Геометрические знания составили основу всей
точной науки, а самобытность геометрии
Лобачевского — зарю самостоятельного развития наук в
России. Посев научный взойдет для жатвы народной.
Д. И. Менделеев.
гъ /g^^y^^^c^^52^

ГЕОМЕТРИЯ
Лобямевспого
И РАЗВИТИЕ ЕЕ ИДЕЙ
Sib(p общей редакцией
В.Ф. КАГАЙА
И
Уосу царственное издательство
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
jHockffa, -Леи и нгр а£
\<$5о

АП. КОТЕЛЬНИ КОВ
В.А.ФОК
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ИДЕЙ
ЛОБАЧЕВСКОГО
В МЕХАНИКЕ
И ФИЗИКЕ
У6суцо.рст<?енное иуц<хтельст6о
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
JHock&c* -Леи и игр <*с
jg5o

11-5-4
Редактор Я. Н. Бронштейн. Техн. редактор С. Н. Ахламов.
Подписано к печати 26/V 1950 г. Бумага 84x108/32. 1,375 бум. л. 4,51 печ. л.
4,59 уч.-изд. л. 40 853 тип. зн. в печ. л. Т-00292. Тираж 4 000 экз.
Цена книги 2 руб. 75 коп. Переплет 50 коп. Заказ № 1454.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящий второй выпуск серии «Геометрия Лобачевского
и развитие ее идей» содержит две статьи, посвященные
применению неевклидовой геометрии в механике и физике. Обе
статьи были написаны еще до второй мировой войны (они
должны были, по первоначальному замыслу, сопровождать
сочинения Лобачевского); несмотря на это, они сохранили
интерес и актуальность до сих пор.
Первая статья ныне покойного профессора А. П. Котель-
никова содержит изложение основ механики неевклидова
пространства. Математический аппарат, при помощи которого
строятся основы механики евклидова пространства, опирается
на теорию векторов; для установления тех же начал механики
в неевклидовом пространстве потребовалась специальная
векторная алгебра, которая и была разработана А. П. Ко-
тельниковым в его труде «Проективная теория векторов»
в 1899 году. Чрезвычайно интересно, что ход развития этой
теории привел к идеям, оказавшимся плодотворными для
геометрии не только неевклидова, но и евклидова пространства.
Эти идеи отчетливо выяснены в статье А. П. Котельникова.
Вторая статья, принадлежащая академику В. А. Фоку,
очень интересна в том отношении, что она выявляет, к£к
разнообразны вопросы современной физики, в которых
находит применения геометрия Лобачевского; более того, в этой
статье освещаются те стороны физической реальности, для
которых геометрия Евклида является недостаточной.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
(НАЧАЛА МЕХАНИКИ В НЕЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ)
А. П. Котельников
§ 1
Первые работы Де-Тиллир] и А. Дженноки [2],
относящиеся к механике в пространстве Лобачевского, были вызваны
желанием исследовать вопрос, не находится ли геометрия
Лобачевского в противоречии с принципами механики. Хотя
с первых же шагов в этих исследованиях мы встречаем ряд
парадоксальных теорем, однако эти парадоксы такого же
характера, как и те, с которыми нам приходится иметь дело
в неевклидовой геометрии, как, например, теорема о
невозможности в пространстве Лобачевского построить
треугольник, площадь которого превосходила бы сколько угодно
большую наперед заданную величину. В них нет логического
противоречия, и, таким образом, изучение движения и
равновесия тел в неевклидовых пространствах *) приводит нас
к тому убеждению, что принципы механики совместны с
неевклидовой геометрией и что мы с полным правом можем
говорить о механике в неевклидовых пространствах.
Вместе с тем уже первые попытки изучить статику и
кинематику твердого тела в пространстве Лобачевского, сделанные
*) См. работы Шеринга PJ, [*], Де-Тиллир], Клиффорда Г6], [7],
[8], [•], Болла [10Ь I11], Хиса N, Н. Е. Жуковского* [Щ, Киллинга [Щ,
Бухгейма [»], Андрада [">], ["]. рт].

8
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
Де-Тилли, Дженноки, Линдеманом, Андрадом и др., привели
к тому результату, что аналогия между статикой и
кинематикой твердого тела, обнаруженная для евклидова
пространства Пуансо в его классическом мемуаре «Theorie nouvelle
de la rotation des corps» должна существовать и в механике
неевклидовых пространств. Поэтому вполне естественно,
что математическая обработка этих двух отраслей механики
потребовала нового построения теории векторов.
Исторический ход развития этой теории привел к двум
новым идеям, оказавшимся плодотворными для геометрии не
только неевклидова, но и евклидова пространства.
До конца XIX столетия в теории векторов, т. е. в тех
геометрических теориях, в которых нам приходится иметь
дело с величинами, связанными с направлением или
положением прямой линии, вектор всегда изображался
прямолинейным отрезком или, иначе говоря, совокупностью двух точек:
начала и конца вектора. Но принцип двойственности
распространяется для неевклидовых пространств не только на
проективные, но и на метрические свойства; это внушает мысль о
необходимости наряду с фигурой, образованной двумя точками,
рассматривать как элемент теории векторов фигуру,
образованную двумя плоскостями (точкой и плоскостью), а
затем и фигуру, образованную двумя прямыми линиями. Такова
первая новая идея, возникшая на почве неевклидовой
геометрии.
Другая важная идея заключается в том, чтобы ввести
в теорию комплексные числа с двумя единицами и некоторые
их элементарные функции. Эти числа дают возможность
установить соответствие между простыми геометрическими
фигурами и более сложными и пользоваться первыми для
изучения свойств последних. Введение чисел с двумя
единицами приводит, таким образом, к особого рода приему,
позволяющему переносить свойства одних фигур на другие,
к особого рода принципу перенесения.
§2
Исходным пунктом в развитии этих идей служит задача
о сложении двух векторов Р и Q, имеющих общее начало.
Закон сложения векторов (сил, скоростей) в евклидовом

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
9
пространстве выражается в двух различных формах — в
геометрической, в каковом случае он называется законом параллело-
грама, и в аналитической — совокупностью равенств:
р = Q = * (i>
sin (Q, R) sin (R, P) sin (P,Q)> y r
где Py Q, R—длины составляющих векторов Я и Q и их
суммы /?, a (Q, /?), (/?, Я) и (Я, Q)—углы между ними
(рис. 1).
Каков закон сложения векторов в неевклидовом
пространстве? Можно ли его, как и в евклидовом пространстве*
представить в двух
различных формах? Вот
вопросы, которые прежде
всего встают перед нами, когда
мы пытаемся изучить
механику неевклидовых
пространств.
Если мы будем
рассматривать в неевклидовом
пространстве бесконечно малые
векторы, например
бесконечно малые перемещения, Р
то мы можем без всякого Рис. 1.
изменения применять к ним
и закон параллелограма и формулы (1), ибо геометрия
бесконечно малой области неевклидова пространства совпадает
с геометрией Евклида.
Для сложения конечных векторов мы не можем
воспользоваться законом параллелограма, ибо параллелограмов
конечных размеров в неевклидовом пространстве не существует.
Иначе дело обстоит с формулами (1). Так как они
однородны по отношению к длинам векторов Я, Q, R, то ясно,
что они останутся справедливыми и для таких конечных
векторов, которые получаются из бесконечно малых путем
их пропорционального изменения, каковы, например, скорости,,
которые получаются из бесконечно малых перемещений
делением их на бесконечно малый промежуток времени. Отсюда
следует, что формулы (1) не заключают внутреннего
противоречия, и ничто не мешает нам применить закон сложения

10
А* П. КОТЕЛЬНИКОВ
векторов в его аналитической форме и к конечным векторам
и в неевклидовых пространствах.
Поэтому, желая иметь закон сложения векторов в
аналитической форме, мы можем поступать двумя способами. Мы
можем принять предыдущие формулы за определение
операции сложения, и из них вывести ее свойства, или мы можем
итти обратным путем: допустив некоторые свойства операции
сложения, при помощи их получить формулы (1). Этот
второй путь избирают в своих работах Тилли, Дженокки
и Андрад.
Избрав этот последний путь, мы можем для вывода
аналитической формы операции сложения воспользоваться
доказательством закона параллелограма в евклидовом
пространстве, данным Д. Бернулли [19J, Давье-де-Фонсене I20]
и усовершенствованным Даламбером Iм], I22].
Допустим, что операция сложения векторов обладает
следующими свойствами.
1. Операция сложения коммутативна и ассоциативна.
2. Геометрическая сумма векторов обращается в
алгебраическую, когда векторы лежат на одной и той же прямой.
3. Сумма R двух равных векторов Я, наклоненных один
к другому под углом 2jc, идет по биссектрисе угла между
составляющими, и длина ее равняется
R = 2Pf{x),
где f(x)— неизвестная пока функция (непрерывная для
Облекая рассуждения Д. Бернулли и Даламбера в
аналитическую форму, нетрудно показать, что формулы (1) и в
неевклидовом пространстве дают нам геометрическую сумму
двух векторов, если они верны для двух равных векторов Р
и Q, имеющих одинаковую длину (Ps=Q) и наклоненных
друг к другу под углом 2х. В этом последнем случае
формулы сложения принимают вид:
R = 2Pcosx; (Я, P) = (Q, Я) = х.
Чтобы убедиться в их справедливости, проведем через
точку О в одной и той же плоскости по порядку прямые

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И
линии ОС, ОБ, О А, ОА', ОВ', ОС (рис. 2) таким образом,
чтобы
£ СОВ = £ BOA = / А'ОВ' = / В'ОС'=у,
1ВОВ' = 2х,
и предположим, что по линиям ОС, ОА, ОА' и ОС
расположены векторы ОС, О А, О А', ОС' равной длины Р. Их
сумму мы можем
построить двумя
способами.
1) Складывая
векторы ОА с ОС и Ш!
с ОС, мы получим два
вектора ОВ и ОВ'
равной длины 2Р/ (у),
идущих по линиям 03
и О В' (допущение 3);
эти векторы
складываются в один вектор
OD длины 4Pf(y)f(x)
по направлению
линии OD, делящей пополам углы АОА', BOB' и СОС.
2) Складывая векторы ОС с ОС и ОА с ОА', мы
получаем два вектора 2Pf(x-{-y) и 2Pf(x—у),
лежащих на линии OD и слагающихся в один 2Рf(x-\-у)-\-
Итак
2Я/ (* +у) + 2/>/ (*—.у) = АР f (у) f{x),
откуда
/(*+Л+/(*—Л-2/(*)/(У>. (2)
Мы приходим, таким образом, к известному
функциональному уравнению, полученному впервые Даламбером. Это
уравнение, как показал Даламбер, имеет решение:
f(x) =cos/wc,

12
л. п. котельников
^T^iTJ
где. k — произвольная постоянная. Она должна быть равна
единице, ибо/(*)>-0, а при * = •£- мы должны получить
R = 2Pf (х) = 2Р cos k j s 0 (допущение 2).
§3
Подобными же рассуждениями мы можем определить также
сумму двух равных векторов, лежащих в одной плоскости
на непересекающихся прямых; стоит только допущение 3
заменить аналогичным допущением:
4. Сумма R двух векторов равной длины Р, лежащих
в одной и той же плоскости, перпендикулярных к прямой
, АА\ соединяющей их
^<С~~л^У^^ы ~"*х*С ^Г начала> и направленных
J ^ У ~j в одну и ту же сторону,
проходит через середину
отрезка AAf — 2х,
перпендикулярна к АА\
лежит в одной плоскости
со слагаемыми векторами
и равна 2Р/(дг), где
1 f(x) — неизвестная пока
рис# з. функция (непрерывная
при # >-()).
Возьмем на прямой по порядку шесть точек С, В, Л,
Л', В\ С так (рис. 3), чтобы
СВ = В А = А'В' = В'С = у,
ВВ' = 2*,
проведем в одной и той же плоскости через точки С, Л,
А\ С четыре прямые, перпендикулярные к прямой СС\ и
возьмем на них четыре вектора равной длины Р. Складывая
их в один двумя различными способами, как и в
предыдущем случае, мы снова получим для определения / (л:)
уравнение Даламбера (2). Таким образом, геометрическая сумма
двух векторов длины Р будет в этом случае:
R = 2P cos kx,
где 2х есть расстояние между их началами.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 13
Какое значение мы должны теперь взять для
произвольной постоянной k? Сделанные выше допущения не дают
возможности определить ее так просто, как в случае векторов,
имеющих общее начало. Для определения k Дженокки
сравнил выражение 2Р cos fox с тем результатом, который мы
получим, если векторы равной длины Р будем складывать
способом, употребляющимся в статике евклидова пространства
дл* сложения
параллельных сил. При этом С
мы должны, конечно, Л
сделать еще одно
допущение:
б. Сумма двух
векторов не изменяется,
если один из них
перенести вдоль прямой,
на которой он лежит.
Еозьмем два
вектора Р и Р' (рис. 4),
имеющих равную
длину Р,
перпендикулярных к прямой,
соединяющей их начала А,
А' и направленных в
одну и ту же сторону,
и два других вектора Q, Q', имеющих равную длину Q,
лежащих на прямой А А' и направленных в стороны
противоположные. Два последних взаимно уничтожаются, и сумма
всех четырех векторов будет такова же, как и сумма двух
векторов Р и Р'. Пусть R есть сумма векторов Ри Q,
/?' есть сумма векторов Р' и Q'. Обозначим
д
1
^ j
-—а._~>
1* (°\
й'
Рис. 4.
по формулам (1) мы имеем:
/? = /?' =
sin a
Q
COS а'
ибо l_ PAQ = £ P'A'Q' = ~. Вследствие симметрии, прямые,

14
А* П. КОТЕЛЬНИКОВ
на которых лежат векторы /У и /?', пересекутся в точке Су
лежащей на перпендикуляре С В в середине отрезка АА', и,
следовательно, линия СВ будет биссектрисой угла АСА* = 2р.
Поэтому сумма векторов Ли/?' (допущения 5 и 3) будет
равна:
2/?cos8 = 2P-^.
r sin a
Это будет вместе с тем и сумма векторов Р и Р*, и,
сравнивая этот результат с предыдущими, мы получаем:
2PcosA* = 2P-^-,
sin a '
откуда
cos kx sin a s=t cos p, (3)
где AAf = 2лг.
Равенство (3) представляет собою соотношение между
катетом и углами прямоугольного треугольника ABC. Смотря
по тому, будет ли k равно нулю, действительному или чисто
мнимому числу (модуль к зависит, очевидно, от выбранной
единицы длины), из равенства (3) мы будем иметь:
cos kx = 1 и cos р = sin (~ — p J = sin а; (За)
cos kx < 1 sin (~ — p J < sin a; (3b)
cos kx > 1 sin (%г — p J > sin a. (3c)
В первом случае сумма углов треугольника ABC будет
= тс, во втором > ти и в третьем < я.
«Вот каким образом, — говорит А. Дженокки,— три
геометрии— евклидова или параболическая, неевклидова
гиперболическая и неевклидова эллиптическая вытекают из одной
и той же формулы, к которой приводят нас вопросы,
изучаемые в мемуаре Д. де-Фонсене».
Независимость формул (1) от постулата Евклида и
возможность применять их в механике неевклидова пространства
объясняют то обстоятельство, что авторы первых работ поль-

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 15
зовались законом сложения векторов в его аналитической
форме. Эта форма определяет собой и метод, положенный
в основу упомянутых работ: в них преобладающее значение
имеют метрические соотношения и метрическая геометрия.
Вскоре после того как исследованиями Кэли и Клейна
было выяснено, какое важное значение имеет проективная
геометрия для неевклидовой, естественна явилась мысль
воспользоваться ею при изучении механики в неевклидовых
пространствах. Первая работа, в которой проективная
геометрия применяется к теории вектордв, принадлежит Ф. Лин-
деману [23]. В этом мемуаре Линдеман весьма подробно
изучает бесконечно малое движение неизменяемой системы и-
метрические величины, с ним связанные, рассматривая
движение как коллинеарное преобразование, не изменяющее
абсолюта. Мы находим здесь классификацию различных движений,
основанную на числе прямолинейных образующих абсолюта*
которые не изменяют своего положения при движении. Одно
из этих движений (его Линдеман обозначает символом [сю, 2]),.
при котором все образующие одной системы и две
образующие другой остаются неподвижными, отличается от
других необыкновенной простотой: все точки тела проходят
равные расстояния и движутся по прямым линиям, причем каждая
из этих линий служит в одно и то же время и осью
поступательного движения и осью вращения тела. В. К. Клиффорд,
мемуар которого [6] появился одновременно с мемуаром Лин-
демана, обратил на это движение особенное внимание, как
на движение, самое элементарное, аналогичное с
поступательным и прямолинейным движением в евклидовом пространстве.
Прямые линии, по которым движутся все точки тела, он
назвал параллельными. Смотря по тому, принадлежат ли две
прямолинейные образующие абсолюта, которые при
движении [сю, 2] остаются неподвижными, к той или другой системе
образующих абсолюта, все точки тела движутся по право-
или лево-параллельным прямым. Назовем такое движение для
краткости правым или левым винтом. Его можно задать
прямолинейным отрезком, лежащим на любой из параллельных*
по которым происходит движение.

