Автор: Стюарт И.
Теги: математика приключения математические головоломки курьезы шутки диковинки
ISBN: 978-5-906828-03-3
Год: 2018
Текст
Математические
диковинки
профессора
Стюарта
Ian
Stewart
PROFESSOR STEWART'S CABINET OF MATHEMATICAL CURIOSITIES
Иэн
Стюарт
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ДИКОВИНКИ
ПРОФЕССОРА
СТЮАРТА
Перевод с английского Н.А. Шиховой
4
Москва Лаборатория знаний
УДК 51 ББК 22.1 С88
Стюарт И.
С88 Математические диковинки профессора Стюарта / И. Стюарт ; пер. с англ. Н. А. Шиховой. — М. : Лаборатория знаний, 2018.—320 с. : ил.
ISBN 978-5-906828-03-3
Книга представляет собой уникальную коллекцию игр и головоломок, собранную Иэном Стюартом, и написана под лозунгом «Математика, которая не встречается в школе, интересна. Она может подарить радость, особенно когда не нужно сдавать экзамены и решать примеры». Краткие исторические вставки посвящены интересным фактам и открытиям в области математики.
Для широкого круга читателей.
УДК 51 ББК 22.1
Научно-популярное издание
Стюарт Иэн
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКОВИНКИ ПРОФЕССОРА СТЮАРТА
Ведущий редактор М. С. Стригунова Художник В. Л. Прокудин Технический редактор Т. Ю. Федорова Корректор Е. В. Барановская Компьютерная верстка: Е. Г. Мвлева
Подписано в печать 15.06.17. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 20,00. Заказ № ВЗК-02819-17.
Издательство «Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 157-5272 e-mail: info@pilotLZ.ru, http://www.pilotLZ.ru
Отпечатано в АО «Первая Образцовая типография», филиал «Дом печати — ВЯТКА» в полном соответствии с качеством предоставленных материалов.
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.
ISBN 978-5-906828-03-3
© Joat Enterprises 2008 © Лаборатория знаний, 2018
НАЧНИ ЗДЕСЬ
Люди делятся на три группы — те, кто умеет считать, и те, кто не умеет.
Когда мне было 14 лет, я начал вести дневник. Математический. Не спеши думать: «Какой тяжелый случай!» — и сбрасывать меня со счетов: он не был связан со школьной математикой. Я записывал в блокнот все интересное, что относилось к математике и чему не учили в школе. Такого набралось очень много, и вскоре мне пришлось покупать второй блокнот. Вот теперь можешь меня вычеркивать. Но сначала скажи: ты заметил мое послание в этом небольшом печальном рассказе? Математика, с которой ты встречался в школе, — это далеко не вся математика. Мало того: математика, с которой ты не встречался в школе, интересна. Она даже дарит радость, особенно когда не надо сдавать экзамены или решать примеры.
Блокнотов у меня накопилось целых шесть, и я до сих пор их храню, но со временем я завел картотеку для мешанины математических игр, головоломок, историй и фактов. Некоторые диковинки из нее я отобрал для этой книги. Большинство из них живут сами по себе, так что ты можешь брать первую попавшуюся. Правда, некоторые собрались в мини-серии. Я склоняюсь к мнению, что смесь должна быть смешанной, такой она и вышла. Среди игр и головоломок попадаются хиты, которые время от времени выходят в свет и частенько производят фурор, — про автомобиль И козла, про взвешивание 12 монет. Обе эти головоломки взбудоражили медиа, одна в США, а другая в Соединенном Королевстве. Есть и новинки, подготовленные специально для этой книги. Я стремился к разнообразию, поэтому встречаются логические, геометрические, числовые, вероятностные головоломки; странные проявления математической культуры; вещи, которые можно сделать и которыми можно заняться.
Начни здесь
Немного знать математику полезно — ты можешь произвести впечатление на своих друзей. (Однако я бы посоветовал быть скромнее. Ты можешь их и раздосадовать.) Хороший способ достичь этой желанной цели — выучить все дежурные слова, что на слуху. Поэтому там и сям я вставил в книгу неформальные «очерки». Они без технических подробностей описывают новейшие математические достижения. Вроде Великой теоремы Ферма, теоремы о четырех красках, мозаик Пуанкаре, теории хаоса, фракталов, науки о сложности, паркетах Пенроуза. А ведь есть еще и нерешенные задачи — просто чтобы показать тебе, что математика еще не закончилась. Одни сюжеты развлекательные, другие серьезные, как задача «Р = NP?», за решение которой обещан миллион долларов. Может, ты и не слыхал про эту задачу, но уж про награду знать надо. Краткие вставки посвящены интересным фактам и открытиям в областях знакомых, но вместе с тем захватывающих: число к, простые числа, теорема Пифагора, перестановки, замощения. Забавные анекдоты о знаменитых математиках позволяют прикоснуться к истории и доброжелательно посмеяться над их симпатичными слабостями.
Я уже сказал, что можно начинать где угодно, — и ты вправду можешь так и поступить, но я хочу быть безобразно честным: все-таки лучше начать с начала и продолжать более-менее по порядку. Дело в том, что некоторые начальные очерки помогут понять те, что идут дальше. Кроме того, те, что в начале, читаются легче, а те, что в конце... как бы это сказать, они амбициознее. Я все же позаботился о том, чтобы простые вещи попадались в книге повсюду, так что твои мозги не будут уставать слишком быстро. Я написал книгу, чтобы раздразнить твое воображение, показав множество забавных и захватывающих кусочков математики. Я хочу, чтобы ты получил удовольствие, и я был бы рад, если бы диковинки помогли тебе увлечься математикой, пережить трепет открытия и держаться в курсе важнейших математических открытий — и тысячелетней давности, и вчерашних, и тех, что случатся завтра.
ВНЕЗЕМНОЙ КОНТАКТ
Звездолет «Беззащитный» кружил по орбите вокруг планеты Невсвоемуме; капитан Бзик и мистер Кляча вели корабль на снижение.
— В путево дителе по Галактике написано, что на этой планете живут два разумных вида, — сказал Бзик.
— Совершенно верно, капитан; их называют истинейца- ми и ахинейцами. И те и другие говорят на галактическом, и различить их можно только по тому, как они отвечают на вопросы: истинейцы всегда говорят правду, а ахинейцы всегда врут. Но вот физически... физически они неразличимы, капитан.
Бзик обернулся на звук и увидел, что к ним приближаются трое инопланетян. Выглядели они одинаково.
— Добро пожаловать на Невсвоемуме, — сказал один из них.
— Благодарю вас. Меня зовут Бзик. А вы... — Бзик запнулся. — Что толку спрашивать, как их зовут, — пробормотал он. — Как мы понимаем, вряд ли нам назовут настоящие имена.
— Логично, — сказал Кляча.
— Мы плохо говорим на галактическом, — сымпровизировал Бзик, — я надеюсь, вы не станете возражать, если я буду звать вас Альфи, Бетти и Гемми, — сказал он, поочередно указывая на инопланетян рукой. Затем он повернулся к К\яче и прошептал: «Мы даже не знаем, какого они пола».
— Да они все гермафродиты, — сказал Кляча.
— Ну и ладно. Итак, Альфи: к какому виду относится Бетти?
— К ахинейцам.
— Ага. А ты, Бетти, скажи: Альфи и Гемми разных видов?
Что за зверь?
— Нет.
— Так... Не очень-то они разговорчивы... Гемми, а к какому виду относится Бетти?
— К истинейцам.
Бзик сделал умное лицо и закивал:
— Тогда да, тогда все понятно!
— Что понятно, капитан?
— Кто есть кто, в смысле, кто к какому виду относится.
— А-а-а. Ну, и кто к какому?
— Да не знаю я, Кляча. Я думал, это ты умеешь рассуждать логично.
ЧТО ЗА ЗВЕРЬ!
Вот замечательный математический фокус для детского праздника. Дети по очереди выбирают животное. Затем они по буквам произносят его название, пока ты указываешь на лучи десятилучевой звезды (рис. 1).
ЛЕВ
Рис. 1. Произнеси по буквам и угадай животное
Начинай с луча «землеройка» и двигайся вдоль линий по часовой стрелке. Когда ребенок произнесет последнюю букву, ты как раз покажешь на нужное животное.
Почему это работает? Третье слово на твоем пути — это слово «лев», в нем как раз 3 буквы; четвертое слово — «крот», в нем 4 буквы, и так далее. Чтобы немного замаски-
Любопытные вычисления
ровать закономерность, в названиях животных на нулевом, первом и втором местах 10, 11 и 12 букв. За 10 шагов ты делаешь полный круг и начинаешь путешествие заново, поэтому фокус удается.
Чтобы еще лучше замаскировать закономерность, на лучах звезды не пиши слова, а размести рисунки. На рисунке в книге я написал слова, чтобы легче было понять суть фокуса.
ЛЮБОПЫТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Твой калькулятор умеет делать фокусы.
1. Попробуй умножить:
1x1;
11x11;
111x111;
1111x1111;
И 111x11 111.
Что ты замечаешь? Сохраняется ли закономерность, если брать все более длинные строчки единиц?
2. Введи в калькулятор число 142857 (лучше в память) и умножай его поочередно на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Что ты замечаешь?
КАРТОЧНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
У меня есть 15 карточек, пронумерованных последовательно числами от 1 до 15. Я хочу разложить их треугольником, как на рис. 2. На верхних трех уже стоят числа, скоро объясню зачем.
Я не собираюсь раскладывать карточки как попало. Я хочу, чтобы на каждой карточке стояло число, равное разности двух чисел на карточках ниже. Например, число 5 — это разность между 4 и 9. (Разность всегда берется положительная.) Как ты понимаешь, это условие не относится к карточкам из самого нижнего ряда.
10 Додекаэдр-раскладушка
Три верхние карточки уже на месте, и мое правило для них выполняется. Можешь ли ты положить оставшиеся 12 карточек? Математики нашли «разностные треугольники» вроде этого для двух, трех и четырех рядов карточек, пронумерованных начиная с единицы. Доказано, что не бывает разностных треугольников в шесть или больше рядов.
ДОДЕКАЭДР-РАСКЛАДУШКА
Поверхность додекаэдра состоит из 12 пятиугольников; это один из пяти правильных многогранников, их называют еще Платоновыми телами (см. с. 176).
Вырежи из плотного картона две одинаковые фигуры, изображенные на рис. 3 слева, размером около 10 см. Хорошенько согни точно по линиям сгиба, чтобы пятиугольники получились аккуратными и свободно ходили туда-сюда. Положи одну фигуру на другую (рис. 3, в центре). Чтобы соединить их, пропусти резинку поочередно сверху и снизу фигур, как на рис. 3 справа (жирные линии показывают, где резинка проходит сверху), придерживая их пальцем.
А теперь отпусти.
Рис. 3. Как сделать додекаэдр-раскладушку в три шага
в
00
ООО
0000
00000
Рис. 2. Карточный треугольник
Отрезанные пальцы f f
Если ты правильно подобрал размер и эластичность резинки, фигурки сложатся в объемный додекаэдр (рис. 4).
Рис. 4. Додекаэдр в сложенном виде
ОТРЕЗАННЫЕ ПАЛЬЦЫ
Сейчас я расскажу, как пропустить веревочную петлю между пальцами — своими или какого-нибудь добровольца — так, чтобы при затягивании казалось, что веревочка прошла сквозь пальцы. Фокус впечатляет, ведь по опыту мы знаем, что если веревочка действительно зацеплена за пальцы, она не может проскользнуть насквозь. Представь себе, что кончики твоих пальцев прижаты к какой-то поверхности, чтобы веревочка не соскользнула случайно. Фокус в том, чтобы снять петлю, минуя места, где твои пальцы соприкасаются с поверхностью. Если бы петля действительно зацеплялась за пальцы, ты бы не смог ее убрать, поэтому ее нужно расположить так, чтобы она только казалась зацепленной, но на самом-то деле не зацеплялась.
Если веревочная петля по ошибке все же зацепляется, то норовит пройти сквозь пальцы, так что будь аккуратнее.
Что в этом фокусе математического? Он топологический. Топология — это ветвь математики, которая родилась 150 лет назад, а сейчас оказалась в самом сердце математики. Топология изучает свойства вроде связности и заузли- вания — эти свойства объектов сохраняются даже при существенных изменениях. Например, узлы остаются узлами, даже если веревочку изогнуть или растянуть.
Свяжи концы метровой веревочки. Накинь петлю на мизинец левой руки, перекрути, накинь на безымянный палец, перекрути в том же направлении и продолжай, пока
12 Дедка и репка
Рис. 5. Как (не) отрезать себе пальцы
не дойдешь до большого пальца (рис. 5, слева). Теперь проведи веревочку перед большим пальцем и зацепляй ее за пальцы в обратном порядке (рис. 5, справа). Убедись, что на обратном пути ты перекручиваешь веревочку в противоположном направлении — не в том, что сначала.
Согни большой палец к ладони, давая петле соскользнуть. Сильно потяни за петельку возле мизинца... и ты услышишь, как веревочка проходит сквозь пальцы. И чудо! — они целехоньки!
Если только ты где-то не сбился, перекручивая веревочку.
ДЕДКА И РЕПКА
— Репа в этом году уродилась, — сказал дед Назар своему соседу, деду Захару.
— Так оно и есть, — ответил Захар. — У тебя много выросло?
— Да не помню я. Когда я торговал на рынке, то всего за час продал шесть седьмых всех репок да еще одну седьмую репки.
— Замучился их резать, наверное?
— Нет, я продал целое число репок, я их никогда не режу.
— Ну ты хитер, Назар. А потом?
— В следующий час я продал шесть седьмых того, что осталось, и еще одну седьмую репки. А за третий час я опять продал шесть седьмых того, что осталось, и еще
Задача о четырех красках 13
одну седьмую репки. Так и пошло: за четвертый час я тоже продал шесть седьмых остатка и еще одну седьмую репки. А потом пошел домой.
— Почему?
— Репа кончилась.
Сколько репок продал дед Назар?
ЗАДАЧА О ЧЕТЫРЕХ КРАСКАХ
Бывают такие задачи, которые очень легко сформулировать, но очень трудно решить. Задача о четырех красках — из их числа. Кашу заварил в 1852 году Фрэнсис Гутри, выпускник Университетского колледжа Лондона. Гутри написал письмо своему младшему брату Фредерику, задав тому задачу, которая казалась незамысловатой головоломкой. Гутри пытался раскрасить карту графств Англии и обнаружил, что ему хватает для этого всего четырех красок и при этом никакие два соседних графства не раскрашены в один цвет (рис. 6). Ему стало интересно, относится ли этот факт только к Англии или ко всем картам вообще. «Можно ли раскрасить любую карту на плоскости четырьмя (или меньше) красками так, чтобы никакие две соседние области не были одноцветными?» — написал он в письме.
Рис. 6. Раскраска карты графств Англии в четыре цвета: одно из многих решений
Задача о четырех красках
Чтобы ответить на этот вопрос, понадобилось 124 года; решение существенно опирается на помощь компьютера. До сих пор не найдено простого идейного решения задачи о четырех красках, такого, что его шаг за шагом может проверить человек, потратив на это не больше одной жизни.
Фредерик Гутри не мог ответить на вопрос брата, но он «знал человека, который мог» — знаменитого математика Августа де Моргана. Однако вскоре выяснилось, что и де Морган тоже не справился с задачей, как он признался в октябре того же года в письме к еще более знаменитому коллеге — ирландскому математику сэру Уильяму Роуэну Гамильтону.
Несложно доказать, что для некоторых карт нужно не меньше четырех красок, это карты, в которых есть четыре области, каждая из которых соседствует с каждой. На карте Англии (на рисунке она несколько упрощена) есть такие четыре графства, поэтому для этой карты требуется не менее четырех красок. Можете ли вы найти эти графства на карте?
Де Морган все же смог немного продвинуться: он доказал, что не бывает аналогичных карт с пятью областями, каждая из которых соседствует с каждой. Но этот факт не решает задачу о четырех красках. Он говорит только о том, что не может осуществиться самый простой случай, в котором четырех красок мало. А разве не может найтись очень сложная карта, в сотню областей, такая, что ее нельзя раскрасить в четыре цвета из-за длинных цепочек областей, соседствующих друг с другом? Нет никакой причины
считать, что в «плохой» карте будет только пять областей.
Первое упоминание задачи в печати датируется 1878 годом, когда Артур Кэли написал письмо в «Труды Лондонского математического общества» (этот журнал основал де Морган) Рис. 7. Простая с вопросом, решил ли кто-нибудь за-
карта, требующая дачу. Никто не решил, но уже в сле-
четырех красок дующем году Альфред Кемпе, вид¬
Задача о четырех красках 15
ный адвокат, опубликовал доказательство, и, казалось бы, на этом история закончилась.
Доказательство Кемпе было искусным. Сначала он доказал, что любая карта содержит хотя бы одну область, у которой не больше пяти соседей. Если у области три соседа, ее можно «сократить», получив карту попроще; и если упрощенную карту можно раскрасить в четыре цвета, то исходную тоже можно. Достаточно назначить сокращенной области любой цвет, отличный от ее соседей.
Кемпе придумал более изощренные способы сокращать области с четырьмя или даже пятью соседями. После того как эти вспомогательные факты установлены, задачу можно решать в лоб: чтобы раскрасить карту в четыре цвета, сокращай одну за другой ее области, пока не останется карта, в которой не более четырех областей или даже меньше. Раскрашивай их в четыре цвета, а затем иди по обратному пути, восстанавливая сокращенные области и назначая им краски по правилам Кемпе. Легко!
Решение выглядело слишком простым, чтобы быть верным, — оно таким и не было! В 1890 году Перси Хивуд обнаружил, что правила Кемпе работают не всегда. Если сократить область с пятью соседями, а затем попытаться восстановить ее, то могут обнаружиться непреодолимые трудности. В 1891 году Питер Гатри Тэт решил, что ему удалось поправить ошибку в решении, но Юлиус Петерсен обнаружил недочет и в методе Тэта.
Рис. 8. Если карту справа можно раскрасить в четыре цвета, то и карту слева тоже
Задача о четырех красках
Хивуд заметил, что метод Кемпе можно приспособить для доказательства того, что для раскраски любой карты достаточно пяти цветов. Но никто не мог построить карту, для которой требовалось бы больше четырех. Дырка в доказательстве сначала дразнила, а потом стала позором. Если ты точно знаешь, что в математической задаче ответ 4 или 5, ты просто обязан выяснить, какой именно!
Но... никто не мог это сделать.
И начался долгий путь продвижения маленькими шажками. В 1922 году Филип Франклин доказал, что в четыре цвета можно раскрасить любую карту, в которой не больше 26 областей. Сам по себе результат не очень обнадеживает, но Франклин указал путь решения, введя идею приводимой конфигурации. Конфигурация — это произвольное связное множество областей на карте плюс информация о том, сколько с ними соседствует других областей на карте. Конфигурацию можно изъять из карты, получив более простую карту, в которой будет меньше областей. Конфигурация приводима, если существует способ раскрасить в четыре цвета исходную карту при условии, что можно раскрасить упрощенную. То есть должен быть способ назначить цвета областям конфигурации, когда все остальное уже раскрашено правильно.
Например, одиночная область с тремя соседями образует приводимую конфигурацию. Удали эту область и раскрась в четыре цвета все, что осталось, если сможешь. Потом верни область на место и назначь ей цвет, отличный от цветов ее соседей. Доказательство Кемпе, хоть и было неверным, все же содержало зерно истины: область с четырьмя соседями образует приводимую конфигурацию. Он ошибся в том, что считал приводимой конфигурацией область с пятью соседями. Франклин обнаружил, что там, где одна область неприводима, можно подобрать конфигурацию из нескольких областей. Оказалось, что многие из них приводимы.
Доказательство Кемпе было бы верным, если бы любая область с пятью соседями была приводима. Причина, почему оно было бы верным, очень поучительна. Кемпе
Задача о четырех красках 17
считал, что он доказал два факта. Во-первых, каждая карта содержит область с тремя, четырьмя или пятью соседями. Во-вторых, каждая из соответствующих конфигураций приводима. Из этих двух фактов в совокупности можно вывести, что в любой карте есть приводимая конфигурация. В частности, когда ты удаляешь приводимую конфигурацию, образуется новая карта, в которой тоже есть приводимая конфигурация. Удали и ее, и опять повторится та же история. Так шаг за шагом ты можешь избавляться от приводимых конфигураций, пока не получишь простейшую карту, в которой не больше четырех областей. Раскрась их как угодно, четырех красок тебе хватит. Потом восстанови последнюю удаленную конфигурацию; она была приводима, поэтому полученную карту тоже можно раскрасить в четыре цвета... и так далее. Пройдя весь путь обратно, ты получишь правильно раскрашенную исходную карту.
Это рассуждение работает, потому что каждая карта содержит одну из наших неприводимых конфигураций: они образуют «неизбежное множество».
«Доказательство» Кемпе провалилось, потому что одна из его конфигураций, область с пятью соседями, неприводима. Но работа Франклина говорит нам: это не страшно. Возьми список длиннее, включи в него сложные конфигурации, да побольше. Брось эту область с пятью соседями, замени ее парочкой конфигураций из двух или трех областей. Сделай список сколь угодно длинным. Если ты сможешь найти какое-нибудь неизбежное множество приводимых конфигураций, каким бы оно ни оказалось большим, — задача решена.
На самом деле — и это важно для окончательного доказательства — ты можешь обойтись более слабым понятием неизбежности, применяя его только к «минимальным преступникам» — гипотетическим картам, которые требуют пяти красок, тогда как для любой меньшей карты достаточно четырех. Это условие облегчает доказательство того, что заданное множество неизбежно. Парадоксально, но после доказательства теоремы обнаруживается, что минимальных преступников не существует. Это не важно: такова стратегия доказательства.
Задача о четырех красках
В 1950 году Генрих Хееш, который изобрел один замечательный метод, позволивший доказать приводимость многих конфигураций, сказал, что верит в то, что задачу о четырех красках можно будет решить, если найти неизбежное множество приводимых конфигураций. Остается только найти его, в этом-то и загвоздка: прикидка «на глазок» показывала, что в таком множестве конфигураций должно быть около 10 ООО.
К 1970 году метод Хееша для доказательства приводимости конфигураций удалось улучшить Вольфгангу Хаке- ну. Он решил использовать компьютер. Должна существовать возможность написать компьютерную программу, которая проверяла бы, что каждая конфигурация в некотором заданном множестве приводима. Несколько тысяч конфигураций можно выписать от руки, если это было бы действительно необходимо. Доказать, что все они неизбежны, — это очень затратная по времени работа, но не обязательно неподъемная. Компьютеры, которые существовали в то время, лет за сто могли бы справиться с неизбежным множеством из 10 000 конфигураций. Современные компьютеры могут сделать это за несколько часов, но Хакену приходилось работать с тем, что было, а для этого ему требовалось улучшить теоретические методы и сократить вычисления до разумного объема.
Работая с Кеннетом Аппелем, Хакен начал «диалог» с компьютером. Он размышлял о новых подходах к задаче, а компьютер должен был вычислять, есть ли у них шансы на успех. К 1975 году размер неизбежного множества удалось сократить до 2000, и математики нашли более быстрые способы проверки неприводимости. А это уже залог того, что тандем «человек-машина» справится с задачей. В 1976 году Аппель и Хакен перешли к последнему этапу проекта: работе над подходящим неизбежным множеством. Они задавали компьютеру некоторое множество, а тот проверял все его конфигурации на приводимость. Если конфигурация не проходила проверку, ее удаляли и заменяли одной-двумя другими, а компьютер повторял тест на приводимость. Это тонкий процесс, и у ис¬
История про белого бычка 19
следователей не было никакой гарантии, что он закончится; но если бы это произошло, то они бы построили неизбежное множество неприводимых конфигураций.
В июне 1976 года процесс завершился. Компьютер доложил, что текущее множество конфигураций — на тот момент их было 1936, но потом это число удалось снизить до 1405 — неизбежно и каждая из них неприводима. Доказательство завершено.
В то время на вычисления потребовалось около 1000 часов, а тест на приводимость включал 487 различных правил. В наше время, когда компьютеры стали шустрее, мы можем воспроизвести этот процесс всего за 1 час. Другие математики построили меньшие неизбежные множества и улучшили тесты на приводимость. Но никому еще не удалось построить настолько маленькое неизбежное множество, чтобы человек мог его проверить без посторонней помощи. А даже если бы у кого-то это получилось, такое доказательство все равно не дает вполне удовлетворительного объяснения, почему теорема верна. Оно просто говорит: «Вычисляй, и в конце получишь результат». Вычисления искусны, опираются на тонкие идеи, но большинство математиков предпочли бы более глубокое понимание того, что происходит на самом деле. Один из возможных подходов к задаче — ввести некоторое понятие «кривизны» карты и интерпретировать приводимость как процесс «уплощения». Но никто еще не придумал, как это сделать.
Тем не менее мы теперь знаем, что теорема о четырех красках верна, и знаем ответ на невинный вопрос Фрэнсиса Гутри. Это поразительное достижение, пусть оно даже опирается на помощь компьютера.
ИСТОРИЯ ПРО БЕЛОГО БЫЧКА
Как-то раз во вторник ехал сквозь дремучий лес удалой богатырь Алеша Попович. Вдруг засверкала молния, загрохотал гром и хлынул дождь. Опасаясь, что ржавчина разъест
История про белого бычка
доспехи, ринулся Алеша к ближайшему укрытию, в терем князя Гвидона, и застал там княгиню Лебедь в безутешных рыданиях. Алёше нравились симпатичные молодые девы, тем более что в какой-то момент ее зареванные глаза заблестели. А сам Гвидон, как заметил поповский сын, уже немолод и недужен...
...Только одна вещь, поклялся себе Алеша, только одна вещь может удержать меня от секретного свидания с княгиней, — только одну вещь во всем белом свете я не вынесу.
Игру слов.
Поприветствовав князя, Алеша осведомился, чем Лебедь так опечалена.
— Все из-за моего дядьки Черномора, — ответила она. — Он вчера умер.
— Разрешите мне принести свои самые искренние соболезнования, — сказал Алеша.
— Вот отчего я плачу так горько. Мои двоюродные братья, Белослав, Градислав и Звенислав, не могут исполнить завещание дядьки.
— Отчего же?
— Дядька Черномор вложил все деньги семьи в стадо гигантских верховых бычков редкой породы. Он купил целых 17 штук.
Алеша никогда не слыхал про верховых бычков, но боялся показать свою неосведомленность перед красавицей. Оказалось, зря боялся, потому что она продолжала:
— Хотя я много слышала об этих зверюгах, но сама их никогда не видала.
— Это зрелище не для княгини, — твердо сказал Гвидон.
— А что сказано в завещании? — спросил Алеша, чтобы сменить тему разговора.
— Ах, дядя все завещал своим трем сыновьям. Белославу он завещал половину стада, Градиславу — треть, а Звени- славу — одну девятую.
— Гм. Все так запутано...
— И мы не будем резать бычков, храбрый богатырь.
Алеша вздрогнул при словах «храбрый богатырь», но
решил, что они были произнесены совершенно невинно, без намерения пошутить.
История про белого бычка 21
— Что ж, — начал Алеша.
— Да ладно, у этой задачи длиннющая борода, — съязвил Гвидон. — Всего-то надо взять одного из наших верховых бычков и привести в стадо Черномора. Тогда в нем станет 18 зверюг!
— Да, мой супруг, я понимаю в нумерологии, но ведь...
— Старшему сыну достанется половина, т. е. 9, среднему — одна треть, или 6, а младшему — одна девятая, а это 2 бычка. Всего 17 бычков, так что нашего можно будет отправить домой.
— Да, мой супруг, но ведь здесь у нас нет храбреца, который решился бы оседлать бычка и отправиться в Черноморово стадо.
Алеша понял, что у него есть шанс.
— Князь, я поскачу на вашем бычке!
Восхищение во взоре княгини свидетельствовало о том, что самоотверженность поповича не осталась незамеченной.
— Вот и ладушки, — сказал Гвидон, — я велю конюшему, пусть седлают бычка.
Они ждали на крыльце, а дождь все лил. Во двор вывели бычка, и у Алеши отвисла челюсть, да так сильно, хорошо, что он был в шлеме. Животина вдвое больше слона, с жесткой полосатой шерстью, рога как мечи, красные глаза размером с Алешин щит, огромные уши до земли, а хвост как у поросенка, только сильнее закручен и покрыт острыми шипами. Струи дождя стекали с бычка водопадами, а запах был непереносим.
К спине было приторочено седло.
Казалось, что Лебедь поразилась монстру еще больше Алеши. А он был неустрашим. Ничто не могло его испугать. Ничто не могло отвратить от секретного свидания с княгиней после того, как он вернется, исполнив завещание. Кроме одного...
Однако случилось так, что Алеша не поскакал на бычке к Черноморову стаду, и завещание так и не было исполнено. Вместо этого он оседлал своего коня и, смертельно обиженный, умчался прочь в бушующую темноту. А Лебедь осталась страдать от неразделенной страсти. Дело было во¬
История про белую кошку
все не в бычьей арифметике Гвидона, а в том, что княгиня прошептала Гвидону на крыльце.
Что же?
ИСТОРИЯ ПРО БЕЛУЮ КОШКУ
Ни одной кошки с восемью хвостами.
Одна кошка с одним хвостом.
Сложим в столбик:
Одна кошка с девятью хвостами.
КРОЛИКИ В ШЛЯПЕ
Великий Гиперфильд, профессиональный фокусник, перевернул свой цилиндр и поставил его на стол.
— В этой шляпе два кролика, — объявил он. — Каждый из них может с равной вероятностью оказаться белым или черным. Сейчас с помощью моей прелестной помощницы Белокашки я покажу вам, что могу определить цвет этих кроликов, не заглядывая в шляпу!
Он повернулся к Белокашке и из недр ее широких штанин извлек черного кролика.
— Пожалуйста, положи его в шляпу, — и она повиновалась.
— А теперь разберемся, что в шляпе, — Гиперфильд обратился к публике. — Прежде чем Белокашка засунула туда третьего кролика, было четыре возможных комбинации кроликов. — Он повернулся к небольшой доске и записал:
ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
— Все комбинации равновозможны, вероятность каждой равна 1/4. Но потом я велел подсадить в шляпу черного кролика. Поэтому теперь возможны такие комбинации:
ЧББ, ЧБЧ, ЧЧБ, ЧЧЧ.
Переправа — 1. Сельскохозяйственная продукция 23
Вероятность каждой по-прежнему 1 /4. Предположим, что сейчас — я не собираюсь этого делать взаправду, это чисто гипотетическое предположение — я вытащу кролика из шляпы. С какой вероятностью он окажется черным? Если цвета кроликов ЧЧЧ, то вероятность будет равна 1. Если ЧБЧ или ЧЧБ, то 2/3. А если ЧББ, то 1/3. Итак, вероятность того, что вытащенный кролик окажется черным, равна
1 1+1 2.1 2,1 1 4 4 3 4 ' 3 4’3'
а это в точности 2/3.
Но если в шляпе 3 кролика, ровно г из которых черные, а остальные белые, то вероятность вынуть черного кролика равна г/3. Поэтому г = 2, а это значит, что в шляпе два черных кролика. Он сунул руку в шляпу и вынул оттуда черного кролика.
— Раз я подсадил туда черного кролика, в исходной паре один должен быть черным, а другой белым!
Великий Гиперфильд раскланялся под бурные аплодисменты. А затем вынул из шляпы еще двух кроликов — один был палевый, а другой кислотно-розовый.
Очевидно, что ты не можешь узнать, что в шляпе, не заглянув туда. Подсадить еще одного кролика, а затем вынуть его оттуда (это тот же черный кролик? и кто их разберет?) — ловкий способ всех запутать. Но где же ошибка в вычислениях?
ПЕРЕПРАВА — 1. СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ ПРОДУКЦИЯ
Алкуин, известный также как Флакк Альбин, был ученым, богословом и поэтом. Он жил в VIII веке и был видной фигурой при дворе императора Карла Великого. Алкуин прислал эту головоломку императору в письме как пример «арифметической изысканности, для Вашего удовольствия». У этой задачи есть математический смысл, об этом я еще расскажу. Вот она.
Любопытные вычисления. Продолжение
Крестьянин отправился на рынок с волком, козой и корзиной капусты. Он подходит к реке и видит у берега маленькую лодку. Он может взять с собой в лодку только что-то одно, и при этом по очевидным причинам не может оставить на берегу волка с козой или козу с капустой. К счастью, волк питает отвращение к капусте. Как крестьянину переправить все на другой берег без потерь?
ЛЮБОПЫТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ
Вот несколько диковинок из калькулятора. Все они — вариации одной и той же базовой темы.
1. Введи трехзначное число, например 471. Повтори его, получится 471 471. Раздели это число на 7, результат раздели на И, а новый результат — на 13. Вот что должно получиться:
471 471:7 = 67 353;
67 353:11 =6123;
6123:13 = 471
— это и есть задуманное число. Попробуй проделать то же самое с другими трехзначными числами, и обнаружишь, что этот фокус удается всегда.
Математика не только в том, чтобы замечать любопытные вещи, — важно еще и разбираться, почему они происходят. Для этого здесь мы выполним обратные вычисления. Делению противоположно умножение, поэтому — можешь сам проверить — обратная процедура, начавшись с трехзначного числа 471, дает вот что:
471 13 = 6123;
6123-11 =67 353;
673 536-7 = 471 471.
Что-то не видно большой пользы в этих записях... но все же они означают, что 471-13 -11-7 = 471 471.
По-видимому, неплохо было бы узнать, чему равно 13 -11-7. Возьми калькулятор и вычисли. Что ты замечаешь? Удалось ли теперь разобраться, в чем здесь фокус?
Как вынуть вишенку 25
2. Математики очень любят обобщать. Попробуй найти другие идеи, которые работают похоже. Допустим, теперь мы начнем с четырехзначного числа, например 4715. На что нужно его умножить, чтобы получить 47 154 715? Можем ли мы сделать это в несколько шагов, умножая поочередно на несколько меньших чисел? Если не знаешь, как начать, раздели 471 54 715 на 4715.
3. Если твой калькулятор выводит 10 цифр (в наше время так обычно и бывает), попытайся описать аналогичный фокус с пятизначными числами.
4. Если твой калькулятор работает с числами, в которых может быть 12 цифр, начни, как и раньше, с трехзначного числа, скажем опять с 471. На этот раз, вместо того чтобы умножать его на 7, 11 и 13, попробуй умножить его на 7, потом на И, 13, 101 и, наконец, на 9901. Что происходит? Как это объяснить?
5. Задумай трехзначное число, например 128. Теперь умножь его поочередно на 3, 3, 3, 7, 11, 13 и 37. (Да-да, на 3 нужно умножать трижды.) В результате получится 127 999 872 — ничего особенного в этом числе не видно. Теперь прибавь задуманное тобой 128. Что получилось?
КАК ВЫНУТЬ ВИШЕНКУ
Это старая добрая головоломка с простым, но неподатливым ответом.
В бокале, составленном из четырех спичек, лежит вишенка (рис. 9). Твоя задача — передвинуть всего лишь две спички так, чтобы вишенка оказалась вне бокала.
Ты можешь поворачивать или даже переворачивать бокал, но его форма меняться не должна.
Рис. 9. Передвинь две спички, чтобы вынуть вишенку
Сделай пятиугольник
СДЕЛАЙ ПЯТИУГОЛЬНИК
У тебя есть длинная узкая полоска бумаги. Задача: сделать из нее правильный пятиугольник (у которого равны все стороны и все углы тоже равны).
преврати это..
... в это
Рис. 10. Неканоническая геометрия
ЧТО ТАКОЕ я!
Число я, примерно равное 3,14159, — это длина окружности, диаметр которой в точности равен 1. И вообще, длина окружности с диаметром d равна nd.
Число я приблизительно равно 3^ или 22/7, но не точно. Зу — это примерно 3,14285, отличается от я в третьем знаке после запятой. Есть приближение получше — 355/113 или 3,1415929 с точностью до седьмого знака после запятой; тогда как я равно 3,1415926 с точностью до седьмого знака.
Откуда мы знаем, что я не является обыкновенной дробью? Сколько ни старайся улучшить приближение вида х/у, беря все большие числа, получатся только более точные приближения. Число, которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби, называется иррациональным. Простейшее доказательство иррациональности я построил Иоганн Ламберт в 1761 году; оно опирается на методы математического анализа. Хотя мы не можем выписать точное числовое значение я, мы можем записать различные формулы, которые его точно определяют, и в доказательстве Ламберта использована одна из этих формул.
Выполняется еще более сильное свойство: число я трансцендентное, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами. Это
к в законе 27
доказал в 1882 году Фердинанд Линдеман, он тоже опирался на математический анализ.
Из того, что число п трансцендентно, следует, что классическая геометрическая задача квадратуры круга неразрешима. В этой задаче требуется с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга (это эквивалентно тому, чтобы построить отрезок, равный длине окружности). Если построение можно выполнить с помощью циркуля и линейки без делений, оно называется евклидовым.
П В ЗАКОНЕ
Упорно держится миф, что законодательное собрание штата Индиана (иногда говорят, что Айова или Айдахо) как- то раз приняло закон, в котором закрепляется значение п,
равное... тут одни говорят, что 3g' а другие — что... Это неправда.
Но однажды почти произошло кое-что, почти столь же ужасное. О каком именно значении идет речь, неясно: похоже, обсуждаемый документ содержит девять разных значений и все они ошибочные. Законопроект не прошел, он был «отложен на неопределенный срок», и, по-видимому, до сих пор этот статус сохраняется.
Законопроект 246, предложенный палатой представителей законодательного собрания штата Индиана в 1897 году, уполномочил штат Индиана на исключительное владение «новой математической истиной» без каких-либо затрат. Этот законопроект (билль) был принят на рассмотрение — не было никаких причин отклонить его, ведь он не обязывал штат ни к каким действиям. Он даже был принят единогласно.
Новая истина, однако, оказалась довольно сложной и ошибочной попыткой квадратуры круга, т. е. геометрического построения числа я. Одна газета в Индианополи- се опубликовала статью, в которой указывалось, что квадратура круга невозможна. К тому моменту, когда билль поступил в сенат на утверждение, политики — хотя боль¬
Если бы его узаконили..
шинство из них ничего не знали о л — почувствовали неладное. (Возможно, им помогли сконцентрироваться усилия профессора Кларенса Вальдо, члена Академии наук Индианы, математика, который оказался в палате представителей, когда обсуждали билль.) Обоснованность математических выкладок не ставили под вопрос, сенаторы решили, что содержание документа не подлежит законодательному утверждению. Поэтому они отложили билль... как я уже сказал, 111 лет назад, и он до сих пор остается отложенным.
Почти наверняка математическое содержание билля — детище Эдвина Гудвина, одного доктора, который не чуждался математики. Он жил в деревне Солитюд в округе Пози, штат Индиана, и время от времени заявлял, что справился с трисекцией угла и удвоением куба (это еще два знаменитых и одинаково невозможных подвига, как и квадратура круга). Как бы то ни было, законодательное собрание штата Индиана не предпринимало сознательных попыток узаконить ошибочное значение числа л, хотя есть убедительные аргументы за то, что билль утвердил бы подход Гудвина, подразумевая его истинность в юриспруденции, хотя и не в математике. Это тонкий юридический вопрос.
ЕСЛИ БЫ ЕГО УЗАКОНИЛИ...
А если бы законодательное собрание Индианы приняло билль 246? А если бы узаконили наихудший сценарий — что законное значение числа к отлично от математического? Последствия впечатляют.
Предположим, что юридически принято некоторое значение р * к, но по закону считается, что р = п. Тогда
р-п р-п
= 1 математически, но ^ = 0 юридически.
Математические истины юридически действительны, поэтому по закону теперь 1 = 0. У всех убийц есть непоколебимая защита в суде: сознаться в одном убийстве, а затем
Пустые стаканы 29
доказать, что по закону это ноль убийств. И это еще не все. Умножим равенство на миллион и получим, что миллион равен нулю.
Если у гражданина при задержании не нашли наркотиков, это все равно, что у него нашли наркотики на миллион долларов.
Любое утверждение стало бы доказуемым по закону.
Скорее всего, судейское сословие не настолько сильно в логике, чтобы такого рода аргументы были признаны в суде. Но еще более глупые юридические аргументы, часто основанные на неправильном применении статистики, признавались, и из-за этого за решетку на долгие сроки попадали невинные люди. Так что законодатели Индианы едва не открыли ящик Пандоры.
ПУСТЫЕ СТАКАНЫ
Я расставил в ряд пять стаканов. Первые три полны, а остальные два пусты (рис. 11). Как расставить их так, чтобы полные и пустые стаканы чередовались, если разрешается перемещать только один стакан (рис. 12)?
Рис. 11. Начни с такой расстановки...
Рис. 12. ... и закончи такой, перемещая только один стакан
Сколько всего
СКОЛЬКО ВСЕГО
— Способов переставить буквы (английского) алфавита?
403 291 461 126 605 635 584 ООО ООО.
— Способов перетасовать колоду карт?
80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
— Разных положений кубика Рубика?
43 252 003 274 489 856 000.
— Разных головоломок судоку?
6 670 903 752 021 072 936 960.
(Вычислили в 2005 году Бертрам Фельгенхауэр и Фрейзер Джарвис.)
— Разных последовательностей из 100 нулей и единиц?
1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376.
НА СКОРУЮ РУКУ
1. В бридже сданы карты всем четырем игрокам. Что вероятнее — что у тебя с партнером собрались все пики или что у вас обоих пик нет?
2. Если ты возьмешь три банана с блюда, на котором 13 бананов, сколько бананов у тебя будет?
3. Секретарь распечатала шесть писем и приготовила для них шесть конвертов с разными адресами получателей. Тут вмешался торопливый босс и рассовал все письма по конвертам как попало, по одному в каждый конверт. Какова вероятность того, что ровно пять писем попали в нужные конверты?
Ход конем 31
ХОД КОНЕМ
В шахматах конь ходит необычно. Он может прыгнуть на две клетки горизонтально или вертикально, а потом еще на одну клетку, повернув на прямой угол; при этом он перескакивает через любую фигуру, попавшуюся на пути. Геометрия конного шага дала жизнь многим математическим развлечениям, простейшее из них — обход конем. Требуется, чтобы конь совершил путешествие, обойдя все клетки шахматной доски (или другой сетки из квадратов) ровно по одному разу.
На рис. 13 изображен путь коня на доске 5x5, здесь же показаны возможные ходы. Этот путь не замкнут, т. е. с начальной клетки на последнюю конь не может перескочить одним ходом. Можешь ли ты найти замкнутый путь коня на доске 5x5?
Я попытался найти путь коня на доске 4x4, но застрял, обойдя 13 клеток. Сможешь ли ты найти путь коня по всем 16 клеткам? Если нет, то какое наибольшее число клеток конь сможет обойти?
На эту тему есть много литературы; вот хорошие сайты: mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html, www.ktn.freeuk.
Рис. 13. Путь (слева) и частичный путь (справа) коня
Борьба лобра с узлом
БОРЬБА ДОБРА С УЗЛОМ
От обычного узелка, завязанного на верёвочке, математический. отличается: для него концы верёвочки должны быть соединены, чтобы узел не соскальзывал. Точнее сказать, узел — это замкнутая петля в пространстве. Самый простой узел — это просто окружность, его называют тривиальным; чуть сложнее выглядит трилистник (рис. 14).
о<е>
Рис. 14. Тривиальный узел и трилистник
Математики считают два узла одинаковыми — на топологическом жаргоне эквивалентными, — если один можно непрерывно преобразовать в другой. Слово «непрерывно»
здесь означает, что веревочку нельзя разрезать и что она не может проходить сквозь себя саму. Теория узлов становится интересной, когда ты обнаруживаешь, что по-настоящему сложный узел, такой, как Гордиев узел Хакена (рис. 15), — это всего-навсего переодетый тривиальный узел. А вот трилистник — настоящий узел, его развязать нельзя. Первое доказательство этого вроде бы очевидного факта было построено в 1920-х годах.
Узлы можно упорядочить по их сложности, она измеряется числом пересечений, которые видны на изображении узла, если его нарисовать так, чтобы этих пересечений было как можно меньше. Число пересечений трилистника равно 3.
Рис. 15. Гордиев узел Хакена
Борьба лобра с узлом 33
Число топологически разных узлов очень быстро растет с ростом числа пересечений. Я собрал в таблицу сведения о количестве узлов с числом пересечений до 16.
Число
пересечений
Количество узлов с таким числом пересечений
3
1
4
1
5
2
6
3
7
7
8
21
9
49
10
165
И
552
12
2176
13
9988
14
46 972
15
253 293
16
1 388 705
(Для педантов: эти числа относятся к простым узлам, которые нельзя преобразовать в два узла, связанные друг с другом; зеркальные отражения игнорируются.)
Рис. 16. Узлы с числом пересечений 7 или меньше
Белохвостики
Рис. 17. Узлы с числом пересечений 8
Рис. 18. Узлы с числом пересечений 9
Теория узлов используется в молекулярной биологии для описания заузливаний ДНК и в квантовой физике. А то вдруг ты думал, что узлы годятся только для завязывания башмаков.
Много интересной информации можно найти на сайте katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table.
БЕЛОХВОСТИКИ
— Я смотрю, у тебя прелестная кошечка, — сказала Анечка Танечке. — Какой миленький беленький хвостик! Сколько всего у тебя кошек?
Найти фальшивую монету 35
— Не так много, — отвечала Танечка Анечке.— Вот у соседки Манечки их двадцать, гораздо больше, чем у меня.
— Так сколько же у тебя? Ты так и не сказала!
— Что ж... Слушай. Если ты выберешь наугад двух моих кошечек, то вероятность того, что у обеих хвостики окажутся беленькими, будет равна в точности одной второй.
— Как же я разберусь, сколько их у тебя?!
— Ты уж постарайся.
Сколько кошек у Танечки и сколько из них белохвостых?
НАЙТИ ФАЛЬШИВУЮ МОНЕТУ
В феврале 2003 года Гарольд Хопвуд из Грейвзенда написал письмо в Daily Telegraph о том, что он решил все кроссворды из этой газеты, начиная с 1937 года, но одна головоломка не выходит у него из головы с отрочества, и в возрасте 82 лет он наконец решил попросить о помощи.
Вот эта головоломка. У тебя есть 12 монет. Все они одинаковы по весу, кроме одной, которая может быть легче, а может быть и тяжелее остальных. Тебе нужно найти эту монету и сказать, легче она или тяжелее. Сделать это нужно всего лишь за три взвешивания на чашечных весах (рис. 19).
Рис. 19. Ровно одна монета то ли легче, то ли тяжелее остальных. Найди ее за три взвешивания
Найти фальшивую монету
На них нет делений и нет гирь, есть только две чаши, и с каждым взвешиванием ты можешь определить, какая из них перевешивает, если только они не оказались в равновесии.
Прежде чем читать дальше, попробуй решить задачу самостоятельно. Это затягивает.
За несколько дней в газету поступило 362 письма и звонка, и почти все запрашивали ответ. Вот тогда мне позвонили из газеты. Я узнал эту классическую головоломку про взвешивания, но забыл, как она решается. Мой друг Марти, который был в комнате, когда я разговаривал по телефону, тоже вспомнил эту головоломку. Она увлекла его еще в школьные годы, и ему удалось справиться с ней, — так начался его путь в математику.
Конечно же, он тоже забыл решение, но вместе мы разработали метод, описали, как надо взвешивать разные наборы монет, и факсом отправили решение в газету.
На самом деле решений у головоломки несколько, одно из них очень остроумное, но я вспомнил его только в тот день, когда газета опубликовала наше, не такое уж изящное решение. Я видел его двадцатью годами ранее в журнале New Scientist, а потом оно вошло в книгу Томаса О'Берни Puzzles and Paradoxes, которую я держу на своей полке.
Головоломки вроде этой становятся популярными каждые 20 лет или около того; возможно, когда до них дорастает новое поколение. Как заразная болезнь, которая периодически распространяется, когда популяция теряет весь свой иммунитет. О'Берни проследил происхождение этой головоломки до 1945 года, когда о ней рассказал Говард Гроссман, но наверняка она гораздо старше и относится к XVII веку. Я бы не удивился, если бы в один прекрасный день она обнаружилась на вавилонской глиняной табличке.
О'Берни предложил решение в виде дерева, вроде того, что построили мы с Марти. Он упомянул еще изящное решение, которое в 1950 году Бланш Декарт опубликовала в «Эврике», журнале Архимедоидов — Кембриджского студенческого математического общества. Мисс Декарт оказа¬
Найти фальшивую монету 37
лась Седриком Смитом, и его решение — это просто шедевр, оно представляет собой стихотворение1.
Ты можешь поступить так. Отметь двенадцать монет наклейками с буквами
К, А, Б, Р, Ю, Т, Н, С, П, О, Е, М.
Теперь трижды сравни на весах по 4 монеты на каждой
чаше, положив те монеты, из которых можно составить та¬
кие слова:
БРАК — ПОСТ
ТЮРК — НЕБО
НАСТ — МОРЕ
В таблицу я собрал все возможные результаты взвешиваний; буква Л означает, что перевесила левая чаша, П — что правая, а тире — что весы остались в равновесии. В первом столбце указано, какая монета оказалась фальшивой, легче она или тяжелее обычной.
Проверь и убедись сам, что никакие два варианта не приводят к одному результату. Публикацией решения в Daily Telegraph дело вовсе не закончилось. Читатели писали опровержения к нашему решению, опираясь на ложные рассуждения; они пытались улучшить решение, и не всегда допустимыми методами. Они слали по электронной почте аналогичные решения. Они рассказывали нам о других головоломках с весами. Они благодарили нас за то, что мы избавили их от назойливых мыслей о задаче. Они проклинали нас за то, что мы разбередили старую
1 Вот это стихотворение:
F set the coins out in a row And chalked on each a letter, so,
To form the words 'F AM NOT LICKED'
(An idea in his brain had clicked.)
And now his mother he'll enjoin:
MA DO LIKE ME TO FIND FAKE COIN
Здесь зашифрован список из трех взвешиваний, с помощью которых можно решить задачу. — Прим. перев.
Найти фальшивую монету
Фальшивая
монета
1-е
взвешивание
2-е
взвешивание
3-е
взвешивание
Н тяжелая
—
П
Л
Н легкая
—
Л
П
А тяжелая
Л
—
Л
А легкая
п
—
П
К тяжелая
л
Л
—
К легкая
п
п
—
Е тяжелая
—
п
П
Е легкая
—
л
Л
Р тяжелая
л
л
п
Р легкая
п
п
л
Ю тяжелая
—
л
—
Ю легкая
—
п
—
П тяжелая
п
—
—
П легкая
л
—
—
О тяжелая
п
п
п
О легкая
л
л
л
М тяжелая
—
—
п
М легкая
—
—
л
С тяжелая
п
—
л
С легкая
л
—
п
Т тяжелая
п
л
л
Т легкая
л
п
п
Б тяжелая
л
п
—
Б легкая
п
л
—
рану. Было такое впечатление, что внезапно прорвало ка- кую-то плотину на полноводной реке народной мудрости. Один корреспондент вспомнил, что о головоломке уже рассказывал телеканал ВВС в 1960-х годах, причем реше¬
Вечный кален&арь 39
ние дали в тот же вечер. Продолжение письма было зловещим: «Я не помню, в связи с чем оно появилось и было ли это мое первое знакомство с ним. У меня такое чувство, что не первое».
ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ
В 1957 году Джон Синглтон запатентовал настольный календарь (а в 1965 году прекратил действие патента), который изображал любую дату от 01 до 31 с помощью двух кубиков. На каждом кубике были изображены 6 цифр, по одной на каждой грани.
На рис. 20 ты видишь, как на календаре представлены 5-й и 25-й дни месяца. Я нарочно не стал рисовать на кубиках другие цифры. Разрешается поворачивать кубики как угодно, а также менять белый и серый кубики местами. Как расположить цифры на кубиках?
У
У
0
/
У
У
2
/
Рис. 20. Двухкубиковый календарь и примеры двух дат
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШУТКИ2-1
Биолог, статистик и математик сидят на улице в кафе и наблюдают, как вокруг них кипит жизнь. В здание напротив вошли мужчина и женщина, а через 10 минут вышли, уже с ребенком.
— Они произвели потомство, — сказал биолог.
— Нет, — возразил статистик. — Это ошибка наблюдений. В среднем и вошло, и вышло по два с половиной человека.
'у
Я поместил шутки в книгу вовсе не для того, чтобы повеселить тебя, а чтобы показать, что смешит математиков. Ты сможешь заглянуть в потайные уголки мировой математической субкультуры.
Обманчивые кости
— Да нет же, — вступил математик, — это совершенно очевидно: если в здание войдет еще кто-нибудь, оно опустеет.
ОБМАНЧИВЫЕ КОСТИ
Непоседливые близнецы, Митрофанушка и Филомата, скучали.
— Придумала! — просияла Филомата. — Давай играть в кости!
— Не люблю кости.
— Но это же особенные игральные кости, — сказала Филомата, выковыривая их из старой упаковки шоколада. Одна была красная, одна желтая и еще одна синяя.
Митрофанушка взял себе красную.
— С этой что-то не так, — он вертел ее в руках. — Здесь две тройки, две четверки и две восьмерки.
— Да они все такие, — заметила Филомата беззаботно. — На желтой две единицы, две пятерки и две девятки, а на синей две двойки, две шестерки и две семерки.
— По-моему, они фальшивые, — в голосе Митрофанушки звучало сильное подозрение.
— Нет, они честные. Все грани выпадают с одинаковыми вероятностями.
— А как же ими играть?
— Мы выберем себе по одной и одновременно бросим. У кого выпадет больше очков, тот и выиграл. Можем играть на карманные деньги.
Лицо Митрофанушки все еще выражало недоверие, и сестрица быстро добавила:
— Чтобы все было по-честному, я уступаю тебе очередь выбирать первому, тогда ты сможешь выбрать самую лучшую кость!
— Ну-у-у, — все еще колебался Митрофанушка.
Стоит ли ему соглашаться на игру? Если нет, то почему?
Старая задача про старого человека 41
СТАРАЯ ЗАДАЧА ПРО СТАРОГО ЧЕЛОВЕКА
Император Скрумптий родился в 35 году до н. э., а умер в свой день рождения в 35 году н. э. Сколько ему было лет, когда он умер?
ПОЧЕМУ МИНУС НА МИНУС ДАЕТ ПЛЮС!
Когда мы впервые встречаемся с отрицательными числами, нам говорят, что произведение двух отрицательных чисел положительно, например: (-2) х (-3) = +6. Многих это удивляет.
Сразу надо заметить, что мы вольны определить произведение (-2)х(-3) как угодно. Можем условиться, что по определению оно равно -99 или 127п, если нам так заблагорассудится. Поэтому главный вопрос не в том, какое значение правильное, а в том, какое разумное. Разные способы рассуждения приводят к одному и тому же результату, а именно что (-2) х (-3) = +6. Я оставил знак «+», чтобы подчеркнуть положительность.
Но почему это равенство разумно? Мне нравится интерпретация отрицательных чисел как долга. Если на банковском счете у меня -3 рубля, это означает, что я должен бан- ку 3 рубля. Предположим, что мой долг удвоился (умножен на положительное число 2); это значит, что он превратился в долг 6 рублей. Поэтому разумно положить (+2) х (-3) = -6, и многие с этим согласны. А как насчет (-2)х(-3)? Что ж, если банк окажется так добр, что спишет (заберет у меня) два долга, каждый по 3 рубля, то я стану на 6 рублей богаче — точно так же, как если бы мой счет увеличился на 6 рублей. Поэтому в банковских расчетах удобно произведение (-2) х (-3) положить равным +6.
Можно рассуждать иначе. Представь себе: мы решили, что и (+2) х (-3), и (-2) х (-3) равны -6. Тогда (+2) х (-3) = = (-2) х (-3), мы можем сократить на -3 и получить равенство +2 = -2, в котором нет никакого смысла.
Костюм цапли
Еще одно рассуждение начинается с предположения, неявно принятого во втором: привычные законы арифметики положительных чисел должны выполняться и для отрицательных. Это очень разумное свойство хотя бы с точки зрения математической элегантности. Если мы потребуем его выполнения, то
(+2) х (-3) + (-2) х (-3) = (2-2) х (-3) = 0 х (-3) = О,
и поэтому -6 + (-2) х (-3) = 0.
Прибавим теперь к обеим частям по 6:
(-2) х (-3) = 6.
Мы получили еще один довод в пользу равенства (-2) х (-3) = 6.
Подведем итог: математическая красота приводит нас к тому, что минус на минус дает плюс. В таких приложениях, как бухгалтерия, этот выбор устанавливает прямые связи с реальностью. Поэтому, а еще чтобы не усложнять арифметические правила, мы выбрали такую хорошую модель для важных аспектов действительности.
Мы могли бы поступить иначе. Но тогда правила арифметики стали бы гораздо сложнее и разумных приложений стало бы меньше. В сущности, у нас даже нет выбора. Все равно правило «минус на минус дает плюс» — это сознательно принятое людьми соглашение, а не неизбежное явление природы.
КОСТЮМ ЦАПЛИ
Не бывает кошек в костюме цапли, которые необщительны.
Ни одна кошка без хвоста не будет играть с гориллой.
Кошки с усами всегда носят костюм цапли.
Ни одна общительная кошка не стрижет когти.
Ни одна кошка не имеет хвоста, если у нее нет усов.
Следовательно,
ни одна кошка с подстриженными когтями не будет играть с гориллой.
