Лоп^лярные лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
¦ЗОБ»
A.M. Л.ОПШИЦ
ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПЛОЩАДЕЙ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ
ФИГУР
- 11
НЧЕ< " И
hi * • Ь

*".-i-
НИКИТИНА

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 20
А. М. ЛОПШИЦ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ
ФИГУР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

11-3-1

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие		4
Введение		5
Глава I. Измерение площади ориентированной фигуры .	7
§ 1. Ориентированный треугольник		7
§ 2. Ориентированная площадь ориентированного тре-
треугольника 		8
§ 3. Теорема сложения		12
§ 4. Строгое доказательство теоремы сложения		13
§ 5. Ориентированный многоугольник		16
§ 6. Площадь ориентированного многоугольника		18
§ 7. Несколько примеров и задач		19
Глава II. Планиметр		27
§ 1. Полярный планиметр		27
§ 2. Прямолинейный планиметр		30
§ 3. Элементарное перемещение рычага планиметра ...	32
§ 4. Число оборотов счетного колеса при элементарном
перемещении рычага		34
§ 5. Число оборотов счетного колеса при замкнутом пере-
перемещении рычага		36
§ 6. Вспомогательная геометрическая теорема		37
§ 7. Использование вспомогательной геометрической тео-
теоремы для теории планиметра 		40
Глава III. Вычисление площади многоугольника, задан-
заданного на местности		44
§ 1. Постановка задачи . , , ,		44
§ 2. Несколько определений и обозначений		45
§ 3. Вспомогательная теорема		47
§ 4. Формула для вычисления площади ориентированного
многоугольника		49
§ 5. Вычисление ориентированных углов		51
§ 6. Вычисление углов между несмежными сторонами
ориентированного многоугольника 		53
§ 7. Тригонометрическая формула для вычисления пло-
площади ориентированного многоугольника 		56
§ 8. Теоретическое использование формулы, выведенной
для практических целей		58
2 Зак. 892. А. М. Лопшиц	3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книжка познакомит читателя с понятием площади
ориентированной фигуры и его применениями к теории
планиметра и к выводу целесообразной формулы для вы-
вычисления площади участка, заданного на местности и
ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией.
Понятие ориентированной площади может быть использовано,
как в этом убедится читатель, и для решения задач школь-
школьной геометрии.
В основу книжки положен материал лекций», читанных
мной школьникам старших классов.
А. Лопшиц

ВВЕДЕНИЕ
При изучении элементарной геометрии много внимания
уделяется вопросу измерения площадей. Многочисленные
теоремы, излагаемые в школьном курсе, представляют не
только теоретический, чисто математический интерес, но
имеют и большое практическое значение. Однако более пол-
полное изучение вопросов, возникающих в этой области гео-
геометрии, и более широкое их применение к задачам практи-
практического характера становятся возможными только после
существенного расширения самого понятия площади. Поня-
Понятие ориентированной площади (изучаемое в силу установив-
установившейся традиции только в курсах высшей математики) при-
приносит в разнообразных геометрических вопросах большую
пользу. Ее можно сравнить с той, которая возникает при
изучении алгебры, когда привлекают к рассмотрению, по-
помимо положительных чисел, используемых в арифметике,
также и отрицательные числа.
Понятие ориентированной площади так естественно рас-
расширяет привычное для учащегося понятие площади, так
элементарно по своему содержанию и так богато интерес-
интересными следствиями, что возникает соблазн познакомить с ним
учащегося средней школы, не дожидаясь того времени,
когда он будет изучать высшую математику. Прибегая
опять к уже сделанному сравнению, можно сказать, что это
в той же мере доступно для учащихся старших классов
средней школы, как доступно ознакомление с отрицатель-
отрицательными числами для школьников младших классов, уже зна-
знакомых с арифметикой, но не знающих еще алгебры.
В первой главе этой небольшой книги читатель найдет
изложение вопроса об измерении площади ориентированных
фигур на плоскости. Такое измерение приводит, как это
будет показано, в некоторых случаях к положительному

числу, а в некоторых — к отрицательному. Это число мы и
будем называть ориентированной площадью. В этой же
главе будут доказаны разнообразные теоремы, представля-
представляющие собой математически интересное расширение теорем,
известных из элементарной геометрии.
Во второй главе эти теоремы будут использованы для
объяснения принципа действия широко принятого в инженер-
инженерной практике прибора, носящего название планиметр, с по-
помощью которого практически измеряются площади фигур
произвольной формы, заданные на чертеже.
В третьей главе понятие ориентированной площади будет
использовано при выводе практически целесообразной фор-
формулы для вычисления площади фигур, расположенных на
местности.

ГЛАВА I
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ ОРИЕНТИРОВАННОЙ ФИГУРЫ
§ 1. Ориентированный треугольник
В элементарной геометрии треугольник считается пол-
полностью заданным, если указаны три точки, скажем А, В, С,
являющиеся его вершинами. В этом случае принято говорить:
задан треугольник ABC. С таким же успехом можно, ко-
конечно, сказать: задан треугольник ВАС. Целесообразно,
однако, несколько изменить наше представление о треуголь-
треугольнике и рассматривать его как траекторию движения по
замкнутому пути, составленному из прямолинейных отрезков
(сторон треугольника), соединяющих последовательно его
вершины. С этой точки зрения задание треугольника по-
потребует, помимо указания его вершин, еще и дополнитель-
дополнительного указания последовательности, в которой они проходятся
при рассматриваемом непрерывном замкнутом движении по
сторонам треугольника. На чертеже это удобнее всего
осуществить указанием направления движения на каждой
стороне с помощью стрелки (достаточно, конечно, указать
это направление на какой-нибудь одной стороне треуголь-
треугольника) (черт. 1), или, как принято говорить, указанием ори-
ориентации движения.
Чтобы отличить эту новую точку зрения на треугольник
от прежней, мы будем говорить, что рассматриваем ориен-
ориентированный треугольник. Таким образом, задание вершин
A,	В, С еще не определяет ориентированный треугольник:
существуют, очевидно, два различных между собой ориен-
ориентированных треугольника с одними и теми же вершинами А,
B,	С; один из них (черт. 1,о) ориентирован по часовой
стрелке (такую ориентацию называют левой ориентацией),
другой (черт. 1,6) ориентирован против часовой стрелки
3 Зак. 892. А. М. Лопшиц	7

(правая ориентация). Первый из этих ориентированных
треугольников будем обозначать: треугольник ABC (или ВСА,
или CAB), второй будем обозначать: треугольник ВАС
(или АСВ, или СВА).
Коротко говоря, ориентированный треугольник
задается не просто тройкой вершин, а зада-
заданием упорядоченной тройки вершин, т. е. указа-
указанием не только вершин, но и порядка, в котором они сле-
Черт. 1.
дуют; для обозначения ориентированного треугольника
с вершинами в точках А, В, С мы условимся писать буквы,
обозначающие его вершины, в том порядке, в котором эти
вершины проходятся при непрерывном обходе по сторонам
треугольника, соответствующем заданной его ориентации
(правой или левой).
§ 2. Ориентированная площадь ориентированного
треугольника
Определение. Ориентированной площадью ориенти-
ориентированного треугольника ABC мы будем называть число,
абсолютная величина которого равна площади треуголь-
треугольника (неориентированного) с вершинами А, В, С; ориен-
ориентированную площадь мы будем считать положительным
числом, если треугольник ориентирован против часовой
стрелки, и отрицательным числом, если треугольник
ориентирован по часовой стрелке.
Если это определение неприятно удивило читателя, если
оно даже показалось ему в какой-то мере противоречащим
8

привычной для него оценке площади (только с помощью
положительного числа!), то прежде всего успокоим его на'
поминанием: речь сейчас идет не о площади обыкновенного
треугольника, а о площади ориентированного треугольника.
Поэтому мы ее и называем несколько по-новому — ориенти-
ориентированная площадь. Противоречия с привычным способом,
следовательно, нет: положительным числом измеряют в эле-
элементарной геометрии площадь неориентированного треуголь-
треугольника.
Несколько более затруднительно убедить читателя в це-
целесообразности данного определения. Полное понимание
этой целесообразности возникнет только позже (и в особен-
'ности, после изучения материала главы II, в которой будет
указано использование понятия ориентированной площади для
теории планиметра — прибора для измерения площадей фигур,
заданных на чертеже). Но уже и теперь мы имеем возмож-
возможность показать, с какой пользой оно применяется в некото-
некоторых вопросах элементарной геометрии. С этой целью обра-
обратим внимание на следующие две теоремы.
Теорема 1. Если вершину А треугольника ABC со-
соединить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
внутри отрезка ВС, то площадь исходного треуголь-
треугольника ABC • будет равна сумме площадей возникших тре-
треугольников А'ВА и А'АС.
Теорема 2. Если вершину А треугольника ABC со-
соединить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
на прямой ВС и расположенной вне отрезка ВС, то пло-
площадь исходного треугольника ABC будет равна разности
площадей возникших треугольников А'ВА и А'АС.
Доказательство обеих теорем настолько просто, что мы
можем его здесь не приводить (черт. 2). Обещанное нами
полезное применение понятия ориентированной площади1)
заключается в том, что содержание этих двух «родственных»
теорем исчерпывается следующей единой
Теоремой 3. Если вершину А треугольника ABC
соединить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
на прямой ВС и расположенной либо вне, либо внутри
отрезка ВС, то площадь ориентированного треугольника
I) В дальнейшем изложении, когда новое понятие будет чита-
читателем освоено, мы будем без боязни говорить коротко площадь
ориентированного треугольника вместо ориентированная пло-
площадь ориентированного треугольника.
3'	9

ABC будет равна сумме площадей ориентированных тре-
треугольников А'АВ и А'СА.
При доказательстве этой теоремы читатель должен будет,
конечно, рассмотреть по отдельности два возможных случая.
Черт. 2.
Первый (черт. 3,а)— когда точка А' расположена внутри
отрезка ВС и, следовательно, ориентированные треуголь-
треугольники ABC, А'АВ, А'СА ориентированы все три одинаково
а. ¦.
Черт. 3.
и имеют поэтому ориентированную площадь одного и того
же знака; в этом случае для доказательства теоремы 3
остается только использовать теорему 1.
Второй случай (черт. 3,6) — когда точка А' располо-
расположена на прямой ВС вне отрезка ВС и когда ориентирован-
ориентированные треугольники А'АВ и А'СА имеют разную ориентацию,
а их ориентированные площади имеют поэтому разные знаки;
10

