Б. А. Кулик
ЛОГИКА
естественных
рассуждений
НЕВСКИЙ
ДИАЛЕКТ
Санкт-Петербург
2001

УДК 87.4
ББК 161/162
К 90
Редактор:
канд. техн. наук В. А. Дюк
(доц. каф. информационных технологий
в электромеханике и робототехнике
Гос. ун-та авиакосмического приборостроения)
Рецензент:
канд. филос. наук А. И. Мигунов
(зав. каф. логики С.-Петербургского гос. ун-та)
Кулик Б. А.
К90 Логика естественных рассуждений / Под ред. В. А. Дюка. — СПб.:
Невский Диалект, 2001. — 128 с: ил.
В доступной форме излагается оригинальная математически обосно-
обоснованная методика моделирования и анализа рассуждений на естественном
языке. Установлена возможность объединения в логической модели не
только методов логического вывода, но также методов проверки совмес-
совместимости исходных посылок, формирования гипотез и получения индук-
индуктивных умозаключений.
В основу книги положен авторский курс лекций по логике естествен-
естественных рассуждений, предназначенный для студентов гуманитарных и тех-
технических специальностей.
Для широкого круга читателей, интересующихся логикой, преподава-
преподавателей и специалистов.
Оглавление
Предисловие 4
1. Суждение 9
2. Основные понятия алгебры множеств 12
3. Е-структуры: определением основные свойства 24
4. Коллизии в рассуждениях 34
5. Инварианты Е-структур 42
6. Экзистенциальные суждения 46
7. Неполные рассуждения
(формирование и проверка гипотез) 55
8. "Отрицания" в Е-структурах 68
9. Индуктивный вывод 73
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век? 77
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
с квазидополнениями 97
Список литературы 126
ISBN 5-7940-0080-5
©Б. А. Кулик, 2001 f
© "Невский Диалект", 2001
1*

Предисловие
Предисловие
Аристотелева силлогистика более 2000 лет была формальной осно-
основой логики. В XX столетии ей на смену пришла математическая логика,
основные идеи и методы которой нашли применение в современных
компьютерных технологиях. Силлогистика отошла на задний план
и для подавляющего большинства наших современников представляет-
представляется анахронизмом. В том варианте, в котором она существовала много ве-
веков, ее аналитические возможности намного уступают аналитическим
возможностям математической логики.
Однако использовать математическую логику для анализа естест-
естественных рассуждений оказывается не так-то просто. В ее аксиоматике
и в структурах формул недостаточно отражена структура многих пред-
предложений естественного языка. В большей степени этой структуре соот-
соответствует структура суждений Аристотелевой силлогистики.
В книге предпринята попытка дать вторую жизнь Аристотелевой
силлогистике на новом и сравнительно простом для усвоения математи-
математическом фундаменте, что позволяет существенно расширить ее аналити-
аналитические возможности и область применения. С помощью излагаемого
подхода облегчается вывод следствий из произвольного множества по-
посылок, выраженных на близком к естественному языке, выявляются
ошибки и неопределенности в рассуждениях, проверяются и формиру-
формируются корректные гипотезы, анализируются известные парадоксы и даже
изобретаются новые.
Своеобразной "затравкой" исследований автора стала замечательная
книга Льюиса Кэрролла "История с узелками", в которой анализу есте-
естественных рассуждений посвящен большой раздел "Символическая ло-
логика". И хотя пришлось по-иному подойти к математическим основани-
основаниям анализа, некоторые незаслуженно забытые идеи Кэрролла легли
в основу нового подхода. Не менее важной находкой оказались много-
многочисленные забавные "сориты" Кэрролла, которые частично использова-
использованы в книге в качестве примеров рассуждений.
Новый подход к математическому моделированию естественных
рассуждений с определенным приближением можно назвать синтезом
Аристотелевой силлогистики и некоторых методов, применяемых в со-
современной математике. Такой синтез позволяет устранить некоторые
неточности в силлогистике. Кратко "формула" синтеза заключается
в следующем.
1) В качестве основного "элемента" рассуждения принято суждение,
т. е. конструкция, которая в упрощенном виде заложена в основе
Аристотелевой силлогистики. Эта конструкция состоит из двух
частей: в первой части находится субъект суждения, а во второй —
некоторое множество предикатов суждения.
2) Рассуждение может содержать произвольную совокупность про-
произвольных суждений.
3) Математической моделью рассуждения является структура, зако-
законы которой соответствуют основным законам алгебры множеств.
4) В алгебре множеств выделены и приняты к применению структу-
структуры, по форме соответствующие суждениям. В то же время они
имеют свойства известной математической структуры, которая
носит название "частично упорядоченные множества".
Излагаемый подход доступен широкому кругу читателей. Основные
понятия конечной алгебры множеств даются в школьном курсе матема-
математики и информатики и сравнительно легко усваиваются не только стар-
старшеклассниками, но и, как показывает опыт, даже учащимися младших
классов. Теория частично упорядоченных множеств является одним из
малоизвестных разделов высшей алгебры. Но здесь используется под-
подход, в котором необходимые положения и методы теории частичного
порядка рассматриваются на основе легко усваиваемых элементарных
понятий теории графов. Таким образом, математическая основа подхода
оказывается весьма простой и к тому же достаточной для моделирова-
моделирования и анализа сложных естественных рассуждений.
Структура книги имеет особенности. Автор отказался от разбие-
разбиения книги на главы. Это связано с тем, что содержание каждого раз-
раздела перестает быть понятным без усвоения всех предыдущих разде-
разделов и читать книгу выборочно не имеет смысла. Ее следует изучать
последовательно и прерывать процесс изучения там, где это перестает
быть интересным или полезным для читателя. Исключениями явля-
являются два Приложения. В Приложении А приведена статья автора
"С чем идет современная логика в XXI век?" — переработанный и до-
дополненный вариант одноименной статьи, опубликованной в журнале
"Вестник РФФИ" (№ 3B1), сентябрь 2000 г.). В статье изложена точ-
точка зрения автора по некоторым проблемам и тенденциям развития со-
современной логики.
В Приложении Б приведена статья автора, предназначенная для чи-
читателей с хорошей математической подготовкой; в ней изложены мате-
математические аспекты используемого подхода.
Основная часть книги объединяет 9 разделов. Ниже дается краткий
комментарий их содержания, чтобы читатель смог оценить, читать ли
ему эту книгу до какого-то определенного раздела (автор надеется, что

Предисловие
Предисловие
до последнего) или же вообще не тратить времени на подробное знаком-
знакомство с нею.
1. Суждение. Дается более общее по сравнению с Аристотелевой сил-
силлогистикой определение суждения и рассматривается соотношение
между суждением и логической структурой предложений естествен-
естественного языка. Каждое суждение выражает некоторые фрагменты на-
наших знаний в виде соотношений: "часть-целое", "объекты-свой-
"объекты-свойства", "вид-род", "подмножество-множество".
2. Основные понятия алгебры множеств. Предлагается краткая исто-
историческая справка, формулируются основные понятия и законы ал-
алгебры множеств. Для лучшего понимания материала используются
диаграммы Эйлера и многочисленные примеры.
3. Е-структуры: определение и основные свойства. Рассматривается
новый математический объект "логические структуры Эйлера" (или,
сокращенно, Е-структуры). По сути, это новый тип частично упоря-
упорядоченных множеств; в них введены универсальные правила логичес-
логического вывода и операция дополнения, свойства которой соответству-
соответствуют одноименной операции алгебры множеств. Чтобы сделать
изложение более понятным и наглядным, свойства структур с от-
отношением частичного порядка рассматриваются на основе поня-
понятий теории графов. Сведения об элементарных понятиях и методах
теории графов приводятся в этом же разделе. Дается определение
и обоснование правил вывода в ^-структурах, а также понятие
СТ-замыкания — структуры, содержащей все исходные суждения
и следствия, полученные в результате применения правил вывода.
4. Коллизии в рассуждениях. Нередко в естественных рассуждениях
возникают трудности с распознаванием несовместимости исходных
посылок. Для формального анализа таких ситуаций здесь использу-
используется аппарат распознавания коллизий в Е-структурах. Коллизии рас-
распознаются после построения СГ-замыкания. С учетом этого
^-структуры делятся на два класса: корректные и структуры с кол-
коллизиями. Выделено два типа коллизий: коллизия парадокса (когда
предположительно значимый термин на самом деле аналитически
соответствует в структуре пустому множеству) и коллизия цикла
(когда предположительно разные термины на самом деле соответ-
соответствуют одному и тому же объекту). Во многих (но не во всех) случаях
коллизии свидетельствуют о наличии логических ошибок в рассуж-
рассуждении.
5. Инварианты Е-структур. Одна и та же структура может быть задана
разным составом посылок. Инвариантом таких структур является
СТ-замыкание. Рассматриваются еще два инварианта ^-структур:
диаграмма Хассе и минимальное множество посылок. Эти инвариан-
инварианты позволяют оценить независимость заданной системы посылок
и заодно существенно уменьшить объем памяти для хранения
Е- структур.
6. Экзистенциальные суждения. Являются обобщением частных суж-
суждений Аристотелевой силлогистики типа "Некоторые Л есть В". При-
Приводятся примеры использования и анализа экзистенциальных суж-
суждений, включая известный парадокс "Лжец". Рассмотрен метод
построения всех экзистенциальных суждений, непосредственно со-
содержащихся в заданной корректной ^-структуре.
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез). "Не-
"Неполнота" применительно к естественным рассуждениям, формализо-
формализованным с помощью ^-структур, понимается как существование сово-
совокупности невыводимых из данной структуры, но совместимых с ней
суждений или ^-структур. Такие суждения можно рассматривать как
гипотезы. Фактически все возможные ^-структуры являются непол-
неполными в этом смысле. Причем для любой ^-структуры существует
множество альтернативных пар гипотез, не совместимых друг с дру-
другом, но совместимых по отдельности с исходной ^-структурой. Если
рассматривать неполноту в узком смысле, т. е. ограничиться теми ги-
гипотезами, в которых содержатся только термины .Е-структуры, то
в этом случае все корректные ?-структуры можно разделить на два
класса: полные и неполные. В разделе приводятся методы распозна-
распознавания неполноты в узком смысле и методы формирования совокуп-
совокупности корректных гипотез.
8. "Отрицания" в Е-структурах. Здесь используется идея многовариан-
многовариантного отрицания, которая стала в последнее время объектом много-
многочисленных исследований в неклассических логиках. Но в отличие от
неклассических логик в ^-структурах не нарушаются законы буле-
булевой алгебры. В этом случае обобщаются понятия контрарности
и контрадикторности в Аристотелевой силлогистике. Поэтому вмес-
вместо многовариантного отрицания в системе рассуждений предлагает-
предлагается использовать термин "альтернатива". Например, "отрицаниями"
(точнее, альтернативами) суждения "Все А есть В" может быть кон-
контрарное ему "Все А есть не-В" и контрадикторное "Некоторые А есть
не-В". Оказывается, что при совмещении контрарных или контра-
| дикторных суждений возникает коллизия парадокса. В ^-структурах
р это условие (т. е. появление коллизии парадокса при совмещении)
может служить критерием того, что такие взаимно парадоксальные
пары являются альтернативными.
9. Индуктивный вывод. В современной логике индуктивный вывод
обычно ассоциируется с понятием вероятности или с формальным и,
как правило, недоказуемым анализом причинности. Однако вполне

Предисловие
правомерен другой подход к индуктивному выводу, когда форми-
формирование правдоподобных гипотез производится с помощью много-
многовариантного восстановления недостающих звеньев какой-либо де-
дедуктивной структуры. Такое восстановление не всегда бывает
однозначным, но окончательный выбор может быть сделан не на ос-
основе подсчета вероятностей, а на основе содержательной оценки
правдоподобности или совместимости получаемых при восстановле-
восстановлении гипотез. Этот механизм индуктивного вывода, часто применяю-
применяющийся в практике естественных рассуждений, сравнительно легко
формализуется в ^-структурах. При этом многие правдоподобные
варианты могут быть забракованы даже на стадии формального ана-
анализа, когда предполагаемая гипотеза вызывает запрещенные колли-
коллизии в самой ^-структуре.
Для облегчения решения некоторых задач анализа рассуждений ав-
автором разработана вычислительная программа, которую можно полу-
получить бесплатно на Web-странице автора книги (http://www.ipme.ru/
ipme/labs/msa/kulik/kulik.htm) или связавшись с ним по электронной
почте (kulik@msa.ipme.ru).
Автор благодарен многим людям, принимавшим участие в обсужде-
обсуждении ряда разделов книги. Особую признательность хотелось бы выра-
выразить Л. Н. Романову, чья активная и порой нелицеприятная критика
способствовала прояснению многих проблем, затронутых в книге, а так-
также преподавателю информатики Р. Ю. Дамм, которая провела экспери-
эксперимент в школе по проверке доступности многих рассмотренных в книге
методов анализа рассуждений.
Одновременно с работой над книгой создавался и апробировался
курс лекций по данной теме для студентов Санкт-Петербургского го-
государственного университета культуры и искусств (СПбГУКИ), из-
изучающих специальности "Прикладная информатика в социально-
культурной сфере" и "Музейное дело и охрана памятников". Автор
выражает признательность и благодарность преподавателям СПбГУКИ
за методическую помощь и за предоставленную возможность апроба-
апробации и доводки этого курса в непосредственном общении со студента-
студентами. Это канд. пед. наук Л. Н. Афанасова, зав. кафедрой гуманитарной
информации проф. Г. Ф. Гордукалова, зав. кафедрой информатики
проф. В. М. Мотылев, зав. кафедрой музееведения проф. Н. И. Серге-
Сергеева. Многие найденные в процессе этой совместной работы методичес-
методические находки нашли отражение в книге. Но всю ответственность за воз-
возможные методологические просчеты и ошибки принимает на себя автор.
Моим дорогим и любимым
жене и детям посвящается
Суждение
В общем случае суждение — это некоторое высказывание, в котором
сформулирован какой-то фрагмент наших знаний или представлений о ми-
мире (например, "Некоторые грибы ядовиты"). В Аристотелевой силлогис-
силлогистике принято, что каждое суждение состоит из двух частей — "субъекта"
и "предиката". Логический смысл суждения заключается в том, что "преди-
"предикат" рассматривается как присущий данному "субъекту" признак или усло-
условие его существования. "Предикат" может быть выражен и в отрицательной
форме (например, "Некоторые птицы не летают"). "Субъект" суждения
обычно сопровождается логическими "приставками" (в логике они называ-
называются кванторами): "все" или "некоторые". В силлогистике отрицание, как
правило, к "субъектам" не применяется и в основном используется для пре-
предикатов, а кванторы применяются только к "субъектам".
В нашем подходе мы будем использовать суждение в более широком
смысле. Во-первых, в одном суждении может быть более одного "предика-
"предиката" и, во-вторых, в суждениях разрешается использовать отрицание не
' только для "предикатов", но и для "субъектов" — такое допущение, кстати,
используется и в "Символической логике" Л. Кэрролла [Кэрролл, 1973].
В классической логике для суждения предусмотрено только четыре
формы: "ВсеЛ есть В", "Все А не есть В", "Некоторые Л есть В" и "Некоторые
А не есть В". Эти формы (или типы) были выделены еще Аристотелем. Они
соответствуют обычным предложениям, в которых выражаются отноше-
отношения между частью и целым, видом и родом, объектом и свойством. Если
внимательно присмотреться к предложениям естественного языка, то мно-
многие из них можно без потери смысла представить в виде таких отношений.
Сама грамматическая структура предложения, сформированная в течение
многих тысячелетий, во многом соответствует структуре этих отношений.
Предложение состоит из подлежащего, сказуемого и второстепенных
членов предложения (определений, дополнений и обстоятельств места,
времени и т. д.). Такая грамматическая форма присуща многим широко
распространенным национальным языкам. Рассмотрим три структурных
элемента простого предложения: подлежащее, определение и сказуемое
вместе с дополнениями и обстоятельствами, находящимися под управ-
управлением глагола-сказуемого (например, "родился в Курске", "оказался

10
1. Суждение
1.Суждение
11
не у дел", "приедет во вторник", "является представителем фирмы IBM"
и т. д.).
В логической форме суждения подлежащее во многих случаях можно
рассматривать как субъект суждения. Предикатами суждения являются
конструкции, состоящие из сказуемых с управляемыми ими второсте-
второстепенными членами. Например, в предложении "Кенгуру живут в Австра-
Австралии" субъектом является кенгуру как один из видов животных, а преди-
предикатом — существа, живущие в Австралии.
Определения, выражающиеся прилагательными, придаточными
предложениями, причастными оборотами, обычно ограничивают смыс-
смысловое значение подлежащего (субъекта), уточняя отдельные его призна-
признаки. Например, "голубые шарики" — это не все шарики, а только те из них,
которые окрашены в голубой цвет. В этом случае мы выделяем голубые
шарики как отдельный субъект суждения, при этом шарики другого цве-
цвета не подпадают под действие предиката. Например, из предложения
"Голубые шарики взлетели в воздух" ясно, что в воздух взлетели именно
голубые шарики, а не какие-либо другие.
Имеются и многочисленные исключения. Например, в предложении
"Все кенгуру, живущие в Австралии, сумчатые" предикат "сумчатые" от-
относится ко всем кенгуру, даже к тем, которые живут за пределами Авст-
Австралии, но это суждение следует не из структуры предложения, а из на-
наших знаний по биологии.
В то же время в предложениях естественного языка возможны относящи-
относящиеся к подлежащему определения, которые не ограничивают его значения,
а являются отдельными предикатами. Примером может служить предложе-
предложение: "Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы". Здесь по
смыслу ясно, что определение "добрый мой приятель" характеризует не ка-
какую-то часть "Онегина", а является его неотъемлемой характеристикой в це-
целом (по крайней мере, в тот момент, когда это предложение было высказано).
Заметим, что в форме суждения можно выразить не только многие обыч-
обычные предложения естественного языка, но и такие логические конструкции,
как: определения или толкования терминов; факты реальной жизни, выра-
выраженные с помощью языка; многие математические теоремы; законы приро-
природы и т. д. Каждый предикат суждения по смыслу является необходимым
признаком или необходимым условием существования субъекта.
Суждение — это формулировка знаний о субъекте, выраженных че-
через предикат. Эти знания могут быть ошибочными или вообще не имею-
имеющими никакого отношения к реальности, но основная задача логическо-
логического анализа рассуждений заключается не в выяснении истинности взятых
по отдельности суждений, а в проверке их совместимости. В начальной
стадии логического анализа рассуждений предполагается, что все исход-
исходные суждения не обязательно истинные, но являются своеобразными
аксиомами, сомнительность которых может быть установлена только
в результате их совместного рассмотрения. Если анализ показывает, что
рассуждение в целом логически некорректно, то имеются основания
предположить, что наши аксиомы в совокупности не выдерживают кри-
критики. При этом следует учесть, что сопоставление умозрительных суж-
суждений с реальными фактами, выраженными в форме суждений, также
является рассуждением. Однако вопрос о том, чему в случае логической
некорректности рассуждения можно отдать предпочтение (фактам или
умозрительным суждениям), скорее относится уже не к логике, а к пси-
психологии. Носители тезиса "Если факты не соответствуют моей точке
зрения, то долой факты!" встречаются не так уж и редко даже в науке. Но
их "логика" с точки зрения теории познания деструктивна.
В отличие от многих систем логического вывода, принятых за основу
в математической логике, в нашем подходе понятия "истина" и "ложь"
не используются в качестве основных понятий. Такой взгляд на логику
не оригинален — его разделяли многие классики науки логики, и в част-
частности широко известный как автор замечательных сказок про Алису,
но мало известный как талантливый математик и логик Л. Кэрролл
[Кэрролл, 1973]. Ограничивая употребления терминов "истина" и "ложь"
в формальных логических построениях, мы тем самым, по-видимому,
приближаемся в логике к философскому пониманию истины: истина
наших знаний о мире не декларируется, а обосновывается.
Разумеется, "перевод" нормального предложения в форму суждения ча-
часто требует от "переводчика" определенной языковой культуры, позволяю-
позволяющей различать или, наоборот, отождествлять разнообразные "субъекты"
и "предикаты". Этой культурой, к сожалению (или к счастью?), пока что не
овладели в полной мере современные компьютеры. Но мы будем исходить
из той аксиомы, что языковая культура является необходимой составной
частью общей культуры человека. А без наличия таковой теряется или
сильно затрудняется возможность изучать или применять логику.
В естественной речи часто встречаются ситуации, когда для адекватного
понимания предложений или фрагментов текста требуются знания, кото-
которые содержатся "вне текста" или "в контексте". В лингвистике такие "кон-
"контекстные" или "внетекстовые" знания иногда относят к пресуппозициям
(или презумпциям). Автоматизировать полное и точное восстановление
презумпций с помощью соответствующего формального преобразования
наличного текста практически невозможно. Для этого необходимо помимо
текста заложить в компьютер точную модель представленной в тексте ситу-
ситуации, но получить такую модель на практике можно далеко не всегда. В то
же время в сознании людей, когда речь идет о знакомых явлениях или собы-
событиях, восстановление недостающих оттенков смысла "голого" текста явля-
является делом привычным, хотя и не всегда правильным. Знание формальной
логической модели рассуждений позволяет при решении этой задачи изба-
избавиться от многих "подводных камней".

2. Основные понятия алгебры множеств
13
Основные понятия алгебры
множеств
Для алгебры множеств практически невозможно установить точную
дату открытия и назвать имя первооткрывателя. Алгебра множеств по-
постепенно развивалась на фоне многочисленных попыток найти строгое
математическое основание для Аристотелевой логики. Некоторые пред-
предпосылки этой алгебры содержатся в трудах Лейбница. В разработку ее
основ внесли значительный вклад многие известные логики и математи-
математики (Ж. Д. Жергонн, А. де Морган, Дж. Венн и др.). Но особая заслуга в ее
развитии и распространении принадлежит Леонарду Эйлеру.
В 1736 г. в "Письмах к германской принцессе о различных физичес-
физических и философских материях" Л. Эйлер в популярной форме изложил
свое понимание Аристотелевой силлогистики. При этом он использовал
наглядные схемы, которые впоследствии получили название "круги Эй-
Эйлера". В дальнейшем круги Эйлера стали использовать не только в учеб-
учебных курсах по логике, но и при изложении многих основополагающих
разделов современной математики, в которых используется алгебра
множеств (например, см. [Колмогоров и Фомин, 1972]). Мы тоже вос-
воспользуемся этими наглядными отображениями, позволяющими доста-
достаточно быстро овладеть абстрактными понятиями алгебры множеств.
Идеи Эйлера были развиты в работах французского астронома и мате-
математика Ж. Д. Жергонна. Жергонну удалось в опубликованной в 1817 г.
работе "Основы рациональной диалектики" представить все классы суж-
суждений, выделенные Аристотелем, с помощью соотношений между мно-
множествами. Эти соотношения получили в математике и логике название
"Жергонновых отношений". Рассмотрим их более подробно.
В основе силлогистики лежат простые суждения, представленные
четырьмя типами: А — общеутвердительное (все X есть У); Е — общеот-
общеотрицательное (всеДне есть У); I — частноутвердительное (некоторыеX
есть У); О — частноотрицательное (некоторые Хне есть У). Отметим, что
в трудах Аристотеля смысл суждений отличается от общепринятого, ко-
который вместе с обозначениями утвердился в логике после работ извест-
известного схоласта Петра Испанского. Сам Аристотель не употреблял в суж-
суждениях двусмысленную связку "есть" и формулировал суждения следу-
следующим образом.
А: У присуще всем X.
Е: У не присуще всем X.
I: У присуще некоторым X
О: Уне присуще некоторым X.
Если для "терминов" X и У представить их "объемы" в виде кругов
Эйлера, то число всевозможных соотношений между ними окажется
равным пяти (рис. 1).
G\ G2
имеет собственное
Рис. i
Каждый тип Жергонновых отношений (Gj-
название:
G\ — совпадение или равнозначность;
Gi — левостороннее включение;
Gi — частное совпадение;
G/, — правостороннее включение;
Gs — несовместимость.
Жергонн показал, что каждый тип аристотелевского суждения мож-
можно выразить как некоторое множество возможных вариантов отноше-
отношений G\-G$, в частности:
A: {Gb G2};
Е: {G5};
I: {Gb G2,G:i, G,};
0: {G3, GitG5}.
Например, суждение типа I означает, что некоторая непустая часть мно-
множества или класса X содержится в У. Посмотрев на рис. 1, нетрудно убе-
убедиться, что этому условию удовлетворяют все типы Жергонновых отноше-
отношений, кроме G.5- Жергонновы отношения часто использовались для строгого
обоснования не только правил вывода для простого категорического силло-
силлогизма, в котором в качестве посылок используется два суждения, но и для
более сложных умозаключений, когда в качестве посылок допускается
большее число суждений. Вершиной анализа такого рода можно считать
Работы английского логика и философа Дж. Венна A834-1923).

14
2. Основные понятия алгебры множеств
Однако применение Жергонновых отношений в логике связано с рядом
трудностей. Главная трудность состоит в том, что практически все типы
суждений (за исключением типа Е) представляют несколько вариантов от-
отношений; следовательно, при увеличении количества исходных суждений
число возможных вариантов анализа возрастает в степенной зависимости.
Если рассматриваем сложное рассуждение, содержащее много суждений,
то мы должны для каждого суждения просмотреть все возможные вариан-
варианты Жергонновых отношений. Поэтому для многих логиков и математиков
более привлекательными оказались формальные методы анализа, в кото-
которых это "проклятие размерности" в ряде случаев (но далеко не во всех) лег-
легко преодолевается. Однако работы Эйлера, Жергонна, Венна и многих дру-
других стали своеобразной "затравкой" для создания алгебры множеств,
которая в современной математике приобрела вид, значительно отличаю-
отличающийся от первоначальных Эйлеровых кругов.
Основные понятия алгебры множеств — множество и элемент. Соот-
Соотношение между ними называется отношением принадлежности и обозна-
обозначается знаком ?. Запись х €= А переводится с символического языка как
".г является элементом множества А" или "элемент х принадлежит мно-
множеству А". Если известны все элементы множества (например, а, Ь и с),
то общепринятой является такая запись множества: А = {а, Ь, с} (пере-
(перечисление элементов множества принято заключать в фигурные скобки).
В современной математике пока что не предложено однозначного
определения структурных свойств отношения принадлежности. Осо-
Особенно эта неоднозначность проявляется в тех случаях, когда рассматри-
рассматривается система из совокупности множеств. Ее называют системой мно-
множеств. Например, рассмотрим три категории людей: англичане, русские
и говорящие на русском языке. С точки зрения современного математика,
эти категории можно рассматривать как элементы системы множеств.
С другой стороны, наши "элементы" сами состоят из некоторых эле-
элементов — конкретных людей. Но если каждого человека можно рассмат-
рассматривать как элемент, изолированный от других элементов множества,
то для "элементов" более высокого ранга такая изолированность не все-
всегда имеет место. Во-первых, многие русские есть одновременно и гово-
говорящие на русском языке. И очевидно, существуют англичане, которых
тоже можно отнести к категории говорящих на русском языке. Получа-
Получается, что понятие "элемент" для наших категорий людей относится ско-
скорее к их названиям или именам, но не к их "объемам".
В некоторых рассуждениях логиков (например, в формулировках
ряда парадоксов теории множеств) это различие не принимается во вни-
внимание, что и приводит к парадоксу; причина — трудно различаемая дву-
двусмысленность. И по-видимому, это обусловлено тем, что в современной
теории множеств в общепринятых трактовках понятия "элемент" отсут-
2. Основные понятия алгебры множеств
15
ствует указание на то, что каждый "элемент", если он одновременно яв-
является множеством, не должен содержать элементов, которые одновре-
одновременно были бы элементами других "элементов" более высокого порядка.
Спор на эту тему завел бы нас слишком далеко. Поэтому рассматривае-
рассматриваемый новый методический подход к моделированию и анализу естествен-
естественных рассуждений основан не на отношении принадлежности, а на отноше-
отношении включения, структурные свойства которого в современной математике
определены достаточно четко и однозначно. Поскольку структурные свой-
свойства отношения принадлежности в настоящее время не определены, мы бу-
будем его использовать лишь в случаях, не допускающих разночтений. У нас
просто не будет места ситуациям, когда мы должны представлять некото-
некоторое множество как элемент другого множества или как элемент самого себя.
Этого вполне достаточно для того, чтобы избежать целой серии парадоксов,
известных как "парадоксы теории множеств", которые появились и стали
поводом для бурных дискуссий в начале XX века.
Рассмотрим отношение включения множеств более подробно. До-
Допускаются два несколько отличающихся варианта этого отношения:
<= — строго включено;
?= — включено или равно.
Запись А <= В означает, что множество А включено в множество В, но
при этом невозможно равенство этих множеств. Запись А ? В означает,
что множество А включено в множество В, но при этом не исключается,
что они могут быть равными. По сути, записи А <= В и А <= В означают, что
I все элементы множества А являются также и элементами множества В.
Изображение отношения включения с помощью кругов Эйлера показано
на рис. 2. В данном случае не обязательно использовать правильные кру-
I ги. Для изображения множества может подойти любая замкнутая фигура.
Рис.2
Если множества заданы с помощью перечисления элементов, то от-
отношение включения (или невключения) одного множества в другое
множество можно легко установить, если сравнить элементы этих мно-
множеств. Например, если заданы множества
P={a,b,c,d,e}; Q={b,d,a\; R = {a,c,J),
то можно легко установить, что Q с Р, но в то же время отношение R с Р
Для этих множеств неверно.

16
2. Основные понятия алгебры множеств
Порядок перечисления элементов для множеств не существенен. На-
Например, множества {b, d, a}, {a, b, d), {d, a, b) — это по сути одно и то же
множество. Если же порядок перечисления множеств является суще-
существенным, то в этом случае мы имеем дело не с множествами, а с после-
последовательностями или с упорядоченными множествами. Математические
свойства последовательностей существенно отличаются от математи-
математических свойств обычных множеств.
Отношение включения между множествами остается неизменным
даже в тех случаях, когда изменяется подход к разбиению этих множеств
на элементы (разумеется, при условии, что новый способ разбиения
применяется сразу ко всем связанным отношениями включения множе-
множествам). Преимущественное использование отношения включения в ма-
математической модели рассуждений вряд ли устраняет полностью все не-
неприятности, связанные с отношением принадлежности, но во многих
случаях позволяет их значительно ослабить. Существуют множества,
которые вообще трудно перечислить как совокупность элементов, на-
например "множество хороших поступков". К тому же, если рассматривать
отдельные поступки, может оказаться, что разные люди (даже если они
считаются компетентными экспертами по поступкам) оценивают их по-
разному: один эксперт скажет, что это хороший поступок, а другой оце-
оценит тот же поступок как плохой.
Можно для уточнения оценки поступков дать следующее определе-
определение хорошего поступка: "Хороший поступок — это такой поступок, ко-
который приносит добро хотя бы некоторым людям и не приносит зла
никому". Если все наши эксперты согласятся с этим определением, то
в некоторых случаях, ориентируясь на него, они могут сблизить свои
оценки тех или иных поступков. Далее мы увидим, что данное выше
определение хорошего поступка можно математически сформулировать
с помощью отношения включения множеств.
С точки зрения математики алгебра множеств относится к классу ал-
алгебраических систем, т. е. математических систем, у которых определены
некоторые отношения и некоторые операции. В алгебре множеств кроме
отношения включения имеется отношение равенства (или эквивалентно-
эквивалентности). Интуитивно понятно, что два множества равны, если они состоят из
одних и тех же элементов. Но при определении равенства в алгебре мно-
множеств можно отказаться от понятия "элемент" и от "неудобного" отноше-
отношения принадлежности. Тогда получим следующие определения.
Определение 1. Множества Л и В равны, если справедливо
как А<^В, так и В ? Л.
Если множества связаны отношением Л <= В или А ^ В, то множество
А называют подмножеством множества В. Среди всех возможных под-
2. Основные понятия алгебры множеств
17
множеств произвольного множества А обязательно содержится и само
множество А. Другими словами, для любого множества А всегда спра-
справедливо А Е А.
В алгебре множеств особо выделяется и часто используется множе-
множество, которое называется "пустое множество" (обозначается 0). Ясно,
что пустое множество не содержит никаких элементов. Но это интуи-
интуитивное определение не раскрывает полностью его сути и роли в алгебре
множеств. В большей степени его суть раскрывается в следующем пред-
предложении, которое можно отнести к одной из аксиом алгебры множеств:
пустое множество включено в любое множество.
Для пояснения смысла этого предложения рассмотрим следующий
пример. Пусть А — множество крокодилов. Ясно, что это множество мо-
может иметь какие-то подмножества. Например, множество С крокодилов,
живущих в зоопарках. Тогда отношение между Л и С можно записать как
0 е1 А. Рассмотрим еще два подмножества множества Л: подмножество
крокодилов, говорящих на русском языке, и подмножество крокодилов,
являющихся членами партии "Яблоко". Ясно, что это пустые множества
(даже в том случае, если кто-либо предпочитает называть некоторых го-
говорящих на русском языке или некоторых членов партии "Яблоко" кро-
крокодилами), и все-таки мы можем их считать подмножествами множе-
множества Л. В более серьезных случаях, когда нам надо доказать, что данное
множество X не существует (или существует), мы сводим доказатель-
доказательство существования к доказательству отношения X = 0 (или X * 0). Ча-
Часто такое сведение позволяет намного упростить доказательство.
Если множество задано перечислением элементов, то зачастую инте-
интерес представляет совокупность всех подмножеств этого множества. На-
Например, для множества Л = {а, Ь, с) такая совокупность состоит из вось-
восьми подмножеств:
0, {а}, {Ь}, {с}, {а,Ь), {а, с}, {b,c}, {a,b,c}.
Обратите внимание, что само множество Л является подмножеством
самого себя. Известно и простое соотношение, позволяющее сразу же
узнать общее число всех возможных подмножеств множества, содержа-
содержащего N элементов. Оказывается, что для любого JV такое число равно 2 .
Например, для нашего множества Л = {а, Ь, с} число всех возможных
подмножеств равно 23.
Обычно во многих рассуждениях используется некоторый набор мно-
множеств. Такой набор называется в алгебре множеств системой множеств.
При этом в систему множеств помимо пустого множества включается
и универсум, т. е. множество, для которого все множества системы мно-
множеств являются подмножествами. Другими словами, системой множеств
является некоторая совокупность подмножеств некоторого множества,

18
2. Основные понятия алгебры множеств
2. Основные понятия алгебры множеств
19
принятого за универсум. В современной математике известны также сис-
системы множеств без универсума, но нам они здесь не понадобятся.
Для универсума нет общепринятых обозначений. Далее мы будем
обозначать его символом U. В отличие от современной (Канторовой)
теории множеств, в алгебре множеств предполагается, что системы
множеств составлены из множеств, которые не могут быть одновре-
одновременно элементами этой системы. Элементами можно считать лишь
имена этих множеств в тех случаях, когда система множеств представ-
представлена также множеством имен (или обозначений) составляющих ее
множеств. Тем самым устраняются многие двусмысленности и пара-
парадоксы теории множеств, которые получаются, если считать, что неко-
некоторые множества (но не их имена!) могут быть одновременно и элемен-
элементами других множеств.
Перейдем к операциям. При определении операций для упрощения
мы будем использовать понятие "элемент", предполагая при этом, что
понятия "множество" и "элемент" сугубо разнородные понятия и любое
множество ни при каких условиях не может быть элементом. Даже если
множество состоит из одного элемента, то можно сказать, что это одно-
одноэлементное множество, и рассматривать его как обычное множество, но
не как элемент. Начнем с операции дополнения.
Определение 2. Дополнением множества Л называется мно-
множество А, содержащее только те элементы универсума, ко-
которые не являются элементами множества А.
В логике дополнению множества часто соответствует отрицание. На-
Например, "не красный" — любой возможный цвет, кроме красного. Обыч-
Обычно дополнение множества обозначается с помощью черты, расположен-
расположенной над символьным обозначением этого множества. Например, й^
является обозначением дополнения множества Rjk.
Пример 1. Пусть U = {а, Ь,с,с1}иР= {а, с}. Тогда Р = {b, d).
Определим еще две основные операции — пересечение и объедине-
объединение множеств.
Определение 3. Пересечением множеств А и В называется
множество С — А П В, все элементы которого являются од-
одновременно элементами множеств Аи В.
Например, пересечением множества А всех чисел, делящихся на 2,
и множества В всех чисел, делящихся на 3, является множество С всех
чисел, делящихся на 6.
В логике операции пересечения соответствует логическая связка "И"
(обозначается как Л или &). Если речь идет об объектах со свойством Р
пли Q, то логическая формула Р Л Q означает, что речь идет только об
объектах, которым присущи оба этих свойства. Если, допустим, свой-
свойствам Р и Q соответствуют некоторые множества Sp и 5ц, то пересечение
этих множеств Sp n 5q будет состоять из элементов, каждому из которых
присущи свойства Р и Q.
Пример 2. Пусть Л = {a, b, c,d}uP = {а, с,/}. Тогда А П Р- {а, с}.
Определение 4. Объединением множеств А и В называется
множество С — A U В, все элементы которого являются эле-
элементами по крайней мере одного из этих множеств.
В логике операции объединения соответствует логическая связка
"ИЛИ" (обозначается V). Если речь идет об объектах со свойством Р или
Q, то логическая формула Р V Q означает, что речь идет только об объек-
объектах, которым присуще хотя бы одно из этих свойств. При этом допуска-
допускается, что объекты, которым присущи оба свойства, также относятся к это-
этому классу объектов.
Пример 3. Пусть А = {a, b,c,d}mP = {а, с,/}. Тогда А и Р = {а, Ь, с, d,f).
Обратите внимание, что в примере 3 элементы а и с, которые содержатся
в каждом из множеств Аи В, в объединении С не удваиваются, а содержатся
как однократные. В математике и ее приложениях иногда используют мно-
множества с кратными элементами (они называются мультимножествами), но
нам такие экстравагантные множества не понадобятся. В них некоторые
законы не совпадают с законами обычной алгебры множеств.
Для обозначения операций пересечения и объединения множеств ис-
используются соответственно символы Пии.
| Определение 5. Разностью множеств А и В называется
'. множество С = А\В, которое содержит только те элементы
| множества А, которые не являются одновременно элемен-
| тами множества В.
\ Пример 4. Пусть А = {а, Ь, с, d) и Р = {а, с, J]. Тогда А\Р ={b,d}.
Важно отметить, что разность множеств является производной операци-
операцией. Это означает, что ее можно выразить с помощью других основных опе-
операций, — для разности множеств справедливо следующее соотношение:
А\В = А П В.
Если в примере 4 задать универсум, например U = {а, Ь, с, d, e, f], то
нетрудно убедиться в справедливости этого равенства.
В то же время операцию дополнения можно выразить с помощью
операции разности: А = U\A. В некоторых версиях алгебры множеств
операция разности множеств представлена как основная операция,
а операция дополнения — как производная операция. Однако основные
соотношения (или законы) алгебры множеств при этом остаются неиз-
неизменными.

