/
Автор: Захаров И.П. Кукуш В.Д.
Теги: метрология техника измерений измерительные приборы учебное пособие
ISBN: 966-7920-24-0
Год: 2002
Текст
Н.П. Захаров, В.Д. Кукуш
ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В ИЗМЕРЕНИЯХ
ББК 30.10
ББКЖ10
3-38
Рецензенты: начальник отдела Национального научного центра
«Институт метрологии», д-р техн, наук, проф. Павленко Ю.Ф.,
Заведующий кафедрой метрологии и измерительной техники
Харьковского национального университета радиоэлектроники,
д-р техн, наук, проф. Руженцев И.В.
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины как
учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению «Метрология и измерительная техника» (решение науч-
но-методической комиссии по направлению 0913 «Метрология и изме-
рительная техника», принятое на заседании, состоявшегося 22-24 июня
2000 года в городе Харькове, письмо № 2/1631 от 16.10 2000г.)
Захаров И.П., Кукуш В.Д.
3-38 Теория неопределенности в измерениях. Учеб,
пособие: — Харьков, Консум, 2002 - 256 с.
ISBN 966-7920-24-0
Настоящее учебное пособие восполняет пробел в отечествен-
ной литературе в вопросе освещения международного подхода к
оцениванию качества измерений Этот подход, разработанный по
инициативе Международного комитета мер и весов и изданный в
виде «Руководства по выражению неопределенности измерений»
(GUM.1993), включает в себя единые в международной практике
правила выражения неопределенностей измерений и их суммиро-
вания, стандартизации, калибровки средств измерительной техники,
аккредитации метрологических служб, измерительных лаборато-
рий и т л. Пособие содержит последовательное методическое из-
ложение теории неопределенности измерения в соответствии с тре-
бованиями Руководства, необходимыми пояснениями, математи-
ческими выкладками и рассмотрением порядка суммирования нео-
пределенностей для традиционных видов измерений.
Учебное пособие адресовано студентам метрологических спе-
циальностей, аспирантам, преподавателям, работникам испыта-
тельных лабораторий и метрологических служб
ББК 30.10
ББК Ж10
ISBN 966-7920-24-0
© Захаров И.П., Кукуш В.Д., 2002
© Совместное коллективное
предприятие фирма «Консум»,
оформление, 2002
Ошибки не просто практичес-
ки неизбежны, а теоретически
необходимы, составляя абсолютно
неотъемлемую черту эксперимен-
тального метода. С ними связана са-
мая суть производимого наблюде-
ния ... — получение необходимой
информации об объекте
Леон Бриллюэн
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория погрешностей, сформировавшаяся на основе те-
оретических и экспериментальных исследований и зако-
нодательно закрепленная в отечественных нормативных
документах, до настоящего времени широко применяется
для решения практических метрологических задач. Тем не
менее, начиная с 70-х годов, в международном сообще-
стве метрологов постепенно накапливалось неудовлетво-
рение принятыми представлениями о выражении качества
измерений, их несоответствием современным требованиям.
В 1978 г. наивысший мировой авторитет в метрологии
Международный комитет мер и весов (МКМВ) обратился
к Международному бюро мер и весов (МБМВ) с просьбой
рассмотреть эту проблему совместно с национальными
метрологическими лабораториями и разработать соответ-
ствующие практические рекомендации.
Рабочая группа МБМВ выработала, а МКМВ оконча-
тельно утвердил в 1986 г. Рекомендацию INC-1 «Выраже-
ние экспериментальных неопределенностей»-. В 1992 году
Рабочая группа Международной организации по стандар-
тизации (ИСО), состоящая из экспертов МБМВ, ИСО,
Международной организации по законодательной метро-
логии (МОЗМ) и Международной электротехнической
комиссии (МЭК), обнародовала «Руководство по выраже-
нию неопределенности измерений» (GUM:1993), основаи
ное на Рекомендации и содержащее единые в междуна-
родной практике правила выражения неопределенностей
измерений и их суммирования, стандартизации, калибров-
4
ки средств измерительной техники, аккредитации метро-
логических служб, измерительных лабораторий и т.д- Пе-
ревод этого Руководства на русский язык был осуществ-
лен Государственным предприятием (ГП) «Всероссийский
иаучио-исследовательский институт метрологии им. Д.И.
Менделеева», г. С.-Петербург, а на украинский — Нацио-
нальным научным центром «Институт метрологии»,
г. Харьков
Ввиду того, что Руководство в настоящее время явля-
ется фактическим стандартом выражения качества изме-
рений в международной практике, необходимо внедрение
его положений в отечественные нормативные документы
и изучение его в программе высшей школы при подго-
товке специалистов-метрологов Настоящее учебное по-
собие содержит последовательное методическое изложе-
ние теории неопределенности измерения в соответствии с
требованиями Руководства, необходимыми пояснениями,
математическими выкладками и рассмотрением порядка
суммирования неопределенностей для традиционных ви-
дов измерений.
Авторы пособия согласны с мнением Л. К. Исаева о том,
что «понятие «неопределенность измерений» надо вводить в
практику не вместо понятия «погрешность измерений», а
наряду». Потому термины и определения, применяемые в
международной практике дублируются терминами и
опрелелеииями. регламентируемыми отечественной
нормативной литературой, а в последней главе произво-
дится сравнительный анализ оценки качества измерений
на базе теории погрешностей и в соответствии с требова-
ниями Руководства.
Учитывая различную подготовленность читателей в об-
ласти оценивания достоверности результатов измерений,
материал в пособии изложен так, чтобы его можно было
изучать по интересующим вопросам в произвольном по-
рядке. С этой же целью отдельные определения и форму-
лы в пособии дублируются. Для облегчения следования
логике изложения введены подстрочные пояснения.
5
Не претендуя на истину в последней инстанции, авто-
ры, решившись на издание этого пособия, утешают себя
известным выражением Плиния Старшего: нет такой пло-
хой книги, из которой нельзя было бы извлечь пользы.
Учебное пособие адресовано студентам метрологичес-
ких специальностей, аспирантам, преподавателям, работ-
никам испытательных лабораторий и метрологических
служб.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ
Определите значение слов, и
вы избавите человечество от поло-
вины его заблуждений
Рене Декарт
1.1. Сущность понятия «измерение»
Окружающие человека явления, объекты или вещества
можно качественно охарактеризовать с помощью совокуп-
ности присущих им свойств (масса, температура, скорость
и т.д ), называемых физическими величинами' (ФВ).
В процессе жизнедеятельности однородные свойства
разных объектов необходимо сравнивать между собой. При
этом, в зависимости от поставленной цели, сравнение
может быть качественным, выраженным с помощью опе-
ратора сравнения (больше, меньше, равно), или коли-
чественным, результат которого выражен в виде числа,
указывающего, на сколько или во сколько раз исследуе-
мое свойство объектов отличается друг от друга.
Непосредственное количественное сравнение однород-
ных свойств разных объектов не всегда возможно и удоб-
но. Более универсальным способом сравнения является
сравнение посредством определения размера* 1 *.
В этом случае сначала производится сравнение инте-
ресующего свойства каждого объекта с некоторой обще-
1 Физическая величина — одно из свойств физического объек-
та (системы, явления или процесса), общее в качественном от-
ношении для многих физических объектов, но в количествен-
ном отношении индивидуальное для каждого из них [ 11
1 Размер ФВ — количественная определенность физической
величины, присущая конкретному материальному объекту, сис-
теме, явлению или процессу [I].
7
принятой единицей этого свойства. При этом определяет-
ся количественное содержание данного свойства в задан-
ном объекте — числовое значение физической величины. После
получения числового значения физической величины лег-
ко произвести качественное или количественное сравне-
ние однородных свойств различных объектов.
Совокупность операций, имеющих целью определе-
ние значения величины, называется измерением3 4. Поэто-
му свойства явлений, объектов или веществ, которые
можно выделить качественно и определить количественно,
называются измеримыми величинами [2]. Термин «изме-
римая величина» обозначает величину в общем смысле
(длина, масса, температура, электрическое сопротивле-
ние). Измеримые величины конкретных объектов (диа-
метр данного стержня, электрическое сопротивление дан-
ного образца провода) называются измеряемыми физи-
ческими величинами [2].
Сущность измерения как процесса сравнения выража-
ет основное уравнение измерения
• о=«[о], (Ц)
где Q — размер измеряемой величины,
д — числовое значение;
[0] — единица измерения.
Измерение состоит в сравнении двух ФВ: измеряемой,
которая выражает интересующую нас особенность иссле-
дуемого объекта, н известной, которая присуща специаль-
но созданному объекту, называемому мерой*. Операция
’ Измерение совокупность операций по применению тех-
нического средства, хранящего единицу ФВ, обеспечивающих
нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряе-
мой величины с ее единицей и получение значения этой вели-
чины 11J.
4 Мера — средство измерений, предназначенное для воспро-
изведения и (или) хранение ФВ одного или нескольких задан-
ных размеров, значения которых выражены в установленных еди-
ницах и известны с необходимой точностью (IJ.
8
сравнения производится с помощью средства измеритель-
ной техники (СИТ)5.
Результат измерения по ряду причин отличается от раз-
мера измеряемой ФВ. Это отличие называется погрешнос-
тью измерения.
Измерение одной и той же ФВ может производиться в
различных местах и условиях, в различное время, различ-
ными методами и приборами в различных режимах. При
этом будут получены разные результаты и погрешности
измерения6.
Корректный подход к измерению требует полного пред-
варительного описания (спецификации) измеряемой ве-
личины, которое включает в себя указания на время про-
ведения измерения и условия его проведения. Неадекватное
описание измеряемой величины может привести к
несоответствию между результатами измерений одной и
той же величины, проводившихся в различных лаборато-
риях (нарушению единства измерений7).
1.1.1. Основные этапы измерений
Любое измерение включает в себя 3 основных этапа.
1. Подготовка к измерению, содержанием которой яв-
ляется:
а) постановка измерительной задачи;
б) выбор метода и СИТ, их размещение;
’ Средство измерительной техники — обобщающее понятие,
охватывающее технические средства, специально предназначен-
ные для измерений (1).
ь Близость результатов измерений одной и той же величи-
ны, полученных в разных местах, разными методами, разными
средствами, разными операторами, в разное время, но приве-
денных к одним и тем же условиям (температуре, давлению,
влажности и дрЛ называется воспроизводимостью результатов
измерений 13).
’ Единство измерений — состояние измерений, характеризу-
ющееся тем, что их результаты выражаются в узаконенных еди-
ницах, размеры которых в установленных пределах равны раз-
мерам единиц, воспроизводимых первичными эталонами, а по-
грешности результатов измерений известны и с заданной веро-
ятностью не выходят за установленные пределы [1].
9
в) обеспечение необходимых условий проведения экс-
перимента.
При этом под методом измерений? понимают логи-
ческую последовательность операций, описанную в об-
щей форме и используемую при выполнении измере-
ний (2,3].
Метод измерения не стоит путать с принципом измере-
ния, являющегося научной основой измерений (2,3], под
которым понимают физическое явление или эффект, по-
ложенные в основу измерений [1], например, измерение
температуры с нспользованием термоэлектрического эф-
фекта, измерение разности электрического потенциала с
применением эффекта Джозефсона, измерение скорости
с применением эффекта Доплера и др.
Поскольку измерение одной и той же величины может
быть проведено разными способами с получением разных
результатов, то для полной определенности при указании
результата измерения необходимо, кроме спецификации
измеряемой величины, указывать метод измерения и изме-
рительную процедуру.
Измерительная процедура (методика выполнения
измерений)* 9 — специально описанная совокупность опе-
раций. используемая при выполнении конкретных из-
мерений в соответствии сданным методом [3]. Методи-
ка выполнения измерений обычно вносится в документ
с одноименным названием и обычно содержащиеся в
нем сведения являются достаточными для оператора,
чтобы выполнить измерения без дополнительной инфор-
мации.
2. Измерительный эксперимент, включающий в себя 3
операции:
а) измерительное преобразование;
* Метод измерений — прием или совокупность приемов срав-
нения измеряемой ФВ с ее единицей в соответствии с реализо-
ванным принципом измерений (1].
9 Методика выполнения измерений — установленная совокуп-
ность операций и правил при измерении, выполнение которых
обеспечивает получение результатов измерений с гарантирован-
ной точностью и в соответствии с принятым методом.] 1].
10
б) воспроизведение измеряемой величины единичного
размера;
в) сравнение измеряемой величины с единицей изме-
рения.
Эти операции, в зависимости от выбранного метода
измерений, могут осуществляться разными техническими
средствами (называемыми соответственно измерительный
преобразователь, мера и компаратор), или реализовывать-
ся в одном средстве измерений10.
3. Обработка экспериментальных данных, в результате
которой получают значение измеряемой величины и оценку
погрешности измерений с заданной вероятностью. Обра-
ботка экспериментальных данных может осуществляться
с участием оператора или автоматически с помощью из-
мерительного устройства, называемого вычислительным
компонентом и входящего в состав СИТ.
Конкретная реализация перечисленных этапов зависит
от вида измерений, которые традиционно разделяются по
многим классификационным признакам.
1.1.2. Классификация измерений
Рассмотрим одну из многих среди существующих раз-
новидностей классификацию по наиболее существенным
традиционным признакам [4].
Классификация но измеряемым физическим величинам —
наиболее громоздка, поскольку в настоящее время их су-
ществует более 2000. Наиболее детально разработанная
классификация такого рода содержит четыре ступени: об-
ласти, виды, подвиды и разновидности.
Области измерений соответствуют разделам физики (ме-
ханика, оптика, электричество и т.д.).
10 Средство измерений — техническое средство, предназна-
ченное для измерений, имеющее нормированные метрологичес-
кие характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее едини-
цу ФВ, размер которой принимают неизменным (в пределах
установленной погрешности) в течение известного интервала вре-
мени [1].
11
Виды измерений определяются непосредственно изме-
ряемыми величинами (измерение температуры, скорости,
объема, массы и т.п.).
Подвиды разграничивают виды по особенностям из-
мерений однородной величины (по диапазону, размеру
величины и др.), например, низкие, высокие, средние
температуры, частоты, мощности; измерение расстояний
в астрономии, под водой, толщины пленок, шероховато-
сти и т.д.
Разновидности — разделение подвидов на подмноже-
ства в зависимости от измеряемого параметра. Напри-
мер, при измерении напряжения электрического тока раз-
личают измерения постоянных и переменных на-
пряжений.
Если измерения основаны на прямых измерениях од-
ной или нескольких основных величин и (или) ис-
пользовании значений физических констант, они назы-
ваются абсолютными. То есть абсолютные измерения —
это измерения производной величины в соответствии с
ее размерностью. Измерение основной величины может
быть только абсолютным. Например, измерение длины в
метрах, силы тока в амперах, скорости как расстояния
деленного на время. Примером неабсолютных измере-
ний может быть измерение мощности электрического тока
по температуре резистора, нагретого за счет рассеивае-
мой в нем мощности (калориметрический метод измере-
ния мощности на СВЧ).
Измерение безразмерных величин как отношения раз-
мерных (коэффициент усиления усилителя, относитель-
ная влажность воздуха и т.д.) называется относительным
измерением.
По режиму использования СИТ измерения делят на ста-
тические — измерения величины, размер которой можно
считать неизменным за время измерения, и динамичес-
кие — измерения величины, размер которой нельзя счи-
тать неизменным за время измерения.
По количеству наблюдений при измерении различают
измерения с однократными и многократными наблюдения-
12
ми. Многократные измерения, как будет показано далее,
дают возможность повысить точность измерения за счет
применения статистических методов обработки данных.
В зависимости от достигаемой точности измерения делят
на прецизионные, контрольно-проверочные и технические.
Прецизионные измерения осуществляются при метроло-
гических исследованиях, особо ответственных измерени-
ях, в которых измерения производятся наиболее точно с
учетом индивидуальных свойств используемых СИТ и ре-
зультатов дополнительных измерений, выполняемых для
контроля условий измерений. В этом случае осуществля-
ется апостериорная оценка точности измерений.
Контрольно-проверочные измерения относятся к группе
измерений, для которых производится приближенная апо-
стериорная оценка точности.
Технические измерения — наиболее распространенный вид
измерений. Эти измерения осуществляются с наименьшей
точностью, обработка экспериментальных данных мини-
мальна, а точность измерений оценивается априорно, в рам-
ках аттестации методики выполнения измерений.
Важнейшим признаком классификации измерений яв-
ляется вид уравнения измерения, по которому их разделяют
на прямые, косвенные, совместные и совокупные. Для этих
видов измерений в четвертой главе будут рассмотрены спо-
собы обработки их результатов.
1.2. Оценки достоверности результатов измерений
Получаемое в процессе измерения числовое значение, яв-
ляющееся оценкой количественного содержания интересу-
ющего свойства в объекте исследования, называется резуль-
татом измерения. Результат измерения по ряду причин не
совпадает с истинным числовым значением'1 измеряемой вели-
" Истинное значение — значение ФВ, которое идеальным об-
разом характеризует в качественном и количественном отноше-
нии соответствующую физическую величину. Истинное значе-
ние может быть получено только в результате бесконечного про-
цесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и
средств измерений [1|. _______
13
чины. Эта аксиома лежит в основе основного постулата
метрологии: «истинное значение определить невозможно*.
Отклонение результата измерения от истинного значе-
ния называется погрешностью измерения. Понятие «погреш-
ность» имеет своим корнем «грех», то есть отступление от
истины. Погрешность измерения представляет собой ал-
гебраическую сумму систематических и случайных состав-
ляющих, различающихся по характеру изменения в усло-
виях повторяемости.
Под условиями повторяемости (сходимости) понима-
ется:
— одиа и та же измерительная процедура;
— один и тот же наблюдатель;
— один и тот же измерительный прибор, применяе-
мый в одних и тех же условиях;
— одно и то же место проведения измерения;
— повторение измерений в течение короткого проме-
жутка времени (такого малого, что изменением ус-
ловий измерений или измеряемой величины мож-
но пренебречь)
1.2.1. Систематические погрешности
Систематические погрешности —- составляющие по-
грешности результата измерения, остающиеся неизменны-
ми или закономерно изменяющиеся при повторных изме-
рениях одной и той же ФВ [1]. Формально она определя-
ется как разность дг между средним значением у, полу-
чаемым при бесконечном числе измерений одной и той
же величины у в условиях повторяемости, и значением
измеряемой величины Y [3]:
Дг = limy- Y (1.2)
Систематическая погрешность, в зависимости от ха-
рактера изменения, может подразделяться на постоянную
и переменную {периодическую, прогрессивную или изменяю-
щуюся по сложному закону).
14
Поскольку истинное значение определить невозмож-
но, невозможно определить и систематическую погреш-
ность измерения. Именно поэтому погрешность не оп-
ределяют, а оценивают расчетными методами или пу-
тем проведения специального измерительного экспе-
римента с применением более точных СИТ, заменяя
истинное значение действительным17 {условно истин-
ным). Если значение систематической погрешности,
оцененное в процессе этого эксперимента, оказывается
существенным по сравнению с требуемой погрешнос-
тью измерений, то в результат измерений вводят поправ-
ку'1, или поправочный множитель™ для компенсации этой
погрешности.
Так как систематическая погрешность и все ее причи-
ны не могут быть известны точно, компенсация не может
быть полной.
Таким образом, в результате введения поправки в неис-
правленный результат измерения, получают т.н. исправлен-
ный результат измерения, который, кроме случайной по-
грешности, отягощен так называемым неисключенным ос-
татком систематической погрешности (НОСП).
НОСИ включает в себя две группы составляющих:
— невыявленные составляющие, которые не удалось оп-
ределить в результате эксперимента, поскольку при-
чины их остались неопределенными;
— выявленные составляющие, обусловленные погреш-
ностями вычисления и введения поправок (в том 12 13 14
12 Действительное значение — это значение ФВ, полученное
экспериментальным путем и настолько близкое к истинному
значению, что в поставленной измерительной задаче может быть
использовано вместо него [1].
13 Поправка — значение величины, вводимое в неисправлен-
ный результат измерения с целью исключения составляющих
систематической погрешности. Знак поправки противоположен
знаку погрешности (1].
14 Поправочный множитель — числовой коэффициент, на ко-
торый умножают неисправленный результат измерения с целью
исключения составляющих систематической погрешности. По-
правочный множитель применяют тогда, когда систематическая
погрешность пропорциональна значению ФВ.
числе и погрешностями применяемых в экспери-
менте более точных средств измерения), значе-
ния и характер изменения которых, как правило,
неизвестны, но для которых можно оценить гра-
ницы их изменения или вероятностные характе-
ристики.
1.2.2. Случайные погрешности
Случайная погрешность изменяется случайным обра-
зом (по знаку и значению) при повторных измерениях,
проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той
же ФВ [1]. Формально она определяется как разность Д,
результата измерения у, и среднего значения у , которое
могло быть получено при бесконечно большом числе по-
вторных измерений одной и той же величины, проводи-
мых в условиях повторяемости [3]:
Д = у4 - limy = у, - lim —Vу, (1.3)
л td
Как следует из выражения (1.3) для нахождения слу-
чайной погрешности не требуется знания истинного
значения измеряемой величины. Случайная погрешность
г-го однократного измерения может быть, в принципе,
определена, если будут известны результаты бесконеч-
ного числа повторных измерений. Однако в этом случае
в ее определении уже не будет необходимости, посколь-
ку величина hm у = Пт — У у , являющаяся оценкой из-
и-“ л 71 '
меряемой величины у, не содержит случайной погреш-
ности.
Таким образом, случайная погрешность результата од-
нократного измерения не может быть компенсирована по-
правкой, однако ее можно уменьшить, увеличив число на-
блюдений и принимая за результат измерения у, поскольку
математическое ожидание (ожидаемое значение) случай-
ной погрешности равно нулю.
16
К случайным погрешностям относятся также грубые по-
грешности, существенно превышающие ожидаемые при
данных условиях значения погрешности. Такие погреш-
ности могут возникать, например, при резком кратко-
временном изменении напряжения в сети питания сред-
ства измерения. Отягощенные грубыми погрешностями
результаты измерений можно выявить при статистичес-
кой обработке и исключить из рассмотрения.
1.2.3. Неопределенность измерений
Присутствие случайной и неисключенной систе-
матической составляющей погрешности в результате
измерения приводит к тому, что последний может
быть, не зная того, очень близким к значению измеряемой
величины (и поэтому иметь пренебрежимо малую
погрешность), не вызывая при этом соответствующего
доверия Именно поэтому для оценки качества резуль-
тата измерения обычно опираются не на погрешность,
а на ее вероятностные характеристики, основываю-
щиеся не на «истинном» значении измеряемой вели-
чины, а на наблюдаемой (или оцененной) изменчи-
вости (рассеянности) результата измерения. При этом
предполагается, что все поправки на известные со-
ставляющие систематической погрешности внесены,
а присутствие невыявленных составляющих НОСП в
результате измерения является неизбежным злом, вли-
яющим в равной степени на качество любой оценки
достоверности измерения.
Мерой рассеяния случайной величины, как известно,
служит центральный момент второго порядка, называе-
мый дисперсией.
На рис. 1.1 приведена графическая иллюстрация зна-
чений погрешности и дисперсии.
Здесь в первом пункте показаны (без масштаба) неисп-
равленные результаты наблюдений (расположенные в по-
рядке возрастания на числовой оси) и дисперсия каждого
из них.
17
Во втором пункте изображено среднее арифметическое
неисправленных результатов наблюдений, принимаемое за
результат измерений (неисправленный), которое обладает
дисперсией, меньшей по сравнению с дисперсией каждо-
го наблюдения в число раз, равное числу наблюдений
(см. пп. 1.3.4).
Третий пункт иллюстрирует введение в неисправлен-
ный результат измерения поправки на все известные си-
стематические эффекты. Поправка обладает собствен-
ной дисперсией, поскольку известна с конечной точно-
стью.
В четвертом пункте показан исправленный результат
измерения и его дисперсия, равная сумме дисперсии по-
правки и дисперсии среднего арифметического результа-
тов наблюдений -
В пятом пункте изображено значение измеряемой ве-
личины (неизвестное).
Шестой пункт иллюстрирует остаток погрешности (не-
известный, поскольку неизвестно значение измеряемой ве-
личины), равный разности между результатом измерения
и значением измеряемой величины.
Седьмой пункт показывает, что неполное определение
измеряемой величины также увеличивает неопределенность
результата измерения.
В восьмом пункте показано, что дисперсия окончатель-
ного результата измерений равна сумме дисперсии сред-
него арифметического результатов наблюдений, диспер-
сии поправки и дисперсии неполного определения изме-
ряемой величины.
Таким образом, по мере уточнения результата изме-
рения на систематические эффекты, его погрешность
(остающаяся неизвестной) уменьшается, а его диспер-
сия увеличивается. Естественно, что неизвестный сис-
тематический эффект не может быть учтен в оценке
дисперсии результата измерения, но он вносит вклад в
его погрешность.
18
Величина
Значение
(без масштаба)
Дисперсия
(без масштаба)
увеличение значений
1) Неисправленные ' ►
нЛ™“™“ I IIIIHIIIIIIIII
(одно наблюдение)
2) Неисправленное
среднее арифметическое
наблюдений
3) Поправка на все известные
систематические эффекты
4) Результат измерения
5) Значение измеряемой величины
(неизвестное)
6) Остаток погрешности
(неизвестный)
7) Значения измеряемой
величины, обусловленные
ее неполным определением
(неизвестные)
8) Окончательный результат
измерения
(не включает диспер-
сию, обус ижленную
неполным определе-
нием измеряемой
величины)
Рис. 1.1 Графическая иллюстрация значений
погрешности и неопределенности
19
Кроме дисперсии, существуют и другие вероятностные па-
раметры рассеяния результата измерения; как точечные, так и
интервальные15. Эти оценки, в отличие от дисперсии, имеют
размерность измеряемой величины. Примером может служить,
положительный корень из дисперсии, называемый стандарт-
ным отклонением. Опенки этих параметров, характеризую-
щие сомнение относительно достоверности результата изме-
рения, называют неопределенностью измерения.
В широком смысле слова неопределенность измере-
ния — параметр, связанный с результатом измерения и
характеризующий рассеяние значений, которые могли бы
быть обоснованно приписаны измеряемой величине [3].
Следует отметить, что введение понятия «неопределенность
измерения» является вынужденной мерой, необходимой для
единообразного и упрощенного оценивания достоверности из-
мерения, поскольку ее определение осуществляется на осно-
ве получаемых результатов измерения, известных условиях из-
мерений и характеристиках применяемой аппаратуры, а не на
неизвестном истинном значении измеряемой величины.
1.3. Вероятностные характеристики результата
и погрешностей измерения
Учитывая присутствие погрешности Д в исправленном
результате измерений X, последний можно представить в
виде следующего выражения
Х = О + Дст+Де< + Д=С + Д,
где Q — истинное значение измеряемой величины;
д — невыявленные систематические составляю-
см щие, которые не удалось определить в ре-
зультате эксперимента, поскольку причины
их остались неопределенными;
Aw — выявленные составляющие, обусловленные не-
точностью проведения эксперимента (в том чис-
ле и погрешностями применяемых в нем более
точных средств измерения), значения и харак-
тер изменения которых, как правило, неизвест-
15 Свойства параметров рассеяния рассмотрены подробно
в разделе 1 3
20
ны, но для которых можно оценить границы их
изменения или вероятностные характеристики;
А — случайная составляющая погрешности.
Поскольку результат измерения содержит случайную по-
грешность и неопределенную по величине неисключенную
систематическую погрешность, то он сам является случай-
ной величиной. Как и всякая случайная величина, результат
измерения полностью характеризуется плотностью распре-
деления f{X) Примерный вид /(X) изображен на рис. 1.2.
На этом же рисунке изображены плотности распреде-
ления случайной погрешности /(Д), выявленного НОСП
/(А„) и суммарной погрешности /(д +д„+ д„) = / (д).
Случайная погрешность, по определению, является цент-
рированной случайной величиной. Такой же считаем выяв-
ленную составляющую НОСП, задаваемую границами. По-
этому их математические ожидания £(Д) = 0 и Е(ДГ,) = 0
Наличие невыделенной составляющей НОСП приводит к
смещению ожидаемого значения суммарной Д погрешности
на неизвестную величину £(Д) = . Плотность распределе-
ния результата измерения f(X). являющаяся композицией
законов распределения /(Д)н /(Д«), смещена относитель-
но суммарной погрешности на величину Q.
Рис. 1.2 Вероятностное представление
результатов и погрешностей измерений
21
Таким образом, взаимное положение истинного значе-
ния ФВ Q и результата ее измерения X на числовой оси не
определено- Поэтому нельзя по результату измерений опре-
делить Q, но можно попытаться оценить интервал, в кото-
рый с заданной (доверительной) вероятностью попадает Q.
Этот интервал в теории погрешностей также называет-
ся доверительным16. Термин «доверительный» выражает сте-
пень доверия к результату измерений. Следует отметить,
что присутствие истинного значения Q на доверительном
интервале с указанной вероятностью возможно лишь в том
случае, если этот интервал накрывает и невыделенную
составляющую НОСП А„. Поскольку эта составляющая
, неизвестна, то такое определение доверительного интер-
вала также как и определение погрешности не вызывает
доверия.
В теории неопределенности подобный интервал вок-
руг результата измерения, называемый расширенной нео-
пределенностью, характеризует интервал, в пределах кото-
рого находится большая часть распределения значений,
которые с достаточным основанием могли быть приписа-
ны измеряемой величине.
Очевидно, что расширенная неопределенность зависит
от уровня доверия (вероятности охвата) р, вида распреде-
ления и его стандартного (среднеквадратического) откло-
нения, которое характеризует степень рассеяния резуль-
татов измерений вокруг ожидания Е(Х).
1.3.1. Распределение вероятностей
Распределение вероятностей — функция, определяющая
вероятность того, что случайная величина принимает лю-
бое заданное значение или принадлежит к заданному ряду
значений.
Характер распределения вероятностей описывается с
помощью функции распределения Под функцией распре-
деления случайной величины Xпонимают функцию, опре-
16 Доверительным интервалом называется интервал, границы
которого симметричны относительно математического ожидания,
а вероятность попадания в который истинного значения изме-
ряемой величины равна доверительной вероятности.
22
деляюшую для каждого значения х вероятность того, что
случайная величина X меньше или равна х :
F(x)= Р(Х< х). (1.4)
Так как вероятность не может быть отрицательной, то
F{x)> 0. Чем больше х, тем больше вероятность того,
что X <х, следовательно F(x2) > F(x(), если х2 >х.,
т.е. F(x) — иеубываюшая функция. Очевидно, что при
х->-«> F(x)-»0; а при х-><~ F(x)-> 1 (рис. 1.3а).
Рис. 1.3 Функция распределения (интегральная) (а)
и функция плотности вероятностей (дифференциальная) (б)
Непрерывную случайную величину, можно также ха-
рактеризовать функцией плотности вероятностей, являю-
щейся производной функции распределения:
f(x} = dF(x)/dx. 0-5)
Поэтому плотность распределения называют дифферен-
циальной функцией распределения (рис. 1.36).
Очевидна и обратная зависимость:
^(х) = }/(«)<*«
(1.6)
23
где и — переменная интегрирования, имеющая раз-
мерность х.
Отсюда происходит название «интегральная функция
распределения».
Основные свойства плотности вероятности:
1. Плотность вероятности есть неотрицательная функ-
ция. Это свойство вытекает из того, что функция распре-
деления есть неубывающая функция.
2. Интеграл в бесконечных пределах от функции плот-
ности вероятности равен единице (условие нормировки)-.
f/(x) Л = 1.
Геометрическая интерпретация этого свойства заключа-
ется в том, что вся площадь, ограниченная графиком функ-
ции плотности вероятности и осью абсцисс равна единице.
Из определений интегральной и дифференциальной
функции распределения видно, что первая из них безраз-
мерна, а вторая имеет размерность, обратную размернос-
ти случайной величины.
1.3.2. График накопленной частоты и гистограмма
На практике, в результате проведения многократных
измерений величины X, получают дискретные значения
х,, вероятностные свойства которых описываются с по-
мощью частотного распределения. Под частотным рас-
пределением понимают эмпирическое соотношение между
значениями характеристики и их частотами (числом слу-
чаев данного типа событий, попадающих в определенную
группу). Графически частотное распределение представ-
ляется в виде гистограммы н графика накопленной частоты.
Результаты наблюдений можно представить на число-
вой оси в виде точек х1,х1,..,х„ Разность между наи-
большим и наименьшим наблюденными значениями от-
счетов равна диапазону результатов наблюдения
24
Этот диапазон можно разбить на L интервалов дли-
тельностью
Lx^hX/L
Через границы этих интервалов можно записать формулу
для интегральной функции распределения в следующем виде
(х„„ + ;Дх) = р[х, s К» + уД*)] .
где j = О, I , ... , i = 1, 2 , ... , и.
Если mt — количество наблюденных значений, попав-
ших в fc-й интервал, то
£"4
P[x,s(x„+J4x)] = ^-.
Эту зависимость можно представить в виде точек на
графике F(Jbx) (рис. 1.4).
Ломаная линия, соединяющая эти точки, называется
графиком накопленной частоты (кумулятивной кривой).
В пределе, при п ->« и Дх —> (I, кумулятивная кривая
стремится к интегральной функции распределения, сохра-
няя все ее свойства:
I) ЛХ„.) = О;
2) f(xm„) = l;
3) Л(У + 1)Лх) > f(yAx) — возрастающая функция.
Так же, как интегральная функция распределения свя-
зана с дифференциальной, кумулятивная кривая связана с
гистограммой
/(JAX) = f(х'"" + 'Ах) ~ + О ~1)Ах| =
Дх
i.'n.-l'"» „
- k~D — ,п‘
п&х nlXx
Эта зависимость представлена на рис. 1.5 и представ-
ляет собой совокупность прямоугольников высотой
f(JAx) = mf I nhx. Гистограмма сохраняет все свойства
25
дифференциального распределения, к которому стремит-
ся при и « и Дх -> 0:
I) > о
2) площадь под кривой гистограммы равна 1 (условие
нормировки)
При построении кумулятивных кривых и гистограмм
для большей наглядности следует придерживаться следу-
ющих правил [4]:
Рис. 1.5 Гистограмма
26
1) интервалы, на которые разбивается диапазон резуль-
татов наблюдений, следует выбирать одинаковыми,
2) число интервалов L устанавливается в соответствии
с рекомендациями, приведенными в табл. 1.1;
3) масштаб гистограммы (кумулятивной кривой) вы-
бирается таким образом, чтобы ее высота относилась к
основанию как 5:8.
Таблица l.f
Выбор числа интервалов гистограммы (кумулятивной
кривой) L в зависимости от числа наблюдений п
л 40-100 100-500 500-1000 1000-10000
L 7-9 8-12 10-16 12-22
1.3.3 Параметры функции распределения
Функции распределения и плотности вероятностей опи-
сываются аналитически с использованием параметров, ха-
рактеризующих заданное распределение. Параметры рас-
пределений выражаются через начальные р? и централь-
ные т моменты различных порядков q.
Начальный момент q — го порядка определяется выра-
жением
£(*’)= (17)
На практике используется только начальный момент
первого порядка, обозначаемый р, который называется
ожиданием случайной величины (ожидаемое значение,
среднее значение)
g = £(Х)= (1.8)
Ожидание относится к характеристикам положения, ука-
зывающим на некоторое среднее значение, вокруг которо-
27
го группируются все возможные значения случайной вели-
чины.
Ожидание, как видно из выражения (1.8), является аб-
сциссой центра тяжести системы материальных точек, рас-
положенных между кривой плотности вероятности и осью
абсцисс (рис. 1.6).
Свойства ожидания:
1) ожидание неслучайного числа равно самому этому
числу Е(а) = а ;
2) постоянный множитель можно выносить за знак ожи-
дания Е(аХ) = аЕ(Х), где а - const ;
3) ожидание алгебраической суммы независимых слу-
чайных чисел равно алгебраической сумме их ожиданий:
E(X + Y-Z) = Е(Х)+E(Y)-E(Z);
4) ожидание произведения независимых случайных
чисел равно произведению их ожиданий:
° Е(Х Y Z) = £(Х) £(Г) E(Z);
5) ожидание отклонения случайного числа от его ожи-
дания равно нулю:
£[Х-Е(Х)] = О
Кроме математического ожидания, к характеристикам
положения относятся мода и медиана.
Модой называется то значение случайной величины
Mod, для которой плотность вероятности имеет макси-
мальное значение (рис. 1.6).
Если плотность распределения имеет несколько мак-
симумов, то такое распределение называется полимодаль-
ным. Иногда встречаются распределения, мода которых
определяет не максимум, а минимум плотности распреде-
ления (например — арксинусное, рис. А.1, д). Такие рас-
пределения называются антимодалъными.
Медианой распределения случайной величины называ-
ется такое значение Me, для которого одинаково вероятно,
окажется ли случайная величина больше или меньше Me,
28
т.е. Р(Х < Me) ~ Р(Х > Me). Геометрическая медиа-
на — это абсцисса точки, в которой плошадь, ограничен-
ная кривой распределения, делится пополам (рис. 1.6).
В случае симметричного одномодального распределе-
ния медиана совпадает с ожиданием и модой.
Mod р Me
Рис. 1.6 Ожидание, мода и медиана
распределения случайной величины
Центральный момент q — го порядка является ожидае-
мым значением q — ой степени центрированной случай-
ной переменной (X И) и составляет
Е[(Х-н)’]= ](х-М)/(х)Л.
(1.9)
Из пятого свойства ожидания следует, что центральный
момент первого порядка равен нулю
Центральный момент второго порядка называется дис-
персией:
c2=V(X) = е{|/-£(•¥)]*} =](х-ц)7(х)Л. (1.1(1)
29
Свойства дисперсии:
1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:
И(й) = 0;
2) постоянный множитель можно выносить за знак дис-
персии, возводя его при этом в квадрат: V (аХ)- a2V (X),
где а - const,
3) дисперсия алгебраической суммы двух чисел равна
У(Х ± Г) = И(Л-)+ И(Г)± 2pJv(X)V(Y),
где р — коэффициент корреляции
Е[(*-Е(Х))(Г-£(У))]
₽ ,]V(X)V(Y)
4) дисперсия алгебраической суммы независимых слу-
чайных чисел равна алгебраической сумме их дисперсий:
V(X + Y-Z) = V(X)+V(Y)±V(Z);
5) дисперсия случайного числа равна разности между
ожиданием его квадрата и квадратом ожидания:
V(X) = Е^Х1^-Е1 (X).
Положительный квадратный корень из дисперсии на-
зывается стандартным отклонением:
а = #(*) = (1-11)
Иногда используются т.н. «абсолютные моменты», в
которых величины X, (X — заменяют их абсолютными
величинами. Обычно на практике применяют централь-
ный абсолютный момент первого порядка, называемый
средним абсолютным отклонением
= £р-£Н)]}
(1.12)
30
Дисперсия, стандартное отклонение и среднее абсолют-
ное отклонение характеризуют рассеяние случайной ве-
личины, которое тем больше, чем больше значение ука-
занных параметров (рис. 1.7).
Рис. 1.7 Законы распределения случайной
величины с различными дисперсиями
В теории неопределенностей широко используется нор-
мальное распределение (распределение Лапласа — Гаусса) —
распределение вероятностей непрерывной случайной пе-
ременной X, функция плотности вероятностей которой
равна (рис. АЛ, в):
(1-13)
где -« < х < о».
В этом выражении ц — ожидаемое значение, о — стан-
дартное отклонение.
1.3.4. Точечные оценки параметров экспериментальных
функций распределений
Теоретические законы распределения характеризуются
числовыми характеристиками: начальными и центральны-
ми моментами разных порядков, характеристиками поло-
жения.
31
Для экспериментальных законов можно получить оцен-
ки этих характеристик. Так как эти оценки на числовой
оси могут быть представлены в виде точек, их принято
называть точечными в отличие от интервальных, изобра-
жаемых на числовой оси с помощью интервалов.
В противовес самим числовым характеристикам ц,сг2
их оценки g, 52 являются случайными величинами, при-
чем их значения и рассеянность зависят от числа экспе-
риментальных данных п.
Точечные оценки числовых характеристик должны
удовлетворять 3-м требованиям: они должны быть состоя-
тельными, несмещенными и эффективными [4).
Состоятельной называется оценка, которая с увеличе-
нием выборки приближается к истинному значению ха-
рактеристики
limg=p; limsz=o2.
По определению ожидания
Ц = J/(x)dc = lirn£v(x,)to
Так как каждое значение х появляется один раз при
общем объеме выборки п, то /(х,) = \!п&х, откуда
При конечном значении п оценкой И является сред-
нее арифметическое
х = -Ух (1-14)
Поскольку х появилось из ц при ограничении объе-
ма выборки, то х является состоятельной оценкой ожи-
дания.
32
По определению дисперсии
a' j (x-g)V(x)dx = limj(x, -|i)‘/(x,yw =
= liml^(x,-n)!,
л"
т.е. состоятельной оценкой о2 является так называемая
выборочная дисперсия
s’-- Х(х,-р)г. (1.15)
«73
На практике ц неизвестно, поэтому при расчете х2
ожидание р заменяют оценкой х
s’=-£(*,-*У- (I 15 а)
Л 31
Это не влияет на состоятельность з1, поскольку
х > P, однако, как будет показано далее, является
причиной смещения оценки дисперсии (1.15 а).
