/
Текст
В. И. БЛОХ
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Допущено Министерством высшего и среднего спе-
циального образования УССР в качестве учебного
пособия для студентов высших технических учеб-
ных заведений УССР
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО
Харьков 1964.
531
Б70
В книге излагаются векторная и тензорная алгебра,
векторный и тензорный анализ, общие вопросы механики
сплошной упругой среды, основные методы решения
пространственной задачи теории упругости и решения
некоторых практически важных пространственных задач.
Развитый в книге вариант прямого тензорного исчисле-
ния является обобщением ныне принятой в физике и
прикладной механике формы векторного исчисления.
Теория упругости изтагается па базе этого варианта тен-
зорного исчисления. Это позволило сделать вполне дос-
тупным изложение основных положений теории упругости
и выявить физический смысл основных понятий.
Книга предназначена для студентов инженерно-фи-
зических и механико-математических специальностей выс-
ших учебных заведений, изучающих теорию упругости,
векторное и тензорное исчисление и другие предметы,
использующие тензорное и векторное исчисление. Она
будет полезна также для аспирантов, инженеров и науч-
ных работников, работающих в области теории упругос-
ти, гидродинамики и теоретической физики.
Ответственные редакторы
д-р гехи. наук Л П. ВИНОКУРОВ, канд. техн, наук В. М. ДЕЕВ.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Книга профессора В. И. Блоха «Теория упругости» является одной
из немногих книг, в которых ясность и строгость изложения материала
сочетаются с полнотой охвата теории и практики науки о напряженном
и деформированном состоянии упругих тел.
Автор работал над книгой в течение 15 лет и подготовил ее к печати
в виде монографии. Внезапная смерть помешала ему опубликовать эту
книгу. Издаваемая посмертно как учебник для студентов, которые изу-
чают теорию упругости по расширенной программе, книга профессора
В. И. Блоха подверглась значительному сокращению. Из нее исключены
несколько глав, сокращен текст сохраненных глав, опущен ряд таблиц
и рисунков, полностью исключены обширные поглавные исторические
очерки и обзоры литературы, а также пространная библиография. Однако
проведенное сокращение и конспектизация текста ни в коей мере не
нарушили связности изложения, и основное содержание книги осталось
сохраненным.
Профессор В. И. Блох создал книгу, которая будет хорошим учеб-
ником, дающим возможность студентам овладеть современными пред-
ставлениями и методами пространственной задачи теории упругости.
Издательство выражает глубокую благодарность инж. Г. Ф. Корни-
енко и канд. тех. наук В. М. Дееву за участие в подготовке книги к
изданию.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В больших строительных объектах правильный учет напряженного
состояния конструкций имеет определенное народнохозяйственное значе-
ние. Уменьшение веса изделий массового производства, которое служит
источником значительной экономии, может быть достигнуто лишь в
результате тщательного анализа их напряженного состояния. Без такого
анализа невозможно решение целого ряда технических задач. Знание
подробной картины распределения напряжений особенно важно для пра-
вильного конструирования быстроходных двигателей внутреннего сгора-
ния, паровых и газовых турбин, самолетов, современных морских кораблей
и других машин и сооружений.
В связи с этим вопросам расчета, а также теоретического и экспери-
ментального изучения напряженного состояния в конкретных случаях
должно быть уделено весьма серьезное внимание как в области подго-
товки инженеров, так и в области практической конструкторско-проек-
тировочной, а также научно-исследовательской работы.
Полное представление о распределении напряжений в твердых телах
заданной конфигурации, находящихся под определенным внешним воз-
действием, во многих случаях может быть получено в результате
использования аналитических и экспериментальных методов теории упру-
гости. Следует, однако, отметить, что изданные на русском языке общие
курсы теории упругости широкого назначения, такие как курсы
С. П. Тимошенко, А. Лява, П. Ф. Папковича, Л. С. Лейбензона и другие,
в настоящее время стали библиографической редкостью. Между тем
переиздание какого-либо из них вряд ли было бы целесообразным — в них
не освещены значительные результаты, полученные в теории упругости
в последнее время. Некоторые соображения должны быть высказаны при
этом и относительно метода изложения.
Дело в том, что основные величины, с которыми приходится опери-
ровать в теории упругости, а именно, смещения, напряжения, деформации
и ряд других, при координатном представлении выступают как многоком-
понентные объекты, для полного определения которых требуется исполь-
зование целой группы отдельных обозначений и математических выражений.
Одновременное оперирование такими многокомпонентными объектами
приводит к весьма значительному усложнению записей и трудно обозри-
мым многочисленным формулам, в которых скрадываются общие свойства
рассматриваемых величин. Это обстоятельство, которое имеет место
также в теории поверхностей, в многомерной геометрии, в гидродинамике,
в электродинамике и в разных разделах теоретической физики, привело к не-
обходимости использования для представления некоторых многокомпонент-
ных величины групповых символов и введения ряда групповых математиче-
ских операций. Совокупность соответствующих правил получила свое
выражение в векторном и тензорном исчислениях-
Предисловие
5
В теории упругости, особенно при рассмотрении объемных задач,
когда приходится принимать во внимание все компоненты интересующих
нас величин или большинство из них, этот весьма прогрессивный метод
должен значительно упростить изложение. Поэтому он все чаще исполь-
зуется в научных статьях и, очевидно, не может быть игнорирован также
и в современной общей работе по теории упругости.
В той или иной мере метод векторного, а иногда и тензорного исчис-
ления использован в некоторых общих сочинениях по теории упругости,
таких как труды П. Ф. Папковича, Е. Треффтца, И. С. Сокольникова
(на английском языке), П. Бургатти (на итальянском языке) и некоторых
других. Особенно систематически метод тензорного исчисления применя-
ется в последней из указанных работ, но вопросам практического решения
задач теории упругости в ней уделено мало внимания.
В настоящей работе автор поставил себе задачу дать достаточно,
полное освещение современного состояния ряда важных разделов теории
упругости с изложением решений ряда частных задач, имеющих практи-
ческое или методологическое значение.
Ввиду указанных выше соображений автор при изложении общей
теории и рассмотрении решений объемных задач широко использовал
методы тензорного исчисления. Последнее является естественным следст-
вием свойств рассматриваемых величин. При этом окончательные ре-
зультаты для справок и удобства вычислений переводятся на язык при-
меняемых в соответствующих случаях частных координатных систем.
Чтобы сделать содержание работы доступным также лицам, не знакомым
с тензорным исчислением и используемыми методами, попутно излагаются
основы этого исчисления и некоторые другие вспомогательные положения,
необходимые для понимания основного содержания. Ряд свойств тензоров
рассматривается при этом на базе основных представлений о напряжениях
и деформациях, вследствие чего некоторые отвлеченные положения тен-
зорного исчисления, не теряя своей общности, становятся более нагляд-
ными. Однако основные представления о векторах и простейших алге-
браических действиях с ними предполагаются известными читателю,
поскольку знакомство с ними предусмотрено втузовскими программами
по высшей математике и теоретической механике.
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЕКТОРНОЙ И ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ВЕКТОРНОЕ ТРЕХМЕРНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Отметим здесь кратко некоторые основные положения, относящиеся
к элементам, операциям и характеристикам вещественного трехмерного
векторного пространства.
Скаляром называется объект, определяемый числом.
Вектором называется объект, определяемый числом и направлением.
Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии,
величина которого определяется абсолютным значением характеризую-
щего вектор числа. Это абсолютное значение называется модулем (дли-
ной) вектора.
Два вектора считаются равными, если путем параллельного пере-
носа они могут быть совмещены своими концами и если направления их
при этом совпадут. Равные векторы имеют равные модули и одинаковые
направления.
Под суммированием векторов понимается операция нахождения по
этим слагаемым нового-вектора, называемого их суммой, путем прикла-
дывания к концу одного из слагаемых векторов начала другого при па-
раллельном переносе последнего.
Суммой векторов а, b ... d называется вектор f, проведенный из
начала первого из слагаемых векторов в конец последнего после их сум-
мирования. Это записывается следующим образом:
а + Ь+ ... +d = f.
Сумма векторов не зависит от чередования слагаемых (свойство ком-
мутативности) и от порядка суммирования (свойство ассоциативности):
а + b = b + а;
(а -|- Ь) + с = а + (Ь -|- с). (1.1)
Под нулевым вектором понимается вектор, который, будучи при-
бавлен к другому вектору, приводит к сумме, равной этому последнему.
Нулевой вектор обозначается через 0, так что при этом получаем
а + 0 = а. (1.2)
У нулевого вектора начало и конец совпадают. На этом основании
заключаем, что модуль нулевого вектора равен нулю, а направление его
произвольно.
Под вектором, отрицательным данному, понимается такой, который,
будучи прибавлен к последнему, приводит к сумме, равной нулю (нуле-
вому вектору). Таким образом, если два вектора, а и Ь, в сумме дают
нуль:
а + b = О,
Векторное трехмерное вещественное пространство
7
то вектор b считается отрицательным по отношению к вектору а, или
обратным по знаку, и это записывается следующим образом:
а ----- —Ь.
В равной степени вектор а является отрицательным по отношению
к вектору Ь:
b = —а.
Два таких вектора равны по модулю и имеют противоположные направ
ления. 1
Вычитание вектора тождественно прибавлению вектора, равного вы-
читаемому по модулю и обратного по знаку:
а — Ь = а+ (—Ь).
Под произведением вектора на вещественное число т понимается
новый вектор, модуль которого увеличен в т раз в сравнении с моду-
лем умножаемого, а направление остается неизменным.
При умножении вектора на единицу, он не изменяется. При умно-
жении вектора на несколько чисел результат не зависит от порядка
умножения (свойство ассоциативности относительно числа):
1 • а = а\
т2 (т^а) = ml (т2а) = (m/nj а. (1.3)
Умножение векторов на скаляры обладает свойством распредели-
тельности (дистрибутивности) как по отношению к скалярам, так и по
отношению к векторам:
(т + п) а = та -|- па;
т(а -)- Ь) = та -j- mb. (1.4)
Если ограничиться указанными положениями, то можно выполнить
ряд построений и найти ряд соотношений, совокупность которых состав-
ляет содержание так называемой аффинной геометрии, а множество всех
векторов, рассматриваемых в границах отмеченных свойств, представляет
собой так называемое аффинное пространство1.
Весьма важным результатом этих положений является следующая
из них возможность представления одних векторов через некоторое ко-
личество других, являющихся линейно независимыми, т. е. не допускаю-
щих линейной функциональной связи между собой.
В обычном трехмерном пространстве, как известно, можно построить
три таких линейно независимых вектора, а всякий четвертый может быть
разложен на компоненты, направленные вдоль указанных независимых
векторов. Выбранное полное количество независимых векторов для дан-
ного пространства с целью определения постоянных направлений для
компонентов любого вектора этого пространства при его разложении на
составляющие называется репером.
Если компоненты такого разложения представлять через направляю-
.щие векторы репера путем умножения последних на числа, то эти на-
правляющие векторы могут быть использованы также в качестве единиц
сравнения длин или масштабных единиц. Числовые множители при этом
будут определять относительные длины соответствующих компонентов.
Репер, выполняющий также и это назначение, называется масштабным
Термин, введенный Л. Эйлером (от латинского слова affinitas, что значит сродство).
8
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
или координатным базисом, а указанные числовые множители — коорди-
натами вектора, представляемого своими компонентами в масштабах базиса.
Наличие такого базиса позволяет задать любой вектор тре;^| числа-
ми— его координатами. Однако для нахождения по заданному вектору
его координат в известном масштабном базисе, а также длин непараллель-
ных векторов, т. е. для установления метрических принципов, приведен-
ных выше положений, составляющих основу аффинной геометрии, недо-
статочно. Они должны быть дополнены введением еще одного понятия —
скалярного произведения двух векторов а и Ь, {а • Ь), позволяющего вво-
дить в соответствие паре векторов скаляр.
Скалярным произведением двух векторов а и Ь, в обычном трехмер-
ном пространстве называется произведение их модулей на косинус угла О
между направлениями векторов сомножителей:
а • b = | а | | b | cos 6. (1.5)
В соответствии с этим определением следует отметить такие основ-
ные свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение коммутативно относительно векторов-сомно-
жителей:
а • b = b • а. (1.6)
При умножении одного из векторов сомножителей на число X скаляр-
ное произведение умножается на это число (свойство ассоциативности
скалярного произведения относительно числа):
(Ха) • b = Х(а • Ь). (1.7)
Скалярное произведение распределительно (дистрибутивно) относи-
тельно суммы векторов:
(а + Ь) • с = а • с + b с. (18)
Скалярное произведение вектора самого на себя неотрицательно —
а-а>0, (1.9)
и обращается в нуль лишь при аннулировании самого вектора.
Основы аффинной геометрии, дополненные понятием скалярного произ-
ведения, позволяют получить все построения эвклидовой геометрии. На
этом основании множество векторов аффинного пространства, выполняю-
щих также скалярное произведение, составляет так называемое эвкли-
дово пространство.
Наличие скалярного произведения векторов в трехмерном эвклидовом
пространстве дает возможность определить длину вектора а или его мо-
дуль из равенства
|а| = + j/a • а , (1.10)
а угол 6 между двумя векторами а и b — из равенства
С“’ = |7ГШ- (1Л1>
Условие ортогональности двух неисчезающих векторов вследствие
этого получает такой вид:
а • Ь — 0.
(1.12)
Векторное произведение двух векторов
9
§ 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Имея два вектора а и Ь, составим новый вектор, который обозначим
через а х b и направим перпендикулярно к векторам а и b таким обра-
зом, чтобы последовательность при переходе от вектора а к b и затем
к ах b составляла.правовинтовую систему. Пусть, кроме того, модуль
вектора а X b равен произведению модулей векторов а и b и синуса
угла 6 между ними. Если затем обозначить через е вектор единичного
модуля, нормальный к векторам а и Ь, то вектор а X b можно будет
представить равенством
а х b = е\а\ | b | sin6
(е • а = е • b = 0). (1.13)
Вектор а х Ь, построенный таким образом, называется векторным
произведением векторов а и Ь. Оно не представляет собой принципиально
новой операции в сравнении с ранее рассмотренными операциями в эв-
клидовом пространстве, поскольку может быть выражено через эти по-
следние.
Действительно, после небольших преобразований можно получить
следующее выражение для квадрата модуля вектора а X Ь:
|а|2 |fe|2sin26= la • a a-bl (114)
I b • а b • ft I ’
На этом основании векторное произведение двух векторов а и b
может быть представлено в виде
а X b = е | ]/(а • а) (Ь • Ь) — (а • 6)21. (1.15)
Из рассмотрения параллелограмма, сторонами которого являются
векторы а и b (рис. 1), легко заключить, что модуль вектора а X b
численно равен площади этого параллелограмма.
Принимая во внимание указанное выше правило
ориентировки вектора а х b относительно векторов-
сомножителей, заключаем, что
а X b = —b X а. (1.16)
Векторное произведение не обладает свойством
коммутативности, но подчиняется закону альтерна-
Рис. 1.
тивности.
Из равенства (1.13) непосредственно следует, что
векторное произ-
ведение двух параллельных векторов равно нулю — условие коллинеар-
ности двух векторов
(1.17)
Очевидно, что векторное произведение ассоциативно относительно
умножения на число,
(та) X b = а х (mb) = т(а х Ь). (1.18)
Легко доказать (мы этого делать здесь не будем), что векторное
произведение распределительно (дистрибутивно) относительно сложения
векторов:
а X (Ь 4- с) = (а X b) + (а X с).
(1.19)
10
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ БОЛЕЕ ЧЕМ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Рис. 2.
1. Смешанное скалярно-векторное произведение трех векторов а, b
и с в последовательности (а X Ь) • с численно равно объему параллеле-
пипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Действительно,
объем V такого параллелепипеда можно определить как произведение
площади F параллелограмма, построенного на векторах а и b как на
сторонах, на высоту h (рис. 2):
F = | а | | b | sin 0 = | а х b |, h = |с| cos<p.
Следовательно, объем V параллелепипеда мо-
жет быть представлен равенством
V = Fh = \a х Ь\ (с| cos= (а х Ь) • с.
Но таким же образом объем этого параллеле-
пипеда можно вычислить, исходя из площади
основания, построенного на векторах b и с, и при-
нимая во внимание высоту, равную проекции вектора а на нормаль к
основанию, т. е. на вектор b X с. В этом случае тот же объем опреде-
лится равенством
V = а • (b-Х с).
Сравнивая это выражение с предыдущим результатом, находим, что
в смешанном произведении трех векторов знаки скалярного и вектор-
ного умножения можно переставлять без изменения результата умноже-
ния. На этом основании смешанное произведение обозначается симво-
лом [abc].
Объем параллелепипеда, таким образом, может
быть представлен формулами
V = (а х Ь) с = а • (b х с) = (с X а) • b = [abc]. (1.20)
Если принять во внимание альтернативные свойства
векторного произведения, то легко установить следу-
ющие зависимости:
[abc] = [Ьса] — [cab] = —[bac] = —[cba] — —[acb],
(1-21)
Смешанное произведение будет равно нулю, если
все три вектора будут параллельны одной плоскости.
Вследствие этого условие параллельности неисчезающих векторов единой
плоскости, или условие компланарности их, получает вид
[abc] = 0.
(1-22)
2. Двойное векторное произведение трех векторов. Рассмотрим вы-
ражение а X (b X с).
Так как вектор b X с нормален к плоскости векторов b и с (рис. 3),
то вектор а X (b X с), будучи нормален к вектору b X с, располагается
в той же плоскости векторов b и с. Вследствие этого вектор а X (b X- с)
может быть разложен на составляющие вдоль этих двух векторов и пред-
ставлен равенством
а X (b X с) = Х& -[- цс,
где X и р — коэффициенты, которые должны быть найдены.
Об определении одного векторного сомножителя по известным скалярным... Ц
Умножая скалярно все члены этого равенства на вектор Ь, получим:
Х(6 • Ь) + р-(6 с) = b • [а X (Ьх.с)] = (Ь х а) • (Ьхс) = — (axb) • (feXc)=
= — а [b X (b X с)].
Аналогично после скалярного умножения на вектор с найдем, что
X (Ь • с) + р, (с • с) = — а • [с X (b X с)].
Обращаясь к вектору b X (b X с), примем во внимание, что модуль его
равен 62csin6, где 6 — угол между векторами b и с, и что он, располагаясь
в плоскости этих векторов, нормален, кроме того, к
вектору b (рис. 4). Вследствие этого, обозначая еди-
ничные векторы, направленные вдоль векторов b и с,
соответственно через еь и ес, мы сможем, разложив
вектор b X (b X с) на составляющие вдоль этих век-
торов, получить
b X (b X c) = fc2csin6^ctg6efc —=
= b2c cos Qeb — b2cec = (b - c)b — (b • b)c.
Соответствующим образом найдем также, что
с X (b X с) = (с • с) b — (Ь • с) с.
’Используя предыдущие равенства, найдем окончательно, что
а х (Ь х с) = (а с) b — (а • b)c. (1.23)
Заметим в заключение, что многократное векторное умножение не
обладает свойством ассоциативности
а х (Ь х с) =# (а х Ь) х с.
(1-24)
§ 4. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОДНОГО ВЕКТОРНОГО СОМНОЖИТЕЛЯ ПО ИЗВЕСТНЫМ
СКАЛЯРНЫМ И ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЯМ
И ВТОРОМУ СОМНОЖИТЕЛЮ
Из рассмотрения скалярного произведения двух векторов легко за-
ключить, что по известному значению этого произведения и одного из
векторов-сомножителей второй из них однозначно не может быть опре-
делен. Вследствие этого в векторном исчислении не существует деления
как операции, обратной скалярному умножению. То же следует отметить
относительно векторного умножения.
Для нахождения одного из векторов-сомножителей, образующих
скалярное и векторное произведения, должны быть известны значения
обоих произведений и второй сомножитель.
Действительно, пуст^ нам известны выражения
а • b = т, а X b = с.
Определим по этим значениям вектор а, если второй вектор b также
известен. С этой целью составим векторное произведение двух известных
векторов b и с:
b у с = b X (а х Ь) = (Ь Ь) а — (Ь • а) b = (Ь • Ь) а — mb.
Отсюда следует, что искомый вектор а представится равенством
а = Ц£±^. (1.25)
12
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
§ 5. ДВЕ ВЗАИМНЫЕ ТРОЙКИ НЕКОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ
Пусть имеем три некомпланарных вектора а, b и с, т.
щих условию
[abc] ¥= 0.
Введем в рассмотрение еще одну тройку векторов
ную с предыдущей равенствами
fe X с _ г _ с X а . ~ _ а х b
[abc] ’ [abc] ’ С [ate]
е. удовлетворяю-
ще)
а, b и с, связан-
(1-27)
Отсюда следует, что векторы второй группы, т. е. обозначенные
буквами с тильдой (—), ортогональны к двум векторам первой группы,
обозначенным не одноименными с ними буквами без тильды.
Составим всевозможные скалярные произведения векторов одной
группы на векторы другой.
Принимая во внимание равенства (1.27), а также то обстоятельство,
что смешанные скалярно-векторные произведения трех векторов обращаются
в нуль при наличии в них двух одинаковых векторов-сомножителей, мы
получим следующие равенства:
а-а=1; а-Ь = 0; а-с=0;
b-a = 0; b-b = l; Ь-с = 0; (1.28)
с-а = 0; С'Ь = 0; с-с=1.
Рассматривая далее произведение с X а как единый вектор, мы можем
вследствие правила (1.23) составить такое равенство:
7 ~ (с X с) X (а X Ь) _ [(с х а) b]a — [(c х а) а]Ь
[ate]2 [ate]2
Так как в числителе последней дроби вычитаемое равно нулю, а
уменьшаемое содержит смешанное произведение, одинаковое с произве-
дением, стоящим в знаменателе, мы находим, что
b X с = .
[ate]
Если теперь скалярно умножить обе части этого соотношения на
вектор а, то вследствие первого равенства (1.28), мы сможем получить
зависимость
[abc] [abc] = 1. (1-29)
Из условий некомпланарности (1.26) векторов а, b и с следует также
условие некомпланарности векторов а, Ь и с,
[abc]^0. (1.30)
На основании этого мы можем записать следующие равенства:
fe X с с X a a xb
а—-^^-, b = c=^tz:.
[a be] [ab c] [a b c]
(1.31)
Взаимные системы координат
13
Сравнивая между собой две тройки зависимостей (1.27) и (1.31), мы
заключаем, что векторы первой группы выражаются через векторы второй,
как векторы второй — через векторы первой. Из условия (1.29) следует,
что смешанные произведения трех векторов каждой такой группы взаимно
обратны.
§ 6. ВЗАИМНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Введем в рассмотрение косоугольную прямолинейную систему коор-
динат с некомпланарными масштабными векторами ег, е2, е3, модули ко-
торых, вообще говоря, отличны от единицы и не равны между собой.
Для скалярных произведений этих векторов введем обозначения:
ei’ei=8ll> ei'e2 = 8l2’ ei'e3~813’
&2 — gilt ^2 ' ^2 = Si2’ &2 ’ &3 ~ 823’ (* -32)
е3 ‘ е1 = 8зГ’ . е3 е2 ~ 8з2’ е3 ез ~ 8зЗ-
Отсюда следует, что gmn = gnm.
Координаты какой-либо точки в этой координатной системе или, что
то же, скалярные координатные компоненты радиуса-вектора г, проведен-
ного из начала координат в эту точку, измеренные в
масштабах, указанных координатных векторов, т. е.
принятых за единицы измерений в своих направлениях,
обозначим через х1, х2, х3 (рис. 5). Тогда получим, что
г = х1е1 4- х2е2 4- х3е3. (1.33)
Наряду с указанной координатной системой введем
в рассмотрение другую косоугольную прямолинейную
систему, имеющую то же начало, что и предыдущая.
Координатные масштабные векторы ее обозначим через
г1, е2, е3. Для скалярных произведений их между собой,
введем следующие обозначения:
Рис. 5.
подобно (1-32)
е1 • е1 = g11;
е2 • е1 = g21;
е3 • е1 = g31;
е1 • е2 = g12;
е2 • е2 = g22\
е3 е2 = g32;
е1 • е3 = g13
е2 • ё3 = g23,
е3 е3 = g33
(1-34)
Здесь также будет выполняться условие gmn ~ gnm. Координаты того
же радиуса-вектора г в этой второй системе координат обозначим через
х1, х2, х3 и тогда, кроме равенства (1.33), получим еще такое:
г = х^1 4- х2е2 4-х3е3 (1 -35)
Масштабные координатные векторы координатной системы принято
называть базисными, а их совокупность, относящуюся к одной и той же
системе координат, — базисом этой координатной системы.
Пусть две введенные выше тройки базисных векторов являются
взаимными в том значении этого термина, какое ему было придано в пре-
дыдущем параграфе.
Между векторами таких двух взаимных базисов будут при этом
существовать аналогичные (1.28) зависимости, которые мы запишем в виде
„ „П (1 если tn = tl / , Cl /1
ет • е = о , о = । (т- п — 1; 2; 3), (1.3b)
т т т ( 0 если т #= п 4 . > /.
где обозначение о” носит название символа Кронекера, поскольку анало-
гичный символ лишь с другим обозначением был им впервые введен.
14
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Скалярно умножая обе части равенства (1.33) на базисные векторы
е1, е2 или е3 мы, вследствие свойств (1.36) взаимности, найдем, что
х1 = г е1; л.2 = г с2; х3 = г • е3. (1.37)
Соответственно после скалярного умножения обеих частей равенства
(1.35) на базисные векторы е1г е2 или е3 получим также, что
%! = г • х2 = г • е2; х3 = г • е3. (1.38)
Таким образом, скалярные компоненты произвольного радиуса-век-
тора г в какой-либо прямолинейной системе координат численно равны
скалярным произведениям этого радиуса-вектора на базисные векторы
взаимной системы. Это позволяет при наличии значений правых частей
равенств (1.32) и (1.34) представить также базисные векторы одной пря-
молинейной координатной системы в координатах взаимной. При этом
мы получим такие две группы равенств:
e1 = gllel + g12e2+gl^a
е2 = + g22e2 + g23^ (1 -39)
е3 = &К1 4- g32e2 + g33e3
е1 = g1^ + gize2 4- g13e3
е2 = 4- g22e2 -4- g23e3 (1.40)
e3 = ^34 + g33e2 + g3Se3
Для установления связи между координатами одного и того же век-
тора г в двух взаимных системах сравним между собой две формы
представления его при помощи равенств (1.33) и (1.35):
хгег 4- х.2е2 4- х3е3 — ххе14- х2е2 4- х3е3.
Умножая скалярно все члены этого соотношения на основные векторы
каждой из двух взаимных координатных систем, получим в результате
такие две группы зависимостей:
х1 = g-Hxj 4- gl2x, 4- g13x3
х2 = g21xL 4- g22x2 4- g23x3
x3 = g31xt 4- g32x2 4- g33x3
xi = gn*1 4- £i2*2 + gw*3
x2 = &21-*1 + g22x2 4- fe*3
X3 = g31xl + g32X* + g33x3
(1-41)
(1-42)
Если сравнить эти формулы с таковыми же для'координатных век-
торов (1.39) и (1.40), то легко увидеть, во-первых, полное подобие в
записях, во-вторых, что координаты с нижними индексами определяются
через координаты с верхними не так, как соответствующие им базисные
векторы, имеющие верхние индексы, а как масштабные векторы взаимной
системы, т. е. как векторы, имеющие тоже нижние индексы.
Принято одну из двух взаимных систем координат считать основной.
Какую из них принять за основную — безразлично, но для основной
системы принято обозначения координатных масштабных векторов снаб-
жать нижними индексами. Тогда обозначения координат радиуса-вектора
или любого вектора будут в основной координатной системе иметь верх-
ние индексы.
О скалярном произведении двух векторов
13
Для взаимной основной системы координат расположение индексов
при обозначениях базисных векторов и координат будет обратным в сравне-
нии с таковым же в основной системе.
В случае обычных декартовых координат, являющихся прямолиней-
ными ортогональными координатами при единичных базисных векторах,
принято обозначения еи е.2, е3 этих векторов заменять соответственно
на i, /, k. Для этих последних, которые носят название ортов, будут
иметь место следующие значения скалярных произведений:
i - i = j • j = k • k = 1; / • k = k • i = i - j — 0. (1-43)
Векторные произведения их будут при этом определяться равен-
ствами
j х k = i; k X i = j; i X j = k. (1.44)
ЛегксД установить, что для этого случая основная и взаимная с ней
координатные системы совпадают.
Координаты радиуса-вектора в такой декартовой координатной системе
обычно обозначают через х, у, z, так что вместо равенств (1.33) и (1.35)
возникает представление
г =-- xi 4- yj -}-zk. (1.45)
В случае же использования индексовых обозначений для ортов или
координат, отпадает, понятно, необходимость в верхней постановке ин-
дексов, и все они ставятся внизу. Кроме того, номерная система индек-
сов обычно заменяется индивидуальной координатной, так что коорди-
наты вектора v, например, .получают’ обозначения vx, vv, vz и коорди-
натное представление этого вектора принимает следующий вид:
v = vxi 4- vyj 4- v2k. (1-46)
§ 7. О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
При использовании координатных представлений выражение ска-
лярного произведения двух векторов будет получать тот или иной вид
в зависимости от того, в какой из двух взаимных координатных систем
представлен каждый из векторов сомножителей. Так, например, если два
вектора и и v представлены в основной координатной системе при по-
мощи равенств
и =ulet 4- w2e2 4- uses; . .
v = v1e1 4- v2e3 4- A3, 1 1
где un и vn(n=l; 2; 3) — так называемые координаты этих векторов,
то, ввиду распределительного свойства скалярного умножения и вслед-
ствие равенств (1.32), найдем такое представление:
и v = gnuV 4- g22“2v2 + gss^3 4- g23 4- /А2) 4-
+ £si (m3^1 + + gi2 («ly2 + (1-48)
Если же воспользоваться взаимной с предыдущей системой коорди-
нат и следующими представлениями для рассматриваемых векторов:
и = Ujg1 4- и.2е2 4- «3е31
v = v^1 4- v2e2 4- п3е3, (1-49)
то для того же скалярного произведения получим такую формулу:
и • v = Su4iVA 4- g22u.2v.2 4- g33u3v3 4- g23 (u2v3 4- iz3t>2) 4-
+ g31 («3’^1 + «it’s) 4- g12 (ир.г 4- u2Vj). (1.50)
16
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Возможно, однако, один из векторов представить в одной из двух
взаимных координатных систем, а второй — в другой. Тогда получим
равенство
и • v = ulvr 4- uzv2 4- u3v3 — UjV1 4- u3v2 4- w3o3. (1-51)
Форма зависимости здесь имеет наиболее простой вид, притом такой же,
какой получается при использовании ортогональной системы прямоли-
нейных координат.
В случае, если вектор v совпадает с вектором и, получаем выра-
жение
и и = | и |2 = u2 = gA1 (и1)2 4- gzz (и2)2 4- g33 (и3)2 4- 2g23u2us 4-
4- ^gs^u1 4- Sgj^H2. (1-.52)
§ 8. МЕТРИКА ЭВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
Метрикой пространства называется система величин, определяющая
масштабы единиц, служащих для измерения длин и углов по всем на-
правлениям и в различных точках в рассматриваемом пространстве.
В качестве такой системы при использовании прямолинейных координат
с основным репером elt е,, е3 принимают шесть величин gmri = gnm
(т; п = 1; 2; 3), определяемых равенствами (1.32).
Покажем прежде всего, что они определяют координатную систему,
т. е. модули базисных векторов основной системы координат и углы
между координатными осями.
Исходя из равенства
gnn = en-en = ez (и=1;2;3),
мы сразу находим значения модулей координатных векторов
en = Vg^n (п=1;2: 3). (1.53)
В соответствии со смыслом представления мы сохраняем здесь по-
ложительный знак перед корнем. *
Далее, если обозначить угол между двумя векторами ет и еп через
amn, то, исходя из определяющего равенства
gmn^em- en = emencosamn, (m;n=l;2;3)
мы, вследствие (1.53), получаем, что
с^атп = -7етп— (и;п=1;2;3) (1.54)
V gmmgnn
и, следовательно, находим углы между координатными осями.
Для установления длины произвольного вектора и, как следует из
равенства (1.52), нам необходимо знать его координаты ит (т = 1, 2, 3),
измеренные в системе единиц используемой координатной системы, и шесть
величин g^.
Так же очевидно, что для нахождения угла 6 между двумя векто-
рами и и v достаточно знать их координаты и те же шесть величин gmn.
Эти шесть чисел gmn действительно позволяют полностью определять как
систему координат, так и величины любых длин и углов и, следовательно,
могут быть приняты за систему величин, представляющую метрику про-
странства.
Метрика эвклидова пространства
17
В связи с этим возникает вопрос, могут ли быть использованы для
этой цели в эвклидовом пространстве любые шесть чисел? Общие сооб-
ражения приводят нас к заключению, что эти числа должны удовлетво-
рять определенным требованиям, которые следуют из основных представ-
лений о вещественности и неисчезаемости базисных векторов в трехмерном
пространстве, из представления о границах изменения углов или заме-
няющих их косинусов, а также из условия совместимости углов, обра-
зуемых тремя некомпланарными направлениями.
Рассмотрим возникающие отсюда требования.
1. Вещественность и неисчезаемость модулей основных координатных
векторов, как следует из равенства (1.53), будет обеспечена, если будет
выполняться условие
ётт>0 (т = 1; 2; 3). (1.55)
2. Вещественность косинусов углов между основными координатными
векторами будет обеспечена, если будет выполняться, кроме того, условие
(gmn)z>° (fn> n=l; 2; 3) (m =h n). (1.56)
3. Так как косинусы углов между этими векторами, ввиду их не-
коллинеарносзи, могут изменяться в открытом промежутке (—1, -pl),
то это условие вследствие равенства (1.54), приводит к требованию
/ gmn У <
л \ gmmgnn/ ’
которое может быть представлено в таком виде:
gmmgnn gmn
или в следующем:
gmm gmn (m> n = 12; 3)
gmn gnn >U (m =^= ll) (L57)
4. Примем, наконец, во внимание, что для того, чтобы из трех
каких-либо положительных углов можно было образовать координатный
трехгранник, любые два угла из них, каждый из которых меньше 180°,
в сумме должны быть больше третьего, а разность — меньше третьего.
Применяя для координатных углов обозначения, использованные
в равенстве (1.54), представим эти условия таким образом-
а23 “Ь а31 > а12» а23 Я31 < а12-
Эти неравенства можно заменить следующими, справедливыми без
указанного ограничения:
COS (ct.23 4~ СС31) <С COS CCj2, COS (ct23 ^31) > cos cc12.
Из них получаем
—sin а23 sin а31 < cos а23 cos а31 — cos а12 < sin а23 sin а31,
откуда следует неравенство
(cos а23 cos а31 — cos а12)2 < sin2 а23 sin2 а31.
После некоторых преобразований мы представим это неравенство
в виде
gngizgza “Ь Zgivgisgai gng^ gizg^i gasgiz ->
2 в. И. Блох
18
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
В более компактном виде это условие можно представить следующим
образом:
£н £12 £1з
£21 £22 £23
£31 £32 £зз
>0.
(1.58)
Заметим, что матрица
£и £12 £1з
£21 £12 £23
£31 £зз £зз
которая удовлетворяет условиям (1.55), (1.57) и (1.58). называется опре-
деленно положительной.
Из всего рассмотренного следует, что для того, чтобы шесть вещест-
венных чисел gmn (gmn = gnm) могли, в соответствии со значениями ра-
венств (1.32), служить для установления метрики трехмерного эвклидова
пространства, они должны образовывать определенно положительную
матрицу.
Такая, служащая для указанной цели, матрица носит название ме-
трической.
§ 9. ВЕКТОРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ
Равенства (1.27) и (1.29) позволяют представить векторные и сме-
шанные произведения базисных векторов основной системы через базисные
векторы взаимной системы и наоборот. Для этой цели воспользуемся
формулами (1.39).
Векторное произведение двух базисных векторов е2 и е3 в этом
случае определится равенством
X ез = (£21^ + £22^ + £23?} X (£31^ + £32е2 + £33е3) =
= (£22£зз — £2з£з2) (е2 X е3) + (g23g3l — g2ig33) (е3 х е1) +
+ (£21£з2 — £22^31) (^ X е2). %
Если теперь принять во внимание зависимости (1.27) и (1.29), та
это представление можно будет преобразовать к следующему виду:
I
[е1е2ез]
е2 X е3 =
^2 ^3
£21 £22 £23
£з1 £зг £зз
Скалярно умножим затем обе части этого равенства на вектор ег-
В конечном итоге найдем, что
[с^с2с3]2 —
£ii £12 £1з
£21 £22 £23
£31 £32 £зз
Введем, как обычно, обозначение g для возникшего здесь определи-
теля. Тогда, извлекая квадратный корень из обеих частей данного ра-
венства и оставляя положительный знак перед корнем, мы сможем по-
лучить следующее представление:
Ке2е3] =]<£. (1-59)
Возможный отрицательный знак перед корнем будем связывать со
случаем ациклической перестановки сомножителей в смешанном произ-
ведении векторов левой части данного равенства.
Векторные и смешанные произведения любых векторов
19
Выше было показано, что определитель, составленный аналогичным
образом из чисел ginn, служащих для определения координатной системы
и метрики эвклидова пространства, должен быть положительным, отлич-
ным от нуля числом (условие (1.58). Как следует из равенства (1.59),
такое требование соответствует условию вещественности смешанного про-
изведения векторов координатного базиса и их некомпланарности. Со-
гласно же данным, приведенным в § 3, это смешанное произведение
определяет объем параллелепипеда, построенного на векторах основного
координатного базиса, как на ребрах. Ввиду равенства (1.59) он будет
определяться значением ]/g, а отмеченные условия относительно g
обеспечивают вещественность этого объема.
Для смешанного произведения базисных векторов взаимной системы
можно, вследствие равенств (1.29) и (1.59), получить такую формулу:
[е1А3] = 4=- (1-60)
Vg
Принимая во внимание формулы (1.59) и (1.60) для смешанных про-
изведений базисных векторов двух взаимных систем, мы сможем выра-
жениям векторных произведений е2 < е3 и е2 х е3 придать следующий
вид
^2 %
ёз1 ёзз ёзз
ёз1 ёзз ёзз
е2 х ё3 = g
е1 ё2
ё21 ё22
„31 л32
е3
g23
^33
(1-61)
е2 X ез —
Аналогичные представления для произведений е3 X и ег х е2 могут
быть получены из формулы для е2 X е3 путем соответствующих замен
первых индексов у элементов второй и третьей строк определителя, ко-
торые совпадают с индексами сомножителей левой части равенства.
Таким же способом можно получить выражения для произведений е3 X ё1
и е1 х е2 из приведенного выше равенства для е2 х е3.
§ 10. ВЕКТОРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЮБЫХ ВЕКТОРОВ
Введем в рассмотрение три вектора а, b и с, представленные в не-
которой координатной системе равенствами
а = а1е1 + а2е2 -f- а3е3;
b = + b2e2 + Ь3е3;
с — с1е1 ф- с2е2 + с3е3.
Поступая так же, как в предыдущем параграфе, мы сможем полу-
чить выражение для векторного произведения двух векторов b и с:
b X с = ]^g
е1 е2 е3
Ь1 Ь2 Ь3
с1 с2 с3
(1.62)
Смешанное произведение трех векторов а, b и с представится равен-
ством
_ I a1 a2 a31
[abc]=^g b1 b2 63|. (1.63)
с1 с2 с3
Если принять во внимание, что произведение [abc] представляет
собой объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, как
2*
20
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
на ребрах, а выражение Уg определяет собой объем параллелепипеда,
построенного на векторах координатного базиса основной системы, то
из равенства (1.63) заключаем, что определитель, составленный из коор-
динат трех векторов, представляет собой отношение объемов двух па-
раллелепипедов: построенного на этих векторах к объему параллелепи-
педа, построенного на векторах координатного базиса.
При использовании для представления рассматриваемых трех векто-
ров взаимной координатной системы вместо формулы (1.62) для вектор-
ного произведения векторов b и с мы получим следующую:
I б2 в3
b хс = —?= Ь2 Ь3
Vg сг с2 с3
В этом случае смешанное произведение
ставится выражением
(1-64)
трех векторов а, b и с пред-
J а2 аз
[abc] = Ьх Ь2 Ь3
VS С1 с2 с3
(1.65)
Если перемножить почленно два равенства (1.63) и (1.65), то на
основе правила умножения определителей можно получить следующее
равенство:
[abc]2 —
(1.66)
Определитель, представленный в правой части этого равенства, на-
зывается определителем Грама.
§11. МЕТРИКА ВЗАИМНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим вопрос, как, располагая величинами gmn, составляющими
метрическую матрицу, найти все величины gmn, определяющие метрику
взаимной координатной системы.
С этой целью сравним выражения для е1, представленные в равен-
ствах (1.27) и (1.40). При этом мы сможем составить такую зависи-
мость:
+ g12e2 + g13e3
= ег X е3
1 •
а - а а • b
Ь а b Ь
с • а с b
а с
b с
с с
Если теперь подставить сюда выражение для е2 X е3, приведенное
в (1.61), то, при учете (1.59), найдем, что
griiei + gi2e2 -р = 1
е2 е3
ё<22 §23
§31 §32 §33
Заменив здесь первые верхние индексы в левой части сначала на 2,
а затем на 3 и одновременно первые нижние индексы во второй и третьей
строках определителя правой части равенства сначала на 3 и 1 и затем
на 1 и 2, можно получить еще два подобных равенства. Развертывая
в этих равенствах определители по элементам первых строк и сравнивая
множители при одинаковых базисных векторах в двух частях равенств,
мы найдем интересующие нас зависимости.
О сокращении формы записей
21
Вместо такого сравнения можно получить тот же результат, если все
члены каждого такого равенства скалярно умножить последовательно
на е1, е2 и е3 и принять во внимание значения возникающих при этом
скалярных произведений, определяемых формулой (1.36). В общем виде
искомый результат может быть представлен следующим образом:
gmn = ^т; р = 1; 2; 3). (1.67)
Здесь A (g^) — алгебраическое дополнение к элементу g^ в опреде-
лителе Def (ginn) = g.
Матрица, составленная из элементов gmn, будет метрической для
координатной системы, взаимной относительно основной. Все необходи-
мые условия, которым должны удовлетворять элементы такой матрицы
для того, чтобы она могла быть метрической, будут в этом случае вы-
полняться.
Примем во внимание еще следующие зависимости, связывающие члены
двух метрических матриц:
g,nigln + gm2gin + = С = [J (m п) (1 -68>
Они получаются из формул (1.39) или (1.40) в результате скаляр-
ного умножения всех членов на масштабные векторы, одинаковые с ка-
ким-нибудь из векторов правых частей этих формул.
Решение полученных таким образом равенств (1.68) относительно
величин gmn приведет нас также к представлениям (1.67).
§ 12. О СОКРАЩЕНИИ формы записей
В ряде выражений, полученных выше, можно отметить одну особен-
ность, с которой будем встречаться и далее и которую можно использо-
вать для сокращения записей. Так, если обратиться к равенствам (1.33),
(1.35), (1.47), (1.49), (1.51), то можно заметить, что правая часть их во
всех случаях имеет одинаковую структуру типа
аф1 + а2Ь2 + а3Ь3.
Равенства (1.39) и (1.42) представляют выражения вида
aklb' + ak2b2 + aksb3 (6=1; 2; 3).
Наконец, в равенстве (1.48), если раскрыть в нем скобки, правую
можно будет представить по схеме
а^с1 4- a^b^c2 + а^Ь1^ 4-
4- а21Ь2сг 4- а22Ь2с2 4- а23Ь2с3 4-
4- 4- а32Ь3с2 4- а33Ь3с3.
Общая особенность всех этих выражений — то, что они имеют вид
многочленов и что каждое слагаемое отличается от другого значениями
индексов, повторяющихся дважды внутри слагаемых, причем один раз
этот повторяющийся индекс стоит снизу, а другой раз сверху. Если
в слагаемых встречается индекс не повторяющийся, то значение его ос-
тается неизменным во всем выражении. Используя обычные обозначения,
22
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
можно было бы указанные выражения представить в сокращенной форь
таким образом:
3 3 3 3
S anbn; X aknb\ £ £ aJV.
n=i_ Л=1 т = 1 /2=1
Однако, согласно А. Эйнштейну, принято сокращать эту форму зг
писи еще более и опускать знаки суммирования, оставляя только оди
член суммы с неопределенными, т. е. буквенными обозначениями индеь
сов. В этом случае указанные выражения получают вид:
anb\ а^Ь"-, amnb^,
причем вводится правило, согласно которому наличие в произведении ил
даже в однобуквенном выражении двух одинаковых неопределенных (не
мых) индексов, из которых один располагается внизу, а другой — вверху
означает, что данное выражение является многочленом, представленныт
одним своим слагаемым. При записывании такого многочлена в пол ног
или развернутом виде отдельные слагаемые его будут отличаться дру
от друга конкретными числовыми значениями этих парных индексов
Для случая трехмерного пространства эти индексы при отдельных ела
гаемых в развернутых многочленах имеют значения 1, 2 и 3. Такт
образом, дополнительно к предыдущим выражениям мы будем имет£
например, что апп = а\ + а22 + а2.
Придание конкретных числовых значений парным индексам, такта
образом, отменяет указанное суммирование.
Вполне понятно также, что изменение буквенного обозначения таких
немых индексов суммирования не изменяет самого выражения: атЬт =
^anbn, a44 = ass и т. д.
Эта сокращенная форма записи имеет еще то удобство, что она со-
храняет свой вид также и для пространств с числом измерений, отлич-
ным от трех. Различие будет сказываться только при развертывании
рассматриваемого выражения в многочлен, у которого количество конкрет-
ных значений, какие могут принимать в отдельных слагаемых парные
индексы, должно равняться числу измерений пространства.
§ 13. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕЗАВИСИМЫМИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ
КООРДИНАТНЫМИ СИСТЕМАМИ
Рассмотрим две независимые друг от друга прямолинейные коорди-
натные системы.
Примем, что начала двух систем совпадают. Индексы величин, со-
гласно Схоутену, относящихся к одной координатной системе, будем
снабжать справа верхними штрихами, а относящихся к другой — не будем.
Связь между двумя координатными системами будет установлена, если
мы сможем элементы одной системы выразить через элементы другой.
С этой целью введем следующие обозначения:
е"• е'1' = Стп';
ет-еп' = С^; (1.69)
ет • еп- = С”.
Соотношения между независимыми прямолинейными координатными системами 23
Очевидно, что Ст\- = С„-т; Стп' = Сп'т, но С% =# С™.
При конкретизации индексов мы получим для трехмерного простран-
ства по девять значений каждого из четырех видов обозначений (1.69)
для указанных скалярных произведений.
На основе соображений, приведенных при составлении равенств
(1.39), мы можем в данном случае составить такие зависимости:
&п' =Z gn'р'&Р = = СЧпГ£Ч,
е* = g,l'p'ep- = = Сп'чеч.
еп = gnPep = спч-е4' = Сч'печ-; (1.70)
en = gnpep = С"Х = Спч'еч-.
► Эти равенства позволяют совершать переходы от координатного ба-
зиса одной системы к базису взаимной с помощью метрических коэффи-
циентов g с разными индексами, или к базису независимой системы с
помощью коэффициентов С тоже с разными индексами.
Совокупность коэффициентов Счп„ с помощью которых совершается
преобразование одного координатного базиса в независимый от него дру-
гой, при расположении их в квадратной таблице по столбцам и стро-
кам, в соответствии с номерами индексов, образует матрицу
С}, q,
q, q,
сз- с1-
q.
q.
которая, вследствие роли ее членов в указанном преобразовании, носит
название матрицы преобразования координат.
Вполне понятно, что при реальности одной некомпланарной коор-
динатной системы, вторая независимая от нее координатная система
будет также реальна, если члены матрицы соответствующего преобразо-
вания будут вещественны. Для того чтобы базис второй системы был
кроме того некомпланарен, необходимо, чтобы, в соответствии с равен-
ством (1.63) или (1.65) и геометрическим смыслом смешанного произве-
дения (§ 3, п. а), определитель такой матрицы был отличен от нуля.
Покажем, что при задании одной координатной системы и одной
из четырех матриц преобразования остальные три, а также метрика вто-
рой координатной системы полностью определяются. С этой целью при-
мем, что нам известна метрика системы, представляемая матрицей Ijg^JI
и коэффициенты с*-п преобразования некомпланарной системы координат.
Воспользовавшись зависимостью
= Cnq'ffl ,
входящей в состав равенств (1,70), умножим скалярно обе части ее на
масштабный вектор ek. При этом получим, что
С^ = ^. (1.7П
Придавая индексам п и k возможные числовые значения и развер-
тывая левые части возникающих при этом равенств в строку, мы полу-
чим девять линейных уравнений, из которых сможем найти все девять
неизвестных коэффициентов Сч'к. Они будут определяться формулой
24
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
где Det (Сл9-) — определитель матрицы*преобразования координат, состав-
ленной из известных элементов С^-, а Л(С*?-) — алгебраическое допол-
нение к элементу C/i?- этого определителя.
Принимая далее во внимание, что наличие метрической матрицы
llgmzill делает известной также взаимную ей ||g/im||, обратимся к связи
С/Г ==
находящейся среди равенств (1.70). Скалярно умножая обе части этой
зависимости на масштабный вектор ек, мы получим формулу
~ gqk^n'q, (1-73)
которая позволит определить все коэффициенты С*,.
Наконец, если воспользоваться входящим в число равенств (1.70)
соотношением
еп- = С’,еч,
то в результате скалярного умножения обеих его частей на масштабный
вектор е*' получим зависимость
(1-74)
представляющую девять линейных уравнений. В результате решения
их относительно неизвестных величин С*' найдем для последних следу-
ющие представления:
Определитель Det (С*,) здесь отличен от нуля, поскольку система
векторов ek-, определяемая коэффициентами C4k в приведенном выше ра-
венстве, некбмпланарна.
Для нахождения метрики новой координатной системы, представля-
емой векторами еп-, воспользуемся; например, имеющейся среди равенств
(1.70) зависимостью
После скалярного умножения обеих ее частей на масштабный век-
тор ek- получим
№ = СП^С’,. (1.76)
Заметим, что, в результате скалярного умножения всех частей ра-
венств (1.70) на масштабные векторы той или другой координатной
системы, можно получить, помимо приведенных, еще различные другие
зависимости между элементами входящих в них шести матриц.
Если взамен косоугольных координатных систем ввести ортогональ-
ные декартовы, то основные и взаимные к ним координатные системы
совпадут и, вследствие этого, вместо двух пар систем сохранятся лишь
две независимые системы, повернутые друг относительно друга.
Для этого случая
e1 = e1 = i; е2 = е2 = /; e3 = ^ — k\
ev — ev = i'-, e2’ = e2' = j'-, е3- = еу = k', (1.77)
Преобразования координат
25.
а обозначения (1.69) скалярных произведений масштабных векторов рас-
сматривать, как косинусы углов между соответствующими ортами. При
этом, очевидно, возникнут равенства
Стп- = Стп' = С"' = С™ = cos
где обозначения индексов могут быть заменены обозначениями ортов.
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ.
КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ
При совмещении начал двух некомпланарных независимых между
собой прямолинейных координатных систем мы сможем радиус-вектор г
представить следующими выражениями:
г = х'пет = xnen = хч'еч- = xs-es',
где хт и хп, а также х4' и xs — координаты этого радиуса-вектора в
соответствующих системах.
Скалярно умножая все части этих зависимостей на масштабные век-
торы любой из рассматриваемых здесь координатных систем, мы получим
такие четыре группы равенств:
хп' = gn-p-Xp, = С* xq = Сп'чхч-,
хп- = gn-p-x? = Cn-qxq = G*,x4; (1-78)
хп = gnPXp = Cnq, xq' = Спч'хч-\
Xn = gap*? = Cnq-ХЧ' = C“'X4-.
Отсюда видно, что формулы преобразования координат имеют та-
кой же вид, как и формулы (1.70), служащие для преобразования коор-
динатных реперов. Однако если сравнить между собой эти две группы
равенств, то можно заметить, что координаты и базисные векторы, при-
надлежащие к одному и тому же координатному триэдру, преобразуются
по-разному, а именно, координаты преобразуются не так, как их базис-
ные векторы, а как векторы взаимной системы.
Поскольку векторы основной координатной системы принято в обо-
значениях снабжать нижними индексами, то одинаково изменяющиеся
с ними координаты, а также координаты любых векторов, имеющие в
обозначениях также нижние индексы, называют ковариантными по отно-
шению к основным масштабным векторам или просто ковариантными.
Координаты же векторов, обозначаемые верхними индексами и изменяю-
щиеся при преобразованиях координат не так, как основные координат-
ные векторы, а как дополнительные к ним, взаимные, т. е. противопо-
ложным образом, называют контравариантными. Эти термины условно
распространяют также и на сами векторы, называя их ковариантными,
если они представляются скалярными компонентами, обозначаемыми
нижними индексами, и контравариантными — если обозначения их ска-
лярных компонентов имеют верхние индексы.
Из приведенного следует также, что числа хп, например, только в
том случае могут представлять собой контравариантные координаты не-
которого вектора, если при преобразовании координатных систем при
помощи коэффициентов С„' , представляющих координаты основных мас-
штабных векторов новой системы в старой, они обращаются в числа
х'"', связанные с хл условием
26
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
§ 15. Преобразования и инварианты
В связи с рассмотренным выше вопросом о преобразованиях век-
торных элементов при изменениях координатных систем необходимо вы-
яснить также характер преобразований выражений векторных и смешан-
ных произведений векторов.
1. Прежде всего отметим, что определитель, составленный из сим-
волов Кронекера о”, имеет следующее значение:
1 О О
О 1 О
О 0 1
Det|O =
= 1.
(1-79)
2. Обозначим затем через А определитель, составленный из эле-
ментов С” матрицы преобразования масштабных векторов одной основ-
ной координатной системы в основные векторы другой,
A = Det|C^|. (1.80)
Примем во внимание, что, согласно (1,74),
сс ,
Тогда, вследствие правила умножения определителей,
Det | С1тС? | = Det | Cl’m | Det | С™ | = Det 18 С | .
Отсюда на основании формул (1.79) и (1.80) получим зависимость
Det|C£| = |. (1.81)
Определитель матрицы преобразования взаимных координатных
систем, таким образом, обратен определителю матрицы преобразования
основных систем.
3. Установим далее связь между определителями метрических мат-
риц II ётп II и II ёч’ь' || двух независимых между собой координатных сис-
тем.
Для этого примем во внимание зависимости
g^' = C?em; ет = gmnen.
После подстановки второго представления в первое и скалярного
умножения обеих частей возникающего при этом равенства на мас-
штабный вектор es-, мы найдем, что
ч'СS ётп-
Вследствие этого, также на основании правил умножения опреде-
лителей, мы получим такое соотношение:
Det | g4-s-1 = Det | С^ётп | = Det | С™ | Det | С} | Det | gmn |.
Придадим этому равенству, используя обозначение (1,80), а также
обычно применяемое для определителей основных метрических матриц
обозначение
g’ = Det fe-s-); g = Det | g„.,,,
следующий вид:
£' = Д2£. (1.82)
Преобразования и инварианты
27
Но, как известно, величина <?, переходящая после преобразования
координат в величину <р', связанную с предыдущей равенством
<р' = Дй|р,
где Д— определитель матрицы преобразования основных реперов, a k —
некоторое число, называется относительным инвариантом веса k. В слу-
чае если k = 0, эта величина называется абсолютным инвариантом.
Поэтому будем называть определитель основной метрической мат-
рицы относительным инвариантом веса 2.
Определитель же метрической матрицы взаимной координатной си-
стемы является относительным инвариантом веса —2:
Det|g“'s'| = A-2Det|£mn|. (1.83)
4. Рассмотрим затем связь определителя матрицы преобразования
пары координатных систем, представленной элементами с определи-
телем матрицы преобразования другой пары координатных систем, пред-
ставленной элементами С^».
С этой целью напишем следующие зависимости:
е,- = С^-еп.- еп. = С^; = С'тет.
После подстановки выражения вектора еп- в первое равенство и
скалярного умножения обеих частей получаемой при этом зависимости
на масштабный вектор еч", найдем, что
Cs"' — CmCs«Cn'.
Но матрица || || связывает между собой реперы не основных ко-
ординатных систем, а взаимных с ними. Ввиду этого, принимая во вни-
мание следующие обозначения для определителей матриц преобразова-
ний основных координатных реперов:
Д = Det |С/"|; Д' = Det | С? |,
мы сможем установить, что
Det | Л | = ДД'-1 Det | С™ |. (1.84)
Таким образом, определитель матрицы преобразования основных ко-
ординат является относительным инвариантом двойного веса, а именно,
веса 1 относительно преобразуемой системы и веса —1 относительно
преобразованной.
Имея в виду формулу (1.74), можно заключить, что также относи-
тельным инвариантом двойного веса будет определитель матрицы || Ст||
преобразования координат, взаимных по отношению к основным, но с
обратными значениями весов сравнительно с их значениями в предыду-
щем случае.
Принимая во внимание формулу преобразования
которую можно составить способом, понятным из приведенного выше,
мы найдем также, что
Det|C«v>| = AA'Det
(1.85)
28
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Отсюда следует, что определитель матрицы || Стп- || является относи-
тельным инвариантом единичных весов относительно преобразуемой и
преобразованных систем.
Наконец, вследствие равенства (1.71) легко заключить, что
Det|Cm,!'| будет являться относительным инвариантом весов, равных —1
относительно тех же систем.
5. Следует также отметить, что вектор является абсолютным инва-
риантом.
Действительно, если хп есть контравариантная координата некото-
рого вектора и — элемент матрицы преобразования основных масш-
табных векторов, то, ввиду формул преобразований
хт' = С™х"; ее = <Xes,
мы находим, учитывая зависимость (1.74), что выражение хпеп, пред-
ставляющее рассматриваемый вектор, удовлетворяет при преобразова-
нии координатных систем условию
хпеп = хт'ет-.
Поскольку эти выражения представляют направленную величину,
уместно ее, для отличия от скалярных, назвать абсолютным геометри-
ческим инвариантом.
6. На тех же основаниях легко заключить, что абсолютным инва-
риантом в обычном смысле этого термина будет являться скалярное
произведение двух векторов «ио, которое может быть представлено в
координатной форме, согласно равенству (1.51), выражением umvm.
7. Обратимся затем к векторному произведению двух векторов и и
V, ковариантные координаты которых обозначены соответственно через
ип и vn. Принимая во внимание формулы преобразований при измене-
нии координатных систем
^т’ Ст'вп, Чт' Cm’Un, Vm’ C^n'Vn,
какие непосредственно следуют из равенств (1.70) и (1.78), и исполь-
зуя правило умножения определителей, мы сможем получить такое ра-
венство:
*1' е2- ез' ^2 &3
«г «3> = А III (1.86)
V2‘ V3' Vi v2 v3
(1.82) имеем, с точностью
до знака, что
Но из соотношения
Vg' = &Vg. (1.87)
Положительный или отрицательный знак определителя А должен
обусловливать здесь выбор одинаковых или противоположных знаков
перед корнями правой и левой части данного равенства.
Далее, вследствие зависимости (1.59), находим также, что
[ere2-e3-] = А [е^]. (1.88)
Изменение знака в правой части этого равенства сравнительно со
знаком смешанного произведения [е^^зЬ какое может быть при отри-
цательном значении определителя А матрицы преобразования координат,
как легко установить, связано здесь с переходом от правой координат-
ной системы к левой или, наоборот, от левой к правой. Сравнение это-
Обобщенные символы Кронекера
29
го заключения с предыдущим замечанием о знаках корней, фигурирую-
щих в равенстве (1.87), приводит к выводу, что связав, например, по-
ложительный знак перед | g с правой системой координат, отрицатель-
ный следует выбирать перед ним в том случае, если рассматриваемая
координатная система является левой. Это же следует из равенства (1.59).
Учитывая все это, можно заключить, что векторное произведение
двух векторов, представляемое равенством (1.62), является абсолютным
геометрическим инвариантом.
8. Аналогичным образом можно показать, что смешанное скалярно-
векторное произведение трех векторов, определяющее объем параллеле-
пипеда, построенного на этих векторах как на ребрах и представляемое
равенством (1.63) или (1.65), является абсолютным инвариантом. Опре-
делители, составленные из координат этих векторов и фигурирующие в
правых частях данных равенств будут представлять собой относитель-
ные инварианты веса —1 в первом случае и веса + 1 во втором.
§ 16. ОБОБЩЕННЫЕ СИМВОЛЫ КРОНЕКЕРА
В формуле (1.36) для скалярного произведения двух основных ко-
ординатных векторов, каждый из которых принадлежит разным, но
взаимным между собой базисам, был введен символ Кронекера о™.
Необходимость общего обозначения суммируемых величин с чере-
дующимися знаками потребовала введения так называемых обобщенных
символов Кронекера
с произвольным одинаковым количеством верхних и нижних индексов,
могущих принимать любые конкретные значения. Количество этих зна-
чений должно быть не меньше количества индексов в их верхнем или
нижнем ряду. При этом если, например, последовательность верхних
индексов можно получить из последовательности нижних путем четного
числа перестановок соседние элементов последних, или наоборот, после-
довательность нижних из последовательности верхних, этот символ счи-
тается равным 1. В случае нечетного числа перестановок он считается
равным —1, и во всех остальных случаях, т._ е. при наличии одинако-
вых значений индексов в каком-либо их ряду или при наличии в одном
ряду значений индексов, отсутствующих в другом, символ получает ну-
левое значение.
Таким образом, например:
-231 -321 , -321 -231 , . -221 -234 п
°123 — °213 — * > °123 — й213 ~ 1 > °123 — °213 — 6 И Т. Д.
Используя обобщенные символы Кронекера, можно, например, лю-
бой определитель второго порядка, принадлежащий матрице
lx1 х2
I*/1 У2
хл|1
Л
записать следующим образом:
x’yi —х!у‘ = ^ьх°уь (a; b = i\ j),
30
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
а определитель третьего порядка
Det (amn) =
«и
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
представить в таком виде:
Det (атл) = « а1ра29азч. (1.89)
Когда основной порядок значений индексов, с которым нужно срав-
нивать последовательность значений переменных индексов символа, сов-
падает с натуральным рядом чисел и, таким образом, заранее известен,
выписывать его излишне. Для этих случаев Вебленом представлены
следующие специальные обозначения:
р .. _ 5^23. pp'qus _
V'ijk — ui/k i — °1234’
Тогда для отмеченного выше определителя третьего порядка мы по-
лучим такие представления:
Det (атп) = 6^аъ«2/«зл = e‘ikanai2ak3. (1.90)
Аналогично найдем также, что
Det (а„) = (1.91)
Соответствующим образом формулу произведения определителей
Det (ajb'k) = Det (а‘т) Det (а%)
можно будет при этом представить таким образом:
= elmnalamanei<kb1lb "b3k. (1.92)
Символы Веблена позволяют также записать в сокращенной
строчной форме выражения векторного произведения двух векторов.
При этом необходимо иметь в виду представления векторных произве-
дений масштабных векторов, которые непосредственно получаются из
равенств (1.27) при учете связей (1.59) и (1.60):
е2 X е3 = Vge1; е3 X = ф^е2; х е2 = Vge3',
= е3хех = ^; е1 X е2 = -^= . (1.93)
Vs Vs Vs
Тогда громоздкая запись векторного произведения двух векторов и
и о с помощью определителей получает простой вид
и х v — -}=. (1.94)
V S
и легко развертывается в многочлен. При переходе к взаимной системе
координат это произведение представится следующим образом:
и х о = V'g^ijkU'v'e’1. (1.95)
Функции вектора
31
§ 17. ФУНКЦИИ ВЕКТОРА
Рассматривая функцию трех независимых между собой переменны^
и = (х, у, z),
будем переменные х, у и z считать ортогональными прямолинейными
координатами радиуса-вектора г,
г = xi 4- yj + zk.
Если в выражении функции <р (х, у, z) переменные х, у и z заме-
нить скалярными произведениями радиуса-вектора г на орты:
х — г • I, у = г • /, z = г • k,
то тем самым в функцию ср (х, у, z) будет введен радиус-вектор г в ка-.
честве независимой переменной, и эту функцию можно будет предста-
вить в виде
« = f (г).
Скалярная переменная и при этом будет функцией радиуса-век-.
тора г.
В качестве примера скалярной величины, являющейся функцией ра-
диусй-вектора точки, может служить, например, температура в неравно-
мерно нагретом теле.
Рассмотрим далее три независимые между собой вещественные функ-
ции радиуса-вектора гт:
« = К (И; v = f2 (г); w = f3 (г),
причем переменные и, v и w будем считать ортогональными прямолиней-
ными координатами некоторого другого вектора р:
р — ui -J- vj -|- wk.
В этом случае совокупность трех указанных функций можно рас-
сматривать как некоторую функциональную связь между двумя векто-
рами р и г и представить ее следующим образом:
Р = fi (г) i + f2 (г) / + f3 (г) k,
или в виде равенства
Р = F (г),
где F (г)— общее обозначение трехчленного выражения правой части
предыдущего равенства. Если функции Д (г), f2(r) и f3(r) являлись ска-
лярными функциями радиуса-вектора г, то функция F (г) является уже
векторной функцией того же радиуса-вектора.
По аналогии с обычными наименованиями независимую переменную
будем называть вектор-аргументом, а зависимую — вектор-функцией.
Примером векторной величины, являющейся функцией радиуса-век-
тора точки, может служить скорость жидкости в стационарном потоке.
Очевидно, можно представить себе также вектор-функцию нескольких,
независимых между собой вектор-аргументов.
32
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
§ 18. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ ВЕКТОРА
Весьма значительную роль в различных вопросах математики, меха-
ники и физики играют так называемые линейные функции. Мы здесь
остановимся на рассмотрении линейных функций от векторов или, точ-
нее, однородных линейных функций от векторов, поскольку все перемен-
ные предполагаются имеющими общее начало.
Имея в виду сначала скалярную линейную функцию от векторов,
определим ее как такую, которая удовлетворяет следующим двум усло-
виям:
f(v + v) = f(v) -|-/(г?);
12 1 2
f (tnv) — (1.96)
Здесь m — скаляр, v, v и v — векторы и f (v) — скалярная функция
1 2
вектор-аргумента v. Второе условие, как отмечает П. А. Широков, мо-
жет быть выведено из первого, если потребовать вместо него, чтобы
рассматриваемые функции были непрерывными.
Исходя из условий (1.96) можно установить общий вид таких функ-
ций, который они получают при использовании координатного базиса
для представления вектор-аргумента. С этой целью разложим вектор-
аргумент v по трем каким-либо направлениям, определяемым тремя по-
стоянными некомпланарными векторами, ег, е2 и е3. При этом получим
v = r|1eJ 4- v2ez -|- z?e3,
где v1, vz и v3 — координаты вектора v вдоль выбранных направлений.
Ввиду указанных выше свойств (1.96), которым должна удовлетво-
рять линейная скалярная функция u = f(v), находим, что
ы = f (v) = f (и^ + + vse3) = vlf (ej + (e2) + v3f (e3).
Так как выражения f(ej), f(ez) и f(e3) представляют собой три ка-
ких-то постоянных скаляра, то, вводя для них обозначения
tij = f (ej, az = f (ez), a3 = f (e3), (1.97)
мы сможем предыдущее равенство изобразить следующим образом;
и = п1а1 -р rj2az + v3a3. (1.98)
Последнее выражение получено независимо от частного представле-
ния выражения f(v) и, следовательно, является самым общим видом
скалярной линейной однородной функции от вектор-аргумента.
Все, что было сказано выше относительно скалярной линейной
функции, может быть повторено также по отношению к линейной век-
тор-функции.
В этом случае выражения f(ez) и f(e3) будут представлять со-
бой три постоянных вектора и, следовательно, обозначения скаляров
аг, az и а3, определяемые равенствами (1.97), придется заменить обоз-
начениями а, а и а — постоянных векторов, а обозначение скалярной
I 2 3
функции и заменить обозначением и — вектор-функции.
Вместо равенства (1.98) мы теперь получим такую формулу:
и = vla -|- v2a -f- vsa. (1.99)
1 2 3
Линейные функции вектора
33
Представим данную вектор-функцию в координатной форме. Для
этого отнесем три постоянных вектора а, а и а к координатному базису
1 2 з
при помощи равенств
а = а1ег -|- aze2 -j- а3е3;
it 1 1
а = + + (1,100)
а = + aze2 + а3е3,
зз з з
где а'т. (т; п = 1, 2, 3) координаты векторов ат.
Подставляя эти выражения в предыдущее равенство, преобразуем
его к следующему виду:
и = (а1^1 + а1^2 + а1у3) ег + (aV + azvz -J- а2о3) е2 + (а3ог -|- а3о2 + а3о3) е3.
12 3 1 2 3 1 2 3
Трехчленные множители здесь при базисных векторах в правой
части можно рассматривать как контравариантные координаты вектора и.
Обозначая их через и\ и2 и и3 так, что
и = игег + uze2 + и3е3,
мы будем иметь для этих координат следующие представления:
. и1 = аЧ)1 + a1!»2 -J- а1^3;
1 2 3
и2 = а2!»1 -J- azvz + azv3;
1 2 з
и3 = а3!»1 + а3о2 + a3v3,
I 2 3
или, в общем виде,
ыт = а"Ь". (1.101)
п
Эти равенства показывают, что координаты общей линейной вектор-
функции являются скалярными линейными функциями координат вектор-
аргумента.
Если бы векторы а, а и а мы отнесли к взаимному координатному
I 2 3
базису, то вместо равенств (1.100) получили бы такие:
а = а^е1 + а,е2 + Озе3;
it Г 1
а = аге1 -|- а2е2 -|- а3ё*\ (1.102)
2 2 2 2
а = а^е1 + а2е2 + а3е\
зз з з
где ап (т; п = 1, 2, 3) — координаты векторов а во взаимной сравнительно
с основной координатной системе. В этом случае вектор и оказался бы
представленным своими ковариантными координатами и вместо формулы
(1.70) мы получили бы следующую:
ит = атгГ. (1.103)
п
Сравнивая равенства (1.101) и (1.103) с соответствующими равенст-
вами из (1.78)
Хп' = CnqX4, Хп- = Cn-qX0,
3 В. И. Блох
34
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
служащими для преобразования координат, можно усмотреть определен-
ную аналогию в формах выражений в двух случаях. Различие их между
собой заключается в том, что, например, равенство для хп' представляет
один и тот же вектор в двух разных, независимых между собой, коор-
динатных системах, в то время как в случае (1.101) мы имеем дело с
двумя векторами, представленными компонентами ит и v" в одной
и той же координатной системе и связанными между собой определенной
функциональной зависимостью. То же самое можно повторить относи-
тельно равенства для хп- и (1.103) для и,п.
§ 19. ВВЕДЕНИЕ ВЕКТОР-АРГУМЕНТА В ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
ЯВНЫМ ОБРАЗОМ
Воспользуемся равенством (1.98) для скалярной линейной функции и,
имея в виду формулы
о1 — v • е1, v2 = v • е2, v3 = v • е3;
представим ее таким образом:
и = v • (с^е1 4- а2е2 4- а3е3) = v • а, (1.104)
где
а = с^е1 + а2е2 -J- а3е?.
Зависимость (1.104) представляет скалярную линейную функцию от
вектор-аргумента с явным введением этого вектор-аргумента в ее выра-
жение.
Соответствующим образом введем явным образом вектор-аргумент
также в формулу (1.99) для линейной вектор-функции. Тогда она полу-
чит вид
и — • еха 4- v • е2а 4- v • е3а,
. 12 3
ИЛИ
и = ае1 • v + ае2 • v +ае3 v.
1 2 з
Основываясь на распределительных свойствах скалярного умноже-
ния векторов, представим правые части этих двух способов записи одной
и той функции такими формулами:
и = v • (е'а 4- е2а 4- е3а
\ 1 2 з
и = I ае1 4- ае2 4- ае31 •
\1 2 з /
Здесь правые части равенств следует понимать таким образом, что
вектор v скалярно умножается на ближайшие к нему векторы каждого
слагаемого заключенного в скобки трехчлена. Отдельные слагаемые этих
трехчленов в общих случаях представляют собой последовательную запись
двух взаимно независимых векторов е’’ и а в том или ином порядке без
знаков скалярного или векторного умножения между ними. Поскольку в
результате скалярного умножения каждого такого слагаемого, составлен-
(1.105)
v.
Диада
35
ного из двух записанных рядом векторов, возникает определенная
реальная величина, их можно рассматривать как выражения или символы
условного значения. Согласно Гиббсу, объекты вида еха, ае2 или вообще
а Ь, где а и Ь — два любых вектора, приписанные друг к другу без
каких-либо знаков между ними, называются диадами.
Они являются исходными для введения в рассмотрение новых мате-
матических объектов, обладающих, как увидим далее, способностью
представлять, например, некоторые механические свойства сплошных
сред, а также пригодны для других целей.
Оставаясь пока в границах представлений, определяемых равенст-
вами (1.105), мы заключаем, что выражения, проставленные в скобки и
являющиеся суммой трех диад, в результате скалярного умножения на
произвольный вектор v преобразуют последний в новый, вообще говоря,
отличный от него вектор и. Вследствие этого такую сумму можно рас-
сматривать как оператор, совершающий преобразование одного вектора в
другой при скалярном умножении этого оператора на преобразуемый
вектор. Диада, являющаяся составным элементом данной суммы, тоже
будет являться оператором, но, как увидим далее, с ограниченными
свойствами по сравнению с ней.
, § 20. ДИАДА
Диада представляет собой некоторый объект, составленный из объ-
единенных в определенной последовательности пары векторов. Это объ-
единение, как будет показано, обладает некоторыми свойствами обыкно-
венного алгебраического умножения, вследствие чего, такое соединение
двух векторов называют также диадным умножением (по терминологии
Гиббса — неопределенным умножением), а составляющие диаду векторы —
диадными сомножителями.
Свойства диад следуют из способа их образования и свойств состав-
ляющих их диадных векторов. Рассмотрим некоторые из свойств диад.
1. Если два вектора, а и Ь, образуют диаду, представляемую в виде
символа ab, то под скалярным произведением ее на вектор v понимается
результат, получаемый от скалярного умножения вектора v на один из
диадных векторов и последующего умножения возникающего при этом
числа на второй диадный вектор:
v • (ab) = (о • а) Ь\
7 (1.106)
(ab) • v = а(Ь • v).
Как следует отсюда, при скалярном умножении вектора на диаду
этот вектор умножается на ближайший к нему по записи диадный
вектор. Результат умножения поэтому оказывается разным в зависи-
мости от того, какой из диадных сомножителей подвергается указанному
скалярному умножению. Вследствие этого в диаде различают левый и
правый диадный множитель, а при скалярном умножении — левое и пра-
вое умножение диады.
Так как
v • (ab) + (ab) • v,
то отсюда заключаем, что скалярное умножение диады на вектор не
обладает свойством коммутативности.
3*
36
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
2. Сравнивая между собой результаты скалярного умножения двух
диад на один и тот же произвольный вектор, мы приходим к представ-
лению о равноценности диад как операторов или о равенстве их. При
этом заключаем, что две диады могут считаться равными друг другу в
том случае, если при скалярном умножении их с одинаковых сторон
на один и тот же произвольный вектор будут получаться одинаковые
результаты.
Таким образом, ab = cd в том случае, если v • (ab) = v (cd),
а также (ab) • v = (cd) v, где v — произвольный вектор.
Ближайшее рассмотрение показывает, что для того чтобы две диады
были равны между собой, достаточно получить одинаковые результаты
при скалярном их умножении на произвольный вектор только с одной
стороны.
3. Имея диаду ab, отнесем ее векторы а и b к каким-нибудь дру-
гим векторам тех же направлений. а0 и Ьо, и представим их в виде
а = та0, b = nb0,
где т и и —числовые множители. Тогда находим, что
ab = mna0b0 = kaobo, (1.107)
где k = тп и а0Ь0 — новая диада.
Мы, таким образом, приходим к представлению умножения диады
на число. Отсюда следует также ассоциативное свойство этого умноже-
ния диады на число:
k(ab) = (ka)b = a(kb). (1.108)
4. Можно показать, что умножение диады на число обладает распре-
делительными свойствами в двух формах:
(пг, 4- т9) ab = m,ab -4- m9ab\
/ \ (1.109)
т (а1Ь1 а2Ь2) = malbl 4- та.2о2,
где т, mL и т, — числа, а выражение ab, а1Ь1 и а2Ь2— диады.
Справедливость’данного утверждения обнаруживается из рассмотре-
ния результатов скалярного умножения обеих частей каждого из этих
равенств на один и тот же произвольный вектор.
5. Обозначим сумму двух векторов а и b через с:
a -J- b = с.
Тогда, исходя из распределительных свойств скалярного умножения
векторов между собой и умножения чисел на векторы, мы сможем,
вводя в рассмотрение два новых вектора, и и d, составить такую после-
довательность преобразований:
и (cd) = (и • c)d = (и (а + b)\d = (и аи b)d = (и a)d+ (и b)d =
= и (ad) 4- и (bd) ---и (ad bd).
Поскольку эти равенства справедливы при произвольном векторе и,
мы делаем заключение о правомочности также следующих равенств:
cd = (а 4- b) d = ad 4- bd.
Аналогично находим, что
de = d (а 4- b) = da 4- db.
Диада
37
Эти результаты приводят нас к представлению о разложении диады
на сумму диад, у которых левые или правые диадные сомножители
(в данном случае векторы d) равны между собой. *
Обратное чтение тех же равенств показывает приведение суммы
диад к одной диаде.
Здесь мы имеем аналогию со свойством распределительности обыч-
ного умножения числа на сумму двух чисел при исключении свойств
коммутативности, что является основанием для введения указанного
термина диадного умножения.
Из приведенного следует, что диадное умножение обладает свойством
распределительности, но не обладает свойством коммутативности:
a (b -f- с) = ab + ас,
(b -f- с) а = Ьа + са\ (1.110)
ab #= Ьа.
6. Основываясь на отмеченном, легко показать, что всякая диада
может быть разложена единственным способом на сумму девяти диад,
у которых диадные сомножители направлены по трем заданным неком-
планарным направлениям. Для этого следует воспользоваться как ука-
занными в предыдущем пункте свойствами, так и тем обстоятельством,
что любой’вектор может быть разложен по заданным трем некомпла-
нарным направлениям единственным способом. В случае, если в качестве
заданных направлений приняты направления основных координатных
векторов, мы получаем разложение диады единственным способом на
сумму девяти координатных диад.
7. Используя координатный базис elt е2, е3 для представления
диадных векторов а и b в форме
а атет,
b = Ьпеп,
где ат и Ьт — соответствующие их скалярные компоненты, представим
диаду ab в виде девятичленного выражения следующим образом:
ab = атЬпетеп = стпете^,
где стп = dnbn. В развернутом виде это представление изобразится таким
равенством:
ab = с11е1е1 + c12eje2 + с13ехе3 -+- с21е2е1 -f- с22е2е2 + с23е2е3 +
+ с31е3е. + с32е3е, -f- с^3е3е3. (1 111)
Отдельные слагаемые правой части здесь являются координатными
компонентами диады, а коэффициенты с""— координатами диады.
Эти координаты представляют собой, как следует из их образова-
ния, парные произведения координат диадных сомножителей, и потому
между девятью разными их значениями имеют место четыре пропор-
циональных зависимости:
с11: с12 : с13 = с21: с22 : с23 = с31: с32 : с33. (1.112)
Поэтому из девяти скалярных координатных компонентов диады
только пять могут быть выбраны произвольно, притом только такие,
которые не образуют указанных пропорций. В матрице, составленной
из компонентов cmn, такими произвольно назначаемыми могут быть.
38
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
например, члены, располагающиеся на одной вертикали и одной гори-
зонтали или на одной горизонтали и на какой-нибудь диагонали и т. д.
Аннулируя эти члены ввиду их произвольности, мы замечаем, что при
этом определитель матрицы также обращается в нуль. Из всех миноров
только один может оказаться отличным от нуля.
8. Следствием свойств, отмеченных в п. 4 и 7, является правило
суммирования произвольных диад, разложенных на координатные ком-
поненты.
Ес^ли две диады atbx и а2Ь.2 представлены в одной и той же системе
координат в виде девятичленных выражений,
ab — стпетеп,
1 । ।
ab = cmneme„,
2 2 2
где cmn и стп — их скалярные координатные компоненты, то в резуль-
1 2
тате суммирования этих диад возникает также девятичленное выражение
с координатными диадами и скалярными коэффициентами при них,
являющимися суммами скалярных координатных- компонентов сумми-
руемых диад:
ab + ab = стпетеп + cmneme„ = (стп + cmn\ етеп = стпетеп,
112 2 1 2 \1 2 /
где
^тп _ ^тп | ^тп.
' 2
Отсюда следует, что сумма любого числа диад может быть пред-
ставлена единственным способом в общей координатной девятичленной
форме.
9. Не останавливаясь на доказательствах, заметим, что две диады,
ab и cd, могут быть путем сложения приведены к одной дидде только
в том случае, если оба их левых диадных множителя, а и с, или оба
правых, Ь и d,— коллинеарны.
Диады, которые невозможно при суммировании привести к одной,
называются неприводимыми. Те же, которые путем сложения приво-
дятся к одной, называются приводимыми.
Соответственно заметим, что три диады могут быть путем суммиро-
вания приведены к сумме двух диад (если они не приводятся к одной)
только в том случае, если ,все их три левых диадных множителя или
все три правых — компланарны.
При представлении суммы таких приводимых диад в общей девяти-
членной координатной форме определитель, составленный из коэффи-
циентов координатных диад, будет равен нулю.
Гиббс предложил сумму неприводимых диад называть диадиком.
Некоторые авторы избегают этого наименования, распространяя назва-
ние диады также и на суммы неприводимых диад.
При представлении суммы трех неприводимых диад в девятичленной
координатной форме определитель, составленный из коэффициентов
координатных диад, будет отличен от нуля.
10. Покажем, что любая сумма диад в общем случае может быть
приведена единственным образом к трехчленному диадику с заданными
тремя некомпланарными правыми или левыми диадными множителями.
Диала
39
Для доказательства приведем сумму п диад
1 2 п
ab + ab + ... + ab,
1 2 п
1 2 п
где а, а ... а — левые, a b, b . .. b — правые диадные множители к
I 2 п
трехчленному диадику, имеющему, например, в качестве левых диадных
множителей три заданных некомпланарных вектора с, с и с.
I 2 з
Раскладывая векторы а, а ... а по трем направлениям, спреде-
1 2 п
ляемым векторами с, с и с, и принимая эти последние при таком разло-
1 2 .3
жении за масштабные, получим, что
а = ахС] + а2сг + а3с3;
11 I I
а = а1сг + а2с2 + а3с3;
2 2 2 2
а = а1^ + а2с2 + а3с3,
П П п п
где-а1, а2 и а3(т=1;2, ... п) — скалярные компоненты вектора а в
т т т tn
системе с базисом ех, е2, е3.
Подставляя эти выражения для векторов а, а ... а в выражение
1 2 п
рассматриваемой суммы п диад, мы, после небольших перегруппировок,
получим искомый результат:
12 n 1 2 3
ab + ab + 4- ab = cd + cd -f- cd,
12 n 1 2 с
где
1 2 n
d1= alb + аУЬ -f- ... -J-
1 2 п
12 П
d2 = azb + а2/? + ... + а26;
1 2 п
1 2 п
d3 = а3Ь + а3Ь + . .. + а3Ь.
1 2 п
Вследствие того, что разложение векторов а, а ... а по трем не-
: _ п
компланарным направлениям, как известно, может быть выполнено
единственным образом, полученный в результате указанного приведения
трехчленный диадик с заданными левыми диадными множителями также
будет единственным.
Понятно, такое же приведение может быть выполнено и в том слу-
чае, если заданными векторами должны быть не левые, а правые диадные
множители.
Если в трехчленном диадике нн левые, ни правые диадные множи-
тели не линеарны и не компланарны, и, следовательно, уменьшение
40
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
числа слагаемых в таком диадике невозможно, то трехчленная форма
его, к какой может быть приведена сумма любого количества диад,
должна быть признана наиболее общей.
11. Вопрос о равенстве диадиков решается также, как и для диад,
т. е. в зависимости от равенства результатов скалярных произведений
диадиков на произвольный вектор с одинаковых в обоих случаях сторон.
Можно, очевидно, устранить из рассмотрения эти скалярные произве-
дения, если принять во внимание, что диадики будут равны между
собой в том случае, если их можно преобразовать к сумме равных диад.
При представлении диадиков в девятичленной координатной форме
этот вопрос решается в результате сравнения скалярных коэффициентов
при координатных диадах или, что тоже, из сравнения представляющих
их матриц: у равных диадиков должны быть равны представляющие их
матрицы, отнесенные к одной и той же координатной системе.
Таким образом, если имеются два диадика
А = атпетеп и В = Ьтпетеп,
то А — В в том случае, если
атп = bmn(m; п = 1; 2; 3).
12. Возвращаясь к равенствам (1.111), которые связывают два век-
тора v и и, при помощи оператора представленного в виде диадика, мы
можем уточнить определение последнего, имея в виду специальный вид
возникающей при этом функциональной связи: неприводимый трехчлен-
ный диадик есть оператор, который в результате скалярного умножения
на произвольный вектор преобразует последний в другой вектор, являю-
щийся линейной функцией преобразуемого.
Диада в этом случае представляет собой частный вид диадика.
При скалярном умножении ее на произвольный вектор она преобразует
его в вектор постоянного направления. Вследствие этого диаду можно
назвать линеарным диадиком.
Неприводимый двучленный диадик также является специальной
формой последнего. Произвольным вектором он вводит в соответствие
при скалярном умножении на них другие векторы, располагающиеся в
плоскости. На этом основании такой двучленный диадик можно назвать
планарным.
Диадик в своей общей, невырожденной трехчленной форме вводит
в соответствие каждому вектору трехмерного пространства некоторый
вектор трехмерного пространства.
§ 21. ТЕНЗОРЫ
Расширим предыдущее представление о линейных вектор функциях
рассмотрением функций от нескольких независимых вектор-аргументов.
Будем понимать при этом под линейной вектор-функцией такую, кото-
рая является однородной линейной вектор-функцией каждого из своих
вектор-аргументов в отдельности.
Для выяснения вида, который должно иметь выражение такой век-
тор-функции. рассмотрим случай, когда аргументами являются три век-
тора и, v и w.
Тензоры
41
Представляя эти векторы в некоторой прямолинейной координатной
системе равенствами
и — ичеч, v = vses, w = et,
примем во внимание, что их скалярные координатные компоненты могут
быть выражены скалярными произведениями
и4 = и • е*; os = v • es; w‘ = w • e‘.
Вводя затем в рассмотрение вектор р, являющийся линейной одно-
родной функцией указанных трех векторов, мы можем, учитывая соот-
ветствующую зависимость вектора р от вектора и (1.99) и (1.105), пред-
ставить эту функциональную связь следующим образом:
р = ита = и • (ета), (1.113)
m т
где ап — некоторые векторы, не зависящие от и.
Так как векторы и. v и w ничем не связаны между собой, заклю-
чаем, что вектор р может явиться однородной линейной функцией, на-
пример, аргумента v только в том случае, если таковыми окажутся все
векторы а,п. Но тогда на тех же основаниях, что и выше мы можем
представить их в таком виде:
a = v‘blm = v • (elblm),
т
где Ь1т — некоторые векторы, не зависящие от и и v.
Для вектора р мы при этом получим следующее представление:
р = и- (ет[о • (е'Г/т)]},
которое удобно изобразить формулой
р = uv • • (ezembZm). (1-114)
Правую часть этого равенства следует понимать таким образом, что
диада uv подлежит дважды скалярному умножению на выражение, за-
ключенное в скобки. При таком умножении сначала должны быть пере-
множены ближайшие по записи векторы, стоящие по разные стороны от
знаков умножения, а затем следующие два, т. е. v, следует умножать
на е', а и — на ет.
Так как вектор р по условию является еще однородной линейной
функцией также и вектора w, то на основе тех же соображений, кото-
рые были уже дважды использованы нами в аналогичных случаях, за-
ключаем, что такими функциями должны явиться все векторы Ь1т, вхо-
дящие в формулу (1.114), т. е. должно иметь место равенство
bim = wkcklm = w (ef'ckim),
где ckim — постоянные векторы.
42
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Представление (1.114) при этом получит вид
р — uv • • (е'ет [ш • (е*сйт)]),
которому придадим такую форму:
р — uvw • • • (еке1етсЫт). (1.115)
Смысл обозначения тройного скалярного умножения здесь, на осно-
вании отмеченного о двойном умножении, должен быть понятен без
дополнительных разъяснений.
Сравним между собой равенства (1.113), (1.114) и (1.115). Каждое
из них в правой части представляется выражением, имеющим вид ска-
лярного произведения двух комплексов, из которых один составлен из
векторов-аргументов, выделенных явным образом. В равенстве (1.113)
таким множителем является вектор и, в равенстве (1.114) — диада uv,
а в равенстве (1.115) — выражение uvw, которое можно назвать триадой.
Вторым множителем в этих произведениях по смыслу результата явля-
ются операторы, переводящие указанные векторы-аргументы в вектор-
функцию р. В равенстве (1.113) этот оператор имеет вид диадика emam,
в равенстве (1.114) он представлен выражением которое, при
продолжении принципа составления наименований следует назвать три-
адиком, а в равенстве (1.115) — выражение ^elemcklm — квадриадиком.
Эти операторы являются многочленами, составленными из векторов,
соединенных между собой диадным умножением. То обстоятельство, что
в них все диадные множители, кроме последнего, представлены мас-
штабными векторами некоторой координатной системы, является следст-
вием разложения вектор-аргументов на составляющие по координатным
осям. Очевидно, что при таком разложении можно было бы для каждого
вектор-аргумента выбрать свой базис из трех произвольных некомпла-
нарных векторов, и тогда в операторах в качестве диадных множителей
фигурировали бы эти произвольные векторы.
Если входящие в указанные операторы векторы ат, Ь1т и ск1т раз-
ложить также на составляющие по координатным осям е" и представить
их выражениями
ат = ат^п’ Ь1т = blmnen, cklm = cWmne",
то формулам (1.113—1.115) можно будет придать такой однообразный
относительно диадных сомножителей вид:
Р = и • (атпетеп) р = uv (b,mnelemen) р = uvw (cklmnekelemen). (1.116)
Выделяя операторы и вводя для них обозначения, соответственно
А, В и С, представим их выражениями
Л = атпетеп. В = blmne‘emen, С = cklmnekeiemen. (1-117)
В развернутом виде все они имеют вид однородных многочленов,
причем в первом количество слагаемых будет З2 = 9, во втором З3 = 27
и в третьем 34 = 81. Эти слагаемые имеют вид произведений скалярных
коэффициентов атп, Ь1тп или сЫтп на масштабные векторы, объединен-
ных диадным умножением, причем количество этих векторов равно коли-
честву индексов у коэффициентов.
Тензоры
43
Можно продолжить приведенный ряд выражений и получить ана-
логичные операторы с любым числом диадных множителей. Всем им
присвоено название тензоров1.
Количество диадных векторов, содержащихся в каждом слагаемом
общего выражения тензора, или, что то же, количество индексов при
скалярных коэффициентах этих слагаемых, определяет его валентность.
При наличии п таких индексе® тензор называется n-валентным или
n-кратной валентности.
Отдельные слагаемые полинома, представляющего тензор, называ-
ются его компонентами. Если этот полином отнесен к прямолинейной
координатной системе, так что диадными множителями в компонентах
являются векторы базиса системы, как, например, в представлениях
(1.Н7), тогда тензор определяется заданием числовых коэффициентов
его компонентов. В этом случае такие коэффициенты называются коор-
динатами тензора. При использовании прямолинейных координатных
систем применяют также такое сокращение речи, когда говорят, напри-
мер, тензор Ск1тп, тензор ФаЬ и т. д. Сопутствующий этим координатам
в компонентах векторный комплекс, составленный из масштабных век-
торов, будем называть масштабным сопровождением. Таким образом, в
тензоре В = скаляры В1.тп будут его координатами, а диад-
ные произведения трех масштабных векторов ертеп — их масштабными
сопровождениями.
Применение названия «тензор» к выражениям, представленным
равенствами (1.117), позволяет в результате сокращения числа разных
индексов до одного получить тензор вида
v = vne",
который будет представлять собой уже вектор. При полном устранении
индексов мы получаем только обозначение некоторого числа без сопро-
вождающих масштабных векторов, т. е. скаляр. На этом основании
вектор можно рассматривать, как тензор однократной валентности, а
скаляр — как тензор нулевой валентности.
Равенства (1.117) составлены таким образом, чтобы в выражениях
тензоров фигурировали масштабные векторы только с верхними индек-
сами. Очевидно, можно все построения вести так, что в окончательных
выражениях тензоров окажутся масштабные векторы только с нижними
индексами. Легко установить, что в этом случае во всех используемых
для вывода равенствах верхние индексы оказались бы внизу, а нижние —
вверху. При этом, например, приведенный среди равенств (1.117) тензор
С получил бы такой вид:
С = С^е^тел.
Этот вывод можно было бы выполнить и таким образом, чтобы в
окончательных выражениях возникающих при этом тензоров второй,
1 Термин «тензор» является производным от латинского слова tendere — натяги-
вать, напрягать, и обусловливается тем, что напряжения в сплошной среде опреде-
ляются выражениями, аналогичными оператору А. В другом значении в сравнении
с современным его использованием он был применен Гамильтоном. Затем был предло-
жен Фойгтом для обозначения величин, связанных с направлениями и эквивалентных
деформациям. Им же был предложен термин тензорная триада. Во всеобщее употреб-
ление в современном значении термин «тензор» вошел после выхода работ А. Эйн-
штейна.
44 Некоторые вопросы векторной н тензорной алгебры
например, масштабный вектор имел нижний индекс, а остальные —
верхние. Тогда для того же тензора С мы получили бы формулу
С =Ck.mnekelemen.
Здесь точки в обозначении c'kl.mn представлены с целью фиксации
места переставляемых индексов.
Обращаясь снова к равенствам (1.116), можно заметить, что в них
имеет место скалярное умножение векторов на тензоры. Очевидно, что
тензоры можно подвергать скалярному умножению также и справа, но
при этом будут получаться, вообще говоря, другие вектор-функции. Дру-
гие вектор-функции будут получаться также, если при таком умножении
в тензоре, имеющем валентность более двукратной, оставлять свобод-
ными от умножения не крайние, а какие-либо из промежуточных его
диадных сомножителей.
Вообще же следует заметить, что поскольку величина валентности
тензора означает количество диадцых сомножителей в представляющих
его компонентах, то «-валентный тензор может быть подвергнут п раз
операции скалярного умножения; но количество таких умножений может
быть и меньше чем п.
В результате каждого скалярного умножения тензора на один вектор
валентность его уменьшается на единицу. Поэтому если тензор «-крат-
ной валентности скалярно умножить k раз на k векторов, где k - ' п,
то в результате будут возникать также тензоры, валентности которых
будут равны п — k. При этом координаты их будут являться одно-
родными линейными функциями координат k векторов-множителей. Если
же k = п, то в результате указанного умножения возникнет тензор
нулевой валентности, т. е. скаляр, являющийся линейной однородной
функцией координат всех векторов-множителей.
В связи с отмеченным можно валентность тензора сравнить, как
отмечает Схоутен, с валентностью химических элементов. Валентность
тензора определяет его количественную способность вступать в соеди-
нения скалярного умножения с отдельными векторами. В результате
скалярного умножения тензора «-кратной валентности на п векторов
наступает состояние его полного насыщения.
§ 22. ТЕНЗОРЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Как уже отмечалось, относя в процессе вывода рассматриваемые
вектор-аргументы к той или иной из двух взаимных координатных
систем, можно получить выражение для одного и того же тензора в
разных представлениях. Так, например, тензор, выражение которого
фигурирует среди формул (1.117), может быть представлен в таких видах:
В = blgllefeseh = = bl.mnel^nen = b4\te4e^*,
и в некоторых других. Однако, можно было бы при введении различных
вектор-аргументов в возникающие в процессе вывода вектор-функции
пользоваться и не связанными между собой условиями взаимности коор-
динатными системами. Если поступать таким образом, то в представ-
ляющие формулы будут проникать масштабные диадные множители,
Тензоры и преобразования координат
45
относящиеся к различным реперам. При этом наряду с приведенными
выражениями для тензора В можно получить также и следующие:
В = bfs-h«efes’eh'' = b'™"ne‘ ет"еп = b'т " Jemen- = 6*s-^e4-esV",
и еще ряд других. Здесь штрихи при индексах указывают на то, что
соответствующие обозначения относятся к разным координатным систе-
мам, отличным от системы, в обозначениях которой штрихи при индек-
сах отсутствуют.
Инвариантная форма представления рассматриваемого тензора во
всех приведенных случаях следует из процесса вывода выражений для
него, который для этих случаев можно сделать однообразным и подоб-
ным, например, тому, какой был использован для получения первого
выражения. Конечно, координаты тензора или, что то же, скалярные
коэффициенты, во всех таких различных представлениях для одного и
того же тензора будут иметь разные значения, но вполне понятно, что
они должны быть связаны между собой условиями преобразования коор-
динатных систем. Эти связи легко выявляются при использовании приема,
который можно усмотреть из следующего примера.
Пусть требуется найти зависимости между координатами тензора,
представленного, например, такими выражениями:
6f?fte/eeeft — bд-е''е-‘ek' = bi^ntf'e^ff1 = b4S.t-e4es’er. (1.118)
Пр'и этом должны быть известны следующие коэффициенты преобразо-
вания координатных систем, которые согласно формулам (1,32), (1,34)
и (1,69) определяются скалярными произведениями масштабных век-
торов:
gmn = ет • е„; gmn = ет е\ gm.n. = ет- • е„<; gm'n' = е"1' • е"',
8* = е*-еп; = ek' еп-, спт^ет-еп'\ с™=ет-еп--,
р г -- Р • Р г ’ -- ptn pTl*
итп — с с г -
Легко обнаружить, что если все части равенств (1.118) трижды
скалярно умножить на триаду ehes€f, то вследствие отмеченных формул
преобразования возникнут представления для координаты blgll рассмат-
риваемого тензора через его координаты в других отнесениях. Эти
равенства приводятся здесь среди формул (1.119) в первой строке.
Соответствующим способом получаются и другие равенства, приводимые
также в остальных строках:
bjgh ~ bi’i'k'Cf ^gch ~ be’ •hPfCm’g = Ь. .fg4fCs'„Ch',
t П L.4S' I J Q h
Ofi'k' b? -ngrn'i'Ck' — b. .k’C4igsrf — bjghCfCi'Ctf, j , ig
bl’.n = b..t-e4l-cn = bfghc\’(?m = cn
t_4S' 1 0S' h f i'4 i'S' f .S’ 1'4 n
b..t- = bfghg1 c4 ce = g’ = bt-.hc ce.
Отсюда, между прочим, следует, что для того, чтобы З3 величины
могли быть использованы для представления тензора В трехкратной
валентности, эти величины должны подчиняться указанным условиям
преобразований при изменении координатных систем. На этом основании
можно заключить, что способность соответствующего количества величин
изменяться аналогичным образом при изменении координатных базисов
может служить основанием для установления того обстоятельства, что
они представляют координаты тензора.
46
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Вследствие этого утверждают, что совокупность Зт+п чисел
^а1а2’--аП1 »
переходящих при произвольном невырожденном изменении прямолиней-
ных координат с матрицей преобразования || с“* || и соответствующей ей
обратной матрицей в Зт+п чисел
а'а' • a' Zlai“2- • -ат Са'Са' СкД,С.-,С?» А-п
1 2 т 1 2 /П 2
определяют тензор m-J-n-кратной валентности.
Представляя тензор его выражением в полном виде как сумму
компонентов, имеющих эти числа в качестве координат тензора, можно,
используя его свойство инвариантности, получить формулы, позволяю-
щие полностью или частично переводить верхние индексы при коорди-
натах вниз или нижние вверх.
При этом получим, например, что
А[тп = ^g4lgsmgtn; Almn = A4Stg* lg™g";
Ai-m-n- = A4Stc4l-cim ctn'; = A4Stc41'csm’ctn'.
Заметим, наконец, что подобно тому как это было показано для
векторов, координаты тензора с верхними индексами, т. е. представ-
ленные в системе референций с основным базисом, преобразуются
при изменении этого базиса противоположным образом в сравнении с
тем, как преобразуются при этом их масштабные сопровождения. Они
преобразуются так, как преобразуются масштабные сопровождения,
составленные из векторов взаимного координатного базиса. Обратнее
имеет место при преобразовании координат тензора с верхними индек-
сами. На этом основании координаты тензора, имеющие в обозначе-
ниях верхние индексы, называются контравариантными, а имеющие в
обозначениях нижние индексы — ковариантными; координаты, имеющие
одновременно верхние и нижние индексы, называются смешанными.
Обычно эти названия переносят также и на сами тензоры и говорят,
например, о ковариантном тензоре, если он представлен своими кова-
риантными координатами и т. п. Поскольку тензор, имеющий п-кратную
валентность, может иметь ч-кратную контравариантную валентность и
s-кратную ковариантную валентность, если ч -}- s = п, то, упрощая речь,
говорят о таком тензоре, как о тензоре ч раз контравалентном и s раз
ковалентном.
Как уже отмечалось, выражение тензора в его полном виде имеет
инвариантную структуру относительно координатных систем. Эта струк-
тура вполне совпадает со структурой рассматриваемых в алгебре поли-
линейных многочленов типа Almnx*tf"2A называемых формами, в которых
Лтп — коэффициенты, a xz, ут и z" — координаты трех векторов х, у
и г. Действительно, если в этой трилинейной форме координаты век-
торов заменим масштабными векторами, то получим выражение тензора,
^zm/emen.
Далее, если фиксировать векторы х, у и г и изменять координат-
ные системы, то при условии инвариантности рассматриваемой трилинейной
формы законы преобразований, входящих в оба выражения коэффициен-
тов А1тп, будут одинаковыми, а координаты х1, ут и z" будут преобра-
зовываться как масштабные векторы ет и е". Уместно вследствие
этого многочленные выражения для тензора, содержащие масштабные
Действия над тензорами
47
векторы вместо координат текущих векторов, назвать геометрическими
формами.
Поскольку представляющие рассматриваемый тензор в разных коор-
динатных системах геометрические формы, как мы видели, оказываются,
кроме того, равными между собой, то из этого следует, что тензор
представляет собой некоторый геометрический комплекс или объект,
инвариантный относительно координатных систем, в которых он пред-
ставлен. Эта инвариантность обусловливается противоположностью пра-
вил преобразований координат тензора и масштабных сопровождений
при изменении систем отнесений.
Действительно, если в выражении тензора отдельно преобразовывать
его координаты и отдельно масштабные векторы, то можно получить,
например, такое равенство:
Almneleme- = (Aa.b.c^mccj
Но так как, согласно (1,74), имеет место зависимость
то из предыдущего непосредственно следует, что
^imne‘emen = Аа.ь-с-еа'еь'ес'.
Учитывая все сказанное выше, можно охарактеризовать тензор как
некоторый геометрический абсолютный инвариант, представляемый гео-
метрической формой со слагаемыми, имеющими вид произведений число-
вых коэффициентов на масштабные векторы, участвующие в качестве
диадных сомножителей.
§ 23. ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ
Прежде чем перейти к рассмотрению действий над тензорами, на-
помним. что поскольку диадное произведение некоммутативно, диадные
сомножители в компонентах тензора нельзя переставлять. В связи с этим
заметим, что последовательность расположения индексов при коэффи-
циентах тензорных многочленов, определяемая порядком чередования
масштабных векторов с аналогичными индексами, в диадных произведе-
ниях, кроме специально указываемых случаев, также фиксируется.
1. Равенство тензоров. Можно говорить лишь о равенстве тензоров
одинаковой валентности. Такие тензоры, при представлении их в коор-
динатной форме должны быть для установления их равенства преобра-
зованы так, чтобы они имели одинаковые масштабные сопровождения.
После такого преобразования два тензора, например,
А = и В = B4S'te4es • е1,
будут равны только в том случае, если будут равны между собой все
координаты этих тензоров с одинаковой конкретной индексикацией,
т. е. если в данном примере будут иметь место равенства
А1т; = В1™п (/; т'\ n= 1; 2; 3).
2. Суммирование тензоров. Результат суммирования тензоров оди-
наковой валентности может быть представлен единым тензором той же
валентности, называемым их суммой. Координаты тензор-суммы полу-
48
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
чаются в результате суммирования координат тензор-слагаемых, имею-
щих одинаковую конкретную индексикацию.
Так например, суммой двух приведенных выше тензоров будет яв-
ляться тензор
С = C4S'te4es-ef,
если
С1т' = А1" + В^.
Сумма тензоров обладает свойством коммутативности
Д4-В = В+Д (1.120)
ассоциативности
(Л + В) -}- С = A -J- (В -}- С).
Доказательство этих последних свойств очевидно.
3. Произведение тензора на число приводит к новому тензору той же
валентности, все компоненты которого умножены на это число.
4. Диадное умножение тензоров. Под действием диадного умноже-
ния тензоров понимается распространенный на тензоры порядок диад-
ного умножения векторов. Диадным произведением двух тензоров, имею-
щих валентности ч и s, называется новый тензор с валентностью ч + s,
координаты которого равны произведениям координат тензор-множите-
лей, а масштабные сопровождения составляются из масштабных сопро-
вождений множителей, располагающихся в определенном, указываемом
при умножении, порядке.
Таким образом, если имеются, например, два тензора
А = Afs'efes-, В = В\т,п • ezem'en,
то при левом или правом диадном их умножении будут получаться та-
кие тензоры:
С = АВ = Al&'Blm,neieg-e!em'en = С^1П1,пе1ее-е[е'п'еп-,
D = BA = В1т.пА’а'е1ет'егге1е1,' = De^A'eiem' eriejeg‘. (1.121)
Диадное умножение не обладает свойством коммутативности. Во всем
остальном оно формально не отличается от обычного умножения мно-
гочленов.
5. Скалярное свертывание — операция, выполняемая над одним тен-
зором и заключающаяся в скалярном умножении двух каких-либо из
диадных сомножителей в масштабном сопровождении. Для обозначения
скалярного свертывания можно пользоваться специальным знаком ©,
который ставится под однобуквенным обозначением тензора. Если тен-
зор имеет валентность большую, чем двукратная, то по бокам этого
знака следует ставить цифры, указывающие порядковый номер скалярно
перемножаемых диадных сомножителей, например 2 0 4. При скаляр-
ном свертывании валентность тензора уменьшается на две единицы.
Если скалярное свертывание должно быть выполнено несколько раз над
одним и тем же тензором, то знаки свертывания следует ставить один
над другим.
Приводим примеры скалярного свертывания.
1) Если А = Atje е', то Л =
Действия над тензорами
49
2) Если В = В1 ,eiemen', то В = Вттп,еп’, (1.122)
1©2
В = В\тп.С"е"\ В = В‘тп,С™-е1.
1©3 203
6. Скалярное умножение тензоров — операция, совмещающая диадное
умножение их со скалярным перемножением двух диадных сомножите-
лей масштабных сопровождений, из которых один принадлежит одному
тензору, а второй — другому.
Если валентности перемножаемых таким образом тензоров равны ч
и s, то валентность получаемого при этом тензор-произведения будет
равна ч + s — 2.
Для обозначения скалярного умножения можно пользоваться обыч-
ным знаком — точкой, если при последовательной записи двух тензор-
множителей должны быть скалярно перемножены два рядом стоящих
диадных сомножителя масштабных сопровождений. Если же при этом
скалярному умножению подвергаются не рядом стоящие диадные сомно-
жители, то можно пользоваться обозначением скалярного свертывания.
Так как скалярное умножение двух тензоров равносильно скаляр-
ному свертыванию их диадного произведения, то это умножение можно
называть также взаимным скалярным свертыванием двух тензоров по
указываемым при этом множителям масштабных сопровождений. В общем
случае скалярное умножение не обладает свойством коммутативности.
В качестве примеров скалярных умножений двух тензоров приводим
здесь три случая, в которых множителями участвуют тензоры А и В,
фигурировавшие в примерах предыдущего пункта:
1) С = А • В = A.jBi^.eW = C^eW-,
2) С = В • А = //,Bzmn.C"‘'ezeme' = С1 (1.123)
3) С = АВ = A^.gi^e^' = С^п.е‘е^.
204
7. Транспонирование. Имея выражение некоторого тензора, обра-
зуем из него новый тензор такой же валентности и координатных от-
несений путем изменений у координат тензора порядка следования ин-
дексов, без перестановки соответствующих диадных сомножителей в
масштабных сопровождениях. Такая операция получения новых тензо-
ров-называется транспонированием (перестановкой).
Для ее обозначения введем знак Т, проставляемый под однобук-
венным обозначением тензора. Если транспонируемый тензор имеет ва-
лентность более двукратной, то с двух сторон этого знака следует
ставить цифры, указывающие порядковые номера переставляемых ин-
дексов при обозначениях координат тензора.
Очевидно, тот же результат можно получить, если вместо переста-
новки индексов при координатах переставлять индексы у соответствую-
щих диадных сомножителей в масштабных сопровождениях. Одновре-
менная одинаковая перестановка индексов при координатах и у диадных
сомножителей масштабного сопровождения, понятно, не вносит никаких
изменений.
Тензор, полученный из исходного в результате указанной переста-
новки индексов или диадных сомножителей, называется изомером по-
следнего. Если при перестановке пустующие места в ряду верхних или
нижних индексов не затрагиваются, то такой изомер, согласно Схоу-
тену, называется собственным. Равносильная этому последнему случаю
4 В. И. Блох
50
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
перестановка диадных сомножителей в масштабном сопровождении,
вместо перестановки индексов у координат тензора, заключается в пе-
рестановке" между собой множителей, имеющих только верхние или
только нижние индексы и притом принадлежащих одному и тому же
реперу.
Примеры. ,
1) Если А = Ai/e'e1, то, вводя обозначения Втп — Апт, получим, что
В = А.
2) Если А = Л'/;41;^пе/е/в*е,'етея, то вводя обозначение В^^ Л'^;",
получим, что В = Л. (1.124). Тензор В является изомером тензора Л.
I Т4
3) Вводя в предыдущем примере обозначение cnJ^k= А\{^,пт полу-
чим, что С = Л.
IT6
ЗТ5
Тензор С является собственным изомером тензора Л.
8. Симметрирование. Если выполнить у координат тензора всевоз-
можные перестановки с п нижними или верхними индексами, относящи-
мися к одному и тому же базису без перестановки диадных сомножите-
лей в масштабных сопровождениях, то в результате получится п' раз-
личных тензоров. Составим из них новый тензор, координаты которого
пусть равняются средним арифметическим из всех координат получен-
ных таким образом тензоров. Такая операция образования нового тен-
зора носит название симметрирования.
По Схоутену для обозначения операции симметрирования заклю-
чают подлежащие перестановке индексы в круглые скобки, выделяя
вертикальными прямыми те промежуточные индексы, которые переста-
новке не подлежат. Таким образом, при симметрировании, например,
тензора Л с координатами Aa.bcdet по индексам Ь, с и е, возникает новый
тензор В с координатами
B-bcdef = A.(bc]dle)f = "gj (Л. bcdef "Е A.ebdcf "Е A-cedbf "Е A-cbdef "Е .
-Е A^edbf + Aabedtf). (1.125)
Полученный тензор называется симметрическим относительно (в дан-
ном случае) индексов Ь, с, е.
При однобуквенных обозначениях тензоров операция симметрирова-
ния может быть отмечена при помощи помещенных внизу или сбоку
обозначения тензора заключенных в круглые скобки порядковых номе-
ров индексов, по которым выполняется симметрирование. На этом ос-
новании операция симметрирования в предыдущем примере может быть
обозначена следующим образом:
В = Л. (1.126)
(235)
9. Альтернирование. Будем при указанных выше перестановках ин-
дексов различать четные и нечетные перестановки. Как известно, чет-
ными называются перестановки, которые при переходе из основной на-
чальной последовательности элементов к данной получаются путем чет-
ного числа перестановок любых двух соседних элементов; нечетными —
приводящие к данной последовательности путем нечетного числа таких
парных перестановок.
Действия над тензорами
51
Выполняя у координат тензора перестановки в какой-нибудь группе
верхних или нижних индексов, относящихся к одному и тому же ба-
зису, изменим у получающихся при этом координат с нечетными пере-
становками знаки на обратные. Из полученных таким образом коорди-
нат составим тензор, координаты которого пусть будут равны среднему
арифметическому всех таких координат с переставленными индексами,
как с неизмененными, так и с измененными знаками. Такая операция
получения нового тензора носит название альтернирования.
По Схоутену для обозначения альтернирования применяется тот же
способ, что и в случае симметрирования, но вместо дуговых скобок
ставят прямые. Таким образом, при выполнении альтернирования в
тензоре предыдущего примера по тем же индексам мы получим тензор С
с координатами
C^bcdef = (A°bcdef + + Aacedbf — A^bdef—
— Aaecdbf — A°bedcf) (1.127)
Составленный таким способом тензор называется альтернированным,
антисимметрическим или кососимметрическим относительно соответствую-
щих индексов.
При однобуквенных обозначениях тензоров операция альтернирова-
ния может быть отмечена помещенными внизу или сбоку обозначения
тензора заключенными в прямые скобки порядковыми номерами индексов,
по которым выполняется альтернирование. В предыдущем примере эта
операция в таком случае представится следующим образом:
С — А. (1.128)
[235]
Тензор, не являющийся ни симметрическим, ни антисимметрическим
по определенным индексам, называется асимметрическим в отношении этих
индексов.
10. Векторное свертывание. Под векторным свертыванием тензора
будем понимать операцию составления из него нового тензора при по-
мощи векторного перемножения двух принадлежащих одному и тому же
реперу векторов масштабного сопровождения. Для обозначения вектор-
ного свертывания будем применять знак проставляемый под одно-
буквенным обозначением тензора.
Очевидно, векторному свертыванию могут подвергаться тензоры,
имеющие валентность одного типа не меньше двукратной. Если тензор
имеет ко- или контравалентность больше двукратной, то для обозначе-
ния того, какие два рядом стоящих вектора масштабного сопровождения ,
подлежат векторному свертыванию, по обеим сторонам знака @ следует
ставить числа, указывающие порядковый номер свертываемых диадных
сомножителей. Если векторному умножению подлежат не рядом стоящие
векторы масштабного сопровождения, то под этим знаком следует ста-
вить еще и номер того места в масштабном сопровождении, где в ре-
зультате данной операции должен быть проставлен вектор их произ-
ведения.
Вполне понятно, что при однократном векторном свертывании ва-
лентность тензора уменьшается на единицу.
Рассмотрим здесь два примера использования приведенных указаний
и формул (1.93):
4
52
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
1) Если А = Al'e,ei, то В — А = Vrg6ljkA‘,e’i = Bk^, где Bk —
= r^nz/.
2) Если А = А'..к[те,е'еке1ет, то В - А = ^=6llnA‘.jk[meekenem =
2®4 V g
3
= B‘kn.me ekenem, где В^.т = 0lnA‘,Ыт. (1.129)
Vg
11. Векторное умножение тензоров. Под векторным умножением
двух тензоров понимается операция, совмещающая диадное умножение
их с векторным умножением двух относящихся к одному и тому же
координатному триэдру координатных векторов масштабных сопровож-
дений, из которых один из этих векторов принадлежит одному из пе-
ремножаемых тензоров, а второй—другому.
Если ч и s — валентности тензоров сомножителей, то валентность
возникающего в результате векторного умножения тензора будет равна
ч s— 1.
Для обозначения векторного умножения следует пользоваться обыч-
ным знаком — косым крестом, если при последовательной записи двух
тензорных множителей должны быть векторно перемножены два рядом
стоящие координатные векторы масштабных сопровождений. Если же
при этом векторному умножению должны быть подвергнуты не рядом
стоящие масштабные векторы, то следует применять указанное выше
обозначение векторного свертывания.
Векторное умножение двух тензоров может быть названо также
векторным свертыванием двух тензоров по указываемым, конечно, мно-
жителям масштабных сопровождений.
Воспользуемся выражениями двух тензоров
А — А^'е/, В = В^'е^Г
и для иллюстрации сказанного выше составим следующие векторные
произведения:
1) А X В = ^-0lsAaBlтпче^ете№-
Vg
2) В X А = (1.136)
1 Vg
3) АВ = -^e‘lsAijBlmn4es&emene-‘.
1®з V g
§ 24. ТЕНЗОР ТОЖДЕСТВЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Существенное значение среди диадиков, или, что то же, тензоров
двукратной валентности, имеет так называемый тензор тождественного
преобразования, который при скалярном умножении на вектор не изме-
няет его или, как говорят, преобразует его в самого себя. Вследствие
этого его свойства он носит также название единичного тензора и обоз-
начается римской единицей /. При использовании двух взаимных коор-
динатных базисов он может быть представлен равенством
/ = е^1-|-е2е2 + е3е3- (1.131)
Тензор тождественного преобразования
53
Преобразовывая здесь оба диадных сомножителя в каждом слагае-
мом к их взаимным базисам можно показать, что эти сомножители мо-
гут быть здесь представлены:
/ = етет = gmngm‘enel = 3^e"ez = епе„.
При скалярном умножении тензора I на вектор v в соответствии с
равенствами (1.37) или (1.38) находим, что
I • v = (emem) • v = vmem = v. (1.132)
Тем самым подтверждается отмеченное выше свойство его играть
роль единицы при скалярном умножении. Так как диадные векторы в
нем могут быть переставляемы, то правое и левое умножение для окон-
чательного результата безразличны. Однако при использовании тензора,
например, в форме (1.131) левое скалярное умножение на вектор пред-
ставляет последний в качестве ковариантного вектора, а правое — в ка-
честве контравариантного.
Можно также, используя формулы (1.39) или (1.40), придать тен-
зору I один из следующих видов:
I = gmnenfin = gmtfme\ (1.133)
Представленный в такой форме, он носит название метрического
тензора, поскольку координатами являются компоненты метрических
матриц
1 = + g33^ + gz3 (e2e3 + e3e2) + (e3gl + gle3) +
+ £12 (ele2 + e2e1)-
Это дает основание рассматривать числа gmn и gmn как ковариант-
ные и контравариантные координаты метрического тензора.
В результате двукратного скалярного умножения его на один и
тот же вектор х мы получаем так называемую основную метрическую
форму:
х • I • х = х • х = g^xV = gn (х1)2 + g,, (х2)2 + g33 (х3)2 + 2g23x2x3 +
+ 2g31x3x1 + ZguXbc2. (1.134)
По структуре она представляет собой квадратичную форму. При
двойном скалярном умножении тензора I на два разных вектора х и у
получается так называемая билинейная форма:
х • / • у = х y=-gmnxmyn = g^x'yi 4 g22x2y2 + g33x3y3 + g23 (x2y3 + xV)+
+ £з1 (х3Уг + x'y3) + g12. (xV + xV). (1.135)
Можно также один или оба диадных вектора каждого слагаемого
в представлении (1.131) тензора I преобразовать при помощи равенств,
приведенных среди соотношений (1.70) к любой другой прямолинейной
координатной системе. При этом в случае преобразования только одного,
левого или правого диадного множителя в каждом слагаемом, найдем,
что
1 =с пст-^ = Ce"4 = стп-ете"' = стп'^еп-. (1.136)
Здесь диадные сомножители на том же основании, что и выше,
могут быть переставляемы. Тензор, представленный в таком виде, можно
назвать тензором преобразования координат, а числа с™', стл- и другие —
координатами этого тензора. Он позволяет в результате скалярного
54
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
умножения преобразовывать вектор, заданный в одной прямолинейной
координатной системе, к любой другой прямолинейной системе, если
известны соответствующие координаты этого тензора.
Заметим, наконец, что в декартовой координатной системе этот
тензор представляется формулой
I = ii + jj + kk. (1.137)
В случае векторного умножения единичного тензора на какой-либо
вектор, который обозначим через и, находим, что
их / = (uze') х (emem) = y=6lmnuienem = — ^6<mnu;emen=
1
[ux (e2e3 — e3e2) 4- u2 (e3ex — e^) -f- u3 (eLe2 — e^)]. (1.138)
Следует заметить, что правое и левое векторное умножение в дан-
ном случае не изменяет результата:
/ х и = (е,е‘) х (итет) = y^6lmnumelen = —-^6lmnuiemen.
Скалярное свертывание единичного тензора, как легко обнаружить,
дает следующее значение:
/ = 3. (1.139)
©
При векторном свертывании этого тензора происходит его аннули-
рование:
/ = 0. (1.140)
§ 25. ТЕНЗОР ДВУКРАТНОЙ ВАЛЕНТНОСТИ
Ввиду той значительной роли, какую в дальнейшем у нас будут
играть тензоры двукратной валентности, рассмотрим здесь некоторые
их свойства.
1. Асимметрический, симметрический и антисимметрический тен-
зоры. Представим тензор двукратной валентности в развернутой девя-
тичленной координатной форме следующим образом:
Т = Тие^ + + Т^е3 + Т21е2е’ + Т22е2е2 -f- Т23е2е3 +
+ Tg^e1 + TS2e3e2 + Т33е3е3.
Так же как и в матрице, составленной из координат этого тензора,
различают координаты с двумя одинаковыми индексами, расположенные
на главной диагонали этой матрицы — диагональные координаты тензора,
и остальные — называемые боковыми.
Если значения боковых координат этого тензора изменяются при
перестановке индексов
Tmn^Tnm, (1.141)
то такой тензор называется асимметрическим.
В симметрическом тензоре, который мы будем обозначать через S,
координаты удовлетворяют условию
Sw, = S„n,. (1.1421
Тензор двукратной валентности
55
Вследствие этого он может быть представлен в развернутом виде:
S = SneV4- S22e2e2 4- S33e3e3 4- $23 (eV 4- eV) 4- S31 (eV 4- eV) 4-
4- S12 (eV 4- eV). (1.143)
Симметрическим тензором является, между прочим, рассмотренный
выше единичный тензор во всех своих формах.
В антисимметрическом тензоре, обозначаемом далее через А, коорди-
наты подчиняются условию
Атп — Апт. (1.144)
Поэтому диагональные координаты его должны быть равны нулю,
и матрица, составленная из его координат, имеет такой вид:
О Аг А1
А2 0 -^23
^31 А3 О
В развернутом виде антисимметрический тензор может быть пред-
ставлен следующим образом:
А = biimAijemen = А3 (eV — eV) 4- Ai (eV — eV) 4- Л12 (eV — eV) (1.145)
Из рассмотрения формул преобразования координат тензора при
изменении координатных реперов следует, что отмеченные выше свойства
асимметрических, симметрических и антисимметрических тензоров явля-
ются инвариантными и, следовательно, сохраняются при переходе
к контравариантным или смешанным координатам.
Следует отметить при этом, что в случае смешанных тензоров усло-
вия, которым удовлетворяют координаты асимметрического, симметри-
ческого и антисимметрического тензоров, имеют вид соответственно
КфК. (а не Тт^Тлт), Smn = S'nm и Атп = — А'пт. Так как в сим-
метрических тензорах со смешанными координатами значения последних
при перестановке индексов, как следует отсюда, не изменяются, то это
обстоятельство позволяет в обозначениях координат симметрических тен-
зоров опускать точки в пустующих местах для индексов и записывать
их таким образом: S”. Этим оправдывается также то, что координаты
тензора преобразования координатных систем выше записывались без
таких точек.
Можно показать, что всякий асимметрический тензор может быть
разложен на сумму симметрического и антисимметрического, притом
единственным образом.
Факт разложения следует из равенства
4- T^V 4- 4- T2leV 4- T22eV 4- T23eV 4-
+ т31^ + т32^ + т3^ =
Л1^ + 4(Л2 + AiKV4-|(7\34-T31)eV4- "
+1 (Лх + Ла) eV 4- T22eV 4-1 (Аз 4- T32) eV 4-
+ 4 (?3! + Лз) eV 4- ~ (T^ 4- T23) eV 4- T33eV 4-
(1.146)
+ 0 + 1 (T12 - T21) eV -1 (T31 - Ti3) eV - "
- (Aa - Ai) eV 4- 0 4-1 (As - T32) eV 4-
+ I (Л1 - T’is) *V - 4 (Аз - T3t) eV 4- 0 _
56
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Единственность этого разложения вытекает из таких соображений.
Предположим, что каким-йибудь другим способом для асимметрического
тензора Т получено еще одно соответствующее разложение, отличное
от данного. Тогда мы будем иметь два равенства
T = S + A t = s + a
11 2 2
где S и S — два разных симметрических тензора, а Л и А — два разных
12 12
антисимметрических. Вводя обозначения
S = S —S, А = А — А,
12 12
мы после почленного вычитания предыдущих равенств найдем, что
S + А = 0 или S = —А. Как легко сообразить, последнее возможно
только в том случае, если S = А — 0, а при этом получаем, что
S = S и А = А.
12 12
Если наряду с тензором
Т = Тце'е'
ввести транспонированный или сопряженный
Т = Thel0,
то симметрическая часть первого может быть представлена формулой
S = ±-(t + т\ = т, 2 \ т/ <>2) (1-147)
а антисимметрическая — формулой А = ^(т~ Т\ = Т. (1.148)
2 \ т / [12] Отсюда находим также, что Т = 3 + Л, T = S— А. т (1.149)
Заметим, кроме того, очевидные равенства S = S, А = —А. т т (1.150)
2. Планарные и линеарные тензоры. Тензор, у которого определи-
тель, составленный из его координат
Т Т Т
1 11 1 12 1 13
т т т
1 21 1 22 1 23
т т т
1 31 1 32 1 33
равен нулю, называется особенным. Можно показать, что особенный
тензор может быть приведен к двучленной диадной форме.
Для этого введем в рассмотрение три вектора
fi = V+V + V;
и2 = Т 21ег + Т 22е2 + Т23е3; (а)
v3 = Т^е1 + Т32е2 + Т33е3,
при помощи которых придадим тензору Т такой вид:
Т = е1о1 + e2v2 + fPv3. (b)
Тензор двукратной валентности
57
Но смешанное произведение этих трех векторов,
тензор Т является особенным, обращается в нуль,
при условии, что
Т
1 11
^i
т31
т
1 12
т
1 22
т
1 32
Т13
^23
^33
= 0,
и, следовательно, три вектора и1, v2 и
и3 оказываются планарными.
Выберем в плоскости этих векторов два каких-нибудь непараллель-
ных вектора wr и w2 и разложим по их направлениям векторы vlr v2
и v3. При этом получим: •
v± = a'w1 + a,w2;
v2 = aitWi 4- a2w2;
v3 = 4- a>2,
где a), a3 ... a3 — скалярные коэффициенты такого разложения. Тен-
зор Т представится тогда следующим образом:
Т — (а)е1 -|- а^е2 4- а|е3) w1 4- (с^е1 4- а|е2 4- а3е3) w2 = -f- a2w2,
где
(с)
а1 — а\е1 4- а^е2 + а^е3;
а2 = afe1 4- а2е2 + а^ё3,
т. е. получит вид двучленного диадика, что и требовалось доказать.
Предположим далее, что векторы а1 и а2 оказались параллельными.
В таком случае координаты их должны быть пропорциональны:
а\:а2 = а\:а2 = аа'.а2,
а тензор Т приведется к одной диаде. Но тогда векторы vlr v2 и v3, как
следует из приведенного выше выражения (с), должны быть также парал-
лельны и, следовательно, координаты их в равенствах (а) будут про-
порциональны :
1 11 • 1 12 ’ 1 13 = 1 21 ' 1 22 ’ 1 23 = 1 31 ‘ 1 32 ' 1 33"
(1.151)
Обратно,— если это условие пропорциональности не выполняется,
то векторы vlt v2 и v3 не параллельны и, следовательно, тензор Т не
может быть сведен к одной диаде.
Имея в виду, что ранг матрицы означает наивысший порядок ее
определителя, не обращающегося в нуль, мы должны заключить, что
условие (1.151) равносильно утверждению, что матрица, составленная
из координат тензора Т, является матрицей первого ранга. Это позво-
ляет нам дополнить предыдущее утверждение следующим положением:
особенный тензор, имеющий матрицу первого ранга, составленную из его
координат, может быть приведен к одной диаде.
Тензор, который приводится к форме двучленного диадика, в соот-
ветствии с тем, что было отмечено в § 20, п. 11, называется планарным.
Если же тензор может быть приведен к виду одной диады, то он назы-
вается линеарным.
3. Двучленная форма антисимметрического тензора. Из рассмот-
рения матрицы координат антисимметрического тензора следует, согласно
выше отмеченному, что этот тензор является планарным.
58
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Можно показать, что двучленный диадик, к которому приводится
отличный от нуля антисимметрический тензор, может быть представлен
в виде разности так называемых сопряженных или перестановочных
диад, т. е. в виде
А = vw — wv, (1.152)
где v и w — два неколлинеарных вектора. Правая часть здесь будет
являться планарным диадиком.
Действительно, представляя векторы v и w в координатной форме
v = vmem w — wrien,
находим, что
ш) — wv = (и2щ3 — (е2е3 — eV) + (о3ш1 — VjW3) (eV — eV) 4-
+ (VjW2 — (eV — eV).
Если сравнить теперь правую часть этого равенства с выражением
тензора А в координатном представлении, то легко заключить, что
достаточно принять
v2w3 — и3щ2 = Л23;
v3wt — VjW3 = Л31; (1.153)
VjW2 — = Л12,
чтобы оправдалось высказанное выше утверждение.
Как видно из этих соотношений, для определения шести координат
двух векторов v и w имеется всего три равенства. Поэтому три из них
могут быть выбраны по усмотрению. Но так как из этих трех равенств
следует, что
^1^23 “Ь U2^31 “Ь У3^12 = Qi e ц 154.
m^23 + ш2Л31 + ш3Л12 = 0, ' • ’
то легко заключить, что все три координаты одного из векторов, v или
w, произвольно выбираться не могут. Выбору подлежат две координаты
одного из этих векторов и одна координата другого при условии, что
две координаты одного вектора или две координаты разных векторов, но
имеющие в обозначениях одинаковые индексы, не могут быть заранее при-
няты одновременно равными нулю.
§ 26. НЕКОТОРЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ ДВУКРАТНОЙ ВАЛЕНТНОСТИ
1. Скалярное свертывание. Выполняя скалярное свертывание асим-
метрического, симметрического и антисимметрического тензоров, можно
получить следующие результаты:
т = Tmngmn = Tllg* + T22g™ + T33g™ + (Т23 + T32)g23 + (Т31 + 7\3)£31+
° +(Tl2 + T21)g^
S = Smngmn = + S22g™ + S33g3S + 2S23g23 + S31g31 + 2S12g12 (1.155)
0
Л = 0.
0
Отсюда, между прочим, следует, что в случае, если
Т = S + Л,
Некоторые действия над тензорами двукратной валентности
59
результат скалярного свертывания асимметрического тензора равен
результату скалярного свертывания его симметрической части
Т = S.
© ©
При использовании ортогональных декартовых координат, для кото-
рых метрика определяется значениями
Sa ~ S22 — ёзз = 1 > 5гз = S31 ~ S12 =
предыдущие выражения для Т и S получат следующий вид:
© ©
Т = ^11 ^22 "Ь ^33»
©
S = Su + s22 + s33.
(1.156)
2. Векторное свертывание. Если над рассмотренными выше тремя
тензорами выполнить операцию векторного свертывания, то возникнут
такие равенства:
~ [(^23 ^32) ei 4* (Л1 Лз)е2 + (Т12 Та1) е3];
® v g
' S = 0; (1.157)
®
.-(^23^1 “Ь ^31^2 “Ь ^12^3)•
® Vg
Соответственно заключаем, что результат векторного свертывания
асимметрического тензора равен результату векторного свертывания его
антисимметрической части: '
Т = А.
® ®
В случае обычных ортогональных декартовых координат выражения
для Т и А получат такой вид:
® ®
т = (Т23 - Т32) i + (Т81 - 7\3) / + (Т1а - Т21) k. (1.158)
®
Л = 2 (A23i Л31/ + Л12&).
®
Если антисимметрический тензор представлен в виде планарного
диадика формулой (1.152), то в этом случае можно получить следующее
равенство:
А = 2о х w. (1.159)
®
Таким образом, вектор, являющийся результатом векторного свер-
тывания антисимметрического тензора, нормален к плоскости представ-
ляющего этот тензор планарного диадика.
При определении объема параллелепипеда, построенного на векторах
A, v и w, мы получим, что
®
[Avw] = 2[ Iо]2lull2 — (и • оу)2]. (1.160)
®
60 Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
3. Скалярное умножение тензора на вектор. Легко убедиться в том,
что результаты левого и правого скалярного умножения тензора Т на
какой-нибудь вектор и не равны между собой:
и-ТфТ-и. (1.161)
Однако в случае симметрического тензора левое и правое скаляр-
ное умножение дает одинаковые результаты
u-S = S-u, (1.162)
а в случае антисимметричности находим, что
и • А = —А • и = Л- и. (1.163)
Последнее особенно легко обнаруживается, если представить анти-
симметрический тензор в виде разности двух сопряженных диад.
Исходя из этого представления антисимметрического тензора, можно
показать также, что скалярное произведение такого тензора на вектор
может быть заменено взятым с обратным знаком векторным произведе-
нием половины результата векторного свертывания тензора на тот же
вектор.
Действительно, если воспользоваться представлением (1.152), то
получим
А и = (vw — wv) и = {и ' w)v — (и • v)w.
Имея же в виду формулу (1.23) разложения двойного векторного
умножения трех векторов, отсюда находим
А • и = и х (и х w).
Если теперь принять во внимание равенство (1.159), то найдем окон-
чательно, что
Л-и = -^ихЛ. • (1.164)
2 ®
При перестановке сомножителей в скалярном произведении получим,
вследствие соотношения (1.163), что
«•Л = 4-Лхи. (1.165)
2 ®
4. Повторное скалярное умножение тензора на векторы и на тензор.
При повторном скалярном умножении антисимметрического тензора на
одинаковые векторы возникает, если воспользоваться формулой (1.164),
смешанное произведение трех векторов с двумя одинаковыми сомножи-
телями, что, как известно, равно нулю. Поэтому имеем
и.Л.и = 0. (1.166)
Это будет справедливо и в том случае, если два вектора-множителя
различаются модулями, но одинаково направлены.
Прямым следствием этого результата является равенство нулю
двойного скалярного произведения симметрического и антисимметри-
ческого тензоров,
5..Л = 0.
(1.167)
Некоторые действия над тензорами двукратной валентности
61
Если асимметрический тензор разложить на сумму симметрической
и антисимметрической его частей,
Т = S + А,
то, ввиду равенства (1.165), найдем, что
и • Т • и = и • S и. (1.168)
Если воспользоваться представлением (1.152) для антисимметри-
ческих тензоров и формулой (1.23) разложения двойного векторного
умножения, то для двойного скалярного произведения двух антисим-
метрических тензоров
А — аЬ — Ьа,
1
А = cd — de,
2
можно будет получить следующий результат:
А .. А = (ab — ba) ..(cd — dc)= 2 [(а • d) (b • с) — (а • c)(b • d)] =
12
= 2а - [(6 • c)d — (b d)c] — —2a[b X (с X d)J = — 2(a X b) • (с X d).
Принимая же во внимание, что
(Л)3 = 2 (ах Ь),
(Л)з = 2 (с х d),
2
найдем окончательно такую формулу преобразования:
Л..Л = -|(Л\ .(Л\ . (1.169)
1 2 Z \ 1 /® \ 2
5. Векторное произведение тензора на вектор. Если воспользоваться
координатными представлениями для тензора Т и вектора и, то, при
векторном умножении первого на второй, получим
Т хи = (Tmnemen) х (иче“) — -±=6n4STmnu4emes.
Vg
При перестановке сомножителей векторного произведения находим,
кроме того, что
и X Т =
Vg
Из сравнения этих результатов заключаем, что
Тхи^ихТ. (1.170)
В случае симметрических тензоров правое и левое умножение, как
следует из приведенных выражений, дает результаты, отличающиеся
между собой лишь знаком и перестановкой диадных сомножителей.
Поэтому получаем
Sxu = —(и х S)T. (1.171)
Что касается-антисимметрических тензоров, то, поскольку для них
имеет место условие Атп = —Апт, легко заключить на основании при-
веденного, что здесь должно выполняться равенство
Ахи = (ихА)Т. (1.172)
62
Некоторые вопросы векторной н тензорной алгебры
§ 27. ОБРАТНЫЕ ИЛИ ВЗАИМНЫЕ ТЕНЗОРЫ ДВУКРАТНОЙ ВАЛЕНТНОСТИ
Два тензора двукратной валентности М и N, удовлетворяющие
условию
M.N = I,
называются обратными или взаимными.
То обстоятельство, что тензор N является обратным тензору М
условно обозначается
N = 7И-1.
Найдем выражение тензора N для случая, когда тензор М известен.
Если тензор М задан в форме трехчленного диадика
М = аф1 + а2Ь2 4- а3Ь3,
где <2j, а2, а3 и Ь1, Ь2, Ь3— две тройки некомпланарных векторов, то
обратный тензор представится равенством
N = + Ь2а2 + Ь3а3,
где векторы а1, а2, а3 и Ьг, Ь2, Ь3 — также две тройки векторов, опре-
деляемые из предыдущих при помощи равенств
х _ а2 х а3 , _ 62 х бз
[ща^з] ’ 1 [6’6263]
и двух пар других, получаемых из этих путем циклической переста-
новки индексов.
Вследствие этого между ними имеют место соотношения
ат • ап = 8", Ьч • bs = 84s,
и, следовательно, при скалярном перемножении тензоров М и N возни-
кают равенства:
М • N = а±аг + а2а2 + с^а3;
N -М = Ьф1 + b2b2 + Ь3Ь3.
В обоих случаях в правых частях суммируемые диады составлены
из взаимных векторов и, следовательно, эти части представляют собой
один и тот же единичный тензор, различным образом образованный.
Тем самым доказывается как взаимность тензоров Д4 и N, так и то,
что в этом случае сомножители могут быть переставляемы:
М • N = А • М = 7. (1.173)
Очевидно, определенный указанным способом тензор N является для
заданного тензора М единственным взаимным, так как в противном слу-
чае наряду с векторами а1, а2, а3 и 7>1, Ь2, Ь3 можно было бы построить
еще другие тройки векторов, находимые по тем же формулам взаимности.