20
2. Основные понятия алгебры множеств
2. Основные понятия алгебры множеств
21
На рис. 3 соответствующие операции над множествами изображены
с помощью "кругов Эйлера". Серым цветом показаны результаты опе-
операций. Условимся в качестве универсума использовать прямоугольник,
а в качестве обычных множеств — круги или эллипсы. С учетом этого
будем в дальнейшем называть наглядные изображения, введенные Эй-
Эйлером для пояснения математического смысла суждений, не кругами,
а диаграммами Эйлера.
АПВ
А\В
Рис.3
Хотелось бы обратить внимание на следующее важное обстоятель-
обстоятельство. Для множеств Л и В, у которых нет общих элементов, справедливы
следующие соотношения:
Л П В = 0 и АяЪ.
Ситуацию, соответствующую этим соотношениям, можно наглядно
представить с помощью диаграммы Эйлера (рис. 4).
Рис. 4
Теперь у нас достаточно понятий для того, чтобы отобразить в виде
математической формулировки приведенное выше определение хоро-
хорошего поступка. Пусть у нас универсумом будет множество всех поступ-
поступков. Обозначим Л — множество хороших поступков, В — множество по-
поступков, приносящих добро хотя бы одному человеку, и С — множество
поступков, никому не приносящих зла. Тогда математической форму-
формулой данного определения будет
A s (В ПС). A)
Можно также использовать другую формулировку этого определе-
определения, если определить множество Скак множество поступков, каждый из
I • которых приносит зло хотя бы одному человеку. Тогда мы получим еле-,
дующую формулировку:
А ? (В П С), B)
в которой уже используется операция дополнения множеств. Заметим,
что формуле A) соответствует также приведенная в первом разделе
строка из "Евгения Онегина". Этой же форме соответствует вполне
строгое математическое определение: "Квадрат — это прямоугольник
с равными сторонами". В последнем случае в качестве универсума мож-
можно взять множество четырехугольников, В — множество прямоугольни-
прямоугольников, С— множество четырехугольников с равными сторонами. Если ис-
использовать диаграммы Эйлера, то мы можем получить наглядное
изображение этих формул (рис. 5 и 6). »
Рис.5
Рис.6
Правда, для приведенного выше определения квадрата диаграмма,
представленная на рис. 5, не совсем подходит, потому что в этом случае
справедливо не отношение включения, а отношение равенства: Л = (В П Q.
Известно, что "квадрат" и "прямоугольник с равными сторонами" — это
одно и то же. Но если рассматривать отношение Е как "включено или рав-
равно" и не обращать при этом внимания на указанную диаграмму, то окажет-
окажется, что отношение А Я (В П С) не противоречит точному определению
квадрата. В реальных рассуждениях состав "предикатов", содержащихся
в правой части суждения, как правило, не является достаточным для точно-
точного определения, поэтому, чтобы не попасть впросак, целесообразно в даль-
дальнейшем использовать в подобных записях не отношение =, а отношение ?=.
Количественные соотношения в диаграммах Эйлера (т. е. в данном
случае — площади фигур) не принимаются во внимание. Среди наших
знаний немало таких, когда мы не знаем, чему равно число элементов
множества, но это не мешает нам знать о том, что некоторые из таких
множеств строго включены в некоторые другие множества или что неко-
некоторые из таких множеств точно не содержат общих элементов с некото-
некоторыми другими множествами. Количественный анализ множеств во мно-
многих случаях является составной частью наших знаний, но здесь мы не
будем заниматься проблемами количественного анализа. Оказывается,

22
2. Основные понятия алгебры множеств
даже в такой сугубо качественной системе возникает немало интерес-
интересных задач и методов их решения.
Математические формулы A) и B) являются частными случаями
более общей математической структуры, которую далее мы будем назы-
называть суждением. В форму суждений можно перевести многие предложе-
предложения естественного языка. Математические и логические свойства этой
структуры мы подробно рассмотрим в следующих разделах. А пока при-
приведем некоторые общие законы алгебры множеств, которые необходимы
для более глубокого понимания этих свойств.
Законы алгебры множеств — это по сути теоремы, которые выводят-
выводятся из основных определений и аксиом. Часто приводятся 26 или 28 зако-
законов алгебры множеств. Разумеется, они не исчерпывают всех возмож-
возможных соотношений этой алгебры. Здесь мы приведем без доказательства
лишь некоторые из них, необходимые для понимания дальнейшего ма-
материала. Пусть А, В, С — некоторые произвольные множества в универ-
универсуме U. Тогда законами алгебры множеств являются следующие соотно-
соотношения между ними.
1. А = А.
Пример5. Пусть U— {a,b,c,d)mP = {а,с}.ТогдаР— {b,d}nP- {а,с} = Р.
В логике этот закон известен под названием закон отрицания отри-
отрицания (или закон двойного отрицания): не (не-А ) — то же самое, что и А.
2. А Л А = 0 (множество и его дополнение не имеют общих элементов).
В логике этому закону соответствует закон непротиворечия (утверж-
(утверждение и его полное отрицание логически несовместимы).
3. А и А = U.
В логике этому закону соответствует закон исключенного третьего
(совмещение любого утверждения и его полного отрицания не допуска-
допускает присутствия какого-либо третьего промежуточного варианта).
Следующие соотношения характеризуют более подробно свойства
пустого множества и универсума:
4. 0 = 17. 7. A U 0=А.
5. ?/ = 0. 8. A n t/= А.
6. А П 0 = 0. 9. A U U=U.
Следующие законы алгебры множеств связывают друг с другом от-
отношения включения и равенства:
10. Из А ? В следует:
10.1. А ПВ = А. 10.3. AU B=U.
10.2. АИВ = В. 10.4. АП В =0.
2. Основные понятия алгебры множеств
23
Соотношение 10 можно выразить также с помощью операции разно-
разности множеств:
10.5. Из А ? В следует А\В = 0.
Следующие законы в логике и алгебре множеств называются закона-
законами де Моргана:
11.1. А(Тв = Ли В. 11.2. ATjB = A П В.
И наконец, приведем два закона, которые определяют системные
свойства отношения включения. Их мы будем использовать в дальней-
дальнейшем в правилах вывода.
12.1. Если А ^ В и В ?= С, то А^С (закон транзитивности включения).
12.2. Если А ^ В, то справедливо и В Е А (закон контрапозиции).
Смысл всех этих законов станет более понятным, если воспроизвести
соотношения, выражающие их, с помощью диаграмм Эйлера (для луч-
лучшего усвоения материала читателю предлагается построить соответ-
соответствующие диаграммы самостоятельно). Диаграммы Эйлера не считают-
считаются строгим доказательством этих законов, но часто помогают найти
строгое доказательство. Однако использование диаграмм Эйлера стано-
становится весьма неэффективным при анализе систем из трех и более мно-
множеств. А именно такие системы приходится часто использовать при ана-
анализе даже сравнительно простых рассуждений. Для устранения этих
трудностей предлагается другой математический аппарат, в котором со-
совмещаются законы алгебры множеств с аналитическими возможностя-
возможностями теории графов. Необходимо упомянуть, что современная теория гра-
графов так же, как и алгебра множеств, тесно связана с именем Л. Эйлера —
в основе современной теории графов лежат некоторые открытые им со-
соотношения. Поэтому было предложено назвать новую математическую
структуру, в которой сочетаются законы алгебры множеств и аналити-
аналитические возможности теории графов, логической структурой Эйлера (или
сокращенно Е-структурой). Именно эта структура, о которой пойдет
речь в следующем разделе, положена в основу математического модели-
моделирования и анализа естественных рассуждений.
В заключение этого раздела отметим, что определение Е-структур
можно дать не с точки зрения алгебры множеств, а на основе другой ма-
математической системы — теории частично упорядоченных множеств.
При этом получаются некоторые интересные обобщения. Но, хотя основы
теории частично упорядоченных множеств достаточно просты и легко-
Доступны даже школьникам, мы в основном тексте не будем использо-
использовать этот подход к определению Е-структур. В Приложении Б, предназ-
предназначенном для читателей с хорошей математической подготовкой, этот
подход рассмотрен подробно.

3. Е-структуры: определение и основные свойства
25
Е-структуры: определение
и основные свойства
Рассмотрим пример из книги Л. Кэрролла "История с узелками"
[Кэрролл, 1973].
Пример 6. Пусть заданы следующие посылки:
"Все малые дети неразумны".
"Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения".
"Все неразумные люди не заслуживают уважения".
Необходимо определить, что следует из этих посылок.
Система таких посылок называется в логике полисиллогизмом или
соритом. Просто силлогизмом называется система, которая содержит
всего лишь две посылки. Аристотелева силлогистика в основном пред-
предназначена лишь для решения силлогизмов. А чтобы с ее помощью по-
получить следствие в полисиллогизме, надо последовательно подбирать
подходящие пары суждений, получать из них следствия до тех пор,
пока не будут исчерпаны все возможности. Но это довольно трудный
путь, который не всегда приводит к единственному решению.
Математик и логик Чарльз Л. Доджсон (многим он известен как
Льюис Кэрролл — автор знаменитых сказок про Алису) разработал
оригинальную методику решения не только силлогизмов, но и поли-
полисиллогизмов. Наша методика существенно отличается от методики
Кэрролла, но начальные этапы решения таких задач почти полностью
совпадают. С самого начала надо определить основные термины, из
которых состоит система посылок, ввести для них обозначения и вы-
выбрать подходящий универсум. Здесь ясно, что основными терминами
данной задачи являются следующие: "малые дети" (С), "разумные
люди" (S), "те, кто укрощает крокодилов" (Г) и "те, кто заслуживает
уважения" (R). Очевидно, что эти основные термины представляют
какие-то множества в универсуме "люди". Их отрицаниями соответ-
ственно_будут следующие термины: "не малые дети" (С), "неразумные
люди" (S), "те, кто не укрощает крокодилов" (Т) и "те, кто не заслужи-
заслуживает уважения" (/?).
Каждая посылка является суждением. Теперь мы можем записать
условия задачи в обозначениях алгебры множеств:
C<=S; T^R; S <= R. C)
Сразу отметим, что в состав терминов системы мы обязательно вклю-
I чаем не только "позитивные" термины (С, S, Т и R), но и их отрицания
'1 (для множеств — дополнения): С, 5, Г и R. Тем самым мы определили
-структуру, которая состоит из системы множеств @, U, С, S, T, R,
', 5, Т, R) и некоторых отношений включения между этими множества-
|ми, формулировка которых содержится в посылках C). Ниже дадим бо-
|лее общее и более строгое определение ^-структур.
При формализации рассуждений мы предполагаем, что каждому тер-
|мину соответствует какое-то множество или его дополнение, если тер-
термин используется с отрицанием. Отрицание термина также можно на-
назвать термином, но иногда это приводит к двусмысленности. Поэтому
в дальнейшем во многих случаях для обозначения термина или его отри-
отрицания мы будем использовать слово "литерал", как это принято в логике.
Множество всех литералов исходного рассуждения мы назовем базовы-
базовыми литералами. Дадим определение суждения.
Определение 6. Суждением называется выраженное
с помощью базовых литералов отношение включения,
в левой части которого содержится единственное множе-
множество, представленное базовым литералом, а в правой час-
части — пересечение множеств, представленных некоторы-
некоторыми базовыми литералами. Базовый литерал в левой части
называется субъектом суждения, множество базовых ли-
' тералов, представленных в правой части, — предикатами
суждения.
Теперь можно дать определение ^-структуры.
Определение 7. Е-структурой называется совокупность
литералов, соотношения между которыми определяются
некоторым множеством суждений, называемых посылками.
Таким образом, пример, приведенный в начале раздела, можно мате-
математически выразить как ^-структуру с множеством базовых литералов
L = {С, S, T, R, С, 5, Г, R} и посылками C).
В дальнейшем мы будем оперировать в основном литералами, а не
множествами, но при этом не будем забывать и о том, что каждому рас-
сУждению соответствует система множеств, в которой законы алгебры
множеств соблюдаются неукоснительно. Это поможет нам не выходить
в своем анализе за рамки строгой математики.

26
3. Е-отруктурьг. определение и основные свойства
3. Е-структуры: определение и основные свойства
27
Следующим шагом после уточнения терминологии при анализе
Е-структур является вывод следствий. Для любой системы логического
вывода необходимы по крайней мере два компонента: 1) правила, с по-
помощью которых в этой системе можно формировать исходные посылки,
и 2) правила вывода, с помощью которых из произвольно заданных по-
посылок можно получить следствия. Тем самым мы как бы представляем
каждую конкретную ^-структуру аксиоматической системой, в которой
посылки играют роль аксиом, а правила вывода определены в соответ-
соответствии с законами этой системы.
Но получение всех возможных следствий не является завершающим
этапом анализа. Нам еще предстоит освоить методы (или правила), кото-
которые позволяют определить, является ли наша система корректной и со-
содержит ли она неопределенности. Методы решения этих и других задач
мы рассмотрим в следующих разделах, а сейчас перейдем к правилам вы-
вывода. При определении этих правил мы будем использовать некоторые
законы алгебры множеств, и в частности те законы, которые устанавлива-
устанавливают системные свойства отношения включения (в предыдущем разделе им
присвоены номера 12.1 и 12.2). Здесь мы полностью отходим отметодики
Л. Кэрролла. Сходство заключается лишь в том, что в своей методике
Л. Кэрролл неявно также использовал некоторые законы алгебры мно-
множеств. Хотя термин "алгебра множеств" в те времена не употребляли, но
уже тогда наряду с поиском математических обоснований логики форми-
формировались основные понятия и законы будущей алгебры множеств.
Пусть X, Y и Z — некоторые базовые литералы .Е-структуры.
Определение 8. Правилами вывода .Е-структуры являются
следующие: _ _
правило С (контрапозиции): изХ9 У следует Y ?= X;
правило Т(транзитивности): изХЕ У и У^ZcлeдyeтX^Z.
Теперь у нас достаточно инструментов для того, чтобы приступить
к решению задачи, приведенной в начале этого раздела. Сначала мы
применим ко всем посылкам правило С и получим следующие выраже-
выражения, которые можно считать первыми следствиями наших посылок:
С\: S s С;
С2: R^f;
СЗ: ДЕЗ.
Необходимо учесть, что при выводе следствий мы используем иногда
и закон двойного отрицания. Так, если из первойпосылки мы получили
по правилу С следствие 5 ? С, то из равенства S = 5 получаем 5 е С.
Можно теперь перевести наши следствия с математического языка
на обычный. Например, 5 ? С переводится как "Все разумные люди не
являются малыми детьми". Но продолжим вывод следствий — у нас в за-
запасе еще есть правило транзитивности. Из всех посылок и полученных
следствий выберем пары суждений, у которых правая часть первого
суждения полностью совпадает с левой частью другого суждения. Вы-
Выпишем такие пары:
Из них по правилу Т получим еще четыре следствия:
С4: C<=R;
С5: T<=S;
С6: S<=T;
С7: R<=C.
Для этих новых суждений снова выберем подходящие для примене-
применения правила Г пары суждений из уже имеющихся и получим еще четыре
суждения, но оказывается, что некоторые из них дублируют полученные
ранее. В итоге имеем:
С8: С<=Т;
С9: Т<=С.
Далее увидим, что попытка использовать любое правило вывода при-
приведет к тому, что мы будем получать только те суждения, которые у нас
уже есть. Процесс вывода на этом заканчивается.
Самыми интересными, по-видимому, являются следствия, получен-
полученные на последнем этапе процедуры вывода. Если переведем их на обыч-
обычный язык, то получим следующие суждения: "Все малые дети не укро-
укрощают крокодилов" и "Все, кто укрощает крокодилов, не являются
малыми детьми". Задача решена, но хотелось бы, чтобы инструменты
для ее решения были бы попроще. Иначе процесс вывода оказывается не
очень удобным для применения даже для системы с тремя простыми по-
посылками.
Если имеется компьютер, эта проблема решается с помощью вычис-
вычислительной программы. При работе с программой достаточно только вве-
ввести в компьютер исходные посылки, и мы сразу же получим результат
в виде списка всех следствий, даже если в нашей задаче содержится не
три, а значительно большее число посылок. Хотя в некоторых случаях
мы можем получить не следствия, а сообщение: "Данная задача содер-
содержит коллизии!"
О коллизиях речь впереди. А сейчас мы попробуем упростить проце-
ДУРУ вывода. Это, кстати, требуется не только для того, чтобы облегчить
Ручной' труд, но и для того, чтобы лучше понять математические свой-
свойства Е-структур.

28
3. Е-структуры: определение и основные свойства
3. Е-структуры: определение и основные свойства
29
Первое, что мы сделаем, — это заменим в математической форме суж-
суждения все знаки е на стрелки -*. При этом будем считать, что стрелки
могут быть любой длины и необязательно прямыми. Тем самым мы фор-
формально перейдем к отображению суждений не в виде формул алгебры
множеств, а в виде некоторых схем, которые в математике называются
ориентированными графами. Далее возьмем чистый лист бумаги и вы-
выпишем на некотором расстоянии друг от друга все базовые литералы на-
нашего рассуждения. При этом мы расположим литералы в двух строках:
в верхней строке будут все "позитиюые'\литералы (С, S, T, R), а в ниж-
нижней — все "негативные" литералы (С, 5, Т, R). Кроме того, альтернатив-
альтернативные литералы (например, 5 и S) мы расположим строго на одной верти-
вертикали. Затем соединим некоторые литералы стрелками в соответствии
с нашими посылками C). Мы получили ориентированный граф, с помо-
помощью которого изображается исходная задача (рис. 7).
С 5 R*—Т С S<—R<—Т
X
Рис. 8
Если теперь дополнительно провести стрелки, которые соответству-
соответствуют следствиям, выведенным с помощью правила контрапозиции, то по-
получим ориентированный граф, изображенный на рис. 8. Правила рисо-
рисования контрапозиции для нашей схемы весьма просты и соответствуют
некоторым принципам симметрии:
1) если исходная стрелка горизонтальная, то контрапозиция также
изображается горизонтальной стрелкой, соединяющей дополне-
дополнения литералов, содержащихся в посылке, но эта стрелка ориенти-
ориентирована уже в другой строке в обратную сторону. Это правило мож-
можно использовать и для изогнутых стрелок, если они соединяют
литералы, находящиеся на одной строке;
2) если исходная стрелка наклонная, то в контрапозиции сохраняет-
сохраняется вертикальное направление (вверх или вниз), но при этом меня-
меняется на противоположное горизонтальное направление. Напри-
Например, контрапозицией стрелки, направленной вправо и вниз, будет
стрелка, направленная влево и вниз.
Строго вертикальные стрелки в нашем примере не появятся. Забегая
вперед, отметим: такие стрелки, если они появляются в процессе логи-
логического вывода, говорят о том, что в нашем рассуждении содержится
коллизия парадокса.
Прежде чем двигаться дальше, познакомимся с некоторыми поняти-
понятиями теории графов. Каждый ориентированный граф состоит из множе-
ства вершин и набора дуг. В нашем случае вершины соответствуют лите-
литералам, а дуги графа изображаются стрелками. Существует еще одна раз-
разновидность графов, в которой некоторые связи не имеют ориентации,
т. е. каждая такая связь безразлична к направлению. Такие связи назы-
называются неориентированными связями, или ребрами графа, а сам граф,
содержащий дуги и ребра, называется смешанным графом. Граф, в кото-
котором все связи неориентированные, называется неориентированным гра-
графом (иногда просто графом). С неориентированными связями нам при-
придется в дальнейшем встретиться при анализе коллизий, поэтому такие
сведения нам не помешают.
Важным понятием теории графов является понятие пути. Если мы
выберем произвольную вершину и начнем двигаться из нее в другую
вершину вдоль связей в строгом соответствии с ориентацией стрелок,
то, фиксируя вершины, где нам удалось побывать во время этого путе-
путешествия, мы получим последовательность, которая и называется путем
в данном графе. Например, в графе на рис. 8 можно выделить макси-
максимальные пути, содержащие все возможные связи, полученные после
применения правила С:
путь 1: С-
путь 2: Г-
>5-
R-
R
S-
¦Г;
С.
С понятием пути связано еще одно важное понятие. Выберем ка-
какую-либо произвольную вершину графа (например, R) и выделим те
вершины, в которые можем проложить путь из jR. Это будут вершины,
достижимые из R. В нашем примере из вершины R достижимы верши-
вершины SnC.
Если мы сопоставим понятие достижимости с правилом транзитив-
транзитивности в наших правилах вывода, то придем к следующему правилу, по-
позволяющему получать на наших схемах новые следствия:
Если на схеме вершина Z достижима из вершины Y, то связь
Y—*Z является либо исходной посылкой, либо следствием
нашего рассуждения.
Посмотрев теперь на рис. 8, нетрудно убедиться, что все следствия
С4-С9, выведенные нами ранее, также могут быть получены с помощью
правила достижимости. Существует очень простой способ: если выпи-
выписать в одной строчке каждый из путей, то транзитивные связи и соответ-
соответственно следствия, полученные по правилу транзитивности, можно об-
обнаружить, указав все возможные стрелки, направление которых
совпадает с общим направлением пути (рис. 9). На рис. 9 для нагляднос-
наглядности исходные посылки обозначены жирными стрелками. Все остальные
стрелки обозначают следствия.

30
3. Е-структуры: определение и основные свойства
3. Е-структуры: определение и основные свойства
31
Рис.9
Получив сразу все возможные следствия из посылок, мы уже вносим
некоторый элемент новизны в традиционные системы логического вы-
вывода. В Аристотелевой силлогистике возможно лишь единственное
следствие из двух посылок. И в системе Л. Кэрролла [Кэрролл, 1973]
единственное следствие получается даже в том случае, если сорит состо-
состоит из 9 посылок.
Логический вывод на основе математической логики производится
в следующей последовательности: вначале выбирается некоторая систе-
система исходных аксиом и некоторое предложение, которое считается пред-
предполагаемым следствием. После этого с помощью довольно сложной про-
процедуры проверяется, является ли данное предложение следствием этих
аксиом. Таким образом, если мы хотим, допустим, доказать теорему, то мы
вначале должны получить формулировку этой предполагаемой теоремы.
Если же мы используем Е-структуры, то нам нет необходимости зани-
заниматься недетерминированным поиском предполагаемых "теорем" — все
они выводятся из исходных посылок с помощью сравнительно простой
процедуры.
Теперь познакомимся с еще одним основным понятием ^-структур.
В граф исходной Е-структуры добавим все возможные следствия. При-
Пример такого графа показан на рис. 9. Он играет важную роль в теории
.Е-структур и в силу этого получил специальное название.
Определение 9. СТ-замыканием .Е-структуры называется
граф, в котором содержатся все посылки этой структуры
и все ее следствия.
Происхождение названия этого графа связано с некоторыми извест-
известными понятиями современной математики. В частности, граф, который
можно получить из исходного графа с помощью применения правила
транзитивности, в теории графов называется транзитивным замыкани-
замыканием данного графа. Поскольку мы используем в ^-структурах при постро-
построении СГ-замыкания не только правило транзитивности (Г), но и прави-
правило контрапозиции (С), то поневоле вынуждены внести некоторые
изменения в традиционный термин.
Важное свойство СГ-замыкания — выполнение им роли инварианта
для некоторого множества Е-структур. Возможны Е-структуры с одина-
одинаковой совокупностью терминов, но с разными исходными посылками,
у которых тем не менее СГ-замыкания полностью совпадают. Это гово-
говорит о том, что данные .Е-структуры логически эквивалентны. Кроме
СГ-замыкания в ^-структурах имеются другие инварианты. С ними мы
познакомимся позже.
Сейчас попытаемся выразить СГ-замыкание не в виде графа, а в ви-
виде математических соотношений. Кстати, именно так оно выражается
и выводится в вычислительной программе, предназначенной для анали-
анализа .Е-структур. И кроме того, как раз такие выражения лежат в основе
компьютерных алгоритмов анализа Е-структур.
Для построения формального выражения для СГ-замыкания запи-
запишем в отдельных строках все возможные базовые литералы .Е-структу-
.Е-структуры, поставим против каждого литерала стрелку и после нее запишем от-
открывающую круглую скобку. Для каждого базового литерала выберем
из посылок и следствий все суждения, в которых этот литерал находится
в левой части (т. е. является субъектом суждения). Затем после скобки
запишем все литералы, которые в выбранных суждениях находятся
в правой части. После этого скобку можно закрыть. Для нашей первой
задачи мы получим следующий набор записей:
С—E, T,R);
¦ С-О;
s
T
9L
(T,R);_
(R,S,C);
(?, С);
Некоторые скобки оказались пустыми. Для нас это тоже полезная
информация — она говорит о том, что данный литерал (в нашем примере
это литералы С и Г) не включен ни в один из базовых литералов и каж-
каждый из них является "верхней границей" данной структуры.
Каждая строка с непустой правой частью в СГ-замыкании являет-
является обычным суждением. Обратите внимание, что некоторые литералы
в СГ-замыкании наполнились новым содержанием по сравнению с пер-
первоначальным. Например, литерал С пополнился здесь двумя новыми
предикатами (Г и R).
Для решения задач с использованием Е-структур можно в качестве
посылок вводить и некоторые другие соотношения, которые не соответ-
соответствуют стандартной форме суждения (см. определение 6), но преобразу-
преобразуются в эту форму. К таким преобразуемым формам относятся следующие:

32
3. Е-структуры: определение и основные свойства
3. Е-структуры: определение и основные свойства
33
ХП Y=0;
ХП УП ... П
0.
Смысл первой формы заключается в том, что два множества не име-
имеют общих элементов. В соответствии с одним из законов алгебры мно-
множеств (в разделе 2 он идет под номером 10.4) равенствоX П У = 0 равно-
равносильно отношению X ^ У. Равносильность отношений X Г\ Y=0
и X ? Y легко доказывается. Предположим, что верно первое отношение
и неверно второе. Последнее означает, что имеется хотя бы одно под-
подмножество х множества X (т. е. xj= X), которое включено в дополнение
У, т. е. в Y (на основе равенства У — У). Но это значит, что х включено
в У, а это, в свою очередь, означает, что х включено как в X, так и в У, что
противоречит равенству X П Y—0.
Таким образом, если известно, что два множества X и Y не имеют об-
общих непустых подмножеств, то этого знания достаточно для того, чтобы
ввести в систему посылок суждение X -* У. Например, есл-и нам извест-
известно, что некоторое число х находится в интервале А: 2 < х < 12.6, а другое
число у — в интервале В: 13Л < у < 21, то из того, что эти интервалы не
имеют общих точек, следует, что соотношение между ними в форме суж-
суждения будет А—* В.
Рассмотрим вторую форму. Она означает, что пересечение некото-
некоторых множеств (в отличие от первой формы их может быть и больше
двух) не равно пустому множеству, т. е. все эти множества имеют по
крайней мере один общий элемент. Тогда мы можем это знание (или
предположение) преобразовать в стандартную форму суждения, если
введем новый литерал, который не совпадает ни с одним базовым лите-
литералом нашей системы (пусть это будет литерал W). Тогда неравенство
X П У П ... П Z ^ 0 преобразуется в следующую стандартную форму
суждения: W^ (X П У П ... П Z). В принятых нами обозначениях это
можно записать так:
Для закрепления полученных знаний полезно решить самостоятель-
самостоятельно еще одну задачу, взятую из книги Л. Кэрролла "История с узелками".
Даны посылки:
"Все члены палаты общин находятся в здравом рассудке".
"Все, кто носит титул пэра, никогда не принимают участия в скачках
на мулах".
"Все члены палаты лордов носят титул пэра".
Что из этого следует?
Указание: рекомендуется ограничить универсум только членами
парламента и учесть, что парламент состоит только из двух палат (это,
в частности, означает, что множество членов палаты лордов является
дополнением множества членов палаты общин). Если же кому-то пока-
покажется, что некоторые выводы являются оскорбительными для членов
парламента, необходимо сделать поправку на то, что речь в данном слу-
случае идет не о парламенте Соединенного Королевства.
С помощью этой формы можно также выразить частные суждения
Аристотелевой силлогистики типа "Некоторые X есть У" и "Некоторые
X не есть Y'. По сути, эти суждения означают, что множества X и У
(в первом случае) и!и У (во втором случае) имеют непустое пересечение.
Тогда соответственно каждое из этих "натуральных" суждений можно
представить как математические суждения W\ -* (X, У) и W2 -* (X, У),
где W\ и 1^2 — новые литералы. Форма W-* (X, У,..., Z) является обоб-
обобщением этих частных суждений. Более подробно частные суждения об-
общего вида (они названы экзистенциальными суждениями) будут рас-
рассмотрены в разделе 6.
23ак. 79

^ 4. Коллизии в рассуждениях 35
ство X равно пустому множеству. А из другого закона (во втором разде-
разделе он идет под номером 4) следует, что X в этом случае должно быть рав-
4 но универсуму. С точки зрения алгебры множеств такую ситуацию
нельзя назвать катастрофической, но в обычном рассуждении это озна-
~ чает, что некоторый объект X, в существовании которого мы изначально
не сомневались, оказывается несуществующим.
КОЛЛИЗИИ В РЗССУЖД€? Н И ЯХ Простейшим случаем коллизии парадокса является соединение в од-¦
ной ^-структуре двух контрарных суждений, например А — В и А -* В.
„ , Посмотрим, что получится, если построить для этой пары суждений
Наверное, трудно найти человека, который никогда не допускал бы / л п\ п « « г
р ' vy \> -г, ^-структуру (рис. 10). Примером такой контрарной пары могут быть,
в своих рассуждениях логических ошибок. В последнее время даже ста- „V, , , , „ иг,
F у А ^ «им частности, такие суждения: Все жирафы живут в Африке и Все жи-
жило модным не замечать их. Оно и понятно: поиск логических ошибок , . , „ с
. , „ паФы не живут в Африке . Если построить контрапозиции исходных
требует не только эрудиции, но и больших затрат умственной энергии,v л л
т; у „ FJ v y „ > посылок, то мы увидим, что между терминами А и А появился путь, кото-
К тому же житейская практика показывает, что этот труд порой обора- „ , i, ц\ р
у . ^ f > hja v y й приводит к следствию А -* А (рис. 11). Содержательно такое сужде-
чивается большими неприятностями для того, кто рискует этим занять- v л, д. тт
. г ~ ' г j ниеговоритотом, что все жирафы не являются жирафами. Причем полу-
ся, особенно если речь идет об анализе логических ошибок в рассужде- * о л * ъ ~х
v _, v у чить это следствие можно двумя путями: А -* В -* Aw A ->¦ В -* А.
ниях сильных мира сего. Возможно, поэтому логика надолго исчезла из
списка общеобразовательных предметов. » ^.п , ^д
Тем не менее мы рискнем показать, как с помощью f-структур можно ч I \ /
сравнительно легко анализировать логические ошибки. Вдруг кому-то это \^ I ^/\^
покажется интересным если не для критики, то хотя бы для самокритики. Д я ~& 7?
Анализ логических ошибок нашим методом допускает в рассуждении
все возможные (порой составленные явно "не по правилам") сочетания Рис-10 Рис- И
суждений. При этом из исходных посылок получаются все возможные
следствия. Среди них оказываются и такие, в которых содержатся какие- ДРУГОИ ПРОСТОИ слУчаи элизии парадокса для пары альтернатив-
то неприятности. Эти неприятности мы будем называть коллизиями. НЫХ литеиРалов П0ЛУчен путем соединения в одной ^-структуре двух
суждении А-+ ВшА—+ В. Сделав аналогичные построения, можно полу-
Определение 10. Коллизиями ^-структуры называются чить уже другую коллизию парадокса А ~* А. Здесь пустым оказывается
следующие ситуации, появляющиеся при построении СТ- базовый литерал Д а роль универсума берет на себя термин А.
замыкания: Попробуем смоделировать коллизию парадокса в примере 6, с кото-
коллизия парадокса: появление в СТ-замыкании по крайней рого начинался предыдущий раздел. Добавим в число посылок сужде-
мере одного из суждений типа X — X или X — X; ние S-^T ("Все разумные люди не укрощают крокодилов"). Может
коллизия цикла: появление в СТ-замыкании по крайней быть, для кого-то это суждение само по себе не кажется парадоксаль-
мере одного цикла. ным, но в нашей системе оно вызывает катастрофу. Если не поленимся
Поясним, что циклом в графе называется путь, который начинается И постР°им СГ-замыкание для новой системы (это можно сделать с по-
и заканчивается одной и той же вершиной. Простое суждение тити М°Щью Диаграмм со стрелками или воспользоваться компьютером), то
X - X не считается циклом. Если между этими литералами стоит хотя У^мся, что в нем появилась коллизия парадокса Г- Г (на схеме она
бы один лит ерал, отличающийся от X, то это уже коллизия. Но вначале УДет представлена вертикальной стрелкой). Если считать правильным
мы рассмотрим коллизию парадокса. сУЖдение 5 - Т и заодно все остальные посылки нашего примера, то
Что означает отношение X - X в алгебре множеств? Вспомним зако! Ну*Но признать, что людей, укрощающих крокодилов, не существует,
непротиворечия: X П X = 0. Из него явно следует, что отношение X s Д я Н° КОллизия парадокса не всегда означает катастрофу. Иногда ее по-
поможет быть справедливым только в единственном случае, когда множе дВЛение позволяет распознать в рассуждении явно лишние термины.
качестве примера такого рассуждения возьмем сорит Л. Кэрр°лла
2*

