,78
5
-182,55
-179,35
-176,77
-173,00
-159,60
-143,26
-126,44
-88,41
10
-181,95
-179,34
-176,76
-172,95
-159,42
-142,79
-128,92
-88,39
= 1/3. Далее наблюдается рост модуля сопротивления. Однако этот
факт требует дополнительной проверки, поскольку следует учитывать
нелинейный характер процессов для частоты воздействия, равной
половине тактовой частоты преобразователя.
Рассмотрим частотную зависимость фазы входного сопротивления
преобразователя. Из табл. 11.1 следует, что на весьма низких по
сравнению с тактовой частотах (///т < 0,01) фаза входного сопротивления
близка к —180°. При f/fT = 0,01 и больших значениях этого
отношения происходит плавное изменение фазы. Таким образом, в
диапазоне частот 0,001 < ///т < 0,25 фаза входного сопротивления
преобразователя arg[ZBX.oc0^)] < -90°. Как следует из теории цепей, в
указанном диапазоне частот вещественная часть комплексного входного


362
Глава 11
Таблица 11.2,а
Частотные зависимости входного сопротивления преобразователя с ООС
Нормированная
частота
воздействия ///т
0,001
0,010
0,050
0,100
0,200
0,250
0,333
0,500
Модуль выходного
сопротивления \ZhX\, Ом,
при 1т, А
0,1
0,371
0,372
0,368
0,358
0,331
0,315
0,279
0,243
0,2
0,406
0,405
0,392
0,372
0,334
0,319
0.271
0,243
0.3
3.070
0,770
0,460
0,396
0,341
0,326
0,264
0.243
Фаза выходного
сопротивления arg(ZBX),
град, при Im, A
0.1
-0,13
-1,18
-5,78
-11,01
-19,58
-22,89
-27,06
-60,41
0,2
-0,168
-1,690
-7,550
-13,080
-21,010
-23,680
-27,270
-60,420
0,3
-18,04
-14,78
-13,39
-17,37
-23,56
-25,19
-27.97
-60.42
Таблица 11.2,5
Частотные зависимости входного сопротивления преобразователя с ООС
Нормированная
частота
воздействия ///т
0,001
0,010
0,050
0,100
0.200
0,250
0,333
0,500
Модуль выходного
сопротивления |ZBX|. Ом,
При Im, A
0,1
18,68
2,994
0,810
0.516
0.374
0,348
0.168
0.240
0,2
35,810
5,724
1.292
0.710
0,464
0,385
0,167
0,226
0,3
45,220
7,210
1,540
0,815
0,477
0,377
0,189
0,210
Фаза выходного
сопротивления arg(ZBX).
град, при Im, A
0,1
-37,62
-46,16
-39,68
-35,20
-33,07
-31,48
-86,89
-60,33
0,2
-46,30
-63,75
-61,82
-57,69
-54,10
-49,42
-102,84
-59,05
0,3
-49,83
-72.25
-73.02
-69,48
-64.87
-60.49
-122,68
-58,20
сопротивления Re [ZBX.oc(i^)] < 0, т.е. активная (резистивная)
составляющая входного сопротивления отрицательна. Как будет показано
ниже, именно в этом диапазоне частот возможна неустойчивость
системы сетевой фильтр - преобразователь и системы ведущий источник -
ведомые источники.
В табл. 11.2 приведены результаты расчета выходного
сопротивления преобразователя по описанной выше методике. Расчеты
проводились для параметров элементов, указанных на рис. 11.4. Как следует
из табл. 11.2,а, при достаточно малых амплитудах гармонического
тока (Im < 0,3 А) модуль выходного сопротивления на высоких частотах
практически не зависит от амплитуды воздействия. Наоборот, на низких
частотах проявляется сильная зависимость величины модуля от
амплитуды воздействия. Например, для отношения ///т = 0,001 и амплитуды
воздействия Im = 0,3 А модуль выходного сопротивления существенно
превышает остальные значения и достигает величины 3,07 Ом.
Частотная зависимость модуля имеет монотонный характер: с
ростом частоты ///т значение модуля уменьшается, приближаясь к
значению 0,243 Ом.


Устойчивость высокочастотных импульсных источников
363
11.4. Проверка устойчивости системы
сетевой фильтр - преобразователь
Полученные результаты расчета комплексного входного
сопротивления (см. табл. 11.1) используем для анализа устойчивости работы
преобразователя, на входе которого включен сетевой фильтр,
снижающий на 6 дБ уровень пульсаций частоты 100 Гц выпрямленного
напряжения. Данная система представлена на рис. 11.7.
В соответствии с критерием Мидлбрука устойчивость такой системы
гарантируется при выполнении условия (11.1). На рис. 11.8
представлены частотные зависимости выходного сопротивления сетевого фильтра
для указанных параметров элементов.
Как видно из рис. 11.8,а, модуль выходного сопротивления фильтра
имеет резонансный характер с максимальным значением |ZBbIX|max =
= 8,5 Ом на частоте / = 40 Гц. На этом же рисунке пунктиром
показана зависимость рассчитанного модуля входного сопротивления пре-
Рис. 11.7. Компьютерная модель системы сетевой фильтр - преобразователь
Рис. 11.8. Частотные зависимости модуля и фазы выходного сопротивления
сетевого фильтра


364
Глава 11
Рис. 11.9. Автоколебательный режим в системе сетевой фильтр-преобразователь:
1 — напряжение на выходе фильтра; 2 — напряжение на выходе преобразователя
образователя, фаза которого для этой частоты близка к —180° (см.
табл. 11.1). Таким образом, для указанных на рис. 11.4 параметров
системы фильтр - преобразователь выполняются условия генерации на
частоте / = 40 Гц. Компьютерное моделирование процессов в этой
системе подтверждает возникновение автоколебательного режима с
частотой / = 40 Гц (рис. 11.9).
С целью устранения автоколебаний были увеличены на 25-30 %
сопротивления потерь i?4 и R$ в реактивных элементах сетевого фильтра.
В этом случае резонансная кривая достигает максимального значения
|^вых|тах = 7 Ом, т.е. не пересекает пунктирную линию на рис. 11.8,3,
соответствующую найденному входному сопротивлению
преобразователя. Компьютерная осциллограмма переходного процесса,
соответствующая данному устойчивому режиму, представлена на рис. 11.10.
Рис. 11.10. Переходный процесс, соответствующий устойчивому режиму системы
сетевой фильтр-преобразователь: 1 — напряжение на выходе фильтра; 2 —
напряжение на выходе преобразователя


Устойчивость высокочастотных импульсных источников
365
11.5. Проверка устойчивости системы
ведущий источник — ведомые источники
Исследуем устойчивость системы ведущий источник — ведомые
источники, изображенную на рис. 11.11.
Ведущий источник осуществляет преобразование постоянного
напряжения 100 В в постоянное напряжение 50 В, которое, в свою оче-
Рис. 11.11. Система источников питания


366
Глава 11
Рис. 11.12. Частотные
зависимости модуля: 1 — выходного
сопротивления преобразователя; 2 —
эквивалентного входного
сопротивления ведомых преобразователей
редь, каждым из ведомых
источников понижается до напряжения
25 В. Общая потребляемая
мощность системы составляет 650 Вт.
Частотная зависимость модуля
выходного сопротивления ведущего
источника Построена по данным
табл. 11.2 и изображена на рис. 11.12
(сплошная линия). На рис. 11.12
также представлена зависимость
эквивалентного входного
сопротивления двух ведомых источников,
включенных параллельно на
выходе ведущего источника.
Анализ приведенных зависимостей, а также фазовых соотношений,
представленных в табл. 11.1 и 11.2, показывает, что в данной
системе возможна генерация на низкой и высокой частотах. Компьютерная
осциллограмма переходного процесса системы ведущий источник —
ведомые источники (рис. 11.12), представленная на рис. 11.13,
подтверждает это предположение.
Таким образом, полученные выше результаты подтверждают
правильность основных теоретических положений, описывающих взаимное
влияние подсистем, составляющих полную РЭС. Предложенный в
иностранной литературе критерий устойчивости Миддлбрука, учитывающий
выходное сопротивление предыдущего звена и входное сопротивление
последующего, позволяет контролировать устойчивость в целом.
Понятия комплексных входного и выходного сопротивлений линейных
четырехполюсников при определенных условиях могут быть применимы
к нелинейно-дискретным системам, которыми являются современные
Рис. 11.13. Режим генерации в системе ведущий источник — ведомые источники:
1 — напряжение на выходе ведущего источника; 2 — напряжение на выходе
ведомого источника


Устойчивость высокочастотных импульсных источников 367
импульсные источники питания. Найденные в данной главе
эквивалентные входные и выходные сопротивления позволяют предсказывать
неустойчивость нелинейных систем и, таким образом, открывают
возможность рационального проектирования систем РЭС, состоящих из
отдельных источников.


Приложения
Приложение 1. Программа анализа лестничных
реактивных фильтров
Алгоритм расчета изложен в разд. 3.1. Лестничная схема и используемые
обозначения для параметров элементов ветвей приведены на рис. (11.1.
Для расчета по программе задаются следующие исходные данные:
• проводимость нагрузки g;
• сопротивление генератора г;
• коэффициент потерь d (при неоднородных потерях задаются резистивные
сопротивления катушек и проводимости конденсаторов);
• число ветвей лестничной цепи п;
• параметры элементов а, и Ь, согласно рис. П1.1;
• начальная частота xhn;
• шаг по частоте xhd;
• число частот nf для анализа.
В программе рассчитываются следующие функции:
• АЧХ, ФЧХ, затухание, ГВЗ;
• энергетические характеристики, а именно, суммарная энергия по всем
емкостям WC; суммарная энергия по всем индуктивностям WL и общая реактивная
энергия W = WC + WL
• параметрическая чувствительность АЧХ, ФЧХ, ГВЗ и всех токов и напряжений;
• суммы и суммы квадратов параметрических ФЧ АЧХ, ФЧХ и ГВЗ;
• инварианты сумм ФЧ.
Рассчитанные функции могут быть выведены в файл DATLAD на каждой
частоте или в табличном виде для последующего построения графиков.
Ниже приведен пример вывода рассчитанных функций на каждой частоте freg
(в относительных единицах) для ФПНЧ Золотарева-Кауэра С7-15 [19]. В начале
выводятся нормированные параметры элементов, которые задаются в программе.
Затем на каждой частоте следующие значения:
• WC — суммарная реактивная энергия по всем емкостям;
• WL — то же по всем индуктивностям;
• WCL = WC + WL;
• PR — мощность потерь;
• FMOD и FARG — модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) функции передачи;
• DEL — ГВЗ;
• S1 и S2 — сумма и сумма квадратов ФЧ АЧХ по всем реактивным элементам;
• S3 и S4 — суммы ФЧ ФЧХ и ГВЗ;
• инварианты сумм ФЧ (для проверки расчета). Должны выполнятся равенства:
invl = si, inv2 = s3 и inv3 = s4 (см. гл. 4);
Рис. П1.1. Нумерация ветвей лестничного фильтра


Приложения
369
• SCI, SC2, SL1, SL2 — суммы и суммы квадратов ФЧ АЧХ отдельно по
емкостям и индуктивностям;
• SDC1, SDC2, SDL1, SDL2 — то же для ГВЗ;
• S21 — нормированная АЧХ;
• S11 и DEL11 — модуль коэффициента отражения р\ и производная по частоте
от его аргумента с обратным знаком (см. (2.11));
• DB — затухание.
Пример вывода результатов расчета по программе LAD
Параметры фильтра
а 8.501Е-0001 а 9.947Е-0001 а 1.450Е+0О00 а 9.806Е-0001
а 1.612Е+0000 а 1.293Е+0000 а 1.081Е+0000 а 0.000Е+0000
b О.ОООЕ+0000 b 4.194E-0001 b О.ОООЕ+0000 b 5.794E-0001
b О.ОООЕ+0000 b 1.190E-0001 b O.OOOE+0000 b О.ОООЕ+0000
freq= 2.00E-0001
не 1.15Е+0000 wl 9.19E-0001 wcl 2.07Е+0000 рг О.ООЕ+0000
fmod 4.95Е-0001 farg -4.73Е+0001 del 4.142104E+0000
si -9.91E-0003 s2 1.59E-0003 s3 -8.28E-0001 s4 1.03E+0000
invl -9.91E-0003 inv2 -8.28E-0001 inv3 1.03E+0000
scl -5.53E-0002 sc2 8.90E-0004 sll 4.54E-0002 sl2 6.97E-0004
sdcl 4.95E-0001 sdc2 6.00E-0002 sdll 5.37E-0001 sdl2 9.74E-0002
s21 9.91E-0001 sll 1.37E-0001 delll 4.142102E+0000 gb 8.24E-0002
freq= 6.00E-0001
не 1.42E+0000 wl 1.35E+0000 wcl 2.77E+0000 pr O.OOE+0000
fmod 4.98E-0001 farg -1.55E+0002 del 5.539006E+0000
si -5.32E-0002 s2 5.82E-0003 s3 -3.32E+0000 s4 1.57E+0000
invl -5.32E-0002 inv2 -3.32E+0000 inv3 1.57E+0000
scl -6.62E-0003 sc2 2.80E-0003 sll -4.65E-0002 sl2 3.02E-0003
sdcl 8.82E-0001 sdc2 1.51E-0001 sdll 6.88E-0001 sdl2 1.60E-0001
s21 9.96E-0001 sll 9.33E-0002 delll 5.538972E+0000 gb 3.79E-0002
freq= 1.00E+0000
не 5.29E+0000 wl 5.37E+0000 wcl 1.07E+0001 pr O.OOE+0000
fmod 4.94E-0001 farg 2.50E-0001 del 2.132567E+0001
si -1.76E+0000 s2 1.09E+0000 s3 -2.13E+0001 s4 1.22E+0001
invl -1.76E+0000 inv2 -2.13E+0001 inv3 1.22E+0001
scl -8.79E-0001 sc2 3.80E-0001 sll -8.78E-0001 sl2 7.15E-0001
sdcl 5.81E+0000 sdc2 8.03E+0000 sdll 6.35E+0000 sdl2 1.49E+0001
s21 9.89E-0001 sll 1.50E-0001 delll 2.132666E+0001 gb 9.88E-0002
Текст программы на алгоритмическом языке Pascal
Program lad; {Анализ лестничных LC-фильтров; энергетические
характеристики, параметрическая чувствительность и стабильность}
Uses Crt;
label 1,2,3,10,11,12,13,14,15,20,30;
const pp=57.29578;
var
i,j,k,l,n,nn,nf,nk :integer;
bxmod,bxarg,tmod,targ,tgb,g,r,vr,vi,tr,ti,t5,t6,sdcl,sdc2,sdll,sdl2,
bxr,bxi,x,wcl,wc,wl,hm,pr,xi,xr,invl,inv2,inv3,dlr,dli,s1,s2,s3,s4,s5,
Sll,sl2,scl,sc2,yr,yi,tl,t2,t3,t4,del,sm21,smll,d,xhn,xhd,
mm,mml,mm2,mm3,mm4,mm5,P2 :real;
ww,hmod,harg,hr,hi,hl,swr,swi,wr,wi,hhr,hhi,sr,si,hrh,hih,sar,sai,sbr,sbi,
sswr,sswi,ssar,ssbr,ssai,ssbi,a,b,rg,gr,far,fai,fbr,fbi,wa,wb,star,stai,
stbr,stbi,sadel,sbdel,sra,sia,srb,sib :array[1..30] of real;
ff :text;
FW,FA,xh,Fl,F2,F3 :array[1..210] of real;


370
Приложения
{ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ}
function sgn(a:real)rinteger;
begin
if a>0 then sgn:=l else sgn:=-l; if a=0 then sgn:=0
end;
function cm(a,b:real):real; begin cm:=sqrt(a*a+b*b) end;
function cmm(a,b:real):real; begin cmm:=a*a+b*b end;
function ca(afb:real):real;
var hv:real;
begin
hv:=90*sgn(b); if a=0 then ca:=hv else
ca:=90*(1-sgn(a))*sgn(hv+1)+pp*arctan(b/a)
end;
procedure cu(a,b,c,d:real; var l,f:real);
begin l:=a*c-b*d; f:=b*c+a*d end;
procedure cd(a,b,c,d:real; var l,f:real);
var hvireal;
begin hv:=c*c+d*d; l:=(a*c+b*d)/hv; f:=(b*c-a*d)/hv end;
begin
Assign(ff,'datladk.pas'); rewrite(ff); { Файл вывода результатов }
{ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ}
{нагрузки, потери}
g:=l; r:=l; d:=0.00;
{частоты для анализа}
nf:=101; for i:=l to nf-1 do xh[i]:=0.01*(i); xh[nf]:=1.3;
xhn:=0; xhd:=0.01; goto 12;
{параметры элементов С7-15}
11: n:=8; a[1]:=0.850104; a[2]:=0.994742; a[3]:=1.449582; a[4]:=0.980637;
a[5]:=l.611530; a[6]:=1.292737; a[7]:=1.080630; a[8]:=0;
b[l]:=0.0; b[2]:=0.419403; b[3]:=0.00000; b[4]:=0.579428;
b[5]:=0.00000; b[6]:=0.119020; b[7]:=0.00; b[8]:=0.00; goto 15;
{C7-15 после оптимизации}
12: n:=8; a[1]:=0.838300; a[2]:=0.981474; a[3]:=1.435579; a[4]:=0.970554;
a[5]:=l.604861; a[6]:=1.285436; a[7]:=1.066627; a[8]:=0;
b[l]:=0.0; b[2]:=0.408562; b[3]:=0.00000; b[4]:=0.568064;
b[5]:=0.00000; b[6]:=0.105449; b[7]:=0.00; b[8]:=0.00; goto 15;
15: for i:=l to n do begin rg[i]:=d*a[i]; gr[i]:=d*b[i] end; ClrScr;
writeln(ff); writeln(ff); writeln(ff); writelnCff,' Параметры фильтра');
for i:=l to n do begin
write(ff,> \a[i]:12); if(frac(i/4)=0) or (i=n) then writeln(ff);
end;
for i:=l to n do begin
write(ff,' \b[i]:12); if(frac(i/4)=0) or (i=n) then writeln(ff);
end;
1: begin { Метод рекуррентных формул }
for 1:=1 to nf do begin
for i:=l to n do begin
vr:=rg[i]; vi :=xh[l]*a[i] ; yr:=gr[i]; yi :=xh[l]*b[i] ;
cu(vr,vi,yr,yi,tr,ti); tr:=tr+l; cd(vr,vi,tr,ti,wr[i],wi[i]);
cu(tr,ti,tr,ti,sl,s2); cd(0,vi,sl,s2,sar[i],sai[i]);
xr:=2*a[i]*yr+2*b[i]*vr; xi:=4*vi*b[i]; cd(xr,xi,tr,ti,s3,s4);
cu(vr,vi,vr,vi,tr,ti); ww[i]:=cmm(vr,vi);
cd(0,-yi,sl,s2,xr,xi); cu(xr,xi,tr,ti,sbr[i],sbi[i]);
tr:=-tr*b[i]+a[i]; ti:=-ti*b[i]; cd(tr,ti,sl,s2,swr[i],swi[i]);
xr:=-a[i]*2*b[i]*vr; xi:=-a[i]*2*b[i]*vi; cd(xr,xi,sl,s2ttl,t2);
cu(s3,s4,swr[i],swi[i],t3,t4); sswr[i]:=tl-t3; sswi[i]:=t2-t4;
cu(sar[i],sai[i],s3,s4,tl,t2); cd(a[i],0,sl,s2,t3,t4);


Приложения
371
ssar[i]:=t3-tl; ssai[i]:=t4-t2; cd(vr,vi,sl,s2,tl,t2);
cu(tl,t2,vr,3*vi,t3,t4); cu(sbr[i],sbi[i],s3,s4,tl,t2);
ssbr[i]:=-t3*b[i]-tl; ssbi[i]:=-t4*b[i]-t2;
end;
wr[l]:=wr[l]+g; wr[n]:=wr[n]+r; hr[l]:=l; hi[l]:=0; hr[2]:=wr[l];
hi[2] :=wi[l] ; hrh[l]:=0; hih[l]:=0; hrh[2]:=a[l]; hih[2]:=0;
hhr[l]:=0; hhi[l]:=0; hhr[2]:=sswr[l]; hhi[2]:=sswi[l];
nn:=n-K; if((r=0) and (a[n]=0)) then nn:=n;
for i:=3 to nn do
begin { Основное рекуррентное уравнение }
cu(wr[i-l],wi[i-l],hr[i-l],hi[i-l],vr,vi);
hr[i]:=hr[i-2]+vr; hi[i]:=hi[i-2]+vi;
{ Уравнение для производных по частоте }
cu(wr[i-l],wi[i-l],hrh[i-l],hih[i-l],vr,vi);
cu(hr[i-l],hi[i-l],si?r[i-l],swi[i-l],xr,xi);
hrh[i]:=hrh[i-2]+vr+xr; hih[i]:=hih[i-2]+vi+xi;
{ Уравнение для вторых производных по частоте }
cu(hhr[i-l],hhi[i-l],wr[i-l],wi[i-l],vr,vi);
cu(hrh[i-l],hih[i-l],swr[i-l],swi[i-l],xr,xi);
cu(hr[i-l],hi[i-l],sswr[i-l],ssei[i-l],yr,yi);
hhr[i]:=hhr[i-2]+vr+2*xr+yr; hhi[i]:=hhi[i-2]+vi+2*xi+yi;
end;
cd(l.,0.,hr[nn],hi[nn],tr,ti); cu(hr[nn-l],hi[nn-l],tr,ti,bxr,bxi);
cu(hrh[nn],hih[nn],tr,ti,vr,vi); del:=vr; invl:=vi; inv2:=-del*xh[L];
{ Инварианты }
cu(vr,vi,vr,vi,tl,t2); cu(hhr[nn],hhi[nn],tr,tifvr,vi);
inv3:=(2*t2-vi-2*invl*del); inv3:=l+inv3*xh[L]/del; invl:=invl*xh[L];
cu(hrh[nn],hih[nn],bxr,bxi,vr,vi); vr:=hrh[nn-l]-vr; vi:=hih[nn-l]-vi;
cu(vr,vi,tr,ti,dlr,dli); sl:=0; s2:=0; s3:=0; s4:=0; s5:=0;
for k:=l to nn-1 do
begin {Чувствительность}
sr[k]:=0.; si[k]:=0.; sr[k+l]:=hr[k]; si[k+l]:=hi[k];
sra[k]:=0; sia[k]:=0; srb[k]:=0; sib[k]:=0;
cu(hr[k],hi[k],sar[k],sai[k],sra[k+l],sia[k+l]);
cu(hr[k],hi[k],sbr[k],sbi[k],srb[k+l],sib[k+l]);
star[k]:=0; stai[k]:=0; stbr[k]:=0; stbi[k]:=0;
cu(hrh[k] ,hih[k] ,sar[k] ,sai[k] ,tl,t2);
cu(hr[k],hi[k],ssar[k],ssai[k],t3,t4);
star[k+l]:=t3+tl; stai[k+l]:=t4+t2;
cu(hrh[k],hih[k],sbr[k],sbi[k],tl,t2);
cu(hr[k],hi[k],ssbr[k],ssbi[k],t3,t4);
stbr[k+l]:=t3+tl; stbi[k+l]:=t4+t2;
nk:=nn-k; for i:=2 to nk do
begin { Чувствительность АЧХ,ФЧХ }
cu(wr[k+i-l],wi[k+i-l],sr[k+i-l],si[k+i-l],vr,vi);
sr[k+i]:=vr+sr[k+i-2]; si[k+i]:=vi+si[k+i-2];
cu(sr[k+i],si[k+i],sar[k],sai[k],sra[k+i],sia[k+i]);
cu(sr[k+i],si[k+i],sbr[k],sbi[k],srb[k+i],sib[k+i]);
{ Чувствительность ГВЗ }
cu(star[k+i-l],stai[k+i-l],wr[k+i-l],wi[k+i-l],tl,t2);
cu(sra[k+i-l],sia[k+i-l],swr[k+i-l],swi[k+i-l],t3,t4);
star[k+i]:=star[k+i-2]+tl+t3; stai[k+i]:=stai[k+i-2]+t2+t4;
cu(stbr[k+i-l],stbi[k+i-l],wr[k+i-l],wi[k+i-l],tl,t2);
cu(srb[k+i-l],sib[k+i-l],SHr[k+i-l],sHi[k+i-l],t3,t4);
stbr[k+i]:=stbr[k+i-2]+tl+t3; stbi[k+i]:=stbi[k+i-2]+t2+t4;
end;
cu(-sra[nn],-sia[nn],tr,ti,far[k],fai[k]);


