НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. Д. БОНДАРЬ
ЛЕКЦИИ
ПО
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
II
ДИНАМИКА ТОЧКИ,
СИСТЕМЫ ТОЧЕК и ТВЕРДОГО ТЕЛА
1НШ(К:ИВИРСК-1972

МИНИСТЕРСТВО ШСВЕО И СВДНЕК) СПВДШВДИТ)
ОБРАЗОВАНИЙ РОКР
Новосмбжроюй гооударотввйннж унжвврожтвт
В.Д.Бондарь
ЛЕКЦИЙ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ч а о т ь П
динамкка точке, системы точа
и твердого тела
Новооибирсх 1972

ПРЕДИСЛОВИЕ
При издании курса лекций по теоретической механике материал
бшг разбит на несколько частей. Первая часть, опубликованная в
1970 году, содержала введение в предмет и кинематику точки и
абсолютно твердого тела» Настоящая вторая часть посвящается динамике
точки, системы точек и абсолютно твердого тела. В заключительной
третьей части будет изложена аналитическая динамика.
Особенностью изложения является трактовка теоретической
механики как механики простейших моделей материальных тел» При
введении различных понятий и закономерностей для точек, систем точек
и абсолютно твердых тел обсуждается вопрос об их применимости и к
сплошным материальным средам. Другая особенность состоит в том.
что при рассмотрении различных вопросов курса, наряду с
выяснением механического смысла явлений, уделяется должное внимание
формулировке и выяснению разрешимости тех математических задач, к
которым они сводятся.
Лекции предназначаются для студентов второго курса отделения
прикладной математики и механики математического факультета Н1У.
Автор благодарит В.К.Козьменко за большую помощь, оказанную
ему при подготовке рукописи к печати.
ВЛ.Б0ВДАРЬ

ДИНАМИКА ТОЧКИ
Прв изученной кввематвхв дввжевве тел очиталооь заданна*, в вао
ввтереоовадв геометрические свойства этого движения. Вопрос о том,
почему дввжевве происходит так, а не иначе, не обоуждалоя вовсе.
Теперь же, расширяя область ваввх исследований, перейдем к
изучению оамой овязя, оущеотвуадей между механическим дважеввем тех в
определяюциия его факторами. Именно теперь будем научать движете
в раввовеове тех, провоходящее оод дейотввем приложенных к ввм онл.
Как отмечалось во введении,раздел механики, раооматряващвй вое
этж вопросы, составляет основное оодержание мехавякв в наеывается
динамикой»
Законы классжческой мехавякв формулируются для материальных
точек - етях проотейшнх моделей материальных тел, поэтому явучеияе
динамики мм начнем о изучения динамики материальной точки. Затем,
опяраяоь ва закономерность дввжеяжя точек к ва особенности вж
взаимодействия между собою, будет рассмотрена динамика енот ем точек
я, наконец, как частный случай последней - динамика твердою таяв*
Таквм образом, в динамике будем придерживаться последовательности
изложения, аналогичной той, которая была принята в кинематике.
Глава I.
ДИНАМИКА СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
Движение интервальной точка можно рассматривать в различных
условиях, В одних случаях точка может занимать в проотравотве
произвольное положение и двигаться в любом направлении о
произвольной скоростью, тогда ее навивают овободной точкой, В других
случаях на положение и на скорость точки наложены некоторые
ограничения^ тогда саму точку называют несвободной, а условия, отеовяхк
-5-

щие ее движение, называют связями»
Опыт показывает, что наложение связей существенно изменяет
движение , поэтому законы движения свободной и несвободной точек
вообще различны. Настоящая глава будет посвящена динамике свободной
точки.
§ I. Сила и гравитационная масса
К числу основных понятий классической механики относятся
понятия силы и массы. Рассмотрим их подробнее.
1° Сила.
Путем наблюдений над естественным движением материальных тел
и специальных опытов было установлено, что движение тела вообще
изменяется с течением времени и что причиной этого изменения
является его взаимодействие с другими материальными силами. В ньютони-
анской механике принимается, что взаимодействие между телами
можно описать с помощью векторной величины F , называемой силой.
Таким образом, сила является мерой механического взаимодействия тел.
Понятие о силе возникло из представлений о мере мускульного
напряжения, необходимого человеку, чтобы, скажем, удержать некоторое
тело или придать ему определенное движение. Затем это
представление было распространено на взаимодействие между любыми
материальными телами.
Взаимодействие между телами может происходить как при
непосредственном их соприкосновении, так и через посредство создаваемых
телами полей. В соответствии с этим все встречающиеся силы можно
подразделить на контактные силы, такие, как давление прижатых друг
к другу тел, трение, и на силы дальнодействующие, к числу которых
относятся электростатические, электромагнитные и гравитационные
силы.
Измерение силы производится статическими и динамическими
методами. Статический метод основан на уравновешивании измеряемой
силы другой, заранее известной силой, и осуществляется с помощью
прибора, называемого динамометром. Обычно им служит пружинный
динамометр. По растяжению пружины, отмеченному на шкале прибора, и
определяется величина растягивающей силы. Градуировка шкалы
осуществляется с помощью эталона силы. В качестве последнего в
механике используется вес на уровне моря и на широте 45° платиново-
иридиевого образца, называемого килограммом. С большой степенью
точности килограмм ;.апон весу одного кубического дециметра дистид#
-6-

лированной воды при температуре 4°С. Динамически* же метод
измерения силы основан на использовании законов динамики*
Так как сила является векторной величиной, то она в каждый
момент времени характеризуется своим модулем, направлением в
пространстве и точкой приложения. При одновременном действии на тело
(материальную точку) двух сил F и fx их равнодейотвущая F
определяется по правилу сложеши векторов, то есть по правилу
параллелограмма - _
F'Fi+JT. (I.I)
С помощью экспериментального изучения свойств силы была
установлена зависимость силы, приложенной к телу, в общем случае от
его положения г , скорости tr и времени t :
F=F(x,ir,t), U.2)
при э том имеется в виду положение и скорость тела по отношению к
другим телам, с которыми оно находится во взаимодействии.
Имеется ряд важных частных случаев, в которых сила оказывается
зависящей только от одного из своих аргументов. Примером
силы,зависящей от времени, может служить периодически изменяющаяся сила,
вызывающая вибрацию частей электродвигателя; примером силы,
зависящей от положения точки, является ньютонова сила тяготения или
упругая сила пружины; наконец, примером сил, зависящих от окороо-
ти движения, будут силы сопротивления среды (врздуха, воды и т.д.).
Итак, сила является важнш механжчеоким понятием. Однако f не
следует думать, что понятие силы является необходимым элементом
всякой механической теории. Можно, оказывается, строить механику,
взяв за основное понятие не силу, а энергию - именно так
поступают в аналитической механике. Можно даже вообще уотранить силу иг
числа основных понятий, как это сделано в механике, созданной
Г.Герцем. Тем не менее представление о силах являетоя привычной 1
удобной формой описания взаимодействия материальных таи. Этим,
вероятно, и объясняется широкая распространенность механической
теории, оперирующей силовыми кат его рюши.
2°. Гравитационная масса
Экспг ментальное исследование движений тел показало, что эти
движения зависят как от внешних, так и внутренних факторов.
Влияние внешних воздействий на тело определяется понятием силы. Введем
теперь величину, характеризующую внутренние свойства тела.
В качестве эталона силы был выбран частный вид силы, а именно
вес тела. Рассмотрение особенностей этого вида силы позволяет
-7-

ввестж и внутреннюю характеристику тела»
Динамометр может быть использован, в частности, для измерения
оилы тяжести в различных точках земюй поверхности. Подобные
измерения позволили обнаружить завиояюоть веса от широты места: вес
тела при его перемещении от экватора к полюсам, оказывается, не-*
сколько возрастает.
С другой стороны, измерение ускорения свободного падения тел с
небольшое высот (сравнительно с радиусом Земли) позволило
установить, что оно на данное широте одинаково для всех тел и зависит
только от широты, слегка возрастая при перемещении от экватора к
полюсам*
Сопоставление результатов измерений весов тел и ускорений их
свободного падения дало возможность установить следующий
фундаментальный факт: отношение веса тела Р на данной широте к ускорению
свободного падения а на той же широте есть величина, не
зависящая от широты места и характеризующая само тело. Это отношение
называется массой тела и обозначается через т:
т=%. A.3)
Определенную таким образомгиассу тела называют тяжелой или
гравитационной массой. Итак, для нахождения массы тела достаточно
измерить его вес в некотором месте и ускорение свободного падения в
том же месте и составить отношение этих величин.
Масса является скалярной, существенно положительной величиной.
Она является важной, а для материальной точки - вообще
единственной характеристикой тела. Отличие материальных точек друг от
друга сводится к различию в массах.
Сила и масоа являются основными понятиями динамики; все другие»
зависящие от них величины, называют динамическими в отличие от
величин, зависящих от расстояния, проходимого телом в пространстве,
и от времени, и называемых кинематическими.
§ 2. Основные законы механики
1°. Инедшажьим» птя*тщ отсчёта
В механике всякое движение тела рассматривается относительно
определенной систем! отсчета. С кинематической точки зрения выбор
этой систем! не является существенна!, ибо в каждой из них
способы описания движения тела одни ж те же.
В динамике дело обстоит иначе. Основной задачей динамики
является установление рех законов, которые управляют механичеокш двя-
-8-

жением тел. Опыт показывает, однако, что эти законы в различных
системах отсчета вообще различны. Естественно поэтому отдать
предпочтение тем из них, roe закономерности движения имеют наиболее
простой вид. Такими системами являются, так называемые, ннерциаль-
ные системы отсчета - системы, в которых тело, не подверженное
действию сил, движетоя равномерно и прямолинейно. Именно для
таких систем сформулировал ооновные законы механики Ньютон.
Все фактически рассматриваемые системы отсчета являются инерци-
альными только с определенной точностью, то есть инерциальная
система отсчета является абстракцией. Существование такой системы
постулируется основными законами механики. Степень отклонения
конкретной системы от инерциальной определяется экспериментально.
Установлено, например, что так называемая Солнечная оиотема оточэта,
начало которой совпадает с центром маос Солнечной системы
(практически с центром маос Солнца), а координатные оси фиксируются по
удаленным звездам, является инерциальной системой о огромной
степенью точности. Однако для многих явлений инерциальной можно
считать уже систему отсчета, связанную с Землей. Таким образом,
реально используемые системы отсчета, которые для одних явлений
могут считаться с достаточной точностью инерциальннмж, не будут
такими для других. В этом пункте оказывается недостаточная общность
классической механики, во всем другом отличающейся выоокой
общностью и принципиальностью. Этого недостатка лишена механика теории
относительности, совершенно не зависящая от выбора системы
отсчета.
2°. Законы Ньютона
В основе классической механики лежат законы, открытые Й.Ньюто-
ном и опубликованные им в 1687 году в трактате "Математические
принципы натуральной философии". Эти законы являются обобщением
многочисленных наблюдений явлений природы и специальных опытов.
Законы Ньютона играют роль аксиом, из которых дедуктивным путем
при помощи математического анализа получаются вое выводы механики.
Ооновные законы формулируются для свободных тел - материальных
точек-и содержат следующие утверждения.
Первый закон. Всякое тело продолжает уцерживатьоя в своем
состоянии покоя или равномерного и прямоливейнрго движения, пока и
поскольку оно не вынуждается приложенными силами изменить это ооо-
тояние.
-9*

Этот закон математически можно выразить так:
если ^=0, то tr^ccryt (в частности ^=0). B.1)
Первый закон постулирует, что равномерное и прямолинейное
движение тела, в частности покой, является естественным состоянием
и, следовательно, не требует для свсГего поддержания силы.
Способность тел сохранять свое движение при отсутствии сил и изменять
его под действием сил не сразу, а постепенно называют инерцией.
Инерция является одним из основных свойств материи. Первый закон,
утверждающий эту способность тел, называют законом инерции.
Закон инерции сыграл важную роль в развитии механики. До этого
в течение более двух тысячелетий господствовал взгляд Аристотеля,
согласно которому естественным состоянием тел считался покой;
равномерное и прямолинейное же движение тела, считалось, могло
происходить только при действии на него постоянной силы. Эти
представления были в свое время естественными, ибо непосредственный
эксперимент был не в состоянии подтвердить первый закон: в земных
условиях всякое тело, предоставленное самому себе, рано или поздно
останавливается. Однако это происходит потому, что на Земле все
тела подвержены действию силы тяжести или силы трения. Путем
уменьшения силы трения можно добиться все более равномерного и
длительного движения. Отсюда посредством логической экстраполяции можно
было заключить, что когда в пределе трение совсем исчезнет, то
тело будет двигаться вечно, равномерно и прямолинейно. Таким
образом, установление закона инерции потребовало более глубокого
понимания причин движения.
Сказанным выше значение закона инерции далеко не исчерпывается.
В законе идет речь о покое и равномерном прямолинейном движении.
Известно, однако, что характер движения тела существенно зависит
от выбора системы отсчета. Естественно, поэтому возникает вопрос
о том, найдется ли такая система, в которой тела при отсутствии
сил будут двигаться по инерции. Объективное значение первого
закона состоит как раз в том, что он постулирует существование такой
системы - инерциальной системы.
Из первого закона вытекает, что если точка в инерциальной
системе отсчета движется не по инерции, то да нее обязательно
действует сила. Спрашивается, какова связь между силой и движением
точки? Ответ содержится в следующем втором законе механики. Этот
закон1 Ньютон сформулировал с использованием понятия количества
движения точки, понимая под этим произведение массы точки на ее ско-
-10-

рость, то есть векторmtrb
Второй закон» Изменение количества движения тела
пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той
прямой, по которой эта сила действует.
Под изменением количества движения понимается скорость
изменения этой величины, так что математическая запиоь второго закона
Поскольку масса точки является величиной постоянной, то этот
закон можно записать также в оледующей форме:
md=F, B.3)
т.е. произведение массы точки на ее ускорение равно действующей
на точку силе. Так как масса есть положительная величина, то
векторы а и F коллинеарны, т.е. вектор силы направлен по
ускорению, которое получает точка от действия силы»
Итак, эффект действия силы на материальную точку заключается
в том, что точка получает ускорение.
В частности, если сила на точку не действует, то скорость
точки постоянна
при F=o, тй=о^ я-Jj^tf , ir=ccn4t\
и мы приходим к закону инерции» Отсюда, однако, ни в коей мере не
следует, что все физическое содержание первого закона является
тривиальным следствием второго закона» Закон инерции получен как.
следствие второго закона только потому, что мы воспользовались
инерциальнрй системой отсчета» Физическое же содержание закона
инерции гораздо шире,и, как уже упоминалось, заключается в
утверждении существования самой инерциальной оистемы»
Второй закон называют основным законом динамики» Он
устанавливает количественную связь между динамическими факторами,
обусловливающими движение точки, т.е. между действующей силой (внешний
фактор") и массой точки (внутренний фактор), - с одной стороны, и
кинематической величиной - ускорением точки. - с другой»
Из аналитического выражения B.3) основного закона динамики
следует, что чем больше величина гк , тем меньшее ускорение получает
тело под действием одной и той же силы, т.е. тем медленнее под
действием данной силы изменяется скорость движения тела» Таким
образом, величина т служит мерой инерции тела и поэтому называется
инертной массой»
Для определения величины инертной массы можно, приложив к дан-
-II-

ному телу известную силу/* , измерить полученное телом ускорение.
а. Коэффициент пропорциональности между этими векторами и даст
величину инертной массы тела.
Итак, отправляясь от различных свойств движения, мы пришли к
понятиям гравитационной и инертной массы. Опытами Ньютона, а
позже Бесселя и Этвеша было установлено, что инерционная масса тела
равна/его гравитационной массе. Это весьма важное положение носит
название принципа эквивалентности. В теории относительности этот
принцип получает нбвое освещение, и с ним связывается
релятивистская теория тяготения.
Первые два закона относились к одному материальному телу.
Характер же взаимодействия между двумя телами устанавливается
следующим третьим законом.
Третий закон. Действию всегда есть равное и противоположное
противодействие, иными словами взаимодействия двух тел друг с
другом равны между собой и направлены по одной прямой в
противоположные стороны.
Этот закон называют законом действия и противодействия. Закон
утверждает, что в природе силы всегда встречаются_попарно.
Рассмотрим два взаимодействующих тела А и В. Назовем Ft силу,
действующую на тело А со стороны тела В, и через F? - силу, действующую
на тело В со стороны тела А. Тогда на основании третьего закона
F^-Ft. B.4)
Это равенство означает, что модули сил равны друг другу:?=?
и что сами силы направлены вдоль прямой АВ, соединяющей тела
(материальные точки), в противоположные стороны.
Применяя этот закон, нельзя забывать, что действующая сила
приложена к одному телу,» а противодействующая - к другому; поэтому
эффект, вызываемый этими равными по величине силами,будет вообще
различен, так как взаимодействующие тела имеют вообще разные
массы. Так, например, Земля, притягивая падающий камень, сообщает ецу
заметное ускорение, а камень, притягивая Землю с той же по
величине силой, практически не изменяет ее скорости.
Первые два закона содержали в своих
формулировках.кинематические элементы, поэтому они были связаны с инерциальной системой
координат. Третий же закон не содержит кинематических элементов,
поэтому он справедлив в любой координатной системе.
Другая особенность третьего закона состоит в том, что он
относится не к одному, а к двум телам. Этим открывается возможность
-12-

анализа силового взаимодействия между телами и тем самым
построения динамики механических систем.
§ 3» Дифференциальные уравнения движения
Основной закон динамики, устанавливающий зависимость между
кинематическими и динамическими характеристиками движения точки,
позволяет получить дифференциальные уравнения, которым должны
удовлетворять координаты точки. Эти дифференциальные уравнения будут
получены в настоящем параграфе как в векторной, так и в.различных
координатных формах.
1° Дифференциальные уравнения движения в векторной Фоте
Согласно основному закону динамики, произведение массы точки на
ее ускорение в некоторой инерциальной системе координат равно
действующей силе
та* F(t, г,*). C.1)
В кинематике было установлено, что скорость и ускорение точки
относительно всякой, в том числе инерциальной, системы отсчета
определяется соответственно через первую и вторую производные
повремени от радиуса - вектора точки в этой системе: tr =J^- , а - J^f *
В силу этих соотношений, закон C.1) может быть представлен в
mdT* -Г(*>г-аГ,ш C.2)
Это равенство и является дифференциальным уравнением движения
свободной точки в векторной форме относительно инерциальной
системы отсчета. Оно связывает между собою векторную функцию i(t) и ее
первую и вторую производные по времени.
В теории дифференциальных уравнений порядком уравнения называют
порядок входящей в него старшей производной. Согласно этому
определению» уравнение C.2) является дифференциальным уравнением
второго порядка.
2°. Дифференциальные уравнения движения в ортогональных
криволинейных координатах.
Как всякое векторное соотношение, осношое уравнение динами -
ки C.1) в фиксированной координатной системе эквивалентно трем
скалярным уравнениям. Установим вид этих последних.
Пусть инерциальной системой отсчета является некоторая
ортогональная криволинейная система координат aJto?o3 . Криволинейные
«координаты ЯГЯЯЯ3 связаны о декартовыми координатами х1чхж,-х3
-13-

посредством соотношений
*ы**ы«}п%,Ъ) (<** 1.2.3).
Считаем, что эти функции в области своего определения триады
непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию функциональной
независимости д(хпххЛ)
d4<>9s'?j> f° _ _ _
В координатном базисе криволинейной системы <2^ея>е3 входящие
в C.1) векторы можно представить в виде разложений:
i-ZWu, ?*??ь> *'?<ь, r=nrS5u,
где 1* tr*t a* , F ' ^ =1,2,3; обозначают физические компоненты
соответственно радиуса-вектора, скорости, ускорения и силы.
Так как у равных векторов равны одноименные компоненты во
всякой системе координат, то векторное равенство C.1) в системе^,
cjg, а эквивалентно трем соотношениям:
та1 '- &и>7*<г, **> (<** 1*2.3). C.3)
В кинематике было установлено, что элементы координатного
базиса определяются выражениями
в которых коэффициенты Ламе являются известными функциями
обобщенных координат: a / Ат ./
Поэтому физические компоненты радиуса-вектора могут быть выражены
в виде следующих функций обобщенных координат;
г* (Я.Я <?)-?<? -4- — = 4г У х^ (о-'.S3).
Что касается физических компонентов скорости и ускорения, то они
определяются через обобщенные скорости 6 и обобщенные ускорения
о^с(точка над величиной означает, как обычно, дифференцирование по
времени) следующими кинематическими формулами:
С учетом всех этих зависимостей легко установить, что физические
компоненты силы будут функциями времени, обобщенных координат и
обобщенных скоростей:
Здесь символы о и у означают соответственно тройки аргументов
Таким образом, уравнениям C.3) можно придать вид
-14-

Полученные уравнения называют дифференциальными уравнениями
движения точки в ортогональных криволинейных координатах.
Система C,4) является замкнутой: она содержит три уравнения
и служит для определения трех функций ^ = ^ Ы) ы-- t,s,3).
Бели установлена замкнутая система дифференциальных уравнений,
описывавдих некоторое явление, то говорят, что поотроена математи-
чеокая модель данного явления, С этой точки зрения уравнения C*4)
определяют математическую модель "материальная точка".
Уравнения движения C.4) выполняются в произвольной
ортогональной криволинейной системе координат. При решении какой-либо
задачи обычно выбирают конкретный вид координатной системы из тех
соображений, чтобы в ней наиболее просто выражались компоненты силы»
Из ортогональных криволинейных координатных сиотем весьма
употребительной является цилиндрическая система. Самой
употребительной является прямоугольная декартова система координат. Ниже мы
приведем вид дифференциальных уравнений движения точки в этих двух
системах.
3°. Дифференциальные уравнения движения в пилиндричео-
ких координатах
Примем, что ортогональной криволинейной системой координат
является цилиндрическая система^= г , <js = e , о = *. Тогда, как было
установлено в кинематике, коэффициенты Ламе имеют значения, ht ^9
4?~г * 4*^* Бсли еще принять для компонентов силы в
цилиндрических осях обычные обозначения F/-Ft% F^F, » F/=FX , то уравнения
C.4) после очевидных упрощений примут вид
т(г- г О*) * Ft(t, г, О,*, г, 6, Л)у C^g)
hi(t&+2iO)*Fe(t,t,e,xy i,e,i) t
Уравнения C.5) называют дифференциальными уравнениями
движения точки в цилиндрических координатах.
4°. Дифференциальные уравнения движения в декартовых
координатах
Рассмотрим другой частный случай, когда в качестве
ортогональной криволинейной оистемы взята прямоугольная декартова система:
<jt =jc , % = V • ft Яв* • в этом случае коэффициенты Ламе, как
известно, обращаются в единицу: ^/=1, ^=1, 4=1. и уравнения C.4) с
учетом обозначений F?*=/$ , Fx*= К , F/- /} принимают вид
-15-

mi/ = Fn (t,x,u,z, x,y,i), C.6)
mi =РЛ (t,x,u,2, *,&*).
Уравнения C.6) называются дифференциальными уравнениями
движения точки в декартовых координатах.
С помощью индексного обозначения координат x-xs, у-х? , л-х3 эти
уравнения могут быть представлены в следующей компактной форме;
тх^/га9хг±) &*/.?.*), (з#е;)
где положено >^= FJ (<* =1,2,3), а символы х и х означает
соответственно тройки аргументов x/rx?tx и ху,х?,х3 .
5°, Естественные дифференциальные уравнения движения.
Для получения дифференциальных уравнений движения точки в
какой-либо ортогональной криволинейной системе координат, входившие
в векторное уравнение движения C.1), векторы раскладывались в
координатном базисе этой системы. При рассмотрении ряда вопросов
оказывается удобнее пользоваться дифференциальными уравнениями,
полученными разложением векторов в естественном базисе, связанном с
траекторией точки.
Обозначим, как и в кинематике, через f? , <гл, т3 орты
естественных осей. Тогда представления радиуса-вектора, скорости, ускорения
и силы в естественном базисе будут иметь вид
в «"-fit. ~?*ч, ,?-?«:& • ?-$?:*•
В силу основного закона динамики C.1), вектор произведения
массы точки на ее ускорение равен вектору силы, поэтому будут равны
и соответствующие компоненты этих векторов в естественных осях,то
т<? = Г*С*,*1ч<?) Г**/.*.*). Cf7)
Естественные компоненты скорости и ускорения определяются
следующими кинематическими формулами;
где $ - расстояние точки, т.е. взятая со знаком плюс или минус
длина дуги траектории, отсчитываемая до данной точки от
некоторой фиксированной точки, принятой за начальную, а к - кривизна
траектории*
Для получения выражений компонент ?? воспользуемся разложением
элементов естественного базиса *J , т? , т3 в базисе It , J^ %~jcs
прямоугольной декартовой системы координат ^-'-iZ/^^ (<r*J,sj).
-16-

Здесь v -матрица выражается через эйлеровы углы ^ % ул , ? >
определяющие ориентацию естественных осей относительно осей
декартовой системы, согласно формулам A0.9) часта I:
fW*% -А*Я*Р» *"? ^^Г*#***»* ***Ч3 8)
Теперь ясно, что естественные компоненты радиуса-вектора имеют
выражеявя
и, следовательно, являются фушщйями декартовых координат точки V
эйлеровых углов. Время и расстояние связаны зависимостями: «f =Д?),
t-tCJh
Вышеприведенные соотношения позволяют представить естественные
компоненты силы в виде функции
и предать уравнениям C.7) одну из следующих форм:
m*S*-F/(tM, J)9 m*J** F/ ax, if J), C*9)
o = F"{t,x,?,j), о * F/(S,x,tft$).
j
Уравнения C.9) называют естеотвеншйи динамическими
дифференциал ышми уравнениями движения точки*
Естественные уравнения обладают рядом особенностей. Из них, в
частности, видно, что бинормальны! компонент силы всегда равен
нулю. Это означает, что траектория движущейся под действием силы/'
свободной точки такова, что оонрикасаюцияся плоскость всегда
содержит в себе эту силу. Другой особенностью уравнений C*9)
является то обстоятельство, что они образуют незамкнутую
систецу•Действительно, зги уравнения связывают между собою восемь функций:
Syk, xai t/9 f?'445j,a уравнений всего три* Для построения модели
"материальная точка" систему естественных уравнений необходимо
замкнуть, добавив к ним недостающие уравнения, содержание те же
функции. В качестве этих последних можно взять кинематические
уравнения A0.II) и A0.12) первой части:
^•^^wf^lH» ^J**«*«, (ЗД0)
-17-

Последние уравнения содержат новую функцию f - кручение
траектории.
/так, система уравнений C.9) и C.10) замкнута: в ней девять
уравнений, содержащих девять функций: з,А,*, ги,*/и ы i.sj)
;)стественные уравнения движения особенно удобны для
использования в тех случаях, когда из каких-либо соображений заранее
известна траектория точки. В этих случаях они нередко позволяют получать
весьма эфФектпие решения различных задач.
6°. Основные задачи динамики точки.
Дифференциальные уравнения движения точки дают возможность
решать две основные задачи - так называемые прямую и обратную
задачи динамики.
В прямой задаче по известным уравнениям движения точки
определяется действующая .на нее сила. В обратной задаче задают силу и
начальное состояние точки и определяют уравнения движения точки.
К этим задачам сводится решение многих интересных и важных
механических проблем. Некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем.
Прямая и обратная задачи не равнозначны по трудности. Бели
первая из них решается сравнительно легко, то вторая весьма трудна,
и аналитическое решение ее в общем случае неизвестно; его можно
найти при частных видах сил, но даже в этих случаях.решение задачи
требует значительных усилий. В силу отмеченных особенностей
вторая задача является в динамике главной.
§ 4. Определение силы по заданному движению
1°. Определение силы в зависимости от времени
Рассмотрим теперь подробнее прямую задачу динамики. Будем
исходить из того, что для точки массы т задано движение в хсакой-либо
инерциальной системе отсчета, например, в ортогональной
криволинейной системе координат <jt , ул9 у3 с помощью уравнения движе-
НИН
% = %«) fa.i.s.3). DJ)
Относительно функций <?,(') предполагаем, что они дважды
непрерывно дифференцируемы. Покажем, что этих данных достаточно для
нахождения силы.
Дифференцированием по времени уравнений D.1) находим
обобщенные скорости и обобщенные ускорения точки в виде <? =jjt )f<fjr<2jti
-18-

U =1,2,3). Заметны, что условия на функции <^(t )
обеспечивают существование и непрерывность скорости и ускорения в любой
момент времени. В силу уравнений D.1), будут извеотными функциями
времени также коэффициенты Ламе 1Ы (О * A^Lq (()] (<* «1,2,3).
Обращаясь далее к дифференциальным уравнениям движения точки в
ортогональных криволинейных координатах C,4), найдем, что
компоненты силы определяются как функции времени посредством выражений:
Таким образом, по заданной маосе и уравнениям движения
однозначно определяется в каждый момент времени действующая на точку
сила.
2°. Определение закона изменения оилы,
Формулы D.2) позволяют вычислить силу в любой момент времени,
однако они ничего не говорят о физической природе оилы. То есть
эти формулы не содержат никакой информации о том, зависит или нет
сила от положения точки или от ее скорости, или от того и другого
вместе. С другой стороны, разрешая, например, зависимости ?, «?/@,
(j^fyit ) относительно времени, можно получить выражении времени
через координату ц4 или скорооть cfd и, следовательно, установить
зависимость силы от положения точки или от ее окороотн. Таким
образом, в рассмотренной ситуации возможны различные выражения для
силы, и нет оснований предпочесть одно из них другому*
Чтобы иметь возможность однозначно определить закон для силы,
т.е. определить F как функцию Ь,г и (Г , мало, оказывается,
задания частного движения точки; требуется задавать достаточно
широкий класс движений, а именно, движение, зависящее от шести
произвольных параметров*
6 самом деле, пусть движение точки задано в виде
% s% П А>• .<Ь) fi"**.*), D.3)
1де<^ (v =1,...,6) - произвольные параметры. Будем очитать, что
эти функции дважды непрерывно дифференцируемы и таковы, что
отличен от нуля определитель
гогда, действуя вышеизложенным спооооом, установим для
компонентов силы выражения D*2), зависящие от времени и от шести
параметров:
F* = F* (ifii% tcb) (+W). D.5)
-19-
*°- D.4)

Рассмотрим систему шести уравнений, состоящую из уравнений
D.3) и сведущих уравнений, полученных дифференцированием D.3)
по времени:
%.-%(*'&*-••&) Ы-№>
Условие D*4) обеспечивает разрешимость этой систем*
относительно величин <?,(f =19#..,б). Фактически разрешая оивтему,
получим зависимости Су =<* (* ,7 ,у ) (**!,...,6). Иоключив, наконец,
с помощью этих соотношений из D.5) параметры 4 , установим закон
для силы в виде
Полученные формулы решают задачу.
Заметим, что если движение точки двумерное и происходит,
например» на координатной поверхности ^«л»»/, то,очевидно, что во
все время движения
%~° ' Ъж°> ЬяЛг(9<>9л) с**Ш)9 D»в)
и тогда из формул D.2) вытекает, что третий компонент он*»
тождественно равен нулю: /J*=0.
В этом случае для установления закона изменения силы
достаточно задать чегнрехпараметрический класс движений ^ =%S * *ci*ca*
<?j.C?) («*=:1,2), подчиненных условию
¦4ftyfa.frft) ф0ш D.7)
Действительно, первые цва коюонента силы, согласно D.2) и
D.6), будут определяться выражениями, зависящими от времени ж от
четырех параметров: л *
Выразив параметры через время, координаты и скорости из сиотежн
уравнений
%rfo «МАЛ), Ъ1-4*Ъ*4.<ЬЛА) teM),
что ввиду условия D*7) всегда можно сделать, получим зависимости
<V =<v( t • ft $%t fy f%) ( w =1, 2,3,4), о помощью которнх
устанавливается искомый закон изменения силы в виде
?*«?'*.*.*.fr 4.) мм, ?***<
Аналогично, при одномерном движении точки, происхсдяцем,
скажем, вдоль координатной линии ^ , достаточно задать двупараметриь
ческий класс движений ^ =$( * ,4 ,<?), подчинив его условию
m *л D-8)
Тогда искомая закономерность для силы устанавливается форк^дами
-20.

Таким образом, задаче нахождения силы по заданному движению
решается всеща и сводится к выполнению дифференциальных и
алгебраических операций. При решении конкретных задач система
координат выбирается подходящим образом. Ниже будет проиллюстрировано
решение прямой задачи динамики в декартовых и в цилиндрических
координатах.
3°. Естественный способ определения силы
Рассмотрим теперь определение силы в случае, ковда движение
точки задано не координатным, а естественным способом. В этом
способе задаются естественные уравнения траектории, т.е. зависимости
кривизны и кручения от расстояния, а также уравнение движения по
траектории, представляющее собою зрвиоимооть от времени расстоя-
ния*
f~Jfi) , ***(*), * = Z(S). D.9)
Примем, что функции к GO, jl (з) непрерывны, а функция 3 (t)
дважды непрерывно дифференцируема. Будем, кроме того, предполагать, что
задана маоса т точки. Покажем, что этих данных достаточно для
нахождения силы в каждый момент времени.
Из уравнений D.9] дифференцированием по времени определяется
скорость и касательное ускорение точки в виде 3 « J (t), $ = s {t) ¦
В силу условий на уравнение движения 3 (t), эти величины
существуют и являются непрерывными функциями времени. Из уравнений D.9)
также следует, что непрерывной функцией времени будет и кривизна*
Естественные дифференциальные уравнения движения точки C.9):
позволяют теперь установить компоненты силы в виде непрерывных
функций времени:
Г/'Ъ'А, Г/~Г/«), .G'-o. D.10)
Таким образом, массой точки и ее естественными уравнениями
движения в каждый момент времени определяется действующая на точку
сила.
Заметим, что в предыдущем рассмотрении не иопользовалооь
кручение, ибо оно не входит в естественные урашения движения. Однако
его нужно знать для определения ориентации естественных ооей.
Покажем далее, что для установления закона изменения силы г
естественном опоообе требуется, как и в координатном споообе, задать
достаточно широкий класс движений.
В самом деле, пусть задано движение, зависящее от трех парамет-
-21-

D.13)
ров:
где k и х однажды, а $ дважды непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов. Тогда, следуя изложенному выше способу,
можно установить выражения компонентов действующей* силы в
зависимости от времени и этих параметров.
Ъ'*Г,еаА.ел,е,), & Г/'*&,'*,«,), ff - о. D.12)
Рассмотрим систему уравнений C.10). Умножив на 3 каждое
уравнение, можно придать системе вид
jf& = S(Suifi Оощ -t Ootift Can ft Sin^) i j& = S? ooitf3 ;
Ввиду условий DЛ) эта система замкнута и содержит три
параметра: eitC2<cs . Общее решение системы шести уравнений первого
порядка, как известно, содержит шесть произвольных постоянных
с1/г с9 . Пусть установлено решение уравнений D.13), содержащее
три параметра CucR,c3 и четыре постоянных сч,05,сь,о7:
JC^JCjt9Oit...tCrL & = &rt/V -А) ^WAD.I4)
обладащее тем свойством, что отличен от нуля определитель
д(С1,слс3,сч fiS9ob9c) к • Ь)
Тогда уравнение^ -3 (i tcf,eStc3 ), взятое совместно с уравнениями
D.14), можно разрешить относительно величин си и получить
зависимости <?„ = <?,( ?, х, t/>, s ) (^ =1,... ,7). Подстановка полученных
выражений в D,12) позволяет получить искомый закон изменения
силы в виде
F*=F'(tx,vJh Ff*F/(t,x.*s), F/=o.
Поставленная задача, таким образом, решена. Итак, если для
установления закона изменения силы в координатном способе
требовалось производить только дифференциальные и алгебраические
операции, то для решения этой же задачи естественным способом, наряду
с прежними операциями, требуется еще интегрировать систему
дифференциальных уравнений.
В частности, если ? =0, то вторая группа кинематических
естества

венных уравнений D*13) принимает вид
Отсвда получаем, что два первых эйлеровых угла должны быть
постоянными: # -QOftst^t/^oomt ; полагая эти постоянные равными нулю,
будем иметь # =^= 0. Но тоща первая груша уравнений D*13)
будет ввда
Следовательно 9x^comt . Эту постоянную положим также равной нулю*
Итак, при равенстве нулю кручения, можно принять, что # *0,^=0,
и^=0, т.е. движение будет плоским. Величины sitxS9 y3
удовлетворяют системе уравнений
6 этом случае для нахождения закона изменения оилы достаточно
задавать двупараметричеокий класс движений:
*=№&,**), к=кПус1%оя) , *-<?. D.17)
Действительно, компоненты оняы D.12) при этом определяются в
виде следующих функций:
F*-F*(bei%<b)* F/'F/ftei&h Ff*o. D.18)
Обращаяоь к системе D.16), видим, что ее общее решение, будет
содержать f наряду о параметрами с? ж ся , три произвольные
постоянные с3,сч,о$ . Для наших целей достаточно найти решение о двумя
постоянными с3 и С? и такое, что
Разрешив уравнением = i, (?,<?/, <?л) совместно с уравнениями D.19),
наДдем величины cv в виде функций ^ =^( ^х4,хл,%,з ) (v «I,
2,3,4), с помощью которых равенства D.18) определяют искомый
закон для оилы:
Ff-F/d&WjJ), Ff*F/(t,XbXt^sL F/-o.
В другом частном случае при к =0 движение будет прямолинейным,
т.е. частным случаем плоского. Тогда, очевидно, можно принять,
что в этом плоском движении ^=0,^=0, и уравнения (.4.16)
сведутся к одному уравнению
ctXi
Jf =S D.20)
Закон для силы получим, задав однопараметрический клаоо двжже-
-23-

ний по прямой j = j(t,Cj) ш В самом деле, динамические
естественные уравнения C.8) в этом случае дают F^Ffttfii) , fjf*F/*o.
Интегрируя кинематическое уравнение D.20), получаем
Xrxi(tiahcs) • т^е ?я - произвольная постоянная. Пусть это
решение таково, что dJcLea)—*° • То1^а из системы 3~ЗМ,е,) ,
zis^i(t1cljc3) можем получить C^^tU^i ,$) (^ =1,2) и,
следовательно, установить закон для силы
F^F;a,x„s) , F/-ff-o.
§ 5. Закон изменения силы, вызывающей колебания
Пусть рассматривается класс гармоничеоких колебательных
движений точки массы т. , содержащий шесть произвольных параметров 4
и ? U =1,2,3) и задаваемый относительно прямоугольной
декартовой системы координат хьхЛух3 уравнениями
z^^Joi*)t tbcotoi ; *>*еont ы* 'А*). E.1)
Определим закон для силы, обусловливающей это движение. Функции
E.1), как легко видеть, обладают непрерывными производными
любого порядка. Вычисляя от них первые и вторые производные по
времени, будем иметь
х^б^СофаЛ- й)<?и A*a)t (<**iJJ), E,2)
л — аN &n.ait-ot*<Uco}a)i fr*lS,Jj. E.3)
Из дифференциальных уравнений движения точки в декартовых
координатах C.7) "^^ (<* =1,2,3) следует, что компоненты
силы в зависимости от времени t и от шести параметров &,?
U =1,2,3) будут определяться выражениями
F=-ma)*(^Joia)t tc^aevvt) Ы=1.2,з). E.4)
Лецко проверить, что в рассматриваемом случае определитель D.4)
отличен от нуля:
Следовательно, систему уравнений E.1) и E.2) можно разрешить
относительно параметров ? и ? (<* =1,2,3), выразив их через
величины tt jc0, ±G (<r =1,2,3). Фактически исключить параметры из
выражений E.4) для компонентов силы в данном случае можно с
помощью одних только соотношений E.1). Выполнив исключение,
получим
-24-

f = ~ m<JaxJioC =1,2,3) ИЛИ Г=-тсОЛ?.
Найденное выражение и определяет искомый закон изменения силы,
вызывающей колебательное движение точки. Как видим, такое
движение возможно под действием силы, направленной в неподвижный центр
1-о и изменяющейся пропорционально расстоянию точки от этого
центра.
§ 6. Закон всемирного тяготения
Одной из весьма интересных и важных задач механики является
задача определения силы, действующей на планету Солнечной
системы со стороны Солнца. Ньютон нашел эту силу, опираясь на законы
Кеплера, а затем перешел к закону всемирного тяготения.
Покажем, как может быть решена эта задача, если пользоваться
цилиндрическими координатами.
1°. Законы Кеплера
Свои знаменитые законы движения планет Кеплер установил в
начале ХУП века, обработав многочисленные наблюдения, выполненные
астрономом Тихо-Браге. Эти законы имеют кинематический характер
и утверждают следующее.
Первый закон. Все планеты описывают вокруг Солнца плоские
орбиты, следуя закону площадей.
Второй закон. Орбиты планет суть конические оечения, в одном
из фокусов которых находится Солнце.
Гретий закон. Квадраты звездных времен обращения планет
вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Законы Кеплера устанавливают полную кинематическую KaptHHy
движения планет. Выясним, от какого числа параметров зависит
определяемое ими движение.
Согласно первому закону, движение планеты происходит в
некоторой плоскости. Примем ее за плоскость я*о цилиндрической
системы координат г, $, я. . Выполнимость закона площадей означает
постоянство секторной скорости. В цилиндрической сиотеме
координат вектор секторной скорости определяется выражением
Следовательно, в плоскости Л'О, в силу закона
площадей,справедливо равенство
глё*е f ccend. F.1)
-25-

Постоянная с , как легко видеть, /л*еет смысл удвоенной величины
Факторной скорости,
!1а основании второго закона траекториями планет являются
конические сечения с ободам }окусом. Помещая начало цилиндрической сио~
?смк координат в этот oCumfi фокус, можно представить уравнения
конических сечений в виде
г
Р
-?+е coj (б М)
1
pr <Z, с/ = oonjt
F.2)
.'1остоянные р и е носят названия соответственно параметра и
эксцентриситета конического сечения, они определяют конкретный
вид сечения; постоянная же о< определяет расположение
конического сечения относительно полярной оси.
?1аконец, по третьему закону для всех планет постоянно отноше
•ше
а
з
?
conji
F.3)
;де через а обозначена большая полуось орбиты планеты, а через
Г - период обращения планеты вокруг Солнца.
Уравнение '6.1) с учетом равенства (С,2) интегрируется и
определяет зависимость между временем и полярным углом:
l=i{6tp.o,e.,ot) + A ,
h - eonjt .
F.4)
Для разных типов орбит эта зависимость выражается через
элементарные функции по различным формулам.
Формул» F.2) и F.4) являются уравнениями движения планеты в
координатах, в которых время и полярный угол поменялись
поляр
<'»ЛЯМИ .
Эти уравнения содержат пять параметров: ы, <?,<?, А, р
.Од
;:ако не все они не зависима. Действительно, из формул F.4) видно,
что период обращения планеты может быть выражен через эти же пара
метры. Кроме того, параметр эллипса р и его эксцентриситет с
связаны с полуосями
а и
I
зависимое*
;п
Р
S
л
а
с - -
а ~
Р
.**
I*
Р
1-е
F,5)
довательно, третий закон (
тношением. так что незавио
I 171 < ,
связывает пять парамет
будут только четыре и
•:•
одним
I #
пример
А
Гаким образом, кеплеровы законы определяют четырехпараметричео-
;• •',
чий класо плоских движе
Определитель D.7), согласно известной теореме анализа, можно
представить р виде произведения двух определителей

д(«%е*е,к) d(i,t,r,yt.) dfrf.e.k)
Так как переменные г,9, ±,9 связаны с переменными i,t%i0%t$
зависимостями ,
то первый из определителей о учетом F.1) равен
д(г%9щгч9) _ ?^
Что касается второго определителя, то, используя зависимости
F.2), F.4) и формулы, полученные дифференцированном этих
зависимостей по углу 0 , будем иметь
**.*.<?. А) " Р*
Таким образом, определитель D,7) в данном случае отличен от
нуля 4 . -. „
Следовательно, постоянные ы,е ,с и /? могут быть выражены
через величины 7,9, г, 9
2°. Определение закона изменения омы,
Займемся теперь определением закона для ежлы, действущей на
планету. Воспользуемоя для этого дифференциальными уравненнями
движения точки в цилиндричеоких координатах C#5):
%=т(г~гё*), Fs=mfre+?i9)t ?"**¦ F,6)
В силу условия 2=0 9 осевой компонент силы равен нулю:
Далее нетрудно убедиться в том» что выполнимость закона
площадей F.1) влечет за собою обращение в нуль трансвероального
компонента силы. Действительно,
/Sstлг(х еытzr =a
Наконец, для вычисления оставиегооя радиального кошонента ой-
лы перейдем в выражении F.6) от переменной t к переменной & .
Используя закон площадей, легко находим формулы
с с + dz л_ с dt _ d /
V^T*' z ~d6U ~ 7* d* ~ ' Cd9 z *
-27-

•г г* .. di • о* d* 1
ге =Т* ' z=de9^-42.dB*T>
с помощью которых выражение для силы можно представить в форме
^=-1*(<Э* г +г)' F.7)
Полученное уравнение называют формулой Бине. Эта формула
позволяет эффективно получить закон для силы. В самом деле, в силу
уравнения орбиты (,6.2) справедливы равенства
у / <г , d* i l *
г=р+р**<*+«)> dt* T+T=p>
поэтому сила F.7) будет равна
Fx*-M$ ' **?• F'8)
Таким образом, параметры планеты вошли в выражение силы в ввде
некоторой комбинации, обозначенной через /и . Для фиксированной
планеты все параметры, а следовательно и /i , имеют постоянное
значение. Для окончательного решения задачи следует выразить
постоянную /и через обобщенные координаты и обобщенные скорости.
Однако оказывается, что всего этого делать не нужно, так как f
является постоянной величиной для всех планет. Для установления
этого факта воспользуемся третьим кеплеровым законом F.3). В
силу постоянства секторной скорости, период обращения планеты можно
определить как отношение площади эллипса, описываемого планетой,
к ее секторной скорости. Имея в ввду, что площадь эллипса равна
flo-l , а постоянная а имеет смысл ^удвоенной секторной скорости,
будем иметь ^
Закон F.3) можно теперь представить в форме
Откуда вытекает; что /u^eontt . Следовательно, /и есть
величина, одинаковая для всех планет и поэтому может зависеть только
от параметров Солнца, ее называют гауссовой постоянно олнца.
Закон изменения силы, действующей на планету со стороны Солнца,
таким образом, установлен и имеет гад F.8), т.е. эта сила
пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее раб-
стояния до Солнца.
-28-

3°. Закон всемирного тяготения
Из предыдущего легко вывести установленный Ньютоном закон
всемирного тяготения. Согласно закону F.8), сила, с которой Солнце
действует на конкретную планету, равна по модулю
F'=^?- F.9)
Предполагал, что сила, с которой планета притягивает Солнце,
определяется подобным же образом, получаем
Г'^л ?. 16.10)
гце М - масса Солнца, а А - постоянная Гаусса для планеты. По
закону равенства действия и противодействия
/ит- _ AJ±
F' = F' или -JS ~ г& '
откуда jfL - L. - <?cnjt - / .
Из последнего равенства следует, что отношение гауосовой
постоянной любого тела к его массе есть величина постоянная; она
называется гравитационной постоянной и обозначается через f .
Отскща
Подставляя это значение /U в выражение F.9) или значение А
в выражение F.10) и обозначая F'=F' = F , получим
F^f^r- F.II)
Зта формула выралает закон всемирного тяготения: два тела
притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной произведению
их масс и обратно пропорционально;! квадрату расстояния меяоду ними.
Закон тяготения был выведен на основе эмпирического изучения
движения планет. Однако он оказался справедливым не только для
Солнца и планет, но и для всех без исключения материальных тел.
t1 7. Закон изменения силы, обусловливающей
круговое движение
Рассмотрим теперь пример определения силы по движению,
заданному естественным способом.
Пусть для точки массы т. известен двупараметрическии класс
круговых движений, определяемых сравнениями
J-vt , к- jr 1 * = о , <г= сопМ , &= const. G.1)
1-ункции 3d), к({), ?С() в данном случае аналитические и удов-
-Я9-

летворяюг условию DЛ6):
d(iк) ^_ ± .
Естественные дифференциальные уравнения движения C.8)
позволяют установить выражения для компонент силы, содержащие два
параметра «^ jlR :
Отсвда видно, что при рассматриваемом круговом движении точки дей-
ствущая сила постоянна и направлена вдоль радиуса круга к его
центру»
Чтобы установить закон для силы, возьмем уравнения D.16)
Эти уравнения представимы в форме
%¦"•>•¦ %¦**-%¦ Й-i
и легко интегрируются. Возьмем решение системы
содержащее t наряду с параметрами v и Я f произвольные
постоянные о. и 6 . Условие D.19) выполнено
d(tr,?,a,S) #*
Следовательноt величины tr,?,a ж 6 могут быть выражены через
t,x/tj:?, % i i из G.3) и уравнения $*tr . Эти зависимости
имеют вид ,, .{ .si
Таким образом 9 закон изменения силы будет вида
§ 8. Определение движения по заданной силе
Рассмотрим решение обратной задачи динамики двумя способами,
используя или дифференциальные уравнения движения в ортогональных
криволинейных координатах, или естественные дифференциальные
уравнения. Начнемте первого способа.
1°. Постановка обратной задачи,
Движение точки будем рассматривать относительно некоторой орто-
-30-

гональной системы координат Ч1%4^% • Такой системой, в чаотноо-
ти, может быть цилиндрическая или декартова система. Исходим из
того, что известен закон изменения силы, действующей на точку
массы т , и, кроме того, задано начальное состояние точки» Это
означает, что заданы, во-первых, физические компоненты силы как
функции времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей
C'V'f-P U =1.2,3), «J)
причем предполагаем, что эти зависимости являются непрерывными
функциями воех аргументов и имеет непрерывные производные по
переменным а и 6 . Во-вторых, в начальный момент времени t*o
заданы координаты и скорости
9<rro>*9Z • Ъго)я9* (**?&* (8.2)
определяющие в этот момент состояние точки.
Задача состоит в том,чтобы по этим данным определить движение
точки относительно данной координатной системы, т.е. найти функции:
%'%<*) <<г-1,2,3>. (8.3)
2° Существование и единственность решения
обратной задачи.
Для решения обратной задачи воспользуемся дифференциальными
уравнениями движения точки в ортогональных криволинейных
координатах C.4): ¦ з л
"*Шж?(*ъ%-^ (8-4)
Так как масса и сила заданы, то т и ? - известные величины.
Кроме того, в фиксированной координатной системе коэффициенты Ламе
являются известными непрерывно диффе^нцируемьми функциями
обобщенных координат. Следовательно, уравнения (8.4) являются системой
трех дифференциальных уравнений второго порядка, в которых
неизвестными функциями являются обобщенные координаты движущейся точки, а
аргументом - время.
Таким образом, решение обратной задачи динамики сводится к
интегрированию замкнутой системы дифференциальных уравнений. Выясним
разрешимость этой математической задачи.
Уравнения (8.4), как легко видеть, могут быть разрешены
относительно обобщенных ускорений и представлены в виде
ffis<l<t.M)l* =1,2,3). (8.5)
-31-

Правые части этих равенств являются известнши функциями и
определяются выражениями . ?
Уравнения (8.5), рассматриваемые совместно с уравнениями
J^=?< U =1,2,3), (8.6)
представляют собою нормальную систему шести дифференциальных
уравнений первого порядка относительно функций ^?/0. %(У (с* =1,2,3),
для которой зависимости (8.2) представляют собою начальные условия
Итак, определение движения точки по заданной силе и начальному
состоянию сводится к решению задачи Коши.
Условия на силы обеспечивают непрерывность правых частей
системы (8*5), (8.6) по времени и их непрерывную дифференцируемость по
координатам а и скоростям о . Следовательно, выполнены условия
теоремы 4 части I о существовании и единственности решения задачи
Коши в некоторой окрестности начальных данных. Поэтому существует
единственный набор функций ^ (О, aj^t ) (ос =1,2,3),
удовлетворяющих системе (8.5), E.6) и начальным условиям (8.2). Эти
функции и определяют движение точки.
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема 22. Бели задана масса течки, физические компоненты силы
как непрерывные функции времени и непрерывно дифференцируемые
функции координат и скоростей, и начальные условия, то существует
единственное решение системы уравнений (8.4), удовлетворяющее
условиям (8.2).
Заметим, что разрешимость задачи Коши вообще не означает
возможность получения решения в вцде аналитической формулы:
достаточно табличного представления функций. В общем случае аналитическое
решение задачи неизвестно. Это решение можно, тем не менее,
установить при частном ввде сил, что будет продемонстрировано в
дальнейшем. Кроме того, всегда можно решить задачу, опираясь на методы
численного интегрирования уравнений, и получить решение с
требуемой степенью точности.
3°, Роль начальных условий
Выясним, какую роль играют начальные условия в определении
движения точки. По силе, действующей на точку, и ее массе вполне
определяются дифференциальные уравнения движения точки. В
координатах <jt, ^, fa они образуют сиотему трех уравнений второго ло-
-32-

рядка (8.4). Из теории дифференциальных уравнении известно, что
общее решение такой системы содержит шесть произвольных
постоянных e/t...9<?t, :
<fff я % (*,*?,...,**) <б* **<*)•¦ t8»7)
Наличие в правых частях этих уравнений произвольных параметров
говорит о том, что под действием данной силы точка осуществляет
не какое-то одно определенное движение, а может совершать целый
класс движений. Изменяя постоянные С1щ...щсь , каждый раз буцем
получать все новые уравнения движения из этого класса, и все они
происходят при действии на точку одной и той же силы.
Физические причины этого факта состоят в том, что как
показывает опыт, точка под действием приложенной силы движется по-разному
в зависимости от ее исходного состояния. Так, например, под
действием собственного веса тело может совершать прямолинейное или
криволинейное движение, смотря по тому, была ли вертикальной или на -
клонной к горизонту его начальная окорость.
Таким образом, одних дифференциальных уравнений еще не
достаточно для определения уравнений движения точки. Чтобы сделать
обратную задачу динамики определенной, нужно задать еще такие
дополнительные условия, которые позволили бы выделить из этого клаоса
движении одно фактически реализуемое движение. Роль таких условий и
играют начальные условия (8.2), задающие начальное шложение и
начальную скорость точки.
Начальные условия позволяют найти постоянные интегрирования и
тем самым конкретизировать движение точки. Действительно, взяв
производные по времени от функций (8.7), получим обобщенные скорости
%s % (i>c< — •>*•> (v*l*J). (8.8)
Подставив затем в уравнения ^8.7) и (8.8) начальные данные (8,2),
получим шесть алгебраических уравнений для определения шести вели-
чин <7У,...,е0 :
Решая эту систему, определяем постоянные интегрирования в виде
<va *>(9°$'> (**i*.-..*) . (8.9)
Решение системы существует, ибо ее функциональный определитель
отличен от нуля ,0 0 о -о -о ^
д(СьСЖчел,Съе5А)
-33-

равенство нулю определителя означало бы, что независимые друг от
друга начальные координаты изначальные скорости оказались бы
связанными некоторым соотношением.
Подстановка выражений (8.9) в уравнения (8.7) приводит к
частному решению^ системы уравнений (8.4), удовлетворяющему начальным
условиям (8.2), в виде
Таким образом, дифференциальные уравнения совместно с начальны--
ми условиями, как и утверждается теоремой 22, определяют
единственно о движение точки.
4° Интегралы уравнений движения
Огин пз способов решения основной задачи динамики основан на
отыскании так называемых интегралов системы дифференциальных
уравнений (8,4)с
Зависимость вида
обязательно с.тержащая хотя бы одну скорость и тождественно
удовлетворяющая nj)*i люббм решении % = %(*) (<* =1,2,3) системы
уравнений (8с4), называется первым интегралом этих уравнений.
Система первых интегралов
%>«,?,<?)-^ f*.44J,...,6) (8#I0)
1^\-квсется независимой по координатам и скоростям, если отличен от
\..\"'s Счакциональный определитель
d«rt,H:w«*Mb) ? 0ш (8JI)
Поля каким-либо путем полечена система шести независимых первых
интегралов (8.10), то, разрешая их относительно координат и скорое-
тел, что ябиду (8.II) можно сделать, получим из них обпгее решение
уразкони^ движения и скорости точки в виде
По общему же решению и начальным условиям, как было
продемонстрировано выше, определяется единственное движение точки.
В некоторых случаях общее решение системы уравнений (8.4) может
быть установлено иным путем.
Три первых интеграла
?^?,?>3г (^=1,^,3) (8.12)
-34-

называют независимыми по скороотям, если отличен от нуля
функциональный определитель
В этом случае оистему (8.12) можно разрешить относительно окорос-
тей и получить зависимости вида
Ь-ЬЪЪ'Ъ'Ъ'*****) (**>*& • Свдз)
Таким образом, знание трех независимых первых интегралов оиотемн
уравнений (8,4) позволяет заменить интегрирование системы трех
уравнений второго порядка интегрированием системы трех уравнений ф
но уже первого порядка, и тем сами! существенно продвинуться по
пути получения общего решения исходной системы.
Первый интеграл уравнений (8.13)
ф ct* % ?л, Ъ t с<> с*> °j > ж 3 ' 3~&w*t9
обязательно содержащий хотя бы одну координату, называется вторым
интегралом уравнений (8*4).
Система вторых интегралов
ЪЪ?»9л'Ъ>*<>**<*)в3« (* =1,2,3) (8.14)
называется независимой при отличном от нудя определителе
*(9"9*9*) '
Система трех независимых вторых интегралов определяет общее
решение исходной системы уравнений в виде
fc*%a,c,9Cs.eJ,3/.aIe$) F-^,2,3)
и совместно с начальными условиями E*2) позволяет получить
единственное решение обратной динамической задачи.
В заключение отметим, что отыскание первых и вторых интегралов
имеет еще и то важное значение, что для решения ряда конкретных
задач механики оказывается достаточным найти только некоторые из
них (иногда даже один), что существенно упрощает процесс решений.
5° Решение обратной задачи с использованием
естественных уравнений
Пусть заданы сила своими естественными компонентами, маоса
точки л параметры, определяющие ее начальное состояние:
?'%*&,*,?, J). ™,j?,tf,?J° U =1,2,3) (8.15)
Считаем, что функции f^(S%xyiftS) дважды непрерывно
дифференцируемы. Воспользуемся естественными дифференциальными уравнениями
-35-

движения: динамическими C*9) и кинематическими C.10).
На основании третьего динамического уравнения
o=F/(s,x,<f,s) (8.I6)
семь функций Л-*<,& (о^ =1,2,3) связаны между собой соотношением
Следовательно, из этих функций независимы только шесть*
Пуоть выполнено условие **%/&** ° ¦ Тогда зависимость (8Л6)
позволяет определить i/? как непрерывно дифференцируемую функцию
Ъ = %№'.-*л.<*з,Я>Ъ.*>- (8Л7)
Теперь нетрзщно усмотреть, что второе динамическое уравнение и
одно из кинематических уравнений
рассмотренные совместно с соотношением (8Л7) и с другими
уравнениями C.9) и (ЗЛО), определяют, вообще говоря, кривизну и
кручение в виде следующих непрерывно дифференцируемых функций:
Jt'tfox^Xjift^J), х~*(ЬХц*л**3,Чь%Я' (8Л8)
Оставшиеся естественные дифференциальные уравнения можно
представить в виде следующей нормальной системы:
ат-zi F'' P=«**«*i6-**v«4*4i, (8.I9)
<Ч=Х ё§ > ат*^*"* С(*% *<***«*& *"•&
я
в которой величины Pf % # , к и х определены соответственно
формулами (8Л5), (8*17) и (8Л8). Условия на силы обеспечивают
непрерывность правых частей системы (8Л9) по времени и их
непрерывную дифференцируемооть по х{ чхя 9 х3 9 <# , уя , s . в силу
теоремы 4 правой части, существует единственное решение системы
Ъ=*4&) (ы*j,s,3) , ^гй№,%--й^»^Й. (8.20)
удовлетворяющее начальным условиям (8Л5).
Зависимость между временем и расстоянием устанавливается
интегрированием равенства j = S(s):
Ч'ш ¦ «*>
Для нахождения естественных уравнений самой траектории
подставим величины (8.20) в формулы (8Л8), тоща получим
***&), x*x(s).
-36-

Наконец» уравнение движения по траектории получается обращением
зависимости (8.21) в виде j=scO . Таким образом, задача
решена: по силе и начальному состоянию точки установлена ее траектория
и уравнение движения по траектории.
Бели компоненты силы заданы как дважды непрерывно
дифференцируемые функции других переменных FJ(t<z,tf%$) , то решение задачи
производится аналогично. Однако теперь удобнее пользоваться
естественными уравнениями в другой форме. Так второй эйлеров угол,
кривизна и кручение находятся из уравнений
o=Ff(t,x,t/}i)y m*s*=F/(ttx,<ftj), 4Ь*иещ (8.22)
в виде непрерывно дифференцируемых функций следующих переменных:
Нормальную систему уравнений (8.19) возьмем в форме
,а .. /л ,т (8.24)
4&= J a-xcf &**$), &=***&**%-
В силу исходных данных и зависимостей (8.23), условия теоремы 4
выполнены и в этом случае, так что существует единственное решение
задачи Коши (8.24) и (8.15):
•V^tf) (*~i,9,3), Vt*W*),%-f/09 3-3@. (8.25)
Уравнение движения по траектории находится теперь квадратурой
S*,[S(i)dt. (8.26)
Что касается кривизны и кручения, то они определяются из (8.23) и
(8.25) в виде функций времени k=kd), ***({) • Для получения
естественных уравнений траектории в обычной форме следует обратить
функцию (8.26) t=t(s) , после чего простой подстановкой найдем:
§ 9. Движение под действием восстанавливающей,
тормозящей и возмущающей сил.
Рассмотрим ряд примеров решения обратной задачи динамики,
представляющих и самостоятельный интерес Начнем о простейшего пряю-
линейиого движения. Покажем, что в ряде случаев при действии на
-37.