36 4. Коллизии в рассуждениях 4. Коллизии в рассуждениях 37
о парламенте, который был приведен в конце предыдущего раздела в ка- D _ мои ДруЗЬя, Я - хвастуны, S — скандалисты, У - уверенные в себе,
честве самостоятельного упражнения. Те, кто справился с этой задачей ^ получим
наверное смогли убедиться в том, что в этом сорите отсутствуют колли- _
зии, но некоторые следствия кажутся несколько странными для членов D —* (л, >->)>
парламента (например, "Все, кто не в здравом рассудке, являются члена- # —> F.
ми палаты лордов" или "Все, кто принимает участие в скачках на мулах ^
являются членами палаты общин"). Теперь можно построить все следствия этого рассуждения любым из
Предположим, что некто решил с помощью хитроумных тестов про- предложенных ранее способом (с помощью стрелочных диаграмм или с
^ помошью программы — неважно). Данному рассуждению соответ-
верить умственные способности всех членов палаты лордов и в резуль- нимищыи i^uip < , ^ у t> j ^
тате исследований получил следующий результат: "Все члены палаты ствУет схема на Рис-
лордов находятся в здравом рассудке". Этот результат по форме являет- и Ч Y Г) *¦ И
ся суждением (кстати, многие факты тоже можно выразить в форме суж-
суждений), и мы можем ввести его в качестве дополнительной посылки в на-
нашу систему.
Нетрудно убедиться, что в результате такого нововведения появ 7) Н ~S Y D < Н
ляется коллизия парадокса: "Все, кто не в здравом рассудке, находятсг
в здравом рассудке". Отсюда ясно, что тех, кто не в здравом рассудке
в нашем универсуме (т. е. среди членов парламента) нет, и мы може» Построив далее контрапозиции исходных суждений (рис. 13) и про-
теперь исключить из рассмотрения термин "те, кто не в здравом рас верив все возможные пути на графе, мы убедимся, что коллизий в дан-
судке" и альтернативный ему термин "те, кто в здравом рассудке". За ном рассуждении нет.
одно вместе с этим изъятием (или элиминацией) нужно исключить bcs Попробуйте теперь самостоятельно поочередно проверить на совмес-
связи, которые соединяют эти термины с другими терминами нашего тимость каждую из наших гипотез. Для этого надо построить две систе-
рассуждения. мы рассуждений, в одной из которых в состав исходных посылок добав-
Удаление из рассуждения литерала, связанного с коллизией пара лена гипотеза П, а в другой —гипотеза Г2. И тогда увидим, что гипотеза
докса, не означает, что он исчезает бесследно. Просто один из литерало! п (У — 5) не приводит ни к каким коллизиям, в то время как гипотеза
(в нашем примере - это термин "те, кто в здравом рассудке") становится Г2 E — У) после соответствующих построенийоказывается противоре-
необходимым предикатом всего универсума. чивой. Одно из ее следствий - суждение D-*D ("Все мои друзья - не
Рассмотрим еще один пример, с помощью которого можно показат! мои друзья"). Поскольку есть основание предполагать, что множество
явное неравенство друг другу суждения и его обращения. Если дано не "моих друзей" не является пустым, то мы принимаем первую гипотезу
которое суждение, то обратным ему называется суждение, в которои и отвергаем вторую.
правая и левая части переставлены. Например, суждением, обратные Данные методы анализа рассуждений можно использовать не только
суждению А-*В, будет суждение В -> А. для терминов, обозначающих какие-либо конечные перечисляемые мно-
Пример 7. Даны посылки: жества, но и для терминов, которые обозначают бесконечные множества
"Все мои друзья хвастуны и не скандалисты". с заданными свойствами. Рассмотрим бесконечные множества положи-
"Все, кто хвастается, не уверен в себе". тельных целых чисел со свойствами делимости. Среди них имеются мно-
А теперь предположим, что у нас имеются две гипотезы, которые на» жества четных чисел, нечетных чисел, чисел, кратных трем, семи и т. д.
необходимо проверить на совместимость с исходными посылками: Ясно, что каждое из этих множеств является потенциально бесконечным
Г1: "Все уверенные в себе не скандалисты". множеством. Обозначим эти множества соответственно Щ (четные чис-
Г2: "Все, кто не скандалит, уверены в себе". ла)' ^3 (кратные трем), Щ (кратные пяти), N7 (кратные семи). Существу-
Ясно, что обе гипотезы содержат одни и те же литералы, но кажда-' ют и Дополнения этих множеств, которые тоже являются потенциально
из них является обращением другой. Сначала запишем исходные сужде бесконечными множествами: JV2 (нечетные числа), N-л (не делящиеся на
ния в математической форме, для чего введем следующие обозначений ТРИ)> ^5 (не делящиеся на пять), Ni (не делящиеся на семь).

38 4. Коллизии в рассуждениях ^ 4__Коллизии в рассуждениях 39
Пример 8. Пусть имеется некоторое, возможно, бесконечное множе. Если построить граф этого рассуждения и применить к трем посыл-
ство положительных целых чисел, в котором соблюдаются следующие кам правило контр_апозиции__то на рисунке четко обозначатся два цикла:
соотношения: Е~+ С~+ К~^ ЕшЕ^ К * С~*Е.
- Из законов алгебры множеств следует (строгое доказательство этого
N2 ^ (iV;; n N7); утверждения мы опустим), что для любой последовательности включе-
дг.{ с N5- ний множеств, образующих цикл типа Л — В -> С -* ... -* А, справедли-
__ в0 равенство всех множеств, содержащихся в цикле. В нашем примере
Л/5 ? Л/7. эт0 означает, что все существующие, подтвержденные в эксперименте
г^ г, ,, „опргтныр явления полностью совпадают друг с другом. Если взять
Спрашивается, имеются ли в этом множестве четные числа? и известные явления uu mfj m^j
u , „ гтплггпй полученный в этой задаче цикл, то окажется, что все неизвест-
Можно построить граф этого рассуждения и найти соответствую- ДРУГОИ полученный а
тт - имр несуществующие и не подтвержденные в эксперименте явления
щую коллизию. Но давайте сравним эти соотношения с суждениями из ные> уу
примера 7. Если не принимать во внимание разницу в обозначениях теп- также эквивалентны друг другу.
f R тпалииионной логике такая ситуация определяется как логическая
минов, то можно убедиться, что структура первых двух посылок данного втрадицииппии j u. ^ «
F „ ошибка "круг в обосновании" (или "порочный круг"). Как тут не вспо-
рассуждения в точности равна структуре, в которой используются ис- ош " , тт <¦-. л
п мнить кпылатую фразу из рассказа Чехова: Этого не может оыть, по-
походные посылки примера 7, а третья посылка по структуре соответству- м крылачи 4>v э v
го J Jr % тому что этого не может быть никогда ! Или менее известное в России
ет гипотезе Г2, которая инициировала в исходных посылках примера 7 1ОМУЧШЛ1Ш пс •"• .
л шуточное высказывание Л. Кэрролла: Как хорошо, что я не люолю
коллизию парадокса. Формально эта коллизия соответствует суждению у *
\г г-Гт »г ^ j « спапжу — сказала маленькая девочка своему заботливому другу,—ведь
Л/г Е Л/г, из которого следует, что множество N2 равно пустому множе- ^iuvy< « J1 Л »
ству. Отсюда вполне однозначный ответ на вопрос задачи. если бы я ее люби^а' ™ МНе ПрИШЛ°СЬ бы ее еСТЬ'й Я ее ТерП6ТЬ Н6 М°ГУ "
Перейдем к рассмотрению другой коллизии -коллизии цикла. Рас Все это примеры порочного круга .
смотрим сначала простой цикл между двумя терминами: А -> В -+ А. В Т° Же ^ приведенный пример 9 трудно отнести к разряду удач-
т: км «j«JF /¦ ных шуток. Скорее всего, это образец бессодержательной демагогии.
Если сопоставить этот цикл с отношением включения между множе- „ „
«j Однако коллизия цикла в ^-структуре так же, как и коллизия парадок-
ствами, то цикл означает справедливость двух отношении включения , о „п п ^^„п„^. ^
а г- в r г- л л , са, не всегда означает ошибку в рассуждении. Здесь многое зависит от
А^ВиВ^А.А это, в свою очередь, показывает, что наши множества А п ^ т™™., t.^v
D ^ конкретных примеров. Рассмотрим один из них, в котором коллизия цик-
и й равны друг другу и соответственно термины, которые обозначают „ ^
FJ -^ ™ „ ла позволяет уточнить свойства объектов, содержащихся в рассуждении.
эти множества, имеют одно и то же содержание. Рассмотрим следующий „ ,
1 F д^~щ Пусть известно, что система содержит какие-то объекты с независимы-
независимыми свойствами Е,СиКш для каждого из этих свойств существует его аль-
Пример 9. Пусть заданы три посылки: тернатива: ?, С, К. Например, нам известно, что в каком-то закрытом ящи-
"Все, что существует, подтверждается экспериментом". ке содержатся предметы с различными сочетаниями следующих свойств:
"Все неизвестное не подтверждается экспериментом". они могут быть деревянными (Е) либо пластмассовыми (Е); иметь форму
"Все известное существует". шара (С) либо куба (С); быть красного (К) либо зеленого (К) цвета. Нам
Попробуем принять эти три посылки как аксиомы и построим для не известно число предметов (их может быть сколь угодно много), но из-
них соответствующую ^-структуру. Обозначим: Е — все, что существует, вестны некоторые соотношения, которые можно выразить в форме сужде-
С - все, что подтверждается экспериментом, К — все, что известно. Со- ний. Примером таких соотношений могут быть следующие.
ответственно Е -__то, что не существует, С ~ то, что не подтверждается "Все деревянные предметы имеют форму куба" (Е^ С).
экспериментом, К — то, что не известно. Представим эти посылки в виде "Все предметы зеленого цвета — пластмассовые" (К -* С).
формальных суждений: "Все предметы красного цвета - деревянные" (К — Е).
_г_+ q. Требуется определить, какие сочетания свойств невозможны для
_ _1 предметов, находящихся в этом ящике. Нарисовав схему для исходных
К~^ С; суждений (рис. 14), добавим в нее контрапозиции исходных суждений
К-Е. (РИСЛ5)-

40
4. Коллизии в рассуждениях
4. Коллизии в рассуждениях
41
УСх"
На рис. 15 отчетливо видны два цикла] ?-*¦ С-* К—*ЕпЕ-*К^> С~*Е.
Отсюда делаем вывод, что свойства Е, С, К присущи одному и тому же
множеству и не присущи по отдельности другим множествам системы.
То же самое можно сказать и относительно свойств Е, К, С. Из этого сле-
следует, что в ящике могут находиться только деревянные красные кубы
и пластмассовые зеленые шары, а все остальные сочетания свойств (их
оказывается шесть) исключаются.
При появлении коллизии цикла в ^-структурах наблюдается одна ин-
интересная закономерность. Если продолжить дальше вывод всех след-
следствий, используя только правило транзитивности, то окажется, что все
вершины графа, включенные в цикл, соединятся друг с другом неориен-
неориентированными связями по принципу "каждый с каждым". Например, си-
ситуация, приведенная на рис. 15, при дальнейшем использовании правила
транзитивности, приведет к ситуации, показанной на рис. 16. Если же
у нас появится цикл, содержащий большее число вершин, то добавятся
дополнительно новые неориентированные связи. Например, цикл на
рис. 17 при этом превратится в неориентированный граф, показанный на
рис. 18.
К
Рис. 16
*В
С*—D
Рис. 17
-В
С D
Рис. 18
Графы, в которых все вершины соединены по принципу "каждый
с каждым" неориентированными связями, называются в теории графов
полными графами. Если такой полный граф входит в состав еще какого-
то графа, то данная подструктура называется полным подграфом соот-
соответствующего графа. Для ^-структур существование полного подграфа
в СГ-замыкании означает, что все вершины, включенные в эту подструк-
подструктуру, соответствуют одному и тому же множеству, и поэтому все литера-
литералы этой подструктуры можно считать эквивалентными.
Анализ коллизий позволяет нам разделить все типы ^-структур на
два класса: корректные и некорректные ^-структуры. Закрепим эту
классификацию с помощью строгих определений.
Определение 11. f-структура называется корректной, если
в ней не содержится никаких коллизий, в противном случае
такая f-структура называется некорректной.
Определение 12. Некорректная ?-структура называется
парадоксальной, если в ней содержится коллизия парадок-
парадокса, и непарадоксальной — в противном случае.
В заключение этого раздела рассмотрим еще одну коллизию, кото-
которую мы специально не выделили вначале потому, что она по своему ста-
статусу отличается от коллизий парадокса и цикла. Рассмотренные ранее
коллизии можно считать чисто формальными коллизиями, так как они
выявляются только на основе сведений, которые содержатся в исходных
посылках. Представим теперь ситуацию, когда мы из исходных посылок
вывели какие-то следствия и оказалось, что коллизии отсутствуют. Од-
Однако мы проверяем наши следствия. И вполне возможно, что в следстви-
следствиях содержатся сведения, которые вступают в конфликт с нашими знани-
знаниями. Если у нас есть строгие основания для того, чтобы считать наши
знания истинными, то в этом случае можно для данной ?-структуры
установить еще один тип коллизии, который мы назовем коллизией не-
неадекватности.
Примеры коллизий неадекватности нередко встречаются в процессе
исторического развития научного знания. На определенном историчес-
историческом этапе в научной картине мира имеется некоторая теория, объясняю-
объясняющая многие известные факты или результаты экспериментов. Но наука
находит некоторые новые факты; многие из них соответствуют суще-
существующей теории (т. е. являются следствиями ее исходных положений).
Вместе с тем иногда появляются факты (или экспериментальные иссле-
исследования), противоречащие следствиям существующей теории. И эти
противоречия как раз и есть то, что мы назвали коллизией неадекватно-
неадекватности. И тогда в науке наступает этап споров и дискуссий, который пред-
предшествует рождению новой теории. В данном случае коллизию неадек-
неадекватности можно считать инициатором новых научных открытий.

Инварианты Е-структур
В математике и логике инвариантом системы принято считать не-
некоторое свойство, остающееся неизменным при выполнении опреде-
определенных преобразований в системе. Для ^-структур примем в качестве
такого преобразования построение ее СГ-замыкания, т. е. добавление
к исходным посылкам всех возможных следствий, полученных с помо-
помощью правил вывода. Оказывается, что к одному и тому же СГ-замыка-
нию нередко приводятся разные на первый взгляд системы исходных
посылок. В то же время может оказаться, что некоторые незначительно
отличающиеся друг от друга системы посылок имеют принципиально
отличающиеся СГ-замыкания. Все это позволяет считать СГ-замыкание
некоторой обобщающей характеристикой (логическим инвариантом)
рассуждения, заданного ^-структурами.
Предположим, что /^-структура R задана своими исходными посыл-
посылками. Выделим какую-либо из этих посылок (например, А —>¦ В) и пред-
представим, что вместо нее в ^-структуру R введена в качестве посылки ее
контрапозиция (т. е. посылка В —>¦ А). В этом случае суждение А —>• В
будет уже не исходной посылкой R, а ее следствием, но в СГ-замыкании
структуры R обе эти посылки будут присутствовать и в первом, и во вто-
втором случае. При этом окажется, что и все СГ-замыкание /^-структуры
R при такой замене останется неизменным.
Вполне возможна ситуация, когда в исходных посылках ^-структуры
присутствует посылка, которая является следствием каких-то других ее
посылок. В процессе вывода мы эту посылку получим, но она тут же будет
изъята, так как при выводе мы обязательно проверяем новизну следствий
и оставляем только те суждения, которых до этого не было в наличии.
И опять же СГ-замыкание таких, на первый взгляд разных, структур бу-
будет одним и тем же. И если в первой структуре имеются коллизии, то эти
коллизии сохранятся и при рассмотренных выше ее изменениях.
Таким образом, если нас интересуют в Е-структуре не след-
следствия из ее исходных посылок, а вся структура в целом,
с коллизиями или без оных, то мы можем считать инвариан-
инвариантом Е-структуры ее СТ-замыкание.
Возьмем в качестве примера сорит Кэрролла [Кэрролл, 1973]:
"Все опытные люди компетентны".
"Дженкинс всегда допускает грубые ошибки в работе".
"Все компетентные люди не допускают грубых ошибок в работе".
Сделаем в нем следующие изменения: 1) первую и третью посылки
заменим на их контрапозиции; 2) добавим во вторую посылку одно из
следствий данной структуры; 3) изменим порядок посылок. Тогда мы
можем получить, например, такую последовательность исходных по-
посылок:
"Дженкинс некомпетентен и всегда допускает грубые ошибки в ра-
работе".
"Каждый, кто допускает грубые ошибки в работе, некомпетентен".
"Все некомпетентные люди неопытны".
Ясно, что посылки здесь отличаются, и следствия соответственно бу-
будут другими. К тому же в первой посылке не один, а два предиката суж-
суждения. Но если мы, используя одни и те же обозначения терминов, пост-
построим для каждого из этих случаев СГ-замыкание и сравним их, то
увидим, что они совпадают с точностью до перестановки.
Отметим одну особенность ?-структур. В них результат вывода не
зависит от того, в каком порядке введены или перечислены исходные
посылки. Этим они отличаются от аристотелевских силлогизмов, в ко-
которых тип силлогизма, а во многих случаях и его результат зависят от
порядка перечисления исходных посылок. Для .Е-структур порядок вво-
ввода посылок становится существенным в тех случаях, когда появляются
какие-либо коллизии. Тогда имеет смысл выделить из всего множества
посылок такой ^-структуры наиболее сомнительные и вначале исследо-
исследовать систему без этих посылок. А потом уже на основании полученных
результатов корректировать сомнительные посылки. Еще с одним вари-
вариантом управления порядком ввода посылок мы познакомимся в разделе
о неполных рассуждениях.
В качестве упражнения рассмотрим две ^-структуры Е\ и Е-2, задан-
заданные исходными посылками:
Ех: Х-(У, V); Y^Z; Z-V;
Е2: X^Y; Z^ (X, V); V^ (X,Z).
Определите с помощью построения и сравнения СГ-замыканий этих
структур, являются ли они инвариантными.
Существует, оказывается, еще один и к тому же во многих отношениях
более удобный инвариант f-структур. Посмотрите внимательно на рис. 9
(см. раздел 3). На нем изображено СГ-замыкание задачи из примера 6,
представленное в виде направленных в одну сторону (слева направо)

44 5. Инварианты ^-структур
путей. Обратите внимание, в этих изображениях имеются два вида стре. ~ в диаграмме Хассе и в СГ-замыкании будет равно соответствеяно
лок - прямые и изогнутые. Но разница между этими двумя видами стре. f^f? н0 если N у нас будет равно десяти, то соотношение будет уже
лок заключается не только в кривизне. Дело в том, что если убрать И; '. 18 и до. Разница и "экономия" будут уже существенными,
рисунка все связи, представленные^изогнутыми" стрелками, то мы по!ДРУуЙМиаграммы Хассе имеется еще одно интересное свойство, которое
лучим простые пути типа C-*S^R-+TnT-*R^S^ С, из которы, ? практически использовать при анализе f-структур и моделируе-
можно восстановить все СГ-замыкание, используя при этом в качеств^ М°Ж с их помощью рассуждений. Это свойство определяется следующей
правила вывода только правило транзитивности. МЫХ ° ой /ее доказательство приведено в Приложении Б).
Пути такого типа называются в упорядоченных структурах макси- ^^ 1 Еслипривыводе следствий из исходныхпосылок Е-струкшу-
малъными путями. В произвольных f-структурах их может быть больще ^пользовать только правило контрапозиции, то будет получен граф,
двух, они могут самым причудливым образом пересекаться друг с дру^ы "' полностью содержится диаграмма Хассе этой Е-структуры.
гом, но все они обладают двумя главными свойствами: 1) из совокуп-в п/ктИЧеский смысл этой теОремы ясен. Теперь для построения Ди-
ности этих путей можно полностью восстановить СГ-замыкание "^^^^°Нет ^обжодимосп. Пользовать правило
^-структуры только с помощью правила транзитивности и 2) ни одна агрЯ"™^?Я с Гмощью которого изображение нашей структуры
п™^^^^ -язям, НРадо только после выполнения Всех
операций проверить в полученном графе наличие лишних связей
Определение 13. Граф f-структуры, не содержащий ника- и удалить их из графа, если они имеются.
ких других связей, кроме включенных в максимальные Но наша "экономия" на этом не заканчивается. Можно, оказывается,
пути, называется диаграммой Хассе f-структуры и является любую ^-структуру представить числом связей в два раза меньшим, чем
ее инвариантом. число связей в диаграмме Хассе. Обратите внимание, что в диаграмме
Термин "диаграмма Хассе" взят из теории решеток (есть такая тео- Хассе все СВЯЗИ "Х0ДЯТ ПараМИ": СуЖДеНИ6 * еГ°
рия в универсальной алгебре). Хотя ^-структуры по своим свойствам не МУ бы наМ КаЖД^Ю ТаКуЮ ПЗРУ НС пРедставИТЬ
во всем соответствуют алгебраическим решеткам (нам их особенности Ведь все РавН° ИЗЪЯТуЮ ШРУ МЫ П°ЛуЧИМ> "Р™
знать необязательно), но значение этого термина в ^-структурах полно- тению правило контрапозиции.
стью соответствует значению этого термина в теории решеток. Этот инвариант, составленный из половины суждении
Таким образом, мы можем любую цельную ^-структуру представить ХасСе' НаЗВаН ^™<™ множеством посылок ?-сгруктурь.
не только с помощью СГ-замыкания, но и /помощью диа^аммь Хассе минимальным? А потому что исходная ^^^^J^^
При этом структура становится более наглядной. Попробуем оценить, СЫЛКИ' К0Т°РЫе ВЫВ°ДЯТСЯ ™ °СТаЛЬНЫХ П°СЫЛ^^Zla^ С
сколько лишних связей мы сп б СТ Д0П°"Ь ВСеМИ с^ствиями' получаемыми с "З^ГГ
р руур нлядной. Попробуем оценить,
сколько лишних связей мы используем, если изображаем ее в виде СТ- Д0П°"Ь ВСеМИ с^ствиями' получаемыми с З^еГГмы срав
Т0М преобразовать полученную систему в ^arPa Л
ей мы используем, если изображаем ее в виде СТ З^еГ
замыкания. Для простоты представим, что наша ? структура содержит Т0М преобразовать полученную систему в ^arPa Лассе можем найти
два максимальных пути и каждый из этих путей содержит N базовых ниваяисходныепошлкиссужденилмидиафаммь.^
литералов. Тогда общее число связей в диаграмме Хассе этой структуры ЛИШ™е П0СЫЛКИ СреДИ ^°^ Попробуйте самостоятельно найти
равного- 1). В СГ-замыкании той же самой структуры будГсодер- "лишние^ посылки в следующей f-структуре, заданной суждениями,
жаться уже Л^(Л^ - 1) связей. Определим, сколько связей будет "сэко- А -* D; C^D; C^A; С-*В.
*. «пользование „„,ар„а„ТО» »
ет, во-первых, определить структурные сходства и различия в них, во-» и
К = N(N -i)-2(N-\) = N2-3N+2. рых, оценить независимость исходных посылок и, в-третьих, существенно
При увеличении числа Л^число "сэкономленных" связей К возрастает Уменьшить объем памяти для их представления на электронном носителе,
в квадратичной зависимости, т. е. эта зависимость выражается с помо-
помощью полинома от некоторой переменной (в нашем случае этой перемен-
ной является число Л^ с максимальной степенью 2. Так, при N=4 число

Экзистенциальные суждения
Ранее мы рассматривали примеры с суждениями, в которых для
субъекта явно использовался термин "все" или его присутствие подразу-
подразумевалось. Даже если в качестве субъекта использовался единичный
объект (например, "Онегин" или "Сократ"), то все равно в суждении он
рассматривался как целое неразделимое множество, содержащее един-
единственный элемент и полностью включенное в множества, играющие
в этом суждении роль предикатов. Теперь мы рассмотрим ситуации,
когда в суждениях к субъекту применен термин "некоторые".
Если субъект суждения предваряется термином "некоторые", то
предполагается, что с предикатом может быть связана какая-то часть
множества, играющего роль субъекта. При этом "объем" данной части
может быть неопределенным. Возможно, что она является пустым мно-
множеством, но тогда в системе анализа рассуждений необходимо преду-
предусмотреть распознавание такой ситуации.
В логике термины "все" и "некоторые" играют особую роль. Они на-
называются кванторами, и для них даже введены специальные общепри-
общепринятые знаки: V (все) и 3 (некоторые). В нашей системе отдельные сим-
символы для кванторов не используются. На литералы обычных суждений
неявно "навешен" квантор "все", а для квантора "некоторые" предлагает-
предлагается использовать специальный вид суждений — экзистенциальные суж-
суждения (от слова exist — существовать). По смыслу экзистенциальное
суждение — это суждение о существовании множества с определенными
свойствами для случаев, когда соответствующий термин с таким сочета-
сочетанием свойств (предикатов) в системе отсутствует.
В Аристотелевой силлогистике используется всего два типа сужде-
суждений, которые можно отнести к экзистенциальным. Они называются час-
частными суждениями. Это частноутвердительное суждение "Некоторые
А есть В" и частноотрицательное суждение "Некоторые А не есть В".
В таких суждениях смысловой акцент переносится на первый литерал
(А), хотя на самом деле очевидно, что речь в них идет о том, что пересече-
пересечение множеств, обозначенных литералами АяВ(в первом суждении) или
А и В (во втором суждении), не является пустым множеством. Поэтому
суждение "Некоторые А есть В" равносильно суждению "Некоторые В
6. Экзистенциальные суждения
47
есть А", а суждение "Некоторые А не есть В" — суждению "Некоторые
не-В есть А". Данная особенность частных суждений была в свое время
отмечена Льюисом Кэрроллом [Кэрролл, 1973]. Она легко обосновыва-
обосновывается, если проанализировать частные суждения с помощью Жергонно-
вых отношений (см. раздел 2).
С учетом сказанного частные суждения Аристотелевой силлогисти-
силлогистики выражаются в понятиях ^-структур следующим образом. Введем не-
некоторый новый литерал в наше рассуждение (например, W). Тогда арис-
аристотелевское суждение "Некоторые А есть В" можно в /^-структурах
представить как W-+ (А, В), а суждение "Некоторые Л не есть В" — как
W~+ (А, В). С точки зрения алгебры множеств эти суждения соответ-
соответствуют формулам: W ? (А П В) и W<= (А П В).
Для сравнения приведем общепринятую формулировку частных
суждений, используемую в математической логике: 1) Зх (А(х) А В{х)),
и 2) Зх (Л(х) л —*В(х)), которые содержательно можно выразить так:
1) "Существует хотя бы одно значение переменной х, которое содер-
содержится одновременно в предикатах А и В" и 2) "Существует хотя бы
одно значение переменной х, которое содержится одновременно в пре-
предикате Лив отрицании предиката В". Если в приведенной формули-
формулировке заменить предикаты на множества, то получим формализацию
частных суждений на основе алгебры множеств. При этом для решения
задач моделирования и анализа полисиллогизмов на основе ?-струк-
тур отпадает необходимость использования кванторов и переменных.
Такое упрощение позволяет значительно расширить аналитические
возможности метода.
Определение 14. Экзистенциальным называется сужде-
суждение, в котором утверждается в посылках или доказывается
в следствиях непустота пересечения двух или более мно-
множеств, обозначенных соответствующими базовыми литера-
литералами.
Из этого определения становится понятной идея обобщения частных
суждений Аристотелевой силлогистики: к таким суждениям относятся
суждения, у которых на месте субъекта размещается некоторый новый
литерал, а число предикатов суждения может быть любым. По сути, эк-
экзистенциальное суждение соответствует одной из его нестандартных
форм: ХП У П ... П Z ^ 0 (см. раздел 3).
В предыдущих разделах для получения следствий мы использовали
правила вывода, которые соответствовали структурным свойствам от-
отношения включения в алгебре множеств. Но для вывода экзистенциаль-
экзистенциальных суждений этих правил недостаточно. Здесь требуется иная поста-
постановка задачи, а именно: в конкретной Е-структуре необходимо доказать,

48
6. Экзистенциальные суждения
что пересечение некоторых множеств при заданных исходных посылках
не является пустым.
Поэтому и методы решения задачи вывода экзистенциальных суж-
суждений значительно отличаются от методов вывода общих суждений.
К изучению этих методов мы и приступим. Мы будем использовать по-
понятие "СГ-замыкание" (см. определение 9 в разделе 3), определив неко-
некоторые новые его свойства.
Но прежде рассмотрим одну ситуацию, которая может ввести в за-
заблуждение при использовании экзистенциальных суждений в качестве
посылок. В разделе 4 мы рассматривали пары контрарных суждений
типа Л —* В и А —> В, при совмещении которых в рассуждении образует-
образуется коллизия парадокса. Попробуем "ослабить" второе суждение, т. е.
сформулировать его не как общее, а как частное суждение W — (А, В).
Наша ^-структура в этом случае будет такая: А —* В; W-*(A, В).
Если применим к этой f-структуре известные нам методы анализа, то
в результате получим коллизию парадокса W~* W. Из нее следует, что
множество "некоторые Л" в этой ^-структуре должно быть равно пусто-
пустому множеству. Аналогичная ситуация возникнет, если мы преобразуем
в частное не второе, а первое суждение. Полученная ^-структура
(W—» (А, В); Л —>¦ В) тоже окажется парадоксальной: при выводе всех
следствий мы вновь придем к той же коллизии парадокса W-+W. Пары
таких суждений оказываются логически несовместимыми. В традици-
традиционной логике их отличают от контрарных суждений и называют контра-
контрадикторными.
Совсем другая ситуация получится, если мы совместим в одном рас-
рассуждении два частных суждения "Некоторые А есть В" и "Некоторые
А не есть В". Если мы представим эти суждения в обозначениях
f-структур, т. е. как W -* {A,B)uW -^ {А, В), результат окажется тем же
самым: в следствиях появится та же коллизия парадокса W—*W. Одна-
Однако попробуем рассмотреть конкретные формулировки, например, "Не-
"Некоторые грибы ядовиты" и "Некоторые грибы не ядовиты". Ясно, что эти
два суждения в естественном языке вполне совместимы. Почему же тог-
тогда при их формализации возникает коллизия парадокса?
Ответ очевиден: в разных предложениях одно и то же словосочетание
"некоторые грибы" может обозначать разные виды грибов, но при фор-
формализации эти, возможно, разные виды грибов мы обозначили одним
и тем же символом W. Отсюда ясно, что при повторении в разных посыл-
посылках одинаковых словосочетаний "некоторые X" мы должны обозначать
их разными символами. Посмотрим, что получится в этом случае. Пусть
даны посылки W\ -> (А, В); W2 -* {А, В). Построим для них стрелочную
диаграмму (рис. 19) и все возможные следствия из этих посылок
(рис. 20).
6. Экзистенциальные суждения
49
Wi-
¦W, ~*B
Wi A W2 В
Рис. 19
¦W R 1 ^-/t^ vv2 и
wr Ъ Wt*—A-+W2 В
Рис. 20
Коллизии парадокса здесь нет, но среди следствий получены два
утверждения W{ -* W2 и W2 -* W4. Из этих суждений ясно, что множе-
множества W\ и W2 не имеют ни одного общего элемента, т. е. их пересечение
равно пустому множеству. Если вернуться к нашим конкретным сужде-
суждениям, то это означает, что ни один гриб не может быть одновременно
ядовитым и неядовитым. Здесь, разумеется, не учитываются такие ситу-
ситуации, когда вполне съедобные грибы при некоторой невоздержанности
в употреблении могут вызвать легкое недомогание, или весьма редкие
случаи аллергии на неядовитые грибы, но в данном случае такими част-
частностями можно пренебречь.
Пример 10. Еще одно применение экзистенциальных суждений рас-
рассмотрим на примере парадокса "Лжец". Этот парадокс был открыт древ-
древнегреческим философом Эвбулидом (IV век до н. э.). Суть его заключа-
заключается в следующем. Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы".
Нужно определить, солгал Эпименид или сказал истину.
Рассмотрим сначала этот парадокс на содержательном уровне. Если
он сказал истину, то все критяне лжецы, а поскольку Эпименид критя-
критянин, то он не мог сказать истину. Предположим теперь, что Эпименид
солгал. Тогда получается, что все критяне не лжецы, а раз так, то критя-
критянин Эпименид не мог солгать. Так что любое предположение приводит
к противоречию.
Теперь используем для анализа этого парадокса ^-структуру. Выбе-
Выберем в качестве универсума множество людей. Среди этих людей встре-
встречаются критяне (К) и некритяне (К), лжецы (Л) и правдивые (Л).
В число этих людей входит также критянин Эпименида C) и все ос-
остальные люди C). Сформулируем теперь исходные суждения для си-
ситуации, когда Эпименид сказал неправду. В этом случае можно считать
Эпименида лжецом, а суждение "Все критяне лжецы", которое он вы-
высказал, необходимо заменить на его альтернативу "Все критяне не лже-
лжецы". Тогда получим:
Э-* (К, Л) — "Эпименид — критянин и лжец";
К-* Л— "Все критяне не лжецы".
Теперь построим стрелочные диаграммы для исходных посылок
(рис. 21) и для СГ-замыкания (рис. 22).

