Математика и психология - Биркгофф Г.

Автор: Биркгофф Г.

Теги: деятельность и организация общая теория связи и управления (кибернетика) психология математическое мышление

Год: 1977

Похожие

Кибернетика без математики

К единой геометрической теории управления

Кибернетика. Логика. Искусство.

Булева структура и её модели

Текст

ГАРРЕТ БИРКГОФФ
МАТЕМАТИКА
И ПСИХОЛОГИЯ
Перевод с английского
Г. Н. Поварова
Москва «Советское радио» 1977

6Ф0.1
Б 64
УДК.007
Биркгофф Г.
Б 64 Математика и психология. Пер. с англ. М.,
«Сов. радио», 1977.
96 с. с ил.
Обсуждаются связи между математикой и психологией и возмож-
возможности механизации математического мышления. Отмечая ограничения
существующих цифровых вычислительных машин, автор призывает
к использованию их в «симбиозе» с людьми. Эта научно-популярная
книга предназначена тем не менее для подготовленных читателей,
интересующихся вопросами кибернетики и прикладной математики
„ 30501-080
Б 046@1)-77 697 6Ф0Л
Редакция кибернетической литературы
© Перевод на русский язык. Издательство «Советское
радио», 1977.

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Настоящая книга представляет собой перевод
доклада видного американского математика Гар-
Гаррета Биркгоффа, прочитанного им в Обществе
промышленной и прикладной математики (ОППМ)
и опубликованного затем в журнале этого общест-
общества *. Профессор Гарвардского университета Гаррет
Биркгофф известен работами по алгебре, числен-
численному анализу и математической физике; некото-
некоторые из них переведены на русский язык**. Доклад,
о котором мы говорим, посвящен интересной и ак-
актуальной задаче анализа умственных способностей
человека и их моделирования — синтеза — на элек-
электронных вычислительных машинах.
О «думающих машинах» мечтали еще Луллий
и Лейбниц, но только в наш век, с развитием тех-
техники и теории автоматического управления, про-
проблема «искусственного разума» выдвинулась на
передний край науки. По существу, речь идет
о пределах и перспективах автоматизации, а это
затрагивает в той или иной мере все будущее на-
направление научно-технического прогресса. Проф.
Биркгофф рассматривает задачу на материале са-
самого математического мышления и приходит к вы-
выводу об ограниченных возможностях существую-
* Garrett Birkhoff. Mathematics and Psychology. — SIAM
Review, 1969, vol. 11, No 9, p. 429—469. Английское название
общества — Society for Industrial and Applied Mathematics,
(SIAM).
** Г. Биркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1952; его же
Гидродинамика. М., ИЛ, 1954; 2-е изд. 1968. В настоящем
переводе принята более точная транскрипция его фамилии.
3

щих цифровых машин. Он указывает на важность
для человеческого познания тесного взаимодейст-
взаимодействия между дискретным логическим мышлением и
непрерывными чувственными образами и призы-
призывает к использованию ЭВМ в «симбиозе» с
людьми. Доклад охватывает широкий круг вопро-
вопросов на стыке кибернетики, математики и психоло-
психологии и содержит обширную библиографию.
Доводы американского ученого заслуживают
внимания, однако, обсуждая трудности проблемы,
не будем спешить с окончательным приговором.
Вычислительная техника и методы программиро-
программирования развиваются весьма быстро, и нельзя исклю-
исключить также возможности создания дешевых и эф-
эффективных аналоговых и гибридных устройств, мо-
моделирующих органы чувств. Кроме того, в природе
дискретное не противостоит совершенно резко не-
непрерывному: как показывает история физики, мы
различаем их лишь с известной точностью, в из-
известном разрезе. В целом же проблема искусст-
искусственного разума может быть решена в ту или дру-
другую сторону только опытом, и притом достаточно
длительным и полным.
К сожалению, Биркгофф плохо знаком с рус-
русской научной литературой и не упоминает о рабо-
работах наших ученых. В примечаниях к переводу
мною даны некоторые важнейшие ссылки. Другим
недостатком оригинала являются многочисленные
опечатки и ошибки в библиографических указа-
указаниях. По мере сил я попытался их устранить, но не
могу ручаться за полный успех. Мною добавлены
также указания на русские переводы.
Ноябрь 1975 г. Г. Н. Поваров

1. Введение*. Математика, как самая умствен-
умственная отрасль наук, имеет естественное сродство
с психологией — наукой об уме. То, что они не со-
соприкасались ближе, обусловлено отчасти нашим
незнанием их обеих, но еще больше тем обстоя-
обстоятельством, что психологи и математики мыслят
различными понятиями. Сегодня я хочу рассмот-
рассмотреть некоторые связи между этими двумя областя-
областями, с особым учетом их значения для математики.
Я отвлекусь от важных приложений статисти-
статистики к психологии отчасти потому, что недостаточно
знаком с ними, а еще больше потому, что стати-
статистика не вписывается в схему дедуктивного дока-
доказательства теорем, характерную для других отрас-
отраслей математики, которые я буду обсуждать**.
Мой доклад будет разделен на три главные
части:
A. Дискретная математика и психология.
Б. Континуальная математика и психология.
B. Психология математиков (и, следовательно,
математики).
Различие между дискретной и континуальной
математикой восходит к доисторическим време-
временам. Первым методом дискретной математики был
счет (например, овец в стаде), континуальная же
математика — математика непрерывного — зани-
* Прощальная президентская речь перед Обществом про-
промышленной и прикладной математики. Этот доклад представ-
представляет собой развитие лекции, прочитанной в Американской пси-
психологической ассоциации 2 сентября 1967 г.
** О других взаимодействиях между математикой и пси-
психологией см. G. A. Miller. Mathematics and Psychology. New
York, John Wiley, 1964.
5

малась измерением разных величин, как расстоя-
расстояние, площадь, время, вес и объем.
Ныне обе они представляют собой громадные
области. Дискретная математика обнимает, в част-
частности, символическую логику, комбинаторный
анализ, математическую лингвистику, теорию чи-
чисел, так называемую современную алгебру и нечи-
нечисловые применения вычислительных машин. Кон-
Континуальная математика включает теорию функций,
дифференциальные уравнения, интегральные урав-
уравнения, большую часть математической физики
и многие разделы классической алгебры.
После революционного открытия математиче-
математического анализа главнейшие новые приложения ма-
математики в годы 1700—1940 состояли в использо-
использовании континуального аппарата для решения фи-
физических и технических задач. В результате выра-
выражение «прикладная математика» означало по тради-
традиции прикладную континуальную математику на
службе физических наук. Однако, благодаря появ-
появлению цифровых вычислительных машин большой
мощности и высокого быстродействия, влияние
прикладной дискретной математики за последние
два десятилетия резко возросло и она обещает
вскоре даже превзойти по важности прикладную
континуальную.
Вычислительные машины уже выполняют мно-
многие математические и информационные операции,
требовавшие ранее человеческого мышления. Ма-
Машинное выполнение таких операций дает бихевио-
бихевиористскую модель хотя бы некоторых функций моз-
мозга, что представляет очевидный интерес для пси-
психологов. Более того, анализ способа, каким маши-
машины производят эти операции, вместе с данными
экспериментальной нейрофизиологии подкрепляет
старую догадку, что существенные стороны чело-

веческого мышления имеют структуру дискретных
математических систем, близких к булевой алгеб-
алгебре и ориентированным графам (сетям).
Представление о таких структурах мысли ста-
стало складываться весьма давно. Математики по
крайней мере три столетия мечтали о создании
«машин», способных выполнять некоторые процес-
процессы человеческого мышления. Уже в 1640 г. Декарт
показал, что наглядные геометрические рассужде-
рассуждения Эвклида во многих случаях можно заменить
относительно механическими алгебраическими ма-
манипуляциями. По-видимому под влиянием успеха
Декарта, Лейбниц разработал фрагменты логиче-
логического исчисления, которое должно было облегчить
занятия теоретической математикой в той же сте-
степени, в какой десятичная нумерация облегчила за-
занятия арифметикой. Он характеризовал это исчис-
исчисление как «инструмент нового рода, увеличива-
увеличивающий силу разума намного больше, чем какой-ли-
какой-либо оптический инструмент когда-либо увеличивал
силу зрения». (Было ли простым совпадением, что
Лейбниц построил также в 1671 г. первую извест-
известную машину умножения?)
Таким образом, замечательные достижения вы-
вычислительной техники нашего времени частично
осуществили старую мечту. Достижения эти побу-
побудили некоторых заключить, что машины завтраш-
завтрашнего дня будут даже «умнее» людей, особенно по
способностям к математическому рассуждению.
Ниже я приведу вам доводы, из которых сле-
следует, что этого не произойдет, даже в собственной
сфере чистой математики. Цифровые вычислитель-
вычислительные машины, программируемые весьма специфи-
специфическим, последовательностным способом, не моде-
моделируют человеческого воображения. Я попытаюсь
показать, что воображение необходимо для фор-
7

мулировки наиболее глубоких идей даже в чистой
математике, особенно в анализе, и для всякой зна-
значительной работы в математике прикладной. Че-
Человеческое воображение существенно зависит от
человеческих ощущений, и прежде всего от наших
чувств слуха и зрения, которые помогают нам вос-
воспринимать непрерывное. Цифровые машины таких
ощущений не имеют.
Хотя можно пытаться создать гибридные
устройства для моделирования человеческих кон-
континуальных способностей, я не вижу оснований
считать, что это самое плодотворное направление
развития вычислительной техники.
А. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
И ПСИХОЛОГИЯ
2. Современная алгебра. Сначала я рассмотрю
в § 2—6 те разделы математики, которые, по-ви-
по-видимому, имеют наиболее близкое отношение к ци-
цифровым вычислительным машинам — и к челове-
человеческой логике. Цифровые вычислительные маши-
машины, разумеется, теснее связаны с дискретной, чем
с континуальной математикой, а их математиче-
математическая теория представляет много общего с так на-
называемой «современной алгеброй». Выражение
«современная алгебра» обычно означает подход
к алгебре, который, хотя и был знаком Дедекинду
и Уайтхеду* до 1900 г., возбудил общее внимание
среди неалгебраистов впервые около 1930 г., после
выхода в свет знаменитой одноименной книги
ван-дер-Вардена.
* См. А. N. Whitehead. A Treatise on Universal Algebra.
Cambridge, University Press, 1897,
8

Характерной чертой этого подхода является
систематическое применение аксиоматического ме-
метода. В то время как большинство профессиональ-
профессиональных математиков до 1900 г. занималось почти ис-
исключительно действительными и комплексными
числами и функциями, современная алгебра изу-
изучает все системы, удовлетворяющие данному мно-
множеству аксиом (или «постулатов»)* Например, она
стремится выводить теоремы, справедливые во
всех группах, всех модулях или всех полях. Вслед-
Вследствие такого упора на семейства систем современ-
современная алгебра систематически выносит частные слу-
случаи в упражнения, маскируя тем самым путь, ка-
каким действительно совершаются математические
открытия. Это обусловило падение интереса к дей-
действительному полю, как и к вычислительным алго-
алгорифмам вообще и числовой математике в част-
частности.
Трудно переоценить то влияние, которое кон-
концепция ван-дер-Вардена, популяризированная
позднейшими авторами, имела на математику.
Большинство американских учебников по совре-
современной алгебре все еще следует его подходу
в принципах и построении, разве только предва-
предваряя схему «группы, кольца, поля» более полным
обсуждением «множеств и функций». Более того,
многое из нынешней «новой математики» есть не
что иное, как попытка познакомить школьников
с этим подходом к математике.
Как мы увидим в § 20, тот же «абстрактный»
подход проник глубоко и в современную геомет-
геометрию. Бурбаки распространил его на анализ. Нако-
Наконец, в последние годы аксиоматический метод был
широко использован для построения моделей в ма-
математической психодогии; см., например, [33]
и [34]. Однако я затрону здесь лишь вскользь эту

интересную связь между математикой и психо-
психологией.
2. 1. Современная прикладная алгебра. Не-
Несмотря на свое фундаментальное значение, книга
ван-дер-Вардена (как и большинство ее продолже-
продолжений) пропускает именно те разделы алгебры, кото-
которые представляются наиболее важными для психо-
психологии. Многие наблюдения заставляют предпола-
предполагать, что существенные аспекты человеческой пси-
психологии и поведения имеют структуру дискретных
математических систем, стоящих ближе всего к бу-
булевой алгебре, системам отношений и сетям (гра-
(графам). В частности, экспериментальная нейрофизи-
нейрофизиология утверждает, что значительная часть челове-
человеческого мышления протекает в сложной сети ните-
нитеобразных нейронов, многие из которых передают
нервные импульсы по двоичному принципу «все
или ничего», напоминающему булеву алгебру
(см. ниже § 3—5). Странно, что ван-дер-Варден
и его последователи совершенно игнорировали бу-
булеву алгебру, алгебру отношений и теорию
графов!
Эти разделы важны и для вычислительной
техники. Действительно, интерес к цифровым вы-
вычислительным машинам стимулировал развитие
быстро растущей новой ветви прикладной матема-
математики, включающей не только элементы (чистой)
современной алгебры, как та определена выше,
но и символическую логику, математическую лин-
лингвистику и теорию машин Тьюринга и конечных
автоматов (или «конечных машин»). Центральной
проблемой здесь является (цифровая) вычисли-
вычислимость. Думаю, что эту ветвь можно было бы на-
назвать «современной прикладной алгеброй».
Подобно всякой истинно прикладной математи-
математике, современная прикладная алгебра отбрасывает
10

модели, не имеющие важных соответствий в ре-
реальном мире вокруг нас, и настойчиво заботится
о смысле своих слов и символов. Таким образом,
она использует обратную связь с внешним миром
как критерий правильности и источник новых
идей; она не довольствуется одной интроспекцией
и внутренней логической непротиворечивостью.
Кроме того, если «чистая» математика прежде все-
всего занимается дедукциями, естественно вытекаю-
вытекающими из двух основных понятий: множества
и функции, то современная прикладная алгебра
опирается на три основных понятия: множества,
функции и вычислимости.
Связи современной прикладной алгебры с пси-
психологией и будут главным предметом моего обзо-
обзора в части А.
3. Символическая логика. Современная приклад-
прикладная алгебра имеет корни в (чистой) современной
алгебре и в символической логике. Последняя,
в свою очередь, возникла из интроспективной пси-
психологии. Например, Буль через 150 лет после Лей-
Лейбница начал свой классический трактат «Исследо-
«Исследование законов мысли» таким объяснением «харак-
«характера и цели этого сочинения»:
Цель предлагаемого трактата — исследовать важнейшие
законы тех действий ума, посредством которых совершается
рассуждение; дать им выражение в символическом языке
исчисления и на этом основании утвердить науку логики и
развить ее метод; сделать затем этот метод основою общего
метода для приложения математического учения о вероятно-
вероятностях; и, наконец, собрать из разных элементов истины, обна-
обнаруженных в ходе этих изысканий, некоторые вероятные указа-
указания относительно природы и устройства человеческого ума.
Эта цитата отчетливо говорит о том, что Буль
относил свой труд к прикладной математике и спе-
специально к математической психологии.
Действительно, Буль разработал алгебру логики
(и вероятности), описывающую эффект комбини-
11

рования свойств и высказываний относительно свя-
связок «и», «или», «не» и «влечет» (т. е. «если .. .то»).
Эта булева алгебра подчиняется точно тем же за-
законам, что и «алгебра множеств» с операциями
пересечения, объединения и дополнения.
Например, пусть Р/\Q обозначает „Р и Q\
a PVQ обозначает „Р или Q". Буль показал, что
операции Д и \/ обладают многими алгебраичес-
алгебраическими свойствами, подобными свойствам обыкновен-
обыкновенного алгебраического умножения и сложения. Сю-
Сюда входят следующие идемпотентные, коммутатив-
коммутативные и ассоциативные законы «алгебры логики»:
A)
; B)
. C)
Справедлив также дистрибутивный закон Р/\
AiQV R) = (P AQ)V (P AR)> аналогичный прави-
правилу P(Q-f-/?)=PQ4-W?. и двойственный дистрибу-
дистрибутивный закон Р V (Q Л R) = (Р V Q) Л (Р V #). ариф-
арифметический аналог которого P-f-Q^ = (P + Q)(^ +
+ /?) неверен. Наконец, обозначив „не-Рй через
Р\ получим еще такие законы, как (Р')'=Р, (Р Д
AQY—P'VQ' и {Р\/0)'=Р' AQ'- в современ-
современной алгебре любая алгебраическая система, удов-
удовлетворяющая этим и некоторым другим (финит-
(финитным) законам логики, которые открыли Буль и
Лейбниц, называется булевой алгеброй [10, гл. 5].
Применяя методы символической алгебры к де-
дедуктивной логике, Буль получил наглядное свиде-
свидетельство ее силы. Так, он показал, что из п данных
12

высказываний повторным употреблением связок
«и», «или» и «не» можно построить ровно 22"
логически неэквивалентных высказываний. Пред-
Представим себе, как трудно было бы доказать это при
помощи аристотелевых силлогизмов!
Математики при доказательстве теорем давно
оперировали высказываниями по законам булевой
алгебры, подобно тому как вавилоняне оперирова-
оперировали словесными описаниями неизвестных величинах
задолго до изобретения арабами символической
алгебры. Главной заслугой Буля была формализа-
формализация этих законов. По моему мнению, формализа-
формализация Булем «законов мысли» составила выдающееся
завоевание математической психологии, и я удив-
удивлен, что его труды, по-видимому, столь мало изу-
изучаются психологами.
Аксиоматические исследования булевой алгебры
логики позднейшими математическими логиками
оказали сильное влияние на развитие современной
алгебры (другое значительное влияние шло из ал-
алгебраической теории чисел). Для психолога булева
алгебра логики еще важнее как первый крупный
шаг в развитии символической логики, т. е. на пути
к механизации математического мышления, о ко-
которой мечтали Лейбниц и Декарт.
Второй крупный шаг в этом направлении был
сделан Джузеппе Пеано около 1889 г. [23, с. 83—
97]. Заслуга Пеано состояла в открытии того, что
«вся теория натуральных чисел выводима из трех
первичных понятий и пяти первичных предложе-
предложений, помимо тех, которые принадлежат чистой ло-
логике» [44, с. 5]. Пеано показал, как сделать это
при помощи простого символического исчисления,
требующего лишь каких-нибудь 15 неопределимых
символов и воплощающего принцип математиче-
математической индукции. В вольной перефразировке можно
13

сказать, что «основной словарь логики и арифме-
арифметики состоит всего из 15 слов».
Идеи Пеано были быстро популяризированы и
заострены Бертрандом Расселом, который в 1903 г.
писал с энтузиазмом [44, с. 5]:
Тот факт, что вся математика есть символическая логика,
является одним из величайших открытий нашего времени, и
коль скоро этот факт установлен, дальнейшее исследование
принципов математики состоит в анализе самой символической
логики.
(Для установления этого факта надо лишь допу-
допустить, что «вся традиционная чистая математика
выводима из натуральных чисел» [44, с. 4]—ши-
4]—широко распространенное допущение, о котором я еще
буду говорить в § 21.)
Хотя работы Пеано произвели большое впечат-
впечатление, ему не удалось формализировать математи-
математическое доказательство: он никогда не описал явно,
какие именно операции над символическими выра-
выражениями могут рассматриваться как законные ша-
шаги в математических доказательствах; его правила
вывода (законы доказательства) были смутны. Ре-
Решающий шаг был сделан в десятилетии, предшест-
предшествующем I мировой войне, Расселом и Уайтхедом.
В своем монументальном трактате [55] они дали
полное и строгое построение системы действитель-
действительных чисел, используя только хорошо определенные
правила действий над символами. После этого Рас-
Рассел писал, торжествуя [44, с. 194]:
Если найдутся такие, кто еще не допускает тождества ло-
логики и математики, то их можно попросить указать, в каком
звене последовательных определений и дедукций из «Principia
Mathematica» кончается логика и начинается математика.
Громадное значение этого труда для психологии
заключается в его основном тезисе: всякое матема-
математическое мышление, в принципе^ может быть меха*
14