16
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
В своем мечуаре Ф. Линдеман подробно останавливается
на выводе основных метрических формул теории векторов:
для комомента *) и момента вектора относительно оси. Выво*
дом этих формул занимались впоследствии Болл [10], Кокс [24],
Хис [12], Бухгейм [15], Кэли l25J. Первый из них пользовался
правым и левым винтом Клиффорда, остальные упрощали
задачу, выбирая координатный тетраэдр таким образом, чтобы
уравнение абсолюта содержало только квадраты координат.
В основание исследований Линдемана положена связь между
бесконечно малым перемещением неизменяемой системы и
линейным комплексом. Абсолютные координаты этого
последнего служат вместе с тем и координатами соответствующего
ему перемещения. Замечая, что при сложении перемещений
складываются их координаты, Линдеман получает закон
сложения поступательных и вращательных перемещений, оси
которых проходят через одну и ту же точку, в аналитической
форме (1).
§5
Вопрос о геометрической форме операции сложения
векторов в неевклидовом пространстве был поставлен и решен
в первый раз в моей работе «Проективная теория векторов» [26].
В основание ее положен закон сложения векторов в форме
правила четырехугольника. Одновременно появилась работа
Штуди [27]. Хотя эта последняя относится к геометрии
евклидова пространства, но, как замечает Штуди, он пришел к
результатам, изложенным в ней «окольным путем через
неевклидову геометрию». Эта фраза, весь характер работы и то
обстоятельство, что в ней мы находим правило сложения
векторов на поверхности сферы, представляющее частный случай
правила четырехугольника, позволяют думать что Штуди, найдя
геометрическую форму сложения векторов, получил
изложенные в его работе результаты как следствие этого закона.
Вопрос о том, как следует видоизменить закон параллело-
грама для неевклидова пространства, — вопрос
неопределенный: можно дать различные обобщения этого закона, но
наиболее простое заключается в следующем:
*) Термин «комомент» принадлежит Кэли, Линдеман называет
его «момент сдвига» («Verschiebungsmoment»).

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 17
I. Назовем вектором ох совокупность двух точек: на*
чала о и конца х\ лучом вектора — ориентированную пря-.
мую> проходящую через начало и конец.
II. Правило четырехугольника (рис. 5). Для
того чтобы сложить два вектора ох и оу, имеющих общее
начало о, строим плоскость
О, полярную с началом по
отношению к абсолюту, и
продолжаем лучи ох и оу до
пересечения с плоскостью О
соответственно в точках а
и д. Прямые ау и Ьх Пересе-^
кутся в точке z, вектор oz
и будет геометрической
суммой векторов ох и оу:
ох -\- оу = oz.
В евклидовом простран- Рис. 5.
стве плоскость О представляет
бесконечно удаленную плоскость этого пространства,
четырехугольник охгу становится параллелограмом, и правило
четырехугольника обращается в закон параллелограма.
В связи с вектором мы рассматриваем две величины: длину
вектора
i = \ox\
и тензор вектора
где k — величина, действительная для пространства
эллиптического, чисто мнимая — для гиперболического и «равная
нулю» — для параболического. Модуль числа k, когда оно
не равно нулю, зависит от единицы длины, которую всегда
можно выбрать так, что k = lf i, О, смотря по тому, будет
ли пространство Римана (в узком смысле), Лобачевского
или Евклида. Очевидно, что для евклидова пространства
тензор вектора равен его длине.
Покажем, что правило четырехугольника аналитически
выражается теми же формулами (1), если в них под Р% Q,
R мы будем подразумевать не длины векторов ох, оу и oz,
tQ
Г

18
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
а их тензоры:
P = itg(b\™\)> Q-|tg(A|^|), /?«-g-tg(*|w|),
или какие-нибудь величины, им пропорциональные.
С этой целью применим правило четырехугольника
к сложению двух векторов в двумерном римановом
пространстве: к сложению векторов на поверхности сферы,
находящейся в евклидовом пространстве.
На поверхности сферы (рис. 6) векторы ох и оу суть
дуги больших кругов. Строим большой круг О, полюсом
которому служит общее начало векторов — точка о;
плоскость круга О будет перпендикулярна к радиусу Со.
Продолжаем дуги ох и оу до пересечения с окружностью О
в точках а и Ь и находим точку z пересечения дуг ау и
Ьх. Вектор ог = ох + оу.
Спроектируем теперь сферический четырехугольник oxzy
из центра С на плоскость, касательную к сфере в точке о.
Так как плоскости Coyb и Cxzb пересекаются по линии СЬ,
параллельной с касательной плоскостью, то стороны oQ и
PR, проекции сторон оу и xz, будут параллельны. Также
будут параллельны и стороны оР и QR} и четырехугольник

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
19
oPRQ будет параллелограмом, стороны и диагональ
которого *)
P = i-tg^ = |tg(Al^|),
Q=4tg® = }tg(*|^|),
R = ~ig^ci^^ig(k\Vz\)
(где -j- — радиус сферы) будут связаны между собой
соотношением
р в Q = *■ (1)
sin (Q, R) sin (Я, R) sin (Л (?) ' у '
или
tgoC* _ tgoCy _ XgoCz .,
sin «?, R) sin (/>, #) ~ sin (/>, (?) * * >
Итак, правило четырехугольника и формулы (1)
выражают в различных формах один и тот же закон сложения
векторов.
Нужно, однако, иметь в виду следующее обстоятельство.
Если мы хотим в теории векторов пользоваться правилом
четырехугольника, то величины, связанные с прямой
линией (силу, скорость), мы должны изображать векторами
таким образом, чтобы не длина векторов, а тензор его был
пропорционален данной величине.
§ е
По принципу двойственности, вектору ох, состоящему из
двух точек она:, соответствует фигура, образованная двумя
плоскостями (рис. 7).
III. Назовем ротором ОХ совокупность двух плоско-
стей: начальной О и конечной X, осью ротора — линию
их пересечения **).
*) Обозначаем через Я, <?, R — векторы оР, oQy oR, через
Р> Q, R — длины этих векторов.
**) Такую совокупность Штуди называет «клином» («Keil»).

20
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
Построим теперь фигуру, соответствующую по принципу
двойственности фигуре, изображенной на рис. 5 (стр. 17).
Эта последняя представляет собой четырехсторонник оха,
oyb, агу, bzx с шестью вершинами о, х, у, z, a, b%
лежащими на одной плоскости, и. плоскость О, полярную
вершине. Ей
соответствует (рис. 8) четырех-
реберник ОХА9 OYB,
AZY, BZX>
образованный шестью
плоскостями О, X, Y,
Z, Л, В, проходящими
Рис. 7.
Рис. 8.
через одну и ту же точку, и точка о — полюс плоскости О.
Так как на рис. 5 oz = ox-\-oy, то на соответствующем
ему рис. 8 мы должны считать ротор OZ равным сумме
роторов ОХ и О К.
Замечая, что плоскости А и В, проходя через полюс
плоскости О, будут перпендикулярны к плоскости О, мы
приходим к следующему правилу четырехгранника.
IV, Правило четырехгранника. Чтобы сложить
два ротора ОХ и О К, имеющих общую начальную
плоскость О, строим полюс о плоскости О, через о и оси

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 21
ОХ и OY проводим плоскости А и В {плоскости А и В
перпендикулярны к плоскости О) и определяем линии AY
и ВХ пересечения их с плоскостями X и Y. Эти линии
лежат в одной плоскости Z; ротор 0Z и будет
геометрической суммой роторов ОХ и OY:
OZ=OX + OY.
В связи с ротором мы можем рассматривать также две
величины: угол ротора ОХ и тензор ротора *):
P=tgOX
Если через Р, Q, R мы обозначим тензоры роторов ОХу
OY и их геометрической суммы OZt т. е. положим
P=tgO>, Q = tgO?, R = igOZ,
то из сказанного выше на основании принципа двойственности
мы получим для Р, Q, R те же формулы (1).
Таким образом, правило четырехгранника также
эквивалентно формулам (1) и в геометрической форме представляет
закон сложения. Для изображения какой-нибудь величины,^
связанной с прямой линией, мы можем, следовательно,
пользоваться ротором, подбирая его так, чтобы данная величина
равнялась не углу, а тензору ротора.
Рис. 8 мы могли бы получить, строя фигуру, полярную
фигуре, изображенной на рис. 5, по отношению к абсолюту.
Если же у вектора ох мы заменим только начальную
точку полярной с ней плоскостью О, то получим фигуру,
состоящую из начальной плоскости О* перпендикулярной
к прямой ох и конечной точки х. __
Точно так же мы можем конечную точку х вектора ох
заменить полярной с ней плоскостью Х\ мы получим фигуру,
состоящую из начальной точки о и конечной плоскости X,
перпендикулярной к оси ох.
*) Штуди называет lg OK «отверстием клина» («Oeffnung des
Keiles»). _

22
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
Мы получаем, таким образом, фигуру, состоящую из точки
и плоскости, которой мы также можем пользоваться наравне
с вектором и ротором. Такие фигуры в евклидовом
пространстве рассматривал Штуди в своих работах «Geometrie
der Dynamen» [28J, [29]. Он назвал их «мутовками» (Quirl).
Линия, проходящая через точку мутовки и перпендикулярная
к ее плоскости, служит осью мутовки.
Мутовку можно получить, поляризуя фигуру,
образованную плоскостями ротора ОХ. Заменяя начальную плоскость
О ши конечную X их полюсами, мы получим мутовки оХ
и Ох. Теперь осью мутовки мы должны считать ось ротора
ОХ, из которого мутовка произошла. Ось лежит в плоскости
мутовки в пересечении ее с плоскостью, полярной по
отношению к абсолюту с точкой мутовки, и будет полярна с той
осью, которую имеет мутовка, когда мы рассматриваем ее
как произведенную из вектора.
Между мутовками, проведенными из векторов и роторов,
в неевклидовом пространстве нет существенного различия.
В евклидовом же пространстве они несколько различаются.
Правила сложения мутовок, имеющих общую начальную
плоскость или общую начальную точку, получаются
непосредственно из рис. 5 и 8.
Заменяя на рис. 5 общее начало векторов о полярной
плоскостью О, мы получаем на том же рисунке три мутовки:
Ox, Oy, Oz с общей начальной плоскостью О. Мутовку Ог
мы должны считать суммой мутовок Ох и Оу:
Jte^6x-\-Oy.
Заменяя на рис*. 8 начальную плоскость О ее полюсом о,
мы получаем на том же рисунке три мутовки: оХ, оУ и oZ
с общей начальной точкой о. Мутовка oZ должна считаться
суммой мутовок оХ и 6Y.
Если мутовку мы рассматриваем как произведенную из
вектора, то мы можем связать с ней две величины:
расстояние 8 точки от плоскости и тензор мутовки &ctg(&8). Если
же мы рассматриваем ее как произведенную из ротора, то
можем связать с ней угол ср между плоскостью мутовки и

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 23
плоскостью, проходящей через ее ось и точку, и тензор
мутовки ctg<p.
Нетрудно было бы убедиться, что зависимость между
тензорами складываемых мутовок и тензором их сумм будет
выражаться теми же формулами *).
§ 7
Предположим теперь, что мы имеем систему, состоящую
из векторов, роторов и мутовок. Операцией поляризирования,
т. е. заменой точки полярной с ней плоскостью и плоскости
полярной с ней точкой, мы всегда можем эту систему
рассматривать как совокупность векторов или роторов и при
помощи операции сложения привести ее к канонической
форме: к совокупности ротора ОХ и вектора од;,
расположенных таким образом, что вектор ох лежит на оси ОХ
Рис. 9.
(рис. 9). Такое сочетание вектора и ротора мы назовем
мотором, прямую е, на которой лежат точки о и х вектора
ок*и через которую проходят плоскости О к X ротора
*) Штуди называет их собственными и несобственными
мутовками (eigentlicher urid tmeigentlicher Quid). См. [»], [™\*

24
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
OX—осью мотора. Итак, всякая система векторов и
роторов эквивалентна мотору.
Если мы построим фигуру, полярную с мотором (ох, ОХ),
то получим мотор (OxXiy OjATj), осью которому будет служить
поляра г' линии е. Эти два мотора, (ох, ОХ) и (ОгХи оххг)
будут эквивалентны. Передвигая вектор о±хх вдоль оси г'
Рис. 10.
и вращая ротор OiXl вокруг этой же оси, мы можем
привести их в такое положение, что начало и конец вектора
оххх совпадают с точками, в которых плоскости О и X
пересекают ось е', а плоскости Ох и Х{ пройдут через начало
и конец вектора ох (рис. 10). Таким образом, один и тот
же мотор можно представить различным образом:
1) как совокупность ротора о1охх1 и вектора ох, #
2) » » » ооххгх » » оххх,
3) » » двух роторов о{оххх и ооххгх,
4) » » » векторов ох и огхг.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 25
Вместе с тем мы видим, что мотор имеет две оси е и е',
взаимно полярные по отношению к абсолюту.
Но мотор (ох, ОХ) можно представить и другой
геометрической фигурой. В самом деле (рис. 9), проведем две
прямые, перпендикулярные к оси мотора г: одну а — через
начало о вектора ох в начальной плоскости О ротора ОХ,
другую р — через конец х вектора ох в конечной плоскости
X ротора ОХ. Первую назовем начальной прямой мотора,
вторую — конечной. Очевидно, что эти две прямые аир
определяют собой и вектор ох и
ротор OX, a следовательно, и
мотор оф.
Если мы представим мотор
как совокупность двух векторов
ох и оххи лежащих на двух
взаимных полярах е и г', или как
совокупность двух роторов охоххх
и оохххх, то начальную прямую а
мотора мы получим, соединяя
начала векторов оиор или
определяя линию пересечения
начальных плоскостей охох и ооххх
роторов, а конечную р—соединяя
концы векторов х и хх или определяя линию пересечения
конечных плоскостей оххх и охххх роторов (рис. 11).
Очевидно, что начальная и конечная прямые определяют
собой мотор.
Таким образом, наряду с двумя точками (вектором) и
двумя плоскостями (ротором), основной фигурой теории
векторов является совокупность двух прямых (мотор). Вектор и
ротор можно рассматривать как частные случаи мотора.
Два мотора могут быть сложены в один, ибо каждый из
двух данных представляет собой совокупность вектора и
ротора и, следовательно, два мотора образуют систему из
двух векторов и двух роторов, а такая система может быть
приведена к одному мотору.
Сложение двух моторов оа и о,3, имеющих общую
начальную прямую о', основано на следующей теореме,

26
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
V. Пусть о' есть поляра по отношению к абсолюту
начальной линии двух моторов оа и o[J (рте. 12,
относящийся к левой половине текста).
Рис. 12,
Проведем через о'
произвольную плоскость S и, обо-
значив точки пересечения ее
с прямыми о, а и ' р через
о, х9 у:
(5о)-о, (Sa)Es*,(SP)-y.
построим вектор
oz = ox-\-oy.
Если плоскость S мы будем
вращать вокруг о',
заставив в то же время точки о,
х, у, лежащие в этой
плоскости, описывать прямые о,
а, {3, то точка г будет пере-
мещаться по прямой f.
Возьмем на линии о'
произвольную точку s ut обо*
значив плоскости,
проходящие через нее и прямые о, a, p
через О, X, У:
(so) = О, (sa) = *, (5р)иГ,
построим ротор
Ш=ОХ+Ш.
Если точку s будем двигать
по прямой о\ заставив в то
же время плоскости О, ХЛ К,
проходящие через s,
вращаться около осей о, а, р, то
плоскость Z будет
вращаться вокруг той же прямой -у.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
27
Мотор of и будет геометрической суммой моторов оа
и op: _ _ _
of = oa~j-op.
Пользуясь тем, что можно, не изменяя значения мотора,
передвигать его вдоль оси и поворачивать вокруг оси, мы
можем два мотора всегда представить таким образом, чтобы
линия кратчайшего расстояния- между осями служила общей
начальной линией для обоих моторов, и, следовательно,
воспользоваться предыдущей теоремой для сложения любых двух
моторов.
Как вектор, так и ротор определяют одну величину,
связанную с прямой линией (тензор), мотор же
определяет две — тензор вектора и тензор ротора, из которых он
состоит.
Связь между теми величинами, которые определяются
складываемыми моторами и их геометрической суммой—с одной
стороны, и относительным положением их осей — с другой,
выражается довольно сложными равенствами. Но те же самые
формулы (1) будут выражать аналитический закон сложения
моторов и дадут нам эту связь, если мы введем в теорию
векторов, комплексные числа с двумя единицами, и числа,
входящие в формулы (1), будем считать комплексными.
§ 8
Значение комплексных чисел с двумя единицами для
линейчатой геометрии обнаруживается при более подробном
изучении эквивалентных систем векторов. Необходимые нам
подробности выясняются проще всего из рассмотрения бесконечно
малых перемещений неизменяемой системы.
Существуют два простейших вида движения твердого тела:
поступательное и вращательное.
При поступательном движении не изменяют своего
положения директриса поступательного движения и плоскости, через
нее проходящие: точки, принадлежащие директрисе, и
плоскости, через нее проходящие, скользят вдоль директрисы.
При вращательном движении не изменяют своего
положения ось вращения и плоскости, перпендикулярные к оси
вращения: точки о,си остаются, неподвижными, а плоскости, пер-

