Вся геометрия
7 класса в кратком изложении
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
Содержание
Виды углов	1
Виды треугольников	2
Биссектриса, медиана
и высота треугольника	 2
Перпендикуляр и наклонная	3
Равенство треугольников	 3
Признаки равенства
прямоугольных треугольников	 4
Прямые на плоскости	 4
Внешний угол треугольника	5
Соотношения между сторонами
и углами треугольника	5
Что такое аксиома, теорема,
обратная теорема и определение?	6
Окружность и круг.	6
Доказательство от противного	 7
Геометрическое место точек	7
Виды углов
острый	прямой	тупой	развернутый
Смежные и вертикальные углы
Углы 1 и 2 -
смежные
Z 1 + Z 2 = 180°
Z 1 и Z 2,
Z 3 и Z 4 -
вертикальные
Вертикальные углы равны
о

Виды треугольников
А
В любом треугольнике:
прямоугольный
a
разносторонний	равносторонний
равнобедренный
AaBC; AB = BC	AA = АС
Биссектриса, медиана и высота треугольника
Эти три отрезка совпадают, когда они проведены к основанию равнобедренного треугольника.
Доказательство опирается на 1-ый признак равенства треугольников
ДАВС; AB = BC
BD - биссектриса
BD - медиана
BD - высота

Перпендикуляр и наклонная
Равенство треугольников
Определение
Геометрические фигуры называются равными, если при
наложении они совпадают.
ААВС = АА1В1С1; в равных треугольниках соответствующие
стороны и соответствующие углы равны.
При этом против равных углов лежат равные стороны, а против
равных сторон - равные углы.
Три признака равенства треугольников
Первые два доказываются наложением, а 3-ий признак - приложением с использованием
свойств равнобедренного треугольника.
L
B
А
1-ый признак. По двум сторонам и углу между ними
E
/ \	АВ = DE
\	АС = DF	=Г	ААВС = ADEF
=
А
—н—
CD	F
2-ой признак. По стороне и прилегающим к ней углам
E
B
D	F
АС = DF
.А = AD
ЛС = . F
ААВС = ADEF
3-ий признак. По трем сторонам
В
E
Г %
\	АВ = DE
х Я	АС = DF	ААВС = ADEF
/	\	ВС = EF
А
—ft—
A	L		А
CD	F	О

Признаки равенства прямоугольных треугольников
1-ый признак. По гипотенузе и катету
AB = A1B1
AC = A1C1
2-ой признак. По катету и противолежащему острому углу
B1
AC = A1C1
AB = AB1
AABC = AA1B1C1
Ai	Ci
B
A	С
3-ий признак. По гипотенузе и острому углу
AB = A1B1
AB = AB1
AABC = AA1B1C1
B
A	С
J
3
1) .Л + AB = 90°
з	г
2) Если .Л = 30°, то BC = 1/2 AB
A
С
Прямые на плоскости
Прямые на плоскости могут: 1) пересекаться (a п b = M)
2)	не пересекаться, такие прямые называются параллельными (и II т)
Прямые а и b пересечены секущей с.
Накрестлежащие углы: 3 и 5, 4 и 6
Внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5
Соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7
0

Три признака параллельности прямых и обратные им теоремы
Z1 и Z2 - внутренние
накрестлежащие
при m, n и секущей l
и Z1 = Z2
m I I n
Z5 и Z6 -
соответственные
при m, n и секущей l
и Z5 = Z6
Z3 и Z4 - внутренние
односторонние
при m, n и секущей l
и Z3 + Z4 = 180°
m
n
/3
X
m
l
n
6 У
5/
l
m I I n
m I I n
a X c
b X c
a I I b
Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Аналогично дается определение параллельности 2-х лучей, а также луча и отрезка.
Внешний угол треугольника ( хВ )
ZB и Z1 - смежные
ZB + Z1 = 180°
ZB = Z2 + Z3
Соотношения между сторонами и углами треугольника
1)	В любом А-ке каждая сторона меньше суммы двух других (b < a + c)
2)	Против меньшей стороны лежит меньший угол (с < a AC < АЛ)
3)	Против меньшего угла лежит меньшая сторона (AC < АЛ с < a)

