СТРОИТЕЛЬСТВО

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ИЗГИБАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ
ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
Учебно-методическое пособие

ISBN 978-5-7264-3283-0

© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2023

Москва
Издательство МИСИ – МГСУ
2023

УДК 624.012
ББК 38.53
Р24
Авторы:
Н.Н. Трекин, А.В. Алексейцев, В.В. Бобров, Е.В. Домарова
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор А.Н. Мамин,
начальник отдела обследований зданий и сооружений № 1 АО «ЦНИИПромзданий»;
доктор технических наук, профессор А.Г. Тамразян,
заведующий кафедрой железобетонных и каменных конструкций НИУ МГСУ

Р24
Расчет железобетонных изгибаемых конструкций на основе нелинейной деформационной модели [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / [Н.Н. Трекин,
А.В. Алексейцев, В.В. Бобров, Е.В. Домарова] ; Минис­терство науки и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Мос­ковский государственный строительный университет, кафедра железобетонных и каменных конструкций. —
Электрон. дан. и прогр. (4,7 Мб). — Мос­ква : Издательство МИСИ – МГСУ, 2023. — URL:
http://lib.mgsu.ru. — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7264-3283-0 (сетевое)
ISBN 978-5-7264-3284-7 (локальное)

В учебно-методическом пособии описаны общие положения расчета изгибаемых элементов
по прочности нормальных сечений, а также расчета железобетонных изгибаемых конструкций по
образованию трещин на основе нелинейной деформационной модели. Даны примеры расчета изгибаемых и внецентренно сжатых элементов без предварительного напряжения арматуры по нормальным сечениям, а также примеры расчета изгибаемых и внецентренно сжатых элементов по
образованию трещин.
Для обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 Строительство уникальных зданий
и сооружений.
Учебное электронное издание
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2023

Редактор Л.В. Себова
Корректор В.К. Чупрова
Верстка и дизайн титульного экрана Д.Л. Разумного
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS6, ПО Adobe Acrobat

Подписано к использованию 27.07.2023. Объем данных 4,7 Мб.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Национальный исследовательский
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ.
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

Оглавление
Введение............................................................................................................................................................................. 5
1. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРОЧНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ . .................................................................... 5
1.1. Основные положения............................................................................................................................................. 5
1.2. Расчет прочности нормальных сечений............................................................................................................ 6
1.2.1. Расчетная схема усилий............................................................................................................................. 6
1.2.2. Характер разрушения железобетонных конструкций.......................................................................... 7
1.2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны.......................................................................................................... 8
1.2.4. Напряжения в сжатой продольной арматуре......................................................................................... 14
1.2.5. Напряжения в продольной арматуре, расположенной в растянутой или менее
сжатой зоне.................................................................................................................................................. 15
1.2.6. Расчетные уравнения для нормальных сечений.................................................................................... 21
1.2.7. Расчет нормальных сечений...................................................................................................................... 23
2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ИЗГИБАЕМЫХ И ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ АРМАТУРЫ............................................................................... 29
3. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН НА ОСНОВЕ
НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ............................................................................................... 40
3.1. Расчет изгибаемых элементов.............................................................................................................................. 40
3.2. Расчет внецентренно сжатых элементов............................................................................................................ 47
4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН............... 48
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ
НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ............................................................................................... 54
5.1. Предельно допустимые прогибы изгибаемых элементов................................................................................ 54
5.2. Определение кривизны с использованием билинейной диаграммы состояния бетона............................ 55
Библиографический список............................................................................................................................................. 59
Приложение....................................................................................................................................................................... 60

ВВЕДЕНИЕ
Внедрение расчета железобетонных конструкций на основе нелинейной деформационной модели в качестве нормативного метода вызвано несколькими причинами. Прежде всего расчет основан на использовании диаграмм σ–ε материалов и гипотезе плоских сечений,
что является теоретической базой расчета нормальных сечений любого очертания при любом
расположении арматуры для двух предельных состояний в отличие от метода расчета по предельным усилиям, дающим надежные результаты только для стандартных сечений — прямоугольник, тавр и двутавр. Представленные диаграммы σ–ε для арматуры и бетона могут быть
криволинейного очертания как наиболее приближенные к фактическим диаграммам материалов и могут приниматься как упрощенные — кусочно-линейные, позволяющие для простых
сечений получать аналитические зависимости по установлению прочности, трещиностойкости и деформаций на основе единого подхода.

1. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРОЧНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
1.1. Основные положения
Расчетом проверяется прочность сечений, нормальных к продольной оси элемента [1]. При
этом предельное состояние элемента определяется условием равновесия усилий от внешних
нагрузок и внутренних усилий, а также достижением в бетоне или арматуре предельных деформаций. Прочность сечений железобетонных конструкций считается обеспеченной, если
усилия и деформации, возникшие в рассматриваемом сечении от различных воздействий,
в том числе с учетом предварительного напряжения арматуры, не превышают соответствующих нормируемых значений.
Таким образом, прочность нормальных сечений обеспечивается соблюдением условий


ε ≤ εult;

(1.1)



F ≤ Fult,

(1.2)

где ε и F — соответственно деформация сжатого бетона или растянутой арматуры и усилие,
возникающее в рассматриваемом сечении от внешней нагрузки; εult и Fult — предельное значение соответственно деформации сжатого бетона или растянутой арматуры и внутреннего
усилия в том же сечении.
В общем случае задача состоит в определении усилий или деформаций от внешних воздействий и их предельных значений, допускаемых в рассматриваемом сечении, и решается путем
комплексного расчета на статические и динамические нагрузки, температурно-влажностные
воздействия и т.п. При этом следует руководствоваться общим правилом для любых видов сечений: нормальных, наклонных или пространственных — усилие в сечении определяется от
внешнего воздействия, действующего по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Деформации и напряжения в нормальных сечениях определяются на основе нелинейной
деформационной модели, основные положения которой заключаются в следующем:
––нормальные сечения до и после деформации под действием внешней нагрузки остаются плоскими. Таким образом, продольные деформации в нормальном сечении распределяются по линейному закону в зависимости от кривизны сечения и расположения рассматриваемой точки в сечении;
––величины деформаций определяются на основе уравнений равновесия внешних и внутренних сил в рассматриваемом сечении;
5

––характер распределения напряжений должен соответствовать линейной эпюре деформаций, а их величины определяются по соответствующим диаграммам деформирования σ–ε арматуры и бетона;
––обобщенные усилия в нормальном сечении определяются с помощью процедуры численного интегрирования эпюры напряжений;
––сопротивление бетона в растянутой зоне не учитывается.
При определении прочности элемента следует рассматривать предельное состояние по сечению в целом, которое можно характеризовать как максимальную величину общего усилия (момента, продольной и поперечной силы), воспринимаемого сечением или достижением
максимально допустимых деформаций сжатия – растяжения в бетоне и арматуре.
В зависимости от характера внешнего воздействия сечения могут быть полностью сжаты
или растянуты, или иметь сжатую и растянутую зоны. Усилия в сжатой зоне воспринимаются
совместно бетоном и арматурой вплоть до предельного состояния; усилия в растянутой зоне до
образования трещин — арматурой и бетоном, а после образования трещин — в основном арматурой и, незначительно, частью растянутого бетона, которой, как правило, пренебрегают.
На основании вышесказанного общие положения, которыми следует руководствоваться
при расчете сечений по прочности, можно сформулировать следующим образом:
––предельные состояния сечения определяются максимальной величиной общего усилия (момента, продольной и поперечной силы), воспринимаемого сечением или достижением
предельных деформаций арматуры и/или бетона;
––расчет нормальных сечений железобетонных элементов следует производить по нелинейной деформационной модели. Для простых по конфигурации сечений и при расположении
продольной арматуры в наиболее растянутой и сжатой зонах допускается расчет нормальных
сечений производить по предельным усилиям.

1.2. Расчет прочности нормальных сечений
1.2.1. Расчетная схема усилий
Распределение внутренних усилий в нормальном сечении в предельном состоянии зависит
от комбинации внешних усилий. При действии только изгибающего момента в нормальном
сечении возникают сжатая и растянутая зоны (рис. 1.1, а). При внецентренном сжатии в зависимости от эксцентриситета продольной силы в нормальном сечении железобетонного элемента имеют место две расчетные схемы распределения внутренних усилий: случай больших
эксцентриситетов (см. рис. 1.1, а) — сечение имеет сжатую и растянутые зоны; случай малых
эксцентриситетов (рис. 1.1, б) — сечение неравномерно, но полностью сжато. При внецентренном растяжении также в зависимости от эксцентриситета продольной силы сечение может
иметь сжатую и растянутые зоны (при больших эксцентриситетах) (см. рис. 1.1, а) либо быть
полностью растянутым (при малых эксцентриситетах) (рис. 1.1, в).
Таким образом, расчетная схема усилий в нормальном сечении включает:
––при наличии сжатой и растянутой зон (см. рис. 1.1, а): усилие Ns — в продольной арматуре, расположенной в растянутой зоне; усилие Nb — в бетоне сжатой зоны; усилие Nʹs — в продольной арматуре, расположенной в сжатой зоне (основные буквенные обозначения даны
в приложении);
––при полностью сжатом сечении (см. рис. 1.1, б): усилие Ns — в продольной арматуре,
расположенной у менее сжатой грани элемента; усилие Nb — в сжатом бетоне; усилие Nʹs —
в продольной арматуре, расположенной у более сжатой грани элемента;
––при полностью растянутом сечении (см. рис. 1.1, в): усилие Ns — в продольной арматуре,
расположенной у более растянутой грани элемента; усилие Nʹs — в продольной арматуре, расположенной у менее растянутой грани элемента.
Усилия, действующие в бетоне и арматуре, определяются по величинам напряжений в бетоне
и арматуре, установившихся в предельном равновесии перед разрушением нормального сечения.
6

Эпюра ε
εb

Эпюра σb
σb

Эпюра ε
ε'b

Эпюра σb
σ'b
N's

N's = A'sσ's
M

ε'b

Nc

Nb
Линия ц.т.

M

Nb
Nc

εbt0

Nt

Ns
Ns = Asσs

εs

εb

а

б

εb2

N's
M
Nt

Ns
в
Рис. 1.1. Расчетные схемы усилий в нормальном сечении:

а — при наличии сжатой и растянутой зон; б — при полностью сжатом сечении;
в — при полностью растянутом сечении

1.2.2. Характер разрушения железобетонных конструкций
Разрушение железобетонной конструкции по нормальному сечению происходит, когда бетон или продольная арматура достигли своих предельных характеристик по деформациям,
определяемых нормируемой граничной точкой диаграммы σ–ε. Соотношение между деформациями в сжатом бетоне и продольной растянутой арматуре определяется их деформативностью и условием равновесия внутренних и внешних сил в нормальном сечении, которое
достигается теоретически путем плоского поворота нормального сечения (гипотеза плоских
сечений, рис. 1.2, а, б). По деформациям в соответствии с диаграммами бетона (рис. 1.2, г)
и арматурной стали (рис. 1.2, д) устанавливаются значения напряжений в бетоне и растянутой
арматуре (рис. 1.2, в).
Предельное состояние сечений при изгибе и внецентренном сжатии определяется разрушением сжатого бетона. Это связано с особенностью нормирования предельного состояния
арматуры, расчетные сопротивления которых устанавливаются на уровне напряжений ниже
предела их прочности, а деформации, соответствующие временному сопротивлению, значительно превышают аналогичную величину в сжатом бетоне (рис. 1.2, г, д). Таким образом, арматура при достижении напряжения, соответствующего расчетному сопротивлению, в отличие от сжатого бетона имеет запас по деформациям. В связи с этим при разрушении сжатого
бетона в растянутой арматуре в зависимости от ее количества могут быть достигнуты напряжения, меньшие или большие расчетного сопротивления.
Предельное состояние при внецентренном растяжении может определяться как разрушением бетона сжатой зоны при больших эксцентриситетах, так и достижением предельных деформаций арматуры при малых эксцентриситетах.
7

A

Rb

εb2
ε's

x

M

Rsc

N

Nb

εbt2
εs
A
а

Rbt
0 < σs ≤ Rs

б

в

σs

σb

σu

σb = Rb

σs = Rs

φ = arctg Eb

εbt2 εbt0

σbt = Rbt

εb0

εb2

εb

εs0 =

г

Rs
Es

εs > 0,1 εs
д

Рис. 1.2. Распределение деформаций и напряжения в нормальном сечении А–А перед разрушением.
Диаграммы деформаций бетона и арматурной стали с физическим пределом текучести:
а — расчетное нормальное сечение; б — распределение деформаций; в — распределение напряжений;
г — диаграмма деформаций бетона; д — диаграмма деформаций арматуры

1.2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны
Предельное состояние по нормальному сечению в большинстве случаев определяется достижением бетоном сжатой зоны своих предельных деформационных характеристик, определяемых диаграммой σ–ε бетона при сжатии, за которыми следует его разрушение.
Фактическая диаграмма σ–ε бетона имеет незначительный начальный линейный участок и выраженное криволинейное очертание на оставшемся восходящем (стадия накопления
повреждений) и нисходящем (стадия разрушения) участках (см. рис. 1.2, г). В соответствии
с этим эпюра напряжений в сжатом бетоне перед разрушением будет иметь также криволинейное очертание с максимумом в пределах сжатой зоны (рис. 1.3). Следует отметить, что
соотношение упругих и неупругих деформаций бетона не остается постоянным и меняется
в зависимости от многих факторов: вид и класс бетона; скорость и характер нагружения, температурно-влажностные условия и т.д. С увеличением класса бетона доля неупругих деформаций бетона снижается, в результате чего уменьшается кривизна диаграммы σ–ε и для высоких классов бетона она приближается к линейной на большей части восходящего участка
диаграммы. То же самое происходит и с увеличением скорости нагружения.
В настоящее время имеется немало предложений по описанию диаграммы σb –εb: в виде
степенной функции, показательной функции и других более сложных зависимостей. В нормах Европейского комитета по бетону (ЕКБ) [2] принята зависимость в виде

где η =

,k=

,

, εb0 — предельная деформация бетона при его равномерном сжатии.
8

(1.3)

Эта зависимость обладает следующими преимуществами:
––максимум функции соответствует σb = Rb;
––описывает нисходящую ветвь диаграммы наиболее близко к опытным данным;
––изменения σb в самом начальном участке диаграммы соответствуют изменениям σb при
упругой работе бетона с модулем упругости Eb, т.е. производная функции σb = f(εb) при εb = 0
равна Eb.
Эта функция для бетона классов B25 и B40 представлена в виде графиков на рис. 1.3. Из
этих графиков видно, как с увеличением класса бетона на восходящем участке уменьшается
кривизна диаграммы, что соответствует уменьшению доли неупругих деформаций бетона.

