/
Автор: Шерклиф Дж.
Теги: движение жидкостей гидродинамика электромагнетизм механика жидкостей и газа
Год: 1965
Текст
THE THEORY OF ELECTROMAGNETIC
FLOW-MEASUREMENT
by
J. A. SHERCLIFF
I
Fellow of Trinity College and
Lecturer in the Department
of Engineering, University
of Cambridge
Cambridge
at the University Press
1962
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МЕХАНИКА*
ДЖ. ШЕРКЛИФ
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ИЗМЕРЕНИЯ РАСХОДА
Перевод с английского
С, А. Регирера
Под редакцией
А. Б. В ат аж и н а
с предисловием Г. Г. Черного
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1965
УДК 532.575
Книга Дж. Шерклифа, -известного английского спе-
циалиста в области магнитной гидродинамики, содер-
жит систематическое изложение теории магнитогидро-
динамических течений в трубах применительно к
проблемам измерения расхода и скорости течения про-
водящей жидкости^В монографии подробно рассмотре-
ны двумерные задач^ о распределении электрического
поля в каналах магнитогидродинамических устройств
при условии слабого 'возмущения поля скоростей. Спе-
циальная глава посвящена исследованию влияния
электромагнитных сил на течение.
Большая часть книги написана по материалам, опуб-
ликованным в разное время в журналах. Кроме этого,
книга содержит совершенно новые результаты в об-
ласти теории и практические рекомендации, которые
либо вообще не публиковались, либо изложены в
труднодоступных отчетах.
Книга представляет интерес не только для науч-
ных работников в области магнитной гидродинамики,
но и для инженеров, занимающихся разработкой маг-
нитогидродинамических устройств типа насосов, уско-
рителей, генераторов и т. д. Она доступна аспирантам
и студентам старших курсов университетов и инже-
нерно-физических институтов.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Одной из наиболее важных областей приложения
магнитной гидродинамики к проблемам техники являет-
ся теория электромагнитных насосов, расходомеров, маг-
нитогазодинамических генераторов электроэнергии и
ускорителей газа.
Эта теория длительное время развивалась на основе
использования уравнений магнитной гидродинамики
в одномерном (гидравлическом) приближении. В зада-
чах обычной гидродинамики гидравлическое приближе-
ние применяется широко и во многих случаях позволяет
получить все необходимые сведения о потоке. В магнит-
ной гидродинамике возможные применения гидравличе-
ского приближения существенно более ограничены. Мно-
гие важные физические явления в каналах магнитогид-
родинамических устройств связаны с неоднородностью
потока и электромагнитного поля по сечению канала.
Теоретическое изучение этих явлений связано с ре-
шением задач о пространственных (двумерных или трех-
мерных) течениях на основе использования системы
уравнений магнитной гидродинамики в полном виде или
в том или ином приближении.
Монография Дж. Шерклифа содержит систематиче-
ское изложение теории пространственных эффектов, воз-
никающих при течении электропроводной среды по тру-
бам и каналам в магнитном поле. Хотя большее’ место
в книге отведено теории электромагнитных расходоме-
ров, изложенный в ней анализ и использованные методы
теоретического исследования имеют более общее значе-
ние и относятся также к течениям в магнитогидродина-
мических насосах, генераторах электроэнергии и — хотя
и в меньшей степени — в ускорителях.
Автор монографии хорошо известен Беем специали-
стам в области магнитной гидродинамики. Ему принад-
6 Предисловие к русскому изданию
лежат первое точное решение задачи о течении вязкой
жидкости, взаимодействующей с магнитным полем, в ка-
нале прямоугольного сечения, первые исследования дви-
жения в круглой трубе и начального участка в трубах
произвольного сечения, исследование эффектов при боль-
ших числах Гартмана и другие важные результаты. Зна-
чительная часть книги основана на результатах ориги-
нальных исследований ее автора.
Дж. Шерклиф пользуется материалами, опубликован-
ными главным образом в 1950—1961 гг. В связи с этим
большую ценность для читателя русского перевода книги
представит обстоятельное дополнение, написанное
А. Б. Ватажиным и С. А. Регирером — редактором рус-
ского перевода книги и ее переводчиком. Авторы допол-
нения, известные своими исследованиями пространствен-
ных эффектов в каналах магнитогидродинамических уст-
ройств, дали обзор результатов, опубликованных после
выхода в свет книги Шерклифа или освещенных в ней
с недостаточной полнотой. Кроме этого постановка за-
дач в дополнении является более общей, не связанной
заранее только с теорией расходомера, а относящейся
к более широкому классу течений в каналах магнитогид-
родинамических устройств.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Электромагнитные расходомеры применяются уже в те-
чение нескольких десятилетий, а их основные принципы
были известны со времен Фарадея. Особенно большое чис-
ло публикаций в журналах и отчетах появилось после
второй мировой войны, поэтому представляется своевре-
менной попытка систематически и с единой точки зрения
изложить основы теории электромагнитных расходомеров,
как применяющихся на практике, так и отличающихся от
них. В этой книге дано главным образом теоретическое рас-
смотрение проблемы, но оно, особенно в последних главах,
связано с практическими потребностями. В конце книги,
в приложении, приведены характерные значения физи-
ческих величин. Исчерпывающее обсуждение элементов
конструкций и методики^ измерений, как, например, наи-
лучший выбор электронных контуров, не входит в задачу
этой книги. Однако в ней имеется обширная библиография,
которая облегчит отыскание сведений по этим вопросам.
Теория электромагнитных расходомеров является раз-
делом магнитной гидродинамики, объединяющей две клас-
сические дисциплины — механику жидкостей и электро-
динамику. Поэтому значительная часть этой книги будет
представлять некоторый интерес для тех, кто изучает теоре-
тическую магнитную гидродинамику или ее приложения
не только к расходомерам, но и к другим устройствам.
Среди различных магнитогидродинамических устройств
расходомер может показаться несколько непривлекатель-
ным, но ему принадлежит рекорд по продолжительности
полезной службы во многих отраслях науки и техники.
Большая часть этой книги написана по опубликован-
ным материалам, но имеется и некоторая доля новых дан-
ных. Чтобы избежать чрезмерного объема (и не утомлять
читателей-практиков, которые хотят видеть скорее резуль-
тат, нежели длинный анализ), во многих случаях, когда
8
Предисловие автора
более полную и строгую теорию легко найти в доступной
литературе, даются качественное описание и оценки поряд-
ков величин. Это замечание относится главным образом
к гл. 3. Представляется, что качественные соображения мо-
гут более эффективно способствовать физическому понима-
нию явлений, нежели чистый математический анализ.
Мне доставляет удовольствие выразить свою призна-
тельность В. Маргетройду, познакомившему меня с пробле-
мой расходомера и с магнитной гидродинамикой вообще,
Комиссии по атомной энергии Соединенного королевства
за поддержку экспериментальной работы над расходоме-
рами в период 1951—1956 гг. и У. Д. Джексону за некото-
рые недавние дискуссии.
Дж. Шерклиф
г
I
ОБОЗНАЧЕНИЯ1)
а — половина ширины канала (в направлении оси х);
внутренний радиус трубы,
А — постоянная,
Ат — коэффициент Фурье,
‘Ь — половина высоты канала (в направлении оси у)\
внешний радиус трубы; внутренний радиус
кольцевого зазора; половина расстояния между
электродами,
В — вектор магнитной индукции,
В — магнитная индукция приложенного извне поля
(в направлении оси х),
с — половина длины полюсных наконечников (в на-
правлении оси 2),
С — постоянная,
Су — коэффициент трения, 2а( — dp/dz)/pVm,
d — параметр, характеризующий проводимость стен-
ки, wn/ac или wu/bo,
D — вектор электрической индукции,
Е — вектор напряженности электрического поля,
g— магнитный зазор, *
h — длина стороны квадратного пятиэлектродного
зонда,
Н — вектор напряженности магнитного поля,
j — вектор плотности тока,
j— величина плотности тока,
Ч В книге использована рационализованная МКС-система.
10
Обозначения
J — ток в стенке на единицу длины или ширины;
полный ток в центральном проводнике,
k — корень уравнения dkigk = 1,
I — характерная длина,
L — расстояние между электродами X и У; длина
начального участка,
tn — целое число,
На — число Гартмана, Ва(о/т])‘/2,
п — расстояние по нормали; нечетное целое число;
коэффициент при 0,
р — давление в жидкости,
Q — объемный расход,
г — полярная координата,
Re — число Рейнольдса, avm!v,
Re/n — магнитное число Рейнольдса, avJK или bvmIK,
fit III' I
s — координата, отсчитываемая вдоль дуги; размер
ячейки,
S — чувствительность, UxYlLBvm и т. д.,
t — время; размер ячейки,
Т — время, эквивалентное длине начального участка,
U — электрический потенциал,
XY
и т. д. — разность потенциалов между электродами X
и Y и т. д.,
v — вектор скорости жидкости,
v — величина скорости жидкости (в направлении
оси z),
ve — скорость в ядре потока,
vm — средняя скорость,
V — функция Г И Z,
w — толщина стенки; возмущение скорости,
Обозначения
И
> W — весовая функция,
х, у, z — декартовы координаты,
z — х + iy,
z’ — переменная интегрирования,
Z — функция г,
у — alb для кольцевого зазора,
6, — толщины пограничных слоев,
Др — падение давления,
Д/7 — разность потенциалов,
8 — диэлектрическая постоянная,
С = В + й],
С = I — in,
т] — декартова координата; вязкость жидкости,
6 — полярная координата,
х — проводимость стенки,
Z — магнитная вязкость, 1/цо,
р — магнитная проницаемость стенок и жидкости
(предполагается равной проницаемости ваку-
ума 4л-10"7),
pov—магнитное число Прандтля, v/X,
v — кинематическая вязкость жидкости, т]/р,
| — декартова координата,
р — плотность жидкости,
о — проводимость жидкости,
т — контактное сопротивление на единицу площади,
Ф — магнитный поток,
ф — функция тока возмущенного движения,
(О — вихрь,
(о — угловая частота,
12
Обозначения
Q — градиент скорости, dvz!dx,
Im — мнимая часть,
-?2 = д2 д2
V дх2 ' ду2 dz2'
ИНДЕКСЫ
с — значение в ядре,
f — значение в жидкости,
т — среднее значение,
max — максимальное значение,
п — нормальная компонента,
о — значение при х = О,
г — радиальная компонента,
s — тангенциальная компонента,
w — значение на стенке,
х, у, z — декартовы компоненты,
кр — критическое значение (характеризует неустой-
чивость ламинарного движения),
пр — значение для развитого течения (предельное зна-
чение).
Штрихом (например, у') обозначены турбулентные пуль-
сации, производные по г и отклонения величин от их зна-
чений в развитом течении.
Черточкой сверху (например, у) обозначены средние
значения и комплексно сопряженные величины.
Глава 1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ РАСХОДА
СО ВРЕМЕН ФАРАДЕЯ
В теле, движущемся в магнитном поле, возникает элект-
родвижущая сила, которая действует в направлении, пер-
пендикулярном движению и магнитному полю. Это откры-
тие стало одной из основ электродинамики. Тот факт, что
электродвижущая сила должна появляться даже в жидком
проводнике, не ускользнул из поля зрения ранних иссле-
дователей. Так, Фарадей [VII. I-]1) в 1832 г. доложил Коро-
левскому обществу в Лондоне о безуспешной попытке из-
мерить напряжение поперек реки Темзы, индуцированное
при движении воды относительно вертикальной составляю-
щей земного магнитного поля. Измерялась разность потен-
циалов между двумя большими электродами, опущенными
в реку с моста Ватерлоо. Сигналы, отмеченные Фарадеем,
оказались ложными и бцли вызваны электрохимическими
и термоэлектрическими эффектами — двумя факторами,
которые и в настоящее время могут причинить неудобства
при попытке применить принцип электромагнитной индук-
ции к измерению скорости или расхода жидкости. Экспе-
рименты Фарадея не удались главным образом потому, что
большая доля полезного сигнала замыкалась через дно
реки. Однако Фарадей дожил до сообщения о проведен-
ных в 1851 г. Волластоном [VII.1 ] измерениях напряжения,
индуцированного приливными течениями в Английском
канале.
Прошло очень ’ много лет, прежде чем возникновение
э. д. с. в жидкости, движущейся в магнитном поле, было
использовано для практических целей. И это снова произо-
шло в ситуации, когда жидкость находилась в естественных
условиях. Смит и Слепян [VI. 1] запатентовали в 1917 г.
схему для определения скорости корабля по измерениям
х) Римская цифра означает раздел библиографии, помещенной
в конце книги, арабская — порядковый номер работы цитируемого
автора.—Прим. ред.
14 Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
разности потенциалов между двумя электродами на корпусе
при наличии магнитного поля, источник которого находит-
ся на корабле. Чтобы исключить поляризацию, предлага-
лось использовать переменное поле. Затем Юнг, Джерард
и Джевонс [VI 1.1] изучали морские приливные течения
в устье реки Дарт (Девон) и в 1920 г. сообщили, что
с приливными течениями весьма убедительно согласуется
сигнал, индуцированный между помещенными вводу элект-
родами. Другие их эксперименты — с электродами, кото-
рые буксировались позади движущегося корабля, — были
не столь успешными. После этих работ многие океанографы
изучали морские течения, волны и приливы при помощи
измерения индуцированной разности потенциалов между
электродами, которые прикреплялись к кораблю или мор-
скому дну или же погружались в землю на берегу вблизи
моря. Электродвижущие силы в воде вызывают заметные
токи и напряжения в морском дне, в подводных кабелях
и в береговом грунте.
Несколько позже этих первых океанографических при-
ложений различные «сухопутные» лица ясно поняли, что
электромагнитные измерения в потоке могут быть приме-
нены к жидкостям, отличающимся от морской воды и теку-
щим в «искусственных» условиях. По-видимому, работа
Вильямса1) [VI. 1], выполненная, очевидно, из чисто акаде-
мических интересов, была первой публикацией такого рода.
Вильямс проводил эксперименты, в которых раствор мед-
ного купороса пропускался по непроводящей круглой трубе,
помещенной в однородное поперечное магнитное поле, как
показано на рис. 1. Постоянная разность потенциалов из-
мерялась между двумя электродами £*; было установлено,
что она пропорциональна расходу. Таким образом, прибор
представлял собой электромагнитный расходомер простей-
шего типа. В экспериментах Вильямса измерялся также
электрический потенциал вдоль линии ЕЕ,
Вильямс понимал, что так как скорость жидкости не
может быть постоянной по сечению трубы и должна падать
вблизи стенок, то индуцированная э. д. с. также не может
быть однородной. Это явление проиллюстрировано на
рис. 2, а. Как видно из схемы, в центральной зоне трубы
-1) См. также Реджнерт [VII. 1].
Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода 15
э. д. с. имеет большее значение, чем вблизи стенок. Поэтому
образуются замкнутые токи (рис. 2, б), которые вблизи
стенок направлены противоположно э. д. с. В результате
Рис. 1. Расходомер с поперечным полем.
/ — магнитное поле; 2 — поток.
разность потенциалов, измеренная между точками Е, не
равна сумме э. д. с. вдоль этой линии, а меньше ее из-за
6
Рис. 2. Электродвижущие силы (а); токи,
индуцированные в расходомере (б).
1— поле.
потерь на омическое сопротивление. Другими словами, мед-
ленно движущаяся жидкость частично «замыкает на-
коротко» э. д. с., индуцированную в быстро движущейся
жидкости.
Можно было бы ожидать, что это явится нежелатель-
ным осложнением и приведет к тому, что тарировка такого
16
Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
17
расходомера будет зависеть от распределения скорости и
проводимости жидкости. Благодаря счастливой математи-
ческой «случайности» имеет место в точности обратное поло-
жение, если только распределение скорости симметрично
относительно оси трубы, что является приемлемым допу-
щением. Оказывается, что разность потенциалов между Е та-
кая же, как если бы вся жидкость двигалась с постоянной
скоростью, равной среднему значению скорости неоднород-
ного потока. В этом случае разность потенциалов между Е,
очевидно, не должна зависеть от проводимости жидкости,
поскольку индуцированная э. д. с. однородна и не возни-
кает замкнутых токоз или омических потерь. Таким обра-
зом, в исходном случае, в предположении осевой симметрии
профиля скорости, разность потенциалов между Е не зави-
сит от особенностей распределения скорости и проводи-
мости жидкости. Мы ограничились здесь случаем труб
с непроводящими стенками. Вильямс понимал, что этот
результат имеет место, и доказал это для некоторых част-
ных распределений скорости (хотя его анализ содержал
математические ошибки). Общее доказательство и обобще-
ние этого результата приведены в гл. 2.
Вильямс отметил также, что если бы магнитное поле
было достаточно сильным, а жидкость была бы лучшим про-
водником электричества, чем использованный им электро-
лит, то циркуляционные токи были бы весьма большими.
Вследствие взаимодействия их с магнитным полем к жидко-
сти тогда были бы приложены значительные силы.
Физиологи начиная с Фабра [II 1.1] оказались пер-
выми, кто вскоре после работы Вильямса применил электро-
магнитный расходомер как измерительный прибор. Потребо-
вался прибор, способный регистрировать мгновенную кар-
тину течения крови в артериях, — и принцип электромаг-
нитного измерения расхода ' оказался привлекательным
для решения проблемы. Большое преимущество электромаг-
нитного расходомера состояло в том, что он достаточно
мало инерционен и может при течении крови отмечать даже
небольшие пульсации. Кроме того, кровь при этом пол-
ностью защищена от загрязнения. Другие преимущества
этого прибора связаны с тем, что он создает очень малое
сопротивление потоку и, будучи линейным устройством
(т. е. индуцированная разность- потенциалов пропорцио-
нальна расходу), дает сигнал, значение которого может быть
непосредственно интерпретировано как величина пульса-
ции потока. В последовавших затем технических приложе-
ниях электромагнитных расходомеров эти преимущества
оказываются не менее, а может быть, даже и более важ-
ными.
Кровь оказалась достаточно хорошим проводником,
чтобы можно было измерить индуцированную разность
потенциалов, в частности если применялось переменное
магнитное поле с целью исключить поляризацию электродов.
После Фабра в литературе, особенно в работах Колина
[III. 1—10], были описаны многочисленные приложения
электромагнитных расходомеров в физиологии. Кровь
либо прокачивалась через прибор вне тела, либо подверга-
лась изучению при помощи искусно сооруженных расхо-
домеров, которые могли быть помещены вблизи неповреж-
денного кровеносного сосуда внутри тела.
В 1941 г. Тюрлеман [1.1 ] впервые в общем виде показал,
что для данного расхода, при осесимметричном профиле
скорости, поперек круглой трубы с непроводящими стен-
ками индуцируется такая же разность потенциалов, как
если бы скорость жидкости была однородной. Простота
этого результата привела к тому, что многие стали считать
электромагнитный расходомер абсолютным прибором, пол-
ностью не чувствительным к нерегулярностям в распреде-
лении скорости. Как будет далее видно, эта точка зрения
ошибочна.
Дальнейший этап в развитии электромагнитных расхо-
домеров связан с появлением после второй мировой войны
энергетических ядерных реакторов. Задача отвода тепла
от наиболее компактных типов энергетических реакторов,
в частности реакторов на быстрых нейтронах, настолько
сложна, что инженеры были вынуждены использовать в ка-
честве теплоносителя жидкий натрий, несмотря на сопутст-
вующие технологические и металлургические проблемы.
Другой жидкий металл, висмут, применяется иногда в энер-
гетических реакторах в качестве растворителя уранового
топлива. Трудности в применении жидких металлов были
преодолены, в результате чего жидкометаллические кон-
туры вошли в практику наряду с паропроводами и другими
коммуникациями. • .
2 Шерклиф
18 Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
Одна из задач, связанных с использованием жидких ме-
таллов, состояла в создании устройств для измерения рас-
хода, способных выдерживать напряженные условия работы
внутри энергетического реактора или вблизи него. Устрой-
ство должно быть коррозионностойким по отношению
к радиоактивному расплавленному металлу при высокой
температуре. Оно не должно требовать непосредственного
участия экспериментатора и должно быть дистанционно
управляемым в силу радиоактивности; оно должно иметь
стабильную и легко проводимую тарировку. Все эти и
другие положительные качества присущи электромагнитно-
му расходомеру, который в настоящее время стал стандарт-
ным элементом жидкометаллических контуров, таких,
например, как на реакторе на быстрых нейтронах в Данро
(Шотландия). Обычно применяются постоянные поля, так
как поляризация не создает затруднений при работе с жид-
ким металлом.
При эксплуатации ядерных реакторов приходится иметь
дело и с другими радиоактивными жидкостями: при приго-
товлении свежего или при обогащении истощенного топ-
лива. Необходимость измерения расхода ядовитых жид-
костей в. этих и других ситуациях стимулирует дальнейшие
приложения электромагнитных расходомеров. Однако, даже
если жидкость не обладает «неприятными» свойствами,
электромагнитные расходомеры часто могут конкурировать
с другими устройствами для измерения расхода при условии
достаточно большой проводимости жидкости. Современная
электронная техника (см. Линч [V. 1 ]) позволяет при помо-
щи электромагнитного расходомера определить расход жид-
кости с проводимостью, равной или даже меньшей, чем
у дистиллированной воды. Примеры использования электро-
магнитных расходомеров для различных жидкостей при-
ведены в литературе (см. библиографию). То обстоятель-
ство, что измерения являются электрическими, делает их
особенно удобными для использования в системах автома-
тического управления. Различные фирмы в настоящее
время продают стандартные электромагнитные расходомеры
вместе с соответствующим электрическим, оборудованием,
однако к их рекламе следует подходить весьма критически.
Другая группа электромагнитных устройств — раз-
личные типы электромагнитных насосов для жидких метал-
Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода 19
лов — также была вызвана к жизни развитием ядерной
энергетики. Уже со времен Риччи1) и его современников
было известно, что проводящую жидкость можно прокачи-
вать, подвергая ее действию взаимно перпендикулярных
электрического тока и магнитного поля. Электромагнитные
насосы прочно вошли в практику эксплуатации жидкометал-
лических контуров по тем же причинам, которые благо-
приятствуют использованию электромагнитных расходо-
меров.
Мы уже отмечали тот факт (который был известен Фа-
радею), что токи, индуцированные в хорошо проводящей
жидкости при ее движении в магнитном поле, взаимодейст-
вуют с этим полем, оказывая существенное влияние на те-
чение жидкости. В то же время индуцированные токи
могут значительно влиять на магнитное поле. Такое двоя-
кое взаимодействие между движением жидкости и электро-
магнитным полем может возникать в жидком металле.
Эти процессы применительно к электромагнитным расходо-
мерам описаны в гл. 3.
Исследования движения электропроводящих жидко-
стей в магнитном поле за последние годы привели к созда-
нию самостоятельной отрасли науки, называемой магнитной
гидродинамикой^. Она находит применение в астрофизике,
геофизике и многих областях техники, из которых наиболь-
шее значение имеют управляемые термоядерные реакции.
Проводящей жидкостью здесь является ионизованный газ
или плазма. Другое возможное приложение магнитной гид-
родинамики к плазменной технике —«электромагнитные
плазменные ракетные двигатели для космических полетов
и магнитогидродинамические генераторы для прямого пре-
образования энергии высокотемпературного газа в элект-
рическую. Существует очевидная аналогия между обычными
электромоторами и электромагнитными насосами и двига-
телями, так же как между обычными электрическими гене-
раторами, с одной стороны, и электромагнитными расходо-
мерами и магнитогидродинамическими генераторами —
с другой. Расходомер наиболее близок к тахометру гене-
х) Р и ч ч и (Ritchie W.), Phil. Trans., 294 (1832).
2) В иностранной литературе принят, например, термин hyd-
romagnetics и производные от него. — Прим. ред.
2*
20 Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
раторного типа, так как выделяет пренебрежимо малую
мощность.
Хотя эта книга посвящена главным образом электро-
магнитным расходомерам, значительная часть теории, осо-
бенно содержание гл. 3, имеет определенное отношение
и к другим приложениям, указанным выше'.
Принцип электромагнитной индукции был также ис-
пользован для измерения локальной скорости жидкости
(в отличие от измерения полного расхода). Для этого в ис-
следуемую область жидкости погружаются два близко рас-
положенных электрода; поперечное магнитное поле создает-
ся либо внешним магнитом, либо магнитом малых размеров,
введенным в жидкость. Этот способ может быть использо-
ван для измерения скорости ионизованного газа вблизи
гиперзвукового снаряда или в различных плазменных уст-
ройствах.
До сих пор речь шла только об одной геометрической
конфигурации электромагнитного расходомера, а именно
типа Вильямса, когда жидкость протекает по круглой трубе,
находящейся в поперечном поле, а электроды размещены на
концах диаметра трубы, перпендикулярного полю и по-
току, как показано на рис. 1. Это далеко не единственная
возможность даже для расходомеров, основанных на изме-
рении индуцированной разности потенциалов. Расходо-
меры, использующие измерение некоторых других физи-
ческих величин, будут рассмотрены в последних главах.
Было установлено, что при некоторых условиях труба
прямоугольного сечения имеет преимущества по сравне-
нию с круглой трубой, хотя последняя обладает большей
прочностью, более проста в изготовлении и легко может
быть включена в систему трубопроводов.
Более существенное отклонение от схемы Вильямса
заключается в отказе от приложенного извне поперечного
поля. Очевидно, если при движении жидкости должна ин-
дуцироваться э. д. с., то поле обязано иметь компоненту,
перпендикулярную скорости. При движении жидкости по
трубе некоторого сечения возможно применение магнитного
поля, силовые линии которого представляют собой кон-
центрические окружности с центрами на оси трубы. Такое
поле возникает в результате протекания тока в направле-
нии движения жидкости либо в самой жидкости, либо в твер-
Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода 21
дом центральном проводнике (когда жидкость течет в коль-
цевом зазоре). Первое упоминание о схеме с током, проте-
кающим в жидкости, принадлежит Колину [1.3]. Он ука-
зал, что этот прибор также обладает тем свойством, что при
заданном*расходе индуцированная разность потенциалов не
зависит от особенностей распределения скорости, если
только оно симметрично относительно оси трубы. Рис, 3
Рис. 3. Расходомер с осевым током
в жидкости.
/—магнитное поле; 2 — индуцированные э. д. с.;
£ 3 — ток; 4—поток.
11
1 иллюстрирует этот случай. Разность потенциалов изме-
1 ряется между электродами Е, один из которых помещен
в центре трубы, другой — на стенке. Специфические преи-
мущества и недостатки этих и других расходомеров с осе-
вым током рассматриваются в последующих главах наряду
с особенностями более известного расходомера с попереч-
' ным полем.
При выборе схемы электромагнитного кондукционного
расходомера следует избегать ситуаций, в которых инду-
цированная э. д. с. полностью рассеивается вследствие
1 замыкания токов. Примером может служить схема с ра-
| диальным магнитным полем. Из рис. 4 можно видеть, что
в этом случае э. д. с. приводит только к появлению замкну-
g тых токов и омических потерь. Однако даже в рационально
выбранных конструкциях расходомеров частичное замыка-
ние токов является неизбежным. На рис. 2 уже показыва-
лось, каким образом может происходить замыкание токов
через медленно движущиеся слои жидкости вблизи стенок.
f
I •
22 Гл. 1. Электромагнитное измерение расхода
Рис. 4. Поперечное
сечение расходомера,
в котором э. д. с.
приводит только к
появлению замкнутых
токов.
1 — радиальное магнит-
ное поле; 2 — индуциро-
ванные э. д. с. и ток.
Любой реальный расходомер имеет конечную длину в на-
правлении течения, что приводит к неизбежному замыканию
токов у концов прибора, где поперечное поле, а следова-
тельно, также и индуцированная э. д. с. спадают до нуля.
Этот факт был известен еще Гарт-
ману [IX.1] в 1937 г. Проводящие
стенки также могут шунтировать
часть выходного сигнала.
Если жидкость не обязательно
должна прокачиваться через трубу,
то возможны другие геометрические
формы, даже если в общем случае
они не имеют особенных преиму-
ществ. Один из вариантов прибора,
изображенный на рис. 5, предусмат-
ривает использование двух парал-
лельных круглых пластин в качестве
электродов и радиального течения
жидкости между пластинами в при-
сутствии азимутального магнитного
поля, индуцированного однородным
электрическим током между пластинами. Разность потенциа-
лов между пластинами в этом случае не зависит от расстоя-
ния до центра, однако выделить из нее часть, связанную с
Рис. 5. Радиальный расходомер.
1 — магнитное поле; 2 — поток; 3 — индуци-
рованные э. д. с.; 4 — приложенные токи;
5 — электроды.
индуцированной э. д. с., можно, только зная омическое со-
противление при остановленном потоке. При заданном токе
расходящееся течение уменьшает разность потенциалов
Гл: 1. Электромагнитное измерение расхода
23
(в расходомере имеет место частичное самовозбуждение),
сходящееся течение — увеличивает. Это интересный при-
мер отмеченного выше влияния потока проводящей жид-
кости на электромагнитное поле. В другом случае поле
может возбуждаться током, протекающим в твердом осе-
вом проводнике. Разность потенциалов между пластинами
будет тогда чисто индуцированной, но меняющейся с рас-
стоянием от центра, так как при этом одновременно умень-
шаются скорость жидкости и напряженность магнитного
поля.
В существующих и проектируемых жидких контурах
часто имеется возможность использовать отдельные их
элементы для измерения расхода путем соответствующего
размещения электродов и приложения поля. Чем проще и
симметричнее конфигурация элемента, тем больше шансов
построить прибор, обеспечивающий непосредственное и на-
дежное измерение расхода. С другим предельным случаем
имеют дело океанографы, которые не могут управлять полем
и конфигурацией изучаемого потока. В результате им при-
ходится проводить и анализировать большое число изме-
рений, прежде чем удается установить картину морского
течения.
Глава 2
ТЕОРИЯ КОНДУКЦИОННОГО РАСХОДОМЕРА
§ 2. 1. Основные уравнения
Сущность задачи о кондукционном расходомере1) со-
стоит в следующем: дано распределение скорости проводя-
щей жидкости и известно распределение приложенного маг-
нитного поля; требуется найти возникающие электрические
эффекты, и в частности связать разность потенциалов между
двумя или более точками или поверхностями (электродами)
с некоторыми количественными характеристиками потока,
например со средней скоростью. Океанографы столкнулись
с аналогичной задачей.
Следует заметить, что здесь умышленно пренебрегается
двумя другими эффектами, связанными с движением прово-
дящей жидкости в магнитном поле, а именно влиянием
индуцированных токов на распределение поля и воздей-
ствием объемных электромагнитных сил, связанных с этими
токами, на движение жидкости. Эти два эффекта имеют зна-
чение только для жидких металлов и будут рассмотрены
в гл. 3.
Жидкость предполагается немагнитной с магнитной про-
ницаемостью ц, равной проницаемости вакуума. Таким
образом, жидкость может испытывать влияние объемных
сил и воздействовать на стационарное электромагнитное
поле только при движении.
Далее предполагается, что жидкость подчиняется закону
Ома, т. е. вектор плотности тока параллелен электрическому
полю в системе координат, движущейся с жидкостью. Про-
водимость о считается изотропной и не зависящей от маг-
нитного поля или движения жидкости, так что эффект Холла
исключается. Будем предполагать, кроме того, что можно
пренебречь изменениями проводимости и термоэлектриче-
скими эффектами вследствие неоднородности температуры.
г) Употребляемый автором термин induction flowmeter перево-
дится как «кондукционный расходомер» в соответствии с термино-
логией, принятой в отечественной литературе. — Прим. ред.
§ 2. 1. Основные уравнения
25
Токами за счет переноса заряда при движении жидкости
также можно пренебречь, так как такой заряд, определяю-
щий дивергенцию электрического поля, всегда очень мал.
В электролитах эффективная проводимость между дву-
мя точками за счет поперечного движения жидкости может
быть заметно снижена вследствие низкой подвижности ио-
нов, как сообщалось в работе Ашкинази1). Будем пренебре-
гать такими эффектами в нашем анализе, хотя их влия-
ние на характеристики расходомера может быть значи-
тельным. В средах с электронной проводимостью, подобных
жидким металлам, все выше сделанные предположения
полностью оправдываются.
Итак, мы принимаем, что плотность тока в жидкости
подчиняется закону Ома в форме
W(E+vxB), (2.1)
где j — вектор плотности тока, а — проводимость жидко-
сти (скаляр), т. е. величина, обратная удельному сопротив-
лению, Е + v X В — электрическое поле в движущейся
с жидкостью системе отсчета (релятивистские члены опу-
щены), Е—электрическое поле в неподвижной системе
координат, v — скорость жидкости, В — магнитная индук-
ция. Член vXВ соответствует э. д. с., индуцированной при
движении жидкости, тогда как Е связано с распределением
заряда вне и внутри жидкости и с изменением магнитного
поля во времени. Полный список обозначений приведен
в начале книги; везде используется рационализованная
МКС-система единиц.
Если скорость жидкости, или магнитное поле, или же
обе эти величины изменяются во времени, то токи, индуци-
рованные при движении жидкости, также должны быть пе-
ременными. Если частота изменений очень высокая, то рас-
пределения индуцированного тока и электрического поля
существенно нарушаются вследствие самоиндукции. Даже
в покоящейся жидкости переменное во времени приложенное
магнитное поле возмущается из-за самоиндукции. Это из-
вестный «скин-эффект», который в предельном случае не
ЧАшкинази (Eskinazi S.), Phys Fluids, 1, 161 (1958).
См. также Хоуган (Hogan М. A.), Engineering, Lond., 115,
66 (1923). Хороший обзор эффектов, свойственных электролитам,
дан Вайяттом [V. 1].
2В. Шерклиф
г
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
позволяет магнитному полю проникать в ядро потока и
делает тем самым электромагнитное измерение расхода
невозможным.
Степень важности этих эффектов, затрудняющих работу
кондукционного расходомера, определяется одним и тем
же критерием: их можно не учитывать, если величина
(рсгсо)—‘А велика в сравнении с характерным линейным
размером расходомера, например диаметром трубы (см. при-
ложение). Здесь со — частота изменения скорости жидкости
или магнитного поля. Будем предполагать, что со достаточно
мала, так что указанное условие выполнено, влиянием
самоиндукции можно пренебречь и фактически мы имеем
задачу, в которой электрическое поле обладает потенциа-
лом. Для электролитов ограничения, налагаемые на со,
малы. Для жидких металлов влияние самоиндукции устра-
няется при более жестких ограничениях. По этой и по дру-
гим причинам для жидких металлов удобнее применять
электромагниты постоянного тока или постоянные магниты.
При низких частотах и отличной от нуля проводимости
мы можем с уверенностью пренебречь током смещения по
сравнению с током проводимости j. Достаточным для этого
условием является неравенство со е/о<^1, где 8 — диэлект-
рическая проницаемость (см. приложение). В этой книге не
обсуждается применение кондукционных расходомеров
для диэлектрических жидкостей типа масел, в которых
ток смещения более важен, чем ток проводимости. Теория
таких устройств рассмотрена Кашингом [1.1]. .
Для расходомеров с переменным полем существует так-
же самостоятельная проблема потери чувствительности из-за
наводок в подводящих проводах, которые непременно про-
низываются частью потока переменного поля. Возникающий
при этом вклад во внешний сигнал на четверть периода сдви-
нут относительно полезной его части, индуцированной
при движении жидкости, и потому легко может быть выде-
лен. Эта задача обстоятельно рассмотрена в литературе
(см. библиографию).
Исключение из уравнений Максвелла тока смещения
dT)/dt и отражающего самоиндукцию члена дЪ/dt дает
rotE = 0,
rot В = pij.
(2.2)
(2.3)
§2.1. Основные уравнения
27
Из уравнения (2.2) видно, что можно обычным путем
определить электрический потенциал U:
Е = — grad U. (2.4)
Уравнение (2.3) показывает только, каким образом ин-
дуцированные токи влияют на приложенное магнитное поле,
и поэтому не рассматривается до следующей главы. Одна-
ко из него следует равенство
div j=0, (2.5)
выражающее тот факт, что локальный электрический заряд
несуществен при низкой или нулевой частоте.
При постоянной а из уравнения (2.1), учитывая соотно-
шения (2.4) и (2.5), получаем уравнение Пуассона
V2^/=div(vxB). (2.6)
Это основное уравнение теории расходомера, которое
вместе с соответствующими граничными условиями позво-
ляет найти распределение U по заданным распределениям
v и В. То же самое уравнение широко исследовалось океа-
нографами, которые иногда принимали во внимание изме-
нение а. Задача, очевидно, сводится к отысканию потен-
циала, возникающего от пространственного распределения
диполей или миниатюрных электрических генераторов
с плотностью vxB. Направление действия каждого дипо-
ля, как и следовало ожидать, перпендикулярно движению
жидкости и магнитному полю. Заметим, что проводимость
о не входит пока в задачу. Она появляется, если граничные
условия заданы на проводящих поверхностях.
Поскольку в большинстве случаев движение жидкости
турбулентно, важно выяснить, остается ли уравнение (2.6)
в каком-то смысле справедливым для турбулентного тече-
ния. Если чертой отметить средние по времени величины и
штрихом — турбулентные флуктуации (так что, например,
U = U + JJ'Y то, усредняя (2.6) по времени, получаем
V2t/=div(vxB+v'xB'). ' (2.7)
Вторым векторным произведением в правой части можно
пренебречь по различным причинам: нет оснований ожи-
дать сильной корреляции между случайными флуктуация-
23*
28
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
ми скорости и поля; кроме того, величина В', как будет
показано в гл. 3, есть индуцированное поле, которое в срав-
нении с приложенным полем обычно мало даже для жидких
металлов. Для электролитов оно совершенно несущест-
венно. Таким образом, если опустить последний член в (2.7),
то получится уравнение (2.6), в котором под U, v и В сле-
дует понимать средние значения этих величин. Поэтому
турбулентность потока не усложняет проблемы: электро-
магнитный расходомер может измерять среднюю скорость.
Раскрывая div (v X В), можно переписать (2.6) в виде
V2t7 = Brot v — vrot В.
(2.8)
Последний член может быть опущен, если магнитное
поле не сильно искажено индуцированными токами в жид-
кости (так что rot В = 0), а также когда эти токи перпен-
дикулярны скорости жидкости. Тогда
V2[/ = В rot v.
(2.9)
2.1.1. Граничные условия
При решении любой задачи должны быть сформулиро-
ваны достаточные граничные условия. К уравнению второ-
rd порядка (2.6) или (2.9), описывающему распределение U,
необходимо добавить одно граничное условие для электри-
ческих величин на всей границе исследуемой проводящей
области. Внутри этой области могут быть поверхности раз-
дела между жидкими и твердыми проводниками, на которых
должны быть заданы два граничных условия. Случаи, когда
имеется граница раздела между двумя жидкостями или же
свободная поверхность, не представляют большого практи-
ческого интереса и не будут рассматриваться. Часть гра-
ницы изучаемой области обычно образуется гипотетически-
ми поверхностями в областях входа и выхода жидкости.
Эти поверхности либо достаточно удалены и на них все
электрические возмущения пренебрежимо малы, либо выб-
раны так, что соответствующие граничные условия можно
установить из соображений симметрии или других интуи-
тивных рассуждений.
§2.1. Основные уравнения 29
Часто удобно использовать обычное гидродинамическое
граничное условие v — 0 на твердой неподвижной стенке.
Вследствие этого из (2.1) имеем равенство
—ogradt/ (2.10)
для покоящейся жидкости, непосредственно примыкающей
к стенке. Большинство теоретических результатов для
расходомеров фактически не должно зависеть от этого огра-
ничения на распределение скорости. Мы принимаем его
просто как наиболее близкое к действительности.
I. Непроводящие стенки. В этом случае отсутствует ток
из жидкости в стенку. Поэтому jn и dUldn [согласно (2.10)]
обращаются на стенке в нуль (п отсчитывается по нормали
к стенке). То же условие применимо, если контактное со-
противление между жидкостью и проводящей стенкой ста-
новится очень высоким.
II. Проводящие стенки. Пусть проводимость х стенки
однородна и существует контактное сопротивление т между
жидкостью и стенкой. В целях упрощения анализа будем
предполагать т также постоянной величиной, хотя хорошо
известно, что в действительности т сильно меняется во време-
ни и в пространстве. Не всегда справедливо даже предполо-
жение о том, что контактная разность потенциалов пропор-
циональна нормальной компоненте плотности тоца в дан-
ной точке и в данный момент времени. Однако использова-
ние постоянного т дает возможность исследовать влияние
контактного сопротивления, избегая слишком больших
математических сложностей.
Поскольку стенка покоится, распределение потенциала
и тока в ней описывается уравнениями
1 =--gradt/.
V2f/-0. 7
На внешней, несмачиваемой поверхности стенки нор-
мальный ток обычно отсутствует и dUldn обращается в нуль.
Даже на тех участках стенок, от которых отходят провода
к измерителю напряжения, ток считается отсутствующим
или пренебрежимо малым, иначе выходной сигнал прибора
будет снижен за счет потерь на внутреннее сопротивление.
Поэтому для измерения напряжения должен применяться
30
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
потенциометр или устройство, обладающее высоким вну-
тренним полным сопротивлением по сравнению с внутрен-
ним сопротивлением между электродами.
На внутренней границе, отделяющей жидкость от
стенки, там где через контактное сопротивление протекает
нормальный ток, возникает скачок потенциала, опреде-
ляемый соотношением
duf
Uf-Uw=xv-^, (2.12)
где нормаль п направлена от стенки в жидкость.
Индексы f и w соответственно относятся к жидкости и
стенке. Из условия непрерывности нормального тока с уче-
том (2.10) получаем также
dUf dUw
О -Ч-- = X .
дп дп
(2.13)
Этих условий достаточно, чтобы сшить решения урав-
нений (2.9) и (2.11) соответственно для жидкости и стенки.
2.1,2. Чувствительность расходомера S
Прежде чем переходить к решению основных уравнений
в частных случаях, удобно ввести величину S — безраз-
мерную характеристику или тарировочныи коэффициент
кондукционного расходомера, в котором разность потен-
циалов Uxy, индуцированная между двумя электродами X
и У, используется для определения расхода. Положим
S—Uxy lLBvm,
(2.14)
где L — длина XY, В — характерное значение приложен-
ного поля и vm — средняя скорость потока.
В простейшем случае, когда линия XY и векторы ско-
рости и напряженности поля взаимно перпендикулярны,
причем В и v постоянны по величине и направлению,
S обращается в единицу, -если только стенки трубы, огра-
ничивающие жидкость, непроводящие. В этом случае
индуцированные токи отсутствуют, жидкость поляризует-
ся и Uxy есть просто интеграл вдоль XY от постоянной ин-
J 2. 2. Двумерная теория расходомера
31
Аудированной э. д. с. v X В. Форма трубы при этом не-
существенна.
Далее будет показано, что S = 1 и в некоторых других
случаях, но часто сильно отличается от единицы.
§ 2. 2. Двумерная теория кондукционного
расходомера
Любой реальный расходомер имеет конечные размеры.
Жидкость, расход которой измеряется, должна войти
в область приложенного магнитного поля и выйти из нее.
Процессы в зонах входа и выхода, называемые краевыми
эффектами, будут изучены далее. Здесь же предполагается,
что интересующая нас область вблизи электродов доста-
точно далека от концевых областей, так что конфигурации
потока и поля фактически неизменны в направлении дви-
жения жидкости. Тем самым считается, что размеры при-
бора в направлении движения велики по сравнению
с поперечными размерами прямого участка трубы, огра-
ничивающей жидкость. Кроме того, необходимо предпо-
ложить, что распределение средней скорости лишь сравни-
тельно мало изменяется в направлении потока, если ско-
рость вообще всюду направлена вдоль оси трубы. В турбу-
лентном потоке это относится к локальным средним скоро-
стям. Задача тогда становится двумерной. Все величины,
за исключением давления и в одном случае, который будет
изучен, потенциала,. оказываются одинаковыми в любом
поперечном сечении трубы. Граничные условия необхо-
димо поэтому формулировать только на контуре двумер-
ного поперечного сечения трубы.
В связи с тем что измерительный прибор должен быть
по возможности универсальным, т. е. его градуировка
должна зависеть от минимального числа факторов, среди
которых нет неподдающихся учету, мы начнем изучение
теории расходомера с рассмотрения условий, когда чув-
ствительность полностью независима от формы распреде-
ления скорости.
х) В литературе и в этой книге употребляется еще термин «кон-
цевые эффекты». — Прим. ред.
32
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
2.2.1.Двумерные случаи, когда величина S не зависит от
формы профиля скорости
I. Прямоугольная труба (прибор с поперечным полем).
Рассмотрим трубу прямоугольного поперечного сечения,
помещенную в однородное перпендикулярное потоку маг-
нитное поле, которое параллельно одной паре стенок трубы.
Если обе эти стенки изготовлены из материала с проводи-
мостью, намного большей, чем у жидкости, и выполняют
Рис. 6. Расходомер прямоугольного
сечения с высоко проводящими стен-
ками, параллельными полю.
роль электродов большой площади, то очевидно, что они
будут оказывать «усредняющее воздействие» на неодно-
родную э. д. с. в жидкости. Это наводит на мысль, что ве-
личина S станет независимой от распределения скорости —
факт, уже отмечавшийся различными авторами1).
Расположим оси декартовых координат, как показано
на рис. 6: ось х — параллельно приложенному однород-
ному магнитному полю В и ось z— в направлении скорости
жидкости v перпендикулярно плоскости рисунка. Размеры
канала 2а и 2Ь указаны на чертеже. Верхняя и нижняя
стенки считаются идеальными проводниками; каждый под
постоянным потенциалом. Разность потенциалов есть вы-
ходной сигнал расходомера, обозначаемый через Uxy- Бо-
^Арнольд [1.1], Шерклиф [1.1], Тюрлеман [1.2], Холдуэй
$ 2. 2. Двумерная теория расходомера 33
ковые стенки могут быть непроводящими или обладать
конечной проводимостью х и толщиной w. На границе
жидкости и стенок может возникать контактное сопротив-
ление, которое на идеально проводящих стенках предпо-
лагается постоянным и равным т. Вместо того чтобы решать
основное уравнение (2.9), обратимся к закону Ома (2.1),
записанному в проекции на ось у:
(2.15)
ду a v 7
Интегрируя это равенство вдоль произвольной линии
в жидкости, параллельной оси у, получаем
b ь
(’ 1 (•
Uxy = B J vdy — - J jydy—x[jy(y=b) + iy(y=~-b)]- (2.16)
-b ~-b
Последний член выражает влияние контактного сопро-
тивления на ток, направленный по нормали к верхней и
нижней стенкам. Если боковые стенки проводящие, то
имеет место аналогичное уравнение -
ь
Cxy = -^ jywdy, (2.17)
—b
где ]‘yw есть у-компонента тока в стенках. Контактное сопро-
тивление на стыке между стенками положено равным нулю.
Поскольку предполагается, что устройство, измеряю-
щее напряжение, потребляет пренебрежимо малый ток
с электродов и что осевой ток отсутствует, полный ток
через любую линию, параллельную оси х, должен быть
равен нулю. Это приводит к уравнению
jy dx +
j 1 dx—0,
(2.18)
где второй интеграл взят поперек обеих боковых стенок.
I
34
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
Интегрируя и объединяя (2.16) — (2.18), получаем
Ь а
Uxy (2ао + 2оух) j J vdxdy —
— b —а
а
j* И у (y=b)+jy (у——6)] dx, (2.19)
- а
где первое слагаемое правой части можно заменить на
4aboBvm. Величина S может быть найдена из (2.19) в форме,
не зависящей от распределения скоростей, в следующих
случаях:
а) Непроводящие боковые стенки (х = 0). При этом
а
условии jyw и, следовательно, \jydx обращаются в нуль.
—а
Последний член из (2.19) выпадает и
S = UxY/2bBvm= 1.
Отсюда следует, что хорошо проводящие стенки дей-
ствительно оказывают усредняющее воздействие и сигнал
даже при наличии однородного контактного сопротивле-
ния получается такой же, как если бы скорость была одно-
родной.
б) Отсутствие контактного сопротивления на хорошо
проводящих стенках (т = 0). Из (2.19) находим
S-1/(1 +d), (2.20)
где d = wx/ao— безразмерная величина, которая отра-
жает влияние токов, замыкающихся через боковые про-
водящие стенки. Существенно, что S теперь меньше еди-
ницы. Контактное сопротивление на боковых стенках, ко-
торое может быть и неоднородным, не оказывает влияния
на этот результат. Уравнение (2.20) является хорошим
приближением, даже когда верхняя и нижняя стенки
имеют не очень высокую проводимость, если только b/а при
этом достаточно велико. Тогда изменение потенциала вдоль
этих стенок мало в сравнении с Uxy- При &/а>5 формула
(2.20) имеет точность, достаточную для большинства при-
ложений. '
в) Очень высокое контактное сопротивление на боковых
стенках. Такой случай может представиться, когда имеем
£ 2. 2. Двумерная теория расходомера
35
цельнометаллическую трубу, но боковые стенки покрыты
слоем изолятора. При этом отсутствует ток из жидкости
в боковые стенки и интеграл J jywdx постоянен и равен
—2Uхуш®/2Ь. Вследствие (2.18) последний член в (2.19) име-
ет теперь вид
2wUxy
(2.21)
и, следовательно,
1 +d(l + <ги/6)’
(2.22)
Дополнительное слагаемое в знаменателе отражает
потерю сигнала, обусловленную совместным влиянием
контактного сопротивления на хорошо проводящих стен-
ках и токов, замыкающихся через боковые стенки. Если
контактное сопротивление на боковых стенках невелико,
то (2.22) дает нижнюю, «пессимистическую» оценку зна-
чения S, поскольку f jywdx принимает наименьшее значение
при у = ±Ь для всех разумно допустимых профилей ско-
рости, и поэтому последний член в (2.19) меньше, чем ве-
личина (2.21).
Если требуется прибор, чувствительность которого не за-
висит от профиля скорости, то, очевидно, расходомер
прямоугольного сечения обладает нужными свойствами,
в особенности когда отношение размеров Ыа может быть
сделано большим. Эта схема привлекательна еще и тем,
что легко изготовить магнит, обеспечивающий однородное
поле в узкой прямоугольной области.
II. Круглая труба и круговое поле (прибор с осевым
током). Эта ситуация является обобщением рассмотрен-
ного выше случая «а». Если представить себе прямоуголь-
ный канал, деформированный путем изгибания в попереч-
ном сечении, как показано на рис. 7, до соприкосновения
боковых стенок, то после их удаления получится кольце-
вая труба. Силовые линии поля одновременно изогнутся
в концентрические окружности, так что останутся па-
раллельными стенкам, которые служат электродами. Та-
кое поле можно создать, пропуская осевой концентриче-
ский ток через жидкость или твердый проводник внутри
кольца. Внутренняя стенка кольца может быть даже уда-
36 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
лена, так что останется просто круглая труба с точечным
электродом на осевой линии. На рис. 3 показана схема
круглой трубы с осевым током в жидкости, а на рис. 8 —
кольцевой прибор, в котором осевой ток пропускается по
твердому центральному проводнику. Движение жидкости
Рис. 7.
и направление магнитного поля остаются взаимно перпен-
дикулярными, а индуцированная э. д. с. действует теперь
в радиальном направлении.
Рис. 8. Расходомер кольцевого сечения с осе-
вым током в центральном проводнике.
1 — поток; 2 —электроды; 3 — индуцированные э. д. с.;
4 — магнитное поле.
Если стенки трубы по сравнению с жидкостью имеют
очень высокую проводимость и служат электродами, то
следует ожидать, что на неоднородную э. д. с., индуциро-
ванную при движении жидкости, они будут оказывать
желательное усредняющее воздействие, как это имело
место в ранее обсуждавшейся (и тесно связанной с данной)
схеме прямоугольногб прибора. Заметим, что необходима
не только высокая проводимость стенок. Очевидно, стенки
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
37
не должны быть слишком тонкими. Точное условие со-
стоит в том, что d = xwlae должно быть велико (w — тол-
щина стенки, х — проводимость, а — радиус трубы или
ширина .кольцевого зазора, о — проводимость жидкости).
Рис. 9. Эквивалентная электриче-
ская схема кольцевого расходомера
с проводящими стенками. Нагрузки
с, f и w соответствуют контактному
сопротивлению и сопротивлениям
жидкости и стенки. Источники е2
и т. д. соответствуют неоднородным
э. д. с., индуцированным при неод-
нородном распределении скорости.
Увеличение всех нагрузок с или
уменьшение всех нагрузок w приво-
дит к тому, что разность потен-
циалов между двумя «стенками»
везде приближается к значению
-1 / 4 ( е1 “И 24х £з "М 4 ) •
Наличие высокого однородного контактного сопротивления
способствует проявлению усредняющего действия стенок,
что легко видеть из эквивалентной электрической схемы
на рис. 9, если только через внешнюю измерительную цепь
и проводники на концах прибора из исследуемой области
отводится пренебрежимо малый ток (это обсуждается
в § 2.3).
38 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
Нужно еще конкретизировать зависимость магнитного
поля В от расстояния г до оси трубы. Если В прямо про-
порционально г, то имеет место точный усредняющий эф-
фект и S нечувствительно к распределению скорости. Этот
результат (его доказательство будет дано ниже) объясняется
тем, что расход через кольцевой элемент поперечного се-
чения радиусом г, очевидно, пропорционален г. Поэтому В,
будучи пропорционально г, правильно «взвешивает» вклад
различных элементов в полную индуцируемую разность
потенциалов. Поле такого вида возникает при пропускании
через жидкость продольного возбуждающего тока с одно-
родной плотностью /. Это есть тот упоминавшийся ранее
случай, когда неизбежно изменение потенциала вдоль трубы.
Уравнение (2.3) в данном случае означает, что
в = ~ prj. (2.23)
Aaf
Для того чтобы этот результат был в точности справед-
лив и для кольцевой трубы, кроме тока / в жидкости, через
центральный проводник должен пропускаться осесимме-
тричный, но не обязательно однородный ток, средняя плот-
ность которого в круге внутри кольца равна /. На практике
этого усложнения избегают, пропуская продольный ток
только через центральный проводник, а не через жидкость.
Тогда В в жидкости изменяется обратно пропорциональ-
но радиусу г. Однако, если внутренний радиус кольца
не слишком мал, разность потенциалов, индуцированная
между стенками, не особенно чувствительна к профилю
скорости, и достигается приемлемый усредняющий эффект.
Этот вопрос исследуется в конце данного параграфа.
Отсутствие осевого тока в жидкости имеет ряд преиму-
ществ. Одно из них состоит в том, что через хорошо прово-
дящие стенки трубы проходила бы большая и весьма не-
определенная часть полного тока, пропускаемого через
прибор. Это привело бы к бесполезной затрате мощности
и к неопределенности тарировки расходомера, которая
зависит от тока в жидкости. Другой путь, позволяющий
преодолеть эту трудность, мог бы заключаться в уста-
новке слоистых стенок, имеющих высокую окружную
и равную нулю осевую проводимость. Это усложнение
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
39
оправдано, если важно иметь расходомер, абсолютно
нечувствительный к профилю скорости.
Еще одно преимущество устранения продольного гра-
диента потенциала в жидкости состоит в том, что относи-
тельное осевое расположение электродов перестает быть
решающим. При всех условиях экономически более целе-
сообразно пропускать осевой ток через центральный медный
проводник, чем через жидкий металл с худшей проводи-
мостью; это особенно существенно для электролитов.
Покажем теперь формально, что расходомер круглого
сечения с осевым током и полем В, пропорциональным г,
действительно имеет чувствительность, полностью не за-
висящую от распределения скорости даже при наличии
однородного контактного сопротивления т на стенке, если
проводимость стенки велика. Проводимость жидкости о мо-
жет быть при этом переменной по радиусу, что возможно
при осесимметричном профиле температуры.
Принимая во внимание (2.23), находим радиальную
компоненту тока из закона Ома
Здесь используются полярные координаты с центром на
оси трубы. Интегрируя это выражение по поперечному
сечению кольцевого зазора между внутренним и внешним
радиусами \Ь и а соответственно), получаем
а 2к 2те 2п а
J 4" J ir d® = — j (Ua — Ub) db + T J vrdrdG. (2.24)
ь о b о Ь
2n
Теперь f jrdQ обращается в нуль, поскольку при рав-
о
ной нулю дивергенции осевого тока1) полный ток через
концентрические цилиндрические поверхности в жидкости
отсутствует.
Выходной сигнал прибора равен
Oxy=Ua — Vb — (т/г)а+(т/г)4.
х) То есть при djzldz — 0.— Прим. ред.
40
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
Последние два члена соответствуют падению потенциала
на контактном сопротивлении. Интегрируя это равенство,
получаем
2тс
= J (Ua - Ub) dQ,
О
поскольку т и Uxy не зависят от 0. Из. (2.24) следует
(/xy=p/Q/4rt, (2.25)
2it а
где Q = J J vrdrdQ—объемный расход. В стандартной
о ь
форме (2.25) записывается как
S = UxY/^Bmvm—l,
где L принято равным ширине зазора а — Ь, Вт вычи-
сляется по среднему радиусу ^(а+Ь) и vm=Q/n(a2—b2)—
средняя скорость. Следует заметить, что случай круглой
трубы с точечным электродом в центре получается отсюда
как частный случай при Ь = 0.