372
Приложения
cu(-srb[nn],-sib[nn],tr,ti,fbr[k],fbi[k]);
{ Чувствительность АЧХ,ФЧХ}
cu(star[nn],stai[nn],tr,ti,vr,vi); cu(sra[nn],sia[nn],tr,ti,tl,t2);
cu(hrh[nn],hih[nn],tr,ti,t3,t4); cu(tl,t2,t3,t4,t5,t6);
sadel[k]:=(vr-t5)/del; { Чувстительность ГВЗ по a}
cu(stbr[nn],stbi[nn],tr,ti,vr,vi); cu(srb[nn],sib[nn],tr,ti,tl,t2);
cu(tl,t2,t3,t4,t5,t6); sbdel[k]:=(vr-t5)/del;
{ Чувствительность ГВЗ по b}
sl:=sl+far[k]+fbr[k]; s2:=s2+far[k]*far[k]+fbr[k]*fbr[k];
{ Суммы ФЧ}
s3:=s3+fai[k]+fbi[k] ; s4:=s4+sadel[k]+sbdel[k] ;
s5:=s5+sqr(sadel[k])+sqr(sbdel[k]);
end; wcl:=0; pr:=0;
{ Энергетические функции }
for i:=l to n do
begin
cu(hr[i],hi[i],tr,ti,vr,vi); hr[i]:=vr; hi[i]:=vi; yr:=wr[i]; yi:=wi[i];
if (i=l) then yr:=wr[i]-g; if (i=n) then yr:=wr[i]-r;
cu(vr,vi,yr,yi,xr,xi); hm:=cmra(xr,xi); pr:=pr+hm*gr[i];
wb[i]:=hra*b[i]; if ((rg[i]=0) and (a[i]=0)) then goto 30; hrn:=hm/ww[i];
30:pr:=pr+hm*rg[i]; wa[i]:=hm*a[i]; wcl:=wcl+wb[i]+wa[i];
end; {Компоновка и вывод результатов }
wc:=0; wl:=0; i:=l; sll:=0; sl2:=0; scl:=0; sc2:=0;
sdll:=0; sdl2:=0; sdcl:=0; sdc2:=0;
repeat
if (i=n+l) then goto 10; wc:=wc+wa[i]; scl:=scl+far[i]; wl:=wl+wb[i];
sll:=sll+fbr[i]; sc2:=sc2+far[i]*far[i]; sl2:=sl2+fbr[i]*f br[i];
sdll:=sdll+sbdel[i]; sdl2:=sdl2+sqr(sbdel[i]);
sdcl:=sdcl+sadel[i]; sdc2:=sdc2+sqr(sadel[i]);
if (i=l) then goto 20;
10: wl:=wl+wa[i-l]; sll:=sll+far[i-l]; wc:=wc+wb[i-l]; scl:=scl+fbr[i-l];
sl2:=sl2+far[i-l]*far[i-l]; sc2:=sc2+fbr[i-l]*fbr[i-l];
sdll:=sdll+sadel[i-l]; sdl2:=sdl2+sqr(sadel[i-l]);
sdcl:=sdcl+sbdel[i-1]; sdc2:=sdc2+sqr(sbdel[i-1]);
20: i:=i+2;
until i>n+l;
bxmod:=cm(bxr,bxi); bxarg:=ca(bxr,bxi);
tmod:=cm(tr,ti); targ:=ca(tr,ti); tgb:=-8.6858*ln(tmod);
{ Вывод функций в файл на каждой частоте }
writeln(ff,' freq= >,xh[l]:ll);
writeln(ff,> wc \нс:11,> wl >,wl:ll,> wcl\ wcl:ll,' pr >,pr:ll);
writeln(ff,> fun >,tmod:ll,' >,targ:ll,> », tgb:ll,> \> del \del:15);
writeln(ff,' si >,sl:ll,> s2 >,s2:ll,> s3 \s3:ll,> s4 >,s4:ll);
writeln(ff,> invl ',^1:11,' inv2 ',1пу2:11,> inv3 »finv3:ll);'
writeln(ff,' scl »,scl:ll,» sc2 \sc2:ll,' sll ',sll:ll,' sl2 ',sl2:ll);
writeln(ff,> sdcl \sdcl:ll,> sdc2 \sdc2:ll,> sdll \sdll:ll,> sdl2 »
,sdl2:ll);
if r>0 then begin
vr:=2*r*bxr-l; vi:=2*r*bxi; smll:=cm(vr,vi); cd(dlr,dli,vr,vi,yr,yi);
yr:=-2*r*yr;
end;
2: if (r>0) and (g>0) then begin
sm21:=2*tmod*sqrt(r*g); tgb:=-8.6858*ln(sm21);
writeln(ff,' s21>,sm21:ll,> sll»,smll:11, > delll» ,yr:15 ,' gb\tgb:ll)
end else begin if r=0 then
writeln(ff,' ybx \bxr:ll,' \bxi:ll,> ', bxmod:ll,> \bxarg:ll,
' dbx>,dlr:ll);


Приложения
373
if g=0 then writeln(ff,' Isll',vi:11,' »,sin(pi*(l+targ/90)):11); end;
if g<>0 then begin P2 :=g*sqr(tmod) ; FW[L] :=wcl/P2; FA[L]:=tgb;
F1[L]:=wc/P2; F2[L]:=wl/P2; F3[L]:=del; end; нормировано к Р2=1
end; {L}
{ Обработка функций }
mm:=0; mml:=0; mm2:=0; nun3:=0; mra4:=0; mm5:=1000;
for i:=l to nf-1 do begin
if FW[i]>mm then mm:=FW[i] ; if Fl[i]>mml then mml:=Fl[i];
if F2[i]>mm2 then mm2:=F2[i]; if F3[i]>ihm3 then mm3:=F3[i];
if FA[i]>mm4 then mm4:=FA[i]; if FA[i]<mm5 then mm5:=FA[i];
end;
writeln(> wc(0)>,F1[1]:12,>wl(0)»,F2[l]:12,'w(O)>,FH[l]:12);
writelnC da>,(mm4-min5):12,> a(l)' ,FA[nf-l] :12,» aO' ,FA[nf] :12);
writeln(,ec=',minl:12,,wl=,,inm2:12,,wcl=,,inm:12,,del=,,iran3:12);
readln; nf:=nf-l;
{ Вывод функций в файл }
writelnCff,' начальная частота >,(xhn+xhd):12,' жат',xhd:12);
writeln(ff,' Функция затухания');
mm:=0; for i:=l to nf do begin
if FA[i]>mm then mm:=FA[i] ; writeln(ff,> »,xh[i] :8:4,> >,FA[i] :8:4);
end;
writeln(ff,' Максимум ',mra:12);
writelnCff,' Функция энергии');
mm:=0; for i:=l to nf do begin if FW[i]>mm then mm:=FW[i];
write(ff,' \FW[i]:12);
if((frac(i/5)=0) or (i=nf)) then writeln(ff) end;
writelnCff,' Максимум ',mm:12);
3: end; Close(ff); end.
Приложение 2. Программа расчета
оптимизированных по реактивной энергии ФПНЧ
и соответствующих аппроксимирующих функций
Программа OPTDEL рассчитывает функции оптимизированных по реактивной
энергии ФПНЧ, а также параметры элементов для случая двухсторонней
согласованной нагрузки. Расчет параметров элементов для других режимов включения
(двухсторонней несогласованной или односторонней нагрузок) может быть произведен
известными методами с помощью найденных по программе OPTDEL
аппроксимирующих функций оптимизированного ФПНЧ.
В программе использованы известные [9, 15] аналитические соотношения для
расчета полюсов функции передачи фильтров Баттерворта, Чебышева и Золотарева-
Кауэра. Для вычисления нормированных параметров элементов ФПНЧ Баттерворта
и Чебышева использованы также известные аналитические соотношения, а
реализация ФПНЧ Золотарева-Кауэра осуществлялась с использованием процедуры
реализации лестничных фильтров REALIZ, описание которой приведено в [37]. Эта
программа включена в библиотеку программ, которая реализована в виде модуля
MYLIB, представленного в приложении 4.
Обозначения рассчитанных параметров элементов соответствуют схеме на
рис. П2.1.
Исходные данные для расчета:
• тип фильтра задается путем присвоения идентификатору PAR значения 0
(Баттерворта), 1 (Чебышева) или 2 (Золотарева-Кауэра);
• порядок фильтра п;
• гарантированное затухание ао в полосе задерживания;
• граничная нормированная частота QK полосы задерживания
• сопротивление г и проводимость д резистивных нагрузок.


374
Приложения
Рис. П2.1. Нумерация параметров элементов фильтра
При каждом фиксированном числе элементов (порядке п) по заданным ао и
QK рассчитываются неравномерность затухания Да, параметры фильтра и
максимальное в полосе пропускания значение ГВЗ или реактивная энергия Wm. Затем
порядок п увеличивается на единицу и снова выполняется аналогичный расчет.
Увеличение п заканчивается при достижении минимального значения И^тоПт или если
уменьшение Wm происходит менее чем на 5 % при очередном увеличении п. При
этом будет получено значение неравномерности Да0пт, соответствующее
оптимизированному фильтру.
В процессе расчета на экран выводятся следующие значения:
• максимальное и минимальное значения ГВЗ и соответствующие им частоты;
• значения ГВЗ при Q = 0 и Q = 1;
• значения Да и ао для характеристики затухания.
Для полученного оптимизированного фильтра могут быть вычислены и
выведены следующие данные:
• полюсы и нули функции передачи;
• нули функции фильтрации;
• функции затухания и ГВЗ;
• параметры элементов ФПНЧ для случая двухсторонней согласованной нагрузки.
По программе OPTDEL для некоторых практически важных случаев были
получены аппроксимирующие функции оптимизированных по реактивной энергии ФПНЧ.
Параметры этих функций приведены в приложении 3.
Текст программы на алгоритмическом языке Pascal
Program OPTDEL;
{ РАСЧЕТ min ГВЗ (реактивной энергии) и оптимальных da;
полюсы и параметры фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра}
Uses Crt,MYLIB;
label 0,1,2,3,20,21,22,23,24,25,26,27,28,30;
var i,j,kk,mn,n,nl,PAR,il,i2,ml,L :longint;
f a,ff ,mm0,mm2 ,dd ,mm3 ,mm4 ,df 1 ,df2 ,k,kl ,k2 ,k3,p,am,a0,om,h,hl ,h2,
h3,h4,h5,h6,tl,da,b,bl,c,cl,c2,dl,d2,cc,load2,b0 :extended;
fl,f2,t :array[1..2000] of real;
y,rtv,rth,x,z,kv,kh,fh,fm :MM;
typ :MM1; ch :char; fff :text;
begin ClrScr;
PAR:=2; { Тип фильтра }
{Если PAR=0, то исходные данные: n,cc - ФНЧ Баттерворта}
{Если PAR=1, то исходные данные: n,da - ФНЧ Чебышева}
{Если PAR=2, то исходные данные: n,da,k - ФНЧ Кауэра}
if PAR=0 then goto 0 else if PAR=l then goto 1 else if PAR=2 then goto 2;
0: { Фильтр Баттерворта } n:=38; cc:=1.25;
for i:=l to n do begin
y[2*i-l]:=cc*sin((2*i-l)*pi/(2*n)); {Корни фильтра Баттерворта}
y[2*i]:=cc*cos((2*i-l)*pi/(2*n));
end;
writeln(' Полисы функции передачи n=,,n:2,> норм.множ.=',сс:12);


Приложения
375
for i:=l to n do writeln(-y[2*i-l]:16,у[2*i]:16); readln;
goto 30;
1: {Фильтр Чебышева}
{ Исходные данные - aO,omegaK,n (da рассчитывается); можно задать n,da(om)}
а0:=70; от:=1.3; n:=19; b:=a0+6-n*8.68589*LH(om+sqrt(om*om-l));
da:=4.342945*LN(EXP(0.1*b*LH(10))+l); b:=exp(0.1*da*ln(10))-l;
bl:=l/sqrt(b); с:=ln(bl+sqrt(bl*bl+l))/n; cl:=exp(c); c2:=exp(-c);
dl:=0.5*(cl-c2); d2:=0.5*(cl+c2); c:=l;
for i:=l to n do begin
y[2*i-l]:=dl*sin((2*i-l)*pi/(2*n)); { Корни фильтра Чебышева }
y[2*i]:=d2*cos((2*i-l)*pi/(2*n));
c:=c*(Sqr(y[2*i-l])+Sqr(y[2*i])); { Для нечетного п }
end; c:=l/Sqrt(c);
writelnC' Полисы функции передачи da=',da:16,' n=',n:2,' c=',c:16);
for i:=l to n do writeln(-y[2*i-l]:16,y[2*i]:16); readln;
z[l]:=(2*sin(pi/(2*n)))/dl; { Параметры фильтра Чебышева }
for i:=l to n-1 do z[i+l]:=(4*sin((2*i-l)*pi/(2*n))*
sin((2*i+l)*pi/(2*n)))/(z[i]*(Sqr(dl)+Sqr(sin(i*pi/n))));
z[n+l]:=(2*sin(pi/(2*n)))/(dl*z[n]);
writelnC Параметры фильтра I=>,n:2,' Z[I+1]=R2>);
for i:=l to n+1 do writelnC z>,i:2,> = ',z[i]:16); readln;
goto 30;
2: { ФНЧ Золотарева-Кауэра
исходные данные: n,da,omegak=l/k; или -rn,aO,omegak=l/k}
n:=7; om:=1.3; a0:=50; {da:=(-10/LI(10))*LI(1-0.01*0.01);}
k:=l/om; k2:=k*k; kl:=sqrt(l-k2); k3:=sqrt(kl); nl:=round((n-0.2)/2);
{ Определение da по аО и ом (2 строки) - блокируется при задании da}
h:=LI((l+k3)/(l-k3)); hi:=(a0/4.34294)-n*h-(n-4)*LI(2); h2:=l+EXP(hl);
da:=4.34294*LI(h2); bl:=exp(da*0.05*Ln(10)); if da<le-10 then
b:=0.5*Ln(2/(da*0.05*Ln(10)))/n else b:=0.5*Ln((bl+l)/(bl-l))/n;
cl:=exp(b); c2:=exp(-b); с:=sqr((cl+c2)/(cl-c2));
d2:=(c-k3)/(c-l/k3); dl:=d2*d2-l; am:=(0.5*n-l)*Ln(2)+
0.5*n*Ln((l+k3)/(l-k3))-Ln(2/sqrt(exp(da*0.1*Ln(10))-l));
cl:=sqrt(exp(am*2)-l); am:=am*8.68589; hi:=0.5*(l-k3)/(l+k3);h3:=l;
for i:=l to 9 do begin h3:=hl*h3; if i=5 then h2:=h3 end;
h:=hl+2*h2+15*h3; h2:=l;
for i:=l to 9 do begin h2:=h*h2; if i=4 then hl:=h2 end;
c2:=sqr(l+2*h+2*hl+2*h2)*k/n;
for i:=l to nl do begin
p:=2*i*pi/n; if n=2*nl then p:=(2*i-l)*pi/n; h3:=2*h*cos(p);
h4:=2*hl*cos(2*p); h5:=2*h2*cos(3*p); h6:=k3*(l+h3+h4+h5)/(l-h3+h4-h5);
fh[i]:=l/(l-h6*h6); tl:=sqrt(fh[i]);h3:=dl+k2*fh[i];
x[2*i-l]:=sqrt(dl*(fh[i]-l)*(k2*fh[i]-l))/h3;
x[2*i]:=d2*tl*sqrt(dl+k2)/h3;
end;
if n<>2*nl then begin x[n]:=sqrt(dl)/k; cc:=cl*c2 end else cc:=cl;
writelnC'Полисы функции передачи');
writelnC da^da:12,, k\k:12,' от'.от^г,' am',am: 12, ' c',cc:16);
for i:=l to nl do writeln(-x[2*i-l]:16,x[2*i]:16);
if n<>2*nl then writeln(-x[n] : 16);
writelnC'Нули функции передачи');
for i:=l to nl do begin
write(sqrt(fh[i]):16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln;
writelnC'Нули функции фильтрации');
for i:=l to nl do begin
writeCom*sqrtCl/fh[i]):16); if fracCi/4)=0 then writeln


376
Приложения
end; writeln; readln; if n=2*nl then goto 26;
for i:=l to nl+1 do begin
typ[2*i-l]:=1; typ[2*i]:=3; ml:=l; rtv[l] :=-x[n] ; rth[l]:=0;
end;
for i:=l to nl do begin
rtv[2*i]:=-x[2*i-l]; rtv[2*i+l]:=x[2*i];
rth[2*i]:=0; fm[i]:=sqrt(fh[i]); rth[2*i+l]:=om/fm[i]
end;
COMPOLCml,nl,1,rtv,kv); COMPOLCml,nl,1,rth,kh);
writelnC Коэффициенты v(p)');
for i:=0 to n do begin
writeC ' ,kv[i] :16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln;
REALIZECn,nl,fm,kv,kh,typ,1,z,load2);
writelnC Параметры элементов');
for i:=l to n+nl do begin
writeC »,z[i]:16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln; writelnC * R2=>,load2:16); readln;
26: CLRSCR;
for i:=l to nl do begin
y[4*i-3]:=x[2*i-l]; y[4*i-2]:=x[2*i]; y[4*i-l]:=x[2*i-l];
y[4*i] :=-x[2*i] ;
end;
if n>2*nl then begin y[2*n-l]:=x[n]; y[2*n]:=0 end;
{ Расчет ГВЗ }
30: mm0:=0; mm2:=1000; mm3:=0; mm4:=1000; mn:=round(om*1000);
{ Число частот } tl:=0.001; {маг}
for i:=l to ran do begin
fa:=0; ff:=0; t[i]:=tl*i; for kk:=l to n do begin
h3:=y[2*kk-l]; h4:=t[i]-y[2*kk] ; h5:=t[i]+y[2*kk] ; h:=h3*h3; M:=h4*h4;
h2:=h5*h5; fa:=fa+h3/(h+hl); {ГВЗ}
ff:=ff+(ln(h+h2)-ln(h+y[2*kk]*y[2*kk])); {АЧХ}
end;
fl[i]:=fa; if fl[i] >= mmO then begin mm0:=fl[i]; il:=i end; {max}
if fl[i] <= mm2 then begin mm2:=fl[i]; i2:=i end; {min}
if i <= 1000 then df 1 :=mm0-mm2; {drB3 в ПП}
f2[i]:=4.3429*ff; if (PAR=1) and (frac(n/2)=0) then f2[i]:=f2[i]+da;
if PAR=2 then begin { АЧХ Золотарева }
ff:=l; for kk:=l to nl do
ff:=ff*(l/(k2*fh[kk])-sqr(t[i]))/(fh[kk]-sqr(t[i])); ff:=ff*cl;
if n<>2*nl then ff :=ff*c2*t[i] ; f2[i] :=4.3429*Ln(l+sqr(ff));
end;
if f2[i] >= mm3 then mm3:=f2[i]; {max}
if f2[i] <= mm4 then mm4:=f2[i] ; {min}
if i <= 1000 then df2:=mm3-mm4; {da в ПП}
end;
{ Вывод в файл функций затухания и ГВЗ } AssignCfff,'datgdl.pas');
rewriteCfff); writeln(fff); writelnCfff); writeln(fff);
for i:=l to mn do begin
writelnCfff,' \Ctl*i):8:4,' » ,f 1 [i] :8:4, »> ,f2[i] :8:4) ; end; CloseCfff) ;
{Вывод на экран}
writelnC max',mm0:14,' i=',il:3,' min',mm2.14 , ' i=',i2:3);
writelnC tC0)=',fl[l]:14,' tCl)=',f1[1000]:14,' аГВЗ»,df1:14);
writelnC aCl) = ),f2[1000]:14,' da=',df2:14 , » aC0) = ',f2[mn]:14,mn:5);
end.


