/
Текст
THE QUARK MODEL
J.J.J. Kokkedee
University of Nijmegen,
The Netherlands
W. A. BENJAMIN, INC.
NEW YORK • AMSTERDAM
19 6 9
Я. Коккедэ
Теория
кварков
Перевод
А. С. ЖУКАРЕВА
Под редакцией
Д. ИВАНЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971
УДК 530.145+539.12
Книга голландского теоретика Я. Коккедэ посвя-
посвящена одной из самых интересных современных теорий
строения материи из субчастиц — кварков. Несмотря
на отсутствие прямого экспериментального подтвер-
подтверждения существования кварков, эта теория привела
ко многим новым результатам и предсказаниям, про-
проверенным опытом. В частности, это касается гипотезы
строения так называемых адронов (мезонов и барио-
нов) из кварков. В книге ясно и сжато излагаются
основные представления теории кварков. В дополне-
дополнениях приведены главные оригинальные работы, начи-
начиная с заметки Гелл^Манна, в которой впервые было
высказано предположение о существовании кварков.
Книга рассчитана на широкий круг физиков,
работающих в области теории элементарных частиц,
а также на аспирантов и студентов, специализирую-
специализирующихся по теоретической физике.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-2
43-71
Вступительная статья
ЭВОЛЮЦИЯ МОДЕЛИ КВАРКОВ
Д. Иваненко
I. Унитарная симметрия и кварки
§ 1. Введение
Предложенная Гелл-Манном и Цвейгом в 1964 г.
гипотеза субчастиц — кварков (q), из которых предпола-
предполагаются построенными все сильно взаимодействующие
частицы (адроны), т. е. барионы, мезоны и их возбужден-
возбужденные состояния — резононы, мгновенно завоевала огром-
огромную популярность и вызвала многие сотни работ, большое
число обзоров и раппортерских докладов на конферен-
конференциях, подверглась философскому анализу и перекочевала
в популярную литературу. Несомненно, это объясняется
в основном следующими причинами: а) открытие примерно
30 элементарных частиц, а затем многих десятков резо-
нонов обострило потребность отыскания немногих основ-
основных частиц или субчастиц, прежде всего для адронов;
в этом отношении модель мезона, составленного из кварка
и антикварка (qq), и модель бариона, представляющего
собой комбинацию трех кварков qqq, отвечала глубочай-
глубочайшей многовековой атомистической тенденции; б) матема-
математическая формулировка первоначального варианта модели
кварков, основанная на унитарной симметрии SU C),
весьма проста и допускает ряд довольно очевидных обоб-
обобщений, прежде всего учет спина, что приводит к группе
SU F) (о трудностях и усложнениях речь будет идти
ниже); в) главная причина, конечно, заключается в том,
что на основе наглядных предположений удалось понять
классификацию адронов, пояснить и впервые рассчитать
множество реакций, магнитных моментов и констант
связи.
За истекшие 6 лет модель кварков прочно вошла в фи-,
зику, хотя сами кварки до сих пор открыть не удалось;
6 Д. Иваненко
ныне острота интереса к кваркам спала, дискуссии вокруг
релятивизации S U F) затихли, уступив место идеям
дуальности, новейшей гипотезе «партонов» и другим. Вме-
Вместе с тем, отойдя, так сказать, несколько в сторону,
теория кварков закрепила свои позиции, и наряду со спе-
специальными статьями, посвященными кваркам, модель
кварков используется (менее явно) буквально во всех
книгах, посвященных элементарным частицам, симмет-
риям, токам, применениям теории групп к частицам,
фигурирует в докладах и обзорах на всех конференциях
по физике высоких энергий.
Предлагаемая советскому читателю относительно
небольшая монография голландского теоретика профес-
профессора Якобуса Жана Жака Коккедэ отвечает имеющейся
потребности в книге, специально посвященной кваркам.
Достоинством книги является ясное физическое изложение
основ кварковой модели и ее главных приложений, кото-
которому предпослано краткое математическое введение, по-
посвященное унитарной симметрии. Коккедэ рассматривает
низшие и ближайшие возбужденные состояния мезонов
и барионов, магнитные моменты, процессы рассеяния
и аннигиляции, убедительно трактуя их с помощью
кварков.
Вместе с тем согласно стилю удачной серии «Фронтовые
проблемы физики» (редактор Пайнс), в которой опублико-
опубликована книга Коккедз, в ней дается в виде дополнений пере-
перепечатка ряда оригинальных статей Гелл-Манна, Далица
и других. По этим статьям читатель может войти в круг
живых дискуссий и трудностей теории. Тем самым книга
Коккедэ будет полезна широкому кругу читателей, как
стремящихся впервые более серьезно ознакомиться с тео-
теорией кварков, так и желающих более подробно проанали-
проанализировать детали. Книга и дополнения могут дать полез-
полезный материал для студенческих и аспирантских докладов.
Развитие физики последних лет побудило нас несколь-
несколько изменить содержание дополнений. Во-первых, вклю-
включены новая статья Коккедэ (по рекомендации автора),
где рассматривается дуальность, и обзор Трефила, ана-
анализирующего выход за рамки первоначального предполо-
предположения об аддитивности амплитуд рассеяния кварков
(и тем самым независимости кварков в сталкивающихся
Эволюция модели кварков
адронах). Статья Далица в оригинальном издании по пред-
предложению самого автора заменена на другую его статью, •
дающую удачное сжатое изложение построения семейств
адронов из кварков. Ряд статей, частично уже устаревших,
опущен; опущены также статьи советских авторов, кото-
которые опубликованы в доступных советскому читателю
изданиях.
Необходимо указать, что некоторые новые идеи —
магнитные кварки, нелинейные кварки, кварки в звездах,
«партоны», связь кварков с дуальностью и экзотичностью,
не нашли отражения в книге, написанной около двух лет
назад; эти вопросы кратко изложены в настоящей статье,
в которой дано также самое сжатое изложение истории
вопроса и приведен дополнительный список литературы.
§ 2. Унитарная симметрия
Ближняя предыстория кварков связана с идеей скон-
скончавшегося в октябре 1970 г. японского физика Сакаты,
предложившего строить адроны из триплета реальных
частиц р, п, А и их античастиц, что развивало догадку
Ферми — Янга о возможности построить я-мезоны, допу-
допуская какие-то сверхсильные взаимодействия между пара-
парами нуклонов и антинуклонов. Модель Сакаты позволила
ориентироваться во многих реакциях, и ее алгебраическая
структура привела к группе SU C). Группа S U B) X Y,
отвечающая сохранению изоспина и гиперзаряда
(д'Эспанья — Прентки), которая ранее также оказалась
полезной, является подгруппой SU C); группа изоспина
SU B) была введена в ядерную физику Гейзенбергом
еще в 1932 г. Однако, когда выяснилось, что весь октет
барионов (р, п, А, 2+, 2°, 2~, Н~, Н°) обладает одной
и той же относительной четностью (+1) и что все его
компоненты по существу подобны друг другу, модель
Сакаты пришлось оставить. Существенно при этом, что
внимание было вновь обращено на различные группы
и алгебры Ли.
Напомним, что Киллинг и Картан классифицировали
все простые компактные связные группы Ли в виде бес-
бесконечных серий классических групп и соответствую-
соответствующих алгебр: Ah Bh Ch Dt {A^. SL (I + 1) — группа
8 • Д. Иваненко
линейных преобразований, ее компактная подгруппа
. SU (I + 1) — группа унимодулярных унитарных преоб-
преобразований в комплексном пространстве (I + 1) измере-
измерений; В;: SO B1 + 1) — группа ортогональных преобра-
преобразований в вещественном пространстве B1 -\- 1) измерений;
Cf. Sp B1) — симплектическая группа в комплексном
2^-мерном пространстве; Df. SO Bri) — группа ортого-
ортогональных преобразований в вещественном 2^-пространстве};
к ним добавляются исключительные группы G2, Fk, I 6,
Еъ Es.
В отношении наилучших кандидатов для классифи-
классификации адронов даже еще в 1962 г. конкурировали «вось-
«восьмеричный путь», т. е. SU C), ведущая к представлениям
{3}, {8},' {10} (Гелл-Манн, Нееман) и G2 (рашгортер-
ский доклад д'Эспанья на 11-й Рочестерской конференции
1962 г.). Решающим аргументом в пользу признания глав-
главной роли за SU C) явилось предсказание свойств части-
частицы Q~, заполнившей последнее вакантное место в деку-
плете и открытой в начале 1964 г. Поскольку свободным
оставался триплет, это естественно привело к гипотезе
триплета кварков, но уже состоящего не из реальных
частиц, а из субчастиц и субантичастиц q и q (прапро-
тон р', пранейтрон п', пралямбда-гиперонД') с барионным
зарядом В = V3 и электрическими зарядами ±V3, ±2/з-
Мезоны строятся из различных пар qq, барионы — из тро-
троек qqq (или qqq).
Заметим, что другая линия единой теории связана
с предложением де Бройля «сливать» волновые функции
частиц спина 1/2, получая при некотором дополнительном
условии волновые функции высшего спина (примером
является попытка построения нейтринной теории света —
Йордан, Крониг, Соколов). В известной мере развитием
этого направления явилось предложение положить в осно-
основу нелинейное спинорное уравнение, где нелинейный
добавок к уравнению Дирака (или Вейля) описывает
самодействие и приводит к реальным частицам, как воз-
возбужденным состояниям фундаментального нелинейного
спинорного поля (Гейзенберг — Дюрр, Иваненко —
Бродский — Курдгелаидзе — Наумов — Мирианашвили).
Ниже мы уделим внимание этой боковой линии, которая,
Эволюция модели кварков
несмотря на глубокий подход и ряд интересных резуль-
результатов, стоит еще относительно далеко Йт главных направ-
направлений теории элементарных частиц.
Следующим этапом теории адронов явилась статиче-
статическая группа SU F), в которой комбинировались уни-
унитарный и обычный спины, подобно тому как в теории
ядра Вигнер использовал SU D), комбинируя изоспин
и обычный спин (Пайс, Гюрши, 1964). Отметим сразу же,
что в основе всей теории кварков в конце концов лежит
группа S U F) X О C), где О C) учитывает основное
и возбужденные состояния кварков (L = 0, 1, . . .).
Иногда вместо SU F) берут U F), учитывая группу
сохранения барионного числа U A), что не меняет сути
дела. Можно также взять за основу U F) X U F) X
X О C), где вторая группа U F), или SU F), относится
к антибарионам.
Довольно быстро были предложены варианты целочис-
целочисленных (не дробных) зарядов, с тремя триплетами квар-
кварков, а также трактовка кварков согласно парастатистике,
допускающей, наглядно говоря, несколько фермионов
в одном и том же состоянии.
Уже на зтом первом этапе наряду с довольно большими
успехами группы SU F) [мы не выделяем подэтапа,
связанного с одной SU C)] в смысле размещения барио-
нов по мультиплетам, расчета магнитных моментов, объяс-
объяснения смеси (о — ф), установления соотношений между
константами связи, сечениями реакций и ширинами,
установления массовых формул Окубо и др. (при допуще-
допущениях нарушения основной унитарной симметрии) и дру-
другими достижениями выяснился ряд трудностей принци-
принципиального характера и ряд ошибочных конкретных
выводов.
В общем прекрасном согласии с опытом находится
вывод в кварковой модели значения 3/2 для отноше-
отношения магнитных моментов ц протона и нейтрона (при
допущении отсутствия аномальных моментов у кварков,
или их пропорциональности дираковским магнитным
моментам). К тому же результату приводит коллинеарная
симметрия SU F)w, фиксирующая значение D/F. С дру-
другой стороны, SU C) не дает связи магнитных моментов
р и п ввиду наличия двух независимых D- и F-связей.
10 Д. Иваненко
Дальнейшее уточнение значений магнитных моментов
р, барионов производилось при помощи алгебры токов
и модели кварков, в частности довольно простым форма-
формализмом Курдгелаидзе (см. ниже).
Интересны также попытки расчетов магнитных момен-
моментов самих кварков. При зтом неясно, использовать ли
эффективную или свободную массу, так как для дираков-
ской частицы внешнее скалярное поле непосредственно
уменьшает значения массы, векторное же поле действует
подобно электромагнитному, приводя к значению ц,
не зависящему от потенциала.
Заметим, что в качестве весьма предварительной идеи
обсуждалась возможность лептонных кварков, поскольку
не исключена возможность применения к ним SU (З)-сим-
метрии. В самом деле, поскольку в теории адронов можно
произвести классификацию, заменяя /, Y -> /, В (Сака-
та, Наумов и де Чет), то заманчиво классифицировать
лептоны, опираясь на их спин / и лептонное число L
вместо барионного числа (Иваненко, Наумов, Старцев,
Фролов, Курсуноглу). Маршак проводит аналогию между
тремя лептонами и триплетом кварков, беря за основу
нелинейную спинорную теорию безмассовых кварков
(А — F-вариант).
§ 3. Попытки релятивизации
Следующим этапом, характерным для 1965—1966 гг.,
явилось множество предложений релятивизации стати-
статической группы SU F) и попытки использовать другие
более сложные группы. Комбинация SU C) с дираков-
скими матрицами (а не с паулиевскими) приводит к алгеб-
алгебре U A2) = U F, 6) вместо U F).
Хотя SU (б)-теория дала ряд хороших физических
результатов, однако существенным ее недостатком являет-
является отсутствие релятивистской инвариантности. Попытки
релятивизации группы SU F) отчасти были связаны
со стремлением исправить некоторые ошибочные след-
следствия SU (б)-теории [например: запрет распадов р -> 2я
(s = 1 _> s = 0), N* (s = 3/2) -> Nn (s = 1/2, 0)].
Для этой цели, в частности, было предложено видо-
видоизменение спиновой независимости в сильных взаимо-
Эволюция модели кварков 11
действиях: Липкин предложил вместо обычного 5-спина
использовать PF-спин. В генераторах группы SU F)
производилась соответствующая замена S -> W. Полу-
Полученная таким образом коллинеарная группа SU (Q)w
является подгруппой SU F, 6); SU (б^-теория устра-
устранила ошибку в правилах отбора, найденных на основе
группы SU F), и привела к ряду новых правил отбора.
Наряду с группой SU F) рассматривались и другие кол-
линеарные группы.
Несмотря на ряд реальных эмпирических успехов кол-
линеарной группы, ее узкий характер, позволяющий
описывать только процессы рассеяния «вперед — назад»,
очевиден. Поэтому не имеет смысла • обсуждать в этой
связи вопросы унитарности, требующие, очевидно, вклю-
включения поперечных импульсов.
В качестве одного из релятивистских обобщений груп-
группы SU F) была предложена группа SU F, 6), генерато-
генераторами которой являются 15 матриц Дирака ]> (ц =
= 1, 2, . . ., 15), 8 матриц Гелл-Манна X(i) (i = 1, 2, ...
. . ., 8) и их произведения Т^ХО>. Генераторы уд (обыч-
(обычные матрицы Дирака) образуют алгебру группы SU B, 2)
(или локально изоморфную алгебру конформной группы),
которая является некомпактной группой. Группа SU F, 6)
является некомпактной 143-параметрической группой,
оставляющей инвариантной билинейную форму CF+y01P),
где W = Waa(a = 1, 2, 3, а = 1, 2, 3, 4) - вектор фун-
фундаментального представления SU F, 6). Другим реля-
релятивистским обобщением группы SU F) явилась неком-
некомпактная группа SL F, С).