Что такое аксиома, теорема, обратная теорема и определение?
Аксиома - это утверждение, которое не вызывает сомнений, то есть принимается без доказательства.
Примеры аксиом. 1) Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2)	Через любые две точки можно провести прямую и только одну
3)	Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости лишь
одну прямую параллельную данной (аксиома параллельных прямых).
Теорема - это утверждение, правильность которого устанавливается путем рассуждения. Рассуждение
называется доказательством. Формулировка теоремы состоит из двух частей. В одной части говорится,
что дано (эта часть теоремы называется условием). В другой части говорится о том, что должно быть
доказано. Эта часть называется заключением теоремы.
Пример теоремы. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.
В этой теореме дано: Д - равнобедренный (условие).
Надо доказать: углы при основании равны ( заключение).
Обратная теорема. Ее можно получить, сделав заключение условием, а условие - заключением.
Вот обратная теорема теоремы вышеописанной: если в треугольнике два угла
равны, то этот Д - равнобедренный. Дано: Д, 2 угла в нем равны( условие).
Доказать: Д - равнобедренный (заключение).
Определение. Это слово используется в геометрии наряду со словами аксиома и теорема. Дать опре¬
деление чему-либо - это значит объяснить, что это такое.
Например, говорят: «Дайте определение окружности»
На это отвечают: «Окружностью называется линия на плоскости, все точки которой равноудалены от
одной точки»
Окружность и круг
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.
O - центр окружности (круга)
AO - радиус окружности (круга)
CD - диаметр
MN - хорда
AC - дуга
Прямая а, имеющая с окружностью одну общую точку B, явля¬
ется касательной к окружности. В этом случае выполняется
условие:
a ± OB, где OB = г.
Построение циркулем и линейкой без масштабных делений
С помощью этих инструментов надо научиться решать хотя бы простейшие задачи:
1)	построение угла, равного данному
2)	построение биссектрисы угла
3)	построение перпендикулярных прямых
4)	построение середины отрезка
5)	построение треугольника по трем элементам:
а)	по двум сторонам и углу между ними
б)	по стороне и двум прилежащим к ней углам
в)	по трем сторонам

Доказательство от противного
Часто при доказательстве теорем, в частности, если впрямую оно «не идет», используют способ, кото¬
рый называется доказательством от противного. Отправная точка рассуждений определила название
этого способа. В начале рассуждений делают предположение (допущение), противное (противопо¬
ложное) тому, что требуется доказать. Рассуждая на основании этого предположения, приходят к
нелепому выводу (абсурду, противоречию). Значит, предположение было неверным, а верно то, что
утверждается в теореме.
Докажите методом от противного теоремы:
1)	Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то на пересекает и другую
2)	Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
Геометрическое место точек (Г.М.Т.)
Г.М.Т. называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости,
обладающих определенным свойством
Некоторые примеры Г.М.Т.:
1) Окружность - г.м.т. на плоскости, равноудаленных от одной точки (центр окружности)
с
O B
2)
3)
A
X
B
AO = OB; c ± AB;
. AOC = ABOC;
A
X
4)
b
a
c
X
m
m
Y
CO - серединный перпендику- OC - биссектриса
ляр отрезка
OC есть г.м.т., равноуда-
Прямая с есть г.м.т., равноуда- ленных от сторон угла
ленных от концов отрезка AB
Г.м.т., удаленных на данное
расстояние от прямой, есть две
параллельные ей прямые.
При доказательстве теорем и решении задач придерживаются определенной формы записи:
Дано:
Рисунок
Доказать [найти или построить]:
(чертеж)
Док-во [решение или
построение]:
Прежде чем доказывать теорему или решать задачу, надо выделить на рисунке равные
элементы пометками или цветным фломастером. Эти пометки помогут увидеть на рисунке
нужные признаки. Действия, которые вам придется делать при решении задачи (или дока¬
зательстве теоремы), следует обосновывать, то есть указывать на какой ранее изученный
материал вы опираетесь.
Обозначение углов (отрезков) буквами позволяет составлять алгебраические уравнения,
которые легко решаются.
0