Если тензор М задан в девятичленной координатной форме
М = Мтпетеп,
и определитель, составленный из координат Мтп, отличен от нуля, то
представляя обратный тензор N равенством
N = N4Se4es,
е
Обратные или взаимные тензоры двукратной валентности
63
мы найдем, вследствие условия (1.173), которому они должны подчи-
няться, что
MmnNnsemes = tsmemes.
Таким образом, координаты этого тензорного равенства будут
удовлетворять равенству
М Nns = 8s ,
которое при развертывании по частным значениям индексов образует-
девять уравнений. Решая их относительно неизвестных Nns, мы найдем
для них следующие значения:
КТ пт A I Мтп I
DetlAUr
Желая представить тензор М~г в собранном виде, введем в рас-
смотрение векторы vn(n= 1, 2, 3),
(1-174)
п = М е"1
Тогда получим, что
М = иле" Л4-1 = envn,
где еп и и" — векторы,' взаимные соответственно с векторами е" и vn.
Вследствие этого, например, для v1 найдем такое выражение:
1 = f2 х t>3 = егтпегМгтМзп
[fit^sl 6/тг!Л41!Л42тЛ13л
Выражения для о2 и v3 получатся отсюда в результате цикличес-
кой перестановки числовых индексов. При этом тензор М~1 представит-
ся формулой
Л1-1 = +
n+e3e‘^elMlmM2n). (1.175)
*
Отсюда легко получить такое выражение в собранном виде:
С1 е2 е3 О
Л1ц Mia Mia е±
М21 Л132 Л42з ^2
Мз1 М32 М33 е3
Мц /И12 Mis
М21 М22 М3з
М31 М33 М33
(1.176)
При развертывании числителя этой дроби в многочлен следует иметь
в виду, что масштабные векторы первой строки должны в диадных
произведениях предшествовать масштабным векторам последнего столбца.
Если тензор М задан в смешанной форме,
М = М^еп,
то для обратного тензора вместо равенства (1.175) получим такое,
выражение:
М~‘= ё' м-Л-Чм- + +
. ^2- ^3-
+ езе1тпе1М;Ж), (1.177)
и соответствующее представление в собранном виде типа фор-
мулы (1.176).
•64
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Обратные тензоры имеют применение, например, при решении линей-
ных уравнений. Так, если нам задана связь между двумя векторами о
и w, преобразующая вектор v в вектор w, в форме
ьу = ф .
где Ф — некоторый тензор двукратной валентности, то при известному
для нахождения вектора v достаточно обе части этого равенства скаляр-
но умножить на тензор Ф~х. При этом получим
Ф—1 • w - Ф—1 Ф • v = I • v = V.
Очевидно, вводя вместо Ф-1 транспонированный тензор Ф~х, най-
т
дем также, что
v = у • Ф—Ч
т
§ 28. СКАЛЯРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА ДВУКРАТНОЙ ВАЛЕНТНОСТИ
Рассмотрим одну систему скалярных инвариантов тензора дву-
кратной валентности.
1. Первый скалярный инвариант. В качестве первого скалярного
инварианта тензора двукратной валентности принято считать резуль-
тат его скалярного свертывания. Введем для этого инварианта обозна-
чение Т, где внизу поставлена римская цифра I. Тогда для него, в
I
силу отмеченного, будем иметь тождество
Т = Т. (1.178)
10/
Наиболее простой вид выражение первого инварианта получает в
том случае, когда тензор представлен или в форме трехчленного диадика
12 3 12 3
Т = ab 4- ab + ab, где а, а, а и b, b, b — две тройки некомпланарных
12 3 12 3
векторов, или в координатной форме со смешанными компонентами
7 = 7^%, (1.179)
а также в ортогональной декартовой координатной системе.
В первом случае мы получим, что
T = a-b + a-b + a-b, (1.180)
II 2 3
а во втором —
Т = т;! + Т? + 7з?. (1.181)
I
Инвариантность выражения (1.180) обусловливается тем, что в
правой части равенства фигурируют скалярные произведения трех пар
векторов, величины и направления которых не определяются координат-
ными системами, так же как их скалярные произведения. Инвариант-
ность выражения (1.181) следует из противоположности закономерностей
преобразований координат тензора, снабженных верхними и нижними
индексами, какие происходят при изменении координатных систем.
Скалярные инварианты тензора двукратной валентности
65
2. Третий скалярный инвариант. Для составления выражения
третьего скалярного инварианта введем в рассмотрение три некомпланар-
ных вектора
1 1 2 2 3 3
а = afi', а = ctfi1, а = а,е‘,
и определим объем V параллелепипеда, построенного на них как на
а
ребрах. Он найдется из равенства
1 т
y=TFDet|^!’
В результате скалярного умножения этих векторов на тензор Т,
представленный равенством (1.179),, они преобразуются в векторы
tn
b (m = 1; 2; 3), связанные с предыдущими векторами условием
m _____ m ___ с m
b = Т • а = Т'ч. а^.
Объем V параллелепипеда, построенного на этих преобразованных
6
векторах, найдется из равенства
V = -U Det | T4s.as | =~ Det | T‘s. | Det | as |.
ь V g V g
Отношение двух объемов
V
А = Detlef I,
а
m
как следует отсюда, не зависит от выбранных вначале векторов а и
определяется исключительно свойствами оператора Т. В правой части
этой зависимости мы имеем выражение определителя, составленного из
смешанных координат тензора Т.
Этот определитель носит название третьего скалярного инварианта
тензора Т. Вводя для него обозначение Т, мы получим, что
in
Т = Det | T4S. | =
in
Т1 Т21
Л
Тз Л
Л
Тз
2
ТЗ
3
(1.182)
При использовании ковариантных или контравариантных координат
тензора, третий скалярный инвариант его представится равенствами
T = lDet|7\s| = gDet|T“|.
ш g
Что касается самих определителей, фигурирующих здесь и состав-
ленных из координат тензора, то они будут являться относительными
инвариантами веса 2 в первом случае и веса — 2 во втором.
3. Второй скалярный инвариант. Для нахождения второго скаляр-
ного инварианта тензора Т воспользуемся выражением обратного ему
тензора, которому придадим вид правой части равенства (1.177).
5 В. И. Блох
66
Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры
Выполняя над ним скалярное свертывание, определим его первый скаляр-
ный инвариант. При этом получим
-,23 гр - ГП'Г • П । ъ 31 гр • ГП'р • fl । 'р' Ш'р • П
(Т~г\ _ тп 2 * 1Г тп 3» 7 1 • > ^тп1 I . 7 2-
\ /^ гр • I Гр - Щгр • П * \ " /
^lmnl 1. 7 2« 1 3.
Но знаменатель этой дроби представляет собой третий скалярный инва-
риант тензора Т. Поскольку же вся дробь является инвариантом, делаем
заключение об инвариантности ее числителя. Он носит название второго
скалярного инварианта тензора и обычно обозначается через Т. Исполь-
п
зуя это обозначение, предыдущей зависимости можно придать следую-
щий вид:
т =
II III
Что касается второго скалярного инварианта, представленного числи-
телем дроби равенства (1.183), то для него будем иметь такое выражение:
т =
т£ т2.
г~Р‘ 2 гр\-3
/ з. 7 з.
Тз3 7з!
т;3 т;!
г;! т;2
т2! т22
лЧЯ гтч ‘Щгр- П
— Ч' 7 S* •
тп 4 °
(1.184)
При использовании для построения этого инварианта ковариантных
или контравариантных координат тензора мы получим следующие пред-
ставления:
'Г _ Т go aPmа'п — ЪаЬ ТтрТп1>(^ а в
1 uabl чр1 srmns б °шп1 1 QabSpvgqs-
4. Другие скалярные инварианты. Действие скалярного умножения
само по себе, а также в сочетании с векторным и скалярным свертыва-
нием позволяет составить, помимо рассмотренных, также различные
другие инварианты тензора. В качестве примеров приведем следующие
инвариантные выражения:
Т • Т, Т-Т-Т, Т--Т и др.
® ® ® ®
Естественный вопрос о взаимно независимых инвариантах приводит
к постановке задачи о полной системе таких скалярных инвариантов
тензора двукратной валентности. Не останавливаясь на его рассмотре-
нии, заметим, что возможно также образование скалярных инвариантов
из нескольких независимых друг от друга тензоров.
§ 29. НОРМИРОВАННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
Масштабные векторы et и & определяют направления отсчетов и
масштабы линейных измерений в этих направлениях. Вследствие этого
координаты геометрических объектов, фигурирующие в представляющих
их выражениях, задаются, как говорят, в естественной системе отсчетов,
определяемой указанными векторами, т. е. в естественной метрике.
При переходе к единичной системе измерений, т. е. к системе масштаб-
ных векторов с единичными модулями, координаты отмеченных выраже-
ный должны быть соответствующим образом преобразованы. Рассмотрим
принципы этого преобразования.
Нормированные координатные системы
67
Если единичные координатные вектора обозначить через е, и е', то
связь их с обычными, натуральными векторами и е' тех же направ-
лений определится равенствами
ei = е' = Vё" е‘- (1 •185)
Ввиду этого если координаты, например, тензора
Т = T‘.ikeie>ek
обозначить для случая единичных масштабных векторов через T‘.jk, мож-
но получить для этого тензора следующие выражения:
Т = Т1.^^ = T\jk Vg^gi'g^ ’e’^ek = f‘.ikeLeieh.
Отсюда находим, что
= (1.186)
Здесь суммирование выражений правой части равенства по значе-
ниям одинаковых верхних и нижних индексов выполнять, понятно,
не следует.
Координаты геометрических объектов, заданные в единичной масштаб-
ной системе, будем называть нормированными координатами в отличие
от общего случая задания их в системе взаимных реперов, когда их
можно называть натуральными. Соответственно масштабные векторы и
координатные системы с единичньГми масштабами измерений будем
также называть нормированными. Если, кроме того, координатные на-
правления взаимно-перпендикулярны, то такие системы можно назвать
ортонормированными.
Аналогично будут именоваться также координвты геометрических
объектов.
5*
ГЛАВА II
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Тензорное представление напряженного состояния твердого тела
следует из основных формул, связывающих напряжение на любой элемен-
тарной площадке, расположенной внутри тела, с напряжениями на
координатных площадках, проведенных через ту же точку, что и рас-
сматриваемая. Напряжение является векторной величиной, но определен-
ным образом связанной с ориентацией или, как мы будем говорить, с
направлением площадки, к которой оно относится. Что касается тензора
напряжений, то он определяет величины и направления напряжений на
пюбых площадках, проходящих через данную точку и таким образом,
определяет напряженное состояние тела в рассматриваемой его точке.
Изучаемые в настоящей главе алгебраические и геометрические свой-
ства тензора напряжений являются общими для любых вещественных
симметрических тензоров двукратной валентности независимо от их
физической природы.
§ 30. ВЕКТОР И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
1. Вектор напряжений. Проведем на границе или внутри сплошного
тела непрерывную, не имеющую кратных точек, гладкую поверхность F
и будем рассматривать ее как границу части тела, расположенной по од-
ну сторону этой поверхности. Примем затем во внимание силовую на-
грузку, воздействующую через эту поверхность на указанную ограни-
ченную ею часть тела. Кривой Жордана1, очерченной вокруг выбранной
точки данной поверхности, выделим на ней некоторую площадку, вели-
чину которой обозначим через ДЕ, а главный вектор приходящейся на
нее части общей нагрузки обозначим через ДР. Будем различать случаи,
когда, при неограниченном уменьшении площадки ДЕ, нагрузк'а ДР стре-
мится к некоторому конечному значению и когда она также неограни-
ченно уменьшается. В первом случае в предельной точке, к которой
стягивается контур площадки ДЕ при неограниченном уменьшении послед-
ней, будет располагаться сосредоточенная сила при наличии или отсут-
ствии в окрестности предельной точки распределенной нагрузки. Во
втором случае в этой предельной точке сосредоточенная сила будет
отсутствовать и сохранится возможность наличия указанной распреде-
ленной нагрузки.
1 Гладкой поверхностью называется поверхность, нормаль к которой, проведенная
в любой ее точке, при перемещении этой точки по поверхности изменяет свое направ-
ление непрерывным образом.
Кривой Жордана называется непрерывная замкнутая кривая без кратных точек.
Такая кривая разбивает поверхность на две области — внутреннюю и внешнюю.
Вектор и тензор напряжений 1
69
В этом случае обратим внимание на отношение главного вектора ДР
распределенной по площадке ДР нагрузки к величине этой площадки.
Пусть, при указанном неограниченном уменьшении площадки ДР, отно-
ДР
шение др стремится к некоторому определенному ограниченному значе-
нию. Этот предел, который обозначим через а,
- ,. АР dP
а = lim-rv. - лс
(2-1)
будет представлять то, что мы называем напряжением распределенной
нагрузки в указанной предельной точке на рассматриваемой поверхности.
Если отношение при отмеченном стягивании контура площадки ДР
к предельной точке определенного значения не получает, то это значит,
что данная предельная точка находится на границе двух или нескольких
участков поверхности Р, напряжения на которых в соседних точках от-
личаются между собой на конечную величину (разрыв непрерывности в
распределении напряжений).
Таким образом, напряжение в точке поверхности есть векторная ве-
личина, направление которой определяется пределом направления резуль-
тирующей нагрузки, приложенной к неограниченно уменьшающейся пло-
щадке поверхности, контур которой стягивается к этой точке, модуль
же определяется пределом отношения модуля вектора этой результи-
рующей к величине площадки.
Если при параллельном переносе внутри тела любым образом ориен-
тированной элементарной площадки dF напряжение на ней изменяется,
то говорят, что тело находится в неравномерном напряженном состоя-
нии. Если же это напряжение не изменяется, то напряженное состоя-
ние тела называется равномерным.
В случае равномерного напряженного состояния тела напряжения
во всех точках одной и той же плоскости, а также во всех течках
параллельных плоскостей, одинаковы и могут изменяться лишь с пово-
ротом плоскостей. Вектор напряжений в этом случае является функцией
только ориентации связанной с ним площадки, тогда как при неравно-
мерном напряженном состоянии он является функцией также положения
предельной точки площадки.
При равномерном напряженном состоянии вектор напряжений в лю-
бой точке некоторой плоскости может быть определен по формуле
« = (2.2)
где Р — главный вектор всей нагрузки, приложенной к этой плоскости, а
F — ее площадь. На этом основании напряжение на любой плоскости в слу-
чае равномерного напряженного состояния можно рассматривать как
вектор нагрузки, приходящейся на единицу ее площади. Очевидно, в
зависимости от единиц, служащих для измерения сил дь площадей, воз-
никает и соответствующая единица для измерения напряжений.
Здесь надо иметь в виду, что при использовании прямолинейных
координатных систем с разными масштабными единицами длин для раз-
ных направлений, единицы измерения площадей будут также изменяться
70
Тензор напряжений
при изменении ориентировки этих площадей. Вследствие этого подсчитан-
ные на этих площадках значения напряжений будут относиться к таким
переменным единицам измерения этих площадок; это должно быть учтено
при сравнении напряжений между собой.
В настоящей главе мы займемся изучением связей между различными
компонентами вектора напряжений различно ориентированных площадок,
проводимых внутри равномерно напряженного тела. Результаты, по-
лученные при этом, будут справедливы также и для тел, неравно-
мерно напряженных в границах весьма малых объемов, выделенных
вокруг рассматриваемых точек при условии непрерывности изменения
напряжений во всем рассматриваемом частичном объеме тела. Будем го-
ворить в этом последнем случае о зависимостях между напряжениями
/ в точке тела на различно ориентированных площад-
/ ках, проходящих через данную точку.
2. Тензоры напряжений. Найдем связь между на-
\ пряжениями на различных площадках внутри равно-
мерно напряженного тела, испытывающего внешнюю
g г—нагрузку на поверхности и свободного от массовых
I / сил (вес, притяжение и проч.).
Для этого выделим из тела тетраэдр и действие
на него внешних частей тела заменим усилиями, рас-
Рис. 6. пределенными на его гранях и полностью воспроиз-
водящими это действие. Ввиду равномерного напряжен-
ного состояния тела, напряжения во всех точках каждой грани тетра-
эдра будут одинаковыми, но разными на разных гранях.
Примем три какие-нибудь грани тетраэдра за координатные и вдоль
ребер, исходящих из их общей точки О (рис. 6), направим координатные
векторы ^,^2 и е3 произвольных модулей. Из того же начала проведем
вектор е°, перпендикулярный к четвертой некоординатной грани, также
произвольного модуля.
Площади координатных граней, измеренные в масштабах, взаимных
к предыдущим координатным векторам, обозначим через Fv, F2 и F3,
где индексы являются дополнительными к индексам основных коорди-
натных векторов, между которыми располагается соответствующая грань.
Таким образом, например, грань с площадью F± располагается между
векторами е2 и е3 и единицей измерения ее площади служит модуль век-
тора е1. Площадь четвертой, некоординатной грани, измеренную в мас-
штабе модуля вектора е°, обозначим через Fo.
Если ввести обозначение c°k для скалярного произведения вектора е°
на любой координатный вектор ek,
ck = e"- ek, (2.3)
то между указанными величинами площадей будет иметь место зависи-
мость
Fk = F<& (А-= 1,2,3). (2.4)
Обозначим далее через а1, а2 и а3 векторы напряжений на коорди-
натных гранях, отнесенные к единицам измерений этих площадей. Здесь
верхние индексы у обозначений векторов напряжений одинаковы с ниж-
ними индексами тех граней тетраэдра, напряжения на которых они пред-
ставляют. Вектор напряжений четвертой, некоординатной грани обозна-
Вектор и тензор напряжений
71
чим через а0. Все векторы напряжений относим к внешней стороне гра-
ней рассматриваемого тетраэдра.
Поскольку тетраэдр до его выделения из тела находился в равно-
весии, и действующие теперь на его гранях усилия полностью воспроиз-
водят те силы, которые на него действовали в теле до выделения, то и
сейчас он должен находиться в равновесии. Поэтому, согласно условиям
равновесия, должно иметь место следующее равенство:
a°F0 + зТх + c2F2+ g3F3 = 0.
Слагаемые здесь представляют собой уже не напряжения, а силы,
действующие на грани тетраэдра, и потому не зависят от масштабов
измерения площадей этих граней.
Принимая во внимание зависимости (2.4) и (2.3), преобразуем данное
равенство к такому виду:
<Л 4- (з1^ Ц- с2е.2 -|- а3е3) • е° = 0.
Далее представим векторы а1, с2 и о3 через координатные компо-
ненты напряжений. Для этого заметим, -что напряжения на внешних
сторонах координатных граней тетраэдра по сравнению с таковыми же
на плоскостях координатной системы, т. е. обращенных внутрь объема
тетраэдра, будут равны по величине и обратны по направлению.
Обозначая контравариантные скалярные компоненты векторов на-
пряжений на плоскостях координатной системы через c‘k (i, k= 1, 2, 3),
мы сможем записать, что для внешних сторон координатных граней
тетраэдра
Zk = — aike, (k= 1,2,3). (2.5)
Вследствие этого из полученного выше условия равновесия мы най-
дем, что
°о =• • е° = з • е°, (2.6)
где через а обозначен тензор, определяемый равенством
с aiketek. (2.7)
Скалярными компонентами его являются координатные компоненты
векторов напряжений на сторонах координатных плоскостей, обращен-
ных внутрь координатного трехгранника.
Тензор а, представленный равенством (2.7), называется тензором
напряжений. При равномерном напряженном состоянии тела он будет
постоянен во всем его объеме, при неравномерном — будет относиться к
начальной точке локальной системы координат. В последнем случае он
может определять при помощи равенства (2.6) напряжения на площад-
ках, проходящих через эту начальную точку также при наличии объем-
ных или массовых сил. Обычно это доказывается путем рассмотрения
результатов, получающихся при предельном уменьшении линейных раз-
меров находящегося в равновесии тетраэдра и учета различной размер-
ности поверхностных и объемных сил.
Выражение (2.6) можно использовать для определения напряжений
на любой площадке, проходящей через данную точку, также и в слу-
чае криволинейных координат, считая грани весьма малого тетраэдра
касательными в этой точке к координатным поверхностям криволиней-
ной системы.
72
Тензор напряжений
Как следует из равенства (2.6), для определения вектора напряже-
ний на некоторой площадке в рассматриваемой точке достаточно тензор
напряжений, соответствующий этой точке, скалярно умножить на вектор
нормали интересующей нас площадки. Получающийся при этом вектор
напряжений относится к той стороне площадки, от которой отходит ее
вектор нормали.
Как увидим далее, тензор напряжений оказывается симметрическим
и потому вопрос о том, с какой стороны скалярно умножить этот тен-
зор на указанный вектор нормали, роли не играет.
Так как при задании тензора напряжений для данной точки, поль-
зуясь приведенным правилом, можно определять вектор напряжений для
любой площадки, проходящей через данную точку, то можно утверж-
Рис. 7.
дать, что тензор напряжений полностью характери-
зует напряженное состояние в любой точке, для кото-
рой он задан.
3. О симметричности тензора напряжений. Обра-
тимся далее ко второму условию равновесия — условию
равновесия моментов.
При рассмотренном выше равномерном распреде-
лении напряжений в теле результирующие поверхност-
ных сил на каждой грани тетраэдра будут проходить
через их центры тяжестей. Исходя из элементарных
соображений, можно показать, что отрезок прямой,
соединяющий центры тяжести четвертой грани тет-
раэдра и, например, координатной грани, заклю-
ченной между двумя основными векторами ег и е3, т. е. отрезок ED
(рис. 7), параллелен ребру ОБ тетраэдра, направленного вдоль третьего
основного вектора е2, и равен 4- длины этого ребра. Аналогичный вывод
и
можно сделать и в отношении отрезков, соединяющих центры тяжести
четвертой грани и двух других координатных граней.
Если направленные координатные ребра тетраэдра обозначить через
ар, а2 и а3, то направленные координаты центра тяжести четвертой грани
АВС тетраэдра будут -g-af, и ураз> одновременно, взятые с обрат-
ными знаками, они будут направленными расстояниями от центра тяжести-
четвертой грани до соответствующих центров тяжести координатных гра-
ней. Ввиду этого условие равновесия моментов поверхностных сил отно-
сительно точки D, являющейся центром тяжести четвертой грани, может
быть представлено следующим образом:
(а1 х a'F1 4- а2 a2F2 + а3 у a3F3) ?= 0.
Примем затем во внимание равенство (2.5), а также то обстоятель-
ство, что
а1 = а1ер, а2 — а2е2, а3 = а3е3\
Fx = ~ а2а3-, F2^-^~ а3аг; F3 = Ц?aia2
Тогда предыдущее условие равновесия приведет нас к уравнению
ei X (о’Ч) + е2 X (о/2е,) + е3 X (ci3e3) = 0,
откуда найдем, что
(323 _ с32) е1 + (031 _ 313) е2 _|_ (312 _ 021) g.3 = Q.
Нормальные, касательные и координатные компоненты вектора напряжений 73
Это уравнение распадается на три скалярных равенства, из которых
следует, что
а'1 — ai‘, (2-8)
т. е. что тензор напряжений является симметрическим.
§ 31. НОРМАЛЬНЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ И КООРДИНАТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ
ВЕКТОРА НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОЩАДКИ
1. Координатные компоненты вектора напряжений. Тензор напря-
жений в произвольной координатной системе может быть представлен
любым из следующих четырех способов:
а — а^е'е' — aliefij = a'efii = a'e'e,-. (2.9)
Ввиду его симметричности, скалярное умножение его слева или справа
на один и тот же вектор приводит к одному и тому же результату.
Выбирая в качестве такого множителя вектор-нормаль к некоторой пло-
щадке, обозначаемый в дальнейшем через eN, мы, как было показано,
получим вектор напряжения на этой площадке. Если ввести обозначе-
ние av, то мы найдем, что его можно будет представить любым из сле-
дующих выражений:
aN = а eN = ацс^е1 = a‘icljet = ajc/Aez = (2.10)
где
с = е1 • е и с, — ej • е • (2.И)
С другой стороны, этот вектор, будучи представлен своими коорди-
натными компонентами, может быть записан следующим образом:
N iN п N: /п 1 О\
а = a ei=^aiel. (z.lz)
-•’А’
Из сравнения предыдущей и настоящей записи для мы найдем
такие выражения для координатных компонентов вектора напряжений
N
на площадке с нормалью е :
iN N i tN
а = a'-Cj ас ’
= = (2.13)
В случае ортонормирсванной системы координат, различие между
ко- и контравариантными компонентами исчезает, а скалярные произве-
дения (2.11) будут представлять собой косинусы углов, составляемых
нормалью к рассматриваемой площадке с осями координат. Снося все
индексы в этом случае вниз, мы, например, для декартовой х, у, г
системы координат, получим в развернутом виде на основании равенств
(2.13) следующие представления:
axN — axxCxN axyCyN “Е axzCzN~t
- °yN = GyxCxN “E ^yyCyN -j- GyzCzN» (2*14)
GzN = ^zx^xN ~E ^zyCyN 4“ GzzCzN*
2. Нормальные напряжения на произвольной площадке. Для полу-
чения выражения нормального напряжения на площадке, определяемой
вектором-нормалью е , необходимо будет вектор напряжения а для
74
Тензор напряжений
этой площадки, представленный равенствами (2.10), скалярно умножить
на e'v. Обозначая это нормальное напряжение через aNN, мы найдем для
него следующие представления:
NN N N iNJN ,, NN i N JN '
a = e • a e = a,;c c = a"ct c, — afi.d . (2.15)
В декартовой системе координат в развернутом виде выражение для
нормальных напряжений на площадке с направляющими косинусами
c,w(i = x. у, г) представится, согласно равенств (2.15), следующим
образом:
о.,,, = ., -4- 4- “I- ..с .. -4- 2сг^с ..с -4- 2ov^c .,с ... (2.16)
NN xN * УУ yN *- ** zN * У* yN zN * zN xN 1 *У xN yN ' /
3. Касательные напряжения на произвольной площадке. Для опре-
деления касательного напряжения на площадке, имеющей нормаль eN,
вдоль какого-нибудь направления, представляемого вектором ет, распо-
ложенным в этой же площадке (eN ет = 0), скалярно умножим на ет
вектор aN, изображаемый равенствами (2.10). Обозначая через искомое
касательное напряжение для случая, когда модули векторов eN и ет
приняты за единицы измерений для соответствующих им направлений,
мы найдем что
а? = ет • о • ev = a,iC<Nc‘T — aeic^ciT = a‘dNciT, (2.17)
где
с т = е,- ет и с'г = е1' • ет. (2.18)
Так же, как и выше, для случая декартовой системы координат,
мы получим
° NT = °xxCxbiCxT "Ь °yyCyNCyT "Ь Gzz.CzNCzT "Ь
“Ь ауг (CyNCzT “Ь CyTCzN^ + °zi ^CzN£xT + CzTCxN^ + °ху (CxNCyT "Ь CxTCyN^' (^’19)
Здесь ciT (i = х, у, г) — косинусы углов между направлениями едш
ничного вектора ет, расположенного в плоскости рассматриваемой пло-
щадки, и координатных векторов е(.
4. Нормальные и касательные напряжения на координатных пло-
щадках. Для определения нормальных напряжений нам достаточно в ра-
венствах (2.15) индекс N отождествлять с контравариантными индексами
координатных плоскостей. Принимая во внимание, что в этом случае
коэффициенты с1', ввиду равенств (2.11), превращаются в компоненты
метрического тензора, а коэффициенты с‘.— в символы Кронекера,
мы найдем, что нормальные напряжения на координатных плоскостях
определяются компонентами а*’, т. е. диагональными контравариантными
компонентами тензора напряжений, связанными с другими компонентами
равенствами
= °ikg‘'gik = (2.20)
Касательные напряжения на координатных плоскостях для коорди-
натных направлений в этих плоскостях определятся соответствующим
Нормальные, касательные и координатные компоненты вектора напряжений 75
образом из равенств (2.17), если индекс N отождествить с контравариант-
ным индексом координатной плоскости, а индекс Т — с одним из кова-
риантных индексов координатных осей, расположенных в этой плос-
кости. При этом также найдем, что
ciT — g'i’ сг ~
|г=/ |г=/ 1
fl (i = /)
Ввиду этого заключаем, что касательные напряжения на координатных
плоскостях определяются компонентами а‘. (i =/= j), т. е. боковыми сме-
шанными компонентами тензора напряжений, связанными с другими
компонентами равенствами
= (2.21)
Соответствующим образом можно показать, что компоненты аг, будут
представлять собой нормальные напряжения на площадках, перпенди-
кулярных к основным координатным осям, т. е. на площадках коорди-
натной системы, взаимной к основной. Компоненты же aj(i¥=/)» кроме
указанных выше их значений, будут представлять собой также каса-
тельные напряжения на площадках взаимной координатной системы,
а именно на площадках, имеющих нормаль е;-, притом в направлении
масштабного вектора е1.
' Что касается величин а"' и с,; при i =/= /, а также а', то они будут
в косоугольных координатных системах представлять собой некоторые
координатные составляющие вектора полных напряжений на коорди-
натных площадках основной или взаимной системы, не являясь, однако,
ни касательными, ни нормальными напряжениями на этих площадках.
В ортонормированных системах координат ввиду указанного исчез-
новения у них различия между ко- и контрнвариантными величинами,
нормальные напряжения на координатных площадках могут получать
обозначения ад, а касательные — обозначения atj при i =^= j.
5. Координатные напряжения в преобразуемых координатных системах.
Если тензор а напряжений задан в какой-либо одной координатной
системе одним из своих представлений (2.9), то компоненты его в другой
системе, определяемой основными векторами ет-, могут быть получены
на основании общих правил путем двойного скалярного умножения его
на координатные векторы взаимной системы. Принимая во внимание
обозначения
с,т' = е‘ • е"1', с"1’ = е, • ет’,
мы таким образом из равенств (2.9)
получим, например, что
am-n- = atic‘m'cin' = а'/с^'с?' = a'c™'с>'п'.
‘‘ ‘ I I ‘
Соответствующим способом можно составить выражения также для
ковариантных и смешанных компонентов тензора напряжений в новых
представлениях. Легко сообразить, что приведенные выше формулы для
нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках
также окажутся среди получаемых таким образом выражений.
6. О нормировании напряжений. Как уже отмечалось, величины
напряжений, представленные указанными выше равенствами, имеют
измерения, определяемые примененной системой координат. Относи-
тельно же перехода от обобщенных масштабных единиц к нормированным.
76
Тензор напряжений
т. е. к представлениям в единичной системе измерений длин говорилось
в § 29.
В соответствии с этим, обозначая координатные компоненты тензора
напряжений, определенные в одинаковых для всех направлений размерах
длин, принятых за единицу, т. е. нормированные компоненты, через з'/,
ац или а‘, мы для них получим такие выражения:
а'/ = с‘/ | g„glh а„- = а,7 [ g“gii, а' = а' Уg„gH. (2.22)
Здесь суммирования по разным значениям одинаковых верхних
и нижних индексов, как указывалось, производить не следует.
Необходимо обратить внимание на то, что в косоугольных коорди-
натных системах нормированные компоненты а"' и а' тензоры напряжений
не представляют собой величин нормальных и касательных напряжений,
т. е. не представляют обычных физических напряжений.
Действительно, примем во внимание, что нормированные коорди-
натные векторы для основной и взаимной с ней системы определяются
равенствами
— е< —, е*
е — —— р1 = —
* ' Vgu' /g"’
В таком случае, например, площадка с нормальным к ней единичным
вектором е‘ будет представляться произведением Fp1, где суммирование
по значениям индекса i не предусматривается, a F, представляет собой
численное значение величины ее площади, единицей измерения которой
является квадрат со сторонами, равными единице длины.
О
Вектор а' напряжений, отнесенный к такой естественной единице
площади, в согласии с ходом рассуждений при выводе формулы (2.7),
определится при заданном тензоре а напряжений равенством
°. —г
= а . рг
о • ё1
/g“‘
Тогда нормальное напряжение а" на таким способом измеряемой
площадке найдется как проекция вектора с‘ на направление единичного
вектора е‘, т. е. представится выражением
е* а • е* с**
о
а1'1'
е1 •
а1
gil gil ’
или, если принять во внимание равенства (2.22), формулой
°.. qU
а“ = • (2.23й
g^gu v Ч
Соответствующим образом касательное напряжение с< на той же пло-
щадке вдоль направления е,-, отнесенное к той же единице площади,
определится равенством
о "а‘
°, = • (2-23г)
V gllgug"gji
Главные напряжения
77
В обеих последних формулах суммирования по значениям одинаковых
индексов не предусматривается.
Если принять во внимание, что несуммируемые произведения вида
обращаются в единицу только в том. случае, когда координатные
системы, основная и взаимная, ортогональны, то очевидным станет
утверждение, что физические напряжения а" и о' совпадают с норми-
рованными, соответственно а‘‘ и а‘, лишь в случае ортогональных коор-
динатных систем.
О
То же самое, понятно, можно сказать и о нормальном напряжении ап,
а также и о других компонентах тензора напряжений.
§ 32. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
1. Определение главных напряжений. Если на некоторой площадке
имеется только нормальное напряжение, то оно называется главным
напряжением, а площадка, им обладающая,— главной площадкой. На-
правления векторов-нормалей главных площадок или векторов главных
напряжений называются главными направлениями.
2. О существовании главных напряжений. Докажем, что в каждой
точке напряженного тела существует по крайней мере три главных
напряжения.
Примем во внимание, что если через данную точку напряженного
тела можно провести главную площадку, т. е. площадку, имеющую
только нормальное напряжение, то принадлежащий ей вектор напряже-
ния s v будет совпадать с положением ее вектора-нормали eN. Это обстоя-
тельство можно выразить равенством
= \eN, (2.24)
где X — некоторое вещественное число, положительное или отрицательное.
Наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что такие
чиста существуют, равно как существуют и соответствующие им дей-
N
ствительные направления, представляемые вектором е
Для этого примем, что напряженное состояние тела в данной точке
характеризуется тензором напряжений а. Тогда вектор напряжений для
любой площадки, проходящей через эту точку, согласно равенству (2.10),
определится следующим образом:
—n N
а = о • е ,
где ел—вектор-нормаль рассматриваемой площадки. Если эта площадка
является главной, то для ее напряжения должно одновременно суще-
ствовать и уравнение (2.24). Из сравнения этих двух зависимостей мы
получаем такое равенство:
N 1 N
а е = Ле .
При помощи единичного тензора Z преобразуем это равенство к сле-
дующему виду:
(а —X/) . eN = 0. (2.25)
Полученное однородное векторное уравнение с неизвестным векто-
ром eN будет иметь отличное от нуля решение только в том случае,
если определитель его будет равняться нулю.
78
Тензор напряжений
При представлении тензорного выражения а — X/ в смешанной ко-
ординатной форме мы можем отождествить его определитель с третьим
скалярным инвариантом. Тогда указанное условие равенства нулю опре-
делителя представится таким образом:
(о — Х/)ш = О,
или в следующем виде:
°!
03-Х
= 0.
мы получим
aJ-X о2
а2~
аз аз
Развертывая левую часть
уравнение
этого равенства по степеням X,
которое представим в такой короткой записи:
X3 — а,Х2 а7/Х — аш = 0.
°?
°?
°!
= 0,
(2.26)
Здесь а/г ап и а1П — три скалярных инварианта тензора а, вещест-
венных ввиду вещественности самого тензора а.
Уравнение (2.26) называется характеристическим уравнением тензора
напряжений. При решении его относительно X оно дает три корня. Легко
показать (мы этого здесь делать не будем), что комплексные корни
в данном случае невозможны.
3. Об относительной ориентировке главных напряжений. Как сле-
дует из равенства (2.24), численные значения корней X определяют вели-
чины главных напряжений, измеренные в масштабах направляющих век-
торов. Однако поскольку эти корни являются решениями скалярного
уравнения (2.26), не включающего направляющие векторы, полученные
решения должны быть отнесены к одному масштабу и, следовательно,
модули направляющих векторов должны быть одинаковыми. В таком слу-
чае при трех разных корнях мы будем иметь три разных значения
главных напряжений.
Покажем, что разные по величине главные напряжения взаимно
ортогональны.
Для этого вернемся к уравнению (2.25). Пусть X, и Х2 — два корня
характеристического уравнения, a eN* и eN*— соответствующие им на-
правляющие векторы. Из этого уравнения непосредственно следует, что
если Хх =/= Х.2, два представляемые ими главные напряжения, направления
которых определяются векторами ел’> и eN*, должны быть взаимно орто-
гональными.
Если все три главные напряжения различны по величине, то, по-
нятно, все они будут между собой ортогональны. Однако если два
каких-нибудь корня характеристического уравнения равны между собой и,
следовательно, равны два главных напряжения, отличающиеся по на-
правлениям, то требование обязательной ортогональности для них
отпадает.
4. Каноническая форма тензора напряжений. Возьмем систему пря-
молинейных координат, оси которой, определяемые координатными век-
торами е"(п=1, 2, 3), совпадают с направлениями нормалей главных
Главные напряжения
79
площадок или, что то же, главных напряжений. Так как на этих пло-
щадках касательные напряжения, представляемые боковыми компонен-
тами тензора напряжений, будут отсутствовать,
= 0 (т ¥= п),
то общее выражение тензора напряжений
а =
в этой системе координат получит следующий вид:
а — з|е1е1 -f- з|е2е2 + з3е3е3. (2.27)
Такая форма представления тензора напряжений называется кано-
нической.
Установим связь между значениями корней характеристического
уравнения Xv Х2 и Х3, и величинами з|, с2 и а|, фигурирующими в пред-
ставлении (2.27).
С этой целью подставим в уравнение (2.25) выражение тензора
напряжений (2.27) и, принимая, что значению корня X = Хп представ-
ляющему одно из главных напряжений, соответствует направляющий
вектор ev = eNi, равный в данном случае координатному вектору е1,
получим, после выполнения указанного в уравнении (2.25) скалярного
умножения, что
х1 = 4.
Аналогично найдем также, что Х2 = з2 и Х3 — з|.
Таким образом, компоненты тензора напряжений, представленного
в канонической форме, должны определять главные напряжения, при-
том в той же системе отсчетов, что и корни характеристического урав-
нения.
Если мы примем во внимание, что, как отмечалось, компонент апт
тензора напряжений означает составляющую вдоль вектора ет полного
напряжения на площадке, имеющей нормаль е", то легко заключим,
что одновременное выполнение указанного требования в отношении
представления компонентами, фигурирующими в формуле (2.27), главных
напряжений, будет возможно лишь в определенных условиях.
Можно показать, что все отмеченные требования будут одновре-
менно выполняться в следующих трех случаях:
1) главные направления ортогональны и главные напряжения cj,
а2 и з3— произвольны;
2) два главных напряжения из трех равны между собой и соответ-
ствующие этим двум главные направления ортогональны к третьему
и в остальном произвольны;
3) три главные напряжения равны между собой и соответствующие
им главные направления произвольны.
Действительно, в первом случае, ввиду ортогональности коорди-
натной системы, направляющие векторы еп(п—\, 2, 3) которой совпа-
дают с главными направлениями, различие между осями основного и
взаимного координатных триэдров исчезает и, следовательно, компо-
ненты о]7 для случая т = п будут представлять нормальные, т. е. глав-
ные напряжения, поскольку при т ф п они аннулируются.
80
Тензор напряжений
При рассмотрении же второго и третьего случаев, введем наряду
с данной координатной системой еще новую, которую будем отличать
индексами со штрихами. Компоненты 4 тензора напряжений а в этой
новой системе будут определяться формулой
где (% = еч, ет и с* = еп • es'.
Принимая во внимание, что в старой системе тензор напряжений
представляется формулой (2.27), мы найдем, что в третьем случае, т. е.
при трех равных между собой главных напряжениях
= °2 = 4
компонент а®, будет определяться равенством
= 4 (с1Л + С1С2 + СХ)-
Но
вследствие чего из предыдущего равенства находим, что
os' = К (< = s')
*' (О (ч'=/= s')'
Таким образом, в этом случае все направления являются главными,
и главные напряжения в любых направлениях равны между собой.
Обращаясь, наконец, ко второму случаю, примем, например, что
старая и новая координатные системы имеют общую ось, вдоль которой
располагаются все координатные векторы, имеющие индексы 3 или 3',
а остальные находятся в плоскости к ней ортогональной. Если затем,
согласно условию, положим, что
°®,
то компонент в новой системе координат будет представляться фор-
мулой
°? = °} (сХ + 44) + а®с®, с|'.
Далее так как при т = 3 и ч'; s'3 или при т ф 3 и ч'; s = 3 имеют
место значения
С = 4 = °.
найдем такие равенства:
44l«'=s'*3 = 44 + 44 = 44 + 44 = i;
Вследствие этого из приведенного выше общего выражения для
для данного случая, получим, что
о3' = о3:
3' 3’
4 = 4 = 4
4 = °Г = °Г = °3' ~ °2' = 4 ~ °'
Главные напряжения
81
Таким образом, заключаем, что в рассматриваемом случае, как
и утверждалось, все направления, располагающиеся в плоскости двух
одинаковых главных напряжений являются главными и все соответствую-
щие им главные напряжения равны между собой.
5. О направлениях главных напряжений. Вопрос о нахождении
направлений главных напряжений возникает сейчас же после решения
характеристического уравнения и установления значений этих напря-
жений. Направления же их в любой системе координат определяются
для каждого главного напряжения значениями компонентов ст (т =
— 1, 2, 3) соответствующего ему направляющего вектора еЛ*, представ-
ляемого в системе координатных векторов еп(п=1, 2, 3) равенством
eN* = с^е1 + с^ег + с^е\ (2.28)
Для определения величин мы имеем в своем распоряжении одно-
родное векторное уравнение (2.25), которое для каждого Л-го вектора
eN = eNk дает три однородных скалярных уравнения:
(4-М^ + ^ + ^ = 0;
4^" + - К} & + = 0; (2.29)
Здесь Xfc— главное напряжение, а а*, а^, а®, вообще говоря, не глав-
ные напряжения, поскольку задание тензора напряжений в выбранной
системе координат предполагается произвольным. Однородность этих
уравнений и обращение в нуль определителя их матрицы свидетель-
ствуют о том, что данные уравнения взаимно зависимы. Количество же
взаимно независимых уравнений, как известно, равно рангу их матрицы.
Рассмотрим разные случаи кратности корней характеристического
уравнения.
а) Случай трех разных корней. Если все три таких корня различны:
Xi =£ Х2 Х3, то матрица уравнений (2.29) после преобразования к глав-
ным осям тензора напряжений и подстановки в нее вместо Х& значения
какого-либо корня, например, Х1? получит следующий вид:
0 0 0
OXj-Xj о
О О хз — Хх
Отсюда видно, что ранг матрицы в рассматриваемом случае равен
двум. На основании этого заключаем, что одно из уравнений (2.29)
является следствием двух Других и, таким образом, из этих уравнений
мы сможем наити лишь отношения между тремя неизвестными сгй, с2«
и Cgh для каждого значения k. Тем самым будут определены направ-
ления каждого из векторов eNh и открытым останется вопрос об их мо-
дулях. Каждому главному напряжению, как следует отсюда, будет
соответствовать одно единственное направление.
При практическом нахождении неизвестных c^k, c?h и c3fc для вы-
бранного значения k придадим одному из них произвольное значение.
Тогда из sib ух независимых уравнений, входящих в состав трех ра-
венств (2.29), мы сможем найти два других неизвестных.
6 В. И. Блох
82
Тензор напряжений
После этого, ввиду представления (2.28), модуль направляющего
вектора eN,t определится из равенства
\eN^\2 = c^c^g'C
б) Случай двух равных корней. Если два каких-либо корня харак-
теристического уравнения равны между собой, например,. Xj = Х2, то
направление главного напряжения, представляемого третьим некратным
корнем, Х3, найдется указанным выше способом. Что касается двух
напряжений, определяемых кратными корнями, то обращаясь к матрице
уравнений (2.29), заметим, что после преобразования ее к главным осям
тензора напряжений и подстановки в нее кратного корня Хт = Х2 вместо
ХА, она получит следующий вид:
0 0 0
0 0 0
0 0 Х3 —Хт
Ранг ее, как видно отсюда, равен единице. В этом случае два
уравнения из числа трех равенств (2.29) являются следствием третьего
и, таким образом, для нахождения трех неизвестных cfft, c^k nCgh(k= 1; 2)
мы имеем одно уравнение. Два из этих неизвестных, следовательно,
могут быть выбраны произвольно, и тогда третье неизвестное найдется
из этого уравнения.
Поскольку два разных главных напряжения взаимно ортогональны,
то направления, соответствующие корням Хт и Х2, будут находиться
в плоскости, перпендикулярной в данном случае к направлению век-
тора eNs. Что касается их положений в этой плоскости, то они будут
произвольны; все направления в ней будут главными.
в) Случай трех равных корней. При наличии трех одинаковых корней
характеристического уравнения соответствующая матрица имеет нулевой
ранг и, следовательно, уравнения (2.29) будут удовлетворяться при
любых значениях неизвестных c‘v*. В этом случае все направления ока-
зываются главными.
6. Скалярные инварианты тензора напряжений. Постоянные ар ап
и аш характеристического уравнения (2.26), согласно тому, что было
выяснено в § 28, представляют собой основные скалярные инварианты
тензора напряжений. Вследствие этого и корни его Хх, Х2 и Х3 будут
также инвариантами, т. е. значения их, а следовательно, и главные
напряжения, не будут зависеть от координатной системы, в которой
представлен тензор напряжений. При использовании наряду с данной
координатной системой еще системы с осями, совпадающими с направ-
лениями главных напряжений, можно получить на этом основании сле-
дующие равенства для указанных инвариантов:
4 = 4 + + = + 4 +
+
°!
о
(2.31)
Распределение нормальных напряжений вокруг точки
83
§ 33. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ТОЧКИ
к данной площадке г
ограничиваемой этой
Рис. 8.
вектор г направим
Остановимся теперь на изучении закономерности распределения
нормальных напряжений для различных площадок, проходящих через
данную точку.
С этой целью заметим, что для любой площадки, определяемой
нормальным к ней вектором e,v, модуль которого для простоты примем
равным единице, нормальные напряжения могут быть найдены при по-
мощи любого из выражений равенств (2.15), и далее поступим следую-
щим образом.
Вдоль единичного вектора eN, нормального
(рис. 8) и обращенного в сторону, внешнюю от
площадкой напряженной среды, расположим дру-
гой вектор г
Г = = xmem
с переменным модулем, равным
|г|= (2.31)
Здесь | cNN | — абсолютное значение нормаль-
ного напряжения на рассматриваемой площадке,
a k — показатель степени, являющийся вещест-
венным числом. Начало этих векторов распола-
гается в точке О на площадке F, а направление
свяжем со знаком напряжения cNN так, что при
положительном значении этого напряжения,
в положительную сторону вектора eN, а в обратном случае — в отрица-
тельную.
Учитывая все это, мы будем иметь
eN = ± А
где + или — следует брать соответственно в зависимости от совпаде-
ния направления вектора г с направлением eN или несовпадения. Отсюда,
вследствие указанного предыдущего значения для модуля вектора г,
получим, что
e-v = ± |cAW|-*r.
Так как вектор eN связан с нормальным напряжением zNN, согласно
равенствам (2.15), условием
ev • о eN = aNN,
то, подставив сюда значение вектора e-v из предыдущей зависимости,
найдем, что
г - а . г = aNN I -jKN I2*
С другой стороны, принимая во внимание соотношение (2.31), мы
сможем это уравнение представить следующим образом:
6*
2&+1
Г . а • г '= ± I г I к
84
Тензор напряжений
Здесь знак -j- или — следует ставить в зависимости от того, по-
ложительно ли напряжение аЛЛ для данного направления eN или отри-
цательно.
Последнее уравнение можно записать также в следующем виде:
= <232>
Оно будет представлять собой уравнение поверхности, радиус-век-
тор г которой имеет длину, равную |s'v'v|\
Легко заметить, что если это уравнение удовлетворяется каким-
нибудь вектором г, то оно будет удовлетворяться и вектором —г, т. е.
вектором одинакового модуля с первым, но обратно направленным.
Так как точки, определяемые двумя векторами, г и —г, будут распо-
лагаться на поверхности (2.32) симметрично относительно начала этих
векторов, то заключаем, что данная поверхность имеет центр в указан-
ной начальной точке.
Воспользовавшись декартовыми координатами, мы сможем уравне-
ние (2.32) представить в следующем виде:
2^+1
о^х2 + °тУ2 + <W2 + 2a^z + 2jzxzx + ЪХуХу = ± (х2 + y2-\-z2} 2k . (2.33)
Если оки декартовой системы координат совместить с главными осями
тензора напряжений, то последнее уравнение представится таким образом:
2*-1-1
с^х2 + СууУ2 + ozzz2 = ± (х2 + у2 + z2) 2k , (2.34)
где в данном случае ахх, ауу и azz— главные напряжения, а главными
площадками являются координатные.
Остановимся несколько на рассмотрении вопроса о выборе знака
в правой части этого уравнения.
Как было отмечено, знак + или — следует проставлять в зависи-
мости от того, положительно ли нормальное напряжение aNN для данного
направления eN или отрицательно. Но, согласно зависимости (2.16), нор-
мальные напряжения на любой площадке при использовании главных
осей в качестве координатных будут определяться равенством
aNN = °NN = °=cxC2n + ^ууС2,, + °zzC}N, (2.35)
где cxn, сук и сгы— направляющие косинусы единичного вектора-нормали
eN этой площадки.
Предположим, что все три главные напряжения положительны, чему
соответствует всестороннее растяжение.
Тогда, как следует из равенства (2.35), нормальные напряжения на
любых площадках будут также положительны. Вследствие этого в правой
части уравнения (2.34) или (2.33) и (2.32) придется из двух знаков для
всех направлений сохранить знак +.
Если все главные напряжения отрицательны, т. е. являются напря-
жениями сжатия, то aNN будет постоянно отрицательно и, следовательно,
знак в правой части указанных уравнений должен быть выбран отрица-
тельным. Но ввиду отрицательности главных напряжений появятся ми-
нусы также перед коэффициентом левой части уравнения (2.34) и, значит,
общий результат изменения знаков на уравнении не скажется.
Распределение нормальных напряжений вокруг точки
85
Таким образом, уравнение (2.34) поверхности будет одинаковым как
для случая всестороннего растяжения, так и для случая всестороннего
сжатия, и мы его сможем представить следующим образом:
2Л-Ы
ахх2 + avy2 + a2z2 = (х2 + у2 + z2) , (2.36)
где ах, ау и а2— абсолютные значения главных напряжений.
Если, кроме того, все три главные напряжения одинаковы по вели-
чине, то эта поверхность, как следует из данного уравнения, превра-
щается в сферу.
Предположим далее, что из трех главных напряжений два будут
положительны, а одно отрицательно. Тогда, как следует из уравнения
(2.35), на рассматриваемых площадках
возможны и отрицательные, и положи-
тельные нормальные напряжения.
Для конкретности примем, что
охх = ах 0; вуу = Су 0 и czz =
= —а2 <0, и исследуем тот случай,
когда на рассматриваемых площад-
ках нормальные напряжения положи-
тельны.
Сохраняя в правой части урав-
нения (2.34) знак + мы, после под-
становки в него указанных значений главных напряжений, найдем, что
уравнение поверхности в рассматриваемом случае имеет вид
2Л-Ц
<зхх2 + зуу2 — ozz2 = (х2 4- у2 + z2) 2к
(2.37)
Если перейти теперь к направлениям имеющим отрицательные нор-
мальные напряжения, то необходимо будет в уравнении (2.34) в правой
части оставить знак — и тогда уравнение поверхности для данного
случая получит вид
2Л-Ц
ахХ2 + СуУ2 — a2Z2 = — (х2 + у2 + Z2) 2к . (2.38)
Обе поверхности, построенные для одного и того же общего центра,
будут дополнять друг друга таким образом, что любой луч, проведенный
из этого центра, будет или встречать одну из этих двух поверхностей,
или касаться их.
Вполне очевидно, что если вместо двух положительных главных
напряжений окажется одно, а вместо одного отрицательного — два, мы
придем к тем же двум поверхностям (2.37) и (2.38).
Особый интерес представляют случаи, когда k — 1 и когда k =--% .
В первом случае (k = 1) радиус-вектор, проведенный из центра до
поверхности, будет своей величиной непосредственно определять нор-
мальное напряжение на перпендикулярной к нему площадке. Уравне-
ние (2.32), (2.33) или (2.34) в этом случае будет представлять поверхность
шестого порядка. На рис. 9 показан общий вид такой поверхности для
случая, когда все три главных напряжения имеют одинаковые знаки.
Соответствующее данной поверхности уравнение (2.36) при этом получает
такой вид:
ахх2 + вуу2 + агг2 = (х2 -г у2 + z?)3/,?.
(2 39)
86
Тензор напряжений
На рис. 10 показаны совмещенными две поверхности, получаемые
в том случае, когда одно из трех главных напряжений имеет знак,
противоположный знаку двух других главных напряжений. Уравнения
этих поверхностей могут быть представлены равенствами
°хх2 + ауу2 — оги2 = ± (х2 + у2 + г2)3/2. (2.40)
Если теперь в уравнениях (2.32), (2.33) или (2.34) положить k =
=----то правая часть этих уравнений обратится в ±1, и мы придем
к поверхностям второго порядка. Радиус-вектор, проведенный из центра
к поверхности, будет в этом случае иметь величину равную — 1 ,
Рис. 10.
Именно такие поверхности второго
порядка для исследования распре-
деления нормальных напряжений
вокруг точки были впервые построены
Коши. Их уравнения, получаемые
из равенства (2.32), принимают вид
г а • г — ±1. (2.41)
Вследствие того, что в правой
части этого уравнения постоянная
отлична от нуля, заключаем, что век-
тор г не может принимать нулевые
значения, и, следовательно, сама по-
верхность не проходит через центр.
Такими поверхностями второго порядка, если аш =/= 0, как известно,
являются эллипсоиды и гиперболоиды. Если же аш = 0, то при усло-
вии, что компоненты тензора напряжений образуют матрицу второго
ранга, такими поверхностями будут эллиптические и гиперболические
цилиндры, а если они образуют матрицу первого ранга — две параллель-
ные плоскости. Так как радиус-вектор, проводимый из центра к поверх-
ности, в силу способа своего определения всегда вещественен, то мнимые
поверхности в данном случае должны быть исключены.
Поверхность нормальных напряжений (2.41), безотносительно к
характеризуемым ею физическим объектам или свойствам, в тензорном
исчислении называют тензорной поверхностью. В декартовых координа-
тах, совмещенных с главными осями тензора напряжений, если все три
главные напряжения имеют одинаковый знак, уравнение поверхности
(2.41) получает следующий вид:
охх2 -{- а,,у2 -|- a2z2 = 1.
Тензорная поверхность, таким образом, имеет в этом случае вид
эллипсоида.
Если главное напряжение, соответствующее, например, оси z, отри-
цательно, а остальные главные напряжения положительны, то для всех
направлений с положительным нормальным напряжением мы получим
поверхность, определяемую уравнением
ЩХ2 + ауу2 — a2z2 = 1.
Как следует отсюда, эта поверхность будет представлять собой
однополостной гиперболоид. Для всей же совокупности направлений,
Распределение касательных напряжений вокруг точки
87
имеющих отрицательное нормальное напряжение, тензорная поверхность
будет определяться уравнением
охх2 + аеу2 — агг2 = —1,
т. е. будет представлять собой двуполостной гиперболоид. Оба гипер-
болоида, как следует из их уравнений, будут соосны, будут иметь оди-
наковые главные диаметры и общий ассимптотический конус (рис. 11).
Абсолютное значение нормального напряжения при таком способе
построения поверхности обратно пропорционально квадрату длины ра-
диуса-вектора, проведенного из центра к поверхности в выбранном на-
правлении:
На проведенных в начале координат площадках,
перпендикулярных к радиусам-векторам, совпадающим
с образующими ассимптотического конуса, нормаль-
ные напряжения будут отсутствовать. Этот конус
разделяет все пространство вокруг своей вершины на
две зоны с противоположными по знакам нормаль-
ными напряжениями.
В соответствии со свойствами поверхностей вто-
рого порядка главные напряжения будут экстремаль-
ными среди любых нормальных напряжений вокруг
Рис. 11.
точки.
Если из трех главных напряжений одно будет равно нулю, то по-
верхность нормальных напряжений будет представлять собой цилиндр;
эллиптической она будет в том случае, если оба остальных главных
напряжения имеют одинаковый знак, и гиперболической — если они
имеют противоположные знаки. Наконец, если два главных напряжения
из трех будут равны нулю, то тензорная поверхность обратится в две
параллельные плоскости, нормальные к вектору оставшегося единствен-
ного главного напряжения.
§ 34. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ТОЧКИ
1. Выражение для полной величины касательного напряжения. Полу-
ченные ранее равенства (2.17) и (2.19) позволяют найти касательные
напряжения для любой площадки, определяемой вектором-нормалью eN,
в виде компонентов для двух любых заданных направлений в этой пло-
щадке. Однако полную величину касательных напряжений удобнее рас-
сматривать, как геометрическую разность двух векторов, полного напря-
жения и нормального.
Исходя из этих соображений, примем во внимание, что при заданном
тензоре напряжений вектор полного напряжения на площадке, имеющей
вектор-нормаль e,v, определяется равенством
=- а . ev.
Для упрощения расчетов примем, что eN является единичным вектором.
Тогда проекция вектора напряжений на направление нормали eN пред-
ставится скалярным произведением c,v • eN, а направленный компонент
нормального напряжения определится выражением (cw • eN)eN. Если обо-
88
Тензор напряжений
значить вектор касательного напряжения для той же рассматриваемой
площадки через ат, то можно будет получить следующее равенство (рис. 12):
Для установления величины касательного напряжения или модуля
его вектора скалярно умножим обе части этого равенства сами на себя.
В результате получим, что
I aj j2= aN . aN — (aN • e^) • eK),
(6W)eN
бр или, ввиду того, что вектор eN является единичным,
\ I I2 = h'v =Л') • е") - (^ . с') (3V .
/ Используя затем известное преобразование
\\Z / (а X Ь) • (с х d) = (а • с) (Ь • d) — (а • d) (b • с),
где а, Ь, с и d — четыре вектора1, мы сможем преды-
дущее равенство представить следующим образом:
Р Ы2 = (^ X eN) • X eN). (2.42)
Если же в качестве координатных осей использовать оси декартовой
системы координат, совмещенные с главными осями тензора напряжений,
то лико можно будет найти такое представление:
aN х eN = {axxcNxi + a,,,,cNf/j + az2cNzk) X (cNxi + cNyj + cNzk) =
= {aVV ^zz} CNyCNzi “H (azz axx) CNzC/yxj -f- (&xx — Qyy) CNz&Nyk,
где axx, ayy и a22— главные напряжения, a Cnx, с\у и cnz— направляющие
косинусы единичного вектора e-v.
Вследствие этого равенство (2.42) получит вид
| аг |2 = [ауу — аг2)2 cxyCNz + (azz °хх) CnzCNx (а*х сМхСку- (2-43)
2. Максимальные значения касательных напряжений. Воспользуемся
представлением (2.43) и найдем максимальные значения касательных на-
пряжений, которые возникают на площадках, проходящих через одну и
ту же точку при заданном тензоре напряжений. Переменными в этом
выражении при изменении ориентации площадки будут косинусы
с,\'у и cnz, ограниченные в своих изменениях условием
^ + Cw + ^2=I- (2-44)
Если определить отсюда, например, величину Скх и подставить ее
значение в правую часть равенства (2.43), то возникнет зависимость
hr I2 = (=W - =z2)2 C^Nz + [(a22 - ахху +
+ (°хх-°ууПе] (1 (2.45)
в которой переменные с.уу и c,Vz будут уже независимыми друг от друга
величинами.
1 Это равенство легко получается из формулы преобразования двойного вектор-
ного произведения
Ь х (с X d) = (b d) с — (Ь • с) d,
если обе части равенства скалярно умножить на вектор а и переставить затем в смешан-
ном произведении знаки векторного и скалярного умножения.
Распределение касательных напряжений вокруг точки
89
Обычные условия нахождения экстремума приводят нас к равенствам
д1 °г I2 о, _ ,д1°г1 _
л. 2 I °Т I дс
ocNy ocNy
0;
'I sr r o. Л’г
дс °Г А;
ocNz ocNz
(2.46)
из которых следует, что, наряду со значениями переменных, обращаю-
щих производные от |аг| в нуль, получаются в данном случае также
значения переменных, обращающие в нуль и функцию |аг |. Очевидно,
исследование значений отношений левых частей равенств (2.46) к | ат |
с раскрытием неопределенностей сможет выяснить, принадлежит ли к
числу экстремальных также и это нулевое значение рассматриваемой
функции.
Указанные равенствами (2.46) условия нахождения экстремума функ-
ции (2.45) приводят нас к двум зависимостям:
2с v (а — °1/и) [(ах, — аии) (1 — 2с2,) — 2 (о — о) сЯ ] = 0;
2сЛ, (ох — б„)(1— 2с2) — 2(ах— а } cl ] = 0. 1 ’
Рассмотрим различные случаи аннулирования левых частей этих равенств.
а) Равенства (2.47) будут выполняться в том случае, если, напри-
мер, cN =cNz = 0. Тогда из условия (2.44) мы найдем, что cN* = 1 и,
следовательно, направляющий единичный вектор е окажется совпадаю-
щим с осью х, которая, согласно принятому, является главной осью
тензора напряжений. Площадка, нормальная к этой оси, является глав-
ной и свободна, таким образом, от касательных напряжений (<^ = 0).
То же получается и непосредственно из равенства (2.45).
Чтобы выяснить относится ли полученное значение к числу
экстремальных, составим отношение
д | |2
&cNy I °Г I
2 I СГ I dcNy
cNy (°хх — ауу) [(схх — °(/ц) (1 — 2C/Vy) — (ахх — а22) Сд,2]
’ у- ,
Uc//// °22)2 CNyCNz + t(°22 °жж)2 cNz + (°.та 'уу? сЛ'у1 (1 — — cw2)} 2
которое при cN = 0 приводит к значению
5 I аГ I _ ч 1 — ^cNy
дс , х°хх Gyy) 1 /----------5— *
11-4^
не стремящемуся к 0 при cNy -> 0 и ахх =у= ауу. Из этого заключаем, что
соответствующее данному случаю значение ат не является экстремальным.
б) Рассмотрим затем частный случай, когда ахх = а При этом
первое из двух равенств (2.47) будет тождественно удовтетворяться при
любых значениях cN и cNz, а для выполнения второго примем, что CN =
= 0. Тогда из условия (2.44) найдем, что
г2 U- С2 =1
ьКх ’ cNy 1»
и если рассматривать cN 9 cN и cNz как координаты конца направляю-
щего вектора eN, проводимого из начала координатной системы мы
90
Тензор напряжений
-°^)(1-4г)2-
легко заключим, что конец его описывает окружность единичного ра-
диуса, расположенную в плоскости z = 0. Как следует из равенства
(2.45), касательные напряжения при принятых здесь условиях будут
равняться нулю (зг = 0), причем это аннулирование будет выполняться
для всех площадок, нормальных к любому радиусу указанной окруж-
ности.
Аналогично предыдущему мы находим, что в этом случае
д | Оу |
dcNz ~
Если одновременно ахх, то из полученного выражения находим,
I °7' I
что -д--- не аннулируется при обращении с., в нуль, и следовательно,
NZ
рассмотренный случай также не относится к числу экстремальных.
в) Пусть одновременно ахх = ауу = а^. В этом случае оба равенства
(2.47) будут тождественно удовлетворяться при любых значениях cNx,
cNy И cNz- Единичный направляющий вектор eN при этом может прини-
мать любое положение и, таким образом, для всех площадок, проходя-
щих через данную точку, касательные напряжения, как следует из
равенства (2.45), будут равны нулю. Вопрос об экстремальных значениях
касательных напряжений в этом случае всестороннего равномерного рас-
тяжения или сжатия, следовательно, отпадает.
г) Примем далее во внимание, что равенства (2.47) могут выпол-
няться также в том случае, если первое из них, например, удовлетво-
ряется благодаря тому, что с^ = 0, а второе — вследствие аннулирования
выражения, стоящего в прямых скобках. Очевидно, при этом cN и раз-
ность ахх — а2г могут отличаться от нуля. Из условия аннулирования
указанного выражения, заключенного в прямые скобки, следует, что
С =+ —
CNz ± у § ’
а из уравнения (2.44) находим, что в этом случае также
с = + —
Числовое значение касательного напряжения на соответствующей
площадке, ввиду равенства (2.45), будет при этом
°т = ±
2
Очевидно, можно было бы в приведенных здесь выкладках поменять
ролями перво? и второе из равенств (2.47) и принять, что второе урав-
нение выполняется благодаря тому, что aVz = 0, а первое — из-за анну-
лирования выраж<.ния, стоящего в прямых скобках. В этом случае мы
нашли бы, что
с = + — с =+ — -с =0-а = + °** ~
cNx х /2 ’ № ’ т х 2
Наконец, если бы мы в ходе своих построений, выполненных при
получении равенства (2.45), начали бы не с исключения переменной cN ,
Распределение касательных напряжений вокруг точки
91
а с исключения, например, cNy, то ввиду полной симметрии уравнения
(2.43) относительно всех переменных могли бы прийти еще к равенствам
с = л с =+J_ с = + _L • а = +
CNx U’ LNy Х J/2 ’ № х /2 ’ Г ~ 2
В каждом из этих трех случаев направляющий вектор eN будет рас-
полагаться в одной из главных плоскостей под углом +45° к главным
осям в этой плоскости. На рис. 13 показано взаимное расположение
таких площадок. Проверкой можно убедиться в том, что на них каса-
тельные напряжения будут экстремальными.
д) Выполнение условий (2.47) возможно также в том случае, когда
оба заключенные в них в прямые скобки выражения одновременно равны
нулю. Из возникающих при этом равенств можно найти, что здесь
должно выполняться условие вуи = а^, причем переменные cN и
будут подчиняться уравнению
_L /'2 — —
Равенство (2.44) при этом дает, что
С., — + —7= .
Nx ~ 1/2
Обе полученные здесь зависимости, если учесть, что cNx, cNy и cNz
представляют собой координаты конца единичного вектора eN, проводи-
мого из начала координатной системы, определяют две окружности,
расположенные в плоскости, перпендикулярной к оси х на расстояниях
±-р= от начала координат и имеющие радиусы Прямые, соеди-
няющие эти окружности с началом координат, образуют круговой конус,
ось которого совпадает с координатной осью х, а образующие состав-
ляют угол 45° с этой осью.
На площадках, ортогональных к образующим этого конуса, а сле-
довательно, касательным к его боковой поверхности, касательные на-
пряжения, согласно равенству (2.45), будут иметь значения
„______L СХХ , ° XX °ZZ
— 2 ~ — 2
Для данного напряженного состояния эти касательные напряжения
будут экстремальными. На рис. 14 показан конус, на боковой поверх-
ности которого касательные напряжения имеют указанные здесь значе-
92
Тензор напряжений
ния. В координатной плоскости zy будут располагаться одинаковые
по величине векторы главных напряжений. Отличное от них главное на-
пряжение будет направлено вдоль оси х.
3. Значения нормальных и полных напряжений на площадках с наи-
большими касательными напряжениями. Если мы воспользуемся значе-
ниями cNx, cNy и cNz, найденными выше для площадок с экстремальными
касательными напряжениями в общем случае и подставим их в правую
часть равенства (2.35), то получим значения нормальных напряжений
для этих площадок. При этом оказывается, что в то время как экстре-
мальные касательные напряжения равны полуразности двух главных
напряжений, в плоскости которых располагается нормаль к площадке,
нормальные напряжения на этих площадках будут равны полусумме
этих же двух главных напряжений.
Что касается составляющих вектора полных напряжений на тех же
площадках, то они найдутся из равенств
°Nx = °xxCNx’
= °VlCNy'
°Nz = °2ZCNz'
получаемых из формул (2.14) при учете, что координатные оси в рас-
сматриваемом здесь случае совпадают с главными осями тензора на-
пряжений.
Можно также найти значения модулей векторов полных напряже-
ний на этих площадках при помощи равенства
I I — G2, -4- о2 -4- О2 г2
I G I у XXеNx П- °yyCNy г
Результаты всех указанных расчетов приводим в табл. 1.
Таблица 1
CNX CNy CNZ °т °Ку |^|
0 1 ± —7= ±4 Суу °УУ + c?z 0 + fs® ± 1 / + °22
У 2 ]/2 2 2 Г 2 12 1 2
/2 0 + К2 Н- 0 б» № | и °zz “Г ахх 2 -f- Схх 1^2 0 ± 1 2 I / czz +
1 п 4 /2 0 * и 1 СЧ и о* н °хх + °уу 2 У 2 /2 0 J 2 / 2 t 2 I / Gxx "Г Vyy
1 2
4. Поверхности касательных напряжений. Проведенное исследова
ние относительно экстремальных значений касательных напряжений не
дает представления о закономерности распределения их вокруг точки
для направлений, отличных от направлений экстремальных. Последнее
можно сделать наглядным, если, согласно Г. В. Колосову, построить
поверхности касательных напряжений. С этой целью вдоль единичного
вектора-нормали eN к рассматриваемой площадке направим вектор г
г = хпеп = хпеп,
имеющий модуль | г I = । ат |А,
где k — некоторое вещественное число.
Распределение касательных напряжений вокруг точки
93
Принимая во внимание, что в этом случае
eyv = T71’ ^ = ^-0 = ^1°, Ы = И^.
мы, вследствие формулы (2.42), найдем такую зависимость:
±+4
(г • а X г) • (г о X г) = I г I *
которую представим следующим образом:
-4-2
(г • а X г) • (г • а X г) = (г • г)k . (2.48)
Это уравнение будет представлять собой некоторую поверхность,
вид которой зависит от выбора конкретного значения постоянной k.
По этой поверхности будет скользить конец радиуса-вектора г, нор-
мального к рассматриваемой площадке при ее различных поворотах.
Если координатные оси совместить с главными осями тензора
напряжений, то в полученной таким образом декартовой системе коор-
динат уравнение (2.48) представится формулой
(°уу - °^2У2?2 + W + Кх - °уу)2х2У2 = (*2 + У2 + г2)k + -
(2.49)
Наиболее простой вид дто уравнение получает в том случае, если
принять k = — у. При этом соответствующая поверхность принимает
возникающие при пересечении
вид, показанный на рис. 15. Кривые,
этой поверхности с координатными осями, представляются равнобочными
гиперболами, а радиус-вектор, проведенный из центра до встречи с дан-
1
нои поверхностью имеет длину, равную , где ат — полная вели-
]/| °г I
чина касательного напряжения на нормальной к этому радиусу площадке.
На рис. 16 показан вид поверхности касательных напряжений для
случая, когда & = 4-1. Радиус-вектор при этом своей длиной определяет
абсолютное значение касательных напряжений на той же площадке.
Кривые пересечения поверхности с координатными плоскостями полу-
чают вид четырехлепестковых розеток.
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для описания закономерностей в передаче усилий по разным на-
правлениям в сплошном твердом теле, находящемся в равномерно на-
пряженном состоянии, мы воспользовались некоторыми принципами
векторной и тензорной алгебры и соответствующими геометрическими
построениями.
Эти закономерности можно переносить, как было отмечено, также
и на тела, находящиеся в неравномерно напряженном состоянии, если
ограничиваться рассмотрением столь малых объемов, что изменениями
напряжений в них можно пренебречь. При обращении же к конечным
объемам, где такое пренебрежение недопустимо, необходимо для описа-
ния законов изменения напряжений пользоваться методами математи-
ческого анализа. Поэтому мы остановимся здесь на рассмотрении основ
векторного и тензорного анализа.
§ 35. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
1. Скалярная функция. Скалярной функцией некоторого количества
независимых переменных мы называем переменное число или скаляр,
вводимый в соответствие каждой совокупности значений этих независи-
мых переменных. Перенося геометрические образы в область отвлечен-
ных представлений, мы рассматриваем эти независимые переменные как
координаты некоторой точки в многомерном, вообще говоря, пространстве.
В этом случае мы говорим, что данная функция является функцией
точки, которую мы называем также аргументом функции. Совокупность
всех допустимых в рассматриваемом случае положений точки или зна-
чений аргумента образует так называемую область функции. Область
функции совместно со всеми значениями этой функции, отнесенными
к соответствующим положениям переменной точки, образует так назы-
ваемое поле функции.
Функция будет однозначной, если каждой точке области соответ-
ствует только одно значение функции. Однако каждому значению функ-
ции при этом может соответствовать множество точек области.
Рассматривая область, будем считать, что она занимает некоторый
сплошной объем. Функция будет непрерывной в такой области в том
случае, когда для любых двух неограниченно близких точек этой
области значения функции отличаются на неограниченно малую вели-
чину. Мы говорим, что функция дифференцируема в данной области
или ее части, если существует определенный конечный предел отноше-
ния разности значений функции для любых двух точек рассматриваемой
части области к расстоянию между ними при неограниченном сближе-
нии этих точек между собой по произвольному пути.
Скалярное поле
95
Пусть имеем однозначную и непрерывную в некоторой области ска-
лярную функцию
F(xr, х2, х3) = С,
где х1, х2 и х3 — координаты точки области, и С—некоторое значение
этой функции.
При фиксировании значения параметра с мы получаем из этого ра-
венства уравнение, которое будет представлять некоторую поверхность.
Для всех ее точек функция F (х1, х2, х3) имеет одно и то же значение,
и такая поверхность носит название поверхности уровня. При непре-
рывном изменении параметра с поверхность F пробегает непрерывно
весь рассматриваемый объем. При однозначности функции через каж-
дую точку области может проходить только одна поверхность уровня.
2. Градиент скалярной функции. Перейдем из некоторой точки поля
дифференцируемой функции F в соседнюю точку на расстояние
dr — dx1e1 + dx2e.z -|- dx3e3 = dx"e„, (3.01)
где dxn — координатный компонент элементарного вектора dr в коорди-
натной системе с базисом ег, е2, е3. При таком переходе значение функ-
ции F, связанное с рассматриваемой точкой, ввиду непрерывности этой
функции изменится на некоторую весьма малую величину. Так как
функция F является и дифференцируемой, то ее дифференциал предста-
вится формулой
dF = ~ dx1 ~ dx2 -f- dx3 = dxn. (3.02)
dx1 dx2 1 dx3 дхп ' '
Как следует из формулы (3.02), ее правая часть зависит, с одной
стороны, от компонентов dx" элементарного вектора dr, представляющего
собой направленное расстояние двух соседних точек, и с другой — от
значений частых производных функции F, определяемых только этой
последней. Введем в это равенство явным образом вектор dr.
С этой целью, используя систему основных взаимных координатных
векторов еп и е", представим правую часть равенства (3.02) в виде
скалярного произведения двух векторов:
dF = (dx^ 4- dx\ 4- dx3e3) • (e* g 4- e2 d£2 4- e3g) = dr • . (3.03)
Появившийся здесь вектор, координатными компонентами которого
являются частные производные функции F, называется градиентом этой
функции. Для его обозначения применяют или запись grad К, или вве-
денный Гамильтоном символ V, названный им «набла» и называемый
также оператором Гамильтона. Таким образом, для обозначения гради-
ента функции имеем три формы записи:
ар
gradKEsVf = e"^-„. (3.04)
В декартовой системе координат выражение градиента скалярной
функции в развернутом виде представляется формулой
__.dF . . dF , dF
— ldx^]dy^kdz • (3-05)
Принимая во внимание, что
\7р = еп = Рт *е &F — V (ёпт) SF
v dxn ё mdxn —J D (gmn) "1 dxn ’
96
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
где A (gnm) — алгебраическое дополнение к элементу gnm в определителе
D(gmn)- Получим для градиента функции F выражение
vf = 7 §п §21 §31 е2 £12 §22 §32 «3 §13 §23 §33 0 dF dx' dF_ dx2 dF dx3 (3.06)
3. Инвариантность градиента скалярной функции. Покажем, что
градиент скалярной функции является инвариантом относительно коор-
динатных систем, используемых для его представления. Для этого,
наряду с некоторой прямолинейной координатной системой, обознача-
емой индексами т и используемой для представления градиента, введем
в рассмотрение другую прямолинейную координатную систему, обозна-
чаемую индексами п'. При этом получим, что
еп' = с”'ет, хп' = С£хт,
где < — компоненты тензора преобразования координат, не зависящие
от координат хт. Из последнего равенства находим, что
Если затем рассматривать F как функцию переменных хп', то,
используя правило дифференцирования сложных функций, можно вы-
полнить следующие преобразования:
_ г m dF dF dxn’ т dF dF
v e dX™ e d^-dx" e
Таким образом, градиент скалярной функции, определенный в двух
разных координатных системах, остается неизменным, т. е. является
инвариантом относительно этих систем.
Хотя здесь мы предполагали координатные системы прямолинейными,
но доказанное положение будет справедливо также и для криволиней-
ных координат.
Как следует из рассмотренного преобразования градиента функции
г, dF -
г к новой системе координат, компоненты его преобразуются как
компоненты ковариантного вектора. Вследствие этого градиент, пред-
ставленный производными по координатам основной координатной си-
стемы, определяют как ковариантный’ вектор, а дифференцирование в
этой основной системе координат называют ковариантным дифференци-
рованием.
Возможно было бы в предыдущих построениях, приведших нас к
получению градиента, выбрать в качестве исходной системы координат
взаимную к основной и тогда мы получили бы для него выражение
VF = enll-, (3.07)
гт dF
где хп — ковариантные координаты. При этом производные представ-
ляли бы собой контравариантные компоненты градиента.
Скалярное поле
97
4. Ортогональность градиента к поверхности уровня. Докажем, что
градиент скалярной функции F в каждой точке поля нормален к поверх-
ности уровня этой функции, проходящей через ту же точку. Для этого
заметим, что в силу равенств (3.03) и (3.04) мы можем дифференциал
функции F представить следующим образом:
dF = dr • (X/F).
Если начальная и конечная точки элементарного смещения, опре-
деляемого вектором dr, располагаются на одной и той же поверхности
уровня, функция F не получает при таком переходе никакого изменения
(F=const), и мы' имеем,
dr (WF) = 0.
Но скалярное произведение двух неисчезающих векторов может рав-
няться нулю лишь в том счучае, если они взаимно перпендикулярны.
Из этого следует приведенное выше утверждение об ортогональности
градиента функции F к ее поверхности уровня.
5. Направленная производная. Выделяя в элементарном векторе dr
его единичный направляющий вектор t и обозначая величину элементар-
ного перемещения через ds, так что
dr = tds,
мы сможем из равенства (3.03), используя оператор V. получить зави-
симость
dF
= (X7F). (3.08)
Левая часть этого равенства представляет собой так называемую
производную функции F по направлению t или попросту направленную
производную.
Примем во внимание, что в декартовой системе координат единич-
ный вектор представляется равенством
t = i cos (t, x) 4- j cos (t, y) + k cos (t, z).
Тогда для направленной производной в этом случае находим выра-
жение
dF dF . . dF , dF ,, . rtr,.
dF = щ cos cos + dF cos z)- (3-09)
6. Координатная производная. Наряду с направленной производной
следует отметить координатную производную, которая формально полу-
чается в результате скалярного умножения градиента функции на основ-
ной вектор данной координатной оси:
dF
^=--en-(X7F). (3.10)
•
Различие между направленной и координатной производной заклю-
чается в разном способе задания направления дифференцирования и мас-
штаба отсчетов. Если в случае направленной производной направление
дифференцирования определяется заданием единичного вектора этого
направления, не связанным с системой координат, то в случае же коор-
динатной производной направление дифференцирования и система отсче-
тов определяются направлением и масштабом соответствующего коорди-
натного вектора.
7 В. И. Блох
98
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
7. Модуль градиента. Модуль градиента представлен равенством
IVFI = 1Z(VF)-(VF) = ]Лг • <3-10
При использовании декартовых координат это равенство получает
следующий вид:
Так как градиент скалярной функции направлен по нормали к по-
верхности уровня, то вектор единичной нормали п к этой поверхности
может быть представлен таким образом:
"=IW- <313)
С другой стороны, направленная производная функции F по этому
направлению находится из равенства
где dn — элемент отрезка вдоль нормали. Принимая же во внимание
предыдущее выражение для п, легко получить, что
IVF| = ^- (3.14)
т. е., что модуль градиента скалярной функции равен значению направ-
ленной производной этой функции по нормали к ее поверхности уровня.
Так как проекция вектора \/F на направление единичного вектора,
не совпадающего с направлением п, будет меньше, чем проекция его на
собственное направление, то из этого заключаем, что направленная произ-
водная скалярной функции F получает наибольшее абсолютное значение
в том случае, если направление дифференцирования нормально к поверх-
ности уровня этой функции.
8. Нормальные траектории поверхностей уровня, т. е. кривые, орто-
гональные в любой точке поля к проходящей через эту точку поверх-
ности уровня, будут, очевидно, в то же время являться траекториями
градиента функции F этого поля. Они будут представлять собой кривые,
к которым в любой точке касательны векторы ^F.
Если направленный элемент такой траектории обозначить через dr,
то ввиду указанного совпадения его с направлением вектора у7Е мы
можем написать, что
drX(VE) = 0. (3.15)
Зависимость (3.15) представляет собой дифференциальное уравнение
указанной траектории. В декартовых координатах оно приводит к про-
порциональным зависимостям
9. Символ V как знак производной. Не останавливаясь на доказа-
тельствах, заметим, что оператор V. рассматриваемый как символ век-
торной производной, подчиняется при применении его к сумме и произ-
ведению скалярных функций общим правилам дифференцирования таких
Дифференцирование вектора по параметру
99
сумм и произведений. Так, если обозначить через FL и F2 две скаляр-
ные функции, то можно будет получить, что
v(Fi + f2) = vFi + vf2;
V(F1F2) = (\7F1)F2 + F1(VF2): (3.17)
Следует обратить внимание также на то обстоятельство, что ска-
лярная функция F в результате приписывания к ней символа V обра-
зует вектор \7F ц, следовательно, этот символ можно рассматривать и
как некоторый условный вектор. Он обладает, таким образом, и свой-
ствами вектора, и свойствами знака производной.
§ 36. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО ПАРАМЕТРУ
Пусть вектор г является функцией некоторого скалярного параметра
а, что можно записать в форме равенства г = г(а). Если вектор г про-
водить из одного и того же начала О (рис. 17), то
конец его, при некоторых условиях в отношении
функции, опишет кривую, которая, как известно, носит
название годографа. Мы будем рассматривать случай,
когда вектор является непрерывной функцией пара-
метра и.
Рассмотрим два положения вектора г и t\, началь-
ное й последующее. Если обозначить через Дг величину
соответствующего направленного приращения вектора г, то можно записать
Г! = г + Дг.
Ввиду непрерывности вектор-функции г = г (а) неограниченное умень-
шение измерения параметра Да будет сопровождаться неограниченным
уменьшением приращения вектора, Дг. Точка В конца вектора t\ на
параметрической кривой при этом будет неограниченно приближаться
к точке А конца вектора г. Если при таком сближении этих двух точек
„ Дг
отношение двух приращении стремится к некоторому ограниченному
пределу, то векторная функция г называется дифференцируемой в точке
А, а указанный предел, который обозначим через производной век-
тора по параметру в отмеченной точке. Из этого представления следует,
что производная представляет собой некоторый вектор, совпадающий
по положению с касательной к параметрической кривой. Если эта кри-
вая имеет на некотором участке всюду касательные, то она и представ-
ляющая ее функция называются дифференцируемыми или гладкими в
соответствующих границах.
Не останавливаясь на доказательствах, заметим, что общие правила
дифференцирования сумм и произведений скалярных функций сохра-
няются также и для случаев векторных функций.
Таким образом, при наличии двух векторов и и v и скаляра т
можно написать
d , . . du , dv
(U 4- и) = + д- ;
аа' ' da da.
d , . dm . du
-г (mu) = и tn v-;
da' ' da da 1
d , .du , dv
-r (u* v) — -г * V 4- и * -r ,
da' ' da da
(3.18)
7*
100
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
где значком * обозначено любое умножение — скалярное, векторное или
диадное.
При представлении вектор-функции г в какой-либо прямолинейной
системе координат в форме равенства
г = х"еп
функциями параметра будут являться его координаты, и мы сможем
записать, что
dr dx1 dv2 . dx3 dxn ,n.
-г- = ~re, 4- -v-e2 + -7-e3 = (3.19)
da da 1 1 da ‘ 1 da d di “ ' '
Весьма малая величина dr носит название дифференциала вектора.
Если принять во внимание, что приращение вектора Дг, совпадает
с хордой стягиваемого ею отрезка параметрической кривой, мы сможем
элементарный вектор dr с точностью до величин высшего порядка ма-
лости рассматривать как направленный элемент параметрической кривой.
Модуль этого вектора |dr| будет представлять собой с указанной точ-
ностью длину соответствующего элемента этой кривой.
Если в качестве параметра принять длину s дуги параметрической
кривой, то так как при указанных условиях можно принять ds = |dr|,
производная вектора по дуге представит собой единичный вектор t, на-
правленный по касательной к этой кривой:
<-£• (3.20)
§ 37. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
Пусть каждой точке в некоторой области соответствует вектор v,
который является функцией точки этой области. Область векторной
функции совместно с совокупностью ее значений, отнесенных к опре-
деленным точкам области, образует так называемое векторное поле.
Будем считать, что вектор v является дифференцируемой функцией
точки поля, т. е., что для двух неограниченно близких точек поля раз-
ность соответствующих им векторов неограниченно мала, а отношение
этой разности к расстоянию между указанными точками при неограни-
ченном уменьшении последнего, по произвольному пути имеет опреде-
ленное конечное значение.
Мы можем любую координату точки рассматривать как некоторый
параметр. Вектор поля будет являться, таким образом, функцией трех
параметров — трех координат точки. Сохраняя два из них неизменными
и изменяя третий, мы сможем построить годограф вектора для этого
третьего параметра. Отмеченное выше относительно дифференцирования
вектора по параметру может быть целиком использовано и в данном
случае с тем лишь изменением, что производная вектора по параметру
или по координате будет частной производной, поскольку рассматри-
ваемый вектор является функцией трех переменных.
При переходе от одной точки поля к произвольной другой будут
изменяться все три координаты и полный дифференциал вектора v для
элементарного смещения определится суммой
dv = A dxl + dx2 + ^dx3-& dxn- <3’21>
Векторное поле
101
Исходя из тех же соображений, что и выше, мы сможем правую
часть этого равенства записать следующим образом:
dv = (emdxm) • (е"^) = dr- (V v). (3.22)
Здесь Vv представляет собой так называемый градиент вектора.
Представляя вектор v через его компоненты в координатной системе
с постоянным базисом в форме
v =
и выполняя действия, соответствующие оператору V> мы получим, что
в прямолинейной координатной системе
д,, dv.
= (3.23)
dx дх
При использовании декартовых координат мы сможем записать, что
v = vxi + vyj + vzk,
и тогда градиент вектора v представится в этой координатной системе
таким образом:
„ ..dvx , ..dvu , dv, . ..dvx , ..dvu , .. dv, . ,.dvx ,
+ kj^+kk^. (3.24)
Следует обратить внимание на то, что при скалярном умножении
выражения (3.23) на элементарный вектор dr в соответствии с правой
частью равенства (3.22) этому умножению подвергается левый вектор
каждой диады девятичленного выражения (3.23). Поэтому в декартовой,
например, системе координат результат такого умножения представится
следующим образом:
dr • (V v) = ifedx + ^dy + dz) + jl^dx+ ^dy+ dz) +
'v > \dx 1 dy J 1 dz ] 1 \dx 1 dy J 1 dz ] ‘
+ k l^dx + dy + dz) .
1 \ dx ' ду dz ]
Если бы мы такому умножению подвергли правые векторы диад, то
в результате получили бы, что
(V0 • dr = ;(*-& + ^d, + + i (l-dx + + %dz) +
Таким образом, две формы записи: dr (\7^) и (V0 • dr, оказываются
не тождественными.
Если мы в выражении (3.23) градиента вектора переставим в сум-
мируемых диадах координатные векторы, что можно сделать при помощи
записи о\7> то при скалярном умножении на элементарный вектор dr
получим, что dr (Vw) = (^V) • dr. В результате этих соображений мы
приходим к заключению, что необходимо отличать левый градиент век-
тора \Jv от правого и\7-
102
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Так же как и в случае градиента скалярной функции можно по-
казать, что градиент вектора в обоих своих формах является инвариантом
относительно координатных систем, используемых при его представлении.
Как и в случае скалярной функции, направленная производная
вектора вдоль направления, определяемого единичным вектором t, полу-
чится в результате скалярного умножения градиента вектора со стороны
оператора V на этот единичный вектор:
= (3.25)
где ds — элементарное перемещение вдоль вектора t.
Соответственно координатная производная получается в результате
скалярного умножения градиента вектора со стороны того же оператора
V на основной координатный вектор:
en-(W = £. (3.26)
Все приведенное в отношении векторного поля может быть перене-
сено также и на тензорное поле с учетом того обстоятельства, что ва-
лентность дифференцируемой функции при этом увеличивается.
§ 38. О ПРИМЕНЕНИИ ОПЕРАТОРА V К ВЕКТОРАМ И ТЕНЗОРАМ
Как отмечалось, при использовании оператора V следует учитывать
то обстоятельство, что, с одной стороны, он обладает свойствами вектора,
а с другой — представляет собой знак дифференцирования. Это следует
из определяющей формулы
V — e" —
в которой фигурируют соответствующие каждому из двух указанных
свойств отдельные символы.
Поэтому при применении оператора V к векторным, а также тен-
зорным функциям должны выполняться как правила дифференцирования,
так и правила, обусловленные использованием векторов-множителей.
Оператор V в последней роли может выступать как диадный, скалярный
и векторный множитель с подчинением соответствующим правилам в от-
ношении коммутативности сомножителей.
Ниже мы рассмотрим различные способы такого использования опе-
ратора V в качестве множителя, причем сначала в применении к вектору,
а затем сделаем общее заключение о соответствующих применениях
к тензору. Следует отметить при этом, что при обращении к координатным
выражениям дифференцируемых многокомпонентных функций, мы исполь-
зуем дистрибутивные свойства оператора V в качестве множителя по
отношению к сумме компонентов.
1. Градиент вектора. Сдиадным применением оператора V к вектор-
функции мы познакомились при построении ее градиента (3.23),
grad ц = = (^ ^) (е"«„) = ’ <3-27)
В данном случае мы имеем перед собой левый градиент, возникающий
в результате диадного умножения условного вектора V слева на вектор и.
При перестановке диадных сомножителей мы получаем правый градиент,
О применении оператора V к векторам и тензорам
103
который в координатном выражении сказывается в перестановке коор-
динатных векторов
Hgrad = uV = епетд^т. (3.27 ,)
В обоих случаях вектор и представлен своими ковариантными ком-
понентами, и в результате у нас возникает ковариантный тензор двух-
кратной валентности. Вполне очевидно, что вектор а мог быть представлен
также и контравариантными компонентами, и тогда градиент его при
координатном изображении получил бы вид смешанного тензора:
Аг/и
= (3.28)
2. Дивергенция вектора. Выполняя в диадном произведении Vм опе-
рацию скалярного свертывания, мы получаем выражение, которое носит
название дивергенции (расходимости) вектора.
Для обозначения операции дивергенции применяется или знак div
или точка — знак скалярного умножения, проставленный между опера-
тором V и обозначением дифференцируемого вектора:
divu = \J-u. (3.29)
Если исходить из равенств (3.27), то в результате указанного для
получения дивергенции свертывания мы находим, что
V •« = gmn^-
V в fan
В то же время равенства (3.28) нам дают, что
„ дит
'U~ дх^'
В декартовой системе координат выражение дивергенции вектора
в развернутом виде получает такой вид:
V.u = ^ + ^ + ^.
v дх 1 ду дг
Можно заметить, что дивергенция вектора представляет собой ска-
ляр, что является результатом скалярного свертывания двух векторов.
Вообще скалярное умножение оператора V на тензорное выражение приво-
дит к получению нового тензора с валентностью, уменьшенной на единицу.
3. Ротация вектора. Обращаясь снова к диадному произведению \7и,
выполним в нем операцию векторного свертывания. Полученный
тат носит название ротации (вращение) вектора.
Для обозначения ротации применяется или знак rot или X
векторного умножения, проставленный между оператором V и
чением дифференцируемого вектора х:
rot u = V X и.
(3.30)
(3.31)
(3.32)
резуль-
— знак
обозна-
(3.33)
Обращаясь к координатному представлению (3.27) градиента вектора,
находим, что
^2
д д д
дх1 дхг дх3
1 Вместо обозначения rot в английской литературе применяется обозначение curl
(завихрение).
V z/ — V dUn ____ 1 almnp дип ___ 1
VXH-e eifam~ у-
(3.34)
104
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
В декартовых координатах это представление в развернутом виде
можно изобразить формулой
V X. и = & — + fe — + — d-^\k. (3.35)
v \dy dzJ 1 \dz dx J 1 ' \dx dy) v '
При использовании равенств (3.28) необходимо предварительно век-
торы еп выразить через векторы е".
Следует затем обратить внимание на то, что векторное свертывание
правого градиента (3.28,) вектор-функции приводит к перестановке со-
множителей в произведении V X и и ведет к изменению общего знака
в полученном результате, так что
VXu=—uxv- (3.36)
Таким образом, следует различать левую и правую ротации вектора.
4. Применение оператора V к тензору. Рассмотренные действия
«умножения» оператора V на вектор распространяются также и на те слу-
чаи, когда вместо вектора имеется тензор любой высшей валентности с тем
условием, что операции дифференцирования подлежат все координатные
компоненты тензора, а действия диадного, скалярного или векторного
умножения выполняются в порядке, который специально указывается.
Обычно таким указанием служит взаимное расположение оператора V
и обозначения тензора. Так, например, в случае тензора Ф двукратной
или высшей валентности, обозначение V • ® или V X Ф следует в отно-
шении скалярного или векторного умножения понимать в том смысле,
что такому умножению подвергаются только крайние левые диадные
множители векторного сопровождения данного тензора, а при обозначе-
ниях Ф • V или ® X V — только крайние правые. Скалярное умножение
оператора V на тензор образует его дивергенцию, векторное — ротацию,
а диадное — градиент.
Если необходимо оператор V скалярно или векторно «умножить» на
промежуточный диадный множитель масштабного сопровождения тензора,
то для обозначения этого можно воспользоваться соответствующей сим-
воликой, указанной в § 23.
5. Применение оператора V к произведению двух векторов. Если ис-
ходить из указанных свойств оператора V. то элементарным становится
вывод следующих равенств, относящихся к диадному применению этого
оператора к произведению двух векторов:
V(M = (Vw)^ + ufaV).
113 ’
V(u-w) = (Vu)-^ + (Vw)-u; (3.37)
v(u X у) = (Vм) x v — (V^) x и.
Второму из этих равенств можно придать другой вид, если восполь-
зоваться формулой преобразования двойного векторного произведения,
которая может быть представлена следующим образом:
и х (V X v) = (V») - и —и - (V^). (3.38)
Определяя отсюда выражение (V^) • и, а также, путем перестановки
обозначений, выражение (Vй) • v, мы сможем второму равенству (3.37)
придать такой вид:
V (Ц • v) = и • (V^) + » • (V«) + ч X (V X v) -)- v х (V v). (3.39)
О двукратном применении оператора V к некоторым функциям
105
Для нахождения результата скалярного «умножения» оператора V
на диадное произведение двух векторов достаточно проставить точки —
знаки скалярных умножений в первом равенстве (3.37) между обозначе-
ниями V и того вектора, который подлежит скалярному умножению.
При этом получим
V • (uv) = (V и) v 4- и (V»). (3.40)
Что касается скалярного «умножения» оператора V на векторное
произведение двух векторов, то непосредственное аналогичное получение
соответствующего представления из третьего равенства (3.37) исключается
ввиду того, что возникающие при этом выражения вида (V «) >' и
теряют свой смысл, поскольку скобки здесь, как обычно, указывают не
только границы дифференцирования, но и последовательность операций.
Однако если воспользоваться известным правилом о допустимости пере-
становки в двойных смешанных произведениях векторов знаков скаляр-
ного и векторного умножения, то найдем что
V • (и X v) = (V х и) • v — (V ' v) • и. (3.41)
Для получения результата векторного «умножения» оператора у на
диадное произведение двух векторов достаточно в первом равенстве (3.37)
проставить всюду знак х после V- Тогда
V х (uv) = (V X u)v — u х (\7v). (3.42)
Однако аналогичное получение выражения V х (« х и) из третьего
равенства (3.37) недопустимо, поскольку в правой части при этом из-
менится последовательность векторных умножений в сравнении с левой.
Вследствие этого, используя формулу разложения двойного векторного
умножения и имея в виду, что дифференцированию подлежат обе вектор-
функции, мы можем написать, что
V X (и х г) = V • (vu) — \7 (uv). (3.43)
Принимая затем во внимание формулу (3.40), мы отсюда найдем
еще следующее равенство:
V X (и х v) = (V • V) и — (v • и) v + V (Vu) — И (W- (3-44)
§ 39. О ДВУКРАТНОМ ПРИМЕНЕНИИ ОПЕРАТОРА V К НЕКОТОРЫМ ФУНКЦИЯМ
1. grad grad F. Выражение двойного градиента скалярной функции
возникает непосредственно, если в выражении градиента вектора при-
нять, что вектор является в свою очередь градиентом скалярной функции.
При этом получаем:
grad grad F -.\?2F = g^- emen. (3.45)
Окончательное выражение представляет собой тензор двухкратной
валентности.
2. div grad F. Если полученное выше выражение подвергнуть ска-
лярному свертыванию, то найдем дивергенцию градиента скалярной
функции F:
div grad F = V • (VE) = g™ . (3.46)
В данном случае скалярному умножению подвергаются условные
векторы V- Получающийся при этом скалярный дифференциальный
106
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
оператор второго порядка называется оператором Лапласа, или лапласиа-
ном, и ему обычно присваивают обозначение Д (дельта). Таким образом,
имеют место следующие тождественные обозначения:
г)2
divgrad = V V = (3-47)
При использовании декартовых координат находим, что
— дх2 ду2 ~^~dz2 (3.48)
3. rot grad F. Выражение (3.45), подвергнутое векторному свертыва-
нию, приводит нас к такому результату:
rot grad F = V х (\7Л = 0. (3.49)
4. grad grad а. Двойной градиент вектора приводит к выражению,
представляющему собой тензор трехкратной валентности
grad grad = (3.50)
5. grad div а. При свертывании данного выражения по среднему и
правому диадным множителям возникает выражение градиента диверген-
ции вектора:
grad div и =V2 •8 * * 11 = gmn Л.2"" el = е1. (3.51)
ь v в дх'дхт дх1дхт ' '
В декартовых координатах оно представляется следующим образом:
V2-« = (r^ + /|- + feX)fe + ^ + ^-2). (3.52)
v \дх • ду 1 dz) \дх ' ду 1 dz J ' '
6. div grad в. Если в равенстве (3.50) выполнить скалярное сверты-
вание первого и второго диадных множителей, то возникает выражение
дивергенции градиента вектора:
divgradu = Au = gr,mg^en, (3.53)
которое для случая декартовых координат представится формулой
(д2 Z)2 д2 \
д^ + д^ + д?)^ + • (3-54)
7. grad rot и. Для получения градиента ротации вектора выполним
з выражении (3.50) векторное свертывание второго и третьего диадных
множителей. При этом найдем, что
grad rot и = V (V X и) = еЧ =
= ей_£-Г/^з_^\е ,(ди1_диз\р , е 1 /3 ггл
/g- дх2/3]- ' -° ’
8. rot grad в. Перестановка здесь операций grad и rot приводит
к нулевому результату;
rot grad и = V X (V“) = 0- (3.56)
Этот результат будет справедлив для тензора любой валентности.
О двукратном применении оператора V к некоторым функциям
107
9. div rot и. Выполняя в равенстве (3.55) скалярное свертывание,
мы найдем, что
div rot u = V • (V X u) = 0. (3.57)
Этот результат будет справедлив также для тензора любой валентности.
10. rot rot и. Если, наконец, выполнить в равенстве (3.55) еще одно
векторное свертывание, то получил выражение для двойной ротации
вектора:
rot rot и = v х (V X «) = elmn (е, х еп) = &™6insg*
Принимая во внимание, что
plmnp plmn plmn —Im
ins ins ins is >
мы сможем предыдущему выражению придать такой вид:
Vx(vxu)
'auf _ s _ d"uk . _ -A dus .
dxs dxi] дх><дха ® dxkdxi
(3.58)
Если, кроме того, принять еще во внимание формулу (3.51), а также
(3.53), то полученный здесь результат может быть представлен таким
образом:
V X (V X и) = V2- и - Ди. (3-59)
Равенство (3.59) будет справедливо также для тензоров любой валент-
ности.
11. rot Ф rot. В дальнейшем нам потребуется одна формула тож-
дественного преобразования данного выражения или, что то же, выра-
жения V X Ф х V. где Ф — тензор двукратной валентности. Используя
для простоты декартовы координаты, мы найдем, например, следующие
формулы:
= i • (V х Ф х V) i =
^Р^хФх?)-^
д2Фуу____д2Фгг . д2Фуг .
дг2 ду2 *•* дгду ’
д2Фгх д2Фху , д2Фгу
дхду дгдх **” дх2
Выражения остальных компонентов тензора Ч?’ получатся из этих
двух в результате соответствующей замены обозначений координат и
индексов.
Правые части приведенных двух равенств можно, дополнив неко-
торыми слагаемыми, представить следующим образом:
ПГ = Г— (дФ** । дФхр । дФхг\ , дФуу , 5Ф^Л
хх [дх \ дх ' ду ‘ дг ] ‘ ду\ дх ' ду "г” дг ) "г
д /дФгх дФг„ дФ„\1 д (дФхх , дФХу ЭФХ2)
дг\ дх ‘ ду дг /J дх \ дх ду дг /
д (дФхх дФуХ дФ2Л (д2 д2
дх \ дх ‘г’ ду дг / \5х2 'г ду2 дг2} хх
(ф -|_ф л_ф ) _ (&L _1_ л_ —\(ф 4-Ф Ч-Ф )
~ дх2 ' хх ~ уу “ ’г> \5л2 ду2 дг2] ' хх W гг'
П)' _______fдФгх I дФг{/ . 5Фгг^__________5 IдФХу । дФуу [ 'дФггД _
4/2 ду \ дх ду дг j дг\ дх ду дг /
(д2 д2 д2 \ д2
— + — 4- — Ф 4- (Ф 4- Ф 4- Ф )
дх2 ' ду2 ~ дг2) т дудг ' хх т уу “ 22'‘
108
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Отсюда легко усмотреть, что правые части этих равенств являются
соответствующими координатными компонентами правой части такого
тождества:
V X Ф х V^V2 •• Ф/ — V® • V —V • Ф V+V® +\72Ф —ДФ^- (3.60)
। © ©
Если тензор Ф является симметрическим, данному представлению может
быть придан следующий вид:
V X Ф х V = V2 • • — V2 • Ф —Ф • V2 + Д Ф + \72ф — ДФ/. (3-61)
© ©
§ 40. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Рассмотрим некоторые простейшие примеры, результаты решений
которых нам будут в дальнейшем полезны.
1. Дифференцирование радиуса-вектора. Исходя из выражения
радиуса-вектора в декартовых координатах
г = xi 4- yj -|- zk,
можно показать справедливость следующих равенств
Vr = I]
V -г =3 ..
V X г = 0
(3.62)
2. Дифференцирование радиуса-скаляра. Примем во внимание, что
V(«2) = 24(V«),
V(r • г) = 2 (Vr) • г = 21 • г = 2г,
где ч — модуль радиуса-вектора г.
Исходя из этого, можно доказать, что
=-
v ч
_2 ч2/ — гг
ч = -
. 2
Дч = —
ч
ч3
(3 63)
)
Следует заметить, что правая часть первого равенства представляет
собой единичный вектор, имеющий направление радиуса-вектора г.
Вполне очевидны следующие равенства:
2 Jl_ = ЗГГ—чЧ
V Ч Ч3
А — = 0
ч
(3.64)
Последний результат будет иметь место во всем пространстве, кроме
начала отсчетов.
Функции F, удовлетворяющие в некоторой области условию
AF = 0,
Некоторые примеры и задачи
109
называются гармоническими в этой области. На этом основании заклю-
, 1
чаем, что функция — является гармонической во всем пространстве
кроме начальной точки ее отсчетов.
Сравнивая последние формулы равенств (3.63) и (3.64), замечаем,
что в той же области
ДДч = 0. (3.65)
На этом основании функция ч, а также любая другая, удовлетво-
ряющая в некоторой области уравнению (3.65), называется бигармони-
ческой в соответствующей области.
3. Дифференцирование радиуса-скаляра на пло-
скости. Спроектируем радиус-вектор на некоторую
плоскость и величину этой проекции обозначим
через р (рис. 18). Принимая во внимание, что про-
екция того же радиуса-вектора г на ось z, нормаль-
ную к указанной плоскости и имеющую орт k, бу-
дет k • г = z, мы из геометрических соображений
легко найдем, что р2 = г • г — z2.
Применяя оператор V к обеим частям этого равенства, можно по-
казать, что
VP=L=^. (3.66)
г
Отсюда следует:
V2lnP= ^[?2(I-kk)-2(r-zk)(r-zk)]. (3.67)
г
A In р = 0.
Последнее равенство также будет справедливо во всей плоскости
кроме начала отсчетов; в этой плоскости с исключенным началом от-
счетов функция 1пр является гармонической.
Легко доказать затем, что результат векторного умножения здесь
вместо скалярного
Z>xVlnp=^-r (3.68)
р
представляет собой вектор, имеющий модуль — и направленный перпен-
дикулярно к положению проекции р.
Заметим, что всякое векторное умножение орта k на любой вектор,
располагающийся в нормальной к этому орту плоскости, поворачивает
последний вектор в своей плоскости на 90°, не изменяя его модуля.
В этом отношении такая операция аналогична обычному умножению
вектора, представленного на плоскости комплексным числом, на множи-
тель е .
4. Дифференцирование меридианного угла. Обозначим угол между
осью х и радиусом р на координатной плоскости (ху) через 0 (рис. 18)
и примем во внимание известные представления
cos& = —; sin&=—.
Р Р
ПО Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Определяя градиент одной из этих функций, легко доказать, что
V7& = ~~у‘ + — kXr
V Р2 Р2 ’
и далее —
V2» =^-[2(г — zk) г — р2/] х k, Д& = 0 (3.69)
Отсюда, как и в предыдущем случае, следует, что функция & яв-
ляется гармонической во всей плоскости кроме начала отсчетов.
Сравнивая первое равенство (3.69) с представлением (3.68) заклю-
чаем, что
AixVlnp = V&- (3.70)
Эта зависимость представляет собой известные условия Коши-Римана
для вещественной и мнимой частей функции комплексной переменной,
f(z)= lnP + i&.
Если векторно умножить обе части равенства (3.70) на орт k, то в
результате использования формулы разложения двойного векторного
произведения можно будет придать равенству (3.70) еще такой вид:
/гх\7& = — Vlnp. (3.71)
5. Один случай сохранения гармонических свойств. Если тензор Ф
является гармоническим в некоторой области, то тензор ЧТ = г • (V®)
будет также гармоническим в той же /бласти.
При дифференцировании тензора Ф легко убедиться в справедли-
вости следующих равенств:
V®' = V® + г • (V2®)’.
V2® = 2V2® + г (V3®)-
6. Один способ образования бигармонических функций. Если Фх и
Ф2— два гармонических в некоторой области тензора, то тензор
Ф = Фг + гФ2 (3.72)
является бигармоническим в той же области.
При дифференцировании тензора Ф легко проверить правильность
следующих равенств:
\7Ф = v®! + *Ф2 + г (V®2);
V2'E = V2(5i + fc(V®2) + k (V®2) + г (v2®2);
1 I 2
ДФ = 2& • (V®2).
7. Другой способ образования бигармонических функций. Если и
®2 — два гармонических в некоторой области тензора, то тензор
Ф = Фг + ч2Ф2 (3.73)
является бигармоническим в той же области.
При дифференцировании тензора Ф нетрудно проверить правиль-
ность равенств
\7Ф = v®! + 2гФ2 + ч2 (V®2)‘>
\/2Ф = V2®i + 2/Ф2 + 2r( V®s) + 2r (V®2) + 42 (V2®2);
1 1 2
ДФ = 6Ф2 + 4г • (V®2)-
Криволинейные координаты
111
§ 41. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
1. Координатные поверхности. Пусть имеем три дифференцируемые
в некоторой области скалярные функции х1', х2', х3' трех координат
х1, х2, х3 прямолинейной системы
х1' = х1' (х1, х2, х3);
х2'==х2'(х1, х2, х3); (3.74)
х3' = х3' (х1, х2, х3).
Каждая из этих функций будет представлять собой семейство по-
верхностей. Уравнение отдельной поверхности каждого такого семейства
получится в том случае, если соответствующей
зависимой переменной х1', х2' или х3' будет при-
дано конкретное постоянное значение.
Предположим, что между переменными х1',
х2' и х3' с одной стороны и переменными х1, х2
их3 — с другой существует в рассматриваемом
объеме взаимно-однозначное соответствие, т. е.,
что каждой совокупности значений одной тройки
переменных соответствует только одна совокуп-
ность значений другой тройки. Эти последние
можно также рассматривать как некоторые коор-
динаты точки. Задание значений этих послед-
них координат будет означать, что через данную
Рис. 19.
точку проходят или, что то же, на ней пересе-
каются три определенные поверхности, представляемые функциями
(3.74), значения которых заданы тремя числами х1', х2', х3'. Соответ-
ствующие координатные линии получаются в результате пересечения
этих поверхностей.
2. Локальный репер криволинейной системы. Поступим далее сле-
дующим образом.
Из начала О системы прямолинейных координат х1, х2, х3 (рис. 19)
проведем радиус-вектор г в произвольную точку М и через нее прове-
дем три координатные поверхности, определяемые равенствами (3.74).
Решая эти уравнения относительно переменных х1, х2, х3, мы найдем, что
х1=х1(х1', х2', х3');
x2 = x2(xv, х2', х3');
х3 = х3(х1', X2', X3').
(3.75)
Радиус-вектор г, проведенный в точку М, как обычно, может быть
представлен равенством*
г = х1^ + х2е2 -г х3е3.
Если мы в качестве координат его примем функции, представленные
равенствами (3.75), то мы сможем вектор г рассматривать как функцию
переменных х1', х2' и х3'.
Заставим конец вектора перемещаться вдоль линии, образуемой
пересечением двух поверхностей, х2' —- const и х3' = const. Для этой
цели, очевидно, достаточно в выражении вектора г, при помощи кото-
рого он представляется как функция переменных х1', х2' и х3', две
переменные, х2' и х3', считать постоянными, а третью — х1' — изменять.
Будем считать функции (3.75) дифференцируемыми в рассматриваемой
области. Тогда в соответствии с тем, что было отмечено относительно
112
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
дифференцирования вектора по параметру, мы сможем найти некоторый
вектор е^, касательный в точке М к кривой пересечения двух поверх-
ностей х2' и х3', если определим для этой точки производную от век-
тора г по параметру х1'. Вполне понятно, что эта производная в данном
случае должна быть частной, поскольку вектор г в общем случае являе-
тся функцией трех переменных.
Аналогичным способом мы сможем определить векторы е2- и е3-,
касательные к двум другим координатным линиям в точке М. В резуль-
тате получим, что
дг __ дх1 . дх2 , дх3
ei' = дх17 — дх*?1 + ЭД7 е2 + дх* ез’
дг дх1 , дх2 , дх3
б2 — дх* 61 + д& 62 + дх3’ Сз; (3‘76)
дг __ дх1 . дх2 дх3
£з'==дхз7~ дх* в1 дД7 С2 + дх*Сз'
Для того чтобы эти векторы не были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы их смешанное произведение отличалось от нуля. Это
приводит к требованию отличия от нуля якобиана
Det
|>|
дх1 дх2 дх3
дх1' дх1' дх1'
дх1 дх2 дх3
дхУдХ27 дх*
дх1 дх2 дх3
дх3' дх3' дх3'
(3.77)
3. Взаимный локальный репер. Построим для этой же точки М
векторы е1', е2' и е3', ортогональные соответственно к координатным
поверхностям х1', х2', х3', определяемым равенствами (3.74). Для этого
примем поверхности (3.74) за поверхности уровня трех указанных ска-
лярных функций и, как было показано, определим их градиенты. По-
скольку эти градиенты будут ортогональны к своим поверхностям уровня,
мы их примем за указанные векторы е1', е2' и е3'. В результате полу-
чим следующие равенства:
„ 1, дх1' . , дх1' 2 , дх1'
е =V^ = аДе1 + ^е+^е;
,, _ 9, дх2' . , дх2' 9 , дх2' _о,
е = Vx2 = + -^е2 + -^с3; (3.78)
е3' = vx3' = е1 + е2 + ~е3.
v дх1 1 дх2 1 дх3
Так же как и выше, условием некомпланарности векторов е1 , е2’ и
ё3 , а следовательно, взаимной независимости переменных х1', х2’их3',
является отличие от нуля якобиана этих переменных,
Det
дх‘‘
дх‘
дх1' дх1'дх1'
дх1 дх2 дх3
дх2’ дх2' дх2 ’
дх1 дх2 дх3
дх3' дх3’ дх3'
дх1 дх2 дх3
¥=0.
(3.79)
Оказывается, что две тройки векторов (3.76) и (3.78), являются
взаимными. Для доказательства этого составим скалярные произведе-
Криволинейные координаты
113
ния указанных векторов, не принадлежащих одновременно к одной и
той же тройке. Если мы при этом примем во внимание правило диф-
ференцирования сложных функций и учтем, что переменные х1 , х2 и
х3' взаимно независимы, то получим, например, такие два равенства:
дх1' дх1 дх1' их- дх1' дх3 дх1'
дх1 дх1' дх3 дх1' дх3 дх1' дх1'
дх1' дх1 дх1’ дх2 дх1' дх3 дх1'
дх1 дх2' ' дх2 дх2' дх3 дх2' дх2'
е1' • Cj
е1’ е2-
Аналогичные результаты получатся и для остальных соответствую-
щих произведений. Этим и доказывается указанная взаимность двух
троек векторов. При взаимности этих векторов будет также выполняться
условие
Det
дх‘
дх1'
Det
^| = 1
дх |
Учитывая все указанные обстоятельства, примем эти две тройки
за ко- и контравариантные базисы локальной прямолинейной системы
координат для фиксации геометрических образов в окрестности точки М.
4. Метрический тензор. Компоненты метрического тензора такой
локальной координатной системы получатся в результате скалярного
умножения координатных векторов внутри каждой тройки.
При этом мы найдем, что
______ дх4 dxs
gm-n'-em--en-=g4S^-^-,
Эх™ дхп
gmn ^ет .еп =g.s___} (3.80)
рт- = ет- . е . = (Нт', = «Э
s п' е вп |0 (т #= п )
Так как при переходе от точки М к любой другой значения пере-
менных х1', х2' и х3' будут изменяться, то из этого заключаем, что как
координатные векторы (3.76) и (3.78), так и метрический тензор (3.80)
локальной координатной системы являются функциями точки в рассмат-
риваемой области.
5. Элементарная квадратичная форма. Воспользуемся локальной
системой координат отнесенной к произвольной точке М рассматрива-
емого объема, и составим в этой системе выражение для элементарного
вектора dr. Отбрасывая здесь штрихи при индексах в обозначениях,
относящихся к локальной системе, получим, что
dr — etdx1 + e2dx2 -|- e3dx3,
где dx1, dx2 и dx3 — компоненты элементарного вектора dr.
Скалярное произведение этого вектора самого на себя приводит нас
к равенству
\dr |2 = gmndxmdxn = (dx1)2 + gM (dx2)2 + g33 (dx3)2 + 2gi3dx2dx3 +
+ 2gsldx3dx1 + 2glidx1dx2. (3.81)
В каждое слагаемое правой его части, представляющей собой эле-
ментарную квадратичную форму, входит в качестве коэффициента один
из компонентов ковариантного метрического тензора локальной системы,
который является в то же время метрическим тензором криволинейной
координатной системы.
в И. В. Блох
114
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Как было показано в отношении тензора напряжений можно пре-
образовать любой вещественный тензор двукратной валентности к ка-
нонической форме, в которой боковые компоненты тензора отсутствуют.
Оси координатной системы, в которой он получает такой вид, являются
главными осями данного тензора. Соответствующим образом любую ве-
щественную квадратичную форму при помощи неособенных линейных
преобразований, т. е. таких, у которых определитель линейных преобра-
зующих зависимостей отличен от нуля, можно привести к так называемой
нормальной форме. В этом случае в преобразованной форме остаются
только слагаемые, содержащие квадраты переменных. Очевидно, направ-
ления отсчетов этих переменных совпадают с главными осями тензора,
представленного коэффициентами квадратичной формы.
Если в этой форме после такого ее преобразования все слагаемые
оказываются одинакового знака (положительными или отрицательными),
то она называется определенной, в противном случае — неопределенной.
Определенная форма кроме того называется положительной, если все
слагаемые ее после преобразования к нормальному виду положительны,
и отрицательной — в противоположном случае.
Для того чтобы рассматриваемая выше дифференциальная квадра-
тичная форма (3.81) могла определять величину вещественного элемен-
тарного вектора, необходимо и достаточно, чтобы она была определен-
ной положительной. Условия, которым должны удовлетворять компо-
ненты метрического тензора, чтобы представляемая им координатная
система была реальной, были выяснены ранее.
§ 42. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Практическое значение имеют преобразования, связанные с пере-
ходом от прямолинейных к криволинейным координатам. Вследствие
этого рассмотрим здесь вопросы, связанные с преобразованиями в криво-
линейных координатах.
1. Тензор преобразования координат. Пусть имеем две системы
криволинейных координат, локальные координатные векторы которых
для основных систем обозначим через ет, и еп„ и для взаимных — соот-
ветственно через ет' и еп . Представления этих векторов в некоторой
базисной прямолинейной системе координат, масштабные векторы кото-
рой обозначены через ek и ek, будут иметь вид, определенный равен-
ствами (3.76) и (3.78); для обозначений векторов, имеющих индексы
с двумя штрихами, необходимо только в этих равенствах вместо одного
проставить два штриха.
Компоненты тензора преобразования координат для случая пере-
хода от системы, обозначенной одним штрихом при индексах, к системе,
обозначенной двумя штрихами, или наоборот, как легко установить на
основе указанных равенств, представятся формулами
„ dxk dJd
сm'n" — ет, • еп« — дхТП, дхП„ gkl,
дхт' дхп"
dxk дх1 ё ’
dxk дхп" ’
dxk д.хп'
(m'n" — gm' , gti” —
т' — pm' Jp
Спп — *
(3.82)
еп'' = ет. • еп" = --г----
Cm/ т дхт, dxk
Преобразования в криволинейных координатах Ц5
Здесь gkl и gkl — компоненты метрического тензора базисной системы,
в которой представлены обе преобразуемые криволинейные координат-
ные системы.
Если принять, что одна из преобразуемых систем, например, обо-
значаемая двумя штрихами при индексах, прямолинейна и совпадает с
указанной базисной, то компоненты тензора преобразования определятся
равенствами
_ dxk . ,п _ dx"1' kn-
Vmn — Qxm' gkn> c ~ dxk & ’
Qxn dxm' (3.83)
r>n —___• rm' — _____
m' dxm' 9 n dxn
Если, кроме того, отмеченная базисная система является декарто-
вой (х" = х, у, г), то тогда получим еще, что
„ дх" т, дхт' о,ч
ст,п = сп, = стп = с"1 = ч-г- . (3.84)
п п тг дхт п дхп ' f
2. Преобразования векторов в криволинейных координатах. Если век-
тор v не связан с полон^нием начала отсчета координат, то, как было-
показано в § 14, компоненты его vn, будучи заданы в одной коорди-
натной системе, могут быть преобразованы к компонентам vm- в любой,
другой системе при помощи равенства
Vm' = VnC^„
где с^, — компоненты тензора преобразования координат.
Если же вектор v является функцией точки, то в этом случае,
приведенное равенство для его компонентов сохраняет свое значение
в том случае, если все фигурирующие в нем функции относятся к этой
точке. Переход от компонентов вектора, заданных в прямолинейных
координатах, к компонентам, представленным в криволинейных, в этом
случае может быть совершен по следующей схеме.
Пусть вектор v представлен своими компонентами в декартовой,
например, координатной системе функциями
vx = vx(x, у, z); v!/ = vy(x, у, г); и2=и2(х, у, г).
Принимая во внимание связь между координатами, x = x(xv, х2', х3')
у — у(х1', х2', х3'), z = z(x1', х2', х3'), где xvx2' и х3'— координаты кри-
волинейной системы, мы можем те же декартовы компоненты вектора
путем соответствующих подстановок представить как функции криво-
линейных координат точки:
Vx^Vxfx1', х2', х3'); vy = vu(xv, х2', х3'); Vz=Vz(x1', х2' х3').
Тогда ковариантные компоненты ит, вектора в локальном репере той же
точки, принадлежащем криволинейной координатной системе, опреде-
лятся формулой
- _ ~ дх" ~ дх дц дг /о ot-x
Vm' = vnc-m, -Vn^ = vxS^ + uyS~ + uz^ (3.85)
Соответствующим образом может быть составлено выражение также
для контравариантных компонентов:
, ~ дх"1' ~ дхт’ , ~ дхт’ ос\
vm — Vx —5---1- Vu —д-E Vz . (3.86)
л dx 1 ₽ dy 1 дг •
8*
116
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
В обоих случаях полученные выражения компонентов в криволиней-
ных координатах представляются в масштабах соответствующих систем
измерений.
3. Преобразование тензоров в криволинейных координатах. Если
иметь в виду предыдущие соображения в отношении преобразований ком-
понентов векторов при изменениях координатных систем, то почти оче-
видными становятся соответствующие заключения, которые можно сде-
лать и в отношении тензоров. Не останавливаясь на подробностях, от-
метим, что, например, декартовы компоненты Ф1тп (l,m,n = x,y,z) тензо-
ра трехкратной валентности, являющиеся функциями точки, будучи
представлены выражениями Ф1тп = Ф,""— функциями криволинейных ко-
ординат той же точки (обозначаются индексами со штрихами), образуют
в этих координатах компоненты Фр-',- при помощи равенства
Ф- -ч’ -п I т ч"
Р'Ч' - Ф/т Ср'Сд’Сп .
Вследствие этого, например, ковариантные компоненты Фт-П' сим-
метрического тензора двухкратной валентности в криволинейных коор-
динатах определяются равенствами
Фт,„, = Ф +ф _Ё^^_ + ф +
т " хх дх* дх* + т дх* д^' гг дх* дх* +
4- Ф,„ (- ду дг . dz ду \ . ф / dz дх дх дг \ .
дх* дх* дх*) *" zx[dx*te* ~i~dx*dF‘) +
(3-87>
где Фхх ... фр2 ... и т. д. —декартовы компоненты этого тензора, пред-
ставленные функциями криволинейных координат точки.
Соответствующих выражений для контравариантных или смешан-
ных компонентов того же тензора здесь не приводим ввиду очевид-
ности способа их образования.
§ 43. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ЛОКАЛЬНЫХ
КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
1. Дифференцирование масштабных векторов локальных систем. Как
было отмечено, локальная координатная система в данной точке является
прямолинейной. Однако при переходе от точки
к точке локальная систе’ма криволинейных коор-
\ g1 динат изменяется в соответствии с закономерностью,
\ д <г определяемой данной системой координат. Вследст-
\ е Jr/п , вие этого, очевидно, между двумя соседними ло-
/ve’i кальными координатными реперами должны иметь
\ / е место некоторые соотношения, которые мы опреде-
М лим, предполагая, что масштабные векторы этих
/ систем являются дифференцируемыми функциями
точки области. Это обстоятельство равнозначно тре-
бованию двукратной дифференцируемости функций,
Рис. 20. определяющих криволинейную координатную си-
стему. Принимая, что последнее условие выполня-
ется, займемся выяснением соотношений, возникающих между двумя
соседними локальными системами.
О дифференциальных изменениях локальных координатных систем
117
Для этого наряду с точкой М, локальный координатный репер в
которой представлен основными векторами е2 и е3, введем в рассмот-
рение соседнюю точку М', находящуюся от первой на расстоянии dr
(рис. 20). В локальной системе первой точки этот элементарный вектор
определится равенством
dr — emdxm = е^х' -|- e2dx2 -|- e3dxs,
где dx171 (m= 1, 2, 3) — его координаты. Если масштабные векторы ло-
кальной координатной системы второй точки М' обозначим через
e‘lt е2 и е3, то ввиду непрерывности общей криволинейной координат-
ной системы, мы получим, что
< = e„ + de„ (n= 1, 2, 3),
где den—некоторый направленный элемент.
Будем координатные векторы локальной системы второй точки М'
рассматривать как функции ее координат в локальной системе первой
точки М. Тогда, вследствие отмеченной двухкратной дифференцируе-
мости функций, представляющих всю криволинейную координатную си-
стему, мы найдем, что
den = gw + ^dx2 + ^dx3 (n = 1, 2, 3).
Используя оператор _ V, мы можем правую часть этого равенства
представить еще следующим образом:
den = dr (XJen) (п=1,2, 3).
Проводя аналогию с рассмотренным ранее градиентом вектора
(3.28), выразим через его координатные компоненты равенством
Ve„ = (3.88)
где Г^,„ — некоторые функции криволинейных координат.
2. Симметричность координатных компонентов изменений локальных
координатных систем. Примем во внимание, что если точка М опреде-
ляется вектором г, а х1, х2 и Xs являются параметрами координатных
поверхностей, проходящих через эту тбчку, то, как было показано,
— А
е" ~ дх"'
В таком случае можно прежде всего составить такую последова-
тельность:
. _деп _ д2г ____ д2г дет , . rl
mn^i " (V”nl дхт д тдх." дх"дхт дх" "т '
откуда заключаем, что
<„ = г'т> (3-89)
т. е., что функции 1^ симметричны относительно перестановки ниж-
них индексов.
3. Символы Кристоффеля. Введем обозначение
Г*.т„ = gklTfnn, (3.90)
где в правой части равенства, как обычно, подразумевается суммиро-
вание произведений для всех конкретных значений одинаковых верх-
118
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
них и нижних индексов. Очевидно, функции также симметричны
относительно^ перестановки двух индексов, не отделенных друг от
друга запятой. Наличие этого последнего равенства позволяет также
составить зависимость
rL = №,mn. (3.91)
Действительно, принимая во внимание известное соотношение
gk“gks =
получим из формулы (3.90) приведенное выше равенство (3.91).
Для нахождения значений введенных выше функций Г*. тп и Г*
применим оператор V к ковариантному компоненту метрического тен-
зора. Тогда, учитывая равенства (3.88) и (3.90), найдем, что
\7gus = V(e4- es) = (Ve4) • es + (Ves) • ek = (Г^е,) • es +
+ (O%) • en = (g/srL + glkVm№ = (rs,m4 + rfe.ms)
Если теперь умножить скалярно крайние выражения этой последо-
вательности равенств на координатный вектор ет, то получим, что
= rs, тч + rA.ms. (3.92)
Совершая после этого перестановку всех трех индексов, составим
следующие равенства:
^Svs р I р
s’m“ ‘
__р । р
-' -- — * v,sm ~г А m,sv9
dxs
= r»n,4S Ч~
дх*
Ввиду отмеченной выше симметричности функций r4,sm относитель-
но перестановки двух индексов, не разделенных запятой, мы здесь в
правых частях этих трех равенств имеем только три разные функции
и, следовательно, можем решить полученные уравнения относительно
этих функций.
Вычитая, например, почленно последнее уравнение из суммы пер-
вых двух, мы найдем в конечном итоге, что
r«.sm = 2- + dF ~ ’
Это равенство позволяет при известных выражениях компонентов
метрического тензора найти значения функций Гч,5т для всех частных
значений индексов, а следовательно, и функций Г т на основе зависи-
мостей (3.91).
Обозначения Гч,5т носят название символов Кристоффеля первого
рода, а обозначения Г*т — символов Кристоффеля второго рода.
Иногда для этих символов вместо приведенных обозначений, вве-
денных Эйнштейном, применяют обозначения, предложенные Кристоф-
фелем, так называемые скобки Кристоффеля:
О дифференциальных изменениях локальных координатных систем
119
При использовании криволинейных координат в общих построениях
оказывается удобным введение еще обозначений определяемых ра-
венством
(3.94)
которые назовем символами Кристоффеля третьего рода.
Очевидно, при этом будет иметь место также следующая зависи-
мость :
Г:т = £лГ* (3.95)
4. Дифференциальные изменения взаимных локальных координатных
систем. Мы выше проанализировали результат дифференцирования ос-
новных координатных векторов, представленного равенством (3.88).
Однако в ряде случаев возникает необходимость в аналогичном
дифференцировании также координатных векторов, взаимных с указан-
ными основными. Рассмотрим также и этот вопрос. Подобно исходному
представлению (3.88), примем, что и в данном случае
W = Gz>'em,
где G^m — обозначение некоторых функций в криволинейных координа-
тах. Имея же в виду, что
ek ? = °*,
легко находим такое условие:
Vfe • еп) = 0.
Отсюда последовательно получаем следующие равенства:
(W • еп + (W7) ek = 0;
(Г^ет) • е" + (G^e"1) • ек = 0;
(гХ + тет)е' = 0;
(r". + G"j? = 0,
и, наконец, из последнего заключаем, что
Gn j-/z
Ik — --* Ik-
Такиэд образом, находим следующую окончательную зависимость:
Ve" = — (3.96)
5. О геометрической природе символов Кристоффеля. Из равенства
(3.93) следует, что для прямолинейной координатной системы, для ко-
торой метрический тензор постоянен, все символы Кристоффеля равны
нулю. Однако для криволинейных координат они будут отличны от
нуля. Переход от значений их в прямолинейных координатах к значе-
ниям в криволинейных не может быть, таким образом, совершен при
помощи преобразующих алгебраических форм на основании значений
их в прямолинейных координатах и значения тензора преобразования
координатных систем, подобно тому как преобразуются тензорные ком-
поненты. Вследствие этого заключаем, что совокупность символов Кри-
стоффеля любого рода не представляет собой тензора.
Заметим в связи с этим, что всякий объект, определяемый неко-
торой совокупностью чисел или так называемых компонентов, значения
120
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
которых заданы в определенной системе измерений или координат и
могут изменяться каким-то образом при переходе от данной системы
измерений к другой, называется экстенсивом1 * *.
Если эти определяющие числа могут быть установлены для любой
системы координат на основе использования их значений для одной из
координатных систем и формул преобразования координат при пере-
ходе от этой системы к любой другой, то такие экстенсивы называ-
ются геометрическими объектами. Геометрический объект обращается в
тензор в том случае, если изменения его компонентов, происходящие
при преобразовании координат, совершаются по правилам алгебраиче-
ских форм.
Имея это в виду, рассмотрим вопрос о преобразовании символов
Кристоффеля при изменении координатных систем. Для этого введем в
рассмотрение два локальных координатных репера для одной и той же
начальной точки, принадлежащих разным координатным системам.
Пусть они связаны между собой формулами преобразований
еп- = ckn-ek- ё1' = cfes.
Исходя из равенства (3.81), мы можем составить следующую це-
почку равных между собой выражений:
^п-ет'ег = \/еп- = V (<£efc) = (v4)efc + ckn- (V**) =
de*, s /de* ,
= e4ek + + c«'r^/ e4ek.
Отсюда, в результате двойного скалярного умножения крайних
звеньев цепочки на диаду получим, что
д k
1 т’п' — C/iCm'Crl'L4s С* Ст' .
Для символов Кристоффеля первого рода на основе формулы (3,90)
найдем
de*
-р D ц S р, । I' ц
1 /т'п* ~ С^Ст'Сп'*- п us £i' I'C kPtn' ~ и •
дх
Из этих равенств видно, что в обоих случаях формулы преобразо-
вания не удовлетворяют требованиям, предъявляемым в аналогичных
условиях к тензорам и, следовательно, символы Кристоффеля не явля-
ются компонентами тензоров.
Символы Кристоффеля первого рода определяют собой экстенсив,
символы второго рода — геометрический объект.
§ 44. ОДНОКРАТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТАХ
1. Дифференцирование скаляра. Пусть имеем некоторый скаляр F,
являющийся функцией точки, координаты которой заданы в криволи-
нейной системе. В соответствии с общими правилами дифференцирова-
1 Термин, введенный Грассманом, который может быть определен как протяжен-
ная величина (Extensive Grosse); происходит от латинского слова extensivus — расши
ряющпй, удлиняющий.
Однократное дифференцирование в криволинейных координатах
121
ния функций многих переменных изобразим его полный дифференциал
формулой
, „ дЛ , , dF , о , dF , j, dF , п п . ( п dF\
dF — -v-г dx1 4- -д-2 dx2 + dx3 = dxn = (dxnen) - en =
dx1 1 dx2 dx3 dxn v n \ dxn)
= dr (\/Л.
где en — локальный основной масштабный вектор криволинейной коор-
динатной системы, еп — масштабный вектор, взаимный с предыдущим,
dr — вектор элемен гарного смещения точки, обусловливающего возник-
новение дифференциала функции F и
= (3.97)
— градиент этой функции. Отсюда следует, что градиент скалярной
функции в криволинейных координатах изображается формулой того
же вида, как и в прямолинейных координатах при условии, что век-
тор, представляющий этот градиент, определяется ковариантными ком-
понентами в соответствующем локальном репере криволинейной коорди-
натной системы.
При преобразовании выражения (3.97) к основному координатному
реперу возникает представление
„г .dF 1 VI .. .dF
^F-gnk^k = -^A\ gbnl-d^ek,
kn
которому вследствие значений алгебраических дополнений А| gk„| мож-
но придать также следующий вид:
е2 е3 0
dF
§11 §12 §13 gxl
\?F=— dF (3.98)
8 §21 §22 §23 $хг
dF
§31 §32 §33 fas
2. Дифференцирование тензора. Если вектор и представлен в ло-
кальной системе криволинейных координат формулой
и - ukek,
где компоненты u.k(k= 1, 2, 3), а также масштабные векторы ek явля-
ются Функциями криволинейных координат начальной точки подвиж-
ного репера, то при наличии формул (3.88) и (3.97) левый градиент
вектора и определится следующим образом:
V« = V («Ч) = (V«*) ek + uk (vek) = e"ek + ukV^nem.
Переставляя в последнем слагаемом индексы суммирования k и
т, мы этот градиент вектора представим в таком окончательном виде:
e4-
(3.99)
Если тот же вектор и представлен своими ковариантными компо-
нентами
и — и с'1
122
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
то левый градиент его вследствие (3.96) и в результате аналогичных
действий изобразится равенством
(3.100)
Соответствующим образом можно легко установить, что левый гра-
диент, например, тензора Ф трехкратной валентности,
Ф =
представится таким образом:
V® = + ФтиП„ -Ф'.т1Г2 - Ф.*тГ£) (3.101)
В случае правого градиента левый диадный множитель е" в мас-
штабных сопровождениях, появляющийся в предыдущих формулах в
результате левого применения оператора V» переместится в правый
конец этих формул.
Дифференциалы векторов или тензоров в криволинейных координа-
тах получатся из их градиентов в результате скалярного умножения
последних со стороны оператора V на элементарный вектор dr. Возни-
кающие при этом выражения называются абсолютными дифференциа-
лами. А так как применение оператора V к этим величинам при на-
хождении градиентов увеличивает валентность дифференцируемых вели-
чин на ковариантную единицу, то возникающие при этом новые вели-
чины, называемые также абсолютными производными, получили еще
наименование ковариантных производных. Для обозначения скалярных
значений компонентов таких производных применяют иногда символ V
с ковариантным индексом рядом с обозначением скалярного компонента
дифференцируемой функции. Таким образом, координатные составляю-
щие ковариантной производной тензора Ф в предыдущем равенстве
представятся следующим образом:
д^1 т • - т • т
+фklr‘mn - Ф'.т/гГл - ф'.^г”. (3.102)
3. Абсолютный дифференциал метрического тензора. Докажем сле-
дующую теорему Риччи: абсолютная производная метрического тензора
равна нулю.
В случае если метрический тензор представлен ковариантными ком-
понентами, абсолютная производная его будет определяться формулой
v (g^y = - gmsr2 - ёчтг^ м = (g-3 * s - rs.nw - r4,„s) m*.
Сравнивая этот результат с равенством (3.92), убеждаемся в ра-
венстве его нулю.
Если метрический тензор представлен контравариантными компо-
нентами, получаем также, что
V = V (g4S^£ms"em) = V (gkmekem) = 0.
Теорема, таким образом, доказана.
Отсюда следует, что при абсолютном дифференцировании метриче-
ского тензора последний может рассматриваться как постоянная вели-
чина.
Однократное дифференцирование в криволинейных координатах
123
4. Дифференцирование определителя метрического тензора. Имея
определитель ковариантного метрического тензора.
gii gl2 gis
gil ё22 ёзз
g3l gs2 ёзз
подставим в последнем выражении вместо
лей в членах, например, первой строки их
если принять во внимание
(V«i) • (V«i) • «2
с2 * е2 • в2
е3 • е3 • е2
«1-^
e2 ’ el
es •
ei ’ ез
е2 " е3
ез ' ез
скалярных множите-
Легко сообразить, что
нуля только для п = 1 и
данное равенство получает
е1 ’ е2
^2 ' ^2
^3 ’
левых
градиенты. Тогда получим,
равенство (3.88), что
(Vei) ‘ ез
е2 • е3
е3 ’ &з
последний определитель
в этом случае он будет
следующий вид:
(Vei) ei (V^i) ег (Х7^1) • &
е3 • е1 £3 • е2
««
е2 •
еа • ег
&П * ®2
С2 ^2
а3 • е2
будет
равен
еп-е3
е2 " е3
' &3
отличен от
g. Поэтому
- .. '3
^2 «3
ез ’ ез
Если проделать то же самое со второй строкой, то окончательный
результат будет отличаться от предыдущего лишь тем, что вместо ин-
дексов 1 в символе Кристоффеля будут значиться индексы 2, а в слу-
чае такой же операции с третьей строкой — индексы 3.