——— полные деформации; - - - - упругие деформации
Рис. 1.3. Диаграмма σb –εb по ЕКБ

В СП 63.13330.2018 аналитическая зависимость криволинейных диаграмм деформирования бетона (рис. 1.4) принимается в виде


εm = σm /(Emνm),

(1.4)

где εm, σm, Em — соответственно относительные деформации, напряжения, начальные модули
упругости; m — индекс материала (для бетона m = b, bt); νm — коэффициент изменения секущего модуля, определяемый по формуле


,

(1.5)

где — значение коэффициента в вершине диаграммы (при σm = ); ν0 — начальный коэффициент изменения секущего модуля (в начале диаграммы или в начале ее криволинейного
отрезка); ω1, ω2 — коэффициенты, характеризующие полноту диаграммы материала, при этом
ω2 определяется по формуле


ω2 = 1 – ω1;

(1.6)

η — уровень приращения напряжений, который определяется как отношение

где σm — то же, что и в формуле (1.4);

,

(1.7)

— напряжение в вершине криволинейной диаграммы.
9

В формуле (1.5) знак «плюс» принимают для диаграммы деформирования арматуры и для
восходящей ветви диаграммы деформирования бетона, а знак «минус» — для нисходящей
ветви диаграммы деформирования бетона. Нисходящую ветвь диаграммы допускается использовать до уровня напряжений η > 0,85. Нужно заметить, что диаграмма, приведенная на
рис. 1.4, построена в непривычных координатах, в которых сжатие принимается со знаком
«минус», а растяжение — со знаком «плюс», что необходимо учитывать в расчетах.


εb

σ
b
σbt

0,85σbt
εb 0

εb

εbt

(tg θ = Ebνb) θ

σb


–0,85σb

σb
Рис. 1.4. Криволинейная диаграмма деформирования бетона

При одноосном и однородном сжатии бетона исходная диаграмма деформирования бетона (см. рис. 1.4) описывается зависимостями (1.4) – (1.7), в которых следует принимать:
––для обеих ветвей диаграммы:


(1.8)

––для восходящей ветви:


(1.9)

––для нисходящей ветви:


(1.10)

Абцисса вершины диаграммы осевого сжатия бетона определяется по формуле


,

(1.11)

где B — класс бетона по прочности на сжатие; λ — безразмерный коэффициент, зависящий от
вида бетона и принимаемый равным для тяжелого и мелкозернистого бетона λ = 1.
При одноосном и однородном растяжении бетона исходная диаграмма деформирования
бетона описывается зависимостями (1.4) – (1.5), в которых следует принимать:
10



где

(1.12)

— коэффициент, принимаемый равным:
––при центральном растяжении:
= 1;
––для изгибаемых элементов по формулам:



(1.13)

где hэ = 30 см — некоторая эталонная высота сечения; h — высота сечения, см.
В формуле (1.12) для вычисления bt значение Rbt следует принимать в МПа.
Параметры ν0, ω1, ω2 вычисляют по формулам (1.6), (1.9), (1.10) с заменой b на bt.
Однако для ряда случаев использование в расчетах такой функции достаточно трудоемко. Поэтому в СП 63.13330.2018 и методических пособиях в качестве расчетных диаграмм рекомендованы трехлинейная и двухлинейная диаграммы (рис. 1.5). Трехлинейная диаграмма (рис. 1.5, а) описывается системой выражений в зависимости от продольных деформаций
укорочения бетона:
––при 0 ≤ εb ≤ εb1:


σb = Eb εb;

(1.14)

––при εb1 < εb ≤ εb0:


(1.15)

––при εb0 < εb ≤ εb2:

σb
Rb

т. 2

σb = Rb.

(1.16)

σb
Rb

т. 3

т. 1

т. 2

т. 1

σb1= 0,6Rb

arctg Eb,red

arctg Eb
0

εb1

εb
а

εb0

εb

εb2

0

εb1,red

б

εb2

- - - - - диаграммы σb –εb по ЕКБ
Рис. 1.5. Расчетная диаграмма состояния сжатого бетона: а — трехлинейная; б — двухлинейная

Значение напряжения σb1 принимается равным 0,6Rb — уровень напряжений, соответствующий началу необратимых микроразрушений бетона, а значения относительных деформаций, соответствующих данным напряжениям, составляют εb1 = σb1 /Eb.
Значения деформаций εb0, соответствующих достижению максимальных напряжений,
принимаемых равными Rb, и значения предельных деформаций εb2 установлены равными при
11

кратковременном нагружении для всех видов тяжелого бетона 0,002 и 0,0035 соответственно. При длительном действии нагрузки, вследствие проявления ползучести бетона указанные
граничные значения относительных деформаций сжатого бетона возрастают, а модуль упругости бетона Eb существенно снижается [5].
Для двухлинейной диаграммы (рис. 1.5, б) напряжения σb определяются следующим образом:
––при 0 ≤ εb ≤ εb1,red:
         σb = Eb,red εb;

(1.17)

––при εb1,red < εb ≤ εb2:
   σb = Rb,

(1.18)

где Eb,red — приведенный модуль деформации бетона, равный


Eb,red = Rb /εb1,red.

Значения деформаций εb1,red занормированы и равны для кратковременного нагружения —
0,0 015.
Сопротивление бетона растянутой зоны рекомендовано учитывать при расчете бетонных
элементов по прочности, в которых не допускается образование трещин. В этих элементах
связь между осевыми растягивающими напряжениями бетона σbt и относительными его деформациями εbt принимается в виде двух- или трехлинейной диаграммы по аналогии с диаграммой сжатого бетона с заменой расчетного сопротивления сжатию Rb на расчетное сопротивление растяжению Rbt. Граничные значения напряжений и относительных деформаций
для трехлинейной диаграммы деформирования при непродолжительном действии нагрузки
принимаются:
для точки 1:
σbt1 = 0,06Rbt; εbt1 = σbt1 /Eb;
для точки 2:
σbt0 = Rbt; εbt0 = 0,0001;
для точки 3:
σbt2 = Rbt; εbt2 = 0,00015.
Для двухлинейной диаграммы деформирования при непродолжительном действии нагрузки координаты расчетных точек определяются по аналогии с соответствующей диаграммой сжатия заменой εb1,red на εbt1,red = 0,0008; εb2 на εbt2 = 0,00015.
Форма эпюры бетона сжатой зоны соответственно для трехлинейной и двухлинейной диаграмм будет иметь вид, приведенный на рис. 1.6.
Замена криволинейной диаграммы по ЕКБ (см. рис. 1.3) на кусочно-линейную в некоторой степени упрощает процесс вычисления напряжений, не внося значительных погрешностей в результаты расчета. Так, предельные относительные изгибающие моменты Mult /(Rbbh02)
для прямоугольного сечения с одиночной арматурой при использовании диаграмм ЕКБ, трехи двухлинейной соответственно равны:
при бетоне класса В25: 0,379; 0,377; 0,383;
при бетоне класса В40: 0,376; 0,376; 0,383.
Как видим, расхождения нигде не превышают 2 %.
12

εb2

σb = Rb

Nsc
Nb

x

εb0

zb

h0

εb1

εs

Ns

а
σb = Rb
Nb

x

Nsc

4x
7

εb2

zb

3x
7

εb1

εs = εb2

h0 – x
x

Ns

б
Рис. 1.6. Распределение напряжений в бетоне
на основе трехлинейной и двухлинейной расчетных диаграмм:
а — распределение напряжений для трехлинейной диаграммы;
б — распределение напряжений для двухлинейной диаграммы

При этом армирование принималось одинаковым и соответствующим границам переармирования при двухлинейной диаграмме σb –εb. При меньшем армировании расхождение
в результатах будет еще меньше.
Учет длительности действия нагрузки при использовании диаграмм σ–ε бетона также
мало влияет на результаты расчета. Поэтому в СП 63.13330.2018 рекомендовано учитывать диаграмму σ–ε бетона при кратковременном действии нагрузки.
В принципе, при расчете по прочности можно использовать как трех-, так и двухлинейную
диаграмму. Однако в СП 63.13330.2018 рекомендовано применять двухлинейную диаграмму
как более простую.
Трехлинейную диаграмму σb –εb следовало бы применять только при использовании в расчетах максимальных деформаций бетона, меньших εb1,red (εbt1,red), поскольку, как видно из
рис. 1.5, в этом случае зависимость σb –εb при двухлинейной диаграмме существенно отличается от кривой σb –εb по ЕКБ. Поэтому в СП 63.13330.2018 трехлинейную диаграмму рекомендовано использовать только при расчете по деформациям для сечений без трещин, т.е. когда
деформации бетона сравнительно невелики.
В качестве предельных напряжений бетона сжатой зоны принята призменная прочность
бетона, т.е. прочность бетона при одноосном сжатии, получаемая по результатам испытания
бетонных призм размером 15×15×60 см. По данным многочисленных исследований, установлено, что максимальные напряжения в бетоне при центральном сжатии несколько ниже аналогичных напряжений в бетоне при неравномерном сжатии и разница тем выше, чем выше неравномерность напряжений по сечению. Это явление обусловлено сдерживающим влиянием
13

менее нагруженного бетона на более нагруженный. Тем не менее в качестве предельных напряжений в нормах используется призменная прочность бетона Rb, которая ближе всего отвечает фактической прочности бетона в конструкциях.
Расчетные предельные напряжения в сжатом бетоне зависят от условий работы в конструкции. В первую очередь, это длительность действия нагрузки. Испытания бетонных образцов
на сжатие показали, что их прочность при длительном нагружении существенно ниже прочности при кратковременном нагружении, причем разница между кратковременной и длительной прочностью достигает 20 %. Снижение прочности объясняется структурой бетона, содержащей в основном твердую и жидкую фазы состояния материала. При длительном действии
нагрузки происходит перераспределение усилий между материалами с разными фазами состояния — в основном с жидкой на твердую. Вследствие этого процесс микротрещинообразования в бетоне охватывает больший объем конструкции и приводит к разрушению бетона при
более низком уровне нагружения, чем при кратковременной нагрузке.
Для учета влияния длительности действия нагрузки вводится специальный коэффициент
условий работы γb1, умножаемый на расчетное сопротивление бетона Rb. Величина его для тяжелого бетона принята 0,9 при длительном загружении и 1,0 — при кратковременном.
Прочность бетона следует снижать только при действии постоянных и длительных нагрузках. При действии всех нагрузок, включая кратковременные, прочность бетона не снижается.
Поэтому в общем случае, кроме расчета на действие всех нагрузок, следует также производить
расчет на действие только постоянных и длительных нагрузок с учетом коэффициента γb1 = 0,9.
Однако, если несущая способность сечения обусловлена только прочностью бетона (бетонные
элементы или переармированные изгибаемые элементы без сжатой арматуры), то при превышении изгибающего момента Ml от постоянных и длительных нагрузок над 0,9 момента от всех нагрузок можно производить только один расчет на действие момента Ml при учете коэффициента
γb1 = 0,9. Следует отметить, что такой расчет для большинства железобетонных элементов является определяющим при чрезвычайно малой доле кратковременных нагрузок.
1.2.4. Напряжения в сжатой продольной арматуре
Напряжения в продольной арматуре, расположенной в сжатой зоне, определяются из условия совместности деформирования с окружающим сжатым бетоном, вплоть до его разрушения. Таким образом, в предельной стадии при достижении крайними сжатыми волокнами бетона предельных деформаций для ненапряженной арматуры деформации соответствуют
деформациям сжатого бетона на уровне этой арматуры εsc, а напряжения σsc — этим деформациям по диаграмме σ–ε арматурной стали, т.е.


σsc = εsc Es,

(1.19)

но не более Rs.
Кроме того, исходя из специфики работы сжатого бетона, для деформации εsc устанавливается некоторое ограничение, в основном обусловленное высоким уровнем напряжений в сжатой арматуре и состоянием окружающего бетона, с накопившимися нарушениями сплошности
и вследствие этого снижающейся способностью удерживать арматуру от потери устойчивости.
Таким образом, для предельных значений εsc принимаются наиболее осторожные значения предельного укорочения бетона, отвечающие укорочению бетона при равномерном сжатии, εb0.
Учитывая, что усредненное значение модуля упругости арматуры составляет Еs = 2 · 105 МПа,
а предельные расчетные деформации сжатого бетона при непродолжительном действии нагрузки составляют εb0 = 0,002, при длительном действии нагрузки — εb0 = 0,0025, приняты следующие предельные напряжения сжатия: при непродолжительном действии нагрузки — 400 МПа;
при продолжительном действии нагрузки — 500 МПа. Следует отметить, что для мягких сталей классов А240 и А400 предельные напряжения будут иметь меньшие значения, чем указанные выше.
14

Для определения напряжений в предварительно напряженной арматуре, расположенной
в сжатой от внешней нагрузки зоне бетона, необходимо учитывать начальный уровень растягивающих напряжений σsр. С ростом внешней нагрузки происходит снижение уровня растягивающих напряжений. Таким образом, для наиболее сжатого волокна бетона к деформациям от усилия предварительного обжатия добавляются деформации от внешней нагрузки,
и в сумме в предельной стадии они должны соответствовать предельным укорочениям бетона εb2. Учитывая установленные ограничения для напряжений сжатия и то, что для предварительного напряжения, как правило, используются стали с расчетным сопротивлением на растяжение выше 400 МПа, напряжения сжатия в арматуре составят


σsс = 400 – σsр или σsс = 500 – σsр.

(1.20)

Напряжения σsс в зависимости от величины напряжений σsр могут быть растягивающими
или сжимающими. В последнем случае они принимаются не более сопротивления арматурной стали на сжатие Rsс.
Для нормальной работы сжатой арматуры она должна иметь надлежащее сцепление с бетоном, обеспечивающее их совместные деформации, а также быть закрепленной от потери
устойчивости и выпучивания в поперечном направлении. Последнее достигается защитным
слоем бетона и установкой поперечных стержней, охватывающих продольную арматуру (в вязаных каркасах) либо приваренных к ней (в сварных каркасах). При этом расстояние между
хомутами должно быть не более 500 мм и не более 15ds. При большом насыщении элемента
продольной сжатой арматурой (более 1,5 %) должно предусматриваться более частое расположение поперечных стержней (на расстоянии не более 300 мм и не более 10ds). То же самое относится к местам стыкования рабочей арматуры внахлестку без сварки.
Перечисленные требования не относятся к сжатой арматуре, фактически расположенной
в элементе, но не учитываемой в расчете, поскольку в этом случае сжатые бетон и арматура
не будут находиться в предельном состоянии [5].
1.2.5. Напряжения в продольной арматуре,
расположенной в растянутой или менее сжатой зоне
Напряжения в продольной арматуре, расположенной в растянутой или менее сжатой зоне,
в предельной стадии могут изменяться в широких пределах в зависимости от напряженно-деформированного состояния сечения. В изгибаемых элементах растянутую арматуру проектируют из условия, что в предельной стадии напряжения в ней достигают расчетного сопротивления
Rs ранее или одновременно с достижением в бетоне сжатой зоны предельных деформационных
характеристик. Деформации в продольной арматуре в предельном состоянии при двузначной
эпюре деформаций, согласно гипотезе плоских сечений (см. рис. 1.6, а), равны


(1.21)

Многочисленными исследованиями установлено, что так называемое предельное равновесие сечения наступает, если высота сжатой зоны x не превышает граничной xR для данного
изгибаемого элемента. Физическая сущность этого явления становится понятной при рассмотрении напряженно-деформированного состояния сечения (рис. 1.7). При разрушении бетона
сжатой зоны краевые деформации в бетоне соответствуют предельным значениям εb2, которые приняты в качестве постоянной величины. Для максимальных деформаций сжатой грани
бетона εb2 и деформации растянутой арматуры εs0, при которой напряжение достигает Rs, на
основании (1.21) справедливо отношение


(1.22)
15

Деформации растянутой арматуры определяются по формуле

или


εs0 = εb2(1/ξR – 1).