точку восстанавливающей, тормозящей и возмущающей сил она
совершает прямолинейное колебательное движение. Колебания представляют
один из наиболее распространенных видов движения. Изучение свойств
колебательного движения важно для понимания многих механических и
физических явлений. Весьма важна роль теории колебаний и в
инженерном деле, В настоящем параграфе будут исследованы некоторые важные
особенности простейших видов этого движения,
1° Условие прямолинейности движения
Критерий прямолинейности движения точки устанавливает
следующая теорема.
Теорема 23. Чтобы движение свободной материальной точки было
прямолинейным, необходимо и достаточно, чтобы действующая сила
имела постоянное направление, а начальная скорость была направлена
параллельно силе или равна нулю.
Доказательство, Будем рассматривать движение точки относительно
декартовой системы координат Xy,xSfXj и направим ось xt так,
чтобы она проходила через начальное положение точки в направлении
начальной скорости. Тогда при прямолинейном движении точки вдоль
оси ху во все время движения хл=х3=о , Следовательно, х?-
х3 = о, и из дифференциальных уравнений движения получаем, что
F^mx&*o 7 Г3=т^=о,
т.е. что сила должна быть направлена по оси xi . Итак,
необходимость установлена.
Достаточность. Пусть сила и начальная скорость направлены вдоль
оси xs . Тозда гя=Р3 = о и x°g = x°3 = o . Из
дифференциальных уравнений движения имеем xg = о f x3= о • Интегрируя эти
уравнения, получаем i^s^i , -2з = <2& в СИЛУ начальных условий <?/-*>«
= о, следовательно, x?=ot x3 =о . Интегрируя второй раз, находим
х*=ез, х3=0ч , т.е, траекторией точки является прямая линия,
параллельная оси х{ . В частности, если в начальный момент точка
находилась на оси Ху , то с3 =сн =- <?, и траекторией точки будет ось;гу.
Теорема доказана.
2° Прямолинейное движение точки под действием
восстанавливающей, тормозящей и возмущающей сил
Рассмотрим движение точки массы т , козда на нее действуют
восстанавливающая и возмущающая силыj сила сопротивления.
Восстанавливающей называют силу F =*-ег , направленную к
неподвижному центру 0 и пропорциональную расстоянию До этого центра.
-38-

Эта сила стремится вернуть точку в положение 0, где сила равна
нулю, т.е. восстановить положение равновесия, К числу таких сил
относятся, например, упругие силы, следующие закону Гука. Сила
сопротивления & = -ju tr пропорциональна скорости и направлена против
движения. Эта сила тормозит движение точки. Такой закон
сопротивления имеет место при небольших скоростях движения. Наконец,
возмущающей называют силу Q=Q(t) , изменяющуюся с течением времени.
Она нарушает, "возмущает" то движение точки, которое она приобрела
под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления. Функцию
Q(t) полагаем непрерывной.
Будем считать, что все силы: восстанавливающая, возмущающая и
сила сопротивления - направлены вдоль оси х? ; кроме того, примем,
что в начальный момент t=o точка находилась на оси х? в
положении xf и,двигалась вдоль этой оси со скоростью %° . На
основании теоремы 23 движение точки будет прямолинейным и будет
происходить вдол* оси х{ .
Составим дифференциальное уравнение движения точки
/nXf - - СХ{ -/IX, + Qt ({) .
После деления на массу представим уравнение движения в форме
х^?пх, +к*хл =y(i), (9.I)
ще введены следующие обозначения: ,.
**-%***-%>9<»'%*' (9.2)
Коэффициент к характеризует восстанавливающую силу, коэффициент
п - силу сопротивления, а величина аA) - возмущающую силу.
Начальные условия движения имеют вид
х?Со)=х?°, xt(o)~vt°. (9.3)
Действующая сила jr^-axj-/uxt + Q(t) непрерывна по времени и
непрерывно дифференцируема по координатам и скоростям. По теореме 22
задача Копш (9,1), (9.3) в этом случае имеет единственное решение.
Соотношение (9J) представляет собою неоднородное линейное
дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть jr/ является каким-
либо его частным решением, а х/ и х}'- суть частные решения
однородного уравнения
х^Злх^х^о^ (9.4)
соответствующего уравнению (9.1). Тогда общим решением однородного-
уравнения (9.4) будет линейная комбинация двух его частных решений
Х?*С?х/+Ожх/. (9.5)
-39-

Общее же решение исходного уравнения (9.Т) складывается из его
частного решения и общего решения соответствущего однородного
уравнения, т.е# равно
xt =Ctxi+csixl* + хА (9-6>
где cJtc? - произвольные постоянные, определяемые по начальным
условиям (9.3). ,
Частные решения уравнения С9.4) можно искать в ввде jry=? ,
где А - постоянный параметр. Тогда х^х<гх , x^A*eAi , и
уравнение (9.4) принимает вид eAt(A?+?nA+t*)=o . Отсюда следует
уравнение
А*+2пА+к* =о, (9,7)
называемое характеристическим. Корни характеристического уравнения
имеют значения t
А{л=-п±\/п.*-к*\ (9.8)
Если эти корни различные А^ФАХ% то частными решениями (9.4) будут
функции х/=?А/{ >х?=еА** , а общее решение (9.5) представится
выражением
х^С?ел'1 +Олел*\ (9.9)
Если корни (9.8) одинаковые А,=А?^А0 , то этим приемом получаем
только одно частное решение x/=eAoi • Однако нетрудно убедиться
в том, что в этом случае решением (9.4) будет также функция
Действительно, простое вычисление показывает, что
?/***'* «+М) , x^e^OtAsAft).
Следовательно,
так как существование кратного корня А0 характеристического
уравнения (9.7) влечет за собой выполнение тождеств
Х(Л.)=А§+ЯпА0+кЛ=ощ Х'Ло(А0)=2(Ао+п) = 0. (9.10)
Итак, при равных корнях характеристического уравнения общим
решением уравнения (9.4) будет выражение
*i=(eI+aiti)eu (9.И)
Для отыскания частного решения исходного неоднородного
уравнения (9.1) воспользуемся методом вариации постоянных. Согласно
этому методу, нужно в общем решении соответствущего однородного
уравнения считать Cj и 0? функциями времени и подобрать их так, что-
оы удовлетворялось уравнение (9.1).
-40-

При \1*$ имеем
Подчиним искомыь функции <?Д) и е9@ условию
cteh * +еь<гА*{=о (9.Т2)
и наЩ^ем вторую производную jr* .С учетом (9Л2) будем иметь
Внося выражения х* , i/ и х* в уравнение (9.1) и производя
приведение подобных членов, найдем
*t*t*Ai +<?***' * ~<f(*)- 19.13)
Равенства (9.12) и (9.13) представляют собой систему двух
алгебраических уравнений относительно величин 4 и 4? •
тление системы имеет вид
Интегрированием этих зависимостей получаем для искомых функций
cta) и О?ГО выражения *
в которых постоянные интегрирования взяты равными нулю. Таким
образом, частное решение х* можно взять в виде
x^J^ [eA/tjVA^(t)dT-e?fi^ (9.I4)
*?*&¦/« -e > r**- <9-15)
При Ad=As=Ao аналогичнчй способ дает
полагая
*i+t<?jt*°> (9.16)
находим с учетом этого условия
*Д**'/^Л**«/. ?1'**1А0(МЛ+АА+А0ея1)+<!Л].
Теперь уравнение* (9.1) для х/ доставит другое уравнение для
функций с/0^^{):
С°С^а). (9.17)
Из (9.16) и (9.17) оразу находим соотношения
их интегрирование дает t
о о
-41-

Решение jc* можно представить теперь в одной из следующих форм:
или
jr/= /J[-Jrc? ° yctHT+iJecjeodzl O.I8)
*;*'f(t-*) e Ao(i~f)°<}«)dr. (9.19)
Итак, для случая различных корней характеристического уравнения
(9.7) общее решение уравнения (9.1) имеет ввд
x^yV'^/^V'""^ ЧЮ*. (9.20)
В случае же равных корней соответствующее решение будет ввда
Определим постоянные интегрирования по начальным условиям (9.3).
Рассмотрим вначале случай АйФАл • Тогда движение точки
описывается уравнением (9.20), а ее скорость имеет вид
В силу условий (9.3), величины ct и с? определяются из уравнений
и имеют значения
' АГАЛ ' *~ *г*1
Решением задачи Копш (9.1), (9.3), следовательно, будет функция
Первые *&ва члена правой части 0
*< *щ; К^/^/'^^-е^)], (9.23)
обусловленные действием восстанавливающей силы и силы
сопротивления, называют собственным движением точки. Последний же член
/ /•' A/t-f) A>(t't).
*'=щ;г' ~* }^)dr (9-24)
возникает за счет действия возмущающей силы, его называют
вынужденным движением точки.
В другом случае при А^ А^= А0 движение определяется уравнением
(9.21), а скорость - выражением t
Постоянные с( и 4? находятся из условий (9.3) в ввде
Таким образом, решение задачи Коши (9.1), (9.3) в этом случае
будет иметь вид
-42-

** =№W0-*o*f)t]eAot+Ja-T^^ (9.26)
Б полученном уравнении собственное и вынужденное движения
точки определяются соответственно выражениями:
*r[*t°(i-*ot) 10!°tjeAa*f (9,26)
*rf(t-T)eA'a~T)<?rt4r. (9.27)
Таким образом? установлен следудций результат: при действии
восстанавливающей, тормозящей и возмущающей оил, направленных
вдоль некоторой прямой и начальной скорооти, идущей вдоль этой
прямой, точка совершает сложное прямолинейное движение,
представляющее собой суперпозицию собственных и вынувденных движений.
Найденные уравнения Движения позволяют заключить, что характер
движения точки существенно зависит как от значений коэффициентов
k , п восстанавливающей и тормозящей оил, так и от вида
возмущающей силы o(i) . Покажем, что при определенных значениях этих
величин точка совершает колебательное движение; в других же
случаях двидение будет иметь апериодическоа характер. Вначале
исследуем собственное движение точки, а затем - вынужденное движение*
3° Собственные колебания
Изучим собственное движение точки в случае, когда на нее вместе
с восстанавливающей силой дейотвует малая сила сопротивления*
Сопротивление движению назовем малым, если п<к .В этом случае
корни (9.8) характеристического уравнения будут различными и
комплексными. Положив ,
представим их в форме
Формула (9.23) определяет собственное движение точки в виде
С помощью формул Эйлера
eLoC+<2~1*-$eo<>« y el*-e'***?iSoitt (9.28)
уравнение движения можно преобразовать оледувдим образом:
x^e'^Weotxt + ?~^'JbueO. (9.29)
Если еще положить 0 ,
то уравнение движения примет окончательную компактную форцу
-43-

7I-#-^' <9-32>
л{=ае" Skn(xi+<*)f (9.30)
в которой величины а и и определяются через начальные данные
выражениями
а =±/«?>.»*;)*+*'*? , tp'jf?i; (9.31)
Из вида уравнения v9.30) следует, что описываемое гол
собственное движение точки будет колебательным, так как синус есть функция
периодическая. Наличие в уравнении множителя ?~п приводит к тому,
что размахи колебаний убывают со времонсм, стремясь к нулю.
Поэтому эти колебания называют затухающими.
Таким образом, под действием восстанавливающей и малой
тормозящей сил точка совершает затухающие колебания. Рассмотрим
характеристики затухающих колебаний. Величину
являющуюся периодом тригонометрической части уравнения О,30)
называют периодом затухающих колебании. Из выражения (9.32) видно,
что период затухающих колебаний вполне определяется
характеристиками сил и самой точки, следовательно, от начальных условий
движения не зависит. Это свойство колебаний называют изохронностью. Ко-
П'.Мвдкент при синусе в уравнении (9.30)
А = аелЬ (9.33)
играет роль амплитуды колебаний. Заметим, однако, что эта величина
не совпадает с наибольшими отклонениями точки в соответствующие
моменты времени, будучи несколько больше их. Действительно, при
наибольшем отклонении скорость точки обращается в нуль, поэтому
соответствующие моменты времени i* определяются из уравнения
х{ =ae~/l [3C.Oot(xi+aC)-n. Sen (jet+ot)= о
в виде
t(](xi*+oc)^ —- • (9.34)
Следовательно, Sen (#1 *+и) - + <*/, ь и максимальное отклонение
будет равно ,,/**,
Поскольку зе<к , из последнего равенства вытекает, ччъае ?ix*l.
Исследуем характер убывания со временем размахов колебаний. Оора-
тимся к соотношению (9.34). Легко видеть, что если оно
удовлетворяется в момент У , то оно удовлетворяется и в момент tf**=tf*¦*/*=
= У + % Т< • Поэтому модули ixjl и jxf I двух
последовательных максимальных отклонений будут иметь значения *
-44-

Следовательно, fjfi /^ ^-%Т,
т.е. величины максимальных отклонений затухающих колебаний убывают
по закону геометрической прогрессии, т.е. весьма быстро.
Знаменатель этой прогрессии ^*, называют декрементом колебаний.
Соответственно величину ilne'1™ *1=%Т+ называют логарифмическим
декрементом.
"Амплитуда" А и фаза xi +Ы. затухающих колебаний, как это
следует из формул (9.31), зависят от параметров задачи и от начальных.
условий. Уравнение движения (9.30) позволяет заключить, что-в*"\
4л{<а(?а * Линии xt=a<f и xt=-a(fn называют амплитудными.
Очевидно, что график затухающих колебаний располагается между
амплитудными линиями; его ввд показан на рис.1.
Рассмотрим предельный случай собственных колебаний, когда
сопротивление движению отсутствует. Тогда п=о ; при этом я*к # и
уравнение колебаний (9.30) принимает вид:
x^aSoiW**), (9.35)
где, согласно (9.31),
a=fa*H**f\ tf* = *$ • (9.36)
Уравнение (9.35) определяет незатухающие гармонические колебания
-45-

с амплитудой а , круговой частотой к и начальной фазой оС .
График гармонических колебаний имеет вид обычной синусоиды; он
изображен на рис,2.
Сравнивая затухающие и гармонические колебания, видим, что у
гармонических колебаний размахи не меняются со временем. Период Т
гармонических колебаний равен T^^f . Представив выражение (9.32)
периода затухающих колебаний в виде ряда, получим соотношение междз
периодами т и Т :
Т,*Т[1+?*(%)*+---1.
Отсюда ясно, что относительное увеличение периода за счет
сопротивления при %«I будет иметь порядок квадрата отношения % , т.е.
весьма мало.
Таким образом, наличие малого сопротивления существенно
изменяет картину собственных гармонических колебаний: оно незначительно
увеличивает период колебаний, но интенсивно гасит сами колебания.
4° Собственное апериодическое движение
Исследуем собственное движение точки под действием
восстанавливающей силы и большой силы сопротивления. Сопротивление движению
называют большим, если пу/к • В случае пук корни (9.8)
характеристического уравнения будут различными отрицательными числами.
Обозначив через ,
будем иметь для них выражения
Уравнение (9.23) собственного движения в этом случае будет вида;
^=<h<2 [cdxt (<г +е )+(q+nx?)(e -е ). (9.37)
Бели воспользоваться соотношениями, определяющими гиперболические
функции
то уравнение движения можно представить в форме
Ъ=еп*(х?ек«л + ^^ shcot).
Положив, наконец, (г°+пх°
x/'Mf, "V-^-^A (9.38)
придадим уравнению движения следующий компактный вид:
xd = 6en Sk (ait +fi). (9.39)
Параметры о и р определяются из (9.39) через начальные данные
по формулам:
-46-

Н/ч'***»*-*'*;*', ty=i$k-- O.40)
Заметим, что уравнение (9.39; можно получить и из следующих
соображений. Корни лу и j в рассматриваемом случае получаются из
соответствующих корней в случае малого сопротивления, если
положить зе=-ш . Полагая еще <*=-Ср> , найдем, что движение будет
определяться уравнениями (9.30), (9.31) в виде
Из формул Эйлера (9.28.) вытекает, что тригонометрические функции
мнимого аргумента связаны с гиперболическими функциями
действительного аргумента посредством соотношений.
Оо$и = оАы, SnioC-'iSAot, ?ог</=/Met. (Э.42)
Уели воспользоваться этими соотношениями, то легко видеть, что
формулы (У.39) и (9,40) следуют из соответствувдих формул (9.41).
Так как а)<п , то из уравнения движения в форме (9.37) отчетливо
видно, что собственное движение точки с течением времени
неограниченно затухает, стремясь к нулю, т.е. колебаний в этом случае не
будет. Такое движение называют апериодическим.
График функции (9.40) в зависимости от величины начального
отклонения и начальной скорости имеет вид одной из кривых»
изображенных на рис.3 (или кривых, полученных из них зеркальным
отображением относительно оси t ).
f,^6h*Stop)
ч>о} v;>o
1^°|>(и+и>)х° IvjkIw+wJjq
Рис.3
В другом случае при п=к корни (9.8) характеристического
уравнения оудут одинаковы и отрицательны
Собственное движение точки при этом определяется уравнением (9.26)
В ВВДв x{:lx;+«r;+nxpt]e-at
-47-

Движение, описываемое этим уравнением, также апериодическое. Так
как с ростом времени e~nt убывает быстрее, чем растет t $ то
функция х{ убывает, асимптотически стремясь к нулю. Таким
образом, и в этом случае собственное движение точки будет затухающим
апериодическим движением. Картина движения качественно будет иметь
такой же вид, как и на рис.3.
Итак, собственное движение точки будет незатухающим колебанием
только при полном отсутствии сопротивления движению. Наличие же
сопротивления, пропорционального скорости, приводит к затуханию
собственного1 движения. Это затухание протекает весьма интенсивно,
так что при достаточно большом времени после начала движения
собственным движением точки допустимо пренебречь. На основании этого
результата можно упростить исследование общего движения точки,
ограничившись исследованием вынужденного движения.
5° Вынужденное движение под действием
гармонической возмущающей силы
Для выяснения вида вынужденного движения точки, даваемого
общими формулами (9.24) и (9.27), рассмотрим некоторые частные виды
возмущающих сил. Остановимся вначале на исследовании простого и в
то же время весьма интересного случая, когда возмущающая сила
изменяется по гармоническому закону:
уО-Аы^нП- ^/е^-е-"**"*). (9.43)
Рассмотрим отдельно случаи малого и большого сопротивлений.
При п*к , т.е. при малом сопротивлении, корни (9.8)
характеристического уравнения различны
Вынужденное движение при этом определяется формулой (9.24) в виде
хГ?)<г Sinx(i-t)Sin/pT+d)dz=-^)е (<г ie Jff -e )c
Произведя интегрирование показательных функций в последнем
выражении, будем иметь
Л г / ,-/it+L(xM) Ш+fy j / -fdti&tJ) -i(ptfdh
~ fi-i(xtp) Г ~e /'пн(х+р)\е ~e )l
Последовательно упростим это выражение. Приведем вначале правую
часть равенства к общему знаменателю, имея в виду, что
-48-

Ln-l(z-p)]LuH(z-p)]=lc*+p*-3Xp% [n-i(x+pj]Ln+L(z+pI= &*+p +2хр,
и соберем затем вместе члены, содержащие множитель е~п ; в итоге
найдем
А (-nt , о / , i&t+A -iptt+d)\
1 «*1{**-р*)*+Чп*р*]\ I Г '
~(к*+р+2щ(п+Цг-р)<г +{n-i(X'p))e ) +
+(ЛРЧ*р)[ш(*^ .
перегруппировка членов и использование формул Эйлера дает
-(k&^^p)(nC^(^d)-(^p)Scn(zt-d))] *
-а ЪрЪ&рХжсер+ф-гх-р)^ .
представим далее функции аргументов. xi±d через функции
аргументов jet и ^ по известным тригонометрическим формулам и праве-*
дем подобные члены, после чего оудем иметь
о -tit
Наконец, положив
У«л-р*)*+9п*р* rf**p*J*+fnP Wflfaief*
найдем, что вынужденное движение точки определяется уравнением
х, =-Heni?Sw(Mcodxt^?(H#(d*)+?^ *J-e) ¦ (9.45)
В этом уравнении первое слагаемое описывает затухающие
колебания, происходящие с собственной частотой <? , а второе слагаемое -

гармоническое колебание, происходящее с частотой возмущающей
силы р .
Установим далее характер вынуаденного движения точки при
большом сопротивлении п>к.
При п>к корни А{ и Ля характеристического уравнения различны
Aj=-а+а) , Ал=-п-а) , а)=/п*-**'9 (9.46)
и вынужденное движение точки определяется той же формулой (9.24),
что и при малом сопротивлении. Ранее уже отмечалось, что значения
корней (9.46) можно получить из значений корней при малом
сопротивлении Лу= -n-hlz, A^-n-ijL , если в последних положить 3L--Ld
Следовательно, вынуаденное движение при большом сопротивлении
п>к описывается уравнением (9.45) после замены в нем х. на
-Сб)% т.е. уравнением
Замена тригонометрических функций мнимого аргумента через
гиперболические функции действительного аргумента по формулам (9.42)
преобразует уравнения вынужденного движения к форме, не содержащей
мнимых величин
Поскольку п>а) , то очевидно, что первый член в этом уравнении
описывает апериодическое затухащее движение; второй же член
определяет гармоническое колебание, происходящее с частотой
возмущающей силы.
Наконец, для нижней границы большого сопротивления п*к корни
А{ и Ая совпадают друг с другом и равны А( =А? -Л0=-к. Вынужденное
движение точки определяется при этом выражением (9.27); для
гармонической возмущающей силы (9.43) это выражение имеет вид.
Перемножив показательные функции и применив метод интегрирования
по частям, найдем . к , . , . К х л .
Собирая вместе члены о множителями е , будем иметь
-50-

Перегруппировка членов и использование эйлеровых формул дает
Введем теперь величины И и <5 , согласно формулам (9.44); в силу
равенства п =? .эти формулы примут вид
<*-??• **-*^- "-4»
Тогда уравнение вынужденного движения можно представить в
следующей компактной форйе:
jry =-He~ki[i (kSind-pectt) +Sin(d-?$+HStn (pt+J-г). (9.48)
Поскольку e~** убывает быстрее, чем растет t , первый член в этом
уравнении описывает затухающее апериодическое движение; второму же
члену соответствует гармоническое колебание с частотой возмущавдей
силы.
Таким образом, при наличии сопротивления вынужденное движение
точки, обусловленное действием гармонической возмущающей
силы,представляет собой суперпозицию некоторого затухающего движения, вид
которого зависит от величины сопротивления и одного и того же при
любом сопротивлении гармонического колебания
*,=HSia(pt +4-e,\ (9.49)
частота которого совпадает с частотой возмущающей силы.
Так как затухающее движение убывает очень быстро даже при
незначительных силах сопротивления, то по истечении некоторого
промежутка времени им можно пренебречь и исследовать установившийся режим,
описываемый гармоническими колебаниями (9,49), Возмущающая сила как
бы навязывает колебаниям точки свою частоту.
6°. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
Резонанс
Рассмотрим особенности вынужденного гармонического колебания
' Н /«*-p*)*+Va*p* / **-Р* (9.50)
возникающего под действием гармонической возмущающей силы. Из
формул (9.50) ясно, что амплитуда вынужденных колебаний Н , а также
величина <f , характеризующая сдвиг фазы вынужденных колебаний по
-51-

отношению к фазе возмущащей силы, определяются только
характеристиками действующих сил и, следовательно, не зависят от начальных
условий движения. Если ввести обозначения
то эти величины можно представить в форме
Отсюда видно, что амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз
зависят от двух безразмерных параметров: относительной частоты
возмущающей силы ? и коэффициента сопротивления V •
Исследуем изменение амплитуды вынужденных колебаний в
зависимости от изменения ? для я?/о , считая параметр / фиксированным.
Прежде всего ясно, что при я---о , Н=Н0 независимо от величины v
Установим экстремумы функции Н(з) . Экстремуму И соответствует
экстремум противоположного типа подкоренного выражения
J&) =&-**) +4 &*.
Вычисляя производные от у по л , будем иметь
Функция у имечет экстремум при j'=o , т.е. при 2{=о и при^^^Р
Пусть сопротивление достаточно мало, так что ^g? » т.е.
к<у=т<к . Тогда оба корня <?, и <% вещественны. По знаку второй
производной
f'(*i)=-<ia-&*)<o , f-'w= id-***)*>
устанавливаем, что у достигает минимума в точке Лг и максимума
в точке «2/ , причем
Следовательно, амплитуда И при Л{ имеет минимум, а при ?? -
максимум, и эти экстремумы имеют значения
И - И И = '
птсп. по ? ппиис ~ &/FW
На интервале <z/<<z<xJi, производная р<о ,
следовательно,функция у убывает, а амплитуда Н растет. Напротив, на другом
интервале ?$<&<**» , f'>o , поэтому растет/ , а убывает// .
Наконец, при X — <» , Н^-о.
Что касается влияния сопротивления на амплитуду Н , то из
формулы (9.48) вццно, что при данном Л амплитуда будет тем меньше,
чем больше V . Если сопротивление не является достаточно шл*м,
так что V* ?в» , т.е. при п **/'%; , имеется только одна пкстремаль-
-52-

ная точка j?y • В ней /*>о , следовательно, функция/ достигает
минимума fmLfcf(*i>=l • а амплитуда Н -максимума Hm/tz'H0.
Для всех положительных я , /'>о , поэтому с ростом z /а)
монотонно растет, а амплитуда монотонно убывает, стремясь к нулю.
График функции Н(зу) при различных значениях v , даваемой
формулой (9,51), показан на рис.4.
Рис.4 Рис.5
Из графика видно, что безразмерная амплитуда вынужденных
колебаний Н/н0 при ?«i , т.е. при малых частотах возмущающей силы,
примерно, равна единице; при <*»/ , т.е. при больших частотах
возмущающей силы, она близка к нулю, и только при 2-1 , т.е. при
р~к , амплитуда И/И0 резко возрастает до больших величин.
Явление возрастания амплитуды вынужденных гармонических
колебаний при частоте возмущающей силы, близкой к частоте собственных
колебаний, называется резонансом.
При резонансе возмущающая сила действует "в такт" с
собственными колебаниями точки, что приводит к особенно сильному ее
раскачиванию.
исследуем теперь сдвиг фаз 6 , определяемым формулой (9.51).
При л=1 имеем tad=<~% ?*'% » т*с* пш резонансе сдвиг (Таз
равен % для любого значения v ; при <z=o и при &«° , такае
независимо от у , находим <?&)--о , <?(^)-и . Составляя производную
de_ «и (it**)

убеждаемся в том, что она положительна при любых значениях «2 и
v , следовательно, ? монотонно возрастает от нуля до к -с ростом
3L от нуля до бесконечности. Зависимость сдвига фаз ? от
параметров «г и v , даваемая формулой (9.51), представлена на рис.5.
Как видно из графика при малых частотах, т.е. при ?«i , фазы
вынужденных колебаний и возмущащей силы примерно совпадают; при
з.=1 , т.е. при резонансе, эти фазы сдвинуты на % , а при
больших частотах л ^ i сдвиг фаз приближается к тг .
Графики функций (9.51) показывают, что в случае малого
сопротивления в области, достаточно удаленной от резонанса, значения
Я и ? весьма мало зависят от v . Это позволяет при малом
сопротивлении и при z , значительно отличающемся от единицы, не
учитывать влияние сопротивления на амплитуду и сдвиг фаз вынужденных
колебаний.
7°. Резонанс при отсутствии сопротивления
Заметим, что при отсутствии сопротивления, т.е. при п=\>=о %
формулы (9.51) для И и ? принимают вид
тт А I ° ПРИ ?<1
Н=2Ь- -k «* = /% при Хж1 (9.52)
"-**!-1^Г - ^ ? —t
т.е. амплитуда # и сдвиг фаз 6 становятся разрывными функциями.
При резонансе, который имеет место при ?=1 , #-~» и
выражение (9.50) для вынужденных колебаний теряет смысл. Однако при
отсутствии сопротивления, оба члена в формуле (9.45) для
вынужденного движения будут гармоническими колебаниями, поэтому вынужденные
колебания в этом случае следует определять выражением
x^ji-bl-fSinJOojH + % Oat<)SLnH) + S*i(ft+d)l. (9.53)
Если имеет место резонанс, то р=к , и выражение для вынужден-
ногв колеоания представляет собой неопределенность вида о ¦
Раскрывая неопределенность по известному правилу (заменяя числитель
и знаменатель их производными по р ), найдем, что вынужденные
колебания при резонансе будут определяться уравнением
-*к, вынужденное колебание при отсутствии сопротивления сущест-
Злонгэ отличается от соответствующего колебания при наличии
сопротивления: если при пфс размахи колебаний были хотя и значитель-
-54-

ными, но ограниченными, то при п=о они могут быть сколь
угодно большими, благодаря линейной зависимости от времени
"амплитуды" колебаний Ц& .
График резонансного колвбания (9,54) для случая с^-% показан
на рис.6.
Рис.6.
8? Биения.
Рассмотрим еще характер движения точки при отсутствии
сопротивления вблизи резонаноа. А именно , Ъуцем очитать, что частота
вынужденных колебаний мало отличается от собственной частоты, т.е.
разность к-р=р весьма мала по сравнению о к .
Примем для простоты рассмотрения, что начальная фаза d^fa .
Тогда уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии
сопротивления (9.53) примет вид ,
В силу малости величины />, будут справедливы соотношения
к*-р* = (к-р)(к+р) =рB?-р)~2крл
С учетом этих соотношений уравнение вынужденных колебаний можно
представить в форме
jCrA(i)Sinktf А«)^ф-?п?. (9#55)
Поскольку -Р/& значительно меньше к , то функция A (t )
изменяется со временем медленно по сравнению с функцией Sinkt m
Поэтому за время одного периода Г= *% функцию А (t ) можно
рассматривать как постоянную, при этом колебания jc? * A Sinkt можно
трактовать как гармонические колебания с "амплитуцойМ .
"Амплитуда" А (t ) медленно изменяется со временем от нуля до наиболь-
-55-

шей величины укп . Колебания такого типа называют биениями. Их
график показан на рис.7.
Рис.7
9 Вынужденное движение под действием произвольной
периодической возмущающей силы. Резонанс К -го
порядка
Рассмотрим теперь вынужденное движение точки, даваемое
формулами (9.24), (9.27), в более общем случае, когда возмущающая сила
у (Г) является любой непрерывной периодической функцией периода
Т=&ур. При весьма общих дополнительных предположениях, например,
требовании кусочной гладкости, функция угс) разлагается в
абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье:
j2-* ? (А,Ссф{рг+В,&п{рт), (9#56)
<}(<с>
- + ЕСА, Со^рт-ь 3, SirtlpT),
А/ с
в котором коэффициенты определяются через саму функцию формулами
At "rJ^CTKo^prdr (t=oj,.. J, Bf= jrfyrv&n/prdr (l=&..).
Бели ввести обозначения °
то ряд (9.56) можно представить в более компактной форме:
Первое слагаемое ряда Ao/$t не играет сущеотвенной роли, поэтому
в дальнейшем примем А0-о.
Отдельные члены ряда (9.57) называются гармониками: значениям
t =1,2, 'и т.д. соответствуют гармоники первого, второго и т.д.
порядков.
Пусть для определенности сопротивление мало, т.е. п^к #
Тогда Л,? =-n±iJt , и вынужденное движение определяется формулой
(9.'^4) в виде
-56-

xi = ^JenT3cn^a-r)cf(H:)dT. (9.58)
Известно, что если все члены ряда умножить на одну и ту же
ограниченную в рассматриваемой облаоти функцию, равномерная сходимость
сохраняется, и ряд можно почленно интегрировать. Следовательно,
выражение (9.58) эквивалентно следующему равенству:
^Z ^Sr- f г"*Scfuett-rtSintepr+fydr.
Каждый из интегралов в этом равенстве точно такого же типа, как
и интеграл, рассмотренный б пункте 5. Используя примененный там
способ интегрирования, получаем
+ e«t*{Effe3?,i(<t-tl)ygHeSin(tpt+<t-&eL
из это решения видно, что так же, как и в случае гармонической
возмущающей силы, два первых слагаемых полученного выражения со
временем стремятся к нулю, и установившееся движение точки
определяется формулой
*Г ZH,Scn(lpi +4 -**)• (9.60)
Аналогичным способом можно установить, что и при большом
сопротивлении движение будет складываться из затухающего движения, которое
быстро убывает, и из незатухающего движения, определяемого
выражением (9.60),
Таким образом, формула (9.60) определяет установившееся
вынужденное движение точки при произвольной периодической возмущающей
силе и при любом сопротивлении* Это движение является оуперпозицией
гармонических колебаний с частотами кратными р ,
соответствующих гармоническим составляющим возмущающей силы.
Если собственная частота равна частоте одной из гармоник возму-
щайцей силы, т.е. к-?р % то
и бе _ w /> - К
н** $*tp - Ш ' *-*'
и I -я гармоника рассматриваемых вынужденных колебаний будет
иметь вид. А а
-57-

Из этой формулы следует., что амплитуда I ~й гармоники Судет тем
больше, чем меньше сопротивление п. • Если еще величина At не
слишком мала, то дробь ^/gnk будет весьма большой. Это явление
резкого возрастания амплитуды I -й гармоники вынужденного
колебания при собственной частоте, совпадающей с частотой I -й
гармоники возмущающей силы, называют резонансом / -го порядка.
Все частоты р , определяемые формулой />- k/i (t =i fz,. • .) f
называют критическими частотами возмущающей силы. Соответствующие
им колебания называют резонансными колебаниями* Обычно
значительными бывают только резонансы низших порядков,.так как при больших
значениях ? величины fit , как правило, весьма малы.
При резонансе I -го порядка все гармоники в формуле (9.60)
будут малы по сравнению с / -й гармоникой; пренебрегая ими,
придем к формуле (9.61). Следовательно, при ярко выраженном
резонансе I -го порядка вынужденные колебания будут приближенно
гармоническими*
Теория вынужденных колебаний имеет много важных приложений в
различных областях физики и техники (акустика, радиотехника,
сейсмография, проблема виброзащиты различных сооружений и т.д.). При
этом широко используется явление резонанса, позволяющее даже при
малой величине возмущающей силы получать интенсивные вынужденные
колебания, а также другое важное свойство этих колебаний,
позволяющее, наоборот, даже при больших значениях возмущающей силы,
сделать амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет такого
подбора собственной частоты, чтобы находиться вдали от резонанса.
§ 10. Электромеханические аналогии
В данном параграфе будет установлена аналогия в протекании
механических и электрических процессов, называемая
электромеханической аналогией* Электромеханическая аналогия основана на сходстве
дифференциальных уравнений, описывающих механическое движение
точки и процессов, в электрических контурах. Оказывается, что эту
аналогию можно установить двумя различными способами.
1° Первая аналогия
Рассмотрим электрический контур, состоящий из индукции <? ,
омического сопротивления Л и конденсатора с емкостью ? ,
соединенных последовательно (рис.8). Известно, что для этих элементов
связи между напряжением (L (представляющим собой разность между
-58-

значениями* потенциала на концах элемента) и величиною тока i
(определяемой как скорость изменения заряда о: {-?%- ) будут
соответственно выражаться соотношениями
Пусть в контуре имеется еще источник электродвижущей силы
(сокращенно Э.Д.С.) ed) . Согласно физическому закону, величина Э.Д.С.
равна сумме напряжений для отдельных, последовательно соединенных
элементов цепи, т.е.
Вводя в это равенство вместо величины тока заряд, получим
следующее дифференциальное уравнение для <f :
^+^fh=eci)- A0-2)
Это уравнение является аналогом уравнения (9.1) для механического
прямолинейного движения точки (в частности колебания) под
действием восстанавливающей, тормозящей и возмущающей сия:
При этом заряду ^ отвечает координата Xj, ЭД.С.-ет*) -
возмущающая сила ойA) , а электрическим параметрам X ,
соответствуют механические коэффициенты 'я,/*, с.
и С-
Рис.8
Рис.9
2° Вторая аналогия
Рассмотрим теперь другой электрический контур, в котором
индуктивный элемент, омическое сопротивление и емкость соединены
-параллельно, как это указано на рис.9.
Из соотношений A0.1) следует, что величина тока в каждом из
элементов Судет равна
/«?/W. /-?. t=cg-- (I0.4)
Согласно физическому закону, величина тока в цепи складывается из
-59-

токов, проходящих через параллельно соединенные элементы.
Почленным дифференцированием по времени этого соотношения
получаем дифференциальное уравнение для напряжения
С -ль + - Z7T- + ти= ЗГ '
A0.5)
Л* г я at " ?
Здесь имеет место другая аналогия с уравнением A0.3), в которой
координате х? соответствует напряжение а , механические
коэффициенты mt/u„c заменяются соответственно на величины С f
?"у, j?~l % а возмущапцей силе <?у отвечает величина ^l/dt
Таким образом, системы электромеханических аналогий
определяются следующей таблицей:
\ме*с*нх*. 4ел«ч*"Ф/
Электр te*HV.,lQnaA.
Электр &**»*.,i <***лщ
*i
9
и
т.
JL
С
М
?
&
а
с-1
1*
~~ЩЩ
eci)\
*Ш
Две электрические системы» имеющие одинаковые (с точностью до
обозначений) уравнения A0.2) и A0.5), представляют собой две
разные электрические модели одного и того же механического движения*
Основное достоинство электромеханической аналогии состоит в
возможности применения методов расчета и анализа электрических
колебательных систем при рассмотрении свойств механического движения.
Рассмотренная выше аналогия не является обособленным явлением»
Существуют аналогии между электрическими процессами и движением
сложных механических систем точек. Метод электромеханической
аналогии может быть распространен и на упругие материальные тела.Име-
ется, например, аналогия между продольными колебаниями упругих
стержней л распространением волн в длинных электрических линиях.
§ П. Движение под дейотвием силы тяготения.
5 качестве другого примера решения обратной задачи динамики
рассмотрим движение точки под действием силы тяготения. Это -
важная задача небесной механики. Решение ее дает картину движения
небесного тела около притягивающего центра, в частности, движение
искусственного спутника; позволяет установить условия, при которых
реализуется та или иная форма орбиты, уточнить третий закон Кеплера
-60-

и выяснить ряд других вопросов.
1° Определение орбиты
Определим орбиту_точки М массаг т , движущейся под дейотв*»
ем силы тяготения F к некоторому центру S от заданного
начального состояния. По отношению к инерциальной системе отсчета
с началом в центре 3 сила тяготения выражается
^ kj началом в центре
- радиус-вектор точки, а начальное
состояние определяемся начальными
радиусом-вектором гф и окоростью
% (рис.Ю).
Установим вначале» что при
этих условиях орбита точки будет
плоской линией. Возьмем
дифференциальное уравнение движения
Рис Л О
(II .1)
слева на г
и умножим обе его части векторно
, в результате^получим
Отсвда следует первый векторный интеграл уравнения движения,
называемый интегралом площадей:
гх^=~?-(гх(У)= о, гхо-=ё, c^aonst^l^xl^.
Вектор с перпендикулярен плоскости я , определяемой векторами
го и (Г0 . Умножив интеграл скалярно на г , устанавливаем, что
координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости Я:
с г = (гхд-)- г -d или ^Я/*?****^^*0-
Следовательно, орбита точки, движущейся под действием силы
тяготения, является плоской линией.
Дальнейшее решение задачи удобно производить в полярных
координатах г , 9 , выбранных на плоскости я" так, чтобы полюо
совпадая с центром $ (рис.10). В этих координатах компоненты силы
и начальное состояние точки определяются величинами:
-^ , ]Г*о i при t*o,u*0,***m, %*Ъ&м,фЪ<Ьнр1.2)
Ъ"
где о^ является углом между перпендикуляром к начальному
радиусу-вектору и окоростью. Из дифференциальных уравнений в полярных
координатах
-61-

в силу условий (I1.2), следуют равенства
^торое из них определяет скалярный интеграл площадей
1*9=0 f О-const, A1.3)
а первое, преобразованное с помощью этого интеграла, - формулу
Бине: ^/Al l л *и
z? (dO* г + ъ) ~ г*
После деления обеих частей равенства на --j формула Ьине приво
дит к следующему дифференциальному уравнению второго порядка для
функции г'1 (о):
d* I 1 М ,_т А.
d*s T + T = W (И.4)
Это уравнение имеет решение |- - 4^ ; Для соответствующего ему
однородного уравнения -^ — + -L = о частными решениями будут
JL=eoj0ia. Y=Stn& • Следовательно, общее решение уравнения (II.4)
имеет вид п
где В/ и Зг - произвольные постоянные. Вводя другие постоянные
е. и е по формулам
4-f-^, V-f-A*. />¦?• (Ш5)
будем иметь
LU[1+eCos(^)] шш r.—^g-. (п.6)
Эта формула и представляет собой уравнение траектории точки. Из
вида уравнения (II.6) заключаем, что траекторией является
коническое сечение, один из фокусов которого совпадает с притягивающим
центром. Конкретный вид траектории зависит от значении постоянных
р и ? , постоянная же 6 характеризует расположение орбиты
относительно полярной оси.
выразим произвольные постоянные С , с и d через
начальные условия. Из соотношения A1.3) ясно, что постоянная площадей
определяется выражением
с= го Я = *о*? = zo% ?osa . (II.7)
для определения других постоянных получим вначале специальное пре;
ставление для модуля скорости. Коли выражение квадрата скорости в
-62-

полярных координатах v - г + WL*& преобразовать с помощью
интеграла площадей (II.3), то *--?j5"^» &-% , и мы получим ио-
комое выражение в виде
°**<*[(&1)Ч?]- 01.8)
Применяя эту формулу к начальному состоянию, определяем начальное
значение производной:
riU--^^?- Ю.9)
знак минус перед корнем соответствует тому, что знаки Щ° и %° ,
а, следовательно, и cdz)o , (do)* одинаковы» Подставим теперь
начальные данные в уравнение орбиты A1*6) и в уравнение, полученное
из него дифференцированием по углу, тогда будем иметь
заменяя здесь параметр р и производную (^§ тH по формулам
(И.5) и (II.9)f получаем систему двух уравнений:
ессмоо **). -?i-i t *Ъп@о+б)« Д- /ft*-**,' (II.10)
откуда <г и 6 определяются формулами
В частности, е-о , если начальные параметры связаны условием
Из уравнения орбиты для этого случая
р
z~ i+ecoso (II .13)
видно, что при ?-0, г*гт?л 9 *«в. полярная ось пересекает орбиту
в точке, ближайшей к притягиваемому центру и называемой
перицентром (при движении вокруг Солнца перицентр называют перигелием, а
при движении вокруг Земли - перигеем).
Обращаясь к выражению (II.II) для эксцентриситета, видим, что
его значение зависит от знака величины К* v0 - у^ • Установим ее
физический смысл. Умножая векторное уравнение движения (IIД) ска-
лярно на trdl*di , получим
отсвда интегрированием находим первые интеграл
-63-

называемый интегралом энергии. Следовательно, я есть величина,
пропорциональная начальной энергии, и вид траектории зависит от
знака начальной энергии:
если 6<о , т.е. ц?<^г , то <?</, и ороита - эллипс;
если 6 = о , т.е. а/^[г, то <?-/, и орбита - парабола;
если fi>o , т.е. (г-*>4% 9 то а>i, и орбита - гипербола
Чтобы точка могла неограниченно удаляться, от притягивающего
центра, ее начальная скорость должна быть не меньше параболической
скорости. (Г = fe/tjil •
Выясним теперь условия, при которых реализуется круговая
орбита» ЧтО^ы .точка двигалась по кругу г=гс , должно быть е*о • Еа-
венспю (II.II) при этом условии, с учетом выражения (II.7),
приводит к следующему квадратному уравнению для квадрата начальной
скорости:
*Ooj*cttr0 v- ^/uz0^os?o/cr0 +/&*= о.
Koprtk урахнечм нкемг комплексные значения
следовательно, движение по окружности при произвольном направленш
начальной скорости невозможно. Чтобы это движение имело место,
надо, чтобы to^o %oC=o, ъ~ , т.е. чтобы начальная скорость была
ортогональна началшому радиусу %iz0 . Величина начальной скорости
при движении по окружности имеет, таким образом, значение Ц,"]/*^.
Заметим, что в этом случае полная скорость точки совпадает с тран
версальной скоростью &=<гд*г9 , и из закона площадей (II.3)
вытекает, что движение должно быть равномерным: 0--u/io =const.
2. Определение уравнений движения точки
При известной орбите точки, т.е. известной зависимости 1=1@)^
для.нахождения уравнений движегтя достаточно установить
зависимость от времени полярного угла. G этой целью обратимся к интегра«
лу площадей (II .а) 7г&=с . Заменяя а > ем величину г ее
значением из уравнения траектории .11ЛЗ), будем иметь
а С (d+eeojo)*'-'
откуда интегрированием получаем
t-^e-J ПТЯЯауГ4 сп-14
- о
где т0 - момент прохождения через перицентр.
-64-

Подинтегральную функцию можно преобразовать в алгебраическое
выражение посредством обычной подстановки
7*^1 • A1.15)
и после несложных преобразований получаем
1~ь* =whj*J ему]* ' *чт ' {ГЛ6)
Для вычисления интеграла рассмотрим отдельно движение по оп'ЯРам
различного типа.
При движении по эллиптической орбите е<1 . Положим тогда
f=kfj, UI.17)
где переменное if есть в свою очередь тангенс половины некоторого
угла Е • По аналогии с заменой переменной (II,15) найдем
^f» %=d? » «»*-?? (ПЛ8)
Тоща подинтегральная функция в (II.16) будет равйа
и, вычисляя интеграл (IIЛ6) по переменной ^ в пределах от О
до?* 9 получим окончательно
E-e*nE*A(trU) , *-jkA-**ft. (IIJ9)
Б небесной механике угол 9 называют истинной аномалией, а
угол Е - эксцентрической аномалией. Уравнение (II.19),
устанавливающее зависимость между эксцентрической аномалией и временем,
называют уравнением Кеплера.
согласно равенствам Ц1»5} (II. 17) ц AI.I8) t
Отсща ясно, что система уравнений (ПЛЗ) и A1.19) позволяет.
установить зависимости
-65-