в этом случае для доказательства теоремы 3 придется
использовать, конечно, теорему 2.
Замечание 1. Может показаться, что использование
обеих теорем, 1 и 2, при доказательстве единой теоремы 3
делает ее в какой-то мере излишней. Основная ее ценность,
однако, заключается именно в том, что она справедлива при
любом расположении точки А' на прямой ВС и поэтому
может быть использована и тогда, когда мы не имеем точ-
точных сведений о том, находится ли точка А' внутри или вне
отрезка ВС. Использование этого обстоятельства часто
существенно облегчает доказательство теорем, опирающихся
на теорему 3. (См., например, доказательство теоремы 4
на стр. 15.)
Замечание 2. Справедлива ли теорема 3 при любом
расположении точки А' на прямой ВС? Увы, это утвержде-
утверждение нами еще не доказано! В самом деле, в условии уже
доказанной теоремы 3 говорится только (и именно это
использовано в доказательстве), что точка А' может лежать
либо внутри, либо вне отрезка ВС. Не рассмотренными,
таким образом, случаями оказались те, когда точка А' со-
совпадает с каким-либо из "концов отрезка ВС. Однако в этих
случаях теорема 3 не имеет места по той причине, что
упоминаемый в условии теоремы треугольник А'АВ (или
треугольник А'СА) не существует; ведь в элементарной
геометрии принято, что только различные три точки, притом
еще и не лежащие на одной прямой, могут считаться вер-
вершинами треугольника.
Целесообразно, однако, отказаться от такого определе-
определения. Будем в дальнейшем полагать, что три произвольно
расположенные точки А, В, С могут считаться вершинами
треугольника; его сторонами будут отрезки АВ, ВС, СА.
Целесообразно также считать, что в том случае, когда вер-
вершины треугольника лежат на одной прямой, его площадь
равна нулю; площадь треугольника будет, в частности,
равна нулю и в том случае, когда две вершины треуголь-
треугольника (или даже все три) совпадают. При таком расширен-
расширенном по сравнению с элементарной геометрией понимании
того, что такое треугольник, можно утверждать (это без
труда проверит читатель), что теорема 3 имеет место для
любого расположения точки А' на прямой ВС; таким обра-
образом, справедлива следующая, используемая в дальнейшем
Теорема 3'. Если вершину А треугольника ABC со-
соединить С произвольной тонкой А', лежащей на прямой ВС,
U

то площадь ориентированного треугольника ABC будет
равна сумме площадей ориентированных треугольников
А'АВ и А'С А.
§ 3. Теорема сложения
• Пусть О — некоторая точка, расположенная внутри тре-
треугольника ABC. Соединив точку О с вершинами треуголь-
треугольника, легко обнаружим (черт. 4, а), что площадь треуголь-
треугольника ABC равна сумме площадей трех треугольников: ОАВ,
ОВС, ОСА. Остается ли справедливым это утверждение,
если точка О расположена не внутри, а вне треуголь-
треугольника ABC} Стоит только бросить взгляд на чертеж 4, б,
чтобы убедиться в противоположном; площадь треуголь-
12	...

ника ABC не равна сумме площадей треугольников ОАВ,
ОВС, ОСА; она, очевидно, меньше этой суммы.
Читателя, несомненно, огорчило это обстоятельство!
Трудно ли найти выход из создавшегося положения? Нельзя
ли «сохранить» теорему? Внимательно вглядитесь в чертежи
4, а, б, в\ Привлеките на помощь понятие ориентированной
площади! Неужели у вас не возникло предположения, а может
быть, даже уверенности, в справедливости следующей
«единой»
Теоремы 4 (теорема сложения). Какова бы ни была
точка О, лежащая в плоскости треугольника ABC, пло-
площадь ориентированного треугольника ABC1) равна сумме
площадей ориентированных треугольников ОАВ, ОВС, ОСА.
Для доказательства этой теоремы следует терпеливо рас-
рассмотреть, помимо случаев, изображенных на черт. 4, а и б,
также и случай, когда
точка О расположена
относительно треуголь-
треугольника так, как это пока-
показано на черт. 4, в. Убе-
Убедившись без особого
труда, что в каждом из
этих случаев теорема 4
справедлива, читатель
придет к выводу,, что
она справедлива при лю-
любом расположении точки
О относительно треуголь-
треугольника ABC: ведь точка О	Черт- 5-
может быть расположена
(черт. 5) только либо в области / (случай 4, а), либо в одной
из областей II, III, IV (случай 4, б), либо, наконец, в одной
из областей V, VI, VII (случай 4, в).
§ 4. Строгое доказательство теоремы сложения
Полностью ли удовлетворен читатель доказательством
теоремы сложения, которое он провел, используя сделанные
только что указания? Не заговорит ли в читателе проте-
протестующий голос логически рассуждающего геометра,, пола-
полагающего, что доказанным следует считать только то, что
1) См. снрску на стр. 9,

выведено по правилам логики из условия теоремы (конечно,
с помощью, если это оказывается полезным, уже ранее до-
доказанных теорем).
В самом деле, если вдумчиво отнестись к «доказатель-
«доказательству», которое проводится, скажем, для случая 4, а, то сразу
станет ясно, что наряду с соображениями логического харак-
характера оно в значительной доле содержит утверждения, вну-
внушенные нам чертежом (это относится главным образом
к утверждению об ориентации треугольников ОАВ, ОВС,
ОСА, возникающих в случае 4, б и не возникающих в слу-
случае, например, 4, в). А ведь хорошо известно, что такого
рода наглядные «правдоподобные» утверждения могут при-
привести в некоторых случаях к «доказательству» неправиль-
неправильных положений 1).
Указанные соображения побуждают нас дать строгое
логическое доказательство теоремы сложения.
Изложение упростится, если воспользоваться специаль-
специальным обозначением: ориентированную плош, адь ори-
ориентированного треугольника ABC условимся
обозначать (ABC).
В силу этого условия имеют место, очевидно, следую-
следующие равенства:
(ABC) = (ВС А) = (CAB),	A)
(ВАС) = (АС В) = (С В А),	A')
(ABC) = — (ВАС).	B)
Используя наше обозначение, мы можем записать условие
теоремы 3' в следующем виде:
Теорема 3'. Для произвольной тройки точек: А,
В, С и точки А', произвольно расположенной на пря-
прямой ВС, имеет место равенство
(ABC) = (А'АВ) + (А'СА).	C)
Укажем еще, наконец, и на то, что теорема 4, которую мы
имеем в виду доказать, может быть теперь сформулирована
следующим образом:
1) Этот вопрос —о роли чертежа в доказательстве геометри-
геометрических теорем— подробно рассмотрен в книжке: Я..С. Дубнов,
Ошибки в геометрических доказательствах, серия «Популярные
лекции по математике», вып, 11, М,, Гостехиздат, 1954,
И

Теорема 4. Для произвольной тройки точек А,
В, С и точки О, произвольно расположенной в пло-
плоскости ABC, имеет место равенство
= {ОАВ)-\-(ОВС)-{-(ОСА).	' D>
Доказательство1).
Пусть Л' —точка пересечения прямой О А с прямой ВС2).
Рассмотрим теперь тройку точек О, А, В к точку А',
лежащую, как это было указано выше, на прямой ОА.
Используя теорему 3' (формулу C)), получим:
= (А'АВ)-)-(А'ВО).	Eа)
Используя эту же теорему для тройки точек О, В, С я
точки А' (она лежит на прямой ВС), получим:
(ОВС) = (А'ОВ)^(А'СО).	E6)
Используя, наконец, все ту же теорему	для тройки
точек О, С, Л и для точки А' (лежащей на	прямой ОА),
получим:
(ОСА) = (А'ОС) + (А'СА).	Eв)
Складывая почленно равенства Eа), E6), Eв) и учиты-
учитывая, что
= 0 и (А'СО)-\-(А'ОС) = 0,
получим:
(ОАВ)-\-(ОВС)-\-(ОСА)=(А'АВ)-\-(А'СА). F)
Приняв, наконец, во внимание, что в силу теоремы 3'
(А'АВ)-{-(А'СА) — (АВС),	G)
так как точка А' лежит на прямой ВС, и сопоставляя F)
и G), получим D), как и требовалось доказать.
!) Читатель, у которого не возник интерес к строгому доказа-
доказательству теоремы сложения, может без ущерба для усвоения мате-
материала, который будет изложен в дальнейшем, пропустить оконча-
окончание этого параграфа.
2) Если прямая ОА параллельна прямой ВС, но прямая ОВ не
параллельна АС, то переименуем вершины треугольника: вер-
вершину В назовем А, а вершину А назовем В; если же прямая О А
параллельна ВС и прямая ОВ параллельна АС, то, очевидно, пря-
прямая ОС не будет параллельна прямой АВ; переименуем и теперь
вершины треугольника: вершину С назовем А, а вершину А на-
назовем С.
4 Зак. 892. А. М. Лопшиц	15

Замечание. Если читатель пользовался при доказа-
доказательстве теоремы чертежом, хотя мы и не предложили этого
сделать, то это, быть может, и помогло ему следить за
ходом доказательства, но не сыграло никакой доказатель-
доказательной роли: в самом деле, все наш» заключения следовали
только из того, что точка А' лежит на прямой ВС и на
прямой ОА, а это имеет место в силу «построения». Суще-
Существенную роль в доказательстве сыграло использование
(трижды) теоремы 3', которая справедлива при любом рас-
расположении точки А' на прямой ВС или О А (см. замечание
2 на стр. И). Таким образом, наше доказательство можно
считать «логически строгим» . . . , если только «логически
строгим» является доказательство теоремы 3'. Не следует
ли читателю вернуться к этой теореме и проверить строгость
данного ей доказательства?
§ 5. Ориентированный многоугольник
Подобно тому как мы ввели (в § 1) понятие ориентиро-
ориентированного треугольника, введем в рассмотрение и ориенти-
ориентированный п-угольник, заданный упорядоченной совокуп-
совокупностью п точек А±, А2, ..., An_v An, расположенных
самым произвольным образом на плоскости. Такой много-
многоугольник является изображением непрерывного движения по
замкнутому пути, составленному из прямолинейных напра-
направленных отрезков, соединяющих последовательно
вершину Aj_ с вершиной А2
вершину А2 с вершиной Л3
вершину Ап_х с вершиной Ап
вершину Ап с вершиной At
«Сторонами» этого ориентированного многоугольника
AtA2 . . . Ап будут направленные отрезки
АХА2, А2Л3, .. ., An_tAn, AnAv
Стрелка, проставленная над направленным отрезком,
должна нам напомнить, что движение вдоль него происходит
в сторону от первой написанной точки («начало» направ-
направленного отрезка) ко второй точке («конец» направленного
отрезка).