50
6. Экзистенциальные су жд е н и я
Одним из следствий наших исходных посылок оказалось суждение
Э —> Э, т. е. коллизия парадокса. Получается, что множество "Эпименид"
является пустым множеством, т. е. Эпименид в данной системе посылок
не может существовать. Посмотрим теперь, что получится, если мы в ка-
качестве альтернативы ложному суждению Эпименида возьмем не общее,
а частное суждение "Некоторые критяне не лжецы". Как мы уже знаем,
это суждение является контрадикцией к суждению "Все критяне лже-
лжецы" и при совмещении с ним вызывает коллизию парадокса. Тогда это
альтернативное суждение можно считать отрицанием ложного сужде-
суждения "Все критяне лжецы" и уже поэтому истинным суждением. Оказы-
Оказывается, что подстановка именно этого суждения не ведет к возникнове-
возникновению парадокса. В целях проверки построим для системы суждений
соответствующую .^-структуру:
Э-* (К, Л) — "Эпименид критянин и лжец";
W-+ (К, Л) — "Некоторые критяне не лжецы".
Рассмотрим стрелочные диаграммы для исходных посылок (рис. 23)
и для СГ-замыкания (рис. 24).
К W
Рис. 23
Л
Рис. 24
Нетрудно убедиться, что коллизии парадокса не появилось. Критя-
Критянин Эпименид — лжец, и он включен в состав тех, которые не являются
"некоторыми" правдивыми критянами (следствие Э —* W).
Перейдем теперь к описанию простых методов получения коррект-
корректных экзистенциальных суждений из некоторого множества посылок.
Пример 11. Рассмотрим известный тип силлогизма (в Аристотелевой
силлогистике - это модус ЕАО 4-й фигуры категорического силлогиз-
6. Экзистенциальные суждения
51
ма), в котором из двух общих суждений можно вывести только частное
суждение.
1-я посылка: "Ни одно млекопитающее не есть рыба".
2-я посылка: "Все рыбы дышат жабрами".
Заключение: "Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не есть млеко-
млекопитающие".
Из биологии нам известно, что все дышащие жабрами не относятся
к классу млекопитающих. В заключении же говорится только о некото-
некоторых из них. Но в данном случае мы не имеем права говорить о всех ды-
дышащих жабрами, потому что при логическом выводе мы должны исхо-
исходить не из наших знаний или заблуждений, а только из того, что нам
дано в посылках. А из наших посылок по правилам Аристотелевой сил-
силлогистики можно вывести только частное суждение. Посмотрим, что по-
получится, если воспользоваться ^-структурами.
Обозначим М — млекопитающие, Р — рыбы, Ж — дышащие жабрами.
Тогда посылки можно представить в виде таких формул:
Здесь нужно сделать одно пояснение. Суждения типа "Ни одно Л не
есть В" в традиционной логике означают то же самое, что и суждение
типа "Каждое Л не есть В" и в алгебре множеств соответствует включе-
включению соответствующего множества А в дополнение множества В. Нали-
Наличие двух отрицаний в одном суждении в данном случае обусловлено не
двумя фактическими отрицаниями, а некоторыми нелогичными осо-
особенностями синтаксиса русского языка. Например, в английском язы-
языке суждение "Ни одно А не есть В" формулируется как "No A is В" или
"Nobody A are В", т. е. в этом языке в отличие от русского используется
только одно отрицание. На диаграммах Эйлера соотношения, выра-
выраженные этими суждениями, изображаются в виде пары непересекаю-
непересекающихся множеств Л и В, из чего следует справедливость включения
А<=кЪ.
Нарисуем граф рассуждения (рис. 25) и, используя правила вывода,
изобразим с помощью стрелок все возможные следствия (рис. 26).
М Р
"X
М Р
Рис. 25
М Р<*~
Рис. 26
>Ж
Ж
Для более полного понимания дальнейшего отобразим результат на-
, ших выкладок в виде СГ-замыкания:

52
6. Экзистенциальные суждения
м—
М-*
р —
ж-
Р;
О;
О;
О;
Ясно, что правила вывода для ^-структур не дали нам желаемого ре-
результата, — заключение, которое соответствует суждению "Некоторые
из тех, кто дышит жабрами, не есть млекопитающие", в следствиях от-
отсутствует. Почему же?
Во-первых, его нельзя получить, так как для его формального выра-
выражения требуется новый литерал (например, W), который в данной сис-
системе не предусмотрен. Во-вторых, частные заключения Аристотелевой
силлогистики являются не следствиями, а, скорее, частными случаями
рассуждения. С точки зрения современной логики, если нечто В являет-
является следствием А, то при "объемном" представлении этой ситуации необ-
необходимо, чтобы "объем" А был вложен в "объем" В. Правила вывода
в /^-структурах не нарушают этого соотношения, но для частных заклю-
заключений Аристотелевой силлогистики это соотношение нарушается. Но
это не означает, что частные суждения, которые в Аристотелевой силло-
силлогистике являются заключениями силлогизма, нельзя получить вообще.
Для этого необходимы другие методы.
Предположим, что нам задана некоторая ^-структура без коллизий,
а СГ-замыкание этой структуры представлено в виде набора записей,
в которых каисдому базовому литералу сопоставлено некоторое множе-
множество других базовых литералов. Если мы выпишем все базовые литера-
литералы, входящие в такую строку как слева, так и справа от стрелки, то полу-
получим некоторое множество базовых литералов. Сформированные таким
способом множества называются главными фильтрами /^-структуры.
(Этот термин используется в теории структур.)
Ясно, что в каждой ii-структуре общее число главных фильтров рав-
равно числу всех ее базовых литералов. Для обозначения главных фильтров
используется знак Л. Чтобы отличать друг от друга разные главные
фильтры, будем вместе с этим знаком записывать в скобках базовый ли-
литерал, который является порождающим для данного главного фильтра
и в соответствующей записи СГ-замыкания стоит слева от стрелки. На-
Например, для записи Р —» (Ж, М) в СГ-замыкании соответствующий глав-
главный фильтр выглядит как равенство
Л(Р) = {Р, Ж, М).
6. Экзистенциальные суждения
53
А для записи Р —»• ( ) соответствующий главный фильтр будет запи-
записан как Л(Р) = {Р}.
Для распознавания корректных экзистенциальных суждений инте-
интерес представляют те главные фильтры, которые содержат не менее двух
базовых литералов. В примере 11 можно выделить из шести главных
фильтров только три:
Л(М) = {М, Р};
А(Р) = {Р^М,
Все остальные главные фильтры данного примера содержат по одно-
одному литералу. Теперь, когда мы научились формировать главные фильт-
фильтры, для формирования экзистенциальных суждений достаточно знать
определяющее свойство главных фильтров. Оно выражается с помощью
следующего утверждения:
Любая совокупность множеств, представленных базовыми
литералами какого-либо главного фильтра, имеет непустое
пересечение.
Отсюда ясно, что из приведенных выше главных фильтров можно
сформировать такие экзистенциальные суждения:
МПР/0; ЖПМ*0; РПЖПМ*0; Ж П Р> 0 ит.д.
Второе из этих соотношений соответствует заключению силлогизма
из примера 11, но оказывается, это не единственное частное суждение,
которое можно получить из приведенных посылок.
На основе указанного правила можно выводить все возможные экзис-
экзистенциальные утверждения для любой f-структуры. Но при этом надо
иметь в виду, что оно применимо только для ^-структур, в которых отсут-
отсутствует коллизия парадокса. Иначе может получиться такая двусмыслен-
двусмысленная ситуация, когда пара литералов включена в какой-то главный фильтр,
и тогда пересечение соответствующих множеств должно быть непустым,
но при этом одно из этих множеств в соответствии с коллизией парадокса
необходимо является пустым множеством. А пересечение любого множе-
множества с пустым множеством также является пустым множеством.
При выводе экзистенциальных суждений удобнее пользоваться не
всеми главными фильтрами, содержащими более одного термина, а мак-
максимальными главными фильтрами, т. е. главными фильтрами, которые
не включены ни в какие другие главные фильтры. К максимальным глав-
главным фильтрам относятся главные фильтры, у которых в диаграмме Хас-
се в порождающий литерал не входит ни одна стрелка. В СГ-замыкании

54
6. Экзистенциальные суждения
такие порождающие литералы легко определяются. Для этого надо из
записей СГ-замыкания выбрать те, у которых справа от стрелки стоит
пустое множество (например, запись М —¦ ( )). Тогда порождающим ли-
литералом для соответствующего максимального главного фильтра будет
альтернативный термин. Для приведенной записи М-* ( ) таким порож-
порождающим литералом будет М, и ему будет соответствовать максимальный
главный фильтр Л(М) = {М, Р).
При анализе экзистенциальных суждений необходимо учесть, что
формальное отсутствие коллизий в структуре не всегда означает, что та-
такие коллизии невозможны в какой-либо конкретной модели. Если мо-
модель представлена и есть возможность непосредственно проверить со-
совместимость признаков исследуемого объекта, то такую проверку
необходимо выполнить. Рассмотрим пример.
Пример 12. Необходимо определить, существует ли целое число R со
следующим сочетанием свойств: Р1 — делится на 4; F1 — делится на 3;
РЗ — больше 50 и меньше 60.
Ясно, что числу R может быть присуще каждое из свойств по отдель-
отдельности и это можно записать в форме суждений:
Л—Р1; Я-Р2; R — РЗ.
После этого можно формально объединить эти три суждения в одно
суждение R —* (PI, P2, РЗ) и определить, что число с таким набором
свойств существует. На самом деле оказывается, что свойства PI, P2, РЗ
в данном конкретном случае несовместимы. Из совмещения свойств Р1
и Р2 следует, что число R делится на 12. Но число с этим свойством не
содержится в диапазоне чисел, определенных свойством РЗ.
В заключение отметим, что метод главных фильтров, используемый
для вывода экзистенциальных суждений в ^-структурах, не позволяет
построить все возможные корректные экзистенциальные суждения. Но
с помощью этого метода перечисляются все частные суждения, выводи-
выводимые в Аристотелевой силлогистике и в системе логического вывода
Льюиса Кэрролла. Назовем такие частные суждения аристотелевскими.
Частные суждения, которые не вызывают коллизий, но в то же время не
определяются с помощью метода главных фильтров, мы будем называть
неаристотелевскими.
Для построения неаристотелевских экзистенциальных суждений
корректной ^-структуры требуются другие, более изощренные методы.
Некоторые из них рассматриваются в следующем разделе. Вместе с тем,
если предъявленное экзистенциальное суждение — неаристотелевское,
то проверить его корректность можно без особых проблем. Для этого
достаточно добавить суждение в исходную ^-структуру и исследовать
полученную новую f-структуру на отсутствие коллизий.
7
Неполные рассуждения
(формирование и проверка гипотез)
Наше знание никогда не стоит на месте. Оно постоянно пополняется
новыми фактами, теориями и гипотезами. Упрощенно схема развития
знаний представляется в виде постоянно обновляющейся триады:
Знание, принятое
как непреложное
в данное время
Новые факты,
гипотезы,
аргументы
Новое
зарождающееся
знание
Существующее знание можно рассматривать на разных уровнях.
В общем случае в его состав входят теории и концепции, принятые в на-
науке на данном этапе ее развития. В узком смысле в качестве существую-
существующих знаний берутся суждения, признанные как истинные в некотором
обществе, социальной группе или даже в сознании одного человека.
Примерно такая схема развития знаний, сформированных в виде изменя-
изменяющихся время от времени теорий, концепций, научных парадигм и мне-
мнений, представлена в ряде общеизвестных работ по методологии науки.
Этот взгляд на развитие знаний получил широкую известность и стал
предметом бурного обсуждения среди философов после выхода в свет
книги "Струкстура научных революций" [Кун, 1975]. Однако сложный
и многоплановый процесс развития знаний можно отобразить и на срав-
сравнительно несложных примерах с помощью ^-структур.
Предположим, что каждое звено триады может быть выражено с по-
помощью f-структур или отдельных суждений и некоторое исходное зна-
знание сосредоточено в отдельной корректной f-структуре К. Тогда гипо-
гипотезы, факты и аргументы, которые входят в среднее звено этой триады,
разделяются по отношению к К на четыре класса:
1) нейтральные — те, которые по смыслу и составу терминов не име-
имеют никакого отношения к рассматриваемому исходному знанию;
2) подтверждающие — те, которые не изменяют существующее знание;

. H€
элные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
3) обновляющие —- те, которые изменяют существующее знание, но
при этом не вызывают в нем нежелательных коллизий;
4) несовместимые — те, которые при совмещении с существующим
знанием вызывают недопустимые коллизии.
Можно считать, что подтверждающие суждения по сути являются
суждениями, которые включены в СГ-замыкание исходной f-структу-
ры, т. е. являются ее исходными посылками или следствиями. Несовмес-
Несовместимые с К суждения, если они в достаточной степени обоснованы, гово-
говорят о неадекватности существующего знания и иногда приводят к его
коренному изменению. С другой стороны, несовместимыми с К могут
оказаться заведомо ложные или просто ошибочные суждения.
Интерес представляют формальные свойства обновляющих сужде-
суждений. Важно понять условия, при которых новые факты, гипотезы или
аргументы, представленные в виде суждений, изменяют существующее
знание, оформленное в виде некоторой корректной f-структуры, но при
этом не вступают в конфликт с ним.
Рассмотрим сначала самые простые случаи такого бесконфликтного
обновления знаний. Пусть исходное знание представлено корректной
^-структурой Див этой ^-структуре имеется множество Г базовых лите-
литералов. Тогда простейшим случаем бесконфликтного обновления знаний
будет случай, когда новое суждение (допустим, это суждение Л —* В) со-
содержит литералы, не входящие в состав базовых литералов ^-структуры
R. Ясно, что добавление этого суждения вине приведет к возникнове-
возникновению коллизий. К тому же суждения такого типа можно считать нейт-
нейтральными относительно исследуемого знания. И такой случай в силу
своей тривиальности никакого интереса не представляет.
Более интересно, когда в суждении наряду с новыми литералами со-
содержатся базовые литералы ^-структуры R. Самый простой вариант: до-
добавляется новое суждение (Л -* В) в систему, содержащую только один
из литералов вводимого суждения. Тогда независимо от того, является
ли новым литералом предикат или субъект, наша система "воспримет"
новое суждение без всяких коллизий. За счет постепенного наращива-
наращивания таких рассмотренных выше случаев происходит неограниченное
расширение любой исходной системы.
В качестве примера рассмотрим полисиллогизм Л. Кэрролла, кото-
который ранее был использован в примере 6 (см. раздел 3).
"Все малые дети неразумны".
"Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения".
"Все неразумные люди не заслуживают уважения".
Добавим в этот полисиллогизм еще одно суждение: "Все, кто жестоко
обращается с детьми, не заслуживают уважения". В этом суждении пре-
предикат представлен термином, уже содержащимся в системе, а субъект —
новым термином: "те, кто жестоко обращается с детьми". В результате
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 57
такого пополнения наша система останется корректной и число базо-
базовых терминов системы увеличится на два ("те, кто жестоко обращается
с детьми" и "те, кто не обращается жестоко с детьми"). При этом в новой
системе появляются некоторые интересные особенности, которые будут
рассмотрены позже.
Бесконфликтность расширения системы можно проверить, построив
соответствующее СГ-замыкание. Но такое добавление бесконфликтно не
только для данного частного случая, но и для любой корректной формаль-
формальной системы. Под формальной здесь понимается система, в которой "объе-
"объемы" всех базовых литералов явно не заданы и могут принимать произ-
произвольные непустые значения. Тогда суждение V^> А, в котором Vявляется
новым литералом, означает, что в некотором непустом множестве А выде-
выделено некоторое непустое подмножество V. Суждение А —•¦ V при тех же
условиях означает, что непустое множество А расширяется до множества
V так, чтобы это множество не было связано отношением включения ни
с одним из других, кроме А и универсума, множеств системы.
При переходе от формальных систем к системам с конкретно задан-
заданными "объемами" литералов, введение в структуру таких суждений не
во всех случаях бесконфликтно. Суждение типа V —* А может оказаться
неприемлемым в силу неразделимости "объема" литерала Л (примерами
являются литералы, соответствующие единичным объектам). При вве-
введении суждения типа А —* V может возникнуть ситуация, когда невоз-
невозможно выбрать уникальное объемлющее множество V из-за ограни-
ограниченности "объема" универсума. Однако нужно иметь в виду, что речь
в данном случае идет о гипотезах, подтверждение или опровержение ко-
которых можно реализовать как в сугубо формальной системе, так и в сис-
системе с конкретно заданными "объемами".
Более сложным является случай с новым суждением, где предусмат-
предусматривается новая связь между двумя и более литералами исходной систе-
системы. Частично этот случай был рассмотрен в предыдущем разделе, когда
с помощью главных фильтров строились в корректной ^-структуре не-
некоторые экзистенциальные суждения, в которых появлялись новые ли-
литералы. Тем самым мы как бы дополняли бесконфликтно исходную
f-структуру новыми суждениями, не используя основные правила вы-
вывода (контрапозиции и транзитивности). Но этот метод позволяет полу-
получить лишь экзистенциальные суждения аристотелевского типа.
Рассмотрим некоторые неаристотелевские экзистенциальные сужде-
суждения. В качестве примера возьмем простую ^-структуру с двумя сужде-
суждениями: А —* В и В —> С. Построим ее СГ-замыкание и выделим все макси-
максимальные главные фильтры:
Л(Л) = {А, В, С}; Д(С)={Л~Д Q.
СГ-замыкание этой ^-структуры представлено в виде графа на рис. 27.

58 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
Л'
¦В
Рис. 27
¦С
W
¦В-
¦В
С
С
Рис. 28
Испытаем для этой ?-структуры экзистенциальное суждение
W —>¦ (Л, В). Совокупность литералов {Л, В} не включена ни в один из
максимальных главных фильтров, и поэтому суждение W не является
аристотелевским. Что же получится, если мы присоединим данное суж-
суждение к исходной системе (рис. 28) ?
В СГ-замыкании новой системы никаких коллизий не возникает.
"Секрет" состоит в том, что при формулировке суждения W-* {А, В)
было использовано исходное соотношение А —»• В, из которого следует
А П В ^ 0 при обязательном условии А ^ В. Тогда множество В кроме
элементов множества А должно содержать элементы, не являющиеся
элементами множества А. В то же время условие А ^ В не является обя-
обязательным при построении экзистенциальных суждений с помощью
главных фильтров.
Следовательно, добавление новых суждений, содержащих два и бо-
более термина исходной системы, не является простым делом и требует
тщательной проверки. Такую проверку можно существенно облегчить,
если использовать компьютерную программу анализа рассуждений.
Рассмотрим ситуацию, когда в новом суждении (или в совокупности
новых суждений) содержатся только базовые литералы. Такие сужде-
суждения не являются экзистенциальными, и ситуация, когда обновление до-
допустимо, встречается гораздо чаще, чем это кажется на первый взгляд.
Начнем с простого примера. Пусть существующее знание представлено
?"-структурой (см. рис, 27). Состав базовых литералов этой ?-структуры
представлен множеством Т— {А, В, С, А, В, С). Спрашивается, можно ли
в эту f-структуру добавить хотя бы одно суждение, используя'только
литералы из множества Т, при условии, что новое суждение не содержа-
содержалось в СГ-замыкании этой структуры?
Ответ на этот вопрос оказывается непростым. Забегая вперед, отме-
отметим, что в настоящее время задачи подобного рода, за исключением не-
некоторых случаев, решаются с помощью "тупого" перебора вариантов.
И хотя данная структура как раз относится к тем исключениям, для ко-
которых эта задача решается без всякого перебора, мы для большей понят-
понятности начнем решать ее, перебирая варианты. Заодно отметим, что труд-
трудности с решением подобных задач возникают лишь при "ручном"
исполнении. При использовании компьютерной программы такие зада-
задачи, даже с большим числом литералов, решаются мгновенно.
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 59
Решение этой задачи отражено в табл. 1, содержащей четыре колон-
колонки. Рассмотрим правила заполнения таблицы. В первой колонке записы-
записываются последовательно все строки СГ-замыкания нашей системы.
Для формирования второй колонки мы берем в качестве субъекта
литерал из соответствующей строки в первой колонке, но в качестве
предикатов вставляем все базовые литералы нашей системы за исклю-
исключением тех, которые содержатся как предикаты в исходной строке. На-
Например, если исходной была строка Л —>¦ (В, С), а состав всех литералов
определяется множеством Г = {А, А, В, В, С, С), то во второй колонке за-
записывается строка А —*¦ (А, А, В, С), в которой будут все литералы из Г
за исключением В и С. Тем самым мы включаем во вторую колонку все
возможные базовые суждения, которые не содержатся в СГ-замыкании.
Заполняя третью колонку, мы преобразуем суждения второй колонки
так, чтобы исключить из этого множества суждений легко распознавае-
распознаваемые коллизии. В соответствующих строках второй колонки исключаем из
состава предикатов литералы, которые совпадают с субъектом и которые
являются отрицанием соответствующего субъекта. Эти результаты зано-
заносятся в третью колонку таблицы. Например, строка А —* (А, А, В, С) из
второй колонки преобразуется в строку Л -* (В, С). Таким образом у нас
исключаются тривиальное суждение Л —>¦ А и явная коллизия А—* А.
Когда мы к тому же исключим из суждений третьей колонки те, что
обратны исходным, то получим данные для четвертой колонки. Если об-
обратное суждение использовать в качестве гипотезы, то в этом случае
обязательно появится коллизия цикла, и наша гипотеза окажется некор-
некорректной. В качестве примера возьмем вторую строку из третьей колон-
колонки: В —* (А, А, С). В ней содержится элементарное суждение В —» А.
В первой колонке найдем строку, которая начинается с субъекта Л. В ней
среди предикатов содержится термин В. Следовательно, в исходной сис-
системе имеется элементарное суждение А —>¦ В. Поэтому из нашего списка
возможных гипотез надо исключить обратное суждение В —> А. Это до-
достигается за счет преобразования строки В —>¦ (Л, Л, С) в строку В -»¦ (Л, С).
Аналогичная проверка делается для всех строк и литералов третьей ко-
колонки, в процессе чего заполняется четвертая колонка таблицы.
A-*
B^
А^
в-*
(В, С)
(О
О
О
(Л)
(А, В)
А-* (А,
В—(Д
С-*(Д
Л—(Д
В->(Д
С— (Л,
л, в,
В, А,
в, с,
В, С,
в, с,
В, С,
С)
В, С)
А, В,
А, В,
В, С)
С)
С)
С)
А - (В, С)
в - (л, д
С^ (Л, В,
л -* (в, с,
в — (л, с,
С^ (Л, В)
С)
А, В)
В, С)
С)
Таблица
л-
в-
с-
А-
в-
с-
*(Д
*(Д
*(Д
*(Д
¦*(Д
-(Д
1.
О
С)
Col
С)
С)
В)

60 7, Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
В результате предстоит проверить 12 элементарных суждений — по
два суждения в каждой строке. Рассмотрим в качестве примера первую
строку А —* (В, С), в которой содержатся два элементарных суждения
А —* В и А —* С. Вначале воспроизведем диаграмму Хассе нашей исход-
исходной системы (рис. 29) и добавим к этой системе первое проверяемое
суждение (рис. 30). Теперь достаточно посмотреть на рисунок и_ убе-
убедиться, что новая система содержит коллизию парадокса А —•¦ А, по-
поскольку из А есть путь в А. Тот же результат мы получим, если в исход-
исходную систему добавим второе проверяемое суждение (рис. 31).
А-
С-
-В
Рис. 29
А
Рис. 30
Рис. 31
При проверке всех остальных элементарных суждений из четвертой
колонки табл. 1 оказывается, что все они инициируют коллизию парадок-
парадокса. Таким образом, в исходную систему невозможно добавить какую-либо
посылку, содержащую только базовые литералы, чтобы при этом не воз-
возникало никаких коллизий. Системы с таким свойством мы в дальнейшем
будем называть полными системами. При этом полнота системы не озна-
означает, что в нее вообще нельзя ничего добавлять. Как было показано ранее,
к указанным системам можно добавлять без коллизий сколько угодно
суждений, содержащих новые литералы.
Проверка полноты даже простой системы является весьма трудоем-
трудоемким занятием, поэтому целесообразно воспользоваться вычислительны-
вычислительными возможностями компьютера. Однако имеются классы ^-структур,
полнота которых легко распознается без нудного перебора. К этому
классу относятся, в частности, все ^-структуры, у которых диаграмма
Хассе содержит две не связанные друг с другом максимальные цепи.
Например, если мы построим диаграмму Хассе какой-то ^-структуры
и увидим картинку, аналогичную представленной на рис. 32, то можем
смело без всяких проверок утверждать, что эта система является полной.
В
В
Рис. 32
Нетрудно убедиться, что к данному структурному классу относится
также и система, полноту которой мы только что проверили методом пе-
перебора. К этому классу относятся почти все примеры полисиллогизмов,
приводимые в учебниках по логике, включая книгу "История с узелками"
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 61
[Кэрролл, 1973]. Вместе с тем этот класс является всего лишь частным
случаем ^-структур и соответствующих им рассуждений, поэтому
обольщаться особенно не следует. Далее будут рассмотрены ^-структуры,
для которых проверка полноты не является такой простой процедурой.
Приведем определения и соотношения, которые после предшество-
предшествовавшего разбора будут более понятными.
Определение 15. Для заданной ^-структуры любое сужде-
суждение, содержащее только пару различных базовых литералов
этой ii-структуры и не содержащееся в ее СГ-замыкании,
называется базовым невыводимым суждением.
Определение 16. f-структура является полной, если добав-
добавление в нее любого базового невыводимого суждения вызы-
вызывает коллизии парадокса или цикла. В противном случае
такая структура является неполной.
Определение 17. Для неполных ^-структур любое ее базо-
базовое невыводимое суждение, не вызывающее в этой ?-струк-
туре коллизии парадокса или цикла, называется базовой
корректной гипотезой этой iJ-структуры.
Свойство некоторых f-структур, позволяющее определять их полно-
полноту без перебора вариантов, формулируется в виде теоремы (ее доказа-
доказательство здесь не приведено).
Теорема 2. Любая Е-структура, диаграмма Хассе которой представ-
представлена в виде двух не связанных друг с другом максимальных путей, в кото-
которых содержатся все базовые литералы этой структуры, является пол-
полной Е-структурой.
Мы будем рассматривать в основном базовые гипотезы, т. е. сужде-
суждения, содержащие только базовые литералы. Хотя в общем случае гипоте-
гипотезы могут содержать и новые литералы. Примем во внимание, что по от-
отношению к содержательным рассуждениям термин "гипотеза" является
обобщающим термином. В естественных рассуждениях в качестве "ги-
"гипотезы" можно рассматривать не только гипотезы как таковые, но и суж-
суждения, которые могут иметь статус аргументов или просто фактов, со-
совместимых с данным рассуждением.
Перейдем теперь к неполным Е-структурам. Начнем с самого просто-
простого примера.
Пример 13. Пусть ^-структура содержит два исходных суждения
В —> А и В -* С. Ее можно также представить одним сложным суждением
В -* (А, С). Содержательным примером такой ^-структуры может быть
предложение: "Все тигры — хищники и млекопитающие". Такое элемен-
элементарное на первый взгляд суждение оказывается не очень простым, если

62 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
подойти к нему с точки зрения анализа полноты структуры. Построим
таблицу для анализа способом, который мы уже использовали. В табл. 2
приведены только две колонки — промежуточные результаты, ранее раз-
размещавшиеся во второй и третьей колонках (см. табл. 1), здесь опущены.
Таблица 2.
A-*
в->
С —
А-*
В->
С —
О
(А, С)
О
E)
о
(В)
А - (С, В, С)
В~*(А,С)
С-(Л, Л,5)
Л - (В, С, С)
В - (Л, С)
С-(Л,ДЛ)
В данном случае производится проверка 16 суждений. Это число со-
сокращается до восьми, поскольку все подлежащие проверке суждения
можно разбить на пары "суждение и его контрапозиция". Например,
в первой строке таблицы имеется суждение Л —»¦ С, а в последней — суж-
суждение С —- А, которое является контрапозицией предыдущего. Поэтому
достаточно проверить одно из суждений каждой такой пары.
В результате проверки (попробуйте сделать ее самостоятельно) ока-
окажется, что из 16 суждений останутся только 6. Каждое из них можно до-
добавить в исходную систему, и никаких коллизий при этом не обнаружит-
обнаружится. Ниже выписаны эти суждения, разбитые по парам "суждение и его
контрапозиция":
Л-*СиС-*Л; С-*ЛиА-*С; Л-СиС-А
Без использования компьютера даже для такой простой исходной систе-
системы проверка неполноты оказывается весьма трудоемкой. Первые две пары
гипотез очевидны и легко улавливаются при воспроизведении суждения
В -* (Л, С) с помощью различных вариантов диаграмм Эйлера (рис. 33).
Рис. 33
Гипотезы третьей пары на первый взгляд кажутся сомнительными,
хотя не вызывают формальных коллизий при их совмещении с суждени-
суждением В —>• (Л, С). Для них тоже можно построить диаграмму Эйлера. Она
будет аналогичной изображению на рис. 33, а, но при этом объединение
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 63
множеств Л и С должно быть в точности равно универсуму, иначе неиз-
неизбежна коллизия парадокса. Этот вывод легко проверить с помощью ме-
методов анализа ^-структур.
Рассмотрим рис. 33, а. Из него следует, что универсум U структуры
содержит область, которая выходит за пределы объединения множеств
А и С. Используя закон де Моргана (в разделе 2 он идет под номером
11.1), эту область можно представить множеством А П С. Для дока-
доказательства того, что в исходной системе с учетом гипотезы А ^ С это
множество является пустым, добавим еще экзистенциальное суждение
W-¦* (Л, С). Полученная система изображена на рис. 34.
В-
¦С
W
»в<—с
Рис. 35
W
Построив контрапозиции всех суждений в новой структуре (рис. 35),
убеждаемся, что из литерала W имеются два пути в литерал W, что сви-
свидетельствует о коллизии парадокса W -* Ww заодно о том, что множе-
множество А П С в этой системе может быть только пустым и, следовательно,
множество Л U С в данной системе является универсумом.
Еще одной особенностью примера 13 является то, что добавление
любой корректной гипотезы в исходное суждение превращает неполную
исходную ^-структуру в полную. Но обновленная ^-структура при до-
добавлении гипотезы А -»• С уже не соответствует критерию полноты,
сформулированному в теореме 2. Для таких случаев распознавание пол-
полноты (или неполноты) многих ^-структур часто становится весьма
трудной задачей при ее решении без помощи компьютера.
Большое число базовых корректных гипотез, выявляющихся при ис-
исследовании неполноты рассуждений, отнюдь не означает принципиаль-
принципиальную неполноту наших знаний. При проверке многие из этих гипотез мож-
можно исключить вследствие анализа с помощью коллизии неадекватности.
Так, если в качестве содержательного рассуждения для ^-структуры из
примера 13 взять суждение "Все тигры — хищники и млекопитающие", то
любая из корректных гипотез не соответствует действительности, если
в качестве универсума взять весь мир животных.
Это утверждение проверяется с помощью формальных построений.
Введем обозначения. Пусть В — тигры, Л — хищники и С — млекопитаю-
млекопитающие. Тогда гипотеза А —»• С означает, что все хищники являются млеко-
млекопитающими, гипотеза С ~^ А — все млекопитающие являются хищни-
хищниками, а гипотеза Л —* С в совокупности с исходным суждением заставля-
заставляет нас признать, что весь универсум состоит только из хищников или

64 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 65
млекопитающих. Первые две гипотезы явно противоречат нашим зна-
знаниям. Третья гипотеза заставляет ограничить наш универсум не миром
всех животных, а только теми животными, которые не могут совмещать
в себе свойства не хищников и не млекопитающих.
Рассмотрим более сложный пример анализа неполноты.
Пример 14. Добавим в пример 6 из раздела 3 еще одну посылку.
"Все малые дети неразумны".
"Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения".
"Все неразумные люди не заслуживают уважения".
"Все, кто жестоко обращается с детьми, не заслуживают уважения".
Напомним, что всновными терминами данной задачи были следую-
следующие: "малые дети" (С), "разумные люди" E), "те, кто укрощает крокоди-
крокодилов" (Г) и "те, кто заслуживает уважения" (R). При введении 4-й посылки
в систему у нас появилась пара новых терминов: "все, кто жестоко_обраща-
ется с детьми" (Л) и "все, кто не обращается жестоко с детьми" (Л).
Если рассмотреть исходную задачу с учетом наших знаний о полных
и неполных системах, то можно убедиться, что первые три посылки при-
примера образуют полную Ii-структуру, — это видно из рис. 9, в котором со-
содержится диаграмма Хассе этой системы, соответствующая критерию
полноты из теоремы 2.
Рассмотрим теперь ^-структуру для модифицированной задачи
Л. Кэрролла с добавленной посылкой (рис. 36).
— Т А С 5ч—R<—Г
C
S
Рис. 37
Если использовать для всех исходных посылок правило контрапози-
ции, то можно построить граф, который является диаграммой Хассе дан-
данной системы (рис. 37). При соответствующей перестановке вершин это-
этого графа можно получить более наглядное представление (рис. 38).
R-
С
Рис. 38
Из схемы на рис. 38 видно, что данная структура не соответствует
критериям теоремы 2, — здесь уже не два максимальных пути, а четыре,
причем пары этих путей пересекаются и даже частично совпадают друг
с другом. Поэтому для анализа ее неполноты применим более сложный
алгоритм решения, воспользовавшись вычислительной программой. Ре-
Результаты анализа неполноты этой системы будут следующими.
Во-первых, система является неполной. Во-вторых, в этой системе вы-
выделено 12 базовых корректных гипотез или 6 пар типа "суждение и его
контрапозиция". Если выписать только по одному суждению из этих пар,
то получим следующий полный список корректных базовых гипотез:
А — С; А -» 5; A-+S; С — А; С^А; S-+A.
Содержательным анализом этих результатов читатель может занять-
заняться самостоятельно. Здесь же рассмотрим сугубо формальный аспект
этого процесса. Попробуем использовать некоторые из этих гипотез в ка-
качестве посылок. Если, применяя вычислительную программу, последо-
последовательно вводить в систему наши гипотезы, можно увидеть, что они не-
неравноценны. Например, введение какой-либо одной из трех гипотез
А —*¦ С, А —* S или А -* S приводит в результате к образованию полной
системы. В то же время при вводе любой одной из остальных гипотез
наши новые системы окажутся неполными. Следовательно, в данную
систему можно добавить по крайней мере еще одну гипотезу. Действуя
таким способом, далее устанавливаем, что в нашу неполную систему
можно ввести сразу не одну, а две разные базовые гипотезы. Например,
можно_ввести в систему следующие пары суждений: ( С —•• Л, 5 —»¦ Л ) или
(С —> Л, S—" А), и при этом в системе не появится никаких коллизий.
Обобщим полученные результаты и дадим определения новым поня-
понятиям, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Ясно, что неполные системы можно последовательно обновлять за
счет добавления некоторого множества корректных базовых гипотез.
При сопоставлении СГ-замыкания исходных и обновленных систем об-
обнаруживается, что все суждения исходных неполных систем содержатся
и в обновленных системах. При этом число разных систем, обновляю-
обновляющих одну и ту же исходную систему, может быть довольно большим.
Для множества новых систем, "ядром" которых является исходная не-
неполная система, мы введем новый термин.
Определение 18. Базовым покрытием корректной непол-
неполной ^-структуры R называется корректная /^-структура Д,-,
которая образована из R за счет добавления некоторого
множества базовых гипотез.
Термин покрытие здесь используется в том смысле, что множество всех
возможных суждений .R, содержит в себе множество всех возможных суж-
суждений структуры R и плюс к этому еще какие-то другие суждения. Но такое
включение безусловно соблюдается лишь в случае, когда в качестве инва-
инвариантов этих систем используется СГ-замыкание. Если же сравнивать диаг-
диаграммы Хассе таких структу р, то соотношение "покрытия" соблюдается не
3 Зак. 79

66 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
во всех случаях. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть ситуа-
ситуацию, когда в систему, описанную в примере 14, вводится гипотеза А —* С.
Добавление связи А —> С в систему (см. рис. 37) приводит к тому, что связь
А ~+ R в диаграмме Хассе становится лишней, поскольку она является
следствием нового варианта исходных посылок. Но в то же время эта связь
будет обязательно включена в СГ-замыкание новой системы.
В отличие от всех рассмотренных ранее задач анализа рассуждений
на основе ^-структур задача генерации всех возможных базовых покры-
покрытий оказывается довольно трудной даже при использовании компьюте-
компьютера, так как она решается с помощью алгоритмов экспоненциальной
сложности. Для ее решения во многих случаях необходимо выполнить
число операций, которое находится в степенной зависимости от числа
базовых терминов. В настоящее время алгоритм решения этой задачи на
компьютере не реализован полностью, хотя работа в этом направлении
проводится. Но для систем, у которых число базовых литералов не пре-
превышает 20, такую задачу можно решить с помощью нескольких последо-
последовательных запусков вычислительной программы.
Многие ii-структуры имеют одно интересное свойство, которое про-
проявляется при анализе их неполноты: значительная часть гипотез может
быть безболезненно заменена на их альтернативы. В каждом конкрет-
конкретном случае это означает, что коллизия не появляется, если вместо исход-
исходной корректной гипотезы ввести ее "отрицание". Формально альтерна-
альтернативой гипотезы является гипотеза, которая при совмещении с исходной
вызывает коллизию парадокса. Например, для суждения А —* В, если
оно выбрано в качестве исходной гипотезы, альтернативой является
каждая из двух гипотез: А—*ВпА—*В.
Если анализ неполноты структуры проведен полностью, то в списке
всех возможных гипотез можно выделить пары, которые являются аль-
альтернативными. В частности, в примере 13 каждая из корректных гипотез
имеет в этом же списке свою альтернативу. Для доказательства доста-
достаточно рассмотреть не все возможные гипотезы этой системы, а только
три, выбранные из пар "суждение и его контрапозиция":
Л—С; С-Л; А-*С.
Начнем с первого суждения А^ С. Для него "альтернативным" явля-
является суждение Л —>¦ С. При их соединении появляется коллизия парадок-
парадокса С -* С. Для суждения С~* А "альтернативным" суждением тоже явля-
является суждение Л —*¦ С, но при их совмещении появляется уже другая
коллизия парадокса А~* А. Для суждения А —* С каждое из двух остав-
оставшихся суждений будет "альтернативным". Все это легко проверяется
путем построения соответствующих ^-структур.
Вначале предполагалось, что таким свойством обладают все коррект-
корректные гипотезы во всех неполных Я-структурах, по крайней мере, много-
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 67
численные примеры ^-структур этому свойству не противоречили.
И даже была сделана попытка доказать следующее утверждение:
Для каждой базовой корректной гипотезы среди других кор-
корректных гипотез обязательно находится ее альтернатива.
Но доказать это утверждение не удалось. В процессе поиска доказа-
доказательства были найдены другие важные соотношения в ^-структурах (см.
Приложение Б) и даже был построен пример, в котором приведенное
утверждение опровергается. Этот пример приведен в Приложении Б.
Ниже воспроизведена его диаграмма Хассе (рис. 39).
В-
¦ D
D-
Рис. 39
Нетрудно убедиться, что в данной f-структуре гипотеза Л —¦ В явля-
является корректной, но альтернативные ей базовые гипотезы Л —»А и В —* В
инициируют коллизию парадокса.
Существование ^-структур, в которых некоторым базовым гипоте-
гипотезам нельзя противопоставить альтернативные, вносит в наше познание
некоторый драматический оттенок. Предположим, что существует и по-
получила всеобщее признание теория мироздания, в которой гипотеза
"Я есть осел" является гипотезой такого рода. Это значит, что ей нельзя
противопоставить гипотезы "Я не есть осел" и "Не я есть осел". Ну, как
тут не застрелиться после этого?
Обобщая результаты данного раздела, можно сказать следующее.
Любое знание, представленное как рассуждение в виде корректной
I ^-структуры, можно обновлять неограниченно за счет добавления но-
новых суждений с новыми терминами. Но такое добавление имеет предел,
если обновление знания происходит только за счет добавления новых
связей между терминами, включенными в это рассуждение. Этим преде-
пределом является полная f-структура. Для неполных ^-структур может
быть большое число различных вариантов таких базовых обновлений
(в наших терминах — базовых покрытий), причем эти варианты могут
быть несовместимы друг с другом. Таким образом, методика обновления
^-структур — это в какой-то степени упрощенная математическая мо-
модель кумулятивного и бесконфликтного развития и дифференциации
наших знаний. В то же время сами эти обновленные знания при их со-
соединении могут оказаться конфликтующими.