т.е. определить уравнения движения точки.
При движении по параболической орбите <г= у , и, вычисляя
интеграл (II.16)f сразу найдем соотношение
д
*-'о'?-(з*?§-+*?§¦)* ш-21)
определяющее связь времени с полярным углом.
Рассмотрим, наконец, случай гиперболической орбиты с>1 . Из
уравнения траектории г = p(i+ ecojey1 видно, что при изменении
угла 9 от нуля до значения 9+ , определяемого равенством
i+acos9lt =o, точка переместится по соответствующей ветви
гиперболы от перицентра до бесконечности. Как видно из соотношений
(II.17), уравнение движения вдоль этой ветви гиперболы можно
получить из формул (II.19) и A1.20) для эллиптического движения,
если в них положить ? ~l?j и учесть, что Ялс?^ = мА?у ,
tocE^ Ll?iE{. Тогда зависимость между временем и полярным углом,
а также связь между углами 9 и ? , будет определяться
соотношениями: j
esASj -?, ~Aj (i-t0), 4 = ±2 re*-'fs; Hi.22)
3° Задача двух тел
В предыдущем рассмотрении принималось, что притягивающий центр
оставался неподвижным относительно некоторой инерциальной системы
отсчета. Уточним теперь полученные результаты, учитывая взаимное
притяжение движущейся точки; и притягивающего центра.
Именно, предположим, что во всем мировом пространстве находятся
только два тела $ и Р с массами м и т. 9 например, Солнце
и планета. Примем, кроме того, что расстояние между телами велико
по сравнению с их размерами, и поэтому их можно считать
материальными точками. На основании закона всемирного тяготения эти точки
взаимно притягиваются с силами р , равными по величине f —}¦ -
остановим, каким, будет при этом движение планеты. Эта проблема
носит название задачи двух тел. Выберем неподвижную инерциальную
систему отсчета oz/jc/j-J и подвижную систему $х{х%х5 ,
имеющую начало в точке $ и движущуюся поступательно.вместе с
точкой $ относительно неподвижной системы. Обозначим через т* и
ър радиусы-векторы точек J и Р в системе 0jC/^xJ и
через г - радиус-вектор точки Р в системе S^XjjCj.
-66-

Рис.11
Тогда дифференциальные
уравнения движения Солнца и
планеты в неподвижной
системе отсчета будут иметь вод
d4p , Mm f
A1.24)
Умножая первое адв этих ра-
питая резул!
венств вал , а второе - на м и вычитая результаты, будем иметь
Так как гл
d*l
то из этого уравнения получаем
/u!=f(M+m).
/i'm
A1.24)
В уравнениях A1.24) фигурирует абсолютная проиэводная от
векторов ts
и in
абсолютная же производная берется от вектора г
и в уравнении (Д1.24). Однако при поступательном движении
системы $х?хях3 локальная производная в осях ^хях3 совпадает
с абсолютной производной в осях x/x^xj • Следовательно ,
уравнение Л.24) описывает движение планеты относительно Солнца.
Сравнивая уравнение A1.24) с уравнением (ИЛ)» видим, что
относительное движение планеты вокруг Солнца происходит как движение вокруг
неподвижного притягивающего центра, в котором сосредоточена масса,
равная не массе Солнца М , как считалось ранее, а М+ т. t т.е.
сумме масс Солнца и движущейся вокруг него планеты. В установленных
ранее формулах этот результат легко учесть, заменяя всюду /u*J/l
на /г'=/(/1+т).
Из сказанного следует, что гауссова постоянная ju Солнца
фактически равна не }М , a f(Mtm) , т.е. не является постоянной
и зависит не только от массы притягивающего тела, но и от. массы
тела, двигающегося в поле притяжения; считать /U=eonst можно
только приближенно в случаях, когда М^т.
Заметим еще, что когда вокруг тела (Солнца) движется
одновременно несколько тел />, (»> =I,...,/t) (планет), то точное решение
задачи требует учета не только сил притяжения медду телами Р и
телом $ , но и взаимного притяжения тел />, • Возникающую при этом
-67-

задачу о движении п материальных точек, взаимно притягивающихся
по закону йьютона, называют задачей п тел. Решение этой задачи
сопряжено с большими математическими трудностями, и его не
удалось пока найти с помощью известных в анализе функций даже для
случая трех тел.
4° Уточнение третьего закона Кеплера
Решение задачи двух тел позволяет уточнить формулировку
третьего закона Кеплера, Нрь выводе закона тяготения из законов
Кеплера (§6) было показано, что период обращения планеты при ее
движении по эллипсу вокруг Солнца равен Г- ^р— t где а , Ь -
полуоси эллипса, а С - постоянная площадей. Следовательно, отношение
куба большой полуоси к квадрату периода обращения равно
а?*** _С*_ ps?. (II.25)
Из решения задачи о движении точки (планеты) вокруг
неподвижного центра (Солнца) было найдено, что р=~ , /wjk . Выше
было выяснено, что для учета движения Солнца величину /г следует
заменить на /г'-/г/7+ • и определять параметр орбиты по
формуле р = тг— • Тогда равенство A1.25), представленное в форме
r Mntm) 3
- — = const, (IT 26)
выражает уточненный третий кешеров закон.
Умножив обе части этого равенства на маосу М Солнца, найдем
^ ._-^L, const.
Так как для планет ? «I (масса наибольшей планета не превышает
одной тысячной массы Солнца), то пренебрегая этим отношением по
сравнению с единицей, отсюда находим закон Кеплера в обычной форме
а* Т* ^ const • Следовательно, третий закон Кеплера имеет
приближенный характер, он справедлив постольку, поскольку массы планет
малы по сравнению с массой Солнца.
5° Движение в окрестности Земли
Применим полученные выше результаты к изучению движения тело > .
окрестности Земли. Будем считать Землю неподвижной, а движущееся
тело рассматривать как материальную точку маосы пь . илиянием
атмосфер*! на движение будем пренебрегать, что при движении ня ^ "-

сматриваемых далее больших высотах в первом приближении допустимо.
Пусть в начальный момент точка находится в положении Я на
расстоянии R=SP0 от центра Земли $ f имея скорость г0
доставляющую угол ос с плоскостью горизонта (рис.12). Обозначим
через О ускорение силы земного притяжения в точке Р0 . В
дальнейшем под Я будем понимать любую величину, большую земного
радиуса. Если точка берется на поверхности Земли, то будем считать
его равным радиусу земного экватора Я= Я0 =6380 км и a=Q0 =
*9,81 м/оек2. ' '
Рис.12 г° Рис.13
Постоянная площадей в данном движении определяется формулой (II.7)
в виде
e=&(r0eoscL. (H.27)
Действующая на точку в положении Р0 сила притяжения равна
Fsjum?~*=niQ. Отсюда получаем значение гауссовой постоянной для
Земли в виде
/*7**
A1.28)
Траекторией точки, как было установлено, является коническое
сечение A1.3):
Z_-—?—-, A1.29)
О-е cos 9
в котором полярный угол отсчитывается от перигея и, па ^'етрр и
эксцентриситет с орбиты вычисляются по формулам (II.5) A1.11);
расположение же перигея относительно начального радиуса дается
углом &0 , согласно (II.10). Бес эти величины в рассматриваемом
движении имеют значения f
р**%&, *--/y>^te'-y), (п.зо)
-G3-

esoiB = &JI&tqbi, аеыв*&2&-1. (и.31)
0 f ' 9я
Из формулы A1.30) видно, что траекторией буцет гипербола при
а>{ , т.е. при ts0< Y&q? , парабола дри e=j , т.е. при
tr0=feo& и эллипс при <г<1 , т.е. при (r0<YIoR' ; в частности,при
и* о и <г=о , т.е. при ^ ^оЯ , точка будет двигаться по
кругу.
Скорость Щ*у?я , соответствующая движению по окружности,
называется круговой или первой космической скоростью. При
бросании с поверхности Земли *%°-у§о~Я* = 7»91 км/сек. Получившее
такую горизонтальную скорость тело уже не падает назад на Землю.Ско-
рость <Тр = /2аЯ', соответствующая движению по параболе, называется
параболической или второй космической скоростью. На поверхности
Земли if*- У^Яо^-о- ^ t2 км/сек. Параболическая скорость является
наименьшей начальной скоростью, при которой тело может покинуть
Землю. Тело, получившее начальную скорость </0> <j> под любым
углом к горизонту, будет неограниченно удаляться от Земли,
двигаясь по параболе или гиперболе (при ы. =90° - по прямой). При
(Г0 < Ор брошенное тело в зависимости от скорости и от угла
бросания или превращается в искусственный спутник Земли, или падает
обратно на Землю (см.рис.13). Рассмотрим последние случаи подробнее.
6° Искусственные спутники
Пусть брошенное с земной поверхности тело стало искусственным
спутником. Тогда оно буцет двигаться в некоторой плоскости по
замкнутой орбите, причем г>Я0 . Так как Я^г(ес) , то с учетом
уравнения A1.29) должно быть
р > >
i+ecoso ' it<2dos0o
Следовательно, при изменении угла 9 от 0 до 1С должно
выполняться неравенство 9>/0о , которое справедливо только при эо=о.
Таким образом, при запуске с поверхности Земли перигей
искусственного спутника совпадает с его начальным положением Р0 .
Подстановка значений 90~о и ?^?0 в равенства Ш.31)
приводит к выражениям
Поскольку е>о %Оо^ьсфо , поэтому {осс-о и »' -0 (илис^ -- if )
-70-

При этом второе равенство, ввиду ос =0, <г>/0 , позволяет
заключить, что Оо *fo&o . Таким образом, брошенное с земной
поверхности тело превращается в спутника при реализации условий
*?=0 ( Ы = %) , y^Fo 4tT< /?p?o ^ A1.33)
т.е. начальная скорость тела должна быть горизонтальной и
достаточно большой: не меньше круговой скорости, но меньше
параболической скорости.
Если бросание тела производится с некоторой высоты И над
поверхностью Земли, так что Я = Я0 + Н , то условие замкнутости
орбиты г>я можно несколько ослабить, при этом перигей может не
оовпадать с начальным положением точки, и становится возможным
отклонение от строгого условия ы.=о , можно взять ос^о .С подъемом
на высоту н уменьшается величина круговой скорости.
Действительно, из условия /^y?*=o>?f находим, что аЯ=40Я*Ц-{ ,
Период обращения спутника Т можно найти из третьего кеплерова
закона A1.25): а3Т~* = ^(чъ*)'1 . Для этого надо взять /u=atf^
а=рA-е*)~* , тогда будем иметь ^
где величины р и с определяются формулами A1.30).
Практически запуск искусственного спутника осуществляется с
помощью управляемой ракеты, которая поднимается на заданную высоту
И щ а затем разгоняется в горизонтальном направлении до скорости
7° Эллиптическое движение точки, брошенной с Земли
с большой начальной скоростью
Изложенная теория, имеющая основное приложение в небесной
механике, может быть применена также и к исследованию движения тел,
бросаемых с большой начальной скоростью с земной поверхности
(снаряда дальнобойных орудий, баллистические ракеты). При наклонной к
горизонту начальной скорости (ы^о ), даже большой по величине
4Х<?% такое тело в искусственный спутник не превращается, а,
описав эллиптическую траекторию, падает назад на Землю. Остановим ос-
-71-

новные характеристики таких траекторий.
Обратимся* к рис.12. Обозначив через SLfi угол P0SPd ,
замечаем, что дальность полета J) , измеренная вдоль земной
поверхности, будет равна
М=4в =2ЯоА. (И .35)
Легко видеть, что угол fi=tu-90 , следовательно, tafi=-to90 и
из формул A1.31) сразу получаем, что
ff*<?ofclt<jcC A1.36)
таким образом, дальность полета по данным значениям а0 и d
определяется выражением
>Л*.**Ь «'^jfr U1.37)
\> частности, если tr0<?ctsa( = /a,?P , т.е. когда трансверсальная
скорость равна круговой скорости, угол уЗ=% и 2)=жл0 .
Следовательно, в этом случае попадание будет в точке />у , диаметрально
противоположной точке бросания Р0 •
Из того же рис.12 следует, что наибольшая высота И тосекго-
рии над Землею определяется как разность Н=г{я)-?0 • Положив в
уравнении Ul.^9) $=% и используя условия A1.30) при R=?0}
будем иметь
*^-*-*-$^' ..^Ш^пм
В частности, дри *?-??/? , e=Joi<* и Н=?0Лп<*. . Ксли же
Р0-У8о,&'0 % в=1 и //*«» f т.е. если телу сообщить
параболическую скорость, то оно поднимется на бесконечно большую высоту, т.е.
покинет Землю.
Для установления времени полета юспользуемся уравнением
Кеплера (и.19). Полагая в нем для простоты t0=o , будем иметь
t=4(?-e&nS), А~ Ъ?а-?* . (п.з9)
Очевидно, что полетное времь рпчю
Из зависюлости (i.i.:-.":0) ^)ь ffc Nt ьыт^г^, < • m. ..• t

Е*Я ; при е=Ъ-/>> ?=?j , причем to%& = /J±f tofy. Таким
образом, ' '
t(nhj-(rL-<tSifin)=% , t(*-fi)=j[-(?,-'***<)
и
Если еще ввести угол Ер =п-Е{ , то Sin ?* =Stn?d , и для времени
полета окончательно будем иметь
Т = У^/ (?А+е*пБл), (И.40)
где угол ЕА определяется из соотношения:
ч*°№ъ?- а1М)
Установим теперь те наивыгоднейшие условия» определяемые
параметрами vomw"iiL Ы-й , при которых можно достичь заданной дальности
j)=?J20/5 . С этой целью определим из A1.36) начальную скорость
сг/= fo*'fo СП.42)
Поскольку дальностью J) угол р однозначно определяется, эта
формула определяет скорость в зависимости от угла ы. . Очевидно,
скорость будет наименьшей, если знаменатель
FM = Sai?oC + Steo/cCtojb
достигает максимума. Выражения для производных
f'-tfitosSu-Sottefy) , F9=-if(Sin3*+<>osJUtfp)
позволяют установить, что максимум Ры) достигается при угле
«^«?& ; р'(ым)=о , а Р'(ы^уо , следовательно,
*'г-? ' «"*-/'!*&$>' ' fi'k (П*43)
Отсюда видно, что наивыгоднейший угол зависит от дальности и с
увеличением дальности уменьшается. Для малых дальностей угол р=%#
также мал, и наивыгоднейший угол близок к т/ц
Отметим еще одно свойство эллиптических траекторий. Выражение
для скорости A1.42) допускает следующее представление:
Cojot. Sttite+ft)
Если теперь угол <* заменить на угол <*'=j -&+/$) > то будем
-73-

иметь oojcc'=-Sinfcifi) , Sin (ыЬ/ь^ом* и предыдущая формула дает то
же выражение для начальной скорости, при которой достигается
заданная дальность. Таким образом, еоли при начальной скорости <?
попадание в какую-либо точку Р? возможно, то это можно сделать по
двум траекториям: одной с углом бросания °*<<хн ^настильная
траектория) и другой с углом бросания и'=\-(ы+р)*2ын-ьс>осн
(навесная траектория;• В случае, коадао^-о^ , угол**' также равен с*, ,
при этом настильная и навеоная траектории сливаются в одну -
наивыгоднейшую траекторию* Это свойство эллиптических траекторий
аналогично свойству параболических траекторий при движении под
действием постоянной силы тяжести.
Установим предельные значения для дальности, высоты и времени
в эллиптическом движении, когда одновременно je,— «> и р-+- о ,
но так, что R9p*\ • Тогда предельным значением выражения
(JI.36), представленного в форме
***&* ^'* ' <*¦» J> =•?*&-. (П.44)
При Я0-+-<~> величина &;{ будет малой. Разлагая выражение
A1.38) для эксцентриситета в ряд Тейлора по этой величине, будем
иметь
где через 0AМ9) обозначены члены, имеющие порядок не ниже */#?.
Теперь ясно, что предельное значение высоты (II.38)
//=-—~ * л ^ равно H^—TQ (П.46)
Рассмотрим, наконец, время полета. Из выражения (II.41) нетрудно
усмотреть, что при малых углах уз (большие значения Я9 ) угол^
также мал. Заменяя в (II .41) тангенсы малых углов самими углами и
используя условия III«35), A1.45), найдем зависимость
г "9<r0YF'eoS4. при Д°статотшо больших ? .
Теперь легко видеть, что предельное значение времени полета
(П/О) определяется выражением
1ми " er.cojcL ~ о Ui.4,;
-74-

Формулы A1.44) - A1.47) совпадают с соответствующими выражениями
для дальности, высоты и времени полета тела у поверхности Земли
под действием постоянной силы тяжести. Таким образом, формулы
теории параболических траекторий являются предельными значениями
соответствующих формул теории траекторий эллиптических.
§ 12. Движение в однородном поле тяжести
Решение обратной задачи динамики с помощью естественных
дифференциальных уравнений проиллюстрируем на примере определения
движения точки в поле постоянной силы тяжести. Силу тяжести
допустимо считать постоянной, если движение происходит над земной
поверхностью в области, размеры которой малы сравнительно с радиусом
Земли.
1° Постановка задачи
Пусть точка массой т движется из некоторого начального
положения 0, принятого за начало декартовой системы координат л{ %xzt
jCj с начальной скоростью tr0 , принадлежащей вертикальной
плоскости x?Xj и составляющей в ней с горизонтальной осью ~с? угол
и , под действием постоянной силы тяжести р=то . (См.рис.14),
Компоненты силы тяжести в
естественных осях имеют значения
уГыз шш
(I2.I)
ъ* ~~
в подробном виде
•>*.
*?<*#&,
т.е. являются
аналитическими функциями
эйлеровых углов. В начальный
момент времени t =0 заданы
величины:
Задача состоит в том, чтобы по естественным компонентам силы
A2.I) к начальным условиям A2.2) определить естественные
уравнения траектории k=k(s) , x=x(s) и уравнение движения по
траектории $- srt).
2° Дифференциальные уравнения движения
iliа р "пения задачи воспользуемся естественными дифференциалт>ны-
-75-

ми уравнениями движения, динамическими и кинематическими.
Согласно изложенному выше способу (§8, п.5), представим естественные
уравнения в виде двух групп. Уравнения первой грушш (8.22),
имеющие в данном случае вид
O^-moeosfy, mk^^-niQSuufzCostfe, ^sz^CaS4k* 0-2.3)
служат для определения второго эйлерового угла, кривизны и
кручения, а уравнения второй группы (8.24) позволяют найти зависимость
от времени величин J,Y,tt/3 и j^ (^=j.f2,3). Заметим, что
поскольку компоненты силы Ц2Д) не зависят от декартовых
координат точки, для решения поставленной задачи будет достаточно трех
уравнений для углов #, t/3 и скорости J . эти последние в
данном случае будут вида:
3° Интегрирование естественных диФаЬеренпиальных
Первое из уравнений A2.3) определяет угол # в виде ••?*%.
При этом два другие уравнения принимают вид AS* =-Qecsif5 и
sxcos*f3=o . Равенотво нулю cos ifл противоречит начальным
условиям, равенотво же нуяю скорости s влечет за собой обращение в нул]
всех естественных компонентов силы тяжеоти, поэтому из второго
равенства вытекает, что должно равняться нулю кручение; первое же
равенство определяет кривизну. Таким образовг, имеем:
fl-J-i **o , *«-?-*tfg. (I2-.5)
С учетом этих условий уравнения A2.4) упрощаются и принимают вид
Oh-?***' ^=°> &-Ь*»%- A2-6)
В оилу второго уравнения, угол # все время равен овоему
начальному значению, т.е. #=# * Первое же и третье уравнения
после почленного деления дают
%¦"}*¦
Разделяя переменные и интегрируя, отсвда находим: s^^j^ ,
где е* const . В начальный момент %**%-* , sm~ir9 ,
следовательно, постоянная имеет значение: c=-tr0<*os<< . Таким образом,
-7G-

зависимость .скорости от угла tf3 имеет вид
J-""* cos<f3 ' A2.7)
С учетом этой зависимости последнее из уравнений A2.6)
превращается в уравнение для угла у :
*Й= 9<*^Ъ или -^- = ?*' .
d# CroCOSdL COS*1/3 V0OOScC
После интегрирования этого соотношения при начальных условиях
t*o f %x1l-oC • находим
to & - —2— у-з e>=eorat ^-tq<<.
/73 (T9COSdL ' /
Следовательно, закон изменения угла ^ будет
Ьу^^^ или ^гйд- **** A2.8)
Выражение для л>^ взято со знаком минус для согласования
с его начальным значением. Равенства A2.7) и A2.8) позволяют
получить следующее выражение для скорости движения:
S = у<г*oostx+(at -iX0Sin*)* ' A2.9)
Отсюда квадратурой получаем закон изменения расстояния:
3=Jfe*<>oAl+ (<jt -% Scrtai)* dt +J) , J^OCnjf.
Интеграл можно выразить через элементарные функции. С этой целью
заменой
а= i?Ccjuf a=at- (%ипы , du = odt
оводим его вначале к интегралу
S=^j]/a77urolui-J),
а затем, применив подстановку Эйлера,
приводим его к алгебраическому интегралу, который легко
интегрируется-
-77-

Возвращаясь к переменной t , получаем
Возьмем на траектории за начало отсчета расстояний начальное
положение точки. Товда при t*o , s=o . В силу этих условий,
постоянная J) имеет значение-
Следовательно, уравнение движения точки по траектории имеет вид
$~jjLo?Stn.cL+(yt -tr0 &п*)/%ЪоАс+ф-%&<*)* +
Что касаетоя кривизны и кручения, то, в силу формуя A2.5), A2.7)
и A2,8), они определяются в зависимости от времени выражениями
C0QOOSoL
?~ 1 T^Z Т7Г > *-*• A2.11)
Исключением времени из A2.10) и A2Л) можем получить
естественные уравнения траектории в форме j=s(Jt) 9 х~о . Таким образом,
формулы A2.10) и A2.II) решают задачу.
4° Исследование естественных уравнений движения
Рассмотрим особенности движения точки в однородном поле тяжести,
даваемое естественными уравнениями A2.10) и A2.II).
Прежде всего ясно, что поскольку кручение равно нулю, то
траектория точки является плоской линией. Из выражения A2.9) далее
следует, что скорость движения будет существенно положительной
величиной, следовательно, точек остановок нет, и расстояние будет
монотонно расти со временем.
Для исследования зависимости скорости от времени рассмотрим
квадрат скорости. tr*=(?feos**c+(Qt-qfSin.ct)*'X помощью производных
do-* dtp*
лешо устанавливаем, что скорость достигает минимального значения
в момент i^-^—^ » и это минимальное значение равно:
*ттг ******
-78-

На интервале o^t<tit , ^~^o , следовательно, скорость
движения падает от начальной до минимальной; на другом интервале
t^<t<<*> , ^f->o * поэтому скорость будет неограниченно расти
от своего наименьшего значения.
Обращаясь к выражению A2.II) для кривизны, видим, что она
обратно пропорциональна кубу скорости Jc= ^0JU . Отсюда видно,
что в момент t^ кривизна траектории будет максимальной
mcut ° дсозы.
Из зависимости A2.II) следует, что при t=o , к*' $.- , а при
^- , ?+-о • Таким образом, на первом интервале времени cxt^t^
кривизна траектории растет от начального значения до максимального
а на втором интервале t^<t< °° убывает от максимального
значения до нуля.
Глава 2*
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ
Материальное тело всехда движется в окружении других
материальных тел, с которыми оно взаимодействует. В частном случае
взаимодействие осуществляется при касании тел друг друга. При этом
ограничиваются возможности движения тела - оно становится
несвободным. Особенностям движения несвободного тела - материальной
точки - и посвящается настоящая глава*
§ 13. Движение точки по поверхности
Законы движения свободной и несвободной точек, как показывает
опыт, вообще различны. В этом параграфе установим вид основного
динамического закона при движении точки по поверхности.
1° Геометрические связи
Пусть точка во вое время движения остается на поверхности
одного тела или группы тел. В этом случае говорят, что точка движется
по поверхности или по линии. Эти тела ограничивают свободу
перемещения точки, и поэтому будут связями. Допустим, движение
рассматривается относительно инерциальной системы отсчета xt , хя , х3 .
Тогда поверхности соответствует некоторое уравнение
ftei.x***,*)*0 или /a tO~o, (I3.I)
называемое уравнением связи. Поскольку линию можно рассматривать
-79-

как пересечение двух поверхностей, то при движении вдоль линии
таких уравнений будет два.
Связь A3Л), уравнение которой содержит только координаты
точки и время, называется конечной или геометрической. Если в
уравнение связи время не входит, овязь называют стационарной, В общем
случае, при наличии в уравнении времени, связь нарывают
нестационарной. Нестационарной геометрической связи соответствует
поверхность, перемещающаяся со времена! в пространстве; стационарной же
связи соответствует неподвижная поверхность. Примером стационарной
связи может служить сфера постоянного радиуса L с центром в
начале координат, а нестационарной - сфера с центром в той же точке,
но переменного радиуса t+ul\
2°. Ограничения на скорость и ускорение
При движении точки вдоль поверхности ее окорооть и ускорение
не могут быть произвольными величинами, а должны удовлетворять
некоторым ограничениям. Установим вид этих последних.
Продифференцируем по времени уравнение связи A3,1) с учетом того, что
координаты точки (или ее радиус-вектор) сами изменяются со временем, в
результате получим соотношение
?*Lp + es_0 т 4L.9i.u.a0. A3.2)
Вектор, компонентами которого в декартовых координатах служат
частные производные от функции / по координатам, называется
градиентом этой функции и обозначается через
?-/-/-*-?&, ¦
Из геометрии известно, что орт положительной нормали к
поверхности, заданной уравнением A3,1), определяется выражением к=]?п
Отсюда следует, что градиент функции / направлен по нормали к
поверхности f=o в сторону возрастания / : vf=/v//si . С
учетом этого равенства условие на скорость A3.2) можно представить
в следующем виде:
/ df
п.
**-&&' "~<г' {13,3)
Таким образом, связь ограничивает только нормальную к
поверхности связи составляющую скорости; касательная же составляющая ско-
-80-

рооти может быть произвольной. В частности, для стационарной
связи */dt*o и (? = о .Это условие очевидно, оно требует, чтобы
скорость точки, движущейся по неподвижной поверхности, лежала в
касательной плоскости этой поверхности.
Перейдем к установлению ограничения на ускорение.
Дифференцируя по времени равенство A3.2), будем иметь
V/d,3/ = o, йНжЮ*+&*-- «3.4>
Отсюда находим, что ограничение на уокорение имеет вид
агг'%[ > ъ-й.-п. аз.з)
Следовательно, как и в отношении скорости, связь ограничивает
значение только нормальной к поверхности составляющей ускорения;
касательная к поверхности составляющая ускорения остается
произвольной. При стационарной связи J)/=? дх/ъ?г °*а<€? т#е# является
однородной квадратичной функцией^омпонентов скоростей. Внешний
же вид условия A3.4), в отличие от условия на скорость, в
рассматриваемом случае не изменяется. И только когда / является
линейной функцией координат, т.е. когда неподвижной поверхностью
является плоскость, условие на ускорение принимает аналогичный
вид: а^о %
3°. Основной закон динамики при движении
по поверхности. Реакция связи
Рассмотрим несвободную точку массы /л , движущуюся по
поверхности / ( г , t ) = 0 под действием силы F . Если бы точка была
свободной , то по основному закону динамики ее ускорение
удовлетворяло бы равенству.
rn&'F, (I3.6)
Однако в настоящем случае ускорение должно удовлетворять также
условию A3.4). При этом имеются две возможности: либо условия A3.4)
и A3.6) совместны, либо не совместны. ^Я/ _
В первом случае интегрированием равенства ?j? = vfa+Af=o
получаем fC?,t) -Щ+Сл, ЭДе ci и csl " произвольные
постоянные. Таким образом, уравнение связи f~o в этом случае является
частным вторым интегралом уравнений движения, соответствующим
B^сл=о . Этот случай реализуется при весьма специальных условиях.
Общим будет второй случай, когда равенство A3.6) противоречит
условию A3.4). Это означает, что уравнение A3.6) несправедливо
-81-

в данном случае • Основной закон динамики в случае несвободной
точки обобщают в следующем виде:
та = Р+Лу _ A3.7)
т.е. принимается, что на точку, кроме силы f , буцет действовать
еще некоторая сила Л, , обусловленная присутствием связи и
называемая реакцией связи. Реакция ? долина быть такой, чтобы
равенство A3.7) уже было совместным с равенством A3.4). Установим
общий вид для Я , удовлетворяющий этому требованию» С этой
целью, выразив ускорение из A3.7) и подставив его в A3.5), будем
иметь _
д-**"»* , ?.*«. (МЛ)
Таким образом, оказывается, что уравнение овязи определяет реакцию
связи не полностью, а только ее составляющую в направлении vf .
Следовательно, реакцию можно представить в форме
&-N + Q, ЯГ*?лп , 5lJi, (I3.9)
где Я называется нормальной реакцией, а 5 - тангенциальной
реакцией связи. Нормальная реакция направлена по нормали к
поверхности, ее величина определяется, согласно A3.8); тангенциальная
же реакция лежит в касательной плоскости к поверхности связи, и
ее величина может быть произвольной. ,
Если воспользоваться выражением для орта нормали л- ^4 , то
для нормальной реакции можно получить ^представление
*-*# . ^-*у , A3.10)
где коэффициент пропорциональности Л 9 вообще говоря, переменный,
называют множителем овязи. Введение множителя связи позволяет
заменить три неизвестные величины Nj , Мя % Ns одной
неизвестной величиной А
Для установления вида тангенциальной реакции требуется привлечь
дополнительные соображения. На основе экспериментального изучения
движения тела по поверхности было установлено, что тангенциальная
реакция лропорциональна модулю нормальной реакции и направлена
против движения.
*-i*?, N--wJl±pL, A3.п)
где Щ - скорость движения точки относительно поверхности; при
равновесии же точки на поверхности тангенциальная реакция напрев-
-82-

лена против возможного движения точки под действием приложенных
сил, а ее модуль принимает одно из значений из интервала 04Q4kjN.
Эти утверждения называют законами трения Кулона соответственно
для движения и равновесия. Реакцию Q называют также силой
трения, а коэффициент к (*,) - коэффициентом трения. Этот
коэффициент зависит от материалов, из которых изготовлены движущееся
тело и поверхность тела, по которому происходит движение; его
значение определяется экспериментально.
Таким образом, установлено, что полная реакция связи
определяется, оогласно A3.9) - A3.11), выражением
R = AvJ-t/Av/l ?• A3.12)
В общем случае при к* о поверхность называют шероховатой или
поверхностью о трением; ее реакция имеет нормальную и
тангенциальную составляющие и определяется формулой A3.12). В частном
случае при к=о поверхность называют идеальной или гладкой
поверхностью; при этом у реакции будет только нормальная составляющая,
которая будет равна
Я = Л*/ (I3.I3)
Реакции связей по природе своей несколько отличаются от всех
друтах действующих на точку сил, не являющихся реакциями, которые
принято называть активнади силами. Это отличие заключается в том,
что реакция связи не вполне определяется самой связью; она зависит
также от других действующих сил и от движения точки. При
отсутствии активных сил и движения реакции вообще не возникают. Кроме
того, активные силы» действуя на покоящуюся точку, могут сообщить ей
определенное движение (отсюда и название "активные"); реакции же
этим свойством не обладают, поэтому их еще называют пассивными
силами. Реакция связи наперед не известна и подлежит определению.
Итак, при движении точки по поверхности основнш законом
динамики будет
ma = F + A vJ-?UhlvJf- ?¦ > Ц3.14)
т.е. он имеет внешне тот же вид, что и закон движения свободной
точки. та=Р , если к активна* силам присоединить и реакцию
связи. Этот результат можно трактовать таким образом, что несвободную
точку можно рассматривать как свободную, если отбросить связь и
заменить ее действие силой - реакцией связи. Последнее утверкде-
-83-

Hie называют принципом освобождаемое»* связи,
В заключение заметим, что уравнение A3.7) пригодно и дде
описания движений сплошных материальных сред (газов 9 жидкостей,
упругих тел и т.п.), если его применять к частице среды единичной
масон и специальным образом определять реакцию со стороны соседних
частиц-связей*
§ 14* Дифференциальные уравнения движения точки
по неподвижной поверхности
Установим ввд дифференциальных уравнений движения точки по
неподвижной поверхности в проекциях на оси различных координатных
систем и обсудим вопрос о решении основной задачи динамики в этом
движении*
1°. Уравнения в декартовых координатах
Пусть точка движется по неподвижной поверхности J(T)=o
относительно декартовой системы координат х(%хя%х3 * В этом
случае спорости движения по поверхности будет абсолютной скоростью
<г„ ---¦ сг , и векторное уравнение движения A3,14) примет ввд
rna=F+jvf-t/Ah/7/h§--> (r=/jt*>+±%+Jbj'. (I4.I)
Проектируя это векторное равенство на координатные оси, полу-
шм следующие три скалярные уравнения движения по поверхности:
mJL"^L tA% -*/<*/•/?// IT Ы-AW), 014.2)
называевше уравнениями Лагранжа со множителями* Присоединив к этим
уравнениям уравнение связи
ffc/iXj.-Xj)*0, (I4.3)
получаем систему четырех уравнений для четырех функций хиA) и
Л(() • Эта система позволяет решать основную задачу динамики.
Действительно, пусть заданы масоа т , коэффициент трения к
компоненты силы F^ , как непрерывно дифференцируемые функции
переменных ? t х. , ± , и начальные условия 2и(о)*х* ,4^Ц^,
(<^.-1,2,3), согласованные с уравнением связи A4.3) и ограничением
на скорость A3*2). Кроме того, будем считать, что функция
Jft^f^j) тр^ТО* непрерывно дифференцируема. Тоща уравнение связи
Позволяет определить множитель связи в виде непрерывна дифферент
цируемой фужкции аргументов t,x,x :
-64-

ла,х,х)= •
С помощью этого выражения уравнения A4.2) можно представить в
виде следующей нормальной системы уравнений для шести функций J^
и х, (<*=It2f3):
&*?(%+*%-M-/v/ljt) . g^ *««*;,
правые части которых непрерывно дифференцируемы по /, л и d
По теореме 4 задача Коши для этой системы имеет единственное
решение. По известному же движению определяется А , а,
следовательно, и реакция*
Таким образом, основная задача динамики несвободной точки
имеет ту особенность, что для ее решения, наряду с движением точки,
требуется определять также реакцию связи.
2°. Уравнения в ортогональных криволинейных
координатах
При движении точки по неподвижной поверхности /{7)-~о весьма
удобен для рассмотрения случай, когда эта поверхность является
координатной поверхностью некоторой ортогональной криволинейной
системы координат <2?,ys, <}3 • Пусть этот случай имеет место, и
пусть поверхность f(i)=o в этой системе представляется
уравнением
fs J3 -о3 =о, е3-const . U4.4)
Представим вектор у/ в базисе ортогональной системы.
Согласно определению этого вектора, имеем д--"-Л -$ои с^~ . По
геометрическому смыслу градиента функции 'Ц* =.- Т^/../а. . Переходя,
далее, к модулям в .равенстве °Уу^- "Уд?**- * пол^гчаем/ 'ЪгГ^ ,.
где 1и - коэ^'рицзент Ламе» Таким образом, окончательно получаем
Векторное уравнение движения точки по поверхности A4 Л) в
проекциях на оси ортогональной координатной системы будет
эквивалентно следующим трем, уравнениям:
&* w) j
-85-

Тез>
3
т которых модуль окорости определяется через оооощенные скорости
выражением vg=? к*Ц .
В оилу уравнения связи A4.4), имеем условия;
if*.*-*"! |'f - • %¦* ¦ «l*t' Я'^Л
с учетом которых уравнения A4.6) можно представить в следующем
подробном виде:
л tI4*6)
-щ(ц;9<+ д9л%) ~Fj ^'
ще (r*=hf<if 14/^i • Сравнения A4.6) называют
дифференциальными уравнениями движения точки по поверхности в ортогональных
координатах.
Основная задача динамики решается с помощью этих уравнений
следующим образом. Пусть заданы масса точки, коэффициент трения,
физические компоненты активной силы, являющиеся непрерывно
дифференцируемыми функциями своих аогументов, и начальные условия,
согласованные со связью.
Тоща последним уравнением A4.6) определяется нормальная реакция
связи в виде
К а+р-Ъ 'ъЬ&< *з?Ъг A4.8)
Два первых уравнения A4.6) с учетом этой зависимости могут быть
представлены в виде следующей нормальной системы четырех уравнений
для функций ?,, % (<*=1,2):
^%**" ^r^W'^'V *¦<*>,<!*.•>
-86-

те
В силу условий на силы, функции Фу, Фг непрерывно
дифференцируемы по / > 9* • % («*=^2); условия теоремы 4 выполнены,
поэтому задача Копщ (I4.&/, A4.7) имеет единственное решение.
Найдя движение точки %= %ci) (°^=^2), по формуле A4.8)
определяем нормальную реакцию связи, а по ней - силу трения.
В частности, если поверхность гладкая, система A4.6)
распадается на две подсистемы: первые два уравнения служат для нахождения
движения точки, а последнее - для определения реакции связи.
§ 15. Движение тяжелой точки по шероховатой
наклонной плоскости
Определение движения точки по поверхности с трением и реакции
связи проиллюстрируем на примере движения по наклонной плоскости.
Итак, пусть тяжелая точка массы т. движется по шероховатой
натканной плоскости, составляющей с горизонтом угол <*: , из
заданного начального состояния. Степень шероховатости плоскости
характеризуется коэффициентом трения к .
Будем решать задачу в декартовой системе координат * ,у ,х ,
которую выберем следующим образом: наклонную плоскость возьмем за
плоскость ху , направив осьх по горизонтали, а ось у - по
линии наибольшего ската вниз; ось л проведем перпендикулярно
к плоскости так, чтобы получалась правая система (рисЛ5).
В этих координатах уравнение наклонной плоскости будет
}*Я=0Ч (I5.I)
компоненты же активной силы и параметры, определяющие начальное
состояние точки, имеют значения.
Fr°, F^ntoiindL, F3=-mjCcj«- J&)*4,p>fy,*{°)*g, $">>="}. A5.2)
Для решения задачи воспользуемся уравнениями A4.2). В силу
A5Л)- ?*-«*-,, #-/, >*«Ч
поэтому эти уравнения принимают вид
-87-

тх=-к1л1-0г •
rn'u= тоSOiaC-Jk/A/±-,
nrmf
A5.2)
mz=-mqaos4+A-klAl-p t
T
Рис Л 5
ще v=j/±*+j*+jz2' . Из уравнения наклонной плоскости вытекает,
что -?^ir = o , поэтому последнее из уравнений A5.2) определяет
множитель связи в веще
А= myeojac . Ц5.3)
Подстановка этого выражения в первые два уравнения A5.2)
позволяет представить их следующим образом:
/V
X = -k<}OOJal ~ t
Положим
jStnot^f, kooojoi^(o/\ e«Jtetoct , A5.4)
тоща уравнения движения можно записать в более компактной форме
* = -*/? , /V^*^- (I5.5)
Введем в плоскости годографа скорости полярные координаты v, «f:
A5.6)
jc^ercosi/,
и = <rSintf.
Тоща компоненты ускорения выразятся через эти координаты
формулами
и уравнения v.15.5) примут вод
Определив отовда производные (г и у , будем иметь
tr=/(S<n</-<r) , cry*j??>s?. U5.7)
Теперь легко ввдеть, что почленное деление этих равенств
позволяет получить дифференциальное уравнение для годографа скорости
-88-

интегрированием которого получаем уравнение самого годографа
скорости в ввде _ ^
ZQ (у ?/
* = ^С ~eos» ' С = const. (I5.8)
Введем вместо угла if величину т? ? согласно равенству
rift-*-)* (I5-9)
тогда нетрудно убедиться в том, что имеют место соотношения
<**-;?• -W-^' *f=-$- A5Л0)
В зависимости от -п скорость точки определится выражением.
r-cdT' + f). 05.II)
Второе из уравнений A5.7) позволяет теперь установить
дифференциальную зависимость между величинами t и у в виде
интегрированием которой устанавливаем зависимость времени от у •
*-*.~и?+?) • (^- A5Л2)
Через параметр 17 оказывается возможным выразить и координаты
точки. Действительно, в силу вышеполученных формул,имеем:
St* & ?&-? ?
cbc= veojfdi=- ~ *] A+*/)drj,
<i*j =0-Sintf di = - ^ rjS(^3(hfidfi.
Отсюда после интегрирования находим вышеупомянутые зависимости в
виде
^ж_* /?f_,J_]f № = -?[J— - I— ),U5J3)
* / (**-у to+ij 1 / / (JBff4je jaw /
где jr,, y^. - произвольные постоянные.
Постоянные интегрирования с , tf# t ~г# и У* определяются
начальными условиями A5.2). Действительно, начальное значение
параметра находим из A5.9) и начальных условий A5.2) в виде
%-*?(%-%) . %-«*%%>
Но тогда равенства A5.П) - A5.13) дают для постоянных
интегрирования следующие значения:
-89^

*-fi^(f'*C)> **~f(?+&)' A5J4)
В рассматриваемом движении нормальная, тангенциальная и полная
реакции имеют соответственно значения
N=IAAfl=poosct, Q*tAffJkpcascL, &"/N*tQ*- Ptasac/ttP^.
Иоследуем особенности найденного движения. Прежде всего
заметим, что параметр <5" можно выразить через скатывающую силу
F=PSin<*. и силу трения Q^kPCos* посредством
зависимости
G=*Cta<*~ °/f .
Рассмотрим различные случаи. Пусть параметр <5" удовлетворяет
неравенству <з>/ . Это означает, что Q>F . Тогда из формулы
A5.II) ввдим, что скорость tr обращается в нуль одновременно с
rj . Происходит это, согласно формулы A5.12), в момент t=t+ ,
коэда, как это ввдно из формул A5.13), точка находится в
положении М^ с координатами jr<r# t ц*и+ • Поскольку скатывающая
сила в этом случае не превосходит ciwy трения, то точка, дойдя до
положения М+ и остановившись, не сможет двинуться дальше, а
останется в нем в покое. Иначе говоря, в момент t^t* движение
приостановится.
Вели ^ev/ , то при j—o находим ?-«~ f u-+-~> 9 a
а>х#; следовательно, движение не прекращается, и траектория имеет
асимптоту, параллельную оси^у .
Наконец, при условии о<*/& движение происходит
безостановочно, и траектория асимптот не имеет.
В частном случае гладкой плоскости, т.е. при &=о , формулы
A5;12), A5.13) упрощаются и принимают вид
Отсюда.легко ввдеть, что траекторией точки будет парабола.
/ / ч* (Л
-90-

§ 16. Сферический маятник
В виде примера на применение уравнений движения точки по
поверхности в ортогональных координатах рассмотрим движение точки
по гладкой сфере под действием силы тяжести. Такую точку называют
сферическим маятником .
1°. Уравнения движения маятника
Пусть точка М веоом Р
движется по поверхности
гладкой сферы радиуса а под
действием собственного веса.
Будем рассматривать движение в
сферической системе координат
f=tf f ftr*» <?з'г • ИВД
второй изображен на рис.16.
Примем, что начальное состояние
точки определяется величинами
(I6.I)
6 сферических координатах уравнение связи - сферы имеет
наиболее простой вид
/*7-*«л A6.2)
Из выражения квадрата элемента дуги линии в сферических
координатах
можно заключить, что коэффициенты Ламе имеют значения
Физические компоненты силы тяжести равны:
F/^Pky^-maScny, F/*Pfy?9-o, F/-Ркзе ^fos^f.
Теперь легко видеть, что дифференциальные уравнения движения
точки по поверхности A4.6) для сферического маятника будут иметь
вид
maSattf t
me(if- 9*Sin у oos if)
me(9Juuf+ ?9tf0ostf) = О ,
- me (</>*+ ePfafif) " m^cojif -tMx
A6.3)
A6.4)
A6.5)
-91-

Уравнение A6.4) допускает представление j^t jf(dsuAt)*o и
после интегрирования дает первый интеграл
в Sin*у =е } e^eonst. (I6.6)
Исключив с помощью этого интеграла о из уравнения A6.3)
и умножив результат на *у , будем иметь
Отсвда получаем еще один первый интеграл
<f*+?r- " -f-Oasf/L или if*Stn**f=(h + %***<fKtitif-f, к-оопЛ Ц 6.7)
Дяя окончательного интегрирования уравнений движения введем
вместо у новое переменное а , полагая
u-cosf , 5Г=~Лп?^м" A6#8)
Гогда уравнение A6.7) преобразуется к виду
(*?)=?&), Г(и>(Н + %-и)(^)-<*. A6.9)
Если принять начальные параметры такими» что о*ц9< я *^°>
то из выражения of =еу0 буцю следовать» что if0<o ;
следовательно, в силу A6,8) »/?},><?. В соответствии с этим начальнш
значением из уравнения A6.9) находим
$=/ш , откуда <-/;Цг ' A6.10)
Щв U0=tojtfo. "•
Поскольку F(u) является кубическим многочленом» то стоящий в
правой части интеграл будет эллиптическим. Таким образом»
зависимость между и и t , а следовательно» и между if и i может
быть выражена с помощью соответствующей эллиптической функции»
называемой функцией Вейерштрасоа.
С помощью переменной и уравнение A6.6) можно представить
следующим образом:
dO _ С
ЗГ-Т^и*' A6.11)
Если зависимость u(t) уже определена» то отсвда находим
г *
е-в.
=С1Т2@ ' «6.12)
-92-

Таким образом, уравнения движения сферического маятника найдены
в квадратурах.
Уравнение траектории маятника находится исключением времени из
выражений A6,10) и A6.12). Можно, однако, получить уравнение
траектории непосредственно, поделив почленно дифференциальные
уравнения A6.11) и A6.2) с последующим интегрированием:
cLO с Л Л г da
¦CJ
da. (ы^/Щ ° J (*-и?)УЩ
а
[ di
в-9п =о 9" • A6.13)
Для определения постоянных интегрирования с и ft примем во
внимание выражения физических компонентов скорости tty=eif ,
tr^eStnifG , ^о. Тогда fee'tf , 4'<?•**#;' °о° $ и формулы
A6.6) и A6.7) дают
2°. Качественное исследование движения маятника
Определенное представление о характере движения маятника можно
получить, не прибегая к вычислению соответствующих интегралов.
Рассмотрим выражение A6.9). Для вещественности и
необходимо, чтобы кубический полином F(u) был неотрицательным. Установим
его корни. Простое вычисление показывает, что при ифсюЛ
р(-оо> + оо f /r{-/)*-e*, F(u,)>o, F(i)=-a*, Я-)-—.
Отсюда видно, что у полинома F(u) все корни at , иА , ил
действительны и располагаются в интервалах
Поскольку и = cos у , то его величина по модулю не превосходит
единицы. Следовательно, корень и3 физического смысла не имеет.
Для действительного движения должны выполняться условия
-St % (и-и,)(и-ил)(и-и3) -й*>о , -ни<1 .
Обоим этим условиям можно удовлетворить, если принять
ast4U4Ui или ift4tf<ifc. U6.I5)
Таким образом, маятник будет двигаться по поверхности шарового
пояса, расположенного между параллелями ifi и ^ . На самих
параллелях F(u)=o , поэтому u.^-i/>SLnif> =о и (ty^Atf^o
следовательно, траектория точки касается этих параллелей.
-93-

Рис.17
Из выражения A6.П) вытекает,
что В имеет постоянный
знак,зависящий от знака константы ? «Это
означает, что плоскость качания
маятника будет все время вращаться в
одном и том же направлении.
Рассмотрим теперь случай, когда
uscoftd • В этом случае а^иЛ'и0}
и шаровой пояс, в котором движется
маятник, вырождается в параллель
i/^t/f' ?р . Сферический маятник в
этом случае называют круговым коническим маятником. При этом
режиме полином F(u) имеет кратный корень а. . Следовательно,
должны выполняться равенства
ГСцЫ+2%ц,У*-ф-?*-о , F'(iO-S&(i-i?)-*Ub(k+&u.)-o.
Исключив отсюда & , получаем, что с и и0 связаны зависимостью
Но постоянная С связана о а еще зависимостью A6Л)
0=9e(i-u*) . В результате приходим к выводу, что конический
маятник реализуется только в том случае, когда if9-o , а другие
начальные величины % и Во связаны соотношением
«S-
A6.16)
eConfc
Наконец, при а?=о или %-о , со f при этом 0*eo , т.е.
точка будет двигаться по меридиану. Сферичеокий маятник в этом случае
называют круговым математичеоким маятником. Особенности его
движения будут рассмотрены ниже.
3°. Определение реакции офеш
Для нахождения реакции сферы воспользуемся уравнением A6.5)
N =-m[aOostf + efy3*>9*SinSi/)] .
С помощью первых интегралов 116.6) i (I6.7) выражению в круглых
скобках правой части можно .гридать ввд
•я с? о Зд-
следователей, :- :;:дя .^зи будет рпвна
/^ <?Sot*f

Нормальная реакция гладкой сферы направлена вдоль радиуса
сферы и определяется выражением N=M%e^ . Отсвда следует, что
модуль компонента Мъ дает модуль реакции, а его знак указывает
на направление реакции вдоль радиуса сферы.
Из выражения A6.17) видим, что величина реакции зависит
только от широты if . Следовательно, в различных точках какой-либо
параллели реакции численно равны. Влияние начальных данных на
реакцию сказывается через параметр А . Что касается направления
реакции, то при eA+3Q0osif>o она идет вдоль радиуса к центру
сферы; при ек +Зоеол/ *о - вдоль радиуса от центра, а при
eft+3aCostf=o она обращается в нуль.
.йсли во все время движения реакция направлена к центру сферы,
го маятник можно осуществить в виде шарика, привязанного с помощью
гибкой нерастяжимой нити длиной Я к центру 0 • ifora же
реакция при движении может быть направлена как к центру, так и от
центра, то нить заменяют нерастяжимым стержнем той же длины,
закрепленным в центре О с помощью сферического шарнира.
§ 17. Движение точки по линии
Рассмотрим теперь математическую постановку и разрешимость
задачи о движении точки вдоль линии.
i°. Основной закон динамики при движении
точки вдоль линии
Рассмотрим точку, движущуюся вдоль кривой I , вообще говоря,
перемещающейся в пространстве. Всякую кривую можно рассматривать
как линию, пересечения двух поверхностей. Пусть такими
поверхностями для линии I будут
Относительно последних зависимостей предполагаем, что они не
являются следствием одна другой, т.е. функционально независимы.
Условием независимости, как известно, будет отличие от нуля хотя бы
одного из функциональных определителей
А = d(fiJs) фо №fi,ct,fi*W). (I7.2)
Как установлено ранее, поверхность действует на точку с
некоторой силой-реакцией. Следовательно, воздействие линии также
сводится к реакции Я , которая равна геометрической сумме реакций поверх-
-95-

ностей. Таким образом , при движении по линии осношой закон
динамики следует брать внешне таким же, как и при движении по
поверхности
та = Р+?. (I7.3)
Установим общий вид для Я в рассматриваемом случае. Каждая
из поверхностей A7 Д) накладывает на ускорение точки следующее
ограничение:
v/y -а.+Ц*° , vfi'a+J>ft*o. (I7.4)
Следовательно, реакция линии должна быть выбрана такой, чтобы
условия A7.3) и A7.4) были совместны. Представим реакцию в виде трех
составляющих, из которых две направлены по нормалям к
поверхностям, а третья - по касательной к линии
?*Ч Yfi Ч %**> Sl ?t * *х 7& - A7-5)
Тоща подстановка ускорения, найденного из A7.3), в соотношения
A7.4) приводит к следующим двум уравнениям для А/ и йя :
0 „ , A7.6)
Определитель л этой алгебраической системы, в силу известного
векторного тождества ($-с) +(&*е) =&е t можно представить
в виде
Если квадрат модуля векторного произведения градиентов выразить
через компоненты градиентов и воспользоваться обычным
обозначением функциональных определителей, то окончательно получим
l^r^)J Ld(*j*)J !ofr,x?)J A7.7)
В силу условий A7.2), этот определитель отличен от нуля, и,
следовательно, уравнения A7.6) определяют множители связей в
зависимости от времени, коорцинат и скоростей: )у= Xv ( ttxt± )
(v =1,2). Тем самым вполне определяется нормальная к линии
составляющая реакции,
N^^iTfi + *ж7/ж- (I7.8)
Что касается тангенциальной реакции S , то уравнения связей
оставляют ее произвольной. Эту реакцию называют силой трения. Величина
-96-

ее определяется из закона Кулона, учитывающего сопротивление
движению вдоль линии; _
& = -кмЩ;, (I7.9)
где к - коэффициент трения, ^ - скорость движения относительно
линии, а N - модуль нормальной реакции, равный
M*fiFW* ytflVfiP+AflVftt'+SA^Yfj-Yb \ A7.10)
Итак, реакция линии определяется выражением
R^tjVft + ttVft-kN^- A7 Л)
Если к^о , линию называют гладкой. Реакция гладкой линии
направлена по направлению одной из ее нормалей и выражается формулой A7.8).
В общем случае при к*о линия называется шероховатой. Реакция
шероховатой линии имеет нормальную и тангенциальную составляющие
и определяется формулой A7.11).
С помощью найденного выражения для реакции устанавливаем, что
основной закон динамики при движении точки вдоль линии ттеет вид
т.**Р+Л??Ь+ЛлУ^-Ш^- A7.12)
2°. Дифференциальные уравнения движения
по неподвижной линии в декартовых координатах
Пусть точка движется по неподвижной линии относительно
декартовой системы координат х? , хя , х3 . Пусть линия определена как
пересечение двух поверхностей
В этом случае скорость движения точки относительно линии
совпадает с абсолютной скоростью. (%=<г , и основное динамическое
уравнение A7.12) имеет вид:
ma=F+Aj у/, +А% v/? - kN~^ • 47Л4)
Спроектировав это равенство на координатные оси, получим
следующие три скалярные уравнения движения точки по линии:
называемые еще уравнениями Лагранжа первого рода. Система трех
динамических уравнений A7.15), рассмотренная совместно с
уравнениями связей A7.13), позволяет определить величины лу , ял и ^
(<* =1,2,3) и тем самым найти движение точки и реакции связей.
-97-

