Circuits,
Signals,
and Systems
William McC. Siebert
The MIT Press
Cambridge, Massachusetts London, England
McGraw-Hill Book Company
New York St. Louis San Francisco Montreal Toronto
У. М. Сиберт
цепи
сигналы
системы
В двух частях
Перевод с английского
Э. Я. ПАСТРОНА,
канд. техн, наук В. А. УСИКА
под редакцией
д-ра техн, наук
И. С. РЫЖАКА
Москва «Мир» 1988
СОДЕРЖАНИЕ
11.	ИМПУЛЬСЫ И ИНТЕГРАЛ НАЛОЖЕНИЯ................................ 5
11.0.	Введение................................................ 5
11.1.	Эффект сглаживания, создаваемый физическими системами. .	6
11.2.	Импульсы и их основные свойства........................ 10
11.3.	ЛИВ-системы общего вида; интеграл наложения............ 17
11.4.	Импульсы и мгновенные изменения начального состояния. . .	30
11.5.	Дублеты и другие обобщенные функции; согласование импуль-
сов ........................................................ 33
11.6.	Выводы................................................ 40
Упражнения к главе 11	  41
Задачи к главе 11 ........................................... 45
12.	ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЩИХ ЛИВ-СИ-
СТЕМ ............................................................ 60
12.0.	Введение................................................ 60
12.1.	Области сходимости для Н (s)............................ 63
12.2.	Интеграл Фурье ......................................... 64
12.3.	Специальный случай — ряд Фурье......................... 67
12.4.	Другие формы ряда Фурье. Спектр	.................. 71
12.5.	Усреднение периодических функций. Теорема Парсеваля . . .	80
12.6.	Выводы.................................................. 84
Упражнения к главе 12	  85
Задачи к главе 12............................................. 86
13.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА ФУРЬЕ ....................... 93
13.0.	Введение................................................ 93
13.1.	Переход от ряда Фурье к интегралу Фурье .............  94
13.2.	Более строгие формулировки теоремы	Фурье............... 103
13,3.	Примеры применения теоремы Фурье; сингулярные функции 106
13.4.	Свойство свертки в преобразованиях	Фурье............... 112
13.5.	Выводы ................................................ 117
Приложение А к главе 13 .................................... 118
Приложение Б к главе 13	  121
Упражнения к главе 13	   123
Задачи к главе 13............................................. 124
14.	ОТСЧЕТЫ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ. . .	133
14.0.	Введение............................................... 133
14.1.	Периодическая импульсная последовательность............ 133
ББК 32.841
С34
УДК 621.372 (075)
Сиберт У. М.
С34 Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 2: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1988. — 360 с., ил.
ISBN 5-03-000978-7
Современный курс теории сигналов и их обработки, подготовленный
известным американским специалистом и входящий в серию книг по элек-
тротехнике и информатике, которую выпускает Массачусетский технологи-
ческий институт (США).
Во 2-й части рассматриваются фильтры, принцип неопределенности,
случайные сигналы, а также современные системы связи. Изучение тем
ведется на многочисленных примерах и задачах.
Книга может послужить базой для годичного вводного курса для
преподавателей н студентов вузов по специальностям «Радиоэлектроника»,
«Связь», «Радиолокация» и «Вычислительная техника». Оиа представляет
также интерес для высококвалифицированных специалистов в указанных
областях.
2402040000—453
С 041 (01)—88 172~ 88> *• 2
ББК 32.841
Редакция литературы по электронике
ISBN 5-03-000978-7 (русск.)
ISBN 5-03-000976-0
ISBN 0-262-19229-2 (англ.)
© 1986 by The Massachusetts
Institute of Technology
© перевод на русский язык,
«Мир», 1988
11
ИМПУЛЬСЫ И ИНТЕГРАЛ НАЛОЖЕНИЯ
11.0, Введение
Искусству аппроксимации принадлежит центральная роль в прак-
тике решения инженерных и научных задач. Это вызвано тем, что
в нашем мире в той или иной степени все взаимосвязано. Совре-
менная наука добивается наибольших успехов в таких ситуациях,
в которых все эффекты малы, кроме немногих, определяемых
первичными причинами. Этим отчасти объясняется, почему со-
временная наука имеет количественный характер — располагает
шкалой, дающей возможность измерять степень «малости», —
и отчасти, почему методы современной науки позволяют с боль-
шим успехом объяснять поведение физических систем, чем био-
логические, социальные, политические или экономические явле-
ния. В этих последних менее ясно, каким образом следует осу-
ществлять аппроксимацию и как решать, чем можно пренебрегать.
С самого начала этой книги мы стремились в возрастающей
степени выходить за пределы рассмотрения только электрических
цепей, уменьшать внимание к деталям, объединяя отдельные
элементы, и проводить аппроксимацию так, чтобы способствовать
лучшему пониманию более сложных систем. Один из путей осу-
ществления аппроксимации заключается в использовании таких
идеализированных представлений, как линейные системы. Другой
путь — рассмотрение предельных случаев, например анализ
системы спустя длительное время после начала воздействия,
когда все переходные процессы полностью затухли, t. е. изучается
только установившееся состояние системы. Системная функция —
это предельная установившаяся величина реакции системы, яв-
ляющаяся функцией от s, на специальное входное воздействие
exp (st). Она характеризует поведение линейных инвариантных
во времени систем в частотной области. Теперь мы хотим интер-
претировать альтернативную или дуальную характеристику си-
стем во временной области как предельную реакцию на другой
вид входного воздействия — импульс.
Содержание
14.2.	Преобразование Фурье периодических функций. Другое пред-
ставление ряда Фурье....................................... 135
14.3.	Теорема отсчетов...................................... 139
14.4.	Системы с импульсной	модуляцией....................... 144
14.5.	Дискретное во времени	преобразование Фурье............ 147
14.6.	Выводы................................................ 150
Приложение к главе 14....................................... 151
Упражнения к главе 14	................................... 160
Задачи к главе 14........................................... 162
15.	ФИЛЬТРЫ, РЕАЛЬНЫЕ И ИДЕАЛЬНЫЕ.............................. 175
15.0.	Введение.............................................. 175
15.1.	Идеальные	фильтры..................................... 176
15.2.	Условие причинности и преобразование Гильберта........ 179
15.3.	Переходная характеристика идеального фильтра и явление
Гиббса...................................................... 184
15.4.	Выводы................................................ 188
Упражнения к главе 15	................................... 189
Задачи к главе 15 .......................................... 190
16.	СООТНОШЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ-ПОЛОСА И ПРИНЦИП НЕ-
ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ....................................... ,	.	193
16.0.	Введение............................................. 193
16.1.	Определения задержки, времени нарастания, длительности
и полосы................................................... 193
16.2.	Значение принципа неопределенности. Импульсная разреша-
ющая способность........................................... 204
16.3.	Выводы............................................... 210
Упражнения к главе 16	  211
Задачи к главе 16.......................................... 211
17.	ПОЛОСОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ И СИСТЕМЫ С
АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ .......................................   215
17.0.	Введение............................................. 215
17.1.	Амплитудная модуляция................................ 216
17.2.	Смесители и супергетеродинные приемники.............. 228
17.3.	Однополосная модуляция; обобщенное представление узкопо-
лосного сигнала............................................ 231
17.4.	Фазовая и частотная модуляция........................ 238
17.5.	Выводы...........................'................... 245
Упражнения к главе 17	................................... 246
Задачи к главе 17.......................................... 247
18.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В СИСТЕМАХ С ДИСКРЕТНЫМ
ВРЕМЕНЕМ....................................................... 264
18.0.	Введение............................................. 264
18.1.	Свойства дискретного во времени преобразования Фурье. . .	266
18.2.	Фильтры с	дискретным временем........................ 272
18.3.	Дискретный во времени ряд Фурье и дискретное преобразо-
вание Фурье (ДПФ).......................................... 280
18.4.	Свойства дискретного во времени ряда Фурье и дискретного
преобразования	Фурье.................................. 285
18.5.	Выводы............................................... 288
Упражнения к главе	18	  291
Задачи к главе 18.......................................... 292
Содержание
19.	СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ......................	302
19.0.	Введение............................................... 302
19.1.	Средние для периодических функций...................... 305
19.2.	Свойства средних на бесконечном временном интервале. . .	312
19.3.	Вероятностные модели простых случайных процессов. . . .	317
19.4.	Выводы................................................. 329
Задачи к главе 19 ........................................... 329
20.	СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ.................................. 336
20.0.	Введение............................................... 336
20.1.	Дискретизация и квантование............................ 337
20.2.	Коды с исправлением ошибок............................. 341
20.3.	Модуляция и детектирование ............................ 343
20.3.1.	Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)	344
20.3.2.	Кодово-импульсная модуляция (КИМ).............. 347
20.3.3.	Фазоимпульсная модуляция (ФИМ)................. 349
20.4.	Выводы................................................. 350
Эпилог....................................................... 352
6 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
11.1.	Эффект сглаживания,
создаваемый физическими системами
Действие каждой макроскопической системы неизбежно включает
в себя в определенной степени сглаживание или усреднение вход-
ного воздействия. Такое усреднение обусловлено фундаменталь-
ными и термодинамическими закономерностями, характеризу-
емыми словом «макроскопический»; при достаточно детальной
(микроскопической) шкале явлений мы не можем игнорировать
флуктуации, которые возникают во всех диссипативных х) си-
стемах из-за теплового перемешивания дискретных зарядов и
элементов массы. Система, способная разрешать входные воздей-
ствия, сколь угодно близкие друг к другу (в пространстве или
во времени), уже не может быть подвергнута анализу как дете'р-
минированная макроскопическая система.
Математически сглаживание имеет два принципиальных
следствия:
1.	Входные воздействия, которые равны нулю (или достаточно
малы) за пределами некоторого обычно достаточно короткого
временного интервала, вызывают, как правило, существенно
одинаковый эффект, если их площади (интегралы по времени)
равны * 2). Таким образом, мы будем считать, что все входные воз-
действия xt (1), показанные на рис. 11.1, создадут существенно
Рис. 11.1. Примеры «коротких» временных функций.
одинаковый выход в тех случаях, когда при достаточно малом
СО
значении 6 заштрихованные площади, J xt (1) dt, имеют одина-
о
ковую величину.
2.	Два входных воздействия, являющиеся идентичными, за
исключением ограниченных по величине различий для малых
') Диссипативные системы характеризуются убыванием полной энергии
при их движении. В таких системах единственными стационарными состояниями
являются состояния равновесия, к которым система приближается при любых
начальных условиях, см., например, А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хай-
кин, Теория колебаний. — М.: ГИФМЛ, 1959, гл. Ill, § 1, с. 168—475.—
Прим. ред.
2) Возможность исключений из этого правила мы исследуем в разд. 11.5.
11.1. Эффект сглаживания
7
дискретных моментов времени г), будут создавать идентичные
выходы. Так, (t) и х2 (0> показанные на рис. 11.2, создают
одинаковый эффект воздействия на систему при любом конечном
значении К.
Рис. II.2. Колебания, различающиеся только в точке t = 0.
Для линейных систем эти следствия эффекта сглаживания
связаны между собой, поскольку площадь разности сигнальных
воздействий х1 (t) —х2 (t) на рис. 11.2 равна нулю.
Пример 11.1.1
Системная функция простой цепи,
вид
показанной на рис. 11.3, имеет
Я(5) =
Рис. 11.3. Простейшая система с различными входными воздействиями (!'(!)
и i" (0)-
Сравним теперь реакции системы на воздействия Г (t) и Г (1),
приведенные на том же рисунке. Обратите внимание на то, что
Г (0 и i" (1) имеют одинаковую площадь
оо	оо
о	а
независимо от значений т и 6.
а)	Пусть V (s) является реакцией на воздействие Г (s) =
= S [Г (01 =	(1 - е-‘й). Тогда
v- (s) - И (s) /'(s) - 4	- 4г(т - 7+hc )
!) Формально все, что здесь требуется, — это ввести нулевую меру.
8 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Следовательно,
v,(0 = 2’-1IV,(s)] =
=	(1 - е~И*С) и (0 - -^-(1 - е~ («>ДО) u(t-6) =
О,	/<0,
= 	0</<6,
^-(е«/дс_	/>s>
Рис. 11.4. Реакция на воздействие i' (t).
Результат представлен на рис. 11.4. Поскольку e6/RC « 1 + 8/RC
при 6 < RC, мы можем отметить, что если длительность им-
пульса 6 значительно меньше постоянной времени RC системы,
то реакция v' (t) стремится к пределу
limv'(^) =-^-e~^RCu (t).
в-о	°
б)	Пусть V (s) является реакцией на воздействие /" (s) =
______ Л/т
~ S+ 1/т •
Тогда
V (s) - И (S) Г (S) = (S^^W, “
AR /	1	1
RC —т \ s-j-1/RC s-I-I/t/-
Следовательно,
(0 = ^i,RC ~	“ (О-
Этот результат приведен на рис. 11.5. Заметим, что
lim v (i) = -4- e~t/RCu (t),
T—0	L
11.1. Эффект сглаживания
9
Рис. 11.5. Реакция иа воздействие i" (t).
а это в свою очередь эквивалентно lim v' (/). Кроме того, следует
в-о
обратить внимание, что в случае А = 1 общая предельная реак-
ция характеризуется функцией
h (t) = -~-е~‘^си (О,
которую мы вычислили в примере 10.1.2 как обратное S’-преобра-
зование системной функции для этой цели, названное нами реак-
цией на единичный импульс.
* * *
В примере 11.1.1 оба воздействия Г (/) и Г (t), таким образом,
ведут себя (если их площади равны А — 1) подобно единичным
импульсам, когда 6, т -> 0. Тем не менее было бы неудобным
определять единичный импульс 6 (0 как
lim Г (t) = lim Г (t) — 6 (t).
e-»o	T-»-0
Беда заключается в том, что математическая функция опреде-
ляется ее значением для каждого значения ее аргумента; при-
веденная выше процедура предельного перехода не в состоянии
определить значения 6 (t) в только действительно интересной
части области ее существования, а именно в окрестности точки
t -- 0. И это не является математическим каламбуром. Попытка
определить функцию такими выражениями, как
1)	S (0 = 0, t =# 0,
2)	6 (0) = оо,	(11.1.1)
3)	|б(0Л=1,
—е
приводит к неоднозначности, несовместимости и «парадоксаль-
ному» поведению. Наиболее успешный путь обхода этих трудно-
стей состоит в отказе от попыток определения значений импульс-
10 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
ной «функции» б (/) и в сосредоточении внимания на результатах
ее воздействия или свойствах х).
Функции, определенные посредством того, что они «делают»,
а не того, чем они «являются», называются распределениями или
обобщенными функциями. За последние 25 лет появилась обшир-
ная математическая литература, посвященная таким функциям * 2).
В этой главе мы попытаемся обрисовать преимущества подобного
подхода.
11.2. Импульсы и их основные свойства
Если единичный импульс может быть определен как обычная
функция б (^), то он должен обладать одним свойством — дей-
ствительно являющимся фундаментальным и характеристиче-
ским, — что реакция ЛИВ-систем при использовании б (/) в ка-
честве входного воздействия должна представлять собой то, что
мы уже назвали реакцией на единичный импульс h{t) этой си-
стемы. Поскольку, как правило, мы можем описать реакцию
любой ЛИВ-системы интегралом свертки
со	со
у (t) — j х (т) h (/ — т) dx = j h (т) x (t — т) dr — x (t) * h (t),
—co	—co
можно ожидать, что мы сможем задать условие x(t) — б (t) и
получить у (/) = h{t), т. е.
/i(/) = j 6(x)h(t-x)dx = j й(т)б (t — x)dx (11.2.1)
или в символической форме
6(0 * h(t) = h(t).
(11.2.2)
*) С. Дж. Мэйсон часто рассказывает о студенте, который обратился к нему
со следующей жалобой: «Вы говорите, что повсюду, за исключением начала
координат, импульс столь мал, что его нельзя увидеть, тогда как в начале коор-
динат он столь велик, что его опять нельзя разглядеть. Другими словами, его
нигде невозможно обнаружить, я по крайней мере его не вижу!» Студент без-
условно прав: нет никаких способов определить, чем импульс «является», можно
лишь определить, что он «делает».
2) Среди некоторых ранних, однако еще сохраняющих свою ценность публи-
каций по данному вопросу можно назвать следующие: L. Schwartz, Theories des
Distributions, v. 1, 2 (Paris: Hermann, 1957—1959); A. H. Zemanian, Distribution,
Theory and Transform Analysis (New York, NY.: McGraw-Hill, 1965); M. J. Light-
hill, Fourier Analysis and Generalized Functions (New York, NY.: Cambridge
University Press, 1958); И. M. Гельфанд и Г. E. Шилов, Обобщенные функции
и действия над ними. — М.: ГИФМЛ, 1959.
11.2. Импульсы и их основные свойства
11
Поскольку мы можем подать единичный импульс б (/) в ка-
честве теста на вход любой ЛИВ-системы, соотношение (11.2.2)
должно быть справедливо для любой временной функции h(t).
Мы используем уравнение (11.2.2) как определяющее свойство
импульса: свертка импульса с любой функцией воспроизводит
эту функцию. Мы применяем обозначение б (1) для представления
единичного импульса таким образом, как будто б (t) является
обычной функцией, однако мы не определяем значения б (t) как
для обычной функции; всякий раз, когда у нас возникает не-
уверенность относительно того, какой «смысл» следует вкладывать
в это обозначение, мы можем просто осуществить свертку б (1)
с произвольной «тест-функцией» и использовать уравнение (11.2.2)
для интерпретации результата, как это иллюстрируется в следу-
ющих примерах 1).
Пример 11.2.1
Часто, естественно, оказывается удобным представлять функ-
цию б (t) в виде узкого импульса большой амплитуды, концентри-
рующегося вблизи точки t — 0. Чтобы связать это представление
Рве. 11.6. «Произвольная» функция h (t).
с определением, опирающимся на свертку (11.2.2), графически
изобразим подынтегральные выражения в уравнении (11.2.1)
так, как мы это делали в гл. 10. Если h (t) имеет произвольную
форму (рис. 11.6), то подынтегральное выражение в (11.2.1) будет
г) Использование импульсных функций в науке и технике популяризиро-
валось английским физиком П. А. М. Дираком и Оливером Хевисайдом еще
задолго до того, как импульсы «заслужили уважение» среди математиков. И дей-
ствительно, мы по-прежнему продолжаем пользоваться введенным Дираком
обозначением б (I), и единичный импульс часто называют б-фуикцией Дирака.
И Дирак, и Хевисайд подчеркивали мысль, что б (t) определяется в смысле того,
что она «делает». Так, например, Дирак говорил: «Во всех тех случаях, когда
появляется неклассическая функция [т. е. импульс], она будет представлять
собой нечто такое, что в конечном счете будет использоваться в подынтеграль-
ном выражении. Таким образом, использование неклассических функций не свя-
зано с какими-либо нарушениями строгой теории, а является лишь способом,
позволяющим в сжатой форме выражать определенные соотношения, которые
в случае необходимости мы можем переписать в форме, не содержащей неклас-
сической функции, однако отличающейся чрезмерной громоздкостью, что ведет
к утрате ясности приводимых выкладок».
12
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Рнс. 11.7. Подынтегральные выражения н (11.2.1) для функции h (/), изобра-
женной на рнс. 11.6.
таким, как показано на рис. 11.7, где мы представили 6 (0 в виде
узкого прямоугольного импульса, хотя приемлем также любой
узкий и высокий импульс. Два этих изображения являются
одинаковыми, за исключением лишь того, что они зеркальны
во времени; обратите внимание на то, что 5 (() представляет собой
импульс «в» точке т = 0, тогда как 6 (/ — т) — импульс «в» точке
т = i, т. е. «в» точке, где аргумент функции равен нулю. Следо-
вательно, произведение 6 (т) X h (t — т) очень мало повсюду,
за исключением ближайшей окрестности точки т = 0, где (при
условии что импульс, представляющий 6 (t), является достаточно
узким, а функция h (t — т) — достаточно гладкой в ближайшей
окрестности точки т = 0) мы с определенным приближением
имеем
6 (т) h (t — т) « 6 (т) h (4 — 0) = 6 (т) h (/),
так что реакция на импульс имеет следующий вид:
ОО	СО	00
у (t) = j 6 (т) h (t — т) dx j 6 (т) h (t) dx — h (t) j 6 (t) dx = h (t),
—-OO	—»QO	—OO
что и требовалось доказать (поскольку 6 (() * 1 =1, то мы можем
сказать, что функция 6 (t) имеет единичную площадь). Матема-
тически использование единичной импульсной функции в интеграле
(таком, например, как (11.2.1)) преследует цель выбирать значение
подынтегрального выражения в точке, характеризуемой наличием
в ней единичного импульса.
* * ♦
Пример 11.2.2
В качестве другого примера использования единичного импульса
в подынтегральном выражении рассмотрим выражение и (0 *
* 6 (0, которое соответствует соотношению (11.2.2) и имеет вид
j и (t — т) 6 (т) dx = и (/).
11.2. Импульсы н их основные свойства
13
Поскольку
( 1, %<ct,
и (t — т) = 1
( 0, в противном случае,
мы можем записать эквивалентные соотношения
оо	t
J и (t — т) 6 (т) dx — J 6 (т) dx — и (I).
—-оо	— оо
Это означает, что (неопределенный) интеграл от единичного им-
пульса представляет собой единичную ступенчатую функцию.
И наоборот, интерпретируя неопределенный интеграл как перво-
образную функцию, мы можем утверждать в операционном смысле,
что единичный импульс является производной единичной ступен-
чатой функции	________________
(11.2.3)
6(0 = ^-
Чтобы показать, что такая интерпретация действительно не
противоречит определению импульса через свойство (11.2.2),
введем формально й (t) для обозначения du (t)/dt и рассмотрим
соотношение
оо
g (t) * й (0 = j й (т) g (i — т) dr,
—оо
где g (t) — некоторая произвольная функция, используемая для
тестирования того, что й (/) «делает» внутри интеграла. Интегри-
руя по частям (с g (/), формально вводимым для обозначения
dg (t)[df), получим
СО	Т=со	со
j й (т) g (t — т) dr = и (т) g (t — т) | — j и (т) (—g (t — г)) dr =
—СО	— со	-—со
со
= 11.£(— оо)_ O.g(oo))+j g(t — T)dT =
о
Т= со
= g (— °°) — g (t — Т) | =
Т=0
= 2(0-
Сравнивая найденный результат с (11.2.2), мы можем заметить,
что й (/), как и утверждалось ранее, имеет ту же операционную
характеристику (т. е. ведет себя так же), что и б (t).
Другой путь интерпретации соотношения (11.2.3) связан с пред-
ставлением и (0 в виде предела последовательности линейно
14
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
11 Аппроксимация u(t)
Аппроксимация S(t)
t
Рис. 11.8. Последовательность функций, приближающаяся в пределе к ступен-
чатой функции (слева), и их производные (справа).
нарастающих функций, изображенных на рис. 11.8. Как пока-
зано, последовательность соответствующих производных ведет
себя подобно импульсу.
* * *
Приведенные примеры наводят на некоторые мысли. Во-
первых, следует обратить внимание на то, что любая последова-
тельность, ведущая себя в пределе как функция 6 (1), должна быть
неограниченной в окрестности точки t = 0. Символическое изоб-
АД8(Н
АД8О-Г)
Длина
пропорцио-
нальна А
----------». ,
Рис. 11.9. Символическое представление импульса.
ражение на рис. 11.9 (которое, если не считать небольших от-
клонений, является более или менее стандартным) можно рас-
сматривать в качестве приемлемого графического представления
импульса. Отметим, что амплитуда А в действительности яв-
ляется площадью импульса. Если временная шкала изменяется,
то и величина А должна быть соответствующим образом изменена,
т. е.
бИ)==_1_б(0.	(Ц.2.4)
Для доказательства правильности соотношения (11.2.4) введем
функцию 6 (at) в подынтегральное выражение, чтобы увидеть,
как она там «работает». Следовательно, мы рассматриваем
со
J 8(at)g(t)dt,
11.2. Импульсы и их основные свойства
15
где g (t) является нашей произвольной тестирующей функцией.
Заменим переменную на т = at, в результате чего получим
—со
что, согласно (11.2.1), равняется g (0)/| а |. Но это значение также
есть и значение интеграла
—со
Сказанное означает, что функция 6 (at) ведет себя так же,
как и 6 (0/|а|. В частном случае, когда а= —1, мы можем,
исходя из выражения (11.2.4), заключить, что б(—t) — 6 it),
т. е. 6 (0 ведет себя как четная функция, хотя узкий сигнал боль-
шой амплитуды, служащий приближением импульса, вовсе не
должен иметь вид четной функции. На рис. 11.9 также показано,
как следует представлять импульс, который располагается не
в точке t — 0. Чтобы найти положение сдвинутого импульса,
например 6 (t — Т), следует определить значение t, при котором
аргумент функции обращается в нуль, т. е. в данном случае это
будет точка t = Т. Амплитуда А импульса напряжения выра-
жается не в вольтах, а в вольт-секундах. Сама функция 6 (t)
в символическом представлении имеет размерность с-1, так что
QO-
интеграл J б (t) dt является безразмерной величиной, равной
единице, а величина А б (t) имеет размерность вольта.
Поскольку любой узкий импульс большой амплитуды, веду-
щий себя в пределе как б (t), характеризуется тем, что равен нулю
для всех t =/= 0, произведение функции б (t) на любую достаточно
гладкую функцию f (t) зависит только от значения / (0):
8(t)f(t) = б (0/(0).	(11.2.5)
И снова следует подчеркнуть, что равенство вида (11.2.5) говорит
лишь о том, что обе его половины при введении каждой из них
в подынтегральное выражение (вместе с тестирующей функцией)
проявляют себя одинаковым образом. Уравнение (11.2.5) харак-
теризует выборочное свойство импульса. (Как это великолепно
выразил Хевисайд: «Функция [6(0] определяет отдельное зна-
чение произвольной функции в силу своей импульсивности».)
Нельзя не учитывать важности слов «достаточно гладкая», так
как ключевое требование к функции / (0 сводится к тому, что
ее значение при t = 0 и ее локальное среднее значение в окре-
стности t = 0 должны быть одинаковы. Таким образом, для произ-
16 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
ведения разрывной функции на единичный импульс, располага-
ющийся в точке разрыва, например 6 (t) и (t), невозможно найти
совместимое с этой ситуацией значение, и по этой причине ее
следует избегать. (В качестве классической иллюстрации труд-
ностей и кажущихся парадоксов, возникающих, если игнориро-
вать сделанное предупреждение, см. задачу 11.21.) По существу
по той же причине импульсы (и родственные им функции, которые
будут обсуждены далее) нельзя успешно использовать в нелиней-
ных системах, так как невозможно, например, придать содержа-
тельное значение б2 (t). В то же время свертка импульса с раз-
рывной функцией (как в случае (11.2.2)) не порождает никаких
трудностей, поскольку точное значение разрывной функции
в точке разрыва совершенно не важно с физической точки зрения
(вспомните соображения по поводу сглаживания в физических
системах, приведенные в разд. 11.1). Так, например,
6 (0 * и (0 = и (t).	(И .2.6)
Пример 11.2.3
В качестве другого примера, иллюстрирующего результат введе-
ния импульса в подынтегральное выражение, рассмотрим пре-
образование Лапласа (.^-преобразование) задержанного импульса:
£ [6 (t - Т)] A J 6 (t - Т) e~si dt =
о
= J S(t — T)[e~siu(t)]di =
—со
= e~sTu (Т),
то есть
£[8(t-T)] = e-sT, Т>0.	(11.2.7)
Обратному преобразованию e~sT, Т > 0 соответствует импульс
в точке t = Т.
Случай импульса в точке t = 0 вызывает определенные труд-
ности. По существу нижний предел определяющего интеграла
в одностороннем преобразовании Лапласа ставит перед нами
проблему, которую мы, как правило, хотим избежать и которая
связана с истолкованием такого произведения, как и (t) 6 (t).
В рассматриваемом случае наиболее прямым и внутренне непро-
тиворечивым подходом было бы принятие соглашения (для при-
ложений .^-преобразования), в соответствии с которым функция
6 (t) представляет собой узкий импульс большой амплитуды,
равный нулю при всех t <Z 0. Чтобы показать, что это соглашение
11.3. ЛИВ-системы общего вида
17
принято, некоторые авторы записывают интеграл ^-преобразо-
вания в следующем виде:
СО
&[x(t)] = J x(t)e~sidt,
о—
(11.2.8)
показывая этим, что импульс в точке./ = 0 должен быть включен
в интервал интегрирования х). В таком случае мы можем полу-
чить 2? [6 (/) ] из предшествующего результата при Т -> 0, что
дает
Z [6(01=1.	(11.2.9)
Этот результат, конечно, согласуется с нашей предыдущей ин-
терпретацией импульсной характеристики &(/) как обратного
^-преобразования системной функции Н (s) для каузальных
систем: если х(/) = 6(/), то X (s) = 1, так что Y (s) =
= X (s) Н (s) — Н (s) и у (t) = h(t). (Этот вопрос рассматри-
вается несколько глубже в разд. 11.4 и в задаче 11.17).
* * *
11.3. ЛИВ-системы общего вида;
интеграл наложения
В гл. 10 мы ввели общую формулу свертки
СО
у (f) — J х (т) h (/ — т) dx
—со
(11.3.1)
для описания в явной форме широкого класса линейных инва-
риантных во времени систем. Если h(t) = 0 для t <Z 0, т. е. если
система является каузальной, то эту формулу можно использовать
для вычисления реакции электрических ^ЕС-цепей со сосредото-
ченными параметрами (а также их механических, акустических,
тепловых, химических, экономических и других аналогов), на
которых до настоящего времени концентрировалось наше внима-
ние. В таких системах, характеризующихся дифференциальными
уравнениями конечного порядка с постоянными коэффициентами,
что соответствует рациональным системным функциям, импульс-
ная характеристика представляет собой сумму членов вида /V**.
Однако та же формула может быть применена к системам с рас-
пределенными параметрами, описываемым дифференциальными
х) Сходная проблема возникает в дискретном времени: является ли нуль
наибольшим отрицательным целым числом или же наименьшим положительным
целым числом? Наше определение (8.1.1) одностороннего Z-преобразоваиия
включает нуль в множество положительных целых чисел.
18
Глава И. Импульсы и интеграл наложения
уравнениями в частных производных; в этом последнем случае
на h (f) накладываются значительно меньшие ограничения. И она,
кроме того, приложима к таким системам, как антенны, опти-
ческие системы, рентгеновские и ультразвуковые системы фор-
мирования изображений, в которых независимая переменная
может относиться и ко времени, и к пространству. Подобные
системы необязательно должны быть каузальными. В любом
из таких случаев дело может обстоять так, что мы будем доста-
точно знать о внутренней структуре системы, чтобы вычислить
функцию h (t) на основе измерений значений ее элементов и пара-
метров. Или же мы можем считать такую систему «черным ящи-
ком», доступ к которому возможен только через его «зажимы».
В этом случае мы можем, по крайней мере в принципе, измерить
h (?) опытным путем аналогично тому, как это делается в при-
мере 11.1.1. Таким образом, если нам известно, что система может
быть описана посредством (11.3.1), то тогда, измеряя или вычис-
ляя реакцию на один конкретный входной сигнал — единичный
импульс, — можно характеризовать реакцию системы на любой
другой входной сигнал.
Важность последнего утверждения зависит от того, насколько
обширен и интересен класс систем, который может быть описан
формулой свертки (11.3.1). Цель нашего доказательства сводится
к тому, что каждая система, удовлетворяющая требованиям
линейности и инвариантности во времени, может быть представ-
лена таким образом и, следовательно, ее «вход-выход» при любых
условиях может быть охарактеризован наблюдениями поведения
системы всего при одном условии, а именно при воздействии на
нее импульсом *).
Линейность и инвариантность во времени являются, следова-
тельно, весьма сильным ограничением. В отличие от этого
попытка охарактеризовать «вход-выход» неЛИВ-системы, опи-
раясь всего лишь на наблюдения ее реакций на различные вход-
ные воздействия, в лучшем случае окажется ненадежным пред-
приятием. Один экстремальный случай соответствует системе,
произвольно меняющей свои характеристики во времени. По-
пытка описать закономерности ее поведения на основе наблюдений
будет совершенно безнадежным занятием. С другой стороны,
если даже известно, что система является инвариантной во вре-
мени (так что с уверенностью можно ожидать, что ее реакция
1) В действительности условия линейности и инвариантности во времени
являются столь сильными, что, зная реакцию ЛИВ-системы на (почти) любое
входное воздействие (не обязательно импульс), мы можем вычислить ее реакцию
на (почти) любое другое входное воздействие. Сказанное означает, что (почти)
любая пара типа «входное воздействие — реакция на выходе» (по существу)
полностью характеризует ЛИВ-систему. (Чтобы понять, почему вводится слово
«почти», следует обратиться к задаче 12.1.)
11.3. ЛИВ-системы общего вида
19
на определенные входные воздействия будет сегодня точно такой
же, как и вчера), мы все же, как правило, ничего не можем сказать
относительно ее выходной реакции на входное воздействие, кото-
рое мы прежде не изучали специально и не рассматривали в явной
форме. Из наблюдений поведения системы можно, естественно,
выявить такие ее характеристики, которые определяются не
линейностью и инвариантностью во времени, а иными специфи-
ческими ограничениями, однако ни один класс таких ограничений
по своей силе и значимости даже не приближается к ЛИВ-классу.
Доказательство того, что формула (11.3.1) является наиболее
общим представлением ЛИВ-систем непрерывного времени, по-
добно приведенному в гл. 9 доказательству того, что дискретная
свертка (9.2.2) является наиболее общим представлением ди-
скретных ЛИВ-систем. Вспомните, что мы сначала интерпрети-
ровали произвольное ДВ входное воздействие х [п 1 как сумму
взвешенных задержанных единичных отсчетов
х[п] = 2 х[т]б[п-т].	(11.3.2)
т= — со
Затем, воспользовавшись свойством инвариантности во времени,
мы доказали, что каждый задержанный единичный отсчет в вы-
ражении (11.3.2) должен породить в качестве выхода реакцию
на этот задержанный единичный отсчет
б [п — m}=>h[n — т].	(11.3.3)
И наконец, опираясь на свойство линейности, мы пришли к вы-
воду, что взвешенная сумма входных воздействий должна поро-
дить соответствующую взвешенную сумму реакций
x[n] = х [m] б [п — m] => 2 x[m]h[n—т] = у[п]. (11.3.4)
т~—со	т——со
Следовательно, «вход-выход» любой ДВ ЛИВ-системы может
быть описан формулой свертки
#[n] = x[m]h[n — m],	(11.3.5)
/п= — сх>
где h[nl — наблюдаемая реакция системы на входное воздей-
ствие б In],
Чтобы распространить это доказательство на НВ-системы,
требуется сделать один дополнительный шаг, показывающий,
что по существу любая НВ-функция x(t) может быть представ-
лена как предел последовательности взвешенных задержанных
единичных импульсов. Для этого рассмотрим изображенную
на рис. 11.10 гладкую функцию x(t) как сумму задержанных
импульсных функций xn(t).
20
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Рис. 11.10. Разложение х (0.
При достаточно малом интервале Д, хп (t) ведет себя как им-
пульс площадью х (л Д) Д, расположенный в точке t = п Д:
хп (f) ж х(п Д) б (t — п Д) Д.	(11.3.6)
Следовательно, в случае достаточно малого значения Д мы можем
записать
х(/)« £ х(лД) б(/-лД)Д.	(11.3.7)
П~ —СО
Смысл выражения (11.3.7) заключается в том, что обе его стороны
будут оказывать по существу одинаковое воздействие на (макро-
скопическую, сглаживающую) физическую систему и воспри-
ниматься по существу одинаковым образом любым измерительным
прибором с ограниченной разрешающей способностью. Следует
также учитывать, что если мы формально выполним в выражении
(11.3.7) предельный переход Д-> 0, то сумма превратится в ин-
теграл
ОО
х (0 = J х(т)б(/ — x)dx = x(t) * 8(f),	(11.3.8)
— СО
который мы уже рассматривали в качестве одной из форм опре-
деляющего свойства функции б (f) и который мы теперь интер-
претируем как представление х (f) в виде последовательности
взвешенных задержанных импульсных функций.
Если мы будем исходить из справедливости уравнения (11.3.7)
для каждого случая, то остальная часть доказательства полностью
совпадает с (11.3.3)—(11.3.5). Поскольку система является ин-
вариантной во времени
8(t — x)=>h(t — x),	(11.3.9)
а также линейной (см. рис. 11.11), можно записать
х (лД) б (t — лД) Д => J] x(nA)h(t—лД)Д « y(f). (11.3.10)
П— — со	п= — СО
11.3. ЛИВ-системы общего вида
21
Рис. 11.11. Построение у (t).
Если выполнить предельный переход А -► 0, то формально мы
получим выражение
СО
у(0= J х (x)h(t — %)d% = x(t) * h(t),	(11.3.11)
—со
которое можно считать общим представлением любой ЛИВ НВ-си-
стемы. Поскольку в этом выражении функция у (/) интерпрети-
руется как взвешенная сумма (суперпозиция) задержанных им-
пульсных реакций (11.3.11), ее часто называют представлением
ЛИВ-системы в виде интеграла наложения.
Словесные построения, которыми мы только что занимались,
вроде бы убедительно показывают, почему следует ожидать, что
формула, подобная (11.3.11), даст нам общее представление ЛИВ
НВ-системы, однако все эти слова строгим математическим дока-
зательством никак не назовешь. Тем не менее Л. Шварц в 1957 г.
показал, что «высказанное выше заключение можно доказать
совершенно строго при условии, что х (t), у (t) и h (t) определены
как обобщенные функции в смысле того, что они «делают». Как
мы вскоре увидим, некоторые из этих условий явно необходимы,
так как в противном случае такие первичные ЛИВ-системы, как
идеализированные усилители, линии задержки и дифференциру-
ющие схемы, нельзя будет описать посредством (11.3.11).
Доводы, сходные с доводами, использованными нами для
вывода формулы интеграла наложения, сплошь и рядом встре-
чаются в математической физике в виде идеи рассмотрения пол-
ного эффекта как непрерывной плотности массы, заряда или силы,
получаемого в результате суперпозиции элементарных эффектов
от «сосредоточенных» точечных масс и т. д., что является рас-
пространенным и мощным приемом. В качестве специфического
примера можно привести простую формулу для выражения элек-
22
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
тростатического потенциала в точке г, создаваемого точечным
зарядом q, находящимся в точке г0:
ф(г) = п—q~r.
Y V ' I r — Го ]
Если мы захотим определить электростатический потенциал,
обусловленный плотностью заряда р (г0), то сможем заменить
непрерывную плотность сосредоточенными зарядами р (г0) dv
и затем сложить их элементарные вклады, чтобы получить сум-
марный эффект
который дается интегралом Пуассона, выражающим решение
уравнения Пуассона. Совершенно очевидно, что форма этого
результата и характер соображений, которые привели к нему,
в структурном отношении идентичны с интегралом наложения
(11.3.11) и «истоками», приводящими к нему.
Решения в форме интегралов этого типа могут быть найдены
для многих линейных дифференциальных уравнений математи-
ческой физики (еще один подобный пример приводится в за-
даче 11.3). В общем случае эта процедура называется в теории
дифференциальных уравнений методом Грина, а интегральное
ядро, которое аналогично импульсной характеристике, назы-
вается функцией Грина в задачах рассматриваемого типа.
Линейность является основополагающей в методе Грина и
в интеграле наложения, однако инвариантность во времени (или
ее пространственный эквивалент — однородность или гомоген-
ность) не является столь необходимой. Так, для изменяемой
во времени линейной системы мы можем определить функцию
h (t, т) как ее реакцию в момент времени t на импульс, приложен-
ный в момент времени т, и, повторяя аргументацию, которая
привела к формуле (11.3.11), написать
со
у (t) = J x(x)h(t, x)dx.	(11.3.12)
—-со
(Рассмотрение меняющихся во времени систем продолжено в за-
даче 11.1.)
Метод Грина является одним из наиболее действенных средств
для более глубокого изучения дифференциальных уравнений,
однако он, вероятно, имеет большую ценность для обсуждения
общих свойств решений, чем как метод нахождения конкретных
решений. Сходные соображения, как мы увидим позже, можно
высказать и в отношении интеграла наложения. Во многих отно-
шениях главной целью данной книги является стремление воору-
11.3. ЛИВ-системы общего вида
23
жить читателя богатым и выразительным языком для обсуждения
поведения систем в противоположность богатым деталями фор-
мальным методам анализа.
Пример 11.3.1
Идеальный усилитель (рис. 11.12) с коэффициентом усиления К
характеризуется тем, что его выход идентичен его входу, но при
этом в Д' раз больше:
у (0 = Их (Q.
y(t) = Kx(t)
х(М
АЛ(/) = К8(Г)
о(к)
Рнс. 11.12. Идеальный усилитель и его импульсная характеристика.
Импульсная характеристика, очевидно, представляет собой
импульс площадью Д
h (0 = Дб (О
и, следовательно,
У (0 = х (0 * h (t) = х (0 * Дб (t) = Дх (0.
Пример 11.3.2
Идеальная линия задержки на структурной схеме рис. 11.13
изображается прямоугольником и имеет импульсную характери-
стику h (f) = б (t — Т). Ее выход равен
у (t) ------ | х (т) h (t — т) dr = | х (т) б (t — т — Т) dr = х (t — Т),
— СО
--QQ
I />(/)
х(/)
Задержка
/(/)
Рнс. 11.13. Идеальная линия задержки н ее импульсная характеристика.
который представляет собой входное воздействие, задержанное
на Т секунд. Идеальная линия задержки является ЛИВ-системой,
однако ее нельзя построить из конечного числа ДДС-элементов.
(Ее системная функция И (s) — S [h (t) ] = exp (—sT) не является
24 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
рациональной функцией.) При условии использования достаточ-
ного числа схемных элементов можно построить цепи, аппрокси-
мирующие характеристики идеальных линий задержки со
сколь угодно высокой точностью. (См., например, задачу 11.19.)
Посредством идеальных линий задержки можно достаточно точно
для многих целей описать временные задержки, возникающие
из-за конечной скорости распространения звука или электро-
магнитного излучения.
Пример 11.3.3
Одна очень полезная ЛИВ-система строится путем каскадного
соединения нескольких линий задержки с целью образования
линии задержки с отводами. В каждом из отводов с помощью
индивидуальных усилителей или аттенюаторов осуществляется
взвешивание сигналов и последующее их сложение с целью фор-
мирования общего выхода, как показано на рис. 11.14. Результат,
как легко видеть, весьма сходен с ДВ трансверсальными филь-
трами, которые первоначально обсуждались в разд. 7.2.
Рис. 11.14. Система из линий задержки с отводами.
Импульсная характеристика такой системы задержки с от-
водами может быть получена заданием х (t) = б (/) и последу-
ющим суммированием выходов с различных отводов линии
h (/) = аоб (0 + а1б (t—T)+ ... + а4б (t — 47),
Рис. 11.15. Функция h (б системы из
линий задержки с отводами.
как схематически показано на рис. 11.15. Надлежащим выбором
коэффициентов передачи усилителей в отдельных отводах линию
задержки с отводами можно настроить так, что она будет аппро-
ксимировать импульсную характеристику любой ЛИВ-системы
при выполнении следующих условий:
11.3. ЛИВ-снстемы общего вида
25
а)	полная величина задержки в линии равна или больше дли-
тельности существенной части реакции, которую нужно аппро-
ксимировать;
б)	протяженности самих отводов линии достаточно малы,
так что представляющие интерес входные воздействия можно
считать практически постоянными на всем временном интервале,
соответствующем каждому отводу линии задержки.
Рис. 11.16. Метод выбора коэффициентов усиления для отводов линии задержки.
Один из способов выбора положения отводов предложен на
рис. 11.16. Площадь каждого импульса здесь сделана равной
соответствующей заштрихованной площади рассматриваемой
импульсной характеристики. (Сравните с ходом рассуждения
при выводе 11.3.7.)
Для улучшения аппроксимации мы можем использовать ка-
скадное соединение линии задержки с отводами и фильтра, осу-
ществляющего интерполяцию или сглаживание. Распространенный
пример такого фильтра — интегратор с конечным временем ин-
тегрирования, или схема запоминания нулевого порядка с импульс-
ной характеристикой, показанной на рис. 14.17. Ранее схема
обсуждалась в примере 10.2.1. При каскадном включении такого
фильтра и линии задержки с отводами, имеющей импульсную
характеристику, показанную на рис. 11.15, получается ЛИВ-си-
стема, импульсная характеристика которой отображается сигна-
лом «ступенчатой формы» (рис. 11.18).
АЛб)
АЛ(И
Рис. 11.18. Функция h (0 для кас-
кадного соединения систем, показан-
ных на рис. 11.15 и 11.17.
I
Рис. 1 1.17. Функция h (0 для интегра-
тора с конечным временем интегриро-
вания .
Импульсные характеристики того же самого типа можно
также получить каскадным соединением линии задержки с от-
водами и идеального интегратора, импульсная характеристика
26
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Рис. 11.19. Каскадное соединение системы из линий задержки с отводами н ин-
тегратора.
которого равна и (/). В порядке упражнения вы можете попы-
таться найти такие значения коэффициентов усиления в отводах
линии рис. 11.19, при которых результирующая импульсная
характеристика системы будет совпадать с изображенной
на рис. 11.18.
Пример 11.3.4
Получение свертки двух сигналов «ступенчатой» формы, подобных
изображенным на рис. 11.20, будет совсем несложным делом, если
Рис. 11.20. Ступенчатые функции.
воспользоваться процедурой построения из примера 11.3.3, при-
менив ее в обратном порядке. Предположим, что нас интересует
реакция фильтра с импульсной характеристикой h (7) на входное
воздействие х (f), показанное на рис. 11.20. Мы можем без особых
трудностей приступить к этой задаче, как в примере 10.2.2, пере-
гибая и сдвигая одно из колебаний последовательно относительно
другого и вычисляя произведение прямоугольников при каждом
очередном сдвиге.
Однако задача несколько упростится, если каждое из колеба-
ний представить в виде импульсных последовательностей X (f)
и h (t), показанных на рис. 11.21, каждая из которых подверглась
свертке с импульсным колебанием р (I). Весь процесс решения
11.3. ЛИВ-снстемы общего вида
27
Рнс. 11.21. Импульсные последовательности, полученные из x(f) и h (0 рис. 11.20.
задачи можно будет тогда рассматривать как определение им-
пульсной характеристики многокаскадной системы, изображен-
ной на рис. 11.22. Должно быть ясно, что X (f) * р (0 = х (t),
так как каждый импульс в х (/) генерирует во втором блоке си-
стемы импульсный сигнал р (t), амплитуда которого масштаби-
руется площадью импульса, а сам он задерживается или сдви-
гается по времени в зависимости от временного положения
импульса.
к____________________„
Импульсная характеристика Импульсная характеристика
.	= х(П*р(Г)= *(Н	= Л(/)*р(Г) = Л(П ,
--------------------у--------------------
Импульсная характеристика = x(f) * h(t)
Рис. 11.22. Анализ свертки х(0*Л(0: х (f), р (0, h (t) — импульсные харак-
теристики.
Суть приема заключается в использовании ассоциативного
закона (разд. 10.2) для изменения порядка выполнения отдельных
операций. Новый порядок будет иметь следующий вид:
1)	найти свертку & (f) * h (/);
2)	найти свертку р (0 * р (0;
3)	найти свертку результатов двух предшествующих операций.
Свертка двух импульсных последовательностей становится
очень простой операцией, если только принять во внимание, что
фундаментальное свойство импульса (11.2.2), выражаемое соот-
ношением б (0 * х (t) = х (t), сохраняет свою справедливость
и тогда, когда сама функция х (/) состоит из импульсов. Это
является общим принципом, заслуживающим внимания.
СВЕРТКА С ЗАДЕРЖАННЫМ И МАСШТАБИРОВАН-
НЫМ ИМПУЛЬСОМ
Свертка колебания произвольной формы (включая
и колебания, содержащие импульсы, и сходные с ними
составляющие) с задержанным и масштабированным им-
28 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
пульсом является просто соответствующей зад ержкой и
масштабированием этого колебания. Формально
х (t) * K6(t— Т) = Kx(t — Т).
Результат по существу самоочевиден — достаточно обратить
внимание на то, что /(б (I — Т) является импульсной характе-
ристикой каскадного соединения усилителя с коэффициентом
передачи К и линии задержки с величиной задержки Т.
На рис. 11.23 показаны в графической форме результаты
представления й (0 в виде суммы взвешенных задержанных
= -8(/)+ 8(/-1 ) + 28(/-2)
;(/)* v
Й(И f (-4)
(2)л
Рнс. 11.23. Свертка импульсных пос-
ледовательностей £ (б ИЙ (/).
(-5W
11.3. ЛИВ-системы общего вида
29
импульсов, для каждого из которых в отдельности находится
свертка с J? (t), и последующего сложения этих результатов с целью
получения импульсной последовательности £ (t) * h (/)• Свертка
функции р (t) с самой собой дает равнобедренный треугольник,
Pit)
₽(/)*₽(/)
Рис. 11.24. р (0 *р (О-
который изображен на рис. 11.24 (имеет тот же вид,, что и в при-
мере 10.2.2). И наконец, определение свертки импульсной после-
довательности i(f} (/) с треугольником р (t) * р (t) дает
Рис. 11.25. у (/) = х (0 * h (f).
суперпозицию треугольников, которая показана на рис. 11.25
и представляет собой искомую свертку х (f) * h (/). Обратите
внимание на то, что изображенная последовательность пиков
фактически является последовательностью площадей импульсов
в ♦ fi (f).
* * *
Часто оказывается полезным альтернативный способ описания
свертки двух импульсных последовательностей St (t) * й (t). Так,
мы можем записать в общем виде импульсную последовательность
следующим образом:
СО	со
* (0 = S X [п] б (t — п), h(t)= s h [n] б (t — n),
П= — CO	n= — co
30 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
где с помощью квадратных скобок, как и в гл. 7—9, обозначаются
функции дискретного времени. Тогда легко показать, что
СО
$ (0 = (0 ♦ я (0 = X! y[n]&(t~- п),
п~ — со
где у[п1— свертка в дискретном времени xlnl и h['n], т. е.
, 03
у [п] = х [п] * h [п] = У! x[m]h{n — т].
т~ — со
Функцию у [п 1 легко оценить любым из методов, изложенных
в гл. 9, включая и метод /-преобразования.
11.4. Импульсы и мгновенные изменения
начального состояния
Импульсная характеристика цепи является не только (по опре-
делению) РНС, но также в известном смысле и РНВ (поскольку
по существу б (0 = 0 при t > 0). Оба, и вход и состояние, равны
нулю, тогда как импульсная характеристика не равна нулю!
Разрешение этого кажущегося парадокса состоит в том, что по-
данный импульс устанавливает мгновенно в момент t = 0 специ-
фическое ненулевое состояние, порождающее импульсную харак-
теристику 0. Определение этого состояния представляет собой
интересный пример импульсной манипуляции.
Пример 11.4.1
Вариант схемы, изображенной на рис. 11.26, был впервые рас-
смотрен в примере 2.5.2. Пусть v (0 = б (0 и iL (0 —) =
Рис. 11.26. Цепь для примера 11.4.1.
= ис (0 —) = 0. В момент t = 0 «бесконечное» по величине напря-
жение должно оказаться почти целиком приложенным к рези-
стору 0,5 Ом. Даже импульс тока (имеется в виду интеграл тока
0 О скачкообразных изменениях начальных условий см., например,
Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972,
гл. 2. — Прим. ред.
11.4. Изменения начальных состояний
31
за конечное время, т. е. конечный заряд) может за временной
интервал от t — 0 — до ( = 0 + вызвать лишь конечное изме-
нение напряжения vc ((), причем для схемы рис. 11.26 закон
Кирхгофа для напряжений ’Должен удовлетворяться в левой
части контура. Таким образом, i (t) будет представлять собой
единичный импульс в момент t = 0, который должен целиком
пройти через конденсатор, так как ток в катушке индуктивности
характеризуется конечной скоростью нарастания, в результате
чего на катушке индуктивности возникает скачок напряжения,
равный ис (0 +). Следовательно, состояние при t = 0 + равно
Il (0 +) = iL (0 -) = 0 и
0+	0+
vC(0+) =-0^0-f ^(0^ = 2 J i(t)dt =
о—	о—
t>(0
0,5 Ом
dt = 4В.
На рис. 11.27 показаны напряжения и токи в отдельных ветвях
схемы при v (() = б ((). Обратите внимание, что условие, вытека-
ющее из законов Кирхгофа, удовлетворяется в любой момент
времени, включая и тот, когда действует импульс. Важно также
и то, что «производная» такой разрывной функции, как vc (()>
содержит импульс, площадь которого равна высоте скачка в точке
разрыва. Сказанное представляет собой обобщение результатов,
полученных в разд. 11.2, показывающее, что «производная» еди-
ничной ступенчатой функции «является» реакцией на единичный
импульс (единичной импульсной функцией), т. е. действует по-
добно этой реакции.
* * ♦
Из примера 11.4.1 видно, что мы можем рассматривать им-
пульсную характеристику как РНВ на состояние, мгновенно уста-
навливаемое посредством импульса. Однако вместо этого мы
скорее предпочтем рассматривать импульсную характеристику
в качестве РНС. Это означает следующее: если наше входное
воздействие содержит импульсы в момент t = 0, то мы опре-
деляем «начальное состояние» как такое, которое существует
в момент t — 0—; это согласуется с нашим переопределением
интеграла преобразования Лапласа, нижним пределом которого
является t = 0 —.
32
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
= 8(/)
= (l2e’3'-8e'2')uU)
А / (Г) = 28( t)~ (1бе‘3'-8е"2')и(Г)
= (-4е’3'+4е'г')и(Г)
-	.—i	!=»• t
1	I
2
м ?c(r) = 2/с(Г) =
= 48(r)-(24e-3'-8e’2')u(H
1(4)
2
v(t) - |i(t) - vc(t) = 0
vc(t) - vt(t) - Mt) = 0
i(t) - ib(t) - ic(t) = 0
Рис. 11.27. Напряжения
7(з) = CsV(s) - Cv(0)
н токи в схеме рис. 11.26.
t(t) = C^-); v(t)| =v(0)
at
I(s) ,,1/Cs u(O)/s
®----------------------°
+	U(s)
+	U(s) -	+	v(t)
6
Рнс. 11,28. Альтернативные представления начального состояния конденсатора
в частотной (слева) н временной (справа) областях.
11.5. Дублеты и другие обобщенные функции 33
В гл. 2 и в задаче 2.3 мы доказали, что можно получить пра-
вильные зависимости между .З7-преобразованиями переменных
в ветвях схемы, если заменить каждый конденсатор любым из его
представлений посредством импеданса, которые изображены
на рис. 11.28 слева (аналогичное доказательство можно привести
и для катушек индуктивности). Первое из них (а) имеет очевид-
ную интерпретацию (как это было пояснено в задаче 2.2), согласно
которой конденсатор с начальным напряжением ис (0) неотличим
в момент t > 0 от незаряженного конденсатора, включаемого
в момент t = 0 последовательно с батареей, имеющей неизменное
напряжение v (0). Теперь мы в состоянии дать аналогичную
интерпретацию во временной области для альтернативной цепи (б).
Источник тока, преобразованием которого является постоянная
Cv (0), во временной области превращается в импульсный источ-
ник Cv (0) б (/). Этот источник в момент t = 0 мгновенно уста-
навливает напряжение и (0) на незаряженном конденсаторе С.
Совершенно очевидно, что, соединяя такой импульсный источник
с каждым элементом цепи, способным запасать энергию, мы можем
задать любые начальные условия, которые пожелаем. В то же
время при наличии одиночного импульсного источника на входе
цепи мы способны задать только одно специфическое состояние,
которое порождает одну специфическую реакцию — импульсную
характеристику цепи.
11.5. Дублеты и другие обобщенные функции;
согласование импульсов
Класс полезных обобщенных функций, определенных на основе
того, что они «делают», а не того, чем «являются», охватывает
гораздо более широкий круг различных функций, чем одни лишь
импульсы. Рассмотрим, например, заштрихованную функцию f (t),
Рис. 11.29. Функция f (t), аппроксими-
рующая дублет.
изображенную на рис. 11.29. Чтобы выяснить, что собственно
функция / (t) «делает», мы можем умножить ее на тестирующую
2 Сиберт У. М., ч. 2
34 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
функцию g (0 *) и полученное произведение проинтегри-
ровать
со	Од
^f(t)g(t)dt = $-&-g(t)dt-$-±-g(t)dt.
•—оо	—Л	О
Аппроксимируя каждый интеграл для малых 6 площадью трапе-
ции, найдем
p(ogW^g<-8vg<M>7.T-^L-
Таким образом, для случая малых значений 5 функция f (t) произ-
водит выборку (со знаком минус) производной тестирующей
функции g (0 в точке 1 = 0.
Как говорят, функция f (/) при предельном переходе ведет
себя как дублет, который мы будем обозначать символом б (t)
и определим посредством такого свойства, как х (t) * б (1) —
= х (!) или
J X (т) б (t — т) dx = X (t),
(11.5.1)
что эквивалентно свойству
J x(t)b(t)di = — x (0).
(11.5.2)
(Обратите внимание на знаки в выражениях (11.5.1) и (11.5.2):
б (0 ведет себя как нечетная функция, т. е. б (—t) — —б (0.)
Уравнение (11.5.1) утверждает, что б (0 является импульсной
характеристикой идеальной дифференцирующей цепи. Симво-
лическое обозначение можно считать вполне уместным, поскольку
в операционном смысле дублет является производной импульса.
Это следует формально из (11.5.1), если х (0 — б (t). То же можно
показать, выявив, что «делает» производная d& (t)/dt, когда осу-
ществляется ее свертка с тестирующей функцией
... d6 (/) С d6 (т)	..	. .
^(0*-^-= \ -£±g(t-*)dx.
1) В теории обобщенных функций такая функция называется основной, см.,
например, И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над
ними. — М.: ГИФМЛ, 1959, гл. 1, § 1. — Прим. ред.
11.5. Дублеты и другие обобщенные функции
35
Интегрируя по частям, мы получим результат
со	со
£(0 *	= б(т)£(*-<г) |	— j 6(т)(—£(/-<r))dT =
— со в»со
= 6(0*g(0 = g(0,
который показывает именно то (по определению), что «делает»
дублет. Таким образом, оба представления операционно экви-
валентны и для них можно использовать одно и то же символи-
ческое обозначение.
Преобразование Лапласа для дублета следует немедленно
из основного определения:
СО
S[б (0] e f б(0di = --% (e-s9 |<=а = з.
oi
Как это можно было ожидать из соотношений для производных,
преобразование Лапласа для дублета равняется преобразованию
Лапласа для импульса, умноженному на s.
Пример 11.5.1
Полезное правило для ЛИВ-систем состоит в том, что РНС на
производную входного воздействия х (0 представляет собой произ-
водную реакции у (0, соответствующей входу х (0. Это следует
непосредственно из того, что результирующее поведение каскад-
ного соединения систем, показанного на рис. 11.30, не зависит
от их порядка.
Рис. 11.30. Демонстрация того, что h (f) * х (/) — (Л (/) * х (/)).
Пример 11.5.2
Один из способов определения функции h (0, который особенно
эффективен в случае простейших цепей, сводится к тому, что
сначала находят реакцию на единичную ступенчатую функцию,
а затем дифференцируют ее. Чтобы проиллюстрировать такой
2*
36 Глава 11. Импульсы в интеграл наложения
подход, возьмем реакцию на единичную ступенчатую функцию
цепи из примера 11.1.1, для которой, как известно,
о(0 = Я(1 -е-</«с)и(0.
'1 d/dt (Переходная
характеристика)
RC
характеристики цепи примера 11.1.1.
^- = 6(0 =
Рнс. 11.31. Переходная и импульсная
Эта реакция изображена на рис. 11.31. Ее производную можно
найти путем дифференцирования формулы для v(f) по отдельности
в двух областях t < 0 и t > 0:
-^-[/?(1—е-^с)] = 4-е	, />0;
CLl	U
4(°)=°-	'<°-
Реакция на единичную ступенчатую функцию имеет разрыв в на-
клоне в точке 1=0, следовательно, реакция на единичный им-
пульс также будет иметь там разрыв.
Другой способ нахождения h (t) связан с формальным исполь-
зованием правила дифференцирования произведения в формуле
реакции на ступенчатую функцию, включающую и (t), и учетом
того, что й (/) — б (t):
= h(t)~[R(l- и (01 =
= А [/?(1 — е-нку U(t) + R(\-е~‘Ю)	=
= -i- е-"*си (0 + Я (1 - б (О
ii
/?(1-е-°/ЛС)б(0=0.
Любой способ приводит к тому же результату, который был полу-
чен ранее.
* * *
Другие сингулярные функции более высокого порядка (три-
плеты, квадруплеты и т. д.) могут быть аналогичным образом
определены как последовательные производные б (0; их преоб-
разования Лапласа представляют собой более высокие степени s.
11.5. Дублеты в другие обобщенные функции
37
Для дублетов и сингулярных функций более высокого порядка
не существует стандартных символов. Амплитуды сингулярностей
более высокого порядка называются моментами и выражаются
в следующих единицах: В-с2 в случае дублетов напряжения,
В-с3 в случае триплетов напряжения и т. д. Сам символ дублета
б (0 имеет, естественно, размерность с-2. Пространственными
эквивалентами дублета и других сингулярных функций высокого
порядка являются диполь, квадруполь и т. д., которые находят
использование в электростатике.
“ftfi
Рис. 11.32. f (0 « 6 (0 + б (1).
Сигнал такой формы, которая изображена на рис. 11.32, при
достаточно малом значении б будет вести себя как сочетание
импульса с дублетом, т. е. как б (?) + б (t). Здесь мы видим при-
мер сигнала, который имеет «нулевое значение при t =0= 0», «очень
большое значение в окрестности t = 0» и «единичную площадь»,
однако его характеристики отличаются существенно большей
сложностью, чем характеристики импульса. При этом мы еще
раз убеждаемся в наличии трудностей, которые возникают при
попытке определить, «что собой представляет» импульс.
Дополнив нашу таблицу преобразований Лапласа сингуляр-
ными функциями и их преобразованиями, мы сможем расширить
и завершить начатое в гл. 2 обсуждение использования теоремы
разложения Хевисайда для вычисления обратных преобразова-
ний. Тогда мы ограничили применение этой теоремы исключи-
тельно правильными рациональными функциями (у которых
многочлен в числителе имеет меньшую степень, чем многочлен
в знаменателе). Причина такого ограничения заключалась в том,
что обратное преобразование неправильной рациональной функ-
ции (у которой степень многочлена в числителе равна степени
многочлена в знаменателе или превышает ее) содержит импульсы
или сингулярные функции более высоких порядков, а также экс-
поненты. Мы уже привели разъяснения по поводу нашего подхода
при рассмотрении примера. (Нам пришлось столкнуться с анало-
гичной проблемой в случае Z-преобразования в примере 8.1.3.)
38
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Пример 11.5.3
Рассмотрим
у i„\_____________________ s3 + 5s2 9s 4- 1
Л W —	<-2 _|_ 3s _|_ 2
Это преобразование имеет полюсы в s = —1, —2. Вычеты в по-
люсах равны соответственно
. s3 + 5s2 + 9s + 1 , . J. ।	_4
(s4-1) (s + 2)
и
s3 4- 5s2 4- 9s 4- 1 , .	1 _ e
(S4-l)(s + 2) (s + 2)I-2-5-
Однако ясно, что
У / п\ - /	-I ®
Л w трт“Г Т+2 = S2 4-3s 4-2 •
Члены этого выражения, описывающие конечные полюсы, исче-
зают при s ->- оо, тогда как заданная функция в действительности
имеет полюс в бесконечности. Чтобы завершить разложение на
элементарные дроби, мы должны ввести члены, описывающие
характеристики системы при больших значениях s. Простейший
способ, позволяющий найти эти члены, сводится к делению числи-
теля на знаменатель, причем этот процесс продолжается до тех
пор, пока степень многочлена остатка не станет меньше степени
многочлена знаменателя. В результате деления многочлена s3 +
+ 5s2 + 9s + 1 на s2 + 3s + 2 получаем частное s + 2 и в остатке
s — 3. Следовательно,
X(s) = s + 2 + -f^— = 5 + 2--^- + -^
S“ -j- OS -j- /	S-J-l S-J-Z
И
x (0 = 6 (t) + 26 (0 - 4e-'u (0 + 5e~2'u (0.
* * *
Одной важной особенностью сингулярных функций является
то, что уравнения, содержащие как обычные функции, так и син-
гулярные функции различных порядков, требуют независимого
согласования сингулярных функций каждого порядка. Нет ни-
каких способов, позволяющих приравнять обычные функции,
находящиеся в одной части этого уравнения, сингулярным функ-
циям х) в другой его части или импульсы в одной части уравнения
дублетам в другой его части и т. д. (естественно, существует
исключение в некотором предельном смысле). Мы проиллюстри-
руем сказанное (иногда такую процедуру называют согласованием
импульсов) соответствующим примером.
«) По крайней мере к конечному числу сингулярных функций.
11.5. Дублеты и другие обобщенные функции
39
Пример 11.5.4
Дифференциальное уравнение, связывающее вход о (1) и выход
vc (0 цепи из примера 11.4.1, имеет вид
- — + 5—+ 6«с(0 =4	+ 4п(0- (11.5.3)
Если v (/) = 6 (/), то правая часть этого уравнения равна 46 (f) 4-
4- 46 (/). Для согласования дублета мы заключаем, что »с (/)
должно иметь разрыв величиной в 4 В в точке t = 0, так что
бс (/) может содержать импульс в точке t = 0 площадью 4 В-с,
a Vc (0 — дублет с моментом 4В-са. Таким образом, значение
ис (0 +) должно равняться 4 В. Однако для согласования б (/)-чле-
нов в обеих частях уравнения начальный наклон бс (0 4*) должен
также иметь соответствующее значение. Из-за разрыва Vc (t)
величиной в 4 В член 5dwc (i)/dt помимо составляющей, определя-
емой дублетом, должен содержать импульс площадью 4 — 20 =
= —16 В-с. Импульс во второй производной обусловлен наличием
разрыва в наклоне; исходя из этого, мы находим, что рс (0 4~) =
= —16 В-с-1.
Рнс. 11.33. Ос (0 и ее производные.
40
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Корнями характеристического уравнения являются s = —2,
—3. Следовательно, РНВ должна иметь такой вид:
vc (0 = Ae~2t + Be~3i.
Используя информацию, полученную из согласования им-
пульсов, мы приходим к выводу, что А + В = vc (0 +) = 4
и —2А — ЗВ = vc (0 +) = —16, т. е. А = —4, В = +8, а это
является результатом, полученным ранее для реакции ис (О
на импульс. Графические изображения трех членов в левой части
уравнения (11.5.3) приведены на рис. 11.33. Заметим, что их сумма
равна двум членам в правой части того же уравнения. В частности,
обратите внимание на то, что производные в точках разрыва
порождают импульсы, а производные импульсов — дублеты.
Это важно, поскольку всегда можно подходить к разрывной функ-
ции как к сумме непрерывных функций (производные которых
могут иметь разрывы, но во всем остальном ведут себя нормально)
и ступенчатой функции (производной которой является импульс).
* * *
11.6. Выводы
Импульсы различной формы оказывают на ЛИВ-систему одина-
ковое воздействие при условии, что они имеют достаточно малую
длительность и одинаковую площадь. Если площадь такого
импульса равна единице, то все они эквивалентны единичному
импульсу 6 (0. Импульс не может быть определен как обычная
функция; вместо этого он задается как оператор — определяется
тем, что «делает», а не тем, чем «является». Фундаментальное
свойство импульса заключается в том, что при свертке любого
колебания с импульсом воспроизводится это колебание. Другие
обобщенные функции также могут быть описаны исходя из того,
что они «делают»; таким образом, 6 (/), дублет, определяется тем
своим свойством, что его свертка с любым колебанием дает произ-
водную этого колебания. Дублет ведет себя как производная
импульса, а импульс — как производная ступенчатой функции.
Поскольку любую функцию можно рассматривать как сумму
коротких импульсов с различными весами и задержками, реакцию
любой ЛИВ-системы на входное воздействие можно рассматривать
как сумму взвешенных и задержанных реакций на короткие
импульсы, импульсных характеристик. В этом нашем рассмотре-
нии интеграл свертки трактуется как интеграл наложения и де-
монстрируется, что это является общей формой представления
«входа-выхода» любой ЛИВ-системы при условии, что импульсная
характеристика сама может содержать импульсы, дублеты и дру-
гие обобщенные функции.
Упражнения к главе 11
41
Изучение ЛИВ-систем (как отмечалось в предыдущих главах)
имеет важное значение по трем взаимосвязанным причинам:
1.	Линейные системы легко анализировать и эффективно
характеризовать. Или, выражая то же с несколько других пози-
ций, изучение линейных систем опирается на богатые возможности
математики.
2.	Многие представляющие интерес физические системы можно
достаточно точно аппроксимировать с помощью линейных систем,
во всяком случае при достаточно малых входных воздействиях.
3.	Относительно просто проектировать и строить физические
системы, основанные на линейных моделях и предназначенные
для решения разнообразных нетривиальных и важных задач.
В конечном счете третья причина, вероятно, является наиболее
важной. Перефразируя Вольтера, можно сказать: если бы линей-
ных физических систем не было, их необходимо было бы при-
думать. Многие изготовители компонентов прилагают немалые
усилия, чтобы их изделия имели характеристики, близкие к ли-
нейным в возможно более широком диапазоне условий, так как
это повышает степень полезности компонентов при создании
систем.
Импульсная характеристика и интеграл наложения являются
исключительно эффективными средствами описания поведения
ЛИВ-систем общего типа. Однако наш предыдущий опыт ис-
пользования ^-преобразований подсказывает, что методы, от-
носящиеся к частотной области, могут оказаться эффективными
и в тех случаях, когда система не является каузальной. Подходя*
щим инструментом в этом случае является преобразование Фурье —
наша следующая тема.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 11
Упражнение 11.1
Система имеет выход у (f) = F [х(?)1, равный нулю во все моменты времени,
в которые входное воздействие х (/)	0. При каждом переходе входного воздей-
ствия через нуль соответствующий выход будет содержать импульс, площадь
которого равна производной входного воздействия в тот же момент. (Предполо-
жим, что все допустимые входные воздействия являются непрерывными функ-
циями с непрерывными производными.)
а)	Изобразите типичный вход и соответствующий ему выход (покажите
условно площадь импульса высотой стрелки).
б)	Покажите, что система является и инвариантной во времени, и одно
родной, т. е. F [Ах (?)] = KF [х (/)].
в)	Покажите с помощью построения контрпримера по отношению к супер-
позиции, что система тем ие менее нелинейна.
42
Глава И. Импульсы  интеграл наложения
Упражнение 11.2
Покажите, что каждая из приводимых иа рис. 11.34 цепей или систем имеет
данную импульсную характеристику.
8(1)+ ulf)
6.|Озе-г-юЪ -3-1О3е-|о3'Ь(/)
Рис. 11.34.
v(t) = ± 80) + -1-81П --§• е~'/ги{П
Упражнение 11.3
а)	Найдите с помощью свертки переходную характеристику системы, им-
пульсная характеристика которой h (1) показана иа рис. 11.35.
Рис. 11.35.
б)	Проверьте полученный результат, воспользовавшись принципом, со-
гласно которому импульсная характеристика является производной от пере-
ходной характеристики (реакции иа ступенчатое воздействие).
Упражнения к главе 11
43
Упражнение 11.4
Покажите в каждом из графически представленных на рис. 11.36 случаев, что
у (0 = х (0 * h (О-
А х(/)
Рис. 11.36.
Упражнение 11.5
Каждая из функций, изображенных иа рис. 11.37, имеет единичную площадь
J h(0Л = 1.
Рис. 11.37.
(В действительности функция /6 (t) не является абсолютно интегрируемой; чтобы
получить единичную площадь, несобственный интеграл необходимо надлежащим
образом интерпретировать для получения единичной площади, например, как
lim /6 (t) dt. Мы скажем значительно больше об этой временнбй функции
Т-*оо J
—Т
в последующих главах. См., в частности, пример 13.1.4.)
44
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
а)	Выберите одну из функций, представленных на рис. 11.37, изобразите
в общей координатной системе несколько членов последовательности nft (nt),
п — 1, 2, 3, ..., и покажите, что члены последовательности, соответствующие
большим значениям п, могут вести себя подобно единичному импульсу.
б)	Используя подходящую замену переменных, докажите, что
СО
lim ( nf (nt) g (t) dt = g (0),
-co
для любой функции f (f) с единичной площадью и для функции g (/), достаточно
гладкой вблизи точки t— 0.
в)	Пусть f (t) — df (t)/dt. Для различных функций, изображенных на
рис. 11.37 (скажем, f2(t) и (?)), изобразите в общей координатной системе
несколько членов последовательности сигналов nzfi (nt), n=l, 2, 3... иллю-
стрируя, как члены этой последовательности для больших п будут вести себя
подобно единичному дублету.
г)	Используя подходящую замену переменных и интегрируя по частям,
докажите, что
СО
lim [ n*f (nt) g(f)dt = — g(0)
n-°° -co
для любой функции f (f) единичной площади и для g (f), достаточно гладкой
вблизи 1=0. Сингулярные функции более высокого порядка, соответствующие
производным более высокого порядка от функции 6 (/), могут быть определены
с помощью расширения этой схемы.
Упражнение 11.в
Рассмотрите функцию
( 1,	'/<0,
X (1) = 1 Ч/ 2^0
''	( е=3/, t > 0.
а) Изобразите функцию х (f) и (f) и ее производную [х (f) и (/)].
б) Общая формула для производной произведения имеет вид
4 [г (О S (/)] = Г (0	+ s (t)	.
Примените эту формулу к х (f) и (t) при г (f) = х (/), s (f) = и (f). Изобразите
и обсудите различные члены правой части производной произведения функции
в случае х (f), заданной выше.
в) Определенные трудности возникают в применении этой общей формулы,
если х (f) имеет разрыв в точке 1=0, например в случае
х(0 =
Рассмотрите этот случай.
2, КО,
Г3', t > 0.
Упражнение 11.7
Определите
Т
.	1 С /j\ , 2ni ,,
L = -у- J х (t) sin -у- dt,
о
Задачи к главе 11
46
где функция х (f) должна удовлетворять двум условиям:
1)	х(0>0;
т
2)	-Ljx(t)dt=l.
о
а)	Если в качестве х (f) выбран подходящим образом расположенный им-
пульс надлежащей площади, то покажите, что величину L можно сделать рав-
ной 1.
б)	Продемонстрируйте на примерах (или докажите, если сможете), что для
любой другой функции х (/), удовлетворяющей поставленным условиям, L < 1.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 11
Задача 11.1
В литературе получили распространение два обозначения импульсных характе-
ристик систем с изменяющимися во времени параметрами:
h (t, т) — реакция в момент времени t на импульс, приложенный в момент
времени т;
Л (/, т) — реакция в момент времени t на импульс, приложенный т секун-
дами ранее, т. е. в момент времени t — т.
а)	Заполните пробелы в следующих выражениях:
1)	h(t, т) = Л(-, -).
СО
2)	У (0 = f * (т) h (—, —) dx =
*-со
со	со
= J х (т) R (—, —) dx = J х (—) h (t, х) dx.
a—CO	’“СО
б)	Для каждого обозначения определите область на плоскости (t, т), где
импульсная характеристика должна быть равна нулю, если система с изме-
няющимися во времени параметрами должна быть каузальной.
в)	Используя каждое из обозначений, найдите формулу для импульсной
характеристики каскадного соединения двух линейных систем с изменяющимися
во времени параметрами и покажите, что результат зависит от порядка включе-
ния этих систем.
Задача 11.2
В цепи, показанной на рис. 11.38, сопротивление г (t) изменяется во времени
по известному закону независимо от напряжений и токов в цепи; падение напря-
жения на г (f) равно vr (f) = г (t) i (f).
Если эта цепь рассматривается как система с входным воздействием t> (f)
+ -
AAAAAAr-
г(Н
Рнс. 11.38.
46 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
н выходом i (t):
а) Является ли эта система линейной?
t	Г t
б) Покажите, что i (t) = о (т) ехр
— J г (£) dz dr, введя эту фор-
-OQ	L *	J
мулу в дифференциальное уравнение, связывающее i (/) с v (t).
в) Найдите формулу для h (t, т), характеризующую реакцию в момент t
на единичный импульс, воздействующий в момент т. Примите г (t) = t и по-
стройте примерный график реакции системы на импульсы для нескольких ха-
рактерных временнйх точек.
г)	Найдите формулу для й (/, т), характеризующую реакцию системы в мо-
мент /.на единичный импульс, приложенный к ее входу т секундами ранее, т. е.
в момент t — т.
Задача 11.3
Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее темпера-
туру Т (х, /) в термически изолированном тонком стержне как функцию положе-
ния х и времени /, имеет вид
д*Т (х, t) 1 дТ (х, t)
дх*	dt ’
где k — постоянная, зависящая от свойств материала стержня. (Такое же урав-
нение, известное как диффузионное уравнение, описывает многие другие физи-
ческие явления, например напряжение в передающей 7?С-линии, движение носи-
телей заряда в полупроводнике и процесс перемешивания двух газов.)
а)	Покажите, что
СО
Т(х, I) = [ Т£, 0)	1	-<Г
J	2k V я/
—СО
является решением этого дифференциального уравнения в интервале —со <3
< х < со при t > 0. Здесь Т (х, 0) — температурное распределение вдоль
оси х при t = 0.
б)	Обсудите связь этого уравнения с интегралом наложения.
Задача 11.4
Рис. 11.39.
Задачи к главе И
47
Если «j (/) на одном из графиков рис. 11.39 является входным воздействием
некоторой ЛИВ-системы, то уг (t) представляет ее реакцию. Определите и по-
стройте реакцию этой системы на входное воздействие х, (/). (Совет. Найдите
способ представления ха (t) в виде суммы взвешенных задержанных версий хх (/).)
Задача 11.5
ЛИВ-система характеризуется реакцией q (/) иа входное воздействие р (/), пока-
занное на рис. 11.40.
Рис. 11.40.
а)	Изобразите входное воздействие Зр (t — 2) и соответствующую реакцию.
б)	Покажите, что входная функция х (t) на рис. 11.41 может быть пред-
ставлена как
00
* (0 = 2 аПР (t — п),
л»—со
и найдите значения коэффициентов ап.
в)	Напишите выражение для реакции у (t) иа воздействие х (f) (рис. 11.41),
представив ее в виде реакций иа элементарные входные воздействия р (t — п).
Изобразите y(t).
г)	Предположив, что система непрерывна, найдите ее реакцию иа входное
воздействие в виде единичной ступенчатой функции. (Совет. Найдите реакцию
иа входное воздействие в виде единичной линейно нарастающей функции и про-
дифференцируйте полученное выражение.)
д)	Постройте структурную схему, которая представляет систему с помощью
таких компонентов, как идеальные интеграторы, дифференцирующие схемы,
сумматоры, усилители, линии задержки и т. п.
48
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Задача 11.6	.
С помощью свертки найдите для каждой пары функций (рис. 11.42) реакцию
на входное воздействие х (t) ЛИВ-системы с импульсной характеристикой h (t).
Представьте полученные результаты графически и в аналитической форме.
Рис. 11.42.
hit) = 8(1-1)
Задача 11.7
Сравнительно гладкую функцию х (f) можно построить из задержанных ступен-
чатых функций, а также импульсов, причем высота каждой ступеньки выби-
рается так, что она соответствует приращению (или уменьшению) функции х (()
между соседними точками отсчета (рис. 11.43). Получите для выхода ЛИВ-си-
стемы интегральное выражение, аналогичное интегралу наложения и имеющее
Задачи к главе 11
49
форму суммы (интеграла) взвешенных и задержанных реакций на единичные
ступенчатые функции k (t), иногда называемых переходной характеристикой
или переходной проводимостью системы. Результирующий интеграл известен
как интеграл Дюамеля.
Задача 11.8
Найдите обратное преобразование Лапласа для каждой из следующих функций:
(*+1)2	s3 + 4s2+4s+2	52(]_е-3) + 2
’ S2+l ’	(«+1)2	’	’	^+1	•
Задача 11.9
Если (t) на рис. 11.44 является входным воздействием для каузальной ЛИВ-си-
стемы, то в этом случае у± (0 является ее выходом.
Рис. 11.44.
а)	Найдите импульсную характеристику системы.
б)	Найдите реакцию у2 (0 на входное воздействие х2 (0.
Задача 11.10
Приведенная на рис. 11.45 структурная схема используется для моделирования
многих простейших ситуаций, в которых возникают эхо-сигналы.
Рис. 11.45.
50 Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
а)	Найдите выражение для импульсной характеристики системы.
б)	При каком (положительном илн отрицательном) значении К система
устойчива?
в)	Для К = —1 найдите реакцию этой системы на входное воздействие
х (t) = и (/) — и (t— 2Д).
ЛИВ-система с импульсной характеристикой h (/), приведенной иа рис. 11.46,
возбуждается входным воздействием
« (0 = О# + а1{>
где а0 и — постоянные. (Обратите внимание иа то, что функция х (/) опреде-
лена на всей временной оси.)
а)	Найдите выход.
б)	Покажите в общем случае, что при ограничении функций входного воз-
действия многочленами степени п по t (—оо < t < оо) для получения выхода
произвольной ЛИВ-системы у (/), идентичного входу, достаточно потребоиать,
чтобы
СО
1) |л(0Л = 1,
—со
со
2) J tkh(t)dt=O, 1<4<л.
—со
в) Найдите систему с h (/) (не равную просто импульсу), которая будет
пропускать без искажений любой многочлен второй степени.
Задача 11.12
а)	Покажите непосредственно с помощью свертки, что
{О, t <0
’	и А» (Г) = 6 (0 + аб (t)
е~™, 1>0
представляют собой пару инверсных систем в том смысле, что h± (/) * A, (f) = б (f).
б)	Каково будет соотношение преобразований Лапласа от функций hr (/)
и h2 (0> если они являются импульсными характеристиками пары каузальных
инверсных систем? Проиллюстрируйте на примере конкретных функций слу-
чая (а).
Задачи к главе 11
61
Пару инверсных ЛИВ-систем можно вставить в любую точку каскадного
соединения ЛИВ-систем, не вызывая изменения реакции всей системы в целом
на входное воздействие. Такой прием часто оказывается полезным для упроще-
ния вычислений.
Задача 11.13
у (s)
Передаточная функция каузальной ЛИВ-системы имеет вид Н (s) =  ' ' =
X (s)
s — 2
= ——-. Найдите и постройте графически выход системы у2 (/) = h (/) *х (/)
для случая, когда входное воздействие х (/) имеет следующий вид:
Задача 11.14
Рис. 11.48.
а)	Докажите, что изображенная на рис. 11.48 система с положительной
обратной связью устойчива, если а, 0 и Т все положительны и 0 < а. (Совет.
Покажите, что
Re—sT
:--- < 1 при о > О,
s-|-a	н
так что системная функция может быть разложена в ряд, для каждого члена
которого легко выполняется обратное преобразование.)
б)	Найдите и изобразите импульсную характеристику системы в целом при
выполнении условий пункта (а).
в)	Покажите непосредствеииой подстановкой, что импульсная характери-
стика, полученная в пунктё (б), является решением дифференциального урав-
нении
+	(t— Т) = х (t) = 6 (t)
при условии, что у (t) = 0 при t < 0.
62
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Задача 11.15
Пусть х (f) = д (/) = d6 (t)/dt — вход ЛИВ-системы, а у (f) = е~~* и (f) — соот-
ветствующий выход.
а)	Найдите системную функцию Н (s) для каузальной системы, которая
будет обеспечивать получение указанной реакции системы иа заданное входное
воздействие.
б)	Найдите импульсную характеристику h (/) для этой системы.
в) Найдите реакцию f (f)*h(t) для заданного входного воздействия
(рис. 11.49)
( 0 при всех других t.
kf(t)
Рис. 11.49.
Задача 11.16
а) Покажите, что .^-преобразования приводимых иа рис. 11.50 функций
имеют показанный здесь вид. (Совет. Для Y (s) первоначально проще найти
3’[dy(t)/dt].)	И