Несмещенной называется опенка, ожидание которой рав-
но самой характеристике.
£(и)=ц; £(s!) = a'
Проверим несмещенность среднего арифметического
|_« (=i J л i=i л
Таким образом, среднее арифметическое является не-
смещенной оценкой ожидания результатов многократных на-
блюдений при любом законе распределения.
Проверим несмещенность оценки дисперсии (1.15а)
E(s') = E^i^(x,-x)!j= E^i^(x,-|i + n-x)!j =
= ЕГ-£ U - И)! + - £(5 - м)’ - - £и - юи - н)1 =
[_Л“Т Пы Пм J
= ai(*) + a!(*)-2f|cK-g)l£(jr,-ц)] =
- о2 (х) + о2 (х) - 2о2 (х) = о2 (х) - о2 (х).
Так как
a>(x) = a'(l£x,] = ±i<?(z,) = ^ = ^, (116)
Л (=1 л ;--| л л
£(?).." 'т
п
Таким образом, замена ожидания на среднее ариф-
метическое в выражении (1-15) приводит к смещению оцен-
ки дисперсии.
Несмещенную оценку дисперсии получают, домножая
2 11 л - - Л.
s на коэффициент----, то есть несмещенной оценкой оис-
л-1
Персии является
(117)
При л -> о» коэффициент —--> 1, поэтому оценка
л-1
(1.17) оказывается также состоятельной, как и оценка (1.15).
Оценка стандартного отклонения результата наблюде-
ния определяется, как правило, по формуле
j=+7рГ=I—Цу(х, - х/
ул-1-f
(118)
Однако, ввиду нелинейности операции извлечения
квадратного корня, такая оценка является смещенной для
малого числа наблюдений л, поэтому для устранения это-
го смещения для к <6 применяют выражение
34
лд£и.-г>’ <1 19)
в котором коэффициент К„ для нормального распределе-
ния хорошо аппроксимируется выражением
Эффективной называется оценка, обладающая наи-
меньшей дисперсией (рассеянием) по сравнению с ос-
тальными.
Для выбора наиболее эффективной оценки существует
целый ряд методов. Наиболее распространенным явля-
ется метод максимального правдоподобия, теоретически
обоснованный Р. Фишером Идея метода заключается
в отыскании таких оценок параметров распределения,
при которых достигает максимума т.н. функция прав-
доподобия. Последняя определяется как вероятность
появления всех независимых результатов наблюдения
х1,х2,...,х„. Поскольку вероятность появления резуль-
тата xt, лежащего в интервале Дх , равна Р, = /(х,)Дх, то
для независимых результатов наблюдения вероятиость
появления всего ряда наблюдений х| х2,...,хл есть произ-
ведение этих вероятностей
Р(х„л2,.,*,) = Г1Лх/(х,). (1.21)
В соответствии с принципом максимального правдо-
подобия необходимо найти такие оценки параметров
дифференциальной функции распределения /(хг), при
которых выражение (1.21} достигает наибольшего значе-
ния.
Дня упрощения вычислений пользуются логарифми-
ческой функцией правдоподобия
£(x,,x2,...,Jr.) = Xln/(*,).
35
Условие ее максимума получают в результате решения
системы уравнений, образуемой при приравнивании нулю
ее производных по тем параметрам, оценки которых мы
хотим определить.
Эту задачу можно решить только для конкретного вида
дифференциальной функции распределения.
Нормальное распределение.
Плотность распределения (рис. А.1, в)
Отсюда логарифмическая функция правдоподобия име-
ет вид
£ = Ё|П[Л*')]= j
Отыщем наиболее эффективную оценку ожидания для
нормального распределения
т.е. £х;-лц=0.
* Iй
Отсюда ц = - У х,= х -
Таким образом, среднее арифметическое является не
только состоятельной и несмещенной оценкой ожидания, но
и для нормального распределения еще и самой эффективной.
Дисперсия среднего арифметического, как уже было по-
казано в (1.16), равна
т.е. в п раз меньше дисперсии результата наблюдения.
Определим эффективную оценку дисперсии для нор-
мального распределения
36
— I -уГ \2(*‘~*);Ъо
Эа„1, s 2? J ’
Л 1 . __.7 j | *t“i
откуда _ = V (х. - х)2 и ? = -У (х, - х) ,
5 S П~^
то есть для нормального распределения полученная ранее
оценка дисперсии (1.15) является эффективной.
Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа).
Плотность распределения
для которой
а = -Лх,
а ее график изображен на рис. А.1, г.
Логарифмическая функция правдоподобия для двой-
ного экспоненциального закона распределения имеет вид
t=£(_ln2X-fc_hl).
Эффективная оценка ожидания определяется из вы-
ражения
Эр
Для упорядоченного ряда наблюдений (х, < х2 <... < х„)
((й-X,) + (й-х,) + ...+ (ц -х,) +
Эр Эр
- Ю + (*„2 - М)+ - + (х„ - р)} = г - (л - г) =
= 2г-л = 0.
откуда г = п/2.
37
То есть p — значение, стоящее посредине упорядо-
ченного ряда наблюдений. Оно называется медианой Me:
л-нечетное ,
п — четное
(1.22)
Эффективная оценка X определяется из выражения
3L |
3Xp.J
откуда
Х = 1У|х,-Л*|. (1-23)
п ы
Величина X связана с о соотношением X = , по-
этому V2
5 = ^Ё|*,-Л/е|. (1.24)
Равновероятное распределение.
Плотность распределения (рис. А.1 а)
/(*) =
О,
1
{Ь-аУ
Х<а,Х>Ь,
а<Х<Ь.
Так как в выражение для функции распределения не
входит аргумент X, то обычная техника использования
принципа максимального правдоподобия здесь неприем-
лема. Однако в этом случае экстремальная задача может
быть решена непосредственно.
38
Функция правдоподобия
Параметры а и b отыскиваются из ряда наблюдений
хх,х2,...,хи, причем
а < min{jc,}t; b > гпах{хД -
Очевидно, что решение экстремальной задачи
1
max —----— будет достигаться в том случае, когда а ~ хтп;
Ь = Лшах, т.е. для равномерного распределения эффектив-
ные оценки ожидания и дисперсии будут находиться че-
рез минимальные и максимальные значения ряда наблю-
дений. Поэтому эффективной оценкой ожидания являет-
ся среднее арифметическое границ вариационного ряда
х _ ^min Хпах (1.25)
2
а эффективной оценкой дисперсии — величина
с* 1 — foiMx (1.26)
12
1.3.5. Интервальные параметры рассеяния функции
распределения погрешностей измерения
Параметрами рассеяния функции распределения явля-
ются дисперсия, стандартное отклонение и среднее абсо-
лютное отклонение. Эти параметры являются точечными,
поскольку на числовой оси обозначаются в виде точек.
Более полной характеристикой рассеяния является интер-
вальная характеристика, называемая в статистике довери-
тельным интервалом'1, в который с заданным уровнем
17 Термин «доверительный интервал» применяется в статис-
тике к частотному распределению, получаемому при обработке
рядов наблюдений, (например к распределению случайных по-
грешностей), в то же время неисключенные систематические
погрешности описываются априорными распределениями Не-
смотря на это, все соотношения между шириной интервала и
I стандартным отклонением распределения, полученные в этом
подразделе для разных законов распределения и заданного уров-
ня доверия, справедливы к обоим типам распределений.
39
доверия р попадает ожидаемое значение М. Если рас-
пределение вероятностей симметрично относительно
ожидаемого значения, то границы доверительного
интервала ц±С/ также симметричны относительно ц
(рис. 1.8).
Очевидно, что U зависит от уровня доверия р, вида
распределения и его стандартного отклонения. Эту зави-
симость получают путем умножения стандартного откло-
нения а на коэффициент к, называемый в теории нео-
пределенности коэффициентом охвата.
(127)
U
Д ля известных симметричных законов распределения зна-
чения коэффициентов охвата можно найти из выражения
р = + Ло]- F[ц-fco] = J f\x)dx, (1.28)
подставляя вместо F(p ± kcs) соответствующее аналитичес-
кое выражения для функции распределения результатов
или погрешностей измерения.
В этом случае уровень доверия р называется вероят-
ностью охвата.
Равновероятное распределение (рис. А.1, а).
Плотность распределения
О, х g [а; Ь].
(129)
Функция распределения
Их) - j f(u)du =
х - а г ,,
——, хе [o;Z>] ;
b-a
О, х < а ;
I, х >Ь.
(1-30)
40
Рис. 1.8 Доверительный интервал и вероятность
охвата р на интегральной и дифференциальной
41
Числовые характеристики распределения — ожидание
b+а Ь-а
ц =-----; стандартное отклонение о = .
2 V12
Вероятность охвата
р = F[p + far] - f[|4. - fca] =
= P + + = 2U _ 2U
b-a b-a g>/12
Отсюда U - o-Jlp; к = >/3p (1-31)
Треугольное распределение (Симпсона) (рис. АЛ, б).
Плотность распределения
/(*) = 4(х-й) (4-о)1 ’ 4(4 х) хе [о;ц];
хе [ц;4]:
• (*-«)’ ’ (1.32)
0, х t [о;А].
Функция расп >еделения 2(х-д)2 хе [а;р]; хе [р.4]; х <а\ х>Ь.
F(x) = ((>-0)! ' . ад-х)1 {Ь-аУ ’ 0, 1, (133)
Числовые характеристики:
Вероятность охвата
„ - I 'Sb-p-U)2 _
(b-а)2 {Ь~а)г {Ь-а}2
42
(i-o)2 (Ли)2
=1-0-^ =
1-(1-л):
Отсюда
£/ = 0л/6(1-/Т-р);
fc = j6“(l-V 1-р).
(1.34
Нормальный закон (Гаусса) (рис. А.1, в).
Плотность распределения
/(х)= -~е
~J2nc
Функция распределения
> х О-н)3
fw=s Iе dy
Вероятность охвата
(1.35)
(1.36)
Вводим замену переменного *—Н = /, откуда dt = —
о о
и вместо ц±(/ в пределах интегрирования необходимо
записать
/(ц±(/) = и— м .±- = ±А.
С с
1 * ,7 Э * —
т.е. р = . [е Ь 2dt = l^(k),
где Ф(к) — функция Лапласа.
43
Отсюда получаем
Л = Ф|(р/2). (1.37)
Значения функции ф-', обратной функции Лапласа,
табулированы (табл. Б.З).
Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа)
(рис. АЛ, г).
Плотность распределения
1 к-Н 1 (1.38)
Функция распределения 1
(139)
1--Т 1, хар.
Стандартная неопределенность
Вероятность охвата
1 н- р - с . р - t/ ~ р _ р
р = 1--е х --е х =1-е х.
2 2
Отсюда
--Т 1п(1 - р);
V2
fc=-~ln(l-p). (1-40)
Распределение по закону арксинуса (рис. АЛ, д).
Плотность распределения
/(х) =
nj2o2-(x-p)2 ~ (1.41) 0, xg(p-oV2, |л + о>/2).
44
Функция распределения
О, х <ii-cj2;
| + -arcsin , х е Гц - ц + <ь/21; (1.42)
4 л l j
1, х > ц + g^2.
Вероятность охвата
1 - ц+£/-ц 1 . ц-tZ-p 2 . U
— arcsin --—т=—— — arcsin ———- = - arcsin -^=~
п V2o It V2o п V2o
Отсюда
t/=^sin^. k = j2Sin^- <143)
Зависимости коэффициентов охвата к от вероятности
охвата р для различных законов распределения приведе-
ны в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Зависимости к(р) для разных распределений
'' -Закон распределения Вероятность охвата р
0,9 0,95 0,99 0,9973
Равновероятный 1.56 1.65 1,71 Л
Симпсона 1,67 1,9 2,2 Д
Нормальный 1,64 1,96 2,58 3
Лапласа 1,63 2,12 3,26 4,18
Арксинуса 1,4 1,4 1.41 д
45
| 1.4. Контрольные вопросы и задания
1. Какая операция составляет основу измерений?
2. Укажите различия между измеримыми и измеряе-
мыми величинами.
3. Запишите основное уравнение измерения и объяс-
ните входящие в него величины.
. 4. Назовите основные этапы процесса измерений.
5. Приведите классификацию измерений.
6. Что называется результатом измерения?
7. Что такое погрешность измерения и как она подраз-
деляется по характеру изменения?
8. Что такое систематическая погрешность и как ее оце-
нить экспериментально?
9. Что понимают под неисключенным остатком систе-
|матической погрешности?
10. Приведите выражение для формального определе-
ния случайной погрешности.
। 11. Почему для оценки качества измерений опираются
не иа погрешность, а иа ее вероятностные характеристи-
ки, которые основываются на наблюдаемой рассеянности
результата?
12. Как уменьшить случайную погрешность результата
измерения?
13. Почему по мере уточнения результата измерения
иа систематические эффекты его погрешность уменьша-
I ется, а дисперсия увеличивается?
14. Что называют неопределенностью измерений?
15. Как оценивается интервал, в который с заданной
вероятностью попадает истинное значение?
16. Что называется расширенной неопределенностью?
17. Назовите параметры функции распределения и плот-
ности вероятности.
18. Перечислите требования к точечным оценкам па-
раметров экспериментальных функций распределения.
19. В чем состоит идея метода получения наиболее эф-
фективной оценки числовых характеристик эксперимен-
тальных распределений?
46
20. Какие оценки математического ожидания являют-
ся наиболее эффективными для нормального, равноверо-
ятного и двойного экспоненциального распределений?
21. Как связан доверительный интервал со стандарт-
ным отклонением и коэффициентом охвата?
2. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И СПОСОБЫ ВЫРАЖЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Не Меняя своих представлений
в метрологии, мы должны выучить
этот «иностранный язык», чтобы
знать, что мы покупаем — продаем
и как оценить и взаимно признать
результаты измерений, испытаний,
сертификации продукции.
ЛК. Исаев
2.1 Классификация неопределенностей
Классификацию неопределенностей следует, прежде
всего, производить по методам оценки и способу их выра-
жения (рис.2.1).
Все неопределенности по методу оценки подразделя-
ются иа две категории: А и В.
К категории А относятся составляющие, которые оце-
ниваются путем применения статистических методов.
К категории В относятся составляющие, которые оце-
ниваются другими способами.
По способу выражения различают стандартную, суммар-
ную, расширенную и относительную неопределенности.
Стандартная неопределенность — неопределенность ре-
зультата измерения, выражаемая как стандартное отклонение.
Суммарная неопределенность1 - стандартная неопреде-
ленность результата измерения, который получают из значе-
ний других величин, связанных с измеряемой величиной.
Расширенная иеопределеппость — интервальная оценка
неопределенности измерений, представляющая собой про-
изведение стандартной неопределенности на коэффици-
' Суммарная неопределенность — стандартная неопределен-
ность результата измерения, когда результат получают из значе-
ний ряда других величин, равная положительному квадратному
корню суммы членов, причем члены являются дисперсиями или
ковариациями других величин, взвешенными в соответствии с
тем, как результат измерения изменяется в зависимости от из-
менения этих величин (З).
48
ент охвата, зависящий от вида распределения и уровня
доверия (вероятности охвата).
Относительная неопределенность — отношение стан-
дартной, суммарной или расширенной неопределенности
к оценке измеряемой величины.
2.2. Методы оценивания составляющих неопределенностей
Оценки составляющих неопределенности можно по-
лучать апостериорно или априорно.
Рис. 2.1 Классификация неопределенности измерений
по методам оценки и способам выражения
49
Первый случай {апостериорное оценивание) проводится
по результатам конкретного измерения ФВ и оценивает
его неопределенность. Он возможен только при проведе-
нии многократных наблюдений измеряемой величины. Эти
измерения могут проводиться в двух вариантах:
1)в условиях повторяемости2 (для оценки и минимиза-
ции составляющей неопределенности измерений, обуслов-
ленной случайными эффектами);
2)при изменении одного из условий наблюдений та-
ким образом, чтобы получить наблюдаемую изменчивость
результатов (для оценки и минимизации составляющей
неопределенности результатов измерений, обусловленной
переменной частью неисключенной составляющей извест-
ного систематического эффекта)
В результате обработки методами математической ста-
тистики многократных наблюдений можно получить меру
их рассеянности вокруг оценки Ожидаемого значения, при-
нимаемой за результат измерения. В качестве оценки меры
рассеянности результатов наблюдений берут эксперимен-
тальное стандартное отклонение, называемое стандарт-
ной неопределенностью типа А.
Априориую оценку составляющих неопределенности ре-
зультатов измерений приходится делать тогда, когда мно-
гократные наблюдения для изучаемого случайного или си-
стематического эффекта в данном измерении не прово-
дятся. В этом случае следует опираться на информацию,
полученную из ранее проведенных измерений, физичес-
ких свойств измеряемой величины, паспортных данных
на прибор или справочников.
Рассеянность результатов измерений, получаемая в этом
случае, характеризуется оцененным стандартным отклоне-
нием и называется стандартной неопределенностью типа В.
Таким образом, разделение неопределенностей на тип
А и В показывает различие в способах оценки составляю-
щих, а не различие в источниках их возникновения. Оба
типа неопределенностей оцениваются на основании
распределений вероятностей (наблюдаемой — для типа А
Условия повторяемости перечислены в подразделе 1.2
50
и предполагаемой — для типа В) и характеризуются коли-1
чественно стандартным отклонением. 1
Следует отметить, что категории А и В относятся к по-
нятию «неопределенность» и не являются заменителями
слов «случайная» и «систематическая», применяемым к
понятию «погрешность». Так нвпример, результат одно-
кратного измерения отягощен случайной погрешностью,
однако из-за отсутствия повторных измерении нет воз-
можности ее оценить путем применения статистических
методов (по типу А) [4]. Случайная составляющая в одном
измерении может стать систематической составляющей в
другом измерении, в котором результат первого измере-
ния используется в качестве входных данных (например,
при передаче размера единицы в поверочной схеме (5J).
При оценивании неопределенности от внесения поправки
может быть применен метод рандомизации систематичес-
кой погрешности (рассмотренный выше второй вариант
проведения многократных наблюдений) [4], при этом оцен-
ку неопределенности получают статистическими метода-
ми (по типу А).
2.2.1. Неопределенности типа А
Стандартную неопределенность типа А получают из
функции плотности вероятностей, полученной из наблю-
даемого распределения по частости (см. пп. 1.3.2). Экспе-
риментальную дисперсию S2, характеризующую составля-
ющую неопределенности, получаемую в результате оце-
нивания по типу А, вычисляют из рядов повторных
наблюдений, и она является статистической оценкой дис-
персии. Экспериментальное стандартное отклонение полу-
чают как положительный квадратный корень из диспер-
сии, обозначают как s и для удобства называют стандар-
тной неопределенностью типа А.
Таким образом, для оценивания стандартной неопре-
деленности по типу А необходимо произвести п незави-
симых наблюдений измеряемой величины х в условиях
повторяемости. Отдельные наблюдения xk отличаются по
значению из-з.а случайных изменений влияющих величин
или случайных эффектов.
51
В большинстве практических случаев наилучшей оцен-
кой ожидаемого значения Ц величины х , изменяющейся
случайным образом, является среднее арифметическое или
среднее значение х из п наблюдений1:
S = (2D
Экспериментальную дисперсию наблюдений, которая
оценивает дисперсию о2 распределения вероятностей х,
получают, как
^(хЛ = ^1(х,-г)г. (2.2)
Эта оценка дисперсии выборки и ее положительный
квадратный корень s(xt), называемый эксперименталь-
ным стандартным отклонением, характеризует изменчи-
вость наблюдаемых значений х, или, точнее, их рассеян-
ность относительно среднего значения х .
Поскольку за результат многократных измерений при-
нимают среднее значение х , то важно оценить его дис-
персию.
Наилучшая оценка дисперсии среднего значения s2 (х)
выражается как
? (х) = s’ (1 £xj= 11? (х.) = Дs’(х4) = (2.3)
I п k-t I ti и п
То есть оценка дисперсии среднего значения в и раз
меньше оценки дисперсии результата отдельного наблю-
дения.
На практике стандартная неопределенность среднего зна-
чения является более удобной, чем оценка дисперсии, по-
скольку имеет ту же самую размерность, что и измеряемая
’ В подразделе 1 3.4 показано, что эффективная оценка ожи-
дания должна выбираться с учетом закона распределения резуль-
татов измерений. Среднее арифметическое является состоятель-
ной и несмещенной оценкой для любых законов распределения,
но только для нормального закона распределения эта оценка ма-
тематического ожидания является эффективной.
52
величина. Она равна положительному квадратному корню
из оценки дисперсии (2.2) и рассчитывается по формуле
<24)
Таким образом, стандартная неопределенность среднего
значения в раз меньше стандартной неопределеннос-
ти отдельного наблюдения.
При оценивании стандартной неопределенности по
типу А необходимо учитывать, что число наблюдений п
должно быть достаточно большим, чтобы х давало надеж-
ную оценку ожидания р случайной переменной х и чтобы
s2 (х) обеспечивало надежную оценку дисперсии о2 (Я).
Из выражения (2.3) следует, что оценка стандартного
отклонения среднего арифметического s(x) равна
$(х) = 5(х*)/>/к (2.5)
Стандартное отклонение оценки стандартного отклоне-
ния среднего арифметического o[j(x)] для нормального
закона распределения х , определяется выражением [6]
Т ” 2
(2.6)
Полученная из этого выражения зависимость отноше-
ния стандартного отклонения экспериментального стан-
дартного отклонения среднего s(x), к стандартному
отклонению <j(x) от числа наблюдений приведена в табл. 2.1
и приблизительно описывается выражением
а[л(х)]/а(х) = - 1 .
L J J2(n-1)
(2.7)
53
Таблица 2.1
Зависимость g[s(x)]/g(x) от числа наблюдений
Число наблюдений, и 2 3 4 5 10 20 30 50
g[s(x)]/g(x) - 100% 76 52 42 36 24 16 13 10
Кроме увеличения рассеянности, уменьшение числа на-
блюдений приводит к смещению оценки стандартного от-
клонения (см. пп. 1.3.4). В работе [7] для компенсации
смещения, рекомендуется при числе измерений и < 10
вводить поправочный коэффициент при оценивании экс-
периментального стандартного отклонения равный
для нормального закона распределения ~ — отноше-
нию коэффициента Стьюдента tp (v) для числа степеней
свободы v = п -1 и уровня доверия р к коэффициенту
охвата кр идя нормального закона распределения и того
же уровня доверия.
Значения поправочного коэффициента для р = 0,9545
приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Зависимость поправочного коэффициента кв
от числа наблюдений п
Число наблюдений, и 2 3 4 5 6 7 8 9
7,0 2,3 1J 1.4 1.3 1,3 1,2 1,2
Если случайные изменения в наблюдениях входной ве-
личины коррелированны, например, по времени, то среднее
значение и экспериментальное стандартное отклонение сле-
дует искать с использованием специальных методов.
54
Приведенные рассуждения наглядно показывают, что
оценки стандартной неопределенности типа А не обяза-
тельно более надежны, чем оценки типа В, и что во мно-
гих практических измерительных ситуациях, когда число
наблюдений ограничено, составляющие неопределеннос-
ти, полученные из оценивания по типу В, могут быть из-
вестны с большей достоверностью, чем составляющие,
полученные по типу А.
2.2.2. Неопределенности типа В
Стандартную неопределенность типа В получают из
предполагаемой функции плотности вероятностей, осно-
ванной на степени уверенности в том, что событие про-
изойдет (эта вероятность часто называется субъективной
вероятностью). Для составляющей неопределенности,
полученной из оценивания по типу В, оцениваемую дис-
персию иг (х) вычисляют, используя имеющиеся данные.
Оцененное стандартное отклонение и(х) получают как
положительный квадратный корень из дисперсии и назы-
вают стандартной неопределенностью типа В.
Оценка неопределенности по типу В обычно основы-
вается на фонде сравнительно надежной информации.
Фонд информации может включать в себя:
— данные предварительных измерений;
— данные, полученные в результате опыта, или об-
щие знания о поведении и свойствах соответству-
ющих материалов и приборов;
— спецификация изготовителя;
— данные, которые приводятся в свидетельствах о ка-
либровке и других сертификатах;
— неопределенности, приписываемые справочным
данным.
Для удобства zz2(x) и н(х), оцененные таким обра-
зом, иногда называются соответственно дисперсией типа В
и стандартной неопределенностью типа В.
Правильное использование фонда доступной инфор-
мации для. оцени вания стандартной неопределенности по
типу В требует интуиции, основанной на опыте и общих
знаниях, и является мастерством, которое приходит с
55
практикой. Следует признать, что оценка стандартной
неопределенности по типу В может быть такой же надеж-
ной, как и оценка по типу А, особенно в измерительной
ситуации, когда оценивание по типу А основывается на
небольшом числе статистически независимых наблюдений.
Рассмотрим различные варианты оценивания стандар-
тной неопределенности по типу В.
Вариант 1.
Если оценка х берется из спецификации изготовите-
ля, свидетельства о поверке, справочника или другого ис-
точника, и ее неопределенность дается как некоторое крат-
ное стандартного отклонения, то стандартную не-
определенность и(х) можно принять равной указанному
значению, деленному на множитель, а оцененная диспер-
сия и1 (х) будет равна квадрату этого частного.
ПРИМЕР 1.
Свидетельство о калибровке утверждает, что масса эталона из
нержавеющей стали с номинальным значением 1 килограмм со-
ставляет 1000,000325 г и что «неопределенность этого значения
равняется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений». Тогда
стандартная неопределенность эталона массы есть 240/3=80 мкг.
Вариант 2.
Приведенная неопределенность величины д необяза-
тельно дается в виде кратного стандартного отклонения.
Вместо этого можно встретить ссылку на то, что она опре-
деляет интервал, имеющий 90, 95 или 99 процентный уро-
вень доверия. Если не указан вид распределения, то можно
предположить, что для вычисления упомянутой не-
определенности использовалось нормальное распределение,
тогда стандартную неопределенность для х получают деле-
нием половины приведенного интервала на соответствую-
щий коэффициент охвата для нормального распределения,
которые для указанных выше уровней доверия составляют
соответственно 1,64, 1,96 и 2,58 (см. табл. 1.2).
ПРИМЕР 2.
Свидетельство о калибровке утверждает, что сопротивление
эталонного резистора Л, с номинальным значением 10 Ом есть
56
10,000742 Ом ± 129 мкОм при 23° С и упомянутая неопределен-
ность 129 мкОм определяет интервал, имеющий 99 процентный
уровень доверия. Стандартную неопределенность резистора можно
принять как 129/2,58 = 50 мкОм.
ПРИМЕРЗ.
Справочник, определяющий размеры детали, оценивает, что
ее длина I — 10,11 мм и находится с вероятностью 0,5 в интерва-
ле ±0,04 мм Предположив нормальное распределение для воз-
можных значений I, можно найти стандартную неопределен-
ность длины как 0,04/0,676=0,06 мм, где 0,676 определяет коэф-
фициент охвата для нормального распределения для уровня до-
верия 50%.
Вариант 3.
В некоторых случаях можно оценить только верхний и Ц
нижний пределы для измеряемой величины X. Напри-
мер, можно утверждать, что вероятность того, что значе-
ние X находится в интервале от а. до й,, равна единице.
Если нет конкретных сведений о значениях X внутри
указанного интервала, то можно только'предположить, что
X может находиться в любом месте в его пределах с оди-
наковой вероятностью (т.е. имеет место равномерное рас-
пределение). Функция плотности вероятности равноверо-
ятного распределения изображена на рис. 2.2 и имеет вид
1
a, - а_ ’
0,
X е
X й [а ;
с ожидаемым значением
x = (at +а)/2
и дисперсией
и2 (X) = — <7_ )2 /12 -
(2.8)
(2-9)
(2.10)
Если разность между границами а и at обозначить
как 2d, то из уравнения (2.10) получаем
и2{Х)= а2/3 . (2.11)
57
Если составляющая неопределенности, полученная та-
ким образом, дает значительный вклад в неопределенность
результата измерения, имеет смысл изучить ее подробнее
с целью уточнения ее значения.
ПРИМЕР 4.
В справочнике указано значение температурного коэф-
фициента линейного расширения чистой меди при 20°С
а2о (^и) =16,52 • 10* °C и утверждается, что погрешность этого
значения не должна превышать 0,40 10* ’С *. Основываясь только
на этой информации, можно предположить, что значение
а20 (Си) находится с равной вероятностью в интервале от
16,12• 106 °C 1 до 16,92-10* °C1 и что очень маловероятно, что-
бы «2Q (Си) находилось за пределами этого интервала. Диспер-
сия этого симметричного прямоугольного распределения возмож-
ных значений ^{Си} равна нг(а20) = (0,4-10’6 ’СУ/З =
55,3-10 15 ° С2 и стандартная неопределенность есть н(<х20) =
(0,4- 10 ‘ ° С')/у1з = 0,23- 10*’С'
вариант 4.
Из-за отсутствия конкретных данных о возможных
шачениях X в пределах его оцененных границ от а до
</, обычно предполагают равномерное распределение X.
Однако во многих случаях более реалистично предпола-
гать, что значения X возле границ гораздо менее вероятны.
5В
чем те, которые находятся возле центра. Тогда целесообраз-
но заменить симметричное прямоугольное распределение
симметричным трапецеидальным распределением, имеющим
одинаковые наклонные стороны (равнобедренная трапеция),
с шириной основания at-a_ -2а и с шириной верхней
части 2а$, где 0<|}<1 (рис.2.3). Функция плотности
вероятности трапецеидального распределения имеет вид
О, .¥ё (а ' с,);
(.¥-о.)/<?(1-р2) , Хе[а; x-afl;
<' 1 1/о(1+₽) , Лс(х-о₽; х+<ф);
(о.-А)/о2(1-Р2) , Яе[х + о₽; а.]
(2.12)
Для трапецеидального распределения ожидание X равно
х = (о.+а.)/2, (2.13)
а дисперсия определяется выражением
и!(Х) = д2(1+р1)/6. (2.14)
Необходимо отметить, что трапецеидальное распределе-
ние соответствует суммарному распределению двух равно-
мерно распределенных величин с различными значениями
дисперсий. Прн этом справедливы следующие соотношения
а. = +о2_; а, = ди + й21 ; х = х, +х2;
59
2лЗ = 2|й1-о2|; и2(Л) = иг(А1)+Иг(^2) = в2/3 + а2/3.
В приведенных выражениях индексы 1 и 2 соответству-
ют параметрам равномерно распределенных величин.
Можно получить и обратные соотношения:
д, = й(1 + 3)/2 — среднее арифметическое половин ос-
нований трапеции;
Oj = с(1-р)/2 — половина ширины наклонной части
трапеции.
При 0 -> 1, трапецеидальное распределение прибли-
жается к равномерному (рис.2.2), которое имеет то же
ожидание (2.9), что и трапецеидальное, и дисперсию (2.11)
При р = 0 трапецеидальное распределение превраща-
ется в треугольное (рис.2.4).
Функция плотности вероятности треугольного распре-
деления:
fW-
О,
X ~а_
X е
X е [х;с].
(2.15)
Треугольное распределение имеет то же ожидание (2.13),
что и трапецеидальное, и дисперсию
«2(х) = с2/6. (2.16)
60
Вариант 5.
Верхняя и нижняя задаваемые границы для входной вели-
чины X могут не быть симметричными относительно их
лучшей оценки х, т.е. нижняя граница может быть записа-
на в виде а. - х - b, а верхняя граница в виде at = х + Ь*,
причем b tb. При отсутствии информации о виде рас-
пределения на интервале целесообразно оценивать диспер-
сию по формуле для равномерного распределения
«*(*) = (b.+b )2/12 = (й.-a )2/12.
Эту задачу можно решить другим способом — введя
поправку в оценку х таким образом, чтобы новая оценка
находилась бы посредине интервала Это сводит
ситуацию к случаю, описанному в варианте 3, при новых
значениях b’t = b' = (bt +Ь_)/2 = а.
ПРИМЕР 5.
Если в примере 3 значение коэффициента в справочнике да-
ется как ою (Си)=16,52- Юь"С’и утверждается, что «наимень-
шим возможным значением является 16,40 • 10 6 °C1, а
наибольшим возможным значением — 16,92-10“ ° С», тогда
Ь_ = 0,12-10“’Са />.= 0,4-10‘‘С-1, и, из уравнения (2.11),
получаем «(ctjo) " 0,15-10“'С '.
Вариант 6.
В случае асимметрии функция плотности вероятнос-
тей может быть представлена как экспоненциальная фун-
кция (рис. 2.5):
(О, X й Га ; о 1;
/(*) = < г л г . (2-17)
|/lexp[-X(X-х)], Xe[q_; а,].
Исходя из условия нормировки
J/(x) dx = \,
имеем
61
f(X) /(A)
о)Л>0. b+>b.
®l<0, b*<b;
Puc. 2.5 Асимметричное
(экспоненциальное) распределение
Оптимальное соотношение между параметрами А и X
будем выбирать, воспользовавшись принципом максималь-
ной энтропии [31- Энтропия экспоненциального распре-
деления (2.17) будет равна
Я(%)= - J /(X)In f(xyx = - f f (%)[lnA-X(X-x)]<fc =
Г M-.4. х-ъ,
ln/1 J /(X)dJ + Xx J f(X)dX-lf X f(X)dX
u. -m,
= -1пЛ-Хх + Хх = -1пЛ = In--—----. (2.18)
Максимум энтропии будет достигаться при — = 0.
ЗХ
Дифференцируя выражение (2.18) по X и приравнивая ре-
зультат нулю, получаем
b e-kb- + Ьеи- = -е'^ = 1 (2.19)
X А
Из выражения (2.19) получаем следующие два соотно-
гения [3]:
62
A = [t exp (kb_) + bt exp )] ' ’
(2.20)
l = exp[>.(fc.+»)]-!
b exp [x {bt + £>_)] +
(2-21)
Дисперсия экспоненциального распределения будет
равна
и2{Х) = J f{X){X-x)2dX =А f е'ЦХ х\Х -x)2dX =
С учетом выражений (2.20) и (2.21), получаем [3]
u2(X) = b.b-(b.-b_ )/Х.
(2.22)
В заключение необходимо отметить, что при оценива-
нии составляющих неопределенности важно не допускать
|их «повторного счета». Так если составляющая неопреде-
ленности, возникающая от определенного эффекта, оце-
нивается по типу В, то в нее не должна входить та часть
[эффекта, которая вызывает наблюдаемую изменчивость
результатов измерений и будет оценивается (или уже была
[оценена) по типу А.
2.3. Формы представления неопределенностей
I По форме представления различают стандартную, сум-
марную, расширенную и относительную неопределенности.
2.3.1 Стандартная неопределенность
Стандартная неопределенность результата измерения
выражается как стандартное отклонение.
Как уже говорилось, экспериментальное стандартное
ютклонеиие результатов наблюдений s, называемое стан-
дартной неопределенностью типа А, получают как поло-
жительный квадратный корень из дисперсии, (см. пп. 2.2.1):
63
Стандартная неопределенность типа А среднего значе-
ния в Tn раз меньше стандартной неопределенности от-
дельного наблюдения (2.4):
Для составляющих неопределенности, полученных из
оценивания по типу В, оцененное стандартное отклоне-
ние и, называемое стандартной неопределенностью типа В,
вычисляют через верхние н нижние пределы [а_;о+] пред-
полагаемого распределения, или интервал U, имеющий
заданный уровень доверия р (см. пп. 2.2.2).
Для заданных пределов распределения стандартная нео-
пределенность типа В вычисляется следующим образом:
а) для равновероятного распределения
«(X) = (e,-e.)/Vl2
б) для треугольного распределения
и(Х)=(а.-а )/j24;
в) для трапецеидального распределения
«(%)=(«.-о
(при изменении Р от 0 до 1 трапецеидальное распре-
деление изменяется от треугольного до равновероятного);
г) для экспоненциального (асимметричного) распреде-
ления
и{Х) - ~x)(x-a.)-(at ~2х+а_)/Х,
где х — ожидаемое значение;
X — параметр распределения.
64
Для запанных интервалов Up с известным уровнем до-
верия р, в предположении нормального закона распреде-
ления, неопределенность типа В определяется как
"(x)=vr/kp,
где кр — коэффициент охвата для нормального распреде-
ления, равный соответственно 1,64; 1,96 и 2,58 для уровня
доверия 0,9, 0,95 и 0,99.
2.3.2. Суммарная неопределенность
Измеряемая (выходная) величина Y функционально за-
висит от целого ряда т.н. входных величин Х1гХ2,...,Х„, в
качестве которых могут выступать как непосредственно
измеряемые величины, так и величины, влияющие на ре-
зультат измерения (физические параметры окружающей
среды, напряжение питания, параметры внешних полей и
т.Д.). Эта связь выражается с помощью уравнения измере-
ния, которое, в общем случае, имеет вид4
r=/(X„X2,...,Xw). (2.23)
Оценку измеряемой величины Y, обозначенную У, по-
лучают из уравнения (2.23) используя входные оценки
X|,x2,...,xw t дЛя значений величин XltX2,-.,XN . Та-
ким образом, выходная оценка у, которая является ре-
зультатом измерения, выражается следующим образом'
^ = /(х„хг,....^). <2 24)
4 Входные величины Xlt Х2,- ,Х^ , от которых зависит выход-
ная величина Y, сами могут зависеть от других величин, вклю-
чая поправки и поправочные коэффициенты на систематичес-
кие эффекты, что ведет к усложнению функциональной зависи-
мости f, которая никогда не может быть записана точно. По-
этому, если f не моделирует функциональную зависимость до
степени, определяемой требуемой точностью нахождения резуль-
тата измерения, то’для устранения этого в f должны быть вклю-
чены дополнительные входные величины.
65
Оцененное стандартное отклонение, связанное с ре-
зультатом измерения у, называемое суммарной стандар-
тной неопределенностью ис (у), получают из стандартных
неопределенностей «(х, ) каждой входной оценки х,.
Каждую входную оценку х, и связанную с ней стандар-
тную неопределенность ис (х,) получают из распределения
возможных значений входной величины X,. Это распреде-
ление вероятностей, как уже было сказано, может быть ос-
новано на рядах наблюдений величин Л., или оно мо-
жет быть априорным распределением. В первом случае по-
лучают оценки составляющей стандартной неопределенности
по типу А, во втором случае - - оценки по типу В.
Способ суммирования стандартных неопределенностей
зависит от степени коррелированиости входных величин.
2.3.2.1. Некоррелированные входные величины
Этот подпункт рассматривает случай, когда все вход-
ные величины независимы Две случайные переменные
являются независимыми, если их совместное распределе-
ние вероятностей является произведением их инди-
видуальных распределений вероятностей.
Стандартная неопределенность оценки у измеряемой
величины У и, следовательно, результата измерения, по-
лучается путем соответствующего суммирования стандар-
тных неопределенностей входных оценок x}tx2,...,xN. Эта
суммарная стандартная неопределенность оценки у обо-
значается как ис (у).
Суммарная стандартная неопределенность ие (у) пред-
ставляет собой положительный квадратный корень из сум-
марной дисперсии мс2 (у), полученной из формулы ’
(2.25)
i=t I oXt j
где f — функция, приведенная в уравнении (2.24), каж-
дая w(x,) — стандартная неопределенность, оцененная по
типу А или по типу В, как было описано ранее. Суммар-
ная стандартная неопределенность и( (у) представляет со-
бой оцененное стандартное отклонение и характеризует
разброс значений, которые могут быть с достаточным ос-
нованием приписаны измеряемой величине У .
Уравнение (2.25) получается в результате аппроксима-
ции уравнения измерения У = f (Xt, Хг,XN ) рядом Тей-
пора первого порядка и представляет собой закон распрос-
транения неопределенности.
При значительной нелинейности f в выражение (2.25)
ОЛЯ и2 (у) должны быть включены члены более высокого
порядка разложения в ряд Тейлора. Если плотность рас-
пределения каждого X, симметрична относительно его
среднего значения, то к членам уравнения (2.25) достаточ-
но добавить члены второго порядка:
(2 26)
j=t I I OXjOXj I OXt dXjOXj I
Частные производные df / Эх, в выражении (2.25) рав-
4ы df /dXia для X- = xf. Этн производные, называемые
соэффициентами чувствительности, показывают, как
выходная оценка у изменяется с изменением значений вход-
ibix оценок x,,x2,...,xw. Если это изменение образовано
:тандаргной неопределенностью оценки х,, то соответству-
ощее изменение в у будет (df /dx,) и(х,). Поэтому
(у) = )] = IX (у) ’ (127>
де с, = df /дх„ и, (у) = |с,|и(х;).
Строго говоря, частные производные представляют со-
>ой (й//Эх,)«(х,), оцененные на ожиданиях X, - На
фактике частные производные оцениваются как
. df / Эх, = df / dXt |x,, х2,..., xN .
