Черепанова Любовь Дмитриевна
Шашлова Наталья Ивановна
Шекера Галина Владимировна

СБОРНИК НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО
МАТЕМАТИКЕ

Хабаровск
2016
1

Пояснительная записка___________________________

3

Глава 1.Натуральные числа.________________________

6

Глава 2 Комбинаторика______________________________

11

Глава 3. Задачи на худший случай_____________________

15

Глава 4. Задачи на переливание_______________________

18

Глава 5.Задачи на решение «от конца к началу»_________

19

Глава 6.Задачи на головы и ноги______________________

22

Глава 7.Задачи на круги Эйлера_______________________

23

Глава 8. Принцип Дирихле___________________________

27

Глава 9. «Неправильные надписи»_____________________

30

Глава 10. Задачи на расстановку точек__________________

34

Глава 11.Задачи на рукопожатия______________________

34

Глава 12. Задачи на спички___________________________

35

Глава 13. Задачи на складывание и разрезание ___________

38

Глава 14. Танграм___________________________________

40

Глава 15. Магический квадрат. Геометрические задачи____

41

Глава 16. Логические задачи__________________________

44

ОТВЕТЫ__________________________________________

49

Литература

52

2

Пояснительная записка
Не мыслям надобно
учить, а учить мыслить.
Э.Кант
В настоящее время одной из тенденций улучшения
качества образования становится ориентация на
развитие творческого потенциала личности ученика на
всех этапах обучения в школе, на развитие его
творческого мышления, на умение использовать
эвристические методы в процессе открытия нового и
поиска выхода из различных нестандартных ситуаций и
положений.
Математика – это инструмент для размышления, в ее
арсенале имеется большое количество задач, которые на
протяжении тысячелетий способствовали
формированию мышления людей, умению решать
нестандартные задачи, с честью выходить из
затруднительных положений.
К тому же воспитание интереса школьников к
математике, развитие их математических способностей
невозможно без использования в учебном процессе
задач на сообразительность, задач-шуток,
математических фокусов, числовых головоломок,
арифметических ребусов и лабиринтов, дидактических
игр, загадок и т. п.
3

Сборник нестандартных задач содействует развитию у
детей математического мышления: краткости речи,
умелому использованию символики, правильному
применению математической терминологии, умению
отвлекаться от всех качественных сторон предметов и
явлений, сосредотачивая внимание только на
количественных, умению делать доступные выводы и
обобщения, обосновывать свои мысли.
Задачи подобраны таким образом, чтобы можно было
провести качественную подготовительную работу к
олимпиадам
различного
уровня.
Кроме
того,
индивидуально-дифференцированный
подход
с
использованием предлагаемых заданий позволит решить
очень важную психологическую проблему – воспитание
у ребѐнка уверенности в себе, в своих силах. Регулярная,
систематическая работа в рамках дополнительного
образования направлена на развитие сложного
психического процесса – мышления, а именно на
овладение школьниками навыками аналитической и
проблемно-поисковой деятельности.
Цель: развитие математических способностей у
школьников.
Задачи:
- развивать у обучающихся образное и логическое
мышление, воображение, математическую речь,
креативность;

4

- подготовить к математическим олимпиадам разного
уровня;
- воспитывать интерес к математике.
Часть заданий, вошедших в сборник отобрана из
учебной и педагогической литературы отечественных и
зарубежных авторов и переработана с учѐтом возрастных
особенностей и возможностей детей 11-12 лет. Часть –
составлена авторами сборника.
В сборнике 16 глав, содержащих 179 задач по
различным темам и ответы к ним. Он является
дидактическим материалом для занятий математического
кружка или подготовки к олимпиадам. Задачи, вошедшие
в данный сборник, являются средством воспитания
умственной активности детей, активизируют внимание,
мышление, воображение, вызывают интерес к процессу
познания.
Каждая глава
состоит из задач разного уровня
сложности. Даются основные математические понятия,
необходимые при решении задач по данной теме,
приведены примеры решения некоторых задач. Поэтому
любой учащийся, решая задачи, может почувствовать
уверенность в своих силах и начать работу с простого
задания на выбор. Это создаѐт особый положительный
фон:
раскованность, интерес, желание научиться выполнять
предлагаемые задания.

5

Глава 1 Натуральные числа
1. Найдите следующие два числа:
а) 2,3,4,5,6…

б) 10,9,8,7,6…

в) 5,10,15,20,25…

г) 3,7,11,15,19,23…

д) 4,5,8,9,12…

е) 1,2,4,8,16…

2.Найдите натуральное число, которое больше своей
последней цифры в 5 раз.
3.Когда произведение двух чисел равно их частному?
Приведите примеры.
4. Восстанови поврежденные записи арифметических
чисел:
а) +

5*
*84
**0

б)  6 * 5 *
* 8*4
2 856

в)

×*
5
+
*
* *
* 7

*
2
6
*

5.Расшифруйте «животноводческий» ребус (замените
буквы цифрами так, чтобы пример был решен верно).
Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры,
разные буквы  разные цифры: Б+БЕЕЕ=МУУУ.
6. Решите числовые ребусы:
а) + У Д А Р
УДАР
ДР АКА

б) + О Д И Н
ОДИН
МН О Г О
6

в) + К О З А
КОЗ А
СТ АДО

7. Сумма двух натуральных чисел равна 474. Одно из
них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть,
то получиться второе число. Найдите эти числа.
8.Найдите наибольшее натуральное число:
а) все цифры которого различны;
б) все цифры которогоразличны и которое делится на
4.
9. Расставьте знаки арифметических действий и скобки,
чтобы получились верные равенства:
а) 4444=5; б) 4444=17; в) 4444=20;
г) 4444=32; д) 4444=64.
10. Расставьте в записи4·12+18:6+3 скобки, чтобы
получилось:
а) число 50;
б)наименьшее возможное число;
в) наибольшее возможное число
11. Решите ребусы:
а) ЧАЙ:АЙ=5;
б)СОТНЯ+СОТНЯ+СОТНЯ=ТРИСТА
12.Девочка заменила каждую букву в своѐм имени еѐ
номером
в
русском
алфавите.
Получилось 2011533. Как еѐ зовут?
13.Даны числа от 1 до 9. Расставьте их в
кружки так, чтобы сумма трех чисел
7

вдоль каждой линии была равна 15. Какое число должно
быть в центре?
14.В шести кружках, расположенных в
форме равностороннего треугольника
расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так,
чтобы сумма чисел на всех трех сторонах
треугольника
была
одинаковой
и
равнялась 100.
Приѐмы быстрого счета
1) Правило возведения в квадрат числа,
заканчивающегося цифрой«5».
Число десятков умножают на следующее за ним
натуральное число и приписывают к результату 25.
Пример:

752=5625, т.к.

7∙8=56

1052=11025,

т.к.

10∙11=110.