нически истолковано как манипуляция символами
согласно предписанным правилам, некое подобие
шахматной игры. Это утверждение я буду назы-
называть ниже тезисом Рассела.
Великий математик Гильберт также думал, что
(говоря словами фон-Неймана [9, с. 50—51]):
... классическая математика предполагает замкнутый
в себе, идущий по неизменным, известным всем математикам
правилам процесс, который состоит в последовательном по-
построении из основных символов определенных комбинаций,
именуемых «правильными» или «доказанными» ... Ее (класси-
(классическую математику) следует рассматривать как комбинатор-
комбинаторную игру с основными символами, и нам надлежит установить
комбинаторно-финитным путем, к каким комбинациям основ-
основных символов ведут ее методы построения, называемые «до-
«доказательствами».
Хотя Гильберт был очень большим математи-
математиком, его суждение отнюдь не обладало непогреши-
непогрешимостью. Фундаментальные теоремы Геделя о не-
неполноте A930 г.) делают ясным, что внутри фор-
формальной системы Уайтхеда и Рассела нельзя ни
«доказать все предложения, которые мы считаем
истинными», ни показать непротиворечивость си-
системы [23, с. 595]*. Коротко, Гедель обнаружил,
что основные цели Уайтхеда и Рассела, изложен-
изложенные ими в [55, т. 1, с. 12—13], недостижимы с их
же собственных позиций. Тезис Рассела, что сим-
символическая логика свела чистую математику
к своего рода шахматной игре, был технически
неверен.
Конечно, не исключено, что удастся изобрести
другую формальную систему, свободную от таких
недостатков, и тем самым оправдать это воззрение,
но, судя по всему, большинство математических
* Этой ссылкой я обязан Р. Ди-Паола. См. также
W. V. Quine. Mathematical Logic. Rev. ed. Cambridge, Massa-
Massachusetts, Harvard University Press, 1951, p. 6.
15

логиков сегодня настроено на этот счет не очень
оптимистически.
В § 21—22 я буду критиковать с психологиче-
психологической точки зрения идею о том, что можно или
должно формализировать всю математику.
4. Машины Тьюринга. Глубокие отрицательные
результаты Геделя, какими бы обескураживающи-
обескураживающими они ни были для математических логиков, от-
отнюдь не убили идеи создания «машин, которые
думают». Более того, в 1950 г. идея эта казалась
многим математикам более правдоподобной, чем
когда-либо, благодаря четырем взаимосвязанным
открытиям, сделанным за предыдущие 15 лет и ка-
касавшимся логики и булевой алгебры и их физиче-
физических и биологических реализаций.
Первым из них было описание в 1936 г. Тью-
Тьюрингом [53] «машины» весьма простого рода,
способной напечатать двоичное или десятичное
разложение любого «определимого» (или, иначе,
«вычислимого», см. § 21) действительного числа,
такого, как е, я или k-й нуль jnk бесселевой функ-
функции Jn(x) [53, с. 256]. Тьюринг пояснил, каким
образом такая машина могла бы вывести и все
доказуемые формулы узкого функционального ис-
исчисления Гильберта*. Именно, она доказывала бы
все истинные теоремы и ни одной ложной.
Машина Тьюринга характеризуется тремя ос-
основными чертами:
i) Она имеет конечное множество S внутренних
состояний So, S\, ..., sny сравниваемых Тьюрингом
с «состояниями ума» [53, с. 250].
и) Она может «считывать» и «записывать» ко-
конечное множество А символов а0, а\, ..., аг (ее
алфавит, или словарь).
* Так первоначально называлось узкое исчисление преди-
предикатов. — Прим. пер.
16

iii) Ее поведение контролируется лентой, со-
состоящей из бесконечного числа клеток и передви-
передвигаемой шагами мимо определенного места — счи-
считывающей головки.
Появление данного символа a,j перед считываю-
считывающей головкой влечет за собой три события:
i) внутреннее состояние Si заменяется новым со-
состоянием Sk=v(siy uj)\ ii) знак a,j заменяется но-
новым знаком az=£(Sf, flj) и iii) лента передвигается
на одну позицию вперед или назад (или остается
без движения), в зависимости от значения 8(su
dj)=+l, —1 или 0 некоторой третьей функции.
Коротко, поведение машины Тьюринга M=[S, Л,
v, £, б] определяется двумя конечными множества-
множествами S и А и тремя функциями на множестве SxA,
с областями значений 5, Л и {±1, 0} соответст-
соответственно.
Таким образом, машина Тьюринга представляет
собой квазимеханический автомат; она приводится
в действие любой программой, состоящей из ко-
конечной цепочки 2т+1 символов, заранее записан-
записанных на ленте:
остальные клетки можно полагать пустыми или,
что то же, занятыми знаком ао=0 — символом
пустого множества.
Если дано начальное состояние S{@) и про-
программа D), то любая машина Тьюринга выполнит
конечную или бесконечную последовательность ша-
шагов, преобразуя программу в выходную ленту.
Например, выходная лента могла бы содержать^
последовательные десятичные разряды числа ]/2
или я или доказательство гипотезы Ферма (если
17

только она доказуема в гильбертовом узком функ-
функциональном исчислении).
Тьюринг даже показал [53, с. 241—263], что
существует одна конечная «универсальная» маши-
машина Тьюринга, способная делать все, что может де-
делать любая машина Тьюринга. Ныне можно по-
построить универсальную машину Тьюринга, которая
имеет только семь состояний и четыре буквы [39,
с. 277, рус. пер. с. 328], и она, по-видимому, спо-
способна при надлежащем программировании воспро-
воспроизвести значительную часть (чистой) математики.
Относительно дальнейших деталей см. Minsky [39,
гл. 5, 7].
Трудно представить себе, что столь простая ма-
машина может моделировать человеческий мозг.
И однако многое указывает на то, что значитель-
значительная часть нашего математического мышления дей-
действительно допускает такое моделирование*. Эта
психологическая тайна бросает серьезный вызов
как математикам, так и психологам!
Тезис Тьюринга гораздо скромнее: утверждает-
утверждается, что любое «определимое» (см. § 10) действи-
действительное число может быть построено некоторой
машиной Тьюринга. Так как слово «определимое»
само неопределимо, то тезис Тьюринга невозможно
дедуктивно ни доказать, ни опровергнуть. Как дав-
давно заметили Уайтхед и Рассел [55, с. v], «любая
теория принципов математики должна быть индук-
индуктивной».
Однако кажется вероятным, что тезис Тьюринга
доказуем математически во многих формальных
системах символической логики, например в систе-
* Можно утверждать поэтому, что специалисты по вычис-
вычислительным машинам и математические логики умеют модели-
моделировать умственную деятельность чистых математиков лучше,
чем психологи!
18

мах Уайтхеда и Рассела [55] или Гильберта.
Тьюринг сам «набросал» одно доказательство
в [53, с. 263—265]. Кажется также вероятным, что
все теоремы из «Principia Mathematica» могут быть
доказаны машиной Тьюринга.
5. Электронные вычислительные машины. Опти-
Оптимизм 1950 года относительно перспектив создания
думающих машин был основан не только на мате-
математике. Вторым аргументом в его пользу явилось
доказательство Шенноном [49] в 1938 г. того фак-
факта, что булева алгебра имеет естественную физиче-
физическую реализацию в классе релейных цепей постоян-
постоянного тока, именуемых клапанными (или вентиль-
вентильными) схемами*. Это означало, что по крайней
мере операции булевой алгебры могут эффективно
выполняться устройствами, состоящими из клапа-
клапанов (вентилей) И, ИЛИ и НЕ [10]. Действительно,
некоторые из ранних универсальных цифровых
вычислительных машин состояли главным образом
из таких релейных цепей. Даже в настоящее время
проектирование схем всех вычислительных машин
основано на булевой алгебре; последовательност-
ные машины можно строить при помощи тех же
клапанных схем и элементов задержки, называе-
называемых триггерами.
Оптимизм получил новую поддержку в 1943 г.,
когда Мак-Каллох и Питтс [36, с. 19—39]** опи-
* Этот факт был открыт также русским физиком
В. И. Шестаковым (см. его статью в «ЖТФ», 1941, т. 11,
вып. 6, с. 532—549). В нашей литературе клапаны сейчас
обычно называются логическими элементами, а схемы из
них — логическими схемами. — Прим. пер.
** Рус. пер.: У. С. Маккалок и В. Питтс. Логическое
исчисление идей, относящихся к нервной активности. — В кн.:
Автоматы. Под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. М, ИЛ,
1956, с. 362—-384. — Прим. пер.
19

сали неврологические аналоги подобных переклю-
переключательных цепей, так называемые «нервные сети»,
состоящие из аксонов и нейронов. Эксперименталь-
Экспериментально установлено, что многие нейроны при возбуж-
возбуждении дают последовательность единообразных им-
импульсов типа «все или ничего», напоминающую
булеву алгебру (алгебру нуля и единицы). Это
позволяет думать, что связь булевой алгебры с за-
законами мысли, открытая Булем, может иметь
нейрофизиологическое, а не только интроспектив-
интроспективное психологическое толкование. Более глубокое
обсуждение и развитие этой идеи см. у Клини
[2, с. 3—41, рус. пер. с. 15—67], Винера [56, гл.5],
Минского [39, гл. 3]. Под впечатлением подобных
фактов фон-Нейман [40, с. 39, рус. пер. с. 35] за-
заметил, что дискретность человеческой мысли есте-
естественным путем приводит к представлению о ди-
дискретной нервной системе человека, состоящей из
большого собрания относительно простых «атом-
«атомных» компонентов, весьма похожих на нейроны.
Фон-Нейман также поднял интереснейший вопрос
о том, как эти нейроны координируют свое выпол-
выполнение логических операций.
Но самым важным фактором, пробудившим
оптимизм по поводу конструирования «электрон-
«электронных мозгов», было создание в 1940—1950 гг. уни-
универсальных электронных цифровых вычислителей,
способных выполнять итеративные арифметические
операции гораздо быстрее людей. Первые такие
машины были, по нынешним стандартам, весьма
примитивны. Так, их память не превышала 102слов
A03 бит). Для сравнения заметим, что печатная
страница содержит около 2000 алфавитных зна-
знаков и, следовательно, приблизительно 104 бит ин-
информации. Библиотека Конгресса содержит около
107 томов, в среднем по 102 страниц каждый; сле-
20

довательно, она хранит приблизительно 1013 бит
информации.
В настоящее время лучшие вычислительные
машины выполняют арифметические операции при-
примерно в 105 раз дешевле и по меньшей мере
в 107 раз быстрее, нежели люди, а их память мо-
может хранить по меньшей мере 1010 бит информа-
информации. Это приблизительно равно числу нейронов
в центральной нервной системе: «центральная
нервная система имеет 10 миллиардов переключа-
переключательных органов» [40, с. 49, рус. пер. с. 41].
К тому же цифровые вычислительные машины
весьма напоминают машины Тьюринга. Точнее,
реальные вычислительные машины суть «конечные
автоматы» (или «конечные машины»), отличаю-
отличающиеся от машин Тьюринга в двух главных отно-
отношениях: а) программа и выход записываются на
разных лентах; б) выход уже не может считывать-
ся машиной. Машина Тьюринга приобрела бы
несколько аналогичные черты, если бы функция б
принимала только значения 0 и 1, так что лента
двигалась бы только в одном направлении. Кроме
того, хотя бы ради ограничения стоимости вычисле-
вычислений число шагов е/ на практике ограничивается
некоторым конечным пределом Т (скажем, 1010—
1Q15)*
Это сходство и колоссальная мощь электронных
вычислительных машин (предвиденная экспертами
* У. К. Дэвидон заметил, что если бы даже каждый шаг
выполнялся за время, необходимое свету для прохождения
ядерного радиуса (AtelO-23 с), то и тогда число N = T/At
шагов, которые можно было бы выполнить с начала существо-
существования Вселенной (считая, по нынешней оценке, Г«1017 с),
было бы меньше 22*. Таким образом, ни одна последователь-
ностная машина не смогла бы перечислить все булевы много-
многочлены от 8 символов а, Ь, с, dy ey f, g, h.
21

даже в 1950 г.) придали значительную убедитель-
убедительность идее, что такие машины при надлежащем
программировании смогут действовать как замени-
заменители человеческого мозга вообще и его математи-
математических способностей в частности.
6. Искусственный разум. Таким образом, со-
события, описанные в §4—5, уже в 1950 г. настроили
многих экспертов оптимистически относительно
возможности действительного конструирования
«думающих машин». Подобно Мак-Карти и Шен-
Шеннону, они говорили: «Среди наиболее дерзких во-
вопросов науки нашего времени имеются две соответ-
соответствующие друг другу проблемы — аналитическая и
синтетическая. Как функционирует мозг? Можно ли
сконструировать машину, заменяющую мозг?» [2,
с. v, рус. пер. с. 7].
Тьюринг дал смелое бихевиористское определе-
определение «думающих машин», сформулированное затем
Эттингером в следующей четкой форме [3, с. 121]:
Вообразим экспериментатора, связанного телетайпом
с двумя комнатами, в одной из которых находится человек,
а в другой — машина Если после обмена депешами . . экспе-
экспериментатор не в состоянии решить, какая депеша от кого, то
можно сказать, что машина думает *.
Попытки моделирования человеческого разума
на вычислительных машинах составляют область
«искусственного разума». В § 6—8 я изложу неко-
некоторые выводы, вытекающие из двадцатилетней ис-
истории таких попыток. То, что эти исследования так
и не подошли сколько-нибудь близко к первона-
первоначальным целям, внушило большинству экспертов
весьма пессимистическое настроение в отношении
искусственного разума. Независимо от того, на-
насколько такой пессимизм оправдан, кажется яс-
* О взглядах Тьюринга см. А. Тьюринг. Может ли маши-
машина мыслить? М., Физматгиз, 1960. — Прим. пер.
22

ным, что организация человеческого мозга намного
превосходит по сложности организацию любой из-
известной нам машины. Говорить о сходстве обеих
значит предаваться фантазии [см. 42а].
Прежде всего «думает» отнюдь не вычислитель-
вычислительная машина; для того чтобы моделировать чело-
человеческий разум, она всегда нуждается в про-
программе. В самом деле, ясно, что «универсальная
машина Тьюринга», наделенная лишь семью со-
состояниями и способностью различать лишь четыре
буквы, по одной за раз (§ 4), сама по себе орудие
убогое — даже если у нее неограниченная память.
Следовательно, понятие «искусственного разума»
в действительности относится к «разумным» про-
программам.
6.1. Универсальные программы. Свыше десяти
лет тому назад Ньюэлл, Саймон и Шоу [33, т. 1,
с. 361—428 и 47, гл. 4]* составили весьма изобре-
изобретательные программы для моделирования двух
аспектов человеческого разума. Эти программы по-
получили названия «Логик-теоретик» (Logic Theo-
Theorist—LT) и «Общий решатель задач» (General
Problem Solver—GPS); они содержали общие про-
процедуры поиска стратегий (или доказательства тео-
теорем и ведения игр) и имели впечатляющий, хотя
и ограниченный успех. Общие процедуры програм-
программы GPS легко решали задачи о миссионерах и
людоедах, о ханойской башне и т. п., однако GPS
была неспособна доказать неразрешимость задачи
о кенигсбергских мостах или научиться хорошо
играть в шахматы. Программа LT доказала 38 из
52 теорем булевой алгебры, взятых из трактата
* См. также переведенный на русский язык сборник
[17]. — Прим. ред.
23

«Principia Mathematical, но не могла справиться
с остальными [3, с. 139].
6.2. Специализированные программы. Для пси-
психолога, интересующегося моделированием разума,
такие универсальные программы, как LT и GPS,
вероятно, представляют наибольший интерес. Од-
Однако для математика, интересующегося результа-
результатом, их ценность не столь велика. Как в самой
математике специалисты обычно могут проникнуть
глубже в данную техническую область, чем гене-
ралисты *, так и специализированные программы,
составленные экспертами, обычно оказываются
сильнее, чем общие программы типа GPS или
типа LT.
6.3. Игры. Кажется вероятным, что уже в 1700 г.
Лейбниц мог бы построить (программируемый)
автомат для безошибочной игры в (двумерные)
крестики-нулики. И, вероятно, большинство ны-
нынешних учеников средней школы сумело бы запро-
запрограммировать вычислительную машину играть в эту
игру гораздо быстрее, чем люди. (В свете Тьюрин-
гова определения «думающих машин» это наводит
на мысль, что проницательный экспериментатор
часто мог бы опознать машину по ее большей ско-
скорости в некоторых областях — и ее неуклюжести
в других.)
6.4. Шашки и шахматы. Для шашек, имеющих
только два вида фигур (простые шашки и дамки)
и повторяющуюся доску, требуется гораздо меньше
изобретательности, чем для доказательства теорем.
Тем не менее весьма интересно, что А. Л. Самуэлю
удалось разработать машинную программу, способ-
способную на основе метода «минимаксного поиска дере-
* Генералист — ученый широкого профиля, занимающий-
занимающийся общими вопросами. — Прим. пер.
24

ва игры» выиграть или получить ничью у всех, кро-
кроме самых сильнейших, шашистов *.
Что самое поразительное, недавно была разра-
разработана шахматная программа «Мак Хак VI» (Мае
Hack Six), которая имеет национальный турнир-
турнирный коэффициент свыше 1600. Цитирую авторов
[20, с. 802]: «Подход, на котором мы останови-
остановились ..., был сугубо прагматическим. Мы не пре-
претендовали на построение общей системы решения
задач, а прямо обратились к шахматным пробле-
проблемам». Программа также «организована вокруг ми-
минимаксного поиска дерева игры» с «рядом жестких
ограничений ... на поиск» [20, с. 803]. Она вклю-
включает «книгу» более чем с 5000 ходов для стандарт-
стандартных дебютов, составленную шахматным мастером
и шахматным теоретиком [20, с. 807]. Благодаря
многим специальным приемам программа эта не-
неизмеримо эффективнее более ранней программы
Ньюэлла, Шоу и Саймона **, хотя она систематиче-
систематически использует тот же обший алгорифм «альфа-
бета».
6.5. Доказательство теорем. Превосходство спе-
специализированных программ над универсальными
не менее ярко проявляется и в области доказатель-
доказательства теорем. Прекрасный пример тому — успех Хао
Вана, составившего в 1958 г. специальную про-
программу, которая за минуты выдала «доказательст-
«доказательства» для всех более чем 350 теорем в исчислении
предикатов с равенством, фигурирующих в «Prin-
* См. A. L. Samuel [1, т. 1, с. 165—192]; IBM J. Res. De-
Develop., 3 A959), p. 211—229 и 11 A967), p. 601—617; ср. так-
также [17, с. 71—105, рус. пер. с. 71—1111 и [3, с. 250—256].
** A. Newell, J. С. Shaw, H. A. Simon. IBM J. Res. De-
Develop., 2 A958), p. 32Q—335.
25

cipia Mathematica» *. С технической точки зрения,
она далеко превосходит по силе «Логика-теорети-
«Логика-теоретика» Ньюэлла—Саймона—Шоу относительно по-
поставленной цели.
В [47, с. ПО] Ван рассматривал также состав-
составление программ, которые формализировали бы все
доказательства в такой математической классике,
как Ландау (основы анализа), Харди (анализ),
Харди и Райт (теория чисел), Веблен и Юнг (про-
(проективная геометрия) и даже Бурбаки! Время, од-
однако, сделало Вана меньшим оптимистом в том,
что касается замены живых математиков машин-
машинными программами; см. [37, с. 31—40] по поводу
его взглядов 1962 года.
Со своей стороны, я не считаю случайным, что
простыми логическими методами легче всего дока-
доказываются как раз теоремы самой логики. (Бет
предполагал также, что машины смогут легко обоб-
обобщать уже известные доказательства; соответствую-
соответствующий метод, хорошо знакомый математикам, со-
состоит в том, чтобы, просматривая существующие
доказательства, установить действительно исполь-
использованные посылки.) Однако способность хорошего
математика чувствовать существенное и избегать
ненужного повторения, по-видимому, плохо под-
поддается механизации, а без нее машине придется
перебирать миллионы бесплодных путей, избегае-
избегаемых опытным математическим умом **.
Быть может, именно по этой причине попытки
автоматизировать доказательство теорем в эвкли-
* Н. Wang. IBM J. Res. Develop., 4 A960), p. 2—22 (рус.
пер.: Ван Хао. На пути к машинной математике. — Кибернети-
Кибернетический сб. Вып. 5, М., ИЛ, 1963, с. 114—165); см. также [47,
гл. 5 и 37, с. 32].
** См. обзорную статью Дж. Т. Робинсона в [48, с, 1—18],
а также замечания об оценочных суждениях в § 19,

