/
Текст
А.В.Разгулин, М.В. Федотов
ПОДГОТОВКА К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В МГУ
АЛГЕБРА
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА
ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ
Москва 2000
Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факультета
Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова на основе
задач письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ за 1977-1999
годы. Может быть полезно абитуриентам при подготовке к поступлению как на
факультет ВМиК, так и на другие факультеты МГУ.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Стандартные тригонометрические уравнения 6
§2 . Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями и 11
радикалами
§3 . Стандартные текстовые задачи 18
§4 . Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными 29
функциями
§5 . Тригонометрия - 2 39
§6 . Задачи с радикалами. 43
§7 . Разложение на множители и расщепление 48
§8 . Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и неравенствах 58
§9 . Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические 65
неравенства
§10 . Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях и 70
неравенствах
§11 . Нестандартные текстовые задачи 78
§12 . Расположение параболы в зависимости от параметра. Теорема Виета 88
§13 . Полезные преобразования и замены переменных 95
§14 . Использование графических иллюстраций 107
§15 . Использование различных свойств функций 112
§ 16. Метод оценок 117
§17 . Получение следствий и логические задачи 124
§ 18. Задачи с целыми числами 138
§19 . Задачи последних лет, не вошедшие ⧧1-18 146
Ответы 160
3
Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факуль-
тета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоно-
сова на основе задач письменных вступительных экзаменов по матема-
тике в МГУ за 1977-1999 годы. При составлении пособия авторы придер-
живались идеи циклического расположения задач: сначала идут прос-
тые стандартные задачи по всем разделам алгебры, затем более слож-
ные стандартные задачи по тем же разделам. И, наконец, параграфы
с нестандартными задачами составлены так, что в них есть задачи на
повторение всех изученных ранее методов и формул. Идея такого рас-
положения материала принадлежит Сергееву И.Н.
После номера каждой задачи в скобках идет ссылка - где была дан-
ная задача. Сначала идет сокращенное название факультета, затем -
год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1 или
2 - это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факульте-
та; на мехмате и физфаке весной проходят две олимпиады; на ВМиК,
геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете
почвоведения - одна олимпиада весной). После точки идет номер задачи
в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном
варианте). Например, (ВМиК-98.3) - означает, что задача была в 1998
году летом на вступительных экзаменах на факультете ВМиК, треть-
им номером в варианте, а (м/м-97(2).1) - означает, что задача была
в 1997 году на второй весенней олимпиаде механико- математического
факультета первым номером в варианте.
Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге:
м/м - механико- математический факультет,
ВМиК - факультет Вычислительной математики и кибернетики,
физ - физический факультет,
хим - химический факультет,
ВКНМ - Высший колледж наук о материалах,
биол - биологический факультет,
почв - факультет почвоведения,
геол - геологический факультет (.ОГ - отделение общей геологии),
геогр - географический факультет,
экон - экономический факультет (.К - отделение экономической ки-
бернетики, .М - отделение менеджмента, .В - вечернее отделение),
псих - факультет психологии,
фил - философский факультет,
филол - филологический факультет,
соц - социологический факультет,
4
ИСАА - Институт стран Азии и Африки.
Данное пособие может быть полезно абитуриентам при подготовке
к поступлению как на факультет ВМиК, так и на другие факультеты
МГУ.
При решении предлагаемых в пособии задач дополнительно можно
использовать следующую литературу:
1. Мельников И.И., Сергеев И.Н. ’’Как решать задачи вступитель-
ного экзамена по математике”.
2. Сергеев И.Н. ”1000 вопросов и ответов. МАТЕМАТИКА: учебное
пособие для поступающих в ВУЗы: - М.: Книжный дом "Университет”,
2000.
3. Будак А.Б., Щедрин Б.М. ’’Элементарная математика. Руковод-
ство для поступающих в вузы”.
4. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. "Пособие по математике
для поступающих в ВУЗы. Избранные вопросы элементарной матема-
тики” .
5. Якушева Е.В., Попов А.В., Якушев А.Г. "Математика. Ответы на
вопросы. Устный экзамен, теория и практика”.
6. Ткачук В.В. "Математика - абитуриенту”.
7. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. "Задачи вступи-
тельных экзаменов по математике”.
8. Мельников И.И., Олехник С.Н., Сергеев И.Н. ’’Математика. За-
дачи вступительных экзаменов с ответами и решениями (1993 - 1997
гг.)”.
9. Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (1998
г.).- М., Механико-математический факультет МГУ, 1998.
10. Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (1999
г.).- М., Механико-математический факультет МГУ, 1999.
11. Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (1997
- 1998 гг.).- М., факультет ВМиК МГУ, 1999.
12. Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (1999
г.).- М., факультет ВМиК МГУ, 1999.
5
СОДЕРЖАНИЕ.
§1 . Стандартные тригонометрические уравнения.........6
§2 . Простейшие уравнения и неравенства с модулями,
дробями и радикалами..................................11
§3 . Стандартные текстовые задачи....................18
§4 . Уравнения и неравенства с логарифмическими и
показательными функциями..............................29
§5 . Тригонометрия - 2...............................39
§6 . Задачи с радикалами.............................43
§7 . Разложение на множители и расщепление...........48
§8 . Раскрытие модулей в смешанных уравнениях
и неравенствах.........................................58
§9 . Обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические неравенства.........................65
§10 . Эквивалентные преобразования в
смешанных уравнениях и неравенствах...................70
§11 . Нестандартные текстовые задачи.................78
§12 . Расположение параболы в зависимости от параметра.
Теорема Виета.........................................88
§13 . Полезные преобразования и замены переменных....95
§14 . Использование графических иллюстраций.........107
§15 . Использование различных свойств функций.......112
§16 . Метод оценок..................................117
§17 . Получение следствий и логические задачи.......124
§18 . Задачи с целыми числами.......................138
§19 . Задачи последних лет, не вошедшие в §§1-18....146
Ответы...........................................160
6
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
§1. Стандартные тригонометрические уравнения.
В этом параграфе собраны простейшие тригонометрические урав-
нения. Для их решения достаточно знать основные тригонометрические
формулы. Все тригонометрические уравнения решаются сведением к од-
ному из четырех простейших:
f х = (— l)n arcsina + тгп, n £ Z, если |a| < 1
81пг = а«<Д |.1 ~
I 0, если |а| > 1
cos х = a <=>
х = ± arccos a + 2тгп, n £ Z, если |а| < 1
0, если |а| > 1
tga: = a <=> x = arctga + тгп, n £ Z
ctgrc = a <=> x = arcctga + тгп, n £ Z
Эти формулы необходимо знать наизусть ! Кроме того жела-
тельно знать наизусть следующие частные случаи этих формул :
sin я: = 1 <£=> ге = — + 2тгп, n £ Z; sin х — — 1 ж = — — 4- 2тгп, n £ Z;
sin х = 0 <=> х = тгп, п £ Z; cos х = 1 £> х — 2тгп, п £ Z;
7Г
cos х = — 1 <=> х = тг + 2тгп, п £ Z; cos ж = 0 ж = — + тгп, п £ Z;
Следующие формулы необходимы для преобразования уравнений к
простейшим:
sinl 2 х + cos2 х = 1
sin 2х = 2 sin х cos х, cos 2х = cos2 х — sin2 х = 2 cos2 х — 1 = 1 — 2 sin2 х
. , 1 - cos 2х 2 1 -I- cos 2x
sin x = --------, cos x = ---
sin (x ± y) = sin x cos у ± cos x sin y, cos(x ± y) — cos x cos у 4: sin x sin у
^±v)=^X±tSV: 1^=-^,
1 =F tgxtg?/ 1 - tg2s
l + tg2z = 1 4-ctg2^ =
cos2 x sin X
§1. Стандартные тригонометрические уравнения.
7
. х+у . х-у
cos х — cos у - — 1 sin —-— sin —--
У 2 2
sinzsinj/ = ^(cos(z—у)— cos(z+?/)), coszcos?/= ^(cos(z+i/)-|-cos(z—y))
sin x cos у — |(sin(z + y) + sin(z — y))
sin 3z = 3 sin x — 4 sin3 z, cos 3z = 4 cos3 x — 3 cos x
При решении квадратных уравнений относительно различных три-
гонометрических выражений можно посоветовать вводить новые пере-
менные. Только НЕ ЗАБЫВАЙТЕ:
• следить за областью определения и областью значений новых пе-
ременных;
• возвращаться к старым переменным для записи окончательного
ответа.
3
1. (физ-77.1) Решить уравнение sin2 х = -.
2. (фил-85.1) Найти все решения уравнения 2sin2 х = Vasina:,
удовлетворяющие условию — 5 < х < — 3.
3. (ВМиК-80.2) Решить уравнение sin 2® — v3cosz = 0.
4. (хим-95(1).2) Найти sin 2а, если sin а = —== и 0 < а < тг/2.
5. (ВМиК-80.1) Вычислить cos 2а, если sina = 1/3.
6. (физ-87.3) Известно, что sin a = — 3 , тг < a < Найти cos а и tg^.
7. (фил-88.3) Найти все решения уравнения sin 4х + 2 cos2 х = 1,
каждое из которых удовлетворяет условию |z| < 1.
2
8. (псих-86.1) Найти tg22a, если sina =---=.
vTI
а 3
9. (почв-98.2) Найти cos —, если известно, что tga = - и что
тг < а < 2тг. Установить без помощи таблиц и калькулятора, какое
_ I <2| 2
из чисел больше cos — или у.
8
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
10. (ВМиК-91.2) Найти все решения уравнения
7тг
И. (био-81.2) Решить уравнение cos(2z —) = sin(4z + 3%).
•к 1
12. (ВМиК-94(1).2) Вычислить cos2(a — —), если tga =
3.
13. (экон.К-80.4) Решить уравнение sin( — — х) + cos( —
О v
14. (почв-96(1).1) Найдите cos(a+ ^), если известно, что sina — —3/5,
a tga > 0.
15. (геол-91.1) Решить уравнение sin lx cos х = sin 6z.
16. (хим-96.1) Решить уравнение cos 4х + sin х sin 3® = 0.
17. (геол-94(1).4) Решить уравнение sin5z = sin5.
18. (физ-93.2) Решить уравнение
19. (физ-83.1) Решить уравнение
20. (физ-89.1) Решить уравнение
21. (физ-96.1) Решить уравнение
cos5i = cos(5 + i).
sin Зх + sin 5x = sin 4x.
sin 5x — sin x = ->/8 cos 3x.
cos3z — sin \4x — — ] = cos 5®.
22. (физ-97(2).1) Решить уравнение cos9z — cos7z = v^sinz.
23. (геол-94.4) Решить уравнение cos x + cos 3z + cos 5z = 0.
24. (геогр-78.2) Решить уравнение cosz — 2cos3z + cos 5® = 0.
25. (хим-78.1) Решить уравнение sin 2® + sin6z = 3cos2 2z.
26. (ИСАА-91.3) Решить уравнение
cos2(45° + x) = cos2(45° — x) + a/5cos x.
§1. Стандартные тригонометрические уравнения.
9
27. (физ-94(1).1) Решить уравнение sin®sm3® =
28. (био-94.3) Найти все решения уравнения
удовлетворяющие условию 3/2 < х < 3.
3tg2 (тгх - = 1,
\ о /
29. (экон.-89.4) Найти все решения уравнения tg(4sinT) = х/З,
Зтг
Х<1"
2 cos2 х — 7cos х = 2 sin2 х.
4 sin2 х + 4 cos x = 1.
4 sin2 ^2 (x + — — 2(x/5 — х/З) cos(2t — тг) + x/15 — 4 = 0.
7Г
удовлетворяющие условию — <
30. (геогр-91.1) Решить уравнение
31. (геол-87.2) Решить уравнение
32. (псих-90.1) Решить уравнение
33. (физ-96(2).1) Решить уравнение
34. (хим-96(1).2) Решить уравнение
35. (экон.-87.1) Решить уравнение
36. (ВМиК-94.1) Решить уравнение
37. (геогр-89.1) Решить уравнение
38. (экон.В-98.3) Решить уравнение
4 sin х + cos 2т + 3 = 0.
5 + cos 2т = 6 cost.
cos 2т + 3\/2sin х — 3 = 0.
12 sin 5т = cos Ют + 7.
. . 2тг
sin(T - = ) = cos(2t - —).
о о
cos(2t2) — x/3cos(t2) —2 = 0.
39. (ВМиК-85.3) Решить уравнение
4 — соз[2тг(13т + 9)2] = 5sin[-n-(13T + 9)2].
40. (экон.К-84.3) Решить уравнение 3—12sin2 t — 2cos4t = ~ц_ 2
41. (геол-98.3) Решить уравнение 5 -I--------z---- = 7ctg(3T).
sin (Зт)
42. (хим-83.1) Решить уравнение
тг
cos(2t + —) + cos(2t —
—) 4- 4 sin т
= 2 + х/2(1 — sin т).
10
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
43. (ВМиК-84.2) Решить уравнение
9 cos Зх • cos 5х + 7 = 9 cos Зх • cos х + 12 cos4т.
44. (псих-82.3) Решить уравнение
45. (геол-93.2) Решить уравнение
46. (м/м-89.1) Решить уравнение
47. (м/м-79.1) Найти все решения
удовлетворяющие неравенству
48. (геол-80.2) Решить уравнение
49. (экон.-85.2) Решить уравнение
50. (геол.ОГ-78.1) Решить уравнен
51. (физ-84.1) Решить уравнение
2 sins — -УЗ = (л/2 — у/12)у/^пх.
\/1 — cos* 2 х + 6 cos 2х = 0.
4| cos т| + 3 = 4sin2 х.
уравнения 1—5 sin х + 2 cos2 х = 0,
cos х > 0.
2 — 3 sin х — cos 2т
6т2 — тгт — тг2
2sinT = 3ctgT.
ie \/2sinT + ctgT = 0.
cos т
tg® + о----:--= 0.
2 — sin т
52. (псих-77.1) Решить уравнение 3tg2T — 8 cos2 x + 1 = 0.
53. (био-85.2) Найти все корни уравнения
5 cos 2т + 7 cos
принадлежащие отрезку [у; .
54. (био-88.1) Найти наименьший положительный корень уравнения
3 2J 2J
8 cos — cos--------6 cos т + 1 = 0.
4 4
55. (ВМиК-83.2) Решить уравнение
1 + 2 sin2 т — 3\/2 sin т + sin 2т
2 sin т cos т — 1
= 1.
§2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями...
И
§2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями,
дробями и радикалами.
В этом параграфе собраны простейшие задачи с модулями, дробями
и радикалами (корнями различной степени), приводимые к линейным
и квадратным уравнениям и неравенствам, а также задачи на метод
интервалов.
В задачах с корнями необходимо помнить, что возведение левой и
правой частей уравнения в четную степень представляет из себя экви-
валентное преобразование только для неотрицательных значений этих
частей. В задачах на сравнение радикалов надо группировать выраже-
ния так, чтобы слева и справа были положительные величины, после
чего возводить их в соответствующую степень.
Напомним определение модуля числа а:
, , fa, если а > О
a = < — . п
1 1 I —а, если а < и.
Уравнение вида |/(ж) | = д(х) можно решить двумя способами.
1-й способ: Уравнение |/(ж)| = д(х) эквивалентно совокупности
двух систем
Г f(x) = «/(ж),
I f(x) > °-
f f(x) = -д(х),
I Л*) < о.
2-й способ: Уравнение |/(®)| = <?(®) эквивалентно системе
Ф) > 0,
Л®) = Л®)>
. Л®) = -р(®)-
Выбор способа решения зависит от вида функций /(ж) и д(х). Если
проще функция /(ж) (например, f(x) - линейная, а д(х) - квадратичная),
то надо решать задачу 1-м способом, иначе задачу решать надо 2-м
способом.
Часто задачи с модулями имеют следующий вид: |/(ж) | + |<7(ж)| =
/(ж) ± д(х) или
1Л®)1 — ±Л®) , 1Л®)1 > Л®) > 1Л®)1 < Л®) и Т-Д- и т.п. Такого
типа задачи лучше решать не стандартными способами, а, например,
так:
1Л®)1 + 1р(®)| = Л®) + Л®) <=> | | 0.’
12
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
1/(®)1 - -/(») О /(») < 0.
Чтобы решить квадратное уравнение или неравенство надо уметь
находить корни квадратного трехчлена вида ax2 -\-Ьх + с . Если дис-
п ,2 л \ л ~Ь± '/Ь2 4ас
криминант D = b — 4ас > U, то корни равны xi 2 = ----------------,
~ ’ 2а
если же D < 0, то корней нет.
При решении рациональных неравенств (неравенство называется ра-
циональным, если левая и правая его части есть суммы отношений
многочленов) надо применять метод интервалов. Для этого неравенство
приводится к виду, например,
(х - а?1)Р1 (ж - х2)Р2... (ж - xk)Pk >
(ж - Жц-1)Р* + * 1 (х - Цщ)^» • • (х - хпУ" -
При этом каждая скобка обязательно должна иметь вид (х — х^),
а не (zfc — х). И, вообще, полезно следовать следующему правилу: ПРИ
СТАРШЕЙ СТЕПЕНИ В УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ ДОЛ-
ЖЕН БЫТЬ ЗНАК ПЛЮС. Затем рисуется числовая ось, расставля-
ются на ней все корни х^, при этом точки стоящие в знаменателе вы-
калываются, а точки стоящие в числителе выкалываются, если нера-
венство строгое. После этого рисуем змейку, начиная справа сверху, и
переходим через ось, если кратность корня нечетная, и остаемся на той
же стороне, если кратность корня четная.
1. (псих-84.1) Вычислить, не используя микрокалькулятор:
/3(|§ — 0,125 : 1>) : 480\/679-Ю-2 \
\ (7 : 1,8 — 2| : 1, 5) : 2 j / \ + ’ ) '
а/1990 /1991
2. (ВМиК-92.1) Какое из двух чисел \ или \1 п больше?
V У
3. (геол-94(1).1) Какое из чисел меньше: \^47 или \/13?
4. (геол.ОГ-82.1) Определить, какое из следующих чисел больше:
< /ctg j - 2 sin или \/5?
уч л
5. (геол-82.1) Определить, какое из двух чисел больше:
1 о • Зтг
1 — 2 sin — или
2
§2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями... 13
6. (экон.-88.1) Какое из чисел больше ^4 4- у/2 или 3?
7. (физ-82.2) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых решение уравнения Юж — 15а = 13 — 5аж 4- 2а больше 2.
8. (геол-79.1) Для каждого значения параметра а найти все ж, удов-
а О
летворяющие равенству ---------= 3.
2а — ж
9. (геол.ОГ-79.1) Решить уравнение |2ж — 3| — 3 — 2ж.
10. (физ-95.3) Решить уравнение 2 • |ж + 1| = 2 — ж.
11. (физ-83.2) Решить уравнение |5ж2 — 3| = 2.
12. (геогр-77.1) Решить неравенство 2|ж 4- 1| > ж 4- 4.
13. (хим-94.2) Решить неравенство 2ж > |ж| 4- 1.
14. (геол-82.2) Решить неравенство
15. (геол-78.2) Решить уравнение
2ж 4- 5
|ж 4-1| "
|5ж — 13| — |6 — 5ж| = 7.
16. (био-95.2) Решить уравнение |ж — 1| 4- |2ж — 3| = 2.
17. (псих-95.1) Решить уравнение
|2ж — 15| = 22 — |2ж 4- 7|-
18. (геогр-96(1).1) Решить уравнение |5ж — 3| — |7ж — 4| — 2ж — 1.
19. (псих-98.1) Решить уравнение
|4ж — |ж — 2| 4- 3| = 16.
20. (экон.-89.3) Решить уравнение ||3 — ж| — ж 4-1| 4- ж — 6.
21. (геол-98.2) Решить уравнение ||4 — ж2| — ж2| = 1.
22. (экон.-84.3) Решить неравенство 2|ж — 4| 4- |3ж 4- 5| > 16.
23. (хим-96(1).3) Решить неравенство |ж 4-|1 — ж|| > 3.
24. (ИСАА-97.2) Решить уравнение 2|ж — 5| — 1 = 3|2ж — 5| — 4|ж — 1|.
25. (ВМиК-82.5) Для каждого значения параметра а найти все значе-
ния ж, удовлетворяющие уравнению |ж 4- 3| — а|ж — 1| = 4.
14
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
26. (геол-91.6) При всех значениях параметра а решить уравнение
|г + 2| + а • |г - 4| = 6.
27. (физ-84.4) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых все решения уравнения 2|т — а| + а — 4 + ж — 0 принадлежат
отрезку [0;4].
28. (физ-84.4) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых все решения уравнения 3 |ж + 2а| — За + а: — 15 = 0 принадлежат
отрезку [4; 9].
29. (псих-80.2) Решить систему уравнений
2it + v = 7,
— v| = 2.
30. (фил-88.2) Решить систему уравнений
3|х + 1| + 2|у — 2| = 20,
х + 2у = 4.
31. (физ-94(1).5) Решить систему
- 1| + |у- 5|= 1,
у = 5 + |г - 1|.
32. (физ-97.5) Решить систему уравнений
у + + 1| = 1,
|у- = 5.
33. (экон.-78.3) Найти все значения параметра Ь, при каждом из кото-
рых система уравнений
Ьх + 2у — b + 2,
2Ьх + (Ь + 1)у = 25 + 4
имеет хотя бы одно решение.
§2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями... 15
34. (экон.-86.2) Решить систему уравнений
( Зх + 4siny = —11,
[ —2х + 5 sin у =
35. (геол.ОГ-79.3) Решить систему уравнений
( >/2у + \/12ctgT = 4,
[ 2у/2у — V27ctgs = 1.
36. (м/м-79.3) Решить систему уравнений
' 2 I 3 _ 1
2х—у ' х—2у 2’
’ 2________1 _ 1
. 2х—у х—2у 18"
37. (ВМиК-87.2) Существуют ли действительные значения а, для ко-
торых а2 — 4а + л/З = —ах/2? Если такие значения существуют,
то сколько их?
38. (геогр-80.1) Найти все значения параметра к, при каждом из ко-
торых уравнение х2 — 2кх + к2 + 2к — 1 =0 имеет два различных
корня.
Зх
39. (хим-95.1) Решить неравенство —---------- > 1.
х -f* 2
40. (био-94.1) Решить систему
( х + 2у = 6,
( За:2 — ху + 4у2 = 48.
41. (физ-81.2) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система уравнений
( х2 + у2 = 1,
[ х + у - а.
имеет единственное решение.
5 4 «с 6
42. (био-85.1) Решить уравнение-------------|- ----—-------- = 3.
V ’ х + 1 (х + 1)(а: + 3)
16
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
у/х2 — 9
43. (экон.-89.1) Найти область определения функции у = . .-= .
\ х х 4“ 20
44. (псих-94.2) Известно, что х = 1, у — — 1 - одно из решений систе-
f 2ax + by = \/3tg(il|ii),
[ ах2 + by2 = 2.
Найти все решения данной системы.
45. (геол-81.1) Решить уравнение х2 — 4® + — 3| + 3 = 0.
|®| х2
46. (геол-90.1) Решить уравнение---------х — — + 1.
х 2
47. (ВМиК-94(1).1) Решить уравнение
/ 1 \2 5
4|®-1|+- = 11(х-1)2+-.
\ “ / **
48. (био-96.2) Решить уравнение (х — 7)2 — — 7| = 30.
49. (геол-77.2) Решить неравенство х2 — |5® — 3| — х < 2.
х
50. (геол-97.3) Решить неравенство ——< 10.
51. (ВМиК-87.1) Решить систему уравнений
( yfx + Зу =- 9,
I х - 1 = (у/х + 1)у.
52. (физ-77.2) Найти все значения параметра а, для каждого из кото-
рых числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
х + У = а,
2х — у — 3,
удовлетворяют также неравенству х > у.
53. (почв-82.3) Решить неравенство ж4 — Юж2 + 16 > 0.
54. (почв-96.2) Решить неравенство З®4 + 4 < 13®2.
§2. Простейшие уравнения и неравенства с модулями, дробями... 17
55. (геол-95.2) Решить неравенство х2 — 6 > |а;|.
56. (геогр-87.2) Решить неравенство у2 + 3|т/| < 10.
57. (геол-87.3) Решить неравенство ---------- > —3.
1 — х
т — З 1
58. (соц-98.1) Решить неравенство —— > -.
Зх 2
1 х
59. (геол-96(1).1) Решить неравенство -------—— < --------——.
' ' ’ ’ F х - 1996 - х - 1996
60. (м/м-77.1) Решить неравенство х < 3-------------.
61. (геогр-93.3) Найти область определения функции
У =
4х — х2 — 4
х2 4 х — 2
62. (био-84.1) Решить неравенство
<т — 6.
63. (псих-82.1) Решить неравенство
2х — 3
4 — х
64. (филол-98.1) Решить неравенство
х2 4 4х 4- 3
|1 + х|
65. (геол-98(1).1) Решить неравенство
(х2 + 5х — 6) • |х + 4| 1 < 0.
66. (ВМиК-98.1) Решить неравенство
5х + 3
67. (ИСАА-98.3) Решить неравенство
3|я?| - 11 3x4 14
х — 3 > 6 — х
68. (м/м-85.2) Решить неравенство
1 2 2
т+1 |т| — 1 — х — 1
69. (физ-93.5) Решить неравенство
|я? 4- 3| 4- я?
х
1 — х
х + 2
18
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
70. (ИСАА-92.3) Решить неравенство --------------]---- < 1.
0| I
12 — ж! — гс
71. (экон.-87.3) Решить неравенство ;-----------;---- < 2.
|ж - 3| - 1 _
§3. Стандартные текстовые задачи.
В этом параграфе собраны стандартные текстовые задачи, приводи-
мые к одному линейному уравнению или неравенству, к линейной сис-
теме уравнений или к квадратным уравнениям. Процесс формализации
высказываний в условии задачи, т.е. превращение их в уравнения и не-
равенства вашей системы, обычно не требует никаких математических
знаний. От вас требуется только здравый смысл на уровне домохозяйки
и знание простейших формул:
расстояние = скорость время,
работа = производительность • время,
масса вещества .„„п,
концентрация вещества = ——-------------------------- 100%
общая масса раствора
Возникающие в текстовых задачах системы линейных уравнений
можно решать подстановкой или методом Гаусса (методом приведения
к треугольному виду). Особенно хорошо применять Метод Гаусса когда
система состоит из трех и более уравнений.
Иногда после составления уравнений в текстовой задаче получается
система нелинейных уравнений. Может так случиться, что уравнений
будет меньше, чем неизвестных. В этом случае может помочь введение
новых переменных, относительно которых система становится линей-
ной. Причем эти новые переменные, как правило, являются теми вели-
чинами, которые надо найти по условию задачи.
Последовательность чисел а^,а2,... ,ап называется арифметичес-
кой прогрессией, если найдется такое число d, называемое разностью
прогрессии, что аг = ai + с?, аз=О2-|-</, ..., ап = an-i + d. Для реше-
ния задач на арифметичские прогрессии необходимо знать следующие
формулы:
, , , «1 +ап 2о! + (п- l)d
ап = G1 + (п — 1)а, Я1 + ... -|- ап — ---- п = -1------- п,
2 2
§3. Стандартные текстовые задачи.
19
a.k-1 + ajb+i
Последовательность чисел bi, 5г, • • , Ьп называется геометрической
прогрессией, если найдется такое число q, называемое знаменателем
прогрессии, что 62 = ' 9, &з = &2 • 9, • • •, bn — Ьп-1 • 9- Для реше-
ния задач на геометрические прогрессии необходимо знать следующие
формулы:
bn = bi • qn \ bi -f-... + bn = bi • ———, b2k = bk-i • bk-ii.
1 - 9
1. (почв-84.1) Площади участков земли относятся как 4:3:5. Сред-
няя урожайность всех трех участков одинакова и составляет 28 ц
с гектара. Известно, что с третьего участка собрано на 84 ц зерна
больше, чем с первого. Определить, какова площадь каждого из
трех участков.
2. (почв-94(1).1) С двух полей, первое из которых по площади вдвое
меньше второго, собрали урожай свеклы. Средняя урожайность
составила 150 ц/га, в то время, как на первом поле собрали по 156
ц/га. Какова урожайность свеклы на втором поле?
3. (почв-93.1) Представить число 128 в виде суммы четырех слагае-
мых так, чтобы первое слагаемое относилось ко второму, как 2 :
3, второе к третьему - как 3 : 5, а третье к четвертому - как 5:6.
4. (соц-98.3) В городе N 9% коренного населения в зимний пери-
од заняты народным промыслом. Летом 36% коренного населения
уезжает из города, но общая численность населения за счет при-
езжающих туристов составляет 4/5 от численности в зимний пе-
риод. Определить, какая часть от общей численности населения в
летний период занята народным промыслом, если среди коренного
населения доля занятых народным промыслом осталась такой же,
как в зимний период.
5. (геол-94.7) Технология изготовления дискет состоит из четырех
этапов. На каждом из них увеличивается содержание кремния на
определенное количество % по отношению к результату предыду-
щего этапа: на первом этапе - на 25%, на втором этапе - на 20%,
на третьем этапе - на 10%, на четвертом этапе - на 8%. На сколько
% в результате увеличится содержание кремния?
20
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
6. (геол-98.4) Из цистерны в басссейн сначала перелили 50% имею-
щейся в цистерне воды, затем еще 100 л, затем еще 5% от остатка.
При этом количество воды в бассейне возросло на 31%. Сколько
воды было в цистерне, если в бассейне первоначально было 2000 л
воды? /
I
7. (геол-95.6) Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго
слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное
содержание меди в первом слитке - 10%, во втором - 40%. После
сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное
содержание меди в котором - 30%. Определить массу полученного
слитка.
8. (геол-96(1).5) В одном декалитре кислотного раствора 96% объема
составляет кислота. Сколько воды можно долить, чтобы концент-
рация кислоты в полученном растворе была не больше 40%?
9. (экон.-80.4) Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и оло-
ва. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй -
26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором спла-
вах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго,
получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Опреде-
лить, сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве.
10. (физ-79.2) Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а
сумма первых семи членов этой прогрессии равна 105. Найти пер-
вый член и разность этой прогрессии.
11. (физ-92.5) Найти первый член и разность арифметической про-
грессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме
40, а сумма седьмого и тринадцатого членов равна 58.
12. (экон.В-98.2) Второй член арифметической прогрессии Oi,a2,...
равен 2, а сумма пятого и шестого членов равна 9. Найти сумму
первых двадцати членов прогрессии, номера которых кратны 2.
13. (ИСАА-93.2) Сумма третьего и пятого членов арифметической
прогрессии равна 8. Найти сумму первых семи членов этой про-
грессии.
14. (экон.-95.4) В банк помещен вклад в размере 3900 тыс.руб. под 50%
годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после
§3. Стандартные текстовые задачи.
21
вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет
одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после
начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился
по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик
ежегодно добавлял ко вкладу?
15. (геогр-95.2) Теплоход затратил 5 ч на путь вниз по течению реки
от пункта А до пункта В. На обратный путь против течения он
затратил 8 ч 20 мин. Найти скорость теплохода, если путь от А
до В равен 100 км.
16. (био-95.4) Саша и Сережа дважды обменивались марками, причем
каждый раз 1/7 количества марок, имевшихся (на момент обмена)
у Саши, обменивалась на половину количества марок, имевшихся
у Сережи. Сколько марок было у Саши и сколько у Сережи до
первого обмена, если после первого обмена у Саши было 945 марок,
а после второго обмена у Сережи - 220?
17. (экон.-87.2) В магазине продано 12 тонн орехов трех сортов по
цене соответственно 2 руб., 4 руб., и 6 руб. за 1 кг на общую
сумму 42 тыс.руб. Известно, что количества тонн проданных оре-
хов соответственно первого, второго и третьего сортов образуют
арифметическую прогрессию. Сколько тонн орехов каждого сорта
продано в магазине?
18. (геогр-81.3) Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый -
40%, второй - 60%. Эти два раствора смешали, после чего добавили
5 кг чистой воды и получили 20% раствор. Если бы вместо 5 кг
чистой воды добавили 5 кг 80% раствора, то получился бы 70%
раствор. Сколько было 40% и 60% растворов?
19. (почв-92.2) Самолет, осуществляя полет по заданному маршруту,
может лететь в метеоусловиях Л, Б или В с одной и той же ско-
ростью, но по-разному расходуя горючее. В первый раз самолет
находился в метеоусловиях А половину полетного времени, в ме-
теоусловиях Б - треть времени, в метеоусловиях В - 1/6 полетного
времени. Во второй раз он находился четверть времени в метеоу-
словиях А и 3/4 - в метеоусловиях В. В третий раз - по четверти
полетного времени в метеоусловиях Л и Б, а половину времени
- в метеоусловиях В. На сколько процентов израсходует самолет
полетный норматив горючего, двигаясь весь путь в метеоусловиях
22
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
В, если в первый раз он израсходовал его на 1011%, во второй раз
- на 92,5%, а в третий - на 97,5%?
20. (физ-78.2) Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее
металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24
тонн руды?
21. (геол-96.6) В двух банках в конце года на каждый счет начисля-
ется прибыль: в первом банке - 60% к текущей сумме на счете, во
втором - 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года
часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а осталь-
ные деньги - во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два
года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Ка-
кую долю денег вкладчик положил в первый банк?
22. (геол-79.4) Расстояние между двумя городами скорый поезд прохо-
дит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского.
Известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости
пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого. Найти ско-
рости товарного и скорого поездов.
23. (м/м-97.3) Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал ав-
томобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал
второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль
поехал с той же скоростью назад, через 48 км встретил первый
автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В
в момент прибытия в В первого автомобиля. Найти расстояние от
А до места первой встречи автомобилей, если АВ — 480 км.
24. (геол-94.1) Какое из чисел больше: 2 • \/17 или 8, (24)?
25. (ВМиК-90.2) Числа а^, аг,..., агх образуют арифметическую про-
грессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными
номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найти
аХ2, если Яго = За9.
26. (геол-80.4) В гору ехал автомобиль. В первую секунду после дости-
жения пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду
он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после
того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал ав-
тобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта
А. В первую секунду автобус проехал 2м, а в каждую следующую
§3. Стандартные текстовые задачи.
23
секунду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое
расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
27. (псих-97.3) В возрастающей геометрической прогрессии сумма пер-
вого и последнего ее членов равна 164, а произведение второго и
предпоследнего членов равно 324. Найти последний член прогрес-
сии.
28. (ВМиК-96.1) Числа а, Ь, с и d являются последовательными члена-
ми геометрической прогрессии. Известно, что а+<2 = 10, a-d =
7. Найти Ь3 4- с3.
29. (ВМиК-94.5) В начальный момент лечения пациенту была произ-
ведена первая инъекция 6 единиц некоторого лекарства, а во время
каждой последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же
лекарства. За время между инъекциями количество лекарства в
организме уменьшается в 5 раз. Какое количество лекарства бу-
дет содержаться в организме пациента сразу после 30-й инъекции?
30. (экон.М-95.4) В первый год разработки месторождения было добы-
то 100 тыс.т железной руды. В течение нескольких последующих
лет годовая добыча руды увеличивалась на 25% по сравнению с
каждым предшествующим годом, а затем на протяжении последу-
ющих 3 лет поддерживалась на достигнутом уровне. Общий объем
добытой руды за все время добычи составил 850 тыс.т. Сколько
лет разрабатывалось месторождение?
31. (геол-98(1).4) Первая бригада выполняет работу на 2 часа быстрее
второй бригады и на 7 часов медленнее, чем обе бригады, работа-
ющие одновременно. Выполнят ли бригады, работающие одновре-
менно, эту работу быстрее, чем за 7 час. 57 мин.?
32. (ВМиК-97.1) Пункты А, В и С расположены на реке в указанном
порядке вниз по течению реки. Расстояние между А и В равно 4
км, а между В и С - 14 км. В 12°° из пункта В отплыла лодка
и отправилась в А. Достигнув пункта А, она сразу же повернула
назад и в 14°° того же дня прибыла в пункт С. Скорость течения
реки равна 5 км/час. Найти скорость лодки в стоячей воде.
33. (геол-95(1).5) Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А
в пункт В, был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от
24
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
семафора до пункта В равно 80 км. При каких значениях перво-
начальной скорости поезд прибудет в пункт В не позже заплани-
рованного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10
км/ч?
34. (ВМиК-96.2) Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и
80% воды, второй - 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь
была получена из 15 л первого раствора и некоторого количества
второго раствора. Смешав то же самое количество второго рас-
твора с 5 л первого раствора, получили вторую смесь. Сколько
литров второго раствора было использовано для приготовления
первой смеси, если процентное содержание воды во второй смеси
вдвое больше процентного содержания кислоты в первой?
35. (геол-81.5) Для составления смеси из двух жидкостей А и В были
взяты два сосуда: первый емкостью 10 литров, второй - 20 литров.
Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А.
Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было
произведено перемешивание. После этого второй сосуд был допол-
нен доверху смесью из первого сосуда. После того как в первый
сосуд был добавлено жидкости А столько, сколько было в него
ее налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему
объему имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго со-
судов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито
первоначально в первый сосуд?
36. (ИСАА-95.3) На счет, который вкладчик имел в начале первого
квартала, начисляется в конце этого квартала rj процентов, а на
ту сумму, которую вкладчик имел на счету в начале второго квар-
тала, начисляется в конце этого квартала гг процентов, причем
ri + Г2 = 150. Вкладчик положил на счет в начале первого квар-
тала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину
этой суммы. При каком значении rj счет вкладчика в конце вто-
рого квартала окажется максимально возможным?
37. (геол.ОГ-77.2) Два бегуна стартовали один за другим с интерва-
лом в две минуты. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1
км от точки старта, а пробежав от точки старта 5 км, он повернул
обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла
через 20 минут после старта первого бегуна. Найти скорость вто-
рого бегуна.
§3. Стандартные текстовые задачи.
25
38. (почв-82.1) Из пункта А в пункт В отправился скорый поезд. Од-
новременно навстречу ему из В в Я вышел товарный поезд, ко-
торый встретился со скорым через 2/3 часа после отправления.
Расстояние между пунктами А и В равно 80 км, поезда двигались
с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый
поезд, если 40 км он шел на 3/8 часа дольше, чем товарный поезд
шел 5 км?
39. (хим-79.3) От пристани А вниз по течению реки одновременно
отплыли пароход и плот. Пароход, доплыв до пристани В, рас-
положенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и
отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км
от А, второй пароход, отплывший из А на 40 часов позднее пер-
вого, нагнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км.
Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота
равна скорости течения реки, а скорости пароходов в стоячей воде
постоянны и равны между собой, определить скорости пароходов
и течения реки.
40. (геол-93.3) Для рытья котлована выделили два экскаватора. После
того, как первый проработал 2 ч, его сменил второй, который за 3
ч закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил
бы на 4 ч быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время
выроют котлован оба экскаватора, работая вместе?
41. (экон.-79.3) Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином,
отлили 2 литра глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2
литра воды. После перемешивания снова отлили 2 литра смеси и
долили 2 литра воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2 литра
смеси и долили 2 литра воды. В результате этих операций объем
воды в сосуде стал на 3 литра больше объема оставшегося в нем
глицерина. Сколько-литров глицерина и воды оказалось в сосуде
в результате проделанных операций?
42. (ВМиК-95(1).1) В арифметической прогрессии с отличной от нуля
разностью сумма членов с четвертого по четырнадцатый включи-
тельно равна 77. Найти номер того члена прогрессии, который
равен 7.
43. (хим-89.2) Последовательность чисел 01,02,03,... является ариф-
метической прогрессией. Известно, что ai + 05 + 015 = 3. Найти
о 5 + Од.
26
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
44. (ВМиК-88.1) Найти сумму первых двадцати членов арифметичес-
кой прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого , че-
тырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
45. (био-91.3) Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение
каждого очередного километра пути, на одну и ту же величину
больше, чем время, затраченное им на прохождение предыдущего
километра. Известно, что на прохождение второго и четвертого
километров после старта он затратил в сумме 3 мин 20 с. За какое
время велосипедист проехал первые 5 км после старта?
46. (м/м-93(1).2) Сумма первых пяти членов геометрической прогрес-
сии равна ее первому члену, умноженному на 5, а сумма первых
пятнадцати членов равна 100. Найти сумму первого, шестого и
одиннадцатого членов этой прогрессии.
47. (ВМиК-79.1) Даны арифметическая и геометрическая прогрессии.
В арифметической прогрессии первый член равен 3, разность рав-
на 6. В геометрической прогрессии первый член равен 3, знамена-
тель равен л/2. Выяснить, что больше: сумма первых шести чле-
нов арифметической прогрессии или сумма первых восьми членов
геометрической прогрессии.
48. (геогр-91.3) Числа а1; аг, аз образуют арифметическую прогрес-
сию, а квадраты этих чисел (в том же порядке) образуют гео-
метрическую прогрессию. Найти aj, аг, аз, если известно, что
ai -f* аг -I- аз — 21.