О выпуклом ориентированном многоугольнике мы будем
говорить, что он право-ориентирован, если движение, им
определяемое, происходит против часовой стрелки (черт. 6, а)
и лево-ориентирован, если по часовой стрелке (черт. 6, б).
Черт. 6.
Черт. 8.
Если же ориентированный многоугольник не выпуклый
(черт. 7), то затруднительно приписать ему название «пра-
«правый» или «левый». Особенно ясно это для ориентированного
многоугольника, имеющего самопересечения (черт. 8).
4*	17

§ 6. Площадь ориентированного многоугольника
Площадь ориентированного выпуклого многоугольника
условимся считать равной положительному числу, если мно-
многоугольник право-ориентированный, и отрицательному,—если
многоугольник лево-ориентированный; абсолютная величина
этого числа равна, естественно, площади неориентирован-
неориентированного многоугольника с теми же вершинами, что и исходный
ориентированный (измеренной по правилам элементарной гео-
геометрии)-.
А как измерить площадь ориентированного невыпуклого
многоугольника? Какой знак приписать, например, площади
многоугольника, изображенного на черт. 7, а? (Абсолютную
величину этой площади естественно считать равной сумме
площадей двух неориентированных треугольников ABC'
и ACD.)
Еще более сложным является вопрос об измерении пло-
площади «самопересекающегося» многоугольника: так, на-
например, для многоугольников, изображенных на черт. 8, а
или б, неясно не только то, какой знак приписать их пло-
площади, но неясно даже, какова абсолютная величина этих
площадей.
Ответ на все эти вопросы подскажет нам следующая
важная
Теорема 5. Пусть At, А2, .... Ап — упорядоченная
совокупность п точек, произвольно расположенных на
плоскости (эта совокупность определяет некоторый
ориентированный п-угольник). Выбрав некоторую точку О,
составим сумму
S = (О А,А2) + (О А.2А3) + • • ¦ + (ОЛ„_ t Ап) + {ОАпАг), (8)
т. е. сумму площадей ориентированных треугольников,
имеющих общей вершиной произвольно выбранную точку О,
а основаниями—направленные стороны заданного ориен-
ориентированного многоугольника. Тогда сумма S не зависит
от положения точки О.
Доказательство. Пусть О'—-некоторая другая
произвольная точка. Нам предстоит доказать, что
'AnAt). (9)
18

Используя теорему сложения, будем иметь:
(О'ЛИ2) -Ь (О'А2О) + (O'OAJ,
(О'А2А3) + (О'А3О) + (О'ОА2),
Складывая почленно эти равенства и выполнив очевидные
сокращения, придем к равенству (9), которое и требовалось
доказать.
Итак, в силу только что доказанной теоремы мы полу-
получим возможность каждому ориентированному многоуголь-
многоугольнику AtA2 ... Ап_1Ап отнести число S, определяемое по
формуле (8). Легко видеть, что в случае, когда много-
многоугольник А1Ап ¦ ¦ • Ап выпуклый, это число равно ориенти-
ориентированной площади многоугольника. Естественно по-
поэтому измерять площадь произвольного мно-
многоугольника числом S, определяемым фор-
формулой (8). Целесообразно обозначать эту площадь сим-
символом (АХА2 . . . Ап^Ап).
Таким образом, согласно принятому нами определению,
где О — произвольная точка на плоскости.
Замечание. Обратим внимание на то, что при л = 3
эта формула была нами доказана (см. § 3); при я>3 она
представляет собой целесообразное определение; возможность
такого определения обеспечивается тем, что правая часть
равенства A0), хотя и требует для своего вычисления неко-
некоторого конкретного выбора точки О, но не зависит от этого
выбора — это и составляет содержание доказанной теоремы 5.
§ 7. Несколько примеров и задач
Пример 1. Пусть Av Л2> Л*> •••> А> ^8 — последо-
последовательные точки, делящие окружность радиуса R на восемь
равных дуг. Вычислить площадь S ориентированного восьми-
восьмиугольника А^^А^АцА^А^АцА^ (черт, 9),
19

Решение. Для вычисления площади (A1A^A^A6AbAiA3A8)
по формуле A0) воспользуемся точкой О, являющейся цент-
центром окружности. Обозначив через s площадь ориентирован-
ориентированного треугольника ОА^А^ и через s' площадь ориентированного
треугольника ОЛ2Л7, легко убедимся в том, что (ОА1А6)=—s,
Черт. 9.
() = —s, (ОЛ5Л4) = — s, (OAiA3)=
{OAbAt) = s, и, следовательно,
= DД А,
= - 25 + 25'.
у2
Приняв, наконец, во внимание, что | s | = | 5' | = R2 —-, иолу-
чим 5 = ^^2, если многоугольник (А^^А^ .. . As) «левый»
(черт. 9, а), если же он «правый», то S = —
(черт. 9, б).
Задача 1. Обозначив через Р точку пересечения хорд
А3А8 и A>Aj (черт. 9), доказать, что
Задача 2. Разность площадей неориентированных много-
многоугольников PAzAiAbA6Ar. и PA8AtA2 равна R^Y^ (черт. 9).
Доказать!
Это предложение непосредственно вытекает из указанных
выше двух результатов. Оно не содержит в себе никаких
новых, с точки зрения школьной геометрии, понятий, но
доказательство его, которое здесь намечено, существенно
20

Трудности, которые при
Я,
использует «новое» понятие: ориентированная площадь. Пред-
Предложим читателю самостоятельно найти «школьное» доказа-
доказательство предложения задачи 2.
этом возникнут, помогут чита-
читателю лишний раз убедиться в це-
целесообразности введения понятия
ориентированной площади много-
многоугольника, которое, как мы пред-
предполагаем, показалось читателю
несколько искусственным.
Задача 3. Пусть Av A2,
Аа, Av Аь, Ав — последователь-
последовательные точки, делящие окружность
радиуса R на шесть равных
дуг. Вычислить площадь 5
ориентированного шестиуголь-
шестиугольника АХА^А-ОА^АЪ (черт. 10).	Черт 10
Ответ: 5 = 0.
Задача 4. Вычислить площадь S ориентированного
пятиугольника AtA5A6A2Ab (черт. 11). Ответ: 5 = (ОА5А6) —
ут
==__/^2j__) где q — центр описанной окружности.
Пример 2. Площадь 5 ориентированного пятиуголь-
пятиугольника А1АаА2А6Ай (черт. 12) равна разности удвоенной пло-
площади неориентированного треугольника QA2A3 и площади
неориентированного треугольника AtPQ, где Р и Q — точки
пересечения хорды А6А2 с хордами А1АЪ и АгАа соответ-
соответственно.
21

Решение. Воспользовавшись точкой Q для вычисления
площади S по формуле (8), получим:
S = {(QA^s) + (QASA2) + (QAM -f {(QAA) + (QAbAt)}
и, следовательно, S = (QA3Ai)-\-{(QA6A6)-\-(QAbAl)}.
Учитывая, что в силу теоремы 2
получим, выполнив очевидное сокращение:
S = (QASA2) + (ЛБРЛ6) + (QPAJ.
Приняв, наконец, во внимание, что неориентированные тре-
треугольники РАЬАЪ и QA2Aa имеют одинаковую площадь,
и учитывая ориентацию треугольников, входящих в равен-
равенства A1), придем к заключению, которое требуется доказать.
Задача 5. Если в ориентированном многоугольнике
имеется одно и только одно самопересечение (см., например,
черт. 8, а), то его площадь равна разности двух неориен-
неориентированных многоугольников, на которые исходный много-
многоугольник распадается. Доказать!
Задача 5'. Сформулировать аналогичный результат
для площади ориентированного многоугольника, имеющего
больше чем одно самопересечение.
Черт. 13.
Черт. 14.
Задача 6. Точки Av А2, А3, Av Аъ — последователь-
последовательные точки, делящие окружность на пять равных дуг. Вычи-
Вычислить площадь ориентированного многоугольника AlA3A,A.2Ai
(черт. 13). Ответ: 5 = 5 (ОА^), где О—ценхр окружности.
22

Задача 7. Вычислить площадь S «пятиконечной звезды»
(черт. 14). Ответ:4 S = 5(ОА%А3), где О — центр окруж-
окружности, в которую вписана звезда.
Задача 8. Можно ли вы-
брать внутри дуги полуокружности
(черт. 15) PABQ две точки Ли
В так, чтобы площади неориенти-
рованных треугольников ABN и
PQN были равны между собой у~~	Т"
(N—точка пересечения хорд РВ
и AQ)?	Черт. 15.
Ответ: Невозможно.
Решение. (ABPQ) — (OAB) + (OBP) + (OQA)\ введя
обозначения: а = kj РА, C = о АВ, получим:
Учитывая, что (ABPQ) = {ABN) — (PQN), придем к выводу,
что для равенства площадей треугольников ABN и PQN
необходимо и достаточно, чтобы sin (a -)- р) — sin P = — sin a,
т. е. чтобы 2 sin ycos (^"^Т/ ==~* 2 sin-|-cos ~ , или
cos (р —j—^ J —|— cos -^ = 0 (так как sin-|-=?0!). Последнее
а 4-В	В А
равенство эквивалентно равенству cos—k-1- cos y = 0, кото-
которое не может иметь места, так как a-|-j3< 180°.
Замечание. Решение этой задачи может быть, конечно,
получено и с помощью совсем элементарных геометрических
рассуждений. Читателю, который найдет это решение, пред-
предложим решить следующую задачу, являющуюся естественным
продолжением рассмотренной: можно ли выбрать внутри
дуги полуокружности PABQ две точки, А к В, так, чтобы
площадь неориентированного треугольника PQN была равна
площади неориентированного четырехугольника NACB, где
С—середина дуги АВ? Удастся ли в этом случае легко ре-
решить вопрос, используя только методы школьной геометрии?
Задача 9. Правильный двенадцатиугольник ЛгЛ2 • • ¦ А12
вписан в окружность. Многоугольник А1А6А5А1СА^А2 имеет
три точки самопересечения Cv C2, C3 (Ct лежит на прямой
AtAe, С2—на прямой АЪА1О). Доказать, что площадь тре-
треугольника CjCjCgB три раза больше, чем площадь треуголь-
треугольника А1А2С1 (черт. 16).
23

Решение. S=(AlAtiAtAl0AtAi)=3[(OA1AtiH<OA3A1)] =
= 3 —¦ [sin 150°— sin 30°] = 0. Учитывая теперь, что 5 =
= (С1С2С3)+3(С1/1.2Л1), придем к выводу, что (С1С2С») =
3(ЛЛА)
Йвш
fluf
W
f
v
/\
/
fib
Черт.
у?
4
Pi
16.
¦¦—*
J
ч
Pu
1AiAsA6AbA8A4A2
С С С
на прямой A1Ai
Задача 10. Правильный восьмиугольник АХА2 .
вписан в окружность. Многоугольник A1AiAsA6AbA8
имеет четыре точки самопересечения Cv С2, С3, С4 (Сг лежит
С2— на прямой А3Ав). Доказать, что пло-
площадь квадрата C1C2C3Ci в че-
четыре раза больше площади
треугольника А^А^С^ (черт. 17).
Задача 11. Правильный
двадцатиугольник AtA2 ..: А20
вписан в окружность. Cv C2,
Cs, Cv C5 — пять точек само-
самопересечения многоугольника
\A*RAi* Ac,
C3 — на
Л Л
лежит на прямой A^g,
прямой АЪА12). Дока-
Доказать, что площадь правильного
пятиугольника C-fi^^Cfi^ в
пять раз больше площади тре-
треугольника Л1Л4С1 (черт. 18).
Читателю может показаться, что к задачам 9, 10, 11,
имеющим родственное содержание, можно присоединить
и дальнейшие родственные задачи, в которых речь будет
идти о многоугольниках с шестью, семью, ... точками
24

