/
Текст
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится клин,
прислонённый к гладкой вертикальной стене. Поверхность клина
Рис. к задаче 1
наклонена к горизонту под углом а
(см. рис.). Автомобильное колесо
массой М скатывается без проскаль-
зывания с клина. В процессе движе-
ния колеса по клину клин действует на
стену с постоянной силой F. Какой
скорости достигнет колесо, пройдя из
состояния покоя путь S по клину?
2. В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар
под давлением Р = 1 атм. В процессе изобарического сжа-
тия конечный объём, который занимает пар, уменьшается в к =
= 4 раза по сравнению с объёмом, который он занимал внача-
ле. При этом часть пара конденсируется, а объём образовав-
шейся воды составляет а = 1/1720 от конечного объёма пара.
Во сколько раз уменьшилась температура пара в указанном про-
цессе? Плотность воды р = 1 г/см3, молярная масса пара р =
= 18 г/моль.
3. В схеме, изображённой на рисунке, определите ток через идеаль-
ный диод D и напряжение на диоде. Параметры схемы указаны
на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
Рис. к задаче 3
4. В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор ём-
костью С и две катушки самоиндукции с индуктивностями L\ и
Ь2, происходят гармонические колебания. Катушка Ь2 с числом
витков N и площадью одного витка S расположена в однородном
и стационарном магнитном поле с индукцией Bq, перпендикуляр-
ной плоскости витков. В тот момент, когда напряжение на кон-
денсаторе достигает максимального значения Uq, магнитное по-
ле выключают. Время спадания магнитного поля много меньше
периода колебаний в контуре. Пренебрегая омическим сопро-
тивлением катушек и подводящих проводов, определите величи-
ну максимального тока в контуре после выключения магнитного
поля.
5. Луч лазера, направленный под малым углом а — 0,1 рад к глав-
ной оптической оси рассеивающей линзы с фокусным расстояни-
ем F = —3 см, наблюдается в виде светящейся точки на экране
Э, расположенном на расстоянии L —
= 630 см от линзы. Если слева
от линзы поставить плоскопараллель-
ную стеклянную пластину толщиной
d = 1 см, то светящаяся точка сме-
щается по экрану на расстояние а =
= 8 см. Определить показатель пре-
ломления пластины.
Указание: при малых углах х
считать sin ж = tga? = х.
БИЛЕТ 2
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится приз-
ма, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку. Поверхность
призмы наклонена под углом 7 к гори-
зонту (см. рис.). Велосипедное колесо
массой т движется вверх по призме,
катясь без проскальзывания и имея
при прохождении точки А скорость и0.
При движении колеса вверх призма
давит на стенку с постоянной силой F.
Рис. к задаче 1
На какое максимальное расстояние удалится колесо от точки А
при движении вверх?
2. В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар и
вода при температуре 100 °C. Объём воды составляет а = 1/860
часть объёма, который занимает пар. При изотермическом рас-
ширении давление уменьшилось в Д = 2 раза, при этом вся вода
испарилась. Во сколько раз увеличился объём пара? Плотность
воды р = 1 г/см3, молярная масса пара р, = 18 г/моль.
3. В схеме, изображённой на рисунке, определите напряжение на
идеальном диоде D и ток через диод. Параметры схемы указаны
на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
4. В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор ём-
костью С и катушку самоиндукции с индуктивностью Li, про-
исходят гармонические колебания тока (при разомкнутом ключе
К). В тот момент, когда ток в контуре достигает максимально-
го значения и равен Iq, замыкают ключ К. Пренебрегая омиче-
ским сопротивлением катушек и подводящих проводов, опреде-
лите максимальное напряжение на конденсаторе после замыка-
ния ключа К. Величины L\, L2, С, Iq считать заданными.
5. Для измерения показателя преломления плоскопараллельной
пластины была собрана оптическая система, представленная на
рисунке. Луч лазера, направленный перпендикулярно пластине и
параллельно главной оптической оси собирающей линзы, пройдя
через систему пластина-линза, наблюдается на экране Э в виде
светящейся точки. При повороте пластины на малый угол а =
= 0,1 рад светящаяся точка сместилась на расстояние а = 6 см
по экрану. Определить показатель преломления пластины, если
её толщина d = 1 см, расстояние от линзы до экрана L = 500 см,
а фокусное расстояние линзы F = 3 см.
Указание: при малых углах х принять sin х = tg х = х.
БИЛЕТ 3
1
Клин, прислонённый к гладкой вертикальной стене, находится на
гладкой горизонтальной поверхности стола. Поверхность клина
наклонена под углом (3 к горизон-
ту (см. рис.). Автомобильное колесо
массой т скатывается без проскаль-
зывания с клина. При движении коле-
са по клину клин давит на стол с по-
стоянной силой, величина которой на
△К больше веса клина. На какое рас-
стояние сместится колесо по клину за
Рис. к задаче 1
время t, начав движение из состояния покоя?
2. В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар и
вода под давлением Р = 1 атм. Объём воды составляет а =
= 1/860 часть объёма пара. При изобарическом расширении
температура увеличивается в (3 = 2 раза. При этом вся вода ис-
паряется. Во сколько раз конечный объём пара больше началь-
ного объёма пара? Плотность воды р = 1 г/см3, молярная масса
пара р, = 18 г/моль.
3. В схеме, изображённой на рисунке,
определите ток через идеальный диод
D и напряжение на диоде. Параметры
схемы указаны на рисунке, внутренними
сопротивлениями батарей пренебречь.
4. В колебательном контуре, включающем рис к задаче 3
в себя конденсатор ёмкостью С и две
катушки самоиндукции с индуктивностями Li и L?, происходят
гармонические колебания. Катушка L2 с числом витков N и
площадью одного витка S расположена в однородном и ста-
ционарном магнитном поле с индукцией Во, перпендикулярной
Рис. к задаче 4
плоскости витков. В тот момент, когда ток в
контуре достигает максимального значения То,
магнитное поле выключают. Время спадания
магнитного поля много меньше периода коле-
баний в контуре. Пренебрегая омическим со-
противлением катушек и подводящих прово-
дов, определите величину максимального на-
пряжения на конденсаторе после выключения магнитного поля.
5. Луч лазера, направленный на оптическую систему, состоящую
из плоскопараллельной диэлектриче-
ской пластины и рассеивающей лин-
зы, параллельно её главной оптиче-
ской оси и перпендикулярно пластине,
наблюдается в виде светящейся точ-
ки на экране Э. При повороте пласти-
ны на малый угол а = 0,1 рад, све-
тящаяся точка сместилась на рассто-
яние а = 5 см. Определить показатель
преломления пластины, если её тол-
щина d = 1 см, расстояние-рэт линзы до экрана L = 400 см, а
фокусное расстояние линзы равно F = — 3 см.
Указание: для малых углов х принять sin х = tg х — х.
БИЛЕТ 4
1. Призма находится на гладкой горизонтальной поверхности стола
Рис. к задаче 1
и упирается в гладкую вертикальную
стенку. Поверхность призмы наклоне-
на под углом tp к горизонту (см. рис.).
Колесо игрушечного велосипеда мас-
сой т движется вверх по призме, ка-
тясь без проскальзывания и имея при
прохождении точки В скорость vq.
При движении колеса вверх призма
давит на стол с постоянной силой, величина которой на Q боль-
ше веса призмы. За какое время скорость колеса уменьшится в
3 раза при его движении вверх?
2. В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный пар при тем-
пературе 100 °C. В процессе изотермического сжатия конечный
объём пара уменьшается в к = 6 раз по сравнению с первона-
чальным объёмом пара. При этом часть пара конденсируется, а
объём образовавшейся воды составляет а = 1/1720 часть от ко-
нечного объёма пара. Во сколько раз увеличилось давление пара
в указанном процессе? Плотность воды р = 1 г/см3, молярная
масса пара р = 18 г/моль.
3. В схеме, изображённой на рисунке, определите напряжение на
идеальном диоде D и ток через диод. Параметры схемы указаны
на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
4. В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор с
неизвестной ёмкостью и катушку самоиндукции с индуктивно-
стью L%, происходят гармонические колебания тока (при разо-
мкнутом ключе К). В тот момент, когда ток в контуре достига-
ет максимального значения и равен Iq, замыкают ключ К. По-
сле замыкания ключа максимальное напряжение на конденсато-
ре оказалось равным Uq. Пренебрегая омическим сопротивлени-
ем катушек и подводящих проводов, определите ёмкость конден-
сатора. Величины Li, L^, Io, Uq считать заданными.
5. Луч лазера, направленный под малым углом а = 0,1 рад к глав-
ной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием
F — 3 см, наблюдается в виде светящейся точки на экране Э,
расположенном на расстоянии L = 540 см от линзы. Если слева
от линзы поставить плоскопараллельную прозрачную пластину
толщины d = 1 см, то светящаяся точка смещается по экрану на
расстояние а = 7 см. Определить показатель преломления пла-
стины.
Указание: для малых углов х принять sin х = tg х = х.
БИЛЕТ 5
1. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
колеблются с амплитудой А как одно целое вдоль прямой шай-
ба массой т и брусок массой 3m под действием пружины жёст-
костью К, прикреплённой к бруску (см. рис.). При каком ми-
нимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и
бруском такие колебания возможны?
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 2
2. Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с во-
дой (см. рис.). Над поверхностью воды находится некоторый
объём льда. Нить натянута с силой Т = 1 Н. На сколько и как
изменится уровень воды в сосуде, если лёд растает? Площадь
дна сосуда S = 400 см2, плотность воды р = 1 г/см3.
3. Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма-
шине, работающей по циклу, состоящему из адиабатического
расширения 1—2, изотермического сжатия 2—3 и изобарического
расширения 3—1 (см. рис.). КПД цикла равен р, при изотермиче-
ском сжатии над газом совершается работа Ат {Ат >0). Какую
работу совершает машина в указанном цикле?
Рис. к задаче 4
4. В электрической схеме, представленной на рисунке, ключи К
и Ко разомкнуты. Ключ К замыкают и после того, как через
резистор с сопротивлением R протёк заряд до, замыкают ключ
Ко. 1) Найти напряжение на катушке индуктивностью L непо-
средственно перед замыканием ключа Ко. 2) Найти дополни-
тельный заряд, протекший через резистор после замыкания клю-
ча Ко. ЭДС батарей и и их внутренние сопротивления п и
то известны.
5. В вакуумном фотоэлементе один из
никелевых электродов освещается
монохроматическим светом. При
увеличении задерживающей разно-
сти потенциалов U3 фототок умень-
шается и при U3 = 0,8 В становит-
ся равным нулю. Определить длину
волны* света. Работа выхода элек-
трона из никеля А = 4,84 эВ. По-
стоянная Планка h = 6,63 • 10 34 Дж-с, заряд электрона е =
= 1,6 • 10~19 Кл.
БИЛЕТ 6
1. Доска массой т и брусок массой 6m совершают колебания
вдоль прямой как одно целое на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона к горизонту а под действием пружины с жёстко-
стью К, прикреплённой к бруску (см. рис.). Коэффициент трения
скольжения между бруском и доской равен д. При какой макси-
мальной амплитуде колебаний такие колебания возможны?