довой планиметрии не были до сих пор особенно
успешными, хотя этому искусству учат в средних
школах детей. Лучшие результаты пока получили
Гелернтер и Рочестер*; однако сомневаюсь, что
их программа позволит машине выдержать выпуск-
выпускные экзамены в колледже. Подозреваю, что гораз-
гораздо лучших результатов можно было бы добиться
при программировании аналитической геометрии
Декарта; ее алгебраические, незрительные методы
доказательства всегда рассматривались математи-
математиками как более механические (и более мощные)!
Приведенные примеры свидетельствуют также
о необходимости симбиоза между человеком и ма-
машиной, если машины действительно должны помо-
помогать нам при доказательстве сложных теорем —
или даже при систематизации доказательств из-
известных теорем. Ободренный первоначальным успе-
успехом, Ван (цит. соч.) писал: «формализация, по-ви-
по-видимому, обещает, что машины будут делать зна-
значительную часть работы, занимающей сейчас время
у математиков-исследователей». Для того чтобы
осуществить даже такое полумашинное (compu-
(computer-assisted) доказательство теорем, потребуется
по моему мнению: i)преданное сотрудничество ве-
ведущих математиков в разработке программ и
ii) включение в эти программы многих глубоких
известных теорем, явно выделяющихся по своему
значению.
Я рассмотрю эти вопросы далее в части В
(§ 18 и 22).
7. Языки программирования. Машины Тьюринга
и другие «автоматы» (последовательностные циф-
* См. Н. Gelernter and N. Rochester. IBM J. Res. Deve-
Develop., 2 A958), p. 336—345 и [17, с. 134—163, рус. пер.
с. 145-175].
27

ровые машины) способны «читать» лишь очень
простой «машинный язык», состоящий из длинных
цепочек нескольких букв. В большинстве машин
это просто цепочки нулей и единиц (используется
двоичный «алфавит»), иногда группируемые
в 4-символьные «слова» или 64-значные «строки».
Перевод на машинный язык даже простейших ма-
математических понятий очень труден и требует глу-
глубокого знания структуры (психологии) машины.
Стремясь облегчить подготовку машинных про-
программ для сложных задач, специалисты разрабо-
разработали ряд искусственных языков программирования,
в том числе ФОРТРАН и АЛГОЛ. На первый
взгляд, эти языки кажутся достаточными для вы-
выражения математических высказываний, которые
могут быть выражены естественно на «жаргоне»
Пеано и Буля (но без кванторов). В частности,
были построены неоценимые компиляторы, автома-
автоматизирующие перевод этих квазичеловеческих язы-
языков протраммирования в чистые машинные языки.
Делались даже попытки автоматизировать построе-
построение компиляторов [17а]! В случае АЛГОЛа была
сделана сознательная попытка построить явную
грамматику, исключающую всякие двусмысленно-
двусмысленности; см. Rutishauser [46].
Однако даже эти относительно простые языки
программирования значительно превосходят по
сложности другие системы, успешно изучавшиеся
методами современной алгебры. Например, для
них, вероятно, весьма трудно решить проблему
слов, найдя конечный алгорифм, который устанав-
устанавливал бы, когда две цепочки символов синонимич-
* Эта попытка весьма близка к успеху; о некоторых вто-
второстепенных исключениях см. D. Knuth and R. H. Bigelow.
J. Assoc. Comput. Mach., 14 A967), p. 615—635.
28

Для того чтобы изобретать и использовать
такие языки, нужен человеческий мозг.
Схема, приведенная на рис. 1, должна показать,
какую малую роль играют машины в моделирова-
моделировании человеческого мышления: последние две стрел-
стрелки автоматизированы, но формулировка языков
программирования, построение компиляторов и на-
Че/юбек-логин, математик или специалист
по Вычислительном машинам
Языни
программирования
Программа, написанная на языке
программирования
Компилятор
Программа, протранслированная на
машинный язык
Вы числительная
машина
Выход
Названия
Тьюринга
Скелетная
таблица
М-конфи-
М-конфигурация
Рис. 1. Человеческий и искусственный разум.
писание программ, по всей видимости, еще много
лет будут требовать человеческого вмешательства.
Достойно восхищения, что Тьюринг [53] пред-
предвидел в общих чертах основные понятия, описан-
описанные выше; его названия для них также указаны на
рис. 1. Однако он отнюдь не предвидел сложности
современных вычислительных автоматов; «универ-
сальные машины Тьюринга», определенные в лите-
29

ратуре, все крайне неэффективны. По мнению мно-
многих экспертов, для полного использования вычисли-
вычислительной техники необходима разработка изощрен-
изощренных макро- и системных программ, что опять-таки
потребует максимума человеческой изобретатель-
изобретательности.
8. Математическая лингвистика. Изучение искус-
искусственных языков является важным разделом увле-
увлекательной дисциплины, которая называется мате-
математической лингвистикой и которую можно опре-
определить как математический анализ «языков».
Математически язык проще всего определить как
множество цепочек символов (букв, цифр, пробе-
пробелов, знаков препинания и т. д.). Соответственно,
математическая лингвистика рассматривает слова
и цепочки слов (предложения), оторванные от их
смысла: это изучение бессмысленных слов и пред-
предложений. Она представляет собой отрасль совре-
современной прикладной алгебры, комбинаторную по
своей природе и ставшую уже источником многих
интересных, чисто математических задач.
8.1. Грамматика. Следуя Хомскому [14] и дру-
другим, можно определить «грамматику» в любом язы-
языке как конечное множество правил, устанавливаю-
устанавливающих, какие цепочки слов образуют правильные
предложения. В языках программирования такие
правила построить относительно легко, так как каж-
каждое осмысленное предположение имеет ясную объ-
объективную цель — произвести известное изменение
во внутреннем состоянии машины или заставить ее
отпечатать содержание некоторой ячейки памяти
или накопителя. Правила эти полезны при отладке
программ.
Такие грамматики классифицируются по допу-
допустимым правилам для порождения предложений.
Проще всего грамматики с конечным числом со-
30

стояний*, соответствующие конечным автоматам
(языки программирования для вычислительных ма-
машин) . Следующая ступень — контекстно-свободные
грамматики, соответствующие автоматам с мага-
магазинной памятью. Наконец, появляются контекстно-
связанные грамматики, реализуемые на машинах
Тьюринга и потому, можно думать, характерные
для процессов символической логики. Заметим
в этой связи, что тезис Уайтхеда — Рассела [55],
по которому доказательство теоремы состоит в по-
порождении ее формулы согласно определенным пра-
правилам вывода из конечного множества аксиом, есть
с абстрактной точки зрения частное выражение
идеи грамматики**.
8.2. Человеческие языки. Математики иногда
утверждают, что все можно выразить математиче-
математически («Apud me, omnia in mathematicas Hunt») ***. Так
как кажется ясным, что значительную часть мате-
математики можно записать на квазиалгебраическом
языке символической логики и затем механизиро-
механизировать, то возникает естественный вопрос, нельзя ли
механизировать человеческие (естественные) языки
и применить к ним методы математической линг-
* См. С. Куно в [48, с. 52—110]; также Chomsky [33,
т. 2, с. 269—418, особенно с. 292—300], где он описывает
грамматику непосредственных составляющих для языков про-
программирования (русские переводы: Н. Хомский и Дж. Миллер.
Введение в формальный анализ естественных языков. — Кибер-
Кибернетический сб., новая серия, вып. 1. М., «Мир», 1965, с. 229—
290; Н. Хомский. Формальные свойства грамматик. — Кибер-
Кибернетический сб., новая серия, вып. 2. М., «Мир», 1966,
с. 121—230).
** Некоторые из идей Хомского родственны [3, с. 324]
более ранним идеям Э. Поста: см. Amer. J. Math., 43 A921),
p. 161—183 и 65 A943), p. 197—215; также Bull. Amer. Math.
Soc, 50 A944), p. 284—316.
*** У меня все становится математикой (лат.).
31

вистики (оказавшейся столь эффективной при ана-
анализе языков программирования). Думается, что от-
ответ на этот вопрос затрагивает психологию.
Психологи и математики подходят к языку
с противоположных позиций. Для психолога основ-
основными функциями являются слух и речь; зачаточ-
зачаточными способностями к ним обладают даже живот-
животные и птицы. Так, Пенфилд и Роберте [41а, с. 250]
замечают: «Человек способен находить .. четыре
группы нейронных структур: звуковые единицы
слов, используемые при слушании речи; артикуля-
артикуляционные единицы, воспроизводимые при разговоре;
зрительные — при чтении и тактильные — при пись-
письме». Иными словами, средний человек координи-
координирует слушание слов, произнесение слов, чтение слов
и писание слов — не говоря уже о чтении с губ или
о том, что могла делать Елена Келлер! * Мате-
Математики, с другой стороны, склонны полагать сущ-
сущность языка в чтении и письме и редко рассматри-
рассматривают слова как артикулируемые гортанью, слу-
слушаемые ухом или узнаваемые глазом; точно так
же они не спрашивают, каким образом слова и
предложения передаются или сохраняются в мозгу.
Я буду рассматривать язык с психологических
позиций в части Б, а здесь ограничусь нескольки-
несколькими простыми замечаниями. Во-первых, человече-
человеческие языки, без сомнения, гораздо тоньше и слож-
сложнее языков программирования. С давнего времени
известно, что предложения вне контекста бывают
обманчивыми и что правила грамматики, хотя и
очень полезные при изучении иностранных языков,
неполны, противоречивы и мало помогают при
* Елена Келлер A880—1968)—американская писатель-
писательница, в детстве слепоглухонемая, выучившаяся под руковод-
руководством педагога письму и речи и окончившая затем универси-
университет. — Прим. пер.
33

овладении родным! По недавнему заявлению Лам-
бека [3, с. 187], он не смог «найти никакого со-
согласия среди современных лингвистов по поводу
того, что считать правильным предложением».
Подобная неопределенность преобладает и в от-
отношении синтаксиса и морфологии человеческих
языков и даже классификации частей речи *.
Так, Хомский дал примеры фраз, которые имеют
одинаковую грамматическую структуру, но одна из
которых наделена значением, а другая — нет. Да-
Далее, в английском словаре, синтаксисе и граммати-
грамматике имеются сотни забавных двусмысленностей, ко-
которые было бы невозможно запрограммировать **.
Сверх того, существуют намеки, как в популярном
вест-индском припеве: Yo' daddy ain't yo' daddy but
yo' daddy don't know («ваш папа не ваш папа, но
ваш папа не знает»); их значение очевидно людям
с жизненным опытом, но их семантические прави-
правила необъяснимы.
Хомский произвел также структурный анализ
вопросы: Why has John always been such an easy
man to please? («почему Джону всегда было легко
доставить удовольствие?») — и показал, что его
нельзя сформулировать ни в одной контекстно-сво-
контекстно-свободной грамматике непосредственных составляю-
составляющих. Следовательно, он не может быть воспринят
конечными автоматами.
8.3. Механический перевод. Важной практиче-
практической целью математической лингвистики была
* См. On the Terminology of Grammar. Rev. ed. London,
Murray, 1912 о 46 стандартных правилах, предложенных авто-
авторитетной международной комиссией, и Н. R. Stokoc. The
Understanding of Syntax. London, Heinemann, 1937 о резкой
критике этих правил.
** См, например, Е. Bach and R. T Harris. Universals in
Linguistic Theory. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1968
33

автоматизация перевода с одного человеческого
языка на другой. Предполагалось дополнить бук-
буквальную передачу каждого слова (при помощи
хранимого «словаря») синтаксическими правилами
для изменения порядка слов. Ранние оптимисты
[32, с. 134, рус. пер. с. 183] описывали «непосред-
«непосредственный достоверный перевод с одного языка
(русского) на другой (английский) на основе не-
небольшого закодированного словаря и ряда поддаю-
поддающихся программированию синтаксических опера-
операций, ограниченных по числу, но достаточно широ-
широких по охвату материала»*.
Ныне, однако, большинство экспертов согла-
соглашается с тем, что механический перевод человече-
человеческого языка не сможет в обозримом будущем со-
соперничать с человеческим переводом**. Хотя мно-
многие простые фразы, допускают рутинную обработ-
обработку, упомянутые выше двусмысленности английского
синтаксиса и грамматики смешиваются с другими
двусмысленностями, когда мы пытаемся соотнести
английский язык, скажем, с французским, немец-
немецким или русским; см. [12]. Даже «перевод с после-
последующим редактированием», когда выданный ма-
машиной текст трактуется как грубый черновик, бу-
будет иметь, по всей видимости, практическое зна-
значение лишь при отсутствии квалифицированных
переводчиков.
8.4. Резюме. В целом представляется, что затро-
затронутые в части А задачи ближе всего подходят к ме-
методам, введенным Булем и Пеано. Так, многие из
* В Советском Союзе идея машинного перевода была
предложена в 1933 г. П. П. Троянским (см. Переводная маши-
машина П. П. Троянского. Сб. материалов. М., Изд-во АН СССР,
1959).— Прим. пер.
** Language and Machines. Computers in Translation and
Linguistics. NAS-NRC Publ. 1416, 1966.
34

них можно решать без глубокого применения ал-
алгебры кванторов («для некоторых», «для всех»), ко-
которой не знали Буль и Пеано и которая оставлена
без внимания в большинстве языков программиро-
программирования *. Хотя решение оказалось труднее, чем
ожидали иные ранние энтузиасты, это задачи имен-
именно такого рода (цифровые), для которых цифровые
вычислительные машины кажутся наиболее при-
пригодными.
В частях Б и В я рассмотрю аспекты математи-
математики и психологии, которые, по-видимому, поддаются
механизации в меньшей степени, но которые также
должны найти отражение в любой реалистической
модели математического мышления.
Б. КОНТИНУАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
И ПСИХОЛОГИЯ
9. Введение. В части А я пытался очертить
объем, в котором цифровые (последовательност-
ные) вычислительные машины были д-j сих пор
успешно программируемы для «математического
мышления». Конечно, было бы чрезвычайно инте-
интересно узнать, в каких границах цифровые вычисли-
вычислительные машины и человеческий мозг решают ма-
математические задачи «изоморфно» **. Однако в на-
настоящее время наши знания о нейрофизиологии
недостаточны для ответа на этот вопрос. В лучшем
* См., однако, Р. С. Gilmore. IBM J. Res., Develop., 4
A960), p. 28—35.
** Поскольку, как мы увидим, организация сложности
в человеческом мозгу совершенно отлична от нее в цифровых
вычислительных машинах, любые такие изоморфизмы долж-
должны быть макроскопическими и феноменологическими, а не
микроскопическими или структурными.
35

случае психологи могут найти, что рассмотрение
того, какие аспекты «мышления» успешно модели-
моделируются какими моделями «искусственного разума»,
помогает им формулировать остроумные догадки
для последующей экспериментальной проверки.
Обратно, знакомство с психологией может помочь
специалистам по вычислительной технике разра>бо-
тать лучшие программы для механизации челове-
человеческой изобретательности.
Во всяком случае доводы, изложенные в части
А, убеждают меня, что в принципе цифровые вычи-
вычислительные машины можно программировать для
большинства математических задач, допускающих
эффективное описание на искусственном языке Бу-
Буля и Пеано. Однако, по моему мнению, язык этот
плохо приспособлен для описания континуальной
математики (например, классического анализа), и
то же, думается, относится к цифровым машинам.
Представлю теперь доводы в защиту этого
взгляда. Моей первой целью будет убедить вас, что
дискретная и континуальная математика различны
в самой основе.
Различие между ними отчетливо признано в тео-
теории вычислительных машин. Машины, которые об-
обладают непрерывно изменяющимися «состояния-
«состояниями», называются аналоговыми-, машины, которые
обладают как цифровыми, так и аналоговыми
устройствами, называются гибридными.
Я попытаюсь убедить вас, что человек имеет
превосходные аналоговые устройства, а также ана-
аналого-цифровые и цифро-аналоговые «преобразова-
«преобразователи». Иными словами, я утверждаю, что человек
есть по меньшей мере гибридная машина.
9.1 Аппроксимация. Фундаментальное логическое
различие между дискретным и непрерывным затем-
затемняется важной идеей аппроксимации, т. е. прибли-
36

жения. Например, любое действительное число
можно с любой желательной точностью предста-
представить рациональным числом. Так, знакомые школь-
школьные приближения "|/^2=1,4142, я=3,1416 и е=
=2,71828 более чем достаточны для большинства
практических задач. (Древние обычно находили 3
достаточным приближением к я.)
9.2. Оптические иллюзии. Наши физические чув-
чувства также могут быть обмануты тесной аппрокси-
аппроксимацией к непрерывности. Этот принцип хорошо
иллюстрируется кинематографом. Последователь-
Последовательность 120 кадров в секунду при наблюдении чело-
человеком производит впечатление непрерывного дви-
движения в пространстве и времени; психологически
оно достаточно хорошо приближает непрерывное
пространство-время. Подобным образом, всякий,
кто смотрел на карандашную линию под микроско-
микроскопом, легко допустит, что физическое различие меж-
между дискретным и непрерывным иллюзорно.
9.3. Машинная графика. Указанный факт исполь-
используется в дискретной «машинной графике», где мно-
многие непрерывные кривые успешно представляются
для зрительного восприятия зажиганием подходя-
подходящей области на индикаторном экране, содержащем
квадратную решетку из 1024x1024 точек. Такие
индикаторные экраны могут заменить многие более
рутинные и однообразные работы чертежников.
Пульты, подключенные к таким экранам и вычи-
вычислительным машинам с разделением времени, по-
позволяют значительно ускорить выбор людьми тех-
технических конструкций, планирование операций на
металлорежущих станках, демонстрацию поясни-
пояснительных схем в учебных процессах и пр. Эти воз-
возможности обсуждаются в [18, с. 131 —142] и [58,
с. 77—84]; другой вопрос, как мы увидим в § 19,
касается автоматизации эстетического суждения.
37

9.4. Научно-технические расчеты. Подобным об-
образом, как я уже отмечал в § 1, цифровые вычисли-
вычислительные машины заменяют математический ана-
анализ как важнейший инструмент прикладной мате-
математики. Они необходимы при решении многих
фундаментальных задач технического проектирова-
проектирования, и в частности при оптимизации конструкции
ядерных реакторов и размещения скважин в неф-
нефтяных пластах. Точно так же в физической химии
нет более мощного средства для соотнесения струк-
структуры молекул с их спектрами; и пр.
Непосвященным естественно предположить, что
этот успех обусловлен столь же точным примене-
применением численной математики к решению научно-
технических проблем, как применение математиче-
математической логики — к доказательству теорем. Но это
предположение далеко от истины. Успехи вычисли-
вычислительных машин в физике и технике зависят в боль-
большой мере от искусного выбора приближений, де-
детали чего понятны только квалифицированным
численным аналитикам.
10. Континуум. Громадный логический разрыв,
отделяющий дискретное от непрерывного, был ясно
увиден Пифагором еще в 600 г. до н. э. Геометри-
Геометрическим рассуждением Пифагор показал, что |/2
есть вполне реальное число; оно изображает отно-
отношение диагонали квадрата к длине стороны. Затем
он показал, что У 2 нельзя точно представить от-
отношением целых чисел (дробью); тем самым было
открыто существование иррациональных величин
(действительных чисел).
Это сделало ясным, что понятие количества
(величины) не может быть основано на тогдашней
символике арифметики, и побудило греческих ма-
математиков определить действительный континуум
геометрически. А именно, они определили действи-
38