2) Умножение двузначного числа на 11.
Цифры числа складывают и сумму записывают между
этими цифрами в числе.
Пример:

27∙11=297, т.к.

2+7=9

Если при сложенииполучено начинающееся с 1
двузначное число. Тогда эту единицу прибавляют к
цифре десятков, а в середину вставляют только цифру
единиц суммы.
Пример:

85∙11=935, т.к.
8

8 + 5=13

=>

(8 + 1)35 = 935.

3) Умножение на 9 или 99.
Имеем: 9 = 10 – 1;

99 = 100 – 1

При умножении на 9 или 99 надо число умножить на 10
или 100 и из полученного числа вычесть данное.
Примеры:
45 ∙ 9 = 45 ∙ 10 – 45 = 450 – 45 = 405
128 ∙ 9 =1280 – 128 = 1152
7 ∙ 99 =7 ∙ 100 – 7 = 700 – 7 = 693
67 ∙ 99 =6700 – 67 = 6633
4) Умножение на 5, 50.
Имеем: 5 = 10: 2, 50 = 100: 2
Вывод:
1) Чтобы умножить число на 5, можно его разделить
пополам, потом умножить на 10.
2) При умножении на 50 надо число разделить на 2 и
умножить на100.
Пример:

224 ∙ 5 =224: 2 ∙ 10 = 1120
36 ∙ 50 =36: 2 ∙ 100 = 1800

5) Умножение на 25, 250.
Имеем: 25 = 100: 4;250 = 1000: 4

9

Вывод: чтобы устно умножить число на 25 или 250,
надо его разделить на 4, а затем полученное частное
умножить на 100 или 1000.
Примеры: 224 ∙ 25 =224: 4 ∙ 100 = 5600
168 ∙ 250 =168: 4 ∙ 1000 = 42000
6) Умножение на 125.
Имеем: 125 = 1000: 8. Чтобы умножить число на 125,
надо его разделить на 8, а затем умножить на 1000.
Примеры:896 ∙ 125 = 896: 8 ∙ 1000 = 112000
120 ∙ 125 = 120: 8 ∙ 1000 = 15000
7) Основныезаконыарифметическихдействий
● a+b=b+a;

● a∙b=b∙a

● (a+b)+c=a+(b+c);

● a∙b∙c=a∙(b∙c)

● (a+b)∙c=a∙c+b∙c;

● (a–b)∙c=a∙c–b∙c

15.а) Вычислите:
а) 11∙23

д) 16∙99

б) 48∙11

е) 34∙9

в) 452;

ж) 32∙25

г)1152;

з) 48∙125.

б) Вычислите, используя
действий:

законы

а) 236+548+764;

е) 5∙17∙8;
10

арифметических

б) (364+785)–585;

ж) (100–1) ∙4;

в) 256∙54+744∙54;

з) (333+999):3;

г)83∙686–83∙586;

и) (967–467):5;

д)25∙123∙4.
16. Определитепорядок действий, найдите значение
выражения:
1) 672:42+21∙ 𝟑𝟗; 2) 989:43-912:48;
3) 𝟕𝟐𝟎 − 𝟔𝟗𝟓 ∙ 𝟗𝟕𝟓: 𝟐𝟓 ;
4) 𝟏𝟎𝟗 + 𝟖𝟑𝟗 : 𝟑𝟏𝟐 − 𝟐𝟑𝟑 ;
5) 65254:79-75563:97;
6) 37115:65+72675:85;
7) 407∙ 𝟕𝟐𝟎 − 𝟑𝟓𝟎 ∙ 𝟓𝟎𝟗 − 𝟒𝟑𝟐𝟕𝟐: 𝟕𝟐;
8) 564∙ 𝟕𝟎𝟐 − 𝟏𝟔𝟒 ∙ 𝟕𝟓𝟔 + 𝟏𝟒𝟖 ∙ 𝟗𝟏𝟔 − 𝟒𝟖𝟕𝟔𝟐: 𝟖𝟔;
9) 8694: 𝟒𝟎𝟗𝟔 − 𝟏𝟒𝟓𝟖 + 𝟐𝟑𝟏𝟔 ;
10) 18072: 𝟔𝟎𝟏𝟑 − 𝟐𝟑 ∙ 𝟔𝟓 .
Глава 2. Комбинаторика (правило суммы и
произведения)
Комбинаторика–
это
раздел
математики,
посвященный решению задач выбора и расположения
11

элементов некоторого множества в соответствии с
заданными
правилами.
Комбинаторика
изучает
комбинации и перестановки предметов, расположение
элементов, обладающее заданными свойствами.
ЗАДАЧА: Есть три шарика – красный, синий и
зеленый. Сколькими способами можно эти шарики
выложить в ряд?
Решение: Данная задача решается с помощью
построения дерева возможных вариантов.

Выложить шары в ряд можно 6 способами.
Данную задачу можно решить, применяя одно из
основных правил комбинаторики.Основные правила
комбинаторики – это правило суммы и правило
произведения.
Правило суммы
Если некоторый элемент A можно выбрать m
способами, а элемент B – n способами, то выбор «либо
A, либо B» можно сделать m+n способами.
12

Например, если на столе лежат 3 красных карандаша
и 4 зеленых, то выбрать один карандаш можно 3+4=7
способами.
Правило произведения
Если некоторый элемент Aможно выбрать m
способами, а элементB–n способами, то пару A иB
можно выбрать m ∙ n способами.
Например, если на столе лежат 3 красных карандаша
и 4 зеленых, то выбрать один красный и один
зеленыйкарандаш можно 3 ∙ 4 =12 способами.
Правило произведения верно и в том случае, когда
рассматриваются элементы некоторых множеств.
Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные
марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку
и открытку можно 24 способами (2∙ 3 ∙ 4 = 24).
ЗАДАЧА:
Сколькими
способами
можно
организовать эстафету по бегу, если в команде 6
человек?
Решение: Человека бегущего первым можно
выбрать 6 способами, второго человека – 5 способами,
третьего–4 способами, четвертого – тремя, пятого –
двумя способами, а человека, который бежит
последним, можно выбрать 1способом.
То есть по правилу произведения: 6·5·4·3·2·1=720
способов.
13

Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n
включительно
называется
n–факториалом
и
обозначается символом n!
n!=1·2·3·4·5·6 ∙∙∙ n
Например, 6!=1·2·3·4·5·6=720
Принято считать, что 0!=1.
17. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4сливы. Сколько вариантов
выбора одного плода?
18. Из города A в город B ведут пять дорог, а из города B в
город C – три дороги. Сколько путей, проходящих через B,
ведут из A в C?
19. Сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную буквы в слове «платок»?
20. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько
различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
21. Сколько различных двузначных чисел можно составить,
используя цифры 1, 4 и 7 если цифры могут повторяться?
22. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все
цифры четные?
23. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько
различных вариантов расписания можно составить на
понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все
уроки разные?