Верен ли этот логический вывод?
Как сломать греческий крест 43
КАК СЛОМАТЬ ГРЕЧЕСКИЙ КРЕСТ
Предлагаю тебе разобрать греческий крест. В стране головоломок греческий крест состоит из пяти одинаковых квадратов, соединенных в виде знака «плюс». Преврати его в квадрат, разрезав на кусочки и переложив их. На рис. 21 изображено решение, в котором крест разрезают на пять частей. Можешь ли ты найти другое решение — с четырьмя частями одной формы?
Рис. 21. Греческий крест превращается в квадрат после разрезания на пять кусочков. Сделай это с помощью четырёх
КАК ЗАПОМНИТЬ КРУГЛОЕ ЧИСЛО
Есть известный французский стишок3:
Que j'aime a faire apprendre Un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimede, artiste ingenieux,
Toi, de qui Syracuse loue encore le merite!
О каком числе, полезном для всех умниц, идет здесь речь? Подсчитаем буквы в каждом слове, примем «j'» за од¬
3 Вот вольный перевод:
Как я хочу, чтобы все умницы Запомнили полезное число!
Славный Архимед, изобретательный ученый,
Твои заслуги Сиракузы помнят до сих пор!
На самом деле французский стишок гораздо длиннее, он позволяет запомнить 126 знаков числа я! — Прим. перев.
Как запомнить круглое число
нобуквенное слово и поставим запятую после первой цифры. Вот что получится:
3,141 592 653 589 793 238 462 6
— число я с точностью до 22 знаков после запятой. Похожие мнемонические подсказки для я существуют на многих языках. Вот самая известная на русском языке:
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Доверимся знаньям громадным Тех, пи кто сосчитал цифр армаду.
Возможно, стихотворение пришлось оборвать в этом месте, потому что в следующей строфе обязательно нужно обозначить цифру 0, и не совсем ясно, как лучше всего представить слово без букв (хотя по этому вопросу можно договориться). Один стишок такой старый, что его нужно записывать в дореволюционной орфографии:
Кто и шутя и скоро пожелаетъ Пи узнать, число ужъ знаетъ.
Поэт Георгий Александров сочинил веселую запоминал- ку специально для маленьких хулиганов:
Раз у Коли и Арины Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
Грандиозная запоминалка была опубликована в 1986 году в журнале The Mathematical Intelligencer (vol. 8, p. 56). Это неформальный «домашний» журнал для профессиональных математиков. Запоминалка представляет собой самореферентную историю, кодирующую первые 402 знака числа я. Нули в ней обозначаются знаками препинания
Мосты Кёнигсберга 45
(кроме точек), а слова, в которых больше 9 букв, обозначают две последовательные цифры; например, 13-буквенное слово обозначает подряд две цифры 1 и 3. Кроме того, в истории встречаются цифры — они обозначают сами себя. История начинается так:
For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all — success4.
Окончание истории и мнемонические подсказки на разных языках можно найти на сайте www.geocities.com/ capecanaveral/lab/3550/pimnem.htm.
МОСТЫ КЁНИГСБЕРГА
Иногда простая головоломка дает жизнь целой области математики. Так бывает редко, но я знаю по крайней мере три примера. Самый известный из них — головоломка про мосты Кёнигсберга, которая привела Леонарда Эйлера к созданию теории графов в 1735 году. Кёнигсберг в то время был прусским городом. Через него протекала река Преголя, образуя два острова, связанные с берегами и друг с другом семью мостами. Головоломка заключалась вот в чем: можно ли найти путь, который проходит через все мосты ровно по одному разу (рис. 22)?
Эйлер решил задачу, доказав, что такого пути не существует. Более того, он дал критерий, который для любой
4 Вольный перевод без соблюдения числа букв:
Некоторое время я стоял, размышляя о размерах кругов. Большой компьютерный процессор тихонечко обрабатывал свой ассемблерный код. Внутри меня жила надежда вычислить это неподатливое разложение. Значение: пи. Знаки должны были вот-вот поступить. Я нервно ввел подпрограмму. Процессор обработал запрос. Ошибка. Я ввел снова, тщательно следя за набором. На этот раз ошибок не было — успех. — Прим. перев.
Мосты Кёнигсберга
Рис. 22. Рисунок Эйлера с планом мостов в Кёнигсберге
задачи такого рода позволяет определить, есть ли у нее решение; именно с помощью этого критерия Эйлер и доказал отсутствие решения у задачи о кёнигсбергских мостах. Он указал, что точная геометрия схемы не имеет значения, важно лишь, какие связи есть между объектами. Поэтому головоломка сводится к простой сети точек, соединенных линиями; на рис. 23 такая сеть наложена на план города. Каждая точка (узел сети) соответствует одному связному участку суши; две точки соединены линией, если соответствующие участки соединены мостом.
Мы получили четыре точки А, В, С и D, а также семь соединяющих их линий я, Ь, с, d, е, f и g, по одной для каждого моста. Головоломка теперь звучит так: можно ли найти такой путь в этой сети, в который каждая линия входит ровно по одному разу? Попробуй поэкспериментировать и найти такой путь, прежде чем читать дальше.
Эйлеру надо было разобраться, в каких случаях решение существует, для этого он различал два вида путей. Открытый путь начинается и заканчивается в разных точках, а замкнутый — в одной и той же. Эйлер доказал, что для кенигсбергской сети не существует ни открытых, ни замкнутых путей обхода. Главное теоретическое понятие, которое он использует, — степень (валентность) каждой точки: сколько линий входит в нее. Например, в точ-
Мосты Кёнигсберга 47
Рис. 23. Превращение плана мостов в Кёнигсберге в сеть
ку А входят 5 линий, поэтому степень этой точки равна 5. Предположим, что в какой-то сети существует замкнутый путь обхода. Когда он входит в некоторую точку по одной линии, он должен выйти из нее по другой. Значит, если замкнутый путь обхода возможен, число линий, входящих в каждую точку, должно быть четно, т. е. четной должна быть степень каждой точки. Ясно, что в сети кенигсбергских мостов нет замкнутых путей, ведь в ней есть три точки степени 3 и одна точка степени 5, а это все нечетные числа.
Похожий критерий работает для открытых путей, но в них должны найтись ровно две точки нечетной степени: одна начальная, другая конечная. В кёнигсбергской сети четыре вершины нечетной степени, поэтому в ней нет и открытых путей тоже.
Эйлер доказал еще, что эти условия достаточны для существования пути обхода при условии, что сеть связна — любые две точки в ней соединены каким-либо путем. Это довольно длинное доказательство, но в наше время построены доказательства всего в несколько строк, как раз благодаря новым достижениям в этой области, вдохновленным пионерской работой Эйлера.
Как заниматься математикой много
КАК ЗАНИМАТЬСЯ МАТЕМАТИКОЙ МНОГО
Леонард Эйлер был самым продуктивным математиком всех времен. Он родился в 1707 году в Базеле (город в Швейцарии), а умер в 1783 в Санкт-Петер- бурге. Он написал более 800 статей и много книг. У него было 13 детей, и нередко он занимался математикой, держа на коленях ребенка. В 1735 году у него перестал видеть один глаз, возможно из-за катаракты, другой глаз отказал в 1766 году. Слепота не оказала видимого влияния на его продуктивность. Записи делал кто-нибудь из членов семьи, а ментальные способности ученого поражали — однажды он делал вычисления уме с точностью до 50 знаков, чтобы проверить, кто из двух его учеников получил правильный ответ.
Эйлер провел много лет при дворе императрицы Екатерины Великой. Говорят, чтобы не дать себе погрязнуть в придворных интригах — что могло иметь фатальные последствия — Эйлер почти все свое время, за исключением часов сна, отдавал математике. Времени на интриги у него не оставалось.
В связи с этим я вспоминаю вариант старой математической шутки: зачем юному математику заниматься музыкой и спортом? Ответ: пока в музыкальной школе думают, что ты в спортивной секции, а в секции — что ты в музыкальной школе, можешь выкроить время и заняться математикой.
ПРОВЕРЬ ЭЙЛЕРА
У тебя есть возможность своими руками проверить открытия Эйлера о путях обхода.
1. Найди открытый путь обхода сети на рис. 25.
Рис. 24. Леонард Эйлер
Уроборические кольца 49
2. Найди путь, который не изменится, если ты отразишь фигуру так, что лево и право поменяются местами.
Рис. 25. Сеть с открытым путем обхода
УРОБОРИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА
Где-то в 1960-х годах американский математик Шерман Штейн обнаружил забавную закономерность в бессмысленном санскритском слове yamatarajabhanasalagam. Композитор Джордж Перл рассказал Штейну, что ударные (а) и безударные (а) слоги образуют мнемоники для ритмов, соответствуя сильным и слабым долям. Например, первые три слога уа та ta обозначают ритм «слабая, сильная, сильная». Слоги со второго по четвертый та ta га обозначают ритм «сильная, сильная, сильная», и так далее. Всего можно составить восемь различных троек из чередующихся сильных и слабых долей, и каждая тройка встречается в этом бессмысленном слове ровно однажды.
Штейн переписал слово, заменяя нулями слабые доли и единицами сильные, получилось 0111010001. Он заметил, что две последние цифры совпадают с первыми двумя, так что цепочку цифр можно изогнуть в кольцо, в котором голова кусает собственный хвост. Теперь можно породить все возможные тройки из нулей и единиц, двигаясь по кольцу шаг за шагом.
Уроборический тор
0 1110 10 0
0 1 1
1 1 1 1 1 о 1 0 1
О 1 о
1 о о
ООО О 0 1
Я назвал эту последовательность уроборическим кольцом по названию мифологической змеи Уроборос, кусающей себя за хвост.
Существует уроборическое кольцо для пар: 0011. Оно единственно с точностью до поворотов. Твоя задача — найти такое кольцо для четверок. Нужно расположить восемь нулей и восемь единиц в кольцо так, чтобы каждая возможная четверка цифр, от 0000 до 1111, появилась в кольце как последовательность символов. (При этом каждая четверка должна появиться ровно однажды.)
УРОБОРИЧЕСКИЙ ТОР
Есть ли аналоги уроборических колец в более высоких размерностях?
Например, существует всего 16 различных квадратиков 2x2, заполненных нулями и единицами. Можно ли заполнить нулями и единицами квадрат 4x4 так, чтобы каждый квадратик встречался в нем ровно по одному разу? Считается, что противоположные стороны большого квадрата склеены, так что он образует уроборический тор.
Кто такой Пифагор? 51
Ты можешь превратить эту головоломку в игру. Сделай из картона 16 карточек, как на рис. 26.
Маленькая точка на каждой карточке нужна для того, чтобы не путать, какой стороной вверх ее класть. Сможешь ли ты сложить из этих карточек квадрат 4x4, соблюдая такие правила:
1) точка на каждой карточке должна быть вверху;
2) у соседних карточек должны совпадать цвета по общей стороне;
3) это же правило должно выполняться для карточек, соседствующих вдоль нижней стороны большого квадрата (считается, что она склеена с верхней) или вдоль правой (а она склеена с левой).
КТО ТАКОЙ ПИФАГОР!
Мы все слышали имя Пифагора, ведь оно накрепко связано с теоремой, которую учили в школе: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Если взять произвольный прямоугольный треугольник, то квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Хотя благодаря своей теореме Пифагор очень знаменит, о нем самом мы знаем не так много; все же о Пифагоре как об исторической личности известно гораздо больше, чем, скажем, о Евклиде. Мы не знаем, доказал ли он теорему, носящую его имя. Есть много оснований считать, что даже если и доказал, то был не первым, кому это удалось.
Но обо всем по порядку.
Пифагор родился в Греции около 569 г. до н. э. на острове Самос в северо-восточной части Эгейского моря.
Рис. 26. Шестнадцать квадратиков для уроборической головоломки
Пифагор со штанами и без
(Насчет точной даты у историков нет согласия, но она может отличаться от приведенной не больше чем на 20 лет.) Его отец Мнесарх был купцом из Тира, а мать Партенида родом с Самоса. Они могли встретиться, когда однажды Мнесарх в голодные годы доставил на Самос зерно, в благодарность за это его сделали гражданином.
Пифагор изучал философию под руководством философа Ферекида. Возможно, он посещал еще одного философа, Фалеса Милетского. Пифагор слушал лекции Анаксимандра, ученика Фалеса, и усвоил много его идей из космологии и геометрии. Побывал в Египте, где его захватил в плен персидский царь Камбис II, обратил в рабство и доставил в Вавилон. Там он познакомился с вавилонской математикой и теорией музыки. Позднее он основал пифагорейскую школу в городе Кротоне (Италия), именно этим он знаменит более всего. Учение Пифагора представляло собой мистический культ. Пифагорейцы верили, что законы Вселенной основаны на математике и что различные символы и числа имеют глубокий мистический смысл.
Разные авторы приписывают пифагорейцам разные математические результаты, а самому Пифагору — знаменитую теорему о прямоугольном треугольнике. Но мы не знаем, какие именно математические идеи Пифагор создал сам. Мы не знаем, сумел ли Пифагор доказать теорему своего имени или просто был уверен в ее истинности. Существует глиняная табличка, известная как Плим- птон 322, которая свидетельствует о том, что суть теоремы была известна вавилонянам за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, они не располагали ее доказательством, но они вообще не жаловали доказательства.
ПИФАГОР СО ШТАНАМИ И БЕЗ
Евклид приводит довольно сложное доказательство теоремы Пифагора, опирающееся на рисунок, прозванный школьниками викторианской эпохи «Пифагоровы штаны» (рис. 27), потому что похож на белье, сохнущее на веревке. Именно такое доказательство подходило к евклидову
Пифагор со штанами и без 53
Рис. 27. Пифагоровы штаны
построению геометрии, вот Евклид его и выбрал. Однако есть много других доказательств, некоторые из них совсем очевидны.
Одно из простейших доказательств напоминает головоломку типа пазла. Возьми любой прямоугольный треугольник, сделай еще три таких же и сложи их внутри специально подобранного квадрата.
Если сложить их так, как на рис. 28 слева, то увидишь внутри квадрат со стороной, равной гипотенузе.
А на рис. 28 справа видны два квадрата, построенные на двух меньших сторонах треугольника. Очевидно, площади белых фигур получаются равными, ведь в обоих случаях они равны разности между площадью большого квадрата и площадями всех четырех экземпляров треугольника.
На рис. 29 — хитроумный паркет, замощающий плоскость. На него наложена наклонная решетка, составленная из равных квадратиков со стороной, равной гипотенузе. Паркет состоит из меньших квадратов двух типов. Если рассмотреть, как наклонная решетка накладывается на паркет, станет ясно, как разрезать большой квадрат на части и сложить из них два меньших квадрата.
Рис. 28. Квадрат на гипотенузе и еще четыре треугольника (слева). Сумма квадратов на двух других сторонах и те же четыре треугольника (справа). Отними треугольники, и получишь... доказательство теоремы Пифагора
Постоянная дыра
Рис. 29. Доказательство Рис. 30. Доказательство
замощением плоскости мультиком
Еще одно доказательство опирается на геометрический «мультфильм», который показывает, как квадрат, построенный на гипотенузе, разбить на два параллелограмма. Они сдвигаются без изменения площади, пока не превратятся в два меньших квадрата (рис. 30).
ПОСТОЯННАЯ ДЫРА
— Это медная сфера с цилиндрическим отверстием, просверленным прямо через ее центр, — произнес Джон Ригель, начальник строительного отдела. Он открыл чертеж на экране своего ноутбука (рис. 31).
— Выглядит понятно, — сказал мастер Рон Тигель. — Да здесь куча меди!
— Вот я как раз и хочу, чтобы ты это вычислил, — сказал Джон. — Сколько меди уйдет на эту деталь?
— Здесь не обозначен размер сферы, — Рон разглядывал чертеж. — Я не могу сосчитать, если ты не скажешь мне радиус сферы.
— Гм-м-м, — протянул Джон. — Должно быть, они забыли
1 метр
Рис. 31. Сечение сферы с цилиндрическим отверстием
Великая теорема Ферма 55
предоставить эту информацию. Но я уверен, что ты что- нибудь придумаешь. Мне нужен ответ к обеду.
Какой объем меди требуется для изготовления детали? Зависит ли он от размера сферы?
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
Огромное достоинство великой теоремы Ферма в том, что понять ее формулировку легко. А вот доказать ее оказалось чрезвычайно трудно — этим она и знаменита. Настолько трудно, что работа над доказательством заняла 350 лет, и доводили его до ума ведущие математики мира. Для этого пришлось строить новые математические теории и попутно доказывать утверждения, которые выглядели куда сложнее самой теоремы.
Все началось около 1650 года, когда Пьер Ферма оставил загадочное замечание на полях диофантовой «Арифметики»: «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Доказательство чего? Давайте сделаем шаг назад.
Диофант был, скорее всего, греком, он жил в античной Александрии. Около 250 года он написал книгу о решении алгебраических уравнений, причем решения должны были быть особенными: дробными или даже лучше целыми. Такие уравнения до сих пор называются диофанто- выми. Вот пример типичной диофантовой задачи: найти
два квадрата, сумма которых тоже квадрат (только в целых числах). Одно из возможных решений — 9 и 16. Действительно, 9 — это 3 в квадрате,
16 — это 4 в квадрате, а их
сумма 25 — это 5 в квадрате. Рис. 32. Пьер Ферма
Великая теорема Ферма
Вот другое решение: 25 (квадрат числа 5) и 144 (квадрат числа 12), которые в сумме дают 169 (квадрат числа 13). И это только вершина айсберга.
Эта задача связана с теоремой Пифагора, и Диофант продолжил давнюю традицию поиска пифагоровых троек: таких целых чисел, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Диофант записал общее правило для отыскания всех таких троек. Он не был первым, кто его обнаружил, но правило очень естественно вписывалось в его книгу. Ферма не был профессиональным математиком — он никогда не исполнял академической должности, а служил юридическим советником. Но математика была его страстью, особенно тот ее раздел, который мы называем теорией чисел, связанный со свойствами обычных целых чисел.
Объект изучения здесь самый простой во всей математике, но парадоксальным образом именно в этой теории сложнее всего добиться прогресса. Чем проще ингредиенты, тем сложнее с ними сладить.
Ферма во многом создал теорию чисел. Он стартовал в том месте, где остановился Диофант, а когда финишировал, теория чисел изменилась до неузнаваемости. Где-то около 1650 года — точнее нам неизвестно — он, должно быть, размышлял о пифагоровых тройках и гадал: можно ли сделать что-то похожее с кубами?
Квадрат числа получается, когда ты перемножаешь два экземпляра этого числа, а чтобы получить куб, придется перемножить три экземпляра. Например, квадрат числа 5 — это 5x5 = 25, а куб числа 5 равен 5x5x5 = 125. Эти два числа можно записать компактнее: 52 и 53 соответственно.
Несомненно, Ферма поэкспериментировал с конкретными числами. Например, дает ли куб сумма кубов чисел 1 и 2? Кубы равны 1 и 8, их сумма 9. Это квадрат целого числа, но не куб: не повезло.
Он, конечно же, заметил, что можно подойти очень близко. Куб числа 9 равен 729, а числа 10 — 1000, в сумме они дают 1729. Это очень близко к кубу числа 12, т. е. 1728. Всего какой-то единички не хватает! Опять не повезло.
Великая теорема Ферма 57
Как любой другой математик, Ферма пробовал брать числа побольше и использовал любую возможность сократить перебор. Ничего не помогало. Со временем он сдался, не найдя ни одного решения, и начал подозревать, что их нет вообще. Кроме куба нуля (это тоже нуль), который можно сложить с кубом чего угодно и опять получить куб того же самого. Но ведь всем и так ясно, что прибавление нуля ничего не меняет, так что это решение тривиально, а Ферма не интересовали тривиальные вещи.
Ладно, кубы ни к чему хорошему не привели. А как насчет других чисел такого типа — четвертых степеней? Они получаются при умножении четырех экземпляров одного числа; например, 81=3x3x3x3 — это четвертая степень числа 3, ее записывают еще в виде З4. Тоже никакого удовольствия. На самом деле для четвертых степеней Ферма удалось доказать, что никаких других решений, кроме тривиального, не существует. Очень мало доказательств Ферма дошло до наших дней, слишком мало из них было записано, но мы знаем основную идею, она хитроумна и корректна и опирается на диофантов метод отыскания пифагоровых троек.
Пятые степени? Шестые? Ничего. К этому моменту Ферма был готов сделать сильное заявление. Представить куб в виде суммы двух кубов, четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, любую другую степень выше второй в виде суммы двух таких же степеней невозможно.
Единственный случай, когда две п-е степени в сумме дают п-ю степень, — при п = 2, и мы имеем дело с пифагоровыми тройками.
Это он и написал на полях, так и началась заварушка на 350 лет. До нас не дошел экземпляр диофантовой «Арифметики» с пометками на полях, принадлежавший Ферма. Нам досталось только печатное издание книги, подготовленное его сыном, все комментарии там тоже были напечатаны.
Ферма включил некоторые другие недоказанные, но пленительные результаты теории чисел в свои письма и комментарии, позднее изданные его сыном. Все матема¬
Великая теорема Ферма
тики мира всколыхнулись, чтобы ответить на вызов. Вскоре почти все утверждения Ферма были доказаны, кроме того, которое опровергли, — но Ферма никогда и не утверждал, что доказал его. Почти все: осталось недоказанной одна последняя теорема. Не та последняя, что он записал, а та последняя, которую никто не мог доказать или опровергнуть, — про суммы одинаковых степеней.
Теорема Ферма стала камнем преткновения. Эйлер доказал, что нет решения для кубов. С четвертыми степенями справился сам Ферма. Петер Лежён Дирихле дал доказательство для пятых степеней в 1828 году, а для четырнадцатых — в 1832-м. Габриель Ламе опубликовал доказательство для седьмых степеней, но в нем обнаружилась ошибка. Карл Фридрих Гаусс, один из лучших математиков всех времен, попытался ее исправить, не смог и забросил всю задачу целиком. Он писал своему ученому коллеге, что задача «неинтересна для меня, поскольку легко можно сформулировать множество таких утверждений, которые никто не может ни доказать, ни опровергнуть». Но тут Гаусса интуиция подвела: задача была интересной, а его слова означали лишь, что «зелен виноград».
В 1874 году Ламе пришла в голову новая идея, связывающая теорему Ферма с особыми числами — комплексными, содержащими корень из -1 (см. с. 186). С комплексными числами все было в порядке, но в рассуждения Ламе просочилось одно неявное предположение, и Эрнст Куммер сообщил ему, что доказательство не проходит для 23-й степени. Куммеру удалось подправить идею Ламе и доказать теорему Ферма для всех степеней до 100, кроме 37, 59 и 67-й. Позднее другие математики еще улучшили результат и расширили список степеней. К 1980 году теорему Ферма доказали для всех степеней до 125 000-й.
Ты можешь подумать, что это достаточно большое число, но тесто, из которого сделаны математики, замешано круче. Или все степени, или ничего. Первые 125 000 целых чисел — незаметная малость по сравнению с бесконечным количеством оставшихся чисел. Но метод Куммера требовал отдельных рассуждений для каждой степени и не под¬
Великая теорема Ферма 59
ходил для общего случая. Нужна была новая идея. К несчастью, никто не знал, где ее взять. Поэтому специалисты в теории чисел забросили теорему Ферма и погрузились в области, где могли продвинуться. Одна такая область — теория эллиптических кривых — становилась все увлекательнее, хотя технически она довольно сложная. Эллиптическая кривая — вовсе не эллипс; если бы она была эллипсом, не было бы нужды давать ей отдельное имя.
Это кривая на плоскости, заданная уравнением, в котором координаты х vi у связаны таким условием: если у возвести в квадрат, то получится кубическая формула от х (рис. 33). Такие уравнения связаны с некоторыми замечательными выражениями, включающими комплексные числа и называемые эллиптическими функциями, в конце XIX века на них как раз была мода. Теория эллиптических кривых и связанных с ними эллиптических функций стала очень глубокой и мощной.
С 1970 года математики стали подозревать о причудливой связи между эллиптическими кривыми и теоремой Ферма. Грубо говоря, если Ферма ошибся и две п-е степени могут в сумме дать третью, то эти три числа должны определять эллиптическую кривую. А раз степени так связаны, должна получиться очень странная эллиптическая кривая с непредсказуемыми свойствами. Такими неожиданными, что эта кривая должна вести себя буйно, если вообще может существовать, как в 1985 году заметил Герхард Фрэй.
Это наблюдение открывает дверь доказательству от противного, которое Евклид называл reduction ad absurdum. Чтобы доказать истинность утверждения, ты предполагаешь, что оно, наоборот, ложно. Затем выводишь логические следствия из этой ложности. Если следствия противоречат друг другу или известным фактам, то твое предположение
Рис. 33. Эллиптическая кривая у2 = х3 - 6х + 6
Великая теорема Ферма
должно быть неверным, а исходное утверждение — верным. В 1986 году Кеннет Рибет ухватил идею Фрэя за хвост, доказав, что если теорема Ферма неверна, то соответствующая эллиптическая кривая противоречит гипотезе (правдоподобному, но недоказанному утверждению) японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Симуры. Гипотеза Тани- ямы-Симуры, выдвинутая в 1955 году, гласит, что каждой эллиптической кривой соответствует специальный класс эллиптических функций, называемых модулярными.
Открытие Рибета означало, что как только будет доказана гипотеза Таниямы-Симуры (ее станут тогда называть теоремой), автоматически будет доказана теорема Ферма (от противного). Действительно, из ложности теоремы Ферма следует, что эллиптическая кривая Фрэя существует, а из теоремы Таниямы - Симуры — что нет.
Но гипотеза Таниямы-Симуры оставалась тем, чем и была, — гипотезой.
Появляется Эндрю Уайлс. Он слышал о теореме Ферма еще ребенком и сразу решил, что когда вырастет, то станет математиком и докажет ее. Математиком он стал, но к тому времени решил, что Гаусс был прав: теорема Ферма лишь изолированный вопрос, не имеющий отношения к основному течению математики. Открытие Фрэя изменило все. Оно означало, что Уайлс мог работать над гипотезой Таниямы-Симуры, важной и нужной задачей, и заодно расправиться с великой теоремой Ферма.
Гипотеза Таниямы -Симуры была крепким орешком, недаром она оставалась гипотезой 40 лет. Но она связана со многими областями математики и твердо позиционируется в той области, где развиты мощные техники: в теории эллиптических кривых. Семь лет Уайлс работал в своем кабинете, пробуя все методы, которые приходили в голову, и пытался доказать гипотезу Таниямы-Симуры. Почти никто не знал, что он работает над этой задачей; он хотел сохранить это в тайне.
В июне 1993 года Уайлс прочитал цикл из трех лекций в Кембриджском институте Исаака Ньютона. Этот математический исследовательский центр — один из ведущих
Великая теорема Ферма 61
в мире. Цикл назывался «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа», но специалисты понимали, что на самом деле темой была гипотеза Таниямы- Симуры и, возможно, великая теорема Ферма. На третий день Уайлс объявил, что он доказал гипотезу Таниямы-Си- муры, но не для всех эллиптических кривых, а для одного их класса — полустабильных.
Эллиптические кривые Фрэя, если они существуют, полустабильны. Уайлс сообщил аудитории, что доказал великую теорему Ферма. Но это еще не конец истории. Для того чтобы большая математическая задача считалась решенной, недостаточно прочитать несколько лекций и заявить, что результат достигнут. Следует опубликовать идею полностью, чтобы любой желающий мог проверить выкладки и убедиться в их правильности. Когда Уайлс приступил к этому процессу — а он включает детальную проверку работы экспертами перед печатью, — то обнаружились недочеты в рассуждениях. Он быстро справился почти со всеми, но один недочет оказался серьезным и никак не поддавался. Когда уже поползли слухи, что представленное доказательство провалилось, Уайлс сделал последнюю попытку спасти свое детище, которое казалось все более хрупким, и против ожиданий многих справился. С одним техническим моментом ему помог его же бывший ученик, Ричард Тейлор, и к концу октября 1994 года доказательство было завершено. Все остальное, как говорят, уже история.
Новый метод Уайлса улучшили, и это позволило доказать гипотезу Таниямы-Симуры для всех эллиптических кривых, а не только для полустабильных. Великая теорема Ферма по-прежнему остается незначительной диковинкой в математике — ничего важного не следует из ее истинности или ложности, — но метод, изобретенный для ее доказательства, стал надежным и важным орудием в арсенале математиков.
Остается еще один вопрос. Знал ли Ферма доказательство, как записал на полях книги? Если знал, то явно не то, которое построил Уайлс, ведь последнее опиралось на
Пифагоровы тройки
идеи и методы, которых во времена Ферма просто не существовало. Можно провести аналогию: в наше время мы могли бы возводить пирамиды, используя огромные подъемные краны, но при этом мы уверены: как бы древние египтяне ни строили свои пирамиды, они не использовали современную технику. И не только потому, что не осталось никаких следов от таких машин, но еще и потому, что в те времена необходимая инфраструктура просто не могла существовать. Если бы она существовала, вся культура была бы иной. Поэтому среди математиков принято мнение: то, что Ферма считал доказательством, скорее всего, содержало логические пропуски. Существуют некоторые правдоподобные, но ложные подходы к доказательству, которые были доступны во времена Ферма. Но мы не знаем, следовало ли его доказательство (если оно существовало) одному из таких подходов. Может быть — чисто теоретически — существует более простое доказательство, которое притаилось где-то в неизведанных глубинах математического воображения и ждет, пока кто-нибудь на него наткнется5. Случались и более странные вещи.
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ
Я не могу не рассказать тебе, как найти пифагоровы тройки методом Диофанта, — без этого просто никак.
Вот он. Возьми любые два целых числа и вычисли:
• их удвоенное произведение;
• разность их квадратов;
• сумму их квадратов.
В результате получатся числа, которые служат сторонами пифагорова треугольника.
Возьми, например, числа 2 и 1. Тогда:
• их удвоенное произведение есть 2x2x1 =4;
• разность их квадратов есть 22 - I2 = 3;
• сумма их квадратов есть 22 + I2 = 5,
5 Если ты думаешь, что нашел его, пожалуйста, не присылай его мне. Я и без того получаю слишком много «доказательств». Не заставляй меня начинать снова, ОК?
Просто о простых числах 63
и мы получили знаменитый треугольник со сторонами 3, 4 и 5.
Если бы мы начали с чисел 3 и 2, то:
• их удвоенное произведение есть 2x3x2 = 12;
• разность их квадратов есть З2 - 22 = 5;
• сумма их квадратов есть З2 + 22 = 13,
этот треугольник тоже знаменит, его стороны 5, 12 и 13. Теперь возьмем числа 42 и 23 и вот что получим:
• их удвоенное произведение есть 2x42x23 = 1932;
• разность их квадратов есть 422 - 232 = 1235;
• сумма их квадратов есть 422 + 232 = 2293,
и вот он — треугольник, про который никто никогда не слыхал. Его стороны равны 1235, 1932, 2293, и эти числа годятся:
12352 + 19322 = 1 525 225 + 3 732 624 = 5 257 849 = 22932.
У диофантова правила есть одна особенность. Если уж мы построили пифагорову тройку, то можем выбрать любое, совершенно произвольное число и умножить на него числа тройки: получится другая пифагорова тройка. Из треугольника 3-4-5 можно получить треугольник 6-8-10, умножив все числа на 2, или треугольник 15-20-25, если умножить их на 5.
Мы не сможем получить эти две тройки с помощью описанной выше процедуры, начав с двух целых чисел. Диофант об этом знал.
ПРОСТО О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
Простые числа — одна из самых захватывающих тем во всей математике. Вот простой рассказ о простых числах.
Целое число, которое больше 1, называется простым, если оно не равно произведению двух меньших чисел. Последовательность всех простых чисел начинается так:
2; 3; 5; 7; И; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; ...
Обрати внимание, что единица сюда не входит, — принято такое соглашение. Простые числа играют фундамен¬
Просто о простых числах
тальную роль в математике, потому что любое натуральное число6 представимо в виде произведения простых:
2016 = 2х2х2х2х2хЗхЗх7;
2018 = 2x1009.
Если число простое, то принято считать, что в произведении только один множитель:
2017 = 2017.
Более того (только математики заботятся о вещах такого рода, но эта теорема очень важна и, как ни странно, ее трудно доказать), такое произведение можно составить только одним способом, если не учитывать порядок множителей. Например, 2016 = 2x2x2x3x3x7x2x2, но считается, что это разложение совпадает с тем, что было выписано выше.
Это свойство называется единственностью разложения на множители. Если тебя беспокоит судьба единицы, знай, что математики договорились считать, что она представима в виде произведения без простых множителей. Математика, она такая.
Кажется, что простые числа рассыпаны непредсказуемо, без всякого порядка. Кроме 2, все они нечетные: любое четное число делится на 2 и поэтому не может быть простым, если только не равно 2. Аналогично 3 — единственное простое число, кратное 3, и так далее.
Евклид доказал, что не существует самого большого простого числа. Иначе говоря, их бесконечно много. Каким бы большим ни было простое число р, ты всегда можешь найти другое, еще больше. Подойдет любой простой делитель числа р\ + 1. Здесь
р\ = рх(р- 1 )х(р- 2)х...хЗх2х1,
такое произведение называется факториалом числа р. Например,
71 = 7x6x5x4x3x2x1 =5 040.
6 Кроме 1. — Прим. перев.
Малоизвестная пифагорова ликовинка 65
А вот самое большое известное простое число — это совершенно другая история, ведь метод Евклида не дает практического способа выписывать новые простые числа в явном виде.
Сейчас, когда я пишу эту книгу, самое большое известное простое число — это
232 582 657 _ j
в его десятичной записи (см. с. 153) 9 808 358 цифр.
Простые близнецы — это пары простых чисел, которые различаются на 2. Например, (3,5), (5, 7), (11,13), (17,19) и так далее. Гипотеза о простых близнецах гласит, что простых близнецов бесконечно много. Многие думают, что она верна, но этого никто не доказал. И не опроверг. Самые большие известные на данный момент простые близнецы — это
2 003 663 613 х 2195 000 - 1 и 2 003 663 613 х 2195 000 + 1,
в каждом по 58 711 цифр.
Как это было... В 1994 году Томас Найсли изучал простых близнецов на компьютере и заметил, что его результаты не согласуются с предыдущими вычислениями. Он несколько недель искал ошибку в своей программе и выяснил, что проблема была в неизвестной до того ошибке процессора Intel™ Pentium™. В то время на базе Pentium работало большинство компьютеров в мире. Читай здесь: www.tmicely.net/pentbug/bugmaill.html.
МАЛОИЗВЕСТНАЯ ПИФАГОРОВА ДИКОВИНКА
Хорошо известно, что любые две пифагоровы тройки можно скомбинировать и получить третью. Если
а2+ Ь2 = с2
и
А2 + В2 = С2,
то
(аА - ЬВ)2+(аВ + ЪА)2 = (сС)2.
66 Цифровая сотня
Но одно свойство этого метода комбинирования менее известно. Если представить этот метод как своего рода «умножение» для троек, то можно считать тройку простой, если она не представляется в виде произведения двух троек поменьше. Тогда каждая пифагорова тройка — это произведение различных простых пифагоровых троек. Это «разложение троек на множители», по сути, единственно, за исключением некоторых тривиальных ситуаций, в которые я не буду углубляться.
Оказывается, простые тройки — это те, для которых гипотенуза равна простому числу вида 4к +1, а катеты ненулевые, или гипотенуза равна 2 или простому числу вида 4к -1, а один из катетов нулевой (вырожденная тройка).
Например, тройка 3-4-5 простая, и тройка 5-12-13 тоже, ведь их гипотенузы представляют собой простые числа вида 4к + \. Тройка 0-7-7 тоже простая, а тройка 33 - 56 - 65 нет: это «произведение» троек 3-4-5 и 5-12-13.
Я просто подумал, что тебе может быть это интересно. ЦИФРОВАЯ СОТНЯ
Поставь ровно три обычных математических символа между цифрами
12345678 9,
чтобы в результате получилось 100. Символ можно повторять, но каждое повторение учитывается, пока не наберешь предельное значение 3. Переставлять цифры нельзя.
КВАДРАТУРА КВАДРАТА
Все знают, что пол в прямоугольной комнате можно замостить квадратными плитками одного размера при условии, что вдоль каждой из стен укладывается целое число плиток. А что будет, если все плитки должны быть разных размеров? Первый пример «квадрированного прямоуголь-
Квадратура квадрата 67
24
19
22
5
11
23
6
Л
3
25
17
Рис. 34. Первая квадратура прямоугольника, предложенная Мороном
ника» опубликовал в 1925 году Збигнев Морон; он использовал квадратные плитки с длинами сторон 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 и 25 (рис. 34).
Вскоре он придумал пример прямоугольника, который можно замостить всего девятью квадратными плитками со сторонами 1, 4, 7, 8, 9,10,14,15 и 18. А ты можешь расположить такие плитки так, чтобы они образовали прямоугольник? Подсказка: его размеры должны быть 32x33.
А как из разных квадратных плиток составить квадрат? Долгое время считалось, что это невозможно, но в 1939 году Роланд Шпраг нашел 55 разных квадратиков, которые складываются в один большой квадрат. В 1940 году четыре математика (Леонард Брукс, Седрик Смит, Артур Стоун и Уильям Татт, студенты Тринити-колледжа в Кембридже) опубликовали статью о задаче про электрические сети — такая сеть кодирует информацию о размерах квадратов и о том, как они подходят друг к другу. Этот метод привел к другим решениям.
В 1948 году Теофил Уилкокс нашел решение из 24 квадратов, которые складываются в один (рис. 35). Некоторое время считалось, что это рекорд, но в 1962 году Адриану с Дёйвестейн с помощью компьютера показал, что достаточно 21 плитки со сторонами 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42 и 50. Можешь ли ты сложить эти плитки в один квадрат? Он должен иметь размеры 112x112.
Магические квадраты
33
35
43
64
8
31
29
51
39
55 4
30
3
5
81
56
1
38
Рис. 35. Квадратура квадрата Уилкокса: 24 плитки
И наконец, действительно сложная задача. Можешь ли ты замостить без пробелов бесконечную плоскость, используя ровно по одному разу каждую квадратную плитку с целой стороной: 1, 2, 3, 4,... ? Этот вопрос оставался без ответа до 2008 года, когда Фредерик и Джеймс Хенле доказали, что можешь. Об этом их статья Squaring the plane в журнале American Mathematical Monthly, vol. 115 (2008), p. 3-12.
Интересная информация есть еще на сайте www. squaring.net.
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Я так увлекся квадратами, что не могу не рассказать о самом древнем «квадратном» математическом развлечении. В Китае есть легенда, как император Юй, живший в третьем тысячелетии до н. э., увидел в водах реки До (притока Хуанхэ, или Желтой реки) священную черепаху с удиви¬
Магические квадраты 69
тельными знаками на панцире.
Эти знаки получили название Ло Шу (письмена До); рис. 36.
Знаки на панцире означают числа, они расположены в квадратной сетке:
4 9 2
3 5 7 Рис. 36. До Шу
8 1 6
Здесь сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 15. Числовой квадрат с таким свойством называется магическим, а повторяющаяся сумма — магической постоянной. Обычно квадраты составляют из последовательных чисел 1, 2, 3, 4, ..., но от этого условия иногда отказываются.
В 1514 году художник Альбрехт Дюрер выполнил гравюру «Меланхолия», на которой был изображен магический квадрат 4x4 (в ее правом верхнем углу; рис. 37). Средние числа 15-14 в нижней строке квадрата образуют дату создания. Вот так квадрат выглядит целиком:
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Его магическая постоянная равна 34.
Если использовать последовательные натуральные числа 1, 2, 3, ... и считать одинаковыми квадраты, которые переходят друг в друга при поворотах и отражениях, то существует в точности:
• 1 магический квадрат размера 3x3;
• 880 магических квадратов размера 4x4;
• 27 5305 224 магических квадрата размера 5x5.
Количество магических квадратов 6x6 неизвестно, но,
по оценкам, приблизительно равно 1,77х1019.
Квадрат квадратов
Рис. 37. «Меланхолия» Дюрера и магический квадрат
Литература о магических квадратах огромна, описаны многие вариации на эту тему, такие, как магические кубы. Начать знакомство можно на сайте mathworld.wolfram. com/MagicSquare.html, но существует и много других.
Магические квадраты известны так хорошо, что мне не хочется рассказывать об обычных, когда есть вариации поинтереснее. Например, можно ли составить магический квадрат из таких чисел, что все они — точные квадраты? Назовем его квадратом квадратов. (Разумеется, условие использовать последовательные натуральные числа здесь нарушается!)
До сих пор неизвестно, существует ли квадрат квадратов размером 3x3. Чуть-чуть до такого квадрата не дотягивает пример Ли Сэллоуза:
КВАДРАТ КВАДРАТОВ
12 72 22
462
ИЗ2
52
942
822
972
Ехали по ровной дорожке 71
Здесь равны суммы во всех строках, столбцах и на одной диагонали. А вот настоящий магический квадрат, который чуть-чуть не дотягивает до квадрата квадратов:
3732
2892
5652
360 721
4252
232
2052
5272
222 121
Здесь только семь чисел — точные квадраты, два исключения я отметил жирным шрифтом. Этот пример нашли Сэллоуз и (независимо от него) Эндрю Бремнер.
Первый пример квадрата квадратов размером 4x4 Эй-
Луи
Лагранжу в
1770 году:
682
292
412
3 72
172
312
792
322
592
ем
00
(N
232
612
II2
772
82
492
Магическая постоянная здесь равна 8515.
Кристиан Бойер построил квадраты квадратов размеров 5x5, 6x6 и 7x7. Квадрат 7x7 составлен из квадратов последовательных целых чисел от 0 до 48:
252
452
152
142
442
52
202
162
102
222
62
462
262
422
482
92
182
412
272
132
122
342
372
312
ЗЗ2
О2
292
42
192
72
352
ЗО2
I2
362
402
212
322
22
392
232
432
82
172
282
472
З2
II2
242
382
ЕХАЛИ ПО РОВНОЙ ДОРОЖКЕ
Шоссе М25 идет вокруг Лондона (рис. 38). В Британии левостороннее движение, поэтому если ты едешь по часовой стрелке вдоль М25, то двигаешься по внешней стороне дороги, а против часовой стрелки — по внутренней, она короче. А на сколько? Общая длина М25 составляет 188 км
Чистая и прикладная
Рис. 38. Шоссе М25
(117 миль), поэтому ехать по внутренней стороне должно быть выгодней, разве нет?
Предположим, что по дороге М25, по крайней полосе, едут два автомобиля. Один из них едет по часовой стрелке, а другой против. Предположим еще (это не совсем верно, но надо же конкретизировать задачу), что расстояние между крайними полосами составляет 10 метров. Насколько расстояние, которое проедет автомобиль по часовой стрелке, больше того, которое проедет автомобиль против часовой стрелки? Можешь считать, что дорога лежит в одной плоскости (это тоже не совсем верно).
ЧИСТАЯ И ПРИКЛАДНАЯ
Отношения между чистой и прикладной математикой основаны на доверии и понимании. Чистая не доверяет прикладной, а прикладная не понимает чистую.
Магический шестиугольник 73
МАГИЧЕСКИЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Магические шестиугольники похожи на магические квадраты, только отдельные шестиугольники расположены иначе — как ячейки в медовых сотах (рис. 39).
Твоя задача — расставить в шестиугольнике числа от 1 до 19 так, чтобы в любом направлении на любой прямой линии из трех, четырех или пяти ячеек Рис. 39. Ячейки
сумма чисел была магической постоян- в магическом
ной. Скажу по секрету, что она должна шестиугольнике быть равна 38.
ПЕНТАЛЬФА
Эта старинная геометрическая головоломка кажется простой, если ты найдешь к ней правильный подход, и очень мудреной, если не найдешь.
У тебя есть девять фишек, надо их расставить в кружочки на пятилучевой звезде. На рис. 40 кружки пронумерованы, чтобы было удобнее объяснять, но в настоящей игре никаких номеров нет. Фишки ставят на звезду последовательно по такому правилу: фишку надо поставить на пустой кружок, а затем перепрыгнуть через соседний кружок (он может быть пустым или уже занятым фишкой) на третий; все эти три кружка должны лежать на одной прямой.
Например, если кружки 7 и 8 пусты, можно поставить фишку на 7, а потом перепрыгнуть через 1 на 8.
Кружок с номером 1 при этом может быть и занят, и свободен — это не имеет значения. Но нельзя с 7 пе¬
Рис. 40. Расставь девять фишек, следуя правилам
Узоры на обоях
репрыгнуть через 1 и приземлиться на 4 — эти три кружка не лежат на одной линии.
Если ты будешь расставлять фишки наугад, то, скорее всего, пары подходящих пустых кружков закончатся раньше, чем все фишки встанут по местам.
УЗОРЫ НА ОБОЯХ
Узор на обоях повторяет одну и ту же картинку в двух направлениях: вниз и по горизонтали (или по наклонной). Повторение вниз возникает из-за того, что печать наносят на рулон, используя для создания узора вращающийся цилиндр. Повторение по горизонтали позволяет распространить узор вбок, на все смежные полосы обоев, и покрыть всю стену. Для наклонного узора снижение при переходе с одной полосы на другую не создает проблем, а, наоборот, облегчает приклеивание.
Число разных рисунков на обоях поистине бесконечно. Но в основе разных рисунков может лежать один и тот же шаблон, меняться будет только картинка, которая повторяется по этому шаблону. Например, на рис. 41 можно заменить цветок на бабочку, или птицу, или абстрактную фигуру. Математики различают существенно разные шаблоны по их симметриям. Какими различными способами можно сдвинуть базовую картинку, повернуть ее или даже перевернуть (как бы отразить в зеркале), чтобы получился тот же результат, с которого начали? Для многих цветочных узоров единственные симметрии — это сдвиги в двух направлениях, в которых базовая картинка повторяется, или несколько таких сдвигов подряд. Это простейший вид симметрии, но существуют и более слож-
ч
ff
I*-*
Рис. 41. Узор на обоях, который распространяется в двух направлениях
Сколько лет Диофанту? 75
Рис. 42. Семнадцать типов узоров на обоях
ные, вроде поворотов или отражений. В 1924 году Дьердь Пойа и Пауль Ниггли доказали, что существует ровно 17 типов симметрии для узоров на обоях — удивительно мало (рис. 42).
Можно поставить аналогичную задачу в трехмерном пространстве: перечислить все возможные симметрии
атомных кристаллических решеток. Их оказывается 230. Любопытно, что этот результат был получен до того, как решили более простую версию задачи для узоров на обоях.
СКОЛЬКО ЛЕТ ДИОФАНТУ?
Чуть раньше, в рассказе о великой теореме Ферма, я упоминал Диофанта Александрийского, который жил примерно в 250 г. до н. э. и написал знаменитую книгу об уравнениях — «Арифметику». Больше мы практически ничего о нем не знаем, за исключением того, что в одном источнике содержатся сведения о возрасте Диофанта — при условии, что источник достоверный. Источник сообщает, что детство Диофанта заняло одну шестую всей его жизни. Еще через одну двенадцатую он оброс бородой, а спустя одну седьмую женился. Через пять лет у него родился сын, жизнь которого оказалась вдвое короче отцовской. Диофант пережил его на четыре года. Сколько лет ему было, когда он умер?
Вдруг ты думал, что математики умеют считать
ВДРУГ ТЫ ДУМАЛ, ЧТО МАТЕМАТИКИ УМЕЮТ СЧИТАТЬ
Эрнст Куммер — немецкий алгебраист, в свое время он внес большой вклад в работу над великой теоремой Ферма. Однако он был не силен в арифметике и поэтому всегда просил студентов выполнить за него вычисления. Как-то раз ему требовалось вычислить 9x7.
— Гм-м... Девятью семь... девятью семь... это...
— Шестьдесят один, — предположил один студент, и Куммер записал число на доске.
— Что Вы, профессор, должно быть шестьдесят семь, — сказал другой.
— Господа, внимательнее, пожалуйста. Оба ответа не могут быть верны, значит, верен только один из них.
СФИНКС — РАСТЕНИЕ
Растениям положено расти, и поэтому я буду называть растениями фигуры, которые растут — увеличиваются в размерах, не меняя формы, — если правильно сложить вместе несколько экзем- | I
пляров такой фигуры. Самое очевидное растение — это квадрат (рис. 43).
Рис. 43. Из четырех квадратов можно
сложить квадрат побольше I I
Но есть и другие растения, как видно из рис. 44.
Рис. 44. Удивительные растения
Шесть степеней связи 77
Очень знаменитое растение — сфинкс (рис. 45). Можешь ли ты из четырех маленьких сфинксов сложить одного большого? Фигурки можно переворачивать.
Рис. 45. Сфинкс
ШЕСТЬ СТЕПЕНЕЙ СВЯЗИ
В 1998 году Дункан Уоттс и Стивен Строгатц опубликовали в журнале Nature статью о сетях «тесного мира». Это сети, в которых отдельные индивиды необычно тесно соединены (рис. 46). Статья инициировала массовые исследования, в которых ее идеи применялись к реальным сетям, таким как Интернет или распространение заразных болезней.
Рис. 46. Сеть «тесного мира».
Черный индивид в центре связан со многими другими, в отличие от серых индивидов
История началась в 1967 году, когда психолог Стэнли Милгрэм подготовил 160 конвертов, на которых написал имя, но не адрес своего биржевого брокера. Затем он «потерял» эти письма, чтобы случайные люди могли их найти и, как надеялся Милгрэм, отправить. Многие письма действительно попали в офис брокера, и если это происходило, то самое большее за шесть шагов. Эксперимент натолкнул
Шесть степеней связи
Милгрэма на мысль, что на всей планете каждый из нас связан с каждым не более чем через 5 посредников — степень связи равна 6.
Как-то раз я рассказывал о статье из Nature моему другу Джеку Коэну в общей комнате математиков. Наш завкафедрой как раз проходил мимо, остановился послушать и сказал: «Глупости! Джек, сколько степеней связи может быть между тобой и монголом, который пасет яков?» Джек тотчас же ответил: «Одна!» Оказывается, соседнюю с ним комнату занимал эколог, который как раз работал в Монголии. Неудивительно, что такое случилось с Джеком, потому что он как раз из людей, у которых необыкновенно много связей; они и не дают порваться сетям «тесного мира». Именно из-за него от меня или нашего завкафедрой до пастуха в Монголии только два шага.
Ты можешь исследовать явление тесного мира с помощью программы Oracleof Bacon на сайте oracleofbacon.org. Кевин Бэйкон — актер, снявшийся во многих фильмах. Каждому, кто снимался в фильме вместе с ним, присваивают число Бэйкона 1. Тому, кто снимался в одном фильме вместе с актером с числом Бэйкона 1, присваивают число 2, и так далее. Если Милгрэм прав, то почти у всех киноактеров (тесен здесь мир кино) число Бэйкона 6 или меньше. Когда в программе Oracle ты вводишь имя актера, она сообщает тебе его число и связывающий актеров путь из фильмов. Например,
• вместе с Мишель Пфайффер в 1987 году в «Амазонках на Луне» снимался
• Дэвид Алан Грир, с которым в 2004 году в фильме «Дровосек» снимался
• Кевин Бэйкон.
Поэтому для Мишель число Бэйкона равно 2.
Не так просто найти актера, для которого число Бэйкона больше 2! Один из них —
• Хэйли Муй, вместе с которым в 2005 году в третьем эпизоде «Звездных войн» — «Месть ситхов» — снялся
• Сэмюэл Джексон, вместе с которым в 2006 году в «Змеином полете» снялась
Трисекторы 79
• Рэйчел Бланчард, вместе с которой в 2005 году в фильме «Где скрывается правда» снялся
• Кевин Бэйкон.
Для Хэйли число Бэйкона равно 3.
Математики играют в свою версию этой игры, центральная фигура для них — Пал Эрдёш. Эрдёш написал в соавторстве больше статей, чем любой другой математик, так что в этой игре в качестве связей выступают не фильмы, а статьи. Мое число Эрдёша равно 3, потому что
• я написал статью, соавтором которой был
• Марти Голубицкий, и он написал статью, соавтором которой был
• Брюс Ротшильд, и он написал статью, соавтором которой был
• Пал Эрдёш.
Между мной и Эрдёшем нет связи короче. Один из моих студентов написал статью в соавторстве со мной и других статей не публиковал, поэтому его число Эрдёша равно 4.
В одном фильме обычно занято больше актеров, чем нужно авторов для написания математической статьи, — хотя я не уверен, что в биологии и физике дела обстоят точно так же. Поэтому ты в среднем можешь ожидать, что твое число Эрдёша больше, чем твое число Бэйкона. Все математики с числом Эрдёша 1 или 2 перечислены на сайте www.oakland.edu/enp.
ТРИСЕКТОРЫ
Евклид научил нас, как осуществить бисекцию угла, т. е. как разделить его на две равные части. Повторяя этот прием, мы можем разделить любой заданный угол на 4; 8; 16; ... ; 2" равных частей. Но Евклид не рассказал, как сделать трисекцию угла, т. е. разделить угол на три равные части. (Не рассказал также ни о «квинтосекции» (пять частей), ни о...)
По традиции евклидовы построения проводятся лишь двумя инструментами — линейкой без делений, чтобы проводить прямые линии, и циркулем, чтобы чертить окруж¬
Трисекторы
ности. Оказывается, циркуля и линейки недостаточно для трисекции угла, но доказать это не удавалось до 1837 года, когда Пьер Ванцель алгебраическими методами показал, что циркулем и линейкой невозможно разделить на три равные части угол величиной в 60°. Однако это не сломило многих математиков-любителей, которые продолжали поиск трисекции. Видимо, надо объяснить, почему она невозможна.
Любую точку можно построить приблизительно, причем приближение можно сделать сколь угодно точным. Разделить угол на три равные части с точностью, скажем, до одной триллионной градуса легко (в принципе). Математическая задача не о практическом решении, а о существовании идеального, абсолютно точного решения. Кроме того, линейка с циркулем могут применяться только конечное число раз. Если разрешить ими пользоваться сколь угодно много, хоть бесконечное число раз, можно абсолютно точно построить любую точку.
Основное свойство евклидовых построений в том, что они позволяют строить квадратные корни. Повторение такой операции приводит к сложным комбинациям квадратных корней величин, содержащих квадратные корни величин... ну, ты понял идею. Но больше с обычными инструментами ты ничего не сделаешь.
Обратившись затем к алгебре, мы найдем координаты таких точек, начав с рациональных чисел и шаг за шагом вычисляя квадратные корни. Любое такое число удовлетворяет алгебраическому уравнению очень специального вида. Высшая степень неизвестного, которая входит в уравнение (ее называют степенью уравнения), должна быть второй, или четвертой, или восьмой, т. е. степенью двойки.
Угол в 60° можно построить с помощью трех точек с координатами
— последние две лежат на единичной окружности (с радиусом 1 и центром в начале координат). Разделить угол в 60° на три равные части — значит построить точку (х, у), в которой прямая, наклоненная под углом 20° к горизон¬
Трисекторы 81
Рис. 47. Трисекция 60° эквивалентна построению х
тальной оси, пересекает эту окружность (рис. 47).
Методами тригонометрии и алгебры координату х этой точки можно найти как решение кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Более точно, х — это решение уравнения 8л:3- - 6х -1 = 0. Но степень этого уравнения равна 3, а это вовсе не степень двойки. Мы получили
противоречие, значит, трисекция невозможна. Ты можешь подобраться к ней сколь угодно близко, но не можешь попасть в яблочко.
Трисекторы-любители пытаются найти невозможный метод решения, даже если они слышали про доказательство Ванцеля. Они говорят: «Знаю, это невозможно алгебраически, но вдруг получится геометрически?» Но доказательство Ванцеля показывает, что геометрического решения не существует. В доказательстве применяются алгебраические методы, но алгебра с геометрией — две согласованные ветви математики.
Я всегда говорю предполагаемым трисекторам: «Если вы найдете трисекцию, то из этого будет следовать четность числа 3. Хотите ли вы войти в историю с таким утверждением?»
Если условия задачи ослабить, можно найти много разных трисекций. Архимеду была известна одна, для которой использовалась линейка с двумя засечками. Греки называли такой метод построения
невсисом. Он включает скольжение линейки таким образом, чтобы засечки оказались на заданных кривых, на рис. 48 это прямая и окружность.
этот отрезок должен быть равен радиусу
треть отмеченного угла
Рис. 48. Как Архимед проводил трисекцию угла
82 Кубики Лэнгфорда
КУБИКИ ЛЭНГФОРДА
Однажды шотландский математик Дадли Лэнгфорд наблюдал, как его сын играл шестью цветными кубиками — по два каждого цвета. Лэнгфорд заметил, что мальчик расположил их так, что между двумя (скажем) желтыми кубиками был один кубик, между двумя синими — два, а между двумя красными — целых три кубика. На рис. 49 вместо желтого использован белый цвет, вместо синего — серый, а вместо красного — черный.
Рис. 49. Кубики Лэнгфорда
Между двумя белыми кубиками лежит ровно один кубик (он оказался серым). Между двумя серыми кубиками — еще два (один белый и один черный). Между двумя черными кубиками — три (два из них белые). Лэнгфорд поразмышлял и понял, что такое расположение кубиков только одно с точностью до отражения слева направо.