Аналогичные результаты получатся и в том случае, если заменить
в определителе не левые скалярные множители строк, а правые множи-
тели столбцов. Имея это в виду, при нахождении градиента определи-
теля g будем подвергать соответствующей операции дифференцирования
сначала левые скалярные множители строк, а затем — правые множители
столбцов в представляющей его рассмотренной выше матрице. В резуль-
тате получим, что
Vg = 2g(Pml +Г^ + Гует = 2^т, (3.103)
откуда, если принять во внимание элементарные формулы для произ-
водных, будет следовать также такое равенство:
VlnT/g = r^. (З.Ю4)
Умножив скалярно обе части этого равенства на основной масштаб-
ный вектор eit получим еще отсюда, что
д in Vg _ г*
дх* ~
5. Дивергенция вектора. Если воспользоваться для представления
градиента вектора формулой (3.100), то дивергенция вектора опреде-
лится равенством
(3.105)
V • u = gnk^~ u„T™-k
v 6 dxn m
(3.106)
Если же исходить из равенства (3,99), то получим следующий ре-
зультат:
(3.107)
= Г" ,е‘
— ml &
124
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Правую часть этого последнего равенства, при наличии преобразо
вания (3.105), можно представить в виде
dxk дкт уg v & dxk ‘ dxk ) ’
Отсюда окончательно находим, что
(3.108>
6. Ротация вектора. Для получения выражения ротации вектора
более пригодной оказывается формула (3.100) градиента вектора. Вы-
полняя в ней векторное свертывание и принимая во внимание симмет-
рические свойства символов Кристоффеля, найдем, что
V X « =
Vg
ink duk __ 1
‘дхП Vg
Ci е2 е3
d _d J?
дх1 дх2 дх3
Ui U2 Ug
(3.109)
Легко обнаружить, что это выражение ротации в криволинейных
координатах имеет такой же вид, как и в прямолинейных. •
§ 45. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
1. Коэффициенты Ламэ. При использовании криволинейных ортого-
нальных координат применяют так называемые коэффициенты Ламэ,
определяющие модули масштабных векторов основной координатной
системы. Если принять во внимание обозначения еп для единичных
векторов локальной системы координат, то в этом случае получим, что
еп = Н~еп, (3.110)
где Нп — обозначение коэффициентов Ламэ. Связь их с компонентами
метрического тензора, как легко установить на основе этого, определяе-
тся равенством
Н* = ёап. (3.111)
Вводя в рассмотрение только ортогональные координатные системы,
мы можем, исходя из соображений, аналогичных тем, которыми мы ру-
ководствовались при выводе равенств (3.76), составить для основных
векторов еп криволинейной системы следующие равенства в исходной
системе декартовых координат:
е- = &г + >'+^ <3.112)
Тогда в результате скалярного перемножения этих векторов най-
дем, при учете представления (3.110), такое выражение для определе-
ния коэффициентов Ламэ:
н2 - М2+ М2
п \дхп) т \дхп) \дхп) •
(3.113)
2. Дифференциальные параметры первого порядка. Обращаясь затем
к масштабным векторам еп взаимной с основной координатной системы
и принимая во внимание, что в ортогональных системах основные
Ортогональные криволинейные координаты
125
и взаимные масштабные векторы совпадают по направлениям, мы смо-
жем принять, что
еп = М„, (3.114)
где hn — обозначение модуля вектора еп. Величина hn носит название
дифференциального параметра первого порядка.
Так же как для коэффициентов Ламэ, тут тоже можно получить за-
висимости, аналогичные равенствам (3.111), (3.112) и (3.113):
= (3.115)
Вследствие взаимности векторов еп и еп находим еще такую *связь
между вновь введенными величинами:
= (3.118)
Это обстоятельство приводит к тому, что при использовании орто-
гональных координат в рассмотренном здесь аспекте в возникающих
при этом формулах ограничиваются обычно применением только коэф-
фициентов Ламэ.
3. Некоторые ортогональные криволинейные координаты. Имея
в виду цели практического применения криволинейных координат, при-
водим здесь таблицы значений компонентов метрического тензора и сим-
волов Кристоффеля для некоторых случаев ортогональных систем
(табл. 1—15).
Таблица 1
Ортогональные координаты
В 'приведенных здесь формулах индексы I, т и п могут принимать различные
частные значения 1, 2 и 3, являющиеся номерами координат, присваиваемых им, со-
гласно порядку правовинтовой системы. В этих формулах индексы, получающие раз-
ные значения, обозначены разными буквами, так что они не могут в одной и той же
формуле принимать одинаковые значения (/ =/=/¥= k). Общее правило суммирования
выражений по разным значениям одинаковых немых верхних и нижних индексов здесь
не применяется.
Связь между декартовыми (х, у, г) и криволинейными (х1, х2, х3) координатами
определяется равенствами х = х (х1, х2, х3); у = у (х1, х2, х3); г = z (х1, х2, х3).
Условие взаимной независимости криволинейных координат (некомпланарности
масштабных координатных векторов):
дх ду дг
дх1 дх1 дх1
дх ду дг
дх3 дх3 дх^
дх ду дг
дх3 дх3 дх3
^0.
Условие взаимной ортогональности координатных кривых:
дх дх ду_ ду дг дг _
дх™ дхп ’’’ дхт дхп ’’’ дхт дхп ~~
126
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Компоненты метрического тензора:
Символы Кристоффеля:
_ 1 dgmm _ ______ __ 1 dgmm _ __-
т,тт 2 дхт ’ т,тп 1 п,тт 2 дхп ’ ‘-тп
Tm ____ 1 dgmm . -pm 1 dgnn . -pm 1 dgmm _ n
mm 2gmm dxm ’ 2gmm dxm' lmn~2gmm dx^ • L™-U,
-r^m.m_ 1 dgmm , -pmtm_ 1 dgmm ,
m 2rr2 dxm * n <2a2 dxn ’
^gmm ^gmm
nmtn -рП'Гп _1__ dgmm , -pl.m л
m ~ m ~2gmmgnn~d^' “°-
Таблица 2
Цилиндрические ортогональные координаты
1. Образующие цилиндрических координат параллельны координатной оси г.
В плоскости, ортогональной к этой оси, связь между декартовыми (х, у) и криволи-
нейными (а, Р) координатами определяется равенством
х + iy = F (а + 1'Р) = <р (а, Р) + 1ф (а, Р).
2. Ковариантные компоненты метрического тензора:
Й1 = (Й)+(Й): £2а=(Ю+(Й: ^33=1. g23 = ff31 = ^2 = 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям, соот-
ветственно а, р и г.
3. Контравариантные компоненты метрического тензора:
gu = ^-; g22 = ^-; g33 = i-
gll gza
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1,ц _ 1 < 2 9gu . да ' 11,12 — - Г2, 1 11 ~~2 dgn . ap ’
Та,23 _ 1 d ‘ 2 ^gi2 . ар ’ 1^2,31 = "A 1 22 dgzz. da ’
rL 1 2gn dgn . да ’ Ги = 1 2gn dgn d? ’ r2 -- 111 — 1 2g 22 dgn. ap ’
Ги 1 2g22 dgzz. df ’ Ili = 1 2gn ag22. da ’ rk = - 1 2gn dgzz. da ’
Tf1 1 ~2gn dgn. да ' 1 dgn. d? ’ ri’2 = -г?1 = 1 2gllg22 dgn. ap ’
г?-2 1 dgzz. r,2-2 - 1 dgzz. r!-1 ri’2 1 °g22
2g23 ap ’ Х1 n 2 2^32 da ’ -L3 2gllg22 da
Таблица 3
Осесимметрические ортогональные координаты
Ось симметрии или ось вращения является в данном случае координатной осью г.
В меридиональной плоскости наряду с ортогональными координатами г и р располагае-
тся также сетка криволинейных координат а и р.
Связь между двумя системами координат в этой плоскости определяется равен-
ствами
г + if = F (а -]- ?₽) = ф (а, Р) + (а, Р).
Ортогональные криволинейные координаты
127
Меридиональный угол 6 отсчитывается в нормальной к оси z плоскости декарто-
вых координат (х, у) от оси х к оси у. Вследствие этого связь между пространствен-
ными декартовыми (х, у, г) и криволинейными (а, р, б) координатами представляется
зависимостями
х = <р (а, Р) cos 6; y=<f> (а, Р) sin 6; г = ф (“> Р).
Ковариантные компоненты метрического тензора:
ё11-(Й)+(2): fe = w)+w): £2з-£з1 = £12-0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот-
ветственно а, р и 6.
Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1,п = 1 дёи. т - 2”^’ т . p _ 1 dgu _ 1 dg22, p 12,11 2 dp ’ 12,22 2 dp ’ 12,21 r _1 dg,3. p —11.зз-’2 . X3,32 . 1 g£n. r1 = 1 dgn. 2g22 dp ’ 12 2gn dp ’ _ 1 dg22 _ _2 1 dg22 . 2£h da ’ 21 2g22 da ’ 1 dg33 _ r2 1 dg33 _ ^3 _ = —rit22 — Г r. 1 dg22; 2 da 1 dg33;
rL = ii = г’ — хз,з1 — 1 ^£11. г2 _ 2£п да ’ 11 ~ 1 dg22 . pl 2£з2 ’ 22 1 dg33 _ ^з — х3,33 — 1 ^33 4 2 dp
2£ц да ’ 1 dgn . "pi.2 2£зз да * 3,1 2g22 dp r2,i 1 d£n . т.1,1 1 dgn 2g33 dp ’
J-1 = г2,2— 1 2 — Т13 в 3 2£ii da ’ 1 1 dg22. r2j _ 1 ~ 1 dg3s . r3,i _ 1 — 2g11g22 dp ’ 12 2g2n dp ’ —Г1,2 = 1 dg22. 2,2 _ 1 dg22. 2 2gug22 da ’ 1 2g23 da ’ j,i,3 1 dg33,
1 1 3 3 2£зз ’ 8 1 dg33 . p3,2 _ “ 2gng33 da ’ r2.8 _ 1 dg33
х 2 2g33 ’ 3 ° 2g22g33 dp
Таблица 4
Круговые цилиндрические координаты (рис. 21)
1. Связь между декартовыми (х, у) и круговыми
(р, 6) координатами в плоскости поперечного сечения:
х + iy = ре‘в = р (cos 6 -J- i sin 6).
2. Уравнение координатных кривых (р, fl = const)
криволинейной системы в декартовых координатах (х, у):
х2 + У2 = р2. у — х tg 6.
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
£n=li £22 = Р2: £зз = 15 £зз = £з1 = £1з = О-
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены коор"
динатным направлениям — соответственно р, 6 и г.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г2.21 -Г1.22 = Р»
Ги — —- ; Г22 = —р;
г2.2— 1 • г2-1 г1.3 1
Г1 -у» -----ta -у
Рис. 21.
128
Некоторые вопросы векторного и тензорног* анализа
Таблица 5
Параболические цилиндрические координаты (рис. 22)
1. Связь между декартовыми (%, у) и
параболическими (а, р) координатами:
* + = у (а + й])2 = у (а2 — р2) + «р.
2. Уравнения координатных кривых
(а; р = const) криволинейной системы в де-
картовых координатах (х, у):
Рис. 22.
х =
-₽2 •
3. Ковариантные компоненты метри-
ческого тензора:
gii = 822 = a2 4- Р2, g33 = 1 ^23 — gsi — £12 = 0.
Числовые индексы I, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот-
ветственно а, р и z.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1.11 = Г2.21 = —Г1.22 — «; Гг.гг — Г1.12 = — Гг.11 — Р;
р1 __р2 _____ р1 _ а р2 __ р1 _ р2 р
1ц -12.1- -122 122 -112----
pl.i _ р2,2 __ р2,1_т.1.а a р2.2 rCi-pi.2- pV_ ₽
11 1 1а 12 (a2 + р2)2 ’ 2 . 2 Г1 Г1 -(o2+(j2)2-
Таблица 6
Эллиптические цилиндрические координаты (рис. 23)
1.
1. Связь между декартовыми (х, у) и
еллиптическими (а, Р) координатами:
х -|- iy = b ch (a + ip) =
= b (ch a COS Р + z sh а sin р)
2. Уравнения координатных кривых
(а, р = const) криволинейной системы в де-
картовых координатах (х, у):
-^- + -^ = 1;
b2 ch2 a ' b2 sh2 a
X2 у2
b2 cos2 p b2 sin2 p
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
Ь2
gn = gt2 = -у (ch 2a — cos 2p), g33 = 1, g23 = g3i = gi2 = 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот-
ветственно а, р и г.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1,и = Га,и = —Tlt2j = -у sh 2a; Г2,22 = Г1.12 = —Г2,ц = "у s*n 2?!
ri ri sh 2a . г2 _ г1 _ г2 _ sin 2р .
In - 121 - —122 - ch 2a _ cos 2₽ . 122-112- 1ц - ch2a_ cos2p ’
1,1 2,2 г2,1 1,2 2sh2a . 2,2 pl 1 р1 2______p2.1
Г1- = 1? «Т,- =-r.- =fc2(ch2a-cos2^’ Га ^Га -Г1-----------------г*
2sinp
ba (ch 2a — cos 2Р)2'
Ортогональные криволинейные координаты
129
Таблица 7
Биполярные цилиндрические координаты (рис. 24)
I. Связь между декартовыми (х, у) и
биполярными (а, р) координатами в плоско-
сти поперечного сечения:
, t и.’ + 'i1 b (sh a -]-z sin Р)
х + iy = b th ' =
2 ch a -J- cos р
2 Уравнения координатных кривых
(а, р — const) криволинейной системы в де-
картовых координатах (х, у):
(х — b cth а)2 -|- у2 = —— ;
J sh2a
Рис. 24.
b2
х2 + (у + b ctg p)2 = .
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
gll - £22 - (ch a + cos p)2. gss — 1, £23 - £31 = £12 - 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот-
ветственно а, р и г.
4- Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
b2 sin Р
г _ г _ г _ —fc2shg г _ г _ г _____________________
1 1Л1 “ ±2'21 ~ -1ь22 “ (Ch а + cos р)3 ’ J 2'22 - 1142 - -12’1г - (ch а + COS Р)3 ’
Г1 _ г2 _ pl _ —shs г2 _ _1 _ _2 _ sin р
11 21 22 ch а 4- cos р ’ 22 12 11 ch а + cos р
Г?’1 = г2-2 = Г2,1 = —г}-2 =---L sh а (ch а + cos Р)
0“
_2 2 _1 1 .,1 2 ..2 1 1 - о z , , о,
Г2’ = Г2' =I\ =— Tf = sin р (ch а + cos р)
Таблица 8
Сферические или полярные координаты (рис. 25)
Рис. 25.
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и сфериче-
скими (ч, р, 6) координатами:
z + гр = че$ — ч (cos р -)- i sin Р);
х = ч sin р cos 6; у = ч sin р sin 6; z = 4cosp.
2. Уравнения координатных поверхностей (ч, р,
6 = const) криволинейной системы в декартовых коорди-
натах (х, у, г):
х2 + 1/2 + г2 = ч2;
х- + </2 = z2 tg2 р;
У = х tg е.
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
£11=1; £22 = «2; £33 = «2sin2p; £гз = £з1 = £12 = О-
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены коор-
динатным направлениям — соответственно ч, р, 6.
9 В. И. Блох
130
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
4- Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
ч2
-^2,12 — —Г1>22 = ч\ Гздз = Г1>88 = ч sin2 р, г3123 — —Г2.33 = — sin 2р;
1 1 2 1
г22 = — ч\ Гзз = —«sin2p; Г33 = — у sin 2?;
г?2 = г?з = -|; Г23 = С^;
j2_2 _ I . рЗ.З _ 1 . рЗ.З _ COS Р _
1 ч3 ’ 1 ч3 sin2 Р ’ 2 ч2 sin3 р ’
р2,2 _ _р2,2 _ р3,1 _ р1,3 1 . рЗ 2 _ р2 3 _ ctg В
±2 ——=1з =—2з = — J3 =—J3 =~^~-
Таблица 9
Параболоидные координаты вращения (рис. 26)
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и пара
болоидными (а, р, 6) координатами:
z + ip = 4 (° + 'Р)2 = у <“2 - Р2) +
X = ар COS 0, у — ар sin 6, Z = -i- (а2 — р2).
2. Уравнения координатных поверхностей (а, р,
6 = const) криволинейной системы в декартовых коор-
динатах (х, у, z):
х2 + у2 = а2 (а2 — 2z);
х2 + у2 = р2 (р2 + 2z);
у = х tg е.
3. Ковариантные компоненты метрического тен-
зора: >
gll = gl2 = “2 + Р2. g33 =“2Р2, g23 = g31 = gl2 = 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены
координатным направлениям — соответственно а, р и 6.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1,11 = Г2,21 ’ -Tlt22 а.
Га,22 = Г]>12 = —Г2,ц = р;
Гз,з1 = —1\.зз = “Р2; Г3-з2 = —Г21зз = Ра2;
р2 р2 р1 а . р2 _______р1 ___ р2 Р
1ц - 121-1 22 - а2 + р2 г22 - 112 - ~ 111 ~ а2 02 >
1 _ ар2 . з _ 1 . „2 _ _ Ра2 гз _ 1 .
±33 a2 -f- рг ’ 131 а ’ ±33 a2-f-p2’ ±32 р ’
р1.1_ р2.2_р2.1_ р1.2 _ а . р2,2 __р1.1 р1.2 р2,1
11 —11 —12 ——12 — ^2 4- р2)2 ’ 12 — ~ J1-----Г2 =
Р .
(з2 + р2)2 ’
р3»3 1 р3»3
1 ~ ^Зр2 ’ 2 — '
Р3,1 _ р1,3 1
3 3 *=„(„2 + ^)-
г3.2 _ тА3 _ 1
3 3 Р (а2 + Р2)
Ортогональные криволинейные координаты
131
Таблица 10
Параболические веретенообразные координаты (рис. 27)
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и параболиче-
скими (а, 0, 6) координатами:
Z + zp = —i (а + zp)2 = 2а0 + Z (02 — а2);
х — (02 — а2) cos 6; у — (р2 •— а2) sin 6; г = 2ар,
где 02 — а2 > 0.
2. Уравнения координатных поверхностей (а, 0, 0 =
= const) криволинейной системы в декартовых координа-
тах (х, у, г):
/ г2 V /г2 Л®
х2+//2=(1472’_“2) ; х2+ ^(jp^-Pj: y = xtge-
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
gll = g22 = 4 (а2 + 02), g33 = (02 — а2)2,
gzs = g3i = £12 = 0.
Числовые индексы I, 2 и 3 здесь присвоены коорди-
натным направлениям — соответственно а, р и 0.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Г1,ц — Гг,21 — —Г] 22 — 4а;
Г1,зз = -Г3.з1 = 2а(₽2-а2);
р1 р2 р1 а
41 — -121-----4 22 — а2+рг •
1 _ а (02 — а2)
Гз3 ~ 2 (а2 + 02) ’
Г3 — — 2а -
31 — 02 — а2 ’
Гг.гг — Г1Л2 = —Г2Л1 = 4?;
Гг.зз = ' -^з.зг = —20 (02— а2),
р2 __у1 _ у2 ___ Р
122-112--lll-^q^,
р2 = _ Р (в2 — °2) .
33 2 (а2 + Р2) ’
Р3 2Р
32 02 _ а2
р1.1 = р2.2 = г2.1 = _р42 _ ° .
1 1 2 2 4(a2-f-02)2’
Г3.3 _ _ 2а .
1 (02 _ а2)3 ’
рЗ,1 _ _р1,3 __________° .
3 13 2(04 —а4'’
Г2-2 = Г’-1 = Гр® = - Г®’1
рЗ,з _ 20
2 ~ (02 —а2)3:
Р
4(а2 + 02)2’-
р3,2__ у2»3_______Р____
2 ~ 3 ~2(04 — а4)"
Таблица II
Сжатые эллипсоидальные координаты вращения (рнс. 28).
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и эллип-
соидальными (а, 0, 6) координатами-:
z + zp = Ь sh (а + z'0) = b (sh a cos 0 + i ch a sin р);
х = Ь ch a sin p cos 6; у = b ch a sin 0 sin 0;
z = b sh a cos 0.
2. Уравнения координатных поверхностей (a, 0,
0 = const) криволинейной системы в декартовых коор-
динатах (х, у, г):
х -f- z/2 г2 х2 -f- z/2 г2
Ьг ch2 a + fe2 sh2a — fe2sin2P — fe2 cos2 0 — ’
у = xt£0.
9:
132
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
gn = £22 = 62(ch2a + sin2p); g33 = fe2 ch2 a sin2 p; g23 = g3l = g12 = 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям— соот
ветственно а, р и 6.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
Ь2 Ь2
Г1,п = Г2,21 — Г1>22 = -g- sh 2а; Г222 = Г1>12 = Г2111 = sin 2р;
b2 Ь2
Г3.з1 — Г1133 = -g- sh 2а sin2 Р; Г3.32 = Гг.зз = sin 23 ch2 а;
г1 г2 г1 _ sh2a . т2 г1 г2 sin2₽
1ц - 121 - -122 - 2 (ch2 a +sin2₽) ’ 122 - 1,2 - - 2Tch2a + sin2p) :
_1 _ sh 2а sin2 р 2 sin2 Р с^2 °
33 ~~ 2 (ch2 а + sin2 fl) ’ 32 — — 2 (ch2 а + sin2 р) ’
Г31 = th a; r32 = ctg₽;
rl,l _ p2.2 = г2.1 = _Г1.2 = ______________Sh 2a_______
1 1 2 2 2b2 (ch2 a + Sin2 p)2 ’
r2,2 _ ri,i _ -pi,2 _ p2,i ________________sin 2[j_____
221 1 2b2 (ch2 a + sin2 p)2 ’
r3,3 sh a 3,3 _ COS p
1 b2 ch3 a sin2 p ’ 2 & sin3 p ch2 a ’
p3,i _____pl.s ___________th a_______ 3,2 ______p2,3_ ____________________
3 b2 (ch2 a -f- sin2 P)’ 3 3 ~ b2 (ch2 a + sin2 3) ’
ctgp
Таблица 12
Вытянутые эллипсоидальные координаты вращения (рис. 29)
Рис. 29.
4 Символы Кристоффеля
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и эллипсо-
идальными (а, р, 0) координатами:
г + ip = b ch (a 4- i'P) = b (ch a cos p -f- i sh a sin p);
v = fesh a sin p cos 0; у = b sh a sin p sin 6; z = fechacosp.
2. Уравнения координатных поверхностей (a, p,
6 = const) криволинейной системы в декартовых коорди-
натах:
x2+z/2 г2
fe2sh2a "Г fe2ch2a
Z2 X2 + у2
b2 cos2 p b2 sin2 p — ’ t/ — x g
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
gii = g22 = t2 (sh2 a + sin2 P); g33 = b2 sh2 a sin2 p;
S23 = gsl = gl2 = 0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены коор-
динатным направлениям — соответственно а, р и 6.
(отличные от нуля):
Г1,ц — Г2.21-----Г1.22 — 2 Sh ^2>22 — Г1,12 — Г2Л1 — -g- sin 2р;
Ь2 Ь2
гз,з1 = — Г1>33 = у sh 2а sin2 Р; Г3г32 = —Г2,33 = sin 2р sh2 а;
Ti1 т^2 т'1 sh 2а , 2 pi ^2 sin 2р
И - 121 - -122 - 2 (sh2 а 4-sin2 Р) ’ 122 ~ 112 - ~111 - 2 (sh2 а + sin2 Р) ’
_1 _ sh2asin2p , 2 _ sin 23 sh2 а
33 — 2 (sh2 а + sin2 р) ’ 33 — 2 (sh2 а + sin2 р) ’
Ортогональные криволинейные координаты
133
Гз! = cth а; Г12 = ctg ₽;
г1-1 — г2-2 — г2-1 — —г1-2 sh 2а •
11 —11 —12 — 12 26 (sh2 а + sin2 р)2 ’
г2,2 _ -1,1 _ г1,2 _ _г2,1________sin 23 .
±2 — 12 —1! — 11 262 (sh2 а-|-sin2 р)2’
3, 3 ch а 3,3 _ cosft .
1 — 62sh3asin2P ’ 2 b2 sh2 a sin3 p ’
рЗ,1 _ pi,3__________cth a . r3,2 _ _г2,з _ ctgP
3 — 3 — b2 (sh2 a + sin2 p)' 3 3 b2 (sh2 a + sin2 p) ’
Таблица 13
Тороидальные координаты (рис. 30)
1. Связь между декартовыми (х, у, z)
н биполярными (а, р, В) координатами:
, а 4- /В b (sin В + i sh а)
z + Zp = Ы cth „ 1 = , ----z—- .
' ' 2 ch а — cos р
b sh a cos 6 b sh a sin 6
ch а — COS p ch а — cos р
6 sin 3
Z = --------5 ;
ch а — cos p
(0<а<оо, 0<р<2л 0<6<2е)
2. Уравнения координатных поверх-
ностей (а, р, 6 = const) криволинейной си-
стемы в декартовых координатах (х, у, г):
г2 + (У*2 + У'1 — b cth а)2
sh2 а *
у = х tg е.
Рис. 30.
Ь2
*2 + (/2 + (*-6ctg?)2 = ^^;
3. Ковариантные компоненты
метрического тензора:
Ь2 и~ Ы1_ и
gn=g2»=(cha_cos^; &33 = (cha_cos₽)2; g23 = g3i-gi2-o.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот
ветственно а, р и 6.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
г _г _ г _ fc2sh° . г _г __г fc2sinP -
11’Н -12’21 il’22“-(Eh a-COs’pj'3’ 2122 ~ 1а2 “ 2.4- (ch a-COS р)3’
г _ г _ Ь2 (1 — ch a cos ₽) sh а
I’33 3’3t “ (ch а — cos р)3 -
_ _ _ _ b2 sh2 a sin p
2,33 - -1 3,32 - (cha_cos₽)3 >
v1 — r2 _ -n1 _ sha
In - -t 21 - -122 - - Cha_cos₽ .
_1 _ (1 — chacospjsha.
33 ch a — cos p
-3 _ 1 — ch a cos P
31 — (ch a — cos P) sh a ’
r" = r2’2 = II’1 = —Г2’2 = -
2,22
I'2 _ I’1 __ _r2
1 22 — 112 — --111
2 _ sh2 a sin p
33 — ch_a — cos P ’
3 sinp
32 ch a — COS P ’
~ sh a (ch a — cos °);
rl’2 = г" = г}’2 = —Г21 = — ~ sin P (ch a - cos P);
-3,3 _ (1—ch a COS P) (ch a — cos P)
1 b2sh3 a
sin 8
ch a — cos p ’
fc2sh2«
134
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
„3,3_____sin Р (ch a —cos Р) .
2 fe2 sh2 а
3 1 „13 (1 — ch а cos Р) (ch а — cos Р) .
1з’ — —— b2 sh а
Г3,2 = -Г2’3 = - ~ sin р (Ch а - cos Р).
Таблица 14
Биполярные координаты вращения (рис. 31)
1 Связь между декартовыми (х, у, г) и бипо-
лярными (а, р, 6) координатами:
г + / р = b t h = fc<shg + Zsi“P)-;
2 ch а + cos р
b sin P cos 6 b sin P sin 6
X ‘" 11 —- -—------
ch a + COS P ’ a ch a -f- COS P ’
b sh a
2 = ---------.
ch a + COS P
2. Уравнения координатных поверхностей (a, p,
0 = const) криволинейной системы в декартовых коор-
динатах (х, у, г)
fe2
X2 4" t/2 + (z — ь cth a)2 = —— ;
Sn2 a
(x2 + У2 + z2 — *2)2 = 4fe2 (x2 + y2) ctg2 P;
i/ = xtg6.
3. Ковариантные компоненты метрического тензора:
fe2 _ fe2sin2p _
gii-g22-(-Sa + cos₽)2; ^33 — (ch a-f-cos p)2 ’ £23-&»-gi2-0.
Числовые индексы 1, 2 и 3 здесь присвоены координатным направлениям — соот-
ветственно, а, р и 6.
4. Символы Кристоффеля (отличные от нуля):
г Г г fe2sha fe2sinp
1'4 ~ 2’21------1 !’22 - “ (ch а 4-cos Р)3 ’ 12’22 - 11Д2 “ 241 ~ (Ch а 4-cos Р)3 ’
„ _ „ _ 62shasin2P _ fe2sin р (1 4-ch acos Р)
11.33 - -13.31 - (cha+cos₽)3 : 1з-33 - -Гз-32 - (Ch а 4-cos Р)3 :
sh<* . „2 _ 1 _ 2 _ sin Р .
ch а 4- cos р ’ 22 12 11 ch а 4- cos р ’
р2 ___ (I + ch a cos Р) sin р
1 зз —----------------------*
Гц — Гя--------Г22 —
pi _ sh a sin2 р
33 ch а 4- cos р ’
„з sh а
J31------
____________. р3 _
ch а + cos р ’ 32
Г" = Гр2 = Г2’1 = —Гр2 =
ch а + cos р
1 + ch a cos р
(ch а + cos р) sin р ’
— ~ sh a (ch а 4- cos Р);
Гз’8 = Гр1 = Гр2 = —Г2’1 = J^sin р (ch а + cos Р);
Р3,з sh a (ch а 4- cos р) _ _з,з (1 4- ch a cos р) (ch а 4- cos Р)
b2 sin2 р ’ 2 b2 sin3 р ’
Гр1 = -Г’-3 = _ J. sh a (ch а + cos Р); г|-2 = -Г2-3 = IL+ch ° c°sJ^h g + cos Р)
Геодезические линии
135
Таблица 15
Эллипсоидальные координаты (рис. 32)
1. Связь между декартовыми (х, у, г) и эллип-
соидальными (а, р, 6) координатами:
^_.(Q2 + °)(o2 + P)(o2 + B) .
(fe2 _ а2) (С2 _ а2)
= (fe2 + a)(fc2+p)(fc2 + 6) .
» (С2 _ fc2) (Q2 _ fc2)
(^ + а)(С2+Р)(^+6)
(O2_c2)(fe2_c2) •
где а > Ь > с> 0.
2. Уравнения координатных поверхностей (а, р,
0 = const) криволинейной системы в декартовых коор-
динатах (х, у, г)
— + -^- + -^-=1.
аг + л^б2 + хтс2 + х ь
Рис. 32.
где X может принимать значения а, р или 0, причем а2 > 6 > fe2 > р > с2 > а. В случае
Л = а данное уравнение представляет эллипсоид, в случае к = р — однополостный
гиперболоид, и в случае X = 0 — двуполостным гиперболоид.
3. ' Ковариантные компоненты метрического тензора:
1 (а-Р)(а-0) 1 (р_е)(р_а) 1 (0 - а) (0 - Р)
g,1=4---------й------: = T--------й-----’ g33=4 й ’
g-23 = gsi = £12 = 0,
где
Pl = (а2 + а) (Ь2 + а) (с2 + а);
= (а2 + Р) (Ь2 + Р) (с2 + Р);
Рз = (а2 + 6) (Ь2 + 0) (с2 + 0).
я числовые индексы 1, 2 и 3 присвоены координатным направлениям — соответственно
а, р и 0.
4. Символы Кристоффеля:
Г1.Ц = /- [2а - Р - 0 - (°-Р)(°-В) (3а + С2 + fc2 + С2)|;
8pl L Pl J
Г - Г -а~е- Г - Г -а—₽•
i2.ll- 11,12- 8fXi . 13.11 - -11.13 - .
I’ll = 4 [r^-fi + ~ 4 (3“ + °2 + 62 + *4 Гп = 2ц а) •’
Z ----- U Ct — р J (р — oj — ctj
г3 — Рз (a — Р) 1 _ I Г1 _ 1
“ 2И (е - а) (0 - р) ’ Г1г 2(а-р)’ 13 2(а-0)’
Г1’ = (а —Р) (а —0) [Р1 (^=7 + — (3“ + а2 + 62 + с2)]; Г, = — (а _6)^а_р)2;
Т1,1.________2pi . г1.2 = тА1 = 2Р2 . г1.з = _гз,1 = 2рз
3 (а —Р)(а —0)2’ 1 1 (р - 6) (Р - а)2 ’ 11 1 (6—Р) (6—«)2-
В результате циклической перестановки одновременно всех индексов 1, 2 и 3,
а также обозначений а, р и 0. могут быть получены из приведенных равенств выра-
жения для ряда других символов Кристоффеля. Символы, не получающиеся из приве-
денных выше в результате указанных перестановок или использования свойств сим-
метричности, равны нулю.
§ 46. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
Геодезическими линиями в некотором пространстве называются
такие линии в этом пространстве, длины которых между двумя любыми
точками имеют минимальные значения. В обычном эвклидовом простран-
136
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
стве такими свойствами обладают прямые линии. На шаровой поверх-
ности, представляющей собой двухмерное пространство, геодезическими
линиями будут кривые больших кругов. Это обстоятельство является
результатом внутренних свойств данной поверхности, ее искривленности.
Для других двухмерных поверхностей, понятно, геодезическими линиями
будут иные кривые.
Если эти представления перенести на пространства трех и большего
числа измерений, то можно будет говорить, что внутренние свойства
этих пространств могут обусловить также искривленность линий крат-
чайших расстояний. В таком случае возникает вопрос о геодезических
кривых этих пространств, о кривизне последних и ряд других.
Пространства, у которых геодезические кривые отличны от прямых
называются римановыми.
Не ограничивая себя определенным числом измерений рассматри-
ваемого пространства, составим дифференциальное уравнение геодези-
ческой линии в римановом пространстве, исходя из указанного выше
свойства экстремальности.
Примем во внимание, что длина ds элемента кривой, если восполь-
зоваться выражением (3.81) элементарной квадратичной формы, может
быть представлена равенством
ds = | AgZAtfx'dx*.
Распространив его на случай п измерений, будем считать, что
фигурирующие здесь индексы могут принимать п значений. Если усло-
виться, что координаты любой точки на рассматриваемой кривой являются
функциями некоторого параметра t, то мы сможем представить преды-
дущее равенство следующим образом:
ds ~ 1^*(х')' (xk)k dt = Ldt,
где
и
Пусть координаты точек рассматриваемой кривой являются функ-
циями также некоторого параметра т, с изменением которого изменяется
конфигурация кривой, проходящей через две неизменные заданные край-
ние точки.
Условие экстремальности длины линии, проведенной между двумя
постоянными точками, определяемыми параметрами и /2, представ-
ляется равенством нулю вариации ее длины, какая возникает при изме-
нении параметра -с:
ti
Z^Ldt = O. (3.119)
ц
В данном случае знак 8 вариации можно рассматривать как знак
производной по параметру т. Вследствие этого находим, что
tz tz
8 f Ldt = f [Д Zxm + 8 (xm)'] dt.
J J d{xmY 4 ’ J
t, t.
Геодезические пинии
137
Изменяя порядок дифференцирования и варьирования в выражении
8(х"')', вследствие чего
мы сможем предыдущее выражение, интегрируя его по частям, предста-
вить следующим образом:
/2 G
8 f Ldt = [ [й- 8xm + £ (8хт)1 =
,) J 1 д (xmY dt'
ц h
d dL 1
oxmdt.
Ввиду неподвижности концевых точек кривой для них будет иметь
место равенство ох'п = 0, и следовательно, первый член правой части
предыдущего выражения аннулируется. Условие же (3.119) при произ-
вольных охт всюду между концевыми точками будет выполняться в том
случае, если в оставшемся интеграле будут равны нулю подынтеграль-
ные выражения в скобках для всех значений индекса т'.
<ЗЛ20>
Принимая во внимание выражение, представляемое обозначением L,
d (x^Y <>,k bk тг
равенство = где — символ Кронекера, получим,
а [Х771]
а также
что
• dgtk (х')'(хЛ)'-^-77=~7=°
2 Vglk (X1) (V*)'дхП dt Vgtk (*l) (xby
Если в качестве параметра t принять длину s рассматриваемой
линии, то вследствие элементарной квадратичной формы будет иметь
место равенство
и тогда предыдущему уравнению можно будет придать такой вид:
1 dgik dx* dxk d / dx‘\ „
2 dxm ds ds ds ds /
Выполняя дифференцирование во втором члене, находим
( 1 dgik dgim\ dxi dxk dzxi _ „
\2 dx™ dxk j ds ds Sim d^
Если затем всюду заменить индекс i на k и наоборот, то црлучим
также, что
I 1 dgkt dgk„\ dxk dx1 d2xk _ „
\ 2 dxm dxi ) rfs ds &km ds2
Принимая далее во внимание симметрические свойства метрического
тензора, сложим последние два равенства. В результате у нас возникает
уравнение
I АШ Semi dgkm\dxi dxk d2xi ~ n
2 \dxm dxk dxi I ds ds &‘т ds2 *
138
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
которому, ввиду наличия обозначения (3.93), придадим такой вид:
d2x‘ . г, dx1 dxk „
£'m ds2 + Гт-dT dT ~ (3.121)
После умножения всех его членов на g4m и суммирования таких
уравнений по всем значениям индекса т получим п дифференциальных
параметрических уравнений геодезической линии, представляемых фор-
мулой
+ = (3.122)
ds2 к ds ds ’ ' '
где ч будет принимать п значений.
§ 47. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
Вполне понятно, что говорить о параллельном перенесении можно
только в том случае, если такому перенесению подвергаются направлен-
ные объекты. Для простейшего направленного элемента, каким является
вектор, параллельное перенесение будет обеспечено, если в результате
его останутся неизменными модуль и направление вектора. При исполь-
зовании прямолинейных координат эти требования равносильны условию
сохранения неизменными координатных компонентов переносимого век-
тора. Однако в случае криволинейных координат дело осложняется тем,
что при переходе с одного места в другое изменяется локальный коор-
динатный репер. Вследствие этого оказывается необходимым обратиться
к условиям бесконечно малого параллельного перенесения, поскольку непо-
средственная связь между координатными реперами в общем виде проще
всего устанавливается для соседних точек. Для этого случая мы можем
утверждать, что параллельное перенесение в эвклидовом пространстве
будет обеспечено с точностью до величин высших порядков малости,
если абсолютный дифференциал переносимого вектора будет равен нулю:
(dup + umVpmkdxk) ер = 0. (3.123)
Здесь первое слагаемое двучлена, заключенного в скобки, представ-
ляет собой дифференциал значения величины координатного компонента
переносимого вектора, определенного для координатной системы исход-
ной точки и обусловленного переходом к новой локальной координатной
системе. Второе слагаемое представляет собой компенсацию этого изме-
нения, выраженную через компоненты элементарного вектора смещения.
В случае дифференцируемости переносимого вектора является воз-
можным выделить в уравнении (3.123) направленный элемент траектории
перенесения в качестве скалярного множителя, и тогда условие парал-
лельного перемещения может быть заменено таким:
V" = (S +ит^ = °- <3-124)
Уравнение предыдущего вида получается при этом отсюда в резуль-
тате скалярного умножения его слева на направленный отрезок пути
бесконечно малого смещения.
Очевидно, вектор и может быть представлен также и ковариантными
компонентами с соответствующими изменениями приведенных уравнений.
Соответствующие уравнения можно составить также для условий парал-
лельного перенесения тензоров высших в сравнении с вектором валент-
ностей.
Тензор кривизны
139
Перенос вектора вдоль своего направления совершается по соответст-
вующей геодезической линии, и обычные правила суммирования векторов
остаются справедливыми поэтому только для точки непосредственной
встречи их или точки пересечения соответствующих их направлениям
геодезических кривых.
Приведенные выше дифференциальные уравнения условий парал-
лельного перенесения векторов сохраняют свое значение также и для
риманового пространства, поскольку при их со-
ставлении рассматривалось смещение лишь на
бесконечно малое расстояние и учитывались ве-
личины первого порядка малости. / i/ xi \
Необходимо отметить здесь, что результат / / \ \
параллельного перенесения в римановом прост- / / \ j
ранстве, в противоположность тому, что имеет К i/u . | Л
место в эвклидовом, зависит от пути, по кото- /
рому это перемещение совершается. \ \ / /
Рассмотрим шаровую поверхность (рис. 33) — х\ //
один из случаев двухмерного риманового прост-
ранства. Дугами больших кругов, являющихся Рнс. 33.
геодезическими линиями для этой поверхности,
начертим ча ней равносторонний сферический треугольник АВС, длины
сторон которого равны четверти полной окружности большого круга.
Если вектор и, касательный к дуге АС в точке А, перенести вдоль
геодезической кривой АС в точку С так, чтобы он оставался при пере-
несении касательным к этой кривой, то в конечной точке он примет
положение вектора v. Если тот же вектор и перенести сначала в точку Е
по дуге АВ, к которой он на всем пути перемещения перпендикулярен
и касателен к поверхности шара, а затем по дуге ВС перенести в точку С
так, чтобы он оставался касательным к этой дуге, то в конце пути
перемещения он займет положение вектора w. При этом он окажется
повернутым на 90Q по отношению к вектору v.
§ 48. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
Определим изменение в конечных значениях вектора, возникающее
в результате параллельного перенесения его в одну и ту же точку по
двум разным бесконечно малым путям. Пусть
__________________эти пути образуют вместе замкнутый четырех-
иг '______________/ угольник ABCDA, и некоторый вектор пере-
I носится из точки А в точку С один раз по
Лд /ч?5 ломаной АВС и другой раз по ADC (рис. 34).
/ / Для направленных отрезков, образующих сто-
роны этого четырехугольника, примем следу-
ющие обозначения:
Рнс. 34. ? ? ?
АВ = dts; DC = d2s; AD — ^s; ВС — o2s.
Вводя некоторую систему координат положим, что dts = dxnen
8xs = 8х"еп. Элементарный вектор d2s, рассматриваемый как продукт
переноса вектора dLs из точки А в точку D, определим следующим
равенством:
d2s = d,s + 81d1s = [dxn + (^+rnksdx^ 8x* ] en = (dx"+8dxn+ns8xMxs)e„.
140
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Вектор o2s, получаемый в результате переноса вектора oxs из точки А
в точку В, на основе аналогичных построений определится формулой
o2s = (ох" + dox'1 + Г^б/х/г8х') еп.
Из условия замкнутости четырехугольника ABCDA заключаем, что
должна иметь место следующая связь между элементарными векторами,
представляющими его стороны:
cfiS + o2s = SjS + d2s.
Отсюда вследствие приведенных координатных выражений для этих
векторов и вследствие симметрических свойств символов Кристоффеля
находим, что
Ыхп = (Rxn. (3.125)
Попутно заметим, что симметричность символов Кристоффеля была
обусловлена свойством пространства, в котором допускалось изменение
порядка дифференцирования (см. § 43, п. 2). Если отказаться от этого
условия, то для объектов связности r£s свойство симметричности =
= ГГл перестает быть справедливым и равенство (3.125) нарушается. Соот-
ветствующее пространство, в котором это имеет место, называется
пространством с кручением.
Возвращаясь к нашей задаче, примем во внимание, что если символы
Кристоффеля в точке А имеют значения r£s, то в точке В они будут
с точностью до бесконечно малых величин второго порядка определятся
значениями
дтп
(Г£)в=Г£ +-g~dxP,
а в точке С — значениями
dr"
П)с = г£ + ^гх₽.
Условие (3.123) параллельного перенесения вектора устанавливает,
что координатные компоненты вектора и при перемещении его на беско-
нечно малое расстояние, определяемое изменениями координат точки
приложения этого вектора на величины dxk, получают, если учитывать
лишь величины первого порядка малости, приращения
dup = —VmkUmdxk.
На этом основании заключаем, что вектор и, будучи перенесен из
точки А в точку В, преобразуется в вектор
ив = (ир — V„kumdxk) ер,
а при перемещении его в точку D — в вектор
ud = (цр — Vpmkumlxk) ер.
Если затем вектор ив перенести из точки В в С, то он получит,
при соблюдении тех же условий для каждой из составляющих общее
выражение величин, значение
UcB = [UP ~ ^mkUmdxk —
I дТр \ 1
— + -g^rdxn) (us — rsmnumdun) (охч -|- dftxP + r^dx’Bx')] £p.
Тензор кривизны
141
а вектор ud, при переносе его из D в ту же точку С, определится
формулой
UcD = [u₽ — ГткИт(>Хк —
I дТр \
— \Г^ + 8хп) (us — rsmnumbun) (dxp + ldxp ф- r’/8xrdxz)
ep.
Разность этих двух значений при учете равенства (3.125) после
сокращений и пренебрежения величинами выше второго порядка малости
можно будет представить следующим образом:
исв — ucD = R4s. mp.umdxsix4ep =
= (итет) (dxses) (ох’е?) ... R4S, тр. epesemep, (3.126)
где
grP дГр
D Р ____ ms mq , рЛ pp рЛ pp 1974
l\qs, tn- — gjg" ~Г 1 msl kq 1 mql ks- \O.1XI)
Исследование вопроса о преобразованиях величин RqS. тр при изме-
нении координат показывает, что они являются компонентами тензора
четырехкратной валентности R
R = Rqs ^.ече^вр, (3.128)
определяющего относительное изменение вектора, параллельно перено-
симого в рассматриваемом пространстве по бесконечно малому замкну-
тому контуру. Этот тензор, как следует из выражения (3.127) для его
компонентов, не зависит от величины и направления переносимого век-
тора и размеров элементарной траектории перенесения. Он определяется
внутренними свойствами пространства, в котором совершается перене-
сение, искривленностью этого пространства, и носит название тензора
кривизны или тензора Римана — Кристоффеля.
Тензор кривизны мы получили как тензор трижды ковариантный
и однажды контравариантный. Возможно обратить его в полностью кова-
риантный, используя обычные для этого правила:
Rqs, mk = gkpRqs, т- - (3.129)
Такой четырежды ковариантный тензор является, как можно показать,
антисимметрическим относительно перестановки индексов внутри каж-
дой пары их, отделенных друг от друга запятой, и симметрическим
относительно перестановки этих пар индексов между собой.
При скалярном свертывании тензора кривизны по двум крайним или
двум средним индексам возникает симметрический тензор двухкратной
валентности с компонентами
Rsm = Rqs. т- = gqpRqs. т-, (3.130)
который носит название тензора Риччи или тензора Эйнштейна.
В эвклидовом пространстве тензор кривизны принимает нулевое
значение. Инвариантность же тензоров относительно преобразования
координат приводит в данном случае к равенству нулю тензора кривизны
также при использовании любой другой координатной системы. По-
этому в эвклидовом пространстве паоаллельное перенесение векторов не
зависит от пути перемещения.
100
142
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
§ 49. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Составим некоторые выражения, являющиеся результатом повтор-
ного дифференцирования рассматриваемых функций, имеющие значение
для дальнейшего.
1. Двойной градиент скалярной функции. Так как градиент скаляр-
ной функции, которую обозначим через F, представляет собой кова-
риантный вектор, определяемый равенством (3.97), то, применяя к нему
формулу (3.100), позволяющую найти градиент ковариантного вектора,
мы получим для двойного градиента скалярной функции такое выра-
жение:
/ d*F ь лр \
(3.131)
2. Дивергенция градиента скалярной функции. Выполняя скаляр-
ное свертывание в последнем равенстве, найдем искомое здесь выраже-
ние в следующей форме:
<3132)
Представим его в таком виде, в котором фигурировали бы кова-
риантные компоненты метрического тензора взамен контравариантных.
С этой целью воспользуемся в качестве исходного выражения следую-
щим равенством:
ДЕ — V7 . (др — \7 . (<упт др р — д („пт дР i р* птп df -
V \дх"е } V дх"6”1/ дхт\ё дх"/ + 1тк^ дх"'
Если затем принять во внимание формулу (3.105), то можно будет
выполнить еще такие преобразования:
А Г ( dF \ . тп д g др д ( dF \ gmn д ДРg dF
dxm \® dxnj ® dxm dx" dxm \° dx") dxm dx"
1 д I , r- dF \ 1 VI д Г 1 \т . , . dF 1
— dxm PP'dx") ~ yg dxm [yg У i (£nm) ’
m n
где A (gnm) — алгебраическое дополнение к элементу gnm в определителе g.
Последнее выражение для случая трехмерного пространства, как легко
показать, можно представить в следующем виде:
д
дх1
ёи
ёп
ёз1
д д
дх2 дх3
Я12 ё13
ёзз §23
ёзз ёзз
0
1 dF
KF дх^
1 dF
Fgdx3
1 dF
ygdx3
(3.133)
При развертывании данного определителя элементы верхней строки
должны предшествовать элементам остальных строк, так что операциям
дифференцирования, определяемым условными множителями первой стро-
ки, подлежат все соответствующие члены нижних строк.
Интегралы от тензорных функций
143
Для случая ортогональных координат из данной формулы (3.133)
непосредственно следует такое, полученное Якоби, выражение:
AF
Г д [дГ g22g33dF\ д g33gndF\ , д 1л Г п Iw
[МТ gn g-n g33 dx3/]’ 1 '
Ч
Vgllg22g33
В табл. 16 приводятся следующие отсюда выражения Лапласиана
скалярной функции для рассмотренных выше криволинейных координат.
3. Двойной градиент вектор-функции. Определяя градиент от выра-
жения, являющегося градиентом контравариантного вектора и представ-
ленного формулой (3.99), можно получить следующее равенство:
jmUm
__г" /—-4-Г‘ ит
1 kl (dxn 1 nmU
। г'
+ r*nW
+ ekelei.
(3.135)
Это представление справедливое в римановом, а также в эвклидо-
вом пространстве, являющемся частным случаем первого, может быть
упрощено применительно к эвклидову пространству.
С этой целью выполним дифференцирование, показанное в первом
члене заключенного в прямые скобки выражения и примем во внимание
равенство нулю тензора кривизны эвклидова пространства. После неко-
торых преобразований полученный результат может быть представлен
в следующем виде:
Г д !ди\ . „г \ дит
^7 И — I + Г/tmU I Гут k
[dxz ) dx
ym du1 *1
*z dxm J
ek&e(.
(3.136>
§ 50. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Не останавливаясь на подробностях, отметим здесь ряд известных,
положений об интегралах, учитывая распространение их в соответству-
ющих случаях на векторные и тензорные функции.
1. Область, ее связность и границы. Областью изменения функции,
как известно, называется совокупность положений точки, являющейся
аргументом этой функции. Мы будем рассматривать только связные-
области, т. е. такие, у которых из любой точки области можно переме-
ститься по непрерывной линии в любую другую ее точку, оставаясь
при этом внутри области.
По степени ограниченности области разделяются на конечные или
ограниченные и бесконечные или неограниченные, а также частично,
ограниченные.
Сами границы могут принадлежать области и не принадлежать ей.
В этих случаях говорят соответственно о закрытой и открытой области..
Таблица 16
Выражения лапласиана скалярной функции F
для некоторых ортогональных криволинейных координат
Общий случай ортогональных координат:
д Г T/g22g33 д_ !л7
дх1 [ I £Ti дх1] "Г дх2 \ Г
ДД =
1
Г gllg22g33
gssgll ^F\ 1 d /1/"gllg22 &F \~1
g22 дх2] 'г йх3\ Г g33 дх3]\‘'
144
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Круговые цилиндрические координаты (табл. 4):
дч2 ' ч дч ' ч2 д'А2 дг2
Параболические цилиндрические координаты (табл. 5):
1 -к —-J- &‘F
а2 Ц- р2 \da2 -г dp2 ] ' дг2
Эллиптические цилиндрические координаты (табл. 6):
_________2_______ld2F (FF\ d2/7
с2 (ch 2а — cos 23) \da2 ' dp2 / + gZ2
Биполярные цилиндрические координаты (табл. 7):
1 td2F d2F\ d2F
^ = ^(cha + coS₽)2(d- + ^+^.
Сферические или полярные координаты (табл. 8):
d2/7 2dF 1 d2F ctg 1 d2F
дч2 ' ч дч + ч2 dfi2 + ч2 d₽ + ч2д№ ’
Параболоидные координаты вращения (табл. 9):
1 (d2F 1 dF d2F 1 dF\ 1 d2F
a2 -f- p2 \da2 + a da ‘ dp2 * p dp / a2P2 dti2
Параболические веретенообразные координаты (табл. 10):
af- 1 2a d/7 d2F 2p d/7) 1 d2F
4 (a2 -j- p2) \da2 a2 — p2 da dp2 a2 — p2 dp / (a2 — p2)2 d62
Сжатые эллипсоидальные координаты вращения (табл. 11):
d^, , , f I 1 W
da2 + da + d32 + g P d3 / + b2 ch2 a sin2 3 dll2 ’
b2 (ch2 а -|- sin2 р)
Вытянутые эллипсоидальные координаты вращения (табл. 12):
,г 1 dF , &F , ^rjdF\ , 1 &E
F ~ b2 (sh2 a + sin2 p) \da2 “Г ° da + d32 + g p dp / + b2 sh2 a sin2 p d(J2 ’
Тороидальные координаты (табл. 13):
_ (ch a — cosp)2!’»2/7 1—ch a cos p dF d2F sin p d/7 1 d2/7!
— b2 [da2 ’’’ (ch p — cos p) sh a da dp2 ’’’ ch a — cos p dp sh2 a d62 J
Биполярные координаты (табл. 14):
(ch a 4- cos p)2 Fd2/7 sh a dF d2/7 1 -|- ch a cos 3 d/7 . 1 d2/7!
b2 [da2 ch a + cos p da ' dp2 ' ch a + cos p dp sin2 p d62 J
Эллипсоидальные координаты (табл. 15):
XF = <----4flWp 1(3- 6)tf(a) |-Ь(а) Й + (6-°)^(P) +
(a — p) (a — o) (p — u) oa L Oa ] Op L J
+ (a-₽)fl(6)|-[fl (6)
где R (X) = /(л + a2) (X + d2) (X + c2).
Различают границы области внешние и внутренние (рис. 35). Внут-
ренние границы могут быть связаны с внешней, составляя с ней одно
целое и образуя сквозные полости (сквозное отверстие Л) и могут быть
Интегралы от тензорных функций
145
не связаны с внешней, образуя самостоятельные замкнутые полости
(полости В и С).
Если проведенная внутри области замкнутая линия путем непре-
рывной деформации может быть стянута в точку, не пересекая при этом
границ области, то о ней говорят, что она эквивалентна точке(линия /).
Две замкнутые линии внутри области, которые можно непрерывной
деформацией без выхода из пределов области привести к полному совпа-
дению между собой, называются эквивалентными друг другу. Если
в данной области можно провести п замкнутых кривых, не эквивалент-
ных друг другу, то такая область называется n-связной. В области,
показанной на рис. 35, можно провести пять таких линий, Z, т, п, р и q,
вследствие чего она является пятисвязной. Если все замкнутые линии,
какие можно провести в области, эквива-
лентны точке, то область называется одно-
связной.
Путем проведения так называемых
барьеров, т. е. поверхностей, рассекающих
отдельные части области, охватывающие
внутренние границы, можно многосвязные
области обратить в односвязную.
2. Криволинейные интегралы. Как из-
вестно, не замкнутая и не образующая
петель непрерывная кривая линия называется
спрямляемой, если существует предел впи-
санной в нее ломаной, состоящей из прямых
отрезков — хорд, при неограниченном умень-
шении длин этих отрезков и увеличении их
числа. При этом предполагается, что вписан-
ная ломаная имеет общие с охватывающей
Рис. 35.
кривой концевые точки и не образуют петель, а предел не зависит от
способа изменения длин отдельных отрезков ломаной и порядка сумми-
рования. Этот предел носит название длины кривой. Для замкнутой
линии длиной ее является сумма длин отдельных ее незамкнутых
частей.
Пусть имеем спрямляемую кривую с начальной точкой А и конеч-
ной В. Впишем в нее ломаную линию, состоящую из хорд, и заметим
направление каждой такой хорды, соответствующее переходу от началь-
ной к конечной точке стягиваемой ею дуги. Направленную длину такой
i-й хорды обозначим через Д/,. На стягиваемой i-й хордой дуге кри-
вой выберем произвольную точку и определим для нее значение Ф, тен-
зора Ф, являющегося однозначной функцией точки указанной кривой.
Для каждого i-ro отрезка составим произведение
Д/, * Фу,
где * — обобщенный знак какого-либо из трех видов умножения: скаляр-
ного, векторного или диадного, и для каждого вида умножения соста-
вим сумму всех произведений для различных значений i, число которых
обозначим через п.
Предел каждой такой суммы, получающийся при неограниченном
уменьшении хорд и увеличении их числа, если таковой существует и не
зависит от положения выбранной точки тензора на каждой стягиваемой
хордой дуге, способа изменения длин отрезков и порядка суммирования,
Ю В. И. Блох
146
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
называется криволинейным интегралом соответствующего произведения
вдоль данной кривой, так что
J dl * Ф = lim V Д/, * Ф,.
Здесь через dl обозначен направленный элементарный отрезок кривой
интегрирования.
Заметим без доказательств следующие свойства таких интегралов.
а) Если на спрямляемой кривой А— В, вдрлъ которой выполняется
интегрирование, подынтегральная тензорная функция Ф непрерывна (или
в более широком случае — ограничена и имеет конечное число точек
разрыва), то указанные криволинейные’ интегралы существуют.
б) Формальные правила аддитивности обыкновенных интегралов
с соответствующими очевидными изменениями и правило вынесения
постоянного множителя за знак интеграла распространяется также и на
криволинейные интегралы Е
в) При изменении направления интегрирования, что связано с из-
менением направлений векторных элементов кривой интегрирования на
обратные, знак криволинейного интеграла изменяется с положительного
на отрицательный и наоборот:
f —П
А—В В—А
г) В случае замкнутого контура, вдоль которого выполняется ин-
тегрирование, значение криволинейного интеграла определяется как
сумма интегралов по отдельным незамкнутым участкам, на которые может
быть разбит этот контур.
д) Существование и значение криволинейного интеграла по замкну-
тому контуру не зависит от того, какую точку контура выбрать за
начальную при одном и том же направлении обхода этого контура при
интегрировании.
3. Поверхностные интегралы. Поверхность, имеющая всюду непре-
рывно изменяющуюся касательную плоскость, называется гладкой.
Если она состоит из счетного числа гладких участков, то называется
кусочно-гладкой. Соответствующим образом говорят о гладкой кривой,
если она, будучи непрерывной, всюду обладает непрерывно изменяю-
щейся касательной прямой, и о кусочно-гладкой кривой.
Будем рассматривать гладкую двустороннюю незамкнутую поверх-
ность, не образующую замкнутых полостей. Разобьем ее сеткой ку-
сочно-гладких кривых на счетное число частей и каждую такую часть
спроектируем на касательную плоскость, проведенную для каждой
части через любую точку последней. Предел суммы площадей указан-
ных проекций, получающийся при неограниченном уменьшении наиболь-
ших поперечников каждой такой части и увеличении количества этих
частей, называется площадью рассматриваемой поверхности.
Для замкнутой поверхности площадь равняется сумме площадей
отдельных незамкнутых участков, на которые ее можно разбить ку-
1 Под правилами аддитивности здесь понимаются правило вычисления интегралов
от суммы функций и суммирования интегралов для нескольких промежутков, состав-
ляющих вместе единый интервал.
Интегралы от тензорных функций
147
сочно-гладкими кривыми. Очевидно, площадь кусочно-гладкой поверх-
ности получится как сумма площадей отдельных гладких ее частей.
Поверхности, имеющие площадь, называются квадрируемыми.
Назовем одну сторону незамкнутой гладкой поверхности положи-
тельной, а другую — отрицательной. Вектор, нормальный в данной
точке к рассматриваемой поверхности, называется вектором-нормалью
этой поверхности. Положительным направлением вектора-нормали счи-
тается направление, идущее из части пространства, примыкающей
к отрицательной стороне поверхности, в часть пространства, примыкаю-
щую к положительной стороне. Для поверхностей, являющихся грани-
цами рассматриваемой области, положительным обычно считается на-
правление вектора-нормали, идущее наружу от ограничиваемой ею
области.
Разбив незамкнутую гладкую поверхность кусочно-гладкими кривыми
на отдельные участки, перенумеруем их и для каждого i-ro участка
построим вектор ДХ,., равный по модулю площади проекции данного
участка на касательную плоскость, проведенную через любую точку
этого участка. Направление такого вектора примем нормальным к ука-
занной касательной плоскости в положительном направлении для точки
касания.
На каждом i-м участке кривой поверхности выберем произвольную
точку и определим для иее значение Ф,- тензора Ф, являющегося одно-
значной функцией точки данной поверхности. Составим затем для каж
дого такого участка произведение ДХ,*Ф„ где *, так же как и выше —
знак любого из трех видов умножения, и найдем суммы каждого вида
произведений для всех значений i, число которых обозначим через п.
Предел каждой такой суммы, получающийся при неограниченном
уменьшении наибольшего поперечника проектируемых участков и уве-
личении их числа, если он не зависит от положения выбранной точки
тензора на каждом проектируемом участке, способа разбивки кривой
площади на участки и порядка суммирования, называется поверхностным
интегралом соответствующего произведения для данной поверхности X,
так что
f dS * Ф = lim ДХ, * Ф,..
Здесь dS — направленный элемент поверхности интегрирования.
Как и для случая криволинейных интегралов, отметим без доказа-
тельств следующие свойства поверхностных интегралов.
а) Если на кусочно-гладкой незамкнутой поверхности, ограниченной
спрямляемым контуром, подынтегральная тензорная функция непрерывна
(или в более широком случае — ограничена и имеет разрывы лишь на
конечном числе кривых), то указанные поверхностные интегралы для
этой поверхности существуют.
б) Формальные правила аддитивности обыкновенных интегралов
с соответствующими очевидными изменениями, а также правило выне-
сения постоянного множителя за знак интеграла, распространяются
и на поверхностные интегралы.
в) Значение поверхностного интеграла для замкнутой поверхности
определяется как сумма интегралов по отдельным незамкнутым участ-
кам, на которые может быть разбита вся поверхность интегрирования
спрямляемыми кривыми.
10*
148 Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
4. Объемные интегралы. Рассечем рассматриваемый объем V, яв-
ляющийся областью изменения однозначного тензора Ф, на части, огра-
ниченные замкнутыми кусочно-гладкими поверхностями, и объем i-й
части обозначим через ДЁ2. Умножая каждый такой частичный объем
на значение Ф, тензора Ф для произвольной точки этого объема, про-
суммируем полученные произведения для всех значений i, число’ кото-
рых пусть будет п. Предел этой суммы, получающийся при неограни-
ченном уменьшении наибольшего поперечника каждого такого частичного
объема и увеличении числа п, если он не зависит от положения точки
тензора внутри каждого частичного объема, от способа разбивки всего
объема V на части и от порядка суммирования, называется объемным
интегралом от тензора Ф по объему V, так что
Jdl/Ф = Пт У Д Е;Ф.
У /2-+СО “j
Здесь dV — элементарный объем.
Как И выше, отметим следующие свойства этих интегралов без
доказательств.
а) Если в заданном объеме тензорная функция Ф непрерывна (или
в более широком случае — ограничена и имеет разрывы лишь на конеч-
ном числе точек и поверхностей), то указанный объемный интеграл для
этого объема существует.
б) Формальные правила аддитивности обыкновенных интегралов с со-
ответствующими очевидными изменениями, а также правило вынесения
постоянного множителя из-под знака интеграла, распространяются и на
объемные интегралы от тензорных функций.
§ 51. ТЕЧЕНИЕ И ЦИРКУЛЯЦИЯ ТЕНЗОРА
1. Течение тензора. Определенный выше криволинейный интеграл
для незамкнутой спрямляемой кривой, проведенной от точки А к точке В,
для случая скалярного произведения стоящих под знаком интеграла
тензора Ф и направленного элемента кривой,
J dl-Ф,
Л-В
называется течением тензора Ф вдоль этой кривой. Как было отмечено,
ориентация элемента dl предполагается здесь в сторону движения по
кпивой от начальной точки А до конечной В. ~
2. Потенциал. Если тензор Ф в рассматриваемой области является
градиентом тензора Ф,
ф = уф, (3.137)
то подынтегральное выражение в формуле течения тензора представляет
с^бой полный дифференциал. Тензор Ф, градиентом которого является
интегрируемый тензор Ф, называется потенциалом последнего.
Если подынтегральное выражение в формуле течения тензора пред-
ставляет собой полный дифференциал, то в случае однозначности по-
Течение и циркуляция тензора
149
тенциала в рассматриваемой области (случай многозначности будет
рассмотрен ниже), значение течения тензора определяется равенством
dl • Ф = Ч’в — «ГА, (3.138)
л-в
где Ча и 'Гв— значения функции Ч’ соответственно в точках А и В.
Как следует отсюда, течение вдоль спрямляемой кривой непрерыв-
ного тензора, являющегося в рассматриваемой области градиентом не-
которого другого однозначного тензора, зависит не от пути интегриро-
вания, а лишь от положения начальной и конечной точек этого пути.
Справедливо и обратное заключение- если течение непрерывного
тензора в рассматриваемой области не зависит от пути интегрирования,
а лишь от положения крайних точек этого пути, то интегрируемый
тензор является градиентом некоторого другого тензора.
Рассмотрим случай малого прямолинейного пути, представляемого
направленным отрезком Д/= | Д/ |ez, где | Д/1 — его модуль, а е, — единичный
вектор его направления.
Согласно теореме о среднем, которую можно соответствующим об-
разом приспособить для данного случая тензорных величин, мы можем
принять, что
f dl Ф = Д/ - Ф',
А—В
где Ф' — значение тензора Ф в некоторой точке отрезка А — В, и, сле-
довательно, ввиду равенства (3.128), получим, что
Переходя затем к пределу при | Д/1 -> 0, найдем соотношение
ацг
е/.Ф = ^ = е/. VT,
откуда, ввиду произвольности направления единичного вектора ez, сле-
дует, что
Ф = у7Ч’.
3. Условие интегрируемости. Для того, чтобы было возможно ин-
тегрирование по схеме равенства (3.138), подынтегральное выражение
должно быть полным дифференциалом. Выполняя ротацию над обеими
частями равенства (3.137) и принимая во внимание результат (3.56),
справедливый для тензоров любой валентности, приходим к уравнению
7ХФ-0. (3.139)
Оно представляет собой условие интегрируемости выражения тече-
ния тензора.
4. Циркуляция. Под циркуляцией тензора Ф понимается значение
течения этого тензора по замкнутой кривой. Обозначая циркуляцию
через Г, мы указанное определение записываем следующим образом:
F = §dl Ф.
При отсутствии под знаком интеграла по замкнутой кривой обозна-
чения этой кривой интеграл понимается относящимся к любой замкну-
той кривой, располагающейся в рассматриваемой области.
150
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
В случае однозначности потенциала тензора Ф в некоторой области
циркуляция последнего всюду в этой области равна нулю.
Действительно, разбивая замкнутый контур на два участка, АтВ
д и АпВ (рис. 36), имеем
’У''"] r = §dl-$= J Л.Ф+ J dl-Ф.
/ / АтВ ВпА
f Но, так как при однозначности потенциала тече-
й ние тензора не зависит от пути, а лишь от положе-
Рнс. 36. ния крайних точек этого пути, то, вследствие ука-
занных свойств криволинейного интеграла,
J dl • Ф = J dl • Ф = — J dl • Ф.
АтВ АпВ ВпА
Отсюда следует обращение в нуль предыдущего выражения.
§ 52. ФОРМУЛА СТОКСА
1. Вывод основной формулы. На гладкую поверхность с площадью F,
ограниченную кусочно-гладким контуром S, нанесем сетку двух семейств
непрерывно изменяющихся гладких кривых, разбивающих всю поверх-
ность на ряд замкнутых ячеек с весьма малыми сторонами. Пусть эти
кривые таковы, что образованные ими ячейки, за исключением, может
быть, случаев, когда эти последние примыкают к граничной кривой,
имеют вид четырехугольников (рис. 37). Обращаясь к одному какому-
нибудь из этих четырехугольников, обозначим направленные элементар-
ные векторы, ограни-
чивающие его пло-
щадь и выходящие
из одной общей угло-
вой точки а (рис. 38),
через dt\ и dr2. Ко-
нечные точки этих
векторов обозначим
соответственно через
b и d.
Два других про-
тивоположных эле-
ментарных вектора, ограничивающих четырехугольник с двух других
сторон и сходящихся в вершине с, будут отличаться от предыдущих
на величины цторого порядка малости. Обозначим вектор, выходящий из
точки d, через dr\ + d2rlt а выходящий из точки b через dr2 + d2r2.
Условие замкнутости контура четырехугольника требует выполнение
равенства
dt\ + (dr2 + d2r2) = dr2 + (drL + d2^).
Отсюда находим, что
= d2r2. (3.140)
Направленная величина площади такого четырехугольника с точ-
ностью до величин высшего порядка малости может быть принята равной
dS = dr1xdr2. (3.141)
Формула Стокса
151
Предположим далее, что на рассматриваемой поверхности задан
конечный, однозначный, непрерывный и дифференцируемый тензор Ф.
Если значение этого тензора в точке а обозначить через Ф, то значение
его в точке b будет Ф -f- di\ • \7ф> а в точке d — будет Ф + dr2 • \7ф-
Определим циркуляцию тензора Ф по граничному контуру рассматри-
ваемого элементарного четырехугольника, совершая обход его от точки а
в направлении, определяемом последовательностью векторов-сомножите-
лей в векторном произведении (3.141), т. е. в порядке следования точек
а, Ь, с, d, а.
Относя значение интегрируемой функции к начальной точке беско-
нечно малого линейного элемента кривой, вдоль которой выполняется
интегрирование, мы получаем, что
<^> dr • Ф = drt • Ф + (dr2 + d2r2) • (Ф + drt • V®) —
abcda
— (drl + dVJ • (Ф + dr2 \/Ф) — dr2 • Ф.
Отсюда, после сокращений и пренебрежения величинами выше вто-
рого порядка малости, найдем, используя формулу разложения двойного
векторного умножения, что
$ dr • Ф = (dr2dr1 — dr^dr^ • V® = X dr2) x VI
abcda
или, принимая во внимание равенство (3.141),
§ dr Ф = (dS X V) ф-
abcda
(3.142)
Составляя такие равенства для всех элементарных ячеек, на кото-
рые разбита рассматриваемая поверхность F отмеченной выше сеткой
кривых, просуммируем их почленно.
При этом примем во внимание, что
для каждой пары соседних ячеек раз-
деляющая их сторона при вычислении
циркуляций для каждой ячейки в от-
дельности будет проходиться дважды
в двух противоположных направле-
ниях (рис. 39). Вследствие этого ре-
зультаты подсчетов значений течения
тензора Ф для этой общей стороны
будут отличаться лишь знаками и при
суммировании циркуляций для двух
смежных ячеек сократятся. Останется циркуляция только по общему
охватывающему эти две ячейки внешнему контуру. Очевидно, что при
суммировании циркуляций для всех примыкающих друг к другу ячеек
в результате указанных сокращений получится лишь циркуляция по
общей охватывающей их всех границе.
Таким образом, при указанном суммировании левые части равенств
типа (3.142) дадут в пределе циркуляцию по всему внешнему гранич-
ному контуру L, а правые — поверхностный интеграл, распространенный
на всю площадь S рассматриваемой поверхности. В результате возни-
кает равенство
&dr • Ф = J (dS X V) • ф. (3.143)
L S
152
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
позволяющее заменить интегрирование указанного здесь выражения по
поверхности интегрированием по ее граничному контуру и наоборот.
Это равенство представляет собой так называемую формулу Стокса.
В ней выражение dS X V следует рассматривать как некоторый вектор-
ный дифференциальный оператор, получающийся в результате формаль-
ного выполнения векторного умножения элементарного вектора dS на
условный вектор V- Этот оператор, как следует из данного равенства,
необходимо скалярно умножить слева на тензор Ф, выполняя одновре-
менно над ним дифференцирование, требуемое символом V-
Формула (3.143) преобразования криволинейного интеграла в по-
верхностный формально получается^путем замены в его подынтегральном
выражении вектора dr на вектор dS X V и распространения интеграла
на поверхность, опирающуюся на замкнутый контур криволинейного
интеграла. Можно несколько видоизменить правую часть формулы (3.143)
на основе следующих соображений.
Легко показать, что установленная ранее допустимость перестав-
ления знаков скалярного и векторного умножения в смешанном ска-
лярно-векторном произведении трех ве торов [abc] остается справедли-
вой также в том случае, когда один из крайних в этом произведении
векторов, а или с, заменяется тензором1.
На этом основании предыдущая формула может быть представлена
также следующим образом:
$>dl • Ф = §dS • (V X Ф). (3.144)
L S
В декартовых координатах это равенство для случая, когда вместо
тензора Ф фигурирует вектор и, получает такой вид:
$ (ujx + Uudy -J- u2dz) = J J dydz 4- g dzdx +
L s
(3145>
1 Действительно, в случае смешанного скалярно-векторного произведения трех
векторов, а, b и с, можем составить равенство
а • (Ь х с) = (а х Ь) - с.
Умножая обе части данного равенства псевдоскалярных величин на вектор d, мы смо-
жем представить возникающий при этом результат следующим образом:
а [6 х (cd) | = (а х b) (cd),
где cd — диада.
Введем три диады, cid1( c»d2 и c3d3, составим для каждой из них равенства пре-
дыдущего типа с одинаковыми множителями а и Ь и затем просуммируем эти равенства
почленно. В итоге, если ввести обозначение
Ф = Cidi c2d2 "I- с d^,
возникает формула
а - (Ь X Ф) = (а х Ь) • Ф,
где Ф — тензор двукратной валентности. Очевидно, этот результат можно распростра-
нить на тензоры любой валентности. Также можно показать справедливость равенства
Ф - (а >: Ь) — (Ф X а) Ь,
которое формально получается из предыдущего в результате циклической перестановки
сомножителей- Члены этой зависимости, понятно^ не равны предыдущим. Однако даль-
нейшая перестановка сомножителей и перемещение тензора Ф на среднее место в этих
смешанных произведениях недопустима.
Определение потенциала заданного тензора
153
Аналогичный вид в том же случае оно имеет в произвольной системе
координат:
фм** = J J ^-d^dx"'dxn- <3-146)
Если вся рассматриваемая поверхность F совмещается с координат-
ной плоскостью (х, у), равенство (3.145) обращается в следующее:
j (uxdx + uydy)= J J dxdy. (3.147)
L
Данное равенство представляет собой так называемую формулу
Грина.
2. Обобщение формулы Стокса.
а) Пусть в равенстве (3.143) тензор Ф имеет вид диадного произ-
ведения единичного тензора I на тензор Ч’, валентность которого, по-
нятно, на две единицы меньше валентности тензора Ф:
Ф = /Ч’.
$
Тогда из указанного равенства непосредственно находим-, что
dlM' = JdS х V'F (3.148)
s
Эта формула отличается от исходной тем, что вместо скалярных
произведений в подынтегральных выражениях здесь имеются диадные
произведения.
б) Примем, что в равенстве (3.143) тензор Ф выражается через
тензор Ч' следующим образом:
Ф = I > Ч‘
Очевидно, тензор Ф здесь может иметь валентность не меньше
двукратной, а тензор Ч’ должен иметь валентность на единицу мень-
шей кратности. После подстановки этого значения тензора Ф в фор-
мулу (3.143) получим, что
L
х ф = J (dS х v) X Ф.
s
(3.149)
Отличается это равенство от исходного тем, что в нем вместо зна-
ков скалярного умножения проставлены знаки векторных умножений.
в) Объединяя последние два результата с исходным равенством
(3.143), мы сможем их представить общей формулой
§dl*& = J(dS х \7)*Ф- (3.150)
l s
где * — по-прежнему знак любого из трех видов умножения, а Ф —
тензор любой валентности, допускаемой соответствующим видом умно-
жения.
§ 53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ЗАДАННОГО ТЕНЗОРА
1. Случай односвязной области. Рассмотрим вопрос об определи-
мости заданным тензором его потенциала для односвязной области.
Проведем внутри области задания тензора Ф через две точки А и В две
154
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
спрямляемые кривые АтВ и АпВ (рис. 36), образующие вместе замкну-
тый контур S. Примем, что тензор Ф удовлетворяет условию интегри-
руемости (3.139) и, следовательно, имеет потенциал, градиентом кото-
рого он является. Между тензором1 Ф и его потенциалом 'Г вследствие
этого будет иметь место связь, представляемая равенством (3.137).
Определяя циркуляцию тензора Ф по указанному замкнутому кон-
туру L, мы сможем составить следующее равенство:
§dl • ® = JdS -(V ХФ), (3.151)
L S
представляющее собой формулу Стокса в форме (3.144). В правой части
этого равенства мы имеем интеграл, распространенный на площадь S
любой непрерывной кусочно-гладкой поверхности, проведенной целиком
внутри данной области и опирающейся на указанный замкнутый контур.
Очевидно, внутри односвязной области такую поверхность через рас-
положенный внутри ее замкнутый контур всегда можно провести.
Тогда, так как тензор Ф внутри рассматриваемой области всюду
удовлетворяет условию интегрируемости (3.139), правая часть приведен-
ной формулы Стокса, составленной для контура АтВпА, исчезнет и в
результате мы получим, что в данном случае
ф dl • Ф = 0.
АтВпА
Разделяя замкнутый контур интегрирования снова на два участка
АтВ и АпВ, мы из данного равенства найдем, что
J dl Ф = — J dl • Ф = J dl • Ф.
(АтВ) (ВпА) (АпВ)
Таким образом, течение тензора вдоль разных спрямляемых кривых,
проведенных между двумя точками внутри односвязной области, не за-
висит от вида этих кривых. Если теперь примем во внимание возмож-
ность использования представления (3.137), то получим, что
J dl • Ф = — ЧР-Л,
(АтВ)
где *1’в и 'Гд—значения потенциала функции Ф в концевых точках В и
А пути интегрирования.
Пусть точка А неподвижна, а точка В может занимать любое по-
ложение внутри области задания тензора Ф. Тогда тензор 'FB будет
являться функцией переменной точки В и значение его, которое в этом
случае можно обозначить просто через 'Г, будет определяться послед-
ним равенством с точностью до постоянного значения его в точке А,
которое может быть выбрано произвольно. Это позволяет нам составить
такую'формулу:
Ф = J dl • Ф + const, (3.152)
где интеграл показан неопределенным, поскольку положение начальной
точки несущественно, а конечная точка произвольна.
Заданием тензора Ф для односвязной области потенциал его опре-
деляется с точностью до произвольной постоянной интегрирования.
Определение потенциала заданного тензора
155
2. Случай многосвязной области. Примем во внимание, что в много
связной области существуют замкнутые контуры, через которые не-
возможно провести непрерывные поверхности, полностью располагаю-
щиеся в этой области. Таковыми являются контуры охватывающие
сквозные или кольцевые внутренние полости, не принадлежащие области
(рис. 35). В этих случаях оказывается невозможным непосредственно
воспользоваться уравнением (3.151) для определения циркуляции, так
как на поверхности, опирающейся на замкнутый контур интегрирования,
в той ее части, где она выходит из границ области, интегрируемая
ротация тензора не будет определена.
Проведя, однако, вокруг внутренней сквоз-
ной полости М (рис. 40) замкнутый контур
abcdefa так, как показано на рисунке, мы
сможем составить для него уравнение
ф dl - Ф = 0,
(abcdefa)
поскольку поверхность, опирающаяся на дан-
ный контур, будет полностью располагаться в Рис. 40.
области удовлетворяющего условию интегри-
руемости тензора Ф. Неограниченно сближая участки fa и cd контура,
мы легко заключим, что величины течения тензора Ф на них, входящие
в предыдущее уравнение циркуляции, в пределе взаимно сократятся.
В результате в левой части уравнения мы получим сумму двух цирку-
ляций по двум самостоятельным контурам, abc и fed, проходимым в
противоположных направлениях и охватывающим внутреннюю полость М
области. Отсюда будет следовать равенство
$ dl • Ф = — dl • Ф = ф dl • Ф.
abc det fed
Таким образом, вместо аннулирования циркуляции, как это имеет
место в односвязной области, мы здесь находим лишь, что все цирку-
ляции по замкнутым контурам, проведенным
вокруг одной и той же сквозной или коль-
цевой внутренней полости многосвязной об-
ласти, равны между собой. Поэтому значения
таких циркуляций мы можем только принять
постоянными:
dl • Ф = const.
abc
Рис. 41. Эти значения для эквивалентных между
собой замкнутых контуров, вообще говоря, бу-
дут разными и называются они циклическими постоянными. Представ-
ляют они собой тензоры, валентности которых на единицу меньше валент-
ности тензора Ф, и определены они только из задания этого последнего
быть не могут.
Обозначим через С( значение циклической постоянной для ка-
кой-нибудь i-й связности сверх первой. Тогда значение Ф потенциала
в некоторой точке К изменится на +«С„ если, исходя из этой точки,
совершить в том или другом направлении п раз обход вокруг соответ-
ствующей этой связности внутренней полости и снова прийти в точку
К (рис. 41). Обращая многосвязную область в односвязную путем про-
156
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
ведения барьерных сечений, можно устранить указанную циклическую
многозначность. Но многозначность, обусловленная постоянной интегри-
рования, при этом не исчезает.
Значение потенциала для т раз многосвязной области, таким обра-
зом, может быть представлено формулой
Ф = J dl • Ф + V п.с. -|_ const.
1=2
(3.153)
Задание тензора Ф для многосвязной области определяет его потен-
циал с точностью до произвольной постоянной интегрирования и цикли-
ческих постоянных, обусловленных многосвязностью этой области.
§ 54. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
1. Интегрирование вектора. Пусть f является непрерывной скаляр-
ной функцией точки в некоторой непрерывной замкнутой области, огра-
ниченной кусочно-гладкой поверхностью, и пусть эта функция имеет в
данной области непрерывный градиент.
Предположим сначала, что любая прямая, проведенная в указанной
области параллельно направлению, определяемому единичным вектором е,
встречает ее граничную поверхность только два раза. Выбрав одну из
таких прямых, встречающую эту поверхность в точках а и b (рис. 42),
во внимание, что при перемещении вдоль указанной прямой на
бесконечно малое расстояние dx функция f
получает элементарное приращение dxe-^f).
Тогда при интегрировании этого выражения
по всей прямой ab мы найдем, что
J dxe • (Vf) =fb — fa,
(a—b)
где fb и fa — значения функции f соответст-
венно в точках b и а.
Построим далее вокруг прямой ab па-
раллельную ей трубку с весьма малым по-
перечным сечением dS, и элементарные век-
этой трубки, направленные наружу от огра-
ничиваемого данными площадками объема,
примем
торы крайних площадок
обозначим, в соответствии
с обозначениями концевых точек прямой
этом будет иметь место равенство
ab, через dSa и dSb. При
dS = dSb • е = —dSa • е.
Если мы теперь умножим обе части предыдущей зависимости на dS,
то при учете последнего соотношения сможем представить ее в таком
виде:
dS J dxe (Vf) = (fbd$b + fcdSa)' e-
<a—b>
Просуммируем затем почленно такие равенства, составленные для
всех трубок, параллельных данной, которыми можно заполнить всю
рассматриваемую область функции /, причем введем обозначение dV
для элемента объема dSdx. В левой части такого суммарного равенства
мы при этом получим интеграл, распространенный на объем V области,
Формула Остроградского
157
а в правой — интеграл по всей площади F граничной ее поверхности.
Результат этого вычисления можно представить следующим образом:
JdVe.(Vf)=$A*S-e,
V S
где dS — внешне направленный элемент граничной поверхности, a f в
правой части равенства — значение функции f на той же поверхности.
Объединив здесь скалярную функцию f с постоянным вектором е, мы
получим, что
dVV(M=$dS.(fe),
и "
(3.154)
постоянного
здесь необя-
как вектор
вектора е
s
где выражение (fe) можно рассматривать
направления. Очевидно, условие единичности
зательно.
Также необязательно ограничение, за-
ключающееся в том, что прямые, параллель-
ные заданному направлению, должны встре-
чать граничную поверхность только в двух
точках.
Действительно, пусть область имеет,
например, вид, показанный на рис. 43 а
или б, так что линии, параллельные задан-
ному направлению е, могут встречать гранич-
ную поверхность более чем в двух точках.
Разобьем эту область сечениями на такие части (эти сечения показаны
пунктиром), чтобы указанная встреча прямых с границей каждой части
происходила только в двух точках. Составим для каждой такой части
свое уравнение (3.154) и просуммируем их почленно. Тогда в левой ча-
сти суммарного равенства интеграл окажется распространенным на весь
объем области, а в правой — интеграл, распространенный на все гранич-
ные поверхности области (внешнюю и внутренние), поскольку интегралы,
относящиеся к проведенным указанным образом сечениям, проходимым
дважды при взаимно-противоположных по направлениям векторов эле
ментарных площадок, сократятся. Векторный элемент dS во всех слу-
чаях имеет направление, внешнее относительно рассматриваемой области.
Исходя из этих представлений, составим по типу равенства (3.154)
три уравнения для трех скалярных функций и1, и2 и и3, являющихся
соответственно множителями при трех постоянных некомпланарных
векторах п1, аг и а3 взамен вектора е и просуммируем почленно эти
равенства. Если при этом ввести обозначение
и — и1а1 + и2а, + н3а3,
то в результате получится зависимость такого вида:
Jdl/V • и = §dS • и.
v s
Здесь и — вектор-функция точки для замкнутой области интегрирования,
удовлетворяющая, понятно, требованиям существования указанных
интегралов. Данное равенство является формулой преобразования инте-
гралов по объему в интегралы по поверхности, или наоборот и пред-
ставляет собой так называемую формулу Остроградского.
(3.155)
158
Некоторые вопросы векторного н тензорного анализа
В декартовых координатах она будет иметь следующий вид:
Jf J (1? +17 + Sr) dxdydz = (uxdydz + uydzdx + uzdxdy) =
*V S
= ф [ux cos(n, x) + uy cos(n, y) + uz cos (n, z)] dS. (3.156}
s
Здесь ux, uy v. uz — координатные компоненты вектора и, а (п, х)
(п, у) и (n, z) — углы между внешней нормалью к граничной поверхно-
сти и осями координат.
В случае использования произвольных координат равенство (3.155)
может быть представлено следующим образом:
f ("J — fof~ dx*dx2dx3 = fy^Vg (uWdx3 + u2dx3dxJ + u3dxMx2) (3.157)
v V $
2. Обобщение формулы Остроградского.
а) Формулу (3.155), составленную для вектора и, можно распро-
странить также на тензор с любой кратностью валентности.
Действительно, примем во внимание, что, например, любой тензор Ф
двукратной валентности может быть представлен в трехчленной форме
Ф = игЬх + и2Ь2 + и3Ь3,
где и1, и2 и и3 — три переменных, a blt b2 и Ь3— три постоянных не-
компланарных вектора.
Составляя, ввиду этого, равенства вида (3.155) для каждого из
трех векторов и1, и2, и3, диадно умножим справа обе части каждого
такого равенства соответственно на постоянные векторы Ьг, b2 и Ь3 и
почленно сложим их. В результате у нас возникнет аналогичная зави-
симость для тензора Ф,
-Ф- (3.158)
V S
Очевидно, таким же способом можно эту формулу распространить
на тензор, имеющий валентность любой кратности.
б) Пусть тензор Ф имеет вид
Ф = 7Ф,
где Ф — тензорная функция любой валентности, а/ — единичный тензор.
Тогда зависимость (3.158) нас приведет к равенству
J dVv'F= § dSV, (3.159)
V s
где вместо скалярного умножения под знаком интеграла фигурирует диад-
ное умножение.
Последняя формула справедлива также в том случае, когда 'Г
представляет собой скалярную функцию.
в) Придадим теперь тензору Ф, входящему в уравнение (3.158), вид
векторного произведения
Ф = 7 X Ф,
где Ф — тензор однократной или более высокой валентности. В этом
случае равенство (3.158) получает следующий вид:
fdVV X Ф=$<7$ х Ф. (3.160>
V S
Некоторые теоремы теории потенциала
159
г) Объединяя все полученные результаты, мы сможем составить
такую общую формулу:
pVV*$=$dS*®, (3-161)
V S
где * — снова знак любого из трех видов умножения, диадного, скаляр-
ного или векторного, а Ф — тензор любой валентности, допускаемой
соответствующим умножением.
Заметим еще, что подынтегральное выражение в этом равенстве
формально получается путем замены множителя dVv в выражении
объемного интеграла на множитель dS в поверхностном и наоборот.
Очевидно также, эти множители могут быть одновременно, как левыми,
так и правыми.
§ 55. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
1. Формулы Грина. Используя формулу (3.159) Остроградского*
примем, что
O = (VlF)t7,
где W и U — два тензора, однозначные и непрерывные вместе со свои-
ми градиентами первого и второго порядка в некоторой замкнутой обла-
сти. Так как
V • UVBW = (AW + (№V) • (V0.
то из указанной формулы Остроградского получаем такую зависимость;
JdV(AlF)(7 +pF (IFV) • (Vi/)= pS - (yW)U. (3.162)
V V s
Если здесь поменять местами W и U вычесть почленно получающее-
ся при этом равенство из данного, то найдем, что
JdV[(AIF)t/—(Д£/)Н7]+ (dV[(IFV). (Vi/)—((/V) (V«7)]=pS-[(vU7)t/-
v V s
-(VW (3.163)
Если тензор WU симметричен относительно двух сомножителей
т. е., если WU — UW, то второй интеграл левой части данного равен-
ства исчезает и тогда возникает формула
рЕ[(ДК7)£/_(Д(/)й7] = §dS [(\7W)U— (VW). (3-164)
V s
Если два тензора, IF и U, равны друг другу, то зависимость (3.162)
приводит нас к равенству
J dV (ДIF) w+ J dV(IFV) • (V^) = ф dS • (yW)W. (3.165)
V V s
Формулы (3.162), (3.164) и (3.165) были получены Грином для слу-
чая, когда обе функции, 17 и IF, являются скалярными. Здесь же мы
имеем распространение этих формул на случай тензорных функций.
Можно показать, что выведенные равенства остаются справедливы-
ми, помимо ограниченных областей, также для областей, простирающих-
ся в бесконечность, если только скалярные значения каждого из ком-
160
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
понентов тензоров и и w для любой точки, удаляющейся в бесконечность,
подчиняются, начиная с некоторого расстояния, условиям
|ф|<^ <ЗЛ66>
где Ф — скалярное значение любого из компонентов тензора U или W,
дФ
— производная этого значения компонента по прямолинейному на-
правлению I, А — постоянное ограниченное положительное число, и
R—расстояние от неподвижной точки, находящейся в пределах наблю-
дения, до точки неограниченно удаляющейся. Тензоры, удовлетворяющие
этим условиям, называются регулярными на бесконечности.
Для доказательства этого утверждения введем в рассмотрение 7ак
называемый телесный угол, под которым понимается часть простран-
ства, ограниченная боковой поверхностью конуса, находящейся по одну
сторону от его вершины. Мерой этого угла является площадь на поверх-
ности сферы единичного радиуса, вырезанная боковой поверхностью ко-
нуса, вершина которого находится в центре сферы. При этом элементарная
площадка dS на сфере радиуса R может быть определена равенством
dS — R2du, где dw — телесный угол, под которым видна площадка dF
из центра сферы. Полный телесный угол вокруг точки будет, следова-
тельно, измеряться числом 4к.
Обращаясь к доказательству справедливости формул (3.162) — (3.165)
для области, простирающейся в бесконечность, поступим следующим
образом. Проведем в этой области сферу радиуса R, охватывающую
все внутренние границы. Тогда для каждого компонента тензора,
представляемого распространенным на поверхность F# этой сферы
поверхностным интегралом равенства (3.162), получим, при выполне-
нии условия (3.166), что
lim I скалярное значение любого Д d$ . (vU7) у I < пт±£ dco =
я-*о| компонента тензора J | «-о R
= lim 4л Д2 _ п
«-о #
Таким образом, в формуле (3.162), составленной для простирающей-
ся в бесконечность области, сохраняются только интегралы, распро-
страненные на внутренние границы и, следовательно, сама формула сохра-
няет при выполнении условий (3.166) свой смысл также и для этой
области. Поэтому будут справедливы в этом случае и формулы (3.163)—
(3.165), поскольку входящие в них поверхностные интегралы составле-
ны из интегралов того же типа.
2. Теорема единственности. Докажем следующую теорему. Веще-
свенный тензор W, для определения которого в рассматриваемой области
заданы его левые дивергенция и ротация, V • W и V X а на грани-
це— значение скалярного произведения на него слева .единичного вектора
нормали п к граничной поверхности п • W, этими данными определяет-
ся единственным образом.
Для доказательства предположим, что указанным данным удовлет-
воряют два тензора и W2. Тогда для тензора
^0=^-1^
во всей рассматриваемой области будут иметь место равенства
V • Wo = 0; V X Wo = 0,
Некоторые теоремы теории потенциала
161
а на граничной поверхности — равенство п- К7о = О. Указанное условие
обращения в нуль ротации тензора Wo будет тождественно выполнять-
ся, если этот последний явится градиентом некоторого другого тензора [7:
U70 = VI/.
Но в таком случае из условия равенства нулю дивергенции тензо-
ра IVo будет следовать, что тензор 0 является гармоническим,
ДС/ = О,
а из условия на границе — что он на этой границе удовлетворяет
требованию
п . \jU = 0.
При этих обстоятельствах формула (3.165), которую можно соста-
вить в данном случае для тензора U, приведет нас к равенству
f dV (C/V) • (W = 0. (3.167)
v
Для выяснения условий выполнения этого требования примем во
внимание, что если тензор U имеет n-кратную валентность, то подынтег-
ральное выражение ((/V) • (V^) будет представлять собой тензор 2и-крат-
ной валентности, скалярные значения компонентов которого будут в
декартовой системе координат представляться выражениями двух типов,
AW , (дМ\2 , (дМ\2 dMdN dMdN .dMdN
\дх ) \ду / ' \ dz ) И дх дх' дуду ' дг дг ’
где М и N — скалярные выражения любых компонентов тензора U.
Согласно требованию (3.167), все объемные интегралы от каждой такой
суммы, взятые по всему объему, должны аннулироваться самостоятель-
но. Очевидно, интегралы от выражений первого типа будут при веще-
ственности тензора U аннулироваться в том случае, если для каждого
его компонента будет выполняться условие
_ дМ _ дМ = п
дх ~ ду ~ дг
При этом аннулируются также и интегралы от выражений второ-
го типа.
Аннулирование же первых производных от компонентов тензора U
означает, иными словами, обращение в нуль его градиента,
w = o,
а при этом мы находим, что 1Го = 0 и, следовательно, что
№2 =
Этим доказывается приведенная выше теорема единственности.
Поскольку формула (3.165), при помощи которой доказывается данная
теорема, сохраняет свое значение при выполнении условий (3.166) также
для области, простирающейся в бесконечность, теорема единственности
будет справедлива при тех же условиях и для такой области.
3. Фундаментальная формула. Из некоторой фиксированной точки
так называемого полюса, расположенного вне области определения тен-
зора W, будем проводить радиус ч в любую другую точку рассматри-
11 ВИ Блох
162
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
ваемой области или ее границы. Для этой текущей точки введем в рас-
смотрение скалярную функцию U — — , которую отождествим с функ-
цией U в формуле Грина (3.164). Имея в виду, что функция U в этом
случае будет гармонической во всей указанной области (см. (3.64), мы
из отмеченной формулы Грина получим следующую зависимость:
д— \
— W-^- dS,
дп )
V S
l_dW
ч дп
(3.168)
где — знак производной в направлении внешней по отношению к рас-
сматриваемой области нормали, проведенной к граничной поверхности,
a dS — скалярное значение элемента этой поверх-
ности.
При переносе полюса функции — внутрь
рассматриваемой области проведем вокруг полю-
са сферу радиуса р и эту сферу отнесем так-
же к границам области (рис. 44). Обозначая
объем и площадь поверхности этой сферы соот-
ветственно через V и Sp, мы для той же об-
ласти, но с исключенным участком внутри сфе-
ры 5Р, можно равенство (3.168) представить
следующим образом:
[ ^dV = (£1-^ —dS — £11^ — (3.169)
J ч у, \ ч дп дп ] Л X Р др др / ' '
К-Кр 3 3
Здесь перед последним интегралом поставлен знак минус вследствие
того, что дифференцирование в нем по р означает для точек сферы ГР
дифференцирование в направлении, обратном направлению внешней нор-
мали по отношению к рассматриваемому объему V — V?.
Используя представление о телесном угле, обозначаемом через ш,
определим предельное значение интеграла, распространенного на поверх-
ность Sp сферы, которое получается при стягивании этой сферы к центру.
Для двух слагаемых, на которые разбивается данный интеграл, мы по-
тупим
£ 1 dW .Q ,. CdW , n
lim Ф — -з-dS = limрФу- dm = 0;
p-.o ? P dp p-о ? dp
K *p *p
dl
lim W -4- dS = —lim Wdo> — —4ttU7p,
p-° зр p p-°3p
где Wp — значение тензора W в полюсе, совпадающем с центром стяги-
ваемой к нему сферы.
Для определения предельного значения объемного интеграла, входя-
щего в формулу (3.169), примем во внимание, что элементарный объем,
ограниченный боковой поверхностью конуса с телесным углом do> ко-
Некоторые вопросы теории потенциала
163
нусности и двумя сферическими поверхностями радиусов ч и чф Л,
имеющими общий центр в вершине конуса, может быть с точностью до
величин высшего порядка малости представлен равенством dV = 42d4dw.
В этом случае подынтегральное выражение в первом интеграле равен-
ства (3.169) получает вид и, таким образом, лишается неогра-
ниченно возрастающего множителя в полюсе. Вследствие этого мы можем
принять, что имеет место следующий предельный переход:
lim f — dV = I — dV.
-°ЛРЧ J 4
Таким образом, в пределе формула (3.169) обращается в следующую
= <3170’
V S
Если полюс находится на границе области в точке, где имеется ка-
сательная плоскость (рис. 45), то, проведя в области вокруг полюса
участок сферы радиуса р и уменьшая р
до нуля, мы на основе аналогичных сооб-
ражений, вместо значения —4~1ГР послед-
него члена в равенстве (3.169) получим
значение —2~1ГР. Соответствующим обра-
зом для угловой точки граничной поверх-
Рис. 45.
ности, имеющей касательный конус с те-
лесным углом о), значение этого последнего члена получится равным —со 17Р.
. Объединяя найденные результаты, представленные равенствами (3.168)
и (3.170), и учитывая последние замечания, мы приходим к следующей
общей формуле:
vs s
4тН7Р если полюс внутри V;
о)1Ер если полюс на гранич-
ной поверхности;
0 если полюс вне V.
(3.171)
Эта фундаментальная формула Грина позволяет вычислять значения
функции W для любой точки внутри некоторого объема V, ограниченного
кусочно-гладкой поверхностью F, если для нее заданы значения А17
внутри области, причем эти значения должны быть непрерывными, и
заданы значения W и на границе области, непрерывные или кусоч-
но-непрерывные на этой границе.
Данная формула справедлива также для области, простирающейся
в бесконечность, если функция W при удалении точки аргумента на
бесконечность удовлетворяет условиям (3.166). Функция —, входящая в
эту формулу, указанным условиям удовлетворяет.
Если полюс функции -^- находится вне области или на границе,
данная формула устанавливает связь, которая должна существовать <1еж-
ду задаваемыми величинами.
11*
164
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Принимая во внимание, что потенциал электрического заряда т,
„ т
сосредоточенного в некоторой точке, определяется выражением —, где
ч — расстояние этой точки до любой другой, в которой определяется
потенциал, мы можем, если W—скаляр, рассматривать первый интеграл
левой части формулы (3.169) как объемный потенциал заряда, имеющего
плотность Д17 и занимающего объем V, второй интеграл — как потен-
3W
циал простого слоя, имеющего плотность и занимающего поверхность
S, и, наконец, третий интеграл — как потенциал двойного слоя с плот-
ностью момента W, занимающего ту же поверхность S.
Формула (3.169), однако, как следует из ее вывода, справедлива
также и в том случае, когда функция W является тензорной.
§ 56. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ
Будем рассматривать поле тензора Ф при условии,.что нам известны
граничные значения произведения п • Ф, где п — единичная нормаль к
поверхности, и что для внутренних точек выполняются равенства
V . ф = ф;
V х Ф = 0,
причем значения тензора ’Г нам известны.
Последнее из указанных равенств будет всегда тождественно выпол-
няться, если мы примем, что
Ф = W.
где W — тензор, валентность которого на единицу меньше валентности Ф.
Тогда из предпоследнего условия мы найдем, что тензор W 'должен
удовлетворять дифференциальной зависимости
Д№ = Ф (3.172)
— так называемому уравнению Пуассона. На границе области при этом
окажутся известными значения нормальной производной функции П7.
Если воспользоваться затем формулой (3.162) Грина и принять,
что в ней U = const #= 0, то мы получим такое равенство:
J dVbW = §dS- (\7W). (3.173)
V s
To же можно получить и непосредственно из формулы (3.158) Остро-
градского, если в ней сделать Ф = V^7-
Следует тут же отметить, что функция U для случая U — const ¥= О
не является регулярной на бесконечности, и потому формула (3.173)
имеет непосредственное отношение лишь к ограниченной области. Это ра-
венство показывает, что значения Ди/ и не могут быть задаваемы не-
зависимо друг от друга.
Гармонические тензоры
165
Полагая, например, что в рассматриваемой области ДЦ7 = С, где
С — постоянный тензор той же валентности, что и W, мы из формулы
(3.173) найдем, что
ф dS (V№) = CV, (3.174)
s
где V — объем, ограниченный поверхностью F.
Рассмотрим случай, когда С = 0. Функция W в рассматриваемой
области при этом будет гармонической, и равенство (3.174) обратится
в следующее:
^dS = O. (3.175)
s
Оно будет представлять условие, которому должна удовлетворять
нормальная производная гармонического тензора W на граничной поверх-
ности ограниченной области.
Обратимся к формуле (3.165). Если тензор W, входящий в нее, является
гармоническим, то эта формула получает такой вид:
J (W) (S7W)dV = §d^WdS. (3.176)
Исходя из двух последних равенств, можно сделать ряд заключе-
ний о свойствах гармонического тензора. Рассмотрим некоторые из них.
а) Тензор, гармонический во всем пространстве и регулярный на
бесконечности, тождественно равен нулю.
Действительно, для такого тензора W мы из формулы (3.176) полу-
чаем равенство
J (W) • (V^) dV = 0, (3.177)
v
совпадающее с формулой (3.161), в отношении которой было выяснено,
что это требование приводит к равенству
V№ = 0.
Но в таком случае тензор W должен быть постоянным во всем про-
странстве, и так как он должен, вследствие регулярности на бесконеч-
ности, аннулироваться в бесконечно удаленной точке, то он будет равен
нулю во всем пространстве.
б) Если гармонический в ограниченной области тензор на всех гра-
ничных поверхностях имеет постоянные значения, одинаковые между
собой, то он постоянен во всей области.
Действительно, в случае постоянства тензора W на границах области,
не распространяющейся в бесконечность, мы из равенства (3.176) при
наличии условия (3.175) приходим к формуле (3.177), которая при-
водит нас к аннулированию градиента этого тензора в своей области.
При этом тензор W оказывается всюду в этой области постоянным и
при его непрерывности вплоть до границы принимает граничное значение.
в) Если тензор, гармонический в некоторой области, с несколькими
граничными замкнутыми поверхностями имеет на каждой такой поверх-
ности постоянные значения, не равные между собой, то этот тензор не
может быть постоянным в области.
166
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Это утверждение следует хотя бы из того, что при переходе от одной
граничной поверхности к другой, имеющей отличное от первой гранич-
ное значение тензора, этот последний, при своей непрерывности вплоть
до границы, должен каким-то образом изменяться от одного граничного
значения к другому. Очевидно, данное утверждение справедливо как
для конечных областей, так и для простирающихся в бесконечность.
г) Следствием отмеченных свойств является очевидное заключение
о том, что для области, ограниченной лишь снаружи замкнутой поверх-
ностью, последняя не может являться одновременно поверхностью уровня
гармонического тензора, если он не постоянен всюду в области.
Наоборот, если область ограничена такой поверхностью изнутри или
кроме наружной граничной поверхности имеет также не связанные с
ней внутренние, то эти поверхности могут быть одновременно также по-
верхности ми уровня.
д) Не существует нескольких различных гармонических тензоров,
прин”мающих на границах одной и той же области одинаковые значения.
Действительно, если предположить, что имеются два тензора U’j и
IV2, принимающие на границах одной и той же области одинаковые зна-
чения, то тензор ПД = IF,— ИД будет иметь на этих границах всюду
нулевые значения. В этом случае, согласно свойству б), он будет всюду
в ограниченной области постоянен и равен нулю. То же самое будет
иметь место на основании свойства а) и в области, простирающейся в
бесконечность, если рассматриваемые тензоры регулярны на этой бес-
конечной протяженности. Вследствие этого заключаем, что во всех таких
случаях должно выполняться условие
ИД = W±.
е) Если на граничных поверхностях нормальная производная гар-
монического тензора обращается в нуль, то этот тензор постоянен во
всей конечной области и равен нулю в области, простирающейся в бес-
конечность, если он регулярен на этой бесконечной протяженности.
Такое заключение следует из того, что при равенстве нулю гранич-
ных нормальных производных гармонического тензора формула (3.176)
принимает вид равенства (3.177), из которого следует обращение в нуль
градиента тензора во всей области и, таким образом, постоянство са-
мого тензора в этой области. В случае области, простирающейся в бес-
конечность, и регулярности тензора на этой бесконечной протяженности
последнее обстоятельство требует обращения в нуль этого постоянного
значения.
ж) Гармонические тензоры, имеющие на границах одной и той у е
конечной области одинаковые нормальные производные, могут отличаться
друг от друга лишь на постоянные слагаемые.
В области же, простирающейся в бесконечность, не существует
нескольких различных гармонических тензоров, регулярных на этой
бесконечной протяженности и имеющих на границах одинаковые нор-
мальные производные.
Действительно, если два гармонических тензора, IF1( и ИД, имеют на
границах одной и той же конечной области одинаковые нормальные
производные, то тензор ИД = IF.2 — ИД будет иметь на этих же границах
всюду нулевое значение нормальных производных. В таком случае,
согласно свойству е), он будет постоянен во всей указанной области и,
следовательно, два тензора ИД и ИД будут отличаться друг от друга на
Гармонические тензоры
167
эту постоянную слагаемую. Для области, простирающейся в бесконеч-
ность, эта постоянная, ввиду регулярности тензоров на такой беско-
нечной протяженности, обращается в нуль и, следовательно, два тензора
U/j и 1Г2, теряют указанное различие.
з) Другие заключения о свойствах гармонического тензора можно
сделать, если воспользоваться фундаментальной формулой Грина (3.171).
Для точек, расположенных внутри области существования гармониче-
ского тензора, она получит такой вид:
$ V ST ds - Р a? dS = 4^р- (3-178>
s s
Непосредственным следствием ее является так называемая теорема
«о среднем»:
начение гармонического тензора во всякой точке, расположенной
вн ' л области его существования, равно интегральному среднему зна-
че.чи; его на любой сфере, имеющей центр в этой точке и расположен-
но целиком внутри указанной области.
Для доказательства этой теоремы построим вокруг интересующей
нас, внутренней для области точки сферу радиуса /?, приняв эту точку
за центр. Тогда, применяя формулу (3.178) к данной сфере, мы прежде
всего заключаем о равенстве нулю первого интеграла. Действительно,
ввиду условия (3.175) имеем, что
3 ч дп Rydn
s s
Но в таком случае формула (3.178) приводит нас непосредственно
к равенству
W?=4^$WdS' (3179)
s
которое и выражает условие указанной теоремы.
и) В заключение заметим еще, что компоненты гармонического тен-
зора не могут принимать экстремальные значения внутри области су-
ществования этого тензора.
Действительно, из равенства (3.179), составленного для гармониче-
ского тензора IF, мы заключаем, что этому же равенству подчиняются
и все компоненты данного тензора. Однако если предположить, что ка-
ков к ибудь из его компонентов в некоторой точке, находящейся внутри
области гармоничности этого тензора, имеет максимальное значение в
сраю -нии со значениями этого компонента в ближайшей окрестности,
то, проводя через эту окрестность сферу, мы найдем, что значения рас-
сматриваемого компонента на такой сфере будут меньше, чем в центре.
Тогда для нее не будет выполняться требование (3.179), что невозможно.
Из этого заключаем, что указанное предположение о максимуме не пра-
вомочно. Так же можно доказать, что не правомочно и предположение
о минимуме. Из всего этого следует, что экстремальные значения для
компонентов гармонического тензора должны находиться в точках, рас-
положенных на границе области.
168
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
§ 57. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
1. Метод решения при помсщи функции Грина. Первой краевой
задачей теории гармонического потенциала или задачей Дирихле назы-
вается задача о нахождении в заданной сбласти гармонического тензора
по известным его значениям на границе этой области.
Не делая пока никаких предположений о гармоничности тензора
IV, воспользуемся фундаментальной формулой (3.171), которая для точки,
расположенной внутри области существования тензора W, представится
равенством
VS s
Обращаясь затем к формуле (3.158), в которой примем, что Uявляется
скалярной гармонической функцией в той же области, придадим ей сле-
дующий вид:
О = - J U (A W) dV + ф V dS - & W dS.
V S S
Если сложить почленно эти две формулы и ввести обозначение
G = - + U,
ч
(3.180)
то получим такое равенство:
4kU7p = — [G(Al^V+(£G?^S—(3.181)
V S S
Предположим затем,
цию U можно подобрать
лось равенство
что гармоническую внутри данной области функ-
так, чтобы на границе этой области выполня-
& - (I+4=°
(3.182)
при условии, что на той же границе нормальная производная функции U
непрерывна.
В этом случае второе слагаемое правой части равенства (3.181) выпа-
дает, и мы получим, что
4к1Ер = — §G(bW)dV — Sw^dS. (3.183)
V s
Скалярная функция G, приводящая к этой формуле, носит название
функции Грина. Выше мы допустили, что такую функцию составить воз-
можно. Доказательством правомочности этого допущения мы здесь зани-
маться не будем и удовлетворимся тем, что для частных случаев, когда
границей области являются неограниченная плоскость или сфера, такие
функции, как увидим далее, могут быть легко построены.
Первая краевая задача теории гармонического потенциала
169
Если тензор W является в данной области гармоническим, то из ра-
венства (3.183) непосредственно следует формула
S
(3.184)
Отсюда заключаем, что для определения гармонического тензора в
заданной области достаточно задание его граничных значений. Однако,
для практического осуществления такого решения необходимо знание еще
функции Грина, вид которой зависит от конфигурации границ области,
но не зависит от вида искомой функции.
2. Функция Грина для полупространства. Пусть
имеем область, ограниченную бесконечной плоско-
стью S (рис. 46), и требуется для заданного поло-
жения полюса Р относительно этой плоскости най-
ти функцию Грина.
Если расстояние от этого полюса до произволь-
ной точки М области обозначить через ч, то функция
Грина, как мы видели, будет иметь вид
Рис. 46.
G = - + U,
ч
где iJ — функция гармоническая во всей рассматриваемой области.
Так* как функция Грина в данном случае должна на граничной
плоскости принимать нулевые значения, то легко сообразить, что все
указанные требования могут быть выполнены, если мы ей придадим вид.
£
Р ’
(3.185)-
где р — расстояние от произвольной точки М до точки Р', симметричной
с точкой Р относительно граничной плоскости. Действительно, функция у
является гармонической в рассматриваемом полупространстве, а при пере-
ходе точки М на граничную плоскость S в какую-нибудь точку /И5,
функция (3.185) аннулируется.
Значение нормальной производной функции Грина на граничной плос-
кости, ввиду одного из равенств (3.64), найдется из следующего выражения:
5G T-7Z-1 ( Г I р \
д— = п • VG = п --------; + Л).
on v \ ч3 1 о3/
Здесь п — единичная нормаль к граничной плоскости, внешняя по
отношению к рассматриваемой области, и г и р — радиусы-векторы, про-
веденные соответственно из точек Р и Р, в точку Ms. Ввиду симметрич-
ного расположения точек Р и Рг относительно граничной плоскости S,
мы можем предыдущее выражение на этой границе представить следую-
щим образом: _
SG _ п - (г — р)
дп ч3 '
Обозначая затем расстояние точки Р от граничной плоскости через Z,
будем иметь, что
г — р = 2Zn,
170
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
вследствие чего выражение
такой окончательный вид:
нормальной производной функции G получит
dG______2Z
дп 4s
(3.186)
3. Интеграл Пуассона. Подставляя полученные выражения для
в равенство (3.184), найдем так называемые интегралы Пуассона, позво-
ляющие решать задачи о значениях гармонического тензора W в обла-
сти, ограниченной плоской или сферической поверхностью, по его значе-
ниям на этих границах.
Для полупространства интеграл Пуассона будет иметь вид
= (3.187)
Для области, ограниченной снаружи сферой радиуса 7?, этот инте-
грал представится следующим образом:
(3-188)
Для области, внешней относительно указанной сферы, он получит вид
a2 — R2
4-.R
S
(3.189)
§ 58. ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
1. Метод решения при помощи функции Грина—Неймана. Под вто-
рой краевой задачей гармонического потенциала или задачей Неймана
понимается задача о нахождении в заданной области гармонического
тензора по известным значениям его нормальной производной на гра-
ничных поверхностях. '
Принимая во внимание отмеченные свойства гармонических тензоров,
мы можем утверждать, что задание граничных значений нормальной
производной таких тензоров определяет их с точностью до постоянной
слагаемой. Сами же граничные значения этой производной, как было
указано, должны удовлетворять условию (3.175). Исходным для решения
второй краевой задачи является равенство (3.181).
Предположим, что функция Грина, входящая в это равенство, ко-
торую мы для отличия от функции Грина обозначим через Н, может быть
построена так, что на граничной поверхности S рассматриваемой области
будет удовлетворять условию
©s = c, (3.190)
где С — постоянная. Функция Н, долженствующая удовлетворять этому
граничному условию, так же как и функция G, имеет в рассматриваемой
области вид суммы
/7 = 1+ 7/, (3.191)
где U — гармоническая в данной области слагаемая. Определенная таким
образом функция Н, позволяющая, как увидим далее на примерах, ре-
Вторая краевая задача теории гармонического потенциала
171
шить вторую краевую задачу теории потенциала, носит название второй
функции Грина или функции Неймана.
Исходя из выражения (3.191), заметим прежде всего, что
и так как гармоническая функция U на границе должна удовлетворять
условию (3.175), то получаем
S S S
где еч — единичный вектор для направления, определяемого радиусом-
вектором г, a dS — направленный элемент граничной
Если из точки Р, являющейся началом отсчета
радиусов ч, проведем конус, опирающийся на
элементарную площадку dS граничной поверх-
ности (рис. 47), то еч dS представит собой
с точностью до величин второго и высшего
порядка малости проекцию площадки dS на
сферу радиуса ч. В таком случае мы можем
принять, что
еч • dS = 42d<£i,
поверхности S.
где dto — телесный угол видимости площадки dS
этого находим, что
§™dS = —<§>dv = — 4~.
из полюса Р. Ввиду
С другой стороны, принимая во внимание условие (3.190), получаем, что
§™dS = C§dS = CS,
где S— площадь всей граничной поверхности. Из сравнения двух
следчих результатов мы можем определить значение постоянней С " из
представления (3.190) получить такое равенство:
1дН\ _ _ 12г
'д/г )<= S
(3.192)
Обращаясь теперь к формуле (3.181), в которой, применительно
к данному случаю, заменим обозначение G на Н, придадим ей, ввиду
равенства (3.192), такой вид:
4кГр = - [ (ДГ) HdV + ™ dS, + у ф WdS.
V S S
Последнее слагаемое правой части этого равенства представляет
собой, очевидно, некоторый постоянный тензор. Легко убедиться в том,
что если W увеличить на некоторое постоянное слагаемое, то это не по-
172
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
влечет за собой изменения первого и второго интеграла правой части
данного равенства. Поэтому если граничные значения самой функции W
не фиксированы, мы сможем предыдущую формулу представить таким
образом:
4kU7p = -J(ДП7) HdV + £ dS + const. (3.193)
V s
Отсюда заключаем, что функция W с непрерывными первыми и вто-
рыми производными в рассматриваемой замкнутой области определяется
по известным значениям своего лапласиана и нормальной производной
на граничной поверхности с точностью до постоянной слагаемой.
Если w является гармоническим тензором в этой области, то фор-
мула (3.193) обращается в такую зависимость:
Wp=±$Hd^dS + const.
" on
(3.194)
2. Функция Неймана для полупространства. Как следует из равен-
ства (3.192), на граничной плоскости полупространства функция Неймана
должна иметь значение
®5 = »- (3.195)
Имея это в виду и сохраняя те же обозначения, какие были исполь-
зованы при нахождении функции Грина в первой краевой задаче для
полупространства (рис. 46), можно показать, что функция Неймана
в данном случае будет иметь вид
// = - + -.
ч р
(3.196)
Действительно, второе слагаемое этого выражения является гармо-
нической функцией в рассматриваемой области; кроме того,
'дН\ _______ . (L. -L _Р_^
дп )s п \ ч3 р3/
Так как две точки, Р и Р1г из которых исходят радиусы-векторы г
и р, расположены симметрично относительно граничной плоскости, то,
в случае, если общая конечная точка М этих радиусов находится на
границе полупространства, будут иметь место равенства
4s = psi
(и • r)s = — (и • р)5
При этом, как следует из предыдущей формулы, будет выполняться
условие (3.195). Значение функции Неймана на граничной плоскости,
согласно формуле (3.196), будет
7/s = -J. (3.197)
4S
Неограниченное поле тензорных функций
173
§ 59. ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Третьей или смешанной краевой задачей гармонического потенциала
называется задача определения гармонического тензора в известной об-
ласти, подчиненного граничному условию
а«7 + р^ = Ф,
r дп '
(3.198)
где Ф — заданная функция, а а и Р — две известные вещественные функ-
ции точки граничной поверхности, имеющие одинаковый знак. Функции
а и 3 на отдельных граничных участках могут принимать (понятно, не
одновременно) также и нулевое значение. В этих случаях на одних участ-
ках границы будут известны значения тензора W, на других — значения
„ „ „ 8W ,
его внешней нормальной производной, , а на третьих — их комби-
нация, определяемая равенством (3.198).
Можно показать, что если существует для определенной области
гармонический тензор W, подчиняющийся на границе этой области усло-
вию (3.198) при известных значениях входящих в него функций а, р и Ф,
из которых аир одного знака, то этот тензор будет единственным.
Действительно, предполагая существование в одной и той же области
двух таких гармонических тензоров и мы должны заключить, что
гармонический тензор Wo = — Wlf будет на границе удовлетворять
условию
aU7o + P^ = 0.
Так как функции а и Р имеют одинаковый знак, то вводя обозначение
72 = у, мы сможем указанное граничное условие представить таким
образом:
= —fU70.
дп 1 °
Составляя затем для тензора W равенство (3.165) и принимая во
внимание это последнее граничное условие, мы получим, что
f (W^oV) • (V^o) dV + UWS = 0.
v s
Так как каждый из фигурирующих здесь интегралов является су-
щественно положительным при вещественности интересующих нас тен-
зоров, то из этого заключаем, что данное равенство оказывается возмож-
ным лишь в том случае, если тензор Wo будет равен нулю всюду внутри
области. При этом W2 = и, таким образом, приведенная выше теорема
единственности для смешанной задачи оправдывается.
§ 60. НЕОГРАНИЧЕННОЕ ПОЛЕ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Пуассоново поле. Пусть имеем поле тензора W, занимающее
сплошь все неограниченное пространство. Для этого поля пусть нам
всюду известно значение тензора Ф, связанного с W уравнением Пуас-
сона,
(3.199)
Д№ = Ф.
174
Некоторые вопросы векторного й тензорного анализа
Поле тензора W, удовлетворяющее этому уравнению, уместно на-
звать Пуассоновым полем.
Очевидно, на участках, где Ф = 0, тензор W будет удовлетворять
уравнению Лапласа.
ДЦ7 = 0
и, следовательно, будет являться гармонической функцией. Поле гар-
монического тензора принято называть лапласовым. Как было отмечено,
неограниченное поле гармонического тензора, регулярного на бесконеч-
ности, имеет всюду для этого тензора нулевое значение.
Q Если искать решение уравнения (3.199) при
Г условии выполнения искомым тензором W требова-
. /Г ний (3.166) регулярности на бесконечности, то исходя
_____Jp из фундаментальной формулы (3.171) Грина для
Гр___случая полюса, расположенного внутри рассматри-
ваемого поля и неограниченно удаляющихся гра-
Рис 48. ничных поверхностей, мы получим равенство
W = — ^j*dV, (3.200)
где W относится к началу отсчетов г, а V охватывает все пространство.
В том, что это выражение действительно является решением уравнения
(3.199), можно убедиться, если найти лапласиан от функции W, пред-
ставленной равенством (3.200). Дифференцирование при нахождении
лапласиана указанного выражения, очевидно, надо выполнять, считая
переменной точку начала отсчетов радиусов г. Вследствие этого посту-
пим следующим образом
Обозначим начальную точку вектора г через Р и конечную через Q
(рис. 48). Соответственно введем обозначения гр и rQ для радиусов-век-
торов, проведенных из некоторой неподвижной точки С в точки Р и Q,
так что
Г = rQ — Гр.
Кроме того, введем обозначения V и V Для оператора V. выполня-
р Q
ющего дифференцирование по переменной точке, соответственно Р или Q.
Тогда получим
Vr = V (г — rp) = \7rQ=P.
Q Q Q
Vr = V (г —Гр) = — \7r= — I,
ppv р
и, следовательно, заключаем, что
Vr = -Vr-
<? р
Так же, если применить операторы V и V к выражению ч2 = г г,
Q Р
можно показать, что
V«=— ~ = еч,
Q Р 4
где еч — единичный вектор, имеющий направление радиуса-вектора г.
Неограниченное попе тензорных функций
175
После этих предварительных замечаний обратимся к равенству
(3.200). Из него находим
vlr = -rJ(Yv)w-
V
Данный интеграл, как можно показать, особенностей в полюсной
точке функции не имеет. Однако, учитывая повторное дифференциро-
вание, выделим вокруг полюса сферу объема V с поверхностью S' и
представим его следующим образом:
V V V—V
Примем затем во внимание, что
а также следующее преобразование, допускаемое формулой (3.159) Остро
градского:
На этих основаниях мы сможем предыдущей зависимости придать
такой вид:
VU7=1£^2_2. [2 (vo)dv-l f (v-Цфлл
v 4лу ч 4л J ч ' 4л J (р ч ]
S' у, V—V
Применяя скалярно ко всем членам этого равенства оператор V ц
имея в виду, что в объеме V — V' имеет место равенство А 2- = 0, по-
лучим
iV--гЛф (у т) •+ Д (у т) <уф)dV-
S’ V'
Так как данная связь должна иметь место при любых величинах
выделенного объема I”, то будем неограниченно уменьшать последний
стягивая его поверхность S’ к полюсу. Тогда, выделяя в элементах
dF и dV телесный угол du> и переходя к пределу, получим
lim f (V —V (\7Ф) dV = — lim f еч • (V Ф) dwdu = 0;
V'-oJ \ Q 4) Q V'-oJ.
V’ V
lim£Фfv~• dS — — lim £ Ф — — = — lim£Ф<7о> = — 4лФ.
S'-Og, \Q 4 I 4 S'-Oj,
На этом основании предыдущее равенство в пределе обращается ц
уравнение (3.195), чем и доказывается справедливость утверждения.
176
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
2. Безвихревое поле. Пусть имеем поле тензора U, распространенное
на все неограниченное пространство, в котором всюду тензор U удов-
летворяет дифференциальным уравнениям
V U = Ф;
VXI/ = O. (3.201)
Последнее из этих уравнений свидетельствует об отсутствии в дан-
ном поле вихрей тензора U. Это уравнение будет тождественно удов-
летворено, если мы примем, что
U = \/\V,
где W — тензор на единицу меньшей кратности валентности, чем U.
Тогда из первого уравнения (3.201) найдем, что тензор W должен в рас-
сматриваемом поле удовлетворять условию
ДГ = Ф.
Мы, таким образом, приходим к Пуассонову полю, рассмотренному
выше. Поэтому
вследствие чего искомый тензор U определится из равенства
с'=-Мт‘,1/=- Я?*'- (з-202)
V V
3. Поле нулевой расходимости. Предположим теперь, что тензор
U также в неограниченном пространстве удовлетворяет уравнениям
V • U = 0;
V х U = Ф, (3.203)
где кратность валентностей тензоров Ф и U одинакова, причем тензор
Ф в рассматриваемом поле удовлетворяет условию V Ф = 0.
Из первого уравнения следует, что расходимость тензора U в дан-
ном поле отсутствует. Это уравнение будет тождественно выполняться,
если принять
и = V х Г.
Тогда из второго уравнения найдем, что тензор Г должен удов-
летворять в рассматриваемом поле условию
V X (V X Г) = Ф,
которое можно представить еще следующим образом:
V2 • Г — ДГ = Ф.
Здесь одно из слагаемых левой части можно отбросить, исходя из таких
соображений. Легко убедиться в том, что уравнение
v . (/v . Г -V№ + V х Ф) = Ф,
Неограниченное поле тензорных функций
177
(где V X Ч? — вполне произвольный дифференцируемый в данном поле
тензор той же валентности, что и остальные слагаемые, заключенные в
скобки) при внесении оператора дивергенции в скобки обращается в
предыдущее уравнение. Но в таком случае, выбрав соответствующим
образом тензор V X Ф, мы сможем устранить один из двух других чле-
нов, стоящих в скобках. Имея это в виду, примем
и тогда получим, что
ДЦ7 = _ф.
Таким образом, и в данном случае мы приходим к Пуассонову полю
и, следовательно, равенству
W = ±dV-
v
На этом основании находим, что тензор U может быть представлен
выражением:
U=^-S7 X С— dV = ±-{^-dV. (3.204)
4т: v 1 ч 4 л I 4s '
V V
4. Поле в общем случае. Пусть в неограниченном поле тензор U
подчиняется уравнениям
V • £/ = Ф;
Vxt/ = »F. (3.205)
Тензор Ф удовлетворяет условию V • Ф = 0.
Для нахождения тензора U представим его в виде суммы
U = Ut + U2,
каждое из слагаемых которой удовлетворяет требованиям
V • t/i = Ф) V • ^2 = 0 1
V X (Д = 0/ ’ V X U2 = Ф/ •
В результате мы приходим к рассмотренным выше двум случаям
и получаем такое выражение для искомого тензора:
(3.206)
v
Так как условия равенства нулю ротации тензора t/j и дивергенции
тензора U2 будут удовлетворены в том случае, если эти тензоры пред-
ставятся следующим образом:
t7i=V/?; f72 = VxV,
где F и V связаны с Ф и Ф условиями
ДГ = Ф; V X (V X V) = Ф,
то из этого следует возможность такого общего представления, тензора
U (формула Гельмгольца):
I/ = VF + VxV. (3.207)
12 В. И. Блох
178
Некоторые вопросы векторного н тензорного анализа
§ 61. ОГРАНИЧЕННОЕ ПОЛЕ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Как следует из теоремы единственности теории потенциала (§ 55, п. 2).
тензор U ограниченного поля вполне определяется заданием его дивер-
генции V • 0 и ротации внутри поля и граничными значениями
скалярного произведения п • U этого тензора на вектор-нормали п к гра-
ничной поверхности.
Однако согласно формуле Остроградского между значениями V •
внутри поля и граничными значениями п - U существует связь
[V • UdV—^dS U.
v s
Из этого заключаем, что выбор граничных значений п • U не вполне
произволен: их можно варьировать лишь таким образом, чтобы при
заданном V • U внутри поля интегральная величина $dS U оставалась
*»
неизменной.
Так как изменения в краевых значениях п U при неизменных
дивергенции и ротации тензора U внутри поля будут приводить к раз-
личным выражениям этого тензора, выясним, в чем будут заключаться
эти различия.
Предположим, что мы нашли два тензора 1/г и U2, имеющие одина-
ковые дивергенцию и ротацию внутри поля, но различающиеся краевыми
значениями величин n-U1 и п • U2, удовлетворяющими, однако, условию
JdS -U^fydS U2.
s s
Тогда разность этих двух тензоров Uo — Uz— 1/г будет внутри поля
иметь нулевые дивергенцию и ротацию:
V-Uo = 0, VxUe = O,
и отличные от нуля краевые значения скалярного произведения п Uo,
удовлетворяющие, однако, на границе условию
§dS-Uo = 0. (3.208)
з
Так как ротация тензора Uo равна нулю, то отсюда заключаем,
что он может иметь вид
U0 = \7W,
где W — тензор на единицу меньшей валентности в сравнении с таковой
тензора Uo, а из условия равенства нулю дивергенции последнего нахо-
дим, что тензор W должен быть гармоническим:
ДГ = 0.
Условие же (3.208) приводит нас к уравнению
Ограниченное поле тензорных функций
179
т. е. к известному краевому условию для нормальных производных
гармонических функций, которое в данном случае будет тождественно
выполняться.
Из всего этого заключаем, что два тензора Ul и t/2, имеющие оди-
наковые дивергенции и ротации внутри поля и разные граничные
значения скалярных произведений п • и п • U2 могут отличаться друг
от друга лишь на слагаемое где — гармонический тензор, валент-
ность которого на единицу меньше валентности тензора или U2.
Отсюда ясен путь, которым можно идти’при отыскании тензора U по
заданным значениям его дивергенции и ротации внутри ограниченного
поля и краевым значениям скалярного произведения п • U. Можно по-
ставить сначала задачу об отыскании какого-нибудь тензора U, имею-
щего заданные дивергенцию и ротацию внутри поля, но не удовлетворя-
ющего требуемым граничным условиям, и затем, добавляя к нему
градиент некоторого гармонического тензора, исправить расхождение в
граничных значениях.
Пусть, например, требуется отыскать тензор U, долженствующий
внутри области V, ограниченной поверхностью F, удовлетворять урав-
нениям
V • U = Ф, V X И = Ф, (3.209)
и на граничной поверхности F иметь значения
п-и = в. (3.210)
Понятно, функции Ф, Ф и 6 должны при этом удовлетворять
условиям
V • 'Р = 0;
= (3.211)
V S
Учитывая отмеченное выше, придадим искомому тензору U следую-
щий вид:
U = Hi + • (3.212)
где иг и W — два тензора, из которых W имеет валентность на единицу
меньшую чем U или и является гармоническим в области V. Краевое
условие (3.210) принимает при этом такой вид:
^ = Q-n-u1. (3.213)
Приступая к решению данной задачи, дополним рассматриваемую
область V до всего пространства, приняв значения функций Ф и Ф в
этом дополнении равными нулю (возможны и другие значения).
Условия (3.209) в рассматриваемой области будут выполнены, если
мы, на основании формулы (3.206) для неограниченного поля в общем
случае, примем, что
U - ' (3.214)
1 4к 1 ч3
V
Используя затем формулу (3.194), решающую вторую краевую задачу
теории гармонического потенциала, мы сможем, ввиду представлений
12*
180
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
(3.213) и (3.214), определить гармонический в рассматриваемой области
тензор W следующим образом:
W = 1 UНQdS — 1 фHdS СгХ^3~.гФ dv] + const. (3.215)
LS S V
Здесь H — функция Неймана. Окончательное выражение искомой
функции U, согласно зависимости (3.212), при этом будет
и = Ы + 1 [v|HedS -1 HdS J -хУ~гФ dv] (3.216)
§ 62. ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАРМОНИЧНОСТИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ
Если воспользоваться выражениями лапласианов в криволинейных
координатах, то можно получить соответствующее каждой криволиней-
ной системе свое дифференциальное уравнение гармоничности.
В некоторых случаях может оказаться возможным представить
функции, удовлетворяющие этим уравнениям, в виде произведения трех
других функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента.
Во всяком случае при использовании произвольной цилиндрической
системы координат возможно разложение функции на два множителя,
из которых один зависит только от переменной, измеряемой вдоль об-
разующих цилиндрической системы, а другой — от двух остальных.
Разложение на два множителя всегда возможно также при использова-
нии осесимметрических координат, причем один из множителей в этом
случае является функцией меридианного угла, а другой — функцией двух
остальных переменных. Сумма таких произведений с произвольными
коэффициентами будет представлять общее решение уравнения гармо-
ничности. Последующая задача должна заключаться в определении этих
коэффициентов таким образом, чтобы заданные краевые условия были
представлены в виде сходящихся рядов, членами которых являются
краевые значения этих функций, а также в представлении искомого
решения рассматриваемой краевой задачи в форме соответствующего
сходящегося ряда.
Такой способ отыскания решения носит название метода разделения
переменных.
Следует отметить, что в то время как использование этого метода
для получения общих решений в криволинейных координатах для ска-
лярных функций сравнительно просто выполнимо, нахождение таких
решений путем непосредственного интегрирования дифференциальных
уравнений гармоничности для векторных и тензорных функций сопряжено
с серьезными трудностями. Это объясняется тем, что условия гармонич-
ности для векторных и тензорных функций представляются в виде си-
стемы связанных между собой дифференциальных уравнений второго
порядка в частных производных. Трудности эти, однако, могут быть
преодолены, если воспользоваться инвариантностью свойства гармонич-
ности для тензоров любой валентности и принять во внимание, что
условия гармоничности декартовых компонентов тензоров совпадают с
условиями гармоничности для скалярных функций. При этом можно,
решая указанным здесь способом уравнение Лапласа для скалярных
Общие решения уравнения гармоничности методом разделения переменных 181
функций в криволинейных координатах, получить в них выражения декарто-
вых компонентов интересующих нас векторов или тензоров и затем, для
представления этих объектов в криволинейной системе, воспользоваться
соответствующими правилами преобразований, описанными в § 42.
1. Общий случай ортогональных цилиндрических координат. В со-
ответствии с обозначениями табл. 2 для цилиндрических ортогональных
координат примем, что искомая гармоническая скалярная функция F
может быть представлена в виде произведения
Г = Ф7, (3.217)
где Ф— функция двух криволинейных координат а и р на плоскости, а
Z— функция одной только переменной г, отсчитываемой в направлении,
перпендикулярном к указанной плоскости.
Исходя из общего выражения (3.134) лапласиана от скалярной
функции в ортогональных криволинейных координатах, которое в данном
случае должно быть приравнено нулю, мы можем, подставляя в него
(3.217) и приравнивая единице компонент для метрического тензора,
поскольку этот компонент соответствует направлению отсчетов коорди-
натной оси г, получить такие два уравнения:
— Z2Z = 0;
azz
1А-1—(1/ + /2Ф = 0, (3.218)
Vgug22L°“\r gnda) г gad^ii ' ’
где I — произвольное постоянное число и
__ (дх\2, /ФЛ2 . _ /дх\2 (ду\2
S11 — \<hj + ’ &22 ~ [д?./ +
Интегралы первого из этих уравнений, которые мы обозначим одним
символом Zs i (s = 1, 2), в случае / = 0 будут иметь значения
Zs,о = (™nst (-П (3.219)
Если I =# 0, то значения функции Zs г могут быть представлены
выражениями
Zs./ = {g-/z (s == 2) (3.219х)
Если же I является отличным от нуля вещественным числом, то
вместо последних выражений могут оказаться в некоторых случаях более
удобными следующие функции:
7 (s== 1) /ч 219 1
Zs-z~(shZz (s = 2) (<5-^1У2)
Наконец, если I — число мнимое, то заменяя его на ZX, можно
воспользоваться такими представлениями:
Не предрешая вида интеграла второго уравнения (3.218), определяю-
щего функцию Ф, выражение которой зависит от применяемой системы
182
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
координат аир, примем во внимание, что этот интеграл для каждого
значения параметра I будет иметь (в случае использования метода раз-
деления переменных) четыре линейно независимые функции и, кроме того,
может зависеть от некоторого нового параметра т. На этом основании
введем для указанного интеграла обозначение ФР?, z™ (р = 1; 2; q= 1; 2).
Тогда, умножая возникающие, согласно исходному выражению (3.217),
произведения ФР9, imZs, г на произвольные постоянные Cpps. im и суммируя
их по всем значениям индексов, мы сможем искомую скалярную гармониче-
скую функцию F представить в следующем, более общем сравнительно
с (3.217) виде:
2
F = S 2 Cpqs, 1тФРЧ, lmZs, i. (3.220)
/, Р, Q, 5=1
Для получения соответствующего выражения гармонического вектора
примем во внимание, что декартовы компоненты этого вектора могут быть
представлены такими же формулами и могут отличаться друг от друга
лишь коэффициентами.
Вводя поэтому обозначения Сх, pqs, im, Ср, pqs< tm и Cz, pqs, tm для коэф-
фициентов, соответствующих декартовым компонентам вектора вдоль осей
х, у и г, мы сможем такой вектор изобразить формулой
2
v = s Е (сх, pqs, Imt Су, pqs, Itnj 4“ Сг, pqs, Imk) Фрр, Im^s, !•
I, m p, q, s=l
Для представления этого вектора через его компоненты в криволи-
нейной системе необходимо будет воспользоваться для получения выра-
жений этих компонентов формулой преобразования (3.85). Вследствие
этого, вводя обозначения и е? для масштабных векторов, направленных
нормально к координатным поверхностям соответственно аир, получим,
что
Сх, pqs, 1т
да П- pqs, 1т да1 е ~1~
• I С
х, pqs, 1т г pqs, 1т
“В Cz, pqs, Imfe
Фр?, Irn^s, I
(3.221)
Здесь гармонический вектор представлен своими ковариантными ком-
понентами в основной системе масштабов. Выражение для вектора с кон-
травариантными компонентами может быть получено таким же способом,
если исходить из формулы (3.86).
Из приведенного очевиден путь, которым следует идти при получе-
нии выражения также для гармонического тензора в криволинейных
координатах. Формула перехода от декартовых компонентов к ковариант-
ным компонентам в локальной криволинейной системе координат для
симметрического тензора двукратной валентности, например, представ-
лена равенством (3.87).
Что касается вопроса расшифровки выражения функции ФрЯ1 tm, то,
как уже отмечалось, оно связано с конкретизацией координатной системы.
В табл. 17—19 приведены выражения этой функции для некоторых систем
к оординат.
2. Общий случай ортогональных осесимметрических координат.
Будем исходить из обозначений и представлений табл. 3. Примем,, что
Общие решения уравнения гармоничности методом разделения переменных 183
интересующая нас скалярная гармоническая функция F в ортогональной
осесимметрической системе координат имеет вид произведения
F = Ф0, (3.222)
где Ф— функция двух координат а и Р в меридиональной плоскости,
а © — функция одной координаты 0, представляющей собой значение ме-
ридионального угла.