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 2
2. На нити, привязанной к стойке, висит кусок льда, частично по-
гружённый в воду, налитую в цилиндрический сосуд (см. рис.).
Найти силу натяжения нити, если после того, как лёд растаял,
уровень воды в сосуде изменился на Д/i = 3 см. Площадь дна
сосуда S = 60 см2. Плотность воды р = 1 г/см3.
3. Идеальный газ используется как рабочее вещество в тепловой
машине. Цикл 1—2—3—1 состоит из изохоры 1—2, изобары
2—3 и участка 3—1 линейной зависимости давления от объёма
(см. рис.). КПД этого цикла равен гр. Второй цикл 1—3—4—1
состоит из участка 1 —3 линейной зависимости давления от объ-
ёма, изохоры 3—4 и изобары 4—1. Найти КПД второго цикла.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В электрической схеме, представленной на рисунке, ключи и
К% разомкнуты. Ключ замыкают и, когда ток через резистор с
сопротивлением R достигает значения Iq, замыкают ключ К%. 1)
Найти ток через конденсатор ёмкостью С сразу после замыкания
ключа К%. 2) Найти заряд на конденсаторе после установления
стационарного состояния. ЭДС батарей и и их внутренние
сопротивления и и Г2 известны.
5. Цинковый уединённый шарик радиусом г = 5 мм при облучении
монохроматическим светом заряжается до максимального заря-
да Q = 6,8 • 10“13 Кл. Определите длину волны света, которым
проводилось облучение. Работа выхода электрона из цинка А =
= 3,74 эВ. Постоянная Планка h = 6,63 • 10-34 Дж-с, электри-
ческая постоянная е0 = 8,85 • 10-12 Ф/м, заряд электрона е =
= 1,6 1СГ19 Кл.
БИЛЕТ 7
Рис. к задаче 1
1. Шайба массой т и брусок массой 4m совершают колебания с
амплитудой А вдоль прямой как одно целое на гладкой наклон-
ной плоскости с углом наклона к горизонту а под действием
упругой пружины, прикреплённой к
бруску (см. рис.). Коэффициент
трения скольжения между шайбой и
бруском равен р. При каком мак-
симальном коэффициенте жёсткости
пружины такие колебания возможны?
2. Деревянный шарик привязан ко дну цилиндрического сосуда с
водой (см. рис.). Над поверхностью воды находится часть ша-
рика, а нить натянута с некоторой силой. Если нить перерезать,
то шарик всплывает и уровень воды в сосуде изменяется на Д/i =
= 4 см. С какой силой была натянута нить? Площадь дна сосуда
S = 100 см2. Плотность воды р = 1 г/см3.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 3
3. Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма-
шине, работающей по циклу 1—2—3—1, состоящему из адиабати-
ческого расширения 1—2, изотермического сжатия 2—3 и участ-
ка 3—1 линейной зависимости давления от объёма (см. рис.). За
цикл машина совершает работу А, КПД цикла равен ту. Найти
работу, совершаемую над газом в изотермическом процессе.
4. В электрической схеме, представленной на рисунке, ключи К\ и
разомкнуты. Ключ К± замыкают и после того, как напряже-
ние на катушке с индуктивностью L достигло значения Uo, замы-
кают ключ Ki. 1) Найти заряд, протекший через резистор сопро-
тивлением R к этому моменту времени. 2) Найти дополнительный
заряд, который протечёт через резистор после замыкания ключа
Ki. ЭДС батарей и и их внутренние сопротивления г\ и Г2
известны.
Рис. к задаче 4
5. В вакуумном фотоэлементе один из литиевых электродов осве-
щается светом с длиной волны А = 0,2 мкм. При каком значении
задерживающей разности потенциалов К, фототок, измеряемый
амперметром, прекратится? Работа выхода электрона из лития
А = 2,39 эВ, постоянная Планка h = 6,63 • 10~34 Дж-с, заряд
электрона е = 1,6 • 10”19 Кл.
БИЛЕТ 8
1. Доска массой т и брусок массой 8m колеблются вдоль прямой
как одно целое на гладкой наклонной плоскости с углом накло-
на к горизонту а под действием пружины жёсткостью К, при-
креплённой к бруску (см. рис.). Коэффициент трения скольже-
ния между бруском и доской равен ц. При какой максимальной
амплитуде колебаний такие колебания возможны?
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 2
2. На нити, привязанной к стойке, висит деревянный шарик, ча-
стично погружённый в воду, налитую в цилиндрический сосуд
(см. рис.). Нить натянута с силой Т = 3 Н. Если нить перере-
зать, то шарик станет плавать в сосуде. На сколько и как при
этом изменится уровень воды в сосуде? Площадь дна сосуда S =
= 300 см2, плотность воды р = 1 г/см3.
3. Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма-
шине. Цикл 1—2—3—4—1 состоит из двух изохор 1—2 и 3—4 и двух
изобар 2—3 и 4—1 (см. рис.). Цикл 1—3—4—1 состоит из участ-
ка 1—3 линейной зависимости давления от объёма, изохоры 3—4,
изобары 4—1. Найти КПД цикла 1—2—3—4—1, если КПД цикла
1—3—4—1 равен г/.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В электрической схеме, представленной на рисунке, ключи К\
и К-2 разомкнуты. Ключ К\ замыкают. Когда ток через кон-
денсатор ёмкостью С достигает значения Iq, замыкают ключ К%.
1) Найти ток через конденсатор сразу после замыкания ключа
К%. 2) Найти заряд конденсатора после установления равнове-
сия. ЭДС батарей Sy и их внутренние сопротивления ri и т-2 и
сопротивление R резистора известны.
5. Медный уединённый шарик радиуса г = 5 мм облучают светом с
длиной волны А = 0,2 мкм. До какого максимального заряда за-
рядится шарик? Работа выхода электрона из меди А = 4,47 эВ,
постоянная Планка h = 6,63 • 10“34 Дж-с, электрическая посто-
янная £q = 8,85 • 10“12 Ф/м, заряд электрона е = 1,6 • 10“19 Кл.
БИЛЕТ 9
1. По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со ско-
ростью и брусок с выемкой в форме полуцилиндра радиусом R
—। (см. рис.). Небольшая по срав-
д/ 7 нению с размерами бруска мо-
~ Д(Э J# нета массой m скользит по сто-
ч I! лу со скоростью v, догоняет бру-
---------------— сок, скользит без трения по по-
верхности выемки, не отрываясь
Рис. к задаче!-.
от нее, и оказывается в точке А,
продолжая скользить вверх по выемке. Радиус О А составляет
угол 7 = 60° с вертикалью. Масса бруска намного больше мас-
сы монеты. 1) Найдите скорость монеты относительно бруска в
точке А. 2) Найдите силу давления монеты на брусок в точке А.
2. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под
поршнем находится моль гелия при температуре Г) = 300 К. На
поршень поставили гирю массой в а = 2,5 раза большей массы
поршня. 1) Во сколько раз изменится температура гелия после
установления нового равновесия при отсутствии теплообмена с
окружающей средой? 2) Какое количество теплоты необходимо
отвести от гелия в изобарическом процессе, чтобы вернуть газ в
состояние с первоначальной температурой Т)? Наружным дав-
лением, трением поршня о стенку сосуда, теплоёмкостью сосуда
и поршня пренебречь.
3. Две одинаковые металлические сферы расположены на большом
удалении друг от друга (расстояние между ними много больше их
диаметра). На сфере 1 расположен заряд Q, а сфера 2 не заря-
жена. К сфере 1 подносят и приводят в соприкосновение прово-
дящий незаряженный шарик. Затем шарик переносят к сфере 2 и
приводят в соприкосновение с ней. После этого контакта на ша-
рике оказался заряд, равный Q/9. Какой заряд приобрела сфе-
ра 2?
4. Проволочное кольцо DBC, сопротивление которого R, прони-
зывается магнитным потоком Ф = Фо cos cut, где t — время, Фо и
ш — заданные константы. Магнитное поле сосредоточено прак-
тически в узкой области (см. рис.). Точки D, В и С этого кольца
делят его на три равные части. Что покажет амперметр перемен-
ного тока с сопротивлением г, если его присоединить к точкам В
и (7? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
5. В жидкости с показателем преломления п = 1,5 на воздушный
пузырек, расположенный у плоской поверхности тонкой про-
зрачной стенки сосуда, вдоль диаметра АВ пузырька падает па-
раллельный пучок света (см. рис.). Диаметр пучка много меньше
радиуса пузырька. Если вплотную к стенке приставить линзу с
фокусным расстоянием К) = 2 см, то фокусировка света, вошед-
шего в пузырёк, произойдёт в центре пузырька О. Линзу с каким
фокусным расстоянием нужно поставить взамен первой линзы,
чтобы свет сфокусировался в точке А?
Указание: для малых углов а можно считать, что sin а &
~ tg ct rs а.
БИЛЕТ 10
1. Горка движется со скоростью и по гладкой горизонтальной по-
верхности стола (см. рис.). Небольшая по сравнению с размера-
ми горки шайба массой т скользит по столу навстречу горке со
Рис. к задаче 1
скоростью v, заезжает на горку,
скользит по гладкой поверхно-
сти горки, не отрываясь от нее,
и оказывается на высоте Н в
точке С, продолжая скользить
вверх по горке. Поверхность
горки в точке С составляет угол a (cos а = 3/4) с горизонтом.
Участок АВ вертикального профиля горки — дуга окружности
радиусом R = 4Я. Масса горки намного больше массы шай-
бы. 1) Найдите скорость шайбы относительно горки в точке С.
2) Найдите силу давления шайбы на горку в точке С.
2. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится
моль гелия при температуре Т) = 300 К- На поршень поставили
гирю массой, равной массе поршня. 1) Во сколько раз изменил-
ся объём газа после установления нового положения равновесия
в условиях отсутствия теплообмена газа с окружающей средой?
2) Какую работу должен совершить газ, чтобы в изобарическом
процессе при наличии теплообмена вернуться в состояние с пер-
воначальным объёмом? Наружным давлением, трением между
цилиндром и поршнем, теплоёмкостью поршня и цилиндра пре-
небречь.
3. Между двумя концентрически расположенными проводящими
сферами с радиусами п и и зарядами Q\ и расположен
точечный заряд q на расстоянии а от центра сфер. Какой заряд
протечёт через гальванометр G после замыкания ключа К, при-
водящего к заземлению внутренней сферы?
4. Сопротивления участков ADC и СВ А проволочного кольца рав-
ны R и 3R (см. рис.). Кольцо пронизывается магнитным пото-
ком Ф = Фо cos wt, где t — время, Фо и ш — заданные констан-
ты. Магнитное поле сосредоточено практически в узкой области.
Что покажет вольтметр переменного тока с сопротивлением 4Л,
если его присоединить к точкам А и С? Сопротивлением соеди-
нительных проводов пренебречь.