В самом деле, пусть заданы масса точки, коэффициент трения 1С ,
компоненты силы /? ( t,a:,x ) - как непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов и начальные условия хи(о)=х^ , i^/^-i:,/
(^ =1,2,3), согласованные со связями; примем также, что функции
ft и /? трижды непрерывно дифференцируемы. Тогда уравнения
A7.6), являющиеся следствием уравнений связей, определят At vlA^
в виде непрерывно дифференцируемых функций следующих переменных:
4,=^ (t,*,j? ) (v =1,2). Уравнения A7Л5) при этом
представляются в виде нормальной системы для функций -?<,4* &ш*№):
ЗГ Ъ ' ЗГ ' т*Ъ+4?ь+bdZt XJ4 * 1
Условия на силы и на связи обеспечивают непрерывную дифференцируе-
мость правых частей равенств по t f* %i. В силу теоремы 4,
условия которой выполнены, существует единственная система функций
sXu и jc^ (ос =1,2,3), удовлетворяющих этим уравнениям и начальным
условиям.
По найденному движению в зависимости от времени находятся
множители связи: Ау = Avd) (>> =1,2), а по ним и по уравнениям
поверхностей A7.13) - реакции связей.
3°, Дифференциальные уравнения движения по
неподвижной линии в ортогональных координатах
Рассмотрим движение точки по неподвижной линии в ортогональной
криволинейной системе координат о( , с? , <j3 . Примем, что эта
система выбрана так, что линия I является координатной линией о, ;
пусть ее уравнениями будут
fr%'er°i fzs%-cr0' crCOftd, ***«**• A7.16)
Движение вдоль неподвижной линии определяется динамическим
уравнением A7.14). Это векторное равенство в проекциях на
координатные оси эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям:
где величина J\f определяется выражением A7.10), a <r*=?6?f*.
На основании уравнений связей A7.16) справедливы соотношения:
-98-

в силу которых предыдущие уравнения упрощается и принимают вид:
ще модуль нормальной реакции равен /*=////*+/?+* . Получе*-
ные уравнения и представляет собой дифференциальные уравнения
движения точки по неподвижной линии в ортогональных координатах» Вмео-
те с уравнениями связей A7Д6) они позволяет определить движение
точки по линии и реакцию линии, т.е. полностью решить задачу*
Действительно» пусть заданы масса точки, коэффициент трения,
компоненты силы как непрерывно дифференцируемые функции ??,?,
и согласованные со овяэями начальные условия
?-?V4*#. Я/°>яЧи, i^H4j (*-W). (I7.I8)
Тогда первые два уравнения Ц7.17) совмеотно оо связями A7.16)
определяет физические компоненты нормальной реакции линии в виде
следующих непрерывно дифференцируемых функций:
При этом последнее из уравнений A7.17) можно представить в виде
нормальной системы двух уравнений
IN. ^^а""^^)-щ $*- •»•»•
правые части которых непрерывно дифференцируемы по t >9з *% *
По теореме 49 условия которой выполнены, существует единственное
решение $«%rO i $•%<?) удовлетворяющее уравнениям
A7.20) и начальным условиям <f/o)±<? , <&@)ж9зФ-
С помощью найденного движения по формулам A7.19) определяется
компоненты нормальной реакции, а по ним - оила трения.
При движении точки по гладкой линии последнее из уравнений
A7.17) не содержит реакций; оно независимо от других уравнений
и служит для нахождения движения. Первые же два уравнения системы
A7.17) определяют компоненты нормальной реакции.
4°. Естественные динамические уравнения
движения по неподвижней линии
Пусть точка движется по неподвижной вообще шероховатой линии
I , заданной своими естественными уравнениями;
k~k(s) , x«x(s). (I7.2I)
-99-

В этом случае динамическое уравнение движения A7.14)
nzd=F+N+Q , fctiVit+Wh , 0=-кМ%
удобно проектировать на естественные оси линии: касательную,
нормаль и бинормаль. Выполнив проектирование, получим систему трех
уравнений:
m'S=F*-ttf , m*j*=jre+/? , 0=/7/+Я/ ? A7.22)
называемых естественными динамическими .уравнениями движения точки
вдоль кривой.
Рассмотрим решение задачи о движении точки вдоль линии и
определении реакции линии, основанное на использовании естественных
динамических уравнений* Пусть-, наряду с массой, коэффициентом тр<*-
ния и естественными уравнениями кривой A7.21), заданы
естественные компоненты силы и начальные условия:
Компоненты силы, кривизну и кручение считаем непрерывно
дифференцируемыми функциями своих аргументов. В кинематике было
установлено, что если кривизна и кручение заданы и обладают
перечисленными, свойствами, то естественные кинематические уравнения
совместно с начальными условиями, даваемыми шестью последними условиями
A7.23), определяют параметрические уравнения линии в декартовых
координатах и эйлеровы углы*
Xr*i№ , 4?r &#> te*J,S&). (I7.24)
В силу этих соотношений, второе и третье динамические уравнения
A7.22) дают значения компонентов нормальной реакции в
зависимости от переменных t, J и S:
N*(tjj)*mki*-Ff, N3%Sj>-F'. A7.25)
Первое же из уравнений A7.22) позволит определить движение.
Действительно, это уравнение с учетом A7.24) и A7.25) можно
представить в виде нормальной системы двух уравнений:
правые части которых, в силу условий на активные силы, будут
непрерывно дифференцируемыми функциями t , s и s . По теореме 4
эти уравнения и начальные условия S(o)=s0 » s(o)=$o
определяют единственное решение j-s(i) , j=s(i) , которое и дает
закон движения точки вдоль линии. Формулы A7.25) дают теперь
возможность вычислить в зависимости от времени нормальную реакцию ля-
-100-

нии, а по ней - и оилу трения.
§ 18» Круговой математический
6 качестве примера рассмотрим движение точки по неподвижной
гладкой окружности, расположенной в вертикальной плоскости, под
действием силы тяжести. Такую точку называют круговом
математическим маятником. В первом приближении математическим маятником
можно считать груз малых размеров, подвешенный с помощью невесомого
стержня в шарнире без трения.
1°. Уравнения движения и интеграл энергии
Полагаем, что движение точки происходит по гладкой окружности
радиуса а , расположенной в вертикальной плоокооти -х?хл , дед
действием веса Р* то
Естественные уравнения линии A7.21) в олучае окружности будут
г*о. (I8.I)
Поскольку окружнооть-плоокая
линия, из эйлеровых углов
переменным будет только один f^fa,
t? « yet). Расположение
естественных осей окружности указано на
рис Л 8. Легко видеть, что
компоненты активной силы-веса точки в
естественных осях зависят только
от угла if
-то Sun/,
Fs**o. (I8.2)
*?•
Fs =-тоСозу,
Рис.18 Опираясь на уравнения A8Л)
окружности и на заданные силы A8.2), определим реакцию окружноо-
ти и движение точка из следующего начального оостояния:
t = 0 , J = s0 , S -cr0. (I8.c)
Для решения задачи воспользуемся естественными динамическими
уравнениями A7.22). В данном олучае они будут иметь виц.
3 t *
mj'=-rnQ Sintf, m-rr'=-m.Qeostf+ Мж f o*/^ .
Для установления связи между расстоянием и эйлеровым углом до-
-101-

статочно воспользоваться второй группой естественных
кинематических уравнений (ЗЛО). В случае плоской линии они сводятся к
одному уравнению зз^-^ • Полагая tf3-if , к- {k и интегрируя,
отсюда получаем S-s„ =е (у-у0) , где ув - угол,
соответствующий расстоянию з0 • Отсюда видно, что угол i/ можно
рассматривать в качестве координаты точки. В терминах угла динамические
уравнения приводятся к виду
Легко видеть, что первое из этих уравнений служит для нахоадения
движения точки, а два других определяют реакции связей. .
Представим угловое ускорение if в виде ^=^f =¦ ifgjf •
Тогда в уравнении if + сд Untf^o переменные разделяются, и его
можно интегрировать
<fdif+ a) Saiifdi/xo , *jf*=2a>*eosf + At fi*const. (I8.5)
Полученный первый интеграл уравнений движения называют
интегралом энергии. Он совпадает с интегралом A6.7) для сферического
маятника при с* о # Постоянная интегрирования определяется по
начальным условиям A8.3) в виде:
k~ iff-- яолещ, у. «? , % - ?- ¦ A8.6)
Величина " характеризует величину начальной энергии точки
и в зависимости от начальных условий изменяется в пределах
-йсд ^ А < °° ¦ Оказывается, что в зависимости от запаса
начальной энергии могут осуществляться различные режимы движения
маятника; рассмотрим их.
2°. Равновесие маятника
Пусть величина А имеет наименьшее возможное значение, т.е.
А=-Яа)^ . Это значение, как легко видеть из A8.6),
достигается при нулевых начальных условиях: if0=o , ifo~ о . Тогда из
равенства A8.5) следует, что должно быть
с/>г = 2с/(созу-1)у/0 f Oostf-Jy/O y y=ot (I8.7)
т.ч. при минимальной начальной энергии маятник будет покоиться в
т.;' положении, которое он занимая в начальный момент времени.
3°. Колебания маятника
Пусть начальная энергия такова, что -?й)*^А^?а)* . Тогда
-102-

можно положить 6 = -?a)*oe>jf. Из выражения A8.6) ^*-*<Л«?«
= -?a)*eosj( вытекает, что [> % . Интеграл энергия A8.5)
позволяет заключить, что
у? =<?<*)*(eojy-cosy)>о; M<f\ Ys0 V* f't* Й8.8)
т.е. при движении маятника угол if изменится в интервале
~t4 Ч41 • причем границам интервала отвечает точки остановки.
Следовательно, маятник будет совершать колебательное движение*
а) Малые колебания маятника. Допустим, величина к близка ж
-2<*)я. Тогда угол f мал, f«i , и, поскольку Kfi<f « миом
будет также и угол отклонения у г iift«i . Разложив cos if 4cosj
в ряды и удерживая в них малые члены погадка не выше второго, по*
лучим приближенно eostf=i-%? , со*г*/-й%. Равенство A8*8) прея-
ставится при этом в виде
Полагая, что tfo>o , отсюда получим
1Р-Одт/г*--1Р* ИЛИ ;;, - (k)dt,
и интегрирование дает следупцее уравнение движения:
arcslnj^cdt+A иди if-jf Sin(cdt+<))- (I8.9)
Таким образом, в этом случае маятник совершает малые колебания
около положения равновесия tf=o с амплитудой f , круговой
частотою а) и начальной фазой & • Амплитуда и начальная фаза
малых колебаний определяется по начальна! условиям A8.6) в виде
/-?/&& . *?*-%•
Что касается периода малых колебаний, то ов определяется
выражением
Как видим, период колебаний не зависит от ашжитудн колебаний.
Это свойство малых колебаний маятника вазывахт изохронностью, оно
используется в маятниковых часах.
в) Произвольные колебания маятника. Пусть к имеет любое
значение из интервала -?&)*< h < Я<й*. Тоща легко видеть,что
угол / , а следовательно, и угол / не будут мании.
Установим точное решение задачи о маятнике в этом случав. Обращаясь к
равенству A8.8) и заменяя в нем косинусы через ожвусш половинных
-103-

углов по формулам
<?osif=j-SiSin % у OPJjj^/-&Scn*f/? ,
будем иметь
где перед корнем выбран знак плюс для согласования с начальным
условием tf0>o • Введем теперь вместо if новую переменную<*
посредством равенства
Sin <fe -/ А*<*, Х- &п.*/&. A8Д2)
Тогда легко видеть, что
Л**#-Л/ft-*'"Л. Ф$==Ё '
и выражение A8.11) преобразуется к виду
//-**Sotii'
-- *)<#
Обозначим через ^ момент времени, когда ^=# , а
следовательно, и о^<9 . Тогда беря от обеих частей последнего уравнения
определяемые интегралы, получим уравнение движения маятника
аЛI гГтЧг = ^^ ' A8ЛЗ)
Интеграл, стоящий в левой части равенства, является эллиптическим
интегралом первого рода, следовательно, время выражается через
величину ы. с помощью эллиптического интеграла. Интеграл есть
функция верхнего предела ы. и параметра к . Обозначим его так:
u = F(<*,k) . Обратная функция << = ати называется
амплитудой. Беря от обеих частей этого равенства синус, получим новую
функцию:
Sin.cn = Sin am и =-Jnu .
Функция Snu (синус-амплитуда а ) является эллипгической функцией
Якоби. Переходя в этом равенстве к углу if и учитывая A8Л2)
A8.13), получим уравнение движения маятника;
3?л%=*ЛAи*Ылб>(Ыл)f if*&ai?3tn[kjn€d(i-t0)h (I8.IV
-104-

Отсюда видим, что движение маятника будет периодичеоким колебанием*
Из положения if-о в положение if*у маятник проходит за
четверть периода т . Поскольку, согласно равенству A8.12), при
/¦/,0HF''*** +УчТ • то пв1ЭДД определяется из соотношения
A8.14) в виде определенного интеграла
г-У
» cU
0 /i-k'jinKc
Этот интеграл можно вычислить в форм ряда; поскольку k<t , to
корень можно разложить по формуле бинома в абсолютно сходящииоя
ряд, который допускает почленное интегрирование
-к
(i-kzsJu) 4+<кк*&**« +?$ k«Sin"<** ... .
Производя интегрирование, опираяоь на известную формулу Ваалиоа
/
М /J- (Зп-1) к
An udct -
и полагая в результате A^&nffa , а) * /я I& • будем иметь
т-"^[п№Ь+в?**ч.-А- A8.15)
Следовательно, период произвольных колебаний маятника завиоит от
амплитуды колебания и тем больше, чем больше амплитуда, т.е.
произвольные колебания маятника не изохронны. Бели амплитуда /
достаточно мала, то в разложении A8.15) можно ограничиться первым
членом, совпадающим с выражением (I8J0) для периода малых
колебаний. Разница между периодами, подсчитанными по формулам A8.10) и
A8.17) при / =20°, достигает 0,8^, при [ =40° - 35?, а при
jf =90° - 18$; в последнем случае при длине маятника t ^1м эти
18$ составляют I сек.
4°. Асимптотическое движение маятника
Положим h=Std?- . Интеграл энергии A8.5) тоща примет вид
if*=2cd*({+eostf)=4cd*Coz*%. (I8.I6)
Отсща видим, что равенство нулю угловой скорости достигается прм
соз^/д^о f т.е. при if=±w • Следовательно, маятник может ос
танавливаться только в верхней точке окружнооти.
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства A8.16) и
беря для if выражение, ооглаоущееоя с его началыцш значением
-105-

4>>ot будем иметь
^ dtf dto-л*
tf=2a)eoj% или ^<#^- ¦&-=—'-ГТ
Тогда, беря от обеих частей этого равенства определенные
интегралы слева от 0 до t , а справа - от ifo до if , получим закон
движения маятника в виде
-*,-а/^л/^У, iffity*?!*-*: A8Л7)
Отскда видим t что при г—~ , ^—тг t угловая скорость if
сохранит свой знак. Следовательно» маятник асимптотически приближается
к верхней точке окружности, не достигая ее за конечный промежуток
времени. Такое движение маятника называют асимптотическим.
5°, Прогрессивное движение маятника
Будем, наконец, считать начальную энергию маятника столь
большой, что куЯсл3- . Тогда уместно положить ft= ?<*>*{/+?е?)у
интеграл энергии A8.5) при этом получает выражение
if*=J/a)\F*+cos*%). (I8.I8)
В этом случае угловая скорость if никогда в нуль не обращается,
т.е. маятник все время вращается в одну и ту же сторону, сохраняя
первоначальное направление вращения. Такое движение маятника
называют прогрессивным. Для получения уравнения движения представим
равенство A8.18) в форме
После извлечения квадратных корней и разделения переменных
получаем
Наконец, интегрирование дает
«
г'^'Ы.
df
y=?amu=?am{?a-t,)]. (I8.I9)
Таким образом', в этом случае уравнение вращения выражается через
эллиптическую функцию времени,
9°, Определение реакции окружности
Реакция гладкой окружности определяется вторым и третьим ее-
-106-

тественными динамическими уравнениями A8.4). Из этих уравнений
видно, что реакция направлена вдоль радиуса окружнооти и имеет
следующее значение:
Бкхпи подставить в это внражение значение квадрата угловой
скорости из интеграла энергии A8.5), то придем к зависимости
Таким образом, реакция есть функвди от угла отклонения маятника
от вертикали; она зависит также от таких постоянных параметров»
как вес маятника, его длина, ускорение скян тяжести и от запаса
начальной энергии.
Экстремальные значения реакции будут равны
Реакция обращается в нуль при условии eostf =-> */^ , чзр
возможно, когда ihl4 5%s5odz , т.е. когда запас начальной энергии не
очень велик.
тал * 1 J
§ 19, Движение тяжелой точки по шероховатой циклоиде
В качестве другого примера движения точки по линии рассмотрим
движение по циклоиде при наличии сопротивления движению.
1°. Постановка задачи
Пусть точка массой т. движется по шероховатой циклоиде ,рао-
положенной в вертикальной плоскости xi
, xz и обращенной
вершиной вниз под действием
силы тяжеоти. Коэффициент
трения равен к ¦ Циклоида
задана параметрическими
уравнениями относительно
системы оточета, начало
которой взято в вершине
линии, а оои~?/ и л±
направлены соответственно
по горизонтали и
вертикали, как указано на рио.19. Эти уравнения таковы:
-107-
A9 J)

где л - радиус производящего круга, a tp - угол между
радиусами, проведенными вертикально вниз и в данную точку циклоиды. Такую
циклоиду опишет точка производящего круга С, катящегося без
скольжения по направляющей DE с нижней стороны.
Определим движение точки и реакцию циклоиды, если точка
скатывается из некоторого начального положения без начальной скорости
t*o, J=so>0, J*o. A9,2)
Естественные уравнения циклоиды можно получить из ее уравнений
(I9.I) в декартовых координатах следующим образом.
Поскольку циклоида-плоская линия, два ее эйлеровых угла равны
нулю ц? = ч>я=:о , а третьим будет угол %= у между осью
абсцисс и касательной (рисЛ9). Главная нормаль циклоиды в точке
М проходит через точку 3 ¦ в которой производящий круг касается
направлящей и которая служит для круга мгновенным центром
вращения. Из геометрических соображений тогда ясно, что углы ^/ иу
связаны соотношением ф=Яу . Этот же результат следует и из
аналитического выражения
7r dxt i+<*os<f> J St
Рассмотрим естественные кинематические уравнения D.16)
Вычислив dxt из уравнений циклоиды A9Л) и выразив его из
уравнений A9.3), будем иметь
dx? = SIROof Щ d(p - 4Reos*tfdtf - Cos yds •
Отсюда, имея в виду, что s=o при tf=o и что /e|j
следуют естественные уравнения циклоиды в параметричешэй форме
Компоненты силы тяжести в естественных осях имеют значения
P^PCosCf-nf^-mfSirtif , P^PCos(Ti-if)--mfosif>, Р* * О.
Обратимся теперь к естественным динамическим уравнениям A7.22).
В рассматриваемом случае они имеют вид
m's=-moS<n<f+kN, т :-motostf+J*?, o*J*J (I9.4)
-108-

2°. Определение движения по циклоиде
Для установления уравнения движения точки по циклоиде
достаточно, как это видно из первого соотношения A9.3), найти
зависимость от времени эйлерова угла. Получим для него
дифференциальное уравнение. Дифференцированием по времени равенства з±ЧЯз<лу
находим
S=4HifCostf> , S*tik(ifCojtf-lf*Sin(t). (I9.5;
Из уравнений A9.4; следует, что нормальная реакция циклоиды
направлена вдоль главной нормали и ее значение равно
N=Nz=m(j + 4RLt*)eosif, /?/<*/*. A9-6)
Первое из уравнений A9.4) после исключения нормальной реакции
и переменной S с помощью формуя A9.5) и A9.6) приводит к
следующему уравнению для угла ? :
2 9
if eos*/>-if (Siniftkcosif) + f^(Jinif~kcoitf)^0. A9.7)
Введем вместо коэффициента трения к так называемый угол
трения /г » согласно равенству Jc toyi , и переждем от
переменной if к переменной 9 по формуле
9=4-/*. A9.8)
Тоща легко видеть, что уравнение A9.7) преобразуется в
следующее уравнение для 9 :
ёс**(»+м)-# ****** +2-*«=о.
v *1 ~' cos/I J/& cos/i
Поделив на eos/i , это уравнение можно еще представить так:
.о о ,9 ЯлО
9(Cos9-kSirtO)-e [(М*Укп*+ЗкСа*9]+?? —fa =0.
Если еще умножить обе части уравнения на е~к9ч то его
оказывается возможным представить в виде
^ft'"**')*^'"*"''0- (I9.9)
Таким образом» получено линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции
<2~k9Sin9 - Известно, что его общим решением будет выражение
г*****-А«*(««> , *'^№,
'Scos/i''1* ' A9.10)
где Л и г - произвольные постоянные. Для вычисления посто-
-109-

янных составим выражение для производной <9
• -к9
Ge (Cos9-к Sin в) = -GASinfai +т). A9.11)
6 начальный момент времени функция 9 и ее производная 9
имеют, в силу A9,2) и A9.8), значения
t-o, 9=9о у 6 = о> Ъ'Ъ-/ич jtmf9.±.
С учетом этих условий равенства A9.10) и A9Л) доставляют для
Лиг два уравнения
-к 9
г °Stn9o =Aoojr ; о=-<эАЯ*гf
откуда эти величины определяются в виде
-к 9
г=о , А=е ° кп90. A9.12)
Таким образом, закон изменении со временем угла 9 в
окончательной форме имеет вид
-к 9 -к90
<г Sin9=e Stn90aos<5T. (I9.I3)
Из этого уравнения следует, что по истечении времени
Т-?* **"/"/f
A9.14)
от начала движения, точка првдет в положение 9=0 , причем
производная 9 будет иметь, согласно A9.11) в этот момент значение
-Ас . Промежуток времени Г , а также то положение точки на
циклоиде, для которого 9=о , не зависят от начального положения
точки. Это свойство называют свойством таутохронности движения в
отношении положения 0=0 .
Точка циклоиды, определяемая условием о-=о ( l^/j. )
является границей зоны возможного равновесия точки (в предположении
равенства коэффициентов статического и динамического трения).
Действительно, для нее в случае покоя нормальная реакция, согласно
A9.6), равна N-mocosju. ; следовательно, модуль силы трения
будет Q=jcmycos/JL . Скатывапцая же сила Р/ по модулю имеет
значение F- I Pfl=mjSin/i • Так как *=fa/u , Q*F , что и
доказывает высказанное утверждение.
3. Движение по гладкой циклоиде
Будем теперь считать, что цикловда гладкая. Тохда Jc=o t/i*ov
0=ц , и уравнение движения A9.13) принимает вид
-НО-

,9intf=firnfo00fiGi 7 ^/м A9.15)
Умножив обе части этого равенства на Ш и имея в виду, сто
согласно A9,3), 4Rfinif=$ , будем иметь
/-Аадг/ф. awe)
Это равенство представляет собою естественное уравнение
движения точки по циклоиде» Отскща следует» что движение точки по
гладкой циклоиде под действием силы тяжести, оказывается, является
гармоническим колебанием с амплитудой 4 и периодом
Г=^]/%. 119.17)
Тяжелую точку в этом случае называют циклоидальным маятником.
Поскольку период колебаний не зависит от амплитуды колебаний» то
любые колебания циклоидального маятника, в отличие от кругового
математического маятника,будут изохронными. Однако технические
трудности реализации циклоидального маятника привели к тому, что
этот маятник не получил широкого распространения.
Из уравнения движенияA9Л6) следует также, что движущаяся
точка достигает вершины О циклоиды по истечении времени
Ъ)/&/у^ от начала движения. Как видим, этот промежуток
времени не зависит бт начального положения точки. Следовательно,
движение маятника обладает свойством таутохроннооти. Другими
словами, если поместить несколько тяжелых точек в различных точках
/%,..., Мп_ циклоиды и позволить им начать одновременное
движение без начальных скоростей, то вое они встретятся в вершине
циклоиды в один и тот же момент.
Циклоида обладает и другими замечательными свойствами. С
помощью вариационного исчисления можно, например, доказать, что из
всех кривых, соединяющих две точки и расположенных в
вертикальной плоскооти, движение тяжелой точки вдоль циклоиды совершается
в кратчайшее время.
4. Определение реакции диклоирн
При движении по шероховатой циклоиде нормальная реакция
определяется выражением A9.6). Полагая -\ нем <f=9+/u , If=9 ,
получим выражение для N в зависимости от ? в виде
Ы= т(а+ 4&9*) Cos(Qffi). (I9.I8)
-III-

Сила трения, как известно, по своей величине равна
Q^kM^Nta/u . Следовательно, полная реакция шероховатой
циклоиды имеет значение
R^U/^if^ - т(у+мд*)**^ , A9.19)
где 9 определяется в зависимости от времени формулой A9.13).
При движении по гладкой циклоиде реакция будет нормальной к
циклоиде и численно равна
/ 7 Cos tf
В частном случае, когда тяжелая точка опускается без начальной
скорости из точки возврата циклоиды, имеем % = •§- » и реакция
принимает значение /S^gPCosf ¦ Ранее было установлено, что
pt=-PCosif . Из сравнения последних двух равенств устанавливаем
интересное свойство: N=-?p? f т.е. реакция равна по модулю, а
по направлению противоположна удвоенной нормальной составляющей
веса.
§ 20. Равновесие точки
Рассмотрим равновесие свободной и несвободной точек и выясним
условия, при которых оно реализуется.
1°. Равновесие свободной точки
Частным видом движения материальной точки является ее
равновесие. Говорят, что точка находится в равновесии относительно
некоторой инерциальной системы отсчета, если ее положение
относительно этой системы не изменяется со временем или, что то же,
если скорость движения относительно системы тождественно равна нулю.
Условия, при которых имеет место равновесие точки, выражаются
следующей теоремой.
Теорема 24. Для равновесия первоначально покоившейся свободной
точки необходимо и достаточно равенство нулю равнодействующей
всех приложенных к ней сил.
Необходимость. Пусть точка покоится, т.е. о- =0. Тогда ее
ускорение будет нулевым а = 1г=о , и из основного динамического
закона будет следовать равенство нулю равнодействующей силы
F= та=о.
Достаточность. Пусть точка первоначально покоилась, и пусть
равнодействующая сил равна нулю Ц, , F-o . Тогда дифференциальное
-112-

уравнение движения mtr*F принимает вид ir=o . Отсвда
следует первый интеграл iT'C^const . Поскольку c-lr0=o 9 окорооть
движения будет тождественно равна нулю <г*о , и теорема тем
самым доказана.
Заметим, что если F**o , а %фа , то Vr^conA , т.е. точка
не будет покоиться, а будет совершать инерционное движение.
Итак, для покоящейся точки уравнение движения md*F
принимает специальную форму:_
F=o B0.1)
и называется уравнением равновесия. 6 какой-либо ортогональной
системе координат ?/»?*¦ ft это векторное уравнение можно
заменить тремя скалярными уравнениями, выражавдими равенотво нулю
физических компонентов силы.
Fj*o U =1,2,3); B0.2)
их называют уравнениями равновесия в обобщенных координатах.
Пусть силы, обеспечивающие равновесие точки, зависят от
координат точки^ Ft*(q) (<* «1,2,3) и удовлетворяют условию
iff *q**ffl*°* ТогДа Уравнения B0.2) можно разрешить отнооитель-
но кЬо&'шат #«flf.ft * Таким образом, уравнения равновесия
позволяют по заданным силам находить положение равновесия точки.
Рассмотрим специальный случай равновесия при действии
потенциальной силы. Силу F называют потенциальной, воли она
является градиентом некоторой функции P=vt/ , Саму функцию U при
этом называют силовым потенциалом или силовой функцией. Пусть
покоится точка при действии на нее потенциальной сияв. Тогда,
согласно B0.2), будут выполнены соотношения F**-f 4!r-o ***
ди * А* °Ч+
J0—=o (oc=if2,3). Но эти равенства выражают условия экотре-
муш функции и • Следовательно, в положениях равновеоия точки
потенциал силы достигает экстремума.
2°. Равновесие дои дштяжениях. цропошиональных
расстояниям.
Найдем положения равновеоия точки 9 притягиваемой неподвижными
центрами с силами, пропорциональными расстояниям и маосам центров.
Пусть Ри U=I,...,* ) - непрдвйЕЙ 5SS?^ ЦЖр <>, 2й?? »о-
су ти и притягивает точасу р о силой ^ */% Щ , где
f^consiyo . Обозначая радиусн-векторн точек р и ру через Т
и т^, будем иметь Щ^-г, Щ,ж}п,(\-Ъ) t и раинодействувдея
-ИЗ-

сил притяжения будет равна F-J-Em^cz^-z). Положим т=Цт^ и
г =-jzZLm, г.. Тогда равнодействующую сил можно представить так:
С til \i у " —
Рассмотрим точку С , определяемую радиусом-вектором 7* .
Полученные формулы показывают, что равнодействующую сил притяжения
можно получить, если всю систему притягивающих центров заменить
единственным центром С , полагая его массу равной т. .
Равнодействующая при этом направлена по PC и_ее значение равно /т Рд.
Уравнение равновесия требует, чтобы F- о ; это будет при
1=гс . Таким образом, притягиваемая точка Р будет покоиться
только тогда, когда она совпадает с центром С и имеет нулевую
начальную скорость.
6 рассмотренной задаче равнодействующая сил притяжения будет
потенциальной силой с потенциалом, равным
Эта функция, как легко видеть, равна нулю в точке С и
отрицательна во всех остальных точках. Следовательно, она имеет
максимум в положении равновесия.
3°. Равновесие несвободной точки
Бели точка не свободна, а движется по поверхности или по линии,
то,согласно принципу освобождаемости связи,ее можно рассматривать
как свободную точку, добавляя к активным силам еще реакции связей.
Уравнение равновесия свободной точки р- о будет справедливо и
для несвободной точки, если под F понимать теперь сумму
равнодействующих активных сил Рл и реакций Я : J? +R=o . В
дальнейшем индекс а у силы будем опускать и писать уравнение
равновесия несвободной точки в следующем более простом виде:
F+R = o. B0.3)
В ортогональной системе коорцинат $ ,.?*•$» это Уравнение
эквивалентно трем скалярным уравнениям равновесия
F*+Rl = ° 0*=*ХЗ) B0,4)
Эти уравнения позволяют решать различные задачи статики точки при
наличии связей.
4°. Равновесие точки на поверхности
Пусть точка покоится на поверхности jfi)=o под действием
штивной силы, зависящей от расстояния Р=Р(Т) • Рассмотрим
-II4-

различные случаи.
а) Полагаем положение равновесия точки известным ъ=г и
совместным со связью f(\)-o . Тогда актидаая сила также известна
F (%) . и уравнения равновесия определяют реакцию поверхности.
Действительно, представив реакцию через нормальную составляющую
и силу_ трения ? =fif + Q и проектируя уравнение равновесия
F + M+B = o на три ортогональных направления п,,пл,^ , из
которых ns нормально к поверхности, а п? и пл лежат в
касательной плоскости поверхности, будем иметь
%*+Q?s°f FAQl^° t &*?**• <20*5>
Следовательно, нормальная и тангенциальная реакции равны по
величине и противоположны по направлению соответствующим
составляющим активной силы*
Рассмотрим далее случаи, когда положение равновеоия заранее
не задано и подлежит определению.
б) Пусть поверхность гладкая, так что реакция нормальна к ней
2=j7=Avf . Тозда уравнение равновеоия совместно с уравнением
поверхности:
F + Avf*0 , f=0 B0,6)
позволяет найти положения равновесия точки и реакцию поверхности.
Действительно, пусть поверхность }=о является координатной
поверхностью некоторой ортогональной системы координат 7i*9**% :
физические же компоненты силы в этой оиотеме являются непрерывно
дифференцируемыми функциями координат Ff=Fj(y) 1«* =1,2,3) ж
удовлетворяют условию u(F*iF/)Jd(%qt)*0- То1ла простым
подсчетом находим, тю™!^*&(**№), Ay/M^jsJ^s >м УРввненже
равновесия B0.6) в этих координатах будут
Fs*<%%%>°i Ъ*(%9ж.Ъ>-0 * Zh,4jt&)f*f°W>&
Первые два уравнения о учетом уравнения связи B0.7)
представляют собой уравнения относительно координат <7/.7л • Условия на
силу обеспечивают разрешимость этой системы, тем самым можно
найти координаты <#, <т/ точки, покоящейоя ча поверхности q3 - <?/.
Следовательно, все координаты положения равновесия определяются.
Последнее же уравнение B0.8) определяет проекцию реакции на
нормаль к поверхности /^ *= -^ *(<j').
с) Пусть поверхность шероховатая. Тогда тангенциальная реакция-
-115-

- сила трения, согласно закону Кулона, может принимать любые
значения из интервала 04Q4ktH • Следовательно, Q/N4kt • Положим,
точка покоится в некотором положении на поверхности. Тогда,
согласно B0.5), для этого положения будем иметь.
Нормальная к поверхности компонента силы имеет значение,F3 =~iyif~'
Условие равновесия if/jf it? можно теперь представить
через активную силу и уравнение поверхности в следующей форме:
(F- v/f i
TW^iW B0'9)
Оно и представляет собой то условие, которому должны
удовлетворять координаты точки, покоящейся на поверхности. Как видим,
положений равновесия оказывается, вообще говоря, бесчисленное
множество; они заполняют собой некоторую часть поверхности.
Если в выражении B0.9) сохраним только знак равенства, то
полученным уравнением совместно с уравнением f=o определяется
некоторая кривая на поверхности, служащая границей области
равновесия. Если поверхность J=o служит_поверхностью <&=<?/
ортогональной системы координат, то т/-^/^ » F=FLF*$ и не~
равенство B0.9) после очевидных упрощений принимает следующий
вид:
4°. Равновесие точки на шероховатой сфере
Найдем положение равновесия тяжелой точки на шероховатой
сфере (см.рис.16). Пусть р -вес точки, L - радиус сферы, kj -
коэффициент трения при покое. Рассмотрим равновесие в сферических
координатах q^ if , уя=в , ?- г . Тогда уравнение сферы и
компоненты веса, согласно § 16, будут
frt-t*o^ F^-pSintf, F/=o, F/=Peojt/>.
Уравнение области равновесия B0,10) в этом случае будет
kfeo/ytJoi*? или. fo*y4kf.
Для границы области равновесия fat/= ±k , отсюда получаем
два значения угла
Следовательно, границами служат параллели if= у>у ж у*^ ¦ Из
условия равновесия jtai/l/ftj теперь ясно, что областями
-116-

равновесия тяжелой точки будут поверхности шаровых сегментов,
примыкающих к верхней и нижней точкам сферы. При уменьшении трения
до нуля к^г о будем иметь, if^o , if^it , т.е. области
равновесия стягиваются в точки, совпадающие с верхней и нижней точками
сферы.
5°. Равновесие течки на линии
Пусть точка покоится на линии, заданной уравнениями ?(г)=о1
fsi(i)=o • под действием активной силы, зависящей от расстояния
р=:р(г) . Рассмотрим различные случаи.
а) Пусть положение равновесия, совместное со связями известно
г=г0 , /jCz0)=o , f?(z0)=o • Тогда активная сила также
известна Р(го) , и уравнения равновесия позволяют вычислить реакцию
линии. Для этого достаточно представить реакцию в виде R=N+Q
и спроектировать уравнение равновесия на естественные оси линии.
В итоге получаем уравнения-
FS+Qf'O, Ff+Nf*o, F/+M/-0. B0.11)
Отсюда видим, что сила трения и нормальная реакция равны по
модулю и противоположны по направлению соответственно касательной
и нормальной составляющей активной силы.
Рассмотрим теперь случаи, когда положение равновесия заранее
не задано и должно быть определено.
б) Пусть точка покоится на гладкой линии. Реакция гладкой
линии нормальна к ней и может быть представлена выражением
?=^ =цу/ +ЛЛ vfs • В этом случае урашение равновесия оовмеотно
с уравнением линии
^Mtf/Vi-*- Ьм0* f*'° B0-I2)
дают возможность вычислить координаты покоящейся точки и реакцию
линии.
В самом деле, пусть рассматриваемая линия является
координатной линией <g некоторой ортогональной системы координат^,^,^:
Ь*ЯгЪ**о, /л * ft" ft'-*; B0ДЗ)
физические же компоненты силы, будучи непрерывно днфференцируею-
ми функциями координат ?*«?*(<?) («* =1,2,3), удовлетворяют
еще дополнительному уоловию Щ*/до *° • ТогДа простой раочет
показывает, что tf+ldQ «^ Ci/- /, i; о^/ДЗ),
-117-

и уравнения равновесия B0.12) в этих координатах примут вид
Fi\%93^^r0 , Г/(%Ъ,9з)+Чг°, %Ч.Ъ.%)=а B0.14)
Последнее из них, в силу уравнений B0.13), является
уравнением для<? • Условия на силы обеспечивают его разрешимость, так что
из него можно определить координату <?/ точки, покоящейся на
линии q{= у° , ^<?° . Тем самым все координаты положения равновесия
будут установлены. Первые же два уравнения B0.14) определяют
реакцию линии м^ * --F, *(q°) (*=l,si).
с) Пусть линия с трением. Будем считать линию заданной
параметрическим уравнением ?=z(s) , где ^ - расстояние. Из закона
Кулона для равновесия на линии получаем QlH4kt • Уравнения
равновесия B0.11), взятые для некоторой точки линии, позволяют
заключить ЧТО. 9 д о а л 9
О =fije f Af =Ц +N^ =FS +]? = F-'Fi .
Условие равновесия Q*ljsr*4kf можно представить теперь в одной
из следующее форм: „, & о
Поскольку F^=F^j ¦ из последнего неравенства находим условие,
которому должно удовлетворять расстояние s точки при равновесии
—^-<^Т B0.15)
Подобно равновесию на шероховатой поверхности, положений
равновесия на шероховатой линии оказывается, вообще говоря, бесконечно
много; они заполняют собой некоторую часть линии. Знак равенства
в выражении B0.15) соответствует предельным положениям
равновесия. Поэтому устанавливают вначале предельные положения
равновесия, а затем с помощью неравенства B0.15) устанавливаются
области равновесия на кривой*
Если линия ? = z (s) служит координатной линией % некоторой
ортогональной системы координат <7/,<75, #, # то s=y3 ,41-^f
и неравенство B0.15) будет вида s
f/%1 <%)^?[A:9L%)+f/%:%°, %)i. (голе)
-118-

6°. Равновесие точки на шероховатой циклоиде
Найдем положения рашовесия тяжелой точки на шероховатой
циклоиде, ось которой вертикальна, а вершина обращена книзу* В оиотеме
координат ох{хх с началом в вершине линии9 ооью oxt , направлен»
ной по горизонтали вправо, и осью охя , идущей по вертикали вверх,
(см. рис.19), уравнения кривой будут
эде if - угол между касательной к циклоиде и осью xt .
Длина дуги S % отсчитываемая от начала координат, связана с углом
if зависимостью (см.формулу 19,3) f=4&Sintf. Следовательно,
и неравенство B0.15) принимает вид
Так-как xg=&.(i-cos*f)*2&3&?tf , то область равновесия будет
такой: ж
т.е. когда точка находится над вершиной циклоиды не выше, чем на
§ 21* Принцип Даламбера.
Другой подход к проблеме движения несвободной точки содержится
в принципе, предложенном Даламбером в "Трактате о динамике",
опубликованном в 1743 году. Это один из основных принципов механики,
позволяющий применять к динамичеоким задачам статические методы*
Принцип можно сформулировать в различных формах*
1°. Первая Формулировка пр^чт™»
Если на свободную материальную точку действует сжаяр , то,
согласно закону йьютона, она сообщает точке ускорение а ,
направленное по силе то.~Р • При действии же активной сивы F на
несвободную точку ее уокорение, как показывают наблюдения, вообще
не совпадают с_направлением силы. Разложим в этом случае активную
силу на силу Ф , равную та , и, следовательно, направленную по
ускорению, и некоторую другую силу Р (рис.20)
Р=Ф+Р. B1.1)
-119-

Рис.20
На основании равенства та^ Ф
можно заключить, что движение точки
происходит как свободное^ но под
действием лишь одной силы Ф , которую
по этой причине называют эффективной
силой; сила же Р при этом как бы
теряется, поэтому ее называют
потерянной силой.
Высказанный Даламбером принцип
состоит в утверждении: "При
несвободном движении точки потерянная сила
уравновешивается реакцией связи",т.е.
P+U=o. BI.2)
2°. Сила инерции.Вторая формулировка принципа
С помощью понятия силы инерции принципу Даламбера можно
придать другую, наиболее употребительную форму. Силой инерции точки
называют вектор J , равный по величине произведению массы точки
на ее ускорение и направленный против ускорения J=-m& • Из
определения следует ,_что сила инерции связана с эффективной силой
соотношением ^=-Ф
Если теперь приложить к движущейся точке ее силу инерции, то
из B1.1) вытекает, что должно иметь место равенство;
F+J=P. BI.3)
Внося теперь это значение потерянной силы в формулу B1.2),
приходим к условию
F+R + J=o. BI.4)
представляющему собой другое выражение принципа Даламбера: "Если
в любой момент времени к движущейся несвободной точке приложить
ее силу инерции, то она уравновесит действующие на точку активные
силы и реакции связей".
Из принципа Даламбера B1.4), перенося силу инерции в другую
часть равенства, получаем основное уравнение динамики несвободной
точки
ma=F+R. B1 #5)
Таким образом, принцип Даламбера дает возможность при решении
задач динамики составить уравнение движения в форме уравнений
равновесия. Исторически это был первый метод, позволивший

единообразним способом составлять уравнения движения любой несвободней точки*
Принцип Даламбера в ряде случаев позволяет свести решение задач
динамики к задачам статики. Это имеет место при решении прямой
задачи динамики, т.е. задачи определения сил по заданному движению»
При решении же основной задачи динамики об определении движения
по заданным силам изложенный метод лишь упрощает составление
уравнений'движения; необходимость интегрирования уравнений движения
при этом, конечно, сохраняется. Наиболее полно эффективность этого
метода проявляется в динамике систем точек.
3°. О Фотае овободной поверхности жидкости
во вшиашемоя состае
Применим принцип Даламбера к определению формы свободной
поверхности жидкости во вращающемся сосуде.
Пусть оооуд в форме круглого
цилиндра с вертикальной ооью вращаетоя
вокруг этой оси о постоянной
угловой скоростью о) вмеоте о
находящейся в нем жидкостью. При етом9
как показывают набдццевжя,
поверхность жидкости не остается
горизонтальной, на ней образуется
некоторое углубление (рио.21). Определим
форму свободной поверхности
жидкости /(JC/tXjftjCj)-o относительно
Ох?хях± о началом о в центре
совпадающей с вертикальной осью сосу-
проведенными в горизонтальной плоскости
Рио.21
неподвижной системы координат
оонования сосуда, ооью xs
да, и осями jry , j
(рис.21).
Возьмем частицу жидкости М о массой dm на поверхности
жидкости. На нее дейотвует сила тяжести dP _f равная q dm. и
направленная вертикально вниз._и реакция dtf поверхности,
направленная по нормали к ней: dlf^Xyfdm, \ при этом принимается,что
жидкость не препятствует скольжению частиц вдоль свободной
поверхности, т.е., что эта поверхность гладкая. Приложим еще к этой
частице ее силу инерции dJ , равную -udnu Тоща, оогласно
принципу Даламбера, будем иметь_условие равновесия сил
dP + dft+clJ = o.
-121-

Учитывая выражения для сил, отсюда приходим к уравнениям
d+Avf-a = o , f*+*%cyau=° <<*'&& B1.6)
Будем отыскивать уравнение свободной поверхности в форме
/ ^Xyif(xitx^^o. Рассматривая равномерно вращащуюся жидкость
как твердое тело и беря в ней за полюс неподвижную точку 0, можем
определить ускорение рассматриваемой точки по известным формулам:
___ «_ _ * __
а^°><* (Е <%**) -*ы (? *>') *"Ш.
Легко видеть9 что компоненты рассматриваемых векторов имеют
значения
поэтому уравнения ОД .6) в подробном виде будут такими:
Эти уравнения определяют множитель связи и частные производные
функции if в виде
*f. d*/**rfx< * %*mf*
Теперь лепсо видеть» что
_, dlf , dtp й)*,
следовательно» ,
Обозначим через'А точку» в которой ось вращения пересекает
поверхность жидкости, и пусть эта точка отстоит от начала 0 на
расстоянии к <рис«21). Тоща координатами точки А будут величины
l-o 9о , к). Из условия того, что свободная поверхность проходит
через эту точку, сразу находим, что?*? •
Итак, t
Ъ'Щ (**+**>+к*
Установленное равенство представляет ообой уравнение
параболоида, вращения с вершиной в точке А и осью х3 . Таким образом»
поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму
параболоида вращения с осью, идущей вдоль оси вращения сосуда*
-122-

Глава 3,
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛШОГО ЛВИХЕНИЯ ТОЧКИ
Ньютоновские законы механики справедливы не в любой, а только
в инерцкальной" системе отсчета. Последняя характеризуется тем
свойством, что свободная от сил точка движется относительно нее
равномерно и пряюлинейно> т.е. по инерции» Именно в таких
системах до сих пор и рассматривалось движение» В ряде случаев, однако,
представляет интерес движение точки относительно системы отсчета,
не являющейся инерциальной, которая, в свою очередь, может как
угодно перемещаться по отношению к инерциальной системе. Такое
движение называют относительным. Важно поэтому установить основной
закон, управляющий относительным движением* Это позволит
рассматривать широкий класс задач и, в частности, оценить ту сшибку,
которую допускают при пренебрежении неинерциальноотью системы. Веоь
этот перечень вопросов и будет рассмотрен в данной главе.
§ 22. Основной закон динамики в относительном движении
Основной закон динамики для несвободной точки был получен
обобщением закона Ньютона путем присоединения к активным силам
дополнительных сил - реакций связей. Аналогичный прием применим и для
установления основного закона динамики в относительном движении.
Именно, покажем, что можно так обобщить ньютонов закон
добавлением специальных сил, что он буцет справедлив и при относительном
движении*
1°. Внвои основного закона
Рассмотрим материальную точку М массой т 9 находящуюся под
действием сил* F {t,t,ir )• Установим закономерность ее движения
относительно неинерциахьной системы отсчета 0Мд|, . Эту
систему представим себе как пространство, жестко связанное о
некоторым твердым телом» которое само перемещается по отношению к
инерциальной системе OTjeera HxgZjXj (рис.22). Уравнения движения
тела заданы и имеют вид
j?* Xjt) , ? «fc (i) fi?-JW) . B2.1)
-123-

м
^3
ъ
Уравнение движения точки
относительно _инерциальной
системы отсчета Ох^лх^ ,
согласно основному закону
динамики, бдает
di*
ydt ' B2.2)
4i
Рис.22
ореме Кориолиоа: cfti
Заменим в этом уравнении
ускорение а через
относительное, переносное и корио-
лисово ускорения,согласно те-
Тогда уравнению движения можно придать вид
таъ= F(t,z,if)+Je +3*,
B2.3)
где -векторы J*
J*
определены равенствами
J*= - та.0 =- т[ао +?хр + & (р-й))-ра?] ?
B2.4)
B2.5)
называется переносной силой инерции; он равен про-
mo-jL =-т?с2х1Гъ
Лектор Je
введению массы точки на взятое со знаком минус переносное
ускорение. Вектор J* называют кориолисовой силой инерции, он равен
произведению массы на взятое со знаком минус кориолисово ускорение.
Б силу уравнений движения подвижной системы координат B2.1)
ускорение полюса а0 , угловая скорость а) и угловое ускорение сио-
темы <5 определяются следупцими кинематическими формулами:
B2.6)
поэтому эти величины будут известными функциями времени &о&)уа@л
ё({) . Обращаясь теперь к формулам B2.4) и B2.5), видим, что
переноснач и кориолисова силы инерции будут функциями времениi,
относительного положения р и относительной скорости ^?= %{•
-124-

P'FCtp) , 7*~?*(t*2f-). B2.7)
Сила F {tt2,fr ), определяя величину механического взаююдвйотви»
материальной точки с другими материальными телами, зависит не от
абсолютного положения и абсолютной скорости точки, а от
относительного расположения и от относительной скорости взаимодействующих
тел» Эти относительные характеристики определтамй равенствами
которые не зависят от системы отсчета* Отсюда вытекает
независимость сил взаимодействия от системы отсчета. По этой пужчине оилу
F можно представить как функцию переменных. F tttPtzjr )• Есяи
еще учесть, что относительное ускорение определяется как вторая
относительная производная от радиуоа-вектора dt- -gpr » то
равенство B2.3) можно представить в следующей форме:
т^'Мр'^ , f°F + J«*3*. B2.8)
Это уравнение и представляет собой в векторной форме ооношой
закон динамики относительного движения точки. Сравнивая между собой
B2.2) и B2.8), заключаем, что уравнение относительного движения
точки можно составлять так же, как уравнения абсолютного движения,
если к действительным силам прибавить переносную и кориолиорву
силы инерции.
Таким образом, векторы J* и Jk представляют собой
поправки на неинерциальнооть системы координат. Эти векторы были
названы силами, благодаря силовой размерности этих величин и
непосредственной возможности измерять их динамометром. Однако их еще
нельзя отождествлять с действительными силами» Последнее невозможно
по той причине, что действительные силы - всегда силы
взаимодействия материальных тел, силы же инерции относительного движения этим
свойством не обладают.
2°. Постановка и разрешимость математической задачи
об относительном движении точки
Спроектируем векторное уравнение относительного движения B2.8)
на оси подвижной системы координат , тогда получим три уравнения.
^"Ъ+ЗГ+Я fr*W) , B2.9)
где
-125-

* Л с5 <? ? f- й) (Ре а) ) -? (? а) ) @0 тгл
/у *flf & / ot^cro-' vl?* су-7 i B2.10;
которые называют дифференциальными уравнениями относительного
движения в декартовых координатах.
Пусть заданы масса т точки, уравнения движения подвижной
системы B2.1) как "дважды непрерывно дифференцируемые функции
времени, компоненты равнодействупцей действительных сил в подвижных
осях F^ {t,? , i ) как непрерывно fli»|$epeH4HpveMHe функции
переменных ?,|,?* и начальные условия:
t*0 , iu Го)*§* , ? (o)sK &'4*3)- B2.II)
Тогда уравнения B2.9) могут быть представлены в виде нормальной
системы шести уравнений: .
правые части которых на основании сделанных предположений будут
непрерывными по времени и непрерывно дифференцируемыми по ? и ^ »
По теореме 4 существует единственное решение этой системы,
удовлетворяющее условиям B2.11).
3°. Принцип относительности Галилея
Рассмотрим частный случай относительного движения, когда
подвижная система координат движется поступательно равномерно и
прямолинейно. Тогда легко видеть, что ао= сд = ё =о . При этом
переносная и кориолисова силы инерции обращаются в нуль J* = 3k =о,
и основное уравнение, динамики относительного движения принимает
вид ^ _ ~
*?* = ?(*'?> ?-]> B2Л2)
такой же, как и динамическое уравнение абсолютного движения. Это
означает, что относительное движение тел будет происходить по тем
ze законам, что и абсолютное; следовательно, подвижная система
координат также будет инерциальной. Таким образом, инерциальных
систем отсчета оказывается бесчисленное множество: в силу предыдущего,
всякая система, движущаяся поступательно равномерно и прямолинейно
относительно инерциальной састемы, также будет инерциальной системой.
L-d всех инерциальных системах отсчета динамические уравнения
-I2&-

движения имеш одинаковый вид, и, значит, все эти сиотемы
равноправны; следовательно, нет никаких оснований предпочеоть одну из
этих систем другой. Вопрос о том, какая из двух инерциальннх сно-
тем отсчета покоится, а какая движется, оказывается лишенным
физического смысла»
Равноправность воех инерциальннх систем является объективной
реальностью. Утверждение этой равноправности называет принципом
относительности Галилея. Отметим, что дальнейшее развитие
механики, связанное о теорией относительности, подтверждает и развивает
этот принцип.
4°. Относительное равновесие точки
Частшм видом относительного движения является относительный
покой. Условия, при которых имеет место равновесие точки
выражаются теоремой:
Теорема 25. Для относительного равновеоия первоначально
покоившейся свободной точки необходимо и достаточно равенство нулю
равнодействующей действительных сил и переносной силы инерции:
F+Je=o. B2ЛЗ)
Доказательство. Бели точка покоится, то %*о ; следовательно,
йг-'^ЁИ'О • ^**-/п.2а1х<гъ = р, и уравнение B2.3) дает
F+j*~o ¦ Воли, напротив, точка вначале покоихаоы Щ°'о , ж
выполнено условие B2.13), то, оогласно уравнению движения B2*3),
получаем ^- ^
После скалярного умножения этого равенства «a J?J- , отоща
получаем первый интеграл
где С - произвольная постоянная. В силу начального условия
C-qi° =о t следовательно, ^о , т.е. точка будет покоитьоя;
теорема доказана.
Векторное уравнение относительного равновесия B2.13) в
подвижной системе координат tf&f^fj эквивалентно трем уравнениям:
V4.ft.i), B2.14)
-127-

называемым уравнениями относительного равновесия точки в
прямоугольных декартовых координатах. Эти равенства можно рассматривать как
систему уравнений для координат f/Sjefj t определяющих положение
равновесия. Если выполнено условие 6@^4* >&J/as* * ° > то сис~
тему B2.14) можно разрешить, тем самым определяется координаты
положений относительного равновесия точки, в которых она будет
покоиться под действием приложенных сил.
5°. Об одной трактовке принципа Даламбера
Теория относительного движения точки позволяет дать специальную
трактовку принципу Даламбера.
Рассмотрим движение точки М массы т. в инерциальной
системе отсчета оХ{Х2хл под действием силы F . Свяжем с точкой
подвижную, или как еще говорят, сопутствующую систему координат
Mtit&h • в этой поолея&ей. системе точка, очевидно, покоится,
поэтому будет справедливо условие относительного равновесия B2.13)
F + J*=oy je=.m^ B2.15)
По смыслу относительного покоя сг = аг = о , следовательно t
ak =?a)x trz-o. Из теоремы сложения ускорений теперь получаем,
что абсолютное ускорение точки совпадает с ее переносным
ускорением, а = аа . Но тогда переносная сила инерции будет совпадать с далам-
беровой силой инерции: J*=J , и условие относительного покоя
B2.15) совпадет с выражением принципа Даламбера B1.4) для
свободной точки
F+J=o. B2.I6)
Таким образом, смысл принципа Даламбера для точки можно видеть
в переходе от рассмотрения движения точки в инерциальной системе
отсчета к рассмотрению относительного равновесия точки в
сопутствующей системе координат.
§ 23. Относительное движение у поверхности Земли
Известно, что гелиоцентрическая система отсчета является
инерциальной системой с высокой степенью точности. Геоцентрическая же
система координат, имеющая начало в центре Земли и жестко с нею
связанная 9 не будет инерциальной системой в силу движения Земли
по орбите и вращения вокруг своей оси. Рассмотрим некоторые
особенности движения в этой неинерциальной системе.
-128-