тельные числа как отношения однородных геоме-
геометрических величин *. Их математические доказа-
доказательства включали прямые ссылки на чертежи, де-
делавшие непрерывность зримой. Таким образом,
блестящие достижения греческой математики зави-
зависели от сочетания логики со зрительным вообра-
воображением, без предпочтения той или другой со-
составляющей.
На этом пути было также найдено логическое
основание для искусства аппроксимации рацио-
рациональными числами. Эвдокс в 400 г. до н. э. обнару-
обнаружил, что любые две действительные величины а и
Ь можно разделить некоторым рациональным чи-
числом q, так что a<q<b; рациональные числа рас-
расположены плотно по всему действительному конти-
континууму! В силу этого каждое действительное число
(«величину», «количество») г можно задать сече-
сечением (разбиением), которое оно производит в мно-
множестве Q всех рациональных чисел; оно разбивает
Q на множества чисел q^r и q>r.
10.1. Маскирующие точки. Позиционная десятич-
десятичная система счисления, изобретенная индусами,
часто маскирует различие между дискретным и не-
непрерывным. Так, можно записать в квазицифровой
форме 1/^2=1,41424 ...; ошибка маскируется точ-
точками. Вообще, каждое действительное число можно
однозначно представить в квазиарифметической
записи как бесконечную десятичную дробь
а1а2а3... = ±
* См. книгу сэра Томаса Хита: Sir Thomas Heath. The
Thirteen Books of Euclid's Elements. 2nd ed. Vol. 1. Cambridge,
University Press, 1926, p. 125—127 and 372—374.
39

если потребовать, чтобы апФ0 при п<0 и аиф9 для
бесконечно многих k. Это можно1 сделать и при лю-
любом другом основании системы счисления, напри-
например при основании 2 (двоичные числа). Позицион-
Позиционная же двоичная система находится в естественной
связи с геометрической идеей линейки, на которой
нанесены линии, обозначающие дюймы, полудюй-
полудюймы, четверти дюймов и т. д.
Затемнение логического различия между ди-
дискретным и непрерывным продолжалось до XIX
столетия. Таким образом, после изобретения ара-
арабами символической алгебры и особенно после то-
того, как Декарт показал, что алгебра может быть
использована для описания многих кривых и дока-
доказательства многих теорем эвклидовой геометрии
без вычерчивания фигур, символический подход
вновь обрел господство в математике. По-видимо-
По-видимому, этому способствовало также изобретение книго-
книгопечатания.
10.2. Анализ. Скрытая сила декартовой, или «ана-
«аналитической», геометрии проявилась ослепительно
ярко с развитием математического анализа, давше-
давшего вскоре после своего возникновения массу про-
простых формул для наклонов, длин, площадей и дру-
других геометрических величин, связанных с кривыми
и поверхностями. В то же время анализ выработал
свою собственную символику под давлением (хочу
подчеркнуть) идей из геометрии и механики.
Развитие анализа чрезвычайно усилило употреб-
употребление маскирующих точек, когда в XVIII в. обна-
обнаружилось, что многие функции разлагаются в бес-
бесконечные ряды. Так, было получено много разло-
разложений вида
^ ^ JJ F)
40

и т. д., весьма напоминающих E).
Хотя прием маскировки точками (означающи-
(означающими: «продолжай неограниченно») не встречал возра-
возражений вплоть до XIX в., в основе его лежит оче-
очевидное смешение значений. Точки не суть осмы-
осмысленные арифметические или логические символы,
и все авторитетные математики и логики согласны
с тем, что между рациональными и иррациональ-
иррациональными числами существует резкое и глубокое раз-
различие. Так, когда мы пишем 1/^2=1,4142 .., то
отнюдь не утверждаем этим справедливости како-
какого-либо равенства; речь идет лишь о двойном не-
неравенстве 1,4142< ]/^2< 1,4143. Подобным образом
специалисты по вычислительной технике признают
принципиальное различие между действительной и
целой арифметикой и требуют от клиентов указа-
указания, какая из них имеется в виду (действительная
арифметика является существенно приближен-
приближенной) *.
Можно привести много других свидетельств
фундаментальной недостаточности дискретного для
описания непрерывного. Наиболее известные из
них математикам и наиболее прямые вытекают из
теоремы неполноты математической логики и будут
рассмотрены в § 21. Но существуют столь же впе-
* Добавим к этому, что конечный автомат с конечной
входной лентой может печатать только те последовательности
a = aia2a3 ..., которые рано или поздно становятся периодиче-
периодическими, и что такие последовательности соответствуют по фор-
формуле E) точно тем действительным числам, которые являются
рациональными.
41

чатляющие психологические данные, показываю-
показывающие, что, подобно гибридным вычислительным ма-
машинам *, мы, люди, обладаем двумя качественно
различными формами математического мышления,
коренящимися в наших методах счета и измерения
и обусловленными нашей физиологической органи-
организацией. В частности, в нервных сетях человека про-
происходит немало непрерывных процессов, рода хи-
химического торможения, гораздо более разнообраз-
разнообразных и тонких, чем то, что имеет место в простых
двоичных (комбинаторных или последовательиост-
ных) сетях, описанных в § 5.
Далее в части Б я рассмотрю некоторые из
этих психологических результатов, выделяя особо
процессы, относящиеся к чтению, письму, говоре-
говорению и слушанию, как ближайшие к «мышлению».
Надеюсь, мы увидим, что описание этих процессов
основано прежде всего на интуитивной континуаль-
континуальной математике. Подобным образом, моделирова-
моделирование их (и, следовательно, моделирование «мышле-
«мышления») на цифровых вычислительных машинах не-
неизбежно должно опираться на методы аппрокси-
аппроксимации.
11. Психометрика. Психометрика занимается
больше измерением, чем счетом, больше контину-
континуальной, чем дискретной математикой, быть может
потому, что касается более глубокого предмета.
Это очень ясно излагается в работах С. С. Стивен-
са [52, с. 1—49, рус. пер. т. 1, с 19—89] и П. Суп-
песа и Дж. Л. Зиннеса [33, т. 1, с. 1—76]. (О но-
новейших исследованиях см. [60]).
В частности, Стивене ясно связывает три раз-
различных понятия непрерывной шкалы (шкалы по-
* Тот факт, что человеческий мозг представляет собой
«гибридную» машину, уже отмечался фон-Нейманом [41,
с. 68—69, рус. пер. с. 87—88].
42

рядка, интервалов и отношений) с соответствую-
соответствующими группами преобразований: сохраняющих по-
порядок непрерывных в обе стороны преобразований
x'=f(x)9 аффинных преобразований х'=ах+Ь и
линейных преобразований х'=ах\ см [52, с. 25, рус.
пер. т. 1, с. 52].
Двухпараметрическая аффинная группа тесно
связана также со степенной группой всех преобра-
преобразований вида
x-*kxa,
где а —действительное число и &>0. При у=
=log# она переходит в группу всех аффинных
преобразований
у = log x -*log (kx") = <x log x -\-
+ log£ = at/ + P, (9)
где а и f$=log£ — подходящие действительные кон-
константы. Как отмечено Стивенсом *, формулы (8),
(9) устанавливают связь между законом Фехнера
(что равные приращения величины у соответствуют
равным субъективным изменениям интенсивности
ощущения) и эмпирическим законом, что формула
у'/у=(х' /х)а при некотором а>0 описывает субъ-
субъективную оценку ощущений как имеющих «равную
силу», когда два различных органа чувств подвер-
подвергаются действию переменных энергий х и у вос-
воспринимаемых ими физических явлений (свет, звук,
давление, электрический ток и пр.).
11.1. Факты о группах. Связь между измерением
и группами представляет особый интерес ввиду той
* С. С. Стивене, гл. 2 в кн : G. W. Churchman and P. Ra-
toosh, eds. Measurement. New York, John Wiley, 1959. Заметим,
что понятие логарифма принадлежит по существу к непрерыв-
непрерывной математике; цифровые вычислительные машины могут
представить lg 2 и In 2 лишь приближенно.
43

фундаментальной роли, которая принадлежит поня-
понятию группы в современной алгебре, как и в основа-
основаниях геометрии. Возможно, некоторым психологам
будет интересно узнать, что группы, перечисленные
в [52, с. 25], — это единственные конечно-параме-
конечно-параметрические группы, действующие на величины. Точ-
Точнее, норвежский математик Софус Ли доказал в од-
одном глубоком мемуаре, что любая конечно-параме-
конечно-параметрическая непрерывная группа, определенная на
действительной прямой, локально эквивалентна
либо группе сдвига t//=y + a (а значит, и преобра-
преобразованиям *'= еу' = еу+а = е*х=ах), либо аф-
аффинной группе х'=ах + р, либо «проективной груп-
группе» x'=(ax~\-b) I (сх + d), айфЬс, выступающей
в теории перспективы. Последняя группа исклю-
исключается физически, в большом, если потребовать,
чтобы физические величины были конечны.
11.2. Колориметрия. Один из увлекательных раз-
разделов психометрики посвящен изучению цвета.
Большинство людей обладает цветовым зрением,
присваивающим видимым областям три компонента
интенсивности, как показано Томасом Юнгом и
подтверждено Гельмгольцем [25, т. 2, с. 20] *. Сле-
Следуя Грассману и Дж. К. Максвеллу, можно при-
принять, что сетчатая оболочка глаза несет вектор-
функцию I=F(<p, 9, /), с I=(/i, /2, /3), проецирую-
проецирующую физическое распределение энергии над
континуумом длин волн К: Р(ф, 8, t9 Я), Р^О,
в (положительный) цветовой конус. Затем можно
попытаться разложить цвет на компоненты цве-
цветового тона, чистоты и яркости (или светлоты), вы-
выбирая нейтральную (черно-серо-белую) ось «бес-
* Ранее подобный взгляд был выражен у нас Ломоносо-
Ломоносовым («Слово о происхождении света, новую теорию о цветах
представляющее», 1751). — Прим. пер.
44

цветных» смесей, и ввести сферические координа-
координаты, где цветовой тон будет служить долготой,
яркость — радиусом, а чистота — широтой. Хотя эта
процедура включает ряд важных аномалий [50а,
особенно гл. VII], а нейрофизиологическая пере-
переработка зрительных данных сложна (ср. § 13),
предыдущее решение сегодня является признанной
основой практической колориметрии.
12. Слух. Было сказано, что «мышление есть раз-
разговор с самим собой». Точнее [38, гл. 11], для
многих (в том числе и для меня) значительная
часть мыслительной деятельности состоит в заме-
замене и перестройке словесных цепочек, хранимых
в памяти. По-видимому, это дискретный процесс.
Хотя современные языки программирования для
вычислительных машин уступают людям по своим
ассоциативным возможностям *, тезис Тьюринга
гласит, что цифровые машины в конце концов бу-
будут способны эффективно осуществлять такого ро-
рода «мышление».
Как я попытаюсь показать в части В, это не-
неверно даже для математического мышления. В сфе-
сфере же нематематического словесного мышления
данные психологических исследований свидетель-
свидетельствуют а том, что ум человеческий действует со-
совершенно иначе, чем последовательностный циф-
цифровой автомат.
Переработка слов в человеческих умах, несом-
несомненно, включает слушание, а это заставляет вспом-
вспомнить, что наше чувство слуха существенно непре-
непрерывно. Действительно, для объяснения зрения или
слуха необходимо гораздо более глубокое обраще-
обращение к континуальной математике, чем то, которое
* Существующие языки программирования являются «кон-
«контекстно-свободными», человеческие же языки — нет [14].
45

предлагается психометрикой. Для того чтобы их
сколько-нибудь понять, нужна математическая тео-
теория волнового движения. Это было впервые убеди-
убедительно показано Гельмгольцем, чей многогранный
гений до сих пор не перестает вызывать наше вос-
восхищение.
Один из величайших психологов, Гельмгольц
принадлежал также к ведущим прикладным мате-
математикам своего поколения. Он положил начало ма-
математической метеорологии * и внес фундаменталь-
фундаментальный вклад в теории вихрей, волнового движения
и струй. Его интерес к последним вытекал из стрем-
стремления раскрыть природу зрения [25] и слуха [24]
(включая музыку). Будучи по образованию воен-
военным хирургом, он соединял подробное знание фи-
физиологии с глубоким пониманием тогдашней физи-
физики и континуальной математики, которую он также
обогатил (своим анализом уравнения Гельмгольца
V2 k20)
)
12.1. Слуховые ощущения. Гельмгольц [24] при-
приписывал наше ощущение звука психофизическому
разложению Фурье непрерывно изменяющейся
функции давления p(t) от времени, действующей
на барабанную перепонку. Это разложение должно
давать чистые тоны различной амплитуды и (при
соизмеримых частотах) различной относительной
фазы. Идея была высказана ранее Омом A843);
Гельмгольц предположил, что каждая из прибли-
приблизительно 3000 кортиевых палочек** настроена (ре-
(резонирует) на свою характеристическую частоту
* См. Philip Thompson. Numerical Weather Analysis and
Prediction. New York, Macmlllan, 1961, p. 13.
** Другое название — кортиевы столбики (по имени
итальянского физиолога Корти). — Прим. пер,
46

[24, с. 33 и 143—147, рус. пер. с. 48 и 203—207]*.
Опыты показывают, что дело обстоит не столь
просто. В настоящее время [54а, с. 35, 332] хорошо
подготовленные музыканты могут различать часто-
частоты, отстоящие друг от друга всего на 1 Гц, тогда
как неподготовленные лица и наполовину не так
чувствительны. Следовательно, люди, имеющие то
же количество кортиевых палочек, могут отличать-
отличаться по крайней мере в два раза по своей чувстви-
чувствительности к высоте звука, в зависимости от подго-
подготовки и других факторов.
В течение почти столетия после Гельмгольца **
физики и психологи продолжали на интуитивной
основе применять интеграл Фурье, отождествлял
каждую фонему с ее энергетическим спектром.
В частности, они предполагали, что люди узнают
каждую фонему (гласный или согласный) таким
же путем, как и тембр музыкальной ноты, — по от-
относительной силе (и фазам) их верхних и нижних
гармоник.
12.2. Моделирование речи. Развивая идеи Фурье,
Гельмгольц даже получал распознаваемые синте-
синтетические звуки механически***. Более близким
к нам по времени синтезатором речи был «Воко-
«Вокодер», экспонированный на Всемирной выставке
1939 г. Он синтезировал как гласные, так и со-
* Человеческое ухо содержит также около 10 000 воло-
волокон основной перепонки (membrana basilaris) и около 30 000
нервных волокон [54а, с. 36, 117], которым тоже можно при-
приписать специфические реакции.
•* R. Paget. Proc. Roy. Soc. Ser. A., 106 A924), p. 150—
174; I. В. Crandall. Bell. Syst. Techn. J.f 6 A927), p. 101 — 106
и указанная там литература; G. von Bekesy. Phys. Ann., 29
A928), p. 793—810.
*** [24, с 123, 128, рус. пер. с. 163, 174]. Об истории по-
попыток такого рода см. [18а, с. 166—174, рус. пер. с. 222—232];
о «Вокодере» см. Н. Dudley. Bell. Syst. Techn., J., 19 A940),
p, 495-515.
47

гласные (глухие) звуки приблизительно из 10 мо-
модулированных гудений и свистов подходящих
амплитуд.
Однако идеи Гельмгольца не давали объясне-
объяснения тому, как наш человеческий разум преобразует
непрерывное входное давление p(t) в дискретные
последовательности фонем и строит из них осмыс-
осмысленные слова и предложения. Ныне кажется ясным,
что слушание есть гораздо более сложный процесс,
нежели представляли себе эти исследователи.
Даже фундаментальная физика передачи зву-
звуковых волн в улитке сегодня еще не поддается
количественному анализу. Отчасти вследствие слож-
сложности геометрии и материалов, мы не знаем, какие
формы волн давления ударяются о нервные окон-
окончания, и не умеем предсказать результирующую
последовательность нервных импульсов, возбуж-
возбужденных данной функцией p(t). Наше восприятие
колебаний выше 5 кГц, вероятно, зависит от дру-
других концевых аппаратов, чем восприятие колебаний
ниже 5 кГц; необъясненные спонтанные сигналы
непрерывно передаются по нашим 50 000 нервных
волокон, а эти волокна бывают разных видов (на-
(например, радиальные и спиральные). О дальнейших
подробностях см. [29]; напрашивается вывод, что
в слухе постоянно участвуют церебральные (моз-
(мозговые) процессы. Церебральная переработка звука
будет рассмотрена в § 14.
Физиологически также не ясно, как мы полу-
получаем нашу способность к бинауральному восприя-
восприятию направления (для стереофонической музыки),
когда сравниваются две функции давления pi(t) и
р2@, по одной на каждое ухо; см. [18а,с. 109—114,
рус. пер. с. 147—154] и [54а, гл. 17]. Этот эффект,
вероятно, включает синхронизацию и центральную
интеграцию между полушариями головного мозга.
48

13. Зрение. Мысля, мы вызываем из памяти не
только словесные (звуковые), но и зрительные об-
образы. Математика обнаруживает много аналогий и
ряд различий между нашим употреблением этих
двух способностей.
Так, если монауральный слух фиксирует функ-
функцию p(t) одной переменной (и выделяет ее изобра-
изображение Фурье), то монокулярное зрение фиксирует
прежде всего действительную функцию яркости или
интенсивности света /(ср, 0, t), зависящую от двух
переменных направления и от времени. Разрешаю-
Разрешающая способность по времени t здесь гораздо хуже,
чем в случае уха, — около 1/5 с [25, т. 2, с. 213].
Однако это возмещается с избытком необыкновен-
необыкновенной остротой нашего черно-белого зрения: каждый
нормальный человеческий глаз имеет свыше
125 млн. рецепторов и 800 000 нервов, посредством
которых он сообщает то, что видит, мозгу (одной
из поверхностей которого является сетчатка каждо-
каждого глаза). Последние связаны между собой специ-
специальными ориентирующими нервными слоями и от-
отрицательными рефлексами, усиливающими пери-
периферию [42].
Монокулярное зрение позволяет людям быстро
читать печатные и рукописные тексты, преобразуя
картинки букв в звуки необычайным аналого-циф-
ро-аналоговым процессом. JVibi можем читать пе-
печатную страницу в 300 слов B000 букв) за 30—
60 с, принимая в ходе этого процесса примерно
104 бит цифровой информации *. Как указал
Дж. Р. Пирс [18, с. 101], для воспроизведения та-
такой страницы при помощи фототелеграфа с рас-
растром 210Х210 потребуется 106 бит информации; для
* С точки зрения чистой теории информации слово wife
(жена) содержит 18 «бигов» информации, но с прикладной
точки зрения оно содержит намного больше!
49

передачи образа последовательно на телевизион-
телевизионном экране 1010 бит; пропускная же способнсть
коаксиального телефонного канала составляет
лишь около ЗХЮ8 бит/с!
Эти цифры говорят о трудности механизации
восприятия даже статических, двумерных зритель-
зрительных образов, т. е. решения проблемы распознава-
распознавания образов. Среди ранних попыток решения этой
проблемы на универсальных вычислительных ма^
шинах особо выделяется программа «Перцептрон»,
хотя ее изобретатель подчеркивал ее неполноту как
модели мозга *. Строгое доказательство этой
неполноты было недавно дано Минским, показав-
показавшим, что «Перцептрон» не может «воспринимать»
связность.
Было изобретено немало других, менее често-
честолюбивых схем для распознавания частных классов
образов, например букв или формул, графов, пар-
парных хромосом **. Однако ни одна из этих попыток
не увенчалась ярким успехом. Таким образом, да-
даже в простом случае статических образов в дву-
двумерном геометрическом континууме, наблюдаемом
каждым глазом, до сих пор еще не оказалось воз-
возможным механизировать эффективное распознава-
* F. Rosenblatt. Principles of Neurodynamics. Wasching-
ton, D. C, Spartan Books, 1960 (рус. пер.: Ф. Розенблатт.
Принципы нейродинамики. М., «Мир», 1965); см. также
Н. D. Block в [27, с. 59—72].
** D. H. Fender в [48, с. 129—147]; Leonard Uhr в [29,
с. 51—74]; R. H. Anderson. Syntax-Directed Recognition of
Handprinted Two-Dimensional Mathematics. ACM Preprint, 1967;
W. F. Miller and A. C. Shaw. MSLAC-PUB-358, Stanford Uni-
University. Stanford, Cal., 1967.
*** О более оптимистических прогнозах см. W. F. Miller
в [18, с. 118—137] и М. Kabrisky. A Proposed Model for Visual
Information Processing in the Brain. Urbana, University of
Illinois Press, 1966.
50