самопересечения. Однако это не так: невозможность «про-
«продолжить» эти задачи станет для читателя очевидной, если
он решит следующую задачу.
Задача 12. Окружность разделена на п равных дуг
w AtA2, и А2А3, iu AsAi	w An-iAn> <~> AnAi-
Внутри каждой из них взяты точки
Bv В2	Вп,
такие, что дуги
<и AtBt, iu А2В%, ..., о АпВп
равны между собой. Проведя хорды
А%В2, А2В3, . . ., Ап_хВп, АпВ^,
а также хорды AtBlt A2B,2, ..., АпВп, получим замкнутый
2я-угольник, имеющий п точек самопере.сечения
ГС	Г
(хорда AtB2 пересекает хорду ВхАп в точке Cv хорда А.2В3
пересекает хорду B2AS в точке С2 и т. д.). Определить
значение п, при котором площадь многоугольника С^С^.. .Сп
в п раз больше площади треугольника Аф^С^
Ответ: п = 3, 4, 5.
Решение. S={AlB^A2Bi ... AtlBt) = (Cl ... Сп) +
-\- п (С1В1Л1); поэтому площадь (Сх ... С„) будет в п раз
больше площади {<2ХАХВ^) в том и только в том случае,
когда 5 = 0. Учитывая теперь, что S = п \(ОАхВ2)-\-(ОВ2А^\
(О — центр многоугольника AtA2 ... Ап), получим:
/360° \
sin (	¦ —j— ос I — sina = 0 (xssn^j ^ A).
и, следовательно,
. 180° /180° , \ А
sin	cos	h- a == 0.
n \ n ' /
Таким образом, мы убеждаемся в существовании только
следующих трех решений:
п
KJ AtA2
<UA1B1 = а
3
120°
30°
4
90°
45°
5
72°
54°
25

Задача 13. Если отрезки AtBv A2B2, . . ., АпВп имеют
общую середину, то (AtA2 . • ¦ Ап) = (ВХВ% ... Вп). Доказать!
Указание. Вычислить площадь ориентированных много-
многоугольников АгА2 ¦ . . Ап и ВгВ.2 ... Вп по формуле G),
выбрав в качестве точки О середину отрезков АгВг
A=1,2, .... п).
Задача 14. Если ориентированный многоугольник
BtB2 . . . Вп получен из ориентированного многоугольника
Л,Л2 ... Ап путем параллельного переноса (т. е. если
направленные отрезки АХВХ, А2В2, ¦¦¦, АпВп параллельны
друг другу и имеют равные длины), то (At. . .An)=(Bt. . -Вп).
Задача 15. Если ориентированные стороны А^А.2,
A2AS, .. ., АГ1А1 ориентированного многоугольника АХА2. ¦ -Ап
параллельны и равны соответственным сторонам ВХВ%,
Вф„,. .., ВпВг ориентированного многоугольника ВХВ2.. .Вп,
то (АХА2 ... Ап) = (BtB2 .. . Вп).
В заключение посоветуем читателю самостоятельно при-
придумать задачи, в решении которых используется понятие
площади ориентированного многоугольника. Особенный инте-
интерес представляют на наш взгляд задачи, в условие которых
входят только понятия школьной геометрии, но решение
которых существенно упрощается в результате использова-
использования новой, изложенной выше, точки зрения на площадь
(как, например, в задачах 2 и 7—12).

ГЛАВА II
ПЛАНИМЕТР
Для вычисления площадей фигур, изображенных на чер-
чертеже, применяют в инженерной практике различные меха-
механические приборы. В этой главе мы ознакомим читателя
с устройством одного из простейших приборов такого рода;
используя теорию измерения площадей ориентированных
многоугольников, изложенную в первой главе, мы объясним
принципы его действия.
§ 1. Полярный планиметр
Внешний вид этого прибора (одной из его основных
моделей) показан на черт. 19; схема прибора изображена
на черт. 20.
Рычаг ОА может вращаться вокруг точки О, которую
называют полюсом. В этой точке О рычаг О А имеет корот-
короткую иглу, которая вкалывается в чертежную доску. (Чтобы
игла не выскакивала из доски, она скреплена с небольшим
круглым грузом.)
Рычаг /Ш__может свободно вращаться вокруг оси, имею-
имеющейся в точке А. В конце В рычага АВ имеется штифт
с рукояткой; с ее помощью обводят штифтом замкнутую
линию L, ограничивающую площадь, которую нужно опре-
определить. На рычаг АВ насажено колесико, которое может
свободно вращаться вокруг него, как вокруг оси. Тут же
помещен счетчик числа оборотов колесика, дающий пока-
показания с точностью до тысячных долей одного оборота (на
черт. 20 счетчик не показан). Весь прибор опирается на чер-
чертежную доску в трех точках: «острие» О, вколотое в доску,
закругленный конец штифта В и точка ободка счетного
колесика, в которой оно касается чертежа.
27

Употребление прибора весьма просто. Для измерения
площади, заключенной внутри линии L, вкалывают иглу О
в чертежную доску, совмещают конец штифта с какой-либо
точкой Вх на линии L и производят на шкале счетчика
Черт. 19. Полярный планиметр.
оборотов отсчет положения колесика — пусть этот отсчет
будет <fv Далее обводят конец штифта тщательно по кон-
контуру L, и когда конец штифта возвращается — после пол-
полного обхода контура — в исход-
исходное положение^, производят вто-
второй отсчет положения колесика;
1д пусть этот отсчет будет ер2. Тогда
площадь Sl , заключенная внутри
контура L, легко вычисляется че-
через разность «2 — ?i> показываю-
показывающую число оборотов, на которое
повернулось счетное колесо при
полном обходе штифта по контуру L. В том случае, когда
полюс О расположен вне контура L (черт. 20 — этот случай
особенно часто встречается на практике), площадь Sz вычи-
вычисляется по формуле
SL = k (92 — %)-	(О
в которой коэффициент пропорциональности k представляет
собой число, зависящее от размеров прибора. Его значение
чаще всего приложено к прибору. Ниже будет показано,
28
0
Черт. 20. Схема полярного
планиметра.

\
как его можно вычислить, выполнив обвод штифта по замк-
замкнутой линии, площадь которой заранее известна.
Более сложная модель полярного планиметра, изображен-
изображенная на черт. 21, представляет собой прибор, устройство
которого в основном то же, что и модели, описанной в § 1:
и здесь рычаг ОА может вращаться вокруг точки О,
О
Черт. 21. Прецизионный дисковый планиметр.
а рычаг АВ, несущий счетное колесико и штифт В, может
вращаться вокруг оси, проходящей через точку А. Особен-
Особенность же этой модели состоит в том, что счетное колесико
катится не по чертежу, а по особому диску, тщательно
обклеенному специальной, слегка шероховатой бумагой —
этим устраняется возможность скольжения колесика, когда
чертежная бумага слишком гладкая. Кроме того, специаль-
специальное устройство заставляет диск D вращаться вместе с рыча-
рычагом ОА и притом на угол, пропорциональный углу поворота
рычага1); благодаря этому поворот счетного колесика во
много раз больше, чем соответствующий оборот счетного
колесика на простой модели (черт. 19) — это увеличивает
точность отсчета угла ср2 — ?i- Прецизионный2) дисковой
полярный планиметр, изображенный на черт. 21, дает
в работе точность, примерно в пять раз большую, чем
обычный полярный планиметр (при обмере площади вели-
величиной около 100 кв. см его точность — до 0,1%).
1)	Рычаг ОА несет на себе (снизу) шестеренку Е, ось которой
параллельна вертикальной оси, проходящей через точку О, и кото-
которая катится по ободу цилиндра С. Эта шестеренка твердо соеди-
соединена с диском D, который и делает поэтому такой же поворот,
как и шестеренка.
2)	Precisus — точный (по-латински),
29

§ 2. Прямолинейный планиметр
Размеры полярного планиметра ограничивают возмож-
возможность его использования. Легко видеть, что линия L, огра-
ограничивающая площадь, подлежащую измерению планиметром,
должна располагаться внутри окружности, центр которой
в полюсе О, а радиус равен сумме длин рычагов О А и АВ.
Таким образом, полярный планиметр не может быть с успехом
использован для измерения площадей длинных, хотя бы
и достаточно узких фигур *). Для измерения такого рода
площадей используют прямолинейный планиметр (черт. 22),
Черт. 22. Схема прямолинейного планиметра.
который, так же как и полярный, содержит рычаг АВ, не-
несущий на себе счетное колесико и обводной штифт. Отли-
Отличие от полярного планиметра состоит в том, что конец А
рычага АВ принужден в силу конструкции прямолинейного
планиметра двигаться только вдоль некоторой прямой линии
(в полярном планиметре конец А рычага АВ вынужден дви-
двигаться только вдоль окружности). В различных моделях это
осуществляется различными способами. На черт. 22 изоб-
изображен катковый прямолинейный планиметр, в котором стро-
строгое прямолинейное движение точки А осуществляется с по-
помощью катка. Он состоит из двух массивных цилиндрических
колес одинакового радиуса, ободы которых сделаны слегка
шероховатыми — это заставляет их только катиться, но не
скользить по чертежной бумаге, на которую нанесен изме-
измеряемый контур L. Оба колеса жестко связаны одно с дру-
другим массивной осью. В силу такой конструкции каждая
точка этой оси принуждена двигаться — при движении
катка — только строго прямолинейно. К какой-либо точке
¦ оси и крепится ось А, вокруг которой может свободно вра-
вращаться рычаг АВ.
1) Можно, конечно, разбить площадь на несколько «корот-
«коротких»— это, однако, усложняет работу и понижает ее точность.
30

Черт. 23. Прецизионный прямолинейный дисково-катковый планиметр.