(1.23)

Тогда граничная относительная высота сжатой зоны будет равна


.

(1.24)

При εb2 = 0,0035 и εb0 = Rs /Es (где Rs — в МПа) выражение (1.24) можно представить в виде
.

Rb

Rb

x

h0

x

xR

M

Rb
0,8xR

εb2

I–I

xR

I

I
а

As

б

εs<εs0
εs0=Rs /Es
εs>εs0

σs

Rs
в

Rs As
г

Рис. 1.7. Расчетная схема к определению напряженного состояния нормального сечения:
а — схема изгибаемого элемента; б — эпюра деформаций;
в, г — эпюры распределения напряжений при x = хR и x > xR соответственно;
д — распределение напряжений при расчете по предельным усилиям

σs

σs
σ0,2
σs,el

2 · 10–3


εs = εsu

Рис. 1.8. Криволинейная диаграмма
деформирования ненапрягаемой арматуры
16

εs

д

Напряжения в арматуре определяются в соответствии с диаграммой σ–ε арматурной стали. В качестве расчетных диаграмм состояния арматуры, определяющих связь между напряжениями и относительными деформациями, могут быть использованы диаграммы арматуры:
криволинейные либо упрощенные кусочно-линейные (двухлинейные, трехлинейные).
Криволинейная диаграмма растяжения (рис. 1.8) ненапрягаемой арматуры с физической
площадкой текучести, заменяющая усредненные диаграммы, приведенные на рис. 1.9, может
описываться различными аналитическими зависимостями [6; 7; 8]. Согласно [8] криволинейная диаграмма описывается аналитической зависимостью (1.4), с заменой индекса m на s, т.е.
заменой εm, σm, Em, νm на εs, σs, Es, νs соответственно.
Коэффициент изменения секущего модуля νs вычисляется по формуле


νs

,

где ν0 — начальный коэффициент изменения секущего модуля в начале диаграммы;
чение коэффициента в вершине диаграммы (при s = σsu = Rs и s = εsu = 0,025).
В формуле (1.25) значения ν0 и принимают равными:


(1.25)
— зна-

(1.26)

уровень напряжений η принимают равным:
––при σs < σs,el: η = 0;
––при σs > σs,el:


;

(1.27)

параметры ω1, ω2 вычисляются по формулам:



, ω1 ≤ 2;
ω 2 = 1 – ω 1,

(1.28)
(1.29)

где η0,2, ν0,2 — уровни напряжений и коэффициенты секущего модуля, соответствующие условному пределу текучести σ0,2,



,

(1.30)

При деформациях арматуры εs ≥ εs0 напряжения в ней принимаются равными расчетному
сопротивлению Rs. Таким образом, для ненапрягаемой арматуры с физическим пределом текучести классов А240–А500, В500, усредненные диаграммы которых приведены на рис. 1.9,
расчетная диаграмма принимается в виде двухлинейной диаграммы (рис. 1.10), согласно которой напряжения σs принимают равными:
––при 0 ≤ εs ≤ εs0: σs = εs Es;
––при εs0 ≤ εs ≤ εs2: σs = Rs.
17

σs, Н/мм2
800

2

3

700
600

1

500
400
300
200
100
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

εs, %

Рис. 1.9. Диаграммы растяжения арматурной стали
с физическим пределом текучести:
1 — А240; 2 — А400; 3 — А500

Граничное значение деформаций принимается равным εs2 = 0,025.
σs
Rs

т. 1

т. 2

arctg Es
0

εs0

εs2

εs

Рис. 1.10. Двухлинейная диаграмма состояния арматуры с физическим пределом текучести

Для арматуры с условным пределом текучести предельные продольные деформации, соответствующие напряжению, равному расчетному сопротивлению, определяются по выражению


(1.31)

Для сталей с условным пределом текучести, пример реальных диаграмм σ–ε которых
представлен на рис. 1.11, криволинейная диаграмма (см. рис. 1.8) описывается зависимостями
(1.25) – (1.30), при этом в формулах (1.25) – (1.30) принимается:

Предел упругости арматуры с условным пределом текучести σs,el принимается равным:
––для арматуры класса А600: 0,4 Rs (для стали марки 80С: σs,el = 0,74 Rs);
––для арматуры класса А800: 0,5 Rs;
––для арматуры класса А1000: 0,6 Rs;
––для арматуры класса Ат600: 0,65 Rs (для стали марки 25Г2С80С: σs,el = 0,74 Rs);
––для арматуры класса Ат800: 0,65 Rs;
––для арматуры класса Ат1000: 0,6 Rs.
18

В СП 63.13330.2018 принят подход, при котором рекомендовано криволинейный участок
диаграммы для упрощения расчета заменить прямым отрезком с двумя участками: первый — от предела пропорциональности, принятого как 0,9Rs (точка 1 на рис. 1.12), до условного предела текучести Rs (точка 2), отвечающего остаточным деформациям стали, равным
0,002; второй — от условного предела текучести Rs до временного сопротивления арматуры, выраженного через условный предел текучести в виде произведения 1,1Rs (точка 3). Коэффициент 1,1 был принят таким образом, чтобы исключить возможность разрыва арматуры
и развития в ней чрезмерных деформаций, при этом необходимо заметить, что расчет в стадии эксплуатации проводится до напряжений 0,9Rs,n, т.е. в случае если бы коэффициент имел
большее значение, то трудно было бы проводить расчет в стадии эксплуатации с учетом изменения модуля упругости арматуры.
σs, Н/мм2
4

1800

3

1600
1400

2

1200

1

1000
800
600
400
200
0

0,2 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

εs, %

Рис. 1.11. Диаграммы растяжения арматурной стали
с условным пределом текучести:
1 — А800; 2 — А1000; 3 — К1400 Ø15; 4 — Вр1500 Ø3

σs
1,1Rs
Rs
0,9Rs

т. 3
т. 2

т. 1

arctg Es

0

0,002

εs1

εs0

εs2

εs

Рис. 1.12. Трехлинейная диаграмма состояния арматуры
с условным пределом текучести

Исходя из принятой упрощенной диаграммы σ–ε напряжения в продольной арматуре определяются по формуле


σs = εs Es

при их величине, не превышающей 0,9Rs.
19

(1.32)

В пределах от 0,9Rs до Rs напряжения в арматуре вычисляются по формуле


(1.33)

где σs,el — условное напряжение в арматуре в предположении ее упругой работы, определяемое по формуле (1.32); 400 — условная величина напряжения в арматуре, соответствующая
остаточным деформациям 0,002, при ее упругой работе, МПа.
Напряжения в арматуре в области, где напряжения σs превышают условный предел текучести Rs, можно также находить по формуле (1.33) с условием того, что напряжения не должны превышать более чем на 10 % расчетное сопротивление.
Граничное значение деформаций растяжения арматурных сталей с условным пределом текучести (см. рис. 1.12) принято равным εs2 = 0,015.
В предварительно напряженной арматуре до приложения внешней нагрузки действуют напряжения, равные σsp, с учетом соответствующих потерь и достигнутых деформаций εsp. Относительные деформации, при которых будут достигнуты напряжения, равные Rs, определяются по выражению


(1.34)

Это значение используется при определении граничной относительной высоты сжатой
зоны по формуле (1.24).
В общем случае для напрягаемой арматуры любых видов связь между напряжениями σs
и деформациями от внешней нагрузки εs принимают по вышеприведенным зависимостям, заменяя для стержней растянутой зоны значение εs на εs + σsp /Es, где σsp — предварительное напряжение арматуры с учетом γsp = 0,9, а для стержней сжатой зоны заменяя εs на εs – σsp /Es,
где σsp принимается с учетом γsp = 1,1; при этом для стержней растянутой зоны трехлинейная
диаграмма σs –εs приобретает вид согласно рис. 1.13.
Очевидно, что на промежуточной стадии деформации в арматуре εs, а следовательно, и напряжения в ней σs, которые определяются по диаграмме σ–ε арматурной стали, являются
функцией от высоты сжатой зоны x. Если значения x ≥ xR, то напряжения в растянутой арматуре при разрушении бетона сжатой зоны ниже расчетного сопротивления Rs, в противном случае при x ≤ xR — деформации в растянутой арматуре превышают значения, соответствующие
расчетному сопротивлению арматурной стали.
σs
1,1Rs
Rs
0,9Rs
σsp

–εsp

0

т. 3
т. 1

т. 4

т. 2

arctg Es
εs2–εsp

εs1–εsp εs0–εsp

Рис. 1.13. Трехлинейная диаграмма состояния арматуры
с условным пределом текучести при учете предварительного напряжения
(здесь εs — деформация арматуры от внешней нагрузки)
20

εs

1.2.6. Расчетные уравнения для нормальных сечений
Прочность нормальных сечений железобетонных элементов обеспечена, если выполняются условия равновесия внешних и внутренних сил. Внутренние усилия определяются по
нормальным напряжениям во всех элементах сечения, возникающим от продольного усилия
N (сжатие или растяжение) и изгибающих моментов MX и MY соответственно в двух ортогональных осях X и Y, находящихся в плоскости сечения (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Расчетная схема нормального сечения
предварительно напряженного железобетонного элемента

Согласно рис. 1.14 поперечное сечение разделяется на малые участки, при этом напряжения в пределах малых участков принимают равномерно распределенными (усредненными).
Для бетона внутренние усилия определяются путем численного интегрирования напряжений по нормальному сечению. Таким образом, условие прочности будет состоять из уравнения равновесия проекции внутренних и внешних сил на нормаль к плоскости рассматриваемого сечения ΣN = 0 и уравнений равновесия изгибающих моментов внешних и внутренних
усилий в плоскости осей X и Y (ΣMX = 0 и ΣMY = 0):


;

(1.35)



;

(1.36)



,

(1.37)

где Abi, Zbхi, Zbyi, σbi — соответственно площадь, координаты центра тяжести i-го участка бетона и напряжение на уровне его центра тяжести; Asj, Zsxj, Zsyj, σsj — площадь, координаты центра тяжести j-го стержня ненапрягаемой арматуры и напряжение в нем; Asi, Zsxi, Zsyi, σsi — пло21

щадь, координаты центра тяжести i-го стержня напрягаемой арматуры и напряжение в нем;
N — продольная сила (сжатия / растяжения) от внешней нагрузки; Mx и My — изгибающие моменты от внешних сил относительно выбранных и располагаемых в пределах поперечного сечения элемента координатных осей (соответственно действующих в плоскостях XOZ и YOZ
или параллельно им), определяемые по формулам:


Mx = Mxd + Nex;

(1.38)



My = Myd + Ney,

(1.39)

где Mxd, Myd — изгибающие моменты в соответствующих плоскостях от внешней нагрузки,
определяемые из статического расчета конструкции; ex, ey — расстояния от точки приложения продольной силы N до соответствующих выбранных осей.
При использовании уравнений (1.35) – (1.37) принимают:
––значения сжимающей продольной силы, а также сжимающих напряжений и относительных деформаций укорочения бетона и арматуры со знаком «минус»;
––значения растягивающей продольной силы, а также растягивающих напряжений и относительных деформаций бетона и арматуры со знаком «плюс»;
––знаки координат центров тяжести арматурных стержней и выделенных участков бетона,
а также точки приложения продольной силы в соответствии с назначенной системой координат.
Напряжения в бетоне и арматуре определяют на основе уравнений равновесия внешних
и внутренних сил.
Предельное состояние наступит, когда в наиболее напряженном элементе сечения — сжатом бетоне или растянутой арматуре — будут достигнуты предельные деформации.
Расчет нормальных сечений железобетонных элементов по прочности производят из условий


|εb,max| ≤ εb,ult;

(1.40)



|εs,max| ≤ εs,ult,

(1.41)

где εb,max — относительная деформация наиболее сжатого волокна бетона в нормальном сечении элемента от действия внешней нагрузки; εs,max — относительная деформация наиболее
растянутого стержня арматуры в нормальном сечении элемента от действия внешней нагрузки; εb,ult, εs,ult — предельные значения относительной деформации соответственно сжатого бетона и растянутой арматуры.
Для изгибаемых и внецентренно сжатых бетонных элементов, в которых не допускается
образование трещин, расчет производится с учетом работы растянутого бетона в поперечном
сечении элемента из условия


|εbt,max| ≤ εbt,ult.

(1.42)

Предельное значение относительных деформаций бетона εb,ult и εbt,ult принимают в зависимости от характера эпюры деформаций. При двухзначной эпюре деформаций, т.е. наличии
сжатой и растянутой зон, их предельные значения в поперечном сечении элемента принимаются равными εb2 и εbt2 соответственно (см. рис. 1.4 и 1.5). Это в обязательном порядке выполняется для изгибаемых элементов, внецентренно сжатых и растянутых элементов с большими эксцентриситетами.
При внецентренном сжатии или растяжении элементов и распределении в поперечном сечении элемента деформаций бетона одного знака предельные значения относительных деформаций бетона εb,ult (εbt,ult) определяют в зависимости от отношения относительных деформаций бетона на противоположных сторонах сечения ε1 /ε2 < 1 по формулам:
22



(1.43)



(1.44)

Формулы (1.43) и (1.44) построены в предположении линейной зависимости между предельными деформациями бетона при центральном сжатии (растяжении) и при изгибе с сжатием (растяжением) от соотношения краевых деформаций сжатия или растяжения рассматриваемого сечения железобетонного элемента.
Предельное значение относительной деформации растянутой арматуры εs,ult принимают
в зависимости от характера диаграммы растяжения арматуры и наличия предварительного
напряжения арматуры: для арматуры с физическим пределом текучести εs,ult = εs2; для арматуры с условным пределом текучести εs,ult = εs2 – εspi. Значения εspi определяют с учетом отклонения предварительного напряжения.
1.2.7. Расчет нормальных сечений
Расчетом по нормальным сечениям железобетонного элемента в общем случае решаются
две задачи: оценка прочности сечения и подбор необходимых параметров поперечного сечения, которое отвечало бы требуемой прочности.
Расчет по нелинейной деформационной модели железобетонных сечений, нормальных
к продольной оси, в общем случае основан на итерационном процессе численного определения равновесного состояния, отвечающего вышеперечисленным критериям. Очевидно, что
это связано с большим объемом вычислений, поэтому расчет рекомендуется автоматизировать с помощью компьютерных программ.
Для расчета выбирается система координат с началом координат (точка О) в произвольном
месте в пределах поперечного сечения элемента (см. рис. 1.14). Определяются усилия от внешних воздействий N, Mx, My в сечении относительно выбранной системы координат с учетом
эксцентриситетов продольной силы. Сечение разбивается на малые участки по высоте и ширине. Для каждого участка определяются площадь и координаты центра тяжести Abi, Zbхi, Zbyi
относительно выбранной системы координат. Кратность разбиения рекомендуется принимать
не менее 30. Определяются площади и координаты центров тяжести A sj, Zsxj, Zsyj арматурных
элементов относительно выбранной системы координат.
Рассмотрим общий случай построения алгоритма расчета по проверке прочности нормального сечения.
1. Для начальной итерации для всех участков бетона и стержней арматуры вычисляют значения жесткостных характеристик Dij при коэффициентах упругости νbi = νsj = νsi = 1.
Изгибные жесткости элемента D11 и D22 в плоскостях XOZ и YOZ определяют по формулам:


(1.45)



.