Ему стало интересно, можно ли проделать то же самое, если взять не три разных цвета для кубиков, а больше, например четыре. Оказалось, что и в этом случае есть только один способ расположения (и опять с точностью до отражения слева направо). Ты можешь его найти? Удобнее всего разгадывать головоломку, если вместо кубиков взять карты. Возьми два туза, две двойки, две тройки и две четверки. Можешь ли ты разложить карты в ряд так, чтобы между двумя тузами оказалась ровно одна карта, между двумя двойками — две, между двумя тройками — три, а между двумя четверками — четыре?
Нет ни одного способа расположить таким образом пять пар карт или шесть, но целых 26 способов для семи пар. И вообще, решение существует, только если число пар
Удвоение куба 83
кратно 4 или на единицу меньше числа, кратного 4. Формулы для числа решений не существует, но в 2005 году Мишель Краецкий, Кристоф Жайе и Ален Буи написали компьютерную программу, которая работала 3 месяца и выдала результат: 24 пары можно расположить по описанным правилам 46 845 158 056 515 936 способами.
УДВОЕНИЕ КУБА
Я коротко расскажу еще об одной задаче о кубах: о третьей знаменитой «геометрической задаче древности». Она известна не так хорошо, как две другие — трисекция угла и квадратура круга. Легенда гласит, что требовалось алтарь кубической формы заменить на другой алтарь, тоже кубической формы, но вдвое большего зобъема. Задача эквивалентна построению отрезка длины Чг по заданным рациональным точкам плоскости. Эта длина удовлетворяет другому кубическому уравнению, совершенно очевидному на этот раз: х3 - 2 = 0. Удвоение куба невозможно по тем же причинам, что трисекция угла, как показал в статье от 1837 года Пьер Ванцель. Удвоители куба встречаются так редко7, что тебе вряд ли попадется хоть один. А трисекто- ров раздают по дюжине за гривенник.
МАГИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ
Вот пятилучевая звезда (рис. 50). Она магическая, потому что числа на любой линии с четырьмя кружками дают в сумме одно и то же число. Но это не лучший пример магического пентакля, ведь здесь не использованы все числа от 1 до 10. Вместо этого в кружочки вписаны числа от 1 до 12, причем два — 7 и 11 — пропущены.
7 Хотя мы не должны забывать Эдвина Гудвина, работа которого над квадратурой круга чу ть не устроила переполох в Индиане (см. с. 27).
Магические звезды
Рис. 50. Пятилучевая магическая звезда, числа в кружочках
не идут подряд
Оказывается, что ничего лучше для пятилучевой звезды придумать нельзя. Но если взять шестиконечную звезду (рис. 51), то все получится: можно расставить в кружочки все числа от 1 до 12, каждое по одному разу, причем суммы чисел в кружочках на одной прямой будут равны (подсказка: они будут равны 26). Чтобы усложнить задачу, я выдвину еще одно требование: сумма чисел в шести кружках, самых далеких от центра, тоже должна быть равна 26.
Как -расставить числа?
Рис. 51. Впиши в кружки числа от 1 до 12 так, чтобы звезда стала магической
Кривые постоянной ширины 85
КРИВЫЕ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ
Ширина круга постоянна, как его ни крути. Если положить его между двумя параллельными прямыми (рис. 52), то можно повернуть как угодно в любом направлении — он никуда не денется. Это одна из причин, почему колеса круглые. И почему из круглых цилиндрических барабанов получаются замечательные катки.
Круг — единственная кривая с таким свойством?
Рис. 52. Круг — единственная ( ) \ на любой
кривая такого рода? V У угол
\ поверни
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ КАБЕЛИ
В кухне стоят холодильник, плита и посудомоечная машина, для каждого прибора есть своя розетка (рис. 53). Нужно соединить каждый прибор со своей розеткой так, чтобы провода не проходили сквозь стены кухни или приборы и не пересекались друг с другом. Сможешь ли ты сделать это?
В привычном трехмерном пространстве эта головоломка выглядит несколько искусственной, но на плоскости это серьезная проблема, это тебе подтвердит любой житель
розетка
ДЛЯ ПЛИТЫ
посудомоечная
машина
ХОЛОДИЛЬНИК
плита
розетка для холодиль ника
розетка для посудомоечной машины
Рис. 53. Соедини приборы с розетками так, чтобы провода не пересекались
Меняю злато на серебро
Флатландии8. Кухня без дверей — проблема еще серьезнее, но так уж сложилось.
МЕНЯЮ ЗЛАТО НА СЕРЕБРО
На рис. 54 слева ты видишь шесть серебряных монет А, С, Е, G, I и К, а также шесть золотых В, D, F, Н, J и L. Твоя задача — передвинуть монеты так, чтобы они заняли положение, показанное на рис. 54 справа.
Рис. 54. Перемести монеты из левого положения в правое
Каждый ход заключается в том, чтобы соседние золотую и серебряную монеты поменять местами; монеты считаются соседними, если соединены отрезком. Наименьшее известное решение этой головоломки состоит из 17 ходов. Можешь ли ты его найти?
НЕУДАЧНЫЙ ДЕНЬ ДЛЯ ЖЕСТЯНЩИКА
Найджел Жестянщик купил подержанный автомобиль за £900 и захотел перепродать его за £2900, дав объявление в местной газете. По объявлению пришел респектабельный пожилой джентльмен, одетый как пастор, и купил автомобиль по этой цене. Правда, по ошибке он выписал чек на £3000, и этот чек оказался последним в его чековой книжке. У Жестянщика не нашлось при себе наличных,
8 Не знаешь, где находится такая страна? Тогда почитай роман Эдвина Эббота «Флатландия». — Прим. ред.
Линия через все точки квадрата 87
и он обратился за помощью к своей соседке, журналистке Мэгги Блогги, — она приобрела у него чек за наличные. Найджел отдал пастору £100 сдачи. Однако когда Мэгги попыталась обналичить чек в банке, ей отказали — на счете плательщика средств было недостаточно. Чтобы вернуть долг журналистке, Найджелу пришлось одолжить £3000 у своего друга Гарри. После раздачи долгов пришло время подсчитывать убытки.
— Я упустил £2000 выгоды от перепродажи автомобиля, отдал ни за что £100 сдачи, вернул £3000 Мэгги и еще £3000 Гарри. Целых £8100! — причитал Жестянщик.
Какую сумму он потерял в действительности?
ЛИНИЯ ЧЕРЕЗ ВСЕ ТОЧКИ КВАДРАТА
Обычно мы представляем себе линии «тонкими», гораздо «тоньше», например, чем внутренняя область квадрата. Долгое время математики считали, что раз кривая одномерная, а квадрат двумерный, она ни за что не сможет пройти через каждую точку квадрата.
Они ошибались. В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано построил такую кривую, заполняющую целую область. Кривая была бесконечно длинной и бесконечно извилистой, однако удовлетворяла математическому определению кривой — по сути, математики считают кривой изогнутую прямую линию. То, что построил Пеано, было очень, очень изогнутым. Годом позже немецкий математик Давид Гильберт построил еще одну такую кривую. Эти кривые слишком сложно устроены, чтобы их можно было нарисовать на бумаге, а если бы ты попытался, то получил бы черный квадрат, как на рис. 55 слева. Математики определяют кривые, заполняющие плоскую область, пошагово, задавая все больше и больше изгибов. На каждом шаге новый изгиб мельче предыдущих. На рис. 55 справа изображен пятый шаг построения кривой Гильберта.
Прекрасный мультфильм, изображающий этапы построения кривой Гильберта, можно найти в Интернете по адре-
Незаметная ошибка
Рис. 55. Кривая Гильберта, заполняющая квадрат (слева), и ее приближение (справа)
су en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve. Существуют кривые, которые заполняют трехмерный куб и даже его аналоги в многомерных пространствах. Такие объекты заставили математиков пересмотреть базовые понятия своей науки, такие как размерность. Кривые, заполняющие пространство, могут служить основой для эффективных методов компьютерного поиска в базах данных.
НЕЗАМЕТНАЯ ОШИБКА
Школьникам задали сложить три положительных целых числа (положительные — это те, что больше нуля). На перемене одноклассники сверяют ответы.
— Ой! Я же перемножил их, вместо того чтобы складывать! — сказал Джордж.
— Тебе еще повезло, — утешила его Генриетта. — Ответы все равно одинаковые.
Что это были за три числа? А если бы чисел было не три, а два или даже четыре, — таких, что сумма всех равна их произведению?
КВАДРАТНОЕ КОЛЕСО
Квадратные колеса попадаются редко, но вовсе не потому, что такое колесо не может катиться без подскоков. Круглые колеса хороши на гладких дорогах. А квадратным колесам просто нужны дороги с другой поверхностью.
Почему нельзя делить на нуль 89
Рис. 56. На ухабистой дороге велосипеду с квадратными колесами обеспечен гладкий ход
Подходящая кривая (как на рис. 56) называется циклоидой. Такую кривую опишет точка на ободе круглого колеса, которое катится по ровной дорожке. Длина каждой дуги циклоиды должна совпадать с длиной окружности колеса. Оказывается, колеса могут быть почти любой формы, лишь бы для них построили подходящую дорогу. Изобретать колесо легко! Вся трудность в том, чтобы изобрести дорогу.
ПОЧЕМУ НЕЛЬЗЯ ДЕЛИТЬ НА НУЛЬ
Вообще говоря, любое число можно делить на любое, пока это второе не нуль. Делить на нуль нельзя; даже калькулятор скажет тебе «ошибка», если ты попытаешься его заставить.
Почему нуль стал изгоем?
Трудность в том, что деление на нуль мы не можем даже определить. Например, мы могли бы потребовать, чтобы в результате деления любого числа на нуль получалось 42. Но с таким определением обычные арифметические правила не работали бы. Представь, что мы приняли такое идиотское соглашение и теперь 1 : 0 = 42. Тогда мы можем применить обычные математические правила и вывести равенства 1 = 0-42 = 0. Прежде чем заниматься делением на нуль, нужно выяснить, каким правилам оно должно подчиняться. Обычно деление вводят как операцию, обратную умножению. Что такое 6, деленное на 2? Это такое число,
Почему нельзя делить на нуль
что если его умножить на 2, получится 6. То есть 3. Поэтому два утверждения
6:2 = 3 и 2-3 = 6
логически эквивалентны. Число 3 — единственное, которое подходит, поэтому результат деления 6 : 2 однозначный.
Этот подход приводит к серьезным проблемам, если мы попытаемся так же определить деление на 0. Что такое 6, деленное на 0? Это такое число, что если его умножить на 0, получится 6. То есть... Гм. Любое число, умноженное на 0, дает 0; 6 не получится ни за что.
Вычеркиваем 6:0. И так с любым другим числом, кроме — возможно — самого нуля. Как насчет 0 : 0?
Как правило, если вы разделите число само на себя, получите 1. Поэтому мы можем результат деления 0 : 0 определить как 1. При этом 0-1=0, так что с умножением все в порядке. Однако математики настаивают, что выражение 0 : 0 не имеет смысла. Дело в том, что возникают проблемы с другим математическим правилом. Предположим, что 0:0 = 1. Тогда
2 = 2-1 = 2 (0:0) = (2-0): 0 = 0: 0 = 1.
Вот незадача!
Незадача вот в чем: любое число, умноженное на 0, дает 0, и поэтому 0, деленный на 0, может быть любым числом. Если арифметические правила работают и деление обратно умножению, то частное 0 : 0 может принимать любое числовое значение. Не единственное. Так что лучше его избегать.
Постойте-ка: разве при делении на 0 не получается бесконечность?
Иногда математики и вправду принимают такое соглашение. Но в таких случаях им приходится тщательно следить за логикой своих рассуждений, потому что «бесконечность» — скользкое понятие. Его точный смысл зависит от контекста, и мы ни в коем случае не можем считать, что бесконечность ведет себя как обычное число.
И даже если согласиться на бесконечность, от деления 0 : 0 все равно ничего хорошего не дождешься.
Переправа—2. Супружеское недоверие 91
ПЕРЕПРАВА —2. СУПРУЖЕСКОЕ НЕДОВЕРИЕ
Помнишь письмо Алкуина Шарлеманю (см. с. 23) и задачу про волка, козу и капусту? В том же письме была другая головоломка про переправу, еще сложнее. Говорят, ее придумал Беда Достопочтенный лет на 50 раньше. Широкой публике ее представил в XVII веке Клод-Гаспар Баше в сборнике «Интересные задачи из области чисел»9. Это задача про ревнивых мужей, которые не доверяют своих жен компании других мужчин.
Три ревнивых мужа со своими женами должны переправиться через реку, у них есть лодка, но нет лодочника. В лодку помещаются только двое. Как им переправиться на другой берег, если ни одну жену нельзя оставлять в компании мужчин без мужа? Грести могут и мужчины, и женщины. Все мужья ревнивы до крайности: ни один не оставит свою жену с другим мужчиной, даже если жена другого мужчины рядом.
БОРРОМЕО, КАК МНЕ ЖАЛЬ, ЧТО ТЫ БОРРОМЕО!10
Три кольца сцеплены так, что если любое из них удалить, то оставшиеся два сцеплены не будут. Таким образом, никакие два кольца не сцеплены, только все три вместе. Их обычно называют кольцами Борромео — это итальянское семейство эпохи Возрождения использовало рисунок как семейный герб (рис. 57). Однако рисунок был известен задолго до того, его можно найти в захоронениях викингов VII века. А в Италии Возрождения его связывают с семейством Сфорца. Франческо Сфорца позволил Борромео изображать кольца на щите в знак благодарности за поддержку во время осады Милана.
9 Баше де Мезиръяк. Интересные задачи из области чисел. — М., 1877. Перевод дополненного Лабоном переиздания «Problernes plaisants» (Париж, 1874). — Прим. nepee.
10 Возможно, ты встречал фразу: «Ромео, как мне жаль, что ты Ромео!» Если не встречал, почитай Шекспира. — Прим. nepee.
Борромео, как мне жаль, что ты Борромео!
Рис. 57. Знак семейства Борромео и его изображение (внизу, левее центра) на щите
Семья Борромео владела островом Изола-Белла — одним из трех островов на озере Лаго-Маджоре; и там Вита- лиано Борромео построил дворец. Эмблема из трех колец встречается там повсюду — и внутри дворца, и на улице. Внимательный наблюдатель (со склонностью к топологии) заметит, что кольца изображали топологически разными способами (рис. 58), и только один из них правильный: все три кольца сцеплены, но любые два нет.
Слева на рисунке каноническая версия; она выложена на мозаичном полу и встречается в саду. Вторая изображена на входных билетах и некоторых цветочных горшках. Украшение на самом верху парадной лестницы содержит третий рисунок. А на полу грота под дворцом черными и белыми раковинами выложен четвертый. На сайте www. liv.ac.uk/~spmr02/rings/ есть больше информации. Рассмотри все четыре версии и объясни, почему они топологически различны.
Рис. 58. Четыре варианта изображения колец в семейном дворце Борромео
Рост и паление 93
Можешь ли ты придумать аналогичное зацепление для четырех колец — такое, что если убрать любое кольцо, оставшиеся три распадутся?
РОСТ И ПАДЕНИЕ
Альфред купил два велосипеда. Один он продал Бетани за £300, потеряв на этом 25%, а другой — Гемме за те же деньги, но заработав при этом те же 25%. Можно ли сказать, что он остался при своих? Если нет, то в целом он выиграл или потерял? И как много?
ТИПЫ ЛЮДЕЙ
Типов людей всего 10 — те, кто понимает двоичную систему счисления, и те, кто не понимает.
КОЛБАСКОВАЯ ГИПОТЕЗА
Это одна из моих любимых нерешенных задач; и она очень странная — можешь мне поверить.
Для разминки представь себе, что ты раскладываешь одинаковые кружочки на плоскости и плотно упаковываешь их, стараясь обернуть шнурком как можно меньшей длины. Если кружочков 7, ты можешь сделать из них длинную колбасу (рис. 59).
Предположим, что площадь внутри кривой — площадь кругов и промежутков между ними - ты хочешь сделать
Рис. 59. Упаковка колбаской
Колбасковая гипотеза
как можно меньше. Если радиус каждого круга 1, то площадь колбаски равна 27,141. Но кружки можно уложить и плотнее — шестиугольником с одним из кругов в центре (рис. 60), тогда площадь будет 25,533 — это меньше!
Если тебе нужно упаковать не Рис. 60. Упаковка круги, а шары так, чтобы упаковка
шестиугольником занимала как можно меньший объ¬
ем, то их упаковывать лучше колбаской: объем колбаски, охватывающей семь шариков, меньше, чем объем шестиугольника. Упаковка колбаской дает минимум объема в упаковке для любого числа шариков не больше 56. Но если их 57 или больше, упаковка должна стать округлой.
Наша интуиция ничего не говорит об упаковках в пространствах размерности 4 или больше. Чтобы четырехмерные сферы занимали как можно меньший объем, их нужно упаковывать колбаской — при любом числе сфер до 50 ООО. Когда же сфер больше 100 000, колбаска уже не подходит. То есть упаковки наименьшего объема — это длинные тонкие нити из сфер, и только когда их станет ужасно много, надо будет их упаковывать иначе. Никому не известно точное число сфер, для которого колбасная упаковка перестает быть лучшей.
Наверное, в пространстве пяти измерений все еще удивительней. Ты можешь подумать, что в пяти измерениях колбаски хороши где-то до 50 миллиардов шаров, а при большем их числе потребуются более округлые упаковки; для шести измерений граничное число сфер еще увеличится и так далее. Но в 1975 году Ласло Фейеш Тот сформулировал колбасковую гипотезу: если измерений пять или больше, то, чтобы упаковать сферы в наименьший объем, нужно сложить их колбаской, сколько бы этих сфер ни было.
В 1998 году Ульрих Ветке, Мартин Хенк и Йорг Уиллс доказали, что Тот был прав — в пространствах размерности 42 или больше. Более точной информации у нас нет.
Кандальный узел 95
КАНДАЛЬНЫЙ УЗЕЛ
Это фокус: ты завяжешь декоративный узел на глазах у всех, но если попросишь повторить, никто не сможет. Сколько раз ты бы ни показывал, никто не сможет его успешно скопировать.
Возьми мягкий шнур длиной около двух метров и перебрось его через обе ладони, как показано на рис. 61(1). Разведи руки где-то на метр. Два конца будут свисать, уравновешивая часть шнура между ладонями. Теперь своди руки, усиленно шевеля пальцами правой руки. Чтобы завязать узел, эти шевеления не нужны, они отвлекают зрителей от важных движений — а их совершает левая рука. Изо всех сил показывай, что правая рука занята очень важным делом.
Тем временем просунь большой палец левой руки под шнур и подними его, как на рис. 61(2). Резко убери пальцы и подведи их под свисающий конец, как указывает стрелка, чтобы получилось как на рис. 61(3). Не тормозя, просунь ладонь под горизонтальный отрезок шнура по стрелке на рис. 61(4) и высвободи большой палец. Твой результат должен соответствовать рис. 61(5). Наконец, кончиками пальцев каждой руки подхвати концы шнура, свисающие с другой. Придерживай шнур и разведи ладони в стороны — получится красивый симметричный узел, как на рис. 61(6).
Потренируйся, чтобы завязывать узел одним плавным движением. Он развязывается, если потянуть за концы шнура, так что можешь тренироваться еще и еще. Фокус кажется тем загадочней, чем больше ты его повторяешь.
Рис. 61. Как завязать кандальный узел
96 Ну-у-у.. .мерология
НУ-У-У.. .МЕРОЛОГИЯ
Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть.
Откровение Иоанна Богослова 13:18
А может, и нет. Оксиринхские папирусы — древние документы, найденные неподалеку от города Оксиринха в Верхнем Египте, — включают фрагмент Откровения третьего или четвертого века; для некоторых стихов в нем нет более ранних источников. В папирусе сказано, что число зверя — 616, а не 666. И к штрих-кодам, оказывается, отношения не имеет11. Для нас это не важно, ведь эта головоломка не про зверя, а про одну идею, которую ее автор, Ли Сэллоуз, называет «ну...мерологией». Подчеркну, что в ней нет ничего серьезного, кроме математики внутри12.
Привычный способ назначения чисел именам называется гематрией. Букве А приписывают значение 1, букве Б — 2; ..., и так далее, до Я — 33. Потом складывают числа, соответствующие буквам имен. Систем такого рода существует много; да и алфавитов тоже немало. Сэллоуз предложил более рациональный метод, основанный на словах, которые означают числа. В только что описанной схеме число ОДИН должно превратиться в 16 + 5 + 10 + 15 = 46. Правильнее было бы, если бы слову ОДИН соответствовало чи-
11 По краям и в середине штрих-кода расположены линии, которые длиннее других. Они могли бы изображать число 666, но предназначены не для этого — это служебные знаки-ограничители, они нужны для устранения ошибок. Каждый ограничитель кодируется цифрами 101, которые в штрих-коде означают 6. Так и находят в штрих-коде число 666. На самом-то деле в штрих-коде каждое число представляется семью двоичными цифрами, а 6 — это 1010000. Вот так. Это не мешает некоторым американским фундаменталистам отречься от штрих-кодов как от происков дьявола. Похоже, теперь мы должны считать, что число зверя в действительности равно 616, так что сама нумерология не внушает доверия.
12 На самом деле говорить об этом нет нужды, но в свете предыдущей сноски...
Ну-у-у.. .мерология 97
ело 1. Ни одно русское слово не является «совершенным», т. е. не означает своей нумерологической суммы.
Сэллоузу было интересно, что будет, если назначить каждой букве целое число так, чтобы как можно больше числительных ОДИН, ДВА... были совершенными. Чтобы было интереснее, у разных букв должны быть разные значения. Тогда вы получаете кипу уравнений типа
0 + Д + И + Н = 1;
Д + В + А = 2;
Т+Р+И=3
относительно неизвестных О, Д, И, Н, В, А, Т, Р,... Остается решить эти уравнения в целых числах.
Уравнение 0 + Д + И + Н = 1 говорит о том, что некоторые буквы означают отрицательные числа. Пускай, например, О = 1; Д = 2; И = 3; тогда из уравнения для ОДИН следует, что Н = -5. А что со словом ДВА? Может оно быть совершенным? Раз Д = 2, В+А должно быть равно 0, т. е. числа В и А должны отличаться только знаком; например, В = 4 и А = -4. То же с числом ТРИ: И = 3, и поэтому Т + Р = О, числа Т и Р тоже должны быть противоположны. Можно взять Т = -Р = 6.
Как долго мы сможем продолжать? Не дальше слова ДВЕНАДЦАТЬ.
Из уравнений
О + Д + И + Н + Н + А + Д + Ц + А + Т + Ь = 11;
Д + В + Е + Н + А + Д + Ц + А + Т + Ь = 12
следует, что 0 + Д + И + Н + 1= Д + В + Е. Если слово ОДИН совершенно, тоО + Д + И + Н = 1, и тогда Д + В + Е = 1 + 1 = = 2. А если и слово ДВА совершенно, то Д + В + А = 2. Два последних уравнения могут выполняться, только если А = Е. Невозможно назначить целые числа русским буквам (разным буквам — разные числа) так, чтобы все слова от ОДИН до ДВЕНАДЦАТЬ были совершенными.
А можешь ли ты сделать это так, чтобы совершенными были все слова от ОДИН до ОДИННАДЦАТЬ?
Числа по буквам
ЧИСЛА ПО БУКВАМ
Ну...мерология Ли Сэллоуза привела еще к одному фокусу. Выбери любое число на рис. 62. Произнеси его по-английски по буквам. Сложи соответствующие числа (те, что на черных клетках, бери с минусом; те, что на белых, — с плюсом). Результат не будет отличаться от выбранного числа больше чем на 1. Например, число TWENTY-TWO приводит к таким вычислениям:
20-25-4-2 + 20 + 11+20-25 + 7 = 22.
Рис. 62. Доска для фокуса Ли Сэллоуза
ОШИБКИ
В ЭТАМ ПРИДЛАЖЕНИИ ПЯТЬ АШИБОК. Правда или нет?
РАСШИРЯЮЩАЯСЯ ВСЕЛЕННАЯ
Звездолет «Беззащитный» стартует из центра сферической вселенной радиусом 1000 световых лет и летит по радиусу со скоростью один световой год в год — со скоростью света! Сколько времени он будет лететь до края мира? Очевидно, 1000 лет.
Правда, я забыл сказать, что вселенная расширяется. Каждый год ее радиус мгновенно увеличивается на 1000
Что такое золотое сечение фф
световых лет. За какое время доберется корабль до края при этих условиях? (Считай, что первое такое расширение произойдет ровно через год после старта «Беззащитного», а затем будет происходить с интервалом ровно в год.)
Может показаться, что «Беззащитный» никогда не доберется до края мира, потому что тот отступает скорее, чем движется корабль. Но в тот момент, когда вселенная расширяется, пространство увлекает корабль за собой, поэтому он удаляется от центра пропорционально расширению. Чтобы разобраться в этом, подробно рассмотрим, что будет происходить первые несколько лет.
В первый год корабль пролетит 1 световой год, и ему останется еще 999. Тут радиус вселенной увеличивается до 2000 световых лет, и корабль перемещается вместе с пространством — теперь он в двух световых годах от центра и до края ему остается 1998 световых лет.
За год он пролетает еще один световой год; теперь до центра 3 световых года, а до края — 1997 световых лет. Радиус вселенной увеличивается скачком до 3000 световых лет, т. е. в 1,5 раза; поэтому корабль оказывается в 4,5 годах от центра. Остается ему еще 2995,5 световых лет.
Доберется ли корабль до края? Если да, то как скоро?
Подсказка. Полезно знать, что и-е гармоническое число
Нп = 1+\ +\+\ + -+\
приблизительно равно In и + у, где у — постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,5772156649.
ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Древние греки придумали чудесную идею, которую назвали «деление в крайнем и среднем отношении». Вот как они это понимали: точка Р на отрезке АВ делит этот отрезок в крайнем и среднем отношении, если отношения АР : АВ и РВ : АР равны. Евклид использовал эту конструкцию
100 Что такое золотое сечение
в своей работе о правильных пятиугольниках, и сейчас я объясню почему. Но сначала, раз уж в наше время доступна роскошь заменять отношения числами, переведу геометрический рецепт в алгебраический. Возьмем отрезок РВ единичной длины и обозначим АР = х, так что АВ = 1 + х. Тогда по условию
1 +Х _ X
х ~ V
или х2 - х -1 = 0. У этого квадратного уравнения такие решения:
ф= 1^5 =1,618034... и 1 -<р= 1^5 = -0,618034...
Символ ф — это греческая буква «фи». Число ф, которое называют числом золотого сечения или золотым числом, обладает замечательным свойством: обратное ему равно
1= zL+H = 0,618034... = ф - 1.
Ф 2 ^
С золотого сечения в геометрической форме деления в крайнем и среднем отношении начиналась греческая геометрия правильных пятиугольников и связанных с ними тел — додекаэдра и икосаэдра. Дело вот в чем: если ты начертишь правильный пятиугольник с единичной стороной, то длина диагонали будет равна ф (рис. 63).
Рис. 63. Как ф появляется в правильном пятиугольнике
На золотое сечение часто смотрят с эстетической точки зрения. В частности, «самым красивым» считается прямоугольник, стороны которого относятся как ф : 1. У этого мнения нет серьезного фактического подкрепления. Многие методы представления числовых данных преувеличивают роль
Что такое числа Фибоначчи 101
золотого сечения, так что возможно «вывести» наличие золотого сечения там, где его нет и в помине. Утверждения о том, что в дизайне знаменитых древних сооружений, таких как пирамида Хеопса или Парфенон, использовано число ф, по-видимому, беспочвенны. Как и в нумерологии, если искать достаточно долго, то найдешь все что хочешь. (Например, в слове «Парфенон» 8 букв, а в слове «Хеопс» — 5, отношение этих чисел 8 : 5 = 1,6 очень близко к ср.)
Еще одно распространенное заблуждение — что золотое сечение встречается в спиральных раковинах наутилуса. Эта красивая раковина с большой степенью точности описывается логарифмической спиралью. Здесь отношение величины каждого завитка к величине предыдущего постоянно. Существует спираль, в которой это отношение равно золотому сечению, но в спирали наутилусов оно другое (рис. 64).
Рис. 64. Раковина наутилуса — логарифмическая спираль, но коэффициент ее роста вовсе не золотое число
Выражение «золотое сечение» относительно современное. Историк Роджер Херц-Фишлер утверждает, что впервые оно появилось в 1835 году в книге Мартина Ома Die Reine Elementar-Mathematik («Чистая элементарная математика»), а вовсе не у древних греков.
Золотое сечение тесно связано со знаменитыми числами Фибоначчи, рассказ о них впереди.
ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Многие впервые узнали о числах Фибоначчи из книги Дэна Брауна «Код да Винчи». У этих чисел давняя и славная история, и она мало связана с другими темами в этой книге.
102 Что такое числа Фибоначчи
Все началось в 1202 году, когда Леонардо из Пизы опубликовал Liber Abbaci («Книгу абака») — арифметический текст, в котором в основном описывал финансовые вычисления и пропагандировал индо-арабскую запись чисел — предка нашей десятичной системы, в которой с помощью 10 цифр от 0 до 9 представимо любое число.
Одно из упражнений в этой книге Леонардо, похоже, придумал сам: «Некто поместил пару кроликов в огороженное со всех сторон место. Сколько пар кроликов от этой пары будет через год, если каждый месяц каждая пара приносит еще одну, которая через два месяца способна дать потомство?»
0
1
2
Рис. 65. Родословное дерево
кроликов Фибоначчи 3
Мы будем считать кроликов взрослыми, если они способны дать потомство, и детьми, если неспособны.
В самом начале, в месяц 0, есть одна взрослая пара (рис. 65).
Через месяц они принесут потомство и у нас будет две пары: пара взрослых и пара детей.
В месяц 2 взрослая пара принесет еще пару; дети подрастут, но потомства еще не дадут: у нас 2 пары взрослых и 1 пара детей.
В месяц 3 две взрослые пары принесут потомство — две пары; дети подрастут, но своих еще не родят. Получаем 3 пары взрослых и 2 пары детей — всего 5.
В месяц 4 три пары взрослых принесут 3 пары потомства, дети подрастут, и станет всего 8 пар — 5 взрослых и 3 детей.
Продолжая вычисления шаг за шагом, мы получим последовательность 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377 пар кроликов в месяцы 0, 1, 2, 3,..., 12. В ней каждый
Что такое числа Фибоначчи 103
член равен сумме двух предыдущих. Поэтому в задаче Леонардо ответ 377.
Позднее, видимо в XVIII веке, Леонардо получил прозвище «Фибоначчи» — «сын Боначчи». Прозвище запоминалось лучше, чем имя Леонардо Пизанский Биголло, поэтому сейчас мы знаем этого автора под именем Фибоначчи, а последовательность чисел — под названием последовательность Фибоначчи. Сейчас принято в начало последовательности добавлять 0, и она выглядит так:
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377;
иногда начальный нуль опускают. В этой последовательности п-е число обозначают F , полагая Fn = 0.
tl' U
Числа Фибоначчи как модель роста реальной кроличьей популяции бесполезны для понимания динамики популяций людей или животных; используются более общие модели процессов такого рода — модели Лесли. Однако числа Фибоначчи встречаются в некоторых областях математики, и они возникают в природе — хотя не так широко, как иногда об этом пишут. Говорят, что они распространены в искусстве, особенно в архитектуре и живописи, но именно здесь такие заключения особенно неубедительны, за исключением тех случаев, когда числа Фибоначчи использовались намеренно, например в системе «модулор» архитектора Ле Корбюзье.
Числа Фибоначчи тесно связаны с золотым сечением, т. е. с числом
(p = jjW5 = 1,618034
Отношения последовательных чисел Фибоначчи, т. е.
8 13 21
5' 2' 13'
тем ближе к <р, чем больше сами числа. Математики в та-
Р
ких случаях говорят, что отношение —pf-1 стремится к ф,
* п
когда и стремится к бесконечности. Например,
377:233 = 1,618025....
104 Что такое числа Фибоначчи
Более того, среди целых чисел, ограниченных по величине, именно дроби Фибоначчи дают лучшее приближение к золотому сечению. Существует даже формула
Fп = -—^ , выражающая и-е число Фибоначчи через ф.
Отсюда следует, что Fn — целое число, ближайшее к
Квадраты со сторонами, равными числам Фибоначчи, можно начертить так, чтобы они плотно прилегали друг к другу без зазоров (рис. 66). Если ты впишешь в них четверти окружностей, то получишь спираль Фибоначчи.
Поскольку числа Fn близки к спираль очень похожа
на логарифмическую, которая увеличивается в (р раз с каждой четвертью оборота. Эта спираль вовсе не такой формы, как раковина наутилуса, как говорят многие. Посмотри на рис. 64 — раковина моллюска закручена куда туже.
Тем удивительнее, что числа Фибоначчи действительно встречаются в живой природе — среди растений. Поразительно много видов, у которых число лепестков — одно из чисел Фибоначчи. У традесканций 3 лепестка, у лютиков — 5; у дельфиниумов — 8; у календулы —13, у астр — 21, а у ромашек обычно бывает 34, 55 или 89 лепестков. У большинства подсолнухов — 55, 89 или 114 лепестков.
Бывают и другие числа лепестков, но гораздо реже. Среди них — удвоенные числа Фибоначчи или степени двой-
Рис. 66. Спираль Фибоначчи
Что такое числа Фибоначчи 105
ки. Иногда встречаются числа из аналогичной последовательности Люкй:
1; 3; 4; 7; И; 18; 29; 47; 76; 123; ...
Похоже, есть глубокие биологические причины для того, чтобы числа лепестков были именно такими.
В последовательности Люка каждое число тоже равно сумме предыдущих двух, но начало не такое, как в последовательности Фибоначчи. Самые серьезные данные дает нам цветок ромашки или подсолнуха, когда семена уже сформировались. Они располагаются в виде спиралей.
На рис. 67 видны два семейства спиралей: в одном они закручиваются по часовой стрелке, а в другом — против. Здесь 21 спираль по часовой стрелке и 34 против, это два последовательных числа Фибоначчи. Похожие закономерности, тоже с числами Фибоначчи, можно заметить, рассматривая сосновые шишки или ананасы.
Точные причины возникновения чисел Фибоначчи в жизни растений
еще не установлены, но кое-что уже ^ис* Цветок
ясно и теперь. Когда растение вы- ромашки
брасывает побеги, задолго до формирования цветков, на конусе нарастания образуются бугорки, называемые примордиями, из которых формируются позднее семена и другие части растений. Последовательные примордии располагаются под углом 137,5°, или 222,5° — если считать с другой стороны, надо вычесть это число из 360°. Это доля ф -1 от целого круга в 360°. Золотое сечение здесь можно объяснить математически, если предположить, что примордии упакованы как можно эффективнее. Эффективная упаковка — это следствие эластичности растущего побега, которая и влияет на примордии. Генетика растения тоже имеет значение. Конечно же, многие живые растения не вполне подчиняются математическим закономерностям. Однако геометрия и математика чисел Фибоначчи позволяют нам проникнуть в суть числовых особенностей растений.
106 Пластическое число
ПЛАСТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
Пластическое число — бедный родственник знаменитого золотого сечения. Мы только что видели, как числа Фибоначчи образуют спиральную систему квадратов, связанную с золотым сечением. Для пластического числа есть похожая спираль, только она образована равносторонними треугольниками. На рис. 68 начальный треугольник черный, к нему последовательно пристраиваются другие треугольники, образуя спираль, закрученную по часовой стрелке. Она тоже похожа на логарифмическую. Стороны первых трех треугольников равны 1, у двух следующих — 2, а потом идут числа 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 и так далее.
Числа этой последовательности, как и последовательности Фибоначчи, тоже можно найти по простому правилу: каждое равно сумме двух, предшествующих предыдущему. Например,
12 = 7 + 5; 16 = 9 + 7; 21 = 12 + 9.
Такая закономерность обусловлена тем, как треугольники прилегают друг к другу. Обозначим и-е число Падова- на через Рп и начнем последовательность с Р0 = Р, = Р2 = 1, тогда Рп = Рп-2 + Рп.з-
Вот первые 20 чисел последовательности: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 12; 16; 21; 28; 37; 49; 65; 86; 114; 151.
Рис. 68. Спираль Падована
Семейный ужин 107
Я назвал эту последовательность числами Падована, потому что мне рассказал о них архитектор Ричард Падо- ван, хотя он и снимает с себя всякую ответственность. Любопытно, что Падова — это итальянский вариант названия города Падуя, расположенного совсем недалеко от Пизы, откуда родом Фибоначчи. У меня был соблазн назвать числа Фибоначчи пизанскими числами, чтобы отразить итальянскую географию, но, как видишь, я устоял.
Пластическое число я обозначу р, оно приблизительно равно 1,324718. Оно связано с числами Падована так же, как золотое сечение — с числами Фибоначчи: отношения последовательных чисел Падована, такие как 49/37 или 151/114, хорошо приближают пластическое число. Закономерность для чисел Падована приводит к уравнению р3-р- 1=0, а р — единственное действительное решение этого уравнения. Последовательность Падована растет не так быстро, как последовательность Фибоначчи, ведь р меньше <р. О числах Падована можно рассказать много интересного. Например, из рис. 68 видно, что 21 = 16 + 5, потому что треугольники со сторонами 16 и 5 должны плотно прилегать к треугольнику со стороной 21; аналогично 16 = 12 + 4; 12 = 9 + 3 и так далее. И вообще,
Р =Р +Р
л п * п-Л *■ п-5
— это еще одно соотношение для вычисления членов последовательности. Из этого соотношения следует, что р5 -р4 -1=0, и совсем не очевидно, что число р, определенное как корень кубического уравнения, должно удовлетворять этому уравнению пятой степени.
СЕМЕЙНЫЙ УЖИН
— Чудесный был вечер, — сказала Люсия своей приятельнице Гарриет.
— Кто был?
— Один дедушка, одна бабушка, два отца, две матери, четверо детей, трое внуков, один брат, две сестры, два сына, две дочери, один свекор, одна свекровь и одна невестка.
108 Не выпускай из рук!
— Ого! Двадцать три человека!
— Да нет же, гораздо меньше.
Каким могло быть наименьшее число участников семейного ужина, описанного Люсией?
НЕ ВЫПУСКАЙ ИЗ РУК!
Топология — это область математики, в которой два объекта считаются «одинаковыми», если один можно непрерывно преобразовать в другой. Можно гнуть, растягивать, сжимать, но не резать. Вот одна старинная головоломка, она до сих пор привлекательна - в частности, тем, что не все с ней сталкивались. Нужно взять длинный шнур левой рукой за один конец, правой — за другой и завязать узел, не выпуская шнура из рук.
ТЕОРЕМА. ВСЕ ЧИСЛА ИНТЕРЕСНЫЕ
Доказательство от противного. Предположим, что не все числа интересны. Тогда существует наименьшее неинтересное число. Быть самым маленьким среди неинтересных — разве это не интересно?! Противоречие. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА. ВСЕ ЧИСЛА СКУЧНЫЕ
Доказательство от противного. Предположим, что не все числа скучны.
А ты что думал?
ЧАЩЕ ВСЕХ
Посмотри на список каких-нибудь числовых данных и подсчитай, сколько раз каждая цифра окажется первой в числах этого списка. Как ты думаешь, какая цифра будет встречать¬
Чаще всех 109
ся чаще всего? Первое, что приходит в голову, — ни одна цифра не лучше другой и не хуже, все они должны встречаться примерно одинаково. Оказывается, для большинства числовых данных это не так13.
Вот типичный набор данных: площади 18 Багамских островов. Я привожу их в квадратных милях и в квадратных километрах, сейчас объясню зачем.
Остров
Площадь в квадратных милях
Площадь в квадратных километрах
Абако
649
1681
Аклинс
192
497
Острова Берри
2300
5957
Острова Бимини
9
23
Кэт
150
388
Крукед и Лонг Кей
93
241
Эльютера
187
484
Эксума
112
290
Гранд Багама
530
1373
Харбор
3
8
Инагуа
599
1551
Лонг-Айленд
230
596
Маягуана
110
285
Нью-Провиденс
80
207
Рэггид-Айленд
14
36
Рам-Ки
30
78
Сан-Сальвадор
63
163
Спэниш-Уэллс
10
26
13 Особенно для данных, записанных в двоичной системе. Её две цифры 0 и 1 совсем не равноправны: все числа начинаются с 1. — Прим. перев.
110 Чаще всех
Для данных в квадратных милях запишем, сколько раз каждая цифра (записана в скобках) встречается первой:
(1)7 (2)2 (3)2 (4)0 (5)2 (6)2 (7)0 (8)1 (9)2
Единица — бесспорный победитель. Для квадратных километров результат такой:
(1)4 (2)6 (3)2 (4)2 (5)2 (6)0 (7)1 (8)1 (9)0
Выигрывает двойка, но еле-еле.
В 1938 году физик Фрэнк Бенфорд заметил, что в больших списках данных, составленных физиками и инженерами, числа чаще всего начинаются с 1, а реже всего — с 9. Частота, с которой цифра оказывается первой, т. е. вероятность того, что первая цифра принимает определенное значение, убывает, когда цифры растут от 1 до 9 (рис. 69). Бенфорд эмпирически обнаружил, что вероятность того, что первой цифрой в числе окажется и, равна
log10(n+l)-log10(n).
Число 10 в этой записи означает основание логарифмов. Значение п = 0 исключено, потому что первой цифрой числа называется его первая ненулевая цифра. Бенфорд назвал эту формулу законом аномальных чисел, но сегодня ее обычно называют законом Бенфорда.
0,3-
0,2-
од-
123456789 Первая цифра
Рис. 69. Частоты, вычисленные по формуле Бенфорда
Для данных о Багамских островах частоты изображены на рис. 70.
Есть некоторое расхождение между теорией и действительностью, но ведь объем данных довольно мал, так что этого следовало ожидать. Даже для 18 чисел заметно, что единицы и двойки уверенно лидируют — по закону Бен- форда они должны встречаться больше чем в половине случаев.
Формула Бенфорда совсем не очевидна; но если поразмышлять, то станет ясно, что девять частот и не должны быть равны. Представьте себе улицу с домами, пронумерованными подряд, начиная с 1. Вероятности, с которыми цифры оказываются первыми, зависят от того, сколько домов на этой улице. Если их девять, то все цифры равновероятны. Но если их 19, то номер дома начинается с единицы для домов 1 и 10-19 с частотой 11/19 — более 50%. Когда длина улицы растет, частоты первых цифр меняются: то растут, то падают — по сложному правилу, которое все же поддается вычислениям.
0,3-
пз Of2
Ен
О
В
О
m
* од-
квадратные
мили
квадратные
километры
3 4 5 6 7
Первая цифра
Рис. 70. Наблюдаемые частоты для данных о Багамских островах в сравнении с теоретическими числами
112 Почему ведьма ?
Все девять частот равны только тогда, когда домов на улице 9, или 99, или 999...
У формулы Бенфорда есть замечательное свойство: она не зависит от масштаба. Неважно, измеряешь ты площадь в квадратных милях или в квадратных километрах или вдруг умножишь все числа на 7 или 93, — закон все равно выполняется, если объем данных достаточно велик. Оказывается, закон Бенфорда — единственный закон частот, не зависящий от масштаба. Неочевидно, почему природа предпочитает независимые от масштаба частоты, но следует ожидать, что наш мир не должен зависеть от единиц, в которых люди решили измерять его объекты.
Налоговики используют закон Бенфорда, чтобы обнаруживать сфабрикованные цифры в налоговых отчетах, потому что люди, подделывающие числа, обычно выбирают разные первые цифры одинаково часто. Наверное, думают, что так должны вести себя реальные данные!
ПОЧЕМУ ВЕДЬМА!
Мария Аньези родилась в 1718 году и умерла в 1799-м. Она была дочерью богатого торговца шелком Пьетро Аньези (часто говорят, что он преподавал математику в Болонье,
но это неправда) — самой старшей из детей, которых было 21. Мария была одаренной и опубликовала эссе в защиту высшего образования для женщин, когда ей было 9 лет. На самом деле эссе написал один из ее учителей, но она перевела его на латынь и по памяти воспроизвела дома в саду перед гостями — очень образованными людьми. Отец устраивал для нее философские дебаты в присутствии Рис. 71. Мария Гаэтана выдающихся ученых и общест-
Аньези венных деятелей. Она не лю-
Почему Бельма ? 113
била, когда ее выставляли как диковинку перед публикой, и просила отца, чтобы он разрешил ей уйти в монастырь. Он отказал, тогда она договорилась с ним, что будет ходить в церковь сколько захочет, одеваться просто и не будет участвовать в публичных событиях и развлечениях.
С тех пор она служила религии и математике. Мария Аньези написала книгу по дифференциальному исчислению и опубликовала ее около 1740 года. В 1748 году вышла ее самая известная книга Instituzioni Analitiche ad Uso Della Gioventu Italiana («Основы анализа для пользы итальянской молодежи»). В 1750 году папа Бенедикт XIV пригласил ее преподавать математику в университете Болоньи, и ее даже утвердили в должности, но в действительности она никогда не бывала в университете, потому что это было несовместимо с ее смиренным образом жизни. Поэтому возник разнобой в источниках: одни говорят, что она была профессором, а другие — что не была. Была или не была? Да.
Ее имя носит кривая «локон Аньези»; по-английски ее называют witch of Agnesi — ведьма Аньези. Эта кривая задается уравнением
ху2 = я2(я - х),
где а — постоянная. Кривая совсем не похожа на ведьму, она даже гладкая (рис. 72).
Почему же к ней приклеилось такое странное имя? Первым упоминал о ней Ферма, это было году в 1700-м. Мария
Рис. 72. Ведьма Аньези (локон Аньези)
114 Мёбиус и его лист
Аньези описала ее в своей книге Instituzione Analitiche... А слово «ведьма» появилось потому, что ошибся переводчик. В 1718 году Гвидо Гранди назвал кривую versoria, это латинское слово означает «канат, который поворачивает парус», кривая как раз похожа на этот канат. По-итальян- ски это слово пишется versiera, так кривую и называла Аньези. Но Джон Кольсон, который перевел много математических книг на английский язык, по ошибке принял 1а versiera за Vaversiera, что значит «ведьма».
Могло быть и хуже. Другое значение — «дьяволица».
В математическом фольклоре есть такие сюжеты, о которых надо напоминать, даже если они хорошо известны, — просто на всякий случай. Прекрасный пример — лист Мёбиуса.
Август Мёбиус (1790-1868) — немецкий математик, который работал в разных областях математики: в геометрии, комплексном анализе и теории чисел. А прославился удивительной поверхностью — листом Мёбиуса. Ты сам можешь такой сделать. Возьми полоску бумаги, например, шириной 2 см и длиной 20 см, согни ее, чтобы концы соединились, перекрути один из них на 180°, а потом склей концы (рис. 73). Для сравнения сделай цилиндр — почти так же, только без перекручивания (рис. 74).
Лист Мёбиуса знаменит своим удивительным свойством: у него только одна сторона. Если муравей поползет
МЁБИУС И ЕГО ЛИСТ
Рис. 73. Аист Мёбиуса
Рис. 74. Цилиндрическая лента
Мёбиус и его лист 115
по цилиндру, то увидит только одну половину поверхности — одну сторону ленты. Но если муравей отправится в путешествие по листу Мёбиуса, то побывает всюду. У листа Мёбиуса только одна сторона.
Ты можешь убедиться в этом, покрасив лист. Цилиндр можно раскрасить в два цвета: одну сторону — красным, а другую — синим. Это две разные стороны, разделенные только толщиной бумаги. Но когда начнешь красить лист Мёбиуса красным, то, не прерываясь, выкрасишь его весь.
Это неудивительно, ведь перекручивание на 180° соединяет одну сторону исходной полосы бумаги с другой. Если перед склеиванием полосу не скручивать, стороны останутся разделенными. Но пока Мёбиус (и еще несколько человек) не задумались об этом, математики не сознавали, что существует два разных вида поверхностей: двусторонние и односторонние. В топологии это очень важно. А еще показывает, что с «очевидными» утверждениями нужно быть очень аккуратным.
С листом Мёбиуса можно развлекаться.
• Разрежь цилиндрическую ленту ножницами вдоль, и она распадется на две цилиндрические ленты. А что будет, если так разрезать лист Мёбиуса?
• Сделай еще один разрез, но в этот раз начни резать на расстоянии трети ширины от края. Что случится с цилиндрической лентой? А с листом Мёбиуса?
• Сделай ленту наподобие листа Мёбиуса, но с перекручиванием на 360°. Сколько у нее сторон? Что будет, если разрезать ее вдоль?
По-английски лист Мёбиуса называют еще Mobius strip, и это может привести к недоразумению, как в лимерике фантаста Сирила Корнблата:
A burlesque dancer, a pip Named Virginia, could peel in a zip;
But she read science fiction and died of constriction Attempting a Mobius strip.
116 Старая курица борозды не испортит
Вот более политкорректный лимерик:
Один математик из Сколково Резал вдоль этот лист, но без толка. Пополам не рассек,
Цел остался листок.
Видно, бритвы тупы в граде Сколково.
СТАРАЯ КУРИЦА БОРОЗДЫ НЕ ИСПОРТИТ
Есть старинная американская забава: придумывать ответы на вопрос: «Почему курица перешла дорогу?» Существуют сотни ответов на этот вопрос, иногда очень неожиданных. Самый здравый — «чтобы попасть на другую сторону». Та же забава на новый лад: «Почему курица перешла лист Мёбиуса?» Вариант «попасть на другую сторону» теперь вызывает сомнения...
НА СКОРУЮ РУКУ. ПРОДОЛЖЕНИЕ
1. Пять псов могут вырыть пять нор за пять дней. Сколько времени десять псов будут рыть десять нор? Считай, что они роют с постоянной скоростью и что все норы одинаковые.
2. Дама покупает в магазине попугая. Продавец в этом магазине никогда не обманывает: «Обещаю, что этот попугай повторяет любое услышанное слово». Через неделю дама приносит попугая обратно, жалуясь на его молчание. «Кто-нибудь с ним разговаривал?» — спросил правдивый продавец. «Да, конечно». В чем же дело?
3. В одной далекой галактике есть обитаемая планета Нуф-Наф. Обитателей на ней два: Нуф и Наф. Нуф живет на большом континенте, в центре которого расположено огромное озеро. А Наф живет на острове в центре этого озера. Ни Нуф, ни Наф не умеют летать, плавать или телепортироваться: они могут
Замощения 117
только ходить пешком. Однако каждое утро один из них приходит в домик другого позавтракать. Как это может быть?
ЗАМОЩЕНИЯ
Стены в ванных комнатах и полы на кухнях — жизненные примеры замощений плитками, пластиковыми или керамическими. В таких замощениях встречаются разные узоры; самый простой состоит из одинаковых квадратов, прилегающих друг к другу как клетки шахматной доски. Веками математики и художники придумывали разные красивые узоры, а математики пошли еще дальше: попытались найти все возможные замощения, удовлетворяющие определенным условиям.
Например, существует ровно три правильных многоугольника, экземплярами которых можно замостить всю бесконечную плоскость без пропусков и наложений. Это правильный треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 75).
Другие правильные многоугольники для этого не подходят, и мы можем убедиться в этом, рассмотрев углы, образованные многоугольниками в местах соприкосновения вершин. Когда несколько плиток соприкасаются в одной точке, их углы при этой вершине должны в сумме давать 360°. Поэтому угол при вершине должен быть равен частному от деления 360° на целое число: 360°/т. С ростом т угол становится все меньше. А когда число сторон правильного многоугольника растет, угол при вершине увели-
Рис. 75. Три правильных многоугольника, которыми можно замостить плоскость
118 Замощения
чивается. Из-за этого число т может принимать значения только в очень узком диапазоне, это и сокращает возможности для многоугольников.
Когда т принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее, отношение 360/т дает значения 360, 180, 120, 90, 72,
3
60, 5\у и так далее. А углы при вершинах правильного я-угольника при и = 3, 4, 5, 6, 7,... равны 60, 90, 108, 120,
4
128^ , 7,... В этих списках есть только три совпадения —
когда т = 3, 4, 6, а п = 6, 4, 3.
В этом доказательстве есть один недочет. Что я забыл сказать?
Самый заметный многоугольник, выпавший из списка, — пятиугольник. Им нельзя замостить плоскость. Если ты попытаешься подогнать пятиугольники друг к другу, ничего не получится. Когда три штучки соприкасаются углами, сумма этих трех углов дает 3x108° = 324°, это меньше 360°. Но если соприкасаются четыре пятиугольника, сумма углов составит уже 4х 108° = 432°, а это слишком много.
Плоскость можно замостить неправильными пятиугольниками и еще многими другими фигурами. Известно 14 разных видов выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость. Возможно, хотя это и не доказано, что других не бывает. Все 14 замощений можно найти по ссылкам www. mathpuzzle.com/tilepent.html и http://mathworld.wolfram. com/PentagonTiling.html.
Математика замощений применяется в кристаллографии, когда выясняют, как располагаются атомы в кристалле, какие симметрии при этом возможны. В частности, кристаллографам известно, что для вращательных симметрий регулярной решетки есть не так много возможностей. Есть симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка; в том смысле, что расположение атомов выглядит неизменным, если всю решетку повернуть на 1/2, 1/3, 1/4 или 1/6 полного поворота на 360°. Вращательные симметрии пятого порядка невозможны по тем же причинам, по которым невозможно замощение плоскости пятиугольниками.
Замощения 119
Рис. 76. Змей (слева) и стрелка (справа). По «правилам складывания» концы толстых дуг должны совпадать при совмещении плиток; концы тонких тоже
Таково было состояние науки о замощениях до 1972 года, когда Роджер Пенроуз обнаружил новый тип замощения; в нем использовались плитки двух видов, которые он назвал змеями и стрелками (рис. 76).
Эти фигуры получены из правильного пятиугольника; замощения должны удовлетворять определенным правилам складывания плиток, чтобы не возникали монотонно повторяющиеся узоры. При таких условиях плитками этих двух видов можно замостить плоскость, но узор не будет монотонным. Плитки образуют головокружительное разнообразие сложных узоров. Ровно два из них — солнечный и звездный — обладают вращательной симметрией пятого порядка (рис. 77).
Рис. 77. Два замощения Пенроуза с вращательной симметрией пятого порядка. Слева — звездный узор, справа — солнечный. Серые линии показывают, что правила складывания выполняются; черные — границы между плитками
120 Теория хаоса
Позже выяснилось, что в природе известен этот фокус. Некоторые химические соединения могут образовывать «квазикристаллы», в которых атомы расположены так же, как в узорах Пенроуза. Эти формы материи не образуют регулярных решеток, но могут возникать естественным путем. Открытие Пенроуза изменило наши представления о естественном расположении атомов в кристаллообразных структурах.
Мы не будем здесь подробно обсуждать математику и кристаллографию — это слишком сложно. Больше можно узнать в Интернете по адресу en.wikipedia.org/wiki/ Penrose_tiling.
ТЕОРИЯ ХАОСА
Если хочешь, чтобы друзья считали тебя самым умным, научись разглагольствовать о теории хаоса. Упомяни вскользь про эффект бабочки, а потом расскажи о том, где Плутон (это теперь не обычная планета, а карликовая) окажется через 200 миллионов лет и как работает хорошая посудомоечная машинка.
Теорией хаоса называют важное открытие в теории динамических систем — это раздел математики, изучающий системы, которые изменяются со временем по определенным правилам. Название относится к удивительному и не поддающемуся интуиции поведению систем, известному как динамический хаос. Система называется детерминированной, если ее настоящее состояние полностью определяет будущее поведение; в противном случае система называется стохастической или случайной. Динамический хаос (или просто хаос) — поведение детерминированной системы, которое кажется совершенно случайным. На первый взгляд, это определение противоречиво, но несоответствия здесь довольно тонкие; оказывается, в некоторых отношениях детерминированные системы могут вести себя случайно.
Теория хаоса 121
Давай разбираться.
Ты не помнишь то место в путеводителе по галактике Дугласа Адамса, где пародируется концепция детерминизма? Помнишь, конечно же, — там еще был суперкомпьютер Глубокомысленный. Его создали, чтобы получить Окончательный Ответ на главный вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого. Он проработал пять миллионов лет и выдал ответ — 42. Тогда философы сообразили, что они не так сформулировали вопрос, и поручили еще большему компьютеру его сформулировать.
Глубокомысленный — литературное воплощение «обширного разума», придуманного великим французским математиком XVIII века маркизом де Лапласом. Он заметил, что законы природы, математически описанные Исааком Ньютоном и его последователями, детерминистические: «Разум, которому в каждый определённый момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение, и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного, и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое».
Лаплас утверждал, что любая детерминированная система по природе своей предсказуема, по крайней мере в принципе. На практике у нас нет доступа к лапласовско- му Обширному Разуму, и потому мы не можем выполнить вычисления, чтобы предсказать будущее системы. Разве что на короткий период, если повезет. Например, современные прогнозы погоды на два дня довольно точны, но на десять — никуда не годятся (если годятся, это просто повезло).
И еще один аргумент против идеи Лапласа: даже если бы Обширный Разум существовал, ему должно было бы быть известно положение всех тел с абсолютной точностью. В хаотических системах любая неточность информации о текущем состоянии очень быстро увеличивается со временем. Очень быстро мы теряем представление о том, что произойдет в системе дальше. Пусть даже эта перво¬
122 Теория хаоса
начальная неточность возникает в миллионном знаке какого-то измеренного значения, а предыдущие 999 999 знаков верны. Будущее, предсказанное на основе одного значения в миллионном знаке, будет сильно отличаться от будущего, предсказанного на основании другого.