Вычисление площади с помощью каткового планиметра
выполняется точно так же, как и с помощью полярного
планиметра. Дополнительное удобство состоит в том, что
каток можно прокатить по чертежу любого размера и можно,
следовательно, измерить площадь «длинной» фигуры.
Повышенная точность возникает при работе с прецизион-
прецизионным прямолинейным дисково-катковым планиметром, изобра-
изображенным на черт. 23; его диск играет ту же роль, что и
диск прецизионного полярного планиметра.
§ 3. Элементарное перемещение рычага планиметра
Когда штифт В непрерывно обходит заданный замкнутый
контур L, начиная с некоторой точки Blt и возвращается
в нее же, рычаг АВ непрерывно перемещается по плоскости,
принимая различные поло-
положения, и возвращается в
исходное положение. Счет-
Счетное колесико вращается при
этом вокруг рычага АВ,
как вокруг оси. Если на
каком-либо участке движе-
движения рычаг АВ перемещается
в направлении, перпендику-
перпендикулярном к рычагу (т. е. к
оси вращения счетного ко-
колесика) (черт. 24, а), на
расстояние /г, то ободок
колесика катится по пло-
плоскости чертежа без сколь-
скольжения и поворачивается на
-^— оборотов {г — радиус
колесика). Если же рычаг
перемещается вдоль самого
себя (черт. 24, б), то ко-
колесико только скользит по
плоскости, совсем не вра-
Черт. 24.	щаясь; если, наконец, рычаг
перемещается(оставаясь па-
параллельным самому себе) под некоторым углом к своему
направлению, то колесико отчасти катится и отчасти сколь-
скользит; оно поворачивается при этом на число оборотов, мень-
32

шее, чем ^—, где h — попрежнему расстояние, на которое
переместилась ось (черт. 24, в).
Естественно, возникает вопрос: каково будет количество
оборотов, которое сделает счетное колесико в результате
всего замкнутого движения рычага АВ? Или иначе — какая
существует зависи-
зависимость между этим
числом и замкнутым
контуром L, задание
которого полностью
определяет движение
рычага АВ на плоско-
плоскости чертежа?
Для облегчения ре-
решения этой ' трудной
задачи мы позволим
себе заменить непре-
непрерывное движение ры-
рычага АВ некоторым
другим, практически
мало от него отли-
отличающимся. С этой
целью отметим на за-
заданном контуре Lочень
большое число (очень
близких между собой)	Черт. 25.
последовательно — по
ходу штифта—проходимых точек Bv В.2,. . . ,Вп, Вх (черт. 25).
Им соответствуют последовательно принимаемые рычагом
АВ положения
А,ВХ, А2В2, .:., АнВп, А&.
Будем теперь предполагать, что элементарный переход от
положения Афх к положению А2В2 производится следующим
образом.
I. Сначала выполняется параллельный перенос рычага АВ,
переводящий его из положения Афх в положение А,В\
(черт. 26, а и б); четырехугольник AiBtB.2 A^ — параллело-
параллелограмм, сторона которого АХА2 очень мала). Это перемеще-
перемещение будем для краткости называть элементарным перено-
переносом; площадь ориентированного параллелограмма А\ВхВг В±,
33

«заметаемую» при этом элементарном переносе (коротко:
площадь элементарного переноса), обозначим буквой sv
Напомним, что st — положительное число, если ориентиро-
ориентированный параллелограмм правый (см. стр. 18), и отрицатель-
отрицательное, если этот параллелограмм левый (черт. 26, а и б).
я!
Черт. 26.
II. Затем выполняется поворот рычага АВ, переводящий
его из положения А±В> в положение А2В2 (черт. 26, а и б,
угол B2A2BS очень мал). Это перемещение будем для крат-
краткости называть элементарным поворотом. Величину угла
элементарного поворота, т. е. угла ВоА2В2, обозначим бук-
буквой o)j; число o)j — положительное, если поворот происходит
против часовой стрелки, и отрицательное,— если по часовой
стрелке (черт. 26, а и б).
Перемещение, переводящее рычаг АВ из положения А2В.2
в положение А.3Вй, также представим себе как результат
выполнения элементарного переноса, а вслед за ним и эле-
элементарного поворота; площадь переноса обозначим через s2,
угол поворота через ш2. Аналогичным образом поступим и
для всех остальных положений рычага АВ.
§ 4, Число оборотов счетного колеса
при элементарном перемещении рычага
Элементарный параллельный перенос рычага АВ из по-
положения А^^ в положение А-2В*> мы выполним следующим
образом.
V. Сначала переместим рычаг АВ из положения AtBx
параллельно самому себе в направлении, перпендикулярном
34

к рычагу, до совпадения с прямой, содержащей отрезок А.2В2
(черт. 26, в).
II'. Из полученного положения А\В± перейдем в положе-
положение А2В>, сдвинув рычаг вдоль самого себя.
При перемещении I'счетное колесико повернется, очевидно,
на v1 — —- оборотов, где ht есть высота ориентированного
параллелограмма А1В1в1а2.
Если условимся считать hx положительным в случае пра-
правой ориентации этого параллелограмма и отрицательным
в случае левой ориентации, то будем иметь: /zt = -^
(где sx — площадь ориентированного четырехугольника
А1В1В0А2); следовательно,
Знак числа vl показывает, очевидно, в какую сторону вра-
вращалось счетное колесико при элементарном переносе.
При перемещении II' счетное колесико только скользит
и совсем не поворачивается. Таким образом, количество
оборотов, которое сделает счетное колесико при элементар-
элементарном параллельном переносе I, определится формулой B).
Перейдем теперь к подсчету числа оборотов г>* счетного
колесика, которое оно сделает при элементарном повороте II,
переводящем рычаг АВ из положения Аф*, в положение Аф%-
Пусть С — точка рычага АВ, в которой находится центр
счетного колесика; учитывая, что при элементарном пово-
роте на ш° точка С пройдет путь 2тс „fi()O AC, придем
к заключению, что счетное колесико радиуса г сделает при
этом
оборотов. Знак числа v\ (совпадающий со знаком ш1) по-
показывает, очевидно, в какую сторону вращалось счетное
колесико при элементарном повороте,
35.

§ 5. Число оборотов счетного колеса
при замкнутом перемещении рычага
Из формул B) и B*) следует, что это число N равно
сумме двух слагаемых:
^-(оI + ш2+ • • • +">»)¦ C)
где
k' =
1
2т:/- ¦ АВ'
АС_
г
Существенную роль играет в дальнейшем
то обстоятельство, что значение второго сла-
слагаемого можно заранее учесть!
В самом деле, если полюс О полярного планиметра на-
находится внутри контура, площадь которого нужно измерить
(черт. 25), то при полном обходе штифта В по контуру L
рычаг АВ, поворачиваясь последовательно на углы <ov
оH, ..., <оп, опишет полный оборот и, следовательно,
<ot -f- u>2 -j- .. . -j- wn = 360°.
имеет место, таким обра-
+ *'•	D)
В этом случае (случай
зом, формула
Значительно чаще встречается, однако, на практике, что
полюс О полярного планиметра находится вне контура L и,
следовательно(черт. 27, а), рычаг АВ поворачивается в одну
Черт. 27.
сторону на столько же, насколько и в другую. В этом слу-
случае (случай ffi) общая сумма всех поворотов шг будет
очевидно, равна нулю:
36

а число оборотов N счетного колесика определится по фор-
формуле
¦ N=k'(s1-\-si-\-...-\-sn).	E)
Легко понять (черт. 27, б) что именно этот случай будет
иметь место всегда, если измерение площади производится
с помощью прямолинейного планиметра.
Замечание. Мы иллюстрировали оба возможных слу-
случая (sf и ,^) на черт. 25 и 27, в которых показаны наи-
наиболее простые контуры. Читатель сумеет самостоятельно
убедиться в справедливости формул D) и E) и для более
сложных контуров.
§ 6. Вспомогательная геометрическая
теорема
Формулы D), E) устанавливают связь, существующую
между числом N оборотов, которое делает счетное колесико
при полном обходе штифта В по контуру L, и суммой
6": = st -4- s.2 + ¦ • . + sn	F)
всех (соответствующих этому замкнутому движению) пло-
площадей элементарных переносов рычага АВ.
Особенно важную роль в теории планиметра играет,
однако, чисто геометрическая теорема, дающая возможность
доказать, что в случае $ площадь S* равна искомой пло-
площади Si, ограниченной заданным контуром L:
S* = SL.	G)
Доказав это (см. ниже) и сопоставив формулы E), F) и G),
мы получим:
N=zk'SL
и, следовательно,
SL = ~N=kN (* = 2ro-/),	A')
т. е. убедимся в справедливости того правила вычисления
площадей с помощью планиметра, которое мы указали
в § 1 этой главы.
Обратимся теперь к этой вспомогательной геометрической
теореме,
37

Основная теорема. Площадь, заметаемаяа) отрез-
отрезком АВ при его произвольном замкнутом перемещении
ча плоскости, равна разности площадей, ограниченных
ориентированными контурами LB и La, описываемыми
концами В и А этого отрезка.
Справедливость эт,ой теоремы представляется поати «оче-
«очевидной», если ограничиться рассмотрением только того слу-
случая который изображен на"* черт. 25: заметаемая площадь
равна площади «кольца», образуемого «внешним» конту-
контуром Lb и «внутренним» контуром L&, и, следовательно,
равна разности площадей, ограниченных этими контурами.
«Геометрическая очевидность», к сожалению, исчезает,
когда мы обращаемся к рассмотрению других возможных
случаев движения отрезка АВ по плоскости.
Как в этих случаях понимать выражение «площадь, заме-
заметаемая отрезком АВ»? Будет ли она и теперь равна разно-
разности площадей LB и Z.^?
Полностью разобраться в этих случаях (и в более слож-
сложных, которые может придумать читатель) станет возможно
только тогда, когда мы откажемся от школьного способа —
измерять площадь фигуры всегда положительным числом,
и воспользуемся понятием площади ориентированной фигуры
(она может быть либо положительной, либо отрицательной,
либо даже равной нулю!), которое было рассмотрено в пер-
первой главе этой книжки.
Прежде чем приступить к доказательству «основной тео-
теоремы», уточним понятие «площадь, заметаемая отрезком».
Для большей простоты откажемся от рассмотрения непре-
непрерывного движения отрезка АВ и будем предполагать, что
он перемещается скачками: из положения Аф± в положе-
положение А2В.2, из этого положения в положение Афь и т. д.
(черт. 28). Мы будем при этом, конечно, считать, что скачки
очень малые (т. е. перемещения Вф%< Вфъ> • ¦ ¦ конца В,
так же как и соответствующие перемещения АХА%, A2AS,. . .
точки А очень малы) и общее число их, которое выполнит
отрезок, чтобы возвратиться в исходное положение,— весьма
!) Выражение площадь, заметаемая отрезком при его дви-
движении, вероятно, знакомо читателю. Оно встречается, например,
в формулировке второго закона Кеплера, касающегося скорости
движения планеты вокруг Солнца: «площади, заметаемые радиусом-
вектором планеты (т. е. заметаемые отрезком АВ, начало которого
А — СЧ>лнце, конец В— планета) в два равных промежутка времени,
равны между собой».
38