Коэффициенты чувствительности с, — df /Ъх, иногда мо-
гут не рассчитываться из функции f, а определяться экспе-
риментально, путем измерения изменения в у, вызванного
изменением в выбранном X,, поддерживая при этом осталь-
ные входные величины неизменными. В этом случае закон
распостранения неопределенности представляет собой эм-
пирическое разложение в ряд Тейлора первого порядка, осно-
ванное на измеренных коэффициентах чувствительности.
2.3.2.2. Коррелированные входные величины
Если входные величины коррелированны, то соответ-
ствующее выражение для суммарной дисперсии и/ (у),
запишется следующим образом
где xt и xj являются оценками X, и Xt, а ц(х/,х7) =
= и(хгХ;) являются оцененной ковариацией xt их,.
Степень корреляции между xi и ху характеризуется
оцененным коэффициентом корреляции
г(хмх;) = и(хнху)/«(х;)и(ху), (2.29)
где г(х/,х/) = г(ху,Х;) и -1 < r(x,,x/ )< 1. Если оценки х,
н х, независимы, то г(х,-,х7)=0. и изменение одной из
них не означает ожидаемого изменения другой.
В терминах коэффициентов корреляции выражение для
суммарной дисперсии принимает вид
и‘ Ь)=£[с.и(*Э] +2Х 51 с»£/"(х>)"(дсу)г(лс»лс>)-
‘1 1=1 j-i.l
(2.30)
68
Для особого случая, когда все входные оценки корре-
лированны с коэффициентами корреляции г(х;,ху) = +1,
уравнение (2.30) преобразуется в
Ч,(у) = [Ес/"(^)] =[е|^ ы(х')] . (2.31)
ПРИМЕР 6.
Десять резисторов, каждый из которых имеет номинальное
сопротивление /?, = 1000 Ом, откалиброваны с пренебрежимо
малой неопределенностью сличения с помощью такого же эта-
лонного резистора Rs на 1000 Ом, характеризующегося стандарт-
ной неопределенностью w(/^)=100 мОм, как указано в его сви-
детельстве на сертификацию. Резисторы соединены последова-
тельно с помощью проводов, имеющих пренебрежимо малое со-
противление для того, чтобы получить образцовое сопротивление
с номинальным сопротивлением 10 кОм. Таким образом,
В общем случае, при калибровке путем сравнения, оценен-
ные значения калибруемых объектов являются коррелирован-
ными, при этом степень корреляции зависит от отношения нео-
пределенности сравнения к неопределенности эталона. В тех слу-
чаях, когда неопределенность сравнения пренебрежимо мала, как
это часто случается на практике, по сравнению с неопределен-
ностью эталона, неопределенность каждого объекта та же самая,
что и у эталона, и коэффициенты корреляции для каждой пары
калибруемых объектов равны +1.
То есть, поскольку г (х,, х;) = г (/?., ) = +1 для каждой пары
резисторов, то применимо уравнение (2.31) Так как для каждого
резистора
= = I ИН(х,) = «(Д)=«(Л,).
ОЛ, О1\
то выражение для суммарной стандартной неопределенности Rn)
можно записать в следующем виде
10
“. (^) = Z“W'10-(l00 мОм) = I Ом.
69
Результат
г ю I1'2
«’('?.)] -0,32 0м,
1еверен, так как он не учитывает, что все калиброванные значе-
шя десяти резисторов коррелированны.
Оцененные дисперсии иг (х,) и оцененные ковариации
м(х,,ху) можно рассматривать как элементы ковариаци-
энной матрицы с элементами иь . Диагональные элемен-
ты матрииы являются дисперсиями и2 (*,), в то время
как внедиагональные элементы иу (i*j) являются кова-
риациями и(х„х) = м(х7,х,). Если лве входные опенки
некоррелированы, то их ковариация и соответствующие
Элементы »(х,,ху) и м(х7,х,) ковариационной матрицы
равны 0. Если все входные оценки некоррелированы, то
все внедиагональные элементы равны нулю и кова-
риационная матрица является диагональной.
Если входные оценки х, и х? коррелированы и если
изменение 6, в х, вызывает изменение 8у в х}, то коэф-
фициент корреляции, связанный с х, н х}, оценивается
приблизительно как
г(х;,ху) = м(х,) 8у/м(х/) 8,-
Это соотношение может лежать в основе эксперименталь-
ного оценивания коэффициента корреляции. Оно может быть
также использовано для приблизительного расчета измене-
ния в одной из входных оценок, обусловленного изменени-
ем в другой, если их коэффициент корреляции известен.
Если за результат измерения принимаются средние арифме-
тические Xt и двух коррелированных величин X, н X , то
их ковариация определяется из независимых пар повторных
одновременных наблюдений в соответствии с формулой
м(х,,х/) = .
Оцененный коэффициент корреляции для X, и Xt по-
лучают из уравнения (2.29):
70
г (х„х,)= г(X,, Xi) = 5(Х„X,)/ s(Z, )s(%,) .
Такое использование уравнения (2.29) можно рассмат-
ривать как оценку ковариации по типу А.
Рассмотрим два средних арифметических q и f, кото-
рые оценивают ожидания и р, двух случайно изме-
няющихся величин q и г , и пусть q и f вычисляются из
п независимых пар одновременных наблюдений q и г »
сделанных при одинаковых условиях измерений Тогда ко-
вариация q и г оценивается по формуле
<2 32>
гае q,. и являются индивидуальными наблюдениями
пар д и г, a q и f рассчитываются из наблюдений в
соответствии с уравнениями
Поскольку стандартные неопределенности средних арифмети-
ческих q и f вычисляются в соответствии с выражением (2.4)
то оценку коэффициента корреляции можно записать окон-
чательно в следующем виде
£(«> -«)(».-?)
г(^)= (2 33)
Корреляция между двумя входными величинами мо-
жет существовать, если при их определении используют
одни и тот же измерительный прибор, физический эталон
измерения или справочные данные, имеющие значитель-
ную неопределенность. Например, если поправка на тем-
пературу, необходимая для оценки входной величины X,,
получается'с помощью некоторого термометра и такая же
71
поправка на температуру, необходимая для оценки вход-
ной величины ЛГ,, тоже получается с помощью этого же
термометра, то две входные величины могут быть значи-
тельно коррелированы. Однако, если X, и Xj определяют-
ся как величины без поправок, или если величины, кото-
рые определяют калибровочную кривую термометра, вклю-
чены в уравнение измерения как добавочные входные ве-
личины с независимыми стандартными неопределенно-
стями, корреляция между X, и X, устраняется.
Корреляции между входными величинами нельзя иг-
норировать, если они имеются и значительны. Связан-
ные с ними ковариации следует оценивать эксперимен-
тально, изменяя коррелированные входные величины (по
типу А), или используя всю имеющуюся информацию о
коррелированной изменчивости рассматриваемых вели-
чин (оценивание ковариации по типу В). Правильное
понимание, базирующееся на прошлом опыте и общих
знаниях, особо необходимо при оценивании степени кор-
реляции между входными величинами, возникающей из-
за эффектов, оказывающих общие влияния, таких как
температура окружающей среды, атмосферное давление и
влажность. К счастью, во многих случаях, эффекты таких
влияний имеют пренебрежимо малую взаимосвязь, так что
можно предположить, что входные величины, испытыва-
ющие такие влияния, не коррелированье Однако если
нельзя предположить, что они некоррелированы, сами
корреляции могут быть исключены, если общие влияния
введены в уравнение измерения как добавочные незави-
симые входные величины.
2.3.3. Расширенная неопределенность
Международные документы по оцениванию неопреде-
ленности в измерениях рекомендуют «всем участникам
при представлении результатов всех международных сличе-
ний или других работ под эгидой МКМВ и Консультатив-
ных Комитетов использовать для выражения достоверности
измерения суммарную стандартную неопределенность ц. (у)».
Однако в отдельных случаях (в торговле, про-
мышленности и регулирующих актах, а также когда дело
I 72 |
касается здоровья и безопасности) целесообразно допол-
нительно указывать интервальную меру неопределенно-
сти. Эта мера определяет интервал для результата измере-
ния, в пределам которого может находиться большая часть
распределения значений, которые можно с достаточным
основанием приписать измеряемой величине Указанная
интервальная мера неопределенности называется расши-
ренной неопределенностью и обозначается символом U.
Расширенную неопределенность U получают путем
I умножения суммарной стандартной неопределенности
ис (у) на коэффициент охвата к•
U = кис(у) . (2.34)
В случае указания расширенной неопределенности ре-
I зультат измерения выражается как У = y±U, что озна-
чает, что наилучшей оценкой значения, приписываемого
величине У , является у, и что интервал от y-U до у+ U
содержит, можно ожидать, большую часть распределе-
ния значений, которые можио с достаточным основа-
| нием приписать У Такой интервал выражается также
как y-U < Y < y + U .
Термины «доверительный интервал» и «уровень доверия»
имеют в статистике специальные определения и применя-
ются к интервалу, определяемому U, только в теми случае,
| когда выполнены определенные условия, включая условие,
чтобы все составляющие неопределенности, которые входят
в ис (у), были бы получены из оценивания по типу А. В
I теории неопределенности, при рассмотрении U как интер-
вала вокруг результата измерения, содержащего большую
часть р распределения вероятностей, р является вероят-
ностью охвата или уровнем доверия для этого интервала.
Необходимо отметить, что умножение ис (у) на какую-то
I постоянную величину не даст никакой новой информации, а
просто представит ранее имевшуюся информацию в ново.м виде.
Чтобы получить значение коэффициента охвата к, ко-
I торый создает интервал, соответствующий заданному уров-
73
ню доверия Р, необходимы точные сведения о законе
распределения вероятностей, характеризующем рассеян-
ность результата измерения.
Например, если величина у распределена по нормаль-
ному закону, то значения коэффициента охвата для разных
уровней доверия будут равны приведенным в таблице 2.3.
Таблица 2.3
Значения коэффициента охвата к для заданного уровня
доверия р Лри допущении нормального распределения
р,% 68,27 90 95 95,45 99 99,73
к 1 1,645 1,96 2 2,576 3
Если величина у описывается прямоугольным распре-
делением вероятностей, то значение коэффициента охвата
будет равно 1 для уровня доверия 57,74 %; 1,65, для р=95%;
1,71, для р=99% и 7з для р=\. Прямоугольное распре-
деление «уже», чем нормальное, в том смысле, что оно
обладает конечной протяженностью «хвостов».
Если закон распределения величины у неизвестен, то,
имея результаты ее многократных измерений можно оп-
ределить экспериментальный закон распределения. Про-
цедура определения эмпирического закона распределения
включает в себя следующие операции [4]:
1. Графическое построение экспериментального зако-
на распределения (гистограммы или графика накоплен-
ной частоты) (пп. 1.3.2) и высказывание гипотезы о его
виде.
2. Проверка гипотезы с помощью одного из критериев
согласия (Пирсона, Колмогорова и др ).
Необходимо отметить, что в большинстве случаев ин-
тервал и (особенно для значений р, близких к I) будет
скорее неопределенным не только из-за приближен-
ного знания закона распределения вероятностей результа-
74
та измерения, характеризуемого у и и£ (у) (особенно
в крайних областях), но также из-за неопределенности
самой ис (у).
Расширенная неопределенность среднего арифметичес-
кого у зависит от закона распределения у и числа на-
блюдений и.
Если случайная величина у распределена нормально,
с ожиданием , то распределение вероятностей перемен-
ной t =(p'-g>,)/s(j') представляет собой I — распреде-
ление или распределение Стьюдента (рис. 2.6).
Рис. 2.6 Распределение Стьюдента
Функция плотности вероятности распределения Стьюден-
та составляет
где Г — есть гамма функция;
v - п -1 — число степеней свободы.
Ожидание распределения Стьюдента равно нулю, а его
дисперсия равна v/(v -2), для V > 2. При v распре-
деление Стьюдента стремится к нормальному распределе-
нию с и = 0 и <т = 1.
75
Таким образом, если измеряемая величина у есть про-
сто единственная нормально распределенная величина X,
и если в качестве оценки X берется среднее арифмети-
ческое X от и независимых наблюдений Хк с экспери-
ментальным стандартным отклонением = то
расширенная неопределенность U, определяющая интер-
вал от y-U до y+U, будет равна
= (у). (2 36)
где fp (v) — коэффициент из распределения Стьюдента
для вероятности охвата р и числа степеней свободы
V-л-1.
Значения коэффициента Стьюдента табулированы
(табл. Б.1). Их приближенные значения можно рассчитать
по формуле [3|
r,(v)-*Jf727?, (2.37)
где k ~ коэффициент охвата, для нормального распре-
деления5.
Если известны распределения вероятностей входных ве-
личин X^X2,...,XN , от которых зависит измеряемая ве-
личина У , и если У является линейной функцией вход-
ных величин
Y = clXi+c,X^..^cKX„,
5 В отечественной литературе |4| приводятся другие выраже-
ния для приближенного оценивания коэффициента Стьюдента.
Так для п = 6...20 его можно приближенно (с погрешностью до
20%) определять по формуле
Vv -1
а более точно (с погрешностью нс более 5%) д ля л>4 и р >0,9
его можно аппроксимировать выражением
<p(v)=W+0,52(l-pr°-4V,°’>|_f>'“").
76
тогда распределение вероятностей Y может быть получено
путем свертки отдельных распределений вероятностей6. Зна-
чения коэффициента охвата в этом случае могут быть рас-
считаны по результирующему свернутому распределению.
Если функциональная зависимость между Y и его вход-
ными величинами нелинейна, а разложение в ряд Тейло-
ра первого порядка этой зависимости не является допус-
тимым приближением, то распределение вероятностей Y
не может быть получено путем свертывания распределе-
ний входных величин. В таких случаях необходимы дру-
гие аналитические или численные методы7.
Обычно к свертыванию распределений прибегают ред-
ко, поскольку оно трудно реализуется на практике. Вмес-
то этого пользуются следствиями из центральной предель-
ной теоремы (ЦПТ).
Известно, что если Y = с|А'| + с2Х2 +...+cJVA’w и все X,
характеризуются нормальными распределениями, то ре-
зультирующее свернутое распределение У будет также нор-
мальным. Однако даже если распределения X' не являют-
ся нормальными, то распределение Y часто может быть
аппроксимировано нормальным распределением, соглас-
но ЦПТ. Эта теорема гласит, что распределение У будет
приблизительно нормальным с ожиданием
Е(Г) = |с,Е(ЛГ,)
и дисперсией
а!(Г)=Ь,;аг(Х,),
если Л, — независимая случайная величина, а о7 (У) мно-
го больше, чем любая отдельная составляющая с?ог(А'/)
от не нормально распределенной А’..
‘ Численный способ получения композиции законов распре-
деления приведен в [4].
7 Трансформация законов распределения случайных величин
при нелинейном преобразовании рассмотрена в приложении к
работе [4J.
77
ЦПТ имеет особое значение, т.к. она показывает очень
важную роль, которую играют дисперсии распределений
вероятностей входных величин при определении формы
зезультирующего свернутого распределения величины Y ,
то сравнению с той ролью, которую играют моменты бо-
iee высокого порядка. Более того, она подразумевает, что
:вернутое распределение стремится к нормальному по мере
увеличения числа входных величин, вносящих свой вклад
з сг (Yy Эта сходимость будет тем более быстрой, чем бли-
же значения величин с*аг(Х^) друг к другу. К тому же,
эем ближе распределение X, к нормальному, тем меньше
этих X, необходимо, чтобы получить нормальное распре-
деление для Y.
Так, например, прямоугольное распределение являет-
:я экстремальным примером не нормального распределе-
ния, но свертка всего трех таких распределений равной
ширины является приблизительно нормальной. Дей-
ствительно, 95 и 99 процентные интервалы свернутого
распределения определяются как 1,937 а и 2,379 с соот-
ветственно, тогда как аналогичные интервалы для нормаль-
ного распределения с таким же стандартным отклонением
о определяются как 1,96 с и 2, 57 а
Чтобы получить более точное приближение для оцен-
ки расширенной неопределенности, как уже говорилось,
необходимо воспользоваться распределением Стьюдента.
Однако в общем случае распределение Стьюдента не бу-
цет описывать распределение переменной [у-У]/иг(у),
если и* (у) есть сумма двух или более составляющих дис-
персии и] (у) = с2и2 (х,), даже если каждое х, — оценка
нормально распределенной входной величины X,. Однако
распределение этой переменной может быть аппроксими-
ровано t — распределением при числе эффективных сте-
пеней свободы , полученном из формулы Велча —
Саттерсвейта
78
v.« =[xw] /[Хи*(Я/ч] <2-38>
Расширенная неопределенность в этом случае опреде-
ляется как U -tp (vtJf )ис (у) с уровнем доверия р.
Значение ve# , полученное из уравнения (2.38) не будет
целым числом, поэтому соответствующее значение /р мо-
жет быть найдено из таблицы распределения Стьюдента
путем интерполяции или путем уменьшения до бли-
жайшего целого значения.
При отдельной обработке стандартных неопределен-
ностей по типу А и по типу В необходимо дополнительно
к рассчитать и сообщить также значения vf#„ и \effg,
вычисленные из уравнения (2.38).
Если вклады в н; (у) стандартных неопределенностей,
оцененных отдельно по типу А и по типу В, обозначены
как (у) и Мся(З')’ то упомянутые величины связаны
соотношениями
(у) = «L( >')+"?,(>')
При суммировании неопределенностей средних значе-
ний входных величин, определяемых по типу А, число сте-
пеней свободы v следует выбирать равным п -1
При суммировании неопределенностей входных вели-
чин, определяемых по типу В, число степеней свободы у
выбирается из выражения
v 1 ““М лГМ*.)?’,
' 2<Ф(*,)] 2L«(jc<)J
Поскольку при оценивании стандартной неопределен-
ности по типу В на основе априорного распределения ве-
роятностей считалось, что с. и а выбирается так, что
вероятность нахождения величины вне этого интервала
была исчезающе малой, т.е. допускалось, что значение
и(х:) известно точно, это означает, что v, -»<».
79
С учетом сказанного, выражение Велча — Саттерсвей-
та может быть записано в следующем виде
=(п-1)[и5+^]'/и’. (2.39)
2.3.4. Относительная неопределенность
Относительная неопределенность - отношение стан-
дартной, суммарной или расширенной неопределенности
к оценке измеряемой величины:
— относи гел ьная стандартная неопределенность типа
а иД*)/1*|. И*°;
— относительная стандартная неопределенность типа
В и, (х)/|х[, |х| # 0;
— относительная суммарная неопределенность
«ДН/М. Ы*о;
— относительная расширенная неопределенность
1//Н- W*o-
Например, в примере 1 п.п. 2.3.1 приводились данные,
взятые из свидетельства о калибровке и утверждающие,
что масса эталона из нержавеющей стали с номинальным
значением 1 килограмм составляет 1000,000325 г и что «нео-
пределенность этого значения равняется 240 мкг на уров-
не трех стандартных отклонений». Тогда стандартная
неопределенность эталона массы есть 240/3=80 мкг, что
соответствует относительной стандартной неопределенно-
сти 80- 10-’.
2.4. Составление отчета о неопределенности измерений
При составлении отчета о неопределенности следует
иметь в виду, что количество информации, необходимое
для документирования результата измерения, зависит от
предполагаемого использования последнего.
Действительно, технические измерения, проводимые в
огромном количестве каждый день в промышленности и
торговле, не сопровождаются какими-либо развернутыми
отчетами о неопределенности. Это допустимо потому, что
80
большинство из этих измерений проводятся с помошью
приборов, подвергаемых периодической калибровке и уза-
коненной поверке. Поэтому неопределенности их показа-
ний всегда могут быть извлечены из прилагаемых к ним
спецификаций или существующих нормативных доку-
ментов.
В целом, при движении вверх по иерархии измерений
от технических до контрольно-поверочных и прецизион-
ных (включая коммерческую и регулирующую деятельность
на рынке, инженерную работу в промышленности, про-
мышленные и академические исследования и разработки,
калибровочные услуги низкого уровня, рабочие эталоны и
калибровочные лаборатории, национальные лаборатории
эталонов и МБМВ), требуется приводить все больше под-
робностей о том, как были получены результат измерений
и его неопределенность. На любом уровне этой иерархии
в отчет о неопределенности измерений следует включать
всю информацию, необходимую, если это потребуется, для
повторного оценивания качества измерений. Основной
принцип, которому необходимо при этом следовать, со-
стоит в том, что лучше давать избыточную информацию,
чем недостаточную.
Поэтому при составлении отчета необходимо:
а) подробно описать методы, используемые для вычис-
ления результата измерения и его неопределенности, исхо-
дя из экспериментальных наблюдений и входных данных;
б) перечислить все составляющие неопределенности и
полностью задокументировать порядок их оценки;
в) представить все этапы анализа данных таким обра-
зом, чтобы можно было легко в случае необходимости неза-
висимо повторить вычисление приводимого результата;
г) привести значения и источники получения всех по-
правок и констант, используемых в анализе.
Таким образом, информация в отчете должна быть на-
столько полной, чтобы при появлении в будущем новых
данных, результат измерения можно было бы улучшить.
81
2.4.1. Конкретные рекомендации
Неопределенность измерений может указываться в от-
чете как в виде суммарной стандартной неопределеннос-
ти, так и в виде расширенной неопределенности.
Если мерой неопределенности результата измерения яв-
ляется суммарная стандартная неопределенность ис{у),
то при составлении отчета следует:
а) привести полное описание того, как определялась
измеряемая величина Y;
б) дать оценку у измеряемой величине Y и ее суммар-
ной стандартной неопределенности ис (у), указав при этом
единицы измерения для у и для «г(у);
в) в случае необходимости в отчет следует включить отно-
сительную стандартную неопределенность ис (у)/[у|, |у] * 0;
г) дать информацию, содержащую подробное описание
процедуры получения результатов измерения (пп 2.4.2), или
сослаться на опубликованный документ, содержащий ее.
Дополнительно, для лучшего понимания результатов
измерения или для их использования в дальнейшем для
определения расширенной неопределенности, в отчете
можно указать:
— оцененные эффективные степени свободы ve#;
— суммарные стандартные неопределенности по типу
А и В исА (у) и исВ(у), их оцененные эффективные степе-
ни свободы и vc#g.
Для записи численного результата измерения рекомен-
дуется применять один из четырех способов. В качестве
примера рассмотрим эти способы записи для эталона мас-
сы ms с номинальным значением 100 г:
1) «те, =100,02147 г с (суммарной стандартной неопре-
деленностью) ис — 0,35 мг»;
2) «те, -100,02147(35) г», где цифры в скобках являют-
ся численным значением суммарной стандартной неопре-
деленности ис, соответствующим последним цифрам при-
веденного результата;
82
3) «м, =100,02147(0,00035) г», где число в скобках яв-
ляется численным значением суммарной стандартной нео-
пределенности ие, выраженной в единицах результата из-
мерения;
4) « т, ~(100,02147 ±0,00035) г», где число, следующее
за знаком ±, является численным значением стандартной
суммарной неопределенности и,, а не доверительным ин-
тервалом.
Последней формулы следует по возможности избегать,
поскольку традиционно она использовалась для указания
интервала, соответствующего высокому уровню доверия и,
следовательно, может быть спутана с расширенной неопре-
деленностью, хотя скобки, применяемые при этой записи,
используются с целью предотвращения такой путаницы.
г) дать значение коэффициента охвата Л, используе-
мое для получения U (или дать и к и ц.(у) для удобства
тех, кто использует результат);
д) привести приблизительный уровень доверия, связан-
ный с интервалом у ± U , и указать, как он был определен;
е) дать информацию, содержащую подробное описание
процедуры получения результатов измерения (пп 2.6.2), или
сослаться на опубликованный документ, содержащий ее.
Когда мерой неопределенности является расширенная нео-
пределенность, то лучше всего для максимальной
ясности указать численный результат измерения следую-
щим образом:
« т, =100,02147 ± 0,00079 г. где число следующее за зна-
ком ±. является численным значением расширенной нео-
пределенности U = кис, причем и определено из суммар-
ной стандартной неопределенности ц.=0,35 мг и коэф-
фициента охвата к =2,26, основанного на I — распреде-
лении для v=9 степеней свободы, и определяет интер-
вал, оцененный как имеющий уровень доверия 95 про-
центов».
Если процедура измерения определяет одновременно
более одной измеряемой величины, т.е. она дает значения
83
двух или более выходных оценок у,, то, кроме у, и ис (ys),
для каждой нужно дать элементы ковариационной матри-
цы и (у,, у7) или элементы г(у„у7) матрицы коэффи-
циентов корреляции, а лучше и те и другие.
Численные значения оценки у и ее стандартной нео-
пределенности ис (у) или расширенной неопределенно-
сти U не следует давать с избыточным числом цифр.
Обычно достаточно привести их от силы с двумя знача-
щими цифрами, хотя в некоторых случаях может быть
необходимо сохранить дополнительные цифры для того,
чтобы избежать погрешностей округления в следующих
расчетах.
При сообщении окончательных результатов иногда мо-
жет быть уместным округлить неопределенности в сторо-
ну увеличения, а не до ближайшей цифры. Например,
ц. (у) =10,47 мОм можно округлить до 11 мОм. Однако
здравый смысл должен возобладать, и значение, такое как
м(х,) =28,05 кГц, следует округлить до 28 кГц. Выходные
и входные оценки должны округляться так, чтобы соот-
ветствовать своим неопределенностям; например, если
у = 10,05762 Ом с мс(у)=27 мОм, то у следует округлить
до 10,058. Коэффициенты корреляции должны даваться с
точностью до третьей цифры, если их абсолютные значе-
ния близки к единице.
2.4.2. Подробное описание процедуры получения
результата измерения
Подробное описание процедуры получения результата
измерения должно включать в себя следующие пункты:
а) описание методики определения каждой входной
оценки х, и ее стандартной неопределенности м(х() и их
числовые значения;
б) оцененные ковариации и коэффициенты корреля-
ции (а лучше и те и другие) для всех коррелированных
84
входных оценок и методы, использованные для их полу-
чения;
в) степени свободы для стандартной неопределеннос-
ти каждой входной оценки и процедуру их получения;
г) функциональную зависимость Y ~ f{Xt,X^..., Х„),
и, в случае надобности — частные производные или коэф-
фициенты чувствительности Э//дх, (если какой-нибудь из
таких коэффициентов определяется экспериментально, то
его следует привести обязательно)8.
2.5. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте классификацию неопределенностей по мето-
ду их оценки.
2. Приведите классификацию неопределенностей по
способу их выражения.
3. Укажите методы оценивания составляющих неопре-
деленности.
4. Опишите процедуру определения стандартной нео-
пределенности типа А.
5. Как сказывается уменьшение числа наблюдений
на достоверность оценки стандартной неопределеннос-
ти типа А?
6. Почему стандартная неопределенность среднего зна-
чения более удобна, чем оценка дисперсии?
7. Что называют стандартной неопределенностью типа В
и как ее получают?
8. В какой измерительной ситуации оценка стандарт-
ной неопределенности по типу В может быть такой же
надежной, как и оценка по типу А?
8 Поскольку функциональная зависимость f может быть
чрезвычайно сложной и может отсутствовать в явном виде, а
только в виде компьютерной программы, не всегда оказывается
возможным дать / и ее производные. В этом случае f можно
описать общими терминами или дать соответствующую ссылку
на используемую программу. В таких случаях важно, чтобы было
ясным, как были получены оценка измеряемой величины у и
ее суммарная стандартная неопределенность ис{у).
85
9. Как оценить стандартную неопределенность типа В,
если она задана как кратное стандартного отклонения, а
вид распределения не указан?
10. Оцените стандартную неопределенность по типу В
для случая, когда известны только границы распределения.
11. Как оценивается стандартная неопределенность
по типу В для случая асимметричной функции распре-
деления?
12. Как записать неопределенность типа В, если задан
интервал U с уровнем доверия р в предположении нор-
мального закона распределения?
13. Что называют суммарной стандартной неопреде-
ленностью?
14. От чего зависит способ суммирования стандартных
неопределенностей?
15. Какие случайные переменные считаются независи-
мыми?
16. Как получить закон распространения неопределен-
ностей?
17. Как изменится закон распространения неопреде-
ленностей при значительной нелинейности уравнения из-
мерения?
18. Что называется коэффициентами чувствитель-
ности?
19. Можно ли коэффициенты чувствительности опре-
делять экспериментально, какова методика определения?
20. Запишите выражение для суммарной дисперсии,
I если входные величины коррелированы.
21. Приведите формулу для экспериментальной оцен-
ки коэффициента корреляции (приближенной и точной).
22. Объясните, что представляет собой понятие «рас-
ширенная неопределенность».
23. Как получить расширенную неопределенность ре-
зультата однократного измерения, имея результаты мно-
гократных наблюдений измеряемой величины?
24. Как определяется расширенная неопределенность
среднего арифметического результатов многократных из-
мерений?
86
25. Что называют относительной неопределенностью?
26. Какие сведения необходимо приводить в отчете о
неопределенности измерений?
27. Что указывается в отчете о суммарной стандартной
неопределенности измерения?
28. Что указывается в отчете о расширенной неопреде-
ленности измерения?
29. Какие пункты необходимо включать при подробном
описании процедуры получения результатов измерения?
3. ИСТОЧНИКИ И ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Видеть легко: трудно предвидеть.
Б. Франклин
Поскольку на практике существует много возможных
источников неопределенности при измерениях1, то ее оцен-
ка не является чисто математической работой, а требует
детального изучения природы измеряемой величины и
процесса измерения. В конечном счете, качество и цен-
ность оценки неопределенности результата измерения за-
висят от понимания, критического анализа и честности
тех, кто участвует в приписывании ее значения.
Виды составляющих неопределенности подразделяют-
ся по источникам их возникновения иа неопределенности
1 В Руководстве 13] перечислены следующие источники нео-
пределенности:
а) неполное определение измеряемой величины; Ь) несовер-
шенная реализация определения измеряемой величины; с) не-
репрезентативная выборка — измеренный образец может не пред-
ставлять определенную измеряемую величину; d) неадекватное
знание эффектов от параметров окружающей среды, влияющих
на измерение, или несовершенное измерение этих параметров; е)
субъективная систематическая погрешность оператора при сня-
тии показаний аналоговых приборов; f ) конечная разрешающая
погрешность прибора или порог чувствительности; g) неточные
значения, приписанные эталонам, используемым для измерения,
и стандартным образцам веществ и материалам, h) неточные зна-
чения констант и других параметров, полученных из внешних ис-
точников и используемых в алгоритме обработки данных; i) апп-
роксимации и упрощения, используемые в методе измерения и
измерительной процедуре, к)изменения в повторных наблюдени-
ях измеряемой величины при явно одинаковых условиях.
Эти источники неопределенности необязательно являются
независимыми, и некоторые из них — от а) до i) могут вносить
вклад в источник к).
88
измеряемой величины и неопределенности измерительного
эксперимента (рнс. 3.1).
Неопределенности измеряемой величины существуют из-
начально, до проведения эксперимента. Их значения не
зависят от методики проведения эксперимента, качества
измерительной аппаратуры или квалификации оператора.
Неопределенности измеряемой величины обусловлены
следующими факторами.
1. Неопределенность моделирования. Представление че-
ловека об объекте измерения отражается в его сознании в
виде некоторой модели, описываемой совокупностью
параметров. Измеряемые величины, определяемые по мо-
делям, всегда отличаются от свойств реальных объектов,
поскольку модель никогда не может быть абсолютной ко-
пией оригинала. Это отличие выражается неопределенно-
стью, обусловленной неадекватностью модели измеряемой
величине.
Рис. 3.1 Классификация видов неопределенностей измерений
89
2. Неопределенность спецификации. Размер измеряемой
физической величины исходно зависит от параметров вне-
шних влияний, воздействующих на объект измерения. По-
этому корректный подход к измерению требует полного
предварительного описания (спецификации) измеряемой
величины, которое включает в себя указания на время
проведения измерения и условия их проведения Неполная
спецификация измеряемой величины приводит к возник-
новению соответствующей неопределенности.
3. Естественные неопределенности. При повышении точ-
ности измерения или увеличении чувствительности сред-
ства измерения проявляются естественные факторы,
ограничивающие достоверность измерений. К таким фак-
торам относятся:
— дискретность измеряемой величины на квантово-
механическом уровне;
— тепловые шумы, дробовой эффект и т.д.
Наличие перечисленных факторов обусловливает по-
явление естественных неопределенностей измерений, оп-
ределяющих их потенциальную точность.
Неопределенности измерительного эксперимента в зави-
симости от источника возникновения подразделяются на
методические, инструментальные и личные.
1. Методические неопределенности обусловлены несо-
вершенством метода измерения.
2. Инструментальные неопределенности — составляю-
щие неопределенности, определяемые несовершенством
применяемых СИТ.
3. Личные неопределенности — неопределенности, обус-
ловленные особенностями органов чувств или неправиль-
ными действиями оператора, например, неопределенность,
возникающая вследствие наличия явления параллакса при
считывании показаний со шкалы стрелочного прибора.
3.1 Неопределенности измеряемой величины
Неопределенности измеряемой величины включает в
себя неопределенность моделирования, неопределенность
спецификации и естественные (потенциальные) неопре-
деленности.
90
3.1.1. Неопределенность моделирования (опознания)
Моделирование объектов измерений, представляющее
собой необходимый в общем случае этап планирования
измерений, наименее изученная и мало отраженная в мет-
рологической литературе процедура. Неадекватность мо-
дели реальному объекту порождает еще до измерений (ап-
риори) неопределенность, называемую неопределенностью
моделирования (опознания).
ПРИМЕР 1.
Классическим примером неадекватности модели измерения
объекту служит измерение диаметра вала, сечение которого от-
личается от круга (имеет эллипсоидную или другую форму). Из-
мерение диаметра вала в различных п направлениях будет да-
вать различные результаты , подтверждающие наличие
неопределенности моделирования исследуемого объекта изме-
рения. Оценку этой неопределенности s(Dt) можно получить в
результате статистической обработки полученных результатов (по
типу А).
где D = — У. Ок — среднее значение этих результатов.
«ГТ
Если за результат измерения диаметра принимается D, то его
неопределенность будет в 4п раз меньше неопределенности '
Сложность модели и степень ее адекватности реально-
му объекту зависит от следующих факторов:
а) вид и свойства объекта измерения;
б) цель и требуемая точность измерения;
в) количество априорной информации об объекте, ква-
лификация метролога, производящего измерения.
В Процессе создания модели возникает парадоксальная
ситуация Для того чтобы произвести измерение искомой
величины, необходимо иметь априорную информацию о ее
91
свойствах, по которой устанавливается модель измерения.
А эти свойства могут быть определены (измерены) только в
процессе экспериментального изучения объекта.
Необходимо отметить, что отсутствие отличий в резуль-
татах измерений не всегда гарантирует правильность выб-
ранной модели. Так, например, в работе [9] показано, что
для фигуры, ограниченной дугами окружностей, центры
которых находятся в вершинах равностороннего треуголь-
ника с длиной стороны, равной радиусам окружностей (рис.
3.2), измерения диаметров в различных направлениях с
помощью штангенциркуля дадут одинаковые результаты,
равные длине стороны треугольника а.
Рис 3.2 Некруглая «окружность»
Рассчитанная по этим значениям площадь «круга» бу-
дет равна по2 /4 В действительности легко показать, что
площадь этой фигуры будет (а2/2)(к-л/з). Относитель-
ная иеисключенная систематическая погрешность изме-
рения площади будет составлять около 12%.
Если же в качестве мнимого центра «окружности» при-
нять центр тяжести фигуры, который находится на пере-
сечении медиан треугольника, то измерение радиуса ок-
ружности в различных направлениях дадут иам различные
результаты, изменяющиеся в пределах от
о(73-1)/73-0,42а до о/Л-0,58л.
Таким образом, экспериментальная проверка выбранной
модели будет достоверна только в случае применения пра-
вильно спланированной методики проведения измерений.
92
3.1.2. Спецификация измеряемой величины
Целью измерения является определение (числового)
значения измеряемой величины. Корректный подход к из-
мерению требует полного предварительного описания (спе-
цификации) измеряемой величины, которое включает в себя
указания на время проведения измерений и условия их
проведения. Условия проведения измерений указываются в
виде совокупности влияющих величин2 * 0|,02,...,0М .
Зависимость измеряемой физической величины Y от
параметров внешних влияний 0|,02,..,0„ описывается по-
средством функции влияния* f:
у = /(е,,е2,...,е.).
Неадекватное определение влияющих величин являет-
ся причиной возникновения неопределенности специфи-
кации и может привести к несоответствию между резуль-
татами измерений одной и той же величины, проводив-
шихся в различных лабораториях (нарушению единства
измерений). Примером могут служить эталоны сравнения,
предназначенные для сличения эталонов, которые по тем
или иным причинам не могут быть сличаемы непосред-
ственно4. Размер воспроизводимой эталоном сравнения ве-
личины передается ему при сличении в определенных ус-
ловиях, описываемых в виде совокупности влияющих ве-
личин. Значения этих величин оцениваются с неопреде-
ленностями, обусловливающими неопределенность воспро-
2 Влияющая величина — величина, которая не является пред-
метом измерений, но влияет на их результат Например, темпе-
ратура микрометра, применяемого для измерения длины; часто-
та при измерении переменного электрического напряжения, кон-
центрация билирубина при измерении концентрации гемо-
глобина в пробе плазмы крови человека
’ Функция влияния может быть определена эксперименталь-
но или существовать только как алгоритм, который должен быть
реализован численно.
4 Пример эталона сравнения — группа нормальных элемен-
тов, применяемых для сличения национального эталона вольта с
этвлоном вольта Международного бюро мер и весов.
93
изводимой величины, которая будет при сличении зало-
жена в спецификацию на эталон.
Оценку неопределенности спецификации можно по-
лучить, определив (по типу В) стандартные неопределен-
ности влияющих величин п(6(), / - 1,2,..., т. Тогда сум-
марную неопределенность спецификации можно получить
в соответствии с выражением (2.25)
ПРИМЕР 2.
Измеряемая величина — мощность Р, рассеиваемая при тем-
1ературе t на терморезисторе, имеющем значение Я,. при
температуре /0 и температурный коэффициент сопротивления
3!, и зависит от разности потенциалов V. подаваемых на клем-
4Ы терморезистора, как
Р = /(КЛ,а,1) = И/^[1 + к((-1„)].
В этом уравнении V — входная величина, t0, Rq, а и
1 — влияющие величины.
Коэффициенты чувствительности для влияющих величин
гавны:
t, =ЭР/Э|„= KIa/4,[l + a(«-li,)T=fa/[l + «(<-<»)]
г, = ЭР/ЫЪ = -У1 / RJ [1 + a(r-»„)] = -Р/R„,
г,=ЭР/Эа = -К2(<-1е)/^[1 + а(<-<„)]! =
= ЭР/Э1 = - K!a/^[l+a((-r0)]’ =-Pa/[l + a(/-l„)].
Отсюда суммарная неопределенность спецификации мошно-
ги на терморезисторе будет определяться выражением
(Р) = + [с,1/{ Д,)]2 +[с,и(а)]’ +[с4и(<)]’.
Влияющие величины 61,62,...,6m, от которых зависит
измеряемая величина У, сами могут зависеть от других
величин, включая поправки и поправочные коэффициенты
на систематические эффекты, что ведет к усложнению
функциональной зависимости /, которая никогда не мо-
жет быть записана точно. Поэтому, если f не моделирует
функциональную зависимость до степени, определяемой
требуемой точностью нахождения результата измерения,
то для устранения этого в f должны быть включены до-
полнительные входные величины.
В приведенном примере, для повышения точности из-
мерения могут потребоваться дополнительные входные ве-
личины, учитывающие известное неравномерное распре-
деление температуры по резистору, возможный нелиней-
ный температурный коэффициент сопротивления или воз-
можную зависимость сопротивления от атмосферного дав-
ления.
Однако, в принципе, измеряемая величина может быть '
полностью описана только при неограниченном количе-
стве информации. На практике спецификация измеряе-
мой величины зависит от требуемой точности измерения.
Измеряемую величину следует определять с достаточной
полнотой по отношению к требуемой точности, чтобы для
всех практических целей, связанных с измерением, ее зна-
чение было единственным. Например, если длину сталь-
ного стержня с номинальной длиной 1 м нужно определить
с точностью до микрометра, то его спецификация должна
включать в себя температуру и давление, при которых эта
длина определяется (плюс другие определяющие парамет-
ры влияющих величин). Однако если длина должна быть
определена с точностью до миллиметра, то ее специ-
фикация может быть существенно сокращена.
3.1.3. Естественные (потенциальные) неопределенности
измерений
При повышении точности измерения или увеличении
чувствительности средства измерения проявляются естествен-
ные факторы, ограничивающие достоверность измерений.
95
Наличие указанных факторов обусловливает появление
естественной неопределенности измерений, определяющей
потенциальную точность измерений.
3.1.3.1. Дискретность физических величин на квантово-
механическом уровне
Потенциальное ограничение этого уровня обусловле-
но дискретностью измеряемых величин (например, изме-
рение заряда ие может быть проведено точнее, чем опре-
делен заряд электрона) или флуктуациями, определяемы-
ми дискретностью вещества и энергии. Точность измере-
ния на этом уровне ограничивается законами квантовой
механики. Формальным отражением выхода на квантово-
механический уровень точности измерений служит появле-
ние в математическом описании факторов, которыми нельзя
пренебречь, постоянной Планка (Л = 6,63-10-34 Дж/Гц).