Вся геометрия
8 класса в кратком изложении
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
СОДЕРЖАНИЕ
Параллелограмм и его виды	1
Трапеция. Теорема Фалеса. Средняя линия
треугольника	 2
Соотношения между сторонами и углами в
прямоугольном треугольнике	2
Синус, косинус, тангенс углов 30°, 45°, 60°
Связь между sin a, cos а и tg а	 2
Подобные треугольники. Теоремы
о среднем пропорциональном	3
Формулы площадей	 3
Правильные треугольники	 3
Углы в круге	4
Вписанная и описанная окружности	4
Четыре замечательные точки треугольника 5
Условия существования вписанной и описан¬
ной окружности около четырехугольника... 6
Векторы	 6
Умножение вектора на число	7
Сложение и вычитание векторов	7
Параллелограмм и его виды
Параллелограмм
C Определение ABCD - четырехугольник,
AB I I CD, BC I I AD,
ABCD - параллелограмм
Свойства
Прямоугольник
Признаки параллелограмма
ABCD - параллелограмм,
если:
1)	AD I I = BC (1-ый признак)
2)	AD = BC, AB = DC
(2-ой признак)
3)	AO = OC; BO = OD
(3-ий признак)
D
Определение
ABCD - паралле¬
лограмм, Z A = 90°,
ABCD - прямо¬
угольник
Ромб
Определение
ABCD - паралле¬
лограмм, AB = AD,
ABCD- ромб
Свойства
Свойства
c	Квадрат
Опреде- ABCD - прямоугольник,	ABCD - ромб,
ление AB = AD, или A A = 90°,
D	ABCD - квадрат	ABCD - квадрат
Свойства
Признаки прямоугольника
ABCD - прямоугольник,
если:
ABCD - параллелограмм и
AC = BD
Признаки ромба
ABCD - ромб, если:
1)	AB = BC = CD = AD
(1-ый признак)
2)	ABCD - параллелограмм
и AC ± BD (2-ой признак)
3)	ABCD - параллелограмм
и AC - биссектриса Z A
(3-ий признак)
B
C
A
B
A

Трапеция. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
AD I I BC; AB CD
(по определению)
MN- средняя линия
MN I I AD
MN = 1/2 (AD + BC)
Виды
трапеций
равнобедренная
Теорема Фалеса
A1
B1
a
A2
B2
b
A3
B3
c
A4
B4
d
Если A1A2 = A2As = AsA4 и
a II b II c II d , то
B1B2 = B2 Bs = Bs B4
Средняя линия
в треугольника
х	MN- средняя линия Д
(AM = MB; BN = NC)
M	N
I \	Свойства MN
""	*	1) MN II AC
A	С 2) MN = 2 AC
прямоугольная
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
Теорема Пифагора
c2 = a2 + b2,
a2 = c2 - b2,
b2 = c2 - a2,
c = / a2 + b2 ;
a = / c2 - b2 ;
b = / c2 - a2 ;
Определение синуса, косинуса и тангенса
острого угла и следствия из них
sin n = a, a = c • sin a , c = .a '
Д	’ sin a
cos a = b, b = c • cos a , c = b ;
Д	’cos a
tg a = a, a = b -tg a,b = -£-
b	tg
Синус, косинус, тангенс углов 30°, 45°, 60°. Связь между sin a, cos а и tg а
Дано: AABC
AB = 2
BC = /3
AC = 1
Получаем, что:
2 2 = 1 2 + (J3)2 - верно.
Следовательно Д ABC - пря¬
моугольный по обратной
теореме теоремы Пифагора
sin 30° = AC = 2 ; cos 30° = /3;
sin 60° = cos 30° = /3; cos 60° = 1;
tg 30° = -1 =	; tg60° = /3
/ 3	3
Формулы приведения
1)	sin a = cos (90° - a)
2)	cos a = sin (90° - a)
Связь между sin a, cos a, tg a
1)	tg а = ^
cos a
2)	sin2 a + cos2a = 1
основное тригонометрическое тождество
30°
45°
60°
sin
1
1
/3
2
/2
2
cos
/3
1
1
2
/2
2
tg
1
/з
1
/3