Приложения
377
Приложение 3. Таблицы для расчета
оптимизированных по реактивной энергии ФПНЧ
Чебышева и Золотарева-Кауэра
Методика расчета указанных фильтров изложена в гл. 3. Расчет таблиц
данного приложения выполнен на ЭВМ по программе, описание которой приведено в
приложении 2.
Функция передачи полиномиального LC-фильтра нижних частот Чебышева
может быть представлена в следующем виде:
где с — коэффициент; п\ — число вещественных полюсов Н(р); пг — число
комплексно-сопряженных пар полюсов; (п\ = О, пг = 0,5п при четном порядке
п функции передачи \л п\ = 1, П2 = 0,5(п — 1) при нечетном п); а/ —
вещественный полюс; otk и /Зк — вещественная и мнимая составляющие комплексно-
сопряженной пары полюсов.
В табл. П3.1 приведены коэффициенты с и корни аппроксимирующих
полиномов оптимизированных по реактивной энергии нормированных LC-фильтров
Чебышева для различных требований в полосе задерживания (Q^ = 1,2...2,0 и
а0 = 30...80 дБ). На основании этих данных может быть реализован LC-фильтр
для любого режима включения (с двухсторонней или односторонней нагрузкой) и с
минимальными реактивной энергией, массой и габаритами.
В табл. П3.2 представлены параметры нормированных аппроксимирующих
функций для оптимизированных по реактивной энергии LC-фильтров Золотарева-
Кауэра. Функция передачи таких фильтров представляется в виде:
где m и Qook — число и значения частот нулей функции передачи. Остальные
обозначения аналогичны принятым в предыдущей формуле. В табл. П3.2, кроме
указанных в последней формуле параметров, приведены также нули Qq/c функции
фильтрации.
Для оптимизированных по реактивной энергии ФПНЧ Чебышева с
двухсторонней нагрузкой были получены нормированные параметры элементов. Эти параметры
представлены в табл. ПЗ.З. Их нумерация соответствует рис. П3.1.
Рис. П3.1. Нумерация нормированных параметров ФПНЧ: а — п — нечетное;
6— п — четное


378
Приложения
Таблица П3.1
Параметры аппроксимирующих функций, оптимизированных
по реактивной энергии ФПНЧ Чебышева
ао, дБ
30
40
50
60
70
80
30
40
50
60
п
Даопт, дБ
7"опт
с
~<*к
Рк
-<**
Рк
й* = 1,2
12
15
17
20
22
24
0,005630
0,001346
0,001116
2.66Е-04
2.21Е-04
0,000184
23,94
31,14
39,26
46,79
55.71
65.25
73,71995
288,4634
1050,929
4109,456
14971,64
54544,88
0,0445161
0,1305148
0,2076192
0,0335301
0.0991250
0,1603877
0,2146406
0,0265473
0,0787380
0,1282474
0,1733894
0,2126269
0,0220198
0,0655173
0,1074015
0,1466411
0,1822699
0,0184740
0,0550460
0,0904975
0,1241067
0,1551894
0,1831130
0,0157602
0,0470111
0,0774575
0,1065786
0,1338762
0,1588831
1,0475197
0,9761329
0,8382244
1,0444359
0,9987890
0,9094903
0,7804425
1,0361293
1.0008452
0,9314784
0,8303913
0,7010262
1,0354350
1,0099392
0,9595753
0,8855834
0,7897856
1,0303543
1,0093793
0,9678562
0,9066303
0,8269481
0,7304316
1,0264214
1,0088591
0,9740349
0,9225446
0,8552694
0,7733603
0,2705746
0,3150908
0,3381340
0.2595127
0,2930429
0,3137657
0,3207754
0,24.46236
0,2682900
0,2828200
0,2877190
0,2134107
0,2392966
0,2592901
0,2728992
0,2797885
0,2073088
0,2272845
0,2426333
0,2530428
0,2583010
0,1811714
0,2003599
0,2161201
0,2281825
0,2363406
0,2404548
0,6431922
0,4043275
0,1379085
0,6172855
0,4271503
0,2183465
0
0,5477885
0,3758966
0,1912039
0
0,6745406
0,5426862
0,3974691
0,2424649
0,0814905
0,6190456
0,4950576
0,3609917
0,2195770
0,0736924
0,6782188
0,5714728
0,4549487
0,3306403
0,2006745
0,0672752
Qk = 1,3
10
13
15
17
0,004647
4.97Е-04
2.41Е-04
1Д7Е-04
16,03
20,75
25,80
31,09
16,74522
43,81970
122,0956
340,1972
0,0661725
0,1920401
0,2991095
0,0498201
0,1465651
0,2347923
0,3093741
0,0398802
0,1178977
0,1907626
0,2552902
0,0329802
0,0978176
0,1593240
0,2154048
0,2641502
1,0724190
0,9674431
0,7677672
1,0741610
1,0117347
0,8905100
0,7175321
1,0644458
1,0179244
0,9269148
0,7953946
1,0574313
1,0214218
0,9506289
0,8474636
0,7154388
0,3769000
0,4177969
0,3659763
0,4013093
0,4133196
0,3086603
0,3485406
0,3731879
0,3815252
0,3039003
0,3333015
0,3513524
0,3574385
0,4929369
0,1698544
0,5028539
0,2589516
0
0,6291118
0,4353339
0,2225297
0
0,5590507
0,3836247
0,1951349
0


Приложения
379
ао, дБ
70
80
п
Тэ]
21
ДаОПт. дБ
5.67Е-05
2.75Е-05
Топт
36,56
42,19
с
947,8978
2641,144
-Qfc
0,0279574
0,0831097
0,1359949
0,1851706
0,2292953
0,0241634
0,0719505
0,1181304
0,1616714
0,2016010
0,2370271
Продолжение
Рк
1,0521486
1,0234487
0,9668318
0,8838423
0,7767438
1,0480373
1,0246258
0,9783260
0,9101719
0,8216861
0,7148452
-ак
0,2671654
0,2977479
0,3202087
0,3339350
0,3385524
0,2671584
0,2913219
0,3089777
0,3197314
0,3233429
табл. П3.1
Рк
0,6484578
0,5024836
0,3428029
0,1737714
0
0,5920358
0,4560014
0,3097806
0,1566398
0
а* = 1,4 |
30
40
50
60
70
80
9
11
13
15
17
19
0,002883
8.99Е-04
2.80Е-04
8.74Е-05
2.72Е-05
8.5Е-06
12,06
15,74
19,54
23,43
27,39
31,41
6,597546
14,73543
32,91118
73,50621
164,1740
366,6782
0,0872748
0,2512979
0,3850108
0,0660027
0,1926611
0,3037112
0,0527044
0,1550504
0,2483854
0,3272851
0,0436884
0,1291559
0,2089786
0,2796680
0,0372113
0,1103668
0,1797639
0,2430394
0,2980384
0,0323523
0,0961743
0,1573729
0,2142789
0,2653398
1,1021942
0,9692533
0,7194061
1,0910920
1,0026982
0,8330718
1,0834571
1,0204905
0,8982167
0,7237418
1,0778930
1,0307839
0,9386246
0,8054429
1,0736612
1,0370990
0,9652196
0,8604708
0,7264197
1,070336
1,04114
0,9835445
0,8991204
0,7901706
0,4722857
0,5025959
0,3901564
0,4449934
0,4637798
0,3871642
0,4245427
0,4372484
0,3381345
0,3818229
0,4088239
0,4179572
0,3428881
0,3760612
0,3964279
0,4032948
0,309163
0,344553
0,3705445
0,3864286
0,3917718
0,3827880
0
0,5959548
0,3105571
0
0,5072057
0,2611926
0
0,6370595
0,4408335
0,2253410
0
0,5676312
0,3895127
0,1981299
0
0,6596671
0,5111695
0,3487286
0,1767753
0
Q* = 1,5
30
40
50
60
9
10
12
14
5.17Е-04
7.55Е-04
1.60Е-04
3.42Е-05
9,722
12,66
15,66
18,71
2,795518
6,752727
12,46287
23,00033
0,1062398
0,3059055
0,4686744
0,0818963
0,2376725
0,3701837
0.0655120
0.1920715
0,3055416
0,0544803
0,1607092
0,2588794
0,3440684
1,1545008
1,0152509
0,7535468
1,1148512
1,0057218
0,7981453
1,1093158
1,0337178
0,8876736
1,1051072
1,0496925
0,9416418
0,7863733
0,5749142
0,6118110
0,4664587
0,5170734
0,3981896
0,4637016
0,4976131
0,4120043
0,4592806
0,4835267
0,4009539
0
0,5124408
0,1765750
0,6811359
0,4281799
0,1460442
0,5916728
0,3673033
0,1245156


380
Приложения
а<э. дБ
70
80
30
40
50
60
70
80
30
40
50
60
70
80
п
16
17
Ааопт, дБ
7.28Е-06
1,06Е-05
Тот
21,80
25,42
с
42,44678
102,5415
-Qffc
0,0465734
0,1379306
0,2239872
0,3014360
0,0399804
0,1185797
0,1931409
0,2611250
0,3202167
Рк
1,1018154
1,0594732
0,9764161
0,8558359
1,0851921
1,0482372
0,9755858
0,8697120
0,7342212
Окончание табл. П3.1
-&к
0,3673009
0,4190506
0,4546964
0,4728684
0,3684039
0,4040455
0,4259278
0,4333056
Рк
0,7023663
0,5219053
0,3213877
0,1085193
0,5737274
0,3936960
0,2002577
0
G* = 1,7 |
8
9
11
12
14
15
2.70Е-04
2.86Е-04
3.20Е-05
3.39Е-05
3.79Е-06
4.01 Е-06
7.037
9,102
11,24
13,56
15,72
18.24
1,010862
2,079326
2,781996
5,722315
7,656093
15,74796
0,1459880
0,4157388
0,1129928
0,3253498
0,4984648
0.0906275
0,2645404
0,4170219
0,0751297
0,2202693
0,3503979
0,0644421
0,1900950
0,3062157
0,4069816
0,0555757
0,1642982
0,2658400
0,3557634
1,2249878
1,0384945
1,1749420
1,0332267
0,7668889
1,1734820
1,0784135
0,8959783
1,1439511
1,0659927
0,9153887
1,1465510
1,0890581
0,9769553
0,8158639
1,1263520
1,0771250
0,9808225
0,8416533
0,6221971
0,7339315
0,6114576
0,6506996
0,5357187
0,6110147
0,6368100
0,4566475
0,5317773
0,5706673
0,4873396
0,5432604
0,5719399
0,4301383
0,4857140
0,5200616
0,5316801
0,6938998
0,2436652
0,4080531
0
0.6409563
0,3340078
0
0,7024024
0,4415486
0,1506040
0,6138617
0,3810779
0,1291852
0,6656999
0,4606521
0,2354716
0
Qk=2
7
8
10
11
12
14
1.70Е-04
1.22Е-04
6.29Е-06
4.51-06Е
3.24Е-06
1.67Е-07
4.998
6.460
7.985
9,556
11,22
12,72
0,400448
0,678614
0,616302
1,044423
1,769941
1,607399
0,2047881
0,5738037
0,1583122
0,4508351
0,1269316
0,3683699
0,5737495
0,1060340
0,3095118
0,4879148
0,0902396
0,2645693
0,4208690
0,0792760
0,2338528
0,3767033
0,5006643
1,3249590
1,0625346
1,2630834
1,0707904
1,2719252
1.1474203
0,9105979
1,2343531
1,1343531
0,9424546
1,2053168
1,1231764
0,9644935
1,2175831
1,1565284
1,0374806
0,8664091
0,8291704
0,9203097
0,6747225
0,7958894
0,7229666
0,8014147
0,6267899
0,7148862
0,7450666
0,5484872
0,6387268
0,6854383
0,5995199
0,6683131
0,7035942
0,5896622
0
0,7154793
0,2512429
0,5846398
0,2014531
0,6742040
0,3513335
0
0,7400819
0,4652349
0,1586829
0,6518922
0,4046868
0,1371886


Приложения
381
Таблица П3.2
Параметры аппроксимирующих функций, оптимизированных
по реактивной энергии ФПНЧ Золотарева-Кауэра.
ао. дБ |
п
Аоопт, дБ
^ОПТ
30
40
50
60
70
80
11
13
15
15
17
19
1.58068Е-06
1,83746Е-07
2Д3420Е-08
2Д3423Е-07
2.47868Е-08
2.87872Е-09
15,52
20,12
24,79
31.11
35,99
40,88
с
-01 к
Рк
Ъоок
Пок
Я* = 1,1 |
3,861241
10,33647
28,32986
89,58742
249,9712
707,2713
1,0722874
0,4314640
0,1744596
0,0692733
0,0184907
1,7920049
1,1523891
0,5713979
0,2697914
0,1275476
0,0567876
0,0161506
1,6261006
1,1877368
0,6857869
0,3655466
0,1931855
0,1006528
0.0481734
0,0142562
1,5180188
1,001798
0,6324893
0,3584469
0,1960303
0,1040078
0,0502393
0,0149250
1,2121510
1,0226039
0,7060629
0,4377303
0,2604542
0,1517167
0,0853737
0,0431647
0,0131517
1,1844063
1,0351014
0,7641339
0,5088793
0,3238668
0,2018589
0,1234503
0,0725390
0.0378965
0,0117541
1.1630075
1,1021270
1,1939520
1,1324504
1,0921329
1,0754581
0,9311398
1,1481213
1,1347455
1,1013981
1,0801370
1,0707225
0,7950086
1,0840387
1,1220942
1,1049195
1,0855709
1,0730903
1,0673226
0,6338434
0,9450592
1,0400679
1,0598138
1,0603481
1,0578466
1,0562241
0,5619782
0,8844835
1,0104312
1,0487849
1,0572710
1,0573572
1,0559396
1,0549943
0.5034201
0,8259989
0,9757136
1,0325921
1,0509075
1,0553132
1,0554009
1,0546001
1,0540405
2,7455133
1,5745159
1,2583530
1,1440523
1,1043195
3,1980763
1,7721046
1,3636632
1,2009559
1,1302993
1,1030791
3,6561784
1,9793988
1,4809093
1,2707001
1,1706039
1,1221944
1,1023063
3,6561784
1,9793988
1,4809093
1,2707001
1,1706039
1,1221944
1,1023063
4,1179067
2,1932560
1,6065837
1,3497569
1,2207234
1,1524330
1,1169929
1,1017923
4,5821353
2,4117387
1,7383892
1,4357989
1,2782321
1,1904588
1,1406166
1,1134454
1,1014329
0.4006536
0,6986273
0,8741585
0,9614944
0,9960884
0,3439567
0,6207308
0,8066507
0,9159370
0,9731935
0,9972086
0,3008605
0,5557242
0,7427868
0,8656645
0,9396858
0,9802222
0,9979076
0,3008605
0,5557242
0,7427868
0,8656645
0,9396858
0,9802222
0,9979076
0,2671260
0,5015374
0,6846826
0,8149615
0,9011049
0,9545023
0,9847869
0,9983732
0,2400627
0,4561024
0,6327696
0,7661239
0,8605635
0,9240134
0,9643906
0,9879244
0,9986989


382
Приложения
ао. дБ
n
Ааопт, дБ
Топт
с
-Qffc
Продолжение табл. П3.2
Pk
Поок
По*
Я* = 1,2
30
40
50
60
70
80
11
11
13
15
15
17
2.37158E-08
2.37372E-07
1.28486E-08
6.95405E-10
6.95407E-09
3.76370E-10
7,829
10,54
12,89
15,24
18,50
20,87
3,151261
9,969663
26,67779
73,11467
231,2092
645,1314
1,3711520
0,5770058
0,2483404
0,1051055
0,0292558
2,2527316
1,1871856
0,5858709
0,2712114
0,1183763
0,0333316
1,6757331
1,2640377
0,7311414
0,3887510
0.2013394
0,0959595
0,0283529
1,6135092
1,3096715
0,8492441
0,5011899
0,2879029
0,1606712
0,0809881
0,0246624
1,5698765
1,1203786
0,7767850
0,4835710
0,2872521
0,1634491
0,0832561
0,0254693
1,2954937
1,1578420
0,8592059
0,5761881
0,3687951
0,2293280
0,1364267
0,0719164
0,0224149
1,2984215
1,2976116
1,3688547
1,2621006
1,1924312
1,1622854
0,9656403
1,1945839
1,1846560
1,1542767
1,1381366
0,8386791
1,1431984
1.1823717
1,1637766
1,1442497
1,1340897
0.7354542
1,0802124
1,1663615
1,1672663
1,1514783
1,1381229
1,1312266
0,5990636
0,9407892
1,0715341
1,1089247
1,1153603
1,1140358
1,1123640
0,5413617
0,8858153
1,0423268
1,0985603
1,1140056
1,1156545
1,1139444
1,1125383
3,3191623
1,8445718
1,4261705
1,2654432
1,2065577
3,3191623
1,8445718
1,4261705
1,2654432
1,2065577
3,8803799
2,0981069
1,5682849
1,3466388
1,2453181
1,2046783
4,4466695
2,3609754
1,7228950
1,4430526
1,3036936
1,2333396
1,2035059
4,4466695
2,3609754
1.7228950
1,4430526
1,3036936
1,2333396
1,2035059
5,0162659
2,6300498
1,8859865
1,5497306
1,3742476
1,2775959
1,2256007
1,2027254
0,3615370
0,6505574
0,8414140
0,9482843
0,9945648
0,3615370
0,6505574
0,8414140
0,9482843
0,9945648
0,3092480
0,5719441
0,7651670
0,8911075
0,9636092
0,9961165
0.2698648
0,5082644
0,6965020
0,8315704
0,9204616
0,9729679
0,9970868
0,2698648
0,5082644
0,6965020
0,8315704
0,9204616
0,9729679
0,9970868
0,2392217
0,4562651
0,6362717
0,7743280
0,8732050
0,9392640
0,9791116
0,9977339
Пк = 1,3
30
9
3.61444E-07
5,536
3,337648
1,2569659
0,5099652
0,1987991
0,0528735
2,0860807
1,2529516
1,3479206
1,2712625
1,2286616
3,1620798
1,7973201
1,4302069
1,3125533
0,4111218
0,7232990
0,9089593
0,9904359


Приложения
383
ао. дБ
40
50
60
70
80
п
11
13
13
15
15
АаОПт, дБ
1Д2460Е-08
3.49636Е-10
3,49641 Е-09
1,08691Е-10
1.08692Е-09
топт
7.099
8,671
10,71
12,29
14,62
с
8,639457
23,11830
73,10691
200,3601
633,5951
-ак
1,4119555
0,7118049
0,3394601
0,1526437
0,0438077
1,9775957
1,5026655
0,8830165
0,4805787
0,2555773
0,1247209
0,0373751
1,9073738
1,2861401
0,8265421
0,4785495
0,2634785
0,1308998
0,0395255
1,5457935
1,3464220
0,9453196
0,5998740
0,3646816
0.2124425
0.1103401
0,0341326
1,5500626
1,1620313
0,8582032
0,5698153
0,3573784
0,2122393
0,1114406
0,0346416
1,3049918
Продолжение
Рк
1,0851367
1,3242611
1,2933629
1,2453661
1,2203677
0,9427476
1.2717960
1.2984504
1,2629752
1,2312025
1,2149260
0,7447669
1,0987846
1,1934017
1,2017568
1,1926916
1,1858884
0,6684351
1,0417145
1,1744830
1,2031226
1,1998640
1,1913911
1,1860616
0,5560793
0,9115930
1,0753792
1,1364890
1,1554665
1,1598593
1,1603196
Яоо*
3,8053415
2,0813046
1,5804807
1,3825944
1,3083558
4,4566924
2,3803772
1,7521443
1,4832273
1,3573664
1,3059631
4,4566924
2,3803772
1,7521443
1,4832273
1,3573664
1,3059631
5,1129361
2,6887268
1,9368916
1,6009975
1,4302069
1,3422839
1,3044698
5,1129361
2,6887268
1,9368916
1,6009975
1,4302069
1,3422839
1,3044698
табл. П3.2
Пок
0,3416250
0,6246082
0,8225345
0,9402612
0,9936134
0,2916961
0,5461319
0,7419480
0,8764670
0,9577369
0,9954339
0,2916961
0,5461319
0,7419480
0,8764670
0,9577369
0,9954339
0,2542570
0,4835002
0,6711784
0,8119937
0,9089593
0,9684985
0,9965734
0,2542570
0,4835002
0,6711784
0,8119937
0,9089593
0,9684985
0,9965734
Q* = 1,5
30
40
9
11
8.32444Е-09
1.12044Е-10
3,440
4,408
2,697300
6,981925
1,6047321
0.6703927
0,2708974
0,0738966
2,6336904
1,8001247
0,9265744
0,4547931
0,2103880
0,0614679
2,5022272
1,5072527
1,5886742
1,4681225
1,4022385
1,3067287
1,5708449
1.5071507
1.4302118
1,3903973
3,8748343
2,1532152
1,6751161
1,5171078
4,6774672
2,5156984
1,8727660
1.6116167
1,5113940
0,3871133
0,6966326
0,8954602
0,9887233
0,3206863
0,5962558
0,8009543
0,9307423
0,9924612


384
Приложения
ао, дБ
50
60
70
80
n
11
13
13
15
Дйопт. ДБ
1.12054Е-09
1.50687Е-11
1.50687Е-10
2.02638Е-12
ТОПТ
5,590
6,566
7,890
8,852
с
22,07980
59,08090
186,8305
512,0360
-&к
1,5508403
0,9000876
0,4733534
0,2263869
0,0670345
1,9748307
1,6581893
1,0827189
0,6416802
0,3626683
0,1843644
0,0564277
1,9817786
1,4316783
0,9995174
0,6248230
0.3650331
0,1889845
0,0583077
1,6506107
1,5153781
1,1333263
0,7669997
0,4921859
0,2990888
0,1600182
0,0502727
1,6943719
Продолжение табл. П3.2
Рк
0,9960533
1,3501141
1,3879091
1,3616432
1,3415952
0,8893236
1,2978086
1,3898213
1,3808061
1,3565589
1,3416202
0,7192444
1.1222527
1.2676596
1.3018493
1,3025462
1.2985793
0,6587036
1,0710937
1.2495666
1.3052999
1.3137467
1.3091790
1,3047705
Поок
4,6774672
2,5156984
1,8727660
1,6116167
1,5113940
5,4881457
2,8940644
2,0951207
1,7452726
1,5777433
1,5081339
5,4881457
2,8940644
2,0951207
1,7452726
1,5777433
1,5081339
6,3036640
3,2819796
2,3318757
1,8995002
1,6751161
1,5574063
1,5060982
По*
0,3206863
0,5962558
0,8009543
0,9307423
0,9924612
0,2733163
0,5183022
0,7159492
0,8594645
0,9507249
0,9946066
0,2733163
0,5183022
0,7159492
0,8594645
0,9507249
0,9946066
0,2379568
0,4570412
0,6432589
0,7896813
0.8954602
0.9631397
0,9959509
П* = 1,7
30
40
50
60
9
9
11
11
4.50066Е-10
4.50473Е-09
ЗД6794Е-11
ЗД6798Е-10
2,547
3,391
4,109
5,053
2,290758
7,247286
18,75190
59,29906
1,9193815
0,8134812
0,3344824
0,0923441
3,1327253
1,6784643
0,8334960
0,3679179
0,1042366
2,3553205
1,8658547
1,0943861
0,5838916
0,2831747
0,0845771
2,3668730
1,6034022
1,0279388
0,5827966
0,2919796
0,0884163
1,9262610
1,7490084
1,8228811
1,6649167
1,5789630
1,2900290
1,5753284
1,5446386
1,5032792
1,1502917
1,5468464
1,5748281
1,5323552
1,5028397
0,9044926
1,3294631
.1,4383028
1,4457390
1,4375546
4,5396315
2,4925076
1.9149016
1,7211276
4,5396315
2,4925076
1,9149016
1,7211276
5,4887313
2,9260791
2,1548483
1,8372906
1,7140749
5,4887313
2,9260791
2,1548483
1,8372906
1,7140749
0,3744797
0,6820440
0,8877740
0,9877245
0,3744797
0,6820440
0,8877740
0,9877245
0,3097254
0,5809822
0,7889186
0,9252754
0,9917885
0,3097254
0,5809822
0,7889186
0,9252754
0,9917885


Приложения
385
Окончание табл. П3.2
о-о, дБ
70
80
п
13
13
Ааопт, дБ
2.22765Е-12
2.22766Е-11
Топт
5,760
6,796
с
158,6711
501,7628
-Qffc
1,7329686
1,2195905
0,7713446
0,4564921
0,2389869
0,0742157
1.9923076
1.5066666
1.1152061
0,7377366
0,4500740
0.2398331
0.0750781
1.6897493
Pk
0,8267352
1,2825376
1,4376185
1,4651997
1,4573431
1,4482779
0,6831581
1,1146528
1,3068476
1,3730168
1,3900336
1.3925081
Яоо*
6.4461148
3,3766335
2,4227609
2,0003215
1,7957546
1.7100493
6,4461148
3,3766335
2,4227609
2,0003215
1,7957546
1,7100493
Яо*
0,2637247
0,5034600
0,7016787
0,8498633
0,9466771
0,9941233
0,2637247
0,5034600
0,7016787
0.8498633
0,9466771
0,9941233
Таблица ПЗ.З
Нормированные параметры элементов, оптимизированных
по реактивной энергии ФПНЧ Чебышева
«1
С*2
с*з
<*4
&ь
«6
a7
«8
<*9
otiO
Ofi 1
Q\2
c*i3
ai
Of2
Qf3
aA
«5
«6
a7
a*
«9
OflO
»n
»12
»13
»14
«15
1 «16
1,2
0.7654331
1.4240293
1,7863705
1,7546824
1,9287100
1,8103613
1,9455597
1,7946825
1,8857227
1,6622342
1,5303763
0,7122426
1,0746803
0,6517235
1,3567238
1,6976537
1,7580750
1,8799356
1,8437765
1,9243408
1,8619645
1,9243408
1,8437765
1,8799356
1,7580750
1,6976537
1,3567238
0,6517235
1
1,3
0,7396344
1,3995843
1,7494827
1,7283872
1,8798112
1,7607449
1,8452654
1,6386713
1,4942279
0,6927863
1,0676226
0,5832613
1,2850668
1,6210242
1,7184409
1,8189683
1,8090142
1,8566890
1,8090142
1,8189683
1,7184409
1,6210242
1,2850668
0,5832613
1
fifc
1,4
1.5
a0 = 30 дБ
0,6910050
1,3599093
1,6921705
1,6971754
1,8117083
1,6971754
1,6921705
1,3599093
0,6910050
1
0,567653
1,2453141
1,5622867
1,6392753
1,7058594
1,6392753
1,5622867
1.2453141
0,567653
1
a0 = 40 дБ
0,6137172
1,3085502
1,6389426
1,7100621
1,8110545
1,7736223
1,8110545
1,7100621
1,6389426
1,3085502
0,6137172
1
0,5976268
1,2862341
1,6113352
1,6843037
1,7732956
1,7271288
1,7293258
1,5693850
1,3206156
0,5820679
1,0267303
1.7
0,5214156
1,1770390
1,4810225
1,5581750
1,5829818
1,4578135
1,1957780
0,5132446
1.0159204
0,5337276
1,2041346
1,5208920
1,6134355
1,6721036
1,6134355
1,5208920
1,2041346
0,5337276
1
2 J
0,4835783
1,1085583
1,3899986
1,4424390
1,3899986
1,1085583
0,4835783
1
0,4808248
1,1201577
1,4238657
1,5151070
1,5312578
1,4088476
1,1320984
0,4757533
1,0106598