Одним из таких факторов является принцип неопределенно-
сти Гейзенберга, сформулированный в 1927 году, налагаю-
щий ограничения на предельную точность, с которой мож-
но определить динамические переменные микроскопичес-
кой системы. Согласно этому принципу отдельная вели-
чина может быть в принципе определена с любой точнос-
тью, однако две величины, квантово-механические опера-
торы которых не коммутируют, нельзя одновременно опре-
делить сколь угодие точно.
Так, соотношение неопределенностей ох и для
координаты х и сопряженной ей переменной — компо-
ненты импульса рх имеет вид [9]:
охо₽ S й/2,
где Л = 2nh.
Аналогично формулируется соотношение неопределен
гостей для другой пары сопряженных величин — энергии
И времени.
Поскольку постоянная Планка чрезвычайно мала, то
приведенное выражение при макроскопических измере-
ниях лишено практического смысла. Неопределенность
^казанных величин лежит далеко за пределами достижи-
мой точности экспериментов.
96
3.13.2. Шумы и дробовой эффект
В отдельных областях и видах измерений при совре-
менной эталонной базе достигнута точность, обеспечива-
ющая возможность выполнения измерений на молекуляр-
ном уровне. Формальным отражением этого служит появ-
ление постоянной Больцмана (Л = 1,38 -10 п Дж/К) в вы-
ражениях, описывающих влияющие факторы, с которыми
нужно считаться. Частицы вещества — атомы, молекулы,
а также электрические заряды совершают непрерывные ха-
отические движения, интегральная интенсивность кото-
рых характеризуется термодинамической температурой Т.
Чем интенсивнее движения, называемые флуктуациями,
тем выше абсолютная температура Т Флуктуации создают
шумовой эффект, ограничивающий точность измерения
физических величин.
Причины появления шумов можно разделить на три
группы [9]:
— тепловые колебания при ненулевой температуре
(броуновское движение);
— корпускулярная природа вещества и электричества;
— соотношение неопределенностей квантовой меха-
ники.
Следует отметить, что, используя различия в статисти-
ческой природе шумов и полезных сигналов, во многих
случаях удается преодолеть ограничения, обусловленные
законами термодинамики. В частности, иекогерентность
шума позволяет при многократных измерениях, накопле-
нии, оптимальной фильтрации и применении других при-
емов обеспечить заданное соотношение сигнал/шум, оп-
ределяющее указанную составляющую неопределенности
измерений.
Броуновское движение.
Тепловые колебания молекул газа ограничивают по-
тенциальную точность механических систем (подвижная
часть гальванометра, пьезоэлектрического преобразовате-
ля и т.д.). Это происходит из-за бомбардировки подвиж-
ной части молекулами газа окружающей атмосферы, при-
водящей к ее хаотическим колебаниям. При этом средняя
потенциальная энергия подвижной части будет равна
97
1са!(ф) = 1«:Г,
где D —момент инерции гальванометра;
ог(ф) —дисперсия флуктуаций угла отклонения ф
подвижной системы.
Отсюда о2 (ф) = кТ / D.
Электрический ток /, измеряемый гальванометром,
можно зафиксировать только в том случае, если вызван-
ное им отклонение ф подвижной части гальванометра пре-
вышает стандартное отклонение термических флуктуаций.
Так как уравнение измерения гальванометра равно
G ’
где G — динамическая константа гальванометра, то ми-
нимальный измеряемый ток гальванометра составля-
ет с учетом сказанного
I...
О
Аналогичные рассуждения можно провести и для дру-
гих электромеханических систем (мембрана микрофона,
подвижная часть пьезоэлектрического преобразователя).
Тепловые шумы и дробовой эффект.
Тепловое перемещение носителей заряда вызывает ста-
тистические колебания плотности заряда в проводнике.
Известно, что мощность шума /^определяется урав-
нением Найквиста:
где д/ — ширина полосы пропускания прибора.
Иногда это выражение дополняется спектральным ко-
эффициентом Л' , учитывающим дробовой эффект в элек-
тронных приборах и другие явления (например, в полупро-
водниках возникает специфический вариант дробового
шума — геиерационно-рекомбинациониый шум). Тогда
Ри = UNTbf.
98
Энергия шума будет соответственно равна Gm - 4kNT
Исходя из того, что энергия полезного сигнала должна
быть больше энергии шума, возможность выполнения из-
мерений на молекулярном уровне будет ограничиваться
требованием выполнения неравенства
СШ<Р t.
где Р — мощность сигнала;
t— время измерения.
Квантовый шум.
Если дискретная природа носителей заряда вызывает
дробовой шум, то квантование электромагнитного излу-
чения также приводит к флуктуациям «потока фотонов».
С классической точки зрения амплитуда и фаза когерент-
ной волны электромагнитного излучения не меняются со
временем. Однако наблюдаемое число фотонов флуктуи-
рует в соответствии с распределением Пуассона
F(x) = e',£x*/*!,
t-о
где х = 0, 1, 2....
При этом предполагается, что фотоны представляют
собой классические, не взаимодействующие друг с другом
частицы.
При измерениях в течение одинаковых промежутков
времени Л/ при фиксированной мощности излучения Ро,
стандартное отклонение числа фотонов /у будет равно
где h — постоянная Планка;
v — частота электромагнитных колебаний.
Попадание такой волны на идеальную фотоячейку, с
катода которой каждый фотон выбивает один электрон,
вызовет фототок, который также будет подчиняться рас-
пределению Пуассона.
99
Эквивалентная мощность шума иа выходе фотоячейки
не зависимо от постоянной мощности падающего излуче-
ния Ро составляет в полосе частот
В отличие от теплового шума, уровень которого понижа-
ется на высоких частотах, квантовый шум линейно возраста-
- г: I а
ет с частотой. В области —— > 1 ои начинает преобладать
кТ
надтепловым шумом. При комнатной температуре это соот-
ветствует оптической и инфракрасной областям спектра.
3.2. Неопределенности измерительного эксперимента
Неопределенности измерительного эксперимента в за-
висимости от причины возникновения подразделяются иа
методические, инструментальные и личные.
3.2.1. Методические неопределенности
Под методом измерений понимают логическую после-
довательность операций, описанную в общей форме и ис-
пользуемую при выполнении измерений [2,3]. Несовер-
шенство метода измерения приводит к возникновению
методических погрешностей. Их отличительной особен-
ностью является то, что они могут быть определены лишь
путем создания математической модели или имитацион-
ным моделированием измеряемого объекта. После созда-
ния такой модели и определения ее параметров, можно
оценить методическую погрешность измерения, по свое-
му характеру — систематическую. Оценка методической
погрешности может быть использована в качестве поправки
к результату измерения. Исправленный результат из-
। мерения отягощен неисключенным остатком системати-
ческой погрешности (НОСП), обусловленным погрешно-
стями определения параметров модели. Стандартное от-
клонение НОСП является оценкой методической не-
определенности. Рассмотрим примеры методических
неопределенностей.
3.2.1.1. Неопределенность оненки воздействия средства
измерения на объект измерения
Эту неопределенность будем исследовать иа примере
вольтметра, подключенного к источнику напряжения V с
внутренним сопротивлением R. Сам вольтметр имеет вход-
ное сопротивление Rtx.
В этом случае значение напряжения на входе вольт-
метра (неисправленный результат измерения) будет равно
V -V -
ю KR + RM
Определим исправленный результат измерения, с уче-
том поправки на систематическую погрешность измере-
ния, обусловленную шунтированием сопротивления ис-
точника входным сопротивлением вольтметра.
Рассматривая это выражение как уравнение косвенных
измерений, с учетом отсутствия корреляции между погреш-
ностями определения входного сопротивления вольтмет-
ра и сопротивления источника, можно записать выраже-
ние для неопределенности моделирования как:
где
ЭЛ ’
ик— неопределенность оценки сопротивления вольт-
метра;
иех — неопределенность оценки сопротивления источ-
ника.
Значение сопротивления источника и вольтметра из-
вестны приближенно, в пределах некоторых границ
101
[Дп.п’ I. [min; max ] • Считая все значения сопротив-
тений внутри указанных границ равновероятными, мож-
<о оценить по типу В неопределенности обоих сопротив-
1ений как
u,(«) = (JC,-/U)/V12=A«/Ji2;
•МЫ = (К.,.., - К.™.)/-Л2 = ДК./Vn.
Таким образом, стандартная неопределенность и (И)
эудет равна
Где б(Я) = Дй / R; g( R^) = Д/^ / R^ — относительные
интервалы возможных значений сопротивлений.
3.2.1.2. Неопределенность алгоритма обработки
результатов измерений
В метод измерения могут быть заложены вычислитель-
ные операции — определение среднего, среднеквадрати-
ческого или среднего абсолютного значения ряда наблю-
дений изменяющегося параметра измеряемой величины,
численное интегрирование или дифференцирование, вы-
числение значения элементарной функции путем разло-
жения в ряд и т.д. В зависимости от выбранного алгорит-
ма обработки результаты измерений могут быть отягоще-
ны соответствующими погрешностями. Стандартное от-
клонение этих погрешностей является оценкой неопреде-
ленности используемого алгоритма обработки.
Например, при определении среднего значения изме-
ряемой величины § через среднее арифметическое q ряда
наблюдений qk, дисперсия оценки среднего арифмети-
ческого составит, как известно
102
поэтому неопределенность алгоритма обработки резуль-
татов измерений будет равна
3.2.1.3. Неопределенности, возникающие при
аппроксимации и упрощениях, используемых в методе
измерения и измерительной процедуре
К таким неопределенностям относятся неопределенг
ности косвенных измерений, обусловленные упрощением
связи между измеряемой величиной и ее аргументами,
измеряемыми с помощью прямых измерений.
Например, результат измерения мощности Рп генера-
тора с помощью микроволнового ваттметра поглощающего
типа, являющегося нагрузкой линии передачи, зависит от
параметров их рассогласования с линией передачи, выра-
жаемых через комплексные коэффициенты отражения ге-
нератора гг и ваттметра г„, следующим образом [10]:
F.=F„(l-|rJ1+2|r,||F,|cos«>),
где Ро — мощность, поглощенная на согласованной на-
грузке;
Ф — суммарная фаза коэффициента отражения на-
грузки, генератора и линии передачи.
В этом выражении |ГЛ|2 — постоянная составляю-
щая систематической погрешности рассогласования, ко-
торую устраняют при точном знании модуля коэффици-
ента отражения ваттметра, a 27J, |Г„||Гг| созФ — перемен-
ная часть погрешности рассогласования, которую не учи-
тывают при проведении измерений. Фаза Ф зависит не
только от фазы коэффициентов отражения генератора и
ваттметра, а еше и от длины линии. Поэтому предполага-
ют, что все значения фазы ф равновероятны, т.е. фаза ф
есть случайная величина, распределенная по равномерно-
му закону. Тогда составляющую 2Р0|Г„||Г,(со8Ф можно
103
рассматривать как случайную величину, распределенную
ю закону арксинуса (рис.А.1, д). Стандартное отклонение
пой составляющей, очевидно, будет равно
аФ=ЛР«|Г.||Г,|.
3.2.2. Инструментальные неопределенности
Инструментальные неопределенности — это неопреде-
юнности, обусловленные несовершенством СИТ-
3.2.2 Л. Неопределенности, заложенные в принцип
действия измерительного прибора
Эти неопределенности, в швисимости от режима
использования СИТ, разделяют на статические и динами-
ческие. Статическая неопределенность — это неопреде-
ленность измерения ФВ, размер которой можно считать
неизменным за время измерения. Динамическая неопреде-
ленность — это составляющая неопределенности измере-
ний, возникающая дополнительно к статической во время
динамических измерений, при которых размер измеряе-
мой ФВ нельзя считать неизменным. Она определяется
двумя факторами: динамическими свойствами СИТ и ха-
рактером изменений во времени измеряемой величины.
Примером статической неопределенности этого типа
является неопределенность, обусловленная нелинейностью
функции преобразования СИТ, например, нелинейность
закона Гука в широком диапазоне, нелинейность темпе-
ратурных датчиков (эффект Зеебека) при измерении тем-
пературы, частотные неопределенности вольтметров пе-
ременного тока. Примером динамических неопреде-
ленностей являются неопределенности, обусловленные
инерционными свойствами СИТ (инерционностью термо-
метра при измерении температуры, инерционными свой-
ствами спидометра при определении быстроменяющихся
скоростей и т.д.),
Одной из наиболее часто встречающихся неопределен-
ностей, заложенных в принцип действия всех цифровых
СИТ. является неопределенность квантования непрерыв-
ной величины при аналогово-цифровом преобразовании.
104
В процессе квантования происходит измерительное
преобразование непрерывно изменяющейся величины X
в ступенчато изменяющуюся величину XN - N q с за-
данными размерами ступеней q . При этом бесконечному
множеству возможных значений величин X ставится в
соответствие конечное и счетное множество возможных
показаний или выходных кодов цифрового устройства # .
Квантованию, как измерительному преобразованию,
присуща погрешность, возникающая при отображении не-
прерывной по размеру величины X ограниченным по чис-
лу разрядов числом N . Погрешность квантования равна
разности между результатами измерения и истинным зна- '
чением величины у
ДЛ=Х„-Х, (3.1)
если погрешность меры и компаратора равны нулю. Та-
ким образом, как следует из (3.1), зависимость погрешно-
сти квантования дЛ от измеряемой величины X линейна
в пределах шага квантования q.
В цифровых СИТ измеряемая величина х , находящаяся
между двумя уровнями квантования Хк и , как прави-
ло, отражена нижним числовым значением /У. В этом случае
погрешность квантования Д4 всегда отрицательна, а ее мак-
симальное (ио модулю) значение равно шагу квантования q.
Поскольку X может принимать любое равновероятное зна-
чение в пределах шага квантования, заданного уровнями кван-
тования Ху и XVA, то стандартная неопределенность кван-
тования, рассчитанная по типу В, будет определяться как стан-
дартное отклонение равновероятного закона распределения с
указанными границами и составлять значение
иДЛ,) = «/Л2.
3.2.2.2. Неопределенности, обусловленные недостатком
технологии изготовления или конструкции СИТ
К таким неопределенностям приводят неравенство плеч
у весов,.неудовлетворительная подгонка мер, люфт мик»
рометрических винтов и т.д.
В работе [11) рассмотрена погрешность Аф. возникаю-
щая из-за эксцентричности вращающихся частей изме-
рительных приборов, например секундомера (рис. 3.2).
Д(р
Рис. 3.3 Погрешность, обусловленная
эксцентриситетом оси стрелки секундомера
Эта погрешность — периодическая, изменяющаяся по
синусоидальному закону
Аф = е - sin ф,
где е — смещение стрелки относительно центра шкалы
(эксцентриситет);
Ф — угол поворота стрелки.
Стандартное отклонение этой погрешности будет равно
3.2.3. Личные неопределенности
Личные неопределенности, или неопределенности опе-
ратора, обусловлены следующими факторами.
1. Инерционными свойствами органов чувств наблю-
дателя, например, при запаздывании в отсчетах максималь-
ного положения указателя в баллистических приборах.
2. Влиянием месторасположения наблюдателя и осо-
бенностями системы отсчета (параллакс), ошибками в ин-
терполяции отсчета, попадающего между двумя оцифро-
ванными отметками, и др.
106
Например, поданным профессора М.Ф Маликова [12),
в зависимости от индивидуальных особенностей операто-
ров, связанных с их реакцией, измерительными навыками
ит. п., погрешность глазомерного отсчета по шкалам из-
мерительных приборов достигает ±0,1 деления шкалы. По-
скольку положение стрелки внутри указанного диапазона
можно считать равновероятным, неопределенность отсче-
та, оцененная по типу В, будет, очевидно, равна 0.1/-J3 =
=0,058 деления шкалы.
3. Ограничением диапазона чувствительности и нели-
нейностью характеристик восприятия органов чувств, на-
пример, неправильное определение нулевых биений при
измерении частоты гетеродинным частотомером обуслов-
лено ограничением снизу частотного диапазона чувстви-
тельности уха.
В гетеродинном частотомере измеряемая частота f оп-
ределяется из условия равенства образцовой частоте fn,
вырабатываемой перестраиваемым гетеродином. При при-
ближенном равенстве указанных частот на выходе часто-
томера получаются т.н. нулевые биения, т.е. колебания
разностной (близкой к нулю) частоты -f\. В качестве
индикатора этих биений в некоторых типах частотомеров
применяются головные телефоны, а в качестве компара-
тора — ухо оператора. -Поскольку нижняя граница диа-
пазона чувствительности уха человека составляет 16-20 Гц,
то границы погрешности отсчета будут равны ±(16-20) Гц.
Стандартная неопределенность отсчета, рассчитанная то
типу В, в предположении равновероятного распределения
положения нулевых биений внутри этого интервала, бу-
дет, очевидно равна (16-20)/-УЗ = 9,2-11,5 гц. Указанная
погрешность компенсируется применением метода «вил-
ки», при котором искомая частота определяется как сред-
нее арифметическое частот гетеродина, соответствующих
пропаданию fm и появлению fm звука в телефонах. Од-
нако и в этом случае погрешность сравнения не удается
сделать менее ±10 Гц [11}, что соответствует стандартной
неопределенности = 6 Гц.
107
—
3.3. Контрольные вопросы и задания
1. Приведите классификацию видов неопределеннос-
тей по источникам их возникновения .
2. Приведите примеры неадекватности модели объекту
измерения.
3. Что называется влияющей величиной?
4. Приведите примеры дискретности физических ве-
личин и ее влияния на точность измерения.
5. Перечислите примеры возникновения шумов и объяс-
ните их влияние на точность измерения. Как можно уст-
ранить это влияние?
6. Что такое методическая погрешность и как произво-
дится ее минимизация?
7. Выразите неопределенность, возникающую при уче-
те воздействия входного сопротивления вольтметра на ис-
точник напряжения.
8. Приведите примеры неопределенностей алгоритма
обработки результатов измерений.
9- Выразите стандартное отклонение при измерении
мощности с помощью ваттметра поглощаемой микровол-
новой мощности, обусловленное его рассогласованием с
линией передачи.
10. Оцените погрешность квантования цифровых СИТ.
11. Приведите пример неопределенностей, обусловлен-
ных недостатком изготовления или конструкции СИТ.
Оцените влияние эксцентричности вращающихся частей
измерительных приборов на неопределенность измерения.
12. Оцените неопределенность глазомерного отсчета на
малом делении равномерной шкалы прибора.
13. Оцените стандартную неопределенность отсчета по-
ложения нулевых биений при настройке гетеродиниого
частотомера.
4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Новое — это хорошо забытое старое
Ж. Пеше
Важнейшим признаком классификации измерений яв-
ляется вид уравнения измерения, по которому и$ разделяют
на прямые, косвенные, совместные и совокупные. Для этих
видов измерений ниже будут рассмотрены способы обра-
ботки их результатов и вычисление неопределенностей.
4.1 Прямые измерения
Под прямыми измерениями понимают измерения, при*
которых значения ФВ получают непосредственно [1J. В
них измеряемая величина У принимается равной непос-
редственно наблюдаемой X
Y = X. (4.1)
Прямые измерения — наиболее распространенный и про-
стой вид измерений. Эти измерения являются составным эле-
ментом косвенных, совместных и совокупных измерений.
Прямые измерения можно производить путем однократных
и многократных наблюдений. Выбор количества наблюде-
ний определяется требованиями к точности измерения и до-
пустимой трудоемкостью обработки их результатов
Наиболее распространенными на практике являются
измерения с однократными наблюдениями (одпократные
измерения), как наиболее простые, производительные и де-
шевые. Измерения с многократными наблюдениями (мно-
гократные измерения) производятся при повышенных тре-
бованиях к точности измерений Такие измерения харак-
терны для профессиональной метрологической деятель-
ности и выполняются в основном сотрудниками метроло-
109
гических служб, а также при тонких научных экс-
периментах. Это сложные, трудоемкие и дорогостоящие
измерения, целесообразность которых должна быть всегда
убедительно обоснована.
4.1.1. Обработка результатов прямых измерений
с однократными наблюдениями
Прямые однократные измерения проводят с числом на-
блюдений не более трех. Повторные наблюдения в этом
случае служат для страховки от совершения промахов. Для
оценивания суммарной неопределенности результатов пря-
мых измерений с однократными наблюдениями необхо-
димо априорно знать значения всех ее составляющих. Та-
ким образом, составляющие суммарной неопределеннос-
ти прямых измерений с однократными наблюдениями оце-
ниваются по many В. Порядок обработки заключается в
следующем.
I. Анализируется схема измерения, априорная инфор-
мация об условиях проведения измерения, метрологичес-
кие характеристики применяемой аппаратуры.
2. Производится одно-три наблюдения значения изме-
ряемой величины. Результат одного из наблюдений, не со-
держащих промахов, принимают за оценку у результата
измерения Y.
3. Находят стандартные неопределенности типа В из-
меряемой величины. Исходными данными для вычисле-
ния являются:
— сведения о распределении вероятностей измеряе-
мой величины, основанные на данных предшество-
вавших измерений;
— данные, основанные на опыте исследователя или
общих знаниях о поведении и свойствах соответ-
ствующих приборов и материалов;
— неопределенности констант и справочных данных;
— данные поверки, калибровки, сведения изготови-
теля о приборе и т. д.
Различные варианты исходных данных определяют вы-
бор одного из нижеследующих вариантов вычисления стан-
дартной неопределенности (см. также пп. 2.2.2, 2.3.1).
1) Если известен закон распределения Y, то его стан-
дартное отклонение принимается равным стандартной
неопределенности н, (У).
2) Если можно оценить лишь верхний и нижний пре-
дел погрешности средства измерительной техники а+, а_
то вычисление стандартной неопределенности следует про-
изводить, в зависимости от вида предполагаемого распре-
деления погрешности измерения внутри границ по сле-
дующим формулам:
а) для равновероятного распределения (рис. 2.2)
и.(Г) = (о.-о_)/712: (4.2а)
б) для треугольного распределения (рис. 2.4)
«,(П = (‘>.-«-)/'^4; (4-26)
в) для трапецеидального распределения (рис. 2.3)
к, (У) = (а. - а ) Р / V24 (4.2в)
(при изменении ₽ от О до 1 трапецеидальное распре-
деление изменяется от треугольного до равновероятного);
г) для арксинусного распределения (рис. АЛ, д)
Ц(П = («♦“* )/2>/2; (4.2г)
д) для экспоненциального (асимметричного) распре
деления (рис. 2.5)
= )(а.-2y+a)/xt (4.2д)
где А — параметр распределения,
у — измеренное значение У ;
I 3) Для заданных интервалов U с известным уровнем
доверия р, в предположении нормального закона распре-
деления, неопределенность типа В определяется как
ut(Y)~Up/kp, (4.3)
|где кр — коэффициент охвата для нормального распреде-
ления; равный соответственно 1,64; 1,96 и 2,58 для уровня
[доверия 0,9; 0,95 и 0,99.
111
4. После определения всех составляющих неопределен-
ности измерения ц(У) производится их суммирование в
соответствии с выражением
»ЛП=^(П. (4.4)
5. Задавшись уровнем доверия р, с учетом закона рас-
пределения результата измерения, находят расширенную
неопределен ность
U=kuc(Y), (4.5)
где к — коэффициент охвата.
Обычно к выбирают в диапазоне от 2 до 3. Более точ-
ное его значение можно определить, если известен закон
распределения результата измерения (см. пп 1.3.5), явля-
ющийся композицией законов распределения составляю-
щих погрешностей. В большинстве случаев предполагают,
что этот закон — нормальный (т.к. наличие уже трех со-
ставляющих погрешности дает приблизительно нормаль-
ный закон распределения результата измерения). Тогда
коэффициент охвата будет равен 1,96, 2,58 и 3 для уров-
ней доверия р, соответственно, 0,95; 0,99 и 0,9973. Обыч-
но значения коэффициента охвата округляют, принимая
к = 2 и к = 3 для уровней доверия 0,95 и 0,99, соответ-
ственно.
6. Записывают результат измерения в виде
р; (4.6)
или y-U<Y <y + U, р. (4.7)
ПРИМЕР I
Производится измерение напряжения постоянного тока с по-
мощью вольтметра В7-37. Показания вольтметра Vx =1,347 В.
Необходимо определить результат измерения и оценить неопре-
деленность измерения напряжения.
1. Составляем спецификацию измерений:
а) анализ условий измерений:
— измерения производятся в лабораторных условиях при
температуре окружающего воздуха +25°С.
112
б) анализ схемы измерения:
— напряжение измеряется на выходе источника с внут-
ренним сопротивлением R =(100 ±10) кОм;
— предел измерения прибора — 2 В;
в) анализ технических характеристик прибора:
— рабочие условия применения прибора: температура
окружающего воздуха от 5 до 40°С;
— ступень квантования прибора составляет цену едини-
цы младшего разряда;
— предел основной относительной погрешности прибора при
измерении постоянного напряжения на поддиапазонах 0,2;
2 В равен значениям, вычисляемым по формуле
8 = ±^0.25+0,2^-1
где — значение установленного поддиапазона измерения. В;
ух — показание прибора, В.
— предел дополнительной погрешности прибора, вызван-
ной изменением температуры окружающего воздуха от
нормальной до любой в пределах рабочей области тем-
пературы, не более предела основной погрешности на
каждые 10“С изменения температуры;
— активное входное сопротивление Rex прибора (10±1)
МОм при измерении постоянного напряжения.
2. Определяем исправленный результат измерения, с уче-
том поправки на систематическую погрешность измерения,
обусловленную шунтированием сопротивления источника вход-
ным сопротивлением вольтметра (см. пп. 3.2.1).
Поскольку VK = VK --1"—,
где — напряжение холостого хода на выходе источника;
Vx — показания вольтметра,
то К = К = 1,347 10100= 1,36047 (В).
10000
3. Определяем составляющие и, (г) суммарной неопреде-
ленности измерения напряжения.
113
1) Основная неопределенность измерения, вычисляется
«ерез выражение для основной относительной погрешности
5 в предположении о равновероятном распределении погреш
ности внутри границ.
Поскольку границы относительной погрешности равны
то границы абсолютной погрешности будут равны
Д = 8-К/100% = ±0,00347 1,347 = ±0,00467 В.
Отсюда основная неопределенность измерений будет равна
2) Неопределенность, обусловленная отклонением темпе-
ратуры от нормальной (20°С).
Поскольку измерения производились в лабораторных усло-
виях при температуре окружающего воздуха +25°С, а предел до-
полнительной погрешности прибора, вызванной изменением тем-
пературы окружающего воздуха от нормальной до любой в пре-
делах рабочей области температуры, не более предела основной
погрешности на каждые 1СГС изменения температуры, то допол-
нительная температурная неопределенность будет равна
25-20
и? = =2-~«. = 0,5ц =0,00135 В.
“г |0 ' ’ •
3 Неопределенность квантования иу измеряемого напря-
жения равна погрешности квантования, деленной на коэф-
фициент охвата для равномерного закона распределения
= 0,0005 _ 0 00029
л
4)Неопределенность поправки ы4, обусловленная неопре-
деленностью ивх входного сопротивления вольтметра Rex и
114
неопределенностью мЛ сопротивления источника R, опре-
деляется из выражения для поправки д:
« = -(К=
Рассматривая это выражение как уравнение косвенных из-
мерений, с учетом отсутствия корреляции между погрешнос-
тями определения входного сопротивления вольтметра и со-
противления источника, можно записать
«< = Jw'M+wS"!.
где W, = ^ = ^=-=0,1347 мкВ/Ом;
Эл 1\,х
= -К, 4-=-1.347 нВ/Ом
ОА.Х
Значение сопротивления источника и вольтметра извест-
ны приближенно, в пределах некоторых границ [Д^п;
[^хлйп» Двтах]. Считая все значения сопротивлений внутри
указанных границ равновероятными, можно оценить по типу
В неопределенности обоих сопротивлений как
«,(Я)=Л» - )/Л2 = 20 / 3,4641 =5,7735 кОм;
".(Л.,) =(^.=» - )/VT2 = 2 / 3,4641 = 0,57735 МОм
Стандартная неопределенность «4 поправки будет равна
+^<4=7,8 10-В.
4. Суммарная стандартная неопределенность измерения
иапражеиия будет равна
и{ = + uj + «4 =
= д/(0.0027)2 +(0,00135)’ + (0,00029)2 + (0,00078 У =
= 0,0032 В.
Анализируя составляющие неопределенности, можно ви-
деть, что неопределенность квантования ы3 значительно мень-
115
ше, чем неопределенности uj, и2 и и4, поэтому ею при рас-
чете суммарной неопределенности можно пренебречь. Нео-
пределенность поправки существенна, поскольку источ-
ник напряжения имеет довольно большое значение внутрен-
него сопротивления R . При малых R , по сравнению с вход-
ным сопротивлением вольтметра этой неопределенно-
стью можно также пренебречь.
5. Задавшись уровнем доверия 0,95, с учетом предпо-
ложения о нормальности закона распределения результата из-
мерения, находим расширенную неопределенность
U =кис (Г) = 2 0,0032 = 0,0064 В.
6. Записываем результат измерения в виде
Г = 1,360±0,006 В, /2=0,95;
или 1,3542? < V < 1,366 В, р = 0,95.
4.1.2. Обработка прямых измерений с многократными
наблюдениями
Цель обработки результатов измерений с многократ-
ными наблюдениями состоит в уменьшении неопределен-
ности результата измерений.
При обработке многократных измерений решают две
задачи
Во-первых, определяют некоторое приближенное зна-
чение у измеряемой величины У, называемое оценкой и
наилучшим образом (с точки зрения ее эффективности)
соответствующее полученным результатам.
Во-вторых, определяют (по типу А) эксперименталь-
ную стандартную неопределенность результатов отдельных
наблюдений ук (А = 1,2,..., п) и результата измерений у .
При статистической обработке результатов наблюде-
ний следует выполнить следующие операции.
1. Исключить нз числа результатов наблюдения резуль-
таты, содержащие грубые погрешности (промахн).
2. Исключить известные систематические погрешнос-
ти из результатов наблюдений.
3. Вычислить среднее арифметическое исправленных ре-
зультатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:
116
= Р = 14.8)
п *=|
4. Вычислить экспериментальное стандартное откло-
нение результата наблюдения
4 <4 9)
I п ~ 1 к»1
5. Вычислить экспериментальное стандартное откло-
нение результата измерения (среднего арифметического)
(4.10)
6. Оценить составляющие ц(Г) суммарной стандарт-
ной неопределенности по типу В ненсключенных остат-
ков систематической погрешности результата измерения
(аналогично тому, как это делалось для прямых измерений
с однократными наблюдениями). •
7. Вычислить суммарную неопределенность типа В ре-
зультата измерения
)=Д^ЧП- (4.11)
8. Вычислить суммарную неопределенность результата
измерения
= + (4.12)
9. Определить расширенную неопределенность резуль-
тата измерения как
и = ки.(у). (4.13)
где k — коэффициент охвата для нормального закона рас-
пределения с уровнем доверия р.
10. Записать результат измерения в виде
Y=y±U, р\ (4.14
или
y-U <У £y + U, р.
(4.15
117
ПРИМЕР 2.
Производится измерение с многократными наблюдениями
частоты синусоидального сигнала с помощью электронно-счет-
ного частотомера 43-63. Показания частотомера f составля-
ют, кГц:
151348; 151342; 151344; 151346; 151348; 151349; 151345;
151351; 151343; 151344; 151359; 151350; 151347; 151348;
151346; 151352; 151345; 151349; 151347; 151346.
Необходимо оценить неопределенность измерения частоты.
1 Составляем спецификацию измерений
а) анализ условий измерений:
— измерения производятся в лабораторных условиях при
температуре окружающего воздуха +25’С;
б) анализ схемы измерения:
— время счета прибора — 10 мс;
— время, прошедшее после установки действительного зна-
чения частоты опорного генератора частотомера — 3 ме-
сяца.
в) анализ технических характеристик прибора
— рабочие условия применения прибора: температура ок-
ружающего воздуха от — 30 до + 50°С;
— относительная погрешность измерения частоты синусо-
идальных сигналов ty в пределах значений, рассчитан-
ных по формуле
где 80 — относительная погрешность по частоте внутреннего
опорного генератора, равная после самопрогрева в течение не
менее 2 часов ±1,5-10""7 за 30 дней и ±5-IO”7за 12 месяцев
после установки действительного значения частоты;
1
у— ----погрешность квантования;
— измеряемая частота, Гц;
f£, — время счета, с.
— температурный коэффициент частоты опорного генерато
ране более ±1 10~9 на ГС;
2. Устраним из результатов измерений грубые погрешности
и промахи.
118
Для этого рассчитаем
— среднее арифметическое полученных результатов
1 20
Г = -У 151347,45 кГц,
1 20 й
— стандартное отклонение результатов от среднего ариф-
метического
— интервал неопределенности, соответствующий уровню до-
верия 0,9973 в предположении нормального закона рас-
пределения результатов наблюдений
U = 3s = 11,33 кГц;
— границы этого интервала для результатов наблюдений
/.„ = 151336,12 кГц. /.„,= 151358,78 кГц
Наибольший результат наблюдения 151359 кГц выходит зав
границы рассчитанного интервала, поэтому устраняется из чис-
ла результатов наблюдения как отягощенный грубой погрешно-
стью (или промахом)1.
3. Поскольку систематические погрешности неизвестны, их
исключение не производим.
4. Вычислим среднее арифметическое исправленных резуль-
татов наблюдений, принимаемое за результат измерения:
/= -У / - 151346,84 кГц;
1 19 й
5. Вычислим экспериментальное стандартное отклонение ре-
зультата наблюдения
/)'’2-еткГц
1 Приведенный алгоритм устранения грубых погрешностей
(промахов) известен в литературе под названием «критерий 3-х
сигм» и применяется для числа измерений больше 20-30. Для
меньшего числа измерений следует применять для указанных
целей критерий Смирнова [4].
119
6- Вычислим экспериментальное стандартное отклонение ре-
ьтата измерения (среднего арифметического)
5 (?) = $/4п = 617 Гц.
7. Оценим составляющие суммарной стандартной неопреде-
1НОСТИ по типу В и, (у) неисключенных остатков системати-
ческой погрешности результата измерения2 * * * *.
1) Неопределенность частоты внутреннего опорного генера-
тора частотомера вычисляется через выражение для основной
относительной погрешности б/- в предположении о равноверо-
ятном распределении погрешности внутри границ.
Границы относительной погрешности 80 не превышают
±510"7'
Границы абсолютной погрешности будут в этом случае
равны
До = f 80 = ±5 Ю’7 • 151346840 = ± 76 Гц.
Стандартная неопределенность частоты опорного генератора
it], в предположении о равновероятном распределении погреш-
ности внутри границ, будет равна
«,=|Д,|/ТЗ=44Г|1.
2) Неопределенность квантования и2 определяется из гра-
ниц погрешности квантования
д"=±Л^/“-=±7?±^ = ±,0()Ги
ко формуле
= |Д.,|/7з=57,7Гц.
3) Неопределенность и3 , обусловленная изменением часто-
। ы опорного генератора при изменении температуры окружаю-
2 В выражение для относительной погрешности измерения
частоты входят две составляющие — нестабильность частоты опор-
ного генератора и погрешность квантования, суммируемые ал-
1ебраически. При определении суммарной неопределенности
измерения неопределенность каждой составляющей оценивает-
ся отдельно.
120
щей среды от 20сС (температура калибровки частотомера ZK) до
25°С (температура окружающей среды в момент измерений
вычисленная через температурный коэффициент частоты
± 1 10 9, в предположении о равновероятном распределении
внутри границ, будет равна
Щ = Л„|С./Я = 151346840 ( 25 - 20)10 ’/>/3 =
« 0,437 Гц.
8. Вычислим суммарную неопределенность типа В результа-
та измерения
(/) = 7“/+"2г+"!2 - + = 73 Гц.
При вычислении суммарной неопределенности типа В со-
ставляющей и3 ввиду ее малости пренебрегли. Составляющую
н2 можно уменьшить до пренебрежимо малой величины, уве-
личив время счета.
9- Вычислим суммарную неопределенность результата изме-
рения
(Г) = ,/?(/) 4-<&(/) = 621 Гц.
10. Задавшись уровнем доверия р=0,95, с учетом предполо-
жения о нормальности закона распределения результата измере-
ния, находим расширенную неопределенность
U = k uc(f) = 2 621 = 1242 Гц,
где к =2 — коэффициент охвата.
11. Записываем результат измерения в виде
f = 151346,8 ± 1,2 кГц, р-0,95
или 151345,6 кГц< / < 151348,0 кГц, р=0,95.
4.1.3. Обработка нескольких групп прямых измерений
с многократными наблюдениями
При проведении межлабораторных испытаний возникает
специфическая модель измерений, называемая гнездовой струк-
турой [3]. Особенностью этих измерений является то, что они
проводятся в разное время, разными средствами измерений, е
разных условиях, разными методами, разными операторами
121
При этом образуется несколько групп прямых измерений с
многократными наблюдениями, которые для уменьшения
неопределенности следует объединять, получая единый результат
измерения. Ввиду того, что неопределенности (дисперсии) на-
блюдений в каждой из групп имеют различное значение, опре-
деление суммарной неопределенности объединенного резуль-
тата измерений необходимо проводить с учетом математического
аппарата, называемого дисперсионным анализом
При обработке нескольких групп наблюдений необхо-
димо учитывать количество факторов и уравновешенность
гнездовой структуры.
Уравновешенной гнездовой структурой называется струк-
тура с одинаковым количеством наблюдений в группах.
Неуравновешенная структура состоит из групп с разным
числом наблюдений.
Количество факторов определяется числом уровней
«гнездования»'. Под фактором понимают различие в усло-
виях проведения групп наблюдений. Им может быть день,
в который проводились измерения, прибор или метод из-
мерений, оператор, место проведения измерений и т.д.
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на прак-
тике простейшую модель уравновешенной одноэтапной гнез-
довой структуры.
Пусть имеется J групп прямых многократных наблюде-
ний величины У по К наблюдений в каждой группе. Алго-
ритм обработки результатов этих наблюдений заключается в
следующем.
1. Определяются средние арифметические каждой груп-
пы наблюдений:
<416>
Л
где Уд обозначает к - ое наблюдение величины У(* = 1,
2,..., К ) в j -й группе (/=1, 2,..., J).
2. Определяется среднее арифметическое у получен-
ных средних арифметических у7 , принимаемое за наи
лучшую оценку измеряемой величины Y:
122
| 1 J У К
y = У = уХл =у^ХХ» . (4.17)
3. Вычисляется оценка внутригрупповой дисперсии
в j- ой группе (число таких дисперсий равно числу
групп J):
1 к 2
(4.18)
4. Находится экспериментальная дисперсия средних
арифметических групп
1 J _ _ 2
»’(ъ)=731£(Х-у) (4.19)
Такая оценка только одна.
5. Определяется, является ли межгрупповая составляющая
дисперсии значительной по сравнению с внутригрупповой со-
ставляющей. Для этого выполняют следующие операции. •
5.1. Определяют две независимые оценки усредненной
внутригрупповой дисперсии наблюдений.
Первая оценка, обозначенная как s, , получается из на-
блюдаемых отклонений ежедневных средних арифмети-
ческих у, (4.16). Поскольку yj есть среднее арифмети-
ческое К наблюдений, его оцененная дисперсия я2 (у,)
при допущении, что межгрупловая дисперсия равна нулю,
оценивается как s* / К. Тогда из уравнения (4.18) следует
<4-2о>
Эта оценкой имеет (J-1) степеней свободы.
Вторая оценка, обозначенная как s*, является средней
оценкой дисперсии, полученной из J индивидуальных зна
чений внутригрупповой дисперсии s] (ул):
_____ EvJte)
sj = (>,> ) = -е!—--- (4 21 >
123
Поскольку структура уравновешенная и все степени сво-
боды Vy = К -1, то получающееся в результате выражение
для есть просто среднее арифметическое sj :
. (4.22)
Таким образом, с учетом выражения (4.18), получают
1 J _ 2
= , (4.23)
что является оценкой, имеющей J (К ~ 1) степеней свобо-
ды.
Поскольку оценка s} основывается на изменчивости
средних арифметических, в то время как оценка $(2 осно-
вывается на изменчивости внутригрупповых наблюдений,
их отличие показывает возможное присутствие (межгруп-
повой) изменчивости.
5.2. Сравнивают значения $2 и 3%. Для этого использу-
ют F — тест.
Известно, что F — распределение составляющих яв-
ляется распределением вероятностей отношения
^(V„ V„) = s2 (V.J/S2 (v„) (4.24)
двух независимых оценок s2 (v,) и (v„) дисперсии нор-
мально распределенной случайной переменной. Парамет-
ры V) и v„ являются соответствующими степенями сво-
боды двух оценок, а 0 < F(vl,v,l) < «>. Критические значе-
ния F для различных вероятностей (квантили F — распре-
деления) внесены в таблицу распределения Фишера для
разных значений v, и (см. табл. Б.2).