(1.46)

Жесткость взаимного влияния изгиба D12 элемента в плоскостях XOZ и YOZ определяют
по формуле


(1.47)

Жесткости влияния нормальной силы на изгиб и изгибающих моментов на удлинение оси
Z вследствие несовпадения оси Z с физической осью элемента D13 и D23 определяют по формулам:
23



(1.48)



(1.49)

Осевая жесткость D33 определяется по формуле


(1.50)

2. Решают систему уравнений равновесия внешних и внутренних сил относительно неизвестных деформаций ε0 в начале координат в точке О и значений кривизн 1/rx, 1/r y:


(1.51)



(1.52)



(1.53)

3. Определяют относительные деформации для каждого участка бетона и стержня арматуры в зависимости от полученных значений относительных деформаций в начале координат
и кривизны по формулам:


(1.54)



(1.55)



(1.56)

где Zbхi, Zbyi, Zsxj, Zsyj, Zsxi, Zsyi, — то же что и в формулах (1.35) – (1.37); εbi — относительная деформация i-го участка бетона на уровне его центра тяжести от действия внешней нагрузки;
εsj — относительная деформация j-го стержня напрягаемой арматуры от действия внешней
нагрузки; εsi — относительная деформация i-го стержня напрягаемой арматуры от действия
внешней нагрузки; ε0 — относительная деформация волокна, расположенного на пересечении выбранных осей (в точке О); 1/rx, 1/r y — кривизны продольной оси в рассматриваемом поперечном сечении элемента в плоскостях действия изгибающих моментов Мх и Му.
4. По относительным деформациям для каждого участка бетона и стержня арматуры по
диаграммам состояния материалов уточняют значения коэффициентов упругости νbi, νsj и νsi.
Значения коэффициентов νbi, νsj и νsi определяют как соотношение значений напряжений и деформаций для рассматриваемых точек соответствующих диаграмм состояния бетона и арматуры, принятых в расчете, деленное на модуль упругости бетона Eb и арматуры Esj или Esi,
при этом используют зависимости «напряжение – деформация» на рассматриваемых участках диаграмм состояния:


(1.57)

24



(1.58)



(1.59)

При использовании в расчетах двухлинейной диаграммы состояния бетона вместо модуля упругости бетона Eb применяют приведенный модуль деформации сжатого бетона Eb,red.
5. Вычисляют значения жесткостных характеристик Dij с учетом уточненных значений коэффициентов упругости пункта 4.
6. Решают систему уравнений равновесия внешних и внутренних сил относительно неизвестных деформаций ε0 в начале координат в точке О и значений кривизн 1/rx, 1/r y согласно
пункту 2.
7. Оценивают погрешность вычисления компонентов вектора деформаций (ε0, k x = 1/rx,
k y = 1/r y) в сопоставлении с предыдущим значением по формуле



,

(1.60)

где n — число искомых компонентов вектора деформаций.
В расчетах рекомендуется принимать δ ≤ 0,01.
При достижении заданной точности расчета δ итерационный процесс считается завершенным, в противном случае повторяются шаги 3–7 алгоритма.
После завершения итерационного расчета устанавливается окончательное распределение
деформаций и напряжений по сечению элемента.
Прочность сечения элемента считается обеспеченной при выполнении условий (1.40), (1.41).
Вывод формул для расчета нормальных сечений по предельным усилиям в СП 63.13330.2018
основан на подходе, аналогичном описанному в разделе 1.2.6, опирающемся на то, что в бетоне достигнуты предельные деформации.
1. Определяют положение главных осей сечения и величины внешних усилий относительно этих осей.
2. Задаются углом наклона нейтральной оси по отношению к главным осям: в первом приближении это направление определяется как для упругого материала, т.е. принимается угол
наклона нейтральной оси к оси y равным


,

(1.61)

где Ix и Iy — приведенные моменты инерции сечения относительно главных осей.
При действии изгибающего момента и/или продольной силы только в плоскости оси симметрии сечения направление нейтральной оси перпендикулярно рассматриваемой плоскости.
3. Параллельно выбранной нейтральной оси нормальное сечение условно разбивается по
высоте и ширине на малые участки, как правило, стандартной геометрической формы. Продольные деформации на каждом участке определяются в уровне центра тяжести, а напряжения, соответствующие данным деформациям, по принятым расчетным диаграммам арматуры
и бетона принимаются равномерно распределенными на площади данного участка.
4. Определяют характер эпюры деформаций путем сравнения внешней продольной силы
N и внутреннего усилия Nс, определенного из уравнения равновесия (1.37) при значениях продольных деформаций εb в крайних точках, равных εb2 и 0. При N > Nc — эпюра однозначная,
при N < Nc — эпюра двухзначная (рис. 1.15).
25

Рис. 1.15. Эпюры деформаций и напряжений в сечении,
нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности:
а — двухзначная эпюра деформаций; б — однозначная эпюра деформаций

5. При двухзначной эпюре деформаций последовательными приближениями подбирают
такую высоту сжатой зоны x, при которой выполняется равенство (1.37); при этом в крайней
сжатой точке принимается εb = εb2, деформации сжатого бетона каждого i-го участка принимаются равными εbi = εb2ybi /x, а деформации каждого j-го стержня арматуры — εsj = εb2ysj /x,
где ybi и ysj — расстояния от нейтральной оси до центра тяжести соответственно i-го участка
бетона и j-го стержня арматуры. В случае, если εs,max > 0,025, принимается εs,max = 0,025, и тогда εbi = εs,max ybi /(h0 – x), εs,j = εs,maxysj /(h0 – x), где h0 — расстояние между наиболее растянутым
стержнем арматуры и наиболее сжатой точкой бетона в направлении, нормальном нейтральной оси. Деформации растянутой арматуры принимаются со знаком «минус».
6. При однозначной эпюре деформаций последовательными приближениями подбирают такое отношение деформаций в крайних точках α = ε1/ε2 < 1, при котором выполняется равенство (1.37); при этом в крайней сжатой точке всегда принимается деформация εb,ult, определенная по формуле (1.43), деформации сжатого бетона каждого i-го участка принимаются равными:
,
а деформации каждого j-го стержня —
,
где yi и ysj — расстояния от наименее сжатой точки до центра тяжести соответственно i-го участка
бетона и j-го стержня арматуры в направлении, нормальном нейтральной оси; h — см. рис. 1.15, б.
26

7. По формулам системы уравнений (1.35) и (1.36) определяются моменты внутренних усилий Mx,ult и My,ult. Если оба эти момента оказываются больше или меньше соответствующих
внешних моментов Мх и Му относительно тех же осей, то прочность сечения считается обеспеченной или необеспеченной.
Если один из моментов (например My,ult) меньше соответствующего внешнего момента (т.е. My,ult < Му), а другой больше (т.е. Mx,ult > Mx), задаются другим углом наклона нейтральной оси θ (бо́льшим, чем ранее принятый) и вновь проводят аналогичный расчет.
При действии растягивающей силы или при ее отсутствии расчет можно производить аналогичным образом. При расчете бетонных элементов с учетом работы растянутого бетона
значения εb2 заменяются на εbt2, а εb,ult — на εbt,ult.
Для прямоугольного сечения с концентрацией арматуры с физическим пределом текучести в сжатой и растянутой зонах задача расчета прочности по нормальному сечению может
быть решена аналитическим путем. Основываясь на том, что в бетоне достигнуты предельные деформации, определим высоту сжатой зоны из уравнений равновесия продольных сил.
Усилие в сжатом бетоне при двухлинейной диаграмме деформирования, согласно
рис. 1.6, б, равно


.

(1.62)

Если предположить, что x ≤ ξ Rh0, где ξ R — см. формулу (1.24), то напряжение в растянутой арматуре равно Rs, а усилие в этой арматуре: Ns = Rs As. Условие равновесия запишется как


(1.63)

и высота сжатой зоны будет равна


(1.64)

Если x > ξ Rh0, усилие в растянутой арматуре определяется с учетом высоты сжатой зоны:


(1.65)

Условие равновесия с учетом усилия в сжатой арматуре:
после подстановки значений внутренних усилий Nb, Ns и некоторых преобразований приводится к квадратному уравнению


(1.66)

Высота сжатой зоны определится как корень решения квадратного уравнения (1.66):


(1.67)

Выражение для изгибающего момента внутренних сил относительно центра тяжести растянутой арматуры при εb1,red /εb2 = 3/7 во всех случаях будет иметь вид


(1.68)

После преобразований выражение (1.68) приобретает вид


(1.69)
27

При расчете по предельным усилиям действительная криволинейная эпюра сжатой зоны
бетона заменена условной прямоугольной эпюрой (см. рис. 1.7, д), высота которой, судя по формуле (1.64), в среднем на 20 % меньше фактической высоты сжатой зоны. Поэтому выражение (1.24) для определения граничной высоты сжатой зоны при расчете по прочности нормального сечения по предельным усилиям имеет вид


(1.70)

Оценка прочности заключается в сопоставлении внешних усилий, действующих в рассматриваемом сечении, с внутренним усилием, воспринимаемым сечением в предельном состоянии. Прочность считается обеспеченной, если комбинация внешних усилий окажется меньше
внутренних предельных усилий.
Проверка прочности нормального сечения производится на основе расчетных уравнений
равновесия (1.35) – (1.37). Для нормальных сечений, симметричных относительно плоскости
действия момента с арматурой, расположенной у наиболее растянутой и сжатой гранях элемента, условие прочности запишется в виде


Mtot ≤ Rb Sb + Rsc S's,

(1.71)

где Sb и S′s — статические моменты площади бетона сжатой зоны и сжатой арматуры относительно оси, нормальной плоскости действия момента и проходящей через центр тяжести растянутой арматуры.
В выражении (1.71) предельный момент внутренних сил определяется относительно центра тяжести растянутой арматуры, для вычисления которого необходимо знать высоту сжатой
зоны х, характеризующей усилие в сжатом бетоне, и напряжения Rsc в продольной сжатой и σs
в растянутой арматуре. Напряжения в сжатой арматуре принимаются в соответствии с требованиями, изложенными в разделе 1.2.4. Высоту сжатой зоны находят из условия равновесия
проекций всех сил на продольную ось элемента:


Rb Ab + Rsc A′s – σs As ± N = 0.

(1.72)

Высота сжатой зоны при прямоугольной эпюре напряжений определяется также в предположении равенства усилий в сжатом бетоне или из условия равенства площадей эпюр напряжений соответственно прямоугольной и трапециевидной. Для принятой двухлинейной диаграммы деформирования бетона (см. рис. 1.5, б) соотношение высот сжатой зоны составит x1 /x = 0,79,
где х1 — высота сжатой зоны при прямоугольной эпюре напряжений.
Тогда условие прочности для прямоугольного сечения запишется как
(1.73)
Сопоставим (1.73) с выражением (1.69). При арматуре класса А400

и Aʹs = 0
отношение моментов, вычисленных по формулам (1.73) и (1.69), будет равно
.
При x < ξ R h0 или/и A′s > 0 разница между моментами будет еще меньше. Таким образом,
принятие прямоугольной эпюры сжатой зоны для симметричных сечений не приводит к заметной погрешности [5].
28

2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ИЗГИБАЕМЫХ И ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ АРМАТУРЫ
Пример 2.1
Дано: прямоугольное сечение размерами b = 250 мм; h = 700 мм; а = 50 мм; бетон тяжелый
класса В25; растянутая арматура класса А400 площадью As = 2413 мм2 (3 Ø32); изгибающий
момент М = 100 кН·м.
Требуется проверить прочность сечения по деформационной модели с использованием
трехлинейной диаграммы осевого сжатия бетона.
Исходные параметры диаграммы растяжения арматуры (рис. 2.1):
Rs = 350 МПа; Es = 2,0 · 105 МПа; εs0 = Rs /Es = 0,00175; εs2 = 0,025.
Исходные параметры трехлинейной диаграммы сжатия бетона (рис. 2.2):
σb = σb0 = σb2 = Rb = 14,5 МПа; σb1 = 8,7 МПа; Eb = 30 · 103 МПа;
εb0 = –0,002; εb2 = –0,0035; εb1 = –σb1 /Eb = –0,00029.
σb

σs

σb0= σb2= Rb=
= 14,5 МПа

σs0= σs2= Rs=
= 350 МПа

σb1= –8,7 МПа

arctg Es

εs0= 0,00175

εs

εb

О
εb1= 0,00029

εs2= 0,025

Рис. 2.1. Расчетная диаграмма
состояния растянутой арматуры

εb0= 0,002

εb2= 0,0035

Рис. 2.2. Расчетная диаграмма
состояния сжатого бетона

Сечение по высоте разбиваем послойно на 30 участков площадью Abi = 5833,33 мм2. Систему координат в сечении XOY принимаем с началом в центре тяжести сечения (рис. 2.3):
Zsx = –300 мм; Zbхi = ±11,66…338,33 мм.
X

Abi

σbi Abi

Mx
O
zsx

h

zbxi

Y

b

Z

σs As

Рис. 2.3. Расчетная схема нормального сечения элемента
29

Расчет выполнен итерационно, точность расчета задана в 1 %. Количество итераций при
заданной точности расчета составило три.
Итерация № 1
Для первой итерации значения коэффициентов упругости для всех участков бетона
и стержней арматуры приняты равными νbi = νs = 1.
Значения жесткостных характеристик Dij , вычисленных при νbi = νs = 1, составили:

Так как продольная сила N и момент My равны нулю, а D12 = D22 = D23 = 0, то уравнения
(1.51) – (1.53) будут иметь вид

При вычисленных значениях жесткостных характеристик Dij и моменте Мx = –0,1 МН·м
уравнения примут вид:

Из решения системы уравнений значение кривизны составило
1/rx = –0,0 003 938 м–1,
а значение деформации в точке О:
ε0 = –9,94 · 10–6.
Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации № 1 показано на рис. 2.4.
εb,max= 0,000143

σb= –4,296 МПа

Ab

750

M

ε0= –0,0000099465

O

50

εs= 0,00011

As

σs = 21,6 МПа

250

Рис. 2.4. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 1
30

Уточняем по полученным деформациям значения коэффициентов упругости νbi и νs для всех
участков бетона и стержней арматуры и вычисляем значения жесткостных характеристик Dij:

Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных
характеристик Dij получены новые значения кривизны 1/rx = –0,000 828 м–1 и деформации
в точке О: ε0 = 7,88 · 10 –5.
Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций при начальных значениях
1/r x = –0,0 003 938 м–1 и ε0 = –9,94 · 10 –6, вычисленная по формуле (1.60), составляет

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ = 0,01.
Итерация № 2
Уточняем жесткостные характеристики Dij с учетом значений коэффициентов упругости
νbi и νs, полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итерации
№ 1 при 1/r x = –0,000 828 м–1 и ε0 = 7,88 · 10 –5:

Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных
характеристик Dij получены значения кривизны 1/r x = –0,0008659 м–1 и деформации в точке О:
ε0 = 10,14 · 10 –5.
Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации № 2 показано на рис. 2.5.
εb,max= 0,0002013

σb= –6,03938 МПа

750

Ab

O

M

εs= 0,00033

50

As

ε0= 0,0001014

σs = 65,451 МПа

250

Рис. 2.5. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 2
31

Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1/r x = –0,000 828 м–1 и ε0 = 7,88 · 10 –5 составляет

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ = 0,01.
Итерация № 3
Уточняем жесткостные характеристики Dij с учетом значений коэффициентов упругости
νbi и νs, полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итера­
ции № 2 при 1/r x = –0,0 008 659 м–1 и ε0 = 10,14 · 10 –5:

Из решения системы уравнений с учетом уточненных жесткостных характеристик Dij получены значения кривизны 1/rx = –0,0 008 661 м–1 и деформации в точке О: ε0 = 10,22 · 10 –5.
Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1/r x = –0,0 008 659 м–1 и ε0 = 10,14 · 10 –5 составляет

и удовлетворяет заданной точности расчета. Таким образом, итерационный процесс
заканчивается.
Окончательное распределение деформаций и напряжений по сечению показано на рис. 2.6.
εb,max= 0,0001916

σb= –5,74694 МПа

Ab

M

As

ε0= 0,0001022

εs= 0,00036

50

750

O

σs = 72,233 МПа

250

Рис. 2.6. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 3

Так как

εb,max = 0,00 019 < εb,ult = 0,00 035;
εs,max = 0,00 036 < εs,ult = 0,0 025,

прочность сечения обеспечена.
32

Пример 2.2
Дано: сечение размерами b = 300 мм; h = 700 мм; a = 70 мм; aʹ = 30 мм; тяжелый бетон класса В20 (Rb = 11,5 МПа); арматура класса А400 (Rs = Rsc = 350 МПа); площадь сечения растянутой арматуры As = 4826 мм2 (6 Ø32), сжатой — Aʹs = 339 мм2 (3 Ø12); изгибающий момент с учетом кратковременных нагрузок М = 630 кН·м.
Требуется определить несущую способность изгибаемого элемента прямоугольного сечения расчетом по деформационной модели с использованием трехлинейной диаграммы.
Исходные параметры диаграммы растяжения арматуры представлены на рис. 2.7.
σb

σs

σb0= σb2= Rb=
= 11,5 МПа

σs0= σs2= Rs=
= 350 МПа

σb1= 6,9 МПа

arctg Es

εs0= 0,00175

εs

εb

О
εb1= 0,00025

εs2= 0,025

Рис. 2.7. Расчетная диаграмма
состояния растянутой арматуры

εb0= 0,002

εb2= 0,0035

Рис. 2.8. Расчетная диаграмма
состояния сжатого бетона

Исходные параметры трехлинейной диаграммы сжатия бетона, представленной на рис. 2.8,
имеют следующие значения:
σb = σb0 = σb2 = Rb = 11,5 МПа; σb1 = 6,9 МПа; Eb = 27,5 · 103 МПа;
εb0 = –0,002; εb2 = –0,0035; εb1 = –σb1 /Eb = –0,00 025.
Сечение по высоте разбиваем послойно на 30 участков площадью Abi = 7000 мм2. Систему
координат в сечении XOY принимаем с началом в центре тяжести сечения (рис. 2.9):
Zsx1 = –280 мм; Zsx2 = +320 мм; Zbхi = ±11,66…338,33 мм.
X
As2

σs2 As2
Zbxi

Abi

Y

O

Zsx

h

Mx

σbi Abi

Z
σs1 As1
b
Рис. 2.9. Расчетная схема нормального сечения элемента
33

Расчет выполнен итерационно, точность расчета задана в 1 %.
Предельная несущая способность сечения определена как максимальная величина изгибающего момента, при котором максимальные относительные деформации бетона и арматуры не
превышают предельно допустимых значений. Для рассматриваемого примера при заданных параметрах точности максимальное значение изгибающего момента составило M = 645 кН·м, при
котором относительные деформации εb,max достигают предельно допускаемой величины.
Количество итераций при расчете на действие предельного изгибающего момента
M = 645 кН·м и заданной точности расчета составило 14.
Итерация № 1
Для первой итерации значения коэффициентов упругости для всех участков бетона
и стержней арматуры приняты равными: νbi = νs = 1.
Значения жесткостных характеристик Dij, вычисленных при νbi = νs = 1, составили:

Так как продольная сила N и момент My равны нулю, а D12 = D22 = D23 = 0, то уравнения
(1.51) – (1.53) будут иметь вид

При вычисленных значениях жесткостных характеристик Dij и моменте Мx = –0,63 МН·м
уравнения примут вид:

As2

εb,max= –0,00076

σb= –8,25 МПа

30

εs2 = –0,000725

Ab

As1

M

ε0= –0,000074

εs1= 0,000496

70

750

O

σs2 = –145 МПа

σs1 = 99,2 МПа

300

Рис. 2.10. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 1
34

Из решения системы уравнений значение кривизны составило
1/rx = –0,0 020 382 м–1,
а значение деформации в точке О:
ε0 = –7,4 · 10–5.
Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации № 1 показано на рис. 2.10.
Уточняем по полученным деформациям значения коэффициентов упругости νbi и νs для
всех участков бетона и стержней арматуры и вычисляем значения жесткостных характеристик Dij:
D11 = 141,1 МПа·м4;
D13 = 22,5 МПа·м3;
D33 = 3391,3 МПа·м2.
Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных
характеристик Dij получены новые значения кривизны 1/rx = –0,004 469 м–1 и деформации
в точке О: ε0 = 2,96 · 10 –5.
Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций при начальных значениях
1/rx = –0,0 020 382 м–1 и ε0 = –7,4 · 10 –5, вычисленная по формуле (1.60), составляет

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ = 0,01.
Итерации 2–13 выполняются по аналогии. Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций на данных итерациях составила: 0,7; 0,26; 0,15; 0,09; 0,067; 0,050; 0,039; 0,030;
0,022; 0,0174; 0,013; 0,0102.
Итерация № 14
Уточняем жесткостные характеристики Dij с учетом значений коэффициентов упругости
νbi и νs, полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итерации
№ 13 при 1/rx = –0,007 486 м–1 и ε0 = –65,1 · 10 –5:
D11 = 101,2 МПа·м4;
D13 = –198,4 МПа·м3;
D33 = 2264,2 МПа·м2.
Из решения системы уравнений с учетом уточненных жесткостных характеристик Dij получены значение кривизны 1/rx = –0,007 515 м–1 и значение деформации в точке О: ε0 = –65,8 · 10 –5.
35

Относительная погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1/rx = –0,007 486 м–1 и ε0 = –65,1 · 10 –5 составляет

30

и удовлетворяет заданной точности расчета. Таким образом, итерационный процесс
закан­чивается.
Окончательное распределение деформаций и напряжений по сечению показано на рис. 2.11.
As2

εb,max= –0,00318
εs2 = –0,00305

σb= –8,25 МПа

Ab
750

O

M

σs2 = –350 МПа

ε0= –0,000658

70

εs1 = 0,00144 σs1 = 289 МПа

As1

300

Рис. 2.11. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 14

Так как

εb,max = 0,00318 < εb,ult = 0,0035;
εs,max = 0,00144 < εs,ult = 0,025,

то прочность сечения обеспечена.
Пример 2.3
Дано: прямоугольное сечение размерами b = 300 мм; h = 600 мм; a = 50 мм; бетон тяжелый класса В25 (Rb = 14,5 МПа); продольная арматура класса А400 (Rs = Rsc = 350 МПа); арматура — по три стержня у каждой грани с Aʹs = 3920 мм2 (8 Ø25); продольная сила N = 2000 кН;
изгибающие моменты Мх = 100 кН·м, Мy = 250 кН·м.
Требуется проверить прочность сечения по деформационной модели с использованием
трехлинейной диаграммы деформирования бетона.
Исходные параметры диаграммы растяжения арматуры (рис. 2.12):
Rs = 350 МПа; Es = 2,0 · 105; εs0 = Rs /Es = 0,00175; εs2 = 0,025.
Исходные параметры трехлинейной диаграммы сжатия бетона (рис. 2.13):
σb = σb0 = σb2 = Rb = 14,5 МПа; σb1 = 8,7 МПа; Eb = 30 · 103 МПа;
εb0 = –0,002; εb2 = –0,0035; εb1 = –σb1 /Eb = –0,00029.
Расчетная диаграмма состояния сжатой арматуры принимается по аналогии с диаграммой
растянутой арматуры с учетом знаков.
36

σb

σs

σb0= σb2= Rb=
= 14,5 МПа

σs0= σs2= Rs=
= 350 МПа

σb1= –8,7 МПа

arctg Es

εs

εs0= 0,00175

εb

О
εb1= 0,00029

εs2= 0,025

Рис. 2.12. Расчетная диаграмма
состояния растянутой арматуры

εb0= 0,002

εb2= 0,0035

Рис. 2.13. Расчетная диаграмма
состояния сжатого бетона

Сечение разбиваем на 30 участков по ширине и на 30 участков по высоте. Общее количество
участков составляет 900, каждый площадью Abi = 200 мм2. Систему координат в сечении XOY
принимаем с началом в центре тяжести сечения (рис. 2.14). Начало координат совпадает с точкой приложения продольной силы — корректировка значений изгибающих моментов не требуется. Внешние усилия принимаем со знаком «минус», учитывая их направление в системе координат:
Zbxi = ±5…145 мм; Zbyi = ±10…290 мм;
Zsxj = –100 мм; 0 мм; 100 мм; –100 мм; 100 мм; –100 мм; 0 мм; 100 мм;
Zsyj = 250 мм; 250 мм; 250 мм; 0 мм; 0 мм; –250 мм; –250 мм; –250 мм.
Точность расчета задана в 1 %. Количество итераций при заданной точности расчета составило 10.
σbi Abi
Z
Abi

Z bxi
O
Mx

Zsyj

by
j

N2

σsj Asj

Asj

Z

b

Zbyi

X

My
Y

h

Рис. 2.14. Расчетная схема нормального сечения элемента
37

Итерация № 1
Для первой итерации значения коэффициентов упругости для всех участков бетона
и стержней арматуры приняты равными: νbi = νs = 1.
Значения жесткостных характеристик Dij, вычисленных при νbi = νs = 1, составили:

Система уравнений равновесия (1.51) – (1.53) при вычисленных значениях жесткостных характеристик Dij, продольной силе N = –2 МН и моментах My = –0,25 МН·м и Мx = –0,1 МН·м
будет иметь вид:
–0,1 = 47
–0,25 = 0
–2 = 0

+0

+ 0 · ε0;

+ 201,3
+0

+ 0 · ε0;

+ 6273ε0.

Из решения системы уравнений равновесия определены значения неизвестных: кривизна
1/rx = –212,7 · 10 –5 м–1, кривизна 1/r y = –124,1 · 10 –5 м–1; деформация в точке О: ε0 = –31,88 · 10 –5.
Распределение деформаций и напряжений по сечению после завершения итерации № 1 показано на рис. 2.15.
εb= 0,000355

Z

X
εb= –0,000269
εb= –0,00029

Z

εs,max= 0,00021

εsc,max= –0,00085

εb= –0,00029
εb= –0,000367
Y

σs,max= 42 МПа

σb = 0

X
Y
σb= 8,7 МПа
σb= 8,9 МПа

σsc,max= 169 МПа

σb= 8,2 МПа
σb= 8,7 МПа
εb,max= –0,000992

σb,max= 11,1 МПа

Рис. 2.15. Распределение деформаций и напряжений по нормальному сечению
после завершения итерации № 1
38

Уточняем по полученным деформациям значения коэффициентов упругости νbi и νsj для
всех участков бетона и стержней арматуры и вновь вычисляем значения жесткостных характеристик Dij:
D11 = 30,6 МПа·м4;
D22 = 130,9 МПа·м4;
D12 = –17,6 МПа·м4;
D13 = 11,3 МПа·м3;
D23 = 8,15 МПа·м3;
D33 = 4428 МПа·м2.
Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных значений жесткостных
характеристик Dij новые значения кривизн 1/rx = –458,2 · 10 –5 м–1, 1/r y = –250,1 · 10 –5 м–1 и деформации в точке О: ε0 = –43,53 · 10 –5.
Погрешность вычисления компонентов вектора деформаций по формуле (1.60) при начальных значениях 1/rx = –212,7 · 10–5 м–1, 1/r y = –124,1 · 10–5 м–1 и ε0 = –31,88 · 10–5 составит

Полученное значение превышает допускаемую погрешность δ = 0,01.
Итерации 2–9 выполняются по аналогии.
Итерация № 10
Уточняем жесткостные характеристики Dij с учетом значений коэффициентов упругости
νbi и νs, полученных по значениям деформаций, уточненных на стадии завершения итерации № 9 при 1/rx = –910,1 · 10 –5 м–1, 1/r y = –448,3 · 10 –5 м–1 и ε0 = 76,36 · 10 –5:
D11 = 17,1 МПа·м4;
D22 = 80,4 МПа·м4;
D12 = –12,8 МПа·м4;
D13 = 2,9 МПа·м3;
D23 = 6,4 МПа·м3;
D33 = 2526 МПа·м2.
Из решения системы уравнений равновесия с учетом уточненных жесткостных характеристик Dij получены значения кривизн 1/rx = –916,6 · 10 –5 м–1, 1/r y = –451,8 · 10 –5 м–1 и деформации в точке О: ε0 = –76,97 · 10 –5.
Относительная погрешность вычисления компонентов вектора деформаций в сопоставлении с предыдущими значениями 1/rx = –910,1 · 10 –5 м–1, 1/r y = –448,3 · 10 –5 м–1 и ε0 = –76,36 · 10 –5
составляет 0,0076 < δ = 0,01 и удовлетворяет заданной точности расчета — итерационный процесс закончен.
39

Окончательное распределение деформаций и напряжений по сечению показано на рис. 2.16.
εb= –0,00187 Z
εb= –0,00029
εb= –0,000751

εs,max= –0,00127
εb= –0,00029
X

σs,max= 255 МПа

Z

εb= –0,000788

εsc,max= –0,002816

Y σb= –8,7 МПа
σb= 10,4 МПа
εb= –0,002

εb= –0,002

εb,max= –0,003409

σb= 14,5 МПа

σb = 0

X
σsc,max= 350 МПа
σb= 8,7 МПа
Y
σb= 10,2 МПа

σb= 14,5 МПа
σb,max= 14,5 МПа

Рис. 2.16. Распределение деформаций и напряжений
по нормальному сечению на итерации № 10

Так как
εb,max = 0,003 409 < εb,ult = 0,00 035;
εs,max = 0,0 012 < εs,ult = 0,0 025,
то прочность сечения обеспечена.

3. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
Расчет по образованию трещин производится для железобетонных элементов, в которых
при действии расчетных нагрузок (γf > 1) не допускается образование трещин из-за возможности хрупкого коррозионного разрушения арматуры. К таким элементам относятся:
а) элементы, эксплуатируемые в сильноагрессивной среде с рабочей арматурой классов
Вр1200–Вр1400, К1400, К1500 (К-19) и К1500 (К-7) диаметром 12 мм;
б) элементы, эксплуатируемые в средне- и сильноагрессивной среде с рабочей арматурой
классов А800, А1000, Вр1500 и К1500 (К-7) диаметрами 6 и 9 мм.
При этом степень агрессивного воздействия определяется по указаниям СП 28.13330.2017
«Защита строительных конструкций от коррозии».
Для указанных элементов, очевидно, расчет по раскрытию трещин не производится.
Для прочих элементов расчет по образованию трещин имеет вспомогательное значение
и сводится к определению усилия, соответствующего образованию трещин. Это усилие используется в расчетах по раскрытию трещин и деформациям при учете неравномерности распределения деформаций арматуры между трещинами (коэффициент ψs) и для определения
участков элемента без трещин при вычислении прогиба. Расчетом по образованию трещин
также выявляется необходимость расчета по раскрытию трещин.

3.1. Расчет изгибаемых элементов
Для изгибаемых элементов расчет по образованию трещин производится из условия


M < Mcrc,

(3.1)

где М — изгибающий момент от внешней нагрузки; Мcrc — изгибающий момент, воспринимаемый нормальным сечением при образовании трещин.
40

В общем случае СП 63.13330.2018 [1] и «Методическое пособие. Расчет железобетонных конструкций без предварительно напряженной арматуры» [3] рекомендуют значение
Mcrc определять на основе нелинейной деформационной модели (см. раздел 1.2.3 настоящего учебно-методического пособия), принимая двухлинейную диаграмму εb –σb для сжатого
и растянутого бетона и учитывая непродолжительность действия нагрузки. Тогда действию
момента Mcrc будет соответствовать достижение в крайнем растянутом волокне бетона деформации εbt2 = 15 · 10 –5, а эпюра деформаций бетона в сечении будет иметь вид, представленный на рис. 3.1, б.
εb= εbt2

< 15·10–4

σb= εb Eb,red < Rbn

a'

A's

σ's= ε's Es

h

x

ε's = εbt2 –a'
εbt1,red = 8·10–5
σs= εs Es

M=Mcrc

a

εs= εbt2

–a

εbt2 = 15·10–5

As
а

Rbt,n

б

в

Рис. 3.1. К определению момента образования трещин Мcrc
для изгибаемого элемента произвольного сечения:

а — схема сечения; б — эпюра деформаций; в — эпюра напряжений

При этом принимаются нормативные значения сопротивления бетона растяжению и сжатию Rbt,n и Rbn. При деформации крайнего сжатого волокна бетона εb < εb1,red = 15 · 10 –4 напряжение в таком волокне составляет σb = εb Eb,red, а эпюра напряжений сжатия имеет линейный
характер. Общая эпюра напряжений для этого случая представлена на рис. 3.1, в.
В зоне, где εb > εb1,red, напряжения сжатия равны Rbn.
Высота сжатой зоны х определяется из уравнения равновесия внешних и внутренних сил.
Поскольку в изгибаемом элементе внешняя продольная сила равна нулю, это уравнение имеет
вид: Nсж = Nраст, где Nсж — усилие в сжатом бетоне и сжатой арматуре; Nраст — усилие в растянутом бетоне и растянутой арматуре.
Для сечений произвольной формы это уравнение решается последовательными приближениями, задаваясь в первом приближении значением х = 0,5h, а значения Nсж и Nраст определяются с помощью численного интегрирования, когда сечение в направлении плоскости
изгиба (нормальной нейтральной оси) разделяется на участки малой ширины, напряжения
в которых принимаются равномерно распределенными и соответствующими деформациям на
уровне участка, согласно диаграммам σ–ε, для сжатого и растянутого бетона. Такой расчет целесообразно производить с помощью компьютерной программы.
Для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений значение х можно определить аналитически путем составления и решения квадратного уравнения. Составим это уравнение для
прямоугольного сечения как наиболее простого.
При εb < εb1,red формула напряжения наиболее сжатого волокна имеет вид
σb = εbt2

.

41

Напряжение в сжатой арматуре, МПа:
,
а при Es = 200 000 МПа:
.
Тогда
Nсж = σb

.

Усилие в растянутом бетоне:
,
в растянутой арматуре:

Уравнение равновесия приобретает вид
(3.2)
Принимая относительные характеристики:


(3.2*)

получаем после алгебраических преобразований решение квадратного уравнения в виде

где Z =

,

(3.3)

.

При бетоне класса В50 и более, когда 0,5r > 0,733, в формуле (3.3) перед корнем следует
принимать знак «плюс».
Значение Мcrc представляет собой момент внутренних сил относительно любой оси, но
наиболее удобно этот момент определять относительно нейтральной оси. Тогда, используя те
же относительные характеристики, получаем


(3.4)

При наличии полок в сжатой и растянутой зонах (рис. 3.2), принимая относительные значения площадей свесов полок

а также
,
можно определить высоту сжатой зоны из аналогичного квадратного уравнения по следующим формулам в зависимости от высоты растянутой полки:
42

а) при

(

)

или при



(3.5)

где
б) при

(

)

или при

, (3.6)
где

h′f /2=δ′f h

При Z > 0 в формулах (3.5) и (3.6) принимается знак «минус», при Z < 0 — знак «плюс».

hf

а

x = ξh

εbt2 ξ – δ′f
1–ξ

bf
a

εbt2
εbt2

M=Mcrc

Rbn ξ – δ′f
10 1 – ξ

e0p

h

b

Rbn ξ
10 1 – ξ

εb= εbt2

hf /2=δf h

h′f

a'

b′f

1 – ξ – δf
1–ξ

P
Rbt,n

б

в

Рис. 3.2. К определению момента образования трещин Мcrc
для изгибаемого элемента двутаврового сечения:

а — схема сечения; б — эпюра деформаций; в — эпюра напряжений

Начинать расчет можно с формулы (3.5) и при невыполнении первого условия использовать формулу (3.6).
Значение Mcrc определяется по формуле
, (3.7)
где mov — относительный момент усилий в растянутых свесах относительно нейтральной оси,
равный:
––при 2δf ≤

: mov = αov(1 – ξ – δf);

––при 2δf >

: mov = αov(1 – ξ – δf) – [2δf – 7/15 (1 – ξ)]2(bf /b – 1)/2.
43

Для предварительно напряженных элементов при расчетах по второй группе предельных
состояний усилие обжатия Р учитывается как внешняя сила, поскольку при таких расчетах
напряжение в напрягаемой арматуре не должно достигать предела текучести (физического
или условного). Следовательно, уравнение равновесия сил будет иметь вид
Nсж = Nраст + P.
Для прямоугольных сечений это уравнение преобразуется в уравнение, аналогичное
уравнению (3.2), с добавлением в правую часть P(h – x), и тогда формула для ξ = x/h приобретает вид

где

(3.8)
;

— относительное значение усилия обжатия.

Для сечения с полками в сжатой и растянутой зонах формулы (3.5) и (3.6) корректируются
аналогичным образом: в числитель значения Z добавляется 0,5р, а в числитель второго члена
подкоренного выражения — р.
Значение Mcrc определяется по формулам (3.4) и (3.7) с добавлением момента усилия обжатия относительно нейтральной оси Ре0p (см. рис. 3.2). Направление этого момента должно совпадать с направлением момента внутренних сил. В противном случае момент Ре0p уменьшает значение Mcrc.
Для предварительно напряженных элементов при действии момента Mcrc высота растянутой зоны существенно уменьшается, а высота сжатой зоны увеличивается по сравнению с ненапрягаемыми элементами. Поэтому максимальная деформация бетона сжатию
εb может превысить значение εb1,red = 15 · 10 –4, и следовательно, для части сжатой зоны бетона следует принимать напряжение, равное Rbn и меньшее, чем соответствующее упругому расчету.
Граничное значение высоты сжатой зоны в этом случае определяется из уравнения

откуда
.
Достижение граничной высоты сжатой зоны примерно соответствует усилию обжатия,
равному
Ргр = 0,55Rbt,n(bh + (b′f – b)h′f + Es /Eb,red A′s).

Таким образом, если значение ξ, определенное по формулам (3.3) и (3.8) (с учетом Р), окажется более 0,909, соответствующее значению Мсrc, как указано выше, будет неоправданно завышено. Однако эта погрешность не имеет большого значения, поскольку величина Мсrc в значительной степени в этом случае определяется значением Р, ширина раскрытия трещин, как
правило, невелика, а жесткость элемента близка к жесткости, соответствующей отсутствию
трещин. Тем не менее при проектировании не рекомендуется существенное завышение значения Р над Ргр.
В пособиях [4] и [9] предложен упрощенный способ определения значения Мсrc, основанный на определении краевых растягивающих напряжений бетона как для упругого материала. Согласно известной формуле сопротивления материалов это напряжение равно
44



,	  (3.9)

где Wred и Ared — соответственно момент сопротивления и площадь приведенного сечения элемента при коэффициенте приведения арматуры к бетону α = Es /Eb; при этом момент сопротивления определяется для нижнего растянутого волокна; е0 — эксцентриситет усилия обжатия
Р относительно центра тяжести такого приведенного сечения.
Принимая М = Мсrc и σbt = Rbt,n, получаем


Мсrc = Rbt,n Wred + P(е0 + rяв),

(3.10)

где rяв — расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной от растянутой грани
верхней ядровой точки, rяв = Wred /Ared.
Такой способ определения Mcrc при Р < Pгр дает заведомый запас при расчетах по второму
предельному состоянию, поэтому он принимается как предварительный.
В случае невыполнения требований соответствующего расчета в пособиях [4] и [9] рекомендуется скорректировать значение Wred путем умножения его на коэффициент γ, зависящий
от отношений b′f /b, h′f /h, bf /b, hs /h и приведенный в таблицах 4.1 указанных пособий. Такой
подход был применен во всех пособиях и руководствах предыдущих изданий.
Однако детальное сопоставление расчетов по неупругой деформационной модели и предложенным способам показало, что этот коэффициент γ весьма неточен, поскольку не отражает влияния многих других факторов, в частности процента армирования, класса бетона, степени обжатия, хотя в большинстве случаев и даст некоторый запас.
Если же геометрические характеристики сечения определять при коэффициенте приведения арматуры к бетону, равном α = Es/Eb,red, то коэффициент

(где Mcrc — момент из расчета по деформационной модели) будет в меньшей степени зависеть
от указанных факторов, и его во всех случаях можно принимать равным:
––при bf/b < 2: γ = 1,15;
––в прочих случаях: γ = 1,2.
В стадии изготовления, транспортирования и монтажа предварительно напряженных
элементов в результате совместного действия эксцентрично приложенного усилия обжатия
Р и усилия от собственного веса в верхней зоне элемента возникают растягивающие напряжения и могут образоваться трещины. Для выявления необходимости расчета по раскрытию трещин в этой зоне и для самого такого расчета сечения с максимальным растяжением
по верхней грани его следует проверить по образованию трещин. Сечения с максимальным растяжением по верхней грани обычно располагаются в местах строповки элемента (монтажные петли, отверстия для строповки и т.п.). В этом случае учитывается момент,
растягивающий верхнюю зону и равный М = qa/2, где a — расстояние от места строповки
до торца; q — нормативная нагрузка от собственного веса элемента с учетом коэффициента динамичности 1,4. В процессе транспортировки элемента обычно учитывают больший
коэффициент динамичности — 1,6, но при этом за величину a следует принимать расстояние от торца до мест подкладок. Кроме того, при напрягаемой арматуре без анкеров следует учитывать, что усилие обжатия в пределах длины передачи напряжений lp линейно
уменьшается к торцу до нуля, т.е. при а < lp усилие обжатия принимают равным Pa/lp. Но
такой случай, как правило, не является расчетным, и тогда расчетное сечение принимается
на расстоянии lp от торца при учете полного усилия обжатия Р и момента от собственного
веса в соответствии с эпюрой М на рис. 3.3.
45

а

I Монтажная петля

Монтажная петля

а

I

σsp
lp

σsp
lp

I

I

M

M
M

M

a

б

Рис. 3.3. К расчету предварительно напряженного элемента в доэксплуатационной стадии:
а — расположение расчетного сечения I–I при а > lp;
б — расположение расчетного сечения I–I при а < lp; М — расчетный момент

Расчет по образованию трещин в этой стадии в общем случае производится также на основе нелинейной деформационной модели. При этом сопротивление бетона растяжению
Rbt,n принимается по классу бетона, численно равному передаточной прочности бетона Rbр,
а усилие обжатия Р определяется с учетом только первых потерь напряжений.
Отличие такого расчета от вышеприведенного заключается в том, что сжатая и растянутая грани меняются местами, а направление внешнего момента М совпадает с направлением момента от усилия обжатия Ре0р. Поэтому все формулы (3.3), (3.5), (3.6) для определения ξ
остаются без изменений при сохранении смысла величин h′f и b′f как размеров полки сжатой (т.е. нижней) зоны и величин hf и bf как размеров полки растянутой (т.е. верхней) зоны.
Значения Mcrc, определенные по формулам (3.4) и (3.7), уменьшаются на значение Ре0р. Если
в результате значение Mcrc оказывается отрицательным, это означает, что трещины в верхней
зоне образуются от действия только одного усилия обжатия.
Упрощенное определение момента Mcrc производится по формуле


Mcrc = γRbt,nWred – P(e0 – rя),

(3.11)

где Wred — момент сопротивления приведенного сечения для верхней растянутой грани; rя —
расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней ядровой точки.
Коэффициент γ можно принимать так же, как при расчете в стадии эксплуатации, учитывая при этом новое расположение полок с размерами h′f, b′f и hf , bf.
Характеристики приведенного сечения для упрощения расчета можно определять при том
же коэффициенте приведения α, что и при расчете в стадии эксплуатации.
Определение момента образования трещин Мсrc необходимо еще для элементов с малым процентом армирования, так как исчерпание несущей способности элементов покрытий или перекрытий может произойти одновременно с образованием трещин, и разрушение будет иметь хрупкий
внезапный характер, что особенно опасно. В обычных случаях предельный по прочности момент
Mult существенно выше момента образования трещин Mcrc, в связи с чем разрушению предшествуют значительные трещины и деформации. Это позволяет при эксплуатации конструкций принять
своевременные меры: снять нагрузку, провести необходимое усиление и т.п. Большие трещины
и прогибы как бы сигнализируют о возможном обрушении. Если же Mcrc > Mult, такие сигналы отсутствуют. При образовании трещин (т.е. когда внешний момент значительно превысил Mult в результате случайных перегрузок) усилие, которое обычно воспринимается арматурой в трещине,
превысит несущую способность арматуры, и произойдет хрупкое внезапное обрушение.
В связи с этим, как правило, указанные конструкции необходимо проектировать так, чтобы Mult > Mcrc. Если выполнение данного условия весьма экономически невыгодно, то согласно
СП 63.13330.2018 площадь сечения продольной растянутой арматуры должна быть увеличена по
46

сравнению с требуемой по прочности не менее чем на 15 % или должна удовлетворять расчету по
прочности на действие момента, равного Mcrc, т.е. предполагается, что превышение внешнего момента более чем на 15 % момента, предельного по прочности, чрезвычайно маловероятно.
Значение Mcrc в этом случае определяется, как указано выше, т.е. при нормативных сопротивлениях бетона, а момент Mult — при расчетных сопротивлениях бетона и арматуры.