Рис. к задаче 3 Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
5. На прозрачный шар с показателем преломления п = 1,5 вдоль
диаметра АВ шара падает параллельный пучок света. Диаметр
пучка много меньше радиуса шара. Если на расстоянии Li =
— 8 см от шара поставить линзу с фокусным расстоянием F =
= 10 см, то фокусировка света, вошедшего в шар, произойдёт в
центре шара О (см. рис.). На каком расстоянии L% от шара нужно
поместить эту линзу, чтобы свет сфокусировался в точке Л?
Указание: при малых углах а можно считать, что sin а ~
«tga « а.
БИЛЕТ 11
1. Брусок с выемкой в форме полуцилиндра радиусом R движет-
ся со скоростью и по гладкой горизонтальной поверхности стола
(см. рис.). Небольшая по срав-
нению с размерами бруска мо-
нета массой т скользит по столу
со скоростью v навстречу брус-
ку, скользит далее по гладкой
поверхности выемки, не отрыва-
ясь от нее, и оказывается в точке
Рис. к задаче 1
В, продолжая скользить по выемке вверх. Радиус ОВ составля-
ет угол (costp = 2/3) с вертикалью. Масса бруска намного
больше массы монеты. 1) Найдите скорость монеты относитель-
но бруска в точке В. 2) Найдите силу давления монеты на брусок
в точке В.
2. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находит-
ся моль гелия при температуре Т\ = 300 К. На поршне стоит ги-
ря массой равной массе поршня. Гирю снимают. 1) Во сколько
раз изменится температура газа после установления нового рав-
новесия, при условии отсутствия теплообмена газа с окружаю-
щей средой? 2) Какое количество теплоты необходимо подвести
к газу в изобарическом процессе, чтобы вернуть газ в состояние
с первоначальной температурой? Наружным давлением, трением
между цилиндром и поршнем, теплоёмкостью цилиндра и порш-
ня пренебречь.
3. Две одинаковые незаряженные металлические сферы располо-
жены на большом удалении друг от друга (расстояние между ни-
ми много больше их диаметра). К сфере 1 подносят и приводят
в соприкосновение проводящий заряженный шарик с зарядом Q.
Затем шарик переносят к сфере 2 и приводят в соприкосновение
с ней. После этого контакта на сфере 2 оказался заряд 0,16Q.
Какой заряд остался на шарике? Радиус шарика меньше радиу-
Рис. к задаче 5
4. Проволочное кольцо DBC, сопротивление которого R, прони-
зывается магнитным потоком Ф = Фо cos wt, где t — время, Фо и
ш — заданные константы. Магнитное поле сосредоточено внутри
кольца (см. рис.). Точки D, В и С этого кольца отстоят друг от
друга на равные расстояния. Что покажет амперметр перемен-
ного тока с сопротивлением г, если его присоединить к точкам В
и С? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
5. Воздушный пузырек радиуса R в жидкости касается плоской по-
верхности тонкой прозрачной стенки сосуда, к которой вплотную
приставлена собирающая линза. На линзу вдоль диаметра АВ
пузырька падает параллельный пучок света (см. рис.). Диаметр
пучка значительно меньше радиуса пузырька. Параметры опти-
ческой системы таковы, что фокусировка света, вошедшего в пу-
зырёк, происходит в точке А. Определить показатель преломле-
ния жидкости, окружающей пузырек, если при смещении линзы
на расстояние L = R/3 от пузырька свет фокусируется в центре
пузырька (точка О).
Указание: при малых углах а можно считать, что sin а «
«tga « а.
БИЛЕТ 12
1. По гладкой горизонтальной по-
верхности стола движется гор-
ка со скоростью и (см. рис.).
Небольшая по размерам шайба
массой т скользит по столу со
скоростью v в том же направ- рис к задаче ]
лении, что и горка, догоняет горку, скользит по гладкой поверх-
ности горки, не отрываясь от нее, и оказывается на высоте Н в
точке С, продолжая скольжение вверх по горке. Поверхность
горки в точке С наклонена к горизонту под углом /3 (cos (3 = 5/7).
Участок АВ вертикального профиля горки — дуга окружности
радиусом R = 7Н. Масса горки намного больше массы шай-
бы. 1) Найдите скорость шайбы относительно горки в точке С.
2) Найдите силу давления шайбы на горку в точке С.
2. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находит-
ся моль гелия при температуре Т\ = 300 К. На поршне стоит ги-
ря, масса которой равна массе поршня. Гирю снимают. 1) Во
сколько раз изменился объём газа после установления нового
равновесного состояния в условиях отсутствия теплообмена га-
за с окружающей средой? 2) Какую работу необходимо совер-
шить, чтобы в изобарическом процессе при наличии теплообме-
на вернуть газ в состояние с первоначальным объёмом? Наруж-
ным давлением, трением между цилиндром и поршнем, теплоём-
костью цилиндра и поршня пренебречь.
3. Две проводящие концентрические сферы с радиусами г\ и гд
имеют заряды Q\ и Q2. Вне этих сфер в точке В на расстоянии а
от их центра расположен точечный заряд
(см. рис.). Определить величину этого заря-
да, если после замыкания ключа (заземле-
В ния сферы радиусом п) через гальванометр
G протёк заряду.
4. Сопротивления участков ADC и СВ А про-
волочного кольца равны R и 5R (см. рис.).
Кольцо пронизывается магнитным потоком
Ф = Фо cos a>t, где t — время, Фо и а> — за-
Рис. к задаче 3 данные константы. Магнитное поле полно-
стью сосредоточено внутри кольца. Что покажет вольтметр пе-
ременного тока с сопротивлением 8R, если его присоединить к
точкам А и С? Сопротивлением подводящих проводов прене-
Рис. к задаче 4
5. На прозрачный шар с показателем преломления п = 1,5 вдоль
диаметра АВ шара падает параллельный пучок света (см. рис.).
Диаметр пучка много меньше радиуса шара. Если вплотную к
шару приставить линзу с фокусным расстоянием Fi = 2 см, то
фокусировка света, вошедшего в шар, произойдёт в центре шара
(точка О). Линзу с каким фокусным расстоянием F2 нужно по-
ставить взамен первой линзы, чтобы свет сфокусировался в точ-
ке А?
Указание: при малых углах а можно считать, что sin а «
« tg а ~ а.
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1. Найти все действительные решения системы уравнений
I ху хлу^ х — у
| X — У i---- п
[ 41?) = 2~ХУ-
2. Решить неравенство
/ f .. 1\ ( о 1
А / 1ое(1-ж) ( *2 + 2 ) < loS(x-l)2 ( ж ~2 + 2~Х J '
3. Решить уравнение
(3 sin х + 4 cos х) (20 + 12 sin х + 5 cos 2s) = 143.
4. Через центр О окружности Q, описанной около треугольника
АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В\ и Ci соответственно. Окружность
ш проходит через точки В±, Ci и касается Q в точке К. Найти
угол между прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника
АВС и радиус окружности Q, если BiCi = 6, АК = 6, а рассто-
яние между прямыми ВС и BiCi равно 2.
5. При каких значениях параметра а уравнение
|ж5| — х + а = 0
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех
найденных значений а.
6. Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 4 и образу-
ющую длины 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что АиС
принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боко-
вой поверхности, причем В принадлежит образующей О А. Тре-
угольники О АС и OBD равносторонние, причем ОВ = 3. Найти
объём пирамиды ABCD, двугранный угол при ребре АВ и ради-
ус сферы, описанной около ABCD.
БИЛЕТ 2
1. Найти все действительные решения системы уравнений
2. Решить неравенство
< 10ё(Ж-2)2
3. Решить уравнение
(5 sin х + 12 cos х) (100 + 48 cos х — 13 cos 2х) = 1757.
4. Через центр О окружности Q, описанной около треугольника
АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В± и С\ соответственно. Окружность
ш проходит через точки В1у С± и касается Q в точке К. Найти
угол между прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника
АВС и радиус окружности Q, если ВС = 9, АК = 8, В^С\ = 6.
5. При каких значениях параметра а уравнение
2х — |ж3| + а = 0
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех
найденных значений а.
6. Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 4 и радиус
основания 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что А и С
принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боко-
вой поверхности, причем В принадлежит образующей О А. Пря-
мая BD параллельна плоскости основания конуса, ОВ/ВА =
= 1/2, АС = д/7, BD = д/7/3. Найти объём пирамиды ABCD,
двугранный угол при ребре АВ и радиус сферы, описанной около
ABCD.
БИЛЕТ3
1. Найти все действительные решения системы уравнений
{1 + 1 = ху + УХ~2У
у/х - 2у х — 2у ху ’
ХУ\[^^ = 2-^=^У-
2. Решить неравенство
3. Решить уравнение
(8 sin х + 15 cos ж) (53 + 32 sin х + 17 cos 2ж) = 1318.
4. Через центр О окружности Q, описанной около треугольника
АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В± и соответственно. Окружность
ш проходит через точки В±, С± и касается Q в точке К. Найти
угол между прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника
АВС и радиус окружности Q, если B±Ci — 6, АК — 6, а рассто-
яние между прямыми ВС и В]С\ равно 1.
5. При каких значениях параметра а уравнение
Зж — |ж5| + а = О
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех
найденных значений а.
6. Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 2 и образу-
ющую длины \/13. Пирамида ABCD вписана в конус так, что
А и С принадлежат окружности основания, В и D принадле-
жат боковой поверхности, причем В принадлежит образующей
О А. Точки BaD равноудалены от плоскости основания конуса,
ОВ = >/13/3, АС = 4%/2, BD = 4%/2/3. Найти объём пирамиды
ABCD, двугранный угол при ребре АВ и радиус сферы, описан-
ной около ABCD.
БИЛЕТ 4
1. Найти все действительные решения системы уравнений
{, , /о------------------- 2х — у . ху
1 + у 2ж — у —------—, ,
v у ху ^2х - у
ху\ — = 4 — Зу/2х — у.
Уу2х-у v "
2. Решить неравенство
^1оё(4-х) (х2 + < log(a;_4)2 (4ж2 - | + 1 - ж3) .
3. Решить уравнение
(24 sin х + 7 cos х) (75 + 28 cos х — 25 cos 2s) = 2598.
4. Через центр О окружности Q, описанной около треугольника
АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В\ и С± соответственно. Окружность
ш проходит через точки В\, С\ и касается Q в точке К. Найти
угол между прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника
АВС и радиус окружности Q, если ВС — 8, АК = 5, ВуС\ = 5.
5. При каких значениях параметра а уравнение
|ж3| — х + а = О
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех
найденных значений а.
6. Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 3 и радиус
основания 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что А и С
принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боко-
вой поверхности, причем В принадлежит образующей О А. Из-
вестно, что OB = OD = АВ, АС = 2д/2, BD = у/2. Найти
объём пирамиды ABCD, двугранный угол при ребре АВ и ради-
ус сферы, описанной около ABCD.
БИЛЕТ 5
1. Решить систему уравнений
Г 9ж4 + 4ж2у = —3,
| 9ж2у2 + 4у3 = -27.
2. Решить уравнение
л» Q'T* 'т*
sin 2 sinT + sin 2 sinT _ 2зтж яп2ж 1
cos x cos 2x cos 2x cos Зж cos x cos Зж 4 cos Зж
3. Решить неравенство
4. Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором радиусы
окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD,
равны 5 и д/13 соответственно, а расстояние между центрами
этих окружностей равно 2.