Обычно критические значения F задаются для веро-
ятностей 0,95, 0,975 или 0,99. Если рассчитанное значение
^7(vrvn) больше, чем критическое для заданной вероят-
ности (F(:Si, FOS1S или Fvvt), то это истолковывается как
124
наличие межгрупповой дисперсии, поскольку s2 (v,) боль- /•
ше л2 (v„) на статистически значимую величину.
6. При F(v„ ¥„)<*, когда существование межгруп
2 v!
повои погрешности отрицается, так как разница между sf
и s2 не рассматривается как статистически значимая, оце-
ненную дисперсию $2 (у) для у следует считать из обще-
го выражения
= <425)
Это соотношение эквивалентно выражению
? (J) = (-—1)+ Л*" . (4.26)
Действительно, можно переписать выражение (4.25) как*
= Г)^ t [(*,.' 7)4*,-У)] = ‘
ТЩк -Я)!+(й -у)’+г(у„ -я)(7 -*)]
В полученном выражении
X ^у,к--у,] = Е £(?,-*)= *(* Os';
J=1 *=1 н *=1
£ Е2(л -7)(7 -У) = 2Е(7 -*)£(*.* -?/) =
1-1 *= >1 *-|
= 21(7-*)(**, **,) = °
2=1
С учетом этого получаем выражение (4.26).
’ Таким образом, если предположить, что все поправки
на систематические эффекты учтены и все другие состав-
125
ляющие неопределенности незначительны, то результат из-
мерения можно получить как
y = jk§ =
с суммарной стандартной неопределенностью 5(у) (4-26),
имеющей JK -1 степеней свободы.
Расширенную неопределенность результата измерения
можно рассчитать по формуле
где tp (v) — коэффициент Стьюдента для числа степеней
свободы v - JK - I и уровня доверия р. Для v > 30 вмес-
то коэффициента Стьюдента можно брать коэффициент
охвата для нормального закона распределения.
7. При £(¥],¥]]) > Ff существование межгрупповой дис-
персии принимается (разумное решение, так как оно по-
зволяет избежать возможной недооценки неопределенно-
сти) и предполагается, что она случайна. Тогда оцененная
дисперсия у получается из s2 (у,), так как она должным
образом отражает как внутригрупповую, так межгрупповую
случайные составляющие дисперсии. Таким образом,
«!(Г) = 5!(Г/)/7 (4-27)
и с учетом уравнения (4.19),получаем
s2W = 7(7rijS(?'’,) (4 28)
Эта оценка дисперсии имеет J -1 степеней свободы.
Расширенную неопределенность результата измерения
можно рассчитать по формуле
где tp (v) — коэффициент Стьюдента для числа степеней
свободы v - J -1 и уровня доверия р.
126
ПРИМЕРЗ.
Производится калибровка эталона вольта с помощью стабиль-
ного источника опорного напряжения в течение нескольких не-
дель3 [3]. В каждый из J =10 дней проводятся К = 5 независи-
мых повторных наблюдений разности потенциалов . Необхо-
димо получить наилучшую оценку результата измерений и оце-
нить ее неопределенность.
1. Определяем средние арифметические каждой группы
наблюдений по формуле (4.16)(результаты представлены
в табл. 4.1):
Таблица 4.1
Результаты экспериментальных исследований эталона
напряжения *
День, j 1 2 3 4 5
Vj,1. 10,000172 10,000116 10,000013 10,000144 10,000106
чЫ. мкВ 60 77 111 101 67
День, j 6 7 8 9 10
V,, в 10,000031 10.000060 10,000125 10,000163 10,000041
мкВ 93 80 73 88 86
3 При рассмотрении этого примера предполагается, что все
поправки на систематические )ффекты, вносимые в наблюде-
ния, имеют незначительные неопределенности или их неопре-
деленности такого характера, что могут быть включены в расчет
в самом конце анализа. Эта поправка равна разности между зна-
чением, указанным в сертификате и рабочим значением опор-
ного напряжения стабильного источника, по которому градуи-
руется эталон
где Vfk обозначает к -ое наблюдение разности потенциалов Vs
эталона (А =1, 2,..., К ) в j -й день (j ~1, 2,..., J ).
2. Находим наилучшую оценку измеряемой величины Vs как
среднее арифметическое V,:
1 j _ _
К = у L Г = V = 10,000097 В.
3. Определяем оценки внутригрупповой дисперсии з2 (К, )
в каждой j -ой группе по формуле (4.18) (результаты представ-
лены в табл. 4.1):
4. По формуле (4.19) находим экспериментальную диспер-
сию средних арифметических групп
?(^)=тттХ(^-р) =<57мкВу-
5.1. По формулам (4.20) и (4.23) определяем две независи-
мые оценки усредненной внутригрупповой дисперсии наблю-
дений:
= — (128 мкВ)1,
имеющая (J —1)= 9 степеней свободы;
4 =^M=77^-nfffc-^)2=<85MKB)1.
J (Л - I) у»1 Д-1
имеющая J (К -1) = 40 степеней свободы.
5.2. По формуле (4.24) вычисляем отношение двух независи-
мых оценок з2 (v,) и з2г (v„)
F (v„ v„) = s1 (v,)/ sj (v„) -2,25.
Критические значения F для вероятностей 0,95 и 0,975 и
для числа степеней свободы V] = 9 и vu = 40 находят по таблице
распределения Фишера: F095= 2,12; F0975 = 2,45.
128
6. Для вероятности 0.975 F(v,,vn) < Fp, поэтому существо-
вание межгрупповой погрешности отрицается. В этом случае оце-
ненную дисперсию s2(y) для у считаем из выражения (4.26)
?(Р) =
= (13 мкВ)’
с (JK -1) =49 степенями свободы.
Расширенную неопределенность результата измерения рас-
считываем по формуле
U = ks(V)= 2-13 = 26 мкВ,
где к — 2 — коэффициент охвата для нормального закона рас-
пределения и уровня доверия р — 0,95.
7. Для вероятности 0,95, когда F(v|s v„) > Fp существо-
вание межгрупповой дисперсии принимается, а оцененная дис-
персия V получается из выражения
s‘ (К) = s- (y,)/J= (57 мкВ)’/10 = 325 мкВ1
и имеет J — 1 = 9 степеней свободы.
Расширенную неопределенность результата измерения мож-
но рассчитать по формуле
U = /р (v)j(K) = 2,26-18 = 40,7 мкВ,
где tp (v)=2.26 — коэффициент Стьюдента для числа степеней
свободы v = J -1 = 9 и уровня доверия р= 0,95.
Методы дисперсионного анализа широко применяются
при обработке результатов межлабораторных испытаний.
Такие испытания подразумевают участие ряда независимых,
одинаково компетентных лабораторий, проводящих несколь-
ко групп прямых измерений. Обычно предполагается, что
расхождения между отдельными результатами как внутри од-
ной лаборатории, так и между лабораториями, являются ста-
тистическими по природе, независимо от причин их вызы-
вающих. В этом случае каждое лабораторное среднее значе-
ние является несмещенной оценкой результата измерения, а
наилучшей оценкой результата объединенных наблюдений
считают обычно среднее лабораторных средних значений.
129
В общем случае, при межлабораторных испытаниях, изме-
рения проводятся I лабораториями, каждая из которых про-
изводит J трупп измерений, причем каждая группа состоит из
К независимых повторных наблюдений. Таким образом, об-
щее число измерений равно IJK , а общее число групп наблю-
дений равно U. Эго пример уравновешенной двухэтапной гнез-
довой структуры, для которой существует два уровня гнездова-
ния наблюдений с двумя различными факторам и — день измере-
ния и лаборатория. Структура является уравновешенной, так
как каждый образец наблюдается одинаковое число раз ( К ) в
каждой лаборатории, и каждая лаборатория имеет одинаковое
число образцов (J ). Целью анализа данных в этом случае яв-
ляется исследование возможного существования межтруппо-
вых и межлабораторных эффектов и определение соответст-
вующей неопределенности, которую можно приписать наи-
лучшей оценке результата объединенных измерений. В соот-
ветствии с предыдущим примером предполагается, что эта оцен-
ка является средним из J лабораторных средних значений,
которая также является средним значением UK наблюдений.
Гнездовые структуры и анализ результатов методами
дисперсионного анализа можно с успехом использовать
во многих практических измерительных ситуациях. Тем
не менее, многократное измерение всех входных величин
редко является возможным из-за больших временных и
материальных затрат, сопутствующих таким измерениям.
В большинстве практических измерительных ситуациях
можно оценить только несколько составляющих неопре-
деленности, используя методы дисперсионного анализа.
Поэтому, как указывалось ранее, большинство составля-
ющих неопределенности должны оцениваться из совокуп-
ности имеющейся (априорной) информации о возможной
изменчивости входных величин (по типу В).
4.2. Косвенные измерения
При косвенных измерениях искомое значение ФВ ¥ оп-
ределяют на основании результатов прямых измерений Аг
другихФВ Д’], Хг, XN , функционально связанных с
искомой величиной []]:
. Г = /(Х„ Х„). (4 29)
Пример — измеряемая величина мощность Р , рассеи-
ваемая терморезистором, определяется уравнением
и зависит от следующих входных величин:
V — разность потенциалов, подаваемая на клеммы
терморезистора;
— сопротивление терморезистора при температуре /п;
/ — температура терморезистора;
а — температурный коэффициент сопротивления.
Сами входные величины X,, Х2, XN от которых за-
висит выходная величина Y , можно рассматривать как из-
меряемые величины, и они сами могут зависеть от других
величин, включая поправки и поправочные коэффициенты
на систематические эффекты, что ведет к усложнению
функциональной зависимости f, которая никогда не мо-
жет быть записана точно4. В случае, если обнаруживается,
что f не моделирует измерение до степени, налагаемой
требуемой точностью его результата, то для устранения
неадекватности в уравнение (4.29) должны быть включе-
ны дополнительные входные величины. В приведенном
примере введение дополнительных входных величин мог-
ло быть необходимо для того, чтобы объяснить известное
неравномерное распределение температуры по резистору,
возможный нелинейный температурный коэффициент
сопротивления или возможную зависимость сопротивле-
ния от атмосферного давления
* Набор входных величин можно разделить на следующие
категории:
—- величины, чьи значения и неопределенности определяют-
ся непосредственно в текущем измерении Эти значения и нео-
пределенности можно получить, например, в результате одного
наблюдения, повторных наблюдений или заключения, основан-
ного на опыте. Они могут требовать определения поправок в
показания прибора и поправок на влияющие величины такие,
как окружающая температура, атмосферное давление и влажность;
— величины, чьи значения и неопределенность вносятся в
измерение из внешних источников, такие как величины, связан-
ные с аттестованными эталонами, стандартными образцами ве-
ществ и материалов или стандартными справочными данными.
131
I При получении оценки у измеряемой величины Y и
:е неопределенности необходимо учитывать два фактора:
' — функция f в общем случае существенно нелинейна;
I — оценки xw вход ных величин ХрУр Хы
могут быть связаны между собой, или коррелировали,
если их измерения проводятся одновременно, однотип-
| ними приборами, в одинаковых условиях.
I В случае существенной нелинейности f [3] или нали-
чии корреляции между оценками xt,x2,...,xN (13], надеж-
I ую оценку измеряемой величины следует производить
по формуле
У = Г = ....-М. (4.30)
где X) k, X2k,XN k — k - ое наблюдение (k -1,2.п) вход-
ных величин Х^,Х2,...,Х^.
Таким образом, у берется как среднее значение п не-
зависимых наблюдений Yk величины У; при этом каждое
I наблюдение имеет одну и ту же неопределенность и каждое
основано на полном наборе наблюдаемых значений N вход-
I ных величии X,, полученных в одно и тоже время5.
В этом случае стандартная неопределенность типа А
I результата косвенного измерения вычисляется по формуле
и(л-1)
Обычно же на практике оценку у измеряемой величи-
ны У, получают из более простого выражения6
У = Г(Х„ Хг..... Х„), (4.32)
5 В теории погрешностей этот метод определения результа-
тов косвенного измерения и его погрешностей называется ме-
тодом приведения |13]
' Эта формула является более простой для проведения вы-
числений, однако она полностью справедлива только в том слу-
чае, если f является линейной функцией X,.
где X, = j/л является средним арифметическим от-
, дельных наблюдений X,, к.
I В этом случае оцененное стандартное отклонение, свя-
I занное с выходной оценкой или с результатом измерения
1 у, называемое суммарной стандартной неопределенностью
| и обозначаемое как ис (у). получают из оцененного стан-
। дартного отклонения, связанного с каждой входной оцен-
I кой х,, называемой стандартной неопределенностью и
| обозначаемой как ц.(х() (см. пп. 2.3.2).
Каждую входную оценку х, и связанную с ней стандар-
I тную неопределенность ие (Х;) получают из распределения
I возможных значений входной величины X,. Это распреде-
। пение вероятностей, как уже было сказано, может быть ос-
| новано на рядах наблюдений Xik величин JJQ, или оно
। может быть априорным распределением. В первом случае полу-
I чают оценки составляющей стандартной неопределенности
I по типу А, во втором случае — оценки по типу В.
। Способ суммирования стандартных неопределенностей
| зависит от степени коррелированности входных величин.
। 4.2.1. Некоррелированные входные величины
В случае независимости входных величин алгоритм об-
| работки результатов косвенных измерений заключается в
I следующем.
I 1. Определяют оценку у измеряемой величины У по
I формуле
У=/(Х„ X,,..., Х„).
I где x,,x2,...,xw — оценки входных величин XltX2t.,.t
...,ХN , полученные по результатам однократных или много-
I кратных прямых измерений. В последнем случае в качестве этих
। оценок берется среднее арифметическое п наблюдений X,7
7 Здесь предполагается, что из числа многократных наблюде-
| ний устранены наблюдения, отягощенные грубыми погрешнос-
тями или промахами, а также внесены все поправки на извест-
| ные систематические эффекты.
133
/Л.
(4 33)
2. Находят стандартные неопределенности д(х,)
оценок X|,x2,...,xw входных величии. Они могут быть
случены по типу А (только в случае многократных
пмерений X» ) или по типу В (как в случае
днократных, так и в случае многократных измерений
, как было описано ранее (см. пп. 4.1.1,
1-1.2).
3. Вычисляют суммарную стандартную неоп редел ен-
юсть оценки измеряемой величины у по формуле
и2(х,), (4.34)
де — — коэффициенты чувствительности, вычисляе-
мые как частные производные Э/ /дХ, для X,
При значительной нелинейности f в выражение (4.34)
юлжиы быть включены члены более высокого порядка
разложения в ряд Тейлора8. Если плотность распределе-
мия каждого X, симметрична относительно его среднего
|начения, то к подкоренному выражению достаточно до-
бавить члены второго порядка:
8 В теории погрешностей существует критерий определения
юпустимой нелинейности функции / [I3J при которой допус-
тимо использование выражения (4.34):
«2к),
де Лд — остаточный член ряда (обычно второго порядка)
Д,,Д, - границы погрешностей измерения входных вели-
УУ
(4.35)
4. Определяют расширенную неопределенность оцен-
ки измеряемой величины у по формуле
U = kut(y), (4.36)
где коэффициент охвата к принимается равным коэффи-
циенту Стьюдента tp {yrf/) для эффективного числа степе-
ней свободы vejj , полученного из формулы Велча — Сат-
терсвейта
N Г ,V Т /V
=«*Су)/5Х(у)/Ч = Уч2 (у)! /5Х(у)>Ч - (4-37)
В выражении (4.37) и, (у) = а значения сте-
пеней свободы v, принимается равным <*>, если м(х,) оп-
ределяется по типу В и равным л -1, если w(x,) определя-
ется по типу А, где п — число многократных измерений,
производимых при получении оценки л(х,).
5. Записывают результат измерения в виде
У = у±г/, р, (4.38)
или
у-П <¥ < y + U, р
(4.39)
ПРИМЕР 4 [14].
Необходимо точио определить плотность р твердого тела по
результатам измерения его массы т и объема V и оценить стан-
дартную и расширенную неопределенности полученного резуль-
тата для уровня доверия р — 0,95 Масса тела измерялась путем
многократного взвешивания с применением набора образцовых
гирь, погрешность которых не превышает 0,01 мг. Объем тела
определялся методом гидростатического взвешивания с приме-
135
нением того же набора гирь Результаты наблюдений прсдстав-
пены в табл. 4.2.
1. Определяем средние значения результатов наблюдений
массы и объема
й = У п = 252,9120 I01 кг;
Г = V, у п = 195,3298 I ° (| м!. .
2. Находим оценку плотности тела по формуле
р = т/ К=1,294463 • 103 кг/м1.
Таблица 4.2
Результаты наблюдении
к Масса тела , кг Объем тела Р* 10б , м1
1 252,9119 195,3799
2 252,9133 195,3830
3 252,9151 195,3790
4 252,9130 195,3819
5 252,9109 195,3795
6 252,9094 195,3788
7 252,9113 195,3792
8 252.9115 195,3794
9 252,9119 195,3791
10 252.9115 195,3791
И 252,9118 195,3794
136
3. Находим по типу А стандартные неопределенности и (т),
«(к) оценок т , V входных величин по формуле
л(«) = Я('"Г^=4,402.1()-'кг;
п(л-1)
I, (к -V)
*(П = ----Г =4,051 -10-'“ М‘
' ' \Г1 л(л-1)
4. Вычисляют суммарную стандартную неопределенность
оценки плотности р по формуле
=3,4955 • КУ’ кг/м3.
5. Определяют расширенную неопределенность оценки из-
меряемой величины р по формуле
и = Ац.(р)*
где коэффициент охвата к принимается равным коэффициенту
Стьюдента tp (у^) для эффективного числа степеней свободы v^r t
полученного из формулы Велча — Саттерсвсйта
= (« ~ 1) и‘ (р)/[(X J (й)+ [ Д j и‘ (Г)] = 21,7. '
Тогда к =2,23 и I/ = 7,8-К)*3 кг/м3.
6. Записывают результат измерения в виде
или
р = 1.294463 101 + 7,8 КГ* кг/м’, р = 0.95,
1,294455 10’ кг/м’ < р < 1.294471 - 103 кг/м3, р = 0.95 .
137
4.2.2. Коррелированные входные величины
Значительная корреляция между двумя входными ве-
личинами может существовать, если при их определении
спользуют один и тот же измерительный прибор, физи-
ческий эталон измерения или справочные данные, имею-
щие значительную неопределенность. Например, если по-
правка на температуру, необходимая для оценки входной
величины X,, получается с помощью некоторого термо-
метра и такая же поправка на температуру, необходимая
цля оценки входной величины Х}, тоже получается с по-
мощью этого же термометра, то две входные величины
могут быть коррелированны.
В случае коррелированных входных величин алгоритм
обработки результатов косвенных измерений заключается
в следующем.
1. Определяют оценку у измеряемой величины у по
формуле
> = /(*,. X,...., х„),
где xitx2t...,xN — оценки входных величин XHX2,...,
...,XN, полученные по результатам многократных прямых
измерений, в качестве которых берутся средние арифме-
тические п наблюдений X,
*=(£* Л*
При этом, также как и в случае независимых косвен-
ных измерений предполагается, что из числа многократ-
ных наблюдений устранены наблюдения, отягощенные
грубыми погрешностями или промахами, а также внесены
все поправки на известные систематические эффекты
2. Находят стандартные неопределенности и(х,) оце-
нок х},х2,...,х^ входных величин. Они могут быть получе-
ны по типу А (только в случае многократных измерений
Х1,Х2,...,Х?/) или по типу В (как в случае однократных,
так и в случае многократных измерений Л'1,Х2,...,ХЛ,), как
было описано ранее (см. пп. 4.1.1, 4.1.2).
3. Рассчитывают значения коэффициентов чувствительности
С = 777 при Х,=х, 0=1,2.....N).
138
4. Находят попарные оценки корреляционных моментов
"(*.,*,)=к- -*)(*,. -ЯД
5. Рассчитывают коэффициент корреляции
6. Определяют оценку дисперсии результата измерения
1=1 j=l 1=2
7. Находят расширенную неопределенность результата
косвенного измерения
где 1Р (уг!/ )— коэффициент Стьюдента для заданного уров-
ня доверия р и числа степеней свободы vfJ , определяе-
мого по формуле (4.37)
v /ixw/v. _
где vf = п -1 для м,, полученных по типу А,
и v, =« «> для ц., полученных по типу В.
8. Записывают результат измерения в виде
Y -y±U,p;
или
y-U < У < y + U,p.
ПРИМЕР 5.
Необходимо определить результат косвенных измерений вели-
чины Y = 0, ЗХ|еад,Л’ . ее суммарную стандартную неопределен-
ность типа А и расширенную неопределенность с доверительной
вероятностью 0,95, для приведенных в табл 4.3 результатов мно-
гократных и змерений входных величин Л, и Хг с учетом корреля-
ции между ними.
139
Таблица 4.3
Результаты многократных измерений
Л, Л Л
21,582 20,585 20,683 21,749
21,515 20,595 20,750 21,836
21,410 20,641 20,854 21,882
21,279 20,724 20,986 21,881
21.133 20.840 21.131 21.834
20,987 20,982 21.277 21,743
20,855 21,143 21,409 21,615
20.751 21.311 21,514 21,458
20,684 21,476 21,581 21,285
20,660 21,625 21,605 21,108
1. Определяем средние арифметические аргументов уравне-
ния измерения:
I 20
^=^Е*„ =21,1323.
1 20
^=^1^=21.31565.
2. Вычисляем результат измерения у по формуле
у = у = 0,Зх,ем|г‘ = 7,8458625.
3 Находим оценки дисперсии результатов наблюдения
аргументов
1 20
*’(*.) = =0.11735,
1У *=1
140
= 0,21323
и оценки дисперсии результатов их измерения
s2 (х,) = J- s‘ (х,) = °,00586. s2 (х2) = s' (х2) = °, ° 1066
4. Рассчитаем значения коэффициентов чувствительности
с, = ^ = 0, Зе"“'= =0,37127,
ОЛц
с, = О.Зх, 0,01 е0”'- =0,078458,
ОЛ2
5. Определяем оценку корреляционного момента
и(х>.хг) = А У (-*,* - *| )(хи - х2) = - 0,08131
6. Находим значение коэффициента корреляции
r(x.,x2) = -^L = -0,51402.
х(х,)^(х2)
-1<г(х1,Х2)<1.
7. Оценка дисперсии результата измерения будет равна
и2с = С* - s2 (Х( ) + с2 s2 (х2) + 2с,о2 - г (х,, х2 )s (х, )s (х2) -
8,3593-ЮЛ
8. Расширенную неопределенность результата косвенна
измерения рассчитываем по формуле
1/=/₽Кд)Ц •
гае ^(vcy)~ коэффициент Стьюдента для вероятности 0,95 и
числа степеней свободы veJJ, определяемого по формуле
=u*/[c,V(x,)/vl +<-JV(x1)/v,]=20.2l5.
где V] = v2 = п— 1-19; »
141
Для уровня доверия р = 0,95 и \/tff =20 по табл. Б. 1 приложе-
1ия Б определяем значение tp ) = 2,09 поэтому
и = ±2.09 - ^8,3953 10^ = +0.0604.
9. Записываем результат измерения в виде
Y = 7,846 ±0,0604, /7 = 0,95
7,7856 < Y <7,9064, /7 = 0,95.
4.3. Совместные измерения
Совместными называются проводимые одновременно
пмерения нескольких неодноименных величин для опре-
деления зависимости между ними [1]
Y = f(X,V,W,...Z\ (4.40)
Наиболее часто на практике определяют зависимость
Y от одного аргумента X
Y = f(X). (4.41)
При этом совместно измеряют п значений аргумента хк,
t = 1,2,..., и и соответствующие значения величины yk, и
по полученным данным определяют функциональную за-
висимость (4.41). Этот случай мы и будем рассматривать в
пальнейшем. Применяемые при этом методы прямо перено-
сятся на зависимость от нескольких аргументов.
В метрологии совместные измерения двух аргументов при-
меняются при градуировке СИТ, в результате которой опре-
деляется градуировочная характеристика, приводимая в пас-
порте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выра-
жения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом
виде, поскольку такая форма представления наиболее компак-
тна и удобна для радения широкого круга практических задач.
Примером совместных измерений может служить за-
дача определения температурной зависимости сопротив-
ления терморезистора
ад = «,„+ «(/-20) + ₽(< -20)2,
142
где R20 — сопротивление терморезистора при 20 °C;
а, р — температурные коэффициенты сопротивления.
Для определения R2) , ct или Р производится измере-
ние R{f) в я температурных точках (я>3), и по этим ре-
зультатам определяется искомая зависимость.
При определении зависимости в аналитическом виде
следует придерживаться следующего порядка действий.
1. Построить график искомой зависимости y=fix), где
у,х результаты измерения У, Д' в п заданных точках.
2. Задать предполагаемый функциональный вид зави-
симости
У-ЛЛА,ЛР...,4), (4.42)
где — неизвестные параметры зависимости.
Вид зависимости может быть известен либо из физи -
ческих закономерностей, описывающих явление, положен-
ное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего
опыта и предварительного анализа данных (анализ графи-,
ка искомой зависимости).
3. Выбрать метод определения параметров этой зави-
симости. При этом необходимо учитывать выбранный вид
зависимости и априорные сведения о погрешности изме-
рения хк и ук.
4. Вычислить оценки параметров А зависимости выб-
ранного вида.
5. Оценить степень отклонения экспериментальной за-
висимости от аналитической для проверки правильности
выбора вида зависимости.
6. Определить неопределенность нахождения А , ис-
пользуя известные характеристики неопределенностей из-
мерения х и у.
7. Оценить неопределенность нахождения ук в задан-
ной точке хк по полученной аналитической зависимости
с учетом попарной корреляции между оценками парамет-
ров А, , Af.
В современной математике разработаны многочисленные
методы решения таких задач. Наиболее распространенными
из них является метод наименьших квадратов (МНК).
143
I 4.3Л. Метод наименьших квадратов
В МН К оценки параметров искомой зависимости оп-
ределяют из условия, что сумма квадратов отклонений эк-
спериментальных значений у от расчетных значений ми-
нимальна, т.е.
=£42=C=niin, (4.43)
где Sk — невязки.
При рассмотрении МН К ограничимся случаем, когда
искомая функция — полином, т.е.
л- s A,xi =4+4’к+4’Р“1<4-44'
J=o
к=1,2, ... , п.
Задача заключается в том, чтобы определить такие зна-
чения коэффициентов Ло,Л1,Ж,...»Лт, при которых выпол-
нялось бы условие (4.43).
Для этого запишем выражение для невязок в каждой
экспериментальной точке
Л©+Л1Х1 +Aixf +...+Лтх"' - =5,;
Ао + Л]Х. + Лгх? +...+АтХ™ - у, -
2____2 _ 2 2 2 (4.45)
Ло + Л ix +Aix* +...+АтХ” - v = 5
п п п п п
Число точек п выбирают большим, чем степень поли-
нома m+L Это, как будет показано ниже, необходимо для
уменьшения погрешности определения А.
Согласно принципу наименьших квадратов (4.43), наи-
лучшими значениями коэффициентов Ло,ЛцЛ2,...,Лт
будут те, для которых сумма квадратов невязок
<?= £ 8*=i[4+V»+
144
будет минимальна. Минимум функции многих перемен-
ных Л,, как известно, достигается тогда, когда все ее час
тные производные равняются нулю. Поэтому, дифферен
цируя (4.46), получаем
=2 I (Д)+Дх,+А2х12+...+ДпхГ-Л)=О:
ЭАо »->
£ (Д(+Л|х1+Л2х2+...+Л„х"_1()х,=0.
ЙЛд *=J
------------------- (4.47)
=2 £ <Д,+Дх1+ЛЛ2+..+Л„х”-ц)х,"=0
ЭД, »-1
Следовательно, вместо исходной условной системы
(4.44), которая вообще говоря есть система несовместная,
так как имеет п уравнений с т+1 неизвестными (п>т+Г),
мы получим систему линейных относительно А0,Аг ...Ат
уравнений (4.47). В ней число уравнений при любом п
точио равно числу неизвестных т+1. Система (4.47) назы-
вается нормальной системой.
Таким образом, поставленная задача заключается в при-
ведении условной системы к нормальной.
Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом,
1’> = £д’ = [х">) = £<},
и после сокращения всех уравнений иа 2 и перегруппи-
ровки членов, получим
[у] = лА +1х]Я| + ...+[хт]Х;
[ух] =[х)Ло +1*2 )Xi +... + [хт +1 ]А„,
...................................... (4.48)
Iyxm 1 - |xmЙ„ + [xm +1 ]л, +... + [х2т |Л.
Анализируя выражения (4.44) и (4.48) видим, что для по-
лучения первого уравнения нормальной системы достаточно
просуммировать все уравнения системы (4.44). Для получе-
ния второго уравнения нормальной системы (4.48), суммиру-
145
ются все уравнения системы (4.44), предварительно умножен-
ные на хк. То есть, для получения r-го уравнения нормальной
системы необходимо умножить уравнения системы (4.44) на
х£-1 и просуммировать полученные выражения.
Наиболее кратко решение системы (4.48) описывается
с помощью определителей
V
D
4,=^;
' D
» D
где главный определитель D равен
« [х] ... (/")
[Х1 [х2] ... [xmtl]
(4.49)
U [хга] [х’в+|] ... [x2w]
распределители £>7 получаются из главного определителя D
путем замены столбца с коэффициентами при неизвест-
5-ном Aj на столбец со свободными членами
У « w - и - [»"]
:21 . М ... [х-*1
М
(4.50)
Di ~
й
[Xй 1 [xm+1] ... Lyxm] ... [x2m]
Неопределенность величии Aj, найденных как результат
ы совместных измерений, выражается следующей формулой
(4.51)
где Dq+ixj+п — алгебраическое дополнение элементов
главного определителя D, получаемое путем удаления из
матрицы определителя столбца (/+1) и строки V+1);
(4-52)
причем — вычисляются при подстановке в каждое ус-
ловное уравнение оценок искомых величин ЛО,ЛИ...,ЛИ .
146
Расширенная неопределенность нахождения A j вычис-
ляется по формуле
6'(л;)=ь(л,), (4.53)
где коэффициент охвата А находится из распределения
Стьюдента по числу степеней свободы («-т-1) и заданно-
му уровню доверия р.
Чтобы оценить неопределенность измерения ук по по-
лученной аналитической зависимости с учетом попарной кор-
реляции между оценками параметров А,, А., необходимо вос-
пользоваться выражением для оценки дисперсии косвенных
измерений, которое можно получить из уравнения (4.44):
«2ь.)= • <454>
/=0 /=0 *=|
где н(Д, Aj) — коэффициент ковариации между Д, , оп-
ределяемый по формуле [15] *
ф,му)=Л8)Р('**л1) (4-55)
где — алгебраическое дополнение элементов глав-
ного определителя D, получаемое путем удаления из мат-
рицы определителя столбца (j+1) и строки (/+!) с умно-
жением полученного определителя на (~1У+7+2.
Таким образом, суммарная стандартная неопределен-
ность ис(ук) нахождения ук в заданной точке хк по по-
лученной аналитической зависимости определяется как по-
ложительный квадратный корень из выражения (4.54).
При увеличении числа т объем выполненной работы
быстро растет, и поэтому на практике обычно ограничив
ваются полиномом не выше третьей степени.
4.3.2. Определение параметров линейной зависимости
На практике наиболее распространен случай т=1 (ли-
нейное уравнение)
у,-А„ + AiX/, i =1,...,и. (4 56)
147
Для этого случая из выведенных в пп. 4.3.1 формул
яолучаем нормальную систему уравнений
I Ы = «Л) + ийр
[1ху] = [л]Л0 +[х2Й2.
(4.57)
Определители этой системы
|м W|-D=P Ml
|[ху| [х2]| | И Ml
Оценки коэффициентов /Iq, А] линейной зависимости
(4.54) выражаются формулами
Ро = №21-ВДШ. 1 = D| = -’О'1
О 4л2]-М2 ’ D *!1-Ы2
Поскольку алгебраические дополнения элементов глав-
ного определителя равны Оц =|№]; £>22 = то стандартные
неопределенности нахождения Aq, Д будут равны
х(4)>=.
rxzi
I - —л(Л|)=
«и21-М2
Расширенные неопределенности нахождения A, Ai оп-
ределяются из выражения (4.53) (/(л7-)= Аз(яу), в котором ко-
эффициент охвата к находят из распределения Стьюдента по
числу степеней свободы (п-2) и заданному уровню доверия р.
Дисперсия определения ук в заданной точке х* по полу-
ченной аналитической зависимости с учетом корреляции меж-
ду оценками параметров Ло.Д, определяется выражением
«2(у*)=^2(Л>)+х*«2(Л)+2х*«С<0.Л1), (4.58)
где А]) коэффициент ковариации между Аа,А(, оп-
ределяемый по формуле
148
Ллак2»';'2 =s2<s> 4м-г • <4®>
u 4* 1-И
Таким образом, суммарная стандартная неопределен-
ность нахождения Ук в заданной точке хк по полученной
аналитической зависимости определяется как положитель-
ный квадратный корень из выражения (4.58).
ПРИМЕР 6.
Термометр калибруется путем сравнения п = 11 показаний тем-
пературы термометра, каждое из которых имеет незначительную
неопределенность, с соответствующими известными опорными тем-
пературами tR к в диапазоне от 21 °C до 27 °C для получения попра-
вок b/c = iff ic - t/c в показаниях (см табл. 4.4).
Необходимо определить параметры </| и }'2 линейной граду-
ировочной кривой b(t)= уi - у2(1-*о)’ где 1о — заданная точ-
ная опорная температура.
Таблица 44
Данные, используемые для получения градуировочной кривой
термометра
Номер показания к Показания термометра М°с> Наблюдаемая поправка Ьк ~гК.* _f* (°C) Предсказанная поправка -ь(гА) сс) Невязка ь. -*>('<) (•С)
1 21,521 -0,171 -0,1679 -0,0031
2 22,012 -0,169 -0,1668 -0,0022
3 22,512 -0,166 -0,1657 -0,0003
4 23,003 -0,159 -0,1646 +0,0056
5 23,507 -0,164 -0,1635 -0,0005
6 23,999 -0,165 -0,1625 -0,0025
7 24,513 -0,156 -0,1614 +0,0054
8 25,002 -0,157 -0,1603 +0,0033
9 25,503 -0.159 -0,1592 +0,0002
10 26,010 -0,161 -0,1581 +0,0029
П 26,511 -0,160 -0,1570 -0,0030
____________________________________________________149
Задача решается методом наименьших квадратов. Опенки ис-
комых параметров определяются из выражений
Л = ~(bile21- (К)[в])= 0,1712 -С;
У2 = -^(и[МЬ[ВДе1)= 0,00218,
где е = (4-<с; <о=2О ‘С; O = n(e2J-|el2
Экспериментальные дисперсии этих величин будут равны
л2(У1 )= -1®- = <0.0029 °C)1; s2(y2 )= ~ =(0,00067 )-,
№ =(0.0035 °C/.
Оцененный коэффициент корреляции равен
Суммарная неопределенность предсказанного значения ис
определяется с числом степеней свободы v = п — 2 — 9 как поло-
жительный квадратный корень из оцененной дисперсии
" 2 [*(' )] = " 2 Gl)+(< - 'о )2“ 2 6'2 )+ 2(1 - 'О XG’t /(.V? VGi. > 2 ) ’
которая минимальна при *min =io-4(yi)r(yl,y2)/u(y2)=24fiOS5°C.
Выбирая значение /0 можно коэффициент корреляции меж-
ду У] и У2 сделать равным нулю, существенно облегчая вычис-
ление стандартной неопределенности предсказанной поправки.
Для этого необходимо, чтобы в выражении для г'С’ьУ?) выпол-
нялось условие X6, = Xk* -/q)=0 Последнее справедливо, ког-
*=1 Л=!
да tc =t = - = 24.0085°C. Эта температура является также тем-
пературой. при которой [b(f)j минимальна. Заменяя ранее по-
лученные выражения для b(t) и u^[b(r)] на
Н')=м +j2('-<); "<2Н)]="2й)+(<-')2и26’2).
150
гае n = Л +>2('-'о), «=«о -•'(лИят’гУ'Ьг).
»2Gi)=s2l>'ii|-'-26'i.},z)l'
получаем bit) = -0,1625 (11)+0,00218(67) (у - 24,0085 °с),
Х2[Ю1= (0.0011)2+(< -24,0085 ”О2ф,000067)2
4.3.3. Определение параметров неполитюмиальных
зависимостей с помощью МНК
В результате метрологических исследований нередко
приходится сталкиваться со случаем, когда при определе-
нии нелинейной зависимости повышение степени поли-
нома в разумных пределах не приводит к существенному
уменьшению погрешности аппроксимации. В этом случае
часто применяют преобразование функции Y = f(X) в ли-
нейную зависимость У* = Ао + А. X * путем замены перемен-
ных Х*=Ф(Л’}; У*=Ч'(У).
Этот прием хорошо реализуется для функций следую-
щего вида:
а) показательная у = лоеА'для которой в результате заме-
ны переменной У* = 1п К получаем У’= л* । ахХ, где л* = 1л ,
б) степенная Y = А0Х для которой в результате заме-
ны переменных У* = In У, X* = In X получаем
К* = л; + 4х‘, где л; = In
в) логарифмическая У = Ао + A, In Д', для которой в ре-
зультате замены переменной jy*=lnX получаем
У = А0+А1Х*;
г) гиперболическая у = ас + Ах / X, для которой в резуль-
тате замены переменной = I/Х получаем У = л0 + Л, X*',
д) дробно-линейная функция первого вида
У = (А0 + AtX)для которой в результате замены пере-
менной У* = I/У получаем у* - л0 4- At X;
151
е) дробно-линейная функция второго вида У =----,
А + аох
для которой в результате замены переменных Г* = 1/У,
X* = \iX получаем У* = Лп - Л, X.
Графики перечисленных функций приведены на рис. 4.1.
Прн определении неопределенностей нахождения оце-
нок Ло; Лр необходимо помнить, что в случаях показа-
тельной и степенной функции параметр Ао связан с пара-
Л*
метром Л* выражением Ло = е °.
Поэтому неопределенности Ло и Л* будут связаны со-
отношением л(л0) -.у(л0)е\
ПРИМЕР 7.
Необходимо определить вид и значения параметров Ло и
функциональной зависимости У=f(X,A0,Ai), аппроксимирую-
щей экспериментальную зависимость у = f(x), приведенную в
табл 4.3., стандартные и расширенные неопределенности оце-
нок параметров Aq и Af для уровня доверия р = 0,95, а также
суммарные неопределенности предсказанных значений нс(у) в
заданных точках
1. Строим экспериментальную зависимость у= f (.v) (рис 4.2)
и по ее виду задаем предполагаемый вид функциональной зави-
. симости У = /40+Л11пЛ'-
• 2. Поскольку эта зависимость нелинейна, необходимо приве-
сти ее к линейной. Для этого, вводя замену переменного
X = In X, получаем У = Aq + Л, X .
Значения х приведены в табл. 4 5.
, Строим график полученной зависимости у = f{x ) (рис. 4.3)
и убеждаемся в его линейности, т.е вад функциональной зави-
симости задан правильно.
3. Определим оценки параметров Ао и А] линейной зависи-
мости методом наименьших квадратов. Для этого находим зна-
уения сумм Гаусса;
0 1 х
в) F-(a+₽x) ,a>0 г) Y= a+plnx, a>0
Рис. 4.1 Графики аппроксимирующих функций
153
1^1=42,3354; [х2|=102,16387; [>4=416,2; |л>|=982,91272.
Нормальная система уравнений имеет вид
= + [**И; [416.2 = 2ОИо+42.3И,;
[х* у] = [х* ]ло +[х'2 ]Л,; [982,9 = 42,ЗЛ„ +102,16Л,
Решая полученную систему, имеем
^^.BIlx-btx-Htx-l 62004|
О ф’2 ]-[х-]2
5 =£-="1х>]-^’1[л=8,208432
1 D Л[х‘2]-[Х-Р
Подставляя оценки Aq , At в предполагаемую функциональ-
ную зависимость и в условную систему уравнений, вычисляем
недоказанные значения Y и значения невязок 5(- по формуле
5, = Aq + Ay х* —у, (табл 4.5)
। 2 3 X
Рис. 43 Линеаризованная зависимость
154
Таблица 4 5
Экспериментальные и линеаризованные значения у, х
X У X* 5 Y
1 3,62 0 4,18-10 s 3,6200 2,23-103
2 9,25 0,6931 -1,4018- 103 9,2489 1,61 • 103
3 12,54 1,0986 1,6 -103 12,5417 1,27 -103
4 14,88 1,3863 -2,033 103 14,8779 1,05 - 103
5 16,69 1,6094 -2,73-104 16,6900 0.914- 103
6 18,17 1,7918 9,69-1 а4 18,1706 0,827-103
7 19,42 1,9459 2,391 -103 19.4225 0,779-103
8 20,51 2,0794 -3,477-10 ’ 20,5068 0,759-10’
9 21,46 2,1972 3,159-103 21,4634 0,761 10 ’
10 22,32 2,3026 -9,04-104 22,3189 0,777- 103
11 23,09 2,3979 3,012-!03 23,2929 0,783- 10-3
12 22,80 2,4849 -4,75-104 23,7996 0,835-103
13 24,45 2,5649 -8,07-10“ 24,4498 0,871 10 3
14 25,05 2,6391 1,759 -Ю 3 25,0514 0,909- 10’
15 25,61 2,7080 1,285 - Ш3 25,6117 0,948- 103
16 26,14 2,7726 -4,108- 10-3 26,1358 0,988-103
17 26,63 2,8332 -1,173-101 26,6281 1,027 -103
18 27.09 2,8904 2.527-10' 27,0923 1,066- Ю 3
19 27,53 2,9444 1,053 10* 27,5314 1.104-103
20 27,95 2,9957 -2,348-10’ 27.9479 1,141 10'
155
4. Для определения стандартных отклонений /\у At воспользу-
емся выражениями
=3,5 1О"3:
'—~—!----5(8) = 6,38 10"1 3,5 10"3 = 2,23 10*3 '
«|х 21-[*’12
I---------1(6) = 2.82 10ч 3,5 10-3 =9.88 10-4.