велико. Замкнутые контуры Lg и La заменятся при таком
рассмотрении замкнутыми ориентированными многоугольни-
многоугольниками BtB2 . .. Вп и АХА2 • • • Ап, которые мы будем для
краткости обозначать соответственно Рв и Рл.
При первом скачке отрезок АВ заметет площадь четырех-
четырехугольника, а лучше и точнее сказать, площадь ориентиро-
ориентированного четырехугольника
АХВ^В2А2, при втором скач-
скачке— площадь ориентиро-
ориентированного четырехугольника
А2В%ВаАа и т. д. Сумму
площадей всех таких ориен-
тированных ,четырехуголь-
,четырехугольников, возникающих при рас-
рассматриваемом перемещении
отрезка АВ, мы и будем на-
называть площадью, заметен-
заметенной отрезком АВ. Чита-
Читатель, несомненно, обратил
внимание на то, что при
такой точке зрения на заме-
заметаемую площадь она может
содержать в своем составе
как положительные, так и
отрицательные слагаемые.
Так, например, для движе-
—>
ния отрезка АВ, изображен-
изображенного на черт. 28, б, пло-
площади элементарных четы-
четырехугольников, расположенных по верхнему краю многоуголь-
многоугольника AtA2 ¦ ¦ ¦ Ап, положительны, а по нижнему краю этого
многоугольника отрицательны. Теперь уже не составит
труда точно сформулировать и строго доказать геометри-
геометрическую теорему, лежащую в основе теории планиметра.
Теорема 6. Если направленный отрезок АВ, пере-
перемещаясь по плоскости, занимает последовательно поло-
положения
и, следовательно, возвращается в исходное положение,
то заметенная им площадь S равна разности площадей
39

ориентированных многоугольников ВХВ.2. . .Вп и АХА.2. . .Ап:
S = (BxB2...Bn)-(AxA2...An).	(8)
Доказательство. Используя формулу (8) из гл. I,
стр. 18 (для вычисления площади любого ориентированного
многоугольника как суммы площадей ориентированных
треугольников, имеющих общую вершину) и применяя ее
к элементарным четырехугольникам, получим:
(АХВХВ.2А2) = (OAlB1)-\-(OBlBa)-h(OB2Aa) + (OAaAl),
(А2В.2В.3АЯ) = (ОА.2В2) + (ОЗД) + (ОВЯА3) + (ОАЯА2),
(Ап_хВп^хВпАп) =
(АпВпВхАх) = (ОАпВп) + (ОВпВх) + (ОВХАХ) + (ОАхАп).
Складывая почленно эти равенства и выполнив в правой части
очевидные сокращения, получим:
Учитывая, что (ОЛ^+1Лг) = — (ОЛ^А;+1) и снова используя
формулу (8) из гл. I, получим:
S = (BlB2...Bn) — (AlAq... An),
_что и требовалось доказать.
Замечание. Следовало ли снабдить наше доказатель-
доказательство чертежом? Строго говоря, в этом нет никакой необхо-
необходимости, так как при проведении доказательства мы вос-
воспользовались формулой, справедливой при любом расположе-
расположении точек, участвующих в рассмотрении. Полезно все же
уяснить себе геометрически наглядно полное содержание
теоремы, рассмотрев различные возможные случаи.
§ 7. Использование вспомогательной геометрической
теоремы для теории планиметра
Доказанная в § 6 этой главы геометрическая теорема
дает возможность убедиться в Справедливости соотноше-
соотношения G). (Из этого соотношения, как мы показали в § 5,
непосредственно следует справедливость формулы A'), с по-
помощью которой измеряют планиметром площадь Sl.)
40

Действительно, применим эту теорему к движению ры-
рычага АВ планиметра. Если мы, как в § 6, заменим непре-
непрерывное движение рычага совокупностью п элементарных
перемещений, а каждое из них, как в § 4, заменим двумя:
элементарным переносом и элементарным поворотом, то, учи-
учитывая, что (черт. 26)
получим:
{(A&BUj + iAtBlBJ} + {(A2B2BlAa) + (A.,Bt
\	АХВ\В$ =SB — S
и, следовательно,
(si + <) + (s, + <)+-..+ (sn + <) = SB- SA, (9)
где Sj—площадь элементарного параллелограмма, возни-
возникающего при i-M переносе, a s* — площадь элементарного
равнобедренного «треугольника», возникающего при i-u эле-
элементарном повороте.
Остановимся теперь на рассмотрении случая $ (см. § 5,
черт. 27), т. е. предположим, что рычаг АВ поворачивается
настолько же в одну сторону, насколько и в другую. Оче-
Очевидно, что в этом случае
так как площади этих равнобедренных треугольников прак-
практически не отличаются от площадей круговых секторов
(с очень малым центральным углом), возникающих при эле-
элементарных поворотах. Формула (9) примет поэтому вид
s1 + sa+...+sn = 5B — SA.	A0)
Примем теперь во внимание, что замкнутая линия, описы-
описываемая точкой Л, представляет собой: для полярного плани-
планиметра — некоторую дугу окружности, проходимую дважды
!) Мы заменили, таким образом, заданный контур L много-
многоугольником ВфУЗ^В*} ¦ ¦ ¦ Вп_1В*п_1ВпВ*п, имеющим 2п вершин;
последовательные положения рычага АВ: AJi^, А2В*2, АОВО, А^В^,..,
образуют 2га ориентированных четырехугольников: А^В^В^А,,
ЛаВ^В2Л3, A2B.2B*$AZ, ...; очевидно, что площадь четырехугольника
(^АгВ\В,А^ равна площади треугольника (AJB^B.^.

(на черт. 27, а сначала от точки А до точки А', а затем от
точки А' до точки А); для прямолинейного планиметра —
некоторый отрезок прямой, также проходимый дважды (на
чёрт. 27, б от точки А до точки А', а затем от точки А' до
точки А).
И в том и в другом случае площадь Sa равна, очевидно,
нулю; формула A0) дает:
и, следовательно,
S* = SB,
что и требовалось доказать.
Несколько сложнее обстоит дело в случае .</. Рассмо-
Рассмотрим случай, когда полюс полярного планиметра находится
внутри контура L и когда при обводе штифта В по зам-
замкнутому контуру L рычаг ОА описал полную окружность,
а рычаг АВ успел повернуться на 360° (черт. 25).
Очевидно, что при этом
SA = т:
и, следовательно, формула (9) примет вид
(% + &,+ . . . + v) + - • AB* = SB — ~ • ОА\
откуда в силу F)
5в = 5* + («-^Ва + т:.О^).	A1)
Примем теперь во внимание, что согласно формуле D)
число Л/^оборотов колесика при замкнутом движении рычага АВ
определяется в рассматриваемом случае j/ формулой
и, следовательно,
S* = Bw • AB)N— 2т,. АВ- АС.
Подставляя это выражение для S* в A1), получим:
**,	A2)
где
к = 2кг • АВ,
к** = * (ЛВ2 Н- СМ2 — 2АВ
42
, }

По формуле A2) и производят вычисление площади, огра-
ограниченной контуром L, в том случае, когда при полном обводе
штифта В по контуру L рычаг ОА описал полный круг,
а рычаг АВ повернулся на 360°.
Замечание. Коэффициенты k и ft'*, входящие в фор-
формулы (Г) и A2), по которым производятся вычисления пло-
площади Si, в случаях $ и л/, соответственно, могут быть
вычислены по формулам A3) через величины г, О А, АВ, АС,
зависящие только от размеров планиметра. Значения коэф-
коэффициентов k и k** часто прилагаются к планиметру. Они
могут быть, однако, очень просто вычислены для заданного
планиметра без предварительных измерений величин г, О А,
ОВ, АС.
С этой целью достаточно тщательно обвести штифтом В
окружность Lo некоторого заданного радиуса R. Если счет-
счетчик числа оборотов колесика планиметра покажет No обо-
оборотов, то в случае, когда полюс планиметра О будет рас-
расположен вне окружности (случай $), должно иметь место
равенство
SL = k-N0,	A')
и, следовательно, получим:
Для нахождения коэффициента k*' обведем штифтом В не-
некоторую другую окружность Lx радиуса Rx так, чтобы
полюс О планиметра находился внутри Lx (случай j/). Если
счетчик покажет Л^ оборотов, то должно иметь место ра-
равенство A2)
откуда следует, что
?** = */?? —?Nt,
где k уже считается вычисленным (хотя бы по формуле-A4)).

ГЛАВА III
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА,
ЗАДАННОГО НА МЕСТНОСТИ
§ 1. Постановка задачи
При вычислении площади многоугольника, заданного на
местности (например, при нахождении площади земельного
участка, изображенного на черт. 29), возникают трудности,
которые при первом взгляде ускользают от внимания. В са-
самом деле, для нахождения площади участка ABCDEF доста-
достаточно, казалось бы, разбить его на
треугольные участки, например так,
как это показано на черт. 29, вычи-
вычислить площадь каждого треугольного
участка и эти площади сложить.
Все это, однако, справедливо
только для участков небольших
сравнительно размеров. Если же,
например, на участке ABCDEF длина
стороны АВ равна, скажем, 100 м,
то длина стороны AD, которую мы искусственно ввели в рас-
рассмотрение, будет уже порядка 300 м, и измерение ее длины
представит дополнительные трудностих). Можно, конечно,
попытаться выйти из затруднения путем выбора другого,
более удачного разбиения участка на треугольники, но, как
легко понять, это не всегда приводит к успеху.
]) Вычисление расстояний и углов на местности представляет
собой серьезную практическую задачу, решение которой тем более
затруднительно, чем большие расстояния приходится измерять.
Изложение основных приемов съемки на местности читатель найдет,
в книге: С. Голицын, Хочу быть топографом, Детгиз, М., 1954.
44

Возникает, таким образом, потребность найти такой
способ вычисления площади участка, ограниченного много-
многоугольником, который может быть использован во всех
случаях и не требует вычисления длин каких-либо вспомога-
вспомогательных расстояний. Точнее говоря, возникает вопрос: суще-
существует ли возможность вычислить площадь многоугольника,
если измерены длины всех его сторон и измерены все его
углы?
Такая возможность действительно существует. В следую-
следующих параграфах этой главы мы выведем формулу для вычи-
вычисления площади многоугольника по заданным его сторонам
и углам. Существенное облегчение при выводе этой практи-
практически важной формулы и убеждение в ее достоверности для
многоугольника любого сложного строения (выпуклого и не-
невыпуклого) мы получим, если используем методы вычисле-
вычисления площадей ориентированных многоугольников, которые
мы изложили в предыдущих главах этой книги. Так мы и
поступим.
§ 2. Несколько определений и обозначений
Формулировка и доказательство теоремы, о которой пой-
пойдет ниже речь, весьма упростятся, если мы воспользуемся
следующими определениями и обозначениями.
1. Два направленных ртрезка АВ и А'В' будем назы-
называть равными, если четырехугольник АВА'В' предста-
представляет собой параллелограмм, в котором вершина А про-
противоположна вершине В' (и, следовательно, вершина В
противоположна вершине А') (черт. 30).
Направленные отрезки АВ и А"В"', лежащие на одной
и той же прямой (черт. 30), называются равными, если
каждый из них равен некоторому направленному от-
отрезку А'В', не лежащему на прямой АВ 1).
!) Учитывая, что направленный отрезок АВ определяется
упорядоченной парой точек А, В {А — первая, «начало», В —
вторая, «конец» направленного отрезка), целесообразно в целях
общности изложения рассматривать как направленные также
и отрезки АА, РР и т. п., т. е. такие, у которых первая и
вторая точки совпадают. Все такие особого типа «направ-
«направленные отрезки» называют нулевыми и считают, что они равны ме-
между собой.
45