Исходя из общего выражения (3.134) лапласиана от скалярной функ-
ции F в ортогональных координатах, которое в данном случае должно
быть приравнено нулю, мы, в результате подстановки в него выражения
(3.221), сможем разложить это уравнение на следующие два:
d£ +«2е = 0;
1/_ П2^= 0 (3.223)
' gllg22l3a\F g„ да} ЭД Г g22 <ЭР/]
где п — постоянный параметр, и
/д?\2 . (dd>\2 (д<Л2 , (д^\г z
\да/ + \да) ’ ^22 ’ \др/ "J* \бр/ ’ &33 ’
причем ср и ф связаны с декартовыми координатами при помощи равенств
х = ср (a, Р) cos 6, у = ср (а, р) sin 6, z = ф (а, Р).
Обозначая интегралы первого уравнения через 0S, n(s = 1, 2), мы для
случая п = 0 получим такие значения этого интеграла:
0s.o = {C°enSt (s = 2) <3-224)
Если п является отличной от нуля вещественной величиной, то эти
значения интеграла будут представляться равенствами
0s„ = (cosnfl0 <S = J) (3.224J
" (sinn0 (s = 2) v w
При мнимых значениях n получим, полагая п = ik, что
А _ (ch (s = 1) /о под \
Ws-n_lsh£0 (s = 2) (3.ZZ42)
и, наконец, в случае комплексных значений п, а также любых отличных
от нуля значений, получим такие выражения:
о _ / е'п6 (s — D /3 224 1
0s.n-(e-/ne (s = 2)
На основе тех же соображений, что и в предыдущем случае цилиндри-
ческих координат, искомую
ставим теперь формулой
гармоническую скалярную функцию пред-
2
V с Ф 0
Lj '-'pqs, тп* pq, mrv&i
(3.225)
Р. <?. S-1
где Фрс, тп — функция двух переменных аир, зависящая также от двух
параметров типи подчиняющаяся второму дифференциальному урав-
нению (3.223), a CpqS,mn — постоянное число.
184
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Что касается гармонического вектора, то на тех же основаниях вводя
обозначения Сх, PVS._mn, CytPqs_mn и Cz.pqs,mn для коэффициентов в выра-
жениях типа (3.225), для декартовых компонентов вектора вдоль осей
соответственно х, у, и г, мы получим, следующее окончательное пред-
ставление в локальной криволинейной системе:
v
т, п р> q, s=l
, pqs, тп
COS 6 4* С У' Pqst mn sin 6) С zt pqs, тп 4"
COS 6 4" Су, pqs, тп Sill 0) g^ 4" Cz, pqs, тп gjj $ 4"
+ (- pqs, тп sin 6 + С у, pqs. тп cos 6) <peG
mn^s, n (3.226)
Здесь ep и e° — координатные масштабные векторы осесимметри-
ческой координатной системы, ортогональные к координатным поверх-
ностям соответственно а, р и 6. Формулой (3.226) гармонический вектор
представлен своими ковариантными компонентами в соответствующей
системе масштабов.
В таблицах 17, 20—25 приведены выражения, определяющие функ-
цию ^Pq'mn для некоторых частных случаев осесимметрических коорди-
натных систем.
§ 63. БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Представление бигармонических функций через трехмерные гар-
монические функции. Напомним, что функция В, удовлетворяющая
в некоторой области дифференциальному уравнению
ДАВ = 0,
называется бигармонической в этой области. В § 40, п. би 7, были
приведены два примера бигармонических функций, составленных из гар-
монических. Рассмотрим вопрос об общем выражении бигармонических
функций, составленном из трехмерных гармонических, при различных
возможных формах участия последних в этом выражении.
Предположим, что некоторая бигармоническая в определенной об-
ласти скалярная функция В может быть представлена в виде произве-
дения двух четырежды дифференцируемых в этой области также ска-
лярных функций R и S:
В = Я5. (3.227)
Тогда условие бигармоничности функции В может быть выражено
следующим образом:
R (ДД5) 4- 4(Vfl) • (V*S) 4- 2 [2(V2#) •• (V2S) 4- (ДЯ) (AS)] +
+ 4(\7ДЯ) • (VS) 4-(АДЯ) s = 0. (3.228)
Для того чтобы данное уравнение выполнялось независимо от част-
ного вида функций R и S, необходимо, чтобы каждое слагаемое его
левой части в отдельности равнялось нулю.
Исключая из рассмотрения тривиальный случай, когда одна из функ-
ций R или S является произвольной бигармонической, а другая — по-
стоянной величиной, легко заключить, что указанное требование равен-
Бигармоннческне функции
185
ства нулю каждого слагаемого будет, при наиболее общих свойствах
функций /? и S, выполняться в следующих четырех случаях:
1. V-R = 0
2. = 6
3. V2^ = 0
4. \у2Я = 2с/
\7Д5 = 2Ь;
VAS = 0;
AS = 2с;
AS = 0,
(3.229)
где Ь — постоянный вектор, и с — постоянный скаляр. Очевидно, функ-
ции R и S, ввиду симметрии уравнения (3.228) относительно них, могут
обмениваться свойствами.
Вводя обозначение Ф для гармонической в рассматриваемой области
скалярной функции, а также обозначения К и L для постоянных тен-
зоров соответственно двукратной и трехкратной валентностей, мы смо-
жем результаты интегрирования уравнений (3.229) представить следую-
щим образом:
1. R = a S = Ф + гг .. К + ггг ... A; (L + L + L = Ь)
1©2 2©3 3©1
2. R = а + г • b S = Ф + гг.. К
3. R — а + г • b S = Ф гг.. R-, (К — с)
4. R = a + r•b + cч2S = Ф ® (3.230)
где а — постоянный скаляр, г — радиус-вектор текущей точки и ч— его
модулр.
Мы воспользуемся результатами четвертого случая, так как резуль-
таты остальных, как увидим далее, будут в конечном итоге также
охвачены.
Бигармоническая функция В в этом случае, согласно равенству
(3.227) и вследствие представлений четвертой группы равенств (3.230),
получит такой вид:
В = (а + г • b + сч2) Ф.
Очевидно, суммируя такие представления при изменении в склады-
ваемых выражениях значений содержащихся в них постоянных, а также
выражений гармонических функций Ф, можно получить более общую
формулу для бигармонической функции. Снабжая в суммируемых выра-
жениях обозначения таких изменяемых постоянных и функций индек-
сом п, мы сможем возникающую при этом формулу представить следую-
щим образом:
В = V (ап + г • Ьп + ч2сп) Ф„.
п
Вводя затем в рассмотрение гармонические скалярные функции
/? = Еа„Ф„, // = Хс„Ф„
п п
и гармоническую векторную функцию
С = £бпФ„,
п
придадим предыдущей формуле еще такой вид:
В = F 4- г • G + ч2Н. (3.231)
186
Некоторые вопросы векторного н тензорного анализа
В развернутом виде, при использовании декартовых координат трех-
мерного пространства, она изобразится равенством
В = F + xGx + yGy + zGz + (х2 + у2 + г2) Н, (3.232)
где Gx, Gu и Gz — координатные компоненты вектора G. Легко убедиться
проверкой, что возникающие при использовании первых трех групп
представлений (3.230) в формуле (3.227) произведения а(гг.. К + ггг ... L)
или (а г • b) kk .. К, являющиеся полиномами второй и третьей степени
относительно переменных, могут быть получены из общей формулы (3.231).
2. Случай использования двухмерных гармонических функций.
Пусть трехмерная гармоническая функция S имеет вид
S = Фх + гФ2, (3.233)
где Фх и Ф2 — две плоскостные гармонические функции, под которыми
здесь понимаются гармонические функции точки некоторой области на
плоскости, а г— аппликата точки, отсчитываемая по нормали к пло-
скости изменения аргументов этих двух функций. Такое представление
может быть получено из общего условия гармоничности, если искать
его интеграл в специальной форме произведения плоскостной гармони-
ческой функции на функцию аргумента третьего измерения. Случай,
когда указанная плоскостная функция не является гармонической, мы
здесь исключаем из рассмотрения, относя его к общему случаю трех-
мерных гармонических функций.
Если подставить выражение (3.232) в уравнение (3.228), то получится
следующее равенство:
4(V2-R) •• [V2®! +z(V2®2) + &(V$2) + (V$2)£] +
+ 4 (\7Д/?) • [ + z (V®2) + Ф2&] + (ДДТ?) (®! + z®2) = 0,
где k— орт аппликаты г.
Данное уравнение будет выполняться независимо от частного вида
плоскостных гармонических функций Фх и Ф2, в том случае, если мы
примем, что
V2T? = 2 [с (/ — kk) -+• gkk],
где с и g— два постоянных скаляра. Отсюда следует такое выражение
функции R:
R = a-]-r’b-\-pzc + z2g,
где а, b и г имеют те же значения, что и ранее, а р — модуль радиуса-
вектора текущей точки в плоскости, нормальней к оси z, т. е. в пло-
скости изменения аргументов функций Ф] и Ф2.
Искомая бигармоническая функция В в этом случае представится
равенством
В = (а + г • b + р2с + z2g) (Ф, + гФ2),
и после суммирования таких выражений с различающимися значениями
постоянных и функций Фх и Ф2 — равенством
В = Fn -J- г • Gj -|- zr - G2 -|- trP, zp2Pt 3. (3.234)
Здесь Fo, Px, P2 и P3 — плоскостные взаимно независимые гармо-
нические скалярные функции, a Gr и С2 — трехкомпонентные гармони-
Бнгармонические функции
187
ческие вектор-функции, декартовы координатные составляющие которых
представлены плоскостными скалярными функциями. Возникающее из
предыдущего произведения выражение агФ2 включено здесь в состав
слагаемого г • Glt а ^г2Фх — в состав гг • Gs.
Сравним это представление с выражением (3.231).
Плоскостные гармонические функции, фигурирующие в равенстве
(3.234), а также выражения типа гФ2 из представления (3.232), могут
рассматриваться как частные случаи трехмерных гармонических функ-
ций формулы (3.231). Поэтому первые три слагаемых выражения (3.234)
непосредственно могут быть получены из первых двух членов равенства
(3.231). Что касается слагаемого ч2Н этого равенства, то после замены
ч2 на р2 + z2 и подстановки вместо функции Н выражения S, представ-
ляемого равенством (3.232), мы получим, что
ч2Н — (р2 + z2) S = р2Фг + z2®i 4- гр2Ф2 + г3Ф2.
В комбинации с одним из трех слагаемых, даваемых произведением
г • G той же формулы (3.231), возможно отсюда устранить член г2Ф1
(например, полагая G = гФ^). Ввиду этого заключаем, что получение
слагаемого р2Ф[ в равенстве (3.234) обеспечивается двумя членами
г • G и ч2Н формулы (3.231).
Что касается двух выражений го2Ф2 и г3Ф2, то разделить их при
помощи остальных членов правой части равенства (3.231), имеющих та-
кие же гармонические множители, т. е. Ф2 или гФ2, оказывается невоз-
можным. Это, конечно, не исключает того, что каждое из данных вы-
ражений может быть получено в отдельности при помощи остальных
членов равенства (3.231) с иными гармоническими множителями, отлич-
ными от Ф2.
На основе этого исследования можно заключить, что при исполь-
зовании гармонических функций специального вида (3.232) формула (3.231)
не обеспечивает непосредственное получение из нее всех бигармониче-
ских выражений путем прямого умножения этих гармонических функций
на некоторый множитель, как это имеет место в случае трехмерных
гармонических функций. Формула (3.231), следовательно, должна быть
дополнена выражением, позволяющим получать все бигармонические
функции также и в этом случае. Таким выражением может служить
одна из двух функций, zp2P2 или z3P3. При выборе одной из них полу-
чение другой будет обеспечено наличием одновременно слагаемого ч2Н.
Но так как в общем случае выбранная функция может быть составлена
отдельно для каждой из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей
трехмерного пространства, то к формуле (3.231) необходимо будет при-
соединить три таких дополнительных выражения с циклически перестав-
ляемыми в каждом переменными.
Формулу, объединяющую эти три выражения и служащую для по-
лучения указанных здесь дополнительных бигармонических функций,
сумму которых обозначим через Вр, можно представить различными
способами. Мы придадим ей следующий вид:
Вр = rrr ...Р — г3 ... Р, (3.235)
где Р — вполне симметрический трехкомпонентный тензор трехкратной
валентности специальной конструкции, представляемый формулой
Р = Рх (у, z) Hi + Ру (z, х) jjj 4- Рг (х, у) kkk. (3.236)
188
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Здесь Рх(у, z), Py(z, х) и Рг(х, у) — три гармонические функции
в некоторых областях, располагающихся на взаимно-ортогональных плос-
костях, нормали к которым отмечены индексами; i, j и k — орты декар-
товой системы координат.
3. Общая формула представления бигармонической функции через
гармонические. Объединяя полученные выше выражения, а именно, фор-
мулу (3.231), представляющую бигармоническую функцию через трех-
мерные гармонические, и формулу (3.235), дополняющую предыдущую
для случая использования плоскостных гармонических функций, мы
приходим к следующему общему выражению:
B = F + r-G + 42H + г3---Р. (3.237)
Функция В при выводе этого представления предполагалась скаляр-
ной, т. е. тензором нулевой валентности. Однако данная формула со-
храняет свое значение также для тензоров любой валентности. Если
функция В будет представлять собой тензор zn-кратной валентности,
то функции F и Н тоже должны рассматриваться как тензоры с валент-
ностью той же кратности, функция G — как тензор, валентность которого
имеет кратность zn + 1, а Р — как трехкомпонентный тензор с валент-
ностью т + 3.
4. О возможном сокращении числа представляющих гармонических
функций. Скалярная бигармоническая функция (3.237) в полном своем
виде выражается через восемь скалярных гармонических функций. Можно,
однако, показать, что без потери общности представления это количество
используемых гармонических функций может быть сокращено до двух.
а) Покажем, что любая скалярная бигармоническая функция В в
заданной трехмерной области может быть представлена при помощи
двух скалярных гармонических функций F и G в форме
B = F + xG. (3.238)
Очевидно, для этого достаточно показать, как при заданном выра-
жении функции В можно найти две гармонические функции F и G.
Заметим, что если существует данное равенство, то в результате диф-
ференцирования возникает такая зависимость:
ДВ = 2^.
дх
Имея это в виду, рассмотрим некоторую функцию Ч', определяемую
равенством
4- = ljABdx.
Отсюда находим, что
дх 2 ’
и далее, вследствие бигармоничности функции В,
A? = ^ = 0.
дх дх
Бигармоиические функции
189
Из последнего можно заключить, что Д’Г может быть только функ-
цией двух переменных //иг:
ДФ = /(у, г).
Поскольку эта функция двух переменных вполне произвольная, то
приняв ее равной нулю, мы обратим функцию Ф в гармоническую и
сможем отождествлять с ней функцию G.
Таким образом, окончательно получим «
С = -i-J ДМх
F = В — у J ДВс?х.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция F,
определенная указанным здесь образом, при бигармоничности функции В
является гармонической.
б) Так же можно показать, что любая скалярная бигармоническая
в некоторой области функция В может быть представлена при помощи
двух скалярных гармонических функций F и Н в форме
В = F + ч2Н. (3.239)
С этой целью примем во внимание, что если существует такое пред-
ставление, то в результате дифференцирования может быть получена
зависимость
ДВ = 6Н + 4ч = — {-(чЧЪ.
дч Д_ Зч v '
На этом основании введем в рассмотрение функцию ЧТ, определяе-
мую равенством
ч
1 с —
ф = -1- 1 Ч 2 ДВс?ч.
з J
4ч2 *•
Используя полярную систему координат, можно показать, что эта
функция является гармонической.
Действительно, согласно соответствующим обозначениям табл. 16,
мы можем получить следующее
сиана функции У7:
представление для определения лапла-
4ДФ = 4
дч* + Ч дч + ч* \332 Ct£ 33 302
Ф =
ч ч
1 д f 2 д I 1 С 4- л о j Y1 , 1 С -г / а2 , , „ а . д* \,
= Та- а-1—Г «2 ДВЙЧ Н----------\Ч2 Ctg р дт-+ чт-ЗДВЙЧ,
ч2 дч [ дч \ з j I 1 т_ j \аз2 1 °г аз ао2/ ’
ч2 *’ ч2
или, ввиду бигармоничности функции В,
190
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Первый член правой части этого равенства получит в результате
дифференцирования такое значение:
Если же выполнить интегрирование по частям во втором члене, то
найдем, что
4-д&в 1 — Л о , 3 f -l-.o.
«о
После подстановки этих значений в правую часть предыдущего
Выражения для 4ДЧГ убеждаемся в ее аннулировании и, следовательно,
в гармоничности функции Ф. Отождествляя ее на этом основании с функ-
цией И мы найдем окончательно, что
ч
Н = ^Bd4
и
1 «
2 р 1
F = В — «2 LBdn.
§ 64. БИГАРМОНИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
1. Единственность решения. Удовлетворяясь в вопросе о решении
бигармонической краевой задачи тем, что для некоторых конкретных
случаев такие решения, как будет показано, построить возможно, до-
кажем теорему единственности в следующем виде.
Вещественный тензор, бигармонический в определенной области и
имеющий на ее квадрируемых границах кусочно-непрерывные значения
и значения нормальной производной, определяется этими данными един-
ственным образом.
Для доказательства рассмотрим бигармонический в заданной области
тензор В, определяемый краевыми условиями
Предположим, что этим же краевым условиям удовлетворяют два
бигармонических в той же области тензора Вх и Ва. Тогда третий тензор
Бигармоническая краевая задача
191
Во = В2 — Bv являясь бигармоническим в указанной области, будет
удовлетворять на тех же границах условиям
Во| = 0 и ^1=0,
и ls дп |s
Обращаясь к формуле Грина (3.164)
j dV [(Д№) U — (A£Z) U7] = ф dS • (\7W) U — (S7U)W],
V s
примем в ней W = Во и U = ДВ0. Тогда, вследствие отмеченных краевых
условий для тензора Во, получим из этой формулы следующее равенство
J ДВ0ДВ0 dV = 0.
v
Если тензор Во является тензором n-кратной валентности, то стоя-
щее здесь под знаком интеграла выражение ДВ0ДВ0 будет являться
тензором 2п-кратной валентности. Обозначая скалярное значение любых
двух декартовых компонентов тензора Во через М. и N, получим, что
в той же координатной системе компоненты тензора ДВ0ДВ0 будут пред-
ставляться выражениями двух типов, (ДЛ1)2 и (ДЛ4)(ДМ). Вследствие ука-
занного выше интегрального условия интеграл от каждого из этих вы-
ражений в отдельности, взятый по всему объему области, должен
обращаться в нуль. Но йри вещественности тензора Во и положительном
значении выражения (ДЛ4)2, обращение в нуль интеграла от него воз-
можно лишь в том случае, если для каждого компонента М в отдельности
будет иметь место равенство ДЛ4 = 0. Интегралы от выражений (ДЛ4) (ДМ),
при этом, понятно, также будут аннулироваться.
Мы находим, таким образом, что тензор Во является гармоническим
в рассматриваемой области. Если же принять во внимание еще краевое
условие Во |s = 0, то, как было показано, тензор Во должен быть всюду
в области равным нулю. В этом случае второе краевое условие,
=0, будет автоматически выполняться.
Из обращения в нуль тензора Во во всей рассматриваемой области
следует тождество В2=В, и справедливость теоремы единственности.
2. Решение бигармонической задачи для полупространства. Пусть
для области, ограниченной одной плоскостью, требуется найти бигармо-
нический тензор В при краевых условиях
в1. = л »ж1=Г1’
где и Т, — заданные кусочно-непрерывные функции точки граничной
плоскости.
Будем при нахождении тензора В исходить из представления его
в форме
В -- F + zG,
где F и G — гармонические в полупространстве тензоры той же валент-
ности, что и В, a z — расстояние рассматриваемой точки от граничной
плоскости.
192
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Тогда для нахождения функций F и G будем иметь следующие
краевые условия:
= cU-r.-sL,. (
Здесь перед Т2 поставлен минус вследствие того, что внешняя
нормаль п на граничной плоскости направлена в сторону, обратную
направлению роста переменной, г.
Исходя затем из формулы (3.187) интеграла Пуассона для полу-
пространства, находим, что
F=i№ds-
S
и далее,
s' S 1
где р = ч|2=0. Остается теперь подставить эти значения функций F и G
в приведенную выше формулу для В, чтобы получить окончательный
ответ.
3. Решение бигармонической задачи для шара. Будем при нахожде-
нии тензора В, бигармонического внутри шара, исходить из следующих
заданных краевых значений:
а функцию В будем искать в форме выражения
В = /?+ (R2 — а2) Н,
где F и Н — гармонические внутри шара тензоры той же валентности,
что к В, R — радиус шара, и а —.расстояние от центра до текущей
точки внутри шара.
Краевые значения для функций F и Н при этом будут соответст-
венно
Используя формулу (3.188) интеграла Пуассона для области, огра-
ниченной снаружи сферой радиуса R, мы найдем, что
" = -W$[r= + 2°4p,liS]?'
s s
Здесь ч — расстояние от текущей точки внутри шара, находящейся
на расстоянии а от центра, до любой точки на поверхности граничной
сферы, ар — расстояние от фиксированной точки на этой граничной
поверхности до любой точки этой же поверхности.
Искомая функция В получится теперь из приведенной выше для
нее формулы в результате соответствующих подстановок найденных
значений функций F и Н.
Мсчод разделения переменных в применении к бигармэническнм функциям 193
§ 65. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ПРИМЕНЕНИИ
К БИГАРМОНИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
1. Общие основания использования метода разделения переменных
в случае бигармонических функций. Как было показано в § 62, гармо-
нические функции могут быть в ряде случаев криволинейных координат
составлены из сумм, каждое слагаемое которых, удовлетворяя условию
гармоничности, представляет собой произведение функций, зависящих
от переменных, разных в каждой из перемножаемых функций. Поскольку
же бигармонические функции, согласно данным, приведенным в § 63,
могут быть составлены различными способами из гармонических функ-
ций, естественно должны возникнуть представления также для бигар-
монических функций в форме соответствующих сумм, содержащих те же
произведения. Основанием для таких представлений служит формула
33.237) для скалярной бигармонической функции
В = F + г • G + ч2Н + г3 • • • Р.
Мы воспользуемся ею для построения ряда общих выражений в криво-
линейных координатах путем использования представлений для входя-
щих в эту формулу гармонических функций, полученных ранее методом
разделения переменных. Не ограничивая себя определенными слагаемыми
в этой общей формуле для бигармонической функции, сохраним в ней
все члены. Что касается выбора того или иного сокращенного представ-
ления бигармонической функции через гармонические, то его мы ставим
в зависимость от частного случая краевой задачи.
Следует заметить, что при представлении в криволинейных коор-
динатах скалярного произведения г • G, входящего в приведенную фор-
мулу, нет необходимости, как может показаться сначала, получать пред-
варительно выражения отдельно для векторов G и г в этих координатах
и затем их скалярно перемножать. Дело в том, что это произведение
является скаляром и, следовательно, инвариантно относительно коорди-
натных систем. Поэтому вполне достаточно воспользоваться его выра-
жением в декартовых координатах
г • G = xGx + yGy + zG;
и лишь выразить входящие в него элементы через переменные выбран-'
ной криволинейной системы. То же самое можно отметить и относительно
выражения
ч2 = г • г = х2 4- у2 4- г2,
а также относительно произведения г3...Р.
Составим, исходя из этих соображений, выражения бигармонической
скалярной функции для общих случаев ортогональных цилиндрических
и осесимметрических координат.
2. Общий случай ортогональных цилиндрических координат. При
составлении соответствующих выражений воспользуемся обозначениями
и результатами, приведенными в § 62, п. 1. Будем исходить из сле-
13 в. И. Блох
194
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
дующих выражений гармонических функций, входящих в общую фор-
мулу (3.237)
о
Р ~ Сf,pqs,lm®pq
I,tn ptq,s=l
2
JEj {iC Gx,pqs,lfn~\~ jCcy,pqs ,lm “b/zC Gz,pqstlm) ®pqtlmZ$tl
l,m p,q,s—l
H ~ pqs,lm® pq,lmZ s,l
l,m p,q,s=\
p = bbb V V rD , ф
1 — kkk ^P,pq\,otn^pq,om-
tn p,q=\
Здесь обозначения С с разными индексами — постоянные коэффи-
циенты.
Как мы видим, гармонический вектор G и плоскостной гармони-
ческий тензор Р представлены здесь своими декартовыми компонентами,
выраженными, однако, в криволинейных координатах. Тензор Р, кроме
того, представлен лишь одним компонентом, поскольку в цилиндрической
координатной системе с криволинейным направляющим основанием гар-
монические плоскостные функции в плоскостях, параллельных обра-
зующим цилиндров, исключаются.
Общее выражение скалярной бигармонической функции в данном
случае будет иметь следующий вид:
l^-'Ftpqstlm + ^^Gx,pqs,lm Ч- yCGy,pqs,lm 4“ zCGz,pqs,lm “K
I,tn p,q,s=\
+ (%2 + y2 + Z2) CH.pqs.lm] ^pq.lmZs, I + Z3 Cp,wi,omOw.om.
m—0 p,q=\
Различные представления этого выражения для частных случаев
криволинейных цилиндрических координат приведены в таблицах
17—19.
Что касается соответствующих выражений бигармонических векто-
ров и тензоров, то они могут быть получены на основе тех же правил,
которые были указаны в § 62, п. 1 для построения выражений гармо-
нических векторов и тензоров. Приведенное здесь выражение (3.239)
скалярной бигармонической функции может быть в этом случае исполь-
зовано для представления декартовых компонентов бигармонических
векторов и тензоров.
3. Общий случай ортогональных осесимметрических координат. Для
соответствующих построений в этой системе координат воспользуемся
обозначениями и результатами, приведенными в § 62, п. 2. Необходи-
мые для получения • выражения скалярной бигармонической функции,
гармонические составляющие, входящие в формулу (3.237), представим
следующими выражениями:
\ c tt’ м
F.pqs.mn pq,mn^s,nf
₽.<?.»= 1
== (lCGxfpqs,mn j^G.y,pqs,mn ^GG2,pqs,mn} pq,mn^s,m
m,n p,q,s=l
CO
h = s
т,п
m,n=0 p,<7,s=l
H.pqs, mn'I' pq,mn&s.n-
Метод разделения переменных в применении к бигармоническим функциям 195
Здесь обозначения С с разными индексами — по-прежнему постоян-
ные коэффициенты.
Трехкомпонентный тензор Р-, поскольку его декартовы компоненты
представляются функциями точки на координатных плоскостях, может
в данном случае иметь лишь. один компонент для направления оси
симметрии, являющийся функцией точки в плоскости, нормальной к этой
оси. Но вследствие вида используемых координатных систем в этой
плоскости возможна только одна круговая система координат, и потому
выражение, определяемое тензором Р в составляемой бигармонической
функции, будет во всех случаях совпадать с выражением, которое воз-
никает благодаря ему только в круговых цилиндрических координатах.
На этом основании, относя случай такйх координат к предыдущему
общему случаю цилиндрических систем, мы не учитываем влияние тен-
зора Р на вид бигармонической функции в данном случае осесимметри-
ческих координат.
Скалярная бигармоническая функция при этом представится сле-
дующим образом:
В [СF,pqs,mn Н- ® (pGx,pqs,mn COS 0 -f- CGy,pqs,mn. SID 0) -f-
+ 'J'Ccz.ws.mn + (<p2 + <p2) Cn,pqs,mn\ Vpq,mn®s,n- (3.240)
„ /
Соответствующие выражения для некоторых частных случаев осесим-
метрических координат приведены в таблицах 17, 20—25.
В отношении бигармонических векторов и тензоров здесь можно с
небольшой модификацией повторить то же, что было отмечено в анало-
гичном случае при использовании цилиндрических координат, но с
ссылкой на § 62, п. 2.
Таблица 17
Гармонические и бигармонические функции в круговых цилиндрических координатах
Скалярная гармоническая функция:
2
S Cpqs.lmKp,lmeq,mZS ,/•
Z, т р, q, s=l
Скалярная бигармоническая функция:
= 3j pqs, lm + p cos 6 CGx, pqs, Im + P sineCGj(, pqs, hn^
+ zCGz, pqs, Im + <P2 + z2) CH, pqs, Iml Rp, lmQq, mZs, I +
Zj CP, pqt, orn^p, orrfiq, m-
m p, q = l
Значения функций Rp mn, m, Zs ,
/=0 m = o ( p __ I 1 (P — 1) a __________/ 1 (q = 1) 7 _ ( 1 (s = 1)
’ ° 1 Up, 00 I In p (p = 2) e<7. 0 | 6 (g = 2) Zs. 0 — I z (s = 2)
l = O,m^olR =(Pm (P = 1) e _ (cosmfi (<?= 1) _ _ f 1 (s = 1)
’ I ₽. °m I p~m (p = 2) vq, m - f sin m6 (q = 2) Zs. 0~ | 2 (s = 2)
/-to (/p) (p = 1) й _ f cos mb (q = 1) 7 f elz (s = 1)
tn^^J{l<p,lm-\Ym(le)(p = 2) ^.m-lsinmO (q = 2) Zs. I = ( e~k {'s = 2)
Здесь Jm(lp) и Tm(/p) — функции Бесселя первого и второго рода.
13'
196
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Таблица 18
Гармонические и бигармонические функции в параболических цилиндрических
координатах
Скалярная гармоническая функция:
2
? = S S Cpqs, lm&p, InPq, lmZs. Г
I, m p, qt s=l
Скалярная бигармоническая функция:
2
£ = S X {CF,P9s,Zm + |(“2-₽2)CCx,M$.zm + “₽CGi,i №/m +
I, m p, q, s=l
+ zCGz, pqs, Im + [4“ (°2 + ₽2) + £2] CH, pqs, Im j Ap. lmBq, lmZs, I +
2
-L V V Г А R
16 pql, omnp, om^q,om'
m p, q = l
Значения функций Ap lm, Bq lm и Zs t’.
1=0, tn = 0, Ap 00
=0, m>0, Ap om.
\
1=0, m<0, Apt om=
^¥=0, m^O, Ap im —
= f 1 (Р=1).
I а (р = 2)’
( cos а]/т (р = 1). п
72 I sin a Vm (р = 2)’ ‘>-от
( ch a (р= 1). в
- I sh ₽ —т (р = 2)’ 1
/а1
Н (ау!) (р=1)
_1аг
е 2
D ---- f 1 (Ч О. 7
aQ. 00 ( ₽ (9 = 2)’ 0
= f ch ₽ Vtn (9=1). z
I sh fl /m (9 = 2) ’ !
, f cosp/—m (9=0.
’• om I sin ₽ V-m (9 = 2)’
(s=l)
)-|z (s = 2)
(s=l)
s- ° ( z (s = 2)
1 (s= I)
z (s = 2)
1 (s=l)
z (s = 2)
(<7 — 1). 2 =
1 0
(<7 = 2)
_'I*
e 2 (9=1)
;
e 2 Gni(₽K0 (9 = 2)
lm —
Gn.^Vi) (P = 2)
ek (s=l).
e u (s = 2) ‘
2T-» “2 —‘ — полином Эрмита первого рода, и Gn (х)—
полином Эрмита второго рода. В случае, когда п =£ 0, 1, 2 ..., Gn (х) = Нп (—х).
m — I
Здесь П] = , пг
Z,
Таблица 19
Гармонические и бигармонические функции в эллиптических цилиндрических
координатах
Скалярная гармоническая функция:
= 5 X ^P4S, Im^p, tm^q, Im^s, I'
I, m p, q, s=l
Скалярная бигармоническая функция:
2 z
fi= V] У] CF WS fm +6 ch a cos ₽CGXiWS Zm + & sh a sin ₽CCi, wc bn +
l, m p, q, s=l '
Z^"Gz, pqs, lm + ^"2“ (C'! + 005 + г’j н, pqi, Zmj ^p, Im^q, lmZs, I ”b
+ г Cp, pql, от^р, omBq, om’
nl Pt q=^
0
Q
Метод разделения переменных в применении к бигармоническим функциям 197
Значения функций Ap, Im' Bq, im И Zs t:
/ = 0, m = °- Ap, 00 = { 1 (P = 1) . ° (P = 2) • R ( 1 (? — 1). 7 Dq, 00 — | p (q = 2) ’ Zs,0 — (1 U (s = (s = 1) 2)
1 = 0, m > °- Ap, от = { chaf^m (p = 1), sh a J- m (p = 2) (cos₽Km(<7=l). Bq. от | sin ₽ (q = 2)’ »
1 = 0, m < °- Ap, от = { cos a У —m (p = sin a —tn (p = 1). r _ Jch pK—m(<7=l). 2)’ 4'0m (sh ₽y—m (g=2)’ »
1=0, m + 0> Ap, от = ~ 65" II II IE IE r = { (q = 1). й<7,От \e-tfm(q = 2}' »
д _ (Се,(а, п) (р= 1) _ ( се, (₽, n) (q = 1)
1 + О, т О, 1т — п) (р = 2) ’ ач. im — | se, (₽. п) (q = 2) ’
_leiz (s=l)
zs, I — I e~l2 (s = 2) ’
Здесь ce, (p, n) и se, (P, n) — функция Матье, Ce, (a, n) и Se, (a, n) — модифициро-
b2l2
ванные функции Матье, v = f (m. n), n =
Таблица 20
Гармонические и бигармонические функции в сферических координатах
Скалярная гармоническая функция:
2
р ~ £ £ ^"pps, тпРр, m^q, mA, it'
m, n p, q, s=l
Скалярная бигармоническая функция:
2
в = £ £ [CF ws mn+ 4Sin₽cosecCXiWSim4 + «sinpsinecC4,iP9Sjm„ +
+ 4 cos pqs, тп + ч2Р‘Н, pqs, mnl ^p, mPq, mtfis, n‘
Значения функций Rp m, Bq тп и 0S
n = f) p = («m (P=l). r - ( pm (cos p) (q = 1) . 0 fl(s=l)
m °, °’ KP. m | 4—т-I (p = 2)’ Bq m0 | Qm (cos p) = 2) ’ s, о | 6 (s=2)
_ d -I*™ (P=l). R _ J Pm (cos ₽) (q = 1)
m^O. n^O, Rp m |4-m_1(p = 2), q mn |^(C0Sp) ((? = 2) ’
A __ ( cosnO (s = 1)
°s, n I sin пв (s = 2) ‘
Здесь Pm (p) и Qm (p) — полиномы Лежандра первого и второго рода; (р) и
(р) — присоединенные функции Лежандра также первого и второго рода.
Таблица 21
Гармонические и бигармонические функции в параболоидных координатах вращения
Скалярная гармоническая функция:
2
F — V V С Л R А
1 г । । pqs, тп р, mn q, mns, л-
т п р, q, S=1
Скалярная бигармоническая функция:
2
В = £ pqs, тп "Ь “р (cOS ®Cgx, pqs, тп + s*n ®^Gp, pqs, mr) "Ь
m, n p, q, s=l
+ (°2 P2) ^Gz, pqs, тп + ‘4'(я2‘1* P2)2 ^H, pqs, mnl ^p, mnPq, mn^s, n'
198
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Значения функций Ар тп, Bq тп и 0S „:
____Ой____О Л _____ (P=D. р _______ fl (9=1). q _____f 1 (s = 1)
,n _ U, п - О, А?. 00 — ( |п а (р = 2) . 00 — | ln р = 2) , Us 0— | 0 (s = 2)
™ _ о п ± О А = !а" О’ = *>• р =fP" (Я = 0 о = / cos пб (s = 1)
0, п ф V, Ар оп | а „ = 2у вп | = 2) ws, п | Sjn ng (s = 2)
т2 ъ- 0 п Ф О А — I Jn (та) (Р = О . о — ( In (иР) (? = 1) . „
т >0, ^р,тп-{хп(та) (р=2)' ™ - 1 Н) (? = 2) •
т2<-0 „=±0 А - Рп(?а) (Р=1) р (4 (m3) (</= 1) .
т <0, «¥=0, Лр т„-|Кя([хо) (р = 2), ^,тп-[хл(т1,) (q = 2)’
Здесь Jn (та) и Г„ (та) — функции Бесселя первого и второго рода; /п (рог) и
Кп ((’“) — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, и т = ip.
Таблица 22
Гармонические и бигармонические функции в сжатых эллипсоидных координатах
вращения
Скалярная гармоническая функция:
F = V V С А В 0
г Zj 2^ ^pqs, тп^р, inrit], mn°s, nr
т, Л Р. V. 8=1
Скалярная бигармоническая функция:
в= У £ [CF P9S mn+fcchasinP(cos6CGx ws mn + sinOCGi, ws mn) +
nt, n p, q, s= 1
+ b sh “ cos ЗССг pqs mn 4- 6* (ch* a - cos* P) CH PQS mn] AP mnBqt mnVS' n.
Значения функций Ap ^B^ mn и 6S
= f Pm(isha) (p= 1). „
I Qm (i sh a) (p = 2)
e _ f 1 (s = 1)
us. 0— j e (S = 2)
m _ 0, n = 0, Ap m0
<7,
= (P,„(cos₽) (q=l).
m0 I Qm (cos 3) (q = 2) ’
m SO, л #= 0, Ap mn
(P"(,sha) (p=l) в =(P"(cosp) (q=l)
lC('sha) (p = 2) ’ j Q" (cos 3) (q = 2) '
й _____ (cos nO (s = 1)
s, j sin n6 (s = 2)'
Здесь Pm ([i) и Qm (p)—полиномы Лежандра первого и второго рода; Р^ (р) и
&1)—присоединенные функции Лежандра также первого и второго рода.
Таблица 23
Гармонические и бигармонические функции в вытянутых эллипсоидальных
координатах вращения
Скалярная гармоническая функция:
Jj bpfls, тппр, mnDqt mnYs, n‘
tn, n p, q, s=l
Скалярная бигармоническая функция:
2
B= X [CF,p9S.m4 + *shasin₽(cos6CGjc pqs m„ + sin6CGp pqs mn) +
m, n p, q, S=1
+ b ch “ cos ₽CG2 pqs mn + 62 <sh2 a + cos2,3) CH pqs mn] Ap_ mnBq n.
Метод разделения переменных в применении к бигармоническим функциям 199
Значения функций Лр_ тп, Bq_ тп и 6^
msO, п = 0, Ар, mD
Pm (ch a) (p= 1).
Qm (ch a) (p = 2) ’
D = I Ля (cos 3) (q = 1).
m0 i Qm (cos fl) (q = 2) ’
0s,O=(
1 (s=l)
6 (s = 2)
A —
p, mn
PX(cha) (p=l)
Qm (ch a) (p = 2)
tn 35 0, n #= 0,
В f OC0SP) (?=').
4-mn 10005 3)^ = 2)’
cos /16 (s = 1)
sin z/0 (s = 2) ’
Здесь Рт (р) н Qm (р) — полиномы Лежандра первого и второго рода; Р^ (р) н
QPn (|i) — присоединенные функции Лежандра также первого и второго рода.
Таблица 24
Гармонические и бигармонические
Скалярная гармоническая функция:
функции в тороидальных координатах
F = (ch а — cos р) 2 V
т. п
V
_____I
Р. Q. S-1
Г' Д R А
тп™р, mnDq, mvs, п'
Скалярная бигармоническая функция:
2 1
4- b
{(ch a -COS 3) CF Pqs_ mn +------------------T tsh “ Cos CCGx, pgs, mn
(ch a = cos p) 2
т, п р, qt s= I
+ sh a sin 6CGpi pqs mn + sin ₽CGz, ppSi mn + b (ch a + cos ?) CH pgs mJ} Ap mrBq_ m ©s_
Значения функций Ap, mn, B^ m и 6S.
т = 0, /1 = 0, Лр>00 =
P_±(cha) (p= 1)
2 ’ n
Q , (ch a) (p = 2) 0
_ f 1 (<7=1). 0
- 1 ₽ (9 = 2)’ о
т = 0, и #= О,
^Р, on
Рп , (ch а) (р = 1) _
~~~2
Qn ! (ch а) (р = 2)
В -P^i)-
0 - (q = 2) ’
т =f= 0, п О, А __
• ’ ' ’ р, тп
_ J cos nb (s = 1)
1 sin «6 (s = 2)'
! (ch a) (p= 1)
Bq. m
€>
s, n
pn
, (Cha) (p = 2)
m 2
л _ I cos n6
s, n~ 1 sin nO
(s=l)
(s = 2) •
__ f cos m3
“ 1 sin ml
(<7 = 1)
(д = 2)
второго рода;
Лежандра первого и
Здесь P ] (<л) и Q , (p) — функции
— T 2"
Pn i (h) 11 Qn i ((') — присоединенные функции Лежандра также первого и второго
т----- т---------
рода.
200
Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа
Таблица 25
Гармонические и бигармонические
функции в биполярных координатах
Скалярная гармоническая функция:
1 2
f = (ch а + cos?,)2 V V CpqsmnApmBqmnQsn.
т, п р, q, s=I
Скалярная бигармоническая функция:
у у {cha + cos[')2c/7.
т, п р, q, s=!
b
1
(ch a 4- cos ₽) 2
[sin 8 cos 6CGj, pqs mn +
+ sin P sin ecCj, pqs mn + sh aCG2 pqs mn + b (ch a - cos ₽) CH pqs m J} Ap mBq mn^
Значения функций Др m Bq mn и 0S
zn — 0, n — 0, о — { a (p = 2) • Bq. 00 —
m = 0,
n + °> Л₽, о = {
1 (p = D . R
a (p — 2) ’ Dq. On
tn 0,
n * °- Ap. m= {
ema (P=l). B
е~тл (p = 2)' 4. mn
P j_(cosp) (q= 1)
— 2 ;
Q____i_ (cos 3) (q = 2)
~ ~2
_ f 1 (5=
s, 0 ~ | ft (S=:
P^j_(cosp) (q= 1)
Qn ! (cos P) (q = 2)’ 6S. Л={
Г
Pn I (cosp) (q= 1)
= m 2
Qn I (cos ₽) (<7 = 2)
/n--
cos nO ($= 1)
sin nb (s=2)
9 _ ( cos n6 (s = 1)
s' n I sjn no (s — 2) •
Здесь P j (p.) и Q ! (p) — функции Лежандра первого и второго рода
~ ~2~ ~ 2~
Рп । (р) и Qn , (р) — присоединенные функции Лежандра также первого и второго
т~Т т~Т
рода.
ГЛАВА IV
СМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Рассматривая изменения расстояний между любыми точками дефор-
мируемого тела, можно получить соответствующие выражения для
определения удлинений и изменения углов между отрезками. Так как
деформации в теле могут распределяться неравномерно, то это приводит
к необходимости рассматривать изменение расстояний и искажения
углов в весьма малом объеме, в пределах которого можно пренебречь
неравномерностью их. Использование же для этой цели методов мате-
матического анализа заставляет считать смещения, вызванные дефор-
мациями, функциями точек, дифференцируемыми известное число раз.
§ 66. ГРАДИЕНТ ВЕКТОРА СМЕЩЕНИЙ
Пусть имеем некоторое деформируемое тело, сплошь занимающее
весь свой объем. Перемещение любой точки этого тела, происшедшее в
результате его деформации, пусть представляется вектор-функцией и,
дифференцируемой в некотором объеме внут-
ри тела.
Фиксируя значения вектора и для
одной какой-нибудь точки А (рис. 49) этого
объема, мы для соседней точки В, рассмат-
риваемой в непосредственной близости от
точки А, получили другое значение переме-
щения и', отличающееся от и на весьма
малую величину.
Обозначая направленное расстояние от
точки А до точки В через dl, мы сможем, если
малыми высшего порядка, принять, что
и' = и + dl • V и-
пренебречь бесконечно
(4.1)
Новые положения точек А я В, которые они получают в резуль-
тате деформации тела, обозначим соответственно через А' и В', а новое
направленное расстояние от точки А’ к В’ — через dl'. Этот элементар-
ный вектор мы сможем выразить через dl при помощи равенства
dl' = dl • (I + у и), (4.2)
где / — единичный тензор.
Если ввести в рассмотрение систему координат, определяемую
основным репером ет(т= 1, 2, 3), то мы будем иметь, что
dl = dxmem\
dl’ = dx"nei.-,
202
Смещения и деформации
где dxm и dx'm— контравариантные компоненты элементарных векторов
dl и dl'. Тогда векторное равенство (4.2) можно заменить системой
скалярных равенств следующего вида:
dx'™ = dxn (б- + U + . (4.3)
Здесь ит — контравариантный компонент вектора смещений и. Таким
образом, связь между элементарными отрезками dl и dl', представляю-
щими своей величиной расстояния между двумя соседними точками
деформируемого тела до и после деформации, определяется тензором
двукратной валентности
U = V и, (4.4)
являющимся градиентом векторного поля смещений.
Введем обозначение ez для основного вектора направленного отрез-
ка dl и значение модуля последнего в масштабе вектора et обозначим
через | dl |, так что
dl = £l\dl\.
Тогда, принимая во внимание равенства (4.2) и (4.4), получим, что
(4-5)
Таким образом, тензор U, при скалярном умножении его слева на
основной вектор выбранного направления, определяет векторное измене-
ние направленного элементарного расстояния между двумя соседними
точками, увеличенного до размеров направляющего вектора.
Если вектор et принять равным какому-либо из неординарных
векторов, то в этом случае, согласно равенству (4.5), мы найдем значе-
ние векторного приращения направленного расстояния между двумя
соседними точками, расположенными вдоль соответствующего координат-
ного направления.
Составляющая векторного приращения (4.5) вдоль направления,
определяемого этим или другим основным вектором е,, получится в
результате скалярного умножения выражения (4.5) на вектор et. Вводя
для него обозначение Ult, мы найдем, что
Ult = е, • U • et. (4.6)
Таким образом, первый индекс в обозначении Ult соответствует на-
правлению, для которого определяется относительное смещение двух
соседних точек, а второй — тому направлению, для которого определяе-
тся компонент этого относительного смещения.
При совмещении вектора et с et мы получим значение составляющей
вектора относительного приращения расстояния между двумя соседними
точками вдоль этого же расстояния.
Очевидно, если оба вектора, et и et, совместить с координатным
основным вектором е„ то выражение (4.6) даст нам диагональный компо-
нент Uп тензора U\ если же вектор ez обратить в координатный вектор
et, а вектор ef — в координатный вектор в/, то из равенства (4.6) мы
найдем боковой компонент U ц этого тензора.
В координатной форме любой ковариантный компонент тензора U
имеет вид
= (4,7)
Тензор конечных деформаций
203
Несколько проще то же выражение будет в том случае, если вектор
смещений и представить ковариантными компонентами. Для этого случая
ди, ь
(4.8)
Введем в рассмотрение еще смешанные компоненты тензора U:
, dui . ,
и‘- = аД + uVk‘- (4'9)
Тензор двукратной валентности U
U = Vм = LJ^e'ei = U'j.e'ej, (4.10)
будучи асимметрическим, может быть разложен на симметрическую и
антисимметрическую части. Если ввести для них соответственно обозна-
чения е и &, так что
t/ = s + », (4.11)
то эти последние будут определяться равенствами
s = 4(Vu + uV); (4-12)
&=1(V« — «V). (4.13)
Координатные компоненты их в естественной системе отсчетов могут
быть представлены следующим образом:
е'/ = ц "( (4-15)
(4.15)
Эти величины, как будет показано далее, в случае бесконечно малых
деформаций имеют определенный кинематический смысл.
§ 67. ТЕНЗОР КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Введем в рассмотрение два элементарных направленных отрезка dl
и dr, имеющих общую начальную точку. Они будут определять положе-
ния двух каких-либо соседних точек внутри рассматриваемого тела
относительно третьей, являющейся начальной для указанных векторов.
После деформации эти два элементарных вектора обратятся в векторы
dl' и dr', которые будут связаны с предыдущими при помощи зависи-
мостей вида (4.2).
Для выявления некоторых инвариантных соотношений в дефор-
мированном теле составим скалярное произведение из элементарных
векторов dl’ и dr'. Тогда, принимая во внимание равенство (4.2), по-
лучим, что
dl' • dr' = dl • [/ + + wV + (V«) • (UV)1 • dr.
Вводя обозначения
Г = + «V + (V«) • («V), (4.16)
мы сможем предыдущую зависимость представить в таком виде:
dl' • dr' = dl • (I -f- T) • dr. (4.17)
204
Смещения и деформации
Отсюда будет следовать, что
<r, dl' • dr' — dl - dr
ei‘T'er~-------|Л||Л|
(4.18)
где величины \dl\ и | dr | — длины векторов dl и dr при условии, что за
единицы измерений приняты модули их основных векторов, е, и ег. На
этом основании мы можем заключить, что тензор Т после двойного
скалярного умножения на некоторые основные векторы определяет
относительные изменения скалярных произведений двух элементарных
векторов, совпадающих своими направлениями с этими основными
векторами и измеренных в масштабах последних. В случае совпадения
между собой двух начальных элементарных направленных отрезков
выражение (4.18) будет определять относительное изменение квадратов
их длин. Если при этом элементарные векторы dl и dr направить вдоль
основного координатного вектора е,, то в левой части равенства (4.18)
возникнет координатный диагональный компонент Ttl тензора Т. Если
же один из двух элементарных векторов dl и dr направить вдоль основ-
ного координатного вектора е„ а другой — вдоль е,, то в левой части
равенства (4.18) получится соответствующий боковой компонент Тц
этого тензора.
В координатной форме любой компонент тензора Т может быть
получен из выражения
Ту = Ult 4- Ц, + tT‘U,mUni. (4.19)
Для случая декартовых координат мы отсюда находим шесть
равенств двух типов, по три равенства каждого:
-г og“x I /<Э«хУ I /gUyV I
1 « ~ 2 дх + \ дх } + \ дх ) ±\дх)’
„ ___ диг [ диу . dux дих . duy duv | диг duz
vz ду дг ' ду дг ду дг ду дг '
(4.20)
Остальные получаются отсюда в результате циклической перераста-
новки индексов и обозначений координат, по которым выполняется
дифференцирование.
Величина удлинения элементарного отрезка, увеличенного до размера
основного вектора вдоль выбранного направтения, который в принятой
системе отсчетов является единицей измерения длин для этого направ-
ления, будет
tu=Vgu+Tu-Vgu. (4.21)
Относительное
выражением
удлинение в нормированном масштабе определится
^ = 1 1 +
I £а
(4.22)
Косинус деформированного угла между двумя направлениями, за-
данными до деформации основными векторами е, и ег, найдется из
формулы
1+—
т, = —-------— Slr......— . (4 23)
Тензор бесконечно малых деформаций
205
Заметим, что выражение ь . представляет здесь величину коси-
V gllgrr
нуса того же угла до деформации.
Тензор Т, определяющий указанным образом удлинения и углы
между заданными направлениями после деформации, можно именовать
тензором конечных деформаций.
§ 68. ТЕНЗОР БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Сложный характер выражения (4.19) с одной стороны и незначи-
тельная величина упругих деформаций для большинства твердых тел
с другой — обусловили необходимость перехода к рассмотрению беско-
нечно малых деформаций. Как показывает опыт, погрешность в точности
расчетов при использовании таких выражений вместо приведенных выше
для конечных деформаций применительно к элементам обычных несущих
конструкций инженерных сооружений практически не ощутима.
1. Симметричная часть градиента вектора смещений. Будем опери-
ровать такими деформациями, которые обусловливаются бесконечно
малыми значениями градиента вектора смещений; В этом случае в вы-
ражении (4.16) для тензора конечных деформаций мы сможем, согласно
общим принципам математического анализа, пренебречь скалярным
произведением градиентов вектора смещений в сравнении со слагаемыми
их первых степеней. В результате получим, что
Т = \7и + «V- (4-24)
Сопоставляя правую часть этого равенства с выражением (4.12)
для s, мы легко находим такую зависимость:
Т = 2е. (4.25)
Отсюда следует аналогичная связь между компонентами этих
тензоров
Tti = 2г». (4.26)
2. Удлинения. Если теперь обратиться к равенству (4.22), определя-
ющему величину относительного удлинения, то найдем, что в данном
случае это удлинение представляется равенством:
Принимая во внимание, что компоненты еи являются здесь величи-
нами бесконечно малыми первого порядка в сравнении с единицей, из-
влечем корень в первом члене правой части последнего равенства и,
принебрегая величинами высшего порядка малости в сравнении с первой,
получим, что
Можно показать, что правая часть этого равенства представляет
собой не что иное как нормированный диагональный компонент тензора е,
определенный для случая ортогональной системы координат. Действи-
тельно, принимая во внимание общее выражение для нормированных
компонентов тензора двукратной валентности
t
206
Смещения и деформации
получим, умножая числитель и знаменатель правой части равенства
(4.27) на g“, что
“ sug“ ’
где суммирование в знаменателе дроби по значениям одинаковых верх-
них и нижних индексов не должно выполняться. В случае же исполь-
зования ортогональных координат знаменатель здесь обращается в еди-
ницу, и мы находим, что для этого случая
hi — еи- (4.28)
Таким образом, при бесконечно малых деформациях относительное
удлинение линейного элемента деформированного тела для некоторого
направления определяется значением для этого направления диагональ-
ного компонента тензора деформаций в ортонормированной системе ко-
ординат.
3. Сдвиги. Равенство (4.23), определяющее косинус деформирован-
ного угла между двумя направляющими, совпадающими до деформации
с направлениями основных векторов е, и ег, при наличии зависимости
(4.25) получит следующий вид:
Пренебрегая бесконечно малыми второго и высшего порядков в
сравнении с величинами более низких порядков малости, мы сможем
выражение правой части этого равенства представить таким образом:
т = (1 + 2 V
Vgtlgrr \ Bl Г gll grrj
*
Учтем далее то обстоятельство, что, как было отмечено, выражение
е1г . представляет собой косинус угла между выбранными направ-
V gllgrr
лениями до деформации. Тогда изменение косинуса этого угла, которое
мы обозначим через yZr, происшедшее в результате деформации, будет
Ъг = ^2— — — — —V (4.29)
Vgugrr\ Blr gll grr)
В частном случае, когда оба направления, заданные основными
векторами ez и ег, ортогональны и, следовательно, glr = 0, мы получим
из этой формулы, что
_ 2е1г
lr Vgtlgrr '
(4.30)
На тех же основаниях, что и при выводе зависимости (4.28) для
относительных удлинений, мы можем заключить, что здесь правая часть
равенства представляет собой удвоенное значение нормированного ком-
понента е/г тензора г для ортогональных направлений, определяемых
индексами I и г:
hr = 2 eir-
(4-31)
Тензор бесконечно малых деформаций
207
Примем теперь во внимание, что при ортогональности начальных
направлений изменение косинуса угла между ними, представляемое в
данном случае величиной yZr, равно, для случая бесконечно малого
изменения этого угла с точностью до величин высшего порядка малости
самому изменению угла с обратным знаком. Тогда из равенства (4.31)
будет следовать утверждение, согласно которому уменьшение перво-
начального прямого угла между двумя векторами et и ег, происшедшее
в результате деформации тела, равно удвоенному значению ортонорми-
рованного компонента тензора е с индексами этих векторов. Уменьше-
ние первоначального прямого угла в теории малых деформаций носит
название относительного сдвига.
4. Тензор бесконечно малых деформаций. Из предыдущего следует,
что тензор е своими ортонормированными компонентами непосредственно
определяет как линейные, так и угловые деформации, если эти дефор-
мации бесконечно малы. В том случае, когда тензор е представлен в
произвольной системе координат, основанием для нахождения линейных
деформаций будет служить равенство (4.27), а угловых — равенство (4.29).
Поэтому тензор е получил название тензора бесконечно малых дефор-
маций или, если исключены недоразумения, просто тензора деформаций.
Отметим, не останавливаясь на подробностях, некоторые его свой-
ства, следующие из определяющей его формулы и рассмотренных ранее
применительно к тензору напряжений общих свойств тензоров дву-
кратной валентности.
Тензор деформаций, как вытекает из равенства (4.12) или (4.14) и
как уже отмечалось, является симметрическим
е,7 = гд. (4.32)
Однако, вопреки тому, что имеет место в отношении тензора на-
пряжений, результат однократного скалярного умножения его на на-
правляющий вектор еь не приводит к реальным физическим представле-
ниям. Двукратное же скалярное умножение этого тензора на два
единичных вектора, совпадающих между собой или взаимно-перпенди-
кулярных, определяет соответственно относительные удлинения или
половинные значения относительных сдвигов:
В случае же использования ненормированных направляющих векто-
ров относительные удлинения для разных направлений оказываются
несравнимыми между собой, а для неортогональных направлений не
возникает параллели между сдвигами и боковыми компонентами тензора
деформаций. Общие же правила преобразования компонентов тензора
при изменении координатных систем, понятно, сохраняются и в данном
случае.
Формулы (4.12) и (4.14) выражают тензор деформаций через вектор
смещений. В случае декартовых координат они приводят к следующим
равенствам:
_ дих . ___Stiy _ _ диг .
дх ’ ду ’ Szz дг
Zvz ~~ 2 ~т~ дг ) ’ Ёгх 2 \дг дх /’ 2 \дх ду ] '
208
Смещения и деформации
5. Главные деформации. Тензор деформаций, как и тензор напряже-
ний, может быть преобразован к главным осям. В этом случае из его
выражения исчезают боковые компоненты и все представление получает
наиболее простой вид. Ввиду взаимной ортогональности главных осей с
ними можно совместить декартову систему координарных осей, и так
как в этой системе исчезает различие между ко — и контравариантными
компонентами, тензор деформаций в таких осях можно представить
формулой
е = е„п + е^// + е„/г/г.
Здесь evv, ew и е2г — так называемые главные деформации, каковыми
являются удлинения вдоль главных осей. Принимая во внимание, что
боковые компоненты тензора деформаций для этих направлений анну-
лируются, еуг = Егг = еху = 0, и что ими характеризуются изменения
прямых углов между соответствующими направлениями, мы можем
определить главные оси тензора деформаций как такие прямые линии,
первоначальные прямые углы между которыми не изменяются в резуль-
тате деформации.
Вопрос о нахождении главных деформаций и их направлений для
случая, когда тензор деформаций задан в произвольной системе коорди-
нат, решается таким же способом, как и в отношении тензора напряже-
ний. Очевидно также, что подобно поверхности нормальных напряжений
можно построить поверхность удлинений, которая будет показывать
распределение последних по разным направлениям вокруг точки. При
этом может быть выявлено, что в числе главных удлинений находятся
наибольшее и наименьшее удлинения.
§ 69. ВЕКТОР ОТНОСИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПОВОРОТА
Выясним далее роль антисимметрической части градиента вектора
смещений в искажении пространства при бесконечно малых деформа-
циях, определяемой равенством (4.13). С этой целью обратимся к равен-
ству (4.5) и, принимая во внимание представление (4.11), получим
зависимость
Рассмотрим специальный случай е = 0 и, следовательно,
Тогда, вследствие равенства (4.13), найдем, что относительное изме-
нение элементарного вектора dl будет определяться таким образом:
ez • & = уez • (Vи — н\7) = |(V х и) х ez.
Отсюда следует (рис. 50), что вектор относительного изменения
направленного отрезка dl нормален как к этому отрезку, расположен-
ному вдоль вектора ez, так и к вектору
ю = 4 (V X и) . (4.35)
2 23 2 3
Тензор деформационного изменения векторов направленных площадок 209
Поскольку при аннулировании тензора е все линейные удлинения и
искажения углов, обусловленные бесконечно малой деформацией тела,
с точностью до величины второго порядка малости равны нулю, мы зак-
лючаем, что изменение элементарного отрезка dl, обязанное тензору й,
может рассматриваться как результат поворота этого отрезка вокруг
оси вектора ш на элементарный угол, равный модулю этого вектора.
Таким образом, антисимметрическая часть градиента вектора
смещений определяет при бесконечно малых деформациях поворот окрест-
ности рассматриваемой точки на бесконечно малый угол без искажения
этой- окрестности, если пренебречь бесконечно малыми второго и выс-
шего порядков.
Соответствующий этой антисимметрической D /
части вектор ш элементарного поворота в коор- /
динатном представлении определяется формулой I
ш = & UtIek. (4.36) \ В
2 V g V"
Абсолютное значение этого вектора найдется '
из скалярного произведения, представляющего д
его выражения (4.35), самого на себя: /
-2=|(VXu)-(VXu). (4.37)
Используя соответствующую формулу разло-
жения скалярно-векторного произведения четырех векторов, мы мо-
жем правую часть этого равенства представить следующим образом:
ll/VV/VWVVM YI
4 [\и ) . \ и ) \и) . \V/J
(4.38)
Здесь круглыми скобками выделены градиенты вектора смещений,
а точками показаны скалярные произведения векторов, между которыми
эти точки представлены, причем оператор V рассматривается как услов-
ный вектор. При использовании координатного представления (4.36)
возникает выражение
Ui-Umn. (4.39)
4 тп Ч ' '
§ 70. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИОННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРОВ
НАПРАВЛЕННЫХ ПЛОЩАДОК
Рассмотрим деформации площадок, связанных с деформируемым
телом. Исходной площадкой пусть будет параллелограмм, построенный
на двух элементарных отрезках как на сторонах, проведенных из одной
общей точки, принадлежащей телу, к двум соседним, также ему при-
надлежащим.
Пусть указанные элементарные направленные отрезки, взятые до
деформации, изображаются векторами dl и dr, а те же отрезки
после деформации — соответственно векторами dl' и dr'. Очевидно,
в результате деформации интересующий нас параллелограмм изменит
как свои размеры, так и положение в пространстве. Для нахождения
этих изменений составим векторное произведение двух векторов dl' и dr'.
14 В. И, Блок
210
Смещения и деформации
связанных с их исходными ёеличинами dl и dr равенствами типа (4.2).
В результате получим следующую зависимость:
dl' х dr' = dl • [I X 1 + 1 X (tz\7) + (Vм) X / + (V«) X (u\7) 1 ‘ dr,
которую после введения обозначения
S = I х (uS7) + (V«) X I + (V«) X (UV) (4-40)
представим таким образом:
dl' xdr' = dl (1 X 1 + S)- dr. (4.41)
Выделяя, согласно равенствам
dl = ez | dl | и dr = er | dr |,
основные направляющие векторы ez и er элементарных векторов dl и dr,
мы сможем из зависимости (4.41) получить такое соотношение:
В правой части этого равенства в числителе дроби мы имеем гео-
метрическую разность двух направленных элементарных параллелограм-
мов, из которых уменьшаемое представляет собой значение вычитаемого
после деформации. Единицей измерения площади является площадка,
определяемая векторным произведением ez х ег. В знаменателе этой дроби
мы имеем численное значение площадки dl < dr в указанных единицах
измерения. Равенство (4.42) показывает, что тензор S, будучи скалярно
умножен справа и слева на основные векторы выбранных направлений,
определяет происшедшее в результате деформации тела геометрическое
изменение вектора площади элементарного параллелограмма, подобного
построенному на направляющих векторах как на ребрах и увеличенного
до размеров последнего. Тензор S является тензором трехкратной ва-
лентности и вследствие указанных обстоятельств может быть назван
тензором деформационного изменения векторов направленных площадок.
Обозначая координатные компоненты тензора S через Sikl, мы по-
лучим
S = S^e'eV. (4.43)
Заметим, что в обозначении S,kj оба крайних индекса соответствуют
направлениям основных координатных векторов, окаймляющих рассмат-
риваемый координатный параллелограмм, а средний индекс соответствует
координатному компоненту вектора геометрического изменения этого
параллелограмма, представленного вектором-нормалью. Сообразно этому,
обозначая через v вектор геометрического изменения элементарной
ц
площадки, подобной определяемой основными векторами е, и е, и увели-
ченной до размеров последней, мы можем представить его равенством
v = Sikjek. (4.44)
Перестановке крайних индексов в обозначении S,kj будет соответ-
ствовать перестановка векторных сомножителей в выражении (4.42).
При такой перестановке, очевидно, мы получим в результате изменение
знака в значениях соответствующих компонентов тензора S. Кроме того,
в случае совпадения двух крайних индексов, мы, согласно правой части
равенства (4.42), должны получить нулевые значения этих компонентов.
Тензор деформаций площадок
211
Эти свойства характеризуют тензор S как антисимметрический в отно-
шении крайних индексов.
При использовании координатных компонентов тензора U можно
получить следующее выражение для тензора S:
S = \Tg (G^Uf + GiniUkn + ) e‘efek. (4.45)
Для случая бесконечно малых деформаций при сохранении только
величин первого порядка малости в приведенных выражениях (4.40) и
(4.45) должны быть отброшены слагаемые, составленные из произведений
градиентов вектора смещений или произведений их компонентов.
§ 71. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ ПЛОЩАДОК
1. Выражение тензора. Как следует из предыдущего, компоненты
тензора S позволяют определять координатные составляющие относи-
тельного изменения вектора деформируемой площадки. Для нахождения
относительного изменения величины этой площадки и изменения углов
между нормалями к двум таким площадкам, привязанным к общей
точке, составим скалярное произведение векторов (dl’ х dr') и (dl' х dr’).
112 2
Они представляют собой векторы-нормали двух элементарных парал-
лелограммов после деформации, изображаемых до деформации произ-
ведениями (dl > dr) и (dl >; dr). Связь между векторными изображениями
11 2
площадок до деформации и после нее представляется зависимостями типа
(4.41). При этом найдем, что
dl • (I х I + S) • dr
dl • (1 х 1 + S)-dr
2 2
Таким способом начертания правой части равенства мы хотим от-
метить то обстоятельство, что при скалярном умножении значения
верхней строки на значение нижней этому умножению подлежат средние
из трех векторов триад, из которых состоят тензоры трехкратных валент-
ностей, заключенные в круглые скобки в каждой строке. Выполняя
в правой части этого равенства почленое умножение по вертикали, мы
получим, что
(dl’ х dr') (dl' х dr') = dl dl • •
1 1 2 2 2 1
17 x I 1 xl S SI
1x1 S 1x1 S
• dr dr.
1 2
Смысл примененной здесь записи заключается в следующем. В правой
части равенства тензорное выражение, заключенное в прямые скобки,
подлежит двойному скалярному умножению слева на диаду dldl, а
2 1
справа — на диаду dr dr. Векторы этих диад умножаются в той после-
1 2
довательности, в какой они записаны, т. е. сначала векторы, ближайшие
к среднему общему тензорному выражению, заключенному в прямые
скобки, а именно, снабженные нижним номером 1, а затем остальные,
т. е. снабженные номером 2. Что касается четырехчленного выражения,
заключенного в прямые скобки, то в каждом слагаемом, представленном
скалярным произведением по вертикали, умножению подлежат только
14*
212
Смещения и деформации
средние векторы этих триад. В результате умножения по вертикали
возникают тензоры четырехкратной валентности, причем как верхние,
так и нижние сомножители сохраняют по два основных вектора, обра-
зующих диады.
При выписывании полученных после такого умножения по вертикали
результатов в строку векторы верхних диад должны быть спущены вниз
по одному по обе стороны нижних диад, как указывают горизонтальные
дужки.
Если ввести обозначение
I X I S S
" + /V/+ 's
(4.46)
то можно будет предыдущее равенство представить следующим образом:
(dl' х dr’) • (dl' х dr') = dldl •
1 1 2 2 2 1
+ F • • dr dr.
1 2
(4.47)
Отсюда мы получим, что
elel • • F • • erer
2 1 12
(dl' x dd) (dl' X dr')— (dl x dr) (dl x dr)
112 2 112 2
I dl 11 dr 11 dl j | dr |
112 2
(4.48)
где \dl |, | dr |, | dl | и | dr | — модули элементарных векторов dl, dr, dl и dr ,
1122 1122
направляющие векторы которых представлены обозначениями ez, er,
i i
et и er.
2 2
Скалярное умножение тензора F на основные векторы eh er, et и ег
112 2
в той последовательности, как это показано в левой части равенства
(4.48), приводит нас к его компоненту Рцгг. Исходя из правой части
того же равенства, легко установить следующие симметрические и анти-
симметрические свойства тензора F:
F 1,1'^ ,Г 2 ГГгГ,1г1, Р^Л^Гг^!
F l,l2r,rz ~ FГ2l2’’ll1’, F 1,1,Г,Г2 = Fl,r,Z2r2.
Исходя из равенства (4.46), представим тензор F в следующем виде
через компоненты тензора S:
р = (уу eaa-Sbnc + VgebcnS^“ + Sa^Sbnc) eaebifed.
(4.49)
Как следует из формулы (4.48) и как будет показано ниже более
подробно, тензор F позволяет определять как относительные изменения
элементарных площадок, так и значения углов между ними после де-
формации. На этом основании его можно назвать тензором деформации
площадок.
2. Изменения величин площадок. Для нахождения относительного
изменения площади элементарного параллелограмма, стороны которого
совпадают с направлениями векторов ez и ег, примем во внимание, что
формула (4.47), в случае, когда dl = dl = dl и dr = dr — dr, определяет
12 12
значение квадрата величины площади деформированного параллелограмма,
Тензор деформаций площадок
213
построенного до деформации на векторах dl и dr как на сторонах.
Вследствие этого обозначаемое нами далее через fir изменение величины
элементарной площадки, подобной параллелограмму, построенному на
векторах ez и ег и увеличенной до размеров последнего, определится
формулой
fir = I X er) (et X er) + Fllrr — ] (et x er) (et X er).
Здесь модули векторов ez и er приняты за единицы измерения длин
в своих направлениях и, следовательно, мера площади является специ-
альной ad hoc. Для случая же, когда единицей измерения площади слу-
жит стандартная единица квадрата со сторонами равными единице длины,
относительное изменение величины площади, которое мы теперь обозначим
через у1г, будет
^==/* 1 2 *+(7^Т^7Т-1- <4'50)
Если основные векторы ez и ег будут совпадать с координатными
векторами е, и ez, то в этом случае будет иметь место равенство
в, х ez = ± Vgek (i; /; k = 1; 2; 3; i =/= / =/= k),
где знак + соответствует правой координатной системе. Тогда форму-
ла (4.50) получит следующий вид:
^7 = /1+^-1 (i; /; fe = l;2;3;i^/^fe). (4.51)
3. Изменение углов между площадками. Определим значение коси-
нуса угла между нормалями к двум элементарным параллелограммам
после их деформации. Пусть один из этих параллелограммов имеет
стороны, параллельные направлениям векторов е; и ег, а другой — на-
правлениям векторов ez и ег. Тогда, вводя обозначение для указан-
2 2
ного косинуса, мы получим для него следующее выражение:
(eZXer)-(ezXer) + FZiZ2rir2
+ F^^ г- +
rllXi V А А А А
(4-52)
Если векторы ez и ег совпадают с основными координатными векто-
1 1
рами е, и ez, а векторы ez и ег — с основными координатными векторами
2 2
ет и еп, где тип могут принимать вместе или отдельно значения i
и /, но i =£ / и т =/= п, то соответствующее значение косинуса утла между
нормалями к таким площадкам после деформации будет
gk°
F
imn]
gg™
gg‘k
ттггп
1 ggpp
li =/= / =/= k, m + n=F k\
\i; /; k', m; n\ p= 1; 2; 3/
Здесь k — индекс третьего координатного направления, не совпада-
ющего с направлениями, обозначенными индексами i и /; аналогично р —
индекс третьего координатного направления, не совпадающего с направ-
лениями представленными индексами тип.
214
Смещения и деформации
4. Бесконечно малые деформации площадок. В случае бесконечно
малых деформаций выражение тензора F, представленное равенством
(4.49), получит, при сохранении в нем лишь величин первого порядка
малости и подстановке соответствующих значений компонентов тензора
S, следующий вид:
F = + eldmucm + еьеиат + eabcUdJ eaebeced. (4.54)
Переход отсюда к ковариантным или контравариантным представ-
лениям может быть совершен на основе обычных правил. Выражение
для относительного изменения координатных площадок при этом, если
исходит из формулы (4.51), будет представляться равенством
' <'*'**>•
Если принять во внимание, что для случая ортогональных коорди-
нат произведение g‘‘gpgkk равно определителю контравариантного мет-
рического тензора, значение которого обратно величине g, то последнее
представление нас приведет, в случае ортонормированных систем, к связи
4H = ^Fim, (4.55)
которая устанавливает непосредственное геометрическое значение соот-
ветствующих компонентов тензора F в случае бесконечно малых де-
формаций.
Формула (4.53), определяющая косинус угла между координатными
площадками после деформации, в случае бесконечно малых деформаций
и учета величин лишь низшего порядка малости получает следующий
вид:
Ф ____ g*p (1 I Fimni_____F _______Fmmnr^\ (t4= j =k k • m =F n =F p\
,mnl gg,ip 2g g™ 2g gw I tn-, n-,p=l; 2-3)
Обозначая изменение косинуса этого угла через okp, мы получим
отсюда на тех же основаниях, что и при выводе формулы (4.29), выра-
жение
S gkp 1 ИЦ I Fmmnr\ /Д Cn
gVIFg™'- ekp 2 gkk 2 grp )' v
В случае ортогональности координат это равенство обращается
в следующее:
р Р Р
g _ _imn} ____ г imnj __ г imni
kp g уekkgpp ~ gV(g‘ig"^k)(grn,ngingpp) g(g“g'lgk,<} ’
откуда, на основании уже отмеченных выше обстоятельств, находим, что
оАо = Fimni (i =/= j =£k; m=F n=F p; i; j; k\m; n; p=l; 2; 3). (4.57)
Используя представление (4.54) для тензора F, легко проследить,
что, например, в декартовых координатах будут иметь место такие
равенства:
дих . дии дии , диг
~~ ~ ^их~ ~дх ду ’ Vi* — ~Чги — + йГ ’
Ou? I Ou?* <> /Ou? । Ou о । i a
^ = -^2=-^+af; = = <4-58)
y, y, (dux . 0u2\ y. y. /Ou^r . Оид\
Тензор объемных деформаций
215
К этому можно прийти в случае бесконечно малых деформаций и
из простых геометрических представлений. Наличие знака минус в пра-
вой части последних трех формул может быть объяснено тем, что при
сближении двух координатных площадок при повороте вокруг общего
ребра увеличивается угол между положительными нормалями к ним и
наоборот.
§ 72. ТЕНЗОР ОБЪЕМНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
1. Конечные деформации. Рассмотрим изменение объема элементар-
ного параллелепипеда, принадлежащего деформируемому телу и постро-
енного на векторах dp, dq и dr как на ребрах. Обозначим эти векторы
после деформации соответственно через dp', dq' и dr' и примем, что
связь их с предыдущими представляется зависимостями типа (4.2).
Так как объем параллелепипеда, как было показано в § 3, может
быть определен смешанным скалярно-векторным произведением трех
векторов, являющихся его ребрами, то принимая во внимание зависи-
мость (4.41), мы можем для объема интересующего нас деформированного
элементарного параллелепипеда составить следующее равенство:
[dp'dq'dr'} = (dp' х dq') dr' = dr • (I x V«) • (dp • (1 x 1 + S) • dq].
Обращаясь к выражению I x I + S, представляющему собой тензор
трехкратной валентности и, следовательно, могущему быть трижды
скалярно умноженному на вектор, следует заметить, что две его валент-
ности, левая и правая, устранены в данном равенстве в результате
скалярного умножения на dp и dq. Таким образом, третье скалярное
умножение на выражение dr (/ + Vw) возможно выполнить лишь с век-
тором промежуточной валентности суммы I X I + S. Все это может быть
наглядно представлено следующим образом:
[dp'dq'dr'] = dp • [/ х I + S 4- I X I + S] • dq.
Введем обозначение
(4.59)
(4.60)
Здесь наклонная черта показывает, что после выполнения скалярных
умножений оставшиеся векторы верхних множителей должны, при вы-
писывании общего результата в строку, располагаться справа от остав-
шихся векторов нижних множителей. Этим обеспечивается возможность
использования в дальнейшем обычной строчной записи.
Символ 0 представляет, как следует из равенства (4.60), тензор
трехкратной валентности.
Если воспользоваться равенством
dp=ep\dp\-, dq = e4\dq\ и dr = er\dr\,
где ер, еч и ег — направляющие векторы, a|dp|, |d<7| и | dr |—модули
элементарных векторов dp, dq и dr, то можно будет из соотношения
(4.59), при наличии обозначения (4.60), получить такую зависимость:
ее е О - [dp'dq'dr']-[dpdqdr] ' „
216
Смещения и деформации
Отсюда следует, что тензор 0 в результате тройного скалярного
умножения на три основных вектора для трех выбранных некомпланарных
направлений определяет изменение объема элементарного параллелепи-
педа, подобного построенному на этих направляющих векторах как на
ребрах и увеличенного до размеров последнего. На этом основании
тензор 0 может быть назван тензором объемной деформации.
В возникающих в результате указанного тройного скалярного умно-
жения компонентах Qpqr тензора 0
©р г == er&q&p' * *0,
индексы, согласно правилам смешанного скалярно-векторного произве-
дения трех векторов, могут быть циклически переставляемы без изме-
нения значений этих компонентов. При ациклической перестановке
индексов возникающие при этом компоненты тензора 0 будут изменять
свой знак при сохранении абсолютного значения. Компоненты с двумя
одинаковыми индексами имеют нулевые значения. Таким образом, из
всех компонентов тензора 0 только шесть с тремя разными индексами
не будут равны нулю, причем три из них будут равны между собой,
а три другие будут отличаться от них только знаком.
Имея в виду равенства (4.10) и (4.45), а также то обстоятельство,
что произведение I х I может быть в координатной форме представлено
следующим образом:
Ixl = Vge'jke‘ekei, (4.62)
мы найдем для координатного представления тензора 0 такое выражение:
0 = = Vg (GaikU-° + VakU" + Wt + ешЬЦ‘икь. +
+ ейП,и\аикь. + eabkU\aU^ + eabcUW^U-kc.) е‘е'е!‘. (4.63)
В результате конкретизации индексов отсюда получим следующие
выражения для отдельных компонентов тензора 0:
©1,7 -- &П) --- &iji -- 0; и — 0;
©123 — ©231 — ©312 —
. Ui
U21.
t/i!
t/з!
'©13S-----©213-----©з21 — Vg(^Л- 4“ ^2- + ^з-
и£ С/з.1
и-3 U{\
U'2. U23
и{3.
и-23
— J g(V + ^ц + Цп),
(4.64)
+
V*
где Ult UИ и U ш в соответствии с тем, что было приведено в § 28,
представляют значения первого, второго и третьего инвариантов тен-
зора U.
В нормированной системе координат тензор 0 будет иметь коорди-
натные компоненты 0Ц*, определяемые равенством
©,/A = ©zftVFPF\ (4.65)
где суммирование по одинаковым значениям верхних и нижних индексов
исключается.
Как следует из формул (4.64) и (4.65), каждый не равный нулю
координатный компонент тензора © определяет одну и ту же величину,
Суперпозиция деформаций
217
представляющую собой, согласно отмеченному, изменение объема эле-
ментарного параллелепипеда в рассматриваемой точке, увеличенного до
размеров параллелепипеда, построенного на направляющих векторах как
на ребрах в этой точке. Для получения значения относительного изме-
нения объема в некоторой точке следует значение тройного скалярного
произведения тензора Е) на три некомпланарных вектора разделить на
значение объема параллелепипеда, построенного в данной точке на этих
векторах как на ребрах, или при координарных представлениях, разде-
лить его отличный от нуля компонент на величину V^g, представляющую
значение указанного основного объема.
Если ввести обозначение 6 для относительного изменения объема,
то вследствие равенства (4.64) мы получим для него выражение
е = ц + + цп. (4.66)
2. Бесконечно малые деформации. Ограничиваясь в случае бесконечно
малых деформаций учетом лишь величин первого порядка малости, мы
легко заключаем, что относительное изменение объема в этом случае
будет определяться первым инвариантом градиента смещений,
е = ц, (4.67)
который совпадает со значением дивергенции вектора смещений
6 = V (4.67J
а также со значением результата скалярного свертывания тензора беско-
нечно малых деформаций
О = £ (4.67г)
©
или его первого инварианта.
В декартовых координатах относительное изменение объема при бес-
конечно малых деформациях будет представляться выражением
О = ^ + ^ + . (4.68)
ох оу 1 az ' '
Заметим, что все результаты данного параграфа справедливы как
для конечных, так и для бесконечно малых деформаций.
§ 73. СУПЕРПОЗИЦИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Рассмотрим случай последовательного наложения на тело двух де-
формаций, определяемых двумя вектор-функциями смещений v и w.
Введем градиенты векторов v и ш, которые обозначим через V и IP:
v = V«; W = \Jw.
Направленный линейный элемент dl в деформируемом теле превра-
тится после деформации, определяемой тензором V, в элементарный на-
правленный отрезок dl', значение которого, согласно равенству (4.2),
найдется из зависимости
dl' — dl(I + V).
Если затем это тело подвергнуть вторичной деформации, опреде-
ляемой тензором W, то тот же элемент dl' превратится в элементарны!)
вектор dl", величина которого найдется из равенства
dl" = dl' (/ + IP).
218
Смещения и деформации
Подставляя сюда значение отрезка dl' из предыдущей зависимости,
получим, что
dl" = d/ - (/ + V + Г + V • W).
С другой стороны, если градиент вектора смещений результирующей
деформации обозначить через U, то можно будет составить равенство
vw
dl" = dl (! + U).
VW
Из сравнения двух последних зависимостей, которые остаются спра-
ведливыми для любых направленных отрезков dl, следует, что
и = V + W + V - W. (4.69)
Если бы на рассматриваемое тело были наложены те же деформации,
но в другой последовательности, то градиент вектора смещений, который
для этого случая обозначим через U, определился бы равенством
wv
и = V + г + Г7 • V. (4.70)
wv
Ввиду того, что тензоры V и W являются асимметрическими, из
сравнения правых частей двух последних равенств заключаем, что
U =/= U. (4.71)
VUZ ц/ V
Таким образом, порядок, в котором накладываются на тело две
разные деформации, имеет существенное значение для окончательного
результата. Возникающее различие при изменении последовательности
деформаций обусловливается скалярными произведениями V • W и W V.
Однако в случае бесконечно малых деформаций, если эти произве-
дения как величины второго порядка малости в сравнении с остальными
слагаемыми в равенствах (4.69) и (4.70) исключить из рассмотрения, то
различие в окончательных результатах исчезнет. В этом случае мы
получим, что
U = U, (4.72)
vuz wv
и, таким образом, градиент вектора смещений итоговой деформации,
который мы обозначим через U, определится равенством
U = V + W. (4.73)
§ 74. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ ПО ЗАДАННЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ
Рассмотрим задачу об определении вектора и смещений по задан-
ному тензору е бесконечно малых деформаций, являющемуся дифферен-
цируемой функцией точки в известной области. Примем во внимание
связь между тензором деформации и вектором смещений, представляемую
формулой (4.12):
e = + (4-74)
причем будем считать, что задание тензора деформаций обеспечивает
возможность такого его представления через вектор смещений. Вопрос
о том, каким условиям для этого должен удовлетворять тензор напря-
жений, рассмотрим в следующем параграфе.
Определение смещений по заданным деформациям 219
1. Определение градиента вектора смещений. Используя приведенное
здесь равенство, применим диадно к нему слева оператор \7- Тогда
получим, что
Уе = 4 (У2“ + У«У). (4-75)
где каждое выражение представляет собой тензор трехкратной валент-
ности. Имея это в виду, выполним во всех членах данного равенства
перестановку первого и второго диадного сомножителя. В результате
найдем, что
Уе = y(V2“+“V2)- (4-76)
1|2
Если в том же равенстве (4.75) сделать перестановку первого и тре-
тьего из диадных сомножителей, то получим еще следующую зависи-
мость:
Уе = 4 (“V2 + У«У)- (4-77)
1|3
Перестановка второго и третьего из диадных сомножителей в членах
равенства (4.75) новой зависимости не образует, поскольку при этом
перемещаются лишь диадные сомножители внутри симметрического тен-
зора г.
Из равенств (4.75) — (4.77) можно получить следующие формулы:
У2« = Уе + уе — уе ;
1|2 1 |3
Уыу = уе +уе— Уе ; (4.78)
113 1 |2
и\72= Уе + Уе —Уе-
1 |2 1 |3
Если ввести преставление
Уе = Zijke'eiek,
то предыдущие формулы могут быть преобразованы еще к такому виду:
У 2u = (Z/yft + Zjik — Zkh) e'e’ek-,
У «У = (Zkji + Zijk — Zjlk) e'e'e*; (4.79)
u\72 = (z//ft + Zkjt — ?iik) e'e'ek,
где после перестановки диадных сомножителей в правых частях равенств
изменены индексы так, чтобы масштабные сопровождения, составленные
из направляющих векторов, получили одинаковые начертания.
Полагая, что правые части этих равенств являются кусочно-непре-
рывными функциями в рассматриваемом объеме, мы сможем в результате
непосредственного интегрирования их определить левые и правые гра-
диенты вектора смещений.
Умножим слева скалярно обе части первого из равенств (4.79) на
элементарный радиус-вектор dr, и поскольку полученное при этом выра-
жение будет представлять полный дифференциал, проинтегрируем его.
При этом получим, что
У и = J (Zijk + Zjlk - Zkjl) dx'e'ek + s + a, (4.80)
220
Смещения и деформации
гдехф-а— произвольная постоянная интегрирования, представляющая
собой тензор двукратной валентности. Эта постоянная составлена здесь
из двух частей — симметрической s и антисимметрической а.
Если в равенстве (4.80) выполнить транспонирование диадных со-
множителей, то мы сможем получить еще следующую зависимость:
«V = J (2,*/ + Zkji — Zlkl) dx'e'ek + s — a, (4.81)
где также изменены индексы для получения одинаковых по начертанию
диадных сопровождений с таковыми в соответствующем выражении фор-
мулы (4.80) и, кроме того, принято во внимание, что симметрический
тензор s при транспонировании не изменяется, а антисиАетрический а —
изменяет свой знак.
Обращаясь к равенствам (4.75) — (4.77), можно заключить, что
Vе = (Ve)^ = Zijke'e'ek = Zft/e'e/f*;
Ve = / Wi = Zlike'e'eh = Zlkle‘e‘ek-,
Ш Мгз ( -82)
Vе = /Vе) = Zkjle'0ek = Z^e'e’e11.
TT3 Ul3ii-2
T ак же, как выше, всюду здесь после перестановки диадных сомножи-
телей изменены индексы для получения одинаковых масштабных сопро-
вождений. Эти равенства позволяют нам представить зависимость (4.81)
еще в таком виде:
«V = J {Zkjl + Zljk — Zilk) dx'e!ek -\-s — a. (4.83)
Легко обнаружить, что эта формула получается также в результате
интегрирования второй зависимости (4.79) после скалярного умножения
ее слева на элементарный вектор dr. Однако при выводе данного равен-
ства путем транспонирования из формулы (4.80) выявляется связь между
постоянными интегрирования в двух случаях.
Если подставить полученные выражения для Vй и UV из формулы
(4.80) и (4.83) в правую часть равенства (4.74), то можно найти еще, что
е = J Zijkdx'e'ek + s.
При этом упомянутые выражения для Х~7и и uV могут быть пред-
ставлены следующим образом:
V« = s + J (Zilk — Zki,) dx^e* + a
P (4.84)
uV == e — j (Zjik — Zkjl) dx‘e'ek — a
2. Определение вектора относительного поворота. Сопоставляя полу-
ченные таким образом выражения для левого и правого градиентов век-
тора смещений с формулой (4.13), легко заключить, что антисимметри-
ческая часть этих градиентов &, определяется представлением
S = [ (Zjik — Zkjl) dx'e'ek + а. (4.85)
Векторное свертывание всех членов данной зависимости позволяют
найти, вследствие равенств (4.35), вектор со относительного бесконечно
малого поворота рассматриваемого элемента тела,
1 1 С с №
со = = ± е (Zz.,A-Z№)dx'ez + fc. (4.86)
2 ® 2 J 1 g
Определение смещений по заданным деформациям
221
Здесь b — постоянный элементарный вектор, возникающий в резуль-
тате векторного свертывания тензора а,
, 1
b = -^а.
2 ®
Декартовы координатные компоненты вектора со найдутся при этом
из следующих формул:
Обратим еще внимание на то, что из равенства (4.86) непосредст-
венно следует такое выражение для градиента вектора относительного
поворота:
1 rikl
V“ = у (Zjlk — Zkil) e-et. (4.88)
2 V g
To же самое может быть получено и в результате векторного свер-
тывания второго и третьего диадных сомножителей в выражении
V» = у V (V« - «V) = 4 <v2« - V«V).
если здесь в правую часть предварительно подставить значения фигу-
рирующих членов, согласно равенствам (4.79).
3. Определение вектора смещений. Обратимся к первому равенству
(4.84), которое вследствие обозначения (4,85), представим как
\?и = е -ф &.
Это следует также и непосредственно из равенств (4.12) и (4.13).
Если скалярно умножить слева обе части этой зависимости на эле-
ментарный вектор dr, то поскольку & представляет собой антисиммет-
рический тензор двукратной валентности, можно будет, согласно дан-
ным, приведенным в § 26 п. 3, возникающему при этом результату
придать следующий вид:
dr - (Vй) = ^г - е + 4- & X dr,
2 ®
или, учитывая обозначение (4.86),
dr • (Vй) = dr • е + w х dr.
Поскольку настоящее выражение, как следует из его левой части,
является полным дифференциалом, проинтегрируем его по некоторой
кривой, проведенной внутри диформируемого тела, от точки Mi до
точки М2. При этом получим
и — и = J dr • е + § ы <dr,
2 1 м,-м, м,—Мг
где обозначения величин с индексами 1 и 2 представляют значения этих
величин в точках соответственно Мг и /И2. Вследствие равенства (4.86)
для вектора со относительного поворота, второе слагаемое правой части
222
Смещения и деформации
здесь требует двукратного интегрирования. Можно, однако, избежать
этого, если, имея в виду формулу (4.88), выполнить в указанном втором
слагаемом интегрирование по частям. Тогда этот второй член опреде-
лится следующим образом:
j сох dr = — j coxd(r — г) = со х (г — г} + f dr-(\7u>) : (г — г).
M2-Mt 2 , 1 2 1 м,-м2 2
В результате для вектора и смещений возникает такая формула:
u = u4-coX(r —r)+ f dr • [е -Ь (V“) X (г — г)]. (4.89)
21121 2
Два первых слагаемых правой части данного равенства соответ-
ствуют общему параллельному перемещению всех точек и общему пово-
роту всего рассматриваемого тела в целом вокруг точки Мг. Как следует
из вывода, вектор со относительного поворота может иметь при беско-
нечно малых деформациях лишь бесконечно малые значения. В этом
случае общий поворот всего тела вокруг точки может рассматри-
ваться как происходящий без искажений (с точностью до величин вто-
рого порядка малости). При конечном значении этого вектора такой
поворот сопровождался бы еще деформациями.
При представлении равенства (4.89) в координатной форме, если
учитывать при этом также значения величин \7Ш. возникают три зави-
симости следующего вида:
с il'k
US = US + -^ gslMj (чк — чл) +
2 1 У g 1 2 1
+ J + + (4.90)
ЛЦ—мг
(s = 1; 2; 3).
В декартовых координатах они представляются следующими фор-
мулами:
их = их + со (z — z) — со2 (у — у) +
2 1 121 121
+ f dxm [е — ^)(у — y)+fyr— .^I(Z-Z)];
1 J L \ dx / 2 \ dz dx / \ 'J *
uu = uu + CO (X — X) — cox (z — z) +
2 112 1 12 1
Л11-Л12
U = нг + сох(У —z/) —co (x —x) +
2 1 121 121
+ f dxm[em2+ (d,™ — d^\(x — x) + fc — ^)(y — #)].
' J L тг 1 \ дл tiz ! \ 1 \ ду dy J *
m.-m,
Здесь, как обычно, должно быть выполнено суммирование выражений
по значениям индекса т. В таком виде выражения для смещений были
получены Чезаро.
Если тензор е деформаций равен нулю, то, как следует из ра-
венств (4.87), вектор со относительного поворота может иметь только
Условия совместности деформаций
223
постоянное значение. Но тогда в формуле (4.89) сохранятся в правой
части только первые два слагаемых, определяющие общее смещение
и поворот всего тела в целом.
§ 75. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
Задание тензора sдеформаций, как мы видели, в случае бесконечно
малых деформаций полностью определяет все элементы деформации
и вызванных ею перемещений с точностью до общего смещения и беско-
нечно малого поворота.
Поскольку тензор е является результатом симметрирования гради-
ента некоторого вектора и, очевидно, не любой симметрический тензор
может быть выбран в качестве тензора деформаций. Необходимые для
этого условия можно установить если освободить тензор г от связи
с вектором и. Последнее можно сделать, если, имея в виду формулу (4.74),
принять во внимание известные тождества
V V“ = 0; u\7XV = 0,
справедливые для любого дважды дифференцируемого вектора. Тогда
легко могут быть получены искомые условия в следующем виде:
V X е X V = 0. (4.92)
При их выполнении тензор е всегда может быть представлен в виде
правой части равенства (4.74) и указанный в предыдущем параграфе
способ интегрирования в этом случае непосредственно приведет нас
к вектору и смещений. Поэтому условие (4.92) можно определить как
условие интегрируемости тензора деформаций.
В координатной форме это уравнение может быть представлено сле-
дующим образом:
Gi [® " - »!<")] + (~л - «.„Г," Г 4)« - 0. (4.9 )
В случае использования декартовых координат отсюда возникают
такие шесть равенств, полученных впервые Сен-Венаном:
-1 дх' ду д^-г VIJ2 д с * , +д~ OZ- 9 . — ду дг ’ О ^2eZX .
+ д2е - дх2 < ~х
дг дх ’ : о д2( Ху . - дхду ’ (4.94)
дх‘ [_*- ( дх ОУ + + ду2 д-гх ду д^ху 02
lM = ** дх ) ду дг ' 52е,... дгдх ’
-д-1 д-* а дЕ,.г . di х\ д2^
дг' 02 дх + ду 1 дх ду ’
При невыполнении этих условий будет нарушена непрерывность
сплошной среды. Поэтому уравнения (4.92) — (4.94) можно рассматривать
также как условия совместности деформаций.
224
Смещения и деформации
§ 76. ОБ ОДНО- И МНОГОЗНАЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИЙ
1. Одно- и многозначность градиента вектора смещений. Как было
показано в § 53, вопрос об однозначности некоторого интеграла решается
в результате рассмотрения циркуляции интегрируемой функции по замк-
нутому контуру. Имея это в виду, проведем внутри деформированного
тела простую замкнутую кривую и, используя формулу Стокса, составим
равенство
ф dr (V2«) = JdS•(V X V2“)- (4.95)
s
Здесь первый интеграл берется по указанному замкнутому контуру,
а второй по поверхности S, опирающейся на этот контур и распола-
гающейся в области вектора и смещений. Как граничный контур, так
и сама поверхность S, очевидно, должны удовлетворять условиям инте-
грируемости, не говоря уже об интегрируемых функциях. Кроме того,
так как тензор е деформации и его производные предполагаются одно-
значными функциями в рассматриваемой области, то и двойной градиент
вектора смещений V2u- определяемый первым равенством (4.78), будет
однозначной функцией в той же области.
Если область интегрируемой функции, т. е. объем, занимаемой рас-
сматриваемым деформируемым телом, является односвязной, правая часть
равенства (4.95) тождественно обращается в нуль, поскольку в нуль
обращается, как видно из равенства, подынтегральное выражение во всех
точках этой области, а следовательно, и поверхности S. На этом осно-
вании заключаем, что и циркуляция левой части равенства в той же
односвязной области обращается в нуль, и, таким образом, градиент
вектора смещений \7“> являющийся неопределенным интегралом выраже-
ния Jdr-(V2w). будет в любой точке этой области представлять собой
однозначную функцию.
Однако в случае многосвязной области, если замкнутый контур инте-
грирования охватывает внутреннюю сквозную или кольцевую полость,
правая часть равенства (4.95) может и не обращаться в нуль, поскольку
поверхность S, опирающаяся на указанный контур, выходит из пре-
делов области, -я в этой части интегрируемая функция не определена
заданием. Мы можем лишь утверждать в этом случае, что циркуляция
по любому замкнутому контуру, охватывающему одну и ту же внутрен-
нюю сквозную или кольцевую полость, имеет постоянное значение
(§ 53, п. 2).
Обозначая постоянную циркуляции вокруг какой-нибудь сквозной
или кольцевой внутренней плоскости через W, а замкнутой контур,
отхватывающий эту плоскость, через L, мы получим, что в этом случае
<§dr (V2«) = W. (4 96)
L
Очевидно, W будет представлять собой тензор двукратной валентности
W = Wae'ei. (4.97)
Можно показать, что W является антисимметрическим тензором.
Для этого обозначим значение градиента вектора смещений в некоторой
начальной точке пути интегрирования по замкнутому контуру L через (Vu)i>
Об одно- и многозначности результатов интегрирования тензора деформаций 225
а в конечной точке этого пути, совпадающей с начальной после однократ-
ного обхода указанного контура, через (V«)2. Тогда вследствие уравне-
ния (4.96) мы сможем, при наличии представления (4.97), составить
такое равенство:
(Vu)-> — (Vu)i = Wije'e’. (4.98)
Выполняя симметрирование обеих частей этого соотношения, най-
дем, что
| (V« + «V)2 — у (V« + «V)j = 4 (^7 + е'е/-
или, принимая во внимание выражение (4.74) для тензора деформаций,—
следующую зависимость:
Здесь (е)2 и (e)j — значения тензора деформаций в указанных концевых
точках пути интегрирования. Поскольку эти две точки, как было отме-
чено, совпадают, а тензор деформации е предполагается однозначным, мы
из последнего равенства неизбежно приходим к заключению, что должно
иметь место равенство
= - Wn, (4.99)
чем и доказывается антисимметричность тензора W.
Для выяснения кинематического смысла этого тензора выполним
над обеими частями равенства (4.98) операцию альтернирования. Тогда,
вследствие зависимости (4.99), найдем, что
I (V« - «V)2 - у (v« - «V)! =
Если теперь принять во внимание выражение для тензора &, пред-
ставленного равенством (4.13), который, согласно данным § 69, опреде-
ляет величину элементарного поворота для бесконечно малых деформаций,
то последнему равенству можно будет придать такой вид:
(»)2-(»)i = (4.100)
где (&)2 и (1>)1 — значения тензора & соответственно в конечной и началь-
ной точках замкнутого пути интегрирования. Отсюда заключаем, что
тензор W определяет некоторый относительный поворот двух соседних
деформированных элементов, разделенных условием начала и конца
замкнутого пути обхода внутренней сквозной или кольцевой полости.
Этот тензор представляет собой циклическую постоянную градиента
вектора смещений для данной сквозной или кольцевой полости (§ 53, п. 2).
При каждом новом обходе этой полости по замкнутому пути значение
градиента вектора смещений будет увеличиваться на величину W. В слу-
чае нескольких таких полостей каждая из них будет обладать своей
циклической постоянной. Обозначая для m-связного тела такую цикли-
ческую постоянную для каждой связности сверх первой через W,-(i =
= 2, 3---m), мы сможем значение градиента вектора смещений Vй в
некоторой точке представить таким образом:
Vй = (V«)o +1] (1.101)
15 Б. И. Блох
226
Смещения и деформации
где (Vu)o — так называемое главное значение этого градиента в той же
точке, a ni — произвольные целые числа, равные числу обходов по замк-
нутому контуру соответствующей сквозной или кольцевой полости.
Оставляя пока в стороне вопрос о реальном представлении такого
рода деформаций с указанными многозначностями, обратимся ко второму
этапу интегрирования при нахождении вектора и смещений в соответствии
с порядком вычислений, выполненных в § 74.
2. Одно- и многозначность вектора смещений. Снова воспользуемся
замкнутым контуром и, предполагая известным градиент вектора смеще-
ний V« во всем объеме, занятом телом, составим, используя формулу
Стокса, следующее равенство:
$dr.(Vu) = JdS-(v х Vй)-
s
Так как в односвязной области градиент вектора смещений Vй,
как следует из предыдущего, однозначен, а правая часть данного равен-
ства обращается в нуль вследствие аннулирования подынтегрального
выражения для всех точек поверхности S, то из этого делаем заключе-
ние об однозначности вектора и во всей односвязной области.
Однако в многосвязной области этот градиент, как было выяснено
выше, при обходе по замкнутому контуру вокруг сквозной или кольцевой
полости, не принадлежащей области, приобретает постоянную добавку
W. Ввиду этого введем в рассмотрение новую скалярную функцию X,
обладающую тем свойством, что она после однократного обхода вокруг
указанной полости возрастает на единицу, не получает приращения,
если замкнутая кривая обхода не охватывает полости, и имеет всюду,
кроме, может быть, некоторой совокупности точек, расположенных внутри
полости, конечную однозначную производную. Для случая, например,
сквозной прямолинейной полости ею может служить выражение ~,
где <?— угол поворота радиуса-вектора вокруг оси, проходящей внутри
этой полости.
Имея это ввиду, рассмотрим двухсвязную область с непринадлежа-
щей ей полостью, имеющей циклическую тензорную постоянную W.
Замечая, что U7 = V(r-U7), составим для замкнутого контура L прове-
денного в этой области, формулу Стокса следующего вида:
far • V(и —Хг • W) = JdS • [V х V (й->-г • Г)].
L S
Очевидно, выражение V (и — \г • W) в данной двухсвязной области
будет всюду представлять уже однозначную функцию и для данного
случая можно будет повторить все рассуждения, которые были приведены
при рассмотрении равенства (4.95) применительно к многосвязной
области.
Обозначая циклическую постоянную градиента вектора и — \г W
через V, мы убедимся, что, если контур L охватывает указанную полость,
то при однократном обходе этой полости будет иметь место равенство
far • V (и — Хг W) = V.
Очевидно, V является здесь некоторым постоянным вектором.
При каждом обходе вокруг указанной полости функция и — Хг • 157
будет возрастать на постоянную величину V.
Об одно- и многозначности результатов интегрирования тензора деформаций 227
Пусть для m-связного тела такие циклические постоянные для каж-
дой связности сверх первой будут V, (1 = 2,3... п). Тогда значение
вектора и смещений в любой точке этого тела можно будет представить
равенством
w = «о + S ni (®( X r + VJ, (4.102)
1=2
где и0 — главное значение вектора и в этой точке, п,- — произвольное
целое число, определяющее число обходов вокруг соответствующей сквоз-
ной или кольцевой полости тела, и
w. = i
2 ®
Очевидно, положительные или отрицательные значения чисел п(
должны быть связаны с направлениями обхода.
3. Дислокация. Для выяснения кинематического смысла установлен-
ной выше многозначности вектора и смещений воспользуемся равенством
(4.102) и применим его к телу двухсвязной формы (рис. 51). Сечением
АВ обратим его в односвязное При наличии многозначности в смещениях
значения вектора и в точках, расположенных на одной стороне сечения
АВ, например, на стороне С, будут отличаться от значений этого век-
тора в тех же точках на другой стороне этого сечения, на стороне D.
Как следует из формулы (4.102) это различие будет определяться вели-
чиной w х г + V. Но такую же величину смещений имеют точки абсо-
лютно твердого тела, совершающего поступательное перемещение и пово-
рот. Сторона D сечения АВ, таким образом, как бы параллельно сме-
стилась и повернулась вокруг некоторой оси относительно стороны С.
При действительном осуществлении такого рода перемещений сплошность
тела, понятно, нарушится. Если на сплошное многосвязное тело действу-
ют одни только внешние силы, вызывающие внутренние смещения,
появление многозначности в этих смещениях, при сохранении сплошности
тела, очевидно, должно быть исключено. Однако,если, например, в двух-
связном теле двумя конгруэнтными сечениями вырезать весьма тонкий
слой, в результате чего оно обращается в односвязное, и края соеди-
нить, то в теле появятся внутренние напряжения при наличии много-
значности в перемещениях.
Действительно, если допустить возможность проникновения одного
материального тела в другое, то результат, равносильный указанному
удалению тонкого слоя и последующего соединения краев, мог бы быть
получен также путем вдавливания края D разреза внутрь тела за край
С (рис. 52). Если начать обход сквозной полости от точки тс по кривой
тсп---, то мы должны были бы его закончить в точке md, если бы слой
15*
228 Смещения и деформации
между сторонами С и D не был удален. Два примыкавших до дефор-
мации друг к другу элемента тела, один в точке тс, а другой в той же
точке, но оказавшейся после деформации в положении точки md, оказа-
лись бы смещенными относительно друг друга и повернутыми.
Соответствующий эффект обратного знака можно получить также
путем проведения сечения, обращающего двухсвязное тело в односвяз-
ное, и восстановления двухсвязности при помощи весьма тонкого слоя,
вставленного в разрез и спаянного с его краями.
Операция образования нового тела из данного называется дисло-
кацией.
Заметим также, что допуская в решениях многозначность в сме-
щениях, можно описать еще и появление внутренних напряжений в
многосвязном теле в результате температурных воздействий.
ГЛАВА V
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ. РАБОТА ДЕФОРМАЦИЙ.
ЗАКОН ГУКА. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
В настоящей главе на основе условий равновесия для равномерно
напряженного тела получены соотношения между компонентами тензора
напряжений для этого напряженного состояния. Если тело представляет
собой поле переменных напряжений, то указанные соотношения могут
считаться справедливыми лишь для весьма малых объемов, в границах
которых можно пренебречь изменениями напряжений. Здесь они получа-
ют характер равенств, служащих для определения напряжений на любой
площадке, проходящей через данную точку, на основе известных значений
этих напряжений на координатных площадках. Однако они ничего не
говорят о том, как могут изменяться напряжения при переходе отточ-
ки к точке в условиях неравномерного напряженного состояния. Очевидно,
требования равновесия должны налагать определенные ограничения на
эти изменения.
Как видно будет из дальнейшего, следующие отсюда условия изме-
нения напряжений носят дифференциальный характер.
§ 77. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ
1. Условие движения и равновесия тела. Пусть тело, ограниченное
со всех сторон кусочно-гладкой поверхностью, представляет собой сплош-
ное замкнутое поле тензора с напряжений, являющегося дифференци-
руемой функцией точки поля и кусочно-непрерывной на граничной
поверхности. Плотность вещества тела обозначим через р и вектор мас-
совых сил, отнесенных к единице массы, через Р. Будем считать вектор
и смещений любой точки тела функцией времени и\рех координат этой
точки. Тогда ускорение такой точки определится величиной “ . Примем,
что р, Р, , а также дивергенция тензора напряжении \7 • о, явля-
ются непрерывными функциями внутри объема тела.
Если векторный элемент граничной поверхности S, направленный
наружу от ограничиваемого этой поверхностью объема V тела, обозна-
------------о
чить через dS, то вектор внешней элементарной силы, приложенной к
данному элементу поверхности, представится в виде скалярного произ-
ведения dS • о. Обозначая элемент объема через dV, мы можем на основе
принципа Даламбера составить такое уравнение:
fdS.c+ [ pPdV-= 0.
S V V
230
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, получим, что
J(V.« + P₽-P^)dl'=O.
V
Так как это равенство должно выполняться для любой части тела,
находим следующую зависимость:
V-° + p/’=pg£- (5.1)
При отсутствии ускорений она обращается в дифференциальное
условие равновесия,
V • с + РР = 0. (5.2)
В координатном представлении уравнение (5.1) распадается на три
равенства следующего вида:
+ + «=1;2;3). (5.3)
Все компоненты тензорных и векторных величин здесь отнесены
к основной метрике координатной системы. Если их представить в еди-
ничной системе измерений, то возникнут такие равенства:
1 V & / — .1/" g ) V1 °ki^ki . рР' р д^и'
Vg Г ы (°'7 ' W + I + и = 1 ’ 2’ 3)’ <5-4)
где знаками сумм указывается, по значениям каких индексов должно
выполняться суммирование.
В декартовых координатах эти уравнения получат такой вид:
dz XX 1 do . de diur
dx ~ H dP
da Ух । dx dz de d"+ дГ + РР. d2uv = P1F
d°2X —— 4- dx dz.. dz dy + dz +pP* II a?l % bs Й In
(5-5)
В этой форме они были впервые выведены Коши.
В случае использования изостатических координат, направления
нормалей к координатным поверхностям совпадают в каждой точке с
направлениями главных напряжений. В таких координатах из уравнений
движения или равновесия выпадут боковые компоненты тензора напря-
жений.
Для составления этих уравнений воспользуемся формулой (5.4) и,
приняв во внимание значения символов Кристоффеля второго рода для,
ортогональных координат, приведенные в табл. 1, получим такие зависи-
мости :
1 /доц Оц • g22 dg22 | °11 -— Озз dg33) in _ 52U]
VgTi • dAl 2g^ dxl 2"33 + p 1 “ P ~dP :
1 322 — 333 ^g33 I “22 °lldgll^ , n d2U2 /C
ы) + ?р2 = р dF* (5-6)
1 / da33 . o33 — оц dgn 033 — o22 ^#22) [ p d2u3
'd*3 2gn dx3 2g22 дх3 I P 3 — P dt2 '
Дифференциальные уравнения равновесия и движения
231
Эти равенства можно преобразовать на основе следующих геомет-
рических представлений. Пусть проходящие через точку А три взаимно-
ортогональные кривые АВ, АС и AD (рис. 53), являющиеся траекто-
риями главных напряжений, принадлежат некоторой координатной системе
с основными координатными векторами ех, е2 и
ветственно к указанным кривым в точке А.
Вдоль координатной кривой АС перемес-
тимся из точки А в точку С на весьма малое
расстояние
АС = ds2 = У g22dx2 (5.7)
и заметим угол da.23> который образуют в точ-
ке 02 две нормали к поверхности АВС, прове-
денные в точках А и С этой поверхности.
Радиус кривизны кривой АС в плоскости ука-
занных нормалей в точке А обозначим через
г23. Тогда мы сможем с точностью до малых
второго порядка принять, что
е3, касательными соот-
Рис. 53.
t/S2 — ^23^^23*
Из сравнения двух последних равенств найдем такое выражение для элемен-
тарного угла da23:
da.23 = ^g22 dx2
Далее обратимся к вектору е3, который при переходе из точки А
в точку С получает приращение dx2. Если мы в точке С построим
вектор е3 = СА', его приращение, равное направленному отрезку А'С',
и новое его значение в этой точке, е3 + |*|2dx2 = СС, то получим тре-
угольник С А’С, имеющий в вершине С угол da23. Модуль отрезка Л'С'
мы можем принять равным -^3"dx2, а модуль стороны С А’ — равным
]/ ёзз- Вследствие этого, поскольку модуль стороны СС будет отличаться
от модуля стороны СА’ на бесконечно малую величину, мы можем из
рассмотрения треугольника СА'С принять, что
, А'С'
^*^23 —
СА’ yg33
— д dx2 = dx2.
2g33 дх2
1 dg33
Сравнивая это значение угла da23 с предыдущим, мы найдем такое
равенство:
Z- = Ht=W- <5-8)
r23 2g33 У g22 ох
Соответствующие равенства мы сможем получить для -- и другой
кривизны координатных поверхностей. Если мы примем теперь во вни-
мание эти последние зависимости, а также равенство (5.7) и аналогичные
232
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
для dSx и dSs, то окажется возможным придать такой вид уравнениям (5.6):
^Сц I °11-°22 I С11 -с3„ I „п „ •
asT + 7777 + 777- + = Р“1’
Ф + + + =
О->2 '23 г 21
^3 + + 7_zb. + ррз = рй3. (5.9)
О*->3 Г 32
Очевидно, /"21 ¥= Па и т. д. Дифференциальные уравнения (5 9) яв-
ляются уравнениями Ламэ в изостатических координатах в обычном их
представлении.
2. Равновесие моментов. Полученные выше дифференциальные зави-
симости найдены из рассмотрения условий равновесия сил в смысле
Даламбера. Далее следовало бы составить соответствующие равенства
в отношении моментов. Можно, однако, показать, что получающиеся при
этом зависимости при условии симметричности тензора напряжений и
выполнения уравнения (5.1) будут тождественно удовлетворяться.
Действительно, обозначая радиус-вектор текущей точки через г и
используя принцип Даламбера в отношении моментов, мы получим, по-
добно предыдущему, что
[ dS • (а х г) + (рР X г) dV — j* (р ~ X rj dV = 0.
s v v
Отсюда, если применить формулу Остроградского к первому интегралу,
найдем такое равенство:
J [ V • (а X г) + р (Р — й) X г] dV = 0. (5.10)
v
Примем далее во внимание, что
(Vr) 1
\7 . (0 х г) = (V • °) X г + - X --(V • °) X г + • X
с а
Смысл обозначения последнего слагаемого заключается в том, что
диадные сомножители компонентов, из которых состоят тензоры /из,
должны быть перемножены так, как это следует из записи, а именно:
левые векторы диад двух тензоров должны быть умножены друг на
друга скалярно, а правый вектор тензора с должен быть векторно умно-
жен на правый вектор единичного тензора /. В соответствии с этим
имеем:
1 ekek
2< = ;Л = 0'7(еуХе')==“®«
с а'7е,€/
т. е. результат такого умножения равняется результату векторного
свертывания тензора с, взятому с обратным знаком. Но ввиду симме-
тричности тензора с этот результат векторного его свертывания рав-
няется нулю. Вследствие этого уравнение (5.10) может быть представ-
лено таким образом:
J[(v-a + pP-p^)x/-bv = O.
I/
Работа внешних сил
233
При наличии же равенства (5.1) это уравнение, очевидно, тожде-
ственно удовлетворяется, что и подтверждает отмеченное выше отно-
сительно автоматического выполнения требования равновесия моментов,
в указанных условиях.
§ 78. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
Определим работу внешних поверхностных и объемных сил, прило-
женных к деформируемому телу, на весьма малых смещениях, на протя-
жении которых эти силы можно считать постоянными.
Если эти смещения обозначить через 8ц, то полная работа на них
внешних поверхностных и массовых сил может быть представлена вы-
ражением
8L = J dS • о • 6u + J • 8u dV.
S V
После преобразования первого интеграла при помощи формулы
Остроградского оно получит следующий вид:
8L = [ [ v • (а • 8и) + РР • dK (5.11)
v
Выполняя определенное первым членом подынтегральной функции
дифференцирование и принимая во внимание симметричность тензора о,
найдем, что
V • (° • М = (V • °) • + ° • 8(V«).
где принято, что V8«=8V«-
Вследствие тех же симметрических свойств тензора о мы можем
последнее слагаемое правой части этого равенства представить таким
образом:
а • • 8 (Vw) = ° ’' 8 [4" (Vu + иV)] = ° • • 8s,
где 8е — изменение тензора деформации, определяемое перемещениями 8и
На этом основании мы получим, что
V • (с • 8и) = (\7 • с) • 8и + а • • os.
Если теперь подставим определенное этим равенством выражение
для V •(о • Su) в формулу (5.11) и примем во внимание дифференциаль-
ное уравнение (5.1), то найдем такое равенство для рассматриваемой
суммарной работы внешних сил:
8L = J(3..8s)dV+ fpg.SudV. (5.12)
v v
Имея в виду, что величина смещения 8и является функцией вре-
мени для данной точки, можно принять, что
8ц = | 8/.
234
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
В этом случае последний интеграл правой части равенства (5.12),
при независимости плотности р от времени, может быть преобразован
следующим образом:
J f S 8“ dv =.( Р № • S 8Z dv = .( 7Ж (I • я)8' =
V V V
= ^t~ I* р dv = 8 J dV.
V V
Это позволяет придать правой части равенства (5.12) еще такой
вид:
8/. = f(3..gs)dV + 8 (5.13)
V v
Первый интеграл здесь представляет собой работу, обусловливаемую
элементарным изменением деформаций, а второй — изменение живой силы
или кинетической энергии рассматриваемого тела.
Если ввести для работы деформаций обозначение А, а для кинети-
ческой энергии Т, то получим, что
8/1= J (о • • 8s) dV',
v
87 — 8 У ?-Ц12 dV,
v
и тогда равенство (5.13) представится следующим образом:
87 = 84 + 87. (5.15)
Элементарная работа внешних приложенных к телу поверхностных
и объемных сил равняется работе изменения деформаций этого тела
и изменению его кинетической энергии.
(5-14)
§ 79. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ
В дополнение к двум новым последним обозначениям введем еще
такие: U—-потенциальная энергия тела, и Q — механический эквивалент
теплоты. Тогда, согласно первому закону термодинамики,
oU + 87 = 8Q + 87.
Если принять во внимание равенство (5.15), то отсюда найдем, что
84 = 867 —8Q. (5.16)
В случае адиабатического процесса, т. е. при постоянном значении
тепловой энергии тела, из последнего равенства получим, что
84 = 86/, (5.17)
г. е. что при указанных обстоятельствах изменение работы деформаций
равно изменению потенциальной энергии тела.
В случае изотермического процесса, если он является циклическим,
изменение тепловой энергии за весь цикл, согласно второму закону
Упругие деформации
235
термодинамики, также будет отсутствовать и, следовательно, равен-
ство (5.17) к концу цикла тоже будет действительно.
Но изменение потенциальной энергии зависит лишь от начальногс
и конечного положения или состояния тела и не зависит от пути пере-
хода' его из одного состояния в другое. В таком случае изменение ра-
боты деформаций, согласно равенству (5.17), также не должно зависеть
от путей деформаций, что возможно лишь в том случае, если деформа-
ции являются упругими.
Если обратиться к первому равенству (5.14), то для дальнейших
построений удобно выделить подынтегральную функцию. Вводя для нее
обозначение §Wa, получим, что
81^а = a • • 8s. (5.18)
Очевидно, она будет представлять собой изменение работы дефор-
мации, отнесенное к единице объема тела. В случае упругих деформа-
ций эта величина будет полным дифференциалом и, вследствие равен-
ства (5.17), совпадет со значением отнесенного к единице объема тела
изменения его потенциальной энергии, 8UZ, которую назовем удельным
упругим потенциалом.
В развернутом виде равенство (5.18) представится следующим об-
разом:
8lEa = си8еи + c228s*2 + c338s33 + 23238s33 + 2c318s3i + 2a128si2. (5.19)
С другой стороны, если рассматривать удельный упругий потен-
циал W как функцию шести независимых переменных e1J = е>‘ (i, j =
1, 2, 3), то можно составить такое выражение для ее полного диффе-
ренциала;
’•IV/ dw s и । dW - 22 । dW й 33 , Ж . ,3 . dW , о. . dW „ ,, on.
= ЭЯ 63 + d& 0£ + 6£ + d& °z + 0£ + d& 6£ ‘ <5-20>
Сравнивая эти два выражения, легко установить, ввиду независи-
мости между собой в каждой точке тела шести компонентов тензора
деформаций, связь между отдельными слагаемыми в обоих выражениях
для случая упругих деформаций. При этом найдем такие восходящие
к Грину зависимости:
’,7 = —. (И / = 1; 2; 3, i =/=}). (5.21)
Отсюда следует, что между компонентами тензора напряжений
должны существовать в случае упругих деформаций такие взаимоотно-
шения:
1 " пт . ___ дс тп / i =^= j, т П \ / г 09
д£тт [| 7 . dsmm - 2 дгГ ’ д^п - I . - 1 2 „ P.Z-.
Эти равенства, очевидно, являются условиями интегрируемости вы-
ражения (5.19).
В заключение заметим, что если по аналогии с оператором V Для
прямолинейных координат ввести в использование тензорный диффе-
ренциальный оператор двукратной валентности
+ (1ы = 1;2;з)- <5-23>
236
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
то полный дифференциал (5.20) функции W шести независимых между
собой переменных — е>‘ может быть представлен следующим образом:
8U7 = (D£W) • Be. (5.24)
Совокупность зависимостей (5.21) при этом может быть заменена
тензорным равенством
о = А№. (5.25)
§ 80. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ
И НАПРЯЖЕНИЯМИ
Будем исходить из тензорного равенства
о = S (е) = S:le‘e',
изображающего связь между напряжениями и деформациями в рас-
сматриваемой точке. Здесь S (е) — некоторая функция тензора е, сама
являющаяся симметрическим тензором двукратной валентности. Каждый
компонент последней представляет собой функцию шести независимых
между собой в данной точке компонентов тензора е.
Примем, что функция S (е) является аналитической в рассматри-
ваемой замкнутой области относительно своего аргумента е. Разлагая
ее в ряд Тейлора при начальном значении аргумента е = 0, мы полу-
чим, что
е2- • • • [£TS (е)1 п
О = [S (е)]е=о + е • • [AS (е)1е=о + -+ • • - + Аь
где А— дифференциальный оператор, определяемый представлением
(5.23), и — остаточный член, который можно изобразить следующим
образом:
Я* = (£)* —(0 < е < 1).
2k раз
Пусть функция S (е) обращается в нуль при 6 = 0:
S (0) = 0. .
С механической точки зрения смысл последнего условия заклю-
чается в том, что при отсутствии деформаций исчезают также и на-
пряжения.
Примем затем во внимание, что однократное применение оператора
А к дифференцируемой функции повышает ее валентность на две еди-
ницы. Вследствие этого выражение AS (е) будет представлять собой
уже тензор четырехкратной валентности, AS(e)— шестикратной и т. д.
Кроме того, как следует из выражения для А, вновь образуемый с его
помощью тензор будет симметрическим в отношении каждой пары воз-
никающих благодаря ему индексов’.
Исключим, на основе отмеченных соображений, в правой части
приведенного здесь равенства для о первое слагаемое и ограничимся при
малых деформациях точностью, доставляемой вторым слагаемым. Вводя
затем обозначение
С = [AS (е)]Е=0,
так что
Г - F"(e)]
mnii ~ L д^тп Ь=о ’
Общая линейная связь в случае упругих деформаций
237
мы сможем получающуюся при этом связь между а и е изобразить та-
ким образом:
о = е • • С. (5.26)
Как следует из приведенного, С представляет собой постоянный
тензор четырехкратной валентности:
С = (5.27)
симметрический в отношении соседних индексов внутри первой и второй
их пары. Вследствие этого из общего числа 92 = 81 компонентов этого
тензора, независимых между собой будет всего
62 = 36.
При развертывании правой части (5.26) в строку по независимым
переменным мы получим шесть равенств такого вида:
= Сц/Л11 + C22„e22 + С33„е33 + 2C23ll^ + 2C31,;e3i + 2C12i;s12, (5.28)
представляющих собой обобщенный закон Гука.
§ 81. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ В СЛУЧАЕ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Для упругих деформаций, как было показано, имеют место равен-
ства (5.22). Вследствие этого для таких деформаций, как легко уста-
новить, должны существовать зависимости
Стпц = Cijmn. (5.29)
Матрица из 36 коэффициентов Cmnij, составленная на базе правых
частей шести равенств (5.28), ввиду этого оказывается симметрической
относительно главной диагонали. Для подсчета остающегося числа раз-
личающихся между собой коэффициентов следует выделить шесть диаго-
нальных членов матрицы и к ним добавить половину количества остав-
шихся. так как среди последних расположенные симметрично относительно
главной диагонали будут попарно равны между собой. В результате
окажется 21 различный коэффициент. Таким образом, условие упругости
деформаций снижает общее количество различающихся между собой
постоянных множителей в линейной связи напряжений с деформациями
на 15, сводя общее их число с 36 до 21 постоянной. Эти оставшиеся
постоянные теперь будут уже упругими постоянными, а тензор С может
быть назван тензором упругих постоянных.
Обратимся затем к рассмотрению выражения потенциальной энергии.
Исходя из равенства (5.18), мы можем, ввиду (5.26), получить такое
выражение для изменения потенциальной энергии:
W = е • - С • • 8е.
Интегрируя это уравнение в пределах от е = 0 до е и принимая,
что W |е=о = 0, мы найдем, ввиду симметричности тензора С относительно
перестановки между собой пары левых с парой правых индексов, что
W = ~e--C--e. (5.30)
При наличии равенства (5.26) мы можем правую часть этой зави-
симости представить еще следующим образом:
1Г = у0-.е. (5.31)
238 Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
В развернутой форме она будет иметь такой вид:
^ = 4'Ч1еи + 4022е22 + таззг33 + ^^^^ (5-32>
Равенство же (5.30) в развернутом виде представится формулой
w = 4 Cnu (eii)2 4. С1122611633 + СпззеИе33 + 2С1123еИе1 2з + 2С1131еНе«1 +
+ 2С1112еНе» + 1С2222 (£22)2 + С2233е22£33 + 2С2228б22е23 + 2С2231£22£« +
+ 2С2212е22е12 + 1С3333 (е33)2 + 2С332з£33е23 + 2C3331s33e3i + 2C3312e33£i2 +
+ 2С2323 (е23)2 + 4С2331е23е31 + 4С2312г23£12 +
(5.33) + 2С3131 (е31)2 + 4С3112е31е12 +
+ 2С1212 (s12)2
Легко убедиться, что при нахождении отсюда напряжений по правилам
равенств (5.21) мы получим для них выражения, представленные фор-
мулой (5.28).
§ 82. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИММЕТРИИ
УПРУГИХ СВОЙСТВ
1. Общие соображения. Способность рассмотренного выше упругого
тела деформироваться в разных направлениях ничем не была ограни-
чена, кроме условия линейной связи между деформациями и напряже-
ниями. Поэтому, используя образные представления, мы можем себе
представить, что, например, при действии на
z тело равномерно распределенной растягивающей
I нагрузки вдоль оси х (рис. 54) выделенная
внутри тела сфера обращается в несимметрич-
но расположенный относительно этой оси трех-
I I ‘ У осный эллипсоид. Более того, при изменении
\ I /м направления нагрузки ориентация эллипсоида
х У 1 относительно этого направления, а также его
У форма и размеры каким-то образом изменяются,
----- оставаясь лишь однозначно связанными между
Рис. 54. собой. Можно также представить себе, что
при изменении направления нагрузки, например,
в плоскости ху и полном обороте направления вокруг оси z несколько
раз получается один и тот же эллипсоид, одинаково расположенный
относительно линии действия сил и оси вращения. В таком случае есть
основание считать, что периодичность в распределении вокруг оси спо-
собности тела деформироваться связана с его структурными особенно-
стями. Такая периодичность наблюдается в кристаллах.
Мы говорим в таких случаях, что тело обладает в отношении рас-
сматриваемых свойств осью симметрии k-ro порядка, если при непо-
движном теле и повороте на 360° вокруг этой оси одной и той же
асимметричной относительно нее нагрузки возникает k раз одна и та же
деформация.
Некоторые случаи пространственной симметрии упругих свойств
239
Предположим, что наряду с данной координатной системой, отме-
чаемой индексами t, / и k, имеется другая координатная система с ин-
дексами i'j' и k', положение которой относительно предыдущей опре-
деляется компонентами С/ или С‘ тензора преобразования коорди-
нат (§ 14).
Тогда отнесенные к первой координатной системе компоненты С11тп
тензора С упругих постоянных будут связаны с его же компонентами
С, j-m-n- во второй координатной системе при помощи формулы преобра-
зования
С1Гт-п' = СцтпС\-С[С^С^. (5.34)
Зная значения упругих постоянных для одной координатной си-
стемы, мы можем найти их значения для другой. Если при некотором
относительном положении двух координатных систем нам известно сов-
падение значений компонентов тензора С в двух случаях, то формулы
(5.34) установят условия, которым должны удовлетворять компоненты
данного тензора внутри одной и той же координатной системы.
Этим обстоятельством можно воспользоваться для выявления таких
условий при наличии угловой периодичности в упругих свойствах.
Очевидно, они будут в той или ино.". степени ограничивать свободу
выбора значений компонентов тензора упругих постоянных. Рассмотрим
эти ограничения для некоторых случаев угловой периодичности. Удобно
при этом все 21 упругие коэффициенты, в соответствии с формулой (5.33),
расположить в треугольную таблицу по схеме 1.
Схема 1
С С СССР
ini’-1122 ’-пзз ’-пгз ’—1131 ’-шг
С СССР
’- 2 222 ’-2233 ^2223 ’-2231 ’-2212
Р Р Р Р
’-3333 ’-3323 ’-3331 ’-3312
Р Р Р
’-2323 '-2331 ’-2312
Р Р
’-3131 '-зпг
^-1212
2. Одна ось симметрии второго порядка. Пусть тело обладает в от-
ношении своих упругих свойств осью симметрии второго порядка. Это
значит, что после каждого поворота системы координат на 180° вокруг
такой оси значения упругих постоянных в неподвижной и подвижной
системах координат должны совпадать.
В качестве двух координатных систем воспользуемся декартовыми
системами и с указанной осью симметрии второго порядка совместим
координатные оси, обозначаемые индексами 3 и 3' ,или оси z и z') двух
систем — неподвижной (обозначаемой индексами без'штрихов) и подвиж-
ной (обозначаемой индексами со штрихами).
Пусть подвижная координатная система повернута относительно-
неподвижной на 180°. Значения компонентов С‘- тензора преобразования
координат, равные значениям косинусов углов между осями, обозна-
чаемыми аналогичными индексами, определятся данными схемы 2. Сверху
над ней показано относительное расположение координатных осей 1
и 2 одной системы и Г и 2' — другой, в плоскости, нормальной к оси 3
или 3'.
240
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
Схема 2
Значения компонентов тензора С в двух координатных системах, вслед-
ствие (5.34), окажутся при этом связанными между собой следующими
равенствами:
^'1'1'ГГ=6цц; Ci'1'2'2'=Сц2?\ 61'i'3'3'=Cnsg; С1'1'2'3'=—Сцзз; ("ИЗ!’. 6i'i'i'2'= 6щ2;
Сг'2’2'i62'2'3'3-=С2233; С2'2'2'з'=—С222з; C2'2'3'i'=— 62231; 62'2'1'2'= 622i2;
63'3'3'з' = 6дззз; 63'з'2'з'=—63323; 63'3'3'1' = —63331; С3'з'1'2'= 63312;
62'3'2'3'= 62323; 62'3'з'1'= 62зз1; 62'з'1'2'=—62з12;
63'1'3'1'= 63131; C3U2;
61'2'1'2'= Ci2i2;
Но так как тело обладает осью симметрии второго порядка, то зна-
чения упругих коэффициентов в повернутой системе координат, обозна-
ченной индексами со штрихами, должны совпасть со значениями их в
той же системе до поворота, когда она совпадала с неподвижной си-
стемой. В этом же последнем случае обозначения коэффициентов в двух
системах отличались друг от друга только наличием или отсутствием
штрихов при индексах. Устраняя, вследствие этого, в левых частях
приведенных равенств для коэффициентов штрихи при индексах, мы по-
лучим ряд соотношений, выполнение которых станет возможно лишь в
том случае, если будут иметь место следующие значения:
£1123 — ^НЗ! — £2223 — £2231 — £3323 — £3331 — £2312 — £3112 — 0
При этом таблица коэффициентов схемы 1
обратится в следующую:
Схема 3
£1111 £1122 £1133 0 0 £ц12
с С о о г
^2222 ^2233 v v ^2212
£3333 0 0 £3312
£2323 £2331 о
£3131 о
£1212
Некоторые случаи пространственной симметрии упругих свойств
241
Количество различающихся между собой компонентов тензора С в
этом случае сокращается с 21 до 13.
Легко сообразить, что если вместо координатной оси, обозначаемой
индексами З(З'), осью симметрии второго порядка будет координатная
ось, обозначаемая индексами 1(1'), таблица упругих постоянных полу-
чит вид, представленный на схеме 4.
Схема 4
£1111 ^1122 £1133 £1123 0 0
с '-‘2222 ^2233 ^ЗЗЗЗ ^2223 0 0 С33,3 0 0 ^2323 0 0 ^3131 ^3112 £1212
3. Три ортогональные оси симметрии второго порядка. При нали-
чии в теле двух взаимно-перпендикулярных осей симметрии второго по-
рядка, в качестве которых можно принять две координатные оси, обо-
значаемые индексами З(З') и 1 (Г), упругие постоянные, очевидно,
должны будут одновременно удовлетворять условиям, представленным
на схемах 3 и 4. Вследствие этого таблица упругих коэффициентов для
данного случая получит вид, показанный на схеме 5 •
£1111 £1122 Схема 5 £цзз 0 0 0
^2222 С2.;33 0 0 0
С 0 u3333 v с u 2323 0 0 0 0 £з131 0 £1212
Как следует из этой схемы, наличие двух взаимно-ортогональных
осей симметрии второго порядка автоматически обращает также и третью
ось, к ним ортогональную, в ось симметрии второго порядка. Таким
образом, в данном случае тело обладает тремя взаимно-ортогональными
осями симметрии второго порядка.
Общее число различных упругих постоянных при этом сокра-
щается до 9.
4. Одна ось симметрии четвертого порядка. Рассмотрим теперь
случай, когда в теле упругие свойства повторяются при повороте вокруг
некоторой оси на каждые 90°.
Примем, что этой осью симметрии является координатная ось,
обозначаемая в двух декартовых системах индексами 3 и 3', и повернем
подвижную систему вокруг нее так, чтобы угол между осями одинако-
вого номера составлял 90°. На схеме 6 показано относительное распо-
ложение координатных осей 1 2 и 1', 2' в плоскости, нормальной к оси
3 (3'), а также значения косинусов между осями или значения компо-
нентов тензора преобразования координат.
16 В. И. Блох
242
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
Схема 6
Г 2
2' 1
/, т, п j't т', 1 2 3
г 0 1 0
2' —1 0 0
3' 0 0 1
Воспользовавшись формулой (5.34), определим значения компонентов
тензора С в координатной системе, обозначаемой индексами со штрихами,
по известным значениям этих компонентов в системе, обозначаемой
индексами без штрихов. В результате весьма простых выкладок полу-
чим следующие зависимости:
Ci'i'i'i'=С2222; СгГз'з'^агзз: С1'Гг'з'”—Сгги! Q'i'3'i'=C22s2; C2221
2'2'2' Cun; C2'2'3'3'~CU33; C2-2'2'3- Сщ3; С2'2'3'1,==Спз2; С2'2'г2' = Сц21
Сз'з'з'з'—Сз333; Cs's'2's'= Сзз13; С3'3'3'1'=С3зз2; Сз'з'г2'=~С3321
Сз'з'г'з'-С1313; С2'3'3'1'=—С1332; С2'3'1'3'=С1з21
• C3'i'3'i'—С3232; C3'i'i'2'= C322i
Ci'»'i'2'=C2i 2]
Но так как по условию значения компонентов тензора С в повернутой
системе такие же, как в ней до поворота, когда она совпадала с не-
подвижной, то в полученных равенствах мы можем устранить штрихи
при индексах. Рассматривая возникающие при этом соотношения и при-
нимая во внимание симметрические свойства тензора С, найдем, что
1) £1111 ~ ^2222’’ £1133 ~ ^2233• ^2323 = ^3131; £1112 =-----^2212’
2) компоненты С3333, С1122 и С1212 остаются не связанными с другими
компонентами;
3) остальные компоненты должны аннулироваться.
Вследствие этого таблица веденный на схеме 7. упругих Схема постоянных получит вид, при- 7
С1111 £1122 С 0 U1133 и о £1112
£1ш С П п с '-'1133 и v '-'1112 £3333 000 £гзгз 0 0 £гзгз 0
£1212
Общее число различных упругих постоянных при этом сокращается до 7.
Если теперь принять, что общая координатная ось 3 (3') является
осью симметрии четвертого порядка с углом совмещения через каждые
90°, то упругие постоянные должны будут одновременно удовлетворять
условиям схемы 7 и схемы 3. Из сравнения таблиц этих двух схем
Соотношения между упругими постоянными в случае изотропных тел 243
легко заключить, что на изменение числа независимых между собой ком-
понентов тензора С, представленных на схеме 7, такое требование не
повлияет. Таким образом, ось симметрии, обозначаемая индексами 3
или 3', является в данном случае осью симметрии четвертого порядка.
Если вместо оси 3 (3') осью симметрии четвертого порядка будет
координатная ось 2 (2'), то таблица упругих постоянных получит вид,
показанный на схеме 8.
Схема 8
£1111 ^1122 ^1133 О С1131 О
С2222 ^1122 0 0 0
£цц 0 Cjm 0
^1212 0 0
^3131 0
^1212
5. Три ортогональные оси симметрии четвертого порядка. При на-
личии двух взаимно-ортогональных осей симметрии четвертого порядка
с углом совмещения через каждые 90°, если этими осями являются ко-
ординатные оси 3 и 2, упругие постоянные должны одновременно удовле-
творять условиям таблиц, приведенных на схемах 7 и 8. В этом случае
между фигурирующими в этих таблицах постоянными должны возник-
нуть такие соотношения:
С ~ С — С
^1111 — '-'2222 — ^3333 >
С —С
'-'1122 — '-1133
с —С —С
'-2323 — '-3131 — '-'1212’
£1112 = Сц31 = 0.
Таблица упругих постоянных для этого случая получит вид, показанный
на схеме 9.
Схема 9
^1111 ^1122 ^-1122 000
Сцп Сц22 ООО
£1111 000
£1212 0 0
С1212 О
С1212
Из ее рассмотрения легко установить, что наличие двух взаимно-
ортогональных осей четвертого порядка с углом совмещения через каж-
дые 90° приводит к тому, что и Третья ось, к ним ортогональная, тоже
будет осью симметрии четвертого порядка.
Общее количество различных упругих постоянных в этом случае
сокращается до трех.
§ 83 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ В СЛУЧАЕ
ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
Рассмотренные выше тела, не обладающие одинаковыми способно-
стями деформироваться пег всем направлениям, относятся к числу так
называемых анизотропных тел. В отличие от них изотропные тела обла-
дают одинаковыми свойствами в этом отношении во всех точках и для
всех направлений.
16’
244
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
Выясним, какие упругие постоянные определяют деформационные
способности изотропных тел и какие между ними существуют соотно-
шения. Для этого поступим так же, как и выше, причем потребуем,
чтобы при повороте вокруг любой оси на любой угол не обнаруживалось
изменений в упругих постоянных.