49. (почв-95.1) Первый член арифметической прогрессии в два раза
больше первого члена геометрической прогрессии и в пять раз
больше второго члена геометрической прогрессии. Четвертый член
арифметической прогрессии составляет 50% от второго члена ариф-
метической прогрессии. Найти первый член арифметической про-
грессии, если известно, что второй ее член больше третьего члена
геометрической прогрессии на 36.
50. (хим-94(1).3) Для членов геометрической прогрессии 61,62,... из-
вестно, что 6364 = 25 и 63 + 65 = 15. Найти 61.
51. (м/м-95 (1).1) Найти первый член геометрической прогрессии, ес-
ли известно, что третий член этой прогрессии равен (-10), а его
квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член.
§3. Стандартные текстовые задачи.
27
52. (хим-78.2) Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль.
Через 1 час из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль,
который прибыл в пункт В одновременно с грузовым автомобилем.
Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из
пунктов А и В навстречу друг другу, то они бы встетились через
1 час 12 минут после выезда. Сколько времени провел в пути от
А до В грузовой автомобиль?
53. (экон.К-77.2) Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот
момент, когда он проехал 1/4 пути между А и В, из В в Л вы-
ехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь, повер-
нул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Время
движения мотоциклиста до первой встречи с велосипедистом рав-
но времени движения мотоциклиста из А в В. Считая скорости
мотоциклиста при движении изАвВиизВвА различными,
найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А
в В больше скорости велосипедиста.
54. (ВМиК-92.4) Из города А в город В выехал автомобиль. Спустя
некоторое время из В в А по той же дороге выехал мотоцикл.
Скорости автомобиля и мотоцикла на всем пути постоянны. Ав-
томобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7 часов 30
минут, а мотоцикл до встречи ехал 3 часа. Мотоцикл прибыл в А
в 23 часа, а автомобиль прибыл в В в 16 часов 30 минут того же
дня. Найти время отправления мотоцикла из города В.
55. (фил-79.4) Три автоматические линии выпускают одинаковую про-
дукцию, но имеют разную производительность. Производитель-
ность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше
производительности первой и второй линий, работающих одновре-
менно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии,
работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее,
чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия
выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией. Найти
время выполнения первой линией своего сменного задания.
56. (геогр-78.1) Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по
течению реки на 60 км до устья впадающего в реку притока и
поднялся вверх по притоку (против течения) на 20 км до пристани
В. Весь путь от А до В пароход прошел за 7 часов. Скорость
течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти
28
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
собственную скорость парохода. (Собственная скорость - скорость
в неподвижной воде.)
57. (геогр-77.4) Грузовик и гоночный автомобиль выехали одновре-
менно из пункта А и должны прибыть в пункт С. Грузовик, дви-
гаясь с постоянной скоростью, доехал до пункта С, проделав путь,
равный 360 км. Гоночный автомобиль поехал по окружной дороге
и сначала доехал до пункта В, расположенного в 120 км от пунк-
та А, двигаясь со скоростью, вдвое большей скорости грузовика.
После пункта В он увеличил свою скорость на 40 км/ч и проехал
путь от пункта В до пункта С, равный 1000 км. Он прибыл в
пункт С на 1 час 15 минут позднее грузовика. Если бы гоночный
автомобиль весь свой путь от пункта А до пункта С ехал с той
же скоростью, что и от пункта В до пункта С, то в пункт С он
прибыл бы на 1 час позднее грузовика. Найти скорость грузовика.
58. (м/м-87.4) Два поезда выехали одновременно в одном направле-
нии из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг
от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один
из них увеличил свою скорость на 25 км/час, а другой - на 20
км/час, то они прибыли бы одновременно на станцию С, но на 2
часа раньше. Найти скорости поездов.
59. (био-86.3) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновре-
менно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легко-
вого автомобиля постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика.
Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоцик-
лист со скоростью 90 км/час. Найти скорость легкового автомоби-
ля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на один час
раньше, чем легковой автомобиль.
60. (геогр-89.2) Из пункта А в пункт Б, находящийся на расстоянии
12 км от пункта А, по горной дороге со скоростью 6 км/час подни-
мается в гору пешеход. Одновременно с ним из пункта А в пункт
В выехал автобус. Доехав до пункта В менее чем за один час,
автобус поехал обратно навстречу пешеходу и встретил его через
12 минут после начала движения из пункта В. Найти скорость
автобуса на подъеме, если известно, что она в 2 раза меньше его
скорости на спуске.
61. (псих-88.4) Из городов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, ветре-
§4. Уравнения и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями.
29
тились через 24 часа после начала движения и продолжили свой
путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 часов позднее,
чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый
поезд?
62. (геол-85.3) Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа быст-
рее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 дета-
лей, если, работая вместе, они изготовили за один час 30 деталей?
63. (экон.К-87.2) В магазине продано 10,5 тонны орехов трех сортов
по цене соответственно 2 руб., 4 руб. и 6 руб. за 1 кг на общую
сумму 33 тыс. руб. Известно, что количества тонн проданных оре-
хов соответственно первого, второго и третьего сортов образуют
геометрическую прогрессию. Сколько тонн орехов каждого сорта
продано в магазине?
64. (геол-89.5) В баке находится 100 литров смеси кислоты с водой. Из
бака отлили часть смеси и добавили равное по объему количест-
во воды, которое на 10 литров превышает первоначальное коли-
чество кислоты в смеси. Затем снова отлили такое же количество
смеси, как в первый раз, в результате чего количество кислоты в
баке уменьшилось в четыре раза по сравнению с количеством ее в
исходной смеси. Определить количество воды в исходной смеси.
§4. Уравнения и неравенства с логарифмическими и
показательными функциями.
В этот параграф вошли простейшие уравнения и неравенства с по-
казательной и логарифмической функциями.
Свойства показательной функции у = ах. Необходимо сразу же от-
метить, что эта функция имеет смысл только при а > 0. При этом х
может принимать любые значения. Поэтому, если в уравнении или не-
равенстве есть выражение вида f(x)9^x\ то к условиям, определяющим
ОДЗ, надо отнести неравенство f(x) > 0.
Следующие свойства степеней необходимо знать, чтобы решать по-
казательные уравнения и неравенства:
ах > 0 при всех а > 0 и х Е R',
30
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
ах = Ь
loga b, если
Щпустое множество),
любое,
а > 0, b > 0, а ф 1,
если а = 1, 6^1,
если а = b = 1.
m п/~
Если тип- натуральные числа, то а = уат.
а~х = —, ах+у = ахау, ах~у = —.
ах ’ а»
аху = (а1)» = (ау)х.
(ab)x = ахЬх.
/а\х _ аХ
\b) " V'
а° =1, а1 = а.
Необходимо также знать, что при а > 1 функция у = ах возрастает, а
при 0 < a < 1 убывает на всей прямой.
Аналогично тригонометрическим, показательные уравнения и нера-
венства решаются сведением к простейшим при помощи вышеприведен-
ных формул. Приведем примеры простейших уравнений и неравенств с
указанием равносильных переходов, устраняющих степени:
а^х^ = ag(x\ a > 0, а / 1 <=> f(x) = g(x)
= a(x)3^
f /(®) = g(%),
1 a(x) > 0.
( a(x) = 1,
( f(x), g(x)
определены.
a(x)f^ > a(x)9^ <t=^
/(x) > g(x),
a(x) > 1.
/(x) < g(x),
0 < a(x) < 1
Аналогично решаются неравенства co знаками <, > и <.
Свойства логарифмической функции. Пусть a > 0, b > 0, а / 1.
Тогда 1о^ Ь есть такое число с, что ас = Ь. Это определение можно
записать в виде основного логарифмического тождества:
а108»6 = Ъ, а > 0, Ь > 0, а / 1.
§4. Уравнения и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями.
31
Приведем основные формулы преобразований логарифмов:
loga 1 = 0, loga a = 1, a > 0, а ф 1.
loga(6c) = loga M + l°ga lcl> a > 0, be > 0, a ф 1.
loga (bc) = cloga6, a,6>0, a/1.
logac b = - loga b, a,b> 0, a / 1, с ф 0.
c
loga (62n) = 2nloga |6|, a > 0, a / 1, 6/0, n 6 N.
loga г = - loga b, a,b>0, a / 1.
о
loga b = ——, a, b, c > 0, a, c / 1.
logc a
loga b = :---, a, b > 0, a, b / 1.
logba
alog6c = clog6a ai 6)C> 0,5/ 1.
loga b logc d = loga ' logc b, a, b,c,d>Q, a,c^ 1.
При решении задач с логарифмами НАДО ПОСТОЯННО ПОМНИТЬ
ПРО ОДЗ и следить за равносильностью преобразований. Не обязатель-
но сразу выписывать ОДЗ, достаточно ПОСТОЯННО СЛЕДИТЬ ЗА
РАВНОСИЛЬНОСТЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Простое выписывание
ОДЗ и решение полученных при этом неравенств часто приводит к лиш-
ней работе по нахождению корней квадратных трехчленов и сравнению
этих корней с корнями, которые получаются при решении собственно
уравнений и неравенств.
Приведем теперь пример простейшего логарифмического уравнения
и равносильного перехода, позволяющего избавляться от логарифмов.
Ч(«) f(X) = loga(x) ff(®) <=> <
/(х) = д(х),
/(*) > о,
а(х) > 0,
а(ж) / 1.
32
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
Вернемся к вопросу ОДЗ и равносильности преобразований. Если бы
мы сразу же выписали ОДЗ, то нам пришлось бы выписать еще одно
неравенство, которое мы не выписали в данном случае: д(х) > 0. Таким
образом ЛУЧШЕ СЛЕДИТЬ ЗА РАВНОСИЛЬНОСТЬЮ ПРЕОБРА-
ЗОВАНИЙ, ЧЕМ СРАЗУ ВЫПИСЫВАТЬ ОДЗ.
Покажем на примере, как избавляться от логарифмов в простейших
неравенствах:
loga(l) /(ж) > logo(l) д(т)
' a(x) > 1,
< > д(х),
д(х) > 0,
f 0 < а(х) < 1,
< < д(х),
( > 0,
Аналогично решаются неравенства со знаками <, > и <. При этом
необходимо помнить, что при а > 1 функция у — loga х возрастает, а
при 0 < а < 1 - убывает при всех х > 0.
1. (экон.-83.1) Грешить уравнение 2*+2 • 5*+2 = 23т • 53х.
2. (физ-95(2).1) Решить уравнение 21-1 • З1 = 0, 5 • б2-1.
3. (физ-82.4) Решить неравенство 5х - 3l+1 > 2(51-1 — З1-2).
. . on n logs 30 logs 150
4. (экон.-89.2) Вычислить ------------------—.
log30 5 loge 5
5. (ВМиК-84.1) Известно, что loga 6 = 7. Найти logb(a26).
г~
6. (физ-82.3) Известно, что logb а = V3. Вычислить logyj^ —-j=.
7. (м/м-92.3) Даны числа р и q такие, что р = logz у, q = logx у.
Найти число log/ yjxyz. считая, что оно определено.
8. (био-98.1) Вычислить
, если logb а = у/З
9. (геол-89.1) Определить, какое из чисел больше
21ogi/2| или 3 logs 26.
О
Ответ должен быть обоснован.
§4. Уравнения и нерав-ва с логарифм, и показах. функциями.
33
10. (ВМиК-82.1) Какое из чисел больше: у/З или 22Iog25+I°S1/29?
11. (экон.-90.1) Имеют ли общие точки область значений функции
у = у/з+2у/2х — 2х2 и промежуток [log3 15; +оо)? Ответ обоснуйте.
12. (геогр-86.2) Решить уравнение log* у/З — logl2 27 = -.
13. (почв-95(1).3) Решить неравенство ;——- — log2 - < 2.
logx 2 х
3 1
14. (физ-83.3) Решить неравенство - log4 у/х — - log2 х > 1.
£1 А
15. (геол.ОГ-82.3) Решить неравенство
log3((;r + 2)(z + 4)) +logi(a; + 2) < ^log^7.
2
16. (м/м-95.2) Решить неравенство —-------------- > — 3.
1°к21 ~ 1
Л/ J 1о£? (X 1 1)
17. (м/м-93(2).1) Решить неравенство --------------— > --1---——.
log(l+i) И ~ log123ll
18. (био-96.3) Решить неравенство 1 4- log1^4(log3(4 — х)) > 0.
19. (физ-97(2).5) Решить неравенство log^/g log1/3(a: + 2) > 2.
20. (геогр-95(1).2) Решить неравенство Iogy?+y? logj/з log5 х > 0.
22. (физ-97(1).5) Решить неравенство 2
21. (физ-80.4) Решить неравенство 21 1 > (1/16)1/1.
-з
81/*'
2\ 2х2
23. (геол-97(1).4) Решить неравенство I - I > (2,
у О /
х2 —10
24. (м/м-94(2).2) Решить систему
21 + 2у = 1,
Зу - бу2 = 21-1
34
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
25. (хим-83.4) Решить уравнение
log2(z2 + 3) + logi 5 = 21ogi(a: - 1) - log2(x + 1).
1 5
26. (почв-77.2) Решить уравнение 2 ^(г+-)—lg(x —1) — lg(z+-)+lg 2.
z z
27. (физ-89.3) Решить уравнение log2^ + 4) + 21og2 \/х = 5.
28. (геол-97(1).2) Решить уравнение 2 — log3 г =
31. (физ-94(1).2) Решить уравнение
32. (филол-98.3) Решить уравнение
29. (фил-89.3) Решить уравнение log2l+2(2z2 — 8г + 6) = 2.
3
30. (соц-98.2) Решить уравнение log2(z2 — 5) =: — log^/g(l — г).
llog2(x-2)-| - log1/8 з/Зг - 5.
logs (~2г) = 2
1оя5(г + 1)
33. (м/м-96(1).1) Решить уравнение
l°gl+5(z3 + Юг2 + 20г) log3(x + 5) = log3(3z2 + 8г).
34. (хим-97(1).2) Решить уравнение logr(3z — 2) = 2.
35. (геол-96(1).3) Решить уравнение log »~i (г — 1) = 2.
|2г- 3|
36. (ВМиК-83.1) Найти область определения функции
у = \/16 — г2 log2(z2 — 5г + 6).
37. (reorp-97(l).l) Найти область определения функции
у = з/г2 - г - 2 + log(3+l)(9 - г2).
38. (геол.ОГ-83.3) Решить неравенство log3(5x2 + 6г + 1) < 0.
§4. Уравнения и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями.
35
39. (псих-80.4) Решить неравенство
logj(x- -) + logi(z- 1) > 1.
40. (ВМиК-86.1) Решить неравенство log3(;r + 2) + log3(;r — 4) — 1 < 0.
41. (ВМиК-92.3) Решить неравенство
log2(11 - х) + log2(ж + 1) < log2((z + 1) • (х2 + 5х - 5)).
42. (геол-83.3) Решить неравенство logsin »(z2 — Зж + 2) > 2.
43. (м/м-87.2) Решить неравенство + 4z + 11 — 4\/3) < 2.
44. (ВМиК-90.1) Решить неравенство logl2+_48 < 1.
45. (почв-93.3) Решить неравенство log9a.2+1 37 > 1.
46. (био-94.2) Какое из двух чисел больше:
•/И или
Ответ должен быть обоснован.
47. (геол.ОГ-85.1) Определить, какое из двух чисел больше
2log’ 5 - 0,1 или 5log’2.
Результат обосновать.
48. (геол-85.1) Определить, какое из двух чисел больше
3log=5 + 10 >Ig 2 или 5Iog=3 + ‘Ж
Результат обосновать.
49. (ИСАА-94.2) Решить уравнение 2llog27 • 7* +х = 1.
50. (геол-97.5) Решить неравенство ll,o8i/u 1о8т * < yiog1/7iognx
51. (экон.К-80.1) Решить неравенство log5(26 — З1) > 2.
52. (физ-81.4) Решить неравенство 5Iogj < 1.
53. (экон.М-97.1) Решить уравнение З'*' = 5i2+3x.
36
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
54. (физ-97(1).3) Решить уравнение log9(ic2/4) + log3(a; + 5) — 1.
55. (хим-98.1) Решить уравнение 4х + 21 — 2 = 0.
56. (геол-84.1) Решить уравнение 3 • 9r+1 — 6 • Зг — 1 = 0.
57. (хим-90.1) Решить уравнение 4х + 3 • 2Х+2 = 64.
58. (физ-96(1).3) Решить уравнение З2* = ((0, 6)* + 2) • 25*.
59. (хим-92.1) Решить уравнение х + 1 + log1/3( —2 + 3~r) = 0.
60. (фил-91.2) Решить уравнение log2(5 • 2* + 3) = 2z + 1.
61. (физ-96.3) Решить уравнение 5Х^2 — $2-3а72 — 24 5~х?2.
62. (физ-94(1).3) Решить уравнение 5^ — 53-^ — 20.
63. (экон.М-99.2) Решить уравнение
л/14.
64. (м/м-78.2) Найти все решения уравнения 4COS2х + 4COS х = 3, при-
3 ,1
надлежащие отрезку 1 .
65. (физ-87.2) Решить уравнение 4slnI + 25-2sinl = 18.
66. (ВМиК-90.3) Решить уравнение
3.642sm2(l + lr/4) _ 392.8sin Зх + 1б = Q.
g-f-2 Вд— 10
67. (псих-93.1) Решить уравнение З3*-4 -7 — 2-3 3*-4 .
68. (псих-93.1) Решить уравнение 22*+1 — 1 = 22®*1.
69. (физ-85.4) При каждом значении параметра а решить уравнение
4* — 2а • (а + 1) • 21-1 + а3 = 0.
70. (физ-96(2).5) Решить неравенство 41'0-5 + 2*+1 — 16 < 0.
§ 4. Уравнения и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями.
37
71. (геол-80.1) Решить неравенство 7 х - 3 • 71+х > 4.
72. (ВМиК-77.1) Решить неравенство
/1 \ 21+3
22*+i_21(-J + 2 > 0.
73. (геол.ОГ-77.1) Решить неравенство
11-3х-1-31
4-9х - И-3х-1 - 5 -
1 — а? 1 — 2г
74. (хим-95(1).3) Решить неравенство 2~*~ < 2 ** + 1.
75. (псих-77.5) Для каждого значения параметра а найти все х, удов-
летворяющие условию а2 — 9*+1 - 8 • 3х • a > 0.
76. (хим-97.2) Решить неравенство (д/2 + 1)х + 1 < 2 • (V2 — 1)х.
77. (почв-83.3) Решить систему уравнений
з; + 2»+1 = 3,
4x4-4» = 32.
78. (ВМиК-85.1) Решить систему уравнений
6х - 2 • 3s = 2,
6х • 3» = 12.
79. (почв-98.4) Решить систему
Ух = Зу,
2 log3 у + logy 3 = Зх.
80. (био-80.2) Решить уравнение
2(log2 ж)2 - 31og2 | - И = 0.
81. (почв-81.2) Решить уравнение 2(lgz)2 + (1 — V2) Igz2 = 2\/2.
82. (хим-98(1).2) Решить уравнение log4 х + 2 log* 4 = 3.
83. (фил-81.2) Решить неравенство log2(2 — х) — 8 logi (2 — х) > 5.
84. (геол-98.5) Решить неравенство
, , 1 з
> 557(^2) + 2
38
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
3 logg 5 X
85. (био-87.3) Решить неравенство -—-—1------ > 2 log0 5 х + 1.
2 - l°go,5 х ~
86. (м/м-86.3) Решить неравенство > 2< log2I.
87. (м/м-95.1) Найти наибольшее целое число к, удовлетворяющее не-
равенству 4 32fc+1 + 3fc < 1.
88. (био-91.1) Решить уравнение
1 + 20 = 0.
89. (почв-92.3) Решить уравнение
91 - 82 • 3* + 162 - 3l/2+2 _
З1/2 - 9 ~ ~9'
90. (почв-96(1).2) Решите уравнение log(4j,_r2j т = log(12_3j.) т.
91. (ВМиК-96(1).2) Решить уравнение
1°Я21+з(* - 2)2 = log(£+|)(a; - 2)2.
92. (геогр-94.3) Решить неравенство logr(2 — х — х2) > 0.
93. (м/м-98.2) Решить неравенство log 2»+2 (Ют2 + х - 2) < 0.
&JB—1
94. (фил-92.2) Решить неравенство log^Jx2 — х3 + 21т) > 3.
т2 | Зт — 4
95. (м/м-97(1).2) Решить неравенство logI+1 —-------— < 1.
96. (экон.М-95.3) Решить неравенство log»»-i ( т — ) >1.
97. (м/м-88.2) Решить неравенство log5a._4a.2 4-1 > 0.
98. (ВМиК-98.2) Решить неравенство log2(5 — т) • log^.,.!) > —6.
§5. Тригонометрия — 2.
Этот параграф снова, как и первый, посвящен исключительно три-
гонометрии. Здесь собраны однородные тригонометрические уравнения,
задачи на метод вспомогательного аргумента и системы тригонометри-
ческих уравнений.
§5. Тригонометрия - 2.
39
Однородными уравнениями 1-й степени называются уравнения вида
A sin х + В cos х = О, А2 + В2 ф 0. (1)
Однородными уравнениями 2-й степени называются уравнения вида
A sin2 х + В sin х cos х + С cos2 х = 0, A2 -t- С2 0. (2)
К однородному уравнению 2-й степени сводятся любые уравнения вида:
D sin2 х + Е cos2 х + F sin 2х + G cos 2ж + Н sin х cos х + К = 0.
Схема решения уравнения (2). Пусть А 0. Тогда корни уравнения
cos х = 0 не могут быть решениями (2), т.к. иначе после подстановки
cos х = 0 в (2) получим sin ж = 0, что противоречит основному тригоно-
метрическому тождеству. Следовательно можно поделить все уравнение
на cos'6 х и получить эквивалентное исходному квадратное уравнение
относительно tgz: A tg2x + В tgж + С = 0. Если же С 0, то мож-
но поделить на sin2 х. Получающиеся квадратные уравнения решаются
методами §1. Отметим, что при оформлении решения подобного рода
задач НЕОБХОДИМО ПРИВОДИТЬ ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
того факта, что корни уравнения cos ж = 0 (или sin а: = 0, соответствен-
но) не является решениями уравнения (2).
Однородные уравнения 1-й степени можно решать как с помощью
вышеописанного метода (т.е. делением на sins или cos ж), так и с помо-
щью метода вспомогательного (дополнительного) аргумента:
A sin ж ± В cos ж = л/А2 + В2 I —====== sin ж ± —,cos ж I =
\у/А2 + В2 у/А2 + В2 )
= у/А2 А В2(sin ж cos ф ± sin ф cos ж) = х/^2 + -Э2 вш(ж ± ф),
где ф = arcsin . или ф = arccos , .Г4 , или ф = arctg4, А / 0.
т уА24-В2 т уА24-В2 ’ т °А7 •
Уравнения вида A sin ж + В cos ж = С проще всего решать мето-
дом вспомогательного аргумента.
При решении систем тригонометрических уравнений НЕОБХОДИ-
МО ИСПОЛЬЗОВАТЬ РАЗНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕНН-
ЫХ ПЕРЕМЕННЫХ при решении разных уравнений системы.
40
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
/ 7Г \
9. (экон.-92.1) Вычислить logi^ sin (7 4—И
1. (геол.ОГ-85.4) Решить уравнение 5 sin2 х — 4 sin х cos х — cos2 х = 4.
2. (ИСАА-97.3) Решить уравнение 1 — 3 sin х cos х — 5 cos2 х = 0.
3. (хим-82.1) Решить уравнение i/3sin2a: — cos 2а; = т/З.
4. (био-79.1) Решить уравнение созЗа; = 1 — л/ЗзшЗа:.
5. (физ-96(1).1) Решить уравнение 1 — sin5а; = cos 5а:.
6. (хим-79.1) Решить уравнение sin 2а: = 1 4- д/2 cos х 4- cos 2а:.
7. (геол-90.3) Решить уравнение 1 — (2 cos а: + т/З) • ctga: = 2 sin а:.
8. (экон.-92.1) Вычислить logn/25 | sin3/3| + logn/251 sin/3|,
если sin (j3 — —) + cos (j3 — — ) = \/2/5.
+ log I»
если известно, что cos 7 4- sin 7 = —
10. (физ-94(2).2) Решить уравнение 5 cos х 4- 2 sin х = 3.
11. (геол-85.4) Решить уравнение 3 sin х + 5 cos х = д/17-
2 .
12. (фил-91.4) Решить уравнение — sina: + cos 19тг = cosх.
тг
13. (геол-79.3) Найти все числа А, при каждом из которых уравнение
5 sin х + 2 cos х — А имеет решение.
14. (псих-81.3) Найти все решения уравнения cos 7х — -\/3sin 7х = — \/2,
_ . бтг
удовлетворяющие условию 0,4тг < х < —.
15. (геогр-98.4) Решить уравнение
sin х 4- у/3 cos х = 2 4- 3 cos2 | 2а: 4- — ) .
\ 6/
16. (экон.-90.5) Найти все корни уравнения
^/1 — ctg2(2?ra:) соз(тга:) 4-зш(тга:) = л/2,
расположенные на отрезке [—3; 1].
§5. Тригонометрия - 2.
41
17. (экон.-90.5) Найти все корни уравнения
/ /3 \
< /3 — tg2 I -ттх I sin(7rz) — cos(Trr) = 2,
расположенные на отрезке [—3;2].
18. (геол.ОГ-80.1) Решить уравнение sin2a: = 2х/3со82г.
19. (фил-80.1) Решить уравнение \/3 sin 2х — 2 cos2 х.
20. (хим-94(1).2) Решить уравнение sin 2r + cos2 г = 0.
21. (геогр-94(1). 1) Найти наименьший положительный корень уравне-
г~~ (Зтг \
ния v3 cos I-----1- 2x ) — 2 cos2 x = 0.
\ 2 /
1 I у/З
22. (почв-79.3) Решить уравнение ----------sin2a: = (\/3 — 1) cos2 х+ 1.
23. (физ-91.1) Решить уравнение 8 — 7sin 2r = 12sin2z.
24. (био-80.5) Найти все те решения уравнения
3 sin3 х — 3 cos2 х + 7 sin х — cos 2х + 1 — 0,
которые являются также решениями уравнения
cos2 х 4- 3 cos х sin 2х — 8 sin х = 0.
25. (экон.К-79.1) Решить систему уравнений
f 4 sin у — Gy/2 cos х — 5 + 4 cos2 у,
| cos 2x = 0.
26. (геол-83.4) Решить систему уравнений
( 3 sin Зх + cos у — —4,
t * + 1/=4Г-
27. (геол.ОГ-83.4) Решить систему уравнений
f cos4x + sin 2у = — 2,
1 х — у = 2тг.
42
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
28. (фил-77.2) Решить систему уравнений
tgz • tgy = 5 - 2\/б,
* + У = т-
29. (почв-94(1).4) Найти все решения системы
sinх cosy — 1/4,
cos х sinj/ = —1/4,
удовлетворяющие неравенствам — f- < г < ff < 1/ < f •
30. (геол-81.4) Решить систему уравнений
sin х sini/ =
3tgz = ctg?/.
31. (геогр-87.4) Найти все решения системы уравнений
sin(2x 4- у) = 0,
соз(г 4- у) = 1,
удовлетворяющие условиям —тг < х < тг, —2тг < у < —тг.
32. (ВМиК-77.3) Решить систему уравнений
sin2(—2г) — (3 — -/2) tg5?/ = ,
tg25y + (3 - \/2) зш(-2г) =
33. (био-79.5) Найти все пары чисел хну, удовлетворяющие условиям
{(\/3 + 1)(1 + соз(гт/) sin(xi/)) = (Л + 1) sin2(xi/) 4- cos(2xt/),
х-2у2 - У2 + 1 — 0,
+ У2 < б-
34. (почв-85.3) Найти все корни уравнения
(1 4- tg2z) sins — tg2x 4-1 = 0,
удовлетворяющие неравенству tgz < 0.
§6. Задачи с радикалами.
43
35. (ВМиК-97(1).2) Решить уравнение
6 sin х — 2 cos 2х — 4 cos2 х — 3
л/7 sin х — 3 cos х
36. (физ-96.8) Для каждого значения а найти число решений уравне-
ния
atgx + cos 2т = 1, принадлежащих промежутку 0 < х < 2тг.
37. (геол.ОГ-79.6) Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
2 6х 9л/3
х ----т== 4---------Ь 36 = О имеет единственное решение.
V sin a cos a
38. (геол.ОГ-79.6) Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
2 2х 1 п /п г.
х 4—-== 4-----------1- 2V2 = 0 имеет единственное решение,
vsina cos а
39. (ВМиК-98.3) Решить уравнение | sin3 4- 13 cos3 х — cos х = 0.
§6. Задачи с радикалами.
В этом параграфе собраны стандартные задачи с радикалами. Мето-
дика решений таких задач хорошо отработана и основана на следующих
эквивалентных переходах:
\/Д®) =
д(х) > о,
/(т) = (д(т))2,
f д(х) > 0,
х/Дж) < д(х) <=> < f(x) < (д(х))2,
[ /(*) > о,
Vf(x) < д(х) <=> •
д(х) > о,
/(ж) < (д(х))2,
f (x) > 0,
44
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
\/f(.x) > g(x) <==>
Vf(x) > g(x) <=>
Ф) > o,
f(x) > (jz(®))2,
g(x) < o,
/(x) > o,
ff(®) > o,
f(x) > (Ф))2,
ff(x) < 0,
/(x) > 0.
Если в рассмотренных выше уравнениях или неравенствах ради-
кал стоит в правой части, тогда желательно переписать условие так,
чтобы радикал стоял слева. Это поможет избежать возможных оши-
бок, получающихся из-за того, что вам приходится смотреть на нера-
венство с другой стороны. То есть мы рекомендуем неравенство вида
д(х) < \//(®) сначала переписать в виде \/ f(x) > д(х) и только после
этого решать.
Если в уравнении или неравенстве имеется несколько радикалов, то
сначала имеет смысл сгруппировать эти радикалы. Здесь играют роль
как простота получающихся неравенств при использовании приведен-
ных выше эквивалентных переходов, так и возможность получить по-
добные слагаемые при возведении в квадрат обеих частей уравнения
или неравенства.
Возникающие при решении УРАВНЕНИИ с радикалами тригоно-
метрические неравенства лучше сразу не решать, а производить отбор
полученных корней посредством подстановки в эти неравенства. Если
же тригонометрические неравенства возникают при решении НЕРА-
ВЕНСТВ с радикалами, то решать их скорее всего придется, причем
лучше всего это делать на тригонометрическом круге.
1. (геол-94.5) Решить неравенство \/4z — 3 — z2 / 0.
2. (м/м-86.1) Решить уравнение 2 со8(-\/х + тг) 4-1 = 0.
3. (хим-78.3) Решить неравенство ^/2(5® 4- 24) — у/5х — 7 > у/5 х + 7.
4. (м/м-98.1) Решить неравенство 3 • \/\х 11 — 3 > \/х2 — 2х — 3.
5. (ВМиК-91.1) Решить уравнение у/х 4- 4 4- х — 2 = 0.
6. (геол-95.1) Решить уравнение у/Их — 6 + х = 4.
§б. Задачи с радикалами.
45
7. (соц-97.3) Найти все решения уравнения д/—За: + 3 = х — 1.
8. (геол-96.1) Решить уравнение д/За: — 5 = х — 11.
9. (хим-98(1).1) Решить уравнение 7 — х = Зд/5 — х.
10. (геол-83.1) Решить уравнение (z +1)д/16а: + 17 = (ж+ 1)(8т —23).
11. (био-77.1) Решить уравнение \/б — 4х — х2 = х + 4.
12. (м/м-94(1).2) Решить уравнение Зд/а: + 4 = 5 — 2[ж + 2|.
д/2 — а:2 = |а:| — 1.
д/а:4 — 2а: — 5 = 1 — х.
д/3 а: — 5 — д/4 — а: = 1.
д/а: + 1 — д/4а: — 3 = 1.
д/а: + 3 — д/2а: — 1 = д/За: — 2
13. (геогр-95.3) Решить уравнение
14. (физ-85.2) Решить уравнение
15. (ИСАА-91.1) Решить уравнение
16. (почв-98.1) Решить уравнение
17. (геол.ОГ-82.2) Решить уравнение
18. (геол-95(1).3) Решить уравнение
19. (экон.М-96.4) Решить уравнение
20. (экон-98.2) Решить уравнение
21. (м/м-88.1) Решить уравнение
22. (псих-95.3) Решить уравнение
23. (м/м-91.1) Решить уравнение
24. (фил-90.1) Решить уравнение
25. (м/м-97(1).1) Решить уравнение
д/sina: = — cos х.
д/12 sin х = д/sin 2а:.
tga: + д/3 sin х = 0.
д/1 — cos 2а: = sin 2 а:.
у/2 sin х — д/2 + cos х = 0.
д/4 cos 2а: — 2 sin 2а: = 2 cos х.
д/10 cos х — д/4соза: — cos 2а: = 0.
д/—24 cos х + 25 = 4 cos х — 3.
26. (псих-79.1) Решить уравнение
у 3 + 4д/б — (16д/3 — 8д/2) cos х = 4 cos х — д/3.
46
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
27. (геол-98(1).3) Найти все решения уравнения
у/1 — sin 2х — у/2 cos Зт = О,
Зтг
лежащие на отрезке —— < х < —тг.
28. (геогр-94(1).3) Решить систему
log2(10 ~ Зу) + logo,s (2т/ - 5ж) = О,
у/х + 2у + 1 — у/11 — Зу = \/%х + 4у — 12.
29. (хим-98.2) Решить неравенство + 3 > х + 1.
30. (почв-87.2) Решить неравенство у/2х + 3 > х.
31. (хим-96.2) Решить неравенство у/х + 5 > 7 — х.
32. (псих-97.2) Решить неравенство лД + 3 > 5 — 2t.
4х 15 ~~ 4х2
33. (м/м-95(2).1) Решить неравенство —=====------------ > 0.
у/4х 4-15 + 2х
34. (экон.-95.1) Решить неравенство 2х — 5 < \А:2 — а: — 6.
35. (псих-88.3) Решить неравенство 2х — 11 < 2>/36 — х2.
36. (био-80.3) Решить неравенство v —а:2 + &х — 5 > 8 — 2х.
37. (экон.-88.2) Решить неравенство х + v^2 + £ — 6 > —1.
38. (почв-97.6) Для каждого значения параметра а решить неравенст-
во
\/а2 — х2 > а + 1.
39. (физ-97.7) Для любых значений а решить неравенство
а — 2 < (а — 1)у/х + 1.
40. (физ-97.7) Для любых значений а решить неравенство
5 — а < (4 — ajy'x — 3.
§6. Задачи с радикалами.
47
41. (м/м-96.2) Решить неравенство \?17 • 9® — 4® > 3* — 3 • 2х.
________ / 1 \ х ~
42. (ВМиК-94(1).3) Решить неравенство \/7 + 21-® > 7 — ( - I
43. (физ-95.7) Для каждого значения а решить неравенство
3V^+i
44. (фил-85.3) Решить неравенство logi/2('V/s + 1 — х) < 2.
45. (ИСАА-96.4) Решить неравенство
1о8о,5(>/® + 2 - х + 4) > -1 + log0 5 3.
46. (физ-97.3) Решить неравенство ylog5(a: + 2) > log^j
5
х + 2
47. (ВМиК-84.4) Решить неравенство у/7 — log2 х2 + log2 х4 > 4.
48. (псих-94.1) Верно ли неравенство 31og25 < \/91og2 5 + 28?
(таблицами и калькуляторами не пользоваться).
49. (псих-94.1) Верно ли неравенство 4(1 — log3 2) < \/1 + log3 4?
(таблицами и калькуляторами не пользоваться).
50. (экон.-93.3) Решить неравенство Зу/х + 2 < 6 — |i - 2|.
51. (ВМиК-94.2) Решить неравенство у/х — 3 < 3 — |я? — 6|.
52. (био-97.3) Решить неравенство д/|1 - 8i| - 2 < X + 1.
53. (псих-93.2) Решить неравенство у/1 — X — у/X > 1/у/З.
54. (геол-84.2) Решить неравенство \/2х2 — 6х + 4 < х + 2.
55. (геол.ОГ-84.2) Решить неравенство v х2 — Зх + 2 < Зх — 3.
56. (физ-97(2).3) Решить неравенство у/х2 + х + 4 <2х + \3х — 2|.
57. (псих-89.5) Для каждого значения параметра а решить неравенст-
во
х + 2a— 2y/3ax + а2 > 0.
48
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
58. (псих-89.5) Для каждого значения параметра а решить неравенст-
во
х + 2a— у/Зах + 4а2 > 0.
59. (псих-83.2) Решить неравенство
60. (ИСАА-93.1) Решить неравенство
61. (ВМиК-82.3) Решить неравенство
62. (экон.К-88.3) Решить неравенство
63. (экон.В-98.1) Решить неравенство
\/51 — 2z — а:2
1 — х
у/х2 — 5х + 8 >
3-х -
•\/2 — х + 4а; — 3
х ~~
у/х2 + х + 6 + За: + 13
х + 5
\/т2 + За: + 2 < 1 + \/а:2 — а: + 1.
§7. Разложение на множители и расщепление.
В этом параграфе собраны задачи, для решения которых необходи-
мо иметь навыки разложения на множители степенных, тригонометри-
ческих, логарифмических, показательных, а также смешанных выраже-
ний. Получающиеся при этом уравнения или неравенства обычно легко
решаются методом расщепления. Чтобы успешно решать задачи этого
параграфа необходимо очень хорошо знать формулы, которые вы при-
меняли при решении задач из §1-6. Обязательно повторите все эти
формулы до начала занятия.
Однородные уравнения относительно функций f(x) и д(х) решаются
сведением к квадратному уравнению делением, например, на (д(х))2:
А (/(а:))2 + В f(x) д(х) + С (д(х)}2 = 0, А, С ф 0
+в- Д4+с=°-
sw
Отметим важные случаи, когда функции f(x) и д(х) не имеют общих
корней, и, следовательно, от выписанной совокупности остается только
§ 7. Разложение на множители и расщепление.
49
квадратное уравнение:
1) f(x) = sina:, д(х) = cos а: (см. §5); 2) f(x) = ax, д(х) = bx, a > О,
Ь> 0.
Некоторые задачи вида
f(x)-g(x) > о
р(а:) • q(x)
(3)
где /(а:), д(х), р(х) и q(x) суть показательные или логарифмические
функции, особенно эффективно решаются модифицированным методом
интервалов. Идея модифицированного метода интервалов достаточно
проста и основана на следующих соображениях:
т. к. при а > 1 loga b(x) > 0 <=> Ь(х) — 1 > 0,
Ь(х) — 1 < 0,
Ь(х) > 0,
a loga b(x) < 0 <=>
то в неравенстве вида (3) функцию f(x) = loga b(x) можно заменить
на (Ъ(х) — 1), не забывая при этом для сохранения эквивалентности
преобразований дописать ОДЗ, т.е. неравенство Ь(х) > 0. Аналогичные
рассуждения позволяют при 0 < a < 1 обосновать в (3) замену
f(x) = loga Ь(х) на выражение (1 — b(x)) с учетом ограничения Ь(х) > 0.
Несколько более просто рассматриваются показательные функции:
т. к. при а > 1, с > 0 а6*1’ — с > 0 <=> &(т) — loga с > 0,
а — с < 0 <=> Ь(а:) — loga с < 0,
то в неравенстве вида (3) функцию g(z) = (a6*1’ — с) можно заменить
на {Ь(х) — loga с); если же 0 < a < 1 , тогда д(х) = {аъ^х'> — с) можно
заменить на (loga с — £>(□;)).
При решении задач модифицированным методом интервалов ПОМ-
НИТЕ, что выражение вида loga 6(т) или (аь^ — с) должно входить
в неравенство (3) целиком в виде одного из СОМНОЖИТЕЛЕЙ, а не
какой-то его частью.
После разложения на множители получающиеся уравнения и нера-
венства решаются расщеплением. Само понятие ’'расщепление уравне-
ний и неравенств" мы впервые встретили в книге Мельников И.И.,
Сергеев И.Н. "Как решать задачи вступительного экзамена по мате-
матике”. Основная идея расщепления при решении уравнений f(x)
50
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
д(х) = 0 достаточно проста и основана на том, что произведение равно
нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен
нулю, а другой при этом ИМЕЕТ СМЫСЛ, т.е.:
Дх) д(х) = 0
( Л^) = о,
1 д(х) - определена .
f д(х) - 0,
1 Дх) - определена .
Аналогичные соображения используются при расщеплении неравенств
Дх) д(х) > 0, Дх) -д(х)< 0, Дх) • д(х) > 0, /(ж) • д(х) < 0,
например:
Дх)-д(х) >()<=>
/(ж) • д(х) > 0,
/(ж) • д(х) - 0
/(ж)-дг(ж) > 0 <=>
Дх) > 0,
д(х) > 0.
Дх) < 0,
д(х) < о.
1. (геол-94(1).6) Решить неравенство |ж| (ж4 — 2х2 — 3) > 0.
2. (экон.-86.3) Решить уравнение у/Зх + 4 • (9ж2 + 21ж + 10) = 0.