28
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
пендикулярные к оси, вращаются около точки их пересечения
с осью.
Естественно поступательное бесконечно малое
перемещение представить вектором ох, который лежит на. директрисе
перемещения и имеет тензором число б = -г tg(& |о*|),
пропорциональное величине перемещения а, а вращательное
бесконечно малое перемещение — ротором ОХу который имеет
своей осью ось вращения и тензором число R = tg OX,
пропорциональное углу поворота <р. При этом мы можем
множитель пропорциональности взять бесконечно большим так,
чтобы бесконечно малые перемещения представились
конечными векторами и роторами с конечными тензорами (например,
равными скоростям). Тогда сложение и разложение бесконечно
малых перемещений сведется к сложению и разложению
векторов по выше данным правилам. Однако для того, чтобы
быстрее получить необходимые нам результаты, мы можем
множитель пропорциональности взять конечным, например
равным единице, и тогда бесконечно малое поступательное
перемещение а представится бесконечно малым вектором ох,
длина которого | ох\ = -т tg(k\ox\) — а будет равна
перемещению, а бесконечно малое вращательное перемещение —
бесконечно малым ротором, угол которого OX=ztgOX=®
равен углу поворота.
Таким образом, при доказательстве нижеследующих
теорем мы будем предполагать, что векторы и роторы, с
которыми мы имеем дело, бесконечно малы, но окончательные
результаты, к которым мы придем, будут справедливы и для
конечных векторов и роторов.
Эти результаты мы формулируем на языке теории
векторов.
VI. При бесконечно малом вращательном перемещении
ОХ—® твердого тела перемещение точки его Л,
находящейся от оси вращения на расстоянии /-, равно <р • т- sin (kr)
и перпендикулярно к плоскости, проходящей через А и ось
вращения*,

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 29
Действительно (рис. 13), при бесконечно малом повороте
на угол <р плоскость О переходит в положение X, а точка Л,
на ней лежащая, — в точку Av и из бесконечно узкого
треугольника ААХС мы получаем:
ААХ = <р • j sin (k | "ACI ) = <p • ~ sin (kr).
VII. Я/?# бесконечно малом поступательном перемещении
| ох | = а твердого тела перемещение точки его Л, яяхо-
дящейся на расстоянии г от
директрисы, равно acos(Ar), лежит в
плоскости^ проходящей через А и
директрису, и образует прямой угол с
перпендикуляром^ опущенным из точки А
на директрису.
Л'
А
2
п it я
\\? 2 Л
Рис. 13
Рис. 14.
Действительно (рис. 14), при бесконечно малом
поступательном перемещении | ох\ = а (ох лежит в плоскости чертежа)
линия оА, перпендикулярная к ох, переместится в
положение хА* (хА' перпендикулярна к ох), и точка А — в точку А'.
Из бесконечно узкого четырехугольника оАА'х с прямыми
углами о, Л, х мы получаем:
А АТ = a cog (k | ОА |) = a cos (kr).
§ «
Рассмотрим пару равных, но в противоположные стороны
направленных вращений (<р,—-<р) вокруг осей, лежащих в одной
и той же плоскости и перпендикулярных к одной и той же

30
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
прямой. Предположим (рис. 15), что оси вращений
перпендикулярны к плоскости чертежа и пересекают ее в точках О
и О; первое вращение определяется ротором ОХ> а второе —
ротором OXv причем
6x=—OXt = ?.
Линия 00 есть линия
кратчайшего
расстояния между осями.
Чтобы определить
перемещение сложное
из этих двух, возьмем
какую-нибудь точку А
на линии 00 на рас-
о отрезка 00 = 28. Ее перемещение
j sin [А (в — r%
* sin [ft (8 +Г)].
Рис. 15.
стоянии г от середины
при первом вращении:
АВ = у
при втором:
Складывая их, получим:
^B+^B' = |-[smft(8 + r)4-sinft(8 — г)] =
= 2<p-rsinft8cosftr.
1 ft
Такое же перемещение получила бы точка А, если бы мы
телу сообщили поступательное перемещение j олг | = ^ sin (ft8)
вдоль оси ох, лежащей в плоскости чертежа и делящей
пополам линию 00 кратчайшего расстояния между осями.
VIII. Пара роторов (ф, —<р), кратчайшее расстояние
между осями которых равно 28, эквивалентна вектору,
тензор которого равен 2® -г sin (fto), и луч
перпендикулярен к плоскости пары и делит кратчайшее расстояние
между осями пары пополам.
Рассмотрим далее (рис. 16) пару равных
противоположных поступательных перемещений (а, —а) вдоль двух дирек-

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
31
трис, лежащих в одной плоскости (чертежа),
перпендикулярных к прямой оо.
Чтобы определить перемещение сложное из этих двух,
возьмем какую-нибудь точку А на линии оо на расстоянии г
от середины О отрезка оо = 28. Ее перемещение при
перемещении ох:
AB=acos[k(b — r)]t
и при перемещении ох'\
А'В' = a cos [£(§ + г)].
Складывая их, получаем:
АВ — АВ'*=*a{cos[k(b — r)]— cos [А(8-f г)]} =
= 2а sin (AS) sin (kr) = 2a#> jsin(kb) . j sin (kr).
Такое же перемещение получила бы точка А, если бы
мы повернули тело на угол ОХ= 2а№-т- sin (£8) вокруг оси,
Рис. 16.
перпендикулярной к плоскости пары (плоскости чертежа) и
делящей пополам линию кратчайшего расстояния между
директрисами пары.
IX. Пара векторов (д, -—я) эквивалентна ротору, у кото-
рого тензор равен 2ak2^ sin (kb), ось перпендикулярна к
плоскости пары и делит кратчайшее расстояние между
лучами векторов пары пополам.
Обратим внимание на те особенности этой теоремы,
которые характеризуют собой пространства различных типов. Если

32
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
мы встанем на плоскость пары в середине О — линии
кратчайшего расстояния так, чтобы поступа!ельные перемещения
ох и ох' шли слева направо, то в случае пространства
Лобачевского эквивалентное вращение будет итти против часовой
стрелки (справа налево), в случае пространства Римана —
по часовой стрелке. В евклидовом же пространстве пара
поступательных перемещений не дает никакого перемещения,
эквивалентна нулю. Это обстоятельство обнаруживается в
формуле 2а&2-£ sin {kb) тем, что № для различных типов
пространств имеет соответственно значения: — 1, 1, 0.
X. Произведением ротора {вектора) на какое-нибудь
число называется ротор {вектор), у которого тензор равен
произведению тензора данного ротора {вектора) на это
число и осью {лучом) служит ось {луч) данного ротора
{вектора).
XI. Символ о превращает ротор в вектор: ми говорим,
что, «умножая» символ <о на ротор ОХ, мы получаем
вектор ох = <»> • ОХ, луч которого совпадает с осью ротора
ОХ и тензор которого равен тензору этого ротора:
При этом, если для наблюдателя, прислонившегося спиной
к оси ротора, направление ротора идет слева направо, то
направление вектора ох, полученного
от умножения ротора ОХ на а>,
должно итти от ног к голове
(рис. 17).
Рассмотрим, чтб мы получим, если
вектор ох = о) • ОХ мы умножим снова
на символ а), или, иначе говоря, ротор
ОХ умножим на <о2.
Пусть <р есть тензор ротора ОХ
и вектора ох = о . ОХ и а — их общая
ось. По теореме VIII вектор ох эквивалентен паре роторов
AY и АГ _ _ _
ох^ш- OX={AY, AT),
Рис. 17.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 33
оси которых р и р' лежат в плоскости А, перпендикулярной
к оси а и симметрично по отношению к ней расположены.
Если 28 равняется кратчайшему расстоянию между осями
р и р', то тензоры ^ роторов AY и AY' связаны с тензором <р
вектора ох на основании той же теоремы VIII соотношением
cp = 2^-~sin(A8).
Так как вектор ох эквивалентен паре роторов AY и AY\
то, умножая ох на символ о, мы должны умножить и роторы
AY и AY' на тот же символ, вследствие чего, по
определению этого символа, они обратятся в векторы ay = &'AY и
ау' — о) • AY\ Таким образом,
о). Zx = <о2 • aY = (o) • 17, о). ЛГ)= (ой 5/).
Лучи векторов яу и ay' совпадают с осями р и р'
роторов AY и ЛГ', и тензоры ихравны тензорам роторов АКи AY\
т. е. равны ф. Векторы ау и ay' образуют пару и, по
теореме IX, она в свою очередь будет эквивалентна ротору ОХ\
ось которого совпадает с осью а ротора ОХ и тензор
которого равен 2^ А2~ sin (£8) = £2<р. Ротор ОЛГ отличается,
следовательно, от ОХ только множителем k2, и мы имеем:
(ау, щ')^Ш'==к?Ш.
Сравнивая этот результат с предыдущим, мы получаем:
<й2- OX = k*OX,
откуда заключаем, что символ ш обладает следующим свой*
ством: ш,вЛ
§ Ю
Так как А2 есть вещественное число, то полученное
свойство символа о позволяет нам рассматривать его как
единицу комплексного числа вида
а-]-дш (о)2 = А2)
и ввести числа этого вида в теорию векторов.

34
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
XII. Тензором мотора, состоящего из ротора ОХ и
вектора ох, лежащего на оси ОХ> мы называем комплекс*
ное число
tg6*+£tg(*|5?|).
Если мотор представляется совокупностью двух прямых
а и р, то тензор мотора равен
tg<P+£tg(*5),
где <р есть угол и 8 — кратчайшее расстояние между
начальной и конечной прямыми мотора аир.
Кроме тензора мотора, в теории векторов играет роль
еще одно комплексное число — комплексный угол между
двумя прямыми. К этому важному в теории векторов
понятию мы приходим, установив предва-
*р рительно понятие о проекции мотора
на ось.
В том случае, когда ось ротора
ОХ (луч вектора ох) пересекает
ось р под углом <р (рис. 18),
естественно подразумевать под
проекцией ротора (вектора) на ось (3 число
tg ОХ • cos ср [или -— tg {k | ox |) cos <p]
ротор (вектор), для которого это
число служит тензором и ось р —
осью.
Мотор мы всегда можем разложить на ротор и вектор
так, чтобы оси их проходили через произвольную точку
пространства.
Возьмем на прямой j3 две точки о и ох и разложим мотор
один раз на вектор ох и ротор ОХ^ оси которых проходят
через точку о, а в другой раз — на вектор оххх и ротор OxXv
оси которых проходят через точку ох. Пользуясь
предыдущими теоремами, можно доказать, что проекции на ось {3
как векторов ох и оххь так и роторов ОХ и ОхХх будут
равны:
пр. ол:==пр. оххх и пр. 0-Y=np. OxXv
Рис. 18.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 35
Из этой теоремы вытекает такое определение проекции
мотора на ось.
XIII. Если мы разложим мотор на вектор ох и
ротор ОХ, оси которых проходят через точку о оси {3, то
комплексное число пр. ОХ-]-(а пр. ох не зависит от
положения точки о на линии (3. Это число и мотор, для
которого оно служит тензором и прямая fi — осью>
называется проекцией данного мотора на ось |3.
Пользуясь тем обстоятельством, что при построении
проекции мы можем брать точку о где угодно на оси проекций,
мы убеждаемся, что проекция обладает следующими
свойствами:
XIV. Всякий мотор представляет собой сумму трех
его проекций на три взаимно перпендикулярные
координатные оси.
XV. Проекция суммы равняется сумме проекций.
Пусть Г=а-[-<о# есть тензор данного мотора, ср и 8 —
угол и кратчайшее расстояние между осью мотора а и осью
проекций |3. Если точку о, которой мы пользуемся для
построения проекции, мы возьмем так, чтобы она совпала
с точкой пересечения оси {3 и линии кратчайшего
расстояния между осями аир, то для проекции мы получим
выражение :
(a -f- д<л) cos (£8) cos <f> — (a -J- b(a) ■?■ sin (kb) sin cp,
или
(a -f- д<л) cos (<p -f- 08).
Аналогия этой формулы с формулой для проекции вектора
на ось приводит нас к следующему определению:
XVI. Комплексным углом между двумя осями а и р
называется комплексное число cp-f-wS, где <р есть угол
между осями а и |3, а 8—кратчайшее расстояние между
ними.
Пользуясь понятием о комплексном угле, мы можем
полученный результат выразить следующей теоремой:
XVII. Проекция мотора на ось равняется произведению
тензора мотора Т= а-\-ыЬ на косинус комплексного угла
6 = <р-|-о)# между осью мотора и осью проекции.

36
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
§ 11
На основании последней теоремы, проекции х> у, z
мотора на координатные оси будут равны
Ar = TcosX, ^ = 7cosjx, 2=rcosv, (5)
где X, ja, v суть комплексные углы, которые ось мотора
образует с осями координат.
Возьмем теперь еще другой мотор, разложим его на три
проекции х\ У, г' по координатным осям и спроектируем
их на ось а первого мотора. Тогда, обозначая через 6
комплексный угол между осями двух моторов и через Т —
тензор второго мотора, согласно теоремам XIV, XV и XVII, мы
получаем:
Т cos 6 = х' cos X ~\-yr cos ja + г' cos v.
Умножив это равенство на Т и приняв во внимание (5),
имеем:
ТГ cos 6 = хх' +уу' + zz'. (6)
Если предположим, что второй мотор тождественен с
первым, то эта последняя формула обратится в следующую:
r2 = jt2+ys + *2 (7)
и будет служить для определения тензора мотора.
Вообразим себе связку векторов, т. е. многообразие
векторов, имеющих общее начало, и предположим для
простоты, что эта связка находится в евклидовом пространстве.
Примем общее начало векторов за начало прямоугольной
системы координат и обозначим через х, у, z; х\ у', z'
проекции двух векторов этой связки на координатные оси,
через Т и Т'—длины векторов и через б — угол между
ними. Все формулы и теоремы связки векторов представляют
собой следствия двух формул (6) и (7), из которых вторая
определяет длину вектора, а первая — угол между двумя
векторами. Но мы сейчас видели, что те же две формулы
сохраняют геометрическое значение и в том случае, когда
числа х, у% z, х'\ У, z\ Г, V, Ь делаются комплексными
с двумя единицами; ху у> zy x\ y\ z' становятся тогда
координатами мотора, первая формула определяет комплексный

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 37
угол между двумя осями моторов, а вторая — тензор мотора.
Мы можем поэтому утверждать, что и все другие формулы
теории связки векторов обращаются в формулы теории
моторов в пространствах постоянной кривизны, если в них
действительные числа мы заменим комплексными с двумя
единицами. Это обстоятельство позволяет нам установить
соответствие между формулами, равенствами, фигурами и
теоремами теории связки векторов—с одной стороны, и
формулами, равенствами, фигурами и теоремами теории
моторов— с другой. Итак, мы приходим к следующему
принципу перенесения:
XVIII. Формулы теории связки векторов евклидова
пространства представляют вместе с тем и формулы
теории моторов пространств постоянной кривизны.
Геометрическая интерпретация одних и тех же формул,
различная в зависимости от того, рассматриваем ли мы их
как формулы теории связки векторов, или как формулы
теории моторов, устанавливает соответствие между
этими двумя теориями] при этом длине вектора
соответствует тензор мотора, углу между векторами —
комплексный угол между осями моторов.
На основании этого принципа операция сложения
моторов будет аналитически выражаться теми же формулами (1),
как и операции сложения векторов, если через Р, Qf R мы
обозначим тензоры складываемых моторов и их суммы и
через (QR), (PR) и (PQ) — комплексные углы между осями
моторов.
Укажем на два следствия общего характера, вытекающих
из принципа перенесения.
Три вещественных числа х, у, z, которые в теории связки
векторов мы считали проекциями вектора, мы можем
рассматривать как однородные координаты луча связки.
Плоскость связки (пучок лучей) будет многообразием лучей,
координаты которых удовлетворяют уравнению ux-\~vy-\-
-[-шгг = 0, где и, v, w — координаты плоскости.
Пусть теперь числа х, у, г становятся комплексными;
они определяют мотор и его две взаимно полярные оси а
и а'. Для всех моторов, которые имеют своими
координатами ах, ау, ая, где а = а0-\-(»а1 есть какое угодно
комплексное число, осями служат те же прямые ana', а потому