14

24. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров
можно составить, если исключить из них номера,
начинающиеся с нуля и 9?
25. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых
номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394.
На сколько абонентов рассчитана эта станция,
26. Сколько существует шестизначных чисел, у которых
вторая цифра – 2, четвертая – 4, шестая –6, а все остальные
– нечетные?
27. В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из
них можно выбрать старосту и заместителя старосты?
28. Сколько комбинаций из четырех букв русского
алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при
условии, что 2 соседние буквы будут разными?
29. Сколькими способами можно обозначить вершины
треугольника, используя буквы A, B, C и D?
30. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400,
можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
Глава 3. Задачи на худший случай
Это прием решения задачи, где для доказательства
какого–либо утверждения можно рассмотреть самый
неудобный, худший случай, в котором утверждение
выполняется. Если мы докажем утверждение для
худшего случая, то тем более оно будет верно и в
остальных случаях. Главное – правильно определить
этот худший случай.
15

31. Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих
ключей к ним. К каждому замку подходит только один
ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков,
назовем его первым и попробуем открыть его каждым
из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же
ключом, а в худшем – только десятым. Сколько нужно в
худшем случае произвести проб, чтобы открыть все
замки?
32. Имеется 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов.
Какое наибольшее число проб придется сделать, чтобы
подобрать к каждому чемодану свой ключ?
33. В пакете лежат конфеты двух сортов. Какое
наименьшее число конфет (не видя их) надо вытащить
из пакета, чтобы среди них были хотя бы:
а) две конфеты одного сорта;
б) три конфеты одного сорта?
34.В ящике комода, который стоит в тѐмной комнате,
лежат 10 пар коричневых и 10 пар чѐрных перчаток
одного размера, не скрепленных друг с другом. Сколько
перчаток нужно взять из ящика, чтобы среди них
оказалась пара перчаток одного цвета? (В ответе указать
только количество перчаток).
35.В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20
желтых, остальные черные и белые. Какое наименьшее
число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них
было не меньше 10 шаров одного цвета?

16

36.В ящике лежат шарики: 10 красных,10 синих,
10белых. Какое наименьшее количество шариков нужно
взять, чтобы среди них оказалось:2 одного цвета; 2
разных цветов.
37.В коробке лежат 100 чѐрных и 100 белых шаров. Они
тщательно перемешаны. Какое наименьшее число
шаров нужно вынуть из коробки, не глядя, чтобы среди
них обязательно нашлось:
а) 2 шара одного цвета;
б) 100 шаров одного цвета?
38.На карточках выписаны все двузначные числа.
Сколько карточек нужно взять не глядя, чтобы, по
крайней мере, одно из чисел делилось: а) на 2; б) на 7; в)
на 2 или на 7?
39. В ящике лежит сотня флажков: красные, зеленые,
желтые и синие поровну. Какое наименьшее число
флажков нужно взять, не глядя, чтобы среди них
обязательно было не меньше десяти флажков одного
цвета (безразлично какого)?
40.В тѐмном чулане 20 банок. Из них 8 с клубничным
вареньем, 7 – с малиновым и 5 – с клюквенным. Какое
наибольшее число банок нужно взять ( не зажигая
света)так, чтобы там наверняка осталось, по крайней
мере, 4 банки одного и 3 банки другого варенья?

17

Глава 4. Задачи на переливание
Задача.Двое должны разделить поровну 8 ведер квасу,
находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть
2 пустых бочонка по 5 и 3 ведра. Как разлить этот квас,
пользуясь только этой тарой?
Бочка 8л: 8 3 3 6 6 1 1 4
Ответ: Бочка5л: 0 5 2 2 0 5 4 4
Бочка3л: 0 0 3 0 2 2 3 0
41. Как из полного сосуда ѐмкостью в 12 л отлить
половину, пользуясь двумя пустыми сосудами
ѐмкостью в 8 и 5 л.
42. Три человека купили сосуд, полностью заполненный
24 унциями меда. Позже они приобрели три пустых
сосуда объемом 5, 11 и 13 унций. Как они могли бы
поделить мед на равные части используя эти четыре
сосуда? Постарайтесь решить задачу за наименьшее
количество переливаний.
43. Имеются 3 бочонка емкостью 6, 3 и 7 ведер. В
первом содержится 4 ведра кваса, в третьем содержится
6 ведер кваса. Пользуясь только этой тарой, разложить
квас поровну.
44. Как, имея пятилитровое и девятилитровое ведро,
набрать из крана ровно три литра воды?
45. Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50
литров и использует для этого кувшины только такого
размера. Один из покупателей захотел купить 10
18

литров. Как винодел отмерил 10 литров, пользуясь
своими кувшинами?
46. Имеются трѐхлитровая банка сока и две пустые
банки: одна – литровая, другая – двухлитровая. Как
разлить сок так, чтобы во всех трѐх банках было по
одному литру?
47. Есть 3 бидона емкостью 14, 9 и 5 литра. В большем
–14 литров молока, остальные пусты. Как с помощью
этих сосудов разлить 14 литров пополам за 14
операций?
Глава 5. Задачи на решение «от конца к началу»
К задачам этой группы относятся задачи, которые
решаются на основе зависимости между прямыми и
обратными
действиями.
Чтобы
определить
неизвестное, надо с конечным результатом выполнить
обратные операции в обратном порядке. Можно также
решить эти задачи, составив уравнение.
48. Я задумала число, умножила его на два, прибавила
три и получила 75. Какое число я задумала?
49.Средний возраст 11 игроков футбольной команды —
22 года. Во время матча один игрок получил травму и
ушѐл с поля. Средний возраст оставшихся игроков — 21
год. Сколько лет игроку, получившему травму?
50.Крестьянин пришел к царю и попросил: « Царь,
позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь
19

ему разрешил. Пошел крестьянин к саду, видит, сад
огорожен тройным забором. Каждый забор имеет
только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж.
Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: « Царь
разрешил мне взять одно яблоко из сада»« Возьми, но
при выходе должен будешь отдать мне половину яблок,
что возьмешь, и еще одно, « –поставил условие страж.
Это же повторили ему второй и третий, которые
охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять
крестьянин, чтобы после того, как отдать положенные
части трем стражам, у него осталось одно яблоко?
51.На 5 озер села стая гусей. На первое озеро села
половина стаи и еще полгуся, на второе – половина
оставшихся гусей и еще полгуся, на третье – половина
нового остатка и еще полгуся, на четвертое – половина
оставшихся после третьего озера и, конечно же, еще
полгуся, на пятое озеро села половина нового остатка и
последние полгуся. Сколько гусей летело в стае?
52. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству
яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок,
сколько каждый имеет. Затем второй мальчик дает двум
другим столько яблок, сколько каждый из них теперь
имеет, в свою очередь и третий дает каждому из двух
других столько, сколько есть у каждого в этот момент.
После этого у каждого из мальчиков, оказывается, по 8
яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика
вначале?