Группы SU F, 6) и SL F, С) содержат подгруппу
SL B, С), локально изоморфную однородной группе
Лоренца, но действующую только на спиновые^индексы,
не затрагивая пространственных координат. В этом смыс-
смысле можно говорить об их релятивистской инвариантности.
Таким образом, попытки релятивизации группы SU F)
приводят к рассмотрению некомпактных групп, что ока-
оказалось связанным с нарушением унитарности ^-матрицы.
Кроме того, так как группы SU F, 6) и SL F, С) дей-
действуют только на спинорные и унитарные индексы, из гене-
генераторов этих групп нельзя построить все физические
наблюдаемые. Было бы естественно предположить, что
12 Д. Иваненко
группа G динамической симметрии элементарных частиц
должна содержать в качестве подгруппы группу Пуан-
Пуанкаре Р. Однако в этом случае, как показал О'Рэфертэ,
частицы одного мультиплета группы G должны обладать
одинаковой массой, если группа G конечного порядка.
В этом направлении в качестве релятивистских обобщений
группы SU F) рассматривалось множество разнообраз-
разнообразных групп, в том числе
= PX SL F, C) = SLB, С) х {Г4 ® SL(Q, С)}
6)=5XB, C)x{T4<g>t/F, 6)},
и
где X обозначает .полупрямое произведение, а ® —
прямое произведение групп. Использовалась также орто-
ортогональная группа О D, 2) (Барут, Клейнерт). Возможно,
описание дискретного спектра масс элементарных частиц
потребует рассмотрения бесконечномерных групп. Однако
указанные группы, как и многие аналогичные другие
группы, практически не дали никаких физических резуль-
результатов.
Из предложений последнего года укажем на алгебру,
порождающую спектр U C, 1) X SO C, 2) (Курсуноглу),
схема которого обобщает спектр осциллятора и атома
водорода.
§ 4. Классификация адронов
Ввиду фактической неудачи релятивизации группы
SU F) в последнее время большинство авторов применяют
классификацию частиц с помощью кварковой модели,
построенной на основной унитарносимметричной группе
с учетом спина и вращательных возбуждений кварков.
Митра, Липкин и др. применяют группу SU F) ® О C);
в другой записи имеем SU F) ® SL B, С)ь (Нееман).
SL B, C)L соответствует реджевским возбуждениям, где
L обозначает компактную подгруппу, приводящую к / =
= L + S (S есть SU (б)-спин); для барионов Р = (—1)L,
для мезонов Р = (—l)^1. Следует отметить, что повы-
повышающим оператором вдоль траектории является Jpc —
— 1 . Это обстоятельство не было замечено в попытках
релятивизации SU F), предпринятых в 1965—1966 гг..
Эволюция модели кварков 13
когда SL BC)L отождествлялась с реальной группой
Лоренца, хотя для последней характерно Jpc = 1~+.
Наконец, применяется запись С/ F) <8> ?7 F) ® О C),
по существу эквивалентная предыдущим; в нереляти-
нерелятивистском случае вторая группа U F) относится к незави-
независимо преобразующимся антикваркам. Поэтому, например,
Фройнд и др. записывают мультиплет в виде E6, 1), где
1 относится к единичному представлению группы для
антибарионов.
Отметим еще две новые феноменологические точки
зрения. Митра в большой серии работ предлагает уста-
установить феноменологическую схему для описания связи
резононов с нормальными барионами семейства 56+ и мезо-
мезонами семейства 36~, беря за основу классификацию
SU F) X О C), наряду с радиальными возбуждениями
кварков; при этом мезоны являются нонетами для каж-
каждого значения Jc = (L ± 1)+, L+ и L~. С другой стороны,
взаимодействие целесообразно описывать при помощи
киральной группы S U C) X SU C). Опираясь на квар-
ковую модель, Митра устанавливает алгебраическую
структуру барионных токов и, широко используя эмпи-
эмпирические данные, подбирает разумную структуру форм-
факторов. По его мнению, полученные формфакторы удо-
удовлетворяют общим принципам (лоренц-инвариантность,
кроссинг-симметрия, универсальность для последователь-
последовательных резонансов, лежащих на одной траектории Редже)
и допускают благоприятное сравнение с экспериментом.
Тюан со своей стороны предлагает считать SU C)
в некотором смысле равноправной симметрией вместе
с некиральной группой SU B) ® SU B), поскольку
последняя способна не только воспроизвести спектр адро-
нов, но и объяснить ряд тонких пунктов типа расщепления
Аг. В поддержку этой трактовки приводится аналогия
с описанием атомных электронов приближенными схе-
схемами LS- или //-связей и описанием нуклонов в оболочеч-
ной или коллективной модели. Он обсуждает также сом-
сомнительный случай Z* A900), который наряду с Z* A865)
может соответствовать представлению (V2, —V2).
В недавнем обзоре 1970 г. Липкин справедливо под-
подчеркивает, что современная физика элементарных частиц
делится на две части. В одной изучается поведение ампли-
14 Д. Иваненко
туды рассеяния, как функции мандельстамовских кине-
кинематических переменных s, t, и, используется формализм
Редже и т. д. (при фиксированных значениях изоспина,
барионного числа, гиперзаряда /, В, Y). С другой частью
связаны успехи модели кварков, где, наоборот, исследуют-
исследуются симметрии в зависимости от величин /, В, Y. Песси-
Пессимисты могут утверждать, что кварки обладают огромной
массой, скажем 1012 Гэв, и долго не будут открыты, так
что их массы и константы связи будут произвольными
параметрами теории. Оптимисты же применяют кварки
в простейшей, «наивной» форме модели. Можно надеяться,
что сверхтяжелые кварки окажутся согласованными с ред-
жистикой, хотя в области высоких энергий или исследо-
исследования структуры частиц можно встретиться с неожидан-
неожиданностями.
Фройнд, руководитель дискуссии по моделям кварков
на конференции Американского физического общества
по физике высоких энергий в конце августа 1969 г. (Боул-
(Боулдер, Колорадо), отводит возражения Джексона против
SU F)- или коллинеарной SU (бу^-симметрии, замечая,
что при сравнении с опытом неявно делается предположе-
предположение о равенстве масс я-, г\-, р-, со-мезонов, что не имеет
места. Например, коллинеарная симметрия предсказывала
для отношения матричных элементов реакций
Л
Х'
тогда как эмпирическое значение левой части будет поряд-
порядка 2—3. При низких энергиях @,5—1 Гэв) речь идет
о периферическом характере процессов, т. е. об обмене
одним мезоном (в числителе п, 1), р, ш, в знаменателе
п, р). По-видимому, SU (Q)w хороша для вершин, но не-
непригодна для непосредственной трактовки реакций четы-
четырех тел (в конце концов, группа SU C) тоже непосред-
непосредственно не годится для случая четырех тел, ведь разность
масс К — п отнюдь не мала).
С другой стороны, следует напомнить еще раз, что
кварковая классификация адронов, по существу основан-
основанная на компактной группе U F) X U F) X О C), весьма
удачна. Низшие состояния (Р — -\- I) заполняют как
Эволюция модели кварков
15
раз 56 барионов E6, 1; L = 0+). Даже один-единственный
«лишний» барион, открытый в области ниже 1400 Мэв,
мог бы испортить всю схему! Не меньшее впечатление
производит заполнение состояний барионов с L = 1
G0, 1; L = 1") в полном соответствии с предсказаниями
U F) X U F) X О (З)-симметрии, как и таблицы мезонов
F, 6, L = 0+), F, 6, Z, = 1").
Таблица
Классификация барионов в кварковой модели
(S[7F); L)
E6; ? = 0)
G0; ? = 1)
E6; L=2)
2s+l{SUC))Jp
2{8}1/2t
4{10}3/2+
2{l}l/2-
2{8}1/2_
4{8},/2_
2/ AC\ 1
(_ J.UJ ] /л—
2{i}3/2-
2(8}3/2-
2{Ю}з/2-
4f8>5/2-
4{10}1/2+
*{1оГ
2{8}6J
4{10M/2+
Частицы
Л? (939), Л A115),
ДA236), 2A385),
Л A405)
Л? A535), Л A670)
Л/1 A700), ...
ДA650), 2A750),
Л A520)
Л/1 A520), Л A690),
Л? B040) (?), ...
ДA670), ...
Л? A670), Л A830)
Д A910), ...
Л?A860), ...
Л? A688), Л A815)
ДA890), ...
Л A950), 2B030)
2A190), 8A314)
2A530), Q-A672)
¦ • *
2A670), ...
2A765), ...
2A915), ...
16 Д. Иваненко
II. Новые идеи
§ 5. Дуальность
Перейдем теперь к новым идеям в физике адронов,
примыкающим к модели кварков. Первый важный пункт
относится к кварковой трактовке дуальности, которая
в последнее время приобрела большое значение, в част-
частности, в связи с моделью Венециано. Коротко говоря,
она утверждает, что для получения полной амплитуды
достаточно учитывать один канал, т. е. либо полюса
в s-канале, либо полюса в ^-канале (без суммирования
вкладов всех диаграмм).
Кварковая (или графическая) трактовка дуальности
состоит в следующем. В графике рассеяния рисуем линии
__\ у А. Фиг. 1. Дуальная диаграмма,
_y j T^ соответствующаямезон-барион-
I ^ » " ному рассеянию вперед.
в * ! *~в
кварков (линии антикварков имеют обратное направле-
направление), из которых составлены сталкивающиеся адроны;
каждая линия (типа р', п', X') сохраняется, не переходя
в другую; внешним адронам сопоставляются три линии
для барионов и две линии для мезонов; в промежуточных
состояниях (полюсах) имеются только две или три линии.
Тогда, например, МВ-рассеяние вперед изображается,
как показано на фиг. 1.
В частном случае K+N -*- К°Р или К~Р -*- K°N полу-
получаются предсказания типа
Невозможность построения диаграммы должна означать
равенство нулю сечения (например, nN -*¦ cpiV и т. д.).
Запрещен также процесс п~р -*¦ К+К~п, в котором не вы-
выполняется дуальность.
Кварки помогают также уяснить связь постоянства
сечения рассеяния при высоких энергиях с отсутствием
Эволюция модели кварков 17
низколежащих резононов. При двухкомпонентной трак-
трактовке мнимой части амплитуды рассеяния вперед распад
барионного резонона описывается как: 1) образование
пары qq; 2) комбинация q с одним из q в барионе, что
приводит к конечному мезону; 3) объединение другого q
с кварком, бывшим «пассивным зрителем» в барионе,
приводящее к конечному бариону. Эта трактовка (Лип-
кин) оказывается математически эквивалентной прежней
модели распадов, в которой мезон испускался подобно
«кванту» единичным кварком.
Как подчеркнули киевские теоретики (Шелест, Кобуш-
кин и др.), при допущении факторизации амплитуд учет
спинов кварков при неупругом рассеянии, в частности
амплитуды с переворотом спина, является существенным и
приводит к соотношениям между сечениями вперед и назад
и т. д., согласующимся с опытом.
Особенно эффективным применение подобных «кварко-
вых дуальных диаграмм» оказалось при анализе много-
хвосток и в формализме модели Венециано.
§ 6. Экзотика
Коснемся теперь проблемы «экзотических» состояний,
которой в последнее время посвящено много работ; эти
состояния обладают квантовыми числами, отсутствующи-
отсутствующими в простейших кварковых системах qq, qqq. Различают
два типа экзотики: 1) экзотические значения /, В, Y
и 2) нестранные мезоны с Jpc, отсутствующими в ад-си-
ад-системах, а именно Jpc = 0~~, или состояния с аномаль-
аномальным зарядовым сопряжением Р = (—1)J, нечетное СР.
Модель Гелл-Манна — Цвейга запрещает только первый
тип. В качестве простейшего примера предсказывается
1 ~+-изовекторный мезон, распадающийся на ря, но не на
К К (дочерняя траектория Аг). Реджистика совместима
с отсутствием экзотических состояний типа A), но экзо-
экзотические состояния типа B) могут появляться в виде
дочерних траекторий.
В сущности никакого обоснования запрета экзотиче-
экзотических состояний нет; этот запрет понятен только на базе
кварковой модели, приводящей к синглетам, октетам
2-716
18 ' Д. Иваненко
и декуплетам группы SU C), т. е. частицам заряда О, 1, 2
со странностями 0, —1, —2, —3, изоспиномО, 1/2, 1 и 3/2.
Без кварков понятие экзотических состояний вообще
теряет смысл. Интересная трактовка т]л-рассеяния на базе
дуальности и запрета экзотики дана Швиммером.
Постулирование отсутствия экзотики во всех каналах
позволяет наложить условие на амплитуды недифракцион-
недифракционного рассеяния (Харари — Рознер). Если прямой канал
является экзотическим, то амплитуда должна быть чисто
вещественной. С другой стороны, вещественная часть
амплитуды строится из резонансов в кросс-каналах,
поэтому амплитуда должна обращаться в нуль, если резо-
нансы будут экзотическими.
Условие отсутствия экзотики является очень жестким
и сильно ограничивает число возможных диаграмм
в реакциях. Например в случае пятихвосток системы
7Г
Фиг. 2. Дуальная диаграмма,
соответствующая пятихвосткам
системы
(К+р-+К°л+р, К-р-+рК°п- и т. д.) полу-
получается диаграмма, показанная на фиг. 2. Для характе-
характеристики данной ситуации Коба и Нильсен ввели новое
квантовое число «экзотичность» в = г/3 (<? + <?) +
+1/3min(B> Q) — 1, где Q и Q — числа кварков и анти-
антикварков в адроне. Тогда для обычных адронных состоя-
состояний типа мезонов qq и барионов (qqq, qqq), как легко про-
проверить, экзотичность равна нулю. Однако, например,
состояния типа адрон + виртуальный мезон (бывшая
«шуба», или «облако») (qqqqq) являются экзотическими
с в = 1.
Принцип дуальности вместе с допущением отсутствия
экзотических состояний рассматривает также Коккедз
Эволюция модели кварков
19
(дополнение 8). Коротко говоря, используется соотно-
соотно<Im Aspe3 (в, t)) = Im АЬецте {s, t),
шение
вытекающее из основной идеи дуальности, связывающее
сумму полюсов в прямом s-канале с суммой обменов ред-
жевских полюсов в кроссе-канале; добавляя сюда тре-
требование отсутствия экзотических резонансов, Коккедэ
исследует мезонные траектории, построенные на базе
кварков. _
Как подчеркнул Рознер, в случае ЯВ-рассеяния дуаль-
дуальность и отсутствие экзотических состояний несовместимы.
Вместе с тем существование экзотических состояний
не мешает успешным предсказаниям на базе принципа
Фиг. 3. Частица Х++ описы-
описывается четырьмя кварковыми
линиями. Это указывает на
экзотику.
N
дуальности, если спины этих состояний будут малыми
для наблюдаемых масс (/ ~ а'М2 — N, N = 2, 3, . . .,
а' = Bmp)rl — наклон ведущих реджевских траекторий).