Даже ограниченное черно-белыми образами, че-
человеческое зрение способно делать гораздо больше,
чем идентификация подмножеств возбужденных
нейронов. Оно может обнаружить симметрию
с первого взгляда. (Облегчается ли этот процесс
наличием у нас двух частично независимых полу-
полушарий головного мозга, левого и правого?) Кроме
того, оно может поворачивать, сдвигать, увеличи-
увеличивать и уменьшать зрительные образы. Оно может
также представлять их в новой перспективе, испы-
испытывая их тем самым на «эквивалентность относи-
относительно проективной группы»
x'i=(aiXi + biX2 + Ci) f(axi + bx2+c), i=\y 2.
Человеческое бинокулярное зрение обладает
многими другими способностями, включая парал-
параллакс и фокусирование для создания глубины. Боль-
Большинство людей имеет также цветовое зрение, ко-
которое я обсуждал в § 11. Так, тренированный глаз
может различать около 100 различных цветовых
тонов, вероятно около 103—104 разных оттенков
цвета и 104—105 разных цветовых структур. Он мо-
может также следить за движущимися образами и
коррелировать их.
Возникает вопрос, как дорого обошлось бы пла-
планирование, разработка и эксплуатация машинной
программы (и машины), наделенной подобными
способностями, — и не безнадежная ли это задача.
Со своей стороны, я склонен считать, что задача
содержит по крайней мере три весьма серьезные
трудности.
Во-первых, человеческое распознавание образов
основано на континуальных навыках (или инстинк-
инстинктах), таких, как прослеживание линий или границ
(для определения связности) или просматривание
(например, в поисках пятен или углов). Эти конти-
континуальные навыки нелегко воспроизвести на циф-
S1

ровом автомате. Во-вторых, в отличие от слуха,
зрение работает не последовательно, а параллель-
параллельно— факт, делающий возможным периферийное
усиление и двойную дифференциацию яркости
(см. [426]). Значит, моделирование человеческого
зрения требует также программирования парал-
параллельной работы машины *. Это создает для после-
довательностной вычислительной машины еще одно
препятствие в подражании тренированному чело-
человеческому глазу. И, в-третьих, люди обладают по-
поразительной способностью к «свободной ассоциа-
ассоциации» (например, дрожащего почерка — со ста-
старостью).
Итак, я подозреваю, что для успешной меха-
механизации распознавания образов в него придется
включить континуальные операции, искусную па-
параллельную переработку данных и ассоциативный
доступ к памяти.
До этого пока вычислительным машинам очень
далеко: существующие программы едва-едва по-
позволяют им справляться с распознаванием даже
простых букв и формул, с индентификацией гра-
графов или со сличением хромосом. Первым шагом
к механическому распознаванию образоз было бы,
по-видимому, научное объяснение психологами то-
того, как работает человеческий мозг. Понять психо-
психологический и физиологический механизм цере-
церебральной переработки чувственной информации,
поступающей от глаза и уха, и моделировать его
на машине — вот задача, достойная современного
Гельмгольца!
13.1. Чувственное квантование. Хотя я настаивал
на том, что слух и зрение — это прежде всего не-
* Частичным подобием этого может служить ныне разра-
разрабатываемая машина ILLIAC IY, хотя она будет еще програм-
программироваться последовательной входной лентой.
52

прерывные, плавные чувства, некоторые психологи
трактовали их как квантовые, а значит, в конечном
счете дискретные, разрывные. Так, Гельмгольц по-
полагал [24, с. 33, рус. пер. с. 48], что ухо имеет по
одному резонирующему рецептору (дуга улитки)
для каждого различимого тона на нашей музыкаль-
музыкальной шкале *. Это кажется маловероятным, по-
поскольку ухо имеет 25—30 тыс. нервных волокон
[45, с. 385], а мы можем различать менее 10 000
ступеней по высоте тона [54а] и определять абсо-
абсолютно только около тысячи. Подобным образом,
фон-Бекеши [7, с. 238—239] находил, что наше
ощущение силы звука дискретно, изменяясь кван-
квантовыми скачками едва заметной величины. Доба-
Добавим, что нейроны сетчатки могут быть возбуж-
возбуждаемы всего шестью фотонами **. По поводу
объективного рассмотрения экспериментальных
данных, относящихся к этому спорному вопросу,
см. [16, с. 424—445]; по поводу возможных «коди-
«кодирований» воспринимаемых образов сигналов см.
[42а] ***
Однако ни одна из этих квантовых моделей
ощущений не была действительно удачной. Даже
наиболее положительный двоичный, булев закон
возбуждения «все или ничего» справедлив только
для проводников (аксонов) в нашей нервной си-
системе. Он не выполняется для передатчика — си-
* Вместе с тем он утверждал непрерывность ощущения:
«Наше ощущение также непрерывно изменяется, не переска-
перескакивая со ступени на ступень» [24, с. 147, рус. пер. с .207].
** С. S. Sherrington. The Integrative Action of the Nervous
System. 2nd ed. New Haven, Conn., Yale University Press,
1948, p. xxii.
*** См. также [31, с. 1—307] об аксимоматических моде-
моделях порога и различения чувственных раздражителей вообще;
также F. Roberts. Synthese, 18 A968), p. 311—326.
53

напса — или для приемника в мозгу*. Вероятно,
по этой причине серии двоичных нервных импуль-
импульсов могут иметь существенно небулевы автокорре-
автокорреляционные связи. Я надеюсь, что эти факты из
нейрофизиологии помогут объяснить, почему мы,
люди, воспринимаем как непрерывные величины не
только высоту и силу звука, но и тепло, свет, мы-
мышечное напряжение и движение, статическое кож-
кожное давление, вкус и запах.
Действительно, мы как будто думаем лучше
всего двумя способами: чисто дискретно и чисто
непрерывно. Мы часто пытаемся поляризовать свои
ощущения на дискретные и непрерывные. Кино-
Кинокартины с частотой 10 кадров в секунду произво-
производят неприятное ощущение мелькания, которого мы
стремимся избежать. Напротив, восприятие плавно
изменяющихся величин доставляет нам удоволь-
удовольствие.
14. Мозг как переходная вычислительная маши-
машина. Надеюсь, предыдущее обсуждение убедило вас,
что мозг представляет собой по меныией мере гиб-
гибридную вычислительную машину, зависящую су-
существенным образом от наших непрерывных
чувств: слуха, зрения, мышечного движения и пр.;
если же принять во внимание все способности,
успешно координируемые большинством разумных
людей, то кажется точнее назвать их переходны-
переходными машинами (mongrel computers)!
В самом деле, чтобы хотя бы сколько-нибудь
понять мозг, необходимо осознать, что он работает
в теснейшем содружестве с нашим телом — не
только благодаря нашим органам чувств, но и бла-
* М. А. В. Brazier. Proc. XXII. International Congress
Psychological Science, vol. 3, Leiden, 1962, p. 88; см. также
E О. Adrian and Y. Zotterman. J. Physiology (London), 61
A926), p. 151—171.
54

годаря нашей двигательной и ручной активности.
Как следствие, морфология и биохимия централь-
центральной нервной системы отличаются крайней слож-
сложностью. Так, «одним из великих достижений
в ... неврологии является открытие необыкновен-
необыкновенного разнообразия средств, при помощи которых
нервные клетки сообщаются друг с другом»
(Д. Бодиан [42а, с. 6]). Подобным образом, под-
подлинные «нервные сети ... имеют .. . довольно диф-
диффузную структуру, в отличие от простой блочной
структуры существующих вычислительных ма-
машин» [1, т. 4, с. 10]. Эта диффузная структура,
вероятно, находится в связи с нашими способностя-
способностями к свободной ассоциации.
Это содружество между духом и телом развива-
развивалось долгими веками в борьбе за существование;
одной из мелких сторон его было взаимное тормо-
торможение нервных импульсов к антагонистическим
мышцам. Гораздо важнее гемеостаз, или (предки-
бернетический!) механизм саморегулирования, уже
давно знакомый биологам и нейрофизиологам.
Это то, что держит нас в равновесии—физическом,
химическом и психическом! Физиологи неизменно
основывают модели гемеостаза на континуальной
математике*, и я весьма сомневаюсь, что атомисти-
атомистические «нервные сети» (даже дополненные статисти-
статистическими расчетами) дадут подлинное объяснение
происходящего.
* См., например, [4, 5 или 42а]; также J. Z. Young. A Mo-
Model for the Brain и The Memory System of the Brain. Berkeley,
University of California Press, 1966, где описываются интерес-
интереснейшие опыты над осьминогами. Другие, более склонные к ма-
математике теоретики предлагали корреляционные функции и
дифференциальные уравнения «обучения» (S. Deutsch. Models
of the Nervous System. New York, John Wiley, 1967; S. Gross-
berg в [60] и др.),
55

Для того чтобы координировать свои многочис-
многочисленные способности, большинство из нас проводит
в детстве много часов над совершенствованием раз-
различных преобразователей: аналого-аналоговых (на-
(например, обучение свисту) и цифро-цифровых, как и
аналого-цифровых и цифро-аналоговых. Например,
как я уже замечал, мы можем распознавать цепоч-
цепочки букв, написанных различными почерками, и пе-
переводить их мгновенно в произнесенные слова. По-
Подобным образом мы можем соотносить многие не-
непрерывные зрительные образы (кривые, площади,
тела и пр.) с дискретными последовательностями
слов, состоящих из устных фонем или письменных
букв.
Обратно, ум наш может переводить (написан-
(написанное или произнесенное) имя или другое словесное
обозначение человека или вещи в мысленный об-
образ. Способность такого воссоздания образов назы-
называется воображением. Ее-то и недостает нашим
тупым ЭВМ ценою в 5 миллионов долларов!
Думаю, что именно эта способность позволяет
человеческому уму избегать ловушек словесных
двусмысленностей, которые в таком количестве
строились изобретательными математическими
лингвистами. Это выражения типа they are flying
planes («они летят самолетами, они летящие само-
самолеты»). Чтобы быть допустимым, зрительный об-
образ, вызванный предложением, должен «иметь
смысл»: человек отбрасывает невероятные альтер-
альтернативные значения. Рассмотрение в контексте дает
ему возможность выбирать правильную интерпрета-
интерпретацию из различных машинных анализов фразы the
are flying planes, которые описал Куно в [48, с. 57]*.
* Ссылка не совсем точна. Куно рассматривает еще более
многозначное предложение time flies like an arrow, допускаю-
допускающее четыре толкования. — Прим. пер.
56

14.1. Машинное распознавание речи. Например,
психическая деятельность человека включает спо-
способность расшифровывать 2500 алфавитно-цифро-
алфавитно-цифровых знаков в минуту в произнесенные слова, каж-
каждое из которых есть последовательность из более
чем 40 фонем, образуемых координированными дви-
движениями лицевых, горловых и легочных мышц, и
способность переводить функцию давления р(!)
в такие последовательности. До сего времени
даже эта вторая рутинная задача была слишком
тяжела для машинных программ.
Однако за истекшие 20 лет в механизации рас-
распознавания речи произошел известный прогресс.
Наилучшие результаты были получены с двоичны-
двоичными критериями различения фонем, весьма отличны-
отличными от тех приемов гармонического анализа, кото-
которыми пользовались Гельмгольц и его последовате-
последователи. Эти критерии были предложены Якобсоном
(см. Locke [32, с. 104—118, рус. пер., с. 147—165])
и применялись также Питерсоном и Харари [28,
с. 139—165]. Независимо от того, насколько здесь
повлияла идея двухпозиционности нейронов (см.
§ 12), эти двоичные модели кажутся мне более
близкими к истине, нежели модели, основанные на
разложении Фурье. Более того, они наводят на
мысль, что в восприятии речи человеком цере-
церебральная переработка играет очень важную роль*.
Во всяком случае, до сих пор ни одна машин-
машинная программа не была способна распознавать фо-
фонемы так же или почти так же хорошо, как люди.
О ранних попытках распознавания речи см. Lickli-
* См. D. R. Reddy. J. Acoust. Soc. Amer, 41 A967),
p. 1295—1300 и 42 A967), p 329—347. Также Р В. Denes and
E. N. Pinson. The Speech Chain. Murray Hill, N. J., Bell Tele-
Telephone Laboratories, Inc., 1963 и J. L. Flanagan [18a].
57

der and Miller [52, с 1040—1074, рус. пер. т. 2,
с. 643—681] и R. Fatehchand [1, т. 1, с. 193—2311;
с голосом одного и того же лица были достигнуты
значительные успехи*.
Между тем разумные человеческие существа
воспринимают гораздо больше, чем цепочки фонем:
они могут организовать фонемы в осмысленные
слова и предложения. Более того, люди часто узна-
узнают оратора, его родной край, его (подлинное или
притворное) эмоциональное состояние и замечают
звукоподражание**. Подобные возможности суще-
существуют и для зрения (каким путем мы узнаем ка-
карикатуру на де Голля?).
Приведенные выше факты показывают, что
Тьюрингово определение «думающих машин», пере-
перефразированное в § 6, дает весьма искусственное тол-
толкование человеческого общения, когда настаивает
на связи по телетайпу. Для моделирования челове-
человеческого разума искусственный разум должен рас-
располагать также многими другими способами об-
общения.
Могут возразить, что тем не менее вся матема-
математика допускает эффективную передачу по телетайпу
(или, столь же хорошо, на языке символической
логики). В следующей части В я попытаюсь убе-
убедить вас, что это не так. Хотя я уверен, что искусно
программируемые вычислительные машины при-
призваны сыграть важную роль в будущих математи-
математических исследованиях, я полагаю также, что про-
* О более ранних работах см. такие статьи в «J. Acoust.
Soc. Amer.», как: J. E. Damann, 38 A965), p. 213—223;
W. A. Hillis et al., 38 A965), p. 790—796 и J. L. Goldstein,
41 A967), p. 676—689.
** В языке ассемблера звукоподражание было бы, конеч-
конечно, невозможно,
58

блема механизации математики намного глубже,
чем казалось иным теоретикам вычислительных
машин.
В. ПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
15. Арифметическое познание. Перехожу теперь
к своим последним вопросам. Как мыслят матема-
математики? Могут ли вычислительные машины модели-
моделировать только более простые и более рутинные
мыслительные процессы математиков? Или (ср. ко-
конец § 6) их можно программировать для выполне-
выполнения основной части математической деятельности
людей? Мой тезис гласит, что для того, чтобы вы-
выполнять нерутинные математические задачи эко-
экономнее или эффективнее людей, вычислительные
машины должны управляться вышестоящими мате-
математиками, обладающими глубоким пониманием их
ограничений.
Начну с первого вопроса: как мыслят матема-
математики (о математике).
Математическое мышление начинается в раннем
детстве и сначала имеет дело с арифметикой.
Прежде чем научиться арифметике, необходимо на-
научиться считать. Это делается очень легко повто-
повторением слышимых звуков (механическое подража-
подражание). На третьем году жизни большинство детей
может воспроизводить последовательности фонем
достаточно хорошо, чтобы сказать «раз, два, три,
четыре, пять» так же легко, как «абракадабра».
Играя же в прятки, многие из нас учатся в восьми-
восьмилетнем возрасте считать до 100 за каких-то 20 се-
секунд, без всякого понукания со стороны взрослых.
Сосчитать множество предметов £/, сопоставляя
его члены с последовательными ординальными
числами, без повторений или пропусков, требует
59

большего умения. Ребенок должен помнить, гово-
говоря каждое число k, каково множество S(k)czU уже
сосчитанных вещей; подозреваю, что эта способ-
способность зависит от зрительных или осязательных
восприятий конкретных предметов. Проверка того,
что мощность п множества U не зависит от поряд-
порядка, в каком перечисляются его элементы, требует
индуктивного рассуждения и еще большей зрело-
зрелости. Только после проведения такого опыта и
уяснения его принципа ребенок действительно по-
понимает значение кардинальных чисел. По наблюде-
наблюдениям Пиаже [3, с. 406—414]*, это происходит нор-
нормально к семи годам. Подозреваю, что примерно
в том же возрасте дети приобретают и способность
с первого взгляда определять мощность множеств,
имеющих менее чем п элементов, где п в большин-
большинстве случаев равно «семи плюс или минус два», как
отмечено Дж. А. Миллером [34, т. 1, с. 135—151]**.
Усвоив способ счета в десятичной системе и его
значение, дети готовы к изучению арифметических
действий, также в десятичной системе. Опять-таки
легче всего путем механического повторения они
запечатлевают в памяти таблицы сложения и ум-
умножения для 10 десятичных цифр D5 правил на
таблицу) и правила сложения, умножения, вычита-
вычитания и деления положительных целых чис^л в деся-
десятичной нумерации*1"*.
* См. также Ж. Пиаже и А. Шеминская. Генезис числа
у ребенка.—В кн.: Ж. Пиаже. Избранные психологические тру-
труды. М., «Просвещение», 1969, с. 233—567. — Прим. пер.
** Рус. пер.: Дж. А. Миллер. Магическое число семь плюс
или минус два. — В кн.: Инженерная психология. Сб. статей.
М., «Прогресс», 1964, с. 192—225.-— Прим. пер.
*** Автор поражен, насколько благотворно влияет на не-
нелюбопытных детей раннее знакомство с недесятичной (напри-
(например, двоичной) арифметикой.
60

Теперь дети готовы к изучению обыкновенных
и десятичных дробей и отрицательных чисел. Тра-
Традиционным мерилом усвоения арифметики была
способность учащегося быстро и точно выполнять
с ними сложные символические вычисления (на-
(например, деление столбцом)—то, что вычислитель-
вычислительные машины могут, очевидно, делать поточным спо-
способом гораздо лучше и дешевле нас. Недаром
профессиональные арифметики применяли механи-
механические сумматоры и множители с XVIII столетия!
В так называемой новой математике происхо-
происходит здоровое перемещение внимания с вычисли-
вычислительных упражнений на понятия и логику арифме-
арифметики. Думаю, однако, что новый упор был опять
односторонним: на первый план выдвинули опери-
оперирование лишенными смысла символами согласно
искусственным правилам и пренебрегли более глу-
глубокой (и более важной) идеей величины.
Как указывал Гельмгцльц [26, с. 85 и ел.], эта
идея коренится в физическом опыте и рабочих
приемах измерения (Messen). Аксиомы упорядо-
упорядоченной группы могут рассматриваться как эмпи-
эмпирические свойства величины. К 13 годам учащиеся
обычно имеют хорошие представления о приближе-
приближении и порядках величины, от крайне малой до
крайне большой. Важна также способность пере-
переводить словесные задачи и реальные жизненные
ситуации в символическую математическую форму
и, обратно, чувствовать значение таких арифмети-
арифметических утверждений, как «он зарабатывает 3 дол-
доллара в час» или «процентная ставка равна 6%»-
Эта способность, конечно, составляет существо при-
прикладной арифметики.
Подозреваю, что дети резко различаются по
своему арифметическому мышлению, и не только
быстротой, но и тем, какое относительное значение
61

они придают трем сторонам арифметики: умению
оперировать с числами, логическому рассуждению
и практической полезности. Итак, мне кажется, что
между математиками уже в детстве существуют
значительные различия.
16. Алгебра и геометрия. В юношестве, во вре-
время ознакомления с алгеброй и геометрией, диффе-
дифференциация между людьми по их математическому
мышлению, несомненно, резко возрастает. Так, по-
потенциальные чистые математики склонны думать
об алгебре как о некоторой игре, подчиненной
определенным правдоподобным правилам, где цель
состоит в том, чтобы перенести х на одну сторону
уравнения, оставив на другой только символы из-
известных величин. Для потенциальных прикладных
математиков алгебра представляет собой громозд-
громоздкий инструмент, позволяющий находить ответы на
интересные вопросы неочевидными методами.
Указанное различие интересов поднимает много
трудных педагогических вопросов, в отношении ко-
которых я не имею твердых убеждений. Но мне хо-
хотелось бы сопоставить весьма расходящиеся между
собой взгляды Эйлера, Гельмгольца и Пеано на
основания алгебры; эти взгляды иллюстрируют су-
существование разных типов математиков.
Для Эйлера * после усвоения арифметики уви-
увидеть истину алгебраических манипуляций так лег-
легко, что достаточно указать необходимые приемы;
алгебра была для него прямым разысканием пра-
правильных ответов. Гельмгольц [26, с. 70—97] **,
* L. Euler. Elements of Algebra. London, 1797, особенно
с. 56—69, где он обсуждает иррациональные и мнимые числа,
и с. 291—296, где он обсуждает общую идею решения урав-
уравнений.
** См. также Г. фон-Гельмгольц. Счет и измерение. Ка-
Казань, типография Имп. ун., 1893. — Прим. пер.
62