Подобные треугольники
Определение
A ABC <х> A A1B1C1,
если выполняются следу¬
ющие условия:
1. AB = AC = CB
A1B1 A1C1 C1B1
2. A A = A A1, A B = A B1,
Признаки подобия треугольников
B
AB = AC
A1B1 A1C1
AB = AC = BC
A1B1 A1C1 B1C1
Теоремы о среднем пропорциональном
h2 = ac bc
a2 = c ac,
b2 = cbc,
B
bc
c —
h = V- a c b c ;
a = V ca c ;
b = V cb c
Формулы площадей
S = 1 ab sin®.
2
S = pr
c - a b c
S 4R
_ a2V~3
S =
S = ab
S = ab SinM
S = 1 d1 d.2 sin®.
2
S = 1 d1 d2
2
S = a2
b
S =1 ab
2
b
a
a
b
Правильные треугольники
aV~3
A - 1
r = -O^
R = -O-
V-3
a2V3

Углы в круге
C
ЛAOB - центральный;	•
O \
A AOB = ^AnB.	/^\\1
A
n
.	В
ЛACB - вписанный;	\\
Z ACB = 1 'A nB.	.
A
C
D
O
C
OD
В
AZ \
.ZB
1.	Z AOB = 1 ( CD+Ab);
2.	AO • OD = CO • OB
A AOB = 2 ( AB - cd)
AB, AC - касательные.
Значит:
1)	AB = AC;
2)	A ABO и A ACO - пря¬
моугольные;
3)	A3 = Л4
C
O
D
В
A BOC = 1 ( bc -dc)
OC - касательная
OB - секущая
OB • OD = OC2
A
С = 2HR - длина
окружности;
S = HR2- площадь круга;
П ~ 3,14159...
R - радиус
Вписанная и описанная окружности
Вписанная окружность. Если все
стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называ¬
ется вписанной в многоугольник, а
многоугольник - описанным около
этой окружности.
Теорема. Каждая точка биссектрисы нераз¬
вернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри
угла и равноудаленная от сторон угла,
лежит на его биссектрисе.
Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис.
В любой треугольник можно вписать окружность.

Серединный перпендикуляр
CO к отрезку AB - это Г.М.Т.,
равноудаленных от концов
отрезка AB.
Описанная окружность. Если все верши¬
ны многоугольника лежат на окружности,
то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник
- вписанным в эту окружность.
Значит: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой
пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных
через середины этих сторон.
R описанной окружности = AO = OC = OB
Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр описанной окружности около треугольника может быть
расположен внутри него, вне его, на середине гипотенузы.
Четыре замечательные точки треугольника
1.	Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
2.	Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
3.	Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
4.	Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношении 2 : 1 , считая от вершины.

Условия существования вписанной и описанной окружностей около четырехугольника
Z A + Z C = Z B + Z D
Векторы
AB = !«■I = IAb I
B
Конец вектора
A Начало вектора
1.	Вектором называется направленный отрезок.
2.	Вектор характеризуется направлением и длиной.
3.	Направление - множество сонаправленных лучей.
4.	| я | - длина вектора.
я
1. Коллинеарные векторы (а || /Г II с*)
—* ж ж —*
2. Сонаправленные векторы я Ц с
3. Противоположно направленные векторы
с Ub
	*		* Ж V I 	* Ж Ж 	*
4. я = с J я ft с
\|« | = |Г|
M
—> —*
MM = 0
Имеет любое
направление
5. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
b
|Т | = 4