В частности, это относится к еще не установленным"
окончательно Z* -состояниям.
Некоторые экзотические состояния необходимы хотя
бы для приближенного выполнения условий дуальности
в ЯВ-канале. Они могут находиться уже в области
1,5—2 Гэв, и их следует искать в рассеянии назад при
процессах MB, поскольку за их рождение ответственны
те же обменные процессы, что и за неэкзотические резо-
нансы (Якоб — Вейерс). Иначе говоря, нет оснований
ожидать подавления рождения экзотических резононов
по сравнению с «обычными» векторными или тензорными
мезонами.
С другой стороны, Коба — Нильсен считают перспек-
перспективными поиски экзотических мезонов путем наблюдения
2*
20 Д- Иваненко
их парного рождения, аналогично странным частицам,
поскольку константа связи подобной пары с незкзотиче-
ским полем будет иметь нормальный порядок величины.
Примером экзотического состояния является состояние
Х++ (л+р -»- X+W), которое может принадлежать к муль-
типлетам {27} или {10} (фиг. 3).
§ 7. Партоны
Обратимся теперь к новейшим экспериментам по глу-
глубокому неупругому рассеянию электронов высокой энер-
энергии на протонах. При помощи Станфордского линейного
ускорителя SLAC Панофский исследовал рассеяние на
углы 6 и 10° при энергии электронов до 17 Гае. Подобные
эксперименты продолжают классическую традицию иссле-
исследования структуры при помощи частиц все более высоких
энергий. В классических экспериментах Резерфорда была
определена структура атома и открыто ядро. Эффективное
сечение рассеяния Резерфорда — Мотта имеет вид
da
\ ей / Мотт
sin* 9/2
Эксперименты Хофстадтера в том же Станфордском уни-
университете позволили определить электромагнитные разме-
размеры протона @,8 ферми) путем рассеяния электронов с энер-
энергиями в сотни мегаэлектронвольт. Новые опыты призваны
уточнить структуру протона и обнаружить его возможные
составные части (типа кварков).
Согласно общей теории, дифференциальное эффектив-
эффективное сечение неупругого рассеяния электронов, при кото-
котором детектируется только один электрон, имеет вид
dQdE'
Формфакторы (структурные функции) Wi и W2 зави-
зависят от свойств мишени и могут быть представлены в виде
функции переданного импульса (f = 2ЕЕ' A — cos 9)
и потери энергии электронов v = Е — Е'\
д>о,
Эволюция модели кварков 21
где R = os/oT — отношение сечений фотопоглощения про-
продольных и виртуальных поперечных фотонов.
Важным шагом явилось предположение Бьоркена, что
при высоких энергиях имеет место масштабная инвариант-
инвариантность в том смысле, что Wz = A/v)' F (со) оказывается
универсальной функцией только отношения со = 2Mv/q ,
а не q2 и v в отдельности.
Эксперименты показали, что: 1) при больших значе-
значениях q2 и v величина vWz действительно становится функ-
функцией только безразмерной переменной v/q2, 2) при данном
значении полной энергии Wz медленно убывает с ростом
Е в резком отличии от поведения упругих формфакторов,
3) при больших значениях со величина vWz оказывается
примерно постоянной.
Эти фундаментальные эксперименты 1968—1969 гг.
возбудили очень большой интерес и привели к разнооб-
разнообразным попыткам объяснения. Не останавливаясь на
не встречающих, по-видимому, особой симпатии интерпре-
интерпретациях на базе прежних представлений (при помощи
алгебры токов или модели векторной доминантности
Сакураи и др.), поясним кратко новую гипотезу «парто-
нов»— некоторых точечных составных частей, из которых,
как предполагается, составлен про.тон. Природа партонов
еще неясна и в ряде отношений требует уточнения.
У Бьоркена и др. речь идет о кварках и парах qq типа
облака мезрнов. Кабиббо и др. говорят о пионах и каонах
в качестве партонов. Нильсен, развивая соображения
Бьоркена, считает партоны скалярными частицами с мас-
массами в несколько гигаэлектронвольт. Во всех расче-
расчетах существенным является признание очень большо-
большого или бесконечного моря виртуальных точечных пар-
партонов.
Не останавливаясь на деталях, укажем на типичные
расчеты Дрелла и др., использующих, как и другие
авторы, систему центра масс, в которой и электрон,
и протон являются ультрарелятивистскими частицами;
при этом взаимодействие можно трактовать как рез-
резкий импульс, в течение которого [составные части
протона (т. е. партоны) могут рассматриваться как
свободные.
22 Д. Иваненко
Исходим из фундаментального определения форм-
факторов
^ J (dx) e+i«* (р | /й (ж) /v @) | р> =
t <«¦, v) + ^ (р, - «-
х
где | р) — однонуклонное состояние с импульсом рц,
дг — импульс виртуального фотона, v = qp — передача
энергии. Подразумевается усреднение по спину нуклона
(учет спина произведен венгерскими физиками Гальфи
и др.)- Тогда, применяя «старомодный» метод возмущений,
существенно используя обрезание по поперечным
импульсам и переходя к «голым», или свободным, токам
при помощи «раздевания»
/„ (ж) = г7-1 @ /„ (ж) 17 (*),
где
t
-i j dTH,(x)])
+,
— oo
a Hi — известный гамильтониан взаимодействия нукло-
нуклонов и пионов, в конце концов асимптотически получаем
WVV = 4л2 ^ J (dx) e^x (Up \ /V (х) U @) | Up).
Эту формулу Дрелл считает основой партонной модели,
поскольку после разнообразных процедур и приближений
мы приходим к точечным токам.
Если отождествить партоны с кварками, то, как пока-
показали Бьоркен и Пачос, получается описание, качественно
согласующееся с экспериментальными данными. Китани
и Иоши, предположив дополнительно пуассоновское рас-
распределение партонов внутри адрона (при этом также
партоны отождествляются с кварками), получили очень
хорошее согласие с экспериментом.
Итак, начав с широкого обобщения формулы рассея-
рассеяния Резерфорда — Мотта для учета распределения заряда
неточечнойдмишени, мы в конце концов приходим к сумме
точечных сечений.
Эволюция модели кварков _23
Развивая партонную модель адронов, согласующуюся
с дуальностью, Нильсен и др. замечают, что адрон, воз-
возможно, скорее подобен капле жидкости; тем самым они
приближаются к моделям капли, предложенным из дру-
других соображений в разных вариантах (Хагедорн, Фройнд
и др., Вижье и др.). Вместе с тем это подводит нас к ста-
статистическим, термодинамическим моделям процессов при
высоких энергиях.
Недавние эксперименты М. Конверси и др. на встреч-
встречных пучках е+, е~ [накопительное кольцо установки
«Адоне» (Фраскати — Рим), область энергий 1,4—
2,4 Гэв], где исследовались процессы рассеяния, порожде-
порождения мюонов и адронов, наряду с новым подтверждением
квантовой электродинамики указывают на порождение
пар адронов (пионов и др.) в большем количестве, чем
ожидалось, что предварительно говорит в пользу «партон-
ной» структуры протона1).
§ 8. Некоторые новые направления
1. Нелинейные кварки
Обратим теперь внимание на перспективный, на наш
взгляд, вариант единой спинорной нелинейной теории,
учитывающей с самого начала унитарную симметрию
(Иваненко, Наумов, Курдгелаидзе, Маршак). Как извест-
известно, исходя из простейших нелинейных обобщений дира-
ковского (или вейлевского) спинорного уравнения чле-
членами типа W3 (Иваненко — Бродский) и применяя разум-
разумно обобщенные пропагаторы, позволяющие устранить
расходимость (Гейзенберг — Дюрр, в другом варианте
Наумов), удается получить массы основных барионов, как
возбужденных состояний первичного поля, а также ряд
констант адронной связи и значение зоммерфельдовской
постоянной тонкой структуры в примерном, но еще не точ-
точном согласии с опытом.
В частности, недавний подсчет дал значение а = Vus
(Наумов и Зао) с возможностью дальнейшего уточнения.
Таким образом, несомненно, мы имеем здесь новый глу-
1) Примечание в корректуре: Согласно личному сообщению
Панофского (июнь 1971 г.), новейшие эксперименты подтверждают
наличие «точечных» партонов внутри нуклонов.
24 Д- Иваненко
бокий подход к единой теории материи, в котором можно
ожидать также установления связей с гравитацией и кос-
космологией, поскольку при дальнейшей уточненной трак-
трактовке необходимо будет учесть вырождение основного,
вакуумного состояния (Гольдстон, Салам, Гейзенберг),
а его асимметрии, возможно, будут индуцироваться кос-
космологическими асимметриями [ось времени, обусловлен-
обусловленная расширением Вселенной, преимущественная концен-
концентрация барионов, а не античастиц, и другие (Иваненко —
Курдгелаидзе)].
Требуя помимо обычных групп еще унитарной инва-
инвариантности, приходим к трвхМ типам нелинейных вкладов;
разность скаляр—псевдоскаляр, вектор и псевдовектор.
В пользу векторного варианта говорят как общие сообра-
соображения (Маршак — Мукунда), так и более удовлетвори-
удовлетворительное согласие с опытом. Расчеты, проведенные еще
с гейзенберговским, а не обобщенным пропагатором,
привели после снятия вырождения вакуума по группе
SU C) к расщеплению массы фундаментального кварко-
вого триплета, причем масса Я-кварка оказалась при-
примерно на 22% больше массы нуклонного кварка (Наумов)
в очень хорошем согласии с прежней эмпирической оцен-
оценкой Цвейга. Предварительно было снято вырождение
вакуума по киральности, что привело к конечной массе
триплета кварков, поскольку при полностью симметрич-
симметричном вакууме исходная масса первичного поля была равна
нулю.
В другом полуфеноменологическом варианте исходят
из нелинейного кваркового спинорного уравнения с мас-
массовым членом и затем, перемножив надлежащим образом
волновые функции, строят волновые функции мезонов
и барионов (три триплета!), применяя условия слияния
в духе де Бройля (Курдгелаидзе). Далее производят раз-
разложение по группе SU B), затем по SU C). Проверкой
подобного приема служит получение уравнений типа
Баргманна — Вигнера и Янга — Миллса (из теории ком-
компенсирующих полей) при отбрасывании нелинейных чле-
членов. Этим способом удается получить константы связи
и магнитные моменты барионов и мезонов. Часть резуль-
результатов точно воспроизводит предыдущие результаты, дру-
другие далеко выходят за их рамки (например, значение
Эволюция модели кварков 25
магнитного момента частицы Q~, оценки магнетизма квар-
кварков и т. д.). В рамках этого формализма удобно получить
массовые формулы и ввести члены, нарушающие СР-со-
хранение.
2. Магнитные кварки
Неожиданный вариант модели кварков возник недавно
в связи с усилением интереса к гипотезе Дирака магнит-
магнитных зарядов (монополей) g. Как известно, возрождая
на квантовой базе старые идеи об аналогиях между элек-
электричеством и магнетизмом, Дирак указал еще в 1931 г.
на возможность существования монополей, величина маг-
магнитного заряда g которых связана с электрическим заря-
зарядом е соотношением
nhc
в*=-2-
(в варианте Швингера справа стоит nhc). Таким образом,
связь монополей гораздо больше обычной электростати-
электростатической и превосходит ядерные связи. Во многих работах
были установлены обобщенные уравнения Максвелла
и выяснен ряд небезынтересных соотношений (Маврычев,
Шифф и др.)- На наш взгляд, речь может идти о наличии
общей инвариантности относительно дуальных преобра-
преобразований. Однако поиски монополей в космических
лучах и при помощи ускорителей пока не привели
к успеху.
Было предложено рассмотреть в качестве субчастиц
особые кварки, обладающие дробными магнитными заря-
зарядами, или же наряду с ними также кварковыми электри-
электрическими зарядами (дионы Швингера). Чтобы построить
из фермионных дионов (q') как мезоны, так и барионы,
нужно иметь монополи двух типов, например с магнит-
магнитными зарядами 2g0 и —gQ. Тогда мезоны образуются
из дионов и антидионов, а барионы из троек Bg0, —g0,
—go) (магнитная нейтральность в смысле ^-заряда). Элек-
Электрический заряд дионов выбирается в кварковом виде:
2е0, —е0, —е0, где е0 = Х1&. В нерелятивистском прибли-
приближении гамильтониан водорода или позитрониево-подобной
системы дион — антидион имеет вид
26 Д- Иваненко
Оценка дает большое значение массы Mq> « 6 Гэв, что
со своей стороны поясняет трудность отыскания дионов
при помощи ускорителей.
Далее Швингер указывает на возможность наличия
малого электрического дипольного момента у адрона
и на возможность объяснения нарушения СР-инвариант-
ности.
В другом варианте бесспиновых магнитноэлектриче-
ских кварков Барут подробно рассмотрел различные
составленные из них системы, причем, например, ван-
дерваальсовоподобные силы между адронами, обусловлен-
обусловленные парами (а не тройками) дионов, из которых в его моде-
модели составлен барион («диониум»), уподобляются ядерным
взаимодействиям. Несмотря на предварительный харак-
характер всех этих предложений и расчетов, они представляют
интерес по крайней мере как дальнейшее развитие идей
субчастиц разного типа.
3. Кварки в звездах
Интерес к кваркам не ограничивается физикой эле-
элементарных частиц, но связан также с космологией и астро-
астрофизикой.
Во-первых, речь идет о подсчетах правдоподобной кон-
концентрации кварков на нынешней стадии эволюции расши-
расширяющейся Вселенной, возникшей, согласно наиболее об-
общепринятому мнению, в результате какого-то «взрыва»
некоторого первичного сверхгорячего (Т ^ 1010 °К, а если
основную долю составляли кварки, то Т ~ 5-1013 °К)
сверхплотного (р > 1014) котла. Если трактовать кварки
подобно частицам, то в этом котле, вероятно, должна была
иметь место некоторая равновесная концентрация разных
сортов кварков и антикварков. Заманчиво считать пра-
частицы — кварки правеществом Вселенной, из которого
затем синтезировались с выделением огромной энергии
обычные протоны и нейтроны и т. д. Конечно, для трак-
трактовки подобных процессов необходимо учесть гравитацию,
согласно общей теории относительности. В результате
взрыва и охлаждения, учитывая, что один из сортов квар-
кварков является стабильным, следует ожидать концентрации
реликтовых кварков в настоящее время ря ~ 10~10 на нук-
Эволюция модели кварков 27
лон. В модели стационарной Вселенной (Хойл) кварки
возникали бы наряду с другими частицами; в дальнейшем
кварки могут возникать, в частности, за счет энергии
гравитационного коллапса или при столкновении частиц
высокой энергии. Кварковая плазма могла бы внести
вклад в реализацию не только первичного космологиче-
космологического, но и протозвездного вещества.