с другой стороны, отводил основное положение
постулатам для действительных чисел (Grofien), но
рассматривал их истинность как нечто непосредст-
непосредственно открываемое физическим опытом. Наконец,
для Пеано важно было вывести законы алгебры
из минимального числа формальных допущений
с помощью чистой логики (словесных или симво-
символических манипуляций).
16.1. Геометрическое познание. Геометрия —
старейшая (и простейшая) отрасль математи-
математической физики. Прежде чем приступить к ее систе-
систематическому изучению, дети должны координиро-
координировать, вербализировать и рационализировать огром-
огромное богатство зрительного и осязательного опыта,
относящегося к пространству и пространству-вре-
пространству-времени (!) в обыденной жизни. Например, они дол-
должны научиться распознавать прямую линию, чего
они в первые годы жизни, вероятно, не умеют * де-
делать.
Подозреваю, что nd этой причине реакции
учащихся на формальную школьную геометрию
особенно разнообразны: они рационализировали
свой опыт разными способами. Действительно, да-
даже для зрелых математиков существуют весьма
различные пути рационализации геометрических
фактов, которые все являются правильными.
Наиболее известны из них графический подход
Эвклида и координатный подход Декарта. Проме-
Промежуточный подход, предложенный моим отцом, про-
проще их обоих, после усвоения арифметики, и широко
используется в современной американской средней
школе. Этот промежуточный подход основан на
* См., J. R. Platt. Scientific American, 202 A960), No 6,
p. 121—129 и F. Roberts and P. Suppes. Synthese, 17 A967),
p. 173—201.
63

простых аксиомах о расстояниях и углах, измеряе-
измеряемых линейкой и транспортиром *.
16.2. Психологические вопросы. Было бы инте-
интересно сравнить названные подходы с психологиче-
психологической точки зрения. Единственное известное мне
психологическое исследование оснований геометрии
принадлежит Гельмгольцу [26] **.
Гельмгольц показал, что значительная часть
геометрии выводится из следующих двух легко про*
веряемых физических фактов: 1) пространство 2
трехмерно и 2) всякое твердое тело S может сво-
свободно перемещаться в пространстве, с сохранением
неизменных расстояний между парами точек (же-
(жесткое движение). Иными словами, можно переме-
переместить любую точку р тела 5 в любое положение,
затем вращать 5 непрерывно вокруг этого положе-
положения, перемещая любую точку q в любое положение
q' на том же расстоянии от р, что и q, и_затем, на-
наконец, вращать 5 свободно вокруг оси pq'.
Гельмгольц привел эти законы как аксиомы,
в духе Эвклида. Разумеется, такая психофизиче-
психофизическая интерпретация аксиоматических оснований
геометрии весьма далека от взгляда на геометри-
геометрические аксиомы как на простые правила игры в до-
доказательство теорем. К сожалению, требуется очень
изощренная аргументация***, чтобы показать, что
аксиомы Гельмгольца (дополненные аксиомой по-
подобия) действительно содержат в себе все о гео-
* См. G. D. Birkhoff and R. Beatley. Basic Geometry. Chi-
Chicago, Scott, Foresman, 1941; E. E. Moise and F. L. Downs.
Geometry. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1941.
** См. также Гельмгольц. О происхождении и значении
геометрических аксиом. Сб., издание журнала «Научное обо-
обозрение», 1895.
*** См. G. Birkhoff. Trans. Amer. Math. Soc, 55 A944),
p 465-492 и Math. Z., 53 A950), p. 226—235.
64

метрии. Поэтому его аксиомы не составляют тако-
такого хорошего исходного пункта для изучения гео-
геометрии, как аксиомы Эвклида.
Мне кажется, что сложность геометрии типична
для высшей континуальной математики и что усвое-
усвоение и проверка ее истин включают трудную задачу
координации нескольких весьма различных челове-
человеческих способностей. Психологически она отнюдь
не представляет собой (логической) игры по пред-
предписанным правилам.
17. Обучающие машины? Неумирающий миф
о роботах имеет много вариантов; последний из них
рисует нам обучающую машину с вычислительным
устройством вместо мозга. Этот миф пропаганди-
пропагандируется следующим широко разрекламированным за-
заявлением [18, с. 157]: «Через несколько лет мил-
миллионы школьников будут пользоваться ... личным
попечением наставника, столь же знающего и чут-
чуткого, как Аристотель». Хотя в сфере вычисли-
вычислительной техники опасно заниматься пророчеством,
я думаю, что мы можем смело убавить красок
в этой радужной картине.
В действительности речь идет не об обучающей
машине как таковой, а лишь о (программирован-
(программированном) полумашинном обучении, об обучении с уча-
участием машины (computer aided instruction). Далее,
для того чтобы «персонализировать» такое обуче-
обучение, необходимо дополнить хитроумно запрограм-
запрограммированную машину дистанционными внешними
устройствами и графическими пультами, которые
сейчас стоят очень дорого. Иными словами, нужна
система разделения времени, в которой [18, с. vi]
«центральный процессор отвечает последовательно
на запросы пользователей, но так быстро, что каж-
каждому из них машина кажется находящейся в его
полном распоряжении». Утверждение [18, с. vi],
65

что такое «разделение времени» стало теперь дей-
действительностью, просто неверно; мы не имеем пока
ни малейшего представления о том, во что обо-
обошлось бы «публичная информационная система,
взаимодействующая с пультами дома, в школе и
в конторе».
Если пренебречь стоимостью оборудования (ко-
(которая может значительно снизиться), то кажется
очевидным, что упражнения по арифметике в на-
начальной школе и по геометрии в средней допуска-
допускают эффективную механизацию. Более того, для
коррективной работы с детьми, имеющими психо-
психологические трудности, безличность индивидуализи-
индивидуализированного общения человека и машины может пред-
представлять существенную положительную ценность.
Наконец, ценным побочным продуктом механизи-
механизированных уроков является объективная статисти-
статистическая информация об отдельных учащихся. Было
бы гораздо быстрее, надежнее и удобнее собирать
и обрабатывать такую информацию через вычис-
вычислительные машины, чем через учителей *. Разумно
обработанная, эта информация могла бы помочь
воспитателям в выделении типов учащихся и в по-
повышении эффективности программированного обу-
обучения. Это было бы, вероятно, особенно легко в ма-
математике— сравнительно устоявшемся предмете.
Конечно, программированное обучение не тре-
требует многопрограммной работы машины в «режиме
беседы». Как указал Скиннер [51, с. 17], самой
большой проблемой при обучении арифметике яв-
является выбор и «программирование» серии вопро-
вопросов, которая позволит учащимся выработать эф-
эффективные математические реакции при встрече
* См. P. Suppes. Sat. Rev., Jan., 14, 1967, p. 47—50.
Вспомним, что человеческие факторы зависят от окружения
и могут изменяться от одного десятилетия к другому.

с любой из 25—40 тысяч возможных арифметиче-
арифметических задач разных уровней сложности. Эти вопросы
можно изложить в специальных книгах или на кон-
контрольных карточках; их не надо хранить в машин-
машинной памяти или проецировать на экран. Ответы
можно также заранее записать; их не надо вводить
в машину через входное устройство.
Если оставить в стороне вопросы стоимости, то
важнейшими ограничениями обучающих машин бу-
будут поэтому ограничения самого программирован-
программированного обучения, механизировано оно или нет. Те-
Теперь я опишу некоторые из них.
Прежде всего, на коррективном уровне машина
(подобно книге или магнитофонной записи лекции)
может повторно предлагать ученику стандартное
объяснение и находить индивидуальные ошибки,
но она не способна дать диагноз его умственных и
эмоциональных проблем. Ошибки часто вызывают-
вызываются мечтами и наблюдением за ужимками соседних
учеников.
Далее, как программированное обучение может
создать мотивацию? Даже дети должны инстинк-
инстинктивно понимать, что все, чему может научить маши-
машина, она может и лучше сделать. Тогда зачем тра-
тратить на это силы? Вычислительные машины никогда
не смогут подготовить людей к занятию важных
мест в автоматизированном обществе.
Наконец, что важнее всего, как можно програм-
программировать усвоение понятий, т. е. значений слов?
Я попытался убедить вас, что центральное понятие
арифметики есть величина. Это понятие относится
как к описаниям «10 миль», «50 тонн», «один акр»,
«один час», «два миллиона долларов», так и к раз-
разнице между годичными процентными ставками в 3
и 10% 1 Как может научить машина смыслу вели-
величины?
67

Я также привлек ваше внимание ко многим
различным возможным логическим подходам к гео-
геометрии и упомянул о скромном успехе лучшей су*
ществующей машинной программы для решения
оригинальных задач в эвклидовой планиметрии.
Было бы наверное намного труднее программиро-
программировать обучение, которое эффективно и систематиче-
систематически сообщало бы учащимся, как решать широкий
класс таких задач.
Вопрос разнообразия, к которому я еще вернусь,
имеет много аспектов. Надо ли унифицировать пре-
преподавание математики и науки посредством одной
«оптимальной» программы, применяемой в нацио-
национальном или во всемирном масштабе? Сомневаюсь;
думаю, что разнообразие оправдано и благоприят-
благоприятствует математическому творчеству *. Если желать
разнообразия, то кажется весьма маловероятным,
что какая-то одна программа окажется наилучшей
для всех типов учащихся; следовательно, необходи-
необходимо разработать и рекомендовать целый набор про-
программ для машинного обучения.
По изложенным выше причинам я полагаю, что
полезность обучающих машин в математическом
образовании будет в предстоящие годы ограничи-
ограничиваться в значительной мере заданием, исправлени-
исправлением и оценкой индивидуальных механизированных
упражнений на элементарном уровне. Кроме того,
даже для этого пульты с разделением времени
должны экономически конкурировать со стандарт-
стандартными карточками и бланками, которые могут очень
дешево исправляться и анализироваться поточным
способом по существу одинаковыми машинными
* О нынешнем разнообразии идей, относящихся к «наи-
«наилучшему» способу обучения, см. Educational Studies in Mathe-
Mathematics. Vol. 1. Dordrecht, Holland, Reidel Publishing Co., 1968.
68

программами * или свободно исправляться учащи-
учащимися по таблицам ключей.
Признавая ясно эти ограничения, я думаю вме-
вместе с тем, что вычислительные машины могут сде-
сделать ценный и возрастающий вклад в математиче-
математическое образование.
18. Математическое открытие. Один из увлека-
увлекательных и спорных вопросов касается степени, в ка-
какой искусно программированные машины могут
участвовать в математическом творчестве. Мне ка-
кажется очевидным, что это превосходный пример
потребности в высокоразвитом «симбиозе человека
и машины, при котором каждый партнер делает то,
что он может делать лучше» [1, т. 8, с. 41]; см.
также § 7.
Не надо быть творческим математиком, чтобы
понять, о чем идет речь. Ибо, как заметил Адамар
[21, с. 104, рус. пер. с. 98], «между работой учени-
ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии,
и изобретательской работой разница лишь в уров-
уровне»! Подобным образом Пойя [41Ь] начинает свое
предисловие заявлением: «Крупное научное откры-
открытие дает решение крупной проблемы, но и в реше-
решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Очевидно, доказательство математических тео-
теорем зависит очень сильно (если не исключительно)
от дедуктивной логики, и математики обладают
острой и необычайно точной способностью отли-
отличать правильный дедуктивный шаг от неправиль-
неправильного. Эта способность тысячи раз пускается в ход
в цепочках силлогизмов, где одна логическая ошиб-
ошибка может быть роковой. Думаю, что эта способ-
способность состоит по существу в распознавании опре-
* В предположении, что рукописные знаки могут «читать-
«читаться» машиной. По-видимому, это будет сделано.
69

деленных допустимых схем предложений; ее можно
было бы назвать чувством дедуктивной логики. Ко-
Конечно, это не одно из наших четырех или пяти
внешних чувств; это одно из наших внутренних
чувств, подобно чувству душевного равновесия или
возбуждения, которое, вероятно, также связано
с церебральными процессами. Подобно им и наше-
нашему музыкальному чувству тона (высоты и тембра),
оно может быть весьма обострено упражнением.
Так как цифровые вычислительные машины —
конечные автоматы с двоичными элементами, то,
по моему мнению, они могут нам помочь прежде
всего при доказательстве теорем дискретной мате-
математики. В частности, думаю, что симбиоз человека
и машины будет наиболее эффективным при дока-
доказательстве теорем по логике, арифметике (теории
чисел) и родственным областям алгебры * и ком-
комбинаторики. Однако даже в этих областях наше
восхищение логикой не должно приводить нас
к недооценке математики других чувств.
И правда, хотя можно думать о людях как
о гибридных вычислительных машинах, в действи-
действительности они представляют собой нечто гораздо
большее. По сравнению с людьми даже гибридные
(последовательностные) вычислительные машины
оказываются весьма ограниченными, если их рас-
рассматривать как личности. Они имеют рутинный ум:
они догматичны, лишены воображения и привяза-
привязаны к шаблону. Они не способны воспринимать даже
очевиднейшие количественные факты об окружаю-
окружающем континууме, если только они не снабжены спе-
специальным арифметическим устройством (и не кон-
* О некоторых недавних достижениях в алгебре см.
J. J. Cannon. Comm. ACM, 12 A969), p. 3—12 и J. R. Guard
et al. J. Assoc. Comput. Mach., 16 A969), p. 49—62.
70

сультируются с численным аналитиком). Это уст-
устройство позволяет им заменять человеческих «фе-
«феноменальных вычислителей», которые, однако, и са-
сами обычно не обладают математическим восприя-
восприятием.
Думается, математикам следовало бы попытать-
попытаться рассеять популярное представление, что они та-
такие же невосприимчивые автоматы! Им следовало
бы опровергнуть идею, что между ними и играющи-
играющими или доказывающими теоремы машинами разли-
различие лишь в степени; различие это качественное. Им
следовало бы восстать против обвинения, что их
единственное важное умственное качество есть ис-
искусство оперирования символами и числами соглас-
согласно данным правилам! Разве менее важна их спо-
способность оперировать понятиями, в смысле теории
гештальтов?
Так, даже элементарная теория чисел была без-
безмерно обогащена понятиями (диофантова) при-
приближения и кристаллической решетки (геометрия
чисел) *, а наши знания о распределении простых
чисел основаны прежде всего на понятиях асимп-
асимптотической оценки и комплексного анализа (на-
(наглядное представление нулей функции £(tf) на ком-
комплексной плоскости). Было бы, по-видимому, весь-
весьма нелегко запрограммировать вычислительную
машину для такой же хорошей координации этих
понятий, как у тонкого математика.
Ограниченная роль, которую играет двоичная
логика в процессе математического открытия, рез-
резко подчеркивается в единственных известных мне
психологических исследованиях творчества в ма-
математике: Адамара [21] и Пойя [41Ь, 42]. Так,
* Уместно напомнить, что «пространственные группы» кри-
кристаллических решеток были все определены методами, осно-
основанными на наглядных представлениях, задолго до строгого
определения «групп» через постулаты!
71

Пойя отмечает [41b, с. 120, рус. пер. с. 182]: «Ста-
«Стараясь решить задачу, мы поочередно рассматрива-
рассматриваем различные ее аспекты, так как в нашей работе
очень существенно видоизменение задачи». Подоб-
Подобным образом Адамар [21, гл. VII] детально опи-
описывает ряд весьма различных психологических под-
подходов к математическому творчеству. Логико-
игровой подход он связывает с поверхностностью:
«Совершенно естественно говорить об уме более
интуитивном, когда зона комбинирования идей на-
находится глубоко, и об уме логическом, если эта
зона расположена достаточно поверхностно». На
следующей странице он указывает на важность
математических восприятий раннего детства для
зрелого творчества [21, с. 114—115, рус. пер. с.
107—108]: «Очевиднейшим фактом наблюдения
является то, что в нашем раннем детстве происхо-
происходят чрезвычайно совершенная организация и син-
синтез обычных ощущений, протекающие в самых глу-
глубоких слоях нашего бессознательного и, значит,
с очень большой скоростью» * — и говорит о том,
«как сильно различаются ученые по способу ис-
использования умственных образов или других кон-
конкретных представлений».
Поверхностность идеи, что математическое от-
открытие есть игра, вполне доступная для вычисли-
вычислительных машин, высмеивалась многими другими
выдающимися математиками. Так, по мнению
Э. В. Бета [59, с. 210], одна из немногих вещей,
с которыми вычислительные машины могут хорошо
справиться, — это более или менее тривиальные
обобщения теорем (т.е. проверка гипотез). Л. Куф-
финьяль замечает довольно едко, что «Бурбаки
* Эта фраза, вставленная Адамаром в английское изда-
издание 1954 г., отсутствует в русском переводе, который был сде-
сделан с французского издания. — Прим. пер.
72

создан для игры в Бурбаки» [59, с. 125]. Как ука-
указывал Вейль [23, с. 483], теоремы математики суть
содержательные истины; их словесное выражение
относится к математической истине примерно так
же, как набальзамированное человеческое тело
в похоронном заведении — к живому человеку.
19. Конструирование посредством машины.
С психологической точки зрения, математика имеет
много общего с музыкой и изобразительными ис-
искусствами. В обоих случаях важная роль принадле-
принадлежит тонкому эстетическому чувству. Как заметил
фон-Нейман [41, с. 4, рус. пер. с. 23]: «...Рождение
математических идей из опыта, хотя генеалогия это-
этого подчас длинна и запутанна, достаточно хорошо
приближает истину... Но как только эти идеи сфор-
сформулировались, математика начинает жить своей
собственной жизнью, и ее лучше уподоблять какой-
нибудь творческой дисциплине, движимой почти ис-
исключительно эстетическими мотивами...» О том же
писал и Г. Г. Харди: «Математик, подобно живо-
живописцу или поэту, — создатель форм... Первое испы-
испытание — красота». *
Поэтому возможность механизации доказатель-
доказательства теорем представляет лишь один аспект более
широкой проблемы механизации художественного
конструирования. Я хочу высказать несколько крат-
кратких замечаний по поводу этой восхитительной (для
некоторых специалистов по машинам), хотя и ужа-
ужасающей (для большинства людей искусства) перс-
перспективы, прежде чем вернуться к математике. Мне
особенно хочется сделать это потому, что мой отец,
Джордж Д. Биркгофф, свыше сорока лет тому на-
* G. Н. Hardy. A Mathematician's Apology. Cambridge,
University Press, 1940,
73

зад глубоко размышлял о возможности автомати-
автоматического конструирования.
Излагая свои идеи математикам в прекрасном
Палаццо Веккио во Флоренции, мой отец начал
с того, что напомнил определение эстетического ка-
качества, предложенное в XVIII в. Гемстергейсом *.
По этому определению, оно состоит в «сообщении
возможно большего числа представлений в возмож-
возможно меньшее время». Как это близко к духу нынеш-
нынешнего нашего симпозиума по оптимизации**!
В книге «Эстетическая мера» [II] мой отец раз-
разработал количественный подход к эстетическому
качеству М на основе формулы М=О/С, в которой
числитель О толковался как мера «порядка», а зна-
знаменатель С — как мера «сложности», или усилий
понимания. Этот анализ был сделан во многом
в том же духе интроспективной психологии, в ка-
каком Буль исследовал законы логики.
Мой отец даже конструировал по формуле проб-
пробные вазы, мелодии и поэмы (хотя и без помощи
вычислительной машины) .Однако он предупреждал
[11, с. 13], что «полное количестенное применение
основной формулы осуществимо только тогда, когда
элементы порядка преимущественно формальны».
Хотя он руководствовался при конструировании
формулами, он видел в этом не более чем трюк,
tour de force, и ни на минуту не допускал, что ис-
искусство может выиграть от таких опытов.
* Atti Congresso Internat. dei Matematici. Vol. 1. Bologna,
1928, p. 315—333. См. также сокращенное изложение в «Мире
математики» Джемса Р. Ньюмена (James R. Newman The
World of Mathematics. Vol. 4, New York, Simon and Schuster,
1956).
** Cm. SIAM J. Control A969), где публиковались статьи,
представленные на то же собрание ОППМ, что и настоящий
доклад.
74