20

53. В ящике лежат лимоны. Сначала из него взяли
половину всех лимонов и еще половину лимона, затем
половину остатка и еще половину лимона, и, наконец,
половину нового остатка и опять половину лимона.
После этого в ящике остался 31 лимон. Сколько
лимонов было в ящике в начале?
54. Однажды черт предложил бездельнику заработать. «
как только ты перейдешь через мост, – сказал он,– твои
деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько
хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за
это 24 рубля» бездельник согласился и после третьего
перехода остался без денег. Сколько денег у него было
сначала?
55.В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли
половину всех яблок без пяти, а затем 1/3 оставшихся
яблок. После этого в пакете осталось 10 яблок. Сколько
яблок было в пакете?
56. На полке стоят тарелки. Сначала взяли третью часть
всех тарелок без двух, а потом 1/2 оставшихся тарелок.
После этого на полке осталось 9 тарелок. Сколько
тарелок было на полке?
57.Колхозница на рынке продавала яйца. Первая
покупательница купила у нее половину яиц и еще пол–
яйца, вторая — половину остатка и еще пол–яйца, а
третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла
колхозница на рынок?

21

58.Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7,
то получившееся число разделится на 7, если вычесть из
задуманного числа 8, то результат разделится на 8, а
если вычесть 9, то результат разделится на 9. Какое
число было задумано?

Глава 6. Задачи на головы и ноги
Задача. У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько
овец?
Решение.
Если все 36 животных–куры, то ног 2∙ 36 = 72.
Чем отличается овца от курицы? У овцы на две ноги
больше. Значит,заменяя курицу на овцу, мы
увеличиваем число ног на две и таких замен надо
произвести (100–72):2=14.
Ответ:14 овец.
59.На поляне ребята пасут жеребят. Ног всего 74, а
голов 22. Сколько на лугу ребят и сколько жеребят?
60.В мастерской отремонтировали 40 легковых
автомобилей и мотоциклов без колясок. Сколько
автомобилей и мотоциклов было отремонтировано в
отдельности, если колѐс всего было 100?
61.Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой
собаке досталось по 6 галет, а каждой кошке по 5 галет.
Сколько было собак и сколько кошек?
22

62. Вовочка собрал коробочку жуков и пауков – всего 8
штук. Если всего в коробке 54 ноги, сколько там
пауков? (у жука 6 ног, у паука – 8).
63.У утки есть две лапки. У утки подогнувшей одну
лапку, видна только одна лапка. У сидящей утки не
видно ни одной лапки. Когда Роман пришѐл на берег
озера, там было 33 утки. Он посчитал все лапки,
которые были видны. У него получилось 32 лапки.
Сколько было уток подогнувших одну лапку, если
сидящих уток было вдвое меньше количества одно- и
двуногих уток, взятых вместе.
Глава 7. Задачи на круги Эйлера
Множество – одно из основных понятий
математики. Его смысл выражается словами:
совокупность, собрание, класс,набор,команда и т.д.
Так, можно говорить о множестве всех учащихся 5–го
класса, о множестве всех натуральных чисел, о
множестве предметов на столе. Основатель теории
множеств немецкий математик Георг Кантор(1845–
1918) так определил множество – «многое, мыслимое
как единое, целое».
Часто множества изображают кругами, эти круги
обычно называют «кругами Эйлера» по имени великого
математика Леонарда Эйлера (1707–1783). За свою
жизнь Л. Эйлер написал более 850 научных работ. В
одной из них появились круги, которые «очень
23

подходят для
размышления».

того,

чтобы

облегчить

наши

Задача. Все мои подруги выращивают в своих квартирах
какие–нибудь растения. Шестеро из них разводят
кактусы, а пятеро — фиалки. И
только у двоих есть и кактусы и
фиалки. Угадайте, сколько у меня
подруг?
РЕШЕНИЕ:
Обратимся к кругам Эйлера:
Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В
одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом
— фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и
другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была
общая часть. В этой общей части ставим цифру 2, так
как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части
«кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4).
В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3
(5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что
всего у меня
4 + 2 + 3 = 9 подруг.
Задача. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди
них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и
вратари. Известно, что трое могут быть полузащитники и
защитниками, 10 защитниками и нападающих, 6
нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и
24

защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы.
Сколько в команде «Спартак» вратарей?
РЕШЕНИЕ:
18+11+17–3–10–6+1=28
игроков
или
9+1+5+3+5+2+3=28.
Но в команде всего 30
футболистов.
Значит,
вратарей будет 30–28=2.
Ответ: 2 вратаря.
64.Приехало сто туристов. Из них 10 человек не знали
ни немецкого языка, ни французского, 75 знали
немецкий и 83 — французский. Сколько туристов знали
французский и немецкий языки?
65. В нашем классе коллекционируют только марки, и
монеты.
Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5, а всего
коллекционеров 11. Объясните, как это может быть.
Сколько человек коллекционирует только марки?
66. В классе 35 учеников. 20 из них занимается в
математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10
ничем не занимается. Сколько ребят занимается и
математикой, и биологией?
67. На зимних каникулах из 36 учащихся класса только
двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15– в
театр, 17– в цирк. Кино и театр посетили 11человек,
25

кино и цирк–10, театр и цирк– 4. Сколько ребят
побывали и в кино, и в театре, и в цирке?
68. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное
путешествие, немецким языком владеют 30 человек,
английским – 28, французским – 42. Английским и
немецким одновременно владеют 8 человек, английским
и французским –10 , немецким и французским – 5,
всеми тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
69.В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей
классической музыки, 15 – джаза и 14 – народной
музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6
студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и
народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую
музыку, а
остальные не любят никакой музыки.
Сколько их?
70. В классе 36 учеников. Многие из них посещают
кружки: физический (14 человек), математический (18
человек), химический (10 человек). Кроме того,
известно, что 2 человека посещают все три кружка; из
тех, кто посещают два кружка, 8 человек занимаются в
математическом и физическом кружках, 5 – в
математическом и химическом, 3 – в физическом и
химическом. Сколько человек не посещают никаких
кружков?

26

71. В летнем лагере каждый из детей посещает, по
крайней мере, один кружок. 27 человек посещают
фотокружок; 32 – поют в хоре; 22 – занимаются
спортом. В фотокружке 10 ребят из хора и 8
спортсменов; в хоре 6 спортсменов; 3 спортсмена
посещают и фотокружок и хор. Сколько ребят заняты
только спортом?
72. В поход отправились учащиеся 5-х и 6-х классов.
Мальчиков было 16; шестиклассниц и шестиклассников
всего
24;
пятиклассниц
столько,
сколько
шестиклассников (мальчиков из 6 класса). Сколько
всего детей отправилось в поход?