1°. Уравнение движения
Пуоть JxfXgXj - инерцж-
альная гелиоцентрическая
система координат» Свяжем
жестко о Землей о систему
оточета ^f/fjfj » поместив
начало о в центре Земли,
совместив ось о$3 с земной
ооью и проводя оси о\й и о&
в плоокооти экватора, и
будем рассматривать в этой
системе движение
материальной точки маоон т. у поверхности Земли. Обозначим через Р0 жР3
силы притяжения точки Землей и Солнцем и через 5 -
равнодействующую воех прочих оил, например, реакцию овяаей, сопротивление
среды и пр. Тоща динамическое уравнение относительного движения,
согласно B2.3), бядв?_
*?**Fm+Fs+J*+J**G . B3.1)
Пусть Q - угловая скорость вращения Земли. Известно, что эта
скорость постоянна и численно равна 0,0000729 зек
,-1
вое ускорение у Земли буцет отсутствовать:
ная сила инерции будет равна
ё*? ~о
Тоща угло-
, и переноо-
-т[аф + й* (й*рJ. B3.2)
Назовем через ms маосу Солнца и через d, d9 - радиусы-
векторы точек м и О в гелиоцентрической оистеме» Расстояние
do столь велико, что добавлением к нему величины порвдка
диаметра Земли можно пренебречь, поэтому полагаем расстояния всех тел
у земной поверхности от Солнца одинаковыми и равными dQ, так что
d=d9 • Сила притяжения точки М Солнцем равна.
?*^4?А • B3-3)
Запишем уравнение движения Земли в гелиоцентрической системе
координат под действием силы притяжения к Солнцу
*%*-/??#<
л - / то"*-* db
d/ dQ
-129-
U3.4)

где т.* - масса Земли. Сравнивая формулы B3.3) и B3.4), получаем
%="&. . При подстановке выражений B3.2) и B3.3) в уравнение
B3.1) часть -/яло переносной силы инерции сократится с силой
притяжения Солнца Fs , в результате будем иметь
™^f=P+G + J*, B3.5)
где положено
р=Ро -гпй х(ахр) = та . B3.6)
Сила Р называется силой тяжести или весом, а о -
ускорением силы тяжести материальной точки у земной поверхности. Как видим
из определения B3.6), вес имеет двоякую физическую природу: ос-
ноэдая часть веса - это сила Fm притяжения точки Землей,
малая же поправка - пъЪ.* (Q хр) есть часть переносной силы
инерции. Таким образом, сила инерции участвует в создании веса.
Замесим, что уравнение движения B3.5) сохранит свой вид, если
система координат ?/???3 будет иметь начало в любой точке
Земли, а не обязательно в центре. Действительно, поместив начало в
точку & , отстоящую от центра о на расстоянии р0, , и
обозначая через р' радиус-вектор точки относительно нового центра,
будем иметь jp'=p-poi ¦ При таком переносе начала относительные
скорость и ускорение не изменятся, следовательно, не изменится и
кориолисова сила инерции Jk ; также сохранят свой вид силы С ,
F0 и fs , не зависящие от положения точки отсчета. Что
касается переносной силы шерпжи, то она будет. J* =-пьса^+йх(йхр')]%
?де Q0f - ускорение нового полюса^ : а0/ =ао + Лх(Л*Д(). От-
евда легко ввдеть, что переносные силы инерции при разных полюсах
будут также совпадать
Следовательно, отправляясь от системы о'§,§я$3 , снова придем
к урии$:ечш (&?.5).
Zc\ Относительный покой вблизи Земли
iruccMc :г.ли r^iiiioLecHe точки, подвешенной на нити вблизи
поверхности Земли. Условие относительного поксл г. этогл сяг/чее будет
P+G =о% B3.7)
I5ie сг - реакция иу.т-. С^п-^о-^тслрто, Р есть та сила, которая-*

уравновешивает реакцию нити. Эту сижу
пружинный динамометр регистрирует хаи
r му силу тяжеоти, таким образом t
наименование ние оилы р тяжестью вполне оправдано.
Направление веоа дает направление
вертикали в данной точке земной поверхноо-
тж. Эта вертикаль вообще не совпадает о
направлением земного радиуоа,
отклоняясь от него на некоторнй угол ы (рис«
24). Угол / , образованный радиусом о
плоскостью экватора, называется геоцент-
Рис.24 рической широтой места, а угол р ,ооо-
тавдяемый с шюскоотью экватора вертикаль1*-геогра$ичеокой широтой.
Эти широты и угол ы. связаны зависимостью ф=у+ы..
Оценим величину угла ос # Из теоремы синусов, примененной к
силовому треугольнику (рио.24), получаем
Strtai Sin (ft-р)
Z
fl
F->
j**ma*Rf
где
ускорение свободного падения на полюсе, а И - радиус
точки вокруг земной оси. Отсюда, положив ф*у+ы. ,
находим
foot* l №*&*** ~ ???
SinZtf.
Принимая следующие значения параметров
м/сек, Q =7,29-10~^ ceifx, отсвда находим
/>
=6370 км, а9 «9t83
tabi -0.00I7
0°б'
широте 45и; ы. . =0 и достигается при
ftit/t
Следовательно.
«W*"°.«*7 *
\аы -О,0017Лл«?/.
0°7' и достигается на
зом, отклонение "вертикали от радиуса Земли наиболшее в средних
широтах и отсутствует на экваторе и на полюсах. Это отклонение
невелико, и им часто пренебрегают.
3°. Зависимость веса от широты места
Вычислим теперь величину силы веса Р . Для этого спроектируем
на направление вертикали равенство
р-
к+%
J' = mflSf
R=peojy,
тогда получим

P=FoOos*c- J* eojfy+ot)
Ввиду малости угла ы. можно положить <*« о , так что вес
будет равен
Гравитационная сила, оказывается, больше силы тяжести во воех
точках Земли, за исключе
pd/go =289"*, поэто
роты йудет иметь вид
ках Земли, за исключением полюсов, вде эти силы равны F0='P0 = rno •
pdfQo =289~*, поэтому закон изменения веса в зависимости от ши-
Р=Р 1 ) .
° ( SL99 J
Наименьшее значение вес имеет на экваторе, if =0, irce он равен
Рти = Р0{1~5й ); наибольшее значение достигается на полюсах
if = ± 90°: Ртах = ро . Отсвда яоно, что наибольшее относительное
изменение веса равно
Ртах-Рык д J_=0003/f
Ртах *99
т.е. составляет всего 0,34$. Поэтому в технических вопросах этой
разницей обычно пренебрегают.
4°. Закон Бэте
Бели влияние переносной силы инерции проявляется в изменении
веса тела в зависимости от его положения на Земле, то влияние корио-
лисовой силы инерции сказывается в искривлении траекторий
движущихся тел. Для объяснения этого явления рассмотрим точку, движущуюся
на земной поверхности по гладкой плоскости. Разложим угловую
скорость Земли на составляющие Лу и йя , из которых 5/ лежит в
плоскости движения, а й - перпендикулярна к ней: ? = й,+&&
Рассмотрим уравнение движения
Поскольку Ц и t\ лежат в плоскости движения, то сила инерции
Jf будет перпендикулярна к этой плоскости и вместе с силой Р
уравновесится реакцией плоскости^ - Следовательно, будет Р+М+
+ 3Й**0, и уравнение движения примет вид; та^Э$.
В северном полушарии вектор &? направлен по вертикали вверх
а вектор ?? лежит в плоскости движения, следовательно, сила 7*
-132-

также лежит в плоскости движения, она перпендикулярна к скорости
движения и направлена вправо от направления движения. Отсвда
заключаем, что вследствие вращения Земли точка t движущаяся в
горизонтальной плоскости, будет отклоняться вправо от направления своего
движения в северном полушарии (и влево - в южном) • Этим, в
частности, объясняется закон Бэра, согласно которому реки в северном
полушарии подмывают правый берег, а в южном - левый; в этом же причина
отклонений морских и воздушных течений*
§ 24. Отклонение падающих тел от вертикали
Существует целый ряд явлений, указыварцих на неинерциальность
системы отсчета, связанной с Землей, и тем самым подтверздащих
вращение Земли. Одним из них является наблщаемое отклонение
падавших тел от вертикали. Рассмотрим это явление на основе динамики
относительного движения.
Рис.25
Землей и имеет начало
Уравнение свободного падения
v Пуоть материальная точка М маосой т
падает без начальной скорости на Землю о
высоты И , расположенной на широте у .
Сопротивлением воздуха будем пренебрегать,
а величину Н будем очитать малой по
сравнению с Земным радиуоом и поэтому не
будем учитывать зависимость силы веса от
расстояния. Возьмем оистему координат
Ofj$sfj t которая жестко связана о
на поверхности Земли на одной вертикали
с начальным положением точки. Ось f3 направим по вертикали вверх,
ось €? - по касательной и меридиану к югу, а ось $?? - по
касательной к параллели к востоку (рис.25). Отклонением вертикали от
радиуса пренебрегаем.
Точ1*а будет двигаться под действием веса и кориолисовой силы
инерции. Уравнение движения точки будет иметь вид
та =р + 3*
или
d*
м*'1
= Q-ЯЗх
0*Л)
В проекциях на оси ??,§s,§j
щим тлеу ¦ ;• ; гм:
это уравнение эквивалент ?:?№*-
-133-

•"ели учесть, что компоненты ускорения сюбодного падения и угловой
лоростш Зешга имеют значения
¦^ уравнения движения примут вид
?-Л?^Л>|/, $ж--*Щщ***Г+$йЗтг>, if-J+ti/HtoV- B4.2)
обуется, найти решение этой системы уравнений, отвечающее следую-
1 начальным условиям:
Уравнения B4.2) могут быть проинтегрированы. Выполняя
интегрирование 9 получаем первые интегралы
где ^i,c3tCj - произвольные постоянные. Эти
постоянные,согласно условиям B4.3) , определяются в воде
юз-тому предыдущие уравнения будут
-2a%?Si«tf, ^-SLClU^hOeostf+^utf] J^-Qt+i^aecsif. B4.4)
•ределив f? из первого уравнения
4" *//***.„ B4»5)
подставив это выражение в третье уравнение, получим соотношение,
опускающее интегрирование
./штегрируя и одредсляя произвольную постоянную с помощью условий
B4.3). найдем второй интеграл
i=H-f +ti*tfV- B4.6)
-134-

Подстановка B4.5) и B4.6) во второе уравнение сястемн B4.4)
приводит к следующему уравнению для координаты ?у :
*/**Ч 'Stst^SimfCasf, B4.7)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка. Частноди решениями соответствующего ему однородного уравнения
\й + 43??{~0 будут фуНКЩИ
Частное же решение неоднородного уравнения» отыскиваемое в виде
квадратичного полинома времени» можно установить в форме
Следовательно, общий интеграл уравнения B4.7) будет
Постоянные интегрирования В> и В? определяются условиями
B4.3) в виде
«-f^ • v-
Следовательно, координата f, завиоит от времени следующим
образом:
t**# / , ***** \лл
Т~1' ~д*Р~'* ' B4#8)
Подстановка этой координаты в формулы B4,5) и B4.6) определяет
другие координаты в зависимости от времени посредством выражений
^'-^ «*-&*#•*;• <*•»
Формулы B4.8) и B4.9) выралвют закон падения точки. Из них
видно, что точка при падении отклоняется как в восточном, так и в
южном направлениях. Кроме того, поскольку -^у-<I , она
несколько замедляет свое падение. На полюсах if*±*ls. и $§ = $& = <>. , т.е.
падение происходит строго по вертикали. На экваторе у* о , §*оч
$а+° » т»е» имеется только вооточное отклонение.
2°. Опенка отклонений
Для оценки отклонений от вертикали в произвольных широтах раэ-
-135-

ложим тригонометрические функции в сходящиеся ряды по степеням
малой величины Sat и ограничимся двумя первыми членами разложений;
тогда получим
М SJH *Ш- &?, tut* - '/г 0-ср*Ш)* яФ- ^i
$=ffteO%n?y, ? *Ц- Oteotf, t3 = H-*f0- ?-*«*'?) . B4.10)
Из этих формуя видно, что южное отклонение представляет собой
величину высшего порядка малости по сравнению с восточным отклонением.
Оно оказывается того же порядка, что и поправка, учитывающая
влияние на падающее тело со стороны Солнца и Луны; поскольку последние
факторы при выводе уравнений не учитывались, то следует пренебречь
малыми членами порядка (л/J и с достаточной точностью считать,что
Таким образом, в рассмотренном приближении падающая точка
отклоняется только к востоку. Установим теперь зависимость величины
отклонения от высоты падения. Для этого, положив ?3 = о , определяем
время падения i-CSLH/o)^ . Подстановка этого времени в формулу
для § дает искомую величину
л" 3 '~J~' B4 J2)
В частности, при падении с высоты И =100 м на широте / =55°, для
которой а =9,81 м/сек, получаем ?? =12,55 мм.
Таким образом, величина восточного отклонения оказывается
достаточно заметной, чтобы ее можно было обнаружить в
эксперименте•Многочисленные опыты подтвердили наличие восточного отклонения,
близкого к теоретическому значению. Эти эксперименты могут служить
подтверждением времени Земли.
§ 25. Маятник Фуко
В качестве другого примера относительного движения точки вблизи
поверхности Земли рассмотрим колебание сферического маятника
длиной I с учетом вращения Земли (маятник Фуко)*
1°. Постановка задачи
Пусть маятник длиной t и массой т. укреплен на подвесе, не
-136-

оказывающем сопротивления повороту плоскости качания.
Будем рассматривать малые
колебания маятника
относительно системы координат 0§f^Jf
связанной с Землей следующим
образом: начало 0 взято в
точке подвеса, ось 0$3
направлена по вертикали вверх, ось
0$j - по меридиану к югу,
а ось 0§? - по параллели к
востоку (рис.26)* На маятник
jf. Рис «26 действует сила тяжести Р-тй
и реакция нити J?=Ayf , f'ff + ff+ff-P'Ot кроме того, к
нему следует приложить кориолиоову силу инерции 3*^-Ят&хд^ ,
что касается переносной силы инерции, то она входит в состав веса.
Следовательно, уравнение движения маятника будет иметь вид
та
то + Avf -&tn&
xtrz.
B5 J)
Будем решать задачу в цилиндрических координатах
9гР> 9жж°* %=*> ^VV-AV-
Уравнения движения в проекции на эти оси будут вида
а
* + —
"/«* тк_.
B5.2)
Установим значения величин, входящих в эти уравнения. На основе
кинематических формул компоненты ускорения в цилиндрических
координатах равны
о*=р-рё2} ал=рё+й.р9у a*'i\ B5.3)
9 9 0
Уравнение связи fs/г+я -I =о позволяет получить выражения
Наконец, с учетом представлений для векторов ускорения силы
тяжести и угловой скорости Земли
-137-

где tf - широта точки подвеса маятника, a kt , }? , к3 - орты осей
й » О • $з • neTPWPo получить выражения
^А*»?/**. ?*"~7' $*=-&eosifecs9^ S)*=QCoj</>&*#, B5.5)
С учетом формул B5.3) и B5.5) уравнения движения маятника B5.2)
будут
6-р&*!*9. jpr р~ЯП(?еыу&пв'-p9$cntf>),
B5.6)
/>#V j?^ 0 = - ? ? (pfin tf + k Cos if COS 0)y
?=-<j + 2-^z +2&(p6eos9 +pfLn.e)e<Dsif.
Определим малое движение маятника» происходящее из следующего
начального состояния:
t=o% p=0, p = iT0. B5.7)
2°. Эффект Фуко
Система дифференциальных уравнений B5.6), описывающих
произвольные движения маятника Фуко, достаточно сложна и точное ее решение
представляет значительные трудности. Однако для малых движений при
начальных условиях B5.7) решение удается выразить через
элементарные функции.
Движения маятника назовем малыми, если p/f « У . Для малых
движений, пренебрегая в уравнении связи B5.4) малой величиной ff/f
по сравнению с единицей, будем иметь
**-t % Я=0 , ж=*ч B5.8)
т.е. малое движение маятника будет плоским. В этом случае второе
уравнение системы B5.6) принимает вид
p9+Slp9+SLQpSitnf = 0.
После умножения на р оно интегрируется
p*(9+Q$Lntf)=Ct , Ct-const.
В силу начальных условий B5.7), постоянная ot=o , следовательноf
найденный первый интеграл будет вида
р (9 +aovstf) = o. B5.9)
При движении рфо , поэтому, сокращая B5.9) на р? и интегрируя
еще раз, находим
o=-afinif, 9-eo=-tajint/. B5jo)
-138-

Координата в характеризует положение плоскости качания маятника,
а координаты дл - положение маятника в этой плоскости (рис,
26). Формулы B5*10) показывают, что о течением времени олоокооть
ка*вния маятника поворачивается в огорожу отршдееяьвого
направления отсчета угла О (о пга на запад)» т.е. против вращения
земли. Эффект вращения плоокооти качания маятника был установлен-Фуко
в 1851 году и называется эффектом Фуко.
Величина угловой окорости вращения плоокооти качания маятника
равна J&I = Cl&nf , отоща аианует, что полный оборот эта плоо-
кость сделает за время Г'&Г/^ ^^/aS?nf* т&к *** **& вс,ь
время полного оборота Земли веж руг ее оси, равное 24 часам
(звездное время), то время оборота маятника ва широте у будет Т -
=2фсп if часов. За чао звездного времени плоскость маятника
поворачивается на угол, равный
Отскща видим, что эффект Фуко наиболее ярко выражен на полюоах и
совсем отсутствует на экваторе» В средних широтах этот угол
достаточно велик. Так, плоскость качания маятника Фуко» установленного
в здании Исаакиевского ообора в Ленинграде (длина маятника 96 ж,
вес 60 кг, амплитуда колебаний 5 м, период около 20 сек, широта
if =59°57 ), поворачивается за каждый чао приблизительно на 13°»
поэтому легко наолвдаема. Эффект Фуко обусловлен вращением Земиж
(при а -0, ?« е9 и эффекта не будет), и поэтому его можно
рассматривать как доказательство этого вращения,
3°. Уравнение ко^ебаядя, щ \тщди iffiTf -
Обратимся теперь к другим уравнениям системы B5,6). Последнее
из них позволяет определять множитель овязи* Действительно,
учитывая условия B5.8) и пренебрегая в уравнении членами, содержащий
малый параметр. Q , получаем
А* - ^- ¦ B5JI)
В первом уравнении Bб.С), в силу ?=о > одни из чявнов
обращается в нуль; внося далее в него выражения е и А , согласно
формулам B5.10) ж B5*11), и пренебрегая малыми членами,
содержащими множитель & , получим следующее уравнение для координат*/* :
Р+тр*°-
-139-

Это уравнение определяет гармонические колебания
Постоянные А и <? , вычисленные по начальным условиям
B5#7)fимеют значения а = %№/& » ^° » так что уравнения колебаний
окончательно буцут иметь вид
/>*<!;jft*yf*- B5-I2)
Формулы B5.8), B5.10) и B5.12) полностью определяют движение
маятника. Заметим, что при начальных условиях общего вида движение
маятника в плоскости л= о можно описать как движение вдоль
вытянутого эллипса, плоскость которого вращается по часовой стрелке со
скорост ью Q fan. у.
Реакция нити, определяемая выражением
в силу формул B5.4), будет равна Н'= 21А (%е{ +&3) •
В силу условий p/t 4c i , первой составляющей можно пренебречь.
Подставив в оставшееся выражение множитель связи по формуле B5.11)
окончательно получим
N=-mje3=-p. B5.I3)
Таким образом, при малых колебаниях маятника реакция нити численно
равна весу и направлена против веса.
-140-

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТОЧЕК
Механическая теория-динамика системы точек занимает в механике
центральное место. Все другие теории получагтоя из нее при
дополнительных, предположениях о характере сил взаимодействия меаду
отдельными точками системы. В этой теории рассматривается движение
таких систем точек, положение которых можно определить конечным
числом параметров. Главной задачей динамики систем является
изучение методов составления и исследования уравнений движения
механических систем, а также изучение общих свойств движения.
Глава 4.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ОВДИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
В этой главе будут получены уравнения, описывающие движение
системы точек, и сформулированы условия, при которых существует
единственное решение этих уравнений. Для полного решения механической
задачи необходимо проинтегрировать уравнение движения и найти
координаты всех точек как функции времени. В большинстве случаев это
связано со значительными математическими трудностями. Однако
нередко требуется знать только некоторые величины, характеризующие
движение системы в целом. Для этих целей можно не интегрировать
всю систему уравнений, а найти только некоторые ее интегралы.
Последнее часто может быть достигнуто применением общих теорем
динамики, являющихся прямым следствием уравнений движения.
§ 26, Уравнения движения системы точек
1°, Система точек, внутренние и внешние силы
Механической системой называют такое множеотво материальных то-
-14Г-

чек, в котором движение каждой точки зависит от положения и движе-
ния остальных точек, Таким образом, механическая система - это
совокупность взаимодействующих точек. Классическим примером
механической системы является Солнечная система, в которой Солнце и планеты
рассматриваются как материальные точки. Горсть песчинок,
подброшенных в воздух, системы не образуют, ибо песчинки практически не
взаимодействуют друг с другом. Систему называют неизменяемой, если
расстояния между точками сохраняются при движении. Такой системой
будут, например, две точки, соединенные невесомым нерастяжимым
стержнем.
Рассмотрим некоторую механическую систему. Силы, действующие на
ее точки, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними
называют силы взаимодействия мевду точками данной системы, эти
силы будем снабжать индексом i . Так, внутренняя сила, действующая
на и -ю точку со стороны /и -й точки .обозначается через FJL .
Равнодействующая же всех внутренних сил, действующих на * -ю
точку ^?* будет равна /*1ж?Р* . Внешними называют силы
взаимодействия мелоду точками системы и внешними, не включенными в
систему, телами; эти силы будем снабжать индексом е . Например,
равнодействующая всех внешних сил, приложенных к \> -ой точке,
обозначается через Pf v Вйутренние и внешние силы могут быть как
активными, так и пассивными.
Разбиение сил на внутренние и внешние зависит от выбора
механической системы. Одна и та же сила, будучи внутренней для одной
системы точек, может быть внешней для другой.
2°. Дифференциальные уравнения движения системы
Пусть рассматривается система, состоящая из л материальных
точек. Возьмем i/ -ю точку системы с массой ти , положение
которой определяется радиусом-вектором т, .В общем случае на_эту
точку действуют внешние и внутренние силы. Обозначим через Р^
равнодействующую всех этих сил F? *F/ + F/ , Будем считать, что
силы Р^ определены как функции времени положений и скоростей точек
Ру = P$(t,%,...&$,...,?АТогда для каадой точки справедливо
установленное в предыдущем разделе уравнение
-142-

Уравнения B6.1) представляют собой систему п
дифференциальных уравнений движения механической системы в векторной форме, В
проекциях на оси декартовой системы координат xttxt,jcs э?и
уравнения дадут Зп скалярных дифференциальных уравнений движения:
mJ^&FJ(i^ ' ¦»•*"• *'*••',**> &*i- ,*'> *'&*) B6.2)
Уравнения B6*2) определяют математическую модель "система мат:*
риальных точек".
3°. Постановка и разрешимость математической задачи
п ут**™* "еханичеокой системы
Будем считать , что приложенные к сиотеме силы Fj известны и
являются непрерывными функциями времени и» непрерывно
дифференцируемы по координатам х* и скоростям 3t? (>>=й,..«,/г )# Кроме того,
будем считать заданными начальные условия движения
t-d, х^х^% *^=±? (Щ.-*,*? «•№). B6.3)
Тогда уравнения движения B6.2) можно представить в виде
нормальной системы 6 а уравнений х
правые части которых непрерывны по времени t и непрерывно
дифференцируемы по переменным xj* и xj , По теореме 4 существует
единственное решение системы:
удовлетворяющее начальным условиям B6.3).
Нахождение решения производится путем отыскания, например, 3*
первых интегралов, независимых по окороотям, и затем вторых 3 к
интегралов движения. Понятия первых и вторых интегралов вводятся
аналогично тому, как это было сделано для точки.
4°. Движение при действием оил притяжения, пропошио-
ылжипла расстояниям и массам
Найдем движение материальной оистемы, состоящей из п точек,
притягивающих друг друга пропорционально произведениям масс на
взаимные расстояния, относительно инерциальной системы оточета 0x^z^3
-143-

(рис.27)»
Пусть \) -я точка имеет массу ти и
радиус-вектор %, относительно
центра 0. Тогда сила F^ , с которой
точка т^ притягивает точку т^ , будет
равна ^^к^гп^т^сг^-г^) , где кл -
множитель пропорциональности.
Равнодействующая /^ всех сил, действующих
на точку "V 9 шеет значение
*Г
Гт^т^сг^г^)
Уравнения движения системы в
векторной форме в этом случае имеют вид
Рис.27
Установим движение системы из следующего начального состоянп:
Ь-о
-*;
(»= /,...,л). B6.6)
Для интегрирования системы B6.5) просуммируем шачале уравнения
по индексу v t в результате получим Ет^^о % тгк как чравая
часть равенства разбивается на сумму пар векторов, равных друг
другу по величине и противоположны по направлению. Дважды интегрируя
это уравнение и определяя постоянные интегрирования по условиям
B6.6), находим
Em^-Atn
A-Zmrf
V V
B6.7)
Введем для мехак.-тезкой сислмы центр С, определив его радиуо-
вектор выражением \^^ПГ11\ > Г^е гп=Ет^ . Тогда из
равенства B6.7) видно, что эта точка сбудет двигаться прямолинейно и
равномерно
V
А . В
т. ttt
B6.8)
Чтобы закончить интегрирование уравнений B6.5), рассмотрим
движение механической системы по отношению к системе осей <?§,§л^ »
движущейся поступательно вместе с центром С (рис.27). Эта система
будет, очевидно, инерциальной. Положение v -й точки относительно
центра С определяется вектором Д , который связан с вектором у
равенством \-\+Pv • Переходя в уравнениях B6.5) от
переменных у к переменным Д. 9 получаем
-144-

* М /и • у /«V/ Л?
Следовательно, уравнения движения будут
V/"'1^ ™l >? **4# -« Bб-9)
Таким образом, оказывается, что в оиотеме отсчета 0$г(ж$3
система уравнений движения распадается на отдельные уравнения»
которые легко интегрируются. Выполняя интегрирование и определяя
произвольные постоянные до условиям B6.6) и B6.8), будем иметь
fi = J),&J*)^t+%№Jtyfnt Л*/..»,л>, B6.10)
Уравнения B6.10) показывают, что движение точек системы по
отношению к центру С будет колебательны*.
Возвращаясь к прежним переменным ^ , получаем
г » Д-* i — +$<w*ifct+?&niVmi fas,. ..,n)% B6.11)
У /ft ffl if v
Эти формулы и решают поставленную задачу* Движение системы
слагается из поступательного движения вместе о центром С и колебательного
движения ее точек относительно этого центра.
§ 27. Основные динамические величины системы
Раосмотрим механическую систему а материальных точек,
движущуюся относительно инерциальной системы оай^х3 • Введем рад
величин, играющих важную роль в динамике.
1°. Масса и центр масс оиотемы
Возьмем некоторую точку системы /} и обозначим через ту ее
массу и через г? - радиус-вектор относительно начала 0.
Сумма масс всех точек системы называется массой системы и
обозначается через т. :
-145-

***Hm- B7 Л)
Масса является одной из инерционных характеристик системы.
Важной характеристикой системы точек является так называемый
центр масс системы С - геометрическая точка, радиус-вектор которой
определяется через массы и положения точек системы равенством
\=к]1"%\ вд« ^'JrE*** t*'1*3)- B7.2)
Рассмотрим некоторые свойства этого центра.
1. Положение центра масс системы по отношению к ее точкам не
зависит от выбора системы отсчета. Действительно, в другой оистеме
отсчета 0'xJxjXJ $ натело которой смещено от начала исходной сиоте-
мы на величину до' = \ , положение тощи ^ определяется
вектором г, , который связан ? вектором \ равенством v^z***•
Отсюда для радиуса-вектора г'с центра масс в новой системе
следует выражение
Теперь лепсо видеть, что положение центра масс по отношению,
скажем, пергой точки будет
т.е. оно одно и то же в разных системах*
2. Говорят, что механическая система имеет плоскость материальной
симметрии, если она состоит Из пар точек с равными массами,
симметричных относительно этой плоскости. Т такой системы центр масс
принадлежит плоскости симметрии. Действительно, взяв плоскость
симметрии за плоскость xtxx системы координат 0х?хлх3 , увидим, что
точке с массой т^ и координатами (-xftx?,x* ) будет
соответствовать симметричная точка с массой т, и координатами (^/, •*/,-**/ )•
Простой подсчет теперь показывает, что третья коошината центра
маос будет нулем:
а это условие и доказывает высказанное утверждение. Отсвда следует,
что если у системы две плоскости материальной симметрии, то центр
масс лежит на линии их пересечения; если три, то центр масс
совпадает с их точкой пересечения*
3. Говорят, что механичеокая система имеет ось материальной симмет-
-146-

рии, если она состоит из пар точек о равными маосами, оимметричных
относительно этой оси* 7 системы с осью симметрии центр маоо лежит
на этой оои* Действительно, приняв ооь.оимметрии за ооь 0Х3
системы координат OxjXjjtj , найдем, что у оимметричных точек с
равными массами т, координатами будут величины ( xftxf xf )t
'¦"¦'4'i'ЙГТ*,,,, .fa,'* .,,
что и доказывает утвервдение.
4. Если систему точек разбить на род групп точек и считать
известными как массы, так и центры масо этих групп, то центр маоо
системы определится как центр масо точек, совпадащих с центрами маоо
групп и обладающих маосами этих групп, В самом деле, разобьем
исходную систему на S групп и пусть т^% 'гевС и /^ - маооа,
радиус-вектор центра масс и число точек об -ft группы. Тоща очевидны
формулы s ^ ^
Ясно далее, что
а это и доказывает сформулированное свойство •
5, Центр маос оиотемн двух точек Pt ft P* лехят на соединяющей
их прямой и делит расстояния между точками обратно пропорционально
их массам. Действительно, из общей формулы
следует, что центр маос лежит на прямой %PZ , причем j>C =
>S3^V?<> .Очеввднсчто ^-%-Чг-^^-Чг).
Теперь легко ввдеть, что ср :ср^т?хтг% и свойство установлено,
2°. Меры движения системы
Пусть trv является скоростью V —ft точки системы. Векторы
-147-
I^т.,^ и ^'-г^хгпсг называются соответственно коли-

чеством движения точки и кинетическим моментом точки относительно
центра 0.
Геометрическая сумма количеств движения всех точек,
составляющих систему, обозначается через к и называется количеством
движения системы. Геометрическая сумма^кинематичеоких моментов всех
точек системы обозначается через 2.9 и называется кинетическим
моментом системы относительно центра 0. Таким образом.
Я'Е"ЬЪ , /,S^V^. -B7.3)
Количество движения и кинетический момент являются мерами
движения механической системы по отношению к инерциальной системе
отсчета Ох^^х^ . Другими словами, они характеризуют тот запас
движения, которым обладает система материальных точек по отношению к
системе отсчета• Эти меры употребляются для тех явлений, в которых
механическое движение сохраняется как таковое, не переходя в
другие формы движения.
Скалярная величина T^fam.^* называется кинетической энергией
точки. Сумма кинетических энергий всех точек, составляющих сио-
тему, обозначается через Т и называется кинетической энергией
системы
T=jE^of. B7.4)
Кинетическая энергия также служит мерой движения системы точек.
Однако она употребляется для тех явлений, в которых механическое
движение переходит в другие формы движения. Иными словами,
кинетическая энергия служит мерой перехода механической энергии в другие
формы энергии.
3°. Силовые характеристики
На каждую материальную точку действует, вообще говоря, некоторая
сила, так что на механическую_систему действует_система сил. Пусть
к точке_ /$ приложена сила У? . Вектор М^г/F^ называют моментом
силы F^ относительно центра 0.
Геометрическая сумма всех сил обозначается через F и
называется главным вектором системы сил. Геометрическая сумма моментов
сил относительно центра 0 обозначается через М0 и называется
главным моментом системы сил. Таким образом,
Р=ПГ, > tf=2ZixF B7.5)
V Y О у У У
-148-

Главный вектор и главный моЬюит системы сил является мерами
механического взаимодействия между телами.
Скалярные произведения M^F^ и Кя^ •** называют
соответственно мощностью и вириалом силы % . Сумма мощностей сил
обозначается через /f и называется мощностью системы сил. Сумма ви-
риалов сил обозначается через V и называется вириалом системы
сил* Таким образом,
Мощность является мерой воздействия сил на перемещениях точек в
единицу времени. Вириал характеризует меру воздействия сил на
материальные точки в направлениях радиусов-векторов точек.
Наряду с вышеперечисленными локальными силовыми
характеристиками, важное значение имеют и интегральные характеристики. Пусть под
действием силы /J точка /J за время tSL-tt проходит вдоль
траектории путь Ц*Р* . Тоща величины
называют соответственно импульсом силы /J за время tSL-ti и
работой силы /J, на пути Р$Р* . Импульо силы является вектором,
а работа силы - скаляром. Геометрическая сумма импуяьоов сил
обозначается через $ и называется главным вектором импульсов-сил.
Алгебраическая суш» работ обозначается через Л и называется
работбй системы сил. Таким образом, л
Импульс сил является временной мерой действия сил; работа сия
является мерой действия сил на протяжении пути движения точек.
4°. Связи между динамическими величинами
Массу системы, а также характеристики движения и сил называют
динамическими величинами. Оказывается, что мевду мерами движения
системы и мерами силового воздействия на нее можно установить
определенные зависимости. Эти последние вытекают из дифференциальных
уравнений движения системы и носят название общих теорем динамики
системы. Выводу и исследованию этих общих теорем и будут посвящены
последующие параграфы этой главы.
-149-

§ 28. Свойства внутренних сия механической системы
В большом числе случаев внутренние силы механической системы
бывают наперед неизвестны и так же, как координаты материальных
точек, подлежат определению. Тем самым увеличиваются трудности
решаемых задач. Поэтому получили распространение методы, позволяющие
исключить из рассмотрения эти дополнительные неизвестные величины.
Эта цель достигается с помощью общих теорем динамики и
основывается на ряде специальных свойств внутренних сия,
1°. Свойство главного вектора внутренних сил
Возьмем две точки />, и Р^ механической системы. Обозначим
через /^ силу, с которой на точку Pv действует точка Р^ • Тогда
очевидно, что на точку /^ со стороны точки Р^ будет
действовать сила F^ , По третьему закону Ньютона эти силы будут равны
друг другу по модулю и направлены по одной прямой в
противоположные стороны (см«рис.27), т.е.
Главный вектор внутренних сил системы FL может быть
подсчитан следующими двумя способами:
Fl=EFL= ПР F1'=Г Fi = Г F
Сложением двух этих равенств с учетом соотношений B8,1) находим,
что
2?1=? (F+F„v )'0 или FL -я
W * М B8.2)
Таким образом, главный вектор внутренних сил системы равен нулю.
2°. Свойство главного момента внутренних сил
Аналогично предыдущему вычислим двумя способами главный момент
внутренних сил системы. Учитывая равенство i =. ? + г , бу-
дем иметь
поскольку г IIF^ . Почленное сложение полученных выражений,про-
-150-

изведенное о учетом хрловвй B8.1), позволяет заключить, что
гг<
Щ *Z: % *(F *Р )~о щи Л>о.
' Z " * ^ '/»
о
Щ г г- B8#3)
Следовательно, главный момент внутренних сил системы относительно
произвольного центра 0 также равен нулю.
3°. Свойства мошнооти внутренних сил
Согласно определению» мощность внутренних сил системы может быть
представлена в виде выражений
M^ZP'-v-ZF <r , N'ZF^-ZF* •*
Дифференцированием по времени равенству 1^=2^ -г^ можно
установить между скоростями, точек следующую связь: t?r ^-1^, . С
помощью этого равенства второе из выражений B8*4) можно
представить в виде
tfl=ZF •(%-* ,)•
jfr /11/ " м*>
Складывая его с первым выражением B8.4) и использун условия B8.1),
будем иметь
Поскольку сила Р^ коллинеарна вектору гм^ , будет
справедливо представление ^L^^Li/ **% ¦ 3 которой зна^ плюс
отвечает силам притяжения между точками,'знак г.:икус - силам отталкивания,
С учетом этого представления мощность ск.\:,.:т равна
у
Таким образом, в отличие от главного эектора и главного момента
мощность внутренних сил вообще нулю ve оаша. В частном случав
неизменяемой системы расстояния мевду дг.-мч тотпса?лк постояннч,
поэтому г = const 9 Ъ^о 1 и «ермула (ГХ.5) дает
Ml*o, аиб)
т.е. в этом случае мощность внутренних сил Судет равна нулю.
В другом частном случае, когда внутренние силг зависят только
-151-

от расстояний между точками F^„ = Fu (г^) можно ввести так
называемую потенциальную энергию внутренних сил V1 f положив
Тогда мощность будет равна взятой со знаком минус производной по
времени от этой энергии .
Ml= - Jp ' B8.8)
§ 29. Изменение количества движения системы и
движение ее центра масс
Установим закономерность изменения со временем количества
движения механической системы и особенности движения ее центра
масс¦Соответствующие свойства сформулируем в ввде теорем.
1°. Теорема об изменении количества движения системы
При движении механической системы ее количество движения под
действием приложенных сил вообще изменяется со временем. Величина
этого изменения определяется следующей теоремой.
Теорема 26. Производная по времени от количества движения системы
равна главному вектору действующих на нее внешних сил
-gf- =F- B9.1)
Для доказательства теоремы будем исходить из дифференциальных
уравнений движения системы B6J), в которых силы подразделены на
внутренние и внешние
d&i, _Л - .
"bdf-'C+W Г'-/....,*Л B9.2)
Почленным суммированием всех этих уравнений находим равенство
Но главный вектор внутренних сил равен нулю F1- о . с учетом
этого свойства равенство B9.3) принимает вид B9Л); теорема
доказана. Таким образом, теорема является следствием уравнений движения
системы. Из теоремы следует» что изменение количества движения
системы может происходить только под действием внешних сил*
Внутренние силы не входят в уравнение B9J), и это является
-152-

достоинством теоремы, так как эти, силы, обычно, наперед не заданы.
Этот факт, однако, не означает, что внутренние ошш вообще не могут
влиять на изменение количества движения. Так будет только при
равенстве нулю главного вектора внешних сил. В общем случае
внутренние силы изменяют положения % и скорости Ц, точек системы и
тем самым изменяет вектор ¦ F*(t, \ <%) • зависящий от этих
величин. Таким образом, влияние внутренних сил может сказываться через
внешние силы.
Эту теорему можно также представить в интегральной форме. Для
этого проинтегрируем по времени в пределах от t=o до t
векторное равенство B9Д). В итоге получим
Я-*9«/Ре<*, B9.4)
ще Х0 - количество движения в момент t0 • Теорема в этой форме
утвервдает, что изменение количества движения системы за некоторый
промежуток времени равно импульоу главного вектора внешних сил за
тот же промежуток.
Интегральная форма теоремы обычно используется в случае, когда
можно вычислять^штеграл, стоящий в правой части равенства B9.4),
т.е. *.OTKBiF*=F*{t).
В проекциях на оси декартовой оистемы координат равенства B9.1)
и B9.4) эквивалентны соотношениям t
d-jT=F* X-X°=[F*dt Ы-4АЗ). B9.5)
О
Частным случаем системы является материальная точка. В этом
случае теорема об изменении количества движения принимает вид
B9.6)
о
или в проекциях на координатные оси xtx2xs
t
dtb Of
m^T=/U, мг-лигш^/rjt (U=W). B9.7)
Отсща видим, что дифференциальная форма теоремы для точки
совпадает с основным законом динамики.
2°. Одно свойство количества движения системы
Установим связь между количеством движения системы и скоростью
-153-

ее центра масс. Для этого продифференцируем по времени соотношение,
определявшее центр масс системы Цт^ = тТс , тогда, учитывая
выражение количества движения системы, будем иметь
Это означает, что количество движения системы равно количеству
движения ее центра масс, если считать, что в нем сосредоточена вся
масса системы*
3°. Движение центра масс системы
Опираясь на свойство B9*8) количества движения, теореме об
изменении количества движения B9.1) можно придать другую форму:
cloL _ /> е
m~ = Fe или rnJc *F C*"W3).
dt * * B9.9)
Эти равенства выражают собою следующую теорему о движении центра
масс системы.
Теорема 27, Центр масс системы точек движется как материальная
точка с массой, равной массе системы под действием силы, равной
главному вектору действующих на систему, внешних сил.
Из теоремы следует, что изменение движения центра масс системы
происходит только под действием внешних сил системы. Внутренние
силы непосредственно не действуют на центр масс. Однако их влияние
на движение центра масс так же, как и на количество движения
системы, может сказываться через внешние силы»
Теорема о движении центра масс системы имеет большое
принципиальное значение. Основные законы механики формулируются для
материальных точек. Реальные же материальные тела могут рассматриваться
в качестве материальных точек лишь приближенно. Й вот оказывается,
что к центру масс тела или системы тел эти законы применимы
совершенно строго без всяких приближений.
4°. Интегралы количества движения
В некоторых случаях теорема об изменении количества движения
системы может дать интегралы движения.
Пусть главный вектор внешних сил системы равен нулю р*-о .Это
свойство выполняется, в частности, для так называемых замкнутых
систем, у которых совсем отсутствует взаимодействие с внешними
телами. Тогда формула B9.1) позволяет установить, что имеет место
-154-

векторный интеграл количества движения
51= Const ИЛИ X = Const (ot-'Ш),
* ' C29.I0)
т.е. при равенстве нулю главного вектора внешних сил количество
движения системы сохраняется неизменным. В этом утверждении
заключается так называемый закон сохранения количества движения.
В силу свойства Я=тЬ\ , интегралу J29 ДО) можно придать вид
Ц = const , т.е. при равенстве нулю F* центр масс системы
движется по инерции.
Рассмотрим более общий случай, когда при F**o будет нулем
его проекция на какую-либо ось, например, первую Ff~o . Тогда
из уравнения Xt * F/ *о получаем
#1 =eonst или <rf = const. B9.11)
Следовательно, при указанном условии будет постоянным количество
движения системы вдоль первой оси или, что то же, букет равномерно
двигаться вдоль первой оси центр масс; теорема даст в этом случае
один первый интеграл.
5°. Силы, вызывающие движение человека
В связи с вопросом о движении центра масс системы интересно
рассмотреть силы, вызывающие движение человека. Пусть человек стоит
на гладкой горизонтальной поверхности. Единственными внешними
силами, приложенными к нему, будут его вес и нормальная реакция
поверхности. Но эти оилы не дают горизонтальной составляющей и потому не
могут внзвать перемещения центра масс человека в горизонтальном
направлении. Если с помощью мускульного усилия человек выдвигает
вперед одну ногуf то другая его нога должна отодвинуться назад,
чтобы центр масо оставался в покое. Поэтому, находясь на гладкой
поверхности, человек не может начать двигаться. Бели, однако,
поверхность обладает трением, то перемещению одной из его ног назад
препятствует сила трения, направленная вперед. Таким образом,
единственной внешней силой, делающей возможным движение человека по
горизонтальной поверхности, является сила трения. Мускульное усилие,
развиваемое-человеком при ходьбе, имеет своей целью вызвать
необходимую силу трения.
Рассмотренный случай является примером того, как действие
внутренних сил - мускульных усилий - сказывается на движении центра
-155-

масс через посредство внешней силы - силы трения. Из сказанного
становится понятным, почему легко ходить, скажем, по асфальту и
плохо - по льду. В первом случае сила трения подошв о поверхность
достаточно велика, в втором случае - она недостаточна.
6 . Прыжок человека из лодки на берег
С помощью теоремы об изменении количества движения системы
оказывается возможным объяснить, почему человек, прыгающий из легкой
лодки на берег, нередко не достигает берега.
1 У
""" ^ ч Чтобы прыгнуть на определен-
¦ ное расстояние, человек с
помощью мускульного усилия
сообщает своему телу начальную
скорость tr0 , направленную
под углом ос к горизонту.
Центр масс человека движется
при этом как тяжелая точка,
брошенная под углом к горизонту, и проходит путь L
? =
f = 1 1
B9.12)
Пусть человек прыгает с неподвижной лодки на берег, отстоящий от
него на расстоянии I (рис.28). При этом человек затрачивает
мускульное усилие, нужное для преодоления такого же расстояния при
прыжке, скажем, на земле. Однако приобретаемая им скорость будет
теперь не абсолютной, а относительной.•Вычислим составляющие q°'
и v°f абсолютной скорости в этом случае. Рассмотрим
механическую систему, состоящую из человека и лодки. Внешними для нее будут
силы тяжести человека Р=т^д , лодки S\ = m*f и реакция
воды ft ; все они вертикальны. В неподвижной системе координат
Ох?хя , изображенной на рис.28, первый компонент главного
вектора внешних сил будет нулем; f*€=o \ следовательно, количество
движения системы вдоль горизонтальной оси будет постоянным и равным
нулю. Обозначив через а скорость, приобретаемую лодкой в ре-
vf'* mAu*o. Так. как q0Lq°tu f
Вертикальная же начальная ско-
зультате толчка, будем иметь
отсюда находим Ч9'* пГ+т %°
рость будет, очевидно, такой же, как и при прыжке о неподатливой
-156-

опоры 5*-?° . Следовательно, дальность полета при прыжке с лодки
I1 будет равна
f " mttm.A ' B9.13)
Так как тх+т.** t то ^<^ , то есть человек не допрыгнет
до берега. В частности, если >*г* 2тл 9 то
^ s /л и ЛИЛ
следовательно, прыжок с лодки оудет втрое короче прыжка на земле
при одном и том же исходном усилии.
§ 30. Изменение кинетического момента системы
Под действием приложенных сил кинетический момент системы
изменяется со временем. Характер этого изменения выражается следующими
теоремами*
1°. Теорема об изменении кинетического момента
системы относительно неподвижного центра
Имеет место следующая теорема*
Теорема 28. Производная по времени от кинетического момента сиоте-
мы относительно некоторого неподвижного центра равна главному
моменту приложенных к системе внешних сил относительно того же
центра: 7
аГ= . (зол)
Доказательство* Будем исходить из дифференциальных уравнений
движения системы точек: _
Умножим векторно слева уравнение движения ^ тй точки на ее
радиус-вектор ^ относительно неподвижного центра 0 и результаты
просуммируем по всем точкам системы, в итоге получим равенство
-157-

Легко видеть, что левую часть этого равенства можно представить
в виде _
В правой же части равенства стоит сумма главных моментов внешних и
внутренних сил системы
Таким образом, получаем соотношение
ЗГ'-Ъ+Ъ1. (зо.2)
Согласно свойствам внутренних сил,их главный момент равен нулю
М?~о , равенство C0.2) при этом принимает вид (ЗОД), что и
доказывает теорему.
Приведенное доказательство показывает, что теорема является
следствием дифференциальных уравнений движения системы. Из
теоремы следует, что изменить кинетический момент системы могут лишь
внешние силы. Что касается внутренних сил, то они не входят в
выражение теоремы и, следовательно, непосредственно не влияют на
изменение кинетического момента. Однако их влияние может
сказываться через посредство внешних сил: главный момент внешних сил R*
может зависеть от положений точек г, и их скоростей Ц ,
которые могут быть изменены внутренними силами. Бели же внешние
силы отсутствуют, то кинетический момент от внутренних сил не
зависит вовсе.
2°. Теорема площадей
Если воспользоваться понятием секторной скорости точки
?ф=\х'($ , то кинетическому моменту системы можно придать вид
•Ce? V"V^- *?"*,# • C0.3)
С помощью этого выражения теорему об изменении кинетического
момента (ЗОД) можно представить в форме
**ч*Г"Л:. ?;-аг' (зо.4)
где «у* есть секторное ускорение точки. Уравнение C0.4) пред-
-158-

ставляет собой так называемую теорему площадей:
Теорема 29. Удвоенная оумма произведений масо материальных точек
на их секторные ускорения относительно некоторого неподвижного
центра равна главному моменту внешних сил системы относительно
того же центра.
Векторные равенства (ЗОЛ) и C0,4) в проекциях на оси
декартовой системы координат 0иС{х^х3 эквивалентны оледупцим тройкам
уравнений:
ZU*SK i *?'"b<U'-MJ 6**ЛЗ), C0.5)
где
i?m8S&f? **шх C0,6)
Ранее было выяснено, что теорема о количестве движения»
представленная в интегральной форме, дает первый интеграл
движения,воли внешние силы являютоя известными функциями времени. В
интегральной форме можно представить и теорему о кинетическом моменте.
Однако она не представляет особого интереса, ибо моменты внешних сил,
как правило, зависят от положений точек. Поэтому только в
специальных случаях они будут известными функциями времени.
В частном случае, когда механическая система состоит ив одной
материальной точки, теорема об изменении кинетического момента и
теорема плошдцей принимает вид
gf (гхтЮ = %*F, пгСгха)-гхр f C0.7)
&**&&&• -ftrWlrf *"*¦
C0.8)
3°. Интегралы площадей
В ряде случаев теорема об изменении кинетияеокого момента
системы (теорема площадей) может давать первые интегралы движения.
Действительно, пуоть равен нулю главный момент внешних сил Н?=о ,
что, например, будет, когда внешние силы на систему не действуют;
тогда из равенства C0.1) следует, что gf- ° » т.е. имеет мео-
то векторный интеграл
-159*

</ ^ CCrtjt ИЛИ J_=COnst (ol.lyU,3).
о * C0.9)
Таким образом, при этих условиях кинетический момент системы
будет величиной постоянной. Равенство C0.9) выражает, следовательно,
закон сохранения кинетического момента.
Если главный момент fff отличен от нуля, но равна нулю его
проекция на какую-либо, например, первую ось М?=о , то из
уравнения C0#5) e?j = м° =о будет следовать один скалярный
интеграл
J.° =oonsi , C0.I0)
т.е. в этих условиях будет сохраняться неизменным кинетический
момент системы относительно первой оси. Ввиду связи C0.3)
кинетического момента с секторными скоростями, интегралы C0.9) и C0.10)
можно формулировать в терминах секторных скоростей, по этой
причине их называют еще интегралами площадей.
4°. Вращение фигуриста на льду
Теорема о кинетическом моменте и интегралы площадей позволяют
объяснить ряд наблюдаемых эффектов механического движения.
Рассмотрим, например, явление убыстряющегося вращения
конькобежца-фигуриста на льду вокруг вертикальной оси х •
На тело фигуриста действуют две внешние силы: его вес р и
нормальная реакция льда Л , приложенные в центре масс. Считая, что
ось х направлена вертикально вверх, будем иметь
Сумма моментов внешних сил относительно оси х3 будет нулем
следовательно, кинетический момент относительно третьей оси будет
постоянным j(°=oonsl . Установим выражение для ,/J . При
вращении вокруг неподвижной оси с угловой скоростью й) скорость
точки равна 1%=сдхт.0 . Поэтому
Проектируя это выражение на ось sc3 и имея в виду, что
Q'^jij бУДем иметь-
-160-

4 - ? V<3\*-*?<№Я * <bb, 1„'?%(*^Ф¦ (зол)
Величина /^ называется осевым моментом инерции. Итак, интеграл
площадей можно представить в виде
т.е. произведение ооевого момента инерции на угловую скорость
вращения постоянно. Изменение окорости вращения фигуриста объясняется
теперь следующим обраэом. Вначале фигурист разведя руки в стороны,
толчком сообщает овоему телу некоторую окорость вращения. Затем,
прижимая руки к телу, он уменьшает осевой момент инерции и тем
самым в силу постоянства JL3 увеличивает скорость вращения.
Понятно, что при увеличении / , скажем, за счет разведения рук
скорость вращения будет уменьшаться.
5°. Теорема об изменении кинетичеокого момента
относительно центра маос
Рассмотрим теперь применение теоремы о кинетическом моменте к
движению механической системы относительно осей Cxjx^aJ »по-
ступательно перемещающихся вмеоте с центром масо С по отношению
к неподвижной системе 0х?хлх3 . Обозначим чфез г', и Wj
положение и скорость >/ -й точки системы в подвижных осях. Тоща
параметры движения точки в разных системах связаны очевидными
соотношениями
\.Я% + К , %*% + % <V«A...,*).
Опираясь на эти формулы и на определение кинетического момента
системы, приходим к равенству
-С-f ф«"Д)-Щ^Ах^пЛ^тЛН * ? (\* тЛ')-
Отсюда, принимая во внимание формулы
устанавливаем, что кинетические моменты оиотемы относительно
неподвижного центра 0 и центра масс системы С связаны соотношением
Аналогичным способом получаем
внешних сил относительно центров
, что связь между главными моментами
ров О И С: Я/-" Z(T/K'),tg№P/)
-161-

имеет вид
й? = \*Г*+Я?, г **?>??. (зо.1з)
Подстановка векторов Х0 и И/ по формулам C0,12) и C0.13) в
теорему C0.1) приводит к выражению
из которого, в силу теоремы о движении центра масс системы тЗ^Т*,
следуют равенства
А. я; - #•* *^м. (золз)
Полученные соотношения выражают собой следующую теорему об
изменения кинетического-момента относительно центра масс:
Теорема 30. Производная по времени от кинетического момента
системы относительно ее центра масс равна главному моменту внешних
сил относительно этого центра.
Таким образом, получили следующий интересный результат: для
движения системы относителыю осей Ox/x^'xj , поступательно
перемещающихся вместе с центром масс, теорема о кинетическом моменте
выражается точно так же, как если бы центр масс был неподвижной
точкой. Эта теорема позволяет получать первые интегралы.в случаях
аналогичных тем, что были рассмотрены выше.
6°. Прыжок акробата
Применим теорему 30 к выяснению секрета прыжка акробата в
воздухе, когда он делает сальто. В начале прыжка акробат сообщает
своему телу некоторую угловую скорость вокруг горизонтальной оси
Сх/ , проходящей через центр масс тела. Так как единственная
действующая на него внешняя сила - сила тяжести - проходит через
центр масс (сопротивлением воздуха пренебрегаем), то ее момент
относительно оси сх/ ^равен нулю, поэтому будет справедлив
интеграл площадей Xf =1/<*)/ = соп^:.
Группируя корпус, акробат резко уменьшает момент инерции/* ,
в результате чего угловая скорость тела резко возрастает. 'Ото
позволяет акробату за малое время, пока он находится в воздухе,
успеть совершить полный оборот и приземлиться на ноги.
§ 31. Изменение кинетической энергии системы
В этом параграфе установим зависимость между изменением кинети-
J62

ческой энергии системы и характеристиками приложенных к ней сил,
1°. Теорема об изменении кипетичеокой энергии системы
Изменение кинетической энергии механической системы при ее
движении выражается следующей теоремой:
Теорема 31, Производная по времени от кинетической энергии
системы равна сумме мощностей действующих на оистему внешних и
внутренних сил
д?~=М+N . C1 Л)
Доказательство. Будем исходить из дифферетщалышх, уравнений
движения механической системы п. точек ^<?*^*/у <v»y,...,/ij.
Умножим скалярно обе чаоти уравнения движения v ~й точки на ее
скоростьN *? и результат просуммируем по всем точкам системы; в
итоге получим выражение
Р"Л-зРя$К'-Ъ+$Р*'-9>- C1.2)
Легко видеть, что левая часть этого равенства равна производной
по времени от кинетической энергии системы
что касается правой его части, то там стоит сумма мощностей
внешних и внутренних сил системы
ZF/^^Fj^-N'+N1.
Тем самым C1.2) совпадает с равенством C1Д), и теорема,
следовательно, доказана.
Теорема является следствием дифференциальных уравнений движения
системы.
Как видим, кинетическая энергия системы может изменяться как за
счет внешних, так и внутренних сил системы. Этим она отличается
от теорем о количестве движения и кинетическом моменте, в которых
внутренние силы были исключены из рассмотрения• Другое отличие оо-
стоит в том, что последняя теорема выражается скалярным
соотношением, в то время как предыдущие имели векторный характер.
Интегрируя равенство C1Д) по времени от t=0 до t f будем
иметь
Т~Т0= A*+Al , CI.3)
-163-

i 4- о ' jp: '
суть работы внешних и внутренних сил на перемещениях точек.
Равенство C1.3) выражает теорему об изменении кинетической энергии
системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы
при ее перемещении из какой-то начальной конфигурации в данную
равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил
системы.
Интегральная форма теоремы справедлива при действии любых сил.
Однако для вычисления работы нужно в общем случае знать уравнения
движения точек. Поэтому теорема о кинетической энергии, вообще
говоря, не дает первого интеграла уравнений движения. Она позволяет
найти его в том случае, когда работу можно вычислить, не прибегая
к уравнениям движения. Эти случаи будут рассмотрены ниже.
Если механическая система является неизменяемой, то для нее
мощность, а следовательно, и работа внутренних сил равны нулю;
теорема о кинетической энергии при этоь принимает следующие, более
простые формы:
^-=Ne t T-T.=A', C1.4)
т.е. скорость изменения кинетической энергии неизменяемой системы
равна мощности ее внешних сил, а приращение кинетической энергии
на некотором перемещении равно работе ее внешних сил на этом
перемещении.
Пусть механическая система состоит из одной точки Р. Тогда доя
нее все действующие силы будут внешними, и теорема о кинетической
энергии примет вид р
d /пег* — _ mtr* mof" Г _
SfT-'F-o- или J—J-'ЧГ-dt. C1>5)
F-P
2°. Интеграл энергии
Введем дополнительные предположения о действующих на систему
силах. Допустим, что внутренние силы системы зависят только от
расстояний между ее точками. Тогда, как было показано ранее,
внутренние силы потенциальны, а их мощность есть скорость изменения
потенциала л.г: . ,,г/ /•
-164-

где V = V (г{ 9,. ,t ^)есть потенциальная энергия внутренних сил или
просто внутренняя потенциальная энергия сиотемы.
Теорема о кинетической энергии в форме C1 Л) допускает в этом
случае представление
*%& =Ы<> C1.7)
т.е. скорость изменения оуммы кинетической и внутренней потенциала
ной энергии системы равна мошнооти внешних-оил системы. Разумеется,
мощность внешних сил оистемы не определяет изменения каадой из этих
энергий в отдельнооти.
Рассмотрим далее случай» когда потенциальными являются и
внешние силы. Тогда будем иметь
'/-яг- f-vr- у-*Ъ ««*
хде Vе - так называемая потенциальная энергия внешних сил или
внешняя потенциальная энергия системы. При этом теорему о
кинетической энергии C1.7) можно предотавить следующим образом:
at
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае имеет место интеграл
энергии
Е * r+V'+V** const. Ci#9)
Сумму кинетической, внутренней и внешней потенциальных энергий
обозначают через Е и называют полной механической энергией
оистемы. Равенство C1.9) выражает следующий закон сохранения
механической энергии: при движении системы под действием потенциальных
сил ее полная механическая энергия сохраняет постоянное значение.
Потенциальность внутренних и внешних сил реализуется, в
достаточно широком классе практически интересных задач. Таковы, например,
случаи, когда силы зависят от расстояний мевду телами. В частности,
это выполняется для сил тяготения , сил упругой деформации и в
некоторых других случаях. Если же, помимо потенциальных оил, на сио-
тему действуют также и непотенциалвные силы, например, силы трения,
то механическая энергия не сохраняется, а переходит в другие формы
энергии, например, в тепловую энергию. Процессы, в которых таков
переход имеет место, называют диооипЗтивными. В земных условиях в
силу неизбежного сопротивления движению диссипация механической
-165-

энергии происходит всегда, поэтому говорить о законе сохранения
энергии в этом случаэ можно лишь в известном приближении.
3° Условие потенциальности сил
Выше выяснено, что при движении системы под действием
потенциальных сил ее механическая энергия сохраняется. Критерий потенциальг-
ности силы F устанавливается следующей теоремой:
Теорема 32. Для потенциальности силы F , являющейся
непрерывно дифференцируемой функцией координат, необходимо и достаточно
выполнение условий
|? = 4?л fi*,fi-*i.*3) ¦ olio)
ОЗр ОХ^
Действительно, пусть сила F потенциальна, тоща
F,=T7 (<***** J), C1 .II)
ще U-U(x) есть силовая функция. Дифференцированием этого
равенства по координате х получаем условие C1.10)
д*А дхАдхи дх^дх^ дх^
необходимость, таким образом, установлена.
Для установления достаточности условий C1.10) нужно показать,
что при их выполнимости можно найти такую функцию U , для которой
буцут выполнены равенства C1.II). Для этого проинтегрируем первое
из условий C1 .II) по х? от х/ до Xj t считая jc? и хэ
фиксированными параметрами, тоща получим
U(x) =J Ft (хй,лАч х3)dx? i-if(xg,x3). C1.12)
Построенная функция при всяком / удовлетворяет первому из
соотношений C1 .II). Функцию if можно выбрать так, чтобы
удовлетворялись и два других. В самом деле, дифференцируя C1.12) по
параметру хл и пользуясь условием <Я/ - д**/^., получаем
Правая часть этого равенства будет равна jg (лгу , х? ,х3 ), если
положить хл
*%x=F?«VJ или ^^'Jf/fi'^x^+ijj^ .
-166- ¦*!