Во всякой эстетической деятельности, будь то
художественное конструирование или творческая
чистая математика, труднее всего выбирать между
бесчисленными альтернативами. Так, в творческой
математике, согласно Пуанкаре и Адамару [21,
с. 30, рус. пер. с. 32], «бессознательное порождает
и сравнивает многочисленные сочетания, из кото-
которых сознание исследует лишь небольшое меньшин-
меньшинство». Затем Адамар подчеркивает аналогию с ху-
художественным творчеством и приводит следующие
слова Поля Валери: «Для того чтобы изобретать,
надо быть в двух лицах. Один образует комбина-
комбинации, другой выбирает... То, что называют гением,
является не столько заслугой того, кто комбиниру-
комбинирует, сколько характеризует способность второго оце-
оценивать только что произведенную продукцию и ис-
использовать ее». Правила, управляющие этим выбо-
выбором (в искусстве или математике), «предельно де-
деликатны и тонки, их почти невозможно выразить
точными словами; они легче чувствуются, чем фор-
формулируются; можно ли при таких условиях пред-
представить себе аппарат, который их применяет авто-
автоматически?» (Пуанкаре).
Думаю поэтому, что «теоретики» вычислитель-
вычислительных машин, которые дерзко предлагают автомати-
автоматизировать изобретение, должны тщательно взвеши-
взвешивать свои слова. Как показал мой отец, самая
трудная задача при механизации конструирования
состоит в открытии формулы эстетической ценно-
ценности, которая позволила бы надежно отбирать луч-
лучшее среди механически порожденных конструкций!
Для художественного конструирования главнейшее
требование — хороший вкус, а он, по общему мне-
мнению, не поддается определению. Необходимо также
предупредить порождение нехудожественных конст-
конструкций, чтобы не тратить времени на оценку не-
75

годного. До тех пор, пока хороший вкус и нехудо-
нехудожественное не будут определены в математических
терминах, вычислительные машины могут програм-
программироваться для моделирования чертежников и пиа-
пианистов, но не художников или композиторов.
Итак, я очень сомневаюсь, что «цифровая вы-
вычислительная машина будет писать музыку, кото-
которая будет признаваться критиками имеющей зна-
значительную эстетическую ценность», даже если оста-
оставить в стороне предсказанный 1967 год*. Самое
лучшее, некоторые специалисты по вычислительным
машинам и некоторые критики могут найти эти ма-
машины полезными для анализа, модификации и ре-
рекомбинации отрывков их произведений **. И прав-
правда, вычислительные машины уже доказали свою
полезность конструкторам в изобразительных ис-
искусствах при таком символическом взаимодействии.
Точно так же не вызывает сомнения возмож-
возможность написать программу, которая доказывала бы
любое число истинных теорем — выражающих, на-
например, булевы тождества. Но как научить машину
отбирать важные теоремы? Или вести порождение
в такой последовательности, чтобы леммы были
налицо, когда в них нужда? Или избегать бесконеч-
бесконечного повторения мелких вариаций на ту же тему?
До сего времени не было предложено никакого
метода выполнения этих задач, ни на каком
уровне.
* Н. A. Simon and A. Newell. Operations Res., 6 A958),
p. 1—10; см. также L. A. Hiller and L. M. Isaacson. Experi-
Experimental Music: Composition with an Electronic Computer, New
York, McGraw-Hill, 1959.
** Cm. J. E. Youngblood. J. Music Theory, 2 A958),
p. 24—35; A. Forte. Ib., 8 A964), p. 136—183 и 10 A966),
p. 330—364; также J. E. Cohen. Behavioral Sci., 7 A962),
p. 137—163. Я обязан за эти ссылки С. В. Смолиару.

Наконец, почти во всех опубликованных мате-
математических доказательствах опускается изрядная
часть второстепенных подробностей; этот факт и
его значение обсуждались в § 21. Как запрограм-
запрограммировать машину, чтобы при печатании ответа она
опускала «тривиальные» детали (сокращая общий
объем)? Не может ли случиться, что при оптималь-
оптимальном симбиозе человека и машины в доказательстве
теорем (см. § 18) на долю машины придется в пер-
первую очередь именно проверка таких деталей?
Все вышеизложенное укрепляет меня в мысли,
что будет весьма нелегко механизировать художе-
художественные творения математики — не говоря уже
об изящных искусствах *.
20. Зрительное воображение. Математики широ-
широко различаются между собой по степени, в какой
они обращаются к зрительному воображению при
открытии и доказательстве теорем **. Однако тот
факт, что оно играет важную роль, кажется мие
очевидным в силу нашего постоянного употребле-
употребления слова «показать» (demonstrate, show) вместо
«доказать» (prove). Даже в абстрактной дискрет-
дискретной математике зрение помогает действиям с сим-
символами. Возьмем, например, нынешнюю популяр-
популярность «погони за диаграммами» в алгебре (особен-
(особенно в теории гомологии и категорий) ***.
Как могли Декарт и Гильберт думать иначе?
Возможно, на Декарта повлиял его блестящий успех
* О взглядах советских ученых на механизацию мышле-
мышления и творческих процессов см коллективную монографию:
Управление, информация, интеллект. Под ред. А. И. Берга
и др. М., «Мысль», 1975 — Прим. пер.
** Было бы интересно провести психологическое исследо-
исследование метода работы слепых математиков, как Эйлер и Пон-
трягин.
•** См. S. MacLane and G. Birkhoff. Algebra. New York,
Macmillan, 1967.
77

в замене чертежей в эвклидовой геометрии алгеб-
алгеброй многочленов. Гильберт также находился под
чарами декартовой геометрии; в своих работах по
логике он не раз ссылается на то, что непротиворе-
непротиворечивость аксиом Эвклида можно доказать аналити-
аналитически, определяя абстрактно точки как пары или
тройки чисел (я, у), (х, у, г). (Как это далеко от
идей Гельмгольца об «основаниях» геометрии!) На
Гильберта мог повлиять еще и его собственный
успех в применении аксиомы выбора для неконст-
неконструктивного доказательства алгебраических теорем.
Во всяком случае, мнения Гильберта и Декарта
односторонни. Это было ясно Адамару, заметивше-
заметившему [21, с. 87, пер. с. 83—84]:
Но Декарт не доверяет этому вмешательству воображения
и желает полностью исключить его из науки ... Недавно зна-
знаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой осно-
основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии,
которые ... были освобождены от всякого обращения к интуи-
интуиции. Логически всякое вмешательство геометрического смысла
исключено. Так ли обстоит дело с психологической точки зре-
зрения? Конечно, нет ... Фигуры появляются на каждой стра-
странице (книги Гильберта).
В предисловии к другой книге * Гильберт сам
подчеркивает, что «наглядное понимание играет
первенствующую роль в геометрии». То же спра-
справедливо и для классического аксиоматического из-
изложения проективной геометрии, несмотря на вве-
введение произвольных полей координат**.
Многие современные алгебраические и диффе-
* D. Hilbert und S. Cohn-Vossen. Anschauliche Geometrie.
Berlin, Sprigen-Verlag, 1932 (на основе лекций Гильберта
в 1920—1921 гг.; рус. пер.: Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен. На-
Наглядная геометрия. Изд. 2-е, М. — Л., Гостехиздат, 1951).
** См. О. Veblen and J. W. Young. Projective Geometry.
Vols. 1 and 2. Boston, Ginn, 190, 1918.
78

ренциальные геометры, с другой стороны, целиком
примкнули к Гильберту. Они считают, что геомет-
геометрия переросла реальное, трехмерное пространство
/?3, в котором нам доводится жить, или даже наш
пространственно-временной континуум №. Вместо
того они хотят изучать общие свойства, справедли-
справедливые для всех множеств (яг-мерных многообразий)
комплексных векторов решений х=(х\, ..., хп)
произвольной системы п—т независимых полино-
полиномиальных уравнений. Ясным признаком их равно-
равнодушия к геометрии в каком-либо физическом смыс-
смысле является отсутствие в их книгах рисунков реаль-
реальных кривых или поверхностей.
Было бы бесплодно спорить о достоинствах этих
разных подходов к геометрии; я упоминаю их преж-
прежде всего для иллюстрации различий между матема-
математиками. Кажется интереснее вернуться к основному
вопросу: в какой мере можно основать анализ на
одной только логике?
20.1. Классический анализ. Вскоре после того
как Декарт открыл применение координатной гео-
геометрии («geometrie analytique») для представления
кривых и поверхностей алгебраическими формула-
формулами, был изобретен математический анализ («ana-
(«analyse infinitesimale», сокращенный позже в «analy-
«analyse») для определения их наклонов, площадей, ка-
касательных, углов пересечения и других видимых
свойств. На протяжении последующих 150 лет ана-
анализ продолжал существенно опираться в своем раз-
развитии на зрительную и физическую интуицию.
Действительно, на Эйлер, ни Коши никогда не
характеризовали системы действительных чисел
формально (как единственное полное упорядочен-
упорядоченное поле); не знали они и того, что она несчетна.
Эйлер наверное представлял себе действительное
число наглядно, то как бесконечную десятичную
79

дробь, то как точку на начерченной прямой с нане-
нанесенной на нее шкалой.
Не давал он и общего определения слова «функ-
«функция». Он просто наглядно представлял себе раз-
различные задания функций: формулами, графиками,
таблицами приближенных численных значений, и
последовательностью коэффициентов степенного ря-
ряда, и особыми геометрическими или физическими
условиями, которым можно дать лишь бледные па-
рафазы в символической логике. Для него (как и
для меня!) существует замечательный факт, что эти
различные представления могут заменять друг дру-
друга в столь многих приложениях,—факт, допускаю-
допускающий бесчисленные проверки.
Далее, связывая интуитивно континуальные
свойства функций с последовательностями коэффи-
коэффициентов (обыкновенно рациональных чисел, в ин-
интересных случаях) их степенных рядов, Эйлер при-
пришел [42] к использованию производящих функций
для решения задач по комбинаторному анализу и
теории чисел. Эта плодотворная идея, возможно, и
не возникла бы у него в век, когда различие между
аналитическими и бесконечно дифференцируемыми
функциями было неясно, если бы он настаивал на
подробном формальном доказательстве каждого
утверждения.
21. Логическая строгость в анализе. Потреб-
Потребность в большей логической строгости в анализе
впервые обнаружилась после 1755 г., когда Даниил
Бернулли, отправляясь от математической теории
колебания струны, высказал догадку, что «любая»
(разумная) периодическая функция может быть
разложена в то, что сегодня называют ее рядом
Фурье. Эта догадка была оспорена д'Аламбером,
Эйлером и Лагранжем, но время показало, что их
возражения были неосновательны.
80

Эта неосновательность стала очевидной около
1815 г., когда Фурье дал поразительные примеры,
показывающие, что сходящиеся ряды гладких (да-
(даже аналитических!) функций могут иметь неглад-
негладкие пределы. Используя Эйлерово понятие ортого-
ортогональности, Фурье также дал и правдоподобные ин-
интуитивные аргументы в пользу того, что «всякая»
+00
функция f(x) с конечным f |/(jt)|dje может быть
представлена как интеграл (Фурье)
+00 +00
A(k)coskxdk + j B(k)sinkxdk.
и
I
Этот результат (интегральная теорема Фурье) спо-
способствовал возникновению теории слуховых ощу-
ощущений Гельмгольца, о которой мы говорили выше
в §12.
Спор о разложимости в ряды Фурье вынудил
математиков дать ясные определения понятий функ-
функций, непрерывности и сходимости. Однако, как ча-
часто бывает в математической физике (см. § 22),
строгость пришла в последнюю очередь. Только
в 1829 г. Дирихле дал достаточно строгое дедуктив-
дедуктивное доказательство догадки Бернулли, основанное
на ясных определениях «непрерывной функции» и
«сходимости». Это привело, наконец, около 1850 г.
к общей теории «интегрируемости» Римана.
Поиски большей теоретической строгости и общ-
общности в основаниях анализа продолжались вплоть
до I мировой войны. Они привели к современной
характеристике действительного континуума как
единственного полного упорядоченного поля и, на-
наконец, к теории интегрирования Лебега. В этой
теории, значительно более общей, нежели теория
81

Римана, существенную роль играет классическая
теорема Кантора о том, что действительный конти-
континуум несчетен: множество R всех действительных
чисел невозможно расположить в последователь-
последовательность. Иными словами, мощность с действительно-
действительного континуума бесконечно превосходит мощность
бесконечной последовательности, равную к0.
21.1. Канторов рай*. Блестящий результат Кан-
Кантора был лишь одним из применений его фунда-
фундаментальной общей теории бесконечных множеств,
которая, казалось, была чисто дедуктивной и осво-
освобождала дискуссии о действительном континууме
от нужды в зрительной интуиции и от мистицизма.
Как другое применение своей общей теории, Кан-
Кантор также нашел, что с=п*° для любого целого
я>1, и показал, что с=сп для любого положитель-
положительного целого числа: пространства любых размерно-
размерностей можно поставить во взаимно однозначное со-
соответствие.
Следует, однако, сказать, что идеи и методы
Кантора завоевали признание не сразу. Кронекер
был настолько подозрительным к Канторовым ме-
методам, что задержал их публикацию, и Кантор сам
был в них не совсем уверен **.
21.2. Парадокс Ришара. Действительно, теория
множеств Кантора привела к ряду парадоксов и
глубоких вопросов, нерешенных и по сей день. Рас-
Рассмотрим, например, задачу определения всех дейст-
действительных чисел. Очевидно, что если дан любой
* Автор намекает на слова Гильберта: «Никто не может
изгнать нас из рая, который создал нам Кантор» (см. Д. Гиль-
Гильберт. Основания геометрии. М. — Л., ОГИЗ — Гостехиздат,
1948. Добавление VIII, с. 350). — Прим. пер.
** Н. Meschkowski. Ways of Thought of Great Mathemati-
Mathematicians. San Francisco, Holden-Day, 1964, p. 92—93,
82

конечный «алфавит» знаков, содержащий буквы,
цифры, знаки препинания и пробелы, то можно пе-
перечислить в бесконечной последовательности все
мыслимые словесные определения: существует толь-
только конечное множество определений длины п. С дру-
другой стороны, как мы уже говорили, Кантор пока-
показал, что действительные числа нельзя расположить
в последовательность. Следовательно, лишь неболь-
небольшая часть действительных чисел допускает опреде-
определение словами: язык, пригодный для печатания на
пишущей машинке, недостаточен для того, чтобы
охарактеризовать каждое число (каждую точку
континуума) индивидуально. Этот весьма неприят-
неприятный факт именуется парадоксом Ришара.
Логики посвятили немало усилий описанию
(счетного) множества WaR всех действительных
чисел, (рекурсивно) определимых через конечные
выражения. Так как существует биекция Ъ : R—*2Р
действительных чисел х на подмножества SaP
множества Р всех положительных целых чисел *,
то существует и соответствующее множество b(W)
определимых множеств положительных целых чи-
чисел. Аналогичным способом задаются «определи-
«определимые» подмножества любого счетного множества
(например, Z или Q). Можно определить также
множество всех определимых функций f : U—>V из
любого счетного множества в любое другое счет-
счетное множество, потому что существует биекция
р: R—+Pp.
На фоне этих определений легко формулирует-
формулируется вывод Тьюринга (называемый часто тезисом
Черча): каждое определимое действительное число
вычислимо на машине Тьюринга и обратно. Опре-
* Биекция — взаимно однозначное отображение (термин
Бурбаки). — Прим. пер.
83

делимость и вычислимость тем самым эквива-
эквивалентны.
21.3. Континуум-гипотеза. Наконец, Кантор по-
попал в тупик. Хотя он полагал, что между к, ис
нет ни одного бесконечного кардинального числа,—
иначе говоря, что с есть второе наименьшее беско-
бесконечное кардинальное число (**i), — он никогда не
мог это доказать. Вейерштрасс и Гильберт, хотя и
очень глубокие и строгие аналитики, верили оба,
что доказали эту догадку *, так называемую кон-
континуум-гипотезу. Недавно Поль Коэн [15] доказал
чисто интуитивными математическими методами,
что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни
опровергнуть в рамках существующей формальной
логики.
Как могли Вейерштрасс и Гильберт так сильно
обмануться? Подобно этому, как мог великий логик
Фреге работать годами над основаниями логики
лишь для того, чтобы, наконец, узнать от Рассела
о противоречивости своих методов (см. [23, с. 127],
где описан парадокс Рассела)? По моему мнению,
эти примеры просто иллюстрируют опасность опо-
опоры исключительно на чистую дедуктивную логику.
Все это, конечно, не уменьшает важности стро-
строгого построения анализа. Безусловно, надо старать-
стараться проверять интуицию логикой; Адамар соглаша-
соглашается [21, с. 102, рус. пер. с. 96—97], что зритель-
зрительная интуиция и здравый смысл подвержены ошиб-
ошибкам. Я лишь подчеркиваю опасность делать анализ
исключительно логическим. В этом духе Вейль [23,
с. 483] заметил, что, быть может, «только жалкая
часть» классического анализа допускает строгое до-
доказательство с осмысленным содержанием (sinner-
* См. [23, с. 367]; также К. Godel. Amer. Math, Monthly,
51 A947), p. 515—524.
84

fullte Inhalt). Подобным образом Уайтхед и Рас-
Рассел [55, с. vi] признаются, что даже в их шедевре
«доказательства более ранних предложений дают-
даются без пропуска какого-либо шага, но по мере про-
продвижения работы доказательства постепенно сокра-
сокращаются». При этом для построения R им понадо-
понадобилось три толстых тома, написанных в весьма сжа-
сжатой символике.
Рассмотрение этих фактов убедило меня, что
одна лишь формальная логика недостаточна для
математического анализа и хотя некоторые его
формальные аспекты поддаются механизации ([1,
т. 8, с. 64—66] и [17, с. 191—203, рус. пер., с. 204—
219]), многие его существеннейшие понятия явля-
являются зрительными. Как писал фон-Нейман [41,
с. 27, рус. пер. с. 47]:
... Анализ обладает наиболее развитым математическим
аппаратом и является наиболее разработанной областью мате-
математики. Таким образом, формальная логика в силу самого су-
существа своего подхода отрезана от наиболее разработанных
частей математики ...
Как дальнейший косвенный довод в мою пользу,
я хочу обратить ваше внимание на существование
двух неклассических (еретических?) современных
версий анализа, по меньшей мере столь же логиче-
логических и непротиворечивых каждая, как классический
анализ Римана, Вейерштрасса и Пуанкаре. Это, со-
соответственно, конструктивный анализ и нестандарт-
нестандартный анализ. Первый ведет свое начало от логиче-
логического интуиционизма Л. Э. И. Броуэра (отважного
противника Гильбертова формализма); он крайне
сдержан, даже жеманен в том, что разрешает. Вто-
Второй следует либеральной традиции Лейбница и
Кантора и крайне снисходителен по отношению ко
внутреннее непротиворечивым моделями реально-
реальности. В полное нарушение Вейерштрассова пуризма,
85

он свободно говорит о «бесконечно малом» и «бес-
«бесконечно большом», без всяких е и 6.
Чтобы посмотреть, как может дробиться анализ,
руководимый только дедуктивной логикой, рекомен-
рекомендую вам две превосходные классические книги,
описывающие эти версии *.
22. Прикладная математика. Хотя вычислитель-
вычислительные машины сделали пока немного для художест-
художественного конструирования или чистой математики,
они уже свыше десяти лет служат необходимыми
орудиями прикладной математики. Дело, по-види-
по-видимому, в том, что критерии оптимизации промыш-
промышленного конструирования носят объективный ха-
характер: получить максимальное количество обык-
обыкновенно значит добиться и минимальной стоимости!
Это обстоятельство сделало вычислительные маши-
машины (искусно программируемые численными анали-
аналитиками) незаменимыми при оптимальном констру-
конструировании ядерных реакторов, размещении нефтяных
скважин и выводе спутников на орбиту.
Я не вижу в этом ничего удивительного. Что
меня удивляет, так это позиция некоторых специа-
специалистов по вычислительной технике, которые, имея
чрезмерно упрощенное понятие о человеческом моз-
мозге, пытаются умалить эти достижения. Такие чистые
«специалисты» подобны тем чистым математикам,
которые, будучи всего лишь прикладными логика-
логиками, настойчиво умаляют значение прикладной ма-
математики и с радостью уморили бы ее до смерти.
Лично я в области вычислительной техники считаю
* Е. Bishop. Constructive Analysis. New York, John Wiley,
1967; A. Robinson. Nonstandard Analysis. Amsterdam, North-
Holland, 1966. В предыдущей книге Робинсона о нестандарт-
нестандартной алгебре он защищает «возможно более свободный и не-
непредубежденный взгляд».
36