»1/2Ы/12
Расширенные неопределенности нахождения Л0,Л1 опреде-
лим из выражения Сг(л.)- Аз(л,), в котором коэффициент ох-
вата к =2,1 найдем из распределения Стьюдента (табл. Б.1 при-
ложения Б) по числу степеней свободы я-т-1=!8и заданно-
му уровню доверия р = 0,95.
В этом случае
1/(йо)= 2.11 -.«(4,)= 4.7 10"3; 1/(й,)= 2.11 5(4)= 2,1 10"3.
Суммарная неопределенность предсказанного значения ис(у)
определяется как положительный квадратный корень из оценен-
ной дисперсии
.. r/Go)'ir|2W'2 (л )21п0"(л>, л).
где ) — коэффициент ковариации между Лр и Л|, рав-
ный
“k-^2^-'2®^^-’” 10"iSr~2J |0'
Таким образом, значения мг0’1 вычисляются по формуле
= IОJ4.97 + 0.97 In2 (л)- 4.13 ln(x)
Для числовых данных в рассматриваемом примере значе-
ния ис(у), рассчитанные для заданных точек хк. приведены
в табл. 4.5.
4.4. Совокупные измерения
Совокупные измерения — проводимые одновременно из-
мерения нескольких одноименных величин, при которых
искомые значения величин определяют путем решения сис-
темы уравнений, получаемых при измерении этих вели-
чин в различных сочетаниях [1].
Систему уравнений совокупных измерений можно за-
писать в следующем виде
..Ли), (4.60)
где i = 1,2,..., л; п>т. То есть характерной особенностью
совокупных измерений, также как и совместных, является
то обстоятельство, что число уравнений больше, чем чис-
ло неизвестных.
Здесь х, — результаты прямых измерений различных
сочетайий искомых величи н Ц, У2• - Кп-
Таким образом, в отличие от косвенных измерений,
производятся измерения нескольких искомых величин,
причем последние находятся в результате решения систе-
мы уравнений.
Легко заметить, что система уравнений (4.60) ана-
логична системе уравнений совместных измерений.
Имеется, однако, принципиальное отличие совокупных
измерений от совместных, прежде всего в постановке
измерительной задачи: в результате совокупных изме-
рений определяется не функциональная зависимость
между величинами (как это делается при совместных
измерениях), а сами величины, причем величины
одноименные.
Несмотря на отличия, обработка экспериментальных
данных при совместных и совокупных измерениях, про-
изводится практически одними и теми же приемами.
157
Совокупные измерения широко распространены в мет-
рологической практике, например, при калибровке мер
или шкал приборов. В этом случае система уравнений со-
вокупных измерений имеет вид
т
xf= Z СуУ, i = (4.61)
У = 1
где у, — результат измерения искомых величии;
Су — известные коэффициенты;
х, — результаты сравнения различных комбинаций
сочетаний мер или отметок шкал;
т — количество значений величин, подлежащих
определению;
п — количество комбинаций (уравнений).
При калибровке коэффициенты су принимают следу-
ющие значения:
О — если Yj не участвует в i-ом измерении;
1 — если измеряется сумма нескольких величин,
в которую входит Y} ;
- 1 — если сумма нескольких величин сравнивается су.
Если число уравнений равно числу неизвестных, то си-
стема (4.61) решается однозначно, а действительные значе-
ния измеряемых величин и их стандартные и расширенные
неопределенности определяются методами обработки кос-
венных измерений. Однако для уменьшения неопределен-
ностей калибровки производится сравнение большего чис-
ла комбинаций, чем количество определяемых значений
величин. Тогда оценивание результатов измерений произ-
водится как при совместных измерениях. Для решения си-
стемы условных уравнений обычно применяют МНК. Этот
метод вытекает из принципа максимального правдоподо-
бия и является оптимальным при следующих условиях:
— результаты измерения х содержат независимые слу-
чайные погрешности с нулевыми математическими ожи-
даниями и одинаковыми дисперсиями;
— погрешности имеют нормальное распределение.
158
При выполнении этих условий получаемые оценки бу-
дут состоятельными, несмещенными и эффективными.
Аналогично рассмотренному в подразделе 4.3, можно
записать систему уравнений относительно невязок
»; = Г Си yj -х,. (4.62)
2 = 1
Сумма их квадратов будет равна
0 = £ S2 = Z (cii>i+ +с»ъ»-*.>2 <4«)
1=1 J 1=1
Дифференцируя выражение (4.63) по параметрам yj,
получим следующую систему
SO п
^ = 2.Е<С.]Г|+-.+ С/м^-х1)С1;
................................. (4.64)
преобразуя которую и применяя обозначение Гаусса, по-
лучаем нормальную систему уравнений относительно у}.
к,]=[С121Л+ +[С,СтЬ„;
(465)
[хС„]=(с,С„1г,+-+|С2|>„.
Решение этой системы с помощью определителей имеет вад
DJ
7Г
(4.66)
где D — главный определитель системы
I с,21 [с,с2] |с,с„]
D= fc,c2] I с2 I ... [CjCj
|(C1C„| [C;Cj ... I C2 1
(4 67)
159
а определитель D. получается из главного путем замены
/ —го столбца на столбец со свободными членами
[ с? I ... [гс, ] ... [с,с„]
[с,с2] ... [гс2] ... [с2с„]
[с,с„]... [у С„] [ с2т I
(4.68)
Экспериментальные стандартные отклонения у оп-
ределяются по формуле
= <4-69)
где Djj — алгебраическое дополнение главного определи-
геля, получаемое из последнего вычеркиванием / - го стол-
бца и j - й строки;
у(5) -
(4.70)
Невязки 6, находят при выполнении совокупных из-
мерений (4.62).
Расширенные неопределенности результатов совокуп-
ных измерений находят из выражения
(4-71)
где /p(v)— коэффициент Стъюдента для v —л-m степе-
ней свободы.
ПРИМЕР 8 [16]
При четырех взвешиваниях были получены следующие значе
ния комбинаций двух грузов: r»i=3.98 кг; /и2=0.9кг;
,п\ —= 3.12 кг; mj +т2 =4,96 кг. Определить массы грузов
М ।, Л/2 и их стандартные и расширенные неопределенности для
уровня доверия р ~ 0,95 .
1 Для приведенных числовых значений система условных
уравнений имеет вид:
160
+ 0/n2 = 3.98;
0/И| + 1/и2 = 0,9;
=3,12;
1ft?] + lm2 = 4,96.
(4.72)
2. Составим систему нормальных уравнений, для чего просум-
мируем все уравнения системы (4.72) сначала умноженные на
коэффициенты при mt, а затем —- на коэффициенты при т? ’
3/«| +0«2 = 12,06; yjj
Omj + 3m2 = 2,74.
3. Решая эту систему, получаем оценки масс грузов пц = 4,02
КГ, т2 =0,913 Кг-
4. Подставляя значения м| и /и2 в уравнения системы (4.72),
получаем невязки 8| =-0,04 кг; 62 = "0.013 кг; 83 =0,0!Зкг;
54 =0,027 кг, на которые отличаются их правая и левая части.
5. Стандартное отклонение условных уравнений будет равно
6. Стандартное отклонение первой оценки
второй —
=0,021 кг.
7. Расширенные неопределенности оценок масс mj и «г ®У‘
дут равны
l/(ffll)=l/(ffl2)==rp(v)s(*«i)= 4,3 0,021 = 0,09 кг.
161
где /p(v) — 4,3 — коэффициент Стыодента для числа степеней
свободы v = т - п =2 и уровня доверия р = 0,95.
8. Записываем результат измерения в виде
М,= 4,02 + 0,09 кг,р = 0,95; А/2 =0,913 ±0,09 кг, р = 0,95;
или 3,93 кг<ЛГ(<4,11 кг, р = 0.95 0,823 кг<М|< 1.003 кг,
р = 0,95.
4.5. Контрольные вопросы и задания
I. Проведите классификацию измерений по виду урав-
нения измерения.
2. Какой вид измерений является наиболее простым и
распространенным? В чем его особенность?
3. В каких случаях применяются прямые измерения с
многократными наблюдениями?
4. Какое число наблюдений проводят при прямых од-
нократных измерениях?
5. Укажите порядок обработки результатов прямых из-
мерений с однократными наблюдениями.
6. В чем состоит цель обработки результатов прямых
измерений с многократными наблюдениями с точки зре-
ния неопределенности результата измерения?
7. Какие операции следует выполнить при статисти-
ческой обработке результатов прямых измерений с много-
кратными наблюдениями?
8. В чем состоит специфическая модель измерения с
многократными наблюдениями, называемая «гнездовой
структурой»?
9. Поясните различие между уравновешенной и неурав-
новешенной гнездовыми структурами.
10. В чем заключается алгоритм обработки нескольких
групп прямых многократных наблюдений?
11. Какие измерения называются косвенными9
12. В каком случае оценки входных величин при кос-
венных измерениях могут быть взаимно коррелированы?
13. Запишите выражение для оценки измеряемой ве-
личины при ее линейной зависимости от входных вели-
чин для случая косвенных измерений.
162
14. Какое выражение для определения результатов кос-
венных измерений с многократными наблюдениями наи-
более надежно, если оценки входных величин существен-
но коррелированы или уравнение измерений значительно
нелинейно?
15. Как изменится формула для суммарной стандарт-
I ной неопределенности оценки косвенных измерений (при
1 отсутствии корреляции между аргументами) в случае зна-
I чительной нелинейности уравнения измерения?
| 16. Как выражается коэффициент охвата при записи
расширенной неопределенности косвенных измерений?
17. Как записывается результат косвенного измерения?
I 18. Запишите алгоритм обработки результатов косвен-
I ных измерений при наличии корреляции между двумя вход-
ными величинами.
19. В каком случае применяются совместные измере-
ния?
| 20. В чем состоит суть метода наименьших квадратов
(МНК)? Какое условие накладывается на отклонения эк-
спериментальных и расчетных значений в МНК?
I 21. Приведите порядок действий при определении за-
висимости между двумя величинами с помошью МНК.
| 22. Как осуществляется определение неполиномиаль-
ной зависимости между двумя величинами?
I 23. Запишите систему совокупных уравнений.
I 24. В чем отличие совокупных измерений от совмест-
ных?
5. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИК
ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ
Когда перенимать с умом, тогда не
чудо и пользы от того сыскать
И.А Крылов
В последнее десятилетие в метрологии сложилось два
подхода к оцениванию точности измерений. Один подход
основан на понятиях и терминах, применяемых в норма-
тивных документах (НД) в области обеспечения единства
измерений в странах СНГ, имеющих единое метрологи-
ческое пространство, [1, 4, 5,6, 8, 10-15, 18, 22—24]. Дру-
гой — на сравнительно новых терминах и понятиях, ис-
пользованных в Руководстве [3, 7, 17], разработанном под
эгидой ряда авторитетных международных метрологичес-
ких организаций. Одним из поводов разработки этого Ру-
ководства послужило несоответствие метрологических ха-
рактеристик однородных эталонов различных стран при
международных сличениях.
В литературе развернулась широкая дискуссия по воп-
росу целесообразности замены понятия «погрешность*» на
понятие «неопределенность» [19—22,24], приведшая к тому,
что метрологи разделились по этому принципу на две боль-
шие группы. Некоторые авторы [16] при изложении курса
метрологии вообще отказались от обоих понятий.
Аргументация сторонников понятия «неопределен-
ность» базируется на том, что погрешность измерения
принципиально невозможно отыскать, поскольку она оп-
ределяется как разность между результатом измерения и
истинным значением измеряемой величины, а истинное
значение всегда неизвестно. Поэтому понятию «погреш-
ность» как конкретной величине, имеющей конкретное
значение, противопоставляется понятие «неопреде-
164
ленность», где в самом слове отражается некоторое со-
мнение, отсутствие достаточного знания. Кроме того, раз-
дельная оценка систематических и случайных погрешнос-
тей, использование для них разных характеристик (гра-
ниц и среднеквадратического значения) дает, во-первых,
завышенные оценки погрешности, а во-вторых, примене-
ние различных характеристик погрешности при определе-
нии результата неудобно, в частности, при его дальней-
шем использовании.
Сторонники понятия «погрешность» говорят о том, что
на самом деле определяется не погрешность измерения,
а ее вероятностные характеристики — дисперсия, среднее
квадратическое отклонение и доверительный интервал.
Кроме того, термин «неопределенность» неприменим по
। семантическим соображениям к результату измерения,
I положение которого на числовой оси точно определено.
। Неопределенным является лишь взаимное положение
| результата и истинного значения измеряемой величины.
Некоторые специалисты полагали, что старое понятие
«погрешность» вообще следует относить не к результатам
измерения, а к модели объекта измерения, поскольку «не-
I определенность измерений »лучше отражает несоответствие
I выбранной модели объекта его полному содержанию.
Поскольку в настоящее время Руководство [3] приобре-
| ло статус неформального международного стандарта, спе-
циалисты, работающие в области метрологии и измерений,
| должны быть хорошо подготовлены по теории и практике
его применения для проведения совместных работ под ру-
I ководством МКМВ и его консультативных комитетов, при
I подготовке публикаций в зарубежной печати и т-Д.
В этих условиях ведущий научно-исследовательский ин-
| статут России — ВНИИМ им. Д.И. Менделеева разрабо-
। тал Рекомендации [ 17] по применению Руководства и по-
| казал соответствие между этими двумя формами представ-
ления результатов измерений и способы взаимного пере-
счета. На основе проведенного в Рекомендации сравни-
I тельного численного анализа способов оценки расширен-
165
ной неопределенности и доверительных границ случай-
ной погрешности косвенных измерений делаются следую-
щие выводы:
— для большинства практических случаев получаемые
оценки различаются незначительно на уровне погрешнос-
ти определения погрешности;
— различие проявляется лишь в крайних случаях, ког-
да одна из составляющих (систематическая или случай-
ная, оцененная по типу А или В) существенно превышает
другую;
— эти отличия вызваны разными алгоритмами опреде-
ления коэффициента охвата при вычислении расширен-
ной неопределенности и способами суммирования систе-
матической и случайной составляющих суммарной погреш-
ности.
5.1. Сопоставление алгоритмов оценивания погрешностей
и неопределенностей измерения
Анализ алгоритмов оценивания погрешностей и нео-
пределенностей измерений показывает, что они состоят
из следующих сходных действий:
I) анализ модели измеряемой величины;
2) составление спецификации (условий проведения) из-
мерения;
3) анализ уравнения измерения и выбор метода обра-
ботки результатов;
4) выявление всех источников погрешности (неопре-
деленности) измерений;
5) введение поправок на систематические эффекты,
которые можно исключить;
6) получение точечных оценок параметров составляю-
щих погрешности (неопределенности) и их суммирование;
7) вычисление интервальных оценок недостоверности
измерений.
Пункты 1 —5 алгоритма осуществляется практически од-
ними приемами. При реализации пунктов 6 и 7 возникает
неоднозначность в трактовке основных понятий, а также
отличия в применяемых математических выражениях.
166
5.1.1. Сопоставление оценок характеристик погрешностей
и неопределенностей измерений
В общем случае не существует однозначного соответ-
ствия между случайными погрешностями и неопределен-
ностями, вычисленными по типу А, а также неисключен-
ными систематическими погрешностями и неопределен-
ностями, вычисленными по типу В. Еще раз заметим, что
деление иа случайные и систематические погрешности
обусловлено природой их возникновения и появлением
при измерении, а деление на неопределенности, вычисля-
емые по типу А и В — методами расчета.
Так например, результат однократного измерения
отягощен случайной погрешностью, однако из-за отсут-
ствия повторных измерений нет возможности ее оценить
путем применения статистических методов (по типу А)
[4}. Случайная составляющая в одном измерении может
стать систематической составляющей в другом измере-
нии, в котором результат первого измерения использует-
ся в качестве входных данных (например, при передаче
размера единицы в поверочной схеме [5]). При оце-
нивании неопределенности от внесения поправки может
быть применен метод рандомизации систематической по-
грешности (рассмотренный выше второй вариант прове-
дения многократных наблюдений) [4], при этом оценку
неопределенности получают статистическими методами
(по типу А).
В тоже время полностью совпадают выражения для
расчета оценок СКО, характеризующего случайную по-
грешность или НОСП, полученные при обработке резуль-
татов многократных измерений и стандартная неопреде-
ленность, вычисленная по типу А (4.10, 4.11):
s = J„' I -И'; s(H = s(H=.| ,1 -у? •
*s| уП(П- I )t=|
Аналогично, выражения для вычисления СКО, харак-
теризующего неисключенную систематическую погреш-
ность и случайную погрешность однократных измерений,
полученные априорно, соответствуют выражениям для сум-
I мерной стандартной неопределенности, вычисленной по
1типу В (см. пп. 4.1.1, выражения (4.3—4.4)).
। Так, например, в предположении о равномерном рас-
пределении значений иеисключенных систематических
погрешностей внутри интервала шириной 2ait выраже-
I ния для их СКО (стандартной неопределенности типа В)
I имеют одни и тот же вид
«’(У)= я’/З.
Суммирование всех составляющих неопределенности
I (СКО погрешности) результата измерений (4.5)
осуществляется аналогично суммированию СКО случайных
I й иеисключенных остатков систематических погрешностей.
Различие двух подходов проявляются в трактовке
I неопределенности и характеристик погрешности, осиован-
I рых на разных интерпретациях вероятности: частотной и
, субъективной.
| ; В частности, доверительные границы погрешности, от-
ложенные от результата измерений (у - Д,), (у + Др),
| накрывают истинное значение измеряемой величины с
заданной доверительной вероятностью (частотная интер-
I йретация вероятностей). В то же время аналогичный интер-
вал (у-Up), (y + Up) трактуется в Руководстве как
I йнтервал, содержащий заданную долю распределения зна-
чений, которые могли бы быть обоснованно приписаны
I измеряемой величине (субъективная интерпретация ве-
роятностей).
। Количественно различия между доверительным интер-
I валом д и интервалом неопределенности и вызваны
разными алгоритмами определения доверительного
коэффициента (при определении границ доверительного
интервала) и коэффициента охвата (при вычислении рас-
I ширенной неопределенности) (см. подраздел 5.1.2).
168
Таким образом, при сопоставлении оценок характери-
стик погрешностей измерений и неопределенностей ре-
комендуется использовать следующую схему:
169
5.1.2. Сопоставление способоа нахождения интервальных
характеристик иогрешности (неопределенности) результата
измерений
Конкретные различия в реализации алгоритмов оценива-
ния интервальных характеристик погрешности (неопределен-
ности) определяются видом уравнения измерений (прямые,
косвенные, совместные и совокупные). Наиболее общей си-
туацией для обработки являются косвенные измерения с мно-
гократными наблюдениями, при которых необходимо учиты-
вать нелинейность уравнения измерения и наличие корреля-
ционной связи между аргументами. При этом алгоритмы вы-
числений неопределенности и характеристик погрешности
практически идентичны и включают следующие пункты.
I. Запись уравнения измерений
Y = /(Л,,-,^)
2. Вычисление оценок х, входных величин
Л,,.. .,Х„.
3. Определение результата измерений
У =
.' 4. Вычисление стандартной неопределенности типа А
(СКО случайной погрешности) i-й величины (i = i,
2,...,w).
5. Вычисление коэффициентов корреляции г(х,, х,).
6. Вычисление стандартной неопределенности типа В
(СКО неисключенной систематической погрешности) i-й
реличины.
7. Вычисление суммарной стандартной неопределен-
ности ие(у) (СКО суммарной погрешности \) результа-
та измерений.
8. Вычисление коэффициента охвата к и расширен-
ной неопределенности U (доверительного коэффициента
tp и границ доверительного интервала ) для заданного
уровня доверия р.
Реализация пунктов 16 приведенного алгоритма совпада-
ют с точностью до применяемых математических выражений.
170
При оценивании расширенной неопределенности
U = кис и доверительных границ погрешности Лр = tpSz
выражение для суммарной неопределенности
“.O') = ^I(P)+ZX(’') (5|)
соответствует выражению д ля СКО суммарной погрешности
X = , (5.2)
где ~ СКО суммарной неисключенной систе
магической составляющей;
в, — границы т составляющих неисключенных сис-
тематических погрешностей, распределение которых при-
нимается за равномерное.
Коэффициент охвата к определяется как коэффициент
Стьюдента ip (vf# ) для эффективного числа степеней свободы
(53)
где v, = л, -1 — для неопределенностей вычисленных
по типу А,
vi = оо — для неопределенностей вычисленных по
* типу В.
Доверительный коэффициент tp вычисляется через гра-
ницы и СКО случайных и неисключенных систематичес-
ких погрешностей
_ Е+0(р)
(5.4)
где 0(/О =А’5Й — доверительные границы суммарной сис-
тематической погрешности, причем К= 1,1 при р = 0,95 и
К = 1,4 при р = 0,99 для wj>4;
171
е = rp(vw).v(y), — границы случайной погрешности
результата измерений;
коэффициент Стьюдента, для эффективно-
го числа степеней свободы
lf<)V(^)]2
-2
(5.5)
эфф
в котором п{ — число измерений аргумента х ; — —
дх,
коэффициент влияния;
— СКО результата измерения аргумента х,.
Кроме этого, в отечественной нормативной документации
приведенное выражение для границы доверительной погреш-
ности результата измерения Др рекомендуется для использо-
вания, если выполняется неравенство 0,8s s8. Если
Wp) <0,8 — пренебрегают систематической составляющей,
если е<Я > 8 — пренебрегают случайной составляющей. По-
грешность, возникающая из-за пренебрежения одной из со-
ставляющих погрешности результата измерения при выпол-
нении указанных неравенств, может составлять до 15 %.
Приведенные выражения (как для погрешности, гак и для
неопределенности) справедливы и для прямых измерений с
многократными наблюдениями. Действительно, подставляя в (5.5)
Й = 1 и =1, имеем = п -1 , что соответствует числу
степеней свободы для коэффициента Стьюдента, используемо-
го как доверительный коэффициент при расчете доверительных
границ случайной погрешности прямых многократных измере-
ний. Если при этом НОСП (неопределенности типа В) отсуг-
172
ствуюг, то границы погрешности и расширенная неопределен-
ность численно совпадают. Если пренебречь НОСП (неопреде-
ленности типа В) нельзя, то возникают отличия при оценива-
нии доверительных границ погрешности и расширенной нео-
пределенности, вызываемые разными числовыми значениями
доверительного коэффициента и коэффициента охвата. Действи-
тельно, композиция распределения Сгьюдента (для случайной
составляющей погрешности) и законов распределения НОСП
дает суммарное распределение, приближающееся к нормально-
му. Именно поэтому в Руководстве советуют принять коэффи-
циент охвата к равным 2 и 3, соответственно д ля уровней дове-
рия р=0,95 ир = 0,99 (болееточные значения к для указанных
уровней доверия составляют 1,96 и 2,58). Доверительный же ко-
эффициент по-прежнему следует вычислять по формуле (5.4).
В табл. 5.1 представлены результаты вычислений значений
доверительного коэффициента г = для разного числа
Таблица 5.1
Сравнение доверительного коэффициента tp
а коэффициента охвата к
р 0,95 0,99
в(л) Чу) 0,8 2 4 6 8 0,8 2 4 6 8
1р'У/чфф~ 5 1.95 1.62 1.42 1,32 1.26 3,09 2,50 2,09 1,90 1.80
1,75 1,50 1,34 1,27 1.23 2,53 2,13 1,86 1,73 1.66
1рУ,фф^Ы 1,67 1,45 1,31 1.25 1,22 2,32 2,00 1,78 1,67 1,62
‘рУчфф-^ 1,60 1,41 1.29 1.24 1.20 2,15 1,88 1,70 1.62 1.57
к 1,96 1.96 1.96 1.96 1.96 2.58 2,58 2,58 2,58 2,58
173
степеней свободы vJ(M, при изменении соотношения в
пределах от 0,8 до 8 для уровней доверия р = 0,95 и р = 0,99 .
В этой же таблице приведены минимально возможные
значения коэффициента охвата к, соответствующие до-
верительному коэффициенту для нормального закона рас-
пределения.
Из таблицы видно, что превышение значений расши-
ренной неопределенности над доверительным интервалом
может составить до 1,6 раза. Эти данные справедливы и
для косвенных измерений, так как вычисление довери-
тельного коэффициента в этом случае производится по
формуле (5.4), а коэффициент охвата представляет собой
коэффициент Стьюдента.
5.2. Взаимный пересчет характеристик погрешности
в характеристики неопределенности
При сопоставлении результатов измерений н оценок
их достоверности, проводимых различными способами,
возникает задача пересчета характеристик погрешности в
характеристики неопределенности и наоборот. Ниже по-
казаны способы пересчета и минимальный набор пара-
метров, необходимый для его осуществления.
5 .2.1. Пересчет характеристик погрешности
в характеристики неопределенности
В отечественных нормативных документах приняты две
формы представления результатов измерений: сокращен-
ная и расширенная.
При применении сокращенной формы указываются сле-
дующие характеристики:
< — результат измерения у;
«р — доверительные границы погрешности измерений др;
— доверительная вероятность р.
Используя перечисленные характеристики, можно вы-
числить следующие характеристики, используемые в меж-
дународных документах:
— результат измерения у;
174
— оценка расширенной неопределенности U Р - &р,
— оценка суммарной стандартной неопределенности
“< = д,/',.
где tp — доверительный коэффициент (коэффициент ох-
вата) для нормального распределения, соответствующий
вероятаости р.
При применении расширенной формы, предполагающей
дальнейшую обработку результатов или анализ погрешно-
сти, указываются следующие характеристики:
— результат измерения у;
— СКО случайной погрешности результата измерений
$(>-);
— доверительные границы неисключенной система
тической погрешности результата измерений в(р);
— число результатов наблюдений п
Используя перечисленные характеристики, можно вы-
числить следующие характеристики, используемые в меж-
дународных документах:
— результат измерения у;
— оценка стандартной неопределенности, вычисленной
по типу А
ил =S'-
— оценка стандартной неопределенности, вычисленной
по типу В1
ив ~ е(Р)/к^з,
1 Приведенная формула получена из выражения для гра-
ниц неисключенной систематической погрешности [14]
G(p)~KJ z, 6; в предположении равномерного распределения
погрешностей внутри границ 0( Тогда оценка среднеквадрати-
ческого отклонения i -й составляющей неисключенной систе-
матической погрешности для максимальной доверительной ве-
роятности р -1 будет равна S, =6,1-Л.
175
где К = 1,1 при /7=0,95 ; К = 1,4 при р=0,99,если
можно предположить, что число источников системати-
ческой погрешности тсис„ > 4 ;
— оценка суммарной стандартной неопределенности
- ^2
ис = vua +ив ;
— оценка эффективного числа степеней свободы
v< =(«-1)11 + тг| ;
ив J
— оценка расширенной неопределенности
где tp — коэффициент охвата, равный коэффициен-
ту Стьюдента для уровня доверия р и эффективного чис-
ла степеней свободы ve# -
'? Необходимо отметить, что оценить неопределенность
V/tA пив по отдельности, зиая только Ар, невозможно,
5.2.2. Пересчет характеристик неопределенности
в характеристики погрешности
В международных нормативных документах при пред-
ставлении результата измерения в качестве меры неопре-
ЬелениосТи может быть указана расширенная или суммар-
ная стандартная неопределенности.
» При указании расширенной неопределенности перечис-
ляются следующие характеристики:
У — результат измерения у;
— расширенная неопределенность Upl
р — коэффициент охвата к;
VI — уровень доверия Р.
Используя перечисленные характеристики, можно вы-
числить следующие характеристики, используемые в оте-
чественных документах:
176
— результат измерения у;
— оценка доверительных границ погрешности измерений
Д₽=с/₽;
— оценка СКО, характеризующего суммарную по-
грешность
St=Up/k-,
— доверительная вероятность р.
При указании суммарной стандартной неопределеннос-
ти перечисляются следующие характеристики:
— результат измерения у;
— суммарная стандартная иеопределениость ис (у).
Допустимо наряду с перечисленными характеристика-
ми указывать дополнительно
— оцененное эффективное число степеней свобо-
ды ;
— суммарные стандартные неопределенности по типу
А и В ulA (у), ucS (у) и их оцененные эффективные
числа степеней свободы veJfA и ve#e.
Используя перечисленные характеристики, можно вы-
числить следующие характеристики, используемые в оте-
чественных документах:
— результат измерения у;
— оценка СКО, характеризующего суммарную по-
грешность
Si =иДу)'.
— оценка доверительных границ погрешности изме-
рений
«с.
где — коэффициент охвата, равный коэффициен-
ту Стьюдента для уровня доверия р и эффективного числа
степеней свободы ;
— оценка СКО случайной погрешности результата из-
мерений
Ml
5 = Мсл (у);
— оценка доверительных границ неисключенной си-
стематической погрешности результата измерений
в(р)= че0) К'/з,
где К = 1,1 при р=0,95 ;
К = 1,4при /7=0.99: т„„>4.
5.3 Примеры оценивания характеристик погрешности
и вычисления неопределенности измерений
Примеры взяты из Рекомендации [10].
5.3.1 Измерение силы электрического тока
с помощью вольтметра и токового шунта
Схема измерений показана на рис. 5.1.
Рис. 5.1 Схема измерения силы тока
1. Уравнение измерений
I = Z(K/i) =
к
где I — сила тока,
V — напряжение,
R — сопротивление шунта.
2. Нахождение результата измерений.
2.1. В результате измерения напряжения получены та-
кие значения Vt в милливольтах, i —1,..., я; п = 10; 100,68;
100,83; 100,79; 100,64,100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76;
100,65 при температуре t = (23,00 ±0,05) °C.
2.2. На основе полученных значений вычисляют сред-
нее значение напряжения по формуле
К = =100,72 мВ.
<=1
2.3. Значение сопротивления шунта установлено
при калибровке для / =10 А и г=23,00 °C и равно
Ло= 0,010088 Ом.
4.4. Результат измерений силы тока получают по фор-
муле
/=-£• = 9,984 А.
«О
3. Анализ источников погрешности результата измере-
ний
3.1. Определяют среднее квадратическое отклонение
среднего арифметического значения напряжения
характеризующее случайную составляющую погрешности
при измерениях напряжения по формуле:
Jo'-*’)1
W-farTT’ 3-9 > мВ.
Тогда относительное значение СКО V будет равно
- -
S(K) = -X -=0,034%.
Здесь и далее по тексту примеров знак тильды над бук-
вой, обозначающей характеристику погрешности (неопре-
деленности), означает, что данная характеристика приве-
дена в относительном виде.
3.2. Границы неисключенной систематической погреш-
ности вольтметра, определенные при его калибровке в виде
следующего выражения (в выражениях для границ погреш-
ности при равных значениях отклонений будем опускать
знак ±):
6,, =3 10 4 V +0,02 мВ.
Тогда при V = V получаем:
17S
Gy =5,0 10 2 мВ,
=0,050 %.
3.3. Границы неисключенной систематической погреш-
юсти значения сопротивления шунта, определенные при
;го калибровке, равны
ёя =0,070 %.
Тогда при /? = /^ получаем: бй = 7 Ю-4 Д, = 7,1 10 6 Ом.
3.4. Границы неисключенной систематической состав-
лю щей погрешности значения сопротивления шунта,
обусловленные погрешностью измерения температуры,
шходим из формулы
К = КП +«Ч«-4)1.
де/^ — значение сопротивления при t = t0 (/0 =23,00 °C;
=0,010088 Ом);
а — температурный коэффициент (а =6 10’6 К*’)-
Если границы измерения температуры равны Д/, то
раницы соответствующей составляющей погрешности
начения сопротивления равны
6Д, = аДг R.
При ДГ = 0,05 °C получаем
ей, = з,о ю Ом, ёя, = з,о ю ’%.
Эту составляющую погрешности можно в дальнейшем
ie учитывать ввиду ее малости по сравнению с другими
оставляющими.
4. Вычисление характеристик погрешности результата
цмерений.
" 4.1. Для суммирования неисключенных систематичес-
ких погрешностей делаем предположение о равномерном
аконе распределения их внутри границ ек и 6Л. Тогда
?КО суммарной неисключенной систематической состав-
яюшей погрешности результата измерений силы тока
определяем по формуле:
180
где = ж = ~ коэффициенты чувствительности.
Тогда получаем
S.=^2!H£)4 = 5.0 НГ’А.
5е=0,05 %.
4.2 Доверительные границы суммарной неисключен-
ной систематической составляющей погрешности резуль-
тата измерений силы тока при доверительной вероятнос-
ти р = 0,95 оцениваем по формуле:
0(0.95) = +(^)‘ е; =9.5 10’ А.
®(0 95) “ 0,95%.
4.3. СКО случайной составляющей погрешности резуль-
тата измерений силы тока определяем по формуле
5=>-ДЙ = 3,4 10 1 А.
S = 0,034%.
4.4. СКО суммарной погрешности результата измере-
ний силы тока вычисляем по формуле:
=6,0 10 ’А.
У = 0.060%.
4.5. Доверительные границы погрешности результата
измерений силы тока при р=0,95 и числе эффективных
степеней свободы v - п - 1 =9 вычисляем по формуле:
Дода = 5^”’ Л'О-01? А,
Л,,,» 0,012%.
181
5. Вычисление неопределенности измерений.
5.1. По типу А вычисляем стандартную неопределен-
ность, обусловленную источником неопределенности,
имеющим случайный характер.
5.1.1. Стандартную неопределенность напряжения,
обусловленную источником неопределенности, имеющим
случайный характер, определяем по формуле
«„(К) = 3,4 КГ' мВ, 0,034%.
5.1.2. Стандартную неопределенность силы тока, обус-
ловленную источником неопределенности, имеющим слу-
чайный характер, определяем по формуле:
иА=$«ДГ) = 3,4 IO’3 А,
йл = 0,034% .
5.2. По типу В вычисляем стандартные неопределен-
ности, обусловленные источниками неопределенности,
имеющими систематический характер. Закон распределе-
ния внутри границ считаем равномерным.
5.2.1. Границы систематического смещения при изме-
рениях напряжения, определенные при калибровке воль-
тметра равны 3-10^ Й+0,02. Тогда соответствующую
стандартную неопределенность вычисляем по формуле:
и, „ = = 2,910 ‘ мВ,
й,,. = 0,029%.
’ 5.2.2. Границы, внутри которых лежит сопротивление
шунта определены при калибровке шунта и равны
7 10 4 R. Тогда при R = соответствующую стандарт-
ную неопределенность вычисляем по формуле
П "«.« =^^ = 4,0 10 'Ом, й,„ = 0,040% .
5.2.3. Границы изменения значения сопротивления
шунта, обусловленного изменением температуры, равны
а А/ Rq . Соответствующую стандартную неопределен-
ность получаем в соответствии с формулой:
Bj,=!^S=1,7 IO^Om, =1,7 Ю ’%
В дальнейшем этой составляющей (ввиду ее малости
по сравнению с другими составляющими) можно пренеб-
речь.
5.2.4. Суммарную стандартную неопределенность, вы
численную по типу В, определяем по формуле
10-’ А,
йв = 0,050% .
5.3. Суммарную стандартную неопределенность вычис-
ляем по формуле
ие = ^ua + ив = 6,0 -10~3 А, йс — 0,060%
5.4. Эффективное число степеней свободы определяем
по формуле
5.5. Коэффициент охвата получаем по формуле
~ ) = । ’^6 .
5.6. Расширенную неопределенность определяем пс
формуле:
1/0.« «* Ч =0,012 А, (7О95 = 0,12%.
6. Переход от характеристик погрешности к неопреде
ленности измерений.
6.1.1. Используя оценки характеристик погрешности
полученные в пунктах. 3 и 4 данного примера, можн<
продемонстрировать получение оценок неопределенное
ти в соответствии с пп. 5.2.1.
183
Схема 1.
В данном примере неопределенности измерений,
вычисленные в соответствии с Руководством (3J, совпала*
ют с их опенками, полученными по схеме 1.
/ = 9,984 А,
/ = 9,984 А, б0И=Д,„ = 0.012 а.
Д„.„ = 0,012 а, —►
р = 0,95 .( = = Ц12-0,006 А.
Схема 2.
В данном примере разность неопределенностей измере-
ний, вычисленных в п. 5 данного примера в соответствии
с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2, меньше
погрешности округления при вычислении.
5.3.2 Измерение длины штриховой меры на
государственном первичном эталоне длины
интерференционным методом
1. Уравнение измерений
i = А А + а4(20 0 + Л4.
где £ — длина штриховой меры;
ц — опорное значение длины штриховой меры
(4 = 1,ооо м),
X — длина волны излучения ( X = 0,632 991 398 2 мкм);
А — число импульсов;
пв — показатель преломления воздуха (ле = 1,000 275 236);
t — температура штриховой меры (г = 20,125 °C);
а — коэффициент линейного расширения
(а =1,15 405 А'1);
Л/у — поправка на размер коллиматорной щели
(д/$ = 0,031 мкм).
2. Нахождение результата измерений.
2.1. В результате измерения числа импульсов и внесе-
ния поправок на известные систематические погрешнос-
ти в соответствии с уравнением измерений получаем ряд
значенийL, в м, i — 1, 2.и; п = 10.
1,000 001 356; 1,000 001 584; 1,000 001 383; 1,000 001 469;
1,000 001 491; 1,000 001 466; 1,000001 575; 1,000 001 397;
1,000 001 405; 1,000 001 334.
2.2. Длину штриховой меры определяем по формуле:
L = - 1.000001446 м.
3. Анализ источников погрешностей результата изме-
рений.
185
3.1. СКО среднего арифметического случайной состав-
ляющей погрешности определяем по формуле
S = —!—-У(£. -£) =2,5 Ю ’м = 0,025 мкм.
и(и - 1 )
3.2. Границы иеисключенных остатков систематичес-
ких погрешностей
— определение показателей преломления воздуха
6в =2,0 10 8;
— значения длины волны 6, = 6,2 -10 "9 мкм;
— определения температуры меры 6, =0,003 °C;
— определение поправки на размер коллиматорной
щели 0^ =0,002 мкм.
Составляющие погрешности результата измерений,
обусловленные погрешностями значений 4 и а, считаем
малыми.
4. Вычисление характеристик погрешностей результа-
тов измерений.
4.1. В предположении о равномерном законе распреде-
ления иеисключенных систематических составляющихсум-
марной погрешности внутри границ 6В, 0л, 6,,6Д, СКО
неисключенной систематической составляющей погреш-
ности результата измерений вычисляем по формуле
где ^ /I1- #=-аГ.- д/ -
дпв 2^' ах 2^’ dt
коэффициенты влияния.
Тогда получаем:
Для упрощения расчетов можно принять А
X
2ȣ
~ 1 м.
= 1,00 , X ~ 0,633 мкм.
186
Тогда имеем - 0,024 мкм.
4.2. Доверительные границы неисключенной систе-
матической составляющей результата измерений для
р - 0,99 и тсист = 4 (К = 1,23, см. [13]) вычисляем по
формуле
<Х0,99), 1,23 J(^)2e: +(f)2e; +(f)2<?7е;.
Значения коэффициентов влияния возьмем из преды-
дущего пункта, тогда
0(0,99) =0.051 мкм.
4.3- СКО суммарной погрешности определяем по фор-
муле:
5^ = y/S2 + $ = 0.035 мкм.
4.4. Доверительные границы суммарной погрешности
при р = 0,99 и =я-1 - 9 вычисляем по формуле
№<9<5е0(0- °0'094
5. Вычисление неопределенности измерений
5.1. По чипу А вычисляем стандартную неопределен-
ность, обусловленную источниками, имеющими случай-
ный характер при измерении длины штриховой меры
I t<^2
и. = J -L1----- = 0,025 мкм.
V п(п -1)
5.2. По типу В вычисляем стандартные неопределен-
ности, обусловленные источниками, имеющими система-
тический характер- Закон распределения величин внутри
границ считаем равномерным.
5.2.1. Границы, внутри которых лежит значение пока-
зателя преломления воздуха, равны 0в = 2,0 10 А Стандар-
тную неопределенность, обусловленную неточным знани-
ем данного параметра, определяем, как
и„ = -4= =1,2 10 ".
187
5.2.2. Границы, внутри которых лежит значение пока-
зателя длины волны излучения, равны 6Х - 6,2 10-9 мкм.