I 2 3
---------------------------•-------------

f
2 3 4
Рис. 11.50.
б) При условии что х (f) и у (f) являются соответственно входным воздей-
ствием и выходом ЛИВ-системы, найдите ее системную функцию Н (s).
в)	Найдите и изобразите импульсную характеристику h (/) этой системы.
Имеет ли место ОВОВ-устойчивость?
г)	Найдите и изобразите реакцию системы иа ступенчатую функцию.
Задача 11.17
Операции с односторонними преобразованиями функций, содержащих сингу-
лярность при t = 0, не лишены определенных тонкостей. Цель этой задачи —
помочь вам оценить некоторые из следствий соглашения, описанного посред-
ством (11.2.8) и обсуждавшегося в разд. 11.4.
Задачи к главе 11
53
а)	Найдите преобразование Лапласа, определяемое как
СО
S’[/(/)] = J f dt
o'-
для каждой из шести функций, приведенных иа рис. 11.51.
б)	Покажите, что ваши результаты согласуются с формулой дифференци-
рования
при условии, что «/ (0)> интерпретируется как f (0 —).
в) С другой стороны, покажите, что ваши результаты согласуются с теоре-
мой о начальных значениях из задачи 2.4
lira sS7 [/(!)] = «/ (0)>
S—CO
при условии, что этот предел существует и «/ (0)> интерпретируется как f (0
54
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Задача 11.18
В структурной схеме рис. 11.52 функция s (t) представляет собой периодическую
последовательность единичных импульсов в моменты времени t = пТ, где п =
= .... —2, —1, 0, 1, 2, ... .
а)	Найдите (0 (выразив ее через Л2 (0) так, чтобы Pi (0 = у2 (0 для лю-
бого х (t).
б)	Изобразите функцию (f), удовлетворяющую этому условию, если функ-
ция Л2 (0 имеет вид, показанный на рис. 11.53.
Задача 11.19
Аппроксимацию идеальных элементов задержки можно получить различными
способами — путем использования цепей с сосредоточенными параметрами,
электрических или акустических систем с распределенными параметрами, уст-
ройств записи-воспроизведения иа магнитной ленте с несколькими магнитными
головками, приборов с зарядовой связью и т. п. Неизбежным следствием аппро-
ксимации, однако, является ограничение класса входных воздействий, для
которых выходы весьма сходны с задержанными копиями входного воздействия.
В качестве примера рассмотрите фазокорректирующую цепь (пропускающую
все частоты) из задачи 4.2 с R = 1 Ом и С = 1 Ф, что эквивалентно операцион-
ному усилителю на рис. 11.54. Обе эти схемы предназначены для аппроксимации
идеального устройства задержки на 2 с.
а)	Покажите, что системная функция в этом случае имеет вид Н (s) —
_ s — 1
s 4- 1
б)	С помощью обратного преобразования найдите импульсную характери-
стику h (t) для этой системы. (Будьте осмотрительны: Н (s) является неправиль-
ной рациональной функцией.)
Задачи к главе 11
56
в)	Найдите с помощью свертки реакцию этой системы на единичную ступен-
чатую функцию (t) = и (t).
г)	Проверьте ваш ответ, полученный в пункте (в), с помощью ^-преобразо-
вания. Проверьте его также, показав, что производная реакции иа ступенчатое
воздействие равна h (/).
д)	Найдите с помощью свертки реакцию системы иа входное воздействие
в виде единичной линейно нарастающей функции Oj (f) = tu (1).
е)	Проверьте наш ответ, полученный в пункте (д), с помощью S’-преобразо-
вания. Проверьте также правильность этого результата, показав, что производ-
ная реакции системы иа входное воздействие в виде единичной лниейно нараста-
ющей функции является реакцией иа входное воздействие в виде единичной сту-
пенчатой функции.
ж) Чтобы выявить степень обеспечиваемого системой приближения к идеаль-
ному устройству задержки на 2 с, постройте тщательно и с соблюдением масштаба
иа отдельных графиках системные реакции иа входные воздействия в виде им-
пульса, ступенчатой функции и линейно нарастающей функции. Наложите на
каждый построенный график идеальную реакцию, т. е. задержанный импульс,
задержанную ступеньку и задержанную линейно нарастающую функцию соот-
ветственно.
а) Что представляет собой системная функция идеальной линии задержки
на 2 с, т. а. системная функция, соответствующая реакции иа импульс 6 (t — 2)?
Покажите, что Н (s) системы, изображенной на рис. 11.54, аппроксимирует
идеальную системную функцию в случае малых значений s. (Совет. Разложите
Н (s) и системную функцию идеальной линии задержки в степенной ряд по s.)
и) Используйте результаты, полученные в (з), для объяснения того, почему
данная система обеспечивает гораздо лучшую аппроксимацию идеальной линии
задержки в случае входного воздействия в виде линейно нарастающей функции,
чем в случае ступенчатой функции или импульса.
Задача 11.20
Теорию линейных систем можно приложить к динамике простейших ситуаций
в автомобильном трафике (автотранспортных потоках).
а)	Допустим сначала, что водитель второго из двух следующих одни за дру-
гим автомобилей пытается удерживать постоянную дистанцию D между своей
и идущей впереди автомашиной. Предположим также, что для достижения этого
ои должен воспринимать ошибку по отношению к выдерживаемой дистанции
ed (0 = *1 (0 — (0 — D
(где хг(!) и х, (f) — положение каждого из двух автомобилей как функции вре-
мени), а определив ее, ускорить или затормозить свою (т. е. вторую) автомашину.
56
Глава 11. Импульсы и интеграл наложения
Конечно, его реакции немгновенные. Пусть ускорение х2 (t) = d2x2 (f)/dt2 второй
автомашины можно описать как выход ЛИВ-системы с импульсной характери-
стикой ha(t), которая представлена на рис. 11.55.
	е	-at	t > 0
б0(Н = «1			
	1 0		f < 0
	kd >	0	а > 0
Xgl t)
Рис. 11.55.
Начертите структурную схему, связывающую х2 (0 с хх (0. При каких зна-
чениях kd и а система устойчива?
б)	Предположите затем, что водитель второй автомашины игнорирует вели-
чину дистанции, которая должна выдерживаться между автомашинами, и вместо
этого пытается добиться совпадения скорости своей машины х2 (0 = dx2 (0/dt
со скоростью идущей перед ним машины. И снова его реакции медленны. Пред-
положите, что в этом случае они могут быть описаны ЛИВ-системой, представ-
ленной на рис. 11.56.
Начертите структурную схему, связывающую х2 (0 и х± (0 в этом случае.
При каких значениях #0 и (3 система устойчива?
в)	Рассмотрите систему типа описанной в (б), однако такую, в которой
реакции второго водителя отличаются столь большой быстротой, что мы можем
использовать приближение
hb (0 = kv8 (0.
В момент t = (0—) обе автомашины неподвижны при х = 0. График скорости
первой автомашины показан на рис. 11.57. Изобразите х2 (0 как функцию
времени.
м х,(/)
И------------
О	Т
Рнс. 11.57.
Задачи к главе 11
57
г)	Докажите правильность или неправильность следующего утверждения
относительно системы, описанной в пункте (в):
В момент t^= (0—) обе автомашины неподвижны при х = 0. Если ху (7) есть
произвольная ограниченная неотрицательная функция времени, то вторая авто-
машина никогда не достигнет первой. (Предположите, что автомашины имеют
нулевую длину.)
Задача 11.21
Один из классических «парадоксов» теории электрических цепей заключается
в следующем. Незаряженный идеальный конденсатор емкостью С мгновенно
подсоединяется к идеальной батарее с напряжением V. Напряжение на конден-
саторе тогда
v (/) = Vu (f).
В цепи конденсатора течет ток
1(0 = С^- = СЕб (0.
«Парадокс» связан с тем обстоятельством, что полная энергия, запасаемая в кон-
денсаторе, равна в точности —^-CV2, тогда как энергия, кажущаяся отдаваемой
конденсатору батареей, равна
со	со
J Vi (t) dt = V2 J Сб (0 dt = CV2.
—co	—co
Возникает вопрос: куда же девалась половина энергии? Это безусловно загадка,
однако истинная природа «парадокса» проистекает из факта возможности не-
скольких различных его объяснений.
Объяснение 1:
Каждый «реальный» конденсатор должен иметь определенное активное сопро-
тивление вводов, и каждая «реальная» батарея — ненулевое внутреннее сопро-
тивление. Теперь предположим, что мы моделируем данную ситуацию более
точно с помощью цепи, изображенной на рис. 11.58.
Рис. 11.58.
а)	Составьте дифференциальное уравнение, описывающее эту цепь, и ре-
шите его, чтобы получить i (t) при t> 0 в предположении, что заряд на конден-
саторе равен нулю при t= 0.
оо
б)	Покажите, что энергия, потерянная на нагрев резистора, | Ri2 (t) dt,
о
при любом R > 0 равна энергии, запасаемой в конечном счете в конденсаторе
и равной -g- CV2, и что сумма этих энергий в свою очередь равна энергии, отда-
ОО
ваемой батареей, J Vi (/) dt. Таким образом, можно утверждать, что незави-
0
58
Глава 11. Импульсы н интеграл наложения
симо от того, сколь мало сопротивление /?, энергия, отдаваемая батареей, со-
ставляет CV3 и половина ее превращается в тепло.
Объяснение 2:
Ни один «реальный» ключ не может в действительности обеспечить мгновенное
приложение напряжения батареи к конденсатору. Предположим, что мы моде-
лируем фактическое поведение ключа с цепью и формой наприження, изобра-
женными на рис. 11.59.
t
Рис. 11.59.
а)	Определите и изобразите ток i (t) в цепи.
б)	Покажите, что энергии, отдаваемая источником, v (t) i (f) dt, точно
о
равна энергии -у СУ1, запасаемой в конечном счете в конденсаторе С при любом
значении Т, 0 < Т < оо. Таким образом, можно утверждать, что энергия, отда-
ваемая батареей, если ее вычислить «корректно», равна у СУ2, так что нет необ-
кодимости постулировать ее потерн в переходном сопротивлении цепи, которое
вводится для обеспечении баланса энергии.
Объяснение 3:
Можно показать, что энергия батареи, как вычислено в объяснении 2, не зависит
от конкретной формы напряжения о (<) до тех пор, пока о (t) монотонно растет
от 0 до У. Дли объединения эффектов медленного действия ключа и наличия
переходного сопротивления цепи повторно решим эту задачу, используя выра-
жение
п(0 = У(1 — е“а<)«(0, а>0,
которое несколько проще анализировать, чем линейно нарастающую и ступенча-
тую функции.
а)	Повторно решите дифференциальное уравнение из объяснения 1, чтобы
найти зависимость i (0, соответствующую выбранной функции v (t) и прежним
начальным условиям.
б)	Определите энергию, отдаваемую батареей, и покажите, что результат
имеет следующий вид:
Jv(t)l(t)dt = -LcV3 ^YaPC >
0
причем его значение заключено между у СУ2 и СУ2 в зависимости от вели-
чины aRC.
Чему же тогда равняется «истинное» значение энергии, отдаваемой идеальной
батареей? Она равна СУ2, СУ2 или какому-то заключенному между ними зна-
чению? В рамках теории электрических цепей нет возможности получить ответ
Задачи к главе 11
59
на этот вопрос. Чтобы установить величину энергии, отдаваемой идеальной
батареей, необходимо определить величину символического интеграла
со
J б(О«(0Л,
—СО
ио, как мы уже подчеркивали в данной главе, это невозможно сделать однозначно.
Энергия, отдаваемая батареей, зависит от тонких деталей используемой модели;
различные исходные ограничения могут дать различные результаты, хотя «пре-
дельные» величины и остаются неизменными.
Задача 11.22
На рис. 11.60 показаны основные элементы электростатической отклоняющей
системы электронно-лучевой трубки.
Электрон (m,e, vx)
Электронный
прожектор
пластины
Люминесцентный
экран
Рис. 11.60. т, е, vx — масса, заряд и начальная скорость электрона соответ-
ственно.
а)	Предположите, что 6 С I и что напряжение v (0 меняется достаточно
медленно, так что электрическое поле между отклоняющими пластинами можно
считать квазистатической величиной v (0/6 и однородным во всем пространстве
между пластинами (т. е. пренебречь краевыми эффектами). Найдите реакцию d (0
на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции v (0 = и (0.
б)	Дифференцируя результат, полученный в (а), найдите импульсную ха-
рактеристику этой системы. Оцените импульсную характеристику количественно
при следующих значениях параметров: 6=2 мм, I = 1 см, L = 30 см, е/т =
= 1,76-105 Кл/кг, считая, что электроны ускоряются в электронном прожекторе
потенциалом 2500 В.
в)	Объединяя реакции на ступенчатые воздействия, постройте примерный
график реакций системы на короткие импульсы различной длительности. Какова
при параметрах, приведенных в пункте (б), длительность самого короткого
импульса, который, по вашему мнению, будет воспроизводиться на экране осцил-
лографа с «приемлемым» качеством? Какова эта длительность по сравнению
с «длительностью» импульсной характеристики системы?
12
ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЩИХ
ЛИВ-СИСТЕМ
12.0. Введение
Методы исследования в частотной области, использовавшиеся
в данной книге до настоящего момента, были представлены в гла-
вах 2 и 8 и основывались на одностороннем ^’-преобразовании
и одностороннем Z-преобразовании. Ввиду этого их применение
автоматически ограничивалось каузальными системами. Кроме
того, следует отметить, что в явном виде рассматривались только
входные воздействия и системные реакции в области t > 0. Воз-
действия, обусловленные входами в моменты t < 0, если такие
имели место, описывались через реакцию на начальное состояние
при нулевом входном воздействии, т. е. в терминах РНВ.
Эффективность методов исследования в частотной области
не зависит от особенностей описания состояния и каузальности,
однако самым тесным образом связана с концепцией линейности
и инвариантности во времени. Ключевую роль в описании линей-
ных систем и их сигналов играет осознание того, что если {|t (0}
представляет собой некоторое множество входов, вызывающих
известные реакции тр- (/) — F (/)], то любое входное воздей-
ствие, которое можно представить в виде взвешенной суммы
таких входов,
х(0= 2*^(0.	(12.0.1)
I
будет вызывать реакцию
И0 = Л* (01= 2^(0-	(12.0.2)
Следовательно, принципиальной проблемой при функциональном
описании ЛИВ-систем является выбор множества (0}, так
чтобы оно:
а)	являлось максимально возможным множеством сигналов,
которое можно представить в виде (12.0.1);
б)	отличалось максимальной простотой описания множеств
& (01 и {Th (0).
12.0. Введение
61
Как мы видели в главах 9 и 11, одним из приемлемых пред-
ставлений {£г (/)} можно считать множество задержанных им-
пульсов, однако имеются и другие представления. В частности,
для каждой линейной системы (инвариантной во времени или нет)
существует специальное множество функций, называемых соб-
ственными или характеристическими функциями, которые опре-
деляются следующим свойством:
=	=	(12.0.3)
где — постоянные величины, называемые собственными или
характеристическими значениями. Для этих специальных вход-
ных воздействий выход системы будет представлять собой сигнал
той же формы, что и у входного воздействия (они могут разли-
чаться лишь постоянным масштабным коэффициентом), и, таким
образом, трудность описания множеств (/)} и {tj* (/)} облег-
чается наполовину. В общем случае множество функций (/)},
удовлетворяющее условиям (12.0.3), зависит от конкретных
свойств системы, заложенных в структуре F I- ]. Однако если
линейная система вместе с тем инвариантна во времени, то вы-
является примечательное свойство систем этого класса: их соб-
ственные функции почти не зависят от специфических особенностей
конкретной системы: собственные функции любой ЛИВ-системы
являются просто комплексными экспоненциальными функциями
esi, —оо < t < оо. Различные значения комплексной частоты s
соответствуют различным собственным функциям х).
Мы уже по существу доказали этот результат в разд. 3.3
для каузальных цепей со сосредоточенными параметрами, где
было продемонстрировано, что реакция на входное воздействие
(/) с течением времени приобретает преимущественно вид
Н (s) es/ (при условии, что s лежит правее крайнего правого по-
люса Н (s), т. е. в области сходимости). Поскольку положение
начальной точки отсчета времени для систем, инвариантных
во времени, является произвольным, это в принципе означает,
что для таких каузальных цепей и комплексной частоты s в обла-
сти сходимости реакция на е**, —9о < t < 90 (т. е. е** подается
при t = —оо), будет иметь вид И (s) esi для любых конечных
моментов времени, —эо < t < оо.
Мы можем легко доказать в общем случае существование
у каждой произвольной ЛИВ-системы (не обязательно каузальной)
собственных функций, воспользовавшись для этой цели интегра-
х) Как будет показано в дальнейшем, существуют определенные ограниче-
ния на значения s, при которых exp (s<) может быть собственной функцией.
Кроме того, имеются особые ситуации, для которых собственными функциями
ЛИВ-систем являются более сложные функции, чем простейшие экспоненты.
См. задачу 14.14.
62
Глава 12. Частотные методы исследования
лом наложения (11.3.11), который был введен для описания
таких систем
СО	со
y(t} = J х (т) h (t — т) du — J h (т) x (I — x) du. (12.0.4)
—co	co
Осуществляя во втором интеграле подстановку х (/) = е5*, —оо
t <Z оо, мы получим
где
СО
Н (s) = j h(f)e~sidt
—СО
(12.0.6)
является обобщенным представлением системной функции, опре-
деленной в разд. 10.1 для каузальных систем как 2? [h (/)]. Из
выражения (12.0.5) следует, что Н (s) является собственным зна-
чением для собственной функции е5*.
В случае ЛИВ-системы реакцию на любой член множества
входных воздействий {es/}, —оо<^<оо, где {sj является
некоторым допустимым множеством комплексных чисел, легко
описать, поскольку для этого необходимо знать всего лишь одну
функцию Н (s), так как набор реакций имеет вид Н (sj eSi‘, —оо <
< t < оо. Кроме того, учитывая свойство линейности, мы можем
сразу же найти, что реакция на любое входное воздействие, кото-
рое мы можем записать как
r(0=EV< -ooct<oo, (12.0.7)
i
имеет следующий вид
y(t) == S XiH(Si)eSii, —oo<_t<Zoo. (12.0.8)
Идея, положенная в основу уравнений (12.0.5)—(12.0.8),
играет в теории систем весьма важную роль, и именно благодаря
ей понятие частоты приобрело столь важное значение для при-
ложений. (И действительно, инженеры-практики иногда стано-
вятся такими рабами понятия частоты, что им оказывается трудно
подходить к сигналам как к временным функциям!) С аналити-
ческой точки зрения важнейшее преимущество описания систем
в частотной области заключается в том, что (как мы это уже за-
метили в случае ^-преобразований) системные (передаточные)
функции каскадно соединяемых систем можно просто перемножать
(что во многих случаях значительно легче представить и оценить,
12.1. Области сходимости для И (s)
63
чем свертку импульсных характеристик соединяемых систем).
Кроме того, свойство е“ быть собственными функциями ЛИВ-си-
стемы предполагает определенный тип разделения сигналов, что
имеет фундаментальное значение для обеспечения разнообразия
приборов и устройств. Так, например, идея выделения отдельным
радиостанциям определенных частотных каналов основывается
на том, что передаваемые по ним сигналы не будут смешиваться,
распространяясь через общую передающую среду (которая по
существу обладает ЛИВ-свойствами), тогда как проблема со
спутниками, используемыми в качестве связных трансляторов
для одновременного обслуживания ряда абонентов (в режиме
мультиплексирования), связана как раз с тем, что такая «пере-
дающая среда» обычно не является ни линейной, ни инвариантной
во времени. Подход к ЛИВ-системам общего вида, опирающийся
на методы анализа в частотной области, представляет собой
альтернативу подходу, который мы обсуждали в предыдущей
главе и который рассматривал системы во временной области.
Рассмотрение системы в частотной области, как мы увидим, часто
позволит нам составить более ясные представления о ней, причем
и в плане анализа, и в плане синтеза. И, кроме того, взгляд на
один и тот же предмет с двух различных сторон скорее всего
позволит лучше осмыслить его, чем взгляд всего с одной из них.
Нам остается выяснить два вопроса общего характера:
1. Какие ограничения (если таковые есть) налагаются на зна-
чения комплексной частоты s, для которых х (/) = е** => у (t) =
= Н (s) es/?
2. Насколько большой класс временных функций х (/) может
быть представлен в виде (12.0.7), если на st будут налагаться
надлежащие ограничения?
Эти темы и будут являться главными в этой и следующих
главах.
12.1.	Области сходимости для Н (s)
Область s-плоскости, в пределах которой входное воздействие
est, —оо <^t<^oo, порождает на выходе конкретной ЛИВ-си-
стемы реакцию Н (s) esi, —оо < t < оо, является такой областью,
в пределах которой интеграл
оо
Я(з) = J h(t)e~“di
—со
существует или в некотором смысле сходится. Легко доказать,
что эта область в общем случае представляет собой полосу, парал-
лельную /со-оси, как показано на рис. 12.1. Либо одна, либо обе
границы этой полосы одновременно могут быть в ±оо; существует
64
Глава 12. Частотные методы исследования
Рис. 12.1. Полоса сходимости в общем
случае.
также возможность ох = о2, так что эта полоса превращается
в одиночную линию.
Некоторые примеры, которые иллюстрируют имеющиеся здесь
различные возможности, исследуются в задаче 12.2. Ряд важных
специальных случаев заслуживает особого внимания:
а)	Если функция h (t) каузальная или даже если h (t) просто
является правосторонней (т. е. если существует такое Т, не обя-
зательно положительное, что h (t) = 0, t << Т), то область сходи-
мости Н (з) будет всегда находиться в правой полуплоскости.
б)	Аналогично, если Н (s) является левосторонней функцией,
область сходимости Н (s) будет находиться в левой полуплоскости.
в)	Если h (0 — импульс (т. е. одновременно и правосторонняя
и левосторонняя функция), областью сходимости Н (з) будет вся
s-плоскость.
ОО
г)	Если h (t) имеет ОВОВ-устойчивость (т. е. если J jh (t)\dt<Z
<' оо), область сходимости Н (s) будет всегда включать ]а>-ось.
Обобщая результаты обсуждения каузального случая в разд. 3.3,
отметим, что попытка воздействовать на систему входным сигна-
лом est, —оо <у t <" оо, комплексная частота s которого лежит
за пределами полосы сходимости Н (з), вызовет появление «пере-
ходного процесса», обусловленного тем, что входное воздействие
имеет «начало» и «окончание» при t = Такой «переходный
процесс» может достигать неограниченно больших значений за
конечное время и тем самым решающим образом определять
реакцию. Только для значений s, лежащих в области сходимости,
esi является собственной функцией системы.
12.2.	Интеграл Фурье
Чтобы завершить построение схемы анализа в частотной области,
к разработке которой мы приступили в разд. 12.0, мы должны
еще ответить на следующие вопросы:
а)	Насколько велик класс временных функций, которые могут
быть представлены в виде взвешенной суммы экспоненциальных
функций, а комплексные частоты для которых выбираются из
12.2. Интеграл Фурье
65
области значений, лежащих исключительно в полосе сходимости,
определенной в предыдущем разделе?
б)	Как мы можем определить приемлемые веса? Формулируя
эти вопросы в символьной форме, мы пытаемся найти представле-
ние для входных временных функций, которые имеют форму
уравнения (12.0.7), так что
х(1)=ЕХ/<', -ocCtCoo,	(12.2.1)
где S( ограничиваются значениями из полосы сходимости для
системной функции Н (з), т. е. в общем случае < Re [s, ] < о2.
Можно было ожидать, что наиболее общее представление
мы получим, воспользовавшись всеми допустимыми значениями з,
и такое представление имело бы вид
со
х (t) = | da j daX (о, co) е(ст+;'®> С
01	—со
Однако схемы подобного типа слабо изучены и еще в меньшей
степени применяются главным образом по той причине, что в та-
ком обобщении редко кто нуждается х). Для большинства целей
достаточно ограничиться значениями s вдоль прямой, параллель-
ной оси /со, т. е. ограничиться представлениями вида
СО
X (0 = -2^- J X (о0 + /®)	* da. (12.2.2)
—со
(Коэффициент 1/2л вводится исключительно по соображениям
последующего удобства.) Уравнение (12.2.2) в принципе
аналогично уравнению (12.2.1), т. е. является представлением
в виде «суммы» характеристических входов. Если о0 может быть
выбрано в пределах полосы сходимости Н (s), т. е. если ох <
< о0 < о2, то по аналогии с уравнением (12.0.8) мы можем за-
писать
СО
У (0 = 4г У X (а0 + /со) Н (а0 + /со)	' da. (12.2.3)
—ОО
Другими словами, у (0 можно представить в форме
СО
y(t) = 4r f К (а0 +/o))e<a»+/“> dco, (12.2.4)
ZJV J
•—00
причем
У (о0 + /со) = X (о0 + /со) Н (о0 + /со).	(12.2.5)
*) См., однако, W. М. Brown, Analysis of Linear Time-Invariant Systems
(New York, NY: McGraw-Hill, 1963).
3 Сиберт У. M., ч. 2
66
Глава 12. Частотные методы исследования
Это.поясняет всю схему, которую мы задумали.
В дальнейшем в приложении к гл. 13 будет обсуждено представ-
ление, сходное с (12.2.2). В данный момент, однако, мы ограни-
чимся случаем, в котором h (/) соответствует устойчивой системе,
так что ось /со находится внутри полосы сходимости, и мы можем
выбрать значение о0 = 0. Тогда выражение (12.2.2) приобретает
следующий вид:
ОО
x(t) = 4r i	(12.2.6)
—оо
и в такой форме называется представлением х (/) в виде интеграла
Фурье. При операциях с интегралами Фурье для многих целей
оказывается удобным выбор f = со/2л в качестве переменной
интегрирования, т. е. частоты в герцах (или числа периодов в се-
кунду), а не со, круговой частоты, выражаемой в радианах в се-
кунду, благодаря чему выражение (12.2.6) преобразуется к виду
00
х(0= J Х(/2л/)е/2лМ-	(12.2.7)
Кроме того, поскольку мы до сих пор еще не определили
X удобно опустить коэффициент /2л и записать предыду-
щее выражение просто как
	00 Х(О = J X(/)e/2"^d/, —СО	(12.2.8)
которое в дальнейшем мы будем использовать в качестве основ- ной формы представления функции х (t) в виде интеграла Фурье. По той же причине большего удобства заменим системную функ- цию Н (/со) = Н (/2л/) на Н (/), опустив коэффициент /2л. Функ- цию Н (/) будем в дальнейшем называть частотной характери- стикой, чтобы отличать ее от системной функции Н ($). С импульс- ной характеристикой h (t) она связана соотношением		
	оо H(f)= J h(t)e~l2nfi dt, —оо	(12.2.9)
которое существует, если система устойчива. С помощью функций
Н (J) и X (/) мы можем записать
оо
y(t)= J Y(f)el2nftdf
12.3. Специальный случай — ряд Фурье
67
И

(12.2.10)
Используя одинаковые функциональные обозначения для ча-
стотной характеристики Н (/) и системной функции Н (s), мы,
конечно, идем на некоторый риск возможного их перепутывания,
особенно в связи с тем, что частотная характеристика равна си-
стемной функции при замене s на /2л/. Аналогичная возможность
для возникновения путаницы существует (если х (t) = 0 для
t <0) между преобразованием Фурье, X(f), и ^-преобразованием,
X (s), функции х (t). На практике, однако, эти сходные обозна-
чения не вызывают тех осложнений, которые можно было бы ожи-
дать. Достигнутые нами простота и симметрия в общем и целом
стоят того риска, на который мы пошли, предложив эти обозна-
чения. А во всех тех сравнительно редких случаях, когда мы хо-
тим говорить о частотных характеристиках и системных функциях,
а также преобразованиях Фурье и Лапласа в рамках одной и
той же задачи, можно просто вернуться к обозначениям Н (/2л/)
и Х(/2л/).
Наша главная задача в нескольких следующих главах будет
состоять в том, чтобы найти те ограничения (если они вообще есть),
которые необходимо наложить на классы функций х (/), допускаю-
щих представление в виде (12.2.8), а также научиться выбирать
приемлемое соответствующее преобразование Фурье X (f).
12.3.	Специальный случай — ряд Фурье
Наиболее наглядным подходом к пониманию сущности интеграла
Фурье можно считать тот, который воспроизводит примерный
путь исторического развития этого понятия, т. е. нам целесооб-
разно начать с ряда Фурье. В некоторых отношениях идеи, ле-
жащие в основе ряда Фурье, восходят к древнему Вавилону *).
В них можно, кроме того, обнаружить заимствования из понятий,
которые использовались в циклах и эпициклах астрономической
системы Птолемея, и значительную часть соображений о консо-
нансах в музыке * 2), возможно, связанных еще с именем Пифа-
гора. Если перейти ко времени, которое к нам гораздо ближе, то
следует отметить, что ряд математиков, работавших в начале
XVIII века (включая Л. Эйлера и Д. Бернулли), уже знали сле-
дующее: если каким-либо путем установить, что колебание
*) См. G. de Santillana, The Origins of Scientific Thought (Chicago, IL: Uni-
versity of Chicago Press, 1961).
2) Консонанс (созвучие) — слитное, согласованное, одновременное звучание
различных тонов, противостоит понятию диссонанса. СЭС. — М.: Сов. энци-
клопедия, 1986, с. 620.
3*
68
Слава 12. Частотные методы исследования
х (t) можно выразить в виде конечной взвешенной суммы гармони-
чески связанных между собой синусоид, т. е. если будет известно,
что
N	N
x(0 = ao + 2ancos-^ + 2bnSin-^- (12.3.1)
п=1	п=1
(где Т — постоянная, смысл которой мы выясним ниже), то в этом
случае значения коэффициентов ап и Ьп можно найти из формул
т
a0 = -^x(t)dt,	(12.3.2)
О
т
am=^x(t)cos^~-dt, m=£0,	(12.3.3)
О
т
bm = A J x(t) sin 2^-dt.	(12.3.4)
о
Эти результаты легко следуют из наблюдения: синусоиды, чьи
частоты выражаются целыми числами, кратными некоторой ос-
новной частоте f0 = 1/Т, образуют множество ортогональных
функций *), т. е.
т
2 с , 2nnt 2wnt ,, п	/in о ex
-у- 1 sin -у—cos——dt = 0 при всех п, т, (12.3.5)
о
т	т
2 С . 2nnt . 2wnt .,	2 (' 2nnt 2nmt ,,
-у- 1 sin T - sin -y— dt = y- i cos —y- cos —у— dt =
о	о
0,
1,
n =/= m,
n = m 0.
(12.3.6)
Таким образом, подставляя, например, в правую часть уравнения
(12.3.3) разложение х (t) в ряд из (12.3.1) и изменяя порядок ин-
тегрирования и суммирования, мы найдем, что с учетом (12.3.5)
и (12.3.6) исчезнут все члены ряда, за исключением ат.
Очевидно, что в форме ряда (12.3.1) можно представить сиг-
налы ограниченного класса. В частности, поскольку
{sin )	( sin )
У (а + 2лп) = ' f (а),
cos J	( cos J х
*) Геометрическое истолкование этого понятия будет дано в приложении
к гл. 14.
12.3. Специальный случай — ряд Фурье
69
ТО ясно, что
х (t + Т) = х (t),	(12.3.7)
т. е. х (I) должна быть периодической функцией с периодом Т.
(Также очевидно, что любое целое число периодов Т также яв-
ляется периодом функции х (£).) Однако даже среди периодиче-
ских функций класс функций х (t), состоящих из конечной сум-
мы синусоид, является весьма специальным. Тем не менее
Ж- Б. Ж. Фурье *) в 1807 г. высказал смелое предположение, что
бесконечный ряд в форме (12.3.1) может фактически представлять
любую произвольную периодическую функцию, причем даже
такую, которая содержит разрывы. Более того, он доказал, что
коэффициенты разложения такой произвольной функции могут
быть найдены по тем же формулам (12.3.2)—(12.3.4), которые
используются при представлении функции конечной суммой си-
нусоид. Фурье был в большей мере инженером или физиком,
чем математиком, и его доказательство этих положений не удов-
летворило даже современников* 2). Однако вскоре стало ясно, что
он скорее прав, чем ошибается, хотя прошло много лет, прежде
чем вся проблема полностью прояснилась3). Действительно,
изучение рядов Фурье оказалось одной из наиболее плодотвор-
ных глав в истории математики 4) и привело к важнейшим резуль-
татам, включая радикальный пересмотр понятий функции и схо-
димости. Однако, прежде чем глубже погрузиться во все эти во-
просы, мы на примере покажем, что по крайней мере в некоторых
*) Книга J. В. J. Fourier, Theorie Analytique de la Chaleur была впервые
опубликована в 1822 г. Недавнее издание на английском языке выпущено аме-
риканским издательством «Доуэр» (Нью-Йорк).
2) Фурье изложил свои идеи в конкурсной работе по теории теплоты, пред-
ставленной во Французскую академию. Жюри — в его состав входила «прослав-
ленная троица» Лаплас, Лагранж и Лежандр — пришло к согласию о присужде-
нии Фурье премии, однако указало на отсутствие строгости в математических
методах, которые он использовал. С позиций нашего современного понимания
относительно порядка бесконечных величин теперь легко видеть, что исходное
утверждение Фурье можно сформулировать корректно, но для этого необходимо
наложить определенные ограничения на функцию х (/), поскольку число точек,
в которых производится независимое определение х (t) в пределах периода 0 <
< t < Т, представляет собой несчетное множество, тогда как ряд (12.3.1) при
А оо содержит число независимых коэффициентов, являющееся счетным мно-
жеством. Между прочим основатель теории бесконечных множеств Г. Кантор
пришел к своим результатам благодаря своим ранним исследованиям рядов
Фурье.
3) Первое строгое доказательство версии теоремы Фурье было дано Дирихле
в 1829 г. Исчерпывающее обсуждение всей этой проблемы могло состояться
лишь в начале нашего столетия, когда была развита теория интеграла Лебега,
т. е. почти сто лет спустя после того, как впервые была сформулирована «тео-
рема» Фурье. Исследование рядов Фурье и в настоящее время остается активной
ветвью математики.
4) См., например, Н. S. Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier’s
Series and Integrals (London: Macmillan, 1930), pp. 1—30.
70
Глава 12. Частотные методы исследования
случаях ряд Фурье, по всей видимости, фактически сходится
к функции х (/), разложением которой он является, хотя сама
функция х (i) вовсе и не имеет той гладкости, которой как будто
должна обладать сумма синусоид.
Пример 12.3.1
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных
импульсов, которая изображена на рис. 12.2. Основная частота
Рнс. 12.2. Периодическая прямоугольная волна.
для нее равна /0 = 1/Т Гц. Поскольку sin (2nnf/T) является не-
четной функцией, а х (/) — четной, все коэффициенты Ьт в (12.3.4)
будут равны нулю. Однако
T/2	T/4
= j х(/)Л = -1- j Idt = ±.
—T/2	-T/4
(Обратите внимание на то, что, поскольку функция х (t) является
периодической, пределами для интегралов в (12.3.2)—(12.3.4)
могут быть границы любого подходящего периода, например (—Т/2)
и Г/2, а не обязательно 0 и Т.) Кроме того, для т у 0 имеем
Г/2	Г/4
2	("	...	2nmt ,,	2	Г Inmt ,,
ат = у-	I X (t) COS	-у— dt	= у-	I	COS -у— dt	=
— T/2	—T/4
ТЦ
2 Т . 2nmt I 1 Г , /	1
— У Ут sin T I ~ nm L Sin V 2~} ~ sin (	2~) J —
—ТЦ
2 (i)<m~D/2
nm
o,
m= 1, 3, 5...
m = 2, 4, 6.
Ряд Фурье для этой функции х (/) имеет вид
00
П=1
п нечетн.
2	1)/2
COS -у—
1.2 2nt 2
= _ + „coS_____cos
tint .	2 10nf
— + _rC°s_F_
(12.3.8)
12.4. Другие формы ряда Фурье
71
Рис. 12.3. Частичные суммы ряда Фурье для функции рис. 12.2.
1	2(—1)<п~1)/2 2лп(
—1—±---------cos—=-
ЯП	1
П=1
п нечетн.

На рис. 12.3 показано, как частичные суммы сходятся к х (I).
На каждом очередном графике представлена предыдущая частич-
ная сумма, что дает возможность оценить эффект добавляемого
члена ряда.
12.4. Другие формы ряда Фурье. Спектр
Форма ряда Фурье, описываемая выражением
оо	оо
S2nnt , VT ,	, 2nnt ,, „ . ,,
ancos—---— >	(12.4.1)
п=1	n=l
где
и
T
oo = “fJ
0
T
0
cos
sin
2nnt
~T~
2nnt
~T~
dt,
(12.4.2)
(12.4.3)
n > 1,
72
Глава 12. Частотные методы исследования
называется тригонометрической. Это, вероятно, наиболее распро-
страненное представление ряда, однако имеются и другие, ко-
торые часто оказываются более полезными. Одно из важнейших
среди них — это амплитудно-фазовая форма, которая построена
2лп< , ,	. 2лп(
на основе того, что ап cos ---г bn sin -у— можно также запи-
сать и как сп cos — 0П), так что выражение (12.4.1) при-
обретает вид
где
то есть
ОО
X (0 = а0 + 2 сп cos — 0») ,
та
сп = /а2п 4- Ь2п,
en = arctg (bn/an),
an=cncos9ft, bn = cftsin9n.
(12.4.4)
(12.4.5)
(12.4.6)
(12.4.7)
Однако, возможно, простейшей и наиболее полезной формой за-
писи ряда Фурье — той, которой мы в дальнейшем будем пользо-
ваться почти исключительно, — является экспоненциальная
форма х)
х(0= S X [л] е^/Т,
ОО
Т/2
X [п] = у- j х (t) e~iinntlT dt.
—Т/2
(12.4.8)
(12.4.9)
При использовании экспоненциальной формы для определе-
ния коэффициентов ряда необходим всего один интеграл, однако
следует обратить внимание на то, что сумма в (12.4.8) охватывает
не только положительные значения п, но и отрицательные (отри-
цательные «частоты»!). Однако, если функция х (t) является ве-
щественной (как мы молчаливо предполагали уже ранее), тогда
из (12.4.9) сразу же следует, что X [—п\ — величина, комплексно
сопряженная с X [и]:
X [—n] = X* [п].
(12.4.10)
Таким образом, комплексные амплитуды компонент с отрицатель-
ной частотой определяются амплитудами компонент с положитель-
ной частотой. Путем сравнения с ранее полученными результа-
4 Как и прежде, квадратные скобки в X [п] указывают, что переменная п
принимает только целочисленные значения.
12.4. Другие формы ряда Фурье
73
тами для п > О мы можем легко установить следующие соотно-
шения:
ао = Х[О],	с„ = 2|Х[п]|,
ап — 2Re [X [nJ], п=£0, 9П = — argX[n],
Ьп - —21m [X [n]]. X [п] = (ап — jbn) = спе
(12.4.11)
В случае комплексных функций х (/) тригонометрическая и ам-
плитудно-фазовая формы ряда Фурье используются чрезвычайно
редко, тогда как экспоненциальная форма (12.4.8) очень хорошо
согласуется с комплексными сигналами (естественно, в этом слу-
чае соотношение (12.4.10) теряет свою справедливость).
Пример 12.4.1
Для колебания прямоугольной формы из примера 12.3.1 с уче-
том (12.4.9) можно записать
Т/4	Т/4
Х[п]=4"	f 1е-/2"п</т dt = 4- (—) ^!2nntlT | =
Т	J	Т	V —/2лп /	|
-Т/4	-f/4
— 2------[е—/лп/2 _ e/nn/2j __
(_ п(л-1)/2
-— ---------, п нечетное,
лп	’
= I 0,	п четное, п Ф 0,
| 1/2,	п = 0.
Если принять во внимание соотношения (12.4.11), то увидим,
что эти результаты находятся в согласии с аналогичными резуль-
татами, которые были получены в примере 12.3.1.
* * *
Множество коэффициентов ряда Фурье {X [п ]} в (12.4.9)
в совокупности образует спектр функции х (t), и процесс их оп-
ределения носит название спектрального анализа х). В частности,
X [0] является средним значением функции х (i) или ее значе-
х) Слово «спектр» было введено в физику Ньютоном (1664 г.) при описании
анализа разложения призмой света на его цветовые компоненты или частоты.
Термин используется в математической и физической литературе в несколько
различных смыслах для обозначения множеств {X [п]}, {1% [п]|}= {сп},
{| X [п] |2} и т. д. В данной книге «спектр» без всяких прилагательных модифи-
цирующего толка будет, как правило, относиться к множеству комплексных
амплитуд {X [п ]}; другие типы спектров будут обозначаться такими терминами,
как «амплитудный спектр» и «спектр мощности».
74
Глава 12. Частотные методы исследования
нием на «постоянном токе», а величина Х[1] обычно называется
комплексной амплитудой основной составляющей, или основной
гармоники. Угловая частота основной гармоники представляет
собой величину, обратную периоду основной гармоники, Т, ко-
торый является наименьшим ненулевым числом, удовлетворяю-
щим соотношению
х (/ + Т) = х (t).	(12.4.12)
В случае п > 1 величину X [п ] часто называют комплексной
амплитудой п-й гармоники х (t). Процесс определения множества
{X [п ]} иногда называют гармоническим анализом х (t) — слово
«гармонический», естественно, музыкального происхождения *).
Рис. 12.4. Представление дискретного,
для действительной функции х (t).
или линейчатого, спектра, построенного
Периодический сигнал имеет дискретный спектр, поскольку
только дискретное множество частот требуется при спектральном
синтезе таких колебаний, а именно ряд Фурье (12.4.8). Дискрет-
ный спектр также называют линейчатым — весьма подходящее
название, поскольку удобным способом графического представ-
ления дискретной спектральной информации является линейча-
тый график, подобный показанному на рис. 12.4. (Исторически
название «линейчатый спектр» связано с тем обстоятельством,
что обычно при воспроизведении на выходе оптического спектро-
метра отдельные изолированные частотные составляющие спектра
*) То, что идея спектрального анализа звуков (по крайней мере в ограни-
ченном смысле) предвосхитила идеи Фурье, подтверждается тем фактом, что
еще в 1636 г. Мерсенн высказал мысль, что вибрирующая струна, «свободно
звучащая в результате удара по ней, порождает одновременно по крайней мере
пять звуков, первым из которых является естественный звук струны, служащий
основой для остальных звуков, — их частоты соотносятся как 1, 2, 3, 4, 5»
Термин «основной» и «гармоника» были введены в 1704 г. Совером, т. е. более
чем за 100 лет до того, как Фурье написал свою конкурсную работу. (Интерес-
ное обсуждение ранней истории акустического анализа приводится в книге:
R. Plotnp, Experiments on Топе Perception (Soesterberg, Netherlands: Institute
for Perception RVO-TNO, 1966).)
12.4. Другие формы ряда Фурье
75
анализируемого источника имеют вид ярких линий.) Поскольку
коэффициенты Фурье являются комплексными числами, то для
их представления необходимы два графика — один для действи-
тельных и другой для мнимых составляющих или же один для
амплитуд, а другой для фазовых углов.
В случае сигналов, описываемых действительными функциями,
из свойства сопряженности коэффициентов следует, что действи-
тельные составляющие и амплитуды спектра являются четными
функциями частоты или индекса п, тогда как мнимые составляю-
щие и фазовые углы — нечетными функциями. Таким образом,
если известно, что х (t) представляет собой действительную функ-
цию, то следует отображать только часть спектра, соответствую-
щую положительным частотам. Если функция х (t) помимо того,
что она действительна, является еще и четной, т. е. х (—t) =
= х (1), то из уравнений (12.4.3) и (12.4.9) сразу же следует, что
коэффициенты X [п] являются действительными и что тригоно-
метрическая форма содержит только одни косинусоиды. И наоборот,
если функция х (/) является действительной и нечетной, т. е.
х(—t) = —x(t), то в этом случае коэффициенты X [ц] будут все
чисто мнимыми и тригонометрическая форма содержит только
одни синусоиды.
Следует остановиться еще на одном свойстве симметрии, ко-
торое требует дополнительного обсуждения. О периодической
функции х (t) говорят, что она является нечетно-гармонической,
если представляющий ее ряд Фурье имеет следующий вид:
х(/)=	£ X[n]el2nnf/T.	(12.4.13)
п нечетн.
Это означает, что функция х (t) будет нечетно-гармонической,
если коэффициенты X [п] равны нулю для всех четных значе-
ний п. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
функция была нечетно-гармонической, является
х (t — Т/2) = — х (0.	(12.4.14)
Чтобы доказать это, следует заметить, что если X [п] — 0 при п
четном, то
x(t - Т/2) =	£ Х[п] е!2лп1/те-!лп = —	£ X [п] ei2nnt'T =
п нечетн.	п нечетн.
= —X (О’
и, таким образом, (12.4.14) является необходимым условием.
И наоборот, если п — четное целое число и (12.4.14) выполняется,
76
Глава 12. Частотные методы исследования
то мы можем ввести обозначение т = п/2 и записать
7/2
X[2m]=y- J x(t)e~iinmtlT dt =
-T/2
T/2	О
= 4- j x(t) e-iinmt/T dt + ~ С X (t) dt =
0	—7/2
7/2	7/2
= -yr J x(t)e-l^mt/Tdt + ±- j x(t — Tl^e-i^^-Tl^lTdt^
о	0
7/2	7/2
= ~ j х(0е-/4ят//гЛ--у- j x (t) e~~iinmi/T dt = 0,
о	0
что доказывает достаточность (12.4.14). В принципе может пока-
заться целесообразным определение и четно-гармонических функ-
ций, однако после некоторого размышления можно прийти к вы-
воду, что четно-гармоническая функция не содержит ничего но-
вого, кроме того, что период основной гармоники для нее состав-
ляет половину того периода, который мы ввели вначале, т. е.
к (t — 7/2) = х (t),	(12.4.15)
и, следовательно, не представляет особого интереса.
С другой стороны, поскольку мы можем записать сумму,
соответствующую произвольной периодической функции х (t),
в виде
оо
х(0= U X[n]^W = 2 X[n]e/2W+ £ X[n]eW^,
п=— оо	пнечетн.	пчетн.
мы всегда можем представить произвольную функцию х (/) как
сумму составляющих из четных и нечетных гармоник. Чтобы
найти эти составляющие, обратимся к следующему представле-
нию х (/):
х (!) = 4- [х (t) + х (t - 7/2)] + 4 Iх (0 - х - W
С помощью (12.4.15) легко показать, что выражение в первых
квадратных скобках является четно-гармонической составляю-
щей, а с помощью (12.4.14) — что выражение во вторых ква-
дратных скобках является нечетно-гармонической составляющей.
12.4. Другие формы ряда Фурье
77
Рис. 12.5. Некоторые примеры условий симметрии для периодических функций:
а—нечетно-гармоническая функция (период основной гармоники =/= 772); б —
четно-гармоническая функция (период основной гармоники = Г/2); в — нечетная
функция; г — четная функция.
Примеры четной и нечетной функций, а также четно-гармони-
ческой и нечетно-гармонической функций приведены на рис. 12.5.
Чтобы проиллюстрировать некоторые из этих свойств симметрии,
а также показать, как целесообразно использовать ряд Фурье
в системном анализе, рассмотрим следующий пример.
Пример 12.4.2
Предположим, что частотная характеристика Н (/) некоторой
реальной ЛИВ-системы (названной по причинам, которые мы из-
ложим позднее, дифференцирующей схемой с ограниченной поло-
сой) была измерена экспериментально и может быть представлена
в такой форме (возможно, идеализированной), которая показана
Рис. 12.6. Частотная характеристика
на рис. 12.6. Под частотной характеристикой Н (?) мы понимаем,
естественно, следующее: если входное воздействие равно х (t) =
= exp (/2л//), то выходная реакция системы равна у (/) =
= Н (/) е1'2л/(. Следует отметить, что в качестве фактического
78
Глава 12. Частотные методы исследования
входного воздействия, выбранного для измерения Н (/), исполь-
зуется не экспонента с комплексным показателем степени, а дей-
ствительная синусоидальная функция, скажем A cos (2nft + 0).
Установившаяся реакция системы на входное воздействие также
является действительной косинусоидой, скажем В cos (2nft + <р),
и мы тогда идентифицируем | Н (/) | = В/А и arg Н (/) = <р — 0
для f > 0.
Мы рассматриваем реакцию этой системы на прямоугольную
волну с частотой 1000 Гц (Т = 10~3 с), подобную той, что пока-
зана на рис. 12.2. Из примера 12.4.1 мы знаем, что это колебание
можно представить с помощью комплексного ряда Фурье
х(0 = 2 Х[п]е>'2пп1°ч,
Х[п]
2
2-Ю3	15"
37Г
Рис. 12.7, Спектр прямоугольной волны.
где коэффициенты X [п ] имеют значения, найденные в примере
12.4.1, и построены на рис. 12.7. Поскольку прямоугольная волна
на рис. 12.2 является четной функцией, коэффициенты X In ]
представляют собой действительные числа и для их отображения
необходим всего один график. Обратите внимание на то, что на
двух предшествующих рисунках, а также и на последнем мы при-
вели в первую очередь положительные функции; поскольку и
система, и х (/) описываются действительными функциями, и
Н (/)> и X [п ] характеризуются сопряженной симметрией, т. е.
X [—п] = X* [и],
Н (-/) = Я* (/).
(Мы уже обсудили этот результат для X [п ]; сопряженная сим-
метрия для Н (/) следует аналогично из (12.2.9), как мы поясним
в дальнейшем.)
Поскольку реакцией на входное воздействие exp (/2n/f) яв-
ляется Н (/) е/'2л^ и справедлива суперпозиция, реакцией на х (f)
будет
1/(0 = 2 Х[п]Я(103п)е/2я10’^ = £ у [п] е/2"10’^.
П=—оо	п — — со
12.4. Другие формы ряда Фурье
79
Из сравнения графических изображений Н (/) и X [п] становится
ясно, что лишь конечное число коэффициентов Y [п ] будет отлич-
ным от нуля. Действительно,
Y [0] = X [0] Н [0] = (1/2).0 = 0,
У[1] = /-[-1] = Х[1]Я(103) =-^(ЗеМ/2) =/А,
Y [3] = У* [-3] = X [3] Н (3-103) = _ _L (Эе/л/2) =
Все другие коэффициенты Y [п ] равны нулю; амплитуды и фазо-
вые углы {Y [«]} показаны на рис. 12.8.
3 • IO3
Рис. 12.8. Спектр у (/).
3 - IO3 , r f
Окончательно получим
Рис. 12.9. Реакция для примера 12.4.2.
80
Глава 12. Частотные методы исследовании
Этот результат изображен на рис. 12.9. Обратите внимание на то,
что функция у (t) является одновременно и нечетной, и нечетно-
гармонической. Показанные пунктиром импульсы соответствуют
3-10~3 dx.it)
-ц------?г—, легко заметить, что площадь каждого импульса при-
^5* at
мерно равна площади под максимумом у (t) в той же временной
точке, так что у (/) « dx (t)/dt.
12.5. Усреднение периодических функций.
Теорема Парсеваля
Поскольку периодические функции существуют с неубывающей
амплитудой при —оо < t </ оо, то интегралы от таких функций
на бесконечном временном интервале в общем случае определить
нельзя. Однако средние значения периодических функций на бес-
конечном временном интервале часто представляют интерес.
Среднее значение на бесконечном временном интервале колеба-
ния х (/) определяется как
г.
<х(ф A lim -5^— С x(t)dt.	(12.5.1)
Г0-*-со 11 о J
— / о
Если х (/) является периодической функцией с периодом Т, то
среднее значение на бесконечном временном интервале (12.5.1)
равно среднему за один период
г
<x(0> = 4-p(0dt
о
Это связано с тем, что для периодической функции X (t) мы всегда
можем написать следующее выражение:
г0	пт	га	о	-
W J = J + W	^x(t)dt ,
—т„	—пТ	L-о	—о
где п — наибольшее число периодов, содержащихся в То, а 6 —
дробный остаток этого периода, т. е. имеется в виду, что То =
= пТ+ 8 нО</8<^Т. В случае больших значений То второй
член этого выражения исчезающе мал и первый приобретает
вид
т
lim f х (t) dt =
т
у- J x(t)dt.
0
Естественно, как мы уже отмечали ранее, интеграл от 0 до Т,
не изменяя его значения, можно вычислять между любыми двумя
точками, разнесенными на интервал, равный периоду, т. е.
в пределах от —Т/2 до Т/2 или от б до Т + 6.
12.5. Усреднение периодических функций
81
Из (12.4.9) должно быть очевидно, что среднее значение х (t)
равно просто X [0], другими словами, коэффициенту Фурье для
нулевой частоты или величине постоянного тока:
(х (0) = Х[0].
Однако идея усреднения может быть распространена и на другие
составляющие х (t). Так n-й коэффициент Фурье является сред-
ним значением произведения х (t) и ехр (—j2nnt/T'y.
Х[л] = (х(0«-/2яп,/г>.	(12.5.2)
Из этой формулы вытекает способ экспериментального определе-
ния коэффициентов Фурье неизвестной периодической функции,
который сводится к подаче на вход ЛИВ-системы с импульсной
*• t
Рис. 12.10. Метод измерения коэффициентов Фурье.
характеристикой hit) (рис. 12.10) произведения х(1)ехрХ
Х(—j2nnt/T) (или, что более реалистично, раздельной подачи
действительной и мнимой составляющих этого произведения).
Если мы исследуем выходы ус (i) и ys (t) в любой момент t > То
после подачи входного воздействия, то найдем, что они аппрокси-
мируют Re [X [nil и Im [X [nJ] соответственно. Действительно,
если То кратно периоду Т функции х (1), то в этом случае выходы
в моменты t > То будут постоянными, точно равными требуемым
средним значениям. Если То не кратно Т, но велико (То Т),
то тогда выходы не будут постоянными в моменты Т > То, а ста-
нут изменяться периодически относительно требуемого среднего
значения, причем амплитуда этих колебаний будет стремиться
к нулю при То -> оо. Если То имеет достаточно большую величину,
то в таком случае детали формы h (t) не существенны и любая
функция h (t) достаточно большой длительности, имеющая еди-
ничную площадь, будет выполнять свою роль примерно с равным
успехом. (Обратите внимание на сходство наших рассуждений
здесь с описанием единичного импульса в гл. 11. В определенном
смысле импульс и среднее значение на бесконечном временном
интервале являются дуальными обобщенными функциями, одна
из которых в пределе ведет себя как h (t) на рис. 12.10, когда То
мало, а другая — когда То велико.)
82
Глава 12. Частотные методы исследования
Другим важным средним значением функции от действитель-
ного периодического колебания х (t) является средняя мощность
для х (t):
т
(ха(ф =-у-jx2(0^-	(12.5.3)
о
Корень квадратный из средней мощности, называемый средне-
квадратической величиной (или СКВ) для х (t), является полез-
ной мерой амплитуды колебаний сложной формы.
Пример 12.5.1
а)	Пусть х (t) = A cos (aot + а). Функция х (t) — периоди-
ческая с периодом Т = 2л/соо; средняя мощность для х (t) равна
2Л/И,
(0) = j А* cos2 +°)dt = -т" •
о
СКВ амплитуды синусоидальной функции, следовательно, равна
1/У2 аг 0,707 максимального значения.
б)	Пусть х (t) представляет собой прямоугольную волну,
изображенную на рис. 12.2 или рис. 12.11:
Рис. 12.11. Периодическая прямоугольная волна.
Тогда средняя мощность х (/) равна
ЗГ/4	774
(x2(0)=4J	j	р^=4-
—774	—774
Таким образом, прямоугольная волна имеет ту же мощность (или
создает такой же тепловой эффект), что и постоянный ток вели-
чиной 0,707.
* * *
Среднюю мощность периодического сигнала можно предста-
вить и другим интересным способом. Подставляя разложение
12.5. Усреднение периодических функций
83
функции x(t) в ряд Фурье в выражение, определяющее среднюю
мощность, и меняя местами порядок операций суммирования и
интегрирования, мы получим уравнение
Т	T	Г оо
±^(t)dt~-^x(t) 2
О	Q	Ln=— со
X[rt]ei2nn('T dt =
или
оо	Г	Т
= 2 X[n] -JT J X (0 e!2nnt,T dt
П~-~-<ХЗ	L	Q
X*ln]
T	co
{x2(t)}=±$x2(t)dt = 2 lX[n]l2’
0	n=a —CO
(12.5.4)
которое выражает теорему Парсееаля для вещественных периоди-
ческих функций. Обратите внимание, что составляющая х (f),
представляющая n-ю гармонику, имеет вид
X [п] е/2лп</г + х* [п] е-/2лп//г = 21X [п] | cos + arg X [л]),
а ее средняя мощность (см. пример 12.5.1, а) в точности равна
2| X [п ] |2. Следовательно, теорема Парсеваля утверждает просто,
что средняя мощность х (t) равна сумме мощностей ее гармоник.
Пример 12.5.2
Коэффициенты Фурье для прямоугольной волны (рис. 12.11)
были найдены в примере 12.4.1 и имели следующий вид:
1/2,	п = О
v г ,	0,	п четное, п О,
Х[п] = <
(_!)('»-D/2
, п нечетное.
лп ’
Из примера 12.5.1 следует, что (х2 (/)) = 1/2. Следовательно,
на основании теоремы Парсеваля найдем
4= 2 щ»п’=т+2 S J?
П—— СО	П=1
п нечетн.
Это выражение можно преобразовать, что даст нам довольно ин-
тересный ряд, представляющий л2:
Т=>+(Я+Ш!+(Я+--
* * *
84
Глава 12. Частотные методы исследования
12.6. Выводы
Комплексные экспоненты вида еР, —оо <Л < оо, являются
(при надлежащем выборе s) собственными функциями общих
ЛИВ-систем, что делает их привлекательным базисом для построе-
ния функциональных описаний соотношений вход-выход таких
систем. В случае устойчивых систем (которые характеризуются
абсолютно интегрируемой импульсной характеристикой) область
допустимых значений s включает и ось /со; входные воздействия
вида e':2nf1, —оо < t < оо, будут вызывать реакции вида
Н (/) ei2nft, —оо < / < оо, где частотная характеристика Н (/)
связана с импульсной характеристикой h (t) соотношением
H(f) = j h(t)	(12.6.1)
—co
Кроме того, любое входное воздействие, которое мы можем пред-
ставить в форме интеграла Фурье
х(0= J X (f) JW df,	(12.6.2)
—со
будет вызывать реакцию также в форме интеграла Фурье
СО
y(t)= J Y (f) e’2nft df,	(12.6.3)
—со
где
у (/) = н (/) X (/).	(12.6.4)
Если класс функций х (t), который может быть описан в форме
(12.6.2), велик (и в следующей главе мы докажем, что он действи-
тельно очень велик), то в этом случае уравнение (12.6.4) дает нам
средство описания в частотной области общих ЛИВ-систем не-
прерывного времени, являющееся важной и полезной альтерна-
тивой метода описания таких систем во временной области с по-
мощью интеграла наложения (11.3.11), представленного в преды-
дущей главе.
В качестве первого шага изучения обобщенного характера
выражения (12.6.2) мы рассмотрели представление периодической
функции х (/) в форме ряда Фурье
х(0= Е Х[п]е!2лп(/Т,	(12.6.5)
П= — СО
где X [п ] определяется формулой Фурье
т
Х\п\ —-^r^x(t)e-l‘2nntlT dt.	(12.6.6)
О
Упражнения к главе 12
85
Таким образом, не предпринимая никаких шагов, чтобы доказать
обобщенный характер выражений (12.6.5) и (12.6.6), мы пока-
зали с помощью примера, что класс функций х(1), которые до-
пускают представление таким способом, по-видимому, значительно
шире, чем можно было бы предположить первоначально. Мы ис-
следовали различные свойства этих формул, включая и теорему
Парсеваля, которая будет нам полезна в следующих главах.
В 13 гл. мы продолжим наше продвижение по пути историче-
ского развития рассматриваемой области и найдем выражение
теоремы Фурье для непериодических функций X (t). Не прибегая
по существу к строгому доказательству этой теоремы, мы обсу-
дим условия, необходимые для ее строгой формулировки. В сле-
дующей за ней главе мы покажем, что общая формулировка тео-
ремы Фурье включает ряд Фурье как специальный случай — и
этим будет подтверждена справедливость тех формальных шагов,
которыми мы воспользовались в настоящей главе.
УПРАЖНЕНИЯ.К ГЛАВЕ 12
Упражнение 12.1
Не делая операции интегрирования, покажите, что экспоненциальный ряд Фурье
для функции
х (/) = (1 + cos 2л1) [cos (Юл/ + л/6) ]
имеет вид
х(0 = £ Х[п]е'2пп<,
П=—со
причем все X [м] = 0, за исключением
X [4] = X* [-4] = ~ X [5] = ~ X* [-5] = X [6] = X* [-6] = ± е'п/6.
Упражнение 12.2
Периодическая функция х (/) с периодом Т задана иа интервале 0<
и имеет вид, показанный в левой части рис. 12.12. Покажите, что полное описа-
ние х (/) на интервале 0 < t < Т должно приводить к одной из таких графиче-
ских форм, которые показаны иа рис. 12, а и б в зависимости оттого, является ли
х (I) а) нечетно-гармоннческой четной функцией или б) нечетно-гармонической
нечетной функцией.	•
х(Г)
а	б
Рис. 12.12.
86
Глава 12. Частотные методы исследования
Упражнение 12.3
Периодическое колебание х (Z) является входным воздействием для ЛИВ-си-
стемы с частотной характеристикой Н (f), как показано на рис. 12.13. Покажите,
4
что выходное колебание равно у (!) = —— cos
Рис. 12.13.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 12
Задача 12.1
Покажите, что следующее утверждение ложно, построив соответствующий контр-
пример:
Если две устойчивые ЛИВ-цепи имеют идентичные реакции (отличные от
нуля) на любое одно частное входное воздействие, то они будут иметь идентичные
реакции иа каждое входное воздействие.
Какого рода входные воздействия следует исключить из числа тестирующих,
если приведенное утверждение имеет какой-либо шанс быть справедливым?
Задача 12.2
Для каждой из приведенных ниже импульсных характеристик покажите, что
системная функция и область сходимости имеют вид, совпадающий с данными
в соответствующем пункте. Обратите внимание иа то, что функциональные фор-
мулы для Н (s) в а и б совпадают; различны только области сходимости. Следо-
вательно, при описании системы путем задания ее системной функции мы должны
Область
сходимости
Re[s]>-a
Re[s]<-а
s-плоскость
Задачи к главе 12
87
г
д
й(0
6
Н(»)
2a
a2 — s2
Область
сходимости
u(t + T/2)-u(t-T/2)
esT/2 _ е-’Г/2
3
Все S
1
T+t?
1
l + t2*
dt
Нет
обязательно указывать в явной или неявной форме область сходимости наряду
с формулой системной функции. В предыдущих главах мы вводили эту информа-
цию посредством предположения (обычно явно не высказывавшегося), что имеем
дело с каузальными системами.
Интеграл в д нельзя отнести к числу элементарных. Покажите тем не менее,
что область сходимости представляет собой прямую Re [s] = 0. Позже мы по-
кажем, что действительно в случае s= /со функция Н (/со) = е~। । для h (t) =
= 1/(1 + /2). Покажите, что система е вообще не имеет системной функции в лю-
бом из обычных смыслов, т. е. не имеет области сходимости.
Обратите внимание на следующее: если в приведенных задачах функция
й (f) является правосторонней (как в случаях а и г), то область сходимости на-
ходится в правой полуплоскости; если h (f) левосторонняя (как в случаях б и г),
область сходимости находится в левой полуплоскости; а если й (/) одновременно
и лево- и правосторонняя (т. е. представляет собой импульс, как в случае г),
областью сходимости будет вся плоскость в целом. Когда й (f) является абсо-
лютно интегрируемой, что соответствует ОВОВ-устойчивости, как, например,
в случае а при условии, что а > 0, в случае б при условии, что а < 0, а также
в случае в, г и д, то область сходимости включает в себя ось /со.
88
Глава 12. Частотные методы исследования
Задача 12.3
Р. В. Л. Хартли как-то предложил1) разработать анализ Фурье на основе
cas-функций (cosine-and-sine), где
2nkT 2nkt , . 2nkT
cas — = cos -y- + sin —— .
а)	Покажите, что такие функции ортогональны на любом интервале, рав-
ном Т, и нормируются так, что выполняются следующие соотношения:
т
1 С 2nkT 2nlt ,, fl,
-т ras~Y~cas-T-d< = lo,
О
k = l,
l.
б)	Пусть x (t) — действительная периодическая функция. Путем соответ-
ствующих преобразований ряда Фурье для х (/) покажите, что функцию х (t)
можно записать в следующем виде:
*(0 = 2 аИса8^>
k*=—со
где коэффициенты В [й] действительные н определяются выражением
2И=~р(0 cas^dt
о
Найдите формулу для В [£], определяющую эти коэффициенты через коэффи-
циенты разложения
х (0 = 2 X [й] ei2nkt,T
k=—СО
и через коэффициенты разложения
X (0 = 2 Ck cos — eft) .
k=0
(Дальнейшие следствия из предложения Хартли рассматриваются в задаче 13.1.)
Задача 12.4
Пусть х (0 является произвольной действительной периодической функцией,
которая определяется следующим разложением в экспоненциальный ряд Фурье:
х(0 = 2 X[k]ei2nkt,T.
k——со
Опишите свойства симметрии каждой из следующих частичных сумм (т. е. у (0 =
= У (—0 или У W — —У (?— Т/2)) и выразите каждое нз этих свойств с по-
0 Proc. IRE, 30 (Маг. 1942): 144.
Задачи к главе 12
89
мощью формулы, членами которой являются функции х (f) (т. е. у (t) — ~^~[х (/) +
+ х (TH - £)]):
а)	8/1(0= Е Re[X[fe]]e/2"«/’',
при всех k
б)	у2(0=	£ Re & И] el2nkifT,
k нечета.
В)	Уз (0 = Е	{Re Iх с*л - / Im [X И]} е/2Я«/т.
k нечеты.
Задача 12.5
Каждая из периодических функций на рис. 12.14 разлагается в экспоненциаль-
ный ряд
Ж(о= J
ns=—оо
Рис. 12.14.
а)	Найдите для каждого из этих колебаний значение X [0].
б)	Для каких из этих колебаний начало отсчета времени (или значение /0
на рис. Г) может быть выбрано таким образом, чтобы все коэффициенты X [п ]
были действительными? Определите значение X [1 ] Для каждого из этих коле-
баний при выбранном указанным способом начале отсчета (такой выбор неодно-
значен).
в)	Для каких из этих колебаний начало отсчета времени (или значение Т,
на рис. Г) может быть выбрано таким образом, чтобы все коэффициенты X [п]
(за исключением, быть может, X [0]) оказались мнимыми? Определите X [ 1 ]
для каждого из этих колебаний при выбранном указанным способом начале
отсчета (такой выбор неоднозначен).
г)	Для какого из приведенных сигналов X [rt] = 0 при п = ±2, ±4,
±6, ...?
Задача 12.6
а) Не определяя значения коэффициентов соответствующего ряда Фурье,
скажите, какая из четырех периодических функций на графиках рис. 12.15
может быть представлена экспоненциальным рядом Фурье со следующими свой-
ствами:
1) в ряду есть только нечетные гармоники;
в) все коэффициенты чисто действительные;
90
Глава 12. Частотные методы исследовании
Рис. 12.15.