5. Найти все пары действительных чисел (ж; у), для которых спра-
ведливо равенство
log2^ (2^ - у/Ху/у-1\ =
6. Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах АВ, ВС, CD, DA. Из-
вестно, что высота пирамиды равна 2^5, АВ = б, SA = 5, SB =
= 7, SC = 2\/10. Найти длины рёбер ВС и CD, радиус сферы и
двугранный угол при ребре SD.
БИЛЕТ 6
1. Решить систему уравнений
Г 2ж2у — ж4 = 3,
[ 2у3 — ж2у2 = 4.
2. Решить уравнение
. Зж . 5х . ж . 7ж
smTSinT _ sin 2 sin ~2~ = 2 sin ж sin 2ж 1
cos ж сов4ж cos4x совЗж cos ж собЗж 5 cos ж
3. Решить неравенство
4. Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором радиусы
окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD,
равны 13 и \/89 соответственно, а расстояние между центрами
этих окружностей равно 4.
5. Найти все пары действительных чисел (ж; у), для которых спра-
ведливо равенство
log3^ + \/УхД+?) =
6. Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах АВ, ВС, CD, DA. Из-
вестно, что высота пирамиды равна д/б, АВ = 8, SA = 4, SB =
= 8, SC = 4л/б- Найти длины рёбер ВС и CD, радиус сферы и
двугранный угол при ребре SD.
БИЛЕТ 7
1. Решить систему уравнений
( х4 + 4х2у = —3,
[ х2у2 + 4у3 = — 1.
2. Решить уравнение
Т* . гТ »Т“ Мт*
sin 2 sin-F sin ~2 sinT _ 2 sin 2s sin 4s 1
cos 2s cos 3s cos 3s cos 6s cos 2s cos 6s 3 cos 6s
3. Решить неравенство
4. Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором радиусы
окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD,
равны 17 и л/89 соответственно, а расстояние между центрами
этих окружностей равно 10.
5. Найти все пары действительных чисел (х;у), для которых спра-
ведливо равенство
log5yrw - У-2^-1) = 4^-2*-2А
6. Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах АВ, ВС, CD, DA. Из-
вестно, что высота пирамиды равна \/5, АВ = 12, SA = 5, SB =
= 11, SC = \/85. Найти длины рёбер ВС и CD, радиус сферы и
двугранный угол при ребре SD.
БИЛЕТ 8
1. Решить систему уравнений
Г 8х2у — Зж4 = 4,
[ 8у3 - Зж2у2 = 2.
2. Решить уравнение
лр S'”/* If*
sin ж sin2x _ sin2 sin~2~ = 2 sitI 2 sitl ~2~ _ 1 + 2^2
cos x cos 3x cos 3x cos 2x cos x cos 2x 2 cos 2x
3. Решить неравенство
г 3
x/^-4 1
. 55 r- 1 ’
x 64 Vх® 4
4. Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором радиусы
окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD,
равны 13 и л/29 соответственно, а расстояние между центрами
этих окружностей равно 10.
5. Найти все пары действительных чисел (ж; у), для которых спра-
ведливо равенство
log4^ + У^ + lj = з-^-^-4^.
6. Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах АВ, ВС, CD, DA. Из-
вестно, что высота пирамиды равна 2\/3, АВ = 9, SA = 6, SB =
= 9, SC = 2д/33. Найти длины рёбер ВС и CD, радиус сферы и
двугранный угол при ребре SD.
БИЛЕТ 9
1. Решить неравенство
|ж2 — Зж + 2| + |2ж + 1| — 5
V4ж3 + Зж2 + 4ж + 3
2. Решить уравнение
cos5 х — sin5 ж cos5 х + sin5 х 9
- — -|-------------— = — + cos 2ж.
\/2 cos 6г + х^соэГж-
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Най-
ти длины отрезков CD, СЕ, DE и расстояние между центрами
окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около
треугольника АВС, если АС — 2, ВС = 4, ААСВ = arccos
4. Сторона основания АВС правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пи-
у
рамиды равен arccos Точки А± и В-, — середины рёбер AD и
BD соответственно, ВС] — высота в треугольнике DBC. Найти:
1) угол между прямыми АВ и В] Су,
2) площадь треугольника А]_В\С\,
3) расстояние от точки В до плоскости A-tBiCy
4) радиус вписанного в пирамиду A^BiCiD шара.
5. Найти значения параметра а, при которых множество решений
(х,у) системы неравенств
х2 + х + (у — а)2 11,
х + а + у2 0
содержит отрезок с концами в точках (1,0) и (1,1).
6. Решить систему уравнений
ху , xz yz , . О1 5ж 4 +-9--& = 1 + 21п-(Г
XV t yz XZ -1 , П1 3?/ т + - т =1 +2 ln 10
У£,+£_^У_1,91т12г k 25 + 9 4 1 + Z In 15
БИЛЕТ 10
1. Решить неравенство
|ж2 — 5х + б| + |9 — 2ж| — 5
д/19ж2 — 4,т3 — 4ж + 19
2. Решить уравнение
cos3 х — sin3 х cos3 х + sin3 x 1 + 2 cos4 2x
л/8соэ^ж + ^ л/Зсоэ^ж —3sin2.T
3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD. Найти
длины отрезков AD, СЕ, радиус окружности, описанной около
треугольника BCD, и расстояние между центрами окружностей,
вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника
АВС, если АС = 2, ВС = 4, ААСВ = 2 arccos
О
4. Сторона основания АВС правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 3, двугранный угол между боковой гранью и плос-
а/З
костью основания пирамиды равен arccos Точки Аг и Ст —
середины рёбер AD и CD соответственно, ЛВ, — высота в тре-
угольнике ABD. Найти:
1) угол между прямыми АС и А^В^,
2) площадь треугольника АуВуСу,
3) расстояние от точки А до плоскости А-уВуСу,
4) радиус вписанного в пирамиду AyBy_CyD шара.
5. Найти значения параметра а, при которых множество решений
(х,у) системы неравенств
( (х — а)2 + х + у2 3,
( ж — а + у2 0
содержит отрезок с концами в точках (1,0) и (1,1).
6. Решить систему уравнений
' ху XZ 49 + Т _ УЕ 9 = 1 + 21п^
ху yz 49 г 9 XZ 4 = 1 + 21п|у
yz , xz (т + т _ ЕЕ 49 = 1 + 21п^
БИЛЕТ 11
1. Решить неравенство
|®2 - 2х + 11 + |2ж + 2| - 5
!--= ....4J= -.... < 0.
J2ж3 + | ж2 + 2х + |
2. Решить уравнение
• • 'S
sm х — cos х sin х + cos x
7 3
- — - cos 2®.
8 2
3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD. Най-
ти длины отрезков АВ, СЕ, DE и расстояние между центрами
окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около
треугольника АВС, если АС = 2, ВС = 4, CD = %/б.
4. Сторона основания АВС правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 6, угол между боковым ребром и плоскостью осно-
вания пирамиды равен arccos Точки В\ и Ci — середины
рёбер BD и CD соответственно, СА\ — высота в треугольнике
ACD. Найти:
1) угол между прямыми ВС и AiCi,
2) площадь треугольника А] В] С]'.
3) расстояние от точки С до плоскости AiBiCi,
4) радиус вписанного в пирамиду AiBiCiD шара.
5. Найти значения параметра а, при которых множество решений
(х,у) системы неравенств
( х2 + х + (у — а)2 < 6,
\х — а-\- у2 <0
содержит отрезок с концами в точках (1,0) и (1,1).
6. Решить систему уравнений
ху XZ 25 + 49 _ yz 4 = l + 21ng
ху yz 25 4 xz 49 = l + 2!ng
4- — 4 г 49 _ ху 25 = l + 21ng
БИЛЕТ 12
1. Решить неравенство
|ж2 — 2х + j I + |6 — 2ж| — 5
J-- 1 < 0.
13 о о 3 о ।
~2* ж2 — 2хй — 2® +
2. Решить уравнение
о . о
cos х + sin X
Гс> * ( । 7Г \
V8sm ( ® + 4 )
• з з
sm х — cos х
/о • ( 7Г\
Vosm ( ж — 4 I
1 — 2 cos3 4 2х
sin 2х
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Найти
длины отрезков BD, АЕ, радиус окружности, описанной около
треугольника CDE, и расстояние между центрами окружностей,
вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника
АВС, если АС = 2,ВС = 4, CD = х/б.
4. Сторона основания АВС правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 4, угол между боковыми рёбрами пирамиды равен
7
arccos ~ • Точки Ai и Ci — середины рёбер AD и CD соответ-
ственно, CBi — высота в треугольнике BCD. Найти:
1) угол между прямыми АС и BiCi;
2) площадь треугольника AiBiCi,
3) расстояние от точки А до плоскости AiBiCi;
4) радиус вписанного в пирамиду A]B\C]D шара.
5. Найти значения параметра а, при которых множество решений
(ж,у) системы неравенств
ж2 + (у - а)2 + у 3,
у — а + х2 О
содержит отрезок с концами в точках (0,1) и (1,1).
6. Решить систему уравнений
'v + g-g = 1 + 21”S-
У£,Ж£_д/_14_9]пЗ£
49 ' 25 9 “ 1 + 21 35 ’
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1 / 2Fs
l.v = А -r-f--.
у Mcosa
Решение. Во время движе-
ния колеса по поверхности кли-
на клин остается неподвиж-
ным. Поэтому проекция на го-
ризонтальную ось всех действу-
ющих на клин сйл равна нулю
(см. рис. 1):
Рис. 1
F + Frp cos а — N sin а = 0.
Здесь FTp — сила трения покоя между колесом и поверхно-
стью клина, N = Mgcos а — сила нормального давления коле-
са на клин, равная силе реакции опоры. Сила трения покоя —
величина неизвестная, но её можно найти из предыдущего урав-
нения:
F
F™ = Mgsin а--------.
Е cos а
Теперь запишем уравнение движения центра масс колеса
вдоль наклонной плоскости клина:
Ma = Mgsina — FTp,
откуда найдём ускорение колеса:
FTp F
а = P-sin а —-у- = —-----.
М М cos а
При равноускоренном движении с нулевой начальной скоро-
стью связь между пройденным путем s и скоростью и, достигну-
той в конце пути, имеет вид
v = V2as,
или
/ 2Fs
v = \ —-------,
V М cos а
п 71 __ к __с.
Т2 “ paRT2 ~ Л
+ !*Р
Решение. В исходном состоянии имеется ненасыщенный во-
дяной пар, который будем рассматривать как идеальный газ. За-
пишем уравнение состояния данного газа:
PVi = —RT1,
М
где Р — давление, Vi — объём, mi — масса, Ту — температура
пара. В конечном состоянии мы имеем равновесное двухфазное
состояние — вода и насыщенный водяной пар — при том же дав-
лении и температуре = 373 К.