38
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
л;, yt z мы можем рассматривать как однородные
комплексные координаты пары взаимных поляр.
Уравнение их + vy -J- wz = 0, где и, v, w — данные
комплексные числа, определяет совокупность прямых,
пересекающих взаимные поляры (и, v, w), т. е. конгруенцию, для
которой эти поляры служат директрисами.
Таким образом:
XIX. Принципом перенесения геометрия связки лучей
преобразуется в особый отдел линейчатой геометрии,
в котором лучу связки соответствует пара взаимных
поляр, а плоскости связки — конгруенция с взаимно
полярными директрисами.
Заметим, что одну из двух взаимных поляр мы можем
отличить от другой только в пространствах Евклида и
Лобачевского, но не в эллиптическом: в евклидовом пространстве
одна из взаимных поляр лежит в бесконечно удаленной
плоскости, в пространстве Лобачевского одна из них пересекает
абсолют в действительных точках, а другая — в мнимых.
В евклидовом пространстве уравнение x2j^y2-{~z2=l
определяет сферу с радиусом, равным единице, и центром в начале
координат. Если числа, удовлетворяющие этому уравнению,
будут комплексными, то они определят мотор с тензором,
равным 4-1^1 = 1. Ось такого мотора имеет не только
определенное положение, но и направление в пространстве. Обратно,
всякая прямая пространства, которой приписано направление,
определяет собой мотор с тензором -}-1 и проекции его на
координатные оси. Если, следовательно, мы назовем прямую,
которой приписано направление, лучом и совокупность всех
лучей — лучевым пространством, то можем сказать,
что
XX. Принципом перенесения геометрия сферы
{евклидова пространства) преобразуется в лучевое пространство.
§ 12
Не входя в рассмотрение различных приложений
принципа перенесения, мы воспользуемся им для того, чтобы
показать, что одной и той же аналитической форме
операции сложения моторов могут соответствовать различные
геометрические формы.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 39
Мы назвали мотором совокупность двух прямых линий а
и р, осью мотора — линию кратчайшего расстояния между
ними и тензором мотора — комплексное число tgcp -}- ^ tg (AS),
где <р — угол между прямыми аир, 8 — кратчайшее
расстояние между ними. Мы видели, что операция геометрического
сложения моторов определяется теоремой V. На основании
принципа перенесения эта операция аналитически должна
выражаться теми же формулами (1), что и операция
сложения двух векторов, если через Р, Q, R мы обозначим
тензоры двух складываемых моторов и их геометрические суммы
и через (Q, /?), (/?, Р) и (Р, Q) — комплексные углы между
их осями.
С помощью принципа перенесения можно показать, что
тем же уравнениям (1) будет соответствовать другая
геометрическая операция сложения моторов, если мы изменим
определение тензора мотора.
Применим к фигуре на рис. 6 (на стр. 18), которая
определяет сложение векторов на сфере, принцип перенесения.
Эта фигура состоит из шести точек сферы о, х, у, z% a, b,
которые расположены таким образом, что каждая из троек:
оха> оуЬл xzb, yza лежит на большом круге и дуги оа и
оЬ равны -=■. Принципом перенесения она преобразуется
в фигуру, состоящую из шести прямых о, х, yt z, а, д,
которые должны быть расположены так, чтобы каждые три
оха9 oyb, xzb, yza пересекали одну и ту же прямую под
прямым углом и комплексные углы между о и я, о и b были
бы равны -к*. При этом, если мы обозначим через ох, оу,
oz комплексные углы между прямыми о к х> о н у, о я z,
через Р, Q, R— направления осей моторов ох, оу, oz и
через (Q, R), (R, Р) и (Р, Q) — комплексные углы между
ними, то формулы (4) дадут нам:
•-•«. •-««. «^s.
tgox tgoy tgoz
sin (Q, R) ~ sin (R, P) ~ sin (P, Q)'
Тождество этих соотношений с формулами (1),
выражающими закон сложения моторов в аналитической форме, при-

40
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
водит нас к тому заключению, что мотор oz на нашей
фигуре мы можем считать суммой моторов ох и оуу если только
мы дадим тензору мотора другое определение:
XXJ. Тензором мотора^ состоящего аз совокупности
двух прямых а и (3, называется тангенс комплексного
угла aj3==<p-|- а>§ между этими прямыми:
tg((p + (o8) = tga^
Определяя таким образом тензор мотора и считая, что
на нашем чертеже oz = ох-\-оу, мы видим, что
аналитическая форма операции сложения остается без изменения,
геометрическая же форма будет уже иною. Обозначив для
краткости символом а{3 линию кратчайшего расстояния между
прямыми а и р *), из схематического рис. 19 мы получим
такое правило сложения моторов:
*) Если прямые аир пересекаются, то оф— перпендикуляр,
проходящий через точку их пересечения.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 41
XXII. Сумма моторов ох и оу> имеющих общую
начальную прямую о, строится по следующей схеме:
ох~=р, oy=zq; ay=p\ bx=q'\ _ _ _
— — — — 02 =zOX-f- Oy.
ор~=а, oq==b\ p'q'=z~z;
Оба геометрических способа сложения моторов в
евклидовом пространстве подробно изучает Штуди в своих
работах [27J, [28], [29]. Второй способ он называет
«стереометрическим сложением» в отличие от первого —
«геометрического».
§ 13
Символ ш был введен впервые Клиффордом [6] в связи с
задачей обобщить идеи Гамильтона, распространив их на
линейчатую геометрию, элементом которой является мотор.
Клиффорд рассматривает пространства Евклида и
эллиптическое, и определение, которое он дает символу о для
эллиптического пространства, несколько отличается от
определения этого символа для езклидова пространства.
Определение этого символа как оператора, превращающего ротор
в вектор, данное нами выше, ближе подходит к первому
определению Клиффорда и применимо, как мы видели, к
пространствам всех трех типов. Как изучение операции деления
векторов привело Гамильтона к кватернионам, так анализ
операции деления моторов привел Клиффорда к бикватер-
нионам
tf + ШГ,
где q и г суть кватернионы и ш2 = 0 для евклидова
пространства и со2 = 1 для эллиптического.
Кокс [30] дополнил исследования Клиффорда,
распространив их на пространство Лобачевского, и показал, что
частное от деления двух моторов для этого пространства
выражается таким же бикватернионом, но только ш2 = —1.
Существенное улучшение внес в теорию бикватернионов
А. Бухгейм [31]> обратив внимание на то, что в выражении
бикватерниона ^~f-cor, о)2=&2, причем А равняется -f-1 для
эллиптического пространства, нулю — для параболического
и Y—1—для гиперболического,

42
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
В работах Кокса и Бухгейма бикватернион
рассматривался в той форме, в которой он был получен
Клиффордом, т. е. в виде суммы q-\-<»r двух кватернионов
Я=**>1 + 1Х1+]У1+Ь*Х И ^ = ^2 + ^2 + ^2+^21
из которых второй умножается на символ <о. Но тот же
бикватернион мы можем рассматривать как кватернион
р = w -f- ix +/у + kz,
у которого коэффициенты
w = wt + mw2% х = хг-{-ах2, у =ух + <оу2> z = z1-\-<s>z2
суть комплексные числа с двумя единицами 1 и а)(а)а = &2).
Такая точка зрения *) вносит в теорию кватернионов
существенное улучшение. Ибо очевидно, что стоит только развить
теорию комплексных чисел с двумя единицами и ввести
понятие об элементарных тригонометрических функциях этих
чисел, как становится возможным все без исключения формулы
теории кватернионов рассматривать как формулы теории
бикватернионов, если в них числа вещественные заменить
числами комплексными. Это тождество в теориях двух родов
комплексных чисел — кватернионов и бикватернионов —
влечет за собой параллелизм в тех геометрических теориях,
которые служат для их геометрической интерпретации, т. е.
между теорией векторов с общим началом — с одной
стороны, и теорией моторов — с другой.
Мы приходим, таким образом, к мысли перенести из
теории векторов такие элементарные понятия как длина
вектора, проекция вектора, координаты вектора, угол между
двумя векторами и т. д. в теорию моторов и внести в эту
последнюю соответствующие понятия: тензор мотора,
проекции мотора, комплексные координаты мотора, комплексный
угол между двумя прямыми и т. д. Вместе с тем получается
возможность каждому построению и теореме теории связки
векторов сопоставить построение и теорему теории моторов
и, пользуясь первыми, находить новые, еще не известные
теоремы теории моторов. Таким образом, мы приходим к
принципу перенесения.
*) Эта точка зрения проведена в моей работе «Винтовое
счисление» [32].

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 43
Первые следы этого принципа мы замечаем в упомянутой
работе Кокса. Изучая некоторые задачи геометрии
Лобачевского, он рассматривал выражение <р~Ь^, где <р есть угол
между двумя прямыми, S — кратчайшее расстояние между
ними и / = У—1. В небольшой заметке Фр. Шиллинг [33]
делает указание, что формулы сферической тригонометрии
сохраняют геометрическое значение в пространстве
Лобачевского, если входящие в них углы и стороны треугольника
становятся обыкновенными мнимыми числами. Эти формулы
дают тогда соотношения между частями косого
шестиугольника с прямыми углами. По поводу этой теоремы Штуди [и]
замечает: «эта прекрасная теорема представляет собой (что
ускользнуло от внимания Фр. Шиллинга) только одну из
трех аналогичных теорем, принадлежащих трем главным видам
геометрии пространства и трем системам комплексных чисел
с двумя единицами».
Принцип перенесения во всей его общности был открыт
и формулирован независимо и, повидимому, одновременно
Штуди и мною. Существование этого принципа для
евклидова пространства было доказано в моей работе «Винтовое
счисление» [32J, а применимость его для неевклидовой
геометрии— в сочинении «Проективная теория векторов» l26]. Надо
думать, что принцип перенесения уже был известен Штуди,
когда он писал упомянутую выше работу «Ueber neue Dar-
stellung der Krafte» [*i]. Но вполне определенно он
формулировал этот принцип в сочинении «Ueber Nicht-Euklidische und
Liniengeometrie» [Зб]. Его формулировка отличается от выше
данной и основывается на свойствах параллельных Клиффорда.
§ 14
По теореме, принадлежащей Клиффорду, всякое
бесконечно малое перемещение твердого тела можно разложить
на правый и левый винт. Соответственно этому, каждый
мотор можно рассматривать как сумму правого и левого
мотора. Как тот, так и другой связан с системой
параллельных: левый — с системой левопараллельных, правый —
с системой правопараллельных. Каждый из них может быть
задан вектором, лежащим на одной из параллельных, с ним
связанных. Таким образом, все левые моторы могут быть

44
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
заданы векторами, имеющими общее начало в произвольной
точке Ov все правые — векторами, имеющими общее начало
в произвольной точке 02, а любой мотор, если разложим
его на правый и левый, — двумя векторами: правым,
проходящим через точку 02, и левым, проходящим через точку О^
Геометрия связки векторов одинакова во всех пространствах,
и мы можем, если угодно, считать, что связки Ог и 02
принадлежат евклидову пространству. Таким образом, принцип
перенесения мы можем формулировать следующим образом.
XXIII. Можно установить однозначное соответствие
между моторами и парами векторов, взятыми по одному
в двух связках 0\ и 02 евклидова пространства так, что
левым моторам будут соответствовать векторы левой
связки Ои а правым моторам — векторы правой связки 02,
Из этого общего принципа можно вывести два следствия:
XXIV. Можно установить однозначное соответствие
между парами сопряженных поляр по отношению к
абсолюту и парами лучей, взятыми по одному в двух связках
евклидова пространства так, что левому винту будет
соответствовать вращение одной связки, а правому —
вращение другой.
XXV. Можно установить однозначное соответствие
между лучами и парами точек, взятыми по одной на
двух сферах с радиусами, равными единице в евклидовом
пространстве так, что левому винту соответствует
вращение одной сферы, а правому — вращение другой.
Как эти теоремы, так и те соответствия, о которых в них
говорится, мы можем получить из теоремы XVIII, если в
комплексные числа a-j-foo (<о2=А2) вместо единиц 1, со
введем новые единицы £ = • ^7°* , г\ — IT0* и вместо чисел
а-\-Ь<в, которыми мы пользовались до сих пор, введем во
все формулы теории связки векторов числа вида
(a + dk)ti-(a — bk)y\,
£2 = 5, fr| = 0, т,* = п.
Приложения принципа перенесения можно найти в
вышеуказанных работах, а также в работах проф. Д. Н. Зейлигера,
Е. Девиса и др.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 45
§ 15
На этом мы закончим наш очерк. Область идей,
затронутых в нем, представляет интересный пример того значения,
которое неевклидова геометрия может иметь для геометрии
Евклида. Проследив исторический ход этих идей от Д. Бер-
нулли до настоящего времени, мы видим, какое богатство
и разнообразие внесла в эту область неевклидова геометрия,
мы видим, что иногда идеи и результаты, имеющие значение
для евклидовой геометрии, возникают и получают свое
дальнейшее развитие на почве неевклидовой геометрии. Таковы,
например, те разнообразные геометрические образы,
связанные с понятием о векторе, разнообразные формы операции
их сложения и вытекающие отсюда следствия, о которых мы
выше говорили. Если бы даже эти результаты для евклидова
пространства были получены непосредственным изучением
геометрии Евклида, то все же получение их путем
рассмотрения евклидова пространства как случая, предельного для
пространств неевклидовых, представляет то преимущество,
что все эти "образы, точно связанные между собой в
неевклидовом пространстве, теряют связь в евклидовом, и
объединить их в стройное учение становится задачей неблагодарной.
Таким образом, неевклидова геометрия благодаря
богатству и разнообразию своих образов, с одной стороны, и
тесной связи между ними — с другой, является иногда более
простой сравнительно с геометрией Евклида, и иногда более
прямой и легкий путь в геометрию Евклида проходит через
неевклидовы пространства.
o%§i&^>

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[l] J. De-Till у, Etudes de Mecanique abstraite Memoires couronnes
et autres Memoires, publies par TAcademie de Belgique, т. XXI,
1870.
[2] A. G e n о с с h i, Jnterna ad una dimostrazione di Daviet de Fon-
cenex. Atti della R. Accademia delle scienze di Torino, т. IV; 1869.
Dei primi principii della meccanica e della geometria in rela-
zione al postulato d'Euclide. Memorie della Societa Italiana delle
Scienze, dei IL, Serie III, т. II.
[3] E. Schering, Die Schwerkraft im Gaussischen Raum. Nachr.
von Kunigl. Gesellschaft der Wissenschaften, 1870.
[4] E. Schering, Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten
Gaussischen und Riemanschen Raumen, Nachr. der Kunigl. Gesellschaft
der Wissenschaften, 1873.
[6] J. De-Tilly, Rapport sur la «Lettre a M. Qtielet». Bulletin de
l'Academie de Belgique, 2 серия, т. XXXVI, 1873.
[6] W. K. Clifford, Preliminary sketch of biquaternions. Proceedings
cf London Math. Soc, т. IV, 1873; Math. Papers. Русский
перевод — в приложении к книге: Вильям Клиффорд, «Здравый
смысл точных наук», Петроград, 1922.
Щ W. К. Clifford, Motion of a solid in elliptic space [1874]; Math.
Papers.
[8] W. K. Clifford, On the free motion under no forces of a rigid
system in an /z-fold homaloid. Proc. L. M. S„ т. VII, 1876;
Math. Papers.
[9] W. K. Clifford, On the theory of screws in a space of Constant
positive curvature [1876], Math. Papers.
[10] R. S. Ball, Certain problems in the dynamics of a rigid system
moving in elliptic space, Trans, of Irish Academy, т. XXvIII, 1881.
[И] R. S. Ball, On the theory of Content. Trans, of Irish Academy,
т. XXIX, 1888.
[i2] R. S. Heath, On the dynamics of a rigid body in elliptic space,
Phil. Trans, т. 175, 1885.
[I3] H. E. Жу ковский, О движении материальной
псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. (Труды отд. физ.
наук. Моск. общ. люб. ест., антр. и этногр., т. XI, 1902); полн.
собр. соч., I, 1937.
[I4] W. Killing, Die Mechanik in den nicht-euclidischen Raumfor-
men. Journal fur die reine und angewandte Math., т. 98, 1885.
[Щ А. В u с h h e i m, On the Theory of Screws in Elliptic Space.
Proc. of London Math. Soc, т. XV-XVI, 1884; XVII, 1886.