386
Приложения
Продолжение табл. ПЗ.З
Ofl
«2
«3
О4
«5
«6
a7
«8
«9
«10
ОГЦ
Qfi2
«13
Qfl4
«15
«16
«17
«18
«1
«2
«3
«4
«5
«6
«7
«8
«9
«10
«11
«12
«13
«14
«15
«16
«17
«18
«19
«20
«21
1.2
0,6413781
1,3511911
1,6931429
1,7632051
1,8826576
1,8551059
1,9335519
1,8813439
1,9454517
1,8813439
1,9335519
1,8551059
1,8826576
1,7632051
1,6931429
1,3511911
0,6413781
1
0,5591168
1,2692449
1,6156480
1,7377423
1,8410860
1,8538408
1,9077961
1,8926248
1,9309335
1,9046767
1,9347709
1,9008990
1,9225286
1,8781214
1,8831318
1,8124490
1,7651989
1,5905175
1,2892992
0,5504200
1,0158001
1.3
0,5479504
1,2489914
1,5911012
1,7128317
1,8116189
1,8221558
1,8680597
1,8459389
1,8680597
1,8221558
1,8116189
1,7128317
1,5911012
1,2489914
0,5479504
1
0,5162753
1,2111682
1,5599046
1,7012009
1,8003740
1,8257697
1,8695057
1,8626687
1,8859898
1,8626687
1,8695057
1,8257697
1,8003740
1,7012009
1,5599046
1,2111682
0,5162753
1
Q
1.4
*
1,5
a0 = 50 дБ
0,5513418
1,2481008
1,5856026
1,7001557
1,7954453
1,7977047
1,8360517
1,7977047
1,7954453
1,7001557
1,5856026
1,2481008
0,5513418
1
ao = 60 1
0,5001872
1,1853756
1,5329230
1,6782901
1,7748245
1,8013454
1,8386408
1,8285350
1,8386408
1,8013454
1,7748245
1,6782901
1,5329230
1,1853756
0,5001872
1
0,520121
1,2045953
1,5412715
1,6669722
1,7554345
1,7614446
1,7830140
1,7341987
1,6873847
1,5226265
1,2193459
0,5138290
1,0122452
;Б
0,4602040
1,1227348
1,4729600
1,6332797
1,7290872
1,7633168
1,7921162
1,7820811
1,7732462
1,7194050
1,6424769
1,4647120
1,1290571
0,4576270
1,0056311
1.7
0,4469616
1,0911128
1,4291517
1,5787131
1,6587364
1,6702783
1,6587364
1,5787131
1,4291517
1,0911128
0,4469616
1
0,4535374
1,1060669
1,4493081
1,6034382
1,6909907
1,7137449
1,7233485
1,6815674
1,6124237
1,4412317
1,1122651
0,4510100
1,0056038
2
0,3855893
0,9772787
1,3088696
1,4665691
1,5357871
1,5320943
1,4701041
1,3057224
0,9796342
0,3846622
1,0024103
0,3820190
0,9756125
1,3161842
1,4865246
1,5709930
1,5916797
1,5709930
1,4865246
1,3161842
0,9756125
0,3820190
1


Приложения
387
Окончание табл. ПЗ.З
«1
«2
«3
а4
«5
«6
а7
«8
Of9
«10
«11
«12
«13
«14
«15
«16
«17
«18
«19
«20
«21
«22
«23
«1
«2
«3
«4
«5
«6
«7
«8
«9
«10
«11
«12
«13
«14
«15
«16
«17
«18
«19
«20
«21
«22
«23
«24
| «25
1,2 "|
0,5509649
1,2608730
1,6093176
1,7371615
1,8402953
1,8573277
1,9101654
1,8990508
1,9364191
1,9147725
1,9450374
1,9174629
1,9423084
1,9089667
1,9263605
1,8830853
1,8840374
1,8142056
1,7621431
1,5865026
1,2790053
0,5431539
1,0143807
0,5428304
1,2518925
1,6022474
1,7354553
1,8384267
1,8593262
1,9109825
1,9033435
1,9394237
1,9214189
1,9508383
1,9276076
1,9528393
1,9256324
1,9465696
1,9143654
1,9282575
1,8862916
1,8836641
1,8146733
1,7581717
1,5815456
1,2682793
0,0535817
| 1,0130896
1,3
0,4878378
1,1729619
1,5282075
1,6857120
1,7870523
1,8239115
1,8664994
1,8700427
1,8926269
1,8817861
1,8926269
1,8700427
1,8664994
1,8239115
1,7870523
1,6857120
1,5282075
1,1729619
0,4878378
1
0,4622342
1,1351871
1,4964044
1,6676305
1,7724354
1,8185633
1,8611158
1,8722513
1,8941568
1,8913109
1,9029823
1,8913109
1,8941568
1,8722513
1,8611158
1,8185633
1,7724354
1,6676305
1,4964044
1,1351871
0,4622342
1
Q
1,4
к
1,5
а0 = 70 дБ
0,4575727
1,1238382
1,4810641
1,6496324
1,7515988
1,7947263
1,8330178
1,8388218
1,8527039
1,8388218
1,8330178
1,7947263
1,7515988
1,6496324
1,4810641
1,1238382
0,4575727
1
а0 = 80 ;
0,4215686
1,0651915
1,4302039
1,6169955
1,7265644
1,7822011
1,82328
1,8393735
1,8557734
1,8541045
1,8557734
1,8393735
1,82328
1,7822011
1,7265644
1,6169955
1,4302039
1,0651915
0,4215686
1
0,4125678
1,0455869
1,4064052
1,5914838
1,6982455
1,7508570
1,7863678
1,7954196
1,8000771
1,7817458
1,7553989
1,6938515
1,5956122
1,4027663
1,0482992
0,4115003
1,0025941
*Б
0,4258811
1,0706117
1,4320445
1,6139585
1,7202585
1,7717816
1,8096226
1,8205727
1,8314339
1,8205727
1,8096226
1,7717816
1,7202585
1,6139585
1,4320445
1,0706117
0,4258811
1
1,7
0,3890634
0,9984413
1,3550377
1,5423905
1,6473964
1,6977393
1,7241051
1,7208855
1,7009156
1,6443200
1,5452762
1,3525073
1,0003093
0,3883369
1,0018709
0,3932005
1,0082394
1,3679044
1,5574146
1,6651939
1,7191572
1,7512892
1,7567184
1,7512892
1,7191572
1,6651939
1,5574146
1,3679044
1,0082394
0,3932005
1
2 |
0,3775963
0,9709745
1,3183358
1,4983823
1,5934262
1,6296358
1,6324550
1,5906744
1,5009744
1,3160591
0,9726543
0,3769442
1,0017299
0,3162631
0,8490693
1,2004610
1,4083513
1,5284132
1,5929059
1,6223248
1,6216883
1,5935311
1,5278135
1,4089041
1,1999900
0,8494026
0,3161390
1,0003925


388
Приложения
Приложение 4. Программа синтеза фильтров
Чебышева и Золотарева-Кауэра с учетом потерь
и с минимальной реактивной энергией
Программа OPTW реализует методику синтеза, которая разработана в разд. 3.5.
Там же рассмотрены примеры синтеза фильтров по данной программе. Для расчета
задаются следующие исходные данные:
• тип фильтра — Чебышева (PAR = 1) или Золотарева-Кауэра (PAR = 2);
• порядок фильтра п;
• гарантированное затухание ао;
• неравномерность затухания Да в полосе пропускания;
• граничная нормированная частота QK полосы задерживания;
• коэффициент потерь dr.
В качестве начального фильтра-прототипа используется оптимизированный по
реактивной энергии ФПНЧ, который может непосредственно задаваться в исходных
данных (Да = ДаОПт) или определяется в ходе расчета. При этом определяются
полюсы его функции передачи. Затем определяются предыскаженная функция
передачи и минимальное значение АКХ, по которым формируется реализуемая функция
передачи и характеристический полином h\(p) (см. разд. 3.5), корни для которого
отбираются из левой полуплоскости комплексного переменного.
По найденной функции передачи и характеристическому полиному
рассчитываются и выводятся нормированные параметры элементов лестничного ФНЧ с
использованием программы REALIZ [37]. Анализ характеристик реализованного фильтра
производится по упрощенной программе LAD (приложение 1), в которой
вычисляются только необходимые функции затухания и реактивной энергии. Упомянутые
программы включены в библиотеку программ, реализованную в виде модуля MYLIB,
текст которого приведен после текста программы OPTW.
Кроме указанных программ, в библиотечный модуль включены другие
необходимые подпрограммы, реализующие алгебраические операции с полиномами
(вычисление корней, составление полинома по его корням, вычисление значений
полинома и его производной по заданному значению переменной, сложение, умножение
и деление полиномов), а также программа FINDPOL, по которой определяется
полином h(p) для функции фильтрации по известным полиномам числителя /(р) и
знаменателя v(p) функции передачи (см. соотношение (1.11)). Описание этих
программ приведено в [37].
Необходимо отметить, что программы, представленные в библиотечном
модуле, позволяют производить реализацию (расчет параметров элементов) лестничного
LC-фильтра по заданной функции передачи для любого режима включения
нагрузочных сопротивлений.
В результате расчета выводятся на печать следующие данные:
• полюсы и нули первичного ФПНЧ;
• нули функции фильтрации;
• параметры элементов оптимизированного по реактивной энергии фильтра с
компенсацией потерь;
• функции затухания и реактивной энергии или их параметры для полученного
фильтра с компенсацией потерь и с минимальной реактивной энергией.
Эти данные могут рассчитываться для двух вариантов фильтра: первый — с
нулями коэффициента отражения в левой, а второй — в правой полуплоскости
комплексной переменной.
Ниже в качестве примера приведены результаты расчетов для следующих
исходных данных: фильтр Чебышева, ао = 70 дБ, QK = 1,3, п = 19, Да = ДаОПт =
5,7 • 10~5 (т.е. в качестве первичного используется оптимизированный ФПНЧ).
Реализуется фильтр на элементах с потерями. Коэффициент потерь d = 0,02.
Данный пример рассмотрен в разд. 3.5. В результате расчета получены
полюсы функции передачи (выведены вещественная и мнимая части одного из полюсов
комплексно-сопряженной пары), коэффициенты и нули характеристического
полинома h(p), параметры элементов (нумерация параметров соответствует схеме,
приведенной в приложении 2), а также энергетические показатели.


Приложения
389
Пример вывода результатов расчета по программе OPTW
ПОЛЮСЫ ФУНКЦИИ ПЕРЕДАЧИ ПЕРВИЧНОГО ФПНЧ
n=19 da= 5.6783830Е-0005
-2.7957438Е-0002 1.0521486Е+0000 -8.3109707Е-0002 1.0234488Е+0000
-1.3599496Е-0001 9.6683189Е-0001 -1.8517063Е-0001 8.8384235Е-0001
-2.2929532Е-0001 7.7674389Е-0001 -2.6716543Е-0001 6.4845789Е-0001
-2.9774797Е-0001 5.0248364Е-0001 -3.2020872Е-0001 3.4280295Е-0001
-3.3393501Е-0001 1.7377149Е-0001 -3.3855243Е-0001 -0.0000000Е+0000
МИНИМУМ АКХ 4.5806472Е-0002 i= 10504
КОЭФФИЦИЕНТЫ h(p)
7.0837707Е-0001
1.0664058Е+0001 8.0353674Е+0001 4.0277593Е+0002 1.5055650Е+0003
4.4621454Е+0003 1.0877575Е+0004 2.2359168Е+0004 3.9349401Е+0004
6.0029723Е+0004 7.9738577Е+0004 9.2893688Е+0004 9.4390851Е+0004
8.4217947Е+0004 6.4528008Е+0004 4.3072957Е+0004 2.3455996Е+0004
1.0955855Е+0004 3.4775994Е+0003 9.4789783Е+0002
КОРНИ h(p) В ЛЕВОЙ П\ПЛ
-2.9790302Е-0001 3.4266477Е-0001 -2.7552308Е-0001 5.0227929Е-0001
-2.0730868Е-0001 7.7641246Е-0001 -1.6332344Е-0001 8.8344137Е-0001
-1.1426462Е-0001 9.6633471Е-0001 -6.1333248Е-0002 1.0227562Е+0000
-3.1157956Е-0001 1.7370175Е-0001 -2.4504890Е-0001 6.4818975Е-0001
-3.1618018Е-0001 0.0000000Е+0000 -0.0000000Е+0000 1.0503571Е+0000
ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕМЕНТОВ
3.9236040Е+0001 3.9840678Е-0002 9.0033258Е+0001 4.2794715Е-0002
8.8911733Е+0001 4.2025986Е-0002 8.7450871Е+0001 4.1355728Е-0002
8.5933865Е+0001 4.0496811Е-0002 8.3646330Е+0001 3.9047018Е-0002
7.9460405Е+0001 3.6216800Е-0002 7.0821893Е+0001 3.0091892Е-0002
5.1534748Е+0001 1.6536845Е-0002 1.2396975Е+0001
R2= 2.1835319E-0002
ПАРАМЕТРЫ ФУНКЦИЙ ЗАТУХАНИЯ И РЕАКТИВНОЙ ЭНЕРГИИ
wc(l) 1.087E+0002 wl(l) 1.112E+0002 w(l) 2.199E+0002
da 2.154E-0004 a(l) 1.339E+0001 aO 8.337E+0001
wc= 1.087E+0002 wl= 1.112E+0002 wcl= 2.199E+0002 del= 3.656E+0001
КОРНИ h(p) В ПРАВОЙ П\ПЛ
2.9790302E-0001 3.4266477E-0001 2.7552308E-0001 5.0227929E-0001
2.0730868E-0001 7.7641246E-0001 1.6332344E-0001 8.8344137E-0001
1.1426462E-0001 9.6633471E-0001 6.1333248E-0002 1.0227562E+0000
3.1157956E-0001 1.7370175E-0001 2.4504890E-0001 6.4818975E-0001
3.1618018E-0001 O.OOOOOOOE+0000 0.OOOOOOOE+0000 1.0504000E+0000
КОЭФФИЦИЕНТЫ h(p)
-7.0837707E-0001
1.0664058E+0001 -8.0353674E+0001 4.0277593E+0002 -1.5055650E+0003
4.4621454E+0003 -1.0877575E+0004 2.2359168E+0004 -3.9349401E+0004
6.0029723E+0004 -7.9738577E+0004 9.2893688E+0004 -9.4390851E+0004
8.4217947E+0004 -6.4528008E+0004 4.3072957E+0004 -2.3455996E+0004
1.0955855E+0004 -3.4775994E+0003 9.4789783E+0002
ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕМЕНТОВ
2.7069196E-0001 7.5734380E-0001 1.1252837E+0000 1.3781163E+0000
1.5464170E+0000 1.6586486E+0000 1.7350473E+0000 1.7882327E+0000
1.8264556E+0000 1.8546375E+0000 1.8764041E+0000 1.8939745E+0000
1.9095270E+0000 1.9246699E+0000 1.9414262E+0000 1.9598757E+0000
1.9659158E+0000 1.8245897E+0000 8.5673398E-0001
R2= 4.5796148E+0001
ПАРАМЕТРЫ ФУНКЦИЙ ЗАТУХАНИЯ И РЕАКТИВНОЙ ЭНЕРГИИ
wc(l) 4.885E+0002 wl(l) 4.949E+0002 я(1) 9.834Е+0002
da 6.730Е-0005 а(1) 1.339Е+0001 aO 8.337E+0001
ис= 7.101Е+0002 н1= 4.949Е+0002 wcl= 9.834E+0002 del= 3.656E+0001


390
Приложения
Текст программы OPTW
PROGRAM OPTW;
{Синтез фильтров Чебышева и Золоторева-Кауэра с учетом потерь
и с минимальной реактивной энергией}
Uses CRT,MYLIB2;
Label 10,11,12,13,14,15;
Const nn=40;
var m,n,kk,i,j,nu,L,nl,ml,mn,ka,ki ,m2,PAR ilongint;
s,sl,s2,delta,dr,load2,ma,mi,tl,t,g,hh,hhl,dd,vr,vi,fr,fi,aO,om,b,
da,k,kl,k2,k3,h4,h5,h6,h2,h3,am,bbl,bb,cc,cl,c2,dl,d2,P2,p :extended;
fh,f,hl,h,v,root,rtv,rtf,out,omega,y,a,ab,x :MM;
typ :MM1;
d :array[0..1,1..2] of extended; c,bl :array[0..nn,l..2] of extended;
begin CLRSCR; PAR:=2;
if PAR=1 then goto 11 else goto 12;
11: { Исходные данные фильтра Чебынева а0, omegaK, n, г, задать PAR=l}
a0:=50;om:=1.3; n:=ll; dr:=0.02; m:=0; delta:=le-4;
b:=a0+6-n*8.68589*LI(om+sqrt(om*om-l));
da:=4.342945*LI(EXP(0.1*b*LI(10))+l);
b:=exp(0.1*da*ln(10))-l; bb:=l/sqrt(b); cc:=ln(bb+sqrt(bb*bb+l))/n;
cl:=exp(cc); c2:=exp(-cc); dl:=0.5*(cl-c2); d2:=0.5*(cl+c2);
for i:=l to n do begin {Полисы фильтра Чебышева}
y[2*i-l]:=dl*sin((2*i-l)*pi/(2*n)); y[2*i]:=d2*cos((2*i-l)*pi/(2*n));
end;
writelnO Полисы функции передачи das',da:16);
for i:=l to n do writeln(-y[2*i-l]:16,y[2*i]:16); cc:=l;
if frac(n/2)=0 then begin
nl:=round(n/2); ml:=0; for i:=l to nl do begin
rtv[2*i-l]:=-y[2*i-l]; rtv[2*i]:=y[2*i];
cc:=cc*(Sqr(y[2*i-l])+Sqr(y[2*i]));
end; sl:=EXP(0.05*da*LI(10))/cc
end else begin
nl:=round((n-l)/2); ml:=1;rtv[l]:=-y[n] ; cc:=y[n];
for i:=l to nl do begin
rtv[2*i]:=-y[2*i-l] ; rtv[2*i+l]:=y[2*i];
cc:=cc*(Sqr(y[2*i-l])+Sqr(y[2*i]))
end; sl:=l/cc
end;
writelnC' Корни v(p) первичного фильтра-прототипа');
writelnC n=',n:2,> da=',da:16,> c=',sl:16);
for i:=l to n do begin
writeC ' ,rtv[i] :16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln; readln; f[0]:=l; m:=0;
for i:=l to n do typ[i]:=l; PAR:=1; {фильтр Чебышева} goto 15;
12: { Исходные данные фильтра Золотарева-Кауэра
n,da,omegak=l/k или -n,aO,omegak=l/k, задать PAR=2}
n:=5; om:=1.3; a0:=50; dr:=0.02; delta:=le-4; k:=l/om; k2:=k*k;
kl:=sqrt(l-k2); k3:=sqrt(kl); nl:=round((n-l)/2); ml:=l;
if frac(n/2)=0 then begin nl:=round(n/2); ml:=0 end;
for i:=l to nl do begin typ[2*i-l]:=1; typ[2*i]:=3 end;
if ml=l then typ[n]:=l; PAR:=2;
{ Определение da по аО и ом (2 строки) блокируются при задании da }
hh:=LI((l+k3)/(l-k3)); hhl:=(a0/4.34294)-n*hh-(n-4)*LH(2);
h2:=l+EXP(hhl); da:=4.34294*LH(h2); bbl:=exp(da*0.05*Ln(10));
if da<le-10 then b:=0.5*Ln(2/(da*0.05*Ln(10)))/n else
b:=0.5*Ln((bbl+l)/(bbl-l))/n; cl:=exp(b); c2:=exp(-b);


Приложения
391
cc:=sqr((cl+c2)/(cl-c2)); d2:=(cc-k3)/(cc-l/k3); dl:=d2*d2-l;
am:=(0.5*n-l)*Ln(2)+0.5*n*Ln((l+k3)/(l-k3))-
Ln(2/sqrt(exp(da*0.1*Ln(10))-D) ;
cl:=sqrt(exp(am*2)-l); am:=am*8.68589; hhl:=0.5*(l-k3)/(l+k3); h3:=l;
for i:=l to 9 do begin h3:=hhl*h3; if i=5 then h2:=h3 end;
hh:=hhl+2*h2+15*h3; h2:=l;
for i:=l to 9 do begin h2:=hh*h2; if i=4 then hhl:=h2 end;
c2:=sqr(l+2*hh+2*hhl+2*h2)*k/n;
for i:=l to nl do begin
p:=2*i*pi/n; if n=2*nl then p:=(2*i-l)*pi/n;
h3:=2*hh*cos(p); h4:=2*hhl*cos(2*p); h5:=2*h2*cos(3*p);
h6:=k3*(l+h3+h4+h5)/(l-h3+h4-h5);
fh[i]:=l/(l-h6*h6); tl:=sqrt(fh[i]); h3:=dl+k2*fh[i];
x[2*i-l]:=sqrt(dl*(fh[i]-l)*(k2*fh[i]-l))/h3;
x[2*i]:=d2*tl*sqrt(dl+k2)/h3;
end;
if n<>2*nl then begin x[n]:=sqrt(dl)/k; cc:=cl*c2 end else cc:=cl;
writelnC' Полюсы функции передачи');
writelnC' da',da:12,' k\k:12,' от» ,om:12,' am',am:12,' c',cc:16);
for i:=l to nl do writeln(-x[2*i-l]:16,x[2*i]:16);
if n<>2*nl then ?riteln(-x[n] :16) ; writeln('Нули функции передачи9);
for i:=l to nl do begin
write(sqrt(fh[i]):16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; vriteln;
writeln('Нули функции фильтрации');
for i:=l to nl do begin
write(om*sqrt(1/fh[i]):16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln; readln;
if n=2*nl then begin writeln('Реализация только для нечетного I'); goto 10;
end;
for i:=l to nl+1 do begin
typ[2*i-l]:=1; typ[2*i]:=3; ml:=l; rtv[l]:=-x[n];
end;
for i:=l to nl do begin
rtv[2*i]:=-x[2*i-l]; rtv[2*i+l]:=x[2*i]; rtf[2*i-l]:=0;
omega[i]:=sqrt(fh[i]); rtf[2*i]:=omega[i]
end; m:=n-l;
15: m2:=round(m/2); sl:=l/cc; if ml=0 then for i:=l to nl do
rtv[2*i-l]:=rtv[2*i-l]+dr;
if ml=l then begin
for i:=l to nl do rtv[2*i]:=rtv[2*i]+dr; rtv[l]:=rtv[l]+dr
end; COHPOL(ml,nl,sl,rtv,v);
if m<>0 then begin
C0MP0L(O,m2,l,rtf,f); g:=f[0]; for i:=0 to m do f[i]:=f[i]/g
end else f[0]:=l; mi:=10000; tl:=0.0001;
for i:=l to 11000 do begin
t:=tl*i; VALP0L(v,n,O,t,vr,vi); VALPOLCf,m,0,t,fr,fi);
g:=(sqr(vr)+sqr(vi))/(sqr(fr)+sqr(fi));
if g<=mi then begin mi:=g; ki:=i end;
end;
writelnC' Минимум АКХ ',mi:16,' i=',ki:4); s:=-mi; readln;
FIHDPOL(v,n,f,m,s,delta,h,root); writelnC Коэффициенты h(p)');
for i:=0 to n do begin writeC ',h[i]:16);
if frac(i/4)=0 then writeln end; writeln;
writelnC' Корни в левой полуплоскости');
for i:=l to 2*n do begin
writeC ' ,root[i] :16) ; if frac(i/4)=0 then writeln