Следовательно, функция
U(x)=[ F/x^x^+f Р/*;,хл^)с*хл+ф(ъ) C1.13)
при любом tf/ удовлетворяет двум йбрвым условиям C1.11). При one-
циальном выборе ф можно удовлетворить и третьему из них.
Действительно, дифференцируя C1.13) по х. и полагая, ооглаоно
C1.10), _ .
будем иметь -
' л
Поставленная цель будет доотигаута, если принять
Таким образом, при выполнении условий C1.10) потенциалом оида
будет функция ^
х; х; х/ Ci л 4)
Легко вцдеть, что для случая системы оил Щr.. ., /^ условие
потенциальности C1.10) обобщается в вше
*Fj 6F/ , .
дГ»=~6$ ty-AV;/K'-A-,*). «us)
А «с .
Для потенциальной сил* мощность равна производной по времени
от потенциала
а работа - разности значений потенциала в конечной и начальной
точках пути
t f>
А-[лГсИ «JdU- U(xi%xgyx3yu(xlx;tx;y CI#I7)
t p
и, следовательно, не'зависит от формы траектории.
-167-

4°. Связь между кинетическими энергиями системы
и ее центра масс
Вычисление кинетической энергии удобно производить, опираясь на
связь, существующую между кинетическими энергиями системы и ее
центра масс. Эта последняя устанавливается следующей теоремой Кёни-
га.
Теорема 33, Кинетическая энергия системы равна сумме
кинетической энергии ее центра масс, считая, что в нем сосредоточена масса
всей системы, и кинетической энергии системы в ее движении
относительно осей, поступательно перемещающихся вместе с центром масс
T=jm<r*+T' , Г=зг?>^/. C1.18)
Доказательство. Введем систему осей Лг/,-^'.*/ ,
перемещающуюся поступательно вместе с центром масс относительно неподвижной
системы отсчета Ол?хлх3 . Тогда скорость ^ ^-й точки системы
будет равна сумме скорости <гс центра масс С и скорости движеню;
trj относительно центра масс ^=?g*i?' . Подставляя это
значение vj в выражение кинетической энергии системы, будем иметь
Н^Л^/=Т^П^^^Я^КЯ C1.19)
Если принять во внимание соотношения
то в правой части равенства C1.19) средний член выпадает, и оно
принимает вид C1.18). Теорема доказана.
5°. Кинетическая энергия снаряда
Применим теорему Кёнига к вычислению кинетической энергии
снаряда. Пусть крупнокалиберный снаряд имеет вес Р =360 кг,
полукалибр R. =0,152 м (калибр 304 мм), радиус инерции относительно
оси вращения г =0,735 ? , начальную угловую скорость вращения
й>о =552 */сек# E250 об/мин) и начальную скорость центра масс
(Т0 =800 м/сек.
Относительно центра масс снаряд совершает вращательное движение
вокруг своей оси с угловой скоростью аH , поэтому относительная
скорост каждой его частицы будет (^'- ^сол , где /4,- ее рас-
-168-

стояние до оси вращения. Следовательно, относительная кинетическая
энергия равна
Момент инерции снаряда I связан с радиусом инерции г
соотношением I =тг # Таким образом, полная энергия снаряда, согласно
формуле C1J8), будет равна
Г- к ljt+Ц г>*>? ~± «т\ г*и>!) =
озво я. л а: л
~sT9ji (*°°+0*f3Sm(Vs* ****>* шло™.
При этом оказывается, что Tfymvf* т^од^/^ *qoo69 т.е.
кинетическая энергия вращательного движения в этом случае составляет
только 0,6$ от энергии поступательного движения.
Полученный результат дает представление об огромной
разрушительной работе, которую даже неразорвавшийся снаряд может произвести
при ударе о препятствие. Для сравнения укажем, что товарный поезд,
имеющий 50 груженых вагонов весом в 25 тонн каждый и зкорость в
24 км/час при двух тепловозах (считая кинетическую энергию
тепловоза равной удесятеренной энергии одного вагона) имеет запас
кинетической энергии, равный только 38$ энергии снаряда. Это
объясняется большой скоростью снаряда, в два о лишним раза превооходящей
скорость згука, и тем, что кинетическая энергия пропорциональна
квадрату скорости.
6°. Теорема об изменении кинетической энергии
относительно центра масс
Рассмотрим изменение кинетической энергии системы при движении
относительно осей tfjc/j^'jr/ , поступательно перемещающихся вместе
с центром масс. Подставляя в выражение теоремы о кинетической
энергии C1.1) dT КГ<г кГС
значение т по формуле Кёнига C1.18) и полагая t^ = t^terji
будем иметь ¦ , ,
хде через Ne* и NL обозначены относительные мощности сил.
-169-

N*'*??/*%, M^ZFJ-t. J3I.2I)
По свойству внутренних сил их главный вектор равен нулю /*'-<?•
Теорема о кинетической энергии применительно к центру масс системы
приводит к равенству ^ ~*=р*. <? . с учетом этих условий
соотношение C1.21) упрощается и принимает вид
4i=N +NL . C1,22)
Полученное уравнение выражает следующую теорему об изменении
кинетической энергии для движения системы относительно ее центра масс.
Теорема 34, Производная по времени от кинетической энергии
системы в ее движении относительно центра масс равна сумме мощностей
всех внешних и внутренних сил в этом движении.
Таким образом, оказывается, что в относительном движении
относительно осей, поступательно перемещающихся вместе с центром масс,
закон изменения кинетической энергии имеет тот же вид, что и для
абсолютного движения,
6°. Общие динамические теоремы в механике
сплошных сред
В механике сплошных сред общая ситуация отличается от той,
которая рассматривалась в механике дискретных систем точек * Теоремы
о количестве движения и кинетическом моменте дискретной системы
точек после соответствующего обобщения на сплошные материальные
среды называются уравнениями количества движения и кинетического
момента и кладутся в основу динамики этих сред. Выполнимость этих
уравнений для произвольного объема, состоящих из одних и тех же
материальных частиц среды, постулируется точно так же, как
постулировался второй закон Ньютона в механике точки.
Из уравнений количества движения для непрерывных движений
вытекают основные динамические уравнения движения материальной
среды. Уравнения кинетического момента позволяют установить важные
свойства обобщенной силовой характеристики движения среды -
тензора напряжений, а именно его симметрию. Уравнение кинетической
энергии в механике сплошной среды является важным общим
следствием динамических уравнений и служит балансом механической энергии.
§ 32. О среднем значении вириала сил
В качестве следствия дифференциальных уравнений движения сис-
-170-

темы можнб получить соотношение, связывающее среднюю кинетическую
энергию системы точек, движущихся в конечной области пространства,
с действующими на нее оилами. Это соотношение устанавливается
следующей так называемой теоремой вириала сил.
Теорема 35. Пусть система материальных точек движется под
действием сил, не приводящих к бесконечно большим значениям координат
и скоростей точек, тогда среднее значение вириала сил за большой
промежуток времени равно взятогду со знаком минуо удвоенному
среднему значению кинетической энергии системы за тот же промежуток
W?*-J?7;. C2.I)
Доказательство. Исходим из дифференциальных уравнений движения
системы точек /*,«? *Fy (»*],...}л). Умножая уравнение движения
V -й точки скалярно на ^ ч суммируя результаты по всем
точкам системы, будем иметь
f-*$-v-?5-V C2-2)
Используя определение вириала рил и очевидное равенство
можно представить соотношение C2.2) следующим образом:
*'&$«&¦%-**. C2.3)
Заметим теперь, Что средним значением f+ функции, f(i) за
промежуток времени Г называют выражение f0B^I^)di- Легко
видеть, что среднее значение производной от огранАенной функции
за достаточно большой промежуток времэни будет нулем. Действитель-
о
Вернемся к соотношению C2.3). Осредняя его по большому
промежутку времени Т , который в пределе можно считать бесконечно
большим, и, замечая, что П"Ь% ги в силу условий теореш,
является ограниченной функцией, получим равенство C2.1), что и
доказывает теорему.
Подобно теоремам о количестве движения, кинетическом моменте
и кинетической энергии, теорема вириала является следствием
уравнений движения системы. От других общих теорем она отличается тем,
что имеет статистический характер, т.е. рассматривает различные
-171-

механические величины осредненные по времени. Эта теорема играет
важную роль в статистической механике, например, в кинетической
теории газов.
Рассмотрим одно из приложений теоремы. Пусть система замкнута,
а ее внутренние силы обладают потенциалом V1 , являющимся
однородной функцией степени Л , Тогда вириал сил можно представить
в виде
По теореме Эйлера об однородных функциях имеем ZJ j^ • г^ = ХУ\
следовательно, w=-wL # Теорема вириала C2.1) в этом случае
даст
?Т-ЛК~о. C2#4)
Для замкнутой системы и потенциальных внутренних сил имеет место
интеграл энергии T+Vl=Ea , где Е0 - начальное значение
полной механической энергии. Осредняя его по времени, имея в виду,
что среднее значение константы равно этой константе, найдем
X +Vt ~Е. . C2.5)
Из системы равенств C2.4) и C2.5) получаем
Я+А
Таким образом, с помощью теоремы вириала удалось установить
средние значения кинетической и внутренней потенциальной энергии
системы.
§ 33. Принцип Даламбера для системы
Сформулируем принцип Даламбера для системы точек и установим
его связь с общими теоремами динамики системы.
1°. Уравнение равновесия системы
Рассмотрим механическую систему п точек, находящуюся под
действием внешних и внутренних сил. Движение этой системы
описывается уравнениями m^a^, - Ff + FJ" (\>=i,..., п) .
Говорят, что система находится в равновесии, если покоятся все
ее точки. Для равновесия первоначально покоившейся системы,
очевидно, необходимо и достаточно, чтобы уравновешивались
приложенные к ее точкам силы
Г/+К'я° r*"J,...,n). (зз.1)
Тг&г** ¦ У?=мГ*'' C2-6)
-172-

Уравнения C3Л) называют уравнениями равновесия системы. Эти
уравнения для известного положения равновесия системы позволяют
устанавливать некоторые неизвестные силы; если же силы заданы,то
по уравнениям находятся положения равновесия.
Воли просуммировать по индексу V как сами уравнения
C3.1), так и результаты их векторного умножения на г^ и учесть
свойства внутренних сил PL*ot R*o , то получим необходимые
условия равновесия
Р*ш0щ M^Of C3.2)
т.е. при равновесии системы равны нуле главный вектор и главный
момент ее внешних сил.
2°. Пришил Даламбера для системы
Применим теперь к каждой точке системы принцип Даламбера,
тогда будем иметь
Уравнения C3.3) выражают принцип Даламбера для системы: в каадый
момент движения действующие на точки системы внешние и внутренние
силы могут быть уравновешены добавлением к ним соответствующих
сил инерции.
Бели в C3,3) перенести силы инерции в правые части равенств,
то получим уравнения движения системы. Таким образом, как и в слу<
чае-~одной точки, принцип Даламбера дает возможность составлять
уравнение движения системы в форме уравнений равновесия, вводя в
рассмотрение силы инерции, которые очитаются приложенными к
точкам системы.
3°. Специальная Форма общих теорем динамики
Из соотношений C3.3), выражающих принцип Даламбера для
системы, можно получить ряд важных следствий. Просуммируем по всем
точкам системы как сами равенотва C3.3), так и результаты их
векторного умножения на соответствующие радиусы-векторы у и
результаты скалярного умножения на соответствующие скорости и,; в итоге
получим зависимости _ _
Обозначая через pj*?7 , М^Е(%ХХ) и Af^El-V, глав-
-173-

ный вектор, главный момент относительно центра 0 и мощность сил
инерции и учитывая свойства Fl=o% И1о=0 внутренних сил системы,
будем иметь
F* + Fi=o, M*+M{=o^ N*+NL+HJ-o. (ззФ4)
Полученные равенства представляют собой специальную форму общих
теорем динамики системы. Они утверждают, что в каждый момент
времени равны нулю как суммы главных векторов и главных моментов
внешних сил и сил инерции, так и сумма мощностей внешних, внутренних
и инерционных сил.
Сравнивая соотношения C3.4) с обычными выражениями теорем о
количестве движения, кинетическом моменте и кинетической энергии
заключаем, что должно быть
F/=-*0, Я^-—°, N^-—y
т.е. главный вектор, главный момент и мощность сил инерции
системы равны взятым со знаком минус производным по времени
соответственно от количества движения, кинетического момента и кинетической
энергии системы.
Таким образом, путем введения сил инерции общие теоремы
динамики системы можно получать из уравнений равновесия.
ГЛАВА 5
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
В природе и технике имеется широкий круг явлений,в которых
масса тела при движении изменяется. Изменение массы может происходить
как путем отделения частей тела,так и путем присоединения к нему
новых масс. Так,у плавающей льдины масса возрастает при намерзании
и убывает при таянии, у планеты масса изменяется за счет соединения
метеоритной пыли; у веретена она растет при наматывании нити, а у
ракеты убывает при выгорании топлива; обе причины изменения массы
одновременно действуют,например,при движении самолета с воздушно-
реактивными двигателями, когда воздух засасывается из окружающей
среды в двигатели, а затем выбрасывается вместе с продуктами
сгорания топлива.
Движение тел с изменяющейся массой существенно отличается от
движения тел с постоянной массой в аналогичных условиях. Оно не
-174-

описывается законом Ньютона. Центральной задачей данной главы и
буцет установление закономерности этого движения для случая,
когда тело можно раосматртая** как материальную точку. Пооле ее
решения будет рассмотрен ряд характерных примеров.
§ 34. Основной закон динамики точки переменной масон
Механическую теорию-динамику точки переменной маосн-можно
построить как частный случай механики оистемы точек при специальных
предположениях о механизмах отделения и присоединения чаотиц и о
характере их взаимодействия о движущимся телом.
1°. Тело и точка переменной маооы
Тело, масса которого изменяется со временем за счет изменения
состава его частиц, принято называть телом переменной массы* При
некоторых условиях такое тело можно рассматривать как точку
переменной массы. Это будет в случаях, когда расстояния, проходимые
точками тела, велики по сравнению с его размерами или когда тело.
движется поступательно; в последнем случае пренебрегают
изменением положения центра масс тела, происходящим в процеосе отделения
или присоединения маоо.
2°. Гипотеза контактного взаимодейотвия
Будем предполагать, что процессы присоединения и отделения
частиц протекают непрерывно и вообще одновременно, так что масоа
точки является непрерывно дифференцируемой функцией времени.
Кроме того, примем гипотезу о том, что взаимодействие частиц с
основной точкой имеет контактный характер. Это означает, что чаоти-
цы взаимодействуют с точкой только в момент присоединения или
отделения; взаимодействием же точки р отделившейся чаотицей равно
как с еще не присоединившейся частицей пренебрегают. Такая
схематизация явления, оказывается, достаточно точно отражает суть
дела и позволяет установить основной закон движения типа второго
закона Ньютона.
3°. Основной закон динамики точки переменной массы
Пусть в момент времени t вся маоса точки была тЫ) ; она
имела в своем составе маосу присоединившихся частиц тя D) и
массу отделяющихся частиц m^d) . Очевидно, что mt({) -
возрастающая, a .млг1) - убывающая функции времени, так что сСт,>о,
d.m9 < о . Что касается функции m(i) , то она может возраотать
-175-

убывать или, в частности, оставаться постоянной.
Рассмотрим малый промежуток времени At и обозначим через
Am, присоединившуюся и через /лтл1 - отделившуюся за этот
промежуток массы. Примем на время, что взаимодействие точки с
присоединившейся и отделившейся частицами происходит в течение
всего времени л{ • Для согласования с гипотезой контактного
взаимодействия в последующих выводах следует совершить предельный
переход, полагая л/- о .
Рассмотрим механическую систему, состоящую из масс т. tAm/t
/лт?( 9 Это обычная система взаимодействующих точек, масса
которой не изменяется со временем. Пршленим к ней теорему о
количестве движения для промежутка времени от момента t до момента
{'= t+At . в начальный момент t система была представлена
точкой массы т и частицей массы лт{ t имевших абсолютные
скорости соответственно tr и 2, ; масса /лтл1 входила в
состав т . В конечный момент *' сие-
V 1^7>,с* тема будет состоять из точки
массы т'^т+дт^/Дтл1 и частицы
массы /Atnjl , абсолютные
скорости которых соответственно будут
сг'=?Г+А<г и ал . (рис.29),
момент t момент t Таким образом, ?у и йх - абсо-
Рис.29 лютяые скорости частиц,
соответственно до присоединения и после
отделения, а лег - полное изменение скорости точки за
рассматриваемый промежуток времени. Легко видеть, что количества
движения системы F и к' в моменты t mi' имеют значения
к= mtr+AnijUt 1 ?=(п+Дт.^йтА1Хг+А(г)+/Агпл/йЛя(ъ?щ1)
Обозначим далее через р , AfJ и аРя равнодействующие внешних
сил, приложенные соответственно к массам т % лт{ ъ/а/т^г.
Отношения сил к соответствующим массам полагаем конечными
величинами; тогда_отсюда следует, что сила Р будет конечной величиной,
а силы aF? и aFz - малыми величинами. В силу малости
промежутка времени *t , суммарный импульс J внешних сил можно
представить следующим образом:
?~СГ+аЯ*+аРж)М C4#2)
Согласно теореме о количестве движения системы, имеет место
равенство P-Z*J . Подставим в него значение величин по форму-
-176-

лам C4Л) и C4.2), учтем соотношение /лтл/^-лтя и
произведем ряд упрощений, пооле чего получим
пАГ+А^Сг-й^+Агг^ф-а^Нщ*
Отсюда, поделив обе части равенства на At и перейдя к
пределу при М~-о f находим
dcr — dm, ^_ _% dm* _ _
m3t"F+a?(*~*) +аГ (Ъ-л ' C4.3)
так как
tint — (Amt + &m9)sO , tcm. (aF.+aF* )'0 щ
At+O Ai **~°
В силу сделанных допущений о характере изменения массы,
производные rht и -тл существуют и являются непрерывными функциями
времени*
Введем относительные скорости й* = ut-ir, и?*йу1г присо
единяющихсяи отделящихся частиц. Тоэда уравнение C4.3) можно
представить в следующем окончательном виде:
mJf=F+ Ф1 + Ф* 7 C4.4)
где положено
Щ-ЭГЪ . %=Ж**1. C4.5)
Это уравнение выражает основной закон механики для точки
переменной массы при одновременном присоединении и отделении частиц.
Оно было получено в 1904 году И.В.Мещерским и называется
обобщенным уравнением Мещерского.
15 правой части уравнения Мещерского t _наряду с_обычной силой F%
присутствуют два дополнительных члена Ф? и Ф^ . Член
4^/я,?* , обусловленный присоединением частиц, называется тор-
глозяшей силой. Эта сила пропорциональна скорости увеличения
массы и относительной скорости присоединяющихся частиц и имеет
направление этой скорости. Обычно векторы и) и ^ направлены
в противоположные стороны^ поэтому сила Ф{ направлена против
движения, она тормозит движение точки.
Другое член <^sf^tsus * обусловленный отделением частиц,
называется реактивной силой. Реактивная сила пропорциональна
скорости убывания массы или, как еще говорит, секундному расходу
массы и относительной скорости отделящихся частиц; поскольку
-177-

th^o , направление этой силы противоположно скорости и\ . Обычно
скорости и? и & имеют противоположные направления, поэтому
реактивная сила действует в направлении движения, она ускоряет
движение точки.
Называть векторы Ф{ и <Р? силами позволяют два
обстоятельства: во-первых, эти векторы, как это следует из формул
C4.5).имеют размерность сил, а, во-вторых, они проявляют себя как обычные
силы и могут быть измерены динамометром. Таким образом, эффекты
присоединения и отделения частиц эквивалентны действию на точку
специальных сил *?} и Фл .
Уравнение Мещерского является обобщением уравнения Ньютона на
случай движения тела переменной массы; оно совпадает с уравнением
Ньютона, если процессы присоединения и отделения частиц
отсутствуют.
4°. Постановка задачи о движении точки
переменной массы
Векторное уравнение Мещерского в проекциях на оси
прямоугольной декартовой системы координат 0xlx3Lx3 дает следующие три
скалярных уравнения:
тЗс^ ~ /^ + т{ ц? + тя а^ (**/,?.3), C4.6)
которые определяют математическую модель "точка переменной массы".
Дифференциальные уравнения C4.6) позволяют решать прямую и
обратную задачи динамики. Для решения основной задачи к уравнениям
C4.6) следует присоединить начальные условия
t=0, т(о) = то , VbjcJ\ *J°)*<? (**W). C4.7)
Условия существования и единственности решения основной
задачи выражает следующая теорема»
Теорема 36, Пусть известны действующая на точку <ят ?#,?,?),
относительные скорости ии (t,x,x ) (^ =1,2) как непрерывные
функции времени и непрерывно дифференцируемые функции координат
и скоростей и законы присоединения и отделения масс т?а) , ms(i)
как непрерывно дифференцируемые функции времени. Тогда существует
единственное решение уравнений C4,6), удовлетворяшве условиям
C4,7).
Доказательство. По заданным законам присоединения и отделения
частиц и начальному условию определяется в любой момент времени
масса точки, согласно выражению
-I7&-

та)ат-+](%?+&*)#¦ C4.8)
О
Сравнения 034*6) допускают теперь представление в виде нормальной
системы уравнений с известнши правыми частями
Ъ силу сделаяянх предположений, правые части уравнений будут
непрерывными функциями времени и непрерывно дифКренцируемюга функция-
ми коодашат и скоростей* Следовательно, по теореме 4 будет
существовать единственное решение системы C4.9) -?'-?<?) ,
i^ijft («* «1,2,3), удовлетворяющее начальным условиям C4*7).
Теорема доказана,
§ 35. Падение капли в насыщенной атмоофере
» качестве первого примера движения точки переменной масоы
рассмотрим падение капли воды в насыщенной парами атмоофере с
учетом возрастания массы капли вследствие конденсации паров на ее
поверхности.
Пусть капля падает с некоторой высоты под действием силы
тяжести* Возьмем начало оточета декартовой системы координат
O^jqJCj в начальном положении капли, направим первую ооь
вертикально вниз, а две другие оси ориентируем некоторым образом в
горизонтальной плоскости (рис.30). Установим закон падения капли
л Ме в этой системе координат в следущих
~ - Т предположениях: капля остается все
v* x время шарообразной, воздух неподвижен,
г сопротивление движению отсутствует .и,
j 1 ^ наконец, возрастание массы капли
таково, что ее радиус растет по линейному
9 закону:
,,//,,///// г^г0+ы{ C5Л)
Mi
Рис.30 1де «* - постоянный коэффициент, а
го - начальный радиус капли.
Поскольку нас интересуют перемещения капли, значительно
превосходящие ее размеры, каплю можем рассматривать как точку
переменной массы. При движении капли происходит только присоединение
-17*-

частиц, поэтому, согласно закону Мещерского, она будет двигаться
под действием силы тяжести р и тормозящей силы Ф{ :
тЖ=р+ф1< P"*f > ф,жзг (*-*>- C5-2)
Вследствие неподвижности атмосферы абсолютная скорость присо-
единящихся части; равна нулю и* о , поэтому тормозящая сила будет
равна^}--j(jp^, т.е. она направлена против движения точки (рис.
30). Условие шарообразности капли позволяет представить закон
изменения ее массы в виде m=j-f№3 , где j - плотность воды.
На основании этих результатов уравнения движения C5.2) можно
представить в следующих векторной и координатной формах:
ir*ty -ж~=гр -зг-*°> -a*-*°- <35-3>
Найдем решение этих уравнений при следующих начальных условиях:
t*o , ?- г0 i х?=хя=х3=о, JC^ir0f ял-*3~о. C5.4)
Переходя к интегрированию уравнений C5.3), прежде всего заметим,
что второе и третье уравнения совместно с начальными условиями
135.4) дают 1?<хл=е, = о , х^с^о ; откуда Xg^Cj'O, я.3*еч=о.
Таким образом, капля будет падать по вертикали вдоль оси о> ,так
чтол:,-^. Для интегрирования первого уравнения C5.3) удобно
исключить из него время с помощью соотношения C5.1), положив
di=~- . Тогда сразу получаем первый интеграл
d(i?v) = % 1*dt , T*o-=fy46L i?+Off , Cs*conA
Постоянная os определяется начальными условиями в виде
Таким образом, скорооть капли определяется через ее радиус
следующей зависимостью:
***?*«!?'«'"О- C5.5)
dxt dXt
Полагая далее v=zii s^^- и интегрируя еще раз, получаем
второй интеграл
*г -Т% * h* (*$>*&(?¦*№ *+<* - C5.6)
где Сь - произвольная постоянная. В силу начальных условий C5.4)
-180-

эта постоянная определяется выражением
Вычитание равенотв C5.6) и C5.7) позюляет исключить постоянную
Сд и получить зависимость пройденного пути от радиуса капли в
виде
Формулы C5.1), C5.5) и C5.8) решают задачу, давая зависимость
от времени скорооти точки и ее координаты.
Для исследования полученного движения эти формулы удобно
представить в другой форме, а именно:
Отсюда, в частности, видно, что если конденсация отсутствует, то
oi=o ^ г*г0 , и из приведенных выражений получаем известный
результат для падения капли постоянной маооы
9**
tr=(Z+dt f ^/««J* * у C5.10)
т.е. капля падает о ускорением силы тяжести.
При наличии же конденоации падение капли существенно отличается
от движения C5.10). Так, если считать начальный радиуо капли
ничтожно малым по сравнению с последующими его значениями, то можно
принять %=о • В атом случае закон падения капли Судет иметь вид
<r=j- у Ъ^-Г' C5.11)
т.е. капля будет падать ускоренно, но с ускорением в четыре раза
меньшим ускорения силы тяжести.
§ 36. Движение ракеты вне поля сил
Движение точки с убывающей массой проиллюстрируем на примере
движения ракеты вне поля сил.
Пусть ракета о работающим двигателем поступательно движется в
пространстве вдали от материальных тел, так что их воздействием
допустимо пренебречь» Маооа ракеты убывает со временем по задан-
-181-

по::у закону m=rn(i) -примем, что относительная скорость
истечения газов является заданным постояпнш векторов ^ь - const . в
:--т:к условиях ракету можно рассматривать как точку переменной мае-
сг. Согласно закону Мещерского, эта точка будет двигаться пел. деЛ-
?.:-ием одно!; реактивной силы
как гп<о
таГ'\
сила ф^
je dm —
C6. J )
Рис.ЗТ.
направлена ппотивсдологло вектору иг .
7» становим дзхпеиио ракетм
относительно икерциальнон
система отсчета ох{хлх3 ,
начало которой взято в начальном
положении ракет?.:, ось J/
направлена против вектора &ъ,
а другие оси орпеитированн
нзкото; iit.t образок.
Пусть начальное условия
:!?.:еот вид
bo, XrXrXfOf±f*o*jfeo{Zb:?,)
Тогда и действующая ci'jri Ф , и начальная Скорость ? направлена
по оси xf . .;о теореме 23 движение будет прямолинейным и будет
происходить вдоль этой ос:-:, Проектируя уравнение C6.1) на ось
движения, буцегл иметь
mdT—diu^
Отсюда, после разделения переменных получаем перв:.? интеграл
do-^-u^dlnm, <r= -^ &im +at f c{ = eenst.
:1ачальнмми условиями C0.2) постоянная <?/ определится следующим
об газом: 4= ^tn%fnm0 , поэто?*- паком изменения скорости ракети
и.-ест ?.чд
**Ъ+ихЫ**
C6.3)
v.?a то1л:ула ; стан-дичине? гиком возрастания скорости ракетц с
;;'опь-';:зние:: ем пиесг. /.ш.-.сш'.с ракету.! с работающим двигателем на-
L:;.::33rrr .ч.кт-шим.:. 0-оо:.:ничГ;м: через тк *л ^ массу и скорость в
конце активного я-аот*;:.}. :'огда из 0"ор?у;улы C6.3) найден, что
предельная (наибольшая) скорость, которую получит ракета, когда бу-

дет израсходовало все горючее, определяется равенством
*-«>м^- ;-.i)
>**
Это вкралоние било получено г "'..$03 году Циолко^с"!*: it нлт^яется
¦•Тормулой Циолко?с"ого .
.'орпулп Циолло*:с.<:ого по.'^'ряет, что н~ сдельная с-сорость
ракеты полностью определяется относите чьи*-:.! запасе-*! го;>»>"?го и
относительной скоростью истечения продукто.:» его сгорания I нз s*v3v.-:r?
от зак*ча изменения массы. \Ъ '•юилул:' %,идчо, 1тс ^етгичиьа?:, (?
можно за счет увеличения как и% , так и jjjjf . Это г-тлллченпе ¦-' -
Активнее производить за счет увеличения скеростл "истечения :^-
зов и^ , так как зависимость ^ от этого параметр. .тлнеЛпая,
и менее тшгодно за счет увеличения масон горшего, так как #
зависит от логаригама ?* .
;]да установления уравнения движения ракеты положим ^sjf и
проинтегрируем уравнение C6.3) с учетом начальна: условии C6.1г. X
в итоге получим
1Сак видим, равнение движения зависит от закона сгорания топлива.
Полагая txt^ - моменту окончания работы двигателя, для длины
активного участка jt/ получим выражение
z/.-^Д^
CG.6)
Рассмотрим некоторые законы изменения массы ракета,
а) Пусть ракета движется с постоянной реактивной тягой Ф^const.
Тогда полагая /киг--игыт0 , где ос>о - некоторая
постоянная, начнем, что масса ракеты должна изменяться по линейному
закону:
В этом случае длина активного участка, согласно C6.6), будет рав-
ной
С помощью равенства in^m0(i-dttk) ото выражение модно
преобразовать к виду
**'?i+ir(*-'-b*), *~%г1 ¦ (Ж8)
-183-

в) Пусть ракета движется с постоянным реактивным ускорением
^*=const . Тогда, полагая -^тиг=-Аиь , где л>о - некоторая
постоянная, установим, что закон изменения массы будет
экспоненциальным
При этом законе убывания массы длина активного участка будет
равна
<-rt^rt*S**5-«4 *3**«.
C6.10)
Сравним пути, проходимые ракетой при линейном и экспоненциальном
законах изменения массы, полагая для простоты начальную скорость
равной нулю t%*o и считая одинаковыми другие параметры т0 ,
niju и ? в обоих случаях. Обозначим через /г отношение этих
путей. После почленного деления
равенств C6.8) и C6.10)
получаем
S°^*(?-h);
/
C6.11)
График функции fi(x) изображен
на рис.32. Из него видно, что
^ при всех значениях Jt=~
величина juti , следовательно,
при экспоненциальном законе
убывания массы путь проходится больший, чем при линейном законе,
т.е. с этой точки зрения выгоднее быстрее сжигать горючее.
§ 37. Движение межпланетной ракеты
Раосмотрим вертикальный подъем ракеты с земной поверхности и
установим условие, при котором ракета может покинуть Землю.
Будем рассматривать движение ракеты относительно системы
координат Лгул , начало которой взято в центре Земли, а ось оя
направлена по вертикали (рис.33) при следующих предположениях:
ракета считается движущейся поступательно, ее масса убывает
экспоненциально, а скогюсть истечения газов постолнна и направлена
вертикально вниз; сила тяжести изменяется согласно закону все-
:••toMo.ro тяготения; сопротивлением атмосферы и вращением Земли
-184-

пренебрегаем»
2
В этих условиях ракету можно
рассматривать как точку переменной массы
движущуюся под действием «силы тяжести и
реактивной силы, согласно уравнению
Мещерского-
т
#¦'¦* •
-Лтйг у
C7.1)
1де А - заданный положительный параметр,
Я - радиус Земли, & - ускорение силы
тяжести на земной поверхности, а г - ра-
Рис.ЗЗ диуо-вектор точки.
Ракета движетоя из следупцего начального состояния:
t=0 , 2(o)=Ry х(о)=и(о)~о%±(о)-Ш=?(о)=о. C7.2)
В рассматриваемом случае движение ракету будет, очевидно,
прямолинейным* Проектируя уравнение C7.1) на вертикаль ох ,
получаем
т.
ь&шА
Я*т.
di
-j— +Атиг
<%=ли-&?.
ЮЛ dt ~AUz~'Jr
C7.3)
Умножая уравнение на trdi *с1& и интегрируя, получаем интеграл
энергии
C7.4)
в котором постоянная интегрирования С определена по условиям
C7.2). Эта формула дает зависимость скорости ракеты от ее
высоты на активном участке траектории.
Скорооть, определенная из C7.4), будет равна
**Ш*1/*щ*-*^*(ъ~'м (з7-5)
Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим уравнение
движения вдоль активного учаотка траектории в виде
C7.6)
-185-

Пусть t+ - время действия реактивной силы, л+ - достигнутая
высота, а <% - скорость ракеты в конце активного участка. Движение
ракеты при ty/t+ происходит исключительно под действием силы
притяжения Земли; при*этом существует интеграл энергии,
получающийся из интеграла C7.4) пщл^о:
C7.7)
произвольная постоянная ct определена здесь по параметрам в
конце активного участка траектории. Из равенства C7.7) можно найти
связь между параметрами (Г+ и^ , при которой ракета будет
способна уйти из сферы земного притяжения..Для этого следует
положить &=о при л=~°. В результате искомая параболическая
скорость будет равна
Ъ = -/Щ' C7.8)
Параметры ^ и з.+ удовлетворяют также интегралу C7.4),
справедливому для активного участка
Зависимости C7.8) и C7.9) определяют величины tr4 и ^ в виде
* Лиъ * Аиь+<]0 C7 ДО)
Подставив найденное значение .?* в верхний предел интеграла
C7.6), находим время t+ ; с помощью последнего и формулы C7.1)
определим массу ракеты после выгорания топлива; соответствующие
Формулы имеют вид
t
*
2
Формулы C7.10) и C7.11) определяют высоту, на которой ракета
достигает параболической скорости, величину этой скорости, а
также потребное время полета и остаточную массу ракеты.
В частности, пусть параметры задачи имеют значения:
Л=6,М'/057 Q0 = 9Ji "/сек* f иг=ЗОООн/еек f ?=6,37 Ю*м .
Тогда легко подсчитать, что п~ ^dl/c s? и из формул C7.10)
находим о
-186-
=] Ymuz(*-*)+pz*(<k-'k)i' т*=т°е *• C7.ii)

где Vp =11,2 км/сек - параболическая скорость на поверхности
Земли, Таким образом, в этом случае вторая космическая окорость
достигается на высоте в половину земного радиуса над поверхностью,
и эта скорость составляет примерно 82$ от соответствующей
скорости на поверхности Земли. Коэффициент п имеет простой
механический смысл. Из представления- л * %*^к - -]$* ясно, что он равен
отношению реактивной силы к весу ракеты в'момент старта.
Приближенное вычисление интеграла C7.11) дает для времени I*
значение
tf* 720 сек. - 12 мин.
Следовательно, для того, чтобы покинуть Землю ракетный двигатель
при я =2 должен работать всего 12 мин. Однако расход топлива
за это время будет весьма велик. Действительно, /?? =6,54.10е»
•720 = 4»71, и вторая из формул C7.11) дает
?¦«*"«*«««» — ?-*«/..
Полученный результат показывает, что при принятых здесь
параметрах ракетного двигателя вылет в межпланетное пространство
возможен только в случае, когда вес ракеты без топлива, т.е. вес
конструкции, приборов и экипажа, не превышает 0,6$ от веса ракеты
с топливом. Отсэда ясны те серьезные конструктивные трудности,
которые встают па пути осуществления межпланетного полета.
§ 38. Движение реактивного снаряда
Рассмотрим теперь криволинейное движение реактивного снаряда,
рассматриваемого как точку переменной массы.
1°. Уравнения движения
Пусть реактивный снаряд брошен в начальный момент оо скоростью
?? под углом о?с к горизонту. Рассмотрим его пос;е..,ую ;с;
движение в однородном поде силы тяжести, в пустоте np:-i работающем
двигателе, если масса снаряда убывает по экспоношчплъпому
закону. m=m0e'At , а относительная скорость истечения продуктов
сгорания постоянна по величине и направлена против движения
Рг -иг % ¦
Движение снаряда описывается следующим .уравнением Мещерского:
-187-

та=Р+фл
2
Фж-/пиг = тлиг%.
C8.1)
Определим движение снаряда относительно -инерциальной системы
отсчета 0х{хлх3 , начало которой взято в точке вылета снаряда,
ось oxj направлена по вертикали вверх, а другие оси
ориентированы так, чтобы начальная скорость принадлежала плоскости J*-Xj
(рис.34). Спроектировав уравнения C8.1) на естественные оси
траектории */,*>,§ •
получаем динамические ура*-
ЧГ
А
*3
¦Л
V/ 7° yS
г**
Рис.34
С
__
Р
JbJr**
^
*i
нения
та ^mQt+mAu^j
13стественные компоненты
ускорения определяются
формулами
е d (Xs- * ^ * *
Что касается
естественных компонентов
ускорения силы тяжести, то
они определяются через
эйлеровы углы следувдиг-
ми выражениями:
После подстановки значений компонентов ускорения и силы и
соответствующих упрощений динамические естественные уравнения примут
ввд
Ат*-?*"?*****^ • ^/л****^, о~р!«% (з^з)
Присоединим к ним естественные кинематические уравнения
^..^, -dxf..
dS S?rufx
dif3
dx„ „ C8.4)
-188-

и начальные условия (см.рис¦34)
/ О о 0 0 tfr t> fir О
*°**Г*1ж*з-°> «-f» Й-f» %-*-*.****.**-* C8.5)
Из уравнения o=-QCost/o и начальных условий следует, что$?=^.
При этом уравнение **?$&* хеол& принимает вид xeos^o . но
равенство нулю costfo противоречит начальным условиям;
следовательно, должно быть нулем кручение: Jt*o . Последнее же означает,
что траектория точки будет плоской линией. Уравнение ajr'^jSuf'
становится вида &fis:0 , откуда и из начальных условий находим,
что^^^Г . Точно так же находим, что х^о . Таким образом,
установлено, что во все время движения
«=f. *-f- *•. *.-¦ l38.6)
G учетом этих условий остальные естественные уравнения принимают
вид
Л Т = *"x-1***s . к^-роЩ , J?«*, C8.7)
Если во второе уравнение системы C8.7) подставить значение
кривизны, а затем умножить его m'Gejtfo , то совместно с первым
уравнением этой системы оно будет служить для нахождения двух
функций tr и ftntfo:
В этих уравнениях удобно перейти к следующим безразмерным
переменным:
%' ' °-ТГШь ' S-~?*J' C8.Ю)
после чего они принимают вид
Ш-=&(П-179)> *3е=2*> *-у C8.11)
Как и ранее, параметр п. дает отношение реактивной силы к веоу
снаряда в момент старта. Начальными условиями здесь будут
-189-

ЫО, в* О, *={ , ^-^t'.bfe. C8Д2)
° ' ° ' ° 1+Sin iff 1+bn*
Интегрировать систему уравнении C8.11) будем следующим образом.
Исключим вначале переменную <5 , для чзго поделим почленно первое
уравнение на второе; в итоге найдем
Л cL9 ' 9 9(/+9)
Разделяя переменные и интегрируя, отсюда получаем
&1Я = ? ln(i+9) + (n-l)lnO+C , C^conit.
Вычислив постоянную С по условиям C8.12) и произведя
потенцирование равенства, устанавливаем следующие зависимости:
с*-аиа+ъу(пгШъ , *=(^'(Ш) - C8ЛЗ)
С помощью полученного выражения второе из уравнений системы
C8.11) позволяет установить связь между переменными G и 9
*"*вЫ) (j^-)d9- C8.I4)
Теперь оказывается возможным выразить через параметр 9
декартовы координаты точки и время. Действительно, перейдем в
уравнениях C8.8) и соотношении s=tr к безразмерным переменным.
Преобразуя вначале правые части равенств, получаем
Переходя далее от $ к безразмерному расстоянию <э по форму-
ле cLs= °Л dc и интегрируя по <у от 0 до 0- , получаем
/9 - — « J* &
3d*
*¦>
J ]тг^' xrYJ^'dff,t=TJw
о * ° 'о
Установленные ранее зависимости C8.13) мезду л и 9 ml C8.I4)
между & и 9 позволяют вычислить эти интегралы. Подставляя в
интегралы выражение для ^<г , согласно C8.14), и производя
интегрирование по ^ в пределах от 90 до 9 , соответственно полу-
-190-

* <* г«**.л,й * i&C tuft
Эти формулы пре, :тавляют ообой параметрические уравнения
движения снаряда и дают решение рассматриваемой задачи.
2°. Исследование движения
Получим формулы для высоты» дальности и времени полета
реактивного снаряда и сравним их о соответствующими величинами для
обычного снаряда при тех же начальных условиях движения.
Так как в вершине траектории Lf^fl и 0-/ , то наибольшая
высота подъема Н определяется значением х3 при е*1 ¦ Из C8.16)
находим
Для определения дальнооти полета найдем величину в-в* , при
которой л=о . Приравняв нулю выражение C8.16), получаем
уравнение J ^ „_j **¦ *и
B^Zfs. в* '*»¦ = о ¦ C8.19)
д-/ п-И
Из выражения C8.10) ясно, что в - положительная величина.
Одним очевидным решением уравнения C8.19) является 0,-3, . Для
наших целей оно не представляет интереоа, так как соответствует
начальной точке полета. Второе положительное решение этого
уравнения вл будет соответствовать точке падения. Подставляя это
значение в, в выражения C8.15) и C8.17), получаем дальность
X til время Г полета в виде -^ ^
^'^V'jwftaL Sn-i 2п+1 J > C8 20)
В качестве примера рассмотрим случай, когда п =1 и ot0 =45°.
Это означает, что в момент бросания реактивная сила по величине
равнялась весу снаряда. Тогда .согласно C8.12) ,0 =3-2г2=0,172.
-191-

Раскрывая в формулах неопределенности при п -I, получим
ипг - ~Ь*-- ) ">* — = hbi-z 1 km. —-^//2.70 i
n+i n-{ &0 n+t п-1 Ч> пч nri ° C8.21)
и, следовательно, уравнения движения снаряда будут иметь вид
9СЛ
ir* о . . 9 C8-22)
Наибольшая высота полета Н{ , согласно C8.18) и C8.22), будет
равна
V/ . . .
"/
^р /Л ^" ^ ^л=^ *% C8-23)
> величину <9, . Уравне: ' ч
будет
Определим теперь величину 0+ . Уравнение для нее C8.19), ввиду
C8.21), теперь будет
Ч 4
а положительный корень этого уравнения, отличный от корня &0 =
=0,172, равен 9+ =2,27, что соответствует углу ы.^ = -23°. Таким
образом, в момент падения снаряда на Землю угол между осью лл и его
скоростью становится отрицательным, а его величина будет почти в
два раза меньше, чем в начале полета.
Подставив найденное значение 9* в выражения C8.20), находим
значение дальности Х{ и времени полета 7] в этом случае
' ° C8.24)
T*-?—[6i&+9'9j =?,00%.
Сравним значения высоты, дальности и времени полета реактивного
снаряда со значениями этих величин для обычного снаряда.
Характеристики движения обычного снаряда следуют из рассмотренной
теории, если положить п =0, что означает отсутствие реактивной силы.
-192-

Тогда легко видеть, что уравнение C8Л9) превращается в
квадратное уравнение &*-(&.+%,)в* +?-& При 90*з-#1& , 09 + %*б
получающееся уравнение 0f-6% +S~o имеет корни ? =5,83 и
? « $ - 0,172.
Простой подсчет, произведенный по формулам C8Д8) и C8.20),
дает для высоты н9 , дальности jCo и времени Т0 следующие
значения:
H.-W*/y
Л
C8.25)
Следовательно, Kfjj? =1 |86, ^ =^? = 3,21, ^ =-^ = 1,42.
Траектории полетов обычного и реактивного снарядов приведены на рис.35.
</.0
0.5
0
fb/tf
Vo >
^V*
r\*Q
...
ЛН
Рис.35
jVtf
Таким образом, для реактивного снаряда при а =1 высота подъ -
ема увеличивается почти в два раза, дальность полета - более чем в
три раза, а время полета - почти в полтора раза по сравнению с
соответствующими величинами для снаряда постоянной массы.
ГЛАВА
ДИНАМКА АБСОЛГОЮ ТВЕРДОГО ТЕДА
Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело,
расстояния мсдду любыми точками которого остаются неизменными во все
время движения. Такое тело является частным видом неизменяемой
механической сиетсмп и отвечает тому случаю, когда точки системы
непрерывном образом заполняют некоторую область
пространства.Абсолютно твердое тело является моделью реальных тел, оно тем
точнее отражает свойства реального тела, чем меньше оно способно
деформироваться под действием приложенных сил.
-Т93-

Абсолютно твердое тело обладает рядом специфических свойств.
По этой причине, а также вследствие той важной роли, которую
играют твердые тела в естествознании и технике, их движение буцет
рассмотрено более детально.
Теория движения твердого тела будет построена как частный
случай основной механической теории - системы материальных точек.
§ 39. Инерционные характеристики твердого тела
1°. Масса и центр масс твердого тела
Массу твердого тела обычно выражают через его плотность. Пусть
тело имеет объем У . Разобьем его каким-либо способом на большое
число п частей и обозначим через дти и aV^ - массу и объем
одной из частей. Тогда предел отношения массы одной части к ее
объему, когда последний стремится к нулю, обозначается через/
и называется плотностью тела в данной точке
' av~o *Ч ' <*v
Для тела плотность обычно считается заданной величиной. В общем
случае плотность является функцией коорцинат точек тела
jf=y(?i,$sJ3)t где fyfyg, - сопутствующая система коорцинат. В
этом случае говорят, что тело неоднородно. Если плотность
является постоянной величиной во всех точках, тело называют однородным.
Массой тела называют предел, к которому стремится сумма масс
его частей, когда число частей беспредельно увеличивается, а их
размеры беспредельно уменьшаются
п *
т-lun. Т\Am . rn^ldrn.
AY,~ О
Выражая элемент массы через плотность и элемент объема по
формуле C9.1) dm=fdv , можно выразить массу тела в виде
следующего интеграла по объему:
sJfdV'Jlf(^ и.Ь№<€"л*Ь - ^39.2)
V V
В частности, масса однородного тела равна произведению его
плотности на объем m~rV . Масса является важной инерционной
характеристикой тела.
Центром масс твердого тела называют предел, к которому
стремится центр масс системы его части, когда число делений тела
-194-