Во-вторых, сверхтяжелые кварки с необходимостью
должны находиться внутри плотных, массивных звезд
(гипотеза Иваненко — Курдгелаидзе, позднее развитая
Паччини, супругами Бербидж, Н. Итох, де Саббата
и др.). Аргументация здесь подобна той, которую приме-
применяли Амбарцумян и Саакян, предсказывая наличие гипе-
ронных, а не только нейтронных звезд. Кварковая плазма
внутри подобных звезд могла бы путем реакций вносить
вклад в излучение, например, квазаров, если их моде-
моделировать как сверхмассивные объекты с огромной до сих
пор не объясненной светимостью. Расчет Итоха, аналогич-
аналогичный методу Оппенгеймера — Волкова, с использованием
обычной статистики или парастатистики дает для радиуса
кварковой звезды величину порядка 10 м, а для массы —
10~3 массы Солнца.
Кварковая сердцевина могла образоваться при сжа-
сжатии звезды. Оценка критического значения плотности
для перехода барионной звезды в кварковую дает
п > 1043 см~3. Не останавливаясь на магнитогидродина-
ыической трактовке подобных объектов, отметим здесь
интересную возможность возникновения в них сверх-
сверхпроводимости благодаря наличию ферми-газа, газа фоно-
нов (плазменных колебаний), плотности вещества и темпе-
температуры, удовлетворяющих некоторым условиям (Т <С Ткр).
Это может иметь место, например, в нейтронных звездах
(пульсарах). Вместе с тем кварки в звездах могут входить
в атомные ядра и образовывать кварко-атомы или системы
типа позитрония и приводить к испусканию соответствую-
соответствующих спектральных линий. Последнее можно использовать
для косвенного обнаружения кварков (де Саббата
и др.).
Отметим еще предложение сопоставить кваркам уни-
универсальную «предельную» массу «: 10~5 г, соответствую-
соответствующую минимальной квантово-общерелятивистской грави-
28 Д- Иваненко
тационной длине
1]/^ж10-32 см
(«максимоны» Маркова, «планкеоны» Станюковича; мы
не останавливаемся на дальнейшем развитии идеи мак-
симонов в виде «фридмонов» полузамкнутых миров).
С другой стороны, в интересной серии работ по «гео-
метродинаыике» Уилер подчеркивает ожидаемые интенсив-
интенсивные флуктуации геометрических, в том числе топологиче-
топологических свойств в столь малых областях.
§ 9. Поиски кварков
По модели горячей Вселенной была получена оценка
концентрации реликтовых устойчивых кварков: 10~10—
101 на нуклон (Зельдович). Однако попытки обнаруже-
обнаружения частиц с дробными зарядами 1/3е, 2/3е не привели
к успеху (Морпурго и др., Брагинский и др.). В этих
опытах вместо наблюдения движения пробной частицы
в поле конденсатора типа установки Милликена иссле-
исследовались смещения частицы графита (диамагнетик) около
положения равновесия в магнитной потенциальной яме
(подвес Браунбека). Частицы освещались стабилизирован-
стабилизированным оптическим источником, и их заряды изменялись
от +2е до —Зе, но не было обнаружено дробных зарядов
до границы 10~18 на нуклон (после исключения влияния
дипольного момента частицы, способного имитировать
дробность заряда). Эксперименты на ускорителях не обна-
обнаружили кварков вплоть до масс ~5 Гэв.
Не увенчались успехом также поиски кварков в кос-
космических лучах. Недавно привлекли внимание опыты
австралийских ученых группы Мак-Каскера, наблюдав-
наблюдавших в камере Вильсона процессы в стволах широких
ливней и объявивших о регистрации 5 треков (из общего
числа 55 000) с пониженной плотностью капель; это
могло интерпретироваться как указание на наличие в лив-
ливне частиц уменьшенного заряда. Однако Адэр объяснил
эти наблюдения как обусловленные различными флук-
туациями.
Эволюция модели кварков 29
§ 10. Заключение
Резюмируя поучительную историю кварковой модели
адронов, можно утверждать, что гипотеза выдержала
испытание временем. Установление унитарной симметрии
адронов явилось фундаментальным открытием всей физи-
физики элементарных частиц, прежде всего далеко продвинув-
продвинувшим классификацию мезонов, барионов и их резононов
и позволившим вывести множество соотношений для
констант связи, магнитных моментов, вероятностей реак-
реакций. При этом гипотеза кварков наиболее непосредствен-
непосредственно разъяснила методы расчета и результаты, стимулиро-
стимулировала установление новых соотношений, часто впервые
выведенных с ее помощью.
Несомненно, унитарная симметрия является одной
из основных в природе или по крайней мере очень удачно
отражает существенную часть каких-то еще не известных
более глубоких закономерностей. Что касается кварков,
то они либо являются реальными субчастицами, частью
сходными с элементарными частицами (подобно тому как
атомы в ряде отношений подобны макроскопическим
телам), либо (по меньшей мере) представляют собой
эффективное вспомогательное математическое средство
и феноменологическую модель, удачно отражающую
какие-то еще не известные соотношения.
Весьма убедительным доказательством правдоподоб-
правдоподобности модели кварков явилась ее стимулирующая и вместе
с тем мощная вспомогательная роль лри возникновении
и интерпретации ряда новейших наиболее актуальных
идей последних полутора-двух лет — дуальности, экзо-
экзотичности, партонной структуры адронов. Отойдя с аван-
авансцены на второй план в 1969—1970 гг., модель кварков
чаще всего в «наивном» нерелятивистском виде прочно
удержалась в виде действительного «хора», без поддержки
которого «солисты» не могли бы разумно оперировать
в первых рядах.
Показателем плодотворности модели кварков и уни-
унитарной симметрии является также появление на их базе
новых идей в виде объединения с нелинейной спинорной
теорией, трактовки лептонов, астрофизических и космо-
космологических приложений. Что касается относительно дли-
30 Д. Иваненко
тельного ожидания открытия кварков («целых 6 лет»),
то не следует забывать длительную историю неудачных
попыток открытия антипротонов (более 20 лет), не говоря
уже о столь известной, затянувшейся на века дискуссии
вокруг реальности атомов.
Нам остается в заключение обратиться специально
к молодым физикам, теоретикам и экспериментаторам,
с предложением, применяя свои силы для решения самых
коренных проблем строения материи, гравитации, про-
пространства-времени, непременно учитывать идеи, форма-
формализм и результаты модели кварков.
ЛИТЕРАТУРА
К § 1-4
Желобенко Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.
Р у метр Ю. Б., Фет А. И., Теория унитарной симметрии, М., 1970.
Газиорович С, Физика элементарных частиц, М., 1969.
Бернстейн Дж., Элементарные частицы и их токи, М., 1970.
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», сборник ста-
статей, М., 1964.
«Теория групп и элементарные частицы», сборник статей, М., 1967.
«Физика высоких энергий и теория элементарных частиц», лекции
международной школы по теоретической физике, Ялта, 1966.
Greenberg О. W., Zwanzlger D., Phys. Rev., 150, 1177 A966).
Schifj L. I., Phys. Rev. Letters, 17, 612 A966).
Зельдович Я. Б., Окунь Л. Б., Пикелънер С. В., Усп. физич. наук,
87, ИЗ A965).
de Swart J. J., Phys. Rev. Letters, 18, 618 A967).
Dalitz R. #., Proceedings of the XIII International Conference on
High Energy Physics, Berkeley, 1967, p. 215.
Becchi C, Morpurgo G., Phys. Rev., 140B, 687 A965).
Thirring W., Acta Physica Austriaca, Suppl. II, 205 A965).
Mitra A. N., Ross M. H., Phys. Rev. 158, 1630 A967).
Левин И. М., Франкфурт Л. Л., Письма ЖЭТФ, 2, 65 A965).
Lipkln H. J., Scheck F., Phys. Rev. Letters, 16, 71 A966).
Kokkedee J. J., Van Hove L., Nuovo Cimento, 42, 711 A966).
Lipkln H. J., Phys. Rev. Letters, 16, 1015 A966).
Cabbibo N., Horowitz L., Ne'emen Y., Phys. Letters, 22, 336 A966).
Kokkedee J. J., Van Hove L., Nucl. Phys., Bl, 169 A967).
Proc. Lund International Conference on Elementary Particles (Swe-
(Sweden, 1969).
Proc. International Conference on Symmetries and Quark Models
(Wayne State University, Detroit, 1969), New York, 1970.
Symmetry Principles at High Energy, 5th Coral Gables Conference
(University of Miami), New York, 1968; 7th Conference A970).
Эволюция модели кварков 31
4th International Symposium on Electron and Proton Interactions
at High Energies (Liverpool, 1969); 3d Havaii Topical Conference
(Honolulu, 1970).
Материалы XIV Международной («Рочестерскои») конференции
по физике высоких энергий (Вена, 1968).
Материалы XV Международной («Рочестерскои») конференции
по физике высоких энергий (Киев, 1970).
Lipkin И. J., Nucl. Phys., В7, 321 A968); В9, 349 A969).
Kursanoglu В., Phys. Rev., Dl, 1115 A970).
Tuan San Fu, Physics Today, 21, 31 A968).
Freund P. <?., Phys. Rev. Letters, 16, 291, 424 A966).
Mitra A. N., Phys. Rev., ID, 338, 351 A970).
Particle Data Group, Rev. Mod. Phys., 42, 87 A970).
Review of Particle Properties, Phys. Letters, 33, 1 A970).
Cocho G., Ьlores J., Phys. Rev., 3D, 157 A971).
К § 5
Lipkin H. J., Nucl. Phys., B9, 349 A969).
Satz #., препринт ТН 1214-CERN (сентябрь 1970).
Harari H., Phys. Rev. Letters, 22, 562 A969).
Rosner J. L., Phys. Rev. Letters, 22, 689 A969).
Kokkedee J. J., Lettere al Nuovo Cimento, 3, 129 A970).
Tuan S. F., Phys. Rev. Letters, 23, 1198 A968).
Кобушкин А., Кухтин В., Наумов А., Укр. физ. журнал, 14, 1879
A969).
Кобушкин А., Шелест В., препринт ИТФ 69-24 (Киев).
К § 6
Freund P. G., Phys. Rev. Letters, 20, 235 A968).
Koba Z., Nielsen H. В., Nucl. Phys., B17, 206 A970).
Veneziano G., Nuovo Cimento, 57A, 190 A968).
Susskind L., Phys. Rev., Dl, 1182 A970).
Freund P. G., Rosner J., Walter R., Nucl. Phys., B13, 237 A969).
Nielsen H. В., препринты Nordita (Kopenhagen), 1970.
К § 7
Bloom E. D. et al., Phys. Rev. Letters, 23, 930 A969).
Breidenbach M. et al., Phys. Rev. Letters, 23 935 A969).
West G. В., Phys. Rev. Letters, 24, 1206 A970).
Drell S. D., LevyD. J., Tung-Mow Yan, Phys. Rev., Dl, 1035 A970).
Bjorken J. D., Paschos E. A., Phys. Rev., 185, 1975 A969).
Bjorken J. D., Phys. Rev., Dl, 1376 A970).
Sakurai J. J., Cho C. F., Phys. Letters, 31B, 22 A970).
Sakurai J. J., Phys. Rev. Letters, 22, 981 A969).
Kitani K., Yoshii H., Lettere al Nuovo Cimento, 4, 431 A970).
СаЬЫЪо N., Parisi G., Testa M., Lettere al Nuovo Cimento, 4, 35 A970).
Fritzsch H., Nuovo Cimento Letters, 4, 291 A970).
Hagedorn R., Nuovo Cimento, 56A, 1027 A968).
32 Д- Иваненко
Hagedorn R., Suppl. Nuovo Cimento, 6, 311 A968); Preprint
CERN-1228, 1970.
Ezawa A., Nucl. Phys., B26, 155 A971).
К § 8, п. 1
Гейзенберг В., Введение в единую полевую теорию элементарных
частиц, М., 1968.
Иваненко Д., Atti Convengo Galileano, Firenze, 1964.
Наумов А. И., ЖЭТФ, 47, 914 A964); Ядерная физика, 6, 664 A968).
Наумов А. И., Демидова Н., Вестник МГУ (физика), № 2, 215
A970).
Наумов А. И., Зао Н., Вестник МГУ (физика) A971).
Курдгелаидзе Д. Ф., Басьюни А., Ядерная физика, 8, 151 A968);
9, 432 A969). Вестник МГУ (физика), 1, 1970.
Старинщ В. В., Вестник МГУ (физика), 1, 1971.
К § 8, п. 2
«Монополь Дирака», сборник статей, М., 1970.
Мавричев Ю. С, Изв. вузов (физика) (Томск), № 11, 136 A968).
К § 8, п. 3
Schwinger J., Science, 165, 757 A969); Усп. физич. наук., 103, 355
A971).
Barut А. О., et at, Phys. Letters, 26B, 308 A968); 30A, 352 A969).
Бербидж Дж., Бербидж М., Квазары, М., 1969.
Иваненко Д., Курдгелаидзе Д. Ф., Астрофизика (Ереван), 1, № 6
A965); Nuovo Cimento Letters, 2, 13 A969); Изв. вузов (физика)
(Томск), № 8, 39 A970).
Трубников В. А., ЖЭТФ, 55, 1893 A968).
de Sabbata et al., Nuovo Cimento A45, 513 A966).
Naoki Itoh, Препринт Университета Киото, 1969.
K§ 9
Брагинский В. Б., Физические эксперименты с пробными телами,
М., 1970.
Брагинский В. Б., Зельдович Я. Б., Мартынов В. К., Мигулин В. В.,
ЖЭТФ, 54, 91 A968).
Зельдович Я. Б., Усп. физич. наук, 89, 647 A966).
Me Cusker С. В. et al., Phys. Rev. Letters, 23, 658 A963); Phys. Rev.,
178, 1902 A968).
Adair et al., Phys. Rev. Letters, 23, 1355 A969).
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Блестящий успех SU (З)-симметрии в физике
элементарных частиц привел в 1964 г. к гипотезе
Гелл-Манна — Цвейга о том, что сильно взаимо-
взаимодействующие частицы (адроны) построены из три-
триплета фундаментальных объектов — кварков и соот-
соответствующего триплета антикварков. Эти гипотети- ¦
ческие объекты (получившие свое название из кни-
книги Джойса «Поминки по Финнегану») обладают тем
необычным свойством, что несут дробные заряды,
т. е. их заряды не кратны заряду электрона.
Хотя пока не известно, существуют ли кварки
как особые частицы, тем не менее нельзя отрицать,
что представление о кварках не только является
одной из наиболее привлекательных концепций в со-
современной физике элементарных частиц, но и ока-
оказывается очень плодотворной рабочей гипотезой.
Огромное количество разнообразных наблюдений,
касающихся сильных, электромагнитных и слабых
взаимодействий, можно объяснить, если предполо-
предположить, что кварки являются базисными составляю-
составляющими адронной материи. Более того, простейшее
динамическое предположение, которое можно выдви-
выдвинуть, а именно, предположение об аддитивности,
когда некоторое свойство адрона описывается как
сумма соответствующих свойств кварков, оказалось
удивительно плодотворным при выводе простых соот-
соотношений между различными данными. На этом пути
модель не только воспроизводит результаты SU C)-
34 Предисловие автора
и S'U (б)-симметрии, но и приводит к многочислен-
многочисленным предсказаниям, которые непосредственно не
следуют из этих симметрии, но подтверждаются
экспериментами. Наиболее замечательным подтвер-
подтверждением этого факта является применение модели
к рассеянию при высоких энергиях.