392
Приложения
end; writeln;
REALIZE(n,m2,omega,v,h,typ,l,out,load2);
writelnC' Параметры элементов');
for i:=l to n+m2 do begin
writeO ',out[i]:16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln; writelnC' R2=',load2:16); readln;
{Анализ по LADK}
for i:=l to n+1 do ab[i]:=0; a[n+l]:=0; if PAR=1 then begin
if frac(n/2)=0 then begin
a[l]:=0; a[n+2]:=0; for i:=l to n do a[i+l]:=out[n-i+l];
LADK(n+2,l,l/load2,dr,a,ab) end else begin
a[n+l]:=0; for i:=l to n do a[i]:=out[n-i+l];
LADK(n+l,l,l/load2,dr,a,ab)
end end else begin
ka:=l; for i:=l to n+m2 do if frac((n+m2-i+l)/3)=0 then
ab[ka]:=out[n+m2-i+l] else begin a[ka]:=out[n+m2-i+l] ; ka:=ka+l end;
LADK(n+l,l,l/load2,dr,a,ab);
end; writelnC КОРНИ В ПРАВОЙ П/ПЛ');
for i:=l to 2*n do begin root[i]:=-root[i]; end;
for i:=l to 2*n do begin
writeO »,root[i] :16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln;
{ Составление нового полинома h(p) }
d[l,l]:=l; kk:=0; d[l,2]:=0; bl[0,2] :=0; bl[0,l]:=l;
{ Коэффициент при старшей степени }
for i:=l to n do begin
d[0,l]:=-root[2*i-l]; d[0,2]:=root[2*i];
for j:=0 to kk+1 do begin c[j,l]:=0; c[j,2]:=0 end;
for L:=0 to 1 do for j:=0 to kk do begin
c[L+j,l]:=c[L+j,l]+d[L,l]*bl[j,l]-d[L>2]*bl[j,2];
c[L+j,2]:=c[L+j,2]+d[L,l]*bl[j,2]+d[L,2]*bl[j,l];
end; kk:=kk+l;
for j:=0 to kk do begin bl [j ,1] :=c[j ,1] ; bl[j ,2] :=c[j ,2] end;
end; {i}
for i:=0 to n do h[i] :=c[i,l]*sl; writelnO Коэффициенты h(p)');
for i:=0 to n do begin
writeO »,h[i]:16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln;
REALIZECn,m2,omega,v,h,typ,0,out,load2);
writelnC Параметры элементов');
for i:=l to n+m2 do begin
writeC ' ,out[i] :16); if frac(i/4)=0 then writeln
end; writeln; writelnC R2=',load2:16); readln;
{Анализ по LADK}
for i:=l to n+1 do ab[i]:=0; a[n+l]:=0; if PAR=l then begin
if frac(n/2)=0 then begin
a[l]:=0; a[n+2]:=0; for i:=l to n do a[i+l]:=out[n-i+l];
LADK(n+2,l,l/load2,dr,a,ab) end else begin
a[n+l]:=0; for i:=l to n do a[i]:=out[n-i+l];
LADK(n+l,l,l/load2,dr,a,ab)
end end else begin
ka:=l; for i:=l to n+m2 do if fracCCn+m2-i+l)/3)=0 then
ab[ka]:=out[n+m2-i+l] else begin a[ka]:=out[n+m2-i+l];ka:=ka+l end;
LADKCn+l,l,l/load2,dr,a,ab);
end;
10: end.


Приложения
393
Текст библиотечного модуля
USIT MYLIB; { БИБЛИОТЕКА ПРОГРАММ }
Interface
Uses Crt;
Const cn=40;
type MM=array[-2..2*cn] of extended;
MMM=array[l..cn,l..en] of extended;
MMl=array[0..cn] of longint;
{Функция SIGI}
function sign(a:extended):longint;
{Корни полинома}
Procedure rootpoKn:longint ;a:MN;it ,k:longint ;var u,v,ass:MM);
{Составление полинома по корням}
Procedure compol(m,n:longint;s:extended;root:MM;var c:MM);
{Суммирование,умножение,деление полиномов}
Procedure sumpol(a:MM;m:longint;s:extended;b:MM;n:longint;var с:MM);
Procedure multpol(a:MM;m:longint;b:MM;n:longint;var c:MM);
Procedure divpol(a:MM;n'.longint ;b:MM;m:longint;var c,r:MM);
{Значение полинома и его производной}
Procedure valpol(a:MM;n:longint;rex,imx:extended;var re,im:extended);
Procedure valdpol(a:MM;n:longint;rex,imx:extended;var re,im:extended);
{Определение полинома Гурвица по функции фильтрации}
Procedure f indpol(h:MM;n:longint;f:MM;m:longint;s,delta:extended;
var v,root:MM); { Реализация ФНЧ }
Procedure realize(n,nu:longint;var omega:MH;v,h:MM;
typ :MM1;p:longint;var out:MM;var load2:extended);
{Анализ лестничных LC-фильтров}
PROCEDURE LADKCn:longint;r,g,d:extended;a,b:MH);
Implementation
function sign(a:extended):longint;
begin
if a>0.0 then sign:sl else sign:=-l;
if a=0 then sign:=0
end;
Procedure rootpol(n:longint;a:HM;it,k:longint;var u,v,ass:NH);
Label 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
var
t,kk,ps,qs.pt,qt,s,rev,r,p,q :extended;
i,j,m :longint;
h,b,с,d,e :MM;
begin
b[-l]:=0; b[-2]:=0; c[-l]:=0; c[-2]:=0; d[-l] :=0; e[-l]:=0; h[-l]:=0;
for j:=0 to n do h[j]:=a[j]; t:=l;
kk:=l; for i:=l to k do kk:=kk*10;
0: if((h[n]=0) and (n>0)) then
begin u[n]:=0; v[n]:=0; ass[n]:=kk; n:=n-l; goto 0 end;
1: if n=0 then goto 9; ps:=0; qs:=0;
pt:=0; qt:=0; s:=0; rev:=l; kk:=l; for i:=l to k do kk:=kk*10;
if n=l then begin r:=-h[l]/h[0]; goto 7 end;
for j:=0 to n do if h[j]<>0 then s :=s+Ln(abs(h[j]));
s:=exp(s/(n+D); for j:=0 to n do h[j] :=h[j]/s;
if abs(h[n-l]/h[n])>abs(h[l]/h[0]) then
2: begin t:=-t; m:=(n-l) div 2;
for j:=0 to m do begin s:=h[j]; h[j]:=h[n-j]; h[n-j]:=s end
end;
if qs<>0 then begin p:=ps; q:=qs; goto 3 end;


394
Приложения
if h[n-2]=0 then begin q:=l; p:=-2 end else begin q:=h[n]/h[n-2];
p:=(h[n-l]-q*h[n-3])/h[n-2] end; if n=2 then goto 8; r:=0;
3: for i:=l to it do begin
4: for j:=0 to n do begin b[j] :=h[j]-p*b[j-l]-q*b[j-2] ;
c[j] :=b[j]-p*c[j-l]-q*c[j-2]
end;
if ((h[n-l]=0) or (b[n-l]=0)) then goto 5;
if abs(h[n-l]/b[n-l])<kk then goto 6; b[n] :=h[n]-q*b[n-2] ;
5: if b[n]=0 then goto 8; if abs(h[n]/b[n] )>kk then goto 8;
6: for j:=0 to n do begin d[j]:=h[j]+r*d[j-l] ; e[j]:=d[j]+r*e[j-l] end;
if d[n]=0 then goto 7; if abs(h[n]/d[n] )>kk then goto 7;
c[n-l] :=-p*c[n-2]-q*c[n-3] ; s :=c[n-2]*c[n-2]-c[n-3]*c[n-l] ;
if s=0 then begin p:=p-2; q:=q*(q+l) end else begin
p:=p+(b[n-l]*c[n-2]-b[n]*c[n-3])/s; q:=q+(-b[n-l]*c[n-l]+b[n]*c[n-2] )/s
end;
if e[n-l]=0 then r:=r-l else r:=r-d[n]/e[n-l]
end; {i}
qs:=pt; qs:=qt; pt:=p; qt:=q; if rev<0 then kk:=kk/10; rev:=-rev; goto 2;
7: if t<0 then r:=l/r; u[n]:=r; v[n]:=0; ass[n]:=kk; n:=n-l;
if n=0 then goto 9; for j:=0 to n do if d[j]=0 then h[j]:=0 else
begin if abs(h[j]/d[j])<kk then h[j] :=d[j] else h[j]:=0;
end; goto 3;
8: if t<0 then begin p:=p/q; q:=l/q end; s:=q-(p*p/4);
if s>0 then begin s:=sqrt(s); u[n]:=-p/2; u[n-l]:=-p/2;
v[n]:=s; v[n-l]:=-s end else begin
s:=sqrt(-s); if p<0 then u[n]:=-p/2+s else u[n]:=-p/2-s;
u[n-l]:=q/u[n]; v[n]:=0; v[n-l]:=0 end;
ass[n]:=kk; ass[n-l]:=kk; n:=n-2; if n=0 then goto 9;
for j:=0 to n do if b[j]=0 then h[j]:=0 else
if abs(h[j]/b[j])<kk then h[j] :=b[j] else h[j] :=0; goto 1;
9: end; {rootpol}
Procedure compol(myn:longint;s:extended;root:NN;var с:НИ);
var
a:MM;
b:array[0..2] of ext ended;
i,j,k:longint;
begin
b[l]:=l; b[2]:=l; c[0]:=s; for i:=l to m do
begin b[0]:=-root[i];
for j:=0 to i-1 do a[j]:=c[j]; for j:=0 to i do c[j]:=0;
for j:=0 to 1 do for k:=0 to i-1 do c[j+k]:=c[j+k]+b[j]*a[k]
end; i:=m+l;
repeat
b[0]:=root[i]*root[i]+root[i+l]*root[i+l]; b[l]:=-2*root[i];
for j:=0 to i-1 do a[j]:=c[j]; for j:=0 to i+1 do c[j]:=0;
for j:=0 to 2 do for k:=0 to i-1 do c[j+k]:=c[j+k]+b[j]*a[k]; i:=i+2;
until (i>2*n+m-l)
end; {compol}
Procedure sumpol(a:MM;m:longint;s:extended;b:MM;nilongint;var c:MM);
var irlongint;
begin if m>n then begin
for i:=0 to n do c[i] :=a[i]+s*b[i] ; for i:=n+l to tn do c[i] :=a[i]
end else begin
for i:=0 to m do c[i] :=a[i]+s*b[i] ;
for i:=m+l to n do c[i]:=s*b[i]
end end; {sumpol}


Приложения
395
Procedure multpol(a:MM;m:longint;b:MM;n:longint;var c:MM);
var i,j : longint;
begin
for i:=0 to m+n do c[i]:=0; for i:=0 to m do for j:=0 to n do
c[i+j]:=c[i+j]+a[i]*b[j]
end; {multppl}
Procedure divpol(a:MM;n:longint;b:MM;m:longint;var c,r:MM);
var i,j : longint; d: MM;
begin
for i:=n downto 0 do begin
d[i]:=a[i]; for j:=l to m do
if (i+j<=n) and (i+j>m-l) then d[i] :=d[i]-b[m-j]*d[i+j]/b[m] ;
if i>=m then c[i-m] :=d[i]/b[m] else r[i] :=d[i]
end end; {divpol}
Procedure valpol(a:MM;n:longint;rex,imx:extended;var re,im:extended);
var i:longint;p:extended;
begin
re:=a[n]; im:=0; for i:=n-l downto 0 do begin
p:=re*rex-ira*imx; im:=im*rex+re*irax;re:=p+a[i]
end end; {valpol}
Procedure valdpol(a:MM;n:longint;rex,imx:extended;var re,im:extended);
var i:longint;p:extended;
begin
re:=n*a[n]; ira:=0; for i:=n-l downto 1 do begin
p:=re*rex-im*imx; im:=im*rex+re*imx;re:=p+i*a[i]
end end; {valdpol}
Procedure findpol(h:MM;n:longint;f:MM;m:longint;s,delta:extended;
var v,root:MM);
Const nn=40;
Label 1,2,3,4,5,6,7,14,15;
var i,j,k,L,kk :longint;
q :extended;
b,ul,vl,ass,a :MH;
d :array[0..1,1..2] of extended;
bl,c :array[0..nn,l..2] of extended;
begin
for i:=0 to 4*(n+l) do a[i]:=0; for i:=0 to n do
begin if frac(i/2)=0 then kk:=l else kk:=-l;
if i<=m then b[i] :=kk*f [i] else b[i]:=0; v[i] :=kk*h[i] ;
end;
for i:=0 to m do for j:=0 to m do a[i+j] :=a[i+j]+f [i]*b[j] ;
for i:=0 to n do for j:=0 to n do a[2*n+l+i+j]:=a[2*n+l+i+j]+h[i]*v[j] ;
for i:=0 to 2*m do begin
if frac(i/2)=0 then goto 1 else goto 2;
1: a[2*n+i+l]:=a[2*n+l+i]+s*a[i];
2: end;
for i:=0 to n do a[i]:=a[4*n+l-2*i]; ROOTPOL(n,a,100,9,ul,vl,ass);
for i:=l to n do begin a[2*i-2]:=ul[i]; a[2*i-l]:=vl[i] end;
for i:=0 to 2*(n-l) do begin
if frac(i/2)=0 then goto 3 else goto 4;
3: q:=sqrt(a[i]*a[i]+a[i+l]*a[i+l]);
if ((a[i+l]=0) and (a[i]<0)) then a[i+l] :=sqrt(q) else
a[i+l]:=-sign(a[i+l])*sqrt((q-a[i])/2); a[i] :=sqrt((q+a[i])/2);
4: end; i:=0;
repeat


396
Приложения
if abs(a[i] )<delta then begin
a[i]:=0; if abs(a[i+l])<delta then a[i+l]:=0 else a[i+l] :=abs(a[i+l] )
end; i:=i+2; until(i>2*n-2);
for i:=0 to 2*n-2 do begin if frac(i/2)=0 then goto 6 else goto 7;
6: if ((a[i]=0) and (a[i+l]>0)) then begin
j:=i+2; repeat
if ((abs(a[j])=0) and ((abs(a[j+l]-a[i+l] )/a[i+l])<delta)) then begin
a[j+l] :=-a[j+l] ; goto 5 end;j:=j+2; until(j>2*n-2); goto 14;
5: end;
7: end;
d[lfl]:=l;k:=0;d[l,2]:=0;bl[0,2]:=0;
if m=n then bl[0,l]:=sqrt(f[m]*f[m]+h[n]*h[n]) else bl[0,l]:=abs(h[n]);
for i:=l to n do begin
d[0,l]:=a[2*i-2]; d[0,2]:=a[2*i-l];
root[2*i-l]:=-d[0,l]; root[2*i]:=d[0,2];
for j:=0 to k+1 do begin c[j,l]:=0; c[j,2]:=0 end;
for L:=0 to 1 do for j:=0 to к do begin
c[L+j,l]:=c[L+j,l]+d[L,l]*bl[j,l]-d[L,2]*bl[j,2];
c[L+j,2]:=c[L+j,2]+d[L,l]*bl[j,2]+d[L,2]*bl[j,l];
end; k:=k+l;
for j:=0 to к do begin bl[j,1]:=c[j,1]; bl[j,2]:=c[j,2] end;
end; {i}
for i:=0 to n do v[i]:=c[i,l]; goto 15;
14: writelnC'КОРНИ НЕ НАЙДЕНЫ С ДОСТАТОЧНОЙ ТОЧНОСТЬЮ');
15: end; {findpol}
Procedure realize(nfnu:longint;var omega:MH;v,h:HH;
typ :NNl;p:longint;var out:NN;var load2:extended);
Label 1,2,3,4,5;
var zl,vl,v2,z2,z3 :NH;
i,j,k,L,t,s,q :longint;
psi,om,a,b,c,d,oml,om2 :extended;
begin
sumpol(v,n,-l,h,n,vl); sumpol(v,n,l,h,n,w2); L:=l; i:=l; k:=l;
1: if i<n-l then begin if typ[i]=typ[i+l] then goto 2 e.lse goto 3 end;
2: divpol(w2,n-i+l,wl,n-i,z2,zl); out[k]:=z2[l];
for j:=0 to n-i-1 do begin w2[j]:=wl[j]; wl[j]:=zl[j] end;
w2[n-i] :=wl[n-i] ; i:=i+l; k:=k+l; if i>n then goto 5 else goto 1;
3: begin psi:=-9; s:=0; z2[l]:=0; z2[2]:=l;
if p=0 then q:=L else q:=nu; for j:=L to q do begin
valpol(vl,n-i,0,oroega[j],a,b); valpol(w2,n-i+l,0,omega[j],c,d);
{ oral:=(d*a-b*c)/(a*a+b*b);} { для односторонней нагрузки }
oml:=d/a; { для двухсторонней нагрузки }
if oral >0 then begin
if psi>0 then begin if psi<oml/omega[j] then goto 4 end;
s:=l; psi:=oml/omega[j]; t:=j;
4: end else if s=0 then begin
if abs(psi)>abs(oml/omega[j]) then begin psi :=oml/omega[j] ; t:=j
end end end; {j}
om:=omega[t]; for j:=t downto L+l do omega[j]:=omega[j-l];
omega[L]:=om; out[k]:=psi; zl[0]:=0;
for j:=0 to n-i do zl[j+1]:=psi*wl[j];
sumpol(w2,n-i+l ,-1 ,zl ,n-i+l,zl); valpoKwl ,n-i ,0,om,a,b) ;
valdpol(zl,n-i+l,0,om,c,d);
{ om2:=(a*c+b*d)/(c*c+d*d); для односторонней нагрузки }
om2:=a/c; { для двухсторонней нагрузки }
psi:=om2;out[k+1]:=2*psi/(om*om); out[k+2]:=0.5/psi; z2[0]:=om*om;


Приложения
397
divpol(zl,n-i+l,z2,2,w2,z3); zl[0]:=0;
for j:=0 to n-i-1 do zlCj+1]:=psi*w2[j];
sumpoKwl ,n-i,-2,zl,n-i,zl); divpoKzl ,n-i ,z2,2,wl ,z3) ;
L:=L+1; i:=i+2; k:=k+3; goto 1;
end;
5: j:=n div 2; if z2[0]<>0 then begin
if 2*j=n then Ioad2:=z2[0] else Ioad2:=l/z2[0]
end; end; {realize}
PROCEDURE LADK(n:longint;г,g,d:extended;a,b:HM);
{Упрощенный вариант для энергетических функций}
label 1,2,3,4,10,11,20,30;
const pp=57.29578;
var i,j,k,l,nn,nf,nk :longint;
bxmod,bxarg,tmod,targ,tgb,vr,vi,tr,t i,bxr,bxi,x,wcl,wc,wl,
hm,pr,xi,xr,dlr,dli,sl,s2,s3,yr,yi,del,sm21,smll,xhn,xhd,
mm,mml,nun2,mm3,mm4,mm5,P2 :extended;
ww,hmod,harg,hr,hi,hi,svr, swi,wr,wi,hrh,hih,rg,gr,wa,
wb :array[1..30] of extended; Fl,F2,F3,FH,FA,xh :array[1..210] of extended;
function cm(a,b:extended):extended;
begin cm:=sqrt(a*a+b*b) end;
function cmm(a,b:extended):extended;
begin cmm:=a*a+b*b end;
function ca(a,b:extended):extended;
var hv:extended;
begin hv:=90*sign(b); if a=0 then ca:=hv else
ca:=90*(l-sign(a))*sign(hv+l)+pp*arctan(b/a)
end;
procedure cu(a,b,c,d:extended;var l,f:extended);
begin l:=a*c-b*d; f:=b*c+a*d end;
procedure cd(a,b,с,d:extended;var l,f:extended);
var hv:extended;
begin hv:=c*c+d*d; l:=(a*c+b*d)/hv; f:=(b*c-a*d)/hv end;
begin for i:=l to n do begin rg[i]:=d*a[i]; gr[i]:=d*b[i] end;
{ Частота для анализа }
nf :=101; for i:=l to nf-1 do
xh[i]:=0.01*(i); xh[nf]:=1.3; xhn:=0; xhd:=0.01;
1: begin for 1:=1 to nf do begin
for i:=l to n do begin
uad vr:=rg[i]; vi:=xh[l]*a[i]; yr:=gr[i];yi:=xh[l]*b[i];
cu(vr,vi,yr,yi,tr,ti); tr:=tr+l;
quad cd(vr,vi,tr,ti,wr[i] ,wi[i]); ww[i] :=cinn(vr,vi);
cu(tr,ti,tr,ti,sl,s2); cu(vr,vi,vr,vi,tr,ti); cd(0,-yi,sl,s2,xr,xi);
tr:=-tr*b[i]+a[i]; ti:=-ti*b[i]; cd(tr,ti,sl,s2,swr[i],swi[i]);
end;
er[l]:=wr[l]+g;wr[n]:=wr[n]+r; hr[l]:=l; hi[l]:=0; hr[2] :=wr[l] ;
hi[2]:=wi[l]; hrh[l]:=0; hih[l]:=0; hrh[2]:=a[l]; hih[2] :=0; nn:=n+l;
if((r=0) and (a[n]=0)) then nn:=n;
for i:=3 to nn do begin
cu(er[i-l],wi[i-l],hr[i-l],hi[i-l],vr,vi);
hr[i]:=hr[i-2]+vr; hi[i]:=hi[i-2]+vi;
cu(wr[i-l],wi[i-l],hrh[i-l],hih[i-l],vr,vi);
cu(hr[i-l],hi[i-l],swr[i-l],swi[i-l],xr,xi);
hrh[i]:=hrh[i-2]+vr+xr; hih[i]:=hih[i-2]+vi+xi
end;
cd(l.,0.,hr[nn],hi[nn],tr,ti); cu(hr[nn-l],hi[nn-l],tr,ti,bxr,bxi);
cu(hrh[nn],hih[nn],tr,ti,vr,vi); del:=vr;