более неотложной задачей попытаться улучшить
условия человеческой жизни, чем пытаться модели-
моделировать человеческий мозг. Как бы увлекательны ни
были такие попытки моделирования с точки зрения
чистой психологии, с реалистической точки зрения
они еще очень слабы.
Даже математический мозг человека, как я ста-
старался убедить вас, далеко не сводится к логической
машине. В согласии с замечанием фон-Неймана,
о «рождении математических идей из опыта» я
сказал бы, что математика обретает глубину, .когда
люди пытаются применить дискретные методы сче-
счета и логики к геометрии. Это привело к открытию
Пифагором существования иррациональных чисел
и позже к фундаментальному понятию дедекиндо-
вых сечений.
Это также обогатило теорию чисел, придав бо-
более глубокое содержание понятию «диофантова
уравнения». Теория чисел была революционизиро-
революционизирована еще раз, когда Гаусс и его современники на-
нашли наглядное представление алгебраических чисел
на комплексной плоскости.
Теория функций Римана также была обязана
своим происхождением геометрической и даже фи-
физической интуиции *. Этот пример иллюстрирует
зависимость анализа не только от нашего зритель-
зрительного воображения, но и от нашей физической ин-
интуиции относительно явлений тепла, света, электри-
электричества и магнетизма. Как сказал Фурье: «Глубокое
изучение природы — вот самый обильный источник
математических открытий». В прошлом физическая
интуиция оказывалась гораздо надежнее, чем фор-
формальная математика, когда требовалось узнать, ка-
* Зоммерфельд в своем «Электричестве» вспоминает, vro
Вейерштрасс нашел идеи Римана непонятными, тогда как бо-
более интуитивный Гельмгольц схватил их сразу.
87

кяе задачи о дифференциальных уравнениях в ча-
частных производных хорошо поставлены *. Кроме
того, физическая интуиция была источником таких
фундаментальных математических понятий, как
устойчивость, векторное поле, функция Грина, орто-
ортогональное разложение, собственные функции, ха-
характеристика и зона зависимости.
Наконец, если физическая интуиция была ис-
источником многих глубочайших идей чистой мате-
математики, насколько важнее она для прикладной,
постоянно сталкивающейся с новыми проблемами
жизни, безмерной глубины и сложности. Как хо-
хочешь пробуй укротить их логикой — что-то всегда
ускользнет. В механике жидкостей, например, хо-
хорошо известно, что убедительные логические аргу-
аргументы часто бывали обманчивыми и вели к пара-
парадоксам **, решение которых подвергло бы сурово-
суровому испытанию искусство не одного софиста!
Может случиться, что со временем физическая
интуиция станет играть меньшую роль как в чистой,
так и в прикладной математике. Но это будет лишь
потому, что мы живем в век, когда приложения ма-
математики выходят за границы физики и техники и
начинают проникать в химию, биологию, экономику
и административные науки. Я предсказываю, что
исследование этих предметов, стимулируемое пока-
показаниями всех наших чувств, внешних и внутренних,
а не только нашим чувством логики, приведет к но-
новым и важным математическим понятиям.
* См. J. Hadamard. Lectures on Cauchy's Problem. New
Haven, Yale University Press, 1922.
** Cm. G. Birkhoff. Hydrodynamics: A Study in Logic, Fact,
and Similitude. 2nd. ed. Princeton, Princeton University Press,
1960 (рус. пер.: Г. Биркгоф. Гидродинамика. Методы, фактыЁ
подобие. М., ИЛ, 1963),
88

22.1. Симбиоз человека и машины. Рассмотрен-
Рассмотренные выше данные кажутся несовместимыми с иде-
идеей, что роботообразные «думающие машины» заАме-
нят со временем людей, даже в чистой математике.
Вместо этого мы можем предвидеть все более рас-
растущий симбиоз человека и машины, в котором каж-
каждый партнер выполняет задачи, наиболее для него
подходящие. Определить, какие это задачи, будет
нелегко. Быть может, здесь пригодится данный
Пойя совет [42], что математическое «изобретение
и обучение следовало бы изучить ... методами экс-
экспериментальной психологии». Только руководству-
руководствуясь глубоким и благожелательным пониманием
психологии человеческих математиков, так же как
и особенностей цифровых вычислительных машин,
мы достигнем эффективного взаимодействия чело-
человека и машины в решении проблем завтрашней чи-
чистой и прикладной математики.
Итак, я полагаю, что вычислительные машины
станут ценным орудием исследования и что они
окажут помощь в понимании психологических про-
процессов человеческого обучения, доказательства тео-
теорем, игры и перевода с одного языка на другой. Но
думаю также, что усилия заменить человеческое
мышление статически или динамически программи-
программируемыми вычислениями будут ограничены областя-
областями, где имеется ясная экономическая и социальная
отдача.
Это может свести роль чистых специалистов по
вычислительным машинам к роли техников, опти-
оптимизирующих взнос машин в общую работу. Чтобы
сделать симбиоз человека и машины подлинно эф-
эффективным, наше общество будет нуждаться в при-
прикладных математиках, которые как численные ана-
аналитики следили бы за приближениями, производи-
производимыми при моделировании континуумов, и, что еще
39

важнее, соотносили бы выход вычислительных ма-
машин с решаемыми на них научными и технически-
техническими задачами.
Думаю, что эта потребность открывает перед
ОППМ одну из величайших его возможностей —
поддержать и стимулировать профессиональное
развитие таких прикладных математиков, способ-
способных к глубокому общению с другими учеными и ин-
инженерами и знакомыми с мощью и ограничениями
цифровых машин. Люди, обладающие этими спо-
способностями, призваны стать вождями завтрашнего
математического мира, но их будет крайне трудно
найти и развить!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Advances in Computers. New York, Academic Press (жур-
(журнал)
2. J. McCarty and С. Е. Shannon, eds. Automata Studies.
Annals of Mathematical Studies, No 34. Princeton, Prince-
Princeton University Press, 1956 (рус. пер.: Автоматы. Под ред.
К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. М., ИЛ, 1956).
3. R. С. Anderson and D. P. Ausubel, eds. Readings in the
Psychology of Cognition. New York, Holt, Rinehart and
Winston, 1965.
4. W. Ross Ashby. Design for a Brain. New York, John Wi-
Wiley, 1952 (рус. пер. 2-го изд.: У. Росс Эшби. Конструкция
мозга. М., ИЛ, 1962).
5. W. Ross Ashby. An Introduction to Cybernetics. New York,
John Wiley, 1956 (рус. пер.: У. Росс Эшби. Введение в ки-
кибернетику. М., ИЛ, 1959).
6. Y. Bar-Hillel. Language and Information. Reading, Mass.,
Addison-Wesley, 1964.
7. G. von Bekesy. Experiment in Hearing. New York,
McGraw-Hill, 1960.
8. R. Bellman, ed. Mathematical Problems in the Biological
Sciences. Proc. XIV Symposium Applied Mathematics, Ame-
American Mathematical Society. Providence, 1962 (рус. пер.:
90

Математические проблемы в биологии. Под ред. Р. Белл-
мана. М., «Мир», 1966).
9. Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds. Philosophy of
Mathematics. Selected Readings. Englewood Cliffs, N. J.,
Prentice-Hall, 1964.
9a. E. W. Beth and J. Piaget. Mathematical Epistemology and
Psychology. New York, Gordon and Breach, 1964.
10. G. Birkhoff and Т. С Bartee. Modern Applied Algebra.
New York, McGraw-Hill, 1968 (рус. пер.: Г. Биркгоф,
Т. Барти. Современная прикладная алгебра. М., «Мир»,
1976).
11. G. D. Birkhoff. Aesthetic Measure. Cambridge, Mass., Har-
Harvard University Press, 1933.
!2. A. D. Booth et al. Mechanical Resolution of Linguistic
Problems. New York, Academic Press, 1958.
13. H. Borko, ed. Computer Applications in the Behavioral
Sciences. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1962.
13a. H. Borko, ed. Automated Language Processing. New York,
John Wiley, 1967.
14. Noam Chomsky. Aspects of the Theory of Syntax. Cam-
Cambridge, Mass., M. I. T. Press, 1965 (рус. пер.: Н. Хомский.
Аспекты теории синтаксиса. Изд-во Московского ун-та,
1972).
15. P. J. Cohen. Set Theory and Continuum Hypothesis. New
York, W. A. Benjamin, 1966 (рис. пер.: П. Дж. Козн. Тео-
Теория множеств и континуум-гипотеза. М., «Мир», 1969).
16. John F. Corso. The Experimental Psychology of Sensory
Behavior. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1967.
17. E. A. Feigenbaum and J. Feldman, eds. Computers and
Thought. New York, McGraw-Hill, 1963 (рус. пер.: Вычис-
Вычислительные машины и мышление. Под. ред. Э. Фейгенбау-
ма и Дж. Фельдмана. М., «Мир», 1967).
17а. Jerome Feldman and David Gries. Translator Writing Sys-
Systems.— Comm. Assoc. Comput. Mach., 11 A968), p. 77—
113.
18. D. Flanagan, ed. Information. A Scientific American Book.
San Francisco, W. H. Freeman, 1966.
18a. J. L. Flanagan. Speech Analysis, Synthesis and Perception.
Berlin, Springer-Verlag, 1965 (рус. пер.: Дж. Л. Фланаган.
Анализ, синтез и восприятие речи. М., «Связь», 1968).
19. G. Е. Forsythe. What Do until the Computer Scientist Co-
Comes? Tech. Rep. CS77, Stanford, Cal., 1967.
20. R. D. Greenblatt, D. E. Eastlake and S. D. Crocker. The
Greenblatt Chess Programm. — Fall Joint Computer Confe-
Conference, 1967, p. 801—810.
91

21. J. Hadamard. An Essay on the Psychology of Invention in
the Mathematical Field. Princeton., Princeton University
Press, 1954 (рус. пер. с франц. изд.: Ж. Адамар. Иссле-
Исследование психологии процесса изобретения в области ма-
математики. М., «Сов. радио», 1970).
22. D. G. Hays. Introduction to Computational Linguistics.
New York, American Elsevier, 1967.
23. J. van Heijenoort. From Frege to Godel. Cambridge, Mass.,
Harvard University Press, 1967.
24. H. von Helmholtz. On the Sensations of Tone. New York,
Dover, 1954 (рус. пер. с 3-го нем. изд.: Г. Гельмгольц.
Учение о слуховых ощущениях как физиологическая осно-
основа для теории музыки. Спб., 1875).
25. Н. von Helmholtz. Physiological Optics. 3 vols. J. C. P.
Southall, ed. American Optical Society, 1925.
26. H. von Helmholtz. Schriften zur Erkenntnistheorie. Berlin,
Springer-Verlag, 1921.
27. C. Jacker. Man, Memory and Machines. New York, Macmil-
lan, 1964.
28. Roman Jakobson, ed. The Structure of Language and Ma-
Mathematical Aspects. Proc. XII Symposium Applied Mathe-
Mathematics, American Mathematical Society. Providence, 1961.
29. Allen Kent and О. Е. Taulbee, eds. Electronic Information
Handling. Washington, D. C, Spartan, 1965.
30. S. С Kleene. Mathematical Logic. New York, John Wiley,
1967 (рус. пер.: С. К. Клини. Математическая логика. М.,
«Мир», 1973).
31. Т. К. Landauer, ed. Physiological Psychology. New York,
McGraw-Hill, 1967.
32. W. N. Locke and A. D. Booth, eds. Machine Translation of
Languages. Cambridge, Mass., M. I. T. Press, 1955 (рус.
пер.: Машинный перевод. Сб. статей. М., ИЛ, 1957).
33. R. D. Luce, R. R. Bush and E. Galanter, eds. Handbook of
Mathematical Psychology. 3 vols. New York, John Wiley,
1963 (рус. пер. статьи П. Суппеса и Дж. Зиннеса «Осно-
«Основы теории измерений» в кн.: Психологические измерения.
М., «Мир», 1967, с. 9—ПО).
34. R. D. Luce, R. R. Bush and E. Galanter, eds. Readings in
Mathematical Psychology. 2 vols. New York, John Wiley,
1963—1965.
35. S.Marcus. Algebraic Linguistics: Analytical Models. New
York, Academic Press, 1967.
36. W. S. McCulloch. Embodiments of Mind. Cambridge, Mass.,
M. I. T. Press, 1965
37. N. C. Metropolis, A. H. Taub, John Todd and С. В. Tomp-
92

kins, eds. Experimental Arithmetic, High-Speed Computing
and Mathematics. Proc. XV Symposium Applied Mathema-
Mathematics, American Mathematical Society. Providence, 1963.
38. G. A. Miller. Language and Communication. New York,
McGraw-Hill, 1951.
39. M. L. Minsky. Computation: Finite and Infinite Machines.
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Tall, 1967 (рус. пер.:
M. Минский. Вычисления и автоматы. М., «Мир», 1971).
40. J. von Neumann. The Computer and the Brain. New Haven,
Conn., Yale University Press, 1958 (рус. пер.; Дж. Нейман.
Вычислительная машина и мозг. — Кибернетический сб.,
вып. 1. М., ИЛ, 1960, с. 11—60).
41. J. von Neumann. Theory of Self-Reproducing Automata.
A. W. Burks, ed. Urbana, University of Illinois Press, 1966
(рус. пер.: Дж. фон Нейман. Теория самовоспроизводя-
самовоспроизводящихся автоматов. Закончено и отредактировано А. Бёрк-
сом. М., «Мир», 1971).
41а. W. Penfield and L. Roberts. Speech and Brain: Mechanisms.
Princeton, Princeton University Press, 1959.
41b. G. Polya. How to Solve It. Princeton, Princeton University
Press, 1945 (рус. пер.: Д. Пойа. Как решать задачу 2-е изд.
М., Учпедгиз, 1961).
42. G. Polya. Mathematics and Plausible Reasoning. 2 vols.
Princeton, Princeton University Press, 1954 (рус. пер.:
Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М.,
ИЛ, 1957).
42а. G. С. Quarton, Т. Melnechuck and F. О. Schmitt, eds. The
Neurosciences Program. New York, Rockefeller University
Press, 1967.
42b. F. Ratliff. Mach Bands. San Francisco, Holden-Day, 1965.
43. J. Barkley Rosser. Logic for Mathematicians. New York,
McGraw-Hill, 1952.
44. Bertrand Russell. Principles of Mathematics. 2nd ed. Rep-
Reprint. London, Allen & Unwin, 1950.
45. Т. С Ruch and H. D. Patton. Psychology and Biophysics.
19th ed. Philadelphia, W. B. Saunders, 1965.
46. H. Rutishauser. Description of ALGOL 60. Berlin, Springer-
Verlag; 1967,
47. K. M. Sayre and F. J. Crosson, eds. The Modeling of Mind
(Computers and Intelligence). Notre Dame, Ind., University
of Notre Dame Press, 1963.
48. J. T. Schwartz, ed. Mathematical Aspects of Computer
Sciences. Proc. XIX Symposium on Applied Mathematics.
American Mathematical Society. Providence, 1967.
93

49. С. Е. Shannon. The Synthesis of Two-Terminal Switching
Circuits. — Bell Syst. Techn. J., 28 A949), p. 59—98;
также Trans. Aimer. Inst. Elec. Engrs., 57 A938),
p. 713—723 (русские переводы этих статей см. в кн.:
К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике.
М., ИЛ, 1964).
50. С. Е. Shannon and Warren Weaver. Mathematical Theory
of Communication. Urbana, University of Illinois Press,
1949 (см. также К. Шеннон. Математическая теория свя-
связи. — В его кн.: Работы по теории информации и кибер-
кибернетике М., ИЛ, 1969).
50а. J. J. Sheppard, Jr. Human Color Perception. New York,
American Elsevier, 1968.
51. B. F. Skinner. The Technology of Teaching. New York, Me-
Meredith, 1968.
52. S. S. Stevens, ed. Handbook of Experimental Psychology.
New York, John Wiley, 1951 (рус. пер.: С. С. Стивене. Экс-
Экспериментальная психология. В 2 томах. М., ИЛ, 1960—
1963).
53. А. М. Turing. On Computable Numbers ... — Proc. London
Math. Soc, 42 A936—1937), p. 230—265.
54. Hao Wang. A Survey of Mathematical Logic. Amsterdam,
North-Holland, 1963.
54a. E. G. Wever. Theory of Hearing. New York, John Wiley,
1949.
55. A. N. Whitehead and, B. Russell. Principia Mathematica.
3 vols. Cambridge, England, Cambridge University Press,
1908—1912.
56. Norbert Wiener. Cybernetics. 2nd ed. New York, John Wiley,
and Cambridge, Mass., M. I. T. Press, 1961 (рус. пер.: Нор-
берт Винер. Кибернетика. 2-е изд. М., «Сов. радио», 1968).
56а. Dean Wooldridge. The Machinery of the Brain. New York,
McGraw-Hill, 1963 (рус. пер.: Д. Вулдридж. Механизмы
мозга. М., «Мир», 1965).
57. Н. Zimmer, ed. Computers in Psychophysiology. Spring-
Springfield, Illin., С. С. Thomas, 1966.
58. Man-Machine Communications. Proc. IBM Computing
Symp. IBM, 1966.
59. Proc. Third International Congress on Cybernetics. Namur,
1961.
60. Journal of Mathematical Psychology. New York, Academic
Press.
61. Kybernetik. Berlin, Springer-Verlag (журнал).

СОДЕРЖАНИЕ
От переводчика 3
1. Введение 5
А. Дискретная математика и психология . 8
2 Современная алгебра 8
2.1. Современная прикладная алгебра .... 10
3. Символическая логика И
4. Машины Тьюринга 16
5. Электронные вычислительные машины .... 19
6. Искусственный разум 22
6.1. Универсальные программы 23
6.2. Специализированные программы .... 24
6.3. Игры 24
6.4. Шашки и шахматы 24
6.5. Доказательство теорем 25
7. Языки программирования 27
8. Математическая лингвистика 30
8.1. Грамматика 30
8.2. Человеческие языки 31
8.3. Механический перевод 33
8.4. Резюме 34
Б. Континуальная математика и психология .... 35
9. Введение 35
9.1. Аппроксимация 36
9.2. Оптические иллюзии 37
9.3. Машинная графика 37
9.4. Научно-технические расчеты 38
10. Континуум 38
10.1. Маскирующие точки 39
10.2. Анализ 40
11. Психометрика 42
11.1. Факты о группах 43
11.2. Колориметрия 44
12. Слух 45
12.1. Слуховые ощущения 46
12.2. Моделирование речи 47
13. Зрение 49
13.1. Чувственное квантование 52
95

14. Мозг как переходная вычислительная машина . 54
14.1. Машинное распознавание речи . . . 57
В. Психология математики 59
15. Арифметическое познание 59
16. Алгебра и геометрия 62
16.1. Геометрическое познание 63
16.2. Психологические вопросы 64
17. Обучающие машины? 65
18. Математическое открытие 69
19. Конструирование посредством машины ... 73
20. Зрительное воображение 77
20.1. Классический анализ 79
21. Логическая строгость в анализе 80
21.1. Канторов рай 82
21.2. Парадокс Ришара 82
21.3. Континуум-гипотеза 84
22. Прикладная математика 86
22.1. Симбиоз человека и машины .... 89
Список литературы , 90
ИБ № 227
Гаррет Биркгофф
МАТЕМАТИКА И ПСИХОЛОГИЯ
Перевод с английского Г. Н. Поварова
Редактор Н. Г. Давыдова
Обложка художника Б. К. Шаповалова
Технический редактор В. А. Позднякова
Корректор Л. А. Максимова
Сдано в набор 20.IV—1977 г. Подписано в печать 11.Х—1977 г.
Формат 70ХЮ0/и Бумага типографская № 2
Объем 3,9 усл. печ. л. 4,14 уч.-изд. л.
Тираж 72.300 экз. Зак. 274 Цена 20 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома»
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10,