Умножение вектора на число
A
1
OB = 2OA = 2 (3a )
OB =6a = (2 • 3)a
Свойства умножения :
1. (kl) ~а = k(l~а ) (сочетательный закон)
2. (k + l) 1! = k ~а + l 1!
(первый распределительный закон)
3. k ( o'+ Ю = k 1!+ kl)
(второй распределительный закон)
Сложение и вычитание векторов
торов называется правилом
треугольника.
Проверка: b + ( a — b ) = a
DB = a — b
—>
Сумма нескольких векторов
Законы сложения векторов :
1. а+ b = Ь + а
(переместительный)
2. (1! + К) + с* = ~a + (1) + с*')
(сочетательный)
■ ■ ■
3. a + 0 = a
Правило параллелограмма
0

Вся геометрия .........
9 класса в кратком изложении
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
СОДЕРЖАНИЕ
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам a и b	1
Декартовы координаты на плоскости	 1
Действия над векторами	 2
Нахождение координат вектора AB	2
Расстояние между двумя точками	2
Уравнение окружности	2
Координаты середины отрезка	2
Sin a, cos а, tg а, где 0° С а С 180°	3
Теорема синусов и косинусов	3
Скалярное произведение векторов	4
Скалярное произведение векторов,
заданных в координатах	4
Уравнение прямой в общем виде
ax + by = c, где a,b,c - числа	4
Многоугольники. Длина окружности.
Площадь круга	5
Формулы для правильного многоугольника 5
Движение	6
Многогранники	7
Тела вращения	7
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам а и b
OA = 2a + b
OB = 1,5a -b
p - любой вектор;
OC = 0 • a - 3 b
p = xa + yb, где x и у - числа;
OF = 1,5a - 0‘b
p разлагается единственным способом.
OE = -a + 2 b
Дека
ртовы коорд
инаты
на плоскости
Длина вектора
B
/
y
A
a
—>
b
j
M
O 1
X
с/
d
'N
D
C
Координаты
вектора
F { 3 ; 4 }
F{-5 ; 2}
OiN { 0 ; -3 }
F { 4;-2 }
OM { 4 ; 0 }
aB[ -8 ; -2 }
CD { 6;1}
Разложение
вектора
а = зТ+4/
b = -5Т+ 2/
оВ= -3)j"
d = 4t-2j
		>
OM = 4i
aB= -8Г- 2j
		>
CD = 6i + j
[а | = V 32 + 42 = 5
b I = V (-5)2 + 2 2 = V29
\d I = V 42 + (- 2)2 = V20
|OM| = 4
Г


1 v\j - координатные векторы;
|Г| = 1П = 1
д'{ x ; у } ; [а | = Vх2 + у2

Действия над векторами
д'{ Х1 ; yi } = xif + yj
Т> { Х2 ; У2 } = Х21 + y^j"
'a + /Г = ( xi+x2 )Г+ ( У1+У2 j
2.	~а - Т> = ( xi-x2 )Г + ( У1-У2 j
3.	ка { kxi ; кУх }, где к — число
Нахождение координат вектора AB
Пусть О - начало координат,
B { x2 ; У2 }, A { xi ; Ух }
Обозначим ot= ь, оХ = 7
Тогда АВ = ( Т — ) {x2 — xi ; У2 — уО
Расстояние между двумя точками
A { xi ; y1 }
B { x2 ; У2 }
AB = \AB I = V (X2 — x1)2 + (y2 — У1)2
Уравнение окружности
OM = R = V (x — a)2 + У—b)2
(x — a)2 + У—b)2 = R2
уравнение окружности с цен¬
тром в точке (a; b) радиуса R
x 2 + у2 = R2
уравнение окружности с центром в
начале координат (0; 0) радиуса R
Координаты середины отрезка
по теореме Фалеса
x1 + x2
2
x =
у =^21

Sin a, cos a, tg а, где 0° < a < 180°
1. a - острый угол, тогда	sina = y = y;	cosa = -	= x; tg a	= sin
H i y i g cos	a
Получили формулы:
sin a = y
cosa = x
tg a=sJn^
6 cos a
2. Определим значения sin a, cos a, tga этими формулами
для любого угла а, принадлежащего отрезку [0°; 180°]:
sin 0° = 0
cos0° = 1
tg0° = 0
sin 90° = 1
cos 90° = 0
tg90° не имеет
смысла
sin 180° = 0
cos 180° = -1
tg 180° = 0
3. Формулы приведения.(Постарайтесь
доказать эти формулы, используя чертежи).
sin (90° ~а) = cos а
cos (90° ~а) = sin а
sin (180° - a) = sin а
cos (180° - a) = - cos a
4. Полуокружностьявляетсядугойокружности x2+y2 = 1
любого угла a, принадлежащего отрезку [0°; 180°]
sin 2 a + cos 2 a = 1 выполняетсядля
f