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 47
f16] J. Andrade, Sur la reduction des vecteurs et les proprietes
metriques. С R., т. CXXV, 1897.
p] J. Andrade, Statique non-euclidienne. Verhandlungen des ersten
internationalen Mathematiker-Kongresses in Zurich, August, 1897,
Leipzig, 1898.
[ls] J. Andrade, Lemons de Mecanique, Paris, 1898.
[19j D. Bernoulli, Examen principiorum Mechanicae et demonstra-
tiones Geometricae de compositione et resolutione virium. Comen-
tarii Academiae Petropolitanae, т. I, 1728.
[20] Davietde Foncenex, Sur les principes fondamentaux de la
mecanique. Miscellanea Taurinensia, т. II, 1760.
pi] D'A lembert, Demonstration du principe de la composition
des forces. Opuscules mathematiques, Paris, т. I, 1761.
[22] D'A lembert, Memoire sur les principes de la Mecanique.
Histoire de I'Academie Royale de Paris, 1772.
I23] F. Lindemann, Ueber unendlich kleine Bewegungen und
iiber Kraftsysteme bei allgemeiner projectivischer Massbestimmung.
Math. Ann. т. VII, 1874.
[24] H. Cox, Homogeneous coordinates in imaginary geometry and
their application to systems of forces. Quart. Journal, т. XVIII, 1881.
\Щ A. Cayley, Non-Euclidian Geometry. Trans, of Cambridge Phil.
Society, т. XV, 1892.
[26] А. П. Котельников, Проективная теория векторов. Известия
Казанского физ.-мат. общества, 2-я серия, томы VIII и IX, 1892.
[27] Е. Study, Eine neue Darstellung der Krafte der Mechanik durch
geometrische Figuren. Berichte der mathematisch-physikalischen
Classe der Konigl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften zu
Leipzig, 51, 1899.
[28] E. Study, Die Geometrie der Dynamen. Jahresbericht der Deut-
schen Mathematiker-Vereinigung, VIII, 1900.
[29] E. Study, Geometrie der Dyrjamen, Leipzig, 1901 и 1903.
[30] H. Cox, On the application of quaternions and Grassmann's
Ausdehnungslehre to different Kieds of Uniform Space, Trans, of
Cambridge Phil. Soc. т. XIII, 1883.
[31J A. Buchheim, A memoir on Biquaternions, Amer. Jo urn. of
Mathematics, VII, 1885.
[32] А. П. Котельников, Винтовое счисление. Учёные записки
Казанского > ниверситета, 1895—1896. Отд. изд. 1895.
[33] Fr. Schilling, Ueber die geometrische Bedeutung der Formeln
der spharischen Trigonometrie im Falie complexer Argumente,
Math. Ann., т. XXXIX, 1891.
[Щ E. Study, Spharische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen
und elliptische Funktionen. Abh. der m.-ph. Classe der Konigl.
Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften, XX.
[35] E. Study, Ueber Nicht-Euklidische und Liniengeometrie.
Festschrift der Philosophischen Facultat zu Greifswald, 1900.

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО К ФИЗИКЕ
В, А, Фок
Введение
Бессмертные идеи Лобачевского заключают в себе две
стороны. Во-первых, Лобачевский впервые доказал
возможность геометрии, отличной от геометрии Евклида; во-вторых,
он впервые выразил сомнение в том, что геометрия
реального физического пространства есть геометрия Евклида.
Пройдя длинный путь, ведущий через Гаусса, Римана и
Эйнштейна, идеи Лобачевского глубоко проникли в
современную физику и стали золотым фондом, питающим
современную науку. Оба направления, заключенные в идеях
Лобачевского, получили широкое развитие. С одной стороны,
мы привыкли пользоваться языком геометрии при
формулировке математических соотношений, выражающих физические
законы. С другой стороны, после работ Эйнштейна мы
освоились с мыслью о том, что реальное физическое пространство
не является пространством Евклида и что, кроме того, оно
не может рассматриваться отдельно от времени, а
представляет вместе со временем единое четырехмерное многообразие
с геометрией, определяемой распределением масс.
Применения геометрических образов к формулировке
физических законов настолько многочисленны, что в краткой
статье их невозможно даже перечислить. Достаточно напомнить
о фазовом пространстве статистической физики или о
гильбертовом пространстве, играющем одинаково большую роль

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 49
в теоретической физике и в математике. Гораздо менее
многочисленны работы, имеющие целью применение идей
неевклидовой геометрии к реальному физическому пространству.
Все эти работы представляют в той или иной форме
развитие теории тяготения Эйнштейна.
В настоящей статье мы рассмотрим те из наших работ
по квантовой механике и теории тяготения, которые могут
служить примерами применения идей неевклидовой геометрии.
§ 1. Теория атома водорода
Рассмотрим пример физической задачи, надлежащая
формулировка которой допускает толкование при помощи понятий
геометрии Лобачевского или Римана в узком смысле (т. е.
геометрии с постоянной отрицательной или положительной
кривизной I1]).
Напишем уравнение Шредингера для атома водорода
в пространстве импульсов. Так как оператор умножения на
кулоновскую потенциальную энергию является в
пространстве импульсов интегральным оператором, то
уравнение Шредингера будет интегральным уравнением вида
где через {dp') = dp'xdp'dpz обозначен элемент объема
в пространстве импульсов. Здесь величина h есть деленная
на 2тс постоянная Планка, а величины т> е, Е—масса,
заряд и полная энергия электрона.
Мы рассмотрим сперва точечный спектр, для которого
энергия Е отрицательна, и обозначим через р0 средний
квадратичный импульс
р0 = У^2тЁ.
Деленные на р0 составляющие вектора количества движения р
мы будем рассматривать как прямоугольные координаты на
гиперплоскости, представляющей стереографическую
проекцию шара радиуса единица в четырехмерном евклидовом

50
В. А. ФОК
пространстве. Прямоугольные координаты некоторой точки
на шаре будут
£ = о Жо = sin a sin ft cos <p,
(2)
„ „• = sin а sin » sin ф,
Р2о+Р2
c==_2£o£^==sjnacos{))
Я5 + Г
Ро—Р*
Р2о + Р2
= cos а,
причем
£2 + Г12 + С2 + х2=1: (2')
Углы а, 0 и ср — сферические координаты на гиперсфере.
Вместе с тем углы & и ср Являются обыкновенными
сферическими углами, характеризующими направление количества
движения. Элемент поверхности на гиперсфере равен
dQ = sin2 a da sin ft tfO ate. (3)
Он связан с элементом объема пространства импульсов
соотношением
(dp) = dpx dpy dpz = /;2 dp sin ft rfft d<p =
Положим для краткости
me1
me1
(4)
(5)
(6)
hp0 h Y— ЧтЕ
и введем вместо fy(p) функцию
W (a, &, ср) = JL Po-v, (Ро« + рИ)> ф (/,).
Множитель здесь выбран так, чтобы условие нормировки
имело вид
•^ ]>(«,&, ср)Р<Я2 =
в р!^|ф(р) !»(#)== j\*(p)\4dp)=l (7)

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ к ФИЗИКЕ 51
(напомним, что р0 есть средний квадратичный импульс).
Так как поверхность четырехмерного шара радиуса единица
равна 2тс2, то этому условию удовлетворяет, в частности,
функция W = 1.
В новых обозначениях уравнение Шредингера имеет вид:
где 2sin-7>- есть длина хорды, а ш — длина дуги большого
круга, соединяющей точки a, ft, © и a', ft', <?' на
четырехмерном шаре, так что
4sm*^==(S —50«+(ч—V)aH-(C—С>»4-(х—хО»
или
cos ш = cos a cos а' -f~ sin а sin о! cos f,
причем cos y имеет обычное .значение
cos y = cos Ъ cos 8' -j- sin ft sin ft' cos (cp — <p').
Уравнение (8) представляет собою не что иное, как
интегральное уравнение для шаровых функций четырехмерного
шара. Его собственные значения равны А = я, где п есть
целое положительное число (п = 1, 2, 3, ...). Из формулы (5)
мы получаем при А = я
« те*
2Л%2 *
(9)
откуда видно, что п есть так называемое главное квантовое
число. Собственные функции Ч?п могут быть представлены
как однородные полиномы степени п — 1 от переменных
5, *ь £> Х- Они определяются однозначно, если задать кроме п
два других целых числа
/ = 0, 1, ..., п — 1, 1
Ц| = -/, -/+1, ..., /, J <10)
которые носят название азимутального и магнитного
квантовых чисел. Заданному числу п соответствуют rfi линейно
независимых собственных функций. Эти собственные функции
удовлетворяют различным соотношениям (в том числе теореме

52
6. А. ФОк
сложения), на которых мы останавливаться не будем, но
которые имеют самые разнообразные применения как в теории
атома водорода, так и в теории электронных оболочек других
атомов.
Приведенные выше результаты позволяют установить
группу преобразований, допускаемых уравнением Шредин-
гера для атома водорода. Для нас эта группа
преобразований интересна тем, что допускает геометрическое
толкование. В самом деле, из формул (2) видно, что она связана
с группой вращений четырехмерного шара. Таким образом,
эта группа шире, чем группа обычных трехмерных вращений,
наличие которой связано со сферической симметрией атома
водорода; последняя группа является подгруппой первой.
В известном смысле можно сказать, что атом водорода
обладает не только сферической симметрией, но и более
высокой, а именно, симметрией четырехмерного шара. С этим
обстоятельством связана давно известная кратность водородных
уровней по отношению к азимутальному квантовому числу.
Из наших формул вытекает, что при рассмотрении
состояний атома водорода с отрицательной полной энергией
целесообразно приписать пространству импульсов метрику,
соответствующую пространству с постоянной положительной
кривизной. Подобно этому, при положительной энергии
можно ввести метрику с постоянной отрицательной
-кривизной, т. е. метрику пространства с геометрией Лобачевского.
При этом пространство импульсов в целом распадется на
две части; в одной из них будет 0 </? < у^/и/;, а в
другой У2тЕ < р. Вследствие этого, а также вследствие того,
что положительные значения энергии принадлежат к
сплошному спектру, изучение этого случая будет значительно более
сложным. Однако и здесь могут быть применены многие
формулы, найденные для точечного спектра, если считать
в них величину п чисто мнимой.
Рассмотренная задача представляет один из бесчисленных
примеров формального применения идей неевклидовой
геометрии к физике. В дальнейшем мы рассмотрим примеры,
где применение этих идей является менее формальным, так
как там неевклидов характер приписывается не какому-либо
вспомогательному математическому пространству, а
реальному физическому пространству и времени.

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 53
§ 2. Классические уравнения движения заряженной
материальной точки
Тот фундаментальный факт, что в заданном поле
тяготения (и при отсутствии других силовых полей) материальная
точка любой массы испытывает одно и то же ускорение,
позволил Эйнштейну связать закон движения материальной
точки с геометрическими свойствами пространства-времени.
Метрика пространства-времени характеризуется в теории
тяготения Эйнштейна выражением для квадрата элемента дуги
з
ds* = 2 g^dx^dx,*) (1)
или, если мы будем подразумевать суммирование по греческим
значкам от 0 до 3,
ds2 = g^dx[,dx^, (1')
При надлежащем выборе координатной t системы величина х0
есть аналог времени t, а величины л^, л:2, хъ — аналоги
декартовых координат х, у у г. Коэффициенты g^ должны
удовлетворять неравенству g^ > 0 и известным из алгебры
неравенствам, гарантирующим выполнение условия, чтобы при всех
неравных одновременно нулю значениях dxu dx^ dxb было
з
2 gikdXidxk<0.
г, ft «I
При отсутствии поля тяготения можно положить
ds* = с2 dx0* — dx* — dx<? — dxg% (2)
*) Для ковариантных векторов (преобразующихся как
производные по координатам) принято употреблять нижние значки, а для
контравариантных векторов (преобразующихся как дифференциалы
координат) принято употреблять верхние значки. Аналогичные
обозначения применяются для тензоров. Что касается самих координат
(которые не представляют ни ко-, ни контравариантного вектора),
то для них употребляются иногда нижние, а иногда верхние значки.
Мы будем писать координаты с нижними значками;
оправданием этому служит обычное обозначение координат, как
независимых переменных, в рассуждениях, с римановой геометрией не
связанных. При таком условии дифференциалы координат пишутся
в виде dx^ т. е. с нижним значком, несмотря на то, что они
представляют составляющие контравариантного вектора.

54
В. А. ФОК
где с — скорость света. При наличии же поля тяготения
квадратичная форма (1) будет отличаться от (2), причем
(если координатная система выбрана надлежащим образом)
разность между коэффициентами в (1) и в (2) характеризует
поле тяготения. Метрику (2) мы будем называть метрикой
Минковского.
Согласно теории тяготения Эйнштейна, незаряженная
материальная точка произвольной массы движется в поле
тяготения по геодезической линии, соответствующей метрике (1),
Этот закон движения является универсальным, т. е. не
зависящим от массы частицы, по крайней мере до тех пор,
пока эта масса достаточна мала, т. е. настолько мала, что
не влияет на движение других масс, создающих поле
тяготения, так что это поле действительно может рассматриваться
как заданное.
Если же материальная точка заряжена, то на ее
движение оказывает влияние, помимо поля тяготения, также и
внешнее электромагнитное поле. Для заряженной частицы
закон движения перестает быть универсальным, так как он
теперь зависит от ее заряда или, точнее, от отношения ее
заряда к массе.
Однако, как показано в нашей работе 1926 г. [9], можно
и в этом случае формулировать закон движения как
движение по геодезической линии в некотором многообразии. Для
этого приходится рассматривать, кроме трех
пространственных координат и времени, пятый координатный параметр,
играющий роль дополнительной пространственной
координаты и исключаемый затем из уравнений. Таким путем мы
приходим к пятимерной формулировке закона движения
заряженной материальной точки. Метрика пятимерного
многообразия определяется формулой:
^2 = £Vv dx» dx, - -^ (Л, dx4 + daf. (3)
Здесь Л0 = — сФ, где Ф — скалярный потенциал внешнего
электромагнитного поля, Av Л2, Аъ— составляющие
векторного потенциала этого поля. Величина и есть
дополнительный координатный параметр. Входящая в (3) линейная
дифференциальная форма
d'U = A^dx^du

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 55
является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда
электромагнитное поле отсутствует.
Если сохранить обозначение rfs2 для квадратичной
формы (1), то выражение (3) для do2 может быть написано в виде
da* = ds*—^(d'U)*. (4)
Метрика (3) подобрана так, чтобы она могла дать уравнения
движения заряженной частицы. Поэтому естественно, что она
не является универсальной, а зависит от отношения —
заряда к массе частицы.
Составив уравнения геодезической линии для
многообразия (3), мы убедимся, что они допускают интеграл
ds —A* ds + ds -const- W
В силу равенств (4) и (5) будет и — == const., вследствие
чего уравнения геодезической линии сохранят свой вид после
замены do на ds, а именно, мы будем иметь:
(6)
ИГ
_ ei d'U .t, / д\ М, \
тЧ*' ds 'g \дх, dxj
Здесь величины Г£, суть обычные скобки Кристоффеля:
вычисленные для квадратичной формы (1). Согласно (5),
величина -т— в (6) есть постоянная. Для того чтобы правая
часть (6) совпала с обычным выражением для лоренцовой
силы (отнесенной к единице массы), мы должны положить
ГПС* dS ' К '

56
В. А. ФОК
после чего уравнения движения примут вид
d*x* . п« djcv- dx* е /дА* дАЛ dx*
кГпу = —г^И—!1 . (8)
ds* ds ds тс*а \ дх, dx^J ds v
В частном случае, когда поле тяготения отсутствует и
метрическая форма имеет вид (2), мы получаем из (8) в
обычных трехмерных обозначениях:
^-7^= = ^№+^ + ^),
/«-5
d тх „ \ е"/ ' и ' и \
/'-£
W
и два аналогичных уравнения для координат у и г.
Обратим теперь внимание на соотношения (4) и (7). Из
этих соотношений следует, что do = 0. Таким образом, в
нашей пятимерной формулировке траектория заряженной частицы
есть нулевая геодезическая линия в пространстве с метрикой (3).
Уравнения движения могут быть напиейны в форме Гамиль-
тона-Якоби. Уравнение для функции действия S получится,
если мы приравняем нулю квадрат ее градиента в
пятимерном многообразии. Мы будем иметь:
Чтобы перейти к обычной функции действия W, которая
зависит только от координат и времени и производные от
которой по координатам дают количество движения (или
обобщенный импульс), мы должны положить
S~±u+W, (И)
где уже W не зависит от «циклического» координатного
параметра и.
Мы получим тогда
е дх^ дх^ с дх^ ' с2 v v J