8
"Отрицания" в Е-структурах
Когда речь идет о терминах или литералах рассуждения, то вопрос об
их отрицаниях особых сложностей не вызывает. Если мы говорим "Не
А" или "Невозможно А", где Л является термином, то подразумеваем до-
дополнение соответствующего множества А в некотором универсуме. Бо-
Более сложен ответ на вопрос, что является отрицанием данного суждения
с точки зрения ^-структур. И тем более непростой является математи-
математическая модель отрицания для рассуждения, содержащего связную сово-
совокупность суждений.
Рассмотрим сначала, как решается вопрос с отрицаниями в математи-
математической логике. Язык математической логики подчиняется строгим зако-
законам синтаксиса. Эти, по правде сказать, не очень простые для изучения
законы необязательно знать для понимания дальнейшего изложения.
Важно то, что весь разнообразный и необозримый набор синтаксически
правильных предложений, выраженных на языке математической логи-
логики, можно представить как множество формул. Формулы могут быть про-
простыми и сложными, но для каждой формулы существует единственное
отрицание, которое выражается с помощью приписывания логической
связки "НЕ" перед формулой. Например, если исходная формула у нас
обозначена как F, то ее отрицанием является формула ~гр (в некоторых
источниках F). Отрицание формулы тоже является формулой, и для этих
двух формул должны соблюдаться два закона (соотношения):
A) формула F Л F — безусловно ложная формула;
B) формула F V F — безусловно истинная формула (тавтология или
теорема).
Здесь знаками Л и V обозначены соответственно логические связки
"И" и "ИЛИ". Эти законы имеют в логике соответствующие названия:
закон непротиворечия и закон исключенного третьего. В основах мате-
математической логики (и в этом ее отличие от многих так называемых не-
неклассических логик) эти законы пока никто не отменял.
С их учетом нетрудно увидеть аналогию между отрицаниями в мате-
математической логике и дополнениями в алгебре множеств. В алгебре мно-
множеств соответствующие законы выражены для произвольного множе-
множества 5 в виде двух соотношений: S П S = 0 и 5 U S = U.
8. "Отрицания" в Е-структурах
69
Оказывается, что соотношение между отрицаниями в математичес-
математической логике и дополнениями в алгебре множеств — не только аналогия,
но необходимая закономерность. Чтобы это стало понятным, рассмот-
рассмотрим некоторые особенности математической логики.
Обычно каждая формула содержит определенное число переменных,
вместо которых можно подставить какие-то константы. Если мы заменим
в формуле все переменные некоторыми константами, то совокупность
этих констант и их соотнесенность с соответствующими переменными
называется подстановкой данной формулы. Если данная подстановка
характеризуется тем, что формула, в которой все переменные заменены
константами, является истинной, то подстановка называется выполняю-
выполняющей подстановкой данной формулы.
При интерпретации формул математической логики, когда мы рас-
рассматриваем каждую логическую формулу как множество выполняющих
подстановок, оказывается, что отрицание формулы полностью соответ-
соответствует дополнению алгебры множеств.
Рассмотрим это соответствие более подробно. Представим алгебру
множеств, элементами которой являются всевозможные подстановки
для заданной в формуле совокупности переменных. Таких подстановок
может быть бесконечное число (например, когда областью значений хотя
бы одной переменной является бесконечный натуральный ряд чисел),
но суть от этого не меняется. Каждую формулу, содержащую заданное
множество переменных, можно представить как некоторое множество
выполняющих подстановок для этих переменных. Тогда безусловно
ложная формула означает формулу, для которой выполняющих подста-
подстановок не существует, а формула, в которой любая подстановка является
выполняющей и в силу этого свойства — тавтологией или теоремой, со-
соответствует универсуму этой алгебры множеств. Соответственно отри-
отрицание заданной формулы означает формулу, где выполняющими под-
подстановками являются всевозможные элементы нашего универсума,
которые не являются выполняющими подстановками исходной форму-
формулы. Таким образом, связь формул математической логики с законами
алгебры множеств очевидна: произвольная формула соответствует не-
некоторому подмножеству универсума подстановок, которые для нее яв-
являются выполняющими, безусловно ложная формула — пустому мно-
множеству выполняющих подстановок, а тавтология или теорема —
универсуму.
При переходе к ^-структурам возникает проблема соответствующей
интерпретации. Если в математической логике отрицание формулы так-
также является формулой, то в ^-структурах формальное отрицание, т. е.
присоединение знака отрицания или дополнения к соответствующей
^-структуре или к отдельному суждению, не является ни суждением,

70
8. "Отрицания" в Е-структурах
ни ^-структурой. Например, формальным отрицанием суждения "Все
улитки молчаливы" будет предложение "Неверно, что все улитки молча-
молчаливы". Его можно выразить в виде формулы исчисления предикатов, но
оно по форме не является суждением.
Однако, вероятно, что для данного суждения или для данной
^-структуры можно найти какой-то универсум из суждений и тогда в ка-
качестве отрицания структуры правомерно использовать множество тех
элементарных суждений универсума, которые не содержатся в исходной
структуре. Такое понимание отрицания соответствует понятию допол-
дополнения в алгебре множеств. Но возникает проблема, как определить уни-
универсум для ^-структур.
К решению этой проблемы мы уже подошли в предыдущем разделе,
где рассматривалось множество всех суждений для данной /^-структуры
и множество всех невыводимых суждений, из которых мы выбирали
корректные гипотезы. Если объединить эти множества суждений, то мы
получим тот самый искомый универсум, зависящий только от состава
базовых терминов в конкретной /^-структуре и не зависящий от ее суж-
суждений. Так, если у нас имеется множество Г базовых терминов ?-струк-
туры, то ее универсумом можно считать всевозможные ориентирован-
ориентированные связи между парами этих терминов и их отрицаний.
Определив универсум, можно точно определить отрицание данной
^-структуры как Ii-структуру, которая состоит из всех невыводимых
суждений исходной ^-структуры. Но такой подход с точки зрения смыс-
смысловой оценки не выдерживает критики. Самым главным препятствием
для принятия этого отрицания является то, что для любой корректной
^-структуры ее отрицанием является явно некорректная ^-структура,
где коллизии парадокса и цикла встречаются на каждом шагу. Достаточ-
Достаточно сказать, что для каждого термина ^этой ^-структуры обязательно
встречается коллизия парадокса Х—>Х. Можно изъять из такого "до-
"дополнения" все очевидно некорректные суждения, но и в этом случае
у нас не будет гарантии того, что получившаяся после такого преобразо-
преобразования ^-структура будет корректной, — коллизии парадокса и цикла мо-
могут содержаться в такой ^-структуре неявно и обнаруживаться только
при построении ее СГ-замыкания.
В качестве примера возьмем ^-структуру из двух суждений (Л. Кэр-
Кэрролл): "Все улитки молчаливы. Все молчаливые существа не забавны".
Если построить формальное "дополнение" этой f-структуры, то у нас
появится множество явно бессмысленных суждений типа "Все молча-
молчаливые не молчаливы", "Все улитки есть улитки и не улитки" и т. д. В то
же время в естественной речи в качестве отрицания или опровергаю-
опровергающего аргумента стараются использовать осмысленные утверждения,
многие из которых соответствуют правильным по форме суждениям.
8. "Отрицания" в Е-структурах
71
Хотя при этом, разумеется, не исключено, что эти правильные по фор-
форме суждения могут не соответствовать действительности или обще-
общепризнанной истине.
Отсюда ясно, что специфика ^-структур не позволяет нам использо-
использовать приемы формирования отрицаний, которые применяются в мате-
математической логике и в обычной алгебре множеств. Но есть, оказывается,
простой выход из этой неприятной ситуации — будем считать "отрица-
"отрицанием" любого суждения или корректной ^-структуры любое суждение
или любую корректную ^-структуру с одним условием: они вызывают
нежелательные коллизии при соединении с исходной Е-структурой.
Например, если исходное суждение выражается предложением "Все жи-
жирафы — хищники", то его отрицанием является суждение "Все жира-
жирафы — не хищники", поскольку при совмещении этих двух суждений по-
появляется коллизия парадокса "Все жирафы — не жирафы". Назовем
"отрицания" такого рода альтернативами. Тогда известные в традици-
традиционной логике контрарные и контрадикторные суждения являются аль-
альтернативными в этом смысле. Но для ^-структур при таком подходе
можно сформулировать намного более широкий набор всевозможных
альтернатив.
Немного усложним предыдущий пример. Пусть нам дано два сужде-
суждения: "Все жирафы — хищники" и "Всехищники — не травоядные". Аль-
Альтернативой этих двух суждений может быть суждение "Все жирафы —
травоядные". В этом легко убедиться, если построить соответствующие
диаграммы. Заметим: если исключить из системы суждение "Все хищни-
хищники — не травоядные", то при соединении двух суждений "Все жирафы —
хищники" и "Все жирафы — травоядные" коллизии не получится, пото-
потому что система в отличие от нас "не знает", что "хищники" и "травояд-
"травоядные" с точки зрения биологической классификации — несовместимые
понятия.
С учетом этих рассуждений дадим следующее определение.
Определение 19. Альтернативой суждения или ?-структу-
ры является суждение или ?-структура, которая при совме-
совмещении с исходной структурой ведет к появлению запре-
запрещенной коллизии в совмещенной ^-структуре.
Термин "запрещенная коллизия" требует пояснений. Дело в том, что
в каждом реальном рассуждении имеются какие-то предпосылки, кото-
которые явно не выражены в самих суждениях, но "существуют по умолча-
умолчанию". Такими предпосылками могут быть следующие два типа условий:
A) множество, представленное произвольным базовым литералом,
не может быть пустым множеством;
B) разные термины не могут представлять одно и то же множество.

72
8. "Отрицания" в Е-структурах
Запрещенной является коллизия, которая ведет к нарушению хотя
бы одной из таких предпосылок. Например, если одним из исходных
суждений было "Все жирафы — травоядные", то, получив после подста-
подстановки добавленного суждения следствие "Все травоядные — жирафы",
мы придем к выводу, что, кроме жирафов, других травоядных не суще-
существует. В данном случае добавленное суждение можно считать альтер-
альтернативой рассуждения, потому что оно приводит к нарушению неявно
заданной исходной предпосылки "Жирафы и травоядные — это не одно
и то же".
Вместе с тем в рассуждениях возможны такие добавляемые сужде-
суждения или ^-структуры, которые хотя и вызывают коллизии при их совме-
совмещении с исходной структурой, но при этом пустота некоторых терминов
или их эквивалентность не влечет нарушения смысла самого рассужде-
рассуждения в целом. Например, если в рассуждении использовался термин "ле-
"летающие черепахи" и мы добавили к этому рассуждению суждение, кото-
которое вызвало коллизию типа "летающие черепахи — это не летающие
черепахи", то такое добавленное суждение можно принять как уточняю-
уточняющую альтернативу, из которой следует, что летающих черепах не суще-
существует.
Другим примером подобного "уточнения" является коллизия пара-
парадокса типа А —»А, из чего следует, что множество А является универсу-
универсумом. Возможны конкретные рассуждения, в которых такое "уточнение"
является вполне приемлемым.
Для упрощения в качестве альтернативы далее будем рассматривать
структуры, которые вызывают при совмещении с исходным рассужде-
рассуждением любую коллизию парадокса. При этом оказывается, что альтерна-
альтернативой данного суждения или ^-структуры может быть какое-либо экзи-
экзистенциальное суждение, в котором наряду с базовыми литералами
исходной ^-структуры имеются новые литералы. Примером такой аль-
альтернативы является один из вариантов примера 13 (предыдущий раз-
раздел), в котором к исходной ^-структуре из двух_суждений В -* (А, С)
иА~+ С добавлялось частное суждение W-+ (Л,С), инициирующее кол-
коллизию парадокса. В этом смысле частное суждение W -* (А, С) можно
считать альтернативой исходной ^-структуры.
Заметим, что в этом примере так же, как и в ранее рассмотренном
примере с жирафами, альтернатива является "скрытой", т. е. она не кон-
конфликтует ни с одним из содержащихся в исходной f-структуре сужде-
суждений, но в то же время несовместима с ^-структурой в целом.
Индуктивный вывод
В философии и логике считается, что индукция — это более высокая
по сравнению с дедукцией форма мышления, связанная непосредствен-
непосредственно с творческим мышлением, результатом которого являются новые
знания. Но в современной логике отсутствует однозначное определение
индукции. В основном подходы к пониманию индуктивного вывода ос-
основаны на содержательном анализе ситуации. В соответствии с таким
подходом методы индуктивного вывода основаны на некоторых общих
философских предпосылках типа "индукция — это поиск причины явле-
явления" или "дедукция — это переход от общего к частному, а индукция —
наоборот". При всей их привлекательности эти предпосылки мало что
дают с точки зрения математической формализации индуктивного вы-
вывода в рассуждениях и к тому же явно недостаточны для отображения
средствами формальной логики некоторых характерных особенностей
творческого мышления.
В последнее время появились формальные методы построения ин-
индуктивного вывода на основе оценки вероятностных характеристик со-
составных частей рассуждения, что позволяет рассчитывать и сравнивать
вероятности возможных гипотез [Светлов, 1995]. Однако вполне право-
правомерен другой подход к индуктивному выводу: формирование правдопо-
правдоподобных гипотез производится с помощью многовариантного восстанов-
восстановления недостающих звеньев какой-либо дедуктивной структуры. Такая
дедуктивная структура в силу своих особенностей "позволяет" исполь-
использовать в качестве возможных гипотез лишь ограниченное число из не-
необозримого множества предложений. Разумеется, в этом случае может
появиться сразу несколько приемлемых гипотез. Тогда окончательный
выбор подходящей гипотезы может быть сделан не на основе подсчета
вероятностей, а на основе их содержательного анализа, при котором час-
часто используются знания, явно не содержащиеся в исходной дедуктив-
дедуктивной структуре. Здесь мы рассмотрим лишь формальный механизм по-
порождения гипотез на основе ^-структур, не вдаваясь в подробности
содержательного анализа.
Индуктивный вывод такого рода встречается не только в научном ана-
анализе, но и во многих других мыслительных актах, даже в такой, казалось

74
9. Индуктивный вывод
9. Индуктивный вывод
75
бы, далекой от логики сфере, как юмор. В качестве примера вспомним
анекдот, связанный с Уинстоном Черчиллем. Как известно, он прекрас-
прекрасно разбирался в языковых тонкостях, и его остроты далеко не всем при-
приходились по вкусу. Однажды леди Астор сказала ему: "Если бы вы были
моим мужем, я бы подсыпала вам яд в кофе". Черчилль ответил: "Если
бы вы были моей женой, я бы этот кофе выпил".
Смешное обычно не принято комментировать. Но здесь иная ситуа-
ситуация — ставится задача найти связь комического с индуктивным выво-
выводом. Ответ Черчилля внешне безобиден. Однако подразумевается, что
ему должна предшествовать фраза "А вы мне так неприятны, что..."
и предположение о том, что в моделируемой ситуации говорящий знает
о насыпанном яде. Эти недостающие звенья являются индуктивным вы-
выводом из произнесенных фраз и ситуации, и смех (по крайней мере,
у людей с чувством юмора) вызывается не только этим скрытым наме-
намеком, но и не в последнюю очередь радостью, связанной с его самостоя-
самостоятельной и быстрой "расшифровкой".
К индуктивному выводу этого типа можно отнести также процедуру
восстановления пропущенных посылок в категорическом силлогизме
[Светлов, 1995]. Начнем с простого примера. Дано рассуждение "Этот
человек не знает дорогу к реке. Следовательно, он не местный житель".
Это по сути силлогизм с пропущенной посылкой. Но мы выразим его
в /^-структурах.
Введем обозначения: Я — этот человек, К — знающий дорогу_к реке,
V — местный житель. Исходной посылкой является связь Н~* К, пред-
предполагаемым следствием Я ->• У (интерпретацией знака —»¦ является связ-
связка "есть"). Данное рассуждение можно представить в виде диаграммы
(рис. 40): посылка изображена сплошной линией, предполагаемое след-
следствие — пунктиром. Чтобы суждение Н —* V стало "настоящим" след-
следствием, необходимо, чтобы из вершины Я был путь в вершину V. Доста-
Достаточно посмотреть на рисунок, чтобы сразу же найти недостающее
"звено": К —>¦ V (рис.41). Контрапозицией этого суждения является
V-* К (все местные жители знают дорогу к реке).
Н ^ К
Но часто встречаются ситуации, когда простое восстановление недо-
недостающих связей не приводит к успеху. И "рисунки" в таких случаях не
всегда помогают — нужна четкая аналитика. Рассмотрим более сложный
пример, где вместо содержательных терминов используются обычные
символы. Пусть даны посылки А —>• В, С -* (В, D); E~* D. Второе сужде-
суждение означает "Все Сесть пе-В и не-D". Предполагаемым следствием яв-
является А ~* Е. Требуется восстановить недостающие посылки, не вводя
при этом новых терминов.
Для исходных посылок построим диаграмму (рис. 42). Затем доба-
добавим в нее все контрапозиции исходных суждений (рис. 43).
Мы получили структуру, которая обладает одним очень важным
свойством: в ней обязательно содержится диаграмма Хассе системы (со-
(соответствующая теорема в f-структурах доказана для любого набора ис-
исходных посылок). Поэтому на рис. 43 должны быть все возможные мак-
максимальные пути нашей структуры. Выделим все максимальные пути,
идущие из А, и все пути, ведущие в Е. Найдены следующие пути из А:
E
В
С
Рис. 42
D
D
-В
_
В
С
Рис. 43
D
D
Эти пути "разорваны", и наша задача заключается в том, чтобы соеди-
соединить их. Ясно, что соединять С с С нам нельзя из-за явной коллизии па-
парадокса. Посмотрим другие возможности — их оказывается не так уж
и мало:
С-+Ё; Я—С; В->¦ Д В^Е;
С;
Рассмотрим подробно первый вариант. Подставив связь С —* D, мы
получим искомый путь из А в Е, который говорит о том, что суждение
А -* Еявляется следствием нашей новой системы. Но при этом (предпо-
(предполагается наличие связи С —* D на рис. 43) появится путь D —* С —>¦ D, из
чего следует коллизия парадокса D^D. Кроме того, возникнет еще одна
коллизия парадокса Е—>Е. Следовательно, "склейка" С -* D ведет к па-
парадоксу.
Проверив аналогично все остальные "склейки", приходим к^выводу^
что из семи вариантов не приводят к коллизии только три: В ~* D; В -* Е
и А —» D. Какой из этих вариантов самый подходящий, можно решить
только на основе содержательного анализа. Каждая новая связь влечет
за собой свой спектр новых следствий. Некоторые из них могут оказать-
оказаться несовместимыми с какими-то явно невыраженными, но подразумева-
подразумеваемыми правильными суждениями. Если и на этом этапе все наши индук-
индуктивные заключения будут забракованы, то можно остановиться на том,

76
9. Индуктивный вывод
что предполагаемое следствие в данной системе необходимо принять
в качестве исходной посылки.
Рассмотренный метод допускает также реализацию, в которой ин-
индуктивные заключения могут содержать термины, не входящие в перво-
первоначальную структуру. В приведенном выше анекдоте имеет место имен-
именно эта ситуация.
В прежние времена результаты творческих поисков ассоциировались
с удачно найденным средним термином. Но наверное, также удачно
можно находить не только средние термины, но и связи между ними.
Трудно предположить, что в сознании при формировании гипотез про-
происходит оценка их вероятностей с помощью далеко не простых для мыс-
мысленного расчета формул. Тем не менее мысленный перебор детермини-
детерминированных вариантов и их дедуктивный анализ для многих является
необходимым и даже привычным делом. Теперь появляется возмож-
возможность с помощью ^-структур дать точную логическую модель и машин-
машинную реализацию этой процедуры.
Правда, машина вряд ли сможет дать содержательную оценку фор-
формально приемлемых вариантов. Но ей по силам механизировать и значи-
значительно ускорить рутинную работу по выбору этих вариантов и выводу
связанных с ними следствий. На данный момент разработана теорети-
теоретическая и алгоритмическая база для решения таких задач (см. Приложе-
Приложение Б). Значительная часть необходимых для этого анализа алгоритмов
реализована в макетном образце вычислительной программы, которую
можно свободно получить в Интернете по адресу:
http://www.ipme.ru/ipme/labs/msa/kulik/kulik.htm
Приложение А
С чем идет современная логика
в XXI век?
Словами можно доказать и опровергнуть все
что угодно, и скоро люди усовершенствуют
язык до такой степени, что будут доказывать
математически верно, что дважды два — семь.
А. П. Чехов. "Огни"
1 .А нужна ли нам логика?
Недавно мне предложили прочесть небольшой курс лекций по логи-
логике для старшекурсников одного гуманитарного университета. На пер-
первой лекции я задал студентам такой вопрос:
— Скажите, отличаются ли друг от друга по смыслу два утверждения:
"Все гениальное просто" и "Все простое гениально"?
Ответом мне было продолжительное молчание. Наконец кто-то роб-
робко произнес:
— Кажется, они отличаются.
Этот же вопрос я задавал не только студентам, но и тем, кто давно
уже вышел из студенческого возраста (среди них были специалисты по
информатике и искусственному интеллекту, некоторые имели профес-
профессорские звания). Однозначные ответы встречались редко. Отвечали, как
правило, многословно и не по существу. Некоторые из отвечающих го-
говорили, что данный вопрос имеет отношение к силлогистике, и добавля-
добавляли при этом, что эта логическая система сейчас, по-видимому, устарела.
Любой выпускник старой русской гимназии, в которой логика была
обязательным предметом, ответил бы на этот вопрос не задумываясь.
В классической логике существенная разница между суждениями "Все А
есть В" и "Все В есть Л" не подлежит никакому сомнению. Самое интерес-
интересное, что для англичанина или немца, даже не знающего классическую ло-
логику, этот вопрос тоже не вызвал бы особых затруднений, — во многих
европейских языках сама синтаксическая структура предложения не по-
позволяет отождествлять такие "перевертыши". Для языков же славянской

78 Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
группы и некоторых других языков (например, арабского), где порядок
слов в предложении менее строго регламентирован и допускается про-
пропуск глагола-связки "есть" (оказывается, что это не просто связка, а насы-
насыщенное глубоким смыслом логическое понятие), подобные "переверты-
"перевертыши" грамматически (а порой и по смыслу) трудно различимы, и поэтому
при некотором навыке их можно использовать, чтобы "доказать" собесед-
собеседнику явную нелепость. Тот факт, что в России, как нигде, вольготно чув-
чувствуют себя демагоги и мистификаторы, видимо, обусловлен неблагопри-
неблагоприятным стечением двух обстоятельств: 1) особенностями русского языка
и 2) явным пробелом в логическом образовании населения России.
Использование "перевертышей" (точнее, обращенных суждений) не
так безобидно, как это кажется на первый взгляд. Математикам хорошо
известно, что во многих случаях "обращение" теоремы приводит к лож-
ложному утверждению. Примером такого рода является следующая теорема
из школьной математики: "Если четырехугольник — ромб, то его диаго-
диагонали перпендикулярны". Обратное ему утверждение "Если диагонали
четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом" оказыва-
оказывается истинным лишь в частных случаях. В рамках традиционной логики
нетрудно построить сравнительно простые системы суждений, в кото-
которых подстановка одного из "перевертышей" приводит к неразрешимому
парадоксу, в то время как подстановка в исходное рассуждение его "об-
"обращения" не вызывает никаких коллизий.
Разумеется, "перевертыши" — далеко не единственный класс целе-
целенаправленных уловок или непроизвольных ошибок в рассуждении. Су-
Существует немало других логических аномалий, которые не зависят от
синтаксического строя языка и могут распознаваться лишь при опреде-
определенных навыках и знаниях основ логики. В какой-то степени математика
восполняет этот пробел в образовании. Но даже в ней многие элементар-
элементарные приемы анализа рассуждейий недостаточно четко сформулированы.
К тому же в современной математике с некоторых пор появились некото-
некоторые не совсем корректные с точки зрения естественной логики приемы
рассуждений, которые частично проникли и в школьное образование (бо-
(более подробно об этом будет сказано ниже). А тем учащимся, которые име-
имеют склонность к гуманитарным знаниям и явно не в ладах с чрезмерно
формализованной современной математикой, остается только надеяться
на интуицию. Нос помощью интуиции далеко не всегда можно правильно
оценить даже сравнительно простое рассуждение, особенно в тех случаях,
когда логическая культура индивида, несмотря на высокий образователь-
образовательный уровень, находится в первобытном состоянии.
Наверное, невозможно найти человека, который никогда не допускал
бы в своих рассуждениях логических ошибок. И было время, когда анализ
логических ошибок в рассуждениях оппонентов играл немаловажную
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
79
роль в науке и образовании. Но в XX столетии логика замкнулась в себе
и перестала быть понятной для многих. Можно лишь догадываться, кто
выиграл от того, что в России она надолго исчезла из списка общеобразова-
общеобразовательных предметов. Но проигравших, как мне думается, намного больше.
2. Какая философская парадигма лежит в основе
современной логики?
Самое неприятное и поразительное заключается в том, что из этого
"первобытного состояния" до сих пор не вышла основа основ наших точ-
точных знаний — современная математика. И чтобы обосновать этот тезис,
. мне пришлось включить в эту статью "занудный" терминологический
анализ некоторых основополагающих понятий математики и логики. Но
об этом речь пойдет в следующем разделе. Пока же рассмотрим некоторые
философские проблемы, имеющие непосредственное отношение к логике.
Логика — не только сугубо математическая, но и философская наука.
В XX веке эти две взаимосвязанные ипостаси логики оказались разве-
разведенными в разные стороны. С одной стороны, логика понимается как
единая наука о законах правильного мышления, а с другой — с точки
зрения современного чрезмерно формализованного подхода — она пред-
представлена в виде совокупности слабо связанных друг с другом искус-
искусственных языков, которые называются формальными логическими сис-
системами. К концу XX столетия проблема связи логики и мышления
оказалась на задворках науки, и это обстоятельство стало одной из глав-
главных причин потери интереса общества к логике. Логика постепенно пре-
превратилась в рыхлую совокупность замкнутых и самодостаточных язы-
языков для переписки между специалистами. Но в каждом исследовании*,
посвященном логике, явно или неявно присутствует одна фундамен-
фундаментальная проблема — проблема соотношения логики и естественного
языка. Рассмотрим вкратце некоторые аспекты этой проблемы.
Из громадного многообразия созданных человеком систем разго-
разговорный (или естественный) язык является одной из самых сложных
и загадочных. С развитием языка многие ученые связывают начало вы-
выделения Homo sapiens из мира живых существ Земли. Мы в своей по-
повседневной деятельности привыкли рассматривать разговорный язык
в основном как средство общения и пользуемся им, порой не задумыва-
задумываясь о тех скрытых или неявно выраженных интеллектуальных ресурсах,
которые в нем заложены. Тесная связь между языком и мышлением по-
понимается людьми, не связанными профессионально с философией или
лингвистикой, весьма поверхностно. Для многих очевидно, что мышле-
мышление — это некий сложный процесс, с помощью которого решаются жи-
житейские, научные или философские проблемы и рождаются гениальные

80
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается просто как сред-
средство передачи результатов мышления современникам или потомкам.
Но, связав в своем сознании мышление с понятием "процесс", а язык —
с понятием "средство", мы по сути перестаем замечать тот непреложный
факт, что в данном случае "средство" не подчинено полностью "процессу",
а в зависимости от нашего целенаправленного или неосознанного выбора
тех или иных словесных штампов оказывает сильнейшее влияние на ход
и результат самого "процесса". Причем известно немало случаев, когда та-
такое "обратное влияние" становится не только тормозом для правильного
мышления, но порой даже его разрушителем. Достаточно много примеров
таких разрушительных словесных штампов (мемов) из области биостати-
биостатистики приведено в статье В. П. Леонова [Леонов, 1998]. Из этой статьи
читатель может узнать много интересного о новом интенсивно развиваю-
развивающемся направлении в методологии науки — меметике, в которой исследу-
исследуются закономерности возникновения, распространения и "умирания" ме-
мемов. Некоторые из таких ныне живущих мемов, но уже из области знаний,
связанных с логикой, мы рассмотрим.
В философии, логике и языкознании известно немало различных те-
теорий и подходов, объясняющих проблему соотношения языка и мышле-
мышления. Однозначного решения этой проблемы пока нет. Однако очевидно,
что мышление, хотя и включает язык, по содержанию богаче его. Тем не
менее в истории философии был период, когда в сознании многих иссле-
исследователей связь между ними определялась тезисом: "Язык — это при-
примерно то же самое, что и мышление". Датируется этот период первой
половиной нашего столетия, когда среди философов и ученых большой
популярностью пользовались различные течения логического позити-
позитивизма и лингвистической (или аналитической) философии. Основопо-
Основоположники этого направления, всемирно известные математики и филосо-
философы (Г. Кантор, Б. Рассел, А. Н. Уайтхед, Л. Витгенштейн, Д. Гильберт,
Дж. Пеано, Е. Цермело и др.), считали, что естественный язык содержит
в себе много неоднозначностей и в силу этого не приспособлен для пра-
правильного логичного мышления. Свою задачу они видели в том, чтобы
создать новый искусственный язык, с помощью которого можно было
бы преодолеть многие "недостатки" естественного языка.
В математике главным идеологом нового направления стал выдаю-
выдающийся немецкий ученый Давид Гильберт, предложивший в начале XX
столетия свою программу обоснования этой науки, в которой конкрет-
конкретные "интуитивные" математические понятия (числа, точки, линии, фи-
фигуры, множества и т. д.) заменялись некими абстрактными символами,
связанными друг с другом чисто формальными отношениями.
Для многих математиков того времени предложенный переход не
представлялся достаточно обоснованным (их мнение выразил А. Пуан-
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
81
каре в своих работах по методологии науки [Пуанкаре, 1983]). Тем не
менее к концу XX столетия точка зрения Гильберта оказалась доми-
доминирующей в некоторых разделах математики, в первую очередь в уни-
универсальной алгебре и в математической логике. Во многом она совпала
с основной парадигмой логического позитивизма. В то же время у неко-
некоторых современных математиков отношение к программе Гильберта
явно негативное. Академик В. И. Арнольд в статье под названием
"Выживет ли современная математика?" назвал формализованный ак-
аксиоматический метод, являющийся развитием программы Д. Гильберта,
"самоубийственным демократическим принципом" [Арнольд, 1997].
Анализ негативных тенденций, обусловленных чрезмерной формализа-
формализацией математики, содержится во многих публикациях. Достаточно под-
подробную информацию на эту тему можно найти в работах, приведенных
в списке литературы [Блехман и др., 1976; Клайн, 1984].
С философской точки зрения задача, поставленная в рамках логическо-
логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних ис-
исследованиях один из основоположников этого направления Людвиг Вит-
Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать
в соответствии с разработанной позитивистами программой. Даже язык
математики в целом устоял перед мощным напором "логицизма", хотя мно-
многие термины и структуры предлагаемого позитивистами языка вошли в не-
некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их.
Популярность логического позитивизма как философского направления
во второй половине XX столетия заметно упала — многие философы при-
пришли к выводу, что отказ от многих "нелогичностей" естественного языка,
попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического
позитивизма влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе
с этим и дегуманизацию человеческой культуры в целом. Косвенно этот те-
тезис приняли и некоторые главные идеологи позитивизма. Например, извест-
известный философ и логик Г. Рейхенбах разделил процесс познания на "контекст
открытия" и "контекст подтверждения" и предложил ограничить сферу ме-
методологии науки только "контекстом подтверждения" [Reichenbach, 1961].
Тем самым он как бы признал, что продуктивная, творческая составляющая
процесса познания, содержащаяся в "контексте открытия", выпала из поля
зрения методологии позитивизма.
Стоит отметить, что современная философия ударилась в другую
крайность. Неприятие основной философской установки логического
позитивизма обернулось практически полным отказом от всякой логи-
логики. Особенно ярко такая негативная установка проявляется в модной
сейчас философии постмодерна.
И все же логический позитивизм оставил ощутимый след в современ-
современной науке: заметно повысился интерес к логической интерпретации