Прежде чем переходить к дальнейшему, следует выяс-
нить последний вопрос — насколько выходной сигнал
чувствителен к радиальному распределению скорости,
если магнитное поле меняется нелинейно по г, как в при-
борах с осевым током, проходящим только по централь-
ному проводнику. Стенки с высокой проводимостью будут
по-прежнему оказывать сильное усредняющее воздействие
на изменения скорости и индуцированной э. д. с. по 0. Что-
бы изучить влияние изменения скорости по г, рассмотрим
два предельных не зависящих от 0 профиля скорости —
однородный и параболический.
Если осевой ток в жидкости отсутствует, то В = р 7/2лг,
где J — полный осевой ток. При постоянной скорости
t/xy-pJQln(a/fe)/2n2(a2 — 62), (2.26)
тогда как при скорости, квадратично зависящей от г и об-
ращающейся в нуль на стенках, т. е. при
v = 6Q(a — г) (г — Ь)/л (а2 — Ь2) (а — Ь)2,
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
41
будем иметь
(/xy = 3pJQ ~ (а2 — Ь2) — ab \n (а/Ь)
I л2 (а2 — Ь2) (а — Ь)2.
Отношение UxyIUxy равно
3 [(?+1 )/(т — 1) In у — 2у/(у — I)2] (у=а/6)
или приближенно 1 — (у — 1)2/30, когда у близко к еди-
нице. Даже при у » 5 это отношение снижается всего
до 0,92, тогда как для более вероятного практически случая
у =2 различие между двумя значениями Uxy составляет
всего 2%. Отсюда следует, что зависимость чувствитель-
ности от профиля скорости остается очень слабой, даже
когда В перестает быть линейным по г, и что для большин-
ства целей можно пользоваться формулой (2.26). Это равно-
сильно утверждению
S ~ UxYlLBm vm— 1,
где
L=a — b,
vm=Q/n(a2 — bz), Bm=pJ
здесь Bm —среднее магнитное поле.
2.2.2. Двумерная теория для круглой трубы, когда значе-
ние S не зависит от профиля скорости, если он осесим-
метричен.
Условие осевой симметрии профиля скорости часто
может выполняться. В обычной практике расходомеры всех
типов монтируются далеко вниз по течению от таких источ-
ников возмущений, как краны и колена. Кондукционный
расходомер в этом отношении по крайней мере не более
«капризен», чем его конкуренты, и может быть намного
лучше. При течении жидкого металла в расходомерах с по-
перечным полем магнитные силы могут привести к наруше-
нию естественной осевой симметрии потока в трубе, если
проводимость и напряженность поля достаточно велики.
Этот эффект изучается в следующей главе. В данном раз-
деле мы будем предполагать, что профиль скорости не от-
клоняется от осевой симметрии.
42
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
I. Расходомер с осевым током. Пусть возбуждающий
осевой ток с плотностью j протекает в жидкости. Если поток
движется в кольцевом зазоре, то осевой ток соответствую-
щей плотности должен течь также и в центральном провод-
нике. Азимутальное поле тогда имеет величину
D 1 '
В = у |Л/Л
Ясно, что при скорости, зависящей только от г, инду-
цированная радиальная э. д. с. не приведет к возникнове-
нию радиального тока независимо от проводимости стенки
и контактного сопротивления, которое может быть неодно-
родным. Поэтому омические потери не снижают индуциро-
ванной э. д. с. и, стало быть,
dU ' 1 .
= т I4rv
dr 2 г J
и Uxy = р/ \rvdr = p/Q/4jt снова, как в (2.25).
Отличие от ранее рассмотренного случая состоит в том,
что здесь стенки могут не обладать высокой проводимостью
и даже быть непроводящими, так как в усреднении по 6
нет необходимости, когда профиль скорости осесимметричен.
Если стенки непроводящие, то электроды должны непосред-
ственно соприкасаться с жидкостью. Их азимутальное рас-
положение не имеет значения, но они должны находиться
точно в одном и том же поперечном сечении трубы, посколь-
ку имеется продольный градиент потенциала.
Мы уже видели, что отличная от (2.23) зависимость
В(г) лишает расходомер этого типа свойства точно «интег-
рировать» распределение скорости и давать полный рас-
ход, хотя возникающие вследствие этого ошибки могут быть
малы.
II. Прибор с поперечным полем. Рассмотрим теперь
прибор типа Вильямса, изображенный на рис. 10 и состоящий
из круглой трубы, помещенной в однородное поперечное
поле, и двух электродов, расположенных на концах диа-
метра, перпендикулярного полю и скорости. Стенки трубы
могут быть проводящими,' и на их границе может сущест-
вовать однородное контактное сопротивление. В случае
проводящих стенок обычно применяются внешние электроды
А и D, как показано на рис. 11. При непроводящих стенках
§ 2. 2.Двумерная теория расходомера 43
должны быть использованы внутренние Электроды В и С.
Электроды являются точечными или, возможно, линейными,
расположенными вдоль трубы на некотором участке. В про-
тивоположность этому в расходомерах, обсуждавшихся
в разд. 2.2.1, электроды представляли собой поверхности
конечной площади (исключая случай, когда продольный
Рис. 10. Расходомер круглого сечения
с поперечным полем.
1 — поток; 2 — магнитное поле.
ток пропускался через жидкость и электроды могли быть
либо точечными, либо линейными, расположенными вдоль
окружности трубы).
Если профиль скорости осесимметричен, а контактное
сопротивление и проводимости жидкости и стенки постоян-
ны, то оказывается, что чувствительность прибора не за-
висит от распределения скорости. Этот замечательный ре-
зультат имеет место несмотря на то, что величина потерь
индуцированной э. д. с. на образование замкнутых токов
зависит от распределения скорости. Например, при пара-
болическом распределении скорости в непроводящей трубе
вследствие омических потерь теряется четверть э. д. с.,
индуцированной вдоль линии ВС (рис. 11), тогда как при
однородном распределении скорости в той же трубе потери
отсутствуют. Однако в обоих этих случаях получается
одинаковый сигнал между точками В и С для данного пол-
ного расхода или средней скорости.
Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох
была параллельна однородному приложенному полю В,
44 • Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
а ось z — параллельна направлению скорости потока и.
Отмечая величины, относящиеся к жидкости и к стенке,
Рис. И. Сечение рас-
ходомера с поперечным
полем; расположение
электродов и осей коор-
динат.
1 — поле.
так что v rot В = 0.
индексами f и w соответственно,
запишем уравнения относительно
потенциалов
(2.27)
вытекающие соответственно из
(2.11) и (2.9). Уравнение (2.9)
справедливо здесь и без допу-
щения rotB=0, ибо индуциро-
ванные токи текут в плоскости
(х, у), перпендикулярной скорости,
Поскольку предполагается, что
v — v(r), второе уравнение (2.27) принимает вид
y2Uf=Bv' sin 6,
(2.28)
где штрих обозначает производную по г. Полагая внутрен-
ний и внешний радиусы трубы равными а и b соответ-
ственно, имеем следующие граничные условия:
при г=а:
dUf
— = Uw
Wf _v dUw
dr dr
(из (2.12)),
(из (2.13));
(2.29)
при r=b:
dU
dr
Решения
Uf = Z(r)sin6,
Uw (Ar+C/r) sin 6 (Д, C=const)
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
45
удовлетворяют (2.27) и (2.28), если
r2Z"+rZ' — Z = (r2Z' — rZ) = r2Bv', (2.30)
и граничным условиям (2.29) при
Аа+С/а = Z (а) + orZ' (а),
и(А~С/а2) == oZ' (а), А = С/Ь2. (2.31)
Интегрируя (2.30) (правую часть — по частям) от г = 0
до г = а, получаем
a2Z' (а) — aZ (а)=В [г2и]о —В J 2rvdr = — Ba*vm, (2.32)
о
поскольку v обращается в нуль на стенке, где г = а. Исклю-
чая Z(a), Z'(a), Л и С из (2.31) и (2.32), найдем, что чувст-
вительность S определяется формулой
с___ АР ____________________2а2______________/п
2bBvm~~ (а2 + 62) + (х/а)(1 + ат/а)(^2 —а2) * ' ’ '
Входящая в знаменатель длина принята здесь равной
2Ь — расстоянию между внешними электродами. Полагая
в (2.33) b = а, получаем формулу
S = = 1 (2.34)
2aBvm
для случая непроводящих стенок. Этот результат для не-
которых частных распределений скорости был установлен
Вильямсом, который догадывался о его справедливости
и в более общем случае. Общий результат (2.34) впервые
был доказан Тюрлеманом [1.1]; более короткое доказатель-
ство Ламба (W. Е. Lamb) привел Колин [1.1]. Изложенное
здесь доказательство дал Подушка (J. W. Poduska).
Формула (2.34) может быть применена также в случае
проводящих стенок или концентрических слоев твердого
осадка, имеющих ту же проводимость, что и жидкость,
поскольку они подобны покоящимся осесимметричным
слоям жидкости. Однако при этом контактное сопротив-
46 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
ление должно отсутствовать, что легко подтвердить, поло-
жив в (2.33) т = 0 и х = а. Тогда
о __ ^ad __ Uad™2, _ а* 2 ,9q-
2bBvm ~ 2bBQ ~ Ь2 *
Здесь средняя скорость vm подсчитана по площади ла2,
тогда как при применении формулы (2.34) vm должно быть
подсчитано по полной проводящей площади nb2. Благо-
даря этому формулы (2.34) и (2.35) согласуются между со-
бой. Этот случай рассматривался Тюрлеманом [1.1] и Ко-
лином [1.2]. Колин отметил, что этот случай хорошо со-
ответствует течению крови в артериях и что Uad, как пока-
зывает (2.35), зависит только от В, b и расхода Q. Поэтому
при данном Ъ градуировка прибора не зависит от толщины
стенок артерии, определение которой затруднительно.
Элрод и Фаус [1.111) вывели формулу (2.33) для слу-
чая т =±= 0; Астлей [II.I]2) нашел весьма сходную с (2.33)
формулу, принимая, что у стенок имеется конечной тол-
щины слой покоящейся слабо проводящей жидкости.
Формула (2.33) упрощается, если толщина стенок w
мала по сравнению с а. Тогда, если положить d = йух/ао,
найдем
S = = —_ (2.36)
2aBvm 1 —|—of (1 + ат/а) ' '
Формула (2.36) непосредственно следует из (2.33), если
устремить а к 6, сохраняя конечной величину х(6 — а),
или может быть получена путем решения уравнения (2.28)
со специальным граничным условием, пригодным для тон-
ких стенок, которое будет выведено в следующем разделе.
Тюрлеман [1.1] пришел к формуле (2.36) в случае т = 0,
введя в рассмотрение фиктивную стенку толщиной
uwle и обладающую той же проводимостью, что и жидкость
(однако он не сформулировал необходимое условие малой
толщины стенок). Затем он использовал свой указанный
выше анализ для случая х = о.
В заключение заметим снова, что во всех этих различ-
ных случаях величина S не зависит от профиля скорости,
если он осесимметричен.
-1) См. также Гесснер [1.1].
2> См. также Грей и Астлей [1.1].
£ 2. 2. Двумерная теория расходомера
47
2.2.3. Граничное условие на тонкой стенке
На рис. 12 изображена часть такой стенки. Течение
направлено перпендикулярно плоскости чертежа, совпадаю-
щей с плоскостью токов. Пусть J обозначает полный ток
внутри стенки в некоторой точке,
приходящийся на единицу длины
трубы. Закон Ома для стенки дает
/ = (2.37)
где s измеряется вдоль стенки. Ток J
изменяется в соответствии с уравне-
нием
Рис. 12.
1 — стенка; 2—жидкость.
dJ_ = = dUf
ds Iп & дп ’
(2.38)
полученным из (2.10).
Уравнения (2.13), (2.37) и (2.38) показывают, что Uf
должно удовлетворять условию
Л2 /' dUf\
а-------—to—) = 0, (2.39)
дп 1 ds2 \ J дп J v 7
если принять wk постоянным. В полярных координатах п
заменяется на — г, s на г0.
2.2.4. Двумерная теория расходомера круглого сечения с по-
перечным полем при произвольном профиле скорости
Установив, что расходомер круглого сечения с попереч-
ным полем не подвергается влиянию симметричных изме-
нений профиля скорости, обратимся теперь к вопросу о том,
как сильная асимметрия профиля будет изменять чув-
ствительность. Асимметрия может вызываться источниками
возмущений, расположенными выше по потоку, или при
течении жидких металлов действием магнитных сил.
Чтобы сделать анализ достаточно простым, ограничимся
в этом разделе случаем непроводящих стенок. Уравнение,
подлежащее решению, по-прежнему имеет вид
(2.40)
48
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
причем v = 0 и dUidr^Q на стенке г— а. Поскольку за-
дача линейна, можно найти решение типа суперпозиции,
которое дает UBc (электроды В и С расположены, как по-
казано на рис. 11) в виде интеграла по поперечному сечению
трубы от локальной скорости v, умноженной на весовую
функцию, которая отражает вклад различных точек потока
в Uво Решение £/(*, У) уравнения (2.40) представляется
в виде.
(2.41)
где Im означает мнимую часть, | и ц — декартовы коорди-
наты точки в плоскости (х, z/); z = х + iy, £ = |
£ = | — гт). Двойное интегрирование распространяется
на все круговое поперечное сечение трубы. Полагая
в (2.41) z = ±ia, получаем
и вс
2aBvm
JJ v (х, у) W (х, у) dxdy
(2.42)
j J v (х, у) dxdy
где весовая функция W дается выражением
а4 + а2 (х2 — у2) __ а4 + a2r2 cos 20
а4 + 2а2 (х2 — у2) + (х2 + у2)2 а4 + 2a2r2 cos 28 + г4
На рис. 13 построены линии W = const. Наименьшее
значение W внутри трубы составляет 0,5 (на боковых стен-
ках); вблизи электродов В и С величина W неограниченно
возрастает. Этот результат позволяет без труда оценить
влияние потока в разных частях трубы на выходной сигнал.
Например, если v всюду положительно и обратное течение
отсутствует, то W х/2.,. JJ vW dxdy > х/г И vdxdy и
S 1/2. Чтобы величина S приближалась к при отсут-
ствии обратного течения, поток должен быть сконцентри-
рован вблизи боковых стенок. Однако если поток сконцен-
трируется около одного или обоих электродов, то S может
неограниченно возрасти. Вблизи препятствия, вниз по
потоку от него, с большой вероятностью могут возникать
завихрения с обратным течением. Если же слабое обрат-
ное течение происходит вблизи электрода, где W велико, то
это может привести к непропорциональному падению S
J 2, 2. Двумерная теория расходомера
49
в результате подавления влияния основного прямого те-
чения в остальных частях трубы. В результате S может
стать меньше */ъ и даже отрицательным. Это явление
наблюдалось в экспериментах Шерклифа [1.3].
Рис. 13. Изолинии весовой функции W, указывающей вклад
различных частей потока в выходной сигнал.
/ — поле.
Ясно, что расходомер круглого сечения с поперечным
полем вопреки частым ошибочным утверждениям далеко
не является универсальным прибором, так как немногие
другие расходомеры дают ошибку более ±100% при нали-
чии источников возмущений вверх по потоку! Однако не
следует придерживаться слишком* пессимистической точки
зрения. Если источник сильных возмущений и расходомер
отделены друг от друга достаточно длинным участком.
3 Шерклиф
50 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
стабилизации потока, то профиль скорости в приборе будет
бдизок к симметричному настолько, что результаты разд.
2.2.2 окажутся применимыми. Что в точности означает
выражение «достаточно длинным», остается несколько не-
определенным и может быть установлено только в резуль-
тате совокупности систематических испытаний. По-ви-
димому, кондукционные расходомеры в этом отношении
менее требовательны, чем мерные шайбы или трубки Вен-
тури, и если выбирается тип прибора, который абсолютно
не зависит от профиля скорости, то не должно быть огра-
ничений на условия вверх по потоку.
Опыт Хэда [V. 1 ] свидетельствует, что даже расходомеры
круглого сечения с поперечным полем на практике испы-
тывают слабое влияние условий вверх по потоку. Другие
испытания1) показали отклонение чувствительности на
величину до 3%, когда вверх по потоку на расстоянии при-
мерно четырех диаметров от плоскости электродов помеща-
лась частично открытая задвижка. Вероятно, причина, по
которой отклонения не бывают большими, состоит в том,
что препятствие скорее сильно турбулизует весь поток,
нежели приводит к образованию четко определенных обла-
стей медленного и быстрого течения. Та же серия опытов
показала, что закрутка потока не оказывает заметного
влияния на характеристики расходомера круглого сечения.
Остается еще выяснить, как следует изменить эти вы-
воды, если расходомер круглого сечения с поперечным полем
имеет проводящие стенки, возможно, с контактным сопро-
тивлением. Результаты будут аналогичными, а эффекты —
более умеренными. Течение вблизи точки В не должно
теперь оказывать столь сильное влияние на выходной сиг-
нал, измеряемый между внешними электродами А п D
(рис. 14). Когда проводимости жидкости и стенки одина-
ковы, а контактное сопротивление отсутствует, распре-
деление IF, показанное на рис. 13, все еще может быть при-
менимо. Рассмотрим случай, когда толщина стенок равна
половине внутреннего диаметра трубы. На рис. 14 воспро-
изведены кривые рис, 13 и отмечены области жидкости и
стенки для этой ситуации. Теперь имеет значение только
'*) Worcester (Mass.) Polytechnic, Alden Hydraulics Lab., Re-
port on Foxboro meter, April 1955.
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
51
величина W внутри жидкости. Экстремальные значения W
в этом случае равны 1,8 в точках В и С и 0,7 в точках Е
и F (ср. предыдущие пределы оо и 0,5!), и вероятность
существенных изменений 3 соответственно уменьшается.
Рис. 14. Изолинии весовой функции W в случае круглой
трубы, стенки которой имеют ту же проводимость, что и
жидкость.
/ — поле; 2 — жидкость; 3 — стенка.
Заметим, что при использовании этих значений W чув-
ствительность S включает в себя среднюю скорость, под-
считанную по круговой площади, занимаемой жидкостью
и стенками трубы. Величина S, основанная на действи-
тельной средней скорости жидкости (подсчитанной по
52 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
круговой площади, занятой одной только жидкостью),
будет меньше в 62/а2 раз.
Однородное контактное сопротивление еще больше
уменьшает влияние локальной неоднородности потока.
2.2.5. Расходомеры прямоугольного сечения с поперечным
полем
Круглые трубопроводы наиболее удобны, и поэтому
расходомеры прямоугольного сечения обычно не исполь-
зуются, за исключением ситуаций, когда необходимо обес-
печить чувствительность расходомера, не зависящую от
распределения скоростей, путем использования прямо-
угольной трубы, узкой в направлении поля, или высоко
проводящих стенок, параллельных полю. По этой причине
мы выше ограничились подробным анализом зависимости
сигнала расходомера прямоугольного сечения от распре-
деления скорости только для указанных случаев. В других
Рис. 15. Разрез расходомера
прямоугольного поперечного
сечения.
1 — магнитное поле.
расходомерах прямоугольного сечения, как и в круглых
трубах, чувствительность, вообще говоря, должна сильно
зависеть от формы профиля скорости.
Рассмотрим расходомер прямоугольного сечения с не-
проводящими стенками и электродами В и С, показанный
на рис. 15. Если профиль скорости однороден, то токи от-
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
53
сутствуют и. чувствительность принимает стандартное зна-
чение
S=UBC/2bBvm=l.
С другой стороны, полностью развитый ламинарный
профиль приводит к образованию замкнутых токов, и ве-
личина S должна отличаться от единицы. Уравнение (2.40)
легко может быть решено с использованием стандартного
43
5*=
1.2
и
1.0
0 / 2 3 а/Ъ 4
Рис. 16. Чувствительность S расходомера пря-
моугольного сечения с непроводящими стенками
в зависимости от отношения сторон а/Ь.
профиля скорости при ламинарном течении в прямоуголь-
ных трубах. Полученная зависимость величины S от отно-
шения размеров а/b представлена на рис. 16. Как и сле-
довало ожидать, S стремится к единице, когда а становится
мало в сравнении с 6, однако при alb = 2,5 величина S
значительно (на 21%) превышает единицу. Турбулентность
выравнивает профиль скорости, приближая его к одно-
родному, и величина S становится близкой к единице.
В гл. 3 будет показано, что магнитные силы приводят к ана-
логичным последствиям. Более интенсивно возмущенный
или асимметричный поток может привести к значительно
большим изменениям S, особенно если скорость велика
вблизи электродов.
54
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
2.2.6. Расходомер с интегрированным напряжением
В разд. 2.2.1 обсуждались специальные типы расходо-
меров, выходной сигнал которых пропорционален расходу
сигнала независимо от распределения скорости. За счет
некоторого усложнения принципиально возможно создать
обладающие этим свойством расходомеры произвольного
сечения с поперечным полем. Например, расходомер круг-
лого сечения может быть построен так, что его чувстви-
тельность будет инвариантна даже при отклонении про-
филя скорости от осевой симметрии.
Рассмотрим расходомер произвольного поперечного се-
чения (пример изображен на рис. 17). Предположив сначала
стенки непроводящими, можем проинтегрировать уравне-
ние jy/o = — д1Лду + Bv по всему поперечному сече-
нию. Замечая, что
J/ydx=O, J (dU/dy)dy=UL—UM, Ц vdxdy=Q,
р
где Q — объемный расход, получаем
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
55
где (р означает интеграл по контуру в направлении часовой
стрелки. Этот результат принадлежит Смиту1). Таким обра-
зом, регистрируя значения потенциала в достаточном числе
точек на контуре трубы и суммируя их с надлежащим весом
(при помощи пассивной цепи с полным сопротивлением,
большим, чем у жидкости, или иным путем), так чтобы
Рис. 18. Расходомер прямоуголь-
ного сечения; другая возможность
расположения электродов.
1 — поле.
аппроксимировать (f)Udx, можно получить величину Q,
не зависящую от распределения скорости. Этот результат
тесно связан с разд. 2.2.1 (I). Когда труба прямоугольная,
(f)Udx есть просто (ft/dx)BepxH— (1^х)НИжн- Применение
высокопроводящих стенок для усреднения величины U
на верхней и нижней стенках кажется очевидным приемом.
Если же проводящие стенки отсутствуют, то требуется
какой-то другой путь определения \Udx или Um на верхней
и нижней стенках.
Для наиболее вероятных профилей скорости, в которых
существует установившееся падение скорости от центра
трубы к стенке, циркуляция токов показана на рис. 18;
Потенциал на верхней стенке имеет максимум в ее центре В
Ч С мит (Smyth С.), S. В. Thesis, Meeh. Eng. Dept..
M. I. T., 1961.
56 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
и убывает в направлении углов Е и F. Среднее значение
потенциала достигается в промежуточной точке, например
G — посредине ЕВ. Это наводит на мысль, что электроды,
расположенные, допустим, в G и Н, для наиболее вероят-
ных профилей скорости — ламинарного, турбулентного
или деформированного магнитными силами — приведут
к меньшему изменению S, чем если бы они были в точках В
и С. Теперь становится более понятным, почему при лами-
нарном течении величина S, подсчитанная по Ubc, суще-
ственно превышает единицу, как показывает рис. 16.
В случае круглой трубы радиусом а, показанной на
рис. 17, получается аф U sin 0d0 = BQ = Bna2vm, где
интеграл взят по окружности против часовой стрелки.
Один из путей использования этого соотношения в тех-
нике измерений заключается в том, что регистрируется
разность потенциалов At/ на концах диаметра, вращающе-
гося с постоянной скоростью dB/dt при синхронном измене-
нии В пропорционально sin0, и фиксируется среднее на-
пряжение. Тогда
TCd At/^^^max Q-
При другом способе измерений положение одного из
электродов может сохраняться фиксированным, так как
среднее значение потенциала в фиксированной точке равно
нулю (по отношению к той же величине, от которой отсчи-
тывается потенциал движущегося электрода). При этом
2naAUm= Втах Q. Здесь предполагается, что частота до-
статочно низка, чтобы можно было пренебречь скин-эф-
фектом.
Существует еще один поучительный способ рассмотре-
ния этих результатов для круглой трубы. Пусть профиль
скорости разложен в сумму компонент вида y„(r)sinn0
или t?n(r)cos п0, где п= 0 соответствует осесимметричной
компоненте, несущей весь полный поток Q, т. е.
^vodxdy — Q. Уравнение для определения U [второе
уравнение (2.27)] приобретает вид
VI ( , / sin /г6\
V2t/=B J, w„sin 6 (
jfaJ I \cosnO/
o / cos /г0\ 1
— cos6 . J ,
r \— sin nd/J
§ 2. 2. Двумерная теория расходомера
57
где штрихом обозначена производная по г. Правая часть
может быть упрощена и преобразована в тригонометриче-
ский ряд с аргументами, кратными 0, и U можно найти
в виде ряда St7w(r)sin m0 или Sf/mcos m0. Тогда отыскание
фи sin QdQ вследствие известной ортогональности членов
В разложения Фурье сводится просто к выделению той час-
I ти U, которая меняется как sin 0. Имеются два сорта членов
этого типа: те, которые порождаются осесимметричной
частью профиля скорости (как в разд. 2.2.2(H)), и те, ко-
торые порождаются компонентой скорости
v2 (r)cos 26.
Та часть (У, имеющая вид Z(r) sin 0, которая связана
с V2, определяется уравнением
V2 (Z sin Q)=B ' v2 (—iy sin 6^) + 2 — (—sin б)|.
Члены c sin 30, также возникающие здесь, интереса
не представляют. При г = а как Z'., так и v2 должны обра-
щаться в нуль. Уравнение для Z получается в виде
Z”+Z'/г — Z/r2 = — в(4- v2-[-v2/r),
\ f
или
А (r22' _ r2) = _ fl Г2И2_|_/-у2\ .
Lit \ Z, /
Интегрируя от 0 до а, получаем
a2Z' (а) — aZ (а)
= 0,
и Z(a), следовательно, равно нулю, т. е. эта компонента ско-
рости не дает вклада в интеграл по контуру ^(7sin0d0.
Таким образом, в этот интеграл дает вклад только осесим-
метричная часть профиля, и мы уже знаем, что чувстви-
тельность не зависит от формы осесимметричного профиля
скорости. Теперь становится ясно, что взятие интеграла
фи sin QdQ приводит к инвариантной чувствительности,
так как при этом исключается влияние асимметричной
части профиля.
ЗВ. Шерклиф
58 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
Это рассмотрение не принесло новых результатов, но
наметило путь их обобщения на случай круглых труб
с проводящими стенками, когда осесимметричная часть
профиля скорости, дает в значения U на внешней границе
вклад, который также пропорционален sin 6 и может быть
выделен при интегрировании U sin 0 по контуру. Необхо-
димо опять проверить, что компонента разложения ско-
рости y2(r)cos20 не дает вклада в этот интеграл. Граничное
условие 7J (а) — О здесь не имеет места; решение следует
теперь сшить с решением Z = Аг + С/г в стенке при по-
мощи обычных граничных условий (2.31). Однако aZ'(a) ~
= Z(a), и поэтому А = С= 0, т. е. только осесимметричная
«
часть v дает вклад в фи sin 0d0. Поэтому мы можем при-
менить все уравнения (2.33) — (2.36) к этому случаю, при-
чем S нужно теперь интерпретировать как величину
фи sin Qdf)/bBnvmt где интеграл берется по внешней по-
верхности трубы.
Этот результат открывает новые возможности превра-
щения расходомеров круглого сечения с поперечным полем
в приборы с инвариантной чувствительностью, если они
приспособлены для приближенного измерения величины
фи sin QdQ при помощи достаточного количества распо-
ложенных по'контуру электродов. По-видимому, для боль-
шинства практических целей их потребуется немного,
особенно если стенки трубы толстые.
§ 2. 3. Концевое замыкание токов в расходомере
Весь § 2.2 был посвящен двумерной задаче; предпола-
галось, что условия несущественным образом меняются
вдоль трубы и, в частности, что концы расходомера и края
магнитного поля достаточно удалены. Для всех реальных
расходомеров это предположение не соответствует действи-
тельности, так как создание магнитного поля на большой
длине вдоль трубы было бы расточительством. Поэтому
данная глава завершается изучением некоторых послед-
ствий расположения концов магнитного поля вбдизи элек-
£ 2. 3. Концевое замыкание токов
59
тродов, причем достаточно близкого, чтобы повлиять на
их характеристики. Эйнхорн [1.1] указал путь к решению
этой проблемы.
Зона магнитного поля оканчивается в действительности
краевыми областями, где поле постепенно спадает до нуля.
Каждая краевая область в расходомере с поперечным полем
вдоль оси z имеет протяженность того же порядка, что и
Рис. 19. Расходомер с осевым током в жидкости.
Нижний рисунок показывает, как вблизи концов за-
тухает азимутальное магнитное поле и радиальная
индуцированная э. д. с.
/—•поток; 2 — ток; 3 — электроды; 4 — поле; 5 — э. д. с.;
б —распределение поля или э. д. с.
магнитный зазор. В приборе с осевым током характер зату-
хания поля зависит от конструктивных особенностей питаю-
щей цепи. На рис. 19 показано убывание до нуля магнит-
ного поля и э. д. с. вдоль линии г = const на концах при-
бора с осевым током в жидкости. В приборах с осевым током
следует стремиться либо расположить внешние токопро-
воды осесимметрично, либо удалить их на достаточное рас-
стояние, чтобы исключить их влияние на поле внутри
прибора.
2.3.1. Резкх) убывающее поле
На рис. 20 схематически изображен прибор с попереч-
ным полем (вид вдоль направления поля). Для простоты
предположим сначала, что поле обрывается в сечениях3
z — ±с, а электроды X и Y расположены в среднем сече-
зв*
60
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
нии расходомера z = 0. Поле между сечениями z = ±с
предполагается однородным, чисто поперечным и равным В.
В остальной области оно равно нулю. Исключение из
рассмотрения зоны спадания поля наиболее оправдано
в случае прямоугольного канала, узкого в направлении
поля. Тогда ширина зазора и длина зоны малы в сравне-
нии с длиной прибора 2с и высотой 26.
Рис. 20. Продольный разрез расходомера; конце-
вые замкнутые токи в краевых зонах магнитного
поля.
/—поток; 2 — концевые токи; 3 — электроды; 4 — протя-
женность поля.
Схема на рис. 20 может также качественно соответство-
вать случаю прибора с осевым током, если вообразить, что
она вращается вокруг линии PQ, так что образуется коль-
цевой канал, или вокруг линии 7?S — тогда образуется
круглая труба. Соответствие это только приближенное,
так как в приборе с осевым током поле изменяется по ра-
диусу.
Еще в 1937 г. Гартману [IX. 1] уже было известно, что
в зоне спадания поля индуцированная э. д. с. также
уменьшается, в результате чего у концов поля образуются
замкнутые токи, схематично показанные на рис. 20. Если
электроды X и У не удалены от концов поля, то вследствие
этого замыкания токов разность потенциалов Uxy при за-
данном расходе значительно уменьшается. Проводящие
стенки облегчают циркуляцию концевых токов и еще более
Снижают Uxy- В расходомере с осевым током, пропускае-
мым через жидкость, концевые токи накладываются на ос-
§ 2.3. Концевое замыкание токов
61
новной. Иными словами, распределение тока возбуждения
искажается вследствие движения жидкости.
Для решения задачи, соответствующей схеме на рис. 20,
необходимо сделать еще некоторые предположения. Иссле-
довав ранее исчерпывающим образом влияние неоднород-
ности скорости, мы теперь пренебрежем им и будем счи-
тать скорость жидкости v постоянной. Если считать также,
что канал имеет прямоугольное сечение, то рис. 20 соот-
ветствует любой плоскости токов и течения жидкости,
и задача поэтому двумерна. Применительно к круглой
трубе задача становится трехмерной, но общие выводы
останутся без изменений. Кроме того, предположим сна-
чала, что стенки канала непроводящие и потому концевые
токи протекают в жидкости. Случай проводящих стенок
рассматривается в разд. 2.3.3.
Распределения тока и потенциала при расположении
осей координат, как на рис. 20, подчиняются уравнениям
/\/(у = —dU/dz,
7—dU /ду
1у/° = <
[ —dU/dy+Bv
при
при
\z |>с,
| z | <7 с.
Поскольку djy/ду + djz/dz =0, то всюду, где v и В
постоянны, v2£/=0. Оператор V2 здесь содержит только
производные по у, z. Вследствие симметрии при у = 0 по-
тенциал U сохраняет постоянное значение, которое при-
нимается равным нулю. При этом U стремится к нулю,
когда |z| неограниченно возрастает. На стенках у = ±6
ток /у должен обращаться в нуль, что определяет граничное
условие дляд(7/дг/. Потенциал U и его производные непре-
рывны на поверхностях z = ограничивающих зону
поля. Тем не менее решение записывается в различной
форме для областей внутри и вне поля. Для |z| <7 с
тг 1 Г У 8 VI (—( ттс\ . кпу
U = Bvb ^2" 2j /?2 ch ~2Ь ехр \ 26/ Sin 2b \ '
(2.43)
1
62
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
тогда как для | г | >с
ттс
(2.44)
' / Т1П I 2.1 \ . Tiny
ХеХР(-----2H)Sin^-
Суммирование распространено на все нечетные поло-
жительные целые значения п. Другие формы решения не-
давно были даны Саттоном [IX. 1] и Фишманом [IX.I]1)
Рис. 21. Уменьшение чувствительности вслед-
ствие концевого зффекта (канал с непроводя-
щими стенками; резко обрывающееся поле).
в связи с аналогичной задачей о концевом замыкании токов
в магнитогидродинамических генераторах. Эта задача от-
личается тем, что стенки у — ±6 внутри зоны магнит-
ного поля являются проводниками; с них снимается мощ-
ность, в которую переходит энергия потока жидкости.
Из (2.43) следует, что
S = = 1---гЛтгехр —«г • (2.45)
2bBv тс2 mJ Г \ 2b ) v '
Величина S как функция db изображена на рис. 21,
из которого легко увидеть уменьшение выходного сигнала,
вызванное замыкающимися токами, когда концы поля до-
статочно близки к электродам. Развитая теория теряет
смысл, когда S стремится к нулю, так как она не учитывает
х) См. также Бирзвалк Ю. А., Изв. АН Латв. ССР
№ 12, 49 (1959); Баухер и Эймс [IX.lj.
£ 2. 3. Концевое замыкание токов 63
наличие зоны постепенного затухания поля. Формула (2.45)
показывает, что S достигает величины 0,99, когда db = 2,8.
Для этих и больших значений db влияние замыкающихся
концевых токов можно счйтать несущественным, если стен-
ки непроводящие. Чтобы исключить влияние концевого
эффекта при небольших db, иногда целесообразно вводить
в жидкость ориентированные по потоку изолирующие пе-
регородки или лопатки, препятствующие циркуляции то-
ков на концах поля.
Одной из причин выбора малых значений db является
желание получить возможно больший выходной сигнал
при фиксированной величине магнитного потока; тогда с
должно быть выбрано возможно меньшим. Увеличение на-
пряженности поля В при этом более чем компенсирует
возрастающий концевой эффект. Это следует из формулы
(2.45).
2.3.2. Постепенно затухающее поле
Проведенный выше анализ легко может быть обобщен
с целью частичного учета постепенного затухания поля.
Чтобы оставаться в рамках двумерной задачи, пренебре-
жем компонентами магнитного поля в направлении осей у
а #
Рис. 22. Постепенно затухающее магнитное поле.
и z и изменением поперечного поля В в своем собственном
направлении, считая в то же время, что В изменяется по z
симметричным образом, как показано на рис. 22. По-преж-
нему будем рассматривать однородное течение в прямо-
угольной трубе с непроводящими стенками. Заметим, что
тогда остается справедливым уравнение \72U—0.
64
Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
Задача легко решается путем суперпозиции индуциро-
ванных потенциалов, обусловленных либо элементами по-
ля dB, покрывающими отрезки (—г, +z) (рис. 22,а), либо
элементами поля В, расположенными на отрезках dz
(рис. 22, б). В первом случае с учетом (2.43) получаем
^гпах
О
Используя второй способ и формулу (2.44), получаем
оо
О
(2.47)
Результаты (2.46) и (2.47) идентичны; любой из них
позволяет вычислить S, если известен профиль поля B(z) Ч
Ограничимся здесь выводом некоторых общих рекоменда-
ций относительно желательного характера затухания поля,
учитывая, что длина зоны затухания может быть специаль-
но увеличена при помощи экранирования или профилиро-
вания полюсов.
Вопрос заключается в следующем: если задан поток
индукции, желательно ли иметь вытянутое или резко обры-
вающееся поле? Ответ состоит в том, что при резко обры-
вающемся поле и заданных расходе, потоке индукции и
максимальном значении В получаем наибольшее напря-
жение, индуцированное между электродами. Хотя удли-
нение зоны поля способствует подавлению концевых токов,
часть потока индукции при этом сосредоточивается за
пределами электродов. Имеет место общий принцип: чем
«ближе» поток индукции к электродам, тем лучше. Другая
иллюстрация этого правила была дана в конце предыду-
щего раздела.
Для доказательства целесообразности резкого убыва-
ния поля при заданном потоке индукции нужно показать,
что (2.46) дает меньшую чувствительность, чем (2.45),
где с выбрано так, чтобы полный поток в обоих случаях
х) Другое решение, где В предполагается периодической функ-
цией z, приведено в работе Вайятта [1.1].
§2. 3, Концевое замыкание токов
65
был одинаков. Последнее условие предполагает, что
^гг.ах
(г — с)(1В1ВШж = 0. Достаточно доказать неравенство
о
^тах
f / . ттг Л dB / ппс\
о
или
^тах
/ Tzn(z — с)\ dB
ехР------Чтг-
max
0
Но это следует из того, что
тт (г — с)
26
1 ~п /
j--------(у —
1 26
Другая интерпретация этого результата состоит в сле-
дующем. Предположим, что уже имеется резко обрываю-
щееся однородное поле и предлагается увеличить поток
магнитной индукции. Должно ли дополнительное поле
быть вытянутым (т. е. неоднородным) или нет? Ответ отри-
цателен; дополнительный поток даст наибольший вклад
в выходной сигнал, если он весь добавляется к уже суще-
ствующему полю. Умышленное вытягивание поля — пло-
хой способ улучшения характеристик расходомера.
Чтобы оценить влияние зоны постепенного затухания
поля, рассмотрим частный пример. В круглой или квадрат-
ной трубе зона затухания будет иметь длину порядка 2Ь.
В соответствии с этим примем распределение магнитного
поля в виде, изображенном на рис. 23, где с выбрано так,
чтобы было возможно сравнение со случаем резко обры-
вающегося поля при том же полном потоке индукции. Оче-
видно, здесь с должно быть больше Ь. Применение формулы
(2.46) дает
о 1 -16 VI 1 и ъп / ппс \
S = 1 —У sh -75- exp 1 — -777- .
л3 / J п3 2 r \ 26 у
Соответствующая зависимость S от с/b представлена
на рис. 24. Там же дополнительно представлена пунктир-
66 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
ная кривая, соответствующая формуле (2.45) для случая
резко обрывающегося поля. Ясно, что постепенное затуха-
ние поля интенсифицирует концевое замыкание токов при
18
том же потоке индукции D. Чтобы обеспечить значения S
около 0,99, необходимо выбирать с!Ь больше, чем 3,04
(вместо 2,8 в случае резко обрывающегося поля).
Рис. 24. Дополнительное уменьше-
ние чувствительности вследствие
концевого аффекта при постепенно
затухающем поле (канал с непрово-
дящими стенками).
1 — при резко обрывающемся поле; 2 — при
постепенно затухающем поле.
Современный уровень • знаний не позволяет выяснить
пределы применимости полученной выше формулы для S
О В действительности речь идет только об усилении влияния
концевых токов да величину S. —Прим ред.
§ 2. 3. Концевое замыкание токов 67
к круглым трубам. По-видимому, было бы естественно за-
менить величину b средней полушириной зта/4 для трубы
радиусом а.
2.3.3. Влияние проводящих стенок
Проводящие стенки увеличивают потери сигнала, свя-
занные с концевыми токами. Эти потери добавляются к тем,
которые вызваны замыканием токов через боковые стенки
трубы в поперечном сечении и вычислялись ранее без учета
концов поля. Поскольку этот эффект уже обсуждался,
будем им здесь пренебрегать и сконцентрируем внимание
на дополнительных потерях, связанных с продольными
токами в нижней и верхней стенках расходомера у концов
поля.
Первый случай, который нужно рассмотреть, обобщает
задачу, изучавшуюся в разд. 2.3.1. Предположим опять,
что поле резко обрывается, но стенки у = ±6 теперь бу-
дем считать тонкими и проводящими. Их влияние харак-
теризуется безразмерной величиной d = 'wu/bo, где w
их — толщина и проводимость стенки соответственно.
Единственное изменение по сравнению с разд. 2.3.1 —
необходимая модификация граничного условия
йух d2U
a dz2
I dU/ду
I dU/ду —Bv
при
при
(2.48)
I Z I > с,
Положительный знак в левой части берется при у = Ь,
отрицательный — при у = —Ь. Условие (2.48) представ-
ляет собой видоизменение (2.39), в котором опущено кон-
тактное сопротивление и учтена отличная от нуля ско-
рость v на стенке. Контактное сопротивление препятствует
замыканию токов через стенки, и, опуская его, можно оце-
нить эффект замыкания токов в наихудшем случае, при
условии непосредственного контакта электродов с жидко-
стью. Соответствующее обобщение формул (2.43) и (2.44)
имеет вид
U=Bbv 2 A exp (— k I z \/b) sin ky/b при | z | > с,
U — Bbv(y/b — 2jCch kz/b sin ky/b) при | г I <?c,
68
Г л. 2. Теория кондукционного расходомера
где суммирование распространено на все положительные
корни k уравнения dkigk — Комплексных корней оно
не имеет. Коэффициенты А и С определяются равенствами
с ехр ад = А ад kcll> = 2 .
X ( О 111 jI ft
поскольку собственные функции sin kylb ортогональны.
Отсюда следует, что чувствительность выражается форму-
лой
S (с/6, d) = 1 -2VJ exp (- , (2.49)
которая перестает быть верной при с 0.
Рис. 25. Усиление концевого эффекта вследствие
проводимости стенок.
Зависимость (2.49), представленная на рис. 25, показы-
вает, что значительная проводимость стенки быстро сни-
жает чувствительность до неприемлемого уровня. Хотя
предположения о малой толщине стенок и резком убыва-
нии поля не реализуются на практике, эти результаты долж-
ны быть верны по порядку величин.
Некоторый интерес представляет случай, когда d ве-
лико, но й с/b велико настолько, что S не снижается очень
сильно. Это может иметь место в расходомере кольцевого
§ 2. 3. Концевое замыкание токов
69
сечения с осевым током, когда 2Ь соответствует величине
зазора. Чтобы обеспечить эффективное усреднение, прово-
димость стенок должна быть высокой nd — большим. Пред-
положим, что осевая и азимутальная проводимости стенок
одинаковы, т. е. стенка не слоистая. В этом случае необхо-
дим только первый член ряда (2.49) и
5=1 —ехр(—c/bd'!2). (2.50)
Этот результат более прямым путем может быть выве-
ден из соответствующих исходных предположений. Более
Рис. 26. Кольцевой расходомер с осевым током воз-
буждения в центральных проводниках (показан один
виток).
1 — поток; 2 — поле; 3 — электроды; 4 — обтекаемые стойки;
5— ток в витке обмотки.
того, тогда легко учесть контактное сопротивление и охва-
тить конструкции, в которых влияние контактного сопро-
тивления наиболее вредно. К ним относится расходомер
кольцевого сечения с осевым током, в котором электроды
установлены на стенках и не соприкасаются с жидкостью,
а внутренняя и внешняя стенки непосредственно связаны
между собой в местах присоединения токопроводов на кон-
цах прибора. Такая связь неизбежна, если из-за особых
свойств жидкости требуется цельносварная конструкция.
Соответствующая схема изображена на рис. 26.
Если параметр d велик, а контактное сопротивление т не-
достаточно, чтобы существенно уменьшить замыкание кон-
цевых токов через проводящие стенки, то в осевом направ-
лении токи стремятся течь почти полностью через стенки,
а не через жидкость. Очевидно, в этом случае приближенно
следует считать, что в жидкости токи текут только вдоль
оси у, как показано на рис. 27, и что все переменные за-
висят только от продольной координаты г. Если J — про-
70 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
дольный ток в расчете на единицу ширины (по х) и Uw —
потенциал стенки, то
iy=dJ/dz, J =—w>tdUw/dz,
U = — jy(t+b/a)+Bbv,
— Д, (вне области поля).
Здесь считается, что U = 0 вдоль центральной линии
у = 0. Эти уравнения легко решить и найти Uxy — раз-
ность потенциалов между электродами в стенке. Если
Рис. 27.
1 — протяженность поля.
в приборе концы стенок не находятся в непосредственном
контакте, замыкание токов происходит через жидкость,
лежащую вне зоны поля, и
о ху 1 л —с/Ь
- 2bBv ~~ XP[d(1+aT/Z))]i/2>
что является обобщением формулы (2.50). Условия непре-
рывности J н Uwua концах поля при этом удовлетворяются.
В том случае когда имеется непосредственное замыкание
токов через цепи Р — Q и 7? — S на концах прибора, ре-
зультат принимает вид
S=1 — sch
с/6
[d(l + a-t/b)]l/2 ’
и при больших с/b концевой эффект сказывается вдвое
сильнее, чем в предыдущем случае. Чтобы сигнал сни-
жался не более чем на 1 %, необходимо выполнение нера-
венства
_____С/Ь с о
[dd+ax/Z-)]1/2^ ’ '
§2, 3. Концевое замыкание токов
71
Отсюда при отсутствии контактного сопротивления на-
ходим условие
(c/bd^2y=c2G/wbn > 28,
легко удовлетворяемое при измерении расхода жидкого
металла. Однако при большом контактном сопротивлении,
например в случае течения ртути по трубам из нержавею-
щей стали, величина от//? может стать намного больше еди-
ницы (возможно, порядка 100), и тогда для реальных значе-
ний с/b концевой эффект становится весьма заметным. Кон-
тактное сопротивление, хотя и затрудняет циркуляцию
концевых токов, все же снижает напряжение между элек-
тродами в стенках. Если же электроды непосредственно
соприкасаются с жидкостью, то контактное сопротивление
снижает падение сигнала, вызванное концевым эффектом.
Для расходомеров, чувствительность^которых S не до-
стигает единицы даже при расчете по двумерной теории без
учета концевого эффекта, значения S, определяемые раз-
личными формулами § 2.3, должны служить в качестве
поправочных коэффициентов для корректирования значе-
ний S, выведенных в более ранних разделах этой главы на
основе двумерного анализа. Эта хотя и не точная про-
цедура во всяком случае дает разумное приближение. На
практике расходомер, для которого S, согласно § 2.3, силь-
но отличается от единицы, должен тарироваться эмпири-
чески. Ввиду сделанных упрощающих предположений ре-'
зультаты, приведенные в этом разделе, отражают основ-
ные качественные закономерности и должны использовать-
ся главным образом при конструировании расходомеров
и в значительно меньшей степени как точные тарировочные
формулы.
2.3.4. Расходомеры с интегрированным напряжением
В разд. 2.2.6 показано, как соответствующим образом
скомбинированные измерения потенциала по контуру се-
чения трубы позволяют исключить влияние неоднород-
ности и асимметрии профиля скорости, когда магнитное
поле однородно/ Можно ожидать, что некоторое обобщение
этого способа позволило бы исключить влияние неоднород-
ности поперечного поля, т. е. влияние концевого эффекта;
72
Гл. 2. Теория „кондукционного расходомера
Рассмотрим двумерную задачу в плоскости (у, г), изу-
чавшуюся в предыдущих разделах. Предположим, что
в канале прямоугольного сечения с непроводящими стен-
ками движется жидкость с постоянной скоростью v в на-
правлении z, а магнитное поле В в точности перпендику-
лярно плоскости (у, г). Постепенное затухание поля в обоих
направлениях аппроксимируется заданием В как функции
у и z. Проинтегрируем уравнение
/у/о = —dU/dy+Bv
по той части плоскости (y,z), которая лежит внутри канала,
оо
учитывая, что в этом случае $jydz =0, и полагая о по-
—00
СТОЯННОЙ.
В результате получим
\Udz = (f)v,
(2.51)
где АС/ — разность потенциалов между электродами на
верхней и нижней стенках канала в каждом сечении
z — conet, ср — полный поток индукции через жидкость.
Предполагается, что величина ф известна или легко может
быть найдена. Интеграл в левой части в действительности
*не должен распространяться на бесконечный интервал,
так как величина АС/ быстро спадает до нуля вне зоны маг-
нитного поля на расстоянии нескольких диаметров. Значе-
ние интеграла может быть определено экспериментально
с достаточной точностью по показаниям, снятым с неболь-
шого числа электродов вдоль верхней и нижней стенок
канала. Один из способов суммирования показаний состоит
в использовании двух цепей с сопротивлением, высоким
по сравнению с сопротивлением жидкости, но малым по
сравнению с сопротивлением измерителя напряжения
(рис. 28). При этом величина скорости находилась бы из
формулы (2.51) по измерениям напряжения.
Этот метод заслуживает особого внимания при попытках
создать расходомер с заданной тарировкой в условиях силь-
ного проявления концевого эффекта, даже когда в пределах
высоты канала магнитное поле неоднородно по у. На рис. 28
§ 2. 3. Концевое замыкание токов
73
схематически изображена система подобного типа с резко
выраженной неоднородностью поля. В таких ситуациях
необходимо исследовать влияние неоднородности скорости
и кривизны линий поля. Если скорость была бы неодно-
родной, устройство, изображенное на рис. 28, регистриро-
вало бы только скорость между полюсами.
Рис. 28. Расходомер с интегрированным напряжением.
—|- оо
Интеграл [ &Udz аппроксимируется произведением показания вольтметра
** оо
на длину L.
/—электроды; 2 —поток; 3 — сопротивления; 4 — магнит; 5 — поле.
В случае круглой трубы с непроводящими стенками и
осесимметричного профиля скорости v(r) возможно про-
вести дальнейший анализ при условии, что поле В направ-
лено только вдоль оси х и зависит от одной координаты г.
Тогда уравнение для потенциала
\72U = div (v х В)=В rot v -- v rot B=B (г) v' (r) sin 6,
где штрих означает дифференцирование по г, имеет реше-
ние вида U == V(r, z) sin 0, причем
74 Гл. 2. Теория кондукционного расходомера
2~ Н—2~ 4~ — "л------- т- ~ • (2.52)
dz. dr2 г dr г2 ' '
Когда ± °о за пределами поля, U, V и dV/dz стре-
мятся к нулю и
оо
С л л
J дг2 dz~°-
— СО
Если
оо оо
Z(r) = У Vdz, С= У Bdz,
, — СО — со
то из (2.52) следует
Z"-\-Z'lr — Zlr*=Cv'.
На стенке dV/dr и Z' обращаются в нуль. Аналогия
с уравнением (2.30) показывает, что
Z(d)-=Cavm =
ИЛИ
оо
J AUdz = qvm,
— со
где At/ — разность потенциалов между электродами на
концах диаметра трубы, перпендикулярного полю в каж-
дом сечении z=const. Значение интеграла может быть опре-
делено экспериментально, как и раньше, и использовано
для вычисления vm.
Этот результат указывает перспективный путь для реше-
ния проблемы концевого эффекта в расходомерах круглого
сечения, если поле не слишком отклоняется от предпола-
. гаемой структуры Bx(z), т. е. не слишком искривлено и
в пределах высоты канала слабо изменяется в направлении у.
Этот результат легко может быть обобщен с учетом прово-
димости стенок канала.
Этим завершается обзор теории кондукционных-расхо-
домеров, в которой магнитное поле и распределение скоро-
стей могут считаться известными. В следующей главе
изучаются эффекты деформации магнитного поля и поля
скоростей среды в результате протекания электрических
токов, индуцированных в расходомерах для жидкого
металла.
00
Глава 3
ЭФФЕКТЫ В ЖИДКИХ МЕТАЛЛАХ
§ 3. 1. Введение
Проводимость жидких металлов на несколько порядков
выше проводимости даже лучших неметаллических провод-
ников (см. приложение). Это означает, что работа расходо-
мера на переменном токе может усложниться вследствие
скин-эффекта, который состоит в том, что приложенное
переменное магнитное поле, будучи однородным в отсут-
ствие жидкости, внутри нее перестает быть однородным и
в предельных случаях вообще не проникает во внутренние
области.
К счастью, для использования переменного поля при
измерении расхода жидких металлов имеется гораздо мень-
ше оснований, чем при измерении расхода электролитов.
Это объясняется тем, что электроды в жидком металле не
поляризуются, а большие разности температур, способные
вызвать термо-э. д. с., не возникают вследствие высокой
теплопроводности. Исключить влияние термо-э. д. с. на по-
лезный сигнал можно было бы, только работая на перемен-
ном токе. В жидких металлах, как правило, обычно не возни-
кает значительных потенциалов. Поэтому в расходомерах,
предназначенных для измерений скорости жидких метал-
лов, как правило, используют постоянные поля. Выбор
постоянного поля в немалой мере объясняется также воз-
можностью использования постоянных магнитов, не требую-
щих в отличие от электромагнитов стабильной системы
электропитания. Однако основное преимущество работы на
переменном токе — возможность легкого усиления сиг-
нала— теряется при использовании постоянного тока.
Движение жидкого металла в электромагнитном рас-
ходомере представляет собой магнитогидродинамический
процесс, включающий в себя два важных характерных яв?
ления:
а) ^изменение приложенного магнитного поля;
б) возникновение вследствие взаимодействия токов и
поля объемных сил, которые воздействуют на движение
76 Г л. 3. Эффекты в жидких металлах
жидкости, приводя, возможно, к деформации профиля
скорости и дополнительному падению напора в расходо-
мере.
В неметаллических проводящих жидкостях этими эф-
фектами можно пренебречь. В этой главе будет предпола-
гаться, что приложенное поле В создается только по-
стоянным током; однако следует отметить, что указанные
явления имеют место и при использовании полей перемен-
ного тока. Например, динамические эффекты пропорцио-
нальны В2, и результат их усреднения по времени, если
поле В переменное, отличен от нуля. На этот факт следует
обратить внимание, так как в литературе имеются противо-
положные утверждения.
В настоящей главе изучается влияние указанных двух
эффектов на характеристики расходомеров для жидкого
металла. Второй из этих эффектов более важен, и ему уде-
лена большая часть главы, хотя вначале рассматривается
первый из них.
§ 3. 2. Влияние токов на приложенное магнитное поле
Изменение приложенного магнитного поля за счет то-
ков, индуцированных в результате движения жидкости,
определяется из уравнений Максвелла для установившихся
процессов
rot B = jxj,
rot Е-0
и закона Ома
j =g(E+vxB).
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Магнитная проницаемость жидкости р предполагается
такой же, как в вакууме. Из уравнений (3.1) — (3.3) сле-
дует, что
rot(vxB) + %V2B=0, (3.4)
где коэффициент X = 1/рсг характеризует диффузию маг-
нитного поля в жидкости. Этим уравнением математически
описываются взаимоотношения двух противоположных про-
цессов: конвекция магнитного поля (первый член), которая
объясняется известным свойством «вмороженности» маг-
§ 3. 2. Влияние токов на магнитное поле 77
нитных силовых линий в среде с высокой проводимостью,
и диффузия магнитного поля (второй член), которая обус-
ловлена омической диссипацией. Уравнение (3.4) анало-
гично уравнению вихря в динамике вязкой непроводящей
жидкости, выражающему собой равновесие между конвек-
цией вихря и его диффузией за счет вязкости. Критерием
того, насколько конвекция преобладает над диффузией
(т. е. образуется ли пограничный слой и т. д.), является
хорошо известное число Рейнольдса — безразмерный пара-
метр nZ/v,. где v — характерная скорость, Z — характер-
ная длина, v — коэффициент кинематической вязкости,
характеризующий диффузию вихря или количества дви-
жения. По очевидной аналогии величина vl/k (или pav/)
была названа магнитным числом Рейнольдса. Это число
показывает, насколько конвекция поля преобладает над
его диффузией, т. е. насколько увлечение приложенного
магнитного поля движущейся жидкостью преобладает над
его стремлением возвратиться к невозмущенной конфигу-
рации за счет диффузии. Таким образом, параметр pawZ,
обозначаемый через Rem, определяет относительную вели-
чину возмущений приложенного магнитного поля, об-
условленных индуцированными токами.
Физический смысл числа ReOT можно выяснить также бо-
лее простым путем. Если предположить, что приложенное
магнитное поле изменяется не слишком сильно, то плот-
ность индуцированного тока, согласно (3.3), по порядку
величины равна avB. Три члена в (3.3) обычно одинаковы
по порядку величины. Когда ток j- порядка воВ циркули-
рует в области с характерным размером Z, то, как следует
из уравнения (3.1) (или эквивалентного соотношения
^Hdr = /, где I—ток, протекающий через поверхность,
натянутую на контур), индуцируется поле с напряжен-
ностью порядка poBc/Z. Как видно, относительная вели-
чина возмущения приложенного магнитного поля равна
роу/, или Rem. В крупногабаритных расходомерах для
жидкого натрия Rem может достигать единицы и возмуще-
ния приложенного магнитного поля могут быть весьма
заметными. В расходомерах с осевым током, протекающим
по жидкости, задаваемой величиной является ток, а не
магнитное поле. При этом параметр Rem показывает, как
78
Г л. 3. Эффекты в жидких металлах
сильно конфигурация пропускаемого через жидкость тока
(вместе со связанным с ним магнитным полем) увлекается
жидкостью вниз по потоку.