3) все коэффициенты чисто мнимые.
Дайте обоснование вашему выбору.
б) Найдите представления в форме ряда Фурье для периодических функций,
представленных на рис. 12.15. Выразите ваши ответы в трех формах: синусно-
косииусиой (тригонометрической), амплитудно-фазовой и экспоненциальной.
Задача 12.7
Периодическая функция х (t) является входным воздействием для ЛИВ-системы
с частотной характеристикой Н (/), как показано на рис. 12.16. Найдите выход-
ную функцию у (/) в виде суммы косинусоидальных функций с соответствующими
амплитудами и фазовыми углами.
х(Г)
Площадь, В-с
(2)
2 3
t, МС
HU)
f, кГц
(-1)	(-1)(-1)
Рис. 12.16,
Задачи к главе 12
91
Задача 12.8
Входное напряжение v± (f) цепи рис. 12.17 представляет собой последователь-
ность из положительных и отрицательных импульсов (справа). Предположите,
что входной импеданс цепи с частотной характеристикой Н (/) равен бесконеч-
ности.
Рис. 12.17.
Найдите:
СО
а)	Разложение Hi (0 в виде У Уг [л] elZnnt!T.
П=г-СО
б)	Разложение v2 (/) в виде У, Уа [л] е/2яп</т.
П=—оо
в)	Среднюю мощность на выходе (/) при условии, что Н (/) имеет вид,
показанный на графике.
г)	Среднюю мощность иа выходе, если входное воздействие имеет вид о, (Л 4-
Jrv1(t-T/3).	’
Задача 12.9
Нг (/) и #2 (/) представляют фильтры, частотные характеристики которых яв-
ляются действительными и периодичными по частоте, как показано на рис. 12.18.
Рис. 12.18.
92
Глава 12. Частотные методы исследования
Найдите среднеквадратичное значение иа выходе каждого из этих фильтров,
если периодическое входное воздействие х (t) имеет вид, показанный иа графике
рис. 12.19;
Задача 12.10
Практическая схема интегратора иа основе операционного усилителя содержит
в своем составе резистор, который подсоединен параллельно конденсатору
(рис. 12.20) с целью ограничения усиления иа низких частотах. (Без такого
шунтирующего резистора небольшие, ио неизбежно иескомпеисироваиные изме-
нения напряжений и токов смещения будут интегрироваться, что вызовет в ко-
нечном счете насыщение операционного усилителя.)
Рис. 12.20. /?! = 5 кОм, R3 = 0,5 МОм,
С — 0,01 мкФ.
а)	Определите системную функцию цепи для заданных на рис. 12.20 значе-
ний параметров.
б)	Воспользуйтесь методом Боде, чтобы примерно изобразить в графиче-
ской форме амплитудно-частотную характеристику.
в)	Изобразите графически, соблюдая примерный масштаб, реакцию данной
цепи иа входное воздействие в виде прямоугольной волны для следующих основ-
ных частот: 10, 100 и 1000 Гц. (Совет. Сравните спектры этих сигналов с частот-
ной характеристикой системы.)
13
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
13.0. Введение
Как указывалось в предыдущей главе, мы здесь рассмотрим два
вопроса: какой класс временных функций можно представить
взвешенными суммами экспонент ехр (/W) и как выбирать соот-
ветствующие веса для представления заданной временной функ-
ции. Уже было показано (нестрого), что большой класс периоди-
ческих функций можно представлять посредством рядов Фурье
СО
Х(О= Е Х[п]е'2яп‘,т,
П=—со
в которых коэффициенты Фурье X [п! определяются формулой
Г/2
Х[п] = 4- j x(t)e~l2nnt/r dt.
-Т/2
В данной главе мы разовьем эти формулы (также нестрого) с це-
лью показать, что большой класс непериодических функций можно
представить посредством интегралов Фурье
оо
х (/) = J X (f) ei2nft df
—со
и что преобразование Фурье X (/) для таких представлений может
быть найдено с помощью выражения
оо
X (f) = J х (t) e~'2nf< dt.
—оо
В совокупности этих формул заключено содержание теоремы
Фурье. Мы проведем исследование (не делая однако никаких по-
пыток использовать строгие методы) видов условий, налагаемых
на функцию х (t), которые необходимы для обеспечения справед-
ливости теоремы Фурье. Также будет изучен ряд важных при-
меров и начато обсуждение свойств преобразования Фурье, ко-
торые делают его полезным инструментом анализа ЛИВ-систем.
94
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
13.1. Переход от ряда Фурье к интегралу Фурье
Обобщение ряда Фурье на случай непериодических функций было
предложено самим Фурье, и его можно вывести на основе исследо-
вания структуры ряда Фурье для периодической функции в пре-
дельном случае очень большого периода. Иллюстрацией может
служить рис. 13.1. Удерживая колебание в начале координат, мы
предположим, что период стремится к бесконечности. В пределе
мы получим представление для одиночного импульса, показанное
Рис. 13.1. Увеличение периода периодической функции.
Исходными являются соотношения
«гй- Ё ХгМе'амг
П=—со
и
Т /2
Хг[п] = ^- j xT(t)e~l2nni/T dt.
-Г/2
(13.1.1)
(13.1.2)
Хитрость состоит в том, что особый параметр в (13.1.1), которым
является частота f = п/Т, сохраняет постоянное значение /
за счет соответствующего изменения п при изменении Т. Так,
определим
г/2
Хтф = ТХт[п\ = j xT(t)e~l2nltdt. (13.1.3)
-T/2
По мере увеличения периода Т линии в спектре Хт (/) сближаются,
как это показано на рис. 13.2. Записывая формально (13.1.1)
в терминах f = п/Т, получим
СО
хг(0= 2 *т(/)е/2я^.	(13.1.4)
П——СО
13.1. Переход к интегралу Фурье
ЭВ
Х[п) ro = Xr(U)
X[n] 7j = XrU)
Рис. 13.2. Спектр хт (/) для двух значений Т.
До сих пор мы не сделали ничего нового, кроме изменения обо-
значений. Теперь, однако, устремим период к бесконечности,
Т -> оо, сохраняя f = пТ постоянным, в результате чего периоди-
ческая функция Хт (0 преобразуется в апериодическую функцию
х (t). Формально (13.1.3) стремится к
СО
Xr(/)->X(/)= ^x(t)e'’2nftdt,
—СО
(13.1.5)
а сумма (13.1.4) представляет собой аппроксимацию интеграла
СО
x\t) = J X (/) ei2nft df.
— СО
(13.1.6)
Чисто формальные доводы, высказанные в предыдущем под-
разделе, ни в коем случае нельзя путать со строгим доказатель-
ством. Строгое доказательство обоснованности операций, которые
необходимо выполнить, чтобы перейти от (13.1.4) к (13.1.6), ис-
ключительно сложно, даже если предположить, что нам удалось
строго доказать исходное представление рядом Фурье (13.1.1).
Однако доказательство теоремы в математике часто оказывается
гораздо более простой задачей, чем формулировка положений,
содержащихся в теореме. Так, наши рассуждения, основанные
на правдоподобных доводах, позволили нам получить формули-
ровку потенциальной теоремы:
Если мы определим преобразование Фурье функции х (t) по-
средством формулы
СО
*(/) = J x(t)e~l2n}tdt,
—со
(13.1.7)
96
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
то х (t) может быть представлена с помощью интеграла Фурье
(или обратного преобразования Фурье)
СО
x(t) = J X(f)e”nftdf,
—со
(13.1.8)
т. е. X (/) df представляет собой «вклад» от комплексной экспо-
ненты exp (j’2n/i), «содержащийся» в х (t) (вследствие этого X (/)
также называют спектральной плотностью для х (t)). Или, дру-
гими словами, можно сказать, что выражение (13.1.7) анализи-
рует функцию х (t) на основе использования ее спектральных со-
ставляющих, а (13.1.8) восстанавливает или синтезирует х (t)
из этих составляющих. Теорема Фурье утверждает, что этот про-
цесс анализа—синтеза может выполняться без каких-либо по-
терь — восстановленный сигнал, согласно теореме, по своей форме
идентичен исходному сигналу. Было бы удивительно, если бы
эта теорема оказалась справедливой без каких-либо условий или
ограничений (в действительности надлежащие ограничения не-
обходимы), однако, прежде чем приступить к их изложению, целе-
сообразно рассмотреть несколько примеров х).
Пример 13.1.1
Пусть х (t) — e~atu (t), а > 0, как это показано на рис. 13.3.
Тогда из (13.1.7) следует, что преобразование Фурье функции х (t)
будет иметь вид
со	со
о
1
а + /2 л/ '
х) В литературе преобразования Фурье определяются по-разному. Вот еще
две распространенные формы записи:
СО	со
X' (со) = j X (0 e~’at dt х (t) = ~ j X' (со) eiat da,
—co	—co
co	OO
X" (co) = —U- [ X (t) e~iat dt о X (t) = —Д=- f X" (co) e’ai da.
У 2n J	у 2л J
--OO	--OO
Форма, которую мы выбрали, по-видимому, обеспечивает максимальные симме-
трию и простоту для большинства приложений. При чтении литературы по этому
вопросу необходимо проявлять внимательность, поскольку выбор других пред-
ставлений преобразования Фурье, например таких, которые приведены в этом
примечании, может приводить к появлению в различных теоремах и формулах
дополнительного коэффициента 2л.
13.1. Переход к интегралу Фурье
97
Рис. 13.3. х (t) = e~“^u (t).
Согласно (13.1.8), мы, таким образом, должны получить следую-
щую формулу интеграла Фурье
*(') = <"•'««) = j	(13.1.10)
—со
которую можно рассматривать в качестве представления х (t)
в виде «взвешенной» суммы комплексных экспонент. Справедли-
вость формулы (13.1.10) можно показать с помощью самых раз-
личных процедур вычисления этого интеграла (включая и контур-
ное интегрирование).
Поскольку X (/) является комплексной функцией, для ее гра-
фического описания необходимо строить два графика — отдельно
для действительной и отдельно для мнимой составляющих или
отдельно для амплитуды и отдельно для фазы, что и отражено
на рис. 13.4. Эти графики иллюстрируют свойство симметрии,
Рис. 13.4. Действительная и мнимая части, амплитуда и фаза выражения
(13.1.9). Частота, при которой | X (/) |2 = -у- | X (0) |2, называется частотой
половинной мощности. Обратите внимание на то, что для этой X (f) фазовый
угол —45° соответствует частоте половинной мощности.
4 Сиберт У. М., ч. 2
98 Глава 13. Преобразование Фурье н теорема Фурье
которое характерно для преобразования Фурье любой действи-
тельной функции х (t).
ПРИНЦИП СОПРЯЖЕННОЙ СИММЕТРИИ:
Если Im [х (/)] = 0 (т. е. если х (t) — действительная
функция), то тогда
X (/) = X* (-/).
(Сказанное означает, что Re [X (/) ] и |Х (/) | являются
четными функциями, тогда как Im [X (/) ] и arg X (/) —
нечетными.)
* * *
В примере 2.2.2 мы показали, что одностороннее ^-преобра-
зование функции e~atu (i) имеет вид: 1/($ + а). Функция X (/)
в том виде, в каком она получена выше, а именно в виде (13.1.9),
является ^-преобразованием, определенным вдоль оси /<о, т. е.
для s =	— j2nf. Из соотношения (13.1.7) ясно, что это резуль-
тат общего характера, гласящий: для любой временной функции,
значения которой равны нулю при t < 0, преобразование Фурье
представляет собой одностороннее S’-преобразование с s = /2л/.
И действительно, теперь мы начинаем понимать, почему ^-пре-
образование оказалось столь эффективным инструментом анализа
характеристик ЛИВ-систем. ^-преобразование входной времен-
ной функции х (/) измеряет «вклад» от e~si для каждого s, «содер-
жащийся в» х (t)\ умножая на системную функцию, определяем
«вклад» от каждого esl, «содержащийся» в выходной функции у (i).
Такая интерпретация S’-преобразования на более строгой основе
обсуждается в приложении Б к этой главе.
Пример 13.1.2
Пусть
1, —T<tcT,
О, при всех других t.
Рис. 13.5. Симметричный прямоугольный импульс и его преобразование.
Преобразование Фурье функции х (t) равно
Х(/) = J dt =—(13.1.11)
-Г	-T
13.1. Переход к интегралу Фурье
99
На рис. 13.5 изображены х (t) и X (/). На основе теоремы Фурье
можно записать
х(0 =	l> ~T<t<T,
J п'	I 0 , во все остальное время.
(13.1.12)
И снова справедливость этой формулы может быть показана с по-
мощью различных прямых вычислений.
Пример 13.1.3
Пусть х (t) =	как это изображено на рис. 13.6. Пре-
образование Фурье функции х (if) имеет следующий вид:
С sin 23x1^ t -jznft
J л? e
Совершенно ясно, что формально этот интеграл идентичен интег-
ралу обратного преобразования (13.1.12) в примере 13.1.2 (за
исключением замененной переменной). Следовательно, можно
предполагать, что
*(/) = {
1, —Г</<Г,
Л	(13.1.13)
О во всех остальных точках,
как это показано на рис. 13.6. В порядке контроля мы замечаем,
что обратное преобразование равно
со	W
x(t) = J X(f)ei2nftdf = J =
—co	-ir
что представляет собой нашу исходную функцию.
* * *
Симметрией соотношений между преобразованиями Фурье
часто можно воспользоваться таким путем. Формально имеет
место следующий принцип:
4*
100 Глава 13. Преобразование Фурье н теорема Фурье
ПРИНЦИП ДУАЛЬНОСТИ ВРЕМЕНИ И ЧАСТОТЫ:
Если X (/) является преобразованием Фурье х (/), то
х (—/) есть преобразование Фурье X (I). Доказательство
справедливости этого принципа можно получить сразу же
путем подходящей замены переменных в определяющих
интегралах. Мы можем также заметить, что приведенные
примеры служат иллюстрацией еще одного общего прин-
ципа:
ПРИНЦИП ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ СИММЕТРИИ:
а) Если х (t) ~ х (—t) (т. е. если х (t) — четная функция),
то
*(/) = * W).
Если х (I) является одновременно и четной, и действитель-
ной функцией, то X (/) также будет одновременно четной
и действительной.
б) Если х (t) = —х (—t) (т. е. если х (t) — нечетная функ-
ция), то
X (/) —X (-/).
Если х (t) является одновременно и нечетной, и действи-
тельной функцией, то в этом случае X (/) будет одновре-
менно нечетной и чисто мнимой.
Утверждения, обратные приведенным, также справедливы:
если X (/) обладает сформулированными свойствами, то х (I)
будет удовлетворять заданным условиям. И снова доказательство
вытекает из определяющих интегралов.
Пример 13.1.4
Рис. 13.7. Прямоугольный импульс н его преобразование.
Две формулы
X (0) = j X (0 dt, X (0) = J X (f) df
—co	—co
являются, конечно, просто частными случаями общих соотноше-
ний для преобразований Фурье, которые легко вычислять и ко-
торые весьма полезны для целей проверки. Рассмотрим, например,
13.1. Переход к интегралу Фурье
101
пару преобразований, полученных в примере 13.1.2 и изображен-
ных на рис. 13.7. Ясно, что
СО
j х (1) dt — 2Т
— со
— это значение, которое получается для X (0). (Обратите вни-
мание на то, что lim -------— можно вычислить по правилу
/—о п'
Лопиталя или же другим путем, вспомнив, что sin х ж х для
малых значений х. С другой стороны, мы, по-видимому, должны
получить следующий результат:
СО	со
\-^±-dx=~- f	= 1,
J	71X	J	л/ '
»—оо	—-co
который равен х (0). Действительно, считая теорему Фурье спра-
ведливой, мы получаем возможность вычислить этот определен-
ный интеграл (который использовался в упражнении 11.5.)
Рис. 13.8. Вычисление площади —--- с помощью построения \ —------dx -=
их	J ях
.—оо
__ а. 71	л
Ь а	Ь ’
_	„ ,	sin ах
Полезно заметить, что площадь под кривой функции ——
равняется вписанному треугольнику, который выделен штрихо-
вой на рис. 13.8. Все, что нам требуется знать для вычисления
постоянных в этих парах преобразований, — это формулы для
двух указанных площадей и то общее положение, что преобразо-
вание функции Ьх  является импульсом, а преобразование
,	„ sin ах
импульса — функцией ——.
* * *
Примеры 13.1.1, 13.1.2 и 13.1.3 иллюстрируют следующее
общее положение: один из двух интегралов в теореме Фурье
102 Глава 13. Преобразование Фурье н теорема Фурье
может быть вычислен легко, тогда как другой не является столь
простым. Прямая проверка теоремы в подобных случаях затрудни-
тельна. В следующем примере описывается один из немногих слу-
чаев, когда такая прямая проверка возможна.
Пример 13.1.5
Воспользовавшись основным определением (13.1.7), можно найти,
что преобразование Фурье гауссовской функции х (t) = е~п
имеет вид
СО
%(/)= J е"п (//т>*е-'2я" dt.	(13.1.14)
—со
Эта функция х (t) (как показано на рис. 13.9) стремится к нулю
столь быстро при |Z| -> оо, что интеграл безусловно существует.
Мы можем оценить его значение, начав оценку с известного ин-
теграла Х)
^e~ni’dt—l.	(13.1.15)
—со
Заменой переменной можно получить
р л(—V
4- т >dt = 1.	(13.1.16)
—со
х) Уравнение (13.1.15) можно получить, если учесть, что
' оо	\ 2 оо оо	со 2л
J e~nx,dx\ = _[ J e~ntx4^dxdy = j dr J d8re~nr‘ =
_ OO	/	—OO  OO	0	0
- -- j 2we~nr2 dr = j e~u du = 1,
о	0
где после второго знака равенства осуществляется переход к полярным коор-
динатам, а перед предпоследним знаком равенства используется замена пере-
менной и = пг2.
13.2. Теорема Фурье
103
Уравнение (13.1.16) сохраняет свою справедливость даже тогда,
когда а является комплексной величиной. Уравнение (13.1.14)
можно преобразовать к виду уравнения (13.1.16) путем дополне-
ния выражения в показателе степени до полного квадрата
Xtf)- f
-Л	&
—оэ
оэ
J е-я It/x+iftl1 _
•—СО
= те
(13.1.17)
которое и является искомым результатом. Поскольку X (/) и х (t)
имеют одну и ту же форму, интеграл обратного преобразования
(13.1.8) можно вычислить посредством точно такой же процедуры,
в результате которой получим
ОЭ
J X(f)e'2nltdf = е~п(</х}',	(13.1.18)
—со
что дает восстановленную исходную функцию х (t) и непосредст-
венно демонстрирует в данном конкретном случае справедливость
теоремы Фурье.
* * *
13.2.	Более строгие формулировки теоремы Фурье
Справедливость теоремы Фурье для функций, рассмотренных
в вышеприведенных примерах, можно доказать (иногда с извест-
ными трудностями) в каждом отдельном случае, применяя под-
ходящие специальные методы. При попытках сформулировать и
доказать теорему Фурье математически строго, так чтобы опа до-
пускала приложение к некоторому широкому классу функ-
ций х (/), нам придется преодолевать некоторую двойственную
проблему. С одной стороны, на «хвосты» х (I) должны быть нало-
жены соответствующие ограничения при |/| -> оо, при которых
интеграл с бесконечными пределами, определяющий функцию X (/),
существовал бы в некотором подходящем смысле; мы назовем это
глобальным условием. С другой стороны, функция х (/) не должна
быть «чересчур изменчивой», так как в противном случае
«хвосты» X (/) при f -> оо будут вести себя столь плохо, что ин-
теграл обратного преобразования будет иметь неприемлемое зна-
чение; мы назовем это локальным условием.
104 Глава 13. Преобразование Фурье н теорема Фурье
В первой, математически приемлемой формулировке теоремы
Фурье (предложенной Дирихле в 1829 г.) эта двойственная проб-
лема решалась путем введения двух ограничений:
а)	(Глобальное условие) Функция х (/) должна быть абсо-
лютно интегрируемой
СО
J | х (/)| dt < оо,
—со
б)	(Локальное условие) Ограничения функции х (/) за-
ключаются в конечном числе ее максимумов и минимумов,
а также конечном числе разрывов на каждом конечно.м
интервале 1).
Совместно условия (а) и (б) гарантируют, что X (/) существует
и что «хвосты» X (/) стремятся к нулю достаточно быстро, так что
IF
Значение синтезирующего интеграла, таким образом, не совпа-
даем в точности с х (t) и может равняться (для каждого г) среднему
от значений х (/), полученных путем приближения к точке t
справа и слева. Следовательно, интеграл обратного преобразова-
ния (13.1.8) при такой его интерпретации, как в (13.2.1), сходится
к значению х (t) в каждой точке, не имеющей разрыва, и к значе-
нию, равному среднему значению левостороннего и правосторон-
него пределов, в точке разрыва функции х (t).
С тех пор как была предложена формулировка Дирихле, по-
явилось много вариантов теоремы Фурье, отличающихся усло-
виями, налагаемыми на х (/), и способами интерпретации интегра-
лов с бесконечными пределами. Однако большинство этих форму-
лировок (включая и формулировку Дирихле) в определенном
отношении неудовлетворительны в качестве основы для анализа
ЛИВ-систем, поскольку в них делается попытка описать и х (I)
и X (/') как обычные функции, в результате чего из числа возмож-
ных составляющих функции х (t) исключаются не только син-
гулярные функции, но и такие нормально ведущие себя и важные
временные функции, как sin t и и (/) (преобразования которых,
как мы это увидим, содержат сингулярные функции частоты).
Более того, многие из этих формулировок (подобно формулировке
Дирихле) отличаются таким недостатком, как отсутствие симме-
ri Простейшим примером функции, которая не удовлетворяет условию (б),
возможно, является sin (Т/Ц вблизи t= 0. Ознакомиться с доказательством
теоремы Фурье, предложенным Дирихле, можно, например, в книге: Е. Титч-
Mapiu, Введение в теорию интегралов Фурье.—И.—Л.: ГИТТЛ, 1948.
13.2. Теорема Фурье
105
трии в том смысле, что математические свойства, требуемые от х (t)
и X (/), могут довольно сильно отличаться друг от друга.
Для наших конкретных целей наиболее полезной формой тео-
ремы Фурье будет такая, в которой как временные функции, так
и их преобразования определены в смысле того, «что они делают»,
а не того, «чем они являются», т. е. как обобщенные функции,
которые были охарактеризованы в гл. 11. При такой формулировке
приемлемыми оказываются неисчезающие при р| -► оо такие
временные функции, как sin t и u (t), и даже временные функции,
которые растут со временем также быстро, как любая конечная
степень t при | ^ | —»- сэо; их преобразования Фурье содержат им-
пульсы или сингулярные функции высоких порядков в частот-
ной области. И обратно, сингулярным функциям во временной
области соответствуют преобразования, которые могут расти
столь же быстро при |/| -> сю, как любая конечная степень f.
Свойства временных функций и их преобразований при такой
форме теоремы точно дуальны; и теорема в этом случае полностью
симметрична. Нестрого сформулированная х) теорема Фурье
в этой интерпретации утверждает, что временная функция, со-
держащая сингулярные функции и растущая не быстрее, чем не-
которая степень t (однако медленнее, чем растет экспонента),
имеет единственное преобразование (которое в свою очередь
может иметь в своем составе сингулярные функции и расти столь же
быстро, как степень /), из которого можно единственным образом
восстановить исходную обобщенную временную функцию. Фор-
мулы прямого и обратного интегралов могут использоваться для
анализа и синтеза при условии, что значения несобственных
интегралов интерпретируются в смысле того, что они «делают»,
т. е. по эффекту внутри интегралов, где осуществляется умноже-
ние на тестирующие функции, как в гл. 11.
К сожалению, исчерпывающее изложение теории преобразо-
ваний Фурье обобщенных функций представляет собой более слож-
ную задачу, которая выходит за пределы скромных возможностей
такой книги вводного характера, как наша (см. ссылки на литера-
туру, приведенные в гл. 11). К счастью, важнейшей задачей такой
теории является строгое обоснование возможности выполнения
Ч Более точная формулировка условия, которому должна удовлетворять
функция х (/), чтобы иметь преобразование Фурье в смысле обобщенных функ-
ОО
ций, заключается в том, что интеграл j х (t) Ф (t) dt должен быть хорошо опре-
делен для любой функции Ф ('), которая характеризуется бесконечной диффе-
ренцируемостью и стремится к нулю при I быстрее, чем любая степень t.
В таком случае функция X (f) будет удовлетворять тому же условию в час-
тотной области.
106 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
для рассматриваемого нами класса функций целого ряда формаль-
ных операций (таких, как интегрирование по частям, изменение
порядка интегрирования, почленное дифференцирование ряда,
а также изменение порядка выполнения операций и процедур
предельных переходов), что мы готовы беззаботно принять без
всяких доказательств. Научиться корректно и последовательно
манипулировать обобщенными функциями и их преобразованиями,
а также использовать полученные результаты для понимания
функционирования важных практических систем и их проектиро-
вания будет не столь трудно; именно к этой задаче мы сейчас пе-
рейдем. Строгие обоснования вас ожидают в последующих кур-
сах.
13.3.	Примеры применения теоремы Фурье;
сингулярные функции
Пример 13.3.1
Рассмотрим х (t) = б (/). Формально преобразование Фурье этой
функции не представляет трудностей:
со	со
Х(/) = J x(t)e~i2nUdt = J 6(/)e~/wA = 1.
Однако обратное преобразование приводит к несобственному
интегралу
со	со
J X(f)e!21lfidf = J el21ift df.
—со	—со
Если теорема Фурье при этих условиях сохраняет свою справед-
ливость (а мы выше утверждали, что это именно так), то необхо-
димо примириться с тем фактом, что
со
J e’2!t,tdf = б(/)!
со
Мы по существу можем легко показать, что интеграл J e'2nf(df
«ведет» себя как импульс 6 (/), путем введения его в подынтеграль-
ное выражение другого интеграла
е/2я" df

13.3. Применения теоремы Фурье
107
где ф (/) является некоторой произвольной регулярной (хорошо
ведущей себя) временной функцией (например, непрерывной
при t—0 и имеющей полностью определенное преобразование
Фурье). Изменяя порядок интегрирования, получим
У ф(()е/2^^ df =	<&(—f)df,
где Ф (/) представляет собой преобразование Фурье ф (t). Однако
из теоремы Фурье мы сразу же найдем
со	со
У ф(-м = у Фаи = <ио).
—со	—со
со
Таким образом, j е’2п^ df как временная функция «ведет»
—со
себя подобно импульсу в момент t = 0.
* * *
Пример 13.3.2
Смысл формального выражения
СО
J el2nft df = 6(0
—со
можно проиллюстрировать различными способами:
а)	Воспользовавшись формулой Эйлера
е/2я?/ = cos 2nft 4- j sin 2nft,
мы можем представить себе приведенный выше интеграл в виде
суммы большого числа синусоид и косинусоид различных частот.
Как легко заметить, обратившись к рис. 13.10, нельзя считать
неразумным предположение, согласно которому в любой момент
Рис. 13.10. Интерпретация интеграла
Синусные члены
j e™‘df.
108 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
I, отличный от t = 0, число положительных составляющих будет
равно числу отрицательных и, следовательно, их вклады могут
привести к разрушительной интерференции или полной взаимной
компенсации. При t = 0, однако, все косинусоидальные состав-
ляющие равны + 1; их вклады суммируются, создавая в начале
координат бесконечно большой пик.
б)	Рассмотрим последовательность функций, стремящихся
в пределе к 6 (t), подобную обсуждавшейся в упражнении 11.5.
Например, возьмем последовательность гауссовских функций
(/) = пе ,
причем в пределе п оо. По-видимому, целесообразно предпо-
ложить, что последовательность соответствующих преобразований
ЕЛ) = J
будет в определенном смысле т) стремиться в пределе к преобра-
зованию б (I). Ясно, что, как и ожидается,
Ит ^n(f) = 1-
Последовательности (t) и 3„(f) показаны на рис. 13.11. Дру-
гие последовательности, стремящиеся в пределе к импульсу,
Рис. 13.11. Последовательности (?) и (/)•
*) В обычном смысле никак нельзя считать справедливым утверждение, что
если пределом некоторой последовательности функций хп (Q является х (t),
то последовательность их преобразований Хп (/) обязательно сходится к преоб-
разованию предельной функции х (t). Рассмотрим, например, хп (t) = —
которая равномерно сходится к х (/) -- 0 при п -> оо. Из примера 13.1.1 следует,
что последовательность преобразований имеет вид Хп (/) = 1/(1 + j2nnf) и
сходится к пределу
HmXn (/) = (*’ ^°рО = Х(/).
п~>со	I, U, / =7= U )
Ясно, однако, что в этом случае (справедливость утверждения можно показать
и для общего случая) локальные средние Хп (/) сходятся к локальному сред-
нему X (/). Если мы определим наши функции тем, что они «делают», то в таком
случае из lim хп (1) = х (?) последует lim Хп (/) — X (f).
13.3. Применения теоремы Фурье
109
дают идентичные результаты. К их числу относятся, например,
последовательности на основе прямоугольных импульсов или
функций типа sin tit, преобразования которых были получены
в примерах 13.1.2 и 13.1.3 1).
Пример 13.3.3
В примере 13.3.1 мы пришли к паре преобразований Фурье
х (i) = 6 (1)<=>Х (f) = 1.	(13.3.1)
Исходя из принципа симметрии определяющих интегралов, или
принципа дуальности, должна существовать еще одна пара
х (t) = 1<=>Х (/) = 6 (/),	(13.3.2)
т. е. постоянному току
х (/)==,!, — оо < t < оо,
соответствует импульс в частотной области с f = 0. Другими сло-
вами, единственной частотной составляющей х (/) является состав-
ляющая при f = 0, так что
x(t) = ?2я" = 1.
В этом случае возникают трудности вычисления интеграла, соот-
ветствующего процедуре анализа,
СО
X (/) = J к~/2я?' dt,
—со
тогда как синтезирующий интеграл
СО
х(0 = j §(f)e'2nfl df = е'2п!‘ | = 1
—co	f=0
вычислить проще.
* * *
Пример 13.3.4
Метод, который был проиллюстрирован в примере 13.3.2(6),
предназначен для исследования поведения последовательностей
функций и их преобразований Фурье при предельном переходе.
Он является эффективным и тогда, когда в состав этих функций
входят сингулярные компоненты того или иного рода, подобные
*) Такие последовательности получили название дельтообразных, их все-
стороннее рассмотрение содержится в книге: И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов,
Обобщенные функции и действия над ними. — М.: ГИФМЛ, 1959, § 2, с. 52. —
Прим. ред.
110 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
рассмотренным. В качестве еще одного примера исследуем пре-
образование Фурье единичной ступенчатой функции х (t) = и (/).
Ясно, что прямой подход ведет к несобственному интегралу
СО	СО
X (f) = У «(0 e~'2nfi = $ e~'2nft dt.
— co	0
Смысл этого выражения можно прояснить, как и в примере 13.3.1,
исследовав, что эта функция «делает» внутри интеграла. Однако
в данном случае полезнее рассмотреть преобразования последо-
вательности таких функций, как
|п (0 = e~t,n и (/),
которая стремится к х (t) — и (t) при п оо.
Действуя формально, запишем преобразование Фурье для
(t) (из примера 13.1.1) в следующем виде:
S" = (1/п) + flnf •
В пределе, когда п -> оо, Sn (f), как видно, стремится к l/(/2nf).
Однако нам целесообразно продвигаться более осмотрительно;
так как мы столкнулись с несобственным интегралом при попытке
определить преобразование и (t) в лоб, можно подозревать, что
в исходной функции присутствуют сингулярные составляющие.
Кроме того, функция 1/(/2л/) не может быть полным преобразова-
нием Фурье для и (if): будучи нечетной, чисто мнимой функцией
частоты, она должна соответствовать (на основе принципа нечет-
ной симметрии из примера 13.1.2) нечетной, чисто действительной
временной функции, тогда как функция и (t) является действи-
тельной, но при этом не относится ни к четным, ни к нечетным.
Следовательно, правильное преобразование и (t) должно иметь
ненулевые действительную и мнимую части.
Ключевым в процессе определения преобразования Фурье для
и (t) является то, что lim Sn (/) = 0 для всех частот f, кроме
л-* со
f = 0, Действительно, в случае / = 0 функция Sn (/) = п,
являющаяся вещественной, принимает произвольно большое зна-
чение при п со. Это наводит на мысль, что Re [Sn (f) ] может
содержать в качестве составляющей сингулярную функцию на
частоте f — 0 при п -> со. Записывая Sn (/) в виде выражения,
содержащего действительную и мнимую составляющие, мы полу-
чим
g (fx___________________j 2я^
+ I (l/n)» + (W '
При n co мнимая часть стремится к 1/(/2л/), однако действи-
тельная часть представляет собой последовательность функций,
13.3. Применения теоремы Фурье
111
стремящихся в пределе к импульсу с площадью 1/2. Это легко
показать, поскольку мы можем записать следующее выражение:
Re[Sn(f)] = -f G(nf),
где G (f) — абсолютно интегрируемая функция
о
| nG(nf)
Большое л
Рис. 13.12. Последовательность nG (nf).
Малое л
Последовательность nG (nf) графически представлена на рис. 13.12.
Площадь под кривой G (f) равна единице:
J G(f)df = 1,
что можно доказать различными способами (см., например, за-
дачу 13.6). Следовательно, nG (nf) ведет себя в частотной области
как единичный импульс г).
lim nG (nf) = 6(f).
П-*со
Таким образом, мы получаем полное преобразование Фурье для
единичной ступенчатой функции в виде
(и(1)е-'г”"л=4-б(п+^.
*) То, что lim nG (nt) = б (t), было по существу известно Коши (действи-
П->аэ
тельно, G (t) иногда называют в его честь функцией Коши) и использовалось
как им самим, так и Пуассоном для вывода теоремы Фурье в следующей форме:
lim
e~\f\/nej2nft X(l)e~i2nfxdl df =
= lim ( x (т) nG [n (t — t)] di x (t).
[См. задачу 13.6 и книгу: В. Van der Pol and H. Bremmer, Operational Calculus
(Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1950), p. 63.]
112 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
Графически оно воспроизведено на рис. 13.13.
Рис. 13.13. Преобразование и (f).
Как мы уже видели в примере 13.3.1, преобразование -^-6 (/)
соответствует временной функции (/), показанной на рис. 13.14,
т. е. при всех значениях времени соответствует постоянной вели-
чине, равной 1/2. Следовательно (что также показано на рис. 13.14),

4*2^1 = ysgn/
1/2
----------► / -
- -1/2
х(Г) = и(/)
Рис. 13.14. Построение и (/) нз четной и нечетной компонент.
вторая чисто мнимая составляющая в преобразовании и (/), т. е.
1/(/2л/), должна быть преобразованием временной функции
x2(t) = sgn / =
1
2 ’
1
2 ’
t>0,
ко.
(13.3.4)
Мы с удовлетворением можем заметить, что-j-sgn/— это не-
четная действительная функция времени, соответствующая не-
четному, чисто мнимому преобразованию 1/(/2л/).
♦ ♦ ♦
13.4.	Свойство свертки в преобразованиях Фурье
Наш первоначальный интерес к преобразованию Фурье возник,
когда мы нашли, что ехр (/2л//) — это собственная функция
устойчивой ЛИВ-системы, т. е. если входное воздействие при
некоторой фиксированной частоте / имеет вид
х (/) — е12л,), —oo<Zt<Z°o,
13.4. Свойство свертки в преобразованиях Фурье
113
то ее выход равен
y(f} = H (/) el2nfl, — оо <ct <Z°°-
Здесь мы узнаем выражение (12.2.9), определяющее частотную
характеристику системы Н (/) и являющееся преобразованием
Фурье импульсной характеристики
Я(/)= J h(t)e~i2n,idt.
— 00
Если, кроме того, мы можем описать некоторое другое входное
воздействие как взвешенную сумму собственных функций
Х(О= J X(f)el2n,idf,
— 03
то системная реакция также будет иметь вид взвешенной суммы
собственных функций
СО
y(t)= J X (f) Н (f) el2nfi df.
—оз
Следовательно, преобразование Фурье выхода Y (f) связано с пре-
образованием Фурье входного воздействия следующим соотно-
шением:
Y (/) = X (f) Н (/).
Поскольку мы также можем связать выход с входным воздействием
соотношением
у (0 = х (0 * h (О,
предшествующий вывод позволяет прийти к общему свойству пре-
образования Фурье:
СВОЙСТВО СВЕРТКИ;
Преобразование Фурье свертки двух функций w (t) * v (/)
является произведением их преобразований Фурье, т. е.
™ (0 * V (0 <=> w (/) v (J).
Условия, приведенные в гл. 10, являются достаточными, но
не необходимыми для полного определения свертки. Если не
требовать строгой формулировки, то можно сказать, что свой-
ство свертки справедливо во всех тех случаях, когда произве-
дение преобразований полностью определено. Под этим мы под-
разумеваем, например, что произведение преобразований не
содержит произведений таких сингулярных функций, как б (/) х
X и (f) или б® (/), которые не имеют удовлетворительного содер-
114 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
жания (на что уже обращалось внимание в гл. И). Следовательно,
методы Фурье могут быть распространены на такие не строго
устойчивые системы, как цепи без потерь, идеализированные
дифференцирующие схемы и интеграторы (действительно, инте-
граторы высоких порядков характеризуются импульсными ха-
рактеристиками типа tnu (t), которые неограниченно растут).
Следует отметить, что такие системы, даже если бы они действи-
тельно существовали, едва ли могли быть чем-то полезными,
поскольку появление на их входах небольших переходных воз-
мущений, обусловленных тепловым возбуждением, влияние не-
сбалансированных смещений, наличие небольших нелинейностей
и т. п., были бы способны вызывать большие неуправляемые
выходные составляющие. Однако в качестве идеализированных
аналитических аппроксимаций реальных систем они исключи-
тельно полезны.
Дуальным свойству свертки является свойство произведения:
СВОЙСТВО ПРОИЗВЕДЕНИЙ:
Преобразование Фурье произведения двух функций
w (t) v (t) является сверткой их преобразований Фурье,
т. е.
(f) * V (f).
Это также очень важная теорема, в чем мы убедимся на многочис-
ленных иллюстративных примерах в последующих главах. Свертка
двух функций частоты определяется точно таким же образом, как
и свертка двух временных функций:
= J W(v)V(f~v)dv = J W (f - v) V (v) dv.
—co	₽-co
Еще одну важную формулу можно получить как частный слу-
чай приведенных выше теорем. Пусть
w(t) = x (/) W (f) = X (f),
v (О = У* (i + т) <=> V (/) = Y* (— f) е'2лН
(где мы предположили возможность того, что функции х (/) и
у (/) в приложениях формул могут быть комплексными и где
мы использовали свойство временной задержки из табл. 13.2
приложения А к этой главе). Применив сформулированное выше
свойство произведения, найдем, что преобразование произведения
w (/) v (f) имеет вид
j х (t) у* (t + т) e~i,2n!t dt = j X (f — v) Y* (—v) е/2яот dv,
—co	—co
13.4. Свойство свертки в преобразованиях Фурье
115
или, после замены переменных р = — V,
(13.4.1)
Это последнее выражение мы будем часто с успехом использовать.
В частном случае f = т = 0 и у (t) = х (t) будем 'иметь
со	со
J [x(t)\2dt = J [X(f)[2df,
‘—со	—со
(13.4.2)
которое обычно называют теоремой Парсеваля (хотя в действи-
тельности Парсеваль сформулировал только аналогичную теорему
для рядов Фурье, приведенную в разд. 12.5; ее распространение
на случай интегралов Фурье, по-видимому, принадлежит Релею).
со
Величину интеграла j | х (t) |2 dt часто называют энергией х (t).
—со
(Конечно, если функция х (() является напряжением или током,
со
интеграл j | х (t) |2 dt не будет иметь в принципе размерности
физической энергии, однако термин этот тем не менее удобен и
считается принятым.) Соответственно | X (/) (2 называется энерге-
тическим спектром х (t). Теорему Парсеваля можно, следовательно,
интерпретировать как утверждение того, что полная энергия сиг-
нала равна сумме энергий всех его частотных составляющих.
Как будет показано в приложении к гл. 14, этот вывод имеет весьма
интересную векторную интерпретацию.
Пример 13.4.1
Теорема Парсеваля в форме (13.4.2) не приложима к сигналам,
состоящим из дискретной суммы одной или нескольких синусоид
различных частот, определенных на интервале — оо < t < оо.
Оба интеграла в (13.4.2) являются в данном случае бесконечными.
Временной интеграл неограничен, так как амплитуда функции
[х(/)|2 не убывает при неограниченном изменении времени. На
бесконечном временном интервале энергия синусоиды бесконечна.
Преобразование суммы синусоид представляет собой набор им-
пульсов; интеграл в частотной области неограничен, поскольку
содержит прямоугольники импульсов.
116
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
Однако средняя мощность суммы синусоид — конечная вели-
чина именно в смысле того, что мы ввели вариант теоремы Пар-
севаля в гл. 12 для периодических функций и рядов Фурье. Так,
в общем случае, если
м
х (I) — £ X[m]e’2nfmi,	(13.4.3)
т——М
ТО
Т	М
<Х2(Ф = lim 4-	= 2 |X[m]|2.	(13.4.4)
Т->оэ -Т	m—-M
Это выражение, как уже было показано, сохраняет свою справед-
ливость вне зависимости от того, являются ли частоты fm крат-
ными основной частоте, как это имеет место в случае рядов Фурье,
представляющих периодические функции, или нет. Между про-
чим, если частоты не связаны между собой гармонически, функ-
ция х (t), как и в случае (13.4.3), является почти периодической
в том смысле, что спустя достаточно длительное время все экспо-
ненциальные члены в (13.4.3) могут одновременно сделаться
сколь угодно близкими к единице, значение которой все эти
составляющие имеют при t = 0, так что х (t) почти повторяется
с каждым таким периодом.
* * *
Пример 13.4.2
В качестве последнего примера проиллюстрируем важное прило-
жение теоремы Парсеваля. Предположим, что сигнал х (t) должен
быть передан через фильтр с ограниченной полосой пропускания,
для которого Н (/) = 0, за исключением ограниченной полосы
частот. Попытаемся определить, какова должна быть форма
Н (f) в пределах этого диапазона, чтобы обеспечивалась мини-
мизация интегральной квадратической ошибки между выходом
и входом
со
& = j I х (/) — i/(/)|2 dt.
— со
Естественно ожидать, что повышением коэффициента передачи
вблизи края полосы пропускания можно компенсировать в неко-
торой степени те частотные составляющие, которые подавляются
фильтром, непосредственно за границей этой полосы или же,
напротив, плавным переходом от полосы пропускания к полосе
режекции снизить ошибку (например, путем устранения выброса
в точке разрыва х (/), что, как мы покажем в гл. 16, достигается
13.5. Выводы
117
введением резкой границы перехода в Н (f)). Каждое из этих
предположений может оказаться правильным в случае некоторых
категорий сигналов и критериев ошибки. Однако, как мы теперь
докажем, для минимизации интегральной квадратической ошибки
необходимо выбирать И (f) = 1 в полосе пропускания фильтра,
так что функция У (/) во всех случаях, когда это возможно, должна
быть идентичной с X (/).
Этот результат легко доказать с помощью теоремы Парсеваля.
Предположим для конкретности, что мы выбрали полосу про-
пускания фильтра — W < f < W, хотя с таким же успехом
могли выбрать любой другой интервал или комбинацию интер-
валов. Другими словами, мы требуем, чтобы У (f) = 0 для всех
| f | > W. Затем мы попытаемся найти такую функцию У (/)
в полосе частот | / | < W, которая позволит сделать у (/) наилуч-
шей аппроксимацией х (/) в смысле минимизации интегральной
квадратической ошибки. Поскольку ввиду линейности временной
функции х (t) — у (/) ее преобразование Фурье имеет вид X (/) —
— У (/), теорема Парсеваля позволяет записать
СО
S = J I X (f) - У (f) [2df = .
—со
= f |X(/)-rc)N/+ J
| fl > w
где использовано условие У (/) = 0 при | f | > W. На величину
второго интеграла в вышеприведенном выражении нельзя по-
влиять никаким выбором У (/) и следует обратить внимание на то,
что оба этих интеграла положительные. Таким образом, наимень-
шее значение S можно получить, если задать У (/) = X (f) для
|/| < W, что превращает первый интеграл в нуль. Но это как
раз то, что мы хотели показать. В приложении к гл. 14 мы про-
демонстрируем, что свойство минимизации квадратической ошибки
ни в коем случае не является свойством одних лишь интегралов
Фурье, а характерно для любых ортогональных разложений,
среди которых ряды и интегралы Фурье представляют собой лишь
наиболее известные примеры.
13.5. Выводы
В пределе, когда период становится очень большим, представ-
ление периодической функции рядом Фурье переходит в представ-
ление апериодической функции интегралом Фурье
со
= J X (f) e,2nfi df.	(13.5.1)
118
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
Уравнение (13.5.1) описывает функцию х (0 как «сумму»
собственных функций вида е>'2т11* с «весами», задаваемыми преоб-
разованием Фурье
СО
X(f)= J x(t)e42nft dt.
—со
(13.5.2)
Представление (13.5.1) через X (/), определяемое выражением
(13.5.2), справедливо при условии, если х (0 задана опера-
ционно (по тому, .что она «делает»), и при условии, если х (0
растет не быстрее, чем конечная степень | 11. Это примеры условий
локальной гладкости и условий глобальной интегрируемости,
которые должны входить в любую строгую формулировку теоремы
Фурье.
Основная часть этой главы содержит ряд примеров, иллюстри-
рующих важные результаты применения преобразования Фурье
и их свойства. Сводка результатов приводится в приложении А
к данной главе.
ПРИЛОЖЕНИЕ А К ГЛАВЕ 13
Таблицы преобразований Фурье и их свойств
В большинстве приложений методов Фурье не приходится непосредственно стал-
киваться с теми фундаментальными манипуляциями, которыми мы занимались
в данной главе. Более распространенная процедура связана с получением пря-
мых и обратных преобразований путем использования одного или нескольких
таких инструментов, ^ак 8—-10 базовых теорем и свойств, применительно к одной
или нескольким парам преобразований, общее число которых составляет при-
мерно дюжину. В табл. 13.1 приводятся некоторые из наиболее полезных функций
и их преобразований Фурье; значительно более обширные таблицы были состав-
лены Кемпбеллом и Фостером, Эр дели и рядом других авторов *). Многие из пар,
которые вы найдете в табл. 13.1 были получены ранее в данной главе в качестве
примеров. Большинство же других пар обсуждается в упражнениях и задачах
или являются тривиальными следствиями других пар таблицы.
В табл. 13.2 приведен перечень наиболее важных свойств, теорем и формул,
относящихся к интегралам Фурье. Некоторые из них уже были нами рассмотрены.
Другие можно легко получить из приведенных определяющих интегралов с по-
мощью соответствующих операций. Доказательство их справедливости предо-
ставляется читателю в качестве упражнений и задач.
0 G. A. Campbell and R. М. Foster, Fourier Integrals for Practical Applica-
tions (New York, NY: Van Nostrand, 1948); В. Магнус, Ф. Оберхеттингер,
Ф. Трикоми, Таблицы интегральных преобразований. Т. 1, 1969, т. 2, 1970. —
М.: Наука.
Приложение А к главе 13
119
	Таблица 13.1 Краткая х(0 = J X (f) e/23lft df — CD
а)	8(0	<=>
б)	1
в)	е-Л (//T)«
г)	e~at и (/)
д)	u(t) /4 f i, t>o
е)	se” W=U «0 **
ж)	1 nt	*'=’”
а)	e-a 1 t 1
и)	ei2nfet
к)	sin 2nf0t	<=>
л)	cos 2n/0l
м)	g!21tfat u
Н)	sin 2nfQt и (t)	<=>
о)	cos 2nfQt и (/)
п)	8(0
р)	te~atu(t), a>0
С)	t
	fl
т)	_J	
	-T	T !
5лица преобразований Фурье
СО
X (/) = J х (f) е-1'231^ dt
—со
1
8(0
та"" <^>2
1
<z + j2nf ’ а
_8L + _L
2 ~ /2л/
1
/л/
—/ sgn /
2а
а2 + (2л/)2
8 (/ — /о)
8(/-/о)-6(/ + /о)
2/
8 (/ — /о) + 8 (/ + А>)
2
8 (/-/о) , 1 Г 1	1
2	/2л L / — /0 J
8(/~/о)-6(/ + /о) , 1 Г /о 1
4/	2л LO-OJ
б(/~/о) + 8(/ + /о)	1 Г	/ I
4	^/2л[/2-/^
j2nf
1
(а + /2л/)2
/8 (/)
2л
2т‘1 I sin2r^r
f\ ~гт trf
со
ф) 2 8(/~лГ)
п=—-со
120
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
Таблица 13.2. Свойства преобразования Фурье
	х(0 = J Х(()е>2^ df —со	X (/) = j x (0 e~>23lft dt —ca
Сопряженная сим-	Im [х (01 = 0	x (0 = x* (-0
метрия	(т. е. х (0 действительна)	(t. e. Re [X(/)] = = Re [X (—/)!, Im [X (/)]=—Im[X (—/)])
Четная симметрия	х (0 = х (-0	X (/) = X (-0
Нечетная симметрия	х (0 = -X (-0	X {f} = -x (_л
Линейность	а%! (0 + Ьх2 (0	aXi (0 + bX2 (0
Дуальность	Х(0	x(—/)
Изменение масштаба	х(д0	*<//»)
Временная задержка	х (t - 0)	е-/2"Л%Х (/)
Умножение на		
Дифференцирование	dx (0 dt	/WX (/)
Умножение иа t	ix(t)	1 dx (0 -/2л df
Свертка	J w (t) v (t — x) dx — CO	W (0 V (0
Произведение	w (0 v (0	j W (v) V (f — v) dv —CO
Интегрирование Другие формулы:	t J x (O dx —co co	Х(П , ^(О)Д(Л /2л/ 1	2 CO
X СО	(0)== j x(t)dt-, x(0) = —co co	J X (0 df —co
J|х —со со	(01® dt = j | X (01® df (Теорема Парсеваля) •—co co	
J х (t) у* (t + т) e-'№vtdi = J X (f + V) Y* (/) е-'2я?х df
Приложение Б к главе 13
121
ПРИЛОЖЕНИЕ Б К ГЛАВЕ 13
Двустороннее преобразование Лапласа
Варианты теоремы Фурье, которые обсуждались до настоящего момента, все
еще исключают важный и полезный класс временных функций, а именно те из
них, которые изменяются экспоненциально при /~>-оо или /-*—оо. Типич-
ными примерами таких функций являются х (t) = e~at, —со</<со, или
х (t) = e~atu (t), а > 0. Эти функции часто оказывается возможным преобразо-
вать по Фурье при условии, что первоначально они умножаются иа экспонен-
циальную функцию, обеспечивающую их сходимость. Так, например, функция
(/) = e~Q,,teatu (t) удовлетворяет одновременно и условиям Дирихле, и
условиям, налагаемым иа обобщенные функции, при любом о0 > а. Преобразо-
вание Фурье функции
ОО	со
J [е~а°'х (0] е"/2я^ dt = j eate~ * dt =
*—со	О
1
— Оо + /2л/ — а ’ °0 > а-
Следовательно, исходя из теоремы Фурье, можно написать
СО
(0 = С -------—~df,
' ' J о0 + /2л/ — а
— со
или, умножая обе части предыдущего уравнения на найдем
СО
х (/) = eat u(t) = f ----------------e(72’^+a»> ‘ df.
J «о + /2л/ — a	'
Обратите внимание на то, что полученная формула представляет х (/) как «сумму»
взвешенных est, где значения s выбираются из области на s-плоскости справа
от прямой Re [s] = а, т. е. в область не входит ось /со, если а > 0. Однако
если эта область s-плоскости перекрывается с областью сходимости для систем-
ной функции, на вход которой подается х (t) (например, это будет выполняться
для х (/) всегда, когда система каузальна), то тогда можно применить общую
схему для частотной области, предложенную в начале гл. 12.
Чтобы обобщить полученный результат, предположим, что e~atх (/) есть
функция, имеющая преобразование Фурье в некотором диапазоне значений О;
как правило, этот диапазон будет представлять собой полосу, ср о <' о2-
Определим двустороннее преобразование Лапласа
A'(s) — j x(t)estdt, o1<Re[s]<a2,
(13.Б.1)
где s = о + /2л/ и X (s) рассматривается как преобразование Фурье Jj (в частот-
1) Обратите внимание иа то, что мы вернулись к прежнему смыслу обозна-
чения X ( ) с коэффициентом /2л, включаемым в аргумент, отказавшись от при-
меняющегося в последних разделах обозначения X (/). В литературе, посвя-
щенной преобразованиям Лапласа, как односторонним, так и двусторонним,
этот выбор обычен и определяется соображениями удобства.
122 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
ном диапазоне) функции е~°‘х (t) для < о < о3. В этом случае, согласно
теореме Фурье, функция х (t) имеет следующее представление по Лапласу:
СО
х (t) = | X (s) est ds, s = a	< Re [s] < a2.
—co
Большее распространение получила запись этого выражения в форме криволи-
нейного, нли контурного, интеграла комплексной переменной s
*(0~p(s)^s.
С
(13.Б.2)
где С обозначает контур, изображенный на рис. 13.15 и лежащий в пределах
полосы сходимости функции X (s).
Рис. 13.15. Контур для представления посредством интеграла Лапласа.
С практической точки зрения двустороннее преобразование Лапласа отра-
жает всю мощь подхода, использующего частотную область:
а)	Если область сходимости системной функции Н (s) (которую теперь мы
идентифицируем как двустороннее преобразование Лапласа функции h (t)) пере-
крывается с областью сходимости X (s), то в ответ на входное воздействие est,
—оо < t< оо, при значениях s, лежащих в зоне перекрытия, будет возникать
выходная реакция H(s)est, —оо</<оо. Полная выходная реакция будет
иметь вид
= eStds
С
при
У (s)= X(s)tf(s).
б)	Если система является каузальной и х (t) = 0, i< 0, то в этом случае
области сходимости И (s) и X (s) находятся в правой полуплоскости и должны
перекрываться; зона перекрытия находится справа от крайнего правого по-
лиса X (s) или H(s). Описанная выше процедура тогда становится идентичной
с процедурой получения РНС с помощью одностороннего преобразования Лап-
ласа, уже изложенной нами ранее, однако теперь увиденной в новом свете —
не просто как мощное средство операционного исчисления, а скорее как резуль-
тат использования est, как собственной функции, а также представления сигна-
лов по методу Фурье в виде суммы синусоид. Тем ие менее, несмотря иа изя-
щество и универсальность двустороннего преобразования Лапласа, мы в данной
книге больше уже ие будем заниматься его свойствами. Возможности двусто-
роннего преобразования Лапласа во всей их полноте используются редко; боль-
шинство задач при расчетах цепей или в области приложений управляемых си-
стем, например, можно с успехом решить в рамках более ограиичеииой области,
Упражнения к главе 13
123
охватываемой односторонним преобразованием Лапласа -1). Кроме того, нужно
отметить, что эффективность двустороннего преобразования Лапласа существенно
зависит от выполнения такого условия, как наличие области сходимости нену-
левой ширины. Только при этом условии могут быть полностью использованы
отличающиеся изяществом методы теории функций комплексного переменного
(например, интегрирование по контуру). С непрерывными синусоидами, функ-
цией sin tit и другими функциями, существующими в диапазоне —со -< t < оо,
которые постоянно появляются в задачах теории связи и имеют нулевую ширину
области сходимости, лучше справляться с помощью преобразований Фурье,
что мы и проиллюстрируем в следующих главах.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 13
Упражнение 13.1
а) Покажите с помощью контрпримера, что, как правило, из того факта,
что X (f) является преобразованием временной функции х (t) (возможно ком-
плексной), вовсе не следует, что Re (X(f)] представляет собой преобразование
Re [х (0 1-
б) Постройте, однако, конкретный пример комплексной временной функции
х (/) с преобразованием X ([), для которой Re [Х(/)1 действительно представ-
ляет собой преобразование Re [х (/) ].
Упражнение 13.2
Гауссовская функция e~nt‘ из примера 13.1.5 является примером временной
функции, преобразование которой е~п^‘ имеет точно такую же функциональную
форму; так, гауссовский импульс «является своим собственным преобразованием
Фурье». Продемонстрируйте, что это свойство нельзя считать исключительно
свойством гауссовской функции, доказав, что если х (/) представляет собой про-
извольную четную (возможно, комплексную) временную функцию с преобразо-
ванием Фурье X (j), то в этом случае временная функция х (1) -ф X (t) является
своим собственным преобразованием Фурье J). Этот результат проиллюстрируйте
примером.
Упражнение 13.3
Покажите, что фазовая характеристика преобразования Фурье Н ф) функции
h (t) (рис. 13.16) имеет вид arg// (f) =—j2nf. (Совет. Используйте свойство сим-
метрии.)
Рис. 13.16.
:) Двустороннее преобразование, однако, оказывается исключительно эф-
фективным инструментом для решения некоторых краевых задач, которые воз-
никают, например, при изучении электромагнитных полей.
2) Такие функции в теории преобразования Фурье получили название «функ-
ции, двойственные себе», что достаточно полно изложено в книге: Е. Титчмарш,
Введение в теорию интегралов Фурье. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948, гл. IX, с. 317—
354. — Прим. ред.
124 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 13
Задача 13.1
Продолжим обсуждение предложения Хартли относительно выполнения анализа
Фурье с использованием функций cas (cosine-and-sine), которое было начато
нами в задаче 12.3. Пусть х (/) — вещественная функция, имеющая преобразо-
вание Фурье; определим «преобразование Хартли» в следующем виде:
оэ
№ (f) = | х (t) cas 2 л ft dt,
—co
где
cas 2nft = cas 2nft + sin 2nft.
Тогда в соответствии с предложением Хартли функцию х (1) можно получить
с помощью «обратного преобразования Хартли»
ОЭ
х (t) — | № (f) cas 2л ft df,
—оэ
которое имеет форму, идентичную его прямому преобразованию. Более того,
все используемые в преобразованиях величины являются действительными.
а)	Докажите справедливость формул Хартли, связав 3? (f) с действительной
и мнимой составляющими X (J), т. е. с обычным преобразованием Фурье
ж (О-
б)	Найдите и изобразите № (/) для
1)	x(0 = S(/-t);
2)	х (t) = е atu (t).
в)	Пусть Ж (/) и II (f) являются преобразованиями Хартли для х (/) и h (t)
соответственно. Найдите формулу для функции ^(/), представляющей собой
преобразование Хартли для у (t) = х (?) * h (/), выразив это преобразование
через № (f) и Н (f).
г)	Окажутся ли формулы Хартли, несмотря иа их симметрию и то, что в них
ие входят никакие комплексные величины, столь же полезными для анализа
ЛИВ-систем, как и обычный интеграл Фурье? Объясните.
Задача 13.2
Пусть X 7) — преобразование Фурье (в общем случае комплексной) функции
х (/). Выразите через X (f) преобразование следующих функций:
а)	х* (/),
б)	Re [х (()],
в)	х (t — 2) + х* (—t — 2),
г)	e~iintx (//3).
Задача 13.3
Предположим, что телефонный канал имеет следующую частотную характери-
стику:
где ф (f) является некоторой сложной функцией частоты. Такой канал может
в принципе вносить серьезные искажения, например эффекты «пустой бочки»
(эффект гулкости). Чтобы устранить эти искажения, был. предложен такой (прак-
тически мало пригодный) метод: сигнал, поступающий иа приемный конец, запи-
Задачи к главе 13
125
сывается на магнитную ленту, затем на быстром реактивном самолете лента воз-
вращается на передающий конец, там воспроизводится в обратном направлении,
ее содержание одновременно передается по первоначальному каналу во второй
раз и снова записывается на ленту. Будет ли сигнал, считанный с этой второй
ленты, при его воспроизведении в обратном направлении исходным сигналом
(как это утверждается), независящим от <р (/)? Будет ли работать такая схема?
Обоснуйте ваш ответ.
Задача 13.4
Импульсный сигнал гауссовской формы
подается иа вход схемы с квадратичной характеристикой, т. е. схемы, у которой
мгновенное значение выхода ц2 (/) является квадратом входного воздействия
fi (0:
За схемой с квадратичной характеристикой следует (иекаузальный) линейный
фильтр, импульсная характеристика которого имеет вид гауссовского импульса
h (t) = е —со <' t <_ со.
Выходом фильтра является ц3 (/).
а)	Опишите функцию v3 (t) и ее спектр.
б)	Как изменятся результаты, если фильтр установить не за схемой возве-
дения в квадрат, а перед ней?
Задача 13.5
а)	Путем непосредственного интегрирования найдите преобразования Фурье
следующих функций: [e~ai cos co0?J и (t), а>0 и [e~at sin соо1] и (t), а > 0.
б)	Частотную характеристику идеальной резонансной цепи можно запи-
сать в следующей стандартизованной форме:
Н (f) =--------i -----------
Найдите импульсную характеристику h (t) этой резонансной цепи, где
СО
/1(0= j Н (0 df.
—-со
Задача 13.6.
а)	Пусть х (/) = e~atu (/). Следует принять во внимание, что функцию е~“ ।zl
можно записать как
е~а 1 z । = х (/) + х(—/).
Учтите также, что из свойства изменения масштаба вытекает, что х(—/)<=>
X (—f) является парой преобразований Фурье. Используя эти сведения и
свойство линейности, получите пару преобразований (з) из табл. 13.1. Проверьте
найденный вами результат прямым интегрированием.
б)	Воспользуйтесь принципом дуальности и парой преобразований (з) из
табл. 13.1, чтобы показать, что
126
Глава 13. Преобразован не Фурье и теорема Фурье
являются парой преобразований Фурье. Проверьте ваш результат непосред-
ственным вычислением обратного преобразования.
в)	Воспользуйтесь свойством изменения масштаба и тем, что
j x(t)dt = X(O),
—СО
чтобы получить соотношение, применявшееся в примере 13.3.4, а именно:
СО
f Ж2^й=1,
►—со
г)	Рассмотрите пару преобразований
х (0 = e~at и (t) о —= * (fl-
' '	v ’ а + /2л/ и 
Обратите внимание на то, что, поскольку х (/) является вещественной функ-
цией, действительная и мнимая составляющие X (f) представляют собой четную
и нечетную функции частоты соответственно. Следовательно, интеграл обратного
преобразования можно записать в виде
ОО
С _____L—	df =
J а + j2af	'
—со
со	со
= | Re Г------. 1 cos 2л/7 df— f Im Г---------- *	 1 sin 2n,ft df.
J L a + ]2stf J ' J L a + /2л/ J
Интегралы в правой части этого соотношения являются соответственно четной
и нечетной функциями времени; обозначьте их хчет (/) и хнечет (/), соответ-
ственно. Покажите, что
«чет (0 =	+ х (- 0] =	‘ ' ’’
«нечет (0 = 4 Iх	0 — Х <03 = — Sgn te~a । Z I
Задача 13.7
а)	Выведите свойство умножения на е;2я^0< (табл. 13.2)
е/2л,М х (f _
б)	Выведите преобразование Фурье е'2я^0< (позиция (и) табл. 13.1) из про-
изведения постоянной х (/) = 1 и свойства умножения на е'2л^. Проверьте
ваш результат прямым вычислением обратного преобразования.
в)	Воспользуйтесь вашим последним результатом и свойством линейности,
чтобы вывести преобразования Фурье sin 2л/0/ и cos 2nfQt. Постройте примерные
графики действительной и мнимой составляющих результирующего спектра,
включающего соответствующие участки диапазона положительных и отрица-
тельных частот.
г)	Аналогичным образом выведите преобразования Фурье функций
el2nf°{u (Г), [cos 2л/0/] и ft) и [sin 2л/0/] и ft).
Задачи к главе 13
127
д)	Воспользуйтесь результатом (б) для доказательства того, что реакция
ЛИВ-системы с частотной характеристикой Н (/) на входное воздействие
будет иметь вид Н (/0) е'2я^(.
Задача 13.8
а)	Выведите свойство дифференцирования (табл. 13.2)
(f)
dt
косвенным способом, а именно путем дифференцирования интеграла обратного
преобразования Фурье
х (0 = ] X {f) df,
—со
и сделайте соответствующие выводы.
б)	Выведите свойство умножения на t (табл. 13.2),
' ' —/2 л df
посредством процедуры, аналогичной (а), одкг.ко использованной примени-
тельно к интегралу прямого преобразования.
в)	Примените свойства дифференцирования и умножения иа t к соответ-
ствующей паре преобразований (табл. 13.1), чтобы определить следующие пары
преобразований:
i.	cos2„/oi„A<tiL+.6<LLW .
2.	б(0«/2я/.
3.	te~a< и (t) о ——, L у-'Т , а > 0.
(а + /2л/)2 ’
Задача 13.9
Используйте свойство умножения на t (табл. 13.2), чтобы найти преобразование
Фурье х (/) = te"1' . Проверьте ваш результат, используя свойство дифферен-
цирования.
Задача 13.10
а)	Выведите свойство временной задержки, приведенное в табл. 13.2,
х (t — t0)oe-/2nft° X (/)
путем простой замены переменных в определяющем интеграле преобразования
Фурье.
б)	Выведите преобразование Фурье импульса
Г 1, —Г <t<T,
х (t) = (
( 0 при других значениях t,
128
Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
записав следующее соотношение:
х (!) = и (t + Т) - и (1 - Т)
и воспользовавшись свойствами временной задержки и линейности, а также
преобразованием u (t) из позиции (д) табл. 13.1.
Задача 13.11
СО	со
Проверьте справедливость формул X (0) — j х (t) dt и х (0) = j" X (f) df,
-V-..	—со
вводя их в ряд пар преобразований из табл. 13.1, например в пары (а), (б), (в),
(з) и (у).
Задача 13.12
а)	Пусть yr(t) — интеграл функции х (t):
t
j х(т)йт.
— CO
Покажите, что Y (f) —	представляя у (t) как свертку x (t)
j ZjT/	2,
с единичной ступенчатой функцией, у (t) = х (/) * и (t), и используя свойство
свертки из табл. 13.2.
б)	Воспользуйтесь свойством интегрирования для определения преобразо-
вания Фурье интеграла каждой из приводимых ниже функций. Сравните в каж-
дом отдельном случае полученный вами результат с результатом, найденным
путем первоначального интегрирования и последующего определения преобра-
зования:
1.	х (/) = S (Г).	3. х (?) = e~atu (t).
2. х (t) = б (t).
Задача 13.13
а)	Воспользуйтесь свойствами линейности и изменения масштаба из табл. 13.2,
чтобы вывести из базовой пары преобразований преобразование Фурье функции
х (/), показанной на рис. 13.17:
Рнс. 13.17.
Задачи к главе 13
129
б)	Воспользовавшись результатом (а), найдите преобразование функции
sgn (/) переходом к соответственно выбранному пределу. Сравните с целью про-
верки полученный результат с позицией (е) и табл. 13.1.
в)	Опираясь на результат (б) и базовую пару преобразований 1 <=> 6(f),
найдите преобразование и (t). Сравните полученный результат с целью проверки
с позицией (д) в табл. 13.1.
Задача 13.14
Цепи на рис. 13.18 построены из идеальных интеграторов, линий задержки,
усилителей и суммирующих элементов.
а)	Постройте примерный график импульсной характеристики каждой цепи.
В качестве частичной проверки ваших результатов можете воспользоваться тем,
что каждая импульсная характеристика должна быть строго импульсом: h (1) =
= 0 повсюду, за исключением конечного интервала Ц < t < /2.
б)	Найдите частотную характеристику (амплитудную и фазовую) для каж-
дой цепи и постройте ее примерный график. (Совет. Может оказаться, что вы
упростите свою задачу, если вместо прямого пути решения обратитесь к струк-
турной схеме и воспользуетесь некоторыми определенными свойствами преобра-
зований Фурье. Построение графиков также упростится, если вы учтете, что
—1 + е^а — е^а/2 (в^а/2 — е~^“12) = 2jelal2 sin (а/2).
Аналогично
1 — 2е/а + e-l2a = — 4ela [sin (а/2)]2.
Задача 13.15
Действительная симметричная (четная) функция воспроизводит себя при свертке,
если выполняется следующее условие:
х (t/a) ♦ х (i/b) = kx (t/c),
где k и с в общем случае зависят от а и Ь, однако форма этого соотношения будет
сохраняться для любых а и Ь. В словесной форме это можно выразить так: если
такого рода функция подвергается свертке с аналогичной функцией, имеющей
5 Сиберт У. М., Ч. 2
130 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
такую же форму (т. е. идентичной с первой во всем, за исключением временного
масштаба и, возможно, амплитуды), то в этом случае и результат будет иметь
ту же форму.
а)	Найдите эквивалентное условие, выраженное через X (f), т. е. преобра-
зованне х (t).
со	со
б)	Предположив, что j х (t) dt = 1, а интеграл j fix (/) dt является
— СО	—00
конечным, но не равным нулю, покажите, что с2 = а2 + Ъг н k — | ablc\. (Совет.
Принятые условия интегрируемости гарантируют, что X (0) = 1 н что X (0)
существует н не равна нулю. Из свойства снмметрнн следует, что X (0) = 0.)
в)	Покажите, что обе приведенные ниже симметричные временное функции
воспроизводят себя при свертке
Х1 (0 = e-nt',
Хг = л (1 + fi) •
Удовлетворяются ли условия, выведенные в (б), для функций хх (0 и хг (/)?
Функции, воспроизводящие себн при свертке, образуют относительно узкий
класс. Эта задача была впервые исследована П. Леви в 30-х годах и имеет боль-
шое значение в теории вероятностей. Ее обсуждение в доступной форме приве-
дено в книге: J. Jamperti, Probability (New York, NY: W. A. Benjamin, 1966).
Задача 13.16
Импульсная функция 6 (t) обладает фильтрующим свойством, которое выра-
жается в следующем: если f (t) непрерывна по i, то
/(0= j f (х) Ь (t — х) dx.
•—со
sin nt
Покажите, что функция также обладает фильтрующим свойством:
—со
если спектр f (i) надлежащим образом ограничен.
Задача 13.17
Импульсная характеристика h (/) некоторого фильтра приведена иа рис. 13.19.
Определите зквивалентную шумовую полосу этого фильтра, определяемую как
BW = г .ум df,
J |Я (0)|2
•со
где
H(f) = J h (0 е-‘2п1‘ dt.
Задачи к главе 13
131
(Совет. Это очень простая задача! Важность эквивалентной шумовой полосы
будет обсуждена в гл. 19.)
Задача 13.18
Воспользуйтесь (13.4.1), чтобы доказать, что
... sin 2nW7
Х(0=——
sm 2"^
ортогональны для любого п =/=0, т. е.
2В7 ) dt °-
Задача 13.19
Предположим, что вы хотите аппроксимировать периодический сигнал х (I)
конечной суммой гармонически связанных между собой синусоид
N
Л({)= J] ahef2nkl'T.
k=—N
Прибегай к методу, аналогичному использованному в примере 13.4.2, пока-
жите, что, если х (/) должна быть аппроксимацией х (t) с минимальной средне-
Т
квадратической ошибкой, т. е. если интеграл (1/7") J | х (t) — х (t) j2 dt должен
о
иметь минимальную величину, коэффициенты а^ следует выбирать так, чтобы
они равннлись соответствующим коэффициентам Фурье X [fe],
5*
132 Глава 13. Преобразование Фурье и теорема Фурье
Задача 13.20
а) Найдите преобразование Фурье временной функции, изображенной иа
рис. 13.20. (Совет. Рассмотрите х (t) как свертку двух импульсов.)
б) Вычислите интеграл
dt.
14
ОТСЧЕТЫ ВО ВРЕМЕННОЙ
И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ
14,0s Введение
Начнем эту главу с рассмотрения весьма полезной пары преобра-
зований Фурье — периодической импульсной последовательности
во временной области и ее преобразования, которое является
периодической импульсной последовательностью в частотной
области. Пользуясь этой парой как инструментом, мы изучим
две важные идеи, вытекающие из частотно-временного дуализма:
преобразования Фурье произвольных периодических функций
(которые непосредственно базируются на понятиях ранее рас-
смотренных рядов Фурье и с которых мы начнем) и свойства
дискретизованных во времени сигналов (которые приведут к ши-
роко известной теореме отсчетов и выражениям, получившим
название дискретного во времени преобразования Фурье). И
наконец, рассмотрим временные функции, являющиеся дискре-
тизованными и периодическими, и следующее из них дискретное
преобразование Фурье, которое служит основой алгоритма быст-
рого преобразования Фурье (БПФ), используемого во многих
современных системах цифровой обработки сигналов. В прило-
жении к главе многие теоретические положения и выводы этой
и предыдущих глав объединены и вновь истолковываются с пози-
ций представления сигналов в векторном пространстве.
14.1.	Периодическая импульсная последовательность
Найдем преобразование Фурье периодической последовательности
единичных импульсов s (t), показанной на рис. 14.1, а. Как будет
Рис. 14.1. Периодическая последовательность единичных импульсов и ее преоб-
разование.
134
Глава 14. Отсчеты во временной области
показано ниже, преобразование Фурье S (/) функции s (f) представ-
ляет собой импульсную последовательность в частотной области,
изображенную на рис. 14.1, б. Чтобы получить этот результат,
ограничим s (/) до (2N + 1) импульсов, расположенных симмет-
|и>лп
а	б
Рис. 14.2. Усеченная импульсная последовательность и ее преобразование.
рично относительно начала координат (рис. 14.2, а), и найдем
преобразование Фурье Sw (/) для усеченной временной функции
sn (0:
ОО
\ sN(t)e-l2*ft dt
«—со
" N
2 ба-дт)
е-'2яи dt =
N со	N
= 2 f 6(t-nT)e-l2^dt^ J е''2ЯП1Т-
п=—N —со	п=—N
(14.1.1)
Чтобы найти огибающую 5# (/), представим сумму (14.1.1) в виде
первых (2N + 1) членов геометрической прогрессии и затем
запишем ее в замкнутой форме:
N
e-i2nnfT = £j2nNfT । е/2л (N-l) fT । . . . । j । _ . g-l^NfT =
л=— N
=	[J + е-/2лг + (e-i2*fy + . . . + (е-/2Л,Т)2ЛГ-| =
e/2nNfT 0 _ e-f2a (2W+1) fT}
= =
ei2nNfTe-j2n (W + l/2) fT [е/2л (W + l/2) fT _ g-j2n (W+l/2) fT}
=	e-№fT/2 [е/2л?T/2 _ e-j2nfT/2y	
Следовательно,
С (А_ 5Шя(2У+ 1) fT
V) -	-----•	(14.1.2)
Эта огибающая представлена на рис. 14.2, б. Максимумы вели-
чиной (2М + 1) расположены на частотах, кратных 1/Т, а
между ними находятся нулевые значения на частотах, кратных
1/(2М + 1) Т.
14.2. Другое представление ряда Фурье
135
При 7V оо, sjV (0 -> s ((). Когда N стремится к бесконечности,
максимумы Sw (/) возрастают, а их длительность уменьшается,
в результате чего огибающая стремится по форме к импульсам.
Для любого N площадь под каждым лепестком огибающей SN (f)
равна
1/2T	1/2T	N	N	1/2T
J SN(f)df	= J	2	^iMnfTdf=- 2 J	e-/Wd/ = 4-
-1/27*	-1/27* n=—n=—# — 1/27*
=0, кроме n=Q
Таким образом, мы продемонстрировали, что «частокол» из им-
пульсов во временной области преобразуется в «частокол» в ча-
стотной области, как показано на рис. 14.1, и описывается симво-
лически парой преобразований Фурье
2	2 6(г--г)-
П=—03	п~ —03
(14.1.3)
14.2.	Преобразование Фурье периодических функций.
Другое представление ряда Фурье
Любую периодическую функцию х (t) можно представить в виде
свертки
х (/) = хт (0 * s (0,	(14.2.1)
где хг (0 — функция времени на интервале одного периода:
(х(0, 0<t<T,
ХТ (0 = 1 л	- 4
(О для всех других значении /,
a s (/) — периодическая последовательность единичных импуль-
сов. На рис. 14.3 это выражение представлено графически.
Рис. 14.3. Графическое представление выражения (14.2.1).
При переходе в частотную область свертка преобразуется
в умножение и соответственно принимает вид
X(f) = Хт (/) S (/),
(14.2.2)
136
Глава 14. Отсчеты во временной области
Рис. 14.4. Графическое представление выражения (14.2.2).
где Хт (f) — преобразование хт (/). Данное выражение описывает
ситуацию, изображенную на рис. 14.4. В этом случае S (/) пред-
ставляет собой импульсную последовательность. X (/) также яв-
ляется импульсной последовательностью, у которой площади
импульсов пропорциональны амплитудам Хт (J) на соответствую-
щих частотах. Формально
00
х (f) = 4- 2 хт (4-) 6 (/ - -^) .	(14.2.3)
П=—со
Таким образом, мы можем восстановить х (t) с помощью обратного
преобразования Фурье
СО
X(t) = j X(f)el2nftdf =
Следовательно, периодическую временную функцию можно пред-
ставить в виде дискретной суммы гармонически связанных сину-
соид или экспонент. А это есть не что иное, как описанный в гл. 12
ряд Фурье
x(t) = S X[n]el2nnt'r,
n=—CD
(14.2.5)
у которого коэффициенты X [п 1 пропорциональны величинам
гармоник преобразования Фурье Хт (/) для одного периода
функции
Х[п] = -4хг(4-)-	(14.2.6)
14.2. Другое представление рида Фурье
137
Поскольку	т
Хт (f) = J хт (/) e~i2n,t dt = \ х ф e~l2nft dt,
—co	0
то получим такое же, как и ранее, выражение для коэффициентов
ряда Фурье:
X[n] =х (t) e~/2nnt/r dt.
о
(14.2.7)
Таким образом, выведенное в гл. 12 выражение для ряда Фурье
является частным случаем преобразования Фурье. Заметим, что
обратное преобразование Фурье описывает периодическую функ-
цию как интеграл от импульсной последовательности в частотной
области. Ряд Фурье представляет такую функцию в виде дискрет-
ной суммы синусоид конечной амплитуды. Эти два представления
связаны следующим соотношением:
СО
Х(/)= 2	(14.2.8)
п=—СО
Пример 14.2.1
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных
импульсов, показанную на рис. 14.5. В качестве периода функции
хт ф, соответствующей функции х ф, удобнее взять интервал
— T/2 < t < Т/2, а не 0 < t < Т. (Как следует из ранее приве-
денных рассуждений, отрезок функции хт ф может быть выбран
в любом временном интервале, равном периоду, конечный резуль-
тат при этом сохраняется.) Тогда в соответствии с результатами
гл. 13 Хт (/) будет иметь вид, изображенный на рис. 14.5. Умно-
жая Хт (/) на S (/), получим X ф. Заметим, что четные гармоники
подавляются нулями Хт (/), как и следовало ожидать, учитывая
только нечетно-гармоническую симметрию функции х ф. Из
данных рассуждений становится ясно, почему для подавления
четных гармоник необходимо, чтобы коэффициент заполнения
(часть периода, в течение которого х (/) равен его наибольшей
величине) был в точности равен 1/2.
Для восстановления х (/) можно либо интегрировать импульс-
ную последовательность X (/), либо вначале вычислить коэффи-
циенты ряда Фурье
1/2, п = О,
X [п] = угХт(^) =
О,
ПЛ
п четное, п =#= О,
п нечетное,
138
Глава 14. Отсчеты во временной области
Рис. 14.5. Анализ прямоугольной волны.
и тогда сумма соответствующего ряда Фурье записывается на
основе результатов гл. 12:
х (0 = У, X [п] e^ni,T = -|- + V ( 'Ci'”72 ei2nnt!T.
П =— CD	П =— CD
п нечетн.
14.3. Теорема отсчетов
139
14.3.	Теорема отсчетов
Теорема отсчетов формализует интуитивно разумную идею: если
спектр X (/) функции х (/) содержит главным образом низкие
частоты, т. е. если | X (/)| относительно мало для | f | > W, то
вряд ли можно ожидать, что функция х (t) претерпит значительные
изменения во временном интервале, меньшем по сравнению с пе-
риодом 1/IF наивысшей гармоники достаточно большой ампли-
туды, содержащейся в х (/). Следовательно, функция х (/) доста-
точно полно определяется отсчетами в моменты, отстоящие друг
от друга на 1/IF секунд. Проходящая через эти точки отсчетов
плавная кривая не должна всюду сильно отличаться от функции
х (0. Эта идея описывается теоремой, которая в наиболее извест-
ном и простом виде излагается следующим образом:
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ:
Пусть X (/), преобразование Фурье функции х (t), равно
нулю для всех значений | f | > W и не имеет особенностей
при [ f | = W. Тогда х (t) можно представить в виде ряда
СО
sin 2л1Г
t
П——оо
2nW t
(14.3.1)
Другими словами, отсчеты х (/) в точках t = nlZW (от-
счеты, которые отстоят друг от друга на время 1/2 IF) пол-
ностью определяют х (/) во все моменты времени.
Во временной области теорема отсчетов означает, что значе-
ния функции с ограниченным спектром между отсчетными точками
можно определить по значениям отсчетов путем интерполяции
,	„ sin 2л1₽7	. . -
с использованием функции —2nWt—’ как показано на Рис- 14.6.
2W
Рис. 14.6. Интерпретация теоремы отсчетов как интерполяционной формулы.
140 Глава 14. Отсчеты во временной области
В качестве интерполяционной формулы выражение (14.3.1) было
известно математикам довольно давно г). Однако Блэк * 2) припи-
сывает авторство общей формулировки теоремы отсчетов Коши
(1841 г.). В 20-г.г. основная идея теоремы отсчетов была заново
переоткрыта Карсоном, Найквистом и Хартли, благодаря уси-
лиям которых она стала краеугольным камнем современной теории
связи 3). (Вследствие этого величину 1/2 W часто называют интер-
валом Найквиста.) Теорему отсчетов связывают также с именами
Габора, Шэннона и Котельникова 4).
Пример 14.3.1
В качестве иллюстрации рассмотрим простые, но эффективные
методы на базе теоремы отсчетов, которыми пользовались Хартли
и Найквист для расчета минимальной полосы, необходимой
для передачи стандартного черно-белого телевизионного сигнала.
Пусть разрешающая способность телевизионного изображения
составляет 500 строк по 650 элементов в строке в каждом кадре
при скорости 30 кадр/с. При сканировании изображения яркость
каждой его точки передается амплитудой видеосигнала. Если
максимальная частота видеосигнала составляет W Гц, то, согласно
теореме отсчетов, он может быть представлен независимыми вы-
борками, следующими с интервалом, не превосходящим 1/2 W се-
кунд. Таким образом,
2W > 500-650-30,
или
W > 4,875 МГц.
В действительности, по ряду причин, некоторые из которых будут
разъяснены в дальнейшем, для передачи телевизионного сигнала
выбрана полоса частот около 6 МГц.
* * *
J) Е. Т. Whittaker, Proc. Roy. Soc. Edin., 35, (1915): 181 —194: J. M. Whitta-
ker, Interpolation Function Theory, Camb. Tracts in Math, and Math. Phys., 33
(Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press, 1935).
2) H. S. Black, Modulation Theory (New York, NY' Van Nostrand, 1953).
3) H. Nyquist, Trans. AIEE, 47, (1928): 617—644; H. Nyquist, Bell Sys. Tech.
J., 3, 2, (1924): 324—346; and R. V. L. Hartlley, Bell Sys. Tech. J., 7, 3, (1928):
535__5g3
4) D. Gabor, J. IEE, 93, pt. Ill, (1946): 429—457; С. E. Shannon, Proc. IRE 37,
(1949): 10—21; В. А. Котельников, О пропускной способности «эфира» и про-
волоки в электросвязи. Материалы к первому Всесоюзному съезду по вопросам
реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности (изд-во
«Ред. связи РККА», 1933).
14.3. Теорема отсчетов
141
Рис. 14.7. Система, демонстрирующая справедливость теоремы отсчетов.
Для доказательства теоремы отсчетов в виде (14.3.1) рассмот-
рим рис. 14.7. Представленная на нем система реализует правую
часть выражения (14.3.1). Выходной сигнал умножителя представ-
СО
ляет собой импульсную последовательность х (n/2W) 6 (/ —
П=—СО
— n/2IF), а выходной реакцией ЛИВ-системы Н (/) на каждый
импульс является импульсная характеристика
, sin
с соответствующими весовым коэффициентом и задержкой. Фак-
тически данный выходной сигнал есть не что иное, как х (0, и
для доказательства этого рассмотрим работу указанной системы
в частотной области. Результатом умножения временной функции
х (t) на импульсную последовательность £ g ц— n/2W) яв-
П= —СО
ляется свертка X (f) с импульсной последовательностью
СО
2IF У 6 (/ — 2IFn). Следовательно, как показано на рис. 14.7,
П~—со
спектр сигнала на выходе умножителя представляет собой вели-
чину 2IFX (/), периодически повторяемую в частотной области
каждые 2 IF Гц. Если ограничить спектр X (/) в соответствии с при-
142 Глава 14. Отсчеты во временной области
нятым допущением, то на выходе ЛИВ-системы Н (/) будем иметь
в точности такой же спектр X (f), как у исходной функции х (/),
что доказывает теорему.
С другой стороны, если взять сигнал х (t) со спектром шире
полосы | f | < W, осуществить его выборку с частотой 2 IF отсчет/с
и затем пропустить его через фильтр нижних частот | f | < IF,
то в результате образуется сигнал, отличный от того, который
получен непосредственным ограничением ширины спектра сиг-
нала х (t) до значения полосы | f | < IF. В частности, если сигнал
х (/) состоит из одной синусоиды с частотой f > IF, на выходе
системы, показанной на рис. 14.7, возникает синусоидальный
сигнал другой частоты в полосе | f | < IF. Таким образом, частот-
ная составляющая вне полосы | f | < IF «создает свой образ»
в виде синусоидального сигнала с более низкой частотой. Такой
эффект получил название наложения.
Известны различные обобщения и варианты теоремы отсчетов.
В задаче 17.16 обсуждаются некоторые специальные свойства
системы с ограниченной полосой пропускания. В случае низких
частот нетрудно показать, что можно осуществлять пару выбо-
рок каждые 1/IF секунд (вместо одиночных выборок через 1/2IF се-
кунд). Выборки могут даже производиться случайно во времени
при условии, что их средняя частота равна 2 IF отсчет/с, а моменты
выборок регистрируются г). Кроме того, выборки функции х (/)
с частотой <2 IF отсчет/с и выборки различных преобразований
этой же функции можно объединять таким образом, чтобы общее
их число было равно 2 IF отсчет/с. Это также позволяет полностью
определить функцию х (t). Два примера такого рода приведены
в задаче 14.12. Вышеуказанные обобщения теоремы отсчетов,
представляя определенный теоретический интерес, имеют огра-
ниченное практическое применение. Дело в том, что системы,
у которых значительная часть выборок отстоит друг от друга более
чем на 1/2 IF секунд, весьма чувствительны к ошибкам в измерении
значений выборок и синхронизации.
О сегменте сигнала с ограниченным спектром говорят, что он
имеет 2TW «степеней свободы». Для пояснения этого предполо-
жим, что из сигнала с ограниченным спектром | f I < IF вырезан
длинный сегмент протяженностью Т 1/2 IF. Такой сегмент
насчитывает 2TIF точек отсчетов. Значения выборок в этих 2TIF
точках не полностью определяют сегмент сигнала, поскольку
хвосты интерполяционных функций, относящихся к выборкам
1)	Специальная теорема (7. L. Yen, IRE PGCT-3, 1956, 251) утверждает:
возьмем конечное целое число N и разделим ось времени на последовательные
интервалы длиной N/2W. Произведем X выборок произвольным образом по од-
ной в каждом интервале. Зная моменты времени выборок и соответствующие им
значения функции х (f), можно однозначно определить эту функцию, если
X (/) = О, |/| > W.
14.3. Теорема отсчетов
143
вне сегмента, влияют на значения сигнала х (/) в точках внутри
сегмента. Однако если 2TU7 1, то ошибка, вносимая указан-
ными хвостами, касается в основном небольших интервалов у на-
чала и конца сегмента, а энергия ошибки мала по сравнению
с энергией всего сегмента сигнала. Следовательно, при 27	> 1
сегмент сигнала с ограниченным спектром приблизительно опре-
деляется 2TW числами. Заметим, что сегмент сигнала с ограничен-
ным спектром можно достаточно точно определить 27 числами,
если последние необязательно являются выборками. Ландау и
Поллак доказали для этого случая точную и важную теорему,
в которой определяется граничное значение ошибки г).
Эффект воздействия, который создают хвосты, соответствую-
щие выборкам вне сегмента, на сам сегмент сигнала с ограничен-
ным спектром, приводит к интересному предположению: а нельзя
ли, исследуя сегмент сигнала с ограниченным спектром в каждый
момент времени (не обязательно в точках отсчета), оценить амп-
литуду сигнала в точках отсчета, находящихся вне сегмента, и
тем самым восстановить весь сигнал в прошедшем и будущем,
пользуясь только конечным сегментом? В принципе на это можно
ответить утвердительно. Действительно, можно показать, что
любой сигнал с ограниченным спектром является аналитической
функцией. Следовательно, можно построить ряд Тейлора с коэф-
фициентами, вычисленными по производным функции внутри
сегмента, и этот ряд будет сходиться по крайней мере в некотором
интервале вне сегмента. Повторяя подобную операцию, можно
в принципе определить функцию на всем ее протяжении. Воз-
можность экстраполяции таким путем временной функции с огра-
ниченным спектром тесно связана с фактом, что ЛИВ-системы,
у которых частотная характеристика имеет нулевое значение за
пределом некоторого диапазона | f | > W, являются по своей
сути физически неосуществимыми, что мы обсудим в гл. 16.
Функции времени с ограниченным спектром часто исполь-
зуются для моделирования сигналов в системах связи и управле-
ния, поэтому то обстоятельство, что все прошлое и будущее таких
сигналов может быть однозначно определено по малому отрезку
в настоящем времени, несколько обескураживает. Сигнал со строго
ограниченным спектром не может обеспечивать новую, непред-
сказуемую информацию. Однако положения, правильные в прин-
ципе, не имеют большого практического значения. Так, можно
показать, что для экстраполяции даже в пределах короткого
интервала (< 1/2IF) потребуется непомерно высокая точность
измерений и расчетов. На практике системы, рассчитываемые или
») И. L. Landau and Н. О. Pollak, Bell Sys. Tech. J., 41, (1962), 1295—1336;
см. также Дж. Возенкрафт, И. Джекобс, Теоретические основы техники связи. —
М.: Мир, 1969 приложение 5А.
144
Глава 14. Отсчеты во временной области
анализируемые на основе идеальных моделей с ограниченной
полосой частот, ведут себя более или менее в соответствии с тео-
рией. Тем не менее здесь надо проявлять осмотрительность,
а всякие «неожиданные» результаты, получаемые из этих идеали-
заций, должны проверяться с особой тщательностью.
14.4.	Системы с импульсной модуляцией
Помимо чисто теоретической ценности теорема отсчетов имеет
ряд прикладных применений, например в системах с импульсной
модуляцией, в системах с дискретизацией сигналов, в цифровой
обработке данных. Одним из свойств систем с импульсной модуля-
цией является то, что они позволяют передавать одновременно
несколько независимых сигналов по одному каналу с временным
Отсчеты
хЛП
Рис. 14.8. Пример временнбго уплотнения.
уплотнением 2). На рис. 14.8 показаны три импульсных сигнала,
полученные выборкой от отдельных источников с ограниченной
полосой частот. Эти сигналы можно разделить во времени и пере-
дать по одному каналу. На приемной стороне они выделяются
путем соответствующего временнбго стробирования и последую-
щего сглаживания.
Пример 14.4.1
Обычная серийно выпускаемая система для передачи восьми рече-
вых сигналов с временным уплотнением может иметь следующие
технические характеристики. Спектр каждого из речевых сигна-
лов ограничивается сверху фильтром нижних частот | / | < 3,3 кГц.
Для сохранения всей содержащейся в указанных сигналах инфор-
мации частота отсчетов не должна быть ниже предела Найквиста
2-3,3 = 6,6 кГц. На практике устанавливают повышенную ча-
’) Такая идея была впервые выдвинута Мозесом Б. Фармером, который
в 1852 г. предложил использовать синхронно работающие коммутаторы для
передачи нескольких телеграфных сообщений, по одному проводу. Временное
уплотнение было впервые применено к аналоговым сигналам типа речевых
в 1900 г.
14.4. Системы с импульсной модуляцией
145
стоту отсчетов — 8 кГц или каждые 125 мкс. В результате, как
показано на рис. 14.9, между энергией стробируемого сигнала
в области низких частот и энергией в полосе частот вокруг зна-
чения 8 кГц создается предохранительная полоса. При этом
значительно упрощается разработка сглаживающих или интер-
поляционных фильтров для приемника, где такая полоса может
использоваться в качестве переходной зоны между полосой про-
пускания и полосой непрозрачности.
А Л'(/')
Предохранитель-
' \^ная полоса
3,3 4,7	8,0	ЛкГц
Рис. 14.9. Спектр речевого сигнала с повышенной частотой отсчетов.
Каждая выборка преобразуется в импульс соответствующей
амплитуды длительностью в несколько микросекунд. Электронный
переключатель или коммутатор каждые 125/8 = 15,6 мкс последо-
вательно выбирает отсчеты каждого из 8 каналов. Результирую-
щий сигнал представляет собой последовательность импульсов,
каждый длительностью около 5 мкс и периодом повторения 15,6мкс,
причем каждый восьмой импульс соответствует определенному
речевому сигналу. Перед передачей сигнала (которую можно
осуществить путем частотной модуляции несущей, как будет
описано в гл. 17) к нему подмешивается синхронизирующий сиг-
нал, например, в виде синусоидального напряжения с частотой
64 кГц, периодом 15,6 мкс и точно установленной фазой. Полу-
ченный таким образом сигнал пропускается через формирующий
фильтр с целью максимального ограничения полосы частот.
Однако при этом нельзя увеличивать длительность импульсов
настолько, что они начнут перекрывать друг друга (межсимволь-
ная интерференция). Как будет показано в гл. 15, разработка
такого фильтра требует интересных компромиссов.
* * *
Другим преимуществом систем с импульсной модуляцией
является то, что они позволяют достаточно просто и гибко согла-
совывать источник сообщений с полосой, мощностью и шумовыми
характеристиками канала связи с целью повышения эффектив-
ности и качества системы. Так, например, показанный на рис. 14.10
сигнал фазоимпульсной модуляции (ФИМ), в котором амплитуда
выборки кодируется положением каждого импульса относительно
равномерной временной сетки, имеет гораздо большую полосу
(в 1/6 раз) по сравнению с исходным сигналом х (t). Как будет
146
Глава 14. Отсчеты во временной области
~х(0)
Рис. 14.10. Фазоимпульсная модуляция: спектр сигнала х (/) ограничен < W.
показано в гл. 20, именно благодаря широкой полосе системы
ФИМ она менее подвержена воздействию широкополосных шумов
и помех. В результате при прочих равных условиях такие системы
обеспечивают более высокие качественные показатели (например,
лучшее отношение сигнал/помеха или большую дальность пере-
дачи) или позволяют снизить мощность передатчика
Рис.	Кодово-импульсная модуляция: спектр сигнала х (/) ограничен
Такие же преимущества имеет кодово-импульсная модуляция
(КИМ), показанная на рис. 14.11. В КИМ каждое значение вы-
борки вначале квантуется, или, другими словами, заменяется
ближайшим из выбранных уровней (на рисунке их число равно 8).
Каждому числу соответствует сигнал определенной формы дли-
тельностью 1/2U? секунд. Обычно, как показано на рисунке,
сигнал передается последовательностью единиц и нулей или по-
ложительных и отрицательных импульсов, представляющих число
в двоичном коде. Как и ФИМ, КИМ обеспечивает повышенное ка-
чество за счет расширения полосы. КИМ имеет и другие преиму-
14.5. Дискретное преобразование Фурье
147
щества, главное из них — возможность применения кодов с ис-
правлением ошибок и удобство согласования с различными спе-
циальными параметрами источника сообщений. Кроме того, при
использовании КИМ в каскадных связных системах возможно
устранить эффект накопления шумов, восстанавливая форму
импульсов в ретрансляционных станциях. Как и другие цифровые
системы передачи информации, КИМ обладает высокой гибкостью.
Так, например, речевой сигнал, преобразованный в цифровую
форму путем выборки и квантования, теряет свои чисто аналого-
вые свойства. Цифровые коды от ряда различных источников (речь,
изображения, данные) могут с разделением во времени переда-
ваться по одному каналу. Некоторые из основных характеристик
таких систем с импульсной модуляцией, как ФИМ и КИМ, будут
рассмотрены в гл. 20.
14.5.	Дискретное во времени преобразование Фурье
Ситуация, рассмотренная в теореме отсчетов, дуальна проблеме,
анализируемой в связи с рядами Фурье. Ограниченная по дли-
тельности временная функция хт (t) (описывающая один период
периодической функции) имеет преобразование Хт (/), которое
полностью определяется выборками на частотах, разделенных
интервалом \/Т. Эти выборки описывают ряд Фурье, который
позволяет полностью восстановить периодическую функцию по
ее отрезку хт (/) длительностью в один период. В свою очередь
функции времени в виде импульсной последовательности (на-
пример, последовательность выборок x(t)s(t)) соответствует пре-
образование, периодическое в частотной области. Соотношения
дуальности станут еще более очевидными при выводе пары вы-
ражений, описывающих дуальность в случае рядов Фурье. Эти
формулы окажутся весьма полезными в последующих главах.
В соответствии с ранее использованным нами подходом при-
мем, что х (/) — функция времени, которая имеет преобразование
X (/), периодическое в частотной области с периодом 2W. X (f)
можно рассматривать в частотной области как свертку импульс-
ной последовательности 5 (f)/2W и частотной функции Х& (/),
описывающей один период. Так что если
(Х0, —Wcf<W,
(	0 для всех других значений f,
то
X (D = Xw (f) * S (П/2Г.	(14.5.1)
Это соотношение в графическом виде показано на рис. 14.12.
(В общем случае Xw (f) и X (/) — комплексные функции частоты,
Х«г(Л =
148
Глава 14. Отсчеты во временной области
Рис. 14.12. Временная функция, преобразование Фурье которой является перио-
дическим в частотной области.