Насыщенный водяной пар также будем считать идеальным га-
зом и запишем его уравнение состояния:
PV2 = — RT2,
М
где V2 — объём и m2 — масса пара в новом состоянии.
Масса образовавшейся воды равна
m = paV2-
Закон сохранения количества вещества (ЩО) в цилиндре под
поршнем позволяет записать
mi = m2 + т,
pPVi _ pPV2 V1
RTi RT2 +ра к '
Отсюда получаем
Ti _ к 2
Т2 I , paRT2
+ рР
3./=?g;t/D = O.
Рис. 2
Решение. Предположим, что диод открыт и через него течёт
некоторый ток I. Напряжение на диоде
в данном случае равно нулю. Соответ-
ствующая схема будет иметь вид, изоб-
ражённый на рис. 2. Из закона сохране-
ния заряда следует, что
I = h+ h-
Запишем закон Ома для левого контура:
2S - S = Л • 2R
и для правого контура
3<? - g = 12.3R.
Выразим отсюда токи Д и Т2:
1 “ 2R ’ 2 - 3R ’
Подставляя их в первое уравнение, найдём ток через диод:
г г г
Поскольку мы получили, что I > 0, наше предположение вер-
7
но — через диод течёт ток I = $ д, а напряжение на диоде Ud
равно нулю.
Д т - BoSN
L1 + L2
С(ГХ + L2)U2
(bsnS2
Решение. Рассмотрим произвольный мо-
мент времени t в процессе убывания магнитного
поля. Обозначим суммарный магнитный поток
через обе катушки через Ф(/). Закон Ома для
колебательного контура будет иметь вид
Рис. 3
Поскольку время убывания магнитного поля мало, можно счи-
тать, что
△Ф(г) = о.
А это означает сохранение магнитного потока за время т вы-
ключения магнитного поля:
Ф(т) = Ф(0).
Пусть сразу после выключения поля в контуре течёт ток То-
Тогда последнее соотношение можно записать в виде
(L1+L2)T0 = B05^
Итак, мы имеем такие начальные условия в контуре сразу по-
еле выключения поля: ток в контуре равен
т B0SN
° Li + L2 ’
а напряжение на конденсаторе равно Uq (см. рис. 3). Направле-
ние тока Jq зависит от направления индукции магнитного поля.
В те моменты, когда ток в контуре достигает максимального зна-
чения Im, напряжение на конденсаторе равно нулю. Пусть это
будет вторым состоянием контура. Тогда по закону сохранения
энергии можно записать
(L1 + L2)J02 CUq (L1 + L^m
2 2 2
Отсюда находим
т - т А , CUo B°SN А , g(bi + T2)[Tg
m ° у +Z2(L1+L2) + + (BSN)2 ’
5. =--------------= 1,6.
ad(L + |F|)
Решение. Ход лазерного луча в отсутствие стеклянной пла-
стинки и при её наличии изображён на рис. 4.
Рис. 4
При построении используется свойство параллельных лучей:
при падении на рассеивающую линзу на выходе из нее лучи рас-
ходятся, а их продолжения (в обратную сторону) собираются в
точке, принадлежащей фокальной плоскости линзы. В нашем
случае это точка В. Она находится с помощью построения пря-
мой ВО, параллельной падающему лучу лазера и проходящей че-
рез оптический центр линзы. При падении луча на плоскопарал-
лельную пластинку под малым углом а выходящий из пластинки
луч распространяется параллельно падающему лучу со смеще-
нием
I = ad I 1---
\ п
где п — искомый показатель преломления пластинки. На рисун-
ке светящаяся точка А на экране соответствует лазерному лучу
без пластинки, а точка А' принадлежит этому лучу при наличии
пластинки. Расстояние между точками А и А' равно а, а рассто-
яние между точками С и С" составляет
СС' = -1— = I.
COS О'
Из подобия треугольников АВА' и СВС' следует
a _L+|F|
СС - |F| ’
Отсюда получаем
П=! аИ~ = 1’6-
1 ad(L + \F\)
БИЛЕТ2
9
1 с — га cos 7
1 .Й- 2F .
2 . (3 fl + = 6. Здесь Ро « Ю5 Па.
X О /
8. UB = -|S, ID = 0.
5. п =
= 1,56.
БИЛЕТ 3
< q = {mg- AF)t2
2msin/3
2. (3 fl + = 6. Здесь Т = 373 К.
з. uD = o,iD =
5. п =----------------= 1,6.
л 1
БИЛЕТ 4
< , _ 2t>omsiny>
~ 3{mg- Q) ’
о Р2 __ ____к___
'Pi 1 paRT
= 3. Здесь Р2 ~ Ю5 Па.
з. uD = -1 s, iD = 0.
4.6’ =
L1L2
{Li + Z2)
______1
1__— (— _ 1
ad I F
= 1,64.
БИЛЕТ 5
1 . -f , AK
• Mmin g« dmg'cosa'
Решение. Будем рассматривать колебательное движение
шайбы вдоль оси х параллельной наклонной плоскости около
положения равновесия х = 0. Уравнение движения шайбы для
произвольного момента времени, изображённого на рис. 5, имеет
вид
тх = FTp + mgsin а,
где FTp — сила трения покоя меж-
ду шайбой и бруском. Поскольку
шайба вместе с бруском совершает
гармоническое колебание с ампли-
„ , „ Гк
тудои А и частотой ш = о , то
(1)
x(t) = Acosait. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
Ртр = — (rngsina + тАш2 cos a?t).
Отсюда видно, что максимальная величина силы Frp будет в те
моменты, когда cos(wi) = 1:
FTp щах = -(mgsin a + mAw2).
Совместные колебания шайбы и бруска будут возможны, если
максимальная сила трения покоя будет меньше или равна силе
трения скольжения между шайбой и бруском:
mgsina + тАш2 pmgcos а.
Отсюда минимальный коэффициент трения
Аш2
geos а
АК
= tga+ -------
4mgcos а
Ут)П — tg +
2. КН = - = -2,5 мм.
PgS
Решение. Условие равновесия куска льда:
PnVg+T = pVAg, (1)
где рл — плотность льда, V — объём льда, р — плотность воды,
VA — объём льда, погружённого в воду. Объём воды, образовав-
шейся из растаявшего куска льда:
17 — РЛ^
Изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает:
После подстановки Уд из (1) и Ув из (2), получим, что
Т
АН =--------- = —2,5 мм.
PgS
Уровень воды понизится.
1-7/
Решение. КПД цикла (по определению) равен
А
ч = ёУ
(1)
где А — работа, совершаемая за цикл, a Q31 — тепло, подведён-
ное к рабочему телу. С другой стороны, полезная работа
А = Q31 — Q23-
(2)
Здесь Q23 — тепло, отведённое на участке 2—3 (Q23 > 0).
На изотермическом участке 2—3 отведённое тепло Q23 числен-
но равно работе, совершаемой при сжатии 2—3, т.е.
Q23 = At- (3)
После подстановки (3) в (2) получим, что Q31 — А + Ат. Под-
ставляя это выражение в (1), найдём, что А =
л \\тт — R RriQo\. о\ „ R\
4- 1) Ul2 - д+К (/1 - 2)ддоп - д + - - Т qo).
Решение. Рассмотрим произвольный момент времени, когда
ключ К\ замкнут, а ключ разомкнут. Пусть в этот момент в
цепи текут токи, изображённые на
рис. 6. Запишем закон Ома для конту-
ра, содержащего L и R:
L^- = IrR.
dt
Перепишем это уравнение в виде
Л R
dIL = YIRdt = ~^dch
где q — заряд, протекший через рези-
стор R. Возьмем конечные приращения
тока Д и заряда q за время от замыкания ключа К\ до замыкания
ключа К?;.
т R
Il2 =
Здесь — ток через катушку к моменту замыкания ключа К^.
Аналогично обозначим ток через резистор Тщ, ток через батарею
— R. По правилам Кирхгофа можно записать:
1) I2 = Il2 + Ir2,
2) S’i = hr\ + Ir2R.
Из этой системы уравнений найдём напряжение на катушке, ко-
торое равно напряжению на резисторе R:
it + ri \ L J
Установившиеся значения токов после замыкания ключа
будем обозначать с индексом 3: ILS, Irh- В момент замы-
R
кания ключа К? ток через катушку IL2 = jjQo, a Ir2 =
= Д~Т г — ) • В установившемся режиме после замы-
кания ключа К2
1ьз = —I—; Ir3 = о.
Г1 Г2
Используя уравнение (1), запишем приращения тока Ir и заряда
q с момента замыкания ключа К2 до установившегося состояния:
<^2 R R
I rQo = "Д«7дОП-
ri Г2 L L
Отсюда дополнительный заряд, протекший через резистор R
_ L (<%. R \
<7доп — ут I I д<70 I
R \Г1 Г2 L J
ч х - hc
A + eU3
= 0,22 мкм.
Решение. Пусть длина волны света, падающего на катод, рав-
на А. Тогда энергия такого фотона
/г -
ф~ А ’
где h — постоянная Планка, с — скорость света. Уравнение
Эйнштейна для фотоэффекта позволяет записать:
^ = А + Ек, (1)
Л
где Ек — кинетическая энергия фотоэлектрона. Условие прекра-
щения фототока:
Ек = eU3.
Из (1) и (2) находим длину волны света
he
А = —------— = 0,22 мкм.
А + eU3
БИЛЕТ 6
1. А = (6р cos а — sin а). 5. А =----п- -
К л I е(2
4тг£ог
(2)
= 0,25 мкм.
2 .Т = 1,8 Н.
3 . Г)2 = —
1 1 - m
4.1)/с, = —+ —
’ Г1 Г2
Д , Д
П "Г Г2
Г1 Г2
R . R
Т----1
Г1 Г2
БИЛЕТ 7
1. к = cos а — sin а). 5. И3 = | — л) = 3,8 В.
2. Т = 4 Н.
3. Ат = А.
Л
4.1)qo = -^--р ^—2 2)Q* = ^fc70DRt^-— Y
7 Дп ’ R \ и Rn r2 J
БИЛЕТ 8
1. А = (8р cos а — sin а).
2. Д/г = 1 см.
5.$=^
- л) = 9,66 • 10-13 Кл.
БИЛЕТ 9
1. 1) уд — у/ (у — и)2 — 3Rg, 2) N = т
(у — и)2
R
7
-2^’
Решение. 1) Систему отсчёта, связанную с бруском, можно
считать инерциальной. Начальная скорость монеты относитель-
но бруска равна (у — и}. По закону сохранения энергии
т(у — и)2 mvA2 .
----2----= + "W + cosy),
Отсюда скорость монеты в точке А
va = y/(v ~ и)2 — 2gR(l + cosy) = \/(у — и)2 — 3Rg.
2) Для нахождения силы давления N
запишем для монеты в точке А уравне-
ние второго закона Ньютона в проекци-
ях на радиальное направление:
—-— = JV + mg cos у.
R
Отсюда
N = m
R
2 у Л
2ё
По третьему закону Ньютона монета давит на брусок с такой же
силой N, но в обратном направлении.
2- 1) /3 - т2 - 1 + a Cv + R - 2;
г;
2) Q ~ vaRrI\ = | vRR\ ~ 6,2 кДж.