3. (геол-88.2) Решить неравенство (ж2 + 8ж + 15) у/х + 4 > 0.
4. (ВМиК-78.1) Решить неравенство (ж — 1)\/ж2 — х — 2 > 0.
5. (экон.К-86.3) Решить неравенство
(8ж2 - 6ж + 1)л/—25ж2 + 15ж- 2 > 0.
6. (м/м-83.1) Решить неравенство Х — >
z 1 2ж + 5 — ж + 4
|ж3| — |5ж|
7. (м/м-95(1).2) Решить уравнение — ....=/ ---------= 0.
V2x2 — 4х — 1 — |а:| + 2
§ 7. Разложение на множители и расщепление.
51
8. (геол-95.3) Решить систему
х3 • у/х - у = О,
Чу2 + У = 21 + 2ху.
9. (псих-81.1) Решить систему уравнений
X - у + yjx2 - 4у2 - 2,
хь / х2 — 4 ту 2 = 0.
10. (экон.К-83.2) Решить уравнение \/4 — z2(sin 2тга: — Зсозтгх) = 0.
11. (м/м-95.3) Решить уравнение
Г~>---- /л Л \
vsin Зх • tg I 2х — — ] = 0.
\ б /
12. (ВМиК-98(1).3) Решить уравнение tga: • Vsin х — 2cos х — 1 = 0.
13. (ВМиК-87.4) Решить уравнение
(2 + 3 cos 2х) (V2 cos 2а: + 3 sin а: + 3 — 2 sin х + 1) = 0.
14. (ВМиК-87.4) Решить уравнение
(4 sin х + 1 + \/3 + 5 cos 2а: — 16 sin х) (1+3 cos 2а;) = 0.
15. (геогр-95(1).3) Решить уравнение
tga: • (cos 2а: + 3 sin х — 2)
х/187тг2 + Збтга: — 36а:2
16. (м/м-97.1) Решить уравнение (2 sin2 х — 3 sin х + 1) д/tga: = 0.
17. (экон.К-87.1) Решить уравнение (2sina:
18. (экон.-96.3) Решить уравнение
. 19тг \ / 15тг х
tg — -----tga: ) ’ у 6 cos —— cos — — cos x — 3 = 0.
19. (ИСАА-95.5) Решить неравенство
\/4a: - a:2 - 3(У2 cos a: — /1 + cos 2a:) > 0.
52
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
20. (ИСАА-95.5) Решить неравенство
\/2 — х — х2 (д/2 sin х — у/1 — cos 2х) > 0.
21. (м/м-81.2) Решить систему уравнений
л/sin х cos у = 0,
2 sin2 х — cos 2у — 2 = 0.
22. (м/м-93(2).3) Решить систему
(cos у + sin х - 1) (tg2 (z - |) + tg2 (у + f)) = 0,
(sin х — cos у) • (2 — sin 2y + sin y) = 0.
23. (био-88.5) Решить систему уравнений
(л/Зсоэ + sin к^2х • (^/3 - а:2 - у2 + 2а: - 3) = 0,
3 cos + sin = Л cos .
24. (экон.-91.5) Найти площадь плоской фигуры, состоящей из точек,
координаты которых удовлетворяют условию
(х2 + у2 - х - у) • (х2 + у2 - 1) < 0.
25. (экон.-92.2) Решить неравенство
(2 - з*-5 - З5-1)-1 • (z2 - 7х + Ю) • VzPT > 0.
26. (экон.-92.2) Решить неравество
(4»-1 + 41-» _ 2)-1 • (х2 - 5х + 4) • у/7^ < 0.
27. (геол-88.3) Решить уравнение (2х2 — 5х 4- 2) • (log2l(18a:) + 1) = 0.
28. (почв-80.4) Решить неравенство (4а:2 — 16а: + 7) log2(z — 3) > 0.
29. (хим-84.1) Решить неравенство ----------— > 0.
log3 х2 ~
§ 7. Разложение на множители и расщепление.
53
30. (м/м-81.1) Решить неравенство
31. (м/м-89.2) Решить неравенство
32. (геол-95.5) Решить уравнение
bg^(s - 4) - 1 “
у/2 — х2 + 2х + х — 2
log3(j - х) +log32 -
^2-\/3sin(7r® + Зтг) — tg(?rx
- тг/2)} • log2(4 — ж2) = 0.
33. (ИСАА-92.5) Решить неравенство log^ | cos®| • log5(a:2 — 9) < 0.
34. (геол-93.1) Найти численное значение выражения
( \ / /-\ 2
8ay/a + bVb /-г\ / 4у/а + 2vb \
----------т=— V ао I • I :— I
4у/а + 2Vb J-\ 4а - b J
35. (геол-96.5) Решить систему
( х2 — ху = 20у,
[ Ьху — 5у2 = 4х.
36. (почв-98(1).2) Решить неравенство (г2 — 4а:)2 > 16.
37. (псих-90.3) Найти все решения неравенства
/15 15 \2
I —х -----------------I < 1.
\ 2 8 88 - 32х/ ~
38. (геогр-96(1).4) Решить неравенство
(Зх — 2 arccos(—1/2)) • (х — logyj 2-\/7)2
х — 8 sin(2417r/12) ~
39. (био-83.1) Решить уравнение 4cos3 х + 3"\/2sin2a: = 8cosa:.
40. (почв-94.1) Решить уравнение sin3 х — sin2 х = sin2 х • cos2 х.
41. (псих-84.3) Решить уравнение 2(cosx — 1) - sin 2х = 3sina:.
54
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
42. (почв-96(1).5) Решите уравнение (1 — cos 8a:)tga: = 6sin1 2 4х • ctga:.
43. (физ-86.3) Решить систему уравнений
Зу = х,
2 sin а: + sin 2т = 2 cos2 |.
44. (био-89.3) Решить уравнение
sin х • (3 sin 2х sin3 х 4- 12 sin 2х sin х — 16 cos а:) 4- 2 sin 4х = 0.
45. (физ-90.3) Решить уравнение cost - cos За: = cos 2а:.
46. (геол.ОГ-88.2) Найти все значения а, удовлетворяющие равенству
sin 20° _
sin(4ar 4- 60°)
47. (геогр-79.2) Решить уравнение sin(a:——)-sin(a:4-~^-) =cos(a:4-—)•
6 3 4
48. (ВМиК-88.2) Решить уравнение cos 7а: 4-cos х = 2 cos 3a:(sin 2а: — 1).
49. (био-97.2) Решить уравнение sin 2а: — sin 4а: = (cos 2а: 4- 1) • cos За:.
50. (физ-97(1).1) Решить уравнение sin х 4- sin За: — 4 cos3 х.
51. (фил-81.1) Решить уравнение
• Л 7тг
sin 12 а:-----—
4- sin
4- cos 6а: = 1.
52. (фил-78.3) Решить уравнение 5sina:4-6sin2a:4-5sin3a:4-sin4a: = 0.
53. (экон.К-88.2) Решить уравнение \/3sin2a: 4- 2 sin2 а: — 1 — 2 cos а:.
54. (ВМиК-78.2) Решить уравнение
х • 21 7 .5 х
(1 4- tg 2х) I sin —a: cos -х 4- sin -a: cos —
\ 4 4 4 4
1 /. х 5 .7 21 \
---т—— ( sin — cos -х — sin-X COS X I
cos2 2a: \ 4 4 4 4 J
§ 7. Разложение на множители и расщепление.
55
55. (био-77.4) Решить уравнение
тг
12
. (х 2тг\ „ . /За? тг
= 2 sin - + — I- 2 sin — + -
\5 3 ) \ 5 о
56. (экон.-88.3) Решить уравнение
sin(a: 4- тг/4) • cos(4a: — тг/4) = cos х cos 2х.
57. (био-82.2) Решить уравнение sin2 х + cos2 За? = 1.
58. (ИСАА-98.1) Решить уравнение sin2 х + sin2 6ж = 1.
59. (хим-95.3) Решить уравнение cos 2х = 2(cos х + sin х).
60. (псих-91.2) Решить уравнение
(cos х — 1) • (sin х-cos 2х — 1) = sin2 х.
2
61. (почв-78.5) Решить уравнение
^(дл/^з _ з>/^3) _ 32т^з+1 _ 3У^з+1 + _ 18
62. (почв-88.3) Решить уравнение 3 • 4х — 7 • 10* 4- 2 • 251 = 0.
63. (геол-98(1).2) Решить уравнение logg(4I — 2 • 181) = 2х.
2 -6* — 4х - 15
64. (геол-86.3) Решить уравнение —-----------------= 3.
61 — 91 — 5
65. (хим-93(1).4) Решить систему
( бх2 + 17ху+ 7у2 = 16,
I !og2l+y(3x + 7у) = 3.
1 X
66. (ВМиК-98(1).1) Решить неравенство ----------г > log,----1.
bg2 j 8
logi/5 (jts) - 2 Л 7
67. (геол-9и.4) Решить неравенство —г2----------тт— < 4-----------.
log125 z12 “ logx 5
56
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
68. (ВМиК-94.3) Найти все отрицательные значения и, при которых
1 1
выполнено неравенство ---------------------- + ;---, - . > 0.
log3cosu3 logaC^) ~
69. (псих-78.1) Решить уравнение
3 ж3 1
(logs ~) log2 х - log3 -д = - + log2 у/^.
2х - 1
70. (физ-93.1) Решить неравенство ------------ < 0.
хь Л
З1 — 2
71. (геол-95.4) Решить неравенство —---------- < 0.
х* — bx -f- 5
72. ^почв-97(1).4) Решить неравенство ~~ > 0.
(log2 З)-1 - ac(log2^ 3)
73. (экон.-93.1) Грешить неравенство log7I_625 <2.
74. (ВМиК-97.2) Решить неравенство log i 2 < log2l2 1.
1-х2
75. (м/м-94(2).3) Решить неравенство
^°g(2-5i) 3 + jOg2(2 — 5ж) ~ log6(6a:2 — 6ж + 1)
76. (псих-98.3) Решить неравенство
уАх + 7 - Зг + 5
16 - Зх2 + 22х -
77. (м/м-98(2).2) Решить неравенство
1 + logy2 лА + 4 + logi(13 - х)
\х2 + 2х — 3| — |2ж2 — Юж + 8| ~ 0
78. (фил-77.3) Найти наименьший положительный корень уравнения
cos тгх2 = сов(тг(а:2 + 2х + 1)).
§ 7. Разложение на множители и расщепление.
57
79. (геогр-97.2) Найти наибольший отрицательный корень уравнения
cos(tt(x2 — х + 1)) = cos(?r(x — 1)).
80. (геол-96.3) Найти все решения уравнения
cos Юж — cos 8х cos 6а: — cos 4а:
2а:2 + тгх — тг2 2а:2 + тгх — тг2
принадлежащие интервалу (0; тг).
81. (экон.К-83.6) Для каждого неотрицательного значения парамет-
ра а решить неравенство а3х4 + 6а2х2 — х + 9а + 3 > 0.
82. (экон.-84.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых ровно одно решение неравенства
х3\/а3 + а2 — а— 1 — х2у/а3 + а2 + х\/а4 — а2 — а2 < 0
удовлетворяет условию а < х < 2а 4- 1.
83. (м/м-87.5) Найти все пары значений параметров а и Ь, для каждой
из которых система уравнений
( х2 - у2 + а(х + у) = х - у + а,
( х2 + у2 4- Ьху —1 = 0
имеет не менее пяти решений (х,у).
84. (соц-97.6) Укажите все неотрицательные значения параметра а,
при которых уравнение
sin(2a) • sin2(ax) + 1 = (1 4- sin(2a)) • sin(ax)
имеет ровно 4 решения на отрезке [—тг; тг].
85. (псих-85.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых существует единственная пара целых чисел х, у, удовлетво-
ряющая условиям
— 15х2 4- Пху — 2у2 - 7,
< X < у,
2а2х 4- Зау < 0.
58
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
86. (псих-85.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых существует единственная пара целых чисел х, у, удовлетво-
ряющая условиям
Зг2 + 11ху + 10у2 = 7,
< х + у > О,
4а?х — Зау < 0.
§8. Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и
неравенствах.
В этом параграфе собраны задачи, в которых под знаком модуля
стоят степенные, тригонометрические, показательные, логарифмичес-
кие функции и их комбинации, а также выражения, зависящие от не-
скольких переменных или параметров.
Приведем уже упоминавшиеся в §2 способы решения уравнения вида
|/(х)| = д(х):
1-й способ: Уравнение = д(х) эквивалентно совокупности
двух систем
/(г) = д(х),
f(x) > 0.
~/(г)
/(х) < 0.
2-й способ: Уравнение |/(г)| = д(х) эквивалентно системе
' 9(х) > о,
< /(*) = д(х),
. Л®) = -д(х).
Неравенство вида
способами.
1-й способ:
|/(г)| > (<)^(х) также можно решить двумя
|/(г)|>^(г) <=>
Г /(г) >д(х),
1 f(x) > 0.
/ -Л®) > д(х),
I f(x) < о.
§8. Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и неравенствах. 59
и |/(z)| < g(x) <=>
/(г) < g(x),
/(*) > 0.
-f(x) <g(x),
/(*) < 0.
2-й способ: использование геометрического смысла модуля числа.
|/(х)| > д(х) <=>
/ д(х) < 0,
/(ж) — определена,
д(х) > 0,
< f(x) > д(х),
. [ f(x) < -д(х)-
и |/(х)| < д(х) <=> / ,
v ' 1 ~д{х} < /(х) < д(х),
Можно пользоваться более краткими (но эквивалентными) соотноше-
ниями
|/(х)|>5(х) <=>
/(х) > р(х),
f(x) < ~д(х).
и \f(x)\<g(x) <=> -д(х) < /(х) < д(х).
Аналогично решаются неравенства со знаками ” > ” и ” < ”.
Выбор способа решения зависит от вида функций /(х) и д(х). Ес-
ли проще функция /(х) (например, /(х) - линейная, а д(х) - квадра-
тичная), то лучше решать задачу 1-м способом, иначе - 2-м способом.
Обычно второй способ оптимальнее.
Часто задачи с модулями имеют следующий вид: |/(х)| + |д(х)| <
/(х) ±р(х) или |/(х)| = ±/(х) , |/(х)| > /(х) , |/(х)| < /(х)
и т.д. Такого типа задачи предпочтительнее решать не стандартными
способами, а, например, так (докажите самостоятельно):
|/(х)| + |р(х)I < /(х) + 5(х) <=>
/(х) > 0,
д(х) > 0.
|/(х)| = -/(х)«/(х)<0.
Задачи с двумя и более модулями общего вида, а также задачи на
нахождение площади плоской фигуры решаются обычно стандартным
образом, рассматривая все случаи раскрытия модулей.
1. (физ-96(2).3) Решить неравенство —1 < |х2 — 9| < 27.
60
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
2. (геол-91.2) Решить уравнение |г2 — 2х — 1| — х + 1 = 0.
3. (экон.К-78.1) Найти все корни уравнения |г2 -I- х — 1| = 2х — 1
у/З
удовлетворяющие неравенству х < —.
3
4. (ВМиК-97(1).3) Найти все решения системы уравнений
f |т2 — 4у 4-3| + у = 1,
| 2х + 2у = 1.
5. (био-98.2) Решить неравенство |т2 + х — 2| 4- |х + 4| < х2 4- 2х 4- 6.
6. (экон.К-84.2) Найти наименьшее значение функции
у = 2|х - 3| + |3х - 2|.
7. (фил-84.3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у — —х2 + 3|х — 1| + 2 на отрезке [—2; 2].
8.
(псих-85.4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = |х2 + х| + |т2 — Зх + 2| на отрезке
_1 3‘
2’2
9. (био-82.4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у(х) = х 4- у/(х2 4- 6ж 4- 9)(ж2 4- 2z + 1)
на отрезке
4
10. (экон.-90.2) Решить уравнение у/25 + |16х2 — 251 = 4 4- 4|х 4- 11.
11. (био-83.3) Решить неравенство 8 4- 6 • |3 — yjx 4- 5| > х.
12. (ВМиК-98(1).2) Решить неравенство
|л/х - 4 - 3| > |л/9-х- 2| 4-1.
13. (ВМиК-98(1).2) Решить неравенство
|х/-2х - 4 - 3| < |л/9 4- 2х — 21 4-1.
§8. Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и неравенствах. 61
14. (геол-95(1).7) Пусть f(x) = т/я2 ~ 4х + 4 — 3, g(x) = у/х — а,
а— параметр. Решить относительно х неравенство f(g(x)) < 0.
15. (ВМиК-95(1).4) Для каждого значения а решить неравенство
|х + 2а| < —.
х
16. (ВМиК-95(1).4) Для каждого значения а решить неравенство
— + 2а > х.
х
17. (геол-86.5) Для каждой пары положительных чисел а и b найти
решение неравенства
1 _ 1
х Ь
18. (геогр-78.5) Найти все значения параметра а, для каждого из кото-
рых существует только одно значение х, удовлетворяющее системе
уравнений
|х2 — 5х + 4| — 9х2 — 5х + 4 + 10х|х| = 0,
х2 — 2(а — 1)х + а(а — 2) = 0.
19. (геогр-78.5) Найти все значения параметра а, для каждого из кото-
рых существует ровно два значения х, удовлетворяющее системе
уравнений
|х2 — 7х + 6| + х2 + 5х + 6 — 12 |х| = 0,
х2 — 2(а — 2)х -I- а(а — 4) = 0.
20. (хим-92.5) Найти все значения параметра k, при которых уравне-
ние 2х — |х — fe2| = life — 3|х + 4fe|
а) не имеет решений;
б) имеет конечное непустое множество решений.
21. (геол-81.3) Найти площадь фигуры, которая задается на коорди-
натной плоскости системой неравенств
У < 6 - 2|х|,
У > 2 + 2|х|.
62
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
22. (ИСАА-96.2) Найти площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости системой
У > ~1®1 ~ 1-
У < ~21®1 + 3.
23. (геол.ОГ-81.4) Найти площадь фигуры, которая задается на коор-
динатной плоскости условием |х| + |у — 1| < 4.
24. (экон.-94.4) Составить уравнение окружности наименьшего ради-
уса, внутри которой помещается множество, заданное на коорди-
натной плоскости условием |2у + Зх — 2| + |3х + 6| < 6.
25. (геол.ОГ-80.5) Найти площадь фигуры, которая задается на коор-
динатной плоскости следующими условиями:
Г ||х - у| - |у- 1|| = х- 2у + 1,
I (®-1)2 + (у-1)2<1-
26. (экон.-88.4) Найти площадь фигуры, заданной на координатной
1 2
У+ 9®
ы
плоскости соотношением
1 2
У~2Х
< 2 + х.
27. (экон.-88.4) Найти площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости соотношением 2 • (2 — х) > |j/ — х2| + |у + х2|.
28. (экон.М-96.6) При каких значениях р площадь фигуры, заданной
на координатной плоскости условием |2х + у| + )х — у+3| < р,
будет равна 24?
2
5
29. (псих-89.2) Решить уравнение
2 ®
cos —
2
= 5 cos г 4-1.
30. (геол-89.3) Найти все решения уравнения —----------!• = 1 — cos 2х на
sin х
отрезке [тг/2; Зтг/2].
31. (экон.К-77.1) Решить уравнение
cos х
= | cos г).
32. (почв-77.3) Решить уравнение (sin х| =г sin х + 2 cos г.
§8. Раскрытие модулей в смешанных уравнениях и неравенствах. 63
33. (био-98.3) Решить уравнение
л-------/х . ( 2
V1 — cos 2х = v 2 sin х I cos х — -
34. (почв-91.3) Решить уравнение v2cos(s + тг/4) — sins = |coss|.
35. (геогр-97(1).3) Решить уравнение |cos т| — cosЗт — sin 2х.
В ответе указать сумму корней уравнения, принадлежащих отрез-
ку [—8тг; 7тг].
36. (почв-97.3) Решить уравнение 2 sin2 х — ------ = 0.
cos х
37. (ВМиК-81.5) Найти все решения уравнения | sin(2x — 1)| = cos х,
удовлетворяющие условию |т| < 2тг.
38. (экон.К-86.1) Решить уравнение 2'х+11 = (\/2)~2х+3.
39. (ВМиК-79.2) Решить уравнение б'41 6' = 253х-4.
40. (ВМиК-88.4) Решить неравенство
41. (ВМиК-88.4) Решить неравенство
42. (м/м-93(1).1) Решить неравенство
25l+1 > 15 • 27|x-1|+1.
43. (м/м-98(1).1) Решить уравнение
44. (м/м-97(2).1) Решить неравенство
21 - 2х - 26-1 - |2 - 2х |
5 — |3 — 2'| - 1
45. (почв-84.3) Решить неравенство
log2
> 1.
46. (физ-95(2).5) Решить неравенство |log7(i + 2)| > 1.
47. (экон.К-85.2) Решить неравенство
48. (геол-92.3) Решить уравнение |3 log, т4-|-7log7 2-log2 z2| = — log, 49.
64
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
49. (ВМиК-95(1).2) Решить уравнение
|1 - 1°&2г(х2 - 5х + 6)1 = 1 - log2a.(s2 - 5® + 6).
I — S + 11 + Is + 11
50. (экон.-91.2) Решить неравенство log1^7log3---------------------1 > 0.
2s “I-1
51. (экон.М-99.1) Решить неравенство
l°gi+|7x+i7| (|3s + 8| + |7s + 171) < 1.
52. (ВМиК-93.3) Решить неравенство
|3* - 4| + |s2 - 4s + 3| < 3* + 4s - s2 - 7.
53. (хим-96.5) Решить уравнение
|1 + cos(tt-\/s) I + Is2 — 15s + 44| = 15s — s2 — cos(7ry/s) — 45.
54. (экон.-97.1) Решить систему уравнений
„ l®|- ll/ + 2l = l®l~ I1/+ 2I-
55. (экон.-97.1) Решить систему уравнений
| cos + |i + cos =
\/4- |s|- |j/ + 4|= ,/4- |s| — |y + 4|.
56. (экон.-96.2) Решить неравенство
log7(19 - 16s|s|) - log49(l - 4s)2
3 - 4s - |4s - 3|
§9. Обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические неравенства.
§9. Обратные тригоном, функции. Тригоном, неравенства.
65
В этом параграфе собраны задачи с обратными тригонометрически-
ми функциями и задачи, в решении которых главным элементом явля-
ется решение тригонометрических неравенств.
Для успешного решения задач с обратными тригонометрическими
функциями обычно достаточно знать основные тригонометрические фор-
мулы и определения обратных тригонометрических функций. Основные
тригонометрические формулы были приведены в §1, рекомендуем повто-
рить их перед началом этого занятия. Приведем определения обратных
тригонометрических функций.
• Арксинусом числа х называется такое число у — arcsina:, которое
7Г 7Г
2’ 2
• Арккосинусом числа х называется такое число у — arccosx, кото-
рое удовлетворяет двум условиям: у G [0; тг] и cos у — х.
• Арктангенсом числа х называется такое число у = arctgi, которое
тг тг
2’ 2
• Арккотангенсом числа х называется такое число у = arcctgi, ко-
торое удовлетворяет двум условиям: у Е (0; тг) и ctgy = х.
Если тригонометрическое неравенство возникает как дополнитель-
ное ограничение (например, ОДЗ) при решении УРАВНЕНИЯ, тогда
лучше сначала решить уравнение, а затем произвести отбор получен-
ных корней посредством подстановки в это неравенство. В других зада-
чах тригонометрические неравенства лучше всего решать на тригоно-
метрическом круге.
удовлетворяет двум условиям: у G
и sin у = х.
и tgy = х.
удовлетворяет двум условиям: у Е
1. (ИСАА-95.1) Найти х, если известно, что числа
— 1, х + 2, sjn(arcsin х),
взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрес-
сию.
2. (Ткачук-7.1) Найти
3. (Ткачук-7.2) Найти cos(arcctg(—2)).
4. (Ткачук-7.13) Найти arccos(cos 10).
5. (Ткачук-7.4) Найти arcsin(sin 14).
66
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
6. (Ткачук-7.3) Вычислить
1 7
2arctg — + arctg —.
7. (Ткачук-7.5) Доказать, что для любого х Е [—1; 1] выполняется
равенство
к
arcsin х + arccos х = —.
2
8. (Ткачук-7.6) Доказать, что arcsin(—х) = — arcsin х.
9. (Ткачук-7.7) Доказать, что arccos(—х) = тг — arccos х.
10. (Ткачук-7.8) Решить уравнение sin(5arcctga:) = 1.
11. (Ткачук-7.17) Решить уравнение sin(3arccosх) = -.
£
12. (Ткачук-7.9) Решить уравнение arcsin х — arcctga: = 0.
13. (Ткачук-7.10) Решить уравнение
7Г
arctg(2 + cos ж) — arctg(l + cos ж) = —.
14. (Ткачук-7.16) Решить уравнение 2arcsinж + arccos(l — ж) = 0.
15. (экон.М-99.4) Решить уравнение
ж = -arctg(tg6a: + cos 7ж).
6
16. (экон.В-99.6) Решить уравнение
1 / „ , 7Г
ж + -arctg(ctg5ж + cos 8ж) = —.
5 10
17. (экон.-99.5) Решить уравнение
1 тг
ж + - arccos(cos 15ж + 2соз4жзш2ж) = —.
U z X £
18. (экон.-93.4) Найти периметр фигуры, заданной на координатной
плоскости условиями
( 2|ж + 2| arcsin((j/— I)2) < 7г(ж + 2),
( 2|у-1|-ж>0.
§9. Обратные тритоном, функции. Тригоном, неравенства.
67
19. (ЭКОН.-93.4) Найти периметр фигуры, заданной на координатной
плоскости условиями
|ж — 3| arccos((j/ — I)2) < 7г(3 — х),
3|у- 1| + т > 0.
20. (экон.-95.5) Найти все х G [—3; 1], для которых неравенство
ж-(тг(ж-|-1) — 4arctg(3m2-|-12m-|-ll)) > 0 выполняется при любых
целых 771.
21. (ВМиК-96.4) Решить неравенство
7тг
агссо8(3ж) + arcsin(z + 1) < —.
22. (ВМиК-96.4) Решить неравенство
агссоз(2ж) + arccos(l — ж) > arccos
О
23. (м/м-98(2).4) Найти все значения параметра к, при которыххотя
бы одна общая точка графиков функций
2 2 „
у — — - — arcsin х и у = — - — 2arctgsa:
имеет положительную ординату.
24. (экон.-96.6) Найти все значения а, при которых фигура, заданная
на координатной плоскости условием
Ы < (Уа -1 + arcsin(sin(a — |ж|)),
представляет собой 14-угольник.
25. (геол-94.6) Решить неравенство 4 cos ж — зш2ж > 0.
26. (хим-92.2) Решить неравенство \/2 sin ж < 1.
27. (хим-98(1).3) Найти все числа ж из промежутка [—тг; тг], удовлетво-
ряющие неравенствам
(4 + \/3) sin ж + 2з/3 + 1 < cos 2х < 5 cos ж — 3.
68
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
28. (почв-96.4) Найти все решения уравнения
ух + sin х = ух — sin 2х,
удовлетворяющие неравенству
29. (почв-82.2) Решить уравнение
э/2 — 3cos 2х = Vein х.
30. (псих-87.4) Решить уравнение
3 /з
- — cos х = \ ~ — cos Зж.
4 V 4
31. (экон.К-85.1) Решить уравнение Vsini = yl — 2 sin2 х.
/ 3
32. (хим-88.2) Решить уравнение < / —cos х — 1 + sin х — 0.
и у 2
33. (м/м-85.1) Решить уравнение 6sinx —
35
sin X — —.
36
34. (геогр-77.5) Решить уравнение 2 sin(3a:-|- —) = \/1 + 8 sin 2х cos2 2х.
35. (м/м-98(2).1) Решить уравнение
2 sin
sin 2х + (\/3 + 1) COS
+ Y + 3 = o.
36. (ВМиК-93.2) На отрезке 0 < х < тг найти все значения х, удовле-
творяющие уравнению \/3 cos х — sin ж = у 1 + 2 cos2 х — \/3sin 2х.
37. (фил-92.1) Решить уравнение
(\/3 sin х — cos ж)2 д/З
2 sin 2ж — у/З 2
38. (ВМиК-97.3) Решить уравнение
3 + | sin х — 3 cos ж| = 3 sin х + cos х.
39. (м/м-92.1) Решить уравнение
„ ( 7Г\ | / 7Г\|
7 cos I х + — ) + cos I х — — ) = 1.
\ 3 / I v 6! I
§9. Обратные тригоном, функции. Тригоном, неравенства.
69
40. (физ-95(2).7) При каких значениях х числа
ai=sina:, аг = -sin2x, аз = sin За:
образуют арифметическую прогрессию, разность которой больше
нуля?
41. (м/м-95(1).4) Найти все значения х Е [0; тг], при которых выраже-
ния
tga? и----------------2 cos 2а: имеют разные знаки.
cos 2а:
13тг
42. (м/м-97(2).3) Найти ближайший к числу —— корень уравнения
Ю . „ 3 30
sin х cos 2х + sin х + — sin 2х = - cos х Ч---.
11 4 44
43. (ИСАА-94.4) Решить неравенство
2 sin х — 1 < V 6 sin2 х — 6 sin х — 12.
44. (хим-77.5) Найти все решения уравнения
2 — у/З cos 2х -I- sin 2х — 4 cos2 Зх,
удовлетворяющие неравенству cos(2a: — —) > 0.
45. (м/м-98(1).2) Найти все решения уравнения
2 cos — + 2(л/5 — 1) sin — = 2 — л/5,
3 6
За:
удовлетворяющие условию cos — < 0.
46. (псих-96.3) Найти область определения функции
„ , 1
у/—6 sin2 2а: — 2 sin 2х cos 2ж + 8 — >/3
47. (экон.-88.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
|3 sin2 х + 2а sin х cos х + cos2 х + а| < 3
выполняется для любых значений х.
70
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
48. (экон.-88.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
|5 sin2 х + 2a sin х cosx + cos2 x + a + 1] < 6
выполняется для любых значений х.
49. (м/м-94(1).1) Число х удовлетворяет условиям tg2a: = —3/4 и
sin 2х > 0. Обязательно ли при этих условиях определено выраже-
ние logtgjjf/g) tgx и чему оно тогда равно?
50. (м/м-83.2) Решить уравнение
(X \ / х \
cos 2х -h cos — ) -h logi (sinx -h cos — j = 0.
51. (геогр-96.3) Решить уравнение log(COSIj(sinx + cos2x) — 0.
52. (экон.-95.2) Решить уравнение 21 sinail + log, —1 ) = o.
, 6 \ sin x /
53. (хим-89.3) Решить уравнение log2 (3 sin x — cos x) + log2 cos x = 0.
54. (ВМиК-95.4) Решить неравенство
logcosr cos2 x > logCOSI_1/2 (cos2 x - cos x - x2 - 14x - •
55. (ВМиК-89.4) Решить неравенство
1 < | COS ~ 3 ’В * 108| cosr|
§10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях
и неравенствах.
В этом параграфе собраны задачи с различными элементарными
функциями: тригонометрическими, показательными, логарифмически-
ми и т.д. Никаких новых методов в этом параграфе не будет. Надо акку-
ратно применить уже известные вам методы и формулы из предыдущих
§10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях
71
параграфов. При этом необходимо только следить за равносильностью
преобразований.
1. (геогр-79.5) Найти все решения неравенства cos - — 4х — ж2 > О,
лежащие в интервале —21/5 < х < 0.
2. (геогр-98.1) Решить неравенство -------------------------> 0.
log3x 7
3. (фил-80.3) Решить систему уравнений
у — х — 5,
< zx = (z — 4)у + 30,
2zx — (2z — 4)у.
4. (экон.К-80.3) Решить систему уравнений
Зж2 + 2ху — 9ж — 4у + 6 = 0,
5х2 + 2жу — 12ж — 4у 4- 4 = 0.
5. (экон.К-79.4) Решить систему уравнений
С 2х2 + у2 — 4х + 2у = 1,
( Зж2 — 2 у2 — 6ж — 4у = 5.
6. (фил-82.3) Решить систему уравнений
ж2 — 4жу + у2 — 3,
у2 - Зху = 2.
7. (экон.М-95.2) Решить уравнение —8^П —
2 cos 2ж + 1
8. (геол-82.4) Решить уравнение = 1.
cos 6ж
9. (псих-98.4) Решить уравнение tg8ж — tg6ж =
= о.
1
—— при
sin 4ж
72
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
10. (почв-98(1).4) Решить уравнение ctgx + ctg(2x) = —tg(3x).
11. (м/м-87.1) Решить уравнение cos | -Д— ) = -.
\ sin х J 2
, „ , , 4 sin ж — 2 cos 2ж — 1 „
12. (м/м-94(2).1) Решить уравнение ——--------------------- = 0.
cos 2 ж + v 3 cos х — 2
cos 2тгх
13. > л/м-84.2) Среди корней уравнения ------------= 0
1 + tgvrx
найти тот, который имеет наименьшее расстояние от числа \/13
на числовой прямой.
/ х ~|~ 10 \
14. (экон.-94.3) Решить уравнение log3((i+10) cos х) = log3 I --------- I
\ COS X )
15. (м/м-82.4) Найти все значения ж, для каждого из которых выра-
жение
\/Зх4 — 2 — ж8 • sin(7r(2x + 16ж2))
имеет смысл и не обращается в нуль.
16. (м/м-77.3) Решить уравнение 32+IoBsCOSI _|_ Q5 = g^+Me5*111
. . . / \ х • | sin х |
17. (м/м-90.2) Решить уравнение 2'т~“'Slnl = (у2)
18. (м/м-98.3) Решить уравнение
3-2
COS I
+3^1 —sin2
+ 11•22
COS X
34 = 0.
19. (соц-97.5) Решить систему
—== -б > L ' ,
^/32
|х/2ж — 1| = ^.х — 1.
20. (экон.-77.3) Найти все положительные числа х, г/, удовлетворяю-
щие системе уравнений
{2.И+4Г _ ^(и-г/З)
ж3 = у-1.
§10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях
73
21. (экон.-97.2) Решить неравенство
-^/ (х2 —2х — 15)3
. 7(х+3)2(х-5) < х
22. (м/м-84.4) Решить систему уравнений
23i+i + 2!/-2 _ з . 23+3^
х/Зх2 + 1 + ху = у/х + 1.
23. (ВМиК-95(1).3) Найти все корни уравнения 2COSI+5-2 cos:c = 2д/б,
7Г 7-ТГ
удовлетворяющие неравенствам — < х < —.
о о
1 75г 11
24. (экон.К-78.3) Решить уравнение 3 + ----------— = log£(—---------
1°§32 г 2 4 х
3
25. (экон.-78.1) Решить уравнение logx_2l2 х = - — -------------—-- . ..
4 log2(l - 2xz)’
26. (био-81.1) Решить уравнение 3 log8(x — 2) = log2 —Т.
27. (фил-78.4) Решить уравнение
X ~~ 1
log9(:r2 - 5z + 6)2 = 2-1 logyj —— + log3 |i - 3|.
28. (физ-90.5) Определить, при каких значениях а уравнение
имеет решение, и найти эти решения.
29. (геол-78.3) Решить неравенство log3 log9/16(:r2
3
30. (экон.К-83.3) Решить неравенство log3(x2 — 2) < log3( — |ж| — 1).
2
31. (био-82.1) Решить неравенство logi(l-F-2:
74
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
32. (геогр-83.2) Решить неравенство
.---------------------- 2
log^V^2-^ + 3) > log1/2 , Т + L
V х2 — 4ж + Ух +1 + 1
33. (фил-82.2) Найти все числа х, каждое из которых удовлетворяет
одновременно следующим условиям:
1) logi a/z + 6 < logi(:r + 4),
2) х + 1| - целое число.
34. (почв-98(1).3) Решить уравнение
logo.5 (1оё4 - ) + log4(log2(16a:2)) = 0.
\ ж J
35. (м/м-98(1).3) Решить неравенство
> log3 ( -|i|
•log3(—2l - х2) >
log2(-2x - x2).
36. (био-84.3) Решить уравнение
4+2 log2
8х
(2х + 1)2
(2х + 1\ ( 1
= ‘°8= ( 2—[) +2k's’ (jj
37. (геогр-92.3) Решить неравенство (log.,. 9 — 1) log3(9x) < 3.
38. (ВМиК-87.3) Решить неравенство log(l+1p 8 + 31og4(a: + 1) > 9|.
39. (хим-87.2) Решить неравенство
/ х2 \ 2
4 log2 х + log2 —----— < 4 - log2(a: - 1) - log2 x.
\8(x -
40. (ВМиК-91.3) Решить неравенство 49loe*5 — 71°8*'5 — 2 > 0.
§10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях
75
41. (экон.К-79.5) Решить неравенство
logsfo2 ~ - II)2 - lognfo2 -4х- И)3 >
2 — 5х — Зх2 —
42. (ВМиК-81.2) Решить уравнение . = (Зх — 5)logl/25^2+5'r_'r \
-/Зх - 5
2 1л ®
43. (почв-96.3) Решить уравнение х g< х = —.
х1
44. (био-93.2) Решить уравнение
log2(9* + 2 • 3* - 5) = 1 + 2 log4(3l+1 - 4).
45. (псих-98.2) Какое из двух чисел больше:
1, /2401\ „ /226тг\
X l°gl I • + 2 или tg ( —- - I
2 7 \ 36 ) 6 \ 17 /
46. (геол-93.4) Решить неравенство
logtg(«-/9)(®2) > logtg(n-/9)(V2x + 3).
47. (ВМиК-97(1).1) Решить неравенство ylog(tg(3n./16))(x — 2) > 1.
48. (ИСАА-96.3) Найти область определения функции
_ з/36 — х2 log3(x2 + 2х — 8)
. 2 sin х — 1
49. (геогр-97.3) Решить уравнение
l°g| sin(ffx/4)| (9Г — 3* + 3 + 30) = log| sin(л-х/4)! (3* + 3).
50. (геогр-95(1).6) Найти все значения а, при каждом из которых функ-
ция
у(х) = log25_o,(cosx + -i/Ssinz - а)
определена при всех значениях переменной х.
76
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
51. (физ-96.5) Решить систему
log2(2:r2 - у2) = 2,
61og8( —аз) + log2 у2 = 4.
52. (фил-77.4) Решить систему уравнений
х + log2 У = У 1оЙ2 3 + 1оЙ2
х log2 72 + log2 х = 2у + log2 у.
53. (псих-77.2) Решить систему уравнений
(1 + 2 log|Ty| 2) • logar+jf |x2/| = 1,
х — у = 2з/3.
54. (м/м-89.4) Решить систему уравнений
logx У + logy х = |,
4-У^- 371/ = 1.
55. (хим-96.3) Решить систему
5(logy х + log,, у) = 26,
ху = 64,
У < х-
56. (псих-91.3) Решить систему
log3 х - 2« + у = 3,
у -2У + 2У log3 х = 4.
57. (экон.К-77.3) Решить систему уравнений
yi 5 l°Sx V = хь ,
l + logx(l- =logx4.
58. (экон-98.1) Решить неравенство log<x-i (7х — 2ж2) < 0.
§10. Эквивалентные преобразования в смешанных уравнениях
77
59. (ИСАА-98.5) Решить неравенство ^2г_з(\/:г + 2 + ж — 3) < 1.
60. (м/м-91.2) Решить неравенство —
61. (почв-79.2) Решить неравенство -------—----------— < -----
V ' log3(r2 — 7х + 12) log320
62. (ИСАА-91.5) Решить неравенство loglogT(loglj/7 х) > 0.
63. (физ-97(1).7) Найти все значения а, при которых неравенство
loga(x2 + 4) > 1 выполняется для всех значений х.
64. (физ-96(1).7) Для каждого допустимого значения а решить нера-
венство 2 — loga х < loga(x — 1).
65. (экон.-85.3) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение
log2 х + loga х + log4 х = 1
имеет решения, и найти все эти решения.
(•С \
1 — 2/ 1°®13~3'21 < 1-
67. (экон.-87.4) Решить неравенство
| - 8х + 16) + log^^-x2 + 5х - 4) > 3.
68. (ВМиК-85.4) Решить неравенство
21og1_3|j.| (42х2 — 14|х| + 1) < i
logi-зм (z ~ I?
69. (экон.-99.1) Решить неравенство log|J.|_2 |х — 3| < 0.
70. (м/м-85.4) Из трех значений a : — 1, 2; —0, 67; —0, 66 найти все те
значения, при каждом из которых уравнение
(2“+4 + 15(х + а)) • (1 + 2 cos (тг =0
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 < х < 1.
78
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
71. (м/м-98(1).6) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение
(х1 2 - (а + 1)2 + 3(а - 2)) • ^(а_ж)(2а - х - 1) = О
имеет хотя бы один корень на отрезке [—1; 2], а вне этого отрезка
корней не имеет.
§11. Нестандартные текстовые задачи.
В этом параграфе собраны нестандартные текстовые задачи: задачи,
приводящие к недопределенным системам уравнений; задачи, приводя-
щие к неравенствам или системам неравенств; задачи на нахождение
наибольшего или наименьшего значения некоторой величины; задачи
на оптимальный выбор.