С целью упрощения соответствующих выкладок рационально при
таком исследовании воспользоваться телом, уже обладающим в значи-
тельной степени пространственной симметрией в упругих свойствах. В
качестве такого тела выберем рассмотренное
, выше тело с тремя осями симметрии четвертого
у? 2 порядка. В этом случае нам придется иметь дело
\ лишь с тремя упругими постоянными. С11П, С1122
\ / И ^1212-
\ Совместим с одной из осей симметрии оси
\ 3 и 3' двух декартовых координатных систем и,
1— поворачивая одну, из них вокруг этой оси, вы-
рис Б5-----------разим значения трех упругих постоянных Q-ri'i'»
Cj'1-2'2' и через постоянные, представлен-
ные в другой координатной системе при любом
угле поворота. С этой целью воспользуемся формулой преобразования
(5.34) и примем во внимание, что в данном случае С® = 0 при любых
значениях индекса V. Сохраняя сначала исходные обозначения упругих
постоянных, без учета упрощений, вносимых условиями симметрии и
таблицей схемы 9, мы получим при этом такие равенства:
= СП11 (Of-)4 + (С1112 + С1121 + С1211 + С2111)(С}-)3 (С2-) +
4" (^х122 4" ^2211 4” С2112 + С1221 + С1212 4- C2J21) (С}-)2 (С2-)2 -f-
4“ (С\222 4" £-2122 4" С2212 + С2221) (Сф) (С,')3 + С2222 (С2-)4;
^-Г2-2' = Cun (Ci-)2(Q)2 + (С1112 + с1121) (CJ.)2(C2') (С.‘-) +
+ (С1211 + с2111) (Сф) (С2Г) (С2-)2 + С1122 (С]-)2 (С22-)2 +
4- (С1221 4- С2112 + С1212 + С2121) (С}-) (С2-) (С22.) (С2<) -Ь С2211 (С2-)2 (С2-)2 +
4- (С1222 4- с2122) (Сф) (q.) (С2-)2 + (С2221 + с2212) (С2')® (С22.) (С2<) +
4-С2222 (С2-)2(С2-)2;
С1'2Тг' — £цц (Cj')2 (^г*)2 4~ (С1112 + С12п) (С}-)2 (Q) (Q) +
4- (С1121 4- С2111) (С}-) (С>-)2 (С2) + C12I2 (CJ-)2 (С2-)2 +
4- (С1122 + С2211 + С1221 + С2112) (CJ) (С>.) (С2-) (С2-) + С2121 (С2-)2 (С}-)2 +
4- (С1222 + С2212) (С}-) (С2-)2 (Ср) 4- (С2221 + С2122) (С2-)2 (С2-) (С’-) +
+ C2222 (q2-)2(C22-)2.
Если теперь принять во внимание, что для тела с тремя осями
симметрии четвертого порядка упругие постоянные должны удовлетво-
рять условиям, приведенным в таблице схемы 9, то при наличии зна-
чений компонентов С'- тензора преобразований координат, определенных
следующими равенствами:
С|- = cos а, С2- = sin а,
С2-= —sin а, С2- — cos а,
Упругие постоянные и выражения закона Гука для изотропных тел
245
где а — угол между осями 1 и 1' (рис. 55), мы можем предыдущие ра-
венства для упругих постоянных представить таким образом:
Cj'i'i'r = Сцц (cos4 a -f- sin4 а) 4- 2 (С1122 4~ 2C1212)cos2asin2a;
^1'1'2'2' = ^1122 (cos4 а + sin4 а) + 2 (С1П1 — 2С1212) со?2 a sin2 а;
== ^*1212 (cos4 ос —|- sin4 ос)2 (Сцц ^1212 Сц22) cos2 сс sin2 ОС.
Так как во всех положениях подвижной координатной системы
упругие постоянные для изотропного тела будут сохранять свои значения и,
следовательно, будут равны по значениям, которые они имеют при со-
впадении подвижной координатной системы с неподвижной, мы можем
устранить штрихи при индексах в левых частях этих равенств. Рас-
сматривая возникающие при этом три уравнения и принимая во внима-
ние, что cos4a -|- sin4a = 1—2 cos2 a sin2 а, мы обнаружим, что все они
приводятся к одному:
2(С1П1 —С1122— 2С1212) cos2 a sin2 a = 0.
Ввиду того что для рассматриваемого тела это равенство должно
выполняться при любых значениях угла а, заключаем, что в данном
случае имеет место следующая зависимость между упругими постоян-
ными:
Сии С1122 2С1212 = 0. (5.35)
Легко сообразить, что такая же зависимость получится также и в
том случае, если мы будем, при аналогичных требованиях, предъявляе-
мых к телу, поворачивать подвижную систему координат вокруг оси 2
или 1. На этом основании заключаем, что уравнение (5.35) представляет
собой общую зависимость между тремя упругими постоянными, фигури-
рующими в таблице, представленной на схеме 9, если тело является
изотропным в отношении его способности деформироваться под нагрузкой
при линейной связи между напряжениями и деформациями.
§ 84. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ И ВЫРАЖЕНИЯ ЗАКОНА ГУКА
ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
1. Линейная связь между напряжениями и деформациями. Как
следует из приведенного, упругое изотропное тело обладает только двумя
независимыми между собой упругими постоянными. Из трех постоянных,
фигурирующих в уравнении (5.35), в качестве таковых выберем СШ1 и
СП22 и для упрощения записей введем для них обозначения А и В:
rllllZn (5-36)
’-’игг — 23 •
Тогда получим, что С1212 — у (Л — В).
Тензор упругих постоянных, представляемый формулой (5.27), изо-
бразится в этом случае таким развернутым выражением:
С = А (е1е1е1е1 4- е2е2е2е2 4- е3^3^3) 4- В (е2е2е3е3 4- е3е3е2е2 4- е3е3е1е1 4-
4- eVe3^3 4- е1е1е2е2 + е2е2е1е1) 4- у (Л — В) (e2e2e2e2 4- е2е1е2е14- е1е2е2е1 4-
4- е2е1е1е2 + е2е3е2е3 4- Л^е2 + е2еРе3е2 4- ^е2е2е3 4- е3е1е3е1 4- е1еяе1е3 4*
4- eVe1^3 4- е1е3е3е1).
246
Условия равновесия и движения. Работа деформаций Закон Гука...
Используя эти обозначения, составим на основании (5.33) соот-
ветствующее выражение для потенциальной энергии изотропного упру-
гого тела. При этом получим следующую формулу, в которой, ввиду
применения декартовой системы координат, верхние индексы при ком-
понентах тензора деформации опущены вниз:
— ~2 (е11 + е22 + езэ) + (е22е33 + е33е11 + е11е2г) +
+ (Д-В)(^ + е|1 + е1’2). (5.38)
Если воспользоваться затем равенствами (5.21), которые при опу-
щенных индексах будут иметь вид
dW 1 dW
°" де а '
— _ _ (i, /=1; 2; 3
2 \
то можно будет из полученного выражения для потенциальной энергии
найти соответствующие равенства для напряжений. Последние предста-
вятся при этом таким образом:
°11 = ^’11 4" (е22 4" е3з); °23 = е23«
°22 ~ А-22 4” В (£зз 4“ ец)» °з1 = (21 В) е31;
°зз = 4=33 4~ В (еи е22); с12 = (Л В) е12.
(5.39)
Такие же зависимости можно получить и непосредственно из ра-
венств (5.28).
Как видно из формул (5.39), при совмещении координатных осей с
главными осями тензора напряжений, в которых боковые компоненты
az7(i=/= /) исчезают, должны изчезнуть также и боковые компоненты тен-
зора деформаций и, наоборот. Отсюда следует заключение, что в упругом
изотропном теле главные оси тензоров напряжений и деформаций сов-
падают.
Равенства (5.39) представляют линейную связь между напряжениями
и деформациями для изотропных упругих тел. Однако вследствие усло-
вий опытного нахождения значений упругих постоянных для различных
материалов в технических дисциплинах получил распространение другой
способ представления этих постоянных.
2. Технические упругие постоянные. Пусть имеем упругое изотроп-
ное тело в форме прямоугольного параллелепипеда, находящееся под
воздействием равномерно распределенных по основаниям растягивающих
напряжений (рис. 56). Параллельно направлению действия этих напря-
жений проведем координатную ось 1, а две другие, 2 и 3, направим
перпендикулярно к свободным от нагрузки граням параллелепипеда.
Нормальные напряжения вдоль оси 1 в этом случае будут иметь
некоторое значение оп, а все остальные будут отсутствовать, о22 = с33=
= °2з = °3i = °12 = 0- При этом из равенств (5.39) будет следовать, что
_ Д2 + АВ — 2В2
А + В е11;
В
е22 — е33 — Д £ е11’
S23 = е31 ~ е12 ‘ О-
Упругие постоянные и выражения закона Гука для изотропных тел 247
Для постоянных множителей при еи введем следующие обозначения:
Дг+ АВ — 2В2 _ р,
Д + В —
В
А + В~У’
(5.40)
В этом случае предыдущие, не сводящиеся к нулю равенства по-
лучат такой вид:
_ (5.41)
е22 — Е33 — VS11‘
Постоянная Е, как следует отсюда, устанавливает для случая одно-
осного напряженного состояния пропорциональную связь между напря-
жениями и параллельными им удлинениями. Она зависит от физических
свойств материала и носит название модуля Юнга.
Из сравнения размерностей величин, связывае-
мых этим модулем, следует, что последний имеет та-
кую же размерность, как и напряжение.
Обращаясь затем ко второй строке равенств (5,41),
отметим прежде всего, что наличие знака минус пе-
ред последним выражением указывает на то, что по-
перечные деформации е2ц и е33 обратны по знаку в
сравнении с продольной деформацией, обозначаемой
через su. Поэтому если тело удлиняется в продоль-
I
111111111111116,,
Рис. 56.
ном направлении, то одновременно оно укорачивается
в поперечных направлениях, и наоборот. Постоянная
v, устанавливающая пропорциональную связь между
продольными удлинениями и поперечными укорочениями зависит от
физических свойств деформируемых материалов и носит название коэф-
фициента Пуассона.
Из формул (5.40) следует, что
\Е
л _ (1 — Q ___________________
(1 + >) (1 _ 2v) ’ (1 4-V)(l — 2v) •
(5.42)
Очень часто вместо боковых компонентов тензора деформаций вво-
дят в рассмотрение так называемые относительные сдвиги, -р/, пред-
ставляющие собой, как было показано в § 68, п. 3, изменения перво-
начальных прямых углов. Связь между этими двумя видами величин
определяется формулой (4.31)
Тч = 2г,7 (t; / = 1; 2; 3 i =/= /).
В таком случае вместо равенств с,, = (Л — В) гц в зависимости (5.39)
будут иметь место соотношения
<3/7 =у(Л — В)Т/У (I/ = 1; 2; 3 i =£ /).
Вводя обозначение
С = 1(л-В) (5.43)
для касательных напряжений, получим такие формулы:
°23 — °31 — ^Тз’> °12 — ^Т12-
(5.44)
248 Условия равновесия и движения Работа деформаций. Закон Гука...
Постоянная G носит название модуля сдвига и может быть выражена
через Е и v при помощи равенства
G = 20%V)- <5-45)
2. Закон Гука. Используя зависимости (5.42), мы можем линейную
связь между напряжениями и деформациями, определяемую равенствами
(5.39), представить в любой ортонормированной системе координат сле-
дующим образом:
С22 — 1 _]_ v (®22 + С31 — j | „ £ЗЫ (5.46)'
__ £ / . v _ Е
сзз— 1 _|_ J сзз п- J _ 2^ и) с12 — ! v S12.
где 0 — относительное изменение объема в случае малых деформаций,
равное, согласно формуле (4.68), сумме трех ортогональных относитель-
ных удлинений:
0 — S11 “Ь S22 ®зз-
(5.47).
Шесть равенств (5.46) могут быть заменены одной следующей тен-
зорной формулой:
(5.48>
В некоторых случаях желательно иметь непосредственную связь
между напряжениями и смещениями. Такая связь может, быть легко
получена из последнего равенства (5.48), если принять во внимание
выражение тензора деформаций через вектор смещений, (4.12). При этом
найдем, что
Р Г_____ 2°j 1
° = 2(1 + v) [Vй + UV + j____• (5.49)
Обращаясь к равенству (5.48), выполним скалярное свертывание
всех его членов. В результате у нас возникает связь между относи-
тельным изменением объема и первым инвариантом тензора напряжений
следующего вида:
я 1 —2v
0 = —ег- с
£ ©
(5.50}
Имея в своем распоряжении эту зависимость, легко можно решить
уравнение (5.48) относительно тензора деформаций. Последний опреде-
лится в таком случае следующим образом:
е = тН(1 + v)c —vg/].
£ ©
(5.51)
Упругие постоянные и выражения закона Гука для изотропных тел 249
При использовании ортонормированных координат данное равенство
приводит к шести зависимостям:
е11 — [311 V (322 4“ 3Зз)Ь ®23 — С23»
®22 ~ £ 1322 V (С33 ~Г 311)1 i г31 = С31» (5.52)
®33 = l333 V (311 + 32г)I» 612 = °12-
Совокупность равенств (5.46) или (5.52), либо каждая из формул
(5.48), (5.49) и (5. 51), представляет собой так называемый закон Гука
для изотропных тел.
2. Объемный модуль упругости. Для опытного установления связи
между напряжениями и относительным изменением объема обычно при-
меняется гидравлический способ испытания. В таком случае равномер-
ное со всех сторон гидравлическое или среднее давление, которое обо-
значим через с, будет равно одной трети первого инварианта тензора
напряжений: т
___________________________________
т ©
Тогда связь между средним напряжением и относительным изменением
объема, вследствие формулы (5.50), получит вид
Вводя обозначение
К = 3(Г~2^’ (5’54>
мы можем предыдущую зависимость представить следующим образом:
с = Кб. (5 55)
т
Постоянная К, определенная равенством (5.54), носит название
объемного модуля упругости.
5. Постоянные упругости Ламе. В некоторых случаях вместо по-
стоянных Е, v и G применяют коэффициенты X и ц, введенные Ламе.
Они несколько упрощают формулу закона Гука лишь в том случае,,
когда тензор напряжений выражается через тензор деформаций.
При помощи этих постоянных равенство (5.48) получает следующий
вид:
с = Х0/ + 2’J-a (5.56)
Связь постоянных упругости Ламе с техническими постоянными
Е и v определяется равенствами
Х = (1 +^) (1—2-0 ’ 11 = 2(1+ v)' (5.57)
Вместо соотношения (5.50) мы теперь будем иметь зависимость
g = (ЗХ + 2р) 0, (5.58)
©
250 Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
•а выражение (5.51) для тензора деформаций представится таким образом:
1
S “ 2;j.
/ х Л
3X + 2u.qJ'
(5.59)
6. О границах значений упругих постоянных. На основании по-
вседневного опыта можно высказать некоторые общие соображения
о границах для числовых значений упругих постоянных Е и v.
Так, например, модуль продольной упругости Е не может быть
отрицательной величиной, так как в противном случае при загрузке
тела, как следует из первого равенства (5.41), возникали бы деформа-
ции, обратные действию внешних сил: при загрузке на растяжение воз-
никало бы укорочение и наоборот.
Из рассмотрения остальных зависимостей группы равенств (5.41)
можно заключить, что коэффициент Пуассона не может быть меньше
нуля, так как в противном случае, например, при растяжении тела
в одном направлении происходило бы расширение его также в попереч-
ных направлениях. Из формулы же (5.53) следует, что этот коэффициент
не может быть также больше 0,5, так как иначе, например, при всесто-
роннем растяжении тела его объем уменьшался бы. Таким образом, для
коэффициентов Пуассона можно установить практические пределы
О " v <0,5.
К тем же результатам мы придем, исходя из соображения, что по-
тенциальная энергия упругого тела не может быть отрицательной, если
напряженное состояние его должно быть устойчивым. Действительно,
если обратиться к выражению (5.38) для удельной потенциальной энер-
гии упругого изотропного тела, то принимая во внимание значения по-
стоянных А и В, определенные равенствами (5.42), можно преобразовать
его к такому виду:
~ 2(1 +'0 [1—2? (£И + Ё22 + £3з)2 + S11 + Е22 + ®33 + 2 (®23 + ®31 + “Ча)] •
Отсюда легко заключить, что для того чтобы функция W была по-
ложительной во всех случаях, необходимо выполнение следующих
условий:
|->0; г24">0.
4- V 1 — ZV
При этом непосредственно возникают указанные выше пределы зна-
чений величин Е и V.
В таблице 26 приведены опытные значения величин Е, v и G для
некоторых материалов.
7% Случай неизменяемости объема. Если коэффициент Пуассона
равняется 0,5, относительная объемная деформация, как это следует из
равенства (5.50), обращается в нуль при любых конечных силовых воз-
действиях. В этом случае в формулах (5.46), (5,48) закона Гука и не-
которых других возникают члены с неопределенностями. Можно устра-
нить эти неопределенности, если ввести в рассмотрение наряду с ранее
введенным средним напряжением еще среднее удлинение е, равное одной
т
трети объемной деформации:
Дифференциальные уравнения равновесия и движения...
251
Тогда из формулы (5.53) можно будет получить следующую зависи-
мость между средними напряжениями и удлинениями:
а = (5.60)
т 1 У т
Обращаясь затем к формуле (5.48) закона Гука, заменим в ней
объемную деформацию через утроенное среднее удлинение и вычтем из
обеих ее частей почленно равенство (5.60) после умножения двух его
сторон на единичный тензор /. В результате мы придем к зависимости
а — а! = . Б (е — е/), (5.61)
т 1 -f- v т
свободной от неопределенностей.
Тензоры, представляемые выражениями с/ или s/, носят название
т т
шаровых тензоров. При аффинных преобразованиях пространства с по-
мощью шаровых тензоров все фигуры этого пространства изменяют лишь
свои размеры, не меняя конфигурации.
Разности с — с/ или е — г! называются девиаторами. Из формулы
т т
(5.61) следует, что девиатор напряжений пропорционален девиатору дефор-
маций.
Связь между напряжениями и деформациями в такой форме исполь-
зуется в теории пластичности.
§ 85. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ,
ВЫРАЖЕННЫЕ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Согласно формуле (5.1), дифференциальное уравнение движения
в инвариантной форме имеет такой вид:
V ‘° + ?Р = Рдр-
Если принять во внимание формулу (5.48) закона Гука
“ = Г^(* + га7в')|
то это уравнение движения может быть преобразовано к следующему
виду, где вместо напряжений фигурируют деформации:
+ + (5.62)
Если же воспользоваться формулой (5.49), связывающей напряже-
ния со смещениями,
° = 2(1 + ^) +’ 1 — 2^ ' и) ^] ’
то можно, исходя из того же равенства, получить следующее дифферен-
циальное уравнение движения, выраженное в перемещениях:
л > 1 г-, 2 , 2(1+>) D 2(1+^) д2и с„.
^ + tTT2;V2-«+ (5.63)
252
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
При обращении к декартовым координатам мы получим отсюда три
скалярных уравнения:
Д„_| 1 а9|2<1+^рр _2(1+у2“*.
х ф 1 — 2 ч дх + Е Р^х~ Е Р aF ’
Дп -I —1 39 I 2(1+^РР _2(1+>)*“,.
^иУ^Х — ^ду+ Е pl“~ Е Р~дЁ~’
Lu I 1 g9|2(1+%P _2(l+v)
+ 1 — 2ч dz + Е ptz— Е Р dt2 •
В некоторых случаях удобнее представить дифференциальные урав-
нения движения в несколько иных видах, основываясь на формуле (3.59)
разложения двойной ротации вектора:
V х (V х «) = V2 • « - Д«.
Если исключить при помощи этого равенства Д« из уравнения (5.63)
то можно последнему придать вид
VXUXV+^V-« + ^P₽-2-^pg. (5.65)
Здесь фигурируют вектор поворотов <о = V X и и объемная дефор-
мация В = v • и, так что это уравнение может быть представлено в та-
ком виде:
2-r^V«-V х » + ^₽Р = Ц!гИр^.
При исключении же V2 и уравнение движения представится формулой
fc>4«-VxoV + ^=^. (5.66)
В случае равновесия, очевидно, правые части в полученных выше
уравнениях движения аннулируются.
§ 86. УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ
1. Уравнение совместности деформаций. Условие совместности де
формаций, как было показано, представляется уравнением (4.92):
V X е X V = 0.
Если принять во внимание формулу преобразования (3.61), то это
уравнение может быть представлено еще в такой форме:
\72 ..el — V2 - г — s- V2 + Де + V20 — Д6/ = 0. (5.67)
Скалярное свертывание этого уравнения дает следующий результат."
V2..e — Д0 = О. (5.68)
Вследствие этого предыдущее равенство может быть представлено
таким образом:
Де —V2 • е —£ • V2 + V20 = °- (5.69)
Учтем далее, что тензор деформаций должен, кроме того, удовле-
творять дифференциальному условию (5.62) движения. Из этого послед-
Уравнения совместности
253
него в результате диадного применения к нему слева, а затем отдельно
справа, дифференциального оператора'V можно получить такие две за-
висимости:
V! •« + V1» + +~ V (fP) = тт V (р да);
« • V + [As + 1±-' (РР) V = Цр(р да) V-
Если теперь почленно сложить уравнение (5.69) с двумя послед-
ними, то получится, что
v2e = -Цр [v (р 5) + (р 5) V - V (?Р) - (рР) v] (5.70)
При использовании декартовых координат данное тензорное уравне-
ние распадается на шесть скалярных следующего вида:
Д£хх + j 1 5*6 _ — 2^ дх* ~ 2(1+4 Е [-( дх\ ОТХ РЧр \ 3 (рРх) 1 дх 9
tew 1 1 1 ОТ - 2v ду* ~ 2(1 Ч-у Е — 1 ду\ д*и Рур d(pPvY ду 9
1 1 1 ОТ 2(1+, д / д (рРг)
— 2v дг* Е дг\ о ' дР дг
L 1 ОТ 1+, д ( д2иг\ + д f д*и diy'di
: 1 — 2^ дудг Е дуУ дР 1 ч
-4- 1 ОТ _ 1+v |(р Згих\ + д 1 д*и dx\P dt
^^гх 1 1 — 2^ дгдх Е дР / /
Де 1 ОТ 1+^ д / й2“гЛ + д 1 ОТлЛ ду \Р дР )
мху +1 — 2v дхду Е дР )
5(рр2) 3(рР,)1
ду дг
д (рРх) д(рРг)
дг дх
д(РР.) д (рРж)
дх ду
(5.71)
Скалярное свертывание уравнения (5.70) приводит еще к такой за-
висимости:
А6 = • (pS) - v • (рР)] , (5.72)
которая в декартовых координатах получает следующий вид:
до _ (1 + ,)(1-2,) р / , а 1д^\ , а /
Ли (1— ч) Е \дх\Р др / ду\Р дР ) ' dzy дР)
_ Гд(РРж) , д(рРу) , д(РРг)1|
L дх ду дг JJ ’
(5.73)
Если плотность вещества рассматриваемого тела постоянна во всем
его объеме, уравнение (5.70) может быть представлено еще таким об-
разом:
Дг + T3h;V2e = (-14^(2g-v/’-^v). (5.74)
а формула (5.72) — равенством
дд , (1 Ч-у)(1 —
(1—4£ W
(5.75)
254
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука-...
Наконец, при отсутствии массовых сил и постоянстве деформирован-
ного состояния во времени из двух последних уравнений находим, что
As + r=^V26 = 0 (5.76)
Д0 = 0. (5.77)
Относительная объемная деформация, таким образом, в этом случае
является гармонической функцией в объеме деформированного тела.
Вследствие этого из уравнения (5.76) следует еще, что
ДДе =0, (5.78)
т. е. что тензор деформаций является бигармонической функцией в том
же объеме.
Нужно обратить внимание на то, что уравнение совместности де-
формаций в форме (5.70) может быть весьма просто получено и без обра-
щения к формуле (4.92). Для этого надо будет применить диадно опе-
ратор V ко всем членам дифференциального уравнения движения (5.63)
в перемещениях один раз слева, а другой раз справа и результаты сло-
жить. Если затем воспользоваться зависимостью (4.12), связывающей
деформации с перемещениями, то после соответствующей подстановки
из указанной суммы непосредственно возникает формула (5.70).
2. Уравнение совместности напряжений. Если принять во внимание
связь между деформациями и напряжениями, то исходя из предыдущих
формул совместности деформаций, можно будет получить соответствую-
щие равенства совместности также для напряжений.
Так, при использовании зависимостей (5.50) и (5.51), уравнение (5.69)
непосредственно приведет нас к формуле
д0_ V2.o_o.va+ ’ [V2o_v(A3)/] = 0e (5 79)
+ © ©
Данное равенство представляет собой уравнение совместности на-
пряжений независимо от условий, которым должны удовлетворять
эти напряжения при движении или равновесии. Если учитывать также
последние, то в качестве исходной зависимости следует воспользоваться
формулой (5.70). В этом случае получим, что
Дс + ГТ7[V© “v (Л© /] = v (р а*/ + (р др) V - v <Рр) - (Рр) V-
Левую часть данного равенства можно упростить. С этой целью выпол-
ним над всеми членами полученной зависимости операцию скалярного
свертывания
Да = [V • (р >) - V • (?Р)] (5.80)
Тогда предыдущему уравнению можно будет придать следующий вид:
д° + V2° = V (р 5) + (р Й) V - V (рР) - (рР) V +
+ гг; [v • (р 5) - V • (рР)] I. (5.81)
Уравнения совместности
255
При обращении к декартовым координатам мы получим отсюда та-
кие формулы:
л । 1 _ о д д2их\ , v \д( д^их\ , д(„д2иу\ , 3f~32u2^]
“ 2Зх\Р др J + 1— -v [длЛР дР]+ ду\Р др Зг\Р З/2/]
_ 9 д(рРх) _ у ГЗ (рРх) । д (рР</) । д(рР2)] .
дх 1 — у [ дх ду dz J ’
л । 1 ^°© о д ( д2иу\ у Га/ д2их\ . 3 ( д2иу\ . д ( 32иЛ1
Д% + Г+^ ~ду2 ~ 2 ду \Р dt2 / + 1 — у [ах \Р др j оу \Р дР j + дг [р др /]
_ 9 д(рРу) _ у Гд (рРж) । д (рРу) . 3 (рР2)] .
ду 1 — у [ дх ду дг J ’
л _ । 1 д2°® _ о в ( д2иг\ , у Г а ( а2«ж\ . а ( д2иД а / з2«2\1
Лзгг + 1 _j_ v дг2 ~~ ' Z дг V дР ) + 1 — у |Зх\Р дР / + ду \Р дР ) дг \Р дР /J
__2 д (Ррг)_____v Г д (рРх) 1 д (рРу) 1 д (рР?)1. (5 821
дг 1 — у [ дх ду дг J ’ \ • >
* ।___1 д2°0 _ а / а2иг\ . д ! &иу\ Га(рРг) 3(рРр)].
Уг 1” 1 + у ду дг ду \р дР / ' Зг \р дР / [ ду дг J ’
*_ ,___1 д2°0 __ , д ( д2^} ГЗ(рРж) д(рР2)~|.
гх 1 + у дг дх дг \р др ) дху др J [ дг дх J ’
Лг 1 д [ д2иу'\ д [ д2их\ \д(рРу) З(рРх)]
xv "T” 1 + у дх ду дх \р дР / **” Зу \р др / [ дх ду J ‘
Эти равенства представляют собой так называемые уравнения со-
вместности Бельтрами — Мичелла.
Формула (5.80), которую можно также рассматривать как следствие
уравнения (5.81), в декартовых координатах получит следующий вид:
. __1 -|- у Г 3 / 32«х) . 3 / д2иД , 3 / Зги211
Лс©~ Г^[зх\р-3/Г/ + dyVlU2/ + Зг\Р 3Z2/]-'
__ 1 + у Гд (рРж) д(рРу) . 3 (рР2)1
1 — у Г дх I” ду I” дг J ‘
(5.83}
Если плотность постоянна во всем объеме тела, то формулы (5.81}
и (5.80) можно преобразовать к такому виду:
л3 । 1^2.. ZO + yjp^ У
Ao + r+^v °®-----Ё—\др——^~др 1]~
-pfv/’ + ^V + i-^V-w); (5.84}
<5-85>
<
Отсюда найдем, что в статическом состоянии
Ac + i4^V2<’®==-p(v/’ + /’V + r^V-/v). (5.86)
A3® = -^PV-/> (5.87}
256
Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука...
Наконец, при отсутствии массовых сил и изменений напряженного
состояния со временем, эти последние равенства представятся следую-
щим образом:
A° + r^V2°e = 0; (5.88)
Дс0 = О. (5.89)
Из условия (5.89) следует, что в этом случае первый инвариант
тензора напряжений пли, что то же, результат его скалярного сверты-
вания является гармонической функцией в рассматриваемом объеме.
При этом из уравнения (5.88) находим, что
ДДз = 0, (5.90)
т. е. что тензор напряжений при отсутствии движения и массовых сил
является бигармонической функцией в том же объеме рассматриваемого
тела.
Уравнение (5.81) или (5.84) совместности напряжений является
дополнительным к уравнению (5.1) равновесия или движения, выражен-
ному в напряжениях. Решение любой задачи теории упругости в напря-
жениях должно удовлетворять и тому и другому требованию. Если же
решение выполняется в перемещениях, то достаточно исходить из урав-
нения (5.63) равновесия или движения, выраженного в перемещениях.
Таблица 26
Опытные значения величин Е, G и м для некоторых материалов
Наименование материалов Модуль про- дольной упругости Е в 10е кг/слР Модуль сдвига G в 105 кг{см2 Коэффициент Пуассона м
Углеродистые стали ... 2,04-2,1 8,1 0,24 4- 0,28
Легированные стали 2,1 8,1 0,25 ч-0,30
Стальное литье ... .... 1,75 .— ——
Чугун серый, белый 1,15 4-1,60 4,5 0,23 4- 0,27
Ковкий чугун 1,55 — —
Алюминий катанный 0,69 2,6 4- 2,7 0,32 — 0.36
Дюралюминий катанный 0,71 2,7 —
Медь прокатанная . . . . 1,1 4,0 0,31 4- 0,34
Медь холоднотянутая 1,3 4,9 —
Медь литье .... 0,84 — —
Фосфористая бронза . 1,15 4,2 0,32 4- 0,35
Латунь холоднотянутая 0,91 4- 0,99 3,54-3,7 0,32 4- 0,42
Цинк катанный . . 0,84 3,2 0,27
Свинец 0,17 0,70 0,42
•Стекло . 0,56 2,2 0,25
Каучук 0,00008 — 0,47
Целлулоид 0,017-е-0,019 — 0,39
Бакелит . . 0,024-0,03 —. —
Кирпичная кладка 0$27 4- 0,030 — ——
Бетон при нагрузке в 100 кг]мг 0,146 4-0,196 -— —
150 » 0,164 4-0,214 — —
200 » 0,182-=-0,232 — —
ГЛАВ A VI
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
Применение основных принципов механики к деформируемым твердым
сплошным телам при использовании линейной связи между напряжениями
и деформациями позволяет получить ряд положений, имеющих общий
характер для теории упругости. Основные из них — теорема о взаим-
ности работ Бетти, теорема Кастильяно о значениях частных производ-
ных упругого потенциала по напряжениям и ряд общих вариационных
принципов, являющихся основаниями для разработки соответствующих
приближенных методов,— будут рассмотрены ниже.
§ 87. ТЕОРЕМА БЕТТИ О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
1. Взаимность работ в точке. Отнесенная к единице объема работа
деформаций тела в точке, произведенная тензором з напряжений на из-
менениях деформаций, определяемых тензором s, может быть, согласно
равенству (5.18), представлена формулой
8Га = с .. 8г.
Будем рассматривать два напряженных состояния одного и того же
упругого тела: первое, характеризуемое напряжениями с и деформациями г,
1 I
и второе, независимое от первого, вызванное другой внешней нагрузкой,
характеризуемое напряжениями с и деформациями е.
2 2
Пусть в теле, находящемся в первом напряженном состоянии, воз-
никают напряжения и деформации второго напряженного состояния.
Определим работу Wb сил первого напряженного состояния на пу-
тях, вызванных в том же теле вторым напряженным состоянием. Как
было показано в § 73, при малых деформациях порядок наложения их
не влияет на окончательный результат. Не оказывают они при этом
влияния также друг на друга. Поэтому деформации двух не связанных
между собой загружений следует рассматривать как независимые. То же
самое можно отметить и в отношении напряжений. Следовательно, иско-
мое значение работы получится в результате интегрирования равенства
8Ц7Ь = о • • 8г.
1 2
При изменении е в пределах от 0 до е эта работа найдется из
2 2
формулы
Wb = c..s. (6.1)
1 2
17 В. И. Блох
258
Энергетические принципы
Примем затем во внимание, что в теле, подчиняющемся закону
Гука, напряжения связаны с деформациями линейной зависимостью
(5.26), так что в данном случае будет иметь место равенство
а = е • • С,
. 1 1
где С — тензор упругих постоянных четырехкратной валентности.
Предыдущее выражение работы при этом получит такой вид:
Wb = е • • С • е.
1 2
Но ввиду симметричности тензора С относительно перестановки
пары правых и левых индексов между собой можно последнее равенства
представить также следующим образом:
Wb = е . • С • • е.
2 1
В этом случае, так как между а и е имеет место связь
2 2
а = s • • С,
2 2
предыдущее выражение работы может быть представлено еще в таком
виде:
Wb = а • • 8. (6.2)
2 1
Сравнивая между собой два способа представления одной и той же
работы, изображенные равенствами (6.1) и (6.2), находим, что
а • • е = а • • е. (6.3)
12 2 1
Это соотношение выражает "так называемую теорему взаимности ра-
бот, найденную Бетти, которую можно сформулировать таким образом:
при малых деформациях работа сил напряжений первого напряженного
состояния на своих путях перемещений, вызванных деформациями вто-
рого напряженного состояния, в каждой точке упругого тела равна
работе сил напряжений второго напряженного состояния на своих путях
перемещений, вызванных деформациями второго напряженного состояния.
2. Взаимность работ для всего деформируемого тела. Теорема, спра-
ведливая для каждой точки тела, будет справедлива, очевидно, и для
всего тела. Но работа деформаций для всего тела, значение которой в
каждой точке определяется равенством (6.1), найдется из формулы:
4=f(a..e)dV. (6.4).
у 1 2
Обозначая векторы смещений для первого и второго напряженных
состояний соответственно через и и и, мы можем правую часть этого-
1 2
равенства, ввиду симметричности тензора напряжений, преобразовать
таким образом:
Л = J[a..-l(V« + «V)]dV = J[a.. (V«)]dV.
v v
Далее, принимая во внимание, что
V • (а • и) = (V • а) • U + а .. (\7«),
12 12 1 2
Теорема Бетти о взаимности работ
259
можно последнему представлению работы деформаций придать такой вид:
А = f V • (а • и} dV — [ (V • а) • и dV.
у 12 у 12
(6-5)
Согласно же дифференциальному уравнению (5.1) внутреннего дви-
жения
V-a = p(ii — Р),
1 11
где Р — массовая сила первого напряженного состояния и Р — массовая
1 2
сила второго напряженного состояния.
Учитывая это и используя формулу Остроградского для преобразо-
вания первого интеграла равенства (6.5), мы найдем, что
А = f dS • а • « + [р(Р — й) • и dV.
5 1 2 у 1 12
(6.6)
Соответствующим образом, очевидно, можно будет преобразовать
правую часть равенства
Л = f (о • • е) dV,
v 2 1
представляющего ту же работу деформаций всего тела. В окончательном
итоге мы получим выражение, отличающееся от (6.6) только тем, что
индексы 1 и 2 в нем переставлены местами.
Вследствие этого возникает равенство:
f dS • а • и + f р (Р — й) • и dV =
s 1 2 р 1 1 2
= f dS • q • u + (р(Р — й) • и dV.
£ 2 1 р 2 2 1
(6.7)
Относя, согласно Даламберу, силы инерции к внешним объемньп
силам, этот результат можно выразить таким образом: работа всех внеш-
них поверхностных и объемных сил первого напряженного состояния
на своих путях перемещений, вызванных вторым напряженным состоя-
нием, равняется работе всех внешних поверхностных и объемных сил
второго напряженного состояния на своих путях перемещений, вызван-
ных первым напряженным состоянием.
3. Изменение объема деформируемого тела. Если в равенстве (6.7)
придать, например, левой части тот вид, какой она имела до перехода
к внешним силам, то мы получим следующую зависимость:
[ (а • • е) dV = f dS • а • и f р (Р — й) • U dV. (6.8)
у 1 2 2 1 у 2 2 1
Этим равенством можно воспользоваться для решения ряда задач.
Примем, например, что а == /; такое значение тензора напряжений
соответствует всестороннему растяжению с напряжением, равным еди-
нице, в чем легко убедиться, если обе части этого значения тензора
напряжений скалярно умножить на единичный вектор нормали к произ-
вольной площадке. Соответствующее значение тензора деформаций, как
17*
260
Энергетические принципы
следует из закона Гука для изотропных тел, будет в этом случае опре-
деляться равенством
где г — радиус-вектор текущей точки. Если пренебречь общими переме-
щениями всего тела в целом, то вектор смещений будет
Подставляя эти значения а и и в (6.8) и отбрасывая значок 2 в
окончательной записи, получим
J 0 dV =
dS • а • г + ) р (Р — й) rdV
(6.9)
Здесь 0 — относительное изменение объема для бесконечно малых
деформаций, равное результату двойного скалярного произведения s на
единичный тензор /. Интеграл левой части данного равенства представ-
ляет, таким образом, полное изменение объема всего тела. Формула (6.9)
позволяет, следовательно, определить это изменение по заданным по-
верхностным и объемным силам.
4. Среднее удлинение тела в заданном направлении. Если принять,
что a = ii, где i—орт оси декартовых координат, то можно будет, вос-
пользовавшись равенством (6.8), определить для всего объема тела сумму
произведений элементарных объемов на их удлинения в направлении
оси, определяемой ортом t, какие возникают при заданной системе внеш-
них сил. После деления этой суммы на объем V тела найдем соответ-
ствующее среднее удлинение.
Приведенному здесь значению тензора а соответствует равномерное
растяжение тела вдоль оси того же орта I. Вызываемая этим растяже-
нием деформация представляется тензором
а соответствующий ей вектор смещений, с точностью до общего пере-
мещения всего тела в целом, определяется формулой
1 + -
V '
и =
где х — координата текущей точки вдоль направления i.
Обозначая указанное среднее удлинение через (sxx)m, найдем, что
Теорема Кастильяно
261
§ 88. ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО
Будем исходить из общего выражения закона Гука для упругих
тел, представляемого равенством (5.26):
о = е..С, (6.10)
где С — тензор упругих постоянных четырехкратной валентности.
В соответствии с формулой (5.27) придадим ему следующий вид:
С=С^те>.
Введем далее в рассмотрение тензор С-1 также четырехкратной
валентности, компоненты которого обозначим через (С-1)'"1'” и опреде-
лим равенством
где Det (Cmnil) — определитель матрицы, составленной из компонентов
тензора С, a A (Cmnii) — алгебраическое дополнение к элементу Cmnil в
этом определителе. Таким образом, получим, что
С-i =
Очевидно, тензор С-1 будет обладать теми же симметрическими
свойствами, что и тензор С. Вследствие взаимных свойств основных
векторов в данном случае будет иметь место равенство
С • • С-1 = етепепет.
Имея это в виду, дважды скалярно умножим обе части зависимости
(6.10) на С-1. В результате найдем, что
е = а • • С-!. (6.11)
Дифференцируя это равенство, получим такую связь между измене-
ниями деформаций и напряжений:
OS = ОС • С~1.
Ввиду симметрических свойств сомножителей в правых частях
последних двух зависимостей, эти сомножители могут быть перестав-
ляемы.
Обратимся затем к выражению дифференциала упругого потенциала,
равного работе внутренних сил деформации, представленной формулой
(5.18):
БГ = с • • 6з.
На основании полученного выше выражения для 6s данное равенство
можно представить следующим образом:
6Г = 3.-С-1--63. (6.12)
Рассматривая с другой стороны IP как функцию независимых между
собой компонентов тензора напряжений, мы найдем, что
dW 5, , , dW s , dW ~ . dW x , dW s
о IP = — 6a.. + -— oa„, -f- — os + -5— co „ -— oa31 — oa12.
dsn 11 dc22 -c <fc33 33 dc23 23 da31 31 оз12 12
262
Энергетические принципы
(6.17)
Если использовать тензорный дифференциальный оператор
+ (Z; /=1; 2; 3), (6.13)
то можно последнее равенство представить еще в такой форме:
8Г = DaW • 8а. (6.14)
Но из соотношения (6.12) при наличии зависимости (6.11) следует,
что
8117 = s • • 8а. (6.15)
Сравнивая правые части двух последних равенств, легко можно
получить, ввиду произвольности приращения 8а, такое представление
для тензора деформаций:
е = ВД7. (6.16)
Обращаясь затем к компонентам этого тензора, мы найдем следую-
щие выражения для них:
s« = dW e‘i = 1 Zi; / = 11 2; 3
2 dad у i =£ j
При сопоставлении этих зависимостей с равенствами (5.21) для
компонентов тензора напряжений можно установить определенную ана-
логию в представлениях в двух случаях, а также в способах их по-
лучения.
Подобно соотношениям (5.22) здесь также будут иметь место ра-
венства
д& _ дг™™ дгИ _ 1 де"1"1 дгИ _ де™" / [ ф j, т =£ П \ /с 1О\
д°тт 2 de// d'mn /> WJ ft = 1J 2‘ 3/
Эти зависимости являются условиями интегрируемости выраже-
ния (6.15).
Результат, представляемый равенством (6.16) или, в детальном виде,
равенствами (6.17), позволяет сформулировать теорему Кастильяно:
деформации в любой точке упругого тела определяются частными про-
изводными от удельного упругого потенциала этого тела по напря-
жениям.
Нужно отметить, что в то время как при выводе выражений (5.21)
для напряжений мы исходили только из условия существования упру-
гого потенциала, в данном случае мы воспользовались еще линейным
законом Гука, представленным здесь равенством (6.10), вследствие чего
данная теорема имеет силу только для тел, подчиняющихся этому
закону.
§ 89. ИЗМЕНЕНИЯ УДЕЛЬНОГО УПРУГОГО ПОТЕНЦИАЛА
1. Изменение упругого потенциала при изменении деформаций. Будем
исходить из выражения удельного потенциала (5.30)
Г = уе..С-.8.
Изменение удельного упругого потенциала
263
Если обозначить через значение функции Wlf получающееся
вследствие бесконечно малого приращения тензора деформаций, то на-
йдем, что
U71 = l(£+8e)..C..(3 + 82) =
= е • • С • • е -|- е • • С • • 8г -|- 8s • • С • • 8е.
Но первое слагаемое последнего выражения представляет собой на-
чальное значение функции W, а второе — ее дифференциал. Поэтому
можно составить такое равенство:
1Г1 — U7 = 8U7 + lge..c..8s. (6.19)
Примем здесь во внимание, что упругий потенциал, определяемый
приведенным выше выражением для W, является определенной положи-
тельной квадратичной формой. Тогда на основании подобия выражений
необходимо заключить, что и последнее слагаемое правой части равен-
ства (6.19) является определенной положительной квадратичной формой.
Введем обозначение U для упругого потенциала всего тела:
U = ^WdV. (6.20)
v
Тогда,* учитывая, что
J 8 Г dV = 8 f W. dV = 8t7, (6.21)
V V
найдем после интегрирования всех членов равенства (6.19) по всему
объему тела такое соотношение:
иг — t/ = 8t/-f-c. (6.22)
Здесь Ux — U — изменение упругого потенциала тела, возникающее
при бесконечно малых изменениях деформаций, и с — положительная
величина второго порядка малости, обусловленная вторым слагаемым
правой части равенства (6.19).
Результат (6.22) позволяет заключить, что изменение упругого по-
тенциала тела, происходящее вследствие бесконечно малых изменений
деформаций, превышает дифференциал этого потенциала на положитель-
ную величину второго порядка малости. Двукратный дифференциал
упругого потенциала представляет собой положительную величину.
2. Изменение упругого потенциала при изменении напряжений. Рас-
смотрим, аналогично предыдущему, изменение упругого потенциала
вследствие бесконечно малых изменений напряжений. Примем во внима-
ние, что если исходить из выражения (5.31) для удельного упругого
потенциала, то при наличии линейной зависимости (6.11) между напря-
жениями и деформациями можно это выражение потенциала представить
таким образом:
Г = y0-.C”i - -с.
Как и в предыдущем случае, это выражение является определен-
ной положительной квадратичной формой. Вследствие подобия исходных
формул можно утверждать, что и в данном случае изменение упругого
потенциала тела, происходящее вследствие бесконечно малых изменений
264
Энергетические принципы
напряжений, превышает дифференциал этого потенциала на положитель-
ную величину второго порядка малости. Двукратный дифференциал
упругого потенциала в данном случае является положительной величиной.
§ 90. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1. Принцип минимума потенциальной энергии системы при вариации
смещений. Допустимыми перемещениями с точки зрения принципа воз-
можных перемещений являются такие, которые, во-цервых, не нарушают
состояния равновесия всей совокупности действующих сил, и во-вторых,
равны н-улю там, где перемещения фиксированы условиями задания. По-
скольку общее равновесие при этом нарушается, то суммарная работа при
таких возможных перемещениях всех действующих сил должна рав-
няться нулю.
В случае упругого тела, находящегося под воздействием внешних
сил, работа последних должна сопровождаться таким изменением упру-
гого потенциала тела, при котором общего изменения потенциальной
энергии всей системы, т. е. упругого тела и внешних сил, не происходит.
Обозначая бесконечно малые возможные перемещения через 8ц, мы
можем работу 8£ внешних поверхностей и массовых сил при этих пере-
мещениях определить формулой
8L = JdSp • 8u + fpP budV,
s v
где dS — скалярное значение элементарной площадки граничной поверх-
ности S, и р —вектор напряжений на этой поверхности; остальные обо-
значения понятны из предыдущего.
Согласно отмеченному относительно возможных перемещений, вели-
чины 8ц должны при этом равняться нулю там, где условиями задания
фиксированы действительные перемещения, поскольку тем самым послед-
ние не могут изменяться. Поэтому интегралы правой части данного
равенства на этих местах должны обращаться в нуль. В остальных
местах, а именно, на поверхности S, условиями задания, очевидно, оп-
ределены поверхностные силы, а во всем объеме тела—-массовые силы;
в этих местах, понятно, силы по указанной причине также не могут
изменяться. Поэтому здесь стоящие под знаками интегралов в приведенном
равенстве значения поверхностных и массовых сил должны рассматри-
ваться как постоянные при варьировании перемещений. Это позволяет
предыдущее выражение представить таким образом:
ЪЬ = 8 Д dSp • и + [ рР udVУ (6.23}
'S V /
Отсюда следует, что при варьировании перемещений данное выра-
жение можно рассматривать как линейную функцию этих перемещений.
Вторая вариация работы внешних сил в случае варьирования переме-
щений, таким образом, аннулируется.
Поскольку работа внешних сил на возможных перемещениях, как
было отмечено, должна при равновесии системы компенсироваться из-
менением упругого потенциала тела, мы можем, пренебрегая бесконечно
малыми второго порядка, составить равенство
8(/ = 8£,
Втриационный принцип возможных перемещений
265
где KU — вариация упругого потенциала тела, определяемая формулой
(6.21).
Придадим полученной зависимости такой вид:
б (И — ^p-udS— [PP-udV) = 0. (6.24)
s V
Примем затем во внимание, что здесь первый член выражения, за-
ключенного в скобки, т. е. уменьшаемое, представляет собой упругий
потенциал сдеформированного внешними силами тела, а вычитаемое,
образованное суммой второго и третьего членов — полную работу внеш-
них сил на полных путях перемещений. Вследствие этого все выраже-
ние в скобках можно определить как потенциальную энергию системы,
составленной из упругого тела и внешних сил. Вводя для нее обозна-
чение П,
П = U — Jp • udS —JpP - udV, (6.25)
S V
мы можем предыдущее равенство представить следующим образом:
6/7 = 0. (6.26)
Данное уравнение является условием экстремума функции П. Но
так как из предыдущего рассмотрения следует, что двукратная вариация
упругого потенциала тела является положительной величиной, а работа
внешних сил равна нулю, то положительной величиной будет также
и двукратная вариация функции /7. В таком случае при выполнении
условия (6.26) потенциальная энергия системы получает минимальное
значение.
Этот результат может быть сформулирован следующим образом: из
всех допускаемых связями перемещений упругое тело в состоянии рав-
новесия получает такие перемещения, которые сообщают потенциальной
энергии системы минимальное значение.
Формула (6.26) или, в более детальном виде (6.24), выражающая
условие обращения в нуль вариации потенциальной энергии системы при
возможных перемещениях, представляет собой для данного случая урав-
нение Лагранжа.
2. Условие равновесия упругих тел. Принцип минимума потенциаль-
ной энергии системы, выведенный из начала возможных перемещений,
являющегося основным положением статики, позволяет получить все
необходимые уравнения, которые должны выполняться при равновесии
сплошной среды, найденные ранее другим методом.
Имея в виду доказать это путем фактического получения таких
уравнений равновесия, сделаем предварительно ряд замечаний относи-
тельно исходных положений.
Хотя выражение для вектора р напряжений на площадке, имеющей
внешнюю нормаль п, представляемое, согласно равенству (2.6), в форме
скалярного произведения
р = п • а,
где с — тензор напряжений, было получено нами из рассмотрения рав-
новесия тетраэдра (§ 30, п. 2), однако это равенство может быть обос-
новано также из определения вектора напряжений как частного от де-
ления вектора распределенной нагрузки на величину площади, на ко-
266
Энергетические принципы
торую эта нагрузка действует при изменении ориентировки площади.
Поэтому использование данного равенства в предположенных построениях
вполне допустимо. Однако условие симметричности тензора напряжений
должно быть исключено из начальных положений, поскольку оно является
результатом рассмотрения именно обстоятельств равновесия. Также
должно быть исключено из исходных положений выражение a...6s для
представления элементарной удельной работы деформаций, поскольку
при его выводе в § 78 существенное значение имело условие симметрич-
ности тензора а. Эти соображения приводят к необходимости вывода
уравнения удельной работы деформации специально для данного случая
в предположении, что условие симметрич-
ности указанного тензора не имеет места.
С этой целью обратимся к рассмотре-
нию бесконечно малого параллелепипеда
ABCDA'B'C'D' (рис. 57), направленные реб-
ра которого параллельны осям прямолиней-
ной системы координат. Выведем обозначе-
ния еь е2 и е3 для направляющих масш-
табных векторов координатной системы и
dx1, dx2 и dx3 для длин ребер этого парал-
лелепипеда, измеренных в масштабах парал-
лельных им координатных векторов. Тог-
да вектор нормали к грани, ограниченной,
например, векторами dx2e2 и dx?e3, имею-
щий модуль, равный площади этой грани,
определится равенством
dS1 = (dx2e2) х (dx3e3) = Vgdx2dx3e1,
где, как обычно, g — определитель ковариантного метрического тензора,
и е — вектор, нормальный к векторам е2 и е3 и принадлежащий к тройке
направляющих векторов координатной системы, взаимной с данной.
Соответствующие выражения будут иметь место и для других граней.
Если область, к которой принадлежит такой параллелепипед, является
полем дифференцируемых вектора и смещений и тензора а напряжений,
то, обозначая их указанным образом для точки А, найдем, что, напри-
мер, в точке В эти величины будут иметь значения
и = и + (dx'ej • (V«) и а = a -j- (dx1^) • (V0)-
в в
Аналогично можно найти значения их и в других вершинах того же
параллелепипеда.
Вектор dpr силы напряжений на грани ВВ'С'С, если принять, что
напряжения на этой грани определяются значением тензора напряже-
ний в точке В, найдется из равенства
dpx = dS’ • а — (}^gdx2dx3e1)-[a + (dx1e1) • (V0)]-
в
Принебрегая в данном случае величинами выше второго порядка
малости, примем, что
dp, = Vgdx2dx3e1 а.
Вариационный принцип возможных перемещений
267
Работа деформации, выполняемая этой приложенной к грани ВВ'С'С
силой может быть найдена, если принять, что путь ее определяется
смещением указанной грани относительно грани AA'D'D. Приравнивая
перемещения этих двух граней перемещениям принадлежащих им точек
В и А, можно заключить, что указанное относительное смещение du
будет определяться выражением
du = и — и = (dx'ej) • (*\7и).
в
В таком случае интересующая нас работа dA деформаций, совер-
।
шаемая при относительном смещении этих двух противоположных гра-
ней, найдется из равенства
dA = dp! • du — Vgdx1dxidx3el • с • (u\7) • &i-
i
Если принять во внимание, что объем dV данного параллелепипеда
определяется формулой
dV = ] gdxldx2dx3,
то указанная работа деформаций может быть представлена следующим
образом:
dA =е1-а • («V) eidV = [(eie1).. а • (ц\7)1 dV.
i
Аналогично можно найти также значения работ деформаций, совер-
шаемых двумя другими парами граней данного элементарного парал-
лелепипеда при относительном смещении противоположных граней внутри
каждой пары. Полная работа деформаций всех поверхностных сил этого
параллелепипеда найдется в результате суммирования трех таких работ
и, следовательно, будет равна
dA = [(е^ + е^ + е3е3).. а • («V)l dV = [/ . . а • («V)] dV = [a .. (uV)l dV.
Отсюда заключаем, что удельная работа деформаций, т. е. работа
деформаций, отнесенная к единице объема тела, определяется равенством
rd = 3..(uV).
При неравномерном поле смещений и напряжений это выражение
будет представлять значение функции Wd в точке. Если вектор-функция
и получает элементарное изменение скалярная функция Wd будет
получать элементарное изменение, равное
3rd = a..(8uV) = °- .«(«V).
Если правый градиент вектора смещений, являющийся асимметри-
ческим тензором двукратной валентности, обозначить через
u\7 = Е =
то элементарная удельная работа деформаций будет представляться ра-
венством
%Wd = с . . 8$ = а,78$ч = an8£u ф- а228^22 + °зз8^33 + а2з8^23 + °з25432 +
+ о31^31 + ais^13 + + °Z18;21.
268
Энергетические принципы
Примем, что тело, элементы которого совершают определенную пре-
дыдущими равенствами работу деформаций, является абсолютно упру-
гим. Тогда при адиабатическом процессе деформаций и, в определенных
условиях, при изотермическом, эта работа может совершаться только
за счет изменения его удельного упругого потенциала W. Следовательно,
приведенное выражение работы деформаций должно представлять собой
полный дифференциал этого потенциала, являющегося функцией девяти
компонентов тензора 5.
Но полный дифференциал функции W в этом случае будет опреде-
ляться формулой
= 2; 3>-
Из сравнения данного выражения с представлением для oUva ввиду
произвольности элементарных изменений тензора £ делаем заключение
о наличии в данном случае таких соотношений:
dW
(Й /=1> 2; 3).
Вследствие этого указанный дифференциал удельного упругого по-
тенциала может быть представлен равенством
8117 = с -8 (и V).
То же можно получить, рассматривая деформацию элементарного
параллелепипеда при условии асимметричности тензора а.
Воспользуемся этим равенством для нахождения вариации упругого
потенциала тела на вертикальных перемещениях. Выражение для нее
будет иметь вид
8[/ = J а -8 («V) dV.
v
Если разложить тензор а напряжений на симметрическую а и анти-
а
симметрическую а части
а
С = С -|- С,
и принять во внимание, что согласно данным § 26, п. 2, при вектор-
ном свертывании имеет место равенство
а
с = а,
® ®
то окажется возможным вследствие соотношений (1.167) и (1.169), вы-
полнить ряд следующих преобразований:
S a S 1 а
° • • 8 («V) = (а + а) • • 8 («V) = о • 8 (W) + v о • 8 (V«) =
z® ®
s
= а • 8 (V^) + а • 8 (V X и)-
Вариационный принцип возможных изменений напряженного состояния 269
На этом основании правая часть предыдущего выражения для ва-
риации упругого потенциала тела может быть представлена таким обра-
зом:
р S р р S
о£7 — J а • • 8 (V«) dV + ] а • 8 (V X и) dV = • (а • Zu) dV —
v v ® и
— f (V • °) • ou dV + [ о • 8 (V X и) dV.
v V®
Если применить к первому интегралу этого выражения формулу
Остроградского, то получим окончательно, что
р —S r> S г»
ZU = J dS • а 8ц — j (\7 • а) • ou dV + J о • 8 (\/ X и) dV.
sv v®
Работа внешних сил на возможных перемещениях, как было пока-
зано, может быть определена из равенства
8L = J р • Zu dS + J рР • 8u dV.
s v
Вследствие этого, согласно принципу возможных перемещений
имеем, что
8{7 — ZL = f (n • а — р) • Zu dS + f а • 8 (\7 X и) dV —
s v®
с s
— j (V • з + рР) ou dV =-- 0.
v
Здесь n — единичная внешняя нормаль к граничной поверхности S.
Ввиду произвольности возможных, согласованных со связями, переме-
щений, а также ротаций этих перемещений, данное равенство требует
выполнения следующих условий:
а = 0 в V;
®
s
п • о — р = 0 на S; (6.28)
s
V • а + рР = 0 в V.
Первое равенство здесь является условием симметричности тензора
з, второе — граничным условием, и третье — дифференциальным усло-
вием равновесия для внутренней области.
Таким образом, мы получили все основные уравнения теории упру-
гости, обусловленные требованиями равновесия.
§ 91. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
1. Принцип минимума дополнительной потенциальной энергии си-
стемы (принцип Кастильяно). Предположим, что упругое тело, находя-
щееся в состоянии равновесия, допускает при неизменности массовых
сил и сохранении равновесия некоторое элементарное изменение рас-
пределения в нем напряжений в той мере, в какой они не фиксированы
краевыми условиями. Обозначая изменение тензора напряжений через’8а,
270
Энергетические принципы
мы должны будем, вследствие этого, принять, что 8о удовлетворяет
условию симметричности
о<з = 0,
0
равно нулю на тех участках граничной поверхности, где поверхностные
напряжения определены заданием, и так как оно не нарушает равно-
весия тела, то внутри этого тела удовлетворяет дифференциальному
уравнению
V • ос = 0.
Элементарная работа изменений внешних сил, которые появляются
в тех местах граничной поверхности, где они не определены заданием,
но фиксированы смещения и, найдется из равенства
оЬ = Jop • и dS.
s
Этот интеграл, очевидно, равен нулю на той части поверхности S,
на которой поверхностные напряжения не могут варьироваться вслед-
ствие фиксации их краевыми условиями. В остальной же части этой
поверхности, на которой условиями задания определены смещения, по-
следние должны рассматриваться как постоянные. Поэтому можно пра-
вую часть данного равенства представить таким образом:
8L = 8jp.«dS. (6.29)
s
Отметим здесь, что неизменность массовых сил, обусловленная вна-
чале, является следствием того обстоятельства, что смещения внутри
тела не могут быть непосредственно определены заданием и потому
работа таких изменений массовых сил при их выборе не может быть
заранее установлена. Не представляется также возможным интеграл
элементарных работ вариаций массовых сил при действительных пере-
мещениях представить как вариацию интеграла работ массовых сил
с целью включения этого интеграла в общий энергетический потейциал
системы, так как при таком представлении варьированию должны были
бы подвергаться и силы, и перемещения.
Поскольку работа, совершаемая внешними допустимыми измене-
ниями нагрузок, должна компенсироваться при неизменности общего
равновесия соответствующим изменением потенциальной энергии ZU тела,
рассматриваемой как функция напряжений, можно составить равенство
C.U = 8Л,
которому, вследствие предыдущего выражения для 8Л, можно придать
вид
о (£7 — Jp • udS) =0. (6.30)
s
Величина
nd = U — ^p-udS (6.31)
s
представляет собой значение потенциальной энергии системы с исклю-
ченными массовыми силами, т. е. энергии, дополнительной к потен-
Вариационный принцип возможных изменений напряженного состояния 271
циальной энергии, обусловленной массовыми силами.. На этом основании
ее можно назвать дополнительной энергией системы.
Условие (6.30) при наличии равенства (6.31) может быть представ-
лено формулой
877d = 0. (6.32)
Поскольку работа Ь внешних сил является линейной функцией на-
пряжений, знак второй вариации частичной потенциальной энергии Пй,
обусловленной изменением напряженного состояния, будет определяться
знаком второй вариации функции U. Так как, согласно данным, приве-
денным в § 89, п. 2, эта вторая вариация является положительной, то
заключаем, что при выполнении условия (6.32) функция nd примет ми-
нимальное значение.
Таким образом, из всех допускаемых связями возможных напря-
женных равновесных состояний упругого тела в действительности воз-
никает то состояние, при котором дополнительная потенциальная энер-
гия системы принимает минимальное значение. Данный результат при-
нято называть принципом Кастильяно.
При наличии массовых сил воздействие их на напряженное со-
стояние тела может быть учтено способом изменения краевых условий,
который будет рассмотрен ниже. Как уже говорилось в отношении
теоремы Кастильяно, этот принцип применим лишь к телам, подчиняю-
щимся линейному закону Гука, поскольку упругий потенциал тела, что
также было отмечено, рассматривается здесь как функция напряжений,
а в этом виде он может быть представлен только с помощью указан-
ного закона.
2. О представлении деформаций через смещения. Если условия
равновесия могут быть получены в качестве следствия принципа мини-
мума потенциальной энергии системы при варьировании смещений, то,
используемые в теории упругости выражения для деформаций через
смещения можно получить в качестве следствия второго рассмотренного
принципа — принципа Кастильяно.
Воспользуемся представлением вариации упругого потенциала тела-
на основании (6.15) в следующем виде:
8u = J 8о • • е dV.
v
Тогда уравнение вариации дополнительной энергии можно будет
представить равенством
У 8а • • е dV — У 8р • udS — 0.
v s
Заменим здесь во втором интеграле вектор 8р его значением, опре-.
деляемым условием равновесия между поверхностными внешними и внут-
ренними усилиями
п • 8а — 8р = 0
и преобразуем затем этот интеграл с помощью формулы Остроградского.
В результате получим
У 8а • • edV — f V • (°3 ' и) dV == 0.
V V
272 Энергетические принципы
Если здесь во втором интеграле выполним дифференцирование,
обусловленное оператором V. и учтем, что вариация тензора напряже-
ний должна подчиняться дифференциальному условию равновесия, то
придем к уравнению
J . edV — J 8с •. (V«) dV = 0.
V V
Из двух сомножителей оз и \/и, фигурирующих здесь во втором
интеграле, первый является симметрическим тензором, а второй — асим-
метрическим. Выделим вследствие этого в асимметрическом тензоре Vм
симметрическую и антисимметрическую части, согласно схеме
+ «V) + y(V« —«V).
и примем во внимание, что двойное скалярное произведение симметри-
ческого тензора на антисимметрический тождественно равно нулю.
Тогда мы сможем предыдущее уравнение преобразовать к следующему
Риду:
J ос . • [j- — ~ + «V)] dV = 0.
v
Отсюда, ввиду произвольности в определенных рамках вариации 8о
следует, что с точностью до произвольной антисимметрической тензор-
ной добавочной функции тензор деформации будет определяться фор-
мулой
s = 4<V« + «V). (6.33)
Вопрос о значении возникающей из этого вывода антисимметри
ческой добавки к приведенному выражению для тензора деформации
может быть решен, если принять во внимание, что принцип минимума
дополнительной энергии, как отмечалось, справедлив лишь для тел,
подчиняющихся закону Гука. Поскольку асимметрический тензор дефор-
маций при соблюдении этого закона не может быть представлен с по-
мощью линейной связи через симметрический тензор напряжений,
следует признать, что указанная антисимметрическая часть тензора
деформаций подлежит аннулированию.
Таким образом, представление (6.33) для тензора деформаций
является окончательным.
Условие Сен-Венана совместности деформаций является следствием
такого представления этих деформаций через смещения. д
§ 92. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Пусть точки упругого тела в результате воздействия на него
внешних поверхностных и объемных сил, а также сил инерции, описы-
вают за время t0 = t2 — tY некоторые пути, совершая в течение каждого
элемента dt времени смещение dt. •
Предположим далее, что переход тела из своего начального состоя-
ния в конечное возможен также по другим соседним путям, притом
Вариационный принцип для динамических систем
273
таким, что смещения в каждый момент времени отличаются от совер-
шаемых на действительных путях на бесконечно малые величины Ъи.
Примем затем, что смещения в начальный и конечный моменты движе-
ния по окольным путям не отличаются от таковых при движении по
действительным путям, т. е. что вариации Ви в эти моменты времени
равны нулю.
Исходя из того, что работа внутренних сил тела на смещениях си
обусловливается работой внешних сил совместно с силами инерции на
соответствующих смещениях, мы можем составить следующее равенство
J о • • BsdV = J dS • а • 8u + j* р (р — • oudV,
vs v
где Be — тензор деформации, определяемый смещениями Ви.
Используя предыдущие обозначения для упругого потенциала тела
и для работы внешних сил, обусловленных вариациями смещений
=Ja .. BsdV;
v
BL = j dS • о • Bu + J рР • Bu dV,
s
представим приведенное выше равенство
таким образом:
B.(L-t7) = J'p^.BudV.
v
Умножим затем обе части этого уравнения на dt и проинтегрируем
их по времени в пределах от tv до t2. Получим, что
it it
j‘B(L-t/)dZ = J(Jpg.8udv)d/,
G К V
или, после интегрирования последнего интеграла по частям, что
t,
§Z(L—U)dt =
• Bu dV^’
Г, V
Уменьшаемое правой части этой зависимости, ввиду обусловленного
равенства нулю вариации Ви в конечные моменты времени и t2, исче-
зает. В вычитаемом же выделенный скобками объемный интеграл пред-
ставляет собой вариацию кинетической энергии тела
ди дЪи л, »
?дГ dTdV = S
(1Яг4?л')=8Г-
V
18 в. И. Блох
274
Энергетические принципы
На этом основании предыдущему уравнению можно придать сле-
дующий вид:
t,
8 J (Т + Д — t/) = 0. (6.34)
Данный результат — принцип Гамильтона для упругого тела, причем
самый интеграл представляет собой так называемое действие энергии
системы. Согласно условию (6.33), в рассматриваемый промежуток вре-
мени действие энергии системы принимает экстремальное значение на
пути фактического движения этой системы»
ГЛАВА VII
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 93. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАВНОМЕРНЫХ И ЛИНЕЙНО
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Примем во внимание, что в находящемся в равновесии упругом
изотропном теле напряжения в любой точке должны удовлетворять
условию (5.2) равновесия
уо + рР = 0 (7.1)
и условию (5.86) совместности
A3 + TT^V2°® = -p(v7’ + ^V + r^V-P/). (7-2)
Если принять, что вектор Р массовых сил, как в случае действия
сил тяжести при небольших высотах, имеет постоянное значение, то
правая часть уравнения (7.2) обратится в нуль и получившееся при этом
условие совместности будет всегда выполняться, если тензор о напря-
жений будет представляться линейной функцией декартовых координат
точки. В этом случае задача определения напряженного состояния тела
сведется к удовлетворению краевых условий и дифференциального
уравнения (7.1) равновесия.
Ограничиваясь пока задачей выполнения последнего требования,
примем, что тензор напряжений представляется равенством
а = А • г + С, (7.3)
где А — постоянный тензор трехкратной валентности, симметричный
относительно двух первых своих валентностей, и С — постоянный сим-
метрический тензор двукратной валентности.
В декартовых координатах компоненты тензора напряжений будут
при этом определяться выражениями
°</ ~ Aijxx + Atjytj + AtjZz -j- С,,-;
(^fVA ,= Ajikt = I, j — X, y, Z).
Тензор А вследствие требования (7.1) должен будет в данном слу-
чае удовлетворять условию
А + РР = 0, (7.5)
2®3 ’
которое в координатной форме представится тремя следующими равен-
ствами:
Аххх + Ахуу + Ахгг + рРх = 0;
Аухх + Аууу + Ауа + рРу = 0; (7.6)
Агхх + Агуи + Л222 + рР2 =- 0.
18*
276
Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
На основе закона (5.51) Гука для деформаций
e = ^[(l+v)o-v3oZ)]
в данном случае получим такое равенство:
е = 4- [(1 + v) (А • г + С) - v (Л • г + С) /].
С 102 0
В координатной форме из него будут вытекать шесть скалярных
зависимостей, которые легко найдутся из следующих формул путем
циклической перестановки обозначений индексов и координат:
£ХХ ~ "[Г {{АХХХ V (Аддх 4~ Л22Д,)1 X + fAXXg V “j* 22 ) 1
+ IAXXZ — v (Аууг + Л222)1 z 4- Схх — v (Суу + С22)); (7.7)
£ (АугхХ + Аугу1/ 4" AyzzZ 4" Суг)-
Из этих выражений можно на основании первой формулы (4.78)
получить такое равенство для двукратного градиента вектора смещений:
V2« = 4 U4- - v (Ауух 4- Azzx)] i 4- [2 (1 4- v) Ахух - Axxy 4-
+ v (Ayyy + ^)]/4- [2(1 4- v) A2XX ^XXZ + v (Ayyz 4- A^)] k} 4-
+ 4 Аууу ~ v <A^y + A**y> J / + I2 (1 + v) Ayzy — Ayyz 4- v (Л^ 4- Axxz)] k 4-
4- [2 (1 4- v) Axyy — Ayyx 4- v (Л22х 4- Axxx)] i] 4-
4- 4 IMzzz - > (4„ + Ayy2)] k 4- [2 (1 4- v) Azxz - A.zx 4- v (Axxx 4- Л^)] i 4-
4- [2 (1 4- v) Ayzz - A^ 4- v (Axxy 4- Ayyy)] /) 4-
+ Ш + v) Их,2 + Azxy - Ayzx) i 4- \Ayyz - v (Л_ 4- Axxz)\ j 4-
4- [Azzy - v (Axxy 4- Ayyy)] k} 4- {(1 4- >) (Ayzx 4- Axyz - Azxy) j 4-
+ IAZZX — v (Л rxx 4- Ayyx)] k 4- [ Axx2 — v (Ayyz 4- Л222)1 i] 4-
+ K1 + v) (A2xy 4- Ayzx — Axyz) k 4- [Axxv — v (Ayyy 4- Л22р)] i 4-
+ [Ayyx — v (Л^ 4- AIXX)] /).
В результате интегрирования данного выражения и учета равенств
(7.7) находим следующие значения координатных компонентов этого
вектора:
их — -р {[Аххх — v (Ауух 4- Azzx)] у 4- [2 (1 4- v) Ахуу — Ауух 4-
+ v (А^ 4- Аххх)] 4- [2 (1 4- v) Агхг — Аггх 4- v (Алхх 4- Ауух)] 4-
+ (1 + v) (Azxy 4- Axyz — Ayz^ yz 4- [Axxz — v (Ayyz 4- A^)] zx 4-
+ lAxxy — v (Ayyy 4- Azzy)] xy 4- ICXX -r- v (Cyy 4- C22)l x 4- (1 4- *) Cxyy 4-
+ (1 4- v) Czxz} 4- v — uzy 4-
’ uy ~ ~e (tAyyy — v (АггУ + Axxp)l у + [2 (1 4- *) Ayzz — Аау 4-
Решения с помощью скалярной гармонической функции напряжений
277
+ v (^хху + -у + [2 (1 + v) Ахух — Ахху + V (Аууу + Azzy)] ~ +
+ (1 + v) (4lJ/2 + Ayzx — Azxy) zx + [Ауух — v (Агхх + Аххх)] ху + (7.8)
+ \.^yyz — V (Л^ + Axxz) 1 yz + [Суу — v (Czz + С „)1 у + (1 + v) Cyzz +
+ (1 -г v) Cxyxj + — <oxz + vy;
= {[Лг2 - v (Axxz + Ayyz)] -f2 + [2 (1 + v) Azxx - Axxz +
+ v (Ayyz + Azzz)] £ +[2(1 + v) Ayzy - Ayyz + v (Azzz + Axxz)\y~ +
+ (1 + v) (Ayzx + Azxy — Axyz) ХУ + [Лгг{, — V (Axxy + Ayyy)l yZ +
+ [ Azzx — v (Axxx + Ayyx)] zx + [C^ — v (Cxx + Cyy)] z + (1 + v) Czxx +
+ (1 + v) Cyzy\ + ч>ху — Шух + vz.
Здесь с\., wy, w2, а также vx, vy, vz — произвольные постоянные,
представляющие собой координатные компоненты двух векторов, w и v,
определяющие общий поворот и жесткое смещение всего тела в целом.
Наличие приведенных общих выражений для напряжений и смеще-
ний позволяет путем специализации входящих в эти формулы произ-
вольных коэффициентов получать решения частных задач для тел, внеш-
ний вид которых согласовывается с условиями загружения на гранич-
• ных поверхностях.
§ 94. РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ СКАЛЯРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
1. Общие выражения. Обращаясь к уравнениям (7.1) и (7.2), легко
заметить, что при отсутствии массовых сил они будут тождественно
удовлетворяться, если принять, что тензор напряжений представляется
равенством
а = Х72ф. (7.10)
где ф— произвольная скалярная гармоническая функция. Такую функцию
уместно назвать функцией напряжений.
Вектор смещений в этом случае будет, с точностью до общего пово-
рота и жесткого перемещения всего тела в целом, определяться формулой
« = (7.П)
Рассмотрим некоторые частные задачи, легко решаемые с помощью
этих соотношений.
2. Неограниченная среда с равномерно загруженной шаровой по-
верхностью. Пусть функция ф напряжений имеет вид
Ф=4- (7-12)
где А — постоянная, а ч — модуль радиуса-вектора, проведенного из
некоторого начала в текущую точку. Эта функция будет гармонической
всюду, кроме начала отсчетов (см. § 40, п. 2).
278
Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
Подставляя данное выражение в формулы (7.10) и (7.11), мы найдем,
что вектор смещений будет в данном случае определяться с указанной
точностью равенством
где — г радиус-вектор текущей точки, а тензор напряжений—формулой
о = л(-3-?т)- (7.14)
В полярной системе координат (ч, р, 7, табл. 8) с тем же началом
этот тензор будет представляться только компонентами1
2Д А
аич = — , арр = ап = — . (/.10)
Как следует из этих равенств, распределение напряжений в данном
случае обладает полной симметрией вокруг начальной точки, причем
значения напряжений неограниченно возрастают при приближении к этому
началу и падают до нуля при удалении на бесконечность, изменяясь
обратно пропорционально ч3. Из этого можно заключить, что приведен-
ные соотношения могут быть использованы для представления напря-
женного состояния неограниченного тела, обладающего шаровой полостью
с равномерно распределенным давлением на своей поверхности. Обозна-
чая радиус этой полости через ч, и давление на ее поверхности через р„
мы найдем из условия
!«=«, 7 —Pi
такое значение коэффициента А:
рн3.
А = ^. (7.16)
Тем самым будут конкретно определены все элементы данного на-
пряженного состояния.
3. Неограниченная среда с равномерно загруженной неограниченной
круговой цилиндрической полостью. Придадим скалярной гармонической
функции ф напряжений следующий вид:
ф = 41п(ч2 —Z2). (7.17)
Здесь А — постоянная, ч — модуль радиуса-вектора, проведенного из
некоторого начала в текущую точку, az — расстояние от этой текущей
точки до выбранной плоскости, проходящей через указанное начало.
Если обозначить через р проекцию радиуса-вектора на ту же плоскость,
то, как легко сообразить, выражение (7.17) будет представлять собой
плоскостную функцию
ф = А 1пр,
гармоническую всюду на этой плоскости, кроме начальной точки (см. § 40,
п. 3). В трехмерной области функция (7.17) будет гармонической везде,
1 Напоминаем, что координатные компоненты тензора для двух направлений в еди-
ничной системе измерений получаются в результате скалярных умножений выражения
тензора на орты каждого из этих направлений
Решения с помощью векторной гармонической функции смещений
279
(7-18)
отсчетов
(7-19)
И ОСЬ Z
данной
кроме оси, проходящей через начальную точку нормально к той же
плоскости.
При использовании выражения (7.17) в равенствах (7.10) и (7.11)
найдем, что вектор смещений будет определяться зависимостью
_ (1 + у) Л г — zfe
Е «г — га ’
где г — радиус-вектор текущей точки, и k — орт направления
координаты z, а тензор напряжений — формулой
• _ л Г l—kk _ 2 {r—zk)(r — zk)\
° Л [ч1 2_г2 z (ч2____г2)2 J "
В цилиндрической системе координат, в которой начало
совмещены с соответствующими геометрическими элементами
схемы отсчетов, мы найдем, принимая во внимание, что р2 = ч2— z2,
такие значения компонентов тензора напряжений:
°рр — = • (7.20)
Остальные компоненты этого тензора в данной системе координат
будут равны нулю.
Из этого заключаем, что в рассматриваемом случае мы имеем дело
с плоским напряженным состоянием, возникающим в неограниченном
теле с бесконечной круглой цилиндрической полостью, испытывающей
на своей поверхности равномерно распределенное давление. Обозначим
радиус такой цилиндрической полости, ось которой совмещена с коор-
динатной осью z, через pz, а величину внутреннего давления — через pt.
Тогда из условия
°рр 1р=р, = Р‘
найдем, что
А = р£. (7.21)
Окончательные выражения для смещений и напряжений получатся
из приведенных выше формул после подстановки в них этого значения
постоянной А.
§ 95. РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ СМЕЩЕНИЙ
1. Общие выражения. Если обратиться к дифференциальному урав-
нению (5.63) равновесия в смещениях для случая отсутствия массовых
сил
д« + г=^^2-« = о,
то легко обнаружить, что оно будет тождественно удовлетворяться,
во-первых, когда вектор смещений представляется в форме градиента
скалярной гармонической функции ср
u = V?.
и во-вторых, когда вектор смещений имеет вид ротации гармоническогб
вектора v:
(7.22)
и = V X v.
280
Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
Первый случай непосредственно приводит нас к рассмотренному
в § 94 способу решения при помощи гармонической функции напряже-
ний и потому ограничиваемся здесь этим указанием.
Что касается второго случая, то он представляет дополнительные
возможности для получения конкретных решений в сравнении с первым
способом, и потому мы остановимся на его рассмотрении.
Примем во внимание, что тензор напряжений при таком способе
представления смещений будет определяться, согласно закону Гука,
следующим выражением:
О = 2(ГТЧ^2ХЦ-ЦХ V2).* (7.23)
Рассмотрим некоторые частные случаи, которые легко возникают из
этих зависимостей.
2. Сосредоточенный центр скручивания. Придадим гармоническому
вектору v следующий вид:
и = Л-^, (7.24)
где А — постоянная, et — единичный вектор постоянного направления,
и ч — как обычно, модуль радиуса-вектора текущей точки. В этом случае
вектор смещений будет определяться, согласно формуле (7.22) равенством
Ы = (7.25)
где еч — единичный вектор вдоль направления радиуса.
При использовании полярных координат, если принять ось постоян-
ного вектора et за ось двугранных меридианных углов 7, мы найдем,
что компоненты вектора и смещений будут иметь значения
ы, = ы₽ = 0, ит = Л^. (7.26)
Из этих равенств следует, что смещения на поверхности сферы
изменяются так, как если бы эта сфера повернулась как твердое тело
вокруг оси вектора et на некоторый угол; вообще же при изменении
радиуса сферы смещения изменяются обратно пропорционально квадрату
этого радиуса.
Возникающие в данном случае напряжения будут, согласно фор-
муле (7.23), определяться равенстовом
° = 2~(i + 4х ечвч ~ ечвч х <7 -27)
л
Отсюда легко найти, что в полярных координатах при указанном
расположении вектора ef все компоненты тензора о напряжений, кроме
будут равны нулю. Этот же последний будет представляться формулой
Так как напряжения на поверхности сферы имеют обращенное
в одну сторону направление вокруг оси вектора et и распределяются
симметрично относительно этой оси,-то главный вектор всех сил таких
Сосредоточенная сила в неограниченном теле
281
et et ’ e’e’ dS,
Ч2
напряжений на поверхности сферы равен нулю. Что касается главного
момента М этих сил, то он найдется из равенства
.. С ЕА (Ч .(et еч) ЕА Г
М. — j г X о - dS — 2(1 + j ч2 dS 2(1+4J
s s s
где S — поверхность сферы, и dS — модуль направленного наружу эле-
У
мента dS этой поверхности. Если воспользоваться декартовыми коорди-
натами то, приняв et = k, при известных связях их с полярными коор-
динатами, получим, что
2тс тс
ЕА
cos Р) — i sin р cos 7 — j sin p sin 7] sin p dp dy =
M —----- i
2(1+4 J J
7=0 0
T-i—k.
(7.29)
Отсюда следует такое значение постоянной А:
. (1 + ,) М
Я 2г.Е ’
где М — модуль вектора М.
Как следует из этого анализа, такое распределение смещений
и напряжений в неограниченном теле свидетельствует о наличии в нем
в начальной точке отсчетов сосредоточенного центра скручивания интен-
сивности М. Это же распределение смещений и напряжений будет иметь
место также в стенках шарового слоя, испытывающего кручение вслед-
ствие поворота жестко связанного с внутренней поверхностью недефор-
мируемого шарового ядра при неподвижности наружной поверхности,
прикрепленной к недеформируемой окружающей среде.
§ 96. СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ТЕЛЕ
(задача Кельвина)
Примем во внимание, что при изотропности тела распределение на-
пряжений и смещений в неограниченном теле, могущее возникнуть в
результате приложения сосредоточенной силы к некоторой его точке,
должно обладать свойством осевой симметрии относительно прямой, вдоль
которой направлена эта сила. Также исходя из общих соображений,
можно сделать заключение о порядке изменений величин напряжений и
смещений при удалении от точки приложения силы.
Вообразим сферу, проведенную в рассматриваемом теле и имеющую
центр в этой точке. Главный вектор всех сил напряжений на поверх-
ности этой сферы, каков бы ни был ее радиус, очевидно, должен рав-
няться указанной постоянной силе. Принимая же во внимание, что при
увеличении радиуса поверхность сферы возрастает пропорционально
квадрату его, можно заключить, что напряжения на ней должны умень-
шаться при удалении на бесконечность в порядке, обратно пропорцио-
нальном квадрату радиуса, падая на бесконечности до нуля. Смещения
же, ввиду их дифференциальной связи с напряжениями, должны при
этом уменьшаться обратно пропорционально первой степени радиуса,
также падая до нуля на бесконечности. При приближении же к точке
приложения сосредоточенной силы, напряжения и смещения должны
неограниченно возрастать.
282 Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
Основываясь на этом и учитывая, что смещения и напряжения в
общем случае являются бигармоническими функциями в рассматриваемом
поле, попробуем решить интересующую нас задачу, придав вектору
смещений следующий вид:
u = u-Mv|,
где 2 и ч берут свое начало в точке приложения сосредоточенной силы,
z отсчитывается вдоль прямой ее действия, А — некоторая постоянная,
и v — вектор, долженствующий привести все выражения к выполнению
условия равновесия. Как легко установить, является всюду, кроме
начала отсчетов, бигармонической функцией, а выражение V ~ после
выполнения указанного дифференцирования приводит к значениям, обратно
пропорциональным первой степени радиуса ч и распределены симметрично
вокруг оси 2.
После подстановки приведенного выражения для вектора смещений
в уравнение равновесия
V2 • и = О,
получаемое из формулы (5.63) после устранения членов, учитывающих
массовые и инерционные силы, мы придем к следующему равенству:
До 4
1
1 — 2d
4(1-у)
1—2v
V2 • v = А
1 — 2ч v ч3 1 — 2ч v ч
Но у является гармонической функцией во всей области кроме
начала отсчетов и, следовательно, при использовании ее для представ-
ления вектора v слагаемое До левой части этого равенства исчезает
в той же области. Из этого заключаем, что с точностью до некоторой
добавки в форме градиента от гармонической функции вектор о может
быть принят равным
o = -H4(1-v)A,
и тогда с той же точностью вектор и представится формулой
„ =-Л [(3-^)|+ 5]. (7.30)
Выясним соответствующее вектору смещений напряженное ' состояние.
С этой целью подставим данное выражение в формулу закона Гука:
° = 2 (1 + v) (v«+“V+ j _2v V • •
В результате найдем, что
° = гШ(1 “2v) {rk + kr “ z/) i + Vе] • (7-31)
Сосредоточенная сила в неограниченном теле
283
Вектор напряжений на внутренней стороне шаровой поверхности,
имеющей центр в начале отсчетов длин, определится отсюда в резуль-
тате скалярного умножения данного выражения на единичный вектор
— нормали к этой поверхности. Он будет представляться формулой
- ^[d - 2v) . (7.32)
Как следует из этого равенства, первый член в прямых скобках,
содержащий функцию представляет вектор, имеющий постоянное
направление, определяемое ортом k, а второй — имеющий направление
вдоль радиуса при симметричном распределении значений представляе-
мых величин вокруг оси г. Вследствие этого интегрирование элементар-
ных сил напряжений по сферической поверхности должно привести
к результирующей, располагающейся вдоль оси г. Легко также видеть,
что эта результирующая не будет зависеть от радиуса сферы интегри-
рования, а напряжения при приближении к центру будут неограниченно
возрастать. Вследствие всего этого приходим к заключению, что полу-
ченные выражения (7.30) и (7.31) дают решение поставленной в начале
этого параграфа задачи о сосредоточенной силе в неограниченном теле.
Вводя обозначение Р для модуля указанной результирующей, мы
найдем, привлекая для промежуточных расчетов полярную систему ко-
ординат (табл. 8), что
It X
Р = 2л § k • ачч2 sin р d[i = — J [(1 — 2v) 4- 3 cos2 pj sin p dp =
о 0
8nEA (1 — v)
r+^ •
Отсюда следует такое значение постоянной А:
В полярной системе координат компоненты тензора напряжений,
определяемого равенством (7.31), представятся в этом случае следую-
щими формулами:
Р (1 — 2v) cos ₽
°?3 — 8г. (1 — V) '
__Р (1 — 2v) cos Р , _ Р (1 — 2v) sin ₽ .
°п — 8л (1 — V) 8<U (1—V)"V ’
Сч-у == Ср-у === 0.
Координатные смещения в этой системе, вследствие (7.30), будут
определяться равенствами
— 1 + vC0SP „ _ _L О +4(3 — 44SM _ n n огч
~2л E ч ' u?~ 8r. (l-4£ 4 ’ ut —°- V-35)
Неограниченные значения напряжений и смещений в точке прило-
жения сосредоточенной силы, которые следуют из полученных выражений,
являются результатом игнорирования того обстоятельства, что материал
284
Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
имеет конечную прочность, что закон пропорциональной зависимости
между напряжениями и деформациями имеет силу лишь до известного
предельного наибольшего значения этих последних и что связь между
деформациями и смещениями, установленная для малых деформаций,
перестает быть практически справедливой при значительной их величине.
Вследствие этого результаты, полученные из рассмотренного здесь
решения для случая действия сосредоточенной силы, а также резуль-
таты в соответствующих других случаях, рассматриваемых далее, должны
считаться справедливыми лишь для мест, расположенных на некотором
расстоянии от точек сосредоточения конечных усилий. Вблизи же этих
точек возникают зоны, для которых указанные основные положения
теории упругости теряют свою реальность.
§ 97. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ СЛУЧАИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ
НЕОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА
1. Две весьма близкие равные по величине противоположные сосре-
доточенные силы. Обозначим через а значение тензора напряжений в
точке г для случая, когда на неограниченное тело действует сосредо-
точенная сила, приложенная в некоторой точке. Значение того же тен-
зора в точке г + dr может быть представлено в этом случае выражением
а 4- dr • V°- Если же наблюдаемую точку г сохранить неизменной, но
переместить точку приложения сосредоточенной силы на расстояние ds,
то значение тензора напряжений в точке г будет а — ds V°-
Принимая это во внимание, рассмотрим случай, когда на тело дей-
ствуют одновременно две одинаковые по модулю, но противоположно
направленные силы, приложенные в двух соседних точках. Пусть одна
из них вызывает в теле напряженное состояние а, а другая, отстоящая
от первой на расстояние ds — состояние — (а — ds • V0)- Тогда в ре-
зультате совместного их действия в теле возникает напряженное состояние
о = с — (о — ds • V°) = ds - V° = dses •
i
•>
где ds — модуль элементарного вектора ds, имеющего направление,
представляемое единичным вектором es.
Воспользуемся выражением (7.31) для тензора а напряжений, а
множитель ds отнесем к постоянной А, причем произведение Ads обоз-
начим через В:
В = Ads.
Величина В будет конечной в том случае, очевидно, если при не-
ограниченно уменшающемся ds принять, что множитель А неограниченно
возрастает. Но так как А связано указанным образом с модулем дей-
ствующей силы Р, то, следовательно, в этом случае сила Р должна
также становиться неограниченно большой, и целесообразно ввести спе-
циальное обозначение для произведения Pds при его непосредственном
проявлении.
Если затем принять, что еч обозначает единичный вектор, имеющий
направление радиуса-вектора г, и учесть, что скалярное произведение
еч • k представляет собой отношение —, то тензор а напряжений, воз-
4 ।
никающий при действии двух весьма близких сил, равных по величине
Некоторые другие случаи сосредоточенной нагрузки неограниченного тела 285
и противоположно направленных, определится на основе приведенных
соображений формулой
° = 7Г из К1 — 2'0 ke< — es-kl — Зе, • e4 (e4k + ke4 — e4 • kl)] +
I U ~r VJ 4
+ 3/г • (еьечеч + ече,еч + e4e4es) — 15/г • ечечечеч • es). (7.36)
Очевидно, вектор и смещений, появляющихся в результате этого
1
силового воздействия, определится из формулы
и = ds es • Vй.
i
откуда, вследствие представления (7.30) и приведенных соображений,
мы найдем, что
и = {es • [(3 — 4v) e4k — ke4 + Зече.,еч • &] — k • e4es}. (7.37)
i 4
Вполне понятно, что в равенствах (7.36) и (7.37) направления векторов
es и k не связаны между собой какими-либо условиями и потому как
вектор es, проходящий через точки приложения двух сил, так и вектор k,
параллельно которому располагаются эти силы, могут быть ориентиро-
ваны произвольным образом.
2. Сосредоточенный дублет сил. Будем называть дублетом сил группу
из двух одинаковых по модулю сил, направленных в противоположные
стороны вдоль прямой, соединяющей точки их приложения. Это название
мы вводим для противопоставления термину пара сил, когда две про-
тивоположные параллельные силы располагаются не вдоль одной общей
прямой.
Выражение для тензора напряжений, обязанного действию на не-
ограниченное тело сосредоточенного дублета, т. е. для случая, когда
точки приложения сил, образующих дублет, неограниченно сблизятся,
получится из равенства (7.36), если в нем вектору es придать направле-
ние k. Тогда, при замене обозначения es на k, получим, что
° = К1 — 2v) &kk + 3 (k • е“)21 —I]+ &k- e4 (ke4 + e4k) +
+ 3(1 — 5(k • еч)2]ечеч}. (7.38)
Смещения будут в этом случае определяться такой формулой
и = -2 {2 (1 — 2v) (k • еч) k + [3 (k • еч)2 — 1 ] еч}. (7.39)
1 4
3. Центр всестороннего равномерного растяжения — сжатия. Такая
загрузка получится в том случае, если в одном общем центре совместить
три одинаковой интенсивности дублета, ориентированных направлениями
своих действий по трем взаимно-ортогональным направлениям. Соответ-
ствующий такому случаю загрузки тензор напряжений получится в ре-
зультате суммирования трех равенств (7.38), из которых в одном орт k
заменен на t, в другом — на /, а в третьем оставлен без изменения.
В результате небольших преобразований при этом получится такое
равенство:
2ЕВ (1 - 2м) /го, /-7 ЛЛ,
° — (1 _|_ v) ч3 Зечеч) (7.40)
286
Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости
Для вектора смещений аналогичным способом из зависимости (7.39)
может быть найдена следующая формула:
2В (1 — 2v) /'7 л 1 \
« = ——~ev. (7.41)
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что полученные
здесь выражения для тензора напряжений и вектора смещений полностью
совпадают с соответствующими ранее найденными представлениями (7.12)
и (7.13) для неограниченной среды с равномерно загруженной шаровой
полостью, отличаясь от них лишь постоянными множителями.
4. Сосредоточенная пара сил. Пусть вектор es, проходящий через две
точки приложения в деформируемом теле двух противоположных, оди-
наковых по модулю сил, будет перпендикулярен к этим силам, а сле-
довательно, к вектору k. Совокупность таких двух сил при их весьма
большом сближении образует сосредоточенную пару. Тензор напряжений,
соответствующий такой загрузке, представится, вследствие общей фор-
мулы (7.36), равенством
° = (TT^jVs К1 — ~ 3es' е“
+ Зеч • k (ese4 -|- e4es) + 3 (еч • k) (е, • еч) [(1 — 2v) I — 5evev]}. (7.42)
Вектор же смещений может быть найден из равенства
и = [(3 — 4v) (es • еч) k + 3 (es • еч) (еч • k)e4 — (еч • k) esJ. (7.43)
Как следует из этих представлений, напряжения и смещения не
симметричны относительно оси пары.
5. Центр осесимметрического скручивания. Для получения деформа-
ций скручивания вполне симметричной относительно оси кручения для
случая сосредоточенной загрузки, совместим в одной точке две одина-
ковые пары, определенные в предыдущей задаче, повернутые друг отно-
сительно друга вокруг общей оси на 90р. Обе пары предполагаются
при этом вращающимися в одну и ту же сторону.
Соответствующая формула для тензора напряжений может быть
получена, если просуммировать два выражения, из которых одно имеет
вид правой части равенства (7.42), а другое счставится таким же образом,
но с заменой вектора k на es, а вектора е< на — k. Такая замена соответ-
ствует повороту пары вокруг оси вращения на 909. В результате ука-
занного суммирования получим, что
° = + е^)1- (7-44)
Вектор смещений при этом определится из равенства
и = 4g(*2~V) K«s 'e4)k — (k- еч) es]. (7.45)
Если ввести обозначения
et = k х es
и учесть, что
еч • (eJi — kes) = ечх (k X es} — ечХ et,
Некоторые другие случаи сосредоточенной нагрузки неограниченного тела 287
то предыдущим формулам можно будет придать такой вид:
° = ~(i+v)4»' х — еч1£ч х е^’ (7.46)
u = -^~-b4Xet. (7 АТ)
Единичный вектор et, как следует из его определения, совпадает
здесь с осью вращения пары. Из последней же формулы явствует, что
смещения в каждой точке направлены перпендикулярно к плоскости,
проходящей через эту точку и ось скручивания. Полученные последние
две формулы совпадают с найденными ранее равенствами (7.25) и (7.27)
для действия сосредоточенного центра скручивания.
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Будем в дальнейшем рассматривать исключительно изотропные уп-
ругие тела.
Примем во внимание, что согласно принципу Даламбера уравнения
движения при включении инерционных сил в число массовых обраща-
ются в уравнения равновесия. Полагая распределение ускорений в рас-
сматриваемом теле известным и принимая, что соответствующие им
инерционные силы обладают потенциалом, мы можем общую задачу рав-
новесия упругого тела, находящегося под воздействием внешних поверх-
ностных и массовых сил, свести к задаче равновесия этого тела при q
действии на него только поверхностных сил. Это позволяет значительно
упростить решение общей задачи, заключающейся в нахождении смещений I
и напряжений в теле заданной конфигурации при заранее установленных |
краевых условиях.
§ 98. О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ
Как известно, при решении некоторой задачи о напряженном состо-
янии ограниченного тела, находящегося под воздействием поверхностных
и потенциальных массовых сил, включающих также силы инерции, рас-
пределение которых в теле заранее известно, можно путем соответству-
ющей подстановки исключить из рассмотрения эти массовые силы. Тогда
задача сведется к такой, в которой тело рассматривается находящимся И
исключительно под воздействием поверхностной нагрузки. g
Исследуем вопрос о существовании решения для пространственной
статической задачи теории упругости изотропного тела, когда на его
граничных поверхностях известны смещения, а решение ведется исклю-
чительно в перемещениях. Внутри тела эти перемещения будут подчи-
няться дифференциальному уравнению
A“ + rr2;V2-« = 0, (8.Ц)
которое получается из формулы (5.63) при указанных здесь ограничениях.
Примем, что на граничных поверхностях смещения вместе со своими
дивергенциями непрерывны, число ограничивающих поверхностей конечно,
а сами поверхности замкнуты, гладки, между собой не пересекаются
и друг друга не касаются. Эти требования могут быть, понятно, в том
или другом отношении ослаблены в результате определенной детализации
рассуждений.
Так как объемная деформация 6 определяется равенством (4.67J
6 = V
О существовании решения
289
представим предыдущее уравнение равновесия в следующем виде:
д“ + г=2;^б = о. (8.i2)
В результате скалярного умножения обоих членов этого равенства
на оператор V найдем, что объемная деформация в данном случае под-
чиняется уравнению
Д0 = 0, (8.2)
т. е. является функцией гармонической.
Но в таком случае, если г есть радиус-вектор текущей точки, то,
как л^гко обнаруживается в результате непосредственного дифференци-
рования,
А (гб) = 2V6. (8.3)
На этом основании представим уравнение равновесия в следующем
виде:
4[“ + ^27l'6J = °- М
Выражение, стоящее здесь в прямых скобках, является, таким об-
разом, гармонической функцией, и если бы были известны ее граничные
значения, то можно было бы на основании формулы (3.184) найти, что
“ +2(1 —2',)г6 = ~4^ + 2(1 — 2v)^]dS' (8‘5)
Здесь G — функция Грина, п — внешняя нормаль к граничной по-
верхности S тела, и, г и 0 — значения соответствующих функций в точ-
s s s
ках поверхности S.
С другой стороны, ввиду равенства (8.2) мы будем иметь также,
что
Умножая обе части этой зависимости на Г_^у и почленно вы-
читая ее из предыдущей, получим
tz = + 1 (г —r)eLs. (8.7)
4т: Ls 2(1 — 2v) \ v '
Если теперь применить скалярно к обеим частям настоящего ра-
венства дифференциальный оператор V. то найдем, что
е = — г) el.
2(1—2v)'s ' SJ \ ’ dn / 1 2(1— 2v)4Tt^dns ’
где V обозначает, что дифференцирование выполняется по точке г.
Г
Ввиду равенства (8,6) мы можем придать последней зависимости
следующий вид:
-----!--5-фо-____г) • (v —1
5 — 4> 4r.г> дп/
2(1—2v) 1
5 — 4v 4л
6 dS
s
19 В. И. Блох
290
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Пусть две точки, Л и В, из которых последняя расположена на
граничной поверхности, определяются двумя радиусами-векторами г и
г. Обозначая радиус-вектор, идущий от точки А к точке В, через р
•S
Р = г — Г,
S
получим, что
, , f dG\ d2G
' (У дп) Р дрдп ’
где р — модуль вектора р, и отрицательный знак в правой части про-
ставлен вследствие того, что дифференцирование, как следует из ле-
вой части, должно выполняться по координатам точки А. На этом ос-
новании предыдущее уравнение представим следующим образом:
0 = —L-l$p^-0dS — 2(^~42v)r-V -ju^dF. (8.8)
5 — 4м 4- “ дрдп s 5 — 4м 4r. v § s dn ' ’
Рассмотрим поведение первого члена правой части этого равенства
при переходе начальной точки А, для которой определяется функция
0, на граничную поверхность S. Когда этой поверхностью является
плоскость, мы получим, ввиду (3.186), при принятых здесь обозначе-
ниях, что
о— = D 6 / 27~ __ 4Г- п _ 4 а Р )
дрдп др \ р3 / р3 дп \ р / ’
Когда той же поверхностью является сфера радиуса 7?, легко по-
лучить, что
d2G д_( 2jT- п _1_\ _ d IJ_\________1_
Р дрдп Р др \ р3 г Rp) дп\р) Rp '
В более общем случае будем иметь, что
d2G . д / 1 \ „
Р л л — — 4 I — I —|- Q,
г дрдп дп \ р /
где Q — функция, имеющая особенность в начальной точке порядка не
I
выше —.
Р
Имея это в виду, проведем вокруг точки А, помещенной на гра-
ничной поверхности S, сферу радиуса ч с центром в А. Часть поверх-
а
ности этой сферы, расположенной внутри рассматриваемого объема^ те-
ла, обозначим через S. Поскольку поверхность S в точке А имеет ка-
а
сательную плоскость, найдем, что
lim$p ~GdS = lim [— 4§ J-f-^dS + (?Q0dsl = — 8-0.
ч-о s драп s «-о L s™\P / s ss J s
a a a a a
Вследствие этого, относя уравнение (8.8) к точке А, расположен-
ной на граничной поверхности S, получим из него (исключая из пер-
вого интеграла правой части его значение в этой точке, определенное
указанным предельным переходом сферы радиуса ч), что
а
0 = —I—P^f-0dS — 27~2v)^~ (8-9)
s 7 — 4м 4r. g, r дрдп s 7 —4м 4itv g s dn v ’
где S' обозначает поверхность S с исключением из нее точки А, для
которой определяется 0.
О единственности решения 291
В правой части этой зависимости последний член, очевидно, сле-
дует рассматривать как известную величину, а все уравнение пред-
ставляет собой линейное интегральное уравнение типа Фредгольма, слу-
жащее для определения неизвестной функции 6 в точках граничной по-
s
верхности S. Так как отличные от нуля решения, при нулевых значе-
ниях вектора и смещений на поверхности, исключены, т. е. нетриви-
s
альные решения соответствующего однородного уравнения невозможны,
то из этого делаем заключение о полной разрешимости данного неодно-
родного уравнения. Знание же граничных значений величины 6 позво-
ляет в принципе определить вектор смещений и при помощи уравне-
ния (8.7) и, таким образом, полностью решить задачу.
§ 99. О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
Докажем здесь следующее положение: если существует решение
статической задачи теории упругости, то оно является единственным.
Эту теорему рассмотрим для двух случаев:
1) когда задача решается в перемещениях при заданных смеше-
ниях на границах;
2) когда задача решается в напряжениях при заданных на грани-
цах напряжениях.
1) Решение в перемещениях. Предположим, что для некоторого огра-
ниченного односвязного упругого изотропного тела с кусочно-гладкой
поверхностью при заданных объемных силах и граничных смещениях
существуют два разных однозначных решения задачи теории упругости,
представляемые векторами смещений и и и, имеющими также однознач-
1 2
ные градиенты.
Вектор смещений и = и — и, составленный из разности первых
о 2 1
. двух, будет, очевидно, обладать теми же свойствами в отношении од-
нозначности и являться решением задачи теории упругости для того
же тела для случая отсутствия массовых сил и поверхностных смеще-
ний, т. е. будет решением уравнения
V х «X V + ^yir-V2-u = 0, (8.10)
получаемого из формулы (5.65) при аннулировании вектора Р массовых
сил и вектора ускорений, притом для случая, когда на границе тела
и = 0. (8.11)
о
Умножим все члены уравнения (8.10) скалярно на и и, исходя из
о
равенств
и • (V х v х V) = V • х (V х о)] — (V х и) • (V.X о);
и • (V2 • ») = V • [«(V • f)J — (V «) (V • »).
где и и v — два любых вектора, допускающих в рассматриваемой об-
ласти соответствующее дифференцирование, преобразуем его к виду
[«(V • «)1 - (V • «) (V • «)) + V • [« х (V х и)] -
1 00 00 о о
— (V х и) (V и) =0.
о о
19*
292
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Интегрируя затем это выражение по всему объему рассматривае-
мого тела, мы, ввиду теоремы Остроградского, найдем, что
( (V -u)2dV + | (VX = •«) +
у 0 0 1 Z^ J 0 0
+ fd$-[«X(VXu)]. (8.12)
s ° 0
где V—объем тела и S — его граничная поверхность.
Так как перемещения и на поверхности тела равны нулю, то no-
fl '
лучим, что
2.(L~^V) f(V • u)2dV 4- f (v X n)W = 0. (8.13)
v 0 v °
Для случая когда 0 < v , что имеет место в действительно-
сти, данное равенство, ввиду положительности подынтегральных’ выра-
жений, будет справедливо лишь в том случае, когда во всем объеме
тела
V- « = 0;
V X и = 0.
о
Но тогда вектор и можно рассматривать как градиент некоторой
е
гармонической в данном объеме скалярной функции U,
и = VH.
о
Если же примем во внимание граничное условие (8.11), то найдем,
что функция U может быть лишь постоянной во всей рассматриваемой
области, и, следовательно, вектор и во всем объеме тела должен быть
о
равен нулю. Из этого заключаем, что два решения и и и не могут от-
1 2
личаться друг от друга, и, таким образом, решение рассматриваемой
задачи может быть лишь единственным.
Заметим, что равенство (8.13) при условии выполнения на гранич-
ной поверхности требования (8.11) и однозначности смещений будет
справедливо также и для многосвязной области. Чтобы в этом убе-
диться, достаточно обратить эту область в односвязную путем прове-
дения барьерных сечений, и интегралы правой части равенства (8.12)
распространить также и на них. При этом интегрировать по таким се-
чениям придется дважды, один раз по одной, а другой раз по другой
стороне, в результате чего интегралы правой части (8.12), распростра-
ненные на поверхности барьеров, также в сумме дадут нуль. Это сле-
дует из того, что при интегрировании по двум сторонам одного и того
же барьера мы будем получать одинаковые по величине, но разные по
знакам величины, так как векторы нормалей элементов dF поверх-
ности в обоих случаях интегрирования будут иметь противоположные
направления, тогда как вектор и смещений и его производные, ввиду
указанной однозначности, будут иметь одинаковые значения по обе
стороны барьера.
О единственности решения
293
Наконец, заметим, что теорема единственности, доказанная для
ограниченного объема, будет справедлива также и для неограниченной
области, если векторы и смещений удовлетворяют в этой области тре-
бованиям непрерывности и однозначности вместе со своими первыми и
вторыми производными при условии, что при беспредельном возраста-
нии расстояния ч от выбранного начала до рассматриваемой точки бу-
дут выполняться неравенства
м<4 и |n.(V«)i<4- <8-14)
где М — некоторое положительное постоянное число и
п — любой единичный вектор.
2) Решение в напряжениях. Аналогично предыдущему, предполо-
жим, что мы имеем два разных однозначных тензора напряжений, а и
1
а, удовлетворяющих поставленным условиям задачи. Тогда тензор а =
2 о
= а — а, составленный из разности указанных двух тензоров, будет
2 1
также однозначным и будет являться решением задачи для случая ра-
венства нулю массовых и поверхностных сил, т. е. он будет в объеме,
занятом телом, удовлетворять дифференциальному условию равновесия
V-a = 0 (8.15)
о
и условию совместности, которое в данном случае будет иметь вид
д= + nk V2S = 0, (8.16)
о 1 + ' о
где S — первый инвариант тензора з, являющийся результатом его ска-
о о
лярного свертывания. Кроме того, на граничной поверхности рассма-
триваемого тела он будет подчиняться условию
п • а = О, (8.17)
о
где п — единичный вектор нормали любого элемента указанной поверх-
ности.
Заметим прежде всего, что, выражая тензор а напряжений через
о
вектор смещений и при помощи формулы (5.49) закона Гука, т. е. свя-
0
зывая их между собой зависимостью
Г Г 1
° = 271^ Vu + «V + (V • и>1 ’ (8-18)
о О О 1Z.V oj
мы обращаем условие равновесия в использованное в предыдущем слу-
чае уравнение равновесия (8.10); условие (8.16) совместности при этом
удовлетворяется тождественно, так как оно является следствием зави-
симостей (8.15) и (8.18). Поэтому уравнение (8.16) мы можем заменить
требованием представления тензора а выражением (8.18).
о
Учитывая это, а также симметричность тензора а и условие (8.15)
равновесия, составим следующее преобразование: °
V • (и • °) = С7«) • • 3 = («V) • • 3 = v + «V) • • 3-
00 000 о z о о о
294 Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Интегрируя крайние выражения этой зависимости по всему объему
тела и применяя формулу Остроградского, найдем, что
vf[(V« + «V)--’]dV= [dS-o-u, (8.19)
z J о о О J 00
v s
где V — по-прежнему объем тела и S — его граничная поверхность.
Ввиду того, что на граничной поверхности выполняется условие
(8.17), предыдущее уравнение при ограниченности вектора и смещений ,
о
приведет нас к требованию
f[(V« + «V) ••a]dV = 0. (8.20)
у 0 0 0
Но из формулы закона Гука в результате скалярного свертывания
находим, что
<? Е
$ ~ 1 — 2v V
° о
а в этом случае из той же формулы получаем такую зависимость:
V« + «V=-i[(l +v)a —vSZ],
Это обстоятельство позволяет нам представить равенство (8.20)
следующим образом:
f [(1 + v) а • • а — vS2]dV = 0. (8.21)
у 0 0 0
Подынтегральное выражение здесь является инвариантом относи-
тельно системы координат. Поэтому*, используя ортонормированные
координаты, представим данное равенство в таком виде:
J {(1 + V) [<4 + °i2 + о323 + 2 (<4 + <4 + оу] -
г
— V I3!! + 322 + Сзз + 2 (322333 + 333311 + 311322)П = 0-
где <зй- (i, j = 1, 2, 3) —координатные компоненты тензора а.
о
Путем небольших преобразований левой части этого равенства можно
придать ему такую форму:
J {(1 - 2>) (Зй + + <&) + v К°22 - Ззз)2 + (Ззз - 311)2 + (3Н - 322)2] +
+ 2(1 + v)(a23 + + cf2)}dV =0.
При реальных значениях коэффициента Пуассона, 0 < v , подын-
тегральное выражение здесь всегда положительно и, следовательно,
данное равенство возможно только в том случае, если во' всем рассма-
триваемом объеме будет выполняться условие
с = 0. (8.22)
о
Отсюда следует единственность напряженного состояния, опреде-
ляемого указанными выше требованиями.
Метод интегрирования Бетти
295
Как легко показать, этот результат будет справедлив как для одно-
связной, так, при однозначности смещения, и для многосвязной области.
Для области, простирающейся в бесконечность, как в предыдущей
задаче, построив сферу радиуса ч, охватывающую все внутренние гра-
ницы области, и составив равенство (8.19) для промежутка, заключен-
ного между построенной сферой и внутренними граничными поверх-
ностями, мы, при безграничном увеличении радиуса внешней сферы,
получим зависимость (8.20) в том случае, если одновременно с увели-
чением ч вектор и перемещений и тензор а напряжений, будучи одно-
значными и оставаясь непрерывными вместе со своими первыми произ-
водными, будут, уменьшаясь, удовлетворять условиям
где п — любой единичный вектор, и М — конечное положительное число.
Этим обусловливается единственность напряженного состояния также
и для безграничной области.
Что касается смещений, то найдем, ввиду зависимости (5.51), что
s = 0. В таком случае, на основании того, что было показано в § 74,
п. 3, вектор смещений может иметь лишь такой вид:
и = а + b X г, (8.24)
О
где а и b—два постоянных вектора, т. е. может определять лишь
общее перемещение а и поворот вокруг оси вектора Ь. Одинаковые на-
пряженные состояния, таким образом, определяемые условиями равно-
весия и совместности, а также граничными напряжениями, могут отли-
чаться друг от друга лишь на общие смещения и повороты всего тела
в целом. Очевидно, последнее обстоятельство обусловливается харак-
тером граничных условий, т. е. заданием граничных напряжений вместо
смещений, но не способом решения.
§ 100. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ БЕТТИ
1. Исходные положения. Метод интегрирования Бетти, а также
приводимый ниже .метод, основанный на исследованиях Сомильяна, ба-
зируется на рассмотренной в § 87 теореме Бетти о взаимности работ,
представляемой равенства (6.7):
f dS • а • и + f р (Р — и) и dV = \dS • с • и -j- \р(Р — й) • и dV.
5 1 2 у 1 1 2 $ 2 1 у 2 2 1
Здесь а, Р и и — напряжения, массовые силы и смещения так на-
зываемого первого напряженного состояния, а а, Р и и — второго.
2 2 2
В дальнейшем будем предполагать отсутствие массовых и инерци-
онных сил.
При использовании приведенного уравнения взаимности работ заме-
ним, кроме того, обозначения а и и соответственно через а и и и будем
11
их относить к телу с заданными граничными условиями, элементы
напряженного состояния которого требуется определить. В качестве
296
Некоторые основные методы решения пространственной задачи
второго известного напряженного состояния этого тела будем выбирать
также состояние, свободное от массовых сил, причем относящиеся
к нему обозначения сип заменим соответственно через а и и. В ре-
2 2 с с
зультате это предыдущее уравнение представится в следующем виде:
Jи • а • dS = J и • з dS. (8.25)
S с S с
2. Определение объемной деформации. Придадим величинам а и и
такой вид:
Е / — Зечеч
а =----------------о*
с 1 + v ч3 0’
еч
и = - — и
с ч2 о
(8.26)
Правые части этих равенств состоят из двух членов, из которых
первые вполне определены, и представляют собой напряжения и смеше-
ния в неограниченном теле, обусловленные действием в точке ч = О
полюса всестороннего растяжения — сжатия. Что касается величин
а и и, то они представляют собой напряжения и смещения, удовлетво-
о о
ряющие условиям равновесия и непрерывные во всем замкнутом объеме
рассматриваемого тела.
Примем во внимание, что центр всестороннего растяжения — сжатия
может располагаться только внутри тела. При применении теоремы
взаимности работ к рассматриваемому телу выделим из него этот центр,
проведя вокруг него сферу и считая его совпадающим также с центром
этой сферы. Если затем граничную поверхность всего рассматриваемого
тела обозначить через S, а поверхность указанной сферы — через Sp,
то уравнение (8.25), составленное для промежуточного тела, ограничен-
ного двумя поверхностями, S и Sp, после подстановки вместо а и, и их
выражений, представленных равенствами (8.26), получит следующий
вид:
f f <8Я>
S+Sp S+Sp
Найдем пределы, к которым стремятся обе части этого уравнения,
когда сфера Sp стягивается к своему центру. Для этого примем во вни-
мание, что объем сферы Sp является внешним по отношению к рас-
сматриваемому промежуточному объему и, следовательно, элементарный
направленный наружу вектор dS граничной поверхности будет на этой
сфере направлен к ее центру. На этом основании при использовании
полярных координат (табл. 8) получим, что в данном случае на ука-
занной сфере
dS = —e4dS — —ечч2 sin pdScf-y,
где dS — модуль вектора dS, численно определяющий величину эле-
ментарной площадки сферы, ч — радиус сферы, р — дополнительная
широта ит — долгота.
Метод интегрирования Бетти
297
Далее, ввиду
ограниченности значений вектора и внутри объема
о
тела имеем
Jjs 1
• с • dS =
Е
lim
sp^o J 4
*p
E lim
dS
ечеч 42
1 — 2м
SP
Е
dS
ечеч q2 •
p J
SP
Здесь выражение, снабженное индексом р, представляет собой зна-
чение этого выражения в полюсной точке. Затем, так как
7С 2п
J = J J (i sin p cos 7 + j sin p sin 7 + k cos 7)2 sin fidfidy —
sp ₽=0 7=0
4-
3
(8.28)
1 _ 2v V uI
окончательно получим, что
S-
Sp
где 6 = (V • tz)p — объемная
напряжениями a.
Переходим после этого
жения-
(8.29)
деформация в точке ч = 0, определяемая
к вычислению предела следующего выра-
lim I
sp-o J
Е 1 — Зечеч
’о,
Sp-0 J
*р
1 — Зечеч ,с 2Е .. Г
и •-----;— • e4dS = 7-7— lim I
1 + •' Sp-o J
s
p
ч3
Если принять во внимание разложение функции и в ряд в окрест-
ности точки ч = 0,
и = Up + r • (V«)p + • • • = Up + чеч • (V«)p + • • • .
то, учитывая, что
it 2тс
sp
j j (i sinp cos у + j sin 3 sin 7 + & cos 9) sin pdSd-y = 0, (8.30)
3=0 7=0
найдем из
результат:
предыдущего при наличии равенства (8.28) также следующий
Sp-*0 .j
*р
I —Збц€ч
Ч3
ЗйТ^)6-
(8.31)
Е
298
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
На основании всего этого мы можем теперь из уравнения (8.27),
при стягивании сферы Sp в точку к своему центру, ч — 0, получить
в пределе такую формулу:
о . dS - [ц . (-7-3е^ _ Д ds. (8.32)
(1+'>)(! — 2v) Дч2 0/ J ч3 0) 4
S S
Если на границе тела заданы смещения, будем придавать функ-
ции и, удовлетворяющей во всем объеме рассматриваемого тела усло-
о
виям равновесия и непрерывности, такую форму, которая на границе
тела приводила бы к значениям
(8-33)
о 4
Тогда объемная деформация в точке ч = 0 найдется из равенства
0 = _ С ы . (LL _ Д . Js. (8.34)
4тс (1—\)Е J + v ч3 0/
S
Если же на границе заданы напряжения, то функции и придадим
о
такую форму, которая на этой границе приводила бы к напряжениям
на поверхности
где п — нормаль к граничной поверхности.
Объемная деформация в этом случае в той же точке ч — 0 найдется
из зависимости
(8.36)
4л (1— ч)Е J (ч2 0) ' ’
S
В случае смешанной задачи, т. е. когда на одной части поверх-
ности S заданы смещения, а на другой — напряжения, вектор смеще-
ний и следует выбирать так, чтобы на той части поверхности, на кото-
fl
рой заданы смещения, выполнялось условие (8.33), а на той части, на
которой заданы напряжения,— условие (8.35). Соответствующее выра-
жение 'для объемной деформации в этом случае получается из общей
формулы (8.32).
Как видно из приведенного, функции (8.26) представляют собой
функции Грина для рассматриваемой в данном случае задачи.
3. Определение ротации смещений в теле. Поступая аналогично
предыдущему, придадим вспомогательным напряжениям и смещениям
такой вид:
ЗЕ
° = Ц1 + ^)ч3 — — а; (8.37)
et X еч
и = --------и.
с о
3 1есь et — единичный вектор направления, вдоль которого требуется
найти составляющую вектора ротации смещений.
Правые части (8.37) представляют собой значения для напряжений
и смещений в неограниченном теле, возникающих при загрузке его
Метод интегрирования Бетти
299
в точке ч = 0 сосредоточенным осесимметрическим центром скручивания.
Вторые же части, а и и, представляют собой напряжения и смещения,
о о
удовлетворяющие условиям равновесия и непрерывности во всем замк-
нутом объеме рассматриваемого тела.
По-прежнему, выделяя точку ч = 0 сферой Sp, мы можем для остав-
шейся части тела получить, исходя из формулы (8.25), такое равен-
ство:
J — и) • а • dS = Ju- [2(1^)ц3 (ечеч х et — etX ечеч) — aj • dS.
s+sp ° s+sp (8.38)
Далее, используя те же обозначения, что и в предыдущем п. 2, и
равенство (8.28), находим, принимая во внимание непрерывность функ-
ции и, что
о
Е
2(1 +*)
lim
lim
sp-°
и
о.
a -dS =
et X еч
Vu + u V + V • и/
• e4dS =>
2(i J [<V«) x et~et X (V«)J •• 2.
Sp~°.sp
Кроме того, используя разложение функции и в ряд в окрестности
точки ч = 0, получим
lim I и •
sp—o J
6р
3£ ,
2(1 -f-ч) ч3 ~ et х °
• dS =
ЗЕ .. (*(еч хе,) - и
2d +Д 2™.]
Р sp
dS =
2^^ Jim - [Up + чеч • (Vu)p + ...] dS =
3£ .. f r , dS 2л£ . . 2n£
= r(i+v)s11™ J [(V«)p X ej • • ечеч-^ = (V X u)p • et =
Sp"°sp
Здесь обозначения с нижним индексом р, относящиеся к вектору и
и его производным, представляют значения соответствующих величин
в полюсной точке ч = 0, являющейся предельной точкой сферы Sp,
а со, — составляющая ротации вектора смещений для точки ч = О вдоль
направления et
“< = (V х u)p • et.
300
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Вследствие всего этого, мы из соотношения (8.38) для случая не-
ограниченного стягивания сферы Sp к точке ч = 0 в пределе получим,
что
со, = j и +;у-3 (ечеч xet — etx е,еч) — а
s
• dS —
• а dS.
(8.39}
Так же, как и выше, если на поверхности рассматриваемого тела
заданы смещения, придадим вектору и такую форму, которая приво-
о
дила бы на границе к значениям
_ et X еч
(8.40)
Тогда для компонента со, мы получим следующее равенство:
“с = J и ' [2 (1 х et~et X ече,) — а] • dS. (8.41)
s
Однако если на поверхности S заданы напряжения, то не представ-
ляется возможным непосредственно из равенства (8.39) найти анало-
гичным способом соответствующую формулу для ш,. Для этого потре-
бовалось бы отыскать такое напряженное состояние ас, определяемое
первой формулой (8.37), которое, будучи обусловлено сосредоточенным
скручивающим воздействием в точке ч = 0, оставалось бы во всех
остальных точках при отсутствии массовых сил удовлетворяющим
условиям равновесия и не приводило бы к напряжениям на поверхности
тела. Так как при этом указанное воздействие ничем не было бы урав-
новешено, то, /Очевидно, такой случай невозможен. Поэтому если на
поверхности тела заданы всюду напряжения, то для решения рассматри-
ваемой задачи применим другое построение.
Вместо равенств (8.37) вспомогательного напряженного состояния
введем следующее:
(8.42)
где выражения, снабженные индексом f как и аналогичные выражения
без этого индекса, представляют собой соответственно напряжения
и смещения, обусловленные сосредоточенным центром скручивания. Но
если в напряженном состоянии, представляемом обозначениями без этого
индекса, центр скручивания совмещается с текущей точкой, то в на-
пряженном состоянии, представляемом обозначениями с указанным
индексом, центр скручивания принимается фиксированным. В каждом
из этих выражений центр является началом отсчетов переменных вели-
чин. Напряженное состояние, представляемое равенствами (8.42), имеет,
таким образом, два полюса, в текущей и неподвижной точках.
Метод интегрирования Бетти
301
Вследствие этого при использовании выражений (8.42) в предыдущих
построениях, вместо равенства (8.39) возникает следующее:
(8.43)
Здесь обозначает составляющую вектора ротации в неизменной
точке f вдоль направления et.
Поскольку два одинаковой интенсивности сосредоточенных скручи-
вания, одно в текущей точке, а другое в точке /, в результате ука-
занного в формулах (8.42) вычитания должны привести к уравновешенной
системе загрузок, определяемая ими на поверхности рассматриваемого
тела совокупность сил будет также уравновешена. В итоге отпадает
указанное выше препятствие для отыскания такого тензора а напряже-
о
ний, при котором первый интеграл правой части равенства (8.43) анну-
лировался бы. Для выполнения этого последнего условия на граничной
поверхности тела должно выполняться равенство
ЗБ
~ 2(1 +v)
ечеч xet — etX ечеч
'ечеч X et — et X ечеч
чз
ч3
• П,
(8.44)
где п — нормаль к этой граничной поверхности.
Разность компонентов ротации при этом представится формулой
= (8.45)
S
Значение компонента ротации в точке f заданием не определяется.
Оба компонента могут быть изменены на одну и ту же величину, пред-
ставляющую жесткий поворот всего тела вокруг оси вектора et, прове-
денной через точку /. Очевидно, этот поворот можно сделать таким,
что он аннулирует (wt).
4. Определение смещений в теле. Если на граничной поверхности
тела заданы смещения, то указанным в п. 2 способом можно найти
объемную деформацию б для любой точки этого тела. Смещение и в лю-
бой точке его может быть найдено при помощи равенства (8.5) и задача,
таким образом, если известна на границе нормальная производная функ-
ции Грина для данной конфигурации тела, получает окончательное ре-
шение.
Если на границе заданы напряжения, то, выражая их через смеще-
ния при помощи закона Гука, получим равенство
[о,.
п (v«) + (V«) • п +
п • а =
(V • и) п
где п — внешняя нормаль к граничной поверхности. Принимая во вни-
мание преобразование
п со = п х (V х и) = (V«) п — п (V«)>
302
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
мы сможем из предыдущего равенства найти значения нормальной про-
изводной вектора смещений на той же граничной поверхности:
= « • (V«) = • а~ Г=Г2;е/г + т“ х п- (8-4б)
Способами, указанными в п. 2 и 3 настоящего параграфа, мы можем
по заданным граничным напряжениям найти также граничные значе-
ния 6 и со и, следовательно, при помощи зависимости (8.46) определить
значения на этой границе нормальной производной от вектора смещений.
Если теперь воспользоваться формулой (3.193), то можно получить
такое равенство:
1 в , 1 Г/1 +* , 1 о , 1
U------2 (1 — 2v)6г + К J РЁ~ п’° + '2еп + ‘2’и,х п +
s
+ 2(1 — 2v)г дл)
(8.47)
где и — некоторая постоянная, и Н — функция Неймана. Таким обра-
с -
зом, задача об определении смещении в теле по заданным граничным
напряжений при наличии известной функции Неймана может считаться
решенной. Поскольку вектор углового поворота ш, как мы видели, за-
данными граничными напряжениями определяется с точностью до неко-
торой постоянной и в равенстве (8.47) фигурирует еще одна произволь-
ная постоянная и, то из этого заключаем, что указанным равенством
с
вектор смещений и заданием граничных напряжений определяется с точ-
ностью до общего смещения и поворота всего тела в целом, как твер-
дого.
§ 101. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ СМЕЩЕНИЙ
НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
1. Случай заданных граничных смещений. Если на границе тела
заданы смещения, то исходя из соотношения (8.25). придадим напря-
жениям и смещениям вспомогательного напряженного состояния вид,
определяемый формулами
а = Д [3/г ечечеч 4 (1 — 2v) (e4k + ke4 — k • еч1)] — с;
с 1 + *4 О
и =------ [fe • ечеч-j-(3 — 4>)fc] — и. (8.48)
с 4 О
Здесь первые члены в правых частях равенств, как следует из
формул (7.30) и (7.31), представляют собой выражения для напряжений
и смещений, вызываемых сосредоточенной силой, приложенной в неогра-
ниченном теле в точке ч — 0 в направлении орты k, для случая, когда
А — 1; величины а и и представляют собой напряжения и смещения,
о о
непрерывные во всем объеме рассматриваемого тела, удовлетворяющие
в нем условиям равновесия.
Метод непосредственного определения смещений
303
Выделяя из тела, имеющего граничную поверхность S, область
вокруг точки ч = 0, ограниченную сферой Sp, и применяя к оставшейся
части формулу (8.25) взаимности работ, получим равенство
— ) (1 [k • ечеч + (3 — 4v) k] + и) • а • dS =
S-i-Sp °
f f f 1 —'
J и {(1 + V)Ч213й + (1 — 2v)(e4k + ke4-k- еч1)] — oj • dS,
s+sp °
(8.49)
где с и и — напряжения и смещения в теле, обусловленные заданными
краевыми условиями.
Примем затем во внимание, что при стягивании сферы Sp к точке
4 = 0,
lim f (— [k • ечеч + (3 — 4v) k] — w) • a • dS — 0.
Sp-oJ I4 oJ
Далее имеем
f и • [3/г
Sp
• ечечеч + (1 — 2v) (e4k + ke4— k - e4I)] =
= —Jw • [3fc eve4 + (l — 2v)fc]^ = — [ [3uk • • ечеч + (1 — 2v)и • k}^,
sp sp
— >
где dS — модуль элементарного вектора dS.
Если учесть теперь равенство (8.28), то найдем отсюда, что
lim I и • L £ i [3& • ечечеч + (1 — 2v) (e4k + ke4 — k ej) J — c| • dS =
«р-о J Ui -t- « о >
*p
где uk — компонент вектора и для направления орта k.
Вследствие всего этого мы из соотношения (8.49) получим такую
зависимость:
8л (1—ч)Е (* ( Е г„, ,
—— Uk== J “ |(~1-|-^)ц2 [36 е^чеч + (1 — 2v)(e4k +
s
+ ke4 — k e4I)] — dS + f [(k ечеч + (3 — 4v) k] + uj • a • dS.
oi ‘ J oi
(8.50)
Придавая вектору и такое значение, чтобы на поверхности тела
о
имело место равенство
и —------- [k • ечеч + (3 — 4v) k],
о 4
304
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
мы получим из предыдущей зависимости следующую формулу для опре-
деления Uk, когда на граничной поверхности заданы смещения:
Uk ~ 8л (1 — v) £ J ы ' {(1 + м) «а • ечечеч + (1 2v) (e,tk +
s
+ ke4 — k • e4/)J — a| • dS. (8.51)
o'
Очевидным способом можно получить также соответствующее ра-
венство для случая смешанной задачи, когда на одной части поверх-
ности S заданы смещения, а на другой напряжения.
2. Случай заданных граничных напряжений. Если на поверхности
тела заданы всюду только напряжения, то, как и в аналогичном слу-
чае в § 100, п. 3, необходим специальный подход к решению задачи.
Причина этого заключается в том, что напряженное состояние, вызы-
ваемое сосредоточенной силой, приложенной в точке неограниченного
тела, приводит, при перенесении ее внутрь рассматриваемого ограни-
ченного тела и сохранении того же распределения напряжений, к поверх-
ностным усилиям, не уравновешивающим друг друга в своей совокуп-
ности. Вследствие этого не представляется возможным найти напряже-
ния а, непрерывные и удовлетворяющие условиям равновесия во всех
о
точках тела, устраняющие указанные поверхностные напряжения. По-
этому невозможно соответствующим выборам тензора а избавиться от
первого интеграла правой части равенства (8.50). Это обстоятельство
требует видоизменения первых слагаемых в правых частях равенств (8.48)
при нахождении смещений в рассматриваемом теле.
Для нахождения этих равенств следует наряду с текущей точкой,
для которой ищутся смещения и в которой прикладывается сосредото-
ченная вспомогательная сила, ввести еще одну фиксированную точку
с приложенными в ней сосредоточенными силой и моментом, уравнове-
шивающими действие предыдущей силы. При этом на поверхности тела
возникнут уравновешенные в общей сумме усилия и отпадет принци-
пиальное препятствие для нахождения тензора а. В результате окажется
о
возможным на основе теоремы взаимности работ составить необходимую
формулу для определения интересующих нас смещений в теле с задан-
ными поверхностными напряжениями.
§ 102. МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИЙ СМЕЩЕНИЙ
1. Общее решение уравнения равновесия в смещениях. Будем исхо-
дить из общего представления вектора некоторого сплошного поля в виде
суммы градиента скалярной функции и ротации вектор-функции. На
этом основании придадим выражению интересующего нас вектора и сме-
щений деформируемого тела следующий вид:
и = (1 — 2v)(vB + V X №), (8.52)
где В и W — указанные выше скалярная и векторная функции. Для
удобства в последующих построениях здесь введем общий постоянный
множитель 1—2v. Функции В и W, а также все вводимые далее дру-
гие функции, предполагаются дифференцируемыми в рассматриваемой
области необходимое число раз
Методы решений при помощи функций смещений
305
Обратимся затем к статической задаче теории упругости изотроп-
ного тела при отсутствии массовых сил.
Принимая во внимание дифференциальное уравнение равновесия,
выраженное в смещениях,— уравнение «Паме
au + f^v2 • и — 0,
получим из него, вследствие (8.52), такое условие:
Д [2 (1 — v) V# + (1 — 2v) V X W] = 0.
Отсюда следует, что заключенное в прямые скобки выражение яв-
ляется гармонической векторной функцией. Обозначая ее через v, мы
придем к следующему равенству:
(1—2v)V X ^ = ^ — 2(1—v)VB. (8.53)
Вектор смещений, представленный формулой (8.52), будет при этом
определяться выражением
и = v — \?В, (8.54)
причем вследствие отмеченного вектор v будет удовлетворять уравнению
Ди — 0. (8.55)
Если затем принять во внимание, что объемная деформация или, что
то же, дивергенция вектора смещений, является в рассматриваемой
области в данном случае отсутствия массовых сил гармонической
функцией,
Д6 = Д\7 • и = 0,
то мы найдем, используя (8.54), что
ДДВ = 0. (8.56)
Скалярная функция В является, таким образом, бигармонической
в той же области.
Две функции, о и В, не являются, однако, независимыми друг от
друга. В результате подстановки выражения (8.54) в приведенное выше
дифференциальное уравнение равновесия можно установить, что с точ-
ностью до произвольной постоянной слагаемой между ними должна
существовать зависимость
Vv = 2(l—>)ДВ (8.57)
— условие совместности этих двух функций. Очевидно, указанную
постоянную можно включить в состав любой части данного равенства.
Уравнение (8.54) при условиях (8.55), (8.56), (8.57) является осно-
вой для составления некоторых различных форм общих решений урав-
нения равновесия, применявшихся различными авторами. Другой путь
получения различных форм общего решения уравнений равновесия ука-
зан В. М. Деевым.
Выражения для смещений в координатной форме, аналогичные
представлению (8.54), для случая, когда вектор v ограничен одним ком-
понентом, были использованы еще Герцем. Для плоской задачи теории
упругости такие формулы в полном виде были получены А. Лявом.
2. Решение Буссинеска — Галеркина. Воспользуемся представлением
(8.54) для вектора смещений и примем, что гармонический в рассмат-
20 в. И. Блох
306
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
риваемой области вектор v, связанный со скаляром В равенством (8.57),
выражается через бигармонический вектор W зависимостью
и = 2(1— v)A№.
Тогда из уравнения (8.57) будет следовать с точностью до произ-
вольной гармонической слагаемой такая зависимость:
В = V W.
Указанную произвольную гармоническую добавку, понятно, можно
считать включенной в состав бигармонического выражения V • Г.
Вектор смещений в этом случае, вследствие равенства (8.52), пред-
ставится формулой
и.= 2 (1 — v) ДГ — V2 • W, (8.58)
где вектор-функция Г, ввиду ее бигармоничности должна удовлетво-
рять в рассматриваемой области уравнению
ДДГ = 0. (8.59)
Выражение (8.58), известное как решение Буссинеска — Галеркина,
представляет собой решение дифференциального уравнения равновесия
в смещениях и, как следует из формулы, выражается через бигармони-
ческий вектор или три независимые между собой скалярные бигармо-
нические .функции, являющиеся координатными компонентами этого
вектора.
Следующие из равенства (8.58) выражения для координатных компо-
нентов вектора смещений в декартовой системе будут представляться
формулой
„,, v I fft , дг д2 \, д
их = 2(1 — v) Wx — + “^~ + 'йг) - (8-60)
Из нее два остальные выражения могут быть получены путем цикли-
ческой замены обозначений индексов и координат.
В результате использования формулы закона Гука выражение (8.58)
приведет нас к следующему представлению для тензора напряжений:
F
о = утр {д [(1 - v) (V№ + W) + vV • W/] — V3 • W}. (8.61)
Возникающие отсюда выражения для компонентов данного тензора
в декартовой системе могут быть получены также путем циклической
перестановки обозначений индексов и координат из равенств
С целью получения часто используемых формул Лява приводим еще
следующие из (8.58) и (8.61) соответствующие выражения в нормиро-
ванной круговой цилиндрической системе координат.
Методы решений при помощи функций смещений
307
Для компонентов вектора смещений будут иметь место такие
равенства: u, = 2(l-v)AU74_^v-W ад==2(1-у)ДЦ7#-^у • W цг = 2(1— у)ДГг— . (8.63)
где л — , о2 । а . дч2 ч25&2 ' дг2 ' чдч ’ v дч । 1 дг ' ч ’ (8.64)
Координатные компоненты тензора напряжений будут при этом
определяться следующими формулами:
Если в этих формулах сохранить только функцию Wz и принять ее
независящей от переменной &, то возникнут упомянутые формулы Лява.
Должны, очевидно, представлять практический интерес также фор-
мулы, которые можно получить из данных построений, где взамен би-
гармонических функций будут фигурировать гармонические. Для их
получения представим, имея в виду равенства (3.237), бигармонический
вектор W следующим образом:
W = F + г • G + ч2Н + г3 ... Р, (8.66)
где F и Н — гармонические векторы, G— гармонический, вообще говоря
асимметрический, тензор двукратной валентности, и Р — гармониче-
ский тензор четырехкратной валентности, изображаемый в декартовой
системе координат равенством
р = s miU + Ри. тШ + Рг; mkkk) ет\ т = х; у, z; (8.67)
т
ех = = /, ег = k.
Здесь Рх,т, Ру,т и Рг,т являются функциями двух координат на
плоскостях, нормали к которым отмечены первыми индексами.
20*
308
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Если воспользоваться представлением (8.66), то выражению (8.58)
для вектора смещений можно будет придать следующий вид:
w = 4 (1 — v) [ V • G + 2г • (\7Н) + 3/7 + Зг • Р] —
102
— V2 • (F + г • G + ч2Н + г3 ... Р). (8.68)
Вычитаемое правой части этого равенства после дифференцирования
по элементам получит такое значение:
V2 • (F + г • G + ч2Н + г3 ... P) = v2-F + VG + G.V + '--(G-V2) +
+ 2/7 + 2(V^)-r + 2r(V -//) + ^(V2-/7) +
- + 6r - P + 3r2 • - (PV) + 3r2 • • (P • V) + r3 ... (P • V2)-
104 104
Если обратиться к координатным компонентам вектора смещений,
то в декартовой системе эти компоненты вследствие (8.68) могут быть
получены путем циклической перестановки обозначений индексов и
координат из равенства
^ = 4(1-v)p> + ^ + ^+2(x^+/^ + z^) + 3/73C +
+ 3 (хРк,х-руРу,хА- гРг, х)] — ^х {а£ + Х^хх + yGyx + zG2X +
+ (х2 + у2 + z2) Нх + х3Рх, х + y3PU' х + z3PZt J + ^ [Fv + xGXy + (8.69)
+ yGyy + zG^+ (x2 + у2 + z2) Ну + x3PXi у + y3Py< v + z3P2. J +
+ £ [Fz + xGxz + yGyZ + zG^ + (x2 + y2 + z2) Яг+х3Рх. г+t/3P„ 2+z3P2, г]}.
Тензор напряжений в данном случае будет представляться формулой
° = нН2 U -v) tv2 • G + G • V2 + 5 (V# + W) + 2r-V (V#+#V)+
+ 3 (P + P) + 3r • (PV) + 3r • (PV)1 - V3 • (F + r • G + ч2Н +
102 I®3 102 i©2-----
+ r3 ... P) + 2v [V2 • • G + 5V • H + 2r • (V2 • H) + 3P+ 3r • (P • V)1 Л-
304 102
(8.70)
В декартовой координатной системе следующие отсюда выражения
для компонентов тензора напряжений могут быть получены также путем
указанной циклической перестановки из Т!гких равенств:
а = (4/1__у) [g (dGxx I dG&x I 5 дНх J d . [ d . ।
xx !+»(' ' [dx \ дх dy dz / дх X? dx ' V dy'
i H 1 dH’x < о n > о Z dP и x . dP z x d~ Г d * r. . f ,
k Zdz) ~dx + * + 3 ~dx~ + Z ~dx~/] — djfl [dx x + xGxx + ^G«x +
+ zGzx + ч2Нх + x3Px, x + y3PVt x + z3P2. J + ^ (F,+ xGXy + yGyy + zGZy +
+ ч2Н у + х3Рх, у + y3PVt v + Z3P?1 y) + ^ (Fz + xGxz + yGVz + zGzz + ч?Нг +
+ . + »•₽,..+г’Р., ,)| + 2, [« О + +2^) + +
I 1 дС7гдД ._____dl ^xz j dGyz . dG22A । к / дНх . » д//г\
' ду ' dz ] dz\ дх ' ду ' дг ] ' \ дх ' ду ' dz J '
Методы решений прн помощи функций смещений
309
+ 2(x^ + y-^ + z-j)fe + ^ + ^) + 3(Px Х + Ри и + Рг г) +
\ дх 1 J ду дг1\дх ду дг / 1 ' х'х 1 у<у 1 г,г>\
I Q у I дРх, У । дРх, г\ । о (дРу, г । дРу, Д , о (дРг, х i дРг, гЛ]| .