При изучении деформации приложенного магнитного
поля индуцированными токами опять удобно разделить
Исследование на два этапа: вначале на основе двумерной
теории рассмотреть удаленные от концов области расходо-
мера, где условия неизменны в направлении течения, а за-
тем внести поправку на концевые эффекты, которые возни-
кают вследствие конечных размеров зоны магнитного поля.
В расходомерах малой длины эффекты в центральной и
концевых областях сложным образом интерферируют и
их не удается отделить друг от друга.
3.2.1. Двумерная теория
Рассмотрим вначале расходомер с поперечным магнит-
ным полем. В гл. 2 было показано, что изменение скорости
и индуцированной э. д. с. в поперечном сечении канала при-
водит к появлению замкнутых токов, схематически изо-
браженных в верхней части рис. 29. Благодаря этим токам
возникает индуцированное поле Bz, параллельное направ-
лению течения, которое искажает линии приложенного
магнитного поля так, как показано в нижней части рис. 29.
Жидкость как бы увлекает за собой магнитные силовые ли-
нии, подобно тому как вода в реке наклоняет тростник
в направлении своего течения. При этом не наблюдается
тенденции ни к изменению приложенной х-компоненты
магнитного поля (так как эта компонента лежит в плоскости
токовых петель), ни к возбуждению г-компоненты поля
вне расходомера (предполагается, что величина тока, про-
текающего во внешней цепи, соединяющей электроды X и У,
очень мала). Поскольку поле вне расходомера остается не-
возмущенным, то суммарная сила, действующая на магнит
или обмотки соленоида, создающие поле, равна нулю.
В случае непроводящих стенок (рис. 29, а) электромагнит-
ные силы взаимодействуют только с жидкостью; когда
стенки проводящие (рис. 29, б), суммарная электромаг-
нитная сила, как и ранее, направлена против движения
жидкости, но при этом на стенку наряду с вязким трением
действует также электромагнитная сила.
§ 3. 2. Влияние токов на магнитное поле
79
Весьма важно выяснить, влияет ли индуцированное
магнитное поле на характеристики расходомера. Будучи па-
раллельным скорости движения, оно не дает вклада в ин-
дукционный член vxB и тем самым не оказывает влияния
на работу расходомера. Это равносильно высказанному
Рис. 29. Индуцированные токи и поля в расходомерах
- с поперечным полем.
а — непроводящие стенки; б—Проводящие стенки.
/ — поле; 2 — поток; 3 — распределение индуцированного поля вдоль
оси Ох; 4 — силовая линия поля.
в § 2.1 утверждению, что уравнение (2.9) остается справед-
ливым, если направления индуцированного тока и rot В
перпендикулярны направлению движения.
Совершенно аналогичные выводы можно сделать при-
менительно к расходомеру с осевым током для удаленной
от концевых зон области, в которой изменение величин про-
исходит только в поперечных направлениях. Единствен-
80
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
ное отличие состоит в том, что при осесимметричном про-
филе скорости, который часто реализуется на практике,
индуцированный ток и индуцированное поле отсутствуют.
Таким образом, индуцированное поле не влияет на ха-
рактеристики расходомеров всех рассмотренных типов,
если концевые зоны достаточно удалены. Ситуация, в ко-
торой последнее условие не выполняется, рассматривается
ниже.
3.2.2.Концевые эффекты
В гл. 2 было показано, что вблизи концов зоны магнит-
ного поля расходомера в плоскостях, параллельных на-
правлению движения, циркулируют дополнительные инду-
цированные токи. Схематично они показаны на рис. 30.
Рис. 30. Концевые токи в расходомере с попе-
речным полем.
1 — обмотка возбуждения; 2 — поток; 3— концевые токи;
/ — поле; 5 — магнитопровод (сердечник).
Эйнхорн [1.1] обратил внимание, что эти токи также при-
водят к появлению индуцированного поля и искажают
поле, существующее при отсутствии движения. Величина
этого эффекта характеризуется соответственно определен-
ным магнитным числом Рейнольдса; однако явление услож-
няется тем, что магнитный поток, проходящий по магнито-
проводу внешней магнитной системы, оказывается связан-
ным с индуцированными токами.
§ 3. 2. Влияние токов на магнитное поле
81
В простейшем случае (рис. 30), когда канал имеет прямо-
угольное поперечное сечение и занимает весь зазор между
полюсами магнита, можно быстро получить оценку воз-
мущения приложенного магнитного поля, предполагая
магнитное сопротивление сердечника пренебрежимо малым.
Рис. 31. Продольный разрез расходо-
мера с поперечным полем (концевые токи)
(а) и искажение поперечного поля В (б).
1 — поток; 2 — невозмущенное поле.
Предположим, что ток возбуждения магнита постоянен,
и не будем принимать во внимание пространственную струк-
туру в краевых областях.
При условии что приложенное поле В изменяется не
слишком сильно, плотность концевых токов, циркули-
рующих в двух краевых зонах М и N (рис. 31, а), где
возмущение поля должно быть максимальным, имеет по-
рядок oBv. Замкнутая силовая линия поля, проходящая
через магнитопровод и точку М, охватывается размагничи-
вающим током, по порядку величины равным aBvbg, где
b — половина высоты канала, a g — величина зазора.
Таким образом, плотность магнитного потока в точке М.
должна уменьшаться на величину порядка \wBvb. Отно-
сительное уменьшение поля по порядку величины равно
powZ>, т. е. магнитному числу Рейнольдса, определенному
по размеру Ь. .
4 шерклиф
82 Гл. 3, Эффекты в жидких металлах
Если использовать распределение тока из решения за-
дачи о концевом эффекте, полученного в разд. 2.3.1, то
относительное уменьшение поля в точке М оказывается
равным 0,37 роуй1*. Этот результат также является прибли-
женным, поскольку не учитывается постепенный характер
затухания магнитного поля. Конечное магнитное сопротив-
ление магнитопровода будет уменьшать рассматриваемый
эффект.
Вблизи нижнего по потоку конца магнита происходит
такое же по величине относительное увеличение магнит-
ного поля. В целом рассматриваемое явление напоминает
реакцию якоря в генераторах постоянного тока. Резуль-
тирующий профиль магнитного поля в расходомере пока-
зан на рис. 31, б. Помимо этого, как и в центральной зоне
расходомера (см. разд. 3.2.1), жидкость стремится вытя-
нуть магнитные силовые линии в направлении своего дви-
жения. Указанные два эффекта отличаются друг от друга
ориентацией замкнутых токов, вызывающих возмущение
приложенного поля.
Если канал расходомера не очень короткий или ве-
личина не очень велика, то поле вблизи электродов X
и Y возмущается слабо, и характеристики расходомера
остаются без изменений. Когда величина роиб увели-
чивается настолько, что поле вблизи электродов X и Y
существенно деформируется, то характеристика расходо-
мера становится все более нелинейной, так как распреде-
ление поперечного магнитного поля изменяется в зависи-
мости от расхода жидкости. Это явление наблюдали Пфи-
стер и Данхэм [II.1] 2>.
Подобные эффекты существуют и в расходомерах с осе-
вым током. На рис. 32 показана верхняя по потоку краевая
зона такого расходомера, в которой электрический ток
подводится к жидкости. Индуцированная э. д. содействует
в радиальном направлении, препятствуя распростране-
нию тока от стенки внутрь жидкости. Линии тока стре-
мятся вытянуться в направлении движения жидкости,
однако характеристика расходомера при обычных значе-
ниях магнитного числа Рейнольдса не изменяется.
О Шерклиф [1.4].
2) Ом. также Турнер [11.1].
§ 3. 3. Динамические эффекты
83
В результате деформации магнитного поля движущейся
жидкостью возникает направленная вдоль течения сила,
действующая на полюсы магнита или обмотки, по которым
протекает ток возбуждения. Наличие этой силы само по
себе может быть использовано для измерения расхода
Рис. 32. Концевые токи в расходомере с осевым
током.
Верхняя часть рисунка изображает приложенные токи
и индуцированные токи (пунктирные линии), нижняя
часть —суммарные токи.
/ — поток; 2 — токи; 3 — э. д. с.; 4^-поле; 5 — электроды.
жидкости. Возможен также другой тип расходомера, ос-
нованный на непосредственном измерении индуцирован-
ных полей. Эти и другие возможные варианты общеприня-
той схемы электромагнитного расходомера будут рассмо-
трены в следующей главе.
В основе работы таких расходомеров лежит магнито-
гидродинамический эффект деформации силовых линий,
который в кондукционной схеме является нежелательным.
§ 3.3. Динамические эффекты
В настоящем параграфе изучается влияние индуциро-
ванных электромагнитных объемных сил на течение
жидкости в расходомере, и в особенности на его чувстви-
тельность. Для исследования динамических процессов
в дальнейшем необходимо использовать основные уравне-
4*
84
Гл, 3. Эффекты в жидких металлах
ния магнитной гидродинамики: уравнение неразрывности
для несжимаемой жидкости
divv=0
и уравнение импульсов
Р + grad p=T]V2v+j х Б.
(3.5)
(3.6)
Здесь р, р и т]— соответственно плотность среды, давление
и коэффициент динамической вязкости. В (3.6) к обычному
уравнению движения несжимаемой вязкой жидкости добав-
лен член j X В — электромагнитная сила, возникающая
вследствие взаимодействия индуцированных токов с маг-
нитным полем. Электростатическими силами, действую-
щими на электрические заряды, существующие в жидкости,
в случае жидких металлов всегда можно пренебречь. Все
члены в (3.6) представляют собой силы, действующие на
единицу объема. Ускорение жидкости записывается как
Dn/DI, где DIDt обозначает субстанциональную произ-
водную по времени, т. е. DvIDt = дч/dt + (vgrad)v.
Динамические граничные условия состоят в том, что
v — 0 на неподвижных твердых границах.
Динамические процессы при движении жидкого металла
в поперечном магнитном поле расходомера, связанные
с действием сил j X В, в общем случае можно разделить
на три этапа:
а) в верхней по потоку краевой зоне магнитного поля
концевые токи возмущают течение жидкости;
б) под действием однородного поля в центральной зоне
расходомера течение стабилизируется, стремясь перейти
в полностью развитое, не зависящее от продольной коор-
динаты;
в) поддерживается полностью развитое течение (если
оно успевает установиться на конечном участке, который
занимает поперечное поле в расходомере).
Динамические эффекты наблюдаются также в нижней
по потоку краевой зоне магнитного поля; поток стабили-
зируется за пределами поля.
Мы будем изучать указанные три области течения в об-
ратной последовательности. Вначале будет рассмотрено
§ 3. 3. Динамические эффекты
85
полностью развитое течение (описываемое двумерной тео-
рией), затем — выяснен вопрос, когда такое течение реали-
зуется в расходомерах, и наконец — исследованы динами-
ческие концевые эффекты.
3.3.1. Полностью развитое течение (двумерная теория)
Предположим, что все параметры, кроме градиента давле-
ния др/дг (и градиента потенциала в расходомере с осевым
током, протекающим по жидкости), не зависят от направ-
ленной вдоль течения координаты z. Анализ ограничивает-
ся рассмотрением ламинарных течений. Так как напряжен-
ность магнитного поля и его протяженность считаются до-
статочно большими, чтобы реализовалось полностью раз-
витое течение, ламинарный режим оказывается более ве-
роятным, чем в случае обычных движений жидкости в тру-
бах. При таких условиях, по всей видимости, имеет место
хорошо известный эффект подавления турбулентности
в жидких металлах магнитным полем Некоторые заме-
чания, касающиеся турбулентных движений, будут сде-
ланы в этой главе позже.
В любом случае результаты для ламинарных течений
полезны в связи с тем, что в таких течениях наиболее силь-
но деформируется профиль скорости и изменяется чув-
ствительность расходомера в зависимости от магнитного
поля. При турбулентном движении значение S обычно за-
ключено между значениями для невозмущенного и пол-
ностью развитого ламинарного течений.
В случае развитого течения индуцированные токи цир-
кулируют в плоскостях, перпендикулярных направлению
движения. С другой стороны, магнитное поле имеет пер-
пендикулярную и параллельную движению компоненты,
и поэтому сила j X В также будет иметь как параллельную,
так и поперечную составляющие.
Поперечные силы j X В обусловлены только индуци-
рованной компонентой поля Bz, направленной по потоку.
Они не приводят к возникновению поперечного движения,
так как, будучи потенциальными, уравновешиваются попе-
0 См. Гартман и Лазарус [IX.2], Маргетройд [IX.1].
86
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
речными градиентами давления. Потенциальный характер
этих сил следует из уравнений
р.j=rot Вг, j X Bz = (B^grad) Вг/ц — grad (В1/2ц)
и равенства нулю оператора (Вг grad) вследствие того, что
параметры развитого течения не зависят от z. Так как
жидкость несжимаемая и свободные поверхности отсут-
ствуют, возникающие поперечные градиенты оказываются
несущественными.
В расходомерах круглого сечения с осевым током воз-
буждения, протекающим по жидкости, возникающие попе-
речные силы j X В обусловлены осевым током и связанным
с ним магнитным полем. Эти силы также уравновешиваются
поперечными градиентами давления. Явление, связанное
с действием этих сил, хорошо известно как пинч-эффект
который заключается во взаимном притяжении параллель-
ных одинаково направленных токов, в результате чего по-
вышается давление в центре жидкости. Разность давлений
на оси и на стенке равна р/1 2а2/4, где / — плотность осевого
тока в жидкости, а а — радиус трубы. Обычно эта раз-
ность невелика; по порядку величины она равна напору
столба жидкости высотой 1 см. Но в исключительных об-
стоятельствах вследствие сжатия потока к центру может
возникать кавитация.
Перейдем теперь к изучению осевой силы j X В, об-
условленной приложенным полем и индуцированными то-
ками. Вначале рассмотрим простейший случай — расходо-
мер круглого сечения с осевым током. Развитое течение
в таком расходомере, очевидно, является осесимметрич-
ным, и индуцированные токи отсутствуют, даже когда
стенки проводящие. Профиль скорости развитого течения
совпадает с обычным профилем вязкого течения. Чувстви-
тельность расходомера вообще не зависит от магнитных сил.
В рассмотренных до сих пор случаях силы j X В не
оказывали влияния на чувствительность расходомера.
Совсем иные эффекты обусловлены действием осевой ком-
поненты силы j X В в расходомере с поперечным полем.
При изучении этих эффектов, как правилот будут приве-
1) См. Нортруп (Northr up Е. F.,), Phys. Rev., 24, 474
(1907).
§3.3. Динамические эффекты
87
дены только качественные результаты. Для читателя, ин-
тересующегося рассматриваемыми вопросами в полном
объеме с привлечением аналитических подробностей, ука-
зана специальная литература.
На рис. 33, а изображены линии индуцированного тока
в расходомере с поперечным полем. Эти токи, согласно
закону Ленца, приводят к воз-
никновению объемных сил, ко-
торые замедляют более быстрые
слои жидкости и ускоряют бо-
лее медленные. Влияние этого
эффекта вблизи стенок ограни-
чивается действием вязких сил,
и градиент скорости возрастает.
На рис. 33, б показано, как из-
меняется профиль скорости.
Увеличение вязких напряжений
на стенке при неизменном рас-
ходе жидкости приводит к зна-
чительному возрастанию потерь
давления. Если стенки прово-
Р ис. 33. Индуцированные
токи в расходомере с по-
перечным полем (а) и дефор-
мация профиля скорости (б),
/—поле; 2 — пограничный слой.
дящие, то потери давления еще
больше увеличиваются вследст-
вие взаимодействия электромаг-
нитной силы со стенками.
Если напряженность поля
или электропроводность доста-
точно велика, скорость по оси Ох по существу не изме-
няется, за исключением области пограничного слоя (рис. 33).
Толщину 6 такого слоя легко оценить. Плотность тока в
пограничном слое имеет порядок eBvm, так как его про-
текание обусловлено разностью потенциалов порядка
Bvm (XY) (противоположно направленная индуцированная
э. д.с. мала вследствие относительно малой величины ско-
рости в пограничном слое). Поэтому электромагнитная си-
ла, действующая на пограничный слой (в расчете на еди-
ницу поверхности стенки), имеет порядок oB2vm6, в то
время как сила вязкого сопротивления, если за характерный
градиент скорости принять величину vm/b, имеет порядок
т]vm!b. Эти силы должны быть одного порядка, т. е.
oB2vmb
88
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах:
откуда
в \
(37)
Если а — характерный размер поперечного сечения ка-
нала, то для существования пограничного слоя необхо-
димо, чтобы
S, На=Вя(о7т))1/2;^> 1,
что обычно выполняется в расходомерах для жидкого ме-
талла (см. приложение). Величину На общепринято на-
зывать числом Гартмана. Это название утвердилось после
работы Гартмана [IX. 1], который впервые решил задачу
о движении вязкой жидкости по каналу в поперечном поле,
хотя о существовании этого параметра было известно еще
Вильямсу [IX. 1]. Очевидно, что На представляет собой
безразмерный параметр, характеризующий степень дефор-
мации профиля скорости развитого течения за счет электро-
магнитных сил.
Гартман рассмотрел движение в канале, образованном
двумя безграничными параллельными пластинами, меж-
ду которыми создано однородное магнитное поле В. В этом
случае токи и электрическое поле направлены только по
оси у, перпендикулярно к скорости движения (оси Oz) и
направлению приложенного магнитного поля (оси Ох), и
все величины зависят только от поперечной координаты х.
Из уравнения (3.2) следует, что величина Еу постоянна.
Из закона Ома (3.3) и уравнения (3.6) находим
/у = <Т(£у + &В),
др
дг
= —B/y+n
d2v
dx2
Объединяя эти выражения, получаем уравнение
—— V— +оВЕ J— = const, (3.8)
dx2 "Q I dz У J r\ ’ v '
решение которого имеет вид
f ch На — ch (Hax/g) q
m ch Ha—(sh Ha)/Ha ’
§ 3. 3. Динамические эффекты 89
где ит — средняя по сечению скорость. Решение (3.9) удов-
летворяет условию: v = 0 при х = ±а. Профиль скорости
(3.9) при На = 10 построен на рис. 33, б. При боль-
ших На, согласно (3.9), образуются пограничные слои
на стенках с экспоненциальным убыванием скорости. Про-
водимость и прочие свойства стенок не влияют на форму
профиля скорости, но входят в соотношение между расхо-
дом жидкости и градиентом давления. Чувствительность
расходомера, который имеет очень узкое в направлении
поля прямоугольное сечение, что позволяет описать дви-
жение жидкости при помощи решения Гартмана, выражает-
ся формулой (2.20). Ее использование оправдано мало-
стью размеров верхней и нижней стенок в направлении
поля, из-за чего их электропроводность становится несу-
щественной. Таким образом, в рассматриваемом случае
деформация профиля скорости в результате действия элек-
тромагнитных сил не влияет на чувствительность расходо-
мера.
Градиент давления под действием магнитного поля зна-
чительно изменяется. Это показывает формула
= d + (th на)/На __ (3
dz п Ufn (l+^)(l-(th На)/На) ’ v '
которая следует из (3.8), (3.9) и равенства—Еу =
= Bvm/(\ + d), представляющего собой соотношение
(2.20). Величина d = wwlae определяет влияние прово-
димости стенок.
Развитое течение жидкости в поперечном магнитном
поле по трубам круглого или прямоугольного сечения
имеет более сложную структуру. Пограничные слои по-
прежнему имеют место при больших На, но их толщина
становится тем значительнее, чем меньше угол между
касательной к контуру сечения и направлением магнит-
ного поля
Можно доказать, что в каналах прямоугольного сече-
ния с непроводящими стенками, имеющими размер 2а в на-
правлении поля, толщина пограничного слоя на парал-
лельных магнитному полю стенках (в которых и укреплены
электроды) имеет порядок а/На’/г. Объяснение этому
факту будет дано ниже. Повторив же рассуждения, ис-
пользованные при качественном рассмотрении гартманов-
4В. Шерклиф
90
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
ского течения, найдем, что толщина пограничного слоя на
боковых стенках, согласно формуле (3.7), имеет порядок
а/На. Полные аналитические решения рассматриваемой
задачи приведены в работах Шерклифа [1.1, IX. 1] и других
авторов *>. Вне пограничных слоев профиль скорости одноро-
ден, и соответствующая величина S близка к единице при
PVc. 34. Зависимость чувствительности S от числа Гарт-
мана для канала квадратного сечения с непроводящими
стенками.
сечении канала, если только стенки непроводящие, а число
На велико. Напомним, что для ламинарного течения с ма-
лыми На в канале прямоугольного сечеция был получен
противоположный результат: как следует из рис. 16, могут
достигаться значения S = 1,2 и выше. Таким образом,
в случае развитого течения при изменении числа Гартмана
от На = 0 до На 1 чувствительность расходомера может
уменьшаться на 20%. Зависимость чувствительности S
от числа Гартмана На для канала квадратного сечения
с непроводящими стенками показана на рис. 34, заимство-
ванном из работы Шерклифа [1.1].
Полученные выше результаты показывают, что исполь-
зование каналов с непроводящими стенками и сечением,
близким к квадратному, становится нежелательным, если
есть опасность деформации профиля скорости магнитным
IX !> См- Бирзвалк и Везе [IX.2], Чен и Лундгрен [IX.1], Уфлянд
§ 3. 3. Динамические эффекты
91
полем или имеются возмущения течения выше по потоку,
приводящие к большим изменениям чувствительности.
Каналы прямоугольного сечения целесообразно исполь-
зовать только тогда, когда величина S инвариантна, что
имеет место при высокой проводимости стенок, парал-
лельных магнитному полю, или при очень узких в направ-
лении поля каналах, течение в которых близко к гартма-
новскому. В этих случаях вид профиля, скорости несуще-
ствен и основной интерес представляет вычисление потерь
давления. Градиент давления в развитом ламинарном тече-
нии по узкому прямоугольному каналу можно определить
с помощью (3.10). Из формулы (3.10) при больших На нахо-
дим
др
дг
= оВ2у (——I----—
п На 1 +d) ‘
(3.11)
Так как сопротивление движению почти целиком обуслов-
лено вязкими напряжениями в гартмановских погранич-
ных слоях на 'боковых стенках [первый член в правой
части (3.11)1 и чисто магнитными силами, действующими
на токи, перетекающие из жидкости в боковые стенки,
если они проводящие (второй член), то соотношение (3.11)
при больших На можно использовать и для каналов с по-
перечным сечением, близким к квадратному. Величина d
включает в себя проводимость боковых стенок и их толщину.
Проводящие стенки, параллельные полю, только облег-
чают перетекание токов из однородного ядра потока в по-
граничные слои на боковых стенках и в сами боковые
стенки.
Легко показать, что в каналах прямоугольного сечения
с непроводящими стенками толщина пограничных слов на
верхней и нижней стенках имеет порядок а/На‘А. На рис. 35
приведена схема распределения токов в поперечном сечении
канала: токи проходят через однородное ядро потока, где
индуцируется основная э. д. с. порядка Bvm(XY), затем че-
рез пограничные слои толщиной на верхней и нижней
стенках и замыкаются через пограничные слои толщиной
В = а/На на боковых стенках. Так как эти тонкие боковые
слои вносят основной вклад в сопротивление токового кон-
тура, в каждом из этих слоев плотность электрического
4В*
92
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
тока по-прежнему имеет порядок oBvmt а полный ток, отне-
сенный к единице длины трубы, — порядок
оВ^а/На, или ^(оц)1/2. (3.12)
Таким образом, величина jy в ядре потока и в погра-
ничных слоях на верхней и нижней стенках имеет поря-
док ит(ах]У^/а9 а осевая компонента силы j X В оказы-
вается порядка Bvm(av^y^la. Эта сила должна быть сравнима
Рис. 35. Циркуляция токов и по-
граничные слои в расходомере
прямоугольного сечения.
1—пограничные слои; 2 —поле.
с градиентом давления и силой вязкости порядка
действующими на единицу объема пограничных слоев на
верхней и нижней стенках. Поэтому
и, таким образом,
б^шНа1/2.
При выводе этих оценок существенно использовалось
то обстоятельство, что поле токов в канале определяется
динамическими условиями в пограничных слоях на боко-
вых стенках.
Такие же рассуждения применимы для каналов круг-
лого сечения D, в которых образуются пограничные слои,
1) Шерклиф [IX.1, 3], см. также Чен и Лундгрен [IX.2].
§ 3. 3. Динамические эффекты
93
изображенные на рис. 36. Толщина пограничного слоя
обратно пропорциональна На cosO, т. е. перпендикуляр-
ной к стенке компоненте магнитного поля. Из соотношений
между э. д. с. и электрическим полем, а также между си-
лами j X В и вязкими силами в пограничном слое следует
вывод о существовании скачка скорости (от нуля на стенке
Рис. 36. Циркуляция токов и
пограничные слои в расходо-
мере круглого сечения.
1—проводящая стенка; 2 — погра-
ничный слой; 3 — поле.
до величины vc на границе пограничного слоя и ядра по-
тока), который пропорционален полному току, протекаю-
щему через пограничный слой. Величина полного тока
в каждом слое, рассчитанная на единицу длины трубы,
равна
М<л)1/2> (3.13)
что напоминает формулу (3.12). Соответствующая величина
тока, протекающего по участку стенки, который примыкает
к рассматриваемому элементу пограничного слоя, равна
шхНасозЭ/оп, что в dHacosO раз больше величины (3.13).
Здесь w — толщина стенки, х — ее электропроводность,
a/HacosO — эффективная толщина пограничного слоя в точ-
ке, где нормаль к поверхности стенки составляет угол О
с направлением магнитного поля (рис. 36). Величина
dHacos0 представляет собой отношение сопротивлений
соответствующих элементов пограничного слоя и стенки.
94
’ Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
В ядре потока скорость vc зависит только от координа-
ты у, так как всякая неоднородность в направлении х бы-
стро уменьшается вследствие возникновения вихревых
токов, как показано на рис. 37. Плотность тока jy в ядре
постоянна и равна (—dpldz)IB, так что при отсутствии
значительных сил вязкости градиент давления и сила
j X В могут уравновесить друг друга. Поэтому djx/dx = О
и вследствие симметрии = 0.
Рис. 37. Вихревые токи, по-
давляющие изменение скорости
в направлении оси х.
1—область больших скоростей;
2—область малых скоростей; 3—вих-
ревой ток; 4—‘поле.
На рис. 36 представлена картина циркулирующих то-
ков: в ядре потока они направлены по оси у, а замыкаются
по стенкам и пограничному слою. Из равенства нулю пол-
ного тока через линию PQ находим
(PQ)(— <?р/5г)/В = 2(ат])1/2^(1+б/На cos6). (3.14)
Если пренебречь толщиной пограничного слоя по сравне-
нию с длиной PQ, то PQ = 2(а2 — у2У,г- С учетом равен-
ства cos 6 = (а2 — y2yi*la выражение (3.14) позволяет най-
ти зависимость vc = vc(y). Выражение (3.14) справедливо
всюду, кроме окрестностей электродов X и Y. Интегрируя vc
по поперечному сечению и пренебрегая тонкими погра-
ничными слоями, находим
—= .3ng.(.^) /svm (1 + о,883 dHa — 0,019 (dНа)2...). (3.15)
§ 3. 3. Динамические эффекты
95
Для справедливости формулы (3.15) необходимо, чтобы
На >1, d На таким образом, параметр d должен быть
малым. Распределение потенциала и чувствительность S
с такой же точностью можно найти путем интегрирования
уравнения
dU о
^ = Вис-]у/о
(3.16)
вдоль линии XY. Последним членом в (3.16) можно пре-
небречь, так как сопротивление пограничного слоя и стен-
ки составляют фактически все сопротивление замкнутого
Рис. 38. Влияние проводимости стенки
на чувствительность при больших
На (d = огх/ао).
токового контура. Результаты расчета величины S пред-
ставлены на рис. 38. Для канала с непроводящими стен-
ками (d = 0) величина S равна 3л2/32 = 0,926. Таким обра-
зом, отклонение профиля скорости от осесимметричного
приводит к уменьшению величины S на 7%. Это объясняет-
ся относительным увеличением скорости в областях с мёнь-
шими значениями функции W (см. рис. 13). Напомним, что
результаты, представленные на рис. 38, справедливы толь-
ко для больших значений На. При На 0 профиль ско-
рости становится осесимметричным и S стремится к вели-
чине 1/(1 + d), которая получается из формулы (2.36)
при т = 0.
При больших На увеличение проводимости стенок от
нуля на первый взгляд приводит к возрастанию S из-за
деформации профиля скорости. Тенденция к уменьшению S
96
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
вследствие замыкания токов через проводящие стенки свя-
зана с увеличением члена /у/о, который был опущен в (3.16).
Когда величина d На достаточно велика, эффект замы-
кания токов становится преобладающим. В этом случае
величиной тока, протекающего по пограничному слою,
можно пренебречь и рассматривать только ядро потока,
не учитывая пограничный слой. При этом можно учесть
контактное сопротивление т, если считать его постоянным,
а также рассмотреть канал с толстыми стенками. Ток,
протекающий по стенке, в расчете на единицу длины ка-
нала равен (рис. 12)
йУх dUw
а dd
dU <ro> г\
— cosO.
dy
Это соотношение следует из закона Ома, если толщину
стенок считать малой. Индексы w и f относятся к потен-
циалам в стенке и жидкости соответственно. Величина тока
в ядре должна быть такой, чтобы силы j X В уравновесили
градиент давления. Таким образом, как и ранее,
Л = (—/ B=const.
k dz J I
Из равенства нулю полного тока (протекающего по
жидкости и стенкам) в направлении у находим, что
—J = ajycos 0. Из равенства между радиальной компонен-
той плотности тока в жидкости на границе со стенкой и про-
изводной тока J по длине контура трубы следует, что
Uf &w 1
т а
dJ . . п
7да=Л5,п0-
(3.17)
В области, занятой жидкостью, выполняется равен-
ство dUf/dy = Bv — jy/o. Величина Uf зависит только от у,
так как плотность тока jx .= —adUf/dx, как и ранее, в ядре
потока пренебрежимо мала. Дифференцируя (3.17) и ис-
пользуя ранее полученные соотношения, находим
— ~~d2 (----Н—л—I---------------= const ~ v (3.18)
аВ2 ( dz I \ 1 d a j vuii&l ~ \ /
Выражение (3.18) справедливо для всего сечения ка-
нала, за исключением пограничных слоев. Этот неожидан-
но простой результат объясняется тем, что cos0 сокра-
§ 3. 3. Динамические эффекты
97
щается при преобразованиях. Для каналов, сечение ко-
торых отлично от кругового, он уже не имеет места. Влия-
нием вязкости на зависимость (3.18) между расходом и гра-
диентом давления можно пренебречь точно так же, как
при выводе соотношения (3.11) для больших На и не ма-
лых d.
Из тех же самых уравнений находим
1+d (1 4-от/а) •
(3.19)
Это выражение можно получить другим путем, исполь-
зуя формулу (2.36), так как профиль скорости, за исклю-
чением несущественных областей пограничного слоя, яв-
ляется осесимметричным. Величина S соответствует слу-
чаю, когда электроды установлены на наружной поверх-
ности стенок и не соприкасаются с жидкостью.
Брагинский [IX. 1 ] рассмотрел случай очень больших
который, однако, согласно (3.19), не представляет интереса
для теории расходомеров.
При малых На решение системы основных уравнений
можно искать в виде рядов по возрастающим степеням На* 2>.
Результаты имеют вид
для тонкой стенки (w а)
о _ 1 На2 1 .
l+d(l + ^/a) 576 1 + 3d (1 + Зат/а) ‘
для толстой стенки
__ __________________2а2__________________
(а2 + Ъ2) 4" (х/а) •(1 4* <^/а) (Ь2 — а2)
На2 2аЧ>2
576 (aQ + bQ) + (x/а) (1 + Заъ/а) (b6 — aQ) ’
(3.20)
Первые члены рядов (3.20) совпадают со значениями S,
соответственно определенными формулами (2.36) и (2.33),
которые были выведены для произвольного осесимметричного
профиля скорости. Как видно, деформация профиля ско-
рости при малых На приводит к уменьшению S, причем
О См. также Чен и Лундгрен [IX.2].
2) Шерклиф [1.1, IX.1].
98
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
проводимость боковых стенок уменьшает этот эффект. Сле-
дующий член в ряде (3.20) для трубы с непроводящими
стенками равен 47На4/921 600.
Результаты, полученные для случая На <1, не пред-
«ставляют практической ценности, так как при этом на
приемлемой для расходомеров длине полностью развитое
течение не успевает реализоваться.
Достаточно полное изложение результатов для раз-
витого течения по трубам круглого сечения в поперечном
магнитном поле дано здесь с целью выяснить основные зако-
номерности процесса. Справедливость выражения (3.19)
как при очень малых, так и при очень больших числах На
могла бы привести к предположению, что чувствительность
расходомера круглого сечения с проводящими стенками
не зависит от деформации профиля скорости магнитным
полем. Однако это неверно. Выражение (3.20) показывает,
что, когда На возрастает от нуля, чувствительность S
убывает, становясь при этом меньше величины, определяе-
мой формулой (3.19); когда же величина d мала (На ^>1,
На d~l), то, как следует из рис. 38, изменение На сильно
отражается на чувствительности расходомера.
3.3.2. Начальный участок
В настоящем разделе выясняются возможности уста-
новления развитого течения в расходомерах конечной дли-
ны. При этом надо установить, возможно ли сильное влия-
ние на чувствительность расходомера деформации профиля
скорости под действием магнитного поля или возникающих
выше по потоку возмущений. Наличие развитого течения
желательно с точки зрения подавления возникающих выше
по потоку возмущений. Это особенно важно в расходоме-
рах с осевым током, не имеющих стенок с высокой прово-
димостью, так как нужные значения чувствительности та-
ких расходомеров возможны только при осесимметричном
профиле скорости. Но в расходомерах с поперечным маг-
нитным полем полностью развитое течение невыгодно из-за
изменения чувствительности вследствие деформации про-
филя скорости. В обоих типах расходомеров магнитное
поле ускоряет переход к полностью развитому течению.
§3.3, Динамические эффекты 99
Возникающие вихревые токи приводят к сглаживанию не-
однородностей профиля скорости.
Примером этого может служить схема вихревых токов
на рис. 37. Закрутка, завихренность или турбулентность
потока также приводят к образованию вихревых токов и
вследствие этого в процессе установления развитого тече-
ния частично или полностью подавляются. Расстояние, ко-
торое проходит жидкость от входа в область приложенного
магнитного поля до установления полностью развитого
течения, будем называть длиной начального участка.
В настоящем разделе будет рассмотрено только лами-
нарное течение. Не менее интересна задача о развитии пер-
воначально турбулентного течения, но, к сожалению, она
гораздо труднее. Для исследования развития ламинарных
течений в литературе разработана линеаризованная тео-
рия. Ее изложение заняло бы много места и поэтому не
вошло в настоящую книгу. Ниже будут приведены лишь
результаты теории и качественные рассмотрения основных
процессов.
В основе линеаризованной теории лежит предположе-
ние, что длина начального участка не слишком мала, т. е.
параметры потока в направлении течения изменяются не
очень сильно. Тогда условия в каждом поперечном сечении
можно изучать на основе двумерной теории, считая, что
скорость и индуцированное магнитное поле по-прежнему
направлены преимущественно по оси канала. Распределе-
ние потенциала, плотности тока, индуцированного маг-
нитного поля и т. д. в каждом поперечном сечении нахо-
дится на основе теории, развитой в § 2.2. В этом случае
выходной сигнал расходомера, в котором не успело уста-
новиться полностью развитое течение, необходимо связы-
вать с профилем скорости в сечении, где расположены
электроды, делая, если это необходимо, поправку на кон-
цевой эффект.
- Когда числа На малы, деформация профиля скорости
при развитии течения по-прежнему в основном опреде-
ляется вязкими силами, и длина начального участка имеет
тот же порядок, как для непроводящей жидкости. Рас-
смотрим переход произвольного начального профиля ско-
1) Шерклиф [IX.2, 3].
100
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
рости в полностью развитый. Инерционные силы, связан-
ные с разностью v' между скоростями в начальном участке
и в развитом течении, имеют порядок ри'/Т, где Т — время
прохождения жидким элементом начального участка, в те-
чение которого v' убывает до нуля. Эти силы должны быть
Рис. 39.
1—развитый профиль;
2 — начальный профиль.
сравнимы с соответствующими добавочными силами вяз-
кости порядка тр'//2, где / — характерный размер для
профиля v'. (Все силы отнесены к единице объема.) Та-
ким образом,
Т р/2/т).
Умножая обе части этого выражения на среднюю ско-
рость vm, находим, что длина начального участка по по-
рядку величины равна
p/2^m/T]--=Re/2/a,
где Re—число Рейнольдса, определенное по радиусу а.
Интересна лишь наиболее устойчивая О часть профиля v'.
Очевидно, что для нее размер / должен быть наибольшим.
На рис. 39 показана разность между однородным профилем
скорости во входном сечении и развитым параболическим
профилем для непроводящей жидкости. Наиболее устой-
чивая компонента Фурье (пунктирная кривая на рис. 39)
1) Подразумевается часть профиля vf, наиболее медленно зату-
хающая по длине канала. — Прим. ред.
§ 3. 3. Динамические эффекты 101
имеет характерный размер и тогда L^>Re а/9. Эта
оценка удовлетворительно согласуется с результатами
более точного анализа й, согласно которому на длине
L ж Rea/20 разность vf уменьшается в е раз.
В расходомерах числа Рейнольдса, по всей видимости,
имеют порядок 104—105. Очевидно, что при малых На длина
начального участка так велика, что на практике профиль
скорости до сечения канала, где установлены электроды, не
успевает существенно измениться. Обратимся теперь к слу-
чаю больших На. Исследование будем проводить при по-
мощи такого же метода, как в только что рассмотренной
простейшей задаче. Если стенки обладают проводимостью,
то ее величину будем считать ограниченной, так чтобы по-
рядок длины начального участка остался без изменения.
Для этого необходимо, чтобы величина dHa не была на-
много больше единицы.
Расходомеры с поперечным полем. Наиболее простым
является течение Гартмана между двумя параллельными
пластинами в поперечном магнитном поле. Такое течение
соответствует движению жидкости в расходомерах с узкими
в направлении поля каналами. Рассмотрим развитие про-
филя скорости, который в начальном сечении зависит толь-
ко от поперечной координаты х. Если числа На велики,
а профиль скорости на входе однородный, то скорость
в ядре потока фактически не изменяется, и процессы в на-
чальном участке состоят просто в развитии гартмановских
пограничных слоев. Пограничные слои отделены друг от
друга, и величина зазора между стенками не является опре-
деляющим параметром. Разность плотностей тока в раз-
вивающемся пограничном слое и пограничном слое пол-
ностью развитого течения имеет порядок ос/В, где vT —со-
ответствующая разность скоростей. Разность магнитогидро-
динамических сил ov'B2 должна быть сравнимой с инер-
ционными силами ро'/Т. Поэтому
Тжр/сгВ2 и pz7m/crB2=Rea/Ha2.
Длина начального участка, как и ожидалось, не зави-
сит от величины зазора между пластинами, а также от
О См. «Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости», под редакцией С. Гольдштейна, т. 1, ИЛ, М., 1948.
102 Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
вязкости. Этот вывод подтверждается результатами более
точных исследований Аналогичные рассуждения и ре-
зультаты справедливы для развития неоднородных на-
чальных профилей скорости (зависящих только от х) при
большом разнообразии распределений скорости в ядре
потока. Следует ожидать, что влияние вязкости в ядре
несущественно. Конечно, большие неравномерности ско-
рости, на которые оказывала бы влияние вязкость, сгла-
живаются намного быстрее; однако нас интересуют наи-
более устойчивые составляющие разности скоростей. Таким
образом, в расходомерах с узким прямоугольным сече-
нием, длина которых от входа до сечения, где установлены
электроды, в несколько раз больше ширины 2а, при
Re ж 10б и На « 100 наблюдается значительная деформа-
ция профиля скорости под действием магнитного поля.
Однако чувствительность таких расходомеров не зависит
от формы профиля скорости.
Длина начального участка в каналах прямоугольного се-
чения, близкого к квадратному, и в трубах круглого се-
чения (или течении Гартмана между параллельными пла-
стинами, когда профиль в начальном сечении зависит от
переменной у) оказывается в На раз больше, т. е.
L^Rea/zHa. Процесс развития течения начинается с фор-
мирования гартмановских пограничных слоев, который
происходит за время р/оВ2. Более медленно протекает со-
ответствующее формирование профиля в ядре потока (и
рост пограничных слоев на верхней и нижней стенках в ка-
нале прямоугольного сечения). При изучении полностью
развитого течения было показано, что электромагнитная
сила в ядре потока имеет порядок Bvc(Gv^4a. Эта оценка
следует из того, что распределение токов в поперечном се-
чении регулируется пограничными слоями на боковых стен-
ках. Аналогично при развитии течения разность между
электромагнитными силами в переходном и развитом ре-
жимах, связанная с наиболее устойчивой составляющей
разности скоростей v' в ядре потока, оказывается порядка
Ви'^ч^'Ыа и должна быть сравнима с pv'/Т. Таким обра-
зом, Т « ра/В(&ц)Ч* к L& раит/В(ах\УВ = Rea/Ha, что
было указано выше. Оценка длины L согласуется с резуль-
О Шерклиф [IX.2].
§ 3. 3. Динамические эффекты 103
татами более точного анализа Длина начального участка
в трубе при круглом сечении оказывается меньше, чем при
квадратном. R. -
Сделанные^выше^оценки экспериментально подтверж-
даются тем, что при"установке электродов на расстоянии
0,5 Rea/Ha от входа в зону поперечного магнитного поля
чувствительность отклоняется от своего предельного зна-
чения (в полностью развитом потоке) менее чем на 1%.
Если Re = 10б и На = 102 4- 103, то длина начального
участка так велика, что в расходомерах приемлемой для
практики длины магнитное поле не успевает заметно де-
формировать профиль скорости или погасить начальные
возмущения. При малой скорости течения магнитное поле
успевает изменить профиль скорости, что оказывает влия-
ние на чувствительность расходомера. Если бы эта ситуа-
ция встретилась на практике, то было бы целесообразно за-
менить такой расходомер другим, с чувствительностью,
не зависящей от формы профиля скорости.
Наличие проводящих стенок ускоряет развитие течения,
так как при этом усиливаются вихревые токи, способствую-
щие уменьшению разности скоростей v'. Этот эффект наи-
более заметен, когда сопротивление стенки намного меньше
сопротивления гартмановских пограничных слоев, т. е.
dHa Э* 1- В этом случае разность плотностей тока, связан-
ная с разностью скоростей и', в ядре течения имеет поря-
док wnu'B/a, так что длина начального участка
L=pavm/wxB2
оказывается в dHa раз меньше, чем в каналах с непрово-
дящими стенками. Таким образом, в расходомерах с до-
статочно высокой проводимостью стенок следует ожидать,
что магнитное поле приведет к сильной деформации про-
филя скорости.
Расходомеры круглого сечения с осевым током. Харак-
терная особенность таких расходомеров состоит в том, что
развитый профиль скорости не зависит от магнитного
поля, хотя магнитные силы оказывают влияние на процесс
развития течения. Кроме того, при любом осесимметричном
профиле скорости чувствительность расходомера будет
1) Шерклиф [IX.2, 3].
104 Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
одна и та же. Поэтому важно определить только длину на-
чального участка, необходимую для затухания асимметрич-
ных составляющих профиля скорости, обусловленных воз-
мущениями, возникающими выше по потоку. Эти асимме-
тричные составляющие изменили бы чувствительность,
если бы расходомер не имел стенок с высокой проводи-
мостью, которые оказывают усредняющее влияние.
Рис. 40. Поперечное сечение
расходомера с осевым током.
/ — вихревой ток; 2—поле; 3 — область
малых скоростей; 4 — область больших
скоростей.
Магнитное поле могло бы оказать влияние на развитие
осесимметричного профиля скорости только при наличии
турбулентности.
Процессы при развитии асимметричного профиля ско-
рости неизбежно отличаются от уже рассмотренных при
развитии течений в поперечном магнитном поле, так как
стенки, перпендикулярные направлению поля, отсутствуют
и, таким образом, распределение токов теперь не регули-
руется гартмановскими пограничными слоями. На рис. 40
показана часть одной из затухающих по длине канала ком-
понент профиля скорости. Разность между начальной ско-
ростью и скоростью развитого течения можно представить
в виде суммы компонент, каждая из которых характери-
зуется собственной скоростью экспоненциального затуха-
ния. Ячейки, изображенные на рис. 40, представляют собой
§ 3. 3. Динамические эффекты
105
области течения жидкости, ускоренного или замедленного
по сравнению с полностью развитым. Различие скоростей
приводит к появлению вихревых токов, схематично пред-
ставленных на этом же рисунке.
Основная задача состоит в определении размера и формы
ячейки, соответствующей наиболее медленному затуханию.
Увеличение размеров ячейки во всех направлениях при-
водит к уменьшению скорости затухания, обусловленного
вязкостью. Увеличение ячейки в направлении 0 или суже-
ние ее в радиальном направлении влечет за собой умень-
шение интенсивности вихревых токов и тем самым умень-
шает скорость затухания, обусловленного действием маг-
нитного поля. Последнее объясняется тем, что при радиаль-
ном сужении ячейки уменьшается добавочная э. д. с, (инду-
цированная в радиальном направлении), а при удлинении
ячейки в направлении 0 увеличивается путь вихревых то-
ков. Таким образом, наименьшей скорости затухания соот-
ветствуют ячейки с максимально возможным размером
в направлении 0 и радиальным размером, выбранным так,
чтобы обусловленные вязкостью и магнитным полем ско-
рости затухания были одинаково малы. Максимальный
угол 0 отличен от 2л, ибо это соответствовало бы осесим-
метричному профилю; в действительности он равен л, так
как области ускоренного и замедленного движений должны
чередоваться. Длина s поэтому имеет порядок а.
В ячейках с размерами s и t (рис. 40) основное сопротив-
ление циркулирующему току оказывают участки токо-
вых контуров, ориентированные по 9. Это сопротивление
в расчете на единицу длины трубы имеет порядок slot.
Добавочная э. д. с. имеет порядок Bv't, где v' — соответ-
ствующая разность скоростей, полный ток по порядку ве-
личины равен (Bv't) : (s/at) = gBv'FIs, а плотность тока
в радиальном направлении равна vBv'Pls2. Таким обра-
зом, сила j X В имеет порядок GB2v't2ls2. Чтобы она была
сравнима с силами вязкости (это необходимо для получения
наименьшей скорости затухания), следует принять
oB2t//2/s2 тр'//2.
Полагая s а, получаем t ж а/На1^. Из условия, что
сила j X В или силы вязкости по порядку величины
106
Гл. 3. Эффекты в'жидких металлах
должны равняться инерционной силе pv'/T, находим
Т » ар/В(<Уг\УК Отсюда длина начального участка равна
Re а/На.
Порядок длины L оказался таким же, как в расходо-
мерах с поперечным полем, однако по совсем другим при-
чинам. Параметр На здесь должен рассчитываться по ха-
рактерной величине В, за которую можно принять магнит-
ную индукцию на окружности г = а/2 (или в центральной
части зазора для расходомеров кольцевого сечения).
Таким образом, в расходомерах с осевым током замет-
ное затухание начальных асимметричных составляющих
профиля скорости наблюдается только при малых расхо-
дах жидкости. Поэтому если только стенки не обладают
высокой проводимостью и расходомер чувствителен к из-
менению профиля скорости, то необходимо исключить ис-
точники возмущений, расположенные выше по потоку.
Наличие стенок с высокой проводимостью в данном
случае убыстряет затухание асимметричных составляющих
профиля скорости вследствие подавления неоднородностей
вихревыми токами.
. Сделаем краткие выводы. По-видимому, в большинстве
расходомеров для жидкого металла будут возникать незна-
чительные изменения профиля скорости, и выходной сигнал
будет зависеть от условий на входе в расходомер, если толь-
ко его чувствительность зависит от формы профиля ско-
рости. Если расходы малы, то наиболее вероятно, что воз-
никающие выше по потоку возмущения в дальнейшем будут
затухать и установится полностью развитое течение. В рас-
ходомерах с поперечным полем чувствительность зависит
от длины начального участка.
3.3.3. Краевые эффекты
Известно, что влияние возникающих выше по потоку
возмущений, которые могли бы изменить показания трубки
Вентури и других используемых на практике измеритель-
ных устройств, в значительной мере ослабляется, если пе-
ред расходомером установлен достаточно длинный прямо-
§ 3. 3. Динамические эффекты
107
линейный участок трубы. Однако на входе в электромаг-
нитный расходомер возникают эффекты, избежать которые
невозможно, так как они обусловлены самим устройством
Эти эффекты заключаются в деформации профиля скорости
вследствие образования концевых токов в верхней по по-
току краевой зоне магнитного поля (рис. 31, а и 32). В рас-
ходомерах с осевым током возникают только осесимметрич-
ные возмущения скорости, не влияющие на чувствитель-
ность; однако в расходомерах с поперечным пол£м влияние
концевых токов может быть значительным, Кроме того,
в обоих типах расходомеров концевые токи вызывают допол-
нительное падение давления, которое фактически может
составить основную часть падения напора в расходомере.
Аналогичные эффекты имеют место в электромагнитных
насосах* 2) и магнитогидродинамических генераторах3).
Для того чтобы изучить указанный эффект в расходо-
мерах с поперечным магнитным полем, будем предполагать,
что канал имеет прямоугольное сечение, проводимость сте-
нок равна нулю, а эффектами вязкости можно пренебречь.
В таком случае задача становится двумерной: все вели-
чины зависят от у и г. Предположение о малой роли вяз-
ких сил оправдывается тем, что изучаемые динамические
процессы протекают в очень коротком участке канала, тогда
как развитие вязкого течения, рассмотренное в предыду-
щем разделе, происходит на значительно большей длине.
Краевой эффект заключается в быстрой деформации про-
филя скорости, который на последующем начальном участке
переходит в полностью развитый. На краевой эффект не
оказывает влияния даже турбулентность, поскольку дефор-
мирующие электромагнитные силы превосходят турбулент-
ные напряжения Рейнольдса.
Будем также предполагать, что магнитное поле В при-
ложено только в направлении х и его величина мало изме-
няется в результате движения жидкости, т. е. Rew < 1.
Величина В может зависеть от осевой координаты z;
этой зависимостью учитывается постепенное затухание
поля в краевых зонах.
О Шерклиф [1.4].
2) Россов [IX. 1].
3) Саттон и Карлсон [IX. 2]
108
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
Если силы молекулярного и турбулентного трения малы,
уравнение установившегося течения жидкости имеет вид
р (v grad) v=j х В — grad р. (3.21)
Применяя к (3.21) операцию rot и исключая давление р,
в проекции на ось х находим
р (v grad) <ох = — jz . (3.22)
При выводе уравнения (3.22) было учтено, что div v = 0,
div j = 0, векторы v и j имеют компоненты только в плос-
кости (у, г), а вектор В направлен по оси х; в (3.22) tn* =
= dvz/dy—dvy/dz является компонентой вихря. Уравнение
(3.22) определяет изменение вихря вдоль линии тока жидко-
сти. Вихрь (ох образуется тогда, когда величина В изменяется
по г, a jz 0. При этих условиях изменяется компонента
силы j X В в направлении у, что вызывает вращение жид-
кости. Если профиль скорости перед расходомером одно-
родный, то вихревое движение возникает при переходе
жидкости через краевую зону магнитного поля. После
этого до начала существенного влияния вязкости движение
жидкости быстро переходит в псевдоразвитое прямолиней-
ное течение и вихрь сохраняется вдоль каждой линии тока.
Хотя на такой процесс развития течения силы j X В при
однородном поле В не оказывают влияния [см. формулу
(3.22)], распределение давления там, где j Ф 0, будет силь-
но изменено.
Резко обрывающееся магнитное поле. Наиболее просто
исследовать течение, когда длина краевой зоны магнитного
поля намного меньше высоты канала 26, так что можно
принять ступенчатое распределение поля. В этом случае
вихрь со* очень резко изменяется по координате г. Однако
скорость изменения сох по у ограничена. Таким образом,
в краевой зоне вместо (3.22) приближенно имеем pvzd^x!dz~
— —jzdBldz, откуда в пределе, когда магнитное поле ста-
новится разрывным, находим
Риг®х=— (3.23)
При выводе (3.23) использовалась непрерывность вели-
чин vz и jz при переходе через сечение z = 0 разрыва маг-
нитного поля. Величина сох в (3.23) равна вихрю после
сечения 2=0. Слева от разрыва вихрь по предположению
§ 3'. <?. Динамические эффекты
109
равен нулю. При переходе через сечение z = 0 величины
р, vy> vz и dvz/dy изменяются непрерывно, а со* и dvy/dz
терпят разрыв. Форма линий тока показана на рис. 41.
Наклон касательной к линии тока при переходе через сече-
ние разрыва z=0 Изменяется непрерывно, кривизна же
линий тока оказывается разрывной. Так как в области U
давление повышено, речение при подходе к ней тормозится.
Рис. 41. Линии тока жидкости в верхней
по течению краевой зоне магнитного поля.
1 — поток; 2 —поле.
Жидкость, которая прошла через зону [7, продолжает далее
тормозиться силами j X В. Линии тока вскоре опять ста-
новятся параллельными, однако наличие вихря, который
возник при переходе через сечение разрыва, приводит
к неоднородному профилю скорости. Заметим, что в об-
ластях вблизи электродов скорость возрастает; в расходо-
мерах круглого сечения это, согласно разд. 2.2.4, вызывает
увеличение чувствительности расходомера.
Предполагая, что относительные величины возмущений
малы, можно без труда получить линеаризованное реше-
ние в первом приближении. Положим vz = vtn + w, где vm—
скорость однородного невозмущенного потока, и будем
считать vy и w малыми величинами, квадратами которых
можно пренебречь. Это означает, что не учитываются по-
перечные смещения линий тока и вихрь ($x~dw/dy —
но
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
— dvy/dz после перехода через сечение разрыва z = О
сохраняется вдоль линий у = const. Функция сох(у) опре-
деляется по величине jz в сечении разрыва. Так как изу-
чается первое приближение, величину jz можно определить
из решения, полученного в разд. 2.3.1 для невозмущенного
профиля скорости. Из формулы (2.44) можно найти jz =
= —cdU/dz при z = —с. Если края зоны магнитного поля
достаточно удалены друг от друга, то концевые эффекты
не взаимодействуют и можно положить с -» оо, в резуль-
тате чего получим
~!г =-----2j 1------- П ----s,n ~2Г четное)-
Отсюда первое приближение для вихря а>х, полученное
при помощи (3.23), имеет вид
2аВ2 V(—1)(л-1)/2 • ппу
®х(У) = 2 —-п---------sin • (З-24)
Задачу удобнее всего решить, введя функцию тока ф
для возмущений скорости. Полагая vy=—dty/dz и w=dty/dy,
удовлетворим уравнению неразрывности. Тогда
О при z <С О,
®х(у) при z]>0.
(3 25)
Решение уравнения (3.25) должно удовлетворять усло-
виям: ф=0 при z ->— оо, ф и дф/dz непрерывны при
z=0, ф=0 при у=0 [и у = ± Ь. При 2-»Н-оо из (3.25)
получаем
откуда
* = Sin З1] . (3.26)
Постоянные интегрирования были определены при помощи
граничных условий. Отсюда при zоо
aB2b[8 у 1_____4 V1 (— nity
р л* п3 п2 п2 COS 2Ь
(3.27)
§3.3. Динамические эффекты 111
Выражение (3.27) определяет возмущения профиля
скорости в псевдоразвитом прямолинейном течении до того,
как силы вязкости начинают оказывать значительное влия-
ние на процессы развития. Кривая 1 на рис. 42 представ-
ляет собой возмущения профиля скорости, рассчитанные
по формуле (3.27). Как видно, жидкость замедляется
Рис. 42. Возмущения профиля скоро-
сти вследствие концевых эффектов.
1 — при резко обрывающемся поле; 2 — при
постепенно затухающем поле.
в центре канала и ускоряется у верхней и нижней стенок
вблизи электродов. Величина возмущения скорости в центре
канала имеет порядок оФВ2/10р, а относительная величина
возмущения — порядок а6В2/10р^т. Комплекс о6В2/рут
представляет собой еще один важный безразмерный пара-
метр в магнитогидродинамике (см. приложение). Он опре-
деляет отношение силы j X В к инерционным силам, т. е.