2. Направленный отрезок называют вектором. В неко-
некоторых случаях полезно в целях краткости обозначать вектор
одной буквой, например:
Эту букву принято печатать жирным шрифтом для того,
чтобы сразу дать понять, что речь идет о векторе, а не
о числе.
Если вектор АВ обозначен буквой а, то все векторы,
равные вектору АВ и имеющие другое начало и другой конец,
все же обозначают той же
буквой а.
3. Условимся говорить,
что ориентированный тре-
треугольник ABC построен на
—> —>
векторах АВ и ВС (п о р я-
док векторов важен!).
Можно также говорить, что
он построен на векторах
—> —>
ВС и СА, а также на век-
—> —>
торах СА и АВ.
Черт. 30-	4. Площадь ориентиро-
ориентированного треугольника ABC,
которую мы выше обозначали (ABC), удобно в некоторых
случаях обозначать s(AB, ВС):
(ABC) = s(AB, ВС).
Легко понять, что если векторы АВ и ВС равны соответ-
соответственно векторам А'В' и В'С', то
(ABC) = (А'В'С)J)
и, следовательно,
s(AB, BC) = s(A7B', &C').
Если вектор АВ (и все ему равные) обозначим через а, а век-
—>
тор ВС—через Ь, то
= (A'S'C') = s(a, b).
') См. задачу 15 на стр. 26.
46

5. Условимся говорить, что ориентированный много-
многоугольник АХА2 . . . Ап построен на векторах
АХА2, А2А3, ..., An_tAn, AnAt	A)
(порядок важен!). Ориентированную площадь (А±А2 ...Ап)
этого многоугольника будем обозначать:
(¦"i- ¦ • • ™п) = s \А±А2, А2А3, . . ., АпА^).
Легко убедиться, что если векторы A) соответственно равны
векторам
В1В2, В2В3	Вп_1Вп, ВпВх,	(Г)
то
Поэтому, если ввести обозначения
А
то
(AtA2 .. . Ап) = {ВХВ2 ...Вя) = 8 (av a.2	ап).
§ 3. Вспомогательная теорема
Теорема 7. Как бы ни были расположены на пло-
плоскости точки
"v ™2, . . ., Ап_1, Ап и Вп,
всегда имеет место равенство
(АгАпВп) = (Д1Л2в3)-К4И8В.,)+ . . . +(ЛП_И»Я»)> B)
если точки Bv B2	Вп выбраны так, что векторы
А%В2, ASBS, ..., Ап_±Вп_1
равны вектору АпВп.
Для доказательства 2) используем доказанную в § 6 гл. II
теорему о площади, заметаемой при замкнутом движении
!) См. задачу 15 на стр. 26.
а) Мы намеренно не предлагаем никакого чертежа, чтобы под-
подчеркнуть общность доказательства. Однако читатель поступит пра-
правильно, если поможет себе самостоятельно сделанным чертежом,
в котором ограничится пятью, например, точками, взятыми совер-
совершенно произвольно,
47

отрезка. Рассмотрим замкнутое перемещение вектора АВ,
при котором он, начиная от положения вектора AXBV рав-
равного вектору АВ, принимает последовательно положения
равных ему векторов
и возвращается в положение вектора А1В1.
Согласно упомянутой теореме § 6 имеет место равен-
равенство
+(апвпв1а}) = (Bt... вп) -(А,..: ап). C)
Разность, стоящая в правой части, равна, очевидно, нулю,
так как в силу равенства всех векторов AtBt (/ = 1, 2	п)
ориентированный многоугольник ВУВ.3 . . . Вп получается из
многоугольника А±А2 .. . Ап путем параллельного переноса
на вектор А1В1 (см. задачу 14 на стр. 26) и, следовательно,
их площади равны между собой.
Учитывая теперь, что ориентированный четырехугольник
АгВгВ1+хА^х есть параллелограмм, противоположные стороны
которого представляют собой равные векторы A{Bt и Ai+lBi+v
приходим к выводу:
(/=1, 2, ..., я—1)
(AnBnBtAJ = {АгАпВпВх) = 2 (АхАпВп).
Подставляя эти значения в C), получим B), что и требова-
требовалось доказать.
Замечание. Введем обозначения
"Тогда согласно условию теоремы
А2В2 = Л3В3 = .. . = Ап_хВп_х = ап,
и следовательно, формула B) принимает такой вид:
(AtAnBJ = s(av an) -f 5 (а., ап) -f-... + s (а„_х> а„). D)
48

§ 4. Формула для вычисления площади
ориентированного многоугольника
Для простоты изложения начнем с выводах) этой фор-
формулы для ориентированного шестиугольника А^А^А^А^А^^,
введя для краткости обозначения
AxA2 = av АИз = а2, AiAi = a3, AiA6 — ai, АьАе = аъ.
Используя формулу (8) из гл. I, стр. 18, имеем:
E)
Используем теперь формулу B), полагая в ней п = 3 и счи-
считая, что точка В.3 есть точка Л4; получим:
OWi^s^, a.2) + s(a2, a3).	F)
Вновь используя формулу B), но полагая в ней теперь п = 4
и считая, что точка jB4 есть точка Аь, получим:
Аналогичным образом получим:
(A^A^^s^, ab)-{-s{a2, c3L-s(a3. «5) + «К. аъ). F")
Подставляя значения F) в E), получим, изменив порядок
слагаемых, окончательную формулу
s(at, a.2, а3, с4, св) =
= s(av a.2)-\-s{alt a3)-\-s(av a^
+ s{a2, a3)-\-s(a2, c4)
5
Аналогичные рассуждения можно, конечно, провести для
ориентированного многоугольника АХА^ ... Ап с любым числом
вершин. Вводя обозначения Л^Лт = ai (i = 1, 2	/j — 1),
получим:
... Ап) = s(alt a2, ..., cn_x) =
3, a4L-...+s(c3, cB_t
Мы сиовд ре приводим чертежа (см, предыдущую сноску).
49

Эта формула дает возможность вычислить площадь много-
многоугольника, если измерены длины всех его сторон (никаких
других расстояний измерять не потребуется) и все его углы *).
В самом деле, площади
s{av a2), s(a2, a.3), ..., s(cre_2, an_t)
треугольников, построенных каждый на двух смежных сто-
сторонах заданного многоугольника, можно измерить (по пра-
правилам, известным из геометрии), так как в каждом из них
известны длины двух сторон и угол между ними — он совпа-
совпадает с соответствующим углом многоугольника.
Для вычисления же площадей остальных треугольников,
входящих в правую часть формулы G), нужно только пред-
предварительно вычислить углыг-рбразуемые их сторонами (длины
этих сторон известны — это длины сторон многоугольника).
Это не составит особого труда, хотя и требует некоторого
внимания. Так, например, чтобы измерить площадь s(av a3)
треугольника PQR (черт. 31), построенного на векторах ах
и а3, достаточно предварительно вычислить угол PQR. Не-
Несложные геометрические рассуждения покажут, что этот угол
равен, если через а и J3 обозначить углы многоуголь-
многоугольника А±А2 . . . Ап при вершинах А2 и А3,
либо 360° — (а + р) (черт. 31, а),
либо	<*-f-|3 (черт. 31, б),
либо	р — а (черт. 31, в).
Еще больше возможных случаев возникнет при вычислении
угла между сторонами треугольника, построенного на век-
векторах av a4, но вычисление и этого угла (равно как и
углов во всех остальных треугольниках, входящих в правую
часть формулы G)) представляет только технические труд-
трудности.
Все эти трудности исчезают, однако, если воспользо-
воспользоваться понятием ориентированного угла. Оно рассматри-
рассматривается в школьном курсе тригонометрии. Для читателя,
.!) Практическое измерение длины каждой стороны многоуголь-
многоугольника, заданного на местности своими вершинами, производится
с помощью мерной цепи. Вычисление же углов производится с по-
помощью специального прибора — теодолита. Подробности, касающиеся
этих измерений, — в упомянутой выще (стр. 44) книге С, Голицына,
50

еще не изучавшего тригонометрии, мы изложим это понятие
в следующем § 5; там же мы покажем, как оно исполь-
"' *¦
6
Черт. 31.
зуется для вычисления угла в треугольнике, построенном
на векторах а{ и а*.
§ 5. Вычисление ориентированных углов
Углы, образованные сторонами ориентированного много-
многоугольника, целесообразно, как в этом сейчас убедится чи-
читатель, вычислять, учитывая направленность сторон много-
многоугольника, т. е. принимая во внимание, что стороны ориенти-
ориентированного многоугольника АХА% ... Ап представляют собой
векторы
51

Поэтому, чтобы оценить угол, образованный, например,
стороной АХА2 = ах со стороной А2А3 = а2, построим из
какой-либо произвольной точки О векторы, равные этим
сторонам (черт. 32, а и б), и повернем вокруг точки О век-
вектор ах до совпадения его направления с направлением век-
вектора а2. Если этот поворот производится против часовой
стрелки (черт. 32, а) и угол поворота равгн числу со
и2
6
о
Черт. 32.
(положительное число), то ориентированный угол, соста-
составленный вектором ах с вектором а.2, считают равным
числу ш. Можно, однако, поворачивать вектор ах не против,
а по часовой стрелке (черт. 32, а). Этот угол поворота будет,
очевидно, равен о/ = 360°—ш (положительное число). Ори-
Ориентированный угол, составленный вектором ах с векто-
вектором а2, считают тогда равным числу —о/. Таким образом,
один и тот же ориентированный угол — его обозначают
(av а2)—мы позволяем себе измерять (черт. 32,6) либо
положительным числом cpt, равным числу со, либо отрица-
отрицательным числом <р2, равным числу — о/ = ш — 360°. Легко
видеть, что
^ — 92=360°.
Читатель, вероятно, усомнится в целесообразности сделан-
сделанного условия: измерять один и тот же угол (с1( а2) двумя
разными числами!? Из дальнейшего изложения выяснится,
какую пользу это приносит, но уже теперь обратим вни-
внимание на то, что оба эти измерения в некотором смысле
«геометрически равноправны».
В самом деле, если по заданному вектору ах и по углу
<рх мы захотим построить направление вектора а,2 (черт. 32, б),
то мы повернем, очевидно, вектор ах против часовой
стрелки на угол <Pi — ш> если же мы пожелаем построить
направление вектора а2 по заданному вектору аг и по углу
52