Глава 8. Принцип Дирихле
При решении многих задач используется теорема –
принцип Дирихле. Принцип назван по имени его автора
– немецкого ученого Петера Густава Лежена Дирихле
(1805–1859).
Принцип Дирихле или принцип «ящиков» – это
положение, утверждающее, что если по N ящикам
разложить предметы, число которых больше N, то
найдется ящик, в котором находится больше одного
предмета.
Слова «ящики» и «предметы» следует понимать в
обобщенном смысле.
27

Наиболее распространена следующая формулировка
этого принципа: Если кролики рассажены в клетки,
причѐм число кроликов больше числа клеток, то хотя
бы в одной из клеток находится более одного кролика.
Например, если 4 кролика разместить в 3 клетках, то
найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее
2 кроликов. Доказательство простое. Действительно
допустим, что не существует клеток, где более одного
кролика. Тогда в 3 клетках окажется не более 3
кроликов, а их 4 – противоречие условию.
73. В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В
каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец
утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками
одного сорта. Не ошибся ли он?
74. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них
обязательно найдутся, по меньшей мере, двое, у
которых фамилии начинаются с одной и той же буквы.
75. В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя
бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же
день.
76. Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так,
чтобы количество шариков в разных кучках было
различным?
77. Занятия математического кружка проходят в девяти
аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19
учеников из одной и той же школы.
28

а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в
одной аудитории окажется не меньше трех таких
школьников.
б) Верно ли, что в какой–нибудь аудитории обязательно
окажется ровно три таких школьника?
78. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть
двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой
компании.
79. Верно ли, что в группе из 10 человек всегда
найдутся двое, родившиеся в один день недели?
80. Верно ли, что в классе из 25 человек всегда найдутся
трое, родившиеся в одном и том же месяце (не
обязательно в один год)?
81.В классе 30 человек. Андрей сделал в диктанте 13
ошибок, а остальные — меньше. Докажите, что, по
крайней мере, три ученика сделали равное количество
ошибок.
82. Машинистка, перепечатывая текст в 25 страниц,
сделала 102 ошибки. Докажите, что найдется страница,
на которой она сделала более 4–х ошибок.
83.10 школьников на олимпиаде решили 35 задач,
причем известно, что среди них есть школьники,
решившие ровно 1, 2, 3 задачи. Докажите, что есть
школьники, решившие не менее 5 задач.
84. В городе Санкт– Петербурге живет более 4
миллионов человек. Докажите, что у каких–то двух из
29

них одинаковое количество волос, если известно, что у
любого человека на голове не более миллиона волос.
85. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из
них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет.
Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
86.а) Докажите, что среди любых шести натуральных
чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
б) Доказать, что из любых трех натуральных чисел
можно найти два, сумма которых делится на 2.
87. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач,
причѐм известно, что среди них есть школьники,
решившие ровно одну задачу, решившие ровно 2 задачи
и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите,
что есть школьники, решившие не мение пяти задач
Глава 9. «Неправильные надписи»
88. На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из
них 2 черных шарика, в другом 1 черный и 1 белый
шарик, в третьем 2 белых шарика. На ящиках написано:
"2 белых", "2 черных", "черный и белый". При этом
известно, что ни одна из записей не соответствует
действительности. Как, вынув только один шарик,
определить правильное расположение надписей?
89. В трех мешках находится крупа, вермишель и сахар.
На одном написано "Крупа", на другом —
"Вермишель", на третьем — "Сахар или Крупа". В
каком мешке что находится, если содержимое каждого
не соответствует надписи?
30

90. Вчетырех ящиках лежит по одному шарику: белый,
черный, красный и зеленый. На первом надпись —
"белый", на втором — "зеленый или белый", на третьем
— "красный или зеленый", на четвертом — "черный,
или зеленый, или красный". Но ни одна надпись не
соответствует действительности. Какого цвета шарик
лежит в каждом ящике?
91.В три банки с надписями "малиновое", "клубничное"
и "малиновое или клубничное" налили смородиновое,
малиновое и клубничное варенье. Все надписи
оказались неправильными. Какое варенье налили в
банку "клубничное"?
92. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в
котором были перемешаны мак и просо, и велела
перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она
оставила три мешка: в одном было просо, в другом —
мак, а в третьем — еще не разобранная смесь. Чтобы не
перепутать мешки, Золушка к каждому из них
прикрепила по табличке: «Мак», «Просо» и «Смесь».
Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла
местами все таблички так, чтобы на каждом мешке
оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел
предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на
мешках не соответствует действительности.
Золушка
достала
только
одно–единственное
зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу
догадалась, где что лежит. Из какого мешка взяла
зернышко Золушка?
31

93.В темнице было две комнаты. На двери 1 комнаты
было написано: «В этой комнате находится принцесса.
Кроме того в одной из комнат сидит тигр». На двери 2
комнаты было написано: «В одной из комнат находится
принцесса, а в другой комнате сидит тигр».
Нужно узнать, кто сидит в каждой комнате, если на
одной двери написана правда, а на другой двери
написана ложь. Помните, что в каждой комнате может
сидеть по принцессе; может сидеть по тигру; может в
одной камере сидеть принцесса, а в другой сидеть тигр.
94.В темнице было две комнаты. На двери 1 комнаты
было написано: «Либо в этой комнате сидит тигр, либо
принцесса находится в другой комнате».На двери 2
комнаты было написано: «Принцесса в другой
комнате».
Нужно узнать, кто сидит в каждой комнате, если
утверждения на обеих табличках либо одновременно
истинны, либо одновременно ложны. Помните, что в
каждой комнате может сидеть по принцессе; может
сидеть по тигру; может в одной комнате сидеть
принцесса, а в другой сидеть тигр.
95. На каждой из трех дверей замка висят таблички с
надписями. На первой табличке написано: «Здесь
находится принцесса или тигр». На второй табличке
написано «Здесь находится тигр».
На третьей табличке написано «Эта комната пуста».
В одной из комнат действительно находится принцесса,
в другой — тигр, а третья комната пуста, но таблички на
32

дверях не соответствуют тому, что в них находится.
Определите, в какой из комнат находится принцесса.
Глава 10. Задачи на расстановку точек
96. Проведите прямую m, поставьте на ней точки A, B, C
и D. Сколько получилось отрезков?
97. Точки A, В и C лежат на одной прямой. Известно, что
AB=12 см, а AC=13 см. Какой может быть длина BC?
98. Точка C середина отрезка АВ, точка O– середина
отрезка AC. Найдите AC,CB,AO и OB если AB=20 см.
99. На прямой отмечены точки O,A и B, так что OA=12 см
и OB=9 см. Найдите расстояние между серединами
отрезков OA и OB, если точка O лежит на отрезке AB.
100. Даны три прямые. На каждой прямой – две точки.
Сколько всего точек?
101. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на
каждом отрезке было по 4 точки.
102. Поставьте 12 стульев в 3 ряда так, чтобы: а) в двух
рядах было по 4 стула, а в одном – 6; б) в каждом ряду
было по 5 стульев.
103. Разместите вдоль стен квадратной комнаты: а) 10
стульев так, чтобы у каждой стены стояло 3 стула; б) 12
стульев так, чтобы у каждой стены стояло 3 стула.
104. Разместите 7 стульев в квадратной комнате так,
чтобы у каждой стены их было поровну.
33