398
Приложения
cu(hrh[nn],hih[nn],bxr,bxi,vr,vi); vr:=hrh[nn-l]-vr;
vi:=hih[nn-l]-vi ; cu(vr,vi,tr,ti,dlr,dli); ис1:=0; рг:=0;
for i:=l to n do begin
cu(hr[i],hi[i],tr,ti,vr,vi); hr[i]:=vr;hi[i]:=vi;yr:=wr[i];yi:=wi[i];
if (i=l) then yr:=wr[i]-g; if (i=n) then yr:=wr[i]-r;
cu(vr,vi,yr,yi,xr,xi); hm:=cmm(xr,xi);pr:=pr+hm*gr[i];
wb[i]:=hm*b[i]; if ((rg[i]=0) and (a[i]=0)) then goto 30; hm:=hrn/ww[i];
30: pr:=pr+hm*rg[i]; wa[i]:=hm*a[i]; wcl:=wcl+wb[i]+wa[i];
end;
wc:=0; wl:=0; i:=l;
repeat
if (i=n+l) then goto 10;
wc:=wc+wa[i]; wl:=wl+wb[i]; if (i=l) then goto 20;
10:wl:=wl+wa[i-l]; wc:=wc+wb[i-l];
20: i:=i+2;
until i>n+l;
bxmod:=cm(bxr,bxi); bxarg:=ca(bxr,bxi);
tmod:=cm(tr,ti); targ:=ca(tr,ti); tgb:=-8.68589*ln(tmod);
2: if (r>0) and (g>0) then begin
sm21:=2*tmod*sqrt(r*g); tgb:=-8.68589*ln(sm21); end;
P2:=g*sqr(tmod); FW[L]:=wcl/P2; FA[L]:=tgb;
F1[L]:=hc/P2; F2[L]:=el/P2; F3[L]:=del; { нормировано к P2=l}
end; {L} { Обработка и вывод результатов }
mm:=0; mml:=0; mm2:=0; nun3:=0; mm4:=0; mm5:=1000;
for i:=l to nf-1 do begin if FW[i]>mm then mm:=FW[i];
if Fl[i]>mml then mml :=Fl[i] ;if F2[i]>mm2 then mm2: =F2 [i] ;
if F3[i]>mm3 then mm3: =F3[i] ;if FA[i]>mm4 then mm4:=FA[i];
if FA[i]<ram5 then inm5:=FA[i]; end;
writelnC wc(l)»,Fl[nf-l]:12,,wl(l)»,F2[nf-l]:12,»w(l)\FW[nf-l]:12);
writelnO da',(mm4-mm5):12,' a(l)',FA[nf-l]:12,» aO',FA[nf]:12);
writeln(»wc=»,mral:12,»wl=',mm2:12,»нс1=»,mm:12,Ме1=»,mm3:12);
readln; nf:=nf-l;
3:end;
end;{ladk}
Приложение 5. Оценка предельной глубины
отрицательной ОС в ШИМ преобразователях
понижающего типа
Постановка задачи
При рациональном проектировании преобразователя наряду с обеспечением его
устойчивости требуется предельное подавление искажений и помех, высокая
стабильность выходного напряжения. Следовательно, возникает задача определения
оптимальных характеристик линейной корректирующей цепи, максимизирующих глубину
обратной связи в широкой рабочей полосе частот и таким образом обеспечивающих
высокие качественные показатели устройства.
Введение глубокой ООС в относительно широкой полосе частот преобразователя
требует контроля его частотных характеристик вплоть до частот, близких к
частоте переключения блока ШИМ (тактовой частоте), где исследуемый преобразователь
является существенно нелинейным. Вследствие этого непосредственное применение
методов линейной теории обратной связи для анализа устойчивости и
последующего синтеза цепей коррекции преобразователя без учета специфических нелинейных
свойств, связанных с ШИМ, недопустимо. Поэтому возникает необходимость
использования методов исследования устойчивости, учитывающих нелинейные
свойства блока ШИМ, включенного в кольцо ООС.


Приложения
399
Рис. П5.1. Типовая схема преобразова- Рис. П5.2. Линейная схема замещения
теля понижающего типа с ШИМ регул и- преобразователя без учета нелинейных
рованием по петле ООС свойств ШИМ
В данном приложении введена эквивалентная линейная модель, позволяющая
учесть влияние нелинейности ШИМ на устойчивость и режимы генерации
преобразователя напряжения понижающего типа. Приводится обоснование частотных
характеристик функции петлевого усиления линейной цепи, эквивалентной
преобразователю в смысле устойчивости. На основе применения известных теорем Боде
[165, 166] о связи вещественной и мнимой составляющих функции цепи выполнена
аналитическая оценка максимально возможной глубины ООС в требуемой рабочей
полосе частот преобразователя.
Обоснование эквивалентной линейной модели преобразователя
В ряде работ [192-193] при исследовании устойчивости структурную схему
кольца обратной связи преобразователя понижающего типа (рис. П5.1) представляют
упрощенной схемой, в которой блок ШИМ и силовой транзисторный ключ
заменяют линейным безынерционным усилителем V2 с коэффициентом К(0), равным
коэффициенту передачи этих звеньев на нулевой частоте (рис. П5.2). При этом не
учитываются специфические искажения, возникающие в преобразователе и он
исследуется методами линейной теории обратной связи. Так, например, устойчивость
усилителя такой структуры определяется при помощи частотного критерия Найкви-
ста, применяемого к функции петлевого усиления:
(П5.1)
Если амплитудно-фазовая характеристика T(ju>) при изменении частоты и; от О
до оо не охватывает точку с координатой (—1; jo), то преобразователь (см. рис. П5.2)
считается устойчивым. Однако замена блока ШИМ и силового транзисторного
ключа безынерционным усилителем обязательно предполагает введение таких
допущений, при которых решение не обеспечивает необходимой точности и достоверности.
Рассмотрим эти допущения.
В [192-193] принято, что если тактовая частота шо значительно (не менее чем
в 10 раз) превосходит частоту среза и>ср /?-цепи, то систему с ШИМ на достаточно
низких частотах можно считать приближенно линейной системой. В этом случае
специфические нелинейные искажения сигнала полагаются малыми, поскольку
составляющие спектра, расположенные в рабочей полосе и вблизи нее практически
отсутствуют, а искажения, обусловленные высокочастотными составляющими (тактовая
частота и ее гармоники) эффективно подавляются частотно-зависимой /?-цепью.
Таким образом, предполагается, что при осуществлении ООС в достаточно узкой полосе
частот системы нелинейность ШИМ выражается слабо, и устойчивость определяется


400
Приложения
лишь частотными свойствами линейной /3-цепи. Такое упрощающее предположение,
строго говоря, не является обоснованным. Это объясняется следующим.
При осуществлении ООС, как следует из понятия устойчивости, усилитель не
должен возбуждаться ни на одной частоте в пределах от 0 до со. При введении
ООС необходимо контролировать вид функции петлевого усиления далеко за
пределами рабочего диапазона в широкой полосе частот, увеличивающейся с увеличением
глубины ООС, т.е. практически на частотах, близких к тактовой частоте ШИМ и>о.
На столь высоких частотах нелинейный характер процессов проявляется
настолько резко, что предположение о линейности кольца ООС системы с ШИМ не
дает даже качественного представления о ее поведении, в частности об условиях
его устойчивости, и применение линейной модели (см. рис. П5.2) оказывается
недопустимым. Влияние нелинейности ШИМ приводит к тому, что самовозбуждение
реальной ключевой схемы становится возможным на таких сравнительно низких
частотах, при которых генерация в ее линейной модели невозможна в принципе.
Естественно, что и условия возникновения этих колебаний в реальной ключевой схеме
иные, так как устойчивость определяется не только частотными свойствами /3-цепи,
но и в значительной степени нелинейными свойствами ШИМ и обусловленными ими
специфическими нелинейными и частотными искажениями.
Наличие блока ШИМ в замкнутой системе приводит также к появлению новых
форм генерации. Существование высокочастотных импульсов большой амплитуды,
следующих с тактовой частотой ыо, в большинстве случаев обуславливает
возникновение периодических режимов генерации, при которых частота генерации
определяется как wt = и>о/п, где п — любое целое число. При п = 1 режим генерации
соответствует захватыванию автоколебаний на тактовой частоте импульсов, а при
других значениях п режим генерации называют захватыванием на частоте
субгармоник или субгармоническим. Если захватывания не происходит, то имеют место
биения между частотой генерации и>г и тактовой частотой шо. Появление режима
биений, как правило, возможно лишь при условии шт <С wo.
В [171, 189-190] выполнено математическое моделирование и проведен
систематический анализ режимов генерации замкнутой системы с ШИМ. Сопоставление
условий самовозбуждения этой системы и линейного усилителя при различных уд-
цепях и уровнях входного напряжения позволило учесть влияние нелинейных свойств
блока ШИМ на модуль и фазу петли обратной связи на частоте генерации:
• модуль функции петлевого усиления на частоте генерации шг практически не
зависит от величины этой частоты;
• фазовый сдвиг линейно зависит от частоты генерации и/г и в худшем случае,
т.е. при длительностях импульсов или пауз между ними близких к нулю,
эффект влияния нелинейных свойств блока ШИМ на устойчивость сводится к
появлению дополнительного фазового сдвига, равного 7г радиан на частоте
генерации равной тактовой частоте.
Таким образом, проведенное исследование позволяет сделать вывод о том, что
нелинейные свойства ШИМ оказывают существенное влияние на устойчивость
замкнутой системы, которое выражается через дополнительный фазовый сдвиг,
максимальные значения которого для различных величин отношения и>г/и0
определяются выражением
(П5.2)
практически не зависящим от вида и параметров линейной цепи ООС.
Эти результаты позволяют утверждать, что с точки зрения устойчивости блок
ШИМ и силовой транзисторный ключ могут быть представлены в виде каскадного
соединения линейного усилителя с постоянным коэффициентом усиления К(0) и
идеального линейного четырехполюсника (рис. П5.3), имеющего единичный частотно-
независимый модуль и линейную фазу, т.е. фазового звена с комплексным
коэффициентом передачи
(П5.3)


Приложения
401
Рис. П5.3. Структурная
схема кольца ООС
эквивалентного линейного усилителя
Рис. П5.4. К определению максимальной глубины
ООС в преобразователе с ШИМ
Указанный четырехполюсник не изменяет величины модуля функции
петлевого усиления T(juj) (П5.1), но существенно влияет на результирующую фазовую
характеристику
(П5.4)
Помимо удобства оценки устойчивости, найденные эквивалентные частотные
характеристики позволяют аналитически оценить теоретический предел глубины
ООС абсолютно устойчивого преобразователя с ШИМ на основе интегральных
соотношений между вещественной и мнимой составляющими функции линейной
цепи [165-166].
Определение максимальной глубины ООС в преобразователе с ШИМ
Введем логарифмический коэффициент передачи по петле ООС эквивалентного
линейного усилителя (см. рис. П5.3), в кольцо обратной связи которого входит звено
с временным запаздыванием т3 = То/2 = кш/ио:
(П5.5)
где A(u>) = \nK(0)\P(j(jj)\ — АЧХ петли ООС; B(uj) = arg/3(juj) — составляющая
ФЧХ петли ООС, не зависящая от запаздывания т3.
Сформулируем требования к АЧХ и ФЧХ функции петлевого усиления T(jlu),
обеспечивающие максимальную глубину ООС, постоянную в рабочем диапазоне,
ограниченном частотой среза и/ср (рис. П5А,а), т.е.
(П5.6)
Рассматривая идеализированный случай, будем считать, что в области от шср
до некоторой частоты и>2 АЧХ должна спадать на величину Ао требуемой глубины
ООС с сохранением устойчивости. Из теорем Боде [165, 166] следует, что при
заданном значении Ао = Лотах значение частоты и^ минимально, если фаза петлевого
усиления T(juj) равна предельно допустимой величине, т.е.
(П5.7)
Как следует из соотношения (П5.7), фаза argT(ju;) определяется фазой
линейной корректирующей цепи и дополнительным фазовым сдвигом, введенным для
учета влияния нелинейных свойств ШИМ на устойчивость преобразователя. Тогда
ФЧХ /3-цепи в рассматриваемой области частот (рис. П5.4.6) должна выражаться
линейной зависимостью
(П5.8)
В диапазоне частот ш > и/2 ограничений на величину фазы не
накладывается, однако для сохранения устойчивости усиление по петле ООС не должно быть
положительным. Наибольшая глубина абсолютно устойчивой ООС при прочих
равных условиях достигается в предельном идеальном случае, когда затухание в этом
диапазоне частот равно нулю (рис. П5.4,а):
(П5.9)


402
Приложения
Условия, обеспечивающие максимально возможную глубину ООС, определим
на основе интегральной зависимости, связывающей усиление А(и>) и фазу В(и>),
введенной Боде [165-166]:
(П5.10)
где Q — переменная интегрирования.
Принимая во внимание условия (П5.6) и (П5.9), соотношение (П5.10) для
рассматриваемого случая запишем в виде
(П5.11)
Учитывая, что интервал изменения переменной интегрирования в первом
интеграле выражения (П5.11) лежит в пределах 0 ^ Я. ^ и;ср и что практически
Q , можем принять следующее приближение:
При таком приближении первый интеграл выражения (П5.11) сводится к табличным
[191, ф. 2.260], и после интегрирования получим
(П5.12)
Практически всегда выполняется условие ы\ >• и/^,, поэтому поправочным
слагаемым можно пренебречь и записать (П5.12) в виде
(П5.13)
Второй интеграл выражения (П5.11), принимая во внимание соотношение
(П5.8), представим в следующем виде
(П5.14)
Каждый из полученных в правой части этого соотношения интегралов
преобразуем следующим образом. Введя новую переменную интегрирования х — О2,
получим табличный интеграл


Приложения
403
Поскольку в рассматриваемом случае с < О,
Л = Лас — Ь2 < 0, то в соответствии с [191, ф. 2.261] имеем
Другой интеграл правой части (П5.14) представим в виде
где F(7r/2;n) — полный эллиптический интеграл первого рода; п = (о>| — ^?р)/^|
— модуль эллиптического интеграла.
С учетом приведенных соотношений, уравнение (П5.11) примет вид
После элементарных преобразований получим выражение для глубины ООС
(П5.15)
Практически в преобразователях для обеспечения глубокой ООС необходимо
выбирать и>2 не менее чем (5...6)и/ср. При этом величина модуля п лежит в
пределах 0,9 < п < 1. Для указанных пределов изменения п полный эллиптический
интеграл первого рода с точностью, обеспечивающей ошибку не более 1...2 %, может
быть аппроксимирован выражением [191]
(П5.16)
в котором а = 0,1119.
Для определения условия, при котором глубина обратной связи в требуемой
полосе частот максимальна, т.е. Ао = Аотлх, по выражению (П5.15) следует
найти оптимальное значение граничной частоты и/2 = с^опт. являющееся решением
уравнения
Из этого уравнения, используя соотношения (П5.15) и (П5.16), получим
Практически при глубокой ООС и>2р < ш2, поэтому, учитывая малость
соответствующего члена уравнения (П5.17) по сравнению с остальными, значение
оптимальной граничной частоты можно записать в виде
(П5.18)
Практически с^о = (Ю...15)и/Ср, поэтому поправочный член в круглой скобке
составляет менее 1 % основного. Подставив значение с*>2опт в выражение (П5.15),
с учетом (П5.16), пренебрегая малым членом а(1 — п), получим величину Лотах.
определяющую предельную глубину ООС в заданной полосе частот:
(П5.19)


404
Приложения
Рис. П5.5. Зависимость
максимально возможной глубины ООС в
ключевом преобразователе с ШИМ
Отметим, что при подстановке
значения и>2 = (2/7г)ц;о в третий член
уравнения (П5.17) можно получить
уточненное решение для оптимальной граничной
частоты. Однако, как показывают
расчеты величины Лотах, ошибка составля-
ет не более 2 %, т.е. величина и^опт =
= (2/7г)и>о позволяет найти достаточно
точное решение для Лотах-
График соответствующей
зависимости Лотах = /(^ср/^о) представлен на
рис. П5.5.
Как следует из анализа
приведенной кривой, при заданной частоте среза
корректирующей цепи иср с увеличением
тактовой частоты ШИМ шо
максимально возможная глубина обратной связи в
преобразователе неограниченно возрастает, поскольку влияние нелинейности ШИМ
на устойчивость замкнутой системы уменьшается. И, наоборот, по мере
увеличения отношения Wcp/^o нелинейность ШИМ проявляется в большей степени и, таким
образом, существенно ограничивает глубину обратной связи. Следовательно, в
преобразователе с ШИМ величина Ло max существенно зависит от.отношения граничной
частоты полосы рабочих частот и>ср к частоте повторения импульсов шо.
Выбор запасов устойчивости
Полученная зависимость для Ло max характеризует теоретический предел
глубины ООС в преобразователе понижающего типа с ШИМ. На практике под влиянием
дестабилизирующих факторов неизбежны отклонения АЧХ и ФЧХ преобразователя
от идеализированных, рассмотренных выше, поэтому реально осуществимая глубина
обратной связи может быть определена по полученному для заданного отношения
^ср/^о значению Лотах и выбранным коэффициентам запасов устойчивости.
Основным фактором, обуславливающим необходимость введения'запаса
устойчивости по фазе Ду радиан является нестабильность величин элементов
корректирующей цепи, наличие паразитных емкостей в кольце ООС, приводящих к отклонению
реальной фазы argT(juj) от идеализированной. Этот запас должен быть обеспечен в
диапазоне частот шср ^ и; ^ ш2, где усиление по петле обратной связи А(а;)
положительно (см. рис. П5.4). Однако при введении запаса по фазе следует учитывать, что
степень влияния дестабилизирующих факторов на фазу неодинакова на различных
частотах рассматриваемого диапазона. На низких частотах (вблизи шср) отклонение
фазы argp(jtj) из-за возможных изменений элементов цепи меньше, чем на высоких
частотах, близких к и>2, т.е. влияние дестабилизирующих факторов увеличивается с
ростом частоты и>. Так, например, проводимость параллельно включенной
паразитной емкости шСп возрастает с увеличением частоты и. Соответственно возрастает ее
дестабилизирующее влияние на фазу передачи по петле ООС. Поэтому
целесообразно введение возрастающего с частотой запаса устойчивости по фазе, т.е. постоянного
запаса по запаздыванию, посредством увеличения тактовой частоты ШИМ и>$ до
значения u>'Q. Величина запаса по фазе в этом случае может быть определена из
соотношения (П5.8) по формуле
(П5.20)
Так, согласно (П5.20), выбор тактовой частоты и>'0 в 1,3 раза больше
своего расчетного значения ио приводит к появлению на частоте Ш2 запаса по фазе
Ду(^2) = тг/6. На низшей частоте сиср рассматриваемого диапазона запас по фазе
может оказаться незначительным, однако влияние дестабилизирующих факторов на
фазу arg/3(ju>) вблизи этой частоты также незначительно.


Приложения
405
Таблица П5.1
^ср/с^О
^Отах. ДБ
А0, дБ
0,01
78,8
70,2
0,05
50,8
42,3
од
38,8
30,3
0,15
31,8
23,2
Запас устойчивости по усилению х, дБ,
должен быть предусмотрен на частотах и> > и>2,
где величина фазы argT(ju>) может превысить
7г (см. рис. П5.4,б). Для получения этого
запаса целесообразно понизить усиление на
несколько децибел во всем диапазоне частот. При
этом фазовая характеристика,
пропорциональная производной от затухания, не изменяется. Таким образом, АЧХ петли ООС
преобразователя при введении запаса устойчивости по усилению должна повторять
по форме идеализированную характеристику, но располагаться ниже ее на
величину х, дБ.
Проведенный выше анализ показывает, что в преобразователе с ШИМ
существует предел для достижимой глубины ООС, обусловленный требованием абсолютной
устойчивости замкнутой системы. В табл. П5.1 приведены значения максимально
возможной глубины ООС Лотах, найденные по кривой рис. П5.5. Значения
реально достижимой глубины ООС Aq также получены по кривой рис. П5.5, но с учетом
запасов устойчивости по фазе А 1/(0/2) = тг/6 и по усилению х = 4 дБ.
Как следует из табл. П5.1, при оптимальном проектировании линейной
корректирующей цепи для соотношений с^ср/и;о = 0,01...0,05, часто используемых на
практике, значение Aq может составлять не менее 42 дБ, т.е. достаточна для
эффективного подавления нелинейных искажений, помех и обеспечивает высокую
стабильность выходного напряжения.
Заключение
Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы.
1. Влияние нелинейных свойств ШИМ на устойчивость преобразователя
понижающего типа можно учесть, заменив блок ШИМ и силовой транзисторный ключ
линейным усилителем с постоянным частотно-независимым коэффициентом
усиления и фазовым звеном, создающим задержку усиливаемого сигнала на время То/2,
равное половине периода тактовой частоты u>q.
2. Предложенные эквивалентные частотные характеристики функции
петлевого усиления позволяют определить устойчивость данного преобразователя при
помощи частотных критериев устойчивости активных линейных цепей. При этом синтез
корректирующих цепей, максимизирующих глубину ООС в требуемой полосе
усиливаемых частот, становится возможным на основе применения теорем Боде о связи
вещественной и мнимой составляющих функции линейной цепи.
3. Максимально возможная глубина ООС Aq max в преобразователе
понижающего типа всегда ограничена и определяется найденной в данной работе
функцией (П5.19) и зависит от отношения частоты среза корректирующей цепи шср к
тактовой частоте ШИМ ujq.
4. Сформулированные выше требования к АЧХ и ФЧХ идеализированной цепи
коррекции и найденная зависимость (П5.19) представляют собой исходные данные
для синтеза реальных корректирующих цепей, обеспечивающих с требуемыми
запасами предельно глубокую устойчивую обратную связь в рабочей полосе частот
преобразователя.
Приложение 6. Программа MathCad для анализа
устойчивости (запаса по фазе и амплитуде) и
коэффициента стабилизации с использованием
метода усреднения и линеаризации для ИПН с
двузвенным СФ и двумя контурами ОС
Параметры СФ:
R1 := 0.1 сопротивление ключевого транзистора и потери
индуктивности L1


406
Приложения
nloc := 1 наличие (1) или отсутствие (0) ОС по Ici
I := identy(5) единичная матрица
Функция передачи разомкнутой петли ОС по току конденсатора С1 первого
звена СФ
Функция передачи разомкнутой петли ОС по выходному напряжению ИПН с
R2 := 0.1 сопротивление потерь индуктивности L2
Rcl := 0.05 сопротивление потерь конденсатора С1
Rc2 := 0.05 сопротивление потерь конденсатора С2
Параметры первого и второго звена СФ:
L1 := 17 • 10_6 индуктивность катушки L1
О := 4.4 • 10_6 емкость конденсатора О
L2 := 17 • Ю-6 индуктивность катушки L2
С2 := 2.3 • 10_6 емкость конденсатора С2
Rb := 1.92 сопротивление нагрузки RH
Исходные данные:
U1 := 160 входное напряжение
а := 0.5 коэффициент передачи делителя
Л" := 132 • 103 частота коммутации силовых транзисторов
Ки := 1500 коэффициент усиления УПТ в контуре ОС
по выходному напряжению
Ks := 10 коэффициент усиления УПТ в контуре ОС
по току первого конденсатора
Up := 18 амплитуда пилообразного напряжения
Т1 := 10 • 10~6, Т2 := 10 • 10~3 постоянные времени цепи коррекции
D := 0.32 номинальный коэффициент заполнения
Матрица коэффициентов переменных состояния
Матрица коэффициентов внешнего воздействия


Приложения
407
учетом пропорционально-инерционного звена коррекции
ЛЧХ разомкнутой системы с обратными связями
На сайте редакции «Радио и связь» www.radiosv.ru размещены тексты
следующих программ, рассмотренных в данной книге:
1. Программа (Pascal) анализа лестничных реактивных фильтров.
2. Программа (Pascal) синтеза фильтров Чебышева и Золотарева-Кауэра с
учетом потерь и с минимальной реактивной энергией.
3. Программа (Pascal) расчета переходных процессов для ИПН
понижающего типа с однозвенным СФ и двумя контурами обратной связи по току емкости и
выходному напряжению.
4. Программа (Pascal) расчета коэффициента подавления входных НЧ
пульсаций для ИПН понижающего типа с двузвенным СФ и двумя контурами
обратной связи по току первой емкости и выходному напряжению с пропорционально-
инерционным звеном коррекции.
5. Программа (Mathcad) расчета частотных характеристик ИПН
повышающего типа с емкостным фильтром.
6. Программа (MathCad) анализа устойчивости (запаса по фазе и амплитуде)
и коэффициента стабилизации с использованием метода усреднения и линеаризации
для ИПН с двузвенным СФ и двумя контурами ОС.