Тогда соответствующую стандартную неопределенность
вычисляем по формуле:
иВЛ = = 3,6 • 10 9 мкм.
5.2.3. Границы, внутри которых лежит значение темпе-
ратуры штриховой меры, равны в, =0,003 "С. Стандарт-
ную неопределенность, обусловленную неточным знани-
ем температуры, вычисляем по формуле:
= £ = 0,002 “С.
5.2.4. Границы, внутри которых лежит значение поправ-
ки на размер коллиматорной щели, равны 6 ^=0,002 мкм.
Тогда соответствующую стандартную неопределенность
получаем по формуле:
ив^ = £=0,001 мкм.
5.2.5. Суммарную стандартную неопределенность, вы-
численную по типу В, определяем по формуле:
С учетом ранее полученных значений коэффициентов
влияния ив » 0,024 мкм.
5.3. Суммарную стандартную неопределенность вычис-
ляем по формуле:
ис ~ ^ил + ив =0,035 мкм.
5.4. Эффективное число степеней свободы
5.5. Коэффициент охвата определяем следующим об-
ровом:
— ^59) =
188
5.6. Расширенную неопределенность определяем как
t/ow = Л иг =0.096 мкм.
6. Переход от характеристик погрешности к неопреде-
ленности измерений
Y = 1,000001474 м.
S = 0,025 мкм,
0(0,99) = 0,051 мкм,
«U» =4,
л = 10.
Y= 1,00000147 м,
= S = 0,025 мкм.
ив = = 0,024 мкм,
р-0,99; К = 1.23;
lie = \Ua + ив = 0,035 МКМ,
VeJJ = (Л-1)^1 + ^ =35
=4 „(35)ис =0.096 мкм.
Схема 1.
В этом примере неопределенности, вычисленные в
п. 5 данного примера в соответствии с Руководством [3],
совпадают с их оценками, полученными по схеме I.
Y = 1,00000147 м.
Y- 1.000001474 м,
Р =0.99,
Д099 = 0,094 мкм.
U0 99 = Дп 99 = 0,094 МКМ,
V = ^=0,031 мкм.
Схема 2.
Разности неопределенностей измерений, вычисленных
в п. 5 этого примера в соответствии с Руководством [3] и
их оценок, полученных по схеме 2 (когда отсутствует дос-
^0 99 = 3,
189
таточная информация для их оценки в соответствии с Ру-
ководством), в данном примере равны:
|00=ад^ 100 = 2%,
Л Оо 99 и,ОУО
“^юо = £дамдаз.|00=11%.
ц 0,035
Эти различия вызваны разными алгоритмами опреде-
ления коэффициента охвата при вычислении расширен-
ной неопределенности и коэффициента при суммирова-
нии систематической и случайной составляющих сум-
марной погрешности.
5.4 Контрольные вопросы и задания
I. Какие два подхода сложились в современной метро-
логии к оценке точности измерений?
2. В чем состоят аргументы сторонников понятия «нео-
пределенность измерения»?
? 3. Приведите аргументы сторонников понятия «погреш-
ность измерения»?
4. Какое значение имеют рекомендации, разработан-
ные ВНИИМ?
5. В чем принципиальное отличие между делением на
погрешностей случайные и систематические и делением
неопределенностей по типу А и В?
6. Запишите выражение для среднего квадратического
отклонения случайной погрешности и выражение для стан-
дартной неопределенности типа А.
7. Какой вид имеют выражение для неисключенной
систематической погрешности внутри доверительного ин-
тервала и выражение для стандартной неопределенности
типа В?
8. Запишите выражение для доверительных границ слу-
чайной погрешности и объясните назначение входящих в
нее величин.
9. Какой вид имеют выражения для доверительных гра-
ниц суммарной погрешности, доверительного коэффици-
ента и эффективного числа степеней свободы?
10. Какой вид имеют выражения для расширенной нео-
пределенности, коэффициента охвата и эффективного
числа степеней свободы?
11. В чем состоит особенность определения СКО сум
марной погрешности для различных соотношений между
СКО случайной погрешности и границ НОСП?
12. В чем состоит различие двух подходов в трактовке
неопределенности и характеристик погрешности?
13. Чем вызваны количественные различия между до-
верительным интервалом и расширенной неопределенно-
стью?
14. Опишите порядок пересчета характеристик погреш-
ности в характеристики неопределенности.
15. Опишите порядок пересчета характеристик неопре-
деленности в характеристики погрешности.
Приложение А
Законы распределения случайных величин
Равновероятное распределение (рис. А.1, а).
Плотность распределения
11
О,
X е [р - >/ЗаЛ; ц + у[3схJ;
Ле [р-л/Зад,; р+л/Зод.].
Интегральная функция распределения
*'(Х) = j p(u)du =
О,
Y-p + л/Зо,
2&х
X <р-ч/3стх;
, р+л/Зод];
Х>р+^/ЗоЛ.
Параметры р = - о, = а" = е ~ %
2 v!2
= 7з/<
Треугольное распределение (Симпсона) (рис. АЛ, б).
Плотность распределения
/(*) =
X -Ц+ л/бОд-
бОд
р 4- - X
о,
Хе ^р-л/бОд.; pj;
Je[p; р + ^о^];
X •£. £р - ; p+VtxijJ.
'« = Е[(х-м)’] — асимметрия; £ = e£(*-(i)*J-3—
эксцесс.
192
a — равновероятный; б — треугольный (Симпсона);
в — нормальный ( Гаусса ); г — двойной экспоненциальный
(Лапласа); д — арксинуса;
Рис. А.1 — Законы распределения
193
Интегральная функция распределения
(Х-ц +7бох)2
12<? ’
(V-p /во,)2
12°х
О,
1,
X е |у- 7бох; ц];
X е |\г, ц + '/бох];
X <ц->/бах;
X >ц + -7бах.
Параметры
= ^=^; <х = 0;е = -0.6;
V24
tp =y/6(i-y!i~p).
Нормальный закон (Гаусса) (рис. АЛ, в).
Плотность распределения
(г-н)2
2о1
Интегральная функция распределения
F(X) =
1
у/2т1С5х
Х _
je 2о*2 du.
Параметры ос = 0; е = 0: tp = -Ф 1 (Р/2).
Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа)
(рис. АЛ, г).
194
Плотность распределения
I 1*-н
/(Л)-пг Л-
Интегральная функция распределения
2
F(X) =
Л' <р;
2
Х>ц.
Параметры
а, =л/2Х,а = 0;е = 3;<, =—J=ta(I Р)
V2
Распределение по закону арксинуса (рис. А.1, д).
Плотность распределения
/(Л) = “(А'-р)2
О,
Д];
Интегральная функция распределения
О,
I I . Х-и
- 4 - arcsin —
2 п о Л
>/2sin®.
Параметры а = 0; е = -1,5: tP =
Приложение Б
Статистические таблицы
Таблица Б.1
Коэффициент распределения Стьюдента для числа
степеней свободы v
V Уровень доверия р
0,6827 0,9 0,95 0,9545 0,99 0,9973 0,999
1 2 3 4 5 б 7 8
1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,68 235,8 636,62
2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,93 19,21 31,60
3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 12,92
4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,22 8,61
5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,06 5,51 6,87
6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 5,96
7 1,08 1,90 2,37 2,43 3,50 4,53 5,41
8 1,07 1.86 2,31 2,37 3,36 4,28 5,04
9 1,06 1,83 2,26 2,32 3.25 4,09 4,78
10 1.05 1,81 2,23 2,28' 3,17 3,96 4.59
11 1,05 1,80 2,20 2.25 3,11 3,85 4,44
12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,06 3,76 4,32
13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69 4.22
14 1,04 1,76 2.15 2,20 2,98 3,64 4.14
15 1,03 1.75 2,13 2,18 2,95 3,59 4,07
16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 4,02
17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 3,97
18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 3,92
19 1,03 1.73 2,09 2,14 2,86 3,45 3.88
196
Продолжение табл Б. 1
1 2 3 4 5 6 7 8
20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 3,85
25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 3,72
30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 3,65
35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23 3,61
40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20 3,55
45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18 3,51
50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16 3,48
100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 3.31
1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 3,29
Таблица Б. 2
Значения (1—р) — процентных точек распределения
Фишера
К1 Р К\
4 9 14 19 24 29 39 49 99 сх>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 0,9 4,11 3,94 3,88 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,76
0,95 6,39 6,00 5,87 5,81 5,77 5,75 5,72 5,70 5,66 5,63
0,99 16,0 14.7 14,2 14,0 13,9 13,9 13,8 13,7 13,6 13,5
9 0,9 2,69 2,44 2,35 2,31 2,28 2,26 2,23 2,22 2,19 2,16
0,95 4,26 3,18 3,02 2,95 2,90 2,87 2,83 2,80 2,76 2,71
0,99 8,02 5,35 5,00 4,84 4,73 4,66 4,57 4,52 4,42 4,31
14 0,9 2,39 2,12 2,02 1,97 1,94 1,92 1,89 1,87 1,83 1,80
0,95 з,п 2,65 2,48 2,40 2,35 2,31 2,27 2,24 2.19 2,13
0,99 5,56 4,03 3,70 3,54 3,43 3,36 3,27 3,22 з,н 3,00
197
Продолжение табл. Б. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
19 0,9 2,27 1,98 1,88 1,82 1,79 1,76 1,73 1,71 1,67 1,63
0,95 2,90 2,42 2,26 2,17 2,Н 2,08 2,03 2,00 1,94 1,88
0,99 4,50 3,53 3,19 3,03 2,93 2,86 2,77 2,71 2,60 2,49
24 0,9 2,19 1,91 1,80 1,74 1,70 1,68 1,64 1,62 1,58 1,53
0,95 2,78 2,30 2,13 2,05 1,98 1,95 1,90 1,86 1,80 1,73
0,99 4,22 3,26 2,93 2,77 2,66 2,59 2,50 2,44 2,33 2,21
29 0,9 2,15 1,86 1,75 1,69 1,65 1,62 1,59 1.56 1,52 1,47
0,95 2,70 2,22 2,05 1,96 1,90 1,86 1,81 1,78 1,71 1,64
0,99 4,04 3,09 2,77 2,60 2,49 2,43 2,33 2,28 2,16 2,03
39 0,9 2,10 1,79 1,68 1,62 1,58 1,55 1,52 1,49 1,44 1,39
0,95 2,61 2,13 1,95 1,86 1,79 1,76 1,70 1,67 1,60 1,52
0,99 3,83 2,89 2,57 2,41 2,29 2,22 2,14 2,08 1,95 1,82
49 0.9 2,09 1,74 1,68 1,58 1,52 1,49 1,46 1,45 1,40 1,34
0,95 2,56 2,07 1,90 1,78 1,74 1,66 1,64 1,61 1,54 1,40
0,99 3,73 2,79 2,47 2,28 2,19 2,11 2,02 1,96 1,85 1,62
99 0,9 2,00 1,70 1,58 1,51 1,47 1,44 1.39 1,37 1,30 1,22
0,95 2,46 1,97 1,79 1,60 1,63 1,59 1,50 1,49 1,39 1,28
0,99 3,51 2,59 2,26 2,10 1,98 1,93 1,80 1,74 1,59 1,43
оо 0,9 1,94 1,63 1.51 1,43 1,38 1,35 1,30 1,26 1,18 1,00
0,95 2,37 1,88 1,69 1,59 1,52 1,47 1,40 1,35 1,24 1,00
0,99 3,32 2,41 2,07 1,91 1,79 1,72 1,60 1,53 1,36 1,00
198
Таблица Б.З
Функция Лапласа Ф (z) = Iе П &
Z Ф(г) Z <И-4 Z Ф(г) Z Ф(г)
1 2 3 4 5 6 7 8
0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641
0,02 0,0080 0,62 0,2324 1,22 0,3888 1,82 0,4656
0,04 0,0160 0,64 0,2389 1,24 0,3925 1,84 0,4671
0,06 0,0239 0,66 0,2454 1.26 0,3962 1,86 0,4686
0,08 0,0319 0,68 0,2517 1,28 0,3997 1,88 0,4699
0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713
0,12 0,0478 0,72 0,2642 1.32 0,4066 1,92 0,4726
0,14 0,0557 0,74 0,2703 1,34 0,4099 1,94 0,4738
0,16 0,0636 0,76 0,2764 1,36 0,4131 1,96 0,4750
0,18 0,0714 0,78 0,2823 1.38 0.4162 1,98 0,4761
0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772
0,22 0,0871 0,82 0,2939 1,42 0,4222 2,05 0,4798
0,24 0,0948 0,84 0,2995 1,44 0,4251 2,10 0,4821
0,26 0,1026 0,86 0,3051 1,46 0,4279 2,15 0,4842
0,28 0,1103 0,88 0,3106 1.48 0,4306 2,20 0,4860
0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,25 0,4877
0,32 0,1255 0,92 0,3212 ! 1,52 0,4357 2,30 0,4892
199
Продолжение табл Б.З
1 2 3 4 : 5 6 7 8
0,34 0,1331 0,94 0,3264 1,54 0,4382 2,35 0,4906
0,36 0,1406 0,96 0,3315 1,56 0,4406 2,40 0,4918
0,38 0,1480 0,98 0,3365 1,58 0,4429 2.45 0,4928
0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,50 0,4938
0,42 0,1628 1,02 0,3461 1,62 0,4474 2,60 0,4953
0,44 0,1700 1,04 0,3508 1,64 0,4495 2,70 0,4965
0,46 0.1772 1,06 0,3554 1,66 0,4515 2,80 0,4974
0,48 0,1844 1,08 0,3599 1,68 0,4535 2,90 0,4981
0,50 0.1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 3,00 0,4986
0,52 0,1985 1,12 0.3686 1,72 0,4573 3,20 0.4993
0.54 0,2054 1,14 0,3729 1,74 0,4591 3,40 0,4996
0,56 0,2123 1,16 0,3770 1,76 0,4608 3,60 0,4998
0,58 0,2190 1,18 0,3810 1,78 0,4625 3.80 0,4999
Приложение В
Варианты контрольных заданий
Задание 1
«Обработка результатов косвенных измерений»
Определите результат косвенных измерений величи-
ны Г, ее суммарную стандартную неопределенность типа
А и расширенную неопределенность с заданным уровнем
доверия для заданного в табл. B.I уравнения измерения
У = /(.¥,, Z,) и приведенных в табл. В. 2 результатов
многократных измерений входных величин и Хг с уче-
том корреляции между ними.
Таблица В. I
Варианты заданий
№ Уравнение измерения № Уравнение измерения
1 2 3 4
1 У = 26 Y = 5-Ю01У|^
2 r=O,2jr?V"- 27 ¥ = 1п(2 Л, -Xjj
3 У =0,2A'1ln4Jf2 28 ¥= tJXjT
4 y-Jxi + 'х; 29 Y lO-lO"™'-''
5 ¥ =0,1 ехрСО.ОКЛ, + Л2)) 30 У = U.IJT, InA?
6 Y = 21пЗ (Л, +Л,) 31
7 у = *, / X, 32 r= 0,2Л, +0.17*7
8 ¥ = 10ехр(0,0001Х|Х2) 33 ¥ = 5(Jf. +
201
Продолжение табл. В. 1
1 2 1 3 4
9 У=51п2АГ,/Л2 I 34 У =0,25АГ, ехр(0,05 Д',)
.10 ¥ = Х2Х2 /(Х,+Х2) 35 У =0.5 АГ. 1п2АГг
11 У = 1,5 ехр(3 АГ, / АГ,) 36
12 У = 101пАГ,АГ? 37 У = 100 ехр[-0,02 (АГ,+ДГ2) ]
13 Г- fix, tiX, 38 У = 51п5 (АГ, + АГ2)
14 г .0,1 39 Г = (Л-,/х,)=
15 У = 0,01 Д',21п2 АГ, 40 У = 250 ехр (-0,0004 АГ, АГ2)
16 У= 0,01 (АГ, + Х,)1 41 У = 10 In (15 АГ, /АГ2)
17 Y =0.1 Л.10"1*' 42 У= Ю^АГ, + АГ2
18 У = 2 Inf 200/( АГ, + АГ, И 43 У = 10 ехр(-2АГ, /АГ2)
19 г = ю /+ х, 44 У= 31п(0,5АГ, /АГ2)
20 У .0,5 10 45 У =1п(АГ2/2)
21 У- 1п(2 АГ, + ЗАГ,) 46 Г = 5Ло / +Л-,
22 /=(-¥, +Х) (Л, -X,) 47 Г = 2 Z,10"o<"-ri
23 Y ~ 2 •**) 48 У = 1п(5.16А; +6,12 ATj)
24 Г /л , In Л', 49 У = 125 ю ~o,o“s х'Х1
25 г = 1 / i]x, + х, 50 Y.2fi^ln2X,
202
Таблица B.l
Результаты многократных измерений
Вариант 1 Рд= 0,9 Вариант 2 Рд= 0,95 Вариант 3 Рд= 0,99
*, Л, %, Л X,
Ь, 166 6,229 13,781 13,688 40.709 41,856
6,156 6,213 13,654 13,504 40,599 41,586
6,139 6,187 13,457 13,234 40.428 41,206
6,118 6,156 13,208 12,903 40,212 40.753
6,095 6,120 12,932 12,544 39,973 40,272
6,072 6,085 12,656 12,191 39,733 39,810
6,052 6,053 12,407 11,881 39.517 39,412
6,035 6,028 12,210 11,642 39,345 39,117
6,025 6,011 12,083 11,498 39.235 38,953
6,021 6,006 12,039 11,464 39,197 38,937
6,025 6,011 12,082 11,542 39,234 39.071
6,035 6,027 12,208 11,725 39.344 39.340
6,052 6,053 12,405 11,995 39,515 39,720
6,072 6,085 12,654 12,326 39,731 40.172
6.095 6,120 12,929 12,685 39,970 40,653
6,118 6,155 13,205 13,037 40,210 41,115
6,139 6,187 13,454 13,348 40,426 41,514
6,155 6,212 13,652 13,587 40,598 41,810
6,166 6,229 13.780 13,732 40,708 41,974
6,170 6,235 13,824 13,767 40,747 41,991
203
Вариант 4 Рд= 0,9 Вариант 5 Рд=0,95 Вариант 6 Рд= 0,99
Xt X, л; л; а; л
19,996 19,908 51,132 51,201 16,418 16,270
19,932 19,805 51,121 51,174 16,330 16,059
19,832 19,667 51,104 51,139 16,191 15,794
19,706 19,507 51,083 51,100 16.018 15,499
19,567 19,340 51,059 51,059 15.825 15.205
19,427 19.182 51,035 51,022 15,632 14,939
19,301 19,050 51,013 51,992 15,458 14,728
19,201 18,956 50,996 50,971 15,319 14,592
19,137 18,909 50,985 50,962 15,231 14,545
19,114 18.914 50,982 50,966 15.200 14,591
19,136 18,970 50,985 50,982 15,230 14,726
19,200 19,072 51,996 51,009 15,318 14,937
19,300 19,211 51,013 51,044 15,456 15,202
19,426 19,371 51,035 51,083 15,630 15,496
19,565 19,538 51,059 51,123 15,823 15,791
19,705 19,696 51,082 51.161 16,016 16,057
19,831 19,828 51,104 51,191 16,190 16,268
19,931 19,922 51,121 51,212 16,328 16,405
19,996 19,970 51,132 51.221 16,418 16,425
20,018 19,965 51,136 51,217 16,449 16,406
204
Вариант 7 Рд=0,9 Вариант 8 Рд=0,95 Вариант 9 Рл=0.99
Xt х. АГ, X, АГ,
78,114 78,618 81.290 81,115 54.781 55,661
77,988 78,298 81,222 80,961 54,661 55,228
77,792 77,906 81.115 80.777 54.475 54,725
77,544 77,480 80,980 80,582 54,240 54,202
77,270 77,063 80,831 80,394 53.979 53,709
76,995 76,695 80,682 80,233 53,719 53,295
76,748 76,412 80,547 80,113 53,483 53,000
76,551 76,242 80,440 80.047 53,297 52,853
76.425 76,201 80,372 80,040 52,177 52,869
76,381 76,293 80,348 80,094 53.135 53,045
76,424 76,510 80,371 80,204 53.176 53,365
76,549 76,830 80,439 80,358 53,295 53.798
76,745 77,222 80,546 80.541 53,481 54,300
76,993 77,647 80.681 80,736 53,716 54,824
77,267 78,065 80,830 80,924 53,977 55,317
77,541 78,433 80,979 81,086 54,237 55,732
77,789 78,716 81,114 81,206 54,473 56,027
77,986 78,887 81,221 81,272 54,660 56,175
78,113 78,929 81,290 81,279 54.780 56,160
78,157 78,837 81.314 81.225 54,822 55,984
Вариант 10 Рд=0,9 Вариант 11 Р/(=0,95 Вариант 12 Рл=0,99
Xt X, Л, X, Л,
6,427 6,319 29,733 30,057 96,260 96,147
6,395 6,247 29,633 29,728 96,236 96,071
6,345 6,166 29,477 29,363 96,197 95,988
6,282 6,083 29,282 28,998 96,149 95,907
6,213 6,006 29,064 28,669 96,095 95,835
6,143 5,944 28,847 28,407 96,041 95,781
6,080 5,901 28,651 28,239 95,993 95,747
6,030 5,883 28,495 28,180 95,954 95,740
5,998 5,891 28,395 28,238 95,930 95,758
5,987 5,924 28,360 28,405 95,921 95,800
5,998 5,979 28,394 28,666 95,930 95,862
6,030 6,050 28,494 28,994 95,954 95,938
6,080 6,132 28,649 29,359 95,992 96,020
6,142 6,215 28,845 29,724 96,041 96,101
6,212 6,291 29,062 30,054 96,095 96,173
6,282 6,354 29,279 30,316 96,148 96,228
6,344 6,397 29,476 30,485 96,197 96,261
6,394 6,415 29,632 30,544 96,235 96,269
6,427 6,408 29,732 30,487 96,260 96,251
6,438 6,375 29.767 30,320 96,269 96,209
206
Вариант 13 Рд-0,9 Вариант 14 Рд =0,95 Вариант 15 Рд=0,99
X, ъ Л, л; X,
63,235 63,279 67,842 67,257 29,125 29,458
63,185 63,119 67,732 66,956 29,012 28,973
63,107 62,950 67,560 66,642 28,835 28,478
63,009 62,787 67,344 66,347 28,612 28,022
62,900 62,647 67,105 66,099 28,364 27,649
62.791 62,543 66,865 65,923 28,117 27,395
62,693 62,485 66,649 65,835 27,894 27,286
62,615 62,480 66,477 65,844 27,717 27,332
62,565 62,527 66,367 65,950 27,603 27,529
62,548 62,622 66,328 66,142 27,563 27,857
62,565 62,755 66,366 66,401 27,602 28,284
62,615 62,915 66,476 66,701 27,715 28,768
62,692 62,084 66,647 67,015 27,892 29,263
62,790 63,247 66,863 67,310 28,115 29,720
62,899 63,387 67,102 67,558 28,362 30,093
62,008 63,492 67,342 67,735 28,609 30,347
62,106 63,550 67,558 67,823 28,833 30,457
62,185 63,555 67,731 67,814 29,010 30,412
60,194 60,975 87,377 87,593 52,492 53.089
62,252 63,414 67,880 67,518 29,164 29,889
207
Вариант 16 Рд=0,9 Вариант 17 Рд=0,95 Вариант 18 Рд=0,99
Xl X2 Xt X, Xt Х2
48,741 48,413 11,005 10,985 81,845 81,424
48,855 48,197 10,979 10,889 81,795 81,254
48,721 47,976 10,938 10,795 81,716 81,091
48,553 47,777 10,887 10,713 81,617 80,951
48,367 47,619 10,831 10,649 81,507 80,846
48,180 47,517 10,774 10,611 81,398 80,789
48,012 47,482 10,723 10,602 81,298 80,783
47,878 47,517 10,683 10,622 81,220 80,830
47,792 47,618 10,657 10,671 81,169 80,925
47,762 47,775 10,648 10,743 81,152 81,059
47,792 47,974 10,657 10,831 81,169 81,219
47,877 48,195 10,683 10,927 81,219 81,389
48,010 48,416 10,723 11,021 81,298 81,552
48,178 48,615 10,774 11,104 81,397 81,692
48,365 48,773 10,830 11,167 81,506 81,797
48,551 48,875 10,887 11,206 81,616 81,855
48,720 48,911 10,938 11,215 81,715 81,861
48,854 48,877 10,978 11,194 81,794 81,814
48,940 48,776 11,005 11,146 81,845 81,719
48,970 48,619 11,014 11,074 81,863 81,585
208
Вариант 19 Р,=0,9 Вариант 20 Рл=0,95 Вариант 21 Рл=0,99
%, Xt Хг
8,900 8,577 21,465 20,420 31,649 31,361
8,792 8,212 21,343 20,077 31,519 30,800
8,624 7,868 21,155 19,761 31,317 30,293
8,412 7,579 20,917 19,502 31,062 29,891
8,178 7,373 20,653 19,326 30,779 29,632
7,943 7,271 20,390 19,250 30,496 29,542
7,731 7,282 20,152 19,282 30,241 29,630
7,563 7,405 19,963 19,418 30,038 29,887
7,455 7,628 19,842 19,646 29,908 30,288
7,417 7,930 19,799 19,942 29,863 30,794
7,454 8,281 19,841 20,279 29,907 31,355
7,562 8.646 19,961 20,622 30,037 31,917
7,729 8,990 20,150 20,939 30,239 32,424
7,941 9,280 20,387 21,198 30,494 32,827
8,175 9,486 20,651 21,374 30,776 33,086
8,410 9,589 20,914 21,451 31,059 33,177
8,622 9,578 21,153 21,419 31.315 33,090
8,790 9,456 21,342 21,283 31,518 32,833
8,899 9,233 21,464 21,056 31,648 32,433
8,937 8,931 21,506 20,760 31,694 31,928
209
Вариант 22 Рд=0,9 Вариант 23 />=0,95 Вариант 24 Р.-0.99
х, *1 Л, хг Хг
32,472 32,412 1,664 1,546 95,965 95,960
32,466 32,397 1,641 1,465 95,964 95,959
32,456 32,383 1,606 1,395 95,964 95,958
32,443 32,372 1,561 1,343 95,963 95,957
32,429 32,365 1,511 1,314 95,962 95,957
32,415 32,363 1,462 1,311 95,961 95,957
32,403 32,367 1,417 1,335 95,961 95,957
32,393 32,375 1,381 1,382 95,960 95,958
32,386 32,388 1,358 1,449 95,960 95,959
32,384 32,403 1,350 1,528 95,960 95,960
32,386 32,420 1,358 1,613 95,960 95,962
32,393 32,436 1,381 1,694 95,960 95,963
32,403 32,450 1.416 1,764 95,961 95,964
32,415 32,461 1,461 1,816 95,961 95.965
32,429 32,468 1,511 1,845 95,962 95,965
32,443 32,470 1,561 1,848 95,963 95,965
32,456 32,466 1,605 1,824 95,964 95,964
32,466 32,458 1,641 1,777 95,964 95,964
32,472 32,445 1,664 1,710 95,965 95,963
32,474 32,430 1,672 1,631 95.965 95,961
210
Вариант 25 Рд= 0,9 Вариант 26 Рд -0.95 Вариант 27 Рл=0,99
X. X. Хг xi л
55,875 55,745 3,757 2,183 41,930 41,319
55,857 55,687 3,626 1,850 41,847 41,007
55,828 55,640 3,422 1,586 41,718 40,767
55,792 55,608 3,164 1,416 41,555 40,622
55,751 55,594 2,879 1,357 41,375 40,588
55,711 55,600 2,593 1,415 41,184 40,666
55,675 55,625 2,336 1,583 41,031 40,850
55,646 55,666 2,131 1,847 40,902 41,122
55,627 55,720 2,000 2,179 40,819 41,454
55,621 55,782 1,954 2,548 40,790 41,815
55,627 55,844 1,999 2,917 40,818 42,169
55,646 55,902 2,129 3,250 40,901 42,482
55,674 55,949 2,333 3,514 41,030 42,722
55,711 55,981 2,591 3,685 41,193 42,867
55,751 55,995 2,876 3,744 41,373 42,902
55,791 55,989 3,161 3,687 41,553 42,825
55,828 55,964 3,419 3,519 41,716 42,641
55,856 55,923 3,624 3,256 41,846 42,370
55,875 55,869 3,756 2,924 41,929 42,038
55,882 55,808 3,802 2,555 41,959 41,677
211
Вариант 28 Р/=0,9 Вариант 29 Р^=0.95 Вариант 30 Р =0,9Ч
X, л А
57.428 57,199 19,144 18,600 75,931 75,764
57,409 57,159 19,086 18,431 75,921 75,738
57,380 57,129 18,996 18,311 75,904 75,720
57,343 57,113 18,883 18,251 75,884 75,713
57,303 57,111 18,757 18,257 75,862 75,716
57,262 57,125 18,631 18,329 75,839 75,730
57,225 57,152 18,516 18,460 75,819 75,753
57,196 57,190 18,427 18,637 75,803 75,783
57,177 57,236 18,369 18,842 75,792 75,816
57,171 57,285 18,349 19,056 75,789 75,831
57,177 57,331 18,369 19,257 75,792 75,883
57,197 57,372 18,427 19,427 75,803 75,909
57,225 57,402 18,516 19,548 75,819 75,927
57,262 57,418 18,630 19,608 75,839 75,935
57,302 57,420 18,756 19,602 75,861 75,931
57,343 57,407 18,881 19,530 75,884 75,918
57,380 57,379 18,995 19,399 75,904 75,895
57,409 57,341 19,038 19,223 75,920 75,865
57,428 57,295 19,144 19,018 75,931 75,831
57,434 57,247 19,164 18,804 75,934 75,796
212
Вариант 31 /д=0,9 Вариант 32 Рл=0,95 Вариант 33 РЛ=О,99
х, X, л х. х,
61,354 60,427 87,986 87,304 53,113 52,567
61,267 60,219 87,941 87,219 53,067 52,442
61,133 60,085 87,870 87,167 52,995 52,373
60,963 60,039 87,781 87,155 52,904 52,367 ,
60,775 60.085 87,682 87,183 52,803 52,423
60,586 60,217 87,585 87,248 52,702 52,536
60,416 60,424 87,493 87,345 52,611 52,696
60,281 60,685 87,422 87,46 52,539 52,887
60,194 60,975 87,377 87,593 52,492 53,089
60,164 61,265 87,361 87.719 52,476 53,284
60,194 61,526 87,377 87,831 52,492 53,452
60,280 61,734 87,422 87,917 52,538 53,577
60,415 61,868 87,493 87,968 52,610 53,646
60,584 61,915 87,582 87,981 52,701 53,653
60,773 61,870 87,681 87,953 52,802 53,597
60,961 61,738 87,780 87,888 52,903 53,484
61,131 61,531 87,869 87,791 52,994 53,324
61,266 61,270 87,940 87,672 53,066 53,134
61,353 60,981 87,987 87,544 53,113 52,931
61,384 60,691 87,002 87,417 53,129 52,736
213
Вариант 34 Рд=0,9 Вариант 35 Py=0,95 Вариант 36 РД=О,99
Л Л X, X, Xt Xt
34,931 33,735 93,496 92,008 70,724 68,968
34,850 33,616 93,380 91,789 70,632 68,827
34,724 33,556 93,199 91,694 70.488 68,778
34,565 33,563 92,871 91,734 70,307 68,826
34,388 33,634 92,719 91,904 70,107 68,966
34,212 33,763 92,466 92,187 69.907 69,185
34,052 33,938 92,238 92,557 69,726 69,460
33,926 34,141 92,057 92,975 69,582 69,766
33,844 34,352 91,941 93,403 69,490 70,072
33,816 34,551 91,900 93,798 69,458 70,349
33,844 34,719 91,940 94,121 69,489 70,568
33,925 34,838 92,056 94,340 69,370 70,710
34,0,51 34,898 92,236 94,435 69,724 70,759
34,210 34,892 92,464 94,396 69,905 70,712
34,386 34,821 92,716 94,227 70,105 70,572
34,563 34,692 92,969 93,944 70,306 70,354
34,722 34,517 93,197 93,575 70,487 70,078
34,849 34,314 93,378 93,157 70,630 69,772
34,931 34,103 93,495 92,729 70,723 69,466
34,959 34,904 93,536 92.334 70,755 69,190
214
Вариант 37 /^=0,9 Вариант 38 РЛ=0,95 Вариант 39 РЛ=0,99
*; л. Xt
91.342 90,445 61,940 60,721 70,964 69,300
91,276 90,355 61,869 60,653 70,852 69,163
91,172 90,334 61,758 60,646 70,678 69,178
91,042 90,383 61,619 60,702 61,218 69,343
90,897 90,497 61,464 60,815 70,215 69,642
90,753 90,666 61,310 60,974 69,972 70,046
90,622 90,872 61,171 61,164 69,752 70,515
90,518 91,096 61,060 61,366 69.578 71,004
90,452 91,316 60.898 61,560 69,465 71.465
90,429 91,510 60,964 61,728 69,426 71,852
90,451 91,660 60,988 61,852 69,465 72,128
90,517 91,750 61,059 61,921 69,576 72,266
90,621 91,772 61,169 61,928 69,750 72,252
90,751 91,723 61,308 61,872 69,069 72,088
90,896 91,609 61,463 61,759 70,213 71,790
91,040 91,441 61,617 61,600 70,456 71,386
91,171 91,235 61,757 61,410 70,676 70,917
91,275 91,010 61,868 61,208 70,851 70,428
91,342 90,790 61.939 61,014 70,963 69,967
91,365 90,596 61,964 60,847 71,003 69,579
215
Вариант 40 Рд=0,9 Вариант 41 Рд=0,95 Вариант 42 Рл=0,99
xi X, X, Хх
87,774 87.314 66,439 65,564 40,991 38,222
87,746 87,298 66,381 65,530 40,858 38,180
87,702 87,304 66,290 65,563 40,650 38,277
87,647 87,333 66,175 65,661 40,389 38,504
87,586 87,381 66,048 65,814 40,099 38,839
87,525 87,444 65,920 66,007 39,809 39,250
87,470 87,515 65,805 66,220 39,548 39,696
87,427 87,588 65,714 66,434 39,340 40,133
87,398 87,655 65,655 66,628 39,206 40,520
87,389 87,710 65,635 66,781 39,160 40,817
87,398 87,747 65,655 66,880 39,206 40,996
87,426 87,763 65,713 66,915 39,338 41,040
.87,470 87,757 65,804 66,881 39,545 40,943
87,525 87,728 65,919 66,784 39,807 40,717
87,586 87,680 66,046 66,631 40,096 40,382
87,646 87,617 66,174 66,439 40,386 39,971
87,702 87,546 66,289 66,225 40,648 39,525
87,745 87,473 66,380 66,011 40,856 39,088
87,773 87,406 66,439 65,817 40,990 38,701
87,783 87,351 66,460 65,664 41,037 38,403
216
Вариант 43 Р/=0,9 Вариант 44 Р,=0,95 Вариант 45 Р<=0,99
Л, Ъ ъ ъ
26,367 26,152 23,171 23,053 11,965 10,267
26,353 26,151 23,164 23,053 11,860 10,310
26,330 26,164 23,154 23,059 11,696 10,491
26,302 26,191 23,142 23,071 11,490 10,794
26,271 26,230 23,127 23,086 11,262 11,188
26,240 26,275 23,113 23,104 11,034 11,635
26,212 26,324 23,101 23,122 10,828 12,092
26,189 26,370 23,090 23,140 10,664 12,513
26,175 26,411 23,084 23,154 10,559 12,858
26,170 26,440 23,082 23,165 10,523 13,093
26,175 26,457 23,084 23,170 10,559 13,194
26,189 26,459 23,090 23,169 10,663 13,152
26,212 26,445 23,100 23,163 10,826 12,972
26,240 26,418 23,113 23,152 11,032 12,670
26,271 26,380 23,127 23,137 11,260 12,276
26,302 26,334 23.141 23,119 11,488 11,829
26,330 26,286 23,154 23,100 11,694 11,372
26,352 26,239 23,164 23,083 11,858 10,950
26,367 26,199 23,171 23,068 11,964 10,605
| 26,372 26,169 23,173 23,058 12,001 10,370
217
Вариант 46 Р5=0.9 Вариант 47 Л/=0.95 Вариант 48 /*=0.99
л X, л Л, ъ
54,218 51,883 94,215 93,474 60,000 59,180
54,081 51,938 94,168 93,512 59,961 59,217
53,868 52,100 94,093 93,602 59,900 59,290
53,598 52,353 93,999 97,734 59,824 59,393
53,300 52,671 93,896 93,896 59,739 59,516
53,001 53,024 93,792 94,072 59,654 59,647
52,731 53.378 93,698 94.245 59,578 59,773
52,517 53,697 93,624 94,397 59,517 59,882
52,380 53,951 93,576 94,514 59,478 59,962
52,332 54,114 93,559 94,585 59,464 60,007
52,379 54,171 93,575 94,602 59,478 60,011
52,516 54,116 93,623 94,564 59,517 59,975
52,729 53,955 93,697 94,474 59,577 59,902
52,998 53,703 93,791 94,342 59,653 59,799
53,297 53,385 93,895 94,181 59,738 59,676
53,595 53,032 93,998 94,005 59,823 59,545
53,865 52,678 94,092 93,832 59,899 59,419
54,079 52,359 94,167 93,680 59,960 59,310
54,218 52,104 94,215 93,562 59,999 59,230
54.266 51.941 94.232 93.491 60.013 59,185
Вариант 49 Рд=0,9 Вариант 50 Рл==0.95 Вариант 51 Рд=0,99
*, Л, У, X. Л, X.
59,575 59,515 84,706 83,004 24,391 23,153
59,571 59,519 84,612 83,110 24,284 23,163
59,564 59,528 84,464 83,288 24,118 23,214
59,557 59,539 84,279 83,519 23,908 23,304
59,548 59,552 84,074 83,781 23,676 23,431
59,539 59,565 83,868 84,049 23,443 23,586
59,531 59,578 83,682 84,296 23,234 23,762
59,525 59,589 83,535 84,498 23,067 23,945
59,521 59,596 83,440 84,636 22,960 24,125
59,520 59,600 83,408 84,695 22,923 24,289
59,521 59,600 83,340 84,671 22,959 24,423
59,525 59,595 83,534 84,565 23,066 24,519
59,531 59,587 83,681 84,388 23,232 24,569
59,539 59,576 83,866 84,157 23,441 24,568
59,548 59,563 84,071 83,895 23.673 24,516
59,557 59,549 84,277 83,627 23,906 24,417
59,564 59,537 84,463 83,380 24,116 24,277
59,571 59,526 84,610 83,177 24,283 24,106
59,575 59,518 84,705 83,039 24,390 23,917
59,576 59,514 84,739 82,979 24,427 23,724
219
Задание 2 «Обработка гнездовых структур» Имеется 5 групп прямых многократных наблюдений величины У по 10 наблюдений в каждой группе. Необхо- димо получить наилучшую оценку результата измерений и оценить ее неопределенность. Вариант 1 />=0,99
У, Г, У, У4 У5
5,308 4,838 5,435 5,933 5,665
4,244 4,138 4,987 4,999 5,520
5,382 4,424 4,946 5,761 4,745
5,414 4,162 5,413 4,212 5,160
5,563 5,029 5,825 4,148 4,887
5,899 4,501 4,947 4,189 5,160
4,437 5,567 5,541 4,949 5,13)
5,141 4,306 5,450 . 4,151 4,735
5,353 3,810 4,976 4,053 4,764
4,943 3,747 5,703 3,917 4,478
Вариант 2
р = 0,95
У, У2 У3 У. У;
10,219 9,093 13,102 10,067 6,278
9,425 9,384 8,893 9,531 9,329
10,779 10,239 4,537 9,039 11,115
10,159 9,846 6,955 8,981 9,658
11,008 9,765 9,577 5,681 8,499
7,493 9,150 10,434 8,720 6,215
10,076 7,114 10,129 9,381 2,535
9,431 7,826 7,661 9,339 7,054
4,593 5,472 5,291 8,160 10,141
10,041 8,825 7,226 12,349 6,178
220
Вариант 3
р=0,95
У, y2 У3 к
10,513 9.019 8,790 12,310 13,236
14,794 11,794 10,900 11,056 14,767
10,601 12,238 12,105 15,987 12,187
9,842 9,300 11,732 13,325 12,879
10,246 8,272 10,776 9,571 11,973
10,713 13,774 9,106 13,472 11,739
12,170 10,364 13,393 13,063 13,129
11,159 10,098 11.711 10,186 12,817
11,133 10,839 14,610 II,636 12,382
13,651 11,795 10,712 12,310 12,893
Вариант 4
р=0.99
У, У2 Y- К У,
3,150 6,491 5,709 5,109 4,399
3,103 5,151 7,880 7,996 6,984
8,285 5,776 5,557 7,151 3,467
8,487 4,726 5,514 3,432 3,431
5,389 5,003 6,642 6,450 7,334
5,311 7,826 6,947 4,586 8,671
8,384 3,418 8,559 5,119 4,355
4,306 7,254 5,674 4,627 4,114
4,659 8,872 3,082 7,720 5,560
5,095 5,364 4,830 5,936 6,128
221
Вариант 5 р = 0,95
У, п У3 У4 У5
8,594 10,069 8,63! 9,259 9,639
8,376 7,197 7,893 8,063 10,431
7,564 7,960 7,752 9,740 8,782
8,410 7,349 8,273 7,020 9,199
8,151 8,817 8,628 7,611 9,032
8,778 9,572 7,123 8,108 12,350
7,477 8,104 8,478 7,949 8,998
8,067 8,903 7,358 7,298 8,276
8,949 9,671 8,035 8,850 10,611
8,971 9,411 9,138 9,395 7,124
Вариант 6 р = 0,99
у, п Уэ к У5
5,273 2,555 8,627 5,415 3.754
1,481 5,495 7,569 1,905 4,522
1,918 7,627 7,896 5,629 4,615
7,679 8,696 4,188 2,578 3,322
5,815 2,763 2,823 5,382 3,139
4,607 2,858 3,529 1,084 8,194
4,095 7,030 7,334 8,010 6,468
5,900 6,401 6,865 8,506 3,680
2,268 8,966 1,106 5,121 4,362
7,010 3,261 5,998 7,097 4,538
222
Вариант 7
р=0,99
я У2 У, Г. У,
3,548 4,757 3,840 2,868 4,371
3,987 4,952 3,215 4,098 5,732
3,653 4,928 3,940 3,650 2,535
3,467 4,575 2,975 5,771 3,598
3,955 4,591 3,930 4,335 4,103
3,797 4,689 4,480 3,898 4,646
3,213 5,333 3,090 5,215 4,204
3,579 5,167 4,102 3,135 5,438
5,537 4,243 3,766 3,654 5,917
5,529 5,156 3,071 3,657 5,146
Вариант 8
р = 0,95
х У2 Г} У5
7,601 4,918 9,985 6,824 6,185
9,292 8,055 6,278 6,250 3,964
7,684 7,692 7,646 9,762 5,788
7,577 7,869 11,056 6,196 7,412
7,375 6,911 7,207 5,007 4,837
4,650 5,755 7,037 10,847 7,064
8,874 7,272 7,094 5,635 10,601
9,220 6,198 4,916 4,199 6,705
6,264 5,010 5,726 9,784 6,822
8,292 5,162 9,330 6,373 10,282
Вариант 9
р=0,99
У, У2 У3 К
3,886 4,434 3,851 3,286 4,005
3,574 3,489 3,434 4,184 4,569
3,825 4,322 3,108 4,850 4,843
3,433 3,707 3,635 5,076 3,950
4,063 4,196 4,056 4,169 3,857
3,833 4,040 3,806 3,483 3,869
4,081 3,518 3,343 4,777 3,585
3,945 3,552 3,761 4,357 3,466
3,891 4,760 3,340 4,460 4,280
3,403 4,593 3,568 3,885 4,727
Вариант 10
р=0,95
У] У2 У, У< У5
2,167 3,190 1,552 4,598 3,787
3,088 3,028 2,323 3,150 2,352
4,246 4,435 3,158 4,407 4,548
2,043 1,046 3,821 3,378 1,365
2,522 4,420 4,447 3,728 4,238
4,340 3,056 4,083 4,753 3,657
1,721 4,656 2,088 4,210 1,198
2,349 2,018 1,246 4,060 2,528
3,204 4,502 1,924 1,819 3,305
4,372 3,486 4,538 4,202 4,754
224
Вариант 11
р=0,99
rt У, Г, Г4 г,
8,120 7,734 7,388 7,849 7,28!