но для наглядности они показаны как действительные.) Соот-
ветствующее выражение во временной области имеет вид
х(0 =
Xjjr (О S (О
2ТГ

Таким образом, функция времени х (0, преобразование которой
является периодической функцией, должна быть последователь-
ностью импульсов, амплитуды которых пропорциональны выбор-
кам xw (I) — обратного преобразования одного периода функции
X ([). Амплитуду соответствующих импульсов удобно представить
в виде функции дискретного переменного п. Пусть
Х М 2W Xw \2W ) •
тогда выражение (14.5.2) запишется в виде
СО
Х(О= х[п]б(/-^).
п=—со
(14.5.3)
(14.5.4)
х [л 1 можно определить непосредственно из X ([), поскольку
2Wx[n] = xw(-^r) = J Xw(f)ei2nn,/2W df =
14.5. Дискретное преобразование Фурье
149

Таким образом,
(f) ei2nnH2W df.
х[л] = J X (f) ei2nn1i2W df.
—ГР
(14.5.5)
С другой стороны, непосредственно имеем
СО	со со
%(/)=	J 2	х[п]б	e-IWdt.
—со	—со п=—со
Меняя местами суммирование и интегрирование, получим
со
X(f) = S x[n]e~l2nnH2W.
п——co
(14.5.6)
Эта функция является периодической в частотной области и имеет
период 2Г7.
Соотношения дуальности между этими выражениями и форму-
лами для обычного ряда Фурье становятся еще более очевидными,
если их расположить рядом.
Периодическая функция х (/)
х(0 = х(/ + Т)
х(/) = 2 X[n]ei2nntfT
П—~СО
Т/2
X[n] = J_ j X(t)e-i2nnt^ di
~T!‘2
co
*(/) = 2 X[n]6
Периодическая функция X (/)
X (/) = X (f + 2W)
X(f) = E x[n]e-^X^
n——co
w
x [«] = -т^г j X (f) ei2nnf/2Wdf
—17
x(t) = 2 *	0... 21k)
n——co
Практическая полезность выражений для периодической функции
X <f) определяется тем, что х [п ] представляет собой функцию
дискретного времени (упорядоченную числовую последователь-
ность), а не функцию непрерывного времени как х (г). Значит,
синтезированное выражение (14.5.5) можно интерпретировать как
произвольную функцию дискретного времени в виде «суммы»
(интеграла) экспонент. В случае пепнод’’ческой X if) выражения
(14.5.5) и (14.5.6) играют такую же роль по отношению к ,лНВ-
ISO
Глава 14. Отсчеты во временной области
системам дискретного времени, как обычные преобразования
Фурье по отношению к ЛИВ-системам непрерывного времени.
Другие свойства и применения этих соотношений будут рас-
смотрены в гл. 18.
14.6.	Выводы
Одна из наиболее важных пар преобразований Фурье устанавли-
вает связь между временной периодической импульсной после-
довательностью и периодической импульсной последовательно-
стью в частотной области:
со	со
s(t)= j 6(t-nT)<=>-±- 2 6 (/--£-) =S(f).
п==—оэ	п——со
Таким образом, при свертке сигнала хт (t) длительностью, мень-
шей Т, с функцией s (t) получается периодический сигнал. Пре-
образование Фурье этого периодического сигнала является про-
изведением импульсной последовательности 5 (/) и преобразова-
ния Фурье Хт (/) отрезка функции длительностью в один период
хт (t). В результате образуется импульсная последовательность,
описываемая коэффициентами ряда Фурье. В этом случае интеграл
Фурье превращается в сумму — ряд Фурье для периодической
функции.
С другой стороны, если перемножить функции х (0 и s (0,
то получим импульсную последовательность, заданную выбор-
ками сигнала х (t) в точках t = пТ. Преобразование Фурье для
импульсной последовательности выборок имеет вид свертки S (f)
и преобразования Фурье X (/) функции х (0. Результат такой
свертки представляет собой функцию, периодическую в частотной
области. Если полоса частот W функции X (/) достаточно мала
(< 1/27"), то X (f) можно восстановить из свертки X (/) * S (/)
без искажений, обусловленных наложениями. При этом выборки
х (0 точно определяют ее во все моменты времени.
Два аргумента t и f в преобразованиях Фурье являются дуаль-
ными. Отметим в частности:
Периодическая функция Импульсная последова-
времени	<=> дельность в частотной
области
Импульсная последова- Периодическая функция
дельность во временной <=> частоты
области
Если импульсная временная последовательность используется
для определения функции дискретного времени, то интеграл
Фурье представляет ДВ-функцию, как взвешенную сумму сину-
Приложение к главе 14
151
соид. Такое представление будет применено в гл. 18 с целью рас-
пространения метода преобразования Фурье на ЛИВ-системы
дискретного времени.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 14
Представление сигналов в векторном пространстве х)
Многие из идей, развитых в этой и предыдущих главах, можно
применить к разложениям в ряд по функциям, отличным от
комплексных экспонент. Многие из этих рядов используются
для системного анализа. Например, собственные функции изме-
няющихся во времени линейных систем используются в каче-
стве базисных для представления сигналов в этих системах также,
как комплексные экспоненты для представления сигналов в ЛИВ-
системах. И даже в ЛИВ-системах для некоторых специальных
случаев (например, в случае систем с ограниченной полосой)
или особых классов сигналов удобнее применять ряды по функ-
циям, отличным от синусоидальных. Более важно, однако, что
обращение к представлению сигналов в виде рядов подсказывает
геометрическую аналогию наших аналитических процедур, что
чрезвычайно ценно.
В данном приложении будут рассмотрены некоторые общие
свойства представления функций в виде
х(0 = Е
Для удобства вначале предположим, что (возможно, комплексные)
функции фк (t) являются ортогональными и нормированными
(или ортонормированными, если они обладают и теми и другими
свойствами). Впоследствии будет показано, что эти допущения
не вносят существенных ограничений. Формально они означают,
что на некотором интервале /0 < i < tx
Ортогональность => j (О фт (0 dt — 0, k=£m,
tl
Нормирование => J | Фъ (t) (2 dt = 1.
t.
*) Векторное или линейное пространство— см. А. Н. Колмогоров, С. В. Фо-
мин, Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1972, гл. Ill, § 1. — Прим. ред.
152 Глава 14. Отсчеты во временной области
Указанные условия можно объединить в одном уравнении1)
г’	( 1, k = т,
j <h (t) Ф'т (0 dt = 6 [k - т] = 0, k
Пример 14.П.1
Приведем некоторые примеры ортонормальных функций, которые
упоминались в предыдущих главах или задачах, а также области
их определения:
а) фк (0 = ^^t/T) ,	= /о + Т
£6 </<(& + 1)6,
0 для всех других значений
t0 = — оо, = оо,
как показано на рис. 14.13.
б) &(0 =
, , ,,,	1 Г 2nkt । . 2nkt 1	,	, । т
в) ^ft(0 = y==[cos^— + sin-T-J, /1 = /0 + Т.
sin 2л1Г (t —
г) Фь (0 =----=—7------= °°-
Г2Гл(1 —£)
* * *
Конечно, можно определить гораздо больше систем ортонорми-
рованных функций. Практически любую систему линейно неза-
висимых 2) функций (7) с интегрируемым квадратом 3) можно
преобразовать в систему ортонормированных функций фк (/),
пользуясь процедурой Грама — Шмидта4). Эта простая в прин-
*) Часто (как отмечалось в гл. 8), 6 [k — т] обозначают через 6hm и назы-
вают дельта-функцией Кронекера.
2) Функции являются линейно независимыми, если ни одну из них нельзя
представить в виде взвешенной суммы остальных функций.
3) А. Я. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М.: Наука, 1972, гл. VII, § 2, с. 357. — Прим. ред.
4) См., например, В. Friedman, Principles and Techniques of Applied Mathe-
matics (New York, NY: John Wiley, 1956), p. 16.
Приложение к главе 14
153
ципе процедура позволяет формировать фк (t) следующим об-
разом:
а)	Допустим, что ф0 (f) = а0В0 (0, и выберем а0 таким образом,
чтобы ф0 (f) была нормированной.
б)	Допустим, что
Ф1 (0 = <h [Ьофо (t) +	(/) ],
и выберем Ьд такшд образом, чтобы выражение в скобках было
ортогональным по отношению к ф0 (t). На основании этого вы-
числяем значение
t,
b0 = - J tt)dt.
Далее можно найти значение из условия нормирования функ-
ции фг (0.
в)	По аналогии допустим, что
Фг (0 = [софо (0 + С.Ф, (0 + |2 (0].
Из условия ортогональности выражения в скобках обеим функ-
циям ф0 (t) и фх (0 получим следующие значения с0 и сх:
со=-J ФШ)ЫГ) dt,
G
Ci = -j
а затем найдем значение (Ц из условия нормирования функции
Ф% (П.
г)	Продолжая вышеуказанную процедуру, последовательно
найдем ф3 (0, ф4 (0 и т. д.
Подобно многим результатам данной книги, процедура Грама —
Шмидта более важна как метод доказательства, а не как вы-
числительная процедура. Она показывает, например, что сосре-
доточение нашего внимания на рядах по ортонормированным функ-
циям не является серьезным ограничением и что для любой дан-
ной системы М функций s; (0 существует система не более чем М
м
ортонормированиях функций (0, при ЭТОМ St (0 = 2 Strfj (0.
Пусть известно, что функция х (0 может быть представлена
разложением по М ортонормированным функциям:
м
x(t) = s xMt), t0	(14.П.1)
k=i
154
Глава 14. Отсчеты во временной области
Тогда (как было показано в гл. 12 для синусоидального ряда)
нетрудно получить выражение для определения коэффициентов
ряда. Для этого умножим обе части (14.П.1) на (t) и проведем
интегрирование:
G г м
t. Lfe=i
J X(t)fm(t)dt
t 9
м t,
= Xk J $k (0 (0 dt =
4=1 t„
M
= S [k — m] = xm.
4=1
(14.П.2)
Так, например, взяв (t) из примера 14.17.1(a), нетрудно убе-
диться из (14.П.2), что
to+T
§ х (t) exp (— j2nmt/T) dt
to
хт = VT
= /TX [m],
где X [ml — комплексный коэффициент ряда Фурье, и тогда,
как и следовало ожидать, ряд принимает вид обычного ряда
Фурье
СО
х(0= 2 /^^Мруехр(/2лад =
Й=—ОО
00
= X [A] exp (j2nkt/T).
kset—СО
По аналогии ряд по ортонормированным функциям (даже если они
не являются синусоидами), коэффициенты которого определяются
по формуле (14.П.2), называется обобщенным рядом Фурье, а хт —
обобщенными коэффициентами Фурье.
Если бы даже не было известно, что функцию х (t) можно
представить в виде (14.П.1), нетрудно показать, как это делалось
в примере 13.4.1 и задаче 13.9 для обычных ряда и интеграла
Фурьех), что среднеквадратическая ошибка
м
х (О - 2 (О
Й«=1
2
dt
B.-J
*) Как вскоре будет показано, метод доказательства должен быть несколько
иным. Обобщение теоремы Парсеваля справедливо, лишь когда х (Z) представ-
лена в виде (14.П.1). Однако среднеквадратическую ошибку нетрудно мини-
мизировать обычным путем, приравняв к нулю частные производные по каж-
дому хк и решив полученные уравнения для Хд. Другое доказательство будет
приведено в примере 14.П.4.
Приложение к главе 14
155
для фиксированного М минимизируется путем выбора хк равными
обобщенным коэффициентам Фурье (14.П.2). В этом случае
минимальное значение среднеквадратической ошибки равно
G	м
(14.П.З)
Выражение (14.П.З) называется неравенством Бесселя. Если для
некоторого значения М (которое может быть бесконечным) и
для каждого члена из некоторого класса функций х (0 1м = О,
то систему из М функций фк (t) называют полной для данного
класса х (f), а уравнение (14.П.З) приводит к соотношению
G	м
J |х(0|2Л=£Ы2>
t,	*=1
(14.П.4)
которое называется теоремой Парсеваля.
Полученные результаты хорошо интерпретируются на основе
формальной аналогии между представлением сигналов выраже-
нием (14.П.1) и многомерными векторами. Одна из таких анало-
гий уже была применена при выборе геометрического термина
«ортогональный» для описания важного соотношения между
функциями. Действительно, параллель между сигналами и век-
торами настолько близка, что многие из материалов данной книги
рассматриваются в специальной математической литературе в раз-
деле «линейные векторные пространства».
Указанная аналогия базируется на том факте, что любой
сигнал, который может быть представлен в виде
м
x(t)= s хкфк (О
*=1
для любой фиксированной системы фк (t), может быть описан
определенной совокупностью М величин хк, которые определяют
Л4-мерный вектор х с компонентами хк. Если у (f) — другая
функция, заданная в той же системе базисных функций фк (6,
или
N
y(t) = Е УьФьШ
то вектор, соответствующий сигналу Ах (i) + By (f) (где А и
В — константы), просто имеет вид Ах + By. Однако наиболее
156
Глава 14. Отсчеты во временной области
Л
G Г М
полно аналогия просматривается, когда система функций фк (i)
является ортонормированной на интервале t0 < t < тогда х)
гм
j x(t)y(t)dt = j 2	'ZiBnKtt) dt —
to L»n = l	J l_rt=I
M
= 2	= ®-y.
n=I
(14.П.5)
Скалярное или внутреннее произведение двух векторов равно
интегралу от произведения двух сигналов. Отметим три частных
следствия:
а)	Условие, при котором функции у (t) и х (t) ортогональны,
it
I x(t)y(f)dt = O
to
эквивалентно условию, что скалярное произведение векторов х
и у равно нулю, так что х и у перпендикулярны друг другу.
Следовательно, в данном частном случае векторы фк, соответ-
ствующие функциям фк (?) (все компоненты вектора фк равны нулю,
за исключением k-й, которая равна единице), образуют совокуп-
ность взаимно перпендикулярных М векторов (естественно, в М
измерениях!).
б)	Если у (t) = х (t), то
to	м
J х2 (t) dt = 2 4 = Х-Х = ||Х||2,	(14.П.6)
to	п=1
где ||х||2 — квадрат величиныала длины вектора х, что эквивалентно
энергии сигнала х (t). В частном случае, когда функции фк (/)
нормированы единичной энергией, векторы фк представляют
собой взаимно перпендикулярные единичные векторы, образу-
ющие декартову координатную систему в Л4-мерном евклидовом
пространстве. Тогда каждый коэффициент хк является состав-
ляющей вектора х по k-й координате, а выражение (14.П.6) —
просто /d-мерное расширение теоремы Пифагора.
в)	Поскольку фк — единичный вектор в направлении k-Й
координаты, то хк — проекция вектора х на фк:
to
Xk = х-4 = J x(twk(t)dt.
__________ * о
г; /Lin простоты будем считать в следующих разделах, что х (/),	(/)
и вс< . . - огичшпе величины являются действительными.
Приложение к главе 14
157
Но это есть не что иное, как выражение (14.П.2) для коэффи-
циентов Фурье, которое было получено ранее алгебраическим
путем.
Проиллюстрируем на следующих примерах преимущества век-
торного представления сигналов.
Пример 14.П.2
Скалярное произведение двух векторов можно также записать в виде
х-у = ||xfl |Jy||cose,
где 0 — угол между х и у. Поскольку | cos 0 |	1, то
I ХУ I* 2 < II хII2 II УII3
ИЛИ
~ Ь	-12	6	Ъ
\x(t)y(t)dt <|х2(0^ \y4t)dt.
_а	J	а	а
Последнее выражение называется неравенством Шварца1). Конечно, эту очень
полезную формулу можно вывести и непосредственно, но на ее примере наглядно
представлено преимущество векторного подхода.
Пример 14.П.З
Рассмотрим совокупность М векторов xn, п— 1, 2, ..., М. При этом размер-
ность не превосходит М, так что всегда можно найти систему из
М взаимно перпендикулярных единичных векторов Фт, определяющих Al-мер-
ную координатную систему, в которой могут быть представлены все векторы хп.
Приняв этот подход, всегда можно найти совокупность единичных векторов
Фт, которая позволит представить любой из векторов хп в виде
м
xn — аптФт-
т=1
Такую совокупность можно найти, например, пользуясь процедурой Грама—
Шмидта. Для этого необходимо выбрать единичный вектор Фг вдоль вектора Xj;
выбрать Ф2, перпендикулярный 0j, в плоскости, заданной векторами хх и х2;
выбрать 0з, перпендикулярный как фг, так и 02, н т. д. Конечно, если более
чем два из векторов хп лежат в одной плоскости, то они не являются линейно
независимыми и размерность пространства меньше М. Однако следует отметить,
что если для данной проблемы представляют интерес лишь указанные М векто-
ров или сигналов, то можно ограничить весь анализ конечномерным простран-
ством, несмотря на то что каждый из сигналов может быть достаточно сложным.
Шэннон успешно применил данную концепцию при построении и доказательстве
фундаментальных теорем теории информации (см. гл. 20) 2). Есть и другое при-
ложение этой концепции. Как отмечалось ранее в данной главе, совокупность
сигналов, ограниченных по длительности и ширине спектра, имеет всего 27'W'
*) Обычно называется неравенством Буняковского—Шварца, см., например,
Э. Беккенбах, Р. Беллман, Неравенства. — М.: Мир, 1965, гл. 1, § 18, с. 36. —
Прим. ред.
2) К. Шэннон, Статистическая теория передачи электрических сигналов,
сбори. переводов под ред. Н. А. Железпоьа, М., Иностранная литература,
1953, часть I.
158
Глава 14. Отсчеты во временное области
«степеней свободы». Это эквивалентно тому, что существуют лишь около 2TW
ортогональных сигналов с длительностью Т и шириной спектра W.
Очевидно, что полученная выше Л4-мерная координатная система ие яв-
ляется единственной; этим же требованиям удовлетворяет любаи вращающаяся
ортогональная координатная система. Если и; представляет собой совокупность
единичных векторов в новой системе координат, то поворот можно описать, опре-
делив каждый новый единичный вектор через прежние единичные векторы:
М ->
n=I
где ^ln — составляющая и; вдоль фп
^•ln — 41-Фп-
Она иосит название направляющего косинуса (поскольку || u;|| = ||0n|| = 1,
н тогда 1[п — косинус угла между и; и фп).
Очевидно, что совокупность направляющих косинусов должна удовлетво-
рять определенным условиям, если и; представляют собой совокупность взаимно
ортогональных единичных векторов. Действительно, так как
u; -um = 6 [/— т],
ТО
М
2	Л*] —
п= I
Коэффициенты разложения данного вектора хп по и;
м
хп = 2 Yniu;
1=1
представляют собой проекции хп иа новые координаты:
Уп1 = xnut.
Поскольку хп как вектор независим от координатной системы, в которой ои
представлен, то должно быть справедливым, что
м	м
1Ы2 = 2 ^п1= 2
1=1	т=1
В качестве ие очень строгих графических приложений указанных пред-
ставлений рассмотрим изложенные в этой и предыдущей главах два основных
способа представления сигналов:
СО
х (i) = J х (т) S (1 — т) dx,
1, I = т,
О, 1=£т.
x(t)= [ Х{[)еи2я<‘> df.
—со
Если рассмотреть в качестве одной совокупности ортогональных векторов ряд
задержанных импульсов, а в качестве другой — ряд комплексных экспонент,
то х (т) dx и X (J) df будут составляющими функции х (/) по соответствующим
координатам. Следовательно, представление функции х (t) в частотной области
равнозначно выбору координатной системы, описывающей х (<), которая просто
Приложение к главе 14
159
повернута 'относительно координатной системы во временной области. При этом
теорема Парсеваля
СО	со
j х* (Г) Л = j I X (f) I» df
—СО	I—со
просто подтверждает тот факт, что длина вектора не зависит от системы коор-
динат, в которой он представлен.
Пример 14.П.4
В качестве последнего примера вернемся вновь к проблеме, которая рассматри-
валась в примере 13.4.2 и задаче 13.19 применительно к сигналам. Пусть необ-
ходимо выбрать коэффициенты х^ в конечной сумме
М
(0.
Л=1
которая по критерию минимальной средиеквадрэтической ошибки лучше всего
аппроксимирует сигнал х (/). Среднеквадратическая ошибка равна
ti
&=J
м
х (О - 2 Хкфк (<)
k=l
di.
Решение задачи, полученное алгебраически в (14.П.2), состояло в том, что коэф-
фициенты хд должны быть коэффициентами Фурье
6
xk = j X (f) Фк (f) dt.
Сущность данной проблемы и ее решение становятся намного понятнее, если
ее представить в векторной форме. Пусть необходимо найти «лучшее приближе-
ние» вектора х' к вектору х. Допустим, что вектор х' имеет конечное число отлич-
ных от нуля составляющих (например, первые Л4), необходимых для определения
вектора х. При этом под «лучшим приближением» понимается минимизация рас-
стояния между концами векторов х и х' или длины || х — х' || вектора х — х'.
Очевидно, что минимальное расстояние между векторами в этом смысле соответ-
ствует минимальной среднеквадратической ошибке между сигналами, поскольку
Рис. 14.14. Минимизация средиеквадрэтической ошибки в трехмерном про-
странстве.
160
Глава 14. Отсчеты во временной области
Предположим, н частности, что необходимо найти лучшую аппроксимацию
между вектором, лежащим в ^-^-плоскости, и трехмерным вектором х, как
показано на рис. 14.14. С геометрической точки зрения ясно, что для миними-
зации || х — х'|| вектор х—х' должен быть перпендикулярен ФГФ2-плоскости,
следовательно, составляющие вектора х' должны быть равны составляющим
вектора х по координатам Фг и ф2. Как было показано ранее, это означает,
что они должны равняться коэффициентам Фурье. Кроме того, на основании
свойств прямоугольных треугольников имеем
II Х II > II X' II.
что эквивалентно неравенству Бесселя.
* * *
Другие применения векторного представления сигналов будут описаны
в задачах и последующих главах.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 14
Упражиенве 14.1
Показанная на рис. 14.15 система осуществляет выборку сигнала х (1), имеющего
преобразование Фурье X (Г). Покажите, что сигнал на выходе системы у (f) =
= S (t).
x{t)
Рис. 14.15.
Упражнение 14.2
Пусть преобразование Фурье сигнала х (t) равно нулю вне полосы | / | < 100 Гц,
а преобразование Фурье сигнала у (1) равно нулю вне полосы [ f | < 200 Гц.
Каким должен быть максимальный временной интервал между отсчетами, чтобы
они полностью характеризовали следующие сигналы:
а) х (0, б) х (100,	в)х(0 + 1/(0.
г) x (t)*y (t),	х (t) у (t)?
Ответы: a) 5 мс, б) 0,5 мс, в) 2,5 мс, г) 5 мс, д) 1,67 мс.
Упражнения к главе 14
161
Упражнение 14.3
а)	Взяв за основу ряд Фурье для импульсной последовательности, найдите
выражение для последовательности дублетов:
б(г-А) = J	=
k=i—ОО	fe=—СО
4nfe . 2nkt
-------2 ~T2~ Sln ~T~ •
k=i
б)	При традиционном обосновании рядов Фурье иногда доказывают, что
S
ул 4п^ •	п < , -г i	\
1)	hm у t	 sin—^—= О, t=fcnT (что справедливо).
W-CO 4-4
2)	При t = пТ, каждый член суммы равен нулю (что справедливо).
3)	Следовательно,
N
2 4nk . 2nkt п	.
sin —=— = 0 для всех t.
'	Г
fe=l
Таким образом, ряд Фурье для периодической функции не является един-
ственным: для каждого коэффициента можно ввести произвольный множитель
jink/T2, при этом результат синтеза не изменится. Обсудите этот вывод.
Упражнение 14.4
Показанный на рис. 14.16 сигнал х (/), имеющий преобразование Фурье X (j) =
со
— J х (t) e~i23l,t dt, пропускается через физически неосуществимый гребенча-
—со
тый фильтр с периодической импульсной характеристикой h (f).
ОО
а)	Покажите, что энергия входного сигнала х (/) равна j х2 (/) dt = 12,
—оо
т
в то время как средняя мощность равна lim § х2 (/) dt = 0.
б)	Покажите, что энергия выходного сигнала у (t) = х (/) *h (/) бесконечна,
а его средняя мощность равна 13,5.
6 Сиберт У. М.» ч. 2
Глава 14. Отсчеты во временной области
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 14
Задача 14.1
Задан периодический сигнал х (0, изображенный на рнс. 14.17.
Период = N
Рис. 14.17.
а)	Представляя х (0 как разность двух импульсных последовательностей,
одна с периодом 1, а другая с периодом N, найдите интеграл Фурье для х (0.
б)	Найдите ряды Фурье для х (0, используя непосредственно формулу для
коэффициентов Фурье. Обратите внимание на особенности гармоник, кратных N.
Сравните полученные результаты с а).
в)	Сигнал х (0 поступает на вход ЛИВ-системы, импульсная характеристика
которой показана на рис. 14.18. Найдите частотную характеристику этой си-
стемы.
Рис. 14.18.
г)	Найдите ряд Фурье для выходного сигнала у (t) системы.
д)	Найдите функцию времени у (0, которая соответствует ряду Фурье,
определенному в г).
е)	Проверьте ответ в пункте д), используя анализ во временной области.
Задача 14.2
Показанная на рис. 14.19 система должна формировать на выходе сигнал с боль-
шой амплитудой, когда на ее вход поступает синусоидальное напряжение с ча-
h(t}
I
т0
Рис. 14.19
Задачи к главе 14
163
стотой около 1/Т Гц. На всех других частотах выходной сигнал должен иметь
малую амплитуду. Таким образом, система ведет себя в некотором отношении
как узкополосный фильтр. Частоту настройки фильтра можно регулировать изме-
нением периода Т импульсной последовательности.
а)	Найдите и изобразите преобразование Фурье R (J) периодической импульс-
ной последовательности г (t).
б)	Найдите и изобразите модуль преобразования Фурье | Н (/) I для инте-
гратора с конечным временем интегрирования, имеющего импульсную харак-
теристику h (/).
в)	Задана функция х (/) = A cos (2nf0t + 0), частота которой /0 близка
к значению 1/Т. Изобразите зависимость среднеквадрэтического значения у (/)
от /0— 1/Т для То = 100Т. (Сделайте допустимую аппроксимацию.)
г)	Для каких частот, отличных от fB = 1/Т, на выходе данной системы будет
присутствовать сигнал с большим среднеквадратическим значением? Предло-
жите схему, уменьшающую реакцию на этих частотах. При этом имейте в виду,
что система должна настраиваться в некотором частотном диапазоне измене-
нием Т,
Задача 14.3
На рис. 14.20 представлена схема однополупер иодного выпрямителя. Как пока-
зано на временной диаграмме, при малых токах нагрузки формируются напря-
Рис. 14.20.
жения различной формы. В частности, диод открыт лишь в течение очень малой
части каждого периода.
а)	Чему равно о3 (/), если I (/) =
б)	Чему равно п3 (/), если i (1) =	але^пш°г?
П=—оо
в)	Пусть ток i (t), —оо < t < оо представляет собой периодическую по-
следовательность импульсов с площадью Т и периодом Т, т. е.
!(/)= J T6(t-nT).
п~—со
Найдите ряд Фурье или интеграл Фурье дли выходного напряжения о3 (/).
6*
164
Глава 14. Отсчеты во временной области
г)	Пусть Ida — среднее значение i (f) н If — среднеквадратнческое значение
составляющей i (t) на основной частоте. Покажите, что
If ~ К2 Idc
1
и если —— < toL, то
(оС
/У
Vsf/Vsde » Ш3£С2£ >
где V3f и V3da — среднеквадратическое значение составляющей на основной
частоте и среднее значение v3 (/) соответственно. (Совет. Рассматривайте i (t)
приближенно в виде периодической импульсной последовательности1).)
Задача 14.4
Прн проведении пснхоакустнческих экспериментов в качестве тестов часто ис-
пользуют повторяющиеся тональные посылки. Рассмотрите два возможных
способа генерирования таких звуковых сигналов;
а)	Тональный сигнал генерируется с одной и той же начальной фазой для
каждой посылки, как показано на рис. 14.21 .,Д. Тг не обязательно кратно 1//с.
Б)
sin2v/of	_
—-----------0
п
Стробирующий
сигнал
Произведение sin2Tr<of
и стробирующего сигнала
Рис. 14.21.
б)	Непрерывный тональный сигнал, стробируемый прямоугольными им-
пульсами, как показано па рис. 14.21, Б. Частота тонального сигнала не обяза-
тельно кратна частоте стробирования.
Рассмотрите различия между временными функциями и спектрами этих двух
сигналов. Является тот или другой, или оба этих сигнала периодическими?
Задача 14.5
В любых реальных системах связи или управляемых системах отсчеты осуще-
ствляются импульсами конечной длительности вместо идеальных импульсов.
На рис. 14.22 иллюстрируются два способа формирования таких импульсов.
’) L. В. Arguimbau, Vacuum Tube Circuits (New York, NY: John Wiley,
1948) pp. 27—28.
Задачи к главе 14
165
В способе А значение x(n/2W) удерживается после отсчета в течение дли-
тельности импульса 6. В способе Б каждые 1/2IT секунд стробируются сегменты
сигнала х (/) длительностью 6. Импульсная последовательность А может рас-
сматриваться как результат прохождения последовательности идеальных им-
пульсов отсчета через фильтр с импульсной характеристикой, представляющей
собой узкий прямоугольный нмпульс длительностью 6. Импульсный сигнал Б
получается простым умножением х (/) на периодические прямоугольные импульсы.
Считая, что спектр X (/) ограничен частотой | / | < W, опишите детально спектры
указанных двух сигналов для | / | < W7 н покажите, как в каждом случае можно
с высокой точностью восстановить сигнал х (f).
Задача 14.6
Покажите, что сигнал х (/) с ограниченным спектром можно восстановить из от-
счетов в способе Б задачи 14.5, если импульсы располагаются чаще, чем 1/W,
а 6Ц7 — рациональное число. (Как уже отмечалось в этой главе, теоретически
сигнал х (/) можно восстановить из стробированного процесса прн гораздо более
слабых условиях.)
Задача 14.7
а)	В системе, показанной на рис. 14.23, найдите максимальную величину Т
и значения постоянных Д, и /2, при которых г (t) = х (1).
Ж) = х(Л
H[f) = •
О при всех других f

Рис. 14.23.
со
s(/) = £ 8(/-лТ)
п = -со
б)	Решите вновь задачу а), заменив s (/) на s (t — TQ), где To — постоянная,
заключенная в диапазоне 0 < То < Т.
Задача 14.8
Теоретически точный способ восстановления сигнала с ограниченным спектром
по его отсчетам заключается в том, что импульсы отсчетов (идеальные импульсы)
пропускают через идеальный фильтр нижних частот. Однако на практике часто
применяют другие сглаживающие или интерполяционные схемы. Одна из нанбо-
166
Глава 14. Отсчеты во временной области
2Т ЗГ
Источник
напряжения= x[t)
Исходный сигнал х( г)
А У(Н
Рис. 14.24. Ключ кратковременно замыкается каждые Т секунд.
лее простых—показанная на рис. 14.24 схема фиксатора нулевого порядка.
Каждые Т секунд происходит кратковременное замыкание ключа, и в этот мо-
мент конденсатор С заряжается до величины входного импульса. В интервалах
между импульсами переключатель находится в разомкнутом состоянии, и кон-
денсатор просто сохраняет или «запоминает» амплитуду последнего импульса.
В результате на выходе формируется «ступенчатое» напряжение у (t), аппрокси-
мирующее исходный входной сигнал х (0, из которого были получены отсчеты.
Такая схема представляет собой изменяющуюся во времени линейную си-
стему, но поскольку продолжительность входных сигналов ограничена после-
довательностью коротких импульсов £ (0, то по результирующему эффекту
такая система приближенно соответствует ЛИВ-системе (рис. 14.25).
Рис. 14.25,
ЛИВ-
система
h(/)
—О
+
—О
а)	Полагая, что £ (0 — импульсная последовательность:
£(t)= 2 ^x(nT)dft—nT),
п=—со
найдите h (0, при которой у (0 на рис. 14.25 будет таким же, как и на рис. 14.24,
когда на вход поступает соответствующая импульсная последовательность.
б)	Найдите зависимость между У (/) и спектром исходного сигнала х (0
с ограниченным спектром, из которого был получен сигнал х(0. При каких
условиях у (0 является наилучшим приближением к исходному сигналу (прове-
дите анализ как во временной, так и в частотной областях)?
Задачи к главе 14
167
Задача 14.9
Как было показано в этой главе, сигнал с ограниченным спектром |/|< W
может быть восстановлен из неравномерно расположенных во времени отсчетов,
если их средняя частота составляет 2W отсчет/с. Данная задача иллюстрирует
частный пример неравномерных отсчетов.
Предположим, что
1)	х (!) ограничен по спектру: X (/) = 0, |/ |	W-,
2)	s (f) — неравномерно распределенная во времени периодическая импульс-
ная последовательность (рис. 14.27);
Рис. 14.27.
3)	f (0 — периодический сигнал с периодом 1/W. Поскольку f (!) умно-
жается на импульсную последовательность, то значимыми отсчетами этого сиг-
нала являются только f (0) = а при t = 0 и f (Т) = b при t = Т.
4)	Я1 (/) — 90°-ная фазосдвигающая цепь:
Н Ж - / я ^>0
1(Л	(-/, /<0;
5)	Я2 (/) — идеальный фильтр нижних частот:
Я2 (/) =
К, о</< и?',
К*, — W<f<0,
о, \f\>w,
где К — постоянная (возможно, комплексная).
Найдите и при возможности изобразите:
а) Преобразование Фурье S (/) для s (/).
б)	Преобразование Фурье для произведения s (t) f (!) через значения не-
определенных параметров а и Ь.
в)	Выражение для преобразования Фурье (/) сигнала у2 (t), которое
справедливо в интервале 0 <f < W.
г)	Выражение для преобразования Фурье У2 (/) сигнала у2 (0> которое
справедливо в интервале 0 < / < W-
д)	Выражение для преобразования Фурье У3 (/) сигнала уз (1), которое
справедливо в интервале 0</< U".
168
Глава 14. Отсчеты во временной области
е)	Значения действительных параметров а и Ь и комплексного коэффи-
циента усиления X как функций от Т, прн которых z (/) = х (/) для любого сиг-
нала х (/) с ограниченным спектром и любого Т в диапазоне 0 < Т < 1/2Ц7.
Задача 14.10
Часто на экране осциллографа необходимо отобразить очень быстрые временные
процессы, например изобразить важные изменения, протекающие за долю нано-
секунд. Поскольку время нарастания у самых быстродействующих осциллогра-
фов значительно превышает эту величину, то это не может быть достигнуто пря-
мыми измерениями. Однако если сигнал периодически повторяется, то требуемый
результат можно получить косвенным путем при помощи прибора, получившего
название стробоскопического осциллографа.
Рис. 14.28.
В этом способе, показанном на рис. 14.28, отсчет быстрого сигнала х (/)
производят один раз за период, но с прогрессивно нарастающей задержкой в по-
следующих периодах. Шаг задержки А должен соответствовать интервалу между
отсчетами для полосы сигнала х (f). Если полученную таким образом импульс-
ную последовательность пропустить через соответствующий интерполирующий
фильтр нижних частот, то иа выходе фильтра получим напряжение у (t), кото-
рое подобно исходному быстрому сигналу, растянутому во времени, или у (t) ~
~ х (at), где а С 1.
а)	Если X (/) равно нулю вне полосы |/ | < УРХ и У (/) ограничено полосой
|/ | < каков наименьший период Т и наибольший шаг задержки А, которые
можно использовать в данной системе?
б)	Пусть Т и А равны экстремальным значениям, найденным в (а). Найдите
точное выражение для у (t) в системе, показанной на рис. 14.29, выразив у (t)
через х (t), Wx н Wj,.
|Х(П|--0
И >
ns(/) = £ 8(г-л(г + Д))
H(f)
2(Г+Д)
_O при всех других б
Рис. 14.29. х (/) — периодическая функция с периодом Т.
Задачи к главе 14
169
Задача 14.11
а)	Найдите и изобразите S (/).
б)	Найдите и изобразите h (t).
в)	Поясните с помощью соответствующих рисунков, почему у (f) = Кх (1),
если х (t) ограничен по спектру, как показано на рис. 14.30. Найдите значение К.
Задача 14.12
В системе, показанной на рис. 14.31 х), отсчеты функций х (f) и х [t) *h(t) с огра-
ниченным спектром производятся с частотой IT отсчет/с, или в два раза реже,
чем необходимо для точного определения одного сигнала х (f). Цель дайной за-
дачи — показать, что для многих выборов Н (/) можно найти такие ЛИВ-системы
Gj (/) н С2 (/), чтобы у (/) = х (t), и отсчеты х (/) и х (t) *h (f) совместно опреде-
ляли х (/) однозначно.
Рис. 14.31. s (/) — периодическая последовательность единичных импульсов.
а)	Покажите, что Y (f) в интервале 0 < f < W определяется как
У(Г) = WG^f) [X(f)+ X{f- Г)] +
+ WG2 (/) [X (/) Н (f) + X (f - Г) н (f - Г)1-
*) D. 4. Linden, Proc. IRE, 47 (July 1959): 1219—1226.
170 Глава 14. Отсчеты во временной области
б)	Покажите, что если выходной сигнал Н (f) является производной от
х (i), a Gj (/) и G2 (/) имеют форму,, показанную на рис. 14.32, то у (/) = х (f).
Рис. 14.32.
Это означает, что функция с ограниченным спектром полностью определяется
отсчетами самой функции и ее производной, имеющими частоту в два раза ниже
нормального значения х).
в)	Покажите, что если выходной сигнал Н (/) является преобразованием
Гильберта от х it) (см. задачу 15.3),
(/)	( Л /<0’
то возможно выбрать Gx (/) и G2 (/) таким образом, что у (/) = х (t). Это означает,
что функция с ограниченным спектром полностью определяется отсчетами самой
функции и ее преобразования Гильберта, имеющими частоту в два раза ниже
нормального значения.
Задача 14.13
Для предотвращения межсимвольной интерференции в модеме (модулятор/демо-
дулятор), предназначенном для передачи двоичного кода по телефонному каналу,
в свое время был предложен следующий способ * 2):
А. Представьте последовательность двоичных чисел в модуляторе двух-
уровневым сигналом, как показано на рис. 14.33.
Б. Допустите описание комбинированных эффектов в различных фильтрах
в модуляторе, демодуляторе, телефонной линии и т. п. в виде ЛИВ-системы
г) Вопросы приближения функций по отсчетам, как самой функции, так и
отсчетам ее производных, и другие вопросы аппроксимации подробно изложены
в отечественной литературе, см., например, Д. И. Хургин, В. П. Яковлев, Методы
теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. — М.: ГИФМЛ,
1962. — Прим. ред.
2) Н. Nyquist, Trans. AIEE, 47 (April 1928): 617—644.
Задачи к главе 14
171
с частотной характеристикой Н (f). Пусть р (1) — реакция этой системы иа оди-
ночный единичный импульс длительностью Т.
Рис. 14.34.
В. Выберите Н (f) таким образом, что
1)	Р (0) = 1;
2)	р (пТ) — 0 для любых положительных или отрицательных целых п,
за исключением 0;
3)	Р (f) ~ 0 для | f [ > W, где W — используемая полоса телефонной линии.
Рис. 14.35. 1 — принимаемое колебание, 2 — дискретизирующая последователь-
ность.
Тогда иа приемной стороне телефонной линии двухуровневый сигнал в (А)
будет иметь форму, показанную на рис. 14.35. Производя отсчеты в показанных
точках, можно восстановить исходную цифровую последовательность, без
межсимвольиой интерференции. Данная задача иллюстрирует различные
примеры этой схемы.
а)	Пусть р (/) имеет вид
р (I) = (sin-y-) I
Каким должно быть минимальное значение 7' (максимальная скорость пере-
дачи двоичной информации), чтобы Р (f) в точности удовлетворяло вышеуказан-
ному условию (3)?
б)	Для р (t) из условия (а) и минимально допустимого значения Т найдите
выражение для Н (J) и нарисуйте его форму.
в)	Другой выбор для р (I) дает почти любую форму в виде
р (П =g(0 (sin-y-) /~y~>
где g (0) = 1, а Т ограничено допустимыми значениями. Пусть конкретно
172 Глава 14. Отсчеты во временной области
Нарисуйте форму р (г) и Р (f). Объясните, каким образом вы могли бы рассчи-
тать Н (/) (не прибегая к точным формулам) и определить минимальное значе-
ние Т, удовлетворяющее условию (3).
г)	Докажите, что обобщенный класс спектров Р ([), удовлетворяющий изло-
женному выше требованию исключения межсимвольной интерференции, имеет
антисимметричную форму спада на границе полосы пропускания, как показано
на рис. 14.36.
Задача 14.14
Покажите, что временные функции
„ т sln 2nW У ~
1 ( > 2лГ (t — тг)
являются собственными функциями системы
{ I. О, для всех других значений f
прн любых значениях постоянной Т; (см. разд. 12.0). Рассмотрите взаимосвязь
этого факта с теоремой отсчетов.
Задача 14.15
Пусть Ь; (!) = tke~tl2u (/). Используйте процедуру Грама—Шмидта для нахо-
ждения первых нескольких функций из следующего ряда ортонормальных функ-
ций на интервале 0</<оо. Эти функции называются функциями Лагерра.
ОО
(Совет. Вам может оказаться полезным тот факт, что j * di = Л!.)
0
0о (1) = e“z/2u (0.
0i (l) = (-/ + l)e~Z/2« (0.
02ffl = (4-~2<+
0Д (0 = Л	[tke '] и (t).
«1 dt
Задачи к главе 14
173
Задача 14.16
а)	Пусть Н (/) — частотная характеристика ЛИВ-снстемы. Предположим,
что Н (J) является периодической в частотной области: Н ([ -|- /0) = И (/) для
некоторого значения /0 н всех значений /. Опишите с максимально возможной
точностью импульсную характеристику h (?) этой системы н выразите h (?) через
Н (/) на интервале одного периода 0 < f < fg.
б)	В общем случае меняющиеся во времени линейные операторы не являются
коммутативными (перестановочными), так что результирующий эффект каскад-
ного включения двух линейных меняющихся во времени систем (нли одной ме-
няющейся, а другой — ннварнантной во времени системы) зависит от нх порядка.
Рассмотрим, в частности, системы, показанные на рнс. 14.37: усилитель (умно-
asin
Рис. 14.37. ЛИВ-спстема с Н (/), периодической в частотной области с перио-
дом 1/7’: Н	= Н (/)’, s (?)— периодическая во временной области
функция с периодом Т: s (t 4. Г) = s (?).
житель) с меняющимся во времени коэффициентом усиления н ЛИВ-снстему
с периодической частотной характеристикой. Рассмотрите коммутативность
каскадов в указанных системах. Докажите, что две показанные системы эквива-
лентны для всех входных сигналов нли приведите пример входного сигнала,
для которого они имеют различные выходные реакции. (Совет. Рассмотрите
реакцию этих систем на короткие импульсы, поступающие в различные моменты
времени.)
Задача 14.17
а)	Используя представление о векторном пространстве, докажите, что не-
равенство Шварца превращается в равенство тогда н только тогда, когда х (?) =
= ky (?).
б)	Используя неравенство Шварца, докажите, что среднее значение дей-
ствительной периодической функции всегда меньше нли равно ее среднеквадра-
тическому значению:
(х (?)) = -± У X (?) dt < ]/ -У J х* (?) dt =	(?)).
о	6
в)	Получите результат (б) из теоремы Парсеваля.
г)	Как будет показано в гл. 19, автокорреляционная функция действитель-
ного периодического процесса определяется следующим выражением:
д	Т
#х W = {к (О х (t — т)) = J х (/) х (/ — т) dt.
О
174
Глава 14. Отсчеты во временной области
Используя неравенство Шварца, докажите, что
Задача 14.18
а)	При помощи формулы (в) из табл. 13.2 докажите, что если система функ-
ций (/) является ортонормальной на бесконечном интервале —оо •< t <. оо,
то их преобразования Фурье Фд (f) также ортонормальны на бесконечном интер-
вале —оо <. f <. оо.
б)	Применив результат (а) для функций задачи 14.15, докажите, что функции
ортонормальны на бесконечном интервале —оо <. f < оо-
15
ФИЛЬТРЫ, РЕАЛЬНЫЕ И ИДЕАЛЬНЫЕ
15.0. Введение
Простой короткий импульс, идеальным примером которого яв-
ляется Л 6 (t—Т), полностью определяется как своим преоб-
разованием Фурье, так и описанием, как функции времени.
Однако для большинства из нас задание импульсных сигналов
непосредственно во временной области представляется более
наглядным, более близким к их импульсному характеру, их
амплитуде и времени возникновения, чем описание этих же сиг-
налов в частотной области. И, очевидно, по этим же причинам
такие операции, как стробирование или отсчет (умножение на
короткий импульс) и задержка (свертка с коротким импульсом),
легче воспринимаются во временной области. Частотная область,
с другой стороны, удобна для описаний, дуальных к вышеука-
занным операциям и сигналам. Дуальным временному импульсу
является «импульс» в частотной области, соответствующий сину-
соиде или другому узкополосному сигналу, для которых преоб-
разование Фурье равно нулю или весьма мало на всех частотах,
за исключением малой области вблизи одной конкретной частоты.
Дуальным стробированию и задержке являются соответственно
фильтрация (свертка с узкополосным сигналом) и частотный
сдвиг (умножение на синусоидальный сигнал). По-видимому, это
следует изучать как операции по преобразованию сигналов, если
мы рассчитываем глубже понять их сущность. Именно такой
подход будет излагаться в следующих главах.
Четыре элементарные операции — стробирование и задержка,
фильтрация и частотный сдвиг — в различных сочетаниях и
приближениях составляют основу функционирования самых слож-
ных систем связи и управления, систем обработки сигналов.
Таким образом, способность быстро и легко переходить от опи-
сания сигналов во временной области к соответствующему их
описанию в частотной области оказывается весьма полезной при
изучении этих систем. Кроме того, ряд простых примеров, идеа-
лизаций и теорем, относящихся к импульсам во временной и
частотной областях, а также к соответствующим элементарным
176
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
операциям, образно говоря, составляют основу языка, которым
можно охарактеризовать работу той или иной системы. Такая
идеализация помогает объяснить работу сложной системы, при-
нимая во внимание, что отдельные ее части аналогичны известным
более простым системам. Расширенная задача этой книги состоит
в том, чтобы рассмотреть некоторые из указанных простых при-
меров и теорем и дать навыки в гибком переходе от описания
сигналов во временной области к описанию в частотной. В гл. 17,
в частности, мы проиллюстрируем полезность этого языка для
описания различных важных систем модуляции и демодуляции.
16-1. Идеальные фильтры
Обычно фильтром называют устройства, которые могут быть
подразделены на два класса: те, которые пропускают, и те, кото-
рые не пропускают через себя некоторую физическую субстан-
цию в зависимости от таких свойств объекта, как размер, масса
или цвет. Идеальным (частотным) фильтром можно считать ЛИВ-
систему, имеющую одну или более полос пропускания (ряд ча-
стот, для которых | Н (/) | = 1) и одну или более полос непрозрач-
ности (ряд частот, для которых | Н (/) | = 0). Простые идеаль-
ные фильтры обычно подразделяют на фильтры нижних и верх-
них частот и полосовые (рис. 15.1).

— -I -----------------
-w w f
в
-wz -и/, W, W,
Рнс. 15.1. Идеальные фильтры: а—общий, б—ннжннх частот, в—верхних
частот, г —• полосовой.
Фильтрующее действие идеального фильтра определяется в сущ-
ности значением его амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)
| Н (/) |. Однако для полного описания фильтра как ЛИВ-системы
необходимо также определять и фазовый угол — фазочастотную
характеристику (ФЧХ), arg Н (/). Обычно считают, что для
15.1. Идеальные фильтры
177
идеального фильтра arg Н (/) равен нулю или пропорционален
частоте
arg Н (/) = —а/, а 0.
(15.1.1)
При этих условиях," сигнал х (t), спектр которого уже полосы
пропускания фильтра, воспроизводится на выходе без измене-
ний, за исключением просто задержки Т — а/2л (рис. 15.2).
Такой идеальный фильтр называют неискажающим.
Рнс. 15.2. Фазовая характеристика идеального
ненскажающего фильтра. Задержка= ( —jr-'lx
\ /
X (наклон) = -р .
Как будет показано в последующих разделах, частотная ха-
рактеристика реальной физической ЛИВ-системы может лишь
приближаться к характеристике идеального фильтра. Некоторые
из этих отличий показаны на рис. 15.3. Во-первых АЧХ | Н (/) |
реального физического фильтра не может скачком изменяться
от 1 до 0 на частоте среза, это изменение происходит в некоторой
переходной полосе, имеющей конечную величину. Во-вторых,
АЧХ | Н (/) | не может быть в точности равна нулю на всех ча-
стотах полосы непрозрачности, возможно | Н (/) | = 0 лишь на
некоторых изолированных частотах, таких как на рис. 15.3.
Относительную эффективность фильтра в полосе непрозрачности
обычно определяют уровнем затухания на верхней границе этой
полосы частот. И наконец, практически невозможно соблюсти
условия | Н (/) | = 1 или arg Н (/) = —af в полосе пропускания.
Типично, что средний коэффициент усиления фильтра меньше
единицы и описывает вносимые потери. Кроме того, параметры
характеристики реального фильтра отклоняются от идеальных
параметров характеристики, что приводит к амплитудным и фа-
зовым искажениям передаваемого сигнала. Часто отклонения
амплитудно-частотной характеристики имеют вид, показанный
на рис. 15.3, и называются пульсациями. При последовательном
включении сотен фильтров, как это имеет место в протяженных
телефонных линиях, даже небольшие искажения в каждом фильтре
имеют существенное значение, и для их компенсации могут потре-
боваться специальные корректирующие цепи. (Такие линейные
амплитудные и фазовые искажения не следует путать с нелиней-
ными искажениями, которые в той или иной степени присущи
178
Глава 15. Фильтры, реальные н идеальные
Рис. 15.3. Отклонения характеристик реальных фильтров от идеальных харак-
теристик.
каждой реальной физической системе, и создаваемые ими эффекты
обычно не удается легко откорректировать.)
С самых первых дней становления радиотехники велись интен-
сивные работы по исследованию и созданию более совершенных
фильтров. К существенным достижениям в этой области следует
отнести «электрические волновые фильтры», созданные Кэмпбел-
лом1), Зобелем, Боде, Фостером и другими в 20-х и 30-х годах
в Bell Telephone Laboratories, а также «современную» теорию
синтеза четырехполюсников, разработанную Кауэром, Гиллеми-
ном2) и многими другими в 30-х и 40-х годах Большинство ранних
исследований концентрировалось на точности реализации дета-
лей | Н (/) | при малом внимании к роли фазовой характеристики.
Такой подход был вполне приемлем, поскольку в то время фильтры
применялись главным образом в телефонии и радиосвязи, а че-
ловеческое ухо практически нечувствительно ко многим видам
фазовых искажений. Однако быстрое развитие радиолокации,
!) G. A. Campbell, U. S. Patent 1.227.113, May 22, 1917.
2) Е. A. Guillemin, Synthesis of Passive Networks (New York, NY: John
Wiley, 1957).
15.2. Преобразование Гильберта
179
телевидения и импульсной техники во время и после второй ми-
ровой войны предъявило более серьезные требования. В частно-
сти, возникла необходимость управлять некоторыми параметрами
переходной или импульсной характеристики так же хорошо, как
и частотной характеристикой.
Очевидно, невозможно существование независимых описаний
полной импульсной или переходной характеристик от полной
частотной характеристики фильтра, поскольку любая из них
определяет другие. Однако частные детали каждой из характе-
ристик допустимы и предполагают, что некоторые компромиссы
Рис. 15.4. Переходная характеристика фильтра нижних частот: реакция = О
при t < 0 (каузальность).
и ограничения возможны. На рис. 15.4 показаны некоторые из
важных параметров типичной переходной характеристики, управ-
ление которыми необходимо искать для реальной аппроксимации
фильтра нижних частот. В следующих нескольких разделах и
последующей главе будут описаны основные методы получения
таких требуемых параметров, как задержка и время нарастания,
а также возможности управления величиной выброса при обеспе-
чении принципа причинности для заданных полосы пропускания
и уровней затухания частотных характеристик. Большинство
выводов будет касаться фильтров нижних частот, поскольку, как
будет показано ниже, свойства полосовых фильтров могут быть
получены на основе параметров соответствующих фильтров ниж-
них частот.
15.2. Условие причинности1) и преобразование Гильберта
Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот,
имеющего амплитудно-частотную характеристику
( 1. 1Л<№,
	= |Л>У
х) Условие причинности, принцип причинности в отечественной литературе
обычно называют условием физической осуществимости, суть которого заклю-
чается в том, что отклик цепи не может предшествовать воздействию на нее. —
Прим. ред.
180
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
и фазочастотную характеристику
arg Н (/) = 0,
определяется парой преобразований из табл. 13.1 как
, sin2nlFt	/14 9 п
Л(/) =--, — оо</<оо	(1о. 2.1)
и изображена на рис. 15.5.
Рис. 15.5. h it) идеального фильтра с задержкой и без задержки.
Поскольку h (0 не равна нулю при t < 0, то идеальный фильтр
нижних частот не является каузальным. Простым допол-
нением линейной фазовой функции эту проблему решить нельзя,
не существует таких значений Т, для которых h (t — Т) идеаль-
ного фильтра нижних частот была равна нулю при t < 0. Конечно,
при достаточно большой задержке Т величина импульсной ха-
рактеристики h (t — Т) для отрицательных t может быть меньше
любого заданного значения. Таким образом, представляется, что
при малых амплитудных и фазовых искажениях соответствующего
вида и достаточно большой задержке идеальный фильтр нижних
частот может отвечать условию причинности. Однако эта пред-
посылка является в значительной степени ложной. Проблема
любого идеального фильтра состоит в том, что мы пытаемся обеспе-
чить условие | Н (f) | = 0 за пределами некоторой полосы частот,
например | f | > W. Норберт Винер сказал по этому поводу сле-
дующее: «Ни один из фильтров, отвечающих условию причин-
ности, не может иметь бесконечного затухания в конечной (не-
нулевой) полосе частот. Идеальный фильтр физически неосуще-
ствим из-за самой его сущности, а не по причине отсутствия
необходимых технических средств. Не существует такого прибора,
который, действуя только в прошлом, смог бы с произвольной
точностью отделить одну полосу частот от другой [полосы ча-
стот]»1). Этот вывод вытекает из известной теоремы Пэли—Ви-
нера 2), которая утверждает, что если импульсная характери-
N. Wiener, The Interpolation, Extrapolation and Smoothing of Stationary
Time Series (Cambridge, MA: Technology Press, 1949), p. 37.
2) H, Винер, P. Пэли, Преобразование Фурье в комплексной области. —
М.: Наука, 1964.
15.2. Преобразование Гильберта
181
стика h (t) интегрируема в квадрате и отвечает условию причин-
ности, то
СО
J	df<oo.	(15.2.2)
—со
Обратно, если амплитудно-частотная характеристика | Н (f) | инте-
грируема в квадрате, а интеграл (15.2.2) расходится, то условие
h (t) = 0 не может быть выполнено для всех t < 0 независимо
от вида фазочастотной характеристики arg Н (f).
Не приводя доказательства (15.2.2), отметим ряд интересных
следствий 1),2). Как уже предполагалось ранее, нельзя физически
осуществить фильтр, который бы полностью подавлял одну по-
лосу частот и пропускал другую (изолированные нули амплитудно-
частотной характеристики допустимы), безразлично, какова при
этом форма амплитудно-частотной характеристики \Н (f) | в полосе
пропускания и какова фазочастотная характеристика, которую
мы выбираем для полного определения Н (/). Более того, теорема
Пэли—Винера ограничивает крутизну спада частотной характе-
ристики в физически осуществимой ЛИВ-системе, когда | / | —>• °°.
Физически неосуществимы ЛИВ-системы с амплитудно-частотной
характеристикой
10)1 = ^	(15.2.3)
или
I Я(/)|. . е-яр,	(15.2.4)
которые	спадают	экспоненциально или	быстрее	при	|/|->-оо.
Теорема	Пэли—Винера	утверждает также	следующее: пусть
задана любая интегрируемая в квадрате функция | Н (f) |, для
которой выполняется (15.2.2), тогда существует функция arg Н (f),
такая что Н (f) = | Н (/)| е> аг?н является преобразованием
Фурье физически осуществимой h (t). Однако эта часть теоремы
представляет меньший интерес, чем необходимое условие (15.2.2).
Практическое значение теоремы Пэли — Винера не столь ве-
лико, как это может показаться на первый взгляд. Тот факт,
что некоторая функция | Н (/) | удовлетворяет или не удовлетво-
ряет условию (15.2.2), к сожалению, мало говорит о трудностях
аппроксимации | Н (/) | посредством физически осуществимых
устройств. Так, показанную на рис. 15.6 амплитудно-частотную
характеристику | Нх (/) | не легче аппроксимировать физически,
х) Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться в книге A. Pa-
poulis, The Fourier Integral and Its Applications (New York, NY: McGraw-Hill,
1962), p. 215. Теорему можно распространить на импульсные характеристики,
удовлетворяющие менее ограничивающим условиям, чем интегрируемость в ква-
драте; см. Е. Pfaffelhuber, IEEE Trans. Cir. Thy., CT-18 (March, 1971): 218—223.
2) Эти вопросы см. также: Л. Заде, Ч. Дезоер, Теория линейных систем. —
М.: Наука, 1970, гл. 9, § 5. — Прим. ред.
182
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
Рис. 15.6. Аппроксимация фильтра нижних частот.
чем | Н2 (/) |, несмотря на то что | Нг (/) | удовлетворяет усло-
вию Пэли—Винера, а | (f) | — нет. С другой стороны, из-
вестны классы физически осуществимых ЛИВ-систем, содержа-
щие члены, амплитудно-частотные характеристики которых с лю-
бой заданной степенью точности аппроксимируют идеальные
фильтры. нижних частот. Например, к их числу относится класс
ранее описанных фильтров Баттерворта, у которых
Рис. 15.7. Частотные характеристики фильтров Баттерворта.
На рис. 15.7 показано, каким образом | Нп (/) | при больших п
приближается к амплитудно-частотной характеристике идеаль-
ного фильтра нижних частот. Некоторые другие свойства фильтров
Баттерворта будут приведены в гл. 16.
Другая процедура часто предлагается для определения физи-
чески осуществимой аппроксимации некаузального фильтра путем
задержки импульсной характеристики идеального фильтра, как
показано на рис. 15.5, до тех пор, пока «хвост» в области отри-
цательных значений t < 0 станет настолько малым, что им можно
будет пренебречь. Таким образом, выбирая достаточно большое Т,
казалось, можно с любой наперед заданной точностью аппрокси-
мировать идеальный фильтр нижних частот ЛИВ-системой с им-
пульсной характеристикой, показанной на рис. 15.8. Однако,
как отмечалось в гл. 13, мы не можем во всех случаях предпола-
гать, что преобразования сходящихся последовательностей вре-
менных функций обязательно сходятся (в обычном смысле) к пре-
15.2. Преобразование Гильберта
183
образованию предела. В действительности нетрудно показать, что
для больших конечных значений Т преобразование Фурье для
вышеуказанной импульсной характеристики h. (t) приближается
по форме к амплитудно-частотной характеристике идеального
фильтра нижних частот, за исключением всплесков на краях
О , ко
Рис. 15.8. Каузальная аппроксимация
импульсной характеристики идеаль-
ного фильтра нижних частот.
Рис. 15.9. Частотная характеристика
фильтра, соответствующего рис. 15.8.
полосы частот, как показано на рис. 15.9. Поскольку площадь
под указанными всплесками при больших Т стремится к нулю,
последовательность частотных характеристик должна сходиться
в смысле локального среднего, однако наличие «рогов» создает
трудности в некоторых применениях. Теоретически всплески
являются следствием несбалансированного медленного спадания
«хвостов» импульсной характеристики h (t), поэтому их можно
подавить в значительной степени, если искусственно отсечь об-
ласти h (/) для больших отрицательных и положительных значе-
ний t. В качестве примера можно привести симметрично усечен-
ную характеристику
sin (/ — Г)
я (< — Г)
О < t < 2Т,