В недопределенных задачах обычно надо найти некоторую комби-
нацию неизвестных, что часто легко делается. Иногда полезно ввести
новые переменные, после этого система уравнений становится опреде-
ленной.
В задачах, приводящих к неравенствам, зачастую удается использо-
вать целочисленность или неотрицательность некоторых переменных,
что, как правило, позволяет выбрать единственное решение неравенства
или системы неравенств. Иногда в задаче получается целый промежу-
ток и именно его и надо выписывать в ответ.
В задачах на наибольшее и наименьшее значение не обязательно ис-
пользовать производные, достаточно вспомнить как ведут себя линей-
ные и квадратичные функции.
1. (геол-97.6) В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы
одинаковой производительности были подключены для заполнения
первого бассейна. Когда первый бассейн был заполнен на 1/6 его
объема, одну трубу переключили для заполнения второго бассей-
на. Когда первый бассейн был заполнен на 1/2 его объема, еще 2
трубы переключили для заполнения второго бассейна. После этого
оба бассейна наполнились доверху одновременно. Найти отноше-
ние объемов бассейнов. (Временем на переключения пренебречь).
§11. Нестандартные текстовые задачи.
79
2. (био-87.2) Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно
навстречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного
ниже по течению относительно пункта А. Встретив плот, катер
сразу поворачивает и идет вниз по течению. Найти, какую часть
пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в
пункт В , если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше
скорости течения реки.
3. (геогр-86.3) Три цистерны одинакового объема начинают одновре-
менно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает
100 литров воды в минуту, во вторую - 60 и в третью - 80. Из-
вестно, что в начальный момент первая цистерна пуста, вторая и
третья частично заполнены, и что все три цистерны будут запол-
нены одновременно. Во сколько раз количество воды в начальный
момент времени во второй цистерне больше, чем в третьей?
4. (почв-78.3) Имеется два слитка золота с серебром. Процентное со-
держание золота в первом слитке в два с половиной раза больше,
чем процентное содержание золота во втором слитке. Если спла-
вить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет
40% золота. Найти, во сколько раз первый слиток тяжелее второ-
го, если известно, что при сплавке равных по весу частей первого
и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35%
золота.
5. (хим-86.2) Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили
нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объема)
за 11 часов. Если бы три насоса наполнили первый танкер, а затем
один из них наполнил четверть второго танкера, то работа заняла
бы 18 часов. За сколько часов три насоса могут наполнить второй
танкер?
6. (ВМиК-89.3) Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за
ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30
минут - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист дви-
гались равномерно и без остановок. Через некоторое время после
выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое
преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут
раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход
прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
80
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
7. (хим-81.3) Из города А в город В выехал автомобиль. Одновре-
менно с ним из пункта С, расположенного между А и В, в город
А выехал второй автомобиль. Первый прибыл в В одновременно с
прибытием второго в А. Затем автомобили одновременно выехали
навстречу друг другу, встретились в пункте D и одновременно
прибыли первый в А, второй в В. Каждый автомобиль ехал со
своей постоянной скоростью, но второй сделал остановку на пути
от С к А, а первый - остановку той же продолжительности на пу-
ти от В к D. Найти расстояние между С и D, если известно, что
расстояние от А до С равно 270 км, а расстояние от С до В равно
180 км.
8. (почв-97(1).3) Катер и яхта, отправляющиеся из портов А и В на-
встречу друг другу в 9°°, встречаются в 13°°. Катер и теплоход,
отправляющиеся из этих же портов навстречу друг другу в 10°°,
также встречаются в 13°°. Определить, на сколько километров от-
станет к 19°° яхта от теплохода, если они выйдут из порта А в 10°°
в одном направлении. Расстояние между портами А и В равняется
104 км.
9. (псих-82.5) Из пункта А в пункт В вышел пешеход, и одновремен-
но из пункта В в пункт А выехал мотоциклист. Встретив в пути
пешехода, мотоциклист сразу же развернулся, довез пешехода до
пункта В, а затем тотчас же снова поехал в пункт А, куда и бес-
препятственно добрался. В результате мотоциклист затратил на
дорогу до пункта А в два с половиной раза больше времени, чем
если бы он ехал из пункта В в пункт А, не подвозя пешехода. Во
сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта В, если бы
весь путь от А до В он прошел пешком?
10. (почв-83.1) Поле разделено на три участка. За день были вспаханы
половина первого участка и 3/4 второго участка, а третий учас-
ток, который составляет четвертую часть всего поля, был вспахан
полностью. Вспаханная за день площадь поля в два раза больше
площади второго участка. Какую часть площади поля составляет
площадь, вспаханная за день?
11. (м/м-97(2).2) Даны арифметическая и геометрическая прогрессии.
Сумма их первых членов равна (-3), сумма третьих членов равна
1, а сумма пятых членов равна 5. Найти разность арифметической
прогрессии.
§11. Нестандартные текстовые задачи.
81
12. (соц-98.5) Найти все натуральные значения параметра п, при каж-
дом из которых задача: "Найти арифметическую прогрессию, ес-
ли известны её семнадцатый член и сумма п первых членов”, не
имеет решений или её решением является бесконечное множество
арифметических прогрессий.
13. (геогр-88.3) Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии
20 км от Л, выехал грузовик. Одновременно с ним из пункта В,
расположенного между Ли С на расстоянии 15 км от Л, в пункт С
вышел пешеход а из С навстречу им выехал автобус. За какое вре-
мя грузовик догнал пешехода, если известно, что это произошло
через полчаса после встречи грузовика с автобусом, а пешеход до
встречи с автобусом находился в пути втрое меньше времени, чем
грузовик до своей встречи с автобусом.
14. (фил-90.4) От двух сплавов массами 7 кг и 3 кг с разным процент-
ным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы.
Затем кусок, отрезанный от первого сплава, сплавили с остатком
второго сплава, а кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили
с остатком первого сплава. Определить массу каждого из отре-
занных кусков, если новые сплавы получились с одинаковым про-
центным содержанием магния.
15. (псих-86.4) В три сосуда налито по 1 кг различных растворов пова-
ренной соли. Если смешать 200 г первого раствора и 100 г второго
раствора, то в полученной смеси будет содержаться столько соли,
сколько ее содержится в 100 г третьего раствора. Количества соли
в трех растворах, взятые в порядке номеров растворов, образуют
геометрическую прогрессию. Сколько граммов второго раствора
нужно взять, чтобы в них содержалось столько же соли, сколько
ее содержится в 100 г третьего раствора?
16. (геол-94.9) Четыре бригады разрабатывали месторождение горю-
чих сланцев в течение трех лет, работая с постоянной для каждой
бригады производительностью. На втором году в течение четырех
месяцев работа не производилась, а все остальное время работала
только одна из бригад. Отношения времен работы первой, второй,
третьей и четвертой бригад и количества выработанной продук-
ции соответственно равны:
в первый год 4 : 1 : 2 : 5 и 10 млн.т,
во второй год 2 : 3 : 2 : 1 и 7 млн.т,
82
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
в третий год 5:2: 1 : 4 и 14 млн.т.
Сколько млн.т сланцев выработали бы за 4 месяца четыре брига-
ды, работая все вместе?
17. (экон.К-79.3) Известно, что вклад, находящийся в банке с начала
года возрастает к концу года на определенный процент (свой для
каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег
положили в первый банк, а оставшуюся часть во второй банк. К
концу года сумма этих вкладов стала равной 670 денежным еди-
ницам, к концу следующего года - 749 денежным единицам. Было
подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количест-
ва денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый
банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала
бы равной 710 денежным единицам. В предположении, что исход-
ное количество денег первоначально целиком положено в первый
банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
18. (геогр-97(1).4) Танкер может заполняться через две трубы, при-
чем его заполнение через первую трубу происходит на 5 часов
медленнее, чем через вторую. При каких значениях времени за-
полнения танкера через первую трубу его заполнение через обе
трубы одновременно занимает не менее 6 часов?
19. (фил-78.1) Двум бригадам, общей численностью 18 человек, было
поручено организовать в течение трех суток непрерывное кругло-
суточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежу-
рили члены первой бригады, распределив между собой это время
поровну. Известно, что во второй бригаде три девушки, а осталь-
ные юноши, причем девушки дежурили по одному часу, а все юно-
ши распределили между собой остаток дежурства поровну. При
подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каж-
дого юноши второй бригады и любого члена первой бригады мень-
ше девяти часов. Сколько человек в каждой бригаде?
20. (экон.-85.5) Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже, чем
через 40 минут вслед за ним вышел еще один пешеход. В пункт В
сначала пришел один из пешеходов, а другой достиг В не раньше,
чем через час после этого. Если бы пешеходы вышли одновремен-
но, то они бы прибыли в пункт В с интервалом не более, чем в
20 минут. Определить, сколько времени требуется каждому пеше-
ходу на путь от А до В, если скорость одного из них в 1,5 раза
§11. Нестандартные текстовые задачи.
83
больше скорости другого
21. (геол-87.5) В 7 часов утра от первого причала отплыли две лодки.
Сначала они плыли 8 км по озеру, каждая с постоянной скоростью,
а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка
прибыла на место не позднее 9 час 50 мин, а вторая - не ранее
10 час 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в
стоячей воде, если скорость течения реки - 2 км/час, а скорость
второй лодки в стоячей воде составляет 75% от скорости первой
лодки в стоячей воде?
22. (экон.К-85.4) В 6 часов утра из пункта А в пункт В по течению
реки отправились лодка и катер. Лодка прибыла в пункт В в 16
часов того же дня. Катер, дойдя до пункта В, сразу повернул на-
зад и на своем пути из В в А встретил лодку не позднее 14 часов, а
прибыл в пункт А не ранее 22 часов того же дня. Найти время при-
бытия катера в пункт В, если его собственная скорость (скорость
в стоячей воде) вдвое больше собственной скорости лодки.
23. (геол-88.5) Путь из А в В проходит первые 80 км по шоссе, а
оставшиеся 120 км - по грунтовой дороге. Первую часть пути ав-
тобус проезжает на 2 часа быстрее, чем вторую. Автобус совер-
шил более четырех рейсов по маршруту из А в В и обратно. На
это, включая стоянки в конечных пунктах, ушло менее одной не-
дели (т.е. менее 168 часов). За время, которое он был при этом в
движении, автобус мог бы проехать 2100 км, если бы двигался со
скоростью,средней арифметической между скоростями движения
по шоссе и грунтовой дороге. Найти скорости движения автобуса
по шоссе и грунтовой дороге.
24. (экон.-78.4) Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80
тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь
груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн, однако по-
надобилось на восемь вагонов больше и при этом все равно один
вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз перело-
жили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще
на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загру-
жены полностью. Сколько тонн груза было?
25. (м/м-93(2).6) Из пункта А в пункт В с постоянными скоростя-
ми выехали два мотоциклиста, а из В в А одновременно с ними
84
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
выехал третий мотоциклист с постоянной скоростью 60 км/час.
Через 45 минут расстояние между первым и вторым мотоциклис-
тами было в два раза больше, чем между первым и третьим. Через
1 час после старта расстояние между первым и вторым мотоцик-
листами было равно расстоянию между первым и третьим, а рас-
стояние, которое осталось проехать третьему мотоциклисту до А,
было равно расстоянию между первым и вторым мотоциклистами
через 1 час 30 минут после старта, а также было равно 2/5 рас-
стояния между первым и третьим мотоциклистами через 1 час 30
минут после старта. Найти расстояние между пунктами А и В.
26. (геол.ОГ-83.5) Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков
АВ, ВС, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно.
При этом, согласно расписанию, выезжая из пункта А в 9 ч, он
проходит пункт В в 9| ч, пункт С - в 9| ч, пункт D - в 9| ч. С
какой постоянной скоростью v должен двигаться автобус, чтобы
сумма абсолютных величин отклонений от расписания прохожде-
ния пунктов В, С, В и времени движения автобуса от А до Е при
скорости V, не превосходила 51,7 мин?
27. (геол-83.5) Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость
течения которой 5 км/ч, путь из Ав D длиной 15 км за 1 час. При
этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты В и С,
отстоящие от А на расстоянии 11 км и 13 км соответственно, в 12
ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался
из А в D без остановок с постоянной скоростью v (относительно
воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания
прибытия в пункты B,C,D не превышала бы уменьшенного на
полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со
скоростью v в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по
течению: А или D?
28. (псих-84.5) Второй член арифметической прогрессии, состоящей
из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого
ее членов меньше 4. Найти первый член этой прогрессии.
29. (хим-97.4) п насосов различной мощности наполняют бассейн во-
дой. Первый насос, работая автономно, может наполнить весь бас-
сейн за 2 часа, второй за 4 часа, ..., п-ый - за 2" часов. Каким
должно быть наименьшее число насосов п, чтобы все п насосов,
§11. Нестандартные текстовые задачи.
85
работая одновременно, наполнили бассейн быстрее, чем за 1 час и
1 минуту? Можно ли наполнить бассейн быстрее, чем за 1 час?
30. (экон.-ЭЭ.З) Первая и вторая бригады, работая вместе, могут вы-
полнить задание не более, чем за 9 дней. Вторая и третья бри-
гады, работая вместе, могут выполнить то же задание не менее,
чем за 18 дней. Первая и третья бригады, работая вместе, могут
выполнить то же задание ровно за 12 дней. Известно, что третья
бригада всегда работает с максимально возможной для нее произ-
водительностью труда. За сколько дней может выполнить задание
одна вторая бригада?
31. (экон. М-97.4) Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у
него средств клиентов в проект X, а остальные 60% - в проект Y.
В зависимости от обстоятельств проект X может принести при-
быль в размере от 19% до 24% годовых, а проект У - от 29% до
34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и
выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Опреде-
лить наименьший и наибольший возможный уровень процентной
ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит
не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в
проекты X и У.
32. (экон.-97.4) Имеются три пакета акций. Общее суммарное коли-
чество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством
акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго,
а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со
стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета доро-
же одной акции из первого пакета на величину, заключенную в
пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс.руб., а цена одной акции из
третьего пакета не меньше 42 тыс.руб. и не больше 60 тыс.руб.
Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего
количества акций может содержаться в первом пакете.
33. (геол-97(1).7) Стоимость изготовления п банок пропорциональна
24+4п+п2. Определить количество банок, при котором стоимость
изготовления одной банки минимальна.
34. (зкон.М-96.3) В контейнер упакованы изделия двух типов. Стои-
мость и вес одного изделия составляют 400 тыс.руб. и 12 кг для
первого типа и 600 тыс.руб. и 15 кг для второго типа. Общий вес
86
Яодготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
комплектующих равен 321 кг. Определить минимальную и мак-
симальную возможную суммарную стоимость находящихся в кон-
тейнере изделий.
35. (экон.-94.5) Предприятие производит телевизоры и является при-
быльным. Известно, что при изготовлении п телевизоров в месяц
расходы предприятия на выпуск одного телевизора составляют не
менее —3-° + 270 — |90 — 49^00[ тыс.руб., а цена реализации
каждого телевизора при этом не превосходит 540 — тыс.руб.
Определить ежемесячный объем производства, при котором мо-
жет быть получена наибольшая из возможных в данных условиях
ежемесячная прибыль.
36. (геол-94(1).8) Из пункта А в пункт В можно доехать тремя марш-
рутами: или через пункт С, или через пункт D, или напрямую,
минуя промежуточные пункты. Известны расстояния АВ — 80 км,
АС — 40 км, AD = 30 км, СВ = 60 км, DB — 100 км. Известно,
что пункты А и В, А и С, А и D связывают грунтовые дороги, а
пункты С и В, D и В - шоссейные дороги. Скорость на шоссе на
40 км/ч больше, чем на грунтовой дороге. Какой маршрут следу-
ет выбрать, чтобы скорейшим образом добраться из пункта А в
пункт В, если скорость на грунтовой дороге более 15 км/ч, но не
превышает 30 км/ч?
37. (ВМиК-95.5) Строительной организации необходимо построить не-
которое количество одинаковых домов общей площадью ровно 2500
кв.м. Стоимость одного дома площадью а кв.м складывается из
стоимости материалов pja3/2 тыс.руб., стоимости строительных
работ p2<i тыс.руб. и стоимости отделочных работ рза1^2 тыс.руб.
Числа Р1,Р2,Рз являются последовательными членами геометри-
ческой прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно
64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут мень-
ше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько
следует построить домов, чтобы общие затраты были минималь-
ными?
38. (экон.-92.3) Цех получил заказ на изготовление 5000 деталей пер-
вого типа и 3000 деталей второго типа. Каждый из 187 рабочих
цеха затрачивает на изготовление 2 деталей первого типа время,
за которое он мог бы изготовить 3 детали второго типа. Каким
образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы
§11. Нестандартные текстовые задачи.
87
выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бри-
гады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет
занята изготовлением деталей только одного типа?
39. (экон.К-83.5) В магазине продаются красные и синие карандаши.
Красный карандаш стоит 17 коп,, синий карандаш - 13 коп. На
покупку карандашей можно затратить не более 4 руб. 95 коп. При
покупке число синих карандашей не должно отличаться от числа
красных карандашей более чем на пять. Необходимо купить мак-
симально возможное суммарное количество красных и синих ка-
рандашей, при этом красных карандашей нужно купить как мож-
но меньше. Сколько красных и сколько синих карандашей можно
купить на указанных условиях?
40. (м/м-81.3) В два различных сосуда налиты растворы соли, при-
чем в 1-й сосуд налито 5 кг, а во 2-й - 20 кг. При испарении воды
процентное содержание соли в 1-м сосуде увеличилось в р раз, а во
2-м сосуде -Bq раз. Известно, что pq = 9. Какое наибольшее коли-
чество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
41. (псих-87.3) Бригада маляров белила потолки в классе и в акто-
вом зале школы, причем площадь потолка в актовом зале в три
раза больше, чем площадь потолка в классе. В той части брига-
ды, которая работала в актовом зале, было на 6 маляров больше,
чем в той части, которая работала в классе. Когда побелка всего
потолка в актовом зале закончилась, та часть бригады, которая
была в классе, еще работала. Какое наибольшее число маляров
могло быть в бригаде, если все они начали работать одновремен-
но и работали с одинаковой производительностью?
42. (хим-97(1).4) Из сосуда, содержащего чистый спирт, отлили 1/3
часть и добавили такое же количество воды. Потом отлили 1/3
часть смеси и добавили такое же количество воды. Так проделали
к раз (включая первое переливание). Каково наименьшее значе-
ние к, при котором процентное содержание спирта в сосуде после
сделанных переливаний станет меньше 10% ?
43. (экон.К-78.4) Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% ни-
келя и 70% меди, второй - 10% меди и 90% марганца, третий - 15%
никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить
88
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и ка-
кое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом
новом сплаве?
44. (хим-92.4) Даны три сплава. Состав первого сплава: 55% хрома
и 45% никеля; второго - 60% никеля, 25% хрома и 15% кобальта;
третьего - 70% хрома и 30% кобальта. Из них нужно приготовить
новый сплав, содержащий 20% кобальта. Какие значения может
принимать процентное содержание никеля в этом новом сплаве?
45. (ВМиК-87.5) С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и
510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется
автомашинами, каждая из которых вмещает 44 маленьких блока и
имеет грузоподъемность 10 тонн. Вес маленького блока - 0,2 тон-
ны, большой блок весит 3,6 тонны и занимает место 14 маленьких.
Найти минимальное число рейсов, достаточное для перевозки всех
блоков.
46. (экон.К-84.5) Из строительных деталей двух видов можно собрать
три типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70
деталей первого и 100 деталей второго вида. Для сборки 16-квартир-
ного дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно
150 и 200 деталей первого и второго вида соответственно. Всего
имеется 900 деталей первого и 1300 деталей второго вида. Сколь-
ко и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир
было наибольшим?
§12. Расположение параболы в зависимости от параметра.
Теорема Виета.
В этом параграфе собраны задачи на расположение корней квадрат-
ного трехчлена в зависимости от параметра и задачи на теорему Виета.
Теорема 1. (Виета). Если Ху и х2 являются корнями квадратного
уравнения
ах2 + Ьх + с = 0,
тогда
b
хг + х2 = --
с а
XfX2 = -.
а
§12. Расположение параболы в зависимости от параметра.
89
Теорема 2. (обратная к теореме Виета). Если данные числа Tj и х2
таковы, что
+ х2 = -р и xi-x2 = q, (4)
то Ji и 12 являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 +
рх + q = 0.
Замечание. Важно отметить, что система уравнений (4) должна иметь
решение.
Приведем основные свойства параболы f(x) ~ ах2 + Ьх + с,а 0,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
Ь .
• Прямая х = хв =------ось симметрии параболы. Точка (хв,ув)
2а
является вершиной параболы, где ув — /(тв).
• Знак числа а показывает направление ветвей параболы: вверх при
а > 0, вниз при а < 0.
• Дискриминант D = Ь2 —4ас показывает, пересекается ли парабола
с осью абсцисс.
Если а > 0, D < 0, то парабола лежит выше оси Ох.
Если а > 0, D = 0, то парабола касается сверху оси Ох.
Если а > 0, D > 0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках,
задающих корни соответствующего квадратного трехчлена.
Случай а < 0 рассматривается аналогично.
Перечисленные свойства парабол позволяют доказать много полез-
ных фактов, касающихся расположения корней квадратного трехчлена
на числовой оси, при этом не надо находить сами корни. Приведем не-
которые из них без доказательств.
• Оба корня квадратного трехчлена /(ж) больше некоторого числа
М (см. рис. 1).
D > 0,
<=> < xe > М,
a-f(M) > 0.
90
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
• Оба корня квадратного трехчлена f(x) лежат на отрезке [ЛГ, ДГ]
(см. рис. 2).
Р>0,
a • f(M) > о,
. a f (N) > 0.
• Один корень квадратного трехчлена f(x) лежит на отрезке [М, 2V],
а другой левее М (см. рис. 3).
( a • f(M) < 0,
| a-f(N) > 0.
§12. Расположение параболы в зависимости от параметра.
91
Мы выписали не все возможные случаи расположения корней квад-
ратного трехчлена относительно точек, отрезков, интервалов и т.д. Вам
важно понять принцип составления подобных систем, тогда вы сможете
решить любую задачу на расположение корней квадратного трехчлена.
1. (псих-78.5) Известно, что для некоторой квадратичной функции
/(х) = ах2 + Ьх + с выполнены неравенства /( — 1) < 1, /(1) >
-1, /(3) < -4.
Определить знак коэффициента а.
2. (геогр-92.2) Найти три числа а, Ь и с, если известно, что их сумма
равна 2, а квадратное уравнение ах2 + Ьх + с — 0 имеет единствен-
ное решение х = 2.
3. (ВМиК-80.4) Найти все значения параметра в, при каждом из ко-
торых уравнение
(За — 1)х2 + 2ах + За — 2 = О имеет два различных корня.
4. (хим-82.5) Найти все значения параметра р, при каждом из кото-
рых уравнение
(х — р)2 • (р(х — р)2 — р — 1) = —1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
5. (м/м-91.5) Найдите все пары чисел р и q, при которых неравенство
|х2 + рх + > 2 не имеет решений на отрезке [1; 5].
6. (экон-98.5) Найти все действительные значения с, для которых все
числа из области значений функции
X2 + сх - 1
~ 2х2 - Зх + 2
92
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
принадлежат интервалу (—1;2).
7. (м/м-96.6) При каких значениях параметра а уравнение
(х2—х+а2+2)2 = 4а2(2х2—х+2) имеет ровно три различных
решения?
8. (физ-93.7) Уравнение ах2 + Ьх + 2 = 0, где в < 0, имеет одним из
своих корней число х = 3. Решить уравнение ах4 4- Ьх2 + 2 = 0.
9. (ИСАА-92.6) При каких значениях параметра а сумма S квадратов
корней уравнения
х2 + 2ах + 2а2 + 4а + 3 = 0
является наибольшей? Чему равна эта сумма?
10. (физ-89.5) Найти все значения параметра т, при каждом из кото-
рых уравнение
(2х)2 - 4х(т 3m)1/2 + Зт+1 + т - 3 = 0
имеет корни. Выяснить знаки корней при различных значениях т.
11. (физ-91.5) Прй каких значениях а все корни уравнения
Зах2 + (За3 — 12а2 — 1)т — а(а — 4) = 0 удовлетворяют условию
Н< 1?
12. (экон.-91.6) Найти все значения параметра q, при которых урав-
нение
sin2 х + (q — 2)2 • sin х + q • (<? — 2) • (q — 3) = 0 имеет на отрезке [0; 2тг]
ровно три корня.
13. (физ-94(2).7) Найти все значения а, для каждого из которых сис-
тема
( —х2 + 12т — а > 0,
I х S
выполняется хотя бы при одном значении х!
14. (геол-96(1).8) Найти все значения а, при которых неравенство
ах2 + 1 > 4х — За выполняется для всех х из интервала (-1;0).
15. (экон.М-95.6) Найти все значения р, при которых уравнение
х — 2 = у/— 2(р + 2)х + 2 имеет единственное решение.
16. (псих-93.5) Обозначим через Xi и х% корни квадратного трехчлена
(а — 1)х2 — (2а + 1)ж + 2 + 5а
§12. Расположение параболы в зависимости от параметра.
93
1) Найти все а, при которых Xi > 1 и х2 > 1.
2) Найти все Ъ, для каждого из которых величина
(zi — 6)(х2 — Ь) принимает постоянное значение при всех а, при
которых она определена.
17. (хим-81.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
(а3 + (1 - 72)а2 - (3 + V2)a + 3V2)x2 + 2(а2 - 2)х + a > -V2
выполняется для любого х > 0.
18. (геол-77.5) Найти все значения параметра к, при каждом из кото-
рых существует хотя бы одно общее решение у неравенств
х2 + 4fcx 4- 3fc2 > 1 + 2k и х2 + 2kx < Зк2 — 8^ + 4.
19. (био-77.5) Найти все те значения параметра s, при каждом из ко-
торых корни уравнений
*> Зх 12х
х2 -|---h 2s = 0 и х2 -|-----s = 0
s s
не перемежаются, т.е. оба уравнения имеют по два корня и между
двумя корнями одного из уравнений нет ни одного корня другого
уравнения.
20. (ВМиК-88.5) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение
((2х + a)\/22a — 4a2 — 24— 2(х2 + х) • Iga) 1g (-—- | = 0 име-
\ 35 /
ет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а
другой не превосходит (-1).
21. (псих-81.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых наименьшее значение квадратного трехчлена 4х2 — 4ах + (а2 —
2а + 2) на отрезке 0 < х < 2 равно 3.
22. (геогр-92.5) Найти все значения параметра с, при которых урав-
нение
|х2 —2х| + |х2 —Зх + 2| = х2 —4х + с имеет ровно три различных
решения.
23. (экон.-77.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
3 — |х — а| > х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.
94
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
24. (геогр-90.5) Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение
(а + 1) • х2 + (|а + 2| — |а + 10|) • х 4- а = 5
имеет два различных положительных корня.
25. (фил-83.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение
|1 — ах| = 1 + (1 — 2а)х + ах2 имеет только один корень.
26. (геогр-84.5) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых система уравнений
( у(ах + 1) + 13г - а(1 + у) = О,
I X - ху + |2 + J/I - О
имеет решения.
27. (геол-97(1).8) При каких а система
f а(х - 4) = 3(г/ + 2),
| у + >/х = О
имеет два различных решения?
28. (ИСАА-91.6) При каких значениях параметра а система уравне-
ний
f х2 + у2 = 1,
( t/-|x| = a
имеет ровно два решения?
29. (физ-94(1).7) При каких значениях а уравнение
2а • (х + I)2 — |х + 1| + 1 — О
имеет четыре различных решения?
30. (экон.-80.5) Найти все целые значения параметра при каждом
из которых уравнение
5 — 4 sin х — 8 cos - = 3k имеет решения. Найти все эти решения.
£
31. (экон.К-78.5) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых неравенство
а2 + 2а — sin2 х — 2а cos х > 2 выполняется для любого числа х.
§ 13. Полезные преобразования и замены переменных.
95
32. (геол-88.6) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
„ , . sin х 4- 2(1 - а)
торых область значении функции у = --------------=---- содержит
a — cos* х
отрезок [1; 2].
33. (геол-89.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение
(а2 — 6а -f-9)- (2+2 sin х — cos2 ж) 4-(12а—18 — 2a2)-(l+sin x)-f-a-f-3 = О
не имеет решений.
34. (био-83.5) Найти все значения параметра Ь, при каждом из кото-
рых оба неравенства
26cos2(a; — у) 4- 862cos(z — у) 4- 862(б4- 1) 4- 56 < О,
х2 + У2 + 1 > 26а; 4- 2у + 6 — 62
выполняются при любых X и у.
35. (м/м-93(2).2) Найти все значения а, при которых уравнение
4х + (a2 4- 5) • 2х + 9 — а2 — 0 не имеет решений.
36. (ВМиК-96.3) При каждом значении а решить уравнение
25х- (a — 1) • 5х + 2а + 3 = О
и указать, при каких а оно имеет единственное решение.
37. (экон.К-77.4) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение
log3(9x + 9a3) = х имеет два решения.
§13. Полезные преобразования и замены переменных.
В этом параграфе собраны задачи, при решении которых использу-
ются различные полезные формулы и преобразования: формулы сокра-
щенного умножения, теорема Безу, выделение полного квадрата, домно-
жение на сопряженное выражение, введение новых переменных.
Полезно знать и уметь применять следующие формулы:
а2 - 62 = (а - 6) - (а + 6), а3 Т 63 = (а 6) • (а2 ± ab + 62),
(а ± 6)2 = а2 ± 2а6 4- 62, (а ± 6)3 = а3 ± За26 4- Заб2 ± 63.
96
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
Теорема Безу. Если уравнение ах3 + bx2 + сх + d = 0 имеет рацио-
Р
нальные корни, т.е. корни вида х = то а делится нацело на q, a d
Q
делится нацело на р.
В других задачах параграфа полезно вводить новые переменные (од-
ну или несколько). На возможность введения таких замен обычно указы-
вает наличие повторяющихся выражений в уравнении или неравенстве.
Во многих задачах с параметрами полезно сначала выяснить, какая
из переменных является параметром по существу условия, а какая -
независимой переменной. Часто по смыслу задачи х, у, z, ... играют
роль параметров, в то время, как а, Ь, с, ... играют роль переменных.
Напоминаем вам, что после решения задачи в новых переменных
НЕОБХОДИМО ВОЗВРАЩАТЬСЯ К СТАРЫМ ПЕРЕМЕННЫМ.
1. (почв-96.1) Доказать, что число
((з/З - V27)2 + 7) ((з/З + </27)2 - 7)
целое, и найти это число.
2. (геол-94(1).2) Упростить до численного значения выражение
7УЗу^ - 7V5Vb За — 5Ь
6\/3у/а + 6\/5\/б 9а + 156 + 6у/Г>аЬ
3. (почв-98(1).1) Упростить выражение
4. (геол-98.1) Найти численное значение выражения
9а2 — 1662
46 -|- За
а26 — Заб2 \ 2
аб J
8а3 - 63
2а — 6
5. (м/м-78.1) Разность ^/|40\/2 — 57| — у/40з/2 + 57
числом. Найти это целое число.
является целым
§13. Полезные преобразования и замены переменных.
97
6. (почв-80.1) Решить систему уравнений
х-у = 6,
х3 — у3 = 126.
7. (экон.М-96.2) Решить систему
х + 3» = 2,
х3 + 27» = 26.
8. (экон.-96.1) Решить систему
I - ®| - + 3 = 1,
(-хл/^х)2 — у = 10.
2 — д;3 _
9. (м/м-90.3) Решить неравенство ----------------
1 + х
10. (м/м-96(1).2) Решить неравенство
ж3 - 8 + 6х • (2 — х)
|3 — 4а;|
11. (геогр-95(1).1) Решить систему
у/х(х + 3?/) = 36,
у/у(3х + у) = 28.
12. (псих-88.2) Решить уравнение
223(х*-8) _ gl9(2x-х2)
13. (почв-93.2) Решить уравнение
sin3 х — cos3 х + sin х — cos х = 0.
14. (геогр-80.4) Решить уравнение
6 -в 15 „ 1
cos х + sin х = — cos 2х — -.
8 2
15. (геогр-98.2) Найти знаменатель убывающей геометрической про-
грессии, если сумма первого, второго и третьего членов прогрес-
сии равна (-7), а пятый член прогрессии меньше второго на 14.
98
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
16. (геогр-91.5) Найти все действительные значения параметра а, при
которых система уравнений
Г Ъху — 25 = 0,
х2 — у 4- 2ж
имеет единственное решение, удовлетворяющее условию
2 , 2^2
X + У < а
17. (геол-94.2) Упростить до целого числа выражение
3 + . ^2
\/8- 2х/7 л/3- х/7
бг — б —
18. (хим-82.3) Решить неравенство (v 2 4- 1) «+1 < (у2 — 1)~х-
19. (геол-85.5) Решить уравнение
\/Зх2 — 7х + 3 — у/х2 — 2 — у/Ъх2 — 5х — 1 — \/i2 — Зх 4- 4.
20. (ВМиК-93.1) Решить неравенство ^_(4х — х2 — 2) > 0.
21. (м/м-96(2).2) Вычислить logx/y х 4- logy/x у, если
Ь&/„(х9) = logyy
22. (почв-95(1).5) Найти все значения а, при которых уравнение
2 cos 2х — 4а cos х + а2 + 2 = 0 не имеет решений.
23. (физ-95(1).7) Найти наименьшее значение произведения ху, где х
и у удовлетворяют системе
( х 4- у = За — 1,
[ х2 4- у2 = 4а2 — 2а 4- 2.
24. (хим-95.5) Решить систему
Г 2~* у4 - 2у2 4- 2® < 0,
1 8® - у4 4- 2® - 1 = 0.
§13. Полезные преобразования и замены переменных.
99
25. (экон.-79.4) Решить систему уравнений
( Зх2 4- 2у2 — Зх 4- 5у = 3,
1 4,5а;2 4- Зу2 — Зх + 8у = 7.
26. (соц-98.6) Две кривые на плоскости (х;у), заданные уравнениями
т2
у = х - 2х и — 4- у- 1
соответственно, пересекаются в четырех точках. Доказать, что:
1) существуют, по крайней мере, две различные параболы, каждая
из которых проходит через эти четыре точки;
2) эти четыре точки лежат на одной окружности, и найти радиус
этой окружности.
27. (хим-83.5) Найти все целые значения п, при каждом из которых
система уравнений
6а;2 4- 24у(х 4- у) 4- 2(3п — 2)х 4- 4(3п — 2)у 4-3 = 0,
5
4(х2 4- у2) 4- (4п 4- 2)у 4- 2п2 = 8ху 4- (4п 4- 2)х 4- -.
* м
имеет решения. При найденных значениях п решить эту систему.
28. (био-93.4) Даны две различные геометрические прогрессии, пер-
вые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов
прогрессий равна 3, а сумма пятых 161. Найти сумму шестых чле-
нов прогрессий.
29. (ИСАА-95.6) Найти все значения а, при которых неравенство
х2 4- 4х 4- 6а|х 4- 2| + 9а2 < 0 имеет не более одного решения.
30. (хим-98.3) Решить систему
f 4- у2 + 2(х _ у) + 2 = о,
1 z2 4- xz 4- yz — 4 = 0.
31. (почв-79.5) Решить систему уравнений
( 10х2 + 5у2 — 2ху — 38а; — бу 4- 41 = О,
| Зх2 — 2у2 4- 5ху — 17а; — бу 4- 20 = 0.
100
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
32. (ИСАА-94.6) Найти все значения а, при каждом из которых урав-
нение _____
а2х2 + 2а(\/2 — 1)ж 4- Vx — 2 = 2>/2 — 3 имеет решение.
33. (фил-78.2) Число а подобрано так, что уравнение
у х — д/З + а2х2 + 2ах(л/б — V3) = 6у/2 — 9
имеет решение. Найти это решение.
34. (псих-87.6) Доказать, что все решения неравенства
у/х — 1 + \Ле2 — 1 > 2
удовлетворяют неравенству
х + 2у/х — 1 + \/х4 — 2х2 + 1 >1 + 2 \/х2 — 1.
35. (геол-98(1).7) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
х х х „ х
cos х + 4cos — + 7cos — + 6cos —.
36. (геол.ОГ-82.6) Найти все тройки чисел (х,у, z) , удовлетворяющие
условиям:
( 8 cos г cos у cos (ж — у) + 1 = 0,
I X + у = Z.
37. (геол-90.5) Найти все пары действительных чисел тип, при ко-
торых уравнение
(Зх2 — 2m2 + mn)2 + (3m2 — mn + 2n2 — 12x)2 + 4 = 4x — x2.
имеет хотя бы одно решение.
38. (хим-78.5) Найти все решения системы уравнений
' у + 2 = (3 - ж)3,
< (2z - у) (у + 2) = 9 + 4у,
х2 + z2 — 4ж,
удовлетворяющие условию z > 0.
§13. Полезные преобразования и замены переменных.
101
39. (био-84.5) Решить систему уравнений
( у4 — 4у3 — 16г/1 2 — бху — 4а;2 4- 32г/ 4- 64 = 0,
( sin(57ra;) — у/х(х — 6) 4-13 • cos тг (у2 4- 2х 4- |) 4- sin?r(2y2 — х) = 0.
40. (м/м-89.6) Найти наименьшее из значений х, для которых сущест-
вуют числа у, z, удовлетворяющие уравнению
а;2 4- 2у2 4- z2 4- ху — xz — yz = 1.
41. (фил-89.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых существует единственная тройка чисел (х,у, z), удовлетворя-
ющая равенствам
x + y + z — х2 + 4у2 и х 4- 2у 4- 3z = a.
42. (био-87.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система уравнений
Г 9а;2 — бху + у2 + 6х — 13у 4-3=0,
| 13а;2 4- 6а;у 4- Ют/2 4- 16а: 4- 2у — 4ах — бау 4- а2 — 2а 4- 3 = 0
имеет хотя бы одно решение.
43. (экон.К-83.1) Решить уравнение х2 4- 114- \Ас2 4- И = 42.
44. (ВМиК-89.2) Решить уравнение 8у^12 4- 16а: — 16а;24-4а;—4а;2 = 33.
45. (геол-94.3) Решить уравнение у2 4- 2уу2 4- Зу — 4 — 4 4- Зу = 0.
46. (ВМиК-96(1).1) Решить неравенство
х/(2а; 4-1)4 - (2а; 4-1)2 4- (2а; 4-1)2 > 0.
1а; — 11 4- Ю
47. (геогр-97.1) Решить неравенство ----------Tj—й > 2.
41 х 11 3
1 2
48. (почв-98.3) Решить неравенство -----------:---> -------:----.
' |ж 4-1| — 1 ~ |i4-l|-2
102
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
49. (геол-98(1).6) Решить неравенство
50. (почв-96(1).3) Решите неравенство --------. = < 1.
2 — V® + 3
51. (геол-91.3) Решить неравенство — > -—-^=
52. (био-93.3) Решить неравенство 5\/1------->
V z
53. (экон-98.3) Решить неравенство
+ 8(3-4^+7) <2 Д116_10
54. (хим-94.3) Решить уравнение y^sin 2z = \/cos х — sin е — 1.
55. (ВМиК-96(1).3) Решить уравнение
~ 9 ” 17 9 , . 1 2
12 sin х — - cos 2х -f- — = - + 4 sin х + - cos х.
56. (физ-80.3) Решить уравнение 3^/1 og3 х — log3 Зх — 1 = 0.
57. (физ-93.3) Решить уравнение y/log2 е = 21og2 */х — 1.
58. (ИСАА-93.4) Решить уравнение
logx(3a; - 2) - 2 = л /log* (Зт - 2) + 4 logx / • -*-
59. (экон.-79.5) Решить уравнение
log3x+?(9 + 12т + 4z2) + log2x+3(21 + 23х + 6х2) = 4.
§13. Полезные преобразования и замены переменных.
103
60. (геогр-78.4) Решить неравенство
\Zlog9(3i2 — 4г + 2) + 1 > log3(3x2 - 4г + 2).
61. (ИСАА-98.2) Решить уравнение 2 2х’+1 — 12 • 2~* +5 = 0.
62. (экон.М-98.4) Решить уравнение
32(х+1)’+1 _ 87. з*’+2* + 18 _ о.
63. (физ-97.2) Решить уравнение
их-2
7------------
4х - 3 • 5х
64. (псих-86.3) Решить неравенство
6 ~lg(s4)
3 + 21g(i2)
65. (геогр-90.3) Решить неравенство
22+v/5^i _ 24
66. (экон.-99.2) Решить неравенство
> 1.
67. (ВМиК-83.5) Для каждого значения параметра а найти все значе-
ния х, удовлетворяющие уравнению
(г - 3)(г + 1) + 3(г - 3)А/^Ц = (а - 1)(а + 2)
V х — 3
и найти все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение имеет только один корень.
68. (м/м-94(2).6) При каждом значении а решить уравнение
2г2 + 2аг — а2 = \/4г + 2а + За2.