<р2, то мы повернем вектор ах по часовой стрелке на угол
ер2 = ш — 360°. В обоих случаях мы придем, очевидно,
к одному и тому же окончательному направлению (так как
срА = <р2 + 360°), которое и будет искомым направлением
вектора а.2.
-Вряд ли удивится теперь читатель, если узнает, что
ориентированный угол (av а2) принято измерять также и
числом срА -f- 360° • п (оно положительно и соответствует
повороту против часовой стрелки на угол ш-(-360о •, п, где
п — число полных оборотов), а также и числом ш — 3609 • т
(оно отрицательно и соответствует повороту по часовой
стрелке на угол о/ -f- 360° • т, где т — число полных обо-
оборотов). Легко понять, что если <|>t и ii2 — Два каких-либо
возможных (полученных указанным выше путем) измерения
ориентированного угла {av a.2), то
где k — целое, положительное или отрицательное число.
§ 6. Вычисление углов между несмежными сторонами
ориентированного многоугольника
Целесообразность введенного нами способа измерения
ориентированного угла, образованного направлениями векто-
векторов ах и а.2, станет ясной, когда мы приступим к вычисле-
вычислению угла между направлениями двух несмежных сторон
многоугольника, например сторон AtA2 и A3AV т. е. между
направлениями векторов at и а3. В самом деле, необходи-
необходимый для вычисления угла (av a3) поворот, совмещающий
направление at с направлением а3, можно вычислить не
сразу, а двумя «этапами» (черт. 33): сначала повернуть
вектор at до совмещения (по направлению) с вектором а2,
т. е. на угол (av a.2), а затем повернуть вектор а.2 до со-
совмещения с вектором а3 на угол (а2, а3). Существенно при
этом, что именно в силу принятого нами способа измере-
измерения углов (положительным или отрицательным числом)
всегда будет иметь место очень полезное — теоретически и
практически — соотношение
(«1- «а)+ («2> «з) = («1. аз)-	(8)
53

54

Для полного уяснения справедливости этого правила нахож-
нахождения угла между двумя несмежными сторонами ориенти-
ориентированного многоугольника читателю следует самостоятельно
рассмотреть возникающие возможные случаи взаимного рас-
расположения векторов av a%, аъ.
Необходимо принять при этом во внимание многознач-
многозначность символа (av Од) и понимать содержание равенства (8)
следующим образом.
Как бы ни были расположены на плоскости три век-
вектора alt a2, а.3, (построенные только для наглядности из
одной и той же точки О), число, измеряющее — любым из
возможных способов — ориентированный угол между векто-
векторами ах и а2, сложенное с числом, измеряющим — также
каким-либо из возможных способов — ориентированный угол
между векторами а2 и а3, дает число (уже вполне опре-
определенное!), которое может служить измерением ориентиро-
ориентированного угла между векторами % и а3.
Возвращаясь теперь к рассмотрению ориентированного
многоугольника/IjAj. . .Л„ и обозначая через «эх, <р2, ?з> •••
ориентированные углы между его смежными сторонами:
?1 = ИИа» ЛИз) = («1. «а)- <Ра=(«г> «з)> •••>
мы получим следующие формулы для вычисления ориенти-
ориентированных углов между несмежными его сторонами:
ОМаГ^зЛ) = («1> «з) =
аьА6) = (а^аь) = {а^Га^ + (а4, а^ =
Аналогичным образом получим:
(а2, «4) = ?а + ?з. («а- «б) =
и вообще
(«г. «i+i) = ?i + tPi+i+tPi+a+---
55

§ 7. Тригонометрическая формула для вычисления
площади ориентированного многоугольника
Формула G) может быть преобразована к виду, более
удобному для вычислений, если использовать выражение для
площади ориентированного многоугольника, которое мы
сейчас выведем.
Хорошо известна в тригонометрии формула для пло-
площади 5 неориентированного треугольника AtA2A3:
1 , ,
s = •
• sin <s,
A0)
где ср — неориентированный угол при вершине А2. Обратим
внимание на то, что ориентированный угол между напра-
направленными сторонами AtA2 и А2А3 ориентированного тре-
треугольника АХА2А3 будет положительным (и меньшим, чем
180°), если его ориентация правая (черт. 34, а), и что этот
Черт. 34.
угол будет отрицательным (и по абсолютной величине мень-
меньшим, чем 180°), если ориентация треугольника А1А^А3 ле-
левая (черт. 34, б). Таким образом,
sin <р = sin (А1А2, А2А3), если (AtA2A3) > 0;
sin <o = — sin (AtA2, А2А3), если (А1А.2А3) <С 0.
Сопоставляя это с формулой (9), мы придем к тригоно-
тригонометрической" формуле для вычисления пло-
площади ориентированного треугольника:
(AtA2A3) = т
А2А3 • sin (AtA2, A2A3). A1)
56

Если ввести для краткости обозначения
и если обозначить, как это принято, длины AtA2 и А2АЛ
направленных отрезков ах и а2 через ах и а2, то мы получим:
s(av a2) = ya1a2sm(a1, c2).	A2)
Возвратимся теперь к формуле G) и подставим в ее правую
часть вместо слагаемых s(ait ai+1l) их выражение по фор-
формуле A2).
Учитывая, что угол (aiy ai+Jc) между i-й и (г -f- ?)-й стороной
ориентированного многоугольника AtA2 ... Ап определяется
по формуле (9)
(«i. ai+k) = ?i~b ?»+i + • • • + <P<+ft-i
(в которой, напомним, <р4 есть ориентированный угол при
вершине А^, мы придем к окончательной тригонометриче-
тригонометрической формуле для вычисления площади ориентированнога
многоугольника:
s(ab a2	ап-1) =
= ах [«a sin <pi + а3 sin (?i + ?2) + • • • + «n-i sin (^ + ... + <pn_2)] +
sin
+ an_2[	an_1sintfn_2].	A3)
Замечание. Напомним, что эта формула получена на
основе ранее доказанных теорем, в которых мы тщательно
добивались того, чтобы рас-
рассуждения, — а следовательно, и
результаты — оставались спра-
справедливыми при любом распо-
расположении заданных точек. По-
Поэтому формула A3) может
быть использована для вычи-
вычисления площади участка, огра-
ограниченного многоугольником	q 35
произвольной формы — даже
таким, который изображен на черт. 35. Это обстоятельство
практически важно: при измерении площади приходится,
57

таким образом, позаботиться только о вычислении длин
сторон многоугольника и ориентированных углов
между смежными Сторонами; все остальное в многоуголь-
многоугольнике не играет никакой роли!
§ 8. Теоретическое использование формулы,
выведенной для практических целей
Формула A3) возникла в результате поисков решения
практически важной задачи — нахождения целесообразного,
экономного по средствам, не требующего излишних изме-
измерений на местности способа вычисления площади участка,
заданного на местности. Успешное решение этой задачи
возникло благодари тому, что мы применили теоретически
важное (и на первый взгляд чрезмерно абстрактное, как
будто бы совсем «непрактическое» и даже непринятое
в школьной геометрии), понятие ориентированной площади.
В этом частном вопросе проявилось общее положение:
абстрактные понятия теоретической науки (которые иной раз
представляются неопытному человеку «чрезмерно абстракт-
абстрактными») с большим успехом используются для решения прак-
практически важных задач. История науки и в особенности
практика современной нам науки неоднократно подтверж-
подтверждали и подтверждают это положение.
Существенно, однако, и другое обстоятельство, также
способствующее успехам и достижениям в области науки:
решение задач практического характера открывает новые
пути для решения теоретических проблем. Мы не будем,
конечно, здесь заниматься обоснованием этого положения,
но не откажем себе в удовольствии подтвердить его на
примере, возникающем из материала этой книжки; мы
покажем, что практическая формула A3) может быть с
успехом использована для вывода интересного тригонометри-
тригонометрического соотношения, установление которого без помощи
формулы A3) представляется, как нам кажется, затруд-
затруднительным.
Займемся вычислением площади s правильного и-уголь-
ника, вписанного в окружность единичного радиуса. Эта
задача легко решается средствами элементарной геометрии
и тригонометрии:
A4)
68

Применим же теперь к решению этой задачи «практическую
формулу» A3). Обозначив через а длину стороны нашего
многоугольника и учитывая, что все ориентированные углы
между его смежными сторонами равны между собой
/	360°\
(каждый из них равен <в =	1, мы получим:
s = sin <в -\- sin 2<в -(- sin 3(o -f- ...-(- sin (n — 2) <о -f-
-f-sinw _j_ sin 2(в +... + sin (n — 3)(o +
-f- sin (o -f- .. . -\- sin (n — 4) ев —(—
-|-sin(o.	A5)
Учитывая, что, как известно,
и подставляя в A5) вместо s его выражение A4), получим
после очевидных преобразований:
sin(« — 3)co-f . . . + (я — 3)sin 2@ +
=jctg|, (o = 3-^-°.	A6)
Сумеет ли читатель доказать это тригонометрическое тож-
тождество, не используя понятия ориентированной площади?

Лопшиц Абрам Миронович.
Вычисление площадей ориентированных фигур.
Редактор А. П. Разумовская.
Техн. редактор С. Н. Ахламов.
Корректор Г. Г. )Келтова.
Сдано в набор 28/ХИ 1955 г. Подписано к
печати 24/Н 1956 г. Бумага 84Х1О8/32. Физ.
печ. л. 1,87. Условн. печ. л. 3,07. Уч.-изд. л. 2,94.
Тираж 40 000 экз. Т-02419. Цена 90 к.
Заказ № 892.
Государственное издательство
технико-теоретической литературы.
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Министерство культуры СССР. Главное
управление полиграфической промышленности.
4-я типография им. Евг. Соколовой.
Ленинград^ Измайловский пр., 29.

Ir
/¦

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
А И. Маркушевнч. Возвратные послечователь-
ш~ги
И. П. Натансон. Пр< :тейшие задачи на максимум
и чиним„.и
Вы I. И. С. Соминский. Метод математической индукции.
Вы 4. А. И. Маркушевич. Замечательные кривые.
Р 1. П. П. Коровкин. Неравенства.
Выг Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи.
Выг А. Г. Курош. Алгебраические уравнения произволь-
произвольных степеней
Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых чис-
."IX.
Вып. ч. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы.
Вы 10. А. С. Смогоржевскнй. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказа-
доказательствах.
Вып И. П. Натансон. Суммирование бескоиечн > малых
'ЛИЧИН.
Вып. П. А. И. Маркушевич. Комплексные числа и конформ-
конформные отображения
Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
I мл. 1Г>. И. Р. Шафаревнч. О решении уравнений высших
степеней.
f "i. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып. 17. В. Г. Болтянский. Чт - такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр.
Вып. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.
Вып. 21. А. М. Лопшиц. Выч1 чше площадей орнеитиро-
паипых фигур.