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 57
и в частном случае метрики Минковского:
+ *L (ф2 __ Д2) _ т2с2 = 0§ ( 13)
Заметим, что все уравнения в пятимерной формулировке
инвариантны по отношению к преобразованиям вида
4 = 4' + grad/,
^ ^ с dt y
и=и' —/,
где / есть произвольная функция от координат и времени.
§ 3. Квантовое волновое уравнение для частицы со
спином нуль
Переход от уравнений движения классической механики
к волновому уравнению квантовой механики не является
однозначным: частицы с разными квантово-механическими
свойствами могут в классическом приближении удовлетворять
одним и тем же уравнениям движения. Согласно принципу
соответствия Бора, мы должны лишь требовать, чтобы при
достаточно малой длине волны де-Бройля уравнение для
фазы волновой функции переходило в уравнение Гамильтона-
Якоби. Это требование по существу равносильно следующему:
квантовомеханическое волновое уравнение (или система
уравнений) должно иметь в качестве уравнения характеристик
классическое уравнение Гамильтона-Якоби.
• В этом и в следующем параграфах мы рассмотрим два
простейших вида релятивистских волновых уравнений,
удовлетворяющих этому требованию, а именно, скалярное
волновое уравнение и «спинорное» волновое уравнение
(уравнение Дирака). Первое из них было впервые получено
нами [2] и независимо Клейном [8] в 1926 г., причем наша
формулировка включает в себя обобщение на геометрию
Римана. Спинорное волновое уравнение было впервые полу-
(14)

58
В. А. ФОК
чено Дираком в 1928 г. [4] и обобщено нами на геометрию
Римана в 1929 г. [б]. В свете дальнейшего развития квантовой
механики, приведшего к обобщению понятия о спине частиц,
первое (скалярное) уравнение следует понимать как
уравнение для частиц со спином нуль, а второе (уравнение Дирака)—
как уравнение для частиц со спином половина.
Скалярное волновое уравнение может быть получено
весьма просто при помощи нашей пятимерной формулировки
классических уравнений движения. Для этого достаточно
написать обобщенное уравнение Лапласа (или Даламбера) в
пространстве с метрикой (3) (на стр. 54). Обозначая через *Р
волновую функцию, мы будем иметь:
у —-gdXp \ дхч' дидхт,
+(*и—^s-* <о
Обозначим через h деленную на 2тс постоянную Планка и
припомним связь
W ~ eh
между волновой функцией и функцией действия S. (Эта
связь имеет место в приближении «геометрической оптики»,
причем под символом — можно понимать пропорциональность
с множителем пропорциональности, медленно меняющимся
по сравнению с показательной функцией.) Имея в виду
соотношение
с ' '
мы можем положить
Ф = е4ЪГ\ (2)
где уже ф от и не зависит. Уравнение для й принимает вид:
Y-gdx^K* bS dxj he дх,~
+ ■&("** —JV^I^O. (3)

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 59
В метрике частной теории относительности это
уравнение напишется так:
+ ^[т'с'+^(Л'-Ф^ = о. (4)
Это и есть волновое уравнение для частиц со спином нуль.
Заметим, что пятимерное волновое уравнение (1)
инвариантно относительно «градиентного» преобразования
потенциалов вида (14) (на стр. 57). Четырехмерное же волновое
уравнение (4) примет после такого преобразования свой
прежний вид лишь после замены первоначальной волновой
функции <Ь новой волновой функцией
Этот закон преобразования, волновой функции при
добавке градиента к потенциалам также впервые установлен
в нашей работе [2].
§ 4. Волновое уравнение Дирака в геометрии Римана
Перейдем теперь к простейшему из «спинорных»
волновых уравнений, а именно — к уравнению Дирака. В
уравнении Дирака волновая функция имеет четыре компоненты,
совокупность которых преобразуется по определенному
закону, когда координатная система подвергается
преобразованию Лоренца. Закон преобразования волновой функции
связан с двухмерным представлением лоренцовой группы. Для
частной теории относительности (метрика Минковского) этот
закон хорошо изучен уже в первых работах I6],
последовавших за основной работой Дирака [*]; в математике величины
с таким законом преобразования встречались уже раньше
(Картан) [7]. В настоящее время их принято называть
спинорами. Целью нашей работы 1929 г. [5], основные
результаты которой мы предполагаем здесь изложить, является
обобщение уравнения Дирака и связанных с ним
геометрических понятий на геометрию Римана.

60 В. А. ФОК
Уравнение Дирака для частицы (электрона) в
электромагнитном поле имеет вид
(^ + ^я + ^в+ю*а4)Ф + Л>Ф = °- (1)
Здесь alt сс2, а3, ос4 — четыре матрицы Дирака, при помощи
которых можно составить пятую матрицу
Ч = °4а2аЗа4-
Все пять матриц сик удовлетворяют соотношениям
*гЧ + Ч*г = 28tt (i9 A = 1, 2, 3, 4, б)
и являются эрмитовыми. Величины Рк суть операторы
p*=-ihik-iA><- (2)
Имея дело с преобразованиями Лоренца, удобно
обозначать через х0 не время ty а величину x0 = ct и сообразно
этому положить А0 = — Ф,, что и сделано в формуле (2).
Введем числа
е0=1; е1 = е2 = еъ = —1, (3)
позволяющие записать величину ds2 в виде
3
<й»= 2 **<***•• (4)
Преобразование Лоренца, оставляющее форму (4)
инвариантной, и обратное преобразование могут быть написаны в виде
зз
х" = 2 ekaikxk\ х1 = ААекаЫхк1 ^ '
*=0 A:=0
где коэффициенты aik удовлетворяют соотношениям
о о
2 ЗДЛг = * A^J 2 ^i4iaU = *Az- * '
Закон преобразования функции ф в уравнении Дирака
напишется в виде
^ = ЭД Г = ф5+, (6)

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 61
где S — некоторая матрица, а 5+ — матрица с комплексно-
сопряженными и транспонированными элементами. Вид
матрицы S определяется из требования, чтобы после
преобразования Лоренца (5), сопровождаемого преобразованием (6)
волновой функции, уравнение Дирака для новой функции ф"
сохранило свой вид (с прежними численными матрицами ак).
В дальнейшем мы будем рассматривать собственные
преобразования Лоренца (без отражений). Тогда можно
подчинить матрицу 5 уравнениям
з
(7)
где мы для симметрии обозначили через а0 единичную матрицу.
Можно показать, что такая матрица 5 действительно
существует и (при заданном виде матриц ак) определяется с
точностью до знака однозначно.
Составим теперь величины
Я« = ФМ>. (8)
которые являются эрмитовскими билинейными формами от
составляющих ф и ф. Из формул (5) и (7) нетрудно *заклю-
чить, что B0i Bit B2, Вь преобразуются как координаты,
т. е. как контравариантные составляющие четырехмерного
вектора, тогда как В± и Въ являются инвариантами*). При
этом величины Bi связаны соотношением
Bf + Bf + Bf+Bf + BS^Bf, (8')
из которого следует, что четырехмерный вектор £0, Bv В%,
Б3 имеет тот же характер, как и четырехмерная скорость
(характер времени).
Предыдущие формулы относились к геометрии частной
теории относительности с метрикой Минковского (4). При
обобщении их на геометрию Римана мы встречаемся со
своеобразной трудностью: наперед не ясно, что следует разуметь
*) По отношению к полной группе Лоренца J34 является
скаляром, а Вь — псевдоскаляром.

62
В. А. ФОК
под инвариантностью уравнения Дирака. В частной теории
относительности мы называли уравнение инвариантным, если
после преобразования Лоренца, сопровождаемого
преобразованием функции ф, оно приводилось к первоначальному виду
с прежними численными матрицами акщ, Очевидно, что это
определение инвариантности нельзя сохранить в геометрии
Римана, так как там матрицы будут функциями от координат.
С другой стороны, просто отбросить его тоже нельзя, так
как тогда вид уравнения останется в широкой мере
произвольным.
Указанная трудность может быть устранена путем
введения в каждой точке пространства-времени своей локальной
прямоугольной системы осей (которую мы в дальнейшем
будем называть я-эдром), причем, конечно, направления осей
в бесконечно близких точках должны быть бесконечно
близкими. Мы можем тогда потребовать, чтобы по отношению
к произвольным поворотам я-эдра уравнение Дирака было
инвариантным в прежнем смысле, но чтобы, кроме того, оно
было ковариантным по отношению к произвольным
преобразованиям координат.
С этим последним требованием связана вторая трудность,
которая состоит в том, что входящие в уравнение Дирака
производные от спинора <|* по координатам уже не будут
сами спинорами. Поэтому для получения инвариантного
уравнения необходимо ввести понятие о ковариантной
производной от спинора, притом так, чтобы это понятие находилось-
в согласии с понятием о ковариантной производной от вектора.
Это может быть достигнуто путем рассмотрения
параллельного переноса спинора.
В дальнейшем нам придется рассматривать два рода
составляющих вектора или тензора: обычные составляющие
(ковариантные или контравариантные) и ортогональные соста»
вляющие, соответствующие направлениям я-эдра. Мы будем,
как правило, обозначать оба рода составляющих одной и той
же буквой, отмечая ортогональные составляющие штрихом
наверху (В'к). Координаты будут нумероваться греческими
значками, а направления я-эдра — латинскими значками.
Значки пробегают всюду значения 0, 1, 2, 3. Мы будем
опускать знак суммы в случае суммирования по греческим
значкам; для латинских же мы будем его писать.

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 63
В качестве направлений осей я-эдра в каждой точке мы
будем брать направления касательных к четырем
ортогональным семействам кривых, проходящих через эту точку.
Направление касательной к кривой &-го семейства мы
будем характеризовать «параметрами» h\ или
«моментами» hktQl. Соотношения между обыкновенными и
ортогональными составляющими вектора *) напишутся так:
з
I
7* = 0
я*' = яА'; я. = 2«*в*Ч.« (9)
В частности, для метрики (4) мы можем взять в качестве
осей я-эдра обычные координатные оси и положить
Чс = 1 О
**• = ** (°
= *); *м = ° (■=£*). \ ПОч
= *); V = 0 (офк). J 1 )
Тогда ортогональные составляющие смещения dsk совпадут
с дифференциалами координат, а ортогональные
составляющие (рг-) градиента некоторой функции ср будут связаны
с частными производными от этой функции соотношениями
\ds)1c~ei£ "dFjc'
Аналогичные соотношения будут иметь место для других
ковариантных векторов. В частности, для оператора (2) ты
должны положить
и писать уравнение Дирака (1) в виде
з
(2'*«*/У + 1И*«4)ф = 0. (12)
*) В некоторых сюда относящихся формулах нашей основной
работы [б) имеется несогласованность знаков, которая здесь
исправлена.

64
В. А. ФОК
Возвращаясь к общему случаю пространства Римана, мы введем
коэффициенты вращения Риччи:
Тш = < W) **, pV = (V Ар) W. (13)
где Ve есть символ ковариантного дифференцирования.
Напомним, что величины уы антисимметричны относительно
первых двух значков:
Тш + Тш = 0.
Рассмотрим в общем пространстве Римана параллельный
перенос вектора и спинора.
Приращение обычных ковариантных составляющих вектора
при бесконечно малом перемещении dxa равно
ЬВ^ = ^ВайхЧ9
где r£v суть скобки Кристоффеля (см. стр. 55). Для
ортогональных составляющих соответствующее выражение напишется
з
8В/= S ЧегЪыВъ dsh (14)
где dsl суть ортогональные составляющие перемещения.
С другой стороны, приращение составляющих спинора
должно иметь вид
8Ф = 2?А*1Ф, (15)
где Сг — матрицы.
Но мы видели, что из составляющих спинора можно
построить по формулам (8) вектор и два инварианта. Эти
формулы относились к метрике (4) с постоянными
коэффициентами, но мы можем применить их и к геометрии Римана,
если будем разуметь под входящими в (8) величинами Вк
ортогональные составляющие Вк по осям я-эдра. [В отличие
от (11), множителя ек здесь вводить не нужно, так как
определяемый формулами (8) вектор является контравариантным,
т. е. его составляющие преобразуются так же, как координаты.]
Таким образом, если мы положим
В*=М (£-0,1,2,3,4,5), (16)

(17)
ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 65
где ак — численные матрицы Дирака, то при параллельном
переносе одновременно должны иметь место следующие
соотношения: приращение спинора ф должно определяться
формулой (15), приращения величин В0} В'и В2у Вь должны
определяться формулой (14), а приращения величин в\ и
55 должны равняться нулю:
Все эти соотношения будут совместны, если четыре
матрицы Сг удовлетворяют условиям
з
Из этих условий матрицы Сг определяются с точностью до
слагаемого, пропорционального единичной матрице (с чисто
мнимым коэффициентом пропорциональности). Мы будем
иметь:
8
Сг===Т D ««VftTmM + Wi'. (18)
где Ф&—вещественные числа.
Имея закон (15) параллельного переноса спинора, мы
можем написать выражение для его ковариантной
производной:
W-(S),-CA (19)
где символ (~г-) нужно разуметь в смысле
\ds\-
Оставшиеся неопределенными величины Ф; мы можем найти
из условия, чтобы в пространства Минковского оператор Pi,
входящий в уравнения Дирака [написанные в виде (12)],
совпадал с оператором
р»'в-*(($),-<*)■ (20)

66 В. А. ФОК
Для этого достаточно положить
где А{ — ортогональная составляющая векторного потенциала.
С этим значением Р{ уравнение Дирака напишется так же,
как в пространстве Минковского, а именно:
з
- '* 2 ек*ь (Ш ~ Щ + тса^ - °- <21>
А = о \ к /
Заметим, что здесь матрицы ак стоят слева от матриц Ск.
Входящая в уравнение (21) сумма произведений матриц
2 еьакСк может быть выражена через матрицы а^. (А = 0,1,2, 3)
к
и через коммутирующую с ним матрицу
р =■ — *«1«аа8. (22)
Чтобы записать результат, определим два квази-вектора:
8
/j=-J ^j eiekel*jm*tikl*
itk>l*=Q
(23)
где е^ш вполне антисимметричный тензор, причем зот = 1.
Мы будеМ тогда иметь:
-»2*»((£).-£4'н4**) +
3
Предположим, что рассматриваемое пространство Римана
таково, что в нем можно ввести ортогональную систему
координат (что не имеет места в общем случае). Мы можем

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИЙ & ФИЗИКЕ 67
тогда положить
hi == 77Г» h*> i~Hi> ft = ®>
1 *i
(26)
тогда как ft/ и А^в с неодинаковыми значками равны
нулю. Уравнение (24) примет вид:
ь
4-ш?а4ф = 0. (26)
В частном случае, когда все Я^ равны единице, мы
возвращаемся к исходному уравнению Дирака (1). Формулу (26)
удобно применять также для написания уравнения Дирака
в ортогональных криволинейных координатах в обычном
пространстве.
Чтобы написать уравнение Дирака в координатной форме
для общего пространства Римана, достаточно ввести матрицы
т'=2«*М*в; г.= 2**Ч.с*. (27)
после чего оно примет вид
— tor{$ — W) + mc*^*=°- <28>
Можно показать, что полученное нами уравнение
удовлетворяет всем поставленным выше требованиям инвариантности.
На доказательстве этого, а также на исследовании
соответствующего уравнению (28) тензора материи и уравнений
движения мы здесь останавливаться не будем.
В заключение заметим, что главное значение изложенных
в этом и в предыдущем параграфах обобщений квантовых
волновых уравнений на геометрию Римана не столько в их
физических приложениях, сколько в формальной стороне
вопроса: введении новых геометрических понятий (например»