69. (м/м-97.5) Для всех значений параметра а решить уравнение
г4 +
2а — 1 о 2а2 + а + 2
--------х -I---------------
3 12
а о а 1 а + 1
- . х2 Ч-------4--------
2 3 6 6
70. (геогр-95(1).5) Решить уравнение
\/г — 2 + ^19 — г = 3.
104
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
71. (ВМиК-90.4) Решить неравенство
\/9d2 — 481) — 21 + \/9d2 — 51d — 15 < |3v — 6|.
72. (псих-81.4) Решить уравнение
4 /1
-(log3(5z - 6)3)2 - (log3(5z - 6)3) log3 х6 = -6 (log3 -
73. (м/м-80.4) Решить систему уравнений
х3 - у/у = 1,
5г6 — 8х3у/у + 2у = 2.
74. (хим-91.3) Решить систему уравнений
\/2х — 1 + y/у + 3 = 3,
2ху — у 4- 6г — 3 = 4.
75. (геол-98.7) Решить систему уравнений
г(1 + у) = у + 7,
х2у — ху2 = 6.
76. (псих-89.3) Решить систему уравнений
log* 25 + 2у = 2,
- (logx 0,2)3 + у = 1.
77. (ВМиК-95.2) Решить систему
f г + Згу + у = 3 + 10 у/2.
| г2+у2 = 11.
78. (ВМиК-97.4) Найти все решения системы уравнений
Г 4Ж + 5 • 2х - 2 • 3» = 2,
I 2 • 9» + 2х + 2 • 3» = 1.
§ 13. Полезные преобразования и замены переменных.
105
79. (псих-92.2) Решить систему уравнений
400 • 5» • 50* • 100*+» = 1,
НоЛх+ОлЛ8” • 4~" + 25-21 • 125-У) • 1об41(°> 5х + °’ 4^ = !•
80. (хим-85.5) Решить систему уравнений
I® - 1/| - log2(|®| + У + 1) + 6 = О,
(х - у)2 - 6(т - у) log2(|x| + у + 1) + 51og2(|a:| + у+ 1) = 0.
81. (био-77.3) Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав
вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяс-
нилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала
на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада
делала в 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада в 1 час
на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 ча-
сов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь
за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 дета-
лей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в 1 час
делала каждая бригада?
82. (ВМиК-94(1).5) Числа ai, а2, аз, а*, а$ удовлетворяют при
п = 2, 3, 4. соотношению
log2 а„ -log2(a„_i • а„+1) = log2 ап _ х • log2 an + х -log2(4a2)
Известно, что ах = 2, = 21/25. Найти log2(a2 + 2аз — а*).
83. (био-85.5) Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
8т(2т2 - 1) • (8т4 - 8т2 + 1) = 1?
84. (геол-81.6) Решить уравнение \ -------------------И 2х2 — 1.
V
85. (экон.К-85.5) Среди всех решений (х,у, z,v) системы
х2 + у2 = 4,
< z2 + v2 = 9,
XV + yz > 6
найти такие, при каждом из которых выражение х + z принимает
наибольшее значение.
106
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
86. (м/м-92.6) Найти все значения х, при каждом из которых неравен-
ство
(2 - а) • г3 4- (1 - 2а) • х2 - 6г 4- (5 4- 4а - а2) < 0
выполняется хотя бы при одном значении а, принадлежащем от-
резку [~1;2].
87. (ВМиК-84.5) Найти все решения (г, у, z) системы уравнений
( г3 4- г2(13 — у — z) 4- х(2у 4- 2z — 2yz — 26) 4- 5yz — 7у — lz 4- 30 = 0,
[ г3 4- г2(17 - у - z) — г(2у 4- 2z 4- 2yz — 26) 4- у 4- z - 3yz — 2 = 0,
такие, что x принадлежит отрезку [4; 7].
88. (почв-92.5) Найти все значения параметра а, при которых все чис-
ла х из отрезка [1; 5] удовлетворяют неравенству
Заг 4- 2-\/Зг 4- 1 — 6г 4- а — 5 < 0.
89. (экон.-91.4) Определить наименьшее значение функции
F(r) = (г - 2) • (4 4- (г - 1) • (г - 4)) • (г - 3), г & R.
90. (м/м-83.4) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых имеет хотя бы одно решение система уравнений
' 112- 51 ~ |12yc^Y - 7| 4- |24y№^ + 131 =
< = 11 _ 0in
2(г2 4- (г/ — а)2) - 1 = 2^/г2 4- (у - а)2 -
91. (ВМиК-86.6) Найти все значения с и d, при которых наибольшее
значение функции
З1 I Ч~х — 2 3® — 1
у(г) = 4 • „ 4- (с 4- 2d) • 2 • -- 4- 2с 4- d
/ 3x4.3-х 4.2 v ' 3*4-1
на отрезке [—1; 1] является наименьшим.
92. (хим-97.6) Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
г2 4- 2г/2, если г2 — ху 4- 2у2 — 1.
§14. Использование графических иллюстраций.
107
93. (псих-86.6) Найти наибольшее из значений, которые принимает
выражение х 4- Зу, если х и у удовлетворяют неравенству
х2 4- ху 4- 4у2 < 3.
94. (био-89.5) Числа х,у, z таковы, что х2 4- Зу2 + z2 = 2. Какое наи-
большее значение может принимать выражение 2х + у — z?
§14 . Использование графических иллюстраций.
В этом параграфе приведены задачи, при решении которых вам по-
могут графические иллюстрации. Однако, ПОМНИТЕ: ВСЕ, ЧТО ВАМ
ПРИВИДЕЛОСЬ ИЗ ГРАФИКА, НЕОБХОДИМО СТРОГО ОБОСНО-
ВАТЬ.
1. (ВМиК-86.2) Найти координаты точки, лежащей на прямой
Зх — 5у = 17 и наименее удаленной от начала координат.
2. (хим-93.5) Найти число решений уравнения
2х+1 + 21~х = 1 — 4х — х2.
3. (геогр-93.5) При каких значениях а четыре корня уравнения
х4 + (а — 5) х2 + (а + 2)2 = 0.
являются последовательными членами арифметической прогрес-
сии?
4. (почв-96.6) Определите, при каких значениях а решения неравен-
ства у/х 4- а > х образуют на числовой прямой отрезок длины
2|а|.
5. (м/м-97(2).6) Найти все значения а, при каждом из которых среди
решений неравенства
у (а — х2) • (х2 4- а) 4- а > х
есть ровно два различных целочисленных решения.
108
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
6. (геол-93.6) Найти все значения параметра k, при которых ровно
одна точка графика функции
у = 2х + (1g к) \/cos(2A:kx) 4- 2cos(A:kx) — 3 4- 1
лежит в области (2х — 7)2 4- 4(j/ — З)2 < 25.
7. (био-78.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение х|х 4- 2а| 4-1 — а = 0 имеет единственное решение.
8. (м/м-96(2).6) Найти все значения к, при каждом из которых хотя
бы для одного числа Ь уравнение |х2 — 1| 4- кх = |х2 — 8® + 15| + Ь
имеет
а) более 5 корней; б) ровно 5 корней.
9. (экон.-83.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение х — а = 2|2|х|— а2\ имеет три различных корня.
Найти эти корни.
10. (экон.-95.6) Найти наименьшее значение выражения
а2 + (6 — I)2
среди тех а и Ь, для которых уравнение
||х — 4] — 2| — ах 4- 4а — Ь = 0
имеет ровно три различных корня. Указать, при каких а и Ь до-
стигается это наименьшее значение.
11. (экон.-92.6) Найти все значения параметра 5, при каждом из кото-
рых число целочисленных решений неравенства
х2 4- Зх 4- 3|х 4- 6| — Ь < 0
максимально.
12. (почв-95.5) Найти все значения Ь, при которых система
( 4у = 4Ъ 4- 3 — х2 4- 2х,
[ х2 4- у2 = 2х
имеет два решения.
§14. Использование графических иллюстраций.
109
13. (геогр-94(1).6) Найти все значения а, при каждом из которых кор-
ни уравнения
4- 3 — — f 4- 4- 8 — 6у/х — f = а
существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
14. (геогр-94.5) Найти все значения а, при которых уравнение
а + у/бх — х2 — 8 — 3 + 4- 2ат — а2 — г2
имеет ровно одно решение.
15. (хим-87.5) Найти все значения параметра р, при каждом их кото-
рых множество всех решений неравенства (р — т2)(р 4- х — 2) < 0
не содержит ни одного решения неравенства х2 < 1.
16. (геол.ОГ-78.5) Найти все значения параметра а, при каждом из
которых существует хотя бы одно х, удовлетворяющее условиям:
( х2 + (5а 4- 2)х 4- 4а2 4- 2а < 0,
I х2 4- а2 = 4.
17. (геогр-82.4) Найти все пары чисел (г, у), каждая из которых удов-
летворяет условиям
( 1о8г-х(2 - У) > 0,
I log4_!z(2T — 2) > 0.
18. (фил-91.6) Найти все значения р, при которых неравенство
logx-p х2 < 2
выполняется хотя бы для одного числа х, такого что |т| < 0, 01.
19. (геол.ОГ-88.6) Найти все пары значений параметров (а; Ь), при
va-ж-пой из которых уравнение
— sin2a| 4-1® + cos2 4a — 2 sin a • cos4 4a| = b (a 4- —'j
\ 2 J
имеет единственное решение.
110
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
20. (геогр-95.5) Сколько корней на отрезке х € [—тг; тг] имеет уравне-
ние
х2 + a = 36 cos х,
где число 6 есть наименьшее возможное значение суммы квадратов
корней квадратного трехчлена
х2 — х\/5 — Зс2 + — с2?
21. (ИСАА-97.5) Найти площадь фигуры, заданной на координатной
площади условиями
у < \/4 — г2,
У> 1«- 1| — 3.
22. (геол-95(1).8) Изобразить на координатной плоскости фигуру, за-
данную неравенством х2+у2+6(х—|у|) < 0. Найти площадь
этой фигуры.
23. (м/м-91.3) Найдите площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости неравенствами
х2 + у2 < 4г — 4у — 6,
г > 1.
24. (почв-96(1).6) Определите площадь фигуры, расположенной на ко-
ординатной плоскости и состоящей из точек (г, у), удовлетворяю-
щих неравенству
bg(xS+jfS)(x + у) > 1.
25. (геол-82.5) Построить на координатной плоскости множество то-
чек, координаты каждой из которых удовлетворяют условию
и среди точек этого множества найти те, у которых координата у
принимает наибольшее значение.
§14. Использование графических иллюстраций.
111
26. (экон.В-98.6) Множество F состоит из всех точек плоскости, ко-
ординаты (г, у) которых принимают целочисленные значения и
удовлетворяют неравенству
\3У/
Определить точки множества F, наименее удаленные от точки
Af(2; —2).
27. (экон.М-97.6) Найти все значения параметра а, при которых пери-
метр фигуры, заданной на координатной плоскости условием
/а2 4- х2 \
Iog/2-|ay|\ I 2а2 ) > °’
будет наименьшим.
28. (экон.-97.6) Множество точек, расположенных внутри фигуры F,
задано на координатной плоскости условием
/ 10у — 24 - у2 \
850 /
Множества F(t) получаются из F поворотом вокруг начала коор-
динат против часовой стрелки на угол t. Найти площадь фигуры,
образованной точками, каждая из которых при некотором t G [0; тг]
принадлежит множеству F(t).
29. (м/м-96(2).4) При каком значении а сумма различных корней урав-
нения
принадлежащих отрезку
, максимальна?
cos x — sin 2x + sin 4x = a(ctgx + 2 cos 3x),
Зтг 22?r
Т;“з~
30. (м/м-94(1).6) Найти все значения a
которых уравнение
sin 2х 4- sin х 4- sin(z — a) = sin a 4- sin(z 4- a)
7 5 ‘
-7^7^
4 4
, для каждого из
имеет ровно пять различных корней на отрезке
112
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
31. (м/м-95(2).6) Пусть xi - наибольший отрицательный корень урав-
нения
л/З sin х — 3 cos х = 2а — 1,
a - наименьший положительный корень уравнения
2 cos2 х — 2 sin2 х = a.
Найти все значения а, при каждом из которых |xi| < Х2-
32. (псих-97.6) Найти все значения параметров а и 6, при которых
система уравнений
( х2 4- у2 4- 5 = Ь2 4- 2х — 4у,
I х2 4- (12 — 2а)х + у2 — 2ау 4- 12а — 2а2 — 27
имеет два решения (xi, у{) и (х2, уг), удовлетворяющие условию
Х1 - х2 _ Уг 4-уг
У2-У1 ~ Х1 4- х2 '
33. (ВМиК-96.5) Решить систему
( х2 + у2 — 14т — Юг/ 4- 58 = О,
[ ^/ж2 4- у2 — 16т — 12т/ 4-100 4- \/х2 + у2 + 4х — 20у 4-104 = 2^/29.
34. (геогр-97(1).6) Найти все значения параметра а, при каждом из
которых множество точек пространства с координатами (т, у, z),
удовлетворяющих уравнению
|т — 2а| 4- Iх 4- 2а| 4- |у — 2а| 4- |у 4- 2а| 4- |z — а| 4- |z 4- а| = а2 4- 9,
1) содержит шар радиуса г = к/2,
2) имеет ненулевой объем и содержится в сфере радиуса R — тг.
§15 . Использование различных свойств функций.
В этом параграфе приведены задачи, при решении которых решаю-
щую роль играет применение таких свойств функций, как ограничен-
ность, монотонность, четность и нечетность, периодичность. Поэтому
рекомендуем вам, прежде чем приступать к решению задач данного па-
раграфа, повторить свойства элементарных функций.
§15. Использование различных свойств функций.
113
1. (геол.ОГ-82.4) Решить уравнение
1
2
. А . х
sin(-xsinz) =
'3
2. (экон.-94.2) Найти область значений функции
у = — Зг2 + 12г — 3.
3. (ВМиК-82.2) Найти все значения х, для каждого из которых функ-
ция
f(x) = 6 cos2 х + 6 sin х — 2
принимает наибольшее значение.
4. (почв-90.4) Найти наименьшее значение функции у = 1+4 sin х—2х
на отрезке [0; тг].
5. (геол.ОГ-81.6) Показать, что функция
у(х) — sin2 х — 12 sin a: cos а: + 3cos2z — 2\//66
может принимать неотрицательные значения.
6. (псих-80.5) Доказать, что для любых действительных чисел р и t
справедливо неравенство
2(2р — 1)4 + 1 + (1 - 2(2р — I)4) sin 21 > 0,
и найти все пары чисел (р, 1), для которых это неравенство пре-
вращается в равенство.
7. (м/м-96(1).4) При каких значениях а уравнение
2cos2(22x-x’) = a + \/3sin(22x~x’+1)
имеет хотя бы одно решение?
8. (почв-90.6) Решить неравенство log2(2 — За:) > 4х + 1.
9. (геол.ОГ-85.5) Решить уравнение
114
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
10. (био-94.5) Найти все значения х при которых неравенство
(4 - 2а) х2 + (13а - 27) • х + (33 - 13а) > 0,
выполняется для всех а, удовлетворяющих условию 1 < а < 3.
И. (ИСАА-94.5) Решить неравенство
|а._41+Уз^|<|а._4.4^
12. (м/м-96(2).1) Найти все целочисленные решения неравенства
\/z3 — 5z — 3 < 6 — х.
13. (м/м-79.4) Решить неравенство
14. (фил-87.5) Решить неравенство
15. (псих-82.6) Решить уравнение
6 l + Iog2(2+a;)
2х + 1 х
9 1 + log3(z + 6)
Зге Ч- 2 х
^°^2у/2+у/3^Х ~~ ^°®2+\/з(г 2® 3).
16. (ВМиК-97.6) Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение
\/х3 — 24х2 + 118х + 7 = 5 • у/1х - х2 + у/a2 - 11а+ 18
имеет единственное решение
17. (м/м-80.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
1°gi/a(v/;c2 + 02 + 5 + 1) log5(z2 + ах + 6) + log„ 3 > О
имеет одно решение.
18. (ВМиК-92.6) Найти все значения а, при каждом из которых нера-
венство
4/2 х %
5<’
выполняется для всех х из отрезка [тг; 2тг].
2 — az) + cos(2z2
§15. Использование различных свойств функций.
115
19. (хим-80.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых число решений уравнения
3(z2 + а2) = 1 — (9а2 — 2)х
не превосходит числа решений уравнения
х + (За - 2)23х = (8° - 4) log3(3° - Ь - За;3.
20. (физ-92.7) Известно, что некоторая нечетная функция при х > 0
определяется формулой f(x) = log3 . Найти, какой формулой
определяется функция f(x) при х < 0.
Решить уравнение f(x) = 3.
21. (хим-89.5) Решить уравнение
(2х + 1) (2 + >/(2а: + I)2 + з) + За: (2 + УЭа;2 + з) = 0.
22. (м/м-90.4) Найти все значения параметра а, при которых уравне-
ние
х2 — 2а sin(cos х) + а2 = 0
имеет единственное решение.
23. (экон.-ЭО.б) Найти все значения параметра а, при которых система
(3 - 2^2)у + (3 + 2V2)y - За = х2 + 6х + 5,
< у2 — (а2 — 5а + 6) х2 = 0,
—6 < х < 0
имеет единственное решение.
24. (ВМиК-79.5) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение
. , Нота:. ------------
(а — х — cos —-—)v8 — ах = 0
имеет на отрезке [—2; 3] нечетное число различных корней.
25. (экон.-83.2) Решить уравнение tg3z = tg5z.
116
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
26. (геогр-96.2) f(x) - периодическая функция с периодом Т = 1/3.
Найти значение /(1), если известно, что
/2(2) - 5/(0) + у = 0 и 4/2(-1) - 4/(^) = 35.
тс и
27. (экон.М-97.5) Функция f(x) определена на всей числовой прямой,
является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке
О < х < 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 — |х — 1|.
Решить уравнение 2/(х) • f(x — 8) + 5/(z + 12) + 2 = 0.
28. (экон.-97.5) Функция f(x) определена на всей числовой прямой,
является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке
—2 < х < 0 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 2z(z + 2).
2- /(-3 — х) —3 „
Решить уравнение — =-----= 0.
29. (псих-96.5) Пусть <1 и <2 - корни квадратного уравнения
t2 - (56 - 2)2t - 362 - 7b+ 1 = 0.
Найти все значения параметра 6, при каждом из которых для лю-
бого значения параметра а функция
f(x) — cosfairx) • cos((ij + <2) 7ra:)
является периодической.
30. (хим-88.3) Найти точку графика функции у = х2 + |, ближайшую
к точке (|; 1) .
31. (хим-84.3) Найти все точки максимума функции
/(х) = x2(6sin2x—8 cos2z) + z-(6cos2z+8sin2z)+3sin2z—4cos2z.
32. (почв-91.5) Для каждого отрицательного числа а найти наимень-
шее значение функции
У = |(я-«)2
О £•
на промежутке 0 < х < 1.
§16. Метод оценок.
117
§1в. Метод оценок.
В этом параграфе приведены задачи, при решении которых исполь-
зуется ограниченность функций, входящих в уравнения и неравенства.
Полезно помнить следующие факты:
• а + - > 2, если а>0, и а + - < —2, если а < 0;
а а ~
• Функция f(x) = ax2 + bx + c ограничена значением f (— — ) снизу
X /
при а > 0 и сверху при а < 0.
( fix} = 0
• Если/(х) > Ohs(z) > 0,то f(x)+g(x)=0 О | д(х) = q’
Г f( 31) — д
• Если/(х) > а, ад(х) < а, то f(x) = д(х) « < д(х) = а.
то f(x) • д(х) = ab О f к'
I |5(а=)1 - Ъ,
причем f(x) и д(х) одного знака.
Г |/(х)|=а,
ТО g(x)~b I Мх)| = 6,
причем f(x) и д(х) одного знака.
Заметим, что мы выписали здесь не все случаи применения оценок
в суммах, произведениях и частных. Однако, если вам понятно все, что
написано выше, то вы сможете сами распространить метод оценок и на
другие случаи.
1. (псих-97.4) При каких действительных р уравнение
4х + 2х+2 + 7 _ Р _ 4-х _ 2.21-х
имеет решение.
118
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
2. (био-81.4) Решить неравенство (2х + 3 • 2 х)21ова® bga(«+6) > j
3. (псих-78.4) Найти наименьшее значение функции
. . . 9тг2
f(x) = 4х -------F sin х
х
при х > 0.
4. (ИСАА-97.4) Решить неравенство log05 |1 - xf - logI_1 2 < 2.
5. (геол-98.8) При каких значениях а уравнение
х2 — 4ах + 4а2 4- 1
х — 2а
4- х2 — 2х - 1 = 0
имеет хотя бы одно решение?
6. (псих-79.2) Решить систему уравнений
Г 21ogi:i(-zj/ - 2х + у + 2) + iog2+j/(z2 - 2х + 1) = 6,
I l°g1_x(y 4- 5) - log2+j/(2: + 4) = 1.
7. (био-93.6) Найти все решения системы
( у4-2 = (3 —z)3,
\ (2z - у) (у 4- 2) = 9 4- 4у,
[ х2 + z2 = 4х,
удовлетворяющие условию z > 0.
8. (геогр-81.5) Решить систему уравнений
( х2у2 - 2х + у2 — 0,
( 2х2 - 4х + 3 + у3 = 0.
9. (почв-94.4) Найти все значения а и Ъ, при которых система
( а + sinbz < 1,
[ х2 4- ах 4-1 < 0
имеет единственное решение.
§16. Метод оценок.
119
10. (хим-94.5) Решить систему
( х2 + 2zsin у + 1 = 0,
| 8|х|з/(х2 + у2) + тг3 + 4тг = 0.
11. (экон.М-97.2) Решить систему неравенств
sinlM| + (z-j/-2)2<0,
2z + 3|<2.
12. (ИСАА-93.5) Решить уравнение sin2 х + 3z2 cos х + Зх2 = 0.
13. (м/м-93(1).4) При каких значениях а 6 (— J;0), уравнение
\/2cos(z + а) — 1 = sin 6z — 1
имеет решения?
14. (физ-96(2).8) Для каждого значения а решить уравнение
(log2 3/l+o+2 = (log9 4)Vx =+a’-6a-5
15. (хим-93(1).5) Решить уравнение 2 (1 + sin2(z — 1)) = 22х~х\
16. (геогр-94(1).4) Решить уравнение
1°go,5(t8’ra + ctgTrz) = 8(2z2 + Зх + 1).
.хх sin х — 3
17. (псих-92.1) Решить неравенство sin — + cos — < -------=—.
2 2 V 2
18. (псих-93.3) Найти все решения уравнения
1 . 2 ( тг \ . „ /-
—= sin г ------) + sin За: = cos Зя — v 2
у/2 \ 12/
на отрезке [—2тг;2тг].
19. (филол-98.5) Решить неравенство
{/13 + 3(3,-во,‘) < х/5 • 2-2х’ - 1.
120
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
20. (экон.В-98.4) Решить уравнение
25 з1»-5|+1»-’1 + g . 5l»-4|+|»-6| _ 450
21. (хим-94(1).5) При каких значениях q разрешима система
х2 + qx + 3 = 0,
sm <?тг + cos2 — + 2V = sin — ?
U It
Найти ее решения.
22. (геогр-96(1).3) Решить уравнение
(Зтг + 1 \ / Зтг - 1 \
cos I —-—х I cos I —-—х I = 1.
\ 2 / I 2 )
23. (ВМиК-92.2) Решить уравнение
х/1 + cos 4г sin х = 2 sin —.
4
24. (экон.-78.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
a(4 — sin z)4 — 3 + cos2 z + a > 0
выполняется для всех значений z.
25. (почв-89.5) Решить неравенство
(х2 — 4х + 3) logj (cos2 ttz + cos z + 2 sin2 > 2.
26. (геол-95(1).9) Для каждого значения а решить систему
Iog2(|o|z2-3z + 4) _ 5_|х|.(х+1)>
< l°g2(-3z + 4)
х < 1.
27. (геол-92.6) Найти все тройки чисел (z, у, z), удовлетворяющие урав-
нению
х2 + 1 — 2z sin ку + \Jyz — 2z2 — 64 = (41 — yz) • (cos 2тгу + cos ttz)2.
§16. Метод оценок.
121
28. (био-90.5) Найти все значения a,b,x,y,z, при которых выполня-
ются соотношения
( 1 4- tg(6z) • sin2(xy) 4- соз(2ту) < (cos x 4- sin(ay)) | sin(2Ty)|,
cos(6(y 4- x)) 4- cos(26(y 4- z)) = 0.
29. (м/м-97(1).5) Решить систему
|т 4-1| — 1 < x,
TTiT*
(2* 4- 2X~2 + 22-x) cos — + cos(ttt) + 3 + 22x“3 = 0.
30. (геол-86.6) При каждом значении параметра р < 9 найти все ре-
шения уравнения
тг Зтг\ . (2тг . , Зтг\ о /5тг тг \
— sin х-------I - sin — sin х 4---------I 4- cos — — — cos lx I =
14 7
„ 2 / ТГ . 2тг\
= 6t§ TEslna:+ V -p
\15 5 /
на отрезке [0; 2тг].
4 1 1 2
31. (хим-91.4) Решить уравнение cos'4 х = — cos 2т 4- — cos т-cos 8т.
32. (био-98.5) Найти все решения системы
(cos Ют — 2sin5т > 3 • 4* — 3 • 2‘+2 4-
। ^(2 — >/3) 4‘ + (2 4- \/3)4‘ 4- 2 + 14 log2 cos Ют + 6 cos 5т > (2/ 4- I)15.
33. (хим-79-5) Найти все решения системы уравнений
у sin т
у sin т = log2
2 1 + Зу ’
tSin3X + 4соз3х) _ 25у2 4- бу + 1,
(бу2 + 2у)(4!
удовлетворяющие условию |у| < 1.
122
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
34. (м/м-95.6) Найти все значения а из отрезка [0; 2тг], при которых
система
х2 4- У1 + 2z(x 4- у + z) — sin а = 0,
. . , 2 Ot Л ------ Л г— ,3 л
(z 4-1) • sin — 4- у y/x 4- агу/z 4- sin -a = 0
имеет хотя бы одно решение.
35. (ВМиК-89.5) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение
а2 4- 4тг2 + 4
\$x — x2 — 2(a — 2тг) • |z — 2| 4- 4тга
— \/(z — 5а 4- 10тг — 34) • (|тг — z| — а 4- тг + 2) = 0
имеет по крайней мере одно целочисленное решение.
36. (геогр-86.5) Для каждого значения параметра а, удовлетворяюще-
го неравенствам 0 < а < 2, найти наименьшее значение выражения
х2 4- у2 — 2а(х 4- у) при условии cos ( — zj/1 = 1.
37. (геогр-88.5) Доказать, что при каждом х > 0 выполнено неравен-
ство
2 15
х + ttz 4- -т-я sin х > 0.
А
38. (ВМиК-81.4) Для каждого значения параметра а найти все значе-
ния х, удовлетворяющие равенству
( X2
(1 + (а 4- 2)2) log3(2z - х2) 4- (1 + (За - I)2) logn I 1 - —
= log3(2z -
,2
39. (почв-83.5) Найти все значения параметра а из интервала (2,5),
при каждом из которых существует хотя бы одно число z из от-
резка [2,3], удовлетворяющее уравнению
7Г
log2(3 — | sinaz|) = cos(?rz — —).
§16. Метод оценок.
123
40. (геогр-83.4) Найти все пары чисел (х, у), каждая из которых удов-
летворяет условиям
( 2lx2_2x-3l_los’3 — 3-у-4,
t 4|у| - |у- 1| + (з/ + 3)2 < 8.
41. (экон.-99.7) Найти все значения Ь, при каждом из которых система
Г bsin |2;г| + log5(zv/'2 — 5а:8) + b2 = 0,
| ((j/2 — 1) cos2 z — у sin 2z + 1)(1 + \/тг + 2z + y/ir — 2z) — 0
разрешима и имеет не более двух решений; определить эти реше-
ния.
42. (почв-97(1).6) Найти наибольшее и наименьшее значение выраже-
ния
/1 - cos 2х Г \
-Зу-------------|- у 2 - v3cos z - 1 I •
/1 — cos 2у Г~ \
• I------—- + у 11 - v3cosj/ + 1 1
\ У
43. (ВМиК-83.6) Найти все пары чисел (х, у), удовлетворяющие усло-
вию
у/2 — |т/| • (5 sin2 х — 6 sin х cos х — 9 cos2 х + Зу^ЗЗ) =
= (arcsin х)2 + (arccos х)2 —
5 2
— 7Г
4
44. (ВМиК-86.5) Решить уравнение
sin За: — 2sin 18а: sin х = Зу/2 — cos 3z + 2 cos х.
45. (ВМиК-91.5) Проверьте справедливость неравенства у < 3,17, где
у - наименьшее на интервале (0; 1) значение функции
_ 1 ( 1 3 \
/(Х) ~ 2 \(z + 0,003)° 45 + (1 - z)°>«) +
, 1 1 3
+ 2 (х + 0,003)°-« (1-х)0,48 •
124
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
§17. Получение следствий и логические задачи.
В этом параграфе приведены задачи, которые с помощью различных
следствий сводятся к более простым. При этом полезно после каждого
упрощения заново формулировать задачу. Это особенно важно в задачах
с параметрами. Рассмотрим несколько стандартных случаев.
Если задача формулируется следующим образом: "Найти все значе-
ния параметра, при котором уравнение (неравенство, система) име-
ет единственное решение", то первым делом надо посмотреть, не яв-
ляется ли эта задача четной относительно одной из переменных или
симметричной относительно двух каких-нибудь переменных.
Если задача является четной относительно переменной х, то можно
рассуждать следующим образом. Предположим, что Хо - решение на-
шей задачи, тогда в силу четности относительно х значение (—®о)
тоже будет решением. Поскольку решение должно быть единствен-
ным, то xq = —то <=> ®о — О- Поэтому единственным может быть
только решение х = 0. Подставим это х = 0 в исходную задачу и
найдем значения параметра, при которых х — 0 является решением.
Но это еще не значит, что при этих значениях параметра не будет
других решений. Поэтому надо каждое найденное значение параметра
подставить в исходную задачу и проверить, будет ли соответству-
ющее решение задачи единственным или нет.
Если же задача является симметричной относительно переменных
х и у, то можно рассуждать следующим образом. Предположим, что
(х, у} - решение нашей задачи, тогда в силу симметричности задачи
(у, х) тоже будет решением. Поскольку решение должно быть един-
ственным, то х ~ у. Следовательно единственным может быть толь-
ко решение х — у. Подставим это х ~ у в исходную задачу и найдем
значения параметров, при которых х — у является решением. Но это
еще не значит, что при этих значениях параметра не будет других
решений. Поэтому надо каждое найденное значение параметра под-
ставить в исходную задачу и проверить, будет ли соответствующее
решение задачи единственным или нет.
Если задача, начинается словами "Найти все значения параметра,
при которых уравнение (неравенство) выполняется для всех значений
х ”, тогда можно рассуждать следующим образом. Поскольку уравнение
должно выполняться для всех х, то и для х = xq. Подставим это хо
в исходное уравнение и найдем набор "подозрительных” значений па-
раметров, которые затем надо будет обязательно подставить в ис-
ходное уравнение для проверки. Если для данного значения параметра
§17. Получение следствий и логические задачи.
125
уравнение выполняется при всех х, то это значение параметра под-
ходит. Если же уравнение выполняется не при всех значениях х (при
этом достаточно найти хотя бы одно такое х), то рассматриваемое
значение параметра не подходит.
1. (хим-96(1).5) Решить систему
л/® + 2 + л/®2 + 5ж + 5 > 2,
х2 + 6х + 5 < 0.
2. (геол-97.7) Найти все решения уравнения
+ у + 11 — 5жу| + |ж2з/ + ху2 — 12) = 0.
3. (геогр-97(1).5) Решить систему
g2(l-x) _ gx3-Sx+7
' logp 2 л/ж + 3
. log0]2(z + l)
4. (почв-93.5) Найти все значения а, при которых неравенство
х +
7а2 + а — 2
х + а + 1
< 7а- 1
не имеет положительных решений х.
5. (хим-83.2) Решить неравенство
(\/ж2 - 4ж + 3 + 1) log5 + ~(\/8х - 2х2 - 6 + 1) < 0.
О X
6. (почв-81.5) Найти все пары чисел (х,у), для каждой из которых
выполнено равенство
3 + 2 cos(x - у) ------2 2х ~У , 8Ш2(ж - у)
--------= V3 + 2ж - х2 cos2 ——- +-----------------i-----
А II
126
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
7. (хим-98.4) Решить уравнение sinx(cos2x + созбх) + cos2 х = 2.
8. (экон.М-99.6) Для каждого значения Ь найти все пары чисел (х, у),
удовлетворяющие уравнению
b sin 2у + 1о^(г\/1 — 4 г8) = Ь2.
9. (экон.В-98.7) Найти все значения а, при которых уравнения
х3 + 2аг2 — а2х — 2а3 + 2 = 0
и
х3 — ах2 — 10а2г + 10а3 — 1 = 0
имеют хотя бы один общий корень.
10. (ВМиК-85.5) Найти все тройки чисел(г, у, z), удовлетворяющие
равенству
3 \/3
-х2 — 2у2 + 2z2 + 10z + бу + —х - 17+
4b £t
+ У Зг2 — 2д/3(соз try + cos 7гг:)г + 4 = 0.
11. (экон.К-87.6) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых система
( 3 21’1 + 5|г| + 4 = Зу + 5г2 + За,
( х2 + у2 = 1
имеет единственное решение.
12. (псих-95.5) Найти все значения а, при которых неравенство
/—---- х2 + 9
cos х — 2 v я2 + 9 <-----------а
~ а + cos х
имеет единственное решение.
§17. Получение следствий и логические задачи.
127
13. (хим-88.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых равносильны системы уравнений:
Г х + 2у — 2 — а,
[ — х + ау -- а — 2а2
и
( х2 — у4 — 4г 4- 3 = О,
[ 2х2 + у2, + (а2 + 2а — 11)г + 12 — 6а = 0.
14. (ВМиК-98(1).5) Найти все значения параметра а, при которых
уравнение
- 2*а /я2 — 1\ 2 5
21+® + а • cos I ---- I + а — - = 0
\ х J 4
имеет единственное решение.
15. (фил-84.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система неравенств
( у >х2 + 2а,
t я > у2 + 2а
имеет единственное решение.
16. (био-91.5) Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений
z cos(z — у) + (2 + ху) • sin(z + у) — z — 0,
< х2 + (у - I)2 + z2 = а + 2х,
(х + у + asm2 z) • ((1 — a) • ln(l — ху) + 1) = 0
имеет единственное решение.
17. (фил-92.5) Найти все значения параметра Ь, при которых система
уравнений
( Ьх2 + 2Ьх + у + 36 — 3 = 0,
[ Ьу2 + х — 6Ьу 4-116+1 = 0
имеет единственное решение.
128
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
18. (геогр-97.4) Найти все значения параметра Ь, при каждом из ко-
торых единственное решение имеет система неравенств
by2 + 46у — 2х + 7b + 4 < О,
Ьх2 - 2у - 2Ьх + 46 - 2 < 0.
19. (филол-98.6) При каких значениях параметра а уравнение
sin2(z + 6) — (а — 1) sin(z + 6) sin(?rz) 4- (а — 1)sin2(Trz) = 0
имеет единственное решение?
20. (почв-88.5) Найти все значения параметра р, при каждом из кото-
рых существует единственная пара чисел (х, у), удовлетворяющая
условиям
х2 + 2рх + Зр2 4- Зр 4- 3 < 3 sin у — 4 cos р,
0 < у < 2тг.
21. (м/м-88.6) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система уравнений
. 1
sm х sin у = —z,
z2
(® + у)2
cos х cos у = -------т,
(а - тг)2
имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
22. (био-95.6) Найти все значения а, при которых уравнение
(х2 — 6|ж| - а)2 4- 12(z2 — 6|ж| — а) 4- 37 = cos
имеет ровно два корня.
§ 17. Получение следствий и логические задачи.
129
25. (экон.-85.4) Найти наименьшее значение функции у = —
Зх
23. (хим-84.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых неравенство
1|а—2|-|х4-а—4|4-j—3 - |а - 2| Y|х-2| +1|а-2| |аг-а| < 1
2 \ |а — 2| / 2
выполняется ровно для двух различных значений х.
24. (ИСАА-98.7) При каких значениях параметра а система
х4 — (а — 1)ч/а + 3 у 4- а4 + 2а3 — 9а2 — 2а + 8 = О,
*
у — \/а + 3 х2
имеет ровно три различных решения?
2 4- х 4- 1
2 — х 4- 2
26. (хим-91.1) Найти максимум и минимум функции
fl \ _ Зд 4- 1
'(l) ~ (Зх4-1)24-1'
27. (фил-80.5) Найти все значения а из промежутка [1, 4-оо), при каж-
дом из которых больший из корней уравнения
х2 — бх 4- 2ах + а — 13 = О
принимает наибольшее значение.
28. (почв-85.5) Пусть xq - больший из корней уравнения
х2 + 2(а — b — 3)х 4- а — b — 13 = 0.
Найти наибольшее значение хо при а > 2, b < 1.
29. (гсол.ОГ-84.3) Найти sin(a/2), если cos2a < —7/8 и соза < —1/4.
30. (геол-84.3) Найти sina, если sin 2а > 3/5 и tga < 1/3.
31. (геогр-80.5) Найти все решения системы уравнений
1
У + -
х
х2 4- у2
1
X
13
Т
13
6 4
97
36’
удовлетворяющие условия^ х < 0 и у > 0.
.30
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
32. (псих-84.7) Найти все пары чисел х, у, удовлетворяющие системе
неравенств
фг+у-1 + з . 42У-1 < 21
х + Зу > 2 - log4 3.
33. (м/м-96.4) Решить систему
' log2 sin х — log2 2у + | log2 cos x — log2 2j/| = —2,
34. (фил-82.5) Найти все значения параметра 7, при каждом из кото-
рых минимально количество пар (п, т) целых чисел пит, удов-
летворяющих условию
73|п| < а/2(72 — т2).
35. (м/м-77.4) Решить систему уравнений
у3 - Ох2 + 27г - 27 = О,
< z3 _ 91/2 + 27j/ _ 27 = О,
х3 - 9z2 + 27z - 27 = 0.
36. (псих-91.5) При каждом значении параметра a > 1/2тг найти все
корни уравнения
/ 2х + а \ _ / 2г — а \
\2х2 + 2ax + 5a2/2 J \2х2 — 2ах + 5а2/2 J
37. (фил-85.5) Для каждого значения параметра а решить уравнение
4 cos х • sin а + 2 sin х • cos а — 3 cos а = 2-^7.
38. (био-97.6) Найти решения системы
тг /5тг
— I-----х
24 к 6
г3/2 5 п
..... + т < 0
\ZCOS X 4
§17. Получение следствий и логические задачи.
131
39. (почв-90.5) Найти все значения х, при которых наибольшее из чи-
сел 2х + 1 и х + 2 больше (-1).
40. (м/м-94(1).4) Найти все значения х, при которых наибольшее из
чисел За: — 4 и log2(5 • 22*-4 - 2*-1 + 1) положительно.
41. (почв-88.4) Два вида удобрений А и Б отличаются весовым содер-
жанием азота, калия и фосфора. В удобрении А азота содержится
в 3 раза, а фосфора в 2 раза больше по весу, чем калия. В удоб-
рении Б соответственно азота в 5/3 раз больше, а фосфора в 1,5
раза меньше, чем калия. Можно ли за счет смешивания удобрений
А и Б приготовить удобрение, в котором азота в 2, а фосфора в 3
раза больше, чем калия?
42. (псих-78.3) Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по
шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент,
когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мото-
циклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда
мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3
км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода, в тот
момент, когда пешехода догнал мотоциклист?
43. (геол-95.8) Найти все значения а, при которых неравенство
9* < 20 • 3* + а
не имеет ни одного целочисленного решения.
44. (почв-98(1).6) Определить, при каких значениях а имеет хотя бы
одно решение (х, у) система
( у/—у2 — 2х = ах,
( у > 2.5 + а.
45. (м/м-78.4) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система неравенств
7 л ^.7^1 О
х + 2ху - 7у > ——,
< “ а + 1
За:2 4-10zj/— 5т/2 < —2
имеет решение.
132
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
46. (био-86.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система уравнений
х2 — 2ху — Зу2 = 8,
2х2 + 4ху + 5у2 = а4 — 4а3 + 4а2 — 12 + л/Ю5
имеет хотя бы одно решение.
47. (псих-88.6) Найти наибольшее значение параметра а, при котором
неравенство
<— /2 л 1 \ 4/ м , ТГ .
a\/a(x — 2х + I) Ч------------- < vaJ sm —ж
v ' x2 - 2ж +1 - ' 2
имеет хотя бы одно решение.
48. (хим-98(1).6) При каких а уравнение
(\/ж2 — Заж + 8 + \Jx2 — Зах + 6)®+
+ (\/х2 — Зах + 8 — \/х2 — Зах + 6)1 = 2(v^)x
имеет единственное решение?