В целом, конечно, представление о кварках
не имеет прочного обоснования. Обнаружить кварки
до сих пор не удалось. Этот факт может просто озна-
означать, что их массы крайне велики, так что их рожде-
рождение затруднено, но он может также означать, что
кварки не существуют в виде особых частиц, а подоб-
подобно фононам внутри кристалла, могут иметь смысл
только внутри адронов. Тем не менее в любом случае
в рамках обычных представлений очень трудно понять
динамическую систему таких кварков, связанных
друг с другом так, что появляются наблюдаемые
адроны со свойствами, которые отвечают требовани-
требованиям приложений. Поэтому по крайней мере в настоя-
настоящее время кварковую модель не следует принимать
за большее, чем она есть, а именно, предварительное
и упрощенное выражение пока еще скрытой дина-
динамики, управляющей адронным миром. В качестве та-
таковой, однако, модель имеет огромное эвристическое
значение.
Данная книга основана на курсе лекций, про-
прочитанных в Европейской организации по ядерным
исследованиям (ЦЕРН) в Женеве осенью 1967 г.,
которые были рассчитаны главным образом на физи-
физиков-экспериментаторов, работающих в области вы-
высоких энергий. Хотя мы и попытались рассмотреть
все значительные применения кварковой модели,
эту книгу нельзя считать исчерпывающим обзором.
В первых четырех главах вводится понятие о квар-
Предисловие автора 35
ках. Приложения можно приближенно разделить
на три категории: спектроскопия адронов (гл. 5—9),
процессы распада (гл. 10—13) и рассеяние при высо-
высоких энергиях (гл. 14—18). Мы не пытались соста-
составить полный список литературы. Возможно, следует
упомянуть, что здесь совершенно не говорится
об алгебре токов, хотя это успешное приближение
в физике элементарных частиц можно до некоторой
степени рассматривать как еще одно применение
гипотезы кварков в том смысле, что теоретико-поле-
теоретико-полевая кварковая модель естественно приводит к суще-
существованию токовых коммутационных соотношений
(обратное неверно), а последние приводят, например,
к знаменитому соотношению Адлера — Вайсбергера
для отношения векторной и аксиальной констант
связи ядерного ^-распада.
В книгу включена небольшая подборка ориги-
оригинальных статей по кваркам и составным моделям 1).
Здесь можно найти многие подробности, которые
не могли быть включены в лекции. При выборе этих
статей почти невозможно избежать критики, поэтому
нет смысла пытаться оправдать выбор, сделанный
в этой книге. Упомяну только, что некоторые важ-
важные статьи нельзя было, к сожалению, включить
по техническим причинам. Среди них статья Цвейга,'
которая существует лишь в виде препринтов объе-
объемом около 80 страниц, а также несколько статей
на эту тему группы физиков из Дубны, появившихся
только в русских изданиях.
Я выражаю огромную признательность профес-
профессору Леону Ван Хову за многочисленные обсужде-
обсуждения почти всех тем, рассматриваемых в этой книге,
г) По согласованию с автором ряд оригинальных статей
заменен новейшими работами.— Прим. ред.
3*
Предисловие автора
и за внимательное прочтение рукописи, профессору
Дж. де Сварту и Ван Ройену за многочисленные
ценные замечания и за тщательный просмотр глав
по спектроскопии и процессам распада соответ-
соответственно и, наконец, А. Балашу, Р. Хагедорну,
Ж. Прентки, Д. Судерланду и К. Залевскому за мно-
многочисленные полезные обсуждения. Основная часть
этой работы выполнена во время моего пребывания
в теоретическом отделе ЦЕРН в Женеве.
Я. Коккедэ
Г лава
1
ГРУППА
изоспиновых
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ SUB)
Кварки были введены в физику элементарных частиц
в начале 1964 г. Гелл-Манном [1] и Цвейгом [2]. Эта идея
возникла из рассмотрения унитарной симметрии. Для
того чтобы проследить за аргументами Гелл-Манна и Цвей-
Цвейга, полезно сделать краткий обзор простого и давно извест-
известного случая зарядовой независимости, или изоспиновой
симметрии.
Для нестранных адронов (включающих все сильно
взаимодействующие стабильные и нестабильные частицы)
зарядовая независимость примерно соответствует гипотезе
о том, что энергия их взаимодействия инвариантна отно-
относительно любого унитарного преобразования между со-
состояниями нуклонного дублета (Р, N), где Р — протон
и N — нейтрон. Иначе говоря, взаимодействия этих
частиц инвариантны относительно группы изоспиновых
преобразований S U B). Мы можем рассматривать Р и N
как базисные изоспиновые состояния, однако при более
общем подходе мы обозначаем базисные состояния через
li = р и |2 — п\ \\ и ?г имеют такие же свойства отно-
относительно изоспиновых преобразований, как Р и N, но
не обязательно совпадают с ними. Подобно Р и N они
образуют двумерный ковариантный изоспинор
-©•
A.1)
который под действием операторов U из группы SU B)
преобразуется следующим образом:
l-*V = Ul, A.2)
где U — унитарная матрица 2x2, удовлетворяющая
условию det U = 1. Любое изоспиновое вращение можно
полностью охарактеризовать его действием на ?, согласно
формуле A.2). Дублет (?ь ?2) с изоспином / = V2 обра-
38 Глава 1
зует базис фундаментального представления изоспиновой
группы SU B).
Кроме ковариантных спиноров, мы определяем контра-
вариантные спиноры
Л = (П1, г?), A.3)
которые под действием операторов U преобразуются так,
что tj| = ц%а остается инвариантным. (Везде подразу-
подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.)
Так же как | описывает изоспиновые трансформационные
свойства базисных состояний, или «частиц», г\ описывает
трансформационные свойства дублета «античастиц» р и п.
Высшие изоспиновые мультиплеты можно построить,
образуя прямые произведения спиноров | или т] или тех
и других. Например, рассмотрим систему, состоящую
из одной частицы и одной античастицы. Мы получаем
четыре состояния, которые можно записать в виде
]ц\ „it И h \ 9\ I \ /Л
1V1 fi—- Т| gfc yl. К — - 1, ?)* 11.Ц.)
Тензор М\ имеет смешанные свойства относительно изо-
спиновых вращений. Это означает, что он не соответствует
неприводимому представлению группы S U B). Однако"
выбирая разумным образом линейные комбинации напи-
написанных выше состояний, мы можем так построить две
системы ортонормированных состояний, что состояния
в каждой системе при действии SU B) преобразуются
друг через друга и тем самым образуют базис неприво-
неприводимого представления, т. е. мулътиплет. Очевидно, одна
из этих систем состоит из инварианта или изоскаляра
T|'?,-, а остальные состояния образуют триплет. Эти две
системы состояний имеют вид
А Ж
синглет /=0, A.5а)
триплет /=1. A.56)
[ — ifh)=-T7=(pp — пп)
Отсюда видно, что прямое произведение двух изодублетов
разбивается на изосинглет и изотриплет. Это можно
Группа изоспиноеих преобразований SU B) 39
записать символически в виде
2x2=1 + 3. A.6)
Через пир, обладающие нулевой странностью, мы
можем представить триплет пионов триплетом A.56).
Этот факт может означать две возможности. Либо фунда-
.ментальные объекты р, п, р, п являются математическими
объектами; тогда отождествление пионного триплета
с A.56) означает только, что пион имеет те же изоспиновые
трансформационные свойства, что и комбинация A.56),
Либо объекты р, п, р, п являются физическими частицами;
тогда мы должны рассматривать пион как связанное
состояние этих частиц. Например, отождествляя р и п
с Р и N соответственно, мы приходим к модели Ферми —
Янга [3]. В кварковой модели/? и п являются нестранными
компонентами кваркового триплета.
Аналогичным образом т]-мезон можно представить
в этой модели синглетом A.5а). Таким путем мы можем
построить все нестранные адроны из наших строительных
блоков р, п и их античастиц. Предположение инвариант-
инвариантности механики системы относительно изоспиновых пре-
преобразований приводит к тому, что эти адроны распреде-
распределяются по изоспиновым мультиплетам, каждый иэ кото-
которых характеризуется значением изоспина /. Если сим-
симметрия точная, то каждый мультиплет вырожден по массе.
Электромагнитные силы, нарушающие изоспиновую сим-
симметрию, приводят к небольшому расщеплению масс внутри
мультиплетов. Если найден какой-нибудь один член дан-
данного мультиплета, то все другие члены этого мультиплета
также должны существовать.
Очевидно, с помощью такой процедуры нам никогда
не удастся построить странные частицы. Для этого мы
должны иметь по крайней мере еще один фундаменталь-
фундаментальный объект с ненулевой странностью. Это требование
приводит к группе SU C).
Глава ГРУППА
2 УНИТАРНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ SUC)
§ 1. Фундаментальный триплет
Единственное различие между группами SU B)
и S U C) заключается в том, что в группе SU C) базисное
состояние является трехкомпонентным спинором
ii)(D
Мы просто добавили третью компоненту в определение
A.1). Под действием операторов из группы SU C) этот
спинор преобразуется следующим образом:
l-+l' = U\, B.2)
где теперь U — унитарная матрица 3 X 3 с детерминан-
детерминантом, равным единице. Аналогично тому, как это было
сделано в гл. 1, мы вводим также обобщение контрава-
риантного спинора
4 = 0lW) = (P^), B-3)
описывающего античастицы. Он преобразуется таким обра-
образом, что т)| остается инвариантным. Триплеты (р, п, %)
и (р, п, X) образуют базисы двух фундаментальных пред-
представлений группы SU C). Мы обозначаем их {3} и {3}
соответственно. (При рассмотрении _группы SU B) нет
необходимости различать базисы 2 и 2, так как состояния
одного базиса преобразуются как определенная линейная
комбинация состояний другого базиса; в группе SU C)
это не имеет места.) Частицы р, п и Я называют кварками,
а античастицы р, п, X — антикварками; эти названия
использовал Гелл-Манн [1]. Существуют ли действительно
кварки в природе, или же они представляют собой чисто
формальные объекты — это открытый вопрос, к которому
мы вернемся позднее.
ГруНпа унитарных преобразований SU C)
41
Кварки р и п образуют изодублет (/ = 1/2) со стран-
странностью S = 0; кварк X является изоскаляром A = 0),
которому мы приписываем странность S = — 1. Мы долж-
должны приписать каждому из кварков барионное число
В = 1/3, поскольку, как мы увидим ниже, необходимы
три кварка для построения бариона и пара кварк —
антикварк для построения мезона. Следовательно, гипер-
гиперзаряд Y, определяемый соотношением
, B.4)
равен +1/3 для р и п и —2/3 для X. Соотношение Гелл-
Манна — Нишиджимы
<? = /* +j Г, B.5)
где Q — электрический заряд, приводит к тому, что
заряды eq кварков р, п, X равны дробным значениям
2/3е, —1fse, —1/3е соответственно (е — заряд протона).
Квантовые числа кварков приведены в табл. 1.
Таблица 1
р
п
Я
в
1/3
1/3
1/3
Квантовые числа
i
1/2
1/2
0
1/2
-1/2
0
кварков
У
1/3
1/3
—2/3
S
0
0
—1
2/3
-1/3
-1/3
Квантовые числа /z, S, В, Y и eq антикварков проти-
противоположны по знаку квантовым числам соответствующих
кварков. Базисные триплеты группы SU C) можно пред-
представить графически, как показано на фиг. 1.
§ 2. Высшие мультиплеты
Таким же образом, как было коротко продемонстри-
продемонстрировано в гл. 1 для группы SU B), мы можем получить
высшие представления группы SU C), образуя прямые
произведения базисных спиноров | и tj. Сначала рас-
42
Глава 2
смотрим состояния пары кварк — антикварк
М{ = ц% (i, к =1,2,3). B.6)
Их всего девять, и они обладают смешанными свойствами
относительно преобразований из группы SU C), т. е. они
не образуют базиса неприводимого представления. Чтобы
построить неприводимые представления, мы выбираем
1 \
N
Y
Р
/\
/'/я h
Фиг. 1. Триплеты кварков и антикварков.
подходящие линейные комбинации этих состояний в точ-
точности так же, как мы это сделали в гл. 1. Комбинация
Л-
B.7)
инвариантна относительно любого преобразования U и как
таковая образует базис одномерного представления. Коэф-
Коэффициент 1/^3 является нормирующим множителем. Мы
получили унитарный синглет. Можно проверить непо-
непосредственно, что остающиеся восемь состояний преобра-
преобразуются друг через друга и охватывают базис восьмимер-
восьмимерного представления; мы называем его октетом. Следова-
Следовательно, мы нашли, что прямое произведение триплета
и антитриплета разбивается на синглет и октет. Символи-
Символически это можно записать в виде
{3}х{3} = {1} + {8>. B.8)
Оба центральных состояния октета, т. е. состояния с Iz =
= 0, являются линейными комбинациями рр, пп и КК.
Группа унитарных преобразований SU C)
43
Одно из этих состояний выбирается, исходя из требова-
требования, чтобы оно вместе с рп и пр образовывало триплет.
Следовательно, оно имеет вид
1 '- -пп). B.9)
Оставшееся состояние у представляет собой изосинглет;
это состояние определяется требованием его ортогональ-
Фиг. 2. Октет состояний системы кварка и антикварка.
ности к х и к состоянию унитарного синглета B.7). С уче-
учетом нормирующего множителя это приводит к определе-
определению
B.10)
Итак, мы имеем систему состояний октета, изображенную
на фиг. 2.
Рассмотрим теперь произведение двух кварковых три-
триплетов. Базисными состояниями являются
{i, к =1,2,3).
B.11)
44 Глава 2
Эти девять состояний также имеют смешанные свойства
относительно преобразований группы SU C). Исследуя
их поведение при перестановке двух кварковых индексов,
мы сразу видим, что можно образовать шесть симметрич-
симметричных состояний
рр, пп, XX,
B-12)
Х)
-±=(рп + пр), =(РХ + Хр), -±-
и три антисимметричных состояния
-д(рп-пр), —(рХ-Хр), —(пХ-Хп). B.13)
Обе системы состояний преобразуются независимо, т. е.
они образуют базисы неприводимых представлений груп-
группы SU C). Первая система_образует секстет {6}, а вто-
вторая образует антитриплет {3}, что становится ясно, если
заметить, что состояние (l/j/2) (рп — пр) является изо-
скаляром с гиперзарядом 2/3, т. е. преобразуется как X
(см. фиг. 1). Следовательно,
{3}x{3} = {3} + {6}. B.14)
Наконец, в трехкварковой конфигурации мы имеем
базисные состояния
ЫЛи (i, j,k= 1,2, 3). B.15)
Этот случай сложнее, но, используя сначала B.14),
а затем B.8), мы можем написать
{3} X {3} х {3} = [{3} х {3}] + [{6} X {3}] =
= {1} + {8} + [{6}х{3}]. B.16)
Нетрудно проверить [4], используя B.12), что в произведе-
произведении {6} X {3} имеется 10 полностью симметричных со-
состояний, преобразующихся друг через друга; они обра-
образуют декуплет {10}. Остальные восемь состояний обра-
образуют октет. Итак, мы получаем
{3} х {3} х {3} = {1} + {8} + {8> + {Ю>. B.17)
Состояния декуплета здесь полностью симметричны по
кварковым индексам i, j, к; состояния октета обладают
Группа унитарных преобразований SU C)
45
Собственные
значения F2
смешанной перестадовочной симметрией, а ^инглетное
состояние антисимметрично. [Заметим, что {3} в B.14)
содержит антисимметричные состояния B.13).!