В нехаотических системах такие неточности растут достаточно медленно, и можно делать долгосрочные прогнозы. В хаотических системах неизбежные ошибки измерения в текущем состоянии означают, что состояние через некоторое время станет совершенно непредсказуемым.
Чтобы было понятнее, приведу (немного искусственный) пример. Предположим, что состояние системы описывается действительным числом — десятичной дробью — между О и 10. Его текущее значение равно, к примеру, 5,430874. Чтобы было проще вычислять, будем считать, что время дискретно — фиксированы интервалы 1, 2, 3 и так далее. Для простоты назовем эти интервалы «секундами». Вот правило, которое определяет состояние системы в будущем: чтобы вычислить «следующее» состояние — через секунду в будущем, надо взять текущее состояние, умножить на 10 и отбросить первую цифру, чтобы результат был не больше 10. Поэтому в первую секунду текущее значение 5,430 874 превращается 54,308 74, первую цифру отбрасываем и получаем следующее состояние: 4,308 74. Часы затикали, вот что получилось:
5,430 874,
4,308 74,
3,087 4,
0,874,
8,74,
7,4
и так далее.
Предположим теперь, что начальное значение было не совсем точным, а верное значение — 5,430 824, разница в пятом знаке после запятой. Во многих практических ситуациях такую ошибку можно считать совсем маленькой. Поведение должно быть таким:
Теория хаоса 123
5,430824,
4,30824,
3,0824,
0,824,
8,24,
2,4.
Смотри, как двойка с каждым шагом передвигается все левее и как ошибка каждый раз увеличивается. Всего-то через 5 секунд первое предсказание 7,4 изменилось до 2,4 — заметная разница.
Если бы мы начали с миллионнозначного числа и изменили последнюю цифру, то потребовался бы миллион секунд для того, чтобы изменение докатилось до первой цифры. Миллион секунд — это всего одиннадцать с половиной дней. Большинство математических моделей для предсказания будущего системы работает с гораздо меньшими интервалами времени — с тысячными или миллионными долями секунды.
С другим правилом для шага в будущее ошибки не будут нарастать так быстро. Например, для правила «раздели число на 2» начальная неточность с каждой секундой будет становиться все меньше. Хаотична система или нет — зависит от правила, по которому она переходит в следующее состояние. Одни правила увеличивают ошибку, а другие сокращают ее.
Анри Пуанкаре в 1887 году первым осознал, что иногда ошибки нарастают быстро — что система может быть хаотичной, хотя и детерминированной. Он работал над задачей, за решение которой была назначена большая премия. Король Норвегии и Швеции Оскар II обещал 2500 крон каждому, кто выяснит, устойчива ли Солнечная система. Если подождать достаточно долго, продолжат планеты кружиться примерно по тем же привычным орбитам или произойдет что-то драматическое: кто-то столкнется или улетит в глубины мирового космоса?
Эта задача оказалась слишком трудной, но Пуанкаре смог продвинуться в решении более простой задачи о гипотетической солнечной системе с тремя телами. Математика
124 Теория хаоса
даже для такого упрощенного случая была очень сложной (рис. 78). Пуанкаре увлекся задачей и убедил себя, что такая система трех тел иногда ведет себя нерегулярным, непредсказуемым образом. Уравнения были детерминистическими, но их решения — хаотическими. Пуанкаре не знал, что с этим делать, но знал, что прав. Он написал работу и получил премию.
До недавнего времени все думали, что это правда.
Но в 1999 году историк Джун Бэрроу-Грин нашла скелет в шкафу Пуанкаре. До нашего времени дошла опубликованная работа Пуанкаре, но оказывается, это вовсе не та статья, что он подал на конкурс; не за нее присудили премию. В статье, которую он подал на конкурс, которую опубликовали потом в серьезном математическом журнале, утверждалось, что нерегулярного поведения не должно быть. А это противоречит общепринятой теории. Бэрроу- Грин обнаружила, что вскоре после вручения премии Пуанкаре понял, что обсчитался. Он отозвал опубликованную статью, исправил в ней ошибки и оплатил переиздание всего тиража журнала. Старый тираж просто уничтожили, и никто не знал о его существовании, пока Бэрроу-Грин
Рис. 78. Сложные орбиты трех тел, которые движутся под действием гравитации
Теория хаоса 125
не обнаружила уцелевший экземпляр в архиве института Миттаг-Лефлера в Стокгольме.
Как бы то ни было, Пуанкаре заслужил, чтобы именно его считали первооткрывателем явления, характеризующегося тем, что детерминистские математические законы не влекут предсказуемое регулярное поведение. Еще один важный шаг в 1961 году сделал метеоролог Эдвард Лоренц. Он обрабатывал математическую модель конвекционных потоков воздуха на своем компьютере. Машины того времени были гораздо медленнее современных и более неуклюжи — твой телефон гораздо мощнее лучших вычислительных машин 1960-х годов. Лоренцу было нужно прервать вычисления на полдороге, и он распечатал полученные промежуточные результаты. Когда он вернулся к работе, то повторил несколько шагов программы, ввел эти промежуточные результаты и продолжил вычисления. Он повторил шаги, чтобы убедиться, что новые вычисления согласуются со старыми, что он не сделал ошибку или опечатку при вводе данных.
Согласия не случилось.
Сначала новые данные совпадали со старыми, но потом стали отличаться от них. Что пошло не так? Постепенно Лоренц убедился, что не опечатался. Различия накапливались потому, что компьютер сохранял в памяти больше цифр, чем выводил на печать. Скажем, в памяти хранилось число 2,37145, а на печать оно выводилось как 2,371. Когда Лоренц вводил данные после перерыва, то компьютер возвращался к вычислениям с числом 2,37100, а не 2,37145. Разница нарастала — хаотически — ив конце концов становилась очевидной.
Лоренц опубликовал свои результаты и записал: «Один метеоролог заметил, что, если теория верна, взмах крыльев чайки навсегда изменит карту погоды». Это замечание означало уничижительную критику теории, но сейчас мы знаем, что оно точно описывает реальное положение вещей. Чтобы сделать прогноз погоды, метеорологи обычно составляют целый «ансамбль» прогнозов со слегка различными начальными условиями, а потом выбирают тот прогноз, «который получил больше всего голосов».
126 Теория хаоса
Рис. 79. Восемь начальных условий для прогноза погоды, на первый взгляд идентичных, но на самом деле крошечные различия имеются (слева). Прогноз погоды на неделю вперед — различия заметно выросли (справа). Погода в Италии более предсказуема, чем в Британии. [С любезного разрешения European Medium Range Weather Forecasting Centre, Reading]
Чаек на свете миллиарды, и мы не можем повторить погоду. Нам доступна только одна случайная реализация из ряда возможных погод. Вскоре Лоренц заменил чайку на бабочку — так лучше звучит. В 1972 году он прочитал лекцию «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в штате Техас?». Название для него придумал Филип Мерилис, Лоренцу самому было трудно. Именно тогда это математическое явление получило название «эффект бабочки». Это характерная черта хаотических систем, именно из-за этого эффекта они непредсказуемы, хотя и детерминированы. Малейший сдвиг в текущем состоянии системы быстро разрастается и меняет ее поведение в буду¬
Теория хаоса 127
щем. За относительно близким «горизонтом предсказуемости» будущее туманно. Может быть, оно и предопределено, но что именно предопределено — мы знать не можем, пока не подождем и не увидим своими глазами. Даже заметное увеличение скорости компьютеров не приближает этот горизонт — так быстро нарастают ошибки.
Для погоды горизонт предсказуемости — два дня. Для Солнечной системы в целом гораздо больше. Мы можем предсказать, что через 200 миллионов лет Плутон останется на той же примерно орбите; но с какой стороны от Солнца, совершенно непонятно. Так что одни свойства могут быть предсказуемы, а другие нет.
Хотя хаос непредсказуем, он не случаен, вот в чем дело. Скрытые «закономерности» в нем есть, но нужно уметь их видеть. Если решения модели Лоренца изобразить в трех измерениях, они образуют красивую сложную фигуру — странный аттрактор (рис. 80). Если же изображать набор случайных данных, получится бесформенное пятно.
Можно подумать, что хаос — явление бесполезное, ведь оно мешает делать практические предсказания. Даже если это верно, хаос все равно будет существовать. Мир не обязан вести себя так, чтобы было удобно высшим приматам. Зато они могут придумать, как сделать хаос полезным. Одна японская компания сконструировала посудомоечную
Рис. 80. Аттрактор Лоренца, геометрическое представление вычислений Лоренца
128 Aprcs-ski
машину, в которой два вращающихся шланга разбрызгивают воду на содержимое. Струи получаются хаотическими и отмывают посуду лучше, чем один шланг. И потом, посудомоечная машина, основанная на теории хаоса, очевидно, высоконаучна и продвинута. Маркетологам нравится.
APRES-SKI14
Малоизвестная альпийская деревушка расположена в глубокой долине; с двух сторон от нее поднимаются крутые
горы: высотой 600 метров с одной стороны и 400 с другой. От подножия каждой горы к вершине другой натянуты канаты, натянуты туго, без провисаний (рис. 81). На какой высоте над землей канаты пересекаются?
600
400
Рис. 81. Найди высоту пересечения
ТЕОРЕМА ПИКА
о о о о о о
На рис. 82 ты видишь многоугольник с гделочисленными вершинами: они расположены в точках квадратной решетки. Расстояние между соседними точками равно 1. Чему равна площадь многоугольника?
Есть удивительно простой способ вычислять площади таких многоугольников, какими бы сложными они ни были, — по теореме Пика. Георг Пик доказал ее в 1899 году. Площадь S любого многоугольника с целочисленными вершинами может быть выражена через число Г точек на его
О
О
О
О
О
О
О
О
о • *—•—«I О
9—• ООО*
Рис. 82. Многоугольник с целочисленными вершинами
14
Вечерние мероприятия и развлечения после дневного катания на горных лыжах. — Прим. ред.
Награды в математике 129
границе и число В внутренних точек решетки по формуле
s = ir + B-i.
Для многоугольника на рис. 82 Г = 20 и В = 8, поэтому его площадь
равна i х 20+ 8-1 = 17 квадратных единиц.
Чему равна площадь многоугольника с целочисленными вершинами на рис. 83?
НАГРАДЫ В МАТЕМАТИКЕ
Математикам не присуждают Нобелевскую премию, но есть несколько столь же престижных наград и много других рангом помельче.
Филдсовская премия. Ее учредил канадский математик Джон Чарлз Филдс; впервые ее присудили в 1936 году. Каждые четыре года Международный математический союз выбирает для награждения не более четырех математи- ков-исследователей мирового уровня; они не должны быть старше 40 лет. Кроме золотой медали, лауреата награждают небольшой суммой денег, около $13 500, но по престижности награда сравнима с Нобелевской премией.
Абелевская премия. В 2001 году норвежское правительство в честь 200-й годовщины со дня рождения Нильса Хенрика Абеля — одного из величайших математиков всех времен -— учредило новую премию. Каждый год одному или нескольким математикам вручают премию, около $1 000 000, что сравнимо с размером Нобелевской премии. Награду вручает король Норвегии в ходе специальной церемонии.
Премия Шоу. Сэр Ран Ран Шоу, выдающаяся фигура в гонконгских медиа и знаменитый филантроп, учредил ежегодную премию в нескольких областях: математике, астрономии, науках о жизни и медицине. Премию в $1 000 000
о
о
о
о
о
о
о
о
о о о о о о
Рис. 83. Найди площадь
о
о
о
о
о
о
о
о
130 Награды в математике
лауреаты делят, если их несколько; каждому вручают еще медаль. Первый раз премию присуждали в 2002 году.
Премия института Клэя за решение задач тысячелетия. Математический институт Клэя в Кембридже, Массачусетс, учрежденный бостонским бизнесменом Лэн- доном Клэем и Лавинией Клэй, назначил семь премий, по $1 ООО ООО каждая, за окончательное решение семи важных математических задач. Эти задачи тысячелетия отражают главные амбициозные цели, стоящие перед математиками. Вот эти задачи:
• Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера в алгебраической теории чисел.
• Гипотеза Ходжа в алгебраической геометрии.
• Существование решений, корректных во всем времени, уравнений Навье-Стокса, описывающих динамику жидкости.
• Равенство классов Р и NP в компьютерных науках.
• Гипотеза Пуанкаре в топологии.
• Гипотеза Римана в комплексном анализе и теории простых чисел.
• Гипотеза щели в спектре масс и другие вопросы уравнений Янга-Миллса в квантовой теории поля.
Эта премия не вручалась еще ни разу, хотя гипотеза Пуанкаре уже доказана. Главный шаг в доказательстве сделал Григорий Перельман, другие математики прорабатывали детали. Подробнее об этих семи задачах можно прочитать на сайте www.claymath.org/millennium/.
Международная премия короля Фейсала. Между 1977 и 1982 годами Фонд короля Фейсала учредил премии за служение исламу, научные работы по исламу, работы по арабскому языку и литературе, медицине, науке. Премии в области науки присуждались и математикам. Лауреат получает сертификат, золотую медаль и деньги в сумме SR 750 ООО (около $200 000).
Премия Вольфа. Фонд Вольфа, основанный Рикардо Вольфом и его женой Франсиской Субирана-Вольф, присуждает эту премию с 1978 года в пяти направлениях: сельское хозяйство, химия, математика, медицина и физика. Премия состоит из диплома и $100 000.
Почему не дают Нобелевскую премию по математике? 131
Премия Била. В 1993 году Эндрю Бил, техасец, любитель теории чисел, выдвинул гипотезу: если aP + W = сг, где я, Ъ, с, р, q и г — целые числа, причем р, q и г больше 2, то у чисел а, b м с должен быть общий делитель. В 1997 году он предложил премию, которая позже выросла до $100 000, тому, кто докажет или опровергнет эту гипотезу.
ПОЧЕМУ НЕ ДАЮТ НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ!
Почему Альфред Нобель не назначил премию в области математики? Распространена история про то, что у жены Нобеля был роман со шведским математиком Гёста Мит- таг-Аеффлером, и поэтому Нобель математиков ненавидел. В этой истории есть неувязочка — Нобель никогда не был женат. В некоторых версиях истории жену заменяют на невесту или подругу. Возможно, что у Нобеля была подруга — Софи Гесс из Вены, но нет никаких сведений о том, что ее что-то связывало с Миттаг-Леффлером.
Другая история рассказывает, что сам Миттаг-Леффлер, человек очень небедный, чем-то досадил Нобелю. В то время Миттаг-Леффлер был ведущим шведским математиком, Нобель сообразил, что с большой вероятностью именно он получит премию по математике, и решил ее не учреждать.
Однако в 1985 году Ларе Гординг и Ларе Хёрмандер обратили внимание, что в 1865 году Нобель переехал в Париж и в Швеции бывал очень редко, а Миттаг-Леффлер в 1865 году был юным студентом. Вряд ли они сталкивались, так что вся история сомнительна.
Руководство Стокгольмского колледжа (hogskola), который позднее стал университетом, желало, чтобы Нобель завещал колледжу деньги, и Миттаг-Леффлера выбрали для переговоров по этому поводу. Ничего из этого не вышло, но едва ли Миттаг-Леффлера выбрали бы для этой миссии, если бы у него были плохие отношения с Нобелем. В любом случае, если бы Нобелевская премия по математике существовала, Миттаг-Леффлер вряд ли бы ее получил — было много других выдающихся математиков. Скорее все¬
132 Целочисленный кирпич
го, Нобелю просто не пришло в голову назначить премию по математике; а если и пришло, то он отбросил эту мысль; или же он не хотел больше тратить деньги.
Некоторые математики и математические физики получили премию в других областях — физике, химии, психологии и медицине, даже литературе. Математикам присуждали «нобелевку» по экономике — это Премия Шведского государственного банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля, учрежденная в 1968 году.
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ КИРПИЧ
Легко построить прямоугольники, у которых стороны и диагонали выражаются целыми числами, — это заслуженная задача о пифагоровых тройках, ее умели решать еще в Античности (см. с. 62). Следуя классическому рецепту, нетрудно найти параллелепипед — кирпич с перпендикулярными сторонами, — у которого все стороны и диагонали граней выражаются целыми числами. Подойдет первый пример следующего абзаца. Но до сих пор никто не нашел совершенный целочисленный кирпич, у которого главная диагональ, соединяющая противоположные вершины, тоже была бы целым числом.
Если не забывать теорему Пифагора, то в обозначениях рис. 84 задача формулируется так: найти натуральные числа а, Ъ и с такие, чтобы все четыре числа а2 + Ь2, а2 + с2, Ь2 + с2 и а2 + Ь2 + с2 были точными квадратами, рав-
Рис. 84. Подбери длины так, чтобы все они были целыми
Парадокс понарошку 133
ными соответственно р2, q2, г2 и s2. Существование таких чисел не доказано и не опровергнуто, зато найдено несколько почти совершенных кирпичей:
a = 240, Ъ = 117, с = 44, р = 267, q = 244, г = 125, s нецелое;
я = 672, Ъ = 153, с = 104, g = 680, г = 185, s = 697, р нецелое;
я = 18 720, с = 7800, р = 23 711, q = 20 280, г = 16 511, s = 24 961, b нецелое.
Если совершенный целочисленный кирпич существует, его стороны должны выражаться очень большими числами: доказано, что наименьшее ребро должно быть не меньше 232 = 4 294 967 296.
ПАРАДОКС ПОНАРОШКУ
В математической логике парадоксом называют противоречивое суждение; вот самый известный пример:
Это ложное утверждение.
Хорошо известен еще парадокс цирюльника, который придумал Бертран Рассел. В деревне единственный цирюльник, и он бреет всех, кто не бреется сам. Кто бреет цирюльника? Ни сам цирюльник, ни кто другой для этого логически не подходят. Действительно, если это цирюльник, то он бреет сам себя, но по условию он таких не бреет. Если это кто-то другой, то цирюльник не бреет себя сам, но по условию всех таких людей он бреет, и себя заодно.
В реальной жизни из этого парадокса можно как-то выбраться (речь идет о бритье бороды? Или ног? Или еще чего? Вдруг цирюльник женщина? Может ли он вообще существовать?) В математике строго сформулированный Расселом аналог этого парадокса разрушил труд жизни Готлоба Фреге, который пытался воздвигнуть здание всей математики на фундаменте теории множеств — науки о наборах объектов и о том, как из одних наборов формируются другие.
Вот еще один (как бы) парадокс.
134 Когда трЗ-плеер начнет повторяться?
Протагор — греческий философ, который жил и учил в V веке до н. э. У него был ученик, обучавшийся судебному красноречию, который по договоренности должен был заплатить после того, как выиграет первое дело в суде. Но у ученика не было клиентов, и Протагор пригрозил подать на него в суд. Протагор рассудил, что в любом случае не останется внакладе. Если он выиграет дело, то ученик заплатит, а если проиграет, то ученик выиграет и по соглашению все равно должен будет заплатить. Ученик рассуждал с точностью до наоборот. Если Протагор выиграет, то ученик, проиграв первое дело, не должен будет платить за обучение; а если проиграет, то суд вынесет решение, что ученик не должен платить.
Это настоящий логический парадокс или нет?
КОГДА MP3-ПЛЕЕР НАЧНЕТ ПОВТОРЯТЬСЯ!
На твоем трЗ-плеере 1000 песен, и он проигрывает их в случайном порядке. Как долго придется ждать, пока он не проиграет одну песню дважды?
Всё зависит от того, что понимать под словами «в случайном порядке». Большинство шрЗ-плееров «тасуют» песни, как тасуют карты в колоде. После того как список перетасован, песни воспроизводятся в полученном порядке. Если больше не перетасовывать, то повторение случится на 1001-й песне. Но можно выбирать песню наугад, воспроизводить и, не удаляя ее из списка, повторять процедуру. В таком случае одна и та же песня может повториться два раза подряд. Я буду считать, что все песни выбираются с одинаковыми вероятностями, хотя некоторые плееры отдают предпочтение тем песням, которые ты часто проигрываешь.
Может быть, ты уже встречал эту задачу, но не про песни, а про дни рождения. Если спрашивать выбранных наугад людей, когда у них день рождения, как долго придется ждать повторения? Сколько человек надо в среднем опросить? Оказывается, 23 — неожиданно мало. Есть дру¬
Когда трЗ-плеер начнет повторяться? 13 5
гая, по виду похожая задача: сколько человек должно быть
на вечеринке, чтобы с вероятностью не меньше 2 хотя бы
у двоих дни рождения совпали? Опять 23. В обоих случаях мы игнорировали високосные годы и считали, что любая
дата встречается с вероятностью ^ • Не вполне корректное
предположение, зато вычисления проще. Мы еще считали, что у всех участников дни рождения статистически независимы; это правило может нарушаться, например если на вечеринке есть близнецы.
Я расскажу, как решать вторую задачу, потому что в ней вычисления понятнее. Фокус в том, чтобы представить, как люди по одному приходят на вечеринку, и на каждом шаге вычислять вероятность того, что все дни рождения различны. Вычти ее из 1 — и узнаешь вероятность того, что по крайней мере два дня рождения совпадают. Продолжай запускать людей по одному, пока вероятность
того, что все даты рождения разные, не упадет ниже ~.
Когда заходит первый человек, вероятность того, что его день рождения ни с чьим не совпадает, равна 1, ведь больше никого пока нет. Я запишу эту вероятность дробью
365
365'
такой вид говорит о том, что из 365 возможных дат все 365 подходят.
Заходит второй. У них с первым должны быть разные дни рождения, поэтому для второго остается только 364 возможные даты из 365. Искомая вероятность (что все дни рождения разные) равна
365 364
365 х365-
Когда появляется третий человек, для его дня рождения есть только 363 возможности, и вероятность того, что повторов нет, равна
365 364 363
136 Когда трЗ-плеер начнет повторяться?
Закономерность уже должна быть ясна. После того как пришли к человек, вероятность того, что у всех разные дни рождения, равна
365 364 363 365 - к + 1
365 Х 365 х 365 Х ••• Х 365 •
Мы хотим узнать, при каком к она впервые станет меньше ^. Все дроби, кроме первой, меньше 1, поэтому вероятности уменьшаются с ростом к. Прямые вычисления показывают, что при к = 22 произведение равно 0,524 305, а при к = 23 — 0,492 703.
Значит, нужно 23 человека.
Это число кажется удивительно маленьким, возможно потому, что мы путаем заданный вопрос с другим: сколько человек нужно, чтобы вероятность того, что день ро-
ждения одного из них совпадает с твоим, была больше Это число гораздо больше, оно равно 253.
Те же вычисления для 1000 песен в трЗ-плеере показывают, что если каждую песню выбирать наугад, то нужно воспроизвести хотя бы 38 песен, чтобы вероятность повтора
была больше Среднее количество песен, которое придется воспроизвести до повтора, чуть больше — 39.
Эти вычисления верны, но они не помогают нашей интуиции. Что, если песен миллион? Придется долго считать, хотя компьютер справится. Нет ли ответа попроще? Мы не сможем получить простую точную формулу, но сможем найти хорошее приближение. Пусть в проигрывателе и песен. Тогда в среднем до первого повтора {какой-нибудь песни, не обязательно первой) придется воспроизвести примерно
д/( ^тг) л/й * 1,2533 л/й
ИЗ НИХ. 1
Чтобы сделать вероятность повтора больше 2, нужно воспроизвести около
л/In 4 л/й
песен, или
1,774 л/й.
Шесть загонов 137
Этот ответ примерно на 6% меньше ответа на предыдущий вопрос. Оба числа пропорциональны квадратному корню из п, который растет гораздо медленнее, чем и. Именно поэтому при больших п получаются сравнительно маленькие ответы. Если бы в твоем трЗ-плеере был миллион песен, то в среднем до первого повтора нужно было воспроизвести 1253 из них (квадратный корень из миллиона — тысяча). А чтобы сделать вероятность повтора больше
^, нужно было бы воспроизвести примерно 1177 песен.
Точный ответ, подсказывает мой компьютер, — 1178.
ШЕСТЬ ЗАГОНОВ
Дед Назар опять столкнулся с агроматематической задачей. У него есть 6 рогатых свиней Александера (очень редкая порода), и он собирается строить для них загоны. Он уже купил 13 одинаковых панелей для забора (рис. 85), но нашелся асоциальный тип, который ночью одну панель стащил. Теперь у деда Назара есть только 12 панелей, из них нужно построить 6 одинаковых загонов. Как это сделать? Нужно использовать все 12 панелей.
Рис. 85. 6 загонов из 13 панелей
ПАТЕНТОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Простые числа имеют коммерческое значение, так как используются в алгоритмах шифрования. В 1994 году Роджер Шлафли получил патент Соединенных Штатов номер
138 Гипотеза Пуанкаре
5 373 560 на два простых числа. В патенте они записаны в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе, но я здесь записал их в десятичной:
7 994 412 097 716 110 548 127 211 733 331 600 522 933 776 757 046 707 649 963 673 962 686 200 838 432 950 239 103 981 070 728 369 599 816 314 646 482 720 706 826 018 360 181 196 843 154 224
748 382 211 019 и
103 864 912 054 654 272 074 839 999 186 936 834 171 066 194 620 139 675 036 534 769 616 693 904 589 884 931 513 925 858 861
749 077 079 643 532 169 815 633 834 450 952 832 125 258 174 795 234 553 238 258 030 222 937 772 878 346 831 083 983 624 739 712 536 721 932 666 180 751 292 001 388 772 039 413 446 493 758 317 344 413 531 957 900 028 443 184 983 069 698 882 035 800 332 668 237 985 846 170 997 572 388 089.
Шлафли сделал это, чтобы обнародовать уязвимости американской патентной системы. По закону ты не можешь использовать эти числа без разрешения Шлафли. Вот так...
ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ
К концу XIX века математики успешно нашли все возможные «топологические типы» поверхностей. Считается, что две поверхности топологически одинаковы, если одну из них можно непрерывно деформировать в другую. Представь себе, что поверхность сделана из эластичного теста. Ты можешь растягивать ее, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.
Для простоты я буду считать, что у поверхности нет границы, что она ориентируема (у нее две стороны, в отличие от листа Мёбиуса) и конечна. В XIX веке математики доказали, что любая такая поверхность топологически эквивалентна сфере (рис. 86), или тору (рис. 87), или тору с двумя дырками (рис. 88), или с тремя, и так далее.
Слово «поверхность» относится только к поверхности. Топологическая сфера похожа на воздушный шарик, сделанный из бесконечно тонкого резинового полотна. Тор похож на камеру внутри автомобильной шины (для тех, кто видел
Гипотеза Пуанкаре 139
Рис. 86. Сфера Рис. 87. Тор Рис. 88. Тор с двумя дырками
такую камеру). «Тесто», о котором я говорил, — это на самом деле очень тонкое полотно, а не объемный кусок. «Объемную», «заполненную» сферу топологи называют шаром.
Чтобы построить классификацию всех поверхностей, топологам нужно было научиться характеризовать их согласно внутренней природе, вне зависимости от окружающего пространства. Представь себе муравья на поверхности, не знающего об окружающем пространстве. Как он может определить, на какой поверхности живет? К 1900 году стало ясно: чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассматривать замкнутые контуры на поверхности и изучать, как эти контуры можно деформировать. Скажем, на сфере любой замкнутый контур можно непрерывно деформировать в точку — «стянуть». Например, экватор сферы можно постепенно передвигать к южному полюсу; он будет становиться все меньше, пока не превратится в точку и не совпадет с полюсом (рис. 89).
Любая поверхность, не эквивалентная сфере, содержит замкнутые контуры, которые в точку не стягиваются. Та-
начинай у с любого S контура
двигай контур, чтобы стянуть его
Рис. 89. Как непрерывно стянуть контур на сфере в точку
140 Гипотеза Пуанкаре
Рис. 90. На всех других поверхностях контуры могут застревать
кие контуры «проходят через дырку», и именно дырка мешает им стягиваться (см. рис. 90). Потому сферу можно охарактеризовать как единственную поверхность, на которой любой замкнутый контур стягивается в точку.
Обрати внимание, что «дырка», которую мы видим на рисунке, — это вовсе не часть поверхности. По определению в этом месте поверхности нет. Если мы размышляем о свойствах, присущих самой поверхности, то не можем говорить о дырах или визуализировать их в обычной манере. Муравей, который живет на поверхности и не знает об окружающей вселенной, не может видеть, что у его тора здоровенная дыра внутри — как мы не можем глядеть в направлении четвертого измерения. Поэтому, хотя я и использую слово «дыра», объясняя, почему контур не стягивается, топологическое доказательство строится совсем иначе.
В 1904 году Пуанкаре попытался сделать следующий шаг и разобраться с «многообразиями» — трехмерными аналогами поверхностей. В то время он полагал, что характеризация сферы стягивающимися контурами будет верна и в трех измерениях. Существует трехмерный естественный аналог сферы, называемый 3-сферой. 3-сфе- ра — это не трехмерный шар, но ее можно визуализировать (насколько уместно это слово), взяв трехмерный шар и представив, что вся его поверхность — одна точка.
Вот как это сделать с круговым диском (рис. 91). Его границу можно замкнуть, как края мешка, если стянуть их веревочкой; в результате топологически получится сфера. Теперь сделай то же самое в размерности на 1 больше.
Гипотеза Пуанкаре 141
О
...стяни
возьми ... получится
писк ег0 гРаницУ сфера
" в точку...
Рис. 91. Как из диска сделать сферу
Сначала Пуанкаре считал, что такая характеризация 3-сферы очевидна или хотя бы легко доказуема, но потом понял, что одна правдоподобная формулировка этого принципа на самом деле неверна, а другую, очень похожую, доказать трудно, хотя она может быть верной. Он поставил обманчиво простой вопрос: если на трехмерном многообразии (без границы, конечном и так далее) любой контур стягивается в точку, должно ли оно быть топологически эквивалентно 3-сфере?
Попытки ответить на этот вопрос проваливались одна за другой, хотя после неимоверных усилий топологов всего мира выяснилось, что ответ должен быть «да» для всех измерений выше 3. Предположение о том, что в трех измерениях ответ такой же, получило название гипотезы Пуанкаре — это одна из задач тысячелетия (см. с. 129).
В 2002 году русский математик Григорий Перельман произвел сенсацию, разместив несколько статей на сайте arXiv.org — неформальном архиве статей о новых результатах для физиков и математиков. На первый взгляд, темой этих статей были потоки Риччи, но вскоре стало ясно, что если результаты верны, то из них следует, что верна и гипотеза Пуанкаре. Идея использовать потоки Риччи восходит к 1982 году, когда Ричард Гамильтон ввел новые методы, основанные на математических идеях, положенных Альбертом Эйнштейном в основу общей теории относительности.
По Эйнштейну, пространство-время искривлено, причем кривизна описывает силу тяжести. Кривизна измеряется такой штукой как тензор кривизны, а у него есть родствен¬
142 Гипотеза Пуанкаре
ник попроще — тензор Риччи, названный по имени изобретателя Грегорио Риччи-Курбастро.
Согласно общей теории относительности гравитационные поля могут со временем менять геометрию Вселенной, и эти изменения подчиняются уравнениям Эйнштейна, которые говорят о том, что тензор напряжений пропорционален кривизне. На самом деле гравитационное искривление Вселенной стремится сгладиться со временем, а уравнения Эйнштейна выражают эту идею количественно.
В ту же игру можно играть, используя версию кривизны от Риччи, и она ведет к тому же поведению: поверхность, которая подчиняется уравнениям для потока Риччи, будет естественным образом стремиться упростить свою геометрию, более равномерно перераспределяя кривизну. Гамильтон показал, что известная двумерная версия гипотезы Пуанкаре, характеризующая сферу, может быть доказана с использованием потоков Риччи. Поверхность, на которой все контуры стягиваются, следуя потокам Риччи, упрощает себя настолько, что превращается в совершенную сферу. Гамильтон предложил обобщить этот подход на случай трех измерений, но столкнулся с заметными трудностями.
Главная трудность в трех измерениях в том, что там, где многообразие пережимается и нарушается поток Риччи, могут возникать «сингулярности». Перельман придумал хирургическую идею: сделать надрезы возле сингулярностей, а потом заклеить дырки, чтобы поток продолжался. Если многообразие полностью упростится после возникновения конечного числа сингулярностей, то верна не только гипотеза Пуанкаре, но и другая, ведущая еще дальше: гипотеза геометризации Тёрстона. Она дает классификацию всех возможных трехмерных компактных многообразий.
Это не конец истории. Математическое сообщество согласилось с тем, что работа Перельмана верна, хотя доказательство в его статьях на arXiv содержит пробелы, восполнить которые оказалось непросто. У Перельмана были причины, по которым он не хотел получать премию, и он решил не «причесывать» свои статьи и не публиковать их официально. Однако он обычно охотно объяснял, как доработать различные детали, если у него спрашивали. Экспер¬
Попотамская логика 143
там в этой области пришлось разрабатывать свои версии его идей. На Международном математическом конгрессе в Мадриде в 2006 году Перельману присудили Филдсов- скую премию — главную награду в математике. Он отказался и от нее тоже.
ПОПОТАМСКАЯ ЛОГИКА
Я не буду есть свою шляпу.
Если бегемоты не съедят желуди, то в Африке вырастут дубы.
Если в Африке не вырастут дубы, то белки проспят всю зиму.
Если бегемоты съедят желуди, а белки проспят всю зиму, я съем свою шляпу.
Следовательно, — что?
МУРАВЕЙ ЛЭНГТОНА
Муравья Аэнгтона придумал Кристофер Аэнгтон; это насекомое показывает, как простые идеи могут приводить к поразительно сложным явлениям. Муравей ползет к одной из самых запутанных нерешенных задач во всей математике, и из самых простых начальных данных.
Муравей живет на бесконечной клетчатой доске с черными и белыми клетками и может двигаться только в четырех направлениях: на север, юг, запад или восток. В каждый момент времени он шагает на одну клетку впереди себя, а затем следует трем простым правилам:
• если клетка оказалась белой, то делает поворот на 90° вправо;
• если клетка оказалась черной, то делает поворот на 90° влево;
• клетка, которую он только что покинул, меняет цвет: с белого на черный или с черного на белый (рис. 92).
144 Муравей Аэнгтона
Рис. 92. Результат муравьиного хода. Серые клетки могут быть любого цвета — на данный ход они не влияют
Для разминки муравей начинает путешествие на белой доске, лицом (если угодно, мордой) на восток. На первом шаге он попадает на белую клетку, а предыдущая становится черной. Поскольку он на белой клетке, муравей поворачивается направо — лицом на юг. Он делает шаг на следующую белую клетку, а покинутая становится черной. Через несколько шагов муравей попадет на черные клетки — там он уже побывал, — и теперь будет поворачивать налево. Со временем путь муравья становится все запутаннее, и картинка из черных и белых клеток на плоскости тоже.
Джим Пропп обнаружил, что через несколько сотен шагов возникает красивый упорядоченный узор. Затем на десять тысяч шагов воцаряется хаос. А после этого муравей зацикливается и повторяет все одну и ту же последова-
Муравей Лэнгтона 145
тельность из 104 ходов, с каждым циклом продвигаясь на две клетки по диагонали. Он отправляется в бесконечное путешествие, оставляя за собой на доске широкую диагональную магистраль (рис. 93).
Такое рождение порядка из хаоса само по себе загадочно, но компьютерные эксперименты приводят к результатам совсем уж удивительным. Если, прежде чем отправить муравья в путь, ты покрасишь конечное число клеток на плоскости черным, он все равно примется строить магистраль. Ему может понадобиться для этого больше времени, начало может выглядеть совсем по-другому, но все кончится магистралью.
Например, на рис. 94 видно, что будет, если муравей стартует внутри черного прямоугольника. Прежде чем приступить к магистрали, муравей строит «замок» с прямыми стенами и сложными башнями. Он рушит и перестраивает эти структуры с забавной целеустремленностью, пока наконец не переключается на магистраль.
Рис. 93. Муравей Лэнгтона строит магистраль
Рис. 94. Путь муравья Лэнгтона, стартовавшего из черного прямоугольника. Магистраль справа внизу. Маленькими белыми точками отмечены клетки, где муравей так и не побывал
146 Свинья на привязи
Возникает интересная задача: доказать, что муравей всегда будет строить магистраль, какой бы ни была начальная конфигурация. Или опровергнуть это утверждение, если оно ложное. Известно, что муравей никогда не остается внутри ограниченной площадки на плоскости — он всегда выбирается, если прождать достаточно долго; но неизвестно, всегда ли он выбирается по магистральному пути.
СВИНЬЯ НА ПРИВЯЗИ
Рис. 95. Свинья может щипать траву на половине площади поля
У деда Назара есть поле в форме правильного треугольника, каждая сторона длиной 100 метров. В одном углу привязан на веревке элитный хряк Пигас, он может добраться до части поля, площадь которой ровно вдвое меньше площади всего поля (рис. 95). Какова длина веревки?
Ты можешь (даже должен, хоть это и глупо) считать, что хряк — объект точечный, что веревка бесконечно тонка, а узлы пренебрежимо малы.
ВНЕЗАПНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
Этот парадокс так хорошо известен, что я не хотел включать его в книгу. Однако он затрагивает некоторые любопытные вопросы.
Учитель объявил, что контрольная будет на следующей неделе (с понедельника по пятницу) неожиданно — в любой день, заранее неизвестный. Эти слова кажутся разумными — учитель может выбрать любой день из пяти, а ученики заранее не узнают, какой именно.
Антиграв 14 7
Но ученики думают иначе. Они рассуждают так: контрольная не может быть в пятницу, ведь в таком случае, пережив четверг без контрольной, они бы заранее знали, что она будет в пятницу, — никаких неожиданностей. А раз пятницу исключили, те же самые рассуждения можно применить к оставшимся четырем дням недели, так что в четверг контрольной тоже не может быть. А тогда ее не объявят ни в среду, ни во вторник, ни в понедельник. Не может контрольная случиться неожиданно.
Все хорошо, но если учитель задумает контрольную в среду, ученики никак не смогут узнать об этом заранее. Это настоящий парадокс или нет?
Отрицая закон притяжения, этот двойной конус катится вверх. Вот как его сделать.
Скопируй пять деталей с рис. 96 на тонкий картон, увеличив их в 2 или 3 раза. У детали А приклей клапан v к отрезку v, чтобы получился конус. У детали в приклей клапан w к отрезку w — получится другой конус. Потом склей два конуса основаниями, для этого и нужны треугольные клапаны на детали А.
АНТИГРАВ
у
W
Рис. 96. Пять деталей выкройки
148 Математические шутки-2
Теперь приклей клапан х детали С к отрезку х детали D, а клапан у детали С — к отрезку у детали Е.
И наконец, приклей клапан z детали D к отрезку z детали Е, чтобы получился треугольный «забор». Положи двойной конус на нижний конец этого треугольника и отпусти. Конус покатится вверх (рис. 97).
Как это может быть?
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШУТКИ-2
В отеле остановились инженер, физик и математик. Инженер просыпается и чувствует запах дыма. Он выходит в коридор, видит огонь, наливает в мусорное ведро из своего номера воду, выливает ее на огонь и гасит его.
Просыпается физик и чувствует запах дыма. Он выходит в коридор и видит (другой) огонь. Он берет пожарный шланг, висящий на стене, вычисляет температуру экзотермической реакции, скорость огненного фронта, давление воды в шланге и гасит огонь с минимальными затратами энергии.
Теперь просыпается математик и тоже чувствует запах дыма. Выходит в коридор и видит (третий) огонь. Замечает пожарный шланг на стене, размышляет. Говорит: «Решение существует» — и идет спать дальше.
ПОЧЕМУ ГАУСС СТАЛ МАТЕМАТИКОМ
Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге в 1777 году, а умер в Гёттингене в 1855-м. Его родители были рабочими без образования, а он стал одним из величайших математиков всех времен; некоторые считают, что самым вели-
Рис. 97. На конус не действует сила тяжести
Почему Гаусс стал математиком 149
ким. Он был вундеркиндом; говорят, что он поправлял ошибки в отцовских счетах, когда ему было всего три года. В 19 лет ему нужно было решить, изучать математику или языки. Решение пришло само, когда он придумал, как построить правильный 17-угольник, пользуясь только традиционными инструментами Евклида — циркулем и линейкой без делений.
Может, не на всех это производит большое впечатление, но это была рис gg каол
беспрецедентная задача, и она приве- Фридрих Гаусс ла к новой ветви в теории чисел.
В «Элементах» Евклида описано построение правильных многоугольников (у них все стороны равны и углы тоже равны) с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами; к тому же древние греки понимали, что число сторон можно удваивать сколько хочешь раз. Они умели строить правильные многоугольники с таким числом сторон в пределах 100:
2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40;48; 60; 64; 80; 96.
Больше двух тысяч лет все думали, что других правильных многоугольников построить нельзя. В частности, Евклид не описал, как строить 7-угольник или 9-угольник, потому что не знал, как это делается. Открытие Гаусса добавило в этот список числа 17, 34 и 68. Что еще удивительнее, его метод позволял доказать, что другие числа, такие как 7, 9, 11 и 13, невозможны (правильные многоугольники с таким числом сторон существуют, но их нельзя построить циркулем и линейкой).
Построение Гаусса опиралось на два факта: число 17 простое и на единицу больше степени двойки. Задача в том, чтобы найти, для каких простых чисел можно построить правильный многоугольник, а степени двойки появляются в этой истории потому, что евклидовы методы сводятся к построению квадратных корней. Отсюда, в частности, следует, что длины любых отрезков, участвующих в постро¬
150 Почему Гаусс стал математиком
ении, должны удовлетворять алгебраическому уравнению, степень которого равна 2” для некоторого натурального и. Правильный 17-угольник описывается уравнением
ЛГ16 + X15 + Xй + X13 + Xй + Хп + Xю + X9 + X8 + X7 +
+ X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X +1 =0,
где х — комплексное число. У этого уравнения 16 решений, вместе с числом 1 они дают 17 вершин правильного многоугольника на комплексной плоскости. Поскольку 16 — это степень двойки, Гаусс понял, что у него есть шанс. Он провел некоторые вычисления и доказал, что 17-угольник можно построить, если уметь строить отрезок длины
-^(-1 + л/17 + л/34-2VT7 +
+ ^68 + 12л/17-16л/34 + 2л/Т7-2(1 -л/17) л/34-2л/Т7)-
Раз квадратные корни строить можно, это решает задачу, и Гаусс не стал утруждать себя и описывать все нужные шаги построения — формулы достаточно. Позднее другие математики записали построение явно. Впервые такое построение опубликовал Ульрих фон Югэнен в 1803 году, а в 1893 году Герберт Уильям Ричмонд придумал построение попроще (рис. 99).
Метод Гаусса позволяет доказать, что правильный п-угольник можно построить для всех простых чисел п вида 2k + 1. Такие простые числа называются простыми числами Ферма, потому что Ферма их изучал. В частности, он заметил, что само число к должно быть степенью двойки, чтобы 2к +1 могло быть простым. Значения к = 1, 2, 4, 8 и 16 дают простые числа Ферма 3, 5, 17, 257 и 65 537. Число 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 х 6 700 417 не простое. Гаусс понимал, что правильный n-угольник можно построить тогда и только тогда, когда п — степень двойки или степень двойки, умноженная на произведение разных простых чисел Ферма. Но он не дал строгого доказательства этого факта; возможно, потому, что ему это было очевидно.
Гаусс доказал, что невозможно построить правильный 7-, И- или 13-угольник циркулем и линейкой, потому что
Почему Гаусс стал математиком 151
Рис. 99. Метод Ричмонда построения правильного 17-угольника. В окружности начертим два перпендикулярных диаметра
ЛОР0 и БОС. Отметим точку J так, что О/ = т ОВ, и точку Е 1 4 так, что ZOJE = -ZOJPQ. Найдем такую точку F, что ZEJF = 45°.
Проведем окружность с диаметром FP0, она пересекает ОБ в точке К. Проведем через К окружность с центром в Е, она пересекает ЛР0 в точках G и Н. Проведем через эти точки перпендикуляры НР3 и GP5 к ЛР0. Тогда Р0, Р3 и Р5 — это соответственно нулевая, третья и пятая вершины правильного 17-угольника; остальные вершины теперь построить легко
эти простые числа — не числа Ферма. Запишем, например, уравнение, определяющее 7-угольник:
х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 = О,
его степень равна 6, а это не степень двойки. Нельзя построить 9-угольник, потому что 9 — это не произведение разных чисел Ферма, это произведение 3x3; хотя 3 простое число, оно входит в это произведение дважды.
Неизвестно, есть ли другие простые числа Ферма, кроме тех, что я перечислил. Если и есть, они должны быть огромны; сейчас ближайший кандидат на эту роль — число 233 554432 + 1, где 33 554 432 = 225. Хотя мы до сих пор не уверены, какие именно правильные многоугольники мож¬
152 Какой формы полумесяц?
но построить циркулем и линейкой, единственная загвоздка — возможное существование очень больших простых чисел Ферма. Полезную информацию о них ищи на сайте mathw6rld.wolfram.com/FermatNumber.html.
В 1832 году Фридрих Юлиус Ришело опубликовал построение правильного 257-угольника. Иоганн Густав Гермес из Лингенского университета потратил 10 лет на построение 65 537-угольника, и эта неопубликованная работа хранится в университете Гёттингена; возможно, в ней есть ошибки.
Допустив больше вольности в выборе инструментов, можно построить и другие многоугольники. Если вооружиться приспособлением для трисекции углов, легко построить правильный 9-угольник. А также правильный 7-угольник, хотя это вовсе не очевидно.
КАКОЙ ФОРМЫ ПОЛУМЕСЯЦ!
Вскоре после захода солнца или незадолго до рассвета луна висит низко над горизонтом; освещенная часть ее поверхности образует красивый полумесяц. Две кривые, составляющие границу полумесяца, похожи на дуги окружностей, и часто их так и рисуют (рис. 100). Предположим, что луна — идеальный шар, а солнечные лучи, освещающие ее, параллельны. Правда ли, что эти кривые — дуги окружностей?
Рис. 100. Полумесяц, образованный двумя дугами окружностей. Луна такая?
ЗНАМЕНИТЫЕ МАТЕМАТИКИ
Все люди из этого списка — кроме одного — или начинали учиться математике, или учились под руководством математика, или занимались этой наукой профессионально. Чем они знамениты? Кто лишний в списке?
Что такое простое число Мерсенна L 153
Пьер Булез Сергей Брин Льюис Кэрролл Дж. М. Кутзее Альберто Фухимори Арт Гарфанкел Филип Гласс Тери Хэтчер
Александр Солженицын Брэм Стокер Лев Троцкий Имон де Валера
Эдмунд Гуссерль Майкл Джордан Теодор Качинский Джон Мейнард Кейнс Кэрол Кинг Эмануэль Ласкер Дж. П. Морган Ларри Нивен Кэрол Вордерман Вирджиния Уэйд Людвиг Витгенштейн Сэр Кристофер Рен
ЧТО ТАКОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО МЕРСЕННА?
Число Мерсенна — это число вида 2"-1, на один меньше степени двойки. Простое число Мерсенна — это число Мерсенна, которое оказалось простым. Легко доказать, что в таком случае показатель степени п сам должен быть простым. Первым простым показателям п = 2, 3, 5 и 7 соответствуют числа Мерсенна 3, 7, 31 и 127, все они просты.
Интерес к числам Мерсенна имеет давнюю историю; сначала считалось, что все они просты для простых показателей степени. Однако в 1536 году Худальрикус Региус опроверг это утверждение, доказав, что 211 -1 = 2047 = 23 х 89. В 1603 году Пьетро Катальди показал, что числа 217 -1 и 219 -1 просты (это действительно так), и утверждал, что при п = 23, 29, 31 и 37 тоже получаются простые числа.
Ферма доказал, что он ошибался в значениях 23 и 37, а Эйлер отверг и значение 29, показав позднее, что 231 - 1 — простое число.
В 1644 году в своей книге Cogitata Physico-Mathematica («Мысли о физике и математике») французский монах Марен Мерсенн утверждал, что числа вида 2” -1 просты при п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и ни при каких других значениях и. В те времена не было методов, что¬
154 Что такое простое число Мерсенна?
бы проверить простоту большинства этих чисел, поэтому его утверждение, скорее, догадка; однако его имя с тех пор тесно связано с этими числами. В 1876 году Эдуард Люкй придумал хитроумный тест для проверки простоты чисел Мерсенна и показал, что тот был прав для и = 127. К 1947 году проверили весь список Мерсенна и выяснили, что показатели 67 и 257 он включил напрасно. А показатели 61, 89 и 107, наоборот, незаслуженно пропустил. Люка улучшил свой тест, а еще больше улучшил его в 1930-х годах Деррик Лемер. Тест Люка—Лемера опирается на последовательность чисел 4; 14; 194; 37 634; ..., в которой каждый член на два меньше квадрата предыдущего. Можно доказать, что и-е число Мерсенна является простым тогда и только тогда, когда делит (п - 1)-й член этой последовательности. С помощью этого теста можно выяснить, что число Мерсенна составное, не раскладывая его на множители; можно даже установить простоту числа Мерсенна, не проверяя его делимость на простые множители. Есть хитрый способ проводить тест так, что придется работать только с числами, которые меньше проверяемого числа Мерсенна.
Искать новые большие простые числа Мерсенна — это прекрасный способ проверять новые компьютеры на быстродействие; с годами охотники за простыми числами продлили этот список, в нем теперь 44 простых числа.
я Год Первооткрыватель
2
—
Известно с древности
3
—
Известно с древности
5
—
Известно с древности
7
—
Известно с древности
13
1456
Аноним
17
1588
Пьетро Катальди
19
1588
Пьетро Катальди
61
1883
Иван Первушин
89
1911
Р. Э. Пауэрс15
107
1914
Р. Э. Пауэрс
15 Это малоизвестный математик, возможно любитель. Мне не удалось установить его имя.
Что такое простое число Мерсенна L155
п
Год
Первооткрыватель
127
1876
Эдуард Люка
521
1952
Рафаэль Робинсон
607
1952
Рафаэль Робинсон
1279
1952
Рафаэль Робинсон
2203
1952
Рафаэль Робинсон
2281
1952
Рафаэль Робинсон
3217
1957
Ханс Ризель
4253
1961
Александр Гурвиц
4423
1961
Александр Гурвиц
9689
1963
Дональд Джиллис
9941
1963
Дональд Джиллис
И 213
1963
Дональд Джиллис
19 937
1971
Брайант Таккерман
21 701
1978
Лэндон Нолл и Лора Никел
23 209
1979
Лэндон Нолл
44 497
1979
Гарри Нельсон и Дэвид Словинский
86 243
1982
Дэвид Словинский
110 503
1988
Уолтер Колкитт и Лютер Уэлш
132 049
1983
Дэвид Словинский
216 091
1985
Дэвид Словинский
756 839
1992
Дэвид Словинский и др.
859 433
1994
Дэвид Словинский и Пол Гейдж
1 257 787
1996
Дэвид Словинский и Пол Гейдж
1 398 269
1996
Джоэль Арменгод и др.
2 976 221
1997
Гордон Спенс и др.
3 021 377
1998
Рональд Кларксон и др.
6 972 593
1999
Найан Хайратвала и др.
13466 917
2001
Мишель Камерон и др.
20 996 011
2003
Мишель Шафер и др.
24 036 583
2004
Джош Финдли и др.
25 964 951
2005
Мартин Новак и др.
30 402 457
2005
Кёртис Купер и др.
32 582 657
2006
Кёртис Купер и др.
До 39-го числа Мерсенна включительно (я = 13 466 917) список полон, но после этого между известными числами Мерсенна могут оказаться еще неоткрытые. В 44-м известном числе Мерсенна 232 582 657 - 1 всего 9 808 358 цифр,
156 Гипотеза Гольдбаха
и в настоящий момент (декабрь 2007 г.) это самое большое известное простое число. Этот рекорд обычно принадлежит числам Мерсенна благодаря тесту Люка-Лемера; однако еще Евклид показал, что наибольшего простого числа не существует. Самая свежая информация — на сайте primes.utm.edu/mersenne/; к проекту поиска простых чисел Мерсенна (Great Internet Mersenne Prime Search) можно присоединиться на сайте www.mersenne.org.
ГИПОТЕЗА ГОЛЬДБАХА
Чтобы привлечь внимание к роману Апостолоса Доксиа- диса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», в 2000 году издательство Faber & Faber предложило награду в миллион долларов за доказательство гипотезы Гольдбаха, если оно будет представлено до апреля 2002 года. На награду никто не претендовал, и математиков это не удивило, потому что эта гипотеза не поддавалась попыткам доказательства уже больше 250 лет.
История началась в 1742 году, когда Кристиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру высказал предположение, что каждое четное число представимо в виде суммы двух простых. (Похоже, та же идея несколько раньше появилась у Рене Декарта, но тогда ее никто не заметил.) В то время число 1 считалось простым, поэтому равенство 2 = 1 + 1 согласовалось с гипотезой Гольдбаха, но сейчас ее формулировка уточнилась: каждое четное число, большее 2, представимо в виде суммы двух простых — часто несколькими способами:
4 = 2 + 2;
6 = 3 + 3;
8 = 5 + 3;
10 = 7 + 3 = 5 + 5;
12 = 7 + 5;
14 = 11 + 3 = 7 + 7.
Эйлер ответил, что уверен в правоте Гольдбаха, но не знает доказательства, и до сегодняшнего дня ничего не изменилось. Мы знаем, что каждое четное число представимо в виде суммы не больше чем шести простых чисел, — это
Гипотеза Гольдбаха 157
доказал Оливье Рамаре в 1995 году. В 1973 году Чэнь Цзин- жунь доказал, что каждое достаточно большое четное число представимо в виде суммы простого и полупростого (это или простое число, или произведение двух простых чисел). В 1998 году Жан-Марк Дезуйе, Янник Саутер и Херман те Риле проверили гипотезу Гольдбаха для всех четных чисел до 1014. К 2007 году Оливейра-и-Сильва поднял эту планку до 1018 и все еще продолжает считать. Если гипотеза Рима- на (см. с. 218) верна, то гипотеза Гольдбаха о нечетных числах16 (что всякое нечетное число, большее 5, представимо в виде трех простых) следует из результата 1998 года.
График на рис. 101 показывает, сколькими способами (число по вертикальной оси) данное четное число (на горизонтальной оси) представимо в виде суммы двух простых. Нижние точки поднимаются вверх по мере продвижения слева направо, показывая, сколько есть разных представлений. Насколько мы знаем, какая-нибудь точка может упасть на горизонтальную ось. Одной такой точки хватит, чтобы опровергнуть гипотезу Гольдбаха.
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 20000 40000 60000 80000 100000
Рис. 101. Количество способов представить четное число в виде суммы двух простых
16 В 2013 году ее доказал перуанский математик Харальд Андрес
Хельфготт. — Прим. перев.
158 Черепахи до самого низа
В 1923 году Годфри Харди и Джон Литтлвуд получили эвристическую формулу — не доказанную строго, но правдоподобную — для количества разных способов записать данное четное число в виде суммы двух простых. Эта формула согласуется с численными данными; она показывает, что с ростом числа количество способов тоже растет. Поэтому мы можем ожидать, что меньшее из двух простых чисел должно быть довольно маленьким. В 2001 году Йорг Рик- штайн заметил, что для чисел до 1014 меньшее из двух простых чисел не превосходит 5569, оно встречается в разложении
389 965 026 819 938 = 5569 + 389 965 814 369. ЧЕРЕПАХИ ДО САМОГО НИЗА
Бесконечность — тонкое понятие. Люди довольно часто говорят о вечности — бесконечном периоде времени. По теории Большого взрыва, Вселенная возникла около 13 миллиардов
лет назад. До этого не только не было Вселенной, — до этого17 не было самого «до этого». Некоторых это смущает, и для большинства из них привлекательнее идея о том, что «Вселенная существовала всегда». Иными словами, ее прошлое уже бесконечно давнее.
Кажется, что эта идея разрешает сложный вопрос о происхождении Вселенной, отрицая само это происхождение. Если что-то было всегда, то глупо спрашивать, почему оно существует здесь и сейчас. Ну правда же?
Рис. 102. Черепахи Может быть. Но это все еще не объ-
до самого низа ясняет, почему оно всегда было здесь.
17 Некоторые космологи сейчас полагают, что до Большого взрыва все же могло быть что-то. Наша Вселенная может быть частью мультивселенной, в которой отдельные вселенные могут возникать и исчезать. Симпатичная теория, но трудно придумать, как ее проверить.
Отель Гильберта 159
С этой мыслью довольно сложно освоиться. Сейчас я приведу сравнение из другой области. Есть забавная (и очень похожая на правду) история о том, как известный ученый — часто говорят, что Стивен Хокинг, потому что он рассказал эту историю в книге «Краткая история времени», — читал лекцию о Вселенной, и одна леди из слушателей сказала, что Земля не падает потому, что ее держат четыре слона, которые стоят на спине черепахи.
— А кто же держит черепаху?
— Не говорите глупости! Там черепахи до самого низа!
Это забавно, но мы не принимаем таких объяснений.
Пирамида черепах, которые сами себя держат, нелепа, и не потому, что это именно черепахи. То, что каждую черепаху поддерживает другая, вовсе не объясняет, почему не падает вся пирамида.
Тут все понятно. А теперь замените Землю на современное состояние Вселенной. Ах да, еще замените «поддерживает» на «служит причиной». Почему существует Вселенная? Потому что существовала предыдущая. А почему существовала она? Потому что существовала ей предыдущая. Было у них начало в конечном промежутке времени в прошлом? Нет, там вселенные до самого низа18.