68
В. А. ФОК
понятия спинора) в геометрию Римана и установлении
формальной связи между квантовой механикой и теорией
тяготения. Полученные нами уравнения нашли себе применение
к задаче о квантовании гравитационных волн и к
исследованию их взаимодействия с элементарными частицами. При этом,
однако, квантовые эффекты взаимодействия частиц с
гравитационным полем оказались по своей малости недоступными
наблюдению. Поэтому полученные нами здесь результаты
занимают как бы промежуточное положение между
формальным развитием идей Лобачевского о неевклидовой геометрии
и приложением этих идей к изучению явлений природы, т. е.
между теми двумя основными направлениями, о которых мы
говорили в начале этой статьи.
§ 5. Проблема движения масс в теории тяготения
Эйнштейна
Наиболее непосредственное свое применение к природе
идеи Лобачевского находят в теории тяготения Эйнштейна,
Основная идея этой теории в ее современном понимании
состоит в следующем. Геометрия реального физического
пространства и времени не есть геометрия Евклида, а
представляет более сложный вид геометрии — геометрию Ркмана.
Отклонения геометрии от евклидовой проявляются в природе,
как поле тяготения. Характер геометрии неразрывно связан
с распределением тяготеющих масс и их движением. Связь
эта—взаимная: с одной стороны, отклонения геометрии от
евклидовой обусловлены наличием тяготеющих масс и, с
другой стороны, движение масс в поле тяготения обусловлено
отклонениями геометрии от евклидовой. Короче можно сказать,
что массы создают геометрию, а геометрия определяет их
движение.
Уравнения тяготения Эйнштейна содержат в себе обе
стороны указанной связи между геометрией и массами: они
представляют не только уравнения поля, но и уравнения
движения. Это важное обстоятельство было раскрыто лишь
много лет спустя после создания Эйнштейном его теории и
после формулировок им его уравнений. Первый шаг к
выяснению этого обстоятельства был сделан в работах
Эйнштейна 1927 г. I8], а более полные результаты были полу-

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 69
чены свыше 10 лет спустя, в работе Эйнштейна с
сотрудниками [9] и независимо в нашей работе [10], основное
содержание которой мы предполагаем здесь изложить.
Наша работа отличается от эйнштейновской не только
своим методом и некоторыми дополнительными результатами,
но и другой точкой зрения на всю проблему, что привело
нас к постановке и частичному решению некоторых новых
вопросов, не затронутых у Эйнштейна.
Ввиду того, что наша точка зрения на всю теорию
относительности также отличается существенным образом от точки
зрения Эйнштейна, мы предпошлем изложению наших
результатов сопоставление обеих точек зрения на рассматриваемую
теорию.
Эйнштейн рассматривает созданную им теорию, как
обобщение частной теории относительности (которая является
теорией относительности скоростей) на произвольные
ускоренные движения и видит в ней как бы теорию
относительности ускорений. Отсюда происходит и название «общая
теория относительности», данное теории ее автором. В связи
с этим Эйнштейн считает наиболее существенным отличием
своей «общей» теории от частной ковариантность уравнений
по отношению к произвольным преобразованиям координат.
Даваемое «общей» теорией объяснение явления всемирного
тяготения Эйнштейн рассматривает прежде всего как
обобщение формулированного им ранее принципа эквивалентности
между полем ускорений и полем тяготения.
Мы считаем такой взгляд на «общую теорию
относительности» неправильным и самое ее название не соответствующим
ее содержанию. Наша точка зрения была уже кратко
изложена в начале этого параграфа. С нашей точки зрения теория
Эйнштейна есть исключительно теория всемирного тяготения,
причем она охватывает обе стороны этого явления: как
порождение поля тяготения массами, так и движение масс в этом
поле. Существенным отличием теории тяготения Эйнштейна
от частной теории относительности является отнюдь не
ковариантность уравнений и не различие в трактовке ускорения,
а гипотеза о том, чтс^еальное, физическое пространство и
время обладают римановой геометрией, подчиненной
уравнениям тяготения Эйнштейна. В формальном отношении
единственным отличием так называемой «общей» теории относи-

70
В. А. ФОК
тельности от частной является вид уравнений, определяющих
метрику пространства и времени. Если бы мы вместо
уравнений Эйнштейна для тензора кривизны второго ранга приняли
в качестве основных уравнений равенство нулю тензора
кривизны четвертого ранга, мы вернулись бы к частной
теории относительности, сохранив всеобщую ковариантность
уравнений. Это простое соображение показывает, что в
отношении ковариантности частная и общая теории
относительности находятся в абсолютно тождественном положении:
уравнения - той и другой теории допускают одну и ту же
группу преобразований. Отсюда следует, что и в отношении
ускорения если и есть различие между частной и общей
теорией, то оно происходит не от различия в ковариантности
этих теорий, а от других причин, например, от возможности
поставить для метрического тензора одинаковые предельные
условия на бесконечности. О наших взглядах на природу
ускорения мы еще будем говорить в дальнейшем.
Наконец, чтб касается принципа эквивалентности, то хотя
он и играет важную роль при построений теории, но эта
роль аналогична роли принципа соответствия при построении
квантовой механики: он дает указания на то, во что должны
переходить искомые уравнения в некоторых предельных
случаях. Принцип эквивалентности имеет строго локальный
характер (в пространстве и во времени) и применим лишь
для слабых и однородных полей и для медленных движений:
лишь при этих условиях можно приближенно заменить поле
ускорения полем тяготения и обратно. Как общий принцип,
который бы охватывал движения с любыми скоростями,
принцип эквивалентности вообще неверен. Сделанная
Эйнштейном (еще до создания им теории тяготения) попытка
применить его к явлению распространения света привела
к вдвое меньшему значению величины отклонения луча света,
проходящего мимо Солнца, чем это следует из теории
тяготения.
Мы подробно остановились на изложении нашей точки
зрения на эйнштейновскую теорию тяготения потому, что
точка зрения самого Эйнштейна, которую мы считаем
неправильной, поныне является господствующей.
Помимо указанных, можно отметить еще различия во
взглядах на возможность связи между теорией тяготения и

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ-НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 71
вопросами структуры элементарных частиц. Эйнштейн
настойчиво ищет такую связь, руководствуясь при этом идеей
объяснения элементарных частиц как особенных точек^ поля
(также и гравитационного). Внимание, уделяемое Эйнштейном
построению различных вариантов «единой» теории поля,
а также неполное и условное признание Эйнштейном
квантовой механики, несомненно, имеет своей основой надежду
объяснить элементарные частицы, как особенные точки поля.
В той проблеме, которая нас здесь особенно интересует,—
проблеме движения масс в создаваемом ими же поле
тяготения— эти стремления Эйнштейна сказываются в том, что
он рассматривает массы как точечные особенности, несмотря
на связанные с этим математические противоречия.
Как мы неоднократно подчеркивали, с нашей точки
зрения «общая» теория относительности есть исключительно
теория тяготения, а так как силы тяготения начинают играть
преобладающую роль лишь для тел макроскопического, или
даже астрономического, масштаба, то нам представляется
ясным, что теория тяготения не может иметь прямого
отношения к вопросам структуры элементарных частиц, Заметим,
что в этом пункте лишь немногие физики разделяют точку
зрения Эйнштейна.
Что касается масс, как точечных особенностей, то в
применении к небесным телам такая точка зрения отпадает в силу
того факта, что даже внутри сверхплотных звезд отклонени
метрики от евклидовой чрезвычайно малы. Если же взять
тело с массой, равной массе Луны, то на поверхности такого
тела метрика будет заметно отличаться от евклидовой лишь
в том случае, когда вся масса тела сосредоточена в шаре
радиусом порядка 53 микронов (гравитационный радиус Луны).
Это число говорит само за себя. Можно было бы
рассматривать представление о точечных массах как идеализацию задачи,
делаемую в целях математической простоты. Но такая
идеализация недопустима потому, что вблизи особенной точки
становятся неприменимыми те ряды, в форме которых ищется
решение.
В силу сказанного, при рассмотрении проблемы движения
масс в создаваемом ими поле тяготения представление о
точечных массах приходится отбросить с самого начала. В нашей
работе мы поэтому рассматриваем небесные тела не как

72
В. А. ФОК
особенные точки, а как особенные области, в том смысле,
что внутри них (и только внутри них) тензор материи
отличен от нуля. При таком рассмотрении возникает
дополнительная задача определения тензора материи внутри масс. Решение
этой задачи будет, естественно, зависеть от тех физических
предположений, которые при этом делаются. Мы введем
предположение, что тела обладают (по крайней мере в первом
приближении) сферической симметрией, причем плотность
каждого из них является заданной функцией от расстояния
от его центра.
Переходим к математической формулировке нашей задачи.
Уравнения тяготения Эйнштейна имеют вид:
/Г-^'/?==--^7Л (1)
где R^ есть контравариантный тензор кривизны второго
ранга, R— его инвариант, 7^' — тензор материи и f —
ньютоновская постоянная тяготения. Величину R^ можно
написать в виде
ЯГ = -1 g« -^ Fv + Кр Г^. (2)
2 дха дхр
Здесь Г«р — скобки Кристоффеля (см. стр. 55), а Т^ —
величины, полученные из них поднятием значков:
Величины Т^ могут быть написаны в виде
1 2\g dxa^g дха дха L P W
где
Г = ^Х- (3')
Если бы метрика была известна наперед, то тензор
материи содержал бы, для данной физической модели, только
функции, характеризующие состояние ее движения и
связанные соответствующим числом уравнений. Например, для
чисто-механической задачи он содержал бы плотность и
давление (связанные уравнением состояния) и три независимые

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 73
составляющие скорости, всего четыре независимые величины.
Для этих четырех «механических» неизвестных функций мы
имели бы четыре уравнения (равенство нулю четырехмерной
расходимости тензора материи).
Особенностью нашей задачи является то, что не только
входящие в тензор материи «механические» неизвестные
функции, но и сама метрика нам наперед не известны. Поэтому
тензор материи будет содержать также, в качестве
неизвестных функций, составляющие метрического тензора.
Таким образом, правые части уравнений Эйнштейна отнюдь
не являются известными функциями от координат. Даже
после того, как мы остановимся на определенной физической
модели, например, будем рассматривать систему п тел
(скажем, Солнце и планеты), обладающих, в известном
приближении, сферической симметрией, мы можем наперед сказать
про тензор материи 7V только то, что он равен нулю вне
масс. При этом самое расположение и движение масс (а
значит и областей, где тензор материи отличен от нуля) нам
наперед не известно и подлежит определению из уравнений
и из начальных условий.
Из сказанного ясно, что определение компонент тензора
материи, как функций от координат, может быть
произведено только совместно с определением метрического
тензора.
Задача эта облегчается тем, что тензор материи «мало
чувствителен» к метрике: в исходном приближении можно
взять для его колЛюнент (или, по крайней мере, для
некоторых из них) евклидовы значения и затем уточнять их путем
последовательных приближений. При решении задачи можно
применить также своего рода «полуобратный» метод: искать
для gw такие значения, которые, будучи подставлены в левую
часть уравнений Эйнштейна, дадут для тензора материи
в правой части выражения, могущие быть истолкованными
в соответствии с определенной физической моделью.
Подсчитаем число уравнений и число неизвестных
функций нашей задачи для того случая, когда никакие другие
поля, кроме поля тяготения, не рассматриваются (т. е. когда
задача — чисто механическая). Тензор материи содержит
тогда, как мы видели, четыре «механические» неизвестные
функции и десять компонент метрического тензора. Те же

74
В. А. ФОК
десять компонент входят в левые части уравнений Эйнштейна
(в тензор кривизны). Всего имеется четырнадцать
неизвестных функций. Для них мы имеем десять уравнений (1),
следствиями которых являются четыре соотношения,
выражающие равенство нулю расходимости тензора материи. Таким
образом, для 14 функций имеется 10 уравнений. Отсюда
ясно, что в такой постановке задача не является еще, в
математическом отношении, вполне определенной. Причина этого
очевидна: уравнения Эйнштейна допускают произвольные
(при соблюдении известных неравенств) преобразования
координат. Упомянутые неравенства выражают тот факт, что
одна из координат должна иметь характер времени, а другие
три — пространственный характер. (Мы называем
координаты пространственными в том случае, когда кинематически
возможно такое движение материальной точки, в котором эчи
координаты постоянны.)
Чтобы сделать задачу определенной, нам нужно еще
фиксировать координатную систему (или, по крайней мере,
свести допустимые ее преобразования к возможно более
узкой группе). На вопросе о выборе координатной системы
мы остановимся несколько подробнее.
Прежде всего, желательно координаты, т. е.
независимые переменные в уравнениях тяготения, выбрать так,
чтобы эти уравнения по возможности упростились. Это
соображение диктует наложение на координатную систему
следующих условий:
Г = 0, (4)
где Tv есть величина (3'). В самом деле, тогда входящие
в (2) величины Г*\ определяемые формулой (3), также будут
равны нулю, и составляющая /?^v тензора кривизны будет
содержать вторые производные только от одной
(одноименной) составляющей g^4, причем эти производные
группируются в виде оператора Даламбера. Удовлетворить же
условию (4) всегда возможно, как это видно из следующих
соображений. Оператор Даламбера от некоторого скаляра <р
в пространстве с данной метрикой имеет вид:
0?-^-U riL. (5)
дх^ дх^ дхч

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕДФИИ К ФИЗИКЕ 75
Поэтому, чтобы удовлетворить условию (4), достаточно взять
в качестве независимых переменных х0, хи х%, х% четыре
независимых частных решения уравнения □<£ = 0.
Координатную систему, удовлетворяющую условиям (4), мы будем
называть гармонической.
Дальнейшие условия, которым мы подчиним нашу
координатную систему, требуют привлечения физических
соображений. Астрономические наблюдения показывают, что
распределение масс в пространстве имеет островной характер.
Так, Солнечная система отделена от ближайшей звезды
расстоянием, чрезвычайно большим по сравнению с размерами
системы. То же можно сказать о расположении нашей
галактики по отношению к другим галактикам. Поэтому
допустимой идеализацией будет представление об изолированной
в пространстве системе масс. На достаточно далеком
расстоянии от такой системы (математически — на бесконечности)
мы можем предположить пространство и время
псевдоевклидовым. Тогда мы можем потребовать, чтобы наша
координатная система была такова, что на бесконечности ds*
принимает вид
ds* = (gr Д, dx^ dx^c* Ar0* — dx{—dx£ — dx^. (6)
Тем самым фиксируются предельные значения
фундаментального тензора.
Далее, из представления об изолированной системе масс
естественно вытекает предположение, что извне к нашей
системе не приходят никакие гравитационные волны. Это
позволяет наложить на фундаментальный тензор условия
излучения на бесконечности.
Строгая формулировка этих условий для произвольной
метрики представляет еще не решенную математическую задачу.
Однако, пользуясь тем,^ что на бесконечности метрика
приближается к псевдоевклидовой, мы можем, по крайней мере
приближенно, напиезть их в следующем виде.
Пусть t—x0\ /- = "K^i24"л^ + ^з2' Тогда должно быть:
| (г+ /-<,)• ?|<М?, 1
„m(iM + IiM) = of (7)
г_юД дг ~ с dt J ? j

76
В. А. ФОК
где г0 и Л/9 — постоянные и <р — любая из величин
Условия (7) должны соблюдаться для всех значений t
(—со < t < -j"-00)- Условия излучения должны
гарантировать однозначность решения уравнения Даламбера: функция,
удовлетворяющая во всем пространстве обобщенному
уравнению Даламбера и удовлетворяющая условиям излучения
на бесконечности, должна тождественно равняться нулю.
В том приближении, в каком мы будем решать
уравнения Эйнштейна, поставленные три условия: условие
гармоничности (4), условие евклидовости на бесконечности (6) и
условия излучения (7) определяют координатную систему
*о> xv x2* хъ единственным образом, с точностью до
преобразования Лоренца с постоянными коэффициентами *).
Представляется весьма вероятным, что это имеет место не только
в нашем приближении но (при надлежащей формулировке
условия излучения) и строго. Такой вывод имеет большой
принципиальный интерес, так как приводит к новой точке
зрения на вопрос о координатных системах в теории
тяготения Эйнштейна и на связанный с ним вопрос о природе
ускорения. Общепринятый взгляд, согласно которому в
теории тяготения Эйнштейна не существует никакой
привилегированной системы координат, должен быть отвергнут как
несостоятельный. На самом деле, не только в отношении
ковариантности, но и в отношении привилегированной системы
координат, в теории тяготения дело обстоит в точности
так же, как в частной теории относительности:
привилегированная система координат существует, но мы вправе
пользоваться не только ею, но и всякой другой, удобной
для решения данной задачи. Возможность перехода к другой
системе, разумеется, никак не влияет на следствия,
вытекающие из существования привилегированной системы.
Отметим наиболее важное из таких следствий:, поскольку
привилегированная система ко.ординат определяется с точностью до
преобразования Лоренца, ускорение в ней имеет абсолютный
*) Само собою разумеется, что это преобразование Лоренца —
одно и то же во всем пространстве, в том числе и там, где геоме-
трия заметно отличается от евклидовой.