3.2. Расчет внецентренно сжатых элементов
Во внецентренно сжатых элементах при первом случае сжатия, т.е. когда прочность сечения определяется прочностью растянутой арматуры, возникают трещины, ширина которых
может превысить допустимое значение. Поэтому при первом случае сжатия необходим расчет колонн или стоек по образованию трещин. Особенно это актуально при эксплуатации конструкций в агрессивных средах.
Расчет колонн (стоек) по образованию трещин также производится из условия (3.1), где М —
момент от внешних нагрузок, полученных из статического расчета; Mcrc — момент внутренних сил перед образованием трещин относительно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения.
При расчете с учетом нелинейной деформационной модели значение момента Mcrc, определенного относительно нейтральной оси, включает момент внутренней продольной силы (равной внешней силе N), приложенной в центре тяжести, относительно нейтральной оси. Поэтому момент Mcrc, учитываемый в условии (3.1), также определяется относительно нейтральной
оси с уменьшением на N(x – yц), где х — высота сжатой зоны бетона; уц — расстояние от центра тяжести до сжатой грани элемента (рис. 3.4).
εb

yц = 0,5h
εbt2

a

Rbt,n

б

M = Mcrc
N

x – yц

h

x

Ab

σb= εb Eb,red

в

Рис. 3.4. К определению момента образования трещин Мcrc для внецентренно сжатых элементов:
а — схема сечения; б — эпюра деформаций; в — эпюра напряжений

Высота сжатой зоны элемента определяется так же, как для изгибаемых предварительно
напряженных элементов с заменой усилия обжатия Р внешней силой N.
Поскольку внецентренно сжатые элементы чаще всего представляют собой колонны
прямоугольного сечения с симметричной арматурой, преобразуем формулу (3.8) для таких сечений:

где

,

(3.12)

,

а момент Mcrc будет равен
,
где

; r, αs, δs — см. формулу (3.2*).
47

(3.13)

Эти формулы, как отмечено выше, применяются только при εb ≤ εb1,red = 15 · 10 –4. Определим граничное значение силы N, при котором допустимо пользоваться этими формулами.
Из условия равновесия продольных сил имеем
.
Принимая х = хгр = h/1,1 и деля все члены на Rbt,n bh, получаем

При N > nгр Rbt,n bh эпюра напряжений сжатия бетона будет иметь трапециевидный характер. Однако в этом случае определяющей будет являться прочность сжатой зоны бетона, момент Mcrc будет близок или превышать внешний момент, а ширина раскрытия трещин в случае их образования будет невелика.
Поэтому, если N > nгр Rbt,n bh, расчет по образованию трещин можно не производить.
В пособии [9] предложен упрощенный способ определения значения Mcrc, аналогичный
определению Mcrc для предварительно напряженных элементов с заменой значения Р на N
и при е0 = 0, т.е.


Mcrc = γRbt,nWred + Nrя.

(3.14)

В случае, если значения Wred и rя = Wred /Ared определять при коэффициенте приведения α = Es εbt2 /Rbt,n, коэффициент γ для прямоугольных сечений можно принять равным 1,1.
Для прямоугольных сечений с симметричной арматурой значения Wred и Аred составляют
Wred = bh2/6 + αAs(h – 2a)2/h; Ared = bh + 2αAs.

4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН
Пример 4.1
Дано: многопустотная плита перекрытия (рис. 4.1); бетон класса В20 (Rbt,n = 1,35 МПа;
Rbn = 15 МПа); продольная арматура класса А800 площадью сечения As = 565 мм2 (5 Ø12), усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 200 кН.

Рис. 4.1. К примеру 4.1:

а — фактическое сечение плиты; б — эквивалентное сечение плиты

Согласно рис. 4.1 имеем: h = 220 мм; b = 466 мм; b′f = bf = 1475 мм; h′f = hf = 41 мм; а = 27 мм.
Определим значение Мcrc на основе деформационной модели.
Относительные характеристики:

48

Определим относительную высоту сжатой зоны ξ по формуле (3.5) с учетом значения р:

Поскольку
,
повторно определим значение ξ по формуле (3.6), используя ранее вычисленные без учета αov
числитель и знаменатель значения Z, а также числитель подкоренного выражения значения ξ,
принимая bf /b – 1 = 1475/466 – 1 = 2,165, 2δf – (7/15)(1 – ξ) = 0,186 – 0,127 = 0,059:

49

Определяем значение Mcrc по формуле (3.7) с добавлением
Pe0p = Ph(1 – ξ – δs) = 200 000 · 220 (1 – 0,725 – 0,123) = 6,69 · 106 Н·мм.
Поскольку использовалась формула (3.6), значение mov определяем по формуле

Определим значение Mcrc упрощенным способом по формуле (3.10), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффициенте приведения α = Esεbt2/Rbt,n. Тогда можно использовать в качестве приведенной относительной площади арматуры вычисленное значение
αs = 0,122 и другие относительные характеристики.
Относительные характеристики приведенного сечения:
––площадь:

––расстояние от центра тяжести до низа:

––момент инерции:

––момент сопротивления относительно нижней растянутой грани:
––ядровое расстояние:
Поскольку bf /b = 1475/466 = 3,17 > 2,0, принимаем γ = 1,2. Тогда

Расхождение по сравнению с «точным» способом расчета составляет 2,1 %.
Пример 4.2
Дано: железобетонная колонна сечением h = 500 мм; b = 400 мм; a = aʹ = 50 мм; бетон класса
B15 (Rbt,n = 1,1 МПа; Rbn = 11 МПа); рабочая арматура площадью сечения As = A′s = 1232 мм2 (2 Ø28);
продольная сила, приложенная в центре тяжести сечения, N = 500 кН.
50

Определим значение Mcrc на основе деформационной модели. Относительные характеристики:

Поскольку nгр = 4,545r – 0,0 667 + 9αs = 4,545 – 0,0 667 + 9 · 0,168 = 5,99 > n = 2,273, эпюра
напряжений сжатия треугольная, и следовательно, расчет ведем по формулам (3.12) и (3.13):

Определим значение Mcrc упрощенным способом по формуле (3.14), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффициенте приведения
:
Wred = bh2/6 + αAs(h – 2a)2/h = 400 · 5002/6 + 27,27 · 1232 (500 – 2 · 50)2/500 = 2,742 · 107 мм3;
Ared = bh + 2αAs = 400 · 500 + 2 · 27,27 · 1232 = 267 193 мм2;
rя = Wred /Ared = 2,742 · 107/267 193 = 102,6 мм.
Принимаем γ = 1,1. Тогда
Mcrc = γRbt,nWred + Nrя = 1,1 · 1,1 · 2,742 · 107 + 500 000 · 102,6 = 84,48 · 106 Н·мм = 84,48 кН·м.
Разница с результатом по «точному» методу несущественная.
Определим значение Mcrc согласно пособию [4], принимая α = Еs/Eb = 2 · 105/2,4 · 104 = 8,333
и γ = 1,3:
Wred = 400 · 5002/6 + 8,333 · 1232 · 4002/500 = 1,995 · 107 мм3;
Ared = 400 · 500 + 2 · 8,333 · 1232 = 220 533 мм2;
rя = 1,995 · 107/220 533 = 90,47 мм;
Mcrc = 1,3 · 107 + 500 000 · 90,47 = 73,76 · 106 Н·мм = 73,76 кН·м.
Разница с результатом по «точному» методу более существенная (12,75 % в «запас»).
51

Пример 4.3
Дано: связевая плита перекрытия с размерами сечения (для половины сечения) по рис. 4.2;
бетон класса В25 (Rbt,n = 1,55 МПа; Rbn = 18,5 МПа); напрягаемая арматура класса А600 площадью сечения As = 491 мм2; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 150 кН;
максимальная растягивающая сила, вызванная нормативной ветровой нагрузкой и приходящаяся на половину сечения плиты, N = 50 кН; эта сила приложена к плите в местах ее приварки к закладным деталям ригеля, т.е. к нижней грани ребра.

Рис. 4.2. К примеру 4.3

Определим значение Mcrc на основе деформационной модели, используя формулы (3.5)
и (3.7) с учетом P и N.
Согласно рис. 4.2 имеем: h = 300 мм; b = 70 мм; b′f = 722 мм; h′f = 50 мм; bf = 85 мм;
hf = 90 мм; а = 45 мм.
Относительные характеристики:

Относительную высоту сжатой зоны ξ определяем по формуле (3.5), учитывая значения р и n:

52

Определяем момент образования трещин относительно нейтральной оси по формуле (3.7)
с учетом момента от усилия обжатия, равного
Pe0p = Ph(1 – ξ – δs) = 150 000 · 300 (1 – 0,6464 – 0,15) = 9,164 · 106 Н·мм:

Поскольку внешний момент принимается относительно центра тяжести приведенного сечения, вычисленный момент Mcrc увеличивается на N (x – yц), где уц — расстояние от центра
тяжести приведенного сечения до сжатой грани. Определим значение уц, используя относительные характеристики:

Тогда
Определим значение Mcrc упрощенным способом по формуле
Mcrc = γRbt,nWred + P(e0p + rя) – Nrя.
Определим характеристики приведенного сечения при коэффициенте приведения α = Es εbt2/Rbt,n, используя вычисленные относительные характеристики и y = 1 – yц/h =
= 1 – 0,348 = 0,652:

Поскольку
В результате

принимаем γ = 1,2.

Как видим, разница с результатом по «точному» методу несущественна.
53

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ
ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
5.1. Предельно допустимые прогибы изгибаемых элементов
К железобетонным конструкциям предъявляются требования по прогибам для выполнения условий второй группы предельных состояний, в соответствии с которыми прогиб конструкции от внешней нагрузки должен быть не более предельно допустимого прогиба. Прогибы железобетонных конструкций ограничивают из-за условий обеспечения нормальной
эксплуатации зданий и сооружений, используемые в данной конструкции.
Предельные прогибы нормируются СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия» исходя из
следующих требований:
а) технологических (обеспечение нормальной эксплуатации разного рода технологического оборудования);
б) конструктивных (обеспечение целостности примыкающих друг к другу элементов и их
стыков, обеспечение заданных уклонов);
в) физиологических (предотвращение вредных воздействий и ощущений дискомфорта при
колебаниях);
г) эстетико-психологических (обеспечение благоприятных впечатлений от внешнего вида
конструкции, предотвращение ощущения опасности и дискомфорта).
Примером ограничения прогибов по технологическим требованиям может служить назначение предельных прогибов для подкрановых балок, равных l/400–l/600. При больших прогибах нарушается плавность движения крана и ухудшается самочувствие крановщиков, так что
эти предельные прогибы обусловлены также и физиологическими требованиями [10].
Конструктивные требования выражаются в недопущении превышения прогибом конструкций перекрытий расстояния (зазора) между ними и верхом перегородок, витражей, оконных и дверных коробок, расположенных ниже. В СП 20.13330.2016 этот зазор рекомендуется
принимать не более 40 мм. При этом прогиб конструкций определяется как разность прогиба
от всех нагрузок (с учетом продолжительности действия постоянных и длительных нагрузок)
и прогиба от постоянных нагрузок с учетом непродолжительности действия.
В общем случае конструктивные требования к вертикальным прогибам должны определяться конкретными условиями примыкания перегородок и иных элементов в процессе проектирования несущих и ограждающих конструкций.
Конструктивные требования выражаются также в ограничении горизонтальных перемещений перекрытий каркасных зданий от ветровых нагрузок и температурно-климатических воздействий в целях обеспечения целостности заполнения каркаса перегородками, стенами и т.п.
Предельные горизонтальные относительные перемещения перекрытий в пределах одного этажа определяются типом перегородок и стен и их креплений к каркасу: при податливых
креплениях любых перегородок и стен — hs /300, при жестких креплениях — hs /500 (где hs —
высота этажа). При жестких креплениях стен из керамических блоков, стекла (витражи) или
из облицованных естественным камнем предельные перемещения уменьшаются до hs /700.
Эти перемещения вычисляются при действии только нормативной ветровой нагрузки с учетом непродолжительного действия.
Для зданий высотой более 40 м при определении перемещений следует учитывать крен
фундаментов под элементами жесткости (связи, диафрагмы и т.п.). При вычислении крена
фундаментов, принимая во внимание кратковременность действия ветровой нагрузки, следует учитывать только 30 % этой нагрузки.
При температурно-климатических воздействиях горизонтальные прогибы колонн не должны превышать:
hs /150 — при стенах и перегородках из кирпича, гипсобетона, железобетона и навесных
панелей;
54

hs /200 — при стенах, облицованных естественным камнем, из керамических блоков, из
стекла (витражи).
Эти воздействия определяются без учета коэффициента надежности.
Проверки перемещений перекрытий от ветровой нагрузки и температурно-климатических
воздействий следует проводить раздельно.
Физиологические требования к предельным прогибам выражаются в основном назначением предельных значений виброперемещений, виброскорости и виброускорений в соответствии с ГОСТ 12.1.012-2004 «Система стандартов безопасности труда. Вибрационная безопасность. Общие требования».
Эстетико-психологические требования к прогибам относятся ко всем конструкциям покрытий и перекрытий, открытым для обзора. Эти требования выражаются в ограничении относительных прогибов f/l значениями 1/150–1/300 в зависимости от величины пролета. При
этом за пролет принимается видимый продольный размер элемента.
При определении прогибов, подлежащих ограничению, следует учитывать нагрузки, зависящие от требований, вызвавших эти ограничения. В частности, при ограничении прогибов по эстетико-психологическим требованиям прогибы определяются при действии только
постоянных и длительных нагрузок, т.е. допускается кратковременное превышение прогибов
сверх допустимых по этим требованиям. При этом прогиб отсчитывается от прямой, соединяющей точки опирания конструкций, т.е. выгиб, вызванный предварительным обжатием, не
учитывается [10].

5.2. Определение кривизны
с использованием билинейной диаграммы состояния бетона
Прогибы строительных конструкций определяются по общим правилам строительной
механики в зависимости от изгибных, сдвиговых и осевых деформационных характеристик.
Для железобетонных конструкций прогибы определяют на основе кривизны сечения. Для
учета особенности деформирования принимается билинейная диаграмма состояния бетона
εb –σb для сжатия и растяжения.
До образования трещин учитываются сжатая и растянутая зоны сечения, схема напряженно-­
деформированного состояния которого показана на рис. 5.1.
A's
σb

x

εb

εbt2
а

As(Asp)

σb
N's

N's

Nb

Nb

Nbt

Nbt

Ns (Nsp)

Ns (Nsp)

σbt = Rbt,ser

б

в

Рис. 5.1. К определению напряженно-деформированного сечения:

Rbt,ser

г

а — расчетная схема; б — эпюра деформаций в бетоне; в — фактическая эпюра напряжений;
г — эпюра напряжений по расчетной билинейной диаграмме

55

Деформации сжатия εbt и высоту сжатой зоны х определяем из совместного решения уравнений равновесия внешних и внутренних продольных сил и изгибающих моментов относительно нейтральной оси:
Nb + N′s = Nbt + Ns;

(5.1)

MB + M′s + Mbt + Ms = M.