Вселенная, которая существовала всегда, так же загадочна, как та, у которой было начало.
ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА
Среди парадоксов о бесконечности — странные истории, происходившие в отеле Гильберта. Давид Гильберт — один из ведущих математиков в мире начала XX века. Он работал в области логических оснований математики и особенно интересовался бесконечностью. В отеле Гильберта бесконечно много комнат, пронумерованных 1, 2, 3, 4 й так далее — всеми положительными целыми числами.
18 Отчасти притягательность мультивселенной объясняется тем, что оживает точка зрения «это было всегда». Наша Вселенная — нет, но вот окружающая ее мультивселенная — да. Там мультивселенные до самого низа...
160 Отель Гильберта
Как-то раз в сезон отпусков отель был заполнен полностью. Прибыл путешественник, не забронировавший номер заранее, и захотел получить комнату. В любом конечном сколь угодно большом отеле у него не было бы шансов, но в отеле Гильберта все иначе.
— Нет проблем, сэр, — говорит администратор. — Я попрошу гостя из комнаты 1 переехать в комнату 2; гостя оттуда — переехать в комнату 3, тамошнего гостя — в комнату 4, и так далее. Гость из комнаты номер п переедет в комнату и +1. Тогда комната 1 освободится, и вы разместитесь там (рис. 103).
1
2
3
4
5
6
7
8
Л
1
2
3
4
5
б
7
8
Л
Рис. 103. Все переезжают в комнату с номером на 1 больше, а первая освобождается
В бесконечном отеле такой фокус работает, а в конечном нет, ведь гостю из комнаты с самым большим номером переезжать некуда. В отеле Гильберта нет комнаты с самым большим номером. Проблема решена.
Через 10 минут к отелю подъезжает бесконечный автобус с туристами, которые занимают в автобусе места с номерами 1, 2, 3, 4 и так далее (рис. 104).
— Я могу разместить вас, попросив каждого гостя переехать в комнату с большим номером, — говорит администратор. — Но даже если все они переберутся в комнату с номером больше на миллион, освободится только миллион комнат. — Администратор поразмыслил. — Но я все равно размещу вас. Я попрошу гостя из комнаты 1 переехать в комнату 2; гостя из комнаты 2 — переехать в комнату 4, гостя из комнаты 3 — в комнату 6, и так далее. Гость из комнаты номер и переедет в комнату 2п. Тогда турист с первого места в автобусе разместится в комнате 1, со второго — в комнате 3, с третьего — в комнате 5
Отель Гильберта 161
12 3
4 5
6
7
8
л
12 3
4 5
6
7
8
2л-1 2л
t / \
0*1*1
Л
W
Рис. 104. Как расселить туристов из бесконечного автобуса
и так далее. Турист с места номер п поселится в комнате 2п -1.
Нет покоя администратору отеля. Через 10 минут он с ужасом наблюдал, как на парковку отеля (бесконечную) въезжает бесконечная череда бесконечных автобусов фирмы «Бесконечные путешествия».
Администратор выбегает им навстречу:
— У нас нет свободных мест! Но мы все равно всех вас разместим!
— Как? — спрашивает водитель первого автобуса.
— Я сведу вашу задачу к уже решенной, — объясняет администратор. — Я хочу, чтобы все пересели в первый автобус.
— Но в нем нет свободных мест! И автобусов бесконечно много!
— Не беда. Паркуйте автобусы рядышком и перенумеруйте все места в них в диагональном порядке (рис. 105).
— Как это нам поможет? — спрашивает водитель.
— Никак — пока что. Но теперь каждый пассажир во всех ваших автобусах получит новый номер, и каждый номер будет встречаться только один раз.
— И...?
— Пересадите каждого пассажира в первый автобус на соответствующее место.
Водитель так и сделал. Теперь все туристы сидели в первом автобусе, а остальные — теперь свободные — уехали.
— Теперь у меня полный отель и всего один автобус туристов, — сказал администратор, — уж с ними-то я справлюсь.
162 Непрерывные автобусы
С 10 14 19 Автс
Uo±ai0i0_i0-L0_i0J0_L_
Автобус 4
Автобус 5
_±а
Рис. 105. Диагональный порядок администратора: числа 2-3, 4-5-6, 7-8-9-10 и так далее идут по наклонной влево и вниз
НЕПРЕРЫВНЫЕ АВТОБУСЫ
Тебя не должно удивлять, что отель Гильберта все же столкнулся с неразрешимыми проблемами при размещении гостей. В этот раз отель был совершенно пуст, но даже это не спасло ситуацию. Ко входу подъехал канторовский непрерывный автобус.
Георг Кантор первым разбирался с математикой бесконечных множеств. Он открыл замечательные свойства континуума — системы действительных чисел. Любое действительное число можно записать десятичной дробью. Она может содержать конечное количество цифр, как 1,44, или быть бесконечной, как п. Вот что Кантор выяснил.
В непрерывном автобусе места пронумерованы действительными числами, а не натуральными.
«Что ж, — подумал администратор, — одна бесконечность похожа на другую, ведь так?» — и распределил пассажиров по комнатам. Вскоре отель заполнился, и у стойки никого не осталось.
Администратор облегченно вздохнул:
— Всем нашлось место, — сказал он сам себе.
И тут в дверном проеме появилась потерянная фигура.
— Добрый вечер, — поздоровался администратор.
Непрерывные автобусы 163
— Меня зовут Диагональ. Соображаешь? Пропустил диагональ. Ты пропустил меня, приятель.
— Что ж, я всегда могу передвинуть всех в соседнюю комнату...
— Ну нет, приятель, ты сказал: «Всем нашлось место», я сам слышал! Но не мне.
— Ерунда! Ты занял комнату, потом выскользнул через заднюю дверь и зашел в переднюю. Видал я таких!
— Нет, приятель, я могу доказать, что мне не нашлось места. Кто в первой комнате?
— Я не раскрываю приватной информации о гостях.
— А какая первая цифра после запятой в номере места, которое он занимал в автобусе?
— Думаю, могу сказать: 2.
— А у меня 3. Значит, я не из первой комнаты. Согласен?
— Согласен.
— А какая вторая цифра после запятой в номере места, которое занимал гость из второй комнаты?
— 7.
— А у меня вторая цифра 5. Так что я не постоялец из второй комнаты.
— Разумно.
— Да, приятель, можем продолжать. Какая третья цифра у того, что в третьей комнате?
— 4.
— А моя третья цифра 8. Я не из третьей комнаты.
— Гмм... Я вижу, куда вы клоните.
— Да уж, приятель. Моя и-я цифра не совпадает с п-й цифрой постояльца в комнате и для всех и. Я не останавливался в комнате и. Как я уже сказал, ты меня пропустил.
— А как я сказал, я могу переселить каждого в соседнюю комнату с номером на 1 больше и найти потом местечко для тебя.
— Без толку, приятель. Бесконечно много таких, как я, ждут на парковке в автобусе. Как ты ни распределяй пассажиров по комнатам, в автобусе всегда останется кто-то, для кого и-я цифра отлична от и-й цифры постояльца в и-й
164 Удивительное разрезание
комнате для любого и. На самом деле в автобусе останется целая орда таких. Всегда кому-то не хватит места.
Ты же понимаешь, что Кантор записал свое доказательство немного другими словами, но идея была именно эта. Он доказал, что бесконечное множество действительных чисел нельзя перенумеровать бесконечным множеством натуральных. Одни бесконечности больше других.
УДИВИТЕЛЬНОЕ РАЗРЕЗАНИЕ
— Зачем ты портишь шахматную доску? — спросил Митрофанушка.
— Хочу кое-что показать тебе про площади, — ответила Филомата. — Ты знаешь, какова площадь шахматной доски, если площадь одной клеточки — одна квадратная единица?
Митрофанушка разбирался в математике лучше, чем думают те, кто знает его имя, поэтому поразмыслил и ответил так:
— Это восемью восемь, т. е. 64 квадратные единицы.
Рис. 106. Так Филомата разрезала доску...
— Прекрасно! — воскликнула Филомата. — Теперь я переставлю кусочки, чтобы получился прямоугольник.
Рис. 107. ...а вот так она сложила кусочки
По-настоящему удивительное разрезание 165
— Хорошо, — согласился Митрофанушка.
— Какая площадь у прямоугольника?
— Ну... должны остаться те же 64 квадратные единицы! Он же сделан из тех же кусочков!
— Да, и все же: чему равна площадь прямоугольника?
— Так... пятью тринадцать!
— А сколько это — пятью тринадцать?
— Шестьдесят пять, — ответил Митрофанушка. Помолчал. — Площадь равна 65 квадратных единицам. Это странно. Площадь ведь не может измениться оттого, что ты переставила кусочки.
Что же произошло?
ПО-НАСТОЯЩЕМУ УДИВИТЕЛЬНОЕ РАЗРЕЗАНИЕ
«Площадь ведь не может измениться оттого, что переставили кусочки». Гммм...
В 1924 году два польских математика, Стефан Банах и Альфред Тарский, доказали, что шар можно разрезать на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара того же размера, что исходный (рис. 108). Никаких перекрытий, никаких пропусков — кусочки подходят друг к другу идеально. Этот результат известен как парадокс Банаха-Тарского, хотя это настоящая теорема, а от парадокса в ней только то, что она кажется неправдой.
Давай подумаем. Конечно же, если ты разрежешь шар на несколько кусочков, их общий объем должен быть равен объему шара. Как их ни перекладывай, общий объем не изменится. А объем двух новых шаров вдвое больше объема
Рис. 108. Это можно сделать, только кусочки надо взять другие
166 По-настоящему удивительное разрезание
одного (того же размера). Не нужно быть гением, чтобы понять, что так не бывает! Если бы это было возможно, ты бы взял золотой шар, разрезал бы его и сложил два шара, получив вдвое больше золота. Повтори операцию... Ты не получишь что-то из ничего.
Притормози. Не спеши.
Рассуждение про золотые шары недоказательно, ведь математические модели не всегда точно воспроизводят действительность. В математике объемы можно разделить на бесконечно маленькие кусочки. А в жизни ты вынужден остановиться на атомном уровне. Вот почему прием с золотом может не сработать. И наоборот, рассуждение про объемы выглядит непробиваемым. Но в нем есть лазейка: подразумевается, что у кусочков есть объем. Объем — такое привычное понятие, что мы забываем, каким оно может быть коварным.
Сказанное не означает, что Банах с Тарским были правы, а только поясняет, что они не обжателъно ошибались. В отличие от элегантных многоугольников, на которые Филомата резала шахматную доску, «кусочки» Банаха-Тарского больше похожи на облака бесконечно малых пылинок. Они такой сложной формы, что их объем нельзя определить, — если мы хотим, чтобы они подчинялись обычному правилу «когда складываешь разные кусочки, их объемы тоже складываются». Если это правило не выполняется, то рассуждения про объемы не проходят. Один шар и две его копии имеют вполне определенные объемы, но на промежуточных этапах отдельных кусочков они не такие.
А какие? Ну... не такие.
Банах и Тарский поняли, что эта лазейка может сделать возможным их парадоксальный разрез. Они доказали, что:
• ты можешь разрезать шар А на конечное число очень сложных, возможно несвязных, частей;
• ты можешь сделать то же самое с двумя шарами В и С того же размера;
• ты можешь сделать это так, что части В и С вместе в точности соответствуют частям А)
По-настоящему удивительное разрезание 167
• ты можешь расположить соответствующие части так, что они будут точными копиями друг друга.
Доказательство теоремы Банаха-Тарского сложное и техническое, оно опирается на теоретико-множественное предположение, известное как аксиома выбора. Некоторых математиков оно беспокоит. Но беспокоит вовсе не тот факт, что оно приводит к парадоксу Банаха-Тарского, — это не повод для отказа от аксиомы. Почему? Потому что парадокс Банаха-Тарского не такой уж парадоксальный. Изощренная интуиция подсказывает, что такое парадоксальное разрезание вполне возможно.
Попытаемся овладеть такой интуицией. Все зависит от странного поведения того, что мы называем бесконечными множествами. Хотя размер сферы конечен, точек в ней бесконечно много. Вот тут-то бесконечность проявляет свое причудливое поведение.
Похожая ситуация в русском алфавите: в нем только 33 буквы А, Б, В, ..., Я. Из этих букв можно составлять слова, допустимые слова перечислены в словаре. Предположим, что в качестве слов допустимы любые последовательности букв, сколь угодно длинные или короткие. Тогда АА- АВДЩХ — слово, а также ЖЗД, и ЯЯЯ...Я (а в нем десять миллионов букв Я). Такой словарь издать невозможно, но для математиков это вполне определенное множество, в котором бесконечно много слов. Мы можем «разрезать» словарь на 33 части; в первую войдут все слова, которые начинаются на А, во вторую — на Б, и так далее; в 33-ю часть войдут слова, которые начинаются на Я. У этих частей нет общих слов, а каждое слово входит ровно в одну часть.
Однако каждая часть имеет ту же структуру, что и исходный словарь. Например, вторая часть содержит слова БАААВДЩХ, БЖЗД, БЯЯЯ...Я. Третья — слова ВАААВ- ДЩХ, ВЖЗД, ВЯЯЯ...Я. Ты можешь из каждой части сделать целый словарь, если отбросишь первую букву каждого слова. Произошло вот что: мы «разрезали» словарь на 33 точные его копии.
Банах и Тарский придумали способ сделать то же самое с бесконечным множеством точек шара. Их алфавит со¬
168 Что у тебя в рукаве?
стоял из двух различных вращений сферы; их слова — это последовательности вращений. Усложнив словарную игру, можно играть с вращениями — и получить искомое разрезание шара. Теперь в алфавите две «буквы», поэтому исходный шар превращается в две одинаковые копии.
Внимательный читатель заметил, что я немножко сжульничал для простоты. Когда я отбросил, например, начальную букву Б из слов второй части, я получил не только весь исходный словарь, но вдобавок еще одно «пустое» слово, которое возникает при отбрасывании первой буквы Б из однобуквенного слова Б. Поэтому мое «разрезание словаря» приводит к 33 его копиям и еще 33 лишним однобуквенным словам А, Б, В, ..., Я. Чтобы все было аккуратно, нужно лишние 33 слова распределить по частям словаря. Похожая проблема встает в конструкции Банаха и Тарского, но это уже тонкости. Если их не учитывать, мы все равно получим удвоенный шар — ив придачу еще несколько точек. Что тоже удивительно.
После того как Банах и Тарский доказали теорему, математики стали размышлять, на какое наименьшее число частей можно таким образом разрезать.
В 1947 году Абрахам Робинсон доказал, что разрезать можно на 5 частей, но не меньше. Если игнорировать одну- единственную точку — центр шара, то это число снижается до 4.
На самом деле теорема Банаха-Тарского не о разрезании шара на две части. Она о невозможности дать разумное определение объема для действительно сложных фигур.
ЧТО У ТЕБЯ В РУКАВЕ!
Как снять веревочную петлю с руки, не вынимая руки из кармана пиджака (см. рис. 109)? Более точная формулировка: возьми двухметровую веревочку и свяжи ее концы, чтобы получилась петля. Надень пиджак, застегнись, продень руку сквозь петлю и засунь в карман. Теперь сними петлю, не вынимая руку из кармана. Запрещается еще просовывать петлю в карман и там незаметно снимать ее с пальцев.
Что у тебя на ноге? 169
Рис. 109. Сними петлю, не вынимая руки из кармана
ЧТО У ТЕБЯ НА НОГЕ!
Когда твои друзья научатся решать предыдущую задачу, но еще не снимут пиджак, дай им еще одну: сделать то же самое, все еще в пиджаке, но с рукой в кармане брюк.
ДВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
Евклидова геометрия славится своей логической непротиворечивостью: в ней нет противоречащих друг другу теорем. Но на самом деле у Евклида были ошибки. Вот пример.
Одна из теорем Евклида гласит, что если даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой, то можно провести ровно один перпендикуляр из этой точки к этой прямой (рис. 110). Иначе говоря, существует прямая, которая проходит через данную точку и пересекает данную прямую под прямым углом, и такая прямая только одна. (Если бы их было две, они были бы параллельными и не могли бы проходить через одну точку.)
170 Два перпендикуляра
Р Q
Рис. 110. Для заданных прямой АВ и точки X мы можем найти такую точку Р, что отрезок РХ будет перпендикулярен к АВ. Другой такой точки Q не существует, потому что перпендикуляр, проходящий через Q, будет параллелен РХ и не пройдет через X
Другая теорема Евклида гласит, что если ты возьмешь окружность и точку на ней соединишь с концами одного из диаметров, то получишь прямоугольный треугольник (рис. 111).
Рис. 111. Если АВ — диаметр окружности, то АРВ — прямой угол
Давай заставим эти теоремы работать вместе и посмотрим, что получится.
Рис. 112. Как построить два перпендикуляра
Можно ли услышать форму барабана ? \“] \
Для заданных отрезка АВ и точки X построим окружности с диаметрами АХ и ВХ. Обозначим точку пересечения отрезка АВ с первой окружностью буквой Р, а со второй — буквой Q. Тогда угол АРХ прямой, ведь АХ — диаметр первой окружности. По таким же соображениям угол BQX тоже прямой. Итак, из точки X на прямую АВ опущены два перпендикуляра — ХР и XQ (рис. 112).
Какая из двух теорем Евклида неверна?
МОЖНО ЛИ УСЛЫШАТЬ ФОРМУ БАРАБАНА!
Декорации великолепны: берега Рейна, залитые лунным светом. Оркестр репетирует оперу «Сумерки богов» Вагнера. Вот Зигфрида настигает трагическая смерть, и дирижер, Отто Фендербендер, поднимает палочку: начинается траурный марш. Первыми вступают одинокие литавры, отбивают замысловатый ритм в тональности до-диез...
— О нет! — восклицает Фендербендер и швыряет палочку под ноги. — Не так, болваны!
— Господин Фендербендер, — протестует (не самая мудрая идея) первый литаврист, — ритм совершенно ве...
— Ритмы-шмитмы, — раздражается Фендербендер.
— И темп точно такой, как указано в парти...
— Да я не про темп\ — дирижер срывается на визг.
— Высота звука тоже верна, в точности до-ди...
— Высота? Высота?! Разумеется, верная! Я сам слышал, когда оркестр настраивался! У меня абсолютный музыкальный слух!
— А что же...
— Форма, идиот! Форма!
Отто изо всех сил старается описать, что слышал:
— Один из барабанов звучит слишком... слишком квадратно. У остальных нормальный... скругленный такой звук, но один барабан... у него явно есть углы.
— Послушайте, господин Фендербендер, вы же не хотите сказать, что слышите форму барабана?
172 Можно ли услышать форму барабана?
Рис. 113. Некоторые виды колебаний круглого барабана
— Я слышу то, что слышу, — дирижера не собьешь! Один из барабанов слишком квадратный.
Так вот, — дирижер прав. Все дело в бесселевых функциях.
Сейчас я объясню. Когда на барабане отбивают ритм, он производит разные ноты одновременно, и каждая нота соответствует своему виду колебаний. У каждого своя частота, а следовательно, высота звука. Эйлер вычислял вибрационный спектр круглого барабана (рис. 113) — набор частот базовых колебаний — и для этого пользовался специальным математическим инструментом — функциями Бесселя. Для квадратного барабана (рис. 114) вместо них пришлось бы
Рис. 114. Некоторые виды колебаний квадратного барабана
Можно ли услышать форму барабана ? 173
взять другие функции — синус и косинус. В любом случае появляются характерные узоры узловых линий, в которых мембрана барабана остается неподвижной. В любой заданный момент времени мембрана перемещается вверх с одной стороны узловой линии и вниз — с другой. Когда она вибрирует, каждая область между узловыми линиями колеблется вверх-вниз. Быстрые колебания дают высокие звуки, а медленные — низкие.
Математика колебаний доказывает, что форма барабана определяет его спектр, или набор частот: собственно, то, как он может звучать. Можно ли пойти в обратном направлении и определить форму барабана по звуку?
В 1966 году Марк Кац сформулировал этот вопрос точно: можно ли установить форму барабана по заданному спектру?
Вопрос Каца очень важен, несмотря на его несерьезную формулировку. Во время землетрясения вся Земля звонит как колокол, и сейсмологи много узнают о ее внутренней структуре по «звуку», который она издает, и по тому, как звучит эхо, отражаясь от разных пород. Вопрос Каца — самый простой из тех, которые можно задать об этой технике. «Лично я не верю, что кто-то может „слышать" форму, — писал Кац. — Но я могу и ошибаться, так что держать пари я бы не стал».
Первое подтверждение правоты Каца появилось для многомерного аналога задачи. Джон Милнор написал небольшую заметку, в которой доказал, что два разных 16-мерных тора (это такое обобщение бублика) имеют одинаковые спектры. Первые результаты для обыкновенных двумерных барабанов наводили на мысль о положительном ответе: по спектру можно определить различные особенности формы. Сам Кац доказал, что спектром барабана определяются его площадь и периметр. Именно отсюда и следует, что можно по звуку определить, круглый барабан или нет, потому что именно у круга наименьший периметр при заданной площади. Если ты знаешь площадь А и периметр р и вычисления показывают, что р2 = 4кА, как это и должно быть для круга, то барабан круглый, и наоборот. Так
174 Что такое е и почему?
Рис. 115. Первый пример двух барабанов разной формы и одинакового звучания
что когда Фендербендер заявил, что у литавр должен быть приятный округлый звук, он знал, о чем говорил. В 1989 году Каролина Гордон, Давид Вебб и Скотт Уолперт ответили на вопрос Каца: они построили два разных математических барабана, которые производят идентичные наборы звуков (рис. 115). С тех пор были найдены примеры попроще. И теперь мы знаем, что у той информации, которую можно получить по спектру вибраций, есть ограничения.
ЧТО ТАКОЕ е И ПОЧЕМУ!
Число е, приблизительно равное 2,7182, — это «основание натуральных логарифмов», и в самом термине уже слышится история его происхождения.
Основание натуральных логарифмов возникает в разных ситуациях. Ты можешь встретить его, например, наблюдая, как растут денежные суммы на счете, когда сложные проценты применяются ко все более кратким промежуткам времени.
Представь себе, что ты положил на счет в Банке Лога- рифмании один рубль.
Ах нет, мы живем в XXI веке, сейчас никто не кладет деньги в банк, все берут кредиты. Итак, представим себе, что у тебя долг по кредитной карте 1 рубль. (Сумма в 34 675,23 руб. кажется более правдоподобной, но с одним
Что такое е и почему? 175
рублем проще иметь дело.) После того как льготный период закончился — примерно через неделю после оформления карты, банк начисляет на эту сумму проценты: 100% годовых. Через год ты должен им
1 руб. долга + 1 руб. процентов = 2 руб. всего.
Если же каждые полгода начисляются 50% (сложных процентов, т. е. проценты начисляют не только на одолженную сумму, но и на начисленные проценты), то через год твой долг будет таким:
1 руб. долга + 0,5 руб. процентов + 0,75 руб. процентов = = 2,25 руб. всего.
Число 2,25 здесь появилось как (l + ^) , и эта формула
обобщается и для других случаев. Так, если бы сложные проценты начислялись 10 раз в год, по 10 процентов, то через год твой долг составил бы
(l + ^)10 = 2,5937 (руб.).
Банку нравится такой рост, и он решает начислять проценты еще чаще. Скажем, по 1% каждую сотую часть года, тогда сумма достигнет
/ 1 иоо
\1 + Too) =2,7048 (руб.).
Если начислять 0,1% каждую тысячную часть года, то через год получится
/ , \100
(l+T^) =2,7169 (руб.).
И так далее.
Интервалы делаются все мельче и мельче, но общая сумма не растет беспредельно. На самом деле она становится все ближе и ближе к числу 2,7182 — именно это число и стали обозначать буквой е. Это одно из тех странных чисел, вроде к, которые возникают в математике естественным образом, но не выражаются в виде обыкновенной дроби, поэтому для них придумывают специальное обозначение. Это число очень важно для математического анализа и широко используется в научных приложениях.
176 Камо грядеши
КАМО ГРЯДЕШИ
За один ход шахматная королева может пройти любое число клеток по прямой линии — по горизонтали, вертикали или диагонали (если только на пути у нее не встанет другая фигура, но в этой головоломке мы пренебрегаем этим правилом).
Рис. 116. Переведи королеву к королю, посетив каждую клетку ровно однажды
и сделав как можно меньше ходов
Королева начинает путешествие в клетке Q и хочет навестить короля на клетке К. По дороге она собирается посетить всех своих подданных, которые проживают на остальных 62 клетках (рис. 116). Ей достаточно просто пройти по клетке, останавливаться на каждой не обязательно, но время от времени остановки все-таки нужны. Как она может обойти все клетки и закончить путь в королевской, не проходя ни по одной клетке дважды и сделав как можно меньше ходов?
КОЛЕНКИ И СИДЕНЬЯ
Многогранник — это пространственное тело, в котором конечное число плоских граней. Линии пересечения граней называются ребрами, ребра пересекаются в вершинах. Кульминация «Элементов» Евклида — доказательство того, что существует всего пять правильных многогранников (рис. 117). У них все грани — правильные многоугольники (в них все стороны равны и все углы равны), все грани
Коленки и сиденья 177
Октаэдр Куб
(гексаэдр)
Тетраэдр
Икосаэдр додекаэдр
Рис. 117. Пять правильных многогранников
одинаковые, а в каждой вершине грани сходятся тоже одинаково. Вот список пяти правильных многогранников (или пяти Платоновых тел):
• тетраэдр, в котором 4 треугольные грани, 4 вершины и 6 ребер;
• куб, или гексаэдр, в котором 6 квадратных граней, 8 вершин и 12 ребер;
• октаэдр, в котором 8 треугольных граней, 6 вершин и 12 ребер;
• додекаэдр, в котором 12 пятиугольных граней, 20 вершин и 30 ребер;
• икосаэдр, в котором 20 треугольных граней, 12 вершин и 30 ребер.
Названия многогранников начинаются с греческих слов, обозначающих число граней, а «эдр» означает «грань». Ког- да-то это слово означало «сиденье», а это не одно и то же. И кстати, раз уж мы обратились к лингвистике, греческий корень «гон» (в русском языке есть слова с этим корнем: тригонометрия, диагональ, Пентагон, полигон) изначально означал «колено» и только позднее получил техническое значение «угол».
Правильные многогранники возникают в природе — в частности, такие формы могут принимать мельчайшие
178 Коленки и сиденья
организмы под названием «радиолярии» (рис. 118). Первые три многогранника встречаются еще среди кристаллов, но не додекаэдр с икосаэдром; хотя иногда попадаются кристаллы в форме неправильных додекаэдров.
Рис. 118. Радиолярии в форме
правильных многогранников
Модели многогранников несложно сделать из картона. Вырезают набор соединенных между собой граней — развертку многогранника, сгибают ее вдоль ребер, а затем склеивают или соединяют скотчем нужные ребра. Для этого полезно оставлять на развертке припуски для таких пар ребер, как показано на рис. 119.
Раскрою тайное знание: если брать многогранники с ребрами единичной длины, то у них будут такие объемы (в кубических единицах): л/2
• тетраэдр— 0,117851;
• куб — 1;
пч
Рис. 119. Развертки правильных многогранников
Формула Эйлера 179
• октаэдр — у * 0,471405;
• додекаэдр — ^ ф4* 0,471405;
• икосаэдр — ^ ср2~ 2,18169.
Здесь ф — это золотое число (см. с. 99), которое часто возникает, когда речь идет о пятиугольниках, — точно так же, как 7г возникает, когда дело касается кругов или сфер. Знак «»» означает «приблизительно равно».
Аналоги правильных многогранников (политопы) можно построить и в пространствах размерности 4 и выше. Правильных четырехмерных многогранников шесть, а в размерностях 5 и выше — только три.
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Правильные многогранники подчиняются любопытному правилу, которое оказывается очень и очень общим. Если число граней обозначить буквой Г, число ребер — Р, а число вершин — В, то для всех правильных многогранников выполняется равенство
Г - Р + В = 2.
На самом деле эта формула верна для всех многогранников «без дырок» — они топологически эквивалентны сфере. Это соотношение называют формулой Эйлера, его обобщения для высоких размерностей очень важны в топологии.
Формула применима и к картам на плоскости, если мы рассматриваем неограниченную область вокруг карты как еще одну грань. Если же ее игнорировать, то получится формула
Г-Р + В = 1,
она имеет тот же смысл, но ситуация интуитивно понятнее. Я буду называть эту формулу формулой Эйлера для карт.
Рисунок 120 показывает на типичном примере, почему эта формула верна. Значение Г - Р + В записано под каж-
180 Формула Эйлера
5-12 + 8 4-11 + 8 3-10 + 8 2-9 + 8
1-8+8 0-7+8 0-6+7 0-5+6
vC ‘С ^ °
0-4+5 3-3+4 0-2+3 0-1+2 0-0+1
Рис. 120. Доказательство формулы Эйлера для карт на плоскости
дым этапом процесса. Метод доказательства в том, чтобы упрощать карту шаг за шагом. Если мы выбираем грань на краю карты и убираем эту грань вместе с ее граничным ребром, то оба числа Г и Р уменьшаются на 1, а разность Г - Р не изменяется. Раз число вершин сохранилось, то остается прежним значение Г - Р + В.
Так можно стирать одну за другой все грани, пока не останутся одни только ребра и вершины. На рис. 120 это состояние достигается на шестом шаге процесса, когда Г-Р + В = 0- 7 + 8.
Такой рисунок называют деревом, и его тоже можно упрощать, отламывая за раз по одной «веточке» — это такие концевые ребра дерева, у которых одна вершина не связана больше ни с каким другим ребром. Теперь число Г будет оставаться постоянно равным 0, а Р и В будут уменьшаться на 1 с каждой отломанной веточкой. Величина Г - Р + В все равно будет неизменной. В конце концов останется одна-единственная вершина; теперь Г = 0, Р = 0 и В = 1. Поэтому в конце процедуры Г-Р + В = 1. Раз на каждом шаге величина в левой части не менялась, то она должна быть равна 1 и в самом начале.
Формула Эйлера 181
Это доказательство поясняет, почему знаки в формуле меняются — плюс, минус, плюс, — когда мы вводим грани, ребра и вершины.
Похожий прием работает в многомерной топологии по таким же примерно причинам. В приведенном доказательстве спрятано неявное топологическое предположение: карта нарисована на плоскости. Если рассматривать многомерные многогранники, они должны допускать возможность «нарисовать» их на многомерной сфере. Если же многогранник живет на поверхности, топологически не эквивалентной сфере, например на торе, то метод доказательства можно применить и в этом случае, но результат получится другой. Например, если многогранник топологически эквивалентен тору, то для него будет верна формула Г - Р + В = 0. На рис. 121 изображен многогранник, напоминающий раму для картины. Для него Г = 16, Р = 32, В = 16.
На поверхности с g дырками формула принимает такой вид:
Г-Р + В = 2-2g,
поэтому мы можем вычислить количество дырок, нарисовав на поверхности многогранник. Муравей, который живет на поверхности и поэтому не может воспринимать ее «со стороны», все равно сможет сделать выводы о топологии поверхности. Сегодня космологи пытаются определить топологическую форму нашей собственной Вселенной — мы ведь не можем посмотреть на нее со стороны, — используя похожие, но более изощренные топологические идеи.
182 Какой сегодня день?
КАКОЙ СЕГОДНЯ ДЕНЬ!
Вчера папа запутался, что это был за день недели.
— Каждый раз, когда праздники, я путаюсь, — сказал он.
— Пятница, — сказал Даррен.
— Суббота, — возразила его сестра-двойняшка по имени Делия.
— А завтра тогда что? — спросила мама, чтобы завершить спор с наименьшими потерями.
— Понедельник, — сказала Делия.
— Вторник, — сказал Даррен.
— О Господи! А вчера что за день был?
— Среда, — сказал Даррен.
— Четверг, — сказала Делия.
— Р-р-р-р, — зарычала мама и стала похожа на Мардж Симпсон из мультика. — Вы оба дали по одному правильному ответу и по два неправильных.
Так какой день недели сегодня?
ЧИСТАЯ ЛОГИКА
Только слон или кит могут родить существо весом более 100 кг.
Наш сосед весит 150 килограммов.
Следовательно...
(Эту задачу я узнал от писателя и издателя Стефана Темерсона.)
ЛОГИЧНО!
Если бы у поросят были крылья, они бы летали.
В плохую погоду поросята не летают.
Если бы поросята летали, разумные люди брали бы зонтик, выходя из дому.
Следовательно, если погода плохая, разумные люди берут зонтик, выходя из дому.
Породистый вопрос 183
Правда ли, что этот вывод логически верен?
ПОРОДИСТЫЙ ВОПРОС
Дед Назар отправился на сельский сход и встретил там пять своих приятелей: Катерину Кошкину, Сабину Собач- кину, Фому Хомячкова, Севу Свиньина и Зою Зебрикову. Удивительное совпадение — каждый из них был специалистом по разведению животных: котов, собак, хомяков, свиней и зебр, по одному виду на каждого. Правда, названия животных нисколько не похожи на фамилию животновода, который их разводит.
— Поздравляю, Катерина! — воскликнул Назар. — Я слышал, ты взяла третий приз на выставке в свиной номинации!
— Я тоже слышала, — подтвердила Зоя.
— А ты, Фома, получил второе место на выставке собак.
— Ну нет, Назар, ты же знаешь, я и пальцем не дотронусь до собаки. Или до зебры.
Фома обратился к тому, чья фамилия напоминала о животных, которых разводила Зоя:
— А тебе достался какой-нибудь приз?
— Да, золотая медаль за призового хомячка! Предположим, что все высказывания правдивы. Кто кого
разводит?
СПРАВЕДЛИВЫЙ РАЗДЕЛ
В 1944 году, когда Советская армия освобождала Польшу от нацистов, математику Гуго Штейнгаузу приходилось скрываться в городе Львове, и он пытался отвлечься, решая головоломку. Как ты. Головоломка была такая.
Несколько человек хотят разделить пирог (можешь заменить его пиццей). Они хотят разделить его по-честно¬
184 Шестой смертный грех
му: так, чтобы никому не казалась, что ему досталась доля меньше той, что кажется ему справедливой.
Штейнгауз знал, что для двух человек такой способ дележа существует: один человек режет пирог пополам, а другой выбирает себе ту половинку, которая ему больше нравится. Второй человек не должен обижаться — ведь он сам сделал выбор; первый тоже — если разделил не поровну, то сам виноват.
Как по-честному разделить пирог на троих?
ШЕСТОЙ СМЕРТНЫЙ ГРЕХ
Это зависть, и задача в том, чтобы ее избежать. Стефан Банах и Бронислав Кнастер распространили Штейнгаузов метод деления пирога на троих на произвольное число человек и упростили его для трех. Их работа закрыла вопрос, но потом обнаружилась одна тонкость — предложенная процедура может быть справедлива, но она не учитывает зависть. Метод свободен от зависти (беззавистлив), если никто не думает, что кому-то другому досталось больше, чем ему самому. Каждый беззавистливый метод деления справедлив, но не каждый справедливый метод деления беззавистлив. Ни метод Штейнгауза, ни метод Банаха-Кна- стера не свободны от зависти.
Например, Белинда может считать, что Артур разделил пирог по-честному. Тогда метод Штейнгауза заканчивается после шага 3: и Артур, и Белинда считают, что все три куска ровно по одной трети пирога. Вольдемар должен думать, что его кусок составляет по меньшей мере 1/3, так что распределение пропорционально. Но если Вольдемар видит, что доля Артура — 1/6, а доля Белинды — 1/2, то он будет завидовать Белинде, ведь ей достался кусок, который Вольдемару кажется больше своего собственного.
Можешь ли ты придумать беззавистливый метод деления пирога на троих?
Странная арифметика 185
СТРАННАЯ АРИФМЕТИКА
— Нет, Генри, так не годится, — сказал учитель, указывая на тетрадь, где Генри записал:
I 8 _18
4 х 5 ~ 45 '
— Простите, сэр, а что не так? Я проверил на калькуляторе, ответ верный.
— Да, Генри, ответ верный, — признал учитель, — хотя лучше бы сократить на 9 и получить две пятых, это выглядит проще. Беда в том, что...
Объясни Генри, в чем его ошибка. А затем найди все такие примеры двух дробей, которые при умножении способом Генри дают правильный ответ. В числителях и знаменателях первых двух дробей должны быть однозначные ненулевые числа.
КАКОЙ ГЛУБИНЫ КОЛОДЕЦ!
В одном эпизоде сериала «Команда времени»19 неутомимые археологи хотят измерить глубину средневекового колодца. Они бросают в него какой-то предмет и засекают, сколько времени тот падает. Оказалось, поразительно много — целых шесть секунд. Кажется, что тарахтенье падающего предмета длится целую вечность. Археологи оказались в опасной близости к вычислению глубины колодца с помощью ньютоновских законов движения, но в последний момент сдались и прибегли к помощи трех очень длинных мерных лент, связанных вместе. Ученые чуть не воспользовались формулой
s = \gt2'
19 «Команда времени» (Тime Тearn) — британский телесериал. В каждой его серии показана работа команды археологов, которые проводят раскопки, а ведущий объясняет смысл их работы неспециалистам. В каждой серии место раскопок новое. — Прим. перев.
186 Квадраты Мак-Магона
где s — расстояние, пройденное под действием силы тяжести из положения покоя, a g — ускорение свободного падения. Эта формула не учитывает сопротивления воздуха. Галилео Галилей получил ее экспериментально, а Исаак Ньютон позднее обобщил для описания движения тел под действием произвольной силы. Можно приближенно считать, что g = 10 м/с2 (метров в секунду за секунду). Какой глубины колодец?
Как у команды времени, у тебя есть три дня на вычисления.
КВАДРАТЫ МАК-МАГОНА
Эту головоломку придумал специалист по комбинаторике П. А. Мак-Магон в 1921 году. Он размышлял о квадрате, разделенном диагоналями на четыре треугольника. Его интересовал вопрос, сколькими способами можно раскрасить такой квадрат, если есть краски трех цветов. Оказалось, что если считать одинаковыми раскраски, которые совпадают при поворотах и отражениях, то получается всего 24 способа. Найди их все.
Все таким образом раскрашенные 24 единичных квадратика можно разместить в прямоугольнике размером 6x4. Можешь ли ты сложить их в такой прямоугольник так, чтобы соприкасающиеся треугольнички соседних квадратиков были одного цвета, а также весь периметр прямоугольника был одноцветным?
ЧТО ТАКОЕ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ МИНУС ЕДИНИЦЫ!
Квадратный корень из данного числа — это такое число, квадрат которого равен данному. Например, квадратный корень из 4 равен 2. Если допустить отрицательные кор-
Что такое квадратный корень из минус единицы? 18 7
ни, то -2 — это второй корень из 4, потому что минус на минус дает плюс. Плюс на плюс тоже дает плюс, поэтому квадрат любого числа — положительного или отрицательного — положителен. Похоже, что у отрицательных чисел, в частности у -1, не может быть квадратных корней.
Несмотря на это, математикам (а также физикам с инженерами, да и всем, кто работает в естественных науках) удобно наделить минус единицу квадратным корнем. Это не число в обычном смысле слова, поэтому оно получило новое обозначение: х, если ты математик, и j — если инженер.
Квадратные корни из отрицательных чисел появились в математике около 1450 года в алгебраических задачах. В те дни идея была головоломной, потому что люди представляли себе числа как нечто реальное. Даже отрицательные числа приводили к недоразумениям, но все к ним быстро привыкли, когда поняли, насколько они полезны. Примерно та же история произошла с х, только заняла гораздо больше времени.
Один из трудных вопросов — как изобразить i геометрически. С понятием числовой прямой все свыклись — это бесконечная линейка, справа на ней положительные числа, слева отрицательные, между целыми числами — дроби (рис. 122).
Все вместе эти знакомые числа стали называться действительными, потому что они точно соответствовали физическим величинам. Ты можешь увидеть 3 коровы или 2,73 килограмма сахара.
Но для «нового» числа х на действительной числовой прямой места не было. Со временем математики поняли, что оно не обязано на ней размещаться. Раз это новый вид чисел, для него нужно найти новое место. Его поместили на другую прямую, перпендикулярную действительной (рис. 123).
V2~ я
-3-2-1 0 1 2 3
Рис. 122. «Действительная» числовая прямая
188 Что такое квадратный корень из минус единицы?
Рис. 123. «Мнимая» числовая прямая, расположенная под прямым углом к действительной
Рис. 124. Комплексное число — это действительное число плюс мнимое
И если ты прибавишь мнимое число к действительному, то результат окажется где-то на плоскости, заданной этими двумя прямыми (рис. 124).
С умножением сложнее. Основная идея в том, что умножить число на i — значит повернуть его вокруг начала координат О на прямой угол против часовой стрелки. Например, 3, умноженное на i, — это 3i, именно сюда попадет точка, обозначенная числом 3, после поворота на угол 90°.
Новые числа расширили знакомую числовую прямую до числовой плоскости. К этой идее независимо пришли три математика: норвежец Каспар Бессель, француз Жан Робер Арган и немец Карл Фридрих Гаусс.
Комплексные числа не встречаются в повседневных ситуациях, когда мы проверяем чеки в супермаркете или снимаем мерки для шитья костюма. Они применяются, например, в электротехнике и проектировании летательных аппаратов — технологиях, которыми мы можем пользоваться, не имея представления о математике, лежащей в их основе.
Но инженерам и проектировщикам она нужна.
Самая красивая формула 189
САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА
Иногда кто-нибудь устраивает опрос: какая формула в математике самая красивая (да, так бывает, я ничего не придумываю, честное слово), и почти всегда побеждает знаменитая формула, открытая Эйлером, в которой комплексные числа связывают между собой две знаменитые постоянные — е и п. Это формула
ein = -1,
она играет большую роль в разделе математики, известном как комплексный анализ.
ПОЧЕМУ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ВЕРНА!
Меня часто спрашивают, можно ли доступно объяснить формулу Эйлера etK = -1. Оказывается, можно, но потребуется некоторая подготовка — около двух лет обучения математике в вузе.
Это напоминает шутку об одном профессоре, сказавшем на лекции, что некий факт очевиден. Когда его попросили пояснить, лектор вышел на полчасика, затем вернулся, подтвердил: «Да, действительно очевиден» — и как ни в чем не бывало продолжил читать лекцию. Только «полчасика» надо заменить на «два года». Итак, я собираюсь дать доступное объяснение. Пропусти его, если не видишь смысла в этом кусочке. Или не пропускай, и тогда увидишь, как высшая математика иногда рождает новые идеи, смешивая уже известные причудливыми способами. Необходимые ингредиенты — немного геометрии, капелька дифференциальных уравнений и чуток комплексного анализа.
Основная идея в том, чтобы решить дифференциальное уравнение
Ш = iz>
где z — комплексная функция от времени t, а начальное условие — z(0) = l. Из курса дифференциальных уравнений хорошо известно, что решение этого уравнения — функция
z(t) = eil.
190 Ваш звонок может быть записан в учебных целях
длина дуги от 1 до -1 j_
■\Г
Jz(t)
Й'
л
V
^S\3TO угол
— т
величиной
-L
tрадиан
Рис. 125. Геометрия дифференциального уравнения
На самом деле ты можешь определить таким образом экспоненциальную функцию.
Дадим геометрическую интерпретацию этого уравнения. Умножение на i — это то же самое, что поворот на прямой угол, поэтому вектор iz перпендикулярен 2. Касательный вектор iz(t) к решению в любой точке z(t) всегда перпендикулярен радиус-вектору от 0 до z(t), а длина его равна 1. Значит, решение z(t) всегда лежит на единичной окружности, а точка z(t) движется по этой окружности с угловой скоростью 1, измеряемой в радианах в секунду (рис. 125). (Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.) Длина окружности единичного радиуса равна 2я, поэтому точка t = л расположена на полпути по окружности. Очевидно, это точка z = -1. Следовательно, eln = -1, это и есть формула Эйлера.
Ингредиенты этого доказательства хорошо известны, но вся история не так знаменита. Разобраться, почему окружности (связанные с я) имеют отношение к экспонентам (определяются через е), — серьезный шаг. При должной подготовке формула Эйлера уже не выглядит такой загадочной.
ВАШ ЗВОНОК МОЖЕТ БЫТЬ ЗАПИСАН В УЧЕБНЫХ ЦЕЛЯХ
«Номер, который вы набрали, мнимый. Пожалуйста, поверните телефон на 90° и повторите набор».
Архимед,, да ты обманщик '191
АРХИМЕД, ДА ТЫ ОБМАНЩИК!
«Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!» Хорошо известно, что именно так воскликнул Архимед, когда открыл закон рычага. В применении к этому восклицанию закон означает вот что: (сила, приложенная Архимедом) х (расстояние от Архимеда до точки опоры) = (вес земли) х (расстояние от Земли до точки опоры).
На рис. 126 точка опоры — это вершина маленького черного треугольника.
Я не думаю, что Архимеда интересовало положение Земли в пространстве, но он хотел бы, чтобы точка опоры была зафиксирована. (Я знаю, что он сказал: «Дайте мне точку опоры», но если точка опоры будет двигаться, то ничего не выйдет, поэтому будем считать, что она не должна.) Ему еще нужен был абсолютно жесткий рычаг нулевой массы; и возможно, он не осознавал, что ему еще нужна была равномерная сила тяжести — а астрономия учит нас, что она неравномерна, — чтобы перевести массу в вес. Это неважно, я не собираюсь рассуждать об инерции и придираться по мелочам. Давайте пообещаем Архимеду все, что нужно. Мой вопрос вот в чем: когда Земля сдвинется (как обещал Архимед), насколько далеко она сдвинется? И нельзя ли было получить этот результат другим способом, попроще?
Рис. 126. Закон рычага
192 Фракталы — геометрия природы
ФРАКТАЛЫ — ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ
Время от времени в математике возникают новые области. Один из самых известных «новичков» — фрактальная геометрия, открытая Бенуа Мандельбротом. Именно он в 1975 году придумал слово «фрактал». В первом приближении это математический метод справиться с иррегулярностью природы и выявить в ней скрытую структуру. Эту область прославили красивые компьютерные картинки (рис. 127), но ее смысл гораздо глубже.
Рис. 127. Часть знаменитого фрактала — множества Мандельброта
Традиционно в евклидовой геометрии рассматривались такие объекты, как треугольники, квадраты, круги, конусы, сферы и тому подобное. Эти формы просты, и, в частности, у них нет тонкой структуры. Если увеличивать, например, окружность, то любая ее часть будет выглядеть все более похожей на обычную прямую. Такие формы играют огромную роль в науке; например, Земля по форме напоминает шар, и для многих целей такой уровень приближения достаточен.
У многих природных объектов формы гораздо сложнее. Деревья ветвисты, облака размыты, горы иззубрены, береговая линия изрезана... Чтобы задать эти формы математически и решать о них задачи, нам нужны новые ингредиенты. Запас задач в этой области неисчерпаем — как деревья рассеивают энергию ветра, как волны размывают берег, как
Фракталы — геометрия природы 193
вода собирается в реки, стекая с гор. Это всё практические вопросы, часто связанные с экологией и защитой окружающей среды, а не отвлеченные теоретические проблемы.
Береговые линии — хороший пример. Это извилистые кривые, но для их описания не подойдет старая извилистая кривая. У береговых линий есть любопытное свойство: они выглядят примерно одинаково в любом масштабе. Если карта показывает больше деталей, мы увидим больше извилин. Точная форма меняется, но «текстура», похоже, остается неизменной. На жаргоне говорят, что кривая «статистически самоподобна». Все статистические свойства береговой кривой, такие как доля заливов определенного относительного размера, остаются прежними при любом увеличении.
Мандельброт придумал слово «фрактал», чтобы описывать объект, сохраняющий затейливую форму при любом увеличении. Он не обязан быть статистически самоподобным, хотя с такими фракталами проще разобраться. А те, которые самоподобны в точности, еще приятнее; поэтому именно с них началась наука про фракталы.
Лет сто назад математики придумали геометрические фигуры новой породы; они были не просто статистически самоподобны — они были самоподобны в точности. Если увеличивать масштаб изображения, они все равно выглядели как оригинал. Самая знаменитая из этих фигур — снежинка Коха, которую придумал Хельге фон Кох в 1904 году. Ее можно собрать из четырёх экземпляров кривой, изображенной на рис. 128 справа.
Рис. 128. Снежинка Коха и этапы ее построения
194 Фракталы — геометрия природы
Эта кривая (а не вся снежинка целиком) в точности самоподоб- на (рис. 129). На каждом шаге построения берут 4 экземпляра кривой предыдущего этапа, уменьшают их втрое, а затем соединяют так, как показано на этапе 1 рис. 128. Сделав бесконечно много шагов этой процедуры, мы получим бесконечно извилистую линию, составленную из четырех экземпляров себя самой, уменьшенных втрое; поэтому она само- подобна.
Эта фигура слишком регулярна для того, чтобы изображать береговую линию, но у нее подходящая степень извилистости. Менее регулярные фигуры, построенные по такому же принципу, уже выглядят очень похожими на настоящую береговую линию. Степень извилистости можно выразить числом, которое называют фрактальной размерностью.
Чтобы разобраться с этим понятием, я рассмотрю некоторые простые нефрактальные фигуры и выясню, как они выглядят в разных масштабах.
Если я разделю отрезок на кусочки, скажем, размером в 1/5 от исходного, то мне понадобится 5 таких кусочков, чтобы опять сложить из них целый отрезок. Чтобы сложить квадрат, мне понадобится 25 кусочков, или 52. Для куба потребуется 125 маленьких кубиков, а это уже 53 (рис. 130).
Рис. 129. Каждая четверть кривой, увеличенная втрое, выглядит как сама кривая
□
0
Рис. 130. Эффект от масштабирования «кубов» размерностей 1, 2 и 3
Фракталы — геометрия природы 195
Степень пятерки, которая нам встретилась, — это и есть размерность фигуры: 1 для отрезка, 2 для квадрата и 3 для куба. И вообще, если размерность равна d и для того, чтобы сложить исходную фигуру, требуется к кусочков размера 1 /и от исходной, то к = nd. Перейдем к логарифмам:
j lnfc я — :— .
In и
Вдохни поглубже — сейчас мы применим эту формулу к снежинке. Нам нужно к = 4 кусочка размером 1/3 от исходного, поэтому п = 3. Формула дает значение
» lnfc a = ^—,
Inn
приблизительно оно равно 1,2618. Получилось, что «размерность» снежинки — нецелое число. Это было бы плохо, если мы представляли бы себе размерность в традиционном смысле, как число доступных независимых направлений. Но раз нам нужна только численная мера извилистости, основанная на самоподобии, все в порядке. Кривая размерности 1,2618 извилистее, чем кривая размерности 1 (это может быть прямая), но менее извилиста, чем кривая размерности, скажем, 1,5.
Есть десятки технически разных способов определить размерность фрактала, большинство из них работает и в тех ситуациях, когда он не самоподобен. Один из способов, предпочитаемых математиками, называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Ее ужасно неудобно определять и еще неудобнее вычислять, зато у нее есть приятные свойства. Физики обычно используют упрощенную версию, называемую емкостной размерностью. Ее легко вычислять, но ей недостает почти всех тех прекрасных свойств, что есть у размерности Хаусдорфа-Безиковича. Несмотря на все это, обе размерности часто совпадают, поэтому термин «фрактальная размерность» может относиться к обеим.
Фракталы не обязаны быть кривыми: они могут быть сложными поверхностями, или телами, или фигурами еще более высоких размерностей. В таких ситуациях фрактальная размерность показывает, насколько грубый этот
196 Фракталы — геометрия природы
фрактал и насколько эффективно он заполняет пространство. Фрактальные размерности появляются в большинстве приложений фракталов, и в теоретических вычислениях, и в экспериментах. Например, фрактальная размерность настоящей береговой линии примерно равна 1,25 — удивительно хорошо согласуется с результатом для снежинки Коха.
Фракталы пришли в математику уже давно, и сейчас нет ничего необычного в том, что они встречаются в математических моделях в разных науках. Они служат основой одного эффективного метода сжатия компьютерных файлов или видеоизображений. Впечатляющий пример — это романес- ко, вид капусты, ее можно купить в супермаркете (рис. 131). Каждый маленький цветочек по форме напоминает всю капусту, и все они расположены в виде утончающихся спиралей Фибоначчи. Пример этот — лишь вершина айсберга фрактальных структур в растениях. Хотя большинство из них еще не рассортировано, уже ясно, что фрактальная структура определяется процессом роста, а он, в свою очередь, регулируется генами растений. Поэтому здесь геометрия значит больше, чем просто красивая картинка.
Приложения фракталов разнообразны, от тонкой структуры минералов до формы целой вселенной. Фракталы используются для антенн мобильных телефонов — такие формы самые эффективные. Фрактальные методы сжатия изображений втискивают огромное количество информации на CD и DVD. Есть даже приложения в медицине: например, геометрия фракталов используется для выявления раковых клеток — у них складчатая поверхность, и ее фрактальная размерность выше, чем у обычных клеток.
Лет десять назад команда биологов (Джеффри Уэст, Джеймс Браун и Брейн Энкуист) обнаружила, что фрак¬
Рис. 131. Романеско — где еще можно встретить больше самоподобия!
Фракталы — геометрия природы 197
тальная геометрия объясняет давнюю загадку закономерностей в живых организмах. Такие закономерности представляют собой «законы масштабирования». Например, скорость метаболизма у многих животных пропорциональна их массе в степени §, а время созревания эмбрио-
1
на пропорционально массе взрослого в степени -j. Откуда 1
берется дробь т — загадка. Если бы показателем степени \
была дробь ^, ее можно было бы объяснить через объем,
1
ведь объем пропорционален кубу длины. Но появление ^ и
связанных с ней дробей | и объяснить сложнее.
Команда биологов придумала изящную идею: основное ограничение на скорость роста организмов — это транспортировка жидкостей, таких как кровь, в организме. Для решения этой задачи природа строит разветвленную сеть вен и артерий. Эта сеть подчиняется трем главным правилам: она должна проникать в любой участок тела, переносить жидкость с минимальными потерями энергии, а ее самые мелкие сосуды должны быть одного размера (потому что они не могут быть уже одной клетки, иначе кровь не
Рис. 132. Фрактальное ветвление кровеносных сосудов в легких
198 Недостающий символ
сможет течь). Какие формы удовлетворяют этим условиям? Заполняющие пространство фракталы, у которых самые тонкие структуры не бывают мельче определенного размера — в одну клетку. Этот подход, с учетом некоторых важных физических и биологических деталей вроде гибкости сосудов и пульсации крови в результате биения сердца,
Поставь стандартный математический символ между числами 4 и 5, чтобы получилось число, которое больше 4 и меньше 5.
В шестьдевятом государстве материал для постройки стен добывают в местных каменоломнях. По капризу природы камни составлены из шестиугольных глыб, соединенных друг с другом. Может быть, они образовались так же, как базальтовые колонны, из которых сделана Дорога гигантов в Северной Ирландии.
У деда Назара семь таких камней (см. рис. 133), каждый состоит из четырех шестиугольников — на самом деле они представляют собой все семь способов, которыми можно скомбинировать четыре шестиугольника.
Рис. 133. Семь камней, из которых надо построить стену
НЕДОСТАЮЩИЙ СИМВОЛ
КАК ЗА КАМЕННОЙ СТЕНОЙ
Постоянные с точностью до 50 знаков 199
Ему нужно построить такую стену, как на рис. 134.
Рис. 134. Такая стена должна получиться
Как это сделать? (Если нужно, камни можно поворачивать и переворачивать, чтобы получить зеркальное отражение.)
ПОСТОЯННЫЕ С ТОЧНОСТЬЮ ДО 50 ЗНАКОВ
п = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 11;
е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 96;
Ф = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 95;
у = 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 942 805 253 810 38;
In 2 = 0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 176 568 075 500 134 360 26;
Ф = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 76;
у = 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 94;
8 = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 617 258 185 577 475 76.
Здесь ф — золотое число (см. с. 99), у — постоянная Эйлера (см. с. 98), 8 — постоянная Фейгенбаума, которая играет важную роль в теории хаоса (см. с. 120). Источники: en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map, mathworld.wolfram. com / FeigenbaumConstant.html.
200 Парадокс Ришара
ПАРАДОКС РИШАРА
В 1905 году Жюль Ришар, французский логик, придумал любопытный парадокс. В русском языке одни фразы определяют натуральные числа, а другие нет. Например, фраза «Год издания „Арифметики" Магницкого» определяет число 1703, а фраза «Научно-методические достоинства „Арифметики" Магницкого» не определяет никакого числа. А как насчет фразы «Наименьшее число, которое нельзя определить фразой на русском языке, содержащей менее четырнадцати слов»? Заметь: каким бы ни было это число, мы только что определили его фразой, в которой 13 слов. Вот незадача!
Нельзя ли выкрутиться, сказав, что эта фраза не определяет никакого конкретного числа? Но ведь она должна. В русском языке конечное число слов, поэтому число фраз, в которых менее 14 слов, тоже конечно. Конечно же, среди этих фраз много бессмысленных, а среди осмысленных много таких, которые не определяют чисел, но это значит только, что нужно перебрать меньшее число фраз. Оставшиеся задают натуральные числа из некоторого конечного множества, а стандартная математическая теорема гласит, что в такой ситуации существует наименьшее натуральное число, не входящее в множество. Так что фраза действительно определяет некоторое натуральное число.
Но если рассуждать логически, она не может это сделать.