характеризует влияние магнитного поля на невязкое тече-
ние. Таким образом, возмущения скорости на практике
могут оказаться весьма значительными; в особенности это
относится к жидкому натрию, который обладает высокой
электропроводностью и незначительной плотностью. Од-
нако как только относительная величина возмущений ста-
112
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
новится, скажем, больше 20%, точность полученного ре-
шения, включающего только первое приближение, делает-
ся неудовлетворительной. Аналогичные дополнительные
возмущения профиля скорости возникают в нижней по по-
току краевой зоне магнитного поля. В результате прохож-
дения жидкости через эту зону возмущения профиля ско-
рости (3.27) не исчезают, а удваиваются.
Весьма важно получить хотя бы грубую оценку длины
участка, на котором течение снова становится прямоли-
нейным после прохождения разрыва магнитного поля.
Такая оценка следует из решения уравнения (3.25), кото-
рое легко получить, разлагая выражение (3.26) в ряд Фурье
вида SAmsin (тпу/Ь) (т четные и нечетные). В решении
для ф каждой из компонент Фурье соответствуют члены
вида
±Л„ехр5^пв (г<0),
^[l-4exp(-7)]sln!S (г> 0).
Наиболее важен член, соответствующий m = 1, кото-
рым определяется наибольшая длина, необходимая для
установления прямолинейного течения. Очевидно, что та-
кое течение достигается при 2, в небольшое число раз пре-
восходящих 6/л, например при z = 2b. Таким образом, по
крайней мере при слабом магнитогидродинамическом взаи-
модействии, которое предполагалось выше, переход к раз-
витому течению происходит весьма быстро. Эксперименты
Россова [ IX. 1 ], имеющие непосредственное отношение
к рассматриваемому вопросу, показали, что при больших
относительных возмущениях вместо прямолинейного те-
чения образуется завихренное, крайне нежелательное
в расходомерах. Систематические экспериментальные ис-
следования движения жидкости в краевых зонах магнит-
ного поля расходомеров проведены не были. Тем не менее
работы в этом направлении крайне необходимы, так как
далеко не ясно, что происходит в круглых трубах в отли-
чие от рассмотренных выше каналов прямоугольного сече-
ния. Вероятно,. может возникать некоторая закрутка по-
тока.
§ 3. 3. Динамические эффекты
113
Постепенно затухающее магнитное поле. В таком же,
как и ранее, приближении можно решить более близкую
к практическим приложениям за-
дачу, когда убывание до нуля
магнитного поля в краевой зоне
происходит непрерывно. В первом
приближении из (3.22) находим
. dB
откуда pvmax(y) = — \jzdB, где
интеграл вычисляется при у =
= const. Здесь (ох—вихрь ско-
рости вдоль линии у ~ const в
области В = const. Токи /2, обусловленные неоднород-
ностью поля B(z) в краевой зоне (рис. 43), определяются
формулой
mt | 2— z* |
2Ь
п
dU
— /г = а =
lz дг
D
max
= еЧ
о
Эта формула является результатом суперпозиции токов
в точке z, обусловленных элементами поля dB(z'), покры-
вающими отрезки (г', оо).
Отсюда
"max
АЛ 2oBmax "V ,)<П-1)/2 • п~У f
<МУ) = ..Z ------- n Sltl2F •'
п
max
max
Kp
Bmax . . ,
mt \ г — 2'
eXP[------~2b---1
0
где z — переменная интегрирования внешнего интеграла.
Сравним это выражение с формулой (3.24), полученной
для резко обрывающегося магнитного поля. Так как
^тах -®тах
ЧИ Г dB
тзх J ^тах
Q
J ехР( —W~
о
5 Шерклиф
114
Гл. 3. Эффекты в жидких металла^
то коэффициенты в ряде Фурье (3.28) меньше соответствую-
щих коэффициентов в (3.24). Это позволяет считать, что
возмущения скорости при постепенно затухающем поле
меньше, чем при резко обрывающемся. Неравенства между
коэффициентами рядов еще не являются строгим доказа-
тельством этого утверждения, так как ряды являются знако-
переменными. Однако легко показать, что возмущение w
скорости на стенках у = ±6 при z ос равно
^тах ^тах
8аВ2& х? 1 f dB(z)
mz | z — z1' I \ dB (zf)
2b
3 о /г3
J max
0
Эта величина
меньше
max
О
соответствующего значения
8sB2b у J_
7i3 p n3
для случая резко обрывающегося поля.
Уменьшение обусловленных концевыми токами воз-
мущений профиля скорости при постепенном затухании
магнитного поля подтверждается результатами расчета,
проведенного для близкого к реальному распределению
В (рис. 23), которое соответствует расходомеру квадратного
или круглого сечения, когда величина зазора между полю-
сами магнита, длина зоны затухания поля и диаметр трубы
приблизительно равны 2Ь. При этом предполагается, что
размер с достаточно велик для того, чтобы исключалось
взаимодействие двух краевых областей и формирование
возмущений скорости после верхней по потоку краевой
зоны магнитного поля заканчивалось прежде, чем жидкость
достигнет второй краевой зоны. Развитый возмущенный
профиль скорости определяется формулой
16 8 (— 1)(п~1)/2 t
C0S 2b J i
1 — exp (—mz)
zB2b
7Х4Я4 ТС3 П3
mz
(3,30)
Зависимость (3.30) построена на рис. 42 (кривая 2) для
сравнения со случаем резко обрывающегося поля. Как
видно, магнитное поле, изображенное на ри^. 43, умень-
шает возмущения приблизительно в два разд.
§ $.3. Динамические эффекты
115
Интересно отметить, что постепенное затухание поля
в краевой зоне приводит к желательному уменьшению воз-
мущений скорости и нежелательному уменьшению чув-
ствительности (см. стр. 66).
Постепенно затухающее магнитное поле существенно не
изменяет длину участка, необходимого для развития воз-
мущенного профиля.
Если стенки проводящие, то осевые токи j2 в краевой
области магнитного поля в основном протекают по стен-
кам, а не по жидкости, и возмущения профиля скорости
ослабевают. Поскольку уже получена верхняя оценка эф-
фекта при непроводящих стенках, исследование течения
в краевой зоне канала с проводящими стенками будет опу-
щено, хотя оно и не вызывает затруднений.
3.3.4. Потери давления в расходомерах
Для определения условий эффективной работы всего
контура, по которому циркулирует жидкость, необходимо
уметь рассчитать и минимизировать потери давления, вклю-
чая потери в расходомере. Однако необходимо иметь в виду,
что потери давления в канале расходомера для жидкого
металла отличаются от обычных гидравлических потерь,
которые легко мог^т быть определены на основе известных
формул гидравлики и потому далее не рассматриваются.
При движении жидких металлов в расходомерах с по-
перечным магнитным полем возникают три различных вида
дополнительных фотерь давления, связанных с соответ-
ствующими процессами, которые были рассмотрены в трех
предыдущих разделах. Будем рассматривать эти потери
в порядке возрастания их влияния.
Градиент давления в развитом ламинарном течении.
Соответствующие формулы для градиента давления в пол-
ностью развитом течении вязкой среды, который увели-
чивается под действием сил j х В, уже были получены в
настоящем параграфе [формулы (3.10), (3.11), (3.15) и (3.18)].
В случае больших На, когда только, по-видимому, и успе-
вает развиться предельное течение, все формулы показы-
вают, что величина—др/дг оказывается порядка Bvm(pvtft*la
вне зависимости от формы поперечного сечения, если пара-
метр d На, характеризующий влияние проводимости стенок,
5*
116
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах__________
не намного больше единицы. Таким образом, градиент
давления в На раз больше, чем для непроводящей жидко-
сти (для нее dpldz — v^Vm/a1 2). Если же величина dHa вели-
ка, a d « 1, то при не очень больших контактных сопро-
тивлениях градиент давления становится порядка оВ2 vm,
т. е. в На2 раз больше, чем x]vm/a2.
Потери давления при развитии течения. Рассмотрим
трубу круглого сечения с непроводящими стенками, в ко-
торую входит жидкость с однородным профилем скорости.
Потери давления в начальном участке трубы будут на Др
больше потерь на участке такой же длины при полностью
развитом течении. Это объясняется двумя причинами.
а) Увеличение количества движения в осевом направ-
лении. Изменение скорости по длине начального участка
меньше vm, но имеет тот же порядок величины. Развитому
профилю скорости соответствует большее количество дви-
жения чем начальному. С этим связан перепад давле-
ния Др, меньший, чем р^, но того же порядка величин.
В некоторых случаях может оказаться, что количество
движения жидкости на входе больше, чем в полностью раз-
витом течении; тогда соответствующая величина Др отри-
цательна.
б) Увеличение поверхностного трения в развивающихся
гартмановских пограничных слоях по сравнению с разви-
тым течением. Средняя величина разности между указан-
ными величинами поверхностного трения меньше, чем
трение в развитом течении при том же порядке величины.
Таким образом, соответствующее падение давления Др
имеет порядок (—dpldz)n?'L, где L ~ pvmalB(<5vtfl* — дли-
на начального участка, (—dp/dz)n? — градиент давления
в развитом течении. Отсюда, как и в случае (а),
Др~р^т И Др <р^т.
Более тщательный приближенный расчет потерь2) дав-
ления в начальном участке круглой трубы при наличии
поперечного поля показывает, что полная величина Др
1) Под количеством движения понимается величина J pv2ds,
где интегрирование распространяется по всей площади поперечного
сечения. — Прим. ред.
2) Шерклиф [11.2].
i
§3.3. Динамические эффекты
117
равна 0,041 pz4>- Имеются данные *>, что эта величина, ве-
роятно, занижена в два раза, так как при ее выводе не
учитывались потери давления вследствие изменения коли-
чества движения. Таким образом, наиболее правдоподобной
оценкой потерь давления при развитии ламинарного тече-
ния в круглой трубе с непроводящими'стенками, помещен-
ной в поперечное магнитное поле, по-видимому, следует
считать Ар = рРт/Ю. Хотя магнитное поле В не входит
в окончательный результат, оно оказывает значительное
влияние. Если В0, то потери давления при развитии
течения с однородным профилем на входе оказываются по-
рядка 0,7 pt»m2>.
Этот результат весьма интересен в связи со следующим
обстоятельством. После того как жидкость выходит из
расходомера, в котором электромагнитные силы (в краевых
областях или на начальном участке) существенно деформи-
ровали профиль скорости, течение за областью магнитного
поля перестраивается в обычное гидродинамическое. Так
как величина Ар оказывается больше при отсутствии маг-
нитного поля, основные потери давления, связанные с раз-
витием течения, будут, очевидно, происходить за расходо-
мером. Поскольку профили скорости на больших расстоя-
ниях от прибора выше и ниже по потоку совпадают, то
составляющая полного перепада Ар, обусловленная изме-
нением количества движения, равна нулю.
В связи с отсутствием какой-либо лучшей информации
на основании изложенных выше соображений будем счи-
тать, что в том случае, когда профиль скорости значительно
деформируется магнитным полем и после выхода из расхо-
домера происходит перестройка течения, полные потери
давления, обусловленные развитием ламинарных течений
в начальном участке и на выходе, имеют порядок х/г pv„.
Если жидкость движется между параллельными стен-
ками или в узком прямоугольном канале при наличии по-
перечного магнитного поля, то изменение первоначально
однородного профиля скорости происходит только в тонких
пограничных слоях,- толщина которых в На раз меньше
О Шерклиф [IX.2J.
2) «Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидко-
сти», под редакцией С. Гольдштейна, т. I, ИЛ, М., 1948.
118
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
ширины канала. Длина начального участка в таких кана-
лах в На раз меньше, чем в круглых. Эти два обстоятель-
ства приводят к тому, что, как показывает более тщатель-
ный анализ потери давления, когда развитие течения
успевает завершиться, оказываются порядка Ар » pv2n /На.
Однако наиболее интересен случай, когда начальный про-
филь скорости неоднороден вследствие действия концевых
эффектов, так что скорость изменяется и по координате у.
Тогда длина начального участка и потери давления имеют
тот же порядок, как в уже исследованных каналах круглого
сечения.
Сведения о возможных потерях давления Ар в турбу-
лентных течениях отсутствуют. По нашему мнению, по-
тери не должны очень сильно отличаться от ранее рас-
смотренных. Ясно, что вследствие изменения количества
движения они по-прежнему будут меньше, чем pv2m при
том же порядке величины.
Необходимы простые критерии, показывающие, на-
сколько в каждом конкретном случае успевают перестроить-
ся профили скорости на двух участках развития течения и
какие этому соответствуют потери давления. Длина участка,
где течение перестраивается после выхода из нижней по
потоку краевой зоны, определяется величиной деформации
профиля скорости в обеих краевых зонах и степенью раз-
вития входного профиля в расходомере конечной длины.
Деформация профиля скорости в краевых зонах харак-
теризуется безразмерным параметром oB2b/pvm. Магнитное
поле существенно влияет на течение, когда этот параметр
больше единицы. Отличие профиля скорости от полностью
развитого деформированного полем тем значительнее, чем
меньше отношение длины 2с зоны поперечного магнитного
поля к длине начального участка Rea/Ha. Профиль ско-
рости мало отличается от полностью развитого, если ве-
личина Hac/Rea = {В^о^'А/р^} (с/d) приближается к еди-
нице. Величина Hac/Rea, если только не очень велико отно-
шение с/b, значительно (в На/с раз) меньше параметра
вВ2Ь1рот, который поэтому оказывается наиболее важным.
Потери давления, обусловленные концевыми токами
(непроводящие стенки). В этом случае перепад давления
1) Шерклиф [IX.2].
§ 3. 3. Динамические эффекты
119
Ар также обусловливается двумя эффектами — полным
изменением количества движения в результате деформации
профиля и действием сил j X В, направленных против
течения. Величина Ар определяет перепад давления в ка-
нале между двумя сечениями, которые расположены по
обе стороны от верхнего по потоку края магнитного поля
и в которых жидкость движется прямолинейно и др!ду —
~ 0. Используя обозначения разд. 3.3.3, из уравнения (3.21)
в первом приближении получаем
pt, = — (3.31)
г т az Jy dz ' 7
В результате интегрирования этого уравнения
Ь оо
Д/?==2Б J dy j iyB(z)dz+
— b —оо
b
IF J wdy-
—b
Последний член, отражающий в первом приближении
влияние изменения количества движения, равен нулю в силу
уравнения неразрывности. Полный вклад изменения коли-
чества движения в Ар несуществен, пока w не приближает-
ся к vm. Уравнение (3.31) также показывает, что = Ар
при у = так как на стенках /у = 0. Здесь w — осевое
возмущение скорости в прямолинейном течении за краем
магнитного поля, определяемое формулой (3.29). Таким
образом, удлинение участка постепенного затухания поля
приводит к уменьшению как w, так и Ар. Поля с относи-
тельно медленным затуханием часто используются в элек-
тромагнитных насосах постоянного тока и магнитогидро-
динамических генераторах 1 2) для уменьшения потерь дав-
ления, обусловленных концевыми токами. Такие же поля
могут быть использованы в расходомерах.
Резко обрывающемуся магнитному полю соответствует
наибольшая величина Ар, равная
pvmw(b)=0,27oB2bvm, (3.32)
1) Бирзвалк и Тютин [IX.1]. См. также Блэйк (Blake
L. R.), J: Nucl. Energy, 1, 65 (1959), Ватт (W a t t D. A)., En-
gineering, bond., 181, 264 (1956)]
2) Саттон [1Х.1].
120
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
Если в зоне затухания магнитное поле изменяется ли-
нейно, как на рис. 23, что приближенно соответствует рас-
ходомеру круглого сечения, то величина
Ар = pvm w (b) = 0,11 нВ2 bvm
оказывается значительно меньше, чем при резко обрываю-
щемся поле.
Такие же потери давления, обусловленные действием
сил j X В, возникают в нижней по потоку краевой зоне
поля.
Потери давления, обусловленные концевыми токами (про-
водящие стенки). Рассмотрим предельный случай очень
большой проводимости стенок (d = wx/ob >* 1), когда
почти весь осевой ток в краевой области протекает по верх-
ней- и нижней стенкам канала. Хотя профиль скорости
деформируется незначительно, потери давления оказы-
ваются большими. Используя результаты, полученные
для этого случая в разд. 2.3.3, найдем, что при резко обры-
вающемся магнитном поле и значительной протяженности
зоны однородного поля, когда краевые области не взаимо-
действуют друг с другом, потери давления в каждой краевой
зоне равны
оо
kp = B J jy dz = ~oB2vmbd^2.
о
При выводе этой формулы предполагалось отсутствие
контактного сопротивления. Если две стенки в краевых
областях непосредственно соединяются друг с другом, что
может иметь место в расходомерах кольцевого сечения
с центральным проводником, то величина Ар удваивается.
При увеличении d потери давления становятся больше ве-
личины, определяемой формулой (3.32), возрастая пропор-
ционально d'B,
Расходомеры с осевым током. При осесимметричном
течении в начальном участке и развитом течении магнито-
гидродинамические эффекты не приводят к возникновению
дополнительных потерь давления. Более того, азимуталь-
ное поле в краевых зонах расходомера вдоль оси изме-
няется весьма медленно, и в связи с этим потери давления
из-за концевых токов менее значительны, чем в расходо-
мерах с поперечным полем (это тем более справедливо,
§ 3. 3. Динамические эффекты 121
если учесть, что, по всей видимости, напряженность поля
меньше в расходомерах с осевым током). Наконец, в рас-
ходомерах с центральным проводником вследствие более
сложной геометрической формы обычные гидравлические
потери, вероятно, будут намного больше потерь, обуслов-
ленных магнитогидродинамическими эффектами.
Потери давления в расходомерах с поперечным полем
(резюме). Проведем сравнение трех различных видов по-
терь давления. В следующей ниже таблице указаны по-
рядки величин этих потерь в случае непроводящих стенок.
Данные относятся к расходомерам круглого сечения
с приблизительно таким же, как в разд. 3.3.3, распределе-
нием магнитного поля в зоне его затухания. Длина зоны
поперечного магнитного поля в направлении движения
равна 2с, В графе «потери на входе и выходе» приведены
потери давления на участках развития профиля скорости.
В реальном расходомере потери достигнут указанной ве-
личины, если параметр oB2b/pvm больше единицы. Из таб-
лицы следует, что при этом потери на входе и выходе не мо-
гут намного превосходить потерь вследствие образования
концевых токов. Очевидна необходимость проведения
экспериментов для более точного, чем эти грубые оценки,
определения относительной величины потерь, связанных
с концевыми токами и развитием течения после выхода из
зоны магнитного поля.
Таблица
Потери, обуслов- ленные концевыми то- ками (две краевые зоны) Потери на входе и выходе f Потери на участке развитого ламинарно- го течения
Относи- тельная величина 0,22j B2avm 1 1 2 Р ®2т ~ 2р ат/<з В2а 2cvmB (а гУ/г/а ~ (9/На)(с/а)
Таблица показывает также, что при На>1 потери на
участке развитого течения могли бы достичь значительной
величины только при очень больших неприемлемых с прак-
тической точки зрения отношениях с/а,
5В. Шерклиф
122
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
Если каналы имеют узкое прямоугольное сечение
(5^>а), то единственное изменение, которое необходимо
внести в первую строку таблицы, состоит в том, что потери,
обусловленные концевыми токами, теперь равны 0,54оВ26^
{при резко обрывающемся магнитном поле).
Характерные значения величин, входящих в таблицу,
приведены в приложении.
5.3.5. Турбулентность и неустойчивость
Турбулентность и неустойчивость являются наименее
изученными разделами динамики жидкого металла в рас-
ходомерах. Имеющиеся теории весьма несовершенны, а ко-
личество экспериментальных данных чрезвычайно мало.
Мы знаем, что должно произойти в расходомере при задан-
ных условиях, как должна изменяться чувствительность
и т. д., но только в случае ламинарного течения. Однако
в большинстве практических приложений течение перед
расходомером является турбулентным. Сведения о том,
в какой мере эффекты, свойственные ламинарному режиму,
будут проявляться при первоначально турбулентном тече-
нии, весьма неопределенны.
Для некоторых из уже полученных результатов турбу-
лентность не имеет существенного значения при условии,
что в расчеты вводятся средние скорости. К этой категории
относятся концевые эффекты, связанные с образованием
концевых токов в краевых зонах магнитного поля. В этой
проблеме турбулентность, действуя только на профиль
средней скорости как дополнительная переменная по
сечению вязкость, по существу, не может проявляться ина-
че, чем действие обычной вязкости. Поэтому деформация
магнитного поля в результате движения жидкости, потери
давления, а также деформация профиля скорости в крае-
вых зонах магнитного поля при наличии турбулентности
изменяются незначительно. Однако данные о деформа-
ции профиля скорости могут оказаться существенными
при определении поведения течения (турбулизуется ли
первоначально ламинарное течение и, наоборот, сохра-
няется ли турбулентный режим), особенно при сильной
деформации, достаточной для образования вихрей или зон
обратного течения.
§ 3.3. Динамические эффекты
123
Развитие течения, турбулентного вблизи входа, или
на конце начального участка, или в обеих этих областях
одновременно, в настоящее время не изучено. Нельзя ска-
( зать, какова в этих случаях длина начального участка и
достигается ли при данных условиях развитое течение внут-
ри расходомера. Поскольку влияние турбулентности про-
является подобно увеличению вязкости, оно стремится
уменьшить длину начального участка. С другой стороны,
если при развитии течения начальная турбулентность по-
тока частично или полностью подавляется или, наоборот,
происходит рост неустойчивости, вызывающей турбулиза-
цию первоначально ламинарного течения, то длины, не-
обходимые для развития течения, вероятно, могут быть
большими.
Если длина, необходимая для полного развития тече-
ния, больше длины рабочего участка расходомера (что,
вероятно, имеет место на практике, за исключением случая
очень малых расходов), то чувствительность будет зависеть
от (возможно, видоизмененного концевыми эффектами)
профиля скорости в потоке перед прибором. Если перед
, входом в расходомер круглого сечения отсутствуют источ-
il ники возмущений, то течение в этой области как при лами-
| парном, так и при турбулентном режиме будет осесимметрич- .
j ным. В этом случае, если влияние концевых эффектов мало,
можно использовать соответствующее полученное ранее
выражение для чувствительности S.
При больших магнитных полях и малых расходах в рас-
ходомере достигается развитое течение. В указанных усло-
виях предполагается, что, вероятно, имеет место ламинар-
ное или по крайней мере весьма сильно модифицированное
турбулентное течение. О характере полностью развитого
потока имеется гораздо больше сведений, чем (о каком-
либо другом аспекте проблемы турбулентных течений; одна-
ко и здесь существует еще много неясностей. Уже давно из-
вестночто поперечное магнитное поле подавляет турбу-
лентность при течении жидкости в каналах и может при-
вести к ее полному устранению. В то же самое время, как
указал Лундквист2), магнитное поле повышает устойчи-
1) Гартман и Лазарус [IX.2].
2) Лундквист [LundquistS.], Ark. Fys., 5, 297 (1952).
5В*
*
124
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
вость ламинарного течения. Локк [IX.11.1> детально изучил
этот вопрос. Он исследовал устойчивость гартмановского
течения между параллельными плоскими стенками, рас-
стояние между которыми равно 2а. Использованное им
приближение соответствовало течению жидкого металла.
Для больших На Локк нашел, что
ReKP = 50 ООО На,
(3.33)
где ReKp—критическое число Рейнольдса Re = puma/r],
при переходе через которое течение становится неустой-
чивым по отношению к бесконечно малым возмущениям.
Однако, учитывая опыт обычной гидродинамики, можно
ожидать, что экспериментальные величины ReKp вследствие
того, что всегда имеются конечные возмущения, окажутся
значительно меньше. Всегда, когда магнитное число Рей-
нольдса мало, так что можно пренебречь индуцированным
магнитным полем, ReKp оказывается функцией только одного
параметра На. Пропорциональная зависимость ReKp от На
в данном случае объясняется тем, что при больших На
течение состоит из двух экспоненциальных гартмановских
пограничных слоев, отделенных друг от друга однородным
'ядром потока, ширина которого несущественна. Таким обра-
зом, ширина канала не должна входить в соотношение
(3.33), что и имеет место в действительности. Локк обнару-
жил, что электромагнитные силы определяют только невоз-
мущенное течение и не оказывают влияния на механизм
неустойчивости.
Неустойчивость течений в каналах другой геометри-
ческой формы теоретически не изучена. Для больших На
профиль скорости в ядре потока при течении жидкости по
круглой трубе не очень сильно отличается от параболи-
ческого профиля в случае обычного гидродинамического
течения между параллельными пластинами. Поэтому можно
было бы ожидать, что критические числа Рейнольдса в этих
случаях сходны, т. е. ReKp не зависит от числа На или маг-
нитного поля; Однако, по данным автора2), ReKp при таком
О См. также Павлов и Тарасов [IX.1 ].
2) Шерклиф [1Х.З].
$ 3.3. Динамические эффекты
125
течении с увеличением На заметно возрастает в соответствии
с приближенной формулой
ReKp = 250На.
Вероятно, в этом случае магнитные силы все же ока-
зывают влияние на механизм неустойчивости. Вулер [IX. 1]
показал, что при ламинарном течении жидкости между
параллельными пластинами магнитное поле, перпенди-
кулярное направлению движения и параллельное плоско-
стям пластин, не изменяет устойчивое^ течения. Это поз-
воляет предположить, что магнитные силы не будут влиять
на устойчивость ламинарного течения в расходомерах с осе-
вым током, так как магнитное поле в них параллельно
стенкам.
С точки зрения практического использования расходо-
меров гораздо важнее решить следующую задачу: каким
будет развитое течение, если движение на входе было тур-
булентным. Этот вопрос экспериментально изучен для те-
чения между параллельными пластинами о более инте-
ресном течении — по трубам круглого сечения — известно
немного. Весьма возможно, что при наличии поперечного
поля турбулентный профиль скорости будет отличаться от
осесимметричного меньше, чем деформированный ламинар-
ный, так как турбулентность способствует увеличению эф-
фективной вязкости и уменьшению эффективных значений
чисел На. Но даже это утверждение не является бесспорным
вследствие заметной анизотропии влияния магнитного поля
на турбулентность 1 2>, которое подавляет лишь пульсации,
перпендикулярные направлению поля.
Имеющиеся данные о расходомерах для жидкого метал-
ла, работающих в турбулентном режиме, который реали-
зуется на практике, показывают, что реальные величины S
часто на 3—4% меньше соответствующих значений для
осесимметричного профиля скорости. В противоположность
этому при больших На и ламинарном течении чувствитель-
ность уменьшается на 7%. Этим подтверждается, что зна-
чение чувствительности S при развитом магнитогидродина-
1) Гартман и Лазарус [IX.2], Маргетройд [IX.1].
2) Ленерт (Lehnert В.), Quart. Appl. Math., 12,
321 (1955).
126
Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
мическом турбулентном потоке всегда заключено между
соответствующими значениями S для осесимметричного
профиля и для ламинарного профиля при больших На.
Точное значение S зависит от степени подавления турбу-
лентности. Результаты для ламинарного течения в связи
с этим приобретают особый интерес, так как определяют
нижний предел изменения чувствительности.
Прежде чем перейти к обсуждению имеющихся экспе-
риментальных результатов для турбулентных течений,
необходимо сделать несколько общих замечаний. При
рассмотрении течений жидкого металла хорошо оправды-
вается предположение о малости индуцированного поля по
сравнению с приложенным однородным полем Во. В особен-
ности это относится к турбулентным индуцированным полям
(отличным от полей, обусловленных средними индуциро-
ванными токами). В этом случае процесс характеризуется
лишь безразмерными параметрами Re = р^а/т], На =
= Ва^/у])1/2 или их комбинациями. Предположение о ма-
лости индуцированных полей позволяет записать уравне-
ния магнитной гидродинамики в более простой форме:
Р + (V grad) v) 4- grad j х B0+r]V2v (p==const),
j —<j (E4-v X Bo).
К этим уравнениям необходимо добавить линейные урав-
нения электродинамики. В получающейся системе единствен-
ную нелинейность вносит инерционный член p(v grad)v,
который входит и в уравнения обычной гидродинамики.
Поэтому результатом усреднения всех этих уравнений яв-
ляется система относительно средних величин v, р и т. д.,
которая отличается от исходной только обычными членами
с напряжениями Рейнольдса, возникающими из-за нели-
нейного инерционного члена. Магнитное поле воздействует
на движение двояко. Первый механизм, существующий даже
при однородной турбулентности, состоит в непосредствен-
ном анизотропном подавлении пульсаций благодаря вихре-
вым токам. Это приводит к уменьшению напряжений Рей-
нольдса и изменению усредненного движения, если усред-
ненная скорость не однородна. Другой механизм, который
можно назвать эффектом Гартмана, заключается в непо-
§ 3-3- Динамические эффекты 127
средственной деформации профиля усредненной скорости
вследствие протекания усредненных индуцированных токов.
Если приложенное поле параллельно направлению ус-
редненной скорости, то эффект Гартмана отсутствует, и
поле вызывает лишь уменьшение пульсаций. Эта ситуация
привлекла значительное внимание исследователей од-
нако в расходомерах она не имеет места.
Указанные выше два эффекта были обнаружены в экс-
периментах Гартмана (см. Гартман и Лазарус [IX.2]).
Воздействие поперечного магнитного поля умеренной ве-
личины на слабо турбулентное течение приводило к умень-
шению градиента давления при том же расходе жидкости.
Это было вызвано уменьшением турбулентных пульсаций
скорости и напряжений Рейнольдса. При воздействии же
достаточно больших магнитных полей на сильно турбулент-
ное течение происходило увеличение градиента давления,
что связано с возрастанием касательных напряжений на
стенке вследствие эффекта Гартмана.
Краус и Пуарье [IX.2] недавно провели эксперименты
по изучению турбулентного течения в трубах круглого
сечения при наличии поперечного магнитного поля для
низких чисел На.
Наиболее ценные экспериментальные данные о тече-
ниях между параллельными пластинами приведены в ра-
боте Маргетройда [IX. 1], которая недавно обсуждалась
Гаррисом [IX.II. Маргетройд показал, что при больших
На и Re/Ha = рш/г]На<^225 в каналах, длина которых
в 30—40 раз превосходит зазор между пластинами, тур-
булентное на входе течение успевает перестроиться в ла-
минарное. Он обнаружил также, что при не слишком силь-
ной турбулентности коэффициент трения для турбулентного
течения Cf=2a( — dp/dz)/pvm зависит только от одного
параметра Re/Ha. При достаточно больших отношениях
Re/Ha эта простая зависимость теряет силу, так как вели-
чина Су в конце концов стремится к своему зависящему от
Re значению при На = 0. Соответствующая эмпирическая
зависимость была предложена Гаррисом. Результаты Мар-
1) Стюарт [1Х.1]. См. также Бейдер и Карлсон [IX.1 ], Дразин
IX.1], Глоуб [IX.2, 3], Михаэл [IX. 1], Тарасов [IX.1], Велихов
IX.1].
128 Гл. 3. Эффекты в жидких металлах
гетройда для турбулентного режима, в котором Cf зависит
только от Re/Ha, могут быть хорошо аппроксимированы уни-
версальной формулой
1/С//2 = 12 lgRe(С//2)1/2/На — 3,2,
справедливой при 225<Re/Ha<;500. Зависимость Cf только
от отношения Re/Ha, в которое не входит ширина канала,
вероятно, указывает на то, что течение представляет собой
два турбулентных пограничных слоя, разделенных более
или менее ламинарным однородным ядром, ширина кото-
рого несущественна. Вследствие эффекта Гартмана про-
филь усредненной скорости в ядре становится однородным.
При подавлении турбулентных пульсаций магнитным
полем такой профиль уже не может обеспечить поддержа-
ние турбулентного режима. Однако эти детали процесса
экспериментально не наблюдались. Необходимо провести
гораздо более обширные экспериментальные исследования
турбулентных магнитогидродинамических течений в кана-
лах между параллельными пластинами и особенно в тру-
бах круглого сечения. Электромагнитный расходомер—
только один из полезных приборов, в которых реализуется
турбулентный режим течения.
Глава 4
ДРУГИЕ МЕТОДЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
РАСХОДА
Две предыдущие главы главным образом были посвя-
щены основам теории обычных расходомеров (с поперечным
полем) и менее известных расходомеров с осевым током.
В приборах обоих типов жидкость протекает в прямой трубе
и полный расход или средняя скорость определяются по
измерениям разностей потенциалов, индуцированных между
двумя или более электродами. Два варианта использова-
ния этого принципа рассматриваются в данной главе. Сна-
чала изучается электромагнитный способ определения ло-
кальных скоростей в потоке посредством измерения инду-
цированных потенциалов при помощи зондов, введенных
в жидкость. Далее, в § 4.2, приводится обзор методов элект-
ромагнитного измерения расхода, основанных на регистра-
ции не потенциала, а других электромагнитных величин.
§ 4. 1. Кондукционный метод измерения локальных
скоростей
При гидродинамических исследованиях, помимо общих
измерений (полного расхода и т. д.), зачастую необходимо
детально выяснить распределения параметров потока.
Как правило, наиболее важной величиной, которую тре-
буется изучить как можно тщательнее, является скорость
(ее величина и направление). Для этой цели были разра-
ботаны и многие годы успешно использовались различные
устройства. Трубки Пито и указатели направления потока
прочно вошли в практику измерения скоростей стационар-
ного течения или средних скоростей в пульсирующем
режиме. Для измерения флуктуаций скорости в газах при-
меняются усовершенствованные термоанемометры. Их ис-
пользование для жидкостей затруднительно, и некоторые
исследователи пытались создать иные методы измерения.
В этом разделе изучается возможность применения электро-
130
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
магнитных кондукционных методов. Есть основание счи-
тать, что скорость жидкости может быть определена по из-
мерениям разностей потенциалов или их градиентов, инду-
цированных при движении жидкости в известном прило-
женном извне магнитном поле (в настоящем параграфе
магнитное число Рейнольдса предполагается настолько ма-
лым, что искажениями поля можно пренебречь). По-види-
мому, этот метод будет достаточно малоинерционен и поз-
волит измерять флуктуации скорости в турбулентных и
других нестационарных потоках, будучи к тому же при-
годным и для стационарных течений. Многие достоинства
кондукционных расходомеров, например линейность тари-
ровочной зависимости, будут присущи также и кондукцион-
ным измерителям скорости.
Подобно термоанемометру, кондукционный измеритель»
скорости чувствителен к направлению потока. Если гради-
ент потенциала измеряется двумя близко расположенными
зондами или электродами, то существуют два характерных
направления, определяющих положение прибора: местное
направление приложенного магнитного поля и направле-
ние линии, соединяющей точечные электроды.
Кондукционный метод определения скоростей широко
использовался океанографами. Систематические измерения
разности потенциалов, индуцированной в земном магнит-
ном поле между электродами, буксируемыми позади кораб-
ля, или иным образом, позволили подробно изучить океан-
ские течения в различных частях мира. В литературе имеется
несколько прекрасных изложений теоретических основ
интерпретации таких наблюдений; здесь эти теории не
воспроизводятся. Обширный список литературы по океа-
нографическим приложениям приведен в библиографии.
4.1.1. Проблемы омических потерь
Будем предполагать, что справедливо квазистационарное
приближение, т. е. что частоты изменения скорости жид-
кости и приложенного магнитного поля (при переменном
токе возбуждения) не слишком велики, и э. д. с., вызвай-
ные изменением магнитного поля во времени, несуществен-
ны. Тогда понятие электрического потенциала приобретает
конкретный смысл. Это приближение обсуждалось в § 2.1
§4. 1. Метод измерения локальных скоростей 131
Сущность кондукционного метода измерения скорости
заключается в определении величины v по индуцирован-
ной э. д. с. v X В, когда магнитное поле известно. Если
пара близко расположенных зондов или точечных электро-
дов погружена в жидкость, возникающий между ними сиг-
нал {когда ток не отводится) соответствует градиенту по-
тенциала в направлении линии, соединяющей две точки.
Индуцированная э. д. с. и градиент потенциала, к сожа-
лению, отличаются членом, обусловленным потерями на
сопротивление, которые связаны с протеканием индуциро-
ванных токов и определяются из закона Ома
grad(7~vxB—j/О'. (4.1)
Поэтому v X В может быть непосредственно измерено
только при отсутствии индуцированных токов. Однако
такая ситуация является скорее исключением, чем пра-
вилом. Даже если поблизости нет неподвижных твер-
дых проводников, индуцированные токи существуют до
тех пор, пока произведение v X В не сделается безвихре-
вым вектором и не сможет уравновеситься градиентом по-
тенциала. Когда rot v X В^О, то rot 0 и j также
должно быть отлично от нуля. Далее, для несжимаемой жид-
кости (div v = 0) из равенства rot (v X В) =0 следует
(В grad) v = (v grad) В. (4.2)
Во многих интересных случаях правая часть (4.2) об-
ращается в нуль, и магнитное поле В не изменяется вдоль
линий тока. Примером может служить течение по трубе
в однородном поперечном поле, когда краевые зоны поля
значительно удалены друг от друга. Одновременное обра-
щение левой части (4.2) в нуль невозможно, так как скорость
должна убывать до нуля на стенках. Поэтому индуцирован-
ные токи должны существовать. Единственное исключение
составляет течение в канале расходомера с осевым током
при осесимметричном профиле скорости, когда обе части
(4.2), а следовательно, и индуцированные токи обращаются
в нуль.
Отличие от нуля правой части (4.2) означает изменение В
вдоль линий тока жидкости. С подобным примером встре-
чались ранее при изучении концевых токов в краевых
зонах расходомера.
132 Г л. 4. Другие методы измерения расхода
Различие между grad U и v X В иногда может быть не-
большим. Если опять обратиться к течению жидкости по
трубе в однородном поперечном поле, то очевидно, что ра-
венство (В grad)v = 0 для плоского турбулентного про-
филя скорости (как отмечено в работах Колина [VI.2]
и Гроссмана и Чарвата [VI.2]) или профиля, близкого
к однородному при больших На (за счет магнитных сил),
почти по всему сечению выполняется лучше, чем для пара-
болического профиля. Фактически в разд. 3.3.1 в выводе
величины S для профиля, искаженного магнитным полем
при больших На, член j/cr был опущен обоснованно. Но
в общем случае нельзя предполагать, что измеренная вели-
чина grad U может быть интерпретирована просто как
v X В. Это особенно важно при измерении турбулентных
скоростей кондукционным методомх).
В последней своей работе Гроссман (Гроссман и др.
[VI.4]) представил данные о турбулентном течении по трубе
в терминах флуктуаций электрического поля, а не кажущих-
ся флуктуаций скорости, вычисляемых без учета омичес-
кого члена. Там же показано, что омические потери могут
быть тщательно исследованы в результате зондовых изме-
рений компонент электрического поля, направленных вдоль
магнитного поля, т. е. в направлении, в котором v X В не
имеет составляющей и электрическое поле чисто омическое.
Пока неясно, каким образом измерения флуктуирую-
щих электрических полей и их корреляций в турбулентном
потоке со сдвигом или даже при однородной турбулентно-
сти (в присутствии однородного приложенного поля) можно
связать со статистическими кинематическими свойствами
турбулентности. Однако этот вопрос, безусловно, заслу-
живает исследования.
В последнее время вопросам интерпретации зондовых
измерений турбулентности в магнитном поле уделялось
большое внимание в связи с тем, что в устройствах для
управляемого термоядерного синтеза плазма, как правило,
находится в турбулентном состоянии. Для преодоления
трудностей, связанных с омическими потерями при изме-
рении скоростей кондукционным способом, были развиты
различные методы.
х) Борден [VI.1], Гроссман и др. [VI.1—4].
§ 4. 1. Метод измерения локальных скоростей
133
Колин [VI.21 предложил использовать трубчатый изо-
лирующий экран вокруг пары электродов так, чтобы жид-
кость более или менее беспрепятственно проходила через
него, а индуцированные токи, которые циркулируют во
всей жидкости при наличии внешнего магнитного поля,
в окрестности электродов отсутствовали и омические потери
были незначительны. Внутри трубчатого экрана вследствие
вязкости возникает неоднородный профиль скорости, что
приводит к образованию локальных индуцированных токов,
но этот эффект не имеет значения, если профиль скорости
осесимметричный. Главная трудность в таких устройствах
состоит в том, чтобы устранить значительные возмущения
потока экраном.
Система с экранированными электродами на деле нуж-
дается в эмпирической тарировке, чтобы учесть снижение
средней скорости в трубке (за счет вязкости) по сравнение
с невозмущенным потоком и концевые эффекты, возникающие
в трубке конечной длины; последние состоят в том, что токи,
индуцированные в основном течении, до некоторой степени
отклоняются к концам трубки, приводя к слабым омиче-
ским потерям вблизи электродов.
Такая конструкция измерителя скорости нуждается
в тщательной ориентировке параллельно потоку и перпен-
дикулярно полю и не очень удобна для измерений в турбу-
лентных или неустановившихся течениях.
Колин [VI.2, 31 разработал также другую схему пол-
ного исключения крупномасштабных индуцированных то-
ков, в которой используется магнитное поле, существующее
не во всем поперечном сечении трубы, а сконцентрирован-
ное вместо этого только вблизи экранированных электродов.
Эскиз этого устройства представлен на рис. 44. Магнитное
поле создается маленьким подковообразным магнитом, ко-
торый вводится в жидкость и ориентируется так, чтобы
измерительная часть была обращена вверх по потоку и тем
самым движение жидкости не было серьезно искажено.
Сходное устройство — «электротахиметрическая труб-
ка» — описано Хермантом и Вольфом [VI. 11 и Ремение-
расом и Хермантом [VI. 1]. Она также представляет собой
экранированный расходомер с поперечным полем, имеющий
обтекаемую форму, который можно поместить и перемещать
внутри потока жидкости в различных гидравлических уста-
134
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
новках. Рис. 45 показывает, что это устройство имеет форму
трубки Вентури, помещенной в другую концентрическую
трубку хорошо обтекаемой формы; магнитная система
располагается в пространстве между трубками. Магнитное
Рис. 44. Измеритель скорости Колина
(не в масштабе).
/ — поток; 2 — миканитовая стенка; 3 — электро-
ды; 4 — полюсы; 5 —сердечник; 6 —обмотка
возбуждения с переменным током.
поле сосредоточено в горловине, где размещены электроды.
Поскольку средняя скорость в горловине очень сложным
образом связана со скоростью свободного потока перед
Рис. 45. Электротахиметрическая трубка (дистан-
ционно управляемая дроссельная заслонка служит для
установки прибора на нуль).
/ — поток; 2 —заслонка; 3 —сердечник; 4 — обмотка; 5 —полюс;
6 — электрод.
устройством и, таким образом, может существовать сильный
концевой эффект, то устройство требует эмпирической та-
рировки.
По словам авторов, этот прибор успешно применялся
для измерений в потоке воды вплоть до чрезвычайно низ-
ких скоростей.
§4.1 Метод измерения локальных скоростей
135
Применение локального магнитного поля, очевидно,
неизбежно, когда область течения жидкости настолько
велика, что создание в ней‘однородного магнитного поля
затруднительно и непрактично.
4.1.2. Осесимметричные и другие течения в трубах
При исследовании распределения скоростей в осесим-
метричном прямолинейном течении по круглой непроводя-
щей трубе в однородном поперечном поле можно указать
другие пути преодоления трудностей, связанных с омиче-
скими потерями, если концевые
эффекты несущественны. При по-
мощи зондов можно измерить U
или dUldy (градиент потенциала
в направлении v X В; см. рис. 46)
в различных точках поперечного
сечения и получить отсюда рас-
пределение скорости о(г), если
средняя скорость ст известна.
Последняя может быть найдена
по разности потенциалов Uxy
между электродами X и Y обыч-
ным способом.
Рис. 46. Поперечное
сечение круглой трубы.
Чтобы установить пути отыскания v(r), вернемся к ре-
шению уравнения (2.28), принимающего вид
\2U~Bv' sin б.
(4.3)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по г, а лап-
ласиан не содержит производной по г'. Если потенциал
отсчитывать от центра трубы, то решение имеет вид
U — Z(r) sin0, где Z(r) удовлетворяет граничному условию
Z'(a) = 0, поскольку стенки трубы непроводящие (а —
радиус трубы). Теперь из (4.3) находим
Z”+Z'lr— Z/r2=Bv'.
(4.4)
Мы знаем уже, что Uxy — 2aBvm — 2Z(a). Интегрируя
(4.4), получаем
Z'+Zlr=B(v+vmy,
(4-5)
I
136
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
здесь последний член есть постоянная интегрирования,
определенная при г = а, где Z' = О, Z ~ aBvm и v = 0.
Уравнение (4.5) указывает один путь отыскания и(г) по
распределению потенциала поперек трубы вдоль линии
XY (0 = л/2); этот путь ранее был использован Виль-
ямсом [VI. 1]. Правая часть (4.5) при 0 = л/2 равна
dU/ду + U/у, поэтому, зная vm, можно найти v. Градиент
dU/dy определяется либо по измерениям разности потен-
циалов между двумя близко расположенными зондами,
либо вычисляется путем дифференцирования измеренного
распределения U. Обратно, правую часть (4.5) можно' за-
писать как (1/у) (д/ду) Uy и получить из графика произ-
ведения Uy. При малых у точность невелика, однако,
к счастью, скорость в этой области вообще меняется незна-
чительно.
В описанном выше методе определения скорости в точке
предполагается знание в этой точке и потенциала и его
градиента. Колин и Рейхе [VI.4] указали, что измерения
dU/ду на линии OZ (0 = л/4) при помощи пары зондов по-
зволяют найти скорость вдоль данного радиуса, если vm
известно. Это следует из формулы
dU f . п д , cos 0 d \ v . л
_ = ^sin0_+—^zSinO =
= Z'sin20 + 4 cos2 0 = |(Z' + 4)=
Г I I ! L
при 6=л/4.
Как видно, для определения v достаточно знать vm и
dU/ду. Заметим, что нельзя ограничиться измерением
(У(г, л/4) при помощи единичного зонда на линии OZ, так
как dUldy^dUldr и dU/ду не может быть найдено диффе-
ренцированием U(г, л/4).
Колин и Рейхе указали также, что для определения v воз-
можен другой, более громоздкий путь, связанный с одно-
временным измерением dUldy на радиусах 0 =0 и 0 = л/2.
Замечая, что dUldy = Zlr при 0=0, согласно (4.5),
получаем
lav) ‘Hr-
§4.] Метод измерения локальных скоростей
137
Величину vm можно определить не только по Uxy, но и
по измерениям градиента потенциала при помощи пары
близко расположенных электродов, помещенных в любой
точке на периферии трубы, за исключением точки X или Y,
На периферии U = aBvms\nQ и |gradt/| = B^mcos0. Гра-
диент удобнее измерять в точках 0 — 0 и 0 = л, где сигнал
наибольший.
Все эти различные способы решающим образом зависят
от существования осесимметричного профиля скорости и не
могут быть использованы, если симметрия не гарантирует-
ся соответствующей длиной канала перед расходомером и
отсутствием существенных магнитогидродинамических эф-
фектов. Если имеется некоторая неопределенность, то осе-
вая симметрия профиля должна быть проверена, например,
путем установления того, что U все же меняется по перифе-
рии как sin0.
Полное распределение скорости в отличие от vm нельзя
найти по измерениям потенциала только на периферии.
Одному и тому же распределению потенциала по периферии
соответствует бесконечное множество профилей скорости.
Отыскание распределения скорости по распределению
потенциала намного осложняется, если труба не круглая
или профиль скорости неосесимметричный. В этом случае
необходимо найти двумерный лапласиан y4J либо диф-
ференцированием полного распределения (У, либо при по-
мощи системы пяти электродов, предложенной Гроссманом
и др. [VI.4]. Четыре из них расположены в вершинах квад-
рата (со стороной, скажем, Л) вокруг пятого центрального
электрода; все пять находятся в плоскости поперечного
сечения трубы. Разность между суммой потенциалов четы-
рех внешних электродов и учетверенным потенциалом цент-
рального, деленная на А2/2, при достаточно малых h дает
хорошее приближение к значению у?2£У. Затем, зная у2(У,
можно проинтегрировать (2.28) и найти скорость
у
и(х, у) = J \^Udy,
где уг — координата одной из двух точек контура трубы
для каждого значения х, при котором производится интег-
рирование. Проверка обеспечивается тем, что v должно
138
Г л. 4. Другие методы измерения расхода
обратиться в нуль при у = у2, где у2 — координата другой
точки на контуре. При использовании этого метода не
обязательно, чтобы труба была круглая или с непроводя-
щими стенками. Однако он излишне громоздок и неточен.
4.1.3. Измерение скорости вблизи стенки
В разное время выдвигались предложения об определе-
нии скорости вблизи твердой стенки по измерениям потен-
циала, индуцированного при наличии «выходящего из стен-
ки» магнитного потока. Первым таким предложением яви-
лась схема Смита и Слепяна [VI. 1] для измерения скорости
Рис. 47. Измеритель скорости
Смита — Слепяна. В полупро-
странстве х>0 жидкость течет в
направлении z.
1 — сердечник; 2 — обмотка; 3 — твер-
дая поверхность; 4 — поле.
судов (твердой поверхностью был корпус корабля). На
рис. 47 изображено это устройство в разрезе. Течение счи-
тается перпендикулярным плоскости чертежа, а магнитные
полюсы — достаточно длинными в направлении течения,
чтобы уменьшить концевой эффект. Индуцированная э. д. с.
измеряется между электродами X и Y. Недостаток этого
устройства как корабельного лага состоит в том, что инду-
цированный сигнал в большей степени зависит от некото-
§ 4.1 Метод измерения локальных скоростей
139
рой средней скорости воды в пограничном слое относитель-
но корпуса, нежели от более высокой, вообще говоря, скорос-
ти корабля относительно невозмущенного океана.
По существу такие же устройства в более позднее время
использовались Гуелке и Шоте-Ваннеком [VI.I]1) для из-
мерения скорости воды вблизи дна моря и Ремениерасом
Рис. 48. Осесимметричный из-
меритель скорости вблизи стенки,
вид сверху. Вид сбоку совпа-
дает с рис. 47. Вариант Гуелке
и Шоте-Ваннека лишен сердечни-
ка и содержит лишь одну круго-
вую обмотку.
1 —полюсы.
и Хермантом [VI.1] для измерений в гидравлических сис-
темах. Аналогичные методы применялись для измерения
в потоках ионизованного газа около твердых стенок.
В этих схемах размеры магнитных полюсов в направлении
потока должны быть невелики. Для учета возникающего
при этом концевого эффекта необходимо проводить эмпи-
рическую тарировку.
Конфигурация использованных магнитов была осесим-
метричной относительно линии, нормальной к стенке, как
показано на рис. 48. Четыре попарно соединенных электрода
IF, X, У, / позволяли определить скорости в направлениях
WZ и ХУ. Вращая прибор вокруг оси Ох, пока сигнал не
х) См. также Лонге-Хиггинс и Барбер [VI. 1].
140
Г л. 4. Другие методы измерения расхода
обратится в нуль, можно найти направление потока как
параллельное линии, соединяющей электроды.
В рассматриваемых измерителях скорости, даже при
отсутствии концевого эффекта, интерпретация измеренных
разностей потенциалов несколько затруднена из-за оми-
ческих потерь. Утверждение Смита и Слепяна [VI.1] об
отсутствии индуцированных токов в общем случае ошибоч-
но. Оно верно, только когда выполняется равенство (4.2),
а стенка непроводящая. В устройстве Смита и Слепяна
(v grad)В, т. е. правая часть (4.2), обращается в нуль,
тогда как (Bgrad)v — левая часть (4.2) для реального тече-
ния около твердой границы, где должны возникать гра-
диенты скорости, — всегда отлична от нуля. В любом слу-
чае работа устройства фактически зависит от индуцирован-
ных токов, потому что разность потенциалов между точками
X и Y (рис. 47) обусловлена исключительно омическим со-
противлением вдоль линии ХУ, где нет индуцированной
э. д. с. вследствие равенства нулю скорости на твердой
поверхности.
Схема Смита — Слепяна, плоский случай. Легко пред-
сказать характеристики измерителя скорости Смита —
Слепяна в двух предельных случаях, предполагая конце-
вой эффект несущественным. О степени влияния концевого
эффекта можно приближенно судить по рис. 21, где 2с
следует считать длиной магнитных полюсов. Указанные
два предельных случая соответствуют толщине погранич-
ного слоя, очень малой или очень большой по сравнению
с характерным размером прибора XY = 2Ь.
Если пограничный слой очень тонкий, то можно с ма-
лой погрешностью положить скорость v постоянной всюду
и тогда пренебречь индуцированными токами. При этом
Uxy = v f BXody=2vbB, ,
•С хт
(4.6)
где ВХо — значение Вх на стенке прц х = 0 и BXfn — среднее
значение ВХо на отрезке XY. Интеграл для данного прибора
легко вычислить, измерив напряженность поля. Чтобы
максимизировать (Уху, электроды следует поместить в двух
точках на линии х = 0, где Вх =0.
§4.1 Метод измерения локальных скоростей
141
Если пограничный слой очень толстый, то распределе-
ние скорости вблизи прибора подобно потоку со сдвигом,
т. е. v = йх, где й — постоянная. Уравнение для U тогда
имет вид
\2U = divvxB = Brot v = —QBV, (4.7)
причем здесь использовано предположение о малости маг-
нитного числа Рейнольдса, так что поле В в жидкости можно
считать безвихревым. Граничные условия состоят в том,
что /х, v и, следовательно, dU/dx обращаются в нуль при
х = 0, a U стремится к нулю при больших х, у. Компоненты
магнитного поля Вх, Ву также обращаются в нуль на бес-
конечности. Решение (4.7),зависящее от двух переменных
х, у, можно записать в виде
(У оо у 1
и (х, у) = Q J dy J Ву dy +х dy ,
’ о у О J
принимая во внимание симметрию магнитного поля отно-
сительно оси Ох и равенства divB = 0, rotB = 0 в области
жидкости. В частности, если XY = 2Ь, то
Ь оо (Ь оо 'j
UXY = dy J Byady = Q \ BVody ,
О у (о b )
где ВУо— значение By на стенке x = 0. Эти интегралы могут
быть вычислены по измерениям поля на стенке. Таким обра-
зом, прибор Смита — Слепяна позволяет непосредственно
измерить градиент скорости Й в пограничном слое вблизи
стенки, когда его толщина много больше, чем расстояние
2Ь. Сигнал Uxy может быть максимизирован таким выбором
оо
XY, чтобы J B^dy = 0. Тогда
ь
ь
Uxy=^ [ yBy.dy.
о
Случай осесимметричного поля. Когда магнитное поле
осесимметрично, как на рис. 48, два предельных (в смысле
толщины пограничного слоя) случая также могут быть рас-
смотрены и даже с учетом концевых эффектов.
142
Гл. 4. Другие методы измерения расхооа
В случае тонкого пограничного слоя допустимо считать
скорость v однородной и направленной по оси z. Тогда урав-
нение (4.7) принимает вид V2t7 —0, а граничное условие
состоит в том, что /х = 0 на стенке х = 0, если она непрово-
дящая. Отсюда dU/dx = — vBy при х = 0. Кроме того,
U и магнитное поле исчезают на больших расстояниях от
начала координат. Решение дается простыми формулами
dU!dx=—vBy и jx = 0, так как у2Ву == 0. Отсюда
ОО 00
U=v\Bydx, UxY = Zv\Bydx,
х 6
причем интеграл UXy вычисляется при у = b, z =0.
со
Однако вследствие осевой симметрии поля он равен §Brdx,
о
вычисленному при г = b и произвольном значении 0, где
г, 0 — полярные координаты в плоскости (у, г). Таким
образом, сохранение магнитного потока требует, чтобы
оо b
2лЬ J Brdx = 2jtJ rBX(idr при х = 0.
о о
Отсюда
UXY = ^rBxJr=vbBXm, (4.8)
о
гдеВхт — значение ВХо на поверхности, среднее по площади
круга радиусом b с центром в начале координат. Этот ре-
зультат был получен в работе Ремениераса и Херманта
[VI. 1] при излишнем и к тому же нереальном предположе-
нии, что магнитное поле направлено только по оси х и не
зависит от х. Результат (4.8) следует сравнить с (4.6), и
тогда очевидно, что концевой эффект при осесимметричном
поле уменьшает сигнал вдвое по сравнению со схемой
Смита — Слепяна, в которой концевой эффект не учиты-
вается. Следует, однако, заметить, что ВХт вычисляется
в обоих случаях по-разному. Если ВХт найдено из измере-
ний индукции на стенке, то (4.8) дает тарировочную зави-
симость расходомера при тонком пограничном слое. Сиг-
нал Uxy можно максимизировать посредством расположе-
ния X, Y в двух точках оси у, где ВХй = 1/2ВХт.
U II V
§ 4.1 Метод измерения локальных скоростей
143
Рассмотрим другой случай, когда пограничный слой
очень толстый и v = Йх вблизи прибора. HecMotpn на то
что поле теперь симметрично относительно оси х, опять мож-
но использовать уравнение (4.7). Граничные условия со-
стоят в том, что dU/dx = 0 при х = 0 и U равно нулю на
бесконечном удалении от прибора. Решение имеет вид
оо
оо
оо
поскольку V25y = 0 и Ву равно нулю на бесконечности.
Отсюда
ОО ОО
Uxy— & § dx J Bydx при y=b, z = 0.