СЭта формула называется основным
тригонометрическим тождеством
Теорема синусов и косинусов
Теорема синусов:
_Я_ = _Ь_ = _С— = 2R
stnA stnB stnC
£л = 1 ab sinC = 1 ac sinB =
л 2	2
Для доказательства использовать формулы:
а также задачу № 1033
Теорема косинусов:
a 2 = b2 + c2 -2bc cosA
Доказательство
Запишем квадрат расстояния междуточками ВиС,
координаты которых известны:
CB2 = _b cosA - c)2 + (b sinA)2 = b2cos2A - 2bc cosA + c2 + b2sin2A =
= b2_cos2A+ sin2A) + c2 - 2bc cosA,
= 1
ч.т.д.

Скалярное произведение векторов
b
	*		*	Т^|
Определение: я. b = | a | ♦ | b | fcosa
Скалярное произведение векторов
широко применяется в физике
1. Т ± Т, то li'l) = 0
F - сила
2
2. a ♦ a = | a | ♦ | a | = | a |
F
а
MN- перемещение
Скалярный квадрат вектора Т	/
M
4
	 A - работа
N A = |F| ♦ Mn| • cosy
3.	АВ	{ Х2	-	xi	;	y2	- yi	} ;	|AF\2 = ( X2 - xi)2 + (	y2	- yi)2
1^12	2	2	1^12	2	2
|b \2= x + y2 ; |a |2= X1 + y2
1.	По теореме косинусов
AB2 = ОВ2 + ОА2 - 2ОВ• OAcosа
1^12	^12	'
2.	|AB |2 = |b |2 + \а | - 2 b a
4. T. T= — (x2 + y2 + X2 + yi - (X2 - Xi)2 - ( y2 - yi)2) =
= XiX2 + yi y2	чт.д.
Следствие 1	Следствие 2
« ± T « xi x2 + yiy2 = 0	Xi X2 + yiy2
cm a = ■	■—- -	,
C/XF+yf -A ■ 0
Свойства
1.	a2 > о
2.	« b = b a
	* .	—*	—* —* . "A —*
3.	( a + b ) с = a с + b с
4.	(k a ) b = k (a b )
Уравнение прямой в общем виде ax + by = c, где a,b,c - числа
При b А 0 ; y = - ax + c,
b b
приняв - a = k, c = l, получим y = kx + l
b b
Рассмотрим частные случаи:
1.	tg a = ——
X2 - Xi
2.	f У2 = kx2 + l
yi = kxi + l
Выясним геометрический смысл коэффициента k.
y2 - yi = k (X2 - Xi)
k_ y2 - yi
X2 - Xi
k = tg a - называется угловым коэффициентом
k> 0 (a- острый угол)
k < 0 (a - тупой угол)
l - ? ; x = 0 , тогда y = l
(0 ; l ) - точка пересечения прямой y = kx + l
с осью оу.
1.	b А 0 ; a А 0 ; c = 0, тогда y = kx, график проходит через начало координат.
2.	b А 0 ; a = 0 ; c = 0, тогда y = 0 - уравнение оси ох.
3.	b А 0 ; a = 0 ; c А 0, тогда y = l - уравнение прямой, параллельной оси ох.
Q b = 0 ; a А 0 ; c А 0 ; x = a - уравнение прямой, параллельной оси оу
b = 0 ; a А 0 ; c = 0 ; x = 0 - уравнение оси оу
е
0
'/ /
y =
l
II
/uls
/ II
/ *
O
y =
0 x