Возможная неоднозначность, как во фразе «число, которое при умножении на нуль дает нуль», тоже не спасает. Если фраза допускает разные толкования, мы ее вычеркиваем из списка, ведь неоднозначные фразы ничего толком не определяют. А может быть, парадоксальное описание неоднозначно? Проблемы с единственностью быть не должно — не может быть двух разных «наименьших чисел, которые...», ведь одно должно быть меньше другого.
Один из способов выйти из положения — посмотреть внимательнее, как мы определяем, какие фразы определяют натуральные числа, а какие нет. Например, если мы их
Инженерные коммуникации ^0 \
перебираем в некотором порядке, вычеркивая одну за другой неподходящие, то какая фраза в конце концов «победит», может зависеть от порядка перебора. Допустим, нам попались две такие фразы подряд:
1) число в следующей подходящей фразе плюс один;
2) число в предыдущей подходящей фразе плюс два.
Эти две фразы не могут быть подходящими одновременно, ведь одна противоречит другой. Но как только одну из них мы вычеркнем, вторая станет подходящей, ссылаясь теперь на какую-то третью фразу.
Мы можем запретить фразы такого рода, но это скользкая дорожка: стоит только начать, и по разным причинам придется вычеркивать все больше и больше фраз. Судя по всему, парадоксальная фраза все же не определяет никакого натурального числа — хотя на первый взгляд все наоборот.
ИНЖЕНЕРНЫЕ КОММУНИКАЦИИ
К каждому из трех домов нужно провести инженерные коммуникации — воду, газ и электричество (см. рис. 135). Можешь ли ты это сделать так, чтобы линии не пересекались? (Сделай это «на плоскости» — третье измерение, где трубы могут проходить выше или ниже кабелей, запрещено. Нельзя также проводить кабели или трубы сквозь дома или здания инженерных служб.)
Рис. 135. Соедини дома со службами без пересечения линий
202 Просты ли трудные задачи
ПРОСТЫ ЛИ ТРУДНЫЕ ЗАДАЧИ, ИЛИ КАК ПОЛУЧИТЬ МИЛЛИОН ЗА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОЧЕВИДНОГО
Конечно, не совсем уж очевидного. ДАРЗАНЕБЫ, как говорил фантаст Роберт Хайнлайн — ДАРмовой ЗАкуски НЕ БЫвает. Но помечтать-то можно?
Я имею в виду одну из семи задач тысячелетия (см. с. 129), решение которой обогатит какого-то счастливчика на миллион долларов. Технически она известна как «Р = NP?» — довольно дурацкое название. Однако это жизненно важная задача о неустранимых пределах эффективности компьютеров.
Компьютеры решают задачи, выполняя программы, которые состоят из списка инструкций. Программа, которая всегда прекращает работу с выдачей правильного ответа (при условии, что компьютер делает именно то, что предполагал разработчик), называется алгоритмом. Этим названием мы обязаны арабскому математику по имени Абу Абдуллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса аль- Хорезмй, который жил около 800 года на территории нынешнего Ирака. Его книга «Китаб алъ-джебр ва-ль-му- кабала» дала нам слово «алгебра», а состоит эта книга из наборов процедур — алгоритмов — для решения разных алгебраических уравнений.
Алгоритм — это метод решения отдельного типа задач, но если он не дает ответа за разумное время, то на практике становится бесполезным. Теоретический вопрос здесь не в том, насколько быстродействующим является компьютер, а в том, сколько вычислений содержит алгоритм. Даже для частной задачи — скажем, найти кратчайший маршрут, чтобы посетить все города из некоторого списка, — количество вычислений зависит от того, сколько городов в маршруте. Чем больше городов в списке, тем дольше должен работать компьютер, чтобы найти ответ.
По этой причине, чтобы разумно измерить эффективность алгоритма, можно подсчитать, сколько вычислений он требует для решения задачи фиксированного размера. Возникает естественное разделение на «простые» вычисле¬
Просты ли трудные задачи 203
ния, когда количество операций равно некоторой фиксированной степени объема данных, и на «сложные», когда количество операций в зависимости от объема данных растет гораздо быстрее, часто экспоненциально. Например, умножение двух п-значных чисел требует п2 шагов, если мы умножаем по старинке в столбик, так что это «простое» вычисление. Чтобы разложить произвольное n-значное число на простые множители, требуется около 3" шагов, если перебирать все возможные делители вплоть до корня из п (самый очевидный способ), так что это «сложное» вычисление. В этих двух ситуациях говорят, что для первого алгоритма требуется полиномиальное время (это алгоритм класса Р), а для второго — неполиномиальное (не Р).
Выяснить, насколько быстро работает алгоритм, довольно просто. Трудно решить, не может ли какой-нибудь другой алгоритм решать задачу быстрее. Самое сложное — показать, что имеющийся алгоритм самый быстрый из всех возможных, и обычно мы не умеем этого делать. Поэтому задача, которая нам представляется сложной, может оказаться простой, если мы найдем другой, лучший способ решения, — тут-то и должен появиться миллион долларов. Он достанется тому, кто сможет доказать, что некоторая задача сложна по существу, — что за полиномиальное время с ней не справится никакой алгоритм. Хотя, возможно, и тому, кто докажет, что СЛОжных ЗАдач НЕ БЫвает. В такой исход мало верится, если Вселенная такова, как мы себе её представляем.
Прежде чем атаковать задачу, уясни пару важных моментов. Есть «тривиальный» тип задач, которые автоматически являются сложными только потому, что велик объем выводимых данных: «Перечисли все способы переставить первые п чисел» — хороший пример. Каким бы быстрым ни был алгоритм, потребуется минимум п\ шагов, чтобы распечатать ответ. Такие задачи мы не будем рассматривать, а потому введем класс задач NP — недетерминистских с полиномиальным временем проверки. (Обрати внимание: NP — совсем не то же самое, что неполиномиальный; N означает «недетерминированный», а Р — «полиномиальное время».) К этому классу относятся задачи, для которых
204 Идет коза рогатая
за полиномиальное время (то есть с легкостью) можно проверить, верен ли предложенный ответ.
Мой любимый пример NP-задачи — собрать пазл. Найти решение может быть довольно трудно; но если тебе покажут вариант сложенной картинки, ты мигом определишь, верно ли ее сложили. Более математический пример — найти делитель числа: гораздо проще проверить, делит ли одно число другое, чем подобрать сам делитель.
Вопрос «Р = NP?» на самом деле о том, любая ли задача класса NP относится к классу Р. Иначе говоря, если проверить предложенное решение просто, просто ли найти решение? Опыт заставляет нас верить, что ответ должен быть «нет»: найти решение должно быть гораздо сложнее. Но, как это ни удивительно, никто не может это доказать, более того, никто полностью не уверен в ответе. Поэтому тебе может достаться миллион долларов, если ты докажешь, что классы Р и NP не совпадают, или, наоборот, если докажешь, что они равны.
В этом сюжете есть еще неожиданный поворот: оказывается, что все кандидаты на подтверждение неравенства Р * NP в каком-то смысле эквивалентны. Задача называется NP-полной, если алгоритм, решающий ее за полиномиальное время, автоматически дает алгоритм, позволяющий за полиномиальное время решить любую NP-задачу. Почти о всех разумных кандидатах на подтверждение неравенства Р * NP известно, что они NP-полны. Из этого факта следует скверный вывод: непохоже, что какой-то один кандидат окажется податливее остальных; или они все выдержат наши усилия, или все падут одновременно. Итак, мы знаем, почему задача «Р = NP?» должна быть очень трудной, но это вовсе не помогает нам ее решить.
Подозреваю, что есть более простые способы сделать миллион.
ИДЕТ КОЗА РОГАТАЯ
В одном американском шоу, которое вел Монти Холл, участники должны были выбирать одну из трех дверей. За одной из них был дорогой приз, например спортивный
Все треугольники равнобедренные 20 5
автомобиль. За двумя другими призы были неутешительными — там стояли козы.
Когда участник делал свой выбор, Холл открывал одну из оставшихся дверей и все видели козу. (У него был выбор из двух дверей, потому он всегда мог так сделать, зная, где именно автомобиль.) А потом он предлагал участнику возможность изменить решение и выбрать другую дверь — неоткрытую. Почти никто такой возможностью не пользовался, и возможно, на то были разумные причины, как я скоро покажу. Но сейчас давайте разберемся с задачей и предположим, что автомобиль может с равными вероят-
ностями (то есть ^) оказаться за любой дверью. Мы будем
предполагать еще, что все заранее знают, что, показав козу за одной дверью, Холл всегда предлагает участникам передумать. Должны ли они соглашаться?
Довод против звучит так: за каждой из оставшихся дверей с равной вероятностью может оказаться автомобиль или коза; а раз шансы равны, нет смысла менять решение.
Или есть?
ВСЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНОБЕДРЕННЫЕ
Чтобы сразиться с этой головоломкой, нужно иметь представление о евклидовой геометрии, которую сейчас не учат... почти. Но смысл все равно можно понять, если принять некоторые факты на веру.
У равнобедренных треугольников две стороны равны. (Третья тоже может быть им равна, тогда треугольник равносторонний, но он все равно считается и равнобедренным тоже.) Легко нарисовать треугольник, у которого все стороны разные, поэтому заголовок этого сюжета — явная неправда. Но геометрически это утверждение можно доказать.
1. Возьмем произвольный треугольник ABC (рис. 136).
2. Проведем луч СХ так, чтобы он разделил верхний угол пополам, при этом углы а и Ъ равны. Прове-
206 Все треугольники равнобедренные
С
Рис. 136. Этот треугольник равнобедренный, хотя очевидно, что все стороны у него разные
дем еще линию MX через середину М стороны АВ (AM - MB) перпендикулярно этой стороне. Линия пересечет проведенный луч СХ в точке X где-то внутри треугольника.
3. Соединим точку X с вершинами А и В треугольника. Опустим на стороны треугольника перпендикуляры XD и ХЕ, при этом углы с, d, е и / прямые.
4. Треугольники CXD и СХЕ равны, т. е. одной формы и одного размера (и если перевернуть один, то получится второй). Действительно, углы а шЪ равны, углы с и d тоже равны, а сторона СХ у обоих треугольников общая.
5. Следовательно, равны отрезки CD и СЕ.
6. Отрезки XD и ХЕ тоже равны.
7. Раз М — середина АВ и прямая MX перпендикулярна АВ, равны отрезки ХА и ХВ.
8. Значит, равны треугольники XDA и ХЕВ по двум сторонам XD = ХЕ, ХА = ХВ и по прямым углам е и/.
9. Значит, DA = ЕВ.
10. С учетом шагов 5 и 9 получаем С А = CD + DA = = СЕ + ЕВ = СВ.
Итак, отрезки СА и СВ равны, а треугольник ABC равнобедренный.
Что здесь не так? (Подсказка: проблема не в равенстве треугольников.)
Квадратный год 207
КВАДРАТНЫЙ ГОД
В полночь 31 декабря 2001 года Альфи и Бетти — им обоим не исполнилось еще шестидесяти — рассуждали про календарь.
— Было такое, что год был квадратом возраста моего отца, — сказал Бетти гордо, — а когда он умер, ему было 100 лет!
— И будет еще такое, когда год будет квадратом моего возраста, — ответил Альфи. — Правда, я не знаю, доживу ли до 100.
В каком году родился отец Бетти? А Альфи?
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
В 1931 году математик Курт Гёдель доказал две важные и очень необычные теоремы о том, что силе формальных математических рассуждений присущи неизбежные ограничения. Гёдель работал согласно программе исследований, составленной Давидом Гильбертом, который был убежден, что всю математику можно поставить на прочное аксиоматическое основание. Это значит, что можно составить список базовых предположений, или «аксиом», и всю математику из этих аксиом вывести. Кроме того, Гильберт полагал, что можно доказать два ключевых свойства:
• система логически непротиворечива, т. е. в ней невозможно вывести два утверждения, которые противоречат друг другу;
• система полна, т. е. каждое утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть.
Система аксиом, которую Гильберт представлял себе, должна была быть более базисной, чем, скажем, арифметика, — что-то вроде теории множеств, построенной Георгом Кантором в 1879 году и развитой в течение нескольких лет после этого. Начав с множеств, можно определить целые числа, обычные правила арифметики, отрицательные
208 Теоремы Гёделя
и действительные числа и так далее. Поэтому создание аксиоматической базы для теории множеств автоматически послужило бы всей остальной математике. Доказательство совместности и полноты системы аксиом для теории множеств тоже послужило бы всей остальной математике. Поскольку теория множеств идейно проще арифметики, казалось разумным придерживаться именно такого плана. На самом деле уже существовал претендент на аксиоматику теории множеств, построенный Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в их трехтомном труде Principia Mathematica. Были и другие претенденты.
Гильберт успешно продвинул значительную часть своей программы, хотя некоторые пробелы все еще оставались, и тут на сцену вышел Гёдель. Его статья «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем», опубликованная в 1931 году, не оставила от программы Гильберта камня на камне, — в статье доказано, что такой подход не может привести к успеху.
Гёдель приложил много усилий, чтобы построить доказательство на строгом логическом основании и избежать некоторых хитрых ловушек. Большая часть его статьи как раз и посвящена построению этого основания, которое использует довольно техническую идею — рекурсивно перечислимые множества. Неформально суть статьи заключается в двух грандиозных теоремах.
• В формальной системе, богатой настолько, чтобы содержать арифметику, существуют неразрешимые утверждения — такие, что их нельзя доказать или опровергнуть в рамках этой системы.
• Если формальная система богата настолько, что содержит арифметику, и логически непротиворечива, то непротиворечивость невозможно доказать в рамках этой системы.
Первая теорема говорит не просто о том, что построить доказательство или опровержение некоторого утверждения сложно. Она утверждает, что для некоторого утверждения не существует ни доказательства, ни опровержения. Это значит, что логическая разница между истинным и ложным
Теоремы Гёделя 209
совсем не такая, как между доказуемым и опровержимым. В общепринятой логике — включая ту, что лежит в основании Principia Mathematica, — каждое утверждение либо истинно, либо ложно и не может быть тем и другим одновременно. Раз отрицание не-Р любого истинного утверждения Р ложно, а отрицание ложного утверждения истинно, в общепринятой логике выполняется закон исключенного третьего: для любого утверждения Р истинно только что-то одно — или Р, или не-Р, — а второе ложно. Дважды два либо равно четырем, либо не равно. Должно быть что-то одно, и не могут выполняться оба.
Если утверждение Р можно доказать, то Р должно быть истинно - именно так в математике устанавливается истинность (в математическом смысле) ее теорем. Если же Р можно опровергнуть, то истинно должно быть не-Р, так что Р ложно. Но Гёдель доказал, что для некоторого утверждения Р нельзя доказать ни Р, ни не-Р. Значит, у тверждение может быть или доказуемым, или опровержимым, или ни тем ни другим (и тогда его называют неразрешимым). Налицо третья возможность, и «третье» теперь не исключается.
До Гёделя математики беспечно полагали, что все истинное должно быть доказуемым, а ложное — опровержимым. Построить доказательство или опровержение может быть очень сложно, но нет никаких причин считать, что невозможно. Поэтому математики полагали, что «доказуемо» — то же самое, что «истинно», а «опровержимо» — то же самое, что «ложно». Им было более комфортно с таким практическим пониманием доказательства и опровержения, чем с глубокими и неоднозначными философскими понятиями истины и лжи, поэтому математики и работали с доказательствами и опровержениями. А тут открылось, что, кроме них, есть еще другие территории, этакая логическая ничейная полоса. И даже в самой обычной арифметике!
Гёдель привел пример неразрешимого утверждения, построив формальную версию знаменитого логического парадокса «это утверждение ложно», точнее, «это утверждение недоказуемо». Однако в математической логике недопусти¬
210 Теоремы Гёделя
мы утверждения, которые ссылаются сами на себя, фраза «это утверждение» даже не имеет смысла в формальных системах. Гёдель придумал изощренный способ добиться того же результата, не нарушая правил, а присвоив численный код каждому формальному высказыванию. При этом доказательство любого утверждения соответствует некоторой последовательности преобразований соответствующего числа. Таким образом формальная система может моделировать арифметику, и наоборот, арифметика может моделировать формальную систему.
В такой постановке и с учетом того, что формальная система должна быть логически непротиворечива, высказывание Р, понимаемое как «данное высказывание недоказуемо», должно быть неразрешимым. Если Р можно доказать, то оно истинно, а по определяющему его свойству оно недоказуемо — противоречие. Но такого быть не должно — мы ведь считаем систему непротиворечивой. Если же у Р нет доказательства, то оно истинно, и тогда нельзя доказать не-Р. Это значит, что доказать нельзя ни Р, ни не-Р.
До второй теоремы остался один маленький шаг — если формальная система непротиворечива, то эту непротиворечивость нельзя доказать. Мне всегда казалось, что это вполне правдоподобно. Представь себе арифметику в облике продавца подержанных автомобилей. Гильберт хотел спросить продавца: «А ты не врешь?» — и получить ответ, гарантирующий, что нет, не врет. Гёдель, по сути, убедил нас, что, если задать такой вопрос и получить ответ «да», это никакая не гарантия честности. Ты бы поверил человеку только потому, что он клянется в своей честности? В суде бы не поверили.
По техническим причинам Гёдель доказал эти теоремы в рамках одной специальной системы арифметики, той, что приведена в Principia Mathematica. Кто-то мог бы отсюда сделать вывод, что эта система плоха и нужна другая, лучше. Однако во введении к своей статье Гёдель указал, что подобные рассуждения верны и для любой другой формальной системы арифметики. Смена аксиом ничего не исправит. Его последователи доработали некоторые детали, и программа Гильберта провалилась с треском.
Если п — это не дробь, как его вычислить? 211
Сейчас известно, что некоторые важные математические задачи неразрешимы. Одна из самых известных, по- видимому, — проблема остановки для машины Тьюринга. В этой проблеме требуется указать метод, чтобы заранее определить, остановится ли на некотором шаге компьютерная программа, выдав ответ, или будет работать вечно. Алан Тьюринг доказал, что некоторые программы неразрешимы: нельзя доказать, что они остановятся, как и нельзя доказать, что не остановятся.
ЕСЛИ П — ЭТО НЕ ДРОБЬ, КАК ЕГО ВЫЧИСЛИТЬ!
22
Принятое в школе значение у для к не точное. Его даже очень хорошим назвать нельзя, хотя в простых ситуациях оно работает. Раз мы понимаем, что п — это не дробь, встает вопрос, как его можно вычислить с большой точностью. Математики делают это, используя разные хитроумные формулы для 7t; эти формулы абсолютно точны и обязательно включают какой-нибудь процесс, который должен выполняться до бесконечности. Оборвав такой процесс раньше, чем «до бесконечности», мы получим хорошее приближение для п.
Формул для к в математике даже слишком много, это удивительное число любит появляться в огромном количестве прекрасных формул. Как правило, это бесконечные ряды, бесконечные произведения или бесконечные дроби (на это намекают точки «...»). Это не должно вызывать удивления, поскольку простого выражения для к не существует, если только ты не жульничаешь, прибегая к интегральному исчислению. Я приведу несколько известных формул. Самая первая — одно из выражений для к, придуманное Франсуа Виетом в 1593 году. Она связана с 2и-угольником:
Другую формулу придумал Джон Валлис в 1655 году:
212 Если к — это не дробь, как его вычислить?
Около 1675 года Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц одновременно открыли ряд
5=i_i + i_I +1 _±+1_
4 1 3 + 5 7 9 11 13
Этот ряд сходится слишком медленно для того, чтобы с его помощью вычислять к; чтобы получить хорошее приближение, пришлось бы взять очень уж много слагаемых. Но с этим рядом тесно связаны другие, с помощью которых в XVIII и XIX веках удалось вычислить несколько сот цифр п. В XVII веке лорд Брукнер открыл бесконечную «цепную дробь»
к = ■
1 +-
2 + -
2 +
72 2 + —
а Эйлер — целое семейство формул вроде
5?_1 111 11
6 22 + 32+42+52+62 + '"'
Н1 = 1 _1 1_1 1_J_
32 З3 + 53 73 + 93 113 +'"'
5l = 1 11111 90“ +24 + 34 + 44 + 54 + 64 +'
(Кстати, для суммы
- 1 1 1 1 1
1 Н 5 "I о "I о q + . . .
23 З3 4 5 63
нет ничего подобного, это необъяснимая загадка. Сумма этого ряда не равна никакому рациональному числу, умноженному на я3. Известно, что она иррациональна.)
Для остальных формул нам понадобится специальный символ суммирования. С его помощью ряд, например, для
Л2
— записывается компактнее:
6
Если к — это не дробь, как его вычислить? 213
Эту запись надо расшифровать. Вычурный символ для слова «сумма» происходит от греческой буквы «сигма», и означает, что нужно складывать числа, записанные справа от него, а именно . Запись п = 1 под символом говорит
о том, что начинать суммирование нужно с п = 1; принято соглашение, что п пробегает все натуральные числа. Знак над символом суммирования означает «бесконечность» и говорит о том, что суммирование нужно проводить «до бесконечности». Итак, здесь записана та же формула л2
для —, что и выше, но в виде специальной инструкции:
1
суммируй слагаемые вида — для и = 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. п
Около 1985 года Джонатан и Питер Боруэйны открыли ряд
1 2V2 * (4 п)! 1103 + 26390п
ж ~ 9801 п=о (и!)* Х (4 х 99)4" '
сходящийся просто стремительно. А в 1997 году Дэвид Бейли, Питер Боруэйн и Саймон Плафф вывели и вовсе невиданную формулу
= f 2 1
% п=о v8п + 1 8п + 4 8п + 5 8и + 6/ll6/•
Что же в ней такого особенного? Она позволяет вычислять определенную цифру в записи к, не вычисляя предыдущие цифры. Единственная закавыка — это не десятичные цифры, а шестнадцатеричные (по основанию 16); из неё еще можно получить нужную цифру в записи по основанию 8, 4 или 2. В 1998 году Фабрис Беллар использовал эту формулу и показал, что стомиллиардная шестнадцатеричная цифра числа к равна 9. Через два года был побит рекорд в 250 триллионов шестнадцатеричных цифр (или один квадриллион двоичных).
Нынешний рекорд для десятичных цифр числа я принадлежит Ясумасе Канаде с коллегами — в 2002 году они вычислили 1,2411 триллиона цифр20.
20 19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо вычислили к с точностью в 10 триллионов цифр после запятой. — Прим. nepee.
214 Бесконечное богатство
БЕСКОНЕЧНОЕ БОГАТСТВО
Когда теория вероятностей только зарождалась, много усилий было потрачено — в основном членами семьи Бернулли, которые дали миру четыре поколения талантливых математиков, — на решение странной головоломки под названием Петербургский парадокс.
Ты играешь против банка, подбрасывая монету, пока не выпадет решка. Чем дольше выбрасываешь орлов, тем больше банк тебе заплатит. Если решка выпадет с первого раза, банк выплатит 2 рубля. Если впервые решка выпадет на втором броске — 4 рубля, если на третьем — 8 рублей. И вообще, если в первый раз решка выпадет на и-м броске, банк выплатит тебе 2” рублей.
Вопрос: сколько ты готов заплатить за участие в этой игре?
Для ответа нужно вычислить выигрыш, «ожидаемый» в длинной серии игр, по правилам теории вероятностей.
Вероятность выпадения решки на первом броске равна выплата составляет 2 рубля, поэтому ожидаемый выигрыш
на первом броске равен ^ х 2 = 1. Вероятность впервые по-
лучить решку на втором броске равна выплата составляет 4 рубля, поэтому ожидаемый выигрыш на втором бро- 1
ске равен jx4 = l. Аналогично ожидаемый выигрыш на п-м броске равен ^ х 2п = 1. А весь ожидаемый выигрыш оказывается равен
1 + 1+1 + 1+...,
т. е. бесконечно много. Получается, за то, чтобы принять участие в такой игре, ты должен заплатить банку бесконечно много денег.
Что здесь не так (если здесь что-то не так)?
По воле рока 215
ПО ВОЛЕ РОКА
Два студента-математика размышляют, как им провести вечер.
— Давай бросим монетку. Если выпадет решка, пойдем в бар, пивка попьем.
— Здорово! А если орел, пойдем в кино.
— Точно. А если упадет на ребро, будем учиться. Замечание. В моей жизни я дважды был свидетелем,
как монета падала на ребро. Один раз, когда мне было 17 лет и я играл с друзьями, монета упала в щель в столешнице. Второй раз случился в 1997 году, когда я читал рождественские лекции в Королевском институте, их снимали для ВВС. Мы сделали большую монету из пенопласта, и барышня из публики подбрасывала ее на сковороде, как блинчик. Когда она сделала это в первый раз, монета устойчиво приземлилась на ребро. Должен признать, это была довольно толстая монета.
СКОЛЬКО ВСЕГО
— Разных способов сдать карты одному игроку в бридже?
53 644 737 765 488 792 839 237 440 ООО,
если ты различаешь, кому именно сдали карты (север, юг, запад, восток). Если нет, раздели это число на 8 (пары се- вер-юг и запад-восток должны сохраняться), и получишь
6 705 592 220 686 099 104 904 680 000.
— Протонов во Вселенной, согласно сэру Артуру Стэнли Эддингтону?
136 х 2256 = 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555
468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296.
— Способов переставить первые 100 чисел?
93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000,
216 Какой формы радуга?
если только ты не считаешь, что понятие «переставить» исключает обычный порядок 1; 2; 3;; 100. Если считаешь, то число способов равно 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 863 999 999 999 999 999 999 999 999.
— Нулей в гуголе?
100.
Слово гугол придумал в 1920 году Милтон Сиротта (ему было 9 лет), племянник американского математика Эдварда Казнера, который прославил слово в своей книге Mathematics and the Imagination («Математика и воображение»). Это число равно Ю100 и записывается единицей с сотней нулей:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000.
— Нулей в гуголплексе?
ю100.
Гуголплекс — еще одно искусственное слово, так назвали число Ю10 ; оно записывается единицей с Ю100 нулями. Наша Вселенная слишком мала, чтобы в ней нашлось место записать его; да и времени на это тоже не хватило бы — вселенные не живут так долго. Разве что наша Вселенная окажется частью какой-то другой мультивселенной, но и тогда вряд ли кто-то этим займется.
КАКОЙ ФОРМЫ РАДУГА!
Нам всем рассказывали, почему бывает радуга (рис. 137). Солнечный свет преломляется внутри капель дождя, отчего белый свет раскладывается на цветные компоненты. Когда ты смотришь прямо на радугу, солнце нахо- Рис. 137. Почему? дится позади тебя, а дождь идет
Похищение инопланетянами 217
впереди. И чтобы вбить все это в школьные головы, учитель показывает, как стеклянная призма раскладывает белый свет на все цвета радуги.
Изящный способ ввести в заблуждение, достойный иллюзиониста. Призма объясняет цвета. А как насчет формы?
Если все дело только в том, что свет отражается и преломляется в каплях воды, почему мы не видим радугу всякий раз, когда идет дождь? И почему цвета не сливаются обратно в белый или серый? Почему радуга состоит из цветных дуг? Какой они формы?
ПОХИЩЕНИЕ ИНОПЛАНЕТЯНАМИ
Два пришельца с планеты Свинобраз собираются похитить двух землян, но, к счастью, не осознают, что их цель — это просто поросята. С их формальной инопланетной точки зрения, пришельцы играют в игру (рис. 138).
Рис. 138. Сначала поймай поросенка...
Первым ходом каждый пришелец перемещается на соседнюю клетку по горизонтали или по вертикали (но не по диагонали). Каждый пришелец может сделать шаг в любом из четырех направлений вне зависимости от того, куда шагает другой. Следующий ход таким же манером делают
218 Гипотеза Римана
поросята. Пришельцы могут похитить любого поросенка, если встают с ним на одну клетку. К их большому удивлению, поросятам всегда удается ускользнуть.
Что пришельцы делают неправильно?
Одна из задач, которую математики страстно хотят решить, — это гипотеза Римана. Если чей-то блестящий разум докажет ее, некоторые области математики получат импульс к развитию. А если блестящий разум опровергнет ее, то некоторые области математики закроются. Пока что эти области в подвешенном состоянии. Мы можем заглянуть на землю обетованную, но все, что мы знаем, может оказаться миражом.
И кстати, Математический институт Клэя обещает награду в миллион долларов за доказательство гипотезы Римана.
История ее началась во времена Гаусса, около 1800 года. Примерно тогда выяснилось, что хотя простые числа распределены на числовой прямой случайно, все же они подчиняются некоторым статистическим закономерностям. Некоторые математики изучали количество простых чисел л(х), не превосходящих х (похоже, такое обозначение придумали для того, чтобы запутать тех, кто думает, что к — это 3,14159...), и обратили внимание, что приблизительно выполняется равенство
Гаусс нашел немного лучшее приближение, логарифмический интеграл
Конечно, это прекрасно — заметить такую закономерность, назвав «теоремой о простых числах», но совсем другое дело — доказать ее; это оказалось непросто. Мощный
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Гипотеза Римана 219
подход здесь — переформулировать вопрос совсем в других терминах, в данном случае с помощью комплексного анализа. Связь между простыми числами и комплексными функциями совсем не очевидна, но ключевую идею заметил еще Эйлер.
Каждое натуральное число единственным образом представимо в виде произведения простых. Это свойство можно сформулировать аналитически. Сначала нужно рассмотреть бесконечное произведение
(1 +2 + 22 + 23+ ...)х (1 + 3 + 32 + З3 + ...)х (1+5 + 52 + 53 + ...)х
Здесь в каждой скобке идет суммирование до бесконечности, и в произведение входят скобки для всех простых чисел. Если всё перемножить и раскрыть скобки, то получится сумма всех натуральных чисел
1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+ ....
Например, в нее будет входить число 360, и сейчас мы разберемся, откуда оно там берется. Разложим его на простые множители:
360 = 23 х З2 х 5, а затем выделим в формуле подходящие члены:
(1 + 2 + 22 + 23 + ...) х (1 + 3 + З2 + З3 + ...)х(1 + 5 + 52 + 53+ ...)х....
Когда ты раскроешь скобки, каждое возможное произведение степеней простых чисел встретится ровно однажды.
К сожалению, в таких рассуждениях нет смысла, поскольку каждый ряд в скобках расходится и все произведение тоже. Однако если каждое число и заменить подходящей степенью n~s и взять достаточно большие s, то все сойдется (знак «минус» как раз гарантирует, что большие значения s ведут к сходимости, и это очень удобно). Мы получаем формулу
(1 + 2~s + 2~2s + 2~3s + ...) x (1 + 3~s + 3~2s + 3~3s + ...) x x(l +5“s + 5-2s+ 5“3s+ ...) =
= 1 + 2-s + 3~s + 4's + 5~s+ 6~s + 7~s + 8~* + ...
220 Гипотеза Римана
(здесь вместо l-s я записал 1, — эти числа равны). Она имеет смысл при условии, что число s действительное и больше 1. Она верна, потому что верно равенство
360-s = 2“3s х 3“2s х 5“s
и аналогичные для любого натурального числа.
На самом деле формула имеет смысл даже для всех комплексных чисел s = a + ib, у которых действительная часть я больше 1. Правая часть в формуле как функция от аргумента s называется дзета-функцией Римана и обозначается обычно С,{х), С, — это греческая буква «дзета».
В 1859 году Бернхард Риман написал краткую, поразительно изобретательную статью, показав, что аналитические свойства дзета-функции выявляют глубокие статистические свойства распределения простых чисел, в частности объясняют теорему Гаусса о простых числах. Более того: Риман смог уменьшить ошибку в приближении функции п(х), добавив дополнительные слагаемые в представление Гаусса. Бесконечно много таких слагаемых, которые сами образуют сходящийся ряд, сведут ошибку на нет. Риман сумел записать точное выражение для к(х) в виде аналитического ряда:
л(х) + п(х1 /2) + п(хг /3) + ...=
= Li(x) + f i(t2 - l)Hn f)_1 £2 - In 2 - X Li(xp),
JX P
где p пробегает все нетривиальные нули дзета-функции. Строго говоря, эта формула не вполне верна, когда в левой части возникают разрывы, но с этой технической деталью можно справиться. Ты можешь получить еще более сложную формулу для к(х), применив эту к Xх/г, х1/3 и так далее.
Все это очень мило, но оставалась маленькая неувязоч- ка. Чтобы доказать истинность этого представления, Рима- ну нужно было установить одно почти очевидное свойство дзета-функции. К сожалению, он не смог доказать это свойство.
Все специалисты по комплексному анализу ещё с молоком матери (матерью оказался Огюстен Луи Коши, ко¬
Гипотеза Римана 221
торый вместе с Гауссом первый разобрался в вопросе) усвоили, что лучший способ понять поведение комплексной функции — выяснить, где у нее нули, т. е. при каких комплексных числах s выполняется равенство C,(s) = 0. Чтобы способ стал лучшим, придется попотеть: в области, где ряд для £(s) сходится, нулеИ нет. Однако есть другая формула, которая дает те же значения там, где ряд сходится, но имеет смысл и там, где ряд расходится. Эта формула позволяет распространить определение Цэ) так, что оно имеет смысл для всех комплексных чисел s. И вот у этого аналитического продолжения дзета-функции нули есть. Их даже бесконечно много.
Некоторые нули очевидны, стоит только взглянуть на формулу аналитического продолжения. Эти «тривиальные нули» — четные отрицательные целые числа: -2, -4, -6 и так далее. Остальные нули идут парами вида я + ib и a - ib. Для всех таких нулей, которые смог найти Риман,
оказалось, что a = -. Например, вот как выглядят первые три пары:
1 .1 .1 2 ± 14,13/, ^ ± 21,02г, ± 25,01/ .
Эти соображения привели Римана к предположению (гипотезе), что все нетривиальные нули дзета-функции должны лежать на так называемой критической прямой
s = 2 + ib.
Если бы он смог доказать это утверждение — свою знаменитую гипотезу Римана, то доказал бы, что Гауссова приблизительная формула для л(л:) верна. Он улучшил бы ее до точной — хотя и сложной — формулы. В теории чисел открылись бы новые перспективы. Но он не смог, и мы не смогли тоже. До сих пор.
Со временем теорему о простых числах независимо друг от друга доказали Жак Адамар и Шарль Валле Пуссен в 1896 г. Они тоже прибегли к комплексному анализу, но обошлись без гипотезы Римана.
Мы теперь знаем, что первые десять миллиардов нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической пря¬
222 Гипотеза Римана
мой, благодаря работе Ксавье Гурдона и Патрика Демише- ля в 2004 году. Ты можешь подумать, что этого достаточно, чтобы закрыть вопрос, но в этой области теории чисел 10 миллиардов — мизерное количество, и такая проверка ничего не доказывает.
Гипотеза Римана важна по многим причинам. Если она верна, то даст нам много информации о статистических свойствах простых чисел. В частности, в 1901 году Хельге фон Кох доказал, что гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной С выполняется оценка для ошибки в формуле Гаусса:
|я(л:) - Li(x)| < С Vx In х.
Позднее Лоуэлл Шенфельд доказал, что для всех
1
х > 2657 мы можем взять С = -. (Прости, но в этой области
математики попадаются такие формулировки.) Неравенство показывает, что ошибка мала по сравнению с х, и дает оценку того, сколько простых чисел отклоняется от их типичного поведения.
Из гипотезы Римана будет следовать, конечно же, точная формула Римана. А она влечет длинный список других математических результатов; некоторые из них можно найти в Интернете: en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis.
Но главная причина, почему гипотеза Римана так важна, — кроме того, что она важна сама по себе, — у нее много далеко идущих аналогий и обобщений в алгебраической теории чисел. Доказанных среди них очень мало. У математиков есть ощущение, что если удастся доказать оригинальную гипотезу Римана, то и с аналогами можно будет справиться. Эти идеи слишком техничны, чтобы здесь их описывать, но многое можно узнать по адресу mathworld. wolfram.com/RiemannHypothesis.html.
Об одном обманчиво простом утверждении, которое эквивалентно гипотезе Римана, я всё же расскажу. Само по себе оно выглядит безобидным и незначительным. Но только на первый взгляд! Итак, если п — целое число, то сумму всех его делителей, включая его самого, обозначают ст(и) (а — греческая буква «сигма»). Например,
Антиатеизм 223
ст(24) = 1+ 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60; ст(12) = 1+ 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 28
и тому подобное. В 2002 году Джеффри Лагариас доказал, что гипотеза Римана эквивалента неравенству
ст(и) < еНп In Нп
для любого п. Здесь Нп — и-е гармоническое число, равное „ 111 1 2 +3 +4 + - + п-
АНТИАТЕИЗМ
Годфри Харолд Харди, математик из Кембриджа, работавший в основном в анализе, утверждал, что верит в Бога, но, в отличие от большинства верующих, считал Его своим личным врагом.
У Харди был зуб на Бога, и он был убежден, что и у Бога на него зуб тоже, — это было бы справедливо. Харди особенно беспокоился, когда нужно было путешествовать морем, — а вдруг Бог утопит корабль. Поэтому каждый раз перед путешествием математик отправлял кому-нибудь из коллег телеграмму «ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА. ХАРДИ». Благополучно вернувшись, он брал свои слова обратно.
Как мы только что говорили, гипотеза Римана — одна из величайших нерешенных задач в математике и одна из важнейших. Во времена Харди тоже так было. Когда коллеги спрашивали его, почему он шлет такие телеграммы, Харди объяснял, что Бог никогда не позволит ему умереть, если заодно придется дать ему славу — пусть и незаслуженную — доказавшего гипотезу Римана.
ОПРОВЕРЖЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА
Рассмотрим следующее логическое рассуждение.
• Слоны ничего не забывают.
• Ни одно существо, когда-либо победившее в игре «Быки и коровы», не имеет хобота.
224 Убийство в парке
• Существо, которое ничего не забывает, всегда будет выигрывать в «Быки и коровы» при условии, что принимает участие в игре.
• Существо без хобота — не слон.
• В 2001 году один слон играл в «Быки и коровы». Следовательно,
• гипотеза Римана неверна.
Можно ли сказать, что вывод логически верен?
УБИЙСТВО В ПАРКЕ
Эта головоломка — как и некоторые другие в этой книге — восходит к великому английскому автору головоломок Генри Эрнсту Дьюдени. Он назвал ее «Тайна Вороньего парка». Я внес в нее несколько незначительных изменений.
Вскоре после сильного снегопада Сирил Гастингс вошел в Вороний парк (рис. 139) через калитку D, дошёл до места, отмеченного черной точкой, и там его закололи прямо в сердце. На следующее утро его тело нашли, вокруг в снегу остались следы. Полиция немедленно закрыла парк для посетителей. Расследование пока-
Рис. 139. Вороний парк зало' что сле*ы были оставлены
разными хорошо различимыми ботинками. Свидетели показали, что, кроме Гастингса, в то время в парке находилось еще четыре человека; один из них должен быть убийцей. Проверив башмаки всех четверых, полиция выяснила следующее:
• Дворецкий, который смог доказать, что он был в доме X в момент убийства, вошел через калитку Е и прошел в X.
• Егерь, у которого алиби не было, вошел через калитку А и прошел в сторожку Y.
Сырный кубик 225
• Местный подросток зашел через калитку G, а вышел через В.
• Жена бакалейщика вошла через калитку С, а вышла через F.
Никто из них не входил и не выходил из парка более одного раза.
Было не только снежно, но и туманно, поэтому все эти люди ходили не самыми прямыми путями. Полицейские заметили, что ничьи следы не пересекались, но не успели их зарисовать, как снег растаял, и следы тоже.
Кто убийца?
СЫРНЫЙ КУБИК
Эта задача старинная, но оттого не менее прекрасная.
У мышки Машки есть кубик сыра и кухонный нож. Она хочет одним разрезом так разделить сыр надвое, чтобы разрез получился в форме правильного шестиугольника. Сможет ли она сделать это и если да, то как?
ИГРА «ЖИЗНЬ»
В 1970 году Джон Конвей придумал игру «Жизнь». Диковинные черные существа копошатся на доске из белых квадратиков, меняют форму, вырастают, съеживаются, замирают и погибают. Лучше всего играть в эту игру (в самой распространенной версии), загрузив специальную программу. В Интернете легко можно найти несколько превосходных бесплатных программ. Простая в обращении java-версия подарит тебе часы удовольствия: www.bitstorm. org/gameoflife/.
В игру «Жизнь» играют черными фишками на бесконечной (по возможности) доске из квадратных клеток. На каждой клетке или есть одна фишка, или нет ни одной.
226 Игра «Жизнь»
На каждом шаге, или в каждом поколении, набор фишек определяет некоторую конфигурацию. Начальная конфигурация (поколение 0) эволюционирует, проходя последовательные этапы по определенным правилам, которые объясняются на рис. 141-144.
Соседями каждой клетки называются восемь клеток, которые к ней непосредственно примыкают по горизонтали, вертикали или диагонали (рис. 140).
Рис. 140. Занятая клетка и ее восемь соседей
Все рождения и смерти происходят одновременно: то, что происходит с фишкой или пустой клеткой в поколении п + 1, зависит только от числа её соседей в поколении п.
Начинать можно с любой конфигурации, а затем применять правила шаг за шагом, наблюдая за историей поколений. Например, на рис. 145 изображена история жизни маленького треугольничка, составленного из четырех фишек.
текущее следующее
поколение поколение
Рис. 141. Правило 1. Если у фишки (черной) два или три соседа (серых), она выживает в следующем поколении, т. е. остается на прежней клетке
текущее следующее
поколение поколение
Рис. 142. Правило 2. Если у фишки (черной) четыре или больше соседа (серых), она погибает в следующем поколении
Игра «Жизнь» 227
текущее следующее
поколение поколение
Рис. 143. Правило 3. Если у фишки (черной) нет соседей или только один сосед (серый), она погибает в следующем поколении
►
текущее следующее
поколение поколение
Рис. 144. Правило 4. Если у пустой клетки (в центре) ровно три соседа (серых), в ней зарождается жизнь — в следующем поколении на ней появляется фишка. Соседи могут выжить или погибнуть, в зависимости от числа их соседей
Даже на этом простом примере видно, как по правилам игры сложные структуры возникают из простых. Здесь последовательность поколений становится периодической: в десятом поколении конфигурация та же, что в восьмом, и поэтому конфигурации 8 и 9 чередуются, — эта последовательность известна под названием «светофор».
Прелесть игры «Жизнь» — в головокружительном разнообразии жизненных историй и отсутствии видимых связей между начальными конфигурациями и тем, во что они превращаются. Система правил абсолютно детерминистская — все бесконечное будущее системы обусловлено только ее начальным состоянием. Но «Жизнь» отчетливо демонстрирует нам разницу между детерминизмом и предсказуемостью. Поэтому игра и заслуживает такого названия.
С математической точки зрения естественно классифицировать ситуации в игре по их поведению через достаточно большой промежуток времени. Например, конфигурация может:
1) полностью исчезнуть (умереть);
228 Игра «Жизнь»
► —»
0 2
► ►
3 5
6 ""^ 8
У 10 11
Рис. 145. История жизни одной конфигурации. Конфигурации 8
и 9 чередуются
2) перейти в стабильное состояние (покой);
3) повторять одну и ту же последовательность раз за разом (периодичность);
4) повторять одну и ту же последовательность раз за разом, но со смещением (мобильное состояние);
5) вести себя хаотично;
6) проявлять вычислительное поведение (универсальная машина Тьюринга).
Среди часто встречающихся периодических конфигураций — мигалка и светофор (рис. 146), у обеих период равен 2.
Исход жизненной истории в игре очень чувствителен к мельчайшим деталям начального состояния. Разница
Игра «Жизнь» 229
в одну клетку может полностью изменить будущее (рис. 147). Кроме того, простенькие начальные конфигурации могут переродиться в очень сложные. Такое поведение, в каком-то смысле «определенное» начальным выбором и следованием правилам, обусловило название игры.
мигалка
светофор
Рис. 146. Две периодические конфигурации
Рис. 147. S-образная конфигурация слева через 1405 поколений стабилизируется, породив к этом моменту 2 планера, 24 блока, 6 прудов, 6 караваев, 18 ульев и 8 мигалок. Если удалить всего одну фишку и начать с правой конфигурации, все погибнет
через 61 поколение
Примером мобильного состояния служит планер (рис. 148), который каждые четыре поколения смещается на одну клетку по диагонали.
Рис. 148. Движение планера
230 Игра «Жизнь»
Три космических корабля (легкий, средний и тяжелый; рис. 149) повторяют циклы, которые заставляют их двигаться горизонтально, выбрасывая гаснущие искры. Более длинные корабли не могут двигаться самостоятельно — они разрушаются, но могут передвигаться в сопровождении флотилий меньших кораблей.
Рис. 149. Космические корабли
Один из первых математических вопросов об игре «Жизнь»: существует ли начальная конфигурация с неограниченным будущим, т. е. такая, что становится сколь угодно большой, если дать ей достаточно времени? Положительный ответ на этот вопрос дал Билл Госпер — изобретатель планерной пушки. Она изображена на рис. 150 черным. Планерная пушка осциллирует с периодом 30 и стреляет планерами (на рисунке их два, они серого цвета). Поток планеров растет неограниченно.
Рис. 150. Планерная пушка, выстрелившая двумя планерами
В игре «Жизнь» обнаружились конфигурации, которые ведут себя как компьютеры. В принципе они могут вычислить все, что может потребовать компьютерная програм¬
Скачки 231
ма. Например, такая конфигурация может вычислить значение п с любой точностью. На практике такие программы работают чрезвычайно медленно, так что не спеши выбрасывать свой компьютер.
На самом деле как компьютеры могут работать еще более простые «игры» такого вида, известные под названием «клеточные автоматы» (см. с. 241). Они живут не на двумерной решетке, а на линии из квадратиков. Один такой автомат, «правило 110», придумал Стивен Вольфрам в 1980-х годах, а его универсальность доказал Мэттью Кук в 1990-х. Этот автомат показывает, как очень простыми правилами может порождаться чрезвычайно сложное поведение: mathworld.wolfram.com/RulellO.html.
СКАЧКИ
Каждое натуральное число можно представить в виде произведения нескольких простых. Будем говорить, что число четного типа, если в таком представлении участвует четное число простых. Если нечетное — то нечетного типа. Например, число
96=2x2x2x2x2x3
раскладывается в произведение шести простых, поэтому оно четного типа. А число
105 = 3 х 5 х 7
раскладывается в произведение трех простых, поэтому оно нечетного типа. Единицу принято относить к четному типу. Первые 10 натуральных чисел относятся к таким типам:
Нечетного 2 3 5 7 8
типа
Четного 1 4 6 9 10
типа
Оказывается, числа нечетного типа встречаются по меньшей мере так же часто, как четного. Представь себе соревнования двух лошадей, Чет и Нечет. Они стартуют рядыш¬
232 Как нарисовать эллипс и еще кое-что
ком, а ты считаешь вслух: 1; 2; 3; ... На каждый счет двигай вперед на один шаг Нечет, если число нечетного типа, и Чет, если четного.
На первом шаге впереди Чет.
На втором шаге Чет и Нечет вровень.
На третьем шаге впереди Нечет.
На четвертом шаге Чет и Нечет вровень.
На пятом шаге впереди Нечет.
На шестом шаге Чет и Нечет вровень.
На седьмом шаге впереди Нечет.
На восьмом шаге впереди Нечет.
На девятом шаге впереди Нечет.
На десятом шаге Чет и Нечет вровень.
Похоже, Нечет всегда впереди или по крайней мере не отстает. В 1919 году Дьёрдь Пойа высказал гипотезу, что Нечет никогда не уступает Чет, за исключением самого первого шага. Вычисления показали, что гипотеза верна для первого миллиона чисел. Это довольно серьезное соображение в пользу истинности гипотезы. Стоит ли ожидать, что она истинна для всех чисел?
Без компьютера ответить на этот вопрос практически невозможно, так что я раскрою секрет: Пойа ошибся! В 1958 году Брайан Хейзелгроув доказал, что на некотором (неизвестном) шаге Нечет уступит Чет. Вскоре появились достаточно быстрые компьютеры, чтобы проверить еще больше чисел. В 1960 году Роберт Леман обнаружил, что Чет окажется впереди на 906 180 359-м шаге. А в 1980 году Минору Танака доказал, что это случится в первый раз на шаге 906 150 257.
Такие истории заставляют математиков настаивать на доказательствах. А еще показывают, что даже числа вроде 906 150 257 могут быть интересными и необычными.
КАК НАРИСОВАТЬ ЭЛЛИПС И ЕЩЕ КОЕ-ЧТО
Хорошо известно, как просто нарисовать эллипс: зафиксировать две булавки на бумаге, набросить на них веревочное кольцо, карандашом натянуть кольцо и двигать его так,
Математики шутят—3 233
Рис. 151. Как нарисовать эллипс
Рис. 152. Ну разве не интересно?
чтобы кольцо оставалось натянутым (рис. 151). Садовники иногда так размечают эллиптические клумбы. Две булавки отмечают фокусы эллипса.
Представь себе, что у тебя три булавки зафиксированы в вершинах треугольника (рис. 152). Треугольник не обязан быть равносторонним или равнобедренным.
Так тоже должны получаться новые виды кривых. Почему их не упоминают ни в одной математической книжке?
Два математика в баре поспорили о том, насколько хорошо знают математику обычные люди. Первый считает, что они безнадежно невежественны, а второй — что некоторые все же кое-что знают.
— Спорим на тысячу, что я прав, — говорит первый, направляясь в уборную. И пока его нет, товарищ подзывает официантку.
— Послушайте, вот пятьсот рублей, и вы их получите, если подойдете к нашему столику, когда вернется мой друг, и ответите на вопрос. Ответ должен быть таким: «Треть икс в кубе». Хорошо?
МАТЕМАТИКИ ШУТЯТ—3
234 Задача Кеплера
— Я получу пятьсот рублей за то, что скажу «третикс- вкуде»?
— Нет-нет, «треть икс в кубе».
— «Третий кс в кубе»?
— Ладно, так сойдет.
Возвращается второй математик, к столику подходит официантка.
— Барышня, чему равен интеграл от икс в квадрате?
— Треть икс в кубе, — отвечает официантка и, уходя, бросает через плечо: — Плюс константа.
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Математикам хорошо известно, что простые на первый взгляд вопросы могут оказаться очень сложными, а очевидные на первый взгляд факты — ложными; а даже если истинными, то ужасно труднодоказуемыми. Задача Кеплера из этой серии — потребовалось почти триста лет на ее решение, хотя верный ответ был известен с самого начала.
История началась в 1611 году, когда Иоганн Кеплер, математик и астролог (да-да, он составлял гороскопы; в то время многие математики их составляли, это был быстрый заработок), захотел сделать своему покровителю подарок к Новому году. Покровителя звали Иоганн Маттей Вакер фон Вакенфельс, и Кеплер хотел сказать ему спасибо за покровительство, не сильно потратившись, а потому в подарок написал книгу под названием «О шестиугольных снежинках» (на латыни). Кеплер начал книгу с обсуждения любопытной формы снежинок, которые часто образуют прекрасные симметричные шестилучевые кристаллы, а затем поставил вопрос, почему так происходит.
Часто говорят: «Двух одинаковых снежинок не бывает». Логик внутри меня возражает: «Откуда это известно?» Однако вычисления даже «на
Рис. 153. Типичная дендритная снежинка
Задача Кеплера 235
салфетке» показывают, что у «дендритной» снежинки вроде той, что изображена на рис. 153, так много особенностей, что шансы найти парочку одинаковых практически нулевые.
Это неважно. Важно другое: в результате анализа Кеплер пришел к идее, что к шестилучевой симметрии приводит самый эффективный способ упаковки кругов на плоскости.
Возьми горсть монет одного достоинства, скажем рубли. Если высыпать их на стол и постараться сгрести поближе друг к другу, то они сложатся в подобие пчелиных сот, т. е. в шестиугольную решетку (рис. 154, слева).
Рис. 154. Самая плотная упаковка кругов (слева). Менее эффективная упаковка (справа)
Это самая плотная упаковка из всех возможных — плоскость заполняется самым эффективным способом в идеальном случае, когда бесконечно много кругов располагаются на всей плоскости. Другие варианты, вроде квадратной решетки на рис. 154 справа, менее эффективны.
Обрати внимание, это невинное замечание не было доказано аж до 1940 года, когда это смог сделать Ласло Фей- еш Тот. (Аксель Тью предложил план доказательства в 1892 году и подробнее записал его в 1910 году, но некоторые пропуски все равно оставались.) Доказательство Тота было довольно сложным. В чем же трудность? Начнем с того, что мы не можем быть уверены, что самая эффективная упаковка образует симметричную решетку. Вдруг беспорядочное расположение подойдет лучше? (Для конечных упаковок, скажем внутри квадрата, так иногда и бывает — увидишь в следующей головоломке.)
По пути Кеплер очень близко подошел к идее, что вся материя состоит из крошечных невидимых компонентов, которые в наше время называются атомами. Это впечатляет, особенно с учетом того, что он не ставил экспериментов, пока писал книгу. Атомная теория, введенная греком
236 Задача Кеплера
Демокритом, была подтверждена экспериментально только на рубеже XIX и XX веков.
Однако Кеплер обратил внимание на еще более сложную задачу — как плотнее упаковать сферы в пространстве. Он знал о трех регулярных «решетчатых» упаковках, которые мы сейчас называем гексагональной, кубической и гранецентрированной кубической решетками. Первая из них получается, если накладывать слои в виде пчелиных сот друг на друга так, чтобы центры соответствующих сфер лежали на одной вертикали. Вторая получается из уложенных друг на друга квадратных плоских решеток. Третья состоит тоже из слоев с шестиугольными решетками, но уложенных так, что сферы верхнего слоя укладываются в дырки нижнего.
Такую же решетку, только накрененную, ты получишь, если уложишь слои с квадратными решетками один на другой так, чтобы сфера из верхнего слоя приходилась на выемку в нижнем. Это не вполне очевидно и, как и задача
про ящик молочника, показывает, что в этой области не стоит особенно доверять интуиции. На рис. 155 показано, в чем здесь дело: в горизонтальных слоях решетки квадратные, но в наклонных — шестиугольные.
Любой продавец фруктов знает, что апельсины лучше складывать в виде гранецентрированной кубической решетки21. Кеплер рассматривал расположение зернышек в гранате и заметил невзначай, что с гранецентрированной решеткой «упаковка будет самой плотной».
Это было в 1611 году. Доказательству правоты Кеплера оставалось подождать до 1998 года, когда Томас Хейлз объявил, что построил его с помощью компьютера. По сути, Хейлз рассматривал все возможности окружить одну сферу другими и показал, что если укладка отличалась от гране-
Рис. 155. Фрагмент гранецентрированной кубической решетки
21 Продавцы фруктов этого не говорят, они так делают.
Задача Кеплера 237
центрированной кубической, то сферы можно прижать друг к другу поближе. Доказательство Тота для плоскости основано на тех же идеях, но на плоскости достаточно было проверить всего около 40 случаев.
Хейлзу пришлось их проверять тысячи, поэтому он переформулировал задачу так, чтобы проверку мог делать компьютер. Вычислений было очень много, но каждый шаг был тривиальным. Почти всё доказательство было проверено, но до сих пор остаются некоторые сомнения. Поэтому Хейлз запустил новый компьютерный проект, чтобы построить доказательство, которое можно будет подтвердить обычным программным обеспечением для проверки доказательств. Даже в этом случае без компьютеров не обойтись, но специальное компьютерное обеспечение выполняет только простые операции, которые в принципе позволяют убедиться, что все в порядке. Проект рассчитан примерно на 20 лет. После этого все еще могут быть некоторые возражения на философских основаниях, но логический комар носа не подточит22.
Почему эта задача такая трудная? У продавцов фруктов обычно есть квадратные коробки с плоским дном, поэтому они складывают туда апельсины слоями, и каждый слой — в виде квадратной решетки. Следующий слой разумно укладывать так, чтобы заполнить углубления в первом, и так далее. Если бы по случайности продавец фруктов начал с гексагональной укладки, упаковка получилась бы точно такая же, только накрененная. В 1831 году Гаусс доказал, что предложенное Кеплером решение — лучшее среди решетчатых упаковок. Математически вопрос в том, чтобы это доказать, не предполагая с самого начала, что упаковка выполняется послойно. Математические сферы могут зависать в воздухе без опоры. Так что «фруктовое решение» покоится на целой куче допущений — или апельсинов. Эксперименты — еще не доказательства, а здесь даже эксперименты небезупречны, так что задача оказывается сложнее, чем кажется на первый взгляд.
В 2014 году доказательство гипотезы было проверено. В настоящий
момент утверждение гипотезы Кеплера имеет статус доказанной
математической теоремы. — Прим. ред.
238 Задача про ящик молочника
ЗАДАЧА ПРО ЯЩИК МОЛОЧНИКА
Вот вопрос из той же серии, но попроще. Молочнику нужно упаковать одинаковые бутылки с круглым донышком в квадратный ящик. Он убежден, что для любого квадратного числа бутылок — 1, 4, 9, 16 и так далее — ящик можно сделать как можно меньшим, если упаковывать бутылки в виде правильного квадрата; рис. 156. (Он убежден в этом потому, что если число бутылок не квадратное, то в ящике остаются пустоты, бутылки можно сдвинуть потеснее и уменьшить ящик.)
Прав ли он?
Рис. 156. Так молочник ставит 16 бутылок в наименьший из возможных квадратный ящик
РАВНОПРАВИЕ
Одна из ведущих женщин-математиков в начале XX века — Эмми Нётер, она работала в Геттингенском университете. После того как она защитила диссертацию, руководство университета отказалось предоставить ей статус приват- доцента, который позволял обучать студентов за плату. Причина оказалась в том, что женщин не допускали на собрания преподавателей в университетском сенате. Говорят, что глава математической кафедры Давид Гильберт заметил: «Господа, нет ничего дурного в присутствии женщины в сенате. Сенат — не общественная баня».