8,043 7,425 7,205 7,539 7,498
8,275 7,234 7,222 7,483 7,333
7,681 7,590 7,127 7,228 7,336
7,795 7,324 7,007 7,397 7,154
7,748 7,451 7,192 7,260 6,884
7,896 7,422 7,075 7,623 7,276
7,759 7,581 7,091 7,805 7,648
8,088 7,249 7,452 7,188 7,660
7,947 7,626 6,972 7,377 6,934
Вариант 12
р=0,95
У, У2 У3 Y. У5
6,004 4,952 6,176 6,806 8,405
6,672 4,963 7,416 8,443 5,258
7,631 3,062 3,631 6,721 6,342
8,206 7,646 5,560 8,404 4,287
7,495 7,285 7,465 3,990 6,813
4,649 10,842 1,681 4,440 6,648
4,718 7,409 4,553 8,154 9,834
6,709 3,091 5,215 6,759 7,797
6,504 5,228 7,312 4,468 5,850
4,147 6,650 9,217 6,956 6,283
225
Вариант 13 р~0,99
< п г, У4 Г,
10,040 7,012 9,434 9,114 8,873
9 178 8,189 8,199 9,543 10,036
К ,032 7,696 10,360 6,527 7,192
10,260 8,030 6,938 9,210 8,743
9,916 7,557 11,092 8,640 9,881
9,733 9,130 8,730 9,074 9,788
10,655 8,582 11,394 7,378 9,212
10,582 8,611 10,042 10,012 8,928
8,995 9,359 9,741 10,786 7,792
8,691 5,962 10,823 8,001 8,458
Вариант 14 р =0,95
YK г. У, Y. У5
11,959 9,383 10,760 5,676 7,089
10,722 18,050 10,724 12,541 9,300
12,003 8,956 7,763 7,123 10,381
13,304 12,871 10,230 18,469 13,471
17,191 11,071 13,913 13,075 17,237
12,357 11,952 12,625 9,230 7,617
8,398 15,010 7,796 17,225 6,865
16,230 9,390 16,290 9,070 15,079
12,414 12,526 12,956 11,530 14,500
11,773 11,000 16.961 14,229 15,046
Ж
Вариант 15
р=0,95
Yt к Г3 К Г,
8,520 7,901 8,246 7,972 9,619
7,322 8,882 8,664 8,746 8,830
8,390 7,775 6,750 8,102 9,400
9,074 7,985 8,187 8,868 7,749
8,700 8,25! 5,719 7,530 8,489
8,519 5,595 7,496 9,522 9,806
9,114 7,781 7,274 8,208 9,247
7,081 8,641 8,624 9,356 9,250
9,414 7,650 7,789 8,184 8,390
8,703 9,450 8,329 8,926 8,075
Вариант 16
р-0 99
Г, y2 У3 Y, rs
12,587 9,316 11,570 9,951 12,635
5,428 9,062 12,440 9,823 12,968
7,913 15,250 9,11! 15,250 8,627
11,037 13,811 12,356 9,656 13,711
10,765 12,995 5,442 4,989 9,483
7,914 9,659 12,064 12,860 9,686
- 18,223 13,129 8,387 5,232 12,807
6,882 7,279 14.071 10,087 11,191
11,611 12,242 8,370 15,120 12,777
10,866 8,930 9.938 10,689 10,543
227
Вариант 17 р = 0,95
г У2 У У4 У5
4,515 4,643 5,569 5,941 5,890
4,201 5,047 4,834 5,696 5,899
4,241 5,869 4,542 5,896 5,634
5,109 5,504 4,840 5,034 5,607
5,674 4,933 4,895 5,507 5,971
5,065 5,968 5,239 5,622 5,393
4,858 4,687 5,605 5,599 5,905
4,921 5,949 4,540 5,425 5,863
5,399 4,973 5,958 5,022 5,216
5,974 4,522 5,064 5,468 5,956
Вариант 18 р=0,99
П Г3 У, У5
8,679 10,187 8,522 7,396 10,265
10,658 8,756 10,593 8,931 6,139
14,374 14,478 9,394 14,523 12,587
4,939 11,047 6,559 7,512 10,105
7,951 7,951 8,094 9,226 5,946
8,699 8,180 8,796 10,303 0,730
12,287 7,170 12,454 10,467 9,619
8,773 4,827 6,397 8,643 6,811
9.789 9,570 5,666 6,292 6,958
3,355 7,807 3,996 9,238 6,295
>28 j
Вариант 19 p=0,95
У, У2 У, У4 Г5
3,968 4,082 3,885 3,991 4,161
3,751 4,001 3,779 3,943 3,782
3,537 4,079 3,296 3,979 3,854
4,404 3,935 3,441 4,102 4,413
3,959 4,108 3,591 4,649 4,233
3,373 4,040 3,574 4,296 4,269
4,638 3,089 3,860 4,670 3,925
4,399 4,829 4,235 4,412 4,037
4,064 4,223 3,557 4,322 3,876
4,544 3,061 3,603 4,155 4.041
Вариант 20 р=0,99
У, г, У3 У4 У
7,758 5,913 6,068 4,404 6,018
3,658 6,056 6,358 6,461 6,930
6,906 5,754 7,069 6,326 4,823
4,831 6,069 4,372 6,920 5.390
6,817 6,448 3,700 6,317 6,604
6,281 6,892 7,038 6,480 5,197
5,922 7,353 5,299 7,017 4,324
6,080 7,427 5,657 5,228 6,032
5.653 5,286 8,153 5,134 4,519
7.203 6,658 6,908 5,811 5.434
229
Вариант 21 р =0,95
Y; Уз Г, У5
6,220 8,104 7,237 6,119 8,054
7,395 7,207 6,646 7,097 6,421
5,618 7,638 7,145 6,106 8,131
8,507 7,901 6,216 5,549 8,996
8,622 7,493 6,265 4,949 7,575
7,499 9,548 6,348 6,103 7,633
6,044 7,917 7,019 6,995 6,564
6,511 6,958 5,937 7,688 5,726
7,212 6,169 7,861 6,465 7,089
7,343 6,677 7,335 6,846 6,497
Вариант 22 р=0,99
п Г, к Yt
7,789 14,938 10,236 11,064 5,200
7,686 6,089 2,713 7,350 12,545
8,321 15,595 11,226 9,555 13,650
10,893 8,938 9,299 11,648 6,919
8,347 9,541 13,609 10,932 9,527
11,256 7,862 9,765 8,171 12,266
13,098 9,363 7,565 8,152 10,157
11,773 15,738 15,879 8,120 8,761
7.973 11.673 9,880 17,988 10,435
8,576 17,166 12,014 11,723 13,140
230
Вариант 23
р=0,99
У, У2 У, У4 У,
4,709 4.106 4,603 3,786 7,355
5,169 4,747 4,033 4,918 5,569
5,551 5,443 3,900 4,479 6,526
4,814 4,345 3,769 5,855 5,215
5,989 5,884 4,845 6,397 4,504
5,945 5,094 5,248 4,718 6,033
5,296 4,739 5,416 4,699 5,422
5,664 4,793 4,787 5,174 6,417
4,797 4,089 4,574 4,735 5,122
5,679 4,668 4,878 5,768 4,395
Вариант 24
р = 0.95
Г, Т У, у, У5
9,928 10,343 14,427 11,354 7,713
12,775 13,941 11,463 12,084 13,392
8,960 10,985 9,897 15,708 8,993
17,194 13,046 9,046 12,538 13,250
7,189 12,687 12,995 11,537 8,890
11,353 16,131 10,405 10,391 9,619
8,346 11,505 14,995 12,920 9,558
17,173 11,087 12,702 6,975 10,095
12,106 13,324 7,010 4,299 7,620
9,504 8,089 16,093 10,081 11,854
231
Вариант 25 /7 = 0,95
у, Г2 Г3 У4 г,
10,919 9,787 8,886 10,138 8,137
9,564 9,812 9,544 10,091 8,472
8,188 10,734 8,170 9,853 8,353
11,139 10,265 10,094 9,825 8,763
8,423 13,901 9,071 11,825 10,107
9,407 11,379 10,252 11,386 9,827
9,153 8,527 10.240 9,418 10,206
9,987 11,070 11,124 10,033 9,076
10,045 10,053 8.035 10,777 10,332
11,372 11.642 10,224 10,939 7,771
Вариант 26 р = 0,99
п F( Г5
8,194 5,881 6,166 5,504 6,096
6,681 7,435 6,240 7,320 7,248
6,999 7,766 6,038 6,451 7,350
6,035 6,269 6,993 7,086 7,812
7,934 5,561 6,950 7,479 7,400
8,827 8,492 5,851 6,795 9,083
6,414 9,231 8,202 5,945 8,478
5,639 8,849 5,881 5,932 6,564
6,773 7,879 6,977 8,510 6,365
6,885 6,703 6,968 7,830 7,309
>32
Вариант 27 р = 0,95
Г, п У} У4 У5
7,655 8,917 8,376 8,471 8,888
8,163 6,787 6,975 7,575 8,437
6,997 9,065 7,549 7,492 10,041
6,725 9,129 7,023 8,427 8,827
7,184 9,426 8.757 9,250 7,311
8,014 10,099 7,702 7,493 8,570
7,397 7,175 9,833 8,683 8,553
6,712 8,581 7,312 8,499 8,357
7,937 9,006 6,321 7,553 8,613
6.028 8,185 6,194 9,007 8,532
Вариант 28 р = 0,99
г, У2 У3 Г4 п
15,865 9,607 17,979 16,616 13,975
11,203 10,471 10,174 16,895 • 13,554
7,782 12,984 13,130 15,115 9,582
11,868 10,613 9,509 14,063 14,916
16.675 11,569 11,179 16,250 11,683
9,508 9,700 17,129 9,730 17,799
13,201 12,417 10,612 9,609 13,624
5,486 10,944 7,684 11,494 7,952
14,369 13,172 15,009 11,402 9,173
8.746 4,830 10,415 13,000 14,900
233
Вариант 29
р=0,95
Г2 У3 к,
6,329 5,713 5,958 6,038 5,591
4,898 6,782 6,315 6,325 5,443
7,767 5,467 6,525 6,244 6,368
5,687 5,586 5,482 6,679 4,980
5,581 7,007 5,740 5,848 5,501
4,957 7,331 5,246 6,147 4,356
6,421 5,959 6,171 6,697 6,148
6,526 6,078 5,794 5,821 5,872
6,834 6,256 6,275 6,248 4,786
6,302 6,815 4,980 6,699 5,031
Вариант 30
/7 = 0,95
Г, Г2 у, п И5
7,350 6,263 9,862 8,809 8,114
11,200 9,870 6,073 10,523 8,134
11,559 7,665 7,718 11,089 7,839
10,233 9,707 7,536 10,272 7,035
6,923 9,719 9,519 9,268 7,772
9,904 9,076 7,162 6,118 11,397
13,328 9,162 9,175 9,125 7,731
8,073 9,686 10,767 9,989 5,897
10,232 8,870 7,053 7,810 5,831
11,345 11,641 11,230 10,447 9,040
234 '
Вариант 31
p = 0,99
У, y2 r3 у. У>
10,795 11,763 12,264 12,356 12,108
11,405 12,036 13,530 9,678 12,162
10,960 11,867 11,524 8,902 13,157
11,810 10,586 13,959 12,109 11,949
11,990 13,208 11,200 10,987 11,493
11,580 12,730 14,051 10,276 13,994
13,284 11,654 12,974 12,428 12,017
12,515 10,462 11,572 10,587 10,890
10,785 11,932 12,303 11,284 12,874
11,019 13,361 12,014 10,253 12,605 '
Вариант 32
p = 0,95
У, r2 Y} к rs
12,163 15,043 13,829 17,888 20,344
9,263 20,606 14,314 8,103 14,304
10,207 14,834 17,079 19,074 12,648
9,933 15,271 12,578 13,446 15,759
19,094 17,396 19,512 6,021 16,048
7,813 19,120 13,936 13,534 15,090
20,375 17,372 22,204 15.075 16,745
15,496 9,897 15,049 17,050 16,830
12,802 16,309 6,632 12,970 15,922
12,011 15,317 14,119 15,895 15,016
235
Вариант 33 р=О,99
Г, г2 Г, Г, г5
7,572 7,762 6,109 7,265 6,704
7,207 7,655 6,003 7,713 7,731
7,156 6,276 6,088 7,364 6,598
6,695 6,648 6,214 6,683 7.719
7,281 8,191 6,372 7,260 6.963
7,352 7,010 6,517 7,017 7,022
6,884 8,108 6,813 7,502 6.419
7,581 7,684 5,703 6,385 6,463
6,864 6,896 6,659 6,480 6,965
6,252 7,401 6,321 6,884 6,177
Вариант 34 р=0,95
Г, Г, У3 к У,
5,508 4,541 4,075 4,087 4,512
4,291 4,127 3.366 4,338 3,305
4,033 4,086 4.322 4,088 4,502
4,545 3,901 5,096 4,349 5,031
3,895 3,444 3,835 4,137 3,627
3,784 4,311 3,170 3,264 3,206
4,101 3,500 4,260 4,091 2,726
3,922 4,345 3,005 4,569 4,766
4,233 4,468 3,625 3,440 4,266
4,438 4,007 3,906 4,886 2,567
236
Вариант 35
р = 0,95
У. к 1> Г4 У5
8,477 9,247 8,554 8,744 9,786
9,295 9,673 9,047 10,259 9,379
9,421 9,686 9,357 9,377 9,927
8,385 9,093 9,743 9,370 9,967
8,619 9,430 8,844 9,133 8,412
8,646 10,113 8,631 9,165 9,124
8,505 8,593 8,608 8,991 10.136
9,536 9,099 8,491 8,106 8,660
9,356 9,069 8,772 9,220 9,180
8,899 9,717 9,206 8,955 10,243
Вариант 36
р=0,99
Г, Гг Г3 Г4
7.391 7,721 5,612 5,599 6,990
5.771 4,668 8,710 4,175 7,785
6,669 7,586 6,394 6,791 4,524
7,374 7.823 6,482 6,101 8.574
8,613 7,733 6,422 9,607 8,480
5.875 5.400 7,123 8,043 7,816
6,582 8,084 7,626 7,010 6,083
4,994 5.782 7,280 5,723 6,389
7,772 7.958 7,755 7,045 9,700
5,800 8.267 6,956 5,024 4,652
237
Вариант 37 р = 0,95
у, п у,
15,746 16,497 16,004 15,379 15,844
15,503 15,286 15,766 14,025 13,741
16,451 16,340 15,982 13,572 13,851
14,803 14,657 15,521 14,785 14,426
14,455 14,675 16,369 16,793 15,013
14,344 15,447 16,412 15,347 14,442
14,136 15,679 17,584 14,010 15,402
15,617 16,034 16,275 14,499 15,526
13,534 14,350 14,187 16,539 13,344
15,746 16,497 16,004 15,379 15,844
Вариант 38 р = 0,99
Г, У, у, К rs
7,309 6,672 8,712 6,710 8,987
7,735 7,244 6,492 7,475 6,460
8,823 7,606 7,579 7,255 7,983
7,377 7,419 7,746 4,327 5,185
5,252 6,741 7,508 7,588 6,517
7,629 7,529 5,898 6,436 7,328
6,336 7,879 6,139 6,571 6,012
5,520 6,460 8,342 6,404 7,799
6,144 6,559 7,753 7,356 7,648
8,828 6,554 7.640 7,551 7,296
238 j
Вариант 39 р = 0,95
у, у, Y3 к
9,136 9,565 8,028 8,823 9,019
7,320 9,404 8,682 9,764 9,955
9,286 9,043 8,306 8,768 9,467
7,022 8,983 9,018 8,555 10,063
7,810 8,518 9,054 9,950 8,813
7,579 8,726 8,567 9,034 8,090
7,713 9,150 7,268 8,074 9,279
8,743 8,932 10,140 10,223 9,343
8,315 9,552 10,012 8,579 10,221
8,889 9,238 6,708 11,224 10,407
Вариант 40 р=0,99
У, У, У, У. Г5
12,238 7,721 11,241 10,140 12,075
13,387 13,584 16,055 10,860 12,615
11,611 7,522 11,149 15,340 13,411
10,189 12,321 13,223 15,144 9,511
9,194 9,611 13,344 14,282 15,764
8,301 13,426 6,977 4,422 12,334
11,811 9,172 13,785 10,349 17,312
9.847 15,070 10,662 12,745 9,464
5,056 13,462 17,503 14,240 9,477
12,347 12,992 11,905 13,337 8,039
239
Вариант 41
р = 0,95
Г, к Г, Ys
16,225 13,958 18,063 16,952 15,420
13,552 18,941 14,433 12,795 14,986
14,043 14,060 16,099 15,980 15,420
17,705 14,524 18,417 14,601 18,889
13,485 15,239 14,224 14,487 18,785
15,640 14,510 16,680 14,387 16,126
19,794 13,159 16,467 14,641 23,061
17,916 12,845 12,364 15,698 19,506
13,870 17,232 16,898 15,119 16,178
14,522 11,004 17,965 13.806 17,541
Вариант 42
р = 0,95
И, п п п г,
9,454 8,473 12,650 7,114 5,644
10,573 10,379 3,744 10,622 8,083
9,360 5,718 7,577 9,706 3,691
5,143 11,987 8,600 10,113 8,153
11,392 9,316 8,450 9,821 11,905
4,519 12,711 7,141 10,522 4,303
4,373 5,384 7,293 5,919 4,461
8,148 6,427 6,728 5,935 6,414
10,377 8,184 12,993 6,915 5,979
3,670 8,813 5,137 6,707 7.988
240
Вариант 43 р = 0,95
Yt п Г3 к Y,
18,897 20,174 18,513 19,898 20,452
19,721 19,555 19,344 17,655 17,567
20,979 19,170 20,240 18,855 18,937
20,228 19,330 19,475 20,175 18,886
19,683 19,118 18,822 17,677 18,583
19,779 19,540 20,319 18,358 19,423
17,894 17,629 19.292 17,633 20,376
21,112 19,765 19,525 18,607 18,996
19,714 19,112 18,820 17,586 18,055
21,468 19,714 20,602 19,722 17,543
Вариант 44 р = 0,99
к п Г3 К, V,
10,211 13,910 7,889 5,743 12,758
5,114 7,453 8,399 8,108 7,020
14,135 12,342 10,737 6,478 11,551
9,229 13,162 8,488 12,066 14,860
14,293 12,372 14,540 7,192 11,651
6,395 6,700 10,466 5,231 7,411
12,461 14,513 5,846 7.091 9,489
13,288 5,750 11,296 7,340 11,719
14,362 14,149 11,478 14,910 6,906
13,390 13,474 8,771 8,759 8,551
241
, Вариант 45 р = 0,95
У| У, У, Г. г,
17,756 17,890 20,276 16,573 16,695
18,683 15,770 16,738 18,788 16,296
17,550 16,762 16,943 19,145 16,922
16,280 20,307 18,021 19,536 16,511
17,799 19,462 18,023 17,205 17,944
17,535 18,647 16,505 20,505 17,689
17,932 16,553 18,577 19,911 16,266
17,275 17,028 17,395 18,460 17,013
15,525 16,613 16,913 18,993 17,329
19,272 18,666 17,494 18,941 17,652
Вариант 46 р =0,99
Y, У2 У5 г. У,
20,500 21,358 8,416 8,389 13,525
14,514 12,974 22,156 19,248 9,897
18,267 24,088 10,592 13,645 22,497
17,819 17,732 6,317 20,310 9,801
15,387 16,560 9,307 -2,100 18,457
17,574 13,379 9,530 19,684 17,725
18,072 11,102 14,486 23,420 13,163
8,989 23,866 5,382 11,423 15,033
17,129 11,338 7,309 8,525 15,294
10,567 8,472 16,414 19,261 24,393
242
Вариант 47
р=0,99
У, У> У, Г. Г5
26,267 27,944 25,586 24,148 27,192
27,023 25,043 23,997 23,965 24,730
23,860 26,226 23,520 25,236 26,092
25,015 26,316 21,755 22,488 25,656
24,738 25,133 23,138 21,790 26,744
25,354 25,461 23,120 23,577 26,024
25,479 26,218 21,704 24,375 24,017
24,142 25,623 23,589 22,329 23,394
24,572 25,579 24,961 25,072 27,104
25,112 25,779 24,950 25,052 25,327
Вариант 48
р-0,95
у, У> Yi У. п
14,031 16,380 17,108 18,917 14,551
16,975 19,218 17,030 14,390 24,966
16,599 25,385 22,529 14,962 19,548
15,131 20,643 18,131 16,985 18,656
17,526 19,877 18,329 18,251 17,789
20,796 11,070 25,672 23,308 11,841
22,124 24,108 17,701 7,434 21,031
15,532 16,788 16,390 21,773 15,321
11,759 21,336 19,039 27,413 21,748
32,419 20.417 19,822 15.922 27,072
243
Вариант 49
р = 0,99
у. У> К К,
18,773 16,511 17,565 17,799 17,833
18,906 16,174 18,029 17,963 17,207
16,614 17,949 19,215 17,118 16,508
17,785 18,224 19,037 17,617 16,269
18,678 18,286 20,239 17,790 17,632
16,701 17,858 19,192 16,803 18,080
17,857 16,239 19,325 16,995 17,578
17,782 16,322 16,618 16,199 16,512
17,990 17,883 18,263 18,216 16,615
18,532 16,318 17,408 17,442 16,249
Вариант 50
р-0,95
п Y3 К У-.
4,207 6,169 4,330 4,052 4,467
5,730 4,500 5,256 4,129 3,936
4,965 5,762 5,721 6,055 5,393
4,542 5,050 5,801 4,504 5,569
4,199 5,650 4,102 4,555 3,447
5,898 5,474 4,780 4,692 4,806
5.388 6,143 3,665 5,466 4,397
4,151 5,766 5,453 4,593 6,191
4,143 4,881 5,230 4,972 4,624
4,133 4,606 4,683 5,396 5,716
244
Вариант 51
р = 0,95
Yt У, Y} n У5
7,899 7,920 12,288 9,731 8,064
8,004 11,811 7,914 7,382 9,305
13,151 9,578 11,533 10,535 7,328
7,658 12,731 9,290 10,563 9,344
8.369 12,665 14,844 8,571 9,172
6,579 11,919 9,873 12,627 12,445
10,166 6,641 14,156 11,847 10,800
11,136 9,859 6,708 8,966 9,933
12,587 12,254 9,865 8,263 11,671
7,858 11,475 14,308 9,103 4,379
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. РМГ 29—99. Государственная система обеспечения
единства измерений. Метрология. Основные термины и
определения.
2. International vocabulary of basic and general terms in
metrology. Международный словарь основных и общих
терминов в метрологии, второе издание, 1993, Междуна-
родная организация по стандартизации, пер. с англ., ИВ.
Руженцев, В.Д. Кукуш. — Харьков: 1999. — 52 с.
3. Guide to the Expression of Uncertainly in Measurement/
First edition — ISO/ Switzerland. 1993/— 101 p. Руководство
по выражению неопределенностей измерения. Русский
перевод. Научный редактор Слаев В.Д. — Санкт-Петер-
бург. — НПО ВНИИМ им. Менделеева, 1999 г.: 134 с.
4. Захаров И.П. Теоретическая метрология. Учебное
пособие. — Харьков: ХТУРЭ, 2000. — 172 с.
5. Фрумкин В.Д., Рубичев Н.А. Теория вероятностей н
статистика в метрологии и измерительной технике. — М.г
Машиностроение, 1987. — 168 с.
6. Клейман А.С. Методы обработки результатов наблюде-
ний. погрешности которых распределены по законам, отли-
чающимся от нормального. — Харьков: ХИРЭ, 1992. — 91 с.
7. Guidelines for the Expression of the Uncertainty of
Measurement in Calibrations — Western European Calibration
Cooperation, Doc. 19- 1990, 17 p.
8. Зайдель A.H. Погрешности измерений физических
величин. - Л.: Наука, 1985. — П2 с.
9. Кунце Х.-И. Методы физических измерений. — М.:
Мнр, 1989- — 216 с.
10. Кукуш В.Д. Электрорадиоизмерения: Учебн. Посо-
бие для вузов.-М.: Радио и связь, 1985. — 368 с.
11. Основные термины в области метрологии: Словарь-
справочник под ред. Тарбеева Ю.В. - М.. Изд-во стандар-
тов, 1989. — 113 с.
12. Маликов М.Ф. Основы метрологии. — М.: Комитет
по делам мер н измерительных приборов, 1949. — 477 с.
246
13. МИ 2083-90. Государственная система обеспечения
единства измерений. Рекомендация Измерения косвен-
ные. Определение результатов измерений и оценивание
их погрешностей.
14. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. — Л.:
Энергия, 1978. — 262 с.
15. Долинский Е Ф. Обработка результатов измерений. 1
— М„ Изд-во стандартов. 1973. — 192 с.
16. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учеб-
ник для вузов. — М.: Изд-во стандартов, 1991. - 492 с.
17. Себекин АП., Слаев В.А., Чуновкина А.Г., Чурсин
АВ. Применение «Руководства по выражен ню неопреде-
ленностей измерений». Государственная система обеспе-
чения единства измерений. Рекомендация МИ 2552-99.
Санкт - Петербург: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1999.»
- 27 с.
18. ГОСТ 8.207-76. Государственная система обеспече-,
ния единства измерений. Прямые измерения с многократ-
ными наблюдениями. Методы обработки результатов на-1
блюдений. Основные положения.
19. Чуновкина А.Г. Погрешность измерения, неопреде-
ленность измерения и неопределенность измеряемой вели-
чины.// Измерительная техника. - 2000. — №7. — С. 19—23.
20. Лейфер Л. Два подхода, две модели к интерпрета-
ции результатов испытаний.// Измерительная техника. —
1996. - №1. - С. 66-67.
21. Тарбеев Ю.В., Слаев Ю.В.. Чуновкина АТ. Про-
блемы применения в России международного руководства
по выражению неопределенности измерения.// Измери-
тельная техника. — 1997. — № I. — С. 69-72.
22. Земельман М.А. Метрологические основы техничес-
ких измерений. — М/ Изд-во стандартов, 1991 - 228 с
23. Тойберт П. Оценка точности результатов измере-
ний: Пер. с нем. - М/. Энергоатомиздат, 1988. - 88 с. 1
24. Грановский В.А, Сирая Т.Н. Методы обработки’
экспериментальных данных при измерениях. — Л.: Энер-
гоатомнздат, Ленингр. отд-ние, 1990. — 288 с.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
эроуновское движение 96
Зеличина 6
— влияющие 92
— входная 64, |30
— коррелированные входные
величины 67, 131
— некоррелированные
входные величины 65,
132
— выходная 130
— измеримая 7
— измеряемая 7
— физическая (ФВ) 6
—дискретность на квантово-
механическом уровне 95
—значение 6
— действительное
(условно истин-
ное) 14
— истинное 12
Вероятность
— доверительная 21
— охвата 39, 40
— субъективная интерпрета-
ция 54, 167
— частотная интерпрета-
ция 50. 167
Гистограмма 23, 25
Гнездовая структура 120
— уравновешенная 121
— неуравновешенная 121
— двухэтапная 129
— одноэтапная 121
График накопленной частоты
(кумулятивная кривая) 23, 24,
25
Диапазон результатов наблюде-
ния 23
Дисперсионный анализ 121
Дисперсия 16. 28
— выборочная 32
Дифференциальная функция
распределения 22
Доверительный интервал 21, 38,
72
Доверительный коэффици-
ент 170, 172
Дробовой эффект 89, 96
Измерения 7
— абсолютные 11
— динамические 11
— единство 8
— классификация 10
— виды 11
— области 10
— подвиды I1
— разновидности 11
— контрольно-провероч-
ные 12
248
— косвенные 129
— коррелированные 131, 137
— некоррелированные 132
— относительные 11
— прямые 108
— прецизионные измере-
ния 12
— с многократными наблюде-
ниями 12, 115
— с однократными наблюдени-
ями 11. 109
— совместные 141
— совокупные 156
— статические 11
— технические 12
Измерительная процедура 9
Измерительный эксперимент 9
Интегральная функция
распределения 23
Коэффициент корреляции 67
— оцененный 67—70
Коэффициент охвата 39, 44. 64,
73. Ill, 170
Коэффициент Стьюдента 75
Коэффициент чувствительно-
сти 66
— измеренные 67
Кумулятивная кривая (график
накопленной частоты) 23, 24, 25
Медиана 27
Мера 7
Метод измерений 9
Метод приведения 131
Методика выполнения
измерений 9
Метод максимального правдопо-
добия 34
Метод наименьших квадра-
тов 143
Мода 27
Неопределенность
— измерений 16, 19
— стандартная 47, 62
— категории А 47, 49. 50. 63.
131. 166
— категории В 47, 49. 54, 63,
109, 167
— суммарная 47, 65, 79, 81,
111, 116, 132, 133, 136, 138,
170
— относительная 48, 79
— расширенная 47. 71, 74,
111, 116. 125. 134. 136. 138.
146, 159, 167, 170
— измеряемой величины 88,
89
— естественная 89, 94
— моделирования 88, 90
— спецификации (опозна-
ния) 89, 92
— измерительного эксперимен
та 89, 99
— методическая 89, 99
— инструментальная 89. 103
— динамическая 103
— статическая 103
— закон распространения 66
— личная 89, 105
Обработка экспериментальных
данных 10. 108
— прямые измерения 108
— несколько групп наблюде-
ний (гнездовая структу-
ра) 120
249
— с однократными наблюдени-
ями 109
— с многократными наблюде-
ниями 115
— косвенные 129
—коррелированные 131, 37
—некоррелированные 132
— совместные 141
— совокупные 156
Ожидание случайной величи-
ны 27
Отчет о неопределенности
измерений 79, 81
Оценивания составляющих
неопределенностей 48
— апостериорное 49
— априорное 49
Оценки достоверности результа-
тов измерений 12
Оценки параметров эксперимен-
тальных функций распреде-
лений 31
— выборочная дисперсия 32
— интервальные 31, 38
— несмещенные 32, 33, 34
— оценка дисперсии среднего
значения 51
— состоятельные 31
— среднее арифметическое 31,
35, 116
— стандартная неопределен-
ность среднего значения 51,
52
— стандартное отклонение
оценки стандартного
отклонения среднего
арифметического 52
— точечные 35
— экспериментальная диспер-
сия 51
— экспериментальное стандарт-
ное отклонение 51
— эффективные 34
Параметры функции распределе-
ния 26
— ожидание 26
— медиана 27
— мода 27
— моменты 26
—абсолютные 29
— начальные 26
—центральные 28
Погрешность измерения 8, 13
— вероятностные характеристи-
ки 16, 19
— грубые 16
— систематическая 13
— случайная 15
— неисключеиный остаток
систематической
погрешности 14
—выявленные составляющие
НОСП 14
— невыделенные составляю-
щие НОСП 14
— оценки
— СКО случайной погрешно-
сти 166, 174, 177
— границы случайной
погрешности 170
— СКО систематической
погрешности 170, 176
— СКО суммарной погреш-
ности 170, 176
—доверительные границы
суммарной
погрешности 171, 176
250
Подготовка к измерению 8
Поправка 14
Поправочный множитель 14
Принцип измерения 9
Принцип неопределенности
Гейзенберга 95
Размер ФВ 6
Распределение вероятностей 21
— антимодаяьное 27
— асимметричное 61, 63, 110
— априорное 38
— арксинусное 43,110
— двойное экспоненциальное
(Лапласа) 36, 43
— нормальное ( Лапласа —
Гаусса) 30, 35, 42, 103
— полимодальное 27
— равновероятное 37, 39. 57.
63, ПО
— Стьюдента 74
— трапецеидальное 58,63,110
— треугольное 41, 59, 63, 110
— частотное 38
Режим использования СИ Г 11
Результат измерения 12, 111,
116
— воспроизводимость 8
— исправленный 14
— неисправленный 15
Спецификация измеряемой
величины 8, 92
Сравнение посредством опреде-
ления размера 6
Среднее абсолютное отклоне-
ние 29
Средство измерений 10
Средство измерительной техники
(СИТ) 8
Стандартное отклонение 19, 29
— экспериментальное 51
Уравнение измерения 7, 64
Условие нормировки 23
Условия повторяемости (сходи-
мости) 13
Формула Велча - Саттерсвей-
та 74-79, 134
Функция плотности вероятнос-
тей 22
Функция правдоподобия 34
Характеристики положения 26
Центральная предельная теоре-
ма 76
Частотное распределение 23
Число степеней свободы 78, 79,
134, 170, 171
— эффективное 78
Шум 96
— дробовой 97
— генерационно — рекомбина-
ционный 97
— квантовый 98
— тепловой 97
Энтропия 61
Этапы измерений 8
Эффективное число степеней
свободы 78, 134, 170, 171
Содержание
Предисловие.................................. 3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Сущность понятия «измерение»............ 6
1.1.1. Основные этапы измерений..............8
1.1.2. Классификация измерений.............. 10
1.2. Оценки достоверности результатов измерений .... . 12
1.2.1. Систематические погрешности........ 13
1.2.2. Случайные погрешности................15
1.2.3. Неопределенность измерений......... 16
1.3 Вероятностные характеристики результата
и погрешностей измерения...................... 19
1.3.1. Распределение вероятностей...........21
1.3.2. График накопленной частоты
и гистограмма...............................23
1.3.3. Параметры функции распределения......26
1.3.4. Точечные оценки параметров
экспериментальных функций
распределений...............................30
1.3.5. Интервальные параметры рассеяния
функции распределения погрешностей
измерения...................................38
1.4. Контрольные вопросы и задания............45
252
2. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И СПОСОБЫ ВЫРАЖЕНИЯ •
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
2.1. Классификация неопределенностей..........47
2.2. Методы оценивания составляющих
неопределенностей........................... 48
2.2.1. Неопределенности типа А..............50
2.2.2. Неопределенности типа В..............54
2.3. Формы представления неопределенностей....62^
2.3.1. Стандартная неопределенность........... 62
2.3.2. Суммарная неопределенность...........64
2.3.2.1. Некоррелированные входные
величины..............................65 1
2.3.2.2. Коррелированные входные |
величины........................671
2.3.3. Расширенная неопределенность........711
2.3.4. Относительная неопределенность.......79
2.4. Составление отчета о неопределенности
измерений.....................................79 -i
2.4.1. Конкретные рекомендации..............81
2.4.2. Подробное описание процедуры
получения результата измерения.............83
2.5. Контрольные вопросы и задания............84
3. ИСТОЧНИКИ И ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
3.1. Неопределенности измеряемой величины..... 89
3.1.1. Неопределенность моделирования
(опознания)................................90
3.1.2. Спецификация измеряемой величины....92
3.1.3. Естественные (потенциальные)
неопределенности измерений.................94
253
3.1.3.1. Дискретность физических величин
на квантово-механическом уровне.........95
3.1.3.2. Шумы и дробовой эффект........96
3.2. Неопределенности измерительного
эксперимента...................................99
3.2.1. Методические неопределенности........99
3.2.1.1. Неопределенность оценки
воздействия средства измерения
на объект измерения.................. 100
3.2.1.2. Неопределенность алгоритма
обработки результатов измерений .... 101
3.2.1.3 Неопределенности, возникающие
при аппроксимации и упрощениях,
используемых в методе измерения
и измерительной процедуре.............. 102
3.2.2. Инструментальные неопределенности.... 103
3.2.2.1. Неопределенности, заложенные
в принцип действия измерительного
прибора.............................. 103
3.2.2.2. Неопределенности, обусловленные
недостатком технологии
изготовления или
конструкции СИТ............... 104
3.2.3. Личные неопределенности............ 105
3.3. Контрольные вопросы и задания .......... 107
4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
4.1. Прямые измерения........................ 108
4.1.1. Обработка результатов прямых измерений
с однократными наблюдениями................ 109
4.1.2. Обработка прямых измерений
с многократными наблюдениями............... 115
254
4.1.3. Обработка нескольких групп прямых
измерений с многократными
наблюдениями........................~ 120
4.2. Косвенные измерения...................., 129
4.2.1. Некоррелированные входные величины. 132
4.2.2. Коррелированные входные величины... 137
4.3. Совместные измерения.................. 141
4.3.1. Метод наименьших квадратов........ 143
4.3.2. Определение параметров линейной
зависимости............................. 146
4.3.3. Определение параметров
нелолиномиальных зависимостей
с помощью МНК........................... 150
4.4. Совокупные измерения.................. 156
4.5. Контрольные вопросы и задания..........161
5. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИК
ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ
5.1. Сопоставление алгоритмов опенивания
погрешностей и неопределенностей измерения ..165
5.1.1. Сопоставление оценок характеристик
погрешностей и неопределенностей
измерений................................. 166
5.1.2. Сопоставление способов нахождения
интервальных характеристик погрешности
(неопределенности) результата измерений.. 169
5.2. Взаимный пересчет характеристик погрешности
в характеристики неопределенности.............. 173
5.2.1. Пересчет характеристик погрешности
в характеристики неопределенности..........173
255
5.2.2. Пересчет характеристик неопределенности
в характеристики погрешности.............. 175
5.3. Примеры оценивания характеристик погрешности
и вычисления неопределенности измерений........ 177
5.3.1. Измерение силы электрического тока
с помошыо вольтметра и токового шунта ... 177
5.3.2 Измерение длины штриховой меры на
государственном первичном эталоне длины
интерференционным методом..............184
5.4. Контрольные вопросы и задания............. 189
Приложение А. «Законы распределения случайных
величин»..................................... 191
Приложение Б. «Статистические таблицы»........195
Приложение В «Варианты контрольных заданий»....200
Задание 1 «Обработка результатов косвенных
измерений»................................. 200
Задание 2 «Обработка гнездовых структур»......219
Список литературы.............................245
Алфавитный указатель терминов.................247