возрастает до бесконечности, а размеры частей уменьшаются до нуля:
гс=Ьт—Ь^ ' гс^ ~7 C9.3)
&Ъ-о ?йт< J' idV
V
2 . Моменты инешии и тензор инерции твердого
тела
Мерой инерции тела во вращательном движении вокруг проходящей
через некоторый центр оои служит момент инерции*
Осевым моментом инерции тела называют предел, к которому
стремится сумма произведений масс частей тела на квадраты их
расстояний до оси, когда число частей стремитоя к бесконечности, а их
размеры стремятся к нулю. Обозначив через In осевой момент
инерции относительно проходящей через центр 0 оси I , через лт^ и
Л^ -массу v -й части и ее расстояние до оси, согласно
определению, будем иметь
Jtt ш*? ?А*лт< > г« =1АУ*У- C9-4)
АУ^О у ^
Величина tre 9 определенная равенством 1# *т гл t называется
радиусом инерции тела относительно оси-^ ¦
Заметим, что квадраты расстояний точки /i ( ?/t§<?,§j ) тела до
координатных осей системы <??/?*?, будут соответственно равны
^1~§2**з • ^*~?*+-?* • ^з = Фч> П0ЭТ0МУ моменты инерции тела
относительно координатных осей определяются выражениями
Ъ'№+*№' tt-fotW ?^4^.C9.5)
Эти моменты инерции обладают свойством, аналогичным свойству
сторон треугольника: сумма двух из них всегда больше третьего.
Мезду моментами инерции тела относительно параллельных осей
имеется определенная зависимость, которая выражается следующей
теоремой Гюйгенса-Штейнера.
Теорема 37. Момент инерции твердого тела относительно
произвольной оси равен суше момента инерции тола относительно оси,
проведепной параллельной ей через центр масс тела, и произведения
массы тела на квадрат расстояния меадг осями. Если через ( и I
обозначить параллельные оси и через d - расстояние мезду ося-
-195-

ми, то теорему можно выразить равенством
Доказательство, Момент инерции относительно оси I имеет
значение л! =/ h dm. Проведем через центр масс С ось I', параллель-
ную оси с f а через элемент массы dm - плоскость,
перпендикулярную к осям. Обозначим через Л ил7 точки ее пересечения с
осями ^ и I1. Соединив их друг с
другом вектором d_ и с элементом^/я -
векторами А тл_А , будем иметь
равенство А - d + h (см,рис.36), При
изменении положения элемента^ в_
теле будут меняться векторы h
но вектор d останется, очевидно,
неизменным. Образуем скалярное про-
и А ,
изведение
Рис.36
подставив его в выражение для l?
после очевидных преобразований получим
1°и = d*Jdm tf^dm^jdJdm^mAl^jdl'dm .
Но
d-'fi = dp
довательно,
C9.7)
Hi.
где t - орт оси l' , поэтому
ортогональности векторов» Сле-
из схемы ясно, что_/^ - P~P,t *
'. =dp , так как d t =0, введу
)d-fidm= jd-pdm^d-Jpdm = d.pcm=o 7
_ m "m m
так как p =0, и формула C9.7) доказывает теорему. Из теоремы
следует, что для некоторой системы параллельных осей момент ине]>-
ции тела имеет наименьшее значение относительно той из них,
которая проходит через его центр масс.
Момент инерции тела относительно оси произвольного
направления, оказывается, можно выразить через направляющие косинусы этой
оси и некоторую совокупность шести величин. Действительно, момент
инерции тела относительно оси ? определяется выражением C9.4).
Возьмем начало 0 системы координат 0%t%x\3 в некоторой точке
оси t и представим расстояние к элемента массы dm до оси
через его радиуотвектор р и орт оси ? . Из рис.37 следует,что
где ц =pl
$*л
- проекция радиуоа-вектора
-I9G*

на направленно оси.
Рис.37
Тепорь осевой момент инерции
Компоненты орта оси численно равны
косинусам углов мсдду осью I и
координатными осями t^^cos^l^^ )f
поэтому юс называют направляющими
косинусами оси. Тот факт, что I
является единичным вектором,
выражается равенством Zl?? ^ =1. С эго
помощью А* можно выразить
следующим образом:
C9.4)
«•
где введет: обозна* "пня
L-EI" г i
V **•
бздег определяться выражением
C9.В)
лг у
Расширим теперь :;руг используемых величин. Наряду со скаляром
/ , определяемым в системе отсчета охйх^х4 одним числом /,
и вектором а , задаваемым в той ;хе системе тройхо'.' чисел -
компонентов аи (ос =1,2,3), будем'рассматривать новую величину так
называемый тензор второго ранга А , который определяется з это':
система квадратной матрицей девяти величин - компонентов Аи^
Цуб =1,2,3). Рангом тензора называют число индексов у его коль
понентов. Одним из достаточных критериев тензорной природы
величины Л является требование, чтобы двойная сумма произведении
его компонентов на компоненты произвольного вектора а была
равна некоторому скаляру/:/ = Ел^а^а^ .
Полученное выше равенство ( 39,8) как раз такого типа: осевой
момент инерции /1 является скаляром, а величины ? -
компонентами произвольного вектора I - орта произвольно:! оси I
.Следовательно , совокупность девяти величин ljfi , выражаемых егюрму-
лами C9.9)определяет тензор второго ранга 19г называемый
тензором инерции твердого тела относительно ч.еитра 0.
Из выражений C9,9) видно, что /^ =/JL , следовательно,
тензор инерции твердого тела будет так называемым симметричным
тензором второго ранга, и независимых компонентов у него будет толь-
-197-

ко шесть. Компоненту! с одинаковыми индексами Г^ (<х =1,2,5;, как
легко видеть, имеют выражения /39.5), т.е. являются осевыми
моментами инерции относительно координатных осей, а компоненты с
разными индексами имеют выражения
К<-Ц№ №ф№ Ь'кф'Л"- «9.10,
Их называют центробежными моментами инерции.
В символической форме тензор инерции записывается так:
Г0=[ (p*J-pj5)d.m. = f(/<f-p/)fdV, C9.11)
"*¦ v
где символами ?, рр обозначены так называемые единичный
тензор и диада, определяемые матрицами компонентов ч? t и
ll^tA3 соответственно.
Формула C9.8), таким образом, устанавливает, что момент
инерции твердого тела относительно проходящей через центр 0 любой оси
есть однородная квадратичная форма направляющих косинусов этой
оси, коэффициентами которой служат компоненты тензора инерции
относительно центра 0. Для вычисления момента инерции 1#
достаточно, следовательно, знать тензор инерции тела в точке 0 и
направление оси.
Известно, что вектору а можно сопоставить в качестве
геометрического образа некоторую плоскость, уравнение которой
выражается следующей линейной формой компонентов вектора: ТлО^ъ^ =1.
Аналогичный геометрический образ можно сопоставить и
симметричному тензору второго ранга; им будет уже поверхность второго
порядка. Уравнение этой, поверхности получается следующим образом.
Отложим на оси ? отрезок ом длиной */?!% ¦ Очевидно, что
радиус-вектор точки м будет равен р =т - I /yTg , а ее
координаты имеют значения ^ = ? f YF& • Геометрическое место этих
точек можно получить, если направляющие косинусы оси, выраженные
формулами ? = У*ц $* , подставить в соотношение C9.8)•
Тогда после сокращения равенства на 1°ц получаем следующую
квадратичную форму: ^^СС**' • кот°Р°й соответствует
некоторая центральная поверхность второго порядка. Поскольку 1#*о ,
для каждой точки этой поверхности модуль радиуса-вектора конечен,
эта поверхность , следовательно, будет эллипсоидом (См.рис.37).
Этот эллипсоид является геометрическим образом тензора инерции,
его называют эллипсоидом инерции. Задание компонентов тензора
-198-

инерции однозначно определяет эллипсоид инерции. Знание же
последнего позволяет найти момент инерции относительно любой оси, про-
ходяцей через его центр: он выражается через расстояние р от
центра до точки пересечения оси с поверхностью формулой l? = I/p*
Оси симметрии эллипсоида инерции называются главными осями
инерции тела относительно центра 0. Уравнение эллипсоида в
главных осях^имеет вид 1°?* ф*&*1 f ^ff*^- Моменты инерции тела
1°, [*, Г относительно главных осей инерции называются главными
моментами инерции. Центробежные моменты инерции в системе
отсчета, совмещенной с главными осями, очевидно, равны нулю. Таким
образом, квадратная матрица компонентов тензора в t°H поворотом
координатных осей до совмещения с главными осями инерции
приводится к диагональному виду nl^.8 .
Известно, что, скажем, ось f/ будет осью симметрии
эллипсоида инерции тогда и только тогда, когда его уравнение не содержит
членов с произведениями 6f^ и f^ . Это буцет, очевидно, в
случае, когда "f^=°t 1% =0# Такш образом, чтобы координатная ось,
проходящая через центр 0, была главной осью инерции тела для
этого центра, необходимо и достаточно обращение в нуль центробежных
моментов игерции, содеркащих индекс этой оси. Пользуясь этим
критерием, установим некоторые свойства главных осей инерции.
Если твердое тело имеет плоскость материальной симметрии9 то
для каждой ее точки одна из главных осей инерции тела
перпендикулярна этой плоскости. Действительно, примем плоскость симметрии
за плоскость &?5 системы координат 0?^л?3 , начало которой
совпадает с рассматриваемой точкой. Симметрия тела проявляется в
том, что его плотность будет четной функцией третьей координаты
y(?j>§2,h)sz№j>h>~&FJ10CK00Tb &?jz ^ejmT объем тела на равные
части V=J?V. В этих услодиях легко видеть, что •
•** Jy Jyl "у* 'л
Аналогично устанавливается равенство I?3so . Тем самым свойство
установлено.
Зсли твердое тело имеет ось материальной симметрии, то она
будет главной осью инерции для всех своих точек. В самом деле,взяв
ось симметрии за ось fy системы координат о^^3 и поместив
начало 0 в некоторой точке этой оси, получим следующее выражение
свойства симметрии: Jfte^.fjJ*^?/,-?/,-?*).
-199-

Поэтому
У У* У*
ще V* - объем одной из двух равных частей, на которые тело
делится плоскостью 0$?§л . Точно тпк ^устанавливается и другое
равенство 1^*° * Следовательно, свойство доказано.
3°. Инерционные характеристики твердого тола.
Тензор инерции твердого тела мояет бить вьтчислен для любой
точки. Тензор, эллипсоид, главные оси и моменты инерции- для
центра масс называют соответственно центральным тензором, центральном
эллипсоидом, главными центральными осями и главными центральными
моментами инерции. Знание центрального тензора инерции имеет
большое значение, так как по нему можно вычислить момент инерции тела
7# относительно любой оси L , проходящей через любую точку р,
не прибегая к интегрированию. Действительно, по теореме Гюйгенса-
Штейнера/?-/,?*¦/7*** , и дело сводится к определению момента
инерции fu относительно параллельной оси I1. , проходящей через центр
масс, и квадрата расстояния между осями dx ; последние же
определяются выражениями
Инерционные свойства материальной точки характеризуются одной
скалярной величиной-массой. Инерционные же свойства твердого4тела
более разнообразны. Движение твердого тела слагается из
поступательного движения вместе с полюсом р и из вращения вокруг оси € ,
проходящей через полюс. Инерция в поступательном движении
характеризуется массой т., а во вращательном движении вокруг оси -
моментом инерции тела относительно этой оси l? . Для знания же
последнего, как выяснедо, требуется-знание центрального тензора
инерции, массы и координат центра масс.
Таким образом, инерционные свойства твердого тела определяются
десятью величинами: т , I* , §°и {<*,р =1,2,3). Твердые тела
различной формы, размеров и распределения масс, у которых указанные
десять величин одинаковы, называют динамически подобными.
§ 40. Динамические уравнения движения твердого тела
Как установлено в кинематике, движение твердого тела в прост-
-200-

Рис,38
ранстве определяется шестью параметрами: тремя координатами х^
полюса С и тремя углами Эйлера ^ , фиксирующими ориентацию
тела относительно системы отсчета (рис«38).
Составим теперь систему
дифференциальных уравнений, позволя-
юцих определить эти величины
как функции времени
Твердое тело является ча'стным
видом механической системы,
поэтому дифференциальные
уравнения его движения могут быть
получены из уравнений движения системы. Своеобразие твердого тела
проявляется в том, что эти уравнения могут быть получены из общих
теорем динамики.
1°. Количество движения и кинетический момент твердого тела
Представим себе твердое тело, разделенным на большое числом
частей, и пусть лт0 , <% , irj и Д, соответственно масса,
абсолютная скорость и относительные скорость и радиус-вектор по
отношению к центру масс v -ой части. Тогда количеством движения
тела и его кинетическим моментом относительно центра масс называют
пределы, к которым стремятся соответствующие величины для
системы его частей, когда число частей возрастает до бесконечности, а
их размеры убывают до нуля
- п - - ^-__
1С= йпх ? (КАШ X = (йъ 72 р хО-лт
AV.-+-0
или
k=J *dm.=J vydV, I^jpxt'dm-Jpxtr'fdV D0.2)
Как и для всякой механической системы, количество движения
твердого тела связано со скоростью его центра масс соотношением
Ы-1.3.3).
к=т%
к =то-~ &-1.3.3). D0.3)
</ о.
Оказывается, что для твердого тела между кинетическим моментом
4
и угловой скоростью <*)
-201-
пожно установить аналогичную

связь. Действительно, движение твердого тела по отношению к его
центру гласе будет сферическим, поэтому скорость любой его точки
определяется формулой tr=a)yp . Если теперь воспользоваться
соотношением
и выражением C9JI), а также учесть, что вектор <& не зависит
от выбора точки тела, то кинетический момент <?с можно
представить через тензор инерции 1С относительно центра масс тела и
угловую скорость тела следующим образом:
4'Ь*> ^=f7Ji (*"^3h D0-4)
где проекции взяты на оси сопутствующей системы координат^!,f^fj-
Сопутствующая система координат обладает тем преимуществом, что
в ней компоненты тензора инерции являются постоянными величинами,
поскольку расположение тела относительно этих осей не меняется
со временем.
Если же в качестве сопутствующей системы <??,?* ?> взять
главные центральные оси инерции тела, то в данной системе матрица
компонентов тензора инерции примет диагональный вид III6 I)'= IIТ^ И',
и формулы D0.4) для компонентов кинетического момента значительно
упрощаются
2С = I о* (*с=1Я,з). D0.5)
2°. Кинетическая энергия твешого т ела
Кинетической энергией твердого тела называют предел, к
которому стремится кинетическая энергия системы его частей, когда число
частей возрастает до бесконечности, а их размеры убывают до нуля-
Т=Иъ ? {/?</&т^ T=\i/sv*dm*fy<Tsfdv.
JZ7 "-"' J J D0.6)
В соответствии § теоремой Кёнига кинетическую энергию твердого
тела можно определять по формуле
Г- ? ™v* + t[ f=ffc*'*f<*rt D0.7)
где Т'- энергия движения тела относительно осей, поступательно
перемещающихся вместе с центром масс. В этом относительном
движении скорость точки тела определяется формулой ix'=<x)*p , поэтому
для квадрата скорости о учетом D0.4) будет справедливо выражение
-202-

vf = о-'- (a)xp ) = oJ. (pxtr')-a)?{p*#-pp)d]
Пользуясь им, а также тем свойством, что сЗ не зависит от
выбора точки тела, легко получить для энергии Т' представление
В частности, при совпадении сопутствующих осей с ггавными
центральными осями инерции тела /' = fctA , эта формула принимает
вид
ж%?1*?* Щ»^1****1***)- D0.9)
Если, наконец, воспользоваться выражениями компонентов угловой
скорости через компоненты орта I мгновенной оси вращения тела
Q =a)^ &=J,2,3),?o можно представить Г через осевой
момент инерции тела Т°и в виде
Г-Ы1*' , Ъ-ElZ. D0.I0)
3°. Уравнения движения твердого тела
Возьмем в теле в качестве полюса его центр масс С . Тогда
теоремы о центре масс систевш и о кинетическом моменте системы
относительно центра масс, применительно к твердому телу, приводят к
следующим векторным равенствам:
i4
Спроектируем первое из них на оси системы отсчета Ох,*^ ,
тогда получим три скалярные уравнения
mK=FjL (<* =1,2,3). D0.12)
Что касается второго из равенств D0.11), то его удобнее
проектировать на оси сопутствующей системы координат &${i?$j ,
совпадающей с главными ооями инерции для центра масс тела. При этом
компоненты кинетического момента будут определяться формулами
D0.5); само же векторное равенство будет эквивалентно следующим
трем уравнениям:
?^?*rV/"/ -"- (u'w) D0-I3)
Заметим, что главный вектор и главный момент приложенных к
телу внешних сил в общем случае являются функциями времени,
координат и скоростей точек приложения м :
"Int"?' Р^^^Ч-Я- D0.11)
-203-

jr ? M*lit, j? , i? <6~iA3 , »*i,...,n)-
Однако в силу кинематических формул
в которых координаты Vr точек приложения сил в сопутствующей»
системе считаются заданными, все они будут функциями только
времени, координат центра масс, эйлеровых углов и производных от
этих величин по времени
?*?а,яс,*'9я?), м^а,х^су1/,у) &*а*.з), D0.14)
где каждый из символов ас , л* , у> , у означает сокращенную
запись тройки аргументов х$ t JJ » ? t ? (сб =1,2,3).
Теперь легко видеть, что присоединением к уравнениям D0.12)
и D0.13) кинематических формул Эйлера
?/*%&Щ^%*%^%,^$^^-%'**%, Дз*Ь<Щ+Ъ D0.15)
получаем полную систему дифференциальных уравнений, описывающих
движение твердого тела»
В отличие от кинематических уравнений D0.15) уравнения D0.12!
и D0.13) называют динамическими уравнениями движения твердого
тела.
Система D0.12), .D0.13) и D0.15) содержит девять уравнений
и служит для определения девяти функций scj , ^ и &и (<* =1,2,
3), т.е. она является замкнутой системой. Эта система и
определяет математическую модель механической системы "абсолютно твердое
тело".
4°. Постановка задачи о движении твещого тела
Для твердого тела обычно считаются заданными его масса т. и
главные центральные моменты инерции 1{ , Тя , I • Основная задача
о движении твердого тела ставится следующим образом. Требуется
найти движение тела под действием заданных внешних сил
%=?«>*\*'М&)* ^=Ф+А*С, *&) (*'АЗ), D0.16)
происходящее из заданного начального состояния
-«04-

Решение задачи сводится к интегрированию системы девяти уравнений
D0.12), D0.13) и D0.15) двенадцатого порядка при начальных
условиях D0.17). Условия разрешимости этой задачи
выражает.следующая теорема.
Теорема 38. Если известна масса и главные центральные моменты
инерции тела, а внешние силы D0.16) заданы как непрерывные
функции времени и непрерывно дифференцируемые функции остальных
аргументов, то существует единственное решение уравнений D0.12),
D0.13) и D0.15), удовлетворяящее начальным условиям D0.17).
Доказательство. Разрешив уравнения D0Д5) относительно
производных от эйлеровых углов, можем представить систему D0.12),
D0ЛЗ) и D0.15) в следующей нормальной форме:
dx, ,с dx, f/ da), i *c А л А
В силу сделанных предположений, правые части этих уравнений
непрерывны по времени и непрерывно дифференцируемы по переменным хс ,
Xе , tf ,?• По теореме 4 задача Коши D0.18) и D0.17) имеет
единственное решение.
5°. Движение несвободного твердого тела
Рассмотрим движение несвободного твердого тела. Наличие
геометрических связей упрощает движение тела: теперь оно не может быть
произвольного вида, а имеет некоторый специальный характер. Это
приводит к уменьшению числа независимых параметров, определяющих
движение тела; часть из них задаются как известные функции
времени или выражаются через остальные величины. Однако, поскольку
динамические уравнения пишутоя для свободного тела, в них, наряду
с заданными силами, войдут и наперед неизвестные реакции связей.
Определение движения несвободного тела сводится, таким образом,
к смешанной задаче; по чаоти заданных уравнений движения и внешних
сил с помощью дифференциальных уравнений и начальных условий
требуется определить оотальные уравнения движения и силы.
При решении смешанной задачи вместо динамичеоких уравнений
та =F t Zq 'Яс иногда удобнее пользоваться другой системой*
-205-

в которой уравнение изменения кинетического момента относительно
центра масс заменяется аналогичным уравнением относительно
неподвижного центра 0 : ,j
md*^ • df****- D0.19)
Примеры движений несвободного твердого тела будут рассмотрены
в дальнейшем.
§ 41. Действие сил на твердое тело
Из динамических уравнений движения свободного твердого тела
D0.6) следует, что движение тела зависит не от вида и
расположения отдельных сил, а от их суммарных характеристик: главного
вектора и главного момента. Отсвда ясно, что две системы сил будут
оказывать на тело одинаковое воздействие, если у них равны
главные векторы и главные моменты относительно одного *и того же
центра. Такие системы сил называют эквивалентными.
Пусть на тело действует одна сила F , приложенная в точке,
определенной радиусом-вектором р . При перемещении силы вдоль
линии ее действия ни сама сила, ни момент силы не будут изменяться
р'*Р=(~р*др)хР=р*?1 так как лр*Р=о в силу коллинеарности
векторов. Следовательно, воздействие силы на твердое тело не зависит
от положения силы на ее линии действия.
Рассмотрим специальный случай системы сил, когда она состоит
из двух равных по величине и противоположных по направлению сил
F и -F , не лежащих на одной прямой. Эту систему называют парой
сил. Легко видеть, что главный вектор пары сил равен нулю F-F=oy
а главный момент имеет значение М = (р -Д)хР , не зависящее от
выбора начала отсчета. Вектор Я перпендикулярен плоскости, в
которой лежат сшш. Наоборот, каждому моменту сшш можно сопоставить
некоторую пару. Выясним теперь, в чем проявляется эффект действия
силы и пары сил на тело.
Пусть на первоначально покоившееся тело (Гс°-о , 65°= о
действует сила F , приложенная в его центре масс. Тогда момент силы
относительно этого центра будет равен нулю, и динамические
уравнения D0.6) примут вид
Отсюда ^-1с-?>=1%-йH=-о7 и, следовательно, <?Г= я ; центр же масс
будет вообще двигаться. Таким образом, под действием силы, прило-
-206-

женной в центре масс, первоначально покоившееся тело начнет
двигаться поступательно вместе с центром масс.
Допустим теперь, что на первоначально покоившееся тело
t?°=a)%o подействовала пара сил с моментом М . Тогда главный
вектор системы сил будет нулем, и уравнения D0.6) будут вида
Отсвда получаем t? хЩ°~о ; угловая же окорость тела будет
вообще изменяться. Это означает, что под действием пары сил
первоначально покоившееся тело может только вращаться вокруг
неподвижного центра масс.
В общем случае действия сил при о тличных от нуля и главном
векторе и главном моменте первоначально покоившееся тело придет
в поступательное движение вместе с центром масс и во вращение
вокруг этого центра.
§ 42. О разных видах трения
Рассмотрим относительное движение одного тела по поверхности
другого. Примем, что тела ограничены поверхностями с непрерывно
изменящейоя касательной плоскостью.
Реальные тела вообще шероховаты и обладают способностью
деформироваться. Поэтому при соприкосновении двух тел оба они несколь-
ко деформируются, так что касание тел происходит не в одной
точке, а вдоль некоторой поверхности, обычно малой. При
относительном движении тел эти деформации изменяются. Они вызывают колебания
молекул и служат источником теплоты и возможно других эффектов.
На все это тратится чаоть энергии движущегося тела, поэтому все
эти явления воспринимаются как сопротивление движению.
Эти сложные явления становятся доступными для количественного
описания в рамках модели абсолютно твердого тела, благодаря
законам Кулона. Реакция на одно из движущихся тел со стороны другого
представляет собой систему сил, распределенных по поверхности
касания тел. Действие этой системы на тело эквивалентно действию
ее главного вектора Я и главного момента <Я относительно
центра 0, взятого в одной из точек касания. В дальнейшем
деформацией тел пренебрегают, но считают,_ что реакция на тело со
стороны другого тела сводится к силе Я и к паре сил с моментом #0 .
В кинематике было установлено, что перемещение одного тела по
-207-

поверхности другого в
окрестности каждого момента
времени состоит из скольжения
- поступательного
перемещения вместе с полюсом в на-,
правлении т ,
качения-вращения вокруг оси 7 t
принадлежащей касательной
плоскости, и верчения-вращения
вокруг нормали п к
поверхностям в точке 0 (рис.39).
Разложим векторы ? и G0
на нормальную и касательную
составляющие
&N+Q, а.-%а+ф. D2.1)
Сила N называется нормальной реакциейповерхности, a Q -
силой трения. Каждому из моментов^ Оо и 0^ можно сопоставить пары
сил, которые называются соответственно парами качения и верчения.
Закон Кулона для тела при движении выражается равенствами
U=-kN* , G^N77 OorL--driHn) D2.2)
т.е. сила трения пропорциональна нормальному давлению и
направлена против скольжения; моменты пар качения и верчения
пропорциональны нормальному давлению и направлены противоположно
соответственно качению и верчению.
Коэффициенты пропорциональности к , d^ и d"' определяются
экспериментально, они характеризуют материал, из которого
изготовлены тела, степень обработки поверхностей и другие
факторы.Коэффициент к безразмерный, коэффициенты же dJ и с/а имеют
размерность длины.
Если рассматриваемое твердое тело находится в равновесии на
поверхности другого тела, то законы Кулона принимают вид
04Q4k^ 04G*4d^, 0<Q*4d*N, D2.3)
т.е. сила трения и моменты пар трения качения и верчения могут
изменяться от нуля до некоторых предельных значений. Значения
коэффициентов к{ , dk и д* в этих предельных значениях
несколько больше их значений при движении. Векторы Q и <2/ при
Рис.39
-208-

равновесии в зависимости от приложенных сил могут принимать любое
направление в касательной плоскости.
Заметим, что вообще влияние пар трения качения и верчения мало
по сравнению с влиянием сил нормальной реакции и трения, поэтому
парами трения обычно пренебрегают. Их учитывают, если нет
скольжения. Сравнительная малость трения качения по сравнению с трением
скольжения объясняет применение подшипников.
§ 43. Равновесие твердого тела
Опираясь на общие динамические уравнения движения твердого
тела, рассмотрим ряд частных случаев его движения. Исследование
движений начнем с простейшего движения тела, а именно, с его
равновесия.
1°. Уравнения равновесия тела
При равновесии твердого тела равны нулю скорость центра маоо и
угловая скорость тела. Условия равновесия тела определяются
следующей теоремой о равновесии.
Теорема 39. Для равновесия первоначально покоившегося
свободного твердого тела необходимо и достаточно равенство нулю главного
вектора и главного момента внешних сил
ршО у Яс = 0. D3 Д)
Доказательство. Пусть тело покоится, т.е. Щ=о, ?>*о . Тогда
будут равны нулю его количество движения и кинетический момент
к= тдг^о, <?с = 1с'й> = о, и условия D3.1) следуют из
динамических уравнений движения тела F=t=o , мс 'Ze =o.
Пусть далее тело первоначально покоилось t%°=o, &°*о , и,
кроме того, равны нулю силовые характеристики F~o^ Rc=o. Тогда из
первого динамического уравнения т<%= F следует, что центр
масс будет покоиться ?- с%° =о . Второе же динамичеокое урав-.
нение <?С = ЯС приводит к равенству^ Лсх1с <?"*//Я -.0,
эквивалентному »рем скалярным уравнениям *?*?<*ижо («* =1,2,3).
Поскольку моменты инерции Ju (<* =1,2,3) отличны от нуля, отсюда
получаем, что должна быть нулем угловая скорость тела а)^=о
(at =lt2t3). Таким образом, установлена достаточность. Теорема
доказана*
Заметим, что если твердое тело первоначально не покоилось, то
при условиях D3.1) оно будет совершать инерционное движение:
поступательно и равномерно двигаться вмеоте с це**:1™' и&оо и равнс-
-209-

мерно вращаться ¦•окр.'т итого центра.
5екторыне уравнения D3.1) в проекциях на оси системы отсчета
Oxrxj[-xi эквивалентны равенствам
К''°' Ми'° U =1,2,3). D3.2)
называемым уравнениями равновесия твердого тела. Так как главные
моменты сил относительно любого неподвижного центра 0 и центра
масс С связаны соотношением M0=z/%^^cxF , то при равновесии
М0-° , и последнюю группу уравнений D3.2) можно заменить
уравнениями М°'0 (с/=1,2,3).
2°. Равновесие твердого тела под действием
двух и трех сил
Рассмотрим равнозесие твердого тела в простейших случаях,
когда число действующих на него сил минимально. Прежде всего ясно,
что если на тело действует одна сила, то главный вектор
и главный момент в общем случае будут отличны от нуля (Р*о
всегда), и тело не будет покоиться. Рассмотрим, поэтому случаи
равновесия тела под действием двух и трех сил. Здесь имеют место
следующие теоремы.
Теорема 40. Если свободное твердое тело находится в равновесии
под действием двух сил, то эти силы равны друг другу по величине
и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Доказательство. Обозначим через Ff и р? действующие силы и
через 7У и 7g - радиусы-векторы точек их приложения At и А? .
Равенство нулю главного вектора сил р=р{+р^ = о означает, что
силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению
F, - -F? . Из равенства нулю главного момента относительно
центра 0 получаем равенство М0=т.^Щ^т.як^(гл-21)хЩС'0, из которого
следует коллинеарность векторов г^-т", и ^ , а это и означает
направленность сил по прямой, соединяющей их точки приложения;
тпорема доказана.
Теорема 41. Если свободное твердое тело находится в равновесии
под действием трех сил, то эти силы лежат в одной плоскости и
линии их действия пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть р? %г2 ,% - приложенные к телу силы,
а 7, , 7^ , 7j - радиусы-векторы точек приложения At , А?, А3
этих сил относительно некоторого начала 0. Лз условий равновесия
D3.1) вытекает, что будут равны нулю главные моменты сил относи-
-210-

тельно каждой из точека^ : М^М.+ г^'Р =о (<* =1,2,3).
Первое из этих равенств в подробной записи имеет vmrfg-Tt)tpIt
VV*/) *Рз ш° • Умножая его скалярно на вектор ?3-1{ , получаем
(^г/)'[(гл-71)х/г1]щоу т.е. векторы т,-г, , Ч3-1,
параллельны одной плоскости. Но векторы 7,-7,
плоскости А?АлА3 , а вектор /J проходит через точку аж ,
следовательно, ря должен принадлежать плоскости AtAtA3 • Анало-
И Fjt ДОЛЖНЫ бЫТЬ
и 7,-Т/ лежат в
гичным образом два другие уравнения
МАл*о
и МА

позволяют установить принадлежность плоскости а?ажАл векторов F3 и
Р{ . Первое утверждение теоремы, таким образом, установлено.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим две ситуации.
Пусть среди сил есть параллельные, например, Рл/Р3 . Товда из
равенства нулю главного вектора сил Р^+Р**^ =о находим, что
FjtFj'-Fjtf^-f^tF} я°у т.е. сила Рй будет параллельна двум
другим. Но параллельные прямые пересекаются в бесконечно
удаленной точке плоскости, следовательно, в этом случае теорема
доказана. Пусть далее среди сил нет параллельных. Тогда линии действия
каждых двух сил будут переоекаться. Обозначив через А точку
пересечения линий сил pt и % и через г - ее радиус-вектор и
записав условие равенства нулю главного момента сил относительно
этого центра, будем иметь
CV^x^f^V7K + Сг5-г)*Р3 = о
(rlri)*Ft=0,
так как Сгл-г)и /j i
редь, означает, что
проходит через центр А
5д
Рис.40
(ij-t)if р3 . Полученное условие, в_свою оче-
(ггг)йРй , т.е. что линия силы Ft также
Теорема доказана.
Теоремы позволяют применять
геометрические соображения при
рассмотрении равновесия твердых тел.
Пусть, например, однородный
стержень Ад весом Р и длиной L
удерживается в наклонном
положении равновесия двумя
горизонтальными веревками AD ж ВС 9 при
этом в точке А он опирается на
гладкую отену, на которой
находится и точка 3 # а в точке 3 -
на горизонтальный гладкий пол.
Точки А и С лежат на одной
-211-

вертикали, а угол АЗС равен об (рис.40). Определим величины
реакций на концы стержня других тел.
Стержень А В находится в равновесии под действием трех сил:
веса Р, приложенного в его середине, и реакций RA и Яв ,
приложенных в его концах. Из задачи ясно, что вес Р
вертикален,реакция Р.А расположена в горизонтальной плоскости ?А? , а
реакция Д6 - в вертикальной плоскости вен . Но теореме 41 силы
будут пересекаться в точке ? , в которой линия силы тяжести
пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через точку а •
Таг как при равновесии главный вектор сил равен нулю
Р+&А+&3 =о, то можно построить треугольник сил (рис.40).
Вследствие параллельности сторон он будет подобен треугольнику вен ,и,
следовательно, их стороны будут пропорциональны
€Н * ВО ~ ВН
Так как
ВС = tcosu , ан= Ылпы. , вн* t /eatb+fsvAe,
величины искомых реакций будут равны
*л -Р Iff = Tci?« > Rs =pe™- Г rf+cifi ¦
§ 44. Поступательное движение твердого тела
1°. Об условиях поступательности движения тела
Лмеет место следующая теорема.
Теорема 42. Чтобы первоначально не вращавшееся свободное
твердое тело двигалось поступательно, леобходимо и достаточно
равенство нулю главного момента внешних сил относигельно его центра масс
Нс=о, D4.1)
Действительно, пусть тело движется поступательно. Тогда &=о ,
следовательно, будет нулем и кинетический момент тела <%,*?'^'Ч
и теорема о кинетическом моменте относительно центра гласе
доставляет требуемое условие: Я = <%.=о.
Если же 30=о и Нс = о , то та же теорема приводит к
векторному равенству J$;=Ic.&=i*-&°=о. Оно эквивалентно следующим
трем скалярным равенствам в системе координат chi*%s * совпа*
дающей с главными центральными осями инерции тела ?^~f
Ы =1,2,3). Так как 1иФ о U =1,2,3), отсюда получаем од^о
-212-

(<* =1,2,3) или (л) = о , а это условие и означает поступательность
движения. Теорема доказана.
о
2. Динамические уравнения поступательного движения тела
Скорости изменения эйлеровых углов определяются через сами
углы и компоненты угловой скорости тела кинематическими формулами
Эйлера, взятыми в следующей форме:
a JintA a Costfa л л .а л л
При поступательном движении тела од =о U ==1,2,3). Из
уравнений D4.2) следует, что в рассматриваемом движении эйлеровы
углы будут постоянными Lf = tf° («* =1,2,3). Главный вектор внешних
сил будет зависеть только от времени, положения и скорости центра
масс. Первые три динамические уравнения движения тела D0.4)
образуют теперь замкнутую систему, описывавшую движение его центра
масс
тК= ? ({**С>±С) б"****) D4.3)
Уравнения D4.3) называют уравнениями поступательного движения
тела. К ним следует присоединить следующие начальные условия:
t-ot jcf = jrfo> ij-fl? (<*-*,*<*). D4.4)
Таким образом, поступательно движущееся тело можно рассматривать
как материальную точку.
3°. Представление тела в виде материальной точки
Первые три динамических уравнения движения D0.4) определяют
движение центра масс независимо от других динамических уравнений,
если только главный вектор внешних сил есть функция вида
F-P(i^cf±eL т.е. не зависит от характеристик вращения. Если
при этом Ис*о , но Bоф0 9 то легко видеть, что af-u)o , те^
ло будет совершать вращение о постоянной угловой скоростью,
называемое инерционным вращением. Движение тела в этом случае
описывается как движение вращаицейся точки. Таким образом, практическое
осуществление механической системы "материальная точка" может быть
достигнуто таким приложением сил к реальному твердому талу, чтобы
их главный момент относительно центра масс был равен нулю.
Требование же поступательности движения является не строго необходимым,
-213-

а лишь упрощающим рассмотрение.
Итак, идеализация "материальная точка" означает пренебрежение,
не столько вращением тела, сколько его влиянием на поступательное
движение.
§ 45. ПЛоское движение твердого тела
1°. Движение параллельно главной центральной
плоскости инерции
Чтобы движение свободного твердого тела было плоским, должны
быть выполнены определенные уетовия. Об условиях движения тела
параллельно одной из главных центральных плоскостей инерции
говорит следующая теорема.
Теорема 43. Для движения свободного твердого тела параллельно
исходному положению одной из его главных центральных плоскостей
инерции необходимо и достаточно, чтобы оно первоначально
двигалось параллельно этой плоскости и чтобы у внешних сил главный
вектор принадлежал, а главный момент был перпендикулярен этой
плоскости.
Доказательство. Будем, как обычно, через ?,,?*, lj обозначать
главные центральные оси
инерции тела. Пусть тело
движется параллельно
исходному положению плоскости
с*Ля • в системе отсчета
ох?х^х3 , плоскость ох,ал
которой совпадает с
плоскостью Л
(см.рис.41),уравнения этого движения
имеют ввд
Рис.41
&*?@,ф4«>'*1*4
<?-«<«. Ъ-*л'°-
D5.1)
Согласно кинематическим формулам Эйлера, компоненты угловой
скорости тела будут иметь значения Д~#^ (^=1,2,3). На
основании динамических уравнений
Id4),
Г <*<*>*
С " fit»}. п " * Л *\л " ,1fm\ Л Л а Л Л С
-214-

заключаем, что в этом случае
%=оч мсгоч мсл*о, D5#з;
и необходимость, таким образом, установлена.
Пусть теперь дано, что'главный вектор сил лежит в плоскостиЛ9
а главный момент перпендикулярен к ней F=o, мс=Ас=о , и что
тело первоначально двигалось параллельно плоскости Я , т.е.
имеют место следующие начальные условия:
t=o% 4 = ±C3=0, $-?=*, %*%-о. D5.4)
Следствием этих условий будут равенства <&°=°у ^1х0-
В данном случае уравнения D5.2) приводятся к нормальной
системе уравнений с аналитическими правыми частями
Эта система имеет нулевое решение jccsjCj?6)*?)s = o,
удовлетворяющее начальным условиям D5.4). По теореме 4 оно единственно.
Из решения Л=о , а)л=о и кинематических эйлеровых формул
следуют два уравнения
которые имеют согласущееоя с начальными уоловиями D5.4) решение
у^о , i/3-o . Таким образом, во вое время движения выполняются
равенства
которые являются достаточным признаком того, что тело движется
параллельно плоскости Л . Теорема доказана.
2°. Динамические уравнения плоского движения
твердого тела
Пусть твердое тело движется параллельно плоскости х?хх ,
содержащей центр масс. Это будет иметь место, например, при
реализации условий теоремы 43 или при других условиях, скажем, при
наложении специальных связей* В этом случае выполнены уравнения
D5.4) и, следовательно, &?=&л*о . Кинематическое же уравнение
&3 = Ч>йсо*?1+Ъ при этом приводится к виду <а^# . Совместно
о динамическими уравнениями
-215-

msc.
•г<>
Я SL
da).
~/ " / » я ' ? » мз di
оно позволяет получить уравнения
.с „ , с а -с
хз di li li' i ? J 'j
***** %">*,>**.$, *,.ъ
I^-n/t,-
*i, <*, •*/, •*/.
/Л
D5.5)
4
служащие для определения координат плоского движения тела хл %хж
и <ff • Эти уравнения называют динамическими уравнениями плоского
движения.
Для нахождения плоского движения тела, происходящего из
заданного начального состояния, к уравнениям D5.5) следует
присоединить начальные условия
**°* т^гю . *t = **o . fttfi #?,*/4» *г*?. D5-6)
§ 46. Движение тяжелого цилиндра по
наклонной плоскости
Пусть однородный круглый цилиндр весом Р, радиусом й и
осевом радиусом инерции 7--?/#- начинает скатываться из состояния
покоя, в котором его ось была горизонтальна, по шероховатой на -
клопной плоскости, образующей с горизонтом угол << . Ось цилиндра
.является осью материальной.симметрии, следовательно, она будет
главной центральной осью инерции. Плоскость, проведенная через
центр масс перпендикулярно оси цилиндра, очевидно, будет главной
центральной плоскостью инерции. Обозначим через /] ее
ориентацию »_нпчальном положении. Действующие на цилиндр внешние силы;
гее Р, реакция плоскости ? = N +Q и пара трения качения с
моментом М -ла^ат в плоскости /7 (см.рис.42). Поскольку
начальным состоянием был покой, то все условия теоремы 43 выполненной
цилиндр будет двигаться
параллельно плоскости // . Возьмем в
плоскости П начало координат
О в начальной точке касания
цилиндра, ось jry направим
перпендикулярно наклонной
плоскости, а ось тя - вдоль нее (см.
1^с.42 рис.42). Дифференциальные урав-
i -r^r
-21G-

нения плоского движения D5.5) и начальные условия в данном
случае будут иметь вад
mx^M-PCoju, mx^pJtnaC-Q, l^RQ-И^ U6.I)
К^,^, ±*г±\*Ъ-°- <46-2>
Рассмотрим различные режимы движения.
1°. Чистое скольжение
Вначале рассмотрим случай» когда сопротивление движению
отсутствует, т.е. Q'rt^o . Тоща уравнения движения цилиндра D6.1)
упрощаются и принимают вид
тл^ЛГ-РМьс, тх^РЛпы, 1Л%Я° • D6.3)
Уравнения содержат, наряду с координатами цилиндра xf , ~r? и <4,
еще одну неизвестную величину реакцию М . Здесь мы имеем
несвободное движение цилиндра. Связь такова, что центр масс цилиндра
должен двигаться параллельно плоскости. Это приводит к
недостающему четвертому уравнению х*=& . Отсюда находим, что х*=о , и
первое из уравнений D6.3) определяет нормальную реакцию М*Р&м.
Интегрируя два другие уравнения при начальных условиях D6.2),
получим уравнения движения цилиндра в виде
¦*'**• VV,/re(» У'0- D6«4)
Итак, цилиндр будет поступательно двигаться вдоль наклонной
плоскости с ускорением а^а&пы. . Такое движение называют
чистым скольжением.
2°. Чистое качение
Рассмотрим теперь движение с учетом сопротивления, но при
условии, что скольжение отсутствует. Тогда в уравнениях D6.1)
следует положить я
/*«| , is*™ = jj-< rtUW-yPAf, Г=/#, q.q, ,
после чего они примут вид
Ре О *> PP.
j-^=N-Pccs*, j-x^pj^-o^ jjfaQrW. D6#5)
Три полученные уравнения содержат пять неизвестных величин: х/ ,
л1 » % • К и Qi • Выразим теперь аналитически ограничения на
-217-

движение, накладываемое связями» Условие прямолинейности движения
центра масс имеет вид jr/-? . Условие же отсутствия скольжения
можно записать в виде равенства пройденного цилиндром пути -rjf и
той его дуги &if{ , которая касалась плоскости x^Ry . Таким
образом, связи дают два недостающих уравнения:
.*/-? , j? =2?t . D6.6)
Исключив с их помощью из уравнений D6*5) координаты центра масс,
получим систему уравнений
рр .. рр
которая определяет величины TV % Qi и i/? в виде
M^Peosdi, Q^jCJirtoC+S/Ccjoc), fcjfe-CJtnu-Jeaict) . D6,7)
Интегрирование последнего из этих уравнений при условиях D6.2)
приводит совместно с равенствами D6.6) к следующим уравнениям
движения, определяющим режим чистого качения:
*f=&, xl=*3-(Jin<*-Jc*Sct), </rj?- (JtndL-}cosu). D6.8)
Как видим, цилиндр ускоренно движется вместе с центром масс и
ускоренно вращается вокруг этого центра. Ускорение оси цилиндра
равно- (^--^-(iknoi-foos**.), т.е. не превосходит двух третей от
ускорения при чистом скольжении.
Заметим, что при отсутствии скольжения сила трения
удовлетворяет неравенству Qt *-к?н . Формулы D6.7) позволяют представить
его следующим образом:. ty<*<3Xj-x/ . Поскольку коэффициент у
значительно меньше к{ , то 3Kd~$f >o . Кроме того, в
рассматриваемом движении координата х? должна быть положительной; второе
нз уравнений D6.8) показывает, что это будет при ?$<*>/' . Таким
образом, предам к выводу, что режим чистого качения реализуется
ирм угле наклона плоскости, удовлетворяющем неравенствам
f^tQoi *3kr2}. D6.9)
3°. Качение со скольжением
лоля угол наклона плоскости достаточно велик, так что
f.-Лх'л5*,-^/, то чистое качение не будет иметь места,-цилиндр
У^Лсг кататься не плоскости с проскальзыванием. 3 этом случае
-2I&-

сила трения имеет определенное значение Q=kH . Уравнения
движения D6.1) совместно с условием движения центра масс образуют
оледувдую замкнутую оистему:
Р ..с Р С DP
f*i -Я-Poosu , j-x^fiAnt-W Щ&(к-№, &* - D6.10)
Интегрирование системы при условиях Dв%2) определяет нормальную
реакцию и уравнения движения цилиндра в виде
N^Poos* , jzf^e, j?=?-CAnctj(W/), ift^Ck-f)cosaL. D6.11)
В этом режиме, как и при чистом качении, цилкндр ускоренно
скользит вместе с центром масс и ускоренно вращается вокруг центра
масс, однако, ускорения скольжения и вращения, вообще говоря,
будут большими, чем в предыдущем режиме.
Коэффициент / , учитывающий сопротивление качению, в
рассматриваемом движении входит только в уравнение, определящее вращение
цилиндра. Численно он значительно меньше коэффициента трения скол!
жения }«к . Допустимо поэтому принять k-f~k ц определять
вращение формулой ^ ~?-<?oju . Это означает, что при наличии
скольжения сопротивлением качению допустимо пренебрегать по
сравнению с сопротивлением скольжению.
§ 47. Вращательное движение твердого тела
1°. Вращение вокруг главной центральной оси инешии
Условия, при которых реализуется вращение твердого тела вокруг
неподвижной оси, выражаются следующей теоремой.
Теорема 44. Для вращения свободного твердого тела вокруг
исходного положения одной из его главных центральных осей инерции
необходимо и достаточно, чтобы оно первоначально вращалось вокруг
этой оси и чтобы внешние силы имели равный нулю главный вектор и
параллельный оси главный момент относительно центра масс.
Доказательство, Обозначим через & , $я , |^ главные
центральные оси инерции тела. Пусть тело вращается вокруг исходного
положения оси ?3 . В системе отсчета ол,х^3, ось лг, которой
совпадает с осью <?( , а начало 0-е центром масс С, уравнения
движения -цела имеют вид
j?=o &*/.*,J) , #-##), tf^tf^o . D7.1)
-219-

Компоненты угловой скорости тела, вычисленные по кинематическим
формулам Эйлера, имеют значения ^ = #<?j (с* =1,2,3). На
основании динамических уравнений
**?*% <*« 1,2,3),
С &<t)t ,л * л л л /f л clod я * * л л Л/» . .
tt3r*WAmM?' &+VrIM4=Ml D7.2)
заключаем, что требуемые условия выполняются.
%*о fe?-y,*,j), М*=о, м*=о. D7.3)
Пусть теперь выполнены условия D7.3), т.е. главный вектор сил
равен нулю, а главный момент сил относительно центра масс
параллелен третьей главной центральной оси инерции тела. Кроме того,
считаем, что первоначально тело вращалось вокруг этой оси
t=o% j?=o , Jt*=o (<*=ly&,3)^ 1/я=Ч>3=о, Ч>я=У3=о> D7.4)
т.е. начальная угловая скорость тела направлена по оси с%3
&)^а)*=о . Тогда динамические уравнения D7.2) можно представить
в виде следующей нормальной системы уравнений с аналитическими
правыми частями: с
ф = ]*&?,& , ф = ккь&л.
at -J- я з м {а з ' D7#5)
Нулевые значения функций
удовлетворяют как системе D7.5), так и начальным условиям D7.4);
в силу теоремы 4, это решение единственно. Два последних
уравнения <*>{=о , <&?=о , в силу кинематических формул
и начальных условий i/°=i/>3°=o , эквивалентны уравнениям
$я*§-0. Таким образом, установлено, что при условиях теоремы в
любой момент времени -z/s^/-^-#- %=°- А это означает, что
тело вращается вокруг неподвижной оси. Теорема доказана.
2°. Динамическое уравнение вращательного движения
При реализации условий теоремы 44 свободное твердое тело вра-
-220-

щается вокруг неподвижной оси ? , проходящей через его центр
масс. В этом случае выполняются-уравнения D7.1), поэтому
компоненты угловой скорости тела имеют значения аи .= #4о (<* =1,2,3).
С учетом этих формуя динамическое уравнение ?а^?-ф*^ "/?f ,
не использовавшееся при доказательстве теоремы 44, превращается в
уравнение для определения угла поворота тела вокруг оси
13У,*ли*.Ъ,ф- М7.6)
Его называют дифференциальным уравнением вращения тела вокруг
неподвижной главной центральной оси инерции тела. Это уравнение
совместно с начальными условиями
определяет уравнение вращения вокруг оси # = ##)•
3°. Вращение несвободного тела вокруг
неподвижной оси
Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси I , точки 0 и А
которой закреплены соответственно в опорном и осевом подшипниках,
под действием заданной системы сил с главным вектором р и
главным моментом м0 . Будем рассматривать движение тела в
неподвижной системе отсчета ох^лл3 9 начало которой взято в неподвижной
точке 0 тела, а ось ох3 направлена вдоль оси вращения* Примем
также точку 0 и ось ? за полюс и третью ось сопутствующей
системы коорцинат 0^1, ; ось же о§? проведем в теле таким
образом, чтобы плоскость <7f,f, содержала его центр масс С (ом.рис.
43). На тело,помимо заданных сил, будут еще действовать заранее
е неизвестные реакции опор 0 и А.
Будем обозначать их посредством
А \ векторов 0 и А. Воспользуемся
динамическими уравнениями
движения тела в форме D0.14):
D7.8)
Проектируя эти уравнения на ocsr.
сопутствующей системы координат,
будем иметь
Рис.43
-221-

m&^F+S+A ZT*+E* ZJ°=M°+Z6, ЧАХ *".«4).D7.9)
Кинематические уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси
имеют вид xj -о (^/,?,j)f tf^y/t), </м:(/л=° - Из кинематических
формул Эйлера при этом получается, что компоненты угловой
скорости равны <з? ^/{^ 0* =1,2,3). Отсвда дифференцированием по
времени наводим, что компоненты углового ускорения будут ^=^'^4сз
(<* =J,2,3). Следовательно, векторы со и Ж определяютоя
формулами Я-iJtZ , i-fc • _ Сл
Радиус вращения центра масс равен &с = ? *,. По теореме Риваль-
са ускорение центра масс определяется вектором
следовательно, его компоненты имеют значения
4в-«#. 3-я?. *'-* D7-10)
Компоненты кинетического момента представляются через
компоненты тензора инерции и угловой скорости посредством формул
•С- f 7*1A=& я (*-1 «2 «3) • D7Л1)
Если еще учесть, что реакция осевого подшипника перпендикулярна
оси; AJ^Of а его радиус - вектор параллелен оси $*= €*<?&
(ы =1,2,3), то уравнениям D7.9) можно придать вид
"'tff/ -? *$ 'А^ 4, /,* %1п -Мл +t3At, D7.I2)
Во вращательном движении положения и скорости всех точек тела
могут быть выражены через переменные величины # и # t поэтому
заданные силы и их.моменты будут функциями вида ?^,#,#) ,
А° (t, 4ith) (<* =1,2,3), Последнее из уравнений системы D7,12),
не содержащее реакций, ввиду совпадения осей 0?з и ох3 9 можно
писать в форме
Съ °м1(*'*пМ- D7лз)
Его называют дифференциальным уравнением вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси ох3 • Совместно с начальнши условиями
t*°, 4i = *A° , 4t*«? * D7.14)
-222-

оно определяет закон вращения тела вокруг оси ift*wi) . По
известному вращению оотальные уравнения сиотемн D7.12) определяют
реакции опор в виде
\'%ФЛ&*Л 1-«*Н-Ь**>№Аь D7Д5)
*>-*. 4-4-
Реакции, определяемые этими формулами, называют динамичеокими:
они возникают в опорах при вращении тела. Из D7.15) видно «что
динамические реакции зависят как от приложенных к телу сил, так
и от параметров и состояния движения самого тела» Они могут
отличаться от нуля даже при отсутствии активных сил ..Величины
реакций пропорциональны квадрату угловой скорости тела» поэтому при
быстром вращении они могут быть весьма большими, часто во много
раз превосходящими активные оилы.
Реакции опор называют статическими и обозначают через 0^ и
А^(<* =1,2,3) в случае, кёхда тело покоитоя. Выражения для от
этических реакций следуют из формул D7.15), если в них положить
i/=i/ r:о:
-i "'A: *s * A; л. * D7.16)
Сравнивая выражения D7.15) и D7.16), приходим к заключению,
что динамические реакции будут совпадать со статическими, если
выполняются условия
^ЛЯ* -*'aV&ts0' №'-*' Н-° D7.17)
Легко видеть, что для этого необходимо и достаточно, чтобы при
любом законе вращения было
**s° ' Кз=0 • *'s0> D7Л8)
т.е. ось вращения должна.содержать центр масс и быть главной
осью инерции для точки 0. В этом случае ось будет главной
центральной осью инерции тела. Действительно, свяжем с центром масс
систему ооей <?§/§? f3', параиельяых ооям оых§3 . Тогда,в силу
формул преобразования координат ^ = fj*^ (с/=1,2,3), центробеж-
-223-