Список сокращений
A(t) — коммутационная функция
a,i — высота i-й ступени выходного ступенчатого напряжения
s — число ступеней выходного ступенчатого напряжения
ekt —экспоненциальная матрица
tH(*) —мгновенный ток нагрузки
Ку — коэффициент усиления усилителя постоянного тока
А'м и Ку — коэффициенты использования транзисторов по
мощности и напряжению
Ки(р) — коэффициент передачи входного фильтра по
напряжению
Кт.и и KTj — коэффициенты гармоник выходного напряжения и
тока нагрузки
L —преобразование Лапласа
L~l —обратное преобразование Лапласа
п — номер периода
Ро и Рп —активная мощность, соответственно потребляемая
формирователем и выделяемая в нагрузке формирователя
Pi —активная мощность первой гармоники тока нагрузки
р —оператор дифференцирования
Ян — активное сопротивление нагрузки
г — радиус окружности
гд — дифференцированное сопротивление диода
гкл — внутреннее сопротивление ключевого генератора
гтр —сопротивление насыщения транзистора
Т —период генерируемых колебаний
Uoul —сигнал ошибки
UHi —амплитуда первой гармоники напряжения на нагрузке
V(jw) —годограф амплитудно-фазовой характеристики
непрерывной части преобразователя
W(jlj) — коэффициент гармонической «стационаризации»
WK(s) — передаточная функция корректирующего звена
x(t) — входное воздействие
y(t) — выходной сигнал
Vbx(j'w) и ZbX(juj) —входные комплексные проводимости и сопротивление
выходного тракта формирователя
?ф(р) —операторное сопротивление входного фильтра
A(t) —функции, описывающие высшие гармоники тока
нагрузки


Список сокращений
409
вг —угловая координата г-й ступени выходного ступенчатого
напряжения
и0 — резонансная частота колебательного контура
и;гр —граничная частота фильтра нижних частот
шу — частота генерируемых колебаний
ip —фаза основной гармоники тока нагрузки
АИМ —амплитудно-импульсная модуляция
АЧХ —амплитудно-частотная характеристика
АШИМ —амплитудно-широтно-импульсная модуляция
ВИМ — время-импульсная модуляция
ГВЗ — групповое время задержки
КГ — ключевой генератор
КУМ —ключевой усилитель мощности
ЛУ —линейный усилитель
ОДН и ООН —одноуровневые двух- и однополярное напряжение
ПХ — переходная характеристика
СФ —сглаживающий фильтр
ФВЧ —фильтр верхних частот
ФНЧ —фильтр нижних частот
ФПНЧ —фильтр-прототип нижних частот
ФЧ — функция чувствительности
ФЧХ — фазочастотная характеристика
Re —знак взятия реальной части
Im —знак взятия мнимой части


Литература
1. Аль-Номан А.А. и др. Энергетические и массогабаритные
характеристики LC-фильтров // Электросвязь. 1996. № 12. С. 27-29.
2. Дмитриков В.Ф., Сергеев В.В., Самылин И.Н. Оптимизация
сглаживающих фильтров по массогабаритным и энергетическим критериям // Труды
учебных заведений связи. СПб ГУТ. 2001. № 167. С. 61-71.
3. Матханов П.Н., Федоров К.А. Сравнительный анализ простых схем
сглаживающих фильтров по массогабаритным показателям // Энергетика.
1983. № 9. С. 42-45.
4.Безгачин Н.И., Никитин В.Б. Обобщенный метод определения
суммарной мощности элементов реактивного двухполюсника // Теоретическая
электротехника. 1979. № 26. С. 88-96.
5. Волков И.В. Минимизация реактивной мощности элементов
индуктивно-емкостных преобразователей // Проблемы технической электродинамики.
1972. Вып. 35. С. 100-106.
6. Конденсаторы. Справочник / Под ред. И.И. Четверткого и М.Н.
Дьяконова. — М.: Радио и связь, 1993. — 392 с.
7. Русин Ю.С. и др. Электромагнитные элементы РЭА. Справочник. —
М.: Радио и связь, 1991. — 224 с.
8. Расчет фильтров с учетом потерь. Справочник: Пер. с нем. под ред.
К.А. Сильвинской. — М.: Связь, 1972. — 200 с.
9. Собенин Я.А. Расчет полиномиальных фильтров. — М.: Связьиздат,
1963. — 207 с.
10. Kishi G., Nakazawa К. Relation between reactive energy and group delay
in lumped-constant networks // IEEE Trans. Circuit Theory. 1963. V. 10, № 3.
P. 67-71.
11. Kishi G.f Kida T. Energy theory of sensitivity in LCR-networks // IEEE
Trans. Circuit Theory. 1967. V. 14. № 12. P. 380-387.
12. Пенфильд П. и др. Энергетическая теория электрических цепей: Пер.
с англ. под ред. В.А. Говоркова. — М.: Энергия, 1974. — 152 с.
13. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей.
— М.: Сов. радио, 1973. — 200 с.
14. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.:
Радио и связь, 1986. — 544 с.
15. Белецкий А.Ф. Теоретические основы электропроводной связи. Ч. 3.
— М.: Связьиздат, 1959. — 390 с.
16. Трифонов И.И. Расчет электронных цепей с заданными частотными
характеристиками. — М.: Радио и связь, 1988. — 304 с.
17. Гиллемин Э.А. Синтез пассивных цепей: Пер. с англ. под ред.
М.М. Айзинова. — М.: Связь, 1970. — 720 с.
18. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер.с англ. под
ред. И.Н. Теплюка. — М.: Мир, 1977. — 560 с.
19. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров: Пер. с нем. под ред.
Н.Н. Слепова. — М.: Радио и связь, 1983. — 752 с.
20. Альбац М.Е. Справочник по расчету фильтров и линий задержки.
— М.: Госэнергоиздат, 1963. — 200 с.


Литература
411
21. Собенин Я.А., Трифонов И.И., Фролов С.А. Линейные
радиотехнические устройства и современные методы их расчета. Полиномиальные
электрические фильтры. — Л.: ВАС, 1970. — 254 с.
22. Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров: Пер. с англ. под ред.
А.Е. Знаменского. — М.: Сов. радио, 1974. — 288 с.
23. Христиан Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчету фильтров.
Справочник: Пер. с нем. под ред. А.Ф. Белецкого. — М.: Связь, 1975. — 408 с.
24. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Сергеев В.В. Новый метод синтеза
реактивных фильтров // Электросвязь. 2001. № 1. С. 33-36.
25. Сергеев В.В. Анализ и синтез реактивных фильтров по
энергетическим критериям // Автоматика и телемеханика. 2002. № 6. С. 155-165.
26. Сергеев В.В. Оптимизация реактивных фильтров по энергетическому
критерию // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 6. С. 718-721.
27. Тонкаль И.Е. и др. Баланс энергий в электрических цепях. —
Киев.: Наук, думка, 1992. — 312 с.
28. Проектирование радиопередающих устройств с применением ЭВМ /
Под ред. О.В. Алексеева. — М.: Радио и связь, 1987. — 392 с.
29. Проектирование радиопередающих устройств. / Под ред. В.В. Шах-
гильдяна. — М.: Радио и связь, 2000. — 512 с.
30. Дмитриков В.Ф., Петяшин Н.Б., Сивере М.А. Высокоэффективные
формирователи гармонических колебаний. — М.: Радио и связь, 1988. — 92с.
31. Евтянов СИ., Редькин Г.Е. Импульсные модуляторы с искусственной
линией. — М.: Сов. радио, 1973. — 272 с.
32. Матханов П.Н. Синтез реактивных четырехполюсников по
временным функциям. — Л.: Энергия, 1970. — 135 с.
33. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с
англ. под ред. В.Г. Горского. — М.: Мир, 1975. — 534 с.
34. Роудз Д.Д. Теория электрических фильтров: Пер. с англ. под ред.
A.M. Трахтмана. — М.: Сов. радио, 1980. — 240 с.
35. Лондон С.Е., Томашевич СВ. Справочник по высокочастотным
трансформаторным устройствам. — М.: Радио и связь, 1984. — 216 с.
36. Olcayto E. Recursive formulae for ladder network optimisation //
Electronics letters. 1979. V. 15, № 9. P. 249-250.
37. Басков Е.И., Лебедев А.Т. Линейные радиотехнические устройства
и современные методы их расчета. Расчет электрических фильтров на ЭВМ.
— Л.: ВАС, 1970. — 158 с.
38. Аль-Номан А.А., Сергеев В.В. Расчет группового времени задержки
и его функций чувствительности для лестничных цепей // Известия вузов.
Радиоэлектроника. 1996. Т. 39, № 6. С. 77-80.
39. Фидлер Д.К., Найтингейл К. Машинное проектирование электронных
схем. — М.: Высшая школа, 1985. — 216 с.
40. Кривошейкин А.В. Точность параметров и настройка аналоговых
радиоэлектронных цепей. — М.: Радио и связь, 1983. — 136 с.
41. Казанджан Н.Н., Романенко Е.А., Генис Е.А. Расчет группового
времени запаздывания и его параметрической чувствительности // Известия
вузов. Радиоэлектроника. 1981. Т. 24, № 12. С. 23-26.
42. Prasad S.C., Singh R.P. Group delay sensitivity - its estimation and
application // The Radio and Electronic Engineer. 1981. V. 51, № 4. P. 195-197.
43. Калниболоцкий Ю.М. и др. Расчет чувствительности электронных
схем. — Киев.: Техника, 1982. — 176 с.


412
Литература
44. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. — М.:
Мир, 1979. — 452 с.
45. Капустян В.И. Активные RC-фильтры высокого порядка. — М.:
Радио и связь, 1985. — 248 с.
46. Хейнлейн В.Е., Холмс В.Х. Активные фильтры для интегральных
схем: Пер. с англ. под ред. Н.Н. Слепова и И.Н. Теплюка. — М.: Связь,
1980. — 656 с.
47. Чуа Л.О., Пен-Мин-Лин. Машинный анализ электронных схем. —
М.: Энергия, 1980. — 640 с.
. Blostein M.L. Sensitivity analysis of parasitic effects in resistance-terminated
LC two-ports // IEEE Trans. Circuit Theory. 1967. V. 14, № 1. P. 21-25.
49. Kida Т., Kurogochi K. An efficient method of statistical analysis for LC
ladder filters // Int. J. Circuit Theory and Application. 1982. V. 10, № 1. P. 43-56.
50. Kida Т., Kurogochi K. New sensitivity measures for resistively terminated
LCfilters // Int. J. Circuit Theory and Application. 1983. V. 11, № 2. P. 219-234.
51. Сергеев В.В. Метод оценки стабильности импульсных характеристик
линейных электронных цепей // Радиотехника. 1979. Т. 34, № 8. С. 75-77.
52. Сергеев В.В. Инварианты суммарных чувствительностей временных
функций электрических цепей // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1978.
Т. 21, № 7. С. 77-79.
53. Ланнэ А.А. и др. Оптимальная реализация линейных электронных
RLC-схем. — Киев.: Наукова думка, 1981. — 208 с.
54. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. — М.:
Связь, 1978. — 335 с.
55. Канаев Ю.М..Трифонов И.И. Конструирование передаточных
функций линейных электрических устройств с учетом отклонений элементов от
номинальных значений // Автоматизация проектирования в электронике. 1980.
Вып. 21. С. 47-51.
56. Москаленко В.А., Славский Г.Н. Проектирование полиномиальных
фильтров с учетом ожидаемой погрешности реализации // Избирательные
системы с ОС. Таганрог. 1991. № 7. С. 62-69.
57. Сергеев В.В. Задача аппроксимации при синтезе стабильных
электронных фильтров // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1983. Т. 26, № 9.
С. 93-95.
58. Сергеев В.В. Оптимальный синтез линейных электронных цепей с
учетом нестабильности параметров элементов // Электронное
моделирование. 1985. Т. 7, № 1. С. 43-47.
59. Невежин Е.В. Чувствительность частотных характеристик
полиномиальных фильтров // Радиотехника. 1991. Т. 46, № 11. С. 41-43.
60. Swamy M., Bhushan С. Sensitivity invariants for linear time-invariant
networks // IEEE Trans. Circuit Theory. 1973. V. 20, № 1. P. 21-24.
61. Ланнэ А.А. Потенциальные характеристики линейных фильтрующих
цепей. — М.: Связь, 1974. — 56 с.
62. Сергеев В.В. Свойства вариаций функций электронных цепей //
Известия вузов. Радиоэлектроника. 1985. Т. 28, № 9. С. 84-86.
63. Аль-Номан А.А., Сергеев В.В. Оценка точности уравнений теории
чувствительности для электрических фильтров // Радиотехника и
электроника. 1996. Т. 41, № 4. С. 494-496.
64. Noda H., Fukai S., Ishikawa H. Sensitivity of LC-fiIters with dissipation
// Repts. Fac. Sci. Eng. Saga Univ. 1993. V. 21, № 2. P. 33-39.


Литература
413
65. Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. — М.: Радио
и связь, 1984. — 248 с.
66. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез:
Электротехнические устройства и системы. — Л.: Энергоатомиздат, 1987. — 128 с.
67. Вопросы теории и элементы программного обеспечения
минимаксных задач / Под ред. В.Ф. Демьянова и В.Н. Малоземова. — Л.: ЛГУ, 1977.
— 192 с.
68. Huseyin О. Application of equivalent network theory // IEEE Trans. Circuit
Theory. 1972. V. 19, № 4. P. 376-378.
69. Kim H., Kim E. Generation of equivalent Cauer-type canonic ladder
networks // IEEE Trans, on Circuits and Systems. 1981. V. 28, № 10. P. 1004-1006.
70. Ulbrich W. On the generation and optimization of eqvivalent ladder
networks // Int. J. Circuit Theory and Application. 1980. V. 8, № 1. P. 19-30.
71. Тонкаль В.Е. Синтез автономных инверторов модуляционного типа.
— Киев, Наукова думка, 1979. — 206 с.
72. Васюков В.В., Климов B.C., Уткин М.А. Оптимальность
ступенчатой аппроксимации гармонического сигнала функциями Уолша // Известия
вузов. 1985. Т. 28, № 1. С. 78-80
73. Васюков В.В. Коэффициент гармоник оптимального
квазисинусоидального сигнала // Электросвязь. 1986. № 4. С. 58-60.
74. Дмитриков В.Ф., Ларионов О.М., Сергеев В.В. Исследование
методов улучшения массогабаритных характеристик выходного тракта
ключевых радиопередающих устройств // Труды учебных заведений связи. 1999.
№ 165. С. 65-72.
75. Дмитриков В.Ф., Тонкаль В.Е., Гречко Э.Н., Островский М.Я.
Теория и методы анализа преобразователей частоты и ключевых генераторов.
Киев: Наукова думка, 1988. — 312 с.
76. Дмитриков В.Ф. Влияние падения напряжения на транзисторах и
диодах на спектральный состав ключевых генераторов с улучшенной формой
выходного напряжения // Техническая электродинамика. 1981. № 3. С. 34.
77. Малышков Г.М. Условно-оптимальный синтез ступенчатого
напряжения // В кн.: Электронная техника и автоматика. Под ред. Ю.И.
Конева. Вып. 14. С. 151-162.
78. Калниболотский Ю.М., Солодовник А.И. и др. К вопросу синтеза
оптимального квазисинусоидального сигнала // Электронное моделирование.
1980. № 2. С. 43-48.
79. Дмитриков В.Ф., Ларионов О.М., Сергеев В.В. Расчет LC фильтров
с минимальной реактивной энергией, массой и габаритами // Труды учебных
заведений связи. 1999. № 165. С. 163-167.
80. А.с. 834831 (СССР). Двухтактный генератор / В.Ф. Дмитриков,
А.С. Панфилов, В.В. Титов. Опубл. 1981, Бюл. № 20.
81. Козырев В.Б. Полиномиальные фильтры с постоянным активным
входным сопротивлением // Радиотехника. 1978. Т. 39, № 3.
82. Алексеев О.В., Грошев Г.А. Чавка Г.Г. Многоканальные частотно-
разделительные устройства и их применение. — М.: Радио и связь, 1981. 13 с.
83. Артым А.Д. Усилители классов D и ключевые генераторы в
радиосвязи и радиовещании. — М.: Связь, 1980. — 209 с.
84. Дмитрииов В.Ф., Островский М.Я. Аналитические методы
исследования автономных инверторов с использованием структурных схем и
коммутационных функций. Препринт. — Киев, 1982. — 63 с. (АН УССР. № 286)


414
Литература
85. Дмитриков В.Ф., Муравьев Е.И., Островский М.Я. Метод расчета
параллельного инвертора с конечной индуктивностью в цепи питания //
Техническая электродинамика. 1982. № 5. С. 27-32.
86. Дмитриков В.Ф., Островский М.Я. Погрешность приближенного
метода анализа параллельного инвертора // Техническая электродинамика.
1983. № 1. С. 35-43.
87. Дмитриков В.Ф. Исследование ключевого генератора с
использованием годографа линейной части // Техника средств связи. Сер. Техника
радиосвязи. 1983. Вып. 5. С. 38-44.
88. Дмитриков В.Ф. Метод расчета ключевого генератора с учетом
фильтра выпрямителя // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. 1983.
Вып. 7 (30).
89. Дмитриков В.Ф., Кулик В.Д., Островский М.Я. Стационарные
режимы в инверторах резонансного типа с широтным регулированием напряжения
// Электротехническая промышленность. Сер. Преобразовательная техника.
— М.: Информэлектро, 1984. Вып. 1 (159). С. 1-3.
90. Дмитриков В.Ф., Юрченко Н.Н. Динамические режимы в
ключевых транзисторных генераторах с улучшенной формой выходного
напряжения. Препринт. — Киев, 1984. С. 59. (АН УССР, № 387.)
91. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1958.
— 724 с.
92. Шильман СВ. Метод производящих функций в теории динамических
систем. — М.: Наука, 1978. — 336 с.
93. Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы
управления. — М.: Наука, 1973. — 512 с.
94. Андронов А.А., Леонтович М.А. О колебаниях системы с
периодически меняющимися параметрами: Собр. тр. А.А. Андронова. — М.: Изд-во
АН СССР, 1956. — 538 с.
95. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 503 с.
96. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с
переменными параметрами. — М.: Наука, 1971. — 620 с.
97. Солодовников В.В., Бородин Ю.М., Иоаннисян А.В. Частотные
методы анализа и синтеза нестационарных линейных систем. — М.: Сов.
радио, 1972. — 168 с.
98. Мерабишвили С.Ф. Операторный метод расчета переходных
процессов в однофазных автономных инверторах // Электричество. 1970. № 5.
С. 52-56.
99. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. —
Киев: Наукова думка, 1971. — 440 с.
100. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. —
М.: Связьиздат, 1935.
101. Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. — М.:
Сов. радио, 1973. — 320 с.
102. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных
системах. — М.: Наука, 1973. — 583 с.
103. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. — М.:
Физматгиз, 1974. — 575 с.
104. Дмитриков В.Ф. Исследование переходных процессов в ключевых
генераторах со ступенчатой формой выходного напряжения // Техническая
электродинамика / АН УССР. 1980. № 2. С. 32-39.


Литература
415
105. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость
периодического движения. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 220 с.
106. Розенвассер Е.Н., Воловодов С.К. Операторные методы и
колебательные процессы. — М.: Наука, 1985. — 309 с.
107. Розенвассер Е.И. Колебания нелинейных систем. — М.: Наука,
1969. — 576 с.
108. Гарбер Е.Д., Шифрин М.Ш. Нелинейные задачи автоматического
регулирования судовых энергетических установок. — Л.: Судостроение, 1967.
— 326 с.
109. Муравьев Е.И., Островский М.Я., Чечурин С.Л. и др.
Параметрический резонанс в системах автоматического управления // Исследование систем
управления с применением ЭВМ. 1983. № 391. С. 42-45.
110. Воловодов С.К., Розенвассер Е.Н. О применении обобщённых
коэффициентов гармонической линеаризации для определения параметров
автоколебаний // Автоматика и телемеханика. № 4. С. 26-30.
111. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.
— М.: Связь, 1974. — 136 с.
112. Красносельский М.А., Лифшиц Б.А., Соболев А.В. Позитивные
линейные системы. Метод положительных операторов. — М.: Наука, 1985.
— 256 с.
113. Дмитрииов В.Ф., Островский М.Я. Аналитические методы
исследования автономных инверторов с использованием структурных схем и
коммутационных функций. Препринт. — Киев, 1982. — 53 с. (АН УССР. № 287).
114. Дмитриков В.Ф., Муравьев Е.И., Островский М.Я. Метод
расчета установившегося режима колебательного инвертора // Техническая
электродинамика. 1981. № 2. С. 51-57.
115. Баев А.В., Гельман М.В., Савинова Г.В. Анализ и расчет
установившихся режимов колебательных инверторов по частотным характеристикам
// Электричество. 1976. № 7. С. 46-51.
116. Пивняк Г.Г., Худодеев Г.В. Операторный метод расчета переходных
процессов в автономных инверторах в режиме прерывистого тока // Известия
вузов. Сер. Электромеханика. 1979. № 5. С. 419-424.
117. Ковалев Ф.И., Мустафа Г.М. Использование метода основной
гармоники при проектировании стабилизированных преобразователей //
Электротехника. 1982. № 3. С. 31-34.
118. Тодоров Г.С. Анализ основных схем инверторов в режиме
непрерывного тока // Электричество. 1973. № 4. С. 30-35.
119. Сырников Э.В. К анализу ключевого генератора гармонических
колебаний на управляемых вентилях // Техника средств связи. Сер. Техника
радиосвязи. 1979. Вып. 5. С. 65-75.
120. Завьялов В.И. Условия существования стационарных процессов в
автономных инверторах // Электричество. 1981. № 7. С. 56-59.
121. Завьялов В.И. Устойчивость автономного инвертора // Энергетика
и транспорт. 1984. № 1. С. 47-50.
122. Сабанеева Г.И. Методы расчета переходных и установившихся
процессов в тиристорных преобразователях частоты. — Уфа: Уфим. авиац. ин-т,
1979. — 103 с.
123. Беркович Е.И. Анализ вентильных преобразователей с применением
модуль-функции // Электричество. 1983. № 12. С. 21-26.