Решение. 1) Пусть Н\ и IR — расстояния от поршня до дна
сосуда соответственно в начале и в конце опыта, Тч — конечная
3
температура газа, S — площадь поршня, Су = % v ~ моль.
По закону сохранения энергии
vCyT\ + mgHi + amgHi = vCvT2 + (m + am)gH2.
Уравнения состояния газа:
D D
Из записанных уравнений находим, что температура увеличит-
ся в
7г
7х
Су -f- R otR
Cy + R
-1 ,
+ Cy + R
= 2 раза.
2) Если Q — количество теплоты, отведённое от газа в изоба-
рическом процессе, то газ получил количество теплоты — Q, при-
чём
-Q = vCp(1\-T2).
Здесь молярная теплоёмкость при постоянном давлении Ср =
= Су 4- R. С учётом выражения для Т2
5
Q = vaRI\ = -RTr к 6,2 кДж.
з . q2 = ^q.
Решение. Обозначим через q заряд, полученный шариком по-
сле контакта с первой сферой. На первой сфере останется заряд
Q — q. После каждого контакта отношение заряда сферы к заряду
шарика одно и то же:
Q-q = 02_
q Q/S •
По закону сохранения заряда Q2 4- $ = Q. Из полученных урав-
2
нений находим заряд второй сферы: Q2 = $ Q.
4 т , = Зфо^
’ ЭФ а/2(9г + 2Я) ’
Решение. ЭДС индукции в кольце
S = —— — ФошятсЩ.
at
1 2
Сопротивления участков ВС и BDC кольца равны н R R-
о О
Пусть мгновенные токи идут, как показано на рис. 8.
По второму правилу Кирхгофа для контура из кольца и конту-
ра из участка ВС кольца и амперметра
S = IvzR + , 0 = 1зг - I2—.
ОО о
По первому правилу Кирхгофа /2 + I3 = h-
Из записанных уравнений находим
ЗА ЗФош
/з=9772Л = 97Т2Л8т"‘-
Амперметр покажет эффективное значе-
ние тока в у/2 раз меньшее амплитудного:
_ ЗФош
эф " х/2(9г + 2Я) '
5-^ = stA = 3“-
Решение. Можно считать, что оптическая система в обоих
случаях состоит из приставленной линзы и плоско-вогнутой «во-
дяной» линзы. Оптическая сила «водяной» линзы равна
(п-1) ’
\ -ft /
Оптическая сила системы равна сумме оптических сил. Поэтому
1 1 / 1 1 / ( 1\
— = — + (п — 1) — — , —- = — + (п — 1) — — .
R F v J\ RJ 2R F2 v \ Rj
Отсюда фокусное расстояние второй линзы
f2 = ^~
2п- 1
= 3 см.
БИЛЕТ 10
1. l)vx = у/{v + и)2 — 2gH\ 2)М =
2. 1) 2) А = | vRl\ «1,5 кДж, где и = 1 моль.
v 1 1U О
3. AQ = Qi + ~ Q, + ~ q, протечёт вверх.
4.Уэф = ^^Фо^.
5. Т2 = F -
2(F-£X) = 2£1 - Fn
2 — п 2 — п
= 2 см.
_____________БИЛЕТ 11
1. = ^{v + uY-^-gR; 2)N = m(^v+Ru^ -4g).
2. 1)2? = ^; 2)Q = v 1,25 кДж, здесь v = 1 моль.
JL j о Z
3. q = 0.04Q.
Лт— 6Фосу
‘ эф >/2(9r + 2J?)'
5.n=|.
БИЛЕТ 12
l. l)vx = У(« - tz)2 - 2gH; 2)W=^3g+^^).
2. 1) Й- = f; 2) А = 4т vRTi ~ 750 Дж, здесь v = 1 моль.
3- qx = - (q + Qi + Q2)
4. Иэф = ^Ф0^
5. F2 = = 8 см.
2 — п
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
2
2
2
2
Решение. Пусть и = у/х — у, v = ху. Тогда система примет
вид
V V и
ч
w О
— = 2 — v.
V
где и > 0 (х > у), v / 0 (ху ф 0).
Первое уравнение этой системы можно записать в виде v?v1 2 —
— = v3 — vu2 или (у2 — и2) (и2 — и) = 0, откуда следует, что
либо |и| = |гь[, либо v = и2. Если v = и или v = и2, то из второго
уравнения системы находим и2 +w — 2 = 0, откуда и = 1 (и > 0),
v = 1.
Если v = — и, то и2 + и + 2 = 0. Это уравнение не имеет
действительных решений.
Итак, и = 1, v = 1, т.е. у/х — у = 1, ху = 1, откуда у2 + у —
. n -1±х/5 1 1±\/5
-1 = 0,г/ = -^—,х = - = -1—.
2.x
1 + V3 1 + 73^.
< -—у-’ < х
'з-1 . 1
2
1 n / уЗ — 1
/2’ ° < Х < 2
Решение. Преобразуем правую часть неравенства, учитывая,
что <р(х) = х2 — — х3
log(x-l)2 <^О) = 5 logp-xl (х2 +
2 + I) ~ xj' Тогда
Область D определения неравенства удовлетворяет условиям
х < 1, х ф О,
(1)
log(i-x) [X + - > 0, (2)
а при выполнении этих условий исходное неравенство равно-
сильно неравенству
•Л < 1(1 +t),
где t = log(1_3;) (ж2 + .
(3)
Неравенство (3) равносильно неравенству — I)2 > 0, от-
куда следует, что t 1, т.е.
1оё(1-х) 6;2 + Г) / L <4)
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе
(1), (2), (4). Так как 1 — х — основание логарифма в (2) и (4),
то нужно рассмотреть два случая: 0<ж<1иж<0.
Если ж е (0,1), то 0 < 1—х < 1 и неравенство (2) равносильно
неравенству 0 < х2 + < 1, откуда |ж| С и, с учётом условия
0 < х < 1, получаем 0 < х <
Если х < 0, то 1 — ж > 1 и тогда х2 + i
и, с учётом условия х < 0, получаем х
1 । । 1
1, откуда
уД' ТаКИМ °бРа-
зом, множество D — объединение промежутков 0
1
1
/2
Остается найти корни уравнения
log(i-x) (j;2 + 0 = 1,
равносильного при выполнении условия (1) каждому из уравне-
ний
х2 + | = 1 — х, 2х2 + 2х — 1 = 0,
откуда
1 + V3 V3 - 1
=----Г’ Х2 = ~2~-
Так как жх < — 0 < х-2 < то искомое множество реше-
ний неравенства — множество D с выколотыми в нем точками х\
и ж2.
3. х = arcsin = + 2тгп, n £ Z.
о
Решение. Пусть /(ж) = 3sinx + 4 cos ж, д(х) = 20 + 12 sin ж +
+ 5 cos 2ж. Тогда /(ж) = 5 sin х + | cos х^ = 5(sin х sin р +
+ cos х • cos </>) = 5 соэ(ж — ip) и /(ж) принимает наибольшее зна-
чение, равное 5, тогда и только тогда, когда ж — ip = 2тгп, т.е.
3 3
ж = <р + 2тгп, п Е Z, где р = arcsin так как sin </?==•, cos ip =
о о
= Преобразуем ^(ж), выделив полный квадрат:
д{х) = 5(1 — 2 sin2 ж) + 12 sin ж + 20 =
1П / . 2 6 . 9 \ 18 143 ( . 3\2
= -10 sm ж - - 8шж + — +25 + — = —-----------10 япж - - .
\ 5 25/ 55 у 5/
Отсюда следует, что функция д(х) принимает наибольшее значе-
143 3 п
ние, равное тогда и только тогда, когда sins = Поэтому
левая и правая части уравнения совпадают в том и только в том
3
случае, когда ж = arcsin $ + 2тгп, n £ Z.
Рис. 1
4. АК ВВС, 8 = 25, R = ^29.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке А и коэф-
С
фициентом к = . Тогда треугольник АВС перейдёт в тре-
угольник ABiCi, окружность Q перейдёт в окружность иц, опи-
санную около треугольника ABiCi и касающуюся Q в точке А
(см. рис. 1). Окружность симметричная иц относительно пря-
мой BiCl, проходит через точки Bi и Ci и касается Q в точке А±,
симметричной А относительно BiCi. Следовательно, oj2 явля-
ется окружностью ш, а точки Ai и К совпадают. При этом, по
построению Ai, отрезки АК и BiCi перпендикулярны, а точка
их пересечения М делит АК пополам.
Пусть D — точка пересечения АК и ВС, тогда DM = 2,
л АК о л т~> к ВС AD 5
АМ = — = 3’ AD = 5’ КС = АМ = 3’ 0ТКУда ВС =
= 10.
Площадь S треугольника АВС равна i ВС AD, т.е. S =
= i • 10 • 5 = 25.
Радиус R окружности Q найдём из треугольника ОВЕ, где
О — центр этой окружности, Е — середина ВС. Тогда R =
= VOE2 + BE2 = х/4Т25 = у/29.
о. а = 4 5 4, х = 5 4.
Решение. Данное уравнение имеет единственное решение то-
,вда и только тогда, когда графики функций у = \х\5 иу = х — а
имеют единственную общую точку (®о>Уо), т.е. в случае, когда
прямая у = х — а касается графика функции у = х5 = f(x). То-
гда f'(xo) = 1, т.е. 5а?д = 1, где xq > 0, откуда xq = 5“4. Так как
У(®о) = — б~4 = хо~а = 5“4— а,тоа = 5“4—5~4 = 4-5-4.
п т/ 10VT1 о • /11 о /Тб
О. V =—g—, а = 2агсзшл/2у, R = у 10.
Решение, а) Продолжим OD до пересечения с окружностью
основания конуса в точке Е (см. рис. 2). Так как О В = OD = 3,
ОА = ОЕ, а ААОЕ = то АЕ = О А = АС = ОЕ = 5.
О
О
Рис. 2
Пусть Z.AEC = a, /.САЕ = /?, тогда sin а = где г = 3 —
5
радиус основания цилиндра, т.е. sin а = (3 = % — 2а, sin/? =
_ • о _ о 5 /I 25 _ 5 х/ТТ
6 у 36 18
Заметим, что /? — угол между скрещивающимися рёбрами АС
и BD (АЕ || BD), а объём пирамиды ABCD равен
V = -АС • BD р sin /?,
6
где р — расстояние между АС и BD.
Так как прямая BD параллельна плоскости основания кону-
са, в которой лежат прямые АС и АЕ, то р равно расстоянию от
2
любой точки BD до плоскости основания конуса, т.е. равно , h,
где h = 4 — высота конуса.
r т/ 1 к „ 8 5л/Т1 10VT1
Следовательно, V = • 5 • 3 • = —н—•
U О -L О У
б) Для нахождения двугранного угла у? при ребре АВ опустим
из точек С и Е перпендикуляры на АВ. Они пересекутся в точке
Р е АВ, так как ДАОС = ДАСЕ и эти треугольники являются
равносторонними, а Р — середина АО.