§ 3. Унитарный спин
По аналогии с оператором изоспина удобно ввести
оператор F, собственные значения которого характери-
характеризуют SU (З)-мультиплеты. Мы называем его унитарным
спином, или F-спином. Достаточно
знать, что этот оператор определен Таблица 2
таким образом, что собственные
значения F2 для различных
мультиплетов равны указанным
в табл. 2 [5—7].
Для системы, составленной из
двух частиц с F-спинами Fi и F2,
полный F-спин равен F = F! + F2.
В дальнейшем нам понадобится
значение Ft -F2. Оно определяется
соотношением
р4. F2 — J_ [pz __ р^ ^2j B.18)
и может быть вычислено с помо-
помощью табл. 2. Например, для октетного состояния пары
кварк — антикварк (qq) F!-F2 = 1, для синглетного сос-
состояния Fj -F2 = — 8 (q — кварк, q — антикварк).
F2
0
8 ¦
20
18
36
Мультиплет
{1}
{3}, {3}
{6}
{8}
{10}
Глава
3
ГРУППА SU(Q)
До сих пор мы не рассматривали возможности того,
что гипотетические частицы — кварки обладают спином.
Однако если мы хотим использовать кварки в качестве
строительных блоков для адронов почти так же, как
нуклоны составляют ядра (что мы и делаем в нереляти-
нерелятивистской модели кварков, описанной в следующих гла-
главах), то мы должны предположить, что кварки обладают
спином. Мы предполагаем, что кварки являются фермио-
нами и имеют спин а = 1/2. Это предположение представ-
представляется наиболее естественным ввиду того, что спин низ-
низших мезонных состояний равен 0 или 1, а спин низших
барионных состояний равен 1/2 или 3/2. Тогда в нере-
нерелятивистском описании мы имеем шесть кварковых со-
состояний, которые мы рассматриваем как компоненты
шестимерного ковариантного спинора
1г
?з
и
и
Vie/
III
Ц
Р\
п\
C.1)
Здесь «!» означает, что спин состояния направлен вверх,
а «]•» — что спин направлен вниз. Линейные преобразо-
преобразования U, принадлежащие группе SU F), действуют на
этот базисный спинор и образуют линейные комбинации
состояний |д в точности так же, как в случаях SU B)
и SU C), рассмотренных в предыдущих главах.
Соответствующий контравариантный спинор г\А опре-
определяется таким образом, чтобы т]А|А было скаляром при
действии преобразований U. Системы р\, . . ., %\
и р\, . . ., Я| составляют базисные мультиплеты 6 и 6
группы SU F). (SU (б)-мультиплеты мы обозначаем кур-
Группа SU (в) 47
сивными цифрами, SU (З)-мультиплеты — цифрами в фи-
фигурных скобках.)
Высшие мультиплеты мы получаем, образуя прямые
произведения базисных спиноров. Имеем 36 состояний
пары кварк — антикварк
rftB (А, 5=1, ...,6),
которые, как легко видеть, разбиваются на два мульти-
плета, т. е. на базисы неприводимых представлений
группы SU F), а именно на синглет г\А\А и 35-плет
6x6 = 1 + 35, C.2)
что представляет собой обобщение формулы B.8) на слу-
случай группы SU F). Полный спин синглета, конечно,
равен нулю. 35-плет имеет следующее содержание: восемь
состояний, образующие SU (З)-октет, с полным спином,
равным нулю (спины кварков антипараллельны); 24 со-
состояния с полным спином, равным единице (спины квар-
кварков параллельны), также образующие SU (З)-октет, при-
причем каждое состояние из этого октета имеет три спиновых
состояния; наконец, три состояния с прлным спином,
равным единице, образующие SU (З)-синглет. Это легко
продемонстрировать [6], записав
где в явном виде показаны SU (З)-мультиплеты и значе-
значение спина, равное 1/2, фундаментальных секстетов. Теперь
мы воспользуемся формулами B.8) и C.2), а также пра-
правилами сложения углового момента, и получим
Если подсчитать число состояний в левой и правой частях
второго соотношения, различая при этом спиновые состоя-
состояния с разными sz (s — полный.спин), то в качестве един-
единственной возможности получим
что соответствует сделанному выше утверждению.
48 Глава 3
Обобщенное на случай группы SU F) соотношение
B.17) имеет вид
6x6x6 = 20 + 56 + 70+70. C.4)
Для вывода этой формулы мы начинаем с соотношения
6x6=15 + 21,
которое выражает тот факт, что из 36 произведений \А\в
можно построить одну систему из 15 антисимметричных
комбинаций и одну систему из 21 симметричной комбина-
комбинации, причем каждая система образует мультиплет. Следо-
Следовательно,
6x6x6 = 21x6 + 15x6. C.5)
126 состояний, содержащихся в 21 X 6, представляют
собой состояния типа (?,а%в)(8&с, где индекс (s) показы-
показывает, что это произведение симметрично по переменным
А и В. Эту систему можно разбить на две неприводимые
системы, а именно на систему, содержащую 56 состояний,
которые симметричны по всем трем переменным, и систему
из 70 состояний, обладающих смешанными свойствами
симметрии. Таким образом,
21x6 = 56 + 70; C.6)
аналогично
15x6 = 20 + 70, C.7)
где состояния, которые содержатся в 20, полностью анти-
антисимметричны. Объединяя эти результаты, мы приходим
к C.4).
SU (З)-мультиплеты, содержащиеся в правой части
этого соотношения, можно найти тем же методом, который
привел к соотношениям C.3). Используя B.14), получаем
}, 1).
Рассматривая размерности, мы делаем вывод
21=({3},0) + (Щ, 1),
Группа SU F) 49
Отсюда, используя формулу {3} X {6} = {8} + {10}, полу-
получаем
21 х 6 = 56 + 70 = ({8}, |) + ({10}, 1) + ({8}, |) +
+ ({Ю}, |)+ ({1}, |)+ ({8}, 4).
Это соотношение показывает, что
56 = ({8}, 4) + ({Ю}, 4), C.8а)
70= ((!}'у) + ({8>»4) + ( {8- 4}) + (A0>> 4) • C-86)
Подобным же образом находим
(|) C.9)
Наиболее интересным для нас мультиплетом в правой
части соотношения C.4) является мультиплет 56, так
как он содержит основные состояния бариона. Из C.8а)
мы видим, что 56 включает в себя SU (З)-октет со спином
1/2 и декуплет со спином 3/2. Как говорилось выше,
выраженные через три кварка состояния, принадлежа-
принадлежащие 56, полностью симметричны по переменным А, В и С.
Отметим, что состояния декуплета C.8а) симметричны
отдельно по SU (З)-переменным i, } и к [см. B.15I и по
спиновым переменным. Для октета это утверждение
несправедливо.
Глава КВАРКИ
4 И КВАРКОВЫЕ
МОДЕЛИ
§ 1. Общие замечания
Теперь мы попытаемся вложить физическое содержание
в те математические идеи, которые были описаны в пре-
предыдущей главе, а также рассмотреть их уместность в физи-
физике адронов. В кварковой модели кварки рассматриваются
не как простые математические объекты, а допускается
возможность того, что они каким-то образом реализуются
в природе, хотя мы пока не знаем, как именно это проис-
происходит. Таким образом, кварки рассматриваются как
фундаментальные строительные блоки адронной мате-
материи1). Предполагается, что каждый адрон представляет
собой связанное состояние кварков или антикварков, или
тех и других, получающееся благодаря некоторой боль-
большой силе притяжения, природа которой неизвестна.
SU (З)-инвариантность означает, что все три кварка,
составляющие триплетное представление группы SU C),
имеют одну и ту же массу и что силы, действующие между
кварками, не изменяются под действием преобразований
из группы SU C). Этот факт обеспечивает существование
SU (З)-мультиплетов, состоящих из ngmg-состояний
(п, т = 0, 1, 2, . . .), в соответствии с формулами, при-
приведенными в предыдущих главах. В случае точной сим-
симметрии состояния внутри каждого мультиплета вырожде-
вырождены по энергии. Если симметрия нарушена, то вырождение
снимается. Следовательно, исходя из кварковой картины,
мы естественным образом приходим к классификации
мезонов, барионов и их резонансов по определенным
S U (З)-мультиплетам. В простейшей схеме, когда мезоны
представляют собой gg-состояния, а барионы — qqq-состоя-
ния, разрешены только синглеты, октеты и декуплеты
[см. B.8) и B.17)]. Экспериментальное подтверждение
*) Было выдвинуто также предположение, что по аналогии
с адронными кварками, компонентами адронной материи, могут
существовать лептонные кварки, из которых построен мир леп-
тонов (см. [8]).
Кварки и кварковые модели 51
такого распределения адронов по SU (З)-мультиплетам
явилось одним из наиболее замечательных открытий
в физике элементарных частиц за последние годы *).
Наблюдаемые мультиплеты вырождены только прибли-
приближенно. Это показывает, что SU (З)-симметрия является
только приближенной симметрией.
Мы можем сделать еще один шаг и включить в рассмот-
рассмотрение спин, который трактуется нерелятивистски (см.
ниже). Предположение о том, что взаимодействия между
кварками не зависят также от направлений их спинов,
автоматически приводит к классификации адронов по
SU (б)-мультиплетам [6, 10—12], каждый из которых,
как мы видели, включает в себя в общем случае несколько
SU (З)-мультиплетов. Каждый из этих последних содер-
содержит систему состояний с одинаковым полным спином.
Снова оказывается, что SU (б)-мультиплеты реализуются
в природе, а это означает, что SU (З)-мультиплеты с раз-
различными спинами не являются совершенно независимыми.
Однако большие различия масс внутри наблюдаемых
S U (б)-мультиплетов показывают, что эти мультиплеты
являются отражением только весьма приближенной сим-
симметрии. Орбитальный момент можно без труда включить
в эту картину. (В следующих главах мы покажем все это
в явном виде.) Очевидно, существование высших муль-
типлетов, хотя и объясняется естественным образом
в кварковой модели, ни коим образом не доказывает
существования кварков как физических частиц.
§ 2. Поиски кварков
Существуют ли кварки? Мы этого не знаем! До сих
пор кварки не были найдены в природе, хотя эксперимен-
экспериментаторы энергично охотились за ними в течение несколь-
нескольких лет [15] 2). Отметим, что в силу закона сохранения
заряда по крайней мере одна частица с нецелым зарядом
предполагается стабильной. Поиски кварков ведутся
по следующим направлениям.
г) Блестящая подборка статей по SU (З)-симметрии приведена
в книге [9].
2) Один из последних обзоров ситуации содержится в работе
[13]. См. также [14].
4*
52 Глава 4
Одно направление — это геофизическо-химический
подход, в котором предполагается, что по какой-то при-
причине стабильные кварки, или вообще частицы с нецелым
зарядом, находятся в малых концентрациях в метеоритах,
планетах и, в частности, в земной коре [18—20]. Они
могут быть остатками процесса рождения, имевшего место
в течение космологического «большого взрыва», или про-
продуктами столкновений космических лучей высокой энер-
энергии, взаимодействующих с атмосферой Земли с момента
ее образования. Если эти кварки несут отрицательный
заряд, то они будут захватываться ядрами на боровские
орбиты и образовывать атомы с нецелым зарядом, что
может приводить к особым химическим или физическим
свойствам малых количеств земной коры. Химический
анализ морской воды [21] дал верхний предел концентра-
концентрации кварков на нуклон Cq < 10~24—10~27. Теоретические
оценки весьма не убедительны и сильно зависят от выбора
мЪдели [18—20, 22]. В настоящее время проводятся
эксперименты милликеновского типа [23], но видоизме-
видоизмененные из-за малых концентраций. Идея заключается
в том, чтобы произвести опыт Милликена на более круп-
крупных телах — зернах материи, которые намагничены
и удерживаются в своем положении подходящими магнит-
магнитными полями. В другом эксперименте [24], давшем отри-
отрицательный результат, исследователи производили поиски
кварковых атомов (т. е. водородоподобных атомов, обра-
образованных одним положительно заряженным кварком
и одним электроном) в солнечной фотосфере, изучая сол-
солнечный спектр.
Другое направление поисков охватывает попытки обна-
обнаружить кварки непосредственно в космических лучах
[25—28] и в экспериментах на ускорителях [29—31]. Эти
эксперименты приводят к установлению верхних пределов
для потоков кварков или сечений рождения, что в свою
очередь приводит к получению нижних пределов для
массы кварка mq, в предположении, что можно произвести
оценку сечения рождения. В экспериментах на ускори-
ускорителях ведутся поиски кварков в реакциях типа
Р -\-Р —>Р ¦{- Р -\-q-\-q-\- (возможно) мезоны. D.1)
Кварки и кварковые модели 53
Энергии существующих ускорителей недостаточны для
образования кварков, если масса кварков значительно
больше 3 Гэв. В недавних экспериментах установлен верх-
верхний предел сечения о (qq) реакции D.1) при импульсах
протона в лабораторной системе порядка 30 Гэв/с. Он
равен Ю-35—Ю-37 см2. Оценки [22, 32, 33] этого сечения
на основе статистической модели рождения частиц обна-
обнаруживают сильную зависимость от массы кварка mq.
Согласно модели Хагедорна [33],
SfVr'\ D.2)
где То « 0,16 Гэв и С « 250 мб. Эта формула справедлива
в области энергий много выше порога рождения и дает
результат, не зависящий от полной энергии. Отметим,
что a (qq) уменьшается в 10~6 раз, если mg увеличивается
на одну массу нуклона. При mq = 3 Гэв формула D.2)
дает a (qq) & 10~37 см2, что по порядку величины совпа-
совпадает с экспериментально найденным нижним пределом.
Этот факт приводит к выводу, что нижний предел массы
кварка составляет около 3—4 Гэв.
Эти неудачные результаты поисков кварков могут
объясняться несколькими причинами.
1. Кварки могут обладать очень большой массой.
Если масса, кварка mq велика, например равна 10 Гэв,
то сечение рождения, согласно формуле D.2), слишком
мало, чтобы создать заметный поток частиц.
2. До сих пор исследователи вели поиски почти исклю-
исключительно кварков с дробным зарядом | 1/3 | или | 2/3 |
(см., однако, [34, 35]). Было отмечено [36], что не исклю-
исключено существование связанных систем кварков (таких
как qq, qqqq с нецелым зарядом и массой, меньшей чем
mq), в которые кварки могли бы распадаться за счет
сильных взаимодействий. При этом стабильная система
не обязательно имела бы заряд | 1/3 | или | 2/3 |, а могла
бы иметь дробный заряд, больший чем | 2/3 |.
3. Возможно, что кварки не существуют в виде сво-
свободных частиц, а из-за какого-то принципа отбора нахо-
находятся только в определенных связанных комбинациях,
имеющих целочисленные заряд и барионное число.