ные моменты инерции относительно центров 0 и С будут связаны
соотношениями Iе = I^mtUl ' 1& = 11з+т*я*з • °тсвда при
D7,18) будет'следовать требуемое jj =r^ = o.
Таким образом, при вращении тела динамические реакции будут
совпадать со статическими тогда и только тогда, когда ось
вращения является главной центральной осью инерции тела.
В механизмах с быстровращакщимися деталями стараются избежать
появления больших динамических реакций, поэтому тщательно следят
за тем, чтобы оси вращения этих деталей были главными
центральными осями инерции.
§ 48. Физический маятник
В качестве примера вращательного движения рассмотрим вращение
твердого тела вокруг неподвижной горизонтальной оси под
действием силы тяжести. Такое тело называют физическим маятником. Теория
физического маятника является исторически первой разрешенной
задачей динамики системы. Интерес к этой задаче возник в связи с
вопросом совершенствования часов и связан с именем Гюйгенса.
1°. Уравнение движения маятника
Проведем через центр масс С тела плоскость, перпендикулярную
оси вращения; точку 0 пересечения плоскости с осью назовем точкой
подвеса физического маятника. Станем рассматривать движение
маятника относительно системы отсчета ох?хях3 , в которой ось ох
совпадает с осью вращения, а ось oxd направлена по вертикали
вниз (рис.44). Массу т. тела, расстояние А от точки подвеса до
центра масс и момент инерции/J
относительно оси вращения
считаем заданными. Свяжем с маятником
сопутствующую систему координат.
°$Л&$з 9 к^ Указано на рис.44,
тогда дифференциальное уравнение
его вращения D7.11) примет вид
Кз^Гх1Р^л1Рг'т9кз^^ •
D8.1)
или .. ток
Сравнивая это уравнение с урав-
Рио.44
-224-

нением A8.4) движения кругового математического маятника
i/t +\ 3uuf{= а, видим, что физический маятник будет двигагьоя по
такому же закону, к#к и математический с длиною
полагая одинаковыми юс начальные состояния. Такой математичеокий
маятник называют синхронным данному физическому , а его длину I
- приведенной длиной физического маятника. Таким образом t
вопрос о движении физического маятника сведен к изученному уже
вопросу о движении математического маятника*
Отложив на оси о$/ отрезок оо'= I % получим точку О',
соответствующую положению синхронного математического маятника; эту
точку называют центром качения физического маятника. С помощью тео-..
ремы Гюйгенса-Штейнера I^-^L + т& легко установить, что
параметры I и Л маятника связаны соотношением
Ы^+к =? +А, D8.3)
где г - радиус инерции тела относительно оои jtj , проведенной
через центр масс параллельно оси вращения. Отсюда яоно, что Ьк%
т.е. приведенная длина физического маятника всегда больше
расстояния от центра масс до оси вращения.
Приведенная длина является единственной характеристикой мая?-,
ника. Как ввдно из формулы D8.3), она зависит только от расстоя^
ния А центра масс до оси вращения {\ = const). При
неограниченном увеличении этого расстояния приведенная длина может стать
сколь угодно большой. Оказывается, однако, что ее нельзя сделать
сколь угодно малой. Действительна, вычислив производные
устанавливаем, что при h=zc 9^ = о $gjp>o , следовательно,/
имеет минимум, равный I . =?гг . График функции D8.3) изобра-
пил
жен на рио.45.
На свойстве минимума длины L основан интересный эффект.
Рассмотрим малые колебания маятника. Как было установлено, период
этих колебаний определяется выражением
Бели A>zc , то с приближением центра масс к точке подвеса А
уменьшается вместе с I ; следовательно,уменьшается период коле-
-225-

баний. Если же А<гс ,
то приближение центра масс
к точке подвеса
увеличивает длину (. , а
следовательно, и период. Этот
эффект был замечен в свое
время на часах Лондонское
го Вестминстерского аббат-
^ ства, которые отставали.
Ц\ При уменьшении ft часы
сначала стали ходить
быстрее , при дальнейшем
уменьшении А , часы стали
замедлять ход,
2и. Взаимность точки подвеса и центра качания
маятника
Вели твердое тело подвешивать в различных точках, то
расстояния центра масс до оси вращения будут вообще различными, и мы бу«-
дем получать физические маятники с различными приведенными
длинами, Гюйгенсом было замечено одно замечательное свойство,
выраженное им в форме следующей теоремы, носящей его имя.
Теорема 45« Точка подвеса и центр качания физического маятника
являются взаимными точками: если центр качания сделать точкой
подвеса, то бывшая точка подвеса станет центром качания.
Доказательство« Пусть точке подвеса 0*отвечают расстояние №
центра Majc до оси и приведенная длина if . Очевидно, что
к'=1-к= С/А (Рис,44)« Приведенная длина I' , в силу формулы
D8,3), будет в этом случае совпадать с / :
а это равенство и доказывает теорему.
Свойства взаимности точки подвеса и центра качания
используется в так называемом оборотном маятнике Катера - физическом
приборе, который можно использовать для экспериментального определения
ускорения силы тяжести.
\
5
к
Ъ
с
~т 1 |
\ ' '
\ . i L_
G 1
Рис,45
-226-

§ 49. Сферическое движение твердого тела
1°. Сферическое движение свободного тела вокруг
неподвижного центра масс
Имеет место следующая теорема.
Теорема 46. Для вращения свободного твердого тела вокруг
неподвижного центра, совпадающего с иоходным положением его центра
масс, необходимо и достаточно, чтобы центр масс первоначально
покоился и чтобы внешние силы имели равный нулю главный вектор.
Доказательство. Пусть тело совершает сферическое движение вок.-
руг неподвижного центра масс. В системе координат Ох^хля3 ,
начало которой совпадает с этим центром, уравнения движения будут
j?=o , У=?М) (* =1,2,3) . D9.1)
Тогда ускорение центра масс будет равно нулю <a^-i?J =° (<*=1,2,3),
и уравнения движения центра масс доставляют требуемое условие
F^rno^o (oc=I,2,3).
Пусть теперь дано, что главный вектор внешних сил равен нулю
и что центр масс первоначально покоился в начале координат
?=0,3^= *?о°• То1да из тех же уравнений движения niir^F^
получаем
^о. <?=<?-°. х1**«,*0 lUslX3) •
т.е. центр масс все время будет покоиться в исходном положении,
и, следовательно, движение тела будет сферическим. Теорема
доказана.
При сферическом движении вокруг неподвижного центра масс
координаты и скорости центра масс будут равны нулю, поэтому момент
внешних сил будет зависеть только от времени, углов Эйлера и уг-
лбвых скоростей Fic^RcCt^,ct>) ¦ Уравнения кинетического момента
в проекциях на сопутствующие оси - главные центральные оси
инерции тела - совмзстно с кинематическими эйлеровыми формулами дают
уравнения
A
tar+?№%=¦% <&.$> J? -¦• 4-^fcM**<j*4<'«'^»
-227-

назьшаемые уравнениями сферического движения вокруг неподвижного
центра масс. Первую группу этих уравнений называют динамическими
уравнениями Эйлера для сферического движения тела.
Уравнения D9.2), совместно с начальными условиями
t~° *
<t=<L
л л 0
а) =• а)
Го^/дз;,
D9.3)
определяют уравнения сферического движения % = */иМ ы=1,Яшэ).
2 . Сферическое движение несвободного тела
вокруг произвольного неподвижного центра
Рассмотрим несвободное твердое тело, закрепленное в точке 0 с
помощью сферического шарнира. Такое тело будет совершать
сферическое движение. Возьмем систему отсчета о±{хяя3 с началом в точ-^
ке 0. Эту точку возьмем также за полюс в теле и совместим
сопутствующую систему координат o^t%^3 с главными осями инерции для
точки 0 (рис .46). Товда уравнениями движения тела будут
М ^%0 . ?*?#) №.&), D9.3)
те ? - эйлеровы углы, опре^-
делящие ориентацию тела (рис.
46). В этом случае из шести
координат тела следует
определить только три функции tft({) ,
%(l) » %Ci) > однако, при
этом на тело будет действовать
наперед неизвестная реакция 0
точки 0, компоненты которой
также подлежат определению.
Чтобы получить уравнения,
не содержащие реакций шарнира,
дин&*одческие уравнения удобно взять в форме D0.14)
Рис.46
rnac=F+6\
4& tcDxJ.
-Я.
D9.4)
эде р и ft0 - главный вектор и главный момент заданных внешних
сил.
В рассматриваемом сферическом движении координаты и скорости
любой точки тела Mj ( ?/7f/, %l )» в которой приложена внешняя
сила, будут функциями if и $ :
-228-

у
Поэтому векторы F и М0 будут функциями переменных t $ i/ , у
или t , if , <3 .
Проектируя уравнения кинетического момента D9.4) на оои
сопутствующей системы координат и присоединяя к ним кинематичеокие
формулы Эйлера, получим замкнутую систему уравнений:
%#*$•%>№%«.*.*>, JsM*»* - **•**«, D9.5)
называемую уравнениями сферического движения твердого тела
вокруг неподвижного центра 0. Первая группа уравнений представляет
собой динамические уравнения Эйлера. В таком виде они были
получены впервые Эйлером в 1758 году.
Уравнения D9.5) вмеоте с начальными условиями
*>"° . «г?°. ^'4° С«**М D9.6)
определяют функции що и &и({) {и =1,2,3) и тем самым
определяют сферическое движение тела.
Зная уравнения движения, наДцем компоненты углового ускорения
по формулам 6^ = a) (i) (о* =1,2,3), следовательно, угловые
скорость и ускорение оудут известными функциями времени &= &({) , .-
d-Icf) . Согласно теореме Ривальса, ускорение центра масс
будет равно ё^=?хре *(&*рс ), и уравнение движения центра масс
D9.4) определит реакцию опоры в виде o^md^-F.
§ 50. Инеоционное вращение тяжелого твердого тела
вокруг неподвижного центра масс
В качестве примера рассмотрим задачу о сферическом движении
твердого тела под действием веса этого тела.
Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки под
действием одной активной силы - силы тяжести, несмотря на
кажущуюся простоту, представляет собою одну из труднейших задач
механики. Общее ее решение неизвестно. Эта задача привлекла внимание
-229-

многих выдающихся ученых. Наиболее значительные результаты
связаны с именами Эйлера, Лангранжа и Ковалевской. Б этом параграфе
будет рассмотрено решение Эйлера, отвечающее тому случаю, когда
неподвижной точкой служит центр масс тела.
1°. Уравнение движения и их интегрирование
Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижного центра
масс под действием одной активной силы - силы тяжести Р при
начальных условиях
*=о , if = а>° , а) = 3>° (ct'tsj). E0.1)
Поскольку центр масс неподвижен, его ускорение будет равно
нулю cL^o , и из уравнения движения центра масс тас*Р+с
находим, что реакция опоры будет о=-р . Так как обе внешние
силы Р и С приложены в центре масс, их главный момент
относительно этого центра равен нулю, т.е. /? =o , следовательно, твердое
тело в этом случае буцет совершать инерционное вращение.
В рассматриваемом случае динамические уравнения Эйлера D9.2)
принимают вид л
\U**(H^A--0, E0.2)
а dud. л л л л
Эти уравнения образуют замкнутую систему, которую можно
интегрировать независимо от кинематических уравнений.
Найдем первые интегралы этих уравнений, полагая, что %>Хд>13.
Умножим для этого уравнения E0.2) соответственно на ^ , ?)л , од3
и сложим результаты; в итоге получим
* л dob, * л doL * л da)<
Интегрируя, находим интеграл
\9L г \* у Л*
где ft - произвольная постоянная. Это есть интеграл энергии. Он,
выражает постоянство кинетической энергии тача. Для нахождения
другого^интеграла умножим уравнения E0.2) соответственно на
2Л &t , 1Я &л , 13 &3 и почленно сложим, в результате получим
-230-

bi^dali is*. da>a fs-\ da), n
После интегрирования находим интеграл
^ЧЧ^зЧ*=4Л, E0.4)
где <?с - произвольная постоянная, являющийся интегралом моментов.
Он выражает постоянство модуля кинетического момента тела. Чтобы
получить выражения компонентов угловой скорости от времени, нужен
еще один интеграл. Его можно установить следующим образом. Выразим
компоненты fci* и и)л "через <?)$ , используя интегралы E0.3) и
E0.4), тогда получим
<?-?<*r*h . *f•?(?-***>, E0.5)
где вместо .? и К введены новые постоянные Лу и Лл ,сог~
ласно формулам
А О А а А О j2 А л А А А О
//Ч =1г(ГгГ?)А, , 4 -Т/*1/1,-1л)Лл , E0.6)
а через ^ т J? обозначены следующие комбинации главных
центральных моментов инерции:
А * ? * AAA
л SL a S_
При этом, поскольку б04 ъоу соз у о и J>ot ^уо , то
А?*&>%, Л?Ъ&* • Постоянные Л? и ЛА определяются из
E0.5) по начальным данным E0*1) в виде
о \0sl и>\ л +0л tiff
Подставив теперь во второе из уравнений E0.2) значения а)/ и аK
по формулам E0.5), получим
da)s
Сохраняя справа знак плюс (выбор знака для окончательного вида
решения не существенен), разделяя переменные и «интегрируя, найдем
4?
d«)z
^А^ ,/ 2 Mw Л **1 Т E°-10)
-231-

где р - постоянная интегрирования. Из этого равенства можно
представить зависимость &&<*) через эллиптические функции Яко-
би. Вид этой зависимости окончательно определяется значениями
постоянных Лу и л? , т.е. начальными условиями.
1) Если \>*ь , то полагая &л=ллЛпос 9 что всегда
возможно, поскольку rtf^A^ • получим из E0110)
oU^Ll— 1 *=? ' E0.11)
Для эллиптического интеграла a~J -/j-^sotAu обратной
функцией будет амплитуда <*f- am и • Эллиптическим синусом
называют тригонометрический синус от амплитуды snu=s<ndL=$uiamu!lb-
рез sn и можно определить две другие эллиптические функции
спи - yi-sn*u , dnu. =^{-ktSniu. t
называемые эллиптическим косинусом и дельтой амплитуды
соответственно. Эти функции при нулевом значении аргумента принимают
значения мо^о , cno^i t d.no=i . Кроме того, из определения
следует, что эллиптические функции являются периодическими с перио-
у , # > •
о //-****'*<*
На основании формулы E0.11) заключаем, что
ftnoL=M(A{<5ttfi{) , где д - новая постоянная; следовательно,
&л ="A?Jna/6-it/5/) . Так как при t*o , 2>л=и)вл , то j/^-AJ / .
Подставляя выражение а>? в формулы E0.5) и учитывая равен^-
ство aja =kt , получим зависимость от времени всех
компонентов угловой скорости
сЬ3=Л?7ёс1п.(Л?&+/\) . E0.12)
2) Если А4<АЛ , то, полагая ?>л*л^?пы. и вводя
обозначения а?/л =kg , аналогичным путем найдем, что
&^\J4on(Aj3t tflg), E0,13)
где fot находится из равенства Jnfi? = <Ч* Л
Кроме рассмотренных основных двух случаев, возможны еще
следующие: &
3) л{=о при этом щ E0.5), в силу J{ >o , получаем, что
-232-

ct)?=ct>yo , <Z){= &S , тело в этом случае совершает равномерное
вращение вокруг оси %t ;
4) л^о ; в этом случае все время w^cd^o , а)=а)° - тело
равномерно вращается вокруг оси f ;
5) Л/-л^л ; в этом особом случае интеграл E0.10)
вычисляется в элементарных функциях
&)% А А
и компоненты угловой скорости тела будут гиперболическими
функциями времени
Q-AJM (Aeitfa). E0.14)
Эллиптические функции Якоби суть функции периодические,
поэтому, как это следует из E0.12) или E0.13), периодическими
функциями будут и компоненты угловой скорости с периодом т?=П/^
при л?>лл или ^-^Л-в- пРи А?<Ал • Следовательно,
по истечении периода вектор угловой скорости примет относительно
тела прежнее положение.
Для окончательного решения задачи следует еще выразить
эйлеровы углы в функции времени, т.е. проинтегрировать кинематические
формулы Эйлера. Так как в рассматриваемом движении Яс--о , то из
теоремы о кинетическом моменте ^свЯй вытекает, что Ic=oon4t*
т.е. кинетический момент тела относительно неподвижного центра
постоянен и по модулю и по направлению,. Последующее исследование
значительно упрощается, если этот постоянный вектор принять за
ось OZj системы отсчета. Тогда «4^^ и -С ^°?/«*
(об =1,2,3), где /^ - компоненты jf -матрицы. В подробном
виде эти формулы пишутся так:
?3,-4*^ E0*15)
Из этих формул можно сразу определить fyl) и t^ci) , если
воспользоваться выражениями для компонентов угловой скорости.
Ограничиваясь случаем At> хх (при а^а^ подочеты
аналогичны)» с помощью E0.12) будем иметь
' ?<V h teD°i+fi>) ' E0.16)
-233-

Для нахождения ^ воспользуемся выражением D0.13) для
производной if. через компоненты углевой скорости
d.lft U){ Jutlf3i-<*>2.С***Ь
Из первых двух формул E0.15) получаем два соотношения
с помощью которых при учете выражений E0.12) производную #
можно представить в виде
Отсвда ^ найдется квадратурой от эллиптических функций
Так как функциям (л/я'у-д ) имеет период r{ = i/k/Ai^ , то
уа+Т;)-</({)=о . Интегрируя по t , получим ца+ъу-ут-е,
ще с - есть постоянная интегрирования. Функция # уже не
будет периодической; по истечении промежутка времени т? она
получит приращение, равное с «В этом и заключается причина,
почему <*) займет в пространстве по истечении периода Г/ ,
вообще говоря, другое положение, если не окажется, что <?*.**",
2°. Интегрирование уравнений движения при равенстве
двух главных центральных моментов инерции
В частном случае при равенстве двух главных центральных
моментов инерции интегрирование уравнений движения тела доводится до
конца в элементарных функциях. Действительно, пусть 1У = 1??ГЭ ,
тогаа уравнения Эйлера E0.2) принимают вид
-234-

В этом случае третье уравнение Эйлера дает еще один интеграл
6d3=c*)°=ocnjt . На основании этого условия из последнего
равенства E0Л5) вытекает, что угол нутации будет постоянным
0<V4f^ZcA~ • #"#в • ПРИ этом» согласно формуле 4-#•***?$&»?*
+ </&c°j% ,получаем, что 4= <//«** 4^ ^'л& > и пеР-
юе из равенств E0.15) приводит к постоянству скорости # :
Интегрированием отсвда получаем ' y^rdttf . Наконец,
уравнение 4^ 4ico?4i + % • принимающее теперь ввд Д^яссцу/*^ , ут-
вервдает постоянство окорости собственного вращения
if^odl-ncotif^rii . Отсвда следует, что %=n?tti^.
Итак, в рассматриваемом случае
<Л"* + Ч>; , ?«?/ , ?-*/"«'• E0-Лв)
Движение, определяемое этими уравнениями, является регулярной
прецессией, В этом движении тело совершает
равномерное-собственное вращение вокруг оси с% , которая, в свою очередь,
равномерно вращается или, как говорят, прецеооирует вокруг неподвижной
OCSCZj •
§ 51 • Элементарная теория гироскопических явлений
Рассмотрим твердое тело, имеющее ось материальной симметрии.
Пусть оно обладает большой скоростью собственного вращения
вокруг этой оси. Если к тому же ось может менять свою ориентацию в
пространстве, то тело называют гироскопом. Гироскоп большей
частью выполняется в виде массивного цилиндра или тора,
закрепленного так, что одна из точек его оси остается неподвижной,
У движения гироскопа обнаруживается целый ряд на первый взгляд
парадоксальных явлений, обусловленных его быстрым вращением. Эти
явления называют гироскопическими. Они возникают всвду, вде
имеются быстро вращающиеся тела, ось вращения которых может изменять
свое направление, и поэтому имеют большое техническое значение.
Точное исследование движения гироокопа, даже при действии на
него одной только силы тяжести, представляет собой сложную
математическую задачу. Это исследование можно значительно упростить
и построить приближенную теорию, хоща собственная скорость
вращения гироскопа достаточно велика.
-235-

I . Уравновешенный гироскоп
1'ассмотркм гироскоп, закрепленный" так, что его центр тяжести
.; совпадает с неподвижной точкой 0 его оси (рис.47). Такой
гироскоп нращаетсл ^юкруг своей оси симметрии § с угловой
скоростью >*.л . Так как угловая скорость направлена в данном случае по
главной центральной оси инерции, то
кинетический момент Л0 гироскопа
относительно точки 0 б уцет_ направлен по
той же оси, и при этом J.c - IJO>3 . ]исли
никакие внешние силы (кроме силы
тяжести) на гироскоп не действуют, то
главный момент внешних сил
относительно центра 0 равен нулю, и по теореме
Рис 47 °^ изменении кинетического момента по-
"_ луча ем- гтр = Й0-~° » откуда J0=ccnj{
Гак как вектор Л0 при этом все время направлен вдоль оси
симметрии гироскопа, то, следовательно, ось в этом случае будет
сохранять свое начальное положение относительно инерциальной
системы отсчета, а угловая скорость аK будет постоянной.
Допусти?»: теперь, что на гироскоп действуют какие-нибудь
внешние силы, тогда, как известно, гироскоп, кроме собственного
вращения, будет совершать еще прецессионное и нутационное движения.
Точное исследование движения тяжелого гироскопа показывает, что
¦глохзая скорость нутации л^ очень мала, и угол нутации
изменяется в весьма малых пределах. По этой причине нутационным
движением оси в элементарно;! теория вообще пренебрегают.
Угловая скорость прецессии Ц также мала, но при ее наличии
ось гироскопа значительно изменяет СЕое направление, поэтому
прецессионное движение в элементарной теории учитывается. Тогда
угловая скорость гироскопа будет равной сё) = сО?+<дз • Но так как
у быстро вращающего гироскопа аK Р dI , то приближенно можно
считать, что и) аK , т.е. полагать, что и при наличии прецессии
угловая скорость гироскопа в каждый момент времени равна угловой
скорости его собственного вращения и направлена по оси симметрии
гироскопа. При это?/. доп;*т»ении кинетический момент имеет значение
J - /ч<'7^ и также н 'ги>авл'Н1 в лябой момент времени по оси
гироскоп - .
В обг'зм случае ось материальной симметрии тела, угловая
скорость и кинетический момент относительно неподвижной точки имеют
-ЯЗС-

различные направления в пространстве• Основное допущение
элементарной теории гироскопа состоит в том, что у быотровращапцегооя
гироскопа все эти три направления приближенно считаются совпадающими.
Сделанное допущение позволяет судить о перемещении оси
гироскопа по изменению направления вектора 10 , даваемому теоремой
^ = Я0 . Если конец вектора 10 обозначить буквой А , то
производную °/d{ можно (считая масштабный коэффициент равным
единице) рассматривать как скорооть ёА точки Л , и тогда эта
теорема дает равенство
^*Я. EI.I)
Таким образом» скорооть конца кинетического момента - точки оои
гироскопа - равна главному моменту внешних сил относительно
неподвижного центра.
Рассмотрим теперь некоторые особенности движения гироскопа.
Пусть на ось гироскопа начнет действовать сила F (рис.48),
момент которой относительно неподвижной точки 0 равен R9 (или пара
сил с моментом Я0 , направленным перпендикулярно к оои
гироскопа). Согласно равенотву E1.1), точка А оси получит окорооть
(?=Н. и отклонится за малый
промежуток времени д{ на угол л^ 9
двигаясь в плоскости, перпендикулярной
вектору F • Следовательно, под
действием силы F ось гироскопа
начнет отклоняться не в оторону действия
силы, а в ту сторону, куда направлен
вектор момента И0 этой силы
относительно неподвижной точки, т.е.
перпендикулярно силе. В этом
проявляется одно из интересных свойств быстро-
Рис.48 вращающегося гироскопа*
Пусть теперь в некоторый момент времени действие силы
прекращается. В обычных уЪловиях тело с прекращением дейотвжя силы
продолжает двигаться по инерции. Для оси же гироскопа при F=o
получим MfO , а следовательно, и сА=о , т.е. с прекращением
дейотшя силы отклонение оои гироскопа прекращается. В этом со *
стоит второе интересное свойство гироскопа - беэынерционность
движения его оси.
Рассмотрим теперь действие на гироскоп импульсной силы, т.е.
силы F веоьма большой по овоей величине, но действующей в те-
А '
I1' CJ
L_ii
-237-

чение столь малого промежутка времени г , что ее импульс Ft
есть величина конечная. Обозначим через И момент силы
относительно центра 0 и положим M-Fh • Тогда, согласно уравнению
E1.1), %=FA , и точка л за время т переместится на
расстояние аа' =fAt ; а так как оа -jC0=t3а>3 , то ось гироскопа
за время т повернется на угол л(Ь , определяемый равенством
Л1 ь ^ A' AFt
Поскольку произведение n.F% есть величина конечная, а
собственный момент гироскопа Т3 аK является величиной очень большой,
то угол л(р будет весьма мал. По истечении же промежутка
времени т действие силы прекратится, а следовательно, прекратится и
отклонение оси. В результате приходим к выводу, что действие
импульсной силы практически не изменяет направления оси быстровра-
щащегося уравновешенного гироскопа. Следовательно, быстровращаю-
щийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к сохранению
направления своей оси. ото одно из важных свойств гироскопа, широко
используемое в технике.
2°. Неуравновешенный гироскоп
Перейдем теперь к рассмотрению движения неуравновешенного
гироскопа под действием сил.Пусть главный момент этих сил
относительно неподвижного центра 0 является вектором М0 %
перпендикулярным к оси собственного вращения ? гироскопа. (При наличии
у момента составляющей вдоль оси гироскопа произойдет ускорение
или замедление собственного вращения, и тогда надо будет лишь в
получаемых результатах считать величину «V, переменной. На
практике, однако, с помощью соответствующего моторчика всегда
обеспечивается равномерное собственное вращение гироскопа). Тогда
точка а оси ? будет двигаться со скоростью Т^М0 » а зама
ось поворачиваться вокруг неподвижной точки 0* Поскольку нутачш:
ей в элементарной теории пренебрегают, то движение оси около
точки 0 представляет собой прецессию, -т.е. вращение вокруг некоторой
неподвижной оси х3 с угловой скоростью UJj . Очевидно, что
скорость оА связана с со{ соотношением ?А - ol\ х оа ила,
поскольку QA =J0=l/b)j , то j?A = <ujxi°<Zj .В результате
приходим к следующему основному уравнению приближенной теории
гироскопа:
1'(Ц^Л)'Я0 E1#2)
-238-

Собственный кинетический момент
/juij считается заданной
величиной, поэтому это уравнение
позволяет, знал Я0 , определить
<Ч , т.е. прецессию, вызываемую
этим моментом, и, наоборот, зная
Ч , определить, каков момент
л? , под действием которого эта
прецессия происходит*
3°. Прецессия тяжелого волчка
В качестве примера решения первой задачи рассмотрим прецессию
тяжелого гироскопа-волчка, поставленного под углом ^ к верти--
кали. 6 этом случае на волчок действует сила тяжести Р (рис.49).
Момент мо = \*Р этой силы при любом направлении оси
гироскопа левит в горизонтальной плоскости, проходящей через точку О,
следовательно, ось прецессии ох3 вертикальна, и при указанном
направлении <ИK вектор u)t направлен вертикально вверх.
Численно M0--P$*&nfy . Переходя в векторном равенотве E1 Л) к
модулям /J u)? ce)jJin (fa =M0 и подставляя в него найденное значение
Мо , найдем, что волчок в этом случае прецесонрует о угловой
скоростью рс
не зависящей от значения угла р? •
4°. Вынужденная прецессия гироскопа
Рассмотрим теперь вторую из названных выше задач. Если
уповая скорость прецессии Ц известна (и величина /J ^ по
условию также задана), то из равенства E1.2) сразу определяется
вектор момента Я9 , под действием которого такая прецессия может
происходить.
Если гироскоп совершает вынужденную прецессию, т.е. прецесси-
рует потому, что устройство, с которым скреплена ось гироскопа,
вращается с угловой скоростью Ц , то момент pj9 будет
вызываться силами давления на гироскоп подшипников, в которых закреплена
Рис.49
^239-

его ось. В свою очередь, по закону равенства действия и
противодействия, ось гироскопа будет давить на подшипники с такими же
по численной величине, но противоположно направленными силами.Эти
силы образуют пару с моментом Я,™? • называемым гироскопическим
моментом, которая будет действовать на устройство, сообщающее
гироскопу вынувденную прецессию. Поскольку М zaf>=-М0 , то из
равенства E1.2) находим
/f^-7/^x^) . E1.3)
При больших значениях угловой скорости аK этот момент очень
велик и может вызвать разрушение опор, в которых лежит ось быстро-
вращающегося тела.
Возникновение гироскопического момента при вынузвденной
прецессии называют гироскопическим эффектом. В технике такой эффект
имеет место в тех случаях, когда происходит поворот быстровращавдего-
ся массивного тела, например, пароходной турбины, ветряного
двигателя и т.д.
Допустим, что таким телом является пароходная турбина,
вращающаяся на горизонтальном валу с угловой скоростью аK (рис.50).
Пусть корабль испытывает
килевую качку. Будем
считать, что она совершается
по гармоническому закону и
имеет амплитуду ы. и
период т. . Тогда ротор турбины,
наряду с собственным
вращением, будет еще вращаться
вместе с кораблем вокруг
горизонтальной оси Л3 ,
перпендикулярной валу турбины,
согласно уравнению
Следовательно, угловая скорость прецессии будет co^M^co^yt+o).
Величина гироскопического момента будет равна
к ч »л - is ч —lccs(~v +дI ¦
Вызванные этим моментом силы давления на подшипники образуют
пару сил, лежащую в горизонтальной плоскости. Обозначим через d
расстояние меящу подшипниками и через jsf - силу давления на
подшипник. Тогда М^* =N<=1 % и максимальная величина силы
Рис.50
-240-

давления будет иметь значение
™тах d ~ Т<±
При oc=jj- , Т =15. сек, I* =65 кг м оак2, аK =3000 об/мин «* I00fi"#**t
^ =1 м и весе ротора Р=1000 кг эта максимальная сила
равна
"**-* a-if-/
Это давление почти в полтора раза превышает вес турбины.
В настоящее время гироскопы исгользуются в самых различных
областях техники» Наиболее важно их применение в различных приборах,
используемых в навигационном оборудовании самолетов» кораблей и
ракет*
§ 52, Удар твердых тел
1°. Явление удара
При обычном движении твердого тела скорость его центра масс и
угловая скорость вращения непрерывно изменяются с течением
времени, т.е. за малый промежуток времени эти величины получают малые
же приращения* Однако при столкновении движущихся тот наблодает-
ся конечное изменение их скростей, происходящее за весьма малый
промежуток времени. Это явление называют ударом* При ударе
возникающие в месте соприкосновения тел взаимные реакции столь велики,
что, хотя продолжительность удара мала (она измеряется тысячными
и меньшими долями секунды), импульсы реакций будут величинами
конечными* Такие силы называют импульоными или ударными силами.
Появление ударных сил вызывается деформированием сталкивающихся тел.
Ввиду малой продолжительности удара перемещения тел за это
время будут также малыми, и ими пренебрегают.
2°. Гипотеза Ньютона
При ударе двух тел происходит их деформирование:
столкнувшиеся тела вначале сближаются по линии их общей нормали, пока их
относительная нормальная скорость не обращается в нуль, а затем
происходит удаление тел, пока они не отделятся друг от друга.При
этом оказывается, что величина относительной нормальной скорости
в момент отделения, вообще говоря, меньше ее значения в момент
касания. Это уменьшение, как показывают наблюдения, существенно
зависит от физической природы тел. Чтобы явление удара можно было
-241-

изучать в рамках теории абсолютно твердого тела, Ньютон ввел
гипотезу, согласно которой отношение величины относительной
нормальной скорости тел после удара ил к ее величине до удара и* есть
некоторая константа <? , зависящая только от материала
соударяющихся тел и определяемая эксперементэшю
~> =-е • (Я .1)
п
Константа е называется коэффициентом восстановления; ее
величина заключается меяоду нулем и единицей 04Q41 . При е=1
удар называют абсолютно упругим. Здесь нормальная составляющая
относительной скорости не изменяет своей численной величины, а
только меняет свое направление на противоположное. При<?^0 удар
называют абсолютно неупругим. Здесь происходит полная потеря
нормальной скорости. Наконец, при о<е<1 удар называют не
вполне упругим, в этом случае происходит частичная потеря нормальной
скорости. Ниже приведены значения коэффициента восстановления для
некоторых материалов:
дерево е =0,50 , слоновая кость с =0,89,
сталь е = 0,56 , стекло е = 0,94.
При гладких поверхностях соударяющихся тел касательная
составляющая относительной скорости за время удара не изменяется. В
некоторых случаях учитывается влияние импульсных сил трения
посредством введения коэффициента мгновенного трения а :
% = 1-Л, E2.2)
где и и ит - проекции относительной скорости на плоскость,
касательную к поверхностям тел в точке их контакта,
соответственно в конце и начале удара. Коэффициент л - определяется опытным
путем. Иногда принимается гипотеза Кулона, т.е. делается предпог-
ложение о том, что касательный удар связан с нормальным. Как
показывают эксперименты, влияние трения на удар значительно меньше,
чем влияние упругости. В дальнейшем будем рассматривать удар,
пренебрегая трением.
3°. Постановка задачи об тааре двух тел
Пусть два идеально гладких твердых тела а ид', форма и
движение каждого из которых известны, в некоторый момент
сталкиваются друг с другом. Требуется определить момент удара,
положения тел в этот момент, а также скорости тел после удара. Решив
-242-

эту задачу, получим начальные условия для последующего движения
обоих тел, которое будет совершаться под действием постоянно
приложенных к телам внешних сил. Определение этого последующего
движения есть обычная задача динамики твердого тела*
4°. Определение момента столкновения и положения тел
Будем рассматривать движение тел л ид' относительно
системы отсчета ох^лх3. Возьмем в качестве сопутствующих систем
координат, связанных с этими телами, главные центральные оси инерции
тел е§?$Л{3 и ^V/f^'f/ соответственно. Условимся и в дальнейшем
отмечать штрихами все величины, которые относятся к телу л'
.Движение тел в системе оточета происходит согласно уравнениям
4*?а>* ?-?<«." Ъ'*& ?-/>
fr'JAs), E2.3)
в которых все функции считаются дважды непрерывно джТференцируе-
мыми. Форма тел определяется уравнениями поверхностей тел в
сопутствующих системах координат
JK<lX>~* E2-4,>
Полагаем, что функции / и /
обладают непрерывными
производными по своим аргументам.
Представим эти уравнения в системе
отсчета. Воспользовавшись
уравнениями движения точек тел
Х=Х
у*
Рис.51
х =х + /ZS J
ifr-/,V),
через координаты xa следующим образом:
выразим координаты ?
и L
№ГМЪ-<>, ?*?&%<> ^*ЛE2.5)
Подстановка зтих выражений в E2.4) и приводит к искомым
уравнениям поверхностей тел в системе отсчета
Щ,х?,х3',0*о, F'(xitx^x3J>o. E2.6)
-243-

В силу исходных допущений легко видеть, что F и F' будут
также непрерывно дифференцируемыми функциями.
Если тела сталкиваются друг с другом, то в момент встречи t+
у тел будет общая точка касания м* (jc* , jc* tjcJ). Кроме того, в
этой точке орты п и п.' внутренних нормалей к поверхностям тел
будут направлены по одной прямой в противоположные стороны п=-п'
(рис.51). Это приводит к следующим трем уравнениям:
r^L*-"* U =1,2,3). E2.7)
Ввиду очевидных условий Zln*=J » &*?=! , независимыми из них
будут только два равенства. Поскольку компоненты внутренних
нормалей выражаются через уравнения поверхностей E1.6), согласно
формулам ¦ ,j
уравнения E1.7) можно представить также в форме
а дхл - а' дх^ <52»8)
Таким образом, если тела столкнулись, то время встречи t4 и
координаты точки касания j? будут удовлетворять уравнениям E2.6) и
E2.8). Отсвда ясно, что судить о том, столкнутся или нет
движущиеся тела, можно по тому, имеет или не имеет решение система
уравнений E2.6) и E2.8).
Допустим, система E2.6) и E2.8) имеет действительное решение
t $х* x* t xf t в котором t+yo t тогда тела столкнутоя. При
наличии нескольких таких решений следует взять решение с наименьшим
положительным временем. Уравнения E2.3) при этом определят в
момент t4 положение тел, а зависимости E2.5) - те точки в телах,
которыми они коснутся друг друга.
5°. Определение скоростей тел после удара
Займемся теперь решением основной задачи об определении
скоростей тел после удара. Пусть г - продолжительность удара. В
начальный момент удара t+ линейные и угловые скорости тел будут
*?*f*V и ^#»*С Эти веяичины известные: они определяются по
уравнениям движения тел E1.3) в известный момент t+ •
Соответствующие величины в конечный jeoMeHT^ удара t{ = t#+T будем
обозначать большими буквами VQ , Л и !?' , о! . Эти величины.
наперед неизвестны и подлежат определению.
-244-

Рассмотрим движение тел за время удара. Уравнения движения име-
ют вид _ -
,<*«' _, _, a^' , _/ , E2.9)
где Я % F1 ъ Йс f Яс - главные векторы и главные моменты
приложенных к телам обычных сил, Л/* и Л?'- ударные реакции, а /? и
Д/ - относительные радиусы-векторы точек приложения этих реакций
(рис.51).
Учитывая, что ударные реакции направлены по внутренним
нормалям тел
N=Mrt, Я?'*//*' E2.10)
и вводя обозначения
Л=Д**, Л'-д'жл', E2.11)
можно представить уравнения E1.9) в форме
Зо: — _ <Й7 _ _ ___ _
,3& I / ~t „„./ .' eta) —/ Т1 -~t „_/
m'-?f+ma)x<?=F+rtn\ ^ЗС*^*^ «f^+NA1.
Проинтегрируем каждое из этих равенств по времени в пределах от
t+ до^^+я" , принимая во внимание, что, вввду малости
промежутка т , перемещение тел не успевает произойти. Тогда п , Т.и
п' , J' можно раосматривать как постоянные величины, и мы будем
иметь
где через 3 обозначен импульс ударной сшш
f'J' Ndt4 E2.12)
обычно называемый ударным импульсом; как уже упоминалось, этот
импульс является конечной величиной. Пренебрегая в полученных
уравнениях малыми членами порядка Т по сравнению с членами
конечной Ьеличины, окончательно получим
"l(%-&=S»f IQ-(й-?<)=?!,
-245-

™*(Vc- &> V*' , V tf-й', ) «fit
Поскольку n=yytyfi, rL'=-%fi% а векторы л и J' определены через
них формулами E2.11), эти уравнения позволяют выразить скорости
тел после удара через ударный импульс. Эти выражения имеют ввд
?-?-?*. в-Ъ-П-*> 4-ifci> E2ДЗ)
где через J? и Jc' обозначены тензоры, обратные тензорам инерции
1С и /с' ; два тензора называют обратнши друг другу, если обрат-
ны друг другу матрицы их компонентов. Таким образом, для решения
поставленной задачи требуется вычислить ударный импульс.
Воспользуемся для этой цели дополнительным уравнением, даваемад
гипотезой Ньютона E2.1). Предварительно произведем ряд вычислений. Для
точек касания тел /?* и М+ скорости в начале и конце удара
имеют значения
Проекции этих скоростей на нормаль п будут равны
?=?/**^*, <?*-&»-&'; Уя*-$я+Л-Х, vi-v-'n-a'-j' E2J4)
С помощью последних формул и равенств E2.14) составим выражения
где л. и 1и - компоненты вектора л и тензора инерции Jc в
системе координат С$й%Л%3 , а л^ и }? - компоненты аналогичных
величин л' vl ij в системе <?'fy'l?fj . Складывая эти равенства,
будем иметь
<?<-*'-у>х'. *'&&+&$ * %>.
E2.T5J
Заметюл далее, что относительные нормальные скорости тел имеют
значения uf^tr^-v*, u^V*- V*. Используя их, можно предать
выражению E2.1) гипотезы Ньютона следующий ввд:
у*', у* = -<?((Г*'- г*). E2.16)
/I П. П. П.
Отсюда и из E1.15) теперь находим, что ударный импульс равен
-246-

0 V+e)K'-ti) . т ч
S= —y— ' C52J7)
2орм:/лы E2.14) и E2.17) решают задачу. Итак, в результате доа-
ра в общем случае изменяются как линейные, так и угловые скорости
тел.
Нетрудно заметить, однако, что если телами А и а' являются
шары радиусов ^ и &' , тэ нормали к шарам в точке касания имеют
значения/F-^-^g^ , n'^-f^p* ; из Формул E2.11) при этом
следует, что л=л' =о .Эти равенства упрощают ряд выражений.
Коэффициент У( и относительная нормальная скорость будут равны
mm' R! R
поэтому выражение EГ.17) для ударного импульса примет вид
т1то касается скоростей шаров после удара, то, в соответствии с
формулами,E2.14), они теперь будут
— — ?? — —/ _> $ -' _ _ -/ _/
где импульс ^ имеет значение E2.18).
Полученные формула показывают, что удар гладких шаров изменяет
толi.ко поступательные скорости и не оказывает влияние на их
вш^ателыюс движение.
Рассмотрение удара тел с учетом их деформаций оказывается
значительно более трудной задачей. Решение ее для случая соударения
двух упругих тел дано Г.Герцем.
6°. Удар двух шаров
!¦¦ качестве примера, иллюстрирующего теорию удара твердых тел,
досмотрим удар шаров. Пусть два одинаковых гтадких шара А пА'9
радиусн которых р^вны I см, а массы -т, движутся навстречу друг
ДРУ^ t вертикальном направлении относительно изображенной, на рис.
52 системы отсчета Ох{хлхл , согласно уравнениям.
t/J.-o (ы.-iS.J) , f*M <"/<**. E2.20)
-247-

Определим движение шаров после удара, если коэффициент
восстановления равен 0,5»
В начальный момент времени свяжем с шарами А и А' сопутствующие
системы координат ^ft ts f, и
<?'§'jf?j i начала которых
взяты в центрах шаров, а оси
направлены параллельно осям системы
отсчета. Очевидно, что введенные
таким образом сопутствующие оси
будут главными центральными
осями инерции шаров*
Согласно уравнениям движения
E2.20), шары до удара будут
двигаться поступательно; такой
же характер движения они
сохранят и после удара.
Поверхности шаров в
сопутствующих системах координат
определяются уравнениями
}'=П $'*-*=О. E2.21)
Для представления уравнений в
системе отсчета воспользуемся
Рис.52
зависимостями мелщу подвижными и неподвижными координатами
^
-?"
(<* =1,2,3).
С учетом E2.20) отсща получаем
?=^' ^=^.^--^/+^^M'^4-y.^4-y^/l • E2.22)
Уравнения поверхностей шаров в системе оточета тейерь будут
F*j?j?(xj-SyJ^H*o, F^x^x^fx^f^if-i^o.
лсвил касания шаров ^X7"~v дх (^=1»2»3^ Б данном случае
E2.23)
•имают вид
ч-
..мение системы (-й. Л),
энем встречи шарор будет
А дХ,
%
;.24>
наименьшим положительным вре-
-248-

Таким образом, шары столкнутся спустя, примерно, одну секунду
после начала движения, точка касания шаров при этом находится на
высоте, составлящей примерно три четверти начальной высоты
центра шара А. Относительные координаты точек касания определяются,
согласно формулам <52,22)9 в виде
Г>, ?**, fr-%;tS&-ra,f?-1%. E2.25)
Скорости шаров в начале удара вычисляются по уравнениям
движения E2,20) и имеют значения
ее с Уз1 с' cf cf 1?
W*. b-f+Ti'< Ъ*Ъ*я0>'Ь'Г* ¦ E2-26)
Поскольку Q»&/x t они примерно равны по величине и направлены
в противоположные стороны.
Используя формулы E2*25) и E2,26), нетрудно установить, что
поэтому удартф импульс, определяемый формулой E2Д8), будет
равен f=^~ma.
Скорости шаров после удара в соответствии с выражениями E1J 9)
и E1*26) теперь будут
Компоненты этих векторов имеют значения
Следовательно, после удара шары получат скорости
ооставляпцае о горизонтом углы ы. пы' :
движение шаров после удара будет происходить как движение
материальных точек С и С, брошенных из положений С„ , 7,, опгя-; )л: .-/--х
координатами
V
4*°^s°> -vs+i-i?xi*'c*х»-'>¦$<-г ¦
-249-

со скоростями Vc и Vc под углами Ы к и к горизонту
(рис.52).
7°. Изменение кинетической энергии при .ударе
При :jr,ape д:зух твердых тел Л и А их суммарная кинетическая
энергия, вообще говоря, изменяется. Установим аналитическое выражение
для этого изменения энергии и выясним условия, при которых оно
будет экстремальным.
Обозначим через Т4 , Tj кинетические энергии тат в начале
р.ара, а через Tt , 77' - соответствующие веллчин;' в котле удара.
Тогда запас кинетической энергии до удара и поело него б. дет
определяться выражениями
5<=i"»? +i*44>4m'<** МЧ'*-')-
V Т,'=? mVe*+i ЛAСЯ) +1 mT*+ J Л'- <Ч 'Л'> =
Изменение кинетической энергии тел за время уцара
AT>(Tt+Ti)-(TST^ <*УДет равно
Раилагая ьыракения в круглых скобках на произведения разностей
и суш основании и используя следующие из E1.13) аормули:
bL <J* m <*» ot и f Ы. o^ m' U * <* и J'
и равенства E2.14), будем иметь
используя, наконец, гипотезу Ньютона 151.16) и выражение
ударного импульса E1.17), окончательно получим
AT=-f-a-*)(<r*-tr*)=-—— • E2.27)
-250-

Эта формула выражает теорему Карно о потери кинетичеокой
энергии при ударе.
При абсолютно упругом ударе <г =1 и лт =0. т.е. в этом частном
случае потери энерпш не происходит. Если уцар абсолютно HevnpyrjdL
то с =0, и потеря энергии в этом случае максимальна aT=-JL(<?*-u?).
? 53. Действие ударных сил на твердое тело,
зращапцееоя вокруг неподвижной оси
Рассмотрим действие ударной силы на твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси, закрепленной в опорном подшипнике А и
осевом подшипнике В (рис.53). Примем ось вращения тела за ось $ f
сопутствующей системы координат
°ht&tj • а ось f/ этой оистемы
направим по перпендикуляру,
опущенному аз центра масс С на ось
иращения. Пусть на тело, наряду
с обычными силами, имеющими
главный вектор р и главный
момент Яо t действует еще ударная
сила й , приложенная в точке Р.
Кроме активных сил, на тело
будут еще действовать реакции А
Рис.53 и В огюр, обусловленные этими
силами и вращением тела.
Проинтегрируем по времени за время удара от момента t+ до
момента tj = ?#**" векторные уравнения движения тела
пренебрегая его перемещением за это время. Тогда радиусы-векторы
всех точек тела можно считать постоянными векторами, и мы будем
иметь
п*%Ф?л+?вi _ 1-М=Рр*$+РА*$А+ Рв*?в , E3.1)
где_ через $ , JA и ^ обозначены импульсы ударных сил й %А
и 5 ; в уравнениях опущены малые члены, имеющие порядок Т :
-251-

Угловая скорость тела направлена по оси вращения, поэтому со=а>3*3
и AaJ*Aa)j?3 . В силу кинематической формулы ас - а}хрс и
выражений ь) =&>3к3 , Д = fyк{ , скорость центра масс будет рав-
на q, = Vj^tf . следовательно, л<гс =f, А<?>3кх . Заметим
еще, что векторы рА и Д направлены по оси вращения*Д -?*3 ,
Д =?3 ^з • Спроектируем теперь уравнения E3.1) на сопутствующие
оси координат. Учитывая предыдущие соображения, будем иметь
равенства
E3.2)
Компоненты'ударного импульса ?, и координаты ^ точки его
приложения считаются известными. Тогда последнее из уравнений
E3,2) определяет обусловленное действием ударного импульса
приращение угловой скорости тела. Остальные же уравнения служат для
нахождения импульсов ударных реакций.
Найдем условия, при которых импульсы ударных реакций не
возникают или, иначе говоря, удар не передается на ось. Для этого в
уравнениях E3.2) надо положить $А = $ =0 (<* =1,2,3). Тогда.они #
примут вид
E3.3)
Из первого и третьего уравнений получаем, что $t =$ - 0,
поэтому ударный импульс перпендикулярен плоскости, проходящей через
ось вращения и центр масс. Кроме того, из пятого уравнения следует,
что Ijjs° • Исключив из трех оставшихся уравнений величинудо^ ,
получим соотношения, определяющие координаты точки приложения
ударного импульса. А
*<-щ? • ** = -^г E3-4)
Точка тола ?. отлгл координатами Р (^ , о , g, ) называется
центром удара. Первая лз {о[Щгя E2.4) говорит о том, что центр удара
находится.в тело с тол же стороны от оси вращения, что и центр
л
О = Я
Г/ j
С л л
л
г ° л Р d Р 2
*о л р л р л
i>«s-. ?/4-#^ •

масс, расстояние же его до оси вращения совпадает с приведенной
длиной физического маятника, который получился бы из данного тела,
если сделать ось вращения горизонтальной. Вторая из формул E3.4)
выражает тот факт, что плоскость, проведенная через центр удара
перпендикулярно оси вращения, пересечет последнюю в главной точке,
т.е. в точке, для которой ось вращения будет главной осью инерции.
Действительно, возьмем на оси ?, точку о'с координатами (О, О,
ff ) и проведем через нее оси ?/, ?$',?/ , параллельные
сопутствующим осям fj,§jz,{j (рис.53). Координаты точек тела в различных
системах связаны преобразованием
Центробежные моменты инерция тела I* и 7^ определяются
выражениями
?'-/$''> - -yVc/V- - ? «.
Влсилудусловий %1=о t f^o , if^-mF* • они обращаются в нуль;
I°i * 1&х° » что и доказывает высказанное утверждение.
Итак, чтобы действие ударной силы не передавалось, на опоры,эта
сила должна быть приложена в центре удара, кроме того, она должна
быть перпендикулярна к плоскости, проходящей через ось вращения и
центр масс, и в то же время лежать в другой плоскости, которая
проходит через центр 0 перпендикулярно оси вращения.
Перечисленные условия, как легко видеть, являются и
достаточными, т.е. при их выполнении ось вращения не чувствительна к ударам.
Для нахождения центра удара на оси вращения следует найти точку,
для которой эта ось является главной осью инерции тела, и отложить
на перпендикуляре, восставленном в ней к оси вращения в сторону
центра масс, расстояние, равное приведенной длине физического
маятника.
Рассмотрим применение этой теории к явлению удара молота о
наковальню (рис.54). В этом случае молот поворачивается вокруг
горизонтальной оси fj , проходящей через руки 0, держащие этот молот.
Чтобы удар не передавался на руки, молот следует держать в такой
точке 0 рукоятки, чтобы расстояние РО от центра удара до рук
равнялось приведенной длине физического маятника, которым молот в
данном случае является.
-253-

у—й
s^« hi _
г- П- -1
*3
/////// /
Удар представляет собою
распространенное явление.
Область применения теории удара
не ограничивается
столкновением макроскопических тел;
эта теория с успехом
применяется и в случае соударения
микроскопических частиц,
например, молекул газа.
Рис.54
-254-

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава I. Динамика свободной точки 5
§ I. Сила и гравитационная масса 6
§ 2. Основные законы механики 8
§ 3, Дифференциальные уравнения движения 13
§ 4. Определение силы по заданному движению 18
§ 5. Закон изменения силы, вызывающей колебания 24
§ 6. Закон всемирного тяготения 25
§ 7. Закон изменения силы,обуславливающей круговое движение 29
§ 8. Определение движения по заданной силе 30
§ 9, Движение под действием восстанавливающей, тормозящей
и возмущающей сил 37
§10. Электромеханические аналогии 58
§11. Движение под действием силы тяготения 60
§12. Движение в однородном поле тяжести 75
Глава 2. Динамика несвободной точки 79
§13. Движение точки по поверхности 79
§14. Дифференциальные уравнения движения по поверхности 84
§15. Движение тяжелой точки по шероховатой наклонной
плоскости 87
§16. Сферический маятник 91
§17. Движение точки по линии 95
§18. Круговой математический маятник 101
§19. Движение тяжелой точки по шероховатой циклоиде 107
§20. Равновесие точки 112
§21. Принцип Даламбера 119
Глава 3.Динамика относительного движения точки 123
§22. Основной закон динамики в относительном движении 123
§23. Относительное движение у поверхности Земли 128
§24. Отклонение падающих тел от вертикали 133
§25. Маятник Фуко. 136
-255-

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТОЧЕК
Глава 4. Уравнения движения и общие теоремы динамики
системы 141
§ 26. Уравнения движения системы точек 141
§ 27. Основные динамические характеристики системы 145
§ 28. Свойства внутренних сил системы 150
§ 29. Изменение количества движения и движение центра
масс системы 152
§ 30. Изменение кинетического момента системы 157
§ 31. Изменение кинетической энергии сиотемы 162
§ 32. О среднем значении вириала сил 170
§ 33, Принцип Даламбера для системы 172
Глава 5. Динамика точки переменной массы 174
§ 34. Основной закон динамики точки переменной массы 175
§ 35. Падение капли в насыщенной атмосфере 179
§ 36. Движение ракеты вне поля сил 181
§ 37. Движение межпланетной ракеты 184
§ 38, Движение реактивного снаряда 187
Глава 6. Динамика абсолютно твердого тела 193
§ 39. Инерционные характеристики твердого тела 194
§ 40. Динамические уравнения движения твердого тела 200
§ 41. Действие сил на твердое тело 206
§ 42. О разных видах трения 207
§ 43. Равновесие твердого тела 209
§ 44. Поступательное движение твердого тела 212
§ 45. Плоское движение твердого тела 214
§ 46. Движение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости 216
§ 47. Вращательное движение твердого тела 219
§ 48. Физический маятник 224
§ 49. Сферическое движение твердого тела 227
§ 50. Инерционное вращение тяжелого твердого тела вокруг
неподвижного центра масс 229
§ 51, Элементарная теория гироскопических явлений 235
§ 52. Удар твердых тел 241
§ 53. Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси. 251
-256-

Бондарь Василий Денисович
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ч а с т ь 2
динамика точки9 системы точек
и твердого тела
Редактор А.Н.Протопопова
Корректор Л.И.Лиооиван
Подписано в печать 5.05.1972.MHII04I.
бумага 60x84,1/16. Объем 16 п.л.
Тираж 600 экз. Заказ 409. Цена 65 коп.
Ротапринт Н1У. Новосибирск, 90,