Тогда АСРЕ = <р, sin где СР = АС •
о • а а. 5УП 5л/1Т
СЕ = 2rsin/3 = 6 • —- = —— ,
1о о
откуда находим
. 5/11 /тт „ /тг
2 3 • 5л/3 V 27’ V 27
в) Центр Q сферы, описанной около пирамиды ABCD, лежит
на линии пересечения двух плоскостей, которые проходят через
середины рёбер BD и АС и перпендикулярны этим рёбрам. Сле-
довательно, точка Q принадлежит прямой ОМ, где М — центр
основания конуса, а искомый радиус R описанной сферы равен
AQ.
Пусть Т — середина АВ, тогда TQ ± АВ, = ^т, где
О А = 5, ОМ = 4, ОТ = ОА —= 4, откуда OQ = °Т0^А =
= 5 QM = \ОМ -OQ\ = 1, R = AQ = ^/АМ2 + QM2 =
= \/9ТТ= \/10-
БИЛЕТ 2
1. (1,1), (-± ,-2).
2. х < — 2 - \/2, - 2 - х/2 < х -у- ж < V2 - тр
а/2 — < х < 1.
3. х = arcsin yq + 27гп, п е Z.
J.U
4. АК EBC,S = 27, R =
5- а = ~ 3 /I’ х = /|-
ft г/ 7а/7 о . /45 d 2уТ0
о. V = -jg-, <р = 2arcsin а/ R — —$—•
БИЛЕТ 3
3. х — arcsin + 2тт, п 6 Z.
4. АК ±BC,S = 16, R = /17.
5. а =
12 /Зу
5 Ы
тл 25б/2 „ . /13 D >/130
6-У = ^43~’ ¥’ = 2arcsmy^, R=—.
БИЛЕТ 4
1. (1,1), (-| ,-2).
3 3
2’ 2
3.
3. х — arcsin + 2irn, n 6 Z.
zt>
4. АК A.BC, S = 16, R =
2 1
= —j=, x = —7=.
3/3 /3
6. V = 1, cp = 2 arcsin
/И-
БИЛЕТ 5
1. (-1,-3), 1,-3.
Решение. Запишем систему в виде
ж2(9ж2 + 4у) = —3,
у2(9ж2 + 4у) = —27.
(1)
Учитывая, что левые части уравнений (1) не обращаются в нуль,
разделим второе уравнение этой системы на первое. Получим
уравнение
у* 1 2 = 9ж2,
являющееся следствием системы (1) и равносильное совокупно-
сти двух уравнений у = Зх и у = — Зх.
а) Если у — Зх, то из первого уравнения системы (1) получаем
9ж4 + 12ж3 + 3 = 0, (х + 1)(Зж3 + х2 — х + 1) = 0,
(ж + 1)2(3ж2 + 2ж + 1) = 0.
Так как уравнение Зж2 + 2х + 1 = 0 не имеет действительных
корней, то х = —1 и тогда у = —3.
б) Если у — — Зх, то Зж4 — 4ж3 + 1 = 0, (х — 1)2(3ж2 + 2х +
+ 1) = 0, откуда х = 1, у = —3.
2. х = ± arccos | + 7гп, п G Z.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения к виду
cos х — cos 2х cos 2х — cos Зх
2 cos х cos 2х 2 cos 2х cos Зх
1 _ 1 1 1 _
2 cos 2х 2 cos х 2 cos Зх 2 cos 2x
cos x — cos 3x sin x sin 2x
2 cos x cos 3x cos x cos 3x
Если выполняется условие
cos x cos 2x cos 3x 0 0, (2)
то исходное уравнение равносильно каждому из уравнений
sin х sin 2х 1 . . . „
--------= ------, 4sma;sm2a; = cos х,
cos х cos Зх 4 cos Зх
~ 13
4 sin х = 1, 1 — cos 2x = - , cos 2x = - ,
4 4
откуда x = ± arccos | + m, n G Z. Эти значения x удовлетво-
ряют условию (2) и являются корнями исходного уравнения.
19 + 4/15
16
Решение. Обозначим t = у/х, тогда t 0 и исходное неравен-
ство примет вид
<-1
2 23
"32
(3)
Область определения неравенства (3) — множество Е решений
системы неравенств
Hp0’
1 32
t> 0,
(4)
откуда Е =
На множестве Е\ =
неравенство (3) не имеет решений,
так как при t е Ei левая часть (4) неотрицательна, а правая —
отрицательна.
Пусть t E E2 = (д , 2] и I
равносильно неравенству
f2 _ 23 '
1 32
, тогда неравенство
(4)
(5)
а) Если t е
1 х 23
, то к t, 55 > г и неравенство
(5)
равносильно каждому из неравенств
(1 - 2t)(4t - I)2 < 23 - 32i2, 16i3 - 32t2 + 5t + 11 0,
(i — l)(16i2 - 16t- 11) 0,
(t - ti)(i - l)(t - t2) 0,
где ti, t2 — корни уравнения 16i2 — 16i — 11 = 0, ti — -—j
(6)
15
Д, t,0.
1 4
1
—ГТ2 •
ti =
1.
4
Из (3) следует, что решениями неравенства (3) являются все
. (1 11
значения t е -г , » .
/23
б) Если t а/ з2> то неравенство (4) примет вид
(i-ii)(i-l)(t-t2)^0,
(7)
так как 23 — 32t2 < 0. Поэтому из (7) получаем 1 t < i2.
ТЛ 1 „ х / 1 1 „ / 1 , / х „ 2 + х/15
Итак, 4 < 2’ т'е' 16 < х 4 И <--------Т—’т,е’
19 4- 4VZ15
16
1 х <
Решение. Пусть О\ и О2
— центры окружностей, опи-
санных около треугольников
АВС и ABD соответственно
(см. рис. 3), Е — середина
АВ. Точки 01 и О2 лежат на
перпендикуляре к АВ, прохо-
дящем через точку Е. Пусть
АВ = 2х, ВС = 2у, ZACB =
= ACAD = a, ZADB =
= ZDBC = (3, О — точка
пересечения АС и BD. Тогда
AO-l = 5, ВО2 = 713, АЕ =
= BE = х, OiE = 725 - х2, О2Е = 713-х2, 01О2 = ОгЕ -
- О2Е = 725 - х2 - 713 - X2 = 2, откуда 25 - х2 = 4 + 13 -
— x2 + 4713 — x2, 713 — s2
т AB in
Так как -— = 10,
sina
3
sin/3 = cos/3 =
BO
синусов находим
AB
sin/3
2
713’
= 2, x = 3, AB = 6.
= 2x/13, to sin a = f, cos a =
5 5
Из треугольника ВОС по теореме
СО
2у
sin/3 sin (а + /3)
, где sin(a + /3) =
= sin а • cos (3 + cos a - sin (3 =
Тогда ВО = СО =
5
= □ у. По свойству сторон и диагоналей параллелограмма
О
4(ВО2 + СО2) = 8(ж2 + у2) или f у2 = 2(9 + у2),
\ У У J
2 81 9 о 18 „ /2
откуда у2 = ти, у = ВС = 2у = = 9^.
(у/5-1 З + х/бА
• 2 ’ 2 )'
Решение. Исходное равенство имеет смысл, если выполнены
условия
у > 0, у — х > 0, Ху/у — 1^0,
/------- (8)
2'/^Г5 > y^x/y - 1, s + y-2Ty^0.
Пусть
2'^Z5 = a, ^xjy -1 = 6, 3^+^“2^ = с. (9)
Тогда исходное равенство можно записать в виде
а — Ь = ас. (10)
где
а>1, 0, с^1 (И)
при выполнении условий (8).
Из равенства (10) и условий (11) следует, что
а^а — Ь = ас~^а.
и поэтому
а = а — b = ас. (12)
Так как b 0, с 1 (условие (11)), то равенство (12) является
верным тогда и только тогда, когда Ь = 0, с = 1. Из равенств (9)
получаем систему уравнений
Ху/у-1 = 0, х + у- 2у/у = 0,
откуда находим х + = -, ж3 — 2ж + 1 = 0, (ж — 1)(ж2 + х —
-1) = 0.
Если х = 1, то у = 1 и условие у — х > не выполняется.
л/б — 1
Если ж2 + х - 1 = 0, то х = —, так как х > 0 (ху/у = 1).
~ 1 4 2
Тогда у - х2 - (у5_1)2 ~ 3_у5
Найденная
пара чисел х, у удовлетворяет условиям (8) и исходному уравне-
нию.
Я = 2у|, ВС = 9, CD — ^, р = 2 arcsin у .
Решение. Пусть О — центр сферы, О± — его проекция на
плоскость ABCD, тогда О± — центр вписанной в ABCD окруж-
ности (см. рис. 4). Прямая SO перпендикулярна плоскости, в ко-
торой лежат основания касательных, проведённых из S к сфере,
т. е. SO ± ABCD. Поэтому SOi — высота пирамиды. Тогда,
обозначив через К, L, М, N точки касания сферы с АВ, ВС,
CD, DA, получаем, что SK при проекции на ABCD переходит
в ОуК, и по теореме о трёх перпендикулярах SK ± АВ. Таким
образом, касательные из точки S есть высоты боковых граней.
Площадь треугольника ABS равна <т = л/9 • 2 • 3 • 4 = 6\/б,
= 2\/б, откуда следует, что радиус вписанной в
ABCD окружности равен и = \/SK2 — h2 = 2, так как h =
= SOi = 2\/5. Далее, треугольник SKO — прямоугольный с
высотой KOi, поэтому OK/SK = OiK/SO\, откуда R = ОК =
= П • SK/h = 2^/675.
Теперь имеем АК — AN — С SA2 — SK2 = 1, БК = BL =
= A SB2 - SK2 = 5, CL = CM = VSC2 - SL2 = 4. Заме-
тим, что tg АО^АК = 2, tg/OiCL = 1/2, поэтому AOiCL +
+ AOiAK = тг/2 = (ABCD + AB AD}/2. Поэтому AOiBL +
+ AO]DM также равно тг/2, а значит, DM = тд ctg AO]DM —
= r2/BK = 4/5. Таким образом, ВС = 5 + 4 = 9, CD = 4 +
+ 4/5 = 24/5.
Наконец, заметим, что в равных прямоугольных треугольни-
ках SM Du SND высоты из вершин М и N падают в одну точку
Р. Следовательно, искомый двугранный угол при ребре SD ра-
вен A.NPM. Так как SD = у/SM2 + DM2 = -,/24 + 16/25 =
= д/616/25, NP = ND- SN/SD = (4/5) • (2y%)/>/616/25 =
= 4^/3777, a MN/2 = DM sin AOrDM = (4/5)/у^/25+Т =
= 4/д/29, to AN PM = 2 arcsin (MN/2NP) = 2 arcsin -^/77/87.
БИЛЕТ 6
1. (x/3,2), (-x/3,2).
2. x = ± | arccos 2 + 7гп, n € Z.
3 1 < x < 4 1<x< 15+...4 VTT
4. AB = 10, AD = .
V29
E /3 + 1 - >/5\
2
2
, ВС = 16, CD = ip = 2 arcsin
БИЛЕТ 7
2. x = ± | arccos | n € Z.