0 x
Этот интеграл удобнее выразить через компоненты поля
на поверхности, как это было сделано для схемы Смита —
Слепяна. Когда z = 0, имеем Ву = Вг, и, поскольку Вг
не зависит от 6, условие сохранения магнитного потока
приводит к равенству
оо оо b
J Bydx = J Brdx J rBx dr,
х х О
где последний интеграл вычислен при соответствующем
значении х. Отсюда, меняя порядок интегрирования,
находим
оо b b со
Oxy = •?- f dx f rBxdr= Д f rdr f Bx dx.
b J .) * b J J
0 0 0 0
oo oo
Ho J Bx dx = J Br,dr, поскольку rotB=0, и поле до-
О г
статочно быстро убывает на бесконечности (ВГо означает
величину Вг на поверхности х=0). Тогда
b оо ( b оо
Oxy = rdr j Br, dr = g- J r2 Br, dr+b^ Br, dr
Or (0 b
144
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
Полезно сравнить этот результат с соответствующей фор-
мулой для схемы Смита — Слепяна. Вычислив входящие
в Uxy интегралы по измерениям поля на стенке, систему
с осесимметричной конфигурацией поля также можно ис-
пользовать для непосредственного измерения градиента
скорости в пограничном слое вблизи стенки, когда его тол- 1
щина много больше расстояния 2Ь. Сигнал Uxy достигает j
наибольшей величины при таком выборе XY, чтобы |
оо b J
62 f ВГо dr = f г2 Br, dr. |
бо . Л
Тогда 1
6 I
Oxy = ^\riB'°dr-
0 i
Заключительные замечания. Очевидно, что кондукцион-
ный метод измерения скоростей вследствие усложненного
соотношения между скоростью и градиентом потенциала не
столь прост, как может показаться на первый взгляд.
С другой стороны, он весьма привлекателен для простых
качественных наблюдений, таких, как определение направ-
ления, знака или степени равномерности потока. Важно
помнить, что измерение скорости кондукционным методом t
намного усложняется при больших магнитных числах Рей-
нольдса, когда конфигурация магнитного поля становится
неопределенной и сама зависит от расхода. Это, вероятно,
происходит только в жидком металле. Многие из сообра-
жений, изложенных в других разделах этбй книги приме- '
нительно к расходомерам, в равной степени приложимы и
к измерителям скорости. При этом возникают аналогичные
практические вопросы, например о выборе режима постоян- !
ного или переменного тока.
Обзор кондукционного метода измерения скорости был
бы неполным, если не упомянуть раннюю попытку Виль- ’
ямса [VI. 1] исследовать вторичное или закрученное тече-
ние в изогнутой трубе путем измерения разностей потенциа- 8
лов, индуцированных в магнитном поле, направленном вдоль
трубы.
§4.2. Определение расхода
145
§ 4. 2. Определение расхода по измерениям различных
электромагнитных величин
Когда сравнительно слабо проводящая жидкость течет
в магнитном поле, единственным значительным эффектом,
который может быть измерен,' является возникновение
индуцированных разностей потенциалов. Индуцированные
токи не могут быть измерены непосредственно, а их влия-
ние на приложенное магнитное поле или движение жидко-
сти слишком ничтожно, чтобы быть использованным для
измерения расхода. Совершенно иная ситуация, как было
показано в гл. 3, возникает при течении жидких металлов.
Поэтому при наложении соответствующих магнитных полей
возможны некоторые другие способы измерения в потоках
жидкого металла1). Они обсуждаются в следующих разде-
лах главы. Будем различать далее методы, основанные на
динамических и магнитных эффектах.
4.2.1. Измерение расхода по динамическим эффектам2)
Токи, индуцированные при движении жидкого металла
в приложенном магнитном поле, определяют действующие
на жидкость силы j X В. Рассмотрим сначала течение жид-
кости по трубе в магнитном поле, которое перпендикулярно
движению и создается либо внешними полюсными наконеч-
никами, либо осевым током. Будем различать несколько
случаев.
Как известно, в областях, удаленных от концов поля,
токи циркулируют в плоскостях, перпендикулярных дви-
жению. При непроводящих стенках трубы эти токи замы-
каются полностью в жидкости и суммарная сила, действую-
щая на жидкость (т. е. интеграл от j X В по всему попереч-
ному сечению), равна нулю. Если же стенки трубы прово-
дящие, то по ним протекает часть токов и возникает сум-
марная электромагнитная сила, противоположная движе-
нию жидкости и уравновешиваемая силой на стенках, на-
правленной по потоку. В обоих этих случаях магнитное
г) Маргетройд [11.1].
2)’]В отечественной литературе такие расходомеры принято на-
зывать пондеромоторными. — Прим, ред*
6 Шерклиф
146
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
поле вне трубы не возмущается и не существует сил, при-
ложенных к источникам магнитного поля.
Известно, что в краевых зонах токи циркулируют в плос-
костях, более или менее перпендикулярных полю. Здесь
возникает суммарная действующая на жидкость сила j X В,
противоположная движению и вызывающая дополни-
тельную потерю давления в жидкости. Эта сила обуслов-
ливает реактивное направленное по потоку воздействие на
Рис. 49. Осесимметричный пон-
деромоторный расходомер. (Ис-
пользование сердечника не обя-
зательно.)
/—индуцированный ток; 2 — поток;
3 — сердечник; 4 — поле; 5 — обмотка.
источники поля, т. е. на магнитные полюсы в приборе с попе-
речным полем и на внешние проводники в приборе с осевым
током.
Поскольку теперь мы не связаны необходимостью изме-
рения индуцированной разности потенциалов, становятся
интересными системы, в которых э. д. с. целйком затрачи-
вается на возбуждение циркулирующих токов. Фактически
такие системы характеризуются тем, что индуцированные
токи и обусловленные ими динамические эффекты при дан-
ных скорости и напряженности приложенного магнитного
поля являются наибольшими.
На рис. 49 в качестве примера изображена схема устрой-
ства этого типа с магнитной системой, которая могла бы
быть установлена на уже имеющейся трубе без ее переделки.
В рассматриваемых ситуациях токи целиком протекают
ПО жидкости в плоскостях, перпендикулярных движению;
§ 4. 2. Определение расхода
147
однако теперь существует суммарная магнитная сила, воз-
действующая на жидкость в направлении, обратном дви-
жению. Она вызывает падение давления и одновременно
обусловливает направленное вниз по потоку реактивное
воздействие на магнит или обмотку. Заметим, что харак-
теристики осесимметричного устройства на рис. 49 совер-
шенно не зависят от проводимости стенок или контактного
сопротивления.
В любом из указанных выше случаев эффектами, изме-
рение которых может быть использовано для определения
расхода, являются потеря давления в жидкости, усилие на
стенках трубы, если они проводящие, и силы, действующие
на магнит, внешние проводники или обмотки.. Существует
также другой динамический эффект — возмущение самого
течения, но для наших целей он малопривлекателен.
Определение расхода по измерениям потерь давления.
Измерение потерь давления как величины, характеризую-
щей расход, является стандартным приемом. Особо серьез-
ных причин для того, чтобы предпочесть создание потерь
давления магнитными силами, а не за счет препятствия,
как в обычных трубках Вентури и мерных шайбах, вообще
говоря, может и не быть. Во всяком случае, одна из глав-
ных причин использования электромагнитных расходоме-
ров заключается в стремлении избежать именно измерения
давления в «неприятных» жидкостях типа жидкого натрия.
Единственное очевидное основание для использования рас-
ходомеров, измеряющих потери давления, вызванные маг-
нитными силами, состоит в том, что соотношение между
расходом и напором в первом приближении линейно. Это
обеспечивает простую тарировку прибора, возможность
определения направления течения и правильную регистра-
цию средних величин при флуктуирующих течениях. Нели-
нейность тарировочной зависимости может быть обуслов-
лена сильными возмущениями магнитного поля или ско-
рости и тем, что часть потерь давления определяется гидрав-
ликой.
Создание потерь давления за счет магнитных сил уже
нашло успешное применение, если не для измерения расхо-
да, то по крайней мере для торможения потока. Скорость
естественной циркуляции в заполненных жидким натрием
охлаждающих контурах атомного реактора после его вы-
6*
148 Гл. 4. Другие методы измерения расхода
ключения контролируется устройством1), по существу не
отличающимся от расходомера узкого прямоугольного се-
чения с регулируемым поперечным полем. Вероятно, для
торможения удобнее примёнять осесимметричное устрой-
ство, изображенное на рис. 49, в частности потому, что
труба может быть всюду круглой. То обстоятельство, что
тормозящая сила на оси трубы равна нулю, не имеет зна-
чения; импульс в жидкости легко перераспределяется.
В разд. 3.3.4 было показано, что падение давления в при-
боре с узким прямоугольным каналом и резко обрываю-
щимся на концах поперечным магнитным полем примерно
равно 0;54aB2bvm.
Этот результат получается, если пренебречь всеми эф-
фектами, кроме влияния концевых замкнутых токов. Ана-
логичная более точная формула дана в работе Фэриса
[VIII.1]. В устройстве, показанном на рис. 49, максималь-
ная величина j X В, т. е. магнитная сила торможения в рас-
чете на единицу объема, равна оВ2^, где В — максималь-
ное значение радиального поля (скорость жидкости счи-
тается однородной). Если продольная протяженность поля
примерно" равна диаметру трубы 2а и среднее значение
квадрата радиального поля составляет приблизительно
половину максимального, то потери давления достигают
величины аВ2ш (см. приложение).
Теперь становится очевидным другой недостаток изме-
рения расхода по потерям давления, вызванным магнит-
ными силами: тарировка прибора зависит от проводимости
жидкости а, которая может быть переменной и даже не-
определенной, в особенности когда изменяется температура.
Определение расхода по измерениям сил. Измерение силы,
действующей на стенки трубы, если они проводящие, из-за
необходимости их соединения с остальным трубопроводом
затруднено. Гораздо более привлекательно и реально изме-
рение сил, действующих на магнит или обмотку2). Эти силы
в первом приближении линейно зависят от расхода со всеми
вытекающими отсюда преимуществами. Большим преиму-
ществом является то, что магнит или обмотки могут быть
1) Бэйкер [VIII.1], Де Бир [VIII.1], Фэрис [VIII.1], Скелл
[VIII.1].
2) Шерклиф [1.1, 4].
§ 4. 2. Определение расхода 149
размещены вне системы без нарушения целостности или
переделки трубы за счет введения электродов, дренажа
и т. д.
Возможные схемы измерений включают устройства с по-
перечным полем, использующие токи, которые циркули-
руют в краевых зонах поля, и осесимметричные (как на
рис. 49). Первый вариант особенно привлекателен тем, что
магнитная система целиком может устанавливаться и демон-
тироваться без разъединения трубопровода, тогда как во
втором случае ее следует устанавливать заблаговременно,
если трубопровод неразъемный.
Большим преимуществом осесимметричных конструкций
является независимость их характеристик от проводимости
стенок и контактного сопротивления.
Величину силы, действующей на магнит или обмотки
в направлении потока, лег,ко оценить, так как она равна
произведению площади поперечного сечения трубы на па-
дение давления вследствие концевого эффекта, которое уже
вычислено для устройства, показанного на рис. 49. По
порядку величины эта сила приближенно равна люВ2ш3
(см. приложение). При желании измерение этой силы мо-
жет быть проведено с достаточной точностью. Если бы
сердечник магнита был весьма тяжелым и затруднял изме-
рение силы, его можно было бы устранить и создавать поле
одной только обмоткой, изготовленной, скажем, из алю-
миния.
Недостатком расходомера рассматриваемого типа, так
же как и прибора, основанного на измерении потерь дав-
ления, являются зависимость тарировочной кривой от не-
определенной до некоторой степени проводимости жидкости
и нарушение линейности при существенных возмущениях
скорости или магнитного поля. Величина этих возмущений
определяется соответственно безразмерным параметром
сВ2а/рит и магнитным числом Рейнольдса pavma.
Один из путей устранения зависимости от проводимости
жидкости основан на использовании следующей идеи.
Если бы магнитная система свободно увлекалась жидкостью
при отсутствии значительного трения, то она двигалась бы
синхронно с некоторой средней скоростью и тем самым
указывала бы скорость жидкости независимо от ее прово-
димости. Практическое осуществление этого принципа,
j
150
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
очевидно, требует вращения магнитной системы относитель-
но некоторой смещенной оси, поскольку неограниченное
поступательное движение невозможно. Прибор, изобра-
женный на рис. 50, а, испытывался при течении ртути1).,
Практика подтвердила возможность использования таких
приборов. В ртути магнитные силы так малы, что из-за
трения прибор работает неустойчиво. При течении натрия
он будет работать значительно лучше. Осесимметричная
Рис. 50. Ротационный расходомер (а). На схеме б магнитная си-
стема осесимметрична и магнитный поток замыкается через цент-
ральный вал.
1 — поток; 2— направление вращения.
модель, показанная на рис. 50, б, не действует. Магнитное
поле должно быть неоднородным, как на рис. 50, а. Следует
заметить, что даже в отсутствие трения магнитная система
движется не синхронно с жидкостью, а только с половинной
скоростью. Это происходит вследствие вихревых токов в
жидкости, которые препятствуют вертикальному движе-
нию полюсов, хотя и способствуют при течении жидкости
горизонтальному движению. Такие приборы, очевидно,
мало пригодны для пульсирующих течений вследствие меха-
нической инерции магнитной системы.
4.2.2. Измерение расхода по магнитным эффектам:
индукционный расходомер2)
Поскольку при движении жидкого металла во внешнем
магнитном поле создается дополнительное или индуциро-
D Шерклиф [VI 11.1].
2) Автор использует термин induced-field flowmeter. — Прим,
ред.
§ 4. 2. Определение расхода 151
ванное поле, которое в первом приближении пропорцио-
нально расходу, измерение этого индуцированного поля
в принципе дает еще одну возможность определения рас-
хода. Как и в пондеромоторных расходомерах, здесь ис-
пользуется эффект, пропорциональный проводимости жид-
кости, которая может быть неопределенной. Фактически,
если,скорость известна, этот метод может служить для опре-
деления проводимости* 1). Различные модификации рассма-
триваемого способа широко применяются для измерения
проводимости ионизованных газов при кратковременных
течениях в ударных трубах2).
Индукционный расходомер привлекателен тем, что не
нуждается в преобразователях сигнала, так как регистри-
руются электрические величины. Это преимущество сбли-
жает его с обычным расходомером, в котором измеряется
разность потенциалов, но индукционный прибор, помимо
того, не требует электрического контакта с каналом или
жидкостью. Поэтому нет опасности поляризации электро-
дов.
Поскольку магнитное поле легче всего измерить при его
изменении в присутствии измерительной катушки, пред-
почтительнее пользоваться системой на переменном токе,
с частотой достаточно низкой, чтобы избежать скин-эффекта
в жидком металле. Однако это ни в коем случае не един-
ственная возможность, что подтверждается простыми при-
мерами. Если постоянное поле создается магнитом или об-
мотками, расположенными вне трубы, то конфигурация
поля в этой области может быть подвержена значительному
влиянию в результате движения жидкости, когда магнит-
ное число Рейнольдса близко к единице. Определение из-
менившегося направления поля в соответствующей точке
при помощи стрелки компаса или иным путем представляет
собой простейший способ измерения расхода. Кроме того,
постоянные магнитные поля могут измеряться при помощи
движущихся катушек, дисков Фарадея, датчиков Холла
и т. д. Возможности здесь бесчисленны, и лишь недостаток
накопленного практического опыта не позволяет сделать
какой-либо определенный выбор.
1) Мейер [VIII. 1].
2) Л и н ь, Реслер, Кантровиц (L i n S. С., R е s-
1 er Е. L., К a nt row i t z A. R.), J. Appl. Phys., 26, 95 (1955).
152 Гл. 4. Другие методы измерения расхода
Первые индукционные расходомеры с переменным полем
были предложены Лейде и Лангом [VIII. 11. Рассмотренная
ими осесимметричная схема представлена на рис. 51. Ка-
тушки А, В и С заключены в обтекаемую капсулу (показан-
ную на рис. 51 пунктиром), вне которой происходит тече-
ние жидкости. Однако нет причин, по которым жидкость
не могла бы протекать также по трубе внутри катушек
Рис. 51. Индукционный прибор Лейде и Ланга.
Варианты установки внутри капсулы и вне трубы.
1 — поток; 2 — поле; 3 — капсула; 4 — труба.
(штрих-пунктирная линия на рис. 51). Через катушки воз-
буждения А и С пропускаются токи в разных направле-
ниях, так чтобы индуцировалось переменное поле указан-
ной формы. В отсутствие движения жидкости поле симмет-
рично и в измерительной катушке В не возникает сигна-
ла. При течении жидкости поле сносится вниз по потоку
и в измерительной катушке наводится сигнал, в первом
приближении порпорциональный расходу. Возможное усо-
вершенствование этой схемы состоит в том, что катушка В
используется как источник переменного поля, а катушки А
и С, включенные навстречу друг другу, — в качестве изме-
рительных. Большое значение приобретают вопросы опти-
мизации размеров катушек и их расположения. Можно
применять только одну катушку, которая одновременно
служит для возбуждения поля и измерения его возмущений
вследствие течения жидкости. По изменению мощности и
импеданса катушки можно определить расход жидкости,
но выделение части сигнала, зависящей от расхода, намно-
го сложнее, чем в отдельной измерительной катушке, не
дающей сигнала при отсутствии потока.
Лейде и Ланг понимали, что тарировка прибора зависит
от проводимости жидкости, и для преодоления этого за-
§ 4. 2. Определение расхода
153
труднения предложили остроумные методы, основанные на
одновременном использовании датчиков проводимости.
Лейде и Ланг рассмотрели также устройство с попереч-
ным полем. На рис. 52 показан вид канала в направлении
переменного поля, которое создается обмотками или полю-
сами электромагнита. Известно, что концевые токи, воз-
никающие в краевых зонах поля, ослабляют его во входной
Рис. 52. Расположение изме-
рительной катушки индукцион-
ного прибора с поперечным
полем.
1 — поток; 2— контур полюсного
наконечника; 3 — измерительная ка-
тушка; 4 — концевой ток.
и усиливают в выходной зоне, так что в показанной на чер-
теже двойной измерительной катушке наводится сигнал,
зависящий от расхода. Лейде и Ланг предлагали раздвоить
канал и поместить измерительную катушку между обеими
половинками. Однако в этом нет необходимости: достаточно
расположить ее в одном или обоих зазорах между полюсом
магнита и стенками канала.
Мейер [VIII.П описал применение этого же принципа
для измерения проводимости ионизованного воздуха,
который обтекает баллистический снаряд, возвращающийся
в земную атмосферу, при условии, что скорость обтекания
известна. Схема Мейера изображена на рис. 53. Обмотки
возбуждения Ш-образного магнита питаются переменным
током. При движении жидкости симметрия поля нарушает-
ся и в измерительной катушке В наводится сигнал, зави-
сящий от течения. Возмущение поля в первом приближе-
нии пропорционально магнитному числу Рейнольдса, т. е.
проводимости. Малость проводимости ионизованного газа
(порядка 100 мо/м) компенсируется тем, что скорость газа
в этой ситуации очень велика.
6В. Шерклиф
154
Гл. 4. Другие методы измерения расхода
Для всех индукционных приборов, схема которых пред-
полагает нулевой выходной сигнал при отсутствии течения,
необходимо тщательное выполнение этого требования в дей-
ствительности. Иначе полезный, зачастую очень слабый
сигнал не удается отделить от случайных наводок. Эти
устройства могут быть использованы, когда Rem мало. Дру-
гие схемы, которые обсуждались выше, вообще говоря,
Рис. 53. Измеритель проводимости
Мейера.
1—поле; 2 — поток; 3 — поверхность сна
ряда; 4 — сердечнцд.
требуют больших значений Rem вследствие того, что относи-
тельное изменение выходного сигнала в результате движе-
ния приблизительно пропорционально Rem и с трудом под-
дается измерению при низких Rew. Типичные величины Rem
приведены в приложении.
Привлекательной стороной индукционных расходоме-
ров при наличии соответствующих усилителей является
малость используемых магнитных полей. Тем самым, по-
мимо экономии энергии, преодолевается опасность динами-
ческого возмущения потока.
Когда магнитное поле создается током, пропускаемым
через жидкость, возникают другие возможности измере-
ния расхода. Возмущение магнитного поля при течении
жидкости связано с возмущением поля токов и электриче-
ского поля и может проявиться как изменение разности
потенциалов, приложенной к жидкости для пропускания
тока. Таким образом, мы опять приходим к схеме кондук-
ционного прибора. Расходомер такого типа был показан на
рис. 5, но возможны и другие конфигурации. Движение
в указанном направлении создает э. д. с., направленную
§4.2. Определение расхода
155
противоположно пропускаемому току, т. е. появляется
кажущееся сопротивление. Приборы такого типа могут
работать и на постоянном токе. Их использование целе-
сообразно лишь при больших магнитных числах Рейнольд-
са, когда относительное изменение кажущегося сопротив-
ления значительно. Другим свойством этих приборов яв-
ляется возникновение сил, действующих на жидкость и
способных перемещать ее в одном направлении. На рис. 5
усилия направлены внутрь, т. е. возникает пинч-эффект.
Резюме. Индукционные и пондеромоторные расходомеры
во многих случаях имеют определенную практическую цен-
ность. Их преимущества заключаются в том, что они обыч-
но не имеют электродов и могут быть установлены вне тру-
бопровода. По точности они не могут конкурировать с луч-
шими кондукционными расходомерами.
Возмущение поля и соответствующая сила зависят от
скорости линейно только при малых магнитных числах
Рейнольдса Rem. В этом случае члены v X В и j X В могут
быть аппроксимированы выражениями v X Ввнеш и j X Ввнеш
и потому линейны по v (j также линейно по v). Когда же Rew
увеличивается, важным становится нелинейный вклад чле-
нов v X Винд и j X Винд. Другое нелинейное свойство про-
является, если магнитное поле достаточно сильно, чтобы
возмутить течение жидкости. Точное теоретическое иссле-
дование индукционных и пондер омотор ных расходомеров
обычно представляет значительные трудности, и поэтому
необходима их эмпирическая тарировка.
6В*
Глава 5
ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ИЗМЕРЕНИЯ РАСХОДА
В настоящей главе будет определено место электромаг-
нитных расходомеров среди других приборов для измере-
ния расхода жидкости. После того как в § 4.2 были рас-
смотрены электромагнитные расходомеры, основанные на
измерении величин, отличных от индуцированной разности
потенциалов, ниже основное внимание будет уделено кон-
дукционным расходомерам. В практических приложениях
широко применяются только такие расходомеры.
Вначале необходимо выяснить качественные особенности
электромагнитных расходомеров, которые позволяют им
конкурировать с обычными, давно разработанными изме-
рительными устройствами. Затем надо указать сравнитель-
ные преимущества различных типов кондукционных расхо-
домеров и факторы, определяющие выбор геометрии и ре-
жима работы (на переменных или постоянных полях). Мно-
гие положения, относящиеся к рассматриваемым вопросам,
уже были сформулированы и подтверждены в предыдущих
главах; здесь мы постараемся систематизировать эти данные.
§5.1. Достоинства электромагнитных расходомеров
Основным требованием, предъявляемым к электромаг-
нитным расходомерам, является линейная зависимость вы-
ходного сигнала (индуцированной разности потенциалов)
от средней скорости или объемного расхода жидкости. На-
сколько это требование выполняется в действительности,
будет выяснено в разд. 5.1.1. Линейная характеристика
(будем считать, что она имеет место) дает электромагнитным
расходомерам весьма значительные преимущества перед
большинством других измерительных устройств. Линей-
ность тарировочной кривой позволяет однозначно в отличие
от трубки Вентури определять направление потока; кро-
ме того, усредненный сигнал расходомера в пульсирующем
течении непосредственно соответствует среднему расходу.
§ 5. 1. Достоинства электромагнитных расходомеров 157
Коэффициент пропорциональности между сигналом и объ-
емным расходом жидкости при выбранной схеме и задан-
ных размерах расходомера зависит только от напряжен-
ности приложенного магнитного поля. Этот коэффициент,
по крайней мере при непроводящих стенках трубы, не за-
висит ни от каких свойств жидкости. Поэтому тарировоч-
ная кривая, полученная для одной среды, может, без сом-
нения, быть использована и для других сред. В противопо-
ложность этому интерпретация показаний мерных шайб
требует знания плотности жидкости. Кроме того, их показа-
ния незначительно зависят также от вязкости (или числа Re).
Другое важное преимущество электромагнитных рас-
ходомеров состоит в том, что принцип их работы и регистра-
ция сигнала являются электрическими. Их можно без до-
полнительных преобразователей подсоединить к электри-
ческим системам, предназначенным для измерений и авто-
матического регулирования. По этой же причине электро-
магнитные расходомеры применимы для дистанционной ре-
гистрации сигнала (хотя в случае плохой проводимости
жидкости длина проводников, соединяющих расходомер
с измерительным устройством, должна быть ограничена).
Вследствие того что электрические измерения могут
быть проведены с высокой точностью, при соответствующей
конструкции и надлежащем режиме работы расходомера
можно добиться, чтобы тарировочная кривая была линей-
ной и в течение длительного времени воспроизводимой
с точностью ± 0,25%; более привычная точность порядка
1% в большинстве случаев достигается без труда. Даже
при неблагоприятных условиях работы (когда в потоке
имеются примеси, велико контактное сопротивление и за-
метны другие эффекты, не поддающиеся точному учету)
точность измерений оказывается не ниже ±5%. Подобные
условия реализуются для жидкого натрия низкой чистоты.
Электромагнитные расходомеры, поскольку в их ос-
нове лежат электрические явления, малоинерционны и
позволяют изучать неустановившиеся течения даже при
весьма высоких частотах изменения скорости. При соответ-
ствующей электрической измерительной аппаратуре чув-
ствительность расходомера по отношению к высокочастот-
ным колебаниям ограничена только самоиндукцией жид-
кости (скин-эффектом), если среда является жидким метал-
158 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
лом, или частотой тока возбуждения магнита, когда исполь-
зуется переменное магнитное поле, что, вероятно, желатель-
но в случае неметаллических жидкостей. Арнольд [1.1]
сообщает об использовании переменных полей с частотой
5000 гц, которые позволили обнаружить переходные про-
цессы с частотами 'вплоть до 1000 гц. Так как принцип
измерений основан на немеханических явлениях, то не
возникает погрешностей, связанных с напором ускорения,
которые свойственны большинству обычных расходомеров,
когда их применяют для измерений в неустановившихся
течениях. Таким образом, электромагнитные расходомеры
можно с равным успехом использовать в таких объектах,
как снаряды и космические аппараты, движущиеся с очень
большими перегрузками.
Большинство электромагнитных расходомеров имеет
каналы, обеспечивающие беспрепятственное течение жид-
кости. Фактически каждая труба может быть превращена
в расходомер путем установки внешних электродов и со-
ответствующей магнитной системы, если стенки трубы и
жидкость являются хорошими проводниками. Если среда
не является жидким металлом, то потери давления, обуслов-
ленные расходомером, не отличаются от потерь в обычном
трубопроводе эквивалентной длины. Беспрепятственное
течение жидкости особенно благоприятствует измерению
расхода таких сред, как кровь или неустойчивые химические
соединения (когда дополнительное воздействие на жидкость
или на окружающие ее стенки может вызвать нежелатель-
ные изменения самой жидкости), или сред, содержащих
крупные твердые частицы, которые могут закупорить рота-
метры или мерные шайбы.
В электромагнитных расходомерах отсутствуют дре-
нажные или другие отверстия, в которых могло бы нако-
питься твердое вещество, что привело бы к дополнитель-
ным трудностям, связанным с очисткой. Это особенно важ-
но в контурах с жидким натрием, где в некоторых местах
время от времени может происходить затвердевание ме-
талла. Электромагнитные расходомеры можно успешно
использовать применительно к различным суспензиям и
взвесям — от сточных вод до крови, а также когда жид-
кость обладает резко выраженными неньютоновскими свой-
ствами. В расходомерах круглого сечения с поперечным
§ 5. 1. Достоинства электромагнитных расходачеров 159
магнитным полем концентрическое отложение твердой
фазы на стенках не оказывает влияния на показания при-
бора, если только твердое вещество и жидкость имеют оди-
наковую электропроводность. Расходомер дает возмож-
ность определить полный объемный расход движущейся
взвеси, содержащей непроводящие твердые частицы при
условии, что они не очень велики. В связи с отсутствием
движущихся или конструктивно сложных узлов расходо-
меры не требуют постоянного ухода, что особенно важно
в системах с радиоактивной зоной.
Использование электромагнитных расходомеров наи-
более оправдано, когда при обращении с рабочей жидко-
стью следует соблюдать особые меры предосторожности.
Они необходимы, если надо предотвратить загрязнение жид-
кости (крови, лекарственных и питательных веществ) или
требуется герметизация жидкости из-за ее токсичности,
химической активности, воспламеняемости, коррозионных
свойств (в случае радиоактивных растворов, жидких охла-
дителей для ядерных реакторов, окислителей в ракетах)
или если рабочая среда имеет высокую температуру. Элект-
ромагнитные расходомеры были использованы для измере-
ния расхода жидкостей с температурой примерно до 800° С.
При этом единственная предосторожность состояла в том,
чтобы магнит был достаточно холодным, и тем самым напря-
женность магнитного поля поддерживалась на известном
уровне. При необходимости поле может создаваться обмот-
ками возбуждения без сердечника.
В некоторых случаях электромагнитные расходомеры
вообще оказываются вне конкуренции. Вероятно, наиболее
яркий пример их использования — Измерение мгновенных
скоростей крови во внутренних артериях животных без
нарушения их жизнедеятельности.
Большинство расходомеров весьма чувствительно к воз-
мущениям, возникающим выше по потоку, и для их подав-
ления перед прибором обычно должен быть прямолиней-
ный участок по возможности минимальной длины. Электро-
магнитные расходомеры в этом отношении наименее тре-
бовательны; ценой некоторых усложнений могут быть
созданы приборы, показания которых полностью не зави-
сят от условий выше по потоку. Вопрос о том, чем опреде-
ляется выбор минимально допустимого (для упрощения
160 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
конструкии) участка перед расходомером, до некоторой
степени дискуссионный; однако на практике эта длина,
вероятно, никогда не превосходит нескольких диаметров.
Это означает, что расходомеры редко нуждаются в проведе-
нии тарировки на месте.
После этого «похвального слова» электромагнитным рас-
ходомерам у читателя может возникнуть недоуменный во-
прос: почему до сих пор все еще используются расходомеры
другого типа? Фактически конкурирующие типы обычных
расходомеров удовлетворяют и еще долго будут удовлетво-
рять основным требованиям рынка. Причина этого — от-
части консерватизм и недоверие к «черному ящику» среди
потребителей, но имеются и многие другие, более законные
основания. Несомненно, главное из них — высокая стои-
мость. Электромагнитные расходомеры — приборы более
высокого класса, обеспечивающие большую точность, чем
часто требуется при их промышленном использовании; по-
этому часто отдается предпочтение более простым и грубым
мерным шайбам, трубкам Вентури и ротаметрам, особенно
ввиду высокой стоимости предлагаемых на рынке расходо-
меров переменного тока вместе с их электронным оборудова-
нием. Следует отметить, что изготовление и эксплуатация
расходомеров постоянного тока обходятся намного де-
шевле. Единственный дорогостоящий элемент такого при-
бора — постоянный магнит. Однако такие расходомеры в
действительности применимы только для жидких металлов.
Помимо высокой стоимости, недостатком широко ис-
пользуемых на практике электромагнитных расходомеров
является невозможность точного предварительного опреде-
ления тарировочной кривой. Поэтому возникает необхо-
димость в эмпирической тарировке, которую, впрочем,
легко провести, так как тарировочная кривая линейна и
не зависит от рода жидкости (если стенки трубы непроводя-
щие). Невозможность предварительного определения та-
рировочной кривой объясняется тем, что в целях удешевле-
ния большинство расходомеров имеет магниты с малой
протяженностью полюсов в направлении движения, и это
приводит к сильному концевому эффекту. Как показано
в § 2.3, величину концевого эффекта легко рассчитать, но
нельзя точно предсказать заранее. Проблема создания рас-
ходомеров с известными заранее линейными характеристи-
§ 5. 1. Достоинства электромагнитных расходомеров 161
ками обсуждается в разд. 5.2.3. Если бы удалось стандар-
тизовать конструкции расходомеров, то соответствующие
тарировочные кривые имели бы общий характер, и необ-
ходимость эмпирической тарировки для каждого нового
прибора была бы исключена.
Электромагнитные расходомеры имеют и другие недо-
статки. Как правило, они не могут использоваться, если
стенки трубы изготовлены из мягкой стали или других фер-
ромагнитных материалов, экранирующих жидкость от
поля. В этом случае в стальной трубопровод должна быть
вставлена секция из немагнитного материала. Если в по-
токе имеются примеси, содержащие железо, то возможно их
накопление в области магнитного поля, что постепенно
приводит к частичному или полному блокированию рас-
ходомера.
Электромагнитные расходомеры не могут применяться
для измерения расхода неионизованных газов.
5.1.1. Линейность
Проведенное выше рассмотрение в большой степени
основано на предположении, что выходной сигнал электро-
магнитного расходомера устойчив и пропорционален объ-
емному расходу протекающей жидкости. Это утверждение,
которое широко используется в литературе без всяких ого-
ворок, в общем случае неверно. Фактически после появле-
ния теоретической работы Тюрлемана [1.1], где изучались
круглые расходомеры с поперечным полем и было показано,
что выходной сигнал при заданном расходе не зависит от
вида осесимметричного профиля скорости, линейность та-
рировочной кривой ошибочно стали считать общим свой-
ством.
Вначале рассмотрим более простой случай неметал-
лических жидких проводников. В расходомерах с попереч-
ным магнитным полем для того, чтобы избежать полной по-
тери сигнала, необходимо использовать непроводящие или
изолированные стенки; однако стенки расходомеров с осе-
вым током могут быть проводящими. Существует несколько
причин нарушения линейного соотношения между сигна-
лом и расходом жидкости. Главная из них состоит в том, что
это соотношение обычно зависит от распределения скорости,
162 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
которое изменяется с ростом числа Рейнольдса, особенно
когда перед прибором имеются источники возмущений.
В гл. 2 было показано, что в расходомерах прямоугольного
сечения с поперечным полем и непроводящими стенками при
изменении профиля скорости от ламинарного до почти од-
нородного турбулентного чувствительность изменяется до
20%. Согласно Тюрлеману, подобные изменения отсутствуют
в расходомерах круглого сечения с поперечным полем при
осесимметричном профиле скорости (ламинарном или тур-
булентном). Но даже это верно лишь при абсолютно одно-
родном поперечном поле и отсутствии концевого эффекта,
что на практике выполняется только приближенно.
При измерении расхода электролитов возможно допол:
нительное изменение чувствительности вследствие перемен-
ности электрических свойств потока электролита и погра-
ничных слоев, на существование которых указали раз-
личные исследователи1). Известно, что контактное сопротив-
ление и другие поверхностные эффекты на электродах или
проводящих стенках весьма непостоянны и также могут слу-
жить источником нелинейности или неустойчивости тариро-
вочной характеристики прибора, особенно когда по внешней
измерительной цепи протекает значительный ток. Если
стенки проводящие, изменение проводимости жидкости по
какой-либо причине, как и неоднородность проводимости,
также приводит к изменению характеристики.
При измерении скорости жидкого металла к указанным
выше причинам нарушения линейности тарировки добав-
ляются новые, связанные с тем, что индуцированные токи
в жидких металлах намного сильнее. Такие эффекты изу-
чались в гл. 3, и подробности здесь не повторяются.
При больших расходах жидкого металла индуцирован-
ные токи могут так сильно деформировать приложенное
магнитное поле вблизи электродов, что нарушится линей-
ность тарировки прибора. Это, например, происходит
в крупногабаритных расходомерах для жидкого натрия
в случае коротких полюсных наконечников. С другой сто-
роны, при небольших расходах магнитные силы, связанные
с индуцированными токами, могут быть настолько велики,
что будут достаточно сильно изменять картину течения и
х) См. примечание на стр. 111.
§5.,2. Конкурирующие типы расходомеров 163
искажать тарировку прибора. Это наблюдается даже в рас-
ходомерах круглого сечения с поперечным полем, так как
магнитные силы нарушают осевую симметрию скорости.
Необходимо рассматривать два вида возмущений тече-
ния магнитными силами: возмущения, возникающие в верх-
ней по потоку концевой зоне магнитного поля и возмущения,
наблюдаемые в развитом течении, образующемся после
того, как поток прошел достаточно большой участок одно-
родного поля. Возмущения в краевой зоне магнитного поля
могут быть уменьшены за счет более медленного затухания
магнитного поля. Влияние этих явлений на тарировку
расходомеров в настоящее время изучено весьма слабо. Из
теории и эксперимента хорошо известно, что возмущения,
связанные с развитым потоком (если он успевает сформиро-
ваться), оказывают значительное влияние и вызывают
уменьшение чувствительности до 7% при ламинарном те-
чении в расходомере круглого сечения с поперечным полем
и непроводящими стенками.
Величина указанных отклонений от линейности, дей-
ствительно возникающих при больших и малых расходах
жидкости, зависит не только от скорости, но и от проводи-
мости (а также от напряженности поля и плотности в случае
возмущений профиля скорости). Это означает, что найден-
ная эмпирически нелинейная тарировочная кривая, кото-
рая учитывает указанные эффекты, справедлива только для
некоторого диапазона изменений напряженности поля и
для определенных свойств жидкости.
§ 5.2. Конкурирующие типы электромагнитных
кондукционных расходомеров
В настоящее время используются кондукционные расхо-
домеры различных типов. Предложены и испытаны экспери-
ментально несколько приборов других систем. Различные
приложения нуждаются в различных конструкциях при-
боров, и в каждом отдельном случае необходимо достигнуть
компромиссного решения, удовлетворяющего таким проти-
воречивым требованиям, как низкая стоимость, высокая
точность или минимальные потери давления. В следующих
разделах рассматриваются некоторые факторы, диктующие
выбор конструкции прибора.
164 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
5.2.1. Сравнение расходомеров на постоянных и переменных
полях
С первых же дней практического применения магнито-
гидродинамических измерителей потока1) предлагалось ис-
пользовать переменные, а не постоянные поля. Основным
поводом для этого обычно было стремление избежать поля-
ризации электродов и паразитных разностей потенциалов,
возникающих при использовании постоянных полей вслед-
ствие термоэлектрических и электрохимических эффектов.
Эти эффекты отсутствуют в жидком металле, и при изме-
рении его расхода обычно используются постоянные поля,
хотя некоторые исследователи предпочитают переменные
поля даже в этом случае. Одной из причин преимуществен-
ного использования постоянных полей для жидкого метал-
ла является возможность устранения скин-эффекта. Для
измерения расхода электролитов почти всегда применяются
переменные поля. Например, среди физиологов общеприня-
то измерять расход крови при помощи расходомеров на
переменном токе.
Использование переменных полей имеет и другие пре-
имущества. Важнейшим из них является легкость усиления
переменного сигнала. Расходомеры на переменном токе
успешно использовались для измерения весьма малых рас-
ходов2), а также расхода жидкости с очень слабой проводи-
мостью3). Другой, более специальный довод в пользу пере-
менного поля состоит в том, что в расходомерах с осевым то-
ком, протекающим по жидкости4), электропитание с малым
напряжением и большим током гораздо легче получить от
одновиткового трансформатора, чем от специального источ-
ника постоянного тока.
В литературе режиму переменного тока ошибочно при-
писывается еще одно достоинство — отсутствие нежелатель-
ных магнитогидродинамических эффектов. В действитель-
ности это не так: для данного среднеквадратичного зна-
чения напряженности поля эти эффекты столь же сущест-
венны, как при постоянном поле.
х) Смит и Слепян [VI. 1].
2) Джеймс [IV.1 ].
3) Линч [V.1 ]. .
4) Колин [1.3].
£ 5.2. Конкурирующие типы расходомеров 165
Использование переменных полей имеет много отри-
цательных сторон, что заставляет предпочитать постоянные
поля всякий раз, когда отсутствуют паразитные сигналы,
которые надо отделять от полезного сигнала, зависящего от
расхода жидкости. Основным недостатком расходомеров
с переменным полем является их большая сложность и доро-
говизна. Для них обычно требуются электромагниты с сер-
дечником из листового железа и стабилизированные источ-
ники электроэнергии, в то время как в приборе с постоян-
ным полем можно использовать постоянный магнит. В круп- <
негабаритных расходомерах возможно получить достаточно
большие выходные сигналы без использования сердечника,
когда поле создается только обмоткой.
Еще более важна проблема устранения наводок, т. е.
случайных переменных сигналов, которые возникают в цепи,
соединяющей электроды, и накладываются на основной
сигцал, зависящий от расхода. Основным источником этих
наводок является так называемый трансформаторный эф-
фект, в результате которого переменное поле электромаг-
нита индуцирует в цепи сигналы переменного тока. Этот
эффект никогда нельзя устранить полностью, и усилия
многих исследователей были направлены на то, чтобы ос-
новной сигнал отделить от случайных. В библиографии
имеется раздел, посвященный проблемам работы на пере-
менных полях; подробное изложение этого вопроса в рамках
настоящей книги было бы неуместным.
Как правило, в основе методов отделения сигнала, оп-
ределяемого расходом жидкости, от случайного лежит то
обстоятельство, что первый пропорционален напряжен-
ности поля, а второй — производной напряженности поля
по времени, так что по фазе сигналы отличаются на чет-
верть периода. Разделение сигналов требует довольно слож-
ного электронного оборудования. В действительности поло-
жение еще более усложняется из-за сдвигов фазы вследствие
образования вихревых токов в твердых и жидких провод-
никах, из-за генерации колебаний, обусловленных нели-
нейными свойствами материала сердечника, или емкостных
потерь. Затруднения могут также быть вызваны резонансом
или биениями, возникающими, когда в жидкости имеются
слабые периодические флуктуации, обусловленные, на-
пример, работой электромагнитных или механиче-
166
Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
ских насосов с синхронной (или близкой к ней) ско-
ростью.
Если принято решение работать на переменных полях,
то необходимо определить частоту. Частоты 50, 60 и 400 гц,
там где их удается получить от уже существующих источ-
ников электроэнергии, широко используются, чтобы избе-
жать необходимости в специальных источниках, хотя эти
частоты не обязательно самые лучшие. В литературе опи-
сано применение частот от 10 до 5000 гц. Очевидно, что на-
водки становятся наименьшими при низкой частоте; однако
тогда труднее генерировать переменный ток для питания
магнита и усиливать выходной сигнал расходомера. Вы-
соким частотам предпочтение может быть отдано и по дру-
гим причинам. Если необходимо изучить мгновенные ха-
рактеристики переходных или пульсирующих течений,
то частота токов питания электромагнита, очевидно, долж-
на быть в несколько раз выше, чем наибольшая частота
исследуемого процесса в потоке. В то же время частота тока
возбуждения имеет определенный верхний предел: она не
должна быть очень велика, чтобы в хорошо проводящей
жидкости не возникал скин-эффект, а в плохо проводящей —
токи смещения. Скин-эффект отсутствует при
О) < 1//2|1О,
а токи смещения несущественны, если
й)<^О/8.
Здесь [1, а и е — соответственно магнитная проницаемость
жидкости, проводимость и диэлектрическая постоянная;
I — характерный линейный размер, например диаметр
трубы (см. приложение). Расходомеры, в которых большое
значение приобретают эффекты, присущие диэлектрикам,
были рассмотрены Кашингом [1.1].
Для того чтобы избавиться от наводок в расходомерах
с переменными полями, было разработано несколько схем.
В одной из них, предложенной Денисоном и Спенсером
[III.2], использовались колебания магнитного поля пря-
моугольной формы и регистрация индуцированной раз-
ности потенциалов производилась только на постоянной
части цикла. Позднее эти же авторы разработали более тон-
кий вариант такой схемы, использовав пилообразные коле-
§5. 2. конкурирующие типы расходомеров
167
бания магнитного поля, которые легче осуществить на
практике1).
Другие исследователи предпочитают трапецеидальные
магнитные поля2).
5.2.2. Сравнительная характеристика расходомеров с по-
перечном полем и расходомеров с осевым током
Расходомеры с осевым током были предложены относи-
тельно недавно и еще не получили широкого распростране-
ния. По всей видимости, они не смогут вытеснить расходо-
меры с поперечным полем там, где применение последних
стало уже традиционным. Однако существуют определен-
ные ситуации, в которых приборы с осевым током все же
имеют особые преимущества. Все сказанное в § 5.1 о достоин-
ствах и недостатках электромагнитных расходомеров в рав-
ной мере относится к обоим основным рассматриваемым
типам. Ниже мы ограничимся только сравнением этих
приборов.
Среди расходомеров с осевым током возможен дальней-
ший выбор между конструкциями, в которых ток течет
по жидкости или по изолированному от жидкости централь-
ному проводнику.
Расходомеры круглого сечения с осевым током имеют
одно очевидное преимущество перед расходомерами с по-
перечным полем — их стенки без ущерба можно сделать
ферромагнитными. В расходомерах с поперечным полем
такие стенки совершенно неприемлемы. В то же время стенки
из мягкой магнитной стали могут удешевить конструкции,
а стенки из магнитной нержавеющей стали коррозионностой-
ки в висмуте. Расходомеры с осевым током весьма удобны
в случае очень горячих жидкостей, когда возникают труд-
ности в поддержании достаточно низкой температуры сер-
дечника, чтобы не нарушились его магнитные свойства.
Другим важным преимуществом расходомеров с осе-
вым током и проводящими стенками является то, что кон-
тактное сопротивление, которое может быть большим и
с трудом определяется на практике, не оказывает влияния
г) Денисон [Ш.4].
*) Яноф [III.2].
168 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
на характеристики расходомера, если концевые эффекты
незначительны. Это происходит потому, что при естествен-
ной осесимметричной форме профиля скорости отсутствуют
причины для циркуляции токов между жидкостью и стен-
ками. Наоборот, в расходомерах с поперечным полем такие
токи всегда циркулируют, и контактное сопротивление тем
самым отражается на характеристиках прибора. К сожале-
нию, с этим связан большой разброс при многих испытаниях
расходомеров для жидкого металла, а в предельном случае
из-за контактного сопротивления происходит полная поте-
ря сигнала. Расходомеры с осевым током могут использо-
ваться для измерения расхода ртути в трубах из нержа-
веющей стали (несмачиваемой ртутью), в то время как рас-
ходомеры с поперечным полем и внешними электродами
для такой комбинации металлов совершенно непригодны.
Когда стенки расходомера с осевым током имеют высокую
проводимость, что приводит к «усредняющему эффекту»,
однородное контактное сопротивление даже способствует
усреднению.
Более того, точная величина отношения проводимостей
жидкости и стенки не влияет на характеристики расходо-
мера с осевым током (если только он не протекает одновре-
менно и по стенке), в то время как на тарировочную зави-
симость прибора с поперечным полем это отношение влияет
очень сильно.
Другим существенным преимуществом расходомеров
с осевым током является то, что при измерении расхода жид-
ких металлов магнитогидродинамические силы не нару-
шает естественный (ламинарный или турбулентный) осесим-
метричный профиль скорости и фактически способствуют
подавлению любой асимметрии и установлению осесим-
метричного профиля, для которого чувствительность имеет
стандартное известное значение. В противоположность
этому в расходомерах с поперечным полем магнитные силы
в той или иной степени деформируют профиль скорости,
что приводит к очень трудно предсказываемым изменениям
чувствительности, особенно когда течение турбулентное.
В расходомерах с осевым током проводящие стенки не
оказывают шунтирующего действия и не приводят к умень-
шению сигнала (исключение составляют участки конце-
вого замыкания). Поэтому в приборах такого типа можно
§ 5. 2. Конкурирующие типы расходомеров 169
использовать металлические стенки даже при измерении
расхода слабо проводящих сред, таких, как вода. Осевой
ток в этих случаях, очевидно, должен протекать по цент-
ральному проводнику. В расходомере, показанном на
рис. 26, концевой эффект при работе со слабо проводящими
жидкостями должен сводиться к минимуму в результате
изоляции центрального проводника от внешней трубы. При
Рис. 54. Внутренние электро-
ды в расходомере с попереч-
ным полем и высокопроводя-
щими стенками.
1—электроды Е; 2 —поле.
этом важным достоинством является увеличение эффектив-
ной площади электродов настолько, что полное сопротив-
ление устройства может быть малым, несмотря на низкую
проводимость жидкости. В обычных же расходомерах с по-
перечным полем использование металлических стенок без
покрытия для измерения расхода неметаллических жид-
костей оказывается невозможным.
Джексон (Jackson W. D.) показал, что положение не-
сколько улучшается, если внутрь трубы ввести электроды Е
(рис. 54); однако результирующий сигнал при этом нам-
ного слабее, чем у обычных расходомеров, а также чувст-
вителен к профилю скорости.
При высокой проводимости стенок выходной сигнал
расходомера с осевым током становится не зависящим от
профиля скорости. Различные возмущения, в том числе и
возникающие выше по потоку, перестают влиять на чув-
170 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
ствительность прибора в противоположность тому, что име-
ет место в большинстве расходомеров с поперечным полем.
Это свойство точно соблюдается в расходомерах с осевым
током, протекающим по жидкости, и приближенно — в коль-
цевых расходомерах, когда ток протекает по центральному
проводнику, а внутренний радиус кольца не слишком мал.
• Даже в случае непроводящих стенок чувствительность
расходомеров с осевым током, протекающим по жидкости,
одинакова для всех осесимметричных (ламинарных или
турбулентных) профилей скорости; однако это достоинство
в равной мере присуще и круглым расходомерам с попереч-
ным полем.
Укажем, наконец, еще одно преимущество расходомеров
с осевым током. Расходомер, чувствительность которого
в точности совпадала бы с теоретическим значением, дол-
жен иметь достаточную длину, исключающую влияние кон-
цевого эффекта. Это гораздо легче осуществить в расходо-
мере с осевым током, чем в расходомере с поперечным
полем, так как длина полюсных наконечников не может
быть слишком большой. Кроме того, пространство, обычно
занятое магнитопроводом в расходомере с поперечным по-
лем, освобождается при использовании прибора с осевым
током. Потери магнитного потока можно совсем исключить,
если внешние проводники обратного тока установить коак-
сиально с трубой вблизи ее поверхности.
Достоинства расходомеров с осевым током были осве-
щены довольно подробно, так как эти устройства наименее
известны. Теперь сжато перечислим соображения в пользу
конструкции прибора с поперечным полем.
Если используется постоянный магнит, то для расходо-
меров с поперечным полем не требуется стабилизированный
источник электроэнергии для питания обмотки магнита.
Но, даже если электропитание необходимо, все же не тре-
буется большого тока при низком напряжении в отличие от
прибора с осевым током возбуждения, протекающим по
жидкости. Кроме того, в расходомерах с поперечным полем
гораздо легче добиться больших значений В, а следователь-
но, и выходного сигнала, чем в расходомерах с осевым током.
Последнее обстоятельство не так важно в крупногабарит-
ных устройствах, где обычно не возникает проблем, свя-
занных с недостаточной величиной сигнала.
§ 5.2. Конкурирующие типы расходомеров 171
Расходомеры с поперечным полем с гидравлической точ-
ки зрения и в смысле изготовления более просты, чем коль-
цевые расходомеры с осевым током и центральным провод-
ником, все конструкции которых1) в той или иной мере от-
личаются сложностью. Даже для расходомеров с осевым
током, протекающим по жидкости, требуются тяжелые шины,
а также хрупкий центральный электрод на изолирующей
опоре. Расходомеры же с поперечным полем иногда можно
изготовить из имеющейся рабочей трубы просто путем уста-
новки внешних электродов и магнита. При этом не требует-
ся непроницаемых для жидкости соединений между про-
водниками и изоляторами. Только в случае очень высокой
проводимости жидкости, если контактное сопротивление
может быть сделано малым, возможно использование цельно-
сварной конструкции расходомера с центральным провод-
ником и внешними электродами, для которой отпадает
необходимость в каких-либо изолирующих соединениях.
Во всех других случаях возможность непосредственного
контакта между внутренней и внешней стенками кольце-
вого зазора в местах подвода тока на концах расходомера
обычно приводит к губительному проявлению концевого
эффекта.
Короче говоря, расходомеры с осевым током, вероятно,
будут использоваться только в тех ситуациях, в которых
полностью исключено применение приборов с поперечным
полем. Основные достоинства расходомеров с осевым током
заключаются в возможности использования стенок из
магнитного материала и относительно малой чувствитель-
ности к изменениям контактного сопротивления и распре-
деления скорости.
В заключение раздела дадим сравнительную оценку кон-
струкций с осевым током, протекающим по жидкости или
по центральному проводнику/
Имеется много доводов, говорящих в пользу прибора
с центральным проводником. Расходомеры с осевым током,
протекающим по жидкости, пригодны только для жидких
металлов, возможно, даже только для лучших проводни-
ков, например жидкого натрия. Для таких приборов необ-
ходим источник электроэнергии, дающий большой ток при
т) Шерклиф [1.6].
172 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
малом напряжении, в качестве которого, однако, можно
использовать трансформатор, объединенный в одно целое
с расходомером1). Вместо этого в приборах с центральным
проводником осевой ток можно разделить между многими
последовательно соединенными проводниками. Кроме того,
потребляемая мощность, очевидно, будет меньше, если ток
протекает по медным проводникам, а не по жидкому метал-
лу. С другой стороны, если ток возбуждения пропускается
через жидкость, некоторая его часть пересекает поток, от-
клоняясь от основного направления, и затрудняет работу
других электрических приборов.
Уже было отмечено, что стенки расходомеров с осевым
током должны по возможности иметь высокую проводи-
мость, чтобы исключить влияние профиля скорости на
чувствительность. Это влияние легко устраняется в расхо-
домерах с центральным проводником, но при протекании
осевого тока по жидкости чувствительность зависит от
довольно неопределенного разделения тока между жид-
костью и стенками (если последние проводящие). От ука-
занного эффекта можно избавиться, если только благодаря
специальным обстоятельствам окажется целесообразным
использование слоистых проводящих стенок (электропро-
водных лишь по периферии). Кроме того, осевой ток, про-
текающий по стенкам, приводит к потерям мощности.
Для расходомера с центральным проводником нет необ-
ходимости в установке хрупкого центрального электрода,
который нужен, когда осевой ток протекает по жидкости.
В случае проводящих стенок электроды могут быть разме-
щены на несоприкасающихся с жидкостью поверхностях
внутренней и внешней стенок, и тогда жидкость не контак-
тирует ни с электродами, ни с их изоляцией. Так как в рас-
ходомере с центральным проводником осевой градиент по-
тенциала в жидкости равен нулю, то вопрос о размещении
электродов вдоль оси канала не приобретает такого решаю-
щего значения, как при протекании тока по жидкости.
До сих пор все аргументы заставляли отдавать предпоч-
тение расходомеру с током возбуждения, протекающим по
твердому проводнику. Но для таких приборов необходимы
каналы, более сложные с гидравлической точки зрения и
• 7) Шерклиф [1.6].
§ 5.2, Конкурирующие типы расходомеров 173
трудные в изготовлении. Необходимо также заботиться,
чтобы не возрастало влияние концевого эффекта, особенно
когда существенно контактное сопротивление и исполь-
зуются не соприкасающиеся с жидкостью (внешние) элект-
роды. Наконец, надо помнить, что чувствительность расхо-
домера с центральным проводником до некоторой степени
зависит от радиального распределения скорости, особенно
когда мал внутренний радиус кольцевого зазора.
5.2.3. Конструкции расходомеров с поперечным полем
При проектировании электромагнитного расходомера
представляются разнообразные возможности, даже если
уже выбрана схема кондукционного прибора с поперечным
магнитным полем, постоянным или переменным. Надо вы-
брать форму поперечного сечения и материал для стенок
канала, определить такие характеристики магнитной си-
стемы, как длина полюсных наконечников или скорость
затухания поля в краевой зоне. Если стенки проводящие,
представляется еще выбор между соприкасающимися (внут-
ренними) или не соприкасающимися с жидкостью (внеш-
ними) электродами.
Выбор различных конструктивных решений определяет-
ся многими факторами: как дешевизной, и простотой кон-
струкции, так и требованиями высокой точности и воспроиз-
водимости. Иногда первостепенную важность приобретает
требование минимальных потерь давления в расходомере.
Могут преобладать соображения, связанные с требованиями
металлургии. Если имеются затруднения в обращении с жид-
костью, то очень важно, чтобы расходомер имел уже из-
вестную гарантированную тарировочную кривую, получен-
ную или в результате предшествующих, исчерпывающих
все возможности опытов, или на основе надежной теории,
так чтобы необходимость проведения тарировки в натурных
условиях никогда не возникала. Иногда вследствие неустра-
нимых возмущений, возникающих выше по потоку, возмож-
ности выбора ограничиваются конструкциями расходоме-
ров, которые не зависят от профиля скорости; серьезную
озабоченность может вызвать неконтролируемое изменение
контактного сопротивления.
174 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
Цель настоящего раздела — сформулировать некоторые
положения, которые надо иметь в виду при выборе конструк-
ции расходомера. Большинство относящихся сюда замеча-
ний уже было сделано в гл. 2 и 3.