СЕТЬ ДОРОГ
Четыре города — Айлсбург, Билсбург, Вейлсбург и Гилс- бург — расположены в вершинах квадрата со стороной 100 км (рис! 157). Дорожное управление планирует связать города, построив сеть дорог наименьшей возможной длины.
Тавтословицы 239
Айлсбург Билсбург
Рис. 157. Так не годится
— Мы можем проложить дороги прямо от Айлсбурга до Билсбурга и через Вейлсбург в Гилсбург, — заявил помощник городского архитектора, — получится 300 км дорог.
— Есть вариант получше, — ответил его начальник, — проложить две диагонали. По теореме Пифагора, если вы ее помните, это даст 200^2 * 282 км.
Какой должна быть кратчайшая сеть дорог? Диагонали квадрата — неправильный ответ.
ТАВТОСЛОВИЦЫ
В серии фэнтезийных романов Терри Пратчетта о Плоском мире исторические монахи ордена, основанного Когдом Вечно Изумленным, были потрясены сермяжной мудростью миссис Мариетты Космополит. Раньше они никогда не сталкивались с доморощенными сентенциями (вроде «у меня нет столько времени»), и поэтому для тех монахов, что последовали Путем миссис Космополит, ее безыскусные слова стали непостижимыми философскими откровениями.
У математиков более скептический взгляд на народную мудрость, иногда они пересматривают пословицы, чтобы сделать их более логичными. По-настоящему тавтологичными, т. е. тривиально истинными.
240 Тавтословицы
Пословица «Работа не волк, в лес не убежит» превращается в тавтословицу «Работа не волк, пристрелить не получится», в которой больше смысла и которую сложнее оспорить. А «Без труда не вытащишь рыбку из пруда» гораздо убедительнее в виде «Без труда не вытащишь то, что с трудом втащил».
В детстве меня всегда немного беспокоило, что в первоначальной форме пословицы противоречат друг другу, хотя теперь я понимаю, что это принятый по умолчанию механизм, благодаря которому народная мудрость считается мудростью. Обновленные версии не противоречат друг другу, они обе означают «без работы никуда», и в этом их явное преимущество. Я дам еще парочку других примеров для затравки, а потом обрушу на тебя начала еще нескольких пословиц. Твоя задача — закончить их так, чтобы получились тавтословицы. Первый пример прямой и бесхитростный, а второй более вычурный. Оба способа подходят. Приветствуются также комментарии, предпочтительнее заведомо очевидные. Активно поощряются логические придирки — чем педантичнее, тем лучше.
• Кто рано встает, тот начинает день раньше.
• Журавль в небе лучше синицы в руках, потому что птица свободного выгула всегда дороже.
А теперь твоя очередь. В таком духе заверши следующие тавтословицы:
• Никаких новостей — ...
• Чем дальше в лес, ...
• Кто ничем не рискует, ...
• Слишком много нянек — ...
• Ты не можешь приготовить омлет — ...
• Если смотреть на закипающий чайник, ...
• Если бы у свиней были крылья, ...
Если тебе нравится эта игра, рекомендую вызвать бригаду неотложной психиатрической помощи, но до того, как она прибудет, ты найдешь еще очень много пословиц на сайте www.manythings.org/proverbs/index.html.
Наука о сложности 241
НАУКА О СЛОЖНОСТИ
Наука о сложности, или теория сложных систем, получила признание, когда в 1984 году Джордж Кован и Марри Гелл-Ман основали Институт Санта-Фе (SFI). Это частный научный центр для междисциплинарных исследований с уклоном в «науку о сложности». Можно подумать, что «сложность» относится к каким угодно ложным штукам, но основная цель SFI — развивать и распространять новые математические методы для работы с системами, в которых большое количество агентов или элементов взаимодействуют друг с другом по сравнительно простым правилам. Ключевое явление — эмерджентностъ, когда система в целом ведет себя так, как не могут вести себя отдельные элементы.
Пример реальной сложной системы — человеческий мозг. Элементы в нем — нервные клетки, нейроны, а эмер- джентные свойства — разум и сознание. Нейроны не разумны и не сознательны, но когда соединяются в больших количествах, эти свойства возникают. Другой пример — мировая финансовая система. Ее элементы — банкиры и биржевики, а эмерджентные свойства — ажиотажный рост и обвал фондовых рынков. Еще примеры — муравейник, экосистема и эволюция. Ты сам можешь догадаться, какие элементы в них входят и какие возникают эмерджентные свойства. В эту игру может играть кто угодно.
Гораздо сложнее другая задача (для нее и создан SFI) — смоделировать математически такие системы так, чтобы отражалась их глубинная структура как систем взаимодействующих простых компонентов. Один из способов моделирования — клеточные автоматы, более общая версия игры «Жизнь» Джона Конвея. Они похожи на компьютерную игру на клетчатой доске. В любой момент каждая клетка существует в определенном состоянии, обычно оно обозначается цветом. Часы тикают, и с каждым тиканьем каждая клетка меняет цвет по определенным правилам. Они учитывают цвет соседних клеток, например так: «Красная клетка меняет цвет на зеленый, если у нее от двух до шести синих соседей». Или как-то еще (рис. 158).
242 Наука о сложности
Трудно поверить, что такое примитивное устройство может привести к интересным результатам и тем более решать глубокие проблемы в науке о сложности, но оказывается, что поведение клеточных автоматов может быть богатым и непредсказуемым. Еще в 1940 году Джон фон Нейман использовал такой автомат, чтобы доказать существование абстрактной математической системы, которая может воспроизводить себя — создавать свою копию23. Это наводит на мысль, что способность живых организмов к воспроизводству — это логическое следствие их физической структуры, а не чудесное или сверхъестественное свойство.
Рис. 158. Три типа узоров, образованных простым клеточным автоматом: статичный (одноцветные блоки), структурированный (спирали) и хаотичный (как в правом нижнем углу)
Эволюция в дарвиновском смысле представляет собой типичный пример теоретико-сложностного подхода. Традиционная математическая модель эволюции известна под
Очень интересная тема — делать то же самое в реальности на основе нанотехнологий. Существует много научно-фантастических произведений о «машинах фон Неймана», часто используемых пришельцами или машинными культурами для вторжения на планеты, в том числе на Землю. Технологии позволяют упаковать миллионы электронных компонентов на крошечный силиконовый чип и создавать сверхминиатюрные машины, «нанороботы», и уже недолго осталось ждать самовоспроизводящейся машины. Вторжение инопланетян сейчас мало кого волнует, но вот возможная мутация машины фон Неймана, которая превратит Землю в «серую слизь», заставляет беспокоиться о безопасности нанотехнологий и контроле. Интересно: ru.wikipedia.org/wiki/серая_слизь.
Наука о сложности 243
названием «популяционная генетика», которое ввел в обиход британский статистик сэр Рональд Фишер примерно в 1930 году. Этот подход рассматривает экосистему — джунгли, полные растений и насекомых, или коралловый риф — как обширный генный бульон. Когда организмы репродуцируются, их гены смешиваются в новых комбинациях.
Например, в гипотетической популяции слизняков могут быть гены, отвечающие за зеленый или красный цвет, и другие гены, отвечающие за привычку жить в зеленых кустиках или на ярко-красных цветочках. Типичные комбинации таковы: зеленый + кустики или красный + цветочки. Некоторые комбинации больше способствуют выживанию, чем другие. Например, слизняка с генами красный + кустики легко заметят птицы, а красный + цветочки — не так заметен.
Естественный отбор выбраковывает неудачные комбинации, а комбинации, способствующие выживанию, распространяются. Случайные генетические мутации заставляют бульон бурлить. Математика изучает доли определенных генов в популяции и изменение этих пропорций в ходе отбора.
Теория сложности дает совсем другую модель эволюции слизняков. Например, можно запустить клеточный автомат, назначив различные характеристики окружающей среды каждой клетке. Клетка может соответствовать кустикам, цветочкам или еще чему-нибудь. Затем некоторые клетки случайным образом выбирают и населяют их «виртуальными слизняками», назначив каждой клетке определенный набор генов. Остальные клетки — «виртуальные хищники». После этого задают правила, по которым виртуальные организмы передвигаются по клеткам и взаимодействуют друг с другом. Например, с каждым тиканьем времени слизняк должен или остаться на месте, или переместиться на соседнюю клетку. Хищник может «увидеть» ближайшего слизняка, переместиться на пять клеток к нему и, если настигнет, то съесть — тогда этот слизняк удаляется из памяти компьютера.
244 Наука о сложности
Можно задать такие правила, что зеленых слизняков в зеленых кустиках труднее заметить, чем на красных цветочках. А потом запустить эту математическую компьютерную игру на несколько миллионов тиканий времени и подсчитать доли выживших комбинаций генов.
Ученые, которые занимаются сложностью, придумывают множество моделей в таком духе: задают простые правила взаимодействия между многими индивидами, а затем запускают компьютерную симуляцию, чтобы посмотреть, что получится. Для описания таких процессов придумали термин «искусственная жизнь». Знаменитый пример — программа Tierra, созданная Томом Реем около 1990 года. Короткие сегменты компьютерного кода соперничали друг с другом в компьютерной памяти, воспроизводясь и мутируя (см. www.nis.atr.jp/~ray/tierra/). Программа показала внезапные всплески сложности, рудиментарные формы симбиоза и паразитизма, длительные периоды застоя, прерывающиеся бурными изменениями, и даже что- то вроде полового воспроизведения. Все эти удивительные явления полностью естественны, если рассматривать их как эмерджентные свойства простых математических правил.
Такие же различия в философских основаниях можно видеть в разных экономических моделях. Обычная математическая экономика основана на модели, в которой каждый игрок обладает полной и мгновенной информацией. Как заметил стэнфордский экономист Брайан Артур, считается, что «если два бизнесмена садятся за стол переговоров, то теоретически каждый из них предвидит все затруднения, прорабатывает все возможные варианты развития сценария и с легкостью выбирает лучшую стратегию». Цель — математически доказать, что любая экономическая система быстро попадает в состояние равновесия и там и остается. В равновесном состоянии каждый игрок обеспечивает себе наилучшие финансовые результаты при ограничениях, накладываемых системой. Теория наращивает формальную плоть на вербальный скелет «невидимой руки рынка» Адама Смита.
Наука о сложности 245
Теория сложности ставит под сомнение эту уютную капиталистическую утопию по целому ряду причин. Одна из центральных догм классической экономической теории — закон убывающей доходности, введенный английским экономистом Давидом Рикардо около 1820 года. Этот закон гласит, что любая экономическая деятельность, приводящая к росту, со временем испытывает ограничения. Например, сырьем для производства пластмасс служит нефть. Когда нефть дешева, многие компании могут перейти от, скажем, металлических компонентов к пластмассовым. Это приводит к повышению спроса на нефть, цены на нее поднимаются. В какой-то момент наступает равновесие.
Однако современные высокотехнологичные производства не подчиняются этому закону. Чтобы построить завод по производству последнего поколения чипов компьютерной памяти, может потребоваться миллиард долларов. Пока завод не заработает, доходы нулевые. Но как только он начнет выпускать продукцию, стоимость чипов минимальна. Чем дольше работает завод, тем дешевле обходится производство чипов. Здесь действует закон возрастающей доходности: чем больше товаров производится, тем дешевле они обходятся.
С позиции теории сложных систем рынок не просто стремится к математическому равновесию; рынок — это сложная адаптивная система, где взаимодействующие агенты меняют правила, управляющие их собственным поведением. Сложные адаптивные системы часто приводят к интересным закономерностям, причудливо напоминающим закономерности реального мира. Например, Брайан Артур с коллегами построили компьютерные модели рынка акций, в котором агенты ищут закономерности — истинные или мнимые — в поведении рынка, а затем корректируют свои правила для покупки и продажи в соответствии с тем, что обнаружили. Эта модель во многом напоминает настоящие рынки акций. Например, если много агентов «верят», что цена на акции вырастет, то покупают эти акции, и прогноз становится самоподтвержда- ющимся.
246 Скрэббл
Согласно традиционной экономической теории такие явления не должны возникать. Почему же они возникают в сложностных моделях? Дело в том, что в классические модели встроены математические ограничения, которые предотвращают появление разновидностей «интересной» динамики. Главное достоинство теории сложности в том, что она напоминает неприглаженную креативность реального мира. Парадоксальным образом она опирается на достоинства простоты и выводит далеко идущие следствия из моделей с простыми, но тщательно подобранными ингредиентами.
СКРЭББЛ
В игре «Скрэббл» каждой букве приписывается определенное количество очков.
1 очко: А, В, Е, И, Н, О, Р, С, Т;
2 очка: Д, К, А, М, П, У;
3 очка: Б, Г, Ё, Ь, Я;
4 очка: Й, Ы;
5 очков: Ж, 3, X, Ц, Ч;
8 очков: Ш, Э, Ю;
10 очков: Ф, Щ, Ъ.
Если записать некоторое число буквами и подсчитать сумму их очков, то как раз это число и получится. Что это за число?
КРИВАЯ ДРАКОНА
На рис. 159 изображена последовательность кривых, называемых кривыми дракона (обрати внимание на последнюю). Последовательность можно продолжать неограниченно, строя все более сложные кривые.
По какому правилу они построены?
Не обращай внимания на «скругления» углов; они сделаны для того, чтобы на последних кривых четко различались все загогулины.
Съём переворотом 247
Рис. 159. Первые девять кривых дракона
СЪЁМ ПЕРЕВОРОТОМ
Сделай из картона несколько фишек, чтобы одна сторона у них была белая, а другая черная (точное количество не важно, штук 10-12 хватит). Разложи их в ряд, чтобы черные и белые стороны чередовались случайно.
Твоя цель — снять со стола все фишки, следуя определенным правилам. На каждом ходе ты выбираешь черную фишку, снимаешь ее со стола, а затем переворачиваешь соседние с ней фишки. Фишки считаются соседними, если они лежали рядом с самого начала; если какую-то фишку снять, останется дырка.
В ходе игры у фишки может быть две соседних, одна или ни одной.
На рис. 160 изображена игра, в которой играющий смог снять все фишки.
о#ю ФОФ-ФО Ф Ф Ф-О-Ф-ФО Ф ФОФ-Ф-О
Ф-ОФ-ФО ^ ^ ^ ^
ФО Ф
Ф-О
ф
Рис. 160. Пример игры «Съём переворотом». Линии показывают, где соседи
248 Шаровой хлеб
Секрет головоломки прост, но совсем не очевиден. Если число черных фишек нечетно, при правильной игре всегда можно выиграть. Если четно, решения нет.
В игру можно играть просто для удовольствия, не анализируя ее математическую структуру. Если ты человек амбициозный, попробуй построить выигрышную стратегию, а также объяснить, почему нельзя выиграть, когда число черных фишек четно.
ШАРОВОЙ ХЛЕБ
У Арамиты Понсонби десять детей, и все они пятерняшки. Иногда она водит их в архимедову пекарню, где выпекают сферические караваи хлеба и умеют резать их на 10 ломтиков одинаковой толщины, так что каждому ребенку достается по ломтику. Аппетиты у детей разные, и это удачно, потому что у одних ломтиков объем побольше, у других поменьше. Однако, подобно большинству детей, все дети Арамиты любят корочку и хотят, чтобы корочки им досталось как можно больше.
У какого ломтика самая большая корочка?
Считай, что каравай имеет форму правильного шара, разрезы — параллельные плоскости, проведенные через равные расстояния, а корочка бесконечно тонкая, так что измеряется площадью соответствующей части сферы (рис. 161).
Рис. 161. Все ломтики одной толщины. У какого самая большая корочка?
Математическая теология 249
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОЛОГИЯ
Говорят, в бытность Леонарда Эйлера при дворе Екатерины Великой французский философ Дидро пытался склонить двор к атеизму. Это ему не особенно удавалось, ведь в России правитель — помазанник Божий. Как бы то ни было, Екатерина попросила Эйлера насовать палок в колеса Дидро. Эйлер объявил при дворе, что ему известно алгебраическое доказательство существования Бога. Глядя
ъп
прямо в лицо Дидро, он заявил: «Сударь, я + — = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте же!» У Дидро ответа не было, и под общий смех он покинул залу униженным.
Ну, что здесь сказать... Есть неувязочки с этим анекдотом; похоже, его пустил в обиход английский математик Огастес де Морган в своей книге A budget of paradoxes («Собрание парадоксов»). Как указал в 1967 году историк и математик Дирк Стройк, Дидро знал математику своего времени, у него были публикации в области геометрии и теории вероятностей, он распознал бы бессмыслицу. Эйлер, гораздо более сильный математик, вряд ли понадеялся бы на такой бесхитростный трюк. Формула не имеет никакого смысла, если не знать, что означают переменные а, Ь, п и х. Стройк пишет: «Нет оснований думать, что рассудительный Эйлер мог вести себя столь нелепым образом».
Эйлер был человеком религиозным и, по-видимому, считал буквально истинной Библию, но он же полагал, что знание происходит и из законов мышления тоже. В XVIII веке вставал вопрос о возможности алгебраического доказательства бытия Бога, и одно из них, принадлежащее Мопертюи, упоминает Вольтер в «Диатрибе доктора Акакия, папского лекаря».
Более успешная попытка была найдена среди неопубликованных рукописей Курта Гёделя. Естественно, это доказательство опирается на методы математической логики, я привожу его полностью.
АхЛ □ Улг[ф(л:) —» у(х)] л Р(ф) —» P(vj/)
Ах.2 Р(->ф) v -тР(ф)
771.1 Р(Ф) -> 0 Зх[ф(х)]
250 Математическая теология
D/.1
G(x) о Vq>[P(cp) ф(х)]
Ах. 3
P(G)
Т/1.2
0 3xG(x)
Df.2
Ф ess x о ф(х) л V'P'F(x) ->□ Vfo(*) -> Ч'(х)]
Ах. 4
Р(ф) -> □ Р(ф)
Th. 3
G(x) —> G ess х
Df. 3
Е(х) <=> Уф |\pessx -> □ Зхф(лг)
Ах. 5
Р(Е)
Th. 4
□ 3 xG(x)
Обозначения здесь взяты из области математической логики, называемой модальной логикой. Грубо говоря, в доказательстве речь идет о «благих свойствах», обозначенных буквой Р. Выражение Р(ср) означает, что ф — благое свойство. Свойство «быть Богом» определяется (D/. 1) тем требованием, что Бог обладает всеми благими свойствами. Выражение G(x) означает «л: обладает свойством „быть Богом"», это такой вычурный способ утверждать: «х — Бог». Символы □ и 0 означают «необходимо» и «возможно»; стрелочка -» означает «следует», V — «для всех», 3 — «для некоторого». Символ -> означает «не», л — «и», а и <=> — две немного разные версии «тогда и только тогда». Символ ess определяется в определении Df.2. Аксиомы — Ах. 1-5. Теоремы (Th. 1-4) приводят к утверждению «существует х такой, что х обладает свойством „быть Богом"», т. е. «Бог есть».
Разница между необходимым и возможным — ключевая особенность модальной логики. В ней различаются те утверждения, которые должны быть истинными (такие как «2 + 2 = 4» в подходящей аксиоматике математики), и те, которые могут быть ложными («сегодня дождливо»). В классической математической логике утверждение «если А, то В» считается истинным, если А ложно. Например, истинно высказывание «из 2 + 2 = 5 следует 1 = 1», и также истинно высказывание «из 2 + 2 = 5 следует 1 = 42». Это кажется неправдоподобным, но на самом деле можно доказать, что 1 = 1, исходя из равенства 2 + 2 = 5, и одновременно с этим можно доказать, что 1 = 42, исходя из того же равенства 2 + 2 = 5. Поэтому принятое соглашение
Математическая теология 251
очень разумно. Можешь ли ты построить такое доказательство?
Если мы распространим это соглашение на человеческую жизнь, то утверждение «Если бы Гитлер выиграл Вторую мировую войну, то Европа была бы единым государством» тривиально истинно, ведь Гитлер не победил. И точно так же утверждение «Если бы Гитлер выиграл Вторую мировую войну, то поросята бы летали» истинно, причем по той же причине. А вот в модальной логике уже можно обсуждать истинность или ложность первого из этих утверждений, в зависимости от того, как могла бы измениться история, если бы нацисты победили. Второе же оказывается ложным, так как поросята не летают.
Построенная Гёделем цепочка рассуждений оказывается формальной версией онтологического рассуждения, приведенного Ансельмом Кентерберийским в трактате Proslogion в 1077-1078 годах. Определив Бога как то, больше чего нельзя себе представить, Ансельм приходит к выводу, что Бога можно представить. Но если бы Он не существовал, то мы могли бы представить Его еще большим — существующим в реальности. Следовательно, Бог должен существовать.
Не говоря уже о таких глубоких вопросах, как следует понимать слова «больше некуда» и тому подобные, в этом рассуждении есть логический недочет, один из тех, которого математики боятся с пеленок. Прежде чем выводить какие-либо свойства некоторой сущности или понятия из определения, надо доказать, что существует нечто, удовлетворяющее определению. В противном случае определение может оказаться противоречивым. Например, определим п как наибольшее натуральное число. Тогда легко доказать, что и = 1. От противного: если п ф 1, то и2 > п, а это неравенство противоречит определению и. Следовательно, 1 — наибольшее натуральное число. Недостаток этого доказательства в том, что нельзя использовать никакие свойства п, пока не доказано, что п существует. Как известно, это не так, но даже если бы такое число существовало, сначала надо было бы доказать существование, а потом уже делать выводы.
252 Математическая теология
Итак, чтобы доказать бытие Божие в духе Ансельмовых рассуждений, сначала надо доказать, что Он существует (каким-нибудь другим способом, чтобы не допустить порочного круга). Конечно, кое-что я здесь упростил, и более современные философы пытались преодолеть этот недостаток, обходясь с логикой и философией аккуратнее. Доказательство Гёделя — по существу, формальная версия доказательства, предложенного Лейбницем. Своего доказательства Гёдель никогда не публиковал, так как опасался, что его могут принять за строгое доказательство бытия Божия. Сам же математик считал доказательство формальным выражением неявных допущений Лейбница, которое могло бы вскрыть потенциальные логические ошибки. Подробнее об этом можно прочитать в Википедии: en.wikipedia.org/wiki/ G6del's_ontological_proof24, а детальное обсуждение модальной логики и ее использования в онтологическом доказательстве имеется на сайте www.stats.uwaterloo.ca/~cgsmall/ ontologyl .html.
24 См. также статью «Онтологический аргумент» в Википедии. — Прим. перев.
КОВАРНАЯ ШПАРГАЛКА ПРОФЕССОРА СТЮАРТА,
ь
где взыскательный или отчаявшийся читатель может найти ответы на те вопросы, о которых на данный момент известно, что эти ответы есть... А еще здесь попадаются дополнительные сведения для дальнейшего назидания.
ВНЕЗЕМНОЙ КОНТАКТ
Альфи — истинеец, а Бетти с Гемми — ахинейцы. Есть всего восемь возможностей, поэтому можно просто перебрать все по очереди. Но есть способ побыстрее. По словам Бетти, Альфи с Гемми одного вида, но они дали разные ответы на один вопрос, значит, Бетти — ахинеец. Именно так Альфи и сказал, значит, он истинеец. Гемми ему противоречил, так что должен быть ахинейцем.
ЛЮБОПЫТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1. 1x1=1;
И х И = 121;
111 х 111 = 12 321;
1111 х ИИ = 1 234 321;
И 111 х и ill = 123 454 321.
Если ты умеешь умножать в столбик, то разберешься, откуда берется такая закономерность. Например,
111 х 111 + 111
12321
Видно, что в столбце единиц получается цифра 1, в столбце десятков — цифра 2, в столбце сотен — 3, а затем цифры начинают уменьшаться: тысяч всего две, а десятков тысяч один. Ответ: 12321.
Закономерность сохраняется и для чисел побольше, хотя в твоем калькуляторе могут кончиться цифры:
Карточный треугольник 2 55
111 111 X 111 111 = 12 345 654321;
1 111 111 x 1 111 ill = 1 234 567 654 321;
11 111 111 x И ill 111 =123 456 787 654 321; 111 Ш ill x ill in ill = 12 345 678 987 654 321.
После этого вся красота нарушается из-за цифр «переноса» в соседний столбец.
142 857 х 3 = 428 571; 142 857 х 4 = 571 428; 142 857 х 5 = 714 285; 142 857 х 6 = 857 142; 142 857 х 7 = 999 999.
Когда мы умножаем число 142 857 на 2, 3, 4, 5 или 6, то получаем ту же последовательность цифр в циклическом порядке, только начатую в другом месте. А 999 999 — это бонус. Этот любопытный факт вовсе не случаен. Он объясняется тем, что дробь 1/7 в десятичной записи дает число 0,142 857 142 857..., и период бесконечно повторяется.
2.
142 857 х 2 = 285 714;
КАРТОЧНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Рис. 162. Разностный треугольник из 15 карточек
0000 00000
ДЕДКА И РЕПКА
Когда дед Назар начал торговать, у него было 400 репок. Такие задачи решают методом «вспять». Пусть в 4-й час
у деда Назара было х репок. Через час он продал Щ + ^,
256 Задача о четырех красках
а раз ничего у него не осталось, это и есть х. Поэтому
"2 у 1
л: - — - - = —— = 0, откуда х = 1. Аналогично, если в 3-й час
* -1
у него было х репок, то —— = 1, тогда х = 8. Пускай те-
X — 1
перь л: — число репок во 2-й час, тогда —=— = 8, т. е. х = 57.
х-1
И наконец, если л: репок было в первый час, то —=— = 57 их = 400.
ЗАДАЧА О ЧЕТЫРЕХ КРАСКАХ
Четыре графства, каждое из которых соседствует с любым другим, изображены на рис. 163. В центре — Западный Мидленд; между прочим, я живу здесь. А вокруг него по часовой стрелке, начиная сверху: Стаффордшир,
Уорикшир и Вустершир.
Рис. 163. Вот эти четыре графства требуют четырех красок
ИСТОРИЯ ПРО БЕЛОГО БЫЧКА
Начнем с бычьей арифметики. Метод работает, потому что составленное завещание противоречиво. В сумме три дроби не дают 1:
II I _ 1Z
2 + 3 + 9 ~ 18 ’
Теперь тебе должно быть ясно, в чем здесь дело. Человек, который первым придумал эту задачу, был очень искусен — для такого фокуса подойдёт не так много чисел, а эта тройка очень тонко скрывает проблему. Пред-
Кролики в шляпе 257
ставь себе, что у дядьки в задаче было 1129 бычков, сыновья 4 3 2
наследовали -=, tz и — стада, а Алеша должен был взять 26 /11 15
запасных бычков!
Есть, правда, еще одна удачная возможность: метод работает, все условия остаются прежними, кроме одного: тре-
1 1
тий сын получает не а у стада. Сколько в нем бычков?
Ответ к ответу
Все дело в том, что
II 1 _ 11
2 + 3 + 7 ” 42'
Значит, бычков было 41.
Продолжение ответа
Ой, я чуть не забыл про настоящий вопрос: что же сказала Лебедь Гвидону?
А вот что: «Похоже, он вернется после дождичка в среду».
Я же предупреждал, что это история про белого бычка25. Признание
История про белого бычка навеяна отчасти научно-фан- тастическим рассказом Артура Бертрама Чендлера Fall of knight, который появился в журнале Fantastic Universe в 1958 году.
КРОЛИКИ В ШЛЯПЕ
С вычислениями здесь все в порядке, но вот их интерпретация бессмысленна. Когда мы комбинировали разные вероятности, то вычисляли вероятность вытащить черного кролика при всех возможных исходных комбинациях кроликов. Неправда, что эта вероятность годится для лю¬
25 В оригинале речь шла не о богатыре, а о рыцаре (knight) и верховых собаках (dog), а соль шутки была в том, что фразу «Surely you wouldn't send a dog out on a night like this» («В такую ночь ты же не выгонишь собаку из дому») переиначили, и получилось так: «Surely you wouldn't send a knight out on a dog like this» («Ты же не выгонишь рыцаря на такой собаке»). — Прим. перев.
258 Переправа—1. Сельскохозяйственная продукция
бой конкретной комбинации. Ошибка становится совсем очевидной, если предположить, что в шляпе изначально был только один кролик. В таком случае можно рассуждать аналогично (не добавляя и не вынимая черного кролика, что не. меняет ситуацию).
1
В шляпе с вероятностью 2 может сидеть или белый (Б),
или черный (Ч) кролик. Поэтому вероятность вынуть черного кролика равна
1 1 2 х 1 + 2 х О,
1
то есть - . Поэтому (da неужели?) в шляпе одна половина
кроликов черные, а другая половина — белые.
Но ведь в шляпе только один кролик...
ПЕРЕПРАВА — 1. СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ ПРОДУКЦИЯ
Есть два решения. Вот первое:
1) перевезти козу;
2) вернуться порожняком, забрать волка и перевезти его;
3) забрать козу обратно, а волка оставить;
4) высадить козу, забрать капусту, перевезти ее на другой берег;
5) вернуться порожняком, забрать козу и перевезти ее еще раз.
В другом решении волк и капуста меняются местами. Мне нравится геометрическое решение в пространстве «волк-коза-капуста». Оно состоит из троек (В, Ко, Ка), причем каждая переменная может принимать значения О (объект на этом берегу) или 1 (объект на другом берегу). Например, тройка (1,0,1) означает, что волк и капуста на том берегу, а коза — на этом. В задаче требуется добраться из (0,0,0) в (1,1,1) так, чтобы никто никого не съел. Мы не указываем, где крестьянин, — он все время снует по реке в лодке.
В пространстве всего восемь троек, их можно представлять себе как вершины куба (рис. 164). В лодку помещается
Любопытные вычисления. Продолжение 2 59
(0,1,1)
(1,1, У
(0,1, О)
(1,1, о у
(Or Or 1)
коза
(1, 0,3)
(О, О, О)
волк
(1, О, О) -►
'капуста
Рис. 164. Пространство «волк-коза-капуста»: теперь все очевидно
только один объект, поэтому все перемещения происходят вдоль ребер куба. Однако четыре ребра (выделенные на рисунке серым цветом) запрещены — там кто-то кого-то ест. Разрешены только черные ребра, поэтому в геометрическом смысле задача такая: найти путь вдоль черных ребер из вершины (0,0,0) в (1,1,1). Два возможных решения видны сразу же.
ЛЮБОПЫТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ
1. Фокус работает, потому что 13x11x7 = 1001. Если умножить трехзначное число abc на 1001, в результате получится abcabc. Почему? Умножение на 1000 дает яЬсООО. Теперь, чтобы умножить на 1001, остается прибавить abc.
2. Для четырехзначных чисел верно то же самое, только умножать надо на 10 001. Это можно сделать в два этапа — сначала умножить на 73, а потом на 137, потому что 73 х 137 = 10 001.
3. Пятизначные числа надо умножать на 100 001. Это тоже делается в два шага — сначала умножить на 11, а потом на 9091, — правда, для салонного фокуса сложновато.
4. Получается 471 471 471 471 — все то же трехзначное число 471, записанное четырежды. Почему так получается? Потому что 7x11x13x101 х9901 = 1001 001001.
260 Как вынуть вишенку
5. Прибавив в последний раз 128, получишь 128 ООО ООО — в миллион раз больше задуманного числа. Фокус работает для всех трехзначных чисел вот из-за такого равенства: 3x3x3x7x11 x13x37 = 999999.
Добавь еще 1 — и получишь миллион.
Все эти фокусы можно показывать на вечеринках. Например, вот как показывать фокус с превращением 471 471 в 471. Фокусник с завязанными глазами предлагает кому- нибудь записать трехзначное число (скажем, 471) на доске или листе бумаги. Второй человек приписывает то же число еще раз (получается 471 471). Третий, вооружившись калькулятором, делит его на 13 (это 36 267). Четвертый делит результат на 11 (3297). Тем временем фокусник не забывает суетиться и беспокоиться о том, чтобы все разделилось нацело без остатка. Затем он спрашивает, что получилось, и мгновенно объявляет, что было задумано число 471.
Для этого он в уме делит 3297 на 7. Ну да, это надо уметь делать, но если ты знаешь таблицу умножения до семи, то у тебя все получится.
КАК ВЫНУТЬ ВИШЕНКУ
Рис. 165. Передвинуты две спички
СДЕЛАЙ ПЯТИУГОЛЬНИК
Завяжи полоску бумаги узлом и расправь его - очень аккуратно (рис. 166).
Пустые стаканы 261
Рис. 166. Пятиугольник из завязанной узлом бумажной полосы
Интересное упражнение — доказать, что это действительно правильный пятиугольник. Предлагаю его всем любителям.
ПУСТЫЕ СТАКАНЫ
Возьми второй стакан слева, вылей его содержимое в пятый, поставь второй стакан на место.
НА СКОРУЮ РУКУ
1. Если у тебя с партнером собрались все пики, то у ваших противников пик нет, и наоборот. Поэтому вероятности в обоих случаях одинаковы.
2. Три. Ты взял именно столько.
3. Нуль. Если пять писем на месте, то и шестое тоже. ХОД КОНЕМ
Не существует замкнутого пути на доске размером 5x5. Представь себе, что ее клетки раскрашены в белый и черный цвета, как на обычной шахматной доске. Тогда с каждым ходом цвет клетки, на которой стоит конь, меняется. Поэтому в замкнутом пути белых и черных клеток должно быть поровну, но число 5 х 5 = 25 нечетное. То же самое рассуждение подходит для всех квадратных досок с нечётным числом квадратов в стороне.
На доске 4x4 тоже нет замкнутого пути. Главная проблема в том, что каждая угловая клетка соединяется толь¬
262 Белохвостики
Рис. 167. Конь обходит 15 квадратов
ко с двумя другими; с ними же соединена противоположная угловая клетка. Поразмыслив, ты поймешь, что если путь через все 16 клеток существует, он должен начинаться в одном углу и заканчиваться в соседнем. Остается рассмотреть все варианты и убедиться, что ни один из них невозможен.
Однако можно обойти 15 клеток из 16 (рис. 167).
БЕЛОХВОСТИКИ
Пусть всего кошечек с и у а? из них белые хвостики. Тогда можно составить с(с - 1) упорядоченных пар разных кошек и w(w - 1) упорядоченных пар белохвостых кошек. (Первую кошку в паре можно выбрать с способами, а для второй остается только с - 1 способов, поскольку одна кошка уже выбрана. Аналогично для кошек с белыми хвостами. Пары кошек упорядочены: если сначала выбрать кошку А, а потом кошку В, получится совсем не та пара, если сначала выбрать В, а потом А. Если тебе нравятся неупорядоченные пары, можешь разделить на 2 оба выражения, — в конце получится тот же результат.)
Это означает, что у обеих кошек хвосты белые с вероятностью
w(w-1) с(с — 1) '
1
она должна быть равна Поэтому с(с - 1) = 2ъи(ъи - 1),
причем сию — целые числа. Наименьшее решение — с = 4, tv = 3. Следующее решение — с = 21, w = 15. У Танечки меньше 20 кошек, поэтому их должно быть четыре, и у трех из них белые хвостики.
Вечный календарь 263
ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ
На обоих кубиках должны быть двойки и единицы, ведь нужно изображать числа 11 и 22. Если бы 0 был только на одном кубике, то из чисел от 01 до 09 удалось бы изобразить максимум шесть, значит, 0 тоже должен быть на обоих кубиках. Для цифр 3-9 остается только 6 свободных граней, поэтому кажется, что задачу решить нельзя... пока ты не догадаешься, что кубик с цифрой 6 можно повернуть и получить цифру 9. Итак, на белом кубике — цифры 0, 1, 2, 6 (а заодно и 9), 7 и 8, а на сером кубике — цифры 0, 1, 2, 3, 4 и 5. (Обрати внимание, я с самого начала изобразил 5 на сером кубике, чтобы отличать их один от другого.)
ОБМАНЧИВЫЕ КОСТИ
Самой лучшей кости нет. Если Митрофанушка согласится играть, а Филомата выберет правильную кость (а она так и сделает, уж будь уверен), то в длинной серии игр он проиграет. Удача на стороне Филоматы.
Почему? Филомата сделала кости так, что в среднем желтая побеждает красную, красная побеждает синюю, а синяя — желтую! На первый взгляд кажется, что это невозможно, поэтому сейчас я объясню, как это получилось.
На каждой кости каждое число появляется дважды, поэтому вероятность выпадения любого отдельного числа
равна g . Я сведу в таблицу все варианты и посмотрю, кость какого цвета выигрывает в каждом. Все варианты равновероятны — вероятность любой пары равна ^.
9
К]
засная и желтая
Желтая
1
5
9
Красная
3
Красная
Желтая
Желтая
4
Красная
Желтая
Желтая
8
Красная
Красная
Желтая
264 Обманчивые кости
Видно, что желтая кость побеждает красную в пяти случаях из девяти, а красная желтую — только в четырех.
Красная и синяя
Красная
3
4
8
Синяя
2
Красная
Красная
Красная
6
Синяя
Синяя
Красная
7
Синяя
Синяя
Красная
Красная кость побеждает в пяти случаях из девяти, а синяя — только в четырех.
Синяя и желтая
Синяя
2
6
7
Желтая
1
Синяя
Синяя
Синяя
5
Желтая
Синяя
Синяя
9
Желтая
Желтая
Желтая
Синяя кость побеждает в пяти случаях из девяти, а желтая — только в четырех. ^
Итак, желтая побеждает красную в д всех случаев, красная побеждает синюю в д всех случаев, а синяя желтую — тоже в д всех случаев.
Поэтому у Филоматы, если она выбирает после Митрофанушки, есть преимущество — и она коварно его добилась. Если Митрофанушка выберет красную кость, она возьмет желтую. Если он выберет желтую, то она возьмет синюю. Ну а если он выберет синюю, то она возьмет красную. У Филоматы не очень большое преимущество — пять шансов из девяти против четырех из девяти у Митрофанушки, но все же это преимущество.
Старая задача про старого человека 265
В длинной серии игр Митрофанушка потеряет свои карманные деньги. Если ему очень хочется играть, то лучше проявить великодушие: «Уступаю тебе выбирать первой».
Может быть непонятно, как это желтая кость «лучше» красной, красная «лучше» синей, но при этом желтая «не лучше» синей. Дело в том, что смысл слова «лучше» здесь зависит от выбранных костей. Представь себе три футбольные команды.
• «Красные» — у них замечательный вратарь и непробиваемая защита, но слабые нападающие. Команда выигрывает тогда и только тогда, когда у противника на воротах разиня.
• «Желтые» — у них плохой вратарь, крепкая защита и неотразимое нападение. Эта команда выигрывает тогда и только тогда, когда у противника слабая защита.
• У «Синих» и вратарь на высоте, и нападающие — орлы, но вот защита никуда не годится. Они выигрывают тогда и только тогда, когда противник не умеет атаковать.
Тогда (обязательно проверь!) «Красные» всегда побеждают «Желтых», «Желтые» — «Синих», а «Синие» — «Красных».
Такие кости, как у Филоматы, называются нетранзитивными (слово «транзитивные» означает, что если А побеждает В, а В побеждает С, то А побеждает С. В нашей истории так не случилось). Существование нетранзитивных костей говорит о том, что в жизни некоторые «очевидные» предположения, например об экономическом поведении, оказываются неверными.
СТАРАЯ ЗАДАЧА ПРО СТАРОГО ЧЕЛОВЕКА
Скрумптию было 69 лет. Дело в том, что не существует года номер 0 между нашей эрой и тем, что было до нее. (Если ты решил, что ему было 68, прибавь себе очко за оригинальность мышления. И отними два за педантизм, потому что по традиции возраст человека увеличивают на год, как только начинается день рождения, сразу после полуночи.)
266 Костюм цапли
КОСТЮМ ЦАПЛИ
Вывод неверный. Возьмем необщительную кошку с остриженными когтями, с хвостом, но без усов, которая играет с гориллой, не напялив костюм цапли. Тогда первые пять утверждений истинны, а шестое нет.
Я бы рассказал про костюм цапли все, но моя кошка мне не позволяет.
КАК СЛОМАТЬ ГРЕЧЕСКИЙ КРЕСТ
Рис. 168. Как превратить греческий крест в квадрат
ПРОВЕРЬ ЭЙЛЕРА
На рис. 169 изображено решение п. 2, которое автоматически становится решением п. 1. Есть и другие решения. Но в любом из них путь должен начинаться и заканчиваться в вершинах степени 3, а для симметричности нижнее ребро должно оказаться ровно в середине пути.
Рис. 169. Симметричное решение
УРОБОРИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА
Одно из возможных уроборических колец для четверок — 1111000010100110.
Существуют и другие. У этой задачи давняя история, она прослеживается до 1946 года и связана с именем Ир¬
Уроборический тор 267
винга Гуда. Уроборические кольца существуют для любых наборов по га штук из п цифр. Например, в кольце
000111222121102202101201002
любая тройка из цифр 0, 1, 2 встречается ровно по одному разу.
Сколько всего существует уроборических колец? В 1946 году Николас де Брёйн доказал, что для наборов по m штук из двух цифр 0 и 1 колец 22”1 ~т, это число очень быстро
растет с увеличением га:
т
Число уроборических колец
2
1
3
2
4
16
5
2048
6
67 108 864
7
144115188 075 855 872
Уроборические кольца считаются одинаковыми, если получаются друг из друга циклической перестановкой.
УРОБОРИЧЕСКИЙ ТОР
Решение (рис. 170) единственно с точностью до преобразований симметрии — поворотов, отражений и сдвигов по горизонтали или вертикали. Не забывай про соглашение о склейке противоположных сторон: можно отрезать четыре квадратика справа и переставить влево.
Рис. 170. Решение уроборической головоломки
268 Постоянная дыра
ПОСТОЯННАЯ ДЫРА
Вставить такую задачу в такую книгу можно по одной- единственной причине — здесь есть что-то удивительное;
а удивительное здесь только в том, что ответ не зависит от радиуса сферы.
1 метр Звучит невероятно: а вдруг сфе¬
ра размером с Землю? Но тогда, чтобы сделать отверстие длиной 1м, придется убрать почти целую
Рис. 171. Частный планету, оставив только узенькую
случай задачи полоску вокруг экватора. Так что
все может быть...
Начнем с простого. Предположив, что радиус не имеет значения, мы можем вычислить ответ, рассмотрев частный случай, когда отверстие очень узкое — когда у него нулевая ширина (рис. 171).
Тогда объем меди равен объему целого шара диаметром
1 м. Радиус его равен -, а объем можно вычислить по хорошо известной формуле
У = \пг>.
_ 1 ^ К
При г = ^ получаем объем
Это все хорошо, но как мы узнали, что радиус не имеет значения?
Тут-то и начинается сложная часть решения, и геометрии здесь больше (можешь доказывать методами анализа, если умеешь).
Рис. 172. Добавляем шаровые сегменты для упрощения вычислений
шаровой щ & сегмент
1
шаровой
сегмент*
Цифровая сотня 269
Вернем сверху и снизу по шаровому сегменту (рис. 172). Обозначим радиус сферы через г, а радиус отверстия через а. Тогда по теореме Пифагора для маленького треугольника сверху получаем
г2 = а2 + Q) .
Поэтому
я2 = г2
(II
объем шара радиуса г равен -лг3;
Нам потребуется три формулы для объема:
4
з’
• объем цилиндра с радиусом основания а и высотой h равен na2h)
• для шара радиуса г объем шарового сегмента высо-
той к равен - пк2(3г - к).
Не переживай, если что, последнюю из трех формул я тоже не помнил. Требуемый объем меди равен объему шара за вычетом объемов цилиндра и двух шаровых сегментов, т. е.
^ л г3 - na2h - ? пк2(3г - к),
\
ведь шаровых сегментов два. У нас h = \, к = г - ^ и а2 = = г2 - ^, так что искомый объем равен
{2г + \\
А теперь алгебра! Чудесным образом почти все сокраща-
71
ется, и от длинного выражения остается только g.
ЦИФРОВАЯ СОТНЯ
123 - 45 - 67 + 89 = 100.
Это решение нашел знаменитый английский автор головоломок Генри Эрнест Дью дени и опубликовал головоломку в книге Amusements in Mathematics. Решений будет еще больше, если разрешить другие символы.
270 Квадратура квадрата
КВАДРАТУРА КВАДРАТА
14
18
10
ч
4
7
15
9
8
ЯП
35
27
8
19
15 In
L1
29
А
425
У|7
16
18
24
42
33
37
Рис. 173. Вторая квадратура прямоугольника, предложенная Мороном
Рис. 174. Квадратура квадрата Адриануса Дёйвестейна
Рисунки можно повернуть или отразить.
ЕХАЛИ ПО РОВНОЙ ДОРОЖКЕ
Разница составляет 20к, т. е. приблизительно 63 метра для дорог на плоскости. Она не зависит ни от длины пути, ни от его извилистости при условии, что расстояние между крайними полосами не становится меньше 10 метров.
Начнем с идеального случая, когда трасса М25 — совершенная окружность (рис. 175). Радиус той окружности, где машины едут по часовой стрелке, равен г +10, а той, где против, — г. Дли- Рис. 175. Строго ны окружностей равны 2я(г + 10) и 2кг
круговая дорога соответственно. Разность составляет
2л(г + 10) - 2кг = 20л и не зависит от г.
Но шоссе М25 вовсе не круглое. Попробуем еще прямоугольник (рис. 176). Теперь внешняя полоса состоит из четырех прямолинейных участков, которые в точности повторяют внутреннюю полосу, плюс четыре полуокружности по углам. Из этих кусочков как раз можно составить одну окружность радиуса 10. И в этом случае мы получаем разницу ровно 20я.
Ехали по ровной дорожке 271
Рис. 176. Для прямоугольной дороги разница тоже равна 20я
Те же рассуждения годятся для любой «многоугольной» дороги, которая состоит из прямоугольных участков с дугами окружностей по углам. Прямолинейные участки строго соответствуют друг другу, а дуги окружностей составляют целую окружность. Даже для невыпуклых многоугольников26, как на рис. 177, почти ничего не меняется. Здесь дуги на внешней полосе складываются в окружность с четвертью, а на внутренней есть своя четверть окружности. Но эта четверть противоположной кривизны, поэтому она сокращается с лишней четвертью окружности на внешней полосе. Любую достаточно гладкую кривую можно с любой точностью приблизить многоугольниками, так что в любом случае разность составляет ровно 20я.
Ничего не меняется и для бегунов по изогнутой дистанции. На дистанции 400 м линию старта делают дугообразной, чтобы на каждой дорожке длина оказалась одинаковой. Разница в линиях старта на соседних дорожках должна быть равна 2я, умноженному
на ширину дорожки. Обычно эта ширина равна 1,22 м, поэтому между соседними стартовыми линиями делают расстояние 7,66 м — при условии, что этот участок прямо¬
Рис. 177. Для
невыпуклого многоугольника тоже 20к
26 А вот самопересекающиеся дороги вроде трассы Судзука в Японии из этого правила выпадают. Но по некоторым причинам орбитальные трассы в виде восьмерки непопулярны.
272 Магический шестиугольник
линейный. На практике участок старта немного изогнут, поэтому точные числа получаются немного другими. Самый простой способ найти их — проверить, что каждый спортсмен пробегает ровно 400 метров, как того и требуют правила.
МАГИЧЕСКИЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Единственное решение (с точностью до поворотов и отражений) изображено на рис. 178.
Рис. 178. Единственный нетривиальный магический шестиугольник
Этот волшебный шестиугольник независимо друг от друга обнаружили несколько человек между 1887 и 1958 годами. Если мы попробуем построить другой магический шестиугольник, в котором не три ячейки вдоль одной стороны, то найдём только один — тривиальный, состоящий из одной шестиугольной ячейки с числом 1. Почему так получается, объяснил в 1964 году Чарльз У. Тригг, показав, что магическая постоянная в шестиугольнике с п ячейками вдоль одной стороны должна быть равна
9(п4 - 2и3 + 2п2 - и) + 2 2(2п - 1) '
Это число может быть целым только при я = 1 или 3. ПЕНТАЛЬФА
Форму звезды для этой головоломки придумали специально, чтобы запутать. Важно только, какие кружочки расположены через один: именно с одного на другой перепры-
Сколько лет Диофанту? 273
гивает фишка. С учетом этого соображения головоломке можно придать форму попроще, как на рис. 179.
Рис. 179. Другая форма той же головоломки
Правило размещения фишек тоже надо переформулировать: поставь фишку на пустой кружок и передвинь на соседний. Теперь очевидно, как закрыть 9 кружочков. Поставь, например, первую фишку на кружок 1 и передвинь её на 0. Затем поставь фишку на 2 и передвинь ее на 1. После этого поставь фишку на 3 и передвинь её на 2. Так и продолжай, каждый раз ставя новую фишку рядом с имеющейся цепочкой занятых кружков.
Теперь скопируй этот порядок ходов на начальную схему — и решишь задачу. На втором рисунке видно, что ты можешь добавлять новые фишки с любого конца, поэтому существует очень много решений. Но нельзя составлять больше одной цепочки фишек, иначе образуется два пустых промежутка и в каждом из них не удастся закрыть по крайней мере один кружок.
СКОЛЬКО ЛЕТ ДИОФАНТУ?
Диофант умер в 84 года.
И правда, обозначим его возраст буквой х. Тогда
х х х _ х .
-+т=+=+5+= + ‘1 = х.
6 12 7 2
9
Отсюда — х = 9 и х = 84.
84
274 Сфинкс—растение
СФИНКС — РАСТЕНИЕ
Рис. 180. Большой сфинкс, составленный из четырех сфинксов поменьше
КУБИКИ ЛЭНГФОРДА
Рис. 181. Кубики Лэнгфорда четырех цветов
МАГИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ
Решение на рис. 182 единственно с точностью до поворотов и отражений.
Рис. 182. Шестилучевая магическая звезда
КРИВЫЕ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ
Как это ни удивительно, окружность — не единственная кривая постоянной ширины. Простейший пример кривой постоянной ширины, которая не является окружностью, — правильный треугольник со скругленными сторонами (рис. 183).
Соединительные кабели 275
Рис. 183. Треугольник постоянной ширины (слева). Монета достоинством 20 пенсов (справа)
У него каждая сторона — это дуга окружности с центром в противолежащей вершине. Две британские монеты в 20 и 50 пенсов — это семисторонние кривые постоянной ширины. Такая форма выбрана потому, что монеты удобно использовать в слотах автоматов и вместе с тем легко отличить от монет другого достоинства; это особенно полезно для слабовидящих и незрячих.
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ КАБЕЛИ
Самое главное — не подключать в первую очередь посудомойку прямым кабелем. Это отсечет другие приборы от своих розеток, и задача не решится. Сначала надо подключить холодильник и плиту. После этого станет очевидно, как подключить посудомоечную машину (рис. 184).
розетка для холодиль ника
розетка для посудомоечной машины
розетка для плиты
Рис. 184. Соединять так
276 Меняю злато на серебро
МЕНЯЮ ЗЛАТО НА СЕРЕБРО
Одно из решений — последовательно менять местами монеты в таких парах: НК, НЕ, НС, НА, IL, IF, ID, KL, GJ, JA, FK, LE, DK, EF, ED, ЕВ, BK. Есть много других решений.
НЕУДАЧНЫЙ ДЕНЬ ДЛЯ ЖЕСТЯНЩИКА
Жестянщик заплатил £900 за автомобиль и отдал £100 сдачи. Он подсчитал все расходы, но забыл учесть соответствующий приход. Все остальные транзакции сокращаются, так что всего он потерял £1000.
НЕЗАМЕТНАЯ ОШИБКА
Это были числа 1, 2 и 3. И правда, l+2 + 3 = 6 = lx2x3. Это единственное решение для трех натуральных чисел. Для двух чисел решение тоже единственно:
2 + 2 = 4 = 2х2.
Единственное же решение для четырех чисел:
1 + 1+ 2 + 4 = 8 = 1х1х2х4.
Если чисел больше, то решений обычно много; но в некоторых исключительных случаях оно тоже одно. Если сумма к натуральных чисел равна их произведению и только одно множество из к чисел обладает этим свойством, то к — одно из чисел 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174 и 444 или даже 13 587 782 064. Решения больше этого неизвестны, и вопрос об их существовании открыт.
ПЕРЕПРАВА —2. СУПРУЖЕСКОЕ НЕДОВЕРИЕ
Графическое решение допустимо, но оно несколько неудобно, ведь приходится рисовать шестимерный гиперкуб в пространстве «муж^муж^муж^жена^жена^женаз». К счастью, есть и другие возможности. Исключив неподходящие ходы и применив чуть-чуть логики, можно найти решение в 11 ходов — это наименьшее возможное число.
Борромео, как мне жаль, что ты Борромео 277
Это решение описывается таблицей; мужья обозначены буквами А, В, С, а их жены — буквами а, Ъ, с.
Ближний
берег
В лодке
Направление
Дальний
берег
АСас
ВЬ
—
—
АСас
В
«-
Ь
ABC
ас
—
Ъ
ABC
а
«-
Ъс
Аа
ВС
-»
Ъс
Аа
ВЬ
«-
Сс
ab
АЬ
-»
Сс
ab
с
«-
ABC
b
ас
—
ABC
b
В
<—
АСас
—
ВЬ
-
АСас
Есть еще несколько решений, не сильно отличающихся от этого, просто некоторые пары поменяются местами.
БОРРОМЕО, КАК МНЕ ЖАЛЬ, ЧТО ТЫ БОРРОМЕО!
На втором рисунке два нижних кольца зацеплены. На третьем зацеплены все три пары колец, а на четвертом верхнее кольцо сцеплено с левым, а оно, в свою очередь, с правым.
Версий для четырех колец много; одна из них — на рис. 185.
Такого рода зацепления возможны для любого конечного числа ко- *>ис* *85. Соединять лец. Доказано, что свойство колец так
Борромео нельзя реализовать для идеально круглых (и потому плоских) колец. Вот такое топологическое явление.
278 Рост и падение
РОСТ И ПАДЕНИЕ
Потери и приобретения не уничтожаются взаимно. Велосипед, который Альфред продал Бетани, обошелся ему в £400 (он потерял на этом £100, т. е. 25% от £400). Тот, что был продан Гемме, обошелся в £240 (и Альфред заработал на нем £60, т. е. 25% от £240).
Всего он заплатил £640, а выручил £600, так что общие убытки составили £40.
НУ-У-У.. .МЕРОЛОГИЯ
Возьми такие значения для букв:
АВДЕИМНОПРС Т ЦЧШЬ ЫЯ -4 7 -1 13 2 5 6 -6 15 17 8 -16 48 -И 20 -19 -12 25 Тогда
0 +Д + И + Н = 1;
Д + В + А = 2;
Т + Р + И = 3;
Ч + Е + Т + Ы + Р + Е = 4;
П + Я + Т + Ь = 5;
Ш + Е + С + Т + Ь = 6;
С + Е + М + Ь = 7;
B + 0 + C + E + М + Ь = 8;
Д + Е + В + Я + Т + Ь = 9;
Д + Е + С + Я + Т + Ь = 10;
0 + Д + И + Н + Н + А + Д + Ц + А + Т + Ь = 11.
ОШИБКИ
Здесь четыре орфографические ошибки: в словах «ЭТАМ», «ПРИДААЖЕНИИ», «АШИБОК». Пятая ошибка в том, что ошибок пять, ведь на самом деле их только четыре.
Но... это означает: если предложение истинно, то оно должно быть ложным; а если оно ложно, то оказывается истинным. М-да...
Расширяющаяся вселенная 279
РАСШИРЯЮЩАЯСЯ ВСЕЛЕННАЯ
Ты, наверное, удивишься, но «Беззащитный» действительно доберется до края мира, хотя на это у него уйдет 10 437 лет.
Разберемся почему.
На каждом этапе расширения вселенной доля пройденного «Беззащитным» расстояния не меняется. Это наводит на мысль, что, если мы будем следить именно за долей расстояния, задачу решить будет гораздо проще. В первый
1
год корабль пролетит —— расстояния до края. За следу- | 1UUU |
ющий — —— расстояния; за третий — - и так далее.
.zuuu I зиии
За и-й год корабль пролетит ^оооп Расстояния А° края. Всего за и лет получится
_1_ fn 1 1 I 1) LH
1000 ' 2 + 3 + 4 + "' + J 1000 «'
где Нп — гармонические числа (частные суммы гармонического ряда). В частности, до края можно добраться за такое число п лет, что число Нп больше 1000. Явной формулы для выражения Нп через п нет, и Нп с ростом п увеличивается очень медленно. Однако можно доказать, что, увеличивая п, можно сделать Нп сколь угодно большим, в частности больше 1000. Это означает, что «Беззащитный» все же доберется до края мира при достаточно большом п.
А насколько большом? Используем подсказку, данную в условии. Чтобы выполнялось неравенство Нп > 1000, мы потребуем, чтобы выполнялось условие In и + у > 1000, т. е. п > е1000"7. Чтобы добраться до края мира, потребуется примерно е999,423, или около 10434 лет. К этому сроку вселенная расширится до (и + 1) тысяч световых лет — около 10437 световых лет.
Сначала непройденное расстояние увеличивается с каждым годом, но постепенно корабль начинает успевать за расширением вселенной. Его «доля» расширения растет с каждым годом, и в конце концов она «побеждает» скорость расширения в 1000 световых лет за год. Конец концов оказывается очень далеко: пройдет примерно е999~у = Ю433,61 лет, прежде чем остаток расстояния начнет уменьшаться, — это где-то третья часть путешествия.