49. (хим-86.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых система уравнений
1 - = х/7ы,
49j/2 + х2 + 4а = 2х — 1
имеет ровно четыре различных решения.
50. (псих-98.6) Найти все целые значения параметров а и Ь, при кото-
рых уравнение
л/Ь2 - ж2 2sin(ffM_
Ь ) 2
/Ь2 — х2
Ь
имеет не менее 10 различных решений.
+ b • = 2аЬ
§17. Получение следствий и логические задачи.
133
51. (геол-97.8) При каких значениях а уравнения
ха2 — а — (х3 — 5а:2 + 4) = О,
(х + 1)а2 + (х2 — х — 2)а — (2а:3 — 10а:2 + 8) = О
не имеют общего решения?
52. (м/м-95(2).3) Найти все числа k, для которых функция
у(х) = k • (2 sin х + cos2 х + 1)
не принимает значений, больших 3.
53. (м/м-93(1).6) Найти все значения а, для которых неравенство
log5(acos 2х — (1 + а2 — cos2 a:) sin а: + 4 — a) < 1
выполняется при всех х.
54. (почв-98.6) Определить:
а) при каких значениях а существует такое число Ь, что уравнение
5 cos х + sin х + cos(x — 6) = а имеет решения;
б) при каких значениях а это уравнение имеет решения при любом
значении Ь.
55. (геол-96.8) Найти все значения а, при которых для любого b урав-
нение
cos(6 + аЬ + Ьх) + 2 cos Ь2х = За2
имеет хотя бы одно решение.
56. (геол-98(1).8) При каких а для любого b > 2 неравенство
(6 - 1)х + 20 - (6 - I)-2 < (^±1-6+1) 1
\ О — 1 / X
выполняется для всех х < 0?
57. (псих-78.4) Найти множество всех пар чисел (а; Ь), для каждой из
которых при всех значениях х справедливо равенство
a(cosx — 1) + b2 = соз(ах + Ь2) — 1.
134
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
58. (ИСАА-96.6) При каких значениях а неравенство
(sin х + л/З cos х + a — 5 |
-----------ё----------I > О
5---------------------I
выполняется для всех х?
59. (ИСАА-93.6) Найти все значения а, при каждом из которых нера-
венство
х2 + 2|х — а| > а2
справедливо для всех х.
60. (ВМиК-90.6) Найти все значения параметра а, при которых для
любых значений параметра Ъ неравенство
logs (^) + (10°+-ЗЬ + 31) . - 1| <
<1о&,(^) + (1°°-+3|' + 41)1»-(6Ь+2)-1 + 96г+15Ы-3
\ х ) \ 5 /
имеет хотя бы одно решение.
61. (м/м-86.5) Найти все значения а, при каждом из которых для лю-
бого значения Ь система
Ьх — у — az2 = 0,
(6 — 6)х + 2Ьу — 4z = 4
имеет по крайней мере одно решение (х, у, z).
62. (физ-97(2).7) Найти все значения а, при которых неравенство
х — 2а — 4 <
х 4- За — 2 —
выполняется для всех х из промежутка 1 < х < 3.
63. (ВМиК-97(1).5) Найти все значения х, для которых неравенство
\/х2 + 2х 4- 6 > b • х2 4- (1 — Ь) • (2х — 1) — 2
выполняется для всех Ь из отрезка [-2; 0].
§17. Получение следствий и логические задачи.
135
64. (псих-92.4) Найти все значения параметров u, v, при которых су-
ществуют два различных корня уравнения х(х2 + х — 8) = и,
являющихся одновременно корнями уравнения х(х2 — 6) = -и.
65. (геол-79.6) Найти все неотрицательные числа х, при каждом из
которых из неравенств
abx > 4а + 7b 4- х, а > О, b > О
следует неравенство ab > 5.
66. (ВМиК-98.5) Найти все значения параметра а, при которых су-
ществуют (х,у), удовлетворяющие системе неравенств:
' max(2 — Зу, у + 2) < 5, * 1
/5 п
\ а2 4— • arccos yl — х2 — 16--- arcsin х • (тг 4- 2 arcsin х) >
V тг тг2
. > У2 4- 2ау 4- 7.
67. (геогр-87.5) Найти все натуральные значения параметра Ь, при
1
каждом из которых выражение----------- имеет смысл для каждой
х 4- у 4- 3
пары чисел (х, у), где х < 0; у < 0, для которой выражение
lg(xy — 6) также имеет смысл.
68. (псих-90.5) Считая известным, что при любом а > 0 уравнение
2х3 4-х2 — х — а — 1 = 0
имеет единственный положительный корень хо (зависящий от а),
найти все а > 0, при которых
12х3 — 7хо > 6а 4-1.
69. (экон.К-88.6) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых любой корень уравнения
а(2а — 1) sin3 х 4- 3 cos3 х — 2а2 sin х = 0
является корнем уравнения
l°gi/2(3tg® - 1) - log2(3tgx 4-1) - logv^2(5 - tgx) = 1
и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем пер-
вого уравнения.
136
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
70. (м/м-95(1),3) Найти все значения а, при каждом из которых любое
решение системы
( х -a2log3y = 1,
} х + 3alog3 у = 1
удовлетворяет неравенству у > 1 — х.
71. (геогр-85.5) Найти все значения параметра а, удовлетворяющие
условию — 1 < а < 1, для каждого из которых выражение
1 + 2 д/ж 2 — 2аху + у2 — бу + 10
принимает наименьшее значение лишь при одной паре чисел х, у.
72. (геогр-96(1).6) Найти все значения параметра d, при каждом из
которых уравнение
х3 — (4 + d)x2 + 5dx — d2 = 0
имеет три корня, которые являются квадратами сторон некоторо-
го неостроугольного треугольника.
73. (ВМиК-93.6) Найти все значения а, при которых область опреде-
ления функции
1
У = -------------------?=-
3 cos х — 2 cos3 х — у 2a
совпадает с областью определения функции
_ ________1 ,________________у/2_________
sin3 х + cos3 х — а 3 cos х — 2 cos3 х — у/2а
74. (почв-84.5) Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение
\jа + у/а + sin х — sin х
имеет решение.
75. (экон.-84.4) Пятьдесят два землекопа, работающие с одинаковой
производительностью, были разбиты на две бригады, каждая из
которых вырыла по одинаковому котловану. Обе бригады работа-
ли с перерывами на отдых. Первая бригада, закончив работу на
1 час позже второй, отдыхала не менее полутора часов. Вторая
§17. Получение следствий и логические задачи.
137
бригада отдыхала не более 1 часа 20 минут. Если бы обе бригады
работали без перерывов, то первая могла бы вырыть котлован в
1,5 раза больше, а вторая - в 1,4 раза больше. Определить число
землекопов в каждой бригаде.
76. (экон.К-80.5) На прямой дороге расположены последовательно пунк-
ты А, В, С, D. Расстояния от пункта А до пунктов В, С и D на-
ходятся в отношении 1 : 2 : 4. В направлении от Л к О по дороге
через равные промежутки времени с одной и той же скоростью
едут автобусы. Из А в D вышли в разное время три пешехода и
пошли по дороге с одной и той же скоростью. Первого пешехода
после выхода из пункта А и до прихода в пункт В обогнали 3 ав-
тобуса. Второго пешехода после выхода из пункта А и до прихода
в пункт С обогнали 4 автобуса; известно, что когда он выходил из
пункта А, через пункт А не проезжал очередной автобус. Третий
пешеход вышел из А и прибыл в D, когда через эти пункты проез-
жали очередные автобусы. Сколько автобусов обогнали третьего
пешехода в пути между А и D?
77. (ВМиК-77.4) Города А, В, С, D, расположенные так, что четырех-
угольник ABCD - выпуклый, соединены прямолинейными дорога-
ми АВ, ВС, CD, AD и АС. Их длины соответственно равны 6, 14,
5, 15 и 15 км. Из одного из этих городов одновременно вышли три
туриста, идущие без остановок с постоянными скоростями. Марш-
руты всех туристов различны, причем каждый из них состоит из
трех дорог и проходит через все города. Первый и второй туристы
перед прохождением третьих дорог своих маршрутов встретились
в одном городе, а третий закончил маршрут на час раньше турис-
та, закончившего маршрут последним. Найти скорости туристов,
если скорость третьего больше скорости второго и на 1/2 км/ч
меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заклю-
чены в интервале от 5 км/ч до 8 км/ч.
78. (геол-78.5) Пункт А стоит в поле на расстоянии 8 км от дороги. На
дороге, которая является прямой линией, стоит пункт В. Скорость
движения автомобиля по дороге в два раза больше, чем по полю.
Известно, что если ехать из А по прямой до некоторой находящей-
ся на дороге точки С, отличной от В, а затем по дороге до В, то
при любом выборе точки С на это уйдет не меньше времени, чем
потребуется, если ехать из Л в В напрямик по полю. Чему равно
расстояние от А до В?
138
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
79. (м/м-86.4) Путь из села в город идет сначала по грунтовой дороге,
а затем по шоссе. Из села в город в 7 часов утра выехал автомоби-
лист, и одновременно с ним из города в село выехал мотоциклист.
Мотоциклист двигался по шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге
в 11 раза, а автомобилист - в 11 раза (движение обоих по шоссе и
по грунтовой дороге считать равномерным). Они встретились в 9
часов 15 минут, автомобилист приехал в город в 11 часов, а мото-
циклист приехал в село в 12 часов 15 минут. Определить, сможет
ли автомобилист приехать в город до 11 часов 15 минут, если он
весь путь из села в город будет ехать с первоначальной скоростью?
§18. Задачи с целыми числами.
В этом параграфе собраны задачи, в которых решающую роль игра-
ет целочисленность искомых величин. При решении этих задач полезно
использовать такие факты, как делимость целых чисел, разложение на
простые сомножители, выделение целой части (деление нацело с остат-
ком).
1. (псих-84.6) Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из
которых обладает следующими свойствами:
- первая цифра числа в три раза меньше суммы двух других его
цифр;
- разность между самим числом и числом, получающимся из него
перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится
на 81 без остатка.
2. (фил-86.5) Имеются два ящика с яблоками, причем в первом ящи-
ке 15 яблок, а во втором 16 яблок. Разрешается проводить в любом
порядке и любом количестве следующие операции:
а) увеличить на 2 число яблок в первом ящике и одновременно
увеличить на 1 их число во втором;
б) увеличить на 1 число яблок в первом ящике и одновременно
уменьшить на 2 их число во втором;
в) уменьшить на 1 число яблок в первом ящике и одновременно
увеличить на 2 их число во втором;
§18. Задачи с целыми числами.
139
г) уменьшить на 2 число яблок в первом ящике и одновременно
уменьшить на 1 их число во втором.
Можно ли, совершая такие действия, добиться того, чтобы одно-
временно в первом ящике оказалось 50 яблок, а во втором - 25
яблок? Ответ обосновать.
3. (м/м-90.5) Найти все тройки целых чисел ж, у, z, удовлетворяющих
неравенству
log2 (2s + Зу - 6z + 3) + log2 (3s - 5у + 2z - 2) + log2 (2у + 4z - 5s + 2) >
z2 - 9z+ 17.
4. (био-92.4) Найти все пары целых чисел p,q, удовлетворяющие од-
новременно двум неравенствам:
Г р2 +q2 < 18р — 20q — 166,
| 32р — q2 > р2 + 12q + 271.
5. (фил-77.1) В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей.
Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в 3
раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число
деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во
втором ящике, но менее, чем на 60. Сколько деталей в каждом
ящике?
6. (псих-94.5) Абитуриенты сдавали экзамены в течение трех дней
в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся в каждый
день абитуриентов в каждой аудитории было равно числу ауди-
торий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их
можно было бы провести за два дня, используя каждый день одни
и те же аудитории, причем каждый день в каждой аудитории аби-
туриентов удалось -бы рассадить по рядам так что число рядов,
а также число людей в ряду было бы равно числу используемых
аудиторий. Определить минимальное возможное число абитуриен-
тов, которое могло бы быть проэкзаменовано при этих условиях.
7. (геогр-98.6) Найти все пары целых чисел (х,у), удовлетворяющие
уравнению
3s = 5у2 + 4у — 1
и доказать, что для каждой такой пары сумма х3 + у3 является
нечетным числом.
140
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
8. (фил-79.5) Пусть тип- натуральные числа, причем-----------пра-
п
вильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно
Зп - m
сократить дробь -------—, если известно, что она сократима?
5n + 2m
9. (псих-77.3) Производительность первого автомобильного завода не
превышает 950 машин в сутки. Производительность второго авто-
мобильного завода первоначально составляла 95% производитель-
ности первого завода. После ввода дополнительной линии второй
завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа ма-
шин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать
более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал
каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается,
что каждый завод в сутки выпускает целое количество машин.
10. (экон.-94.1) Найти все целочисленные решения системы
f 7875а:3 = 1701у3,
t 1Ж1 < 5.
11. (экон.К-86.5) В течение нескольких дней двое рабочих изготовля-
ли специальные детали, причем ежедневная выработка деталей у
каждого рабочего была постоянной. В итоге за все эти дни второй
рабочий изготовил на k деталей больше, чем первый, где число k
удовлетворяет неравенству 127 < k < 132. Если бы первый рабо-
чий увеличил ежедневную выработку в два раза, то за то же ко-
личество дней он изготовил бы на 77 деталей больше, чем второй.
Сколько дней рабочие изготовляли детали? Какова была ежеднев-
ная выработка у каждого из них?
12. (м/м-97(1).3) Считая хи у целыми числами, решить систему урав-
нений
4^2+2i»+i _ (г + 2) . 71у1-1(
• Зтгг
81П —— — 1.
2
13. (хим-95(1).5) Найти все пары целых чисел тип, удовлетворяю-
щие уравнению
т2 + amn — Ьп2 = 0, где а — 1953100, b = 199510°.
§18. Задачи с целыми числами.
141
14. (соц-97.4) В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос:
’’Что Вы предпочитаете, кашу или компот?” - большая часть от-
ветила: ”Кашу”, меньшая: ’’Компот”, а один респондент: ’’Затруд-
няюсь ответить”.
Далее выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают
абрикосовый, а 70% - грушевый.
У любителей каши уточнили, какую именно кашу они предпочи-
тают. Оказалось, что 56.25% выбрали манную, а 37.5% - рисовую,
и лишь один ответил: ’’Затрудняюсь ответить”.
Сколько детей было опрошено?
15. (хим-98(1).4) Определить число студентов, сдавших экзамен, если
известно, что шестая часть из них получили оценку ’’удовлетво-
рительно”, 56% получили оценку хорошо, а 14 человек получили
оценку ’’отлично”, причем эти отличники составляют более 4%,
но менее 5% от искомого числа студентов.
16. (ВМиК-86.3) В академическом собрании сочинений, включающем
менее 20 томов, число томов с художественными произведениями
кратно числу томов с письмами, которых, в свою очередь, в три
раза меньше, чем томов с публицистикой. Если число томов с худо-
жественными произведениями увеличить в два раза, то их станет
на 14 больше, чем томов с письмами. Сколько томов с публицис-
тикой содержит собрание сочинений?
17. (геол-84.5) Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые
игрушки. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети не могли ку-
пить даже одну игрушку. Если бы у первого мальчика было вдвое
больше денег, то им на покупку двух игрушек не хватило бы 34
копеек. Когда третьему мальчику добавили денег в размере в два
раза большем, чем у него было, то после покупки игрушек у детей
оставалось 6 копеек. Сколько стоили игрушки, если первоначально
у второго мальчика было на 9 копеек больше, чем у первого?
18. (геол.ОГ-84.5) В саду приготовили IV ям для посадки деревьев.
После того, как посадили имеющиеся яблони, груши и сливы, ока-
залось, что было использовано менее трети ям, при этом груш
было посажено на 6 штук больше, чем яблонь. Если бы яблонь по-
садили в три раза больше, то остались бы неиспользованными 59
ям. Сколько ям для посадки было подготовлено, если известно, что
142
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
на оставшиеся места посадили персиковые деревья и их оказалось
в три раза больше, чем слив?
19. (м/м-88.5) Два мотоциклиста стартовали раздельно в одной точ-
ке стадиона в гонке на 30 кругов, причем второй начет движение,
когда первый прошел полкруга. Один из зрителей вышел со ста-
диона, когда мотоциклисты были рядом. Когда через 4 минуты
он вернулся, мотоциклисты снова были рядом. Если бы первый
мотоциклист после 14 кругов увеличил скорость в 4 раза, то они
финишировали бы одновременно. Определить, с какой разницей во
времени финишировали мотоциклисты, если пришедший первым
проезжал за минуту более 5 кругов.
20. (био-97.4) В двух коробках лежат карандаши: в первой красные,
во второй - синие. Известно, что красных карандашей меньше, чем
синих. 40% карандашей из первой коробки переложили во вторую.
Затем 20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, перело-
жили в первую, причем половину из них составляли синие. Пос-
ле этого красных карандашей в первой коробке оказалось на 26
больше, чем во второй, а общее количество карандашей во второй
коробке увеличилсоь по сравнению с первоначальной более, чем на
5%. Найти общее количество синих карандашей.
21. (экон-98.7) Каждый из трех брокеров имел в начале дня акции
каждого из видов А и Б общим числом 11, 21 и 29 штук соответ-
ственно. Цены на акции в течение всего дня не менялись, причем
цена одной акции вида А была больше цены одной акции вида Б.
К концу торгового дня брокерам удалось продать все свои акции,
выручив от продажи по 4402 рубля каждый. Определить цену про-
дажи одной акции видов А и Б.
22. (фил-91.1) Представить число 1991 в виде произведения простых
чисел.
23. (экон.-90.4) Натуральные числа а, Ь, с, взятые в указанном поряд-
ке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаме-
натель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся
без остатка на b и с соответственно. Найти числа a, b и с, если из-
вестно, что при указанных условиях сумма а + b + с максимальна.
24. (почв-77.5) Рота солдат прибыла на парад в полном составе пря-
моугольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось,
§18. Задачи с целыми числами.
143
что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для
парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на
2 меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26
больше числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты
участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить так, что-
бы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько
солдат было в роте?
25. (ВМиК-82.4) На заводе было несколько одинаковых прессов, штам-
пующих детали, и завод выпускал 6 480 деталей в день. После
реконструкции все прессы заменили на более производительные,
но также одинаковые, а их количество увеличилось на три. За-
вод стал выпускать в день 11 200 деталей. Сколько прессов было
первоначально?
26. (ВМиК-78.4) Совокупность А состоит из различных натуральных
чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее
кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их
наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех
чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого це-
лого числа. Найти числа, из которых состоит А.
27. (экон.-93.5) За время хранения вклада в банке проценты по не-
му начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем
11|% , потом 7|% и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под
действием каждой новой процентной ставки вклад находился це-
лое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная
сумма вклада увеличилась на 180%. Определить срок хранения
вклада.
28. (физ-83.4) После деления некоторого двузначного числа на сумму
его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления
этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном
получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.
29. (ИСАА-91.4) При перемножении двух натуральных чисел, раз-
ность которых равна 10, была допущена ошибка: цифра сотен в
произведении была увеличена на 2. При делении полученного (не-
верного) произведения на меньший из множителей получилось в
частном 50 и в остатке 25. Найти множители.
144
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
30. (ИСАА-98.6) При перемножении двух натуральных чисел произве-
дение было ошибочно увеличено на 372. При делении полученного
(неверного) произведения на меньший сомножитель получилось в
частном 90 и в остатке 29. Найти эти числа.
31. (фил-88.5) Через некоторое время после начала работы первая бри-
гада собрала на два автомобиля больше, чем вторая бригада. За-
тем вторая бригада увеличила производительность труда в 1,1
раза и, собрав на втором этапе работы целое число автомобилей
п, догнала первую бригаду, работавшую все время с постоянной
производительностью. Найти наименьшее возможное целое число
п.
32. (экон.-83.5) На факультет от школьников подано на 600 заявлений
больше, чем от производственников. Девушек среди школьников в
5 раз больше, чем девушек среди производственников, а юношей
среди школьников больше, чем юношей среди производственников,
в п раз, причем 6<п<12(п- целое число). Определить общее
количество заявлений, если среди производственников юношей на
20 больше, чем девушек.
33. (экон.-96.4) В контейнер упакованы комплектующие изделия трех
типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс.руб. и
12 кг для первого типа, 500 тыс.руб. и 16 кг для второго типа, 600
тыс.руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих ра-
вен 326 кг. Определить минимальную и максимальную возможную
суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих
изделий.
34. (м/м-92.4) Один рабочий на новом станке производит за 1 час чис-
ло деталей, большее 8, а на старом станке - на 3 детали меньше.
На новом станке один рабочий выполняет дневную норму за целое
число часов, а два рабочих вместе выполняют норму на старых
станках на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит
дневная норма?
35. (геогр-79.4) В школьной газете сообщается, что процент учени-
ков некоторого класса, повысивших во втором полугодии успева-
емость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определить мини-
мально возможное число учеников в таком классе.
§18. Задачи с целыми числами.
145
36. (хим-97(1).6) Найти все пары целых чисел (г, у), удовлетворяющие
уравнению
(г2 + у2) (х + у - 3) = 2ху.
37. (био-96.5) Найти все пары натуральных чисел (t, и), удовлетворя-
ющие одновременно двум неравенствам
2t + 47 < 22и - 2д2,
4и > 7t + 14.
38. (экон.-86.5) Линию, связывающую города А и В, обслуживают са-
молеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего
типа может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пас-
сажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии
могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 кон-
тейнеров. Найти число действующих на линии самолетов каждого
типа, зная, что их общее число не превосходит 8.
39. (м/м-96(1).5) Какое наибольшее число членов может содержать
конечная арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии,
что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не
превосходит 100?
40. (ВМиК-96(1).5) Найти все целочисленные решения уравнения
14х4 - 5у4 - Зх2у2 + 82т/2 - 125т2 + 51 = 0.
41. (экон.-89.6) Найти все целые числа х,у, удовлетворяющие равен-
ству
9х2у2 + 6ж г/2 — 9х2?/ + 2х2 + у2 — 18x1/ + 7х — 5у + 6 = 0.
42. (экон.-89.6) Найти все целые числа х, у, удовлетворяющие равен-
ству
9х2?/2 + Эх?/2 + 6х21/ + х2 + 2у2 + 18xt/ + 5х + 7у + 6 = 0.
43. (ВМиК-79.4) Найти все целые корни уравнения
cos (^(Зт — \/9х2 + 160т + 800)}
'8 /
= 1.
44. (ИСАА-97.7) Найти все пары целых х и у, удовлетворяющих урав-
нению
Зху - 14х — 17у + 71 = 0.
146
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
45. (геол.ОГ-88.5) В пионерский лагерь отправилась автобусная ко-
лонна с 510 пионерами, состоящая из "Икарусов” и "Лиазов”, при-
чем количество тех и других нечетно. Число пионеров в каждом
из ’’Лиазов” одинаково и кратно трем, а в каждом "Икарусе” - в
1,2 раза больше, чем в одном "Лиазе”. Сколько всего автобусов в
колонне?
46. (псих-79.5) Найти все тройки целых чисел (u, v, го), для каждой из
которых выполняется условие 3(u — З)2 + би2 + 2го2 + Зи2го2 = 33.
§19. Задачи последних лет, не вошедшие в §§1-18.
В этом параграфе собраны задачи последних лет, не вошедшие в
§§1-18.
1. (ВМиК-99(1).1) Пункты А, В, С и D расположены на одной пря-
мой в указанной последовательности. Пешеход выходит из пункта
А со скоростью 5 км/час и направляется в пункт D. Достигнув
пункта D, он поворачивает обратно и доходит до пункта В, за-
тратив на всю дорогу 5 час. Известно, что расстояние между А и
С он прошел за 3 часа, а расстояния между А и В, В и С, С и D (в
заданном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Найти
расстояние между В и С.
2. (ВМиК-99(1).2) Решить неравенство
log2r-3 (я2 “ + 4)
~~2
l°g2j._3(®2 “ 4х+4)
~~2~
3. (ВМиК-99(1).3) Решить уравнение
1 + sin (2х — ?)
--------i------— = — sin х • cos х.
8
4. (ВМиК-99(1).5) При каких значениях параметра а уравнение
jx3+2ax+4a—3__ 2 _
a —2
х + a
имеет ровно два корня, лежащих на отрезке [—4,0] ?
§19. Задачи последних лет.
147
5. (ВМиК-99.1) Известно, что tga = л/3- Сравнить
arccos (—д/—3 cos а — 1)
19тг
И ~24'
6. (ВМиК-99.2) На координатной плоскости (х, у) проведена окруж-
ность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная
уравнением у = 4 — (2 — л/3)т, пересекает ее в точках А и В.
Найти сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.
7. (ВМиК-99.3) Решить неравенство
I Jogr+i ~ 2)4 + 2| > -3 + log^_ у/(х- 2)6.
г + 1
8. (ВМиК-99.5) Решить уравнение
tg 14т + 3 ctg 14т + sin 6т — 2-\/2 sin
4
л/З + 1’
9. (геол-99(1).1) Решить уравнение
сов (6 sin т) = — 1.
10. (геол-99(1).2) Решить систему уравнений
5у + 4т = ^/16т2 — 25j/2 ,
т2 + 6т — 7 = 0 .
11. (геол-99(1).3) Найти наибольшее из значений параметра а, при
которых уравнение
arctg |9Х +41 +а л/2-61] = 0
имеет решение.
12. (геол-99(1).4) Найти такое натуральное двузначное число, что сум-
ма квадрата числа его десятков и ушестеренного квадрата числа
единиц равна умноженной на пять сумме произведения цифр этого
числа и 1.
148
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
13. (геол-99(1).5) Решить неравенство 2 < |2 log| (Зх + 1) — 4| < 3 .
14. (геол-99(1).7) Решить неравенство
\/4х — х2 — 3 > \/х2 — 7х + 12 — \/х2 — 5х + 6.
15. (геол-99.1) Найти область определения функции
(\ /25
1ОЧ (l + 3)bv(SW'1-
16. (геол-99.2) Известно, что х2, х2 - корни уравнения
2х2 - (ч/з + 5)х - \А + 2ч/3 = 0.
Найти значение А — Zi -j- Z1Z2 + х2 и выяснить, какое из чисел
больше: Лили 1,999 ?
17. (геол-99.3) Найти площадь фигуры, заданной на координатной плос-
кости (х,у) системой неравенств
Г х(х + у - \/2) < 0 ,
, х2 + у2 < 2 .
18. (геол-99.5) Решить уравнение
|ctg22a; 4- 8\/—ctg 2х — 3| = |ctg22a; — 81/—ctg 2х — 3|.
19. (геол-99.6) Дана арифметическая прогрессия ai, a2,..., в которой
аз — —13 и <27 = 3. Определить, при каком количестве членов
сумма прогрессии будет наименьшей; найти значение этой суммы.
20. (геол-99.8) Решить неравенство
1оё84-2х~2х* С°8 ® < logr + 19 cos х •
21. (ИСАА-99.1) Решить уравнение
1g2(г - 2)2 = 3<2 1о«’ (1о65(2~гЛ.
\ log510 /
§19. Задачи последних лет.
149
22. (ИСАА-99.2) Упростив выражение
. 3ab — Ьл/аЬ + ал/аЬ — ЗЬ2 „ , „ >,»
А = — - — 2аЬ - ба*о?,
y/2~2(ab-1 + а~*Ь) — 0,5
где а > b > 0 - действительные числа, выяснить, что больше: А
или 0, 01.
23. (ИСАА-99.3) Решить уравнение
cos х + 8 cos Зх sin 2х = — сов 1х.
24. (ИСАА-99.5) Решить неравенство
у/^~6-3 >
|х — 1| — 4 —
25. (ИСАА-99.7) Решить систему неравенств
( х2 + 2у+2 > у4 — 4х + 13,
( х2 - у2 < 4 - 2у+1.
26. (м/м-99(1).1) Решить уравнение
./1 + cos 4г ./ (9тг „ \
V1--------Т + V tg ( V “ 2х ) = 0 •
V 1 — cos Ах у \ 2 )
27. (м/м-99(1).2) Решить систему
/ 2г+2 = уг2 + 4,
2х+2 - 4 < х2 • (14 - 2х+2) • 2х .
28. (м/м-99(1).3) Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, г(х /
у) выражения
равны одному и тому же числу. Найти это число.
150
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
29. (м/м-99(1).5) Найти все значения а из промежутка [—2; 1], при
каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми
различными корнями уравнения
sin 2г + |2а+ 1| • sin х + |а| = 2|а| cost + sinz + |2а2 + а|
тг
не меньше, чем — .
2
30. (м/м-99(2).1) Решить уравнение
(х2 + 4) 1g sin2 3z + х2 Igcos2 2x = 41g(cos 2zsin3 3z).
31. (м/м-99(2).2) Сумма членов конечной геометрической прогрессии,
первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна
40 /
—, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый -
„ „ „ . 20
со знаком плюс , второй - со знаком минус и т.д.) равна —.
Найти знаменатель прогрессии.
32. (м/м-99(2).3) Найти все х, при которых хотя бы одно из двух вы-
ражений
|х - 3| • (|z - 5| - |z — 3|) - бг и |z| • (|z| - |z - 8|) + 24
неположительно и при этом его модуль не меньше модуля другого.
33. (м/м-99(2).5) Найти все значения а, при каждом из которых мно-
жество решений неравенства
а + 2 - 2Х~2 5а+ 5
а + 3 “ 2(2* + 3а + 3)
содержит какой-либо луч на числовой прямой.
34. (м/м-99.1) Решить неравенство 3^l+3^ + т < З*2-2 + 272х+3.
35. (м/м-99.2) Решить уравнение
|log2(2z + 7)| = log2(l + |z + 3|) +log2(l - |z + 3|).
§19. Задачи последних лет.
151
36. (м/м-99.3) При каких значениях ф все положительные корни урав-
нения
(х Л /Зг Л . х
cos ( - + ф 1 - cos | — + ф I = sin -,
' Z / \ it J
расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую
прогрессию?
37. (м/м-99.5) Найти все значения а, при каждом из которых сумма
длин интервалов, составляющих решение неравенства
х2 + (2а2 + 6)г — а2 + 2а — 3
х2 + (а3 + 7а — 7)г — а3 + 2а — 3 < ’
не меньше 1.
38. (хим-99(1).1) Решить уравнение х2 + 1 + — 1| = 2|г| .
39. (хим-99(1).2) Решить неравенство ------------> 0.
(/¥-¥)
40. (хим-99(1).3) Найти все значения х из отрезка [0; тг], удовлетворя-
ющие системе
Г 2 sin Зг + 2 cos 4х = 1 + у/2 ,
( 2 sin 7х — 2 sin х = у/2.
41. (хим-99(1).6) Для каждого значения параметра а, принадлежащего
отрезку [—1;0], решить неравенство
42. (хим-99(1).7) Функция /(г) удовлетворяет следующему условию:
для любых чисел а и Ь выполняется равенство
f (a+2b\ = /(«) + 2/(6)
7 V 3 ) 3
Найти значение функции /(1999), если /(1) = 1 и /(4) = 7.
43. (хим-99.1) Решить неравенство —< 2 .
152
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
44. (хим-99.2) Решить уравнение
(sinх + cos х — Л) • —Их — х2 — 30 = 0.
45. (хим-99.3) Решить неравенство
log3_x(2i + 1) log2x+1 х2 < log3_x(3x + 1) • log3x+i(x + 2).
46. (хим-99.6) Найти все значения параметра а, при которых уравне-
ние
х(2Х - 1) „ 2
-F71 + 2а = а2 + 1
имеет нечётное число решений.
47. (хим-99.7) Последовательность чисел 01,02,... определяется сле-
дующим правилом: а± — О,
an + 2, если число п нечётное,
2а„, если число п чётное.
НаЙТИ 01999 .
48. (ВКНМ-99(1).1) Решить уравнение
(7sinx - 4т/3) • (7 sinx — бЛ) = 0.
49. (ВКНМ-99(1).2) Решить систему
Qj + log3 у = 504,
4х - 2х-1 • logyj у + log3 у = 84.
50. (ВКНМ-99(1).3) Из города в деревню одновременно отправились
бегун Б и пешеход Щ, а в тот же момент из деревни в город вышел
пешеход Щ. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б
и Щ некоторое время стояли на месте, а затем направились в
деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12
км/ч, а Пг уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в
деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени,
в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно
пришли оба пешехода. Найти скорость пешехода Щ.
§ J 9. Задачи последних лет.
153
51. (ВКНМ-99(1)-5) Знаменатель бесконечно убывающей геометричес-
кой прогрессии отрицателен. Найти все целые тп, при которых
сумма её членов с нечётными номерами больше суммы её членов с
чётными номерами на величину, равную произведению её второго
члена и числа вида т2 + 10m + 20 .
52. (био-99.1) Решить уравнение
8 cos 6z — 12 sin Зх = 3.
53. (био-99.2) Решить неравенство
3
54. (био-99.3) Решить уравнение
, ( 3 а 2 37
7х Z3 ~ Зт2 - —
\ о
55 \
— 1 + 21og(8_7xja(2: + 3) = 1.
55. (био-99.5) Найти все такие значения у > -, что неравенство
2
16у3 + 6у3а: — 4y3z2 — 50у2 — 11у2т+
+Юг/2х2 + 52у + 4ух — Зух2 — 18 + х + 2х2 > 0
выполняется при всех х из Интернета 1 < х < 2у.
56. (био-99.6) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух то-
чек круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В
- и едут в противоположных направлениях с постоянными ско-
ростями. Известно, что из первых пятнадцати встреч на трассе
после старта только третья и пятнадцатая состоялись в точке В.
Найти отношение скорости первого велосипедиста к скорости вто-
рого, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из
велосипедистов проехал не менее одного круга.
57. (почв-99(1).1) Определить, что больше
arccos ‘ l°8ei (27) я™ s^n ' М?3 (~Т“) ' ctgv 7
58. (почв-99(1).2) Решить уравнение
1 . 1
СОЗ X-----= 81П X — - .
2 2
59. (почв-99(1).3) Решить неравенство
154
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
60. (почв-99(1).4) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их по-
парных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих
чисел?
61. (почв-99(1).6) Найти все значения параметра /?, при которых урав-
нение
(х2 + z)(z2 + 5х + 6) = /?
относительно х имеет ровно три корня.
62. (почв-99.1) Решить уравнение 4х — 2х = 56.
63. (почв-99.2) Решить уравнение cos 2х — sin х.
64. (почв-99.3) Решить уравнение log* |z2 — 1( = logyj |z(.
65. (почв-99.4) Решить неравенство у/у$ > \/у*.
66. (почв-99.5) Какое количество воды надо добавить в один литр
10%-го водного раствора спирта, чтобы получить 6%-й раствор?
67. (почв-99.7) Для каждого значения параметра Ь < 0 решить нера-
венство (относительно х)
Vi2 - 1 ,
--------> о.
X ~
68. (геогр-99(1).1) Решить уравнение 2cos4z— 4sin2z = —1.
69. (геогр-99(1).2) Сумма первых пяти членов возрастающей ариф-
метической прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155.
Найти шестидесятый член прогрессии.
70. (геогр-99(1).3) Решить уравнение
yii2 + 14т + 47| - 1 = |z + 7| - 1.
71. (геогр-99(1).5) При каких значениях параметра а система
у2 - (2а + 1)у + а2 + а - 2 = 0,________
\/(х - а)2 + у2 + ^(г - а)2 + (у - З)2 = 3.
имеет единственное решение?
§ 19. Задачи последних лет.
155
72. (геогр-99.1) Решить уравнение 1о^х_8(т2 — 2х — 3) = 1.
73. (геогр-99.2) Решить уравнение \/2х2 — 8z + 5 = х — 2.
74. (геогр-99.3) По реке из пункта А в пункт В выплыл катер. Одно-
временно из пункта В в пункт А выплыла моторная лодка. Пройдя
четверть пути от В к А, лодка встретилась с катером. Катер, до-
стигнув пункта В, повернул обратно и прибыл в пункт А одновре-
менно с лодкой. Во сколько раз скорость катера больше скорости
лодки.
75. (геогр-99.4) Найти все значения параметра а, при которых среди
корней уравнения
sin 2х + ба cos х — sin х — За = О
Зтг
найдутся два корня, разница между которыми равна —.
А
77.
78.
5а: — 3
76. (псих-99.1) Решить неравенство . < 1.
y7z — 4
(псих-99.2) Решить уравнение z1o8t 4 + 5 • 21о8т х — 4 = 0.
(псих-99.3) Решить систему
2 2 3
sin х + cos у = - ,
4
Уб
COS X • 8Ш у = —— ,
4
79. (псих-99.4) Найти все значения параметра р, при каждом из ко-
. . ,, , Зх + р
торых множество значении функции fix) = —------------ содержит
х1 + 5х + 7
полуинтервал (—1; 3]. Определить при каждом таком р множество
значений функции f(x).
80. (псих-99.6) Найти все значения параметра а, при каждом из ко-
торых ровно пять различных наборов (z, у, z) натуральных чисел
х, у, z удовлетворяют системе
( 12х2 — 4z — 2ху + Зу — 9 = 0,
( ayz + axz + axy > xyz .
156
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
81. (соц-99.1) Решить уравнение у/у — 1 = 6 — у.
82. (соц-99.2) Найти первый член и разность арифметической прогрес-
сии, для которой сумма првых пяти членов с нечётными номерами
на единицу больше суммы первых пяти членов с чётными номера-
ми и равна квадрату первого члена.
83. (соц-99.4) Кандидат в депутаты за время избирательной кампании
имеет право на одно бесплатное выступление в газете, а также на
платные выступления по радио и телевидению. Выступление в га-
зете увеличивает число сторонников кандидата на 1000 человек;
каждое выступление по радио увеличивает количество голосов на
40% и стоит 32 тысячи рублей; каждое выступление по телевиде-
нию - на 80% и стоит 47 тысяч рублей. Определить количество
и последовательность выступлений в этих средствах массовой ин-
формации, при которых кандидат получит наибольшее возможное
число голосов, если за всю кампанию можно израсходовать не бо-
лее 112 тысяч рублей.
412 — х I
84. (соц-99.5) Решить неравенство ———— |z — 2| < 0.
4 — |а:|
85. (соц-99.6) При каких значениях параметра а неравенство
l°ZaXi+2a*x+i у 16 arcsin-4(z + За) >
logaI’+2a’x+i V 16 arcsin 4(z + За)
не имеет решений на отрезке [—5; 6] ?
86. (филол-99.1) Расстояние в 160 км между пунктами А и Б автомо-
биль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной
дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездоро-
жью, - со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние автомобиль про-
ехал по ровной дороге.
87. (филол-99.2) Решить неравенство —-— -----------> —-— ---------.
v х2 + 8z - 9 - 3z2 - 5х + 2
88. (филол-99.4) Решить уравнение
l°g(l-2 cos z) (cos 2z + sinz + 2) = 0.
§19. Задачи последних лет.
157
89. (филол-99.5) Решить систему
cos3 I z + 4у + - ) + -т—г---------гт- = 0 ,
' 4 / sin (2z + 2у - |)
’ f 7Г\ 1
cos 3z + — 4---------------------Т = 0 .
v 4/ sin3 (4z - 2y - I)
90. (физ-98(1).1) Решить уравнение sin Зх — sin 2x • cos x = 0.
91. (физ-98(1).2) Решить уравнение \/3x — x2 — 2 = 2x — 3.
92. (физ-98(1).3) Решить неравенство 2*£*Л < v^31-7.
93. (физ-98(1).5) Решить систему уравнений
{31og3(2x-y) _ J ,
4х+» _ 2z+y - .
94. (физ-98(1).8) При каких значениях а, система уравнений
Г log3(y - 3) - 21og9z = 0,
( (х + а)2 — 2у — 5а = 0 .
имеет хотя бы одно решение
95. (физ-98(2).1) Решить уравнение cos4z — sin За:-cos а: + cos 2а: = 0.
96. (физ-98(2).2) Решить неравенство |а:2 + 2а: — 8| > 2а:.
97. (физ-98(2).3) Решить уравнение 27* + 27 • З*-1 — 36 = 0.
98. (физ-98(2).5) Решить неравенство
Чз{lost((|) -г)}5"1-
99. (физ-98(2).7) Найти все значения а, при которых неравенство
logi(a:2 + ах + 1) < 1
выполняется для всех х < 0.
158
Подготовка у вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
100. (физ-98.1) Решить уравнение 4 cos х • cos 2х sin Зх = sin 2х.
101. (физ-98.2) Решить уравнение
log3(a: — 2) — log9(i2 — 10i + 25) = log3 2.
102. (физ-98.3) Решить неравенство 9х — 2~^~ < 2~^~ — 32х-1.
103. (физ-98.5) Решить систему уравнений
i+|i + y— 1| = 0,
у — 3 + у/х — у + 6 = 0.
104. (физ-98.7) Для любых допустимых значений а решить неравенство
l°g<.(3a* -5) < i + l.