В большинстве жидких контуров используются трубы
круглого сечения, так как они обладают большой прочно-
стью, удобны в изготовлении и легко соединяются друг
с другом. По этой причине большинство расходомеров так-
же имеют круглое сечение; при этом, если профиль скоро-
сти никогда значительно не отклоняется от осесимметрич-
ного, такие приборы работают вполне удовлетворительно.
Однако наличие участков затухания магнитного поля неиз-
бежно вызывает затруднения, так как высота зазора маг-
нита должна быть значительной. Тарировочную кривую
тогда необходимо находить экспериментально, так как ее
точное теоретическое определение оказывается невозмож-
ным, если только длина полюсных наконечников не сде-
лана неоправданно (с экономической точки зрения) большой.
Иногда имеются веские основания для выбора канала
прямоугольного сечения, если есть уверенность в его меха-
нической прочности. Чтобы чувствительность расходомера
абсолютно не зависела от вида профиля скорости, следует
использовать канал прямоугольного сечения, который либо
узок в направлении поля (например, 6/а>5, если требуется
точность 1%), либо имеет параллельные магнитному полю
стенки с высокой проводимостью. Единственная другая
возможность состоит в использовании схем с интегрирован-
ным напряжением, рассмотренных в гл. 2. Преимуществом
узких каналов прямоугольного сечения является соответ-
ствие их формы зазору между полюсами магнита; в резуль-
тате создать нужное магнитное поле легче, чем в случае
круглой трубы с той же площадью поперечного сечения.
Кроме того, при заданных напряженности поля, расходе
жидкости и площади поперечного сечения выходной сиг-
нал в круглой трубе оказывается меньше. Однако с увели-
чением высоты канала 2Ь возрастают потери давления, обус-
ловленные концевыми токами.
Для использования расходомеров прямоугольного сече-
ния, отличных от только что упомянутых двух типов, не
имеется оснований. Чувствительность расходомеров с не-
проводящими стенками при квадратном или близком к нему
§ 5.2. Конкурирующие типы расходомеров 175
сечении зависит от распределения скорости даже больше,
чем при круглом.
Выбор конструкционных материалов для канала дол-
жен быть весьма тщательным. Если жидкость неметалличе-
ская, то необходимы непроводящие или по крайней мере
изолированные от жидкости стенки, хотя в каналах пря-
моугольного сечения' стенки, параллельные полю, могут
быть проводящими (это является преимуществом). При
непроводящих стенках должны использоваться внутрен-
ние, соприкасающиеся с жидкостью электроды. Должна
быть решена проблема герметизации соединений между
проводящими и непроводящими материалами. Площадь
электродов не должна быть слишком малой, чтобыполное
внутреннее сопротивление расходомера поддерживалось
достаточно низким.
При измерении расхода жидкого металла оказывается
возможным (и обычно осуществляется на практике) исполь-
зование каналов с проводящими стенками. Это позволяет
применить внешние, не соприкасающиеся с жидкостью и не
подвергающиеся коррозии электроды. Единственная при-
чина, по которой все же можно отдать предпочтение сопри-
касающимся с жидкостью электродам, состоит в том, что
тогда контактное сопротивление не так сильно уменьшает
выходной сигнал. Независимо от того, соприкасаются ли
электроды с жидкостью или нет, контактное сопротивление
вносит неопределенность в тарировочную кривую расходо-
мера с проводящими стенками. Если в системах с жидким
металлом невозможно исключить контактное сопротивление,
обеспечивая высокую чистоту или используя поверхностно-
активные вещества, то надежную тарировочную кривую
можно получить только при непроводящих стенках.
Вероятно, наиболее сложным вопросом является выбор
длины полюсных наконечников и профиля магнитного поля
в концевых зонах. Если тарировочную кривую можно по-
строить экспериментально, то для достижения максималь-
ного выходного сигнала наиболее целесообразно сосредото-
чить имеющийся магнитный поток в полюсных наконеч-
никах наименьшей длины и максимально сократить длину
участка затухания поля. То обстоятельство, что конце-
вой эффект при этом не поддается учету, является не-
существенным.
176 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
Однако иногда необходимы полюсные наконечники боль-
шой длины. Если чувствительность расходомера должна
с большой точностью определяться из теории, то влияние
концевого эффекта должно быть уменьшено настолько, что-
бы неопределенность имеющихся его оценок не оказывала
влияния. По всей видимости, для большинства целей доста-
точно, чтобы отношение с/b было больше 3. Если рабочей
средой служит жидкий металл и магнитные числа Рейноль-
дса достаточно велики, чтобы существовало заметное искаже-
ние магнитного поля в краевых зонах, то края магнита долж-
ны быть достаточно удалены от электродов, т. е. в этом
случае также должны использоваться длинные полюсные
наконечники. Другой опасностью при работе с жидкими
металлами является изменение чувствительности вследствие
возмущений потока (особенно в краевых зонах, когда ско-
рости невелики). Наилучшей гарантией устранения этого
эффекта служит искусственное увеличение длины участка
затухания поля путем профилирования зазора магнита или
другими способами. Это полезно также с точки зрения умень-
шения потерь давления, возникающих вследствие концевых
токов.
Другой, более сложный путь устранения концевого эф-
фекта, а также потерь давления, деформации поля и течения
среды, вызванных концевыми токами, состоит во введении
в канал непроводящих лопаток или перегородок, установ-
ленных параллельно течению непосредственно в зонах зату-
хания магнитного поля. Однако такой способ борьбы с кон-
цевым эффектом неприемлем для тех электромагнитных
расходомеров, в которых обязательно требуется беспрепят-
ственное течение жидкости.
Не возникает сомнений, что возможно создать расходо-
мер с поперечным полем, тарировочная зависимость которо-
го с большой степенью точности определяется из теории,
если известны напряженность поля и основные габариты;
однако такие приборы оказываются не наилучшими с дру-
гих точек зрения. Указанные расходомеры должны, как
правило, иметь прямоугольное сечение типа с>Ь>а, для
чего необходимы большие тщательно изготовленные маг-
ниты, обеспечивающие однородное поле; при этом, если сре-
да является жидким металлом, наблюдаются большие по-
тери давления.
§ 5. 2. Конкурирующие типы расходомеров
177
Для большинства приложений намного полезнее ока-
зался бы дешевый и простой в изготовлении расходомер с та-
рировочной зависимостью, точно воспроизводимой, хотя и не
предсказанной теорией. Для такого прибора тем же спо-
собом, который давно использовался в обычных расходо-
мерах1), можно эмпирически определить тарировочную за-
висимость для широкого диапазона условий. Результаты
могут быть представлены в безразмерном виде и благодаря
этому использованы для расходомеров с различными раз-
мерами, напряженностями поля и рабочими средами.
Маргетройд [II. 1] несколько лет назад предложил выб-
рать одну или несколько стандартных конструкций расходо-
меров с поперечным полем и провести исчерпывающие их
испытания для получения стандартных тарировочных зави-
симостей; однако сообщения о дальнейшем прогрессе в этом
важном направлении отсутствуют. Каждый эксперимен-
татор использует свою собственную конструкцию канала и
магнитной системы и имеет свои собственные тарировочные
данные. Исследователи, которые изготовляют расходомеры
самостоятельно, должны еще проводить их тарировку (как
можно более исчерпывающую) по эталонному прибору (на-
пример, трубке Вентури). Настало время, чтобы электро-
магнитные расходомеры в известном смысле сами стали эта-
лонными со стандартизированными характеристиками и
геометрическими формами.
Расходомер должен быть как можно более универсаль-
ным и иметь тарировочную кривую, в которую в зависимости
от различных обстоятельств вводились бы минимальные
поправки. Так как конструкция стандартного расходомера
должна быть простой, дешевой и прочной, очевидно, должны
использоваться трубы круглого сечения. Для начала необ-
ходимо стандартизировать конструкцию расходомера с не-
проводящими стенками. Имеется ряд соображений в пользу
приборов круглого сечения с сужением (типа Вентури) и
электродами, установленными в горловине; однако соответ-
ствующие выгоды не могут компенсировать дополнитель-
ных трудностей, связанных с отказом от простоты конст-
рукций с круглой трубой постоянного диаметра. Другим
важным вопросом, связанным с геометрией расходомера,
г) BS 1042 (1943). Flow measurement.
7 Шерклиф
178 Гл. 5. Возможности электромагнитного измерения
является унификация формы магнитных полюсов или обмо-
ток возбуждения вблизи трубы. Здесь основными должны
быть соображения простоты конструкции и легкости изго-
товления. В случае сильно нагретых жидкостей зазор
между полюсами должен быть несколько больше. Если
используется постоянный магнит или обмотки возбуждения
не расположены вблизи трубы, то, вероятно, достаточно,
чтобы размеры полюсных наконечников просто соответство-
вали зазору и внутреннему диаметру трубы. Наиболее про-
стым было бы использование магнитов с плоскими круглыми
полюсами, диаметр которых равен величине зазора. Ком-
пактные, выпускаемые для продажи расходомеры обычно
имеют обмотку возбуждения и железный магнитопровод,
как можно теснее охватывающий трубу; но даже в этом
случае было бы возможно выбрать несложную стандартную
конфигурацию магнитопровода и обмоток.
Стандартные данные для каждой конструкции расходо-
мера представляли бы собой основную линейную тариро-
вочную кривую и еще одну кривую, характеризующую рас-
пределение магнитного поля (например, на оси магнитного
зазора). Тарировочная кривая может быть уточнена путем
введения поправок, признанных необходимыми в резуль-
тате всесторонних испытаний стандартных устройств. Может
оказаться необходимым внесение небольших поправок,
учитывающих изменение интенсивности концевого эф-
фекта в результате изменения обычного числа Рейнольдса и
картины течения. Могут быть’также собраны данные о ми-
нимальной приемлемой длине стабилизирующего участка
перёд прибором и потерях давления. При измерении рас-
хода жидкого металла может возникнуть необходимость
введения дополнительных поправок в случае больших рас-
ходов (когда заметна деформация магнитного поля) и малых
расходов (когда деформируется картина течения).
Разработка стандартных! расходомеров с проводящими
стенками для жидких металлов является более сложной
проблемой. Можно* только указать, что данные для расхо-
домеров с*непроводящими стенками необходимо дополнить
поправочными коэффициентами, которые учитывают замы-
кание тока через проводящие стенки и зависят от отноше-
ния проводимостей жидкости и стенки, а также отношения
внутреннего и внешнего диаметров трубы. Основная
§ 5. 2. Конкурирующие типы расходомеров 179
неопределенность будет ^вызвана контактным сопротив-
лением.
Разработка стандартных конструкций расходомеров и
достижение хорошей воспроизводимости их характеристик
являются основными проблемами, которые заслуживают
внимания экспериментаторов и лиц, использующих расходо-
меры на практике. Однако существуют и другие проблемы,
связанные с расходомерами, и ожидающие исследования.
С практической стороны имеется много схем новых типов
расходомеров, которые однако еще не достаточно испытаны.
К этой категории относятся расходомеры с осевым током,
с интегрированным напряжением и различные схемы, рас-
смотренные в гл. 4. Вместе с тем остается много фундамен-
тальных нерешенных вопросов, связанных с магнитогидро-
динамическими явлениями в расходомерах и других магни-
тогидродинамических устройствах.
В разд. 3.3.5 было указано, что имеется очень мало экс-
периментальных данных о поведении турбулентных пото-
ков, после того как они входят в зону поперечного магнит-
ного поля. Другой вопрос, который требует эксперимен-
тального изучения, связан с возмущением течения конце-
выми тбками в краевых зонах магнитного поля и с резуль-
тирующим влиянием этого эффекта на чувствительность
расходомеров круглого сечения. Еще одна проблема со-
стоит в исследовании закрученных потоков в поперечном
поле, хотя имеются данные о том, что закрутка не влияет
на характеристики расходомера1).
Остается еще ряд дискуссионных вопросов, относящих-
ся к общепринятым расходомерам с поперечным полем для
неметаллических жидкостей, когда магнитогидродинамиче-
ские эффекты не возникают. Их удастся разрешить после
того, как будет накоплен больший опыт работы с такими
приборами. Не подлежит сомнению, что благодаря усилиям
многочисленных исследователей, которые разработали и
совершенствуют конструкции расходомеров и связанное
с ними измерительное оборудование, электромагнитные
расходомеры будут находить все большее применение, а их
надежность и точность станут еще выше.
х) См. примечание на стр. 45.
7*
ПРИЛОЖЕНИЕ
Характерные величины
Таблица 1
Электропроводность а (мо/м)
Жидкий натрий при 100° С
Эвтектика NaK при 100° С
Ртуть при 20° С
Ионизированный воздух вблизи аппарата,
входящего в атмосферу
Лучшие электролиты
Морская вода
Кровь
Водопроводная вода
Дистиллированная вода
Трансформаторное масло
1,ОЗХ1О7
2,43Х106
1,05Х106
^102
^10-
«4
—0,7
«ю-2
4x10“ 6
ж10“и
Таблица 2
Плотность р и вязкость (в системе МКС)
Р 1
Жидкий натрий при 100° С 928 6,86хЮ“4
Эвтектика NaK при 100° С 847 4,7X10“ 4
Ртуть при 20° С 13550 1,55хЮ“3
Лучшие электролиты ^103 я=10“3
Таблица 3
Поля и течения, зависящие от времени
Скин-эффект. Круговые частоты изменений потока или поля,
при которых характерная толщина скин-слоя (рлю-)*”^ равна
0,01 м.
Жидкий натрий Ртуть при 20° С Лучшие электролиты
при 100° С
со (гц) 77Q 7600 8хЮ7
При частотах, много меньших указанных, и характерном раз-
мере системы, равном 0,01 м, скин-эффектом и самоиндукцией
жидкости можно пренебречь.
Характерные величины
181
Токи смещения. Круговые частоты, при которых параметр
со е/а = 1.
Трансформаторное масло Дистиллирован- ная вода
ш (гц) 0,45 5700
Е 2,5 Eq 80 е0
Водопроводная
вода
1,41Х107
80 е0
При расчете использовались
значения электропроводности а
из табл. Г, е0=8,854x 10 12.
Таблица 4
Проводящие стенки, концевой эффект
Стенки изготовлены из нержавеющей стали с проводимостью
х = 1,4Х 106 /to/м и толщиной w = 0,001 м\ а (или Ь) = 0,01 м.
Параметр, характеризующий проводимость стенки, d=*
= w к/а а.
Натрий при 100° С 0,0136
Ртуть при 20° С 0,133
Лучшие электролиты 1400
Параметр, характеризующий контактное сопротивление,
/а.
Для неблагоприятных условий (например, ртуть и несмачивае*
мая нержавеющая сталь) он может достигать 103—103.
Параметр, характеризующий концевой эффект, c/bdY* ==
= (с2 a/wb х)1/4 (здесь с/Ъ = 10).
Натрий при 100° С 85
Ртуть при 20° С 27
182
fl риложенив
Таблица 5
Магнитогидродинамические величины
Здесь В = 0,1 661м2, (1000 гаусс); р = 4л:Х107, как для ваку-
ума; а = 0,01 м; vm = 1 м/сек; свойства стенок, как в табл. 4
Величина
г Л S о „ О Л см Лучшие
Q, л Н S о н Я ь а электро- литы
X Е — а. е
Число Рейнольдса, Re=p vma/r.
Магнитное число Рейнноьдса,
Rem — Р- ° Vma
Число Гартмана, На = Ва(<з/т\)У*
Отношение сопротивлений пограничного
слоя и стенки, dHa
Параметр магнитогидродинамического взаи-
модействия, a B2a/pom=Ha2/Re, характе-
ризующий возмущение профиля в крае-
вой зоне
Параметр, характеризующий потери давле-
ния вследствие концевых токов, а В2аот,
ньют/м*
Характеристика пондеромоторного расхо-
домера a B*a3vm, ньют
13 500 87 000 10 000
0,13 0,013 1,3X10“6
123 26 0,316
1,67 3,45 >1
1,11 0,0078 10~5
1030 105 10-2
0,103 0,0105 10~6
Заметим, что последние три величины одинаково изменяются
как В2. Увеличение В от умеренной величины 0,1 вб/м2 быстро
приведет к значительному усилению эффектов.
Ионизированный воздух вблизи входящего в атмосферу аппа-
рата. Если а = Ю2 мо/м, а = 0,1 м, у = 0,5х104 м/сек, то
Rem = р. а оа = 0,063.
I. Теория кондукционных расходомеров (см. также разд.
VII и X)
Арнольд (Arnold J.S.)
1. An electromagnetic flowmeter for transient flow studies,
Rev. Sci. Instrum., 22, 43 (1951).
Астлей(АзНеуЕ. R.)
1. Magnetic flowmeter output potentials, General Electric
Report R 52 GL 52, Mar. 1952.
Блейк (Blake L. R.)
1. Liquid flowmeters, Brit. Pat. 802017; Nuclear Engng, 4,
238 (1959).
В а й я т т (W у a t t D. G.)
•1. Problems in the measurement of blood flow by magnetic
induction, Phys. Med. Biol., 5, 289, 369 (1961).
Вильямс (Williams E.J.)
1. The induction of e. m. f. s in a moving fluid by a magnetic
field and its application to an investigation of the flow
of liquids, Proc. Phys. Soc., Lond., 42, 466 (1930).
Гесснер (Gessner U.)
1. Effects iof ^the vessel wall on electromagnetic flow-measure-
ment, Biophys. J., 1, 627 (1961).
Грей, A-c.т л e й (Gray W. C., A s t 1 e у E. R.)
1. Liquid metal magnetic flowmeters, Instrum. Soc. Amer.
J., 1, 15 (June 1954).
Кашинг (Cushing V.)
1. Induction flowmeter (for use with dielectrics), Rev. Sci.
Instrum., 29, 692 (1958).
Колин (Ko 1 i n A.)
1. An alternating field induction flowmeter of high sensitivi-
ty, Rev. Sci. Instrum., 16, 109 (1945).
2. Improved apparatus and technique for electromagnetic deter-
mination of blood flow, Rev. Sci. InstrUm., 23, 235 (1952).
3. Principle of electromagnetic flowmeter without external
magnet, J. Appl. Phys., 27, 965 (1956).
Тюрлеман (Thurlemann B.)
1. Method for electric speed measurement of fluid, Helv. Phys.
Acta, 14, 383 (1941). (ibid., 13, 343 (1940)).
2. On the electromagnetic speed measurement of fluid, Helv.
Phys. Acta, 28, 483 (1955).
Холдуэй (Hold.away H. W.)
1. A note on electromagnetic flowmeters of rectangular cross-
section, Helv. Phys. Acta, 30, 85 (1957).
184
Библиография
Шерклиф (Shercliff J. А.)
1, The theory of the d. c. electromagnetic flowmeter for liquid
metals, A. E. R. E. (Harwell) Report X/R 1052, Nov.
1952.
2. Relation between the velocity profile and the sensitivity
of electromagnetic flowmeters, J. Appl. Phys., 25,
817 (1954).
3, Experiments on the dependence of sensitivity on velocity
profile in electromagnetic flowmeters, J. Set. Instrum.,
32, 441 (1955).
4] Edge effects in electromagnetic flowmeters, J. Nucl. Energy,
3, 305 (1956).
5. Electromagnetic flowmeter without external magnet, J.
Appl. Phys., 28, 140 (1957).
6. Axial-current electromagnetic flowmeters, J. Nucl. Energy,
Pt. В (React. Tech.), 1, 3 (1959).
Эйнхорн (Einhorn H. D.)
1. Electromagnetic induction in water, Trans. Roy. Soc. S.
Afr., 28, 143 (1940).
Элрод, Фаус (Elrod H.G., Fouse R.R.)
1. An investigation of electromagnetic flowmeters, Trans. Amer.
Soc. Meeh. Engrs, 74, 589 (1952) (formerly U. S. A. E.C.
Report NEPA 1451, June 1950).
II. Кондукционные расходомеры для жидкого металла
(теория и эксперимент)
Аст л ей- (A st ley Е. R.)
1. Magnetic flowmeter output potentials, General Electric
Report R 52 GL 42, Mar. 1952.
2. A report on the calibration of two 8 in. magnetic flowmeters,
U. S. A. E. C. Report AECU-3171, Nov. 1954.
А ф ф e л и др, (A f f e 1 R. G. et al.)
Calibration and test of 2 in. and З-^ in. magnetic flowmeters
for high temperature NaK service, U.S.A.E.C. Report
ORNL-2793, Mar. 1960.
Б
Б
Б
a p p с и др. (B a r n e s A. et al.)
1. Electromagnetic flowmeter, U. S. A. E. C. Reports ANL-4092
and AECD-3047 (1947, 1952).
и p ч (Birch B. L.)
1. Non-nuclear instrumentation for liquid bismuth service,
U.S.A.E.C. Report BAW-1069, Apr. 1960.
лисе (Bliss P.)
1. Liquid metal instrumentation practice, U.S.A.E.C; Report
ORNL-2695, p. 86, 1960. (Report of conference, Gatlin-
burg, Tenn., 1958).
e p h e p (W e r n e r R. C.)
1. Liquid metal technology, Final Report, U.S.A.E.C. Report.
NP-5614, Mar. 1955.
Библиография
185
Гессер (Gasser Е. R.)
1. Operational performance of magnetic flowmeters on a sodium
cooled reactor, U.S.A.E.C. Report AECU-3853, 1957.
Грей (Gray W. C.)
1. Magnetic flowmeter calibration results, U.S.A.E.C. Report
KAPL-613, Oct. 1951.
Г p e й , А с т л e й (Gray W. C., A s t 1 e у E. R.)
2. Liquid metal magnetic flowmeters, Instrum. Soc. Amer
J., 1, 15 (June 1954).
Гринхил, Сейбл (Greenhill M., Sabel C. S.)
1. Electromagnetic pumps and flowmeters, A.E.R.E. (Harwell)
Report Inf./Bib, 93, 1956. Superseded by: Pumps and
electromagnetic flowmeters for liquid metals, A.E.R.E.
(Harwell) Report Bib. 120, May 1959.
Гудман, Бей к л (Goodman E. I., Bak al R.)
1. The design and construction of a test loop for the study
of an electromagnetic pump and flowmeter on lithium
systems, U.S.A.E.C. Report AECU-3622, Sept. 1950.
Даффи, Маргин (Duffy E. J., M a rg u i n J. J.)
1. Calibration of 8 in. magnetic flpwmeter by use of a calibrated
orifice, U.S.A.E.C. Report KAPL-M-SCT-5, May 1955.
Йод ер, Бирч (Yoder L. W., Birch B. L.)
1. Calibration tests of a permanent magnet electromagnetic
flowmeter for liquid bismuth service, U.S.A.E.C. Report
BAW-1070, Mar. 1959.
Колин (К о 1 i n A.)
1. Principle of electromagnetic flowmeter without external
magnet, J. Appl. Phys., 27, 965 (1956).
Крофте (Crofts T. I. M.)
1. The calibration and use of electromagnetic flowmeters in
1 in. stainless steel pipe circuits passing liquid metal
(NaK), U. К. A. E. A. Report R. and D. B. (W) TN 221,
Aug. 1955.
Кэррол (Carrol R. M.)
1. A simple electromagnetic flowmeter for liquid metals,
U.S.A.E.C. Report ORNL-1461, Mar. 1953.
Лайон (Lyon R. N.) ,
1. Liquid Metals Handbook, U.S.O.N.R. Navexos P-733 (Rev.)
1952. See also: Sodium-NaK Supplement, С. B. Jackson
(ed.) (1955).
Маргетройд (Murgatroyd W.)
1. The model testing of electromagnetic flowmeters, A.E.R.E.
(Harwell) Report X/R 1053, Oct. 1952.
П p e с к о т (Prescott F. O.)
1. Reactor Handbook, Engineering, vol. 2, p. 362, U.S.A.E.C.
publ. AECD-3646. McGraw-Hill, 1955.
Пфистер, Данхэм (Pfister C. G., Dunham R. J.)
1. D. C. magnetic flowmeters for liquid sodium loops, Nucleo-
nics, 15, 122 (Oct. 1957).
7B-1. Шерклиф
186
Библиография
С и б э н и др. (S е b a n R. A. et al).
1. Flowmetering of molten lead-bismuth eutectic at Universi-
ty of California, Berkeley, U. S. A.E.C. Report NP-4452,
Apr. 1949.
Смит (Smith F. A.)
1. Instruments used in high temperature sodium at Argonne
National Laboratory, U.S.A.E.C. Report ORNL-2695,
p. 67, 1960. (Report of conference, Gatlinburg, Tenn.,
1958.)
T у p н e p (T u r n e r G. E.)
1. The non-linear behaviour of large permanent magnet flow-
meters, U.S.A.E.C. Report NAA-SR-4544, Apr. 1960.
Ф э р ис и др. (F а г i s F. E. et al.)
. 1. Operating experience with the sodium reactor experiment,
Second U. N. Int. Conf, on Peaceful Uses of At. En. (Ge-
neva), paper 452, vol. 9, p. 500, 1958.
Хасзах (Huszagh D. W.)
1. Specialised instrumentation for liquid bismuth loops,
U.S.A.E.C. Report ORNL-2695, p. 102,1960. (Report of con-
ference, Gatlinburg, Tenn., 1958.)
Холл, Крофте (Hall W. B., Crofts T. I. M.)
1. The use of sodium and of sodium-potassium alloy as a heat
transfer medium, J. Brit. Nucl. En. Conf., 1, 76 (July
1956).
Шерклиф (Shercliff J. A.)
1. The theory of the d. c. electromagnetic flowmeter for liquid
metals, A.E.R.E. (Harwell) Report X/R 1052, Nov, 1952.
2. The flow of conducting fluids in circular pipes under trans-
verse magnetic fields, J. Fluid. Meeh., 1, 644 (1956).
Элрод, Ф а у c (Elrod H. G., Fouse R. R.)
1. An investigation of electromagnetic flowmeters, Trans. Amer.
Soc. Meeh. Engrs, 74, 589 (1952).
Смачиваемость и контактное сопротивление между
жидким и твердым металлами
Бонилла и др. (Bonilla С. F. et al.)
1. Boiling and condensing of liquid metals, U.S.A.E.C. Reports
NYO-3147, Feb. 1952; NYO-3148, Apr. 1952.
Бонилла, Ванг (Bonilla C. F., Wang S. J.)
2. Interfacial thermal and electrical resistance between statio-
nary mercury and steel, U.S.A.E.C. Report NYO-3091,
Dec. 1952.
Ванденбург (Vandenburg L.B.)
1. Electrical contact resistance between sodium and stainless
steel, U.S.A.E.C. Report KAPL-1502, Feb. 1956.
Дрохер (Dr oh-er J. J.)
1. Studies of interfacial effects between mercury and steel,
U.S.A.EC. Report ORO-69, June 1952.
Библиография
187
Кобел (Kob el Е.)
1. Contact resistance between iron and mercury, Schweiz. Arch.
Angew. Wiss., 14, 326 (1948).
Макдоналд, Квиттентон (MacDonald W. С.»
QuittentonR. C.)
1. Critical analysis of metal wetting and gas entrainment in
heat transfer to molten metals, Ckem. Engng. Progr.
Symp. Series, 50, № 9, 59 (1954).
Милнер (Milner D. R.)
1. The wetting and spreading ”of liquid metals on solid metal
surfaces, Brit. Weld. J., 5, 90 (1958). See also: Nature,
bond., 180, 1156 (1957).
Фрост (Frost B.R.T.)
1. The wetting of solids by liquid metals, Atomics, 8, 387 (1957).
III. Исследование течения крови
А л б e p т а л и др. (A 1 b e r t a 1 G. et al.)
1. Flowmeter for extracorporeal circulation, Trans. Inst. Radio
Engrs, ME-6, 246 (1959).
В а й я т т (W у a t t D. G.)
1. Problems in the measurement of blood flow by magnetic
induction, Phys. Med. Biol., 5, 289, 369 (1961).
Веттерер (W etterer E.)
1. A new method for measuring the rate of blood circulation
in an unopened vessel, Z. Biol, 98, 26 (1937).
2. The induction tachygraph, Z. Biol., 99, 158, 320 (1938).
Веттерер, Депп (W e t t e r e r E., Deppe B.)
3. Z. Biol., 100, 205 (1940).
Вумерсли (W omersleyJ.R.)
1. Oscillatory flow in arteries. The reflection of the pulse wave
at junctions and rigid inserts in the arterial system,
Phys. Med. Biol., 2, 313 (1958).
Г и о p и | (G i о г i; Б. A.)
1. A blood flowmeter for use in coronary heart disease research,
Trans. Inst. Radio Engrs, ME-7, 211 (1960).
Денисон и др. (Denison A. В. et al.)
1. A square-wave electromagnetic flowmeter for application
to intact blood vessels, Circ. Res., 3, 39 (1955).
Денисон, Спенсер (Denison A. B;, Spencer
M. P.)
2. Square wave electromagnetic flowmeter design, Rev. Sci.
Instrum., 27, 707 (1956).
3. Factors involved in intact vessel electromagnetic flow re-
cording, Fed. Proc., 15, 46 (1956).
4. Circulatory system; methods; magnetic flowmeters. Medical
Physics (ed. O. Glasser), vol. 3, p. 178 (Year Book Publ.),
1960.
7B-2. Шерклиф
188 Библиография
Иною, Куга (Inouye A., Kuga Н.)
1. On the applicability of electromagnetic flowmeters for the
measurement of blood flow rate, Jap. J. Physiol., 4,
205 (1954).
Иною и др. (Inouye A. et al.)
2. New method for recording pressure/flow diagram applicable
to peripheral blood vessels of animals, Jap. J. Physiol.,
5, 236 (1955).
Иною, Кос а к a (Inouye А., К о s a k a H.)
3. A study of flow patterns in carotid and femoral arteries of
rabbits and dogs with the electromagnetic flowmeter
J. Physiol., 147, 209 (1959).
Иохим (J о c h i m К. E.)
1. Electromagnetic flowmeter, Meth. Med. Res., 1, 108 (1948).
2. Circulatory system; methods; electromagnetic flowmeters.
Medical Physics (ed. O. Glasser), vol. 2, p. 225 (Year Book
Publ.), 1950.
Кац, Иохим (Katz L. N., Jochim К. E.)
1. Electromagnetic flowmeter, Medical Physics (ed O. Glasser),
vol. 1, p. 377 (Year Book Publ), 1944.
Кац, Колин (Katz L. N., К о 1 i n A.)
2. The flow of blood in the carotid artery of the dog under va-
rious circumstances as determined with an electromagnetic
flowmeter, Amer. J. Physiol., 122, 788 (1938).
Кларк, Рендел (Clark J.W., Randall J. E.)
1. An electromagnetic blood flowmeter, Rev. Sci. Instrum.,
20, 951 (1949).
К о б б о л д, Стайлс (С о b b о 1 d A. F., Styles Р.)
1. An improved electromagnetic flowmeter, J. Physiol.. 127,
IP (1955).
Колин (KolinA.)
1. An electromagnetic flowmeter. The principle of the method
and its application to blood flow measurement, Proc.
Soc. Exp. Biol., N. Y., 35, 53 (1936).
2. An electromagnetic recording flowmeter, Amer. J. Physiol.,
119, 355 (1937).
3. An A. C. induction flowmeter for measurement of blood
flow in intact blood vessels, Proc. Soc. Exp. Biol.,
M. Y., 46, 235 (1941).
4. Improved apparatus and technique for electromagnetic de-
termination of blood flow, Rev. Sci. Instrum., 23, 235 (1952).
5. Electromagnetic blood flowmeters, Science, 130, 1088 (1959).
6. Circulatory system; methods; blood flow determination by
the electromagnetic method. Medical Physics (ed.
O. Glasser), vol. 3, p. 141 (Year Book Publ.), 1960.
Колин и др. (Ко 1 i n A. et al).
7. Electromagnetic measurement of blood flow and sphygmo-
manometry in the intact animal, Proc. Soc. Exp. Biol.,
N.Y., 47, 324 (1941).
Библиография
189
8. Electromagnetic determination of regional blood flow in
unanaesthetised animals, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash.,
43, 527 (1957).
Колин, Кадо (К о 1 i n A., К ado R. T.)
9. Miniaturisation of the electromagnetic blood flowmeter
and its use for recording circulatory responses of conscious
animals to sensory stimuli, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash.,
45, 1312 (1959).
Колин, Кац (Ко 1 i n A., Katz L. N.)
10. Observation of the instantaneous speed of blood with an
electromagnetic flowmeter, Ann. Physiol. Physicochim.
Biol., 13, 1022 (1937).
Корделл, Спенсер (Cordell A. R., Spencer
M. P.)
1. Electromagnetic blood flow measurement in extracorporeal
circuits, Trans. Inst. Radio Engrs, ME-6, 228 (1959).
Купер, Ричардсон (Cooper T., Richardson
A. W.),
1. Comparative pulsatile blood flow contours demonstrating
the importance of RC output circuit design in electro-
magnetic blood flowmeters, Trans. Inst. Radio Engrs,
ME-6, 207 (1959).
Макдональд (McDonald D.A.)
1. The relation of pulsatile pressure to flow in arteries, J. Phy-
siol., 127, 533 (1955).
2. Blood Flow in Arteries. (Arnold.), 1960.
Олмстед (Olmsted F.)
1. Measurement of cardiac output in unrestrained dogs by an
implanted electromagnetic meter, Trans. Inst. Radio
Engrs, ME-6, 210 (1959).
Рендел, Стэйси (Randall J. E., Stacy R. W.)
1. Pulsatile and steady pressure-flow relations in the
vascular bed of the hind leg of the dog, Amer. J. Physiol.,
185, 351 (1956).
Ричардс, Вильямс (Richards T. G., Williams
T. D.)
1. Velocity change in carotid and femoral arteries of dogs
during cardiac cycles, J. Physiol., 120, 257(1953).
Ричардсон и др. (Richardson A. W. et al).
1. A newly developed electromagnetic flowmeter, J. Lab. Clin.
Med., 34, 1706 (1949).
2. A newly modified electromagnetic flowmeter capable of
high fidelity flow registration, Circulation, 5, 430 (1952).
Спенсер и др. (Spencer M. P. et al.)
1. Electromagnetic measurement of blood flow through intact
human arteries, Amer. J. Med., 19, 153 (1955).
Спенсер, Денисон (Spencer M. P., Denison
A. B.)
2. The aortic flow pulse as related to differential pressure, Circ.
Res., 4, 476 (1956).
7B-2*
190
Библиография
Спенсер и др. (Spenser М. Р. et al).
3. Continuous measurement of cardiac output- in conscious
dogs by means of an indwelling magnet and the square
wave magnetic flowmeter, Fed. Proc., 17, 154 (1958).
4. Measurement of blood flow in experimental animals by means
of implanted electromagnetic probes, Fed. Proc., 18,
150 (1959).
Спенсер, Денисон (Spencer M. P., Denison
A. B.)
5. Square wave electromagnetic flowmeter. Theory of operation
and design of magnetic probes for clinical and experi-
mental applications, Trans. Inst. Radio Engrs, ME-6, 220;
Meth. Med. Res., 8, 321 (1959—1960).
Фабр (FabreP.)
1. Use of induced e. m. f. s. for recording speed variations of
liquid conductors; a new blood flow measurement with-
out palette, C. R. Acad. Sci., Paris., 194, 1097 (1932).
Федер, Бэй (Feder W., Bay E. B.)
1. The d. c. electromagnetic flowmeter and its application to
blood flow measurement in unopened vessels, Trans.
Inst. Radio Engrs, ME-6, 240, 250 (1959).
Фергюсон, Веллс (Ferguson D. J., Wells H. S.)
1. Frequencies in pulsatile flow and response of magnetic meter,
Circ. Res., 7, 336 (1959).
Флорес и др. (F 1 о r e s A. et al.)
1. The determination of blood flow through intact human arte-
ries, Surg. Forum, 6, 224 (1956).
Ширер и др. (S h i r e r H. W. et al.)
1. A magnetic flowmeter for recording cardiac output, Proc.
Inst. Radio Engrs, 47, 1901, (1959); Trans. Inst. Radio Engrs,
ME-6, 232 (1959).
Я ноф, 3 ал ьц (Yanof Н. М., Saiz Р.)
1. A trapezoidal-wave electromagnetic blood flowmeter,
U.S.A.E.C. Report UCRL-9204, June 1960.
Я н о ф (Y a n о f H. M.)
2. A new trapezoidal-wave electromagnetic blood flowmeter
and its application to the study of blood flow in the dog,
U.S.A.E.C. Report UCRL-9375, Aug. 1960.
IV. Другие специальные приложения
расходомеров
кондукционных
Ар но л ьд (Arnold J. S.)
1. An electromagnetic flowmeter for transient flow studies,
(Waterhammer, etc.), Rev. Sci. Instrum, 22, 43 (1951).
Бабкок (Babcock R. H.)
1. Magnetic flowmeter, Publ. Wks, N. Y., 87, 93. Wat. and
Sewage Wks, N. Y., 104, 380, 1956—1957.
Болле, Браун (Balls В. W., Brown K. J.)
1. Magnetic flowmeter (slurries, pulp), Trans. Soc. Instrum.
Tech., 11, 123 (1959).
Библиография
191
Гранди (Grundy L. А.)
1. Electromagnetic flowmeter in latex service, Industr. Engng
Chem., 47, 2445 (1955).
Джеймс (James W. G.)
1. An induction flowmeter suitable for radioactive liquids,
Rev. Sci. Instrum., 22, 989 (1951) (formerly U.S.A.E.C.
Report ORNL-1013, June 1951).
Д ж e й ф и др. (J a f f e L. et al.)
1. An electromagnetic flowmeter for rocket research (nitric acid
oxidant), NACA Report RM E 50 L 12, Mar. 1951.
Др и н кер (Drinker H.)
1. The magnetic flowmeter (pulp stock), J. Tech. Ass. Pulp
Paper Ind., 39 A, 185 (1956).
Морис, Чэдвик (Morris A. J., Chadwick J. H.)
1. An electromagnetic induction method of measuring oscillato-
ry fluid flow (hydraulic stabiliser), Trans. Amer. Inst.
Elect. Engrs, 70, 346; Elect. Engng, N. Y., 70, 529 (1951).
Ремениерас, X ер мант (R e men ie r as G., Her-
man t C.)
1. Electromagnetic measurement of speed in liquids (hydraulics);
Houille Blanche, 9, 732 (1954).
Ричардсон (Richardson L. M.)
1. Automatic flow control improves filter performance; a mag-
netic flowmeter in a brewery, Food Engng, 28, 72 (1956).
Kellex Corp.
1. Magnetic induction flowmeter development (radiochemicals).
U.S. A. E.C. Reports KLX-1037 (June 1949), 1312 (Aug.
1950), 1321 (Dec. 1950), 1334 (Feb. 1951), and 1347 (June
1951).
V i t г о Co r p.
1. Magnetic induction flowmeter development (radiochemicals).
U.S.A.E.C. Reports KLX-1361 (Oct. 1952) and 1391
(July 1953).
V. Расходомеры с переменным полем; электрические схемы;
магнитные системы
А б е л (Abel F. L.)
1. Chopper-operated electromagnetic flowmeter, Trans. Inst.
Radio Engrs, ME-6, 216 (1959).
Агейкин Д. И., Десова А. А.
1. Электромагнитный расходомер, Автоматика и телемеханика,
17,1123 (1956).
Арнольд (А г п о 1 d J. S.)
1. An electromagnetic flowmeter for transient flow studies,
Rev) Sci. Instrum., 22, 43 (1951).
Барнс (Barnes C. W.)
1. A new method for obtaining flow signals from the electromag-
netic flowmeter, Naturwissenschaften, 47, 56 (1960).
192
Библиография
Болле, Браун (Balls В. W., Brown К.)
1. Magnetic flowmeter, Trans. Soc. Instrum. Tech., 11, 123 (1959).
В а й я т т (W у a t t D. G.)
1. Problems in the measurement of blood flow by magnetic
induction., Phys. Med. Biol., 5, 289, 369 (1961).
В e стер те н (W e s t e r t e n A. et al.)
1. Gated sine-wave electromagnetic flowmeter, Trans. Inst.
Radio. Engrs, ME-6, 213 (1959).
Гуелке, Шот e-B аннек (G u е 1 k е R. W., Schou t e-
Vanneck C. A.)
1. The measurement of sea water velocities by electromagnetic
induction., J. Instn Elect. Engrs, 94, № 2, 71 (1947).
Денисон, Спенсер (Denison A. B., Spencer
M. P.)
1. Square wave electromagnetic flowmeter design, Rev. Sci.
Instrum, 27, 707 (1956).
2. Circulatory system; methods; magnetic flowmeters (sawtooth
wave-form). Medical Physics (ed. O. Glasser), vol. 3,
p. 178 (Year Book Publ.), 1960.
Джеймс (James W. G.)
1. An induction flowmeter design suitable for radioactive liquids
(very low flow rates), Rev. Sci. Instrum., 22, 989 (1951).
2. An A. C. induction flowmeter., Instruments, 25, 473 (1952).
Д ж e й ф и др. (J a f f e L. et al.)
1. An electromagnetic flowmeter for rocket research, NACA
Report RM E 50 L 12, Mar. 1951.
Иохим (Jochim К. E.)
1. Some improvements on the electromagnetic flowmeter, Amer.
J. Physiol., 126, 547 (1939).
2. Electromagnetic flowmeter, Meth. Med. Res., 1, 108 (1948).
3. Circulatory system; methods; electromagnetic flowmeter,
Medical Physics (ed. O. Glasser), vol. 2, p. 225 (Year
Book Publ.), 1950.
Кац, Иохим (Katz L. N., Jochim К. E.)
1. Electromagnetic flowmeters, Medical Physics (ed. O. Glasser)
vol. 1, p. 377 (Year Book Publ.), 1944.
Кац, Колин (Katz L. N., К о 1 i n A.)
2. Flow of blood in carotid artery of the dog under various cir-
cumstances as determined with electromagnetic flowmeter,
Amer. J. Physiol., 122, 788 (1938).
Кларк, Рен де л (Clark J. W., Randall J. E.)
An electromagnetic blood flowmeter. Rev. Sci. Instrum., 20,
951 (1949).
Колин (К о 1 i n A.)
1. An a. c. induction flowmeter for measurement of blood flow
in intact blood vessels, Proc. Soc. Exp. Biol., N. Y.,
46, 235 (1941).
2. A variable-phase transformer and its use as an A. C. inter-
ference eliminator, Rev., Sci. Instrum., 12, 555 (1941).
3. An alternating field induction flowmeter of high sensitivity
Rev. Sci. Instrum., 16, 109 (1945).
Библиография
193
4. A method for adjustment of the zero setting of an electromag.
netic flowmeter without interruption of the flow, Rev. Sci-
Instrum., 24, 178 (1953).
Колин и др. (Koi in A. et al.)
5. Electromagnetic blood flowmeter yielding a base line without
interruption of flow, Proc. Soc. Exp. Biol., N. Y98,
550 (1958).
Колин, К а д о ( К о 1 i n A., К a d о R. T.)
6. Miniaturisation of the electromagnetic blood flowmeter and
its use for recording circulatory responses of conscious
animals to sensory stimuli, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash.,
45, 1312 (1959).
7. Simple photoelectric demodulator, J. Sci. Instrum., 37,
107 (1960).
Колин (KolinA.)
8- . Circulatory system; methods; blood flow determination by
the electromagnetic method. Medical Physics (ed. O. Glasser),
vol. 3, p. 14'1 (Year Book Publ.), 1960.
Купер, Ричардсон (Cooper T., Richardson
A. W.)
1. Comparative pulsatile blood flow contours demonstrating
the importance of RC output circuit design in electromag-
netic blood flowmeters, Trans. Inst. Radio Engrs, ME-6,
207 (1959).
Линч (Lynch D. R.)
1. A low-conductivity magnetic flowmeter, Control Engng,
6, 122 (Dec. 1959).
Морис, Чэдвик (Morris 'A. J., Chadwick J. H.)
1. An electromagnetic induction method of measuring oscilla-
tory fluid flow, Trans. Amer. Inst. Elect. Engrs, 70, 346
(1951).
Никитин Б. И.
1. Измерение расхода жидкости электромагнитным методом,
Приборостроение, № 7, 13 (1956).
О л м с т е д (О 1 m s t е d F.)
1. Measurement of cardiac output in unrestrained dogs by an
implanted electromagnetic meter, Trans. Inst. Radio
Engrs, ME-6, 210 (1959).
Олмстед, Олдрич (Olmsted F., Aldrich F. D.)
2. Improved electromagnetic flowmeter; phase detection, a new
principle, J. Appl. Physiol., 16, 197 (1961).
P e м e н и e рас, X ер мант (R emenier as G., Her-
man! C.)
1. Electromagnetic measurement of speed in liquids, Houille
Blanche, 9, 732 (1954).
Ролф (R о 1 f f J. J. P.)
1. Magnetic flowmeters, Arch. Tech. Messen., no. 297, p. 197,
1960.
Спенсер, Денисон (Spencer M. P., Denison
A. B.)
194
Библиография
1. Square wave electromagnetic flowmeter for surgical and
experimental applications, Meth. Med. Res., 8, 321 (1960).
Федер, Бэй (Feder W., Bay E. B.)
1. The d. c. electromagnetic flowmeter and its application to
blood flow measurement in unopened vessels (electrodes),
Trans. Inst. Radio Engrs, ME-6, 240, 250 (1959).
Фергюсон, Веллс (Ferguson D. J., Wells U.S.)
1. Frequencies in pulsatile flow and response of magnetic meter,
Circ. Res., 7, 336 (1959).
Хатчеон (H u t c h e о n I. C.)
1. Some problems of magnetic flow measurement, Instrum.
Engng, 3, 1 (Apr. 1960).
Хогг и др. (H о g g W. R. et al.)
1. Electronic circuit problems in a electromagnetic flow measu-
rement, Proc. Nat. Electron. Conf., 8, 127 (1952).
X э д (Head V. P.)
1. Electromagnetic flowmeter primary elements, Trans. Amer. .
Soc. Meeh. Engrs, 81, Series D, 660 (1959).
Ширер и др. (S h i r e r H. W. et al.)
1. A magnetic flowmeter for recording cardiac output (square
wave), Proc. Inst. Radio Engrs, 47, 1901 (1959).
Эйнхорн (Einhorn H. D.)
1. Electromagnetic induction in water, Trans. Roy. Soc.
S. Afr., 28, 143 (1940).
Элрод, Ф aye (Elrod H. G., Fouse R. R.)
1. An investigation of electromagnetic flowmeters, Trans.
Amer. Soc. Meeh. Engrs, 74, 589 (1952).
Я н оф, Зальц (Y a no f H. M., Saiz P.)
1. A trapezoidal-wave electromagnetic blood flowmeter,
U.S.A.E.C. Report UCRL;9204, June 1960.
Я н о ф (Y a n о f H. M.)
2. A new trapezoidal-wave electromagnetic blood flowmeter
and its application to the study of blood flow in the dog,
U.S.A.E.C. Report UCRL-9375, Aug. 1960.
VitroCorp.
Magnetic induction flowmeter development. U.S.A.E.C. Re-
port KLX-1391, 1953.
Vi. Электромагнитное измерение скорости
Борден (Borden А.)
1. The development of a turbulence indicator for liquids uti-
lising magnetic induction, David W. Taylor Model Basin
Report 743, Nov. 1950.
Вильямс (Williams E.J.)
1. The induction of e. m. f. s in a moving liquid by a magnetic
field and its application to an investigation of the flow
of liquids, Proc. Phys. Soc., Lond., 42, 466 (1930).
Гросс м а н, Шэй (Grossman L. M., Shay E. A.)
1. Turbulent velocity measurements, Meeh. Engng, 71, 714
(1949).
Библиография
195
Гроссман, Чарват (Grossman L. М., Ch arwat
A. F.)
2. The measurement of turbulent velocity fluctuations by the
method of electromagnetic induction, Rev. Sci. Instrum.,
23, 741 (1952).
Гроссман, Ли (Grossman L. M., Li H.)
3. Turbulence investigations in liquid shear flow by the method
of electromagnetic induction. Univ, of Cal. (Berkeley)
Inst. Engng Res., Series 65, Issue 2, Feb. 1956.
Гроссман и др. (G г о s s m a n L. M. et al.)
4. Turbulence in civil engineering, Investigation of liquid shear
flow by electromagnetic induction, Proc. Amer. Soc.
Civ. Engrs (J. Hydr. Div.), 83, 1394 (1957).
Гуелке, Шоте-Ванне к (Guelke R. W., Schoute-
V a n n e c k C. A.).
1. The measurement of sea water velocities by electromagne-
tic induction, J. Instn Elect. Engrs, 94, № 2, 71 (1947).
Колин (Kolin A.)
1. Electromagnetic method for the determination of velocity
distribution in fluid flow, Phys. Rev., 63, 218 (1943).
2. Electromagnetic velometry. I. A method for the determina-
tion of fluid velocity in space and time, J. Appl. Phys.,
15, 150 (1944).
3. An alternating field induction flowmeter of high sensitivity
Rev. Sci. Instrum., 16, 109 (1945).
Колин, Рейхе (Kolin A., R e i c h e F.)
4. Electromagnetic velometry. II. Elimination of the effects
of induced currents in explorations of the velocity distri-
bution in axially symmetric flow., J. Appl. Phys., 25,
409 (1954).
Лонге-Хиггинс, Барбер (Longuet- Higgins
M. S., Barber N. F.)
1. The measurement of water velocities by electromagnetic
induction. An electrode flowmeter, Admiralty Res. Lab.
Report R1/102.22/W, 1946.
Ремениерас, Хермант (Remenieras G., Her-
man t C.)
1. Electromagnetic measurement of speed in liquids, Houille
Blanche, 9, 732 (1954).
Смит, Слепян (S m i t h C. G., Slep ian J.)
1. Electromagnetic ship’s log, U.S. Pat. 1249530. Dec. 1917.
Хермант, Вулф (H ermant C., Wolf M.)
1. Some practical applications of the electromagnetic nozzle
for the measurement of low velocities, Houille Blanche,
14, 883 (1959).
VIL Океанография, электрические токи в реках,
подводных кабелях и т. д.
Барбер, Лонг е-Х и г г и н с (В а г b е г N. F., Longuet-
Н i g g i n s M. S.)
196
Библиография
1. Water movements and earth currents; electric and magnetic
effects, Nature, bond., 161, 192 (1948).
Бернард (Bernard M.)
1. Observations of the earth current in a submarine cable, Onde
Elect., 17, 465 (1938).
Б о у д e н (В о w d e n K. F.)
1. Measurement of wind currents in the sea by the method of
towed electrodes, Nature, bond., 171, 735 (1953).
Бухгольц (Buchholz H.)
1. Electric currents induced by the earth’s magnetic field in
the moving water of a river (theory), Arch. Elektrotech.,
44, 12 (1958).
Вертхейм (Wertheim G. K.)
1. Studies of the electric potential between Key West and Havana,
Trans. Amer. Geophys. Un., 35, 872 (1954).
Волластон (W о 1 1 a s t о n C.)
1. Tidally induced e. m. f. s in cables, J. Soc. Tel. Engrs,
10, 50 (1881).
Гу ел к e, Шоте-В анн ек (Guelke R. W., S c h о u t e-
Vanneck C. A.)
1. The measurement of sea water velocities by electromagnetic
induction, J. Instn Elect. Engrs, 94, № 2, 71 (1947).
Дешевренс (Dechevrens M.)
1. Tidally induced currents, Rev. Quest. Sci., 83, 302 (1923).
Дресинг (D resing H.)
1. Tidally induced currents in cables, J. Soc. Tel. Engrs, 10
71 (1881).
Ецой, Сузуки (Ezoe T., Suzuki K.)
1. On the faults of submarine cables by electrolytic corrosion,
J. Inst. Elect. Engrs, Japan, 76, 609 (1956).
Каньяр (Cagniard L.)
1. On the theory of the electromagnetic method of measuring
ocean currents, Ann. Geophys, 13, 155 (1957).
К и Йоно, Ецой (Kiyono T., Ezoe T.)
1. On the electric field due to tides, I, II and III, Mem. Fac.
Engng Kyoto Univ., 19, 255 (I — cable corrosion),
21, 15, 170 (II, III —oceanography) (1957, 1959).
Ле Гранд (Le Grand Y.)
1. Electric currents and potential differences in the sea (theory),
Sull. Inf. С. О. E. C., 8, № 1, 11 (1956).
Лонге-Хиггинс (Longuet-Higgins M. S.)
1. The electric field induced in a channel of moving water,
Admiralty Res. Lab. Report R 2/102.22/W, 1947.
2. The electric and magnetic effects of tidal streams, Mon.
Not. R. Astr. Soc. Geophys. Suppl., 5, 285 (1949).
Лонге-Хиггинс и др. (Longuet-Higgins M. S.
et al.)
3. The electric field induced by ocean currents and waves, with
application to the method of towed electrodes, Pap. Phys.
Oceanogr. Met. (M. I. T. and Woods Hole), 13, № 1
(1954).
Библиография 197
Малку с, Стерн (М а 1 k u s W. V. R., Stern М. Е.)
1. Determination of ocean transports and velocities by electro-
magnetic effects, J. Mar. Res., 11, 97 (1952).
Мартин (Martin J.)
1. Use of electric current-meter with towed electrodes,
Bull. Inf. C.O.E.C., 8, № 8, 355, 465 (1956).
M о p о ш к и н К. В.
1. Опыты работы с электромагнитным измерителем течений
в открытом море, Труды Ин-та океанологии АН СССР,
25, стр. 62, 1957.
Реджнерт (Regnart Н. С.)
1. Generation of electric currents by water moving in a magnetic
field, Proc. Univ. Durham Phil. Soc., 8, 291 (1930).
Рикитейк (Rikitake T.)
1. Electromagnetic induction in a hemi-spherical ocean, J.
Geomagn. Geolect., Kyoto, 11, 65 (1960).
Саундерс (Saunders H.)
1. Tidally induced currents in cables, J. Soc. Tel. Engrs, 10,
46 (1881).
Стом мел (Stommel H. M.)
1. The theory of the electric field induced in deep ocean currents,
J. Mar. Res., 7, 386 (1948).
2. Electical data from cable may aid hurricane prediction,
Western Union Tech. Rev., 10, 15 (1956).
Тюрлеман (Thurlemann B.)
1. On the electromagnetic speed-measurement of fluid, Helv.
Phys. Acta, 28, 483 (1955).
Фарадей (Faraday M.)
1. Experimental researches in electricity, Phil. Trans., 15,
175 (1832). Diary, vol. 1, p. 409 (publ. G. Bell and Sons
London, 1932). Faraday’s Experimental Researches
in Electricity, vol. 1, p. 55 (publ. Taylor and Francis,
London, 1839).
Фон Арке (Von A r x W. S.)
1. An electromagnetic method for measuring the velocity of
ocean currents from a ship under way, Pap. Phys. Oceanogr.
Met. (M.I.T. and Woods Hole), 11, № 3 (1950).
2. An introduction to physical oceanography (Addison Wesley.),
1961.
Черри, Стоволд (Cherry D. W., Stovold A. T.)
1. Earth currents in short submarine cables, Nature, bond.,
157, 766 (1946).
Юнг и др. (Young F. В. et al.)
1. On electrical disturbances due to tides and waves, Phil.
Mag., 40, 6th series, 149 (1920).
198
Библиография
VIII. Устройства, близкие к кондукционным расходомерам
(кроме магнитогидродинамических насосов и магнито-
газодинамических генераторов и ускорителей)
Электромагнитные тормоза
Бэйкер (Baker R.S.)
1. Design of an eddy-current brake for a sodium-cooled, nuc-
lear power reactor, Trans. Amer. Elect. Engrs, 79, № 1, 330
(1960) (formerly U.S.A.E.C. Report NAA-SR-2986, Sept.
1958).
Д e Б и p (D e В e a r W. S.)
1. S.R.E. decay-heat problem solved by eddy-current brake,
Nucleonics, 17, 108 (June 1959).
Скелл (Schell F. N.)
1. Use of a d. c. electromagnetic pump as a throttling device
in a sodium system, U.S.A.E.C. Report KAPL-M-FNS-6,
Aug. 1953.
Ф э p и с и др. (Far is F. E. et al.)
1. Operating experience with the S.R.E. Second U. N. Int.
Conf, on Peaceful Uses of At. En. (Geneva), Paper 452, vol.
9, p. 500, 1958.
Жидкометаллическое динамо для возбуждения насоса
постоянного тока
Брилл (Brill Е. F.)
1. Development of special pumps for liquid metals, Meeh. Engng,
75, 369 (1953).
Комбинация жидкометаллических насоса и динамо
Джексон и др. (J а с k s о и W. D. et al.)
1. A magnetohydrodynamic power converter. Second Symp.
on the Eng. Aspects of M.H.D. (Columbia University
Press), 1961.
Индукционные расходомеры
Лей де, Ланг (Lehde Н., Lang W. Т.)
1. Device for measuring rate of fluid flow, U.S. Pat. 2435043,
Jan. 1948.
Мейер (Meyer R. X.)
1. Some remarks concerning magnetohydrodynamic application
to re-entry problems. Second Symp. on the Eng. Aspects
of M. H. D. (Columbia University Press), 1961.
Пондеромоторные расходомеры
Шерклиф (Shercliff J. A.)
1. Tests with mercury of a rotary flowmeter for liquid metals,
A.E.R.E. (Harwell) Report X/M 169, 1957.
Библиография
199
Магнитометры
Колин (К о 1 i п А.)