105. Расположите 6 точек на четырех отрезках так,
чтобы на каждом отрезке было 3 точки.
106. Нарисуйте 6 отрезков и отметьте 9
точек, чтобы на каждом отрезке было 3 точки.
107. Проведите через 4 данные точки
замкнутую ломаную, состоящую из трех
звеньев. (рис. 1)
108. Как 9 деревьев посадить в 10 рядов, чтобы в каждом
ряду было по 3 дерева?
Глава 11. Задачи на рукопожатия
109. В шахматном турнире участвовали 7 человек.
Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько
партий они сыграли?
110. Семь человек обменялись фотографиями. Сколько
при этом было роздано фотографий?
111. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17
команд. Каждая команда с каждой из остальных должна
сыграть два раза: один на своем поле, а другой на
чужом. Сколько матчей будет проведено в турнире?
112. На вечеринку пришло 13 пар. Каждый мужчина
пожал руку всем, кроме собственной жены. Женщины
не пожимали друг другу руки. Найдите, сколько всего
было рукопожатий.

34

113.Докажите, что за всю историю человечества было
чѐтное количество людей, сделавших нечѐтное
количество рукопожатий.
114. Начальник транспортного цеха пригласил
несколько человек на совещание. Каждый участник
совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем
присутствующим. Сколько человек участвовало в
совещании, если было всего 78 рукопожатий?
115.а) На прямой отметили 3 точки. Сколько
получилось отрезков? Реши задачу, если отметили 10
точек, n точек.
б)Сколько диагоналей имеет выпуклый n–угольник
(n>3).
116. На вечеринку пришло 13 пар. Каждый мужчина
пожал руку всем, кроме своей собственной жены. Но
женщины не пожимали руки друг другу. Чему равна
сумма цифр этого числа?

Глава 12.Задачи на спички
117. Положите на стол три спички, чтобы головки не
касались стола.
( Ставить спички шалашиком,
использовать край стола, свесив с него головки спичек
нельзя.)

35

118. Из спичек сложили
неверные равенства.
Переложите в каждом равенстве по одной спичке так,
чтобы равенства стали верными.
XII + IX = II

IV – V=I

X=VII –

VI –VI=XI

IV–

III
X+X=I
I+V=II

119. Из шести спичек составьте 4 треугольника со
сторонами, равнымидлине спички.
120. Положите 12 спичек так, чтобы получилось пять
квадратов.
121. На столе параллельно лежат три спички. Как
удалить среднюю из середины, не трогая еѐ?
122.Корова на лугу.
На рисунке вы видите корову, у
которой есть все, что полагается:
голова, туловище, ноги, рога и хвост.
Корова
на
рисунке
смотрит
влево. Переложите ровно две спички
так, чтобы она смотрела вправо.
123.На рисунке 16 спичек, 6
квадратов. Переложите две спички из
шестнадцати так, чтобы получилось
6 квадратов.

36

124. Четыре квадрата.
Переложите три спички из двенадцати так, чтобы
получилось
четыре
одинаковых
квадрата из трех.
125.Рыбка. Переставьте три спички
так, чтобы рыбка поплыла в другую
сторону.
126. Ползущийжук. Из спичек составлен
жук, ползущий в правую сторону.
Переставьте три спички таким образом,
чтобы жук пополз в противоположную
сторону.
127. И "бокал" (см. левый рисунок), и "рюмка" (см.
правый рисунок) составлены из
четырех спичек. Внутри каждого
"сосуда" — вишенка. Как нужно
переместить "бокал" и "рюмку",
переложив по две спички в каждом из
них, чтобы вишенки оказались снаружи?
128. Переместите две спички, чтобы получилось четыре
квадрата.

37

Глава 13. Задачи на складывание и разрезание
129. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на
2 равные части так, чтобы линия разреза шла по стонам
клеток. (Способы разрезания считаются различными,
если части квадрата, полученные при одном способе
разрезания, не равны частям, полученным при другом
способе.)
130.Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на
четыре равные части.

131. Разрежьте фигуру, изображенную на
рисунке, на две равные части по линиям
сетки, причем в каждой из частей должен
быть кружок.
38

132.
Разрежьте
фигуры,
изображенные на рисунке, на
четыре равные части по линиям
сетки, причем в каждой из частей
должен быть кружок.
133. Разрежьте данный квадрат по
сторонам клеток так, чтобы все части были
одинакового размера и формы и каждая,
содержала по одному кружку и звездочке.
134. Разрежьте данный квадрат по
сторонам клеток на четыре части, так
чтобы части были одинакового размера и
формы и каждая, содержала по три
закрашенных клетки.
135. Разрежьте фигуру на равные части.
Попробуйте разрезать данную фигуру по
границам клеток на две или на три
равные части.
136. Дан прямоугольник 3х4. Найдите пять способов
разрезания прямоугольника на две равные части так,
чтобы линия разреза шла по сторонам клетки.
137. Разрежьте квадрат 5×5 с дыркой на
две равные части двумя способами.
Способы разрезания квадрата на две
части будем считать различными, если
части квадрата, полученные при одном
способе разрезания, отличаются по
39

форме или размеру от частей, полученных при другом
способе.
138. Прямоугольник 4х9 разрежьте на две части так,
чтобы из них можно было сложить квадрат.
139. Разделите квадрат 4× 4 на четыре равные части
так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадрата.
Сколько различных способов разрезания вы найдете?
140. Имеется 2008 квадратов (размером 2см х 2см),
покрашенных в соответствии с образцом на нижнем
рисунке :

Чему равна площадь всех темнозеленых частей этих
квадратов?
Глава 14. Танграм
Если разрезать квадрат как показано на рисунке, то
получиться
знаменитая
китайская
головоломка
Танграм ( букв. «семь дощечек
мастерства») — головоломка,
состоящая из семи плоских фигур,
которые
складывают
определѐнным
образом
для
получения другой, более сложной,
фигуры (изображающей человека,
животное, предмет домашнего
40

обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую
необходимо получить, при этом обычно задаѐтся в
виде силуэта или внешнего контура.
При решении головоломки требуется соблюдать два
условия: первое — необходимо использовать все семь
фигур танграма, и второе — фигуры не должны
перекрываться между собой.
141. Из частей танграма
несложные фигуры:

составьте

следующие

Глава 15. Магический квадрат. Геометрические
задачи
Магический квадрат – таблицы чисел, в которых
суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в
каждой из двух диагоналей квадрата все равны между
собой.
41