Многоугольники. Длина окружности. Площадь круга
Выпуклый	Невыпуклый
С = 2HR - длина окружности;
П - число иррациональное;
П ~ 3,14; П ~ 7
I = Я^п° - длина дуги;
S = nR2 - площадь круга;
S = nR° • n° - площадь сектора
1.	Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n - 2)
2.	Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°
Формулы для правильного многоугольника
В правильном многоугольнике:
1.	Все стороны и углы равны.
2.	Точка О - центр вписанной и описанной окружности.
3.	Правильные выпуклые n-угольники подобны
a = £_ = R = П- = к (число) ;	-к = к2
Я2 Р2 R2 Г2	S2
коэффициент
подобия
A ABC = 180°(n—2) - внутренний угол n-угольника
Z AOB = 3—— центральный угол n-угольника
an = 2R -sin 1S0
r = R .cos 180
n
s = 1 pn • r
2
a6 = R
r = R-3
2
a -2<3r
a6 =
3
c 3V3 a2
S = 2
a4 = R V2
r = R^2
2
a4 = 2r
S4 = a2
a3 = R V3
r =1R
2
a3 = 2 rV3
S = a2 V3
0

Движение
Определение
Движение - отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.
Свойства движений
1.	Прямая отображается на прямую, луч - на луч, отрезок - на отрезок.
2.	Отрезок отображается на равный отрезок, угол - на равный угол, треугольник - на равный ему треу¬
гольник.
Примеры движения
1.	Осевая симметрия
2.	Центральная симметрия
3.	Параллельный перенос
4.	Поворот
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (Обозначим Sa)
M N
a
O	Ni Mi
Mt
J
“i
Mi
Ni
N
M
Mi
□	,
N
M
N
Ni
Mi
Ni
По определению
Mi = Sa (M), так как :
1) MM1 1 a; 2) MO = OM1
Mi Ni = Sa (MN)
Sa (M NNi Mi) = Mi NiNM
Получили ту же фигуру.
В таком случае говорят, что
фигура имеет осевую сим¬
метрию.
Фигуры, обладающие осевой
симметрией
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (Обозначим So)
Ni
По определению
Ni = So (N), так как :
I)O е NNi ; 2) NO = ONi
Mi Ni = So (MN)
So (ABCD) = CDAB
Получили ту же фигуру.
Данная фигура обладает
центральной симметрией.
AD
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Фигуры, обладающие
центральной симметрией
Примерами фигур, обладающих цен¬
тральной симметрией, являются ок¬
ружность и параллелограмм. Прямая
также обладает центральной симмет¬
рией, только в отличии от окружности
и параллелограмма, которые имеют
только один центр симметрии, у пря¬
мой их бесконечно много.
ПОВОРОТ
Mi
Ni Параллельный
перенос задан
вектором я"
a (M) = Mi ;
a (N) = Ni ;
a (MN) = Mi Ni
X X1 , если OX1 = OX
. XOX = а
Поворот задан центром
и углом поворота
т. O - центр
O а - угол поворота

Многогранники
Пирамида
Призма
Параллелепипед
наклонный
A2
Многоугольники A1A2...An и
Bi B2... Bn - основания призмы.
Параллелограммы A1A2B2Bi,...,
AnAiBiBn - боковые грани.
прямой
наклонная призма
h - высота
правильная
треугольная призма
1. S6ok равна сумме пло¬
щадей боковых граней.
куб
Правильная пирамида
Основание - правильный мно¬
гоугольник. Вершина проекти¬
руется в его центр.
1.	S6ok равна сумме площадей
боковых граней.
2.	Sполн = S6ok + Soch
3.	V = 1 Soch • h
2. Бполн = S6ok + 2 Soch ; 3. V = Soch • h
Тела вращения
Конус
Цилиндр
Шар
Конус получен вращением
прямоугольного треуголь¬
ника ABC вокруг катета AB.
S6ok = nRl
V = 1 HR2- h
Цилиндр получен вращением
прямоугольника ABCD вокруг
стороны AB.
S6ok = 2KRI
V = HR2- h
B
Шар получен вращением
полукруга ACB вокруг
диаметра AB.
S=4KR2
V = 4 KR3