54 Глава 4
Несколько предположений в этом направлении было сде-
сделано Шиффом [37] (см. гл. 7, § 2).
4. Кварки могут представлять собой некоторый вид
квазичастиц, которые, подобно фононам внутри кристал-
кристаллической решетки, имеют смысл только как динамические
сущности внутри адронов. Хорошо известно, что многие
свойства колеблющегося кристалла можно успешно описать
на основе предположения о невзаимодействующих неза-
независимых фононах, которые, очевидно, не могут существо-
существовать вне кристалла.
Две последние альтернативы позволяют думать о квар-
кварках, как о довольно легких объектах с массами порядка
нескольких сотен мегаэлектронвольт [ср. D.6)].
§ 3. Основные предположения
Как указывалось выше, в кварковой модели наблю-
наблюдаемые адроны интерпретируются как связанные состоя-
состояния кварков или антикварков, или и тех и других. Если
кварки представляют собой тяжелые объекты, то для этих
связанных состояний характерны чрезвычайно большие
энергии связи, достаточно большие для почти полной
компенсации больших масс покоя составляющих кварков.
Несмотря на эти большие энергии связи во многих при-
приложениях кварковой модели считают, что движение квар-
кварков внутри адронов носит нерелятивистский характер
(нерелятивистская кварковая модель). Было показано
[38, 39], что это предположение не является неприемле-
неприемлемым; однако его законность может зависеть от природы
силового поля, связывающего кварки. Для иллюстрации
этого положения рассмотрим простой случай, когда один
кварк с массой mq движется в глубокой потенциальной
яме U с глубиной — Uo и шириной Ъ, образованной дру-
другими кварками связанной системы. Мы рассматриваем
два случая: 1) U является четвертой компонентой век-
векторного потенциала, подобно кулоновскому потенциалу,
и 2) U является скалярным потенциалом. Уравнения
Дирака для кварка, соответствующие зтим двум случаям,
имеют следующий вид:
[тд + у.р]^д = (Е+и0)у0%, D.3)
D.4)
. Кварки и кварковые модели 55
В таком силовом поле кварк ведет себя приближенно
как свободная частица с импульсом порядка Ъ~г и эффек-
эффективной массой 77г*, измененной по сравнению с значением
массы свободного кварка тд на величину, определяемую
силовым полем. Условие нерелятивистского движения
приближенно имеет вид1)
Ь-х<<. D.5)
В случае векторного поля [уравнение D.3I
Наличие потенциала не влияет на массу кварка, а изме-
изменяет лишь шкалу знергии. При тд > 4 Гэв условие D.5)
легко выполнить. В самом деле, при Ъ порядка 1 ферми
левая часть D.5) становится равной Ъ » 0,2 Гэв. Однако
если U является скалярным полем, то мы имеем [уравне-
[уравнение D.4)]
Поскольку глубина ямы должна быть такой, чтобы при-
приводить к наблюдаемой массе связанной системы, мы нахо-
находим, что в этом случае
т* « ^f- к -2J- ж 400 Мэв, D.6)
где 7тгм и тв — средние массы 35-плета и 56-плета соот-
соответственно. Это требование приводит к тому, что стано-
становится труднее выполнить условие D.5). Тем не менее,
как мы увидим ниже, электромагнитные свойства адро-
нов, по-видимому, позволяют предположить, что связы-
связывающий потенциал является главным образом скалярным.
Здесь следует заметить, что для потенциалов с узкой
горловиной, таких как потенциал Юкавы, еще труднее
получить нерелятивистское движение, так как из-за гор-
горловины движение частицы в действительности ограничено
областью, меньшей, чем область, задаваемая шириной
потенциальной ямы Ь, поэтому средний импульс частицы
больше, чем Ь [40].
Второе важное предположение, лежащее в основе всех
применений кварковой модели,— это предположение об
Мы используем систему единиц, в которой % = с = 1.
56 Глава 4
аддитивности, согласно которому некоторое свойство адро-
на описывается как сумма вкладов от составляющих его
кварков или антикварков (модель независимых" кварков)¦
Например, амплитуды распада адрона и процессов рас-
рассеяния при высоких энергиях вычисляются как суммы
вкладов типа показанных на фиг. 3. (Следует подчеркнуть,
что на самом деле нельзя говорить об одной кварковой
а 5
Фиг. 3. Распад мезона и рассеяние мезона на барионе в модели кварков.
Сплошные линии соответствуют кваркам или антикваркам, пунктирная линия
может соответствовать фотону, лёптонной паре, пиону и т. д.
модели. Существуют различные кварковые модели, точно
так же, как существуют различные модели ядра. Для
описания свойств адронов при низких энергиях и для
описания рассеяния при высоких энергиях используются
две разные кварковые модели.)
Для процессов распада А -*- В -\- X, где А и В —
адроны, а X — испускаемая система (пунктирная линия
на фиг. 3, а), аддитивность в явном виде означает
^и()\), D.7)
а
где оператор T(j (X) описывает однокварковый переход
Qi ~+ Qj + X. Волновые функции А и В для спина и уни-
унитарного спина строятся в терминах кварков согласно
SU (б)-симметрии (см. следующие главы).
Как мы увидим ниже, предположение об аддитивности
выполняется удивительно хорошо. Этот успех резко кон-
контрастирует с неудачей всех попыток, особенно в рассеянии
при высоких энергиях, найти для него априорное оправ-
оправдание. В настоящее время по крайней мере мы должны
рассматривать его как «правило игры», если использовать
выражение Липкина.
¦ Кварки и квартовые модели 57
Столь же нетривиально обычное предположение о том,
что адроны можно описывать с помощью фиксированного
числа кварков и фиксированного числа антикварков, т. е.
что барионы, например, можно рассматривать как чистые
трехкварковые состояния без многокварковых примесей
типа qqqqq (мезонное облако).
В заключение мы хотим указать, что во многих слу-
случаях описанная выше кварковая модель и некоторые схе-
схемы высшей симметрии приводят к одним и тем же пред-
предсказаниям без явного использования зтой симметрии
в вычислениях по кварковой модели. Источник такой
«симметрии без симметрии» был подробно рассмотрен
Липкиным [41]. Липкин указал, что, например, в про-
процессах распада такое положение возникает в том случае,
когда трансформационные свойства оператора Тц (X)
в предположении аддитивности D.7) случайно оказывают-
оказываются совпадающими с трансформационными евойствами,
которые использовались при обычном описании с помощью
симметрии. Эти трансформационные свойства опреде-
определяются требованием, чтобы оператор Ttj (X) был одноча-
стичным оператором, преобразующим только состояния
с одним кварком (антикварком) в другие состояния также
с одним кварком (антикварком). (Подробное обсуждение
ряда случаев содержится в работе [41].)
. § 4. Другие составные модели
Мы заканчиваем эту главу замечанием о возможных
других составных моделях. Кварковая модель представ-
представляет собой весьма экономную схему в том смысле, что
для построения наблюдаемых адронов здесь необходим
только один триплет (и, конечно, один антитриплет) фун-
фундаментальных объектов. Однако в этой схеме мы должны
допустить существование частиц с дробным зарядом
и барионным числом. Многие пытались избежать этих
нецелых квантовых чисел. Такой подход возможен только
при увеличении количества фундаментальных триплетов.
Например, в модели Бакри, Нуитса и Ван Хова [42]
вводятся два триплета, в модели Хана и Намбу [43] —
три. Мы не рассматриваем подробнее здесь эти модели,
а упомянем лишь, что Кабиббо и др. [44] сделали недавно
58 Глава 4
интересное замечание в пользу триплетов с целочислен-
целочисленными зарядами. Эти авторы предприняли попытку вычис-
вычисления радиационных поправок при ^-распадах адронов
в составной модели и нашли, что одно из условий полу-
получения конечных результатов до порядка е2 заключается
в том, чтобы частицам фундаментального триплета были
приписаны заряды 0 или ±е. Этот вывод следует сопоста-
сопоставить с выводом, сделанным ранее Окубо [45], который
при исследовании правил сумм, получаемых из коммута-
коммутационных соотношений для токов, приводит доводы в поль-
пользу кварковой модели с дробными, а не целочисленными
зарядами.
Глава ОСНОВНЫЕ
5 МЕЗОННЫЕ
СОСТОЯНИЯ
§ 1. Суперпозиция кварковых состояний
В модели кварков мезоны рассматриваются как свя-
связанные состояния пары кварк — антикварк qq. Сила при-
притяжения между q n q может быть обусловлена, например,
обменом векторными мезонами (см. гл. 7). В общем случае
система qq может иметь ненулевой орбитальный момент L.
В од-модели единственными разрешенными для мезонов
SU (З)-мультиплетами являются, согласно B.8), синглет
и октет. Вызывает удовлетворение тот факт, что до сих
пор не установлено никаких мезонных резонансов, кото-
которые нельзя было бы включить в синглетные и октетные
представления, так что в настоящее время нет необходи-
необходимости в высших представлениях, соответствующих квар-
ковым системам типа qqqq и т. д. [15—17]. Конечно,
не исключена окончательно возможность того, что откры-
открытые нонеты мезонов с более высокими спинами, такие
как 2+-мезоны, являются да^-состояниями, а не возбуж-
возбужденными по L gg-системами, как мы здесь предполагаем.
Следует также подчеркнуть, что кроме соображений
простоты других аргументов против этих многокварковых
конфигураций нет. В SU (б)-инвариантной теории qq-uo-
дель допускает для мезонных состояний только представ-
представления 1 и 35 группы SU F) [см. C.2)]. Отметим, что
в случае мезонов частица вместе со своей античастицей
всегда попадают в один SU (З)-мультиплет.
Ввиду того что кварк и антикварк имеют противопо-
противоположные внутренние четности, четность Р-состояния qq
определяется формулой
P--=(-l)L+1. E.1)
Квантовое число зарядового сопряжения С для нейтраль-
нейтральных состояний равно
С=(-1)ь+в, E.2)
где s — полный внутренний спин, равный нулю или еди-
Таблица 3
Псевдоскалярные и векторные мезоны
в!7C)-муль-
типлет
{8}
m
Смесь муль-
типлетов
{1} и {8}
Частица
Р+
я+
ро
я»
я~
К*0
К0
К*+
К*0
К0
К*'
к~
Щ
Ф1
0)
Ф
Т)'(ХО)
4
Составляющие
кварки
рп
1
рп
nl
р\
ПК
А
1 -
-2U)
1 -
+1%)
1 _ _
-U
Г|8 COS 11° +
+ r|i sin 11°
Масса,
Мэв
774
139,6
780
135,0
774
139,6
890
497,7
890
493,8
890
497,7
890
493,8
783,3
1018,6
958,3
548,6
Jp
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
о-
1-
0~
1-
1-
о-
о-
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
0
s
0
0
0
1
1
-1
-1
0
0
0
Основные меаонные состояния 61
нице в зависимости от того, антипараллельны или парал-
параллельны спины кварков. Спин адрона равен J = L + s.
Приведенные выше соотношения показывают, что
в gg-модели разрешены только определенные комбинации
/, Р и С (см. также гл. 9, § 1); комбинации Jpc = О
(нечетное)~+, (четное)+~ исключаются. Большой успех
модели состоит в том, что все установленные до сих пор
мезонные состояния удовлетворяют E.1) и E.2).
СаМЫМИ НИЗКИМИ ОД-СОСТОЯНИЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ iS-COCTOH-
ния, соответствующие L = 0. В зависимости от значения s
имеются две системы из девяти 5-состояний (два нонета)
со следующими квантовыми числами:
а) Я = 0, Р=-1, С=+1,
б) s = l, P=-l, C=-l,
каждая из которых распадается на S U (З)-синглет
и SU (З)-октет. Синглет с s = 0 является SU (б)-мульти-
плетом 1, остальные состояния образуют мультиплет 35.
Системы (а) и (б) можно отождествить соответственно
с двумя нонетами установленных псевдоскалярных и век-
векторных мезонов. Сравните, например, квантовые числа
октета состояний пары кварк — антикварк, представлен-
представленные на фиг. 2, с квантовыми числами октетов псевдоска-
псевдоскалярных и векторных мезонов, показанных на фиг. 4.
В табл. 3 приведены кварковыи состав и другие харак-
характеристики мезонов с L = 0. Если не оговорено противное,
то экспериментальные данные об элементарных частицах
взяты из таблиц Розенфельда и др. [46]. В качестве девя-
девятого псевдоскалярного мезона мы выбрали г\' (или Х°).
Этот выбор не является совершенно необходимым. Дру-
Другим кандидатом является Е A420) (см. также гл. 8, конец
§ 1); со8 и Ti8 представляют собой комбинации, соответ-
соответствующие чистым унитарным октетам, a <pj и % соответ-
соответствуют чистым синглетам. Поскольку эти состояния имеют
одни и те же квантовые числа / = Y = 0, они могут
смешиваться в нарушенной SU (З)-симметрии в том слу-
случае, когда принадлежат к одному и тому же нонету,
а наблюдаемые частицы со, <р, т) и ц' являются их коге-
когерентными суперпозициями. В явном виде
ф| T] = \f>8cos 0 — ^i sin 0, со, Ti' = il58sin9-|-i|Icos9, E.4)
62
Глава 5
где через г)з8 и г^ обозначены состояния чистого октета
и синглета соответственно. В дальнейшем мы увидим,
что угол смешивания 6 для векторных мезонов равен
K°(K*»)
Фиг. 4. Октет псевдоскалярных (векторных) мезонов.
6у да 40°. Это значение очень близко к «идеальному» зна-
значению, равному arc tg A^2/2), при котором
{рр + пп).
E.5)
Если не оговаривается противное, то в дальнейшем мы
всегда используем E.5) для представления ф и со через
кварки. Для псевдоскалярных мезонов угол смешивания
равен Эр « — 11е. Мы вернемся к вопросу о смешивании,
когда будем рассматривать массы частиц.
§ 2. Волновые функции
Волновую функцию од-состояния А с L — 0 можно
записать в виде произведения
E.6)
. Основные меаонные состояния 63
где / — пространственная часть, ср — часть, относящаяся
к спину и унитарному спину, а через {гг} обозначена
система радиусов-векторов, описывающих положение
кварков внутри адрона А. Как /, так и ц> считаются норми-
нормированными на единицу. Волновую функцию ср построить
легко. У псевдоскалярных мезонов спины кварка и анти-
антикварка антипараллельны, так что спиновая волновая
функция является синглетом, т. е. в очевидных обозна-
обозначениях
^ E-7)
где уже включен нормирующий множитель. Выражая уни-
унитарно-спиновую часть волновой функции согласно табл. 3
(термин «унитарно-спиновая волновая функция» исполь-
используется для очевидного обобщения на группу SU C) «изо-
спиновой волновой функции»), мы получаем, например,
Ф (я0) =-=- [ [ p\pl) — | plp\) — I n\n\) +1 n\n\)\.
?i ill ill iii
У векторных мезонов спины кварков параллельны, и мы
имеем спиновые волновые функции
Iff), *,= +l,
-^f-[|tl> + llt>], *, = 0, E.9)
III), *,= -l,
с помощью которых мы снова можем записать ф (А).