+ дХ\ ду + дг / + 6у\ дг + дх ) + 6Z\ дх + ду /JJ ’
_ _ Р (о /1 _Г д (двхг дСуг , д6гг\ д (dGxv । dGyy . дСг#\ ।
Уг 1 + v ( ' ' \ду \ дх ' ду ' дг j ‘ дг\ дх ‘ ду ' дг / ‘
+5(w+^)+2(^4+^>4)O2+^)+3(p-+p-)+
+ ЗХ + Т) + 3 (^ + 2 Й] - ^г + xGxx + ^х +
+ zGzx + ч2Нк + х?Рк, х + уяРу, х + 23Рг, х) + (Fy + xGxy + yGyy+ zGzy +
+ ч2Ну + x3Px, y + y3Py< y + z3Pz. y) + A {Fz + xGxx + yGgz + 2GZ2 + ч2Нг +
+ x3Px,z + ysPy,z + ^Pz,z)]}. (8.71)
Легко установить, что в данном случае для представления вектора
смещений и тензора напряжений использовано 24 независимых скаляр-
ных гармонических функции, в том чисЛе 9 плоскостных.
3. Расширенное решение П. Ф. Папковича. Возвратимся к равенству
(8.54) для вектора смещений
и = v — \/В,
в котором v — гармоническая векторная функция, а В — бигармониче-
ская скалярная, связанные между собой зависимостью (8.57):
V • v = 2 (1 — v) ДВ.
Имея в виду эти равенства, исследуем выражение, непосредствен-
но возникающее для вектора смещений в том случае, когда функция В
получает вид выражения (3.237),
В = F + г - G + ч2Н + г3 ... Р.
Здесь F, G, Н и Р—гармонические функции, причем F и Н — ска-
ляры, G — вектор и Р — тензор трехкратной валентности следующей
конструкции:
Р = РХ {у, z) Ш + Ру (z, х) /7/ + Рг (х, у) kkk,
г—'радиус-вектор точки и ч — его модуль.-
Если в векторе v выделить функцию G и принять, что
v = 4 (1 — v) (G w),
где w — также гармонический вектор, то. уравнение (8.57) при указан-
ном представлении функции В представится следующим образом:
V • w = 37/ + 2г (V//) + Зг • Р (8.72)
102
и вектор и смещений, определяемый формулой (8.53) можно будет вы-
разить формулой
и = 4 (1 — v) (G + w) — V (Р + Г • G + ц2^ + f3 • • • ^)- (8.73)
Данное равенство в своей основе представляет собой расширенное
решение П. Ф.. Папковича, поскольку оно включает две формы реше-
310
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
ния, ранее раздельно предложенные им, и дополнено слагаемым с
плоскостными гармоническими функциями, им не учтенными.
Формула (8.73) неудобна для использования, так как функции в
правой ее части не вполне независимы — некоторые из них должны
удовлетворять уравнению (8.72). Можно, однако, освободиться от этой
зависимости, если проинтегрировать ее.
С этой целью введем в рассмотрение гармонический вектор Р, опре-
деляемый равенством
И = V • R, (8.74)
и гармонический тензор Q четырехкратной валентности специального
вида
Q = Hi [Qxz, (у, z) 7 4- о.хг(у, z) k] + jjj [Qz/2 (г, х) k + Qvx (z, х) i] +
+ kkk [<2гх (x, у) i + Qzy (x, y) /], (8.75)
ГДе QxV (У> z)> Qxx (У> z) и т- Д- — функции двух указанных декартовых
координат точки; здесь Qxz =^= Qzx. Этот тензор связан с тензором Р
условием
Р = Q • V- (8.76)
Легко убедиться проверкой, что интеграл уравнения (8.72) в этом
случае может быть представлен следующим образом:
W = г (V 7?) + г (VR) - (V7?) • г + Зг • Q + (VS4-V X Т), (8.77)
102 4 I1 V
где S и Т — произвольные гармонические в рассматриваемой области
функции, соответственно, скалярная и векторная.
Формула (8.73) для вектора смещений при этом получит такой вид:
u = VF + V X 7-M(l-v)[G + r(V-fl) + /--(Vtf)-(W-r +
+ 3r-Q]-Vk-G4-«2(V-7?) + r3 ... (Q-V)l. (8-78)
1©2
где — \7F объединено в 4-VT7 или
и = V77 + V X T + (3 — 4v) G — (VG) • r 4- 2 (1 — 2v) г (V • 7?) 4-
+ 4 (1 — v) [r • (Vtf) — (V^) • И — ч2 (V2 • R) + (8.79)
+ 12(1 — v)r • Q — 3r2 • • (Q • V)~r3 - .. (Q- V2)-
1©2
Вполне понятно, что (8.78) или (8.79) включают в себе также
решение (8.73). П. Ф. Папк5вича в форме, свободной от какой-либо
взаимосвязи между участвующими в нем гармоническими функциями.
Если воспользоваться затем выражением закона Гука (5.49) для
тензора с напряжений, то при наличии равенства (8.79), можно полу-
чить такое представление этого тензора:
°=2-(n^j{2V2^ + V2 XT-Tx V2 + 2(l-2v) (VG + GV)-
— 2(V2G) • r + 4v(v • G)7 + 4(1 v) (V • R)I + 8vr • (V2 • R)I +
4- 4 (1 — v) [r . (v27?) 4- (7?V2) • r — 2 (V27?) • r] — 2ч2 (V3 • R) — (8.80)
— 4v[(v2 • R)r 4-r(Vz • 7?)] 4- 12vr • (Q • V)7— 12r • (Q • v) —
I ©2
— 2r3 ... (Q • Vs) 4-12(1 — v) [Q 4-Q 4-r • (QV) 4-г • (QV)1—
102 I©2 102 —I®2—
-6[r2..(Q.v2) + ^"(Q-V2)lL
Методы решений при помощи функций смещений
311
В полученном решении несколько меньше представляющих гармо-
нических функций, чем в решении Буссинеска—Галеркина, которое
возникает после введения в него гармонических функций при одинако-
вом способе представления через них бигармонических функций. Вопрос
относительно обращения одного решения в другое в случае, когда для
представления бигармонических функций используется выражение ска-
лярного произведения радиуса-вектора на гармоническую вектор-функ-
цию, рассмотрел П. Ф. Папкович. При этом приведенное выше решение
(8.78) превращается в решение Папковича—Нейбера. Что касается при-
веденных выше расширенных форм, то, очевидно, количество участвую-
щих в них гармонических функций может быть без уменьшения общно-
сти сокращено, и в конечном итоге они могут быть сведены к формам,
получаемым при помощи отмеченного скалярного произведения. Однако
и в этом последнем случае количество гармонических функций в решении
Папковича—Нейбера обычно можно уменьшить. Нейбер показал, как
можно любую из четырех гармонических функций в этом решении устра-
нить и получить решение только с тремя такими функциями.
Приводим построение, при помощи которого выражение (8.78) при
отсутствии в нем плоскостных функций, определяемых тензором Q, может
быть преобразовано к решению Папковича — Нейбера.
Представление (8.78) в указанном случае имеет вид
u = VF + VxT-|-4(l-v)[G + r(V-R)-rX(VxJ?)l-
— VI'-G + ч2 (V-R)l-
Введем в рассмотрение гармонический вектор
Go = G + r(V - R)-г х (V х R) V XT
и гармонический скаляр
R0 = -R-4(i4rv/-(V хТ).
В этом случае выражение вектора и смещений получит вид
и = 4 (1 — v) Go — V (Fo + г • Go),
совпадающий с решением Папковича — Нейбера. Это преобразование
было автору сообщено проф. А. И. Лурье.
Построения, с помощью которых некоторые из функций в предыду-
щем выражении могут быть из него исключены, заключается в следующем:
а) Примем, что
F = 4(l-v)F*-r.(VRJ;
G = VR* + G^,
где F* и G*— гармонические скаляр и вектор. Тогда получим
и = 4 (1 — v) G* — V (г • G*).
В правой части этого равенства фигурируют только три компонента
гармонического вектора G*
б) Пусть
R = F* + 4 (1 — v) G* • k — г • (\7G*) • k-,
G = {I-kk).G^ + (^G^.k,
где k — орт одного из направлений декартовой системы координат. В
этом случае находим, что
и = 4 (1 - v) (/ - kk) • G* - V [F* + г • (/ - kk) • G J.
312 Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Здесь в правой части равенства отсутствует компонент G* • k вектора
G* и, таким образом, в представлении вектора смещений участвуют
всего три скалярных гармонических функции.
П. Ф. Папковичем, однако, было установлено, что скалярная функ-
ция F может быть опущена лишь в случае, когда v =# 0,25. Исследова-
ниями вопроса о возможности сокращения числа гармонических функций
в решении Папковича—Нейбера занимался также М. Г. Слободянский.
Как отмечалось, наличие выражений для вектора смещений и тен-
зора напряжений, полностью удовлетворяющих всем основным уравне-
ниям теории упругости и представленных через независящие др^г от
друга гармонические функции при любых формах участия последних в
этих выражениях, должно позволить проще приспосабливать эти реше-
ния к частным особенностям конкретных задач.
§ 103. МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
1. Тензор функций напряжений. В противоположность рассмотрен-
ным выше методам решения основной статической задачи теории упру-
гости, исходящим из уравнений равновесия в перемещениях, можно
исходить из условий равновесия в напряжениях, при учете, конечно,
требований совместности. При этом основной искомой переменной будет
уже не вектор смещений, а тензор напряжений.
Остановимся на рассмотрении этого способа решения при помощи
так называемых функций напряжений, причем на тех же основаниях,
что и ранее, исключим учет массовых сил при одновременном соответ-
ствующем изменении краевых условий. Все вводимые далее функции
будем считать дифференцируемыми необходимое число раз в рассматри-
ваемой области, не оговаривая это каждый раз в отдельности.
Будем исходить из дифференциального уравнения равновесия в на-
пряжениях, которое, при отсутствии массовых сил, получит, согласно
формуле (5.2), следующий вид:
V • о = 0. (8.81)
При симметричности тензора а напряжений данное равенство будет
справедливо как при указанном применении оператора V слева, так и спра-
ва. Легко заключить вследствие этого, что данное уравнение всегда
будет выполняться, если принять, что
о = —V X ср х V. (8-82)
где ср — произвольный симметрический тензор двукратной валентности;
знак минус в правой части проставлен для совпадения возникающих
результатов с некоторыми общеизвестными выражениями.
Если воспользоваться декартовой системой координат, то для ком-
понентов тензора напряжений возникают отсюда выражения, получаю-
щиеся путем циклической перестановки обозначений индексов и коорди-
нат из следующих равенств:
_ ^2?гг I d2,fiw_ п д2фуг
хх ду2 "* дг2 дудг ’
а __ д (__дЧуг । । __д2'-рхх (8.83)
"2 дх\ дх ду dz / дудг ‘
Шесть фигурирующих зДесь функций, являющихся компонентами
тензора ср, который можно назвать тензором функций напряжений, впол-
Метод решения при помощи функций напряжений
313
не независимы между собой. Условия совместности, которым также
должны удовлетворять эти представления, наложат, однако, некоторые
ограничения на произвол в выборе этих функций и установят опреде-
ленную взаимозависимость между ними.
Заметим, что правые части равенств (8.83) совпадают с решением
Бельтрами, отличаясь от него лишь уменьшенными вдвое значениями
трех функций <р2Х и <?ху. Это решение было получено Бельтрами пу-
тем соединения рассмотренных далее решений Максвелла и Морера.
2. Формы решений. Можно показать, что общность полученного
выше решения не уменьшится, если определенным образом выбранным
трем из шести функций напряжений придать любые значения. При этом
будут возникать различные формы решений.
Действительно, вполне очевидно, что не изменяя значения тензора
а напряжений, можно в выражении (8.82) к тензору <р присоединить
симметрический тензор <p°, удовлетворяющий уравнению
V X X v = 0. (8.84)
Имея же в виду известные тождества
V х Vw = 0, t'VXV^O,
где v — любой вектор, мы найдем, что тензор ф° будет иметь следую-
щий вид:
ф° = \7v + vV-
Очевидно, с помощью тензора ф9 можно некоторым трем компо-
нентам тензора ср в равенство (8.82) придать определенную заранее за-
данную форму, если ^надлежащим образом выбрать выражения трех
компонентов вектора V. Понятно также, что заранее можно назначать
вид лишь тех выражений компонентов тензора ср, на форму которых
можно оказать влияние компонентами вектора и.
Практический интерес будут представлять случаи аннулирования
трех компонентов тензора <р>, поскольку при этом возникнут наиболее
простые выражения для компонентов тензора напряжений. Указанным
способом можно также выявить следующие из общего выражения (8.82)
возможные формы таких решений с тремя только функциями в любых
координатных системах.
Для нахождения их в декартовых, например, координатах, предста-
вим тензор ср° в матричной форме равенством
ф°
• Y
ф°
т ух
ф°
Tzx
ф°
* ху
фо
'УУ
ф°
ф°
*Х2
ф°
Т 22
2
dvx
ду
dvx
дг
диу , dvx
дх *” ду
О дУу
ду
dVy , dvz
дГ+1*
дУг.дих
дх **” дг
dvz dvy
ду ‘ дг
9 dvz
дг
Чхк и напри-
дУх
дх
дуу
дх
dvz
дх
Ф компоненты
Из него видно,
мер, аннулированы быть не могут, так как соответствующие составляю-
щие тензора ср0 зависят только от двух функций, vx и v . Поэтому
нельзя составить такую общую форму решения, в которой фигуриро-
вали бы только три компонента <рхг, <?vz и срг2.
Как следует из детального рассмотрения, можно в этих координа-
тах составить пять различных форм решений с тремя функциями напря-
жений. Приводим здесь выражения для компонентов тензора напряжений,,
возникающих в этих случаях.
что
тензоре
в
314
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
1. Форма представления Максвелла:
д2?зз , а«; + ^2?22 дх23 а23 „ д2?ц ,
д2?зз д2?22 .
°22 — л Я 1 дх2х °31 дхадхх *
„ д2уга । °33 — + ОХх д2уп п 2 дха °12 _ ^2Узз дхх дх2 *
2. Форма представления Морера:
„ _ _ о д2угз . 11 дх2 дх3 ’ °23 — д 1 дхх \ ^?гз । ^?31 । dxi дх2 *” дх3 / 9
а - _ 9 д2?з1 . 22 дх3дхх * °31 = — f дх2\ _ д?з1 дум . д?гз\ дх2 дх3 йхх ) »
0 - 9 • 33 дхх дх2 ’ °12 = — ( дх3\ _ д?12 [ ^Угз I ^УзЛ дх3 *” дхх ‘ дх2 ] •
3. Тр еть я форма:
„ д2?22 . 011 — Л 2 ’ дх3 _ д_ /ауи _ 23 дх3 <Эуи\ . дх2 j ’
_ д2уц . °22 — 3 » дх3 д_ /5?12 _ 31 дх3 дугг\ . SXj I ’
_ д2<ри , d2?u °33 д 2 ‘ 2 ~ 9 агУ дхх< 12 . Зх2 * _ a2yi2 12 дх23 '
4. Четвертая форма:
„ _ о д2?23 . 11 дх2 дх3 ’ • а23 — , д2у31 дгугз _ д2уц . дхх дх2 дх2 дх3 ’
_ д2?п 9 д2Уз1 . 22 дх2 “дх3дх1’ а31 = д (д<ем д?з1\ , = дх2 ) ’
_ д2уц °зз — —г, °12 = д 1 дуга । ^Уз1\ дхй ydxi ‘ дх2 j ’
5. Пятая форма:
d2?22 9 д2У23- 11 дх3 “дх2дх3 9 О23 = д2?гз _ д2<рп . дх2 ^2 дх3 ’
„ _ д2<р1г °22 — тт дх3 а31 = — д /^¥23 ___ ^р22\ ~ дхх удх2 дх3 J
„ __ ^2?22 , <Э2уП . °33 , ,2 "г , ,2 » °12 = _ д*?23 дхх дх3 ’
Аналогичные исследования могут быть выполнены для любой коор-
динатной системы. В произвольной системе каждый компонент тензора
ср0 зависит от всех трех функций t\, va и vs. Поэтому в общем случае
координат можно соответствующим выбором трех функций vlt v2 и vs
исключить из тензора <р три любых компонента. Так как количество
сочетаний из шести элементов по три равняется 20, то наибольшее
количество простейших, т. е. трехкомпонентных форм решения в любой
кривошейной координатной системе не может превышать 20.
Метод решения при помощи функций напряжений
315
Детальной проверкой можно установить, что, например, в круговой
цилиндрической системе координат запрещенными формами первообраз-
ного тензора являются две: 1) <р&», <р&2, <рч& и 2) сргг, ср&г, <р2Ч. Таким
образом, общее число различных форм решения дифференциальных урав-
нений равновесия с помощью трех функций в этом случае составляет 18.
При наличии осевой симметрии, т. е. при независимости решения от
координатного угла &, количество возможных трехкомпонентных форм
первообразного тензора уменьшается до десяти. Возможные формы для
этого случая будут:
1) ср»» ерм ?&2; 6) срч& <р&» ?22;
2) <рте ?гг; 7) <р«& <р&» <р«;
3) ср<« ф&г <р22; 8) ср&& ср&2
4) <р<« <Р<<& <р2«; 9) <р&& <р«&
5) tp&z ?2«; 10) ср&2.
Непосредственной проверкой можно обнаружить также, что в случае,
например, полярных координат запрещенной трехкомпонентной формой
решения будет одна: <р&&, <р&2, ср&Л.. Число возможных простейших форм
первообразного тензора в этом случае будет, таким образом, равно девят-
надцати.
В дальнейших общих построениях мы не будем ограничивать себя
выбором определенной формы решения, вследствие чего полученные
результаты будут применимы к любым формам тензора функций напря-
жений.
3. Условия совместности для первообразного тензора. Примем во
внимание тождественное преобразование (3.61),
V X ср х V = — V2-<p — ? • V2 + V2?© + (V2 • • ? — Дф©)/. (8.85)
Скалярно свертывая правую и левую части этого тождества по
основным векторам, мы получим такое представление для первого инва-
рианта выражения левой части:
(V X © х V2 • • ? — Д?©.* (8.86)
В случае, если ср = SI, где S — скалярная функция, можно из
тождества (8.85) легко получить еще следующее преобразование:
V X (S/) х V^V2S — ДХ/. (8.87)
Обратимся затем к условию (5.86) совместности напряжений для
случая стационарности напряженного состояния и отсутствия массовых
сил:
Дз + тт“№® = 0- С8-88)
Здесь а©, согласно равенству (5.87), является гармонпческой функ-
цией
До© = 0. (8.89)
Как следует из скалярного свертывания обеих частей равенства
(8.82) и преобразования (8.86), функция о© определяется тензором ср при
помощи зависимости
о©= Дер© —V2 • • ф, (8.90)
вследствие чего должно иметь место выполнение условия
ДДср© = ДV2 • • <р. ' (8.91)
316
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Если в тождестве (8.87) скаляр S заменить через bq, то вследствие
равенства (8.89) найдем, что
V2°© = V X (о©^) X V = V X (Д<р0 —V2 • • ?)/ X V.
и тогда условие (8.88) совместности, при учете также представления
(8.82), можно будет преобразовать к следующему виду:
Vx[at-t^(A?0-V2--?)/]xV = O. (8.92)
4. Интегрирование уравнения совместности для тензора функций
напряжения. Выражение, заключенное в прямые скобки в уравнении
(8.92), является симметрическим тензором двукратной валентности, и в
соответствии с приведенным выше решением уравнения (8.84) можно
представить его следующим образом:
Дф - (А®0- V2 ••?)/ = 4 (W + W), (8.93)
где w — произвольный вектор. При заданном же нагруженном состоя-
нии, т. е. при определенных значениях тензора <?, вектор w будет опре-
деляться этим уравнением.
Для дальнейшего интегрирования данного равенства примем во
внимание, что при скалярном свертывании его возникает зависимость
’ 3V2--?-(2->)A<p© = (l + v)V-w,
которую представим в следующем виде:
V--[3<р — (2 — v)(po/] = (l+v)V®. (8-94)
Не останавливаясь на подробностях интегрирования, заметим, что
поскольку здесь выражение в прямых скобках также является симмет-
рическим тензором двукратной валентности, интеграл данного урав-
нения можно будет изобразить равенством
3<р__(2 — v)(pG/==3(l — v)V X ф х V + (l — v)S/. • (8.95)
Здесь ф— произвольный симметрический тензор двукратной валент-
ности, aS — скалярная функция, связанная с вектором w соотно-
шением
= (8.96)
Первое слагаемое правой части равенства (8.95) является общим
интегралом уравнения (8.94), а второе — частным интегралом.
При скалярном свертывании членов равенства (8.95) находим, что
?© = — (V X ф X V)© —5,
вследствие чего из того же равенства получаем такое представление:
? = (1 — v)(V Хфх7)-Ц^(?Хф X V)©/ —yS/- (8-97)
Если воспользоваться тождественными преобразованиями (8.85) и
(8.86), то можно будет последние две формулы привести еще к следую-
щему виду:
а,е= Дф0_ V2 • • Ф —S; (8.98)
<Р = (1 —Д(Дф —V2 -ф —Ф V2 +V2^©) +
+ (V2 • • Ф — Дф©)1 - у s/- (8-")
Метод решения при помощи функций напряжений
317
Из уравнения (8.93) при этом возникает зависимость
(l-v)A[3(4<p-VM — ф- V2 4~ \72Ф©) + 2 (V2 • • Ф — Дф©) Л =
= -|- (W + W) — V • (8- ЮО)
Легко убедиться проверкой, что при скалярном свертывании членов
данного равенства обе части его тождественно аннулируются.
Ввиду бигармоничности тензора напряжений примем, что представ-
ляющие его функции являются также бигармоническими и, следова-
тельно,
ДДф=--0. (8.101)
В этом случае предыдущее уравнение будет тождественно удовлет-
ворено, если принять
щ = (1 — v) Д (\7Ф©~ 2V • ф)- (8.102)
Из зависимости (8.96) будет следовать, что
Д5 = — 2(1 + v) Д\у2 • • ф,
и ввиду бигармоничности тензора ф мы сможем функции S придать
такой вид:
S = —2(1 +v)(v2--ф-Дфо) + ЗФ, (8.103)
где Ф — произвольная гармоническая в рассматриваемой области ска-
лярная функция;
ДФ = 0. (8.104)
Тензор ср при этом, вследствие равенства (8.99), представится фор-
мулой
ср = (1 — V) (Дф — V2 • Ф — Ф • V2 + \72Ф©) +
+ (v2--Ф —Дф©)/ —’iT. (8.105)
Здесь мы имеем интеграл уравнения совместности, причем тензор ф
никакими дополнительными условиями, кроме (8.101), не ограничивается.
Из представления (8.97) следует, что на тех же основаниях, что
и в отношении тензора ср, можно в тензоре ф исключить три его ком-
понента, надлежащим образом выбранные и, таким образом, свести
задачу к трем бигармоническим функциям. Это сокращение числа компо-
нентов в тензоре ф, как следует из приведенных рассуждений, не за-
висит от такого же сокращения их в исходном тензоре ср.
5. Напряжения. Формула преобразования (8.85) позволяет тензор а
напряжений, определяемый равенством (8.82), представить при помощи
тензора ср функций напряжений следующим образом:
О = V2 • <? + <р • V2 — Д'? — V2?© + (Д'?© — V2 • • ?)(8-106)
При этом будут тождественно удовлетворяться условия равновесия,
но для выполнения условий совместности тензор ср должен подчиняться
дифференциальным уравнениям, рассмотренным выше. Интегрирование
этих уравнений привело нас к формуле (8.105), где тензор ф ограничен
только условием бигармоничности. При этом для тензора напряжений
возникает такое выражение:
о = Д [(1 — v) (V2 ф + ф - V2) + v (\72Ф©+ V2 ’ • Ф01 - V4 • • Ф + V2
318
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Поскольку гармоническая функция IF произвольна, представим ее,
например, в следующем виде:
'Г = — Дфе. (8.108)
В результате предыдущая формула примет вид, полученный другим
способом в нашей работе. Если, кроме того, воспользоваться декар-
товыми координатами и сохранить в тензоре ф три диагональные ком-
понента по схеме решения Максвелла, то составленное таким образом
выражение полностью совпадет с решением М. Г. Слободянского
при помощи трех бигармонических функций. Однако, как следует из
предыдущего, здесь возможно путем ‘ указанного сокращения компо-
нентов в тензоре ф получить также ряд других трехкомпонентных пред-
ставлений.
Полагая в равенстве (8.107)
'!' = (& — v) Дф®, (8.109)
где k — произвольная постоянная, найдем формулу для напряжений,
полученную В. М. Деевым.
Если же принять
" Ф = _ мДфе, (8.110)
то выражение для тензора напряжений примет вид
о = Д [(1 — v) (V2 • ф + ф • V2) + vV2 • • ФЛ — V4 • • Ф- (8.111)
Легко обнаружить, что вводя обозначение
= (8.112)
мы отсюда получим формулу, полностью совпадающую с равенством
(8.61), являющимся решением Буссинеска — Галеркина. Тем самым
устанавливается взаимная связь между функциями напряжений и функ-
циями смещений, а также доказывается, что при интегрировании урав-
нений совместности для функций напряжений последние приводят не-
посредственно к функциям смещений. Появление в окончательных
выражениях (8.105) и (8.107) произвольной гармонической функции
является следствием неопределенного интегрирования.
6. Смещения. Если воспользоваться представлением деформаций
через напряжения в форме (5.51) закона Гука
е = ^1(1 +v)0 — VOq/],
*
то при наличии равенства (8.106) можно получить следующую зависи-
мость:
e = ^[(l + v)(V2-? + ?-V2 — ^-V2?©) +
+ (A?©~V2 ”?)/]. (8-ПЗ)
Преобразуем правую часть этой формулы на основании уравнения
(8.93) к такому, более удобному для определения смещений виду:
e = ^P[v2-? + ?-V2 —V2?© —y(W + W)]- (8.И4)
Метод решения при помощи функций напряжений
319
В этом случае, вследствие первой формулы (4.78), мы легко найдем,
что двукратный градиент вектора смещений будет определяться равен-
ством
V2« - vs + -пг“ -лг “ Чг V2 (2V • - V?0 -№).
Отсюда в результате интегрирования найдем такое выражение для
вектора смещений:
и = —^-(2V • ср — V?0 — №) + «> X г-f-и0, (8.115)
где и и и0 — произвольные векторы, определяемые общим поворотом и
жестким смещением всего тела. Векторное произведение ш х г вместо
скалярного произведения постоянного тензора на г здесь возникает при
учете выражения правого градиента вектора смещений.
Если воспользоваться декартовымм координатами, а в тензоре <р
сохранять только диагональные компоненты, то придем к выражениям,
полученным Максвеллом, но с добавлением трех функций w, им упу-
щенных, являющихся компонентами вектора w.
При использовании представления (8.105) для тензора ср можно также
из формулы (8.115) получить, вследствие (8.102), еще следующее выра-
жение для вектора смещений:
« = ^{Д[2(1— v)V-<P + vV<tel — V3--^ +
-J- -J- co X г -J- Uo. (8.116)
Если принять, что Ф определяется равенством (8.110), то отсюда
найдем еще такое представление:
u = l±2[2(l-v)AV4--V3”4-l+«>x/• + «„. (8.117)
При введении обозначения (8.112) данная формула переходит в фор-
мулу (8.58) Буссинеска — Галеркина для смещений с добавлением двух
последних слагаемых, не зависящих от деформаций.
7. Видоизменения тензора функций напряжений.
1) Представим матрицу тензора ср составленной лз двух матриц
следующим образом:
?11 ?12 ?13
?21 ?22 ?23
?31 ?32 ?33
4>и — &?0
®21
?31
?12
?22
?32
?13
?23
?зз
+ &РО
1
о
о
о о
1 о
0 1
где k — произвольная постоянная.
Если тензор первой матрицы правой части равенства обозначить
через X, то соответствующая этому равенству зависимость между тен-
зорами представится формулой
ср = X + fccp©/.
(8.118)
В результате скалярного свертывания всех членов данного соотно-
шения найдем, что
X© = (1 — 3£) cpQ, (8.119)
и тогда из предыдущей зависимости получим еще такое представление:
(8.120)
320
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Подстановка этого значения тензора ср в формулу разложения
(8.85) приводит к равенству
VxcpxV = A%-V2-X-X-V2+|Elv2X® +
+ [v2 • • X - lEi д/©] (8-121)
Вполне очевидно, что без изменения общности решения уравнений
равновесия, представляемого при помощи тензора %, в последнем могут
исключаться три его компонента.
Связь между тензорами % и ф найдется, если определить % из за-
висимости (8.118) и принять во внимание (8.105). При этом получим,
что
x = (l-v)G^-vM-^-V2 + V2<te) +
+ [l-fe(l + 2v)](v2-^-^e)/+(3ft-l)W. (8.122)
Придавая постоянной k конкретные значения, мы будем вводить в
рассмотрение различные видоизменения тензора функций напряжений.
Очевидно, наибольший интерес будут представлять те случаи, при ко-
торых равенства (8.121) или (8.122) будут наиболее простыми. Рас-
смотрим два таких случая.
2) Пусть
При этом, согласно (8.120), будет иметь место зависимость
ср = Х —Хс7, (8.123)
и дифференциальное соотношение (8.121) примет наиболее простой вид:
V X ср х V = ДХ —V2-Z —X-V2 + V2”X7- (8-124)
Связь между % и тензором ф, представляющим функции смещений,
будет вследствие (8.122) иметь следующую форму:
X = (1 — v) (Дф — V2 • ф — ф • V2 + Х72Ф©) +
+ Цр-" (V2 • • ф - ДФ©) / + 4 (8-125)
Декартовы компоненты тензора напряжений в приведенном виде
легко найдутся из формул (8.83), если принять во внимание представ-
ление (8.123). При этом возникнут такие равенства:
д2 .... , . д2 , , . о д27.и,
°ХХ Qy2 (Кх 4* Хда) dz2 (Ххх 4~ XzJ 2
_ д / di.у2. । cM-zx
Уг дх \ дх ‘ ду
- - дЧуг .
Sy dz ’
d2
дудг <^уу Хгг)-
(8.126)
Остальные компоненты тензора а получатся отсюда в результате
отмечавшейся ранее циклической перестановки.
3) Примем затем, что
k — 1
R 1 + 2v ‘
В этом случае формула (8.120) представится следующим образом:
? = Х-2(Г^)Х®/’ (8.127)
Метод решения при помощи функций напряжений
321
1 9^г
J дудг’
и связь между % и тензором ф функций умещений примет наиболее
простой вид:
X = (l-v)(a<p-VM-<P • V^V^o+n^7)- (8-128)
Зависимость (8.121) преобразующая соответствующим образом выра-
жение тензора напряжений, получит вид
VX(pxV = A%-V2-X-X-V2 + 27i^jV2X© +
+ [V2 • • X - ДХ©] А (8-129)
Наконец, для декартовых компонентов тензора напряжений возник-
нут при этом в приведенном виде вместо равенств (8.126) такие формулы:
1 (д2
вхх 2 (1 _v) (ch/2 1(1 2V) Xzz 'Х.уу Xxxl “Ь
д2
+ 1(1 — 2v) — Хгг —
(. IU.1UUJ
_ I д^-гх I dXyfA _
дх dy ' dz ]
1 d2
2(1 ~-i)dydz 1(1 2V) Xxx Xw Xzzl•
Из сравнения выражений (8.105), (8.125) и (8.128), представляющих
тензор функций напряжений через тензор функций смещений, следует,
что наиболее простая связь имеет место в последнем случае. Эта зави-
симость может быть еще более упрощена, если, принимая во внимание
указанную возможность аннулирования трех компонентов в тензоре ф,
сохранить в нем только боковые компоненты по схеме функций Морера.
При этом в равенстве (8.128) аннулируется слагаемое, содержащее ф@.
8. Главный вектор поверхностных сил. Проведем внутри рассматри-
ваемого тела произвольную кусочно-гладкую двухстороннюю ограни-
ченную поверхность S и примем во внимание, что главный вектор Q
всех распределенных на одной ее стороне усилий, обусловливаемых
напряженным состоянием, определяется равенством
Q = [с dS,
s
где dS — внешне направленный элемент этой поверхности.
Исходя из равенства (8.82) и принимая во внимание теорему Стокса,
преобразуем этот поверхностный интеграл в контурный. При этом по-
лучим, что
Q = — §dl • (<р х V), (8-131)
i
где dl — направленный элемент кусочно-гладкого контура I, ограничи-
вающего поверхность S. Этот контур, понятно, мыслится ограниченной
длины, а элемент dl — ориентированным в положительном направлении
обхода поверхности S.
Если рассматриваемую сторону поверхности S совместить с внешней
стороной граничной поверхности тела, то величину вектора Q, приходя-
щегося на соответствующий участок поверхности, можно считать, при
заданной внешней нагрузке тела, известной. В этом случае краевая
задача теории упругости будет заключаться в нахождении тензора ср,
21 В. И. Блох
322
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
удовлетворяющего для любого замкнутого контура на наружной поверх-
ности тела, не являющейся границей барьерного сечения многосвязности,
уравнению (8.131). При отсутствии внешних нагрузок на некотором
односвязном участке граничной поверхности из этого равенства будет
следовать, что на таком участке для любого кусочно-гладкого контура
с указанным исключение^ замкнутого контура должно выполняться
условие
§dl • (<? X V) = 0. (8.132)
i
Подынтегральную функцию в этом случае на указанном участке
поверхности можно рассматривать как однозначный градиент некоторого
вектора t, являющегося функцией точки этого участка граничной поверх-
ности
(? X V)s = X/t,
и тензор ср, ввиду его симметричности можно на таком участке пред-
ставить в виде
<Ps = 4(Vf + fV). (8.133)
Здесь f — также некоторая векторная функция точки указанного
участка поверхности S. Отдельные же точки приложения сосредото-
ченных сил на таком участке можно рассматривать как полюсы много-
значности вектора
/=-|vxf. (8.134)
9. Главный момент поверхностных сил. Обозначим через М вектор
главного момента относительно некоторой точки всех элементарных сил
напряжений, распределенных на одной стороне отмеченной выше поверх-
ности S, проведенной указанным образом внутри рассматриваемого тела.
Тогда найдем, что
М = Jr X с • dS,
s
где г—радиус-вектор, проведенный в текущую точку поверхности S из
некоторого фиксированного начала, относительно которого определяется
момент М.
Подставляя в это равенство выражение тензора напряжений (8.82),
получим также, что
М = — f г х (V X <р х V) • dS-
s
Примем затем во внимание следующее преобразование:
[г X (V X <?)] X V = г X (V X ® X V) — Т X V-
Отсюда находим, что
г х (V X <р х V) • dS = {[г х (V х <р) + <р] х V) • dS =
= к х (V X ?) + <?] (V X dS) = - (dS х V) •[? + (<? X V) • Н,
где dS XV — оператор, получающийся в результате векторного умно-
жения вектора dS элементарной площадки на условный вектор V-
Метод решения при помощи функций напряжений 323
Если подставить полученное выражение в предыдущую формулу
для М и применить теорему Стокса, то при отмеченных ранее условиях
в отношении контура поверхности возникнет такое окончательное ра-
венство:
М = • dl + <^>г х (V X ф) • dl. (8.135)
/ i
Так же, как и для главного вектора, данное равенство будет спра-
ведливо независимо от того, расположена ли поверхность S внутри тела
или совпадает с граничной поверхностью. Главный момент относительно
определенной точки всех поверхностных сил, таким образом, равняется
сумме циркуляций по граничному контуру этой поверхности, создавае-
мых тензором <р функций напряжений, и момента его ротации.
Выясним связь между главными моментами поверхностных сил от-
носительно двух произвольных точек, из которых одна является нача-
лом радиуса-вектора г, а другая определяется радиусом-вектором г0,
проведенным из предыдущей точки.
Момент относительно точки г0, который обозначим через Мо, най-
дется из равенства (8.135), если в него вместо г подставить г — г0.
В этом случае, ввиду постоянства радиуса-вектора г0, найдем, что
Л40 = • dl + X (V X <р) • dl — г0 х §(V X <р) • dl. (8.136)
i i i
Сравнивая этот результат с выражениями (8.131) и (8.135), мы по-
лучим связь Мо = Л1—г0 X Q, которая представляет собой известное
правило переноса точки момента.
Изменяя г0, можно добиться того, что два последних члена в ра-
венстве (8.136) взаимно уничтожатся. Вместе они приведут к уравнению
X (V X <р) • dl —г0 X Q — 0, (8.137)
z
определяющему ось, параллельную вектору Q, для точек которой глав-
ный момент усилий, распределенных по поверхности S, будет иметь
значение
M = ^-dl. (8.138)
/
Главный момент относительно точек этой оси всех сил, приложен-
ных к поверхности, окаймленной контуром I, будет, таким образом,
равняться циркуляции тензора функций напряжений, взятой по этому
контуру.
Имея в виду в основном граничную поверхность тела, предположим,
что некоторый односвязный участок S ее свободен от нагрузок. В таком
случае для любого спрямляемого замкнутого контура I на этом участке
будет иметь место, вследствие (8.135), зависимость
§ [<? + г х (V X <р)] • dl = 0. (8.139).
/
Можно показать, что если тензор <р на этом участке имеет вид
выражения (8.133), то данная зависимость в определенных условиях
тождественно выполняется.
21*
324
Некоторые основные методы решения пространственной задачи...
Действительно, в этом случае
[<Р + г х (v х <?)] • dl = [V/ + г х (V X /V)] • dl =
I
= 4${V/+ kx (V х Dl V + (V xf) x /} • dl =
I
= 4 IV/+ [/ X (v X f)] v} • d/ +1 (V X Л x Ш =
I I
= 4f{V/+kx (vxf)Jvb^+4$(/V-Vf)-d/ =
i i
= ^§[f + rx(S7*f)]V-dl,
i
t. e. подынтегральное выражение представляет собой градиент некото-
рой векторной функции и, следовательно, при однозначности этого вы-
ражения, циркуляция его по замкнутому контуру обращается в нуль.
Точки многозначности на поверхности S для главного вектора будут
также точками многозначности для главного момента. Однако главный
момент может иметь и свои точки многозначности, которые не будут
таковыми для главного вектора. Такими точками, очевидно, могут быть
точки приложения сосредоточенных пар. Для этого необходимо, чтобы
тензор на указанном участке поверхности S имел вид
<?S = V2^, (8.140)
где Ф — скалярная функция точки поверхности S. При этом будут вы-
полняться тождественно как условие (8.132), так и условие (8.139),
причем в последнем интегралы от каждого из суммируемых подынте-
гральных выражений будут аннулироваться в отдельности. Но первое
из этих слагаемых дает в качестве неопределенного интеграла выраже-
ние \7Ф, и следовательно, точки многозначности этого выражения будут
являться указанными точками приложения сосредоточенных пар. Инте-
грал от второго слагаемого в данном случае дает нулевые значения для
таких точек.
ГЛАВА IX
УПРУГОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
§ 104. БЕСКОНЕЧНОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ПЛОСКОСТЬЮ С ЗАДАННЫМИ
НА НЕЙ НАПРЯЖЕНИЯМИ
Для решения данной задачи воспользуемся в качестве исходного
выражения формулой (8.107)
а = А [(1 — v) (V2 • ф + ф • V2) + > (V2<? + V2- • ф/)] —
—V4 • • <? + V2'!1', °
где ф — симметрический бигармонический тензор двукратной валент-
ности и ЧИ — произвольный гармонический скаляр.
Тензору 6 придадим следующий вид
ф = гФ 4- Ф°,
где Ф и Ф° — симметрические гармонические тензоры двукратной ва-
лентности, и z— координата, отсчитываемая вдоль прямолинейного
направления, определяемого ортом k.
Тогда если принять, что
Ф = V2-- Ф° —2vA®,
дг ©
предыдущая формула для тензора напряжений представится следующим
образом:
с = 2~ [(1 — v) (V2 • Ф + Ф • V2) + *V2 • • Ф/1 — 2V3 -Ф-k —
— (V3 •• Ф)к — fe(V3 •• Ф) — z(V* Ф). (9.1)
Примем, что ось z в данном случае нормальна, к граничной плос-
кости рассматриваемого тела, что начало отсчетов координат z распо-
ложено на этой плоскости и что орт k направлен внутрь объема тела.
Умножим скалярно обе части равенства (9.1) на единичный вектор —k
и, обозначая вектор напряжений на любой нормальной к нему плоскости
через р, представим получающийся при этом результат таким соотно-
шением:
₽“2i-(V3”®)==yz-[2vV2-®-fe-2(l-v)A(V®) +
+ (1 — 2v)(V2 •• Ф)^] + V3 -Ф- (9.2)
326
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Если это равенство относить к граничной плоскости, внешняя нор-
маль к которой совпадает с вектором —k, то р будет представлять со-
бой вектор напряжений на этой плоскости и, следовательно, должен
рассматриваться заданным по величине и направлению. Обозначим этот
заданный на граничной поверхности вектор напряжений через q.
Примем затем во внимание, что при отнесении равенства (9.2)
к граничной поверхности второй член левой части исчезает ввиду анну-
лирования координаты z и, следовательно, краевое значение всей правой
части, представляющей собой гармоническую функцию, оказывается
известным, равным q. В таком случае является возможным, используя
известные положения задачи Дирихле, составить равенство, справедли-
вое для любой внутренней точки рассматриваемого объема:
A[2vV2-®-fe-2(l-v)-|-(v®) + (l-2v)(V2--®)fe] +
+ V3..o = _ 1L(VG)- dS. (9.3)
s s
Здесь dS — направленный элемент граничной поверхности S, совпа-
дающий по направлению с внешней нормалью, G — функция Грина
и V — оператор Гамильтона с указанием на то, что дифференцирование
s
выполняется по координатам точки, расположенной на поверхности S.
Но согласно зависимости (3.186), на границе имеет место в рас-
сматриваемом случае равенство
дС___2Z
дп ч3 ’
где п — внешняя нормаль к граничной поверхности, ч — расстояние по-
люсной точки функции Грина до текущей точки граничной плоскости
иг — расстояние той же полюсной точки до этой плоскости. Вследст-
вие этого имеем, что
fG=_fe.(VG)=—24-=24/J-V
дп dz 's’ ч3 \4 I
Если, кроме того, учесть, что внешняя нормаль к граничной по-
верхности S имеет направление, обратное направлению орта k, так что
dS = —kdS,
где dS — скалярное значение направленного элемента dS, то окажется
возможным представить (9.3) следующим образом:
~[2vV2 • Ф • fe-2(l -v)A(V - Ф) + (1 -2v)(v2 • Ф)й] +
+ = . (9.4)
1 v 2к dz J 1 ч 4 '
S
Умножим скалярно обе части этой зависимости на оператор \7 •
Тогда получим, что
*V2..O = l Av. ffl —
dz2 v 2к dz v J 4 4 •
s
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданными напряжениями 327
Отсюда после интегрирования по z возникает соотношение
(9.5)
где произвольная, независящая от z добавочная функция исключена
как не соответствующая характеру рассматриваемой задачи о напря-
жениях в бесконечном теле, которые должны исчезать по мере удале-
ния от плоской границы.
Последнюю зависимость представим затем следующим образом:
^VЕ 2--® = ^£v-fQln(4 + z)dS,
S
откуда в результате интегрирования по z и исключения на том же
основании, что и выше, произвольной добавочной, не зависящей от z
функции найдем, что
V2 • Ф = V • J ?Jn (ч + z) dS. (9.6)
S
Этому равенству мы сможем придать еще такой вид:
V2 ' Ф = ^ ‘ J 9(21п(ч + 2) — (9-7)
•S
и составить формулу
V3 ‘' Ф = V2 ’ f q ln — 41 dS' ^9-8)
S
Если затем скалярно умножить все члены равенства (9.4) на орт k,
то, учитывая (9.7), мы сможем, двукратно интегрируя полученную за-
висимость по переменной z и пренебрегая на тех же основаниях, что
и выше, возникающими при этом произвольными не зависящими от z
функциями, получить следующую формулу.
V • ф • k = qz 1п(ч + z)dS +
s
+ V • f9121п(ч + Z) — ч]dS.
(9-9)
Наличие равенств (9.6), (9.8) и (9.9) позволяет получить из зависи-
мости (9.4), после соответствующих подстановок и интегрирования по z
с аналогичным пренебрежением произвольной не зависящей от z функ-
ции, еще такое представление:
Е V+ !>(« + *)» +
S S
+ (1 — 2v) kV • f q (ч + z) dS 4- (1 — 2v2) V2 • J q I2 In (ч + z) — ч] ds) .
s s
(9.10)
328
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Теперь мы имеем все данные для того, чтобы составить окончатель-
ное выражение для тензора напряжений. После выполнения соответст-
вующих подстановок в формулу (9.1) найдем, что
0 = ijv (J ? т) + (fq ?)v] + v {v3 ’ J ? [2 ln (<z + 2) — <Z1dS +
s s s
+ /V • J— • J<71n(‘z + z)dS] £ —MV2 • In (ч 4-z)dS]}-
s s s
~^V2 f <7гln(4 + z)— ^V3 • JQIn(ч + z)tZS. (9.11)
s ' s
Весьма простое выражение получаемся для вектора напряжений на
площадках, параллельных граничной плоскости. Оно может быть выве-
дено из данного равенства в результате скалярного умножения всех
членов его на —k и соответствующих преобразований. Однако непосред-
ственно оно возникает из формулы (9.2) при учете равенств (9.4) и (9.5):
1 д I
P = -2?.d?J
s
Г dS
s
(9.12)
Простая формула получается также для первого инварианта тен-
зора напряжений. Ее можно найти путем скалярного свертывания всех
членов равенства (9.11) и некоторых преобразований или; что проще,
в результате такого же скалярного свертывания всех членов равенства
(9.1) и учета представления (9.5). Этот инвариант будет определяться
зависимостью:
f dS
J
s
а =
О
(9.13)
Тем самым выявляется объемная деформация пропорциональная с.
гт ®
Для нахождения смещений воспользуемся равенством (8.116):
u = iJp {А [2 (1 — v) V • ф + v\7ф©] — V3 • • Ф + ш X г 4- Uo-
Выполним в нем те же подстановки, какие были сделаны при полу-
чении формулы (9.1) для тензора напряжений. Тогда получим, что
и = Цр [4 (1 — v)| V • Ф — 2(V2 • Ф) k — *V2 -•Ф — г(\73-Ф)] +
4- о> х г 4- u0. (9.14)
Если воспользоваться затем равенствами (9.10) и (9.6), то найдем
отсюда следующее представление:
и = S [2 Jq Т + 2vV2 ' f q I2 In (ч 4- z) — ч] dS 4-
1 s s
4- (1—4v) feyz• [ <?1п(ч4-г) dS—vj qz *n (4+2) d$—zV2-J<?ln (44-z).dsj 4-
5 s s
4-wxr4-«o- (9.15)
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой 329
§ 105. БЕСКОНЕЧНОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ПЛОСКОСТЬЮ С ЗАДАННОЙ
НА НЕЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
1. Случай сосредоточенной силы. Исходя из выведенных выше ра-
венств для напряжений и смещений в бесконечном теле, ограниченном
,плоскостью при любой кусочно-непрерывной загрузке граничной поверх-
ности, можно найти соответствующие выражения также для случая,
когда такой загрузкой является сосредоточенная сила, нормальная
к указанной плоскости. Для этого надо лишь принять, что вектор q
поверхностной загрузки равен нулю на всей граничной поверхности,
кроме какой-либо точки, в которой модуль произведения qdS при не-
ограниченном увеличении напряжения, обусловливаемом сосредоточенной
силой, принимает конечное значение, а направление вектора </ —пер-
пендикулярно к плоскости загружения. Имея это в виду, примем, что
на граничной плоскости z = 0,
_ Г Pzk в начале отсчетов
qa^ = ( g в остальных точках.
Здесь Pz— величина сосредоточенной силы; очевидно также, что
в начальной точке qzdS = Рг. Тогда непосредственно из (9.11) будет сле-
довать такое равенство для тензора напряжений, справедливое для всей
рассматриваемой области:
a = &{(vr)fe + fe(v7) + 2vV2£[21n(4+Z)-4] + 2/Al-
— 2 [v 1п (ч + 2)] k — 2k [V In (ч + г)] — V2 In (ч + z) —
~2V2^ln(4 + 2)}.
где ч берет свое начало в начале координат. После выполнения указан-
ного здесь дифференцирования по z данная формула получит следую-
щий вид:
a = Й ((1 - 2v) [(v v) k + k (v v) - V2 In (ч + г)] - ~ I - z (v2 4)}
(9.16)
Если затем принять во внимание, что
V — =------— ; V2 — = Згг ~ ;
v ч ч3 ’ ч ч3
Vln(4 + 2) = 4±^- V2 In (Ч + 2) = -(г +2У Г t , (9-17)
где г — радиус-вектор для отсчитываемых расстояний ч, то для тензора
напряжений из предыдущего равенства получится такая окончательная
формула:
_ Pz l3zrr ...__2 . Г ч31 — гг _(г + 4k) (г + 4k) ।
2л 1 ч5 1 ' [ч3 (ч + г) ч2 (ч 4- г)2
+ Г-- + ^~г/]}- (9.18)
При использовании нормированной цилиндрической координатной
системы, имеющей ось г и начало координат совпадающими с принятыми
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой 331
выше для данной задачи, координатные напряжения в этой
представятся равенствами
__ Р2ГЗгр2 1—2м 1
°?? 2к [ ч5 ч (ч 4- г)] ’
Рг 1 — 2м I z 1 \ .
—‘ 2^ ч ( ч2 ч + г/ ’
— _ -2 Зг3 • — 3г2Р
°22 ~ 2S ч5 ’ Орг ~ 2i ч5 '
системе
(9.19)
Здесь р — радиальная координата цилиндрической системы, свя-
занная с ч и г зависимостью р2 = ч2 — г2.
В декартовой же системе координатные компоненты тензора напря-
жений будут определяться такими равенствами:
a- = -£{5-2-d-2v)
-2*)
a _ £ рф _ {1 _ 2v) ;
2тг [ ч5 v ' ч3 (ч + г)2 J
_____ Рг Зг3. __ Рг Зхг2 _
агг ~ 2я Ч® ’ °zx ~ 2т; ~Ч^ ’ °гу
[ (2ч + г)]) .
ч (ч + г) ч3 (ч + г)2 J ’
1______, j/2(2^ + z)jl .
ч (ч + г) ч3 (ч + г)2 JJ ’
Рг Зуг3
2тс ч®
(9,20)
На рис. 58—61 приведены диаграммы распределения напряжений на
некоторой глубине под поверхностью, подсчитанные по этим формулам
для случая, когда м = 0,3.
Отметим следующие свойства данного напряженного состояния.
Вектор полных напряжений на площадках, параллельных плоской гра-
нице, будет со стороны, обращенной к этой границе,
определяться, вследствие (9,18), таким равенством:
_ Р2 Зг2г
2к ’
(9.21)
Отсюда заключаем, что он направлен вдоль ра-
диуса-вектора, исходящего из точки приложения за-
гружающей силы.
Если через эту точку О (рис. 62) провести
сферу произвольного диаметра ob = d, касательную к
граничной плоскости, то для площадок, параллельных
этой плоскости и имеющих центральные точки, распола-
гающиеся на указанной сфере, вектор полных напряжений будет иметь
постоянное значение по модулю. Действительно, обозначая через а угол
между направлением загружающей силы Pz и радиусом-вектором оа,
проведенным в любую точку на указанной сфере из центра загружения,
мы найдем, что
z = ч cos а и ч = d cos a.
Тогда, вследствие
иметь место равенство
(9.21), для интересующих нас площадок будет
ЗР2
°2 ~ 2т.сР вч
(9 22)
где еч — направляющий единичный вектор радиуса-вектора г.
332
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Если воспользоваться формулой (9.15) и выполнить в ней аналогич-
ные подстановки и преобразования, какие были сделаны при выводе
формулы (9.18) для тензора напряжений, то в конечном итоге можно
будет получить следующее выражение для вектора смещений в полу-
пространстве с плоской границей для случая действия нормальной со-
средоточенной силы на этой границе:
u=(J4S£24[(3-4v)fe-(1-2v)^?+'5]- <9-23>
В нормированной цилиндрической системе координат при указанных
выше обозначениях и расположении осей координатные компоненты
смещений будут определяться такими равенствами:
<*—<9-24>
На граничной плоскости (г = 0) эти смещения будут иметь следую-
щие значения:
_ (1-уг)Рг 1.
г р ’
Данные формулы имеют существенное значение для расчета балок
и плит, располагающихся на упругом полупространстве.
2. Общий случай равномерно распределенной нагрузки на части
граничной плоскости. Если внешняя нормальная нагрузка равномерно
распределена на некотором участке S граничной плоскости и отсутствует
на остальной ее части, так что
п - (на S
” (0 вне S
то для тензора напряжений вследствие (9.11) возникнет следующее ра-
венство:
a = 2H(1-2v)[(VJ?)fe + fe(Vf?)-V2j ln(4 + 2)dS] +
s s s
+ 2v£Jt/-z(v2J?)}- 0-26)
s s
Для вектора смещений соответственно из (9.15) получится равен-
ство:
u=4^M?-(1-2v)vfln(4 + z)dS-2(vf^)] +
+ ш X г + и0. (9.27)
Задача определения напряжений и смещений в теле при такой за-
грузке, как следует отсюда, в основном сведется к нахождению значе-
ний двух интегралов:
J ~ и J In (ч + z)-dS
S S
и последующей подстановке их в данные формулы.
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой ЗЗЗ
Остановимся поэтому на нахождении этих интегралов. Обозначим
через Р полюсную точку, для которой необходимо найти указанные
интегралы, через Q — проекцию ее на граничную плоскость и М — ко-
нец отрезка ч — РМ, проведенного из полюса Р в текущую точку
участка S граничной плоскости, по кото-
рому должно быть выполнено интегриро-
вание (рис. 63). Примем точку Q за на-
чало полярной системы координат на этой
плоскости и введем обозначение р для
проекции отрезка ч на ту же плоскость
и а для полярного угла, составляемого
радиусом р с некоторым постоянным на-
правлением.
Принимая затем, что радиус р может
изменяться в некоторых пределах от рх
до р2, являющихся функциями угла а,
а этот последний изменяется при интег-
Рис. 63.
рировании в пределах от до а2, мы
получим следующие выражения для
интересующих нас интегралов:
а2 pi ах
5 at pj at
a3 p, a2
J In (ч + z) dS = j da j In (]/P2 + z2 + z) pdp = ~ J [p2 In (Vp2 + z2 + z) +
5 n> pl fti
+z ] - 4 p2 ]?0’da- (9-28)
Дальнейшее интегрирование зависит от конфигурации участка S.
3. Равномерно распределенная нагрузка на участке, имеющем форму
прямостороннего многоугольника. Если область S загрузки является
полигональной с прямолинейными сторонами, как,
С например, фигура ABCD, показанная на рис. 64,
Л то вся ее площадь может быть представлена как
/yZ—.y сумма или разность площадей треугольников, имею-
/щих °бщую вершину в точке Q, являющейся проек-
цией полюса Р (рис. 64).
Вследствие этого при нахождении значений
составленных выше выражений двух интегралов
Д (9.28), распространенных на многоугольную область
Рис. 64. S, практическую ценность будут иметь значения их
для области треугольника при изменении радиуса р
от нулевого значения в вершине Q до некоторой величины, равной
расстоянию этой вершины до произвольной точки противоположной
стороны1.
1 Если участок загрузки имеет форму прямоугольника, то соответствующим обра-
зом напряжения или перемещения в любой точке полупространства могут быть получены
в результате суммирования и вычитания этих величин под угловой точкой прямоуголь-
ников загрузки вместо треугольников.
330
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
334
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Имея это в виду, введем на плоскости интегрирования систему де-
картовых координат (и, о) с началом, расположенным в вершине Q
некоторого треугольника Q12 и осью и, перпендикулярной к его стороне
12 (рис. 65). Введем, кроме того, обозначение h для расстояния точки
Q до противоположной стороны 12 и о12 для
длины этой стороны, а также ах и а2 для
углов наклона боковых сторон Q1 и Q2 тре-
угольника к оси и. Тогда произвольный ра-
диус р, проведенный из вершины Q под углом
а к этой оси в любую точку на стороне 12 будет
определяться равенством
h
Р = ---•
г COS а
Учитывая эти предельные значения пере-
менных, мы можем правые части равенств (9.28) представить следую-
щим образом:
= jKft2 + z2cos2a^-z(a2-a1);
S’ dj
J In (4 + z) dS = J In (]Л^ + г2 + 2) J- +
S di
+ -J J Vh2+z2 cos2 a ~ (tg a2 — tg aj — (a2 — aj.
dt
(9.29)
Если ввести обозначение
(9.30)
то интегралы правых частей (9.29) определятся такими равенствами:
fi/Va-;—5----5“ da h\r . -]/Т + (? cos2 а
| у h2 + z2 cos2 а -—- = — -н- К arc sin I/ -------f-
J r 1 COS а 2 [ Г 1 -|- £2 1
+ In
У1 + COS2 а — sin al“*.
1 + i? COS2 a + sin а]а, ’
J 1П (VЖ + 2' + 2) Ж = (te а [ln cos2 « + cos a) +
<X1
h It. 1 + C2 COS2 a — sin a , ,sina , )°*
4- In —------1 — A in -7...---------------------arc tg z — + a . (!
cos a J 2 У 1 4-C2 cos2 a 4-sin а 1-f-cos2 а
Тогда оказываются известными выражения, подлежащие подстановке
в (9.26) и (9.27) для определения напряжений и смещений в данном
случае.
При выполнении определяемого этими формулами дифференцирова-
ния данных выражений, затруднения могут возникнуть в том случае,
если дифференцирование должно происходить по направлениям, парал-
лельным координатным осям х и у. Поэтому остановимся несколько на
рассмотрении данного обстоятельства.
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой 335
VUK
Прежде всего, заметим, что формулы (9.29) и (9.31) составлены в
предположении, что проекция Q полюсной точки располагается в начале
координат (рис. 65). Как следует из этого рисунка, имеют место такие
равенства:
ft = -^ = ^- = t. (9.32)
tg°4 tga2 tga2— tgax ' r
Поскольку отрезок o12 является неизменным по величине и направ-
лению, расстояние ft можно рассматривать
симых переменных, и а2. В этом случае
также и интегралы (9.31), а следовательно,
и (9.29), оказываются представленными при
учете равенства (9.30) в форме функций,
зависящих от трех независимых переменных
г, и а2.
Из равенств (9.30) и (9.32) легко уста-
новить, что
dh__ ft2 sin a! dh___ h2 sin я2 _
дяг t»i2 cos2 Я] ’ даг р12 cos2 я2 '
_____ г sin aj _ дС г sin я2
ctal_012 COS2 Я! ’ да2 о12 cos2 я2 ’
как функцию двух незави-
вследствие чего нахождение производных функций (9.29) и (9.31) по
переменным и а2 принципиальных затруднений не представит. Нали-
чие значений этих производных, для которых мы введем общие обозна-
чения
dF dF
даг И дя2 ’
где F — любая из подлежащих дифференцированию функций, позволит
нам по правилам дифференцирования сложных функций найти также
производные по переменным и и v (рис. 65). Для этого необходимо бу-
дет лишь рассматривать аг и а2 как функции координат и и v любой точки
прямых Q1 и соответственно Q2 и учесть, что в этом случае
Shj 1
-ч- =-----г sin a, cos а,;
du h 1 1
Зя2 1 .
ч- —-----r sin a, cos a9;
du h 2 2
da.r 1 „
-ч- = -т- cos2 a.;
dv h 11
дя2 1 о
— -T-cos2a„.
dv h 2
dF dF
и , где x и !/- координа-
у), повернутой относительно си-
Для нахождения же производных
ты точки в прямоугольной системе (х,
стемы (и, о) на положительный угол р (рис. 66), необходимо принять еще вс
внимание соотношения
du п du . D
4-=cos3; ч- — —sin В;
dx ду Г
dv . n dv D
ч- = sin 3; ч- = cos В.
дх ‘ ду г
После этого интересующие нас производные по переменным х и у
найдутся из формул
dF 1 Гад . /n . , dF . ч 1
дх = ТТ S,n — ai) COS ai + d72 s,n (₽ “ a2> COS a2] ’
dF 1 ГдД ,o . , dF ,D , I
Q-y = J [d^ COS (₽ “ ai> cos ai + dT2 COS (P ~ a2) cos a2]
dF 1
dF 1
(9.33)
336
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Производные же по переменной z найдутся непосредственно из вы-
ражений функций F.
Нужно отметить, что определение компонентов azz и uz оказывается
особенно простым, поскольку вследствие (9.26) и (9.27) их значения
представляются такими равенствами:
°гг 2л \дг J ч 2 * 4 дг2 J ч / ’
s s
(l+^gz/n fdS д CSS) , .
^ = -^^-l2vjT-2feJ ei) + ^y-^ + uoz.
s s
(9.34)
Если исследование ограничено этими компонентами, то при исполь-
зовании первой формулы (9.31) можно получить выражения
ОгГо > • 1/*1-р С2 COS2 а
°гг = — [2а + arc Sin |/ - +
С sin а / _ t2 sin а \1“« _ -
(1 + С2) V 1 +C2cos2a V + “• 1 4-C2cos2a)]ni ’ (9.35)
“2 = _ (1'~4г1?г* [4vCa — (! — 2v) С arcsin]/S^c°s2 a +
4- С2 COS2 а — sin а С2 sin ар. п о
, —--------------------— 4- ^хУ — Wt/X + Uoz. (9.36)
V 1 4- С2 cos2 а 4- sin а (1 J-С2) /1 4-С2 cos2 а]а, s v ’
Как следует из вывода, эти равенства определяют напряжения azz
и смещения и, в точках прямой, расположенных на расстояниях z над
вершиной треугольника, загруженного равномерно распределенной нор-
N мальной нагрузкой интенсивности qz. Противо-
\ положная этой вершине сторона треугольника
отстоит от нее на расстояние h, а боковые сто-
z роны проведены из вершины под углом ах и а2
\________ к исходящей из нее высоты. Положительный
отсчет значений этих углов выполняется в одном
(—) выбранном направлении вращения.
“ Формулы (9.35) и (9.36), согласно отмечен-
ному, позволяют путем соответствующего сумми-
Рис. 67. рования определять представляемые ими напря-
жения и смещения в любой точке упругого
полупространства, несущего на своей границе нормальную нагрузку, рав-
номерно распределенную по площади многоугольника.
4. Равномерно распределенная нагрузка на круговой площадке.
Обозначим радиус круга нагрузки через а. Для решения интересующей
нас задачи необходимо определить входящие в формулы (9.26) и (9.27)
два интеграла, распространенные на площадь этого круга.
Обращаясь с этой целью сначала к первому интегралу, представляю-
щему собой потенциал простого слоя с единичной равномерной интен-
сивностью распределения заряда, воспользуемся возможностью разло-
жения в ряд любой гармонической функции по сферическим функциям.
При заданном радиусе а указанного круга этот интеграл будет зависеть
от двух переменных /? и ], где 7 — угол, составляемый отрезком R из
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой 337
полюсной точки N в центр круга с нормалью к его плоскости (рис. 67).
Примем вследствие этого, что
I AnRnPn (р) (R<a)
п=0
^BnR-(n+v>Pn№ (R>d)
л=0
Здесь Ап и Вп — постоянные, р = cos 7 и Рп (р) — полиномы Лежандра
n-го порядка.
Для нахождения постоянных примем во внимание, что когда полюс
N располагается над центром круга (а = 0) радиус R обращается в коор-
динату z и интеграл получает в соответствии
с обозначениями рис. 68 следующее зна-
чение:
f = 2к [ 17^=2 = 2к (Vа2 + г2 - г).
J « J Ур24-г2
s <»
Если разложить выражение правой час-
ти этого равенства в ряд, то получится
2п (| га2 + г2 — г.
_ _г . г2
а "т" 2 а2
1-3-5 г® ,
2 • 4 а« т 2.4 6 а« 2 - 4-6-8 а®
1 Z4 . 1 . 3 2е
2- (J а2 + z2 — г) = 2~а
1 а3 1.3
Рис. 68.
1-3-5 а1
*Г~4 гз"^2-4-6гз 2 - 4 • 6 8 г7
Поскольку полиномы Рп (р) принимают при р = 1 (7 = 0) единичные
значения, мы находим из сравнения коэффициентов в двух представле-
ниях одного и того же интеграла для обоих случаев (г < а и г > а)
такие значения этих коэффициентов:
А -_9- А - 2д (~l)m+1(2m)l . Г _
А± 2«., А2т a2m-i22m(ml)2(2m_1)-
Во = Вг = В2т = 0; B2m+i = -2V*m+1 (2m)! .
01 + 22m(ml)2(2m—1)
(rn = 1, 2, 3...)
Ао = 2па;
Вследствие этого окончательно находим, что
1 2ла [1 — —
Г dS
J 4
s
(_l)m+‘ (2m)| R2m
22m(rnl)2(2rn—1) а2т
9 V (-l)m+1 (2m)l а2т~' р ( .
22т (ml)2 (2m — 1) R2m~' 2т 2
т— 1
(9.37)
I
При определении второго интеграла, J 1п (ч + z) dS, необходимо при-
нять во
от места
хотя градиенты его первого и второго порядков, которые лишь и входят
внимание, что в случае неограниченного удаления полюса N
загрузки значение этого интеграла неограниченно возрастает,
К
S
22 В. И. Блох
338
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
в формулы (9.26) и (9.27) для напряжений и смещений, сохраняют
конечные значения. Поэтому при нахождении этого интеграла необхо-
димо рассмотреть отдельно два случая: (/? < а) и (7?>а).
В первом случае (R < а) примем во внимание соотношение
iJln(4 + 2)dS = J^, (9.38)
S S
и, вследствие первого представления (9.37), положим, что
f In (ч + z) dS = Со + V CnRnPn (р),
S «='
где Co и Cn — постоянные.
Тогда, согласно рис. 67
R = ]/р2 -|- z2 р = cos а - г , (9.39)
/р2 + *2
получим такое выражение для левой части равенства (9.38):
’ J 1п«, + г) <К - (^^ + J In (, + 2) dS _
s s
= £ [npP„ (p) - (1 - p2) P'n (p)].
n=\
Известные рекуррентные формулы для полиномов Лежандра позво-
ляют представить этот результат следующим образом:
J In (ч + г) dS = J] CnRn~lnPn-i (р).
S п~1
Из сравнения на основе связи (9.38) коэффициентов двух разло-
жений— данного и представленного первым равенством (9.37), нахо-
дим, что
Сг = 2ла; С2 = —тс;
Г = 2~ (—l)m+1 (2m)l .
2m+1 а2т~1 22m (m!)2 (4m2 — 1) ’
C2m+2 = 0.
Вследствие этого искомое выражение получит такой вид:
Jin (ч + z) ds = с0 + г™2^ (р) -1 ^Р2 (р) +
S
У (—1)™+'(2m!)
"Г" Zj 22m (m!)2 (4m2 _ j)
m= 1
M2m+*
QI
Pzm+l (P).
(9.40)
(R<a)
Постоянная Co остается при этом неопределенной, однако значение
ее для нас несущественно, поскольку в выражения градиентов данного
интеграла, которые только и фигурируют в формулах напряжений и сме-
щений, она не войдет.
Во втором случае, т. е. при определении того же интеграла при
R > а, примем во внимание, что первый член второго представления (9.37)
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной нормальной нагрузкой 339
га2
имеет вид . Тогда можно заключить, что для выполнения условия
А
(9.38) первый член разложения в ряд интересующего нас интеграла
должен иметь вид таг2 In (R-f-z).
На этом основании принимаем, что в данном случае
’(In (ч + z) dS = rax2 In (7? + г) + I DnR-<a+4Pn (р),
S "“°
где Dn — постоянные.
Выполняя затем дифференцирование обеих частей этого равенства
по г, получим на тех же основаниях, что и в предыдущем случае, такой
результат:
со
У In (ч + z) dS = + V DnR~^ [-(П+1) рРп (р) + (1 - Р2) Р'п (р)1 =
S п=о
= ? - У D^”(n+2) (« + !) pn+i (и)-
п=0
Из сравнения, на основании (9.38), этого представления со вторым
разложением (9.37) можно установить значения коэффициентов Dn, после
чего окончательное выражение искомого интеграла представится следую-
щей формулой
J In (« + г) = «• In (R + 2) + (тГ <•*)• <9-41>
Д’ т=1
(R>a)
Таким образом, мы имеем теперь в своем распоряжении все выра-
жения для нахождения напряжений и перемещений по формулам (9.26)
и (9.27).
Приводим выражения для компонентов а22 и иг, определенных на
основании этих представлений при помощи равенств (9.34):
а - 1 _ V (—l)m+1 (2m)l 2m / X2"1-1 p _
zz Д| 2м (m!)2 2m — l\a) 1 IW
m=l
— (2m— l)pP2m_2(p)]|;
“г— E Z a (rn!)2 2m— l\a) ,w2m(PJ
— mpP2m_1 (p)]} + u>xy — -f- u„z; (R < a) (9.42)
yi (— l)m+! (2m)!
°zz — 4z 22,n (m!)2
m=i
I a \2m
+ 2m^m (p)i;
(R>a)
„ (1 + ^) <?z« V (-!)>”+ (2m)! ( a \2m 1 [ 2v
2 E Zj 22m (m!)2 \ R / [2m — 1 2m-2 '
+ PPzm-i (P) + шхУ — шух + “°*-
(9.43)
22*
340 Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
§ 106. БЕСКОНЕЧНОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ПЛОСКОСТЬЮ С ЗАДАННОЙ
НА НЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
1. Случай сосредоточенной силы. Поступая так же, как при выводе
из общих формул § 104 выражений для напряжений и смещений в задаче
о полупространстве с сосредоточенной нормальной силой на границе,
можно из тех же общих формул получить соответствующие' равенства
и для случая, когда сосредоточенная сила приложена касательно к гра-
ничной плоскости. С этой целью будем отсчеты в направлении действия
этой силы обозначать через х, а орт для того же направления — через i.
Краевые условия на плоской границе г = 0, если величину приложенной
сосредоточенной касательной силы обозначить через Рх, будут представ-
ляться следующим образом:
qdS = |
Pxi в
0 в
начале отсчетов;
остальных точках.
Тогда из общего равенства
можно непосредственно получить
(9.11) для тензора напряжений легко
такую зависимость:
— 2» [v g I" (« + г)] * — [v In (’ + г)] — z [ Vs g In (« + z)]}.
которая после выполнения указанного в ней дифференцирования по х
примет следующий вид:
Если принять затем во внимание в дополнение к формулам (9.17)
еще следующие:
х _____ i xk _____х (2ч + г) г .
v ч(ч-[-г) ч (ч + г) ч (ч + г)2 ч3 (ч + г)2 ’
„2 х ______ ki + ik xl + ri + ir 2xkk 2x (rk + kr) x (Зч + г) rr ,q ...
V ч + г ~ (ч + г)2 ч(ч-)-г)2 + (ч + г)3 + ч(ч'4-г)3 + ч3 (ч + г)3
_2 х _____ ki-\- ik _(2ч + г) (х! 4- ri + ir) . 2xkk .
ч (ч -J- z) ч (ч + г)2 ч3 (ч + г)2 ч (ч + г)3
+ {rk+кг)+
ч3 (ч + г)3 4 ’ 1 чБ (ч + г)3
то можно получить окончательное выражение для тензора напряжений
в данном случае:
Рх (Зх 1—2v Г
° = -2S fcrr-;^TW(fcl + lA:)_(rt + tr) +
. (2ч + г)хгг 2хг ,, . (Зч-(-г)х, , ,
+ —------1 “ ч“+1kk + ^+7) ~ zrk ~ 2^)]J -
(9.45)
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной касательной нагрузкой 341
Приводим возникающие отсюда выражения для декартовых компо-
нентов этого тензора:
_ ____ (1 — 2ч)х Г 2 I (2ч + г)г I (З** + г) х21) .
2л | чъ ч (ч + г)2 [ ч2 "Т” ч2 (ч + г) ]/ ’
_ _ fx(3x!/2 (1 —2у)хГ.9 (Зч + г)у2]( .
W 2л I чБ ч3 (ч + г)2 |? ч + г J J ’
_ _ fx (Зл2у (1 —2ч) у Г . . (Зч + г) х2~П .
2л ( чБ ч (ч + г)2 [ ч2 (ч + г) ]/ ’
_ Рх Злг2 ________________Рх Зх2г
°гг чб ’ &zx 2л Ч5 ’
Рх Зхуг
(9.46)
Вектор смещений в данном случае, ввиду (9.15), определится фор-
мулой
“ = (11л£Рл{41 ~ z [v^ln(4 + 2)] + (г 1п(ч + г) — ч] +
+ (1 —4v)fe^ln(44-z)},
которой, после соответствующих преобразований, придадим следующий
вид:
„ _ (1 (ч^ + хг 1 — 2ч Г X (ч + 2г) fe — xr]| ,Q
“ 2л£ ( ч3 *" ч.+ г Ll + ч(ч-|-г) J)' '
При этом декартовы компоненты вектора смещений представятся
такими выражениями:
(1 +ч)Рх Г«2 + х2 I /1 _ ov\ ч2 + чг-х2] .
2л£ч L «2 Ц ’ (« + г)2 ]’
_ (1 +ч)Рлху[ 1 _ 1 — 2ч 1 .
и« 2пЕч I ч2 (ч + г)2 J ’
_ (1 + ч) Pxx / г 1—2ч\
“г ~ 2л£ч \ ч2' + ~ч + г / •
(9.48)
На граничной плоскости (г = 0) смещения в полярных координатах
(р, а), где а — угол, составляемый радиусом р с направлением действия
касательной силы, будут определяться равенствами:
_ (1 + ч) Рх cos а _
ч (1 + ч) Рх sin а _
“ = ’
(1 — 2ч) (1 + ч) Рх cos а
2г.Ер
(9.49)
Отсюда следует, что для выбранного направления (а = const) сме-
щения точек граничной плоскости будут изменяться обратно пропор-
ционально расстояниям этих точек от точки приложения касательной
силы.
2. Общий случай равномерно распределенной нагрузки на части гра-
ничной плоскости. Такая внешняя нагрузка полупространства может
иметь значение для некоторых технических расчетов»
342
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Обозначим интенсивность равномерных касательных напряжений,
распределенных на некотором участке S граничной плоскости и направ-
ленных вдоль оси х, через qx. Тогда, согласно формуле (9.11), тензор
напряжений, возникающих в полупространстве, будет определяться ра-
венством ♦
— [ V J In (ч + z) ds] k — (1 — 2v) z [ V2 f In (ч + z) ds] — 2v v2 f «dsjl.
s s s |
(9.50)
Кроме последнего интеграла, значения1 остальных для некоторых
частных конфигураций участка S определены в предыдущем параграфе.
Для последнего же, исходя из геометрических представлений, приведен-
ных на рис. 63, можно получить следующее выражение:
«2 рг а
§4dS = J da J Kp2 + z2 pdp = у У [(р2 + z2)^,’da. (9.51)
S aj pi ссх
Исходя из него, можно установить конкретные значения указанного
интеграла для рассмотренных выше случаев.
Общее выражение для вектора смещений вследствие (9.15) получит
здесь вид
« = l2i J V + {<1 - 4v)k J,п (ч + dS - 2v V J 4dS -
( s S s
— (1 — 2v)zfv J 1п(ч + z)dS^|l + w x r + u0. (9.52)
Перейдем далее к рассмотрению некоторых частных случаев.
3. Участок загрузки имеет форму прямостороннего многоугольника. На
тех же основаниях,что и в предыдущем соответствующем случае нормальной
загрузки, задача здесь может быть сведена к определению напряжений
и смещений в точках полупространства, расположенных на расстояниях z
над вершиной треугольника загрузки.
В дополнение к выражениям интегралов (9.31), входящих также
в формулы (9.50) и (9.52), приводим еще выражение интеграла (9.51),
необходимого в данном случае. Этот интеграл, вследствие представлений,
приведенных на рис. 65, определится равенством
4dS = 4т I2 1 +(1 + 2са) cosa g Kl + С2 cos2 a + 4С (1 + С2) аге sin jslng +
12 L COS® a v /1 -K®
+ (1 + 3C2) In (1 + ^ +^cos®g)(l +5!па)_+^со5®,Г г® _
(1 +/1-K® COS® a) (1 — sin a) + C® COS® aJOi 3
Тем самым мы получаем полный набор формул, позволяющих при
помощи отмеченных выше правил найти все компоненты напряжений
и смещений в полупространстве, загруженном указанным способом.
Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданными на ней смещениями 343
4. Участок загрузки имеет форму круга. Значение того же интеграла
в этом случае может быть найдено способом, примененным выше при
нахождении представлений (9.37), если учесть, что для точек, располо-
женных над центром круга загрузки на расстоянии г (рис. 68), этот
интеграл может быть представлен таким образом:
J 4dS = у [(а2 — г2)2 — z3] =
s
9 зГ1 д_ 1 f 2 Y Ip?4-V (—1)”+1(2п —3)! ( г\2п+*
+ 3 \а) + 22«-i (п + 1)! (п — 2)1 \ а / !
П=1
= (Z < а)
- 2-ка3 4- V (-!)"+> (2п-3)1 /аГ-1]
и L 2 а т ±4 22"-1 (п + 1)! (я - 2)Ц ?/ J *
п=1
(z>a)
Тогда при любых других местоположениях точек Р внутри рассма-
триваемой области (рис. 67) данный интеграл будет определяться фор-
мулами
J«dS =
о »Г1 . 1 R2 D , ч 1 R3 п i \ I
— [3 + -2 з сз^з(Р) +
Y (-1Г+1(2т_3)! 7?2Я,+2
1" 22m—i(m + 1)1 (m — 2)! asm+2 ’ 2m+2b '
m=i
(R<a)
- 9^3 r_L M-1 .1 V (-1)^+1 (2m-3)! g2m-i 1
[_2 \Rj 22m-i(m+l)!(m —2)!7?2'«-1/2ml,J7J
m=i
(R>a)
(9.54)
Этот результат вместе с представлениями (9.37), (9.40) и (9.41)
позволяет найти напряжения и смещения в полупространстве по фор-
мулам (9.50) и (9.52) также и при данном способе его загрузки каса-
тельными усилиями.
§ 107. БЕСКОНЕЧНОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ПЛОСКОСТЬЮ С ЗАДАННЫМИ
НА НЕЙ СМЕЩЕНИЯМИ
Если на поверхности ограниченного плоскостью бесконечного тела
заданы смещения, для определения элементов напряженного состояния
его воспользуемся в качестве исходного равенства формулой (9.14) для
вектора смещений, которую представим здесь следующим образом:
«-o>Xr-«0 + ^z(V3”0) = L±2![4(1-v)^V-®-
—2 (V2 • Ф) • k — feV2 • • ф] •
Очевидно, наряду с перемещениями и точек граничной поверхности
должны быть заданы также общее смещение и0 и угловой поворот ш
всего тела после деформации. Последние, понятно, могут быть выбраны
344
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
по произволу и отнесены к любой точке тела. Вследствие этого на гра-
ничной плоскости величина
v = и — ш X г — и0
должна рассматриваться как известная.
Принимая затем во внимание, что правая часть предыдущего ра-
венства является гармонической функцией, значение которой на границе
определяется известным вектором v, поскольку последнее слагаемое левой
части равенства на этой границе исчезает, мы можем принять, что
/.'-И/'•'!•] =
= -Ёр(ус)-Й.
$
(9.55)
Здесь VG имеет тот же смысл, что и в § 104. Если выполнить с пра-
вой частью этой зависимости те же преобразования, что и в указанном
параграфе, то возникает равенство
4г[4(1 - • O-2(V2 • Ф) • fe-fev2 - • Ф
1 д f dS
2л дг J V ч
S
(9.56)
Скалярно применим к обеим частям этого соотношения оператор V
Тогда после интегрирования по z полученного таким образом равенства
и пренебрежения произвольной, не зависящей от z добавочной гармони-
ческой векторной функцией, как не исчезающей на бесконечности, най-
дем, что
(l+^)(3-4v) _ф==_ 1 Г ds (9.57)
Е v 2л v J ч ' ’
S
Два последних равенства позволяют при обращении к исходной
зависимости составить следующую окончательную формулу для искомого
вектора смещений:
1 д f dS . 1 1 С dS\ , . го,
u = —2^&J + (V2 • J V— J + «> X г + п0. (9.58)
s s
Тензор напряжений будет в данном случае вследствие закона Гука
определяться следующим равенством:
S
Сосредоточенная сила под граничной поверхностью
345
§ 108. БЕСКОНЕЧНОЕ ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ ПЛОСКОСТЬЮ И НАГРУЖЕННОЕ
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ, ПРИЛОЖЕННЫМИ НА ГЛУБИНЕ
ПОД ГРАНИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
1. Сила нормальна к граничной плоскости. Для определения напря-
женного состояния полупространства в данном случае примем во вни-
мание выражение тензора напряжений, обусловленных действием сосре-
доточенной силы в неограниченном пространстве. Согласно данным § 96,
этот тензор может быть представлен формулой
Рг
8л (1 — v)
[(1-2v)(rfc + kr —+
приложения
точки
где сосредоточенная сила с модулем Рг направлена вдоль орта k, опре-
деляющего направление отсчета координаты z от
силы, а ч — модуль радиуса-вектора г, проведен-
ного из той же точки в текущую.
Легко .сообразить, что при наличии двух та-
ких равных и противоположно направленных сил,
приложенных в двух точках, симметрично рас-
положенных относительно плоскости, нормальной
к оси г, напряжения на этой плоскости будут
только нормальные. Имея это в виду, составим
выражение тензора напряжений для случая за-
грузки пространства двумя противоположными
силами Рг, приложенными в точках 1 и 2 на
оси z на расстоянии 2h друг от друга (рис. 69).
При этом обозначения величин г и ч, отсчитываемых от этих точек,
снабдим соответственно индексами 1 и 2, а отсчет координаты z будем
выполнять от точки О, расположенной посредине между ними, считая
положительное направление отсчетов в сторону точки 1.
Возникающий при этом тензор напряжений, который обозначим
через а*, представится формулой
»• = -R(f=T) {(I - 2>> W - <*—*) '1 i +
+ 3(г~*)Г‘п - (1 - 2.) -|- krs-(z + /1) /I J,-+ . (9.60)
41 ч2 42 J
В результате скалярного умножения всех членов этого равенства
на орт — k можно определить вектор напряжений на стороне нормальной
к нему плоскости, обращенной к отрицательному направлению отсчетов
координаты z.
Принимая во внимание, что
i\ • k = z — h- r2 • k = z + h,
мы найдем в этом случае такое выражение для этого вектора напря-
жений:
°. - {[о -2») +^’12’> +^1 '4
> (L 41 4i J I ча ч2 J }
Отсюда, поскольку
г, = р + (z — h)k и г2 = р + (z + h) k.
346
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
где р — направленный компонент вектора га или г2 в плоскости z = const,
легко установить, что на срединной плоскости (z = 0), где г2 — гг, этот
вектор напряжений будет определяться равенством
- (9-61)
4i J
Устраним этот вектор путем присоединения к данному напряжен-
ному состоянию полупространства еще одного регулярного в нем напря-
женного состояния, представляемого тензором а** и приводящего на
границе к тому же вектору, но обратного направления.
Для этого примем во внимание, что, в соответствии с формулой
(9.11), тензор напряжений для полупространства, на внешней стороне
плоской границы которого вектор напряжений имеет значения q — —qzk,
представляется выражением
)-
$ $
- V2 J <7г In (ч + z) ds] + 2vZ1J - z (V2 J ^)) • (9.62)
s s s
Необходимый нам для решения поставленной задачи тензор а**
найдется отсюда, если, в соответствии с равенством (9.61), мы примем
^=+4ЙгЧ[(1-^)-з + ^Т (9’63)
W Ц — У) [ Ч1 J
Для нахождения возникающих при этом в формуле (9.62) интегралов
предположим сначала, что начальная точка отсчетов радиусов ч, для
которой определяются эти интегралы, находится на оси г, несущей на
себе силы Рг. Тогда, в соответствии со схемой рис. 68, где а должно
неограниченно возрасти, одна пара таких интегралов получит следующие
значения:
С ~ = 2т f__________prfp_________2~ Г1/ра+г21Р °° = 2л •
J ‘ з_ _ц г2 —p2 + /l2J h(z + h)'
s 0 (p2_|_/;2)2 (р2_|_гг)2
f = 2т f prfp _ 17ч _ p2+zah/pi+Talp==“ =
J л_ p2 + ^/l/ P2 + ft2JP=o
_ 2л Г 1 h 1
3/z3 [z + h ' (г -|- Л)2] ’
На основании соображений, аналогичных приведенным выше при
выводе формул (9.37), мы можем теперь принять, что при любом ином
положении начала отсчетов радиусов ч будут иметь место равенства
f dS _ 2л 1 _ 2л 1
J h R
s
fdS 2л Г 1 р /11 2л Г 1 . Л(г + Л)1 (9-64)
J ф = LT Р°М + & Р' МJ = 3^ [т2 + ’
где Ро (;л) и Р, (р.) — полиномы Лежандра,
Я = /р2 + (z + h)2 = ч2, а Л(и) = |1 = г-^ = г-^.
1\ Ч2
Сосредоточенная сила под граничной поверхностью
347
Учитывая затем, что
J q2 In (ч + г) dS = J ,
s s
можно заключить также, что, с точностью до исключаемой из рассмот-
рения (ввиду требования аннулирования на бесконечности) произвольной,
не зависящей от z функции, имеют место еще следующие равенства:
г.1п.^+?) dS = In (ч2 + z + /г);
J 4t Ч
S
fin (ч + г)
I 6
У 41
В результате всего этого мы можем после соответствующих подста-
новок найти, исходя из (9.62), выражение интересующего нас тензора а**:
а** =------—
(9.65)
ч21 — r2r2 r2k-\-kr2
ч2 (чг+г+Л)
—й^-~53ггГг + -3^]ч
Ч2 ч2 J
[ч21 — Зг 2г о
2(1 —V) 5
Ч2
(га 4~ 4afe) (гa~b 4afe)_
. Ч2 (ча + z + Л)2
I /,1Г2^+^2
+ /1)
чг
ЗА (г + Л)2'
ч| J
-2vfA-2(1 - v) -2---------— .
I ча Ч2 ч2 J
+ Зй + Зй (2 + h) "г1 ~5ггГг'
«г
ча
Окончательное значение тензора напряжений для рассматриваемой
здесь задачи о напряженном состоянии полупространства, загруженного
сосредоточенной силой, нормальной к граничной плоскости и приложен-
ной в глубине под этой границей, получится в результате суммирования
правых частей двух равенств (9.60) и (9.66).
Приводим следующие из этих равенств выражения координатных
компонентов двух тензоров а* и а** в цилиндрической системе, имеющей
начало в точке О (рис. 69).
а* = — Рг /Г_ И _ z~h -1- 3(г~Ра1 _
рр 8л (1— ’ ч2 + у® ]
_r_(i_2v)£+A + 31£+^ll.
L ча ч2 JJ
+ З(г-Л)31 r(i_2v)z+A +
41 J L ча
3(zW]]
Б I
Ч2 J)
(9.67)
л-.f2 . /Г(1 — 2v) -4 + 3р(г7Л)а1 _ Г(1 _ 2v) 4 + Зр(г+/г)2.11 .
U Ч Ч1 Ч1 J L Ч2 Ч2 JJ
H- .fl . [(1 - 2v) (2 (1- V) к—£-------------_(г + /о2—1 _
t Чча (чг+г-М)2 ч! (ч2 + г +/г)]
+ ЗЛ(г + /г)
рр ~
V
ч1— 5рЧл
^2 J
348
Упругое тело, ограниченное одной плоскостью
Г ч2 — 3 (г-f-ft)2 z -f-hl Г чг — 3 (г -4- Л)2
+ 2v ft----P-L - 2 (1 —v) Ш + z 2 (1—v) -------Li_L + (9.68)
L ч2 ч2 J L ч2
Зч2 —5(г+Л)2Т1
+ 3ft (z+ft) —--;
ч2 JJ
“” = -4Т^>5|-2(1_,)(г + ',) + ¥]-
На рис. 70 приведена диаграмма нормальных напряжений огг =
= а*4-а^г, возникающих при данной загрузке в точках сечений, парал-
лельных плоской границе полу-
пространства и проведенных на
расстояниях z = 0,5ft и 1,5ft от
Вектор смещений, соответствующий тензору о*, определится здесь,
если пренебречь общими жесткими перенесением и поворотом, следующим
равенством:
к* = 1±1%[(3 - 4v) fl - -LU + <^=Д1 _ (2+ДЯ. (9.б9>
8л (1— v)£[4 '^«1 Ч2) 41 J
При таком же пренебрежении для определения вектора смещений,
соответствующего тензору а**, исходным будет служить следующая из
(9.15) зависимость
и = [<3 - 4v)k № - П - 2v) V ft, In (ч + z)ds- z(VJ^)1 -
s s s
(9.70)
После подстановки сюда значений фигурирующих здесь интегралов,
определяемых приведенными выше равенствами, мы получим такое окон-
чательное выражение для этого вектора:
f(3 - 4v) 12 (1 - v) 1 4- Ll+^1 k _
4л (1 — v)£ p [ v ' ч2 J
— (1 — 2v)[2(1 — v) —А м + —z[— 2(i —v)4 + 4k —
4 '[ 4 ’чг&г + г + к.) 4|J [ v '<4 4=
ЗМг + ЛугП) (9 71)
«2 JJ
Сосредоточенная сила под граничной поверхностью
349
В использованной выше для представления координатных компонен-
тов тензоров напряжений цилиндрической системе компоненты векторов
и* и и** изобразятся такими равенствами:
* _ (1 +>)Ргр /г — /г _ г + м .
р ~8k(1-v)£^ чз ч| )’
8л(1— v)£[v ч2) чз чг ]'
(9.72)
„**_ (1+>)Рг ±(п_ 91л Г 2(1-^) . Л] _ , Г20-*) . 36(г + /р]) .
р 4л(1-^)£чг z )[Чг + г + н+ ч1\ 2[ ч| + J/’
(1-Н)Рг
2 4л (1— ч)£
2(1— v
[2(1 —V) , h(z + h)}
L \ 1 ч2 J
(9.73)
На рис. 71 приведен график полных перемещений п2 = «*+«**,
нормальных к плоской границе, возникающих на поверхности полупро-
странства, для случая v = 0,3 при рассмотренном здесь способе его
загрузки.
ГЛАВА X
плоский слой
Под плоским слоем понимается тело, ограниченное лишь двумя
параллельными бесконечными плоскостями, которые мы будем называть
гранями слоя. Расстояние между этими гранями определяет толщину
слоя. Если такой плоский слой ограничен еще с боков, причем толщина
его меньше протяженностей указанных граней, то он называется плитой.
Плоскость, проведенная посредине толщины плиты или слоя, называется
срединной плоскостью.
Задача теории упругости для слоя представляет как теоретический,
так и практический интерес, поскольку ее решение дает возможность
изучить распределение местных напряжений и деформаций, возникающих
в плите вдали от ее боковых сторон.
§ 109. О КРАЕВЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
При рассмотрении напряженного состояния плоского слоя естествен-
но воспользоваться координатной системой, имеющей ось z с ортом k,
ортогональную к плоскости двух других координат, к какой бы плоской
системе эти последние не принадлежали. Будем эту координатную пло-
скость совмещать со срединной плоскостью рассматриваемого слоя,
толщину которого обозначим через 2h. Тогда его грани будут опреде-
ляться равенствами z = -f-й и z = — h.
Обозначения вектора напряжений на любой плоскости, нормальной
к оси z, снабдим справа верхними значками -J- или — в зависимости
от того, относится ли этот вектор к стороне плоскости, обращенной в
сторону положительного направления орта k или в сторону отрицатель-
ного. В связи с этим необходимо отметить некоторые обстоятельства,
связанные с векторами граничных напряжений на предельных гранях
рассматриваемых плит или слоев.
Как известно, вектор напряжений, принадлежащий некоторой пло-
щадке, может быть получен из тензора напряжений в результате ска-
лярного умножения его на вектор-нормаль к этой площадке, причем
этот последний принято направлять во внешнюю сторону от ограничива-
ющей его области. При использовании же указанной координатной сис-
темы внешней нормалью п для грани z = -f-й будет орт k, а для грани
z = —й— орт—й. Поэтому векторы напряжений на этих гранях будут
представляться равенствами
°п |г=+й = 0 • Й | г=+й» °п | г=—h — ° • ( Й) | z——h — О • Й | 2=—ft.
Таким образом, при переходе от одной грани к другой приходится
для получения значения вектора напряжений на внешней стороне каж-
дой из них изменять в общем выражении не только значение координаты
Z, но и общий знак. Обусловливается это тем, что в обоих случаях мы
О краевых напряжениях
351
рассматриваем разные стороны параллельных граничных плоскостей и
на общий знак однократного скалярного произведения оказывает влияние
знак нормали, какой она имеет в используемой системе координат.
Одноименные координатные компоненты таких противоположно направ-
ленных граничных векторов получают также противоположные знаки.
Однако знаки координатных напряжений, являющихся компонентами
тензора напряжений и возникающих при скалярном умножении указан-
ных векторов на направляющие векторы, определяемые ориентацией
рассматриваемой стороны граничной площадки, будут зависеть лишь от
вида напряженного состояния (растяжение, сжатие и т. п.), но не от
ориентации стороны этой площадки.
Действительно, нормальные напряжения апп на двух противополож-
ных гранях, имеющих внешними нормалями k и —k, определятся из.
равенств
°пп |г=+Л = °п | г=+Л • k = k • О • k I 2=+/i = °22 | г=+Л>
апп I г=—Л = °п | г=—Л ’ ( &) = k • а - k | 2=—Л = Сгг | 2=—Л.
При определении же касательных напряжений вектор касательного
направления, очевидно, следует располагать на площадках одинаковым
образом по отношению к ограничиваемой ими области. Поэтому если на
внешней стороне грани z = -\-h единичный вектор t касательного на-
правления совместить, например, с ортом i так, что ограничиваемая этой
гранью область будет располагаться слева от этого орта, если смотреть
на него со стороны орта /, то на внешней стороне грани z = —h вектор,
t следует направить тоже таким образом, чтобы эта область располага-
лась слева от него, т. е. придать ему направление —i. В этом случае
граничные касательные напряжения ant будут определяться следующим
образом:
° nt I г=+Л = I г=+Л — I ' а • k |г=+/1 = агх | г=+Л»
ant I г=—Л — ° • ( 0 | г—— h — I ‘ ° ' k | 2=—h ~ azx I z=—h-
Полученные таким образом величины представляют собой уже не,
координатные компоненты векторов напряжений на внешних сторонах
граней, а координатные компоненты напряженного состояния среды на
этих гранях. Их следует отличать друг от друга. Если первые возника-
ют в результате проектирования векторов напряжений на координатные
оси, то вторые получаются в результате проектирования этих векторов
на направления, неизменно связанные со сторонами поверхностей, к ко-
торым эти векторы напряжений относятся.
Возможно, однако, в тех случаях, когда граничные поверхности
рассматриваемого объекта совпадают с координатными поверхностями,
упростить оперирование с краевыми векторами напряжений, если все
связанные с граничными поверхностями расчеты относить к совпадающим,
с ними координатным поверхностям, притом к сторонам их, постоянно
обращенным в сторону роста соответствующих координат. В нашем слу-
чае плоского слоя вместо вектора напряжений на внешней сто-
роне грани z = —h, мы получаем при этом возможность ввести в рас-
смотрение вектор а* |2=_н на той же грани, но отнесенный к ее стороне,
обращенной внутрь слоя. Этот вектор связан с предыдущим при помощи
условия
°я I г*»—Л — — (а„ I г—л).
352
Плоский слой
т. е. равен ему по величине, но обратно направлен. Его координатные
компоненты будут совпадать с координатными компонентами напряжен-
кого состояния среды на грани z = —h также и по знакам.
Еще большего упрощения при решении краевых задач с заданными
на границах напряжениями можно ожидать, если отдельно рассматривать
случаи заданных нормальных напряжений и отдельно — касательных.
При этом каждый из таких случаев может быть разложен на два:
1) зеркально симметричный относительно срединной плоскости в отноше-
нии внешней загрузки и 2) зеркально антисимметричный.
Если краевые нормальные или касательные параллельные напряже-
ния на гранях z = -\-h и z = —h обозначить соответственно через qa и
qb, то для зеркально симметричной составляющей загрузки краевые ус-
ловия представятся равенством
<7 = у (<7а + %). (г=±Л),
а для зеркально антисимметричной — равенствами
Q J г=+Л — (qa Qb) > Q I z——Л = t.Qa Qb)'
Суммирование двух соответствующих решений приведет к решению ос-
новной задачи с заданными различными краевыми усилиями.
Легко сообразить, что при зеркально симметричной загрузке плоского
тела нормальными усилиями на его гранях оно будет находиться в
состоянии поперечного растяжения — сжатия. Срединная плоскость при
этом не будет искажаться и слой половинной толщины, находящийся с
одной стороны от этой плоскости, может рассматриваться как прикреп-
ленный к жесткому основанию, не сопротивляющемуся скольжению. В
случае же антисимметричной загрузки нормальными усилиями средин-
ная плоскость будет искривляться, а сама плита будет изгибаться.
Также при загрузке плоского тела на гранях касательными усили-
ями симметричная загрузка будет приводить к поперечной деформации
без изгиба, а антисимметричная — к деформации изгиба (рис. 72).
§ ПО. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОСОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Имея в виду некоторые практические задачи, относящиеся к специ-
альным способам загрузки плоского слоя, рассмотрим вопросы, связанные
с использованием прямолинейных косоугольных координат. Будем рас-
сматривать случай, когда две оси х и у составляют между собой угол
у, а третья ось z к ним ортогональна. Направляющие масштабные век-
торы вдоль осей х и у обозначим соответственно через ех и еу, причем
модули их примем равными единице. Единичный масштабный вектор или
орт оси z будем, как обычно, обозначать через k. В соответствии с этим
Прямолинейные косоугольные координаты
/
353
компоненты ковариантного метрического тензора будут иметь следующие
значения:
^ = ^ = &2 = 1; ^ = cosy; £„ = £^ = 0. (10.1)
Взаимная к этой координатная система имеет в плоскости ху мас-
штабные векторы е* и еу, связанные с предыдущими при помощи зависи-
мостей
е = ~cos ; = —cos <10-2)
Нормальный к ним третий вектор совпадает, понятно, с ортом k.
Компоненты соответствующего контравариантного метрического тензора
получают при этом такие значения:
^2=1> gxv = -cS^’ ^ = ^ = 0. (10.3)
Обратная связь масштабных векторов основной координатной систе-
мы в плоскости ху с векторами взаимной системы представляется ра-
венствами
ех = ех + cos \ev\ ev = ev + cos ye*. (Ю.4)
Так как все символы Кристоффеля, ввиду прямолинейности коор-
динатной системы, равны нулю, дифференцирование векторов и тензоров
в данном случае не будет отличаться от дифференцирования скаляров.
Примем во внимание затем, что условие гармоничности некоторой
функции F в этой координатной системе представляется дифференциаль-
ным уравнением
1 (d2F d2F Q (PF \ d2F n
„ la-j + av — 2 COS T 5-5- I + л-»-= 0. (10.5)
sin2 7 \ox» 1 oi/2 1 dxdy) ' dz2 ' ’
Имея это в виду, представим функцию F в форме произведения
Т = Ф/,
где Ф зависит от двух переменных, х и у, a Z — только от одной, г;
тогда можно будет из данного уравнения получить следующие два равен-
ства:
g-c2Z = 0; (10.6)
<Э2Ф . <ЭаФ о <Э2Ф п
аТ + Г7 — 2 COS у S—д- + с- sin- уФ = 0,
дх2 ду2 1 дхду 1 1 ’
где с — произвольная постоянная.
Последнее уравнение не допускает использования метода разделе-
ния переменных.
Форма решений полученных зависимостей будет определяться усло-
вием равенства или неравенства нулю постоянной с. В первом случае,
т. е. при с = 0, мы можем с точностью до произвольного постоянного
множителя получить для функций Z и Ф следующие значения:
Z = {1 (10.7)
cos т (х cos у 4- у) ch (тх sin у)
__ cosm (х cos у -{- у) sh (mxsin у)
— sin т (х cos у -ф у) sh (тх sin у)
. sin т (х cos у -f- у) ch (тх sin у)
23 в. И. Блох
354
Плоский слой
Здесь т — произвольная постоянная, причем ввиду симметричности
второго уравнения (10.6) относительно переменных х и у последние в
формулах для Ф можно менять местами. Кроме того, очевидно, могут
быть переставляемы также обозначения тригонометрических и гипербо-
лических функций, поскольку постоянная т может получать как веще-
ственные, так и мнимые значения.
Во втором случае, когда с 4= 0, мы можем, обозначая эту постоянную
или через р или через q, получить с той же точностью такие решения:
П 7-lChPZ
z (shpz
(cos (чх 4- sy)
Ф I sin (чх -|- sy)
где
p2 = ^^^2 + s2~ 2'ZSCOST)- (10-8)
7 I ch qz
Z Ish qz
(cos(«x — sy)
v (sin (чх — sy)
где
q2 = -Дт- (ч2 + s2 + 2«s cos 7).
v sm! t '
Здесь обозначения тригонометрических и гиперболических функций
в выражениях для Z и Ф также могут быть переставляемы.
§ 111. ПЛОСКИЙ СЛОЙ С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
1. Внешние усилия. Рассмотрим напряженное состояние плоского
слоя, загруженного на двух своих сторонах усилиями, изменяющимися
периодически по двум направлениям, составляющим между собой угол f.
Примем, что распределение усилий в пределах каждого такого периода
удовлетворяет условиям Дирихле и что образованные ими парачлело-
граммы периодов на двух сторонах слоя конгруэнтны при параллельном
переносе сквозь толщину этого слоя.
Описанную выше косоугольную систему координат расположим таким
образом, чтобы оси х и у, совмещенные со срединной плоскостью рас-
сматриваемого слоя, были параллельны сторонам указанного паралле-
лограмма периодов. Полагая, что - и т] представляют собой полупериоды
изменений нагрузки соответственно вдоль осей х и у, введем обозначения
чт — , sn = — , (10.9)
где т и п — целые числа. Будем затем все обозначения величин, отно-
сящихся к граничной плоскости z — 4- h, снабжать индексом а, а отно-
сящиеся к плоскости z = —h — индексом Ь. Тогда векторы внешних
нагрузок (сга}) и (зг*1), которые обозначим общим символом (с“‘ Ь)), отне-
сенные, в соответствии с отмеченным в § 109, к положительным сторонам
граничных плоскостей, могут быть представлены в данном случае двойными
рядами
(°Г! Ь)) = X S [(4%,b)) cos (чтх 4- s„y) 4- (В% fc>) cos (чтх — sny) 4-
/п=0 л=0
+ (Ci Ь>) SI‘n (ЧтХ + Sni)) + <Ртп Sin {ЧтХ ~ (10‘10)
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой 35S
Здесь и т- Д-—векторные коэффициенты, объединен-
ные общей записью как для поверхности -\-h, так и для поверхности—/г,
подобно тому, как это сделано в отношении (о^С; fc)). Эти коэффициенты
определим условиями
№ fc>) = <;*>) = (В£ ь>) = (С'с0= Ь,)=(С: b,)=(D^ fc))=« Ь))=0, (10.11)
а остальные — равенствами
+Е-Н
(4о:6)=4-^ (10.12)
—е —i]
Ч-Е Ч-у
(4£ Ь>) = 2^ j J *’) C0S (ЧтХ + 8пУ) dxdy
- Е —1
Ч-ЕЧ-1
(4^ Ь>) = 2^ J J *’) cos (ЧтХ — 8пУ) dx аУ
+е5 ’ <10’13)
(С™ 6)) = 2^ J J fc>) Sin (ЧтХ + 8ПУ) dx аУ
— E —t]
- И +ч
(°™b)) = i J J (°'a: b)sin ~dx dy
— E —t] )
Ввиду полного уравновешивания внешних нагрузок в пределах каждого
параллелограмма периодов
(4о) = (4о) = (Ао)- (Ю.14)
Исключая постоянные слагаемые из разложения (10.10), введем в
/ (а~. Ь}\
левую часть его вместо векторов (а* ') векторы
(2r;fc,) = (°'a:fc,)-(Ao). (Ю.15)
На значениях постоянных, представленных равенствами (10.13)
такая замена векторов не скажется.
2. Напряжения. Для нахождения внутренних напряжений воспользу-
емся общим выражением (8.61) для тензора напряжений
о = (Д [(1 - >) (V.U7 + W) + >V • WI] - V3 • in.
где W — бигармонический вектор функции смещений в решении Бусси-
неска — Галеркина основных уравнений теории упругости. Имея в виду
рассматриваемую задачу, придадим этому вектору следующий вид:
№ = zV,
где V — гармонический вектор в области интересующего нас упругого
слоя. В этом случае тензор напряжений представится формулой
о = [(1 - v) (VV + W) + *V • VI} ~
— [(V2V) • k + (v2 • V) k + k (V2 • V) + z(V3 • V)l). (10.16)
23’
356
Плоский слой
В дальнейшем этим способом будем представлять тензор напряже-
ний о, свободный от средних равномерно распределенных составляющих,
обусловленных постоянными слагаемыми (Л^: ft|) в разложении (10.10)
краевых усилий, т. е. будем так изображать тензор, приводящий на
границах слоя к векторам (о'а: *’), определяемых равенством (10.15).
Гармонический вектор V, вследствие соображений, приведенных в
§ НО, представим в данном случае таким образом:
V = т^о Д{[(^тп) ch pmnz + (Fmn) shpmnz] cos (чтх + sny) +
+ [(GJ ch qmnz + (Hmn) Sh qmnz] cos (чтх — sny) + (10.17)
+ KJmn) ch pmnz + (KmJ sh pmnz] sin (чтх + sny) +
+ [(L™) ch qmnz + (Mmn) sh qmriz] sin (чтх — sny)}.
Здесь (£J, (Ртл) и т. д.— постоянные векторы, изменяющиеся с переменой
индексов, а ртп и qmn — постоянные скаляры, определяемые равенствами
2 1 , 2 г, । 2.
Р™ = ИпЧ'~ 2Ч^П C0S Т + Sn)’
2 1 , 2 . л 2. (10.18)
<7™ = ^7 («т + 2<++ cos т + s„).
Примем затем во внимание, что векторы (Етп), (Fmn) и т. д., изобра-
жаемые в основной системе ортов нашей косоугольной системы коорди-
нат равенствами вида
(^) = (EmnY ех + (£mn)v ev + (Е^у k,
где (Етп)х, (Е^У и (Етп)г — контравариантные компоненты вектора (Етп),
представятся во взаимной координатной системе формулами типа
(£mn) = К^Г, + (Етпу cos у] е* + [(Етл)« + (Е^у cos Т] + (ЕтпУ k,
а единичный тензор I получает вид
I — kk-\- ехех + evev + (exev + evex) cos у.
Учитывая все это, мы можем, после соответствующих подстановок»
получить из формулы (10.16) следующие выражения для ковариантных
компонентов тензора напряжений а:
К ОО
= S'Р™{к1 -2v)Ртп(ЕтпУ-2(1 ->)[4m(Emn)x+sn(ЕтпУ1-
— Ртпг [ртп (Fmny + чт (J^y + s„ (Jmn)’']} ch pmnZ +
+ {(1 - 2v) pmn (F^y - 2 (1 - V) [4m (Jmny + sn (J^F] -
— Pmn^ lpmn (E^Y + чт{КтпУ + s„ (A'^)"]} sh Pmnzj cos (чтх + Sny) +
+ три аналогичные выражения.
= Hh E S' ^тпУ + [2 (1 - >) pL + <] {Kmny+
+ [2(1 — v) Pmn cos I + 4ms„] {Kmny +
+ Pmnz«m [p^ (F^y 4- чт (J^y + s„ (Jm„)y]} sh Pmnz +
+ {2vp^m (F^ + [2 (1 - v) pt.+ < 1 (^)x + [2 (1 - v) p^ cos т +
+%snl (Jmn)V+ Pmn^m tPmn^mnY + (Kmn)X+Sn (Kmn)V]} ch Sin (4^+
+ sny) + три аналогичные выражения.
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
357
= rqh S S' (£-)2 + [2(1 — >) + s^J (V +
Zn = O n=Q
+ [2 (1 — >) P™ cos T + 4ms„] {K^Y + Pmazs„ [Pnm (F^Y + % UmnY +
+ (-О*]} sh PWIz+{2vpm„Sn (F^Y + [2 (1 - v) + s2] (J^Y +
+ [2(1— v) p^, cos T + 4msn] (J^Y + Pmazsn [Pmn (V+ «m(Kw)x +
+ Sn (KmnY] } ch Pmnzj sin (4mx + S„y) +
+ три аналогичные выражения. (10.19)
oo ос
°- = E S' {^p™ +<> (£™)2+ 2 (2 -v) P^m (KmnY +
m=Q n«o
+ ^Pmn bs„ + 2 (1 — v) 4m cos T] (K^Y + *Ym [Pmn (F^Y + чт (J^Y +
+ sn (^ri} ch Pmnz + {(2vp£„ + 4*m) (FmnY + 2 (2 - v) Ртпчт (JmnY +
+ 2pm„ [vs„ + 2 (1 — v) чт cos T] (JmnY + z< [pmn (Emn)z + чт (KmnY+
+ sn (K^YY sh pm„z| cos (чтх + sny) +
+ три аналогичные выражения.
oo oo
= T+7 S S' {«2vP™ + & + 2 (2 - v) (KmnY+
m=Q n=0
+ 2pm„ [v4m + 2 (1 — v) s„ cos p] (KmnY + zs2 [Pmn (FmnY + чт (JmnY +
+ s„ (Jm„n} ch Pmnz + {(2vp^„ + s2n) (FmnY + 2 (2 - v) pm„s„ (JmnY +
+ 2Pmn [v4m + 2 (1 — v) s„ cos p] (JmnY + zs2 [Pmn (EmnY + чт (KmnY +
+ sn (Em„Y]} sh pm„z) cos (чтх + sny) +
+ три аналогичные выражения.
oo co
% = T+^ 3- S {{<2vP™ C0S (EmnY + ^Pmn 1чт COS I +
+ (1 - v)s„] (KmnY + 2pmn [s„ cos I + (1 - v) 4m] (K^Y +
+ Z4mSn lPmn (EmnY + 4m (JmnY + S„ (JmnY]} ch Pmnz +
+ {(2vpL cos T + 4ms„) (F^Y + 2pm„ [«m cos T + (1 — v) s„] (JmnY +
+ 2Pmn [sn COS T + (1 — V) 4m] (JmnY + Z«ms„ [pm„ (EmnY + 4m (KmnY +
+ Sn (KmnYY sh Pmn Z) COS (4mX + Sny) +
+ три аналогичные выражения.
Здесь «аналогичные выражения» получаются путем замены обозначе-
ний в предшествующем развернутом первом выражении обозначениями,
приведенными в табл. I. Эта замена должна выполняться таким образом,
чтобы обозначения первой строки таблицы, из которых составлены пер-
вые слагаемые всех равенств (10.19), заменялись в каждом следующем
слагаемом обозначениями одной из остальных трех строк этой таблицы.
Штрих при знаках сумм означает, что член с двумя нулевыми индексами
(т = п — 0) из разложений исключается. Кроме того, в дальнейшем
должны быть учтены условия (10.11).
358
Плоский слой
Таблица 1
(ЕтпУ (ЕтпУ (КтпУ (Е тпУ (^тпУ Umn)^ Ртп Чт Sn cos sin
(Gmny (МтпУ (МтпУ (ЕтпУ (ЬтпУ (ЕтпУ Qmn Чт —Sn cos sin
(^mn)Z (FтпУ (ЕтпУ (КтпУ (ЕтпУ (ЕтпУУ Ртп Чщ —sn —sin cos
(ЬтпУ (ЕтпУ (КтпУ (МтпУ (ЕтпУ Ятп Чт Sa —sin cos
Сравнивая внешние напряжения на граничных поверхностях слоя,
следующие из этих выражений, с заданными, определяемыми разложе-
нием (10.10), мы получим ввиду произвольности переменных х и у ряд
равенств для определения значений коэффициентов, входящих в формулы
(10.19). Путем соответствующего суммирования и вычитания эти равен-
ства легко разделяются на группы по три в каждой с тремя неизвест-
ными. Из выражений для о,2, сгх и агу, явно выписанных в правых частях
формул (10.19), при этом возникают такие две группы уравнений:
Ртп {(1 - 2v) ртп (Етпу - 2 (1 - v) [чт (К^У + sn (КтпУ]] ch Pmnh -
- P2mnh [Ртп (Етпу + чт (Kmny+ sn (ктп)ч sh Pmnh = [Итп)а,г+(Атп)ь,г];
РтпЬчт [Ртп (ЕтпУ + чт + sn (КтпУ1 ch pmnh +
+ №ртпчт (ЕтпУ + [2 (1 — v) р2тп + ч2т] (Ктпу + [2 (1 — V) р2тп cos у +
+ (К^У] sh Pmnh = [(Стп)а.х - (Cm„)fc,J; (10.20)
Ртп^п lPmn (ЕтпУ + Чт (Е тпУ + Sn (ЕтпУ] ch Pmnh +
+ {2vpmnsn (Е^у + [2 (1 - v) p2mn + s2] (K^y + [2 (1 - V) p2mn cos T +
+ 4ms„] (КтпУ} sh Pmnh = [(Cmn)a.v - (C™)b, J-
Pmn {(1 - 2v) Pmn (F^y - 2 (1 - v) [чт (Jmny + sn (Jmn)v]} sh pmn h -
— P2mnh [pmn (Fmn)2 4- чт (Jmny + s„ (Jmn)v] ch pmnh = [(Атп)а,— Итп)ь,2];
Pm^m [Pmn (EтпУ + «m U тпУ + + У тпУ\ sh pmJl +
+ ФРА (Fmny + [2(1 — v) p^ + 42m] (Jmny + [2 (1 — v) p2mn cos у +
+ %sn](^mnHchpmn*r= ^[(Cmnu + (Cm„kJ; (10.21)
Pmr/l^n lPmn (FmnY + UтпУ + UmnY\ sh Pmnh +
+ {^pmnsn (Fmny + [2 (1 - V) p^n + s2] (Jmny + [2 (1 - V) p2mn cos T +
+ Vd (4nH ch pmJi = [(Cm„)o,v + (Cmn)bJ-
Здесь и далее ковариантные компоненты векторов (А^), (А^), (В(^)
и остальных, определяемых равенствами (10.13), обозначены соответствен
но через (.<°Х (А%)у, (А(^)г; (А^)х, (А%)у, (A^)z; (В^п)х, (B%)z
и т. д. Другие зависимости, долженствующие служить для определения
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
359
остальных коэффициентов, могут быть получены из приведенных двух
групп равенств*(10.20) и (10.21), указанным выше способом замены обо-
значений, фигурирующих в левых частях этих равенств, на обозначения
второй, третьей или четвертой строки табл. I и одновременной замены
обозначений правых частей на обозначения соответствующих строк
табл. II.
Таблица И
(Л|с))2 (A(b>)z v тп,г (С^)х 4 тп,х (C(fc))x v тп'х о.
(BU,)2 ' mn'2 (B<b))z ' тп,г ^п\ ’
(C'a\ ' тпи (С<ь,)2 ' тп,г М(а,)х v тп,л М!а,)у ' тп,у (АтпК
(D ,n)z mn' (О'ь,)2 тп'2 (В[а})х ' тп (В{а,)и тп'Р (Втп)у
(10 22)
уравнения
вычесть из
(10.23)
Решим систему трех уравнений (10.20) относительно коэффициентов
(Етпу (КтпУ и (Ктп)у, причем с целью упрощения записей введем обо-
значения
(cmJ7 = (O,-(O/.
(Стп): = (Ох + (Охит. д.
Легко сообразить, что если умножить все члены второго
из группы равенств (10.20) на sn, а третьего на чт и затем
одного другое, то получится такая зависимость:
(s„ — чт cos т) (Km„)v — (чт — sn cos f) (Kmn)v =
л zi \ r- 2 й 7 ]•
4(1 — ^)Epmrlshpmnh y
Если затем умножить все члены второго уравнения (10.20) на чт —
— s„cosf, а третьего на s„ — чтcosy и результаты сложить, то принимая
во внимание связь между ртл, чт и s„, представляемую первым равен-
ством (10.18), найдем, что
Pmn (2* sh Ртп h + pmnh ch ртп /г) (Ет„)г + [(3 — 2v) sh pmnh +
+ pmnh ch (K™)* + (K™)*] =
= 2+.\ — s„ cos () (Cmn)~ + (s„ — чт cos у) (Cm„)J. (10.23J
^Pmn I
Решая это уравнение совместно с первым равенством (10.20) отно-
сительно величин чт (Ктп)* + sn (Kmn)v и (Ет„)г, получаем для них такие
значения:
%SKmnr + Sn(Kmn)V =
_____________[+2____________ { (1—2v) ch pmnh—pmnh sh p^h ..
(3—4v) Epm„ (sh 2pm„h+2pmn/i) I pmn sin2 7 И m
— sn COS y) (Cmn)~ + (s„ — 4m cos y) (Cmn)J — (2v sh pmnh +
+ Pmnh ch pmnh) (Лтп)^| (10.23g)
360
Плоский слой
\2 ______________1 (1 v) ch Pmn,h 4~ PmrJl ^h Pmn,J r/^ _
mn (3 — 4м) Ep2mn (sh 2pmnh + 2pmnh) | Pmn sin‘2 Y *
— s„ COS y) (Cmn)7 4- (s„ — cos y) (Cmn)71 +[(3 — 2v) sh pmnh +
+ Pmnh ch Pmnh] (Amn)t} . (10.24)
Наконец, из равенств (10.23) и (10.232) находим еще, что
Pmn sin2 7
(К™Г= , 4 ~?J~(2v Sh P^h+Pmnh ch pmr/i) (Amn}^+
(3—4м) £₽mnsin2 7 (sh 2pmn/z-f-2pm„ft) I
(1 — 2м) ch pmn/z — pmn/zsh pmn/z [(4m_Sn cos T) (Cmn);+(Sn_% C0S 7) (Cm„)71)-
4 (1 - M) Ep^ sin2 7 shpm„/2 [S" (Cmn)x — Чт {Стп^ ]; (1O’241>
(j + 4 (sn — cos 7)
(Kmn)^=
(3—4м) Ep^sin2 7 (sh 2ртпй+2ртпй)1“(2У Sh P^h+P^ Ch PmM (Amn£+
l1 ~ ^P^-Pmn^ pmnh cQs y) (Cmn)-+(s _4m CQS 7) (Cmn)-j}_
— 4 (1 — m) Ep^ sin2^ sh ртп/г [S" (Стп)х — Чт 1 ‘ (1 ° -24г)
Аналогичным способом находим значения коэффициентов (Fmn)2, (Jmn)x
и (Jmn)v из уравнений (10.21). Приводим окончательные результаты:
У —. _________1 + ________(2 (1 — м) sh pmnh + pmnh ch pmnh .,
( mn) (3-4M)£p^n(sh2pm„A-2pm„)( Pmn sin2 7 Ц m
— Sn COS Y) (Cmn)t + (s„ — 4m COS y) (CmX ] +
+ [(3 — 2v) ch pmr/i + pmrfi sh (Amn)~j ;
^mn)x = 9 .. {- (2v ch pmn h+ (10.25)
(3 — 4м) Epmn sin2 7 (sh 2pmnh — 2pmnh) (
+ pmnhshpmnh) (Amn)- +^-^^p^-p^nh^pmnh [{4m_SncQst) (CmJ++
4- (Sn - 4m cos y) (Cmn)v ]j + 4(1_V)£P^ [sn (cmn)t—4m (Cmn)^
(^№.X= 4,F(13+-)(/,i7homCOS?) о {- (2* ch PmJ +
(3 — 4м) Epmn sin2 7 (sh 2pmn/z — 2pmnh) (
+ Л M J7 - S„ cos 1) Ы +
+(s. -«. cos T) (c„j*,)-
Значения остальных коэффициентов могут быть получены из при-
веденных формул (10.24) — (10.25) путем указанных выше подстановок
данных из таблиц I и II.
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
361
Выражения (10.19) для напряжений теперь можно будет представить
в следующем виде:
ее оо
—J Sh2/)m„/l + 2pmnh P5h Pm^ + Pmnf1 ch Pmn!1) ch PmnZ ~
л=и
— PmnZ sh sh PmnZ\ (Amn)t + (Л sh Pmnh ch PmnZ —
—z ch pmnh shpWIz)[(«m—s„cosp)(Cm„)r + (sn—«mcos т)(Стл),;] j cos («mx4-sj/)4-
+ S X Sh2pffinft- W Kh + P™h sh Pmnh) sh pmnz -
tn=Q ri=0
—Pmnz ch pmnh ch pmz] (^)7+ -±-Jh ch pmnh sh Pmnz —
— z sh Pmnh ch Pmnz) [(«m — sn cos t) (Cmn)+ + (s„ — чт cos p)(Cmn)+]| cos («mx+
+ sny) + ТРИ аналогичные выражения.
°гх = S sh 2РтлЛ + 2Pmnh sh Pmr!1 ch pm„z — h ch prnnh sh pmnz) (A^)* 4-
m=0n—Q
+ -2 *. „ [ (ch PrJi — pmnh sh Pm„h) sh pmnz +
Pmn Sln T
+/W ch pmnh ch pmnz][(4m—sn cos T)(Cmn)r+(s„—чт cos p) (Cmn)~ ]} sin (чтх+
oo oo
+Sny) 4- V V' [s„ (C^)- - 4m (C^} sin (4mx + sny) +
A—1 2n_„ sin2 7 sn Pmn n
m=i) n—o *
no oo
~h Zj XJ sh 2Pmnh — 2pltlnh {(z ch Pmnh sh p^z — h sh pmnh ch pmnz) (Am„) г +
m=(j n~()
+ —2 l(sh pmnh — Pmnh ch pmnh) ch pmnz +
Pmn Sin2?
+ Pmnz sh pmnh sh Pmnz} [(4m—sn cos y) (Cm„)+4-(s„—чт cos T)(Cm„)+]jsin (чтх+
+s.</)+S i' |s- <c->fsin +
m=o n»=o / 1
-+• три аналогичные выражения. (10.26)
% = J"+ Ipmnh {(2 Sh P^h Ch P^Z~h Ch P^h shPmnZ)(Hmn)++
m~o п=ц
+ —- . . ((ch pmnh — pmJi sh Pmnh )sh pm„z +
Pmn sin2 7
4-pmnz ch Pmnh ch pmnz] [(«,„—s„ cos i)(Cmn)-+(sn—4m cos T)(Cmn)~]jsin (чтх+
+мл- i tv it; да is- (c<c-vi(v+w)+
rn=ti n=v Prnn *
+ Z 1j -Sh2pm,fi-2pmah {<2 Ch Pmnh sh Pmnz - h Sh pmnft ch pmnz) (A^ +
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
363
—h ch pmnh sh pmnz)\ [{sn—4m cos y) (0^)++ (чт—s„ cos y) (Cmn)+]j cos (чтх +
+ЗД1-Ё S' I». (CUf —«.<C,J*1 COS (v+здн
m—0 n=o ''mn *
4- три аналогичные выражения.
DO DO
о^ = У X -2 L-L9—-{{l2vP^c0ST+(1— 2^msn] Sh pmnhchpm„z+
^0 " Pmn <Sh 2P™A +2P™A>
~b 4msnpmn (z sh Pmnh sh pmnz h ch pmnh ch Pmnz)} +
+ Pmn Jins7-12 l^Pmn cos T + (1 — V) 4msJ ch Pmnh ch pmnz +
+ чпёпРтп (z ch pmnh sh pmnz — h sh pmnh ch Pmnz)} [(чт — sn cos y) (C^)- +
+ (s„ — чт cos T) (C^)-]j cos (чтх + sny) +
“ “ , 2_ 2
+S S J w c°s <v++
m=Q n—о pmn 1
DO DO
+ У У —\ 7----------------M M2vPL C0S t + “ 2v) 4^s«] ch Pmnh Sh Pm"z+
Pmn <sh 2ртлЛ-2РтлЛ) (
+ ЧпёпРтп (z ch pmnh ch Pmnz — h sh pmnh sh pm„z)} (A^)- +
+ 7 ^P'mn C0S T + U — v) 4msj sh p^h Sh pmnZ +
+ ч^пРтп (z sh Pmnh ch Pmnz — h ch Pmnh sh pmnz)} [(чт — sn COS T) (C^t +
+ (s« — 4m COS I) (Cm„)+] j COS (4mx + Sny) +
f 2 2
\ 1 уч s,. — 4m sh pmnz
2p3 si n2 7 ch Pmnh
tn=o n=o mn 1
[Sn <Pmn)t — 4m {Cmn)+} COS (4mx + Z„t/) +
+ три аналогичные выражения.
При практическом использовании настоящих результатов необхо-
димо лишь учитывать взаимосвязь площадок
напряжений в условиях косоугольной системы
координат. Поэтому остановимся на их рас-
смотрении.
На рис. 73 сплошными линиями показана
плоская основная система координатных осей
х и у с единичными основными масштабными
векторами ех и еу и пунктиром — взаимная
с ней система с масштабными векторами
е* и еу.
и компонентов тензора
Нормальные напряжения на площадках, параллельных основным ко-
ординатным осям (рис. 74, а и б) будут иметь обозначения ахх и а4'4', а
касательные — и а4. Напоминаем, что вообще ах #= На площадках,
ортогональных к этим осям (рис. 74, в и г), нормальные напряжения по-
лучают обозначения ахх и а^, а касательные — а" и ах. Касательные же
напряжения на первых координатных площадках, направленные парал-
лельно оси z (рис. 75), принимают обозначения и суг.
ЗС4
Плоский слой
Что касается площадок, перпендикулярных к оси г, то, так как эта
ось ортогональна к осям х и у, нормальные и касательные напряжения
на этих площадках, о22, о2 и о2, не отличаются от ковариантных ком-
понентов тензора напряжений, соответственно, сг2, огх и ог4,.
Помимо отмеченного, следует учитывать еще систему единиц или
метрику, в которой представлены рассматриваемые величины. В данном
случае ковариантные компоненты тензора напряжений измеряются в еди-
ничной системе мер. Однако для нековариантных компонентов эта метрика
отличается от единичной. Посколь-
ку для прочностных расчетов вели-
чины напряжений должны быть
Рис. 74.
Рис. 75.
представлены в единичной системе измерений, приводим здесь выражения
для таких нормированных напряжений на координатных площадках.
При этом получим:
а) для координатных площадок yz —
°ХХ = + % cos2 т — 2з^ с0= ; <10-27)
б) для координатных площадок xz—
°™ = cos2 т " 2% cos
°х = -Д— (°х„ — °хх cos Т/ > (Ю-27Л
х Sin3 4 ХУ Хх v 17
°? = Д— (°,,2 — 022 COS т).
2 sin2 y v у2 xz
После подстановки в равенства (10.27) значений напряжений из
формул (10.26) и некоторых преобразований найдем такие выражения
для нормированных напряжений на координатных площадках г/г:
03 DO
= . g / । , -г,--------------[р2 — (1 — 2v) s2] sh Pmnh ch p_„z +
Sln Pmn^2Pmnh+2pmnh) IPmn Pmn
+ P^n (z sh Pmnh sh PmnZ — hch Pmnh ch Pmnz)} (Amn)+ +
4
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
365
4-----*• ч {2 [p2 — (1 — *)s’] ch Pmnh ch p__z +
1 Pm„sin37l lKmn v ' nl Итп ‘
+(p^„—SP Pmn (z ch pmnh sh pmnz — h sh pmnhch pmnz)\ [(4m—sn cos i)(Cm„)7+
+ (s,2 — *m cos i) (Cmn)7]| cos (чтх + sny) +
1
ГП=О л=Р
^~Sn^ [Sn (Cmn)7 - (CmnU (*т*+*пУ) +
з
p
mn
1
— 2v)s=]ch pmnhshpmnz +
Sini^„ " P^(sh2PmnA-2Pmn/0
+ ~ SZ) P™ Sh P™h Sh — h Ch P™h Ch PmnZ)} (Amn)7 +
4-----12 [p2 — (1 — v) s2] sh pmnh sh pmnz +
1 Pmn Sin3 7 1 'm v ' n‘ rmn f'mn
+ (Pin — sl> Pmn (z sh Pmnh ch pmnz — h ch pmnh sh Pmnz)} [(чт —
— sn cos T (Cmn)+ + (sn — 4m cos T) (Cm„)+]| COS (чтХ + sny) +
1
т=о л=о
,m~3SnCOS7) [S„ (Cmn)+ - 4m (Cmn)^ COS (4mx+ S„f/) +
n =>n Pmn n
rmn
4- три аналогичные выражения.
__ _____
и sin3
[(1 — 2v)sh pmnh ch Pmnz +
sn (4m — Sn cos 7)
•m-un=o Pmn (sh 2Pmnh+2pmnh)
Pmn (z sh Pmnh sh pmnz — h ch pmnh ch pmnz)] (Amn)t +
Pmn sin-2-f [2 (1 — v) ch pmnh ch Pmnz + pmn (z ch pmnh sh pmnz —
— hsh pmnhch pmnz)] [ (чт — s„ cos t) (Cm„)7 +
+ (Sn — 4m COS 7) (Cm„)7]} COS (4mX + S„i/) +
__2s2 k
—a [s"(C™)7 -4m {C™}7} cos {4mx+Sny}+
1 \ 1 \ ’ mn
sin3 7 лшш 2ps
2v) ch pm„/i sh pmnz +
1 У1 У1 Sn (4m —Sn COS
Pmn <Sh 2Pmnh-2Pmnh)
+ Pmn (z ch Pmnh ch pmnz — h sh Pmnh sh pm„z)] (Amn)7 +
Pysina 7 [2 U — v) sh Pmnh sh pmnZ + Pm„ (Z sh p^/l ch pmnZ ~
— hch Pmnh sh Pmnh)\ [(«m — s„ cos T) (Cmn)+ +
+ (sn~ 4m COS T)
X РтП~^-П- [S„ (Cmn)t - *m (Cmnft] COS + W) +
mn
+ три аналогичные выражения.
cos (чтх + sny) +
1
m=0 л=0
366
Плоский слой
°2 sin2 Zj sh 2ртлЛ+2ртлЙ Pm«z PmJ1 PmnZ)(Amn)t+
m=o «=0
+ p8 * lchPmnhsh pmnz+pmn(z chPmnhch pmnz — hsh pmnhsh pmnz)} [(чт—
— sn cos T) (Cmn)~ + (s„ — 4m cos T) (CJf-]} sin (чтх — sny) +
oo oo
+s-^S K^£S[s"(C'-)7-4'"(C^,sin(4'”x+s«!/)+
m=o n=o ^mn
DO DO
sin2 7 Zj sh 2pmnh—2pmnh {^z ch Pmnh sh Pmnz~~h sh pmnh ch p mnz) (Атп)г +
/72=0 П=0
+ jv"* [sh pmnh ch Pmaz+ pmn (z sh pmnh sh pmnz—h ch Pmn h ch Pmnz)} [(«m—
— s„ cos у) (C^t + (s„ — чт cos 7) (Cmn)+] j sin («mx + Sny) +
+ sdn2^ S S 2^~ ch Pmnh fS" S’n (4mX + SnV) +
+ три аналогичные выражения + [(Л00)Л— (Лоо);/cos у]. (10.28)
Что касается напряжений на координатных площадках xz, то соот-
ветствующие выражения для них могут быть получены из приведенных
здесь формул (10.28) путем замены в них всюду чт на sn и sn на чт,
а также обозначений индексов и координат х на у и, наоборот, у на х.
Последним слагаемым в формуле для а* (10.28) нами здесь восста-
новлена исключенная ранее из рассмотрения (при нахождении компо-
О
нентов тензора а) постоянная величина.
3. Смещения. Вектор и смещений в использованном здесь способе
общего решения основных уравнений теории упругости получает сле-
дующий вид:
и = 2(1 — v)AU7 — V2-^.
При указанном в п. 2 представлении вектора W эта формула при-
водит к равенству
и = 4 (1 - v) J - VV2- k (V • Ю - z (V2 • V). (10.29)
Отсюда, если воспользоваться выражением (10.17) для гармоничес-
кого вектора V, с точностью до общего жесткого перемещения и поворота
можно получить такие формулы для ковариантных компонентов вектора
смещений при учете также значения вектора Лоо:
«г = Z К {{2 (1 - 2V) Ртп (ЕтпГ - чт (КтпУ - Sn (Kmn)V -
m=o /г=0 '
— ZPmn IPmn (FmnY + + «n (4,^1} sh PmnZ +
+ {2(1- 2V) Pmn (F^Y - 4m (J^Y - S„ - ZPmn IPmn (FmnY +
+ 4m (KmnY + Sn (KmnY]} Ch pm„Zj COS (4mX + S„i/) +
+ три аналогичные выражения -f- - (A00)zz. (10.30)
( 1 V) С
362
Плоский слой
+ -2 \ , [(sh pmnh — pmnh ch Pmnh) ch pmiz +
Pmn slnJ 7
+pmnz sh Pmnh sh pmnz][(4m—sn cos 7)(Cm/1)++ (s„—чт cos i)(Cm„)+A sin («mx+
oo oo '
+ Snf/)~ S 2p2 Sin2 7 ch Pr^h fS" ^Cmn)t — 4m (Crnn)t 1 S’n (4mX + SnV) +
m=On=O Pmn sm 7 ,Jmn
+ три аналогичные выражения,
oo oo
= У (sh2n \-i-2n /А {U2VP™ + — 2v) Sh P^h Ch P™Z +
m==0 л==о Pmn (s^ ^РтпП'^Г^Ртгг1)
+ 4mPmn (? sh pmnh sh pmnz — h ch pmnh ch Pmaz)} (Amn)+ +
+ pmn\in^ I2 bPmn + (1 — *)Cl ch pmnhch Pmnz + <£pm„ (zchpmnhshpmnz —
—h sh Pmnh ch p^z)} [{чт — sn cos 7) (CJ; + (s„—чт cos 7) (O7]j cos («mx+
+'-")+ Ё S' м7=~1ад1»я (C.X - *. (C„X1 cos(v+w>+
m=0n=0 Pmn 1 ‘
OO OO
+ S S fth 2n 1 й 2n {t[2vP™ + 0 ~ 2v) Cl Ch Pmnhshp Z +
"0 w Pmn (sh 2Рт„Л-2рт„й) I
+ CPmn (2 ch Pmnh ch pmnz — h sh pmnh sh pmnz)} (Ami)- +
+ Pmnsin27 I2 [vPm« + C1 — v) «ml sh pmnh sh pmnz +
+ ч'тРтп (z sh Pmnh ch pm„z — h ch pmnh sh Pmaz)} Цчт — sa cos 7) +
+ (sn — «m cos 7) (Cm„)+]| cos (4„X + stly) +
[s« (c^icos +
+ три аналогичные выражения.
1
°yu = ? , V —•--------2---------1 (l^vPmn + (1 — 2V) s2l sh p_„ h ch pmnz 4-
У ^on^o Pmnbh2pmnh+2pmnh)Vl Pmn^X «J
+ S2Pmn (2 Sh РтЛ sh Pmn2 — Й ch Pmnh ch Pmnz)} (Amn)+ +
4-----Ц- {2 [vp^„ + (1 — v) s2] ch pmnh ch pm„z + s2pm„ (z ch pmnh sh p^z —
Pmn slnn7
— h sh pmnh ch pmnz)} [(sn—4m cos 7) (Cmn)-+(«m—sn cos 7) (C^jjcos (чтх +
, e ,A_V V Sn ^rn - sn cos 7) Ch p^„ г [s„ {Cmn}-_4m {cmn}-] COS (v+s^H
Pmn sin2 7
тп—0 n=0
+ S S ~ / h 2 \ 2---------M {{[2vPmn + 0 - 2v) S2] ch pmnh Sh PmnZ +
“o/^oPm"(sh2pmnA—2ртлЛ) 1
+ s2Pmn (2 ch pmnh ch pmnz — h sh pmrfi sh pm„z)j (Amn)~ +
+ n sin2 7 I2 [VPL + 0 - V) S«1 Sh Pmnft sh Pmn2 + S^Pmn (2 sh Pmnh ch PmnZ —
Pmnblli I
368
Плоский слой
+ Ч-Е SsSIs-<с~)7-%(CU7)si"(V + V) +
т=0 п—о 'тп 1
оо оо
+ —t- V X "2------------([(1 — 2v) ch р h sh p z —
E Pmn^P^-2Pmnh^
— Pmn {h Sh pmnh sh pmnz + г ch pmnh ch pmnz)] (Amn)- 4-
+ Pnwsin^[2 (1 “ v) sh p™h sh PmnZ ~ Pmn (ft ch p™h sh p™z +
+ z sh pinnh ch p^z)] [(«m — s„ cos 7) (C^)+ +
+ (sn — cos 7) (Cmn)+]j sin (4mx + S„(/) +
+ S' V XT1 * (C->fsi" (v+su+
/л=и /2=о "mn 1
+ три аналогичные выражения + (Л00)х2. (10.31)
Равенство для иу может быть получено из приведенного здесь
выражения для их путем замены чт на sn и sn на чт, а также замены
обозначений координат и индексов х на у и наоборот.
Формулы (10.31) для ковариантных компонентов вектора смещений
представляют собой ортогональные проекции этого вектора на оси ис-
пользуемой косоугольной системы координат, измеренные в основной
метрике этой системы. Составляющие же вектора смещений вдоль этих
осей в нормированной системе измерений определяются при помощи
равенств
иг = «г;
«х = ^(и* — “a/cosT); (10.32)
1 , .