82
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
Приложение А, С чем идет современная логика в XXI век?
83
языка, были открыты или уточнены логические системы, которые легли
в основу современной компьютерной революции. Заодно среди тех, кто
так или иначе соприкасается с проблемой соотношения языка и мышле-
мышления, окрепло убеждение, что понять суть человеческого мышления не-
невозможно, если не понять сути логических методов анализа человечес-
человеческих рассуждений и аргументов, выраженных на естественном языке.
Математическая логика вошла в современную лингвистику и прочно
закрепилась в ней.
Однако в самой математической логике пока нет полной ясности. На
ее основе реализована техническая и математическая база современных
компьютеров, но в то же время моделирование и анализ естественных
рассуждений на ее языке сопровождаются большими трудностями
и проблемами. Многие методы рассуждений, которые используются
в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на
языке математической логики. В некоторых случаях такое отображение
приводит к существенному искажению сути естественного рассужде-
рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием
исходной методологической установки аналитической философии и по-
позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости его
коренного реформирования.
Сама исходная методологическая установка позитивизма также не
выдерживает критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности
просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам
язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или
не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологичес-
психологическими или риторическими приемами воздействия на публику либо в сво-
своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая назы-
называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало
людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества
не определяются знанием или незнанием основ математической логики.
3. Неестественная логика в основаниях математики
Настораживает еще одно обстоятельство, которое имеет непосред-
непосредственное отношение к основным проблемам современной логики. В рас-
рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям
формального языка математической логики, нередко обнаруживается
своеобразная "слепота" по отношению к элементарным логическим
ошибкам. На эту несообразность в основополагающих работах Г. Канто-
Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столе-
столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре
[Пуанкаре, 1983]. Эта проблема не потеряла своего значения и в наше
время: А. А. Зенкин в ряде недавних публикаций [Зенкин, 1997; 2000]
обосновал несостоятельность некоторых методов доказательств, ис-
используемых при выводе основополагающих теорем Канторовой теории
множеств. Заметим, что некоторые из этих методов (в частности, диаго-
диагональный метод Кантора) часто используются в современных исследова-
исследованиях по формальной логике.
С бесконечностью связана одна распространенная в современных те-
теориях логического вывода тенденция, которая при внимательном рас-
рассмотрении вступает в конфликт с прикладной сутью логики. Формаль-
Формальная логика оперирует сугубо дискретными сущностями (словами,
символами, обозначениями объектов и операций, значками и т. д.). Ясно,
что множество всех этих потенциальных объектов необозримо, но даже
если предположить, что человечество просуществует еще (дай Бог!)
миллиарды лет, то все равно множество этих объектов будет конечным
множеством и вряд ли когда-нибудь приблизится к количеству элемен-
элементарных частиц во Вселенной, которое, по современным физическим
представлениям, характеризуется хотя и чрезмерно большим, но все же
конечным числом. В то же время подавляющая часть современных работ
по основам математической логики начинается с того, что в них посту-
постулируется "счетность" алфавита. Это означает, что число "термов" и "ато-
"атомов" может быть конечным или счетным бесконечным множеством.
Если удерживаться в рамках "конечности" алфавита, то ничего абсурд-
абсурдного в этом нет, но дело в том, что за данным "постулатом" о счетности
алфавита скрывается то, что некоторые открытые Кантором свойства
бесконечных множеств, не совместимые со свойствами конечных мно-
множеств, переносятся на свойства многих систем логического вывода.
Вполне естественно возникает вопрос: «Может ли человек, способный
охватить в своем сознании лишь конечное множество слов и обозначе-
обозначений, воспользоваться "достижениями" такой "продвинутой" логики?»
В современных работах по логике и математике, где заметно влияние
программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые
с точки зрения естественной логики утверждения. Простейшим приме-
примером такого рода является соотношение между "элементом" и "множе-
"множеством". В ряде работ этого направления утверждается, что некоторое
множество (назовем его А) может быть элементом другого множества
(назовем его В). Например, в широко известном руководстве по матема-
математической логике [Мендельсон, 1984] мы встретим такую фразу: "Мно-
"Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множе-
множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества".
Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в ка-
качестве "скрытой" аксиомы в формальной теории множеств, которую
многие специалисты считают основанием современной математики,

84 Приложение А, С чем идет современная логика в XXI век?
а также в формальной системе, которую построил математик Гедель при
доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных си-
систем [Godel, 1931].
Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем
(в их число входит формальная теория множеств и формальная арифме-
арифметика Пеано), логическая структура которых явно не соответствует логи-
логической структуре естественных рассуждений и обоснований. Однако
уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди
логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком
широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально не-
непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более
трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несо-
несостоятельность программы формального обоснования математики, пред-
предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логи-
логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы
Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен
ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования мате-
математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной?
Чтобы понять двусмысленность утверждения "множество А есть
элемент множества В", достаточно задать простой вопрос: "Из каких
элементов в этом случае сформировано множество В?'1. С точки зрения
естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга ва-
варианта объяснения.
Объяснение первое. Элементами множества В являются имена неко-
некоторых множеств, и в частности имя или обозначение множества А. На-
Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множе-
множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо
признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более по-
понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент
в множестве всех известных видов животных. В более широком контек-
контексте множество В можно также сформировать из концептуальных опре-
определений множеств или ссылок на множества.
Объяснение второе. Элементами множества В являются элементы
некоторых других множеств, и в частности все элементы множества А.
Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чи-
чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных.
Но тогда получается, что в обоих случаях выражение "множество А
является элементом множества В" не имеет смысла. В первом случае
оказывается, что элементом множества В является не само по себе мно-
множество А, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае
неявно устанавливается отношение эквивалентности между множе-
множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
85
здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным фор-
формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается
что множество А включено в множество В, т. е. является его подмноже-
подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку
отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть
элементом множества) в математике имеют принципиально различный
смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков
к понятию "множество", основан на этой нелепости. В основе парадокса
лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть
элементом другого множества.
В свое время A925 г.) один из пионеров компьютерной революции
Дж. фон Нейман предложил различать два типа объектов: "множества"
и "классы". В его логической системе классы отличаются от множеств
тем, что не могут быть элементами других классов [Бурбаки, 1963, с. 46].
Однако в своей системе он уделил основное внимание "множествам",
для которых такое явно двусмысленное соотношение считается допус-
допустимым [von Neumann, 1925].
Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество А задано
простым перечислением его элементов, например А = {а, Ь). Множество В,
в свою очередь, задано перечислением некоторых множеств, например
В = {{а, Ь), {а, с}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом В
является не имя множества А, а само множество А. Но даже в этом слу-
случае элементы множества А не являются элементами множества В, и мно-
множество А здесь рассматривается как неразделимая совокупность, кото-
которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали
элементами В все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом
случае множество В было бы равно множеству {а, Ь, с), и множество А
в этом случае было бы не элементом В, а его подмножеством. Таким об-
образом, этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора сводит-
сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора
не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая
часто приводит к "необъяснимым" парадоксам.
Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологичес-
терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие
парадоксы и несообразности современной логики и дискретной матема-
математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмыслен-
двусмысленности. Например, в современных математических рассуждениях часто
используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе па-
парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимо-
самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются эле-
элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу.
Если мы рассмотрим множество всех "несамоприменимых" множеств,

86
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "не-
самоприменимым". От противоречия легко избавиться, если отказаться
от утверждения, что множество (но не его имя, обозначение или опреде-
определение) может быть элементом какого-то множества. И в соответствии
с этим выражение "множество есть элемент множества" можно рассмат-
рассматривать как неудачную метафору для одного (и только одного!) из сфор-
сформулированных выше вариантов объяснения.
Нашлись горячие головы, которые из противоречивости парадокса
Рассела пришли к выводу о необходимости запрета любых "самоприме-
"самоприменимых" конструкций. Такое же мнение в свое время высказал и сам Рас-
Рассел. Но оказывается, в математике вполне возможны и даже необходимы
"самоприменимости" в другом смысле, которые не влекут "неразреши-
"неразрешимых" парадоксов. Элементарным примером является "самопримени-
"самоприменимость" отношения включения множеств: в аксиомах алгебры множеств
предусматривается, что любое множество включено в самого себя. Но в этом
случае множество содержится в себе не как элемент, а как множество
(точнее, как "нестрогое подмножество"). При этом никакого парадокса не
возникает, так как "несамоприменимых" в этом смысле множеств просто
не существует и для "самоприменимости" нет альтернативы.
Другим примером "самоприменимости" являются структуры списков,
часто используемые в современном программировании и в системах ис-
искусственного интеллекта. Грубо говоря, списки — это некоторые структу-
структуры, связанные друг с другом системой ссылок. С помощью этих ссылок
можно "путешествовать", переходя от одной структуры к другой. Для
списков вполне допустима (а во многих системах искусственного интел-
интеллекта даже необходима) ситуация, когда в системе ссылок одного списка
встречается ссылка на тот же самый список или ссылка из списка нижнего
уровня на головной список. Достаточно знать о существовании такой не-
необычной "самоприменимой" ссылки, чтобы не хвататься за голову в ситу-
ситуации, когда программа обработки списков при определенных условиях
(порой из-за небрежности программиста) входит в бесконечный цикл.
Можно отнести к категории "самоприменимых" и некоторые рекур-
рекурсивные функции и процедуры. Например, известный из школьной мате-
математики факториал
можно определить как рекурсивную функцию F с помощью двух ра-
равенств:
Приложение А'. С чем идет современная логика в XXI век?
87
Такое определение не совсем привычно для человека, не сведущего
в математике, но является вполне корректным и во многих случаях
даже полезным не только для теории, но и для практики. Необычность
его заключается в том, что одна и та же функция F используется в ле-
левой и в правой части второго равенства. Но "самоприменимость" здесь
можно рассматривать как метафору, поскольку в разных частях равен-
равенства эта функция используется с разными значениями аргумента.
К тому же в записи рекурсивной функции равенство (=) означает не
отношение, а известную программистам операцию присваивания. При-
Примером такого "равенства" является кажущаяся абсурдной запись
Х — Х + 1, в которой подразумевается, что значение X в результате опе-
операции присваивания увеличивается на единицу.
Однако эти и многие другие примеры "самоприменимости" не имеют
ничего общего с "самоприменимостью" по Расселу, в которой "множе-
"множество" без всякого пояснения становится "элементом". "Множество" как
целое — это первичное свойство некоторых "элементов". Мы можем
даже не знать других свойств выделенного множества. Но раз понятие
"множество" используется как свойство, то отождествление его с сущно-
сущностями ("элементами"), характеризующимися этим свойством, сразу же
приводит к двусмысленности.
К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоре-
теоретических рассуждениях в рамках основ математики и математической ло-
логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре от-
отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись
многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся
"скрытые" определения и двусмысленности [Пуанкаре, 1983]. Тогда они
лишь намечались, и можно только восхищаться прозорливостью Пуанка-
Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере и свидетельствуют о "скры-
"скрытой диверсии" в логике и в основаниях математики. Вместе с тем, если та-
такая "диверсия" допускается для основополагающих понятий математики,
то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим
частным логическим и математическим понятиям. Подобные "диверсии"
(или мемы) размножаются в разных областях знаний если не в геометри-
геометрической, то по крайней мере в арифметической прогрессии.
Одним из разрушительных последствий указанной "диверсии" стала
все возрастающая неустойчивость многих математических понятий — ис-
исторически сложившиеся и строго определенные математические термины
коренным образом меняют свое значение в зависимости от приверженно-
приверженности к определенной научной школе. И это относится не только к сугубо
специальным терминам, но и к таким, которые лежат в основе современной
математики. Вот лишь некоторые из них: "отношение", "соответствие",
"отображение", "декартово произведение множеств", "алгебраическая сис-
система". Речь в данном случае идет не просто о разных подходах к определе-
определению этих терминов, а о том, что в разных авторитетных источниках этим

88
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
терминам соответствуют принципиально различные математические
структуры. Поневоле напрашивается вывод, что интенсивная дифферен-
дифференциация математики обусловлена в основном не детализацией и расшире-
расширением ее разделов, а искусственно создаваемыми терминологическими ба-
барьерами между различными научными школами.
Сейчас в рамках искусственного интеллекта идет интенсивная ком-
компьютеризация знаний, которая к тому же сопровождается многочислен^
ными рекламными заверениями в том, что компьютерная логика более
точна, чем наша обычная человеческая логика. Но если в компьютер за-
заложить ложные или противоречивые знания и не сформулировать точ-
точных условий ложности или противоречивости, то компьютер вряд ли
распознает эту ошибку. Например, в арифметических операциях ком-
компьютер не делит число на нуль не потому, что знает о некорректности
такого деления, а потому что в его арифметико-логическом блоке
встроена инструкция, запрещающая эту операцию. Чтобы смоделиро-
смоделировать на компьютере двусмысленную ситуацию с отношением принад-
принадлежности, достаточно ввести^в его память два класса объектов: "мно-
"множества" и "элементы" и сформировать из них структуру (матрицу),
в которой задано отношение между этими объектами. С точки зрения
"логики" самого компьютера совершено неважно, содержит ли эта мат-
матрица направленные связи только между парами типа "элемент-множе-
"элемент-множество" или же в эту матрицу добавлены некоторые связи между парами
типа "множество-множество". Ведь структурные свойства отношения
принадлежности компьютеру не заданы, поскольку сами люди пока не
определили однозначно и точно эти свойства.
4. Проблемы, связанные с математическим
подходом к анализу рассуждений
Можно предложить достаточно простой выход из данного затянувше-
затянувшегося кризиса: в основу логики классов (или множеств) нужно заложить не
отношение принадлежности, а отношение включения, основные струк-
структурные свойства которого в настоящее время хорошо исследованы и од-
однозначно определены в математике. Однако такой подход почему-то не
привлек внимания современных логиков и начал исследоваться лишь не-
несколько лет назад автором данной статьи [Кулик, 1996а; 19966; 1997а;
19976; 1997в; 1998а; 19986; 2000; Кулик и Романов, 1999]. Разумеется, ис-
использование отношения включения при моделировании и анализе есте-
естественных рассуждений отнюдь не означает, что отношение принадлеж-
принадлежности должно быть изъято из математики. Но это отношение нуждается
в более строгом определении. В соответствии с программой Гильберта от-
отношение принадлежности относится к "первичным" (т. е. неопределяе-
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
89
мым) понятиям. Но за этой "первичностью" стоит ряд общепринятых
формальных построений, из которых следует, что "первичное" отношение
принадлежности "скрыто" определено как двусмысленное понятие.
Чтобы преодолеть трудность, связанную с моделированием и анали-
анализом естественных рассуждений, необходимо ответить на вопрос: воз-
возможно ли в принципе математическое обоснование логики естественных
рассуждений? На первый взгляд, эта проблема кажется неразрешимой.
Принято считать, что математика оперирует понятиями и символами,
которые имеют строгое определение и смысл которых является фикси-
фиксированным по крайней мере в рамках какого-то определенного раздела
математики. В настоящее время можно найти немало конкретных пуб-
публикаций по математике и логике, где это правило нарушается. Во мно-
многом это обусловлено упомянутой выше "логической диверсией", вне-
внедрившейся в математику в начале XX века. Но в целом это правило все
же является эталоном математики. В то же время в естественном языке
нередко одни и те же слова или сочетания слов даже в разных местах
одного и того же краткого текста могут иметь разный, а иногда и несопо-
несопоставимый смысл. В естественном языке вполне уместны и даже неиз-
неизбежны такие "нелогические" явления, как омонимия, полисемия, тропы,
метафоры и т. д., которые принято объединять термином "полиморфизм
языка". Как же в этом случае можно использовать математику с ее пря-
прямолинейностью и однозначностью для логического анализа рассужде-
рассуждений на естественном языке?
При такой постановке вопроса смешиваются два принципиально
разных понятия: язык "вообще" с его неизбежным "полиморфизмом"
и сравнительно короткие отрезки текстов, которые по некоторым при-
признакам можно отнести к классу рассуждений и обоснований. Если мы
в своих поисках математической основы логики ограничиваемся только
рассуждениями и обоснованиями, то тем самым существенно упрощаем
задачу. Можно допустить, что основные (структурообразующие) терми-
термины в рассуждении используются в самых необычных значениях (обще-
(общепринятые значения, разумеется, тоже не противопоказаны), но в преде-
пределах рассуждения они не должны быть "полиморфными". В противном
случае такой речевой акт (или текст) может быть чем угодно в пределах
шкалы "образец бессмыслицы — литературный шедевр", но только не
рассуждением. Тогда "проклятие полиморфизма" языка если даже не
снимается полностью, то, по крайней мере, существенно ослабляется.
И при этом с точки зрения логики совершенно неважно, о чем это рас-
рассуждение: о законах природы или языка, о перспективах победы на вы-
выборах какой-либо политической партии, о "проколах" в существующем
законодательстве или о преимуществах бисквитного торта по сравне-
сравнению с манной кашей.

90 Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
Кроме того, оказывается, что проблема несовместимости языка мате-
математической логики с естественным языком не является единственной
проблемой, препятствующей поиску приемлемой математической сис-
системы для моделирования и анализа естественных рассуждений. Многие
исследователи в области логики заметили, что в естественных рассужде-
рассуждениях могут успешно применяться методы и приемы, которые кажутся
вполне обоснованными, но в то же время несовместимы с аксиомами
математической логики. Например, какое-то конкретное формально
правильное рассуждение можно опровергнуть с помощью некоторых не
вызывающих сомнения аргументов. В этом случае исходное рассужде-
рассуждение либо опровергается полностью, либо модифицируется за счет изме-
изменения некоторых исходных положений. Примерно по такой схеме про-
происходит сложный и мучительный процесс развития человеческого
познания, но для современной математической логики сама постановка
задач моделирования и анализа таких "модифицируемых" рассуждений
плохо совместима с ее методами и исходными предпосылками.
Другим примером несовместимости математической и естественной
логики является допустимая в естественном языке многовариантность
отрицаний. Например, дано утверждение "Тигры — травоядные млеко-
млекопитающие". С точки зрения математической логики отрицанием его
должно быть единственное утверждение, которое на естественном язы-
языке формулируется как "Неверно, что тигры — травоядные млекопитаю-
млекопитающие". В то же время с точки зрения естественной логики можно сформу-
сформулировать более конкретные альтернативные утверждения, например:
"Тигры не травоядные", "Тигры не млекопитающие" и т. д. (заметим, что
отрицание, так же как и исходное утверждение, не обязательно должно
быть истинным). При этом у многих людей, не посвященных в язык
математической логики, наверняка вызовет удивление (и, возможно,
даже недоумение) следующее обстоятельство: если перевести исходное
утверждение о тиграх и любое из приведенных выше альтернативных
утверждений на язык математической логики и соединить эти утверж-
утверждения в одну систему исходных посылок, то окажется, что такое совме-
совмещение в рамках математической логики не является противоречивым.
Подобные несоответствия между математической логикой и есте-
естественными рассуждениями стали для многих логиков из разных стран
мощным стимулом к поиску альтернативных формальных логических
систем. Появилось большое число новых "неклассических" логик (мо-
(модальная, многозначная, немонотонная, паранепротиворечивая, логика
умолчаний, логика веры, нечеткая логика и т. д.). По самым скромным
подсчетам, в настоящее время насчитывается не менее сотни вариантов
различных "неклассических" логик. От "классических" они отличаются
тем, что в них не соблюдаются некоторые из законов булевой алгебры,
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
91
которая лежит в основе математической логики, а также в основе логики,
которая считалась классической до изобретения математической логи-
логики. Среди законов булевой алгебры, ставших объектом ревизии в рамках
"неклассической" логики, оказались не только малоизвестные законы,
но и те, которые до XX столетия считались в логике основными: закон
двойного отрицания, закон исключенного третьего, закон непротиворе-
непротиворечия (эти законы классической логики нашли отражение в основных ак-
аксиомах булевой алгебры).
Мало того, в рамках этой парадигмы доказано существование конти-
континуума некоторых вариантов неклассических логик [Карпенко, 2000].
Теперь можно только ликовать — на каждого жителя Земли приходится
не менее континуума уникальных логик. Огорчает лишь одно обстоя-
обстоятельство: ситуация чем-то напоминает известный библейский сюжет
о незавершенном строительстве Вавилонской башни.
5. Возможные решения некоторых проблем
А можно ли предложить систему математического моделирования
естественных рассуждений, в которой учитывались бы многие их специ-
специфические особенности, но при этом не требовалось бы в корне изменять
законы булевой алгебры? Решением этой проблемы автор занимался
несколько лет. Результаты этих поисков опубликованы в различных из-
изданиях и докладывались на международных и общероссийских конфе-
конференциях по искусственному интеллекту и логике. Предложенный под-
подход при определенной методической переработке вполне доступен для
восприятия и понимания даже тем, кто в силу ряда обстоятельств недо-
недостаточно знаком с основными понятиями и идеями логики и математи-
математики. Опыт общения со студентами Санкт-Петербургского государствен-
государственного университета культуры и искусств и школьниками показал, что
они в течение нескольких аудиторных занятий вполне овладевают мето-
методами грамотного анализа таких рассуждений, которые трудны даже для
специалистов. В одной из школ Санкт-Петербурга с использованием
этой методики начались занятия по логике среди учащихся 7-го и 8-го
классов. Преподавательница информатики Р. Ю. Дамм адаптировала ее
к школьному курсу образования. В результате школьники через не-
несколько уроков успешно справляются со многими сложными задачами
анализа естественных рассуждений.
В чем же главные отличия данного подхода? Выделим два.
Отличие первое. В качестве структурной единицы формального рас-
рассуждения было выбрано суждение, т. е. в общем случае утверждение,
в котором некоторому объекту или классу объектов (субъекту) присваи-
присваивается некоторый набор признаков (предикатов) или их отрицаний.

92 Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
Термин "суждение" и сопутствующие термины "субъект" и "предикат"
взяты из классической силлогистики, но в данном подходе смысл терми-
термина "суждение" более широкий. В Аристотелевой силлогистике субъекту
суждения соответствует один и только один предикат или его отрица-
отрицание, в то время как в предлагаемом подходе в одном суждении субъекту
может быть присвоено произвольное число предикатов или их отрица-
отрицаний. Например, утверждение "Все тигры — млекопитающие" может быть
представлено как суждение аристотелевского типа. Но в то же время
суждение "Все тигры — хищные млекопитающие, не живущие в воде и
не приспособленные к жизни в условиях Крайнего Севера" уже не явля-
является аристотелевским, но вполне соответствует определению суждения
в новом подходе.
В форме суждения можно выразить не только многие "нормальные"
предложения естественного языка, но и такие логические конструкции,
как определения или толкования терминов; факты реальной жизни, вы-
выраженные с помощью языка ("Земля вращается вокруг своей оси"); мно-
многие математические теоремы; законы природы и т. д.
Суждение — это результат каких-то знаний о системе. Эти знания
могут быть ошибочными или вообще не имеющими никакого отноше-
отношения к реальности, но основная задача логического анализа рассуждений
заключается не в выяснении безусловной истинности отдельных сужде-
суждений, а в проверке их совместимости. В начальной стадии логического
анализа рассуждений предполагается, что все суждения истинные. Но
если анализ показывает, что рассуждение в целом логически несовмес-
несовместимо (некорректно), то имеются основания предположить, что хотя бы
некоторые из суждений данного рассуждения не являются истинными.
При этом следует учесть, что сопоставление умозрительных суждений
с реальными фактами, выраженными в форме суждений, также являет-
является рассуждением.
Отличие второе. Связь между субъектом и предикатами или их от-
отрицаниями в суждении соотносится с отношением включения мно-
множеств. Обычно такая связь при переводе предложений естественного
языка в классическое суждение осуществляется с помощью глагола-
связки "есть", которая не всегда явно используется, но часто подразу-
подразумевается. Дальнейший переход к математической структуре произво-
производится за счет преобразования этой связки в математическое понятие
включения множеств. При таком переходе формулировка исходного
предложения существенно меняется, но не происходит существенного
искажения смысла. В качестве примера возьмем два предложения:
"Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы" и "Все метал-
металлы электропроводны". Если использовать математическую форму-
формулировку, то эти предложения преобразуются в следующие: "Онегин
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
93
включен в множество моих добрых приятелей и в множество людей,
родившихся на брегах Невы" и "Множество металлов включено в мно-
множество электропроводных веществ".
Стоит отметить, что связка "есть" в классическом суждении стала ис-
использоваться в логике под влиянием работ схоластов лишь с XIV века.
Аристотель формулировал суждения более однозначно. Например, суж-
суждение "Все А не есть В", по Аристотелю, выражалось бы как "Любому А
не присуще В". Такая формулировка суждения по смыслу более близка
к математическому соотношению включения множеств.
Использование понятия "включение множеств" в суждениях одно-
однозначно определяет выбор математического аппарата для моделирования
и анализа суждений и их произвольных совокупностей (рассуждений).
Этим математическим аппаратом является известная многим по школь-
школьному курсу информатики алгебра множеств. Законы алгебры множеств
соответствуют законам булевой алгебры. Некоторые математики даже
считают их эквивалентными (точнее, изоморфными) системами, хотя
это не совсем так. Но для моделирования рассуждений алгебра множеств
используется не в своем обычном виде — она существенно расширена за
счет использования некоторых мало известных свойств отношения
включения множеств. Эти свойства подробно изучены в математике, но
не получили широкой известности, потому что исследуются лишь в пре-
пределах некоторых появившихся сравнительно недавно разделов матема-
математики, таких как теория частично упорядоченных множеств и теория ре-
решеток. Однако при определенном методическом подходе понимание
этих свойств и умение пользоваться ими при анализе рассуждений не
требуют от учащихся широкой математической подготовки, но неко-
некоторый минимальный объем математических знаний, безусловно, не-
необходим.
На основе охарактеризованных выше предпосылок был разработан
метод математического моделирования рассуждений, с помощью кото-
которого в рамках силлогистики удалось решить многие проблемы. Разу-
Разумеется, предложенный метод не претендует на полноту охвата всех
возможных логических построений и не заменяет все методы и сред-
средства математической логики. Вместе с тем при анализе рассуждений,
которые без существенной потери смысла преобразуются в произволь-
произвольную совокупность суждений, метод позволяет получить все возмож-
возможные следствия и проверить отсутствие (или наличие) противоречий,
оценить неопределенность (неполноту) данного рассуждения, сфор-
сформулировать разнообразные гипотезы, уменьшающие эту неопреде-
неопределенность, оценить различные аргументы, подтверждающие или опро-
опровергающие данное рассуждение, решить ряд сложных проблем индук-
индуктивного вывода и т. д. Многие из упомянутых задач при использовании

94 Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
традиционных методов решаются намного труднее или же не решают-
решаются вообще.
Некоторые возможности нового метода удобно продемонстрировать
на простом примере, взятом из книги Льюиса Кэрролла [Кэрролл, 1973].
Пусть заданы три посылки:
"Все малые дети неразумны".
"Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения".
"Все неразумные люди не заслуживают уважения".
Известные методы (включая метод анализа соритов, разработанный
Кэрроллом) позволяют н^ам установить, что следствием этих посылок
является суждение "Все, кто укрощает крокодилов, не являются малы-
малыми детьми".
Если воспользоваться предлагаемым методом, то оказывается, что из
этой системы посылок можно вывести 9 следствий, в том числе и то, ко-
которое выведено традиционными методами. Остальные следствия явля-
являются промежуточными, но все они играют большую роль при более де-
детальном анализе рассуждения. Кроме того, устанавливается, что данная
система является полной системой. Это означает, что любое новое суж-
суждение, в котором содержатся только термины, содержащиеся в посыл-
посылках, несовместимо с посылками. Например, суждение "Все разумные
люди не укрощают крокодилов" вызывает в данном рассуждении колли-
коллизию парадокса "Все, кто укрощает крокодилов, не укрощают крокодилов".
То есть, приняв как истинное суждение "Все разумные люди не укроща-
укрощают крокодилов", мы приходим к выводу, что людей, укрощающих кроко-
крокодилов, не существует.
Полнота системы, однако, не препятствует включению в нее новых
суждений при условии, что в этих суждениях содержатся новые терми-
термины. Если к трем исходным посылкам добавить четвертую посылку с но-
новым термином, например "Все, кто жестоко обращается с детьми, не за-
заслуживают уважения", то никаких коллизий не появится, но при этом
мы получим неполную систему с неопределенностями. Анализ непол-
неполных систем в традиционных методах связан с большими трудностями
и во многих случаях не производится. Если же воспользоваться предла-
предлагаемым методом, то оказывается, что для этой новой системы можно
сформулировать 12 новых суждений, каждое из которых по отдельности
совместимо с исходной системой, но непосредственно из нее не выво-
выводится. К таким суждениям, в частности, относятся два взаимоисключаю-
взаимоисключающих суждения "Все неразумные люди жестоко обращаются с детьми"
и "Все неразумные люди не обращаются жестоко с детьми". При этом
каждое из них, взятое отдельно, совместимо с исходной системой. Такие
"дополняющие" предложения в неполных системах можно использовать
как гипотезы.
Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век? 95
Эти возможности метода для систем с небольшим числом терминов
(порядка пяти) легко реализуются вручную с помощью специально раз-
разработанных стрелочных диаграмм. Для анализа неполноты более слож-
сложных систем уже требуется помощь компьютера. Автором разработана
программа для быстрого и точного решения подобного рода задач.
Рассмотрим с точки зрения математика, чем отличается подход к мо-
моделированию и анализу рассуждений в математической логике от пред-
предложенного подхода. В математической логике формулы и выражения
языка исчисления предикатов отображают конкретные или абстракт-
абстрактные многоместные отношения, которые можно представить в виде таб-
таблицы или некоторой совокупности таблиц. В то же время рассуждение
или связный текст развиваются по другому сценарию — здесь главную
роль играют не многоместные отношения, а частично упорядоченные
структуры. Эти структуры можно наглядно представить в виде направ-
направленных в одну сторону и пересекающихся друг с другом маршрутов,
в которых промежуточными пунктами являются определенные терми-
термины или их отрицания. В естественных рассуждениях многоместные от-
отношения тоже используются, но в самой структуре рассуждения они за-
занимают подчиненное положение, в основном к ним обращаются для
получения промежуточных результатов.
Возможность отражения "направленности" естественных рассужде-
рассуждений обусловила успех и долгую жизнь Аристотелевой силлогистике: от-
отношение между "субъектом" и "предикатом" в ней полностью соответ-
соответствует математическому частичному порядку. Поэтому замеченные
многими специалистами трудности "перевода" естественных рассужде-
рассуждений на язык математической логики можно объяснить тем, что свойства
отношения частичного порядка, присущие естественным рассуждени-
рассуждениям, в той или иной степени утрачиваются при отображении их на языке,
предназначенном для многоместных отношений.
Но дело не только в неточностях "перевода". Подробное исследова-
исследование математических особенностей структур на основе суждений показа-
показало, что алгоритмы логического вывода и анализа рассуждений в этой
системе реализуются намного проще, чем при решении аналогичных за-
задач, представленных в структурах математической логики [Кулик, 19976;
Кулики Романов, 1999].
Резюме
Математическая логика немало способствовала бурному развитию
информационных технологий в XX веке, но из поля ее зрения выпало
понятие "суждение", которое появилось в логике еще во времена Арис-
Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа

96 Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?
естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало разви-
развитию логической культуры общества и даже породило иллюзию, что ком-
компьютеры способны мыслить не хуже человека. Многих даже не смущает
то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддве-
преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки
(я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдо-
псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы
понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным
математическим структурам с многоместными отношениями и рекур-
рекурсивными функциями, которые применяются в математической логике.
Оказывается, для понимания и анализа этих нелепостей вполне доста-
достаточно применить намного более простую математическую структуру
суждения, которая не только не противоречит математическим основам
современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.
Недавно, в очередной раз просматривая известную монографию
Н. И. Стяжкина [Стяжкин, 1967], я обратил внимание на некоторые
пропущенные ранее при чтении разделы книги и с удивлением обнару-
обнаружил, что основы этого подхода интенсивно развивались многими логи-
логиками и математиками первой половины XIX века (Ж. Д. Жергонн,
А. Д. X. Твестен, В. М. Дробиш, А. де Морган и др.). Значительный
вклад в это направление во второй половине XIX века внесли Дж. Венн
и Льюис Кэрролл. Для полного завершения этого подхода оставалось
лишь "чуть-чуть" математических знаний, которые появились только
в XX столетии. Не пора ли это незаслуженно забытое направление воз-
возродить? Может быть, это позволит нам и нашим потомкам хоть немного
уменьшить все возрастающий поток логических и терминологических
нелепостей, который в преддверии третьего тысячелетия захлестнул нас
не только в политике и в средствах массовой информации, но и в храни-
хранителях нашего разума — науке и образовании.
И последнее. Возможно, многим из читателей это утверждение по-
покажется спорным, но мне представляется, что проблемы, поднятые
в данной статье, имеют непосредственное отношение к нашим сугубо
житейским делам. Можно найти немало достаточно веских причин со-
современного кризиса в экономике, политике и духовной жизни России.
Но если вдуматься, то в основе каждой из этих причин лежит какая-либо
деструктивная "стратегия мутной воды", на поддержку которой бро-
бросаются целые армии велеречивых демагогов и мистификаторов. Их ос-
основная задача — "замазывание" логических и терминологических неле-
нелепостей защищаемой парадигмы. Для их деструктивной деятельности
в России созданы прямо-таки тепличные условия за счет практически
полного отсутствия логического образования. А чтобы оболванить без-
безграмотных людей, требуется не так уж много интеллектуальных усилий.
Приложение Б
Частично упорядоченные
множества с квазидополнениями
1. Введение
В основе современной классической логики (под классической логи-
логикой подразумеваются исчисления высказываний и предикатов в матема-
математической логике, а также силлогистика) лежат законы булевой алгебры.
Многие "неклассические" логики отличаются от классических тем, что
в них не соблюдаются некоторые законы булевой алгебры. В то же время
булева алгебра не является основой современной математики, а нахо-
находится в точке пересечения двух, на первый взгляд независимых алгебра-
алгебраических систем. К этой точке можно подойти с двух сторон, если начи-
начинать от некоторых алгебраических "примитивов".
Первый путь — это переход (с помощью введения новых аксиом
и ограничений) от полугрупп к группам, затем к кольцам, частным слу-
случаем которых является булево кольцо. Булево кольцо, в свою очередь,
можно с помощью изоморфного отображения преобразовать в булеву
алгебру [Скорняков, 1980]. Исходным пунктом второго пути являются
частично упорядоченные множества, в частности структуры [Скорня-
[Скорняков, 1982] или решетки [Биркгоф и Барти, 1976]. Частным случаем ре-
решеток является булева алгебра.
В данной работе предлагается еще один, в настоящее время малоиз-
малоизвестный путь перехода от алгебраических "примитивов" к булевой ал-
алгебре — от ограниченных сверху и снизу частично упорядоченных мно-
множеств непосредственно (минуя решетки и структуры) к частично
упорядоченным множествам с операциями — и далее к булевой алгебре.
В статье основное внимание уделяется промежуточному, в настоящее
время малоисследованному пункту этого перехода.
Первоначально исследования по данной проблеме были связаны с раз-
разработкой математического аппарата для обобщения и расширения анали-
аналитических возможностей полисиллогистики [Кулик, 1996а; 19976]. Поэто-
Поэтому вводимая ниже терминология во многом соответствует некоторым
4 3ак. 79