416
Литература
124. Баушев B.C., Кобзев А.В. Анализ устойчивости стационарных
решений в моделях преобразовательных схем с ключевыми элементами //
Электротехническая промышленность. Сер. Преобразовательная техника. 1984. Вып.
6. С. 3-4.
125. Дмитриков В.Ф., Островский М.Я. Устойчивость в «малом»
установившихся режимов тиристорных генераторов // В кн.:
Полупроводниковые автоколебательные системы и усилительные устройства. — Л., 1984. —
С. 113-118.
126. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.
— М.: Наука, 1967. — 472 с.
127. Якубович В.А., Стражинский В.Н. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.:
Наука, 1972. — 718 с.
128. Методы исследования нелинейных систем автоматического
управления / Под ред. P.M. Немчина. — М. : Наука, 1975. — 448 с.
129. Завьялов В.И. Исследование инвертора на устойчивость при
жестком управлении // Известия вузов. Сер. Электромеханика. 1983. № 5. С. 60-63.
130. Бальян Р.Х., Сивере М.А. Тиристорные генераторы и инверторы.
— Л.: Энергоиздат, 1982. — 223 с.
131. Бэдфорд Б., Хофт Р. Теория автономных инверторов: Пер. с англ.
под ред. И.В. Антика. — М.: Энергия, 1969. — 280 с.
132. Виноградов П.Ю., Гречко Э.Н., Дмитриков В.Ф. и др. Анализ
электромагнитных процессов в ключевых генераторах с учетом цепей
постоянного тока. — Киев, 1986. — 48 с. (Препринт АН УССР. Ин-т
электродинамики; № 458).
133. Виноградов П.Ю., Дмитриков В.Ф., Островский М.Я., Сороцкий
В.А. Метод анализа ключевого генератора с учетом параметров фильтра
выпрямителя // Радиотехника. 1984. № 11. С. 40-42.
134. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем.— М.:
Наука, 1972. — 544 с.
135. Тафт В.А. Спектральные методы расчёта нестационарных цепей и
систем. — М.: Энергия, 1978. — 272 с.
136. Синицкий Л.А. Анализ систем с модуляцией при негармонической
форме модуляции // Автоматика и телемеханика. 1965. № 7. С. 1289-1296.
137. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Калмыков СВ., Шушпанов
Д.В. Исследование динамических характеристик импульсного регулятора
напряжения с различными фильтрами и контурами обратной связи // Труды
учебных заведений. — СПб.: СПбГУТ, 2002. № 168.
138. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Калмыков СВ., Сергеев В.В.
Исследование устойчивости импульсных преобразователей с ШИМ //
Межвузовский сборник научных трудов. — СПб.: СПбГТУ РП, 2002.
139. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Калмыков СВ., Самылин Н.Н.
Исследование импульсного преобразователя напряжения повышающего типа с
П-образным CLC-фильтром // Практическая силовая электроника. 2004. № 14.
140. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Калмыков СВ., Самылин Н.Н.
Исследование статических и динамических характеристик импульсных
преобразователей напряжения понижающего типа при использовании двухзвен-
ных фильтров с различными характеристикам // Практическая силовая
электроника. 2004. № 14.


Литература
417
141. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Самылин И.Н. Исследование
статических и динамических характеристик импульсных преобразователей
понижающего типа при использовании фильтров с различными
характеристиками // Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника, 2004.
142. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Самылин И.Н., Шушпанов Д.В.
Исследование динамических и статических характеристик импульсного
преобразователя повышающего типа с корректирующими звеньями // Известия
вузов. Сер. Радиоэлектроника. 2004.
143. Головацкий В.А. Транзисторные импульсные усилители и
стабилизаторы постоянного напряжения. — М.: Сов. радио, 1974. — 160 с.
144. Болдырев В.Г. Синтез многозвенных пассивных фильтров и
оптимизация их массогабаритных характеристик. Автореферат диссертации на
соискание ученой степени к.т.н. — М.: МЭИ, 1983. — 16 с.
145. Матханов П.Н., Федоров К.А. Сравнительный анализ простых схем
сглаживающих фильтров по массогабаритным показателям // Энергетика.
1983. № 9. С. 42-45.
146. Гольдштейн Е.И., Майер А.К. Индуктивно-емкостные
сглаживающие фильтры. / Томск: Из-во Томск, ун-та, 1982. — 221 с.
147. Малышков Г.М. Синтез и анализ выходных фильтров импульсных
источников постоянного напряжения // В кн.: Электронная техника в
автоматике. Под ред. Ю.И. Конева. — М.: Сов. радио, 1980. № 13. С. 112-126.
148. Малышков Г.М. Многоэлементные фильтры инверторов // В кн.:
Электронная техника в автоматике. Под ред. Ю.И. Конева. — М.: Сов.
радио, 1982. № 13. С. 162-167.
149. Малышков Г.М. и др. Выбор параметров фильтров инверторов // В
кн.: Электронная техника в автоматике. Под ред. Ю.И. Конева. — М.: Сов.
радио, 1986. № 17. С. 148-168.
150. Дмитриков В.Ф., Сергеев В.В., Синица А.П. Классические
частотные LC-фильтры в качестве фильтрующих цепей источников электропитания
// Труды учебных заведений связи. СПб.: СПбГУТ, 2000. № 166. С. 118-123.
151. Коржавин О.А. Динамические характеристики импульсных
полупроводниковых преобразователей и стабилизаторов постоянного напряжения. —
М.: Радио и связь, 1997. — 300 с.
152. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физ-
матгиз, 1963.
153. Цыпкин Я.З. Релейные системы автоматического регулирования. —
М.: Наука, 1974.
154. Бессекерский В.А. Цифровые автоматические системы. — М.:
Наука, 1976.
155. Дмитриков В.Ф., Сергеев В.В. Энергетические и массогабаритные
характеристики LC-фильтров // Электросвязь. 1996. № 12. С. 27-29.
156. Дмитриков В.Ф., Сергеев В.В., Самылин И.Н. Исследование
переходных процессов в импульсных регуляторах напряжения с различными
фильтрующими цепями // Труды учебных заведений связи. СПб.: СПбГУТ,
2001. № 167. С. 72-78.
157. Ridly R.B., Cho B.H., Lee F.C. Analysis and interpretation of loop gains
of multiloop-controlled switching regulators // IEEE Trans. Power Electron. 1998.
V. 3, № 4. P. 271-280.
158. Cho B.H., Lee F.C. Measurement of loop gain with the digital modulator
// IEEE Trans. Power Electron. 1986. V. PEl, № 1. P. 55-62.


418
Литература
159. Мелешин В.И., Мосин В.В., Опадчий Ю.Ф. Формирование
динамических свойств устройств вторичного электропитания с LUI/IM-2 // В кн.:
Электронная техника в автоматике. Под ред. Ю.И. Конева. — М.: Сов.
радио, 1986. № 16. — С. 5-44.
160. Белов Г.А., Кузьмин С.А. Условия устойчивости и коэффициент
стабилизации импульсного стабилизатора с обратными связями по току и
напряжению // В кн.: Электронная техника в автоматике. Под ред. Ю.И. Конева.
— М.: Сов. радио, 1984. № 15. С. 48-58.
161. Источники вторичного электропитания. Справочное пособие / Под
ред. Ю.И. Конева. — М.: Радио и связь, 1983.
162. Мелешин В.И. Динамические свойства преобразователей с ШИМ-2
в режимах прерывистого и непрерывного токов // В кн.: Электронная техника
в автоматике. Под ред. Ю.И. Конева. — М.: Сов. Радио, 1986. № 17.
163. Чуа Л.О., Пен-Мин-Лин. Машинный анализ электронных схем. —
М.: Энергия, 1980.
164. Дмитриков В.Ф., Беловицкий О.И., Калмыков СВ., Самылин Н.Н.
Учет влияния комплексной нагрузки на работу импульсных источников
питания // Тезисы доклада на конференции «Состояние и перспективы развития
энергетики связи» СПРЭС-2004.
165. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью. — М.: Иностранная литература, 1948. — 642 с.
166. Горовиц A.M. Синтез систем с обратной связью: Пер. с англ. под
общ. ред. М.В. Меерова. — М.: Сов. радио, 1970. — 599 с.
167. Остапенко Г.С. Усилительные устройства: Учебн. пособие для
вузов. — М.: Радио и связь, 1989.
168. Чети П. Проектирование ключевых источников электропитания: Пер.
с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1990.
169. Chetty P.R.K. Closed Loops — on Track for Testing Switchers //
Electronic Design. 1983. July 7. P. 135-140.
170. Specify Gain And Phase Margins On All Your Loops // Venable Technical
paper № 2. 2001.
171. Самылин И.Н., Смирнов B.C., Филин В.А. Оценка предельной
глубины отрицательной обратной связи в ШИМ-преобразователях понижающего
типа// Практическая силовая электроника. 2004. № 14.
172. Самылин И.Н., Смирнов B.C., Филин В.А. Автоматизация
измерений частотных характеристик коэффициента передачи по петле ООС
импульсных источников электропитания // Сб. трудов 5-й Всероссийской
конференции «Состояние и перспективы развития энергетики связи». СПб., 2004.
С. 112-119.
173. Дмитриков В.Ф., Самылин И.Н., Шушпанов Д.В., Калмыков СВ.
Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации импульсных
преобразователей напряжения повышающего типа // Известия вузов. Сер.
Радиоэлектроника. 2004.
174. Sharifipour В., Huang J.S, Liao P. etc. Manufacturing and cost
analysis of power-factor-correction circuits // Proc. IEEE-APEC98, Annu. Meeting.
1998. V. 1. P. 490-494.
175. Zheren Lai, Keyue Ma Smedley. A Family of Continuous-Conduction-
Mode Power-Factor Correction Controllers Based on the General Pulse-Width
Modulator // IEEE Transactions on Power Electronics. 1998. V. 13, № 3. P. 501-510.
176. Чаплыгин Е.Е. Спектральные модели корректоров коэффициента
мощности с ШИМ // Практическая силовая электроника. 2002. № 11. С. 26-31.


Литература
419
177. Каюков Д.С., Недолужко И.Г. Анализ и проектирование
корректора коэффициента мощности // Практическая силовая электроника. 2002.
№ 11. С. 20-25.
178. Овчинников Д.А., Кастров М.Ю., Герасимов А.А. Однофазные
выпрямители с корректором коэффициента мощности // Практическая силовая
электроника. 2002. № 7. С. 2-11.
179. Tenti P., Spiazzi G. Harmonic Limiting Standards and Power Factor
Correction Techniques // 6th European Conference on Power Electronics and
Applications. 1995. P. 1-144.
180. Овчинников Д.А., Кастров М.Ю. Классификация однофазных
корректоров коэффициента мощности // Практическая силовая электроника.
2002. С. 23-26.
181. Овчинников Д.А., Кастров М.Ю. Пассивные корректоры
коэффициента мощности // Практическая силовая электроника. 2003. № 9. С. 12-15.
182. Дмитриков В.Ф., Самылин И.Н., Шушпанов Д.В. Исследование
динамических и качественных характеристик корректоров коэффициента
мощности // Практическая силовая электроника. 2004. № 14. С. 18-25.
183. Дмитриков В.Ф., Мал ко в В. А., Самылин И.Н., Шушпанов Д. В.
Исследование пассивных корректоров коэффициента мощности // Практическая
силовая электроника. 2004. № 16.
184. Middlebrook R.D. Input filter considerations in design and application of
switching regulators // IEEE Industry Applicat. Soc. Annu. Meeting, 1976 Record.
185. Cho B.H., Choi B. Analysis and design of multi-stage distributed power
supply systems // INTELEC Conf. Proc, Nov. 1991.
186. Wildrick CM. Stability of distributed power supply systems, Master's
thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, VA, Jan.
1993.
187. Schulz S.E. System interactions and design considerations for distributed
power systems, Master's thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University,
Blacksburg, VA, Jan. 1991.
188. Артым А.Д., Филин В.А., Есполов К.Ж. Новый метод расчёта
процессов в электрических цепях. — СПб.: ЭЛМОР, 2001. — 188 с.
189. Артым А.Д., Филин В.А. Эквивалентные частотные
характеристики усилителя в режиме D с отрицательной ОС // Радиотехника. 1981. Т.
36, № 9. С. 44-46.
190. Филин В.А. Оценка максимально возможной глубины обратной связи
в усилителях класса D. // Труды учебных институтов связи. Теория передачи
информации по каналам связи. — Л.: Изд. ЛЭИС, 1981. С. 114-117.
191. Беляков В.И., Кравцова Р.И., Раппопорт М.Г. Таблицы
эллиптических интегралов: В 2-х томах. Т. 1. — М.: Изд. АН СССР, 1962. — 655 с.
192. Букреев С.С. Транзисторные усилители низкой частоты с обратной
связью. — М.: Сов. радио, 1972. — 184 с.
193. Murray О. Design considerations in class D power amplifiers // IEEE
Trans, on Industr. Electr. and Control Instrum. 1979. V. 26, № 4. P. 213-218.


Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Реактивные фильтры радиотехнических и
преобразовательных устройств и показатели их эффективности 8
1.1. Энергетические функции, массогабаритные показатели и
характеристики стабильности реактивных четырехполюсников 8
1.2. Основные функции реактивных фильтров 11
1.3. Характеристики и схемы классических LC-фильтров 15
Глава 2. Энергетическая теория реактивных фильтров 20
2.1. Теорема Теледжена и ее применение для анализа энергетических
функций нагруженных реактивных четырехполюсников 20
2.2. Энергетические функции реактивных четырехполюсников с
двухсторонней нагрузкой 23
2.3. Энергетические функции реактивных четырехполюсников с
односторонней нагрузкой 26
2.4. Энергетические и массогабаритные показатели сглаживающих
фильтров источников электропитания 30
2.5. Основные свойства энергетических функций LC-фильтров 34
2.6. Энергетические функции фильтров, полученных путем
преобразования частоты из низкочастотного прототипа 39
Глава 3. Расчет LC-фильтров с минимальными реактивной энергией,
массой и габаритными размерами 43
3.1. Алгоритм анализа функций электрических цепей лестничной
структуры 43
3.2. Численный анализ энергетических характеристик классических
LC-фильтров 48
3.3. Расчет LC-фильтров с минимальной реактивной энергией на
элементах без потерь 57
3.4. Влияние потерь в реактивных элементах фильтрующих цепей на
их энергетические функции 62
3.5. Расчет LC-фильтров с минимальной реактивной энергией с
учетом потерь в элементах 65
Глава 4. Параметрическая чувствительность и стабильность
характеристик реактивных фильтров 70
4.1. Показатели стабильности и математическая модель фильтрующей
цепи с изменяющимися параметрами 71
4.2. Свойства суммарных показателей чувствительности и их связь с
энергетическими функциями LC-фильтров 80
4.3. Свойства сумм параметрических чувствительностей временных
функций фильтрующих цепей 83


Оглавление
421
4.4. Свойства вариаций функций фильтрующих цепей 87
4.5. Оценка точности уравнений теории чувствительности 91
4.6. Сравнительный анализ показателей стабильности LC-фильтров
Чебышева, Золотарева-Кауэра и с минимальной реактивной
энергией 97
Глава 5. Оптимальный параметрический синтез реактивных
фильтрующих цепей по энергетическим критериям и показателям
стабильности 104
5.1. Задача оптимального синтеза фильтров 104
5.2. Оптимизация реактивных фильтров по энергетическому (массо-
габаритному) критерию 105
5.3. Оптимальный синтез линейных электрических цепей с учетом
нестабильности параметров элементов 111
5.4. Задача аппроксимации при синтезе электрических фильтров со
стабильными характеристиками 120
5.5. Расчет аппроксимирующих функций полиномиальных
стабильных фильтров 127
5.6. Оптимальный синтез формирующих LC-двухполюсников со
стабильными переходными характеристиками 134
Глава 6. Ключевые генераторы с улучшенным спектральным составом
выходного напряжения 139
6.1. Принципы построения ключевых устройств с улучшенным
спектральным составом выходного напряжения 139
6.2. Дискретный синтез выходного напряжения ключевых устройств
с улучшенным спектральным составом в базисе
тригонометрических и в базисе кусочно-постоянных функций 145
6.3. Расчет фильтра выпрямителя ключевого генератора с
уменьшенным содержанием гармоник 150
6.4. Влияние неидеальности ключевых свойств активных элементов
на ухудшение спектрального состава КГ 155
6.5. Синтез выходных фильтрующих устройств ключевых генераторов
с уменьшенным содержанием гармоник 162
Глава 7. Переходные и установившиеся процессы в ключевых
генераторах с квазисинусоидальной формой выходного напряжения и
синусоидальной формой тока 166
7.1. Ключевой генератор с квазисинусоидальной формой выходного
напряжения и синусоидальной формой тока 166
7.2. Методы анализа ключевых генераторов с учетом цепей
постоянного тока 169
7.3. Структурные схемы ключевых генераторов 171
7.4. Метод гармонической линеаризации 173
7.5. Анализ установившегося режима работы ключевого генератора с
ШИМ 185
7.6. Инженерная методика расчета ключевого генератора 198
7.7. Погрешность метода гармонического баланса 208


Оглавление
7.8. Анализ переходных процессов при управлении колебаниями 218
Глава 8. Исследование статических и динамических характеристик
преобразователей напряжения понижающего типа 225
8.1. Математическая модель ИПН понижающего типа 227
8.2. Импульсный преобразователь напряжения понижающего типа с
однозвенными фильтрами 236
8.2.1. Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации с
использованием частотных характеристик непрерывной
линеаризированной модели ИПН 236
8.2.2. Исследование коэффициента подавления низкочастотных
пульсаций с использованием частотных характеристик импульсной
модели ИПН 244
8.2.3. Исследование статических и динамических характеристик с
использованием импульсной модели ИПН 247
8.2.4. Выводы 254
8.3. Импульсный преобразователь напряжения понижающего типа с
двузвенными фильтрами 255
8.3.1. Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации с
использованием частотных характеристик непрерывной
линеаризированной модели ИПН 255
8.3.2. Исследование коэффициента подавления низкочастотных
пульсаций с использованием частотных характеристик импульсной
модели ИПН 260
8.3.3. Исследование статических и динамических характеристик с
использованием импульсной модели ИПН 265
8.3.4. Выводы 274
8.4. Особенность работы импульсных источников питания на
комплексную нагрузку 274
8.5. Сравнительный анализ частотных характеристик передачи по
петле ООС для импульсной и линейной моделей преобразователей
с ШИМ понижающего типа 279
8.5.1. Состояние вопроса 279
8.5.2. Способы введения возмущения в кольцо ООС преобразователя . 281
8.5.3. Описание компьютерной программы 283
8.5.4. Расчет частотных характеристик преобразователя с
одноконтурной ООС 283
8.5.5. Расчет частотных характеристик преобразователя с двухконтур-
ной ООС 286
8.5.6. Расчет частотных характеристик преобразователя с двухзвенным
фильтром и двухконтурной ООС 290
8.5.7. Расчет процессов в преобразователе с двухзвенным фильтром и
двухконтурной ООС 293
8.5.8. Заключение 295
Глава 9. Исследование статических и динамических характеристик
преобразователей напряжения повышающего типа 297
9.1. Математическая модель импульсного преобразователя
напряжения повышающего типа 297
9.2. Исследование ИПН повышающего типа с емкостным фильтром . 305


Оглавление
423
9.2.1. Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации ИПН
повышающего типа с использованием частотных характеристик
непрерывной линеаризованной модели 305
9.2.2. Исследование статических и динамических характеристик ИПН 310
9.3. Исследование импульсного преобразователя напряжения
повышающего типа с П-образным CLC-фильтром 316
9.3.1. Исследование устойчивости с использованием усредненной
модели ИПН 316
9.3.2. Исследование статических и динамических характеристик ИПН с
П-образным CLC-фильтром 324
Глава 10. Корректоры коэффициента мощности 329
10.1. Исследование динамических и качественных характеристик
активных корректоров коэффициента мощности 329
10.2. Исследование пассивных корректоров коэффициента мощности . 340
Глава 11. Устойчивость высокочастотных импульсных источников в
распределенных системах постоянного тока 355
11.1. Вывод комплексного коэффициента передачи системы каскадно-
соединенных взаимодействующих четырехполюсников 356
11.2. Постановка задачи исследования 357
11.3. Анализ результатов расчета сопротивлений 360
11.4. Проверка устойчивости системы сетевой фильтр -
преобразователь , 363
11.5. Проверка устойчивости системы ведущий источник- ведомые
источники 365
Приложения 368
Приложение 1. Программа анализа лестничных реактивных
фильтров 368
Приложение 2. Программа расчета оптимизированных по
реактивной энергии ФПНЧ и соответствующих аппроксимирующих
функций 373
Приложение 3. Таблицы для расчета оптимизированных по
реактивной энергии ФПНЧ Чебышева и Золотарева-Кауэра 377
Приложение 4. Программа синтеза фильтров Чебышева и Золс-
тарева-Кауэра с учетом потерь и с минимальной реактивной
энергией 388
Приложение 5. Оценка предельной глубины отрицательной ОС в
ШИМ преобразователях понижающего типа 398
Приложение 6. Программа MathCad для анализа устойчивости
(запаса по фазе и амплитуде) и коэффициента стабилизации с
использованием метода усреднения и линеаризации для ИПН с
двузвенным СФ и двумя контурами ОС 405
Список сокращений 408
Литература
410


ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«РАДИО и СВЯЗЬ»
127473 Москва, 2-й Щемиловский пер., д. 5/4, стр. 1.
Отдел заказов: тел./факс: 978-54-10 / E-mail: radiosv@bk.ru
Редакция: тел./факс: 978-53-51 / E-mail: radsvOgarnet.ru
www.radiosv.ru
Научное издание
Дмитриков Владимир Федорович
Сергеев Валерий Варламович
Самылин Игорь Николаевич
Повышение эффективности преобразовательных
и радиотехнических устройств
Редактор Ю.Н. Чернышов
Компьютерная верстка Ю.Н. Чернышов
Обложка художника В.Г. Ситникова
ИБ 3172
ЛР 010164 от 29.01.97
Подписано в печать 20.04.2004. Формат 60x90/16. Гарнитура Helvetica.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,5. Тираж 1000 экз. Изд. № 24460. Заказ №
Издательство «Радио и связь», 127473, Москва, 2-й Щемиловский пер., д. 5/4, стр. 1.
Типография издательства «Радио и связь», 127473, Москва, 2-й Щемиловский пер.,
д. 5/4, стр. 1.


Изложена энегетическая теория реактивных фильтрующих цепей
и на этой основе методы расчета LC-фильтров с минимальной массой
и габаритными размерами, потерями энергии и нестабильностью
характеристик. Рассматриваются схемы и методы дискретного
синтеза выходного напряжения ключевых генераторов с улучшенным
спектральным составом. Изложены вопросы проектирования
ключевых источников питания; проведен анализ их устойчивостии
динамических характеристик при использовании однозвенных и двухзвенных
сглаживающих фильтров с характеристиками Чебышева, Баттервор-
та и равнозвенных фильтров. Исследована устойчивость систем
распределенного питания. Проведен анализ качественных
характеристик активных и реактивных корректоров коэффициента мощности.
Для специалистов в области радиотехнических и
преобразовательных устройств. Будет полезной преподавателям вузов,
аспирантам и студентам соответствующих специальностей.
Книги издательства «Горячая линия - Телеком»
можно заказать через почтовое агентство DESSY: 107113, г.Москва, а/я 10,
а также интернет-магазин: www.dessy.ru
Сайт издательства «Радио и связь»:
www.radiosv.ru
Сайт издательства «Горячая линия-Телеком»:
www.techbook.ru