105. (физ-99(1).1) Решить уравнение sin 14i = cos4х — sin 6i.
106. (физ-99(1).2) Решить уравнение 22х-5 — 4х-2 = 32^ — 66.
log 1 (i-5) < 3.
108. (физ-99(1).5) Решить систему уравнений
107. (физ-99(1).3) Решить неравенство 21og4(:E + l) — -
А
2х — 3 — |3у — 1| = 0,
4^9у2 — бу + 1 + у/х2 — 4х + 3 = 0.
109. (физ-99(1).7) Для любых допустимых значений а решить уравне-
ние
1°ga(a;2 - За) = logo(a2 - 3i).
110. (физ-99(2).1) Решить уравнение
Зх х
sin х — sin — • cos —
£ &
= 0.
111. (физ-99(2).2) Решить уравнение
yjx + 2 • л/2х + 1 = z + 4.
112. (физ-99(2).3) Решить неравенство
2 1
log3(z + 1) ~ log9(i + 5)’
§19. Задачи последних лет.
159
ИЗ. (физ-99(2).5) Решить систему уравнений
114. (физ-99(2).7) При каких значениях а уравнение
cos 2х + 2 cos х — 2а2 — 2а + 1 = О
имеет ровно одно решение на промежутке 0 < х < 2тг?
115. (физ-99.1) Решить уравнение cos lx + cos Зх + 2sin2 х — 1.
1
х — 4
116. (физ-99.2) Решить неравенство
2-
<3.
117. (физ-99.4) Решить систему уравнений
-Д + 2 • 3"+1 = 21,
21—ж
5 21+2 - 4^- = 56 •
з2-»
118. (физ-99.5) Решить уравнение \/---------- + 1 =----.
V х — 2 х — 2
119. (физ-99.8) Для любого допустимого значения а решить неравенст-
во
log2a 0°g3 Я2) > 1
и найти, при каком значении а множество точек х, не являющихся
решениями неравенства, представляет собой промежуток, длина
которого равна 6?
160
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
Ответы к §1. Стандартные
тригонометрические
уравнения.
1. (физ-77.1) ±у + тгп, п € Z.
и
4тг
2. (фил-85.1) — тг; — —.
V
3. (ВМиК-80.2) + тгп, п Е Я;
(—1)*^ Ч- тгА:, A: eZ.
4. (хим-95(1).2) 3/5.
7
5. (ВМиК-80.1) -.
6. cosa — —2/3^ tg^ = — у/5.
&
7Г ТГ ТГ
’I=-4iI = -l2iI=4'
8. (псих-86.1) 112/9.
1 I О! I
9. (почв-98.2)----=, cos — .
v ' Л0 I 2 1
10. (-1)"+1^ + тгп, пЕЯ.
4
. тгА , „ тг „
11. —, к € Z; ±— + тгш, m Е Z.
2 6
з/7
12. (ВМиК-94(1).2)
13. (экон.К-80.4) 2тгА,А Е Z.
14. (почв-96(1).1) 4.
15. —(2fc + 1); тгп, k,n£Z.
14
« а / _ ~ 4 \ ТГ 7Г71 _
16. (хим-96.1) — -h —, п Е Z.
6 3
17- (-1)" +Jn,nE^.
5
5 тг 5 тг „
18. - + — m; — - + —п, т, n Е Z.
4 2 6 3
19. k Е Я; + 2тг/, I Е Z.
4 V
7Г ТГ К
20. (физ-89.1) - + — ,k£Z.
6 3
21. тк + тгп; + 7Г*:» п, а е я.
1и о о
22. ^n,(-l)k+^+^-,n,keZ
о
23. ^ + ^,±у + тгп,п,ЛЕ Z.
л, ТГ 7ГП „ , , ж
24. — 4——, п G Z\ irk, k G Z>
6 3
25. (хим-78.1) k E Z;
(—1)”* . 3 ТГ7П
—— arcsin - -|——m E Z.
Z t: Z
26. 90° + 180°n, n E Z.
27.
28.
29.
30.
31.
ТГ тг ТГ _
— + —n, ±— + кт, n, m E Z.
4 2 6
(био-94.3) 1^; 2^-; 2^.
' ' 24 24’ 24
7Г
(экон.-89.4) x = тг — arcsin
x = тг + arcsin —.
±arccos(—1/4) + 2ttA; k E Z.
x = + 2тгЛ, к E Z.
V
Ответы к §1. Стандартные тригонометрические уравнения.
161
32. ktZ.
Ха
33. (—1)" arcsin(l — а/З) + 7ГП,
п Е Z*
34. (хим-96(1).2) 27Г71,п Е Z-
35. х = (~1)” — 4- тгп, п G Z.
36. arcsin(\/13 — 3) 4- — п,
5 5
п G Z.
11тг „
37.----------х =-------1- 2тгп, п G Z;
6
х = (—I)"1 2 у+^+тип, т G Z.
6 3
38.
х =
х =
0,1,...;
4- 2п7г, п = 1,2,...
39. (ВМиК-85.3) 18+.^— —,
26
-18 - д/8А 4- 2 , п . „
------—------, к = U, 1, 2,...
26
40.
41.
1 17 — л/385
х = zr- arccos-------—------Ьтгп,
2 16
71 Е
x
X
7Г nk , „
= i2 + T't6Z;
1 „ ЯП „
= -arcctg 6 + —, n G Z.
О о
44. (—1)"^ 4-тгп, n G Z.
6
x, , 3
45. ± arcsm - + тгп, n G Z.
4
„„ , fv^-l\
46. x — ± arccos I —-— I + ttk,
\ A /
k G Z.
47. (м/м-79.1) + 2тгп, n G Z.
6
48. (-1)*J + тгк,к G Z-
6
— 4- 2тгп, n / 0,n E
A
49. x — ±y + 2тгА, к G Z.
3?r
50. ±— + 2тгп, n G Z.
4
(1 _ ^/3 \
—-— I + тгп,
A /
n G Z.
52. (псих-77.1) j m G Z.
53. (био-85.2) у.
54. (био-88.1) у.
Зтг
55. (ВМиК-83.2) — + 2тг/, I G Z.
42. (-l)"^+7rn,nG Z.
, 1 1 -лк
43. ±- arccos - + —; к G Z.
162
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
Ответы к §2. Простейшие
уравнения и неравенства с
модулями, дробями и
радикалами.
1. (псих-84.1) 180.
2. (ВМиК-92.
3. (геол-94(1).1) л/13 <
4. (геол.ОГ-82.1) Первое больше.
5. (геол-82.1) Первое больше.
6. (экон.-88.1) -^4 + л/2 > 3.
7. —оо < a < —2; 1 < а < 4-оо.
8. (геол-79.1) если а = 0, то нет
х, удовлетворяющих условию
задачи;
5а
если а у- 0, то х — —.
9. (геол.ОГ-79.1) —оо < х < 3/2.
10. (физ-95.3) -4; 0.
11. (физ-83.2) -1,—^=,-^=,1.
у5 л/5
12. (геогр-77.1) —оо < х < —2,
2 < х < +оо.
13. (хим-94.2) (1; 4-оо).
14. —2 < х < -1,1 > -1.
15. (геол-78.2) х < 6/5.
16. (био-95.2) 2/3; 2.
17. (псих-95.1) [-7/2; 15/2].
18. (геогр-96(1).1) (—оо; 4/7].
17 И
19. (псих-98.1) ; —.
5 3
20. (экон.-89.3) х = —2; х = 4.
21. т = х = ±^/|-
22. (экон.-84.3) —оо < х < —13/5,
3 < х < 4-оо.
23. (хим-96(1).3) (2;оо).
24. х - 5/4, х > 5.
25. (ВМиК-82.5) при а = 1 ре-
шением является любое зна-
чение х > 1;
при a = — 1 решением явля-
ется любое значение х из про-
межутка —3 < х < 1;
при |а| < 1 уравнение име-
7 + а
ет два корня Xi = ------ и
а - 1
Х2 - 1;
при |а| > 1 уравнение имеет
один корень х = 1.
26. (геол-91.6) х = 4 при а < —1;
х > 4 при а = — 1;
4а - 8
zi = 4, х2 = ——-
а 4-1
при — 1 < а < 1;
—2 < х < 4 при a = 1;
х = 4 при а > 1.
27. (физ-84.4) 4/3 < а < 2.
28. (физ-84.4) —3 < a < ——.
У
Ответы к §2. Простейшие уравн. и нерав-ва с модулями, дробями. ..163
29. (псих-80.2) (3, 1), (5/3, 11/3).
„„ /17 1\ ( 23 39\
30- (г -в/ (-т; т)-
31. (1/2; 11/2), (3/2; 11/2).
32. (физ-97.5) (5/2; -5/2).
33. —оо < b < 0,0 < b < 4-оо.
34. (—3; (—l)n+1—4-тгп) ,
п е Z.
35. (геол.ОГ-79.3) (г,з/2),
ТГ
где х = — 4- л-», к е Z.
О
36. (м/м-79.3) (5; -2).
37. (ВМиК-87.2) не существует.
38. (геогр-80.1) k < 1/2.
39. (хим-95.1) [1;2].
40. (био-94.1) (4; 1), (-2/3; 10/3).
41. (физ-81.2) -з/2,з/2.
42. (био-85.1) х = 0.
43. —4 < х < —3 и 3 < х < 5.
44. (псих-94.2) (1; -1), (-1/5; 7/5).
45. (геол-81.1) 2; 3.
46. (геол-90.1) —2.
47. (ВМиК-94(1).1) 6/5; 4/5.
48. (био-96.2) 1; 13.
49. (геол-77.2) — 5 < х < 3 4- з/8.
50. хе [0; 100) U (400; 4-оо).
51. (ВМиК-87.1) (9;2).
52. (физ-77.2) а < 6.
55. (геол-95.2) (—оо; —3] (J[3; 4-оо).
56. (геогр-87.2) — 2 < у < 2.
4
57. —оо < аг < 1; - < х < 4-оо.
О
58. (соц-98.1) [-6; 0).
59. (-оо; 1] U (1996; 4-оо).
60. (м/м-77.1) х < 1 и х = 2.
61. (геогр-93.3) (—2;1)(J{2}.
62. (био-84.1) 3 4-з/З < х < 4-оо;
1 < х < 3 - з/З.
63. — 1 < х < 0; 2 < х < 4.
64. (филол-98.1) [—3;—1).
65. хе (-6;-4) U (-4; 1).
66. | _9+у57;_2 ) и(-2;-1)и
14 /
/3 \
67. (-2; 2) U (2; 3) U (6;+оо).
164
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
68. ( —оо; — 1)U —1)U(l;+оо).
О /
69. (физ-93.5) (—5;—2)U(—1;+оо).
70. (—оо; 4) U (4; 8) U [10;+оо).
71. (—оо; 2) U {3} U (4;+оо).
Ответы к §3. Стандартные
текстовые задачи.
1. (почв-84.1) 12 га, 9 га, 15 га.
2. (почв-94(1). 1) 147 ц/га.
3. (почв-93.1) 16+24+40+48.
4. (соц-98.3) 7.2%.
5. (геол-94.7) 78,2%.
6. (геол-98.4) 1000 л.
7. (геол-95.6) 9 кг.
8. (геол-96(1).5) не менее 1,4 де-
калитра.
9. (экон.-80.4) 170 кг.
10. (физ-79.2) первый член про-
грессии равен 9, разность рав-
на 2.
11. (физ-92.5) О1 = 2, d ~ 3.
12. (экон.В-98.2) 311-.
' 7
13. (ИСАА-93.2) 28.
14. (экон.-95.4) 210 тыс.руб.
15. (геогр-95.2) 16 км/ч.
16. (био-95.4) 1085 и 30.
17. (экон.-87.2) 5,5 т, 4 т, 2,5 т.
18. (геогр-81.3) 1 кг 40% -ного и
2 кг 60% -ного растворов.
19. (почв-92.2) 90%.
20. (физ-78.2) 15 т.
21. (геол-96.6) 1/15.
22. (геол-79.4) скорости товарно-
го и скорого поездов равны со-
ответственно 50 км/ч и 100
км/ч.
23. (м/м-97.3) 160 км.
24. (геол-94.1) 2\/17 > 8, (24).
25. (ВМиК-90.2) 17.
26. (геол-80.4) 20 м.
27. (псих-97.3) 162.
28. (ВМиК-96.1) 70.
29. (ВМиК-94.5) 5 + (|)29.
30. (экон.М-95.4) 6.
31. (геол-98(1).4) Да.
32. (ВМиК-97.1) 10 км/час.
33. (геол-95(1).5) (0; 50].
34. (ВМиК-96.2) 5.
35. (геол-81.5) 3 литра.
36. (ИСАА-95.3) 100.
Ответы к §4. Уравн. и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями. 165
37. (геол.ОГ-77.2) скорость вто-
рого бегуна равна 20 км/ч.
38. (почв-82.1) 80 км/ч.
39. (хим-79.3) скорости пароходов
15 км/ч, скорость реки 3 км/ч.
40. (геол-93.3) 8/3 часа.
41. (экон.-79.3) глицерина 0,5 л,
воды 3,5 л.
42. (ВМиК-95(1).1) 9.
43. (хим-89.2) 2.
53. (экон.К-77.2) скорость мото-
циклиста при движении из А
в В в 4 раза больше скорости
велосипедиста.
54. (ВМиК-92.4) 11 часов.
55. (фил-79.4) 8 ч.
56. (геогр-78.1) собственная ско-
рость парохода 11 км/ч.
57. (геогр-77.4) 60 км/ч.
58. (м/м-87.4) 50 км/час, 40 км/час
59. (био-86.3) 72 км/час.
44. (ВМиК-88.1) 50.
60. (геогр-89.2) 15 км/час.
45. (био-91.3) 8 мин 20 с.
61. (псих-88.4) 60 часов.
46. (м/м-93(1).2) 20.
62. (геол-85.3) 9 часов.
47.
,, „ 63. (экон.К-87.2) 6 т, 3 т, 1,5 т.
(ВМиК-79.1) Сумма первых вось-
ми членов геометрической про- 64. (геол-89.5) 60 л.
грессии больше суммы первых
шести членов арифметической Ответы к §4. Уравнения и
прогрессии.
48. (геогр-91.3) = а2 = «з = 7;
аг = 7(1 - y/2),a2 = 7,
a3 = 7(1 + V2);
cii = 7(1 + л/2),<12 — 7,
а3 = 7(1-л/2).
неравенства с
логарифмическими и
показательными функциями.
1. (экон.-83.1) 1.
2. (физ-95(2).1) 1.
49. (почв-95.1) 50.
50. (хим-94(1).3) 5/2.
51. (м/м-95(1).1)-2.
52. (хим-78.2) 3 часа.
3. (физ-82.4) 3 < х < +оо.
4. (экон.-89.2) 1.
5. (ВМиК-84.1) 9/7.
з/З
6. (физ-82.3) ——.
О
166
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
7' кГТЕ-----ПРИ Р 9 /
6(р + 9 - 2pq)
О,
- при р = О, q = О.
6
, ч 2х/3 — 21
8. (био-98.1) ---------р.
9. 3 logg 26 > 21og1/2
О
10. 22 log2 5+logo s 9 < \/8.
11. (экон.-90.1) имеют.
12. (геогр-86.2) х = 1/9.
13. (почв-95(1).3) (0; 1) U (1; 2].
14. (физ-83.3) 0 < х < 1/16.
15. (геол.ОГ-82.3) — 2 < х < 3.
16. (0; 1) U (1;4) U (64;+оо).
17. (м/м-93(2).1) (—1; 0).
18. (био-96.3) (-77; 3).
19. (физ-97(2).5) -2 < х < -53/27.
20. (геогр-95(1).2) (1; &5).
21. (физ-80.4) х > 0.
22. (физ-97(1).5) (—оо; 0) U (1; 3).
23. (геол-97(1).4) х е (-у/5; л/5).
24. (м/м-94(2).2) (1 - log2 3; 1/6).
25. (хим-83.4) \/2.
26. (почв-77.2) 3/2.
27. (физ-89.3) х = 4.
28. (геол-97(1).2) х = 9/5.
29. (фил-89.3) х = у/17 — 4.
30. (соц-98.2) -3.
31. 'физ-94(1).2) 3.
32. (филол-98.3) >/3 — 2. 33. (м/м-96(1).1) -3. 34. (хим-97(1).2) 2. 35. (геол-96(1).3) 5/4.
36. (ВМиК-83.1) [—4;2)U(3;4]
37. —3; —2) U (—2; — 1] U [2; 3). Гб \ / 1 1
38. 1 сп 1 1 с 'Т СП 1 о
39. (псих-80.4) 1 < х < 3/2.
40. (ВМиК-86.1) 4 < х < 1 + 2л/3.
41. (ВМиК-92.3) [2; 11).
42. Г1 \ / 5 (геол-83.3) -; 11 U ( 2; -
43. (м/м-87.2) — 3 < х < —1.
44. (—оо; —2) U (2; +оо).
45. (почв-93.3) (—2; 0) U (0; 2).
46. >/11 < 91,о8з(1+|)+|1о8. 2.
47. 21о8»5 - о, 1 < 5log»2.
48. 3Iog’®+10*lg2 > 5log’3+ Ш.
Ответы к §4. Уравн. и нерав-ва с логарифм, и показат. функциями. 167
49. (ИСАА-94.2) 0; -2.
50. (геол-97.5) х g (1; 4-оо).
51. (экон.К-80.1) —оо < х < 0.
52. (физ-81.4) 0 < х < 4-оо.
53. (экон.М-97.1) 0; -3 — log5 3.
54. (физ-97(1).3) —3; —2; 1.
55. (хим-98.1) 0.
56. (геол-84.1) х = —1.
57. (хим-90.1) 2.
58. (физ-96(1).3) log3/5 2.
59. (хим-92.1) —1.
60. (фил-91.2) log2 3.
61. (физ-96.3) 2.
62. (физ-94(1).3) 4.
63. (экон.М-99.2) 3.
64. (м/м-78.2)
65. х = (—1)” 4- яп, n g Z.
66. ^(—l)fc arcsin 4- k g Z.
L 6 L
67. (псих-93.1) 2.
68. (псих-93.1) 2.
69. При a = 0 решений нет;
при а < 0 х = 2 log2 |а|;
при а = 1 х — 0;
при а > 0, а 0 1
xi = log2 а и i2 = 2 log2 а.
70. (физ-96(2).5) (-оо; 2).
71. (геол-80.1) х < -1.
72. (ВМиК-77.1) х > | log2 3-1.
73.
Г
-oo;log3- U
, 3 , 5\
bg3 z; log3 •
5 3)
74. (—оо; 0) U (1/2; 4-оо).
75. при a = 0 решений нет;
при а > 0 х < — 2 4- log3 а;
при a < 0 х < log3(—а).
76. (хим-97.2) (—оо; 0).
77. (почв-83.3) (—17, log210).
78. (ВМиК-85.1) (1; log3 2).
80. (био-80.2) 25/2,
81. (почв-81.2) юА
82. (хим-98(1).2) 16; 4.
83. (-oo;0]U 1||;2
7 19\ I
84. х g 12; у 1 U (3
85. j < х < 2 < х < 4-оо.
86. О < X < г-2^, X > 22А
87. (м/м-95.1) —2.
168
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
88. (био-91.1) (log2 5 - 2)2.
89. (почв-92.3) 0.
90. (почв-96(1).2) 1; 3.
91. (ВМиК-96(1).2) 1; -15/11.
92. (геогр-94.3)
;1
93.
(—оо; -1) U
2 Г
5’2
U (1; +оо).
94. (фил-92.2) (1; 7/2].
95. (—1; 0) U (0; 1) U [5; 4-оо).
/1 2'
96. (экон.М-95.3) I - .
t у о о
/ 1\ / 5\
97. (м/м-88.2) ( 0; - ) U I 1; - ) .
\ 4/ \ 4)
98. (ВМиК-98.2) (—1; 0) U [1; 5).
Ответы к §5. Тригонометрия
- 2.
1. (геол.ОГ-85.4) — — 4-тгп,
п £ Z; arctg5 + irk, k £ Z.
2. 7Г — — 4-тгк, arctg44-Trn, к, n G Z.
3. тг _ 5тг — 4- тгп, n G Z; — 4- тгт,
4 12 m G Z.
4. 2тгп _ 2тг 2тг& , _ , nG Z: — + -r-, k G Z. 3 ’93
5. ТГ ТГ 2ТГ „ ±™ + ™ + тп’ n^Z- 20 20 □
6. (хим-79.1) 4- тг&, к G Z;
— 4- (-l)n^ 4- тгп, n G Z.
4 6
7. ^ + 5>. W.
6
8. (экон.-92.1) 1.
9. (экон.-92.1) -1.
5 3
10. arccos —z=±arccos ,___4~2тгп,
x/29 >/29
n G Z.
, , тг .3
11. х = ±— + arcsm —= 4- 2тгк,
4 -v/34
kez.
(ТГ \
—j + 2m;
k,n£ Z.
, . . 35тг 53тг 59тг
14. псих-81.3)
v ’ 84 84 84
15. 7Г (reorp-98.4) —2тгп, n G Z 6
16. (ЭКОН.-90.5) -7/4, 1/4.
17. (ЭКОН.-90.5) -1;
18. 4- лк, к G Z, 4- тг/, I G Z. 2 о
19. 7Г . . 7Г _ — 4- irk, к G Z; — 4- тгтп, m G Z. Z 6
20. ТГ 1 — 4- тгп; —arctg- 4- тгтп,
n, m G Z.
21. (reorp-94(l).l) тг/6.
Ответы к § 6 Задачи с радикалами.
169
22. — + тгп, п € Z; — + irk, k Е Z.
** о
23. arctg(—4) +7rfc, arctg-4-тгтг,
k,Ti Е Z.
24. ( — 1)” arcsin - 4- ?rn, n E Z.
l Зтг 7Г \
25. [ ±——F 2ttti, ( —l)m — 4-rrm j
\ 4 6 )
n,m E Z.
26. (— + 2irk, тг — 2?rfc4) , к E Z.
\2 ’ )
/7тг тг X ~
27. I — 4- тгп,-----F тгп ) , n E Z.
\ 4 4 )
/5тг 7r \
28- -—F тгп, — — m ,
\ 24 24 J
/ 7Г 5tt \
-—F 7rm,--------тгттг ,
\24 ’24 J ’
где n, m E Z.
тг тг \ / 5tt
12’ “12/ ’ \12
30.
- + v(k +m), -
X 0 0
/ 7Г z. 4
I -- 4- n(k 4- m) ,
\ 6
тг , , Л
----F Trim — к) ,
6 k /
где к, m E Z.
5tt\
12/ ‘
+ 7r(m
33.
34. x — — — + 2ttZ, I E Z.
6
. 3
35. x = тг — arcsin —F 2тгк,
4
к E Z.
36. 3 при a E (—oo; —1) U {0}
U (1; +oo);
5 при a — ±1;
7 при a E (—1; 0) U (0; 1).
„„ 5tt tt
37. — 4- 2тгп, — 4- 2тгт,
6 18
13тг
-------F 2тглг; m,n,k Е Z.
18
Зтг
38. F 2тгп, п Е Z\
4
4- 2ттА:, к Е Z.
39. тг ± arctg2 4- 2?rfc, к Е Z.
31. (—тг, — тт); (тг, —тг); (0, — 2тг).
32. ((-1)"+1
V ’ 8 2
1 , \/2 nk \
-5are,gV + Tj'
n, к E z.
Ответы к §6. Задачи с
радикалами.
1. (геол-94.5) (1;3).
тг2
2. — (14-6n)2,ne Z.
170
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
3. (хим-78.3) log57 < х < 2.
' , , „ „ и + \/б!
4. (м/м-98.1) 3; - .
5. (ВМиК-91.1) 0.
6. (геол-95.1) 2.
7. (соц-97.3) 1.
8. (геол-96.1) 18.
9. (хим-98(1).1) 1; 4.
10. (геол-83.1) —1; 4.
11. (био-77.1) -1.
12. (м/м-94(1).2)-15/4; -3; -7/4.
1 4- х/3 13. (геогр-95.3) ±-—~.
14. (физ-85.2) х = —\/3.
15. (ИСАА-91.1) 3.
7 16. (почв-98.1) -.
17. (геол.ОГ-82.2) 1.
. л/5 - 1
18. тг—arcsin —-—-4-27ГП, n £ Z.
19. тгтг, — 4- 2тгА:, п, к 6 Z. 6
, . \/37 - 1
20. 7Г«, тг —arcsin (-2тгп,
к, n g Z.
21. — + тгп, n g Z; кт, т g Z. 4
22. (псих-95.3) — + 2тгп,
2тг
— + 2тг&, п, k g Z.
О
23. 2тгА:; к, ng Z.
4
24. (фил-90.1) -(6* ±1), к g Z.
3
25. (м/м-97(1).1) 2irn, n g Z.
26. х = + 2тгп, n Е Z.
4
Итг 21тг
27. х =-----, х =---------.
8 ’ 16
28. (геогр-94(1).3) (1;3).
29. (хим-98.2) — 3 < х < 1.
3
30. (почв-87.2) — - < х < 3.
31. (хим-96.2) (4;+оо).
зз. [--;~Ы-М].
4 ’ 2/ \ 2 2
34. (экон.-95.1) (-оо;—2].
35. (псих-88.3) в И + х/167 6; 4
36. (био-80.3) 3 < х < 5.
37. х < —7; 2 < х < 4-оо.
Ответы к § 6 Задачи с радикалами.
171
38. При a < — 1 : х 6 [а; —а];
51. (ВМиК-94.2) {3} U [4; 7].
— Г
х е [-</-(2а+ 1); х/—(2а 4-1)]; 52. (био-97.3) -5 + V23; -| U
при a > —1/2 : нет решений.
39. (физ-97.7) Если а < 1,
(а-2\2
-1 < х < -------- - 1,
\ а — 1 /
'3
8
53. (псих-93.2) 0;
40. (физ-97.7) Если а < 4,
а —5\2
а — 4 /
+ 3,
если 4 < а < 5, х > 3,
если а > 5, х >
а — 5\
а — 4 /
2
-1.
2
+3.
41. (м/м-96.2) х > log2/3 \Z17.
42. (ВМиК-94(1).3) (—оо;0].
43. [—1; +оо) при а < 1;
((а—I)2 log3 2—1; 4-оо) при а >
1.
З-л/5
6
55. (геол.ОГ-84.2) х = 1,т > 2.
56. (физ-97(2).3) х < 0, х > 7/8.
57. при а < 0 нет решений;
при а = 0 х £ (0; +оо);
г а \
при а > 0 х g ~ з ’ О/ L
U(8a; +оо).
58. при а < 0 нет решений ;
при а = 0 х £
при а > 0 х Е
U(0; +оо).
0; +оо) ;
U
3 < х <
8
а — 2
а — 1
44. (фил-85.3) — 1 < х < -.
45. (ИСАА-96.4) [—1; 7) U {—2}.
46. (физ-97.3) -1 < х < 5^-2.
47. ^23/s; 27/2j U [~27/2; -23/8) .
48. (псих-94.1) да.
49. (псих-94.1) да.
59. [-1 - V52; -5)U(1; - 1 + V52].
60. (ИСАА-93.1) [1;3).
61. (ВМиК-82.3) (-оо; 0) U [1; 2].
( -31-х/265\ ,
62. I —оо;---------1и(—5;оо).
63. (-oo;-2]U[-l;-~1+c^).
50. (экон.-93.3) [-2;— 1] U {2}.
172
Подготовка, к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
Ответы к §7. Разложение на
множители и расщепление.
1. {0} U (—оо; —\/3] U [\/3; 4-ос).
2. xi = —4/3, х? = —2/3.
3. (геол-88.2) х = —4; х > —3.
4. (ВМиК-78.1) х = -1, х > 2.
5. 1/5 < х < 1/4; х = 2/5.
20.
21.
тг , тг
17. x = —h irk; x = —F 2irm;
4 6
k, m E Z.
18. (экон.-96.3) 4- 4тгп, n E Z.
О
19. (ИСАА-95.5) [1; тг/2] (J{3}.
(ИСАА-95.5) {-2} U [0; 1].
((—1)* 4- irk, — 4- nrn} ,
k, m E Z.
6. — 2 < х < — 1, х = 3.
7. (м/м-95(1).2) -у/5.
22.
8. (геол-95.3) (0;-7/2), (21; 21).
1з +™;-6
к, n,m,l £ Z.
10.
И.
9. (псих-81.1) (4, 2), (4/3,-2/3).
„ 3 1 1 3 „
-2, 2.
’ 2 2’2’2’
тг 19тг „ ,
h 2тг«, 1- 2lTl, 7Г7Т1,
12-------------------------’ - 12-’
2тг
——h тгп, k, l,m,n E Z.
u
23.
(био-88.5) (l;0).
24. (экон.-91.5) — 4- 1-
25. x =. —1; 2 < x <
26. (экон.-92.2) (1; 4] U {7}.
27. (геол-88.3) x = 2; x = 1/6.
12.
1 . 1
тг 4- arccos —= — arcsin —— 4-
V5 у5
2тгп, (2k 4- 1 )тг; k, n E Z
/ 7\
28. (почв-80.4) I 3; - I U (4; 4-°°).
13.
( —1)" arcsin у 4- тгп, n E Z.
29.
(хим-84.1) | 1 U (Г, 4-oo).
14. (—1)"+1 arcsin \/2/3 4- тгп,
n E Z.
,, 7тг „ тг 5тг „ 13тг
15. — —; -тг; 0; —; —; л; 2тг; ——.
6 ’66 6
16. 4- 2тгп, irk, n,k E Z.
6
30.
31.
32.
r 3-V5
1-^3;-^
иМУ
(геол-95.5) ±|,±y,±>/3.
Ответы к § 7. Разложение на множители и расщепление.
173
33. (—\/Т0; —тг)и(—тг; —3)UU(3; тг)и
(тг; л/10) -
46. а= -10°+ 90° А, к Е Z;
а = 25° + 90° • т, т £ Z.
/ 10 2 \
\~Т; 3/ ’
34. 2 при b 4а, а > 0, b > 0.
35. (0; 0), (5; 1),
36. (-оо; 2-vz8]u{2}UU[2+V5; сю).
37. (псих-90.3) [—1; 2] U [3;4].
38.
y;2(^-^2)^U{log328}.
39. — +тгп, (—l)”1^ + тгтп;
п, т Е Z.
40. тгп, — + 2тгА, п, к Е Z.
2тг
41. irk, ±—- + 2тгп; k,nEZ.
тг тгп тг 2тг
42. - + —; - + тгтп; — + тгА;
TI О О
гл, п, к Е Z.
47. (геогр-79.2) + тгп, п £ Z.
48. -(—I)”1 arcsin | ) +
2 \ 4 /
тгтп тг тгп
49. (—1)* arcsin ( -—— ) 4-rrfc,
\ 2 /
тг тг
- + —п; п, к £ Z.
6 3
50. ТГ , ТГ , _ — + тг«; — + тгп, «, п 6
51. тг тгп „ тгк , „ - + —, п £ Z; —-, к £ Z. О'* о
52. тгп „ 2тг „ , , „ —п £ Z", i-;—F 2тгА:, к £ Z. £ о
43.
к = 0,1,2,...,
(5тг „ , , (5тг л
( у + 2тг/, log3 ( у + 2тг/
/ = 0,1,2,...,
(тг + 2тгтп, log3 (тг + 2тгтп)),
771 = 0, 1, 2, ... .
44.
тгтп 1
—, ±- arccos
2 2
тп, п Е Z.
1\
3/
+ тгп;
п, тп £ Z.
тг/ тг
54. —, ±— + тгге, l,k £ Z. 2 6 5тг _ . 5тг
55. — + 5тгА, + 5тгп, 4 12 5тг _ , „ —— + 5тгтп; к, п, тп £ Z. <5 тг тгк тг тгтп
56. — -L — -|- 8 2’12 3 ’ п, тп £ Z.
57. (био-82.2) —,nEZ.
45. (физ-90.3) —, п £ Z.
<5
174
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
„ „ ТГ ТГ к ТГ ТГП
58. х =-----, х =-----------1----;
10 5 ’ 14 7 ’
к, n £ Z.
59. (хим-95.3) — — + тгп, n 6 Z.
60. 2тгА; — — + тгп, k, n G Z.
4
61. (почв-78.5) 2; 9.
62. (почв-88.3) log2/5 |;log2/52.
О
63. log2/g(l + 1/2) — logg/2(-\/2 —
1) .
64. (геол-86.3) log3/2 —•
65. (хим-93(1).4) (6/11; 10/11).
66. (ВМиК-98(1).1) (0; 4) U {8}.
67. (о; [J (1; v^5] .
68. (ВМиК-94.3) —2тгп, n е N.
л/з
69. (псих-78.1) —; 1.
8
70. (физ-93.1) (0; ^ ) .
71. (геол-95.4) (-oo;log32]|J(l;5).
72. (почв-97(1).4) (-1; 0) U (0; 2).
73. (log76; 1) U (log7 11;+оо).
78. (фил-77.3) 2--—.
79. (геогр-97.2) 1 - УЗ.
80. ^п, п = 1,3,5,9,11,13.
14
81. —оо < х < 3 при а = 0;
1 - -/1 - 12а
—ОО < Z < ---------------,
~ 2а
1 + л/1 - 12а
----2a-------f 1<+°°
при 0 < a < —;
1
—оо < х < +оо при а > —.
82. (экон.-84.6} а — — 1 и a = \/2.
83. (1; -2); (-1;-2);
(р;2), pER.
84. (соц-97.6) {Зтг/4} |J[7/2; 9/2).
«г / «г 13 19
85. (псих-85.6) —— < a < ——.
о О
5 1
86. (псих-85.6) < a < — -.
11 V
Ответы к §5. Раскрытие модулей...
175
Ответы к §8. Раскрытие
модулей в смешанных
уравнениях и неравенствах.
1. (физ-96(2).3) (-6; 6).
2. (геол-91.2) 2; 3.
3. (экон.К-78.1) ~3 +
' 2
Л (-З + у/7 4-у/7\
4- (“2“’
/—5 + л/19 6-л/19\
\ 2 ’ 2 /
5. (био-98.2) [-6; - 1]и[0;+оо).
6. (экон.К-84.2) 14/3.
7. (фил-84.3) наибольшее значе-
ние равно 7|, а наименьшее
значение равно 1.
8. (псих-85.4) наибольшее значе-
ние равно 4, наименьшее зна-
чение равно 1,5.
9. наименьшее значение функции
равно у(—3) = —3, наиболь-
шее - у(—3/2) = —3/4.
1о- и{-|}-
11. (био-83.3) -5 < х < 20.
12.
(ВМиК-98(1).2)
13. (ВМиК-98(1).2)
13 \
4 )'
9
2
14. Решений нет при a < —5;
0 при a = —5;
[0; (а + 5)2] при - 5 < а < 1;
[(а — I)2; (а + 5)2] при а > 1.
15. при a > — 1
х Е (О; —а + \/°2 + 1] ,
при а < —1
х Е (О; —а — \/а2 — lj U
|—а + \/а2 ~ 1; —о. + \/а2 + 1J
16. при a > — 1
х Е (—оо; 0)и(0;а+ \/а2 + lj ,
при а < —1
х Е (—оо; 0)U (О; а + \/а2 + 1 U
а — \/а2 — 1; —а + \/а2 — 1J .
2a2b
17. (геол-86.5) 0 < х < -=—
сг +
18. (геогр-78.5) {—1}U(1; 3)0(4; 6].
19. (геогр-78.5) {1; 2} U [5; 6].
20. (хим-92.5) a) (-23; 0);
б) (—оо; —23) U (0; +оо).
21. (геол-81.3) 4.
22. (ИСАА-96.2) 16.
23. (геол.ОГ-81.4) 32.
24. (г + 2)2 + (у - 4)2 = 13.
25. (геол.ОГ-80.5)
26. (экон.-88.4) 15/2.
27. (экон.-88.4) 15.
176
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
28. (экон.М-96.6) 6.
29. ±arccos \ — - ) 4- 2тгА:, k 6 Z.
\ 5/
Зтг
30. (геол-89.3) ж = —.
, 1 ТГ
31. — -, -z 4- лп, n g Z.
£1 Lt
7Г 7Г
32. —+27гп, — + 2тгт; n,mGZ.
33. тгп, — arccos 4- “2irk;
n,k G Z.
Зтг
34. 2тгА:;-----2тгп, i,n£Z.
4
35. (геогр-97(1).3) -28тг.
36. тгк, ±— 4- 2тгз; k,s£Z.
4
—тг 4- 2 Зтг 4- 2 4гтг 4- 2
' 2 ’ 2 ’ 6 ’
±11тг 4- 2 —Зтг 4-2 9тг 4-2
6 ’ 6 ’ 6 ‘
38. (экон.К-86.1) х = 1/4.
7
39. (ВМиК-79.2) -.
э
2
40. log72 54 < х < log8/9 -.
41 7~log> 5 < r < log»5-i
2 log3 5+3 — — 3—2 loga 5 ’
42. (-oo;-12)U u
uQ;+o°)- /
43. (m/m-98(1).1) 0;l.
44. (m/m-97(2).1) (3; 4-oo).
45. — <г<0; 0<ж<1
46. (-2;-13/7) U (5; 4-oo).
/ 51 Г 1\
47. I —оо; — - U 0; - I .
\ 3] L з/
48 P.7(-3-v^)/7. 7(V2-3)/71
17’ ’ J ’
49. U [1;2) U (3;6].
50. (экон.-91.2)
_1 1\
6’2/ ’
г. го 1Л / 17 7.
51. [—3; ——) U (——; —-].
I (о
52. (ВМиК-93.3) [log3 4; 3].
53. (хим-96.5) 9.
54. (экон.-97-l) (-1,-3), (1,-1).
55. (экон.-97.1) (-1;-5),(1;-3).
56. (экон.-96.2) Г^>1 •
Ответы к §9. Обратные
тригонометрические
функции.
Тригонометрические
неравенства.
1. (ИСАА-95.1) -1.
Ответы к §9. Обратные тритоном. функции.
177
2. (Ткачук-7.1) 2 3. (Ткачук-7.2) —. v 5 4. (Ткачук-7.13) 4тг — 10. 21. 22. (ВМиК-96.4) (ВМиК-96.4) -5-: 26 0; — ?4о'. 2>/42\ 57 /
5. (Ткачук-7.4) 14 — 4тг. / 1
23. (м/м-98(2).4)
6. (Ткачук-7.3) \2 cos2 3
7. (Ткачук-7.5) 24. (экон.-96.6) Зтг 7тг ~2' ~2
8. (Ткачук-7.6)
9. (Ткачук-7.7) 25. / тг „ , тг ( 1- 2тгЛ:; — V 2 2 + 2тгА , k Е Z.
10. (Ткачук-7.8) O;ctg^;ctg^. 26. /5тг F 2тгтп; тг \ 6 2m -F 1) ,
,, тг 5тг [2тг&; — + 2тг/г ) ; k.m Е Z.
11. ±cos—;±cos—. L 6
27. (хим-98(1).3) ТГ
Vb- i 3
12. (Ткачук-7.9) J —-—. 2 4
28. (почв-96.4) U; тг; -тг; - ТГ.
13. (Ткачук-7.10) тг -F 2тгп, п Е Z. О о
14. (Ткачук-7.16) 0. 29. (-1)”^ +тгп,т 2 G Z,
15. (экон.М-99.4) — —, 77- 14 14 30. ТГ тг 4- 2тгп, — 4- тгА:, n, k Е Z,
, „ , тг Зтг 16. (экон.В-99.6) —, —. v ’ 16 16 31. (~1)пт + 7ГП> О пЕ Z.
, , ТГ ТГ 17. (экон.-99.5) — —, —. k ’ 26 34 32. (хим-88.2) —— 4 -F 2тгп п Е Z.
18. (экон.-93.4) 10 + 2л/5.
19. (экон.-93.4) 14 + 2>/10-
20. (экон.-95.5) [—3; —2) U{1}-
3 — а/8
33. (—1)* arcsin —---------F 7rfc,
6
О I /о
(—1)' arcsin —--------F тг/;
о
k ,1 G Z.
178
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
тг л 5тг /Л. ч
— + 2тгтп, — + (21 + 1)тг;
XZ 1
m,l g Z.
11
±— тг + 2тгп, п g Z.
(ВМиК-93.2) [0; тг/3].
(Фил-92.1) Ы, 1ег,
• 3 2
arcsin , + arccos —-=. + 2тгтп,
\/20 >/5
( . 3 . 2 \
тг— arcsin —== 4- arcsin —= +
\ л/20 х/5/
2тгп; п, т g Z.
(и/м.92.1)5Й^+Ч, nez.
24
48. (экон.-88.6) — — < а < 0.
5
49. (м/м-94(1).1) да; -2.
50. — + 4тг1, + 2тгт1; I, п g Z.
6 6
51. (геогр-96.3) — + 2тгт1, п g Z.
6
52.
53.
54.
5тг „
— — + 2ТГТ1, 71 g Z.
6
7Г
arctg2+27rn, — -4-2тгХг; n, k Е Z.