Для стадии упругой работы кривизна сечения определяется по известной зависимости


(5.2)

Кривизна оси в состоянии, когда в растянутой зоне проявляются неупругие деформации (рис. 5.1, в, г), будет равна 1/r = εbt /(h – x).
Стадия работы без трещин в элементах без предварительного напряжения весьма мала
и находится в пределах (0,1...0,2)Mult. Изгибную жесткость можно принять по приведенному
полному сечению, не зависящую от моментов. Тогда для прямоугольного сечения высота сжатой зоны после некоторых упрощений будет иметь вид


	 (5.3)

где
При наличии предварительного обжатия стадия работы без трещин существенно увеличена в основном за счет погашения начального выгиба конструкции, вызванного усилием обжатия арматуры. Жесткостные параметры сплошного сечения изгибаемого элемента на участке
без трещин практически не изменяются. Влияние на изгибную жесткость неупругих деформаций растянутой зоны весьма мало, а учет неупругих деформаций бетона сжатой зоны следует производить при уровне напряжений сжатия σb > 0,6Rbn.
A's

εb < εb1,red

σb= εb Eb,red

a'

A′sσ′s= A′s ε′s Es
M
x

x – a′
x

h0 – x

h0

Ab

ε′s = εb

εsm = εb

As
а

h0 – x
x

E
Asσs= Asεsm ψs
б

s

в

Рис. 5.2. Схема сечения (а); эпюра усредненных деформаций арматуры и бетона (б);
распределение напряжений в бетоне и усилий в арматуре (в)

После образования нормальных трещин кривизну оси изгибаемого элемента на этих участках определяют так же через деформации сжатой грани бетона εb и высоты сжатой зоны х. Величины εb и х устанавливаются на основе расчетной схемы, показанной на рис. 5.2, принятой
как при расчете по раскрытию трещин, из решения уравнений равновесия внешних и внутренних усилий. При этом для сжатого бетона принимается билинейная диаграмма σb –εb, а сопро56

тивление растянутого бетона не учитывается. Неравномерность деформации вдоль растянутой арматуры (в сечении с трещиной и между ними) при определении деформаций в сечении
с трещиной рекомендуется находить с использованием коэффициента ψs по выражению


,

(5.4)

где Mcrc и M — соответственно изгибающие моменты трещинообразования и момент на определяемом уровне нагрузки, при котором вычисляются деформации.
Высоту сжатой зоны х в сечении с трещиной при отсутствии предварительного напряжения арматуры можно определить из уравнения равновесия продольных усилий (см. рис. 5.2).
Для элементов прямоугольного сечения уравнение с учетом неравномерности деформаций
арматуры будет иметь вид


(5.5)

Принимая известные обозначения

и исключая деформации сжатой зоны εb, получаем квадратное уравнение с одним неизвестным х:


(5.6)

Высота сжатой зоны бетона будет равна


(5.7)

где
Деформации сжатой грани бетона в соответствии со схемой на рис. 5.2 определяются из
уравнения равновесия изгибающих моментов относительно нейтральной оси:


(5.8)

Тогда деформации сжатой грани будут равны


(5.9)

Знаменатель в выражении (5.9) есть момент инерции приведенного сечения с трещиной,
определенный относительно нейтральной оси Ired с учетом только площади бетона сжатой
зоны и приведенных площадей сжатой и растянутой арматуры.
Кривизну оси сечений с трещинами можно записать в общем виде:


(5.10)

Из выражения (5.10) следует, что кривизна оси в сечении с трещиной зависит в основном
от уровня внешней нагрузки, которая определяет высоту сжатой зоны бетона и распределение
в сечении напряжений и усилий.
Исследование сечений с различным армированием показало, что после образования трещин рост кривизн происходит практически пропорционально изгибающему моменту [11].
57

При наличии предварительного напряжения арматуры в уравнение равновесия (5.1) добавляется усилие предварительного обжатия Р. В этом случае привести уравнение к одному неизвестному нельзя. Решение можно получить из совместного уравнения равновесия продольных сил и изгибающих моментов.
Выражение для деформаций сжатой грани бетона при наличии усилия предварительного
обжатия имеет вид


.

(5.11)

Выражение в скобках правой части есть статический момент приведенного сечения Sred относительно нейтральной оси, определенный с учетом только сжатой зоны бетона, площадей
арматуры S′ и S с коэффициентами приведения αs1 и αs2 = αs1/ψs.
Поскольку расчетные схемы усилий в сечении при расчете по раскрытию трещин и при определении кривизны отличаются друг от друга лишь заменой Es на Es/ψs, т.е. заменой коэффициента приведения αs1 на αs2 при арматуре S, высота сжатой зоны х вычисляется из уравнения


(5.12)

Это уравнение решается методом Ньютона, задаваясь наиболее вероятным значением
х = h0/2. Как правило, после двух итераций процесс сходится.
Выражение для кривизны сечения с трещиной при наличии предварительного напряжения имеет вид


.

(5.13)

Изложенная методика на основе использования билинейной диаграммы состояния бетона
позволяет определять изгибную жесткость сечения на всех уровнях внешней нагрузки, включая стадию, близкую к разрушению.
Представленные зависимости для кривизны сечения с трещинами построены из предположения упругой работы бетона сжатой зоны при нагрузках, соответствующих эксплуатационному уровню. Эти предпосылки основаны на том факте, что моменты от нормативных нагрузок,
как правило, не вызывают деформации сжатого бетона более εb1,red. Поэтому для эксплуатационной стадии работы конструкции эти выражения дают приемлемые результаты [11].

58

Библиографический список
1. СП 63.13330.2018 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. СНиП 5201–2003 (с Изменениями № 1, 2) : свод правил : дата введения 2019-06-20 / Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации. — Изд. официальное. — Москва :
Стандартинформ, 2019. — URL: СП 63.13330.2018 (stroyinf.ru) (дата обращения: 16.04.2023).
2. Алмазов В.О. Проектирование железобетонных конструкций по евронормам / В.О. Алмазов. —
Мос­ква : Изд-во АСВ, 2011. — 215 с. — ISBN 978-5-93093-502-8.
3. Методическое пособие. Расчет железобетонных конструкций без предварительно напряженной
арматуры (к СП 63.13330.2012) / НИИСФ РАССН. — Москва : АО ЦНИИпромзданий, 2015. — URL:
https://www.faufcc.ru/upload/methodical_materials/mp06.pdf (дата обращения: 16.04.2023).
4. Методическое пособие по расчету предварительно напряженных железобетонных конструкций (к СП 63.13330.2012) / НИИСФ РАССН. — Москва : АО ЦНИИпромзданий, 2015. — URL: https://
www.faufcc.ru/upload/methodical_materials/mp07.pdf (дата обращения: 16.04.2023).
5. Практические методы и примеры расчета железобетонных конструкций из тяжелого бетона по
СП 63.13330 / Э.Н. Кодыш, Н.Н. Трёкин, И.К. Никитин, К.Е. Соседов. — Москва : Изд-во АСВ, 2017. —
496 с. — ISBN 978-5-9905600-9-3.
6. Бондаренко В.М. Расчетные модели силового сопротивления железобетона / В.М. Бондаренко,
В.И. Колчунов. — Москва : Изд-во АСВ, 2004. — 471 с. — ISBN 5-93093-279-4.
7. Мадатян С.А. Арматура железобетонных конструкций / С.А. Мадатян. — Москва : ООО «Воентехлит», 2000. — 256 с. — ISBN 5-90053-023-1.
8. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И. Карпенко. — Москва : Стройиздат,
1996. — 412 с. — ISBN 5-274-01682-0.
9. Шилин А.А. Ремонт железобетонных конструкций : учебное пособие / А.А. Шилин. — Москва :
Горная книга, 2010. — 519 с. — ISBN 978-5-98672-245-0.
10. Железобетонные конструкции : в 2-х частях. Ч. 1: Расчет конструкций : учебник / Э.Н. Кодыш,
Н.Н. Трёкин, В.С. Федоров, И.А. Терехов. — Изд. 2-е, доп. и перераб. — Москва : Изд-во АСВ, 2022. —
388 с. — ISBN 978-5-4323-0437-7.
11. Трёкин Д.Н. Расчет нелинейного деформирования и трещиностойкости железобетонных изгибаемых элементов : дис. … канд. техн. наук : 05.23.01 : защищена 06.03.21 / Трёкин Дмитрий Николаевич ; Юго-Западный государственный университет. — Москва, 2020. — 170 с.

59

ПРИЛОЖЕНИЕ
Основные буквенные обозначения
Усилия от внешних нагрузок и воздействий в поперечном сечении элемента:
М — изгибающий момент
N — продольная сила
Q — поперечная сила
Т — крутящий момент
Msh, Ml, Mtot — изгибающие моменты соответственно от кратковременных нагрузок, от постоянных и длительных нагрузок и от всех нагрузок, включая постоянные, длительные и кратковременные

Характеристики материалов
Rm — средняя кубиковая прочность бетона
Rbn — нормативное сопротивление бетона
Rb, Rb,ser — расчетные сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний соответственно первой и второй групп
Rbt,n — нормативное сопротивление бетона осевому растяжению
Rbt, Rbt,ser — расчетное сопротивление бетона осевому растяжению для предельных состояний соответственно первой и второй групп
Rs, Rs,ser — расчетное сопротивление арматуры растяжению для предельных состояний соответственно первой и второй групп
Rsw — расчетное сопротивление поперечной арматуры растяжению
Rsc — расчетное сопротивление арматуры сжатию для предельных состояний первой группы
Rbp — передаточная прочность бетона
Rbond — расчетное сопротивление сцепления арматуры с бетоном
Eb — начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении
Eb,red — приведенный модуль деформации сжатого бетона
Es — модуль упругости арматуры
Es,red — приведенный модуль деформации арматуры, расположенной в растянутой зоне элемента
с трещинами
εb0, εbt0 — предельная относительная деформация бетона соответственно при равномерном осевом
сжатии и осевом растяжении
εs0 — относительные деформации арматуры при напряжении, равном Rs
εb,sh — относительные деформации усадки бетона
φb,cr — коэффициент ползучести бетона
α — отношение соответствующих модулей упругости Es и бетона Eb
σ0 — модуль сдвига бетона
ν — коэффициент Пуассона

Характеристики положения продольной арматуры в поперечном сечении элемента
S — обозначение продольной арматуры:
а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней нагрузки зон сечения — расположенной в растянутой зоне;
б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сечении — расположенной у менее сжатой грани сечения;
в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки сечении:
––для внецентренно растянутых элементов — расположенной у более растянутой грани сечения;
––для центрально растянутых элементов — для всей продольной арматуры в поперечном сечении
элемента;
S′ — обозначение продольной арматуры:
а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней нагрузки зон сечения — расположенной в сжатой зоне;
60

б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сечении — расположенной у более сжатой грани сечения;
в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки сечении внецентренно растянутых
элементов — расположенной у менее растянутой грани сечения.

Характеристики предварительно напряженного элемента
P — усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь предварительного напряжения в арматуре
Р(1) — то же, с учетом первых потерь напряжений
∆σspi — величина 1–6 потерь
σsp, σ′sp — предварительные напряжения соответственно в напрягаемой арматуре S и S′ до обжатия бетона или в момент снижения величины предварительного напряжения в бетоне до нуля
воздействием на элемент внешних фактических или условных сил, определяемые с учетом потерь
предварительного напряжения в арматуре, соответствующих рассматриваемой стадии работы элементов
σsp1, σsp2 — напряжения σsp с учетом соответственно первых и всех потерь
σbp — сжимающие напряжения в бетоне в стадии предварительного обжатия, определяемые с учетом потерь предварительного напряжения в арматуре, соответствующих рассматриваемой стадии работы элементов
γsp — коэффициент точности натяжения арматуры

Геометрические характеристики
b — ширина прямоугольного сечения; ширина ребра таврового и двутаврового сечений
bf и b′f — ширина полки таврового и двутаврового сечений соответственно в растянутой и сжатой
зонах
h — высота прямоугольного таврового и двутаврового сечений
hf, h′f — высота полки таврового и двутаврового сечений соответственно в растянутой и сжатой зонах
Asp, A′sp — площадь сечения напрягаемой части арматуры соответственно S и S′
As, и A′s — площадь сечения ненапрягаемой части арматуры соответственно S и S′
Аsw — площадь сечения хомутов, расположенных в одной нормальной к продольной оси элемента
плоскости, пересекающей наклонное сечение
а — расстояние от равнодействующих усилий в арматуре S до ближайшей грани
а′ — расстояние от равнодействующей предельных растягивающих усилий в арматуре S′ до ближайшей грани
a′s, a′p — расстояние от равнодействующей усилий в арматуре соответственно площадью A′s и A′sp
до ближайшей грани
h0 — рабочая высота сечения, равная h–a
х — высота сжатой зоны бетона
ξ — относительная высота сжатой зоны бетона, равная x/h0
Sw — расстояние между хомутами, измеренное по длине элемента
е0 — эксцентриситет продольной силы N относительно центра тяжести приведенного сечения
е, е′ — расстояние от точки приложения продольной силы N до равнодействующей усилий соответственно S и S′
е0р — эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р относительно центра тяжести приведенного сечения
еsp — расстояние от точки приложения усилия предварительного обжатия Р до центра тяжести сечения арматуры S
yN — расстояние от нейтральной оси до точки приложения усилия предварительного обжатия
с учетом изгибающего момента от внешней нагрузки
l — пролет элемента
l0 — расчетная длина элемента, подвергающегося действию сжимающей продольной силы
lan — длина зоны анкеровки
lp — длина зоны передачи предварительного напряжения в арматуре на бетон
61

i — радиус инерции поперечного сечения элемента относительно центра тяжести сечения
ds, dsw — номинальный диаметр стержней соответственно продольной и поперечной арматуры
µs — коэффициент армирования, определяемый как отношение площади сечения арматуры S
к площади поперечного сечения элемента bh0 без учета свесов сжатых и растянутых полок
А — площадь всего бетона в поперечном сечении
Ab — площадь сечения бетона сжатой зоны
Ared — площадь приведенного сечения элемента
I — момент инерции сечения бетона относительно центра тяжести сечения элемента
Ired — момент инерции приведенного сечения элемента относительно его центра тяжести
W — момент сопротивления сечения элемента для крайнего растянутого волокна
Dcir — диаметр кольцевого и круглого сечений

Внутренние усилия (напряжения) в поперечном сечении элемента
Ncr — условная критическая сила
Qsw, Qs,inc, Qb — поперечная сила, воспринимаемая соответственно поперечной арматурой, отгибами и бетоном
Mcrc и Ncrc — усилия, вызывающие образование трещин
σmc и σmt — главные сжимающие и главные растягивающие напряжения
Mult — несущая способность сечения при изгибе, предельный момент, момент в пластическом
шарнире