О 1 / 9 . . . 73 + 7л/97
3-4<Х^16’1^Ж^ -32".
4. AB = 16, AD = -^2=.
(1 - х/5 3 + У5\
* 4 ’ 2 J'
, ВС = 18, CD = </? = 2arcsin
БИЛЕТ 8
1. (д/2,1), (-д/2,1).
2. х = ± arccos ^1 — + 2тгп, n 6 Z.
О 1 .9 . . . 51 + 5\/77
3. 16 С х < 16, 1 х < 32
4. АВ = 10, AD = 7д/2.
8 . 1 -х/5Л
ЬЧз-^5’ 2 )'
6. R = 4д/^, ВС = 17, CD = </? = 2arcsin д/й.
у 3 7 г у 46
БИЛЕТ 9
1. 2 х " 2-
Решение. Область допустимых значений неравенства опреде-
ляется из условия 4ж3 + Зж2 + 4ж + 3 = 4(ж2 + 1) (х + > 0,
3
откуда следует, что х > — .
с 3
Если х > — то исходное неравенство равносильно неравен-
ству
/(ж)^д(ж), (1)
где /(ж) — \х2 — Зх + 2| — |(ж — 1)(ж — 2) |, д(х) = 5 — |2ж + 11.
Неравенство (1) сводится к квадратному на промежутках
х < —- , — - ж 1, 1<ж<2, х 2.
Дадим геометрическое решение, построив графики (см. рис. 5)
( 2х + 6, х ~ ,
функций у = /(ж) и у = д(х) = < г
I 4 — 2ж, х > — 2 •
Эти графики имеют две общие точки: точку А(жо,уо), где xq —
корень уравнения 2х + б = х2 — Зж + 2, т.е. уравнения
х — 5х + 4 = 0, (2)
такой, что хо < 0, и точку В(2,0). Из уравнения (2) находим
Жо =
5- V41
2
Решения неравенства (1) — точки отрезка [жо,2]. Так как хо >
3 , 5- х/41 3
> — 4 (это следует из равносильных неравенств —> ~ 4’
13 > 2%/41, 169 > 164), то решения неравенства (1), т.е. числа
из отрезка [zq,2] являются решениями исходного неравенства.
2. X = ± + 7ГП, п е Z.
Решение. Так как \/2cos (х + Т) = cos z — sin ж,
\/2 cos (х — Т \ = cos х + sin х, то область допустимых значений
уравнения определяется условием
(cos ж — sin ж) (cos ж + sin ж) = соз2ж ф 0. (3)
Используя формулы
а5 — b5 = (а — i»)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + i>4),
а5 + Ь5 = (а + Ь)(а4 — a3b + a2b2 — ab3 + i>4),
преобразуем левую часть /(ж) исходного уравнения:
/(ж) = 2(cos4ж + sin4 ж) + 2 cos2 ж sin2 ж =
= 2 — 2 sin2 ж cos2 ж = 2 — | sin2 2ж = f | cos2 2ж.
2 2 2
Тогда при выполнении условия (3) исходное уравнение равно-
сильно уравнению
4 cos2 2ж — 8 cos 2ж + 3 = 0,
откуда cos 2ж = |, ж = ± + тт, п 6 Z.
Z и
3. CD = у/б, СЕ = I, DE =
О о
р = 2
Рис. 6
Решение, а) По формуле для биссек-
трисы (см. рис. 6)
_ 2АС ВС- cos а
“ АС + ВС
11
где cos 2а = —,
16
/1 + cos 2а /27 3^3
V 2 V 32 4^2
Следовательно, CD = 2 2^~
= у/б.
б) Чтобы найти ЕС, вычислим АВ по
теореме косинусов АВ2 = 4 + 16 —
- 2 • 2 • 4 • || = 9, АВ = 3. Так как =
1о .С/С
= то BE = | ЕС, ВС = ЕС +
+ BE, 4 = ЕС + I ЕС, ЕС = |.
2 о
в) Отрезок DE найдём, используя теорему косинусов:
DE2 = DC2 + ЕС2 - 2DC ЕС cos а =
„ 64 о г- 8 3 /3 34 /34
= 6Н------2/6----— , DE =----------------.
25 5 4V 2 25 5
г) Пусть О и 01 — центры вписанной в ААВО и описанной
около него окружностей, 001 = р — искомое расстояние. То-
гда О — точка пересечения АЕ и DC, а точка 01 расположена
на перпендикуляре к стороне АС, проведённом в её середине N.
(01 находится вне треугольника АВС, т.к. ВС2 > АС2 + АВ2).
Если М е АС и ОМ ± АС, то СМ = OOcosce, ОМ =
= 00 sin а.
Так как ОС — биссектриса в ААОО, то
9 9 8 3/3
2AO-£Ocosce _ 5 ’ 4/2 _ 2/б
°С ~ АС + ЕС ~ 9,8 3 ,
_ 2/б 3/3 3
СМ = ОС cos а = —— • —,
3 4/2 2’
I Ж 1 /5
ОМ = ОС since, since = л/1 — — =
V 32 4 V 2
2/6 1 /5 /15 5
3 '4V2~ 6 2/15'
Если R = СО] — радиус окружности, описанной около тре-
АВ I /11 \
угольника АВС, то R = 2 g-n 2q , где sin 2се = /1 — ( ) =
= откуда находим R = -Л=, 0\N = /00? — NC2 =
lb у15
/б4 7 _ 7
~ У13” /Тб'
Тогда
р = 001 = /М№ + (01IV - ОМ)2 =
/I ( 7 5 - /I /I - 2 /1
у4+ \/15 2/15/ V 4 + 20 V 5 ~ V 5’
4. 1) arccos 2)3; 3) 4)^.
Решение. Пусть АВ = а = 6, BD = b, BCi = с, AADB =
= (3 (см. рис. 7). По теореме косинусов из треугольника АВС, в
7
котором по условию cos AACiB = получаем
о о 7 25 о
36 = 2с2 - 2с2 • — = —с2,
32 16
24
откуда с =
О
Тогда sin/? = - = ^, cos/? = f, b = ° = 5.
а 5 5 2 cos (3
Тогда sin/? = - = ^ cos /? = |, /? = „ Q = 5. b = = 5,
а 5 5 2 cos [3 cos а ’
д BE 3
COS/? = -г- = Е.
1) Пусть р — угол между прямыми АВ иВ^С^, тогда р — угол
между прямыми AiB± и BiCi, так как АрВ\ || АВ.
Из ЛВССь в котором BCi ± СС\ и ZBCCi = /?, находим
СС\ = a cos/? = тогда ВСд = b - CCi = Из △BiC'iB, в
о о
котором BBi = ^ = х, ACDB = tv — 2(3, находим В^С? = ~ +
+ ^ — 2 • | | cos(?r — 2(3), где cos(?r — 2(3) = - cos 2(3 = 1 —
— 2 cos2 /? = X. Следовательно, B\Cl = ~г, В\С\ = -I.
ZO 4 2
Итак, BiCi = А1С1 = % = Aj_Bi = = 3, откуда следу-
ет, что равнобедренные треугольники ABD и AiBiCi подобны и
з
поэтому <р = (3 = arccos При этом △AiSiC'i = (\AiBiD.
О
2) Пусть Si — площадь треугольника AiBiCi, тогда
Si = ^AiBi BiCi • sin ср = | • 3 • | • f = 3.
2 2 2 5
3) Пусть x — расстояние от точки В до плоскости AiBiCi,
тогда х равно расстоянию от точки D до этой плоскости, так как
DBi = BBi. Если Е и Ei — середины АВ и AiBi соответ-
ственно, a DDi — высота в треугольнике DEiCi, то DDi = х,
DE =
62 _ = 4j DE1 = ^ = CiEx = 2 (DEX и Ci^i
— высоты в равных треугольниках), DDi = х = DCi sin7, где
_ _ DC! _ 7 . _ А 49~__ л/351 _
7 AExCiD, COS7 2(71^1 ~ 20’Sm7 у 1 400 20
_ 3\/39 _ 7 . _ 21V39
20 'Х 5’sm7 100 •
4) Пусть V — объём пирамиды A1B1C1D, R — радиус впи-
санного в нее шара, S2 — площадь треугольника C1DB1. Тогда
р ЗУ
2(Sx+S2) ’
т/ 1 с 21>/39 с 1 (DC Л
где У = з Six = 2Q , *§2 = 2 DC1 ’ У DB^ ~ ~Т~) =
= 1 7 /25 49 42
~ 2 ’ 5 V 4 100 “ 25 ’
р о/а . о \ 234 „ 3-21\/39 7\/39
Следовательно, 2(51 + 52) = “25"’ R = 4.234 = “ЛЁГ
5. а = —2.
Решение. Если точка М(х,у) принадлежит отрезку с концами
(1,0) и (1,1), то х — 1, 0 у 1. Полагая в исходной системе
х = 1, получаем
Г (у - °)2 9,
[ у2 + а + 1 ^0.
Эта система равносильна следующей:
(у-З^а^у + З,
\ а -у2 - 1
и имеет решения при любом у е [0,1] тогда и только тогда, когда
( —2 а 4,
[ а С —2,
откуда следует, что а = — 2.
/6 W 15\
\5 ’ 3 ’ 2)
Решение. Складывая попарно уравнения исходной системы,
получаем систему
f = 1 + 1п^ ,
25 ф 25 ’
XZ I, 1 XZ
равносильную исходной, откуда следует, что задача сводится к
нахождению корней уравнения f(t) = t — 1 — Ini = 0. Так как
/(1) = 0, a /'(£) = 1 - | < 0 при t Е (0,1) и /'(t) > 0 при t > 1,
то /(t) > /(1) = 0 при всех t > 0, t ± 1. Следовательно, t = 1 —
единственный корень уравнения f(t) = 0.
Получаем систему ху = 4, yz = 25, xz = 9. Перемножив
уравнения этой системы, получаем xyz = 30, откуда находим х =
= 30 = 6 = 30 = 10 = 30 _ 15
yz Ъ'У ~ xz 3 ’ Z — ху ~ 2
БИЛЕТ 10
1. 2 2V
2. х = ± J + п Е Z.
З. АР = 1, СЕ=|, Й = 4Д р = 2Д
д П 3. 3. о. 21д/39. ,ч 7^39
4. l)arccoSg, 2)4, 3) 20Q , 4) 2Qg .
5. а = 2.
БИЛЕТ 11
14 21 6\
3 ’2 ’77-
2. X = ± 5 + 7ГП, п € Z.
3. АВ = 3,СЕ =
’ 5
4. 1) arccos |; 2) 3;
DE=^,p = 2yll
ох 21\/39. 4х 7^39
J> 100 ’ ' 104 •
5. а = 2.
R /35 10
б. ,у
14
’ 5
БИЛЕТ 12
1
2
Ml
2 ’
О , 7Г , 7ГП
2 . X — ± 12 + 2 , п
З .ВВ = 2,ЛЕ=3-^, р = 2,Д.
4 .!)^!; 2)1; 3)^; 4)bf.
5 . а = 2.
п /15 21 35\
6 - (Т ’Т