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 77
характер. Под этим мы разумеем следующее: если ускорение
равно нулю в какой-нибудь одной привилегированной системе
координат, то оно равно нулю и во всякой другой
привилегированной системе координат. Таким образом, наличие
ускорения есть свойство, которое от выбора
привилегированной системы координат не зависит, а имеет
объективный характер, и следовательно обусловлено физическими
причинами. В силу этого и вопрос о том, не является ли
с точки зрения теории тяготения Эйнштейна
гелиоцентрическая система Коперника равноправной с геоцентрической
системой Птоломея, получает отрицательный ответ (см, нашу
статью [п]).
Сказанное относится к тому случаю, когда
рассматриваемое распределение масс имеет (как в Солнечной системе)
островной характер, в силу которого мы вправе ставить на
бесконечности условие евклидовости и условие излучения.
Хотя островной характер распределения масс является, пови-
димому, в природе преобладающим, мыслимы и такие
случаи, когда он не имеет места. Если бы оказалось
необходимым ввести иное предположение о распределении масс,
то вопрос о предельных условиях для метрического тензора
и о том, какую систему координат следует рассматривать
как «привилегированную», пришлось бы пересмотреть заново.
Впрочем, это уже относится к области космологии, не
связанной непосредственно с теорией всемирного тяготения
как физического явления.
Вернемся теперь к уравнениям Эйнштейна. Поставленные
нами условия фиксируют выбор независимых переменных.
Нам остается еще сделать определенный выбор искомых
функций. В качестве таковых удобнее всего брать не кова-
риантные и~ не контравариантные компоненты метрического
тензора, а величины
где, как и раньше,
g = Det g^.
Мы имеем
р = ]__ Ml.
(8)
(9)

78
В. А. ФОК
Если воспользоваться этим выражением для Г\ то условия
гармоничности координатной системы примут вид:
т. е. они будут линейными для искомых функций. В этом
состоит первое преимущество нашего выбора. Второе
преимущество состоит в том, что по умножении на (— g)
левая часть уравнений Эйнштейна приводится к виду
где многоточием обозначены члены, уже не содержащие [при
условии (10)] вторых производных. Таким образом,
величина g^ оказывается (приближенно) связанной только с одной
(одноименной) компонентой Т^ тензора материи.
Предельные значения g^v равны
^оо = 1; gika^aik; ^ = 0 (/, 4=1, 2, 3), (12)
причем разности между gf и их предельными значениями
удовлетворяют на бесконечности условиям излучения.
Идея применяемого нами метода решения уравнений
состоит в разложении искомых функций по степеням
обратной величины скорости света с. После перехода к
безразмерным величинам это соответствует разложению по степе-
U v* Т7
ням двух величин — и —£-, где ^ есть ньютонов
потенциал и v — некоторая средняя скорость движения масс.
U с/2
Обе величины ^ и т предполагаются малыми по
сравнению с единицей и одного и того же порядка малости.
Исходным приближением будут значения (12) величин g^ и
значения составляющих Т00 и Г°?:, соответствующие евклидову
пространству.
Массы и плотности тел мы будем обозначать буквами
тф тЬу ... и соответственно ра, рь, ... . Декартовы
координаты массы та в момент времени t будут
ax(t\ a2{t\ a^{t),

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 79
а плотность рл будет зависеть только от разностей
координат
Ра = Ра[*1 —М0> *9 —МО. *8 —МО]- (13)
В исходном приближении составляющие Г00 и T0i (г= 1, 2, 3)
будут равны
7°*':
1 V *
7F 2<prtfl"
(14)
где
Что касается пространственных составляющих Tiky то
для определения главных членов в них нужно перейти к
следующему приближению. A priori можно сказать, что они
будут вида
та-^%М"ь+Т**к>
(15)
где Т*** есть непрерывная функция от координат с
ограниченными первыми производными (члены же, содержащие ра,
будут терпеть разрыв на границах областей, занятых материей).
Вид дополнительного члена Т*4к будет определен ниже
[третья формула (22) на стр. 81].
Мы не можем здесь передавать сколько-нибудь подробно
ход вычислений, а укажем лишь основные этапы.
Первые члены разложения величин g^ по обратным
степеням с будут иметь вид:
с *^ с^ **°
с°
с»
С»
+ ....
gik =
■сЬ,
ik~
45,й
+
(16)

80
В. А. ФОК
Первым приближением мы будем называть следующие
выражения для g^:
4i/,
f-
к
"ik-
(17)
Уравнения для величин U и £/^ получатся, если в
выражении (11) отбросить все члены, обозначенные там многоточием,
заменить коэффициенты g*$ их предельными значениями и
отбросить вторые производные по времени и если, с другой
стороны, воспользоваться выражениями (14) для
составляющих Г00 и Г°*. Мы будем иметь:
а
-4«т 2р<А-
(18)
где Д есть обыкновенный оператор Лапласа,
Отсюда ясно, что U есть ньютонов потенциал тяготения,
а величины £/^ аналогичны составляющим векторного
потенциала. В предположении сферической симметрии масс мы
можем написать для области вне масс выражения:
U
Lk \r — a\ '
а
Wa
Внутри массы та потенциал U будет иметь вид:
(19)
(20)
где
есть потенциал от остальных масс, тогда как иа есть
потенциал самой массы та.
При составлении уравнений второго приближения мы
должны учесть члены g первыми производными? заменив в ци%

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 81
величины gvv их значениями из первого приближения. Мы
получим тогда:
1c 8 ■ 2c3 dfi ' e3 dt дх{ I (21)
ев 2л\дх, dxj дха i U\c*J'
8=1
-(*)(«"-1«"в)-5*^-^-¥ +
+£££-* *"«*+o(£). I
Вне масс эти выражения равны нулю. Внутри же масс они
пропорциональны соответствующим компонентам тензора
материи, которые должны быть определены одновременно с
поправками к величинам gr*m
Нижеследующие выражения для 7V находятся в согласии
как с формулами (21) для тензора Эйнштейна, так и с
формулами (14) и (15) первого приближения.
^-■3-0-e)Sp.[»+^K"-^e)«)]. 1
a
+lv»; l(22)
' Зс4 АЛ ™ г
a
т=-к 2 р-^»+-йг 8« S *••

82 в. а. фок
В этих формулах мы обозначили через va скорость
массы та, так что
Величина же <1>а = ^а (\г — а[) есть, подобно ра, функция
от расстояния от центра массы та, равная нулю вне этой
массы. Эта величина определяется следующим образом.
Перенесем начало координат в центр массы та и обозначим
через г расстояние от него. Мы можем тогда положить
оо
Ыг) = -*$ PaW^dr, (23)
Г
где иа есть входящий в формулу (20) потенциал массы та>
связанный с плотностью ра уравнением
Заметим, что интеграл
оо
о
равен абсолютной величине взаимной потенциальной энергии
частиц, составляющих массу та. Величину tya мы можем
поэтому назвать плотностью потенциальной энергии.
Рассмотрим теперь уравнения Эйнштейна, в которых тензор
Эйнштейна заменен выражениями (21), а тензор материи —
выражениями (22). Решая эти уравнения, мы можем получить
явные выражения, притом в конечном виде, для величин gt".
Из этих выражений мы выпишем только у —-2 и g00. Мы
имеем:
i/~rJ—l I ! V ^д (\ v<?\ I
V С2 1"Т~ С2 ^J |Г — «IV 2с2;~Г
а
а
Таким образом, корень четвертой степени из абсолютной
величины определителя g является в данном приближении

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 83
а
линейной функцией от масс и удовлетворяет вне масс
уравнению Даламбера
^--?-& = ° <25>
с евклидовыми коэффициентами. [Последний член в (24) можно
толковать как поправку на запаздывание.]
Величину g00 можно представить в виде
если разуметь под U выражение
"-Si^Mll+iw-u,,,w)}+
а
которое можно назвать обобщенным ньютоновым потенциалом
так как он удовлетворяет вне масс уравнению Даламбера (25)
и мало отличается от обычного ньютонова потенциала (19).
К выражению для U мы вернемся в дальнейшем.
Обратим теперь внимание на следующее важное
обстоятельство. Искомые функции g^ должны, кроме
рассматриваемых уравнений, удовлетворять также условию гармоничности
и условиям на бесконечности и быть конечными и
однозначными во всем пространстве. Оказывается, однако, что всем
этим условиям нельзя удовлетворить при произвольном виде
входящих в наши формулы функций аД*), ** (0> • • • Иными
словами, движение масс не может быть предписано произвольным
образом. Решение с требуемыми свойствами существует
только, если координаты масс удовлетворяют определенным
уравнениям, которые и являются уравнениями движения для масс.
В том приближении, в каком справедливы выражения (218)
для пространственных компонент тензора Эйнштейна, условия
разрешимости уравнений тяготения имеют вид
ma~tF dot ' W>
где
2 Zd \а — Ъ{ ^ ;
афЬ

84
В. А. ФОК
есть обычная ньютонова потенциальная энергия системы тел.
Таким образом, в данном приближении условия разрешимости
приводят к обычным уравнениям движения Ньютона.
Рассмотрим значение обобщенного ньютонова потенциала U
[формула (26')] на большом расстоянии от всех масс. Заменяя
каждое из расстояний \г — а\ расстоянием г от центра тяжести
и отбрасывая последний член в (26/), представляющий поправку
на запаздывание, мы можем написать
и = Цм + £), (28)
где мы положили
М = ^та; £=2тотЛ2 + ф> (28')
а а
так что М есть сумма масс, а Е— полная энергия системы
тел в ньютоновом приближении. В силу уравнений движения
(которые являются следствием уравнений Эйнштейна),
величина Е есть постоянная, так что U есть строгое решение
уравнения Даламбера и поправка на запаздывание равна нулю.
Полученная формула для ньютонова потенциала тяготения
показывает,, что на весьма больших расстояниях от нашей
системы тел притягивающее действие оказывает не только
сумма масс отдельных тел, но также и их кинетическая и
потенциальная энергия. При этом сумма масс комбинируется
с полной энергией в сочетании М-\-—^у соответствующем
закону эквивалентности массы и энергии. Таким образом, и
этот закон уже содержится по существу в уравнениях
тяготения Эйнштейна.
Мы получили уравнения движения в форме Ньютона
потому, что ограничились в уравнениях тяготения данным
приближением. Чтобы получить поправки к ньютоновым
уравнениям, необходимо перейти к следующему приближению.
Для этого нужно дополнить выражения (218) для тензора
Эйнштейна членами порядка -g и ввести соответствующие
поправки в тензор материи. Приравнивая полученные
выражения, мы придем к исправленным (по сравнению с
предыдущим приближением) уравнениям тяготения Эйнштейна. Затем
мы должны формулировать требование, чтобы эти исправлен-

ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ К ФИЗИКЕ 85
ные уравнения имели решение, удовлетворяющее также
условию гармоничности. Это и даст нам уточненные уравнения
движения для масс.
Соответствующие, довольно сложные, выкладки были
проделаны Н. М. Петровой в ее кандидатской диссертации
(ЛГУ, 1940 г.; работа Петровой опубликована лишь
в 1949 г. [12]). В результате получились уравнения движения
для системы п тел, содержащие поправки к уравнениям
Ньютона.
Для случая двух тел эти уравнения были выведены
независимо Эйнштейном и сотрудниками!9].
Несмотря на сложный вид этих уравнений, можно указать
их интегралы, соответствующие десяти классическим
интегралам механики Ньютона. Первыми были найдены, на
основании уравнений Петровой, интегралы движения центра
инерции для случая двух тел (наша работа 1941 г. [13]). На
общий случай п тел наши формулы были обобщены в работе
И. Г. Фихтенгольца [и], который получил также Лагранжеву
функцию нашей механической задачи *) и вывел из нее
остальные интегралы [1б].
Мы ограничимся здесь тем, что приведем интегралы центра
инерции. Они имеют вид
5><а{1 + 2?W- t/a)(a))}-/y = const, (29)
а
где Pi есть интеграл количества движения. Три интеграла
центра инерции вместе с тремя интегралами момента
количества движения образуют антисимметричный тензор.
Интегралы же количества движения вместе с интегралом энергии
образуют четырехмерный вектор.
Заметим, что до работы Эйнштейна [9] и до упомянутых
наших работ, в литературе [16] высказывалось мнение, что
согласно теории Эйнштейна центр инерции должен совершать
вековое движение. Это мнение основывалось на неправильных
уравнениях движения, которые выводились не путем решения
*) Лагранжева функция приведена без вывода в книге Ландау
и Лифшица «Теория полл» (стр. 261 изд. 1941 г. и стр. 345 изд. 1948 г.);
олнако, в вычисления Ландау и Лифшица, очевидно, вкралась
ошибка, так как приведенная ими формула не верна.

86
в. а. Фдк
уравнений Эйнштейна, а исходя из представления, что
движение каждой массы должно происходить по геодезической
линии, соответствующей полю остальных масс. На самом же
деле принцип геодезической линии применим только к
движению бесконечно малой массы (т. е. такой, что ее влиянием
на движение остальных масс можно пренебречь). Конечная
же масса оказывает влияние на движение остальных масс,
а тем самым и на поле тяготения, в котором движется она сама.
Заключение
Всякий новый шаг в развитии теории тяготения Эйнштейна
является вместе с тем новым шагом в развитии идей
Лобачевского. Действительно, предположение, что, быть может,
геометрия физического пространства не является евклидовой,
было высказано уже самим Лобачевским, который искал
подтверждения этому предположению в астрономических
наблюдениях. Правда, не найдя такого подтверждения,
Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой геометрией».
Но теперь, после создания теории относительности и теории
тяготения Эйнштейна, мы знаем, что отклонения геометрии
от евклидовой проявляются наиболее очевидным образом не
прямо, а косвенно — в явлении всемирного тяготения. Поэтому
для нас та неевклидова геометрия, которая лежит в основе
теории тяготения и первый шаг к которой сделан Лобачевским,
уже не является «воображаемой»: она отражает те стороны
физической реальности, для описания которых геометрия
Евклида оказалась недостаточной.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] В. Фок, Атом водорода и неевклидова геометрия, Изв. АН
СССР, отд. мат. и естеств. наук, 1935, стр. 169.
[2] V. F о с k, Ober die invariante Form der Welien- und der Bewe-
gungsgleichungen fur einen geladenen Massenpunkt. Zeitschr.
f. Physik, т. 39, 1926, стр. 226—232.
О. Klein, Zeitschr. f. Physik, т. 37, 1926, стр. 895.
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (А), т. 117, 1928, стр. 610.
В. Фок, Волновое уравнение Дирака и геометрия Римана.
Журнал Русского Физ.-хим. общ., часть физ., т. 62, 1930,
стр. 133—151; также Zeitschr. f. Physik, т. 57, 1929. стр. 261—277;
Journal de Phys. et le Radium, т. 10,1929, стр. 392—405.
[в] J. Neumann, Zeitschr. f. Physik, т. 48, 1928, стр.868,
m Э. К а рта н, Теория спиноров (русский перевод), Москва, 1947.
р] A. Einstein und J. Grommer, Sitzb. Berl. Akad., 1927,
стр. 2. A. Einstein, там же, 235.
[9] A. Einstein, L. I n f e 1 d and В. Н о f f m a n n, The gravitational
•equations and the problem of motion, Annals of Mathematics, т. 39,
1938, стр. 65.
[10J В. Фок, О движении конечных масс в общей теории
относительности, ЖЭТФ, т. 9, 1939, стр. 375—410.
[п] В. Фок, Система Коперника и система Птоломея в свете
общей теории относительности. Сборник «Николай Коперник»,
Изд. АН СССР, M.-JL, 1947.
Р) Н. М. Петрова, Об уравнении движения и тензоре материи
для системы конечных масс в общей теории относительности,
ЖЭТФ, т. 19, стр. 989-999 (1949).
[13] В. Фок, Об интегралах движения центра инерции двух конечных
масс в общей теории относительности. ДАН, т. 32, стр. 28—?0
(1941).
\Щ И. Г. Фихтенгольц, Об интегралах движения центра инерции
системы конечных масс в общей теории относительности. ДАН,
т. 64, стр. 325-327 (19494
[1Б] И. Г. Фихтенгольц. Лагранжева форма уравнений движения
во втором приближении теории тяготения Эйнштейна, ЖЭТФ,
т. 20, стр. 233-242(1950).
[16] Т. Levi-Civita, The relativistic problem of several bodies. Amer,
Journ. of Maihem., т. 49, стр. 9 (1937).

СОДЕРЖАНИЕ
От редакций 5
ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
(начала механики в неевклидовом пространстве)
А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
Теория векторов и комплексные числа 7
Цитированная литература 46
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ
ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО К ФИЗИКЕ
В. А. ФОК
Введение 48
§ 1. Теория атома водорода 49
§ 2. Классические уравнения движения заряженной
материальной точки 53
§ 3. Квантовое волновое уравнение для частицы со спином
нуль 57
§ 4. Волновое уравнение Дирака в геометрии Римана .... 59
§ 5. Проблема движения масс в теории тяготения Эйнштейна 68
Заключение 86
Цитированная литература 87

А П КОТЕЛЬНИКОВ
В.А.ФОК
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ИДЕЙ
ЛОБАЧЕВСКОГО
В МЕХАНИКЕ
И ФИЗИКЕ