О	для всех других значений t,
(15.2.6)
которая наряду с другими схемами применена в задаче 15.6.
Причинность накладывает жесткие требования на ЛИВ-си-
стему и не только потому, что | Н (/) | должна удовлетворять
критерию Пэли—Винера, но поскольку она вносит сильную
зависимость между действительной и мнимой частями передаточ-
ной функции Н (/). Кроме того, причинность обусловливает менее
сильную, но все же значительную взаимозависимость log | И ([) |
и arg Н (/). Указанные соотношения могут быть найдены следу-
ющим образом. Если импульсная характеристика h (/) является
причинной и не имеет особенностей при t = 0, то, очевидно,
h(t) = h (0 и (0.	(15.2.7)
184 Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей, получим экви-
валентное условие
жл = я(/)*	+	<15-2-8)
или, выполнив свертку с импульсом и сокращая на 2, имеем
/70 = 770*-^.	(15.2.9)
Выразив соотношение (15.2.9) через действительную и мнимую
части, получим
СО
+	J +	(15.2.10)
—со
Приравнивание действительной и мнимой частей дает
СО
//,0 =4- У 7^-^>	(15-2Л1)
—со
со
/Л0 = -4 5 7^?^-	<15-2-12)
—со
так что Нг (/) и Н, (/) являются полностью взаимозависимыми'.
при заданной одной можно найти другую1). Обе эти формулы
можно выразить соотношением
У«) = ~ J	(15.2.13)
которое называется преобразованием Гильберта х (/) и, как будет
показано далее, имеет большое прикладное значение в теории мо-
дуляции. Дальнейшие примеры и свойства преобразования Гиль-
берта даны в упражнении 15.3 и задачах 15.3—15.5.
15.3. Переходная характеристика идеального фильтра
и явление Гиббса
Во временной области действие идеального (с нулевой ФЧХ)
фильтра нижних частот может быть описано сверткой
y(t) = J x(i-X)sd^Ldx.	(15.3.1)
J) Импульсы и другие сингулярные функции при t — 0 должны быть исклю-
чены из h (f), определяемой (15.2.7). Это соответствует степеням f, которые необ-
ходимо вычесть из Нг (/) и Ht (f) до применения соотношений (15.2.11) и (15.2.12).
Можно также показать, что в случае минимально-фазовой системы log | Н (/) |
и arg Н (/) однозначно связаны между собой преобразованием Гильберта (см.
задачу 4,12).
15.3. Переходная характеристика
185
Если, в частности,	на вход подается единичный скачок х (t) —
= и (t), тогда	t 1/(0 = J пт	(15.3.2) —со
которая представляет собой интеграл от импульсной характе-
ристики. Интеграл в (15.3.2) не может быть выражен через эле-
ментарные функции, но его можно записать в виде
где функция	у (0 = Si [2я№11,	(15.3.3) Si[0=-i-	(15.3.4) —со
называется интегральным синусом и достаточно полно табули-
рована г), 2). Общий вид функции Si [2лWt] показан на рис. 15.10.
Рис. 15.10. Интегральный синус.
От единичного скачка ее отличают по крайней мере две важные
особенности: переходная характеристика нарастает от нуля до
значения, близкого к предельному за конечное время (порядка
1/2W секунд), и колеблется относительно предельного значения
с начальным выбросом около 9 % и временем установления,
равным нескольким временным интервалам 1/2W7 секунд. Как
будет показано в следующей главе, время нарастания в любом
фильтре нижних частот, идеальном или неидеальном, опреде-
ляется главным образом его полосой пропускания. Однако выброс
и колебание переходной характеристики относительно предельного
(установившегося) значения являются критичной функцией формы
частотной характеристики в полосе пропускания и для данной
формы не зависят от ширины полосы (что должно быть очевидно
исходя из размерностей).
х) Е. Янке и Ф. Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми. — М.—Л.:
ГИТТЛ, 1949, 97—105.
2) См. также Справочник по специальным функциям под ред. М. Абрамо-
вица и И. Стигана. — М.: Наука, 1979, 5.2, с. 59—69. — Прим. ред.
188
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
В разд. 13.2 при обсуждении условий выполнимости теоремы
Фурье мы уже сталкивались с уравнением, аналогичным (15.3.1).
Так, вариант Дирихле теоремы Фурье [уравнение (13.2.1)]
утверждает, что если функция х (t) абсолютно интегрируема и
достаточно гладка, то обратное преобразование можно записать
в виде
W	оо
lim Г X (/) df = lim С х(т) .S1-7Z_T)	_
—co
x(/ + ) + x(f-)
2
(15.3.5)
Второй интеграл следует из первого, поскольку «усечение» X (/)
в пределах ±1Г эквивалентно прохождению х (1) через идеальный
фильтр нижних частот. Если функция х (^) непрерывна, то х (t—) =
— х (t~\~) и предел в выражении (15.3.5) просто означает, что функ-
ция sin2nF/ (КОТОруЮ часто называют ядром Дирихле) является
базисной функцией для импульса в смысле, обсуждавшегося
в упражнении 11.5. Однако если функция х (г!) имеет разрыв
Рис. 15.11. Графическое объяснение явления Гиббса, б — при малом W, в—
при большом U7.
в точке t0, то интеграл свертки в (15.3.5) дает результат, показан-
ный на рис. 15.11. На рис. бив показаны также результаты свертки
для двух различных значений W. Заметим вначале, что для
любого значения W величина свертки в точке t = t0 в соответствии
с выражением (15.3.5) равна точно [х (/0+) + х (^ — )1/2. Однако
следует также отметить, что, как и в переходной характеристике
идеального фильтра нижних частот, в точке разрыва имеется
выброс около 9 %, величина которого не зависит от величины W.
С увеличением W выброс приближается к точке разрыва и коле-
бания затухают быстрее, но амплитуда выброса не уменьшается.
15.3. Переходная характеристика
187
Такое необычное поведение свертки было впервые объяснено
Дж. В. Гиббсом в 1898 г. и поэтому получило название явления
Гиббса.
Математически явление Гиббса означает, что, хотя предел
в теореме Дирихле (15.3.5) сходится к среднему х (t +) и х (t—),
сходимость не является равномерной в любом интервале, где
функция х (t) имеет разрыв. Для многих аналитических исследо-
ваний такая равномерная сходимость вызывает определенные
проблемы. Более того, физически выброс в реакции системы на
единичный скачок может оказаться нежелательным. В качестве
простых примеров такой реакции на разрывность можно при-
вести поведение жесткой автомобильной подвески или систем
управления лифтами. В звуковоспроизводящих системах подоб-
ное явление носит название «звона». При этом каждый резкий
согласный или другой внезапный звук сопровождается коротким
свистящим звуком. Если в телевидении видеоусилители содержат
идеальные фильтры нижних частот, у которых переходная ха-
рактеристика реагирует выбросом на разрыв в ступенчатой функ-
ции, то вертикальная граница черного и белого в изображении
окаймлена узкими серыми полосами. Такие помехи совершенно
неприемлемы для зрительного восприятия. Следовательно, как
с математической, так и с физической точек зрения создание
фильтров нижних частот без выбросов в переходной характери-
стике представляет собой весьма актуальную проблему.
Совершенно очевидно, что полностью положительная импульс-
ная характеристика фильтра нижних частот не будет создавать
выброса. При этом переходная характеристика монотонно воз-
растает (или не спадает) и явление Гиббса не возникает. Как будет
показано в гл. 19, частотная характеристика такого фильтра
должна удовлетворять ряду требований. В частности, необходи-
мым условием является то, что // (0) должно быть больше | Н (/) |
для f #= 0. Другими словами, | Н (/) | не может иметь постоянное
значение в полосе пропускания, следовательно, неидеальный
неискажающий фильтр может иметь монотонную переходную
характеристику. Возможны различные способы аппроксимации,
но не существует универсального метода, который позволил бы
найти наилучшую аппроксимацию идеального фильтра нижних
частот, имеющего монотонную переходную характеристику.
Одним из важных примеров фильтра с монотонной переходной
характеристикой является фильтр с импульсной характеристикой
=	(15.3.6)
которая называется ядром Фейера. Эга импульсная характеристика
и соответствующая ей переходная характеристика изображены
на рис. 15.12. Частотную характеристику указанного фильтра
188
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
А Л( t)
2*	2* W
ж Переходная
г»
Рис. 15.12. Ядро Фейера и его свойства.
можно найти из формулы произведений в табл. 13.2 как свертку
частотной характеристики ядра Дирихле идеального фильтра
нижних частот с самой собой. Эта частотная характеристика,
имеющая треугольную форму, показана на рис. 15.12 внизу.
Поскольку преобразование Фурье для функции (15.3.6) h (t)
равно 1 при f = 0, то площадь под h (£) равна 1 (это согласуется
с тем, что переходная характеристика стремится к 1 при t ->• оо).
Таким образом, функция h (t) может быть базисной для импульса
(см. упражнение 11.5) и тогда следует полагать, что
2W
lira Ц1-М)х(^)^^ =	(15.3.7)
где сходимость должна быть более плавной, чем в случае теоремы
Дирихле, и явление Гиббса будет отсутствовать. Принято гово-
рить, что предел в выражении (15.3.7) интерпретирует несобствен-
оо
ный интеграл J X (f) ei2n,t df в смысле Чезаро, а выражение
— со
(15.3.7)	представляет собой утверждение версии Фейера теоремы
Фурье.
15.4. Выводы
Импульсная и частотная характеристики любой ЛИВ-системы
представляют собой преобразования Фурье одна другой. Пере-
ходная и частотная характеристики также находятся между собой
в прямой зависимости. Поэтому желание получить требуемые
параметры в одной области может натолкнуться на неприемлемые
Упражнения к главе 15
189
ограничения в другой. В этой главе были проанализированы
некоторые случаи частотно-временных соотношений.
а)	Любая система, которая имеет бесконечное затухание на
частотах сигнала в некоторой конечной полосе непрозрачности,
в том числе любой идеальный фильтр, не является каузальной.
б)	Каузальность также заключает в себе сильную зависимость
между действительной и мнимой частями (амплитудой и фазой)
частотной характеристики — в самом деле, одна вытекает из
Другой.
в)	Очень резкий переход от полосы пропускания к полосе
непрозрачности ведет к возникновению колебательности (явление
Гиббса).
Другие частотно-временные соотношения, например обратно
пропорциональная зависимость между длительностью (временем
нарастания) и полосой, будут рассмотрены в следующей главе.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 16
Упражнение 15.1
Объясните, почему не существует сигнала х (t), —со < / < со, который, будучи
приложенным на вход идеального фильтра нижних частот, создал иа его вы-
ходе у (/) (рис. 15.13).
Рис. 15.13.
Упражнение 15.2
Идеальные усилитель или дифференцирующее устройство в общем виде не могут
быть описаны интегралом наложения с импульсной характеристикой в виде
обычной функции (в отличие от сингулярных функций, таких как 6 (I) или 6 (/)).
Покажите тем не менее что если х (/) представляет собой функцию с ограничен-
ным спектром, X (/) = 0 для | / | > IF, то можно найти обычные функции hr (t)
и й2 (0> удовлетворяющие условиям К-х (f) = х (/) * /гх (/) и х (/) = х (/) */г2 (О-
Упражнение 15.3
Пусть х (t) — преобразование Гильберта функции х (1):
1 Г х (т)
-со
190
Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
Покажите, что 5t (0 и х (/) ортогональны:
СО
j х (/) х* (f) dt = 0.
—со
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 15
Задача 15.1
Пусть Н (f) — частотная характеристика идеального фильтра нижних частот
с задержкой:
Ж/) = { е(-/2"/Г)- 1Л<Г»
) 0 для всех других значений f.
На вход фильтра подается симметричный импульс, х (t) = х (—t). Покажите,
что эффекты амплитудных искажений также симметричны, тогда как эффекты
фазовых искажений антисимметричны.
Задача 15.2
Найдите и изобразите импульсную и переходную характеристики показанного
на рнс. 15.14 идеального фильтра верхних частот. (Совет. Рассмотрите 1 —
-я (/).)
Рис. 15.14.
Задача 15.3
Пусть у (t) — преобразование Гильберта х (t) в соответствии с выражением
(15.2.13). Интегрируя (15.2.13) как свертку, покажите, что
или что преобразование Гильберта для сигнала можно получить, пропуская этот
сигнал через ЛИВ-систему с частотной характеристикой
Покажите также, что преобразование Фурье Z (f) для комплексной функции
времени
z(t) = х (t) + jy (0
Задачи к главе 15
191
равно нулю для всех значений / < 0. Покажите, что преобразование Гильберта
для преобразования Гильберта функции х (f) равно —х (1).
Задача 15.4
а)	Используя выражения из задачи 15.3, покажите, что преобразование
Гильберта для функции х (/) = cos 2л Wi равно у (/) = sin 2л1Г7.
б)	Аналогично покажите, что преобразование Гильберта для функции
	2лл/ , ух	2пп( х (Q / , ап COS т + £ Ьп sin т п=1	п—1
равно	2л/Я	V	2ял/ У (0 — / ,	ап Sin	т	^bn	cos	т п=1	п-1
Задача 15.5
а) Используйте уравнение (15.2.12) и дуальность формул задачи 15.3,
для нахождения (отрицательного) преобразования Гильберта Я; (/) функции
2
Hr = 1 + (2л/7 •
б) Найдите h (f) как обратное преобразование Н (f) = Нг (/) -ф- /Я; (f) и
таким образом непосредственно покажите, что h (/) является каузальной.
Задача 15.6
Пользуясь дуальностью аргументов из разд. 15.3, покажите, что
а) Фильтр с импульсной характеристикой
sin 2л1Г (t — Т)
h (0 =
0<Я<2Г,
0, для всех других значений t
представляет собой каузальный фильтр, частотная характеристика которого при
больших Т аппроксимирует идеальный фильтр нижних частот, за исключением
всплесков конечной амплитуды на краях полосы пропускания.
б) Фильтр с импульсной характеристикой
л<0 =
Г |1 — Т\ 1 sin2nU7(Z— Т)
L т J n(t-T)
0, для всех других значений t
0<t<2T,
является причинным фильтром, который при больших Т аппроксимирует идеаль-
ный фильтр нижних частот без всплесков, имеющихся в импульсной характе-
ристике (а).
192 Глава 15. Фильтры, реальные и идеальные
Задача 15.7
Взаимную зависимость между Нг (f) и //; (J) можно доказать и другим способом.
Для этого достаточно показать, что если функция h (t) действительна и при-
чинна, то h (t) можно найти только из Нг (/) (это иногда называют достаточ-
ностью действительной части). Проведите доказательство следующим образом:
а)	Найдите для любой (не обязательно причинной) функции h (I)
/1чет (^) =	{f1 (t) + (—03= четной части h (/);
Лнечет (0 =	[Л (0 — h (—0 1 = нечетной части h (/).
Пусть И (/) = Нг (/) + jHt (f), а /Учет (/) и //Нечет (/) представляют собой
преобразования Фурье соответственно функций Лчет (0 и ^нечет (i)- Свяжите
7/чет .(/) и -^нечет ([) с Нг (/) и Hi (/).
б)	Покажите, что если функция h (/) причинна, то оиа полностью опреде-
ляется функцией /i4eT (/) и после этого, используя результаты (а), выведите
формулу для нахождения причинной функции h (1) через одну Hr (f).
16
СООТНОШЕНИЯ
ДЛИТЕЛЬНОСТЬ-ПОЛОСА
И ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
16.0. Введение
Переходная характеристика типичного фильтра нижних частот
имеет отличные от нуля время
казано на рис. 16.1. Поскольку
Переходная J
характеристика = j Л(т)й(т)
-со
нарастания и задержку, что по-
переходная характеристика пред
Импульсная
А характеристика = Ы?)
Время
нарастания
► t
Рис, 16.1, Задержка /0, время нарастания и наклон h
ставляет собой интеграл от импульсной характеристики, то со-
вершенно очевидно, что любая мера времени нарастания переход-
ной характеристики является также мерой длительности импульс-
ной характеристики, и наоборот. Основная цель данной главы —•
показать, что длительность импульсной характеристики (или
время нарастания переходной характеристики) обратно пропор-
циональна полосе пропускания. Для любой конкретной формы
импульсной характеристики такая обратная зависимость суще-
ствует, что очевидно из рассмотрения размерностей или свойств
масштабных изменений, представленных в табл. 13.2. Следует
отметить, что — независимо от формы — это выполняется в ши-
роких пределах произведения длительность-полоса и составляет
формальную основу принципа неопределенности, который будет
нашим главным аналитическим результатом.
16.1. Определения задержки, времени нарастания,
длительности и полосы
В принципе существует неограниченное число способов для ко-
личественного определения указанных параметров. Но ни один
из способов или их набор не является наилучшим для любых
7 Сиберт У. М., ч. 2
194
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
целей. Например, в качестве меры времени нарастания нагляднее
всего принять время, в течение которого переходная характе-
ристика изменяется от 10 до 90% ее конечного значения. Однако
такая мера вызывает трудности в расчетах и других манипуля-
циях. С другой стороны, очень простым и удобным определением
времени нарастания может служить отношение установившегося
значения переходной характеристики к крутизне этой характе-
ристики в некоторой точке наклонного участка (например, на
уровне 50%). Если мы обозначим время в этой точке через tQ,
то определение времени нарастания может быть выражено сле-
дующей простой формулой:
оо
j h(t)dt
Время нарастания =	—,	(16.1.1)
где h (t), как обычно, обозначает импульсную характеристику,
и мы используем то обстоятельство, что переходная характери-
стика является интегралом от импульсной характеристики. Мы
можем также рассматривать эту формулу как определение «ши-
рины» h (t), равной отношению «площади» импульсной характе-
ристики к ее «высоте». Однако формула (16.1.1) может дать не-
верные значения для времени нарастания, если h (/) не является
одиночным узким, в основном положительным импульсоподобным
сигналом, как показано на рис. 16.1. (См., например, задачу 16.1.)
Если необходимо установить соотношение между временем
нарастания и полосой, то следует определить, что понимается
под эффективной полосой для произвольной частотной характе-
ристики фильтра нижних частот Н (/). Исключая тот факт, что
Н (/) в общем случае является комплексной, эта проблема иден-
тична определению длительности h (t). Потенциальная неопре-
деленность вносится сопряженно симметричным характером Н (/)
(предполагается, что h (/) является действительной функцией).
Таким образом, при определении полосы пропускания Н (f)
необходимо установить, рассматриваем ли мы все частоты, —оо <
< f < оо (двусторонний спектр) или только положительную
область частот, f > 0 (односторонний спектр)? Например, чему
равна полоса пропускания идеального фильтра нижних частот
( 1. |/|<^,
H(f) =	'	„ ,
(0 для всех других значении f,
W или 21^? Поскольку указанные варианты отличаются лишь
коэффициентом 2, может показаться, что речь идет только о стиле
и удобстве. К сожалению, в литературе не существует единого
подхода к этому вопросу, и порой нелегко понять, какое же
16.1. Определения задержки
195
именно определение автор имеет в виду. Не будучи формалистами,
мы все же постараемся в этой книге давать точные определения
своей позиции при любой возможной неопределенности.
Примеры различных подходов к измерению длительности и
полосы (некоторые из них имеют широкое применение, другие
пригодны лишь для частных случаев) показаны на рис. 16.2.
Заметим, что в каждом из случаев величина произведения дли-
тельности на полосу пропускания порядка единицы (приблизи-
тельно в пределах, не превосходящих 2). Этот результат мы в даль-
нейшем обобщим и уточним.
Вероятно, наиболее полезные для теоретического анализа
определения задержки, длительности и полосы пропускания
задаются различными моментами h (1) и Н (/), а еще лучше мо-
ментами Л2 (0 и J Н (/) |2. Указанные определения и некоторые
важные свойства этих моментов приведены в следующих при-
мерах х).
Пример 16.1.1
Рассмотрим усилитель, состоящий из последовательно включен-
ных каскадов. Каскады не обязательно должны быть идентич-
ными. Предположим, что Лг (1) — импульсная характеристика
2-го каскада, и примем ht (t)	0, так что переходная характе-
ристики каждого каскада (и соответственно любого числа после-
довательно включенных каскадов) является монотонной функ-
цией. Полагая, что оба интеграла существуют, найдем
СО
j tht(t)dt
---------.	(16.1.2)
j ht(t)dt
— CO
T, (нормированный) первый момент Яг (/), можно интерпретиро-
вать как центр тяжести массы, распределенной вдоль i-оси и
имеющей плотность ht (t). Тогда мы можем рассматривать Tt
как меру величины задержки в импульсной или переходной
характеристике t-го каскада.
Нетрудно показать, что результирующая задержка, вносимая п
последовательно включенными каскадами, равна сумме задер-
жек, вносимых каждым каскадом, т. е. если
h (0 = /к (0 * Л2 (0 * ... * hn (/),	(16.1.3)
х) Несмотря на то что результаты, полученные в данной главе, мы будем
применять к импульсной характеристике системы h (t) и ее преобразованию
Фурье Н (/), они справедливы также дли любой функции времени и ее преобразо-
вании Фурье.
7*
196
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
Рис. 16.2. Критерии измерения длительности и полосы, а: ДГ — расстояние
между нулями; Л IP’ — область, за пределами которой Н (f) = 0; б: ДГ — время,
за которое х (t) уменьшается до 1/е исходного значения; Д1Р’ — полоса по уровню
половинной мощности, т. е. расстояние между точками, в которых | Н ) | =
= | Я (0) в: КТ = 2 X (радиус вращения); Д11>’ — «шумовая полоса».
16.1. Определения задержки
197
ТО
Т = Л + Та + ... + Тп.	(16.1.4)
В частности, если каскады идентичны, полная задержка пропор-
циональна числу каскадов. Докажем это для двух последова-
тельно включенных каскадов; общий результат тогда может быть
получен по индукции. Комбинируя различные формулы из
табл. 13.2, получим
Г л л —\dH (f) \ th (О dt = —	4г- J 4 ’	/2л df —ОО	(16.1.5) /=о
Л (/) = hr (/) * h2 (/),	(16.1.6)
Н (f) = Нх (f) Н2 (J)	(16.1.7)
Если
то
и
С th (t) dt
J=JL Г/72(о)-^Д1 +Д1(0)-^Д! 1. (16.1.8)
/2л L ’ df |/=о	df |/=oj	4	’
Более того,
j h(f)dt = Н (0) = Ях(0)Яа(0).	(16.1.9)
И наконец,
оо
( th (П dt
m --L	1 \ dH^ff/df^ (
1 ~	“	/2л	Я!(0)	+	Нг (0)
] h(t)dt
= Л + Л,	(16.1.10)
что и требовалось доказать.
Аналогично, предполагая существование интегралов, можно
найти
(АЛ)2 = 4
оо
j Phi (t)dt
— со
со
j hi (0 dt
—оо
j (t-T^hi(t)dt
= 4	------------
CO
j М0Л
(16.1.11)
(АТг/2)а — нормированный момент инерции относительно центра
тяжести массы, имеющей распределение ht (/) х). Следовательно,
1) Т{ и (Л7\/2)2 имеют также вероятностные аналоги (где Лг (/) в случае ее
положительности аналогично плотности вероятности) и тогда называются сред-
ним и дисперсией функции hi (t).
198
Глава 16. Соотношения длнтельность-полоса
Д7\ равен удвоенной величине радиуса вращения распределен-
ной массы *) и является мерой длительности импульсной харак-
теристики hi (t) или времени нарастания переходной характе-
ристики i-ro каскада. Нетрудно доказать (см. задачу 16.3), что
при последовательном включении п каскадов
(ДТ)2 = (Д7\)2 + (ДТ2)2 + ... + (ДТ„)2.	(16.1.12)
Тогда, в частности, для идентичных каскадов время нарастания
пропорционально корню квадратному из числа каскадов.
* * ♦
Если hi (f) — неположительная функция, то определение
длительности посредством (16.-l.il) становится не вполне приемле-
мым. Лучшая мера может быть получена с использованием ква-
драта h (t):
со	со	2
—оо	»—оэ
Очевидно, что выражение для ДТ (16.1.13) во многих отношениях
является наилучшим для теоретического анализа определением
длительности. Оно позволяет найти приемлемое значение дли-
тельности практически для всех h (/), для которых существуют
соответствующие интегралы. Эквивалентно
J Р | Н (/) |2 df
(Д№)2 = 4-^--------------- (16.1.14)
J \H(f)\'df
—оэ
является, по-видимому, наилучшей мерой полосы пропускания
для реальных фильтров нижних частот. Указанные определения
имеют еще одно преимущество, поскольку в этом случае для АТ
и ДИ7 можно доказать следующий весьма важный принцип:
х) В механике эта величина называется радиусом инерции н обозначает
то расстояние от центра тяжести, на котором нужно сконцентрировать всю массу,
ОО
равную j h (0 dt, чтобы получить тот же момент инерции, см., например,
—со
А. Зоммерфельд, Механика. — М.: ИЛ, 1947, с. 127. — Прим. ред.
16.1. Определения задержки
199
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ:
Для любого действительного сигнала, длительность АТ
и полоса AW7 которого определяются выражениями
(16.1.13) и (16.1.14), справедливо соотношение
АТАГ гэ —.
я
(16.1.15)
Другими словами, АТ и АЦ7 не могут оба иметь произвольно
малое значение. Сигнал малой длительности имеет широкую по-
лосу, а сигнал с узкой полосой должен иметь большую длитель-
ность. Применительно к измерениям соотношение (16.1.15) часто
интерпретируют таким образом, что неопределенность в измерении
частоты обратно пропорциональна времени ее измерения. Исполь-
зуя эквивалентность с теорией относительности *), соотношение
(16.1.15) можно преобразовать в принцип неопределенности Гей-
зенберга, относящийся к волновой механике. Согласно принципу
неопределенности Гейзенберга, невозможно одновременно опре-
делить точно положение и импульс частицы.
Доказательство соотношения (16.1.15) является интересным
примером применения преобразования Фурье. Оно проводится
следующим образом. Предположим для простоты (без потери
общности подхода, поскольку момент инерции минимален отно-
сительно оси, проходящей через центр тяжести), что начало вре-
менной оси совпадает с центром тяжести функции й1 2 (Г), так что
второй член в выражении (16.1.13) равен нулю. Поскольку пре-
образование Фурье для dh (t)/dt = h (t) (из табл. 13.2) равно
]2л,[Н (/), применяя теорему Парсеваля, получим
со	со
(2л)а ^f*\H(f)\2df= J [h(l)]2dt.	(16.1.16)
—со	—со
Сочетание этой формулы с (16.1.13) и (16.1.14) дает
(лАТАГ)2 = 4
СО	со
j i*h* (0 dt j [й (О!2 dt
(16.1.17)
1) О связи волновой механики с концепцией специальной теории относи-
тельности, см., например, Луи де Бройль, Останется ли квантовая физика инде-
терминистической? Сб. Вопросы причинности в квантовой механике. — М.: ИЛ,
1955, с. 29. — Прим. ред.
200
Глава 16, Соотношения длительность-полоса
Применив неравенство Шварца (пример 14.П.2) к числителю
(16.1.17), получим		со	
пЛТЛГ	2	J th (7) й (0 dt —со	(16.1.18)
J й2 (0 dt
—СО
Однако дробь в правой части выражения (16.1.18) равна 1. Это
можно показать, интегрируя по частям числитель или знамена-
тель и принимая во внимание, что h (t) стремится к нулю при
± оо, если интегралы в (16.1.13) и (16.1.14) существуют, что
и дает желаемый результат.
Интересно рассмотреть условия, при которых достигается
минимальное значение произведения длительность-полоса. Чтобы
неравенство превратилось в равенство применительно к (16.1.17)
(см. задачу 14.17), требуется выполнение соотношения
kth(t) = h(t)	(16.1.19)
или
4$--И.	(16.1.20)
Интегрируя, получим
In h (0 = — + const	(16.1.21)
или
h(t)~ekt3‘'2.	(16.1.22)
Для отрицательных значений k это представляет собой импульсо-
подобный сигнал с формой, соответствующей гауссовской функ-
ции, уже упоминавшейся ранее. Следовательно, из всех форм
сигналов только гауссовский импульс имеет наименьшее произ-
ведение длительность-полоса, если последние определяются вы-
ражениями (16.1.13) и (16.1.14).
Пример 16.1.2
Выполнение принципа неопределенности рассмотрим на примере
фильтра Баттерворта третьего порядка, подробно описанного
в предыдущих главах. Этот фильтр имеет следующие амплитудно-
частотную и импульсную характеристики
1 + <///о)в ’
h (i) — 2л/0 |е~2я/о^ Д- е—л!°* [—= sin	л/0/ — cosyTT л/0Я \и (t),
I	У и	J )
16.1. Определения задержки
201
Рис. 16.3. Импульсная, переходная и частотная характеристики фильтра ниж-
них частот Баттерворта третьего порядка: То — задержка, ДТ = время нара-
стания = длительность.
202
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
изображенные на рис. 16.3. Нетрудно вычислить
— 03	О
оэ	со
—-со	О
.03
J /Л3(/)Л = 4.
о
Отсюда, пользуясь выражениями (16.1.13) и (16.1.14), получим
Я7
W = m2 = 48W
и
что удовлетворяет принципу неопределенности. На рис. 16.3
представлены соотношения для АТ и AW7 как мер ширины дей-
ствительных импульсной, переходной и амплитудно-частотной
характеристик.
* * *
Пример 16.1.3
Гауссовский импульс не может быть импульсной характеристи-
кой каузальной системы даже при значительных задержках
(см. разд. 15.2). Однако можно разработать системы, импульс-
ные характеристики которых аппроксимируют задержанный гаус-
совский импульс. Рассмотрим в качестве примера ^/-каскадный
усилитель, каждый каскад которого имеет следующую импульс-
ную характеристику:
h(t) = a1/7/e-a^/u(t).	(16.1.23)
Частотная характеристика последовательно включенных N таких
каскадов имеет вид
(1	\7V
-------!—?=	•
1 + /2л//а КN )
(16.1.24)
Нам необходимо найти форму HN (f) для случая больших N.
Логарифмируя
=-ЛГ1п(1+/-^)	(16.1.25)
16.1. Определения задержки
203
и используя разложение в степенной ряд In (1 + х) = х --—-4-
, ж»
+	ПОЛУЧИМ
In =
___________1_ / )2nf V
а /У 2 (а /дГу
(16.1.26)
где остальные члены стремятся к нулю как для больших N.
Таким образом, при больших N частотная характеристика после-
довательно соединенных каскадов стремится к
Яя(/)л;ехр -----|-(2л//а)21 expt—//-Л7(2л//а)],	(16.1.27)
а импульсная характеристика стремится к
, .,, а Г (t — /N/а)2
hN (0 ~ —7—- ехр —   —-
/2л L 2/а3 J
(16.1.28)
qTO представляет собой гауссовский импульс, задержанный на
Полученный результат является очень частным случаем из-
вестной теоремы *) — центральной предельной теоремы теории
вероятностей, гласящей, что при самых общих условиях
импульсная характеристика большого числа последовательно
включенных ЛИВ-систем стремится по форме к гауссовской
импульсной характеристике независимо от вида частотных ха-
рактеристик каждой системы.
Достаточные условия при этом следующие:
1) Для всех систем существуют абсолютные третьи моменты
со
j	которые равномерно ограничены.
*-со
2) Длительности, ATt, определяемые (16.1.11), удовлетворяют
N
соотношению lira \ (Л7\)2=/0. Первое условие позволяет
1=1
при больших N пренебречь членами более высокого порядка в раз-
ложении типа (16.1.26). Второе условие гарантирует, что ни одна
из конечных совокупностей системы не будет доминировать в ре-
зультате, поскольку все остальные системы имеют относительно
широкую полосу пропускания. Принимая во внимание данную
*) См., например, М. Fisz, Probability Theory and Mathematical Statistics
(New York, NY: John Wiley, 1963). Изложенная версия представляет собой
частный случай теоремы Ляпунова.
204
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
теорему (доказательство которой здесь не приводится), как следует
из примера 16.1.1, импульсная характеристика последовательно
включенных каскадов определяется приближенно выражением
h (t) та -----ехр Г----,AZ?a 1 >
7	/2л ДГ FL 2(ДТу J
(16.1.29)
где Т и АТ даются соответственно выражениями (16.1.4) и
(16.1.12), а
N ”
й= п \ hi(t)dt.	(16.1.30)
«=1-4
16.2.	Значение принципа неопределенности.
Импульсная разрешающая способность
Ограничения, налагаемые принципом неопределенности на функ-
ции времени и их преобразования, имеют удивительно широкие
области приложений помимо соотношения между временем нара-
стания и полосой пропускания. Покажем это на следующих
примерах.
Пример 16.2.1
Как отмечалось в разд. 14.4, сигнал, несущий информацию, в не-
которой точке цифровой системы связи может иметь форму, по-
казанную на рис. 16.4. В каждом из последовательных временных
/\
I О О I I О I
Рис. 16.4. Информационный сигнал в импульсной системе передачи данных.
интервалов длительностью Т секунд в зависимости от того, какой
символ — «1» или «0» — передается в данном интервале, присут-
ствует или отсутствует импульс, имеющий стандартные форму
и амплитуду. Последовательности нулей и единиц, представля-
ющей сообщение, соответствует результирующий сигнал как,
например, показанный на рис. 16.4 импульс треугольной формы.
Этим сигналом затем модулируют несущую для осуществления
передачи. Поскольку полоса пропускания канала обычно ограни-
чена по техническим, экономическим или правовым причинам,
принцип непределенности устанавливает предельное значение
скорости передачи двоичной информации в системе.
» » *
16.2. Импульсная разрешающая способность
205
Пример 16.2.2
Речевой сигнал содержит квазипериодические составляющие,
создаваемые возбуждением голосовых связок и резонансами
голосового тракта, что позволяет их изучать в терминах спек-
тральных представлений речевого сигнала. Конечно, сигнал (и,
следовательно, его квазипериодическая структура) быстро изме-
няется в процессе того, как диктор переходит от одного слога
к другому (или более строго от фонемы к фонеме) — именно эти
изменения передают смысл фразы и поэтому представляют наи-
больший интерес. Чтобы отследить изменения, необходимо вы-
числять спектр только во временном интервале, меньшем дли-
тельности фонемы. Однако принцип неопределенности указывает
на то, что наши возможности разрешения двух частотных состав-
ляющих обратно пропорциональны времени, отведенному для их
анализа. Таким образом, компромисс должен быть достигнут
между нашим желанием отследить быстрые изменения во вре-
мени и исследовать мелкие детали в спектре. Аналогичные усло-
вия характерны при приложении спектрального анализа ко мно-
гим явлениям — сейсмическим записям, метеорологическим обра-
зованиям, океанским волнам, эконометрическим данным, элек-
троэнцефалограммам, кардиограммам и т. п.
• • •
Пример 16.2.3
При создании передающих антенн для связных или радиолока-
ционных систем обычно стремятся максимизировать напряжен-
ность поля на приемной стороне или минимизировать угловые
размеры «карандашного» или «веерного» луча, в котором концен-
трируется излучаемая энергия. Поскольку повысить интенсив-
ность излучения в одном направлении можно лишь ценой ее
снижения в другом направлении, вышеуказанные задачи иден-
тичны по своей сущности. Максимизация в общем случае всту-
пает в противоречие с предельными размерами (стоимостью) антен-
ной системы. С другой стороны, разработчик приемной антенны
обычно стремится максимизировать площадь поперечного сече-
ния антенны для сигналов, принимаемых с данного направления,
или максимально сузить приемную диаграмму направленности,
чтобы с наилучшей точностью найти направление на источник.
Как и в предыдущем случае, эти цели должны быть достигнуты
при фиксированной максимальной апертуре реальной антенны
и по своей сущности они те же. Поскольку принцип взаимности
применим к антеннам подобно принципу взаимности для цепей
(в обоих случаях принцип взаимности непосредственно следует
208
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
из уравнений Максвелла), проблемы создания передающих и
приемных антенн существенно идентичны — в обоих случаях
необходимо минимизировать ширину луча при ограниченных
размерах апертуры. Свет также имеет электромагнитную при-
роду, поэтому аналогичная физическая ситуация имеет место
и при создании оптических систем, таких как телескопы или
микроскопы, для достижения максимальной разрешающей спо-
собности. Связь между всеми вышеуказанными проблемами и
принципом неопределенности становится очевидной, если принять
во внимание, что угловое распределение энергии в излучающей
антенне определяется пространственным преобразованием Фурье
распределения поля в апертуре *). При уменьшении линейного
размера апертуры антенны одновременно расширяется диаграмма
направленности, при этом принцип неопределенности устанавли-
вает минимальное значение произведения ширины луча на ве-
личину линейного размера апертуры. (Величина этого минимума
должна, конечно, зависеть от длины волны или частоты излу-
чаемых колебаний.)
ч # *
Указанные примеры не только иллюстрируют значение прин-
ципа неопределенности, но и обладают некоторыми общими свой-
ствами. Во всех них главная проблема состоит в получении формы
импульса (или дуальная к ней проблема — получение ширины
спектра), одновременно удовлетворяющего трем критериям:
1.	Спектр импульса должен стремиться к нулю на частотах
выше некоторой частоты W.
2.	Длительность импульса должна быть близка к предель-
ному значению, определяемому принципом неопределенности.
3.	«Хвост» импульса должен затухать достаточно быстро.
При этом «хвост» импульса с большой амплитудой не будет ма-
скировать или сильно искажать другой, меньший, импульс,
находящийся рядом с первым. Это позволяет разрешить два со-
седних импульса, даже если один из них гораздо больше другого.
Необходимо свести к минимуму эффекты мсжимпильсной (или
в дуальной ситуации — междуканальной} интерференции.
Не существует универсального решения данной проблемы;
требования же противоречивы по своей сущности. Однако есть
один общий принцип, который помогает понять природу компро-
миссов, — чем медленнее и плавнее изменяется функция вре-
мени, тем быстрее и круче изменяется ее преобразование Фурье,
и наоборот.
х) См., например, R. Braxruell, The Fourier Transform and Its Applications
(New York, NY: McGraw-Hill. 1965), Chap. 13.
16.2. Импульсная разрешающая способность
207
Количественное описание этого принципа можно получить из
теоремы Парсеваля и свойств дифференцирования или умноже-
ния на I:
со	со
(2n)2ft j \t ]2fe | x (t) |2 dt= j
<— CO	r— CO
dk X (/)
dfk
2
df-
(16.2.1)
Следовательно, если все производные X (/) до (п — 1)-й интегри-
руемы в квадрате, а п-я производная не интегрируема в квадрате,
то в общем случае можно заключить, что х (0 спадает быстрее,
чем | t п+1/2, но не быстрее, чем | t |“п~1/2. Конечно, в случае
многих обычных интегрируемых в квадрате спектров, если X (/)
имеет лишь разрывы, но не имеет худших сингулярностей, то
п = 1 и х (Q стремится к нулю, как | t |-1. Так, например, частот-
ная характеристика идеального фильтра нижних частот имеет
sin t
такие разрывы, а импульсная характеристика -------—---- спа-
дает со скоростью | t |-1. Непрерывные спектры, у которых про-
изводные имеют разрывы, такие как	или треугольный
спектр ядра Фейера, имеют п — 2 и соответствуют временным
функциям, спадающим с большей скоростью как 111 “2. Из табл. 13.1
можно взять и другие примеры.' Если принять во внимание дуаль-
ность времени и частоты, то имеющая разрыв функция времени
e~ai и (t) должна иметь спектр (а + /л/)-1, спадающий как | / |-1.
Другие иллюстрации приведены в следующем примере.
Пример 16.2.4
Представляется поучительным сравнить спектры, соответствующие
каждому из четырех импульсов, показанных на рис. 16.5. Спектры
208
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
Рнс. 16.6. Спектры импульсов, изображенных на рис. 16.5.
| ой| О|боюг
16.2. Импульсная разрешающая способность
209
могут быть вычислены прямым методом, результаты вычислений
изображены на рис. 16.6. Прямоугольный импульс, (/), и
треугольный импульс, х2 (t), имеют спектральные «хвосты», спа-
дающие со скоростями соответственно 6 дБ/октава (как /-1) и
12 дБ/октава (как /-2), что и следовало ожидать. При одинаковых
значениях Т треугольный импульс имеет несколько меньшую
эффективную длительность, следовательно, ширина спектра Х2 (/)
больше, чем ширина спектра (/). Весьма распространенный
сигнал х3 (/) носит название приподнятого косинусоидального
импульса *) (или окно Хэннинга). Хвосты его преобразования
Фурье спадают со скоростью 18 дБ/октава, так как вторая произ-
водная х3 (t) интегрируема в квадрате, но разрывна. Поскольку
сигнал х3 (/) еще уже, чем треугольный импульс х2 (/), его спектр
Х3 (/) имеет большую ширину. Это иллюстрирует общий принцип:
если интервал, в котором х ((). отличен от нуля, ограничен, то
увеличение скорости спадания- «хвостов» в его спектре X (/)
вызывает соответствующее расширение спектра. Четвертый им-
пульс, х4 (/) (называемый импульсом Хэмминга 1 2)), иллюстрирует
один из многих часто используемых компромиссов. В этом слу-
чае, комбинируя х3 (/) и хг (/) с соответствующими весовыми
коэффициентами, можно значительно снизить уровень боковых
лепестков спектра Х4 (/), непосредственно примыкающих к основ-
ному лепестку, но за это приходится платить снижением скорости
убывания «хвостов». Так как функция х4 (/) имеет разрывы, то
«хвосты» спектра Х4 (/) должны убывать как | f |-1. В данном
частном случае весовой коэффициент в х4 (/) выбирался из усло-
вия минимизации максимума уровня бокового лепестка, ближ-
него к основному.
* * *
Одним из применений соотношений форма импульса — форма
спектра, описанных в примере 16.2.4, является цифровая система
связи из примера 16.2.1. Последовательность приподнятых коси-
нусоидальных импульсов с различными амплитудами будет иметь
несколько большую эффективную ширину спектра по сравнению
с прямоугольными или треугольными импульсами. Однако на
практике такая последовательность может оказаться предпочти-
тельнее, поскольку низкий уровень хвостов в спектре приподня-
того косинусоидального импульса является причиной суще-
ственно меньших помех для других систем связи, работающих на
смежных частотах.
1) См., например, Р. В. Хемминг, Цифровые фильтры. — М.: Сов. радио,
1980, с. 98. — Прим. ред.
2) R. В. Blackman and J. W. Tukey, The Measurement of Power Spectra (New
York, NY; Dover, 1958),
210
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
Совершенно другое применение подсказывается примером
16.2.3 для создания больших антенн, используемых в радиоло-
кации или радиоастрономии. В таких антеннах часто применяют
параболические рефлекторы, которые собирают энергию с обшир-
ной, но конечной апертуры и фокусируют ее на одном детекторе,
расположенном в фокусе «тарелки». Если при этом имеется только
один активный источник (или радиолокационная цель), то в об-
щем случае выходное напряжение детектора будет наибольшим,
если указанный источник находится в направлении оси антенны,
и оно резко уменьшается при увеличении угла между осью антенны
и направлением на источник. Точная конфигурация диаграммы
направленности зависит от того,- какой вес детектор (например,
его форма) придает сигналу, приходящему от каждого элемента
поверхности рефлектора. Часто областям, находящимся у края
рефлектора, специально придают существенно меньший вес, чем
областям вблизи центра рефлектора. Причина такого неоднород-
ного распределения весов следует из факта, отмеченного в при-
мере 16.2.3. Дело в том, что диаграмма направленности как функ-
ция угла 0 (для узких диаграмм) представляет собой преобразова-
ние Фурье детектируемого распределения как функции положе-
ния на апертуре. Таким образом, если распределение равномерно
по всей апертуре конечного размера, диаграмма направленности
sin kQ '	। л i-i
имеет вид —и боковые лепестки спадают только как 0 х.
Ли
Меньший уровень боковых лепестков может быть получен ценой
некоторого увеличения ширины основного луча диаграммы на-
правленности путем использования треугольного или приподня-
того косинусоидального распределений. Важность таких распре-
делений становится очевидной, если учесть, что, например, в ра-
диолокаторе эхо-сигнал от большой ближней цели может быть
на 100 дБ больше, чем сигнал от малой удаленной цели. Таким
образом, даже при распределении в виде приподнятого косину-
соидального импульса, угол между этими целями может достиг-
нуть многократной ширины диаграммы направленности, пока
отраженный сигнал от слабой цели достигнет по величине сигнала
от сильной цели, которая принимается боковым лепестком.
Другие применения зависимости между формой импульса и
формой его спектра будут обсуждаться в последующих главах.
16.3.	Выводы
Принцип неопределенности дает нижнюю границу произведения
длительности на ширину спектра любого сигнала. Связанная
с ним и почти равная по значению идея заключается в том, что
быстрому убыванию характеристики в одной области соответ-
ствует в высокая степень плавности в другой области. Вместе
Упражнения к главе 16
211
эти концепции являются определяющими при синтезе сигналов
и систем для необычайно широкого диапазона применений,
включая системы связи, и рассматриваются в следующей
главе.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 16
Упражнение 16.1
гт	ж	sin 2л1У/
Для идеального фильтра с импульсной характеристикой а (/) =--——-
покажите, что
а)	Время нарастания переходной характеристики, определяемое (16.1.1),
равно 1/211?,
б)	Время нарастания от 10 до 90 % равно 0,446/lF.
Упражнение 10.2
Для простой /?С-цепи, показанной на рис. 16.7, докажите, что произведение
времени нарастания от 10 до 90 % иа одностороннюю ширину полосы по уровню
Рис. 16.7.
3 дБ примерно равно 0,35. (Поскольку характеристики многих электронных уси-
лителей и других систем часто в значительной мере определяются лишь одним
полюсом, этот результат определяет простое приближенное правило для расчета
произвольных низкочастотных систем, во многих случаях обеспечивая высокую
точность. Так, например, в соответствии со спецификацией операционный уси-
литель тина 741 имеет при единичном коэффициенте усиления полосу пропуска-
ния 10‘ Гц и время нарастания 0,3 мкс.)
Упражнение 16.3
Исходя из теоремы Пэли—Винера, покажите, что не существует функции вре-
мени, которая бы равнялась нулю вне некоторого конечного временного интер-
вала и имела бы преобразование Фурье, равное нулю вне определенного частот-
ного интервала. Это означает, что «длительность» и «ширину спектра» невоз-
можно одновременно интерпретировать в строгом смысле.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 16
Задача 16Л
Задайте в выражении (16.1.1) /0 = 0 и найдите
СО
j h(i)dt
Д7\ = -	----= длительность h (t).
212
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
Аналогично установите
=
',, уд----- ширина полосы Н (f).
п (°)
а) Докажите, что
Д7\ ДГ1= 1
для любой функции h (1), преобразованием Фурье которой является Н (J).
б) Определите &Tlt и их произведение для каждого из показанных
на рис. 16.8 сигналов. В каждом случае рассмотрите, в какой степени эти вели-
чины представляют разумную меру длительности и ширины полосы соответ-
ственно.
Рис. 16.8.
в) Указанные определения могут быть не вполне удовлетворительными,
если h. (I) или Н (f) являются комплексными или знакопеременными функциями.
Тогда воспользуйтесь другими определениями
Л?2 = “|Л(0)| ' ДГа = “я (0)|
и покажите, что
ДТ2 ДГа > 1.
Задача 16.2
Некоторые трудности с Д7\ и Аопределенными в задаче 16.1 в качестве меры
длительности и ширины полосы, могут возникнуть из-за выбора /0 = 0. Их можно
в некоторой степени обойти, пользуясь автокорреляционной функцией J)
СО
Rh (*) = j h (/) h (t ф- т) di
— СО
вместо сигнала h (i).
!) Заметим, что в отличие от задачи 14.17 автокорреляционная функция
в данном случае определяется в виде интеграла вместо среднего. Для рассматри-
ваемых непериодических сигналов h (!) среднее будет равно нулю.
Задачи к главе 16
213
а) Докажите, что преобразование Фурье для Rp, (т) равно | Н (f) |2.
б) Найдите
СО
и покажите J),	j Дд(т)Л дг _ -~m	 1	Rh (0) /со	\ 2 1 j A (/) efZ J = —:— 	— = длительность h (t), j h?(t)dt —co co Д'^2 “	| н (0) I2 = шнРииа полосы H (f) что ATa AFa = 1.
По причинам, которые будут разъяснены в гл. 19, Д1Г2 часто называют эквива-
лентной шумовой полосой для Н (f).
в) Найдите значения АТ2 и Л1Г2 для каждого из сигналов задачи 16.1 и
проанализируйте, в какой степени они являются разумной мерой соответственно
«длительности» и «ширины полосы».
г) Покажите, что если h (t) задержана или в более общем случае если h (t)
разделена на сегменты различной длины, которые перемешаны в любом порядке
и часть из них разделена интервалами с нулевой амплитудой, а некоторые из сег-
Рис. 16.9. Сегменты а н с инвертированы во времени.
ментов инвертированы во времени (рис. 16.9), то «автокорреляционная длитель-
ность» ДТа и ширина полосы Д1Г2 полученного таким образом сигнала будут
такими же, как и у исходного.
Рис. 16.10. Суммарная длительность h (i) до симметризации (слева) равна дли-
тельности четной h (t), полученной в результате симметризации (справа).
х) См. D. О. Lampard, IRE PGCT-3, 4 (Dec. 1956.): 286.
214
Глава 16. Соотношения длительность-полоса
д) Процесс симметризации Штейнера 1) позволяет превратить любую функ-
цию в четную (рис. 16.10). Покажите, что величины AZ’j и Д1Г2 не изменяются
этой процедурой 2).
Задача 16.3
Выведите уравнение (16.1.12) методом, аналогичным тому, который использован
при получении выражения (16.1.4), т. е. исходя из факта, что

{Г) I
|/=о *
Задача 16.4
На графике с осями координат «дБ» и «log /» сравните графически аппроксима-
цию частотной характеристики, полученную преобразованием гауссовской им-
пульсной характеристики (16.1.29), с точной частотной характеристикой системы,
состоящей из четырех последовательно включенных 7?С-фильтров нижних частот,
каждый из которых имеет частотную характеристику Н (f) — 1/(1 -f- jinfRC).
Задача 16.5
В общем случае свертка двух сргналов импульсной формы (сигналы, которые
имеют малый уровень за пределами конечного временнбго интервала) дает ре-
зультирующий сигнал, который «шире» исходных, т. е. его эффективная дли-
тельность больше, чем у любого из исходных сигналов. Это следует нз теоремы,
которая выражена уравнением (16.1.12) и доказывается в задаче 16.3. Однако
эта теорема справедлива дли сигналов, удовлетворяющих определенным усло-
виям. Покажите, что
(результирующий сигнал имеет гораздо меньшую длительность, чем каждый
из 1/1 «импульсов»), и найдите значение константы k. Почему данный пример
является исключением из общего правила?
2) См., например, В. Бляшке, Круг и шар. — М.: Наука, 1967, с. 58; Г. По-
лиа п Г. Сеге, Изопернметрические неравенства в математической физике. —
М.: ГИФМЛ, 1962, с. 22—25, 199—222. — Прим. ред.
2) R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications (New York, NY:
McGraw-Hill, 1965), p. 175.
17
ПОЛОСОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
СИГНАЛОВ И СИСТЕМЫ
С АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
17.0. Введение
Ранее мы фокусировали наше внимание на свойствах фильтров
нижних частот и специфических особенностях сигналов, которые
пропущены через эти фильтры. Многое из того, что нами изучено,
может быть непосредственно применено к проблеме полосовой
фильтрации сигналов. Ключом к перенесению ранее полученных
результатов является свойство сдвига частоты, приведенное
в табл. 13.2,
(17.0.1)
(Соображения, по которым выбраны обозначения, будут объяс-
нены ниже.) Основная идея состоит в том, чтобы рассматривать
проблему полосовой фильтрации в терминах, относящихся к про-
блеме низкочастотной фильтрации плюс сдвиг по частоте. Дейст-
вительно, мы хотим далее показать, что любой полосовой процесс
(колебание, спектр ^которого полностью или частично заключен
в двух сопряженных полосах И7! < | f | < Т^г) можно записать
в виде
х(0-Ке[хт(0е/2яЧ = Ц-(^ (0^2л'?+4(0е“/2я^), (17.0.2)
так что
^ (/) = 4-	- м+(-/ - м)’	(17-°-3)
где хт (t) (в общем случае комплексный) является низкочастотным
сигналом. Мы хотим показать, что результат прохождения поло-
сового сигнала через полосовой фильтр легко вывести на основе
результатов прохождения соответствующего низкочастотного сиг-
нала через фильтр нижних частот. Эти математические идеи на-
ходят непосредственное применение при разработке ряда важных
устройств, называемых (в зависимости от конструкции и специ-
фики использования) смесителями, модуляторами, демодулято-
рами и детекторами, которые предназначены для преобразования
низкочастотных сигналов в полосовые (и обратно). Следовательно,
изучение полосовых процессов как результата трансформации
низкочастотных не является просто математическим упражнением.
216 Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Обсуждение этих аналитических идей и соответствующих физи-
ческих устройств и их применений в аналоговых системах связи
составляет основное содержание этой главы.
17.1. Амплитудная модуляция
Целесообразно начать изложение с простого модулятора, пока-
занного на рис. 17.1. Его спектральные характеристики следуют
„	iinfj
немедленно из свойства умножения на е с , приведенного
в табл. 13.2.
хт(/1	хЫ) = хт(t)cos2irfct
cos2irfct
Рис. 17.1. Простой модулятор.
Мы предположим, чтохт (0 является действительной функцией,
так что выражения (17.0.2) и (17.0.3) примут вид
Г J2ltV < Г,Й1У 1
х (0 = хт (t) cos 2afct = хт (/)	-------j <=>
+	+	(17.1.1)
Если также предположить, что хт (/) имеет спектр, ограниченный
полосой | f |Ц W, т. е.
|Xm(/)|EE0, \f\>W,	(17.1.2)
и если затем ограничить W величиной меньшей или равной /с,
то спектры Хт (f — fc) и Хт (f + /с) не перекрываются и х (t)
является полосовым процессом, спектр которого (как показано на
рис. 17.1) ограничен полосой
+	(17.1.3)
Следует отметить, однако, что поскольку хт (t) является действи-
тельной функцией, то Хт (/) обладает свойством сопряженной
симметрии относительно f = 0, а также каждая из частей X (/)
относительно / = ±/с. Таким образом, спектр X (/) имеет более
сложную структуру, чем это необходимо для полосового спектра
общего вида, к этой ситуации мы вернемся ниже.
17.1. Амплитудная модуляция
217
В зависимости от соотношения между шириной спектра и
его центральной частотой полосовые процессы разделяют на
два класса — узкополосные (УП) и широкополосные (ШП). У пер-
вых ширина спектра намного меньше центральной частоты, а
у сигналов второго типа сравнима с ней. Иногда сигнал считают
узкополосным, если ширина его спектра не превышает одной
октавы. Для вышеприведенного примера это соответствует
(/с + Ю<2(/с-Ю или r<fc/3.	(17.1.4)
Однако наиболее характерные свойства узкополосных процессов
проявляются в том случае, если ширина полосы намного меньше
центральной частоты, например W <Z /с/10. В этом случае х (0 =
= хт (/) cos 2n,fct (хт (t) — действительная функция, имеет форму
косинусоиды с несущей частотой fc (от слова «несущая» — car-
rier происходит индекс с), амплитуда которой модулирована или
медленно изменяется в соответствии с огибающей или модулирую-
щим сигналом хт (0 (индекс т происходит от слова «модуляция» —
modulation), как показано на рис. 17.2. Таким образом, ампли-
тудный модулятор 1) представляет собой устройство, которое
формирует полосовой процесс вида х (t) = хт (t) cos 2nfct из за-
данного низкочастотного процесса хт (t). Идеальный амплитудный
модулятор фактически представляет собой просто умножитель.
хт(Н
Рис. 17.2. Амплитудно-модулированная несущая.
Одно из важнейших свойств амплитудно-модулированных
(AM) процессов заключается в том, что в амплитудных модулято-
рах сохраняются все детали низкочастотного модулирующего
процесса хт (t). Это позволяет с помощью процедуры, обратной
процедуре формирования х (t), полностью восстановить процесс
хт (О- К простым демодуляторам или детекторам относится
синхронный (синхродинный, гомодинный) детектор или демодулятор
произведения, показанный на рис. 17.3.
г) Существует несколько типов амплитудных модуляторов. Далее указанное
простое устройство будет названо амплитудным модулятором с подавлением
несущей.
218
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов

xm(t)cos2.irfct ZHHcosZtt/^

Идеальный
ФНЧ
а 2cos 2irfct
Hif) --
' I , |f| <W
О для остальныхf
Рнс. 17.3. Простой AM-демодулятор.
То, что выходным процессом этой системы является хт (4),
следует из того, что процесс на выходе умножителя может быть
записан в виде
2х (4) cos 2nfc4 = 2хт (t) cos12nfct =
= xm(t)^-xm(t)cos2n2fct	(17.1.5)
где использовано тригонометрическое тождество
cos1 ф = -у- 4- cos 2ф.	(17.1.6)
Спектр второго члена в выражении (17.1.5), как это следует из
(17.1.1), концентрируется около центральных частот ±2/с и
поэтому не пропускается фильтром нижних частот. Таким об-
разом, как и требовалось, на выходе системы будет присутство-
вать только хт (4). (Конечно, тот же самый результат можно по-
лучить, как отмечалось при рассмотрении модулятора, путем
свертки спектров функций х (4) и 2 cos 2n.fct. Рекомендуется са-
мостоятельно более детально рассмотреть этот альтернативный
способ.)
Полосовой AM-процесс х (t) = хт cos 2л/с4 полностью экви-
валентен низкочастотному процессу хт (4) в отношении содержа-
щейся в нем информации, хотя они находятся в различных ча-
стотных диапазонах. Это различие приводит к ряду практических
следствий, наиболее важными из которых являются:
а) С помощью мультиплексирования с частотным уплотнением
можно одной линией связи обслуживать ряд независимых поль-
зователей. В такой системе каждый пользователь модулирует
низкочастотным информационным процессом соответствующие раз-
личные несущие частоты, которые расположены так, что частотные
полосы или каналы не перекрываются и благодаря этому могут
быть разделены фильтрами в приемнике. Исторически частотное
уплотнение развивалось медленнее, чем описанное в гл. 14 временное
уплотнение, поскольку оно требует применения сложных фильтров
и электронных схем. Однако частотное разделение каналов (в от-
личие от случая временного уплотнения) не требует точной син-
хронизации отдельных пользователей, что является его преиму-
17.1. Амплитудная модуляция
219
ществом. Оно также относительно нечувствительно к различным
формам амплитудных и фазовых искажений, которые (создавая
импульсные помехи) могут серьезно нарушить работу системы
с временным уплотнением. С другой стороны, системы с частотным
разделением каналов по сравнению с системами с. временным уп-
лотнением более чувствительны к различным нелинейным и ме-
няющимся во времени искажениям, которые могут вызвать пере-
крестные помехи между каналами. Частотное уплотнение явля-
ется средством, с помощью которого имеющийся диапазон радио-
частот распределяется между несколькими службами (см., на-
пример, табл. 17.1). (Многие схемы уплотнения используются
в дополнение к временному и частотному разделению. К ним от-
носятся такие виды уплотнения, как фазовое и квадратурное, об-
суждаемые ниже и в упражнении 17.4, применение поляризации
электромагнитного излучения или различных мод в волноводах,
а также «искусственные линии» в телефонии, позволяющие по
двум парам медных проводов передавать три разговора.)
Таблица 17.1. Типичные примеры использования
частотных диапазонов в системах связи х)
Частотный диапазон	Название	Типичные примеры использования
3—30 кГц	Сверхнизкие ча- стоты (СНЧ)	Дальняя навигация; сонары
30—300 кГц	Низкие частоты (НЧ) Средние частоты (СЧ)	Навигационные системы; радиомаяки
300—3000 кГц		Морские радиостанция; радиокомпасы; сигналы бедствия; АМ-радноаещание
3—30 МГц	Высокие частоты (ВЧ)	Системы поиска и спасения; связь ко- рабль-берег и корабль-самолет; телегра- фия, телефония и факсимильные системы УКВ-телевнзнонные каналы; ЧМ-радио- вецанне; наземная подвижная связь; ча- стные самолеты; управление воздушным движением; такси, полиция; навигацион- ные средства
30—300 МГц	Очень высокие частоты (ОВЧ)	
0,3—3 ГГц	Ультравысокие частоты (УВЧ)	ДМВ-телевкзконные каналы; радиозон- ды; навигационные средства; РЛС для охраны территории; спутниковая связь; радиовысотомеры
3—30 ГГц	Сверхвысокие ча- стоты (СВЧ)	Микроволновые линии связи; самолетные РЛС; РЛС, предупреждающие о прибли- жении объекта; метеорологические РЛС; наземные передвижные средства связи с общей несущей
30-300 ГГц	Крайне высокие частоты (КВЧ)	Железнодорожные системы; РЛС для по- садки самолетов; экспериментальные си- стемы
Ц Адаптированная версия из книги JR. Е. Ziemer and IT. Н. 7renter, Piinciples		
of Communications 	A		, (Boston, МА: Houghton Mifflin, 1976).	
220
Глава 17. Полосовая фяльтрацяя сягяалов
б) Многие из факторов, оказывающих влияние на стоимость,
качество и даже реализуемость систем связи, управления или
измерительных систем в значительной степени зависят от исполь-
зуемой частоты, выбор которой является важным шагом в раз-
работке системы. Эти факторы слишком разнообразны и много-
численны для того, чтобы их все можно было здесь привести.
В радиосвязи, например, к ним относятся вид распространения
радиоволн (вдоль линии наблюдения или отражение от ионосферы),
затухание, рассеяние и искажение в среде, шумы и взаимные
помехи, размеры и диаграмма направленности антенны, макси-
мально возможные мощность и коэффициент полезного действия
передатчика. Необходимо учитывать также стоимость, размеры,
массу, коэффициент полезного действия и способность компо-
нентов выдерживать определенный уровень мощности. В част-
ности, обычное радиовещание было бы невозможно осуществить,
если передавать речь и музыку в виде электромагнитных сигналов
на исходных частотах порядка нескольких килогерц, из-за раз-
меров антенн, которые для этого требуются. С другой стороны,
для достижения военного преимущества необходима связь с на-
ходящимися в погруженном состоянии подводными лодками,
для чего были созданы радиостанции, работающие на частотах,
которые настолько низки, насколько это возможно (несмотря на
размеры антенн и колоссальную мощность, которую требуется
генерировать), поскольку электромагнитные волны с более высо-
кими частотами быстрее затухают в морской воде.
Обсужденная выше схема амплитудной модуляции (с подав-
ленной несущей) имеет один серьезный недостаток — сигнал
местного генератора 2 cos 2nfct в демодуляторе должен быть
точно синхронизирован по фазе с несущей сигнала cos 2л/с/
в модуляторе. Чтобы понять эту проблему, предположим, что
сигнал местного генератора в демодуляторе имеет вид 2 cos X
X + 9), так что сигнал на входе фильтра нижних частот
после умножителя демодулятора, показанного на рис. 17.3,
примет форму
2х (0 cos (2л/с/ + 9) = 2хт (/) cos 2n,fct cos (2лД./	9) =
= хт (t) cos 9 + хт (/) cos (4л/4 + 9),	(17.1.7)
где было использовано тригонометрическое тождество
cos ф cos ф — -у- cos (ф 4~ Ф) + 4~cos $ — '!’)•	(17.1.8)
Второй член в выражении (17.1.7) имеет спектр с центральными
частотами +2fc и будет подавляться фильтром нижних частот,
так что окончательный выходной сигнал будет равен хт (t) cos 9.
Следовательно, в этом случае амплитуда выходного сигнала будет
зависеть от 9 и может даже стать равной нулю при 9 =|>л/2, т. е.
17.1. Амплитудная модуляция
221
если сдвиг фазы сигнала местного генератора относительно фазы
несущей достигнет 90°. Более того, если 9 медленно изменяется
во времени (т. е., если частота местного генератора нестабильна),
то выходной сигнал будет нарастать и спадать, увеличиваться и
замирать, что может оказаться весьма нежелательным.
AM с подавленной несущей широко применяется в системах
управления, где модулятор и демодулятор расположены рядом,
при этом тот же генератор может использоваться для модулятора
и демодулятора, в связи с чем проблем не возникает. Когда же AM
с подавленной несущей используется в системах связи, в которых
передатчик и приемник могут быть разнесены друг от друга на
многие километры, возникают трудности, связанные с синхрони-
зацией. Одно из решений данной проблемы заключается в том,
что к передаваемому сигналу добавляется синусоида с малой
амплитудой на несущей частоте, которая используется для син-
хронизации местного генератора. Другой способ заключается
в возведении в квадрат принимаемого сигнала в отдельном канале
приемника, в результате чего формируется несущая частота 2/с
xl (/) cos2 2лД/ = -L ^ (/) 4- 2- х2п (0 cos 4лД (/), (17.1.9)
где член Хт (0 всегда положителен и его среднее значение не равно
нулю. Несущая с удвоенным значением частоты может быть ис-
пользована для синхронизации местного генератора. В каждом
из этих способов синхронизация местного генератора осущест-
ляется с помощью схемы фазовой автоподстройки частоты
(ФАПЧ) (см. задачу 17.12, в которой описывается вариант системы,
осуществляющей возведение в квадрат).
Вариант, при котором основная характеристика синхронного
детектора зависит от фазовых соотношений между колебаниями
несущей частоты и местного генератора, открывает интересные
возможности. Если обеспечить синхронизацию между передатчи-
ком и приемником, то можно одновременно передавать по одному
каналу два независимых сигнала, что получило название квадра-
турного уплотнения. Его подробное описание приведено в упраж-
нении 17.4.
Описанные выше проблемы синхронизации отпадают в случае
узкополосного процесса, если модулирующее колебание хт (Z)
всегда положительно,
хт(0>0,	(17.1.10)
так как демодулятор при этом можно реализовать в виде нели-
нейного детектора огибающей. Принцип действия простейшего
детектора огибающей показан на рис. 17.4. Диод открыт только
во время положительных полупериодов несущей, при этом про-
ходящий через него ток быстро заряжает конденсатор до макси-
мального напряжения. В течение отрицательного полу периода
222
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Рис. 17.4. Простой детектор огибающей.
Рис. 17.5. Выходной сигнал идеального детектора огибающей, а — хт (О может
быть положительным и отрицательным, т, е. изменять знак; А — выход идеаль-
ного детектора огибающей ие равен хт (/); Б — отмечается изменение фазы;
б — хт (/) везде положительно; А — выход идеального детектора огибающей
равен хт (t).
конденсатор медленно разряжается через резистор. Затем осу-
ществляется низкочастотная фильтрация или сглаживание, в ре-
зультате чего устраняются пульсации на несущей частоте.
Если хт (t)	0, то описанный детектор огибающей в точности
восстановит хт (t). Однако если хт (0 изменяет знак, то детектор
огибающей, не имея опорной несущей для определения результи-
рующего фазового сдвига, формирует на выходе сигнал, отлич-
ный от хт (t), как показано на рис. 17.5. Некоторые модулирую-
17.1. Амплитудная модуляции
223
щие процессы, как, например, видеосигналы, принципиально
положительны1). Другие, как, например, речевые и музыкальные
сигналы, обычно биполярны. Ухо, например, не реагирует на
низкие частоты или постоянную составляющую, которые обычно
содержатся в однополярном сигнале (см. гл. 20). Более того, че-
ловеческий голос и музыкальные инструменты не генерируют та-
ких частот в акустическом сигнале. Чтобы превратить биполяр-
ный сигнал в однополярный, достаточно добавить к нему положи-
тельный уровень, превышающий по величине отрицательный
максимум в модулирующем сигнале, так что выход модулятора
примет вид
х (t) = (А + хт (t)) cos 2яД7 = A cos 2л/Д -ф хт (1) cos 2nfct. (17.1.11)
Это колебание от ранее полученного отличается добавлением
члена A cos 2nfct на несущей частоте (соответственно этот член
назван несущей, а ранее изученный второй член хт (i) cos 2nfct
был назван AM с подавленной несущей). В результате первый член
создает в спектре сигнала х (/) два импульса, как показано на

|хт(Н|
Рис. 17.6. Спектр ЛМ-сигнала.
рис. 17.6 2). Амплитуды этих импульсов не зависят от хт (/);
вся полезная информация в процессе х (/) содержится в боковых
полосах, представляющих собой спектральные полосы, располо-
женные по обе стороны от импульсов несущей. Роль несущей
в сигнале заключается в упрощении процесса демодуляции 3).
*) Точнее — неотрицательны, так как автором используется неравенство
хт (0 > 0. ПРИ котором допускается и нулевое значение. — Прим. ред.
2) Это обычное, хотя и не совсем точное, изображение спектра АМ-сигнала.
Здесь мы предполагаем, что член несущей имеет бесконечную длительность (что
создает импульс в спектре), в то время как реальный сигнал имеет конечную
длительность или по крайней мере интегрируем и поэтому имеет конечное
преобразование Фурье. Для анализа непериодических сигналов бесконечной
длительности необходимо использовать понятие спектральной плотности мощ-
ности, которое будет обсуждено в гл. 19.
3) Благодаря наличию несущей не требуется использование нелинейного
детектора огибающей, показанного на рис. 17.4. Его функции может успешно
выполнить изображенный на рис. 17.3 синхронный детектор. Несущая позволяет
использовать схему ФАПЧ для синтеза сигнала местного генератора.
224
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Пример 17.1.1
Случай синусоидальной AM легко детально изучить и сделать
важные выводы. Этот сигнал удобно записать в виде
х (t) = А (1 + т cos 2n/mf) cos 2nfct, (17.1.12)
где fm — частота модуляции (fm fc), а т — коэффициент мо-
дуляции, являющийся мерой «глубины» модуляции. Чтобы пре-
дотвратить перемодуляцию, мы должны ввести ограничение | т |
1. Коэффициент модуляции обычно выражают в процентах.
На р ис. 17.7 изображены колебания для т = 50 и 100 %.
Спектр х (/) (17.1.12), показанный на рис. 17.8, состоит только
из импульсов, несмотря на то что х (Z) может быть или не быть
истинно периодическим в зависимости от того, является ли fjfm
целым числом или нет. Характер спектра X (/) становится яс-
ным, если представить сигнал х (t) (17.1.12) в виде
х (0 = A cos 2afct + -4^- cos 2 л (/с + fm) / + cos 2л (Д. — fm)t.
(17.1.13)
Это уравнение можно также интерпретировать в терминах про-
екций совокупности вращающихся векторов, как показано в пра-
17.1. Амплитудная модуляция
225
вой части рис. 17.8. Наибольший вектор (длина которого Л) враща-
ется относительно начала координат с неизменной скоростью 2л/с
радиан/с; меньшие векторы (длина каждого из которых Лт/2)
вращаются в противоположных направлениях относительно конца
наибольшего вектора со скоростью 2.т/т радиан/с. Результирующие
скорости вращения этих векторов, таким образом, равны 2л +
+ fm) и 2л (/с — fm) радиан/с. Проекция суммы векторов на гори-
зонтальную ось равна х (/). Заметим, что вектор суммы двух
векторов боковых частот всегда направлен вдоль вектора Л,
в силу чего результирующий вектор вращается с постоянной ско-
ростью, медленно изменяясь по амплитуде.
* * *
Пример 17.1.2
Амплитудная модуляция и синхронное детектирование явля-
ются (в идеальном случае) линейными (меняющимися во времени)
операциями над модулирующим сигналом хт (t) (поэтому ампли-
тудную модуляцию иногда называют линейной модуляцией). Тем
не менее большинство реальных амплитудных модуляторов и де-
текторов содержат вместо линейных умножителей такие нели-
нейные приборы, как выпрямители. Одна из практических схем
модулятора, несколько идеализированная, показана на рис. 17.9.
Рис. 17.9. Простая схема АМ-моду-
лятора; справа на схеме контур с резо-
нансной частотой /с.
Выпрямитель
(Некоторые другие схемы модуляторов обсуждаются в задачах
17.4 и 17.5.) Точный анализ даже такой простой нелинейной цепи
связан с большими трудностями. Однако можно провести при-
ближенный анализ в установившемся режиме, если еще больше
идеализировать систему, заменив резонансный контур полным
сопротивлением, которое равно бесконечности на частотах вблизи
±/с и нулю на всех остальных частотах. Предположим также,
что частота модуляции в напряжении хт (/) гораздо меньше по-
лосы пропускания резонансного контура (или, другими словами,
период модуляции больше постоянной времени контура). При этом
можно анализировать систему так, как будто она всегда находится
в установившемся состоянии, когда на входе приложено неиз-
менное напряжение хт.
8 Сиберт У. М., ч. 2
226
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Как следует из свойств резонансного контура, напряжение
v (/) должно иметь синусоидальную форму и частоту fc, следова-
тельно, v (f) = V cos 2л/с/, где V должно быть найдено. Таким
образом, напряжение на выпрямителе имеет вид
vT (t) = хт — А + (V — 2А) cos 2nfct.
Определим далее три рабочие области:
а)	Когда хт <—А, диод находится в закрытом состоянии
в течение всего периода. При этом V = 0.
б)	Когда хт > А, диод находится в открытом состоянии в те-
чение всего периода. Поскольку полное сопротивление резонанс-
ного контура намного превышает прямое сопротивление выпря-
мителя, V = 2А независимо от величины хт.
в)	Когда | хт | < А, диод проводит в течение части каждого
периода. Однако полное сопротивление резонансного контура на
частоте /с велико, поэтому составляющая тока этой частоты прак-
тически равна нулю и соответствующая проводимость весьма мала.
Следовательно, положительный максимум vr (t) близок к нулю
или
хт — А = V ~2А,
из чего следует
V = xm + A, -А<хт<А. (17.1.14)
Полагая, что хт (/) изменяется медленно, окончательно получим
v(t) = [A +xm(0]cos2<Z, |xm(f)|<A,	(17.1.15)
xm( /) -Д( 1 + 2 cosirfct)
Рис. 17.10. Колебания а модуляторе рис. 17.9.
что идентично выражению (17.1.11) при условии ограничения
максимального значения амплитуды. Типичные формы колебаний,
возникающих в модуляторе, показаны на рис. 17.10. Обратите
внимание на возникающие искажения — эффект перемодуляции
(| хт (t) | ~> А), который в данном типе модулятора эквивалентен
амплитудному ограничению или ограничению пиков хт (/).
* * *
Детектор огибающей намного упрощает схему приемника по
сравнению с использованием синхронного детектора, поскольку
17.1. Амплитудная модуляция
227
он не требует генератора, точно синхронизированного с частотой
несущей. Однако за эту простоту приходится платить. Так, для
предотвращения искажений в детекторе огибающей, обусловлен-
ных перемодуляцией, амплитуда несущей А в (17.1.11) должна
быть всегда больше максимальной амплитуды модулирующего
сигнала хт (/). Компонента передаваемого сигнала, содержащая
только несущую частоту, не несет никакой информации и должна
быть отфильтрована в приемнике, но несущая тем не менее должна
генерироваться и излучаться передатчиком. (Это может вызвать
серьезные трудности, например, в спутниках, где мощность источ-
ников питания ограничена.) Следовательно, обычная амплитудная
модуляция с передаваемой несущей эффективна в радиовещании,
где на один передатчик приходится много приемников. С другой
стороны, амплитудная модуляция с подавленной несущей (АМПН)
находит применение в системах связи с направленными передачей
и приемом, в которых число приемников мало, так что результи-
рующая стоимость и сложность синхронных детекторов не явля-
ются столь существенным фактором.
Коэффициент полезного действия (КПД), присущий амплитуд-
ной модуляции, можно определить как отношение средней мощности
боковых полос в AM-сигнале к полной средней мощности. Как
следует из примера 13.4.1, для спектра, имеющего импульсную-
форму, средняя мощность равна сумме квадратов площадей этих
импульсов. Таким образом, КПД системы с синусоидальным АМ-
сигналом типа (17.1.13) равен (рис. 17.8)
4 [т-Г/Р [4]’+4	отлив)
и имеет максимальное значение 33,3 % при т = 1.
Но даже эта скромная цифра не в полной мере характеризует
очень низкий КПД в случае, обычной AM в практических ситуа-
циях. Пик-фактор (peak factor, сокращенно pf) сложного колеба-
ния определим как отношение пика или его максимальной вели-
чины к среднеквадратической величине (СКВ). Измерения пока-
зывают, например, что пик-фактор для «неуправляемой» речи
примерно равен 35. Можно показать, что КПД в общем случае
AM не может превысить величину 1/[1 + (р/)21, если не допуска-
ется перемодуляция (см. упражнение 17.2, где эта формула об-
суждается для периодических сигналов). Следовательно, КПД
AM для «неуправляемой» речи не превышает 0,1 %!
Для повышения КПД в радиовещательных станциях исполь-
зуют систему автоматической регулировки усиления (АРУ) для
уменьшения усиления в течение моментов времени, когда интенсив-
ность звука высока (при этом пик-фактор речи уменьшается при-
мерно до 8) и допускают некоторые искажения за счет перемоду-
ляции. В дополнение иногда полезно (как показано на рис. 17.11)
8*
228
Глава 17. Полосовая фильтрации сигналов
пропустить модулирующий сигнал через резистивную нелиней-
ную цепь для сжатия его динамического диапазона перед осуще-
ствлением модуляции несущей. В приемнике после демодулятора
вводят компенсирующее нелинейное устройство — экспандер, ко-
торое расширяет динамический диапазон. Указанный процесс
получил название компандирования х).
Сигнал с большим pf
/ Сигнал с уменьшенным pf
Компрессия
Экспандирование
у(t )ГТ	х( t)
р- Резистивная
нелинейность
Рис, 17.11. Колебания в компандирующей схеме.
17.2.	Смесители и супергетеродинные приемники
Умножитель в качестве амплитудного модулятора и синхронного
детектора, рассмотренных в предыдущем разделе, характеризует
частный случай устройств широкого класса, называемых смеси-
телями или преобразователями частоты, которые имеют огром-
ное практическое значение и которые мы рассмотрим более под-
робно. Основная задача идеального смесителя — сдвиг централь-
ной частоты узкополосного сигнала. Структурная схема идеаль-
ного смесителя и спектры, поясняющие его работу, приведены на
рис. 17.12. Перемножение х (t) и cos 2лfot эквивалентно свертке
их спектров. В результате спектр х (/) сдвигается вправо и влево,
образуя полосы на частотах f0 ± flt одну из которых выделяют
с помощью полосового фильтра. При выделении верхней полосы
(как показано на рисунке), полученный эффект соответствует
просто сдвигу центральной частоты х (t) с Д на [0 + /у. В случае
выделения нижней полосы (показано пунктирной линией), кроме
!) Процесс сжатия-расшнрення динамического диапазона сигнала. —
Прим. ред.
17.2. Смесители, супергетеродинные приемники
229
Полосовой
фильтр
н(П
у(Г) =
х(cos2тг4)^_____ Полосовой
*	фильтр
S( f ) -	Hl f}
h cos2rrV	Н'Г>
Ulf)	kS(f)
1/2	Л1/2
Рис. 17.12. Структурная схема смесителя и спектр (спектр х (/) показан как
действительный для удобства иллюстрации, в общем случае он, конечно, ком-
плексный).
сдвига центральной частоты х (t) с ft на f0 — ft, происходит также
инвертирование спектра. (Конечно, если X (/) симметричен от-
носительно центральной частоты как, например, в случае,
когда х (t) является AM-сигналом, эффект инвертирования не
проявляется. Однако в других случаях его необходимо учиты-
вать.)
Важным примером использования смесителя является супер-
гетеродинный приемник !). Процесс приема радиосигналов удобно
разделить на два этапа. На первом этапе с помощью высокоселек-
тивного узкополосного фильтра усиливают сигнал заданного
частотного канала, одновременно подавляя мешающие сигналы
других каналов. При этом часто возникает необходимость на-
стройки приемника путем смены фильтра из одного канала на
фильтр из другого в полосе частот, которая может значительно
!) Гетероднрованне— это процесс смешивания двух сигналов различных
частот для получения третьей частоты. Смешивание двух сигналов одной н той же
частоты (как при синхронном детектировании) иногда называют гомодиниро-
ванием.
230
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
превосходить полосу одного канала. Второй этап заключается
в восстановлении или выделении модуляции, содержащейся в сиг-
нале на выходе фильтра. Принцип супергетеродинирования об-
легчает решение задачи первого этапа приема радиосиг-
налов.
Первые ламповые радиоприемники работали по принципу
прямого усиления. Они содержали ряд усилительных каскадов,
между которыми находились точно настроенные /?ЬС-цепи, на-
стройка которых производилась регулировкой С- и L-элементов.
Ж .	Частота генератора
Зеркальная частота
о £	'
ж r,
fit
Рис. 17.13. Супергетеродинный приемник: резонансный УВЧ и генератор с изме-
няемой частотой настраиваются совместно (спаренная настройка); на графиках’
пунктиром показаны частотные характеристики УВЧ (а) и УПЧ (б).
Недостаток таких приемников состоит в том, что довольно трудно
поддерживать неизменными избирательность и коэффициент уси-
ления всех каскадов в полном диапазоне настройки. Более того,
если для получения высокого усиления последовательно вклю-
чают большое число каскадов, появляется опасность того, что
обратная связь с выхода на вход приведет к неустойчивому режиму
работы или генерации (что отмечалось в гл. 6). В супергетеродин-
ном приемнике для решения указанной проблемы необходимая
избирательность в основном реализуется на одной фиксированной
частоте, а полный коэффициент усиления распределяется между
двумя частотами. Реализация этого метода иллюстрируется
рис. 17.13. Усилитель высокой частоты (УВЧ) состоит из од-
ного или двух каскадов и не обладает высокой избирательностью.
Основная избирательность достигается в усилителе промежуточ-
17.3. Однополосная модуляция
231
ной частоты (УПЧ) х). УПЧ должен иметь такую же полосу W,
как и принимаемый сигнал (в случае амплитудной модуляции она
равна удвоенной полосе низкочастотного модулирующего сиг-
нала), но центральная частота этой полосы fif поддерживается
постоянной благодаря соответствующему изменению частоты ге-
нератора fQ при настройке УВЧ. Обычно частота генератора,
поддерживающего значение fif Гц, превышает значение частоты
принимаемого ВЧ-сигнала. Однако следует заметить, что ВЧ-
сигнал, частота которого превосходит f0 на fif, также создает раз-
ностную частоту fif Гц. УВЧ должен иметь достаточную избира-
тельность, чтобы подавить этот мешающий зеркальный сигнал.
Это нетрудно сделать, если ПЧ достаточно велика. Большинство
современных радиоприемников работают в соответствии с супер-
гетеродинным принципом, который был предложен американским
изобретателем Эдвином Армстронгом в 1917 г. За это и многие
другие усовершенствования в радиосвязи (в том числе изобрете-
ние широкополосной ЧМ) Армстронг больше, чем Маркони, за-
служивает титула «Отец радио» * 2).
17.3.	Однополосная модуляция;
обобщенное представление узкополосного сигнала
В связи с сопряженной симметрией боковых полос спектры в слу-
чае обычной AM или AM с подавленной несущей (AM ПН) за-
нимают в два раза большую полосу, чем это необходимо для пе-
редачи модулирующего сигнала, что совершенно ясно из рис. 17.14.
Исходный сигнал можно восстановить как с помощью верхнего,
так и нижнего каналов, хотя сигнал верхнего канала занимает
вдвое меньшую полосу по сравнению с сигналом в нижнем ка-
нале. (В спектрах, показанных на рис. 17.14, масштаб по вер-
тикальным осям точно не выдерживался.) Сигнал х3 (0 в верхнем
канале носит название AM-сигнала с одной боковой полосой
(AM ОБП). Ясно, что он более экономно использует полосу по
сравнению с сигналами с обычной AM и с AM ПН 3). Два незави-
симых AM ОБП-сигнала, разделенные фильтрами в приемнике,
занимают совершенно одинаковые полосы каналов и могут ис-
пользоваться для тех же целей, что и обсуждаемые в упражнении
17.4 сигналы с квадратурным уплотнением. Помимо выигрыша
в полосе, AM ОБП по сравнению с другими способами амплитуд-
*) Высокая частота (ВЧ) — по-английски radio-frequency (rf), промежуточ-
ная частота (ПЧ) — intermediate-frequency (if), чем и обусловлены соответству-
ющие индексы в тексте и на рисунках. — Прим. ред.
2) С увлекательной биографией Армстронга можно познакомиться в книге
L. Lessing, Man of High Fidelity: Edwin Howard Armstrong (Philadelphia, PA;
Lippincott, 1956).
3) AM ОБП была предложена Карсоном в начале 20-х годов.
232
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов

х3(Н
AM ОБП
cos2tt7o/
Полосовой
фильтр
cos2t77o/ ФНЧ
Передатчики

x2( t)
AM ПН
Каналы
Приемники
7т[Х|(П]
Рис. 17.14. Сравнение AM ОБП и AM ПН.
17.3. Однополосная модулиция
233
ной модуляции менее чувствительна к некоторым видам помех
и искажений. Очевидно, AM ОБП, как и AM ПН, требует при-
менения сложного приемника, содержащего синхронизируемый
местный генератор, что затрудняет ее использование в радиове-
щании. (AM ОБП, используемая для передачи речи или музыки,
менее чувствительна, чем AM ПН, к уходам частоты местного ге-
нератора.)
Полосовой фильтр (f) в AM ОБП-модуляторе (рис. 17.14)
должен иметь очень крутой спад частотной характеристики, по
крайней мере на краю полосы вблизи несущей. Другой вариант
модулятора, показанный на рис. 17.15 (предложенный Хартли
в 1928 г.), позволяет несколько снизить уровень требований к ха-
рактеристике фильтра. (Еще одна схема модулятора будет опи-
сана в задаче 17.8.) В этой системе Н (/) представляет собой 90°-ный
фазосдвигающий фильтр
( — /, />0,
W) = ( /, /<0.	(17Л1)
Как уже обсуждалось в задаче 15.3, выходной сигнал хг (f) та-
кого фазосдвигающего фильтра является преобразованием Гиль-
берта от входного сигнала хг (/).
Принцип работы модулятора становится ясным при рассмо-
трении различных спектров на рис. 17.16. Импульсной характери-
стике фильтра Н (f) (см. табл. 13.2) h (/) = 1/л/, —оо < t < оо,
присуща особенность при t = 0 и она некаузальна. Тем не менее
удовлетворительную аппроксимацию данной характеристики мо-
жно получить различными способами. Так, например, если хг (/)
представляет собой речевой или музыкальный сигнал, то очень
низкие частоты и умеренные изменения фазовых характеристик
на слух не воспринимаются. Поэтому, как показано на рис. 17.17,
желаемый результат можно получить, пропуская сигнал (Z)
раздельно через пару фильтров, которые, скажем, в полосе 50 Гц—
10 кГц имеют единичное усиление и отличаются по фазовому
сдвигу на 90°. Каузальные фильтры с такими свойствами отно-
сительно легко реализуются на практике х).
AM ОБП-колебания являются примером обобщенного класса
узкополосных сигналов, которые в отличие от обычных АМ-
и AM ПН-сигналов не обладают свойствами симметрии внутри
полосы. Произвольное узкополосное колебание нельзя предста-
вить просто как произведение одного действительного низкоча-
стотного колебания на косинусоидальную функцию, но это можно
сделать путем некоторых усложнений. В частности, мы теперь
х) См. 3. Darlington, Bell Sys. Tech., J., 29 (1950): 94.
234
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Рис. 17.15. Другая схема для получения ОБП-модуляции.
1т [Х|(П]
a27m[x4(f)]
Рис. 17.16. Спектры в различных точках ОБП-снстемы иа рнс. 17.15.
17.3. Однополосная модуляция
235
Х|(Г)

strZirff
coslirft
.+)——*---------
Т Выход с одной
J боковой полосой
нг1П
покажем, что любое узкополосное колебание х (0 может быть
представлено в виде
х (0 = хе (0 cos 2nfot + ха (0 sin 2л/0/.	(17.3.2)
Это выражение не является единственным в том смысле, что ча-
стота /0 может иметь произвольное значение в пределах спектра
сигнала x(t)-xc (0 и ха (0— низкочастотные колебания, назы-
ваемые квадратурными компонентами х (I). Справедливость вы-
ражения (17.3.2) становится очевидной, если доказать, что коле-
бание на выходе структурной схемы (рис. 17.18) есть просто
входное узкополосное колебание х (t). Такое доказательство про-
ведено графически на спектрах рис. 17.19. При этом каждый из
спектров рис. 17.19 характеризует функционирование соответ-
ствующих элементов структурной схемы (рис. 17.18).
Для удобства аналитических операций с узкополосными сиг-
налами вводят понятие комплексной огибающей
& (0 = хс (0 - /X (0,	(17.3.3)
что дает возможность представить выражение (17.3.2) в виде дей-
ствительной части аналитического сигнала
х (0 = Re [g (0	(17.3.4)
Мы можем также записать обобщенный узкополосный сигнал в виде
х (0 = Е (0 cos [2л/0/ + ф (0],	(17.3.5)
236
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Рис. 17,18. Анализ и синтез обобщенного узкополосного колебания.
где огибающая Е (/) и £ (/) связаны соотношением
E(t) = |g(01 =КИ(0+И(0.	(17.3.6)
а фаза ф (/) выражается через £ (/) следующим образом!
ф(0 = arg g (?) = arctg	).	(17.3.7)
Уравнение (17.3.5) показывает, что мы можем рассматривать
обобщенный узкополосный сигнал как одновременно модулируе-
мый по амплитуде и по фазе. Некоторые свойства сигналов с чисто
фазовой модуляцией будут обсуждены в следующем разделе.
Аналитическим сигналам присущи те же преимущества по
сравнению с действительными сигналами, что и комплексным
экспонентам по сравнению с синусоидами. Например, как показано
в задаче 17.10, последовательность полосовых операций над
узкополосным сигналом х (/) может быть описана в терминах
эквивалентных низкочастотных операций над g (/), что оправды-
вает детальное изучение низкочастотных операций. В рамках
этой книги у нас возникает необходимость в обращении к аналити-
тическим сигналам, однако в дальнейшем их свойства не будут
обсуждаться.
17.3. Однополосная модуляция
237
|2ffe|X|(H]
3?
2/7е[хг (f)]
Рис. 17.19. Спектры в различных точках системы на рис. 17.18.
238
Глава 17. Полосовая фильтрации сигналов
17.4.	Фазовая и частотная модуляция
Чисто фазомодулированный (ФМ) сигнал можно получить из
выражения (17.3.5), если сделать огибающую постоянной, а
фазу ф (t) изменять пропорционально модулирующему сигналу
хт (0.
х (t) — A cos [2nfct + тхт (/)].	(17.4.1)'
Коэффициент пропорциональности т называется индексом фа-
зовой модуляции. Поскольку в этом случае модулируется не амп-
литуда, а фазовый угол косинусоиды, то фазовую и частотную
модуляции иногда объединяют под названием угловой модуляции.
Для исследования спектральных свойств ФМ-сигнала мы
вначале рассмотрим случай, когда хт (t) = cos 2л[ mt и m 1.
Тогда
х (/) = A cos [2л/0/ + т cos 2nfmZ] =
= A cos 2л/4 cos [т cos 2л[ mt] — A sin 2nfct sin [tn cos 2nfmt] «
« A cos 2nfct — Am sin 2nfct cos 2nfmt,	(17.4.2)
где использована аппроксимация для малых значений х: cos х » 1
и sin х х. Последнюю строчку в выражении (17.4.2) можно
записать в виде
х (0 « A cos 2л/4 — sin 2л (Д + fm)t sin 2л (fc — fm) t.
(Y1A.S)
Если каждый член выражения (17.4.3) записать в экспоненциаль-
ной форме, то становится очевидным, что спектр ФМ-сигнала
с малым индексом модуляции выглядит (приближенно) так, как
показано в левой части рис. 17.20. Заметим, что величины спек-
тральных составляющих идентичны величинам спектральных со-
ставляющих сигнала с синусоидальной AM, однако фазовые соот-
ношения между несущей и боковыми составляющими различны.
Эти фазовые соотношения более детально показаны графически
на векторной диаграмме в правой части рис. 17.20. Как и в ана-
А Спектр синусоидальной ФМ
Д/2
Рис. 17.20. Спектр в векторная диаграмма для ФМ-снгнала при m <С 1.
17.4. Фазовая и частотная модуляция
239
логичной векторной диаграмме для AM-сигнала, меньшие векторы
медленно вращаются в противоположных направлениях вокруг
конца быстро вращающегося большого вектора, а х (/) представ-
ляет собой проекцию суммы векторов на горизонтальную ось.
Однако в отличие от случая AM-сигнала сумма меньших векто-
ров перпендикулярна большему вектору. При этом, если векторы
боковых составляющих малы (т 1), длина суммарного вектора
близка по величине амплитуде несущей А, но результирующий
вектор вращается с переменной скоростью.
Фазовые соотношения в данной векторной диаграмме - указы-
вают простой способ генерирования ФМ-сигналов с малым ин-
дексом модуляции. Показанная на рис. 17.21 схема пригодна для
х,п(/)	Ахт( /)s\n2irfct	~Acos[2-rrfct-xm(/)]
As\n2irfct
Рис. 17.21, ФМ-модулятор при т 1.
Дср52тг7с/
произвольного модулирующего сигнала хт (fj, а не только для
синусоидального. Первоначально модулирующий сигнал осущест-
вляет AM ПН-модуляцию несущей A sin 2nfct с помощью сме-
сителя или балансного модулятора. Полученный сигнал суммируют
с несущей, которая имеет большую амплитуду и сдвинута по фазе
на 90° по отношению к несущей, используемой в смесителе. В ре-
зультате (в предположении, что | хт (t) | < 1) получаем прибли-
женное представление ФМ-сигнала.
По причинам в значительной мере исторического характера и
для удобства фазовую модуляцию обычно рассматривают в ли-
тературе в разделе частотной модуляции. Формальные же от-
личия их весьма просты. В колебании
х (t) = A cos [2л/0/ + ф (/)]	(17.4.4)
несущая модулируется по фазе с помощью ф (/). С другой стороны,
мы можем определить мгновенную (угловую) частоту х (/) как
производную от аргумента косинуса или
4[2п^ + ф(С1 = 2^с + <^-.	(17.4.5)
t
Принимая —— ф (t) или ф (f) = J </> (т) dx,
OO
ворить, что
х (f) = A cos
можно го-
(17.4.6)
t
2nfct + j ф (т) du
240 Глава 17. Полосовая фяльтрация сигналов
представляет собой несущую, модулируемую по частоте с по-
мощью ф (t). Если проинтегрировать основной модулирующий
сигнал до процесса фазовой модуляции, то результатом является
частотная модуляция. Однако, поскольку интегрирование пред-
ставляет собой ЛИВ-операцию, соответствующим дифференци-
рованием в приемнике можно устранить эффект интегрирования,
в силу чего различие между этими способами модуляции не пред-
ставляется столь существенным, по крайней мере при отсутствии
шумов. На самом деле для снижения шумов в большинстве прак-
тических систем связи, использующих частотную модуляцию (ЧМ),
применяют предыскажение высоких частот, и поэтому к ним скорее
подходит название ФМ-систем.
Рассмотрим подробнее случай синусоидальной частотной мо-
дуляции, при которой
ф (£) = —k sin 2nfmt.	(17.4.7)
Интегрируя, получим
t
ф(№ =-J-cos2^.	(17.4.8)
^-СО
(Неопределенный интеграл практикуется так же, как и в преды-
дущих главах; ф (t) — реакция на синусоидальный сигнал ЛИВ-
системы с импульсной характеристикой h (/) = и (/).) Сравнивая
(17.4.8) с (17.4.2), можем установить неразличимость ФМ и ЧМ
при синусоидальной модулирующей функции и идентифицировать
при этом индекс модуляции т как
Из выражения (17.4.5) следует, что максимальное значение ф (Z),
равное k, представляет собой максимальную девиацию мгновен-
ной (угловой) частоты относительно 2л/с. В случае ЧМ | т |
обычно называют коэффициентом девиации — отношение макси-
мальной девиации мгновенной частоты к частоте модуляции.
(Если модулирующая функция не является синусоидой с единич-
ной амплитудой, то коэффициент девиации обычно определяют как
отношение максимального значения ф (t) к максимальной частоте
в модулирующем сигнале.) Вообще говоря, очевидно (по крайней
мере, если fm очень мало), что угловая частота х (0 изменяется
в пределах от 2тс/с — k до 2nfc + k. Таким образом, может пока-
заться, что k является мерой ширины полосы ФМ-сигнала. Про-
должая эту цепь рассуждений, первые создатели систем радио-
связи полагали, что если выбрать k весьма малым, например
намного меньше по сравнению с 2nfm, то полоса такого узкопо-
лосного частотно-модулированного (УПЧМ) сигнала будет на-
17.4. Фазовая и частотная модуляция
241
много меньше той, которая требуется для передачи этого же моду-
лирующего сигнала с помощью AM. Однако «мгновенная частота»
представляет собой коварную концепцию а вышеуказанная ар-
гументация полностью ошибочна. Мы уже видели, что k 2nfm
подразумевает | m | <^ 1 и что УПЧМ-сигнал тогда идентичен
ранее рассмотренному ФМ-сигналу с малым индексом модуляции,
который имеет точно ту же полосу, которая требуется для АМ-
сигнала при той же модулирующей функции. Таким образом,
использование ЧМ для уменьшения требуемой полосы канала
передачи оказалось обреченным на неудачу.
Этот факт привел ранних теоретиков радиосвязи, например
Карсона * 2), к выводу, что частотная модуляция якобы бесполезна
и уж, во всяком случае, не имеет существенных преимуществ
перед амплитудной модуляцией. Однако в 1936 г. Армстронг 3)
продемонстрировал, что широкополосная 4 5) частотная модуляция
| m | ф> 1, хотя и не уменьшает требуемую для передачи полосу
частот (в действительности полоса частот должна значительно
увеличиться), но при этом резко снижает уровень помех по сравне-
нию с обычной амплитудной модуляцией. Объяснение этому будет
дано в гл. 20, а сейчас мы просто изучим некоторые спектральные
характеристики ЧМ-сигналов при \ т\ ~Д> 1.
Основной вывод состоит в том, что полоса, требуемая для
передачи широкополосного ЧМ (ШПЧМ)-сигнала. ориентиро-
вочно равна 2k радиан/сек при j tn | А> 1. Это положение, хотя и
с трудом, можно доказать для произвольного модулирующего
сигнала, но мы установим это на более простом примере. Простей-
ший пример колебания, не являющегося синусоидальным ШПЧМ-
колебанием, описываемым выражением
x(t) — A cos Г2л// -ф--д-4—cos2nf„/1	(17.4.10)
L	д
(спектр такого колебания вычисляется через функции Бесселя) ’)>
имеет модулирующую функцию в виде прямоугольной волны,
показанной на рис. 17.22.
Для простоты предположим, что частота несущей Д кратна
2/Т. Пользуясь формулой (17.4.6), можно записать колебание для
х) Детальное рассмотрение этих вопросов читатель может найти в книге
Л. А. Вайнштейн, Д. Е. Бакман, Разделение частот в теории колебаний и
волн.—М.: Наука, 1983. — Прим. ред.
г) J. R. Carson, Proc. IRE, 10 (Feb., 1922)- 47.
3) E. H. Armstrong, Proc. IRE, 24 (May, 1936).
4) Заметим, что термин «широкополосный» используется здесь в смысле,
отличном от того, который оыл использован в начале данной главы. Широко-
полосный ЧМ-спгиал, ио существу, представляет собой узкополосный сигнал
в том смысле, что занимаемая им полоса гораздо меньше частоты несущей.
5) См., например, Л1. Schwartz, Information Transmission, Modulation and
Noise, 3rd ed. (New York, NY: McGraw-Hill, 1980).
242
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
Рис. 17.22. Модулирующая функция для анализа спектра ШПЧМ.
случая ЧМ с модулирующей функцией в виде прямоугольной
волны
х(0=.
Л cos 2л 4--^) t,
A cos 2л (jc
(17.4.11)
которое повторяется в чередующихся интервалах. Таким обра-
зом, частота сигнала мгновенно сдвигается вперед и назад между
двумя значениями по оси частот. Аналогичные сигналы (не пе-
риодические) используются в радиотелеграфии с частотной, мани-
пуляцией, где две частоты отображают соответственно точку
частота гс - */z л	Частота fc + л
Рис. 17.23. Анализ двух компонент в случае ЧМ прямоугольной волной.
Рис. 17.24. Спектры компонент на рве. 17.23 в их суперпозвция.
17.4. Фазовая н частотная модуляция
243
и тире, 0 и 1 и т. п. В периодическом случае х (t) можно рассма-
тривать как суперпозицию двух модулированных прямоугольной
последовательностью импульсов синусоидальных сигналов раз-
личной частоты, как показано на рис. 17.23. Спектр каждой из
компонент колебания представляет собой спектр прямоугольной
волны с соответственно сдвинутой несущей частотой, как показано
на рис. 17.24.
Очевидно, что для k, значительно превышающего полосу
модулирующего сигнала (k 2п/Т, что соответствует большому
коэффициенту девиации), полоса х (Z) приблизительно равна
2£/2л герц. В то же время при меньших коэффициентах девиации
(k сравнимо или меньше 2л/Т) полная полоса х (Z) по существу
равна полосе модулирующего сигнала. (Иногда такую зависи-
мость называют правилом К,арсона.) В ЧМ-радиовещании значе-
ние /г/2зт, соответствующее максимуму девиации частоты, создавае-
мой модулирующим сигналом, составляет 75 кГц. Если принять
максимальную частоту звукового сигнала 15 кГц, то коэффициент
девиации равен 5. Полная ширина спектра таких сигналов со-
ставляет около 150 кГц; при этом соседние ЧМ-каналы разносятся
на 200 кГц.	•
Если узкополосные ЧМ-сигналы можно довольно просто ге-
нерировать при помощи схемы, показанной на рис. 17.21, то
для формирования ШПЧМ требуются другие средства. Согласно
одному методу (предложенному Армстронгом), вначале генерируют
узкополосный ЧМ (УПЧМ)-сигнал, как показано на рис. 17.21,
а затем пропускают его через ряд умножителей частоты и сме-
сителей. Аналитически такой метод описывается следующим об-
разом. Сигнал на выходе УПЧМ-модулятора имеет вид:
cos I2nfct + eO (£)], где е мало. Пропустив такой сигнал через
устройство с квадратической характеристикой, получим
cos2 [2л/с/ + 60 (/)] = 4- + 4-cos [2л <2^ * + 2е0	<17-4-12)
Теперь, если отфильтровать полосу вокруг частоты 2fc и смешать
в балансном модуляторе с cos 2лД7, на выходе смесителя в полосе
вокруг исходной несущей fc получим колебание, пропорциональ-
ное cos I2nfct + 2е0 (£)], так что коэффициент девиации умножа-
ется на 2. Указанную процедуру можно повторять для получения
необходимого коэффициента девиации.
Более прямой метод генерирования ШПЧМ состоит в исполь-
зовании электронных средств, изменяющих емкость в резонансной
цепи генератора в соответствии с законом изменения модулирую-
щего сигнала. Генератор, частота которого определяется входным
напряжением, называется генератор, управляемый напряже-
нием (ГУН). В настоящее время различные типы ГУН выпуска-
ются в интегральном исполнении и широко используются не
244
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
только для генерирования ШПЧМ-сигналов (один из примеров был
описан в задаче 1.14).
Рис. 17.25. Характеристика резонансной цепи для ЧМ-сигнала,
Простейший демодулятор для ЧМ-сигналов или частотный
дискриминатор представляет собой резонансный контур, на-
строенный, например, ниже несущей частоты (рис. 17.25). Из-
менения мгновенной частоты во входном модулированном сиг-
нале преобразуются в изменения амплитуды сигнала на выходе
резонансного контура. Эти амплитудные изменения нетрудно вы-
делить при помощи обычного детектора огибающей. (Заметим,
что УПЧМ-сигнал можно принимать, используя слегка расстроен-
ный AM-приемник.) Ограниченный диапазон линейности та-
кого дискриминатора можно расширить, применив пару конту-
ров, один из которых настроен соответственно выше, а другой
ниже частоты несущей. Выходные сигналы этих схем раздельно
детектируются и после этого вычитаются, образуя полную ха-
рактеристику дискриминатора, показанную на рис. 17.26. Вы-
1' Выход
Вход
Частота
Рис. 17.26. Характеристика дискриминатора, полученная с помощью пары резо-
нансных контуров.
ходной сигнал в дискриминаторах такого типа изменяется по
амплитуде при соответствующих вариациях амплитуды входного
сигнала. В реальных системах изменения амплитуды в ЧМ-
сигнале вызываются шумами, помехами, замираниями и другими
факторами. В связи с этим на входе описанных выше дискримина-
торов необходимо включать ограничитель, который (в идеальном
случае) представляет собой нелинейное устройство резистивного
типа с характеристикой, показанной на рис. 17.27. Ограничитель
совместно с включенным на его выходе резонансным усилителем
практически устраняет амплитудные изменения огибающей
узкополосного сигнала, сохраняя при этом фазовые изменения.
17.5. Выводы
245
Огра-
ничи-
тель
Резонанс-
ный уси-
литель
Амплитуда
выхода
Амплитуда
входа
Рнс. 17.27. Совместная работа ограничителя и резонансного усилителя.
Рис. 17.28. ЧМ-приемник.
На рис. 17.28 показана полная структурная схема типового
ЧМ-приемника. Современные высококачественные ЧМ-прием-
ники часто содержат схему фазовой АПЧ вместо дискриминатора
(см. задачу 17.12). В последнее время конструирование ЧМ-
приемников значительно упростилось благодаря разработке ин-
тегральных схем, каждая из которых выполняет многие из требуе-
мых функций.
17.5.	Выводы
Сдвиг частотного спектра сигнала оказался полезным для целого
ряда применений и привел к созданию различных модуляторов,
смесителей, детекторов и других устройств подобного типа.
Несмотря на то что обсужденные в данной главе способы модуля-
ции — AM, ФМ и ЧМ — были изобретены 50 и более лег тому
назад, они продолжают играть центральную роль в большинстве
систем связи. Однако в настоящее время эти старые идеи все
шире используются совместно с импульсной или цифровой тех-
никой, что имеет ряд теоретических и практических преимуществ.
О некоторых из них мы упоминали кратко в гл. 14 и остановимся
более подробно в гл. 20. Следующая глава завершит наше изуче-
ние средств для анализа Фурье, фокусируя внимание на неко-
торых деталях применений дискретного во времени преобразова-
ния Фурье, развиваемого как дуальное к формулам рядов Фурье
гл 14.
246
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 17
Упражнение 17.1
Как показано иа рис. 17.29, детектор, изображенный на рис. 17.4, может рабо-
тать неправильно при слишком быстром изменении огибающей модулированного
процесса. Докажите, что необходимым условием предотвращения таких искаже-
ний является ограничение крутизны огибающей хт (t)
хт (О I dt Р RC •
Для заданной функции хт (!) это ограничивает верхний предел величины RC.
Существует ли нижняя граница для RC н от чего оиа зависит?
Упражнение 17.2
Пик-фактор (р/) колебания был определен в разд. 17.1 как отношение пнковой
или максимальной величины к СКВ.
а)	Покажите, что pf = 1 для симметричной прямоугольной волны с нуле-
вым средним значением. (Поскольку СКВ колебания не может превысить его
максимальной величины, то pf не может быть меньше 1.)
б)	Покажите, что для синусоидальной функции pf = )/"2.
в)	Покажите, что pf pjia колебания, являющегося суммой N равных по ам-
плитуде синусоид различных частот, может достигать /"2АС
г)	Покажите, что если х (t) является периодическим сигналом с нулевым
средним значением и пик-фактором pf, то коэффициент полезного действия
АМ-сигнала
х (/) = (А + хт (/)) cos 2nfct
не может превысить 1/[1	(pf)2], если не допускается перемодуляция.
Упражнение 17.3
Найдите импульсную характеристику h (t) идеального полосового фильтра,
частотная характеристика которого показана в левой части рис. 17.30, и пока-
2	2
Рнс. 17.30.
Задачи к главе 17	247
жите, что ее можно записать в виде h (t) = hm (f) cos л + f2) t, где hm (t) —
импульсная характеристика идеального фильтра иижних частот с частотной
характеристикой, изображенной справа на рис. 17.30. Изобразите h (t) для слу-
чая Д = 4 кГц, /2 = 6 кГц.
Упражнение 17.4
Квадратурная модуляция предназначена для одновременной передачи двух не-
зависимых сигналов по одному частотному каналу. На рис. 17.31 показана про-
стая структурная схема, реализующая этот метод передачи сигналов.
г
Модулятор
Y
Демодулятор
Рис. 17.31.
Пусть ха (0 и xs (f) — произвольные сигналы, спектры которых ограничены
полосой |/) | < W /0. Изобразите «типичные» спектры сигналов в канале
передачи и на входах фильтров нижних частот в демодуляторе. В результате
покажите, что
а)	полоса, занимаемая совмещенными во времени сигналами в канале пере-
дачи, ие превышает полосу, необходимую для передачи каждого из сигналов
в отдельности;
б)	тем не менее исходные сигналы могут быть независимо восстановлены:
(0 = xs (0 ~ %з (0*
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 17
Задача 17.1
Предположим, что в системе, показанной на рис. 17.32:
1)	s (f) — периодическая последовательность импульсов единичной площади
с периодом Г;
Рис. 17.32.
248 Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
2)	соответствующая (f) импульсная характеристика Aj (t) равна нулю
всюду, за исключением интервала 0< t<.T\
3)	Н2 (?) равна нулю при |/|^ 1/2Г.
а)	Легко видеть, что х (t) — периодическая функция с периодом Т и, следо-
вательно, может быть представлена в виде
х(0= £ X\ti\e^nt'T.
п=—оо
со
Найдите J] | X [п] |2, выраженную через интеграл, содержащий Яг(/). Не
П= — ОО
оставляйте ответ в форме, содержащей бесконечную сумму.
б)	Легко видеть, что у (t) имеет линейчатый спектр для любого значения /0,
9
Для /0 = найдите амплитуду и положение всех спектральных линий в диа-
пазоне
через значения (f) на конкретных частотах.
в)	Является ли функция у (t) обязательно строго периодической для произ-
вольного значения f0? Почему?
г)	Является ли функция ? (!) обязательно строго периодической для произ-
вольного значения /0? Почему?
Задача 17.2
В системе, показанной на рис. 17.33, х (t) — сигнал, спектр которого равен
нулю на частотах, превышающих 1/2Т герц, as (f) — периодическая импульсная
Импульс
с площадью Т
характеристика
фильтра
Т
ЗГ
гт
з
т гт
\ Импульс
с площадью —Г
Рис. 17.33.
функция с периодом 2Т. Фильтр имеет частотную характеристику, которая
действительна и ограничена по полосе. Предложите схему для восстановления
х (/) из у (t) и докажите ее работоспособность. (Необходимо определить все кон-
станты.)
Задача 17.3
Разработка усилителей постоянного тока с высоким коэффициентом усиления
(полоса пропускания усилителя включает значение частоты f = 0) нередко
сопряжена с трудностями, обусловленными малыми медленными изменениями
Задачи к главе 17
249
(действием старения, температурными флуктуациями, изменениями напряжения
источников питания и другими причинами) в начальных рабочих точках актив-
ных элементов, которые могут генерировать отклики, неотличимые от созда-
ваемых слабыми полезными сигналами. Один из способов преодоления этих
трудностей заключается в применении прерывателя для модуляции сигналом
несущей, что дает возможность вместо усилителя постоянного тока использовать
усилитель со связью по переменному току. Другой прерыватель тогда исполь-
зуется как синхронный детектор для восстановления сигнала в его исходном
частотном диапазоне. Схема, иллюстрирующая этот принцип, приведена на
рис. 17.34. Предположим, что спектр входного сигнала Xj (I) ограничен |/| <Л-
Процесс прерывания описывается периодическими функциями времени v (!)
ио (f— т). ff0 (/) представляет собой идеальный фильтр иижних частот, имеющий
коэффициент усиления 1 в полосе пропускания | f | < ft. II r (f) — полосовой уси-
литель с высоким коэффициентом усиления, характеристики которого пред-
ставлены на рис. 17.34.
а)	Найдите несколько первых членов рядов Фурье для функций о (!) и
v (1—т).
б)	Изобразите спектры функций у± (!) н уг (!) и выразите их точно через
Задача 17.4
В модуляторе, показанном на рис. 17.35 (который является вариантом схемы,
обсуждавшейся в примере 17.1.2), модулирующий сигнал хт (!) и синусоидаль-
ная несущая заданной частоты суммируются для формирования функции у (!) =
= хт (!) 4- cos 2л/с/. Полученная у (t) затем пропускается через нелинейное
устройство, описываемое выражением ? (/) = 5 г/ (!) + у2, (!).
250
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
* IV
2
-IV
2
созЗтг^./
Рис. 17.35.
а)	Допустим, что хт (t) — действительная четная функция, спектр которой
показан в левой части рис. 17.35. Изобразите с соответствующими обозначениями
спектр Z ([) в частотном диапазоне —3/с < f < 3/с.
б)	Опишите частотную характеристику Н (f) фильтра, такого что w (/) пред-
ставляет собой двухполосный AM-сигнал (без подавления несущей), в котором
несущая fc модулируется сигналом хт (d).
Задача 17.5
В дайной задаче описывается балансный модулятор (рис. 17.36), представляющий
собой другой вариант схемы, приведенной в примере 17.1.2. Он находит широкое
практическое применение для умножения синусоидальной несущей иа низко-
частотный сигнал.
Рис. 17.36.
а)	Покажите, что при любом текущем t, если s (/) > | х (/) |, то у (i) = 2х (();
с другой стороны, если s (t) <Z — | х (t) |, то у (t) = 0.
б)	На практике х (/) — низкочастотный сигнал, a s (/) — косинусоида
A cos 2nfat, где А значительно превосходит пиковое значение х (/). Следова-
тельно, время, когда | s (t) | < | х (/) |, ничтожно мало, и поэтому приближенно
( 2x(t), cos2n/o/>0,
)	(О, cos 2nfut < 0.
Покажите графически соотношение между спектрами функций у (/) их (/).
в)	Для получения модулированной несущей выходной сигнал вышеуказан-
ной системы пропускают через полосовой фильтр, через который проходят только
частоты, расположенные вблизи ±/0. Если фильтр имеет единичный коэффициент
усиления и ие вносит фазовых сдвигов, то как соотносится его выход с х (/)?
Задача 17.6
Одним из недостатков компандера ивляется то, что ои, сжимая динамический
диапазон сигнала с ограниченной полосой частот, вносит энергию иа частоты,
лежащие за ее пределами. Поэтому такой сигнал имеет меиыций пик-фактор,
Задачи к главе 17
251
но требует для передачи без искажений большей полосы частот *). Намного
проще процедура, при которой осуществляются отсчеты выходного сигнала
компрессора с частотой Найквиста до пропускания его через идеальный фильтр,
ограничивающий полосу. (Можно также создать компрессор, который будет
работать ие с исходным непрерывным сигналом, а с его отсчетами.) В этом слу-
чае процесс восстаиовлеиия сигнала является более простым.
Нарисуйте структурную схему (с детальным описанием каждого блока),
в которой осуществляется ограничение полосы сигнала, сжатие динамического
диапазона, его отсчеты и пропускание полученного таким образом сигнала через
идеальный фильтр иижиих частот. При этом формируется сигнал, имеющий
сжатый динамический диапазон и занимающий исходную полосу частот. Пред-
ложите и обсудите в деталях схему дли восстаиовлеиия исходного сигнала.
Задача 17.7
Показанный иа рис. 17.37 супергетеродинный приемник работает по принципу
сиихроииого детектирования. Колебание с выхода антенны содержит как полез-
4 = Ю6 Гц
Рис. 17.37.
иый АМ-сигиал хт (Z)cos (2nfct 4- 0), так и различные помехи на других часто-
тах. Предположим, что fc = 10е Гц, а спектр сигнала хт (/) равен нулю вне
полосы |/| < 5-103 Гц. На рисунке приведены частотные характеристики раз-
личных усилителей; для простоты будем считать, что все частотные характери-
стики являются действительными, так что фазовые характеристики Яувч (/).
Яупч (/) и Нунч (F) равны нулю.
х) В действительности можно показать (см. теорему Бурлинга, упомянутую
в статье Н. J. Landau, Bell Sys. Tech. J., 35 (1960), 351—356), что ограничение
полосы сжатого по динамическому диапазону сигнала путем пропускания его
через идеальный фильтр нижиих частот не разрушает содержащуюся в ием ин-
формацию. Поэтому в принципе исходный сигнал может быть полностью восста-
новлен из выходного. Однако процедура при этом усложняется.
252
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
а)	Опишите, каким образом работает приемник, используя, где это необ-
ходимо, точное изображение спектров. Считайте смеситель и синхронный детек-
тор идеальными умножителями. Задайтесь условием, что fm > /с и 0 = Ф —
= ф = 0.
б)	Для того чтобы подавить помехи, частоты которых равны «зеркальным»
частотам (отличающиеся по частоте от полезного сигнала, но проходящие через
УВЧ), преобразуемым смесителем так, что они попадают в полосу пропускания
УПЧ, мы не должны выбирать частоту местного генератора в определенном
диапазоне частот. Объясните и определите этот запрещенный диапазон. (Рас-
смотрите возможность использования любых частот fm > 0, а не только значе-
ний fm > fc )
в)	Если генератор передатчика с частотой и два генератора в приемнике
независимы, то фазовые сдвиги между ними отличны от нуля и не остаются по-
стоянными. Каким условиям должны удовлетворять эти фазовые сдвиги, чтобы
система функционировала правильно? Предложите схему с фазовой АПЧ, кото-
рая бы обеспечивала необходимые фазовые соотношения. Необходимо ли обес-
печивать определенные характеристики передаваемого сигнала или другие
условия для нормальной работы предложенной вами схемы?
Задача 17.8
На рис. 17.38 показан еще один способ формирования ОБП-сигнала, предложен-
ный Вивером х). Предположим, что сигнал х (!) имеет действительное преобразо-
Рис. 17.38.
вапие Фурье, показанное на рисунке. Изобразите преобразования Фурье функ-
ций Xj (/), х2 (t), xs (/), xt (/) и у (I) и продемонстрируйте, что у (I) представляет
собой, как и требовалось, AM ОБП-сигнал на несущей /с, промодулпрован-
ный х (/). (Правильная работа указанной системы зависит от точной баланси-
ровки коэффициентов усиления ее верхней и нижней частей. Это условие трудно
выполнить в аналоговых системах, но легко осуществить при цифровой обра-
ботке сигналов, что будет обсуждено в гл. 18 * 2).)
’) D. К- Weaver, Jr., Proc. IRE, 44 (Dec. 1956): 1703—1705.
2) A. V. Oppenheim (ed.), Applications ot Digital Signal Processing (New York,
NY.: Prentice-Hall, 1978), pp. 8—11.
Задачи к главе 17
253
Задача 17.9
Предположим, что Н (J) х 0 для всех | f | > W и что W <С f0.
а)	Один из простых способов преобразования фильтра нижних частот
в полосовой фильтр состоит в том, что f заменяют на (/2 — /у)/2/. Докажите, что
при принятых условиях
/ /2 — f2\
\	^1	/
и изобразите амплитудную и фазовую характеристики для простого примера
Н (/') и соответственно для Н ((f2—
б)	Приближенно вычислите соответствующую временную функцию
СО
Г / /2_____ 12 ч
I Hl	9f °] e^df,
J \	“I /
—со
выраженную через Л (t).
в)	Пусть И ([) — передаточная функция RLC-цепи. Покажите, что цепь
с передаточной функцией Н ((}‘г — fo)'2f) может быть получена из цепи с пере-
даточной функцией Н (/) заменой всех элементов L и С резонансными контурами,
показанными на рис. 17.39. Найдите выражения для С1г Llt С2 и £2 через L,
С и /о-
Заменить
Рис. 17.39.
Задача 17.10
Пусть х (!) и h (/) — соответственно сигнал п импульсная характеристика, преоб-
разования Фурье для которых равны нулю за пределами узкой полосы частот
вблизи значений f — +f0. Найдите комплексные огибающие 5 (0 и г] (О, Для
которых
х (I) = Re [g (О Н2я^],
h (0 = Re [т] (1) е'2я?о/].
а)	Пусть у (1) = х (t) * h (/). Покажите, что у (t) можно записать в виде
у (i) = Re [Ц (0 Н2я^],
где
или
2И (0 = (О
2М (/) = S (/) Н (/),
254 Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
где М (/), S (/) и Н (/) соответственно преобразования Фурье р. (/), £ (1) и q (1).
Другими словами, прохождение полосового сигнала через полосовой фильтр
можно анализировать в терминах эквивалентной низкочастотной задачи (приме-
няя в общем случае комплексные временные функции). ВНИМАНИЕ. Следует
иметь в виду, что если и и v — комплексные числа, то в общем случае
Re [и] Re [о] #= Re [ио].
б)	Полученный выше результат может быть приближенно справедливым,
даже если х (/) и Л (/) не являются функциями с ограниченной полосой частот,
как ранее предполагалось. В качестве примера покажите, что реакция идеаль-
ного узкополосного фильтра на ступенчатую синусоидальную функцию с часто-
той, равной центральной, представляет собой приближенно синусоиду, модули-
рованную переходной характеристикой идеального фильтра нижних частот.
Задача 17.11
Одним из источников атмосферных помех радиоприемникам являются грозовые
разряды. Физические процессы, происходящие при генерировании и распростра-
нении электромагнитных волн, порождаемых грозовыми разрядами, имеют
сложный характер. Предположим, что на вход приемника воздействует короткий
импульс, форма которого показана в левой части рис. 17.40. В качестве модели
приемника возьмем структурную схему, изображенную справа на этом рисунке.
Рис. 17.40. В рамке — тевенииовский эквивалент резонансного усилителя.
а)	Примем, что частотная характеристика ненагруженного резонансного
усилители
Я (/со) = Vo (/«>)/(/со)
показана иа рис. 17.41. Найдите аналитическое выражение для Н (s), если из-
вестно, что она содержит пару простых полюсов и нуль (рис. 17.41).
б)	Если V{ (?) может быть аппроксимировано импульсом
Vi (0 « ю-?б (0,
найдите и изобразите п0 (/)• Постройте ваш рисунок.
Задачи к главе 17
255
в)	Определим длительность импульса грозового разряда
J (0 dt
Чему приблизительно равна верхняя граница ЛГ, если аппроксимация (б) прием-
лема для данного приемника?
г)	Если детектор функционирует как идеальный детектор (в смысле,
описанном в разд. 17.3) огибающей реакции ц0 (/) на грозовой разряд, то изобра-
зите Од (/) и нанесите ваш рисунок.
д)	Для Ra = 100 Ом, R = 108 Ом подберите значение С, при котором детек-
тор приблизится к идеальному, как предполагалось в (г).
Задача 17.12
Фазовая АПЧ широко применяется, например, для детектирования ЧМ-, ФМ-
и AM ПН-сигналов. Простой вариант этой системы показан на рис. 17.42. Основу
системы составляет генератор, управляемый напряжением (ГУН), колебание на
выходе которого (в идеальном случае) имеет синусоидальную форму
х0 (0 = 2 sin (2nfct + ф (/)),
а скорость изменения его фазы пропорциональна напряжению иа входе ГУН
(0-
Таким образом, ГУН представляет собой идеальный частотный модулятор. Пред-
положим, что
х (t) = A cos (2n/ct -|- 0 (/))
и что ф (/) и 0 (/) изменяются медленно по сравнению с 2nfct. Пусть идеальный
фильтр нижних частот (ФНЧ) имеет единичный коэффициент усиления в полосе
пропускания, а ширина его полосы достаточна, чтобы пропустить без искажений
спектральные составляющие х (f) ха (/) вблизи частоты f = 0 и в то же время
подавить полностью спектральные составляющие около частоты |/|= 2/с.
а)	Покажите, что ф (t) удовлетворяет нелинейному дифференциальному
уравнению
*НО=аКА51п(ф(О-0(О).
б)	Изобразите зависимость <1ф (t)!dt от ф (/) (ее называют портретом в фа-
зовой плоскости) для 0 (/) = 0О = const. Докажите, что при правильном ui.io'.pi
знака аКА ф (/) = 0О является устойчивым решением этого дифференты.!i .кио
уравнения. (Совет. Рассмотрите малое возмущение ф (Z), например 0о -t ZH),
256
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
если знак <Фф (t)ldt выбран правильно, то возмущение должно уменьшаться
в устойчивой системе.)
в)	Говорят, что система находится в состоянии захвата, если ошибка ф (/) —
— О (t) мала. Прн этих условиях
sin (ф (0 - е (t)) « Ф (0 - е (t)
и динамическое уравнение, характеризующее систему, становится линейным.
Покажите, что при этих условиях и в предположении устойчивости система мо-
жет быть описана частотной характеристикой в виде
ИП = к
0(/) Ло /2л/ + р •
Рассмотрите условия, налагаемые на dQ (t)/dt (или ее преобразование), при кото-
рых у (f) ~ dO (t)/dt, так что система фазовой АПЧ ведет себя как идеальный
ЧМ-детектор.
г)	Какое воздействие на результат (в) окажут изменения амплитуды А
входного сигнала?
д)	Какое воздействие иа работу схемы может оказать слишком большое
значение | dd (t)/dt |? (Совет. Рассмотрите ситуацию, при которой нелинейное
дифференциальное уравнение (а) может иметь решение, приближающееся к ре-
шению для установившегося состояния ф (t) ~ 0 (t), если dd (t)/dt = Ла-u (^).)
е)	Генераторы, управляемые напряжением, и фазовая АПЧ весьма широко
применяются. Так, например, система, показанная на рис. 17.43 (согласно Кос-
Рис. 17.43.
тасу), может эффективно использоваться для детектирования AM ПН-сигналов.
Для анализа ее характеристик предположим, что выход ГУН равен
хс (t) = 2 cos (2nfct ф- ф (?)),
так что
xs (t) = 2 sin (2nfct -j- ф (/")),
если блок, обозначенный 90°, для частот | f | вблизи fc описывается частотной
характеристикой
(Выходной сигнал этого блока является преобразованием Гильберта его входного
сигнала — см. задачу 15.3.) Предположим также, что
Д?Ф (0
dt
= az (t)
Задачи к главе 17
257
И что фильтры иижиих частот в верхней и нижней ветвях схемы пропускают
спектральные составляющие вблизи f = 0 без искажений, одновременно по-
давляя частоты около | f | = fc. Фильтр иижиих частот в средней ветви имеет
еще меньшую ширину полосы и пропускает лишь узкую полосу частот вблизи
f = 0. Проанализируйте поведение этой системы и покажите, каким образом
выходной сигнал ГУН захватывает фазу входного сигнала, так что при пра-
вильно выбранном знаке a y(f) = хт (f). Может ли ГУН захватить фазу таким
образом, что у (t) = —хт (0?
Задача 17.13
Стереофоническая система с уплотнением для ЧМ-радиовещаиия работает сле-
дующим образом. Пару стереофонических звуковых сигналов од (/) и од (/)
(левый и правый каналы) превращают в суммарный и разностный сигналы
OS(0 = OL(0 + Oh(0.
vD(0 = oL(0 — он(0-
Предположим, что од (t) и од (/) представляют собой сигналы с ограниченной
полосой | f | < W « 15 кГц. Разностный сигнал од (/), модулируя синусоиду
с частотой 2f0 = 38 кГц, формирует сигнал с подавленной несущей, а затем
к иему прибавляется суммарный сигнал vg (0 и синусоида с частотой fa 5> W.
Таким образом, полный передаваемый сигнал имеет вид
(0 = VS & + C0S W + 2°D (О C0S 4"V-
Этот полный сигнал передается как частотио-модулироваиный и восстанавли-
вается в приемнике иа выходе дискриминатора. (Частота f0 = 19 кГц лежит
вне полосы пропускания старых монофонических приемников, которые можно
смоделировать как идеальный фильтр иижиих частот
(. 0 для всех остальных значений.
Таким образом, пользуясь приемниками старого типа, можно услышать лишь
сигнал vs (t). Одним нз требований к стереофонической системе с уплотнением
была ее совместимость с существовавшими приемниками.)
а)	Задайтесь «типичными» спектрами для vs (f) и vD (f) и изобразите спектр
(0.
Рис. 17.44.
*/» 9 Свбер» У. М., ч. 2
258
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
б)	Определите полосу, необходимую для передачи ШПЧМ-сигиала, если
максимальная девиация частоты составляет 75 кГц. Каким дополнительным тре-
бованиям должна удовлетворять система для передачи стереофонической пары
сигналов по сравнению с монофонической?
в)	Один из способов восстановления стереофонических сигналов заклю-
чается в следующем. Вначале из vT (t) выделяют сигнал cos 2nf0t (это можно
сделать, например, с помощью фазовой АПЧ, описанной в задаче 17.12; значи-
тельная часть электронной схемы стереодекодера реализуется в настоящее время
в виде одной ИС). Затем формируют сигналы cos2 2л[01 и sin2 2nf0t, умножают
их в отдельности на vT (f) и пропускают через фильтры нижннх частот, как по-
казано иа рис. 17.44. Найдите va (t) и t>b (f)t выраженные через vL (f) и vR (f).
Задача 17.14
Для скрытной (шифрованной) передачи сообщений спектр речевого сигнала раз-
бивают на несколько частотных полос, каждая из которых передается затем
по отдельному частотному каналу. Схема для осуществления этого способа пока-
зана на рнс. 17.45.
а)	Считая, что спектр сигнала х (f) имеет форму, показанную иа рис. 17.45,
изобразите спектр сигнала г (t), точно обозначив иа нем все амплитуды и частоты.
б)	Изобразите спектр сигнала г (0, точно обозначив на нем все амплитуды
и частоты.
в)	Один из предложенных способов восстановления сигнала х (1) из г (i)
показан на рнс. 17.46. Покажите, что эта схема работоспособна при соответ-
Рнс. 17.46.
f
Задачи к главе 17
259
ствующих значениях fa, fa и А (приведите эти значения), или объясните, почему
оиа не может работать. В последнем случае предложите способ, который нужен.
Задача 17.15
Цель данной задачи — показать различие между групповой задержкой и фазовой
задержкой. Предположим, что 5 (t) представляет собой низкочастотный сигнал
с ограниченной полосой. В этом случае 3 (/), преобразование Фурье 5 (/), равно
нулю для всех/, удовлетворяющих условию |/| >/х. Пусть х (t) = g (t) cos 2л/0/
и /1 « /о.
а)	Пусть на вход ЛИВ-снстемы с частотной характеристикой//! (/) (рис. 17.47)
поступает сигнал х (/). Найдите формулу (не содержащую интегралов) для выход-
ного сигнала у (/), выраженную через 5 (/). (Полученный результат можно интер-
претировать таким образом, что указанная система с частотной характеристикой
Нг (fa задерживает несущую cos Znfat, но ие оказывает воздействия на огиба-
ющую.)
Рис. 17.47.
|агдН| (/)
б)	Предположим, что х (!) поступает на вход ЛИВ-системы с частотной
характеристикой Н (fa, показанной на рнс. 17.48. Докажите, что данную систему
можно рассматривать (по крайней мере для таких функций, как х (/)) в виде
последовательно включенных идеальной задержки и системы с частотной харак-
Рис. 17.48.
теристикой вида Н± (fa. Покажите, что выходной сигнал у (/) может быть записан
в форме
у (i) = At,(t~ ГЦ cos 2л/0 (i — T2),
где
Tfa = ki	I = групповая задержка = задержка огибающей,
Т’а = k2 [arg Н (/„)] = фазовая задержка = задержка несущей,
и найдите A, ki и k2.
9*
260
Глава 17. Полосоаая фильтрация сигналоа
_иг В17В4РКг™ТТа цельного примера рассмотрим схему, приведенную иа
рис. 17.49, где х (0	£ (1) cos 2nf0t — напряжение источника, а у (0 — напри-
Рис. 17.49.
жеиие иа конденсаторе. Предположим, что КLC = 1/2л/0, и примем, что 2я[г
< а = R/2L « 2л/0, т. е. спектр сигнала х (0 группируется вокруг резонансной
частоты и имеет настолько малую ширину, что коэффициент усиления цепи
можно считать приблизительно постоянным в полосе частот сигнала х (0. Тогда
у (0 можно приближенно представить а виде уравнения, приведенного в пункте (б)
данной задачи. Найдите значении A, Т± и 7\,
Задача 17.16
Рассмотрим полосовой сигнал, спектр которого равен нулю дли всех значений /,
за исключениемfx < If | < fi = fi + W, как показано иа рис. 17.50. Поскольку