Магические квадраты были известны ещѐ арабам, к
которым, вероятно, они перешли от индусов; затем они
сделались достоянием математиков восточной части
Римской империи и, наконец, появились в Западной
Европе, где методами получения магических квадратов
заинтересовались многие учѐные.
На гравюре «
Меланхолия» знаменитого художника Альбрехта
Дюрера (1514 год) можно увидеть на стене рядом с
чашечными весами, песочными часами и колоколом
магический квадрат 4х4.
Из всякого магического квадрата путѐм различных
перестановок составляющих его чисел можно получить
множество новых магических квадратов, обладающих
теми же свойствами.
142. В каждой из 9 клеток квадрата поставьте одно из
чисел 1,2,3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом
вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а
также по любой диагонали равнялась 6. Найдите все
расстановки.
143. В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставьте 9
чисел:1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма чисел, стоящих
в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном
ряду, а также по любой диагонали, были равны.
144. В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставьте 9
чисел: 1,3,5,7,9, 11,13,15 и 17 так, чтобы сумма чисел,
стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом
горизонтальном ряду, а также по любой диагонали,
были равны.
42

145.В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставьте
натуральные числа от1 до 16 так, чтобы сумма чисел,
стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом
горизонтальном ряду, а также по любой диагонали,
были равны.
146. Сколько на рисунке изображено
квадратов?

147.Сколько треугольников на рисунке?

148. Разделить подкову на 6 частей так,
чтобы в каждой было отверстие. Но при
этом сделать можно только 2 прямых
разреза.
149. В каждый из десяти кружков на рисунке требуется
вписать по одному числу из набора 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 (каждое число
можно использовать небольше одного
раза). При этом на каждом из шести
отрезков число, написанное в среднем
кружке, должно равняться сумме чисел, написанных в
43

крайних кружках.
понадобится?

Какое

из

данных

чисел

не

150.Сколько маленьких кубиков надо добавить к
фигуре, изображенной справа, чтобы получить фигуру,
изображенную слева?
151. Если из куба 3×3×3 вырезать угловой
кубик 1×1×1, то получится фигура, имеющая
9 граней (см. рисунок). Сколькограней будет
иметь
фигура,
которая
получится,
есливырезать все остальные угловые кубики?
Глава 16. Логические задачи
152. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней.
Засколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?
153. В сказочном озере плавает сказочная лилия. Эта
лилияза сутки вдвое увеличивает свои размеры и
полностью заполняет озеро за 137 суток. За какое время
заполнят озеро две сказочные лилии?
154. В тетради написано 100 утверждений:
«В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
В этой тетради ровно два ложных утверждения.
…
В этой тетради ровно сто ложных утверждений».
Какое из этих утверждений верное?
155. У Коли и Маши было поровну тетрадей. Коля из
своих тетрадей дал две Маше. На сколько больше
тетрадей стало у Маши, чем у Коли?
44

156. Бабушка жарит очень вкусные картофельные
лепешки, пользуясь специальной сковородкой. Эта
сковородка так мала,что одновременно на ней можно
выпекать не более двух лепешек. Каждую из лепешек
необходимо выпекать в течение одной минуты с каждой
стороны. Какое минимальное время потребуется
бабушке, чтобы приготовить:
а) две лепешки;
б) три лепешки.
157. На руку знатной дамы претендовали два рыцаря.
Чтобы выбрать самого достойного, дама предложила им
испытание: « Я выйду замуж за того из вас, чья лошадь
последней доскачет до соседнего замка», – сказала она
рыцарям. Вначале рыцари стояли на месте – никто не
хотел трогаться с места, но затем, посовещавшись,
некоторое время, рыцари вскочили на лошадей и во весь
опор помчались к замку. В тот же день капризной даме
пришлось отдать свою руку победителю. Каким
образом рыцари разрешили спор?
158. В пакете лежат конфеты двух сортов. Какое
наименьшее число конфет (не видя их) надо вытащить
из пакета, чтобы среди них были хотя бы:
а) две конфеты одного сорта;
б) три конфеты одного сорта?
159. В бочке 28 литров бензина. Имеется два ведра
емкостью по 7 л, в которые нужно налить по 6 л
бензина. Кроме того, есть черпак емкостью 4 л. Как
можно осуществить разлив?
45

160. Имеется 5 гномов. Им показали 3 красных и 4
синих капюшона. В темноте на них надели 3 красных и
2 синих капюшона. В темноте на них надели 3 красных
и 2 синих капюшона, а остальные спрятали. После этого
включили свет. Кто из гномов может определить цвет
надетого на него капюшона?
161. 100 синиц за 100дней съедают 100 кг зерна.
Сколько зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
162. Три купчихи –Сосипатра Титовна, Олимпиада
Карловна и ПолистенаУваровна – сели пить чай.
Олимпиада Карловна и Сосипатра Титовна выпили
вдвоѐм 11 чашек чая. ПолистенаУваровна и Олимпиада
Карловна – 15 чашек, а Сосипатра Титовна и
ПолистенаУваровна – 14 чашек. Сколько всего чашек
чая было выпито?
163. Книга в переплѐте стоит 2р 50коп. Книга на 2 рубля
дороже переплѐта. Сколько стоит переплѐт?
164. Тане не хватает 2р. для покупки 8 воздушных
шариков. Если она купит 5 шариков, то у неѐ останется
10р. Сколько стоит шарик?
165. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него
осталось бы 5р. А на 15 тетрадей у него не хватило 7р.
Сколько денег было у школьника?
166. Директор завода, рассматривая список телефонных
номеров и фамилий
своих сотрудников, заметил
определенную закономерность между буквами фамилий
46

и числами в номерах телефонов. Вот некоторые
фамилии и номера:
«Ачинский 8111
Бутенко 7216
Галич 5425
Лапина 6131»
Каков номер телефона у сотрудника Огнева?
167. В четырех классах школы учатся 60 человек.
Докажите, что хотя бы двое из них празднуют день
рождения в одну и ту же неделю.
168. В кабине лифта 20–этажного дома есть две кнопки.
При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13
этажей, а при нажатии на другую– опускается на 8
этажей. Как попасть с 13–го этажа на 8-й?
169. Иван-царевич добыл ключи от нескольких
комнат в подземелье, но не знал, какой ключ, от какой
комнаты. Сколько комнат в подземелье, если, как
подсчитал Иван-царевич, в худшем
случае,
ему
достаточно 20 проб, чтобы выяснить, какой ключ от
какой комнаты.
170. Один джентльмен, показывая своему другу
портрет, нарисованный по его заказу одним
художником, сказал: "У меня нет ни сестер, ни братьев,
но отец этого человека был сыном моего отца".Кто был
изображен на портрете?
171. В пруду плавают 30 голодных щук. Есть больше
нечего, и им приходится пожирать друг друга. Щука
47