иУ — -=~i~ ---Ux COS 7b
и SIH2 7 U *
Приводим также следующую отсюда формулу для их:
и* — J “а—~—Sn-°S ---------([(1 — 2v) shp^nhch p z —
E Sln 7 ^0 i Pmn <sh 2Р-„Л+2Рт„Л) I
— Pmn ch Pmnh ch PmnZ + Z sh Pmn^ sh PmnZ)\ (Amtl)+ +
+ P~ ~siii2T 12 (1 — Ch p™h Ch p™z ~~ p™ Sh p™h Ch P™Z +
Pmn sin I
+z ch pmnh sh pmnz)] l(4m — sn cos T) (Cm„)7+(s„ — чт cos y) } sin (чтх+
oo oo
+«„!/)+ V [S"(Cmn)7 4m 1 sin (4mX + +
m=o n=0 Pmn mn
_L - L+e
' E sin2 7
m=o n=o
<zm — s„ cos 7
₽mn <sh 2Pmnh—Zpmnh)
{[(1— 2v) chpmnhshpmnz —
— Pmn sh pmnh sh pmnz + z ch pmnh ch pmnz)] (Amn)x +
Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой
367
«х = Д п5' {к (£тп)г + 4 (1 - >) Р™ [(Km„r+ cos Т] -
— Z4m lPmn (Лия)* + (JmnY + Sn (JmnYl} ch Pmn2 +
+ {чт (Fmny + 4 (1 - v) pmn [(Jmny + (Jmay cos T] -
— z% [p^ (Emny + 4m (K^Y + s„ sh Pmnzj sin (чтх + s„y)+
+ три аналогичные выражения + - v (AoM-
= 1 I ’ {K (Emny + 4 (1 - V) Pmn [(K^Y + ^mny COS T] -
— zs« [pmn (FmnY + чт (Jmny + s„ (Jmn)’J]} ch Pmnz +
+ {sn (FmnY + 4 (1 — v) Pmn [(JmnY + (JmnY cos у] —
— zs« [pma (E^Y + чт (KmnY + s„ sh Pmnz] sin («mx + sny) +
+ три аналогичные выражения 4- —g— (-^oo^2-
Относительно «аналогичных выражений» здесь можно повторить
то же, что было отмечено в отношении равенств (10.19).
После подстановки сюда значений постоянных, представленных
равенствами (10.24) — (10.25), мы получим следующие зависимости:
оо оо
“г = X, S ртп (sh 2pmnh-\-2pmnh') {[2 Sh p™h sh +
+ Pmn (h ch Pmah sh Pmnz - z sh Pmnh ch Pmnz)] (Amn)+ +
+ pCTn Sin^ T [(1 “ 2v) Ch P™ h Sh P™Z + Pmn sh Pmnh sh Ртп? ~
— z Ch Pmah ch Pmnz)] [(4m — sa cos T) (Cm„)7 +
+ (s« — чт cos у) | cos (чтх + sny) +
oo co
+ S pmn (sh 2pmnh-2pmnh) {t2 <1 — V) Ch Pmnh Ch PmnZ +
+ pmn (h sh Pmnh ch Pmnz — z ch Pmnh sh Pmnz)] (Amn)y +
+ pmn sin^ K1 — 2v)sh Pmnh ch Pmnz + Pmn (h ch Pmnh ch Pmnz —
— z sh Pmnh sh Pmnz)J [(чт — s„ cos y) (Cmn)+ +
+ (sn — чт cos T) (C^+j j cos (чтх + say) +
. . (1+4(1 — 24,- .
+ три аналогичные выражения + — —- (Л00)2г.
(1 t:
co oo
ux = V V -----------------—---------([(1 — 2v) sh Pmnh ch p__z —
E P^„(sh2PmnA+2pmnA) P™
— Pmn (h ch PmJi ch Pmnz + z sh Pmnh sh Pmnz)] (A^)* +
+ Pm„sin*t [2 (1 — v)ch Pmnh ch Pmnz — Pmn (h sh Pmnh ch Pmnz +
+ z ch Pmnh sh Pmaz)] [(чт — sn cos y) (Cmn)7 +
+ («« — чт cos i) (Cm„)7]| sin (чтх + s„y) +
Плоский слой, подпертый в узлах параллелограммной сетки
369
+ pmnsin*7 I2 — V) Sh Pmnh sh PmnZ — Pmn (h ch Pmnh sh PmnZ +
+z sh Pmnh ch Pmnz)] {(4m — sn cos y) (Cmn)++(s„ — чт cos y) (Cm„)+]} sin («mx-P
DO CO
+ S'ty) + £ sin2 7 ~r“ ch Pmnfl [Sn (Cmn)J 4m (Cnn)y 1 S’n (4mX + S«f/) +
m=0 n=o ^mn
+ три аналогичные выражения + K^ook — Иоо)^ cos у] z. (10.33)
Ограничиваясь этими результатами в отношении общих построений
для неограниченного слоя с двоякопериодической нагрузкой, заметим,
что соответствующие результаты можно также получить и для полу-
пространства, если, расположив оси х и у на граничной плоскости и
направив ось z внутрь рассматриваемой области, аннулировать, например,
в исходном выражении (10.17) для вектора V все члены, содержащие
sh Pmrlz и sh qmnz, а функции ch Pmnz и ch gmnz заменить через е~ртпг и
§ 112. ПЛОСКИЙ СЛОЙ, ПОДПЕРТЫЙ В УЗЛАХ ПАРАЛЛЕЛОГРАММНОЙ СЕТКИ
1. Опорные площадки имеют форму параллелограммов. В качестве
примера использования приведенных выше формул рассмотрим случай,
когда неограниченный плоский слой, будучи загружен на стороне
z = + h нормальными сжимающими равномерно распределенными уси-
лиями интенсивности q, уравновеши-
вается с противоположной стороны г/ / /
z = —h также нормальными равно- —у
мерно распределенными усилиями у-А w/Д /
интенсивности д0. Но эти усилия X, / /
приложены лишь к одинаковым по У7Я/Х / утт. *
форме и размерам площадкам в уз- ХА7Л V///X L уу/Х
лах параллелограммной сетки, оди- /~ у /
наково ориентированным относитель-
но этой сетки. На рис. 76 показан Рис. 76.
план расположения таких опорных
площадок, где сами площадки заштрихованы. Между интенсивнос-
тями q и <70, очевидно, должно существовать соотношение
<7о = <7
4$т; sin •(
~к~
(10.34)
где Fo — величина одной опорной площадки, £ и у— половинные рас-
стояния между центрами этих площадок вдоль осей х и у, составляю-
щих между собой угол у.
Векторы граничных напряжений, фигурирующие под знаками ин-
тегралов в формулах (10.12) и (10.13), представятся в данном случае
следующим образом:
(аг)а = -qk', (10.35)
, ч _( —qok (в пределах опорных площадок), _
I о (вне опорных площадок). (lU.db)
Рассмотрим случай, когда опорные площадки имеют вид параллело-
граммов с углом перекоса, отличным от угла у, и основаниями, парал-
24 В. И. Блох
370
Плоский слон
дельными оси х (рис. 77). Пусть ширина опорного параллелограмма
BCDE вдоль оси х равна 2а£, а отрезок оси у, отсекаемый основаниями
его, равен 2рт;. Имея
лах (10.13), определим
Рис. 77.
в виду пределы интегрирования в форму-
абсциссы двух точек G и Н, расположен-
ных на боковых сторонах параллелограмма,
ордината которых в косоугольной системе
равна у. Для этого из точки G и угловой
точки В проведем прямые GN и ВМ, парал-
лельные оси у, и заметим отрезки МА и NA,
отсекаемые ими на средней линии паралле-
лограмма, совпадающей с осью х. Если обо-
значить длину отрезка МЛ через с, то длина
NA будет 5- у. Вследствие этого абсциссы то-
чек G и Н будут соответственно иметь сле-
дующие значения:
xG = «-^z/; хн = -а;-^.
Учитывая это, мы получим, например, для определения постоянной
(Л^)из второй формулы (10.13) такое равенство:
(АЭ = J J №cos ^x+dx dy-
—prj c
(10.36)
Соответствующие равенства возникнут и для постоянных (Вт«), (С,™)
и (D^).
Если затем принять во внимание, что площадь Fo опорного парал-
лелограмма в данном случае имеет значение
Fo = sin у
и что интенсивность q0 вследствие этого и равенства (10.34) может быть
представлена зависимостью
= (10.37)
то величины (Лоо)2, (ЛД>)2 и (В^)2, являющиеся z-составляющими век-
торов (Л^ fc)), (Л^) и (В<^), могут быть, ввиду соответствующих формул
(10.12) и (10.13), определены равенствами
(^оо)г — У’
sin п
Sin ”7717
sin 7С
sin тлм
(10.38)
т=-2?
5
Плоский слой, подпертый в узлах параллелограммной сетки 371
Условия использования представления (10.10) и требования (10.11)
и (10.12) приводят к тому, что числам т и п в формуле для (А^)г нель-
зя одновременно придавать нулевые значения, а в формуле для (В^Дг
вообще нельзя давать им нулевые значения.
Остальные координатные составляющие векторов (Л^: Ь)), (Л(й) и
а также и всех других, приведенных среди формул (10.13), равны
в данном случае нулю.
Заметим еще, что параметр ртп, если отдельно т =0 или п = 0,
получает следующие значения:
прит = 0: ч0 = 0, рОп = -^—-,
при и = 0: s0 = 0, Pm0 = -^L_. (10.39)
Значения же параметра qmn при нулевых значениях т или п, вслед-
ствие сделанных выше замечаний относительно постоянных коэффициен-
тов, в данном случае из оперирования исключаются.
Для инженерных расчетов имеют существенное значение величины
<\v - - °уу = °УУ’ °*"' аг И U2 = U2.
Принимая во внимание общие формулы (10.26) и (10.28) для на-
пряжений и все соответствующие замечания, приведенные выше,
можно будет получить равенства
т—0 л—0
________ch Ртп^__________
sh ‘Zprn.nh “ ^Ртл^
2v +
2 2 2
+ (1— 2v) —^hthPmnhl shp z + ^-z ch pmnz\ —
Pmn Pmn J Pmn J
sh pmnh
Sh 2pmnh -I- 2pmnh
ch pmnz +
— 2 2
{4 4
2 1
) I
— z sh pm„z cos (чтх + sny) +
Pmn J
+ 2g
ch qmnh
sh 2qmnh — 2qmnh
2v + (l—2v)
2
4m
Qmn
2 2
£~h th qmnh sh qmnz + z ch gmnz]
Чтп J Чтп J
sh qmnh
sh 2qmnh + 2qmnh
2v +
+ (1 — 2v)h cth qmnh\ ch qmz + zshqmnz\ cos (чтх — sny)-,
Qmn 4mn J Qmn JI - ' m J'
(10.40).
9 ХД VV sin л (n3 — m,
2? X \1 sin two. 1 £ / ch pmnh
sin2? ели / c\ \sh2pmnh — 2pmnh
71 nB — m —
m=o n==o \ 6 /
24*
51
372
Плоский слой
2 2 2
Sn [ S„ \ 1 / s„ \ 1
— (1 — 2v) ---------(1 — -2-) Pm/1 th Pmnh sh pmnz + (1 — ) pmnz ch pmnz\ -
Pmn Pmn' -* ' Pmn/ '
2 2
— sh 2pmnh + 2pm„/z ft1 ~ “ 2v) p 0 ~ j?~) Pmnh Cth Pmn/l]Ch PmnZ +
t-iuft. । r«w» Pmn ' Pmn' J
2
+ (1 —^-]PmnZ^hpmnZ
' Pmn' *
COS (4mx + Sny) +
2q
sin2 у
Q , C
sin я nd -4- m —
sin ~ma \________________€
izma { r \
2
-fl — —
I 2
' Qmn
sh qmnh
sh 2qmnh + 2qmnh
z sin2
m=o n=o
ch qmnh
sh 2qmnh — 2qmnh
2
1_(1_2v)A-
Qmn
2
H 1 — ) Qmn2 ch qmnz\ —
' Qmn'
2
1_____SJL
1 2
Qmn
2
Sn
Qmn
4 \ , 11 , .
— QmnZ sh qmnz cos (чтх — s„y);
Qmn'
C
~m~t.
T.mz / c \
к In? —
sin л
sin rzna
sh 2pmnh + 2pmnh
zsh Pmnh Ch PmnZ h Ch pmnh sh PmnZ j
2q
sin2 7
___z sh qmnh ch qmnz — /г ch gmn/z sh qmnz
sh 2qmnh + 2qmnh
qmnh cth qmnh ch qmnz +
z ch pmnh sh Pmnz-h sh pmn/z ch pmnz
sh 2pmnh — 2pmnh
zch qmnhsh <?тпг — /zsh дтпЬ ch дтпг
sh 2qmnh — 2qmnh
(«m +
sn cos у) sin (4mx — sny).
Формулы для напряжений avu и а2у могут быть получены из
данных равенств путем замены в них обозначений по правилам, указан-
ным в примечании к равенствам (10.28).
Приводим здесь также имеющие значение для практических рас-
четов формулы для нормальных напряжений при z = +ft и z = —h и
для касательных — при z = 0:
। г=+Л
т~о п=о
/ о С
sin к пЗ — т —
Sin типа \ £
ъта [ Г\
2
4 1
v 1 — “V” I Pmn sh ^Pmnh
Ртп^
SW2pmnh-lPmnh*
COS (Чтх +
оо со
/72=1 П=1
sin - fn? + m j 1^+0 ^2 J qmn sh 2qmnh
---7---------- —---------------2--------COS (чх—
(в ,----------sh22<7m„/z — 4<7„пЛ2------------m
it I n? + m 1 4
— Sny)-, (10.41)
374
Плоский слой
Смещения^ на основании первой формулы (10.31) будут определять-
ся в данном случае таким равенством:
ch Pmnh
sh 2pmnh~-2pmnh
4- Pmnh th pmnh] ch pmnz pmnZ sh pmnz\ ship^h+ipmnh^^
{[2(l-v)+
+ PmJi cth pmnh\ sh pmnz — pmnz ch pmnz\ }cos (4mx + Sny) +
s¥2^Sr“^[2(l~v) +
sn лцтпП £цтпГ1
+ Pmnh th qmnh] ch qmnz — qmnz sh qmnz\ —
sh2qmnh+2q^h (1 “ v) + M cth qmnh] sh ?m„Z —
— <7mnzch<7m„z}J cos(чтх — sny) — (1 +J?i]7qz- (10.42)
Для точек срединной поверхности (z = 0) из этой зависимости легко
находим следующую формулу:
2<7(1 + Д
Е
т = о п=0
«г1г=0 =
/ О_
sin -та S'n ~ \ т i/ 2 (1— \) ch Pmnh-\-pmnh sh pmnh
тта / c\ Pmn (sh 2pmnh — 2pmnh)
X I — т~£1
cos(4mx +
+ sny) +
ro co / c \
2<7(1 + Д V sin -masin r + m J 2(1—v) ch <7mn/z+<7mn/ish<7mn/z , _
£ wit" / c\ qmn(sh2qm„h — 2qmnh) t "
m=i n=l
-s„t/). (10.43)
Как отмечалось, приведенные равенства для смещений определяют
последние с точностью до общего сдвига и поворота всего тела в целом.
Поэтому для нахождения прогибов необходимо задаться связанным с
рассматриваемым телом исходным уровнем, от которого следует отсчи-
тывать смещения. Если принять в нашем случае этот уровень в виде
плоскости, проходящей через узловые точки сетки периодов внешней
загрузки, один из узлов которой совмещен с началом координат, то из
последней формулы можно найти для такой плоскости величину общего
постоянного смещения. Очевидно, прогибы в этом случае будут равны
разности двух смещений: одного, равного смещению указанной плоскости
уровня, и другого — определяемого из формулы (10.43)
При весьма большом уменьшении толщины слоя можно из при-
веденных формул получить также соответствующие равенства для
такого слоя. В этом случае необходимо принять во внимание, что
фигурирующие в знаменателях дробей входящие в данные равен-
ства разности типа sh 2pmnh — 2pmnh, при весьма большом уменьше-
, , 4 з , з
нии п, могут быть заменены выражением pmnh , а разности типа
Плоский слой, подпертый в узлах параллелограммиой сетки
373
л —
I о c
sin к n3 — m~
sin гда \ £
7t/na / r \
7ГI z?3 —
m=o n—o
2 2
• Q.o ^Pmn 4“ (3 v) 4m
+ 2/l --------------5--7
sh2 2pmnh — 4pmnh.2
2> + (1-v)4L
Pmn
cos(«mx + s„t/) —
8qh
sin2 7
л=0
— 2?
sin
sin r.ma
j 2^2 ^Qmn + v) цт
sh2 2qmnh — 4q2mnh2
m e,
2v + (l-v)
cos(«mx — sny)-,
Qmn
sin к I nS — tn
sin ittna ’
Tima
2 _
&П 1
v) ^2 I Pmn *2.pmnh
Pmn*
sh22pm„ft — 4p2mnh2
cos(«mx+
^ !;=+* =
C
2
8qh
sin2 7
~ma
sin тс I n3 4- m ~
Sin Tttna \ S ,
7t
— s„y);
2 ,
S П
1 — (1 — m) \qmn sh 2qmnh
Qmnl
sh2 2qmnh — 4q2m„h2
cos(«mx —
2<7
sin2 7
i 0/2 Ртп О sn
+ 8ft2-----------s—
sh22pmnft-4p^2
cos(«mx + s„i/) —
2g
sin2 7
sin тс I nB + m 1 r
sin тгта \ $ / К
Ttma / r \ '
। Qin Чтп О sn I . .
+ 8« --------------2--? C0S (ЧпЛ — Sri)}’,
^2qmnh-^mnh2\ ni)>
2
sn
2
Чтп
o'
1г=о
2qh
sin2 7
sh Pmnh - f .
-г-д--£^5---7 Sin («X +
sh2pmnh-2pmnh v m
+ Sny)
2qh
sin2 7
sh qmnh
sh2qmnh-2qmnh
sin (4mx — sny).
Плоский слой, подпертый в узлах параллелограммной сетки
375
sh2 2pmn h— — выражением у В остальных случаях гиперболи-
ческие функции малого аргумента могут заменяться первыми членами
их разложений в ряды с последующим сравнением порядка малости
членов возникающих при этом выражений.
Таким способом можно, например, из формулы (10.42) непосред-
ственно прийти к выражению для смещений тонкой неограниченной
пластины.
2. Случай круглых опорных площадок. Пусть
опорные площадки слоя, расположенные по-преж-
нему в узлах параллелограммой сетки, имеют круг-
лую форму одинакового радиуса
Обращаясь к формулам (10.13), служащим для
определения коэффициентов, входящих в выраже-
ния напряжений и смещений, преобразуем их сле-
дующим образом. Прежде всего введем для произ-
вольной точки М, расположенной внутри опорного
круга, полярные координаты р и 8, где & — угол,
составляемый радиусом р с осью х (рис. 78). Тогда
Рис. 78
косоугольные координаты х и у с углом у между осями окажутся
связанными с полярными при помощи зависимостей
, „ , . n. sin 0
х= p(cos& —ctgTsin&); у = р— .
Затем примем во внимание, что элементарная площадка dF может
быть в двух координатных системах определена равенствами
dF = sin 7 dx dy = p dp d&.
Вследствие этого можно, например, формуле, служащей для опре-
деления постоянной (Л^) и приведенной среди равенств (10.13), придать
такой вид:
Я 2к
М™) = Win-г J f (°?))cos(4mpcos& + ^=^^psin&)pdpd&. (10.44)
О о
Легко установить, принимая во внимание первое равенство (10.18),
что
2 , —Цт COST У _ 2
т ’’’ sin 7 I Ртп-
На этом основании введем обозначения
sinaj
_ __Sn — 4m COS 7
- LUj C*.i - . .
Ртп 1 Ртп™1
и преобразуем правую часть равенства (10.44) следующим образом:
R 2п
Л) = Win7 f I C0S [РтпР (C0S & sin ai + sin 8 C0S ai)1 P dp d8 =
0 0
= sint J f (°™) cos sin +• ai)l P dP
* о 0
Гармонические функции в прямолинейных ортогональных координатах 377
Аналогично найдем также, что
(10.47,)
Другие компоненты векторов (А^) и (В^) при данном способе за-
грузки аннулируются.
Что касается представляемых равенствами (10.45,) еще двух векто-
ров (С^) и (D^), то, принимая во внимание формулу Хансена, можно
показать, что они в данном случае тоже аннулируются.
Приведенные выше под номерами (10.40), (10.41), (10.42) и (10.43)
выражения напряжений и смещений для случая параллелограммных
опорных площадок могут быть использованы и в данном случае, если
в них заменить множители
I „ , с
sin х nd + /йт-
sin пта \ ; .
itma / с '
7с Inp + tn —
соответственно следующими:
9
9
йгА(М)-
§ 113. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
В случае ортогональности прямолинейных координат (у = 90°)
равенства (10.1) — (10.4) для метрического тензора и направляющих
векторов приводят к известным положениям о совпадении основной и
взаимной координатных систем с общим метрическим тензором, получа-
ющим вид единичного шарового тензора.
Решения дифференциальных уравнений (10.6) условия гармонич-
ности при этом видоизменяются следующим образом. Если с = 0, вместо
равенств (10.7) возникают такие значения:
I2
cos ту ch тх
Ф = cos ту shmx (10 48)
sin ту sh тх v ’ >
sin ту ch тх
Как отмечалось, здесь можно переставлять обозначения тригоно-
метрических и гиперболических операций.
Если же с 0, то в решениях (10.8) различие между параметрами
р и q исчезает и при сохранении общего обозначения р как для с, так
и для q, мы получаем следующие выражения:
где p2 = ч2 + s2.
_ 1 ch pz
~ I sh pz
cos (чх + sy)
sin (чх -j- sy)
cos (чх — sy)
sin(<zx— sy)
(10.49)
376
Плоский слой
Если ввести новую угловую координату
6j = & + 04,
то окажется возможным предыдущему равенству придать еще такой вид:
Л 2л
Л) = J (4W)cos(pm„psin0l)pdpd01. (10.45)
О о
Аналогичным способом можно преобразовать остальные соответствую-
щие равенства (10.13) и получить формулы
(ВтП) = ~2д51п7 f J C0S Sin Р dP d62;
о о
R 2я
(О = • 2^7] sin т f J (°гИ) sin sin 61) Р dP d9i; (10.450
о о
(D™) = 2fr;sinT f f Sin (<7mnP S*n Р dp d02’
о о
где qmn определяется второй зависимостью (10.18), а 62 отличается от
тем, что
02 = & — а2,
где
Примем, что в пределах опорных площадок реактивные усилия
всюду нормальны и распределены равномерно, так что выполняется
условие (10.36). Удельное опорное давление q0 для случая равномерно
загруженного слоя сжимающими усилиями интенсивности q на стороне
z—-\-h будет теперь, вследствие (10.34), определяться равенством
4;T]sinY ,,z.
?о = ? ' • (10.46)
Тогда z — компонент вектора (Л^), представленного формулой (10.45),
найдется из зависимости
R 2л
('Ог = — ^2 J Р dP J COS (ртпр Sin ej de,.
о о
Если же принять во внимание формулу интеграла Бесселя, которая
в данном случае приводит к равенству
2 л:
J COS (ртпр sin 0) de = 2TzJ0(pmnp),
О
где Jo(PmnP) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, то
предыдущая зависимость, на основе соответствующих правил, предста-
вится таким образом:
R
(<)г = - $ J рЛ (pmnp) dp = - J, (pmnR), (10.47)
О
где Ji(pmnp) — функция Бесселя первого рода первого порядка.
378
Плоский слой
Используя известные формулы разложения тригонометрических
функций, мы можем четыре выражения для функции Ф заменить их
линейными комбинациями и вместо решений (10.49) получить такие
равноценные им выражения:
7 _ (ch pz
“ (sh pz
cos чх cos sy
ф= COS4X sin sy 9
sin<zx sinsy ' l’
sin чх cos sy
где p2 = ч2 4- s2.
Здесь также возможна замена обозначений всех тригонометрических
функций гиперболическими с одновременной заменой гиперболических
тригонометрическими.
Как следует из равенств (10.48) и (10.49J, решения уравнения
гармоничности в случае ортогональности прямолинейных координат
могут быть представлены в форме с полным разделением переменных.
То же, как известно, получается и непосредственно из дифференциаль-
ного уравнения гармоничности.
§ 114. ПЛОСКИЙ СЛОЙ С НАГРУЗКОЙ, ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИ В ДВУХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
Хотя решение данной задачи может быть сразу получено из найден-
ных в § 111 формул для слоя, у которого периоды внешней загрузки
составляют произвольный угол, предварительно заметим некоторые об-
стоятельства, которые нам понадобятся впоследствии при рассмотрении
слоя с непериодической загрузкой.
Вполне очевидно, что при решении этой задачи используемая си-
стема координат должна быть прямоугольной с осями х и у, параллель-
ными направлениям периодов внешней загрузки. Поскольку в таких
ортогональных координатах гармонический вектор V функций напряже-
ний в условиях двоякой периодичности составляется известным образом
из выражений (10.49J, преобразуем правую часть равенства (10.10),
которое представляет векторы (с*а; Ь)) краевых напряжений, к виду, по-
зволяющему непосредственно использовать эти гармонические функции.
Введем связанные с обозначениями векторов (А{°’пЬ}), (В(°'пЬ}) и т. д.
определяемые равенствами (10.13) еще такие обозначения:
-Н]
(Nmn),a- Ь> = <АтпУа’ Ь) = J J (Зг)а; Ь COS Ч,пХ COS Sny dx dy,
-- £ —tj
+£ -H
‘PmnYa’ b) = ~ Ь) + Ь) = (=г)а;Ь8тЧтХ Sin Snydxdy,
—E —ц
(10.50)
+E +q
(QmJ(a: Ь) = (СтпУа-b) + tPmnYa- fc) = f J (a.)a; b sin 4mx cos Sny dx dy,
— £ —4
- H +-q
(Ятл)(а: 6) = (Cm„)(c: 6> — 6) = J J (=Oa; b cos чтх cos sDy dx dy.
— E — 4
Плоский слой с нагрузкой, изменяющейся периодически
379
Здесь направления отсчетов координат х и у ортогональны, причем
ввиду (10.11) — (10.13), k= 1, если одновременно т + 0 и п^О; затем
k = 2, если т или п порознь равны нулю, и, наконец, fe = 4, если
т = п = 0. В последнем случае
(<6))=(Л<а0-ь,)=(Л00). (10.51)
При этом вместо равенства (10.10) для векторов напряжений на
граничных плоскостях слоя можно будет получить такой ряд:
(4а; fc)) = Jio [(^;Ь)) cos 4mxcoss„y + (Р^b>) sin чтх sin sny +
+ (Q™6))sin 4m x cossny + (7?^6) cos чт x sin s„y]. (10.52)
Обращаясь затем к гармоническому вектору V, определяющему
тензор напряжений при помощи равенства (10.16), легко установить,
что поскольку в рассматриваемом случае = ртп, можно преобразо-
вать представляющее его выражение (10.17) к следующему виду:
V = S 1! U(Smn) ch pmnz 4- (Tmn) sh pmnz] cos чт x cos sny +
+ [(t7mn) ch Pmnz + (Vmn) sh pmnz] sin чт xwsj) + [(Г m„) ch Pmnz +
+ (Xmn) sh pmnz] sin чтх cos sny + [(Xmn) ch pmnz+ (10.53)
+ (2,w) sh p„z] cos чт x sin sny},
где
(Smn) = (£mn) + (Gmn)
(Gm„)=-(£mn) + (Gmn)
= (Jmn) + (bmn)
z\Z \ f I \ fl \
(Tmn) = (Fm„) + {Hmn)
(Vmn)=-(Fmn) + (//mn)
(10.54)
Таким образом, форма выражения вектора V функций напряжений
согласуется с (10.52) для краевых напряжений. Следуя приему, приме-
ненному в § 111 для решения рассмотренной там задачи, можно было бы,
исходя из равенств (10.52) и (10.53), найти аналогичным способом ис-
комые выражения и в данном случае. Однако при наличии приведен-
ных там формул для напряжений и смещений, как отмечалось, можно
получить соответствующие искомые равенства из них непосредственно,
приняв во внимание, что в интересующем нас случае у = 90° и qmn =
Ртп'
Идя именно этим путем, введем наряду с обозначениями (10.22) еще
следующие:
^тп)Г = ^тл)1а)-^тХ’;
(^)+ = + (Nmn)(b}- (10.55)
(/этл)7 = (Ртл)Г’-(Ртл)16) и Т. д„
где (Nmn)[a)— компонент вектора (Nmn)(a} вдоль координатной оси z
и т. д. Тогда, исходя из равенств (10.26) и восстанавливая постоянные
380
Плоский слой
слагаемые, определяемые вектором (Лоо), легко получить после неболь-
ших преобразований такие выражения для напряжений:
©о со
= S S S~h 2PmJ+2p^tf(Sh P^h + P™h Ch P^ ch PmnZ-
m=o n=0
— Pmnz sh pmnh sh pmnz] [(Nmn)t cos чт x cos sny +
4- (pmn)t sin 4m x sin sny + (Qmn)^ sin 4m X cos + cos чт X s in S„l/] +
+ <ft sh Pmnh ch pmnz — z ch pmnh sh pmnz) {[4m (Qmn)7 +
+ sn (^mn)7^os % X cos sny — [4m (Rmn)~ + sn (Qmn)~] sin чт x sin sny -
— К (Nmn)x — Sn (pmn)y] sin 4m x cos s„y + [чт (Pmn)x — (10.56)
— sn ^m)u 1 cos чт x sin sny}| -J- аналогичное выражение + (Л00)г.
oo oo
azx ~ y1. sh pmnh ch pmnz —
zx sh 2pmnh + 2pmnh Гтп Гтп
m=0 л=о
— h ch Pmnh sh pmnz) \{Nmn)+ sin4mx cos sny — (P^ cos чт x sin s„y —
— (Qmn)t cos чт X cos s„^ + (Ртл)+ sin чт X sin s„y] -I- ~ [(ch pmnh—
^mn
— Pmnh^ p^h) sh Pmnz + pmnz ch pmnhch pmnz] {[чт (Qmn)x +
+ Sn (Pmn)^ Sin4m X COS Sny + [4m (Rrnn)~ + S„ (Qm„)7J COS Чт X sin S„Z/
+ К (Nmn)7 — S„ (pmn)~l cos Чт X COS Sny + [чт (Pmn}~ —
— sn (Nmn)y ] sin чт X sin s„t/]l +
V V sn sh Pmnz tr in \-
2j 2j 2n2 sh p^W^rnnbc
m=0n=0 mn
— 4m (pmn\ 1 sin чт x cos s„i/ + [s„ (Rmn)x — 4m (Qmn),, ] cos 4m x sin Sny +
+ tsn(Nmn)~ + 4m (Pmn)~] cos 4m X COS Sny + [s„ (Pm„)7 +
+ чт №тп)и ] sin<zm x sin sny} + аналогичное выражение + (Л00)х.
°гу = Ij, Zj sh 2ртпй + 2ртлй{ sh P™h ch PmnZ ~~
— h ch Pmn h sh pmnz) [—(P^t sin чт x cos sny + (Nmn)f cos чт x sin sny —
— (pmn)t cosum x cos sny + (Q^ sin чт x sin s„y] +-J- [(ch p^h —
Pmn
— Pmnhsh pmnh) sh pmnz + p^z ch pmnh ch pmnz] {[чт(R^ +
+ sn (<?mn)71 sin чт X cos sny + [чт (Qmn)~ -f- s„ (Rmn)~] cos чт x sin sny +
+ f—4m (pmn)7 + s„ (Nmn)-] cos чт x cos sny + [—чт (Nmn)~ +
+ sn (P^ ] sin чт X sin SnJ/}} - a-Us„ (Rmn)- -
m=on=0 mn
— 4m (Qmn)71 sin 4m X cos sny + [s„ (Q,^)- — 4m (Rmn)-] cos 4m X sin sny —
— Isn (pmn)7 + 4m (N^)-} cos 4m X cos s„i/ — [s„ (N™)- +
+ чт ^-РтпУу\ sin 4,n x sin sny} + аналогичное выражение + (Лоо) v.
382
Плоский слой
+ 3^ 3^ ~з—~ \ PnUb (lsrt (Qmn)x — Чт ^тп)и 1 C0S Чт Х C0S SnU +
2p sh Pmnh- v n v mn,x m v mmy j m '
m=o h=()
+ [— s„ (RmnK + *m (Qmn)y] sin % X sin sny — [s„ (Nmn)~ +
+ 4m (pmn)y] sin 4m x cos s„y + [s„ (Pmn)~ + 4m (Nmn)~] cos 4m X sin s^j +
+ аналогичное выражение.
Отмеченные в этих равенствах «аналогичные выражения» состав-
ляются по типу предшествующих с заменой в них всюду знаменателей
sh 2pmnh + 2pmnh на sh 2pmnh — 2pmnh и, кроме того, с изменением в ос-
тальном всюду обозначений sh на ch и ch на sh, а также верхних знач-
ков + на —, и наоборот.
Выражения для смещений могут быть получены соответствующим
образом из равенств (10.31). При этом возникают следующие представ-
ления:
и-~ £ X I pmn(sh2Pmnh + 2Pmnh)lt2^ v)shP^shpmnz +
0 n=o
+ Pmn (h ch pmnh sh pmnz — z sh pmnh ch pmnz)] [(Wmn)+ cos чт x cos sny +
+ (Pmn)+ sin чт x sin sny + (Qmn)+ sin чт x cos s„y+(Rmn)+ cos чтх sin s„y]+
+ [(1 — 2v) ch pmnh sh pmnz + pmn (h sh pmnh sh pmnz —
Pmn
— z ch pmnhch pm„z)J {[4m (Qmn)7 + s„ (Rmn)~] cos чт x cos sny — [ч,п (Rmn)~ +
+ sn (Qmn)y] sin 4mx sin sny + [—чт (Nmn)~ + sn (Pmn)-] Sin 4m X cos sny +
+ t4m (pmn)7 — sn (Nmn)^ cos 4m x sin sn!/}}+ аналогичное выражение +
(1+-)(1-2-) (Лоо)гг. (10.57)
(l-v)E
1 -bv
— £
Чт
Pmn
m=o n=o Pmn
(sh 2pmnh + 2pmnh)
Zv) shpmnh ch pmnz —
— Pmn (h ch Pmnh ch pmnz + z sh pmnhsh pmflz)] sin чт x cos sny —
- (Pmn)t C0Stlm X Sin SnP~(Qmn)z COS Чт X COS Sny + (Rmn)+ Sin X sin S„l/]+
+ I2 0 — v) ch pmnh ch pmnz — pmn(h sh pmnh ch pmnz +
+ 2 ch pmnh sh pmnz)] {[чт + s„ (flm„)7J sin чт x cos sny -f- [чт (Rmn)~ +
+sn (Q™.)p cos 4m xsin sny+[4m (Nmn)--sn (Pmn)7) cos % x cos sny+(4m(Pmn)--
— Sn (Rmn)71 Sin<im X SinS„Z/}J + V VJ (Q^)- —
m=o n=o Pmn
— 4m (RmnK\ sin чт x cos sny + [s„ (7?тп)Г — чт (Qmn)-] cos 4m X sin sny +
+ (Nmn)7 + 4m (pmn)y] COS Чт X COS Sny + [S„ (Pm„)? +
-t- 4m (Afmn)7]sin чт X sin sny} + аналогичное выражение-}- Цр (АюК 2-
Плоский слой с непериодической нагрузкой
383
V V ~г--------—--------! [(1 — 2>) sh pmnh ch pmnz —
E P^n^Pmnh + ^Pmnh^ ’ П П
m=o n=o
- pmn (h ch pmnh ch pmnz + z sh pmnh sh pmnz)] [—(Pm„)+ sin чт x cos s„i/ +
+ (Nmn)+ cos чт x sin sny — (Rmn)+ cos чт x cos sny+(Qmn)+ sin4mxsins„y]+
+ [2 (! — 4 ch Pmnh ch Ртп? — Pmn sh pmnh ch PmnZ +
+ Z Ch pmnh sh pmnz)} {[«m (7?m„)r + sn (Qm„)71 sin чт x cos sny + [чт (Qmn)~ +
+ s„ (Ятя)71 cosчтх sins„f/+ [—чт (Pmn)- + s„ (Nmn)~] cosчт x cos s„y+[ —
—4rn (^mn)7+Sn (^mn)71sin Чт X Sin S^j + Ц2 J (Rmn)~ -
m=0n=o mn
— 4m (Qmn)y] sin 4m x cos sny + [s„ (Qm„)r — чт (R^)-] cos чт x sin sny —
— [s„ (Pmn)7 + чт cos 4m X COS sny — [s„ (Nmn)~ +
+ 4m (pmn)y] sin«m x sins„y) + аналогичное выражение + ^-±-v (Лоо)^ z.
Относительно «аналогичных выражений» в данных равенствах можно
повторить то, что было уже отмечено выше в замечаниях к форму-
лам (10.56).
Приведенные здесь выражения для напряжений и смещений в слое
с двоякопериодической в двух ортогональных направлениях нагрузкой
были получены в качестве частного случая из предыдущей задачи
о слое с косоугольным направлением двух периодов.
§ 115. ПЛОСКИЙ СЛОЙ С НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
Пусть абсолютно интегрируемая внешняя нагрузка, приложенная
к граничным плоскостям слоя, удовлетворяя в своем распределении в
любом конечном промежутке условиям Дирихле, в остальных отноше-
ниях является вполне произвольной. Так как в этом случае все направ-
ления вдоль протяжения слоя равноценны, воспользуемся для расчетов
прямолинейной ортогональной системой координат, расположив оси х
и у в срединной плоскости данного слоя. Полагая массовые силы от-
сутствующими, представим векторы (зг)(а) и (о2)(Ь) внешней поверхност-
ной загрузки, объединенные общей записью (а2)(о’ Ь), в форме интегра-
лов Фурье:
4- оо
(о2)(а’ Ь) = f (аг)(а: Ь> cos 4 (х — a) cos s (у —13) da dn ds. (10.58)
Здесь а и p представляют собой текущие координаты точки вдоль
осей хну, функциями которой являются подынтегральные выражения
(°г)(а> и М(Ь>.
384
Плоский слой
Используя известные формулы разложения косинусов разности
двух углов, мы можем правую часть этого равенства преобразовать
к следующему виду:
(аг)(о; Ь} = jj (Ма; Ь) cos чх cos sy + Р(С1; Ь) cos чх sin sy + (10.59)
+ Q(a’ b) sin чх sin sy -f- R{a’’ 6) sin чх cos sy) d4 ds,
где N<a' Ь), р{а’Ь} и т. д.— векторы, определяемые равенствами 5
N[a' Ь} ~ 4тс2 jJ (аг)<а: Ь} cos ча cos s? dadP; I
4-00
P(a,b} = 4^2 J J (аг)<а: b} cos4asins^ dadf); (10.60)
— oo
4-w
Q(a’ b) = 4J2 (аг)<а: Л> sinyasinsp da dp;
--00
+ 00
R{a' b} = Aj (a2)(a: 6) sin ча cos s> da dp.
Примем, что тензор напряжений в любой внутренней точке слоя
тоже может быть представлен в форме равенства (10.59) при условии,
что коэффициенты N(a: b), Р{а'' b) и другие заменяются функциями коор-
динаты г. Соответствующее представление для тензора напряжений
может быть выявлено путем использования выражения (10.16) общего
решения основных уравнений в предположении 1) что гармоническая
вектор-функция V возникает из равенства (10.48), 2) что параметры
чт и s„ принимают любые вещественные значения, 3) что суммирование
распространяется на все эти величины и 4) что результаты суммиро-
вания являются ограниченными. Эти условия приводят к необходимости
замены в равенствах (10.53) конечных векторных коэффициентов диф-
ференциалами разного удельного значения, изменяющихся вместе с из-
менением параметров, и к замене, вследствие этого, суммирования ин-
тегрированием, распространенным на все возможные значения парамет-
ров, определяющих указанные коэффициенты.
Поскольку необходимость в использовании индексов суммирования
в этом случае отпадает, мы можем, заменяя обозначения параметров
чт и sn через ч и s, придать гармонической вектор-функции К, следую-
щий вид:
4- 00
К = J ( [(S ch pz -j- Т sh pz) cos чх cos sy + (U ch pz -f- V sh pz) cos чх sin sy +
+ (IF ch pz + X sh pz) sin чх sin sy + (Y ch pz -f-
+ Zshpz)sin4xcossy]d4ds, (10.61)
где
p2 = ч2 + s2,
(10.62)
Плоский слой с непериодической нагрузкой 385
a S, Т и т. д. — обозначения векторных коэффициентов, являющихся
функциями переменных ч и s и подлежащих определению из рассмотре-
ния краевых условий для слоя.
Из сравнения формул (10.59) и (10.52) для краевых напряжений
слоя в двух способах его загрузки и формул (10.61) и (10.53) для со-
ответствующих разрешающих вектор-функции легко видеть подобие в
их структурах. На этом основании также легко заключить, что и окон-
чательные решения в двух случаях должны в такой же степени совпа-
дать между собой. Поэтому, не выполняя всех требуемых для получе-
ния окончательного ответа преобразований в рассматриваемой здесь
задаче о слое с непериодической загрузкой, мы можем, воспользовав-
шись формулами (10.56) и (10.57) для напряжений и смещений, соста-
вить на их основании соответствующие равенства также и для данного
случая. Очевидно, эти последние будут отличаться от (10.56) и (10.57)
лишь тем, что всюду в них будут отсутствовать индексы типи двой-
ное суммирование будет заменено после умножения каждого двойного
ряда на duds двукратным интегрированием по переменным ч и s в пре-
делах от —со до + со.
Что касается постоянных слагаемых, фигурирующих в формулах
(10.56) для напряжений и обусловленных компонентами вектора (Лоо),
то они в данном случае должны быть исключены из равенств. Причи-
ной этого является то обстоятельство, что суммарные нагрузки на каж-
дой стороне слоя, уравновешивающие друг друга, должны иметь ко-
нечные значения, поскольку при интегрировании в бесконечных преде-
лах эти интегралы в противном случае потеряют смысл. Но тогда эти
конечные по величине нагрузки, будучи отнесены к неограниченной
площади предельных поверхностей слоя, приведут к исчезающим
значениям средних напряжений, которые определяют указанные по-
стоянные слагаемые, и, таким образом, последние выпадут из ра-
венств.
По этой же причине слагаемые, обусловленные вектором (Лпп),
должны быть исключены в данном случае также из равенств (10.57),
определяющих величину смещений.
Преобразуем правые части (10.60) к виду, могущему оказаться в
некоторых случаях более удобным для практического использования.
Обращаясь, например, к первому из этих равенств и принимая во вни-
мание, что а и р в данном случае обозначают декартовы координаты
точки на плоскости, заменим их полярными координатами р и &, со-
гласно соотношениям
a = pcos&, р = р sin &,
а выражение элемента площади da dp — соответствующим выражением
pdpdft в полярной системе. Тогда получим, что
00 2я
N'a’Ь> = 4^ f J Ь) cos (ЧР cos cos (s? s*n &) P dpdS.
b 0
Учитывая затем равенство (10.62), мы можем положить, что
ч с
7= sin -г - = cos 7, (10.63)
25 В. Ио Блох
386
Плоский слой
где 7 — определяемый этими зависимостями некоторый угол, и тогда
предыдущую формулу можно преобразовать к виду
со 2л
Af(a’ Ь> ~ 8^2 J J (az)<а‘b} {cos [PP sin Р + l)] + C0S tPP sin (В — т)]} P dp с®.
о о
Так как векторы (о2)(а’Ь) граничных напряжений являются периоди-
ческими функциями при изменении угла В, представим их в виде схо-
дящегося ряда
(°г)(а: Ь) = V [(Ф„)(а: Ь) cos и» + (Т„)(а: Ь) sin п&], (10.64)
П=О
где (Ф„/а: Ь) и (Т\)<С1; Ь) — вектор-функции одного только радиуса р, ко-
торые изменяются с изменением индекса п, принимающего целые зна-
чения.
Тогда предыдущее равенство получит следующий вид:
ею оо 2к
N(a; b> = X J (фп)(0; fc)p dp {j1 cos cos [pp sin (& + 7)] d$ +
n=0 0 0
2n
+ \ cos cos [pp sin (ft — 7)] 4-
0
00 сю 2k
+ 8=2 S f О1 «)(а: 6) P d? { I Sin C0S IP? Sin (° + 1)1 +
л=0 0 0
-}- J sin /iB cos [pp sin (B — 7)] d&|.
0
Так как выражения, зависящие от угла В, имеют период 2тс, то
выполняя замену переменных так, чтобы sin(B-|-7) и sin (В — 7) обра-
тились в sin В, получим:
со оо 2к
N(ai Ь) = j (Ф„)(а: Ь,Р Ф J [cos п (В — 7) + cos п (В +7)] cos (pp sin В) d&4-
п=00 ' 0
оо оо 2к
+ 8^5 Ь)Р dP f lsin «(& — l) + sin п (В + 7)] cos (pp sin В) d& =
п = 0 0 0
ею ею 2К
= 2^2 cos n't I (®n)<a: 6)Р dP 1 cos cos (PP s’n &) d$ "b
J e)
л=0 0 0
oo 00 2k
+ 4^2_ V cos Щ J (^’п)(а: 6,P d9 J Sin n& cos (pp sin B) d& =
n=o 0 0
OO DO 2k
= COS «7 J (ф„)'°: 6,P dp J [COS (n& — PP sin &) + cos (n& 4- pp sin B)] d& -J-
л=0 О 0
сю ею 2к
+ 8=2 Cos n1 J (Ч/'«)(а: 6,P d9 I (sin (n& — P‘° sin &) + sin (n& + PP sin &)1
n=0 0 0
Плоский слой с нагрузкой, изменяющейся периодически
381
= у У !--------/[(«?, + 2vs2) sh pmnh ch pmnz 4-
хх ' , / . z / 1 о » г pi г 1 1 *•' т 1 • тп г тп
Ртп (sh 2рт„Л + 2рт„й] I
+ ЧтРтп (z sh pmnh sh pm„z — й ch pmnh ch pm„z)J [(АО* cos чт X cos sny +
+ sin«m xsmsny + (Qm„)+ sin«mxcoss„y+(7?m„)+ cos4mxsins„y] 4-
+ [2 (ч2т + vs2) ch pmn h ch pmnz + ч^ (z ch pmn h sh pmnz —
— й sh pmnh ch pmnz)] {[% (Qmn)~ + s„ (Rmn)~] cos чт x cos sny —
— t4m (Rmn)7 4- Sn Sin 4m X Sin Sny + [—4m (N+
+ (Л™)71 sin чт x cos sny + [чт (Pmn)~ — sn (Nmn)~] cos чт x sin s„y}j +
4-У У ^|^^?{[sn(Qnin)7 — 4m(Rmn)-] cos чтхcossny +
m=0 n=o Pmn m
4- [—s„ (RmnK 4- чт (Qmn)71 sinчт x sin sny — [s„ (Nmn)~ +
4- (Pmn)J sin чт x cos sny + [s„ (Pm„)7 + чт (Nmn)J cosчт x sinsny] +
4- аналогичное выражение.
= У У -5-------------------ft(sn+ 2'>ч2 ) sh pmJi ch pm„z +
yy --o — p2mn(sh2pmnh + 2Pinnh)\^ " Pmn Pmn
4- s2pmn (z sh pmnh sh Pmnz — й ch pmnh ch Pmnz)] [(Nmn)+ cos чт x cos sny +
4-(Л™)? sin чтх sin sny + (Qmn)+ sin чтх cos s„y+(7?m„)+ cos4mxsins„y] +
4- t2 (s* 4- w^,) ch ртпй ch pm„z + s2pmn (z ch pmnh sh pmnz —
— h sh ртпй ch pmnz)\ {[чт (Qm„)7 + sn (Rmn)~] cos чт x cos sny —
— (Pmn): 4- Sn (QnJy] sin 4m x sin sny + [—4m(NJ; +
4- s„ (^т„)7] Sin ч,„ X cos sny + [чт (P^)- — sn cos um x sin s„y}} —
S ^JTS^[Sn(Qm")r~4m(7?m'i)^]cos4m%cosSni/+
4- [—S„ 4- 4m (Qmn)J sin чт X sin sny — [s„ (N„J~ +
4- чт si n чт x cos sny 4- [s„ (Р^)- 4- чт (Nmn)J cos чт x si n s„y) 4-
4- аналогичное выражение.
oxt, = У У -2---------------- ([(1 — 2v) sh pmnh ch pmnz 4-
xy -- £j p2rnn(sh2pmnh + 2prnnh)VV ’ Pmn Pmn
4- Pmn (z sh p^h sh pmnz — й ch pmnh ch pm„z)] [—(Pmn)t cos чт x cos sny —
— sin«m X sin sny 4- (Rmn)+ Sin4m x cos s„y4-(Qmn)J cos чтх sin sny] +
4- I2 0 — v)ch Pmnh ch pmnz 4- pmn (z ch Pmnh sh pm„z —
— й sh pmnh ch pmnz)} {[чт (Rmn)~ 4- s„ (Qmn)~} cos чт x cos sny —
(Qmn)x 4- Sn (Rmn)y 1 Sin Чт X Sin Sny 4" [^m (^mn)x
— sn (Nmn)-]sin4m xcos sny 4- [—чт (Nmn)~ 4- s„ (Pm„)71 cosчт x sins^/|}4-
Плоский слой с непериодической нагрузкой 387
Вследствие той же периодичности при замене переменной & на я -|-
+ 6 находим, что '
2к
J cos (п& 4- ppsin&) = j cos [n (л + 6) — pp sin 6] d0 =
0 —к
2к
= cos пк J cos (n0 — ppsin0) d0
о
и аналогично
2к 2л
J sin (n& + pp sin &) d& = cos пк J sin (n0 — ppsin0) d0.
о O’
Эти обстоятельства позволяют нам предыдущий результат предста-
вить следующим образом:
ос ос 2к
Nla‘ b} = JL V (1 -|~ cos пк) cos ny J (Фп)(а: Ь)р dp J cos (n& — pp sin &) 4-
«==0 0 0
oo oo 2k
+ У (1 + cos пк) sin «7 J (1Pn)(a' 6,p dp J sin (n& — pp sin &) d&.
n=0 0 0
Принимая теперь во внимание формулу интеграла Бесселя и фор-
мулу Хансена, получим для случая целых п окончательно, что
N(a: Ь,= 47 У (1 4-cos пк) cos «7 J (Ф„)<а; b)Jn (Р?) р dp. (10.65J
к=о о
На основе аналогичных преобразований можно остальные равенства
(10.60) представить следующим образом:
р{а' b)=z i У (1—cos пк) cos П7 J(4*„)(a: byJn (pp) о dp;
n=0 0
OO 00
Q(a; Ь)= 1У (1 + cos пк) sin J (Ф„)(а: byJn (pp) p dp; (10.652)
n=0 0
00 00
R(a'' b) = 47 У (! — cos пк) sin П7 j (Ф„)(а: byJn (pp) p dp.
n=0 b
Двучлены 1 -p cos nr. и 1 — cos пл: фиксируют в этих рядах члены
с четными или нечетными значениями порядковых чисел и.
В данном случае путем преобразования координат мы получили фор-
мулы (10.65) с однократными интегралами в цилиндрических координа-
тах вместо формул (10.60) с двукратными интегралами в декартовых
координатах.
Путем соответствующих преобразований можно, исходя из формул
(10.56) и (10.57) с указанными выше изменениями применительно к не-
периодической нагрузке, представить декартовы компоненты тензора на-
пряжений и вектора смещений через цилиндрические координаты или же
получить их компоненты в цилиндрических координатах. Однако более
25’
388
Плоский слой
естественным будет получить непосредственно соответствующие выраже-
ния, исходя из общих представлений искомых величин в криволинейных
координатах.
§ 116. ПЛОСКИЙ СЛОЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Применение той или иной системы координат для расчета напря-
женного состояния плоского слоя обусловливается видом распределения
внешней нагрузки на его гранях. Желательно иметь в своем распоря-
жении такие общие выражения для смещений и напряжений в слое в
произвольной координатной системе, исходя из которых соответствую-
щие равенства в координатах частного вида можно было бы получать
простой подстановкой. Такие равенства могут быть полезны также и
при рассмотрении деформаций толстых плит.
Имея это в виду, составим формулы в произвольной ортогональной
цилиндрической системе координат, расположенной по отношению к слою
таким образом, что прямолинейная ось г системы направлена нормально
к граням слоя и начальная точка отсчетов длин вдоль нее находится
посредине между этими гранями. Криволинейные ортогональные коор-
динаты на плоскости, нормальной к оси z, обозначим через а и р.
Исходя из выражения (10.16) для тензора напряжений, примем,
что фигурирующий в нем гармонический вектор V представляется сле-
дующим равенством в указанной системе координат:
2
Р. <7. S=1
, tty
р, pqs, lm
I [Г дЧ \ Г
"Т" pqs, lm 1 ^У, pqs, lm
+ Сг, pqs, 1т& I Zs, l®pq, lm-
(10.66)
Здесь <p и ф — функции, представляющие декартовы координаты х и у
в криволинейных аир согласно равенствам
х = '?(«, Р), У = Ф(а, Р)-
Напоминаем, что в формуле (10.66) Сг. PQ% im, Cv. PqS, im и Сг, P4S, im—
произвольные постоянные, e* и e3— основные векторы координатных
направлений во взаимной системе, k — орт оси z, Фр9, Zm— функция двух
переменных а и р, Zs. z—функция одной переменной г, а произведение
ZSt /Фр9. im — скалярная гармоническая функция; с изменением значений
индексов р, q и s изменяются выражения функций Zs,z и Фс(7, Zm, а с измене-
нием индексов I и т — значения параметров, входящих в эти функции.
Принимая затем во внимание приведенные в табл. 28 выражения
для отдельных слагаемых, входящих в формулу (10.16), мы можем, за-
меняя в них в необходимых случаях радиус-вектор г через орт k, по-
лучить такие равенства для компонентов тензора напряжений в основ-
ной метрике используемой системы координат:
2
d2Z,
dz2
dZ.
dz
d^Z.
Z д г
dz3
г. pqs, lm
P, <7. s= ।
d2Z
+ Z~dz2
£ да
г „и д'? дФРЧ- lm I 22 <*? дфг . lm
№ da da d] djJ
'pq.lm , 22 d®pq. lm
« dp d?
da
У, pqs. lm
Плоский слой в криволинейных координатах
389
2
Е
l, m p. q, s—1
Г d2Z. ,ло
+ |2 (1 — v) --2- ФР9. lm
I „22 дфрс, r
ё dp di
/ dZ- i
— \Zs-l + z~dT.
d2Zs. l\d&pq, lm n ।
da cz, pqs, lm T~
dz2
X, pq' ,
tr11 d®pq-lm
Л dx da
dz2 da^p4’lm
'pq. lm I „22 ad аФр<? lm
da "гё ap ap
dZs,
Z dz
Cy, pqs, Im
20
E
OzP — -j-j;
I, m p, q, s=l
\ . I d<p
.22 a<P d^pq, /m\l p
ap ap w
’ dZK . d^-Z.
2'4r + z-£
ao
u^pq. Im n ।
dp l^z, p?s, lm T
Е
___pi a
— 1 11 aa
+ ^llg22
г
Ад / „пауафpg-<m
/ ap da da
d2Z-. ia^o
dz2 ap
I I„11 d$pq- lm | 22 дфр<7- lm
ap da d2 -г g д'? бр ,
2 ,
dZ
Z-±
dz
Р. <7, s= 1
d2Zs l
ii j22 ®pq. im
z, pqs, Im
7 I a2 pi a p2 a
^‘[dx* 1uaa—1nap,
I „ . L az.
Cx, pqs,Im
'y.pqs.lm]. (Ю.67)
dZs,i
Z dz
a2____
За2
dy d^pq, lm
da da
pq, Im »
da
dz
.ii a-ь a$pg tm
da da
r(2-v)^^^
[' ' da da
2
o₽p =
___pl
1 22 1 22
1 det da
— zZs, i
°a.g =
__F2
112 ap,
g
•22
2^22
d2Z, ,
s. I
d22 ^pq, lm
p. q, s= 1 I
ф If’
Qjjipq. Imji-'x,
Cx, pqs, Im ~f~ j 2
,i a
22 da
•o?.
2
P. q. s= 1
pqs, Im
__pi a_________j-2 a
22 da 22 a?.
dZs, t
Z~-
dz
a2
ap2
a<p d^pq, Im
ap ap
pq. lm ।
Та Г
Zs i[(O -Л С)Фро-lm I -.Д- л-па|аФР?. lm
dz [' 1 ap ap ' S226 da da
'„Ц ad d^pq. lm
* da da
Cy, pqs, Im
dZs. I
Zs-l^Z~dz~!\d^
a2
pi a____
12 da
a2.
Фр<7, 1тСг, pqs, lm + 2(1 —v)
dz
pq. lm । dy d^pq, lm\__
ap ' a? da j
390
Плоский слой
_7 [ д2 г1 д Г2 д W„11 ^?^ФР9. <”» _| „22 д?д®р/,. Zm)] г ,
_ 1 \fo5?— 12 да 1гд^)\р да да « 53 53 /] Ь*. MS, ta +
' [ ' ' dz \5a 3? 53 da ) s’1 \5a53 12 da
Г2 d \ („11 дф d$pq, lm ! „22 дф дфр<7. Zzn\l p 1
1253/^ да да -TS 53 53 /] ^V. pqs, lm] -
Приводим далее соответствующие равенства для компонентов вектора
смещений. Основанием для их составления служит формула (10.29) и ко-
ординатные выражения для входящих в нее отдельных слагаемых, при-
веденные в табл. 28.
После небольших преобразований находим для них следующие
представления в основной метрике используемой системы координат:
2
иг
Р, q. s=l
dZ . d2Z ,1
' 2 ~dz2~j Ф₽<ь ImCz, pqs, lm
I _ dZs’ Л ГI „11 dy №'pn. lm | „22 d? d®pq. lm
~T~Z dz ) L\S да da 6 313
I /„11 дф ^ФР<7- Irn , 22 дф дфро, lm
+ da da + 53 5?
5,3
g, pqs, lm
pqs, lm *f*
+[4 <1 - т й 4 («* s т
I „22 ^Ф ^ФРС. Ip 1 .
58 53 \^y.pqs,lmi,
5Ф
“ pp. lm r ,
^2, pqs, lm г
. dZs, z 5t? Л 7 5
dz d^^-lm~zZs-ld^
d'f d$pa, lm
° dx da
I „22 д'? дФрд. 4lr । Г л 11 ,л dZs-1 дф л,
+ £ 53 5,8 PtfS.ta + I4!1 О dz d^pq,lm
22 дф дФрд, lm\
ё 5,1 53 /
^y, pqs, lm
§ 117. ПРИМЕНЕНИЕ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
К РАСЧЕТУ ПЛОСКОГО СЛОЯ
Имея в виду цели практического использования, составим на осно-
ванни общих построений, приведенных в предыдущем параграфе, выра-
жения в круговых цилиндрических координатах, позволяющие определять
смещения и напряжения в плоском слое при заданных внешних нагрузках
на его гранях.
Применение круговых цилиндрических координат к расчету плоского слоя 391
1. Введение круговых цилиндрических координат. Примем, что ис-
пользованные в предыдущем параграфе общие обозначения аир криво-
линейных координат на плоскости, нормальной к оси z, связаны в данном
случае со специальными обозначениями координат р и & круговой цилин-
дрической системы следующими тождествами:
asp, ps&,
где р — радиус и & — угол. Тогда, в согласии с данными табл. 4, мы
будем иметь, что
? = pcos&, <p = psin&,
и, кроме, того,
gii=l. £22 = р2,
£и=1. £22 = ^-
а также
Г2 = — Г1 = — о
12 р > 22 Г
при нулевых значениях остальных символов Кристоффеля второго рода.
Рассмотрим случай, когда функция Zs, i, в соответствии с данными
табл. 17, получает значения
„ (chlz (s — 1)
Zs-1 ~ I sh lz (s = 2)’
а функция Фр<7, tm представляется формулой
Фр^, lm ’ ^?р, Zm©Q, m,
где
Rp, lm “ т (Jp) (Р ~ 1)
„ _ f cosm& (q — 1)
~Jq. m — |sinm& (q - 2)
Случай p — 2, когда Rp,im получает значение Ym(lp), мы здесь ис-
ключаем из рассмотрения, поскольку он приводит к неограниченным
величинам напряжений и смещений на координатной оси z, что для
сплошного слоя неприемлемо. Однако при рассмотрении задачи о слое
с круглым цилиндрическим отверстием могут быть использованы получен-
ные далее выражения для напряжений и смещений в слое без отверстия
при условии замены в них функций Jm(lp) на функции Ym(lp). В такой
задаче возникает еще проблема о краевых условиях на поверхности
отверстия, что требует специального обсуждения и роднит задачу о слое
с отверстием с задачей о плитах.
2. Напряжения и смещения. Введем следующие обозначения:
Alm = Сх, 112, l (m+1) — Сх. 112, I (771—1) + Су, 122,1 (m+1) + Су, 122, I (m—1)1
Bim = Cx, 122, I (m+l) —C x, 122, I (m— 1) — Су, Ц2, I (m+1) — Cy, Ц2, I (tn—1)1
Cim = Cx, in. i (m+1) — Cx, in,) (m—1) + Cy, 121, l(m+ 1) + Cy, 121, I (m—lb (10.69)
Dim — Cx, 121, I (m+1) Cx, 121, l (m—1) Су, Ш, / (m+1) Су, щ, I (m—1).
Elm = Cx, 112, I (mil) + Cx, 112, I (m—1) + Cy, 122, I (m+1) — Cy, 122, I (m— 1)!
Elm = Cx, 122, I (m+1) + Cx, 122. I (m—1) — Cy, 112, I (m+1) + Cy, Ц2, I (m—1)’,
Glm = Cx, in, i (m+1) + Cx, in, Z(m—I) + Cy, 121, I (m-H)-Cy, 121, I (m—lb
Him = Cx, 121, I (m+1) + Cx, 121.1 (m—1) — Су, Ц1,1 (m+1) + Су, 1Ц, l (m-l)-
4
Применение круговых цилиндрических координат к расчету плоского слоя 393
саа = V {{[(! 2v) ch lz 4- lz sh lz] l”Jm (Zp)+(ch lz 4-
I, tn *
+ lz sh lz)d 2(fp)| (C?, cos mb 4- Сг, i2i, im sin m&) + {[(1 + 2v) sh lz +
4- lz ch lz] I2 Jm (Ip) 4- (sh lz 4- lz ch lz) —(Cz, 112, im cos m& 4-
4-Cz,122, lm, sinmft) ^4-—v)ch lz + lzshlz]l2Jm (Ip) + у [4(1 —
— v) ch lz 4- lz sh lz] (Am cos m& 4- Bim sin m&) 4~ {[(2 — v) sh lz 4-
4- lz ch lz] l2Jm(lp) 4- у [4 (1 — v) sh lz 4- lz ch lz]d (Cim cosm»4-
4- Dlm sinmS)U ° 72\£p2 S 1 + dJm% (Z?)] tch lz cosтЪ +
4- Fim sin m&) 4- sh lz (Gim cos m& 4- Him sin m&)].
°₽a = 2irh) S 1 {(ch lz 4- lz sh lz) (Cz, ui.imsin mb -
I. m
— Сг, 121, im cosmb) 4- (sh lz 4- lz ch lz) (Cz, ц2, im sin mb — Cz, i22, Zm cosmb) 4-
4- y [4 (1 — v) ch lz 4- lz sh lz] (Aim sin mb — B[m cos mb) —
— [4 (1 — v) sh lz 4- lz ch lz] (Cim sin mb — Dim cos mft)} —
—- S + ^~~2~ф2(/Р)] (ch lz sin + Flm cos m&) +
I, m
4- sh lz (Gim sin mb — Him cos mb) ].
Соответственно из равенств (10.68) находим следующие выражения
для координатных компонентов вектора смещений, тоже в основной
метрике:
«2 =У\ит(1р) {[2(1 — 2v)sh/z— lz ch lz] (Cz, in, tm cosmb 4-
I, m
+ Cz, 121,1m sin mb) 4- [2(1 —2v) ch lz — lz sh lz] (Сг, ц2. im cosmb 4-
+ Cz. 122, im sin mb) — (sh lz 4- lz ch lz) (Atm cos mb 4- BZm sin mb) —
— 7 (ch lz 4- lz sh lz) (Cim cos mb 4- Dim sin m&)} .
up= ~^JZp) {(ch lz 4- lz sh lz) (Сг, m,imcosmb 4- Cz, 121, Zm sin mfi) 4-
I, m I
4- (sh lz 4- lz ch lz) (Cz, 112, im cos mb 4- Cz, 122, im sin mb) 4-
4- у [4 (1 — v) ch lz 4- lz sh lz] (A[m cosmb 4- B[m sin mb) —
— У [4(1—v) sh lz 4- lz ch lz] (Cim cos mb 4- DZmsin m&)j 4- (40.71)
2(1________v)
4——- rnJm (Ip) [ch lz (Eim cos mb 4- Fim sin mb) 4-
4- sh lz (Gim cos mb 4- Him sin m&)]
«&= —mJm (Ip) {(ch/z 4- Izshlz) (Cz, ш, im sin mb — Сг, 121, Zm cosm&)4-
I,
4- (sh lz 4- lz ch lz) (Сг, 112, im sin mb — Cz, 122, im cos mb) 4-
392
Плоский слой
Обращаясь к равенствам (10.67), мы можем, при наличии указанных
выше значений фигурирующих в них функций, получить из них после
ряда преобразований такие формулы для координатных напряжений
в основной метрике:
°гг =7-^7 ^Z2Jm(Zp) |[(1 — 2v)chZz — Izshlz] (Сг, hi т cos/п» +
Z, m
4~ Cz, 121, /mSin/n&) + [(1 — 2v)sh Iz — lzc\\ lz\ (Cz. 112. 'm cos mb 4-
4- Cz, 122. /m sin mb) — %- [2 (1 — v) chZz 4~ ZzshZz] (Am cos/n& 4- Вlm sin m&) -
—[2 (1 — v) sh lz 4- Zz ch lz] (Cm cos mb 4- Dtm sin m&)| .
°гр = 1^7-7 5 — Z—— {(2v sh Iz 4- Zz ch Zz) (Сг, ш, im cosmft 4-
/, m
4~ C2,121, im sin mb) 4- (2v ch Zz 4- Zz sh Zz) (Сг,.ц2, m cos m»4-C2, 122. m sin mb) 4-
+ y [(3 — 2v) sh Zz 4- Zz ch Zz] (A/m cos mb 4- B;msin mb) 4-
4- у [(3 — 2v) chZz 4- ZzshZz] (Cm cos mb 4- D/m sin mb)j 4-
(1 ______v) £ Y1
+ (1 + V) p / , [sh lz (Elm COS mb + Fim sin Ш&) +
I, m
4- ch Zz (Gm cos mb 4- Hm sin mb)].
m(l?) {(2v sh Zz + Zz ch Zz) (Сг, m sin mb —
i, m
— Cz, i2i.zmCosm&)4-(2vchZz4-/zsh/z)(C2,112./m sin mb— C2, 122,/т cos mb) 4-
4- у [(3 — 2v) sh Iz 4- Zz ch lz] (Aim sin mb — Bim cos mb) 4-
4- [(3 — 2v)ch Iz 4- Iz sh lz] (Clm sin mb — Dim cosm»)| —
— ~'1".Д£р Z —™:(/p) [sh Zz (Elm sin mb — F/m cos mb) 4-
!, m
4- ch lz(Gim sin mb — Htm cos mb)]. (10.70)
3pp = ГТ4 Zj {[2'Z2ch/z Jm(/c) —(chZz 4- Zzsh Zz)(Cz, in,/mcosmb 4-
I, tn
4- Cz, 121, lm Sin m&)4-[2v/2sh ZzJm(Zo)—(sh Zz+Zz ch/z)^^
(Cz, 112, lrnCOSmb-\-
+ Cz, 122, m sin mb)} 4- V J|v/2 ch ZzJm(Zo) —
I, m I
— 413 4 u — v) ch lz + Zzsh/г] g JrgZ ~i (A‘m cos mb 4- Bim sin mb)4-
4- |vZ2 sh lzJm (Zp) — у [4 (1 — v) sh Zz 4- Zz ch lz] —^-P-| (Cm cos mb 4-
4- Dm sin mb) 14- C / 4- [ch Zz (Eim cos mb 4-
' I, tn
4- Em sin mb) 4- cQg
394
Плоский слой
+ у [4 (1 — v) ch lz lz sh lz] {Aim sin — B[m cos m&) -f-
4- -i- [4 (1 — v) sh lz 4- lz ch lz] (Ctm sin m& — Dim cos —
— 2(1 — v) p [ch lz (Eim sin — Fim cos m&) 4-
4- sh lz (Gim sin — Him cos m&)]
§ 118. СЛОЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ С ЗАДАННЫМИ
УСИЛИЯМИ НА ЕГО ГРАНЯХ
Рассмотрим случай слоя, когда на его граничных плоскостях г= ±А
заданы нормальные и касательные напряжения.
Введем обозначения:
°zz|h~ = -g" (°zz|z=+ft 4- °zz|z=—ft)i
°zz|ft == (°zz|z = +ft — °zz|z=—ft)'»
czp|ft = (3zp|z=+ft 4" °zp|z=—ft)»
°zp|ft = (czp|z=+h czp|z=—ft)!
CZ&|ft = "2" (Cz&|z=+ft 4- °z&|z=—ft)»
1-1,1 .4
(10.72)
Тогда, принимая, что параметр т имеет только целочисленные зна-
чения, обычным приемом определения коэффициентов Фурье и после-
дующего сложения и вычитания получаемых при этом выражений, найдем
из первых трех равенств группы формул (10.70):
2л:
cos = t~t— У (id — 2v) ch lh — lh sh lh] CZt 1U> tm —
Й 1 ”T v k
kr.E
J
о
— у [2(1 — v) ch lh 4- Ihsh lh] At
cos m&
!v sh Hi 4- lh ch lh) C2t nJ, lm 4-
4-1 [(3 - 2v) sh Ih + Ih ch Ih] Am) I2 [ (Ip) - Jm+1 (Zp)l 4- (10.73)
+ fe2(i+v)£ S/2 sh lh f(W + Jm+1 (z P)1;
sin m& У {(2v sh Ih 4- Ih ch Ih) Cz, nl. Zm +
ft Z (1 -f- v) АшА I
J °*a
0
4- у [(3 - 2v) sh lh 4- lh ch lh] Am) F [Jm_, (lP) + Jm+1 (ZP)] -
- *Л2(1(1ТУР S12 sh lh Gp) - Лж (Mb
/
где k = 2, если m — 0 и k = 1, если tn =/= 0.
Слой в цилиндрических координатах с заданными усилиями на его гранях 395
Аналогичным способом из тех же равенств могут быть найдены еще
три группы зависимостей, начертания которых можно получить также
из формул (10.73), если в них заменить обозначения, показанные в пер-
вой строке табл. III, противостоящими обозначениями какой-либо одной
из остальных строк.
Таблица III
It °гр|Л °г»1а cosm& sin m& ch lh sh lh Cz, III, lm Alm Elm
°«It °гР1Г °г»|Г sin m& —cos mS ch lh sh lh Cz, 121, lm Blm F lm
Li •л °*dt cosm& sin sh lh ch lh Cz, 112, lm Cim Gim
1л ‘.Л+ ’г» It sin m& —cos m& shlh ch lh Cz, 122. lm Dim Dim
Преобразуем второе и третье равенство (10.73) к следующему виду:
2п
агр| cosm&d&
о
sinm&dft =
л
i^V[(2v sh lh + lh ch /ft)Q, m, Zm+
+ | [(3 - 2v) sh lh + lh ch lh] Alm + (1 - v) sh lh Elm] PJm+1
2 it 2~
cosm&dft----s'nm^^ =
о о
Gp);
(10.74)
= S (~<2v sh lh + lh ch /Л> C- m. im
I
_ -11(3 — 2V) sh lh + lh ch lh] + sh lh Elm] (/p).
Для дальнейшего удобно ввести
еще такие обозначения:
2к
2л
nt J 2k °22 cos т& Пст: =p..l 0 2л h cosm&d&;
nt j 2 it 1 1 L sinm&d&; ПГт = f°« 0 2r |h sinm&d&;
Aft j 2л °гр It cosmb db; Pi At = L 0 2k I cosm&d&; lh
At =.f 0 2л °*P j* sin •AL S/n -b 0 2л |ft sin mbdb-,
et / 2к °г& I* cos d&; In Q7m = J °г8 0 2т. |h cos mb db;
est = f °г& j* sin mb d&; ®7m = f Сг» |h sin mbdb.
0
0
(10.75)
396
Плоский слой
Примем затем, что параметр I непрерывно изменяется в пределах
от 0 до со, а коэффициенты С2>111./т, Л/т и £Zm, фигурирующие в равен-
ствах (10.73) и (10.74), будучи функциями переменной /, становятся
бесконечно малыми, вследствие чего суммы правых частей в этих фор-
мулах в пределе переходят в несобственные интегралы в указанных
границах. Заменяя обозначения этих коэффициентов через их диффе-
ренциалы, мы можем первое равенство (10.73) и зависимости (10.74),
заменяющие второе и третье равенства (10.73), представить при помощи
интегралов Стильтьеса в таком виде:
f l2Jm К?) {[(1 - 2'0 Ch lh - lh Sh lh] dCZt U1> lm -
0
— ~ [2 (1 — v) ch lh 4- lh sh lh] dA/mj ;
oo
A™ 4- ’ 0- = J (/P) {(2v sh lh + lh ch lh) dC2. ln, lm +
L 0
4- 4 [(3 — 2v) sh lh 4- lh ch lh] dAlm+ (1 — v) sh lhdElm] ; (10‘76)
oo
— 1 — C (
- A 0sm = J (/p) {-(2v sh lh 4- lh ch lh) dC2t
u
— [(3 — 2v) sh lh -)- ih ch lh] dA/m+ (1 — v) sh lhdElm} .
С другой стороны, предполагая, что левые части этих равенств до-
пускают использование формулы Фурье — Бесселя, т. е. имеют в любом
ограниченном интервале конечное число экстремумов и разрывов, мы мо-
жем составить зависимости
оо оо
п+ = f ит (to dl J п+ Ч Jm (1ч) d4-
о <»
оо оо
+ | ©" = f Um+1 (I?) dl J (лс- 4- ± 0" ) 4 Jm+. (1ч) d4- (10.77)
о о
оо оо
А“ - j 0~ = J ит-г (I?) dl J (Л" - ± 0-) (1ч) d4.
О о
Здесь ч — другое обозначение переменной р, по которой выполняется
интегрирование во втором интеграле.
Сравнивая последние две группы равенств, находим, вследствие
условия единственности решения, что
{[(1 - 2v) ch lh - lh sh lh] dCz, nl> lm -
co
— у [2 (1 — v) ch lh 4- lh sh lh] dA/mj = dl J П*п ч/т (1ч) d4\
Слой в цилиндрических координатах с заданными усилиями на его гранях 397
|(2v sh lh + lh ch lh) dC^ nj Zm + 4 1(3 — 2v) sh lh -J- III ch lh] dAtm -J-
+ (1—v) sh lh dE.mj = dl J(a~ + J 0“ ) 4Jm+J (1ч) dr,
(2v sh lh 4- lh ch lh) dCz,, „. lm — [(3 — 2v) sh lh + lh ch lh] dAlm +
+ (1-v) sh lh dE,m } = dl J (д' -1 в" ) 4Jm_J (1ч) dn.
Решая эти уравнения относительно дифференциалов левой части,
находим
оо
dEz. П1, lm = k7zE (3 _ 4v), (sh 2lh + 2/А) {[(3—2v)sh lh+lh ch lh] J RcmJ m(l4)4d4—
О
- [2 (1 ->) ch lh + lh sh lh] J [д-j; (1ч) - ©imJm (1ч)] 4d4] ;
u
oo
— (3 — 4^) I (sh 2/Л + 2/Л) {(2v s11 c11 J (ty 4d4 +
0
+ [(1 - 2v) ch lh - lh sh lh] J [д- j; (1ч) - 0- Jm (1ч)] чйч] (10.78)
0 L
oo
dElm = P^Th f mJm (1ч) — l^M] Лч-
0
Здесь Гт(1ч)— производная функции Jm(l4) по переменной (1ч).
Аналогичным способом можно установить значения и других диф-
ференциальных коэффициентов, возникающих при таких же рассуждениях
из остальных групп уравнений, подобных равенствам (10.73). Эти пред-
ставления могут быть получены также из формул (10.78) путем замены
в них обозначений первой строки табл. IV противостоящими значениями
других строк.
Таблица IV
<1Сг, ill. 1т dAim dEim ch lh sh lh sh 2//i + 2/Л n+ cm A~ cm Ф S 1
dC?, 121, т dBlm dFim ch lh sh lh sh 2/Л -J- 2/Л n+ sm A“ sm 6“ cm
dCz, 112, im dCim dGttn tfrlh ch lh sh 2/Л — 2/ft n“ cm A+ cm 6+ sm
dCz, 122. lm dDim dHlm sh lh ch lh sh 2lh — 2lh П- stn A+ sm 6+ cm
398
Плоский слой
Обращаясь затем к равенствам (10.70), в которых все коэффициенты
подлежат замене их дифференциалами и суммирование по I должно быть
заменено интегрированием по этому аргументу в пределах от 0 до со,
мы можем, принимая во внимание значения этих дифференциальных
коэффициентов, определяемые равенствами (10.78) и табл. IV, составить
следующие формулы для напряжений:
оо оо
сг2 = J (sh sh ^г1
т=0 1—0
оо
J <nf+mcosrn& +
4=0
+ П* sin m&) Jm(l4) ч(1ч + I (z ch lh sh lz — h sh lh ch lz) J [ (A~cm cos m& 4-
4=»0
+ Л~ sinm&) J>n (1ч) — (6^cos + 0~ Sinm&) Jm (1ч)]4dvj -^ih'+^ih
oo oo co
+ Д У J {[(ch lh + lh sh lh) sh lz — lz ch lh ch lz] J (П~; cos tnft 4-
/П=0 f=0 4=0
+ IISOT sin m&) Jm (1ч) ч<1ч 4- I (z sh lh ch lz — h ch lh sh
cos 4-
4- A* sin m&) (1ч) — z™2 (0* cos m& 4- ©f+m sin m&)] Jm(l4) ч(1ч]
OO DO OO
агр = 4- J J {—I (z ch lz sh lh — h ch lh sh lz) J (П*т cos m& 4*
m=o Z=0 ч=0
oo
r n^sinmB)Jrn(/t/) 4d4+[(ch lh—lh sh lh) shlz-j-lz ch lh ch lz] ( (A^ cos nz&-[-
ч=О
4- A~ sin m&) (1ч) — - J (0“ cos + 0~ sin m&) Jm (,ч)]чс(ч} 4-
co oo oo
~b У J {—Ц2 sh/z ch Z/i— h sh lh ch lz) J (Tl~;cosm&4-
4- П“ sin m&) Jm (1ч) чйч 4- [(sh lh — lh ch lh) ch lz 4-
oo
+ lz sh lh sh lz] J [(Ac+m COS + A^ sin mb) J'm (1ч) —
4=0
— /5 (©X COS m& 4- ©X. sin m&) Jrn G«)] +
OO OO OO
+ f (J [(A™cosm&4-A~ sinm&)4p-Jm(l4)~
m=o 1=0 ч^О
— (0“ cos zn& 4- ©“ Sin m&) (/ч)]йч{ s~ m J m (/p) dl 4-
oo oo oo
4- 4 У f { f [(л™ cos 4- л* Sin m&) Jm (1ч) —
m=ol=O 4=0
- (0* cos m& 4- sin m&) J'm (/4)]d4} mJm (Ip) dl-
Спой в цилиндрических координатах с заданными усилиями на его гранях 399
°г& = Д J p(zchZzshZ/z— ZichZ/ishZz) J (n^Jsinzn& —
— П* cos m&) Jm (1ч) чйч — [(ch lh — lh sh lh) sh lz 4-
oo
4- lz ch lh ch lz] J JjA^ sin — A~ cos m&) (1ч) —
4=0
— £ ^7m Sin m& — ®7m COS "Я) Jm (/«)] Ч(1ч} +
OO oo oo
4~ Д V J {/ (z sh lz ch lh — h sh lh ch lz) J (n^sinmft—
m=o/=3 ч=0
— IIsm cos m&) Jm (1ч) 4d4 — [(sh lh — lh ch lh) ch lz 4-
4- lz sh lh sh
sinm& — A*
cos m&) J'm (1ч) —
- да (0* sin m» - 0* COS mb) 1„ (/«)]
~fcij f (f —-'„.cosniS)—
m=0 1=0 4=0
— (в^г sin m& — &7m COS m&) J'm (/«)] (ZP) ldl ~
OO OO oo
—S f { f [(A™ sin —cos m&) T Jm № ~
m=v Z=o 4=0
— (0* sin m& — cos J’m (1ч)] tfaj J'm (I?) ldl.
(10.79)
oo oo f
°pp ~ J H2vshZftdiZz Jm(lp) — [(1 — 2v) sh Z/i ch Zz — l(hchlhchlz —
m—o 1=0 1
OO
— zshZhshZz)] J 'm (Zp)} J (n^cosmH 4-H^sinznft) Jm (Z«)«d« —
4=0
— {2v ch lh ch lz Jm (Ip) — [2(1 — v) ch lh ch lz — l(h ch lh ch lz —
— Z ch lh sh lz)] J"m (7p)}| J [(Afm cos mb 4- Asm sin mb) J'm (1ч) —
— (&7m cos mb 4- 0- sin mb)
ldl
sh 2lh + 2/Л
— 2v) ch lh sh Zz — I (h sh lh sh lz —
=0
— z ch lh ch lz)] J’m (Zp)} J (Пт
4=0
cos + HSZ7r sin mb) Jm (1ч) ч(1ч —
400
Плоский слой
— (2v sh lh sh lz Jm (Ip) — [2(1 — v) sh lh sh lz — I (h ch lh sh lz —
oo
— г sh /ft ch lz)] J'm (Ip)} J [(A^ cos m& + A*m sinm&) J'm (1ч) —
4-0
- (©+ cos 4- o+ sin m&) 4d4} -
oo oo
I [Jm-2Up) —/„+?(/₽)] J [(A~ cosОТ& + Л" sin
— U’C cosmft 4- 0“ sin mb) lJ'm (1ч)\ dn 4-
+ 5ПЙ J ( <AX> cos mb + Л* sin mb) rnJm (1ч) —
ч=»0
— (OXi C0S sin m&) U4)] ^'4 rf/’
o&& = У П (sh lh — lh ch lh) ch lz 4- lz sh lh sh lz] Jm (Ip) +
m=o /=(Г
4-[(1 — 2v)sh/ftch/z —/(ftch/ftch/г —zsh/ftsh/z)] J"(/p)| ( (n^cosm&4-
+ nX sin mb) Jm (1ч) 4d4 — [[(2 ch lh — lh sh lh) ch lz 4- lz ch lh sh lz] Jm (Ip) 4-
4- [2(1— v) ch lh ch lz—1 (ftshlhch lz — zch/ftsh/z)] J^(/p)} [ [(A^cosm&4-
4=0
4- A“ sin mb) (1ч) — (0~ cos mb 4- 0“ sin mb) чйч] 2№~ +
oo 00
+ V J ^{.t(ch /ft — /ft sh /ft) sh /z 4- /г ch /ft ch lz] Jm (Ip) 4-
m=o (=0
OO
4-[(l—2v) ch lh sh lz — I (ft sh /ftsh lz — z ch lh ch lz)] J" (Ip)} j (n^cosm&4-
__ 4=0
+ nSTO sin mb) Jm (1ч) 4d4—[[2 sh lh sh lz—I (h ch /ft sh lz—z sh lh ch lz)] Jm (Ip) 4-
00
4- [2 (1 — v) sh lh sh lz — I (h ch lh sh lz — z sh /ft ch /z)] J' (/p)} [a^cos m&4~
4=0
+ Atm sin mb) J'm (1ч) - (©:„ cos mb 4- 0^ sin mb) /^1+
00 CO co
+ f f Jm-1 Up) + J,m+1 Up)] f UA~ cos/n»4-A~ sin mb) mJm(l4)—
m=0l=0 4=0
— (0^ cos mb 4- sin mb) lj'm (1ч)] d4 4-
00
+ SS f[(Л™cos sin mJm U4) —
4=0
— (©X cosmS 4- ©X, Sin mb) lJ'm (1ч)] d«| dl.
Слой в цилиндрических координатах с заданными усилиями на его гранях 401
оо оо
Of& = £;S { [^m_i Gp) + ^m+i(/p)] ll(l — 2v)sh Z/ich/г —/(/ich/Ach/г —
m=0 1=0
OO
— zsh Ihshlz] J (n^sinmS — cos mb) Jm {1ч) чЛч —
4=0
— [2(1 — v) ch lh ch lz — I {h sh lh ch lz — z ch lh sh
^)] f [(A"
4 = 0
sin тЪ —
— Astn cos m&) J’m {1ч) — {Qsm sin — Gcm cos m&) 4
J ) oil Xrl/t- **p* Z-lfl
DO OO
+ j^Jj J [^A-i(^P) + Jm+1 Gp)] {[(1 — 2'0 ch Ihshlz — l{hshlhshlz —
m=o /=o
DO
— z ch lh ch lz] { (n^sinmft — П~ cos m&) Jm {1ч) чс1ч —
4=0
— [2 (1 — v) sh lh sh lz — I (h ch Ihshlz— z sh lh ch lz)] j [(A^sinmb—
4=0
— As+m cos m&) J; {1ч) — (©* sin m& — ©f* cos zn&) ~^^ч] 4-
[ ) oil ~~ £Lfk
DO DO OO
+ f tJU'p) + 2-Op)1{^ J [(A" sinmS —A“ cosm&)mJm(/4) —
m=0l=0 4=0
OO
— (©“ sin m& — Q~m cos m&) U'm {1ч)] d4 + J [(A*m sin —
4 = 0
— aX, cos mb) tnJm (1ч) — (©* sin mb — ©f* cos mb) lJ'm {1ч)] dl.
Соответственно, исходя из формул (10.71), можно получить также
такие равенства для координатных компонентов вектора смещений
в основной метрике:
оо оо
5^ J Jm Gp) {[2(1 — v) sh lh sh lz + I {h ch lh sh lz —
m=0 1=0
— zsh lh ch lz)] J (II^cos mb + П^, sin mb) Jm {1ч) 4d4 — [(1 —2v) ch lh sh lz+
4=0
OO
+ / (/i sh lh sh Iz — z ch lh ch lz)] J J(A^ cos mb + A“ sin mb) {1ч) —
4=0 L
— ^2 Jm (1ч) (&7m cos mb + 0~ sin m&)] чйч} sh2ih + 2l/i +
co oo
+ v) 3j f ^mGP){{[2(I — »)chlh +lhshlh]chlz —
m—0 ^=0
26 В И. Блох
402
Плоский слой
— lz ch lh sh lz} § (Hcm cos mb + nsm sin mb) Jm (1ч) чд.ч — {[(1 — 2v) sh lh +
4=0
+ lh ch lh] ch lz — lz sh lh sh
oo
lz} J [(A*
4=0 L
cos mb A*m sin mb) J'm (1ч)—
W (0sm cos m8 + ©X, sin mb) ] чс1ч] sh2l^_2lh
oo oo
2 fe7t£~ J dJndpP~ (lU — sh th ch lz — ch Z/i ch Zz —
m=0 (=0
— zshZ/ishZz)] J (11^ cos mb + 11^ sin mb) Jm (1ч) ч(1ч—
4=0
— [2(1 — v) ch lh ch lz — I (h sh lh ch lz
cos mb +
4-Asmsinm&) J^(l4) —^Jm(l4) (0smcosm& + 0cmsinm&)]чйч} z (gh
OO oo
2010 У f —"(/р) ({[(1 — 2*)ch lh —lh sh /ft]sh lz +
RTCZZ ;• .J (Jp
m—0 I—о
cm cos mb +
4- lz ch lh ch lz} J (Пгт cos mb + IIsm sin mb) Jm (1ч) чАч— (10.80)
4=0
— {[2 (1 — v) sh lh — lh ch lh] sh lz + Zz sh lh ch lz} J (A,
4=0
4-Л* sin mb) j; (1ч) — Jm (1ч) (€>£, cos mb + 0^ sin m&)]
dl
Z (sh 2ZA — 2ZA)
+ ~^jpV) S j J [(A™cosm8 + Asmsin mb) mJm (1ч) —
m=o/=o 4=0
— IJ’m (Z«) (©s~ COS mb + 0“ sin m»)J d4 +j [(A^ cos mb +
ч=0
+ AX, Sin mb) mJm (1ч) — U'm (1ч) (&^m cos mb + 0^ sin m»)] d«} .
ий=—~^E f shch ZZll chZz +
m=ol=o
4- lz sh lh sh lz} J (Il^sin/nS — cos Jm (1ч) чйч —
4 = 0
ГЛАВА XI
ПЛИТЫ
Под плитой понимается ограниченный с боков плоский слой, тол-
щина которого меньше линейных размеров его граней. Боковые граничные
поверхности плиты при этом предполагаются обычно нормальными к ее
граням.
Точное выполнение всех заранее заданных краевых условий для
плиты представляет собой во многих случаях весьма трудную задачу.
Сравнительно просто такая задача решается для круглых в плане плит,
скручиваемых заданным способом вокруг своей центральной оси осесим-
метрично распределенными усилиями, и в некоторых других случаях.
Когда же решение оказывается затруднительным, выходом из положения
является неполное выполнение краевых условий на боковой поверхности.
При этом удовлетворяются тем, что силовые условия на боковой поверх-
ности выполняются в среднем, т. е. ограничиваются требованием, чтобц
используемый метод решения не приводил к введению дополнительных
суммарных внешних нагрузок на этих поверхностях в сравнении с задан-
ными, а геометрические условия на них выполнялись лишь на некоторых
кривых, обычно на контуре срединной поверхности.
Такие решения с неполным выполнением краевых условий на боковых
поверхностях плит могут быть использованы в известных границах в
качестве приближенных также в ряде случаев, когда фактические условия
на этих поверхностях отличаются определенным образом от тех, какие
возникают из самого решения. Одним из оснований для этого служит
так называемый принцип Сен-Венана, согласно которому внешние сило-
вые воздействия, статически эквивалентные между собой в суммарном
отношении, т. е. имеющие равные главные векторы и главные моменты,
раздельно прикладываемые в одном и том же месте упругого изотропного
тела, вызывают в этом теле напряженные состояния, различия между
которыми уменьшаются по мере удаления от места загрузки.
Это обстоятельство, т. е. возможность использовать при рассмотрении
напряженных состояний плит в местах, удаленных от боковых поверх-
ностей, решения, не вполне отвечающие предъявляемым требованиям
на этих поверхностях, является причиной выделения плит в качестве
самостоятельных объектов теории упругости из общего собрания всех
ограниченных призматических тел.
§ 119. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Для корректировки решений задач о напряженном состоянии плит,
полученных при выполнении краевых условий на гранях и не удовле-
творяющих требованиям на боковые поверхностях, необходимо иметь в
своем распоряжении общие выражения решений, при которых грани
плит остаются свободными от нагрузки. Такие решения А. И. Лурье
Плоское напряженное состояние
405
предложил называть однородными. Наиболее простыми среди них являются
решения, соответствующие так называемому плоскому напряженному
состоянию. В плоском напряженном состоянии отсутствуют напряжения
в теле на любой плоскости, нормальной к какому-нибудь одному постоян-
ному направлению. Если в случае плиты это направление совместить
с нормалью к срединной плоскости, то возникнет решение, при котором
загрузка плиты будет осуществляться только на боковой поверхности.
Распределение напряжений, однако, на такой боковой поверхности вдоль
образующей должно удовлетворять определенным в этом случае условиям.
Составим здесь соответствующие выражения.
Считая координатную ось z нормальной к срединной плоскости
плиты, потребуем для получения указанного плоского напряженного
состояния аннулирования вектора напряжений а2 = а • k. Если отожде-
ствить координатный индекс z с индексом 3 в нумерованном обозначении
осей декартовой системы, то в этом случае в тензоре а напряжений
должны быть аннулированы компоненты а13, а23 и а33.
Обратимся к выражениям, представляющим напряжения через функ-
ции напряжений. Из таблицы различных форм таких представлений,
приведенной в § 103, п. 2, видно, что наиболее простые зависимости
возникают в том случае, если воспользоваться схемой представления
Максвелла. Все неисчезающие напряжения выражаются тогда через одну
функцию <р33, и соответствующие равенства получают следующий вид:
__ д2?33 .
__ ^тзз
12 '
Аналогичные представления возникают в так называемой плоской
задаче теории упругости, где напряжения считаются независящими от
переменной z = x3. В данном случае плоского напряженного состояния
такое требование к напряжениям не предъявляется, и функция <р33 может,
вообще говоря, зависеть от трех переменных. Тензор <? функций напря-
жений становится однокомпонентным:
<Р = '?зз^. (11.2)
и при использовании инвариантных представлений связь между ним
и тензором напряжений, если исходить из равенств (8.82) и (8.85),
принимает форму зависимости
0=At?33(Z-^)-V43 + ^^3 + ^^-5rZ. (11.3)
Условие совместности для функции напряжений получает при этом
вид равенства
-TJpV2(^33 + 6» = o.
(П.4)
406
Плиты
Отсюда в результате скалярного свертывания находим, что
д(д~ _
?зз дгг )
(11.5)
С другой стороны, если все члены той же зависимости (11.4) ска-
лярно умножить на орт k, то получим уравнение
V ^(д?зз —=°>
откуда непосредственно заключаем, что
^33-5? = ^ + ^. (Н.6)
где с — постоянная, a F2, как следует из рассмотрения уравнения
(11.5) — гармоническая функция в плоскости, нормальной к оси z.
Если исключить Д<р33 при помощи равенства (11.6) из уравнения
(11.4), то получим такую зависимость:
kk - (k^ + V*) + V2^-3 + = 0.
Выделим в операторе V дифференцирование по z, представив его в
форме
где V — оператор образования градиента в плоскости, нормальной к
°
оси z. Тогда, так как F2 не зависит от переменной z, получим из пре-
дыдущего равенства следующую формулу:
z-Л З2е33 .Mr,
Отсюда заключаем, что выражение t г2 является суммой
двух функций: одной линейной относительно двух координат в пло-
скости, нормальной к оси z, и другой произвольной от переменной z.
Эту сумму двух функций мы можем аннулировать, поскольку она не
оказывает влияния на напряжения при использовании равенств (11.1)
и тогда получим, что
?33 = Fo + ^1-4-r^F2z2, (11.7)
где Fo и F± как и F2, являются функциями двух переменных в пло-
скости, нормальной к оси z. Как было отмечено, функция F2 является
гармонической в этой плоскости
4F2 = 0. (11.8)
Что касается функций Fo и Fn то, принимая во внимание равенство
(П.6), можно показать, что
AF0 = F2, AFj = c. (И-9)
Плоское напряженное состояние
407
Таким образом, функция Fo является бигармонической, a Ft удов-
летворяет неоднородному гармоническому уравнению. Эту последнюю
представим в форме
F^-^ + F*. (11.10)
где ч — радиус, и F* — гармоническая функция в той же плоскости.
Вследствие всего этого мы можем функции <р33, определяемой фор-
мулой (11.7), придать следующий вид:
933 = -JZQ2 + zf* + Fo-4 (11П)
Тогда выражение (11.3) для тензора напряжений представится таким
образом:
с = z [| (/ - kk) - V2F J + (I ~ kk) - V2F0 +
+ TTT7z2(V2^o). (11.12)
Отсюда видно, что в случае плоского напряженного состояния
тензор напряжений определяется одним постоянным коэффициентом
и двумя плоскостными функциями, из которых одна является гармони-
ческой, а другая — бигармонической.
Для тел весьма малой толщины, когда слагаемыми, пропорциональ-
ными z и z2, вследствие малости z можно пренебречь в сравнении со
слагаемыми, независящими от z, напряжения, определяемые формулой
(11.12), оказываются зависящими от одной плоскостной бигармонической
функции. Связь между напряжениями и этой функцией ’получает вид
обычных зависимостей в так называемом обобщенном плоском напряжен-
ном состоянии.
Перейдем далее к определению перемещений.
.Принимая во внимание, что в результате скалярного свертывания
всех членов соотношения (11.12) возникает зависимость
с = cz + AFо,
мы можем из формулы закона Гука
Vw + «V = 4- [(1 4-v)a —vcZ],
L ®
где и — вектор смещений, получить следующее равенство:
Vm + «V = 4-U(1-")/-(1 + >) kk]cz + 2[I — (1 + v) kk]bF0 +
+ 2(1+ v) [V2F0 + z (V2F*)1 + (VW). (11.13)
Введем затем в рассмотрение трехмерный радиус-вектор р и его
модуль р и примем во внимание такие соотношения:
VP2 = 2^, VP= I-
Если, кроме того, ввести в использование в плоскости, нормальной
к оси z, вектор v, удовлетворяющий уравнению
Vv + vV = 2AFo(/ — kk>)> (И-14)
Слой в цилиндрических координатах с заданными усилиями иа его гранях 403
— {[2 (1 — v) ch lh— lh sh lh] ch lz + lz ch lh sh
J [(A"
«=0
sin/n&—
— Asm cos m&) J’m(l4) — (0sm sin — &cm cos m&) (/«)] qJq) Z(sh2^+2Z/1)-
oo oo
— ~'Утс£ У J m^mGp)[U(l — 2V) ch № — Ihsh lh] sh lz +
m=o 1=0
4- lz ch lh ch lz} j (Пст sin m& — IIsm cos mfr) Jm (1ч) чс1ч —
4=0
— {[2(1 — v) sh lh — lh ch lh] sh lz + lz sh lh ch lz} J (A^ sin mb —
4=0
— Л * cos m») J'„, (/4) — sin m» — 8J, cos m») /„(/«)] «de]
-TTP S J Тг1я J KA" sinn.»-Л-cos
m=oz=o ч=о
— l(&sm sin mb — ecm cos mb)J^(l4)]d4+^h J [(A^sinm» —
ч О
— A* cos mb) rnJm (1ч) — I (0S* sin mb — e*m cos mb) (1ч)] (1ч\
26*
408
Плиты
то непосредственной проверкой можно убедиться в том, что с точностью
до общего жесткого смещения и поворота интеграл уравнения (11.13)
будет иметь следующий вид:
ы=т{Ч^с(2р_4р2/г,
cz2k — (1 + v) [z (V/7*) — +
+ v - (1 + v) VFo + V [y z2 (VAFO) - Z (AF0) fc]}.
(11.15)
Если принять, что функция Fo нам известна, то плоскостное урав-
нение (11.14) с гармонической правой частью позволяет представить два
компонента вектора v как вещественную и мнимую части некоторой
функции комплексной переменной при условии, что вещественная часть
производной этой функции по ее переменной нам задана.
Действительно, представим вектор v на плоскости в декартовых
координатах с ортами i и j через его компоненты в форме v = vxi 4- vj
и покажем, что уравнение (11.14) будет выполняться, если введем в рас-
смотрение функцию /(С) комплексной переменной С, имеющую вид
f(4) = vx + v,V=i
и определяемую условием
Re f'((.) = &F 0. (11.15)
В развернутом виде это условие распадается на такие равенства:
= др - =
дх ду °’ ду дх '
Принимая затем во внимание выражение градиента вектора v
dvx .. &и .. dvx .. dvv ..
V» = ar “ + л // + ^/г + -гЧ
v дх ду 11 1 ду дх 1
мы можем, вследствие предыдущих равенств, представить его следующим
образом:
V» = AFU (it + jj) + (ji — ij).
Выполняя здесь операцию транспонирования диадных сомножителей,
найдем также, что
uV = &F0 (ii + jj) + (ij — ji).
Легко видеть, что при суммировании этих двух равенств непосред-
ственно получается зависимость (11.14).
Приводим в заключение выражения для компонентов тензора напря-
жений в декартовых координатах, которые вытекают из представле-
ния (11.12):
~ Z (, 2
= Z (“2
д2Л> I 1 * ,2 21 \р •
йл2 / ‘ й(/2 ~Т" 2 1 -Н дх2 Г°’
&FA . й2Р0 1 v д2 . „
ду2 ) + 2 1 + v Z ду2
\ d2Fn 1 А -.2 АО
дхду / дхду 2 1 + < дхду °’
(11.16)
О силовых условиях иа боковых поверхностях плиты
409
Следующие из формулы (11.15) выражения для компонентов вектора
смещений будут иметь такой вид:
Ux = + —(1 + v) lh+Tz2^r
1 Г1—' .. I zi . \ dF*. , ,, . х dFn . оЗАДп
Uu ~ ~Е [^^Z + (1 + v)z^+^-(1+>)-^+ 2-Z 2^|
и2 = ± {- £- [(1 - V) (х2 + г/2) + 2vz2] + (1 + V) - vzAFoj .(11.17)
Как следует из всех полученных выражений, плоское напряженное
состояние тела разбивается на два независимых между собой состоя-
ния: в одном напряжения распределяются антисимметрично относительно
некоторой начальной плоскости, изменяясь пропорционально расстоянию z
рассматриваемой точки до нее, а в другом — симметрично, складываясь
из членов, не зависящих от z и изменяющихся пропорционально квад-
рату этого расстояния.
§ 120. О СИЛОВЫХ УСЛОВИЯХ НА БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ПЛИТЫ
Решение задачи теории упругости для плиты, не удовлетворяющее
статическим условиям на боковой поверхности, и приведенное выше
решение для плоского напряженного состояния позволяют путем их сум-
мирования получить решение со статически эквивалентными условиями
на этой поверхности, что может рассматриваться как приближенное
решение задачи для мест, удаленных от боковой поверхности.
Остановимся на выявлении этих условий эквивалентности. Выделим
часть плиты с цилиндрической поверхностью, нормальной к ее граням
и имеющую на срединной плоскости гладкую
направляющую s (рис. 79). Через некоторую
точку О этой направляющей проведем три
единичных вектора k, п и t, из которых
вектор k совпадает с образующей данной
поверхности поперечного сечения и имеет
направление положительного отсчета коор-
динат z, вектор п имеет направления внеш-
ней нормали к той же поверхности сечения
и вектор t, будучи ортогональным к двум
предыдущим, совпадает с положительным
направлением касательной к кривой s. Эти
три вектора могут быть приняты за орты правовинтовой локальной
координатной системы.
Если напряженное состояние плиты определяется тензором а, то
вектор а„ напряжений на любой цилиндрической поверхности попереч-
ного сечения представится как результат скалярного произведения а
и единичного вектора п нормали к этой поверхности,
ал = с • п.
(11.18)
В локальной системе координат данный вектор может быть пред-
ставлен равенством
Зл = °лл^ “Е asnt “I- aznk, (11.19)
410
Плиты
где
слл = а .. ПП\
csn—c..nt\ (11.20)
сгл = с .. nk.
Примем во внимание, что напряжение в точке некоторой поверхности
можно рассматривать как величину равномерно распределенного усилия,
приходящегося на единицу площади касательной плоскости, проведен-
ной через указанную точку поверхности. Интенсивность такого равно-
мерного распределения усилий при этом принимается равной значению
напряжения в точке касания.
Имея это в виду, проведем через точку О цилиндрического -попереч-
ного сечения плиты касательную плоскость, которая, понятно, будет
касаться поверхности сечения также по ее образующей, проходящей
через точку О. На касательной плоскости двумя прямыми, проведенными
параллельно линии касания и симметрично по обе стороны от нее, вы-
делим полосу шириной в единицу длины. Затем на этой полосе, на рас-
стоянии z от срединной плоскости, двумя прямыми, перпендикулярными
к линии касания и отстоящими друг от друга на расстояние dz, выде-
лим еще элементарную площадку (на рис. 79 она заштрихована).
Считая, что на данной полосе шириной в единицу длины и высо-
той 2/г напряжения распределяются так же, как на принадлежащей ей
касательной прямой, мы можем величину усилия, приходящегося на
указанную площадку высотой dz, определить произведением c„dz. Здесь
сл — значение вектора напряжений в точке поперечного сечения плиты,
находящейся на касательной образующего этого сечения на высоте z от
срединной плоскости. Интеграл этого выражения, взятый в пределах
от — h до -{- h, определит величину Р
+ h
Р= J °ndz, (11.21)
—h
представляющую главный вектор всех сил напряжений, приложенных
к полосе шириной в единицу длины и изменяющихся по высоте таким же
образом, как и вдоль соответствующей касательной образующей попе-
речного сечения плиты.
При скалярном умножении этого вектора последовательно на орты
п, t и k локальной системы координат мы получим значения его коор-
динатных составляющих, которые обозначим соответственно через N,
Т и Q. При этом найдем, что
/V — I cnndz,
~h
+ h
т= I Csndz; (11.22)
-ft
+ h
Q — 1 czndz.
Обращаясь к той же касательной плоской полосе шириной в еди-
ницу и высотой равной толщине плиты, определим величину главного
момента всех распределенных на ней указанным способом сил напряже-
О силовых условиях на боковых поверхностях плиты
411
ним. Для этого заметим, что радиус-вектор г, проведенный из общего
начала О в текущую точку, расположенную на касательной образующей
поперечного сечения плиты, представляется равенством
г = zk.
Тогда элементарный момент сил, приложенных к указанной ранее
площадке высотой dz данной полосы, изобразится векторным произве-
дением (k оп) zdz, вследствие чего искомый главный момент М найдется
из формулы
М = \ (k X а„) zdz. (11.23)
_л
Если принять во внимание выражение (11.19) для вектора с„ на-
пряжений, то легко можно установить, что данный момент располагается
в срединной плоскости плиты, и две его составляющие Мп и Mt вдоль
осей локальной координатной системы, совпадающие соответственно
с ортами nut, представятся зависимостями
Мп = — | Osnzdz; (11.24)
—А
Mt = I Cnnzdz.
-h
Легко сообразить, что Мп является отнесенным к единице длины
срединной кривой скручивающим моментом, a Mt — изгибающим. При
симметричном относительно срединной плоскости напряженном состоя-
нии плиты, очевидно, эти моменты должны аннулироваться, при анти-
симметричном они будут отличаться от нуля. Что касается главного
вектора, то при симметричном напряженном состоянии будут отличаться
от нуля составляющие N и Т и аннулироваться Q, а при антисимме-
тричном — наоборот, должны аннулироваться компоненты N и Т и от-
личаться от нуля Q.
В случае совмещения рассмотренного цилиндрического поперечного
сечения плиты с боковой поверхностью ее указанные главные векторы
и моменты будут определять некоторые значения, имеющие связь со
способами опирания или закрепления краев плиты. Так, например,
Q будет представлять в этом случае величину реактивного усилия в месте
опирания плиты, Mt — реактивный изгибающий момент в месте заделки
края, и т. д. Конечно, значения этих величин должны являться след-
ствием соответствующего распределения напряжений на боковой поверх-
ности, которые в свою очередь определяются краевыми условиями.
Одн'хо при указанном в начале настоящей главы способе прибли-
женного решения, выражения компонентов главного вектора и главного
момента все.х сил напряжений, распределеннььх на каждой образующей
боковой поверхности плиты, могут также служить основанием для на-
хождения статически эквивалентны.х решений. В этом случае значения
главного вектора и главного момента на боковой поверхности искомого
решения должны удовлетворять определенным требованиям.
Так как задачи теории упругости в конечном итоге приводят к за-
дачам нахождения бигармонических функций, то для каждой такой
функции должны быть сформулированы два краевых условия. В случае
412
Плиты
симметричного относительно срединной плоскости напряженного состоя-
ния плиты такие два условия будут касаться граничных значений ве-
личин N и Т. В случае же антисимметричного напряженного состояния,
как следует из приведенных выше расчетов, должны быть заранее оп-
ределены граничные значения трех величин, Q, Мп и Mt. Для увязки
этого обстоятельства с отмеченным общим требованием в отношении
количества краевых условий для бигармонических функций Кирхгоффом
была предложена особая формулировка этих требований, которая мо-
жет быть использована и в данном случае. Для ее выявления поступим
следующим образом.
Примем, что фактическое распределение
усилий на боковой поверхности плиты при вы-
полнении статических условий на каждой обра-
зующей этой поверхности является несущест-
венным для значений напряжений в местах,
удаленных от нее. Рассмотрим случай, когда
на боковой поверхности плиты действуют рас-
пределенные усилия, сводящиеся, помимо пере-
резывающих сил и изгибающих моментов, еще
Рис 80 к скручивающим моментам Мп, приложенным
к точкам срединной кривой s и дифферен-
, цируемым вдоль нее (рис. 80).
Из какой-нибудь фиксированной точки С проведем в текущую точку А
кривой s радиус-вектор г и примем во внимание, что г = где t —
единичный вектор, касательный к этой кривой. Введем затем в рассмо-
трение еще два единичных вектора k и п, где k направлен вдоль обра-
зующей боковой поверхности, ап — по нормали к ней, и пусть три
взаимно-ортогональных единичных вектора п, t и k образуют право-
ориентированную систему. Тогда для скручивающего момента Мп, на-
правленного вдоль вектора п, мы сможем составить такое преобразо-
вание:
Мпп = Mnt X k=(^X k)Mn = ^(rx kMn) — rxk^.
Отсюда в результате интегрирования по кривой s от точки 1 до
точки 2, получим, что
J Mnnds = (г X kMn)2— (rxkM2)1— J г х k~-1 ds.
Si—S2 Si—S2
Из этого равенства следует, что суммарное воздействие скручиваю-
щих дифференцируемых моментов, непрерывно распределенных вдоль
участка срединной кривой s боковой поверхности плиты, аналогично
воздействию системы перерезывающих сил, состоящей из двух сосредо-
точенных сил, (Мп)2 k и — (Л4л)1 k, приложенных в концах этого участка
дМ
и распределенных на кривой s перерезывающих сил k. При пол-
ном обходе плиты по всей замкнутой срединной кривой и возвращении
в исходную точку значения концевых перерезывающих сил (Mn)2k и
— (M^k, вследствие однозначности функции Мп, взаимно уничтожаются
и остаются в результате только распределенные перерезывающие силы
Прямоугольная плита, шарнирно опертая по краям
413
Таким образом, эффект воздействия краевых усилий, сводящихся
к распределенным по срединной кривой замкнутой боковой поверхности
плиты перерезывающим силам Q, крутящим моментам Мп и изгибающим
моментам Mt, будет аналогичен воздействию усилий, сводящихся к рас-
пределенным по той же кривой перерезывающим силам Q------и из-
гибающим моментам Mt.
§ 121. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛИТА, ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ ПО КРАЯМ
Рассматривая выражения для смещений иг, возникающих в слое,
загруженном на своих гранях усилиями, изменяющимися периодически
в двух ортогональных направлениях и представленных формулой, при-
веденной среди равенств (10.57), можно заключить, что если ограни-
читься в ней членами ряда, содержащими только коэффициенты (Ртп)7>
(Ртп)7, (Ртп)7, (Qmn)y , (Qmn)7, ТО Перемещения Иг ТОЧСК ПОПе-
речных сечений слоя, проходящих вдоль координатных осей х = 0 и у = 0,
будут равны нулю. Также будут равны нулю эти перемещения во всех
других сечениях, параллельных предыдущим и отстоящих от них на
расстояниях, равных целому числу полупериодов распределения внеш-
них нагрузок в соответствующих им направлениях. Вполне понятно, что
эти сечения могут в этом случае рассматриваться как бы находящимися
под прямолинейными опорами.
Поскольку на тех же сечениях при этом аннулируются, кроме того,
и напряжения cZJC и ауу, в чем можно убедиться из рассмотрения соот-
ветствующих формул, приведенных среди равенств (10.56), то следует
заключить, что прямоугольный участок слоя, взятый, например, в границах
между двумя сечениями х = 0 и х = £ и двумя сечениями у = 0 и у = т), где
Е и т)’— полупериоды изменения нагрузок, может рассматриваться как
самостоятельная прямоугольная плита, как бы шарнирно опирающаяся
по краям и загруженная касательными усилиями на своих боковых по-
верхностях. Касательные напряжения azx на боковых поверхностях х = 0
и х = £ и azy на поверхностях у = 0 и у = т] могут рассматриваться при
этом как результат своеобразного воздействия на эти поверхности опор-
ных реакций, имеющих направление, параллельное оси г. Фигурирующие
на тех же поверхностях касательные напряжения аху могут при этом
рассматриваться как результат воздействия реактивных скручивающих
моментов, которые не дают краям плиты отходить от прямолинейных
опор.
Заметим здесь, что с точки зрения рассмотренного выше предло-
жения Кирхгоффа тот же эффект выправления краев может быть достиг-
нут заменой действия боковых скручивающих моментов действием до-
полнительных, направленных параллельно оси z распределенных по
боковым поверхностям поперечных опорных реакций.
Для того чтобы из неограниченного слоя можно было получить
описанное выше напряженное состояние, допускающее выделение пря-
моугольной плиты, необходимо, чтобы в рядах, которыми представлены
смещения uz и напряжения ахх и ауу, а также и в остальных, все коэф-
фициенты, кроме отмеченных выше, аннулировались. Это будет возможно
в том случае, если напряжения на гранях слоя, как следует из рас-
смотрения формул (10.50) и (10.55), определяющих все коэффициенты,
будут удовлетворять некоторым условиям симметрии и антисимметрии.
414
Плиты
Разобьем прямоугольник периодов загрузки со сторонами 2с и 2т;
средними линиями на четыре части А, В, С, D (рис. 81) и эти средние
линии примем за координатные оси х и у. Тогда, для того, чтобы в при-
веденном решении для слоя сохранились только шесть коэффициентов
(Рmn)z , (Рmn)z > (Rmn)x j (Rmn)x i (Qmn)y И (Qmn) у НЗПрЯЖСНИЯ Czz НЗ Гра-
нях слоя должны быть в пределах указанного прямоугольника периодов
антисимметричны относительно координатных осей, напряжения czx—
симметричны относительно прямой у — 0 и антисимметричны относи-
тельно прямой х — 0, а напряжения cZ4, — симметричны относительно
оси х >= 0 и антисимметричны относительно оси у = 0. Принимая во вни-
мание возникающую в этом случае четкость или
нечеткость подынтегральных функций в равенст-
вах (10.50), легко заключить, что требуемые усло-
вия в отношении коэффициентов будут при этом
выполняться. Тем самым доказывается возмож-
ность получения из решения для слоя указанного
решения для плиты.
Любой из четырех прямоугольников со сто-
ронами, имеющими размеры £ и т], на которые
разбивается весь прямоугольник периодов, мо-
жет представлять в этом случае как бы отдель-
ную плиту.
Удобно рассматриваемую плиту для конкрет-
ности связывать в дальнейшем с прямоугольником
А (рис. 81).
При учете отмеченной четкости и нечеткости подынтегральных функ-
ций в формулах (10.50) значения коэффициентов, решающих поставлен-
ную задачу о плите, представятся равенствами
5 V
= щ J J [(3«)а + (Згг)ь] sin чт х sin sny dxdy,
о о
(Р mn)z ~ У [(°гг)а (a2z)bl S1H X Sin Sny dxdy,
и о
= Щ J J [(ог!/)а + (Зг^ь] sin чт х cos sny dxdy;
о о
Е *1
= щ J J [а(^)а — (°zy)b] sin Чт х cos sny dxdy;
о о
Е V
= Щ У У [(агх)а + (сгх)^] cos чт х sin Sny dxdy,
о о
= ~ У У [(сгх)а — (сгг)й] cos Чт X sin Sny dxdlj.
О о
Остальные коэффициенты в этом случае аннулируются.
Поскольку внешняя нагрузка в пределах каждого прямоугольника
полных периодов будет при таком способе загрузки слоя уравновешена.
(Pmn).
(Qmn)у
(11.25)
(Rmn).
(Rmn)x
(Qmn)^
Прямоугольная плита, шарнирно опертая по краям
415
можно прямоугольник полупериодов, принадлежащий части слоя, выде-
ленной в качестве отдельной плиты, загружать только на одной грани,
неуравновешенной на ней усилиями. Уравновешиваться эта внешняя
нагрузка будет реактивными усилиями, приложенными на боковых сто-
ронах плиты.
Общие выражения для напряжений и смещений, возникающих
в плите, получаются при описанном здесь способе решения непосред-
ственно из приведенных выше формул (10.56) и (10.57) путем простого
исключения из них членов с аннулированными коэффициентами.
Имея в виду практические потребности, приводим здесь значения
коэффициентов (11.25) для некоторых случаев односторонней нагрузки
плиты на грани z = -j- h.
1) Нагрузка нормальная, сплошная, равномерная, (сгг)а = —q0:
(Pmn)t = (Ртп)7 = -^п (т, п=1, 3, 5 ...). (11.26)
2) Нагрузка нормальная, сплошная, изменяющаяся гидростатически,
(огг)с = -^:
(г™),+-(Р™>7=-11 :::)• <п-27)
3) Нагрузка Ро сжимающая, сосредоточенная в точке х = с, у = d
(Pmn)z ~ (Ртп} г = Sin —Sin —— . (11.28)
4) Нагрузка нормальная, равномерно распределенная на площади пря-
моугольника со сторонами 2а и 2Ь, параллельными краям грани плиты
(рис. 82), (агг)а = —<?0:
/п \+ /г> 16оп - ^та . nnb . т.тс . -nd ... оп.
(Ртп)г =(Ртп)г = — Sin -z- Sin — Sin-z- Sin -z-. (11.29)
5) Нагрузка нормальная, равномерно распределенная на площади
круга радиуса ч0 (рис. 83), (сгг)а = — q0:
(Ртп)г = (Ртп)7 = - А (РтпЧ0) Sin ЫП . (11.30)
6) Нагрузка в виде сосредоточенного момента Му, вращающего
вокруг оси у в направлении от оси z к оси х и приложенного на грани
z = + Л в точке х = с, у = d:
(Pmn}z = (Pmn)z = ~~р COS -у- Sin— (11.31)
416
Плиты
7) Нагрузка касательной сосредоточенной силой Тх, приложенной
на грани z = 4- h в точке х = с, у = d и направленной в сторону поло-
жительного роста координат х:
/ у-» \ 4“ 1 j-» \ —— 471у TttTtc iznd .. ,
= (Rmn)x — COS Sifl-^— . (11.32)
8) Нагрузка в виде сосредоточенного скручивающего момента Мг,
вращающего вокруг оси z в направлении от оси х к оси у и прило-
женного на грани z = -J- h в точке х = с, у = d:
,r. \+ ir\ 2тгтЛ12 Ttfflc r.nd
(Qmn)y — (Qmn)y — COS—g—COS J
/л \+ / n 1 — 2~.nM, Ж т.п
(Rmnjx ~(RmJx =----------COS COS —
(11.33)
§ 122. ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ ПЛИТА, ИМЕЮЩАЯ В ПЛАНЕ ФОРМУ
РАВНОБЕДРЕННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Рассмотрим функцию 8г(ху) двух переменных, представляемую в
квадрате 0<x<tz, 0<.у~^а двойным сходящимся рядом
(ХУ) = Е Amn sin чт х sin чпу,
тп
коэффициенты которого обладают свойством Атп = — Апт. Если в этом
ряду коэффициенты Атп заменить через Апт, то получится новый ряд,
и так как каждому члену первого ряда будет соответствовать такой же
по абсолютному значению член второго ряда, но с обратным знаком,
то этот второй ряд будет также сходящимся в
том же квадрате, причем он будет представлять
функцию S2(xy), связанную с предыдущей ра-
венством
(ху) — —S2 (ху).
Но вместо замены коэффициентов тот же
эффект можно получить, если в первом ряду
переставить местами х и у, и тогда возникнет
равенство
51 (%, у) = — 5т(у, х).
Принимая в частном случае, что у = х, мы придем к заключению, что
(х, х) = О,
т. е. что указанный ряд принимает нулевое значение на диагонали
квадрата, в котором он определен.
Обращаясь затем к выражениям для смещений иг и напряжений
°хх и ст, которые следуют для прямоугольной плиты из равенств (10.56)
и (10.57), можно заметить, что они представляются двойными синусои-
дальными рядами, которые можно привести к рядам типа Sj(x, у). Для
этого необходимо, во-первых, область изменения переменных х и у обра-
тить в квадрат, что достигается автоматически, если принять £ = т];
во-вторых, нужно добиться того, чтобы коэффициенты этих рядов обла-
зали свойством антисимметричности относительно индексов тип.
Если обратиться к равенствам (11.25), определяющим эти коэффи-
циенты, то можно заключить, что данное их качество будет достигнуто,
Шарнирно опертая плита, имеющая в плане форму равнобедренного... 417
если внешняя нагрузка квадратов граней плиты окажется антисимме-
тричной относительно диагонали х = у.
Относя расчеты к треугольнику, примыкающему к оси у (рис. 84),
можно из формул (11.25) получить следующие выражения для коэффи-
циентов, фигурирующих в формулах (10.56) и (10.57):
Е у
{Pmn)t = ^ J J 1(згг)а 4-(сгг)ь ] (sinчтх sin ч„у —sin ч„х sin чту) dxdy;
У=0 х=0 ✓
Е У
(Ртп)7 = J J Ксгг)а —(сгг)б] (sin чтх sin ч„у —sin ч„х sin чту) dxdy;
У=0 х=0
Е У
(Qmn)y = J J [(Czja-f-(CzZ/)b](sin4mXCOS4„y —C0S4nxsin«my)dxdy;
J,=O x=0
(11.34)
E у
— 4 f f
(Qmn)y j j [(зг4,)а —(3zJfc] (sin 4mX COS 4„y —COS 4nX sin чту) dxdy;
j,=0 z=0
E у
(Pmn)x = J J [(°z*)a + (с«)г>] (cos чт x sin чпу — sin чп x cos чту) dxdy,
y=Q x=0
E у
(Pmn)7 = ^ J J [(с2л)а —(згл)„] (cos чтх sin ч„у —sin 4„x cos чту) dxdy.
y=0 x=0
В частном случае, когда треугольная плита загружена равномерно
распределенной сжимающей нагрузкой на грани z = 4-й, создающей на
ней напряжения (czz)u =—q0, из первой пары этих формул находим, что
(Pmn)t = (Ртп)7 = -^гп {(-1)т - (-1)" - [(—1)т+л -11).
(11.35)
Для случаев, когда нагрузка распределяется на грани треугольной
плиты в предетах участка, не доходящего до гипотенузы плана тре-
угольника, значения коэффициентов, определяемых равенствами (11.34),
могут быть получены из соответствующих значений для прямоугольной
плиты, если принять в них т] = Е и вычесть из полученного выражения
такое же, но с переставленными значениями т и п и обозначениями
sin и cos, если они одновременно фигурируют в формулах.
Так, например, для случая, когда в точке р(с, d) на грани z = 4-й
треугольной плиты (рис. 84), приложена сжимающая сосредоточенная
сила Ро, значения решающих коэффициентов, вследствие (11.28), опре-
делятся формулой
/г> \+ /г> \— 4Р0 / . птс . r.nd . ппс . тт<1\ ,,,
(Ртп)г =(Ртп)г = — (Sin -у- Sin —----------Sin -у- SIH -j-1. (11.36)
27 В. И. Блох
ГЛАВА XII
КРУГЛЫЕ ЦИЛИНДРЫ С ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
Задачи о напряженном состоянии тел круглой цилиндрической формы
имеют большое значение в конструкторской практике.
Ниже приводятся полученные нами на основе использования общего
метода функций напряжений решения для осесимметрического напря-
женного состояния цилиндрических сплошных и полых тел, нагружен-
ных на своей поверхности заданными усилиями. Сюда же мы относим
случай неограниченного плоского слоя со сквозным цилиндрическим
отверстием или без него при наличии осевой симметрии.
Осесимметрическая задача разбивается на две самостоятельные
задачи: 1) кручения вокруг общей оси симметрии и 2) осесимметрическая
нагрузка без кручения. В соответствии с этим мы отдельно рассматри-
ваем эти два случая деформации.
Следует отметить, что в то время как задача об осесимметрическом
кручении сравнительно просто решается во всем ее объеме для различ-
ных случаев цилиндрических тел и краевых условий, задача о загрузке
таких тел без кручения при наличии осевой симметрии оказывается
значительно более сложной и, по-видимому, для конечных цилиндров
в полном своем объеме еще не имеет решения.
z(V2- Ф)] + 2 (1 - >)ег • (\7Ф) +
Т
§ 123. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ ПОМОЩИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ
ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Воспользуемся общим решением основных уравнений теорий упру-
гости при помощи тензорной функции напряжений <р, выраженной через
гармонический тензор Ф:
-- rll-2v R + 2(v-ф).ег-
+ y(V»7 + W) (12.1)
где ez — основной вектор направления отсчета аппликат z, 7? — ска-
лярная функция, служащая для учета действия массовых сил и W —
векторная функция, определяемая формой тензора <?.
Используя цилиндрические координаты, введем следующие обозна-
чения для координатных компонентов векторного выражения \7 • Ф в
нормированной метрике:
о । бф»« , дФ„ ф«« — ф.вд.
дч + Ч(Эа + дг + ч
о /,тй_. дФ»» , ЗФг9 । о Ф«» .
5&(ф) = -^г4-тж- + -§г + 2—.
йф <эфя эф ф
л >— дч чЭ8^ дг ч ’
где Ф<ч, Ф«9 и т. д. — координатные компоненты тензора Ф.
(12.2)
Общее решение трехмерной задачи при помощи гармонической тензорной... 419
Принимая, кроме того, во внимание, что в данном случае
V2 ф _ &ФЧЧ а»Фм д»Ф2г / д»Ф д»Ф02 д»Ф2 \
V дч» "1" ч» д»« + дг» (ч дч д» + ч д& дг + дгйч J
, 9дФчч , аФ„а , дФ„ 5Ф&&
‘ чдч ' ч2 * чдг ч дч
(12-3)
мы сможем координатные компоненты тензора ср, представленного ра-
венством (12.1), изобразить следующим образом:
дФ,
<Рчч = Я + 25ДФ) + zv2 Ф + 2 (1 - о)
ср&& = т=~ГЯ + 25г(Ф) + г\72Ф + 2(! - V)
Тгг = V=V + 2S» (Ф) + 2V!Ф + 2 (1 - V)
эф 1 /dF_ dF \
^=2(1-^)-дт+4-Ы+-дг);
— 9/1 ч%.ЧЖ»Л
срйг — 2 (! О 5г + 2 \ дг + ч да/ ’
срчВ-2(1— + + W- ТГ
dW4 .
дг дч ’
дг ”1” ч д Я '
дФ„ dW,
—- -I-------
дг т дг ’
(12.4)
ч
Координатные компоненты тензора напряжений, согласно общему
представлению
а = 2 [(1 — v) (V2 • Ф + Ф • V2 — \72Ф/) + v\72.Ф/] —
— V2 [2V Ф • + zV2 Ф] — [(1 — 2v) \72Я + vF/], (12.5)
в данном случае определяются следующими равенствами:
[25г (Ф) + zV2 Ф +
- <ф) + 2V2 ф + (12-6)
п/1 Ч а р5ч(Ф) ( 35&(Ф) $в(Ф) д»Ф, ( дФ,-|
Оч& —2(1 v) <3г L «а& + дч ч чдЭдч + ч»д&]
- (-&а —[2S» (ф) + zv2.® + я];
\ч дЬ дч ч 2д& ' ' 1 v 1 — v J
0/1 ч д [35&(Ф) д5г(ф) д»Ф, ]
а&г -2(1 v) дг [ дг + ч да Ч д& дг I
- [2SZ (Ф) + г^.Ф + fl] 1
чдъдгу \ । v.. 1 — j
27*
420
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
д ras2(O) asQ(O)
Огч ( дг [ дч + дг дгдч]
-sW2s-(O>+2v!(,i,)+i^4
где
Ф/ = Фчч + ФЗД- + Фгг (12.7)
и F — функция, связанная с R первым равенством ДУ? = F.
Вектор смещений для (12.1) будет иметь вид
Ц = Ц£р[2(1 — у)ег-\7(2\7-Ф — Х7Ф/) — 2(\7!Ф),ег —
-MV2P)-z(V^)-V=vV^]. (12.8)
Мы получим для его координатных компонентов в данном случае такие
равенства:
щ [2 (1 - V) [2S. (Ф) - 5] - А [2$г (Ф) + 2V2 Ф + *]}•>
= 4“(2^ ^Иг 2^»(Ф) — — ^&[^(Ф) + г57?.Ф 4- *1^7^]};
Иг = Чгi{2 [<’ - *)(ф) - (! - v) - ZV2Ф - 7?} • (12.9)
Все координатные компоненты здесь представлены в нормированной
метрике.
Условия гармоничности тензора Ф получатся в данном случае в
результате приравнивания нулю выражения ДФ.
§ 124. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
КООРДИНАТАХ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ ПРИ ПОМОЩИ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ
Особенность осесимметрической задачи для случая, когда ось сим-
метрии совпадает с осью z цилиндрической системы координат, заклю-
чается в независимости рассматриваемых функций от координатного
угла &. Соответствующие выражения для этого случая получатся из
выражений предыдущего параграфа путем исключения из них членов,
представляющих собой производные по переменной &. На этом же осно-
вании условие гармоничности тензора Ф представится следующими
шестью равенствами:
Э2Ф Э2Ф ЭФ Ф 4- Фпо
v чч | чч , и чч п чч ~ ,
дч2 дг2 ' чдч ч2 ’
32фа» , ^Ф88 ( ЭФ88 Фч,-Ф88
ч дч + 2 ч2
^ = °;
чдч
ф&г 0.
0;
дч2 ' дг2 '
д»Фгг Э2Ф??
дч2 ' дг2 '
д‘Ф&г д2Ф8г
дч2 ' дг2 ‘чдч ч2
Э2Ф Э2Ф ЭФ Ф
гч , гч . гч гч _р.
дч2 дг2 * ч дч ч2 *
дгфч , д»Ф,9 , ЭФч& ,Фч» л
дч2 4” $гг * чдч ч2
(12.10)
Общее решение трехмерной задачи в цилиндрических координатах...
421
Отсюда видно, что компоненты Фчч и Ф,ю связаны между собой
двумя первыми дифференциальными уравнениями, в то время как осталь-
ные компоненты независимы друг от друга. В результате сложения
и вычитания первых двух уравнений можно убедиться в том, что неза-
висимыми между собой будут сумма и разность компонентов Фчч и Фи,
для которых введем обозначения 2р и 2q, так что
Ф„4-Ф&» = 2р; Фчч —Фн = 2^. (12.11)
Таким образом, указанные компоненты могут быть выражены через
две независимые между собой функции р и q при помощи равенств
Ф«« = р + q; Ф&& = P~q-
(12.12)
Условие гармоничности тензора Ф приводит, как следует из отме-
ченного, к шести независимым друг от друга функциям.
Как было, однако, показано, при решении трехмерной задачи теории
упругости с помощью тензора ср некоторые три компонента последнего
могут быть аннулированы. Поскольку тензор ср выражается известным
образом через гармонический тензор Ф, естественно, возникает вопрос
о возможностях соответствующего уменьшения числа компонентов также
в этом последнем.
Для решения его воспользуемся равенствами (12.4), которым в дан-
ном случае осевой симметрии придадим следующий вид:
Тензору ср может быть придана для случая осевой симметрии и
цилиндрических координат одна из 10 приведенных трехкомпонентных
форм. Аннулирование же некоторых компонентов тензора ср приводит
к возможности, ввиду (12.13), аннулирования также некоторых компо-
нентов тензора Ф и вектора W, поскольку последний определяется
заданием тензора ср.
Учитывая также, что два компонента гармонического тензора Ф,
а именно Фте и Фа&, связаны между собой указанной определенной
первыми двумя равенствами (12.10) зависимостью, мы заключаем, что
422
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
устранение в тензоре Ф, например, компонента Фчч при сохранении
Ф&& не уменьшит общего числа независимых функций в общем решении.
Поэтому для получения решения с минимальным количеством незави-
симых друг от друга функций следует использовать такие формы тен-
зора Ф, в которых либо отсутствуют, либо имеются оба компонента Фчч
и Ф&&.
Рассмотрение указанных 10 допустимых простейших форм тензора
ср в связи с отмеченным в отношении тензора Ф приводит к заключе-
нию, что последнему в данном случае возможно придать лишь два вида,
а именно: 1) Фчч, Фг&, Ф&& и 2) Фвд, Фч&, Ф^.
Воспользуемся, например, первой из этих форм и проследим за
выражениями для напряжений и смещений, какие в этом случае полу-
чаются. Если наряду с функциями р и q, определенными равенствами
(12.11), с целью упрощения записи ввести еще обозначение взамен ФгН
Фг& = t, (12.14)
то из рассмотрения соответствующих дифференциальных уравнений,
определяющих эти функции, можно будет получить для них следую-
щие общие выражения:
Р = 1! {[^1л4(У) + ЛгЛо (а„ч)] + [Л3л/0 (апч) + Л4лУ0(апч)]
п
q = S ЦВ1Л М + BtnY2 (₽„</)] + [ВвЛ (М 4- BinY2 (₽„Ч)]
п ’ (12.15)
t = X над (Тпч) + C^Yt (Т„Ч)1 + [С*Л (тл) + CinYt (1пч)]
п
Здесь ЛАп, Bkn и Скп (fe=l;2;3;4)— произвольные постоянные;
ап, Рп и Тл — произвольные, не равные нулю параметры; Jm(8„«) и Ут(йпч)
при т = 0; 1;2и8„ = а„; рп; -[п — цилиндрические функции, соответ-
ственно, первого и второго рода порядка т. В случае обращения пара-
метров ап, Рп, и в нуль, выражения (12.15) должны быть заменены
следующими:
р = Аг + А2 In ч + z (Л3 + Л4 In ч);
q = В1Ч2 Ва</-2 2 (В;)Ч2 В4</-2); (12.16)
t = Сгч -|- С2ч 1 -J- z (СдЧ -|- С4ч—J),
где Ак, Bk и Ck (k— 1; 2; 3; 4) — произвольные постоянные.
При использовании функций р, q и t выражения (12.6) для напря-
жений получают следующий вид:
Цилиндрические тела конечной длины...
423
о/i \ д2 \д(р — q) ( д д2 \ л 1 — 2v б2/? .
— ““2 (1 '/) Y 1 д-----2 — | — I —j— -4- 2д ч" I (\/ Ф)-< д д- ,
' ' дг2 L дч п J \ дч дгдч! ' v •• ' 1 —ч дг дч
- _ о Л х д2 ( dt t \ .
— 2 дг2 \ дч ч ) ’
о&г = 2(1-,)^.
Здесь
^Ф = ^(Р±9) + ^Ф + ЗД. (12 18)
v • дч2 чдч '
Что касается смещений, то для них, ввиду (12.9), получаем такие
зависимости:
“• = - Т[4(1 ->)-S + (1 + *4)(Vsф) + ; (12-19)
4(1 —v2) d2t
Е дг2'
Как видно из равенств (12.17) и (12.19), касательные напряжения
в плоскостях меридиональных сечений <м и о&2, а также нормальные к
этим плоскостям смещения и;. не зависят в данном случае осесимметри-
ческой задачи от остальных компонентов напряжений и смещений и от
потенциальных массовых сил. Этот результат можно усмотреть также
непосредственно из уравнений равновесия и совместности, представлен-
ных в цилиндрических координатах при наличии осевой симметрии.
Из геометрических соображений легко заключить, что смещения
и», определяемые функцией I, могут обусловливаться лишь наличием
деформации кручения вокруг оси г. Соответствующие этой деформации
напряжения представляются компонентами и а&2. Остальные же напря-
жения и смещения, очевидно, являются следствием осесимметрической
деформации без скручивания.
Следует заметить еще, что если воспользоваться второй из двух
указанных форм решения, т. е. вместо тензора Фчч, Ф2&, Ф&& ввести в
рассмотрение тензор Фчч, Ф«&, Ф&&, то окончательные формулы для напря-
жений и смещений, которые получатся после введения цилиндрических
функций, не будут отличаться от тех, которые возникают в первом случае.
Далее рассмотрим ряд задач на кручение и отдельно на осесим-
метрическую деформацию без кручения тел цилиндрической формы. При
рассмотрении задач на кручение в предыдущих выкладках, очевидно,
необходимо будет принять
р = ^ = Г = Д = О. (12.20)
Наоборот, при рассмотрении осесимметрической деформации без кру-
чения необходимо будет положить в них
t = 0.
(12.21)
§ 125. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ТЕЛА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ, СКРУЧИВАЕМЫЕ
УСИЛИЯМИ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ НА БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
1. Два вида загрузки. Рассмотрим задачу о кручении полого круг-
лого цилиндра конечной длины с концентрическими наружной и внутрен-
ней боковыми поверхностями. Пусть скручивающие усилия распреде-
лены на этих боковых поверхностях с соблюдением условия осевой
424 Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
симметрии. Цилиндрическую координатную систему расположим таким
образом, чтобы координатная ось г, совпадающая с осью цилиндра,
имела начало отсчетов посредине между его торцевыми гранями. Длину
цилиндра обозначим через 2h, радиусы наружной и внутренней боковых
поверхностей — через чн и чв, а касательные напряжения на этих поверх-
ностях — соответственно через (а«&)н и (<м)в- Очевидно, эти последние
будут функциями переменной г:
(MH = fH(z); (<M)B = fB(*)- (12.22)
Имея это в виду, введем в рассмотрение два вида новых поверх-
ностных напряжений (<м)н.в и (з«&)н.в, где при помощи обозначений с
двойным индексом н;в объединены общей записью величины, относящиеся
или к наружной, или к внутренней боковой поверхности, представ-
ляемым равенствами
/’ \ /н;в (г) Д;в 1 z\ (с\\ ?н:в( г) /1ООо\
(ад)н ;В =-------2------: = ---------2------• (12-23)
Очевидно, что напряжения, определяемые значениями (5ЧН)Н.В, будут
иметь симметрический закон распределения относительно средней плос-
кости поперечного сечения цилиндра, а определяемые значения (зчн)н.в—
антисимметрический. При наличии этих новых обозначений заданные
напряжения будут определяться равенством
(°ч&)н:в = + (0*&)Н;в- (12.24)
Следует заметить, что скручивающие моменты всех сил напряжений
на наружной и внутренней боковых поверхностях, а также на любой
другой промежуточной цилиндрической поверхности, из условия равно-
весия должны быть во всех случаях равны между собой, причем при
указанной симметрической загрузке они могут отличаться от нуля, а
при антисимметрической должны равняться нулю.