1. Mercury jet magnetometer, Rev. Sci. Instrum., 16, 209 (1945).
2. Mercury manometer ammeter, Rev. Sci. Instrum., 16, 378
(1945).
Ледюк (Led uc L.)
1. A new method for measuring magnetic fields, J. Phys. Th6or.
Appl. (2e serie), 6,. 184 (1887).
Амперметры
Колин (Koi in A.)
1. Mercury manometer ammeter, Rev. Sci. Instrum., 16, 378
(1945).
IX. Магнитогидродина^ическое течение несжимаемой
жидкости в канале
А л ь ф е р и др. (А 1 р h е г R. A. et al.)
1. Some studies of free surface mercury magnetohydrodynamics,
Bull. Amer. Phys. Soc., 4, 282; Rev. Mod. Phys., 32,
758 (195^-1960)
Бай Ш и - и (Pai S. I.)
1. Laminar flow of an electrically conducting incompressible
fluid in a circular pipe, J. Appl. Phys., 25, 1205 (1954).
Бейдер, Карлсон (Bader M., Carlson W. C. A.)
1. Measurement of the effect or an axial magnetic field on the
Reynolds number of transition in mercury flowing through
a glass tube, NACA Report TN 4274, May 1958.
Бирзвалк Ю. A., T ют и н И. A.
1. Распределение скорости и магнитогидравлические потери
давления в прямоугольном канале (к расчету индукцион-
ного насоса), Труды Ин-та физики АН Латв. ССР,
8, стр. 59, 1956.
Бирзвалк Ю. А., В е з е А.
2. Распределение скорости в каналах электромагнитных на-
сосов с прямоугольным сечением, Изв. АН Латв. ССР,
№ 10, 85 (1959).
Б|р агинский С. И.
1. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей,
Журнал эксперим. и теорет. физики, 37, вып. 5, 1417
(1959).
Баухер, Эймс (Boucher R. A., Ames D. В.)
1. End effect losses in d. c. magnetohydrodynamic generators,
J. Appl. Phys., 32, 755 (1961).
Велихов E. П.
1. Устойчивость плоского пуазейлева течения идеально про-
водящей жидкости в продольном магнитном поле, Жур-
нал эксперим. и теорет. физики, 36, вып. 4, 1192 (1959).
200
Библиография
Вильямс (W i 1 1 i a m s E. J.)
1. The induction of e. m. f. s in a moving liquid by a magnetic
field and its application to an investigation of the flow
of liquids, Proc. Phys. Soc., bond., 42, 466 (1930).
Вудроу (W oodrowJ.)
1. The d. c. electromagnetic pump for liquid metals, A.E.R.E.
(Harwell) Report E/R 452, 1949.
В у л e p (W о о 1 e r P. T.)
1. Instability of flow between parallel planes with a coplanar
magnetic field, Phys. Fluids, 4, 24 (1961).
Гаррис (Harris L. P.)
1. Hydromagnetic Channel Flow. (Mass. Inst. Tech. Press and
Wiley), 1960.
Гартман (Hartmann J.)
1. Hg-dynamics I, Math.-fys. Medd, 15., № 6 (1937).
Гартман, Лазарус (Hartmann J., Lazarus F.)
2. Hg-dynamics II, Math.-fys. Medd., 15, № 7 (1937).
Г л о у 6 (G 1 о b е S.)
1. Laminar steady state magnetohydrodynamic flow in an
annular channel, Phys. Fluids, 2, 404 (1959).
2. The suppression of turbulence in pipe flow of mercury by an
axial magnetic field, Heat Transfer and Fluid Meeh.
Inst., p. 68, June 1959.
3. The effect of a longitudinal magnetic field on pipe flow of
mercury, Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 83, series C,
445 (1961).
Деметриадис (Demetriades A.)
1. A possible fully developed hydromagnetic pipe flow, J. Aero-
space Sci., 27, 388 (1960).
Дональдсон (Donaldson C. du P.)
1. The magnetohydrodynamics of a layer of fluid having a free
surface, Heat Transfer and Fluid Meeh. Inst., p. 55, June
1959.
Дразин (Drazin P. G.)
1. Stability of parallel flow in a parallel magnetic field at small
magnetic Reynolds numbers, J. Fluid Meeh., 8, 130 (1960).
Карлсон, Саттон (Carlson A. W., Sutton G. W.)
1. Effects of end current loops on the velocity profile in a mag-
netohydrodynamic channel. General Electric Report
TIS R 60 SD 439, Dec. 1960.
Краус, Пуарье (Crausse E., Poirier Y.)
1. On laminar flow of an electrically conducting liquid subjected
to a transverse magnetic field, C. R. Acad. Sci. Paris,
244, 2694 (1957).
2. On turbulent flow of an electrically conducting liquid subjec-
ted to a transverse magnetic field, C. R. Acad. Sci., Paris,
244, 2772 (1957).
Локк (Lock R. C.)
1. The stability of the flow of an electrically conducting fluid
between planes under a transverse magnetic field, Proc.
Roy. Soc. A., 233, 105 (1955).
Библиография
201
Лундгрен и др. (Lundgren Т. S. et al.)
1. Transient magnetohydrodynamic duct flow, Phys. Fluids,
4, 1006 (1961).
Маргетройд (Murgatroyd W.)
1. Experiments on magnetohydrodynamic channel flow, Phil.
Mag., 44, 7th series, 1348 (1953).
Михаэл (Michael D. H.)
1. The stability of plane parallel flows of electrically conduc-
ting fluids, Proc. Camb. Phil. Soc., 49, 166 (1953).
Наполитано (N apolitano L. G.)
1. On turbulent magneto-fluid dynamic boundary layers, Rev.
Mod. Phys., 32, 785 (1960).
Павлов К. Б., T а р а с о в Ю. А.
1. Об устойчивости течения проводящей жидкости между па-
раллельными плоскостями в перпендикулярном магнит-
ном поле, Прикл. машем, и мех.. 24, вып. 4, 723 (1960).
Пуарье (Poirier Y.) * .у
1. Contribution to the experimental study of the magnetohyd-
rodynamics of liquids, Publ. Sci. Univ. Alger (Serie B),
6, 5 (1960).
Регирер C. A.
1. О течении электропроводной жидкости в присутствии маг-
нитного поля по трубам произвольного профиля, Прикл.
матем. и мех., 24, вып. 3, 541 (1960).
Россов (Rossow V. J).
1. Flow in d. c. electromagnetic pumps, Rev. Mod. Phys.,
32, 987 (1960), Also NASA Report TND-347.
Саттон (Sutton G.W.)
1. Electrical and pressure losses in a magnetohydrodynamic
channel due to end current loops, General Electric Report
TIS R 59 SD 431, July 1959.
Саттон, Карлсон (Sutton G. W., Carlson A. W.)
2. End effects in inviscid flow in a magnetohydrodynamic chan-
nel, J. Fluid Meeh., 11, 121 (1961).
С т ю a p т ( S t u a r t J. T.)
1. On the stability of viscous flow between parallel planes in
the presence of a coplanar magnetic field", Proc. Roy. Soc.,
A, 221, 189 (1954).
T a p а с о в Ю. A.
1. Устойчивость плоского пуазейлева течения плазмы с конеч-
ной проводимостью в магнитном поле, Журнал эксперим.
и теорет. физики, 37, вып. 6, 1708 (1959).
Уленбуш, Фишер (Uhlenbusch J., Fischer Е.)
1. Hydromagnetic flow in a cylindrical tube, Z. Phys., 164,
190 (1961).
Уль мание Л. Я.
1. К вопросу о краевых эффектах в линейных индукционных
насосах, Труды Ин-та физики АН Латв. ССР, 8, стр. 81, 1956.
202
Библиография
УфляндЯ.С.
1. Установившееся течение электропроводной жидкости в пря-
моугольном канале при наличии поперечного магнитного
поля, Журнал техн, физики, 30, вып. 10, 1256 (1960).
2. Задача Гартмана для круглой трубы, Журнал техн, физики,
30, вып. 10, 1258 (1960).
Фабри, Систрунк.(РаЬг1 J., Siestrunck R.)
1. Contribution to the aerodynamic theory of the electromagne-
tic flowmeter, Bull. Assoc. Tech. Marit. Aero., № 60,
p. 333, 1960.
Фишман (Fishman F.)
1. End effects in magnetohydrodynamic channel flow, AVCO-
Everett Research Note 135, June 1959.
Чекмарев И. Б.
1. Нестационарное течение проводящей жидкости в плоской
трубе при наличии поперечного магнитного поля, Жур-
нал техн, физики, 30, вып. 3, 338 (1960).
Чен, Л у н д грен (Chang С. С., Lundgren Т. S.)
1. The flow of ап electrically conducting fluid through a duct
with a transverse magnetic field, Heat Transfer and Fluid
Meeh. Inst., p. 41, June 1959.
2. Duct flow in magnetohydrodynamics, Z. angew. Math. Phys.,
12, 100 (1961).
Шерклиф (Shercliff J. A.)
1. Steady motion of conducting fluids in pipes under transverse
magnetic fields, Proc. Camb. Phil. Soc., 49, 136 (1953).
2. Entry of conducting and non-conducting fluids in pipes,
Proc. Camb. Phil. Soc., 52, 573 (1956).
3. The flow of conducting fluids in circular pipes under trans-
verse magnetic fields, J. Fluid Meeh., 1, 644 (1956).
4. Edge effects in electromegnetic flowmeters, J. Nucl. Energy,
3, 305 (1956).
X. Кондукционные расходомеры
(прочие вопросы и обзорные статьи)
Бойк (Boeke J.)
1. A new method of flow measurement., Chetn. Weekbl., 49,
133 (1953).
2. Flow measurement on a basis of electromagnetic induction,
Electronica, 6, 81 (1953). See also: Tobiflux electromag-
netic flowmeters, Engineering, Lond., 176, 542 (1953);
Brit. Pat. 726271 (May 1953).
Болле, Браун (Balls! В. W., Brown K. J.)
1. Magnetic flowmeter, Trans. Soc. Instrum. Tech., 11, 123
(1959). See also: Foxboro magnetic flowmeter., Blast
Furnaces and Steel Plant, 42, 1332 (1954). Machine De-
sign, 28, 98 (1956). Calibration tests of 8 in. magnetic
flowmeter. Alden Hydraulic Lab. Report, Worcester
(Mass.) Polytechnic, Apr. 1955, Brit. Pat. 789102, Sept.
1955.
Библиография
203
Гаст, Фивег (Gast Т., Vi.eweg R.)
1. Remote measurement of flow by electrical instruments,
Feinwerk Technik, 54, 261 (1950).
Грей, А с т л e й (Gray W. C., As t 1 e у E, R.)
1. Liquid metal magnetic flowmeters, lustrum. Soc. Amer.
J., 1, 15 (June 1954).
К а т ы с Г. П.
1. Прибор для измерения быстроменяющегося напора в жид-
кости, Измерит, техника, 4, 87 (1956).
2. Малоинерционные расходомеры для измерений в пульси-
рующих потоках, Приборостроение, 8, 29 (1957)'.
К о л и н (К о 1 i п А.) .
1. Apparatus for measuring fluid flow, U. S. Pat. 2149847, Mar.
1939.
Кэмп, Смалс (Kamp J. J., S m a 1 s J. L.)
1. Electromagnetic flowmeter for industrial application, Polyt.
Tijdschr., A, 9, 530 (1954).
Линфорд (Linford A.)
1. Flow Measurement and Meters. (2nd ed.) (Spon), ch. 7, 1961.
Манч (Munch R.H.)
1. Magnetic induction flowmeter (Magnaflow), Industr. Engng
Chem. (Industr.), A, 44, 83 (1952); Chem. Engng, 59,
192 (Jan. 1952).
Нортфилд, X а у, Тэйлор (N о r t f i e 1 d H. J.,
Howe G. W. O., Taylor J. E.)
1. Fluid flow past magnetic poles, Electrician, 116, 14, 40, 68,
96, 151, 208 (1936).
Реджнерт (Regnart H. C.)
1. Generation of electric currents by water moving in a magne-
tic field, Proc. Univ. Durham Phil. Soc., 8, 291 (1930).
Ремениерас, Хермант (Remenieras G.,
H e r m a n t C.)
1. Electromagnetic measurement of speed in liquids, Houille
Blanche, 9, 732 (1954).
Робин (Robin M. J.) •
1. Electromagnetic flowmeter, J. Rech., 5, 187 (1953).
Рэйнсфорд (Raynsford С. K.)
1. Suitability report on electromagnetic flowmeters, U. S. A. E. C.
Report NP-6520, Dec. 1948.
Савастано, Карравет та (Savastano G., С a r r a-
v e t t a R.)
1. Electromagnetic apparatus for measuring the speed of
flowing liquids, Energia Elett., 31, 81 (1954).
Соффлер (Soffler A.)
1. Manufacturing specification. Magnetic induction flowmeter,
U.S.A.E.C. Report KLX-1392, Aug. 1953.
С п и н к (Spink L. K.)
1. The Principles and Practice of Flowmeter Engineering (8th
ed). Foxboro Co., 1958.
204
Библиография
Торнтон, Биджак (Thornton W., В е j а с к В.)
1. Performance and application of a commertcial blood flow-
meter (Avionics), Trans. Inst. Radio Engrs, ME-6, 237 (1959).
Ф и ш e p (F i s h e r J. H.) .
1. Investigation of an electromagnetic method for measuring
fluid flow rates, U.S.A.E.C. Report AD-47751, June 1952.
2. Electromagnetic flowmeter design and performance consi-
derations, Trend Engng Univ. Wash., 7, 18 (1955).
Фукав а, Саката (Fukawa, Sakata)
1. Report on electromagnetic flowmeter manufactured by trial,
J. Soc. Instrum. Tech. Japan, 5, 393 (1955).
Хатчеон (Hutcheon I. C.)
1. Some problems of magnetic flow measurement, Instrum.
Engng, 3, 1 (Apr. 1960).
X о p и у ши, III и б а т a (H о r i u c h i T. В., S h i b a t a T.)
1. Stability of electromagnetic flowmeters, Proc. Fujihara Mem.
Fac. Engng Keio Univ., 12, 46 (1959).
X э д (Head V. P.)
1. Electromagnetic flowmeter primary elements, Trans. Amer.
Soc. Meeh. Engrs, 81, ser. D, 660 (1959).
Шерклиф (S h e г с 1 i f f J. A.)
1. Some engineering applications of magnetohydrodynamics,
Proc. Roy. Soc., A, 233, 396 (1955).
Щербаков Г.
1. Электромагнитный дефектоскоп, Радио, № 7, 27 (1958).
ДОПОЛНЕНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В КАНАЛАХ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
А. Б. Ватажин, С. А. Регирер
Монография Дж. Шерклифа содержит систематическое
изложение теории электромагнитных приборов для изме-
рения скорости и расхода проводящей жидкости. Большая
часть книги посвящена основному разделу теории — рас-
чету электрического поля в канале при движении проводя-
щей жидкости в магнитном поле. Как указывает и сам
автор, этот круг вопросов представляет интерес не только
в связи с электромагнитными расходомерами. Например,
расчет электрического поля как для расходомеров, так и
для других устройств — магнитогидродинамических насо-
сов, генераторов электроэнергии и отчасти ускорителей—
основывается на одних и тех же теоретических предпосыл-
ках и проводится с использованием одних и тех же методов.
Различного рода эффекты, возникающие в краевых зонах
магнитного поля или вблизи концов электродов, также при-
сущи не только расходомерам, но и другим устройствам.
Поэтому результаты гл. 2 носят гораздо более общий харак-
тер, чем это может показаться на первый взгляд, несмотря
на то что избранные автором примеры решений и их интер-
претация относятся часто только к теории расходомера.
Сказанное, хотя и в значительно меньшей степени, справед-
ливо также и для гл.З.
Отличительной чертой книги Шерклифа является боль-
шое искусство, с которым автор, избегая громоздких выкла-
док и пользуясь простыми физическими представлениями,
разъясняет механизм того или иного явления. Однако во
многих случаях целесообразно все же прибегать к более
тонкому теоретическому анализу, который обладает боль-
шей общностью.
Учитывая указанные особенности книги, в настоящем
дополнении авторы стремились не только дать обзор ре-
зультатов, опубликованных после выхода в свет книги
Шерклифа или освещенных в ней с недостаточной полнотой,
206
Дополнение
но и рассмотреть достаточно широкий класс задач в общей
постановке, не связанной заранее с применением к теории
расходомера.
Дополнение представляет собой краткое изложение ос-
нов приближенной теории электрических полей в каналах
магнитогидродинамических устройств и важнейших ре-
зультатов, полученных как в нашей стране, так и за рубе-
жом1). Рассматриваются результаты, следующие из строгого
теоретического решения соответствующих краевых задач.
Можно надеяться, что эти данные вместе с оценками, приб-
лиженными соображениями и решениями, приведенными
в книге, дадут читателю полное представление как о сути
приближенного метода расчета электрических полей и
существующих решениях, так и о применяемом математи-
ческом аппарате.
В дополнении использованы обозначения, отличающиеся
от принятых в основном тексте, но совпадающие с обозна-
чениями в большинстве журнальных статей, к которым
в силу обзорного характера дополнения читатель, может
быть, захочет обратиться. Так, электрический потенциал
обозначается через ф, ось х выбирается в направлении по-
тока, ось у — в направлении э. д. с. v X В, а ось г — парал-
лельно основной компоненте внешнего магнитного поля.
Величины, относящиеся к стенке, отмечаются звездочкой
сверху (ф*, j*, о*, ...). Скорость потока обозначается через
U, если она постоянна, или же через V = У(х, у, z)\ опе-
ратор Лапласа и градиент — через А и у. Используется
гауссова система единиц, в которой р,=е=1.
§ 1. Основы приближенного расчета электрических полей
и токов при движении изотропно проводящей жидкости
по каналу в магнитном поле
1.1. Распределение гидродинамических и электромагнит-
ных характеристик проводящей среды, движущейся по ка-
х) Данные о гидродинамических эффектах в дополнении не при-
водятся, так как это потребовало бы чрезмерного увеличения объе-
ма. Кроме того, постановка и решение гидродинамических задач
для разных типов устройств существенно различны, и поэтому опи-
сать их здесь, не выходя за рамки основного содержания книги,
было бы затруднительно. Краткий обзор литературы по этим вопро-
сам можно найти в работе [31].
Электрические поля в каналах
207
налу в магнитном поле, должно определяться из решения
полной системы уравнений магнитной гидродинамики.
Однако точное решение этой системы при учете пространст-
венных эффектов в настоящее время практически неосу-
ществимо. Естественно, что для облегчения исследования
основных явлений необходимо использовать различные
упрощенные модели. Один из приближенных методов рас-
чета электрического поля в канале состоит в том, что вместо
полной системы уравнений магнитной гидродинамики ре-
шаются только некоторые из уравнений электродинамики,
причем гидродинамические величины и частично магнитное
поле задаются или определяются из независимых сообра-
жений. Перечислим случаи, когда подобное упрощение имеет
место [1]х).
Прежде всего существуют движения, в которых благо-
даря специальному виду векторов скорости и магнитного
поля уравнения гидродинамики и электродинамики разде-
ляются и могут быть решены последовательно. Например,
в случае плоского течения несжимаемой среды по каналу
в магнитном поле, которое в точности перпендикулярно
плоскости движения, функция тока жидкости и скорость
определяются из обычных гидродинамических уравнений,
так как rot j х В = 0.
Если течение в канале происходит при слабом магнито-
гидродинамическом взаимодействии, то гидродинамические
величины можно считать приближенно известными из со-
ответствующих решений обычной гидродинамики (когда
В = 0) и определить при их помощи распределение электро-
магнитных величин.
Аналогичная последовательность вычислений приме-
нима также в случае, когда электромагнитные силы мало
отличаются от потенциальных и поэтому в значительной
степени уравновешиваются градиентом давления. При
этом распределение скорости будет мало отличаться от
обычного гидродинамического.
Наконец, при произвольном магнитогидродинамическом
взаимодействии в некоторых случаях для скорости и тем-
пературы в потоке имеются оценки или приближенные вы-
ражения, полученные теоретически или из эксперимента и
*) Арабскими цифрами указаны ссылки на литературу к допол-
нению.
208
Дополнение
достаточные для определения электрических величин из
уравнений Максвелла и закона Ома.
Таким образом, при выполнении одного из перечислен-
ных выше предположений стационарное распределение
электромагнитных величин в канале находится из системы
уравнений
/(j. a, VT, В, v,...)=0, (
div В = 0, rot В = j, Е =—V<P-
Первое уравнение представляет собой обобщенный закон
Ома. В системе (1.1) все величины, кроме j, В и ф, предпо-
лагаются известными. В общем случае уравнения (1.1)
должны решаться совместно с аналогичными уравнениями
для внешних относительно потока областей. На границе
жидкости и стенки должны выполняться условия непрерыв-
ности нормальных составляющих В и j и касательной со-
ставляющей электрического поля Е:
d? । 1 / 1 * D D*
о — — d-----(v X B)„ =—a* , B==Bn,
on 1 c v /n dn n
d?__dy*
dx dx
(1.2)
Здесь т — единичный вектор в касательной плоскости
к поверхности раздела, о* и ф* — соответственно проводи-
мости стенки и потенциал в ней. Аналогичные соотношения
должны выполняться на границе стенки и окружающего
пространства. К системе (1.1) должны быть еще добав-
лены асимптотические условия на бесконечности вверх и
вниз по потоку, а также соотношения, выражающие закон
Ома для внешних электрических цепей (из линейных про-
водников), которые могут соединять участки границы.
Рассмотрим простейший случай, когда можно пренеб-
речь анизотропией электропроводности; тогда система (1.1)
принимает вид
j = v«p + dvxB')> (I-3)
\ с, /
rotB = ^j, (1.4)
divB=0. (1.5
Электрические поля в каналах
209
Используя условие div j =0, для потенциала ф получаем
следующее уравнение:
Лф+УФ V = — (v X В) у 1п о+ — В rot v + — vycp
С С
(ут=сЩл<з). (1.6)
При Rem == t7L/vm<l последним членом в (1.6) можно
пренебречь и вектор В считать известным и равным внеш-
нему полю. Тогда из (1.6) можно определить потенциал,
из (1.3) найти ток j, а при помощи (1.4) и (1.5) вычислить
индуцированное магнитное поле. Если Rem>l, то уравнение
(1.6) должно решаться совместно с (1.3)—(1.5). Однако в не-
которых случаях, например если о = const, rot v = 0 или
(v X B)v Ino = 0, rot v = 0 и в граничные условия для ф
входят только компоненты внешнего поля, то уравнение
(1.7)
или
А , 1 1
Дф +\7ФУ 1п о = — ¥\7ф
(1-8)
могут быть решены независимо от уравнений для В1).
Когда такое разделение провести не удается, иногда все
же можно в качестве первого приближения задать распреде-
ление магнитного поля и рассматривать опять-таки только
уравнение для ф в форме (1.6).
Будем далее всюду, где не оговорено противное, считать,
что Rem < 1, и уравнение (1.6) для ф записывать в виде
Дф уф7In о = — (v х В) v In а + - В rot v. (1.9)
Заметим, что уравнение (1.9) и соответствующие урав-
нения для ф* во внешних областях, так же как и граничные
условия, линейны по ф, ф*. Поэтому во многих случаях,
по крайней мере в принципе, возможно построение решения
для ф, ф* в виде функционалов от о, v, В (например, при
помощи функции Грина). Если относительно вероятного
х) См. Баухер [IX.1], где решена одна из задач такого типа.
210
Дополнение
поведения a, v, В имеются достаточные сведения, то исследо-
вание функционалов даст необходимую информацию о рас-
пределении ф, ф* и соответствующих токов j, j* и о «чув-
ствительности» этих величин по отношению к изменениям
а, v, В. Очевидно, что при слабой чувствительности прием-
лемые результаты получатся, даже если о, v и В заданы
очень неточно.
1.2. Краевая задача для уравнения (1.9) обязательно
содержит граничное условие, связанное с заданием на части
границы нормальной производной дф/дп. Поэтому краевая
задача разрешима заведомо не при произвольной правой
части. Условие разрешимости, как и в краевой задаче
Неймана, получается интегрированием уравнения (1.9),
умноженного на о, по всей области D, занятой жидкостью,
и уравнения о* Дф* 0 по области £)*, занятой
твердым неподвижным пржоднйком [2]. Используя пер-
вое условие из (1.2) на гржице раздела сред и равенство
J 0,
s*
получаем
J [(vx В) yztf + аВrot v] dD — J о (vx В) ds=O, (1.10)
d s
где S, 2* — замкнутые поверхности, ограничивающие
соответственно D и D + D*.
Преобразуя (1.10), находим условие разрешимости по-
ставленной краевой задачи в виде
f о vrot BdD = 0.
(1.11)
Это условие точно выполняется для безвихревого внеш-
него магнитного поля. Однако при практических расчетах В
почти всегда аппроксимируется некоторой вектор-функцией,
ротор которой может и не быть равен нулю. Поэтому, за-
давая о, v и В, необходимо требовать выполнения условия
(1.11), которое означает, что rot В равен нулю в среднем
(в области D) с весом ov. Проведенные рассуждения легко
обобщаются на случай неограниченных областей D (напри-
мер, когда течение происходит в бесконечно длинном
канале).
Электр ические поля в каналах
211
Заметим, что, найдя ф, ф*, можно из закона Ома вычис-
лить j, j*. При этом уравнения div j = 0, div j* = 0 вы-
полняются точно, если ov rotB = 0. В противном случае
они выполняются только в среднем.
1.3. Решение задач на основе уравнения (1.9) в трехмер-
ном случае, как правило, оказывается очень сложным, и
часто бывает целесообразно перейти к двумерным задачам.
Рис. 1.
Предположим для простоты, что течение происходит
в канале постоянного прямоугольного сечения |#|<С6,
|z|<ji (рис. 1), причем распределения проводимости
а(х, у, г), компоненты магнитного поля Вг(х, у, z) и компо-
нент скорости vx, vy симметричны относительно плоскости
z=0, alF распределение Ву, vz антисимметрично1).
Непосредственный переход к двумерной задаче возможен,
если^из структуры заданных величин a, v, Ви граничных
условий следует, что задача имеет решение, зависящее толь-
ко от двух переменных у, z или х, у. Первый случай может
иметь место на практике, если длина электродов 2% очень
велика или очень мала по сравнению с поперечными раз-
мерами, a a, v и В слабо изменяются вдоль оси х. Второй
случай практически нереален, так как для его реализации
J) Условия симметрии не являются, вообще говоря, обяза-
тельными, но благодаря им (см. далее) выполняются равенства
rot <v> = <rotv>, v<T> = <V^>. При этом вид уравнения (1.13)
не зависит от того, получено ли оно усреднением (1.9) или же пу-
тем применения операции div к (1.12).
212
Дополнение
требуются очень большие зазоры между полюсами магнита
(о>6). Обычно в каналах магнитогидродинамических уст-
ройств а д.
Однако оказывается возможным вместо исходной трех-
мерной задачи относительно <р, j рассматривать двумерную
задачу относительно средних по z (в интервале |z|<a) зна-
чений <р, j, которые обозначаются через <ф>, <j>. Интегри-
руя уравнение (1.9) и закон Ома (1.3) по z в пределах от — а
до а, получим (ср. [1])
Д <ф>+?<ф> Vln<ff> = v«v>x<B»vln<n> +
С
+ ^<B>r°t<v>+^2(x, у), (1.13)
где члены gx и g2 появляются в результате усреднения про-
изведений VTVlno, av<p, vXB и т. д. и поэтому содержат
неизвестные слагаемые. В g2 входит также величина f—Y* .
\dz)-a
Аналогичным образом усредняются граничные условия,
и тем самым получается краевая задача для уравнения
(1.13) относительно <ф>. Однако эта задача незамкнута,
так как остаются неизвестными величины gx, g2. В тех слу-
чаях, когда gx, g2 можно вычислить, например, если о не
зависит от z, стенки z = ± а непроводящие и на них
(v х В)г = О, из уравнения (1.13) и соответствующих
граничных условий определяется (ф>, а из (1.12) — сред-
няя плотность тока (j>.
Пусть, например, магнитное поле создается магнитом,
полюсы которого ограничены плоскостями z — ± zu
|*|<Ль причем £/х^>б. Тогда с большой степенью
точности можно считать, что В = (Вх(х, z), 0, В2(х, z));
рабочей компонентой поля является Bz. Положим, кроме
того, о = о(х) и v = (V(x, у, z), 0, 0). Из (1.12) и (1.13)
в этом случае будем иметь
<Л-> = — °^<Ф>-
<М = -°[Д<*Р>+т<у> (1.14)
Электрические поля в каналах
213
л «Р> +1 <V> S >" ° = ~7 <s«> £ <1'>+й.
(1.15)
г8 = -7[<Вг^>-<Вг>^<У>\.
* —
Корреляции gly и g2 в ряде ситуаций могут быть близ-
ки к нулю, и тогда подучается система, многократно исполь-
зовавшаяся для исследования концевых эффектов. Как
видно из (1.14) и (1.15), под величиной Bz, вводимой раз-
личными авторами в расчет, следует понимать не истин-
ную, а среднюю z-компоненту поля.
Решения некоторых задач на основе уравнений (1.14)
приведены в § 2—4 настоящего добавления. Символ
в этих параграфах опускается, но под величиной В(х)
подразумевается — (В^У.
Сходные соображения можно применить и для изучения
распределений <р> j в поперечном сечении при сильно изме-
няющемся вдоль канала магнитном поле, а иногда также
в с/учае иной формы канала.
Заметим, что при переходе от трехмерных задач к дву-
мерным нужна известная осторожность в интерпретации
результатов. Для любой линейной по ф или j величины W
с коэффициентами, не зависящими от г, справедливо
равенство
<№>=<а (х, у) <р+р (х, у) j + ...>=a <j>+
т. е. среднее значение W точно вычисляется через <ф> и
<j>. Все другие величины, в том числе и квадратичные функ-
ции <ф>, (j), очевидно, этим свойством не обладают. Так,
джоулева диссипация в канале
Q* = £ j2/a dD
не может быть точно вычислена по <j>, ибо
оо <5
J j2/adD=^= 2a J J <j>2/<o>dxdy=2aQ.
D —oo —6
8 Шерклиф
214
Дополнение
Возможные отклонения 2aQ от Q* оцениваются ниже
в § 6.
Рассмотрение величин ф, j в плоскости поперечного сече-
ния канала позволяет изучить так называемые поперечные
краевые эффекты (замыкание токов через пограничные слой
и боковые стенки и т. д.). Поэтому соответствующие задачи
условимся называть поперечными. Аналогично будем назы-
вать продольными двумерные задачи, связанные с так назы-
ваемыми продольными краевыми эффектами (искривлением
линий тока, образованием концевых токов в краевых зонах
поля, у концов электродов и т. д.).
1.4. Как следует из формул (1.9), (1.13), при постоянной
проводимости потенциал ф или <ф> удовлетворяет уравнению
Пуассона с теми или иными граничными условиями. Часто
бывает удобно ввести вспомогательный потенциал ф =
—ф — ф°, линейно связанный с истинным, так чтобы для ф
получить уравнение Лапласа (если предполагается, на-
пример, использовать методы теории функций комплексного
переменного). Чтобы граничные условия для ф не очень
при этом усложнились, желательно в качестве ф° выбрать
такое частное решение уравнения Пуассона, которое удов-
летворяет некоторым из граничных условий для ф. Проще
всего обычно получить ф° из решения задачи о распределе-
нии потенциала в канале с непроводящими стенками.
Переход к уравнению Лапласа целесообразен также и
с той точки зрения, что при простых граничных условиях
его решение может быть получено при помощи моделирова-
ния на электролитической ванне или электропроводной
бумаге1). В том случае, когда ф удовлетворяет уравнению
Лапласа и граничным условиям вида ф = const на одних
участках границы и д^/дп = 0 на других, моделирование
особенно упрощается.
§ 2. Продольные краевые задачи для канала
с непроводящими стенками
В § 1 было показано, что путем усреднения исходных
уравнений по координате z иногда удается перейти к дву-
Ч См., например, работу [3], где изложены вопросы, связан-
ные с моделированием электрического поля в каналах магнитогид-
родинамических насосов.
Электрические поля в каналах
215
мерной замкнутой системе относительно усредненных то-
ков и потенциала. Такая система удобна для изучения эф-
фектов, обусловленных осевой неоднородностью магнит-
ного поля («концевой» эффект) и неоднородностью гранич-
ных электрических условий на стенках. В ряде случаев
два указанных эффекта можно исследовать независимо.
Например, малый размер электродов в расходомерах поз-
воляет изучать концевые эффекты, считая стенки всюду
Рис. 2.
непроводящими. В генераторах иногда реализуются усло-
вия, когда зона однородного поля длиннее электродной зоны,
и распределения тока вблизи электродов и в краевых зонах
поля, где стенки непроводящие, становятся независимыми.
Поэтому задачи о распределении токов в каналах с непро-
водящими стенками, помимо указанной в п. 1.4 вспомога-
тельной роли, имеют и самостоятельное значение. Они дают
возможность полностью изучить концевой эффект и его
зависимость от профилей скорости, магнитного поля, про-
водимости и т. д.
В настоящем параграфе приводится обзор основных
результатов, полученных для каналов с непроводящими
стенками.
2.1. Рассмотрим плоский канал — оо<х<оо, |z/|<S
с непроводящими стенками, по которому движется электро-
проводная среда. Пусть v = (У(у), 0, 0), V( ± S) = 0,
V(y) == V(— у), В = В(х), о = а(х). Внутри канала до-
пустим существование линий разрыва х=хрг |#|<6 (р =
= 1, ..., N), которые заменяют узкие области сильного
изменения внешнего магнитного поля или электропровод-
ности (рис. 2). Распределения и <рр в области хр<С.х<^хр^$
8*
216
Дополнение
|z/|<6 (р =0, JV; х0 = — сю, xw+1 = оо ) находятся из
уравнений [см. (1.14)]
j j =—а d.k + aPVlL, (2.1)
Р дх ’ *ур Р ду ' с
дф + (2.2)
ср dx дх с D dy '
(р=Ь, 1,...Л).
Граничные условия имеют вид
^ = 0 при у=±6, Хр<Х<Хр+1,
Э<рР-1 =(т
Ор~1 дх р дх ’
д^1 = д1р при х=х |у|<6,
ду ду р
(2.3)
jo (— °°, у)—JN (°°> У)=0-
Последние асимптотические условия справедливы, если
на бесконечности поле В однородно (происходит разделение
электрического заряда) или равно нулю.
Решение системы (2.1) — (2.3) может быть построено
методом Фурье. Результаты имеют вид [4]
00
z х l/Bo5,V о /гх • Г^У
<Рр (X, У) =----21 V, Г-. 0р, (£) Sin — ,
>= 1
g = 4-, r,^-:-(2v-l), B(x)=B0/(g), (2.4)
_U м.
ОО - - 6
... х ,, V» Г^У 2 (•„/ х Г;У ,
V (у) = и 2 cos — , v, = Tjr ] V (у) cos -у- dy,
V=1 6
где U — средняя по сечению канала скорость.
Электрические поля в каналах
217
Функции 0Р, удовлетворяют следующей системе обык-
новенных уравнений:
р;+^0рт-г?0Р,=/
при gp<g<gp+i (р=0,v=l,2, ...),
0р—1, •< — 0р’> @р— 1 0р— 1. ч — вр 0р» (2.5)
при
0Ov(_oo) = _O=_^l, 0Wv(oo) = _О~).
Г г
V V
Джоулева диссипация Q и потери давления ДР, обус-
ловленные действующими на жидкость магнитными сила-
ми выражаются формулами
и2 в2 &2 N 00
Ч = ~- 2 2 S f © [°, J'
р=0 v=l ~р
ОО О
Q == j j j2/o dxdy
— ОО —О
(2.6)
/ Bdxdy
Рассмотрим различные случаи применения формул
(2.4)— (2.6).
а) Пусть
/=0, о=а0 при £<0,
f=\, стпри |>0,
г) В концевых зонах эти потери давления являются основными,
о.В Шерклиф
218
Дополнение
т. е. f=i](g), о=<т0т](— I) + <?1Л(В)> гДе П(У — единичная
функция Хевисайда. Тогда
у, и^
са (31 + Оо) г ’
>=“=1
(2.7)
Как видно, Q и ДР пропорциональны величине
cr0 <h/(ao + °i) и с ростом отношения Oi/o0 (или о0/о3) при
фиксированном о0 (или cfi) монотонно возрастают.
Чтобы изучить влияние профиля скорости на джоулеву
диссипацию и потери давления, удобно ввести в рассмот-
рение семейство профилей, которые имеют различную на-
полненность. Можно предложить, например, два таких
семейства, в которых наименее и наиболее наполненными
профилями соответственно являются пуазейлевский и
однородный:
V(y) = UN
у 2s"
ch W — ch Ny/Ъ
N ch W — sh W
(1 <s<oo), (2.8)
(Q^NCoc). (2.9)
При соответствующем увеличении параметров s или N
до бесконечности профиль непрерывно деформируется и
переходит из пуазейлевского в однородный. Профиль (2.8)
при s = 2 рассматривался Вильямсом [1.1] для аппрокси-
мации турбулентного распределения скорости. Семейство
(2.9) является набором профилей Гартмана. Однако пара-
метр N не связан с магнитным полем и характеризует толь-
ко наполненность профиля. Коэффициенты Фурье для про-
филей (2.8) и (2.9) соответственно равны
V, = ^±2 у (— iy+v2s (2s- П [2s-(2fe-l)] (s= j , 2)
*=i r’ (2.10)
г, (r? + №) (W ch N — sh N)
Электрические поля в каналах
219
Результаты некоторых расчетов приведены в таблице.
к ку V- /./cos S=1 . .1 r . s=2 s—3 S=0O
V(Q) и 1,571 1,500 1,250 1,167 1,000
V 2(-ir+i ; 0,637 0,630 0,607 0,594 0,543
В первом столбце указаны данные для наиболее про-
стого (с точки зрения вычислений) косинусоидального про-
филя скорости, который формально получается из (2.9)
при N = ш/2.
Как видно из таблицы, при увеличении наполненности
профиля скорости и сохранении расхода потери давления
уменьшаются. Аналогичное заключение справедливо для
джоулевых потерь. Так, для косинусоидального, пуазей-
левского и однородного профилей величины со-
ответственно равны 1,571, 1,526, 1,086 [4]. При этом джоу-
лева диссипация зависит от вида профиля значительно
сильнее, чем потери давления.
б) Пусть проводимость однородна, а магнитное поле,
равное Во при |х|<7, обращается в нуль при |х|>/. Разность
потенциалов между точками на верхней и нижней стенках
в сечении х =0 характеризуется параметром S [9, 10]:
оо
= 2 (“i)’+Iт;°-e~r'llS)-(2J2)
v= 1
При л//26 >• 1
S - 1 _2yie-KZ/2«+O[e-3KZ/2J]t
(2.13)
Согласно расчетам по формуле (2.12), чувствительность
для пуазейлевского профиля скорости меньше чувстви-
тельности S2 для однородного профиля, причем отличие
наиболее заметно при малых //д. Например, Si и S2 co-
SB*
220
Дополнение
ответственно равны 0,335 и 0,424 при 1/д = 0,254 и 0,951
и 0,960 при Z/6 = 1,91х).
в) Рассмотрим пример, который полезен для выяснения
соотношений между электрическими величинами при пере-
ходе через узкий слой плохо проводящей жидкости. Пусть
/(х) — произвольная непрерывная функция, а о = =
= const при \х\<Д и 0=0*0 = const при \x\>h. Решение
такой задачи легко получить, сшивая между собой решения
уравнения (2.5), построенные для участков (— оо, — Л),
(— Л, Л), (Л, оо). Приведем выражение для разности по-
тенциалов {ф} = ф(Л, у) — ф( — Л, у), когда профиль
скорости однородный, а параметры 8 = оц/Оо, h° = h/д
малы в сравнении с единицей [5]:
00 ,о 2
V = 1
/ ° 0 \
\ со ’ —оо /
со,=2(— 1)’+'/о2-
(2.14)
Величина Л°/е характеризует электрическое сопротив-
ление слоя высотой 26 и толщиной 2h (при протекании через
него однородного тока в осевом направлении). Если при
Л°-» 0 и 8 -> 0 отношение h°/& бесконечно возрастает или
стремится к отличному от нуля пределу, то lim {ф} конечен
и отличен от нуля (обращение в нуль возможно за счет
специального выбора функции /(£), например при ее чет-
ности), а (дф/дх)х=о->со. Разрыв тока jx всегда отсутствует.
При этом если lim/г°/8 конечен, то (/х)х=о^О, а если lim/z°/e=
= оо, то (/х)х=о = 0- Разрыв потенциала приводит к раз-
рыву в сечении х = 0 тангенциальной составляющей элект-
рического поля ({Еу]=£0). Этот результат в данном случае
не должен вызывать недоумения. Действительно, классиче-
ский вывод условия {Ет} = 0 предполагает ограниченность
величины Еп на поверхности разрыва. В рассматриваемом
же примере ду/дх —— Ех во внутренних точках слоя
х) Формула (2.12) была получена в работах [9, 10]. В соответ-
ствующем графике, приведенном в книге [10], допущена ошибка.
Электрические поля в каналах
221
неограниченно возрастает. Разрыв потенциала отсутствует,
если lim Л°/е -> 0.
г) При экспоненциальном изменении магнитного поля
и электропроводности вне зоны однородного поля, когда
/ = exppg, а = ст0 ехр (2%£) при g<0,
f = 1, о = Од при £ > 0
(р, ст0, <Ti, % = const),
джоулевы потери равны [4]
a0W2B;j ~ ,
V=1
2
у ’
Нетрудно показать, что чем резче обрывается магнит-
ное поле и быстрее уменьшается электропроводность, тем
больше джоулева диссипация. В предельных случаях
имеем
а0 ах U2 Ь2
Q = -—ST-2- У---------------г - ,—7- (р = оо), (2.16)
с аоЛ + 3i (X + '-,) г У
V==l
Q = - 2? ;2,v (|л + -Ч) (Х - Q, = g0 = g), (2.17)
_ v=l..
п _ _ 163t/2B2 S2 .Г, 1
к3с2 2^ (2^—I)3
V=1
(% = 0, <jj = Оо = or, р = оо, V=U = const). (2.18)
При всюду однородном поле (р = 0) или равной нулю
проводимости вне зоны постоянного поля (% = оо) джоуле-
ва диссипация равна нулю.
222
Пополнение
2.2. В связи с некоторыми приложениями представляем
интерес исследование каналов, в которых непроводящая
среда несет отдельные проводящие сгустки. В ряде таких
случаев электропроводность можно представить в виде
а = Оо'ф/'у — (а0 = const), (2.19)
где ф — периодическая функция (период обозначим через
л/Р), / — время, U — средняя скорость потока.
Рассмотрим задачи о распределении тока в канале
с непроводящими стенками в такой же постановке, как
в п. 2.1, но при учете зависимости (2.19). Если одновре-
менно с условием Rew < 1 выполняется также неравенство
2pRem/n < 1, то индуцированным магнитным полем и вих-
ревым электрическим полем можно пренебречь. Задача
становится квазистационарной и потенциал ф зависит от
времени как от параметра. Это позволяет воспользоваться
теорией, развитой в п. 2.1. Решение будет выражаться фор-
мулами (2.4) и (2.5), в которых надо положить а = о0ф(£),
С = I — Т, т = Ut/6.
В качестве примера рассмотрим зависимость ф =
= cos20£ [5]. В точках £ = £р =-- л (2р + 1 )/2р (р = О,
± 1, ±2,...) проводимость обращается в нуль, и вслед-
ствие расходимости интеграла
J ф-1^£
сопротивление слоя жидкости (£>р — h°, tp + h°) бесконечно
велико, как бы ни было мало hQ. Поэтому, согласно
п. 2.1 (в), в сечениях t>=t>D возникают разрывы потенциала,
а ток jx обращается в нуль. При выбранной зависимости
Ф(£) уравнения (2.5) интегрируются в квадратурах. По-
лучаемые функции ppv (£) (определенные на участках
%р, Sp4-i соответственно) содержат две свободные констан-
ты и в общем случае обращаются в бесконечность в точ-
ках t '=Zp и £ = Так как потенциал ф — величина
ограниченная, постоянные интегрирования должны опреде-
ляться так, Цтобы ppv (Ср) и рр; (Ср+1) были конечными. Легко
показать, что такой выбор постоянных возможен и
единствен.
Электрические поля в каналах
223
Таким образом, все решения ppv строятся независимо*
При этом; как правило, ppv (£р) =£ PP-i,v (СД Физическое
объяснение появления разрывов потенциала было дано
выше.
Пусть В = Воч](х), где т](х) — единичная функция Хе-
У ...
висайда. Тогда <р=0, если х —лб/р, и ср — BQc~' J Vdy,
0
если х^>лб/р» Это объясняется тем, что токи не могут
протекать через сечения (подвижные) t>=Zp и в каждую
из областей х|>лб/р не могут распространяться возму-
щения от края магнитного поля х=0. При этом в обла-
сти х<^—лб/р токи равны нулю из-за отсутствия поля,
а в области х>лб/Р происходит разделение электриче-
ского заряда и j также равно нулю. В области | х | < лб/р
потенциал с течением времени изменяется периодически
с периодом T—itb/fiU,
Определим джоулеву диссипацию. Средняя за период Т
диссипация Qt в случае однородного профиля скорости
имеет вид
*
<7v
4 „
меньшей, чем
с2
V=S 1
к.2 I 1
Sh
величина Qt
(2.18).
справедлива
о0(/2В^2
2_____2__Мтг2
Зл4с2р v
г2
v
У
стремится к величине
(2.20)
(2.21)
вдвое
асимптотическая формула
оо
Хй (2n — 1)2
V=1
*
2
V
2
Убывание Qt с ростом р имеет очевидный физический
смысл, так как при этом максимальный размер области,
в которой текут токи, сокращается пропорционально Vp.
Для того чтобы объяснить эффект, имеющий место при Р-> 0,
заметим, чтб средняя по всему, каналу проводимость равна
=»о0/2, а при уменьшении р протяженность зоны, в ко-
224
Дополнение
торой текут токи, безгранично возрастает. Формула (2.21)
показывает, что расчет диссипации по формуле (2.18) с ис-
пользованием от приводит к тем большей ошибке, чем
больше 0.
2.3. В монографии Дж. Шерклифа и других работах
(например, [6]) указывалось на возможность ослабления
Рис. 3.
концевого эффекта путем установки в канале непроводя-
щих перегородок. Дадим количественную оценку этой воз-
можности для канала с непроводящими стенками.
Пусть в левой половине канала на его оси установлена
непроводящая бесконечно длинная1) перегородка АВ, маг-
нитное поле равно нулю в левой и постоянно в правой поло-
вине канала, а скорость и проводимость среды однородны
(рис. 3). Тогда потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
и граничным условиям
= О на АВ+, АВ-, CD, MG; ^ = ±UB0 на DE, GF.
Индексы плюс и минус обозначают соответственно верх-
нюю и нижнюю поверхность перегородки. Заметим, что
на АВ
ж »(-Й) + о
по причинам, сходным с рассмотренными в п. 2.1 (в).
х) Толщиной перегородки h пренебрегаем: h < 2S.
Электрические поля в каналах
225
Сформулированная задача решена в работе [7] при по-
мощи формулы Келдыша — Седова [81. Джоулева Диссипа-
ция равна
l63</2Zi^da „ _
Q- TC3C2° Y> 7 = ОД (2.23)
Она в 1,76 раза меньше величины (2.18) для того же
канала без перегородки. Если бы перегородка делила канал
пополам, то Q была бы меньше величины (2.18) в 2 раза.
Заметим также, что формулой (2.23) заведомо можно поль-
зоваться, если левый конец перегородки не уходит в бес-
конечность, но ее длина не меньше 26.
2.4. Определим джоулёвы потери в канале с непроводя-
щими стенками при Rem> 1, когда на концевой эффект оказы-
вает влияние индуцированное магнитное поле. Пусть маг-
нитное поле создается магнитом, полюсы которого ограни-
чены плоскостями z = ±^, />0, причем й,
< й, и вплотную подходят к стенкам канала z = ± а
(a^Zj). Если Rem<l, то поле внутри жидкости можно ап-
проксимировать зависимостью В(х) = Вот](х). Если Rem>l,
то поле частично «выносится» жидкостью в область х<4) и
можно ожидать, что величина Q, рассчитанная по формуле
(2.18), окажется завышенной.
Пусть проводимость и скорость однородны. Предпола-
гая, что индуцированное поле имеет только одну компо-
ненту Bz(x, у), обращающуюся в нуль при у = ± 6, полу-
чаем систему (Баухер, [IX.1])
Т ~'т дх ’
= 0 при х<С0, у = ± б и при х-> —с©;
при х>0, у=±6 и при х-» ос;
0 при х^-0. (2.24)
226
Дополнение
Ее решение строится методом Фурье» Затем при по-
мощи закона Ома и уравнения divj— 0 рассчитываются
токи и джоулева диссипация:
16а(У2В252
Q =------У -----------------г - , ---------П7-, (2.25)
те»с2 | (2ч—I)2 [Re^ 4-(2v—1)2тг2]‘/Ч v '
(Re^ = 4ло(7б/с2).
Величину в фигурных скобках с незначительной ошиб-
кой можно аппроксимировать выражением л (Re^-^n2)-1/2.
Отметим в заключение, что все рассмотренные до сих
пор задачи относились к случаю, когда область течения
токов была неограниченной» Однако возможны ситуации,
когда в трубопроводе с проводящими стенками при помощи
фланцевого соединения устанавливается непроводящая сек-
ция. Тогда индуцированные токи замыкаются через метал-
лические фланцы. Применительно к теории кондукционного
расходомера задача о распределении потенциала внутри
непроводящей секции канала изучалась в работах [9, 10].
§ 3. Распределение тока в плоском канале с двумя
, электродами и непроводящими перегородками
3.1. Рассмотрим сначала одну вспомогательную задачу
[11]. Пусть в канале (рис. 4), внутри которого покоится
электропроводная среда, стенки АВ, CD, FE и Л1С не-
проводящие, а ВС и GF — электроды. Внутри канала уста-
новлены п непроводящих перегородок gv(v = 1, ..., и).
Определим, считая проводимость среды постоянной, ток,
протекающий через канал, когда к электродам приложена
разность потенциалов1) ф+ — ф__.
Потенциал ф удовлетворяет системе
jx — — в ~ , Дф—0,
. J х дх J у ду х
jn = 0 на АВ, CD, FE, MG, gv; j=0 при x->±oo;
Ф~Ф+ на GF, ф —ф_ на ВС. (3.1)
*) Предполагается, что разность потенциалов достаточно мала,
так что индуцированным магнитным полем и динамическими эффек-
тами можно пренебречь.
Электрические поля в каналах
227
При помощи анализа размерностей [12] из (3.1) находим
где Ф — функция 4и + 3 параметров, определяющих гео-
метрию канала. Величина 1/оФ представляет собой эф-
фективное внутреннее сопротивление канала.
Вид функции Ф можно найти только из решения систе-
мы (3.1), получить которое при большом числе перегородок
Рис. 4.
конечной длины затруднительно. Решение упрощается, если
область Р течения токов односвязна, например когда пере-
городки расположены горизонтально и один конец каждой
из них уходит в бесконечность. Тогда задача после конформ-
ного отображения области Р, представляющей собой внут-
ренность многоугольника, на верхнюю полуплоскость ре-
шается при помощи формулы Келдыша — Седова.
Функцию Ф можно определить посредством моделиро-
вания на электролитической ванне. При соблюдении гео-
метрического подобия канала и ванны для этого необходимо
знать проводимость электролита, подводимое к электродам
напряжение и протекающий по цепи ток.
Определим вначале величину Ф для канала без перегоро-
док. Пусть точки В, С, G, F имеют координаты (—%, —S),
(X,,—6), (—а,й), (ft, S) соответственно. Тогда [4]
(s + и) (г + 1)
" '(s+ 1) (г + и) 71/2
228
Дополнение
к (Ь + М
2Ъ
г = exp
s = ехр —
= k* + k'2^l,
л {К)
(3.3)
В (3.3) K(k) — полный эллиптический интеграл пер*
вого рода.
Если электроды расположены симметрично, то [13—16J
ф=а*=т(£), k-' =ch (лХ/26). (3.4)
При Л/б > 0,3 зависимость (3.4) можно заменить приб-
лиженной формулой
ф = т + 1^‘ (з.б)
График зависимости а* (X/б) представлен на рис, 5 [17].
Рассмотрим канал С с горизонтальными, попарно рас-
положенными полубесконечными перегородками (рис. 6).
Если бы концы перегородок в каждой паре были соеди-
нены электродом тк (такой канал назовем С*), то распре-
Электрические поля в каналах
229
деления тока в областях Pk(k==\,г+1; п=2г) находи-
лись бы независимо друг от друга, и в этом случае
ф=(гЧГ’ (3-6)
где ФЛ определяются по формуле (3.3). Можно доказать
[И], что решение ф* для канала С* является также ре-
шением для канала С в том и только том случае, если
М К-1
____________X_______________Р£_
__________ _ ___ ^х->/
_ <Р-
Рис. 6.
выполняется условие {дф*/ду}=0 на tnk (при этом Ф для
канала С определяется формулой (3.6)). Указанное усло-
вие выполняется, например, если электроды расположены
симметрично, перегородки доходят до краев электродной
зоны и расстояния между перегородками в направлении
у одинаковы и равны 2й/гЦ-1. В этом случае
Ф = B-'=ch [Jt%(r+1)/2S],
г "Г 1
(3.7)
Рассмотренную вспомогательную задачу можно исполь-
зовать для определения характеристик магнитогидродина-
мических устройств1).
3.2. Пусть в канале (рис. 4) перегородки установлены
горизонтально (в остальном их расположение произволь-
х) Эта задача также имеет и самостоятельное значение, так как
описывает распределение электрического поля в канале магнитогид-
родинамического насоса при пренебрежимо малой противо-э. д, с.
V X В [13, 14].
230
Дополнение
но), электроды ЛВС и GF соединены через нагрузку R и
среда движется с однородной скоростью <7. Будем счи-
тать, что канал помещен в однородное магнитное поле
B(x)~Bq. Между электродами индуцируется разность
потенциалов ф+ — ф_. Такое устройство может работать
в режиме расходомера (7?->оо) или генератора
когда на нагрузке выделяется мощность N = J2R. Потен-
циал ф определяется из системы
/х = — о ~~, j = — о + ~UBq, Аф = О,
ix дх * У ду с и т
= 0 на АВ, CD, FE, MG, g^, j = 0 при х + оо,
Ф = ф+ на GF, ф = ф_ на ВС, RJ=y+— ф_. (3.8)
Если ввести вспомогательный потенциал
о уУВа
Ф ° = Ф— —— ,
то система уравнений относительно ф° будет такой же,
как (3.1). Поэтому интегральные характеристики устройст-
ва (например, разность потенциалов ф+ — ф_, джоулеву
диссипацию Q, эффективность x\=N/(N^-Q) удается выра-
зить через геометрическую характеристику канала Ф:
сп аФ$2
<Р+-Ф_-^, Ф+-Ф- = т+^Ф • Q-(i + ^)2
С ростом Ф величина tj монотонно возрастает1). Так
как введение в канал перегородок, как правило, приводит
к уменьшению Ф [см. (3.7)], то при этом уменьшается и
индуцируемая разность потенциалов. На это было впер-
вые указано в работе [18].
При увеличении параметра Ro величина ф+ — ф_ воз-
растает, и ф+ — ф_=$ при Ro=oo.
г) Формулы (3.9) будут верны и для произвольной зависимости
<5
V ~ V(y), но тогда S = c~lB9 (y)dy.
Электрические поля в каналах
231
Для канала без перегородок с симметрично располо-
женными электродами в (3.9) надо положить Ф = а*
[см. (3.4)]. Линии электрического тока в этом случае по-
казаны на рис. 7, а.
6
Рис. 7.
3,3. Рассмотрим теперь канал с симметричными элек-
тродами и горизонтальными непроводящими перегородками
gv, расположенными вне электродной зоны (рис. 8) [И].
Будем считать, что v=(V(x),0, 0) и
В=В(х)=>
0 при | х| >%,
(х) при I х I < X.
232
Дополнение
Для определения потенциала ф служат уравнения
^ = ~аЙ'* h = ~° +yV(x)B(x), Дф =
= 0 на АВ, CD, FE, ЛЮ, gv; j=0 при
Ф = Ф+ на GF, ф~ф на ВС, ф+—ф_ = У/?.
(3.10)
Рис. 8.
Система уравнений относительно
© О Q
ix=!x, jy=4y — -VB, ф°=ф,
как следует из (3.10), становится такой же, как (3.1).
Поэтому интегральные характеристики канала также
удается выразить через Ф:
Ф+ — ф_ = ———-, п = -г,. . ----^-Т5Т-.
2b J РВМх;
—X
с
—л
г2
Ф+ —Ф-:
г]=0 при Rd -* оо.
Электрические поля в каналах
233
При заданных Ф и fa максимальная эффективность
Tlmax = (1 4-/?аФ)[5+/?а(ФЬ —X)] 1
достигается при VB=const.