Рис. 17.50.
f
даииый сигнал представляет собой частный случай низкочастотного сигнала
с ограиичеииой полосой (X (f) = 0 для | f | > fa), то, как следует из теоремы
отсчетов, х (0 полностью определяетси последовательностью отсчетов с часто-
той 2f»- Обычно, одиако, можно обойтись гораздо меиыпей частотой отсчетов,
что иллюстрируется в этой задаче.
а)	Пусть fa = 3W. Изобразив спектр дискретизованного сигнала, покажите,
что периодические отсчеты с частотой 2fj3 сохраняют всю информацию, содержа-
щуюся в х (0. Нарисуйте структурную схему системы, восстанавливающей х (0
по ее отсчетам.
б)	Путем обобщения результата (а) покажите, что последовательность от-
счетов с частотой 2ftlm, где т— наибольшее целое число, такое что
сохраняет всю информацию, содержащуюся в х (0.
в)	Покажите иа конкретном примере, что ие все периодические отсчеты
с частотой, превышающей минимально допустимое значение, обеспечивают вос-
становление сигнала х (0.
г)	Формула в (б) определяет частоту отсчетов как ббльшую 2W или равную
ей всякий раз, когда явлиетси целым числом. Рассмотрите отсчеты для
случая, когда сигнал х (0 имеет комплексную огибающую, и покажите, что
любой полосовой сигнал полностью определиется 2W отсчетами в секунду (не
обязательно отсчетами х (0).
Задачи к главе 17
261
Задача 17.17
Классический труд лорда Рэлея «Теория звука» (впервые опубликованный
в 1877 г.) содержит следующий параграф и рисунок без надписей (рис. 17.51 х).
«Теория пульсирующих колебаний хорошо иллюстрируется камертонами,
приводимыми в звучание электрическим путем. Камертонный прерыватель с ча-
стотой 128 дает периодический электрический ток; пропуская этот ТОк через
электромагнит, можно возбудить колебания той же высоты у второго камертона.
Действие этого тока на второй камертон можно сделать прерывистым путем
периодического короткого замыкания электромагнита, которое можно осуще-
ствить с помощью другого прерывателя с частотой 4, работающего на независи-
мом токе от элемента Сми. Главный ток берется от элемента Грове. Когда контакт
второго прерывателя все время разомкнут, так что главный ток непрерывно идет
через электромагнит, камертон звучит всего сильнее, конечно, тогда, когда
он настроен на 128. Когда же его высота изменяется до 124 или до 132, наблю-
дать какой-либо эффект едва ли возможно. Но если заставить действовать второй
прерыватель и превратить периодический ток, текущий через электромагнит,
в прерывистый, то камертон будет отвечать, когда он настроен на 124 или 132,
так же хорошо, как и при настройке на 128 колебаний, но ие будет отвечать при
настройке на промежуточные высоты, например 126 или 130».
Несмотря на то что вы, по-видимому, ничего не знаете об элементах Сми
или Грове, вам нетрудно объяснить эксперимент Рэлея. Опишите в нескольких
предложениях работу схемы, написав несколько уравнений и нарисовав форму
сигналов. Будут ли камертоны лишь с частотами 124, 128 и 132 Гц возбуждаться
данной схемой? От каких параметров зависит относительная сила возбуждения
камертона? Проиллюстрируйте свой ответ копией с рисунка Рэлея, на которой
дайте правильные обозначения различных элементов: батарей, электромагнитов,
ртутных контактов и прерывателей (включая их частоты или диапазон настройки).
Задача 17.18
Конденсатор с меняющейся во времени емкостью описывается следующим соот-
ношением:
(<) = ~аг1С (0 v (ОЬ
и представляет собой линейный элемент. Поэтому к нему применим принцип
суперпозиции. Однако в отличие от постоянного конденсатора он обычно не яв-
ляется идеальным элементом накопления энергии. Особенность меняющегося
*) См. Дж. В. Стретт (Лорд Рэлей), Теория звука.'—М.: ГИТТЛ, т. 1,
1955, гл. III, с. 92. — Прим. ред.
9 Сиберт у. м., ч. 2
262
Глава 17. Полосовая фильтрация сигналов
во времени конденсатора состоит в том, что он может вносить энергию в схему
или отбирать ее из схемы. В случае поглощения энергии последняя не исчезает,
а преобразуется в другую форму, которая тратится на изменение емкости во вре-
мени. Так, например, в механической системе изменяется расстояние между
пластинами конденсатора. При соответствующем использовании конденсатор
с периодически меняющейся емкостью может осуществлять параметрическое
усиление. Обладающая таким свойством простая схема показана на рис. 17,52.
Рис. 17.52.
Используя свойство линейности, мы будем представлять установившиеся
напряжения и токи в виде комплексных экспоненциальных функций; при этом
действительные гармонические функции отображаются действительными частями.
(Синусоидальные изменения емкости конденсатора не могут быть представлены
в виде экспоненциальной комплексной функции; при этом параметры схемы
отличаются от динамических переменных.) Резонансные контуры Zj (/со) и Z2 0<°)
настраиваются на выходную частоту coj + <£>0- Для простоты идеализируем пол-
ные сопротивления этих контуров в виде разомкнутой и замкнутой цепей:
Zi (/со) =
оо, СО = COj -ф- СО0,
О для всех остальных
значений,
Z2 (/со) =
О, о — (Dj *“J- (Oq,
оо для всех остальных
значений.
а)	На основании свойств Zf (jto) и Z2 (fo) докажите, что
V (t) =	4- y2ei	i.
Объясните, в частности, почему v (t) не содержит членов с частотами C0i — со0
и 2со0 + C0j, которые (как будет показано ниже) имеются в токе конденсатора i (t).
б)	Покажите, что
с (0 = (C0Vt _+ СгУ2) е’а'{ + j (coi + со0) (C0V2 + Сг^) Д (“>+“«)«' +
+ / (<01 - соо) С^е’ * + /(2со0 -ф- сох) С^е f
в)	Докажите, что составляющая тока i (t) на частоте (сох -ф- со0) полностью
протекает через нагрузку R. На основании этого получите решение для И2
V = —I 4~ <Др) C-tViR
1 + / (wi + ®о) C0R 
г) Мощность, отдаваемая источником синусоидального напряжения с ча-
стотой coj, зависит исключительно от составляющей тока I/ (/) на частоте C0j.
Запишите эту составляющую в комплексной форме и, имея в виду, что
Задачи к главе 17	263
средняя входная мощность равна PJN = — Re [а средняя выходная
мощность Роит-~^-\ ^2 |2/₽, покажите, что
pOUT = М1 + М° PIN.
(Oj
Как следует из совместного рассмотрения (в) и (г), V2 пропорционально К,;
при медленном изменении Vj медленно изменяется таким же образом и Уг. С дру-
гой стороны, выходная мощность превышает входную. Конденсатор с меняющейся
во времени емкостью выполняет функции усилителя.
На практике конденсатор с меняющейся во времени емкостью можно полу-
чить, используя электрическое напряжение значительной величины с частотой ш0
(называемое напряжением накачки) для изменения рабочей точки нелинейного
конденсатора. Общие принципы параметрического усиления изложены в книге
Р. Е. Penfield, Frequency-Power Formulas (Cambridge, MA: Technology Press,
1960) и фундаментальной статье J. M, Manley and H. E, Rowe, Proc, IRE, 47,
7 (1956).
18
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
В СИСТЕМАХ С ДИСКРЕТНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
18.0. Введение
В гл. 19 было продемонстрировано, что наиболее общие ДВ ЛИВ-
системы функционально характеризуются во временной области
формулой свертки
СО
у [n] = х[п] * h[n] = 2 x\tri\h\n — т] —
т=—со
— h[n]*x[n] = 2 h[m]x[n — т].	(18.0.1)
т——со
Действительно, (18.0.1) констатирует, что если рассматривать
х [п 1 как сумму взвешенных задержанных единичных отсчетов,
то у [п] для ЛИВ-системы можно представить в виде суммы со-
ответственно взвешенных реакций на единичный отсчет.
Однако по аналогии с НВ ЛИВ-системами возможно альтер-
нативное функциональное описание в частотной области. Собст-
венными функциями ДВ ЛИВ-систем являются ДВ-экспоненты
х [n] = zn,	(18.0.2)
где z — любое комплексное число в соответствующей области
г-плоскости (как правило, кольцевой). Для того чтобы доказать
указанное свойство ДВ-экспонент, необходимо подставить (18.0.2)
в (18.0.1). При этом получим
у[п] = h[m]zn~m = Н(г)гп,	(18.0.3)
т——со
где
Н (z) = £ h[tn]z~m.	(18.0.4)
m=—со
Таким образом, выходная функция у [п ] отличается от входной
х [п ] лишь амплитудным фактором (собственным значением)
Я (z); это является определяющим свойством собственной функ-
18.0. Введение
265
ции. И наконец, любая ДВ-функция х [п], которая может быть
выражена в виде взвешенной суммы собственных функций
x[n]= Е X(z,)z?	(18.0.5)
(где z-t должны находиться в области сходимости для (18.0.4))',
даст на выходе системы отклик
У\п} = Е Ytzi'jz*,.	/1Ялй>
i	(IoAJ.Q)
где
Y (гг) = X (zt) Н (zt).	(18.0.7)
В гл. 14 было выведено обобщенное представление ДВ-сиг-
нала, аналогичное (18.0.5):
w
Ф] = >| X(f)exp(/2nnf/2IF)df, (18.0.8)
где
%(/) = Е X [n] exp (— j2nnf/2W).	(18.0.9)
п=—со
с\'ти формулы вытекают из рассмотрения преобразования Фурье
импульсной последовательности
x(t) = Е x[n)S (/ - 2^-)	(18.0.10)
и отражают частотно-временную дуальность формул для рядов
Фурье (поскольку функция X (/) является периодической функ-
цией от f с периодом 2IF). Если рассматривать ДВ-системы, то
в выражении (18.0.10) период повторения импульсов 1/2IF не
играет существенной роли. Поэтому удобно принять 2IF = 1
или ввести частотную переменную ф = f/2W, при этом выражения
(18.0.8) и (18.0.9) примут вид
1/2
x[n] = J Х(ф)е12лпф di>,
-1/2
Х(ф) = Е Х[п]е42лпф.
(18.0.11)
(18.0.12)
X (ф) называется дискретным во времени преобразованием Фурье
(ДВПФ) функции х [п]. X (ф) является периодической функцией
частотной переменной ф с периодом, равным 1.
266 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Уравнение (18.0.11) представляет ДВ-функцию х[п] как
взвешенную «сумму» ДВ-экспонент zn = е'2ппф. Таким образом,
все значения z, используемые в этом представлении, лежат на
единичной окружности в z-плоскости. Тогда выражение (18.0.12)
с z = е’2"* принимает вид
Х(г)= S x[n]z~n,	(18.0.13)
п=—со
полностью совпадающий по форме с /-преобразованием (одно-
сторонним), изученным в гл. 8, за исключением нижнего предела,
который продлен до —оо. Таким образом, уравнение (18.0.13)
описывает двустороннее /-преобразование х [п], и теперь ста-
новится понятным, почему /-преобразование оказалось столь
полезным для анализа ДВ ЛИВ-систем. /-преобразование X (г)
описывает веса собственных функций гп, которые при соответствую-
щем суммировании (в частности, путем контурного интегрирования
по соответствующей окружности в 2-плоскости) определяют х [п ].
Из чисто формальных соображений следует, что если единич-
ная окружность в 2-плоскости находится в области сходимости
X (z) (это справедливо, когда, например, функция х \п ] является
абсолютно суммируемой), то ДВПФ и /-преобразование связаны
следующим образом:
X (ф) = X (е'2я* ).	(18.0.14)
Указанное соотношение аналогично соотношению между преобра-
зованием Фурье для НВ-сигналов и двусторонним преобразова-
нием Лапласа в случае s = /2л/ (в предположении, что ось /со
лежит внутри области сходимости преобразования Лапласа).
Цель данной главы — показать важнейшие свойства ДВПФ
и особенно его отличия от преобразования Фурье в непрерывном
времени. Будут также рассмотрены различные ДВ-системы, глав-
ным образом ДВ-фильтры, которые эффективно описываются
частотной характеристикой
#(</>) = 7? (е'2я*) = £ Л [п] е-/2яп* ,	(18.0.15)
п——со
и будут изучены некоторые проблемы, возникающие при раз-
работке таких систем применительно к цифровой обработке сиг-
налов.
18.1. Свойства дискретного во времени
преобразования Фурье (ДВПФ)
Многие из обычных теорем и свойств анализа Фурье применимы
и к ДВПФ. Однако, поскольку X (ф) является периодической
функцией, а х [п ] представляет собой последовательность, не-
18.1. Свойства ДВ-преобразования Фурье
267
которые теоремы изменяют свою форму, а другие и вовсе непри-
менимы. Наиболее важные теоремы и некоторые из самых рас-
пространенных пар ДВПФ приведены в табл. 18.1 и 18.2 при-
ложения к данной главе. Выводы менее известных соотношений
из этих таблиц даны в следующих примерах.
Пример 18.1.1
дапи[л], I >а>0
ТТТТТTiyл
I 23456789 10
апи[л], -1 <а < О
Рис. 18.1. Последовательность х [л] = апи [п], |а|<5 1.
На рис. 18.1 показано ДВПФ для экспоненциальной ДВ-функции
х [п] = апи [п],	(18.1.1)
полученное из выражения (18.0.12).
со	со	со
X (ф) = s X [п] е~12Япф = Е апе~''2ппф = £ (ае~’'2Яф )" =
п——со	п=0	п=0
=-------1 r.L.T, если IctlCl,	(18.1.2)
1	г..--/2лф ’	I 1^- >	\	!
где для суммирования ряда использована формула
1+х+х2 + хЗ+... =1>	(18.1.3)
которая справедлива, если | х | (и, следовательно, ] ос. ]) меньше 1.
На рис. 18.2 показаны действительная и мнимая части, ампли-
туда и фаза X (ф) для экспоненциальной ДВ-функции при трех
значениях а. Заметим, что X (ф) является периодической функ-
цией с периодом 1, что определяется структурой выражения
(18.0.12). Очевидно, что при а малых апи [n]->S [п] и
X (ф) -> 1. Приведенная в табл. 18.1 пара преобразований ДВПФ
х [п] = S [п] <=> X (ф) = 1
следует непосредственно из выражения (18.0.12). Для больших а
спектр на низких частотах приближается по форме к спектру
НВ-сигнала е~ <1п “)	(t) = а*и (/) (показано пунктирными ли-
ниями), но отклоняется от него на частотах около 0,5. Отсчеты
такого НВ-сигнала, взятые в целочисленные моменты времени,
по величине равны экспоненциальному ДВ-сигналу апи [п];
поэтому отклонения для ф вблизи 0,5 вызваны наложениями,
что обсуждено в разд. 14.3.
268
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Рис. 18.2. График X (Ф)	-------L..^  пунктиром показан спектр непрс-
1 — ае I"714*
рывного сигнала, отсчеты которого равны (O,5)'2zr [zi ].
18.1. Свойства ДВ-преобразоваиия Фурье
269
При а -> 1 ДВ-функция апи [п] -> и [п] и условия справед-
ливости для формулы геометрической прогрессии (18.1.3) больше
не удовлетворяются. Как и в случае преобразования Фурье
НВ-единичной ступенчатой функции и (t), необходимо осторожно
подходить к ДВПФ для и [п]. Нетрудно показать, что при а -> 1
действительная часть X (<£) содержит последовательность им-
пульсов с площадью 0,5, соответствующих целым значениям ф.
В результате получаем пару ДВПФ
СО
x[n] = u[n]<=>X(^>) =------кдг + 4	(18.1.4)
которая приведена в табл. 18.1.
Поведение спектра для экспоненциальной ДВ-функции апи [п ]
в области отрицательных а весьма интересно и не имеет прямого
аналога для НВ-сигналов (см. упражнение 18.4). При | а | > 1
экспоненциальная ДВ-функция круто возрастает и ДВПФ для
этого случая не существует.
* * *
Пример 18.1.2
(1-Л/1/2 (A/-D/2
Рис. 18.3. Импульсная ДВ-функция (Л' = 5).
Импульсная ДВ-функция
х [п] =
N—1
2
(18.1.5)
для всех остальных значений,
где N — нечетное число, так что х [n ] является четной функцией,
которая может быть представлена в виде разности двух единичных
ступенчатых функций
X [п] = и П 4
(18.1.6)
как показано на рис. 18.3. С учетом свойства линейности и тео-
ремы задержки (оба свойства следуют непосредственно из выра-
жения (18.0.12)) ДВПФ для импульсной функции равно
/2Яф Г ]	1 •VI О
— е.
1
1 _ е-/2Яф
СО
4-4- S 6 (</> — п)
z	со
(18.1.7)
270 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Так как импульсные члены в (18.1.7)’ взаимно уничтожаются
для всех целых у, поскольку е 2 = е 2 , оконча-
тельно получим
х (лу — е>Яф {N~l) ~ е~'Яф (Л?+1) — sin Nn ф
'т'	। е—/2Яф	sin лФ
(18.1.8)
Конечно, тот же самый результат может быть получен непосред-
ственно из (18.0.12) и формулы геометрической прогрессии.
Как следует из выражения (18.1.8), X (ф) действительно,
поскольку х [п] является четной функцией; форма ДВПФ пред-
ставлена на рис. 18.4 для N = 5. Отношение синусов является
. ыпЫтгф
sin тгф
N *	I
Рис. 18.4. График функции S^n^~" (X ~ 5).
периодической версией преобразования Фурье, имеющего форму
sin f
—р для прямоугольного импульса, в случае непрерывного вре-
мени. Заметим, что величина ДВПФ при ф = 0 равна N, а первый
нуль имеет место при ф = \/N.
Пример 18.1.3
п
Получение ДВПФ при помощи операции суммирования S % 1т1
т=—со
позволяет сочетать основные свойства ДВПФ с ДВПФ ступенча-
той функции и [п]. Это становится возможным благодаря тому,
что операцию суммирования можно записать как свертку со сту-
пенчатой функцией
S х\т\ = S х[т]и[п — т] == х[п] * и[п]. (18.1.9)
ш==—со	т——со
Как следует из табл. 18.2, ДВПФ свертки ДВ-функций равно
произведению их преобразований. Следовательно, преобразова-
ние операции суммирования равно
‘	+4-	=
1 — е г * п=—со
18.1. Свойства ДВ-преобразования Фурье
271
(18.1.10)
что и приведено в табл. 18.2 приложения.
* * *
Пример 18.1.4
Иногда возникает необходимость сформировать новую последова-
тельность у [п ] из заданной последовательности х [п ] путем
введения N — 1 нулей между каждой следующей парой значений
х [п]. Это является ДВ-эквивалентом изменения масштаба. Ука-
х[л]	у [л]
Рис. 18.5. Свойство изменения масштаба (N = 3) в дискретном времени.
занная операция иллюстрируется на рис. 18.5 и формально опи-
сывается следующим уравнением:
i/[n] = £ х [£] 6 [п - kN\.	(18.1.11)
k=—СО
Соответствующее ДВПФ равно
со	со со
Y (ф) = Ё у[п']е~‘2Пфп = Ё t, x[k]8[n-kN]e~i2^n =
п=—со	п——со k=—со
= Ё х[£] Е 8[м-В;]Г/2л’" =
k~-—CQ	П==—СО
= Е x[k\e~i2n*Nk = X($N).	(18.1.12)
k=—со
Этот результат представлен в табл. 18.2. Как показано на рис. 18.5,
основной период X (<£У) равен Л/У. Конечно, X остается
периодическим с периодом 1, поскольку оно является преобразо-
ванием ДВ-последовательности у In ].
В качестве примера свойства изменения масштаба приведем
двустороннюю бесконечную последовательность единичных отсчетов
272
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
х [п ] = 1, —оо < п < оо, ДВПФ которой X (<£) = Л б (ф — k).
(Это непосредственно следует из (18.0.11).) Таким образом, по-
следовательность единичных отсчетов, разделенных N — 1 ну-
лями, т. е. ДВ-функция,
х'[п]= S 8[n — kN]	(18.1.13)
k=—со
имеет ДВПФ
СО	со
х'т= J 8(^-ч=4- 2«(^т)-
k=—со	k=—со
Рис. 18.6. Пример свойства изменения масштаба (Лг = 3).
Данный результат иллюстрируется рис. 18.6 и представлен
в табл. 18.1 приложения.
* * *
18.2. Фильтры с дискретным временем
Принципиальные причины нашей заинтересованности в ДВПФ
состоят в том, что определенные ДВ-системы или операции легче
функционально описать (и соответственно легче разработать и
понять) на основе их частотных характеристик Н (Ф) и соотноше-
ний вход-выход в форме
Y (ф) = Н (ф) X (<£),
чем в терминах их реакций h [п] на единичные отсчеты, и соот-
ношений вход-выход в форме
у [п] = h In ] * х [п].
Фильтры, которые пропускают или режектируют различные
частоты, представляют собой прототипы примеров систем, кото-
рые целесообразно описывать в частотной области.
18.2. Фильтры с дискретным временем
273
В оставшейся части этой главы основное внимание будет скон-
центрировано на задаче разработки ДВ-фильтров. Пусть задан
НВ-сигнал х (t), который характеризуется незначительной энер-
гией в области частот выше 5 кГц. Предположим далее, что носи-
телем информации является часть сигнала, спектр которой лежит
в полосе 0 < f < 1 кГц. Тогда составляющие сигнала х (/) на
частотах выше 1 кГц можно отнести к шуму, искажающему или
маскирующему полезную информацию. Поэтому желательно про-
пустить сигнал х (/) через фильтр нижних частот с частотой среза
1 кГц. Чтобы избежать наложений, необходимо произвести от-
счеты заданного сигнала х (/) с интервалом Найквиста Т =
= 1/(2-5 кГц) = 100 мкс. Амплитуды этих отсчетов определяют
ДВ-сигнал £ [п] («крышка» над £[п] вводится для того, чтобы
избежать в дальнейшем путаницы). Затем мы предлагаем про-
вести над £[п] ДВ ЛИВ-операцию (например, с использованием
цифрового вычислителя), в результате которой будет получена
функция у [п]. И наконец, из у [п ] можно сформировать НВ-сиг-
нал у (/), который должен аппроксимировать выход идеального
НВ-фильтра нижних частот с частотой среза 1 кГц, обрабатываю-
щего входной сигнал х (t).
Рис. 18.7. ДВ-фильтрация НВ-сигнала.
Различные стадии этого процесса иллюстрируются рис. 18.7.
Блоки, обозначенные АЦП и ЦАП, требуют дальнейшего обсу-
ждения. Первый из них содержит схему взятия отсчетов (которая
нуждается в синхронизации), однако выполняет более широкие
функции, так как на его выходе формируется не последователь-
ность отсчетных импульсов, а ДВ-последовательность весовых
значений х (/) в точках отсчетов. Выполняемая им операция опи-
сывается выражением
£[п] = х(пТ).	(18.2.1)
Блок ЦАП более сложный. На практике он может содержать
фиксатор нулевого порядка типа рассмотренного в задачах 7.4
и 8.9. В аналитически наиболее простом варианте предполагается,
что ЦАП вначале формирует импульсную последовательность
с периодом Т и амплитудами, равными у [п], а затем пропускает
эту последовательность через идеальный фильтр нижних частот
274 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-сястемах
с частотой среза 1/271. Действие такого блока описывается урав-
нением
СО
V1 /г 1 • л (t — пТ) I я (t — пТ)	.. о „
И0 = Z Иsin —(18.2.2)
n=s—со
Очевидно, что ЦАП также требует синхронизации.
Конечная цель, которую мы хотим достичь при помощи системы,
показанной на рис. 18.7, описывается первым и последним спек-
трами, изображенными на рис. 18.8. (Как и ранее, с целью про-
Рис. 18.8. Спектры в различных точках системы, показанной на рис. 18.7: пунк-
тиром показана частотная характеристика требуемого идеального ФНЧ.
стоты изображения, комплексные величины даны на рис. 18.8
так, как если бы они были действительными.) Действие, выполняе-
мое АЦП, изображенным на рис. 18.7, заключается в формирова-
нии ДВ-функции с ДВПФ X (ф), как показано на второй диаграмме
рис. 18.8. X (</>) пропорциональное спектру X (/), периодически
повторяется с периодом 1 на шкале частот, так что </ = 1 соответ-
ствует/ = \/Т = 10 кГц. (Амплитудах (/>) также масштабируется
с коэффициентом 1/Т, так что X (0) = X (Q)/T. Однако это масшта-
бирование полностью компенсируется блоком ЦАП, если он
функционирует, как описывалось ранее, что нетрудно показать,
если не учитывать действие ДВ-фильтра и рассматривать работу
всей системы в свете теоремы отсчетов.) Таким образом, требуемый
18.2. Фильтра с дискретным временем
275
ДВ-фильтр  должен при —0,5 < ф < 0,5  иметь  частотную ха-
рактеристику
(1. И1<о,1,
I 0 для всех остальных значений,
изображенную на-средней диаграмме рис.- 18.8.
Реакция на единичный отсчет, • которая  соответствует ДВПФ
(18.2.3), определяется просто из  выражения (18.0.11)
Н(ф) =
1/2	0,1
h [n] = J Н (ф) ехр (/2лп^) d<j> = § 1 ехр (/2лпф) d$ =
—1/	-0,1
__ехр (J2nn (0,1)) —ехр (j2nn (—0,1)) _ sin (2лп/10) /jg 2
—'	j2wi	~ лп 	\	>
h [п ] представляет • собой частный • случай • общей формулы из
табл. 18.1 и показана на рис. 18.9.
Рис. 18.9. Реакция на единичный отсчет, определяемая выражением (18.2.4).
Точно так же как и в случае НВ идеального-фильтра нижних
частот,-изображенная на-рис. 18.9 реакция на единичный отсчет
простирается от —оо до оо  и, следовательно, принципиально
некаузальна. Так же как-в НВ-случае, • существуют различные
пути преодоления этих трудностей на основе компромиссов или
приближений к требуемой характеристике идеального фильтра.
В последующих примерах мы рассмотрим различные схемы, кото-
рые проще или идентичны тем, которые исследовались в гл. 15
применительно к НВ-проблемам. В следующем разделе будет
рассмотрен совершенно другой принцип, применимый исключи-
тельно для  систем дискретного времени.
Пример 18.2.1
Наиболее простой способ получения каузальной реакции на от-
счет состоит в том, что идеальную реакцию h [п] (18.2.4) умно-
жают на функцию окна w [nl, которая равна нулю для всех п,
меньших  некоторого отрицательного значения. Соответственно
сдвигая (задерживая) результат, можно получить каузальную
276
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
реакцию на отсчет. В общем случае можно получить более про-
стые алгоритмы и лучшие характеристики, если выбрать w- [п ]
симметричным  относительно п = 0. Полученная в этом случае
реакция на отсчет будет иметь конечную длительность и относиться
к описанному в разд. 9.1 КИХ-типу,-Более того, результирующая
реакция на единичный отсчет также симметрична относительно
п = 0. Следовательно, ДВПФ для результирующей реакции на
отсчет является действительным, а частотная - характеристика
каузального фильтра (со смещенной реакцией на отсчет) имеет
линейную фазовую характеристику (идеальная задержка). Это
свойство весьма важно, особенно для систем, работающих с им-
пульсными сигналами (см. упражнение 18.1).
ДВПФ для произведения двух ДВ-функций представляет
собой свертку их ДВПФ, однако формула свертки слегка отли-
чается от обычной. Причина такого отличия состоит в том, что
ДВПФ обеих функций являются периодическими и- имеют одина-
ковый период, а их произведение также является периодической
функцией с-тем же периодом. Интеграл с бесконечными-пределами
от периодической функции в общем случае неограничен или
плохо определен. Соответствующая формула свертки, как легко
показать, имеет вид
1/2
х[п]у[п\^ J X(y)Y@-v)dv (18.2.5)
«1/2
(см.-табл. 18.2). Правая часть выражения (18.2.5) носит название
круговой свертки, поскольку с увеличением </> часть Y (ф — v) дви-
жется за пределы интервала интегрирования и (так как функция
Y (ф) является периодической) эта ее часть, выходящая за пре-
делы интервала, эквивалентна такой же ее части, но движущейся
с-другой стороны указанного интервала. Чтобы отличать круговую
свертку от обычной, мы используем сокращенное обозначение
правой части выражения (18.2.5) X (ф) ® Y (ф).
Требования, которым должна удовлетворять функция окна
[га], также противоречивы, как и те, что обсуждались
в разд. 16.2. В частности, ДВПФ функции w [п 1 должно иметь
как можно более острый максимум при целых значениях ф,
а «хвосты» спектра [п ], расположенные вне максимумов, должны
быть минимальными. Типичными примерами НВ-функций окна
являются импульсы, анализируемые в примере 16.2.4. Выберем
в качестве примера функцию окна [га I в виде треугольного
импульса (называемую окном Бартлетта), которая изображена
на рис. 18.10. Произведение h [га 1 $ [га ], смещенное для достиже-
ния каузальности, также показано на рисунке вместе с соответ-
ствующим ДВПФ. Отметим, что, как и ожидалось, фазочастотная
характеристика  фильтра линейна. Для уменьшения ширины
переходной области амплитудно-частотной характеристики филь-
18.2. Фильтры с дискретным временем
277
Рис. 18.10. Окно Бартлетта и его возможности.
тра необходимо выбрать как можно большей длительность или
протяженность функции окна [ц]. Предельные значения этой
длительности устанавливаются таким же путем, какой-использо-
вался при реализации ДВ-фильтра. Если предполагается приме-
нить компьютер для вычисления непосредственно в реальном
времени свертки £ [п] * w [п]/г [п], то один из пределов за-
висит от располагаемого объема памяти: протяженность
й) [п] /г Ini определяется числом прошлых значений входного
сигнала Я [п ], которые можно запомнить в каждый момент вре-
мени для расчета значений сигнала в будущем. Однако более
серьезное ограничение накладывается временем, которое затрачи-
вается компьютером на выполнение операции умножения-сложе-
ния: если протяженность w [n] h [п ] составляет N отсчетов, то
для расчета текущих значений выходного сигнала необходимо
выполнить N операций умножения-сложения за время между
входными отсчетами. Предположим, что N = 30, а Т — 100 мкс.
Тогда операция умножения-сложения должна быть выполнена
за 3,3 мкс, что находится в пределах возможностей существующих
компьютеров, однако при десятикратном уменьшении времени
могут возникнуть серьезные трудности.
*	* *
Пример 18.2.2
Имеется другой способ формирования каузальной КИХ h [п]
для реализации ДВ-фильтра нижних частот с частотой среза 0,1,
при котором в качестве образца выбирают конечный сегмент
импульсной характеристики НВ ФНЧ с требуемой частотой среза.
278
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Так, например, импульсную • характеристику фильтра нижних
частот Баттерворта третьего порядка, который подробно рассма-
тривался в предыдущих главах, нетрудно найти из системной
функции
Н = (та)8 + 2 (та)2 + 2 (та) + 1 •	(18.2.6)
Она определяется выражением
Рис. 18.11. Сравнение поведения ДВ- н НВ-фильтров Баттерворта.
Для получения частоты среза, • равной 0,1, примем 1/2лт = 0,1
или т = 5/л. Результирующая импульсная характеристика -изо-
бражена-на рис. 18.11. Принимая
h[ri\ —
0<
п < 30,
для всех остальных значений
(18.2.8)
h(n),
0
получим ДВ частотную характеристику Н (ф), которая из-за
эффектов наложения отличается от НВ частотной характеристики
Н (/2л/) (показана пунктирной линией), что обусловлено усече-
нием й [л] (конечным числом ненулевых членов).
*	* *
Пример 18.2.3
Еще один способ разработки ДВ-фильтров состоит в использова-
нии известного  каузального НВ-фильтра с сосредоточенными
параметрами для определения расположения полюсов си-
стемной функции дискретного времени Н (г) вместо непосредствен-
ного определения значений й [л]. Результирующие импульсные
характеристики-имеют бесконечную длительность (БИХ), но их
можно реализовать • рекурсивно с помощью • конечных структур
18.2. Фильтры с дискретным временем
279
или алгоритмов. Так, фильтр Баттерворта третьего порядка
с частотой среза 0,1 Гц, обсужденный в предыдущем примере,
имеет полюсы в s-плоскости, как показано в левой части рис. 18.12.
Рис. 18.12. Расположение полюсов фильтра Баттерворта в з- и г-плоскостн.
Выполняя преобразование z = es *, отображаем эти полюсы в z-
плоскости, как показано в правой части рис. 18.12. Указанное
преобразование также переносит часть оси /и между —/л и +/л
s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости по направле-
нию, обратному движению часовой стрелки, начиная с z — —1.
Следовательно, за исключением незначительного эффекта нало-
жения х), частотная характеристика Н (е‘2пф) = Н (ф) адекватна
фильтру Баттерворта с частотой среза | <f> | = 0,1. Модуль частот-
ной характеристики показан на рис. 18.13 для
в ,, =________________________0,1317_____________________=
U (1 — 0,534г-1) (1 — 0,731е7°'’~’44 г-1) (1 — 0,731e~'°’5Uz~1)
= _____________0,1317___________ (18 2 9)
1 — 1,785г-1 + 1,202г’2 —0,2853г-»’	;
где постоянный множитель выбирается таким образом, что Н (0) =
= Н (1) = 1. Такой фильтр Баттерворта можно синтезировать на
основе структурной схемы, показанной на рис. 18.14. Отметим,
Ц В этом примере эффект наложения незначителен. В общем случае, чтобы
исключить эффект наложения, необходимо заменить экспоненциальное преобра-
зование г = У, используемое для отображения s-плоскостн на г-плоскость,
какнм-лнбо другим преобразованием. Один такой пример рассмотрен в задаче 18.6.
Более подробно с этим и многими другими вопросами разработки ДВ-фильтров
можно ознакомиться в классическом труде А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер, Циф-
ровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.
280
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Рис. 18.13. Модуль частотной характеристики (18.2.9).
Рис. 18.14. Структурная схема на основе устройств усиления—суммирования—
задержки, реализующая (18.2.9).
что в этом случае требуются лишь три элемента задержки (или
регистра памяти).
18.3. Дискретный во времени ряд Фурье
и дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Как было установлено в гл. 14, преобразование Фурье периодиче-
ской функции времени представляет собой импульсную последо-
вательность в частотной области, при этом площади импульсов
равны коэффициентам ряда Фурье. С другой стороны, преобразо-
вание Фурье импульсной последовательности во временной об-
ласти является периодической функцией частоты — ДВПФ для
ДВ-последовательности площадей импульсов. Следовательно, пре-
образование Фурье функции времени в виде периодической им-
пульсной последовательности должно представлять собой перио-
дическую импульсную последовательность в частотной области.
Это позволяет записать формулы как анализа, так и синтеза
таким образом, что они вместо интегралов будут содержать суммы
площадей импульсов. Обе указанные суммы должны быть конеч-
ными, поскольку периодическая импульсная последовательность
содержит лишь конечное число различных площадей импульсов.
18.3. Дискретный во времени рид Фурье
281
Указанные формулы можно вывести многими путями. Наи-
более наглядный состоит в том, что периодическую ДВ-функцию
х [п] можно записать как свертку последовательности xN [га],
описывающей один период,
(х [га], 0<Сга<ЛГ,
*ИД1= л	“	(18.3.1)
[ 0	для всех остальных значении
со
с последовательностью ДВ единичных отсчетов У 6[га — kN]:
k~— со
х [га] = xN [га] * У 6 [п — kN]).	(18.3.2)
\Л——со	/
Следовательно, из ДВПФ теоремы свертки (см. табл. 18.2) с уче-
том (18.1.14) получим
(СО	\
4 2 Ф-4) •	<18-3-3)
k~—со	'
Эти формулы иллюстрируются рис. 18.15.
Рис. 18.15. Структура периодической ДВ-функции х [п] (N = 4).
Пусть X [т] — площадь импульса в X (ф) при ф = m/N.
Тогда из (18.3.3) и (18.0.12) следует
1	1 Л'-1
X [tn] = -тт- XN (m/N) = -it- S x [га] exp (— j2nnm/N), (18.3.4)
N	™ n—Q
что является формулой, известной из анализа. Выражение для
синтеза получим объединением (18.0.11) и (18.3.3)
1/2	М-1
х[п] = J X (ф) ехр (]2лпф') (1ф = X [т] ехр (/2лгат/У).
—1/2	m=0
(18.3.5)
Уравнение (18.3.5) представляет периодическую последователь-
ность х [п] в виде дискретного во времени ряда Фурье, коэффи-
282
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
циенты которого определяются выражением (18.3.4). Формулы
(18.3.4) и (18.3.5) образуют пару преобразований:
N-1 х\п\ = X [т] ехр (j2nnm/N), т=0 j N-1 X [т] = -гг S х [п] ехр (— ftnnm/N). N п=0	(18.3.6)
Хотя при выводе формул (18.3.6) подчеркивался периодический
характер как х [п], так и X [т], результирующие выражения
не зависят от периодичности. Каждое уравнение представляет со-
бой систему из N линейных алгебраических уравнений, которая
связывает совокупность из N значений х [n], 0 n 2V— 1,
с другой совокупностью из N значений X [т], 0 т <1 N — 1.
Две системы уравнений взаимно обратимы — первая дает сово-
купность х In] при известной совокупности X [т], вторая дает
совокупность X [т] при известной совокупности х [п]. В такой
интерпретации X 1т] называют дискретным преобразованием
Фурье (ДПФ) совокупности х [п]. На основании такой точки
зрения можно непосредственно вывести уравнения преобразова-
ния (18.3.6), чему посвящена задача 18.10.
Пример 18.3.1
Формулы ДПФ (18.3.6) могут быть непосредственно применены
для решения приведенных в предыдущем разделе задач филь-
трации, а именно для нахождения каузальной реакции на еди-
ничный отсчет й [п], ДВПФ которой аппроксимирует идеальный
фильтр нижних частот с частотой среза ф = 0,1. Пусть необхо-
димо получить й \п] конечной длины, т. е. й [п] = 0 везде, за
исключением 0 Д п <Д N — 1. Тогда значения ДВПФ Н (<£) на
N частотах ф = m/N, О Д /и - Д Д — 1 определяются выражением
СО
Н (т/N) — S Л[п]ё~'2пфп
п——со
ф=т/N
= N^h[n]e-i2nnmlN.
(18.3.7)
Если идентифицировать И (m/N) = NH [т], то выражение
(18.3.7) принимает в точности такую же форму, как второе из
уравнений ДПФ (18.3.6). Следовательно, вероятно, мы можем
записать
й[п] = 4- 2 H(m/N)e,2nnm'N, G^n^N-\. (18.3.8)
™ т—0
18.3. Дискретный во времени ряд Фурье
283
Другими словами, КИХ h [п] иее ДВПФ Н (<Д полностью опре-
деляются N отсчетами Н (<£) на частотах </> = m/N, 0 < m <
2V — 1. Этого можно было ожидать: КИХ й [п] описывается
N числами и поэтому с запасом определяется степенями свободы,
которыми в общем случае обладает Н (ф), —функция непрерыв-
ного переменного </>, 0 < </> < 1. Более того, как следует из тео-
ремы отсчетов, преобразование функции конечной длительности
однозначно определяется соответственно выбранными отсчетами.
Каждое из этих положений может также привести к (18.3.8).
Уравнение (18.3.8) позволяет непосредственно и произвольно
выбрать любые комплексные амплитуды для ДВПФ КИХ функ-
ции й [/г] на N частотах </> = m/N, О т N — 1. Эти ампли-
туды определяют N ненулевых значений й [п]. Истинное ДВПФ
для результирующей КИХ фильтра, конечно же, определяется
для всех ф, а не только для N точек с выбранными нами амплиту-
дами. Таким образом, хотя ДВПФ КИХ фильтра имеет выбранные
нами амплитуды в заданных точках, его значения между этими
точками могут отклоняться от требуемой частотной характери-
стики. В связи с этим может потребоваться некоторая итерация.
Чтобы применить эту идею к изложенной в первом разделе
проблеме разработки фильтров, предположим, что нам необхо-
димо получить частотную характеристику Н (</>), показанную на
^/Требуемая Н(ф)
I
1/Л/
:	-ч I—
О О, I	0,5
0, 9' ' I
Рис. 18.16. Отсчетные значения Н (т/N) — показаны жирными точками (N =
рис. 18.16, и выберем N = 30. Вначале попытаемся выбрать зна-
чения Н (m/N), как изображено на рисунке, равные 1 в полосе
пропускания и равные нулю в полосе непрозрачности, причем
точка т = 3 граничной частоты считается находящейся в полосе
пропускания. Если мы выберем arg Н (m/N) = 0, то результи-
рующая й [п] будет иметь пики в начале и конце интервала
О С п N — 1, в котором она не равна нулю. Н (</>) будет иметь
заданные значения в точках </> = m/N, но сильно отклоняется о г
требуемой формы на частотах </> между этими точками. Можно
получить гораздо лучшие результаты, если выбрать arg Н (m/N)
284 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
= —2л^> (N/2) | что соответствует задержке N/2. В этом
случае пик й [п] возникает точно в середине ненулевого интер-
вала. Такой выбор фазового угла эквивалентен тому, что Н (m/N) =
= (—1)от вместо 1 в полосе пропускания. Из (18.3.8) тогда сле-
дует х)
й [л] =	[—ехр (—/2лЗп/ЗО)+ехр (—/2л2п/30) —ехр (—/2лп/30)+
о U
+ 1 — ехр (/2лп/30) + ехр (/2л2п/30) — ехр (/2лЗп/ЗО)]=
= sin 5) I30 sin	, 0<л<29. (18.3.9)
и (J I	uU
Соответствующие конечная импульсная характеристика (КИХ)
или реакция на единичный отсчет й [п ] и модуль ее ДВПФ пока-
заны на рис. 18.17. Заметим, что с целью сохранения симметрии
♦ р[п]	||«(*)|
Рис. 18.17. Реакция на единичный отсчет (18.3.9) и ее ДВПФ.
(и, таким образом, получения линейной фазочастотной характе-
ристики ДВПФ) величина КИХ й In ] при п = 0 составляет
половину от значения, заданного формулой (18.3.9); такой же
член добавлен при п = 30.
| И (6) | точно проходит через заданные значения, но в проме-
жутках между ними она сильно отклоняется от требуемой идеаль-
ной АЧХ. В частности, фильтр (18.3.9) пропускает значительную
энергию сигнала выше частоты среза. Малое ослабление в этой
области может оказаться неприемлемым в ряде случаев.
Ослабление за пределами полосы пропускания можно уве-
личить ценой уменьшения крутизны ската АЧХ. Для этого вы-
бранные значения Н (m/N) не должны изменяться так резко от 1
до 0. Например, можно установить величину отсчета на границе
г) Поскольку И (</>) является периодической функцией, то суммирование
в (18.3.8) можно для удобства произвести по любым N последовательным отсче-
там, а не для 0 sC N— 1. Замкнутая форма в (18.3.1) следует непосред-
ственно из частной суммы геометрической прогрессии.
18.4. Свойства ДВ-ряда Фурье
285
полосы пропускания, равную
в этом случае КИХ равна
1/2, а не 1. Нетрудно показать, что
й М = Sin я(геГ15) / 30 tg я(га=-15) ,
О	1	OU
0<п<30.	(18.3.10)
Такой выбор значений для Я {m'lN') эквивалентен описанному
в примере 18.2.1 способу усечения с функцией окна
w[n] = ic(n- 15)/30tg Я(Л30 15) .	(18.3.11)
Рис. 18.18. Реакция на единичный отсчет (18.3.3) и ее ДВПФ.
На рис. 18.18 показаны [п], h [л] и модуль ДВПФ h [п].
Как и ожидалось, | Я (</>) | имеет менее крутой спад, значительно
большее ослабление в полосе непрозрачности и меньшие пульса-
ции в полосе пропускания. Еще лучшие результаты можно полу-
чить, если установить относительную стоимость компромисса
между крутизной спада и затуханием, а затем выбрать оптималь-
ное значение крутизны, возможно отличающееся от 1/2. Эти и
другие способы достаточно подробно освещены в соответствующей
литературе 1).
18.4. Свойства дискретного во времени ряда Фурье
и дискретного преобразования Фурье
Основным свойством любого преобразования Фурье является то,
что свертке в одной области (временной или частотной) соответ-
ствует умножение в другой. Последовательности, относящиеся
к ДВ-ряду Фурье или к ДПФ, являющимся парой преобразова-
ний (18.3.6), имеют периодический характер в обеих областях:
2) См., например, L. R. Rabiner, В. Gold, and С. И. Me Gonegal, IEEE Trans.
Audio Electroacoust. AU— 18, 2 (June 1970): 83—106.
286
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
х [n] = х [n + IV] и X [т] = X [т + N]. Следовательно,
в данном случае можно применить ДВ-эквивалент круговой
свертки, введенной в примере 18.2.1s
w-i
x[n]®z/[n] = S х[^]у[п — &]•	(18.4.1)
fe=0
Нетрудно показать (см. задачу 18.10), что ДПФ для круговой
свертки двух периодических последовательностей (с одинаковым
периодом N) равно произведению их ДПФ, умноженному на N
х[п] ® у [п] <=> NX [т] Y [т].	(18.4.2)
Из свойства симметрии следует, что ДПФ произведения двух
периодических последовательностей (с одинаковым периодом N}
равно круговой свертке их ДПФг
х [п] у [и] <=> X [т] ® Y [пг].	(18.4.3)
Алгоритм вычисления ДПФ X [пг] последовательности из N от-
-1ОВ х[п] потребует машинного времени, пропорционального
Д'". так как необходимо выполнить N операций умножение-сум-
мирование для каждой величины т, число которых равно N.
‘ Щнако были предложены алгоритмы, времена вычисления кото-
рых пропорциональны лишь N log2 N. Это имеет далеко идущие
последствия. Так, например, чтобы реализовать прямой алгоритм
вычисления круговой свертки двух последовательное гей с перио-
дом № необходимо время, пропорциональное №. Вместо этого
попытаемся вначале вычислить ДПФ для каждой последователь-
ности, а затем найти обратное преобразование Фурье для произ-
ведения полученных результатов. При использовании «быстрого»
алгоритма время вычислений пропорционально 3W log2 + N,
что намного меньше № для больших № Так, при N = 103 указан-
ные значения равны соответственно 3,1 -104 и 10е, что позволяет
в 30 раз сократить время вычисления. Такой выигрыш позволяет
использовать «быстрые» алгоритмы для вычисления свертки не-
периодических последовательностей, например в проектировании
фильтров, описанных в начале этой главы. Один из таких методов
рассматривается в задаче 18.13.
Алгоритмы быстрого ДПФ базируются на свойствах симме-
трии и периодичности множителей ехр (±/2лигп/А) в формулах
ДПФ (18.3.6). Подобные способы существовали задолго до появ-
ления быстродействующих компьютеров. Однако в эру ручных
расчетов можно было работать лишь с малыми N, для которых
указанные преимущества были хотя и наглядны, но не имели ре-
шающего значения. Реальные преимущества, которые обеспечи-
ваются указанными способами при больших N, практически
были упущены до публикации в 1965 г. известной статьи Кули и
18.4. Свойства ДВ-ряда Фурье
287
Тьюки х). После этого было разработано множество вариантов,
усовершенствований и дополнений основной идеи. В данной главе
мы ограничимся рассмотрением простого примера быстрого пре-
образования Фурье (БПФ).
Предположим, что N = 8 и мы желаем вычислить систему из
восьми чисел {% [0], х [1], ..., х [7]} по заданной системе из
восьми чисел {X [0], X [1], ..., X [7]| в соответствии с фор-
мулой
t	7
х[п] = У, X [tn] exp (j2nmn/8),	(18.4.4)
т=0
которая является первой из формул ДПФ (18.3.6). Изменяя поря-
док членов в (18.4.4) и группируя их, получим
х[п] = хчет[п] + ХнечеТ[я]е/2Ял/8, 0 < п < 8,	(18.4.5)
где
хчет [«I = [X [0] + X [2] е/2лп/4 + X [41 е/2я2л/4 4. X [6] е/2п3п'4],
(18.4.6)
Хнечет [n] = U [1] + X [3] е/2Ял/4 + X [5] e,mi+ X [7] е/2ЯЗл/4].
хчет Ini и хнечет [и] — полученные из (18.3.6) ДПФ последова-
тельностей из N/2 — 4 членов, соответствующих четным и нечет-
ным членам исходной последовательности из N = 8 чисел {X [0],
X [1], ..., X [7]}. Если х чет [и] и хнечет In] известны, то, как
следует из (18.4.5), для вычисления х [п] достаточно N — 8 опе-
раций умножение-сложение * 2).
В общем случае ДПФ N чисел (при четном N) можно свести
к вычислению двух ДПФ N/2 чисел и N операциям умножение-
сложение. Однако, используя этот же принцип, можно свести
каждое из ДПФ N/2 чисел (при четном N/2) к вычислению двух
ДПФ N/4 чисел и N/2 операциям умножение-сложение. Если N
представляет собой степень по основанию 2, то указанный про-
цесс можно продолжить log2 N раз, пока, наконец, мы не придем
к вычислению N ДПФ. В соответствии с исходным предположе-
нием общее количество операций умножение-сложение составляет
N log2 X по X в каждом цикле. Специальная программа для
выполнения БПФ дана в задаче 18.14.
Ч J. W. Cooley and J. W. Tukey, Math. Computation, 19 (1965): 297—301.
Похожие способы были предложены ранее Гудом, Томасом, (и еще ранее 1905 г.)
Рунге. Современные методы наложены в книге Programs for Digital Signal Pro-
cessing (New York, NY: IEEE Press, 1979).
2) Заметим, что exp (jinn!N) = — exp (/2л (га + Л72)/Л'), а также xqeT [га]
и Хнечет И) являются периодическими функциями с периодом М2. Поэтому
число необходимых операций умножения можно уменьшить вдвое по сравнению
со значением, вытекающим из формулы (18.4.5).
288 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Некоторые другие примеры и свойства ДПФ обсуждаются
в задачах 18.9—12; более подробные сведения по этому вопросу
можно найти в указанной выше книге Оппенгейма и Шафера.
18.5. Выводы
Частотная область удобна для анализа и синтеза как ДВ-, так
и НВ-систем. Последовательность х [п] = гп является последо-
вательностью собственных функций для ДВ ЛИВ-систем при усло-
вии соответствующего ограничения | z |. Следовательно, если
х [п] = zn — входная функция ДВ ЛИВ-системы, то выходная
функция имеет вид у In] = Н (z) zn. При этом каждое входное
воздействие, которое можно представить в виде взвешенной
суммы собственных функций, даст на выходе аналогичную по
форме реакцию, отличающуюся лишь тем, что ее весовые коэф-
фициенты умножены на соответствующее значение Н (z). В част-
ности, входные воздействия, которые нарастают не быстрее конеч-
ной степени п, можно представить в виде
1/2
х[п] = f X (<£) е12ппф аф,
“1/2
где ДВПФ X (<£) определяется как
со
Х(^>) = S х[п]е~'2лпф.
п=—со
Если х [п] — процесс на входе ДВ ЛИВ-системы, то ДВПФ вы-
ходной функции будет иметь вид
Y (ф) = Х (ф) И (ф),
где частотная характеристика Н (</>) определяется выражением
СО
Н(Ф) = Н (е'2Яф) = Ё h [п] е-/2яггф.
Г2=—ОО
X (ф) обладает теми же свойствами, что и преобразования
Фурье НВ-функций, с учетом изменений, обусловленных перио-
дическим характером X (ф) с периодом 1. Таким образом, ДВПФ
произведения ДВ-функций представляет собой круговую свертку
их преобразований
1/2
х [п] У [п] <=> X (ф) ® Y (ф) = j X (у) Y (ф — v) dv
-1/2
Основное внимание в данной главе было уделено разработке
физически реализуемых устройств, аппроксимирующих идеаль-
ный фильтр нижних частот. Наиболее прямой способ заклю-
Приложение к главе 18
289
чался в том, что реакция на единичный отсчет некаузального
идеального фильтра умножалась на функцию окна конечной дли-
тельности. Два других способа базировались на известных реше-
ниях для соответствующих НВ-задач. В одном из них реакция на
единичный отсчет h [п ] представлялась через импульсную ха-
рактеристику НВ-системы
h [n] = h (п).
В другом способе системная функция Н (z) определялась через
системную функцию НВ-системы с использованием преобразова-
ния z = es. Четвертый и, пожалуй, самый современный способ
заключался в применении формул ДПФ для нахождения h [п]
по выбранным отсчетам требуемой частотной характеристики
Н (ф). Широкие возможности в плане цифровой фильтрации сиг-
налов предоставляет ДПФ, реализованное в виде БПФ.
Как мы уже отмечали ранее, основная задача данной книги
заключается в том, чтобы снабдить читателя базовым инструмен-
том для описания и понимания работы сложных систем. Меньшее
внимание уделяется специальным методам анализа, направленным
на решение конкретных задач. Именно в таком ключе было по-
строено изложение ДВ-преобразований Фурье в настоящей главе.
Мы акцентировали внимание на их связь с описанными ранее
преобразованиями Фурье для НВ-сигналов и продемонстрировали
эффективность ДВ-преобразований. ДВПФ, ДПФ, БПФ и дру-
гие методы являются уникальными средствами для решения прак-
тических задач. В этом смысле они больше напоминают такие
способы, как обратная связь или модуляция, чем НВ-преобразо-
вания Фурье. С последними их связывают в основном одинаковые
методы формализации. Являясь практическим инструментом для
цифровой обработки сигналов, ДВ-преобразования Фурье по-
стоянно развиваются и совершенствуются. Й именно их вы должны
рассматривать как неотъемлемую часть вашей будущей профес-
сиональной деятельности.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 18
Таблица 18.1. Краткая таблица ДВПФ
1/2	со
х[л]= | X (ф) е'2Пфпс1ф	Х(ф)= х [п] е~,2ГСфп
-1/2	п—— со
1	<=>	6(ф — т)
т=—со
290
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
апл [л], | а ] < 1
«М
е/2Пф„П
1
1-ае-/2Лф
СО
-----------1—1-	6 (Ф — т)
1 __ е~12лФ 2 Zj v ’
m=—со
У, Ь(Ф — Фа — т)
6 [п — т}, N нечетное
m = (l—N)/2
sin 2п0„л
лп
sin Уп0
sin "ф
| Ф — т\<Фо,
при остальных
б [” — mN}
Таблица 18.2. Основные теоремы ДВПФ
Задержка
Умножение на ^2я*«п
х [п - У]
е'2п*’пх[л]
Умножение на п
пх[п]
Свертка
СО
У X [т] у [л — т}
Произведение
х[л]У [л]
Суммирование
[т]
Изменение масштаба
У х [и] 6 [л — mN}
e-j^4,Nx (0)
X (0 - 0О)
1 dX (0)
—/2п йф
X (0) Y (0)
Г/2
j X (v) У (0 — v) dv
-1/2
Х(0)
1 _ е-1'2Лф “Г
+ Х№)	8(0_„)
т=—со
X (0Х)
Свойства симметрии и линейности те же, что и для НВ-преобразований. Свой-
ства дуальности и дифференцирования для ДВ-преобразований, по существу,
лишены смысла.
со	1/2	1/2	СО
2 |х[л]|2= J |X(0)|2d0; х[0]= J X(0)d0; X (0) = £
п=—со	-1/2	-1/2	П=—со
Упражнения к главе 18
291
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 18
Упражнение 18.1
а) Покажите непосредственно, что формулы ДВПФ (18.0.11) и (18.0.12)
допускают взаимное обращение, используя для этого следующую процедуру:
1)	Подставьте X (Ф) из (18.0.12) в (18.0.11). (Обратите внимание на
различие в обозначениях между п как переменной суммирования
и п как величиной аргумента функции х [л].)
2)	Поменяйте местами порядок интегрирования и суммирования. (Эго
потребует от вас подробных исследований и тщательного анализа.)
3)	В результате интегрирования получите равенство х [л] = х [п].
б) По аналогии найдите ДВПФ-версию теоремы Парсеваля
1/2	оо
J |Х(Ф)|МФ= 2 1*И1а>
<—1/2	П=—со
используя следующую процедуру:
1)	Представьте | X (Ф) |2 как X (Ф) X* (Ф) и подставьте в левую часть
уравнения (18.0.12) один из этих членов. (Имейте в виду, что х [л]
может быть комплексной функцией.)
2)	Поменяйте местами порядок интегрирования и суммирования.
3)	Проведите интегрирование, используя (18.0.11).
Упражнение 18.2
ДВПФ для изображенного на рис. 18.19 ДВ-сигнала равно X (Ф) = х[л]Х
п=—ОО
х /2лфЛе
О, п < -2
Рис. 18.19.
1
а)	Докажите, что j X (ф) d& = 2.
—1
б)	Докажите, что
1/2
С	41
J |Х(Ф)|2ЙФ =^«1,29.
о
292
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Упражнение 18.3
Докажите, что реакция на единичный отсчет h [re], имеющая конечную длитель-
ность, является необходимым условием для каузальной устойчивой ДВ ЛИВ-си-
стемы иметь строго линейную фазовую характеристику
argН (ф)~ф, —1/2<Ф<1/2.
Упражнение 18.4
В примере 18.1.1 используются свойства функции
которая является ДВПФ для
х [п] = апи [п], |а|<1.
Там же для трех положительных значений а были изображены амплитуда и
фаза X (0).
а)	Покажите, что х [п] для отрицательных а равно х [и] для положитель.
пых а, умноженному на ДВ-функцию г [п] ~ е12пфаП, —со < п < со, при
соответствующем выборе величины 0О.
б)	Используя соответствующую формулу из табл. 18.2, покажите, что ДВПФ
х [ге] для отрицательных а равняется ДВПФ для соответствующих положи-
тельных значений а, смещенному вдоль оси частот. Изобразите | X (ф) | для
а= —0,5, основываясь на результатах примера 18.1.1 и вышеуказанных сооб-
ражениях.
в)	Покажите по аналогии, что
(-•о
(_ l№ <=>	+ 4- S 6 (0 - ц - 0,5).
1 + е ' г А г.=—<ъ
Изобразите действительную и мнимую части ДВПФ (- 1)''и[п].
Упражнение 18.5
Имеется компьютерная программа, которая вычисляет X [т] — ДПФ для
последовательности N комплексных чисел х [и] в соответствии со вторым урав-
нением пары (18.3.6). Полученную последовательность Л' чисел подвергают
повторной обработке, используя ту же программу. Найдите соотношение между
результатом второй операции и исходной системой из Л'' комплексных чисел.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 18
Задача 18.1
а)	Вычислите ДВПФ
X (0) = £ х [п] е~'2пфп
П~--------CD
Задачи к главе 18
293
для каждой из следующих ДВ-функций:
1)
п
О t *-1 ", *,«!	«г-1 Жг Жг+1
2)x[n] = alnL — оо<п<оо, 0<а<1,
3)	х [п] =	п,	— оо < п < оо,
,	яп
4)	х [п] = cos —£•, —оо<п<оо,
Г ,	9яп
5)	х [л] =	cos —,	— оо < л < оо,
г п Г ям ”1	—
6)	х [л] = cos 1 и [л].
б)	Вычислите обратное ДВПФ
1/2
x[n] = J Х(ф)е/2я*пс(ф
—1/2
для каждой из следующих периодических функций:
х(ф)
1)
2)
3)
-0,5 -0,25
0,25 0,5 0,75
Ф
*
Ф
4)Х(Ф)= %Ь(ф_п),
п=~со
5) X (Ф) = /е“/зя* —п ..2^-
к ’	1	СОЗЯф •
Задача 18.2
ДВ-сигнал х[п] с ДВПФ
X (Ф) = £ х [л] е-''2я*п = a-/"* S-in4rl0-
' '	U 4	Qin тгА
294 Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
поступает на вход ДВ ЛИВ-системы с реакцией на единичный отсчет
h [nJ = 2пи In].
Найдите и изобразите выходной сигнал
У In] = х In]*h In].
Задача 18.3
ДВ-последовательность у ]п] создается из другой ДВ-последовательности х [п]
в соответствии со следующей формулой:
у [п] = х [пАГ],
где N — постоянное положительное целое число, большее 1. (Такой процесс
обычно называют децимацией, хотя это название, строго говоря, справедливо
только в том случае, когда У = 10.)
а)	Изобразите типичную х [п] и соответствующую ей у [п], например,
для N = 3.
б)	Предложите ряд условий, налагаемых на ДВПФ х [п], при которых
х [п] можно восстановить из у [п] для всех п.
в)	Изобразите конкретную схему для восстановления последовательности
х [п] при выполнении условий (б).
г)	Условия, которые налагаются иа последовательность х [п] с тем, чтобы
ее можно было восстановить из последовательности у [п] для всех п, не являются
единственными. Предложите еще один ряд таких условий, отличных от тех, что
были приведены в (б).
Задача 18.4
СО
На рис. 18.20 преобразование X (Ф) = J} х [п] е~/2я*л в интервале—1/2^
П=----------------------------------------ОО
со
Ф < 1/2 ограничено по полосе | Ф | < 1/4, а Н (Ф) = J] h [п] е~12Пфп в пре-
п——ОО
делах периода —1/2^ф< 1/2 — частотная характеристика фильтра верхних
частот, изображенная на этом же рисунке.
Рис. 18.20.
-0,5 -0.25
—-----1-->ф
0,25 0,5
а)	Найдите S [т] в выражении
N-1
s [n] =	[m] e^nm!N f N = 2.
m=0
Задачи к главе 18
295
б)	Найдите и изобразите S (ф) в выражении
1/2
s[n] = J S (Ф) е/2я*л йф.
-1/2
в)	Покажите, что ^[п] можно записать в виде у [п] = г [п]х[п]. Найдите
и изобразите г [п].
Задача 18.5
На рис. 18.21 показана ДВ-система, которая состоит из параллельно соединен-
ных N ДВ ЛИВ-фильтров с реакцией на единичный отсчет hh [n], k = 0, 1.
N— 1. Для любых k hfrln] связана с ho [п] следующим соотношением:
Ьк[П]=е'2пп6/” h„[n].
Рис. 18.21.
а) Пусть h0 In] — идеальный фильтр нижних частот с частотной характе-
истикой (Ф), показанной на рис. 18.22 для —1/2 гС Ф < 1/2. Изобразите
1ВПФ hi In] и hN-1 [п] для Ф в диапазоне —1/2 < Ф < 1/2.
♦ «о<Ф»=ЬоН^г’фП
-оо
I
—.--------——---------------.—►</>
-0,5	-4>с	0,5
Рис. 18.22.
б) Найдите выраженную через N такую величину Фс, 0 < Фс < 1/2, при
которой система, показанная на рис. 18.21, идентична системе у In] = х [п]
цля всех п и для любой входной функции х [п].
в) Допустим, что h0 [п] необязательно является идеальным фильтром ниж-
яих частот. Для случая когда h [п] обозначает реакцию на единичный отсчет
зсей системы с входной функцией х[п] и выходной функцией у[п], покажите,
что h[n] можно записать в виде
Мп] = г In] h0 In],
296
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Найдите и изобразите г [п]. На основании полученного результата определите
необходимое и достаточное условие для ho In], при котором система, показанная
иа рис. 18.21, ивляется неискажающей.
Задача 18.6
Известно еще одно преобразование, которое отображает левую полуплоскость
s-плоскости в область, ограниченную единичной окружностью в г-плоскости
(рис. 18.23), и называется билинейным преобразованием
Рис. 18.23.
По сравнению с экспоненциальным преобразованием г= г*, ранее описанным
в данной главе, билинейное преобразование имеет ряд преимуществ, главное
из которых состоит в устранении эффектов наложения, поскольку вся ось /ш,
—оо < со < оо отображается лишь однократно на единичную окружность.
а)	Предположим, что в примере 18.2.3 вместо экспоненциального преобра-
зования применено билинейное. Найдите Qo и ш0, при которых частота среза
ДВ-фильтр а соста.вляет Фо — 0,1.
б)	Полюсы фильтра Баттерворта третьего порядка с системной функцией
Н (S) = (s/<D0)s + 2 (s/<Do)a + 2 (S/Шо) + 1
расположены в
с/».) — ..
Найдите соответствующее расположение полюсов для Н (г).
в)	Где находятся нули Н (г) при билинейном преобразовании? Сравните
положение этих нулей и нулей, приведенных в примере 18.2.3 для экспонен-
циального преобразования. Выясните, какое влияние оказывает это различие
на Н (ф)?
г)	Выведите формулу для Н (г) и предложите вариант реализации этого
ДВ-фильтра иа основе усилителя, сумматора и устройства задержки.
Задача 18.7
Фирма Reactionary Systems, Inc. разработала следующую гибридную инте-
гральную схему, которая позволяет преодолеть некоторые ограничения в быстро-
действии компьютера, путем соответствующей реализации ДВ ЛИВ-фильтров.
Задачи к. главе 18
297
Рис. 18.24.
При этом (как показано на функциональной схеме (рис. 18.24)) входная ДВ-по-
следовательность х [л ] преобразуется в импульсную НВ-последовательность
х(0=	[л] 6 (1— пТ),
п=—со
которая затем фильтруется НВ-системой с импульсной характеристикой h (t),
в результате чего образуется сигнал
У (О = h (1)*х (/).
И наконец, выходной сигнал дискретизуется и вновь преобразуется в ДВ-по-
следовательносгь
д [л] = у (пТ).
а)	Найдите полную реакцию указанной системы на входной сигнал х [л] =
= 6 [л]. Выберите некоторую произвольную форму h (t) и проиллюстрируйте
ваши доводы с помощью рисунков х (1), у (1) и д [л].
б)	Данная система имеет помимо х [л] варьируемые во времени входные
процессы (сигналы синхронизации) и содержит системы, которые, строго говоря,
не относятся к ЛИВ (ДВ/НВ-преобразователи или ЦАП). Тем не менее она функ-
ционирует как линейная инвариантная во времени (или инвариантная к времен-
ному сдвигу) ДВ-система. Докажите это утверждение и выведите формулу для
ДВ-реакции на единичный отсчет й [л].
в)	Сохранится ли система линейной, инвариантной во времени, если фазы
ОО
сигналов синхронизации различны, например, когда sT (1) =	6(1—пТ),
П=—со
со
sa (1) — У 6 (1 — пТ — А), А =/= 0. Если это так, определите реакцию на еди-
П—— со
ничнын отсчет (если она отличается от (б)).
г)	Повторите (в) для случая, когда синхронизирующие сигналы имеют
различные периоды, например, дляsx (/) =	(1 — nT1),s2(t)=	—
п~—со	п=—со
ПТя), Т. =/= Т%.
д)	Для исходных синхронизирующих сигналов найдите частотную ха-
рактеристику в случае дискретного времени
со
Н(Ф) = 2 й 2Яфп
п=—со
через
со
Н (J) = j h(t)e~l2nft dt.
—ОО
10 Сиберт У. М., ч. 2
298
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Совет. Примите во внимание, что
СО	со
й [п]е~/2я*п = j
-00	-СО
и 6 (t — пТ)
dt
СО	со
2 Мл] 6(1 — nT) = h(t) 2 Slt — nT').
П= со	п~—от
Задача 18.8
Во многих практических ситуациях исследуемый, ио неизвестный сигнал s (!)
искажается эхо-сигналом; при этом наблюдаемый сигнал х (t) имеет вид
х (О = s (0 + ks (1 - Го).
Как правило, амплитуду k и задержку То эхо-сигнала можно оценить из пре-
дыдущих экспериментов или зная сущность происходящих физических процес-
сов. Далее предлагается рассмотреть различные способы восстановления s (1)
из х (t) при известных k и То.
а)	Найдите (через k и Го) частотную характеристику Н (/) НВ ЛИВ-системы,
которая формирует на выходе сигнал s (1), когда на ее вход поступает сигнал
х ((), имеющий вышеуказанную форму.
б)	Покажите, что частотную характеристику в (а) Н (f) можно реализовать
структурной схемой, показанной на рис. 18.25. Найдите значения k0, и Тг
через k и То. Изобразите импульсную характеристику h (1) данной системы.
Рис. 18.25.
в)	Предположим, что кроме k и То нам известно, что s (г) (и, следовательно,
х (0) ограничена по полосе; при этом S (/) = 0 для |/ | > W. Кроме того, То X
1/2IF. Найдите разностное уравнение, описывающее ДВ ЛИВ-систему, пока-
занную на рис. 18.26, так что при входном сигнале х (1) выходной результиру-
ющий сигнал равен s (1).
Синхронизация
'о
Синхронизация
Т-То
Рис. 18.26.
г)	Объясните, почему система в (в) не будет работать при 1/2 W < То s?
1/W7. Тем не менее докажите, что при удвоении частоты синхронизации (7’
= То/2) и соответствующих изменениях в ДВ-системе последняя восстанавли-
вает свою работоспособность. Найдите частотную характеристику (ДВПФ) новой
ДВ-системы.
Задачи к главе 18
299
Задача 18.9
а)	Найдите ДПФ
j N-1
X [т] = -гт-	х Г”! ехР (— ftrtmnlN)
N n=0
для ДВ-функции х [п] = sin (2лп/8), N = 4.
б)	Докажите, что х [п], 0 -Д п < 4 можно восстановить из X [т], исполь-
зуя формулу
N— 1
х [п] = У1, X [m] ехр (J2nmn/N).
т=0
Задача 18.10
а)	Примените формулу для частной суммы геометрической прогрессии и
докажите, что
W-1
2eiWmniN = Г N- т = °’
1 0, 0<т<А.
n=0	k
б)	Используя результат (а), покажите, что система линейных уравнений
N — 1
х [п] = 2 % [т1 ехР (/2л/пя/Л1)
т=0
фактически является решением системы линейных уравнений
N-1
X [т] = -гт- х [n] ехр (— j2nmn/N).
N n—О
в)	Используя результат (а), докажите теорему Парсеваля для ДПФ
N—1	N—1
£ 1*и1з= S ни2-
2V nr-и	т=0
г)	Используя результаты (а) или (б), докажите теоремы свертки (уравне-
ния (18.4.2) и (18.4.3)) для ДПФ.
Задача 18.11
Когда на вход описанного в разд. 18.2 блока АЦП поступает НВ-функция х (1),
на его выходе генерируется ДВ-функция х (п] = х (пТ). Предположим, что
функция х (1) является периодической с периодом То и поэтому может быть пред-
ставлена рядом Фурье
х (0 = У, X [m] ехр (ftrtmtiT0\.
т=—оэ
а)	Докажите, что ДВ-функция х [п] является периодической тогда и только
тогда, когда То/ Т — целое число.
б)	Если Та!Т — N — целое число, то N представляет собой период функ-
ции х [п], которую можно представить в виде ряда
х [n] = X [m] ехр (j2nmn/N).
m=0
10*
300
Глава 18. Преобразования Фурье в ДВ-системах
Каково соотношение между системами коэффициентов X [т] и X [гл] двух рядов
Фурье? (Обратите внимание, что одна система коэффициентов конечна, а другая
бесконечна.)
Задача 18.12
а)	Если х [я] равна нулю вне интервала 0 =£7 л < Д', покажите, что на вы-
ходе системы, показанной на рис. 18.27, формируется функция у [л], равная
х [л].
г . fl, л - О, I,- Л/-|
Р[л] = <!
I О для всех остальныхл
со
h [л] = £ 8[n-m/V]
т=-со
Рис. 18.27.
б)	Описав работу данной системы в частотной области при помощи ДВПФ,
покажите, что равенство у [л] = х [л] позволяет другим способом получить
выражение (18.3.5)
N—1
х[л]= 5л X [т] ехр Ц^лт.п/М), О^п^Х.
т—0
Задача 18.13
Пусть необходимо получить свертку длинной последовательности х [л] и КИХ
h. [л], которая равна нулю вне интервала	Покажите с помощью
рисунков и формул, что, используя ДПФ к БПФ, указанную свертку можно
выполнить следующим образом;
1.	Разбейте х [л] на подпоследовательности длиной X.
2.	Образуйте новые конечные последовательности длиной 2N, дополняя
каждую подпоследовательность х [л] и h [л] последовательностью из X нулей.
3.	Найдите ДПФ полученных удлиненных последовательностей.
4.	Умножьте каждое ДПФ из удлиненных подпоследовательностей х [л]
на ДПФ удлиненных подпоследовательностей h [л].
5.	Найдите обратное ДПФ каждого произведения.
6.	Объедините результирующие последовательности длиной 2Л', перекрывая
соседние последовательности на X отсчетов.
При длине исходной последовательности х [л), Х0^>Х, сравните число
операций умножение-сложение, необходимых для выполнения свертки х [л]*
* h [л] данным способом, с числом операций при прямом вычислении свертки
в виде сумм.
Задача 18.14
Нижеприведенная программа является основой для определения БПФ путем
вычисления
N—I
х [л] = yj X [/л] e'2llmn/N
т=0
Задачи к главе 18
301
для заданной системы из N комплексных чисел X Гт], где V— любая сте-
пень 2. Она написана на диалекте SCHEME языка LISP *), преимущество кото-
рого состоит в том, что процедура вычисления БПФ становится наглядной по
своей сущности (хотя в этом случае несколько уменьшается скорость вычислений
по сравнению, например, с языком FORTRAN 1 2)):
(define (fft list)
(let((n (length list)))
(cond((=nl) list)
((odd? n) (error «FFT input length not 2**N»))
(else(let ((even-terms (fft(evens list)))
(odd-terms(w* (fft(odds list)))))
(append(add even-terms odd-terms)
(sub even-terms odd-terms)))))))
Процедура БПФ обрабатывает список из N комплексных чисел (X [0] X [1] ...
X [X — 1 ]) и создает список из N (возможно, комплексных) чисел (х [0] х [1 ] ...
х [N — 1 ]). Процедура базируется на двух рекурсивных вызовах, в результате
чего вычисляются БПФ двух списков из N/2 членов при помощи подпроцедур
EVENS и ODDS:
EVENS (четный список) = (X [0] X [2] ... X [Л' — 2]),
ODDS (нечетный список) = (X [1] X [3] ... X [.V— 1]).
Подпроцедура IF* обрабатывает список из Х/2 комплексных чисел (х0Х1Х2 ...
x(W/2) —1) и создает список из N/2 комплексных чисел (^xoxlWx2W2 ...
Х(Л72) — 1	—гДе ~ e'2n!N. Операция APPEND образует одни список
из N элементов, в котором NI2 элементов находятся путем почленного сложения
элементов EVEN-TERMS и ODD-TERMS, а последние N/2 находятся путем
почленного вычитания элементов EVEN-TERMS и ODD-TERMS. Как следует
из выражения (18.4.5) и сноски па этой же странице, результатом таких операций
является БПФ.
а)	Определите процедуры EVENS, ODDS, ADD, SUB и IF*, необходимые
для выполнения требуемых манипуляций. Так как список может содержать
комплексные числа, необходимо предусмотреть представление чисел в комплекс-
ном виде (например, в виде пар) и соответствующие процедуры для сложения,
вычитания и умножения комплексных чисел.
б)	Продемонстрируйте работоспособность полного пакета программ для
БПФ, проверив его с несколькими простыми системами X [т], для которых можно
легко вычислить систему х [л].
в)	Исследуйте на конкретных примерах, как время вычислений зависит от N.
г)	Придумайте видоизмененную процедуру для восстановления системы
чисел X [ml из системы чисел х [п], пользуясь формулой
N-1
X. [»] = -тг Xj х W ехР / 2™г«/Л']-
л-0
Покажите, что предложенная вами новая процедура вначале определяет БПФ
некоторой «случайной» системы чисел X [т], а затем обрабатывает полученный
результат для восстановления X [т].
1) Н. Abelson and G. J. Sussman with J. Sussman, Structure and Interpreta-
tion of Computer Programs (Cambridge, MA: MIT Press and McGraw-Hill, 1985).
2) Описание программ, оптимизированных по быстродействию, приведено
в книге Programs for Digital Signal Processing (New York, NY: IEEE Press,
1979).
19
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ
19.0. Введение
В предыдущих главах мы обычно предполагали, что сигналы
в системе (равно как и их источники) полностью заданы либо
в виде обычных функций, и тогда известно, что они собой пред-
ставляют, либо в виде обобщенных функций, и тогда известно,
как они себя ведут. Наша задача обычно заключалась в том, чтобы
найти полное описание части или всех остальных сигналов в си-
стеме (как, например, реакций). Часто, однако, желательно или
необходимо изучить поведение системы, проявляющееся в виде
реакции на воздействующие сигналы, которые определены не
полностью, т. е. сигналы, о которых наши знания ограничены
неполной системой характеристик или свойств. Мы можем,
например, задаться вопросом о том, что можно сказать о реакции
системы на входное воздействие, если известно лишь, что его
амплитуда не превышает некоторого максимального значения
или средняя мощность источника имеет заданную величину, или
спектр входного воздействия не содержит частот выше W.
В этих случаях существует обширный класс, или ансамбль
сигналов, обладающих заданными свойствами. При рассмотрении
теоремы отсчетов в гл. 14 было показано, что спектр любой функ-
ции, имеющей вид
х<о- S	(iso.»
п=— оо
ограничен полосой частот | f | < W для любого набора значений
х [nJ. Каждому конкретному выбору последовательности х [п],
—оо < п < оо, соответствует конкретный член ансамбля сигна-
лов, спектр которого не содержит частот, больших W.
Каждому члену ансамбля входных сигналов, обладающих
некоторыми общими свойствами, соответствует определенный член
из ансамбля сигнальных реакций. Цель данной главы — найти
описание параметров или свойств, характеризующих ансамбль
реакций, в виде функций этих параметров или свойств, которыми
задан ансамбль входных сигналов. Мы не можем рассчитывать,
19.0. Введение
303
что это возможно в общем случае произвольных характеристик
сигналов и произвольных систем. Однако если свойства, харак-
теризующие ансамбль входных функций, описать некоторыми
параметрами, полученными усреднением за большое время, то
и ансамбль реакций также можно охарактеризовать параметрами,
полученными усреднением за большое время. Более того, в случае
ЛИВ-системы, зная малый набор средних значений входных
сигналов, можно вычислить соответствующие средние значения
сигнальных реакций. Как будет показано ниже, такая зависи-
мость между некоторыми средними значениями входных и выход-
ных сигналов в ЛИВ-системах находит широкое практическое
применение.
Сигналы, описываемые посредством наборов параметров, по-
лученных усреднением (средними), иногда называют случайными
сигналами, что, как мы увидим, не является строгим определе-
нием. Например, такие регулярные сигналы, как синусоиды,
конечно, являются членами ансамбля функций с ограниченной
полосой *), однако к большинству * 2) функций, определяемых
выражением (19.0.1), весьма подходит слово «случайный», по-
скольку они выглядят бессистемными, беспорядочными, непред-
сказуемыми, не имеющими четкой структуры. Во многих случаях
именно кажущийся хаос характеризует сигналы, которые мы
стремимся описать с помощью средних. К ним, например, отно-
сится шум, создаваемый тепловым перемешиванием заряженных
частиц в резисторах, полупроводниках и диссипативных систе-
мах. Тем не менее даже осмысленные речевые и музыкальные
сигналы могут показаться хаотическими и непонятными, если их
не воспринимать на слух, а рассматривать на экране осцилло-
графа. Более того, сигналы в системах связи, которые мы не можем
точно предсказать, сообщают нам нечто новое, несут в себе ин-
формацию.
Однако мы не можем базироваться в математике на отсут-
ствии порядка. Поэтому для случайных сигналов важна (в том
смысле, как они анализируются в данной главе) не степень пред-
сказуемости их деталей, а то, что они обладают определенными
Как мы покажем, свойство ограниченности полосы частот вытекает из
условий усреднения за длительное время.
2) Слово большинство применено здесь как интуитивно корректное. Однако
у нас нет (и не может быть) какой-либо меры взвешивания относительного подо-
бия или плотности различных функций в рассматриваемых нами ансамблях
и, следовательно, нет, строго говоря, оснований считать, что большинство реали-
заций, принадлежащих ансамблю, имеют нерегулярную структуру. При соот-
ветствующей организации процедуры формирования ансамбля сигналов с огра-
ниченной полосой мы можем довести долю входящих в него чистых синусоид
до сколь угодно большой величины. Именно здесь начинается математически
строгая теория случайных процессов (которую мы не намерены излагать), уста-
навливающая меру или вероятность для каждого члена ансамбля.
304
Глава 19, Средине величины и случайные сигналы
конкретными и предсказуемыми средними. Так, тепловой шум
можно частично охарактеризовать определенным средним рас-
пределением амплитуд. Аналогично можно утверждать, что спек-
тральная плотность мощности (которая, как мы увидим, отно-
сится к средним) речевого сигнала в некоторых системах связи
имеет вполне определенную форму и в основном заключена в по-
лосе частот от 300 до 3000 Гц.
Не стоит обращать особого внимания на аспект «непредска-
зуемости» случайных сигналов, более уместно отметить то обстоя-
тельство, что сигналы, которые полезно (или необходимо) харак-
теризовать средними (вместо конкретных временных функций),
почти всегда являются сложными. Трудно себе представить,
каким образом можно (если это потребуется) дать полное матема-
тическое описание реакции телефонной линии на конкретную
фразу, произнесенную определенным абонентом. Мы просто по-
грязнем в деталях. Однако, зная соответствующие средние свой-
ства реакции на многих дикторов и многие речевые сигналы, мы
способны охарактеризовать качество телефонной линии как ка-
нала передачи речевых сообщений, предложить способы его усо-
вершенствов’ания или определить технические требования к око-
нечной аппаратуре.
Необходимо отметить, что применимость изложенных в данной
главе методов может оказаться спорной. Не все функции, «выгля-
дящие случайными», достаточно регулярны или однородны, чтобы
их можно было полно или эффективно характеризовать с помощью
средних.
Так, например, напряженность поля отраженных радиоволн
из-за флуктуаций ионосферы нерегулярна от момента к моменту
времени. Средняя мощность сигнала практически не изменяется
за такое короткое время, как час, однако средние за час значения
мощности могут резко отличаться днем и ночью или в соседних
сутках. Такая же кратковременная однородность и долговремен-
ная вариабельность присущи многим другим явлениям, таким как
метеорологические данные, число солнечных пятен, биологиче-
ская и медицинская информация, геологические и палеонтологи-
ческие наблюдения и большинство социально-экономических про-
цессов типа биржевого курса акций. Если флуктуации средних
регулярны и предсказуемы, то (с помощью методов более сложных,
чем те, которые будут описаны ниже) данные часто можно рассма-
тривать как нестационарный случайный сигнал: индексы цен
претерпевают сезонные изменения, распределение солнечных пятен
подчиняется 11-летним циклам. Однако если флуктуации средних
сами по себе нерегулярны, то в этом случае либо необходимо вести
длительную регистрацию данных, чтобы оценить «среднее от
среднего», либо попытаться создать системы, которые будут
непрерывно измерять кратковременные средние и адаптироваться
19.1. Средине для периодических функций
305
к ним, либо, наконец, просто прийти к выводу о нецелесообраз-
ности описания некоторых сигналов их средними. Так, например,
история ядерных энергетических установок столь коротка, а ско-
рость изменения их технологии столь высока, что просто не-
реально с достаточной степенью достоверности найти такую
среднюю, как вероятность ежегодной аварии каждого реактора.
Действия тех, кто пытается влиять на государственную политику,
ссылаясь на точность таких вероятностных оценок, не являются
«рациональными» или «научными» — они просто наивны.
Для каждого сигнала важным является то, что мы можем
о нем сказать, а не то, чего мы не знаем. Когда сигнал рассматри-
вается как случайный, мы предполагаем, что должны быть из-
вестны (единственное, что мы должны и можем знать о нем) опре-
деленные средние. Целью предыдущих глав была разработка
способов, которые позволяли точно описать сигнал на выходе
некоторой системы при детально известном входном сигнале.
По аналогии цель данной главы состоит в разработке методов
для описания определенных средних на выходе, выраженных
через заданные средние на входе.
19.1.	Средние для периодических функций
Полезно начать наше изучение средних и их свойств с повторения
и дополнения изложенных в разд. 12.5 сведений о средних для
периодических функций. Среднее функции х (t) на бесконечном
интервале времени определяется выражением
Го
<х(0)= lim f x(t)di	(19.1.1)
и может быть точно вычислено, если функция х (t) является пе-
риодической. Как было указано в разд. 12.5, оно равно среднему
для х (t) за один период Т
т
(х(о) = 4“! x('t)dt- (19Л-2)
о
Следовательно, в случае периодических функций можно непо-
средственно распространить уже известные методы анализа за-
висимости между входом и выходом системы применительно к со-
отношению между средними на входе и средними на выходе.
С другой стороны, если функция х (t) не является периодической,
то выражение (19.1.1) по-прежнему характеризует то, что мы
подразумеваем под средним х (t) на бесконечном интервале вре-
мени. Однако математически это не очень корректно, поскольку
(возможно, за исключением {х (/)) = 0) трудно даже вообразить,
306 Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
какое огромное количество информации необходимо для задания
х (t) в деталях, позволяющих обеспечить вычисление предела.
Изучая периодический случай функции (для которого возможно
вычисление предела), мы приведем примеры, характеристики и
свойства, которые помогут нам провести необходимые обобщения.
В разд. 12.5 мы применили выражение (19.1.2), чтобы пока-
зать, что коэффициенты -ряда Фурье X [п ] можно определить
в виде средних
X [и] = <х (0 е~/2яп</г>	(19.1.3)
и что теорему Парсеваля для периодического действительного
колебания можно записать в виде
Т	03
<х1 2 *(о)	= 2 ।х [n] |2’	(19Л-4)
о	п~—со
которую можно интерпретировать следующим образом: средняя
мощность периодической функции х (t) представляет собой
сумму х) средних мощностей его гармонических составляющих.
Так как мощности отдельных фурье-компонент можно суммиро-
вать для определения полной средней мощности, то это позволяет
определить спектральную плотность мощности Sx (/,) для перио-
дических функций
СО
Sx(f)£ Е | х [и] |а 6 (/- п/Т),	(19.1.5)
п=—оэ
которая измеряет распределение мощности в х (t) как функцию
частоты. Полная средняя мощность действительной периодиче-
ской функции х (t) равна
оо	оэ
\sx(f)df= 2 I X [п] |а = (х2 (/)).	(19.1.6)
—СО	П=—ОЭ
Заметим, что импульсы, из которых состоит Sx (f), всегда имеют
неотрицательные действительные площади для любого х (t). Если
х (t) действительна (что предполагается на всем протяжении дан-
ной главы), то | X [—п] | = | X [п] ] и, следовательно, Sx (/)
является четной функцией от /.
Поскольку в общем случае гармонические составляющие
сигнала у (t) на выходе ЛИВ-системы с частотной характеристи-
1) Конечно, в общем случае утверждение, что средняя мощность суммы
функций равна сумме средних мощностей, не является верным, т. е. (| х (/) -f-
+ У (i) |2) Ф {х2 (/)) -f- {у2 (/)) . Тот факт, что для рядов Фурье мощность суммы
равна сумме мощностей, следует из ортогональности гармонически связанных
синусоид, как показано в приложении к гл. 14. См. по данному вопросу за-
дачу 19.8.
19.1. Средние для периодических функций
307
кой Н (f) при поступлении на ее вход периодической функции
х (t) равны
Y [n] = X [n] Н (п/Т) или | Y [n] |2 = | X [п] |2 | Я (n/Т) |2, (19.1.7)
то выходная спектральная плотность мощности выражается
формулой
Sv(f) = sx (/) I Я (/) I2,	(19.1.8)
а полная средняя мощность равна
оо	оо
(У2 (0) = } S, (Л df = J Sx (Л I Я (Л I2 df. (19.1.9)
Если, в частности, ЛИВ-система представляет собой идеальный
фильтр с единичным коэффициентом усиления и ограниченной
полосой, то средняя выходная мощность просто равна сумме мощ-
ностей только тех составляющих входной функции, которые нахо-
дятся в полосе пропускания фильтра. Это представляет собой
другой способ, позволяющий попять смысл, в котором Sx (Л
является мерой распределения мощности в х (Л как функции
частоты.
Спектральная плотность мощности периодического сигнала
состоит из импульсов на гармонически связанных частотах и,
следовательно, является преобразованием некоторой периодиче-
ской временной функции. В самом деле, легкб показать, что для
действительного х (/) этой временной функцией будет
т
Rx (т) (х (/) х (t — т)) = у- j х (Л х (t — т) dt =
о
= -^х (Л®х (—Л = 2 । % [ft]|2 е>'1ппх!Т - у Sx (Л e/2nft df.
П=—<Х1	—оо
(19.1.10)
Rx (т) называется автокорреляционной функцией действитель-
ной. периодической функции х (t). Она обладает следующими
характерными свойствами:
a)	Rx (г) = (х (Л х (t — т)) — периодическая с тем же пе-
риодом, что и х (t). Коэффициенты Фурье для Rx (т) равны
И l/i 1 |2.
б)	Преобразование Фурье Rx (т) равно Sx (/), которая дей-
ствительна и неотрицательна. Из этого, помимо прочего, следует,
что Rx (т) — четная функция для действительных х (t).
в)	Rx (0)	(х2 (Л)	| Rx (т) следовательно, Rx (т) имеет
максимумы в точках т = 0, ±Т, ±ф!Т и т. д., в которых она равна
308
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
средней мощности х (£). Доказательство этого свойства следует
немедленно из вышеуказанного уравнения, поскольку
I Rx (т) | =
j Sx (/) ei^ df
< J I Sx (f) e \df= J Sx (f) df = Rx (0)
—oo	—oo
с учетом того, что Sx (f) — действительная и неотрицательная
функция (см. также задачу 14.17).
Rx (т) измеряет, насколько х (t) и х (t — т) соответствуют друг
другу, следовательно, измеряет скорость, с которой изменяется
х (t), что иллюстрируется следующими примерами.
Пример 19.1.1
Предположим, что
х (t) = A cos (со0/ + 9). —00 < t < оо. (19.1.11)
Тогда
Rx (т) = <х (0 X (I — т)) =
2л/а>0
=  мщ  f cos (<x>Qt + 0) cos (со0/ — <bot -|- 0) dt =
2Л J
0
2л/соо
гл Д 2	(*
= J cos _ +20)dt +
0
2n/coo
+ 4гдд j cos cooT dt.	(19.1.12)
0
Первый интеграл в последнем выражении равен нулю (как ин-
теграл от синусоиды по двум полным периодам), а второй интеграл
представляет собой среднее от постоянной. Следовательно,
д2
Rx (т) = cos со0т.	(19.1.13)
Как и следовало ожидать, Rx (т) — четная периодическая функ-
ция с периодом 2л/(о0. Rx (0) равна средней мощности Л2/2 функ-
ции х (t). Эта величина превышает или равна значениям |Кх(т)|
во всех других точках. Преобразование Фурье Rx (т) равно спек-
тральной плотности мощности
sx(f) =~б (?-дд)+4б +	(19Л-14)
19.1. Средние для периодических функций
309
Амплитуды импульсов в Sx (/) представляют собой возведенные
в квадрат модули коэффициентов разложения х (t) в ряд Фурье,
которое можно записать как
,	Др—/0
х (t) =—2—------g(19.1.15)
Заметим, что в выражении для Rx (т) отсутствует фаза 0; таким
образом, существует много колебаний, имеющих одну и ту же
автокорреляционную функцию. Задавая набор средних Rx (т)
(одно значение среднего для каждой величины т), мы определяем
не конкретную функцию х (t), а ансамбль возможных функций
X (/).
Пример 19.1.2
Автокорреляционная функция Rp (т) импульсной последователь-
ности р (t), показанной на рис. 19.1, представляет собой также
импульсную последовательность. Это можно доказать непосред-
ственно при помощи круговой свертки (19.1.10) или на основании
факта, что спектральная плотность мощности Sp (/) в соответ-
ствии с (19.1.5) имеет вид импульсной последовательности в ча-
Рис. 19.1. Импульсная последовательность и ее автокорреляционная функция,
преобразование Фурье и спектральная плотность мощности.
стотной области. При этом площади импульсов равны квадратам
коэффициентов ряда Фурье р (t), как показано на рис. 19.1.
* * *
Пример 19.1.3
Любую периодическую функцию х (t) можно представить в виде
свертки импульсной последовательности р (t) (рис. 19.1) при
А — 1 и функции
Xr (t) = Р
X1 (О для всех остальных значений, (19.1.16)
310
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
которая описывает один период х (t). Указанная
А — 1 равна
х (0 = Р (0 * хт (0,
или в частотной области
%(/) = /’ (/) Хт (/)•
Из (19.1.8) далее следует, что
sx(f) = sp (f)|xT(D I2,
или во временной области
Rx W = RP (т)*[хг (т) *хт (—т)].
свертка при
(19.1.17)
(19.1.18)
(19.1.19)
(19.1.20)
Наглядная интерпретация вышеуказанных формул изобра-
жена на рис. 19.2 для периодической последовательности прямо-
Рис. 19.2. Прямоугольный импульс и его преобразование Фурье, спектральная
плотность мощности и автокорреляционная функция.
угольных импульсов. Обратите внимание, как в этом случае про-
являются различные свойства автокорреляционной функции.
19.1. Средние дли периодических функций
311
Пример 19.1.4
В предыдущем примере было показано, как в результате свертки
периодической функции (в данном случае р (0) с другой функцией
(в данном случае хт (/)) образуется новая периодическая функ-
ция, которая, вообще говоря, имеет и другую автокорреляцион-
ную функцию. Однако последнее вовсе не обязательно. Автокор-
реляционная функция для’х (0 = р (t) * h (t) будет такой же,
как и для р (I), если модуль преобразования Фурье h (t) равен
единице, т. е. когда h (t) — импульсная характеристика фазового
фильтра. Для простого конкретного случая
Н = 2е~‘и ® ~ 8 (19Л-21)
1 -f-
Рис. 19.3. Другой процесс, имеющий такую же автокорреляционную функцию,
как р (/) на рис. 19.1.
свертка х (Л = р (t) * h (Л показана на рис. 19.3. То, что х (t)
и р (t) имеют одинаковые автокорреляционные функции, вовсе
не очевидно. Этот пример еще раз доказывает, что различные
функции могут иметь одну и ту же автокорреляционную функцию.
* * *
В изложенном выше кратком обзоре описаны свойства некото-
рых средних для периодических функций, которые помогут нам
понять два важных принципа, применимые к средним других
типов сигналов. Во-первых, знание величины даже большого
числа средних от операций над х (t), например (х (t)), (х2 (0)
и даже {х (t) х (t — т)) =	(т), для всех т в общем случае еще
не позволяет однозначно определить х (1) *). В частности, зная
Rx (т), можно найти только амплитуды, но не фазы коэффициен-
тов Фурье, х (t). В общем случае существует большой ансамбль
функций, имеющих один и тот же набор средних. Когда мы согла-
сились характеризовать функцию с помощью ее средних (по-
скольку либо другие сведения о ней отсутствуют, либо потому,
Если известно (х (t) е~i'2nnt/T') = х [п] для всех п и если мы знаем,
что х (f) — периодическая функция с периодом Т, то по этим данным можно
полностью восстановить х (/). Однако тот факт, что х (/) — периодическая функ-
ция, ие вытекает из знания среднего.
312
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
что средних достаточно для наших целей), мы исходили из усло-
вия, что нам неизвестно или безразлично, какой конкретный член
этого ансамбля фактически присутствует. Именно в таком и только
в таком смысле изложенные в данной главе методы будут иметь
отношение к тому, что обычно понимается под словом «случайный».
Во-вторых, даже если знания средних недостаточно для пол-
ного описания сигнала на входе некоторой системы, его может
быть достаточно, если необходимо вычислить определенные средние
для выходного сигнала. Так, из выражения (19.1.8) следует, что
при известных автокорреляционной функции или спектральной
плотности мощности на входе ЛИВ-системы можно определить
автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощ-
ности на ее выходе. Как будет показано далее, даже такие огра-
ниченные средства и ограниченные результаты позволяют нам
продвинуться довольно далеко.
19.2.	Свойства средних на бесконечном
временном интервале
Большинство идей, применявшихся в предыдущем разделе к пе-
риодическим функциям, можно непосредственно распространить
и на непериодические процессы. Предположим, что на вход неко-
торой системы поступает неизвестный член ансамбля функций,
непериодических на интервале —оо <; t < оо. Каждая из функ-
ций характеризуется одинаковыми заданными значениями в виде
некоторой совокупности средних на бесконечном временном ин-
тервале, например {х (t)) и Рх (т) = {х (t) х (t — т)). Нахожде-
ние соответствующей совокупности средних, которая бы описы-
вала интересующую нас ситуацию, представляет собой весьма
важную, ио трудную проблему, и ее мы можем лишь слегка за-
тронуть, в этом предварительном обсуждении. Как правило, мы
не располагаем информацией, достаточной для полного описания
любого или всех членов ансамбля функций х (1) как временных
функций, —оо <; t < оо, что не позволяет провести вычисление
соответствующих средних на бесконечном временном интервале.
Вместо этого мы исходим из физической ситуации, в которой
можем измерить конкретные средние, полагая условия измерений
типичными. Наконец, мы должны быть уверены, что средние,
измеренные на ограниченном временном интервале, обладают
статистической регулярностью, что необходимо для обоснования
представления в терминах средних на бесконечном временном
интервале. Окончательно мы должны смоделировать полученные
экспериментальные данные, используя идеализированную сово-
купность постулированных измерений на бесконечном временном
интервале, которая удовлетворяет различным условиям согласо-
ванности и реализуемости (как будет показано ниже). Наша ма-
19.2. Свойства средних
313
тематическая модель будет соотноситься с реальным процессом
точно так же, как функция A cos 2nft с выходным сигналом гене-
ратора. Таким способом можно описать конкретную физическую
ситуацию, и поэтому с математической точки зрения безразлично,
какие значения приписаны тем или иным параметрам. При всем
этом математики могут лишь высказать предположения и опреде-
лить направления исследований, однако даже самая изощренная
теория не сможет заменить ум, опыт и выводы исследователя.
Пожалуй, не существует другой такой области науки и техники,
которая была бы столь непонятна (как дилетантам, так и спе-
циалистам) и вызывала бы столько недоразумений и стрессов,
как создание соответствующих статистических моделей.
Однако, не впадая в отчаяние от вышесказанного, допустим,
что нам удалось создать соответствующую статистическую мо-
дель — совокупность средних, описывающих, как мы полагаем,
известную входную функцию (или, более точно, ансамбль входных
функций) в данной системе. Теперь мы желаем вычислить конкрет-
ные средние выходной функции. Поскольку выход системы функ-
ционально зависит от входа, это означает, что мы хотим найти
значения средних для определенных операций над процессом,
когда заданы значения средних для других операций над этим же
процессом. Для решения этой задачи необходимо знать некоторые
правила, позволяющие манипулировать со средними. Конечно,
мы хотим, чтобы эти правила согласовывались с основной идеей
о том, что средние на бесконечном временном интервале должны
определяться формулой
т„
(x(t)) = Jim ’ - С x(f)dt.	(19.2.1)
T„-«> о
Примеры некоторых простых правил
1.	ИНВАРИАНТНОСТЬ ВО ВРЕМЕНИ'.
Для каждого Т, —оо <; Т < оо,
(х (t + Т)) = {х (0).	(19.2.2)
2.	ЛИНЕЙНОСТЬ:
Для любых функций X (/)-и у (t) и постоянных А И В
(Ax(t) + By(t)) = A (x(t)) + B (y(t)).	(19.2.3)
3.	ПРЕДЕЛЫ СРЕДНЕГО:
ЕСЛИ Xrnin <Т X (t) Xmax, ТО	(x (t)) -^max-
Как частный случай, если х (t)	0 для всех t, то
{X (0> > 0.
Применение этих правил рассмотрим на следующих примерах.
314 Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
Пример 19.2.1
Пусть необходимо найти среднее выходного сигнала у (t) линейной
системы, описываемой выражением
СО
у (I) — j х (t — т) h (т) dr.
»—-оо
Применив вышеприведенные правила, получим
/ ОО	V	оо
{У ЦУ) —( f х (t — т) h (т) dx ] = j (х (t — х)) h (т) dx =
\ —оо	/	оо
оо	оо
= j (х (0) h (т) dx = (х (t)) j h (т) dt = (х (t)) Н (0).
«•□о	>—оо
(19.2.4)
Второе равенство интерпретирует интеграл как сумму с исполь-
зованием правила линейности; в третьем равенстве применено
правило инвариантности во времени. Другими словами, из ра-
венства (19.2.4) вытекает, что в линейной системе среднее значение
выходного сигнала равно среднему значению входного сигнала,
умноженному на коэффициент усиления или значение частотной
характеристики системы для нулевой частоты1).
* * *
Уравнение (19.2.4) является примером такого рода результа-
тов, которые мы хотим найти в данной главе. Здесь большое
число средних от функционалов х (f) (а именно, среднее любой
операции, проводимой в ЛИВ-системе над х (t)) полностью опре-
деляется только одной величиной (х (t)) и двумя правилами мани-
пуляции со средними. Однако если необходимо найти среднее
для более общего функционала от х (t), то одной величины (х (/))
окажется явно недостаточно. Если задано лишь (х (/)), то не-
возможно определить среднее даже для такой простой функции,
как х2 (t). Такой вывод непосредственно вытекает из свойств
периодических функций. Очевидно также, что невозможно абсо-
лютно независимо задаться величинами (х (t)) и (х2 (t)}. При
этом по крайней мере необходимо соблюсти условие
(х2 (0) > (х (О)2,	(19.2.5)
которое означает, что полная средняя мощность должна быть
больше или равна мощности среднего значения или составляющей
*) В действительности вывод этого на первый взгляд убедительного резуль-
тата осшисш больше на графическом представлении, чем иа строгих рассужде-
ниях. 1>о.тщательный анализ покажет его справедливость как для распростра-
нения правила линейности на бесконечные суммы, так и для ограничений, нала-
итччх на систему с целью обеспечения ее устойчивости.
19.2. Свойства средних
315
постоянного тока. Для периодических функций формула (19.2.5)
является прямым следствием теоремы Парсеваля (см. задачу
14.17), но она вытекает также из вышеприведенных правил. Рас-
смотрим
([х (0 - (х (О)]2) = <х2 (/) - 2х (0 (х (/)) + (х (О)2) =
= (х2 (/)) - 2 (х (/)> (х (0) + (х (О)2 =
= (х2 (ф - (х (ф2.	(19.2.6)
Левую часть уравнения (19.2.6) иногда называют мощностью
составляющих переменного тока в х (/). Она представляет собой
мощность флуктуаций сигнала х (1) относительно его среднего
значения. Другими словами, из выражения (19.2.6) следует, что
полная мощность (х2 (t)) равна сумме мощностей переменного
тока и постоянного тока (х (i))2. Мощность переменного тока
представляет собой среднее от положительной величины (ква-
драта), и в соответствии с частным случаем правила пределов
для среднего она должна быть положительной величиной. Таким
образом, из (19.2.6) следует (19.2.5).
Вообще говоря, если необходимо вычислить среднее для ряда
операций над х (1), или средние для выходных функций в систе-
мах, на вход которых поступает х (/), то следует одновременно
задаться средними различных функционалов от х (Z), таких как
(х (0) и (х2 (0). В общем случае, как было показано выше, кон-
кретные свойства х (t) могут не быть независимыми. Если в прин-
ципе существует функция х (/), обладающая определенными функ-
ционалами, то такие функционалы называют совместимыми.
Задать систему несовместимых функционалов — это все равно,
что пытаться задать как временную функцию, так и ее преобра-
зование Фурье, игнорируя связь между ними. Обоснованность
некоторых средних легко показать на примере. Так, можно по-
строить периодическую функцию для доказательства того, что
любые величины (х (0) и (х2 (<)>, удовлетворяющие условию
(19.2.5), являются совместимыми. Однако в большинстве случаев
это представляет собой довольно трудную задачу. Как, например,
показать совместимость некоторых заданных значений (х (t))
и <1п | х (/) |)? (В действительности можно доказать, что эти
средние можно задавать совершенно независимо.)
Совместимость системы средних легче всего соблюдается для
различных функций распределения вероятностей. Существует
также совокупность средних для соответствующих функций рас-
пределения, которые позволяют вычислить средние для большого
числа операций над х (t). В ряде случаев можно задать (алго-
ритмическим путем) совокупность функций распределения, кото-
рые обеспечивают полное статистическое описание х (t). Таким
образом, они дают полную информацию для определения (по
316
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
крайней мере в принципе) среднего любой заданной операции
над х (f). Подробный теоретический анализ подобных проблем
выходит за пределы излагаемого материала и относится к углуб-
ленному курсу теории случайных процессов. Однако в следующем
разделе будет приведено несколько примеров, в которых на основе
простых интуитивных подходов предлагаются модели для реаль-
ных сигналов, используемых в системах связи.
Прежде чем перейти к указанным примерам, представляется
полезным более узко и точно определить остальные цели, по-
ставленные в данной главе. Мы ограничимся рассмотрением
случаев, когда на вход устойчивой ЛИВ-системы с импульсной
характеристикой h (t) поступает случайный сигнал х (t). Пред-
положим, что входной сигнал существует во всем временном
интервале —оо < t < оо и что требуется найти средние для
квадратичных функций выходного сигнала х (t), например авто-
корреляционную функцию Ry (т), имеющую вид
Ry (т) =	(19.2.7)
Подставим в (19.2.7)
ОО
y(t)= j h (р.) х (t — р) dp
—оо
и
оо
У + т) = f ft (v) х (t + т — v) dv
—«оо
и, используя правило линейности (19.2.3), получим
ОО оо
Rv (т) = j j h (р.) h (v) (x (t — p) x (t + n — dp dv. (19.2.8)
-----------OQ -OO
Считая, что
Rx (т) = (x (0 x (t + r)),	(19.2.9)
и используя правило инвариантности во времени (19.2.2), не-
трудно показать, что выражение (19.2.8) принимает следующий
вид:
оо со
Rv (т) = j j ft (В) ft (v) Rx (т + P — v) dp dv.
----------------OO --OO
(19.2.10)
Уравнение (19.2.10) представляет собой временной аналог урав-
нения (19.1.8), распространенный в данном случае на непериоди-
ческие функции х (0- Другими словами, если необходимо найти
автокорреляционную функцию Ry (т) на выходе линейной си-
19.3. Модели простых случайных процессов
317
стемы,. то из средних входного сигнала достаточно знать лишь
автокорреляционную функцию (т). Широкому применению
этого простого результата способствует тот факт, что многие
реальные системы являются линейными, поэтому автокорреля-
ционные функции содержат значительную информацию о харак-
тере случайных сигналов.
19.3.	Вероятностные модели простых случайных процессов
Следующий пример служит наглядной иллюстрацией того, каким
образом вероятностная информация может быть использована
с целью определения средних для функций сигналов.
Пример 19.3.1
На рис. 19.4 показан возможный фрагмент электрического сигнала
в телеграфной линии, использующей код Морзе. Чему равна
♦ х( г)
1И.ЛШ..Д.П....И..ПП..ШП..П.г;
F OUR/SC О R
Интервал
Рис. 19.4. Фрагмент телеграфного сигнала.
средняя мощность такого сигнала? В сообщении, передаваемом
кодом Морзе, содержатся символы пяти типов — точки (1 эле-
ментарный интервал), тире (3 элементарных интервала), паузы
между символами (1 элементарный интервал), паузы между
буквами (3 элементарных интервала) и паузы между словами
(5 элементарных интервалов). Предположим, что при анализе
длинного текстового массива получены следующие приближенные
данные:
28 % символов — точки,
22 % символов — тире,
31 % символов — паузы между символами,'
16 % символов — паузы между буквами,
3 % символов — паузы между словами.
Эти данные можно интерпретировать как вероятность «случайного»
появления точки, тире и т. п.
Чтобы использовать указанную статистическую информацию
для расчета средней мощности сигнала х (t), отметим, что на
100 символов приходится около
(28-1) + (22-3) + (31-1) + (16-3) + (3-5) = 188
318
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
элементарных интервалов в среднем, из которых
(28-1) + (22-3) = 94
или точно половина среднего числа содержит импульсы с ампли-
тудой А, амплитуды остальных импульсов равны 0. Следова-
тельно,
<х*(о> ==4-(лг)+4-(О)=4,
в точности как для обычной прямоугольной волны.
* * *
Информация, данная в примере 19.3.1, недостаточна для опре-
деления автокорреляционной функции Rx (т) = (х (/) х (t + т))
сигнала кода Морзе. Для этого необходимо знать относительные
частоты, с которыми возникают различные комбинации символов.
Ввиду сложности этой задачи перейдем к более простому примеру.
Пример 19.3.2
Предположим, что функцию, которая отображает в несколько
идеализированном виде упомянутый в разд. 14.4 КИМ-сигнал,
Рис. 19.5. Фрагмент случайной импульсной последовательности.
можно описать следующим образом. Временная ось делится на
интервалы длительностью Т секунд. Функция х (t) равна нулю
во второй половине каждого интервала. В первой половине каж-
дого интервала она имеет амплитуду А для половины всех интер-
валов и равна нулю для остальных интервалов. Предположим
также, что факт нахождения импульса в каком-либо интервале
не зависит от его появления в других интервалах. Неформально
такую функцию можно генерировать путем подбрасывания мо-
неты — по одному разу для каждого интервала. При этом «орел»
будет соответствовать наличию импульса в интервале, а «решка» —•
его отсутствию. Возможный фрагмент такого сигнала показан
на рис. 19.5.
Указанная информация обеспечивает полное статистическое
описание ансамбля функций х (/), что позволяет в принципе
вычислить среднее для любого функционала х (t). Вычислим
в качестве примера автокорреляционную функцию Rx (т) =
= (х (Z) х (t + т)). Неформально это можно сделать следующим
образом. Для 0<i: < Т/2 произведение функций имеет вид,
19.3. Модели простых случайных процессов
319
показанный на рис. 19.6. Как следует из свойств последователь-
ности, в среднем половина интервалов в произведении функций
содержит неперекрывающиеся импульсы и, следовательно, сред-
нее для произведения функций равно
(Т/2)-т
Рис. 19.6. Формирование процесса в виде произведения х (t) х (t 4- т).
Автокорреляционная функция Rx (т) имеет вид прямой, про-
тянувшейся от Л2/4 при т = 0 до 0 при т = Т/2. По мере даль-
нейшего увеличения т, Rx (т) будет снова возрастать, когда начнут
перекрываться соседние импульсы, но это происходит лишь
в 1/4 всех интервалов. Поэтому значение Rx (т) составляет всего
половину от Rx (0). Продолжая этот процесс, можно получить
Рис. 19.7. Автокорреляционная функция процесса, изображенного на рис. 19.5.
форму Rx (т), показанную на рис. 19.7 — треугольник в центре
с периодической последовательностью меньших треугольников
с каждой стороны.
* * *
Используя результат, полученный в примере 19.3.2, можно
исследовать некоторые общие свойства автокорреляционных функ-
320 Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
ций. Вначале рассмотрим Rx (т) = (х (/) х (t + т)) для произ-
вольной функции х (/) и больших значений т. Многие случайные
функции обладают «ограниченной памятью» в том смысле, что
значение, которое имела функция х (/) в некоторый момент в прош-
лом, почти или совсем не связано с ее текущим значением. В этом
случае функции х (/) и х (t + т) можно считать независимыми
при больших т, так что Rx (т) -> {х (£))2 при т->оо. Поэтому
часто можно оценить среднее значение сигнала по асимптоти-
ческому значению «хвоста» его автокорреляционной функции.
Очевидно, что сигнал, изображенный на рис. 19.5, не относится
к классу функций «с ограниченной памятью», поскольку «хвосты»
Rx (т) не приближаются к асимптотическому значению. Для этого
сигнала требуется аналогичный, но несколько более сложный
подход.
Рассмотрим далее обобщенный сигнал, образованный сумми-
рованием двух сигналов г (/) = х (/) + у (t). Автокорреляционная
функция суммы равна
Rz (т) =	(0г(/ + т)> = <[х (i) + у (01 [X (/ + т) + ^(/ + т)]> =
= Rx (т) + Rv (т) + (х (0 у (t + т)> + {х (t + т) у (())
Во многих практических случаях два последних члена (которые
называются взаимно корреляционными функциями) исчезают, и
автокорреляционная функция суммы становится суммой авто-
корреляционных функций. Для исчезновения взаимно корреля-
ционных функций достаточно, чтобы процессы х (t) и у (/) были
полностью независимыми и чтобы по крайней мере один из про-
цессов имел нулевое среднее значение (однако эти условия далеки
от необходимых).
И наконец, рассмотрим автокорреляционную функцию суммы
процесса с «ограниченной памятью», имеющего нулевое среднее
значение, и независимого периодического процесса. Типичная
автокорреляционная функция в этом случае может иметь вид,
показанный на рис. 19.8. Заметим, что, если даже мощность
периодического процесса гораздо меньше, чем у процесса с «огра-
ниченной памятью» (в этом можно убедиться путем сравнения
их автокорреляционных функций при т — 0), «хвост» автокорре-
ляционной функции суммы все же сохраняет периодический
характер при достаточно больших т и тем самым выдает присут-
ствие периодической составляющей. На этом явлении основаны
несколько распространенных способов обнаружения «скрытой
периодичности» или «цикличности» в экспериментальных данных.
С учетом этого периодический характер «хвоста» на рис. 19.7
указывает на то, что соответствующий процесс содержит периоди-
ческую составляющую. Однако нет гарантии, что можно на самом
деле разделить процесс, показанный на рис. 19.5, на две состав-
19.3. Модели простых случайных процессов
321
Рис. 19.8. Обнаружение скрытой пе-
риодичности:	(т) для процесса
с «ограниченной памятью» (с -нулевым
средним значением); Rv (т) для перио-
дического процесса; 7?г (т) для суммы.
ляющие, подобно тому как это было описано выше. Существует
множество периодических процессов с одной и той же автокор-
реляционной функцией, и нет способа, который позволил бы
найти: после вычитания какой именно функции (если таковая
существует) останется процесс с «ограниченной памятью». Однако,
как видно из примера 19.1.3 при А = Т/2, автокорреляционная
Рнс. 19.9. Разложение процесса, изображенного на рис. 19. 5.
322
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
функция квадратной волны представляет собой периодический
процесс треугольной формы, что дает основание провести разложе-
ние, как показано на рис. 19.9. Нетрудно показать, что RXi (т)
и RX2 (т) имеют форму, представленную на рисунке. Кроме того,
(хх (t) х2 (t + т)) = 0 для всех т, в связи с чем автокорреля-
ционная функция суммы равна, как и требовалось, сумме авто-
корреляционных функций. Однако хг (/) и х2 (0 не- являются
полностью независимыми процессами, поскольку хг (t) =
= (2/Л) х\ (t), поэтому данное разложение не вполне соответ-
ствует описанному выше принципу.
Пример 19.3.3
Подобно примеру 19.3.2 можно привести и много других исполь-
зуемых на практике случайных процессов. Один из них (изве-
стный под названием белого шума) по причинам, о которых будет
сказано ниже, требует лишь небольшого видоизменения упомяну-
того ранее способа. Неформально этот процесс можно описать
следующим образом. Монета бросается каждые 6 секунд. В соот-
ветствующем временном интервале при выпадении «орла» генери-
руется импульс с амплитудой 1/6, в остальных случаях ам-
плитуда процесса равна нулю. Типичный вид такого процесса
1/8
t -Н8Н-
Рис. 19.10. Типичный пример процесса, описывающего дробовой шум.
показан на рис. 19.10. Предположим, что монета сильно раз-
балансирована так, что «орел» приходится лишь на малую часть
бросаний. При этом интервалы с импульсами встречаются редко;
среднее число импульсов в секунду равно п~ р/6. Мы произ-
вольно решили, что как р, так и 6 стремятся к нулю при фикси-
рованном и, так что типичная функция отсчетов содержит им-
пульсы, возникающие «случайным» образом со средней частотой
ii импульс/сек. Однако сперва вычислим автокорреляционную
функцию данного процесса для ненулевых значений р и 6. Для
0 < т < 6 среднее произведения х (t) на х (t + т) состоит из
двух частей. Первая — перекрытие каждого импульса с самим
собой, создающее в функции произведения импульс с амплиту-
дой 1 /62 и длительностью 6 — т; число таких импульсов в секунду
равно и. Вторая часть — перекрытие каждого импульса с сосед-
ним (если таковой имеется), создающее в функции произведения
19.3. Модели простых случайных процессов
323
импульс с амплитудой 1/62 и длительностью т; число таких им-
пульсов в секунду равно пр. Следовательно,
Rx (т) = (1/62) (6 - т) п + (1/62) (т) пр =
= (п/6) (1 — т/ё) (п)2 т/6, 0 < т < 6.
Первый член (от перекрытия импульса с самим собой) показан
на рис. 19.11 сплошной линией как функция т в интервале 0 <
Рис. 19.11. Рх (т) процесса, аппроксимирующего белый дробовой шум: / —
перекрытие импульса с самим собой; 2 — перекрытие импульса с ближайшим
соседним импульсом; 3 — перекрытие импульса с импульсом, следующим за
соседним.
< т < 6. Второй член (от перекрытия импульса с ближайшим
соседним импульсом) показан пунктирной линией. Аналогично
можно провести анализ для больших значений т. В своем оконча-
тельном виде на рис. 19.1.1 Rx (т) для. конечных 6 представляет
собой сумму всех отдельных треугольных импульсов.
Переходя к пределу при 6 -> 0 и фиксированном п, получим
автокорреляционную функцию для белого шума, образованного
случайными импульсами (рис. 19.12). Она состоит из импульса
и постоянной (которая, как следует из наших предыдущих рас-
суждений, равна (п)2 = (х (О)2).
* * *
Одним из наиболее важных применений корреляционных
функций — как показано в последнем разделе и обобщено в вы-
ражении (19.2.10) — является исследование преобразований