280 Семейный ужин
СЕМЕЙНЫЙ УЖИН
Самое маленькое возможное число родственников — семь: две маленькие девочки и один мальчик, их мать и отец и еще родители этого отца.
НЕ ВЫПУСКАЙ ИЗ РУК
Твое тело вместе со шнуром образует замкнутый контур. В топологии известна теорема о том, что непрерывной деформацией контур в узел перевести нельзя, поэтому задачу не решить, если браться за шнур привычным «нормальным» способом. Сначала надо завязать узлом собственные руки. Эта идея кажется дикой, но на самом деле с этим справится каждый: просто скрести руки на груди. Наклонись вперед, в ту кисть, что выше, возьми один конец шнура, а в другую — другой. Разведи руки — вот и узел!
МЁБИУС И ЕГО ЛИСТ
Если разрезать лист Мёбиуса вдоль ровно посредине, он не распадется на части — читай второй лимерик. Получится кольцо, перекрученное на 360°.
Если же разрезать лист Мёбиуса вдоль, отступив от края на треть, то получатся два сцепленных кольца. Одно из них — лист Мёбиуса, а второе перекручено на 360°.
Если разрезать кольцо, перекрученное на 360°, ровно посередине, получатся два сцепленных кольца, перекрученных на 360°.
НА СКОРУЮ РУКУ. ПРОДОЛЖЕНИЕ
1. Пять дней (каждый пес роет нору за пять дней).
2. Попугай глух.
3. Обычно отвечают, что одно полушарие планеты занято сушей, а другое — водой, тогда континент и остров — это одно и то же. Но в головоломках такого рода часто находятся «прорехи» в условиях. На¬
Замощения 281
пример, может случиться так, что Нуф живет на континенте, домик его стоит на острове, а Наф питается домиками. А может, на планете Нуф-Наф подвижная суша, — кто их знает, эти иные планеты.
Рис. 186. Нуф и Наф на родной планете ЗАМОЩЕНИЯ
Я позабыл добавить еще одно условие: плитки должны соприкасаться углами. Если углы одной могут прилегать к сторонам другой (рис. 187), ответ не изменится, но доказательство усложнится.
Рис. 187. Вот про такие штуки я и позабыл APRES-SKI
Канаты пересекаются на высоте 240 метров.
Рис. 188. Общий случай
282 Теорема Пика
Проще разобраться с общим случаем, обозначения для которого приведены на рис. 188. В силу подобия треугольников
х + У _ У х + У _ х ас Ъ с'
Сложим равенства:
+ Х~Т-
Разделим на х + у:
откуда
1 1 _ 1
с
ab
а + Ъ с'
с =
а + Ъ'
Оказалось, что с не зависит от х или у, и это очень удачно, потому что по условию эти величины не даны. Мы знаем, что а = 600 и Ъ = 400, поэтому
600-400 _
С “ 1000 “ °-
ТЕОРЕМА ПИКА
Для изображенного многоугольника Г = 21 и В = 5, поэтому его площадь равна 14,5 квадратных единиц.
ПАРАДОКС ПОНАРОШКУ
Не похоже, что этот пример пройдет скрупулезную проверку на парадоксальность. Оба сутяжника пытаются сочетать несочетаемое: каждый считает, что в какой-то момент договор действует и что в другой момент суд не примет его во внимание. Для чего обращаются в суд по таким делам? Работа суда — разрешить любую двусмысленность в договоре, объмитъ его при необходимости недействующим и объяснить, что теперь делать. Если суд решит, что ученик должен платить, ему придется это сделать; а если решит, что не должен, — на нет и суда нет, Протагору придется смириться.
Шесть загонов 283
ШЕСТЬ ЗАГОНОВ
Рис. 189. 6 загонов из 12 панелей
ПОПОТАМСКАЯ ЛОГИКА
Следовательно, в Африке растут дубы.
Почему? Предположим, что это не так и что там никаких дубов нет. Тогда белки не впадут в зимнюю спячку, а бегемоты съедят желуди. Но тогда мне придется есть шляпу — а я не буду. Вот и противоречие. Следовательно (доказано от противного), мое предположение о том, что дубы не растут в Африке, ошибочно. Значит, они растут.
СВИНЬЯ НА ПРИВЯЗИ
Рис. 190. С шестью полями еще проще
Чтобы упростить задачу, расположим шесть треугольных полей шестиугольником (рис. 190), в центре привязан Пи- гас. Веревка не пускает его за пределы круга. Площадь этого круга должна быть вдвое меньше площади шестиугольника. Сторона последнего — 100 метров, поэтому площадь равна
3V3
10 000 • — = 15 000л/3. Площадь круга радиуса г равна кг2,
и мы получаем уравнение кг2 = 0,5-15 000V3, откуда
J 7500V3 '■ = 1—S—'
Это примерно 64,3 м.
284 Внезапная контрольная
ВНЕЗАПНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
По-моему, внезапная контрольная — интересный образчик рассуждения, которое кажется парадоксом, но на самом деле им не является. Дело в том, что существует логически эквивалентное утверждение, которое очевидно истинно, но абсолютно неинтересно.
Предположим, каждое утро ученики уверенно заявляют: «Контрольная будет сегодня». Тогда наступит день, когда они окажутся правы и смогут заявить, что она не оказалась внезапной.
Я не вижу никакого логического противоречия в этой конструкции, хотя она, конечно же, жульническая. Если ты каждый день чего-то ждешь, то совсем не удивишься, когда это наступит.
Моя точка зрения — а со мной не соглашались даже многие математики, так что я признаю существование других мнений, — что парадокс этот надуманный. Здесь самая обычная стратегия, которая притворяется загадочной. Жульничество не вполне очевидно, потому что все действия только неявно подразумеваются, а не выполняются на самом деле, но это все равно жульничество.
Давайте уточним условия и заставим учеников каждое утро еще до занятий объявлять, верят ли они в то, что контрольная будет сегодня. Чтобы ученики были уверены, что в пятницу контрольной не будет, они должны оставить за собой возможность объявить в пятницу: «Сегодня будет контрольная». А также в четверг, среду, вторник и понедельник. Им придется сказать: «Она будет сегодня» — пять раз — каждый день по разу. В этом есть смысл: если ученикам разрешается проверять свое предсказание каждый день, рано или поздно они окажутся правы.
Сделаем условие чуть-чуть строже — и эта стратегия не сработает. Например, позволим им сделать только одно утверждение. Если пришла пятница, а они до сих пор молчали, то могут делать свое объявление. Но если они уже истратили попытку, значит, у них неприятности. Мало того, они не могут ждать до пятницы, чтобы сделать свою попытку, ведь контрольная может случиться и в понедельник, и во вторник, и в среду, и в четверг.
Антиграв 285
Даже если у них четыре попытки, им не легче. Только если попыток пять, ученики гарантированно смогут угадать правильный день. Любой дурак сможет.
Я здесь делаю два утверждения. Менее интересное: парадокс зависит от того, что мы понимаем под словом «внезапно». Более интересное: как ни понимать слово «внезапно», есть два логически эквивалентных способа сформулировать стратегию предсказывания для учеников. Один — привычный — похоже, указывает на настоящий парадокс. Другой описывает стратегию как действия, а не гипотетические идеи, он оказывается верным, но совсем не удивительным, в нем элемент парадоксальности исчезает.
Можно повысить ставку, разрешив учителю добавить еще одно условие. Допустим, у школьников никуда не годная память, так что они забывают все сделанное за день к следующему вечеру. Если, как утверждают ученики, контрольная не будет внезапной, на подготовку им достаточно будет потратить совсем немного времени: дождаться кануна контрольной, всего-то один вечер подзубрить, на следующий день все сдать — и можно забывать. Но мудрый учитель знает, что так учиться неправильно. Если они не подготовятся в воскресенье, работа может случиться в понедельник, и если случится, они напишут ее плохо. То же относится к другим дням, со вторника по пятницу. Хотя ученики говорят, что контрольная не может случиться внезапно, готовиться им придется каждый день.
АНТИГРАВ
Движение вверх — иллюзия. Пока конус катится «вверх» по склону, его центр тяжести опускается вниз, ведь склон расширяется, и конус опирается на точки все ближе к его концам.
Рис. 191. Вид сбоку. Стрелка указывает направление движения конуса.
Склон поднимается, центр тяжести опускается (черная линия)
286 Какой формы полумесяц?
КАКОЙ ФОРМЫ ПОЛУМЕСЯЦ!
Рис. 192. Геометрия освещенной сферы
Девая кривая полумесяца — полуокружность, но правая — не дуга окружности. Это «полуэллипс» — эллипс, разрезанный надвое вдоль длинной оси. На рис. 192 виден ход солнечных лучей, мы считаем их параллельными. Само Солнце должно быть расположено где-то за плоскостью страницы, чтобы получился полумесяц. Освещенная и темная части Луны — полусферы, поэтому граница между ними — окружность, по которой пересекает сферу плоскость, перпендикулярная солнечным лучам. Эту окружность мы видим под углом, а окружность, видимая под углом, изображается эллипсом — ее невидимая часть нарисована штриховой линией, а видим мы только переднюю половинку. (Серым цветом на рисунке показана невидимая часть Луны.)
В действительности около границы света и тьмы освещенность падает, поэтому Луна выглядит немного бугристой. Ее форма не такая четкая, как следует из моего описания. Есть и другая возможность для придирок — пообсуждать, как формируется изображение окружности на сетчатке.
Полумесяц, сформированный двумя круговыми дугами, тоже можно увидеть на небе — лучше всего во время солнечного затмения, когда Луна отчасти перекрывает солнечный диск. Но тогда Солнце, а не Луна выглядит полумесяцем.
Знаменитые математики 287
ЗНАМЕНИТЫЕ МАТЕМАТИКИ
Лишняя в этом списке — Кэрол Вордерман.
Пьер Булез. Авангардистский композитор и дирижер. Изучал математику в Лионском университете, но потом переключился на музыку.
Сергей Брин. Сооснователь (с Ларри Пейджем) компании Google. Диплом бакалавра по специальности «Математика и вычислительные системы» в Мэрилендском университете. В 2007 году его состояние оценивалось в $16,6 миллиардов, он был 26-м в списке самых богатых людей в мире. Поисковая система Google основана на математических принципах.
Льюис Кэрролл. Псевдоним Чарльза Лютвиджа Дбдж- сона. Автор «Алисы в Стране чудес». Логик.
Дж. М. Кутзее. Южноафриканский писатель и ученый, лауреат Нобелевской премии по литературе в 2003 году. Дипломы бакалавра по математике и литературе в университете Кейптауна в 1961 и 1960 годах.
Альберто Фухимори. Президент Перу в 1990-2000 г. Получил степень магистра математики в Висконсинском университете, Милуоки.
Арт Гарфанкел. Певец. Степень магистра по математике в Колумбийском университете. Начал работу над докторской диссертацией, но бросил и занялся музыкой.
Филип Гласс. Современный композитор, минималист (теперь постминималист). Завершил программу по математике и философии в университете Чикаго в 15 лет.
Тери Хэтчер. Актриса. Сыграла роль Лоис Лейн в «Новых приключениях супермена»; снималась в сериале «Отчаянные домохозяйки». Изучала математику и инженерные науки в колледже Де Анза.
Эдмунд Гуссерль. Философ. Ученая степень по математике в Вене в 1883 г.
Майкл Джордан. Баскетболист. В университете начинал изучать математику, но на втором году сменил специализацию.
Теодор Качинский. Получил докторскую степень по математике в Мичиганском университете. Удалился от ци¬
288 Знаменитые математики
вилизации в предгорья Монтаны и стал знаменитым Уна- бомбером. За убийства приговорен к пожизненному заключению без права условно-досрочного освобождения.
Джон Мейнард Кейнс. Экономист. Магистр, закончил Кембриджский университет двенадцатым по математике.
Кэрол Кинг. Плодовитый автор песен в 1960-х годах, позднее стала певицей. Бросила университет через год после начала занятий математикой, чтобы строить карьеру в музыке.
Эмануэль Ласкер. Гроссмейстер, чемпион мира по шахматам в 1894-1921 годах. Профессор математики в Гейдельбергском университете.
Дж. П. Морган. Банкир, промышленный магнат. Был сильным математиком, и профессора Гёттингенского университета убеждали его заниматься математикой профессионально.
Ларри Нивен. Автор романа «Мир-Кольцо» и многих других научно-фантастических романов. Бакалавр математических наук.
Александр Солженицын. Лауреат Нобелевской премии по литературе в 1970 году. Автор книги «Архипелаг ГУЛАГ» и других известных произведений. Закончил физико-математический факультет Ростовского государственного университета.
Брэм Стокер. Автор романа «Дракула». Получил степень по математике в Тринити-колледже, Дублин.
Лев Троцкий. Революционер. Изучал математику в Одессе в 1897 году, но вскоре был арестован.
Имон де Валера. Премьер-министр, а затем президент Республики Ирландии. До Войны за независимость Ирландии преподавал математику в университете.
Кэрол Вордерман. Популярная телеведущая, ведущая интеллектуально-математической телеигры Countdown. По образованию инженер, так что, строго говоря, в этом списке лишняя.
Вирджиния Уэйд. Теннисистка, выиграла в 1977 году Уимблдонский турнир в женском одиночном разряде. Степень по математике и физике в университете Суссекса.
Удивительное разрезание 289
Людвиг Витгенштейн. Философ. Изучал математическую логику вместе с Бертраном Расселом.
Сэр Кристофер Рен. Архитектор. В частности, архитектор собора Святого Павла. Профессор математики в Оксфорде.
УДИВИТЕЛЬНОЕ РАЗРЕЗАНИЕ
Площадь не может измениться только потому, что кусочки переставлены. Когда составляют прямоугольник, кусочки прилегают неплотно и остается щель в форме узкого вытянутого параллелограмма. На рис. 193 эффект преувеличен, чтобы показать, что имеется в виду.
Рис. 193. Почему площадь не равна 65
Вычислим наклон косых разрезов: наклон верхнего левого равен 2/5 = 0,4, а верхнего правого — 3/8 = 0,375. Они разные, первый чуть больше, поэтому верхняя левая линия поднимается круче верхней правой. Они не лежат на одной прямой.
Ключевые числа в этой головоломке — 5, 8, 13; это последовательные числа Фибоначчи (см. с. 101). Ты можешь построить похожую головоломку, взяв другие последовательные числа Фибоначчи.
ЧТО У ТЕБЯ В РУКАВЕ!
С топологической точки зрения в твоем пиджаке есть дыры27, поэтому веревочка не связывает твое тело с пиджаком — видимость обманчива. Чтобы убедиться в этом, представь, что ты съежился до размеров грецкого ореха,
27 Не те, что прогрызла моль, а те, в которые ты просовываешь руки.
290 Что у тебя на ноге?
проскользнул в рукав и упал в карман. Теперь-то, конечно, можно снять петлю, ведь кисть больше не заполняет промежуток между рукавом и карманом. Этому методу недостает практичности, потому нам нужен другой.
Для начала просунь конец петли в рукав и тяни ее вверх, как показывает стрелка на рис. 194 слева. Вытащи петлю вверху и перекинь через голову — так, как на рис. 194 справа. Теперь опусти петлю в другом рукаве вниз вдоль руки, перекинь ее через кисть и обратно сквозь рукав. Придерживай петлю там, где она проходит перед головой, и тяни ее внутрь в передней части пиджака. Петля пройдет через отверстия для рукавов: несколько изящных телодвижений — и петля падает вниз, а ты просто перешагиваешь через нее.
ЧТО У ТЕБЯ НА НОГЕ!
После телодвижений, описанных в решении предыдущей задачи, веревочка охватывает твою талию и руку. Поэтому теперь тебе надо проделать похожую серию движений, но только с брюками вместо пиджака: пропусти петлю в ту штанину, которая дальше от кармана с рукой, перекинь через ступню, подними обратно сквозь ту же штанину, а затем точно так же — через другую штанину.
Этот неблагородный процесс забавляет зрителей: топология может быть веселой.
Два перпендикуляра 291
ДВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
С теоремами Евклида всё в порядке. А с моей — нет.
Ошибка в предположении, что Р и Q — разные точки. На самом деле они совпадают, это как раз следует из двух теорем Евклида и станет совсем очевидно, если ты сделаешь аккуратный чертеж.
КАМО ГРЯДЕШИ
Наименьшее число ходов — 15. Путь, изображенный на рис. 195, и симметричный ему относительно диагонали — единственные возможные решения. (Не забывай: каждая клетка должна быть посещенной однажды и у пути не должно быть самопересечений.)
Рис. 195. Решение в 15 ходов КАКОЙ СЕГОДНЯ ДЕНЬ!
Сегодня суббота. (Как я сказал в самом начале, беседа проходила вчера.) Судя по ответам Даррена, разговор случился или в пятницу, или в понедельник, или в четверг. А судя по ответам Делии — или в субботу, или в воскресенье, или в пятницу. Единственный общий день — пятница. А тогда сегодня суббота.
ЛОГИЧНО!
Нелогично. Если погода плохая, поросята не летают. Следовательно, мы так и не знаем, есть ли у них крылья. И остается неясно, стоит ли брать зонтик, выходя из дому.
292 Породистый вопрос
Может показаться странным, что рассуждения нелогичны — как в этом примере, когда следствие звучит вполне разумно. На самом деле так часто бывает. Пример:
2 + 2 = 22 = 2x2 = 4
— здесь нет ничего логичного, но ответ правильный. Все математики знают, что можно построить неверное доказательство верного утверждения. А вот чего сделать нельзя, если математика логически непротиворечива (как мы истово верим), — так это дать верное доказательство неверного утверждения.
ПОРОДИСТЫЙ ВОПРОС
Известно, что Кошкина разводит свиней. Хомячков же их не разводит, как не разводит хомячков, собак или зебр. Значит, он разводит кошек.
Собачкина разводит то ли хомячков, то ли зебр; Свинь- ин разводит собак, хомячков или зебр; Зебрикова разводит либо собак, либо хомячков. Раз человек с фамилией, как животное Зебриковой, разводит хомячков, самой Зебрико- вой остаются только собаки. Тогда Собачкина разводит хомячков, а Свиньин — зебр.
СПРАВЕДЛИВЫЙ РАЗДЕЛ
Вот что придумал Штейнгауз. Назовем трех человек Артуром, Белиндой и Вольдемаром.
1. Артур режет пирог на три части (он старался делить честно, так что, по его личному мнению, это равные части).
2. Белинда либо ничего не делает (если думает, что по крайней мере два кусочка ей подойдут), либо помечает два кусочка (которые ей кажутся слишком маленькими) ярлычком «плохие».
3. Если Белинда пропустила ход, Вольдемар выбирает себе любой кусок (который ему кажется не меньше трети); потом Белинда выбирает себе кусок (который ей кажется не меньше трети); Артур берет что осталось.
Шестой смертный грех 293
4. Если же Белинда посчитала два кусочка плохими, Вольдемару предоставляют те же возможности — пасовать или пометить два кусочка ярлычком «плохие», не обращая внимания на ярлычки Белинды.
5. Если Вольдемар ничего не делает на четвертом шаге, то троица делает выбор в таком порядке: Белинда, Вольдемар, Артур (следуя стратегии, описанной на шаге 3).
6. В противном случае и Белинда, и Вольдемар отметили по два плохих кусочка. Хотя бы один из них плохим считают они оба. Его отдают Артуру. (Он не жалуется, ведь сам резал кусочки.)
7. Оставшиеся два кусочка рассматриваются как одно целое. И Вольдемар, и Белинда считают, что в нем содержится не менее двух третей пирога. Чтобы разделить остаток по-честному, им остается сыграть в игру «я-делю-ты-выбираешь». Так они получат доли, которые будут считаться не меньшими, чем при справедливом разделе.
ШЕСТОЙ СМЕРТНЫЙ ГРЕХ
В начале 1960-х годов Джон Селфридж и Джон Хортон Конвей независимо друг от друга изобрели беззавистливый метод деления пирога на троих. Вот такой:
1. Артур режет пирог на три части, которые считает «справедливыми», — равные по его мнению.
2. Белинда либо пропускает ход (если считает два или больше куска самыми большими и одинаковыми), либо урезает самый большой кусок, делая два самых больших и равных. Обрезки откладывают в сторону.
3. Вольдемар, Белинда и Артур (именно в таком порядке) выбирают для себя кусочек, который считают самым большим (или одним из самых больших, если их несколько). Если Белинда не пасовала на шаге 2, она должна взять обрезанный кусок, если только Вольдемар не выберет его раньше. На этом шаге часть пирога без обрезков разделена на три части безза- вистливым способом — «частичное беззавистливое распределение».
294 Странная арифметика
4. Если Белинда пасует на шаге 2, то обрезков нет и решение получено. В противном случае Белинда или Вольдемар получает обрезанный кусочек. Назовем этого человека нерезчиком, а второго из этой Пары — резчиком. Резчик делит остатки на три части (которые считает равными). У Артура есть «безоговорочное преимущество» перед нерезчиком в следующем смысле. Нерезчик получает урезанный кусочек, и, даже если ему достанутся все обрезки, Артур все еще не будет завидовать, считая, что обладает справедливой долей, ведь он изначально считал разрезание честным. Как ни дели обрезки, Артур не будет завидовать нерезчику.
5. Три кусочка обрезков игроки выбирают в таком порядке: нерезчик, Артур, резчик. Каждый выбирает наибольший или один из равных наибольших, если их несколько, среди всех доступных. Нерезчик выбирает первым, поэтому никому не завидует. Артур не завидует ему из-за своего безоговорочного преимущества, не завидует и резчику — ведь тот выбирает последним. Резчик тоже никому не завидует, ведь он сам делил обрезки.
Не так давно Стивен Брамс, Алан Тейлор и другие построили очень сложные беззавистливые методы деления для любого числа игроков.
Мой жизненный опыт говорит, что когда дело идет о дележе пирогов, сложнее не впасть в другой смертный грех — чревоугодие.
СТРАННАЯ АРИФМЕТИКА
Резулыпаш-то верен, хотя, как сказал учитель, лучше бы сократить его на 9 и получить Но вот метод оставляет желать лучшего. Например, вычисления
3 8 _ 38
4 Х 5 “ 45
неверны.
Какой глубины колодец? 295
А когда же метод дает верный ответ? Простой способ получить еще одно решение — перевернуть пример Генри:
4 5 _ 45
1 Х 8 “ 18 '
Но есть и другие решения. Если мы придерживаемся ограничения на число цифр, то должны решить уравнение
а с 10 a + с bXd~ 10 b + d’ которое сводится к уравнению
ac(\0b + d) = bd(\0a + с).
Здесь буквы а, Ь, с и d обозначают любую цифру от 1 до 9 включительно.
При а = Ь и c = d получаем тривиальные решения, их 81. Но есть еще 14 решений: (а, Ь, с, d) = (1,2,5,4), (1,4,8,5), (1,6,4,3), (1,6,6,4), (1,9,9,5), (2,1,4,5), (2,6,6,5), (4,1,5,8), (4,9,9,8), (6,1,3,4), (6,1,4, 6), (6,2,5, 6), (9,1,5,9) и (9,4,8,9). Они разбиваются на семь пар (а, Ь, с, d) и (Ь, а, d, с), соответствующих перевернутым дробям.
КАКОЙ ГЛУБИНЫ КОЛОДЕЦ?
Глубина колодца составляет 1 1
s = 2 gt2 = 2^0' (6)2 = 180 метров = 590 футов, и этот результат хорошо согласуется с тем, который получила команда времени (около 550 футов), особенно если учесть, как сложно измерять без приборов время падения. Можно для g взять более точное значение — 9,8 м/с2, тогда получится глубина в 176 метров, или 577 футов. Видимо, точное время было немного меньше 6 секунд.
Да, колодец действительно оказался настолько глубоким. Как же его выкопали 200 лет тому назад? Вот это настоящая загадка.
КВАДРАТЫ МАК-МАГОНА
Все 24 квадратика можно расположить так, как показано на рис. 196. Есть 17 других решений плюс те, что получаются из них поворотами и отражениями.
296 Архимед, да ты обманщик!
Рис. 196. Одно из 18 принципиально различных решений
Одно свойство этих квадратиков помогает решить задачу. Выберем цвет границы, скажем, серый. Выделим четыре квадратика, в которые входят два серых треугольника у противоположных сторон, а два оставшихся треугольника— в одной из комбинаций: серый/серый, черный/чер- ный, белый/белый и белый/черный. Их обязательно нужно расположить полоской, параллельной меньшей стороне прямоугольника.
Рис. 197. Четыре квадратика вроде тех, что слева, нужно выложить полоской.
Здесь белые квадратики представляют любые комбинации белого и черного
При этом все равно остается много вариантов для перебора; но замечание значительно сокращает их число. Всего получается 18 принципиально разных решений, и они дают 216 решений с учетом изменения цветов, поворотов и отражений. Обрати внимание на третий столбик слева в приведенном решении.
АРХИМЕД, ДА ТЫ ОБМАНЩИК!
Давайте будем считать, что Архимед может приложить такую силу, что поднимет собственный вес, допустим, 100 кг.
Недостающий символ 297
Масса Земли примерно 6 х 1024 кг. Чтобы упростить анализ, предположим, что точка опоры находится в одном метре от Земли. По закону рычага расстояние до Архимеда должно быть равно 6x10 метров, а длина рычага равна 1 + 6 х 1022 метров, или около 1,6 миллиона световых лет — это примерно две трети пути до галактики Андромеды. Если Архимед сдвинет свой конец на один метр, то Земля передвинется на 1/(6 х 1022) = 1,66 х 10~23 метров.
Кстати, диаметр протона — примерно 10~23 метров.
Ну и ладно, но она все равно сдвинется!
Правда. А теперь предположим, что вместо использования этого огромного и невероятного аппарата Архимед просто встанет на поверхность Земли и подпрыгнет. На каждый метр, что он передвинется вверх, Земля сдвинется на 1,66 х 10 метров (действие и противодействие). Прыжок даст ровно такой же эффект, что и гипотетический рычаг. У Архимеда и без точки опоры была возможность сдвинуть Землю — просто не надо было стоять на месте!
НЕДОСТАЮЩИЙ СИМВОЛ
Что ж, символы «+», «-», «х» и «:» не работают: 4 + 5 и 4 х 5 слишком много, а4-5и4:5 — слишком мало. Знак квадратного корня тоже не подходит, потому что число 4л[5 = 8,94 тоже слишком велико.
Сдаешься? А как насчет запятой?
КАК ЗА КАМЕННОЙ СТЕНОЙ
Рис. 198. Вот так строят стену
Повороты и отражения дают еще три решения. Составные части (камни) называются тешрагексами.
298 Инженерные коммуникации
ИНЖЕНЕРНЫЕ КОММУНИКАЦИИ
Не можешь. В этой формулировке и без жульничества (вроде работы на поверхности, которая не является плоскостью, или проведения коммуникаций сквозь стены; рис. 199) у задачи нет решения.
Рис. 199. Жульничество — кабель проходит сквозь дом
Если ты поэкспериментируешь, то быстро убедишься, что решения нет, но настоящим математикам нужно доказательство. Чтобы его построить, сначала мы все соединим, не заботясь о пересечениях, так, как на рис. 200.
Рис. 200. Можно ли перерисовать без пересечений?
Я заменил домики точками. Предположим, что мы можем перерисовать этот рисунок так, что все линии пересекаются только в точках, а других пересечений нет. Тогда линии образуют что-то вроде карты на плоскости. У этой карты должно быть Р = 9 ребер (9 линий коммуникаций) и В = 6 вершин (6 точек). Обозначим буквой Г число граней, тогда по формуле Эйлера для карт (см. с. 179) должно
Идет коза рогатая 299
получиться Г - Р + В = 2, откуда Г-9 + 6 = 2и Г = 5. Одна из этих граней — бесконечно большая — образует внешнюю область рисунка.
Теперь подсчитаем ребра другим способом. У каждой грани граница образована ребрами, и ты по рисунку можешь проверить, что их должно быть 4 или 6, других вариантов нет. Всего имеется 6 вариантов для распределения числа ребер по пяти граням:
4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4 4 6 6 4 4 6 6 6 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6
Видно, что в сумме может получиться 20, 22, 24, 26, 28 или 30. Но ведь каждое ребро образует границу между двумя гранями, поэтому всего ребер должно быть вдвое меньше: 10, И, 12, 13, 14 или 15.
Мы уже знаем, что ребер всего 9, — а это противоречие, значит, нельзя перерисовать рисунок так, чтобы не было пересечений.
Многие считают, что нельзя доказать отрицание чего-то. Но вот в математике, конечно, можно.
ИДЕТ КОЗА РОГАТАЯ
Есть. Участник удвоит шансы на выигрыш, если переменит свой выбор. Но это происходит только при описанных условиях. Например, предположим, что ведущий (не забывай, он-то знает, где машина) предлагает участникам передумать, только если они правильно указали на дверь, за которой автомобиль. В другом крайнем случае, когда он предлагает передумать, только если за дверью коза, они всегда оказываются в выигрыше.
А что же происходит в условиях задачи? Рассуждения пятьдесят на пятьдесят, хотя выглядят убедительно, на самом деле ошибочны. Дело в том, что процедура, которой придерживается ведущий, не уравнивает шансы. Когда
300 Идет коза рогатая
участники делают выбор в самом начале, вероятность выбрать верную дверь равна одной трети. В среднем в большом числе игр один раз из трех за дверью будет автомобиль. Последующими действиями этого соотношения не изменить. (Если только работники телевидения не меняют призы исподтишка... Ладно, будем считать, что они так не делают.)
После того как одну козу показали, участник остается перед двумя дверями и автомобиль должен быть за одной из них (ведущий никогда не открывает дверь, за которой машина). Один раз из трех он за той дверью, которую выбрал участник. Два других раза он должен быть за другой дверью. Так что если не менять выбор, можно выиграть один раз из трех. А если поменять, то два раза из трех, — шансы удваиваются.
Недостаток этих рассуждений в том, что, если ты не потратил кучу времени на изучение теории вероятностей, не всегда ясно, что в них работает, а что нет. Поэкспериментируй с игральной костью, чтобы выбрать дверь, за которой машина. Пусть 1 или 2 означает, что она за первой дверью; 3 или 4 — что за второй, а 5 или 6 — что за третьей. Если ты поиграешь так раз двадцать или тридцать, то убедишься, что смена выбора действительно увеличивает шансы на успех. Как-то раз я получил письмо о людях, которые спорили об этой задаче в баре, пока один из них не достал ноутбук и не запрограммировал симуляцию миллиона испытаний. Стратегия «не менять выбор» привела к успеху примерно в 333 300 случаях; стратегия «менять выбор» — в 666 700 случаях. Потрясающе, что мы живем в мире, где можно смоделировать эксперимент в баре за несколько минут. Почти все они ушли на написание программы, сами вычисления заняли меньше секунды.
Все еще не веришь? Некоторым людям проще понять экстремальные случаи. Возьмем обычную колоду, в которой 52 игральные карты лежат рубашкой вверх. Попроси друга не глядя вынуть карту из колоды и положи ее на стол. Друг выиграет, если карта окажется тузом пик (как будто это автомобиль), в противном случае проиграет (это
Все треугольники равнобедренные 301
коза). У нас автомобиль и 51 коза за 52 дверями (картами). Теперь ты берешь оставшиеся 51 карту и видишь их, не показывая другу. Отложи 50 из них, которые не тузы пик. У тебе в руке останется одна карта, и еще одна на столе. Верно ли, что эти две карты с равной вероятностью могут оказаться тузом пик? Почему ты так тщательно рассматривал те 51 карту, которые были у тебя в руке? Конечно же, у тебя большое преимущество перед другом. Ему нужно угадать карту не глядя. А у тебя была 51 карта на выбор, и ты их видел. У него был 1 шанс из 52 угадать верно, а у тебя — 51. Это честная игра? Поиграй!
ВСЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНОБЕДРЕННЫЕ
Ошибка кроется в невинном предположении, что точка X лежит внутри треугольника. Если ты сделаешь аккуратный чертеж, то увидишь, что она совсем не там. Кроме того, ты увидишь, что ровно одна из двух точек D и Е тоже вне треугольника. В этом частном случае точка D не лежит между Л и С. Но другая точка «внутри треугольника» — да, на его границе, конечно, но никак не вне треугольника. Здесь Е лежит между В и С. На рис. 201 видно, что я имею в виду.
Теперь ясно, что не так в рассуждениях. По-прежнему СЕ = CD и DA = ЕВ (шаги 5 и 9). Но на шаге 10 получаем, что С А равно CD - DA, а не CD + DA.
с
302 Квадратный год
Однако, как и прежде, СВ = СЕ + ЕВ. Поэтому мы не должны делать вывод, что отрезки СА и СВ равны.
Ошибки вроде этой объясняют, почему математики так тщательно избегают неявных логических предположений в доказательствах.
КВАДРАТНЫЙ ГОД
Мы ищем квадраты вблизи числа 2001. Поэкспериментировав немного, ты выяснишь, что 442 = 1936, а 452 = 2025. Зная эти цифры, можно догадаться, что отец Бетти родился в 1936-44 = 1892 году (а умер в 1992), а Альфи родился в 2025-45 = 1980.
Надо еще убедиться, что других решений нет. Предыдущей возможной датой рождения отца Бетти может быть 432-43 = 1806. При этом он умер бы в 1906, и Бетти оказывается в довольно преклонных летах. Следующей возможной датой рождения Альфи может быть 462 - 46 = 2070, а тогда в 2001 году он бы еще не родился.
БЕСКОНЕЧНОЕ БОГАТСТВО
Какую сумму ты бы ни выиграл, она будет конечной (если только ты не играешь целую вечность, выбрасывая одних орлов, — в этом случае ты сможешь выиграть бесконечно много, но для этого придется жить вечно). Неразумно платить бесконечно большой вступительный взнос. Правильный вывод: какую бы конечную сумму ты ни заплатил за участие, ожидаемый выигрыш все равно больше. Твои шансы на большой выигрыш, конечно же, малы, но выигрыш так велик, что компенсирует малость шансов на успех.
Но это все равно выглядит глупо, и именно в этом месте математики начали чесать затылки. Главная причина неприятностей в том, что ожидаемые величины выигрыша образуют расходящийся ряд, у которого нет вполне определенной суммы, и смысла тоже не видать.
С практической точки зрения суммы ограничены в двух отношениях, которые не входят в упрощенную математи¬
Какой формы радуга ■303
ческую модель реальности: суммой, которую банк действительно может выплатить, и временем, предоставленным для игры, — оно не должно превышать человеческой жизни. Если у банка есть только £220, ты можешь рискнуть суммой £20. Если у банка имеется £250, а это £1 125 899 906 842 624 — больше квадрильона фунтов, сумма, превышающая мировой валовый продукт, то можешь рискнуть суммой в £50.
Здесь есть один философский аспект. Насколько разумны средние длительные выигрыши (ожидания), если «длительный» означает гораздо больший отрезок времени, чем тот, за который игрок может заплатить? Если ты играешь против банка, у которого в подвалах запрятаны £250, то тебе понадобится около 250 попыток, чтобы выигрыш оправдал затраты £50, не говоря уж о больших суммах. Мы принимаем решения на основании более тонких соображений, чем бездумное вычисление долговременных ожиданий, и тонкости важны как раз тогда, когда выигрыш (или проигрыш) велик, а вероятность его мала.
Кроме того, неясно, насколько связаны долговременные ожидания в ходе большого числа испытаний, если на практике ты можешь сыграть лишь однажды или очень небольшое число раз. У тебя необыкновенно малые шансы на очень большой выигрыш, и прагматичное решение здесь — не тратить деньги попусту на что-то столь маловероятное.
С другой стороны, в тех случаях, когда ожидание сходится к конечной величине, в нем больше смысла. Допустим, ты выигрываешь £п, если орел впервые выпадает на и-м броске. Математическое ожидание равно
1111 1х - + 2х — + 3х — + 4 х — + ...,
2 22 23 2
а этот ряд сходится к 2. Здесь тебе придется заплатить £2,
чтобы не проиграть, — это достаточно справедливая цена.
КАКОЙ ФОРМЫ РАДУГА!
Дуги — это части окружностей. Для каждого цвета дуга очень тонкая. У всех дуг один и тот же центр, и чаще всего он располагается ниже горизонта. Интересно, почему?
304 Какой формы радуга?
Ответ не такой уж простой, зато изящный. Учитель был прав, обращая наше внимание на цвета; хотя и жалко, что он упустил шанс прибегнуть к тонким геометрическим соображениям.
Рассмотрим свет с одной длиной волны (цветом) и посмотрим на сечение капли воды. Капли — сферы, поэтому в сечении мы получим окружность. Луч солнечного света попадает на переднюю часть капли, преломляется (меняет угол) водой, отражается от задней стенки капли, преломляется еще раз, покидая ее, и возвращается туда, откуда пришел (рис. 202, слева).
Ф \ о- =
Солнце Солнце
Рис. 202. Путь одного луча (слева). Много лучей (справа)
Такова судьба отдельного луча, но на самом деле их много. Лучи, расположенные близко друг к другу, обычно попадают в одну каплю, но преломляются и отражаются под несколько разными углами (рис. 202, справа). Однако действует еще фокусирующий эффект, так что большая часть света возвращается вдоль одного «критического направления». Учитывая сферическую геометрию капли, мы получаем такой конечный результат: каждая капля испускает конус света выбранного цвета. Ось конуса направлена от капли к Солнцу. Угол при вершине конуса равен примерно 42° и зависит от цвета света.
Когда наблюдатель глядит на небо в направлении дождя, он видит свет только от тех капель, конус которых включает его глаз. Геометрия говорит нам о том, что эти капли тоже лежат в конусе с вершиной в глазу наблюдателя и осью, соединяющей глаз с Солнцем. Угол при вершине
Какой формы радуга? 305
капля
Ф-
-<к
Солнце глаз
Рис. 203. Глаз воспринимает световой конус
этого конуса тоже равен примерно 42° и тоже зависит от цвета света (рис. 203).
Если ты поднесешь конус к глазу и посмотришь вдоль него, то увидишь край его кругового основания. Точнее, ты воспринимаешь направление входящего света так, словно свет испускается круговым основанием. Поэтому глаз «видит» круговую дугу. Дуги в небе нет: это иллюзия, которую порождает направление световых лучей, достигающих глаза.
Обычно глаз видит только часть круга. Если Солнце в небе высоко, то большая часть окружности оказывается ниже горизонта. Если Солнце низко, глаз видит почти по- лукруг. Из самолета иногда можно увидеть полную окружность. Если дождь близко, то может показаться, что дуга ближе остальных элементов пейзажа. Дуга часто бывает прерывистой — ты можешь видеть отраженный свет только в том направлении, где идет дождь.
Разные цвета дают разные углы при вершине конуса, поэтому все цвета дают немного разные дуги, но у них у всех общий центр, и мы видим «параллельные» цветные дуги.
Иногда видно вторую радугу снаружи первой. Она образуется по такому же принципу, только свет, прежде чем покинуть каплю, отражается большее число раз. Угол при вершине конуса изменяется, а сами цвета идут в обратном порядке. Внутри главной радуги небо ярче, оно темное между этой первой радугой и второй и среднее вне этой второй радуги. Это явление тоже можно объяснить с по¬
306 Похищение инопланетянами
мощью геометрии световых лучей; Рене Декарт сделал это в 1637 году.
Много информации по этому вопросу ты найдешь на сайте en.wikipedia.org/ wiki /Rainbow.
ПОХИЩЕНИЕ ИНОПЛАНЕТЯНАМИ
Каждый инопланетянин отправляется за ближайшим к нему поросенком. Если он погонится за другим поросенком, то вскоре изловит его.
Почему? Чтобы поймать поросенка, надо загнать его в угол. Если позиция такая, как на рис. 204, и ход поросенка, его похитят. Но если ход инопланетянина, то поросенок ускользнет.
Рис. 204. Как поймать поросенка — при условии, что его ход
Результат зависит от четности (четное или нечетное) расстояния (в ходах) от инопланетянина до поросенка. Если до поросенка четное число ходов, — а оно четное, если каждый инопланетянин ловит того поросенка, на которого смотрел с самого начала, — то поросенок всегда спасается. Если оно нечетное — для этого инопланетянам надо поменяться поросятами, — поросенка можно загнать в угол и похитить.
ОПРОВЕРЖЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА
Это рассуждение логически верно. Однако оно не опровергает гипотезу Римана! Исходные данные противоречивы: из них вытекает, что слон выиграл в «Быки
Убийство в парке 307
и коровы» и одновременно что проиграл. Поэтому из них от противного можно вывести, что гипотеза Римана неверна.
1. Предположим обратное: гипотеза Римана верна.
2. Тогда слон выиграл в «Быки и коровы».
3. Но он не выиграл.
4. Это противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что гипотеза Римана верна, ложно.
5. Значит, она неверна.
Разумеется, точно так же можно доказать, что она верна. УБИЙСТВО В ПАРКЕ
F G A F G А
В В
Е /D С Ё Id С
Рис. 205. Топологически возможно два расположения тропинок
С топологической точки зрения есть только два случая.
Дворецкий по пути к X прошел либо севернее Y (рис. 205, слева), либо южнее (рис. 205, справа). Егерь должен был идти южнее (соответственно севернее) X по пути к Y.
Тогда пути подростка и жены бакалейщика должны идти так, как показано на рисунке, возможно с некоторыми дополнительными изгибами. В первом случае тропинка жены бакалейщика от С до F отсекает тропинку подростка от той части парка, где нашли тело. Только она или дворецкий могли приблизиться к месту, где оно лежит.
То же самое верно и во втором случае. Поскольку у дворецкого надежное алиби, убийца — жена бакалейщика.
308 Сырный кубик
СЫРНЫЙ КУБИК
Вершины шестиугольника располагаются в серединах ребер куба, как изображено на рис. 206.
Рис. 206. Шестиугольное сечение куба
КАК НАРИСОВАТЬ ЭЛЛИПС И ЕЩЕ КОЕ-ЧТО
Рис. 207. Карандаш прочертит дуги различных эллипсов
Рассмотрим позицию на рис. 207 слева. Длина шнура АС + СВ постоянна, поэтому карандаш движется, словно ты набросил более короткую петлю вокруг А и В. Значит, он вычерчивает эллиптическую дугу с фокусами А и В. Затем в ходе черчения достигается позиция, изображенная на рис. 207 справа, и карандаш вычерчивает эллипс с фокусами в точках А и С. Полная кривая состоит из шести эллиптических дуг, соединенных последовательно друг с другом. В них нет ничего нового, поэтому математики не интересуются (слишком сильно) такими построениями.
Задача про ящик молочника 309
ЗАДАЧА ПРО ЯЩИК МОЛОЧНИКА
Молочник прав для 1, 4, 9, 16, 25 и 36 бутылок, но ошибается для 49 и любого другого большего точного квадрата.
Если ты поразмыслишь, то станет очевидно, что, когда бутылок станет достаточно много, квадратная решетка для упаковки перестанет быть наилучшей (какая именно упаковка лучше всех, вопрос очень сложный, никто не знает на него ответа). Квадратная решетка становится неудачной, когда бутылок много, потому что в шестиугольную решетку бутылки упаковываются плотнее, чем в квадратную. Когда бутылок мало, этим свойством воспользоваться не удается — мешают «краевые эффекты» возле стенок ящика, но когда бутылок много, эти эффекты становятся пренебрежимыми.
Оказывается, рубежная точка близка к 49 бутылкам. Доказано, что 49 бутылок единичного диаметра можно упаковать в квадрат со стороной несколько меньше 7 единиц. Разница слишком мала, чтобы заметить ее невооруженным глазом, но на рис. 208 ты можешь видеть большие промежутки между кругами, упакованными в шестиугольную решетку.
Этот же пример показывает, что жесткая упаковка — когда ни один из кругов не может переместиться — не обязательно должна быть самой плотной. Квадратная решетка дает жесткую упаковку, если число бутылок — точный квадрат, а размер упаковки точно подогнан под это число. И еще на бесконечной плоскости.
Рис. 208. 49 единичных бутылок в квадрате 7x7 (слева). Как упаковать те же бутылки в квадрат чуть поменьше (справа)
310 Сеть лорог
СЕТЬ ДОРОГ
Чтобы получить самую короткую дорожную сеть, надо добавить два новых узла, так чтобы дороги соединялись друг с другом точно под углом 120°. Если эту сеть повернуть на 90°, получится еще одно возможное решение. Общая длина равна приблизительно 100(1 + V3) = 273 км.
Айлсбург Билсбург
Рис. 209. Кратчайшая дорожная сеть
ТАВТОСЛОВИЦЫ
Никаких новостей — никаких новостей. (Эксперты считают, что это наименьшая и самая совершенная форма тавтологии, своего рода тавтохайку.)
Чем дальше в лес, тем дальше от опушки.
Кто ничем не рискует, тот ничего не теряет.
Слишком много нянек нянчатся слишком много.
Ты не можешь и приготовить омлет, и не разбить яйца, разве только сделаешь это именно в таком порядке. Что по-настоящему сложно — и приготовить омлет, и сохранить яйца.
Если смотреть на закипающий чайник, он никогда не закипит (если только он не профан). Время, которое требуется для закипания жидкости, не зависит от присутствия наблюдателя, за исключением некоторых эзотерических форм квантовой теории поля. Просто кажется, что оно увеличивается, — по чисто психологическим причинам. Не обманывайся.
Скрэббл 311
Если бы у свиней были крылья, законы термодинамики помешали бы им оторваться от земли. Давайте же будем разумными. Свинолет технологически нереализуем.
СКРЭББЛ
ДВАДЦАТЬ ПЯТЬ: 2 + 1 + 1+2 + 5 + 1 + 1+3 + 2 + 3 + 1+3 = 25. КРИВАЯ ДРАКОНА
Кривые дракона можно получить, последовательно перегнув несколько раз полоску бумаги пополам — только нужно перегибать в одном направлении, — а затем развернув все складывавшиеся части под прямыми углами (рис. 210).
Рис. 210. Как сделать кривую дракона, перегибая полоску бумаги
Эти кривые определяют фрактал (см. с. 192). В пределе, при бесконечном числе перегибаний, получится кривая, заполняющая всё пространство (см. с. 87), но область, которую она заполняет, имеет сложную драконообразную форму. Последовательность правых (П) и левых (А) поворотов кривой формируется так:
Шаг 1: П.
Шаг 2: ППА.
Шаг 3: ППЛППЛЛ.
Шаг 4: ППЛППЛЛПППЛЛПЛЛ.
Закономерность здесь довольно простая; на каждом шаге последовательность получается из предыдущей, если к ней дописать сначала букву П (выделена жирным шрифтом), а затем «обращенную» последовательность: в которой все П заменены на Л и наоборот, и записана она «задом наперед».
312 Съём переворотом
Кривую дракона открыли физики из НАСА Джон Хей- туэй, Брюс Бэнкс и Уильям Хартер. Затем в 1967 году о ней написал в журнале Scientific American Мартин Гарднер. У нее много удивительных свойств, почитай о ней на сайте en.wikipedia.org / wiki / Dragon_curve.
СЪЁМ ПЕРЕВОРОТОМ
Предположим, что черных фишек нечетное число, — в частности, имеется хотя бы одна. В ходе игры фишки снимают с доски, и в их ряду образуются дырки, они разбивают ряд на отдельные цепочки. В начале игры одна цепочка. Я утверждаю, что любую цепочку, в которой нечетное число черных фишек, можно снять с доски. Вот метод, который работает всегда. (Отдельная игра не всегда ему следует, так что и другие методы тоже работают.)
Двигайся вдоль цепочки, пока не встретишь первую черную фишку, и сними ее с доски. Это приведет к одной из трех ситуаций:
1) цепочка изначально состояла из одной черной фишки, ты убрал ее с доски и это никак не повлияло на другие цепочки;
2) текущая цепочка стала короче, но в ней все равно нечетное число черных фишек;
3) текущая цепочка распалась на две короткие цепочки и в каждой нечетное число черных фишек.
Если мое утверждение верно, то эту процедуру можно применять к новым цепочкам. Их количество может расти, но на каждом шаге они укорачиваются. Рано или поздно они сократятся до единственной фишки (ситуация 1) и их можно будет полностью удалить.
Чтобы утверждение доказать, нужно рассмотреть все три ситуации по отдельности.
1. Цепочка состоит из единственной черной фишки. У нее нет соседей, поэтому ее просто снимают с доски.
2. На одном конце цепочки черная фишка (рис. 211). Когда ее снимают и переворачивают соседнюю, по-
Съём переворотом 313
-нечетно
I четно -
четно-
-нечетно —
Рис. 211. Серые фишки могут быть белыми или черными. Крайнюю черную фишку снимают, а ее соседка (на этом рисунке белая) меняет цвет. Общее число черных фишек уменьшается на 0 или 2, так что его четность не меняется
лучается более короткая цепочка с нечетным числом черных фишек.
3. По краям цепочки белые фишки (рис. 212). Если убрать первую черную фишку с какого-то одного конца (неважно, с какого именно), останутся две цепочки покороче. В одной из них ровно одна черная фишка (1 — нечетное число), а в другой — тоже нечётное число.
! нечетно 1
! четно j
1— 1 —I I— нечетно —1
Рис. 212. Первую (слева) черную фишку снимают, а ее соседки (белая и серая — она может быть любой) меняют цвет.
Возникают две цепочки, в одной из них единственная черная фишка с краю, а в другой нечетное число черных фишек
Очень важно, какую именно черную фишку ты снимаешь. Допустим, в цепочке не менее четырех фишек, из них три черные, которые стоят рядом, а остальные белые. Тогда не стоит снимать центральную черную фишку. Если ты сделаешь такой ход, то по крайней мере в одной цепочке черных фишек не останется, и ее нельзя будет убрать (рис. 213).
314 Шаровой хлеб
Рис. 213. Опаньки...
Чтобы завершить анализ игры, я объясню, почему задачка не решается, если с самого начала число черных фишек четное.
1. Если с самого начала было 0 черных фишек (0 — четное число), то ты даже не можешь начать.
2. Если с самого начала число черных фишек четно (и они есть), то при любом удалении черной фишки возникает хотя бы одна более короткая цепочка, в которой число черных фишек опять четно. После нескольких шагов появится цепочка, в которой будет по крайней мере одна белая фишка и ни одной черной; а такую цепочку нельзя снять с доски.
ШАРОВОЙ ХЛЕБ
На всех кусочках одинаковое количество корочки.
На первый взгляд это кажется невероятным, но у самых нижних и самых верхних ломтиков поверхность сильнее наклонена, чем у центральных, поэтому на самом деле корочка у них больше, чем можно подумать. Оказывается, что наклон поверхности полностью компенсирует размер ломтика.
Рис. 214. Площадь поверхности сферического слоя (светло-серого) равна площади поверхности соответствующего цилиндрического слоя, если сфера вписана в цилиндр
Математическая теология 315
Еще великий греческий математик Архимед обнаружил, что площадь сферического слоя равна площади соответствующего слоя цилиндра, в который вписана сфера (рис. 214). А у одинаково толстых ломтиков цилиндрического хлеба площади корочки одинаковые — это очевидно, они ведь все одной формы и размера.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОЛОГИЯ
Я предложил доказать, что 1 = 1 и 1 = 42, исходя из того, что 2 + 2 = 5. Правильных решений много (и даже бесконечно много). Вот примеры.
• Из равенства 2 + 2 = 4 выводим, что 4 = 5. Умножим обе части на 2, тогда 8 = 10. Теперь вычтем 9 из обеих частей: -1 = 1. Осталось возвести обе части в квадрат, и получим 1 = 1.
• Из равенства 2 + 2 = 4 выводим, что 4 = 5. Вычтем по 4 из обеих частей: 0 = 1. Умножим на 41, получив 0 = 41. Теперь прибавим 1 к обеим частям: 1 = 42.
СОДЕРЖАНИЕ
Начни здесь 5
Внеземной контакт 7
Что за зверь? 8
Любопытные вычисления 9
Карточный треугольник 9
Додекаэдр-раскладушка 10
Отрезанные пальцы 11
Дедка и репка 12
Задача о четырех красках 13
История про белого бычка 19
История про белую кошку 22
Кролики в шляпе 22
Переправа—1. Сельскохозяйственная продукция 23
Любопытные вычисления. Продолжение 24
Как вынуть вишенку 25
Сделай пятиугольник 26
Что такое тг? 26
к в законе 27
Если бы его узаконили 28
Пустые стаканы 29
Сколько всего 30
На скорую руку 30
Ход конем 31
Борьба добра с узлом 32
Белохвостики 34
Найти фальшивую монету 35
Вечный календарь 39
Математические шутки-1 39
Обманчивые кости 40
Старая задача про старого человека 41
Почему минус на минус дает плюс? 41
Костюм цапли 42
Как сломать греческий крест 43
Как запомнить круглое число 43
Содержание 317
Мосты Кёнигсберга 45
Как заниматься математикой много 48
Проверь Эйлера 48
Уроборические кольца 49
Уроборический тор 50
Кто такой Пифагор? 51
Пифагор со штанами и без 52
Постоянная дыра 54
Великая теорема Ферма 55
Пифагоровы тройки 62
Просто о простых числах 63
Малоизвестная пифагорова диковинка 65
Цифровая сотня 66
Квадратура квадрата 66
Магические квадраты 68
Квадрат квадратов 70
Ехали по ровной дорожке 71
Чистая и прикладная 72
Магический шестиугольник 73
Пентальфа 73
Узоры на обоях 74
Сколько лет Диофанту? 75
Вдруг ты думал, что математики умеют считать 76
Сфинкс — растение 76
Шесть степеней связи 77
Трисекторы 79
Кубики Лэнгфорда 82
Удвоение куба 83
Магические звезды 83
Кривые постоянной ширины 85
Соединительные кабели 85
Меняю злато на серебро 86
Неудачный день для жестянщика 86
Линия через все точки квадрата 87
Незаметная ошибка 88
Квадратное колесо 88
Почему нельзя делить на нуль 89
Переправа—2. Супружеское недоверие 91
Борромео, как мне жаль, что ты Борромео! 91
Рост и падение 93
318 Содержание
Типы людей 93
Колбасковая гипотеза 93
Кандальный узел 95
Ну- у-у...мерология 96
Числа по буквам 98
Ошибки 98
Расширяющаяся вселенная 98
Что такое золотое сечение 99
Что такое числа Фибоначчи 101
Пластическое число 106
Семейный ужин 107
Не выпускай из рук! 108
Теорема. Все числа интересные 108
Теорема. Все числа скучные 108
Чаще всех 108
Почему ведьма? 112
Мёбиус и его лист 114
Старая курица борозды не испортит 116
На скорую руку. Продолжение 116
Замощения 117
Теория хаоса 120
Apres-ski 128
Теорема Пика 128
Награды в математике 129
Почему не дают Нобелевскую премию
по математике? 131
Целочисленный кирпич 132
Парадокс понарошку 133
Когда трЗ-плеер начнет повторяться? 134
Шесть загонов 137
Патентованные простые числа 137
Гипотеза Пуанкаре 138
Попотамская логика 143
Муравей Лэнгтона 143
Свинья на привязи 146
Внезапная контрольная 146
Антиграв 147
Математические шутки-2 148
Почему Гаусс стал математиком 148
Какой формы полумесяц? 152
Содержание 319
Знаменитые математики 152
Что такое простое число Мерсенна? 153
Гипотеза Гольдбаха 156
Черепахи до самого низа 158
Отель Гильберта 159
Непрерывные автобусы 162
Удивительное разрезание 164
По-настоящему удивительное разрезание 165
Что у тебя в рукаве? 168
Что у тебя на ноге? 169
Два перпендикуляра 169
Можно ли услышать форму барабана? 171
Что такое е и почему? 174
Камо грядеши .176
Коленки и сиденья 176
Формула Эйлера 179
Какой сегодня день? 182
Чистая логика 182
Логично? 182
Породистый вопрос 183
Справедливый раздел 183
Шестой смертный грех 184
Странная арифметика 185
Какой глубины колодец? 185
Квадраты Мак-Магона 186
Что такое квадратный корень из минус единицы? 186
Самая красивая формула 189
Почему формула Эйлера верна? 189
Ваш звонок может быть записан в учебных целях 190
Архимед, да ты обманщик! 191
Фракталы — геометрия природы 192
Недостающий символ 198
Как за каменной стеной 198
Постоянные с точностью до 50 знаков 199
Парадокс Ришара 200
Инженерные коммуникации 201
Просты ли трудные задачи, или Как получить
миллион за доказательство очевидного 202
Идет коза рогатая 204
Все треугольники равнобедренные 205
320 Содержание
Квадратный год 207
Теоремы Гёделя 207
Если к — это не дробь, как его вычислить? 211
Бесконечное богатство 214
По воле рока 215
Сколько всего 215
Какой формы радуга? 216
Похищение инопланетянами 217
Гипотеза Римана 218
Антиатеизм 223
Опровержение гипотезы Римана 223
Убийство в парке 224
Сырный кубик 225
Игра «Жизнь» 225
Скачки 231
Как нарисовать эллипс и еще кое-что 232
Математики шутят—3 233
Задача Кеплера 234
Задача про ящик молочника 238
Равноправие 238
Сеть дорог 238
Тавтословицы 239
Наука о сложности 241
Скрэббл 246
Кривая дракона 246
Съём переворотом 247
Шаровой хлеб 248
Математическая теология 249
Коварная шпаргалка профессора Стюарта 253