В дальнейшем рассмотрим в отдельности два случая кручения ци-
линдра, а именно, кручение, вызываемое 1) антисимметрической относи-
тельно срединной плоскости загрузкой, и 2) — симметрической.
2. Кручение полого цилиндра, вызываемое антисимметрической от-
носительно срединной плоскости загрузкой. Примем, что функция напря-
жений t, представляемая в общем виде третьим равенством (12.15), по-
лучает в данном случае следующий вид:
* = £ ЮЛ (ЪЛ) + С2Л1 (in4)] sin l„z. (12.25)
п
Здесь /j (угч) — функция Бесселя первого рода первого порядка
мнимого аргумента, а (^пч) —функция Макдональда первого порядка.
Из сопоставления третьей формулы (12.16) для t с выражениями для
напряжений и смещений, определяемых при помощи этой функции
в равенствах (12.17) и (12.18). легко заключить, что последняя форма
функции t является бесплодной и потому из рассмотрения исключается.
Напряжения ач& и зг&, при использовании представления (12.25),
найдутся из равенств
°ч& = —2 (1 — v) V [С1п7г (тпч) — С2пКг(тпч)] i3n sin тпг:
п
= —2 (! — v) S ЮЛ (V0 + C2rAl(V01 Т® COSfnZ.
(12.26)
Цилиндрические тела конечной длины...
425
Отсюда видно, что для аннулирования напряжений аг9 на торцевых
те (2п -1-1) п 1 о о
поверхностях достаточно принять , где п = 0; 1; 2; 3 ...,
и тогда на граничных боковых поверхностях напряжения ачй определятся
из равенства
V7 Г /те(2п+
я=0; 1, 2 ...
_Г к ^(2»+1)^; Д\1те3(2п+1)3 ^.„те(2п+1)г ,]9<zn
ЧпЦ 2А /] 8/г3 Sn 2/г •
Далее, считая, что заданные поверхностные напряжения (о.й)н. в на
всей длине образующих нашего цилиндра удовлетворяют условиям
Дирихле, разложим выражения этих напряжений в ряд Фурье по
. те (2п +1) z , , ,
sm ——------- при изменении г в пределах от —п до -j-ft:
Ын:в = S (4)H;Bsin;i(2w2+1)2, (12.28)
п=0, 1, 2 ...
где (ал)н; в — постоянные.
Согласно общим правилам, находим, что
+h
(Ч)н;в = | J Ын;в^пл(2п2+1)г^. (12.29)
-л
Сравнивая затем две формы разложения функций (<\S)H. в в ряд
(12.27) и (12.28), получим, ввиду (12.29), такую зависимость:
/те(2п+ 1)чн. в\ /те(2«+1)чн. в\ _
ЧпЦ 2/г ) Чл'Ц 2/г )-
+h
__ 4№ С . . . те(2п+1)г ,
(1 —-.)^(2n+I)3 J (°ч&'Н; в Sln 2/г аг'
—h
Вводя обозначение
, р(2п+1)чн\ /те(2п+1)чв\ /те(2п+1)чв\ /те(2п + 1)«н'
Ч = 4 ------Th----J/Ц-----2/г---/ - I-----2/г--Г® (-----2й-----.
(12.30)
и решая относительно постоянных С1п и С2п два уравнения, получаемые
из предыдущего равенства отдельно для каждого из индексов Н и В,
найдем такие выражения:
С - w Ftf (п(2п + D«H\ f , ,
ln (1 — м)те3(2п+ I)3 £>„ Щ 2й /J 4&'B
—h
. те(2п4-1)г
Ч1П —'---!——
2Д
dz —
^2n —
(2« + o vb'| Г 4 _. те (2n-|-1) Z j_]
/Ц 2Д J J (Зч&)нsin 2Д dz\
—h
4h^ Г. ^(2п+1)4^ f , , .^те(2п+1)2
(1—ДкЗ(2п+1)ЗГ)пЩ 2h JjvWBsln 2/г
—h
>. (12.31)
dz—
-It
+Л
/те(2п+1)чв\ f
----2Л---)\ Ын51П
—h
те (2n + 1) Z
2/г
dz]
426
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
При этом функция t примет следующий вид:
те(2п + 1) Z
4й* VSln 2ft /Гь-/71(2п+1)чн\ г /к(2л+1)ч\ ,
“ (1-?)х» / 1 (2п + 1)з D~ lLA2\ 2А ГЦ 2й М
'1=0
, , Г (2n + 1) чн
+ /2,х 2ft .
+Л
те(2п +
. 2ft"
J (Мв5‘п11?,12ГД£й2-
—h
—h
(12.32)
а из равенств (12.26) получим формулы, определяющие напряжения:
ачй ~
-° . 7Г (2п +1)2
VSln 2ft /[4 Г(2п+ 1)4^ f /+(2п+1)</) ,
/ I Dn (Р2\ 2й / s\ 2ft ) +
n=u
я (2n + 1) чн
2ft
/тс (2n + 1)
Ц 2ft
я (2n + 1)«B'
< 2Л ,
+h
-h
Г Г(2«+ i
Ц 2ft ) +
+ft
°г&-
’7t (2n + 1) <7B'
—ft
7t (2n + l)z
2ft
Dn
sin
(12.33)
л (2n+ 1)«H
. 2ft
'r.(2n+ 1)чв
„ 2/z
M2n+ 1)«H
„ 2ft
+Л
—h
л(2п+1)чвЦ Ц(2т1+1)ч\
. 2ft Гх\ 2ft /
+h
f (oJHsin"(2W2t~~4-
—ft
Смещения обусловливаемые возникающей при этом деформацией,
.могут быть найдены из формулы
» . те(2п +1)2
4(1 + '*) VSln 2ft Г(2п+1)чн^ , {п(2п+-Г)ч\
U^~ Eit / । (2n+l)Dn 2ft 2h )
n=0
+Л
^(2n + V)4H\ {^(2п+1)ч\] f ч „:„к(2л+1)гл,
+ Z2 -----2ft---Г1 V----2Л----/] J Sln----------2ft--dZ ~
—h
+
(12.34)
Цилиндрические тела конечной длины...
427
3. Кручение полого цилиндра, вызываемое симметрической относи-
тельно срединной плоскости загрузкой. Будем исходить из выражения
функции t напряжений следующего вида:
t = U [С3Л (т^)] cos lnz- (12.35)
Анализируя получающиеся из этой формулы выражения для напря-
жений, можно заключить, что для сравнения членов двух рядов, воз-
никающих в данном случае и при использовании метода рядов Фурье,
необходимо исключение в этих последних члена с нулевым значением
параметра ~[п. Однако это возможно в том случае, если общий крутящий
момент поверхностных усилий на каждой из боковых граничных цилин-
дрических поверхностей оказывается равным нулю. Имея это в виду,
поступим следующим образом.
Обозначим через М значение общего крутящего момента внешних
усилий на каждом из граничных цилиндров радиусов чн и чв:
+д +д
М = 2кч* f (а,а)н dz = 2кч2в J (оJB dz. (12.36)
—Л —h
Тот же момент, как отмечалось, будет создавать напряжения на
любой другой сквозной цилиндрической поверхности, проведенной внутри
рассматриваемого тела.
Если принять, что этот момент получается в результате действия
касательных напряжений тчЭ, равномерно распределенных на любой из
указанных цилиндрических поверхностей радиуса ч, то для этих напря-
жений из элементарных соображений о равновесии отсекаемых частей
можно будет составить равенство
' — м
— 4-й-г2 •
(12.37)
Легко убедиться в том, что эти напряжения удовлетворяют всем
основным уравнениям теории упругости в цилиндрических координатах.
Соответствующие им смещения будут определяться формулой
1 + V М
~ Е 2-Еч'
(12.38)
Очевидно, напряжения можно рассматривать также как средние
значения фактически действующих напряжений на соответствующих
цилиндрических поверхностях при заданной внешней загрузке.
Имея в виду поставленную задачу о напряженном состоянии ука-
занного цилиндрического тела, исключим из рассмотрения эти средние
напряжения, значения которых при определенном общем скручивающем
моменте известны, и будем решать ту же задачу для случая, когда
граничные напряжения определяются равенством
В = В В" (12.39)
Общий скручивающий момент М* внешних усилий, действующих
в данном случае на наружной и внутренней боковых поверхностях,
будет, понятно, удовлетворять услов"ию
+А +h
М* = 2^н J (0*й)н dz = 2кч| j (O^)B dz = 0. (12.40)
—h —h
428 Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
Исходя затем из функции* t в форме, определяемой равенством
(12.35), мы можем, на основе зависимостей (12.17), получить следующие
выражения для искомых напряжений, которые в данном случае будем
обозначать через а*а и о*а:
<4 = —2 (1 — *) 1СзЛ (Тп«) — С4пК.2(1пч)] cos (fnz);
= 2 (1 - v) V [СЗПЛ (Ьч) + С4Х(Т^)1 I3 sin Ю). (12Л1)
Следует заметить, что напряжения а*а для случая, когда внешняя
нагрузка задана значениями (а*а)н. в, определяемыми равенством (12.39),
будут такими же, как и для случая, когда эта внешняя загрузка задана
значениями (<\а)н. в.
Из второго равенства (12.41) легко заключить, что для аннулиро-
вания напряжений а*& на свободных от внешних усилий торцевых гранях
т.п
рассматриваемого цилиндрического тела достаточно принять = -^,
где и = 1, 2, 3 ... В этом случае напряжения на граничных боковых
поверхностях будут определяться равенством
«а)н; в = -2(! - (™)3cos^z. (12.42)
При разложении заданных поверхностных напряжений, удовлетво-
ряющих условиям Дирихле, в ряд Фурье по cos и изменении z
в пределах от —h до -\-h, получим, что
«8)н; В = («о)н; В + 1 ЮН; BC0S V’ (12‘43)
п=1
где (а0)н; в и (а„)Н; в — постоянные, определяемые равенствами
+л
Юн;в = ^ J «&)Н:в^; (12.44)
—ft
+ft
К)Н; В = Т J Юн; BC0S?d2>
—h
причем постоянные (а0)н: в, ввиду (12.40), равны нулю.
Из сравнения двух выражений для напряжений (а*а)н. в, (12.42)
и (12.43), мы получаем зависимость
(ппчн. в\ /7ГИ'/Н; в\ йа Г / ^nz . /]С .г,
д j ( h J — 2(1 — 1/)-зпз J (°ч&)н: bC0S h ^Z' (12-45)
—h
Если введем обозначение
[т.пЧгД [т.пчг>\ /^пчи\
—> (— ) - (—> (“/г) (12'46>
Цилиндрические тела конечной длины...
429
и решить два уравнения, определяемые равенством (12.45), относительно
постоянных С3п и С4п, то найдем, что
cin
+h
п Л2 ГIZ ( тпчр\ f , *. лпг ,
Сзл— 2(1 — м) 7сЗПздп [М, h / J ЫнСО5Л dz
—h
(12.47)
r.nz J 1
cos -j- az .
h J
Функция t в данном случае получит вид
и тепг
+Л
Исходя из равенств (12.41) мы можем теперь составить следующие
выражения для напряжений:
+h
+h
Что касается соответствующих смещений, то, согласно последней
формуле (12.19), они будут определяться в данном случае равенством
°° т.пг
4 = V [[к W _
® Е~ пУп ([ 2\ Л / ^hj
п=1
+Л
-'-(тВЫт)И <|250>
—h
430
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
Окончательные выражения для напряжений, которые будем обозна-
чать через ача и аг&, на основе всего приведенного выше получается из
равенств
ач& = 0*» + °г» = °*&> (12.51}
где определяется формулой (12.37).
Соответствующие значения смещений, обозначаемые через иь, полу-
чатся в виде суммы
«a = wa + ua, (12.52)
где иа определяется равенством (12.38).
4. Кручение сплошного цилиндра, вызываемое антисимметрической
загрузкой. Если цилиндрическое тело, скручиваемое антисимметриче-
скими относительно срединной поперечной плоскости усилиями, прило-
женными на боковой его поверхности, не имеет внутренней сквозной
полости, значения напряжений и смещений определятся по схеме рас-
суждений, приведенных в п. 2.настоящего параграфа при условии, что
в формуле (12.25) для t коэффициенты будут приняты равными нулю.
Это вызывается необходимостью устранить из решения функции Kj (?„«),
которые приводят к бесконечностям при уменьшении ч до нуля. В полых
цилиндрических телах такое уменьшение радиуса ч исключено. Одно-
временно в сплошных телах исчезает необходимость выполнения гранич-
ных условий на внутренней полости, и все выкладки при этом значи-
тельно упрощаются.
Не останавливаясь на подробностях, приведем окончательные ре-
зультаты, которые получаются в данном случае:
* Л=0, 1, 2...
/те(2п + 1)ч\
Ч ' J
/^(2« + 1) чн\
Ч 2й )
+h
. it (2n + 1) г С. . . Tt(2n-|-l)z ,
stn - | (<M)Hsin-v dz
—h
Л=0, 1, 2...
/те(2п-|- 1)<Л
Ч—7
/те(2п + 1)ч\
Ч—
+h
it(2n-j-l)z Г, . . те(2п+1)г,
cos 2р |(o<a)Hsin 2h dz
—h
; (12.53)
t
_<» . (it (2n 1) ч) . те(2п-|-1)г +h
4(14-v) V1 Ч 2ft / Sln 2ft f. . . те(2п+1)г,
£те / । /те (2n-|-1) ч\ 2ft + 1 j (MhSIII 2A dz.
n=0, 1, 2... Ч 2ft / — h
(12.54)
5. Кручение сплошного цилиндра, вызываемое симметрической за-
грузкой. Как и в предыдущем случае, соответствующее решение полу-
чится по схеме рассуждений, приведенных в п. 3 настоящего параграфа,
при условии, что в формуле (12.35) для t постоянные Cin будут заранее
аннулированы. Кроме того, так как при отсутствии внутренней полости
в теле скручивающий момент всех усилий, приложенных на внешней
боковой поверхности цилиндра, вследствие требований равновесия должен
равняться нулю, то отпадает необходимость в предварительном учете
средних напряжений и их исключении при вычислении членов возни-
кающих рядов.
Цилиндрические тела, скручиваемые усилиями...
431
Формулы для определения напряжений и смещений будут в данном
случае в конечном итоге иметь следующий вид:
(12.55)
(12.56),
6. Кручение неограниченного слоя с круговым цилиндрическим
отверстием, вызываемое усилиями, приложенными на боковой поверх-
ности отверстия. Тело указанной формы можно рассматривать как пре-
дельное, которое получается из полого цилиндра при неограниченном
увеличении наружного радиуса. Как и в цилиндрических телах, здесь
будем различать случаи антисимметрической и симметрической относи-
тельно срединной плоскости слоя загрузки боковой поверхности цилиндри-
ческого отверстия. Соответствующие решения для напряжений и смеще-
ний можно получить тем же путем, как и в случаях сплошных цилиндров
по схемам п. п. 2 и 3 настоящего параграфа, принимая в исходных фор-
мулах для функции t постоянные множители С1п и С3п равными нулю
и исключая, таким образом, из рассмотрения функции (тпч), приво-
дящие при ч -> оо к неограниченным значениям.
Не давая здесь окончательных формул, заметим лишь, что для случая,
антисимметрической загрузки боковой поверхности цилиндрического
отверстия радиуса чв выражения для напряжений и смещений можно
получить из (12.53) и (12.54), если в них заменить на —Кг, 12 на К2,
чн на чв, (cQa)„ на (ач9)в.
При симметрической относительно срединной плоскости загрузке
боковой поверхности отверстия радиуса чв можно учитывать, что общий
крутящий момент этих поверхностных усилий может уравновешиваться
в слое на бесконечности, ввиду чего равенство его нулю не обязательно.
Поэтому предварительное исключение среднего напряжения ('зд)в из за-
данных поверхностных усилий (<зч&)в по схеме равенства (12.39) при
вычислении членов возникающих рядов функций в данном случае необ-
ходимо. Окончательные выражения для напряжений и смещений найдутся
из равенств (12.51) и (12.52). Входящие в них величины а*а, ’а*а и н*
будут определяться по формулам, какие получатся из равенств (12.55)
и (12.56), если в них заменить на —/<1, /2 на К2, чи на чв, (<м)н на
(°*а)в, а*» на а*»> на о*& И на и1-
§ 126. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, СКРУЧИВАЕМЫЕ УСИЛИЯМИ,
РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ НА ТОРЦЕВЫХ ГРАНЯХ
I. Кручение сплошного цилиндра конечной длины. Расположим
систему круговых цилиндрических координат относительно рассматри-
ваемого цилиндрического тела так же, как в предыдущем случае. Пусть
432
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
длина цилиндра по-прежнему равна 2ft. Напряжения на торцах, являю-
щиеся функциями радиуса ч, обозначим для одного торца, при z = +ft,
через (о2&)а, а для другого, при z — —ft, через (о2а)й. Скручивающий
момент торцевых усилий будет
*н
М = 2л J (о20)а. ьч2(1ч = чн, (12.57)
о
где ч„ — радиус цилиндра, и наличие двойного индекса а; b означает,
что равенство будет справедливо при любом из них. Если мы вместо
переменной ч введем переменную р, связанную с ч соотношением
Р = Т’ (12-58)
н
то выражение для момента получит вид
1
М = 2rc«®J(O2f>)a;bp2dp. (12.59)
о
Предположим далее, что аналогичный момент вызывает в любом
поперечном сечении цилиндра касательные напряжения т2&, изменяющиеся
по линейному закону чистого кручения круглых стержней
1
= 4 f (<м)а: йР2ф. (12.60)
Проверкой можно убедиться в том, что такой закон распределения
напряжений удовлетворяет всем основным уравнениям теории упругости.
Соответствующие этому напряженному состоянию смещения, при непо-
движности точек координатной плоскости г = 0, будут определяться
равенством
1
4(1-|-м)Л1чг 8(I-|-v)Z4 f, . », /к, m
Ц» = Т — = - Т - М»; йр2ф. (12.61)
с да £ % J
н О
Присоединим к заданному напряженному состоянию цилиндра напря-
женное состояние, определяемое равенством (12.60) с обратным знаком и
результирующие напряжения обозначим через о*&:
о*» = <зг» — тг!>. (12.62)
В этом случае скручивающий момент Мо результирующего напря-
женного состояния в любом поперечном сечении цилиндра будет равен
нулю:
1
мо = 2к«2 J w2dp = 0. (12.63)
о
Напряжения от такого добавления не изменятся, так что мы
можем написать, что
(12.62 J
Цилиндрические тела, скручиваемые усилиями...
433
Что касается смещений, то обозначая их для заданного напряжен-
ного состояния через us, а для результирующего, возникающего после
указанного добавления, через us, мы получим, что
и» — us— vs. (12.64)
Далее заметим следующее положение, относящееся к разложению
некоторой функции в ряд Дини. Если имеется функция f(x), определен-
ная в интервале (0; 1), имеющая в промежутке (а; Ь), где 0 < а < b < 1,
ограниченное изменение и допускающая существование интеграла
1 1
j х2 f (х) dx,
о
то она может быть разложена в ряд Дини:
11Л* + 0) + f U - 0)] = Во (х) + У baJm (<х„х), (12.65)
h=l
где ан является корнем уравнения
a„j;(an) + WJm(an)=0, (12.66)
bn — постоянные коэффициенты, Н и т — действительные постоянные,
причем т >----и Во (х) — начальный член разложения, значение которого
зависит от того, какое из трех условий Д-|-т^0 выполняется. Нас
будет интересовать случай Н + т = 0, когда
B0(x) = 2(m-|-l)xmjEm+V(c)dc. е (12.67)
О
Что касается постоянных Ьл, то они определяются из общей формулы
2<4
Ьп = ------. (12.68)
4-т«)ГиЫ + «Х W
Имея это в виду, обратимся к нашей задаче.
Будем исходить из выражения функции t напряжений следующего
вида:
t = I (CineV + C3ne-V) Ц Ы, (12.69)
п
которое получается из общей формулы, представленной третьим равен-
ством (12.15), если из нее исключить функции Vj (?„«), обращающиеся
в бесконечность при ч = 0, приняв С2п = С4п = 0.
Для напряжений очэ, ввиду соответствующего выражения группы
равенств (12.17), мы получим при этом следующее представление:
= —2 (1 - v) § f (С1пеТпг + C3ne~W) J2 '
П—l п
28 В- И, Блох
434
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
Так как на боковой поверхности цилиндра, т. е. при ч — чн, напря-
жения о,» должны равняться нулю, то будем параметру -[п придавать
лишь те положительные значения, которые удовлетворяют уравнению
/г(Т„«н) = 0. (12.70)
Вводя обозначение
. >•„ = № (12.71)
и имея в виду соотношение (12.58), представим функцию t следующим
образом:
t = Е (С1ПД + (Х„р). (12.72)
h=l
Тогда для напряжений о*» найдем равенство
ОО *Пг __ кПг
4> = 2(1->)S +С3„с .’h)A(V). (12.73)
п=1
Придавая z значения +h или —h, мы получим из последнего пред-
ставления соответствующие выражения для напряжений (о*»)а или (а*ь)ь —
для одной или другой торцевой поверхности цилиндра.
Примем далее во внимание, что Хп есть положительные корни функ-
ции J2(Xn), и так как
гп
то, следовательно, заключаем, что Хп в то же время являются решениями
уравнения
м;(м-л(м=о. (12.74)
Это равенство является частной формой более общего условия (12.66)
из которого оно получается, если принять в нем Н ——1 и п=1,
Но в таком случае, как следует из приведенного, функции (о*&)а и (агЭ)&
могут быть разложены в ряды Дини, если выполняется условие суще-
ствования интегралов
1 _i_
j Р 2 (o*»)a;bdp.
О
Так как в нашем случае имеет место равенство
Н + п = 0,
то начальные члены разложения должны, согласно представлению (12.67)
иметь вид
1
[ВДкь = 4« J(4)a; bp2dp.
о
Принимая во внимание, что (о*э)а; ь удовлетворяют условию (12.63)
мы заключаем, что в нашем случае
[^0 (ч)]а; 6 = о, (12.75)
и, таким образом, две функции (а*э)а; ь можно представить в виде рядов
Дини без начальных членов.
Цилиндрические тела, скручиваемые усилиями...
435
Введем в соответствии с индексацией разлагаемых функций обозна-
чения (Ьп)а и (/?„),, для коэффициентов этих рядов. Тогда, ввиду (12.68)
и (12.75), мы получим для них следующие выражения:
2 Г *
(Ьп)а; Ь = ~~2П . \ Ьрф (Х„р) dp.
JlUn) •„
(12.76)
Далее, ввиду единственности разложения в ряд произвольных в
известных условиях функций (аг9)л; ь по определенным функциям Л(^Р).
мы можем сравнить между собой коэффициенты ряда (12.73) с коэффи-
циентами ряда Дини. При этом получим такие два уравнения, которые
позволят нам определить постоянные С1п и С3п:
*nh rnh s 1
С. е"н — С3пе -----I (4) pJ 1 (Х„р) dp;
1п 3,1 о—
\nh 3 1
"н — Сзне = ---------- н3 l(o*&)& РА (V) Ф-
(1 4) Л Ji(An) у
Отсюда найдем, что
3 I — Г
------п Н к "н р а (х„р) dp -
2(1-.) 4ццл)shL г/
м
_м> 1
— е j (4>)fc pJj (Х„р) dp
О
4n =
3 г 1
----~-----Т-----2ТТ Г ’Н ’ Р71(4р)Ф—
2(1-4) X3J3(X„)sh^ L 0
x"h (1
— е “и j (а*9)ь pJ! (Х„р) dp
О
и, вследствие этого, получим из (12.72) следующее выражение для.
функции t:
t =
з
чн
1—4
у_Л(М) [ch
л=1 чн
f(4)apA(V)dp-
_ ch —j (3*&)b pJ 1 (V) ф] •
28*
436
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
Напряжения о*» и а*& при этом будут:
оо
п = 1
[ch MLL£)J(4)e рА (X„p)dp-
Jj On?)
2 2/nh
Л ОЛ sh -5-
— ch
(12.77)
4 = 2 У~2А(ХпР)2л Г [sh f <X"P) dP +
A2().„)sh^ L 4« i
1
+ shM^L£)f(^)6pj1(kn?)dpl.
Чн j
Окончательные значения напряжений оч» и а2», возникающих под
действием заданных усилий, найдутся из равенств (12.62) и (12.62J.
Смещения п», соответствующие напряжениям (12.77), определятся
формулой
* 4(1 + 1/)
Щ = -*-£—~ЧН
J1(^пР)
Wi2(>„)sh^
чн
^±^)f(4)aPJ1(x„p)dp-
«Н J
— ch^—(
(12.78)
Окончательные значения смещений щ найдем из равенства (12.64).
2. Кручение полого цилиндра конечной длины. Наличие решения
для сплошного цилиндра конечной длины, скручиваемого торцевыми
усилиями, а также решений для полого цилиндра, скручиваемого уси-
лиями, приложенными к боковым поверхностям, позволяет принципиально
решить также задачу о кручении торцевыми усилиями и полого ци-
линдра. Для этой цели необходимо лишь определить в сплошном ци-
линдре, скручиваемом заданными торцевыми усилиями, возникающие на
поверхности предполагаемого цилиндрического отверстия напряжения и
затем устранить их при помощи решений п. 2 и 3 § 125.
3. Кручение сплошного полубесконечного цилиндра. Рассмотрим
задачу о напряженном состоянии сплошного цилиндра, скручиваемого
усилиями, приложенными на одном из торцов, когда другой торец не-
ограничено удален. Совмещая положительную координатную ось z с осью
цилиндра и располагая начало координат на торцевой грани, загружен-
ной скручивающими усилиями заданным образом, воспользуемся реше-
нием, приведенным в п. 1 настоящего параграфа. При этом сохраним
для заданных напряжений на рассматриваемой торцевой плоскости ци-
линдра обозначение (ога)а и используем приведенные там остальные
обозначения с их значениями.
Исходя затем из функции t, представленной равенством (12.72),
примем в ней С1п — 0, поскольку в противном случае величины опре-
деляемых ею напряжений а*» и <зд, а также смещений щ будут неогра-
ниченно возрастать при удалении от торцевой грани, что при полной
Общее решение трехмерной задачи...
437
взаимной уравновешенности элементарных сил торцевых напряжений
(°г»)а не может соответствовать действительности. В самом деле, нерав-
номерность в распределении напряжений на торце, обусловленная внеш-
ней нагрузкой, должна по мере удаления от него и рассеяния усилий
при передаче их от каждого материального элемента к соседним, посте-
пенно сглаживаться.
Не останавливаясь на промежуточных выкладках, которые очевидны
из приведенного в п. 1 хода решения, ограничимся здесь окончатель-
ными результатами:
“ Лдг А
0:a = -2V^e Г(«Г&)орЛ(^Р)^Р; (12.79)
_ V 1
0;а = - 2 V е "н (а* )аРЛ (М) dp.
Х^г
со ~~ — 1
«* = 4_IL+z2Чи у;'НМС(0;8)аР/1 (хпР) dp. (12.80)
С чуп) п J
п—1 1 п/ о
Полные значения напряжений (<м) и аг», а также смещений и»,
образованные всей заданной на торце нагрузкой, найдутся из равенств
(12.62), (12.62J и (12.64). Выходящие в них величины т2а и п» будут
определяться равенствами (12.60) и (12.61).
4. Кручение неограниченного плоского слоя с цилиндрическим от-
верстием или полупространства со сквозным цилиндрическим каналом.
Мы не рассматриваем здесь вопрос о возможности разложения задан-
ной в интервале (1; ) функции в ряд, аналогичный ряду Дини по
Бесселевым функциям второго ряда. Общие соображения позволяют
предполагать, что такое разложение при некоторых условиях допустимо,
причем формулы коэффициентов этого разложения будут заключать не-
собственные интегралы с пределами от р= 1 до р=со. Если это так,
то при наличии соответствующих формул для этих коэффициентов не
составит труда получить указанным в п. 1 способом также решения
осесимметрической задачи для неограниченного плоского слоя с нор-
мальным к нему цилиндрическим отверстием или для полупространства
со сквозным цилиндрическим каналом, нормальным к граничной плоско-
сти, скручиваемых усилиями, распределенными на плоских границах.
5. Кручение сплошного неограниченного плоского слоя или полу-
пространства поверхностными усилиями. Данная задача при некоторых
условиях может быть решена путем использования функции t, пред-
ставленной формулой (12.96), в предположении, что параметр может
принимать всевозможные значения от 0 до со, непрерывно изменяясь,
и суммирование заменяется интегрированием при неограниченном умень-
шении коэффициентов С1п и С3п.
§ 127. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ ПОМОЩИ
БИГАРМОНИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В КРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ПРИ НАЛИЧИИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
В § 124 были получены общие выражения для напряжений и сме-
щений в цилиндрических координатах при наличии осев й симмет-
рии путем использования общего решения с помощью гармонической
438
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
тензорной функции напряжений. Они позволили нам рассмотреть ряд задач
на кручение. С помощью этих общих зависимостей можно решить также
ряд осесимметрических задач при другом способе загрузки тел. Непо-
средственное их применение позволяет получить решения для неогра-
ниченных плоских слоев. Большие возможности, однако, предоставляют
решения, основанные на непосредственном использовании бигармони-
ческих тензорных функций напряжений. Вследствие этого остановимся
на выявлении соответствующих координатных равенств, возникающих в
данном случае.
1. Будем исходить из представления тензорной функции ср напря-
жений через бигармонический тензор В:
<Р = + V2 • • BI + (1 - v) ДВ + ~ (Vpz + rv). (12.81)
Используя правые части равенств (12.10), изображающие компо-
ненты выражения ДФ в круговых цилиндрических координатах для слу-
чая осевой симметрии, и вводя обозначение
Д = ^ + ^4-А (12.82)
дч2 дг2 чдч ' '
мы можем составить следующие зависимости:
= 1^7?-|-V2- • в + (1 — V) [\ВЧЧ — 2 ,dW4
<pw = ^7? + V2- .B-Hl->)fcBw + 2^=-^ ) , 1 + Т
?zz = ^7? + V2- •В + (1->) ДВ„ + ^;
<Р»г = (1 — v) ^ДВог — ВаЛ , 1 . ч2 ) + 2 дг ’
<Рг« = (l-v)^- ч2 / + 2 1 Оч ‘ дч I '
= (1->)(двч!)- . Вчй\ , 1 IdWb М7&\ 4 ч2 ) + 2 дч ч)'
(12.83)
'2 р______д2Вчя I д2Вгг । q д2В2ч . q дВчч дВ&а । q дВ2Ч
дч2 дг2 дч дг ч дч ч дч ' чдг
где
(12.84)
Условие бигармоничности тензора В приводит
уравнениям, которые легко могут быть составлены,
равенств (12.10):
Д2(Вчч + Вад) = 0,
(д-А)’(В™-В„)=0;
Д’В„ = 0;
(д-1)к = 0;
(д-^-О;
(д-±Ув«, = о.
нас к следующим
если исходить из
(12.85)
Общее решение трехмерной задачи...
439
Основываясь на тех же соображениях, которые были приведены в
§ 124, аннулируем в тензоре В компоненты ВгЧ и Вч&, а оставшиеся
представим следующим образом:
B44 = P + Q-, B^ = P-Q- В*г = Т, (12.86)
где Р, Q и Т — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям
Д2Р = 0, (a-±)q = 0, (Д-^)Г = 0. (12.87)
Эти последние являются частными случаями общего уравнения
(д- |)V = 0,’ (12.88)
где k — постоянная, и F — скалярная функции.
2. Остановимся здесь на рассмотрении его интегрирования.
Предположим, что функция F может быть представлена в виде
произведения двух функций R и Z, каждая из которых зависит только
от одного аргумента, соответственно ч и z—
F - RZ. (12.89)
Если ввести обозначение
п _ __________
4 dv2 udv ч2 ’
то в результате подстановки указанного выражения для F в уравнение
(12.88) и последующего деления всех членов на произведение RZ, мы
получим следующую зависимость:
¥+2^т+?=°- (12-9о)
Дифференцирование всех членов этого уравнения одновременно по
переменным ч и- z приводит нас к соотношению
из которого следует, что по крайней мере один из множителей левой
части должен равняться нулю.
3. Предположим, что
и следовательно,
Z11 —m2Z = 0, (12.92)
где m— постоянная. Дифференцируя это уравнение дважды и разделив
его члены на Z, мы найдем, что
Z,v m4
Учитывая затем два последних равенства, можно уравнение (12.90)
представить в таком виде:
D2R + 2/п2£>Л + m^R = 0,
или в следующем:
(D4 + m2)2 R = 0.
440
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
Если принять во внимание значение символа D, то последнюю за-
висимость можно будет переписать еще так:
(/₽ d Ы \2
Л+4-+/П2 —/? = 0. (12 93)
ач2 чач ч2 / ' '
Задача сводится, таким образом, к интегрированию двух уравнений:
(12.92) и (12.93).
4. Обращаясь снова к равенству (12.91), примем теперь, что
/аду 0
ад I и
или
D4R + m2R = 0.
В развернутом виде это уравнение получит такое начертание:
d2 _d_
d42 *' чЛч
+ m2-^R = 0.
(12.94)
Применяя к предыдущему равенству оператор D4 и разделив его
члены на R, найдем
D'4R 4
Я ~т-
Вследствие этих результатов уравнению (12.90) можно будет теперь
придать такой вид:
Ziv_2/n2Zii+m4Z==0 (12.95)
Таким образом, в данном случае задача сводится к интегрированию
уравнений (12.94) и (12.95).
Рассмотрим далее результаты интегрирования.
5. Предполагая т =/= 0, мы из уравнения (12.92) найдем, что
Z = + А2е~тг, (12.96)
где Аг и А2 — постоянные.
Интегралы уравнения (12.93) будут
Л(тч); У*(тч); ^А(тч); ^У\(тн),
где Jk(rri4) и Y к(тч)— цилиндрические функции первого и второго рода
порядка k.
Так как
Jk (тч) = (тч)-£- Jk (тч),
и аналогичное равенство имеет место для Y к(тч), то в качестве линейно
независимых интегралов мы можем воспользоваться функциями
4(щ«); У*(тч); чЛ_!(/пч); чУ^/пч).
На этом основании решение уравнения (12.93) представим в сле-
дующем виде:
R = ciJk (тч) -j- С2У* (тч) + С3чЛ_х (тч) + С4чУ*_х (тч), (12.97)
где Сь 2, з 4 — постоянные.
Общее решение трехмерной задачи... 441
6. Данные результаты изменятся в случае, если т — 0. Из урав-
нения (12.92) мы получим тогда, что
Z = А± + А2г. (12.98)
Если при этом в уравнении (12.93) k =р 0 и k =р 1, то интегралом
последнего будет служить выражение
7? = Схчк + С2ч_* + С3ч*+2 + С4ч"*+2. (12.99)
Если же в этом уравнении будет также k = 0, то тогда
R = Сг + С2 In ч + С3ч2 + С4ч2 In ч. (12.100)
Если же k = 1, то
R = С\ч + С2ч-1 -f- С3ч3 + С4ч In ч. (12.101)
7. При интегрировании затем уравнений (12.94) и (12.95) найдем
следующее. Полагая в них т =/= 0, мы можем интеграл уравнения (12.95)
представить в таком виде:
Z = А^ + Аге~тг + Л3гетг + А£е~тг, (12.102)
а из уравнения (12.94) найдем, что
R = Су!k (тч) + C2Y k (тч) (12.103)
8. Если в тех же уравнения (12.95) и (12.94) принять, что т — О,
то решение последнего будет иметь вид
Z = At 4- A2z 4- Л3г2 4- А*4- (12.104)
В том же предположении мы из первого, если k =/= 0, получим, что
R = Сгчк 4- С2ч~Л (12.105)
Если же, кроме того, и k = 0, то
Д = С14-С21пч. (12.106)
9. Суммируя все результаты и вводя обозначения А^ и D различ-
ными индексами для произвотьных постоянных, а также ап, и 8п для
произвольных отличных от нуля параметров, составим такие сводные
формулы интегралов уравнений (12.87):
Р = А} А2г 4- А*2 А?3 + (А А Аг + А?2 + Az3) In ч 4-
4- (А 4- Л10г) ч- 4- (Ai + Азг)ч’21п 4 + S [(Азп^ A Aitne~anZ) Jo М А
А 4- Al6ae-W) Yo (а„ч) ] 4- г £ [(А21^ 4- А22пе-^) Jo (апч) 4-
+ (Азпеалг + А2^е~апг) Yo (а„ч)] 4- ч £ 1(А29пе'^ 4- АОле-апг) Л (а„ч) 4-
4- (Alne*nZ А Ази^ “A yi («„«)!;
Q = (Q А С2г 4- С3г2 4- С4г3) ч2 4- (С5 4- С6г 4- С7г2 4- С8г3) ч~2 4-
А С9 A C10z 4- (Cn A C12z) 44 А
A S l(C13neV 4- C14,<V) j2 (ЬЧ) + {ci5„eW 4- C16„e“V)y2(Tn4)]+ (12. Ю7>
А г V [(C21neV 4- C22ne-^) J2 {ln4) + (C23„eW + C2ine-^) Y2 (1пч)] 4-
n
A«E[(C29neV AW v) ^1 (Y„«) А (С31„ет"г 4-C32ne V) уг (Тпч)];
442
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
T=(D1 + D2z + D,z2 ф- D4zs) ч ф- (£»6 ф- D.z ф- O7z2 + D8z3) ч~' ф-
+ (Р<3 + 7?10Z) 4* (£\1 4~ ^12г) Ч 1П Ч ф-
+ I [(£Wn* + Dline-^) J! (8пч) + (£>16ee m + D16ne~&n2) y± (8„ч) ] +
n
+ Z V [(O21„^ + D22ne~^) J± (Ъпч) + (D23nefm + D2irie^} (8 ч)] +
n
+ 4 S [р29л + Язое-'-') Jo (8„ч) + (D31neP* + D32ne^) У0 (Ьпч)].
и =
10 При использовании этих результатов прежде всего надо исхо-
цить из формул для смещений. Если воспользоваться равенством
и = [(1 — v) A (2V - В — VB,) — V3 • • В — V#],
то координатные компоненты вектора смещений в нормированной цилинд-
рической системе при наличии осевой симметрии представятся следую-
щими равенствами:
ич =
U* E
V
-х- V2-- в
дч v
дВчг . дВ22
, дч ""Г” дг
_д
dz
,, - 2(1~"2)
Па Г
^Вчг . Вчч — В'Л$
dz ч
1 — 2м d#| .
1 — м дч J ’
(12.108)
2 . . В
и,
1 — 2м а/? 1 .
1 — м дг j *
дВч» дВ2:> Q Вца\
, дч ' дг "I ч / ‘
При сокращении числа компонентов тензора В согласно соображе-
ниям, приведенным в п. 1 настоящего параграфа, и использовании
обозначений (12.86) эти равенства могут быть представлены в таком виде:
' d чдР д ч3д(,
чдч дч 'ч3дч дч
1 — 2м d/?|
/ 1 — м' дч J
(12.109)
1-2ч „1.
2(1-v
d ч дР д ч8 di
ч дч дч ч3 дч дч
Ыг = -1+-^[+2(1-У) ДР
2(1 —
«а — Е
Рассмотрим далее возникающие отсюда выражения для смещений
и напряжений для частных случаев функций Р, Q и Т, следующие из
(12.107), в предположении, что массовые силы отсутствуют или, что
то же, при включении представляющих их выражений в состав левых
частей равенств.
11. Пусть эти функции ограничены слагаемыми, представляющими
собой алгебраическую часть указанных выражений для них, т. е. примем,
что они имеют такой вид:
Р = А2 + A2z+ A3z2 + Д4г3 + (Л5 + A6z + Д7г2 + Д8г3) In ч +
+ (Д9 + Д10г) ч2 + (Дп + Д12г) ч21п ч;
<2 = (G + C2z + С3г2 + С4г3) ч2 + (С6 + Свг + С7г2 + С8г3) ч"2 +
+ С9 + C10z + (Сп + С12г) ч4;
т = (Dl + D2z + О3г2 + О4г3) ч + (О5 + D6z + О7г2 + Dsz3) ч"1 +
+ (B>s + Dioz) ч3 (Ои ф- D12z) ч In ч.
Общее решение трехмерной задачи...
443
В этом случае мы получим, согласно (12.109), такие выражения
для смещений:
ич = (Ли + А12г) ч-i + 4 [(1 - v) С3 + 3 U - 2v) Cu] ч +
+ 12 [(1 - v) С4 + (1 - 2v) С12] чг}- (12.110)
иг = (3 (1 - v) Л4 + 2 (3 - 2v) (Л10 + Л12) +13(1- v) Л8 +
+ 2 (3 — 2v) А12] 1п ч + 4 (С2 + 2С3г + 3C4z2) + 12С 12ч2};
Щ + 4D1«) 4 + (3Z?8 + D12) 4-11 •
Если воспользоваться представлениями деформаций в нормирован-
ной цилиндрической координатной системе и формулами закона Гука,
то можно получить такие равенства для перехода от смещений к напря-
жениям в этой системе:
где
Е Iдин . ич . » f|\
096 = + V + г^2+/ ’
£ (ди2 м А)
°гг = Т + ^1Г + Т^2; Г
£ I дич .
С*& ~ 2(1 + + дч 1 чдй ч 1 *
£ । (ди, диЛ
— 2(1 +V)1 +
£ 1дич ^иг\ .
°гч ’ 2(1 +„) \ дч ) ’
° "" дч + «да + dz “* ч
(12.111)
(12.112)
При помощи этих равенств и представлений (12.110), мы найдем,
что напряжения будут определяться в данном случае следующими фор-
мулами :
очч = 4 (Лп + Л12г) ч'2 + 16 (С3 + ЗСП) + 48 (С4 + С12) г;
— — 4 (Лп + Л12г) ч~~2 + 16 (С3 + ЗСи) + 48 (С4 + С12) г;
°гг = — 16 [(1 — v) сз — 6vCnl — 48 [(1 — V) С4 — 2vC121 г; (12.113)
= - [6 (1 — v) Л8 + 4 (2 - v) Л12] ч-1 — 8 [3 (1 - v) С4 - 2 (2 + v) С12] ч;
= 0;
= — 4 (1 — v) (3D8 + D12) ч~2.
Из рассмотрения полученных таким образом выражений для сме-
щений и напряжений можно заключить, что они пригодны для решения
следующих элементарных задач.
а) Сплошное или полое цилиндрическое тело, загруженное на своих
боковых поверхностях нормальными к ним равномерными или гидроста-
тически изменяющимися вдоль оси усилиями.
б) Такое же тело, загруженное нормальными к плоским торцам
равномерными усилиями или находящееся под действием направленных
вдоль оси гравитационных усилий.
444
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
в) Полое цилиндрическое тело, загруженное равномерными нормаль-
ными к боковым поверхностям усилиями, разными на внутренней и на-
ружной боковых поверхностях.
г) Такая же задача, но для случая, когда поверхностные усилия,
кроме того, линейно изменяются вдоль оси цилиндра. Ряд конкретных
задач для этого и предыдущего способов загрузки цилиндров рассмот-
рел В. Л. Бидерман. <
д) Полый цилиндр, скручиваемый касательными усилиями, равно-
мерно распределенными на боковых поверхностях. Последний случай у
нас уже встречался в § 125, п. 3 при нахождении величин и и».
Выражения (12.110) для смещений включают также члены, соот-
ветствующие общему повороту всего цилиндрического тела вокруг своей
оси или его общему переносу вдоль этой же оси.
12. Придадим затем функциям напряжений следующий вид:
Р = (Л18е«+Л14е-«) У0(ач);
Q = (C13ei* + С14е~т2) J2 (^ч); (12.114)
Т = (Di3e°* + Di4e-8z) Ji (йч)-
Согласно равенствам (12.109) мы получим для смещений такие пред-
ставления:
«« = Л14е-«)а3 J, (ач) + (Сае^+Сие-Р) (Тч)]; (12.115)
«г = [(Л13е°2 — Л14е~“2) a3J0(ач) — (С13е^ — С14е~т2) y3J0 (тч)];
щ = 0.
Из этого заключаем, что
а) решения при помощи функции Р и Q типа (12.114) равносильны
между собой, так как приводят к одинаковым выражениям, отличающимся
друг от друга лишь обозначениями;
б) функции Т напряжений типа (12.114) бесплодны, так как не при-
водят к каким-либо значениям смещений, а следовательно, и напряжений.
Поэтому в качестве итогового результата этого рассмотрения мы
можем зафиксировать такой тип выражений для смещений, к которому
приводят функции напряжений (12.114):
w« =(Л13еа А^е^аЗ^ач);
1+^ (12.116)
иг =-----(Л13е° — Л14е_“2) a.J0 (ач).
Здесь в состав коэффициентов Л13 и Л14 включены также постоянные
множители а2, фугурирующие в равенствах (12.115), и изменены знаки
на обратные в сравнении с таковыми при тех же коэффициентах в равен-
ствах (12.115).
Исходя из представлений (12.116) мы можем, пользуясь формулами
(12.111) и (12.112), определить соответствующие им типовые выражения
для смещений. При этом получим такие равенства:
= (Л13е“ + Л14е-“2) a2 [Jo (ач) — А(ач)];
= (А13е“ + Л 14е-«) J±(a4); (12.117)
= —(Л13е“ + Л14е-а2) a2J0 (ач);
зчг = (Л13е’2 — Л14е-“) a2 (ач).
Общее решение трехмерной задачи...
445
Всюду здесь в качестве цилиндрических функций нами подразуме-
вались функции Бесселя вещественного аргумента. Формулы (12.116) и
(12.117) сохраняют свой вид и тогда, когда под ними подразумеваются
функции Вебера. В последнем случае необходимо лишь всюду в приве-
денных равенствах символы J заменить на Y.
При использовании мнимых параметров и применении цилиндриче-
ских функций первого рода у нас возникнут следующие равенства для сме-
щений (а — вещественное):
ич — (Л17 sin аг -)- Л18 cos аг) Ц (ач)\
1+^ (12.118)
иг = (Л17 cos аг — Л18 sin аг) /0 (ач).
Напряжения в этом случае будут определяться такими равенствами:
= (Л17 sin аг + Л18 cosaz)a[Z0 (ач) — — /^ач)];
о&& = (Л17 sin аг 4- Л18 cos аг) 7j (ач); (12.119)
сгг = —(Л17 sin аг + Л18 cos аг) а/0 (ач);
счг — (Л17 cos аг — Л18 sin аг) а1г (ач).
Наконец, при использовании цилиндрических функций второго рода
мнимого аргумента (функций Макдональда) у нас возникнут такие фор-
мулы:
для смещений
1 I v
ич = р (Л19 sin аг + Л20 cos аг)«1 (ач);
1+, (12.120)
и2 =-----(Л19 cos аг — Л20 sin аг)К0 (ач);
для напряжений
°чч = —(Л19 sin аг + Л20 cos аг) а [К0(ач) + К^ач)];
= (Л19 sin аг -f- Л20 cos аг)К^ач); (12.121)
°гг = (Л19 sin аг + Л.,о cos аг) а Ко (ач);
аЧ2 = (Л18 cos аг — Aw sin аг) а/^ (ач).
13. Рассмотрим результаты, которые получаются от использования
в функциях Р, Q и Т, представленных равенствами (12.107), членов,
содержащих в качестве множителя аппликату г.
Из сравнения последних слагаемых функций напряжений с равенст-
вами (12.15) для функций р, q nt легко заметить, что если ограничиться
в выражениях для Р, Q и Т только этими слагаемыми, можно будет
принять
Р — zp, Q = zq, Т -- zt.
Но в таком случае, очевидно, мы придем в конечном итоге к вы-
ражениям для напряжений и смещений, представленным равенствами
(12.17) и (12.19). Поэтому для получения соответствующих выражений
этих величин можно также воспользоваться последними равенствами.
Принимая во внимание, что результаты использования функции t,
а следовательно, и Т, нами уже рассматривались в задачах о кручении
446
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
цилиндрических тел, а значит, нового мы теперь ничего не получим,
исключим их из рассмотрения. Примем, что
Р = z А(.,1е"г + Л22е-аг) Л(ач);
Q = Z(C> + MJ2(T«).
Тогда смещения представятся следующими формулами:
щ [— (Л21еаг + A22e~az) a3z J1 (ач) +
+ [С21 (4 — 4v + тг) etz — С22 (4 — 4v — Тг) е~тг] 42Jt (Тч));
14-м,. '12.1ZZ)
Иг =------{[ Ai (3 — 4v — аг) еаг + Л22 (3 — 4v +
+ аг) е~“] a2J0 (ач) + [С21 (1 4- тг)ен 4- С22 (1 — yz)e~^] y2J0 (Тч)).
Если мы, воспользовавшись равенствами (12.116), примем в них
А13 = —4(1—v)C21y и Л14 = 4(1—v)C22T и, заменив затем в них а на
р, прибавим правые их части к соответствующим частям равенств
(12.122), то найдем, что суммарные значения компонентов смещений
будут иметь вид:
ич = Цр г [— + ^22e-az) °-3Ji (ач) + С22е~^) 43J1(y4)];
иг — — -Цр {[ Л21 (3 — 4v — аг) f?z + Л22(3 — 4v + аг) e~az] a2J0 (ач) —
— [С21 (3 — 4v — yz)eiz 4- С22 (3 — 4v 4- тг) e~tz] у2Ju (чч)}.
Из этого заключаем, что решения, основанные на использовании
как функций Р, так и Q, могут быть, при наличии предыдущих решений,
приведены к одинаковой форме, и следовательно, одно из них может
быть исключено из рассмотрения. Такое заключение, понятно, может
быть сделано лишь при наличии предыдущего решения, так как в про-
тивном случае формулы (12.122) включают в себя два типа линейно
независимых решений.
Поэтому, полагая в дальнейшем в равенствах (12.122) С21 = С22 = О,
вводя обозначения С13 = —Л21а2 и С14 = —Л22а2 и заменяя обозначение
параметра а через р, представим новый тип решения в таком начертании:
Ич = Цр (С13еРг 4- С14е-Рг) ^zJ± (Рч).
(12.123)
иг = -Цр [(3 - 4v) (C^z 4- С14е-₽2) - рг (С13е9г - С14е-^)] /0 (рч).
Соответствующие им выражения для напряжений получат форму
ачч = 2vp (С13ер2 - С14е^) Jo (рч) 4- Р2г (С13е^ 4- C^z) [70(рч) - 1 У2(₽ч)];
a»» = 2-ф (С13е₽г — С14ё~₽г) /0(рч) 4- рг (С13е₽2 4- C14e~Pz) ~ J1 (рч); (12.124)
Огг = [2(1- V) (С13& - C14e~?z) - рг (С13еР2 4- С14е~₽2)] pJu (₽ч);
= [- (1 - 2v)(C13e?z -C14e^z) 4- Р? (C13e₽ 4- С14е-₽2)] р/2 (Рч).
При использовании мнимого аргумента и функций Бесселя первого
рода аналогичным способом можно получить следующие выражения для
смещений (р — вещественное):
ич = (С17 sinpz 4- С18 cospz) рг/2 (Рч);
иг = — [ (3 — 4v) (С17 sin рг 4- С18 cos рг) — рг (С17 cos ₽г — (12.125)
— С18 sin рг)] /о(рч).
Общее решение трехмерной задачи...
447-
Для напряжений в этом случае найдем такие формулы:
счч = —2vp (С17 cos рг — С18 sin рг) /0 (рч) + р2г (С17 sin рг +
+ С18 cos рг) [/0 (Зч) — yji (Р«)] ;
аа8 = — 2vp (С17 cos рг — С18 sin рг) /0 (рч) +pz (С17 sin pz + q2. 126)
+ C18cospz)-p1(-4);
ozz = —[2 (1 — v) (C17 cos рг — C18 sin рг) +
+ рг (C17 sin рг + C18 cos рг)] p/0 (рч);
a42 = [— (1 — 2v) (C17sin рг + C1S cos рг) + рг (C17cospz — C]8sinpz)] $1± (рч).
Если воспользоваться функциями Макдональда, выражения для смеще-
ний можно представить таким образом:
ич — -Цр (С19 sin рг + С20 cos рг^ЗгЛ} (Зч);
иг = ^рр [3 — 4v) (С19 sin рг + С20 cos рг) —
— рг (С19 cos рг — С20 sin 'г)] Ко (рч).
При этом найдем такие равенства для напряжений:
счч = 2vp (С19 cos рг — С20 sin рг) Kv (рч) —
— р2г (С19 sin рг + С20 cos рг) К0(рч) + Кх(Рч)];
с89 = 2vp (С19 cos рг — С20 sin рг) Ко (рч) +
+ Pz(C19sinp2 4- СгоСОБрг^КЛрч); (12.128),
°гг = [2 (1 — v) (С19 cos рг — С20 sin рг) +
+ рг (Cl9sin рг + С20 cos Рг) ] рК0 (Р ч) 1
= [ — (1 — 2v) (С19 sin рг + С20 cos рг) +
+ рг (С19 cos рг — С20 sin рг)] рКх (8ч).
14. Рассмотрим, наконец, результаты, получающиеся в том случае,
если функциям Р, Q и Т придать следующий вид:
Р = (Л29е“ + Л30е~аг) hJ± (ач);
Q = (С29етг + C30e~<z) чЦ (тч);
т = (dz9^z + Пз0е-£г) hJ0 (оч).
Если обратиться к смещениям, то согласно равенствам (12.109)
мы получим для них такие представления:
= Цр {(А9еаг + Л3ое-аг)а21аЧ1/о (а^) + ЗУ^ач)] +
+ (С2ае^ + C30e-tz) т2 [тчУ0 (тч) + 4>Л (тч)]};
«г = — -Цр {(Л29е“ — A30e-az) а2 [2 (3 — 2v) Jo {ач) — ачР! (ач)] +
+ (С29е^ — C30e~tz) т2 [4J0(тч) — \4Jх (тч)]};
и8 = — -(1~(П29е^ — D30e~s*) o2J! (оч).
Из их рассмотрения заключаем следующее:
а) Функции Т указанного вида приводят к выражениям для смеще-.
ний и&, а следовательно, и напряжений, не отличающимся по существу
448
Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой
от тех, какие явились у нас исходными в § 125 и 126, где рассматри-
вались задачи осесимметрического кручения цилиндрических тел. Вслед-
ствие этого мы исключим из дальнейшего рассмотрения следующие из
них результаты.
б) Два вида выражений для смещений ич и uz, определяемые двумя
функциями Р и Q, при наличии решений, рассмотренных здесь в п. 12,
могут быть сделаны равносильными. Действительно, прибавим дважды
к правым частям полученных выражений для смещений соответственно
правые части равенств (12.116), положив в них один раз Л13 =—2аЛ29
и Л14 = — 2яЛ30 и другой раз Л13 = — 4v^C29- и Л14 = — 4.3СЗО. Заме-
ним, кроме того, в этом последнем случае а на р В результате такого
суммирования у нас возникнут следующие выражения для смещений:
Щ = -Цр {(Л29е“г 4- Л30е-“2) <rW0 (ач)4- (С20е^ + С30е~т2) 73ч/0 (;ч));
«г = — Цр {As6” — Аое~“) (1 — v) Jo (««) —
— ач/Дач)] + (Сг9е^ + С30е~1г) [4(1 — v)J0 (уч) — (7ч)]}.
Таким образом, мы здесь получаем только один тип решения, до-
полнительный к двум ранее установленным. Придадим ему такой вид:
Щ = Мр (С13е)2 + С14е~Хг) Хч/0 (Хч);
1+v , , (12.129)
«г = -Цр (С13еХг - С14е-Хг) [4(1 - v) Jo (Хч) - Хч/г(Хч)].
При этом напряжения представятся следующими равенствами:
= (С13еХг + С14е-Хг) X [(1 - 2v) Jo (Хч) - Хч/, (Хч)]; (12.130)
а»9 = (С13еХг Сые~Уг) X (1 — 2v) Jo (Хч);
= — (С13е^ 4- Сые~^) X [2 (2 — v) Jo (кч) — Хч/,(Хч)];
°чг = (С13е>2 — X [Хч/0(Хч) 4- 2 (1 — v) (Хч)].
Для случая мнимых параметров (X — вещественное) соответствующие
выражения для смещений будут
ич — Т. (С17 sin Xz 4- С18 cos Xz) Хч 10 (Хч)
(12.131)
иг = -pp (C17cosXz — С18 sin Xz) [4 (1 — v) /0 (Хч) 4- кч/г (Хч)]
Отвечающие им выражения для напряжений представятся следующим
образом:
счч = (С17 sin Xz 4- С18 cos Xz) X [(1 — 2>)10 (Хч) 4- 1х(Хч)]5 (12.132)
са9 = (С17sin Xz 4- С18 cos Xz) X (1 — 2v) Io (Хч);
= —(C17sinXz 4- Cig cos Xz)X [2 (2 — v) 10(Хч) 4- Хч!,(Хч)];
°«г = (C17 cos Xz — C14 sin Xz) X [ХчIo (Хч) 4-2(1 — v) I, (Хч)].
Наконец, при использовании функций Макдональда мы получим та-*
кие равенства:
для смещений
ич — —(С19 sin Xz 4- С20 cos Xz) ХчК0(М;
1+. (12.133)
иг = —(С19 cos Xz — Сго sinXz) [4 (1 — v)K0 (M — (M]J
Общее решение трехмерной задачи...
449
и для напряжений
ачч = (С19sin Xz 4- С20 cos Xz) X [(1 — 2v) Ко (Хч) — (Хч)];
a»» = (C19 sinXz 4-C2o cosXz) X (1 — 2v) Ko (X«);
aa = —(C19 sin Xz 4- C20 cos Xz) X [2 (2 — v)K0 (Хч) — ХчКДХч)]; 164>
°чг = (C19 cos Xz — C20 sin Xz) X [ХчК0(Хч) — 2 (1 — v) (Хч)].
15. Подводя итог отысканию частных, неприводимых друг к другу ре-
шений основных уравнений теории упругости в цилиндрических коорди-
натах с помощью бигармонической тензорной функции напряжений для
случая осевой симметрии, при отсутствии кручения, мы видим, что общее
количество их для каждого рода цилиндрических функций — три. Они
представлены для смещений при использовании функций Бесселя веще-
ственного аргумента равенствами (12.116), (12.123) и (12.129), а для на-
пряжений— равенствами (12.117), (12.124) и (12.130), причем взаимная
независимость их подчеркнута разными буквенными обозначениями коэф-
фициентов и параметров. В данном случае в качестве основных форм
выбраны такие, которые дают наиболее простые выражения дляич. Оче-
видно, линейно комбинируя эти решения, можно получить другие их
формы с наиболее простым видом каких-нибудь других интересующих
нас величин.
29 В. И. Блох
ГЛАВА XIII
СФЕРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
§ 128. РАВНОМЕРНО ЗАГРУЖЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫМИ УСИЛИЯМИ
НА ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ШАР С КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ
Согласно равенству (7.40), тензор напряжений в этом случае пред-
ставляется формулой
° = —(7-Зе.еО. (13.1)
На любой сферической поверхности, центр которой совмещен с ука-
занной точкой, этим равенством будут определяться равномерно распре-
деленные нормальные напряжения. Можно поэтому одну из таких по-
верхностей принять за какую-нибудь из граничных для полого шара.
При этом, однако, на любых других концентрических поверхностях на-
пряжения окажутся в определенной связи с напряжениями на предыдущей,
принятой за граничную. Так как нам надо получить выражение, которое
позволило бы на каждой из двух концентрических граничных поверхностей
задавать нормальные равномерно распределенные напряжения по произ-
волу, то присоединим к указанному тензору другой, соответствующий
случаю равномерной всесторонней загрузки сплошного тела. Выражение
для тензора напряжений в этом случае будет иметь такой вид:
а = А/. (13.2)
Суммируя правые части этих равенств и сравнивая возникающие
из них значения напряжений на наружной и внутренней граничных по-
верхностях полого шара с заданными на них величинами, мы можем
определить значения коэффициентов А и В и получить, таким образом,
искомое решение.
Обозначим радиусы наружной и внутренней граничных поверхностей
через чн и чв, а интенсивность нормальных растягивающих напряжений на
них — через рн и рв. Тогда в конечном итоге тензор напряжений в рас-
сматриваемом теле представляется равенством:
₽нчн Рвчв 1 , (₽н Рв>чнчВ(, о-„ \ По о\
° = —3--~ 1 + ТГ5------зГТ V — Зе«е«)- (13.3)
% —% 2(чн~ чв)4
Смещения, если считать центр шара неподвижным и повороты отсут-
ствующими, можно представить формулой
(1 - 2к) (рн«» - рв4) Г , , (! + Ч (рн ~ Рв) чнчв ,1О
и = ------5---s---- 1 -I-----------;----5- Г. (13.4)
£(чн —чв) 2(1— 2v) (рнчн - рв^) «3
Частными решениями этого общего результата будут решения для
случаев, когда внутренняя полость свободна от загрузки либо заполнена
упругим или жестким неотделимым включением, а также случай неогра-
ниченного тела с шаровой полостью.
Шар при заданных на поверхности смещениях
451
§ 129. ШАР ПРИ ЗАДАННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ СМЕЩЕНИЯХ
Исключая из рассмотрения действие массовых сил, решим задачу
о напряженном состоянии шара для случая, когда на его поверхности
заданы непрерывно распределенные смещения. Обозначая радиус шара
через ч0, .представим искомый вектор смещений и, являющийся при
отсутствии массовых сил бигармонической функцией, таким равенством:
u = u/ + (^-«2)(V?). (13.5)
Здесь ч — расстояние от центра шара любой внутренней точки, a w и
ср — векторная и скалярная функции, гармонические в рассматриваемой
области.
Исходя из дифференциального условия равновесия в смещениях,
мы можем получить следующее уравнение, связывающее между собой
функции w и ср:
'•(W+ 3^47? = 273^)
Представим это уравнение для интегрирования таким образом:
Г • (V?) + т-р = ф,
где
I — 2м , 1 „
ГП — О-л~ И Ф = --у; V •
3—4х> т 2(3 — 4у)
Умножая все члены данного равенства на чт и замечая, что
г • [ V (чт?)1 = ч-т [г • (V?) + тер],
преобразуем его-к виду
еч • V («тср) = чт-1ф,
где еч — единичный вектор, имеющий направление радиус-вектора г.
Отсюда получаем, что
чт ср = J чт~ 1ф</ч о,
где ш — функция, не зависящая от ч, и далее
'р=ч4|«т-1^+ч^- аз-6)
Если над обеими частями исходного равенства выполнить операцию
Д. то можно аналогичным способом получить также зависимость
Дер = ^т + 1 У«т+1Дф^Ч4- чт+2 ,
где С — тоже независящая от ч функция. Отсюда следует, что если С = О,
то при гармоничности функции ф функция ср также будет гармонической.
В равенстве (13.6) добавочный член должен быть исключен, по-
скольку <р является конечной гармонической функцией во всем рассмат-
риваемом объеме, а пг в реальных случаях может иметь значения лишь
1
в пределах между 0 и у.
29* В. И. Блох
452
Сферические тела
Таким образом, окончательное выражение для функции будет сле-
дующее:
? = 2^7) i J чт-1 • *>) d4, (13.7)
где
т =
1 — 2м
3 —4м ‘
Так как при заданных на поверхности рассматриваемого шара сме-
щениях гармонический вектор w, как следует из (13.5), становится на
этой поверхности равным вектору смещений и, т. е. получает известные
значения, то он может быть определен во всей области шара
лом Пуассона:
интегра-
«о — «2 udF
W = ~л----- I
4кч0 J чз
(13.8)
где dF — элемент граничной поверхности F, и чр— расстояние от внут-
ренней точки шара, для которой ищется значение вектора w, до точки
интегрирования на сфере F.
После нахождения вектора w по формуле (13.8) задача может счи-
таться решенной, так как при помощи (13.7) находится затем функция
ср и потом по формуле (13.5) — вектор смещений и.
Определение напряжений при известных смещениях не представляет
труда.
§ 130. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ВНЕШНЯЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СФЕРЫ ОБЛАСТЬ
ПРИ ЗАДАННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ СМЕЩЕНИЯХ
Настоящая задача является обращенной в сравнении с рассмотрен-
ной в предыдущем параграфе задачей о шаре. Для ее решения можно
воспользоваться схемой рассуждений, приведенной в указанном пара-
графе, внеся в расчеты некоторые изменения, обусловленные характером
задачи.
Сохраним для вектора смещений представление (13.5):
ы + (</2 —42)(V'p). (13.9)
где ч0 — радиус сферы, ч — расстояние от центра до любой точки вне
сферы, a w и ср— векторная и скалярная гармонические во внешней
области функции, причем w и произведение «ср являются регулярными
на бесконечности.
На основе аналогичных соображений для этих функций можно по-
лучить связующее уравнение (13.6), интеграл которого в данном случае
представится формулой
I 1 п
? = 213=4^ J (V w)d4, (13.10)
где т имеет прежнее значение. Возможная добавка в правой части
равенства (13.10) выражения вида здесь также должна быть исклю-
чена на основе тех же соображений и приведенного требования регуляр-
ности на бесконечности.
Одноосное равномерное растяжение...
453
При заданных на поверхности сферы смещениях гармонический
вектор w может быть представлен интегралом Пуассона для внешней
к сфере F области в такой форме:
_ 2 л
«2 —«ofudF
3
ЧР
(13.11)
W = —л—
4т-.ч0
после чего задачу можно считать решенной.
§ 131. ОДНООСНОЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ ТЕЛА
С МАЛЫМ ЖЕСТКИМ ШАРОВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
В качестве примера использования приведенных выше построений
рассмотрим указанную здесь задачу. Она имеет очевидное практическое
значение при рассмотрении напряженного состояния реальных тел,
обычно содержащих значительное количество различных включений.
Будем считать, что размеры жесткого шарового включения весьма
малы в сравнении с размерами содержащего его тела. Это позволит
нам при заданных конечных размерах включения рассматривать область,
содержащую его, распространенной во все стороны неограниченно.
Решение задачи о напряженном состоянии указанного упругого
тела при равномерном его растяжении (или сжатии) в одном направле-
нии вдали от включения может быть получено путем суммирования двух
решений, а именно: 1) решения для растягиваемого соответствующим
образом сплошного тела без включения и 2) решения для внешнего
относительно шаровой полости, занятой включением, неограниченного
тела, имеющего на поверхности этой полости смещений, равные по ве-
личине и обратные по знаку смещениям, возникающим на такой же по-
верхности в предыдущем случае.
1. Напряженное состояние сплошного неограниченного тела, равно-
мерно растягиваемого в направлении координатной оси z, может быть
представлено тензором
a = pkk, (13.12)
где р — интенсивность растягивающего усилия, и k — орт координат-
ной оси г.
При совмещении начала отсчетов с неподвижной точкой тела и
отсутствии общих поворотов вокруг этой точки возникающие в резуль-
тате деформации тела смещения, как следует из тех же построений,
будут определяться вектором
и = ~ [(1 + v)zA — vr] (13.13)
Вследствие этого на поверхности сферы радиуса ч0 эти смещения
можно будет представить равенством
и = £ [(H-v)^-vZ] -го. (13.14)
где г0 — радиус-вектор, проведенный из центра сферы до любой точки
ее поверхности.
2. Определим далее смещения и напряжения в неограниченном
теле, имеющем шаровую полость радиуса ч0, в точках поверхности ко-
торой смещения определяются правой частью равенства (13.14) с обрат-
ным знаком.
454
Сферические тела
Согласно (13.11), мы получим, что гармонический в рассматриваемой
области вектор w в этом случае представится зависимостью
р (ч2 — ч2) f, лр
-----4^ 10 + >>** —>4 • J (13.15)
Для выявления значения правой части этого равенства примем во
внимание, что если поле некоторой функции / обладает осевой симмет-
рией вокруг оси z и эта функция может быть представлена в виде
равномерно сходящего ряда
ее
/1 = 0
/ч V+1
(-) Л (cos а), (ч>ч0),
где Рп (cos а) — полиномы Лежандра n-й степени, то при перенесении
точки аргумента на ось z угол а обращается в нуль, полиномы Лежандра
в единицу, радиус ч в координату z, а весь ряд принимает такую форму:
(г > ч0).
Отсюда возникает возможность обратного перехода от частного
значения указанной функции для точки, лежащей на оси симметрии,
Рис. 85.
к общему ее значению для точки, произвольно
расположенной в рассматриваемой области.
Обозначая углы, составляемые радиусом-век-
тором г0 с осями координат х, у и z через у2
и 73, мы можем интеграл, входящий в правую часть
равенства (13.15), представить таким образом:
С rBdF С, xdF
I = Аг = «о (i cos + / cos 72 + /г cos ь) -у .
J ЧР J ЧР
Р F
Каждый из трех интегралов, на которые он раз-
бивается, имеет свою самостоятельную ортогональную
к другим ось симметрии, совпадающую с одной из
координатных осей. Вследствие этого осевой сим-
метрией будут обладать вокруг своих осей также
координатные компоненты вектора ш.
Определим для точки Р, лежащей на оси z (рис. 85) значение сим-
метричного вокруг этой оси интеграла, входящего в состав последнего
выражения.
Имея в виду, что расстояние от центра С сферической поверхно-
сти F до точки Р в данном случае равно г, мы получим, что
Г cosfsdF
f
Г cos Тз sin y3dy3 2л
г2
% (г* — 2гч0 cos у3 + ч0)2
2
г2 — гч0 cos + 4°
г2 — 2гч0 cos 73 -f- ч2
° о
4тсч3
о
г2(г2 —ч2)'
о
Вследствие этого компонент
представится равенством
ш2 =
вектора w для той же точки Р
3
Г О
Ег2 ’
Одноосное равномерное растяжение...
455
Значение его для любой точки вне сферы Flt имеющей координаты
ч и а, на основе отмеченного и при учете того, что (cos а) = cos а, будет
рч° cos а рч sz
W =-----®----- = — ——
г Еч* Еч»
Соответствующим образом мы можем найти компоненты wx и wy, в
результате чего искомый вектор представится следующим образом:
-yid+^z^-vr]. (13.16)
Далее имеем
V • = — ° £^РЧ° (1 —3 cos2a)
и, согласно (13.10),
(1+-)р< fio2-'!
'f 4(4 — 5м) £ч3 ' М'
<
Исходя затем из равенства (13.9) легко получить выражение для
вектора смещений в данном случае.
3. Приведем выражение вектора смещений для растягиваемого в
направлении оси z неограниченного тела с жестким неотделимым шаро-
вым включением. Это выражение получается в результате суммирования
выражений для смещений в двух предыдущих случаях и имеет такой вид'
U = |[(l + V)ZA-Mr]+2L±^_{_2 [5(1 — 2v) + 3j]Z* +
. 2 2
3+19м-20м2_ з!«_ 154 + 15^2 Г . (13.17)
1 \ 1 + м ч» ч2 1 ч4 / J ' '
Тензор напряжений при этом будет определяться равенством:
3 2 2
°=+4(43м) ч» {-2 [5 (1 -+3 2]kk+30 (S -v) i (rk+kr^+
+ 3 (-3+ Т+~г,М + 5 g + 25$ -35$-) $ + (13.18)
+з[^^__1_5(1_2,)5+5'$-]4
В полярной системе координат координатные компоненты тензора
напряжений представляются следующими зависимостями:
S 2/2
ачч=р cos2a+ Р °; |—3 (* + 8^~~5'1-2 + (25 — 5v — 18cos2а|:
r 1 2(4—\ 1 4-v ч2 J \ 4?} J
3 2 2
= p sin2 a + 4(41'^)ц3 [—12 (1-=^ — J) + [5 (1 — 2v) — 21 sin2 a} ;
(13 19)
a&&
— 3p4° f(l — 2m)(1 4-5m)
4 (4 — 5м) ч3 ( 1 -f- м
p . o , P4o
°«« = — о SIn + тгл—FVs
2 4 (4 — 5м) 4s
ч® к Г/i о \ Ч°1 2
- —5 (1 — 2м)---------, cos2 a
ч2 42j
г
15(1 4-v) — 12 I sin 2a.
456
Сферические тела
На рис. 86 приведены для случая v = 0,3 и р = 1 диаграммы распре-
деления напряжений по оси z, по контурной дуге жесткого ядра и в
экваториальной плоскости. Как следует из рисунка, наибольшее растя-
гивающее напряжение возникает вблизи шарового ядра на оси z. Соот-
ветствующим подсчетом можно установить, что для случая v = 0,3 оно
будет равно 2,02р и будет находиться на расстоянии z = 1,О9чо от центра.
0.011
0.015
*0.017
-0,004
-0,054
-0,205
-0.36S
-0.БВ2
Рис. 86.
На рис. 87 показано, как изменяется это максимальное напряжение
в зависимости от м.
Исходя из найденных выражений для смещений и напряжений в
рассмотренном случае, можно получить решение также для аналогично-
го тела с жестким шаровым ядром, загруженного вдали от этого ядра
на чистый сдвиг. Для этого необходимо лишь принять во внимание, что
в сплошном теле чистый сдвиг может быть получен в результате одно-
временного равномерного растяжения и сжатий его по двум взаимно-
Шар при заданных на поверхности напряжениях
457
составленных для двух взаим-
перпендикулярным направлениям усилиями одинаковой интенсивности.
В плоскостях, наклоненных к обоим этим направлениям под углом в 45°,
возникнут тогда только касательные напряжения той же интенсивности.
То же самое будет и в теле с жестким ядром вдали от этого ядра.
Поэтому соответствующее решение для такого тела, загруженного вдали
от жесткого ядра на чистый сдвиг, получится в результате суммирования
двух выражений вида (13.17) или (13.18),
но-ортогональных одинаковых внешних
загрузок разных знаков.
Очевидно, путем суммирования трех
выражений вида (13.17) или (13.18), со-
ставленных для трех взаимно-ортогональ-
ных одинаковых по величине и по знаку
внешних загрузок, можно получить ре-
шение для неограниченного тела с жест-
ким шаровым ядром, равномерно растя-
гиваемым или сжимаемым по всем направ-
лениям.
У=0 /?/ 0,2 0,3 Q4 0,5
Ы25 Zlf 203 2,02 2,09 2,61 Р
'z-1 1,01 (05 1,09 1,13 1,16 г0
Рис. 87.
§ 132. ШАР ПРИ ЗАДАННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрим в общем виде решение задачи о напряженном состоя-
нии шара для случая, когда на его поверхности заданы не смещения,
а напряжения. Исключим массовые силы из решения и значения полу-
чающегося после их исключения результирующего вектора напряжений на
граничной поверхности, Р, очевидно, следует считать известным.
Из дифференциального условия равновесия и условий совместности
для напряжений следует, что при отсутствии массовых сил первый
инвариант тензора напряжения с; является гармонической функцией,
а тензор напряжений а — бигармонической. Можно показать непосред-
ственной проверкой, что скалярное произведение г • а является также
бигармонической функцией. Это произведение представляет собой увели-
ченный в ч раз вектор напряжений на площадке, нормальной к радиу-
су-вектору г. Если эту площадку расположить на граничной поверхности
шара радиуса ч0, то
° • г I = ч0Р (13.20)
Представим бигармоническую функцию с • г в таком виде:
а . г = (ч2 — ч2) (V»). (13.21)
где w и со — векторная и скалярная гармонические в рассматриваемой
области функции, и ч — расстояние от центра шара до точки-аргумента
внутри этого шара.
Применяя скалярно к обеим частям этого равенства оператор V и
принимая во внимание дифференциальное условие равновесия для на-
пряжений при отсутствии массовых сил, мы найдем, что
а, = V • w — 2r • (V?)- (13.22)
С другой стороны, можно показать при учете того же условия рав-
новесия, что
Д (з • г) = (Дз) • г (13.23)
458
Сферические тела
Если обратиться затем к условию совместности для напряжений и
скалярно умножить все члены его на радиус-вектор г, то получим при
учете последнего равенства такое уравнение:
(1 + v) А (а • г) + г • (V2°/) = О
После подстановки сюда значений, следующих из (13.21) и (13.22),
мы найдем следующее уравнение, связывающее между собой функции
<р и w.
ГГ • (v2<p) + (1 + V) [2г • (V<p) + <Р1 = 4 [г • (V2 • U’) - V • W] (13.24)
Если будет известно выражение вектор-функции ш, мы сможем
отсюда найти функцию <р.
Но так как гармоничные значения гармонической вектор-функции w
вследствие равенств (13.20) и (13.21) легко определяются, то при помощи
интеграла Пуассона найдем, что
а .
ч0 — ч«
4л
w =
(13.25)
где чр—расстояние от рассматриваемой точки, для которой ищется зна-
чение вектора w, до точки интегрирования на поверхности F сферы
Таким образом, правая часть уравнения (13.24) нами установлена.
Для определения из этого уравнения функции <р заметим, что если име-
ется две последовательные зависимости:
г • (V<P) + = ф,
г ' (V1?) + Ь'1> = х.
(13.26)
где а и b — постоянные, а <р, ф и х — скалярные функции, то после
исключения из этих зависимостей функции ф, возникнет равенство
гг • • (VM + (а + b + 1) г • (V<p) + = х (13.27)
Оно по форме совпадает с уравнением (13.24), причем левые части
окажутся тождественными, если принять, что
а =4(1 +2v + /4v2-3),
b = 4 (1 + 2v - ]Л4*2-3).
(13.28)
Имея в виду, что в реальном случае коэффициент поперечной де-
формации v может изменяться в пределах от 0 до 0,5, мы заключаем,
что постоянные а и b являются комплексными сопряженными величинами.
Интегралы уравнений (13.26) с точностью до слагаемых типа
где ю — функция, не зависящая от ч, а т — постоянная, равная в соот-
ветствии с уравнением величине а или Ь, будут представляться равенствами
? = 4 J ца ^d4’
Ф = ч4 J чь~1Мч.
(13.29)
Шар при заданных на поверхности напряжениях
459
Вследствие этого с точностью до слагаемого . где и шг —
две произвольные функции, не зависящие от ч, интеграл уравнения (13.27)
можно представить в таком виде
<р = j ча~ь~1йч J чь-1Хс/ч. (13.30)
Можно показать, что опущенное здесь слагаемое должно
быть в рассматриваемом случае упругой задачи исключено. Действи-
тельно, поскольку функция <р должна быть вещественной гармоничной и
правая часть равенства (13.30), в котором X совпадает с правой частью
(13.24), этому требованию удовлетворяет, ему должно удовлетворять
также и указанное опущенное слагаемое. Но, так как а и b являются
комплексными сопряженными постоянными, должны быть комплексными
сопряженными также и функции Ш] и ю2. Тогда указанное добавочное
слагаемое можно представить следующим образом:
“1 । ш2_ 1 Г . , /а — Ь. \ , (а — Ь,
a + 61 («1 + w2) ch ^-2— Inч) + («>! — w2) shInч.
4
Как легко проверить, это выражение не является гармонической
функцией, вследствие чего оно и исключено из равенства (13.30).
Функция X в данном случае должна иметь значение
X = y[r (V-1KV(13.31)
где г • (V — оператор, получаемый в результате скалярного умножения
векторов г и V без дифференцирования вектора г.
Наличие выражений для функций w и у позволяет считать вопрос
о значениях произведения о • г в общем виде решенным. Также является
решенной задача и об определении значений первого инварианта тензора
напряжений внутри шара ввиду наличия равенства (13.22). Что касает-
ся определения самого тензора напряжений, а также вектора смещений,
то для их нахождения необходимо выполнить некоторые дополнительные
расчеты.
Имея в виду известную связь первого инварианта тензора напряже-
ний, представленного равенством (13.22), с объемной дилатацией, являю-
щейся дивергенцией вектора смещений, мы можем составить такое
равенство:
V •u = -L5^[V -K/-2r.(V<P)l- (13.32)
Вектор смещений можно будет найти, если нам, кроме того, будет
известна его ротация. Для определения этой последней выразим в ра-
венстве (13.21) при помощи ф°РмУлы закона Гука тензор напряжений
через вектор смещений. Получим
(V«) г + г - (v«) + (V • «) = [и» + ('<« - Ч2) (V?)] (13.33)
Векторное применение ко всем членам этого равенства оператора V
дает такой результат:
Г - (V2 X и) = -('£+ v) [ V х w - 2r X (V?)] + 1^27г X (V2 • «).
460
Сферические тела
где последний член правой части зависимости, ввиду наличия равенства
(13.32), должен рассматриваться как известный.
Отсюда после интегрирования получим
V X u = ^l±2)J[V \w-2rx (V^ + J^-prx (V2 •«)]$ + «•
(13.34)
где а — постоянный векторх.
Наличие двух равенств (13.32) и (13.34), определяющих дивергенцию
и ротацию вектора смещений, позволяет на основе общих методов тео-
рии поля найти значение самого вектора смещений и. В данном случае
однако можно найти его более простым способом.
Используя преобразование
г X (V х и) = (V«) Г — Г • (V«).
исключим из равенства (13.33) выражение (Vw) • г> принимая во внима-
ние (13.21), составим такую зависимость:
г • (V«) = -r—~rx (V X и) —-j-^r(V • и)
Здесь в правой части равенства все члены на основании предыду-
щего являются известными. Интегрируя его, получим
и = J[-Цр о • х (V х u) - г (V • «)] + Ь, (13.35)
где b — постоянный вектор. Последнее следует из того, что вектор Ь,
вообще говоря, может быть функцией, не зависящей от ч, и так как
эта функция, кроме того, должна быть регулярной гармонической или
бигармонической в данном объеме, то она может быть только постоянной.
Поскольку в правой части равенства (13.34) фигурирует уже произ-
вольная постоянная а, легко сообразить, что при нахождении интеграла
(13.35) в подынтегральное выражение которого входит функция V X и,
возникнет в окончательном итоге еще произвольная добавка вида а X г.
Обе произвольные добавки а х г -ф- Ь, соответствуют общему повороту и
смещению всего рассматриваемого тела в целом.
Нахождение напряжений по известным смещениям при помощи фор-
мулы закона Гука не составляет принципиальных затруднений.
§ 133. ШАР, СЖИМАЕМЫЙ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ
В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КОНЦАХ ДИАМЕТРА
1. Граничные условия. Воспользуемся предыдущими общими по-
строениями для нахождения решения указанной здесь важной в техни-
ческом отношении задачи.
1 То, что произвольная слагаемая интегрирования в данном случае может быть
только постоянной, следует из таких соображений. Обозначая правую часть уравнения,
кроме постоянной, через ф мы должны были бы в общем случае написать, что V X и=
= ф -|- си, где ш — произвольная векторная функция, не зависящая от ч. Поскольку
справа в уравнении (13.31) фигурирует гармоническое выражение, таковыми будут так-
же ф и V X и. а, следовательно, <и должна быть гармонической в данном объеме фун-
кцией. Но так как она не зависит от ч, то она может быть только постоянной.
Шар, сжимаемый сосредоточенными силами...
461
Используя сферические координаты, введем обозначение а для широт,
отсчитываемых от радиуса, проведенного из центра шара в одну из двух
противоположных точек W и S приложения сосредоточенных сил на по-
верхности (рис. 88). Соответствующий направлению
обозначим через k.
Рассматриваемая задача является осесиммет-
рической, и поэтому значения долгот в данном
случае можно не принимать во внимание.
В соответствии с характером задачи, граничные
условия можно будет представить таким образом
этого радиуса орт
PdF =
—Pk при а = О
О при 0 < а
-\-Pk при а = л,
(13.36)
где Р — значение сжимающей сосредоточенной силы
в одной из точек приложения этих сил.
2, Вектор w. Введем обозначения гг и г2 для
векторов, проведенных из любой внутренней точ-
ки г соответственно в точки Л' и S приложения загружающих сил:
z-j = ч0А — г,
G = — г.
Модули этих факторов определятся следующим образом:
ч, = — 2чоч cos а + ч2,
Ч2 = V Ча + 2чоч cos а + ч2.
Обращаясь затем к формуле (13.25), мы, при учете граничных усло-
вий (13.36), найдем, что
(13.37)
(13.38)
Р(чо-ч*)/1 i\
ш =--------—I —-------г k
41 «а'
4я
(13.39)
Для дальнейшего нам удобнее будет ввести вместо ч обозначения р>
отнесенные к шару единичного радиуса и связанные с ч соотношениями
ч = ч0?, чг = чоР1, ч2 = ч0р2, (13.40)
вследствие чего
Pl = 1^1 — 2р cos а -|- о2, р2 = }^1 + 2р cos а р2.
При этом формула (13.39) получит такой вид:
(13.4i)
\п3 3 ] v
° 'Pi Н'
Преобразуем ее к виду, удобному для интегрирования при нахожде-
нии функции <р. Замечая, что
3 1 ___ р — cos а .
рГ~ ’
1 _ 1 — 2р cos а -4- р« _ 1 — — 2р (р — cos а) _ 1 — р2 Q д 1
а- ~ р*
ъии
462
Сферические тела
мы можем написать, что
1^ = 1 + 2а±
р? Pi r <5р Pi
Используя затем известные представления
1 _ У1 ?пРп (cos а).
pi
Л=0
где P„(cosa) — полиномы Лежандра, преобразуем предыдущее равенство
к такому виду:
м
У (2n + 1) РПР„ (cos а). (13.42)
Pi
п=0
Так как р2 отличается от pj лишь знаком перед cos а, то принимая
во внимание, что полиномы Лежандра для четных индексов являются
четными функциями своего аргумента, а для нечетных — нечетными, мы
можем (13.41) представить еще таким образом:
w = - S (4n + 3) P2,,+Ip2n+1 (COSa)- <13-43)
п=о
3. Функция <р. Чтобы получить соответствующее выражение для
функции ср, определяемой равенством (13.30), примем во внимание, что в
нормированных полярных координатах, если обозначить долготу через &,
оператор V может быть изображен следующим образом;
л д . л д . л, 1 д
V = е“дч + чда + sin а чд» •
или, при использовании переменной р вместо ч:
V ч0 \ др pda ~ sin a рдЭ/ '
Кроме того, при ориентировании орта k вдоль полярной оси
(рис. 89) имеем
АД А
еч • k = cos a; е’ • k = —sin a; e9 • k = 0.
Исходя затем из равенства (13.43) и учитывая формулу дифферен-
цирования полиномов Лежандра
dPn(dC^~~ = [cos аРп (cos a) — Р^ (cos a)],
мы получим следующее выражение для дивергенции вектора w:
w =---У (4/г + 3) (4п 2) p2nP2n (cos a). (13.44)
4лч
0 п=о
Шар, сжимаемый сосредоточенными силами...
463
При этом из (13.31) будет следовать, что
X = - 4А (4« + 3) (4п2 - 1) P2"P2n (cos а).
л—о
Рис. 89.
Заменяя ч в формуле (13.30) на р, мы получим затем из нее такое
выражение для функции <р:
’ “ <-“)• (И 45)
0 л=о
где, в соответствии с представлениями (13.28),
тп = (2п + о) (2п + Ь) — (1 -}- v) (4п + 1) п + п + 1. (13.46)
р
464
Сферические тела
4. Объемная деформация. Наличие равенств для V • ш и <р позво-
ляет по формуле (13.32) определить объемную деформацию или дивер-
генцию вектора смещений. Если воспользоваться равенством (13.44), то
последняя определится таким образом:
V . -------<-»><+» Z.y<fa + 3)<4,. + 2)(4,, + 1)
£ 4лч0 ти
п=о
5. Напряжения на площадках, нормальных к радиусам шара. Вос-
пользуемся равенством (13.21) для определения указанных здесь напря-
жений. Подставляя в него значение вектора w из формулы (13.41), зна-
чение функции <р из формулы (13.45) и принимая во внимание следующие
соотношения между векторами:
Л Л
k — cos ае“ — sin ае*,
Л
г = рчое4,
мы после некоторых преобразований в конечном итоге получим такое
равенство для вектора напряжений на площадках, нормальных к ра-
диусам:
Л’ „ Р(1 — Рг)(Г/1 1\
с — с • еч —--------II -т------з-1 cos а +
4™Р 1|Ар?
. 2 V n (4n + 3)(4n“ — 1) 2nn . л„ Г/1 1\ -
+ - 2j m P p2n (cos «)] e — -s — -T Si П а —
P mn lAPi Pa/
n=o
_ J_ V (4n + 3) (4w2 ~ Ц p2n rfpan<cosa)l ga\ (13 48)
P — mn H da ] J • ' ' '
n=o
Л
Выражение, содержащее здесь вектор еч, определяет нормальные
Л
напряжения на этих площадках, а содержащее вектор е“—касательные
напряжения. Последние, как следует из данного равенства, направлены
по меридианам.
Если учесть, что производные по углу от полиномов Лежандра чет-
ного порядка для значения этого угла 90° равны нулю, то легко из
этого же равенства видеть, что касательные напряжения на экваторе
любой проведенной внутри данного шара концентрической сферы, как
и должно быть из условий симметрии относительно экваториальной
плоскости, равны нулю. Они будут также равны нулю на оси симметрии.
При определении перемещений нас будет интересовать выражение
Л
для а4 в форме ряда. Для получения последнего необходимо в выклад-
ках вместо формулы (13.41) воспользоваться формулой (13.43). При этом
найдем, что
с’ = о . еч = ~ У (in + 3) Р2П Я— cos aP2n+1 (cos а) —
2ct„^j IL
n=o
— П(4^~1) (p-2 — !) p2n (cos a)] e4 + [sin aP2n+1 (cos a) —
(13.49)
Шар, сжимаемый сосредоточенными силами...
465
6. Ротация вектора смещения. Примем во внимание, что
ДА Л Л ЛА Л
k х е4 = e&sina; А X = е» cos a; k X е& = — e4sina — e„cosa,
и следовательно,
, 1 Г Л д л, д , к ( . д , д \1
(v=^i_V»_eaCtga^ + e&r’na^+cosawJ-
Кроме того, заметим, что
л 1 д , л д
Г X V 2 — 2a ~--- Дя + •
\ v sin а от «да
Исходя затем из равенства (13.43), находим такое соотношение:
V X w --= £-г У (4и + 3) р2" —- (13.50)
Ч°п=0
Далее, вследствие (13.45) и (13.47), имеем
г v /V7<ol -_— V <4п + 3> (4гг2— 1) 2П dP^cosa) * .
4r42 2j rnn P Ta
0 n-=o
_ v tv72 ,A _ (1 —2v)(14-v) P Y1<4n + 3)(4n + 2)(4«+l) n2n^!!n(COSaH
rX(V-«l- E 4та2^ 7Tn P Ta ei>-
n—0
Формула (13.34) после этого дает следующее выражение для рота-
ции вектора смещений, с точностью до общих постоянных:
V х и = У(4w + 3)(4w+1) ^Hcosa>e\. (13.51)
кч Е тп Г da & ' '
0 л=0
7. Смещения. Представим вектор смещений с точностью до общих
постоянных поворотов и постоянных смещений:
ы==чо<[[-^с-еЧ— J е* х (V X и) — (V •«)«?*] rfp (13.52)
При этом найдем, что
и=-S(4п+3) {cos а ~Ч+Га)+1п(2п+р~2 ~п {2п ~1} -
л=0
_ V (4п + 1)] р2«+1^ + У (4„ + 3) (sin a ^+1.(COS°) _
f,ln J £,T~4qL.
_ \(2n -L n D-2 _ ^(n+ 1) + (1— 2v) (4n+ 1)1 1 dP^fcosa)! 2П+Л
И + 4P 2n + 1 J 2m„ Ta JP e-
(13.53)
8. Напряжения. Для определения напряжений воспользуемся фор-
мулой
‘ + + •«)/] (13.54)
466
Сферические тела
и примем во внимание, что в примененной нами нормированной коор-
динатной системе будет иметь место в данном случае следующее пред-
ставление:
ди А А
-^ече'
и,
1
Ctga р
еае& +
дип А Л
+ -^е’е“
др
р
где ич и иа — скалярные значения компонентов вектора, определяемые
равенством (13.53).
Тогда из предыдущего равенства мы находим, что
Е [Г дии [ди„ 2ио
о = 9, ...—— {2(1 — v)t +—- + ctgа —) e'e4 +
2 (1 + ч)(1 — 2ч) ч0 ( [' 'др 1 \рда р 6 р/J 1
ди„ 1дии и„\1
+ 2 (1—v)— + — -J- v 1-д-^ + ctga —) eV" +
. рд“ р \Ор ь р /]
и„ ии !дии ди„\1 „ „
+ 2 (l-v)ctga^ + -^4-vM + -^ е»е» +
L Р Р \ др pda/ J 1
(ди ди„ и„\ )
После подстановки сюда значений компонентов вектора и из ра-
венства (13.53) и ряда преобразований мы получим в конечном итоге
такие выражения для напряжений в полярной системе координат:
°чч = — -А V (4п + 3) р2п [cos aP2n+1 (cos a) + W(4^~1) (p~2— 1) P2n (cos a)],
n—o
спп = -^-2 V (4n + 3) p2n [cos aP2n+1 (cos a) +
2j% (
*2 = 0
+ [?2±1 (p-2 _ 1) _ 2п-ч(4п+1)1 J_ dPUcosa)
+ [2пг(2п+ 1) (p—2 — 1) — 8rt2 — (1 + v) (4n + l)J±P2„(cosa)j ; *(13.55)
саа = _ P у (4n + 3) P2" (p-2 - 1) -
0 n=o
— 2nTv(,4Wi+ °] — ctg adPgn.(cos-°-) + {(2n + 1) (p-2 — 1) + 8пч —
2n -J- 1 J mn 6 da 1 1' i / \r ' 1
— 2(1 + v)] P2n (cosa)| ;
°w = 2S X(4n+3) p2n [sin a/’2n+i (cos a)—1 (p~2 — d^2nJFsn'] •
Л=0
Для точек оси симметрии выражение нормального напряжения вдоль
этой оси, которое обозначим через с22, получится из равенства для с,ч,
если в нем принять a = 0 При этом найдем, что
=- ~ А У (4» + 3) р2“ [1 + ” (4П‘~ П (р-2 - 1)1 . (13.56)
2лч„ I тп
Неограниченная внешняя относительно сферы...
467
§ 134. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ВНЕШНЯЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СФЕРЫ ОБЛАСТЬ
ПРИ ЗАДАННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ НАПРЯЖЕНИЯХ
Представим увеличенный в ч раз бигармонический при отсутствии
массовых сил вектор напряжений на поверхности сферы радиуса ч,
следующим образом:
о г =r--w + (ч2 — ч2) (V<P)- (13.57)
Здесь w и <р — гармонические в рассматриваемой области векторная и
скалярная функции, причем w и ч? регулярны на бесконечности.
Вектор w в данном случае может быть определен при помощи ин-
теграла Пуассона для внешней области
где Р — вектор напряжений на граничной сфере F и чр — расстояние
от текущей точки внешней области до точки интегрирования на сфере.
Вводя обозначение
Z=4k-(V-l](V -и»), (13.59)
мы из условия совместности для напряжений получим уравнение, свя-
зывающее между собой функции w и <р, такого же вида как и ранее,
и после интегрирования найдем, что
<р = ча-ь-1 чь~1х Лч, (13.60)
где а и b определяются равенствами
а = 1(1 +2,+ /4^=3),
6 = 1 (1 +2v— 3). (13.61)
Возможная добавка в правой части равенства (13.60), имеющая вид
, где Wj и — независящие от ч функции, опущена.
Вектор напряжений на концентрических с граничной поверхностью
сферах после этого может быть найден из формулы (13.57).
Дивергенция вектора смещений будет иметь вид
V u = ^l(V -w — 2r • (V<P)], (13.62)
и формула для ротации этого вектора
= xw-2r х + х (v2-«)]l\
(13.63)
в которой опущена произвольная постоянная.
С точностью до общего поворота и переноса всего тела вектор
смещений при этом представится равенством
« = -r~ir х X«)-i^r(V •«)]!. (13.64)
468
Сферические тела
§ 135. ОДНООСНОЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ ТЕЛА
С МАЛОЙ ШАРОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
Подобно тому, как мы поступили в § 133 при решении аналогичной
задачи для тела с жестким шаровым включением, воспользуемся в дан-
ном случае для нахождения напряжений и смещений в теле с шаровой
каверной выражением для тензора напряжений в сплошном теле, рав-
номерно растягиваемом в одном направлении, и определим напряжения
на шаровой поверхности, проведенной внутри тела. Решим затем внеш-
нюю задачу для тела с шаровой полостью, загруженной на своей по-
верхности такими же напряжениями, но обратного знака. В результате
суммирования тензоров напряжений и векторов смещений для двух ука-
занных случаев мы получим требуемое решение для равномерно растя-
гиваемого в одном направлении тела со свободной от усилий шаровой
полостью.
1. Для сплошного неограниченного тела, равномерно растягиваемого
вдоль координатной оси г, тензор напряжений может быть представлен
равенством
а = pkk, (13.65)
где р—интенсивность растягивающего усилия.
Вектор напряжений на сферической поверхности радиуса ч0, про-
веденной внутри тела, представится в данном случае зависимостью
Р = _£ kk г0,
«о 0
(13.66)
где г0—радиус-вектор точки, расположенной на указанной сферической
поверхности.
Смещения в данном теле, если начало отсчетов является неподвиж-
ной точкой и общие повороты всего тела отсутствуют, будут опреде-
ляться вектором
и = [(1 + v) zk — vr], (13.67)
2. Найдем смещения и напряжения в бесконечном теле, имеющем
шаровую полость радиуса ч0 и загруженном на своей поверхности на-
пряжениями, определяемыми правой частью равенства (13.66) с обратным
знаком. Вектор w, при помощи которого решается задача указанным
в предыдущем параграфе методом, представится в данном случае, со-
гласно (13.58), следующей формулой:
™ =-------Т-— kk • —. (13.68)
J чр
F
Входящий сюда интеграл нам встречался уже в § 131. Используя
приведенные в нем выкладки, найдем, что
щ = (13.69)
Отсюда имеем
V • = —
3
чз
Одноосное равномерное растяжение...
469
вследствие чего функция у, согласно (13.59),
ление:
получит такое представ-
(13.70)
Далее на основании формулы (13.60) находим
= Л _ о z*\
(7 — 5м) чл \ ч2 / ‘
(13.71)
Увеличенный в ч раз вектор напряжений на концентрических к по-
верхности шаровой полости сферах представится, согласно (13.57),
равенством
3 Г 2 -I , 2 \ f \ \
°-г = 7Г-^-Г-3 5(1 +v) —12^ z/z + 6(l—4)(1 —(13-72)
(7 — 5^) чА Ц ' 1 ' ч2 J \ ч2 / \ ч2 / J v '
Вследствие зависимости (13.62) для дивергенции вектора смещений
находим такое выражение:
5(1 —2м)(1+м)рч’/ гг \ /10 724
V и = ---7т--с > г 3-- 1 — 3 т • (13.73)
(7 — 5м) L4J \ ч2 ]
и на основании формулы (13.63) получаем для ротации того же вектора
смещений равенство
30 (1 — м2) P4qZ (г х k)
V X и ------------------------г , Г- А------
v (7 — 5м) £ч6
(13.74)
При помощи формулы (13.64) можно теперь определить соответст-
вующий вектор смещений, поскольку все интегрируемые функции
найдены.
3. Приводим окончательное выражение вектора смещений для рав-
номерно растягиваемого в одном направлении неограниченного тела,
имеющего шаровую каверну, в предположении, что неподвижная точка
располагается в центре каверны и общие повороты отсутствуют:
и - f [(1 + ,) гк- w] + {2[5(1 -2.) + S]гк +
+ [- 6 + S. + 15 £ + 3 J (1 - 5$)] г). (13.75)
Это выражение возникает в результате суммирования правых частей
выражений векторов смещений, получаемых из предыдущих расчетов
для неограниченного тела с загруженной полостью и равномерно рас-
тягиваемого сплошного тела. Последнее представлено равенством (13.67).
Соответствующее выражение тензора напряжений получит следую-
щий вид:
° = Pkk + 2-(-7-3?)чЗ {2 [5 0 - 2v) + 35] kk +
+ 3[-24-5v4-5(1— 2v)-J + (1-5^)4]/ +
[/ \ 21 / 2 \ ч
6 - 5v - 25 J-5 (1-7^) + 30 (м - J-) ±(kr 4- rk)}. (13.76)
30 в. И. Блох
470
Сферические тела
Координатные компоненты этого тензора в полярной системе пред-
ставятся такими равенствами:
ачч = р cos2 а + Р ° (б (1------— [б (5 — v) — 18—§-1 cos2 а| ;
' (7 — 5м) ч3 I \ ч2 / [ ' ' чг J J
= Р sin2 а + 2(7^)ц3 (4 - 5м + 9 А + [5 (1 - 2v) - 21^] cos2 а};
= 2(7-l-p[- 2+5' + i + 50 -2v - ^)cos4> <13-77)
= — (у + 2(7 —5м) ч3 [5 (1 + — 127^]} sin 2a-
Ha рис. 116 приведены диаграммы распределения напряжений для
случая v — 0,3 и р = 1 в меридиональном сечении, построенные на осно-
вании расчетов по формулам (13.77), выполненных при помощи логариф-
мической линейки.
§ 136. ШАР С КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ШАРОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
ПРИ ЗАДАННЫХ НА ГРАНИЦАХ СМЕЩЕНИЯХ
1. Представим вектор смещений и таким образом:
и = w 4* ч2(\7ф). (13.78)
где w — гармоническая вектор-функция, — гармоническая скалярная
функция, и ч — расстояние от центра шара до рассматриваемой точки.
Поступая так же, как в § 130 найдем связь между функциями
к и ср:
V • w = — 2 [(3 — 4v) г • (V?) + (1 — 2v) ф]. (13.79)
Разложим затем функции w и <р на суммы однородных многочленов
различных степеней. Обозначая соответствующие однородные многочлены
степени п через wn и <рл, получим, что
w = S wn, = V
п п
Подставим эти выражения в правую часть равенства (13.78) и объ-
единим между собой члены одинакового порядка. При этом придется
многочлен wn объединять со слагаемым ч2 (V<Pn-i)> поскольку у них по-
рядок будет одинаковым. Равенство (13.78) при этом получит такой вид:
«= S[^n + ‘/2(V'Pn-1)]- (13.80)
п
Условие (13.79), очевидно, должно выполняться для каждого дву-
члена правой части равенства (13.80), так как каждый из них, ввиду
гармоничности функций wn и <рп, является независимым от других. Если
при этом принять во внимание, что многочлен степени п— 1 в силу
свойств однородных многочленов удовлетворяет соотношению
Г = (п-1)ф„_п (13.81)
то условие (13.79) приведет нас в данном случае к зависимости
V • №„ = -2 [(3 - 4->) п - 2 (1 - v)J
Шар с концентрической шаровой полостью...
471
Представление (13.80) вследствие этого получит такой вид:
и — -----------------------ч2(\72 • щ„)1 • (13.82)
и п 2[(3 —4ч)п —2(1 — v)] vv n)j ' >
п
2. Обозначим наружный и внутренний радиусы граничных поверх-
ностей полого шара соответственно через </„ и чв и, предполагая допу-
стимость разложения заданных поверхностных смещений ия и ив в ряды
по сферическим функциям, представим их таким образом:
«н:в = V(y„)H;B:, (13.83)
/1=0
где п — числа натурального ряда, (У„)н и (У„)в — векторные сферические
функции Лапласа, принадлежащие функциям и„ и ив и определяемые
равенством
(Уп)н; в = 2п^ 1 J UH: ВР„ (COS <р) dF. (13.84/
'и, в
Здесь Рп (cos <р) — полином Лежандра степени п и — угол между
двумя радиусами, из которых один проведен в точку, для которой опре-
деляется значение функции (У„)н или (Yn)B, а другой — в текущую точку
на граничной поверхности FH или FB, по которой выполняется интегри-
рование.
Если сферические координаты точки функций (Уп)н: в, а именно
широту и долготу, обозначить через а и 9, то на основании известных
положений мы получим
(Е„)н; в = К А,л)н; В COS kb 4- (Вп*)н; в sin F&] Р* (а),
Л=0
где (Лл)н, (Лл)в, (Bnk)H и (В„л)в — постоянные векторы, а Р„ (а) — при-
соединенные многочлены Лежандра.
Поскольку вектор смещений и, представленный равенством (13.82),
должен на граничных поверхностях обращаться в ряды (13.83), примем,
что п в них может принимать целочисленные значения, и гармонический
многочлен wn степени п представим через сферические функции.
3. Далее заметим, что, если мы имеем однородный гармонический
многочлен Фп степени п, то, применяя оператор Д к выражению чкФ„
и принимая во внимание соотношение (13.81), найдем, что
Д (ч*Фп) = k (k + 1 + 2п) ч*-2Ф„.
Отсюда легко заключить, что выражение чкФп будет гармонической
функцией в двух случаях: 1) если k = 0, т. е. если это выражение обра-
щается в исходную гармоническую функцию Фп, и 2) если k = —(2п 4* 1)-
В последнем случае выражение ч~<2"+|> Фп обращается в гармонический
многочлен степени —(и 4- 1)- Выделяя в функции Фп множитель чп и пред-
ставляя ее в форме ч''5„, где Sn — поверхностная сферическая функцйя,
найдем, что выражение 4~n~1Sn будет, ввиду отмеченного, также объемной
гармонической функцией.
4. На этом основании выделяя в формуле (13.82) члены с положи-
тельными и отрицательными степенями радиуса ч и придавая п в соот-
30*
472
Сферические тела
ветствпи с представлением поверхностных смещений целые положитель-
ные значения в пределах от 0 до оо, придадим ей такой вид:
00
“ = X ~ 2 [(3 — 4\) п — 2 (1 — 4] +
п=о
t/2 ~
+ 2((3-4.)„-5 + 64 V2 • («—ад (13.85)
где Sn и Sn — векторные поверхностные функции.
Заметим здесь, что выражения V2 • («"SJ и V2 • («-л-1 Sn) представ-
ляют собой гармонические многочлены степени п — 2 и —п — 3 и что
соответствующие им поверхностные сферические функции будут иметь
порядки п — 2 и п 4* 2.
Придавая в формуле (13.85) радиусу ч значения ч„ и чв, мы получим
выражения для смещений на наружной и внутренней поверхности рас-
сматриваемого полого шара, которые при решении задачи должны сов-
пасть с соответствующими выражениями правой части равенства (13.83).
Сравнивая поэтому поверхностные функции одинакового порядка в обоих
случаях, мы получим уравнения такого вида:
П-|-2 + 1
«н; BS„ + Чн; в S„ — 2[(3 — 4v)n + 2(2 —3^)] + 2 [(3 — 4v)’n + 1 — 2vJ = 1
= (Yn)H. Е (13.86)
где и — поверхностные сферические функции, определяемые из
равенств
v2 • («п+2ад) = v2 («—ад=«—Тп- (13.87)
Для уравнения, представленные формулой (13.86), преобразуем сле-
дующим образом:
2«+3_ 2П+3 2 2
Л/2п+1 „2Л+Ц Q ЧН ЧЕ Чн—Чв ~
1 “ в > п 2[(3 —4^)п + 2(2 —3^)] + 2[(3 —4^)п 4-1 —2^1 ‘п —
— Ол)н л)в»
2 2 — 2л+1 —2Л4-1
-2«-l % —% ! % “% 7
Чв ’^п 2[(3 —4^)п + 2(2 —34]Тл + 2[(3 —44п +1 —24 Тл ~
= 4~n(Yn)H-4-n(Yn)B. (13.88)
Характер преобразования здесь виден из правой части равенств.
Воспользуемся затем, например, первым из этих равенств. Изменив
в нем п на п 4* 1 и умножив все члены на чп+1, применим к нему ска-
лярно оператор V-
Принимая во внимание (13.87), а также вследствие гармоничности
выражения V • («”+3S„+3),
V («”+1Тл+1) = о
и что на основании второго равенства (13.87), а также соотношения
(13.81)
v • («"+1т~ +1) = v • [«2Л+3 («—тл+1)1 = v • {«2n+3[ v2 • («-"Vi)]} =
= (2п + 3)42n+V - [V2 (ч-'ади = - (2п + 3) (и 4- l)«2"+r V (ч~лад), ,
1
Шар с концентрической шаровой полостью...
473
мы получим такую зависимость:
2Л+Ч 2Л+Ч . (2п + 3) (п + 1) (ч„2 — ‘Л) ,
(«’. "-«г* 1» iv е^ч-н)) - 21(3 _ „+2 _ 3:„ v j=
= ч™ V • l«”+1 (Twl).l - <4" V • l«"+1 (13.88,)
Из второго уравнения (13.88), если изменить в нем предварительно
п на п— 1 и умножить все члены на ч~", также получится после ска-
лярного применения оператора V. что
= <'+’ V • [ч-п (/„_)).,] - 4~n+1 V • [«-” (/„-Л]. (13.88J
Из этих двух последних уравнений мы можем найти значения вы-
ражений V • (?n+1Sn+1) и V • (ч~п8п_^, а следовательно, после диффе-
ренцирования, ввиду (13.87), также значения величин чп~1~[п_1 и ч~л7п+1.
Если ввести обозначения
(2n-f-3) (и + 1) (Чц —Чд) .
°п ~ 2[(3 —4м)п + 2(2 —Зм)] ’
= (2п-1)п(ч®-ч®)
°" 2 [(3 — 4м) n-f- 1 — 2м] ’
Dn = anbn + (ч?2"+1 -<2n+1) (ч2н"+3 - ч2в" м); (13.89)
Ф„ = v • {ч"+1 [чГ2 (У„+1)н - чГ2 (Гч+1)в]};
Ч; = V • {ч-п [чГ+1 (/„-Jh - ч~п+1 (/„-ЛП,
то на основе отмеченного получим, что
1 v [(ч72П+1 “ <2Я+1) ф« + а'‘ч2"+1 ;
тл+1 = {V [(*н’+3 - ч2вп+3)
Обращаясь далее к равенству (13.88), мы найдем также значения
S„ и Sn и, следовательно, согласно (13.85), значение вектора смещений и.
§ 137. ШАР С КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ШАРОВОЙ ПОЛОСТЬЮ ПРИ ЗАДАННЫХ
НА ГРАНИЦАХ НАПРЯЖЕНИЯХ
При решении данной задачи будем исходить из формулы
° ~ 2(1 +м) [^ы + + 1 — 2м ‘ ы) ^] •
Скалярно умножив обе части этого равенства на радиус-вектор г,
мы получим формулу для увеличенного в ч раз вектора напряжений на
площадках, нормальных к этому радиусу. Она будет иметь следую-
щий вид:
° • r = 2(TTV) [(V«) • Г + г • (V«) + (V - «)г]. (13.91)
Воспользуемся далее представлением (13.82) для вектора смещений,
в котором wn является однородным гармоническим многочленом сте-
1
474
Сферические тела
пени п. При этом ввиду свойства однородности (13.81) и условия гар-
моничности найдем, что
(V«) • г = V |(\7ьул) • г 2 [(3 — 4^) п — 2 (1 — м)] г +
п
+ (n-2) 42(V2-^,,)]}
Г • (V«) = —’ п [“,« — 2[(3 —4v)n —2(1 —m)J 42 (V2 • ЬУП)] ;
п
\ 1 Оя _ 1
V • и = (1 -2.) Nj |3_4>>„^2|,_.) V • Ч,
п
После подстановки этих значений в предыдущее равенство получим
следующую зависимость:
с • r = 2(TTV) S [nw« + (WJ г - (V2 • Wn) -
п
— (L~.<? ZL2^1)(у/ . w )(13 92)
(3 —4v)n —2(1—m)'v wn)r\- (io.jzj
Преобразуем правую часть этого равенства таким образом, чтобы
отдельные слагаемые в ней представляли собой функции, пропорцио-
нальные однородным гармоническим многочленам. Для этого примем
во внимание следующую формулу дифференцирования произведения:
V * (чкФт) = k4k~*r Фш),
где * — знак какого-либо умножения, в данном случае арифметического
или скалярного, и Ф,л — в соответствии с умножением в данном случае
скалярный или векторный однородный гармонический многочлен сте-
пени т. Отсюда находим, что
г * Ф,л = | N~*+21V * - ^2( V * Фст)}-
Здесь в правой части выражение представляет собой также
гармонический многочлен, однако выражение чА<1»,л, а следовательно,
и V * таковыми не являются. Если же мы примем, что
k = —(2m + 1),
то однородный многочлен ч*Ф,„ станет также гармоническим. При этом
в правой части последнего равенства каждый член будет пропорционален
гармоническому многочлену.
Предыдущая формула в этом случае может быть представлена в сле-
дующем виде:
г * ф'« = &ГТГ[ч* (v * ф'«} “ч2т-3 [ v * <13-93)
Используя это равенство, преобразуем соответствующим образом
второй и четвертый члены в правой части представления (13.92).
Непосредственно применим формулу (13.93) к выражению (V ‘Wn)r,
полагая в ней ФЛ1 = V wn при арифметическом умножении на г.
Шар с концентрической шаровой полостью...
475
Если учесть, что степень т многочленна Фт в данном случае будет
т = п — 1,
то при этом найдем, что
(V wn) г = (ч2 (V2 • ™п) - ч^ {V [ч"2^1 (V • wn )]}}. (13.94)
Далее, замечая, что
(V№„) • г = V №п • г) — wn
и применяя к произведению wn • г непосредственно формулу (13.93),
получим
(V^,) г = V {ч2 (V • Wn) - [V • (ч-2л-Х)П =
= t2r<V • + 42(V2 •№„)]- V {Ч2П+3IV • (ч-2”-1^)]}
Отсюда вследствие равенства (13.94), найдем, что
(W„) г = 2^142 (V2 wn) - ч2П+1 {V [ч-2п+1 (V • №Л)П -
-2ЯЛ V(42n+3[V .(ч-2""1^)])-^- (13.95)
При наличии представлений (13.94) и (13.95) зависимость (13.92)
получит такой вид
° ' Г = 2(1 +м) Xl — Wn ~ (3 —4м) и —2(1 — м) 4,2 +
л_____I1 — 4м)п — (3 — 2м)_ 2п-1 гч-2«+1 /уу . w \н _
(2«+1)[(3 —4м)п —2(1 —м)|Ч IV I4 (V
~ 2ЯЛ V {Ч2"+3 1V ’ • 03-96)
2. Полагая затем, что заданные векторы внешних напряжений Рн
и Рв на наружной и внутренней граничных поверхностях SH и SB могут
быть разложены на ряды по сферическим функциям, представим их
следующим образом при помощи векторных функций Лапласа:
Лн; в = £ (Г„)н; в, (13.97)
где при остальных обозначениях, таких же как и в (13.84),
(Г„)н; в = 2-^ J Рн; ВР„ (COS ф) dF. (13.98)
Hi; в
3. Очевидно в формуле (13.96) величина п может принимать лишь
такие целочисленные значения, при которых правая часть этой формулы
на граничных поверхностях рассматриваемого полого шара обращается
в ряды поверхностных сферических функций, представленных равен-
ством (13.97).
Поэтому, принимая во внимание, что поверхностные сферические
функции порядка п возникают из гармонических многочленов степеней
п и —(и 4*1) согласно равенствам
wn = 4”Sn, w_n^ = 4-n-^Sn, (13.99)
476
Сферические тела
(13.100)
(13.101)
где Sn и Sn — векторные поверхностные сферические функции порядка п,
представим равенство (13.96) в следующем виде:
° • г = 2(ПЙ) S {(« - -Х„ч2 [V2- KSJ] -
- K_„_,42[ V2 • + 1п ч2п+' {V [ч-2п+1 (V • ч"8л)]} +
+ [424+3(V • V {ч2"+3 IV • (4-',-1Sn)]} +
+ ^TiV{4-2'’+4V-(4nS„)n},
где
p- Л 2
— (3 —4ч)л —2(1 —
(1 — 4v)n — (3 — 2v)
ln ~ ~ (2n+l)[(3 —4v)n —2(1—v)j •
Введем далее такие обозначения;
V2 • (ч”5л, = 4^Un_2- V2 • (4-n~lSn) = ч-п-3йп+2-,_
V [4“2,!+1(V • 4nSJ] = 4~n~Wn-, V [42n+3(V • = 4nVn, (13.102)
V Ь2Л+® [V • (4-”-1Sn)]} = 4nWn; V {ч-2п+1 [V • («”S„)]} IF„,
где Un_2 > ^n+2’ Vn 11 т- д- — векторные поверхностные сферические
функции, имеющие порядок, указанный индексом. Выражения в левой
части этих равенств представляют собой, согласно выводу, градиенты
гармонических функций и, следовательно, при скалярном применении
к ним оператора V обращаются в нуль.
Подставляя эти обозначения в формулу (13.100) и сравнивая правую
часть данного равенства после деления на ч для случая, когда ч = чн
или ч = чв, с соответствующими выражениями правой части равенства
(13.97), мы получим для каждого порядка п поверхностных сферических
функций по два уравнения такого типа:
[(п _ i)4«Sn - („ + 2) 4~^Sn -Kn+^U- К-п+.ч-п+^ип -Ь
+ ln4nVn + /_п_1ч-л-% - 2^1 (ч«^„ - 4-"-ir„)JH: в =
= ^(ч-^)н:в.
Отсюда путем небольших преобразований, характер которых оче-
виден из правой части получаемых равенств, найдем
(ч2п+1 _ чГ+1) [(n _ 1) 5л+/яуп _ _J_ ^п] _ (Ч2«+3_ ^+3) Kn+2Un-
- (ч2 - ч2)К_„+1Т7л = [(ч"Г„)н - (чпУл)в]; (13 103)
(ч72п-1 _ч-2п-1) [(п + 2) S„- №„] + (чн - чв)^n+JJn +-
+ (Ч?2"+1 - ч72п+1)К_л+1^„ = - [(ч-”-1^)» - (ч-”-^,,),].
Умножим затем все члены первого из этих уравнений на чп и при-
меним к ним скалярно оператор V- Тогда слагаемые, содержащие функ-
Шар с концентрической шаровой полостью...
477
ции Un и Wn, ввиду соответствующих равенств (13.102) и отмеченных
свойств, выпадут и мы получим такую зависимость:
К'+1- ЧГ+1) - П V • (4nSn) + /„V • («"VJ] - - «2B)K_„+1V • (чпип) =
= V • KW» - КГ„)В]).
Далее примем во внимание, что вследствие тех же равенств (13.102)
и свойств (13.81)
V • (ч”Уп) = V • [ч2"+1(ч-л-1Г„)] == (2п + 1) 42”+V • (ч-л-%) =
= (2п + 1) 42n+V • {V4~2n+1 [V • K'S„)]} = —(2n + 1) n\7 • (4nSn),
и на основании аналогичных соображений
V • (чпйп) = -(2п + 1) nV • (4-'I+1S" _2).
Это позволит нам представить предыдущее уравнение в следующей
K"+1 _ ч2Л+1) [п _ 1 _ (2п _|_ 1) nin} v .j4nSn) _|_
+ « - чв) (2п + 1) "K_„+1V (ч-л+15„_2) =
= ^L+Z)V . {чп[{чпУп)И- (члУ„)в]}. (13.104)
Если мы теперь умножим второе уравнение (13.103) на ч-”-1 и вы-
полним аналогичные операции, то оно приведется к такому виду:
(ч-2«-1 _ [п + 2 + (2n + 1) (п + 1) /_„_J V • (4-n^Sn) -
- « - (2n+i) (« + l)Kn^V (^+2S„+z) =
= v • l*-"-1 - («-"-^ДвП-
Заменив в нем п на п — 2, получим
(ч72„+1 _ ч-2П+1) [п + (2п _ 3) (n _ 1) /_я+1- V . (4-"+lS„_2) -
- К - «ф (2п _ 3) (п - 1) K„V (4nSn) =
= — (g+'}V W-n+1 [(^-n+1Vn_2)H - (ч-"+1Г„_2)вП. (13.104J
Остается теперь совместно решить два уравнения (13.104) и (13.104J,
относительно выражений V • («nSn) и V • (ч~"+1 Sn_2).
Обращаясь снова к уравнениям (13.103), умножим первое на ч~п~\
а второе на чп и применим к ним скалярно оператор V- На тех же
основаниях, что и выше, мы получим такие формулы:
V • («-"-^n) = + V • [(ч"У„)н- (ч'ТДвП -
- ffzff (2п+2„(П + П Кп+2ч-^[ v K’+2Sn+2) ]. (13.105)
V • («nSn) = - 2n_11+_^ V {чл[(ч-л-Т„)н - (4—Vn)B]] +
£(ЧН —% )(« + 0
-2/14-1 — 2/7 4-1
_i_ 2s_______Чв_(2п 4- 1) n „ /q^+is 11
+ 2n-i _ -2П-1 2 (n + 1) 7'-л+1ч IV щ J,1-2) J-
чн в
После этого мы можем из равенств (13.102) определить все функции
^п-2> _^п+2> и IFn и затем из формул (13.103)—функции
S„ и Sn.
Задача, таким образом, полностью решается.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. И. Блох. К вопросу о решении пространственной задачи теории упругости.
Научн. зап ХММИ, т. 2, вып. 1, X., 1936.
2. В. И. Б л о х. Общее решение пространственной задачи теории упругости. Научн.
зап. ХММИ, т. 2, вып. 1, X., 1936.
3. В. И. Б л о х. Новый метод решения пространственной задачи теории упругости.
Труды 2-го математ. съезда, т. 2.
4. В. И. Блох. О конечных деформациях. Научн. зап. ХММИ, т. 5, X., 1940.
5. В И Блох. Основные уравнения теории упругости в обобщенном виде. На-
учн. зап. ХММИ, т. 5, X., 1940.
6. В. И. Блох. Применение функций напряжений в теории упругости. Диссерта-
ция на соискание ученой степени доктора техн наук, X., 1945.
7. В. И. Блох. Функции напряжений в теории упругости. «Прикладная матема-
тика и механика», т. 14, вып. 4, М., 1950.
8. В. И. Блох. К общей теории упругих толстых плит. «Инженерный сборник»,
т. 18. АН СССР, М., 1954.
9. В. И. Блох. Общее решение трехмерной задачи теории упругости в круговых
цилиндрических координатах при наличии осевой симметрии. Труды ХАДИ, вып. 26,
X., 1954.
10. В. И Б л о х. Кручение упругих изотропных цилиндров поверхностными уси-
лиями при наличии осевой симметрии. Труды ХАДИ, вып. 16, X., 1954.
11. В. И. Блох. О представлении общего решения основных уравнений статичес-
кой задачи теории упругости изотропного тела при помощи гармонических функций
«Прикладная математика и механика», т. XXII, вып. 4, М., 1958.
12. В. I. Блох. Про представления загального розв’язання статично! задач! тео-
pi’i пружносп 1зотропного т!ла за допомогою площинних гармошчних функшй. Доповщ!
АН УРСР, № 11, К-, 1958.
13. В. И. Блох. Неограниченная толстая плита с двоякоперподической нагрузкой.
«Строительство и архитектура», Известия высш, учебн.заведений,№ 8, Новосибирск, 1959.
14. В. И. Блох. Об использовании плоскостных гармонических функций в реше-
ниях трехмерных статических задач теории упругости изотропного тела. «Математика»,
Известия, высш, учебн. заведений, № 2, Казань, 1960.
15. В И. Блох. Два случая двоякопериодической загрузки неограниченной
толстой плнты. «Строительство и архитектура». Известия высш, учебн. заведений, Ново-
сибирск, 1961.
16. В. I. Блох. Функцп напружень 1 функцп зм!щень. Допов!д! АН УРСР,
А» 4, К-, 1961.
17. В. 1. Блох. Про деяк1 висновки з двох вар!ац!йних принцишв у механщ!
твердих деформ!вних т!л. «Прикладка мехашка», т. VIII, вип. 1, К-, 1962.
18. О. Веблен. Инварианты дифференциальных квадратичных форм, ИЛ, 1948.
19. В. М. Деев. До розв’язку просторово! задач! теорп пружност!, Допов1д1
АН УРСР, № 1, К-, 1958.
20. В. М. Деев. О формах общего решения пространственной задачи теории упру-
гости, выраженных при помощи гармонических функций. «Прикладная математика и
механика», т. XXII, вып. 6, М., 1959.
21. В. Ф. Каган. Основы теории поверхностей, ч. 1, ГНТТЛ, 1947; ч. 11, 1948.
22. Г. В. Колосов. Применение комплексной переменной к теории упругости.
ОНТИ, 1935.
23. Н. Е. Коч ин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
АН СССР, 1951.
24. Ю. А. К р у т к о в. Тензор функций напряжений и общие решения. АН СССР, 1949.
25. Д. И. К У тил ин. Теория конечных деформаций. ОГИЗ, 1947.
26. М. Л а га л л и. Векторное исчисление, 1936.
27. Л. С. Лейбе н зон. Курс теории упругости, 1947. Гостехиздат ТТИ.
28. А. И. Лурье. Пространственные задачи теории упругости, 1955.
Литература
479
29. А. Л я в. Математическая теория упругости. ОНТИ, М., 1935.
30. П. Ф. Па п кови ч. Оборонгиз. Теория упругости, 1939.
31. С. Д. По и о м а р е в, В. Л. Бидерман и др. Расчеты на прочности в ма-
шиностроении, т. 1—111. Машгиз, 1959.
32. П. К- Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. ГИТТЛ, 1953.
33. И. А. Схоутен и Д. ДЖ- Стро и к. Введение в новые методы дифферен-
циальной геометрии, т. 1, 1939.
34. Е. Треффц. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1934.
35. М. М. Ф илонен ко — Бородич. Теория упругости. Физматгиз, 1959.
36. П. А. Широков. Тензорное исчисление, ч. 1. ОНТИ, 1934.
37. А. Эйнштейн. Основы общей теории относительности, 1916. Сб. «Принципы
относительности», 1935.
38. A. L. Cauchy. Recherches sur 1’equilibre et le mouvement interieur de corps
solides on fluides elastique ou non elastique, 1823.
39. A. L. Cauchy. Exercices de mathematique, 1827.
40. A. L. Cauchy. Memoire sur les dilatations, les condensations et de rotations
produites par un changement de forme dans un systeme de points materials, ExcrClCCS
d’.in.ily e et de physique mathemitique, 1841, t. 2.
41. E. Betti. JI nuovo cimento, ser 2., v. 6—10, 1872.
42. Castigliano. Nnova teoria intorno deU’equilibrio dei sistemi elastici. Atti
della Acadmio delle science. Torino, 1875.
43. 1. W. Gibbs. Vector Analysis, founded upon the lectures of I. W. Gibbs bv
E. Wilson. New Haven, 1913. }
44. W. R. Hamilton. Lectures on quaternions. Dublin, 1853.
45. G. Lame. Lemons sur la theorie mathematique de I’elasticite des corps soli-
des, 1852.
46. Ricci et T. Levi-Civita. Methodes de calcul differential absolu et leurs
applications. Math. Anal., 54, 1901.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От издательства............................................................ 3
Предисловие................................................................. 4
Глава I. Некоторые вопросы векторной и тензорной алгебры..................... 6
§ 1. Векторное трехмерное вещественное пространство.................... 6
§ 2. Векторное произведение двух векторов.............................. 9
§ 3. Произведения более чем двух векторов ............................ 10
§ 4. Об определении одного векторного сомножителя по известным скалярным
и векторным произведениям и второму сомножителю .......................11
§ 5. Две взаимные тройки некомпланарных векторов...................... 12
§ 6. Взаимные системы координат...................................... 13
§ 7. О скалярном произведении двух векторов ..... .'......... 15
§ 8. Метрика эвклидова пространства................................. 16
§ 9. Векторные и смешанные произведения базисных векторов............. 18
§ 10. Векторные и смешанные произведения любых векторов................ 19
§ 11. Метрика взаимной системы ................................. ... 20
§ 12. О сокращении формы записей ... ... 21
§ 13. Соотношения между независимыми прямолинейными координатными
системами.............................................................. 22
§ 14. Преобразование координат. Ковариантные и контравариантные коор-
динаты . . . ........................... 25
§ 15. Преобразования и инварианты . . . . .............. 26
§ 16. Обобщенные символы Кронекера..................................... 29
§ 17. Функции вектора......... 31
§ 18. Линейные функции вектора......................................... 32
§ 19. Введение вектор-аргумента в линейные функции явным образом .... 34
§ 20. Диада........................................................... 35
§ 21. Тензоры.......................................................... 40
§ 22. Тензоры и преобразования координат............................... 44
§ 23. Действия над тензорами......................................... 47
§ 24. Тензор тождественного преобразования ........................... 52
§ 25. Тензор двукратной валентности.................................. 54
§ 26. Некоторые действия над тензорами двукратной валентности.......... 58
§ 27. Обратные или взаимные тензоры двукратной валентности ............ 62
§ 28. Скалярные инварианты тензора двукратной валентности.............. 64
§ 29. Нормированные координатные системы............................... 66
Глава II. Тензор напряжений................................................. 68
§ 30. Вектор и тензор напряжений....................................... 68
§ 31. Нормальные, касательные и координатные компоненты вектора напря-
жений для произвольной площадки ... .......... . . 73
§ 32. Главные напряжения.............................................. 77
§ 33. Распределение нормальных напряжений вокруг точки . ..... 83
§ 34. Распределение касательных напряжений вокруг точки................ 87
Глава III. Некоторые вопросы векторного и тензорного анализа................ 94
§ 35. Скалярное поле................................................... 94
§ 36. Дифференцирование вектора по параметру.......................... 99
§ 37. Векторное поле ..................................................100
§ 38. О применении оператора V к векторам и тензорам ........ 102
§ 39. О двукратном применении оператора V к некоторым функциям . . . 105
§ 40. Некоторые примеры и задачи.......................................108
§ 41. Криволинейные координаты.........................................111
Оглавление
481
:тР.
з
4
6
6
9
'О
1
2
3
§ 42. Преобразования в криволинейных координатах................. .... 114
§ 43. О дифференциальных изменениях локальных координатных систем . . 116
§ 44. Однократное дифференцирование в криволинейных координатах . . . . 120
§ 45. Ортогональные криволинейные координаты...................... ... 124
§ 46. Геодезические линии ........................... . 13о
§ 47. Параллельное перенесение........................................13"
§ 48. Тензор кривизны................................................ 139
§ 49. Повторное дифференцирование.................................... 142
§ 50. Интегралы от тензорных функций................................. 143
§ 51. Течение и циркуляция тензора .... 148
§ 52. Формула Стокса................................................. 150
§ 53. Определение потенциала заданного тензора....................... 153
54. Формула Остроградского ... ..................................156
§ 55. Некоторые теоремы теории потенциала....................... . . 159
§ 56. Гармонические тензоры........................................ 164
§ 57. Первая краевая задача теории гармонического потенциала..........168
§ 58. Вторая краевая задача теории гармонического потенциала..........170
§ 59. Третья краевая задача теории гармонического потенциала......... 173
§ 60. Неограниченное поле тензорных функций...........................173
§ 61. Ограниченное поле тензорных функций........................... 178
§ 62. Общие решения уравнения гармоничности методом разделения пере-
менных .............................................................. 130
§ 63 Бигармонические функции....................................... 184
§ 64. Бигармоническая краевая задача..................................190
§ 65. Метод разделения переменных в применении к бигармоническим функ-
циям ............................................................. • 193
Глава IV. Смещения и деформации............................................201
§ 66. Градиент вектора смещений.......................................201
§ 67. Тензор конечных деформаций.................................... 203
§ 68. Тензор бесконечно малых деформаций..............................205
§ 69. Вектор относительного элементарного поворота....................208
§ 70. Тензор деформационного изменения векторов направленных площадок . 209
§ 71. Тензор деформации площадок................................... . 211
§ 72. Тензор объемных деформаций......................................215
§ 73. Суперпозиция деформаций . 217
§ 74. Определение смещений по заданным деформациям....................218
§ 75. Условия совместности деформаций.................................223
§ 76. Об одно- и многозначности результатов интегрирования тензора де-
формаций ........................................................... 224
Глава V. Условия равновесия и движения. Работа деформаций. Закон Гука. 229
Условия совместности ..................................................
§ 77. Дифференциальные уравнения равновесия и движения...............229
§ 78. Работа внешних сил..............................................233
§ 79. Упругие деформации..............................................234
§ 80. Общая линейная связь между деформациями и напряжениями .... 236
§ 81. Общая линейная связь в случае упругих деформаций................237
§ 82. Некоторые случаи пространственной симметрии упругих свойств . . . 238
§ 83. Соотношения между упругими постоянными в случае изотропных тел . 243
§ 84. Упругие постоянные и выражение закона Гука для изотропных тел . . 245
§ 85. Дифференциальные уравнения равновесия и движения, выраженные
в перемещениях .... ......................................251
§ 86. Уравнения совместности..........................................252
Глава VI. Энергетические принципы..........................................257
§ 87. Теорема Бетти о взаимности работ................................257
§ 88. Теорема Кастильяно..............................................261
§ 89. Изменения удельного упругого потенциала.........................262
§ 90. Вариационный принцип возможных перемещений......................261
§ 91. Вариационный принцип возможных изменений напряженного состояния 269
§ 92. Вариационный принцип для динамических систем . , ...............272
Глава VII. Некоторые простейшие и вспомогательные задачи теории упругости . 275
§ 93. Общий случай равномерных и линейно изменяющихся напряжений . . 275
§ 94. Решения с помощью скалярной гармонической функции напряжений . 277
Ж
482
Оглавление
§ 95. Решения с помощью векторной гармонической функции смещений 279
§ 96. Сосредоточенная сила в неограниченном теле (задача Кельвина) . . . 281
§ 97. Некоторые другие случаи сосредоточенной нагрузки неограниченного
тела................................................................ 284
Глава VIII. Некоторые основные методы решения пространственной задачи тео-
рии упругости .................... 288
§ 98. О существовании решений . . .....................................288
§ 99. О единственности решения............. . . . 291
§ 100. Метод интегрирования Бетти........... . . . 295
§ 101. Метод непосредственного определения смещений на основе теоремы вза-
имности работ............................................................302
§ 102. Методы решений при помощи функций смещений........................304
§ 103. Метод решения при помощи функций напряжений.......................312
Глава IX. Упругое тело, ограниченное одной плоскостью . . ................325
§ 104. Бесконечное тело, ограниченное плоскостью з заданными на ней на-
пряжениями ..............................................................325
§ 105. Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной на ней нормаль-
ной нагрузкой ........................................................ 329
§ 106- Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданной на ней каса-
тельной нагрузкой ...................................................... 340
§ 107. Бесконечное тело, ограниченное плоскостью с заданными на ней сме-
щениями . . . . ........... . . . . ............343
§ 108. Бесконечное тело, ограниченное плоскостью и нагруженное сосредото-
ченными силами, приложенными на глубине под граничной поверх-
ностью ..............................••..................................345
Глава X. Плоский слой.......................................................350
§ 109. О краевых напряжениях.................................... ...... 350
§ ПО. Прямолинейные косоугольные координаты.............................352
§ 111. Плоский слой с двоякопериодической нагрузкой .................... 354
§ 112. Плоский слой, подпертый в узлах параллелограммной сетки...........369
§ 113. Гармонические функции в прямолинейных ортогональных координатах. 377
§ 114. Плоский слой с нагрузкой, изменяющейся периодически в двух орто-
гональных направлениях............................................... 378
§ 115. Плоский слой с непериодической нагрузкой..........................383
§ 116. Плоский слой в криволинейных координатах..........................388
§ 117. Применение круговых цилиндрических координат к расчету плоского
слоя.....................................................................390
§ 118. Слой в цилиндрических координатах с заданными усилиями на его
гранях...................................................................394
Глава XI. Плиты........................................................... 404
§ 119. Плоское напряженное состояние.....................................404
§ 120. О силовых условиях на боковых поверхностях плиты..................409
§ 121. Прямоугольная плита, шарнирно опертая по краям...................413
§ 122. Шарнирно опертая плита, имеющая в плане форму равнобедренного
прямоугольного треугольника..................................... 416
Глава XII. Круглые цилиндры с осесимметрической нагрузкой...................418
§ 123. Общее решение трехмерной задачи при помощи гармонической тензор
ной функции напряжений в цилиндрических координатах......................418
§ 124. Общее решение трехмерной задачи в цилиндрических координатах для
случая осевой симметрии при помощи гармонической тензорной функции 420
§ 125. Цилиндрические тела конечной длины, скручиваемые усилиями, рас-
пределенными на боковых поверхностях.................................... 423
§ 126. Цилиндрические тела, скручиваемые усилиями, распределенными на
торцевых гранях.................... •...............................' ' '
§ 127. Общее решение трехмерной задачи при помощи бигармонической тен-
зорной функции напряжений в круговых цилиндрических координатах
при наличии осевой симметрии .... .... ........437
Глава Х111. Сферические тела................... ... .... 450
§ 128. Равномерно загруженный нормальными усилиями на граничных поверх-
ностях шар с концентрической полостью...................................450
Оглавление 483
§ 129. Шар при заданных на поверхности смещениях.........................451
§ 130. Неограниченная внешняя относительно сферы область при заданных
иа поверхности сферы смещениях......................................... 452
§ 131. Одноосное равномерное растяжение или сжатие тела с малым жестким
шаровым включением.......................................................453
§ 132. Шар при заданных на поверхности напряжениях.......................457
§ 133- Шар, сжимаемый сосредоточенными силами в противоположных концах
диаметра............................................................... 460
§ 134. Неограниченная внешняя относительно сферы область при заданных на
поверхности сферы напряжениях.......................................... 467
§ 135. Одноосное равномерное растяжение или сжатие тела с малой шаровой
полостью.................................................................468
§ 136. Шар с концентрической шаровой полостью при заданных на границах
смещениях................................................................470
§ 137. Шар с концентрической шаровой полостью при заданных на границах
напряжениях..............................................................473
Литература................................................................ 478
Вениамин Израилевич Блох
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Редактор Д. А. Вайнберг
Техредактор А. С. Трофименко
Корректоры Л. И. Качанова, Л. Т. Момот
Обложка художника А. П. Шулики
Сдано в набор 10/Х 1963 г. Подписано к печати 25/ХП 1963 г. БЦ 40156.
Формат 70 X 108'/i6- Объем 15,12 бум. л., 30,25 физ. печ. л., 41,4 усл. печ. л., 36,6 уч.-изд. л,
Зак. 3-476. Тираж 7000. Цена 1 руб. 20 коп.
Отпечатано с матриц, изготовленных Книжной фабрикой им. Фрунзе, в Харьковской
типографии Госгортехиздата. Харьков, ул. Энгельса, 11. Зак. 879.