Рис. 19.12. Предел Rx (т) при 6 —► 0:
1 — импульс с площадью п; 2 — по-
стоянная = п2.
ЛИВ-системами случайных процессов. Рассмотрим в качестве
примера ситуацию, когда на вход ЛИВ-системы поступает опи-
324
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
санный в примере (19.3.3) белый шум с корреляционной функ-
цией, изображенной на рис. 19.12:
Rx (т) = (п)24-п6 (т).	(19.3.1)
При этом выходной процесс у (t) представляет собой последова-
тельность импульсов, подобных по форме h (/) и распределенных
«статистически равномерно» во времени со средней частотой п
Рис. 19.13. Результат прохождения белого дробового шума через фильтр с им-
пульсной характеристикой h (f).
(рис. 19.13). Автокорреляционная функция выходного процесса
у (/) определяется по формуле (19.2.10)
оо оо
Ru (т) = j j h (р.) h (v) [(n)2 -ф пб (т — v 4- p.)] dp dv =
— n j h (p) h (p t) dp 4- I n j Л (p) dp I .	(19.3.2)
-OO	\	-OO	/
Уравнение (19.3.2), называемое теоремой Кэмпбелла, имеет важ-
ные применения, поскольку  целый ряд явлений — от стука
дождевых капель по тонкой крыше до флуктуаций тока в рези-
сторе, обусловленных дискретностью электрических зарядов, —
хорошо моделируются процессом, изображенным на рис. 19.13.
Из вышесказанного становится понятным, почему этот процесс
называют «дробовым» шумом.
Наш предыдущий опыт в отношении средних для периодичес-
ких функций показывает, что выражение (19.2.10) можно сущест-
венно упростить, если перейти от автокорреляционных функций
к их преобразованиям Фурье. Итак, пусть
ОО
Sx (f) = f Rx (Т) e~'2nfx dr,
19.3. Модели простых случайных процессов
325
Sv(f) = j Rv (Т) е-<2^ di	(19.3.3)
s—CO
И
Н (/) = j h (t) dt.
i—co
Тогда (19.2.10) дает
(/) = | н (/) I2 Sx (f),	(19.3.4)
что является очень важной формулой.
В разд. 19.1 это уравнение было получено совершенно иным
путем — определением спектра мощности на выходе ЛИВ-си-
стемы. Тогда (/) представляла собой спектральную плотность
мощности. Можно показать, что она имеет тот же смысл и в случае
преобразования автокорреляционной функции. Вначале, ис-
пользуя обратное преобразование Фурье, найдем полную сред-
нюю мощность в х (t)
СО
(*2 (0) = Rx (0) = j Sx (D df.	(19.3.5)
—co
Уравнение (19.3.5) полностью согласуется с обозначением плот-
ности мощности через Sx (/) (отношение мощности к дифферен-
циалу полосы). Предположим далее, что х (t) пропускается через
специальный линейный фильтр с АЧХ, показанный на рис. 19.14.
Среднюю мощность на выходе этого фильтра можно найти по
формулам (19.3.5) и (19.3.4)
СО
j \H(f) ?Sx(f)dftt Sx(f0) Af.	(19.3.6)
—co
Таким образом, Sx (/0) А/ представляет собой часть средней
мощности в х (Z), заключенной в узкой полосе А/ на частоте /0.
Отсюда и происходит термин «спектральная плотность мощности».
а|н(О|
Рис. 19.14. Специальный фильтр для определения спектральной плотности мош
ности: Н (f) = 0, за исключением узкой полосы около f = f0.
326
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
Как частное следствие из (19.3.6) отметим, что средняя вы-
ходная мощность и, следовательно, Sx (/0) должны быть неотри-
цательными величинами. Поскольку /0 — произвольная частота,
а х (/) — произвольный процесс, то любая автокорреляционная
функция Rx (т) должна иметь такую структуру, чтобы ее пре-
образование Фурье — спектральная плотность мощности Sx (/) —
было действительным и неотрицательным. Поскольку не каждая
функция обладает указанными свойствами, можно выработать
ограничения, которым должна удовлетворять автокорреляционная
функция. Так, например, совершенно ясно, что Rx (т) для дей-
ствительной функции должна быть четной, и в общем случае
I (т) I =
05
J Sx(f)e^df
— со
< j | Sx (f) е>^ \df = J Sx (f) df = Rx (0).
oo	—“
Таким образом, автокорреляционная функция принимает макси-
мальное значение при т = 0. Эти частные свойства Rx (т) можно
также вывести непосредственно (см. задачу 19.2).
То, что Sx (/) должна быть неотрицательной и действительной,
является гораздо.более сильным условием. Нетрудно доказать,
что это необходимое условие является также и достаточным.
Другими словами, для того чтобы функция Rx (т) была авто-
корреляционной для некоторого процесса, необходимо и доста-
точно, чтобы ее преобразование Фурье Sx (/) было действительной
и неотрицательной функцией. Для доказательства достаточности
этого условия необходимо показать возможность существования
хотя бы одного процесса с заданной автокорреляционной функ-
цией, или, что эквивалентно, с соответствующей спектральной
плотностью мощности. Это можно сделать при помощи белого
дробового шума,' автокорреляционная функция которого опре-
деляется выражением
Rx (т) = («)2 + «б (т).	(19.3.7)
Соответствующая спектральная плотность мощности равна
Sx (/) = (п)2 6 (/) + п.	(19.3.8)
Импульс на нулевой частоте, соответствующий среднему значе-
нию процесса, можно просто исключить вычитанием константы п
из х (/). Оставшаяся спектральная плотность постоянна для всех
частот. Такой спектр называется белым (по аналогии с белым
светом, который содержит все основные цвета). Если пропустить
(х (/) — п) через фильтр с частотной характеристикой Н (/), то
на выходе получим спектральную плотность мощности п | Н (/) |а.
19.3. Модели простых случайных процессов
327
Таким образом, произвольный неотрицательный действительный
спектр Sx (/) можно получить, пропуская белый дробовый шум
(с нулевым средним) через фильтр с | Н (/) |, пропорциональным
]/	(/). Такой фильтр можно всегда аппроксимировать с любой
заданной точностью (хотя не обязательно в реальном времени,
т. е. при помощи каузального фильтра; в этом последнем случае
уЛ(/) должна удовлетворять условию Пэли — Винера, при-
веденному в гл. 15).
Пример 19.3.4
Один из важных разделов теории случайных сигналов относится
к эффекту теплового перемешивания зарядов в резисторе и изве-
Рис. 19.15. Эквивалентная схема для теплового шума в резисторе: /^-идеальный
нешумящий резистор.
стен как тепловой шум, или шум Найквиста (по имени ученого,
который проанализировал его теоретически), или шум Джонсона
(по имени ученого, который первым изучил его экспериментально).
Для общих условий, методами теоретического анализа можно
показать х), что в тепловом равновесии при абсолютной темпера-
туре Т резистор R можно представить эквивалентной схемой,
показанной на рис. 19.15. На схеме i (t) — источник белого шума
(по крайней мере до частот, при которых теряет силу теория
сосредоточенного резистора) со спектральной плотностью мощ-
ности
S,- (/) = 2kT)R,	(19.3.9)
где k = 1,38-10-33 Вт-с/К — постоянная Больцмана. С другой
стороны, для этих же целей можно воспользоваться теоремой
Тевенина и представить эквивалентную схему в виде нешумящего
резистора R, который последовательно включен с источником
напряжения, имеющим спектральную плотность мощное:и S, (/)
= 2kTR.
*) См., например, J. L. Lawson and G. Е. UhlenL-vk, Tlnv-lidd MgiiHl.s (N.-vv
York, NY: McGraw-Hill, 1950), Chapter 4.
328
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
Я = у-1030м	С=-^ф
Рис. 19.16. Резонансный контур.
В качестве приложения (19.3.9) можно вычислить среднеква-
дратичное напряжение, генерируемое в результате теплового
возбуждения на ненагруженном выходе резонансного контура
(рис. 19.16) при комнатной температуре. Введем источник тока
i (f) (показанный пунктирной линией), имитирующий тепловой
шум. Тогда v (/) представляет собой выходное напряжение ЛИВ-
системы с входным током i (t) и частотной характеристикой,
равной полному импедансу цепи. Таким образом,
4- + ;2“'С + да7 +	+
=	+ I)1 ^М'	(19.3.10)
Для простоты численные значения выбраны таким образом, что
полюса совпадают и схема характеризуется критическим демпфи-
рованием. Тогда спектральная плотность мощности равна
Р	2 -1,38 - 10—23 - 293
(1 + КГ6/3)3 ‘	0,5-103	—
_ 16,2-КГУ
(1 4-10~6/2)2 ° С	(1У.С5.11)
(при комнатной температуре 20 °C или 293 К). И наконец,
{v2 (0) = J Sv (/) df = 25,5- 10-15 В2.
(Используя теорему Парсеваля, можно привести интеграл к эле-
ментарному виду.) Таким образом
/(п2 (/)) « 1,60-10-’ В,
чем во многих случаях можно пренебречь. ‘Представляется ин-
тересным (и может быть доказано в общем случае), что средняя
энергия, запасенная в конденсаторе:
4- с (у2 (0) = -1- kT,	(19.3.12)
Задачи к главе 19
329
не зависит от параметров схемы. Средняя энергия, запасенная
в индуктивности, имеет в точности такую же величину.
Это является примером результата, соответствующего теореме
статистической физики о равномерном распределении энергии
по степеням свободы.
* * *
19.4. Выводы
Если единственной информацией об источнике сигналов в некото-
рой системе является определенный перечень средних, получен-
ных на очень большом временном интервале, а не подробное
описание сигналов в виде колебаний, процессов или временных
функций, то выходные процессы можно также описать лишь
в виде определенного перечня средних. В ряде случаев, однако,
знания таких средних вполне достаточно для разработки систем
или понимания поставленных задач. В частности, для ЛИВ-систем
при заданных на входе автокорреляционной функции Rx (т)
или ее преобразования Фурье—спектральной плотности мощности
(/) — можно найти автокорреляционную функцию и спектраль-
ную плотность мощности на выходе. Автокорреляционные функ-
ции характеризуют временные темпы, с которыми сигнал при-
нимает новые значения. Спектральная плотность мощности ука-
зывает на относительную важность каждой спектральной области
при частотном синтезе сигналов. Для сигналов, характеризуемых
средними, эти функции во многом играют такую же роль, как
описанные в предыдущих главах частотные и временные для
обычных сигналов. Большая часть главы была посвящена при-
мерам, иллюстрирующим свойства корреляционных функций и
спектров мощности, начиная от периодических процессов, для
которых средние на длительном временном интервале могут быть
вычислены непосредственно, и кончая более интересными слу-
чаями, в которых различного рода информация о средних,
например, распределения вероятностей, используется для опре-
деления требуемых корреляционных функций. В конце главы
показано, каким образом описанные средние можно сочетать
с идеями фильтрации, отсчетов, модуляции и других подобных
операций применительно к разработке современных систем связи.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 19
Задача 19.1
На основе децимального представления числа л — 3,141592653 ... можно создать
процесс, как показано на рис. 19.17,
11 Сиберт У. М., Я. 2
330
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
Рис. 19.17.
а) Процесс хт (t) образован из х (f) в
соответствии с правилом
хг (0 =
x(f),
0,
Р1<Г,
И>г.
Рассмотрите в общих чертах форму Хт (f) при Т -> оо. (Не пытайтесь вычислить
Хт (!'))
б) Имеет ли смысл считать х (f) «случайным» процессом и в каких случаях?
Предложите конкретные примеры, где х (f) удобно представить в виде «случай-
ного» процесса. При подготовке ответа целесообразно воспользоваться следу-
ющими данными (результаты для целых чисел, отличных от 4, аналогичны);
Относительная частота, с которой встречается число 4 в значении л —
Позиция	_ Количество	четверок в позициях		Отн. частота
	Отн. частота	N	Позиция	
1—50	0,080		251—300	0,180
51 — 100	0,120		301—350	0,080
101—150	0,100		351—400	0,120
151—200	0,140		401—450	0,020
201—250	0,120		451—500	0,100
Задача 19.2
а)	Используя правило инвариантности во времени, докажите, что Rx (т) =
= (х (7) х (t— т)) — четная функция для действительной функции х (t). т. е.
Rx (-Т) = Rx (т).
б)	Используя различные правила применительно к среднему ([>:(/) ±
± х (t — т) Р), докажите, что Rx (0) > ±RX (т), т. е. Rx (0) > | Rx (т) |. При
этом х (/) считать действительной функцией.
Задача 19.3
Действительный случайный сигнал х (1) имеет автокорреляционную функцию
„ , .	, ... ,,	.. sin2nlFT
(т) = (х (/) х (/— т)) =, —оо<Т<оо.
а)	Чему равна постоянная составляющая (х (t)) для х (1)?
б)	Чему равна полная средняя мощность (х2 (1)) для х (1)?
в)	х (/) пропускается через ЛИВ-фильтр с частотной характеристикой;
Н(П =
—0</<Ц7/4,
/, —И7/4</<0,
0, |/|>^/4.
Задачи к главе 19
331
Чему равна полная средняя мощность на выходе фильтра?
г)	Чему равна выходная спектральная плотность мощности.
Задача 19.4
Пусть х (1) — действительный случайный сигнал со следующими параметрами:
<* (0) = О,
СО
(x(0x(/-t)) = «,(T)= j Sx(f)e^df.
Предположим, что Нг (J) и Н2 (f) — частотные характеристики ЛИВ-системы
изображенной иа рис. 19.18
Рис. 19.18.
а)	Найдите выражение для Syz (f) — преобразования Фурье для взаимно
корреляционной функции Ryz (т) = {у (т) z (7 — т)) через Sx (/), Нг (J) и Н2 (Л-
б)	Предположите, что х (i) — белый шум и, следовательно, Sx (f) — по-
стоянная. Найдите нетривиальные импульсные характеристики hr (?) и h2 (/),
при которых Ryz (т) = 0 для всех значений т.
Задача 19.5
На рис. 19.19 изображены три последовательно включенные ЛИВ-системы. При
Н (/) = .	~ 1.
найдите импульсную характеристику g (t) (не обязательно единственной) устой-
чивой каузальной системы, для которой (г (1) z (t — т)) == (х (1) х (t — т)) для
всех т.
Рис. 19.19. —задержка (в секундах) в идеальной линии.
11*
332
Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
Задача 19.6
Какой из процессов, показанных на рис. 19.20, может быть автокорреляционной
функцией?
Рис. 19.20.
Задача 19.7
Изображенная на рис. 19.21 ЛИВ-система имеет следующую импульсную ха-
рактеристику;
h (f) = 6 (0 — 2е~‘и (/).
Найдите {у (/)) И Rv (т) = (у (t) у (t — т)), если Rx (т) = (х (/) х (t — т)) =
= е~ IхI.
Рис. 19.21.
Задача 19.8
а)	Покажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы мощ-
ность суммы двух случайных сигналов равнялась сумме их мощностей, или
<[^(0 + 1/(0]3> = (^(0> + (1/2 (0),
является {х (/) у (/)) = 0.
Задачи к главе 19
333
б)	Пусть х (0 и у (0—периодические функции с несоразмерными перио-
дами (TJTy — иррациональное число).
1. Докажите, что (х (0 у (0) = (х (0) {у (0).
2. При условии, что либо (х (t)) = 0, либо (у (0) = 0 (или оба средних
равны нулю), покажите, что
<0 (t) + у (ОЗ2) = (0> + (у2 (0>-
Задача 19.9
а)	Покажите, что х (i) и х (t — а) имеют одну и ту же автокорреляционную
функцию, которая не зависит от а.
б)	Опишите формулой или рисунком по крайней мере еще один процесс
(но не просто задержанный вариант), который имеет ту же автокорреляционную
функцию, что и показанная на рис. 19.2 прямоугольная волна при Д = 772.
Задача 19.10
На вход ЛИВ-системы, изображенной на рис, 19.22, поступает белый шум,
Rx W =	(т). Покажите, что
RxV W = <* (О У V + т)> = N h W-
Рис. 19.22.
Указанная схема иногда используется для экспериментального определения
h (f). В частности, она применяется в том случае, когда входной сигнал иссле-
дуемой системы можно наблюдать, но нельзя отключить и если в интересующем
частотном диапазоне его можно аппроксимировать белым шумом.
Задача 19.11
Принимаемый сигнал г (0 в системе связи состоит из суммы сложного сигнала
s (t) и независимого шума п (0:
г (t) = s (0 + п (0.
Автокорреляционные функции для сигналов s (0 и п (0 равны соответственно
Rs (т) и Rn (т). С целью снижения уровня шумов предлагается пропустить сиг-
нал г (0 через ЛИВ-систему, импульсная характеристика h (0 которой выби-
рается таким образом, чтобы минимизировать средний квадрат разности между
г (0 * h (t) и s (0.
а)	Докажите, что эквивалентным способом описания ЛИВ-системы является
Д (/) (частотная характеристика, соответствующая h (0), такая что миними-
зирует
СО
* = j [Ss (/) I я(Л-112 + Sn (/) I H(J) p] df,
»co
где Ss (/) и Sn (f) — спектральные плотности мощности соответственно для s (0
и п (0.
б)	Если не существует других ограничений (таких как каузальность *))
J) В случае каузального фильтра проблема становится более сложной и
имеет несколько известных решений — фильтры Винера и Калмана. См., напри-
мер, В. D. О. Anderson and J. В. Moore, Optimal Filtering (Englewood Cliffs,
N. J: Prentice-Hall, 1979).
334 Глава 19. Средние величины и случайные сигналы
для Н (f), то легко показать, что минимальное значение & достигается, если
подынтегральная функция минимизируется для каждой частоты в отдельности.
Дифференцируя
Ss (f) W (7) - 1Р + 5П (7) № (7)
по Н (7) и приравнивая результат нулю, покажите, что оптимальная частотная
характеристика Н (f) имеет вид
" (Г> Ss (7) + Sn (/) •
К
в)	Изобразите Н (f) для Sn (f) = No, Ss (J) = - н нескольких значе-
ний К, таких как No/10, No и 10/Мо.
Задача 19.12
Известно, что напряжение x(t), наблюдаемое в интервале 0 < t < Т, может
состоять или из суммы известного сигнала s (f), 0 < t < Т, и белого шума п (t)
со спектральной плотностью мощности Nq [В2-с], или из одного белого шума
п (t). Чтобы определить, какая из указанных ситуаций более вероятна для кон-
кретного напряжения х (t), предлагается пропустить х (f) через соответствующую
ЛИВ-систему и произвести отсчет выходного сигнала у (t) при t = Т. Если у (Т)
превышает некоторый порог, то считается, что сигнал s (t) имеется в наличии,
в противном случае — отсутствует. Можно доказать, что при выборе ЛИВ-си-
стемы с соответствующей импульсной характеристикой h (/), на ее выходе будет
получено максимальное значение s (t) при t = Т и минимальный средний уро-
вень шума. Определим, в частности, h (t), соответствующую максимальному отно-
шению сигнал/шум
(т	\ 2
f s (т) h (Т — т) dt |
_________о_________________
N	т
Wo j h2 (t) dt
о
_	(Отклик на s (/) при t = Т)2
— Среднеквадратичное значение выходного шума "
а)	Используя неравенство Шварца (приложение к гл. 14), покажите, что
S	Е
N	Мо ’
т
где Е — | s2 (1) dt. Покажите также, что максимальное отношение сигнал/шум
0
достигается при фильтре с h (t) ~ s (Т — /), который называется согласованным
фильтром для s (/),
б)	Нарисуйте частотную характеристику согласованного фильтра h (/) =
= s (Т — t) и сигнальную компоненту s (/) *h (t) на его выходе для s (/), изобра-
женных на рис. 19.23.
|5(Н
т
t
ks(t)
Рис. 19.23.
Задачи к главе 19
335
Задача 19.13
Конденсатор с воздушным диэлектриком, имеющий подвижную пластину, может
вести себя как тепловой двигатель, если резисторы находятся в тепловом равно-
весии с тепловыми резервуарами при двух температурах, Тц и Т < Тн.
. Рис. 19.24.
а)	Сила притяжения между параллельными пластинами конденсатора, когда
пластины находятся на фиксированном расстоянии х и несут заряд q, равна
1 2Сх ’
где С — емкость конденсатора при данном воздушном промежутке. Используя
способ, аналогичный описанному в примере 19.3.4, покажите, что
когда показанный на схеме переключатель находится в любом из двух положе-
ний, а Т — температура соответствующего резистора.
б)	Предположим, что переключатель соединен с более теплым резистором,
а пластины медленно сближаются от начального расстояния х2 до конечного
расстояния x2<Xj. Найдите механическую работу, совершаемую относительно
внешней среды в течение этого сближения. Ее приближенное значение равно
оит = J dx.
xt
в)	Покажите, что средняя энергия, запасенная в конденсаторе, сохраняется
неизменной и равной кТн!2 в процессе сближения пластин. Следовательно,
работа, совершаемая за счет накопленной энергии №оит, должна быть равна
энергии, имеющейся в тепловом резервуаре.
г)	Предположим, что переключатель теперь соединен с более холодным ре-
зистором, и за счет внешней механической работы пластины медленно раздви-
гаются от х2 до начального расстояния х2. Найдите механическую работу, совер-
шаемую при таком удалении пластин. Ее приближенное значение равно
J (f>dx.
х,
д)	Покажите, что КПД данного двигателя
Полная совершаемая работа	_ W qut— Win
— Энергия, отдаваемая более теплым резервуаром	W оцт
определяется выражением
Эта эффективность Карно является пределом для любого циклического тепло-
вого двигателя, работающего с тепловыми резервуарами указанной температуры.
20
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
20.0. Введение
Современные системы связи отличаются от традиционных двумя
существенными особенностями.
1. Подлежащее передаче сообщение обычно состоит из после-
довательности дискретных символов, выбираемых из конечного
алфавита, в отличие от процесса, который представляет собой
непрерывную ограниченную функцию непрерывного времени.Такое
представление сообщения вполне естественно, если оно имеет
форму письменного текста, цифровых данных или машинного
кода. Если же исходное сообщение является речью, музыкой или
изображением, то (как было описано в гл. 14) к нему необходимо
применить процесс дискретизации (преобразование из непрерыв-
ного времени в дискретное) и определенный вид квантования
(например, заменить непрерывный диапазон амплитуд конечным
рядом дискретных уровней). Представление основного сообщения
в форме дискретной последовательности символов из конечного
алфавита имеет следующие преимущества:
а)	делает возможной унификацию модуляторов и демодуля-
торов (модемов) и каналов независимо от характера передаваемого
сообщения (речь, изображение, данные и т. п.);
б)	позволяет легко манипулировать дискретной информацион-
ной последовательностью с целью использования кодов, исправ-
ляющих ошибки, засекречивания информации, уплотнения и т. п.,
сохраняя при этом базовую форму сообщения;
в)	позволяет восстанавливать форму сигналов в транслято-
рах, благодаря чему ошибки и шумы не накапливаются при
большом количестве последовательных операций.
2. Процесс модуляции обычно характеризуется абстрактно
как установление соответствия между определенными последова-
тельностями символов (определенными «словами») и определен-
ными сигналами. Даже если исходное сообщение имеет аналого-
вую форму, передаваемый в действительности сигнал не обяза-
тельно должен быть похожим на него. Напротив, длительность,
полосу и другие характеристики передаваемого сигнала выбирают
20.1. Дискретизация и квантованяе
337
таким образом, чтобы обеспечить согласование с имеющимся
каналом и уменьшить эффект от воздействия шумов, помех и
искажений.
Цель данной последней главы состоит в том, чтобы проиллю-
стрировать на конкретных примерах характерные свойства со-
временных систем связи, показав при этом, каким образом можно
успешно применять средства и методы, описанные в предыдущих
главах.
20.1. Дискретизация и квантование
На рис. 20.1 показан простой пример «процесса дискретизации
и квантования, который в целом получил название цифрового
Рис. 20.1. Дискретизация и квантование: а — полоса-IT; б — отсчеты х (б;
в—-последовательность квантованных отсчетов; г—последовательность отсче-
тов ошибки квантования; д — восстановленный сигнал; е — ошибка квантова-
ния е (/) = х (t) — Я (б-
преобразования. На рис. 20.1, а изображен исходный сигнал х (t).
Если х (/) ограничен по полосе, т. е. X (/) = 0 при | f | > W,
то отсчеты, производимые с частотой 2W7 отсчет/сек., полностью
определяют х (t), как показано на рис. 20.1, б. Отсчеты в полу-
чаются из б заменой истинной высоты отсчета ближайшим целым
числом п, формируемым с равномерным шагом квантования Д.
На рис. 20.1, г показана ошибка квантования отсчетов; ее ам-
338
Глава 20. Современные системы связи
плитуда спонтанно флуктуирует между крайними значениями
±Д/2. Когда в конце концов непрерывный сигнал к (/) восста-
новлен из квантованных отсчетов, он отличается от исходного
сигнала х (t) на величину ошибки квантования. На рис. 20.1, е
показан сигнал ошибки квантования е (/), восстановленный из
последовательности отсчетов ошибки квантования г. Если число
используемых уровней достаточно велико (скажем, больше 10),
то свойства е (/) практически не зависят от х (/). Соседние отсчеты
ошибки при этом почти не связаны друг с другом и распределены
равномерно в интервале от —Д/2 до + Д/2. Если е (/) восстанавли-
вается акустически, то он звучит как шипение или шум. Что
касается сигнала Х(/), то он по звучанию похож на исходный
сигнал х (0, но к нему добавляется фоновый шум (вернее, вычи-
тается, но е (/) и —е (0 имеют одинаковые статистические свой-
ства), поскольку
j£(0 = х(0 —е (0.	(20.1.1)
Пример 20.1.1
Для последующего использования полезно оценить величину
(е2 (0) — среднюю мощность шума квантования. Представляется
резонным (при необходимости это можно доказать и теорети-
чески 1), что (е2 (0) должна быть равна среднему от квадрата
квантованных ошибок отсчетов
я
ЙТ, 2 e‘G£r).	(20.1.2)
n=—N
Если предположить, что е (n/2W) равномерно распределена
в диапазоне от —Д/2 до + Д/2, то Кри больших N можно ожидать,
что (2/V + 1) бе/Д отсчетов ошибки будут находиться в интервале
—Д/2 <е(и/2Ц7) <—Д/2 + бе, такое же число отсчетов —
в интервале —Д/2 + бе < e,(n/2W) < —Д/2 + 2бе и т. д. Сле-
довательно,
ЙГ+Т 2 е’(^)«-2«тг[(-4)!<2Л' + 1)т +
п=—N
+ (_A + 6ey(2/v + i)_^ +
+ (-A + 26e)2(2/V+l)-^ +
х) Простейшее доказательство основано на разложении ограниченной по
.	.	/Ал,	sin 2л W (t — n/2W) .
полосе функции е (г) по функциям ——	'--тцттгН (как в теореме отсчетов
ZJT w (t — ГЬ/2,w р
гл. 14) и использовании ортогональности этих функций (см. задачу 13.18).
20.1. Дискретизация и квантование
339
+ (4-)’<2ЛГ+1)-г]«-
так что
<е2(0) = 4г-	(20-1.3)
* * *
Влияние шума квантования зависит от характера исходного
сигнала и назначения системы связи. Тридцать два уровня счи-
таются достаточными для передачи речи с качеством, удовлетво-
рительным для большинства применений. Тем не менее речь
сохраняет разборчивость даже при двух уровнях (<0 и >0),
и такая «клиппированная» речь имеет в отношении разборчивости
даже некоторые преимущества, особенно в таких зашумленных
помещениях, как салон такси или кабина самолета. С другой сто-
роны, для высококачественного воспроизведения музыки необ-
ходимо использовать не менее 128 уровней. Квантование изобра-
жений выдвигает свои проблемы. Глаз имеет повышенную чув-
ствительность к границам участков с одинаковыми уровнями
квантования, например, при передаче таких изображений, как
небо, где яркость меняется плавно. Уменьшить нежелательное
влияние таких границ можно, например, путем введения в кван-
туемое изображение небольшого по уровню случайного шума —
«снега». При этом полная ошибка квантования увеличивается
раза в два, но визуальное восприятие может улучшиться в ре-
зультате расплывания границ.
Необходимо отметить, что процесс квантования в принципе
не требует равномерного распределения уровней квантования.
При заданном числе уровней качество процесса квантования
можно во многих случаях значительно повысить, если располагать
уровни теснее в тех амплитудных диапазонах, которые пред-
ставляются более важными. Еще более существенным является то,
что процесс дискретизации и квантования не обязательно должен
производиться непосредственно по отношению к исходному сиг-
налу. Для передачи сигнала с заданным качеством, как правило,
необходимо минимизировать число символов за секунду1). Этого
х) Большое значение имеет и объем алфавита, из которого выбираются
символы. Для сравнения различных систем удобно свести последовательность
символов к эквивалентным последовательностям двоичных чисел 0 или 1. Так,
устройство квантования, использующее 26 = 32 уровня на один отсчет, требует
для кодирования сигнала 5 двоичных чисел (битов) на один отсчет.
340
Глава 20. Современные системы связи
во многих случаях можно достичь, манипулируя преобразова-
ниями исходных сигналов или используя способы, которые трудно
охарактеризовать как дискретизацию и квантование. Процессы
такого типа получили наибольшее распространение в обработке
речевых сигналов. Так, например, эффективным средством пре-
образования речевого сигнала в цифровую форму является дельта-
Двоичный сигнал
t 101 100001001 I 101 10
Рнс. 20.2. Дельта-модуляция.
модуляцияг), которая иллюстрируется рис. 20.2. В каждый
момент отсчета речевой сигнал сравнивается с пилообразным
напряжением. Если отсчет речевого сигнала превышает по ам-
плитуде пилообразное напряжение, то последнее нарастает до
следующего интервала квантования, в противном случае оно
спадает. В простейшей системе наклон пилообразного напря-
жения сохраняется неизменным на всем протяжении процесса.
Описывающий речь бинарный сигнал можно рассматривать как
производную от пилообразного напряжения. Выбирая достаточно
малым значение б, можно получить любую заданную точность
представления сигнала. Преимущество дельта-модуляции по срав-
нению, например, с КИМ (см. гл. 14), которая также образует
описывающий речь бинарный сигнал, заключается не столько
в реализуемой точности при заданной частоте следования, сколько
в простоте реализации. Пилообразное напряжение можно вос-
становить из бинарного сигнала путем интегрирования, а более
гладкая аппроксимация достигается последующим пропусканием
J) Способ линейной дельта-модуляции был изобретен Е. М. Делорайном,
С. Ван-Миеро и Б. Дерьявичем (патент Франции 932140, август 1946 г.). См.
также статью F. DeJager, Philips Research Report, 7 (Dec. 1952): 442—446 и
более позднюю книгу R. Steele, Delta Modulation Systems (New York, NY: John
Wiley, 1975).
20.2. Коды с исправлением ошибок
341
сигнала через фильтр нижних частот. Скорость передачи чисел,
необходимую для получения заданного качества, можно значи-
тельно уменьшить, используя такие более сложные способы
цифрового преобразования речевого сигнала, как вокодеры или
линейное кодирование с предсказанием 1).
20.2. Коды с исправлением ошибок
В результате замены сигнала с непрерывно изменяющейся ампли-
тудой последовательностью дискретных символов из конечного
алфавита происходит невосполнимая потеря информации. Об-
условленные процессом квантования шум или ошибка могут быть
уменьшены лишь более плотным расположением уровней кванто-
вания (или их эквивалентов) с соответствующим удлинением
последовательности символов или увеличением размера алфавита,
из которого выбираются символы. При конечных длинах после-
довательностей и конечном алфавите ошибка квантования в об-
щем случае не может быть равна нулю. Таким образом, шум
квантования устанавливает верхнюю границу качества для си-
стемы связи. Влияние ошибок квантования сохраняется даже в том
случае, если последовательность символов воспроизводится при-
емником с абсолютной точностью.
Вообще говоря, различные виды шумов и помех в системе связи
препятствуют идеальному воспроизведению передаваемой после-
довательности символов в приемном устройстве. Однако в отли-
чие от шумов квантования ошибки передачи можно в ряде случаев
уменьшить или даже вообще устранить при помощи соответству-
ющих аппаратных средств. Для сообщений, в исходном виде
представленных последовательностью дискретных символов, та-
кого рода ошибки являются единственными.
Пример 20.2.1
Один из способов уменьшения ошибок состоит в том, что в после-
довательность символов сообщения вводят дополнительные сим-
волы, полученные из исходной последовательности. Эти символы
могут быть использованы как контрольные числа для обнаруже-
ния или даже исправления ошибок. Рассмотрим в качестве при-
мера следующий простой метод проверки на четность. Предполо-
жим, что сообщение преобразовано в последовательность двоичных
чисел 0 и 1. Разобьем сообщение на блоки из четырех последова-
тельных чисел и поместим между каждыми двумя блоками блок
из трех контрольных чисел, полученных из предыдущих четырех,
г) См., например, R. W. Schafer and L. R. Rabiner, Proc. IEEE, 63, 4 (Apr.
1975): 662—667.
342
Глава 20. Современные системы связи
Слово
а
-- б
б
Ошибка
Ошибка
о
о I I —►о	0 1 о-»Х
о I । —••в о ।	I—*0
о I ।----►« о о ।------>
о о I —►!
о о	I —»|
о I ।------»-о
t	t
Рис. 20.3. Код с исправлением ошибок: контрольные числа равны 0 при четном
количестве единиц и 1 — при нечетном количестве единиц; а — исходное сооб-
щение; б — передаваемое сообщение; в — получение контрольных чисел; г —
принимаемое сообщение; д — проверка контрольных чисел; е — проверка сбоев;
ж — предполагаемые положения ошибок.
как показано на рис. 20.3. Передадим всю последовательность,
которая состоит из сообщения, перемежающегося с контрольными
числами. Под действием шумов или помех в канале последова-
тельность воспроизводимых приемником чисел может содержать
редкие ошибки — 0 превращается в 1, и наоборот. В данном
примере ошибки возникли в четвертом разряде первого 7-разряд-
ного блока и в пятом разряде второго 7-разрядного блока. Если
ошибки встречаются настолько редко, что с высокой степенью
вероятности в одном 7-разрядном блоке появляется не более
одной ошибки, то для их обнаружения и исправления можно
использовать контрольные числа. Так, в первом 7-разрядном
блоке после вычисления контрольных чисел можно утверждать,
что ошибки в сообщении отсутствуют, если вторая и третья про-
верки на четность дали отрицательный результат. В том случае,
когда существует лишь одна ошибка на блок, этот результат
может иметь место, если ошибка произошла в четвертом разряде.
Аналогично, во втором 7-разрядном блоке отрицательный ре-
зультат первой же проверки на четность означает, что ошибка
произошла в пятом разряде (первое контрольное число). В третьем
7-разрядном блоке ошибки отсутствуют и поэтому все проверки
на четность дают правильный результат. Вы можете без труда
разработать правила для исправления всех одиночных ошибок,
20.3. Модуляция и детектирование
343
а также описать работу системы, если в 7-разрядном блоке воз-
никает более одной ошибки.
* * *
Вообще говоря, проблема кодирования в теории информации
состоит в разработке способа, когда каждому слову исходного
сообщения длиной N ставится в соответствие кодовое слово длиной
М > N, которое и используется для передачи данных. В идеаль-
ном случае это осуществляется таким образом, чтобы свести
к минимуму воздействие ошибок, вносимых конкретными кана-
лами. Как это ни удивительно, но из доказанной Клодом Шенно-
ном х) ключевой теоремы следует, что если отношение N/М меньше
некоторой критической неотрицательной величины, которая на-
зывается пропускной способностью канала, то влияние ошибок
в канале можно сделать сколь угодно малым, по крайней мере
при большой длине слов М и Л\ Конечно, в случае длинных слов
возникают серьезные проблемы, касающиеся объема требуемой
памяти, задержки и сложности вычислений, поэтому на практике
используются компромиссные решения. Интересно, что в прин-
ципе малый уровень ошибок может быть достигнут без снижения
скорости передачи информации. Эта область техники была по-
дробно исследована в последние десятилетия, результатом чего
явилось множество остроумных и эффективных способов коди-
рования.
20.3. Модуляция и детектирование
В большинстве систем связи последовательность символов, полу-
ченная после преобразования в цифровую форму и кодирования,
преобразуется в аналоговый сигнал, параметры которого согласо-
ваны с каналом. Так, например, в системах радиосвязи спектр
передаваемого сигнала должен находиться в пределах полосы
выделенного канала. В принципе преобразование последователь-
ности в сигнал можно осуществить произвольным образом. Так,
мы можем подготовить «кодовую книгу», которая будет содержать
все возможные последовательности слов с некоторой заданной
длиной М и описывать для каждой последовательности форму
передаваемого сигнала. В этом случае приемник должен сравнить
принимаемый сигнал, искаженный помехами в канале, с сигна-
лом, описанным в копии «кодовой книги», выбрать наиболее
близкий к принимаемому и выдать сообщение о соответствующей
последовательности. Используемые в этом способе сигналы никак
аналитически не связаны с последовательностями, которые они
представляют, и не имеют ничего общего с аналоговыми сигна-
т) С. Shannon, Bell Sys. Tech. J., 27 (1948): 379, 623.
344
Глава 20. Современные системы связи
лами, из которых первоначально были получены кодовые после-
довательности. Тем не менее гораздо удобнее создать систему,
где сигналы могут быть получены из каждой последовательности
при помощи простого алгоритма. Очевидно, что качество системы
повысится, если выбрать сигналы не произвольно, а таким обра-
зом, чтобы они максимально отличались друг от друга.
В данном разделе мы проведем поверхностный количественный
анализ для трех различных алгоритмов, устанавливающих соот-
ветствие между кодовыми словами и сигналами. К ним относятся
описанные в гл. 14 КИМ и ФИМ, а также непосредственное пре-
образование квантованного отсчета в амплитуду импульса, кото-
рое можно назвать амплитудно- импульсной модуляцией (АИМ).
Как будет показано ниже, первые два способа по сравнению
с АИМ требуют более широкой полосы при передаче информации
с той же скоростью, но зато они обеспечивают гораздо меньшую
частоту ошибок. Оценка выигрыша в качестве за счет более широ-
кой полосы является одним из важных аспектов современной
теории передачи информации.
20.3.1. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)
Для каждой из следующих систем предположим, что основное
кодовое сообщение представляет собой последовательность двоич-
ных чисел, передаваемых со скоростью один двоичный разряд
каждые Т секунд. Чтобы иметь общую базу для сравнения, пред-
положим, что каждая из систем использует трехразрядные числа
в качестве одиночных слов. Таким образом, всего имеется 23 = 8
возможных слов. В описываемых системах каждому из 8 слов
ставится в соответствие отдельный сигнал длительностью ЗТ се-
кунд. В случае АИМ указанные 8 сигналов имеют форму импуль-
сов с длительностью ЗТ и восемью различными амплитудами,
как показано на рис. 20.4. Максимальная амплитуда равна А,
минимальная — 0, а остальные амплитуды равномерно распре-
делены как кратные величине А/7. Предположим, что показанный
на рисунке сигнал s (/) непосредственно передается по каналу,
хотя на практике он должен быть пропущен через фильтр или
сглажен с целью уменьшения уровня боковых лепестков в спектре,
а затем им модулируется несущая. Спектр передаваемого сигнала
АИМ имеет ширину 1/ЗТ, обратно пропорциональную длитель-
ности импульса. Если предположить, что восемь уровней равно-
вероятны, то нетрудно доказать, что средняя мощность передава-
емого АИМ-сигнала равна Рср = 0,36 А2.
Предполагается, что напряжение на входе приемника пред-
ставляет собой передаваемый сигнал s (/) с уменьшенной ампли-
тудой (из-за ослабления в канале) и искаженный аддитивными
помехами или шумами п (t). (Помехи обусловлены в основном
20.3. Модуляция и детектирование
345
ж
3
(Ошибка) Ошибка
I	‘ I
О I I О I О I I
Рис. 20.4. Колебания в случае амплитудно-импульсной модуляции: а — инфор-
мационная последовательность; б—.передаваемый сигнал s(/); в—аддитивный
шум канала п (t); г — принимаемое колебание s (t) -|~ п (t); д — выход согласо-
ванного фильтра sr (<) -|- пг (<); е — выход устройства дискретизации; ж —
решение; з — выходная последовательность (задержанная на интервал одного
слова).
воздействиями других каналов, а также тепловыми и дробовыми
шумами, которые возникают во входных усилительных каскадах
приемника. Следует отметить, что реальные каналы не обяза-
тельно должны быть линейными, поэтому и помехи не всегда
являются аддитивными.) Для простоты будем считать, что п (/) —
белый шум с постоянной спектральной плотностью мощности tV0
ватт X герц и что ослабление в канале отсутствует. (В противном
случае мы можем ввести в мощность шума поправочный коэффи-
346
Глава 20. Современные системы связи
циент, соответствующий ослаблению в канале. При этом рассчи-
тывается отношение мощности сигнала к мощности шума в после-
дующих каскадах приемника.)
Чтобы восстановить кодовую последовательность сообщения,
приемник вначале должен проинтегрировать или усреднить при-
нимаемый сигнал s (0 + п (t) в течение каждого импульсного
интервала ЗТ. Это сводит к минимуму влияние шумов. Анало-
гичную операцию усреднения можно выполнить с помощью по-
казанного на рис. 20.5 согласованного фильтра (см. за-
Рис. 20.5. Приемник АИМ-сигнала с согласованным фильтром.
дачу 19.12). Отклик согласованного фильтра sr (/) на полезный
сигнал s (/) в принимаемом колебании представляет собой сумму
треугольников, показанных пунктирными линиями на временной
диаграмме рис. 20.4, д. Согласно изложенной в гл. 19 методике,
среднеквадратичное значение шумового отклика согласованного
фильтра приемника nr (I) на шумовую составляющую входного
колебания п (t) равна
СО
{п2 (ф = No J /Т (0 dt =	.	(20.3.1)
Таким образом, величина каждой выборки на выходе стробиру-
ющего устройства (рис. 20.5) состоит из суммы напряжения,
равного амплитуде сигнала за предыдущие ЗТ секунд, т. е. А/7,
2А/7, ... 7А/7, и напряжения шума со среднеквадратичным зна-
чением )/"N0/3T. Для того чтобы принимаемое решение о том,
какой уровень был передан в предыдущем интервале, имело
высокую достоверность (низкую частоту ошибок), среднеквадра-
тичное значение шума должно быть мало по сравнению с раз-
ностью между уровнями
/^«4	<20-3-2)
или, при условии 0,36 А2 = Рср (средняя мощность передава-
емого сигнала),
>4" 0,36 = 5,88.	(20.3.3)
20.3. Модуляция и детектирование
347
Это соотношение характеризует мощность передаваемого сигнала
и/или скорость, с которой данная система может передавать
двоичную информацию при заданной мощности.
20.3.2. Кодово-импульсная модуляция (КИМ)
Различие между КИМ и АИМ в рассматриваемом контексте пока-
зано на рис. 20.6. Каждое двоичное число передается в отдель-
а | О О I | I о I | О I I | I I 1 |
е
О О I | I О I | О I О | I I I
Ошибка
Рис. 20.6. Колебания в случае кодово-импульсной модуляции: а — информа-
ционная последовательность; б — передаваемый сигнал s ((); в — аддитивный
шум канала п (?); г — принимаемое колебание s (f) -f- п (/); д — выход согласо-
ванного фильтра sr (f) + nr (/); е — выход устройства дискретизации; ж — вы-
ходная последовательность (задержанная на интервал одного символа).
348 Глава 20. Современные системы связи
ности: 1 — импульсом с длительностью Т и амплитудой В, а 0 —
отсутствием импульса. Если 0 и 1 равновероятны; то средняя
мощность передаваемого сигнала равна Pcv = 0,5В2, а его по-
лоса — около 1/Т. Следовательно, КИМ-сигнал занимает в 3 раза
более широкую полосу по сравнению с АИМ-сигналом, что яв-
ляется его серьезным недостатком.
Приемник системы КИМ аналогичен приемнику для АИМ-сиг-
нала с тем отличием, что его согласованный фильтр или усредня-
ющее устройство должно иметь импульсную характеристику втрое
меньшей длительности и в 3 раза более широкую полосу про-
| л( И
у------	Рис. 20.7. Согласованный фильтр для КИМ-сиг-
нала.
пускания, как показано на рис. 20.7. В результате среднеквадра-
тичное значение шумов на выходе приемника в 3 раза выше по
сравнению со значением для АИМ-приемника, вычисленным по
формуле (20.3.1):
(я2(0> = Лб-.	(20.3.4)
Это также является существенным недостатком КИМ-сигнала.
Однако разность между уровнями сигнала на выходе устройства
выборки в КИМ-приемнике равна максимальной амплитуде сиг-
нала В, а не 1/7 амплитуды, как в АИМ-системе. Благодаря этому
с лихвой компенсируется повышенный уровень выходных шумов,
поскольку для достижения малой вероятности ошибок в КИМ-си-
стеме требуется
« В	(20.3.5)
или, полагая 0,5В2 = Рср,
--У- » 0,5.	(20.3.6)
При одной и той же заданной вероятности ошибок КИМ-си-
стема может иметь в 10 раз меньшую мощность сигнала по сравне-
нию с АИМ1). При равных мощностях КИМ-система имеет го-
х) Это не совсем справедливо. Для получения такого же результата, как
при правильном распознавании одного уровня АИМ, необходимо правильно
принять три КИМ-числа. С другой стороны, величина ошибки в АИМ может
иметь гораздо худшие последствия, чем ошибка в одном двоичном разряде вы-
ходной последовательности (хотя можно предложить преобразование кода
в уровни, так называемый код Грея, где соседние уровни отличаются всего лишь
одним двоичным разрядом). Для точного сравнения необходим более сложный
анализ, однако для малых вероятностей ошибки эти уточнения сказываются
незначительно.
20.3. Модуляция и детектирование
349
раздо лучшие технические характеристики. Таким образом, мы
видим, как полоса пропускания обменивается на отношение сиг-
нал/шум. Этот важный принцип современной теории связи поз-
воляет объяснить многие сложные явления, например преиму-
щества ЧМ над AM.
20.3.3 Фазоимпульсная модуляция (ФИМ)
Принцип работы ФИМ-системы показан на рис. 20.8. По своим
техническим характеристикам она превосходит только что pac-
er | о о I | i о I | о I I | I I I |
(Ошибка)
Ошибка
Рис. 20.8. Колебания в случае фазоимпульсной модуляции: а — информацион-
ная последовательность; б—передаваемый сигнал s (7); в—аддитивный шум
канала п (7); г—принимаемое колебание s (/) + я (0;	—выход согласован-
ного фильтра sr (t) -J- nr (f); e — выход устройства дискретизации; ж — реше-
ние; з — выходная последовательность (задержанная на интервал одного слова).
350
Глава 20. Современные системы связи
смотренную КИМ-систему, но этот выигрыш достигается слишком
высокой ценой — расширением полосы пропускания. В каждом
интервале длительностью ЗТ передается один импульс с фикси-
рованной амплитудой, но его длительность составляет всего 3778
и он находится в одном из 8 временных положений. Таким обра-
зом, полоса указанного сигнала равна около 8/ЗТ или в 8 раз
больше полосы АИМ и в 2,7 раз больше полосы КИМ. Средняя
мощность сигнала составляет Рср = 0,125С2.
8/37 -1
Рис. 20.9. Согласованный фильтр для ФИМ-сиг-
нала.
37/8
Длительность импульсной характеристики согласованного
фильтра необходимо установить как показано на рис. 20.9. Тогда
среднеквадратичное значение выходного шума равно
(п2(0> =4^-»	(20.3.7)
07
что намного больше по сравнению с КИМ или АИМ. Однако при
этом значительно больше и разность между уровнями сигналов.
Для достижения низкой частоты ошибок необходимо г)
« С	(20.3.8)
или, полагая 0,125С2 = Рср,
-Р™Т- » 0,33.	(20.3.9)
Следовательно, ФИМ-система обеспечивает такое же качество,
как КИМ при сниженной на 1/3 средней мощности сигнала, но
полоса в этом случае расширяется в три раза. Таким образом,
в смысле обмена полосы на отношение сигнал/шум, ФИМ-система
уступает в эффективности КИМ-системе.
20.4. Выводы
Характерной особенностью современных систем связи является
то, что они преобразуют входные сигналы в последовательность
стандартных дискретных символов. Если на вход подаются ана-
логовые сигналы с непрерывным диапазоном амплитуд, то процесс
дискретизации вносит некоторую ошибку. Однако при этом
достигаются более важные преимущества — такие как гибкость
1) И вновь это утверждение не совсем точно, поскольку для исключения
ошибки амплитуда сигнала в соответствующей позиции должна превышать уро-
вень шума во всех других позициях, а всего анализируются 7 позиций. Однако
эффект от этого уточнения незначителен.
20.4. Выводы
351
и возможность управления уровнем ошибок, вносимых шумами
или помехами в канале.
Так, воздействие шумов можно уменьшить, если расширить
спектр сигнала, с тем чтобы он занимал большую полосу. Эффек-
тивность этого метода была показана на расширенном примере
путем сравнения трех различных импульсных систем передачи
информации — АИМ, КИМ и ФИМ. Возможность обмена ширины
полосы на отношение сигнал/шум иллюстрируется тем, что число
существенно различающихся сигналов с заданными энергией
и длительностью увеличивается пропорционально имеющейся
в распоряжении полосы пропускания. Таким путем, в частности,
можно интерпретировать приведенное в гл. 14 утверждение о том,
что сигнал имеет 2TW «степеней свободы», т. е. существуют около
2TW ортогональных функций с длительностью Т и полосой W.
Все три типа систем связи, описанные в разд. 20.3, требовали
передачи за ЗТ секунд одного из 8 различных сигналов. Однако
если они выбираются из более широкого спектра частот, то 8 сиг-
налов можно подобрать таким образом, что они будут «дальше
разнесены» или «более непохожи» друг на друга, при этом упро-
стится их распознавание. Аналогично ЧМ (которую можно рас-
сматривать как дуальную в частотно-временной области к ФИМ)
имеет в занимаемой ею полосе весьма специфический сигнал. Этот
сигнал с высокой степенью надежности, или с высоким отноше-
нием сигнал/шум можно отделить от фона.
Однако есть еще другая особенность помимо расширения
полосы и усложнения аппаратуры, которой приходится распла-
чиваться за преимущества ФИМ, КИМ, ЧМ и других подобных
систем. С увеличением уровня шумов (или уменьшением отноше-
ния сигнал/шум) в широкополосных системах наблюдается харак-
терный пороговый эффект. До некоторого критического отношения
сигнал/шум качество системы ухудшается незначительно, а после
этой точки работоспособность широкополосной системы резко
падает. Многие из нас наблюдали такой пороговый эффект, слушая
ЧМ-приемник в автомобиле. При удалении от передатчика переход
от высококачественного звучания к полному шуму порой может
произойти за несколько сотен метров. Ухудшение качества
в АИМ-системе происходит не так резко. В плохих условиях
приема, когда ЧМ-система может полностью отказать, АМ-си-
стема еще частично выполняет свои функции. Если широко-
полосные системы работают, то «они весьма и весьма хороши,
но в плохих условиях они никуда не годятся!» Трудно найти
лучший пример для следующего общего принципа. Усложнение
аппаратуры может дать ощутимые преимущества в условиях,
на которые данная аппаратура рассчитана. Однако она, как пра-
вило, очень критична к этим условиям и сразу же отказывает
при их изменении или недооценке.
эпилог
«Начни с начала и продолжай, пока не дойдешь до конца,
после этого остановись», — так Король Сердец объяснял Белому
Кролику, как читать стихотворение. Подобно стихотворениям,
книги имеют последовательную структуру, свои начало и конец.
Это последний раздел данной книги. Однако теория систем и сиг-
налов, как мы узнали, — это не просто последовательное изло-
жение различных тем. Она содержит многочисленные замкнутые
контуры и разветвления, множество параллельных и пересека-
ющихся путей. Большинство идей связано прямо или косвенно
с многими другими. Не существует простой последовательной
процедуры, с помощью которой можно было бы систематически
изучить и усвоить эту многомерную иерархию. Здесь нет ни
начала, ни конца. Нельзя полностью усвоить одну тему, не ка-
саясь остальных. И поэтому мы должны периодически возвра-
щаться назад, чтобы проанализировать прежние концепции с но-
вой, более выгодной позиции. Если вам пришлось по душе введе-
ние в эту захватывающую область, я надеюсь, что у вас в будущем
будет множество поводов вновь обратиться к книге и пополнить
знания, касающиеся цепей, сигналов и систем.
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОИ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция 173,
212, 307
Амплитудная модуляция 216
---коэффициент полезного действия
227, 246
Амплитудные искажения 177
Аналитический сигнал 236
Андронов А. А. 6
Ансамбль сигналов 302
Антенны, ограничения апертуры, уси-
ления, диаграммы направленности
205, 210
Балансный модулятор 250
Беккенбах Э. 157
Беллман Р. 157
Бесселя неравенство 155
Билинейное преобразование 296
Боде X. В. 178
Боковые полосы 223
Бройль, Луи де 199
Буняковского—Шварца неравенство 157
Бурлинга теорема 251
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
287, 301
Вайнштейн Л. А. 241
Ван-Миеро С. 340
Векторы
— как представление сигналов 151
—	нормированные 151
—	ортогональные 151
—	скалярное произведение 156
Вероятность 303, 315
Взаимно корреляционные функции 320
Вивер Д. К- 252
Винер И. 180, 333
Витт А. А. 6
Вносимые потери 177
Возенкрафт Дж. 143
Время нарастания 179, 193, 198
Выброс 179, 185
Гармонический анализ 74
Гауссовская функция 102, 123, 125
200, 203
Гельфанд И. М. 10
Генератор местный 220
— управляемый напряжением 243, 255
Гетеродинирование 229
Гиббс Дж. В. 187
—	явление 187
Гильберта преобразование 184, 233
Г рама—Шмидта процедура 152
Г рея код 348
Грина метод, функция 22
Групповая задержка 259
Гуд А. Дж. 287
Двустороннее Z-преобразование 266
Девиация частоты 240
Дезоер Ч. 181
Делорайн Е. М. 340
Дельта-модуляция 340
Демодулятор 217
—	детектор произведения 217
Дерьявич Б. 340
Детектор 217
—	гомодинный 217
—	синхронный 217, 227
Децимация 294
Джекобс И. 143
Дирак П. А. М. 11
Дирихле П. Г. 69, 104
—	ядро 186
Дискриминатор 244
Дифференцирующая схема 77
Диффузионное уравнение 46
Длительность 193
Достаточность действительной части
192
Дуальности принцип 100
Дублеты 33
354 Предметно-именной указатель
— преобразование Лапласа 35
Дюамеля интеграл 49
Единичная ступенчатая функция, ин-
теграл от единичного импульса 13
-------преобразование Фурье 111
Заде Л. 181
Задержка 175, 193, 195
— групповая и фазовая 259
Затухания уровень 177
Зеркальный сигнал 231
Зобель 178
Зоммерфельд А. 198
Идеальный усилитель 23
----импульсная характеристика 23
Импульс
— амплитудно-импульсная модуляция
344
— боковые лепестки 209
— кодово-импульсиая модуляция 146,
347
— последовательности 26, 133
— разрешение 206
— системы передачи данных 204
— фазово-импульсная модуляция 145,
349
— формирующий фильтр 145
Импульсная функция 5 и далее
----изменение временной шкалы 14
---- изменение начального состоя-
ния 30
----как производная единичной сту-
пенчатой функции 13
----определяющее свойство 11
----преобразование Лапласа 16
---- производная 36
---- свертка 27
---- свертка последовательности 29
Импульсная характеристика
----БИХ 278
----в качестве РНВ 31
----КИХ 277, 283
Интеграл наложения 21
Интегральный синус 185
Интегратор с конечным временем ин-
тегрирования 25
Интерференция межсимвольная 145,
206
Информации теория 343
Канал 218
— пропускная способность 343
Кантор Г. 69
Карно эффективность 335
Карсон Дж. Р. 140, 231, 241, 243
Каузальность (причинность) 180, 183
Кауэр В. 178
Квадратурные компоненты 235
—	модуляция 247
—	уплотнение 221
Квантование 338
Коды с исправлением ошибок 147
Колмогоров А. Н. 151
Компандирование 228
Комплексная огибающая 235
Конечная импульсная характеристика
(КИХ) 277, 283
Корректирующие цепи 177
Костас Дж. 256
Котельников В. А. 140
Коуд Дж. 30
Коши О. Л. 111, 140
Кули Дж. 286
Кемпбелл Г. 178
—	теорема 324
Лагерра функции 172
Лагранж Ж. Л. 69
Ландау X. Л. 143
Лаплас П. С. 69
—	двустороннее преобразование 121
Лежандр А. М. 69
Линия задержки
---идеальная, импульсная ха-
рактеристика 23
---с отводами 24
Ляпунова теорема 203
Магнус В. 118
Мгновенная частота 239
Модулятор 216
—	балансный 250
Модуляция
—	амплитудное ограничение 226
—	амплитудно-импульсная 344
------- однополосная 234
---------с подавленной несущей 231
—	кодово-импульсная 347
—	дельта-340
—	коэффициент 238
—	линейная 225
— перемодуляция 224, 226
—	фазовая (угловая) 238
—	фазоимпульсная 349
—	частотная 238
Моменты импульсных характеристик
195—197
Музыкальный сигнал 223
Мэйсон С. Дж. 10
Предметно-именной указатель
355
Наложения эффект 142
Неопределенности принцип 199
Непрозрачности полоса 176
Несущая частота 217, 223
Нечетно-гармоническая функция 75
Ньютон И. 73
Оберхеттингер Ф. 118
Область сходимости 63
Обобщенные функции 10
---преобразование Фурье 105
Огибающая 217, 235
—	детектор 221
—	комплексная 235
Ограничитель 244
Окна Бартлетта 276
—	функция 275
Оппенгейм А. В. 279
Оптические системы, ограничения раз-
решающей способности 206
Ортогональные функции 68
Основная частота 68
Отсчетов теорема 139
Ошибка
— интегральная квадратическая 116
— минимальная среднеквадратиче-
ская 159
—	среднеквадратическая 159
Параметрическое усиление 262
Парсеваля теорема 83, 115, 155, 159
---ДВПФ-версия 291
—	— ДПФ-версия 299
Переходная полоса конечной вели-
чины 177
—	проводимость 49
—	характеристика 49
Период 70
—	основной гармоники 74
Пик-фактор 227, 246
Пифагор 67
Повышенная частота отсчетов 144
Поллак X. О. 143
Полоса пропускания 176
Полосовой процесс 215
—	фильтр 176
Помехи перекрестные 219
Пороговый эффект 351
Преобразование
—	аналого-цифровое (АЦП) 273
—	• цифро-аналоговое (ЦАП) 274
Приемник
—	прямого усиления 230
—	супергетеродинный 229
Приподнятый косинусоидальный им-
пульс 209
Проверка на четность 341
Произведение длительности на ши-
рину полосы 195
Птолемей 67
Пуассон С. Д. 111
—	интеграл 22
Пульсации 177
Пэли—Винера теорема 181
Распределения 10
Рациональные функции
---неправильные, преобразование
37
Реакция на единичный импульс 9
Рунге Р. 287
Рэлей Дж. У. 115, 261
Свертка
—	круговая 276
—	теорема преобразования Фурье 113
Сглаживания эффект 6
Системы связи, радиовещание и маги-
стральная (направленная) связь 287
Скорость передачи двоичной информа-
ции 204
Сигналы
—	аналитические 236
—	зеркальные 231
—	• речевые, музыкальные, видео 223
—	случайные 303, 316
— «ступенчатой формы» 25
Симметрии принцип 100
Система, меняющаяся во времени 22
Совер 74
Согласование импульсов 38
Сопряженная симметрия 98
Спектр 73
— двусторонний или односторонний
194
—	дискретный или линейчатый 74
—	плотность мощности 306 325
Спектральная плотность 96
---мощности 306, 325
Спектральные представления речевого
сигнала 205
Спектральный анализ 73, 75
Среднеквадратическая величина 82
Статистическая регулярность 312
Степени свободы 142
Стробирование 175
Стробоскопический осциллограф 168
«Ступенчатой формы» сигнал 25
Схема запоминания нулевого порядка
25
356
Предметно-имеииой указатель
Тепловой шум 327
Титчмарш Е. 104, 123
Томас Л. 287
Триплет 36
Узкополосные процессы (колебания)
217, 233
Уплотнение (мультиплексирование)
— квадратурное 221
— по’времени 144
— частотное 218
Усилитель
—	высокой частоты 230
—	идеальный, импульсная характе-
ристика 23
—	Параметрический 262
— промежуточной частоты 231
Фазовая
—	автоподстройка частоты (ФАПЧ)
221, 223, 244, 255
	— задержка 259
—	искажения 177
—	модуляция 238
Фармер М. Б. 144
Фейера ядро 188, 207
Фильтр 175
—	амплитудные и фазовые искажения
177
— Баттерворта 182, 200, 278
—	верхних частот 176
—	вносимые потери 177
—	дискретный во времени (ДВ) 273
—	идеальный нижних частот 176
—	интерполирующий (сглаживающий)
25
—	Колмана 333
—	неискажающий 177
—	переходная полоса 177
— полоса непрозрачности 176
—	полосовой
—	пульсации 177
—	с ограниченной полосой пропуска-
ния 116
—	уровень затухания 177
—	формирующий 145
—	частота среза 177
Фильтрующее свойство 130
Фомин С. В. 151
Фостер Р. М. 178
Функция, почти периодическая 116
Фурье Ж. Б. Ж. 69
— интеграф 66, 96
— преобразование 95
--- свойства 120
---сопряженная симметрия 98
------ таблица 119
— ряд 67, 94, 136, 147, 154
---- амплитудно-фазовая форма 72
---- измерение коэффициентов 81
----тригонометрическая форма 72
---- экспоненциальная форма 72
— теорема 96
Хайкин С. Э. 6
Характеристическая (собственная)
функция 61, 265
—------значение 61, 265
Хартли Р. В. Л. 88, 124, 140, 233
Хевисайд О. И, 15
Хургин Я- И. 170
Хэмминг Р. В. 209
—	импульс 209
Хэннинга окно 209
Центральная предельная теорема 203
Цифровое преобразование 337
Частота
—	дискриминатор 244
—	мультиплексирование с частотным
уплотнением 63, 218
—	 основная 68
—	преобразователь 228
—	сдвиг 175
Частотная модуляция (ЧМ) 145, 238
—	•— стереофоническая система с уп-
лотнением 257
---- узкополосная
----широкополосная 241, 243
—	манипуляция 242
—	характеристика 66
Чезаре интерпретация несобственного
интеграла 188
Шафер Р. В. 279
Шварц Л. 21
Шеннон К- 140, 343
Шилов Г. Е. 10
Широкополосные процессы 217
Штейнера симметризация 214
Шум
— белый 322, 327
— дробовой 327
— полоса 130, 213
— тепловой 327
Энергетический спектр 115
Энергия 115
Эхо-сигнал 298
Яковлев В. П. 170