считается сытой, если она съела не менее трѐх щук
(сытых или голодных — неважно). Какое наибольшее
число щук может насытиться?
172. Сколько было брѐвен, если 52 распилами получили
72 полена?
173. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала
первый проиграл половину своих монет и отдал
второму, потом второй проиграл половину всех своих
монет, потом снова первый проиграл половину своих. В
результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33.
Сколько монет было у первого пирата до игры?
174.Эрудит заплатил за бутылку с пробкой 11 рублей.
Бутылка стоит на 10 рублей больше, чем пробка.
Сколько стоит пробка?
175.При издании книги потребовалось 2 775 цифр того,
чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в
книге?
176. Винни–Пух, Сова и Пятачок делят между собой
воздушные шарики. Сначала Пух дал каждому из двух
других по одной четверти имевшихся у него (у Пуха)
шариков и еще полшарика. Затем Сова дала каждому из
двух других по одной четвертой оказавшихся у нее
шариков и еще полшарика. Затем это сделал Пятачок. В
результате у каждогооказалось по 30 шариков. Сколько
шариков было у каждого из них первоначально?
177. Ученик выполняет тестовое задание из 20 задач. За
каждый правильный ответ ему ставят 8 баллов, за
48

каждый неправильный ответ штрафуют на 5 баллов,
если ответа на задачу нет, он получает за неѐ 0 баллов.
В результате ученик получил 13 баллов. Сколько задач
он решил правильно?
178. В некотором месяце понедельников больше, чем
вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой
день недели был пятого числа этого месяца?
179.1.В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой
табуретки 3 ножки, у каждого стула 4 ножки. Когда
на всех стульях и табуретках сидят люди, то в
комнате всего 39 «ног». Сколько стульев и табуреток
в комнате?
ОТВЕТЫ:
1. а) 7,8; б) 5,4; в) 30, 35; г) 27,31; д) 13,16;2. число 25; 3.
Первое число 0 или второе 1; 4. 56+984=1040; 6750–
3894=2856;
13·52=676;
5.
1+1999=2000;6.б)6823+6823=13646;
в)
8653+8653=17306; 7. числа 431 и 43; 12.Таня; 17.
6+5+4=15;
18. 5·3=15;19. 8; 20. 28; 21. 9;
22. 100;
23.
8·7·6·5·4=6720;
24. 8000000; 25. 10000; 26. 5·1·5·1·5·1;27. 870; 28.
33∙ 32 ∙ 32 ∙ 32=1081344; 29. 24; 30. 24; 31. 9!; 32. 4!
33. а) 3; б) 5; 34. 21 перчатка; 35. 38; 36. А) 4; б) 11;
38.а) В худшем случае, выбирая не глядя карточки с
числами от 10 до 99 включительно, мы сначала будем
49

иметь только нечетные числа – их 45, и поэтому 46–е
число будет обязательно четным.Ответ: 46 карточек.
39. 37;
43.
Ответ: Бочка 6л: 4 1 1 6 5 5
Бочка 3л: 0 3 2 2 3 0
Бочка 7л: 6 6 7 2 2 5
48. (75–3):2=36;49.32года; 50. 22 яблока; 51. 31 гусь; 52.
13 яблок; 7 яблок, 4 яблока; 54. У лодыря было
((24:2+24):2+24):2=21к; 55. 20 яблок; 56. 24 тарелки;
57. 43 яйца;58.504;59. 15 жеребят и 7 ребят; 60. 10
автомобилей и 30 мотоциклов; 61. 6 собак и 4
кошки;.63.12; 64. 68;65. 6человек; 66. 6 человек; 68. 20
человек; 71. 11 человек; 72. 40 человек;
73. Так как сортов 3, а ящиков 25, то хотя бы одного
сорта
имеем
не
менее
9
ящиков:
8·3+1=25.Следовательно, продавец ошибся.
74. В русском алфавите 33 буквы, а учеников больше–
34. Здесь буквы играют роль ящиков, а ученики – роль
предметов, раскладываемых по ящикам. Поскольку
предметов больше, чем ящиков, то по принципу
Дирихле найдется ящик, в котором находится больше
одного предмета, т.е. найдутся по меньшей мере два
ученика, у которых фамилии начинаются с одной и той
же буквы.
84. Если предположить, что у всех людей разное
количество волос от 0 до 1000000, то число таких людей
1000001, а по условию их более 4000000;
50

88. Вытаскиваем шарик из коробки с надписью "белый
и черный»;
89. "Крупа" — сахар, "Вермишель" — крупа,"Сахар или
Крупа" — вермишель.
90. В первом — зеленый, во втором — красный, в
третьем — черный, в четвертом — белый.
96. 6 отрезков; 97.1 см или 25 см; 100. 3,4,5 или 6 точек.
109. 21 партия; 110. 42 фотографии; 111. 272; 114.
13человек;
n∙ n−1
115. 3;4;5 и
отрезков; 116. 15; 123. три
2
способа;140.2007;
141.

143.

145.

152. за 5 дней; 153. за 136 дней; 154. 99 утверждение;
155. на 4тетради; 156. а) 2 мин. б) 3мин; 157.
Поменялись лошадьми; 158.3 конфеты; 5 конфет; 161. 1
кг; 163. 25 коп; 164. 4руб; 169. 7 комнат; 170. сын этого
51

джентльмена; 171. 9; 173. 24 монеты; 174. пробка стоит
50 копеек, а бутылка 10 рублей и 50 копеек; 175. Ответ:
961; 177. решать с конца; у Винни–Пуха вначале было
14 шариков, у Совы – 26, а у Пятачка – 50. 177. за 6
дней; 178. четверг.
ЛИТЕРАТУРА
1) Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.. Математика.
Районные олимпиады. – М.: Просвещение, 2010;
2) Бабинская
И.Л.,
Задачи
олимпиад. – М.: Наука, 1975г.

математических

3) Башмаков M. И.. Математика
«Кенгуру».– М.: Дрофа, 2011;

в

кармане

4) Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н. 3000
конкурсных задач по математике.– М.: Айрис–пресс,
2004г.
5) Козлова Е. Г.. Сказки и подсказки. Задачи для
математического кружка.– М.: МЦНМО, 2010;
6) Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К..
Задачи на смекалку.– М.: Дрофа, 2005;
7) Смирнова И.М., Смирнов В.А.. Геометрия.
Нестандартные и исследовательские задачи. Учебное
пособие 7–11.– М.: Мнемозина, 2004;
8) СпивакА. В.. Тысяча и одна
математике.– М.: Просвещение, 2005;
52

задача

по

9) Фарков А.В.. Готовимся к олимпиадам по
математике. Учебно–методическое пособие. – М.:
Экзамен, 2006;
10) Фарков А.В.. Учимся решать олимпиадные
задачи. Геометрия 5–11кл. – М.: Айрис–пресс, 2007.
11) Шевкин
А.В.,
Школьная
олимпиада
математике.– М.: Русское слово, 2002г.

53

по