98
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
99
терминам теории логического вывода. Позднее были выявлены некото-
некоторые соответствия между свойствами разработанной системы и свойства-
свойствами частично упорядоченных множеств с операциями [Кулик, 1999;
2000]. Оказалось, что при введении этих операций многие известные
в алгебре свойства частично упорядоченных множеств не изменяются.
Поэтому в статье в основном рассматриваются новые свойства и соот-
соотношения, которые появляются в частично упорядоченных множествах
с операциями.
В современной алгебре частично упорядоченные множества, как пра-
правило, рассматриваются как статичные системы, у которых изначально за-
заданы или аналитически выявляются с помощью сравнения все возмож-
возможные отношения порядка между некоторыми парами элементов. Введение
операций позволяет представить частично упорядоченное множество как
некоторую динамичную дедуктивную систему с универсальными прави-
правилами вывода и методами проверки совместимости и полноты. Кроме того,
если рассматривать эту систему как логическую, то оказывается, что вы-
выводимые в ней несоответствия с законами булевой алгебры не являются
результатом своеобразного и не всегда обоснованного произвола, а имеют
строгую математическую основу и к тому же находят подтверждение на
многих широко известных и часто применяемых математических объек-
объектах (числах, векторах, множествах и т. д.)
2. Операции в частично упорядоченных множествах
Традиционно частично упорядоченные множества общего вида — да-
далее у-множества (posets) — рассматриваются как алгебраическая систе-
система без операций. Операции вводятся только для некоторых частных слу-
случаев у-множеств (в частности, для решеток и структур ). Мы здесь при
введении операций будем использовать только ограниченные сверху
и снизу у-множества, т. е. имеющие наибольший A) и наименьший @)
элементы. Известно, что свойства у-множеств полностью определены
свойствами бинарного отношения частичного порядка:
A) рефлексивностью (а < а для любого а),
B) транзитивностью (из а < b и Ъ < с следует а < с) и
C) антисимметричностью (из а < Ьи b < а следует а = Ь),
где а,Ь,с — произвольные элементы у-множества.
Широко известными частными случаями у-множеств являются впол-
вполне упорядоченные множества, а также структуры [Скорняков, 1982]
(или— по другой терминологии — решетки [Биркгоф и Барти, 1976]).
У-множество является вполне упорядоченным, если для любой пары (а, Ь)
верно а < b либо b < а. Структуры и решетки неформально определяют-
определяются как у-множества, у которых любые два элемента а и b имеют точную
нижнюю и точную верхнюю грани. Такое свойство структур и решеток
позволяет определить для них две полные операции: Л (inf) и V (sup). Для
вполне упорядоченных множеств, у которых сравнимы все пары элемен-
элементов, естественными операциями являются min(a, b) и max(a, b).
Здесь мы рассмотрим другой способ введения операций в у-множе-
у-множества с 0 и 1 без предварительного выделения каких-либо частных случа-
случаев. Операции типа "умножение" (*) и "сложение" (+) можно ввести как
частичные бинарные операции, определяемые по следующему правилу.
Если элементы а и b у-множества сравнимы и при этом
a<b,moa*b = aua + b = b.B остальных случаях эти опе-
операции либо полностью не определены, либо могут быть оце-
оценены в виде одного или нескольких ограниченных с одной или
с двух сторон диапазонов (например, с < а * Ь, где а, Ь, с —
изначально заданные элементы у-множества).
Способы оценки возможных диапазонов для неопределенных опера-
операций мы рассмотрим ниже. Кроме того, введем для у-множеств полную
унарную операцию квазидополнения со свойствами:
(i) для любого элемента Л существует или может быть построен един-
единственный элемент А, который называется квазидополнением А;
(ii) для любого элемента А соблюдается равенство А = А;
(ш)для любых двух элементов А я В, связанных отношением А < В,
верна контрапозиция В < А.
Чтобы в у-множествах квазидополнение стало точным (т. е. без при-
приставки "квази"), необходимо еще одно условие:
(iv) для любого элемента А из А < А следует А = 0 и А = 1.
На первый взгляд кажется, что мы от у-множеств тем самым перехо-
переходим к обычной алгебре множеств (или булевой алгебре). Но это не так —
далее мы увидим, что в данной системе алгебра множеств является лишь
частным случаем даже в системах со свойством (iv). Кроме того, оказы-
оказывается, что у-множества с квазидополнениями встречаются весьма час-
часто. Рассмотрим некоторые примеры.
1) Множества, упорядоченные по включению (Set), для которых наи-
наименьшим элементом является пустое множество @), а наиболь-
наибольшим — универсум. Если в Set использовать как квазидополнение
обычное дополнение множеств, то все четыре свойства являются
законами алгебры множеств. При этом допускается неполнота со-
соответствующих систем множеств, когда операции объединения
и пересечения в общем случае точно определены не для всех пар
множеств системы.
2) Конечные множества положительных целых чисел, упорядочен-
упорядоченные по делимости (Div). Здесь наименьшим элементом является

100
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
число 1. Выберем в качестве наибольшего элемента A) в Div наи-
наименьшее общее кратное (НОК) для всех его элементов или чис-
число, кратное НОК. Тогда квазидополнение А любого элемента А
можно определить как Л = 1/А При этом нетрудно доказать, что
свойства (i)-(iii) сохраняются в любом ограниченном сверху
и снизу у-множестве класса Div, но возможны случаи, когда на-
нарушается свойство (iv). Примером является у-множество
S = {1, 2,3,4,6,12} класса Dit>, в котором 0- 1 и 1 = 12. Нетрудно
убедиться, что в нем свойства (i)-(iii) справедливы для всех эле-
элементов, а свойство (iv) нарушается для числа 2 и его квазидопол-
квазидополнения 6 B — делитель 6, но при этом 2 & 0 и 6 & 1). В то же время,
если рассматривать некоторые частные случаи класса Div, на-
например один из них, когда во всех его элементах кратность каж-
каждого простого делителя не больше единицы, то окажется, что
свойство (iv) всегда выполняется.
3) Множества чисел, упорядоченных по величине (Num). Для про-
простоты ограничимся случаем, когда наименьший элемент равен 0,
а наибольший — конечное положительное число. При этом общ-
общность не нарушается, поскольку любой замкнутый конечный ин-
интервал [а, Ь] можно однозначно отобразить в интервал [0,/(Ь)],
где f(x) = х - а. Квазидополнением любого числа у = f(x) этого
множества является число/(й) - у. Нетрудно доказать, что в замк-
замкнутом интервале [0, f(b)} для любого у всегда выполняются свой-
свойства (i)-(iii), а свойство (iv) не выполняется при у < 0.5/F).
4) Множества с отношением доминирования (Dom) представлены
векторами типа (x\,x-i x\, ..., х„), в которых каждому "месту" i
(назовем эти "места" координатами) приписан элемент х; соответ-
соответствующего у-множества с квазидополнениями. Обычно класс
Dom исследуется и применяется для случаев, когда каждая коор-
координата относится к классу Num. Но вполне возможны системы
класса Dom, в которых разным координатам соответствуют систе-
системы у-множеств разных классов. Наименьшим элементом у-мно-
у-множества класса Dom является вектор @], Ог,..., 0п), а наибольшим —
вектор (it, i2 1„), где 0, и 1,, i - 1, 2,..., п — соответственно наи-
наименьший и наибольший элемент в i-й координате. Пусть для лю-
любых двух векторов А и В у-множества, принадлежащего классу
Dom, отношение А < В справедливо тогда и только тогда, когда
для любой координаты i справедливо «, < Ь{ (здесь знак < исполь-
используется для обобщенного обозначения разных покоординатных
отношений частичного порядка). Квазидополнением любого век-
вектора в этом множестве является вектор, состоящий из квазидопол-
квазидополнений компонент исходного вектора. Тогда свойства (i)-(iii) вы-
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
101
полняются во всех случаях, а для того, чтобы во всех случаях вы-
выполнялось свойство (iv), необходимо, чтобы оно выполнялось во
всех координатах.
Из этих примеров видно, что квазидополнения с указанными свой-
свойствами можно определить для многих известных классов у-множеств.
Заметим, что при этом классы Div и Dom могут быть представлены мно-
множествами, не являющимися решетками. Это же относится и к классу Set
в тех случаях, когда система не является полной булевой алгеброй, т. е.
в ней не определены некоторые пересечения и объединения изначаль-
изначально заданных множеств. Назовем у-множества с квазидополнениями
QC-структурами. Класс у-множеств, в которых всегда выполняется
свойство (iv), мы выделим особо как частный случай и назовем его логи-
логической структурой Эйлера (название обусловлено тем, что эти структу-
структуры соответствуют кругам Эйлера и, кроме того, в них используются ме-
методы теории графов, становление которой также связано с именем
Эйлера) или сокращенно Е-структурой.
3. Основные определения и свойства ОС-структур
Пусть Lio, Ln, Li2,... — множество литералов QC-структуры, т. е. тер-
терминов, обозначающих не равные 0 или 1 компоненты структуры и их
квазидополнения. Тогда каждая QC-структура может быть задана про-
произвольной совокупностью предложений типа
где символом —•¦ здесь и далее обозначено отношение порядка в данной
QC-структуре.
Предложения указанного типа назовем суждениями, поскольку они
являются обобщением известных типов суждений силлогистики [Ку-
[Кулик, 19976; 1999]. Каждое суждение можно разложить на множество
L,o ~* U\, Ua -* La ?,о -~* L{n элементарных суждений. При этом оче-
очевидно, что 0 -* L и L -* I для любого литерала L. Далее для упрощения
мы не будем показывать в примерах QC-структур обязательные элемен-
элементы 0 и 1, считая, что они присутствуют по умолчанию. Будем называть
базовыми литералами все литералы исходной QC-структуры, в состав
которых не входят 0 и 1.
Данное представление QC-структур можно рассматривать как ак-
аксиоматическую систему, аксиомами (посылками) которой является не-
некоторая произвольная совокупность суждений, а правила вывода и ме-
методы проверки корректности (совместимости) и полноты основаны
на свойствах этих структур. В дальнейшем термин "QC-структура"
("^-структура") в тех случаях, когда это не вызывает разночтений, мы

102
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
будем использовать и для обозначения представлений соответствую-
соответствующих систем. Начнем с правил вывода. Они основаны на свойствах (ii)
и (iii) квазидополнений и на свойстве транзитивности у-множеств.
Определение Б.1. Правилами вывода QC-структуры Г яв-
являются следующие:
правило С (контрапозиции): если в Г пара (X, У) литералов
связана отношением X — У, то следствием является отно-
отношение У —>• X;
правило Т(транзитивности): если в Г тройка (X, У, Z) лите-
литералов связана отношениями X -* У и Y~* Z, то из этого сле-
следует отношение X -* Z.
Естественным дополнением этих правил является равенство X = X
(свойство (ii) квазидополнения). Оно используется в тех случаях, когда
после применения правила С появляется не существующий в структуре
литерал X. Все отношения между литералами, полученные из посылок
с помощью правил вывода, будем называть следствиями.
Определение Б.2. СТ-замыканием произвольно заданной
QC-структуры Г называется построенная из Г с помощью
правил вывода система Тст, в которой содержатся все по-
посылки и все следствия Г.
Определение Б.З. Диаграммой Хассе Г" QC-структуры Г
называется структура, представленная как подграф графа
Гст, содержащий только его максимальные цепи.
Из определения ясно, что диаграмма Хассе QC-структуры строится
после построения ее СГ-замыкания с помощью удаления всех выводи-
выводимых по правилу транзитивности связей. Но диаграмму Хассе произ-
произвольной QC-структуры Г можно построить более простым способом.
Этот способ задается на основе следующего утверждения.
Теорема Б.1. Если Г — структура, построенная из посылок QC-
структуры Г с использованием только правила С, то Г11 S Гс.
Доказательство. Сначала докажем, что для преобразования Гс в ТСТ до-
достаточно использовать только правило вывода Т. Ясно, что Гс является
симметричной структурой, в которой для каждой цепи А -* В —* ... —» С,
где А, В,..., С — литералы в Г, существует антицепь С -* ... -+ В —*¦ А. По-
Поэтому контрапозицию любого элементарного суждения, полученного
с использованием правила Т в любой цепи структуры Гс, можно полу-
получить, используя правило Г в ее антицепи. Отсюда следует достаточность
правила Т. Но всякое применение правила транзитивности приводит
к образованию цепей, являющихся подцепями исходных цепей. Отсюда
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
103
следует, что в Г6 содержатся все максимальные цепи Г4 г. Конец доказа-
доказательства.
Пример Б. 1. Пусть QC-структура Г задана суждениями А-* D,C—> D
иС^ (Л, В). Разложим третье суждение на элементарные суждения
(С —> Л, С -* В) и, используя только правило С, получим Гс, содержащую
следующие суждения:
Л — Д С —Д С^А; С-»В - посылки;
D —* Л; D—>¦ С; А—* С; В~^ С — следствия.
Правило транзитивности позволяет добавить к этой структуре еще
два новых суждения: В -* D и D —* В. Диаграмма Хассе этой системы
содержит множество {С —»• Д С -»Л; С -»В; D —•¦С; Л -* С; В -* С] элемен-
элементарных суждений, Если сравнить составы элементарных суждений в Г,
Г6', Г" и в Гсг, то получим следующие соотношения:
rgrcsrCT и гн^гс^гсг.
В то же время соотношение Г ^ Т1' в данном примере неверно. Это
говорит о том, что исходные посылки не независимы, поскольку сужде-
суждение А -* D, содержащееся в исходных посылках Г, можно с помощью
правил вывода получить из остальных исходных суждений.
Определение Б.4. Минимальным (максимальным) элемен-
элементом QC-структуры Г называется литерал Lm;n (?max). Для к0~
торого отношение X —> Lmm (Lmax ~* ^0, где X е Г означает,
В QC-структурах обычно (за исключением случая, когда QC-
структура представляет собой вполне упорядоченное множество) со-
содержатся два и более минимальных (и соответственно максимальных)
элемента. В частности, в QC-структуре из примера Б.1 имеются три
минимальных (Л, В, D) и три максимальных (Л, В, D) элемента. Кроме
того, справедливо следующее соотношение.
Теорема Б.2. Если Li — минимальный (максимальный) элемент
QC-структуры Г, то Li является максимальным (минимальным) ее эле-
элементом.
Доказательство. Пусть Li — минимальный элемент. Предположим, что
литерал L, не является максимальным элементом. Это означает суще-
существование литерала X ^ 1 такого, что I, —> X. По правилу контрапозиции
получаем X —* Li и, следовательно, X = 0. Отсюда следует X = 1, что про-
противоречит принятому предположению. Вторая часть теоремы с услови-
условием, что Lj — максимальный элемент, доказывается аналогично. Конец
доказательства.

104
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Стоит отметить, что в доказательстве теоремы Б.2 неявно использо-
использовалось равенство 0 = 1, которое не содержится в аксиомах и не доказано.
Автору неизвестно, можно ли это равенство доказать, используя введен-
введенную выше аксиоматику QC-структур, но даже в случае невозможности
такого доказательства ничто не мешает использовать это равенство в ка-
качестве еще одного свойства квазидополнения. По крайней мере, в приве-
приведенных примерах QC-структур данное соотношение и соотношение
1=0 всегда выполняются.
СГ-замыкание и диаграмму Хассе можно рассматривать как инвари-
инварианты некоторого множества представлений QC-структур. Вариация
этих различных представлений возможна за счет подстановки вместо
некоторого множества элементарных исходных суждений их контрапо-
зиций и за счет включения в посылки тех суждений, которые являются
следствиями других посылок.
Диаграмма Хассе QC-структуры Г содержит минимальное число
элементарных суждений и их контрапозиций, поэтому удаление любой
пары из диаграммы Хассе приведет к тому, что применение правил вы-
вывода не позволит построить полностью СГ-замыкание исходной струк-
структуры. В то же время, если из каждой пары (суждение и его контрапози-
ция) в Г" удалять только по одному суждению, то мы получим
минимальное множество суждений, из которого с помощью правил
вывода Может быть построено СГ-замыкание исходной QC-струк-
QC-структуры. Это дает основание для определения третьего инварианта
QC-структур.
Определение Б.5. Минимальным порождающим множе-
множеством QC-структуры Г называется список пар (элементар-
(элементарное суждение - его контрапозиция), содержащихся в Г/у.
Минимальное порождающее множество можно использовать для
формирования множества минимальных QC-структур, сводимых к од-
одному инварианту. Если из каждой пары этого списка выбрать только одно
суждение, то при любом варианте выбора мы получим структуру, у кото-
которой СГ-замыкание совпадает с СГ-замыканием исходной QC-структуры.
Число таких различных минимальных исходных структур, соответству-
соответствующих одному и тому же инварианту, равно 2к, где k = п/2 и и — число дуг
в диаграмме Хассе Г" QC-структуры Г.
В QC-структурах так же, как и в обычных у-множествах, можно выде-
выделить верхние и нижние конусы [Скорняков, 1982], которые по своим
свойствам не отличаются от соответствующих подструктур в традици-
традиционных у-множествах. В то же время определения для главных фильтров
и главных идеалов в QC-структурах имеют отличия по сравнению с со-
соответствующими понятиями у-множеств.
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
105
Сначала определим для отдельного литерала L в QC-структуре Г
множество Pred(L) предшественников L, таких что X е Pred{L), если
и только если связь X -* L содержится в Г( 7. Аналогичным образом
определяется множество Post(L) потомков L, таких что X е Post(L), если
и только если связь L -* X содержится в Гсг.
Определение Б.6. Главным фильтром LA {главным иде-
идеалом Lv) литерала L в QC-структуре Г является множество
{Ц U Post{L)({L) U Pred(L)) литералов.
Свойства и применение анализа главных фильтров и идеалов мы рас-
рассмотрим позднее. Отметим лишь основное их отличие от соответствую-
соответствующих понятий в решетках. Здесь они не определяются через операции
"умножения" и "сложения", поскольку, как уже отмечалось ранее, в QC-
структурах эти операции в общем случае не являются полными. Тем не
менее в главных фильтрах (идеалах) QC-структур достаточно много
сходства с главными фильтрами (идеалами) решеток, поэтому и предла-
предлагается оставить это привычное название.
Далее мы будем различать формальные QC-структуры и их интерпре-
интерпретации. В формальной QC-структуре все литералы представлены опре-
определенными символами. Ее интерпретацией является изоморфная ей по
отношению частичного .порядка QC-структура, в которой всем литера-
литералам соответствуют определенные значения этих символов в виде задан-
заданных своими элементами множеств, чисел, векторов, содержащих в каче-
качестве компонент числа или множества, и т. д. Принципиальная разница
между ними заключается в следующем. При исследовании совместимо-
совместимости и неполноты QC-структур (об этом речь пойдет в следующих разде-
разделах) может оказаться, что некоторые свойства формальной системы не
совпадают со свойствами некоторой ее интерпретации. Но при этом су-
существует и может быть построена другая изоморфная интерпретация,
в которой данные свойства формальной QC-структуры подтверждаются
полностью. С другой стороны, обнаружение такого несоответствия для
некоторой фиксированной и не подлежащей изменению интерпретации
можно принять как постановку задачи уточнения и корректировки фор-
формального представления этой системы.
Формальные QC-структуры можно рассматривать как своеобразные
системы уравнений или неравенств, в которых литералы играют роль
переменных. Решением этих систем являются те или иные подходящие
интерпретации. Кроме того, к формальным QC-структурам мы отнесем
и такие, у которых некоторые (но не все) литералы представлены конк-
конкретными значениями, а остальные литералы являются переменными
с неизвестным значением, оценку которого надо найти в процессе ана-
анализа системы.

106
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
4. Коллизии в QC-структурах
Процесс формализация конкретных содержательных систем рассуж-
рассуждений далеко не во всех случаях является простым и однозначным. В ре-
результате формализации наряду с упрощением смысла в формальном
представлении содержательной системы могут появиться ситуации, ко-
которые указывают на внутреннюю несовместимость исходных посылок.
Такие ситуации предложено назвать коллизиями.
Определение Б.7. Коллизиями QC-структуры Г называют-
называются следующие ситуации, появляющиеся при построении
СГ-замыкания:
коллизия цикла: появление в ГС7 по крайней мере одного
цикла; _
коллизия парадокса: появление в Га суждений типа X; —* X,
(илиХ,— Xi).
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
107
Коллизия цикла свидетельствует о том, что нарушается свойство ан-
антисимметричности отношения частичного порядка, если структура за-
задана в предположении, что все разные литералы представляют разные
элементы соответствующего у-множества.
Коллизия парадокса нарушает предположение о том, что литералы,
не равные 0 или 1, представляют элементы у-множества, не совпадаю-
совпадающие соответственно с наименьшим или наибольшим элементом. Для
Я-структур, в которых свойство (iv) квазидополнения является абсо-
абсолютным, эта коллизия является безусловной. В частности, для структур
класса Set соотношение X; S X, указывает на то, что литерал X,- представ-
представляет только пустое множество @), а литерал Xi — только универсум.
Для QC-структур более общего вида возможны случаи, когда из отноше-
отношения Xi -» Xi необязательно следует, что X, = 0 и X,- = 1 (см. пример QC-
структуры класса Div в разделе 2 Приложения Б). Рассмотрим сначала
пример коллизии цикла.
Пример Б.2. Дана QC-структура класса Div, где неизвестные числа К,
L, М, N, каждое из которых не равно 0 или 1, связаны следующими отно-
отношениями (напомним, что в Div квазидополнение элемента X вычисляет-
вычисляется по формулеХ= 1/Х): L~* K;L -*M; N —* К; М~> К. Необходимо опре-
определить, является ли эта QC-структура корректно заданной.
Нетрудно убедиться, что на определенном этапе построения
СГ-замыкания этой структуры появляются два альтернативных цикла
К^Ь^М-*КкК~^М-~*Ь-^К. Отсюда следует, что каждая тройка
{К, L,M}n{K,L,M] разных литералов представляет одно число, а в струк-
структуре имеется коллизия цикла.
Рассмотрим пример на коллизию парадокса.
Пример Б.З. Дано множество К (возможно, бесконечное) положи-
положительных целых чисел, свойства которого определяются следующими
суждениями:
A) Все четные числа К делятся на 3 и не делятся на 7.
B) Все числа К, которые делятся на 3, не делятся на 5.
C) Все числа К, которые не делятся на 7, делятся на 5.
Необходимо определить, содержатся ли в множестве К четные числа.
Ясно, что данное множество относится к классу Set. Введем обозна-
обозначения: N2 — четные числа, Л/з — числа, делящиеся на 3, Л/5 — числа, деля-
делящиеся на 5, Nj — числа, делящиеся на 7. Соответственно Nm обозначим
все числа множества К, не делящиеся на целое число т. Тогда для этого
примера получим следующую ^-структуру:
A) JV2-(JV:5,JV7);
B) Jsr3-(JVS);
C) N7 - (N5).
При "ручном" анализе мы не будем строить полностью СГ-замыка-
ние, а получим результат, пропуская некоторые шаги вывода всех след-
следствий:
D) Л?з —* N2 (из посылки A) по правилу С);
E) Л% — Ni (из B) по правилу С);
F) N2 -> N2 (из A), C), E), D) по правилу Т).
Получена коллизия парадокса, из которой следует, что подмноже-
подмножество N2 в К может быть только пустым множеством, а множество К мо-
может содержать только нечетные числа.
Коллизия парадокса в QC-структуре, не являющейся ^-структурой,
может оказаться допустимой коллизией, если с помощью содержатель-
содержательного анализа можно установить, что пара альтернативных литералов,
связанных этой коллизией, не равны соответственно 0 и 1.
В интерпретациях QC-структур допустимая коллизия парадокса мо-
может быть установлена с помощью сравнения соответствующих элемен-
элементов. В формальных QC-структурах такое сравнение невозможно, поэто-
поэтому в них допустимые коллизии парадокса должны присутствовать
в составе посылок или следовать из них, в противном случае такая
структура по своим свойствам будет соответствовать Е-структурам.
Пример Б.4. Проанализируем формальное представление рассмотрен-
рассмотренной ранее QC-структуры класса Div, заданной множеством {1,2, 3, 4, 6,
12}. Нетрудно убедиться, что ее можно представить следующим суждени-
суждением^ Л — (А, В), где А - 2, В = 3, 0 = 1,1 = 12. Тогда соответственно А - 6
и В — 4. Граф QC-структуры и ее СГ-замыкание показаны на рис. Б.1.

108
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
109
А В
А В
А В
IX
А В
Рис. Б.1
Заметим, что контрапозицией суждения типа А —» А во всех случаях
является то же самое суждение. Данной формальной QC-структуре со-
соответствует потенциально бесконечное множество интерпретаций. При-
Приведем некоторые из них.
1) QC-структура класса Div: 0=1;Л=р;В = д;1= p2q, где р п q —
любые взаимно простые числа.
2) То же, что и предыдущее, но при этом/? и q необязательно взаимно
простые, 1 = г, при условии, что р2 и q являются делителями г,
a q2 — не является.
3) QC-структура класса Dom с координатами класса Nwn: 0 = @, 0);
А = @.3, 0.4); В = @.2, 0.6); 1 = A, 1). В этом случае А = @.7, 0.6),
В = @.8, 0.4).
Определение Б.8. QC-структуры, в которых отсутствуют
недопустимые коллизии, называются корректными, в про-
противном случае — некорректными.
Очевидно, что появление цикла в диаграмме Хассе любой QC-струк-
QC-структуры свидетельствует о ее некорректности. Любая коллизия парадокса
недопустима в f-структурах, и определяющим признаком этой колли-
коллизии является присутствие пары альтернативных литералов в одной цепи
ее диаграммы Хассе. В то же время f-структура может быть вполне кор-
корректной даже в том случае, если пары альтернативных литералов, вызы-
вызывающие недопустимые коллизии парадокса, содержатся в одной полу-
полусвязной компоненте диаграммы Хассе (полусвязной компонентой
ориентированного графа называется компонента, которая становится
связной при замене всех имеющихся у нее ориентированных связей на
неориентированные). Примером является корректная ?-структура, ди-
диаграмма Хассе которой показана на рис. Б.2 и в которой все пары альтер-
альтернативных литералов содержатся в одной полусвязной компоненте.
При анализе коллизий целесообразно выделить ситуацию, когда
в одном элементарном суждении совмещаются коллизии цикла и пара-
парадокса, т. е. когда в следствиях QC-структуры содержится пара сужде-
суждений типа А -* А и А —* А. Такая ситуация вызывает разные последствия
в Е-структурах и QC-структурах.
Определение Б.9. ^-структура Г называется вырожденной,
если в ней существует такой литерал А, что для него выпол-
выполняется А ~* А и А -* А.
Название обусловлено тем, что в Е-структурах из этой пары сужде-
суждений следует глобальная коллизия 1 —» 0. Это означает, что вся система
состоит только из одного элемента, в котором совмещены наибольший
и наименьший элементы f-структуры. В QC-структурах пара суждений
А —» А и А -* А означает коллизию цикла, но такая коллизия необяза-
необязательно является глобальной и во многом зависит от соответствующей
интерпретации^ Например, в QC-структурах класса Div допустимые
коллизии А —* А и А —* А свидетельствуют о том, что наибольший эле-
ментявляется точным квадратом, определяемым равенством 1 = А1 или
1 = (АJ, а литералы А и А вследствие коллизии цикла представляют
в интерпретации данной QC-структуры один и тот же элемент. Если же
подобная двойная коллизия считается допустимой в QC-структуре
класса Dom, в которой все координаты представлены классом Num, то
это означает, что для любой компоненты ах векторов Аи А справедливо
равенство 1; = 2а,.
Некорректные формальные структуры можно преобразовать в кор-
корректные за счет элиминации коллизий. Элиминация коллизии цикла про-
производится за счет слияния всех литералов, входящих в цикл, в один ли-
литерал с новым именем. Элиминация недопустимой коллизии парадокса
типа X -* X производится за счет удаления литералов X и X из структу-
структуры вместе с инцидентными им связями. При этом подразумеваются ра-
равенства X = 0 и X = 1. Последнее означает, что наибольший элемент
QC-структуры приобретает все свойства литерала X.
Если QC-структуре соответствует некоторое правдоподобное рас-
рассуждение, то устранение коллизий можно осуществлять не только за
счет формальной элиминации коллизий, но и за счет корректировки ис-
исходных посылок. В частности, такая содержательная корректировка
имеет смысл при анализе естественных рассуждений.
При моделировании правдоподобных рассуждений с помощью
QC-структур, можно выделить еще одну коллизию, которую мы назовем
коллизией неадекватности. Эта коллизия распознается при сравнении
следствий или корректных гипотез формальной системы с соответ-
соответствующей содержательной системой. Может оказаться, что посылки на

110
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
первый взгляд соответствуют содержательному аналогу и при этом
формальная структура оказывается вполне корректной. Но возможна
ситуация, когда некоторые формальные следствия не соответствуют
некоторым установленным закономерностям моделируемой системы.
Рассматриваемая коллизия похожа на встречающийся в истории науки
прецедент, когда некоторые следствия естественнонаучной теории всту-
вступают в противоречие с новыми экспериментальными данными.
Рассмотрим некоторые свойства корректных QC-структур примени-
применительно к главным фильтрам и идеалам. Сначала введем операцию инвер-
инверсии (Inv(S)) для произвольного множества S литералов, при которой
каждому литералу 1г е 5 ставится в соответствие литерал Z; ^ Inv(S). По
определению очевидно, что Inv(Inv(S)) = 5.
Первое предложение (теорема Б.З) является аналитическим выраже-
выражением свойства симметрии в QC-структурах, обусловленной законом
контрапозиции.
Теорема Б.З. В диаграмме Хассе QC-структуры Г, не содержащей
циклов, для любого литерала L справедливы следующие равенства:
(i) Pred(L) = Inv(Post(L)); (ii) Post{L) = Inv{Pred(L)).
Доказательство. В общем случае каждый литерал в Гн является точкой
пересечения некоторого множества цепей. Рассмотрим отдельную цепь,
содержащую Z:
Л — ...-*Х—У—...-"I-*...->Z-* V-» ... —В.
Ее антицепью в Гн является цепь
А^~ ... *-Х*-У«-... —I"*-... — Z*-V+- ... —В.
В первой цепи множество предшественников L полностью совпадает
с множеством литералов, каждый из которых является альтернативой
соответствующего литерала, содержащегося среди потомков литерала L
в антицепи. Поскольку литералы L и L являются связующими звеньями
всех полуцепей, проходящих через них, то отсюда следует справедли-
справедливость равенств (i) и (ii). Сомнение может вызвать случай, когда в Гя со-
содержатся коллизии парадокса, поскольку контрапозицией суждения
типа Л —> А является то же самое суждение. Рассмотрим пример такой
цепи
и ее антицепь
... — 1 *- А <- А <- В *~ С.
Ясно, что наличие коллизии парадокса в цепи не приводит к разрыву
соответствующей антицепи и при этом суждение А—* А остается в ее со-
составе неизменным. Следовательно, и в этом случае подтверждается
справедливость равенств (i) и (ii). Конец доказательства.
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
111
Теорема Б.4. В диаграмме Хассе Г" корректной ОС-Структуры Г для
[ любого литерала L выполняется равенство Inv(Lv) = (?)А.
Доказательство. Представим Inv(Ly) как Inv{{L}^Pred{L)). Используя
теорему Б.З, получим Inv(Lv) = Inv({L}UPred(L)) = {L)UPost(L) = (L)A.
Конец доказательства.
Следующее утверждение (теорема Б.5) выполняется не только в QC-
структурах, но и в обычных у-множествах. Мы его здесь приводим, что-
чтобы сопоставить со следующим утверждением (теорема Б.6), которое
справедливо только для корректных ^-структур.
Теорема Б.5. В корректной QC-структуре Г для любого литерала L
в ТИ выполняются следующие равенства:
(i) Lv П Post{L) = 0; (ii) ZA П Pred(l) = 0.
Доказательство. Нарушение равенства означало бы существование
цикла в QC-структуре. Например, если не соблюдается равенство
I? П Post(L) - 0, значит, среди цепей, входящих в L, существует по
крайней мере одна полуцепь с литералом W (здесь возможно равенство
W = L), таким что среди цепей, исходящих из L, имеется полуцепь с тем
же самым литералом. Поскольку L является соединительным звеном та-
таких полуцепей, то ясно, что в объединенной цепи в этом случае появля-
появляется коллизия цикла. Конец доказательства.
Теорема Б.6. В диаграмме Хассе ЕИ корректной Е-структуры Е для
любого литерала L справедливы следующие равенства:
(i) Iv П Inv(Post(L)) = 0; (ii) IA П Inv(Pred(L)) = 0.
Доказательство. Предположим, что равенство (i) не соблюдается. Это
означает, что по крайней мере в одной из полуцепей, входящих в L, суще-
существует такой литерал W (здесь возможно W — L), что его альтернатива
содержится в одной из полуцепей, исходящих из L. Следовательно, су-
существует по крайней мере одна_цепь, проходящая через L, в которой ли-
литерал Wсоединен с литералом W. Следовательно, в Е имеется коллизия
парадокса, что противоречит предположению о ее корректности. Равен-
Равенство (ii) доказывается аналогично. Конец доказательства.
Что касается QC-структур, у которых имеются допустимые коллизии
парадокса, то для них теорема Б.6 не верна. Но для них можно выявить
более слабые ограничения в виде следующих соотношений.
Теорема Б.7. Если в корректной QC-структуре Г существует лите-
литерал L, такой что Lv П Inv(Post(L)) - М, где М^0,то для любого W^M
соотношение W —> W является допустимой коллизией парадокса в Г.
Доказательство. Присутствие одного и того же литерала W, в L
и в Inv{Post{L)) означает, что в Lv содержится литерал W, а в Post{L) —
литерал W и оба они содержатся по крайней мере в одной из цепей,

112
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
113
проходящих через L. Следовательно, в Г содержится коллизия парадок-
парадокса W -* W. Из корректности Г следует, что данная коллизия является до-
допустимой. Конец доказательства.
Теорема Б.8. Если в корректной QC-структуре Г существует лите-
литерал L, такой что 1Л П Inv(Pred(L)) = М, где М^ 0,то для любого WeM
соотношение W^ W является допустимой коллизией парадокса в Г.
Доказательство, Присутствие литерала W в М означает, что в Pred(L)
содержится литерал W, который по крайней мере в одной из цепей, про-
проходящих через литерал L, предшествует литералу W, содержащемуся
в LA. Ясно, что по условиям теоремы в Г содержится допустимая колли-
коллизия парадокса W-* W. Конец доказательства.
Теорема Б.9. Если в корректной QC-структуре Г содержится допусти-
допустимая коллизия парадокса L~* Lu Pred(L) ?Ч), то для любого базового литера-
литерала W^ Pred(L) коллизия парадокса W^ W является допустимой в Г.
Доказательство. Из We Pred{L) следует W —* L, а из L —»• L следует
W_-* Ь._Из W-* L по правилу контрапозиции следует L —* W, а из W -* L
и Z, —> Wno правилу транзитивности следует W -» W. Если же это сужде-
суждение недопустимо в Г, то Г является некорректной QC-структурой, что
противоречит условию теоремы. Конец доказательства.
Анализ коллизий можно проводить не только для отдельных
QC-структур, но а для исследования совместимости произвольного се-
семейства QC-структур с необязательно совпадающими множествами ба-
базовых литералов. При этом некорректная QC-структура может быть по-
получена в результате соединения вполне корректных QC-структур. Эту
особенность QC-структур можно использовать, в частности, для анализа
логической совместимости различных источников информации или си-
систем знаний.
5. Анализ неполноты ОС-структур
Под неполной в широком смысле мы будем понимать QC-структуру Г,
для которой существует по крайней мере одно суждение, не содержащее-
содержащееся в ее посылках и следствиях, но в то же время совместимое с ней, т. е. не
инициирующее при соединении с Г недопустимых коллизий. Суждения,
которые для данной QC-структуры Г характеризуются этим свойством,
мы назовем корректными гипотезами Г. Если при этом ограничить со-
состав гипотез только не равными 0 и 1 литералами, содержащимися в Г
(т. е. базовыми литералами), то QC-структура будет неполной в узком
смысле. Именно этот вид неполноты мы будем рассматривать в данном
разделе.
Если при формировании гипотез не ограничиваться только базовы-
базовыми литералами, а добавлять в исходную формальную QC-структуру но-
вые, не равные 0 и 1 литералы, то неполными в широком смысле будут
любые формальные QC-структуры. Для них любая корректная сама по
себе гипотеза, содержащая не более одного базового литерала, является
корректной применительно к этой структуре. Примерами таких коррек-
корректных гипотез для произвольной формальной QC-структуры являются
суждения W\-* L, L-^ W2 и W] ¦— W2, где литералы W\ и W2 не входят
в состав базовых литералов.
Пусть Г — корректная QC-структура с множеством В базовых лите-
литералов, которые являются вершинами соответствующего графа. На мно-
множестве В построим полный неориентированный граф Кг без петель. На-
Назовем множество дуг графа Кг\Гст, полученного исключением из Кг
всех дуг, содержащихся в Гст, невыводимыми суждениями для Г.
Определение Б. 10. QC-структура Г является полной (в узком
смысле), если добавление в нее любого невыводимого сужде-
суждения приводит к недопустимой коллизии. Если данное условие
не выполняется, то QC-структура Г является неполной.
Неполноту QC-структур можно показать на простейшем примере.
Пусть Г содержит одно суждение типа Л—*(В,С). Тогда с помощью пере-
перебора всех возможных элементарных невыводимых суждений на множе-
множестве литералов {А, В, С, А, В, С} мы сможем убедиться, что взятые по от-
отдельности суждения В -* С, С-»Ви.В-*Сиих контрапозиции (С -* В,
В —> С и С -¦ В) при добавлении в Г не инициируют никаких коллизий.
Заодно на этом же примере можно убедиться, что данные корректные
гипотезы применимы не для всех интерпретаций, но для каждой из них
можно такую интерпретацию построить. Пусть примером Г является
у-множество класса Div, в котором А = 2, В = 6, С— 10и1= 30. Тогда
окажется, что гипотезы В —* С и С —> В в Г оказываются ложными, а ги-
гипотеза В -* С — истинной. В то же время для формального представле-
представления Г можно построить интерпретацию (например, А - 2, В = 6, С = 30,
1 = 210), в которой гипотеза В ~* С является корректной, а остальные
две — некорректны.
С точки зрения логического вывода неполнота конкретной QC-
структуры означает, что для нее существует по крайней мере одно содер-
содержащее только базовые литералы суждение, которое не выводится из ис-
исходных посылок, но в то же время совместимо с ней.
В следующем утверждении формулируется точный критерии кор-
корректности гипотез в ^-структурах.
Теорема Б. 10. Пусть А~* В - невыводимое базовое суждение коррек-
корректной Е-структуры Е. Тогда А —•¦ В является корректной гипотезой в Ь,
если и только если совместно соблюдаются два равенства: А п В — 0
и Av П Inv{Bu) = 0.