Величины т], определяемые формулами (3.11) и (3.12),
обращаясь в нуль при оо, достигают максимумов
при некоторых конечных Ro. Такой характер зависимо-
стей т| (Ro) объясняется возникновением замкнутых кон-
цевых токов в краевых зонах магнитного поля (концевым
эффектом). По этой же причине при V=const, B=const,
Ro-* оо величина ф+ ф_ (если только электроды не очень
длинные) в отличие от (3.9) меньше, чем S. Линии элект-
рического тока в канале без перегородок показаны на
рис. 7, б.
Так как дт]/дФ<Т), то введение в канал перегородок (при
этом величина Ф уменьшается) приводит к увеличению
Л и Ф+ — Ф-.
Результаты некоторых расчетов по формулам (3.9) и
(3.12) приведены в статье [11]. Характеристики каналов без
перегородок исследованы в работах [15, 16, 19].
В заключение параграфа заметим, что через функцию Ф
характеристики рассмотренных каналов определяются и
в том случае, когда скорость зависит от времени (в квази-
стационарном приближении, как в п. 2.2). При необходи-
мости можно учесть также индуктивность внешней цепи1)’
§ 4. Распределение тока в плоском канале с электродами.
Многосекционные каналы
4.1. В § 3 рассматривались каналы при наиболее простом
распределении магнитного поля — однородном или локали-
зованном только в электродной зоне. На практике магнит-
ное поле обычно выходит за электроды и затем постепенно
убывает до нуля; поэтому представляет интерес расчет
электрических токов при произвольном распределении маг-
нитного поля. Подобная задача привлекала внимание мно-
гих исследователей.
-1) Якубенко А. Е., Второй Всесоюзный съезд по теорети-
ческой и прикладной механике, Аннотации докладов, Москва,
1964.
234
Дополнение
В обширной статье [20] изложено решение задачи о рас-
пределении тока в канале с полубесконечными электродами и
магнитным полем, выходящим за электродную зону, и на его
основе рассчитана эквивалентная схема канала насоса
постоянного тока1).
В работе Саттона и Карлсона [IX.2] дано решение
для канала с бесконечными электродами и магнитным
полем, обрывающимся у их краев. Распределение потен-
циала в канале с электродами конечной длины при произ-
вольном магнитном поле было найдено в работе [15] при
помощи формулы Келдыша — Седова и в работе [16] пу-
тем конформного отображения исследуемой области на
прямоугольник и построения решения в виде ряда.
Приведем решение задачи, придерживаясь работы [15].
Рассмотрим канал, который отличается от изображен-
ного на рис. 8 отсутствием перегородок и произвольным
распределением магнитного поля.
Потенциал (р удовлетворяет системе (3.10), в которой
первое граничное условие заменяется условием
g =1у(х)В(х) на АВ, CD, MG, FE.
Пусть V (х) В (х) — четная функция (например, V —
=U=const, В(х) = В(—х)). Тогда распределение тока
симметрично относительно оси у, и решение для правой
половины канала имеет вид
(4.1)
a (t\ _ 1/LzJ t = t (z\ = sin <TCt'z/2S)
s (l) — ? t i > l\z) ch (лх/28)
x) См. также библиографию к этой статье, где указаны предше-
ствующие работы ,
235
III, I Яг
Электрические поля в каналах
Y ~ 4ЪК (k) (1 + R™*) pO^i +
+R° П (т > р2 _ 1
' г
k' — K(£)(l +^aa*) VBd? ;
тс/2
п /Л h k\ — С______________________——_________________
П [ 2 ’ ’ J J (i 4- h sin2 P) / Г— k2 sin2 p
о
В (4.1) для квадратных корней выбраны ветви, кото-
рые положительны при действительных 1, П (л/2, A, k)—
полный эллиптический интеграл третьего рода; a*, k, k' —
определены в (3.4) и последней из формул (3.3); постоян-
ная определена в (3.11); величина VB = V [х(р)1 В[х(р)]
под интегралами определяется из соответствия граничных
точек при отображении которое правую половину
канала переводит в верхнюю полуплоскость.
Разность потенциалов между электродами равна
p = k ch (лх/26),
причем
236 Дополнение
k ______
* f > , /1 — т2 d'z
— a* arctg у -5---г ——= ;
J 6 Г р2 — 1 _ Х2
= 0, а|>(оо) = £(а*-1). (4.3)
В работе [17] приведены асимптотические представле-
ния функций S и ф, а также их графики. Функция ф очень
удобна для расчетов при ступенчатом распределении маг-
нитного поля. При помощи (4.3) легко доказать, что при
увеличении длины зоны однородного поля величина
Ф+— ф_ возрастает, стремясь к величине, определяемой
формулой (3.9) при Ф = а*.
Когда поле равно BQ при |х|</! и нулю при |х|>хх
(*1>Х), а V = const, джоулева диссипация Q представляется
в виде
&ch (jtXi/26).
(4.4)
В работе [19] эта формула приведена с членами вплоть
до порядка т?6-
В случае тх -> оо джоулева диссипация определяется
первыми двумя членами. Один из них — джоулева дис-
сипация в канале с электродами при однородном поле [фор-
мула (3.9) при Ф = а*], другой — удвоенная джоулева
диссипация в канале с непроводящими стенками при резко
обрывающемся поле 1см. (2.18)]. Таким образом, когда %i^>X,
процессы в электродной зоне и в краевых областях поля
невзаимосвязаны. Практически их взаимодействие прекра-
щается, начиная с не очень больших xjh. Например,
?! = 20 и тх = 100 соответствуют параметрам Х/б = 2,58,
jq/X = 1,75 и Х/б = 2,58, хх/Х = 2,17.
Электрические поля в каналах
237
Будем отмечать нижними индексами 1, ..., 5 величины,
соответственно относящиеся к следующим распределениям
полей1*:
1) В(х)=0 при | х | > X, В(х) произвольно при | х | <^К
[см. (3.11), где Ф=а*];
2) В (х)=0 при |х|>Х, В(х)=В0 при |х|<Х [см. (3.12)];
3) В(х)=Вопри |хКх1( В(х)=0при |х|>х1[см. (4.4)j;
4) В (х)=В0 при | х) <хъ В (х)=0 при |х | >х1( Xj-^oo;
5) однородное поле.
Тогда
(Ф+—ф_)2 < (Ф+—<р_)з < (ф+—ф_)4 = (Ф+— ф-)6,
Л1 < Ла < Лз < Л4 < Л6- (4.5)
Случай магнитного поля, экспоненциально затухающего
за электродной зоной, подробно исследован в. статье [16].
Расчетные данные для каналов с конечными электродами
и различными распределениями магнитного поля можно
найти в уже упомянутых работах [16, 17, 19].
Большой интерес представляет изучение концевых
эффектов с учетом конечной длины изоляторов, отделяю-
щих электроды от заземленной части конструкции. Одна
из задач такого типа была решена в работе [21].
4.2. Используя решения для каналов с непроводящими
стенками (п. 2.1) и для канала с симметричными электро-
дами (п. 4. Г), можно получить решение сформулированной
в п. 4.1 задачи при произвольной четной функции V (у),
обращающейся в нуль на стенках у=±6.
Решение задачи (схема канала такая же, как в п. 4.1)
i'=-°d£’ /у=-ст|+т1/(У)в(х),, Дф=|в(х)^,
|^=0 на АВ, CD, FE, MG; j=0 при х->+оо,
Ф=Ф+ на GF, Ф=ф_ на ВС, ф+—ф._=//? (4.6)
можно представить в виде ф=ф°4-ф, потребовав, чтобы
функция ф° удовлетворяла уравнению
Аф° = 1в(х)^
т с v ' dy
^-=0 при y=±S.
(4-7)
9 Скорость предполагается однородной,
9 Шерклиф
238
Дополнение
Тогда функция ф находится из решения краевой задачи
Аф=0, |J=0 на АВ, CD, FE, MG;
ф=Ф+—Ф°(х, 6) на GF, ф—ф_—ф° (х,—S) на ВС, (4.8)
Решения уравнений (4.7) и (4.8) соответственно нахо-
дятся при помощи (2.2), (2.3) и формулы Келдыша—Се-
дова. При четной функции В (х) решение для правой
половины канала записывается в виде
о ЬВ0 U л . G У ф с \ 0, Г, ₽, (g) Sin 6 V== 1 (в(х)=в0/а), $ 1 00 v ь , Е ос 0 0 = См(р) 1 1/н дх ду ^cg(t)J Р'|_Р+Т V 1- k +—V- р— t Г н v Во Г/ гi4~^g {I24~^з) Y адОД(1+йаа*) ’ ’ М(р)= 2(-1)’П V=-1 ? = т£ fe~r^dl, v»l 0 = /-V = ^(2v-1)), fe-^<?1+£> dgi , (4.9) ±+ L -p IP dp+ T -pj
Электрические поля в каналах
239
Разность потенциалов между электродами равна
_ _ _ 4Д0 W>R'i\a*(l1+ ^)-(/2+/3)]
тс2£ (1-)-/?аа*)
В приведенных формулах vv и U —соответственно
коэффициенты Фурье функции V (у) и средняя скорость
(см. п. 2.1); штрихом обозначено дифференцирование по
функция g(t), связь между комплексными переменными t
и г, параметр k, величина а*—такие же, как в п. 4.1.
Заметим, что решение задачи (4.6) также без труда
находится, если потребовать, чтобы функция <р° удовле-
творяла граничному условию ср ° — 0 при у =±6. Тогда
решение для ф° легко получается при помощи преобразо-
вания Фурье по координате х, а для определения ф снова
используется формула Келдыша — Седова.
4.3. В некоторых устройствах на стенках канала может
устанавливаться не одна, а несколько пар электродов.
В этом случае при неравных нагрузках, соединяющих
электроды, даже когда скорость и магнитное поле однород-
ны, возможно перетекание тока с одного электрода на со-
седний. Чтобы исследовать этот эффект, рассмотрим изоб-
раженный на рис. 9 канал с двумя парами электродов
[22]. Электроды K/V, DB и CH, ML соединены через на-
9*
240
Дополнение
грузки 7?! и соответственно, участки NM и ВС являют-
ся изоляторами, и предполагается, что на линиях KD и
LH продольный ток jx =0. Последнее предположение оправ-
дано, если левее KD и правее LH электропроводность в ка-
нале равна нулю (что осуществляется, например, при те-
чении газа, когда вблизи первой пары электродов через
стенки вводится легко ионизируемое вещество, а на выходе,
Р и с. 9.
вблизи второй пары электродов, рабочее тело охлаждается)
или если электроды рассматриваемой схемы являются по-
ловинами электродов GN, SB, МО, СТ в многосекционном
канале, причем нагрузки подобраны так, что jx = 0 на ли-
ниях, соединяющих середины электродов каждой пары.
При о = const, В(х) = Во = const, V = V(y) распре-
деление тока в канале находится из уравнений
/г=—aj, /у = — ст? + "Во V(y), Дф=—°??
Jx дх ду 1 с 0 т с dy
= О на NM, ВС;
ду '
? = о на KD, LH;
Ф = + Ф1 на KN;
Ф = + ф2 на ML,
2ф, =
Ф = — ф, на DB;
Ф = —ф2 на СН;
2ф2 ~ J2 $2'
(4.10)
Для вспомогательного потенциала
'| ; ф - ~ J V' (V) dy
с 0
Электрические поля й каналах
241
решение можно найти при помощи формулы Келдыша —
Седова. Разности потенциалов между электродами опре-
деляются формулами [221
2фг=т<£ , 2ф2= ,
о
Л=ар//гп+(а + Р)(т-|-п)4-4, J V (у) dy.
л
—о
m = GR1, n~=oR2, a = r(v), р = т(р),
Г ( 1—Л2\ 1/2
£\1— г2) '
/1 — Лг2\ 1/2
(4.Н)
Параметры k и г находятся из уравнений
F(Q, #) = F[arccos
"г \1/21 ь\ —
k\l—r2) J’ у~~
/ о
= (4-12>
В этих формулах функция т определяется согласно (3.3),
F— неполный эллиптический интеграл первого рода, 26—
ширина канала, 21 — длина непроводящих участков NM
и ВС, Л—длина электродов.
При бесконечно больших нагрузках (т = оо, п = оо)
разности потенциалов, согласно (4.11), равны Ток на
одной из нагрузок возрастает с увеличением нагрузки,
подсоединенной к соседней паре. Максимальная мощность
N=J2\ Rr+Jz /?2> снимаемая при т = п = 2/р, равна V^P^2-
С увеличением относительной длины электродов V6
(при фиксированных т, п, Z/6) разности потенциалов
(а также снимаемая мощность и эффективность) возрастают.
При (//6) -> сю распределения токов в электродных
зонах становятся не взаимосвязанными и характеристики
устройства можно рассчитывать при помощи формул, приве-
денных в § 3.
Когда (//6) -> 0, потенциалы электродов выражаются
формулами
242
Дополнение
Формулы (4.13) соответствуют схеме параллельного
подключения сопротивлений Т^и Т?2 к источнику с э. д. с.
S и внутренним сопротивлением 7?/ = б/оЛ.
Как видно, характеристики устройства при (//б) = О
и (//6) — оо в общем случае весьма сильно отличаются друг
от друга. Например, еслиО</?1<ое, Т?2 = 0, то N = J?iRlf
где = 87(7? х + Ri), Ri = 2/оа* [см. формулу (3.4)],
при (//б)-> оо, и N = 0 при (Z/S) = 0. Когда 0<77?!<7оо,
-одо -
Рис. 10.
Т?2= оо, то в обоих случаях J1 = 8’/(7?1 + 7?z), J2 = 0, но
внутреннее сопротивление Ri равно б/oZ при (Z/6)= 0 и
2/оа* при (//б) -> ос.
Указанные выше эффекты во многом объясняются перете-
канием тока между электродами. На рис. 10 показано рас-
пределение тока jy~ ]у/&<8 на электродах верхней стенки для
случая К = б = 4 ои, I = 0,05 см, т = 5, п — 10.
Обширный расчетный материал по формулам (4.11) при-
веден в работе [22].
Заканчивая рассмотрение продольных концевых эф-
фектов, укажем, что на характеристики магнитогидродина-
мических устройств можно воздействовать, изменяя не
только конфигурацию поля или геометрию канала, но и
распределение проводимости. Задачи об оптимальном рас-
пределении проводимости в каналах рассмотрены в работах
[23, 24].
Заметим, наконец, что условие разрешимости (1.11) в за-
дачах § 2—4 выполняется автоматически, так как v rotB = 0
вследствие перпендикулярности векторов v и rotB.
Электрические поля в каналах
243
§ 5. Поперечные краевые задачи для сред
с изотропной проводимостью
5.1. Рассмотрим вначале задачи, связанные с расчетом
канала прямоугольного сечения (рис. 11), в котором две
стенки, параллельные магнитному полю, идеально проводя-
щие, а две другие имеют конечные толщину и проводимость.
Будем пренебрегать контактным сопротивлением на гра-
нице жидкости и стенок и изменением всех величин вдоль
Рис. 11.
оси х. От последнего ограничения можно отказаться, если
под qp, j, В, ... понимать величины, надлежащим образом
усредненные по длине электродной зоны. Будем считать
также, что v = (V(y, z), 0, 0), В = (0, 0 — В(у, z)), о —
= о(г/, z) — четные по у, z функции. Из уравнения (1.9) и
соответствующего уравнения для потенциала стенки полу-
чаем
Y дуду dz dz га ду v '
д In а* d<f>* . д In а* d'f* ______________q
ду dz dz
Дф*+ ду
Граничные условия для ф, ф* имеют вид1}
(5.1)
х) Аналогичная задача при а = const, В = const для канала
с четырьмя непроводящими стенками решена в работе Лонге-Хиг-
гинса [VII.2].
244
Дополнение
* d? * д<₽* 1
Ф = Ф*, О £ =о* при 2= ± а,
Лер* л
4г=0 при 2= ± а*- (5.2)
Если электроды у—+6 соединены внешней цепью с со-
противлением У?, то
Ф+ —ф- = JR,
(5.3)
Условие разрешимости задачи, согласно § 1, имеет вид
а 6
( ^oV^dydz=0 (5.4)
-- о —Б
и предполагается выполненным.
При o=const из закона Ома и формулы (5.3) (без ре-
шения задачи) можно найти индуцированную разность
потенциалов и полный ток J [25, 26]. Интегрируя /у по
всему сечению канала, найдем
а 8
1 С С шт j
qu — ф__ = -5-7——-у»—rrrv dv dydz,
т ' т 2с R (а*—я)]+й J J 7 ’
~а —6
а 8
= 2с Я [аа-[-а* (а*—а)]-]-8 J j BV dy dz. (5.5)
—а —8
При работе канала в режиме расходомера (R оо)
выходной сигнал зависит от распределения скорости, если
только B=^const. Предположим, что по мере удаления от
оси канала к стенкам z ~ ± а величина В возрастает,
а к стенкам у — ± б убывает; V монотонно убывает в обоих
направлениях. Тогда, вследствие неоднородности В в зави-
симости от величины V вблизи стенок1) сигнал может как
-1) Некоторые данные об изменении сигнала вследствие неодно-
родности поля приведены в работе [10]. При В = const, как пока-
зывают эксперименты, сигнал действительно не зависит от профиля
скорости (см., например, [9]).
Электрические поля в каналах
245
увеличиться, так и уменьшиться по сравнению со случаем
В = const при том же среднем В.
При некоторых специальных предположениях относи-
тельно о, V, В исходная система (5.1) — (5.3) имеет про-
стые точные решения.
Так, если о = о(у), о* = О, V = V(y), В = В(у), то
замкнутые токи отсутствуют, т. е. jz — 0, jy = /, ф =
= ф(у) и ф, j находятся квадратурами. Индуцированная
разность потенциалов между электродами выражается
формулой
ф+-ф_=1------------- См/dy. (5.6)
Ra+ J a”1 dy —§
О
Поскольку проводимость а главным образом опреде-
ляется температурой среды Т и вместе с Т убывает от центра
трубы к стенкам, то часто
С >s
J а ’
О m
где от—проводимость, подсчитанная по средней темпера-
туре. Неоднородность температуры в направлении v X В,
таким образом, может повлечь за собой снижение ф+ — ф__,
но только при конечных 7?; при R ->оо неоднородность а
в данной задаче не играет роли.
Иначе обстоит дело, когда а, а*, V, В зависят только
от z. Потенциал тогда определяется формулой
а
ф+—ф-=| -р-----------у—CoVBdz. (5.7)
R j adz+ J о* dz + S o
0 a
В этом случае влияние переменной проводимости ска-
зывается и при 7?->оо; более того, с ростом R это влияние
усиливается.
При В—const и о*=0 убывание проводимости от оси
канала к стенкам приводит к увеличению выходного сиг-
нала по сравнению со случаем о = о0= const. Формулы
(5.6) и (5.7) позволяют также получить простые выраже-
246
Дополнение
ния для джоулевой диссипации Q, мощности во внешней
цепи N=J2R и эффективности N(N + Q) при работе
канала в режиме генератора. В общем случае даже при
о = const, когда N можно найти из (5.5), для вычисления Q
приходится проводить полное решение задачи,
При о = const краевая задача (5.1) — (5.3) решается
путем разложения ф, ф* в тригонометрические ряды по
sinnny/S [25]. Для того чтобы оценить влияние профиля
скорости на распределения ф, j и джоулеву диссипацию,
удобно аппроксимировать профиль скорости выражением
вида V=fi (у, N^)f2(z, N2), где параметры и N2 харак-
теризуют толщину пограничных слоев Ьу, на стенках
у = ±6 и z = соответственно.
Положив, например, по аналогии с (2.9)
дг ch Mi—chMiV/S chM2—chM2z/a
12V2 MiChMi-shMx M2chM2—shM2 ’
(5-8)
получим профиль скорости, изменяющийся от параболи-
ческого (Nt =N2 =0) до однородного1’ (^->оо , N„->-oo),
причем — 6/бу, N^a/i>z при Л\ > 1, Мг > 1.
Приближенная формула для джоулевой диссипации
в расчете на единицу длины канала при В = const и N-^X
имеет вид [25].
Q ® - J (ф+ - <р_) + о F (N2) + -U +
\ с / \ /V1 /
ЪаяВи / ч
——(ф+—ф_),
С*
2M2ch2 М2—3ch М2 sh М2+М2 v
2
(M2chM2—shM2)2
где U — средняя по сечению скорость. Совместное рас-
смотрение (5.5) и (5.9) показывает, что Q возрастает с уве-
личением 6z/a примерно по линейному закону.
х) Как и в п. 2.1, при -Mj 2 = /л/2 профиль имеет косинусо-
идальную форму.
Электрические поля в каналах
247
Еще одна задача возникает при исследовании попереч-
ного краевого эффекта в канале с электродами, имеющими
ширину 2Х<2а, когда
Ф = ф± при у = + 6,- | z К X;
§ = 7 VB при у = + d, а > I z | > X.
Если V = I/Q/), В = const и боковые стенки непроводя-
щие (о* = 0), то решение этой задачи может быть полу-
чено из результатов работы [22] (см. п. 4.3 и рис. 9). Дей-
ствительно, при У?! = Т?2 распределение тока в области
между осью у и линией LH совпадает с распределением
токов в левой половине поперечного сечения рассматривае-
мого прямоугольного канала. Следовательно, для того
чтобы найти разность потенциалов ф_}_ — ф_^ в формулах
(4.11), (4.12) достаточно положить т == п = 2о7? и заме-
нить / на а — X. Тогда для рассматриваемого случая раз-
ность потенциалов на электродах независимо от их длины
при 7?->оо будет равна 2bBU/c. Заметим, что при X =а
или Х->0 значение ф+ — ф_ получается из элементарных со-
ображений.
5.2. В гл. 2 книги Шерклифа подробно изложены ре-
зультаты решения различных задач о распределении потен-
циала в круглой трубе с непроводящими стенками и точеч-
ными электродами, соприкасающимися с жидкостью1).
В действительности электроды всегда имеют конечную пло-
щадь, и это может привести к отклонению характеристик
канала, работающего в режиме расходомера, от расчетных.
Чтобы учесть влияние конечной площади электродов,
рассмотрим канал, поперечное сечение которого изобра-
жено на рис. 12.
Пусть магнитное поле В однородно и направлено по
оси z, скорость зависит только от радиуса и обращается
в нуль на стенке и проводимость жидкости постоянна. Тогда
потенциал ф удовлетворяет уравнению
Аф = cos 6. (5.10)
х) См. также статью [27].
248
Дополнение
и граничным условиям
q> = <р± при r=R0, |9|<а, |9—л\<^а;
|^ = 0 при r=R0, а<9<л — а, л+а<^9<^2л—а;
а
ф+-ф_ = JR,J—Ro (5.11)
Решение краевой задачи (5.10), (5.11) после перехода
к уравнению Лапласа относительно функции
строится при помощи формулы Келдыша — Седова и за-
писывается через эллиптические интегралы. Разность по-
тенциалов, индуцированная между электродами, выражает-
ся формулой [39] см. также [40])
__ _ kRqUB aR
с К (cos o)-^-gRR (sin а) ' ' ’ '
где К — полный эллиптический интеграл первого рода.
В отличие от задачи, описанной в конце п. 5.1, — ф_
здесь существенно зависит от длины электродов даже при
7?->оо. Для сколь угодно большого, но конечного 7? раз-
Электрические поля в каналах
249
ность ф_}_ — ф_ достигает максимума при некотором а =
= а° #= б, зависящем от о/?; в случае 7?->оо максимальное
значение ф+— ф_ равно 2RqUBIc и достигается при а= 0.
Этот результат означает, в частности, что при наличии за-
метного тока в измерительной цепи расходомера существует
наивыгоднейшая протяженность электродов по периметру
сечения, которую можно оценить, исходя из формулы
(5.12).
Источниками погрешностей расходомера круглого сече-
ния с непроводящими стенками и однородным поперечным
полем могут служить также неточности в установке элек-
тродов и эллиптичность канала. Теория, основанная на
решении поперечных краевых задач, позволяет оценить
влияние этих факторов на выходной сигнал расходомера
[10]. Так, расчеты показывают, что при отклонении точеч-
ного электрода на угол А0^4° от диаметра, перпендику-
лярного полю, сигнал уменьшается примерно на 0,1%;
погрешность возрастает пропорционально sin2 А6. Неко-
торые данные о влиянии эллиптичности трубы на выходной
сигнал расходомера приведены в работе [10]1*.
Отметим в заключение этого параграфа, что, по-види-
мому, возможно численное решение поперечных краевых
задач методом конечных разностей. Конечно-разностный
аналог системы (5.1) имеет и другое применение. По изме-
рениям потенциала в точках поперечного сечения можно
вычислить AV и затем найти распределение скорости (см.
стр. 137). Этот способ успешно применялся, например, для
определения скорости турбулентного течения в канале
квадратного сечения с непроводящими стенками [28, 29].
§ 6. Трехмерные краевые задачи для сред
с изотропной проводимостью
6.1. Решение трехмерных задач, в которых принимает-
ся во внимание изменение ф, j по всем трем направлениям,
возможно только при достаточно простой конфигурации
канала.
Ч Другой случай движения в канале эллиптического сечения
рассмотрен Лонге-Хиггинсом [VI 1.2].
250
Дополнение
Рассмотрим, например, канал прямоугольного сечения
с непроводящими стенками (рис. 13), в котором проводи-
мость о постоянна, а скорость и магнитное поле ограни-
чены и удовлетворяют условиям
В-» 0, dv/dx -> 0 при —оо,
В-» В-(у, z), dvjdx-* 0 при х-»оо (6.1)
Рис. 13.
и условию разрешимости (1.11). В этом случае решение
уравнения (1.9) с учетом граничных условий
|| = (vxB)y при у=±д,
= (vxB)z при z= ±а,
л (6.2)
ф0 при Х-» — оо, 7
1 / . .
7^vxB^ п₽и 00
может быть в общем случае представлено в виде двойного
тригонометрического ряда [2].
В частности, если
v = (V(y, г), 0, 0), V (у, z)=V(y, -z)=V(-y, г),
V(±S, z) = V(y, ±a) = 0;
B = (S_v(X> z)> °> z)), Вг(х, z) = Bz(x, —z),
Boo = (0, 0, Boo), Boo = const,
Электрические поля в каналах
251
то решение имеет вид
оо оо оо
IV • /'лУ ! V V Г/г У ж
ф = у Z фпО Sin -у- + 2j Z фпт Sin -у- COS — ,
n=l п—\ т=\
фпт — f tTlnm (^) ехр ( У пт | % I )
Чпт
(6.4)
fllmm
. Г/г У ж
sin COS-------------
о а
dydz,
2 ___гп । ~2 т2
Упт — ^-Т-
п=1, 2,. .. ,
т = 0, 1, 2,...
и не зависит от продольной компоненты поля Вх. При
х-»оо, В2-»Воо¥=0 оно асимптотически стремится к реше-
нию Лонге-Хиггинса [VII.2]. В другом предельном случае,
когда v и В не зависят от г, двойные суммы в (6.4) исче-
зают и получается соответствующее решение продольной
краевой задачи, рассмотренной в § 2.
Общая формула для джоулевой диссипации может быть
кратко записана в виде Q* = Q(1 + со), где Q — дис-
сипация, подсчитанная по двумерной теории (§ 2), а со —
поправка, учитывающая увеличение диссипации за счет
поперечного краевого эффекта.
Хотя величина со сложным образом зависит от распре-
деления магнитного поля и скорости, сравнительно не-
трудно дать ее верхнюю и нижнюю оценки. Например,
если профиль скорости принять в виде (5.8), а компоненту
магнитного поля Bz приближенно считать функцией толь-
ко х, пренебрегая в области |z| а ее зависимостью от г,
то при
( I X | < /),.
(*>/)
(6.5)
нижняя (и довольно точная) оценка со имеет вид
® (NJ 4% (N2),
а3
252
Дополнение
где при N\,2^> 15. Параметр а4/а3
зависит от р и отношения 1/6 (рис. 14). Кривые на рисунке
соответствуют квадратному сечению канала; с ростом 6/а
значения а4/а3 увеличиваются.
При определенных условиях, которые легко установить
из графика, вклад в джоулеву диссипацию от поперечного
краевого эффекта может быть значительным.
Рис. 14.
Разность потенциалов между двумя симметричными точ-
ками (х, 6, 0) и (х, *—S, 0), согласно (6.4), представляется
формулой
дф(х)=ф(х, 6, 0) — ф(х; —6, 0) =
= 2 (-!)"+’Фпо+2 2 £ (-!)"+«+* ф™. (6.6)
п—1 п=1 т—\
Для магнитного поля, заданного равенствами (6.5),
функция фпт(х) при х =0 принимает значение
Ф™ = (1 - ‘ \, (6.7)
С()^пт V 7/гт“гР70 /
где Хпт — коэффициенты разложения V(y, z) в ряд по функ-
циям cos (гпу/6) cos(jimz/a).
Электрические поля в каналах
253
Пользуясь общим решением, приведенным в работе [2],
можно записать выражение для бф(х) с учетом изменения
скорости вдоль канала и далее его использовать для оп-
ределения длины участка развития течения по измерениям
6ф (х).
6.2. Другая трехмерная задача^ решение которой пред-
ставляется в виде бесконечных рядов, связана с исследо-
ванием электрического поля в канале круглого сечения
Рис. 15.
с проводящими стенками конечной толщины (рис. 15).
В этом случае потенциалы ф, ф* определяются из уравне-
ний (проводимость считается постоянной)
Лф = — В rot v приОСг*^/!,
С
; Дф* — 0 при гх<^г<^г^ (6.8)
Граничные условия имеют вид
Ф <С оо при г=0,
<Р = Ф*, jr = j*r при Г=ГЬ
/*=0 при г=г2,
ф, ф*0 при |х|->оо. (6.9)
Предполагается, что при |х|-> оо величины v, rotv
ограничены, а В стремится к нулю. Если скорость v обра-
щается в нуль на стенке канала (г=Г1), то на внешней
10 Шерклиф
254
Дополнение
поверхности стенки (г=г2) распределение потенциала дается
формулами 1):
* оо
Ф* (л2, 0, х) ф£ cos ф* sin/>0,
k=\
ОО 00
ф* (г2»х) = 2 Г (х )е~(ъ1 хх 1 dx >
Tv Г о v
2 V=1 —ОО
00 00
ф* (г2, х) = ^г^ f Qks-dx') е~1к"1 х~х ]^х’>
Qkcv = — акс(х, t)tqk,(f)dt, (6.10)
1 о
Г1
Qz?sv ~ 0 tQk') (f) dt>
1 о
/Л_ 9
М) ~ (^W7=_Uv *
Aft(v) = ~ + (y —- ij^i ркгУк! —АгУА2],
Л/ = (£^\=ri ’ Y’ki = (^ri
dkt ~ Jkiyri} 0*=h 2)
Здесь Jk, Yk— цилиндрические функции; yAV — корни
уравнения Aft(y) = 0; akc и aks — коэффициенты разложе-
ния —Brotv в ряд no cos kQ, sinftO. В центральном сечении
(при х — 0)
бф* (0)=ф* (г2, л, 0) —ф*(г2, 0, 0) = —2 2 Ф* (^2, 0)- (6.П)
г) Для построения решения удобно пользоваться двусторонним
преобразованием Лапласа по координате х.
Электрические поля в каналах
255
Формулы (6.10) и (6.11) определяют выходной сигнал
расходомера круглого сечения в зависимости от проводи-
мости стенок, конфигурации магнитного поля и профиля
скорости. В частном случае, когда V -> U — const, в ре-
зультате предельного перехода из (6.10) и (6.11) получаем
ОО 00
Sq>* (0) - “ 2 2 <г1) х
" £==1
оо 2п
X I I Bota, 6, х)е 1 x 1 cos kB dxdB. (6.12)
Отсюда видно, что даже при однородной скорости выход-
ной сигнал, а следовательно, и чувствительность расходо-
мера сложным образом зависят от отношения проводимо-
стей о*/о, геометрических размеров rlt г2 и азимутальной
компоненты поля (^„ ук-> — функции от о*/о, г1( г2). Та-
ким образом, тарировочная зависимость расходомера при
В =/= const не универсальна и должна вычисляться или на-
ходиться из экспериментов для каждой конструкции и каж-
дой рабочей среды отдельно.
6.3. Представляет интерес отыскание других, отличных
от дф* (0) характеристик электрического поля, которые
могут быть измерены непосредственно и по которым может
быть вычислен расход жидкости. Функциональная связь
такой характеристики й с другими величинами должна
удовлетворять прежде всего двум очевидным требованиям:
й должна быть линейной функцией расхода, не зависящей
от формы профиля скорости; й должна зависеть от инте-
гральных характеристик магнитного поля, не связанных
с проводимостью жидкости или стенки, т. е. только от
характеристик самой магнитной системы, измеряемых при
отсутствии жидкости в трубе.
Когда профиль скорости осесимметричен и не зависит
от х, в качестве й можно выбрать величину
оо 2тс
<P*ta)=^ f J ф* ta, 6. х) cosQdQ dx. (6.13)
—оо О
10*
256
Дополнение
В самом деле, умножая (6.8) и граничные соотношения
на cos 6 и интегрируя, получаем
А А / оо 2~ \ '
44 + “ 4^ v I f В cos 0 dQ dx I rot v,
dr2 r dr cit \ J J f
\—oo 0 /
d2?* . 1 dy* __p
dr2 ' r dr ’ • .. ' '
при r — 0,
<P = Ф*> /, = Tr при Г = Г1,
/* = 0приг = г2* (6.14)
Если интегральная характеристика магнитного поля
В = J J В cos 0 de dx
—оо 0
имеет отличную от нуля проекцию Bq на азимутальное на-
правление, а скорость v, как и в п. 6.2, направлена по
оси х, то правая часть первого уравнения (6.14) имеет вид
BqV' (г)!с. Когда поле обладает симметрией относительно
плоскости х = 0, умножая уравнения div В = 0, rot В — 0
соответственно на sin 0 и cos 0 и интегрируя их по 0 и х,
получаем для В0 дифференциальное уравнение .
единственное ограниченное решение которого есть
Bq .= const. Легко показать, что Bq совпадает с непериоди-
ческой частью В2, проинтегрированной по х от —оо до оо.
Таким образом, система (6.14) с точностью до обозначе-
ний совпадает с уравнениями двумерной теории для функ-
ции Z(r) на стр. 46, и поэтому ср*(г2) связано со средней
скоростью U формулой Элрода и Фауса [1.1]
(6.15)
Электрические поля в каналах
257
Можно показать также, что эта формула сохраняет
смысл при произвольных магнитных числах Рейнольдса
Rem. В самом деле, если Rem не мало, то в первом уравне-
нии (6.8), согласно (1.9), появляется дополнительное слагае-
мое ----L уд?, которое после интегрирования пох обра-
и*
щается в нуль и не оказывает влияния. Полное магнитное
поле В удовлетворяет уравнениям div В = 0, rot В = — j
С
и граничным условиям, не связанным с токами в жидкости j.
Умножая снова эти уравнения на sin 0 и cos 0, получаем
после интегрирования то же самое уравнение для В0, что
и выше, так как (v X В)х = 0 и интеграл по х от jx также
обращается в нуль. Поэтому Bq есть характеристика только
внешнего поля, не зависящая от j.
Заметим, что при отклонении профиля скорости от осе-
вой симметрии или при наличии зависимости V от х прове-
денные рассуждения теряют силу в том смысле, что в (6.15)
вместо средней скорости потока могут появиться другие
величины. В некоторых частных случаях (см. стр. 57) при
dV/dx = 0 и при специальной структуре поля формула
(6.15) остается верной и для асимметричного профиля ско-
рости.
Проведенный анализ позволяет предложить схему рас-
ходомера [30], сходную с описанной Шерклифом на
стр. 54, 71 и основанную на интегрировании величины
Ф*(г2, 0, х) с весом cos 0 по всей поверхности трубы (или
по ее четверти — в симметричном случае).
Как видно из рис. 16, на поверхности трубы /, помещен-
ной в поле магнитной системы 2, в точках (xf,.0y) устанавли-
ваются измерительные электроды 3. Потенциалы электро-
дов относительно «земли» умножаются на | (x/+i —: xz_ i) х
X (0/-|-1 — 0/-1) cos 0у и суммируются в специальном уст-
ройстве 4. Регистрирующий прибор 5 может быть отгра-
дуирован непосредственно в единицах расхода. Необходи-
мое количество измерительных электродов и интервалы
между ними могут быть оценены на основе расчетов по
формулам (6.10) или опытным путем.
Описанная схема расходомера обладает тем преимуще-
ством, что она может быть применена при любых магнитных
258
Дополнение
числах Рейнольдса и магнитных системах практически
любой конфигурации. Последнее позволяет в принципе
выбрать магнитное поле таким образом, чтобы добиться
Рис, 16.
минимального возмущения потока электромагнитными си-
лами и уменьшить тем самым погрешности измерений и
потери напора.
§ 7. Продольные краевые эффекты при движении
анизотропно проводящей среды
Во многих гидродинамических устройствах движущаяся
среда обладает анизотропной проводимостью. Это приводит
к появлению компонент электрического тока, перпендику-
Электрические поля в каналах
259
лярных к вектору Е + -v X В, и изменению характеристик
каналов.
В ряде практически интересных случаев закон Ома для
анизотропно проводящей среды можно записать в виде [32]
еВ
где о — скалярная проводимость; е, т — соответственно за-
ряд электрона и его масса; т — среднее время между столк-
новениями электрона с другими частицами. Величина сот
характеризует степень анизотропии проводимости.
Уравнение (7.1) показывает, что известное равенство
f jE dD= f (j2/o) dD + - J (j x B) v dD
Ъ D C D
остается справедливым и при сот =/= 0.
При законе Ома в форме (7.1) основные уравнения § 1
можно усреднить по осевой или поперечной координате и
получить уравнения относительно усредненных потенциа-
лов и токов, соответственно описывающих поперечные и
продольные краевые эффекты.
Ниже приводятся результаты исследования продольных
краевых эффектов, которые обусловлены неоднородностью
электрического поля, возникающей из-за различной прово-
димости стенок по длине канала (п. 7.1) и осевого изменения
магнитного поля (п. 7.2).
7.1. Рассмотрим течение проводящей среды в плоском
канале, когда В == (0,0, — В(х)). Используя (7.1), при
Rem < 1 получаем следующую систему уравнений:
260
Дополнение
Если магнитное поле однородно (В .= Во > 0) и ком-
поненты скорости можно представить в виде vK = dty!ду,
vy = — д^/дх то
. _ а I ди ди
1+<оа ( дх —ЮТ ду
. _ а / ди ди\ т с )' \1
]У~ 14-6)2-С2 ду +ыхдх)
. При постоянных ст, т из (7.3) следует, что функция и
гармоническая и djx/dy = djy/dx, Это позволяет ввести
аналитические функции w(z) = и + iv и W(z} = jy +
где z = х + iy>
Если стенки состоят только из электродов и изолято-
ров, то для решения задачи в полосе <— оо<х<оо, | у j < 6
достаточно определить любую из аналитических функций
удовлетворяющих условиям
и = const на электродах,
v + сота = const на изоляторах; (7.4)
jx = (от/у на электродах,
]у = 0 на изоляторах. (7.5)
Задачи (7,4) и (7.5) являются краевыми задачами Ри-
мана — Гильберта. Общее решение задачи (7.5) для канала
с п электродами конечной длины, полученное И. М. Тол-
мачем и Н. Н, Ясницкой [41], имеет вид
( п . 9 j О'» п—1
W=jy+ijx=it} П (t-aky~ 2 cktk~^ (7.6)
k—\ J
а:
с;
-1) Это, например, всегда возможно при течении несжимаемой
жидкости (тогда ф — функция тока) и прямолинейном течении
с произвольной скоростью V = V(y) в канале постоянного сечения
(тогда ф — | Vdy).
о
2) В общем случае канал может быть несимметричным относи-
• тельно оси х и иметь переменную ширину. Исследуемая область,
если в канале имеются участки, где о ~ 0, может и не совпадать
с внутренностью полосы. Тогда на линиях, разделяющих области
с а — 0 и а = const, должна выполняться условие jn = 0.
Электрические поля в каналах
261
Здесь t = /(z) — конформное отображение внутрен-
ности канала на верхнюю полуплоскость, при котором ле-
вая и правая бесконечно удаленные точки канала перехо-
дят в точки t =± 0 и t = ос соответственно, (ak,b^ — отрез-
ки на оси IП1 /= 0 в плоскости /, соответствующие £-му
электроду, С/, — вещественные постоянные. Для функций
о е
— । —
(t — akY , (/ — &А) ~ выбраны ветви, которые положи-
тельны при действительных t >> ak, t bk соответствен-
но. Функция (7.6) удовлетворяет соотношениям (7.5) и
асимптотическому условию j -* 0 при х -> ±
Постоянные Ck определяются из соотношений для на-
грузок, соединяющих электроды. Пусть, например, имеется
п = 2г электродов mk (k = 1, ..., л), причем т, и т^г соеди-
нены нагрузкой (v = 1, ..., г). Тогда должны выпол-
няться г соотношений (ср+— qp_)v =JVRV (v = 1, ..., г) и
(г— 1) соотношений Л = (v = 1, ..., г— 1) (соотно-
шение Jr J2r выполняется при этом автоматически).
Здесь Jk — ток, протекающий через электрод а
(ф_|_ — ф. )v — разность потенциалов между электродами
и tnh\r. Число соотношений равно числу неизвестных
констант Ck.
Основная сложность расчета многосекционных каналов
по формуле (7.6) состоит в вычислении постоянных Ck.
Определение характеристик канала в каждом конкретном
случае и физическая интерпретация результатов расчета
требуют отдельных исследований.
Перечислим основные работы, в которых получены
решения задач (7.4) и (7.5) для канала постоянного
сечения.
В работе [33] электропроводность задавалась функ-
цией а = о() т](х) (tj — единичная функция Хевисайда,
X == const), а стенки канала при х>0 предполагались бес-
конечно проводящими. Показано, что при сот^О на ниж-
нем электроде вблизи сечения х = 0 возникает пик плот-
ности тока (Д, ~ х-^). Удельная мощность, за исключением
области вблизи концов электродов, с ростом сот уменьшает-
ся как 1/(1^- со2т2).
Статья [34] посвящена расчету электрического тока
в канале с полубесконечными, смещенными один относи-
тельно другого электродами. В отличие от указанной
262 Дополнение
выше задачи а = const во всем канале. Решение показы-
вает, что если верхний электрод смещать вправо (в направ-
лении перекоса линий тока) относительно нижнего, то раз-
личие плотностей тока на нижнем и верхнем электродах,
обусловленное анизотропией проводимости, уменьшается.
В работе [4] рассмотрены две задачи для каналов
с электродами конечной длины. В одной из них электро-
проводность считается однородной во всем канале, в дру-
гой — отличной от нуля (и постоянной) только в электрод-
ной зоне. Один из полученных результатов заключается
в том, что при больших сот и фиксированной геометрии
канала снимаемый с электродов ток изменяется как 1/сот.
Для устранения влияния анизотропии проводимости на
характеристики устройств электроды на стенках канала
делают секционированными 1>. Распределение тока в таком
канале теоретически изучено в работах [33, 35]. Решение
получено в предположении одинаковой длины электродов
и непроводящих участков между ними и равных нагрузок,
соединяющих электроды каждой пары. При этих условиях
распределение тока в канале становится периодическим,
и достаточно изучить процессы только в какой-либо одной
электродной зоне. Расчеты показали, что при уменьшении
шага секционирования удельная мощность стремится
к своему значению при сот = 0.
Все решения в перечисленных работах найдены методом
конформных отображений.
7.2. Решение системы (7.2) чрезвычайно усложняется,
когда B(x)=/=const. В большинстве случаев теперь не удается
воспользоваться аппаратом теории гармонических функций.
Однако если В(х) аппроксимируется ступенчатой функцией,
то аналитические функции ш, W можно ввести в каждой
области, где В(х) = const. Помимо условий (7.4) и (7.5),
w и W должны также удовлетворять условиям {jx} = 0,
{ д^/ду} = 0 в сечениях разрыва магнитного поля. При
большом числе таких областей решение задачи практически
неосуществимо. Однако, когда имеется только один разрыв
поля, построение решения оказывается возможным.
г) Электроды составляются из изолированных друг от друга
секций, а внешние нагрузки выбираются так, чтобы уменьшить
влияние продольного тока.
Электрические поля в каналах
263
В работе [36] изучается распределение тока в канале,
когда В(х) == ВоЛМ» стенки в левой половине канала не-
проводящие, а на стенках в правой половине выполняется
«модельное» условие
и — усотг? = const (0 < у < 1, y=const). (7.7)
При у ~ 0 условие (7.7) переходит в первое условие
(7.4). При у ~ 1 ток jx на стенках равен нулю, что соответ-
ствует секционированию электродов с бесконечно малым
шагом. Как показали расчеты, концевые потери при сплош-
ных электродах с увеличением сот становятся значитель-
ными. При секционировании электродов происходит сни-
жение концевых потерь. Весьма близкий, результат полу-
чен в статье [37], где постановка задачи отличается от [36]
только использованием вместо (7.7) условия
/у(х, S)==/y(x, —6)=const (х>0),
которому можно удовлетворить, секционируя электроды.
С ростом сот эффективность генератора увеличивается.
В заключение отметим, что при малом параметре сот ре-
шение системы (7.2) можно получить путем ее линеаризации
около решения при сот = 0. Тогда для определения воз-
мущения потенциала служит уравнение Пуассона.
Моделирование на электролитической ванне для всех
вышеуказанных задач затруднено вследствие того, что гра-
ничные условия типа jx = сот/у требуют весьма сложной
конструкции электродов модели. В недавно опубликован-
ной работе [38] предложен метод моделирования на твер-
дых пластинах из анизотропно проводящего материала.
ЛИТЕРАТУРА
1. В а т а ж и н А. Б., Р е г и р е р С. А., Приближенный рас-
чет распределения тока при течении проводящей жидкости
по каналу в магнитном поле, Прикл. матем. и мех., 26, № 3,
548—556 (1962).
2. Per ир ер С. А., Электрическое поле в магнитогидродинами-
ческом канале прямоугольного сечения с непроводящими стен-
ками, М- прикл. механики и техн, физики, № 3, 60—68 (1964)/
3. Ницецкий Л. В., Принцип моделирования электриче-
ского поля электромагнитных насосов в электролитической
ванне и на электропроводящей бумаге, Вопр. магнитной гидро-
динамики и динамики плазмы, Изд.-во АН Латв. ССР, Рига,
т. 1, стр. 221—226, 1959.
4. В а т а ж и н А. Б., Некоторые двумерные задачи о распреде-
лении тока в электропроводной среде, движущейся но каналу
в магнитном поле, Ж. прикл. механики и техн, физики, № 2,
39—54 (1963).
5. Р е г и р е р С. А., Р у т к е в и ч И. М., Электрическое
поле в магнитогидродинамическом канале при движении среды
с переменной электропроводностью, Прикл. матем. и мех.,
29, № 5, 871—878 (1965).
6. Sutton G, W., Design considerations of a magnetohydro-
dynamic electrical power generator, Vistas Astronautics, N. Y.,
Soc. Automat. Engrs, v. 3, 53—64, 1960. [Русский перевод: Сат-
тон Дж., Вопросы конструирования МГД-генераторов электро-
энергии, Сб. перев. Вопр. ракетной техники, № 8, 3—23
(1962).]
7. В а т а ж и н А. Б., Определение джоулевой диссипации в ка-
нале с диэлектрическими стенками и одной непроводящей пере-
городкой при течении по нему проводящей среды в неоднород-
ном магнитном поле, J/С прикл. механики и техн, физики, № 4,
122—123 (1964).
8. Келдыш М. В., Седов Л. И., Эффективное решение не-
которых задач для гармонических функций, Докл. АН СССР,
16, № 1, 7—10 (1937).
9. К о р с у н с к и й Л. М., Электромагнитный расходомер
с прямоугольным каналом, Измерительная техника, № 10,
56—60 (1960).
10. Корсунский Л. М., Электромагнитные гидрометрические
приборы, Изд. Гос. комитета стандартов, мер и измер. приборов
СССР, М., 1864.
11. Ватажин А. Б., Немкова Н. Г., Некоторые двумер-
ные задачи о распределении электрического тока в канале маг-
нитогидродинамического генератора с непроводящими перего-
родками, Ж. прикл. механики и техн, физики, №2, 40—49
(1964).
12. С е д о в Л. И., Методы подобия и размерности в механике,
Гостехиздат, М., 1957.
Литература
265
13. Табаке К. К., Расчет электрического поля электромагнит-
ного насоса постоянного тока, Уч. записки Латв, госуд. у нив.
им. П. Стучки, XXI, 121 — 122 (1958). .
14. R о s s о w W. J., Flow in direct-current electromagnetic pumps,
Rev. Mod. Phys., 32, № 4, 987—991 (1960).
15. В а т а ж и н А. Б., К решению некоторых краевых задач
магнитогидродинамики, Прикл. матем. и мех., 25, № 5, 965—
968 (1961).
16. Sutton G. W., Hurwitz Н. (Jr.), Poritsky Н.,
Electrical and pressure losses in a magnetohydrodynamic channel
due to end current loops, Cornmun. and Electron., № 58, 687—
695 (1962); Bull. Amer. Phys. Soc., ser. 11, 5, 351 (1960).
17. В а т а ж и и А. Б., Магнитогидродинамическое течение в пло-
ском канале с конечными электродами, Известия АН СССР,
Отд. техн, наук, Механика и машиноётр., № 1, 52—58 (1962).
18. Назаренко В. В., О моделировании магнитогидродина-
мического течения в канале на электролитической ванне,
Ж- прикл. механики и техн, физики, № 5, 145—147 (1963).
19. В а т а ж и н А. Б., Определение джоулевой диссипации в ка-
нале магнитогидродинамического генератора, Ж. прикл. меха-
ники и техн, физики, №5, 59—69 (1962).
20. Бирзвалк Ю. А., Эквивалентная схема канала насоса
постоянного тока и расчет насоса на максимум к» п. д., Труды
института физики АН Латв. ССР, 12, 25—142 (1961).
21. Б е н е н с о н Э. Б., Генкин А. Л., Концевые эффекты
в магнитогидродинамическом генераторе, Магнитная гидроди-
намика, 1, № 2, 80—88 (1965).
22. Холщевникова Е. К., Интегральные характеристики
магнитогидродинамического генератора с двумя парами элект-
родов конечной длины, Ж- прикл. механики и техн, физики,
№ 4, 16—22 (1964).
23. Лурье К. А., К задаче об оптимальном распределении про-
водимости жидкости во внешнем магнитном поле, Ж. прикл.
механики и техн, физики, № 2, 29—39 (1964).
24. Лурье К. А., Оптимальное управление проводимостью
жидкости, движущейся по каналу в магнитном поле, Прикл.
матем. и мех., 28, № 2, 258—267 (1964).
25. Р е г и ре р _>ОГА7, О влиянии пограничного слоя на распре-
деление туй при течении проводящей жидкости по каналу,
Вопр. магнитной гидродинамики, Изд-во АН Латв. ССР, Рига,
т. 3, стр. 81—88, 1963.
26. Tani I., Steady flow of conducting fluids in channels under
tfausverse magnetic fields, with consideration of Hall effect,
J. Aero/Spase Sci., 29, № 3, 297—305 (1962).
27. Hill W. S., On the theoretical basis of electromagnetic methods
to measure rates of flow, Bol. Fac. ingr. у agrimens Montevideo,
7, № 8, 295—320 (1960).
28. L e с о c q P., Methode de calcul du profil des vitesses en
canal de section carree a parois isolantes en presence d’un champ
magnetique transversal, Bull, centre techn. essais Chatou, № 3,
51—61 (1963).
266
Литература
29. L е с о с q Р., Contribution a I’etude des pertes de charge et
profils de vitesse en ecoulement turbulent en magnStohydrodyna-
mique, Bull, centre techn. et essais Chatou, № 8 suppl., 1 — 185
(1964).
30. Регирер С. А., Способ измерения расхода электропроводя-
щей жидкости, Авторское свидет. № 168483 (1964)*
31. Регирер.-С. А., Ламинарные течения проводящей жидкости
в трубах и каналах при наличии магнитного поля, Магнитная
гидродинамика, 1, № 1, 5—17 (1965).
32. К у л и к о в с к и й А. Г., Любимов Г. А., Магнитная
гидродинамика, Физматгиз, М., 1962.
33. Hurwitz Н. (Jr.), Kilb R.W., Sutton G. W.,
Influence of tensor conductivity on current distribution in a MHD
generator, J. Appl. Phys., 32, №2, 205—216 (1961). (Русский
перевод: Г у p в и т ц Г., Кил б Р., С а т т о н Г*, Влия-
ние тензорной проводимости на распределение тока в магнито-
гидродинамическом генераторе; в сб. Магнитогидродинамический
метод преобразования энергии, Физматгиз, М.» 163—191,
1963.)
34. Р о do 1 s к у В., Sherman A., Influence of tensor con-
ductivity on end currents in crossed field MHD channels with
skewed electrodes, J. Appl. Phys., 33, № 4, 1414—1418 (1962).
35. Yeh H., Sutton G. M., Velocity profiles and efficiency
of MHD generators with segmented electrodes, AFOSR-1595,
15, 1961; Nucl. Sci. Abstr., 18, №9, 1459, реф. 11338 (1962).
36. D z u n g L. S., Der magnetohydrodynamische Generator mit
Hall-Effekt am Kanalende, Brown Boveri Mitt*, 49, №6, 211 —
225 (1962).
37. Sutton G. W., End losses in magnetohydrodynamic channels
with tensor electrical conductivity and segmented electrodes,
J. Appl. Phys., 34, № 2, 396—403 (1963).
38. Ковалев А. И., Моделирование распределения плотности
тока в магнитогидродинамическом канале с учетом анизотропии
проводимости, Ж. прикл. механики и техн, физики, № 2, 91 —
93 (1965). / ; - : Ч '
39. Якубенко А. Е., Измерение расхода жидкости в круг-
лой трубе магнитогидродинамическим методом, М'. прикл. ме-
ханики и техн, физики, № 5, 151—154 (1964).
40. Fishman F., Steady magnetohydrodynamilc flowthrough a
channel of circular section, Adv. Energy Conversion, 4, 1—14,
Pergamon Press, 1964.
41. Толмач И. M., Ясницкая Н. Н., Эффект Холла в канале с
секционивованными электродами, Изв. АНСССР, энергетика и
транспорт, № 5, 91 — 104 (1965).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию ............ 5
Предисловие автора...................................... 7
Обозначения . .................................... . 9
Глава 1. Электромагнитное измерение расхода со времен
Фарадея 13
Глава 2. Теория кондукционного расходомера ....... 24
§ 2.1. Основные уравнения........................24
§ 2.2. Двумерная теория кондукционного расходомера . 31
§ 2.3. Концевое замыкание токов в расходомере ... 58
Глава 3. Эффекты в жидких металлах.......................75
§ 3.1. Введение ................................... 75
§ 3.2. Влияние токов на приложенное магнитное поле 76
§ 3.3. Динамические эффекты . .......................83
Глава 4. Другие методы электромагнитного измерения расхода 129
§4.1. Кондукционный метод измерения локальных ско-
ростей ..................................... .... 129
§ 4.2. Определение расхода по измерениям различных
электромагнитных величин ........................145
Глава 5. Оценка возможностей электромагнитного измерения
расхода ......................... . . . .......... 156
§5.1 . Достоинства электромагнитных расходомеров . 156
§ 5. 2. Конкурирующие типы электромагнитных кондук-
ционных расходомеров..................,..........163
Приложение. Характерные величины....................... 180
Библиография ........................................ 183
Дополнение. Электрические поля в каналах магнитогидро-
динамических устройств. А. Б. Ватажин, С. А. Регирер 205
§ 1. Основы приближенного расчета электрических
полей и токов при движении изотропно проводящей
жидкости по каналу в магнитном поле ...... 206
268 Оглавление
: - - ------------------'-——--'--—--—-----—-------
§ 2. Продольные краевые задачи для канала с непрово-
дящими стенками . . . . . . .... . . . . . 214
§ 3. Распределение тока в плоском канале с двумя
электродами и непроводящими перегородками . .226
§ 4. Распределение тока в плоском канале с электродами.
Многосекционные каналы . > . . . . . . . . . 233
§5. Поперечные краевые задачи для сред с изотропной
проводимостью . . . . . . .... . . . . ... 243
§6. Трехмерные краевые задачи для сред с изотропной
проводимостью . .. . . . . . . .... . . . < . 249
§ 7. Продольные краевые эффекты при движении ани-
зотропно проводящей среды ... . ... . . . 258
Литер атура . . . . ..... . ... . . . 4 264
* .
Дас. Шерклиф
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ РАСХОДА
Редактор А. С. Попов
а Художник Г. Л а р с к и й
Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор В. С изо в а
Сдано в производство 13/VIII 1965 г. Подписано к печати 23/XI 1965 г.
Бумага 84Х 1 081/32=4,1 9, бум. л. 13,05 печ. л. Уч.-изд. л. 14,07.
Изд. № 1/3301. Цена Г р. 09 к. Зак. 1779.
Темплан 1965 г. Изд.-ва «Мир» пор. №36
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская тип. № 4 Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета.Министров СССР по печати, Москва** Б. Переяславская, 46
г м>* » а» i