( 11тг\
[—13; —4тг) U I—4тг;----— 1 U
/ 7тг „ \ ( „ 5тг\
I —— 2тг IU I — 2тг; —— I U
V 3 J к 3 J
7Г „ , ТГ
1- 2тгА:; 1- 2ttti,
3--------------------2
71, к g Z.
тт тг тгп
4 8 4’
п = 0,1,2,3.
55.
3 тг , тг
1 = 2'4 1 7 3
. 2тг , Зтг ,
тгк, — + тг1 < х < — + тп;
к g N, 1 = 0,1, 2,....
(м/м-97(2).3) Зтг + arccos
— — + 2тГТ1, 71 g Z.
Ответы к §10. Эквивалентные
преобразования в смешанных
уравнениях и неравенствах.
5тг 17тг 7тг ,
48+""’« +51 +
771,71,1 g Z.
—тг-Ь 24тгА:, 7тгЦ-24тгт1; k, п g Z.
(псих-96.3) (—оо;+оо).
12 7
(экон.-88.6) — — < а< 0.
1.
2. (геогр-98.1) (^;3 .
\ о
3. (фил-80.3) (10, 15, 6).
/ 1 9\
4. I -г, - ) , (2, у), где у—любое
действительное число.
Ответы к §10. Эквивалентные преобразования...
179
6.
г-i).
1______1_
/2’ V2
7. (экон.М-95.2) тгп, п £ Z.
тг тгп
—- 4-—,п ф 5пг4-1,п,тп £ Z.
2U Э
7Г 7ГП ч Л л
—I- —, п = —1, 0, 1, 2;
8 4
тг тгЛ: ,
-т+т^>к= 1,2, 3,4,6,7,8,9.
4 10
тг тгп тг
- + —±- + тгЛ; п, k £ z.
4 2 3
8.
9.
10.
11.
12.
, . / 3 \
(-1) arcsin ——--------—- 4-тгп;
v ’ \тг(±1 4- 6k) J
n,k £ Z.
^7Г г. г,
4- 2тгп, п £ Z.
6
13. (м/м-84.2) 13/4.
14. (экон.-94.3) 2тгп, тг + 2тгт,
п——1,0,..., т — — 3, — 4,.
15.
16.
17.
(м/м-82.4) — у/% < г < — 1 и
, -1 - VI 4- 16k
х Ф .
Г 16
где k = 15,16,17,18,19,20;
1 < х < V2
, — 1 4- VI 4" Ю/
—й—
где I = 19,20,21,22,23,24,25.
(м/м-77.3) 4- 2тгп, п £ Z.
Л Lt
4
(м/м-90.2) тг/г, k £ Z.
<5
18. (м/м-98.3) ±— 4-2тгп,п£^
<5
19. (соц-97.5) (7/9; 4-оо).
20. (экон.-77.3) (1; 1), (2; 1/8).
(экон.-97.2) х < —3, х = 5.
(м/м-84.4) ^0, log2 ,
/1 , 34- V» . 4 \
l3log2-2“’log2rr^r
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
2Tr±arccoslog2(V£ — 1).
(экон.К-78.3) —
(экон.-78.1) 1/2.
(био-81.1) 5.
(фил-78.4) 5/3.
3 — Vо 4" 5
при а > —4, а / — 1.
Mlи lr;2+v/2)
4 4 /
2-^4
(-2; -х/2) U (х/2; 2).
(био-82.1) х > 2.
(геогр-83.2) — 1 < х < 0.
(фил-82.2) -з|,-2|.
34. (почв-98(1).3) 24“4А
35. U{-1}.
180
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
36. (био-84.3) х = 3/2.
37. (геогр-92.3) —; 1^ |^J[3;+оо).
54. (м/м-89.4) Q; .
\ У О Л J
55. (хим-96.3) х = 32, у = 2.
38. (0; У2 — l]U[63;+oo).
39. (хим-87.2) 1 < х < 2.
40. (ВМиК-91.3) (l;5log’7] .
41. (-оо; -2) U (-2; 2 - vTK) U
U[6 + оо).
5 4- х/13
42. (ВМиК-81.2) 2, ——.
43. (почв-96.3) 2; 1/8.
44. (био-93.2) 1.
/226тг\
45. (псих-98.2) tg I ... I.
46. (геол-93.4) [—1; 0) (J(0; 3].
47. f2;2+tg^ .
\ lb
48. [-6; - 11tt/6)U(-Итг/6; -4)U
U(2; 5к/6) U (5тг/6; 6].
49. (геогр-97.3) 3.
50. (-5;-У24)и(-У24;-3).
51. (физ-96.5) (-2; ±2).
52. (----——,--------------.
\21og2 3 — 1 21og2 3 — 1/
.3 + 2^3 3-2Д
53. (----~,-----г----\).
56. (псих-91.3) (81; 0).
57. (экон.К-77.3) (16; 4).
58. (|;3 ) U
\4 )
41 + 7 7 \
~4 ’2 /’
/3 \
59. ( —; 2 I U (2;+оо).
\ 4U 1
60. (м/м-91.2)
2 1\
9’ 2/ ’
(7 — V 5 \
—и
/ 7 -L ys'l
I 4; —— I U (8;+оо).
62. (ИСАА-91.5) (0; 1/7); (1/2;1).
63. (физ-97(1).7) 1 < а < 4.
64.
при а £ (0; 1);
1 + У1 + 4а2
------------;+оо
при а 6 (1; +оо).
65. при а > 0, а / К а / 2-2^3
исходное уравнение имеет ре-
шение
3 loga а
х = .
Ответы к §11. Нестандартные текстовые задачи.
181
1 13
66. [log2-;2)|J(2;log2 —)•
v О
67. 2 < х < < z < 3.
2 2
13 — 5/141
13+/141 1
--------- < X < —.
84--------- 3
69. (ЭКОН.-99.1) (—3; —2) U (3;4].
70. (м/м-85.4) -1,2;-0,67.
71. (м/м-98(1).6) [1;3]U {4}.
Ответы к §11. Нестандартные
текстовые задачи.
1. (геол-97.6) V2 : Vi = 29 : 18.
2. (био-87.2) | пути от А до В.
3. (геогр-86.3) в 2 раза.
4. (почв-78.3) первый слиток в 2
раза тяжелее второго.
5. (хим-86.2) 8 часов.
6. (ВМиК-89.3) 48 минут.
7. (хим-81.3) 20 км.
8. (почв-97(1).3) 78.
9. (псих-82.5) в 2 раза.
10. (почв-83.1) площадь поля, вспа-
ханного за день, составляет
5/7 от площади всего поля.
11. (м/м-97(2).2) 2.
12. (соц-98.5) 33.
13. (геогр-88.3) 45 минут.
14. (фил-90.4) 2,1 кг.
15. (псих-86.4) 200 г.
16. (геол-94.9) 12 млн.т.
17. (экон.К-79.3) 726 ден. ед.
18. (геогр-97(1).4) [15; +оо).
19. (фил-78.1) в бригадах было по
9 человек.
20. (экон.-85.5) 2/3 часа и 1 час.
21. (геол-87.5) 4 км/ч, 3 км/ч.
22. (экон.К-85.4) 12 часов.
23. (геол-88.5) 40 км/ч-скорость
по шоссе; 30 км/ч - скорость
по грунтовой дороге.
24. (экон.-78.4) 1750 т.
25. (м/м-93(2).6) 90 км.
26. (геол.ОГ-83.5) 50 км/ч.
27. (геол-83.5) пункт А располо-
жен выше пункта D по тече-
нию реки.
28. (псих-84.5) 3.
29. (хим-97.4) 6; нет.
182
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
30. (экон.-99-З) 24 дня.
2. а = 2,Ь= -8,с = 8.
31. (экон.М-97.4) 10% и 20%.
32. (экон.-97.4) 12,5% и 15%.
33. (геол-97(1).7) п = 5.
34. 11000 и 12600 тыс.руб.
9 — v 17 1
3’ 16 <а<з’
1 9 +VT7
- < а < -----.
3 16
4. (хим-82.5) р > 1.
35. (экон.-94.5) 300 или 600 теле-
визоров.
36. (геол-94(1).8) АС В.
37. (ВМиК-95.5) 156.
38. (экон.-92.3) 133 и 54.
39. (экон.К-83.5) 14 красных ка-
рандашей и 19 синих.
40. (м/м-81.3) 18^ кг.
41. (псих-87.3) 10.
42. (хим-97(1).4) 6.
43. (экон.К-78.4) 40%, 43^%.
V
44. (хим-92.4) [15; 40] (в процентах).
45. (ВМиК-87.5) 20 рейсов.
46. (экон.К-84.5) 11 домов на 12
квартир и 1 дом на 16 квар-
тир.
Ответы к §12. Расположение
параболы в зависимости от
параметра. /Теорема Виета.
5. (м/м-91.5) р = —6; 9 = 7.
6. сб (3-2>/3;-6 +2>/15).
7. a G ±>/2;±
15+ 1
4
8. (физ-93.7) ±Л.
9. (ИСАА-92.6) а = -3; S = 18.
10. (физ-89.5) при m = 0 уравне-
ние имеет единственный ко-
рень, при m > 3 уравнение
имеет положительные корни,
при т<0и0<ш<3 урав-
нение не имеет корней.
11. {0}и(2+>/3;2+>/5).
3 4- V5
12. (ЭКОН.-91.6) 0;2;^р+
13. (физ-94(2).7) (—оо;20].
14. (геол-96(1).8) [—1/3;+оо).
15. (экон.М-95.6) (—оо;—3/2].
16. ,)
1. (псих-78.5) а < 0.
Ответы к §13. Полезные преобразования и замены переменных.
183
18. (геол-77.5) к < 1/2, к > 3/2.
19. (био-77.5) -^36 < з < -3,
(ВМиК-88.5)
20.
{I-1}и[2;4)-
£• о I
21. (псих-81.5) 1 - \/2,5 + д/10.
22. (геогр-92.5) 4; 19/4.
23. (экон.-77.5) -13/4 < а < 3.
24. (геогр-90.5) 5 < а < 7.
25. (фил-83.5) 0; 1.
26. (геогр-84.5) —оо < а < —10;
| < а < +оо.
27. ае
_3
2
34. Ь< -1- < Ь< 0.
4 2
35. (м/м-93(2).2) [-3;3].
36. (ВМиК-96.3) ____________
а — 1 + у/а2 — 10а — 11
1OS,----------j----------
при а Е (—оо; —3/2);
нет реш. при а Е [—3/2; 11);
1 при а = 11;
, а - 1 ± у/а2 — 10а- 11
log,----------j----------
при а Е (11; +оо).
Решение единственно при
а G (—оо; —3/2) U {11}.
37. (экон.К-77.4) 0 < а < -у—-
7 л/36
Ответы к §13. Полезные
преобразования и замены
переменных.
28. (ИСАА-91.6) { —\/2}и(—Г, 1).
29. (физ-94(1).7) (0; 1/8).
30. при к = — 1 Xi = 2тгп, п Е Z,
тг
Х2 = — + тгт, т Е Z;
Ct
2
при к = 0 х = i—тг + 2тг/,
I Е Z;
1 - л/7
при к = 1 х = ± arccos —--------1-
2тгр, р Е Z.
31. а < —2 — \/б, а > д/2.
32.
1 3 3 33
- < а < - < а < —.
3 “ 4’4 - 32
1. (почв-96.1) 47.
7 5
2. - при а > 0, b > 0, а -Ь .
Z о
3. (почв-98(1).1) 2\/2.
4. (геол-98.1) —1.
5. (м/м-78.1) -10.
6. (почв-80.1) (1,-5), (5,-1).
7. (экон.М-96.2) (—1; 1).
8. (экон.-96.1) (—2;—2).
9. (м/м-90.3) [-2; -1) U [0; 1].
33. —оо < а < —3; 1 < а < 6.
10. (м/м-96(1).2) (3/4; 7].
184
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
11. (геогр-95(1).1) (9; 1).
4
12. zi = 2; Х2 = —5; хз = —
5
13. (почв-93.2) — + тгп, п 6 Z.
14. (геогр-80.4) ± — + irk, к 6 Z.
15. (геогр-98.2) 2.
16. (геогр-91.5) |а| > —
17. (геол-94.2) 1.
11 \/з\
^9 + 18 6 ’ 36 + 18 + 12 у ’
/1_у2_х/з1з_х/7
^9”18~"б"’Зб-18‘ + иу'
28. (био-93.4) 573.
29. (ИСАА-95.6) [2/3;+оо).
30. (хим-98.3) (-1; 1; 2), (-1; 1; -2).
31. (почв-79.5) (2,1).
32. (ИСАА-94.6) .
£
18. (хим-82.3) — 1 < х < 2, х > 3.
19. (геол-85.5) х = 2.
20. (2 — \/2; 1] U [3; 2 + х/2).
21. (м/м-96(2).2) 5/9.
22. (—оо; —2) U (2;+оо).
23. (физ-95(1) .7) -9/10.
24. (хим-95.5) (0; ±1).
33. (фил-78.2) л/З.
34. (псих-87.6)
35. (геол-98(1).7) Наибольшее зна-
чение равно 18, наименьшее
значение равно -9.
36.
(геол.ОГ-82.6)
тг \
-X- + 7г(П1 - Z1), гтгтг! 1,
О '
25. (экон.-79.4) (2, -1); (12/7, -1/7).
7Г , _ . \
— + к{п2 — 12), 2кп2 I ,
О '
26. (соц-98.6) —-—.
27. (хим-83,5)
/1 х/7 хЛ 13 х/7 _ Уз
\^9 + 18 + 6 ’ 36 + 18 12
2^ 11 _ 2(1 _ 2(1
19 18 + 6 ’36 18 ~12
7Г . . \
- + 7Г(ТП1 - Pi), 7Г + 27ГТП1 ) ,
о '
(ТГ . .
I - + 7г(т2 +р2) ,
' О
2тг . . „ \
— + тг(тп2 — Рг), тг + 2тггп2 I,
О /
П1,П2,11,12,ТП1,ТП2,Р1,Р2 6 Z.
Ответы к §13. Полезные преобразования и замены переменных.
185
37. (-2; 2), (2;-2), (2^2; 72),
(-2^/2; -л/2).
38. (хим-78.5) (4, -3, 0); (2, -1, 2).
39. (3; ±72); (^;у) ,у& Я;
^-3 + | - у^б + 1 + у/б + ;
к е Z,k > -10;
(-З+1 + у/Щ; l-y/TTf);
к е z, к > -ю.
40. (м/м-89.6) ~^/^-
41. (фил-89.5)-17/48.
42. ? - 72 < a < - + 72.
3 3
43. (экон.К-83.1) -5; 5.
44. (ВМиК-89.2) х = 1/2.
45. (геол-94.3) -4;1.
46. (—оо;-1] U {—1/2} U [0;-Ьоо).
47. (геогр-97.1) (3/7; 11/7).
48. (—3; —2) U {—1} U (0; 1).
50. (почв-96(1).3) {—3}и(1;4-оо).
51. (геол-91.3) {0} U (16;+оо).
52. (био-93.3) (-1/3; -1/8).
53. (экон-98.3) х £ (17; 248).
54. — — ± — + 2тгА:, к G Z.
4 4
55. (-1)" - 4- тгп. п g Z.
6
56. (физ-80.3) 3;81.
57. (физ-93.3) 2^.
58. (ИСАА-93.4) (1) и(1;2].
\ О /
59. (экон.-79.5) -1/4.
60. (—1;/гас13]и Ц). 3/
61. X! = -1 - 72; х2 = — 1 + V2.
62. ±7 Иг Ч® =
=±vK“i®.
63. (физ-97.2) (1 — log45)-1.
64. х < -1; -10“3/4 < х < 0;
0 < х < 10“3/4; х > 1.
65. (геогр-90.3) [1; 5) U (10;+ос).
66. (экон.-99.2) (0; 3].
67. (ВМиК-83.5)
xi = 1 — 7(а ~ I)2 + 4,
х2 = 1 + 7(а + 2)2 + 4
при а < —2;
= 1 - \/(а - I)2 + 4,
х2 = 1 - \/(а + 2)2 +4
186
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА,
при — 2 < a < —1/2;
—3/2 при a = —1/2;
zi = 1 — У(а — I)2 + 4,
х2 = 1 - У(а + 2)2 + 4
при —1/2 < a < 1;
xi = 1 + У(а — I)2 + 4,
х2 = 1 - У(а + 2)2 + 4
при а > 1;
при a — —1/2 уравнение име-
ет только один корень.
68. 0; 1 при а = 0;
1 — a 4- У1 + За2
2
/2 \ ( 2
при a 6 —т=; 0 U ( 0; —=
\ УЗ / \ Уз
1 — а + У1 + За2
2
— 1 — а — УЗа2 — 3
при |а| > -/=.
л
69. Нет решений при a < — 1;
/2 — а /—а
±V-6“’±V'T
при — 1 < a < 0;
/2-a n 1
±У при 0 < a <
V О 2
/2-а л 1
±У —g—,0при - < a < 2;
0 при а > 2.
70. (геогр-95(1).5) 3;18.
71.
ВМиК-90.4)
27 —4-Убб 8 — У85
9 5 3
U
17+У349 27 + 4-Убб
6 ; 9
72. (псих-81.4) 3/2, 36/25.
73. (м/м-80.4) (У4; 9).
74. (хим-91.3) (1; 1); (5/2; —2).
__ ( х = 3, ( х = 3 + У10,
’ t У— 2 , \ у = -3 + У10 ,
( х = —2, ( х — 3 — У10,
t у = -3 , \ У = -з-УТо.
76. (псих-89.3) (5; 0), (1/5; 2).
77. (ВМиК-95.2) (3; У2), (У2; 3).
78. x = log2 (Уб-2),
, Уб —2
У = log3 —2—’
79. х = 8 log5 2-6 log2 5,
у = 81og25 — 12 log5 2.
/93 33\
80. (хим-85.5) (5; 2); ( —; — I .
81. (био-77.3) первая бригада де-
лала в один час 13 деталей, а
вторая - 11 деталей.
82. (ВМиК-94(1).5) 1 или у.
83. (био-85.5) 3.
84. (геол-81.6) 4 •
Ответы к §14. Использование графических иллюстраций.
187
85.
4 6 9
х = -,__; у — ; z = —=;
V13 V13 ^/13
6
V = 7=-
л/13
(—оо; —2) U (0; 1) U (1;+оо).
х = 7; у = 6; z = 6.
/ 5\
88. (почв-92.5) ( - ос; - 1 .
86.
87.
5 7
89. Fmin = F(-) = -~.
£» хи
90. а = 61— 1; а = 61,
а = 61 + 2, а = 61 + 3,
1 е Z.
91. (ВМлК-86.6) е= -1; <1=1.
92. (хим-97.в)
2V2- 1 2>/2 + 1
93. (псих-86.6) 2\/2.
94. (био-89.5)
Ответы к §14. Использование
графических иллюстраций.
1. (ВМиК-86.2) (3/2; -5/2).
2. (хим-93.5) решений нет.
3. (геогр-93.5) -5/13; -5.
1 - л/2
4. (почв-96.6) 2; —-—.
5. (м/м-97(2).б) [—15; —5) U {1}.
6. (геол-93.6) [1; 2) U (2;3).
v5 — 1
7. (био-78.5) а < —-—, а > 1.
8. а) -8; б) (-8; -4\/3).
9. (экон.-83.6) а = — 2, а = —1/2;
при а = —2 :
Xi — —2, х2 — 6/Ь, хз — 10/3;
при а = —1/2 :
Xi — -1/5, х2 = 0, х3 = 1/3.
1 2 4
10. - при a = ±-, b = -.
5 5 5
11. 6 = 4;- <b< J.
12. (почв-95.5) (—2; 0).
13. (геогр-94(1).б) [1; 3].
14. (геогр-94.5) [2; 3) U (3; 4].
15. (хим-87.5) р < 0,р > 3.
16. -у/2 <а<-^,0<а<\/2.
17
17. любая пара чисел (ж, у) таких,
3
что - < х <2; 1 < у < 2.
2
18. (—оо; —0,99) U (—0,02; 0) U
U(0;0,01).
19. +2лХ;0) , (-у-!?) ,
р 6 R .
20. Два корня
при — 1 — тг2 < a < 1;
один корень при а = 1;
нет корней
при а G (—оо; — 1—тг2)и(1; +оо).
188
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
21. (ИСАА-97.5) S = 2тг 4- 9.
22. (геол-95(1).8) 27тг 4- 18.
23. (м/м-91.3) 1 + у.
24. (почв-96(1).6) 1.
25. Ушах — 3 при 2 < х < 3.
26. (10; 5), (-6;-9), (-5;-10)
27. а = ±72 (Pmin = 872).
28. (экон.-97.6) 112%- 1273.
29. (м/м-96(2).4) —х/3/2.
31. [1/2 - v/3; — 1] U {2}.
32. а = 4, b G (-3 - 745; 3 -
л/45) U (-3* + 745; 3 4- 7^5).
/217-57415, 180 ±27415\
Д 29 ' 29 ) ’
34. 1) ±9; 2) ± 1.
3.-----1- 2тгт, m G Z;
6
7Г
— 4- 2тгп, n G Z.
6
4. (почв-90.4) 1 — 2%.
5. (геол.ОГ-81.6)
6. [ 4- кк ) , где к G Z.
7. (m/m-96(1).4) [—1; 2).
8. (почв-90.6) x < 0.
9. (геол.ОГ-85.5) x = 7.
10. [3-7б;2]и[5;3 4-7б].
11. (ИСАА-94.5) 3.
12. (м/м-96(2).1) — 1; 3.
13. (м/м-79.4) — < х < 0.
At
2
14. (фил-87.5) — - < х < 0.
О
15. 14-\/11 4- 473,1-^11 4- 473.
Ответы к §15. Использование
различных свойств функций.
1. ( —l)n arcsin i 4- тгп, n G Z-,
О
5
(—l)m arcsin - 4- кт, m G Z\
8
7
(—1)*+1 arcsin - 4- кк, к G Z.
8
2. (экон.-94.2) [—3; 0].
17. (м/м-80.5) 2.
18. (ВМиК-92.6) а > 2% - |.
8
19. (хим-80.5) 2/3.
Ответы к § 16. Метод оценок.
189
20- f(x) = log3 ~ при х > 0,
О
f(x) = - log3(--) при X < 0;
О
корни уравнения 81, — -.
У
21. (хим-89.5) х = —1/5.
22. (м/м-90.4) 0; 2sinl.
23. (экон.-90.6) а = —1; а — 2.
g
24. а < —4, а — 1, - < а < 4,
- ’ 3 -
25. (экон.-83.2) кк, к Е Z.
26. (геогр-96.2) 7/2.
27. — |+4m, — |+4n, n^m^Z.
28. х — —8А?? к Е Z.
29. (псих-96.5) 2/5.
/1 3\
30. (хим-88.3) I -; - ) .
1 .3 2п +1
31. —-arcsin -+тг—-—, п Е Z.
2 5 2
а3 а1 2 3
32. -у - у при а < -1;
1
— при — 1 < а < 0.
6
Ответы к §16. Метод оценок.
1. (псих-97.4) [17; 4-оо).
2. (био-81.4) х > 3.
3. (псих-78.4) 12тг — 1.
4. (ИСАА-97.4) х = 3/2; г > 2.
5. (геол-98.8) а — 0; а = 1.
6. (псих-79.2) (—2; 1).
7. (био-93.6) (4; —3; 0), (2; — 1; 2).
8. (геогр-81.5) (1, -1).
9. ^2; j + 2тгп^ , п Е Z;
(-2,6) beR.
10. (хим-94.5) (1; —тг/2).
11. (-2;-4), (-1; -3).
12. 0, тг + 2тгп, п Е Z.
Stt тг
13. (м/м-93(1),4)
X £ 1 £
—5 4- \/3 1 — д/З
U. —ПрИа=_— ;
—5 — л/з 14-л/З
--------приа=__;
, 1±д/3
нет решении при а / —-—.
£
15. (хим-93(1).5) 1.
16. (геогр-94(1).4) -3/4.
17. (псих-92.1) %^-8/г2~ 3) к е Z.
18. (псих-93.3)2тг —
19. (филол-98.5) 0.
20. (экон.В-98.4) х € [4; 5].
21. (хим-94(1).5) (1; 0) при q = — 4;
(—3; 0) при q = 4.
190
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
22. (геогр-96(1).3) 0.
„„ тг(4А; + 1)
23. 7, к е Z.
24. (экон.-78.5) a > 3/82.
25. (почв-89.5) х = 2.
26. 0; —1 при a = 0;
0 при a / 0.
/513
27. (геол-92.6) И;—; 128
34. (м/м-95.6) 0; тг; 2тг.
35. 2тг — 8; 2тг; 2тг — 1.
36. —а2, при 0 < а < 4 — 2л/2;
-8(3-2^2), при а = 4 — 2\/2;
8(1 —а), при 4 —2л/2 < а < 2.
37. (геогр-88.5)
38. если а — 1/3, то х = 1,
если а 1/3, то нет х, удов-
летворяющих данному равен-
ству.
39. (почв-83.5)
Ю Ю
28. (био-90.5) a = 4тгЛ; ;
v 7 1 + 2п
L П , 81 ±3
% 16тгЛ;2 + 2п + 1 ’
16тгА;2 + 2п + 1 . 1 „
г = •W±3)~("ctg2 +
лт);
к^ l,m,n,r G Z,k -ф. 0.
/
29. (м/м-97(1).5) 2.
30. (геол-86.6) при р = 9 имеем
х = Яг, при р < 9 уравнение
решений не имеет.
7Г 7Гл
31. (хим-91.4) — + —, к 6 Z.
к
„„ . я 2тгп „
32. t = 1, х = , п е Z.
30 5
33. (хим-79.5) система имеет бес-
конечно много решений (ж, —1),
где х = у + 2 тгп (п 6 Z).
40. (геогр-83.4) (—1, -3), (3, —3).
41.
(экон.-99.7) При Ь =------
2у 2
единственное решение (-^=,0, 0),
V 5
. 1 /3
при о — —- + у - два реше-
ния:
43. (ВМиК-83.6) (—1; 2); (—1; —2).
л л Зтг _
44. х = — + 2тгп, п 6 Z.
4
45. (ВМиК-91.5) Верно.
Ответы к §17. Получение
следствий и логические
задачи.
Ответы к §17. Получение следствий и логические задачи.
191
1. (хим-96(1).5) -1.
2. (геол-97.7) (1;3),(3;1),
f_ 15 , 1 /1141. _ 15 _ 1 /1141 \
\ 2 2 у 5 ’ 2 2 у 5 )>
f_ 15 _ 1 /1141. _ 15 , 1 /1141А
\ 2 2 у 5 ’ 2 2 у 5 ) '
3. (геогр-97(1).5) 7 — 21og5 9.
4. (почв-93.5) [—1;—1/5].
5. (хим-83.2) 1.
6. (1,1+ — + тгп) , п G Z-.
Зтг
7. (хим-98.4) — + 2тгп, п Е Z.
с
8. При b = —1/2 решение
(^,-? + ^)),Aez,
при 6=1/2
решение (^=, f + nn), п Е Z,
при Ь -ф. ±1/2 решений нет.
„ 1 1
9. а =---=, a —
Уб
ю. (—7=;7;-э) ; (—7=;1;1)
\ д/з ) \ Л J
11. (экон.К-87.6) а = 4/3.
12. (псих-95.5) 2.
13. (хим-88.5) a = — 2; а=—1.
14. (ВМиК-98(1).5) а---.
С
15. (фил-84.5) а = 1/8.
16. (био-91.5) 1.
17. (фил-92.5) 0;±-!-.
2v2
18. (геогр-97.4) 1/3.
19. (филол-98.6) (1;5).
20. (почв-88.5) р = -2; р = 1/2.
21. —2тг < а < 0; 2тг < а < 4тг.
22. (био-95.6) -3; 9.
23. (хим-84.5) 2 + Д; 2 - у/2.
24. (ИСАА-98.7) а = 2.
25. (экон.-85.4) 7/23.
26. (хим-91.1)
/та«(х) = /(0) = |;
fmin(x) = /(—-) = —-.
О £
27. (фил-80.5) 1.
28. (почв-85.5) 6.
29. (геол.ОГ-84.3)
30. (геол-84.3) ±—^=.
-До
32. (псих-84.7) ж = | + | log4 3;
Ct it
11, „
"=2'2108*3'
192
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
47. (псих-88.6) а = 1/16.
-1/2
48. (хим-98(1).6)
2д/б 2>/б
3 ’ 3
/2 г
34. ^-<7<1,Л<7<2.
49. (хим-86.5) ~Л;
ОС *
35. (м/м-77.4) (3,3,3).
v 5
36. (псих-91.5) 0; ±—а.
С
37. если а = arccos-------= I +2тгп,
n € Z,
то х = —— + 2тгЛ;, k Е Z;
6
если а = — arccos 4-2тгп,
п G
то х ~ + 2тг&, к Е Z,
при остальных значениях а ре-
шений нет.
38.
(био-97.6)
11тг 7Г \
~24’ 2 J
39. (почв-90.5) (—3;+оо).
40. (м/м-94(1).4) (log2 8/5, 4-оо).
41. (почв-88.4) нельзя.
42. (псих-78.3) 2 км.
43. (геол-95.8) (—оо; —99].
50. а = -2,6 = 4,5,...;
а= -1,6 = 3,4,....
/ 4
51. —оо; --
\
(1; +оо).
52. (м/м-95(2).3) [-3; 1].
53. (м/м-93(1).б) [0; 1).
54. а) [-/26- 1; /26 + 1];
б) [-/26 + 1; л/26 — 1];
55. (геол-96.8) -1.
56. (геол-98(1).8) а Е (—оо;0].
57. (псих-78.4) (0; 0), (1; 0).
58. (ИСАА-96.6) (15/2; 8)и(12; оо).
59. (ИСАА-93.6) [-1; 1].
60. (ВМиК-90.6) а > -7/2.
61. (м/м-86.5) — j < а <
62. а < -3/2, а> 1/3.
63. х G (—оо, —1 — /3] U
44.
(—оо;—2](J -|;0
it
45. (м/м-78.4) а < -1.
46. (био-86.5) а < —1; а > 3.
64. (псих-92.4) и = 6, v = 4.
Ответы к §18. Задачи с целыми числами.
193
65. (геол-79.6) 0 < х < \/35.
66. a £ (—оо; —\/13] U
67. (геогр-87.5) b > 3, b £ N.
68. (псих-90.5) ( 0;—-г J -
\ 54/
69. (экон.К-88.6) а = 1.
70. (—оо; —3) U (—3; 4-оо).
71. (геогр-85.5)---7= < а < —“.
л/10 “ ~ >Д0
72. (6 — 2-У5; 2\/5 — 2] U {4}.
73. (—оо;-1) U (1; 4-оо).
74. (почв-84.5) — ~ < a < 0.
' 4 - -
75. (экон.-84.4) 24 и 28.
76. (экон.К-80.5) 8 автобусов.
77. (ВМиК-77.4) V1=7 км/ч ,
V2 = б| КМ/Ч,
1>з = б| км/ч.
78. 8 км < |АВ| < км .
79. (м/м-86.4) не сможет.
Ответы к §18. Задачи с
целыми числами.
1. (псих-84.6) 233; 466; 699; 390.
2. (фил-86.5) нет.
3. х = 5; у = 4; z = 4.
4. (био-92.4) (12; -8).
5. (фил-77.1) в первом ящике 24
детали, а во втором ящике 7
деталей.
6. (псих-94.5) 432.
7. (15&1 2 - &k, Зк - 1), к Е Z.
8. (фил-79.5) 11.
9. (псих-77.3) 900 и 855.
10. (0; 0), (3; 5), (—3;-5).
11. (экон.К-86.5) 11 дней,
19 деталей и 31 деталь.
12. (1;-1;-1),(-1;1;-1).
13. (хим-95(1).5) (0; 0).
14. (соц-97.4) 27.
15. (хим-98(1).4) 300.
16. (ВМиК-86.3) 6.
17. (геол-84.5) 70 копеек.
18. (геол.ОГ-84.5) 94.
19. (м/м-88.5) 0,9 минут.
20. (био-97.4) 60.
21. (экон-98.7) 426 и 142 рублей.
22. (фил-91.1) 11 • 181.
23. a = 8, Ь = 56, с = 392.
24. (почв-77.5) 144 человека.
194
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
25. (ВМиК-82.4) 5.
26. (ВМиК-78.4)
А= {6,10,14,30,42,70,105,210}.
27. (экон.-93.5) 12 месяцев.
28. (физ-83.4) 83.
29. (ИСАА-91.4) 35; 45.
30. (ИСАА-98.6) 49 и 83.
31. (фил-88.5) 23.
32. (экон.-83.5) 832.
33. 10500 и 12600 тыс.руб.
34. (м/м-92.4) 36.
35. (геогр-79.4) 33.
36. (0; 0), (2; 2), (0; 3), (3;0).
37. (био-96.5) (1;6), (1; 7), (2; 7).
38. (экон.-86.5) 2; 2; 2.
39. (м/м-96(1).5) 8.
40. (2;±3),(-2;±3).
41. (0;2),(—2; 0), (0; 3), (2; 1).
42. (0; —2), (—2; 0), (—1;2), (—3;0).
43. (ВМиК-79.4) -31;-7.
44. (4; 3), (6; 13), (14; 5).
45. (геол.ОГ-88.5) 11 ”Лиазов” и
5 ’’Икарусов”.
46. (псих-79.5) (6,1,0), (6,-1,0),
(0,1,0), (0, —1,0).
Ответы к §19. Задачи
последних лет, не вошедшие
в §§1-18.
1. (ВМиК-99(1).1) 5 км.
2. (ВМиК-99(1).2) {3}U[8,+oo).
„ 23тг
3. -Х7- + як, k € Z\
оо
35ir _
—- + irm, m € Z.
36
4. (ВМиК-99(1).5) [1,2) U (2,3].
5. (ВМиК-99.1) Первое меньше.
6. (ВМиК-99.2) ^+4^2-\/3.
О
8. (ВМиК-99.5) —+ 2тг/, I € Я;
тг _
— + 2тгтп, m € Z-
о
9. iarcsin + тгЛ, к 6 Z.
6
10. (1; 0); fl; -£) ; (-7; у) .
\ о/ \ о /
И.. (геол-99(1).3) amax = —у/2.
12. (геол-99(1).4) 74.
Ответы к §19. Задачи последних лет.
195
13.
х/2—16 7
48 5 24
1 у/2-2
6; 6
14. (геол-99(1).7) 3.
20.
15. (геол-99.1) (-3; -2)и(-2; 3].
16. (геол-99.2) А = 2 > 1,999.
17. (геол-99.3) 1 + ^ .
18. (геол-99.5) j + ,к G Z\
Л!
5тг irn
- + —,nEZ.
19. (геол-99.6) п = 6; Se = — 66.
f 1 +>/167 13
k 2 ' 2
5; -1+2^k{-2,r}u{0} .
А /
U
21.
22.
23.
(ИСАА-99.1) 1; 2 - VW.
(ИСАА-99.2) А = 0<0,01.
тг irk , „
- + —, к е z -,
6 3
(-1)” . 2-V6 тгп
___ агсяп ___ + _
п G Z.
27. (м/м-99(1).2) х = 0.
28. (м/м-99(1).3) х =
18
30.
% + 2тгп, п G Z.
31. (м/м-99(2).2) | .
и
32. (м/м-99(2).3) [3; 5].
33. (—оо; —3) U { —1} U [3; 4-оо)
34. (м/м-99.1) х < ~—,х = 0.
6
35. (м/м-99.2) х = -3.
36. Ф —----2тгт1, п G Z .
2
37. a Е (—оо; —3] U [—4; 4-оо).
38. (хим-99(1)-1) 1.
39. (о;0 U Q;l) U(l;2],
40. (хим-99(1)-3) •
•LZ JLZ
5
2
24.
25.
26.
(ИСАА-99.7) (2; -1).
тг irk ТГ тгп , „
— 4---,-----1--, к.п € Z.
4 2’ 8 2’’
41. При a = — 1 х € (2;+оо) ;
при a G (-1;
х 6 (1;а + 2] (J (1 — а; +оо);
при а= --
6
196
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
х е
, 3\ /3 \
1; - I U I 4-оо ) ;
2/ \2 J
при а е 0^
х 6 (1; 1 — a) U [а 4- 2; 4-оо) ;
при а = 0 х £ [2; 4-оо).
42. (хим-99(1).7) 3997 .
7тг
44. (хим-99.2) — 5; — 6; — —.
45. ( -0 ) U (0; 2) U (2; 3).
\ О /
46. (хим-99.6) а — ±1 .
47. (хим-99.7) 21001 - 4 .
4ч/3
48. ( — l)n arcsin —--1- тгп, п 6 Z.
49. (ВКНМ-99(1).2) (з, | j .
50. (ВКНМ-99(1).3) 6 км/ч.
51. (ВКНМ-99(1).5) -6;-5;-4.
„ (-1)” • -3 + V29
52. -----arcsm-----------
3 8
п е z.
тгп
Т’
53. (био-99.2) (-оо;-2] U
'1
2’
1 и
56. (био-99.6) 7:5 .
57. Второе число больше.
58. — 4-2тгп, — 4- 2тгк, к, п Е Z.
*Х Lt
59. (почв-99(1).3) (2 — logj 3; 2] .
60. (почв-99(1).4) 0.
а
61. (почв-99(1).6) (3 = —.
62. (почв-99.1) 3.
__ , . тг 2тгп
63. (почв-99.2) — 4- —г—, п Е Z.
О V
64. (почв-99.3) ±—2=.
65. (почв-99.4) у > 0.
66. (почв-99.5) 2/3 литра.
67.
(почв-99.7) При b < — 1
х Е (—оо; —1] U [1; 4-оо);
при — 1 < b < О
х Е \------ „ ; — 1
к .
U[l; 4-оо)
68’ (~1)nT? + T’ n&z
X Z Lt
69. (геогр-99(1).2) 231.
70. (геогр-99(1).3) —9; —8; —6; —5.
-3 4-у73
4
71. аЕ [-2;1)U(1;4],
54. (био-99.3) -1.
5 \ /3'
55. (био-99.5) -;1 1 U ( 1; - .
72. (геогр-99.1) 5.
73. (геогр-99.2) 2 4- у/3
74. (геогр-99.3) 9:7.
Ответы к § 19. Задачи последних лет.
197
1 V2
75. (геогр-99.4) ±~;± —.
о о
76. (псих-99.1) -)•
77. (псих-99.2) 7log* .
78. (±у 4-2тгп; (-1)*-+ тгА:),
(, 7Г . г, 7Г _ \
±— 4- 2тгп; (—1)*— + irk) ,
п, к G Z.
89. (филол-99.5) z — —— 4- irk,
X Lt
тг irk
т/=4-—+ тгп, к,пЕ/.
90. тгп, n,keZ.
4
3 х/5
91. (физ-98(1).2) - 4- — •
Lt X V
92. (физ-98(1).3) (0;| )U(4;4-oo).
\ « /
79. (псих-99.4) р = 9; [—1; 3].
93. (физ-98(1).5) (1,1).
/5 6
80. (псих-99.6) а £ I —; — .
\Х X Хо
94. (физ-98(1).8)
81.
82.
83.
(соц-99.1)
(соц-99.2) Первый член равен
1 или 4, разность равна — - .
5
(соц-99.4) Сначала следует вы-
ступить в газете, а затем в
любом порядке 2 раза по ра-
дио и 1 раз на телевидении.
84. (-оо; -4) U {0; 2} U (4; +оо).
85. (—оо; —1] U {0} U (2; 4-оо).
2
86. (филол-99.1) 106- км.
О
+ тг 4- 2тгп,
88.
arcsin
п G Z.
тг 1 тгк
95. - 4- тгп, -arctg2 4- —,
Lt О О
п, к Е Z.
96. (-оо;-2 4-2ч/3)и(2г/2;4-оо).
97. (физ-98(2).3) 3.
98. (физ-98(2).5) [0; 1).
99. (физ-98(2).7) а < \/2.
тг irk , „
100. — 4-тгп, —-, n,kEZ.
2 5
101. (физ-98.2) 4; 8.
3
102. (физ-98.3) х < -.
103. (физ-98.5) (-1,1).
104. (физ-98.7) При 0 < а < 1
5
® < loga ;
о — а
при 1 < а < 3
198
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. АЛГЕБРА.
5 5
1О&, - < г < loga о-------
3 3 — a
119. (физ-99.8) 2) При a = 1.
1) При a G (0; ) 1 < |i| < 3°;
\ " J
106. (физ-99(1).2) 3.
107. (физ-99(1).3) (5;2 + У17)-
108. (физ-99(1).5) (1, | ).
109. (физ-99(1).7)
При a € (0; 1) U (1; 3] х = —а — 3;
при О 3 — —Cl 3,
ПО. тгп, ±—-f-2тгЛ, п, k Е Z.
и
111. (физ-99(2).2)
112. (физ-99(2).3) (—1; 0).
ИЗ. (физ-99(2).5) (1,3).
114. (физ-99(2).7) —2; 1.
116. (—оо;3) U ( —;+оо ).
\ о /
117. (физ-99.4) (log23, logs 2).
118. (физ-99.5) л/5.