114
Приложение Б. Частично упорядоченное множества
Доказательство. Образуем из Е новую /г-структуру Г, добавив в Е суж-
суждение Л -^ В. Обозначим Post^A) — множество потомков литерала А в Е
и Postr(A) - множество потомков литерала А в Г. Тогда в соответствии
с теоремами Б.5 и Б.6 в Е соблюдаются равенства (i): Лу П Post^.{A) — 0
и (ii): Av П Inv(PostE(A)) — 0. Поскольку А —* В является невыводимым
суждением в Е, то в Г литерал А является узлом, в котором фиксиру-
фиксируются все новые следствия, появившиеся после добавления в Е суж-
суждения А -* В. При этом множество А4 не изменяется, а множество
Postf(A) = Postt(A) U ВЛ. В силу равенств (i) и (ii) для оценки коррект-
корректности гипотезы достаточно равенств, сформулированных в условии тео-
теоремы. Конец доказательства.
Пример Б.5. Пусть задана следующая ^-структура Е: X —> (У); Y -* (Z);
V -* (У). Рассмотрим диаграмму Хассе Ея этой структуры (рис. Б.З).
X—+V—>Y
Z—>Y—>V
Рис. Б.4
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
115
V-
z-
• X—>Y
Y—>Х
Рис. Б.6
Z
V
Используя критерий, приведенный в теореме Б. 10, проверим множе-
множество всех невыводимых элементарных суждений. Тогда получим следу-
следующее множество корректных гипотез:
X^V, X—V, X—V, V^X, V^X, V^X.
Этот список можно сократить до трех, если из каждой пары (гипотеза
и ее контрапозиция) оставить только одну гипотезу. В частности, мы
можем получить такой список корректных гипотез:
X^V, X—К V-^X.
Достаточно включить в Е любую из этих гипотез, чтобы новая
^-структура оказалась полной. Диаграммы Хассе ^-структур, получен-
полученных при добавлении в исходную структуру одной из дуг последнего
списка, показаны на рис. Б.4-Б.6.
Рассмотрим в ^-структурах альтернативные пары элементарных
суждений, т. е. такие пары, которые при соединении друг с другом ини-
инициируют коллизию парадокса. Ясно, что для суждения типа Л —> В аль-
альтернативным может быть одно из следующих суждений: А —* Ъ или
А-*В. Нетрудно убедиться, что при соединении А~* В и А -* В след-
следствием является коллизия парадокса А-* А, а при соединении Л —<¦ В
сА-^В- коллизия парадокса В—* В.
С альтернативными парами возможных гипотез связан ряд интерес-
интересных соотношений. При анализе многочисленных примеров неполных
f-структур была выявлена следующая закономерность: в неполных
^-структурах для каждой элементарной гипотезы существует по край-
крайней мере еще одна альтернативная по отношению к ней гипотеза. Так, на
исходной f-структуре из примера Б.5 можно убедиться, что для каждой
из шести возможных элементарных гипотез в этом множестве имеется
соответствующая ей альтернативная гипотеза. Эта закономерность под-
подтверждалась на многих значительно более сложных примерах.
Поскольку не было построено ни одного опровергающего примера,
предпринималась попытка доказать следующее утверждение.
Предположение. Если суждение Л —>¦ В является корректной гипоте-
гипотезой корректной Е-структуры Е, то по крайней мере одно из двух альтер-
альтернативных ему суждений также является корректной гипотезой в Е.
Попытки оказались неудачными, но в ходе поиска доказательства
был найден ряд интересных соотношений, связанных с существованием
альтернативных пар гипотез, с помощью которых удалось построить
сравнительно простой опровергающий пример. Начнем с примера.
Пример Б.6. Даны посылки ^-структуры Е: С —> (Л, В); Л —»¦ D; В —* D.
Оказывается, что в Е суждение А ^ В является корректной гипотезой,
но в то же время каждое из альтернативных к Л —> В суждений (т. е.
Л -* В и А -* В), присоединяясь к Е, вызывает коллизию парадокса. Что-
Чтобы лучше понять, почему это происходит, построим диаграмму Хассе
для Е, на которой можно наглядно оценить структуру этого не совсем
обычного примера (рис. Б.7).

116
Приложение Б. Частично упорядочений множества
На рисунке видно, что А — В является корректной гипотезой, но в то
же время суждение А ~*В инициирует в Е коллизию парадокса С-* С,
а суждение А —* В — коллизию парадокса D~-*u.
А теперь рассмотрим ряд соотношений, непосредственно связанных
с альтернативными парами корректных гипотез в /^-структурах.
Теорема Б. 11. Если суждение А—*- В является корректной гипотезой
Е-структуры Е,товЕ соблюдаются следующие соотношения:
Доказательство. Докажем (i). Предположим, что Av П (В)Л * 0Хледова-
тельно, существует литерал W, относительно которого литерал В являет-
является предшественником, а литерал А — потомком. Отсюда следует, что В
является предшественником литерала А и гипотеза А —¦ В некорректна
в силу коллизии парадокса В — В. Из полученного противоречия следует
справедливость (i). Докажем (и). Предположим, что (Л)у П ВА * 0. Сле-
Следовательно, существует литерал V, относительно которого литерал В яв-
является предшественником, а литерал А — потомком- Отсюда следует, что
в Ест существует суждение В-*А. Поэтому гипотеза А ->_В не может быть
корректной, так как она несовместима ссужденИем В -* А - в этом случае
появляется коллизия парадокса А ~* А Из полученного противоречия
следует справедливость (И). Конец доказательства.
Из теоремы Б. 11 следует, что в случае, когда А -* В является коррек-
корректной гипотезой в Е, то в альтернативных к ней гипотезах невозможна
коллизия цикла. Тем самым сужается поиск возможных опровержений
предположения. Еще одно ограничение поиска формулируется в виде
следующего утверждения.
Иэорема Б. 12. Если в корректной Е-структуре Е соблюдаются два
равенства А4 П /т;((В)А) - Мх и (Л )v Л /т;(Вл) - Мъ то М,ПМ2= 0.
Доказательство. Предположим, что в Е существует базовый литерал W,
такой что W_e М, П М2. Из теоремы 4 следует, что /яг;((В)А) = Bv
и /m>(BA) = (B)v. В силу условий теоремы получается, что литерал Wb Е"
предшествует одновременно литералам В и_В\ Из соотношений W -* В
и W-* Ъ следует коллизия парадокса W-* W, что противоречит предпо-
предположению о корректности ^-структуры Ё. Конец доказательства.
Из теорем Б. 11 и Б, 12 следует, что, независимо от корректности гипо-
гипотез типа А -* В в f-структурах, коллизию парадокса в предполагаемых
гипотезах А —¦ В и А -* В инициируют разные литералы.
ксно, что корректные гипотезы можно исследовать и в более общих
QC-структурах с учетом их особенностей (существование допустимых
коллизий парадокса). В более сложных случаях в исходную QC-струк-
туру можно включить, не нарушая корректности, одновременно не-
несколько гипотез. При этом образуется семейство новых QC-структур,
Приложение^ Маотично упорядоченные множества 117
некоторые из которых вложены друг в друга. С этой точки зрения целе-
целесообразно в теорию QC-структур ввести еще одно понятие — базовое
покрытие.
Определение Б. 11. Базовым покрытием системы, заданной
QC-структурой Г, называется инвариант Q( корректной
QC-структуры, в которой множество базовых литералов со-
совпадает с множеством базовых литералов Г и при этом
СТ СТ
Любое базовое покрытие QC-структуры Г образуется из нее путем
присоединения к ней некоторой совокупности элементарных базовых
гипотез, поскольку само является корректной QC-структурой. Справед-
Справедливость соотношения Г s QfT для QC-структуры Г и ее базового по-
покрытия Qi не означает, что для диаграмм Хассе этих же структур выпол-
выполняется Т11 ? Qi1. Например, в примере Б.5 диаграмма Хассе исходной
f-структуры (см. рис. Б.З) не является вложенной в диаграммы Хассе
некоторых ее базовых покрытий (см. рис. Б.4 и Б.6). Понятно, что мно-
множеством {Qi} базовых покрытий полной ^-структуры является только
эта структура. При моделировании с помощью QC-структур содержа-
содержательных рассуждений множество базовых покрытий можно использо-
использовать для формирования индуктивных умозаключений.
Рассмотрим еще один класс суждений, которые мы назовем экзис-
экзистенциальными суждениями. В отличие от базовых суждений в них левая
часть содержит новый литерал, но при этом в правой части суждения
содержится более одного литерала. Название обусловлено тем, что они
являются обобщением частных суждений силлогистики, а в алгебре
множеств экзистенциальное суждение W-+ (X, Y,..., Z), где W — новый
литерал, соответствует выражениюХп У п ... n Z^ 0. Экзистенциаль-
Экзистенциальные суждения также можно использовать в качестве гипотез, при этом
присутствие в правой части двух и более базовых литералов не всегда
гарантирует, что гипотеза такого рода окажется корректной. Пример та-
такой неудачи — суждение W-* (X, Z) для исходной Я-структуры из при-
примера Б.5. Присоединение этого предложения_к данной f-структуре ве-
ведет к появлению коллизии парадокса W —* W. Для экзистенциальных
суждений в формальных ^-структурах можно легко доказать следую-
следующий критерий корректности.
Теорема Б. 13. Пусть W-* E) — экзистенциальное суждение, где S —
некоторое множество базовых литералов корректной формальной Е-
структуры Е. Тогда W —* E) является корректной гипотезой в Е и во
всех ее базовых покрытиях, если в Е существует хотя бы один главный
фильтр ?л, такой что S ? Lh.

118 Приложение Б. Частично упорядоченное множества
Доказательство. Положим IW 0 и W-* L. Для любого подмножества S
множества 1А литералов соблюдается L —> E). Из W —- L следует
W —> E). Корректность гипотезы W —>• (S) справедлива также во всех ба-
базовых покрытиях Е, поскольку объем главных фильтров в них не сокра-
сокращается по сравнению с главными фильтрами Е. Конец доказательства.
6. Оценка вычислительной сложности алгоритмов
Оценим вычислительную сложность алгоритмов решений приведен-
приведенных выше задач анализа QC-структур. Пусть п — число литералов QC-
структуры или нескольких объединяемых для решения определенных
задач QC-структур, и О(/(п)) означает функцию, порядок которой не
более чем/(п). Из сказанного ясно, что число допустимых парных свя-
связей между литералами в QC-структурах не превышает числа ориентиро-
ориентированных дуг обычного графа (т. е. не мультиграфа), содержащего п вер-
вершин. Поэтому число элементарных суждений в них не превышает числа,
оценкой которого является О(п2). С учетом этого вычислительной
сложностью О(п2) характеризуются алгоритмы, в которых результат по-
получается в худшем случае с помощью перебора без повторений имею-
имеющихся в QC-структуре элементарных суждений. К таким алгоритмам,
в частности, относятся следующие рассмотренные ранее алгоритмы:
1) построение СГ-замыкания, главных идеалов и главных фильтров
QC-структуры;
2) построение инвариантов QC-структуры (диаграммы Хассе и ми-
минимального определяющего множеств элементарных суждений);
3) проверка корректности и перечисление всех возможных колли-
коллизий;
4) проверка полноты, проверка корректности и перечисление всех
возможных базовых элементарных гипотез;
5) проверка корректности каждой из возможных экзистенциальных
гипотез;
6) проверка корректности и совместимости различных QC-структур
и их композиций.
По сути, эти задачи сводятся к таким задачам на графах, как постро-
построение множества достижимых вершин из заданной вершины и транзи-
транзитивного замыкания графа, которые характеризуются полиномиальной
вычислительной сложностью [Кристофидес, 1976]. В то же время суще-
существуют задачи, алгоритмы которых для частных случаев могут превы-
превышать полиномиальную оценку. К ним, в частности, относится:
1) задача построения всех базовых покрытий для неполных
QC-структур;
2) перечисление всех возможных экзистенциальных гипотез.
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
119
Неполиномиальная вычислительная сложность первой задачи следу-
следует из того, что некоторые корректные базовые покрытия могут быть обра-
зованы с помощью присоединения к исходной QC-структуре двух и более
различных элементарных гипотез; т. е. в данном случае имеет место пере-
бор элементарных суждений с повторениями, что ведет в общем случае
к существенному увеличению вычислительной сложности алгоритмов.
Задача перечисления всех возможных экзистенциальных гипотез
сводится к перечислению всех непустых и неодноэлементных подмно-
подмножеств множества всех базовых литералов.
7. Операции "умножения" и "сложения"
в ОС-структурах
В разделе 2 Приложения Б операции "умножения" (*) и "сложения"
(+) были определены как частичные операции, точное значение которых
в конкретной QC-структуре Г определяется следующими правилами:
A) если литералы А, В сравнимы вТ и А-*В, то А* В- Аи А+В = В.
Кроме того, вполне естественными правилами для этих операций
в QC-структурах являются следующие:
B) если А, В, СеГмС-Л *В,тоС-> АиС-+ В;
C) если А, В, С<^ТиС = А + В, mo A ->¦ СиВ-+ С.
Эти правила не определяют точных значений соответствующих опера-
операций в тех случаях, когда элементы An В несравнимы. Однако во многих
случаях точные значения их можно получить и для несравнимых пар эле-
элементов QC-структур. В частности, для многих интерпретаций эти операции
являются полными операциями. Покажем это на конкретных примерах.
1) Классы Set и Num. Для конкретно заданных QC-структур из клас-
классов Set и Num это очевидно. В Set такими операциями являются
обычные операции пересечения и объединения алгебры множеств.
Для Num, как и для любого вполне упорядоченного множества,
чтобы получить точный результат операции с любой парой эле-
элементов достаточно использовать правило A).
2) Класс Div. Для любой пары чисел (А, В) результаты "умножения"
и "сложения" определим следующим образом: А*В = С, где С —
наибольший общий делитель (НОД) для А и В, viA+B-D, где D —
наименьшее общее кратное (НОК) для А и В. Нетрудно убедиться,
что для данного класса правила A), B), C) выполняются в любом
случае.
3) Класс Dom. Если в каждой координате определен точный результат
этих операций для любой пары элементов, то очевидно, что опре-
определен он и для целого вектора.

120
Приложение Б, Частично упорядочению множества
4) Класс Fun. К этому классу относится множество всех (или какой-то
выбранной совокупности) непрерывных функций на отрезке [а, Р].
Для любых двух функций / и g соблюдается f-*g, если f(t) < g(t)
для всех t, принадлежащих этому отрезку. Если существуют мино-
миноранта 0(г) и мажоранта 1@ этих функций на отрезке [а, Р], то
класс Fun можно рассматривать не только с точки зрения теории
у-множеств, но и с точки зрения теории QC-структур. Свойства
этого класса во многом совпадают со свойствами класса Dom, в ко-
котором все координаты относятся к классу Num. Если аналитичес-
аналитически заданы графики этих функций и каждая пара функций имеет на
отрезке [а, Р] конечное число точек пересечения или непрерывных
областей пересечения, то можно построить для любой пары функ-
функций соответствующие графики или аналитические зависимости
для их "умножений" и "сложений". Для этого требуется лишь раз-
разложить отрезок [а, р] на конечное число отрезков, границы кото-
которых совпадают с ординатами точек пересечения или являются гра-
границами областей пересечения сравниваемых функций. Тогда
в каждом таком элементарном отрезке пары областей значений
функций окажутся сравнимыми. Остается только при осуществ-
осуществлении соответствующей операции выбрать график соответствую-
соответствующей функции в каждом отрезке.
В формальных QC-структурах ситуация с операциями намного
сложнее и теоретические предпосылки для общего случая QC-структур
пока что не сформулированы достаточно четко. Поэтому здесь мы огра-
ограничимся в основном некоторыми оценками результатов операций
в формальных QC-структурах.
Оказывается, что в формальных f-структурах можно получить точ-
точные результаты операций и для некоторых несравнимых пар элементов.
Теорема Б.14, Если в СТ-замыкании корректной Е-структуры Е со-
содержится элементарное суждение А~* В, то
(i)A*B = 0; (п)Л + В = 1.
Доказательство. Докажем (i). Предположим, что в Е существует базо-
базовый литерал W^ О, такой что W- А* В. Тогда в соответствии с правилом
B) получаем W-* А и W-* В. В то же время эта пара суждений несовме-
несовместима с существующим в Е суждением А —* В, поскольку в этом случае
появляется коллизия парадокса W~* W, из чего следует W-0. Докажем
(ii). Предположим, что в Е существует базовый литерал V_f 1, такой что
V = А + В. Тогда в соответствии с правилом C) получаем А —> Уи В -* V.
В то же время при совмещении этих суждений с существующим в Е суж-
суждением А-* В инициируется коллизия парадокса У —>¦ V, из чего следует
V= 1. Конец доказательства.
Приложение¦Б.'!Частично упорядоченные множества
121
¦
В более общем случае для формальных QC-структур соотношения
| теоремы 14 выполняются не во всех случаях из-за существования в них
допустимых коллизий парадокса, но при определенных ограничениях
их все же, видимо, можно применять. Точная формулировка этих огра-
ограничений в настоящее время автором не получена и предлагается читате-
читателю в качестве нерешенной проблемы.
Рассмотрим для QC-структур другой класс несравнимых пар литера-
литералов, для которых точное значение операции "умножения" неизвестно, но
при этом существует хотя бы одна не равная 0 общая нижняя грань. Для
таких пар литералов можно утверждать, что их "произведение" отлича-
отличается от 0.
Теорема Б. 15. Если в СТ-замыкании QC-структуры Г пара (А, В)ли-
В)литералов содержится в некотором главном фильтре ZA, где L - базовый
литерал Г, то для этой пары в Г существует отличающаяся от 0 нижняя
грань.
Доказательство. Из определения ЛЛясно, что литерал L предшествует
одновременно А и В, из чего следует существование для них по крайней
мере одной значимой нижней грани. Конец доказательства.
Теорема Б.16. Если в СТ-замыкании QC-структуры Г для пары
элементов (А, В) выполняется Pred{A) П Pred(B) & 0, то для этой пары
в Г существует отличающаяся от 0 нижняя грань.
Доказательство. Представим, что некоторый литерал W содержится
в Pred(A) П Pred(B). Отсюда следует, что этот литерал предшествует од-
одновременно литералам А я В. Конец доказательства.
Аналогичные утверждения можно сформулировать и для верхних
границ. Эти утверждения ввиду их тривиальности приводятся без дока-
доказательств.
Теорема Б.17. Если в СТ-замыкании QC-структуры Г пара (А, В) ли-
литералов содержится в некотором главном идеале Zv, где L — базовый лите-
литерал Г, то для этой пары в Г существует отличающаяся от 1 верхняя грань.
Теорема Б.18. Если в СТ-замыкании QC-структуры Г выполняется
Post(A) П Post(B) & 0, то для этой пары в Г существует отличающаяся
от 1 верхняя грань.
С помощью теорем Б.15-Б.18 можно для каждой пары литералов
найти множество всех верхних и нижних граней. Если эта пара литера-
литералов несравнима, то для интервальной оценки их "произведения" и "сум-
"суммы" необходимо среди литералов, являющихся верхними и нижними
гранями этой пары, выбрать ближайшие грани. При этом следует
учесть, что в QC-структурах в отличие от решеток допускается суще-
существование пар, не имеющих точных верхних или нижних граней, — это

122
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Приложение-йнНастично упорядоченные множества
123
означает, что для каждой из этих пар найдется более одной ближайшей
грани.
Рассмотрим схему алгоритма поиска ближайших нижних граней для
произвольной пары (А, В) литералов. Для этого необходимо из всех
главных фильтров структуры выбрать те, которые содержат множество
{А, В}, а из них — те, которые не вложены ни в один из других фильтров.
Тогда ближайшей нижней гранью пары (А, В) будет литерал, являю-
являющийся инициатором любого главного фильтра, оставшегося в списке на
последнем этапе алгоритма. Поиск ближайших верхних граней осуще-
осуществляется аналогично на множестве главных идеалов структуры. Тем
самым находятся все варианты интервальных оценок результатов соот-
соответствующих операций.
7. Соотношение между QC-структурами
и исчислением высказываний
В математической логике структура, во многом сходная с QC-струк-
QC-структурами, была открыта более 30 лет назад [Кгот, 1967] и в некоторых ис-
источниках называется классом Крома формул первопорядковой логики.
По определению класс Крома — это конъюнкция подформул типа
(X V У), где X и Y — атомы или отрицания атомов, а V — обозначение
дизъюнкции. Это определение можно сузить до формул исчисления
высказываний. Тогда эквивалентным определением класса Крома будет
такое: класс Крома — это формула исчисления высказываний типа
КНФ, в которой каждая дизъюнкция представлена не более чем двумя
литералами.
В своей работе М. Кром доказал, что для формул этого класса задача
выполнимости решается с помощью алгоритма полиномиальной слож-
сложности. Для доказательства этого утверждения вначале производится
следующее преобразование.
Каждая формула Ф класса Крома преобразуется в ориентированный
граф G(O), при этом каждой дизъюнкции типа X V Кв Ф соответствуют
в б(Ф) две ориентированные дуги (~>Х —" Y) и (—>Y -»¦ X), а каждая дизъ-
дизъюнкция с единственным литералом X в б(Ф) представлена дугой
(—>Х -»• X) в С(Ф). После этого можно доказать следующее утверждение:
Формула Ф класса Крома невыполнима, если и только если
в Ф существует литерал Wu в С(Ф) существует цикл та-
такой, что в нем содержится как W, так u~>W.
Поскольку задача поиска такого цикла в С(Ф) решается с помощью
алгоритма полиномиальной сложности, то задача выполнимости в Ф так-
также решается с помощью алгоритма полиномиальной сложности.
Чтобы лучше понять сходство между QC-структурами и классом
Крома, рассмотрим более подробно преобразование формулы Ф в граф
G(Ф). В нем используется известное преобразование двухлитерной
дизъюнкции в импликацию с помощью равенства XV Y= —<Х=з Y, где
=> — обозначение импликации. В графе С(Ф) каждая импликация пред-
представлена ориентированной дугой между соответствующими литерала-
литералами. Вторая дуга в б(Ф) для подформулы XV Y получается уже из под-
подформулы —<Х => К с использованием закона контрапозиции — этот закон
является теоремой исчисления высказываний. Представление одноли-
терной дизъюнкции X дугой (—>Х —* X) в С-(Ф) обусловлено тем, что со-
соответствующая формула (—>Х => X) эквивалентна X.
В исчислении высказываний имеется теорема, которая соответству-
соответствует свойству транзитивности у-множеств. Поэтому цикл в С-(Ф), содер-
содержащий Wh-'W, означает, что выполнение правил транзитивности при-
приводит к появлению в б(Ф) дуг ( W-* ~>W) и (->W — W), а это, в свою
(очередь, подразумевает, что следствием формулы Ф является невыпол-
невыполнимая конъюнкция (W=> -IW) & (-• W => W), из чего заключаем, что сама
Ф также невыполнима.
Таким образом, в QC-структурах используются те же правила выво-
вывода, что и в графе Крома. Кроме того, очевидно, что любое суждение
в QC-структурах, содержащее в правой части более одного литерала,
также изоморфно графу Крома, поскольку может быть разложено на
элементарные суждения, содержащие в правой части один литерал.
Рассмотрим отображение ф: Г —> Ф, переводящее QC-структуру Г
в формулу Ф класса Крома, такое что каждой паре литералов (X, X) в Г
соответствует пара (X, —<Х) литералов в Ф и отношению порядка в Г со-
соответствует импликация в Г. Допустимые коллизии типа X -* X в Г со-
соответствуют в Ф однолитерной дизъюнкции —>Х.
Из изложенного ясно, что преобразование Ф в (?(Ф) полностью соот-
соответствует преобразованию Г в Г6, когда в исходную структуру добавля-
добавляются все следствия, полученные только с помощью правила контрапози-
контрапозиции. Задача распознавания невыполнимости в Ф соответствует задаче
распознавания вырожденности Г (см. определение Б.9).
Из соответствия Гс и G(Ф) следует, что многие задачи, решаемые
в рамках QC-структур (распознавание коллизий, анализ неполноты,
формирование множества корректных гипотез и т. д.), могут быть сфор-
сформулированы на языке исчисления высказываний в формулах класса
Крома, но их интерпретация в этом случае является менее объемной, чем
интерпретация QC-структур, а смысл многих результатов анализа
явно не совпадает. Например, коллизия парадокса в классе формул
Крома означает тривиальную тавтологию ~^Х—¦ X = X. Для у-мно-
у-множеств и QC-структур данное равенство не имеет смысла.

124
Приложение Б. Частично упорядочёнН&ё'множества
Заключение
Первым практическим приложением QC-структур стало изложенное
в работах автора использование их частного случая (^-структур) для
расширения аналитических возможностей полисиллогистики. Вопрос
о других практических приложениях QC-структур пока что остается от-
открытым. Здесь мы рассмотрим лишь некоторые сформулированные
в общем виде возможные рекомендации.
1. Результаты и методы теории частично упорядоченных множеств
используются во многих областях знаний, например в системах логичес-
логического вывода, при анализе измеримых пространств, семейств аналитичес-
аналитических функций, в приложениях нечетких множеств и т. д. Но во многих
случаях ради увеличения аналитических возможностей у-множеств их
сужают до решеток, что не позволяет полностью отобразить многие
свойства исследуемых структур, если они по своей природе не соответ-
соответствуют аксиомам решеток. В этом случае вместо решеток можно исполь-
использовать QC-структуры, в которых по сравнению с обычными у-множе-
ствами увеличиваются аналитические возможности не за счет редукции
структурных связей, а за счет введения операций.
2. Значительная часть задач современной теории распознавания об-
образов сводится к задачам классификации, т. е. к построению методов
и алгоритмов, с помощью которых исходная выборка разделяется на не-
некоторое число непересекающихся классов объектов. При таком отобра-
отображении в разные классы нередко попадают объекты, между которыми
имеются структурные связи со свойствами частичного порядка. Тем са-
самым теряется возможность адекватного восстановления причинных
связей в том случае, если исследуемые объекты принадлежат некоторой
развивающейся во времени или пространстве системе. В то же время
с точки зрения теории QC-структур системы можно рассматривать не
как совокупность непересекающихся классов объектов, а как совокуп-
совокупность ориентированных связей между ними. При этом кластеризация
объектов осуществляется уже на основе анализа этих" связей. В основу
такой кластеризации можно положить следующие критерии: принад-
принадлежность определенным главным фильтрам или главным идеалам, глу-
глубина вложения относительно наибольших или максимальных элемен-
элементов и т. д.
Иногда имеет смысл формировать отдельные классы из множеств
"независимых" элементов, т. е. из множеств, каждый элемент которого
не связан отношением частичного порядка ни с одним из элементов это-
этого класса.
При описании признаков объектов в теории распознавания образов
в основном ограничиваются следующими типами шкал: а) бинарными
__ Приложение^, Частично упорядоченные множества
шкалами, б) шкалами наименований, в) шкалами вполне упорядоч
ных множеств и г) числовыми шкалами (дискретными или непрерывны-
непрерывными) [Лбов и Старцева, 1999J. Возможно, что использование структур
данных типа QC-структур в качестве шкал и представление данных
в виде класса Dom с разнотипными координатами дадут теории распоз-
распознавания образов новый импульс развития.
3. Еще одним приложением QC-структур могут служить задачи вос-
восстановления неполных данных. В упрощенном виде эта задача сводится
к построению формальной QC-структуры системы, в которой часть дан-
данных представлена литералами, играющими в данном случае роль неиз-
неизвестных или пропущенных данных. Если в появляющихся в результате
анализа цепях диаграмм Хассе QC-структуры совместно присутствуют
точные значения и неизвестные, то значения неизвестных могут быть
уточнены с помощью интервальных оценок, в которых в качестве границ
используются содержащиеся в этих цепях литералы с известным точ-
точным значением.

Список литературы
127
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[Арнольд, 1997] Арнольд В. И. Избранное-60. М.: Фазис, 1997.
[Биркгоф и Барти, 1976] Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгеб-
алгебра. М.: Мир, 1976.
[Блехмаи и др., 1976] Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная
математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев: Наукова думка,
1976.
[Бурбаки, 1963] Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр.
лит., 1963.
[Зенкин, 1997] Зенкин А. А. Принцип разделения времени и анализ одного класса
квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г. Кан-
Кантора о несчетности) // Доклады РАН. Раздел "Математика". 1997. Т. 356.
№ 6. С. 733-735.
[Зенкин, 2000] Зенкин А. А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии.
2000. №2. С. 165-168.
[Карпенко, 2000] Карпенко А. С. Логика: Феномены XX века // Современная
логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VI
Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 22-24 июня
2000 г. С. 461-465.
[Клайн, 1984] Клайн М. Математика: Утрата определенности. М.: Мир, 1984.
[Колмогоров и Фомин, 1972] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории
функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
[Кристофидес, 1976] Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.
М.: Мир, 1976.
[Кулик, 1996а] Кулик Б. А. Моделирование рассуждений на основе законов ал-
алгебры множеств // Труды V национальной конференции по искусственно-
искусственному интеллекту. Казань, 7-12 октября 1996 г. Т. 1. С. 58-61.
[Кулик, 19966] Кулик Б. А. Основные принципы философии здравого смысла
(познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта. 1996.
№ 3. С. 7-92.
[Кулик, 1997а] Кулик Б. А. Интерпретируемые системы логического вывода //
Международная конференция "Смирновские чтения" (тезисы докладов).
Институт философии РАН. 1997. С. 54-55.
[Кулик, 19976] Кулик Б. А. Логические основы здравого смысла / Под ред.
Д. А. Поспелова. - СПб.: Политехника, 1997. 131 с.
[Кулик, 1997в] Кулик Б. А. Логика здравого смысла // Здравый смысл. 1997.
№1E). С. 44-48.
[Кулик, 1998а] Кулик Б. А. Программа для моделирования и анализа естествен-
естественных рассуждений // Компьютерные инструменты в образовании. 1998. № 2.
С. 55-63.
[Кулик, 19986] Кулик Б. А. Система логического вывода на логических графах
// Современная логика: проблемы теории истории и применения в науке.
Материалы V Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург,
18-20 июня 1998 г. С. 169-171.
[Кулик, 1999] Кулик Б. А., Алгебраические основы естественных рассуждений:
Е-структуры // Логико-лингвистическое управление динамическими
объектами (DOLLC99). Материалы II международной конференции
Санкт-Петербург, 21-25 июня 1999 г. С. 29-40.
[Кулик и Романов, 1999] Кулик Б. А., Романов Л. Н. Алгебраический подход к мо-
моделированию и анализу естественных рассуждений на основе Е-структур //
Интеллектуальное управление: новые интеллектуальные технологии в зада-
задачах управления (ICIT'99). Труды Международной конференции. Пере-
славль-Залесский, 6-9 декабря 1999 г. М.: Наука. С. 50-54.
[Кулик, 2000] Кулик Б. А. Логическая модель развивающегося знания на основе
Е-структур // Современная логика: проблемы теории, истории и примене-
применения в науке. Материалы VI Общероссийской научной конференции. Санкт-
Петербург, 22-24 июня 2000 г. С. 204-211.
[Кун, 1975] Кун Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1975.
[Кэрролл, 1973] Кэрролл Л. История с узелками. М.: Мир, 1973.
[Лбов и Старцева, 1999] Лбов Г. С, Старцева Н. Г. Логические решающие функ-
функции и вопросы статистической устойчивости решений. Новосибирск: Из-во
Ин-та математики, 1999.
[Леонов, 1998] Леонов В. П. Долгое прощание с лысенковщиной // Web-страни-
Web-страница в Интернете http://www. doktor. ru/doctor/biometr/lib/lis. 1998.
[Мендельсон, 1984] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: На-
Наука, 1984.
[Пуанкаре, 1983] Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
[Светлов, 1995] Светлов В. А. Практическая логика. СПб.: Изд-во РХГИ, 1995.
[Скорняков, 1980] Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1980.
[Скорняков, 1982] Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1982.
[Стяжкин, 1967] Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.:
Наука, 1967.
[Godel, 1931] Godel К. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathe-
matica und verwandter Systeme // Monatsh. Math. Phys. 1931. Vol. XXXVIII.
P. 173-198.
[Krom, 1976] Krom M. R. The decision problem for a class of first-order formulas in which
all disjunctions are binary // Z. math. Logic Grundl. Math. 1976. Vol. 13. P. 15-20.
[von Neumann, 1925] Von Neumann J. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre //
J. Crelle. 1925. Vol. CLIV. P. 219-240.
[Reichenbach, 1961] Reichenbach H. Experience and Prediction. Chicago, 1961. P. 5-6.