Приведем следующие примеры:
Ф(р+, sz= +1) = |
ф(р+,*г = О) = -^
У* _ E.10)
ф(ю, sz= -f 1) =-~т=-Г |pfPt> -h|»M>]>
54 Глава 5 ^
Вычислить пространственные волновые функции
/ (А, {гг}) мы не можем, поскольку совершенно не знаем
динамику движения кварков внутри адрона. В некоторых
приложениях модели, например при выводе соотношений
между полными сечениями при высоких энергиях, не обя-
обязательно знать эту волновую функцию. Однако во многих
других приложениях появляются интегралы типа *)
FAA'(q) = \ dxf*{A, {r,}
где передаваемый импульс | q | лежит в области 0 ^
^ | q | <: 1 Гэв1с. Если А = А', то мы имеем, конечно,
FAA @) = 1. За неимением ничего лучшего часто исполь-
используется приближение (снова правило игры!)
FfA'(q) = FtA'(O) = l E.12)
для А Ф А', но из одного и того же SU (б)-мультиплета.
Это последнее приближение, когда мы полагаем FAA @) =
= 1 может быть не слишком плохим. Оно означает, что
мы пренебрегаем в / (А, {гг}) эффектами нарушения сим-
симметрии. Если бы SU (б)-симметрия была точной, то вели-
величина F^ @) была бы, конечно, точно равна единице.
В том случае, когда А и А' принадлежат одному SU C)-
мультиплету, достаточно SU (З)-симметрии. Первая часть
соотношения E.12) равносильна предположению, что
кварки обладают пространственными размерами порядка
размеров адронов, причем их центры масс находятся
достаточно близко друг к другу в пространстве, что
обеспечивает почти постоянное значение формфакторов
Fi (q) в указанной выше области значений ] q |. Более
подробное обсуждение этих вопросов мы откладываем
до следующих глав.
1) См. приложение.
Г л ава
в
ОСНОВНЫЕ
БАРИОННЫЕ
СОСТОЯНИЯ
§ 1. Состояния, принадлежащие декуплету
Барионные состояния считаются трехкварковыми свя-
связанными состояниями qqq с полным угловым моментом L.
В этой схеме приближенная SU (З)-инвариантность при-
приводит к размещению барионов по синглетам, октетам
и декуплетам [см. B.17I. До последнего времени не было
указаний на существование барионных резонансов, кото-
которые не попадали бы в один из этих мультиплетов. Однако
теперь ситуация стала менее ясной. Если подтвердится,
что недавно открытые пики в полном сечении К+Р-тра.с-
сеяния являются резонансами, то простая дад-схема ока-
окажется неприемлемой, так как в нее нельзя включить резо-
нансы с положительной странностью. В этом случае
потребуются более сложные конфигурации типа qqqqq
(см. также гл. 9).
Низшие барионные состояния представляют собой
трехкварковые состояния с L = 0. Существуют 10 состоя-
состояний, в которых спины кварков в сумме дают значение'
s = 3/2. Они образуют хорошо известный SU (З)-декуплет
барионных рвзонансов с Jp = 3/2+. В табл. 4 приведены
эти резонансы и указано, из каких кварков они состоят.
Так же, как в случае псевдоскалярных и векторных мезо-
мезонов, их волновые функции можно записать в виде произ-
произведения типа E.6). Части волновых функций этого декуп-
лета, относящиеся к спину и унитарному спину, можно
построить следующим образом. В гл. 2 мы видели, что
унитарно-спиновые части волновых функций состояний
из декуплета B.17) полностью симметричны относительно
перестановок трех кварков. С другой стороны, спиновые
волновые функции этих состояний также симметричны,
так как спины кварков должны объединяться таким
образом, чтобы полный спин получался равным 3/2. Отсю-
Отсюда следует, что ф (А) симметрична. Теперь предположим,
что кварки, как и обычные частицы со спином 1/2, под-
5-716
66
Глава 6
чиняются статистике Ферми. Тогда полная волновая
функция У {А) должна быть антисимметричной относи-
относительно взаимной перестановки любых двух кварков.
Таблица 4
Основные барионные состояния
Частица
Д++
Д+
Р
д»
N
д-
2+
у*0
20
Л
Y*-
2"
Е*°
Е°
н*~
н-
Q-
Составляю-
щие кварки
РРР
ррп
рпп
ппп
ppl
ргй.
ппХ
рМ
п%Х
Л Л Л/
Масса, Мэв
1236
1236
938,3
1236
939,6
1236
1382
1189,5
1382
1192,6
1115,6
1382
1197,4
1529
1314,7
1529
1321,2
1674
SUC)-
мультип-
лет
{10}
{10}
{8}
{10}
{8}
{10}
{10}
{10}
{8}
{8}
{10}
{8}
{10}
{8}
{10}
{8}
{10}
JP
3/2+
3/2+
1/2+
3/2+
1/2+
3/2+
3/2+
1/2+
3/2+
1/2+
1/2+
3/2+
1/2+
3/2+
1/2+
3/2+
1/2+
3/2+
/
3/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1
1
1
0
1
1/2
-1/2
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-3
Для частиц из декуплета приведено в каждом изоспиновом мультиплете
значение массы частицы с наибольшим 1%. Антибарионные состояния получа-
получаются при замене каждого кварка соответствующим антикварком.
Следовательно, пространственная часть / (Л,{г;}) должна
быть антисимметричной. В гл. 7 рассматривается особая
ситуация, когда пространственная часть волновой функ-
функции основного состояния (L = 0) антисимметрична.
. Основные бариопные состояния 67
Согласно формулам C.4), C.8) и C.9), декуплет с s = 3/2
может принадлежать только SU (б)-мультиплету 56.
Легко построить волновые функции ф (А) декуплета,
если заметить, что спиновые волновые функции имеют вид
ittt)-
_ 1
(б-1)
Используя табл. 4, мы находим, например,
Ф (А+, sz =т) = —;=- [ ] pfpH) +1 pfnfpf) + ] п\р\р\)],
+, sz = |) = [ | pfpH) 1 /M/t + I jpfpf
( ' }
§ 2. Состояния, принадлежащие октету
Октет барионов с Jp = 1/2+ состоит из трехкварковых
состояний с L = 0, в которых полный спин кварков
равен 1/2. Барионы составлены из кварков, как показано
в табл. 4. Их волновые функции определены формулой
E.6). Естественно предположить, что этот октет дополняет
упомянутый выше SU (б)-мультиплет 56, содержащий
состояния декуплета 3/2+. Это предположение, по-види-
по-видимому, оправдывается в эксперименте, в частности в его
пользу говорит удивительно успешное предсказание отно-
отношения магнитных моментов протона и нейтрона, следую-
следующее из этой классификации (см. гл. 11). Тот факт, что
трехкварковые состояния в мультиплете {56, L = 0)
имеют гораздо меньшую массу, чем состояния в мульти-
плетах B0, L = 0) и G0, L = 0) (до настоящего времени
5*
68 Глава 6
последние два мультиплета экспериментально не наблю-
наблюдались), должен объясняться в кварковой модели особым
характером сил связи между кварками (гл. 7).
Если бы SU (б)-симметрия была точной симметрией,
то высказанное выше предположение означало бы, что
пространственные волновые функции октета и декуплета
одинаковы. В действительности симметрия лишь при-
приближенно является SU (б)-симметрией, и эти волновые
функции могут быть неодинаковыми. Однако мы будем
считать, что эти волновые функции обладают по крайней
мере свойствами перестановочной симметрии, которые
предписываются группой SU F). Это предположение озна-
означает, что, как и для частиц декуплета, пространственные
волновые функции барионов антисимметричны. Более
того, во многих приложениях мы дополнительно пред-
предполагаем, что эти волновые функции приближенно удовле-
удовлетворяют условию F?A' @) = 1 [см. E.11) и E.12)].
Для получения той части ср волновых функций барио-
барионов, которая относится к спину и унитарному спину,
мы можем поступить следующим образом. Рассмотрим
в качестве примера протон со спином, направленным
вверх (sz — 1/2). Вспомним, что ф должна быть полностью
симметричной. Спиновая и унитарно-спиновая части вол-
волновой функции протона в отдельности обладают смешан-
смешанной симметрией. Как объединить три спина 1/2, чтобы
получить полный спин 1/2? Один из способов состоит
в том, что два кварка помещают в синглетное спиновое
состояние и добавляют третий кварк со спином, направ-
направленным вверх. Такое синглетное спиновое состояние опи-
описывается формулой
Чтобы получилась полностью симметричная комбинация,
оба эти кварка должны находиться в антисимметричном
состоянии по унитарному спину. В случае протона един-
единственно возможная комбинация имеет вид
-А-(рп-пр).
. Основные барионные состояния
69
Добавляя третий кварк (р-кварк) со спином, направлен-
направленным вверх, получаем
у М4 — Р\п\ — пМ + 4/>t) Р\ ¦
Множитель в скобках полностью симметричен относитель-
относительно взаимной перестановки двух состояний, однако все
выражение в целом не симметрично. Симметризация и нор-
нормировка этого выражения сразу приводят к формуле
Ф (Р, sz - 4) = -^=- [21 р\п\р\) + 21 ptpfi4> +
+ 2 | п\р\р\) -1 р\р{п\) -1 р\п\р\) - | р\п\р\) -1 п\р\р\) -
>1- F.3)
Конечно, можно начать по-другому, а именно поместить
два кварка в триплетное спиновое состояние и добавить
спин третьего кварка. Конечный результат получается
тот же.
Таблица 5
Свойства симметрии трехкварковых волновых функций
Полный спин
кварков
3/2
1/2
Мультиплет
{10}
{8}
{1}
{10}
{8}
{1}
Унитарно-
спиновая
часть волно-
волновой функции
s
т.
а
s
т.
а
Спиновая
часть
волновой
функции
S
s
s
т
т
т
Пространст-
Пространственная часть
волновой
функции
а
т
s
т
s, т или а
т
s, a, m соответственно означают симметричный, антисимметричный,
со смешанной симметрией.
70 Глава 6
Подобным образом для нейтрона находим
ср (N, sz = 1) = -J=. [ _ 21 п\р\п\) - 21 п\п\р\) -
- 2 | р\п\п\)
F.4)
Другие полностью выписанные примеры можно найти
в статьях Тирринга [47, 48].
В табл. 5 мы приводим свойства трехкварковых вол-
волновых функций относительно перестановочной симметрии,
которые понадобятся в дальнейшем. Предполагается, что
кварки подчиняются статистике Ферми [W (А) антисим-
антисимметрична].
Глава
7
ДИНАМИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
§ 1. Силы, действующие между кварками
Динамические механизмы, приводящие к наблюдаемым
связанным состояниям кварков, совершенно не ясны.
Мы не знаем ни истинной природы сил, склеивающих
кварки, ни динамических уравнений, управляющих дви-
движением кварков внутри адрона. С помощью обычных
представлений ядерной физики трудно понять кварковые
связанные состояния, обладающие особыми свойствами
(такими как аддитивность и нерелятивистское движение),
которые требуются в приложениях.
Предположим, что силы, связывающие кварки между
собой и с антикварками, являются силами двухчастичного
типа. Следуя Далицу [7, 15—17], мы предположим в каче-
качестве рабочего базиса следующую иерархию сил, пере-
перечисляемых в порядке убывания симметрии.
1. Силы, обусловленные сверхсильным взаимодей-
взаимодействием V (qt, qj) и V (qt, qf) неизвестной природы, обес-
обеспечивающие огромные энергии связи, которые требуются
для почти полной компенсации больших масс кварков.
Спектр масс низших адронных состояний позволяет пред-
предположить, что эти силы не зависят от спина о и унитар-
унитарного спина F кварков. Если существуют только такие
связывающие силы, то все мезонные состояния с данным
орбитальным моментом L вырождены по массе. То же
справедливо и для барионных состояний с данным L
и данной перестановочной симметрией пространственной
волновой функции.
2. Силы V, возникающие из-за сильного взаимодей-
взаимодействия, которые зависят от о и F, но все еще SU F)-сим-
метричны. Эти силы вызывают выделение SU (б)-муль-
типлетов. Каждый SU (б)-мультиплет сам по себе остает-
остается вырожденным.
3. Центральные силы с зависимостью от а или F вида
(см. конец гл. 2)
Va = Aoro,, VF = BFrFj; G.1)
72 Глава 7
они SU (З)-симметричны, но снимают вырождение между
различными SU (З)-мультиплетами внутри SU (б)-муль-
типлета.
4. Спин-орбитальные силы вида
Vso = Cs.L, G.2)
не противоречащие SU C).
5. Другие нецентральные силы тензорного характера,
сохраняющие SU (З)-симметрию, но нарушающие
SU (б)-симметрию. (Вообще говоря, каждая из пере-
перечисленных выше сил зависит от расстояний между квар-
кварками.)
6. Силы, возникающие из-за умеренно-сильного взаи-
взаимодействия, нарушающего SU (З)-симметрию. Эти силы
вызывают различия в массах разных изоспиновых муль-
типлетов внутри SU (З)-мультиплета. Простейшим и, воз-
возможно, основным механизмом нарушения SU (З)-сим-
метрии является тот механизм, который можно предста-
представить разностью масс, между А,-кварком ир-и га-кварками
(см. следующую главу).
7. Электромагнитные силы, вызывающие расщепление
масс внутри изоспинового мультиплета.
На основе этого списка сил мы можем попытаться
проанализировать различные адронные мультиплеты, их
относительные положения и способ их расщепления
на низшие мультиплеты, а также установить, можно ли
выбрать постоянные коэффициенты при этих силах таким
образом, чтобы получить непротиворечивое описание.
Мы рассмотрим эти вопросы несколько подробнее в сле-
следующих главах, здесь же ограничимся тем, что отметим
некоторые трудности, связанные со слишком упрощенной
интерпретацией кварковой модели.
§ 2. Трудности простых динамических моделей
Следующий очевидный вопрос вызывает затруднения.
Почему силы, действующие между кварками, по-види-
по-видимому, таковы, что возникают только связанные состояния
типа qq и qqq (и, возможно, qqqq, qqqqq, ¦ ¦ ¦ )> по крайней
мере в области масс, меньших ~4 Гэв? Почему мы наблю-
наблюдаем трехкварковое состояние, но не наблюдаем четырех-
Динамические вопросы 73
кваркового состояния? Другими словами, почему при-
притяжение в iV-кварковом состоянии насыщается при N = 3?
Не должны ли мы ожидать, что четырехкварковое состоя-
состояние окажется еще сильнее связанным, чем трехкварковое
состояние, и, следовательно, еще более легким по массе?
Почему система из шести кварков образует дейтрон,
а не некоторый сколлапсировавший объект? На вопросы
такого типа убедительных ответов нет. Морпурго [49]
отметил, что следует проявлять осторожность, изучая
проблему насыщения в нерелятивистской кварковой моде-
модели. Рассмотрим, например, четырехкварковую конфигу-
конфигурацию. Мы знаем, что три из этих кварков могут образо-
образовать связанное состояние, допустим протон. Тогда чет-
четвертый кварк «видит» объект с гораздо меньшей массой,
чем масса кварка. Следовательно, даже если в трехквар-
ковой конфигурации движение кварков нерелятивистское,
относительное движение четвертого кварка и связанного
состояния не обязательно должно быть нерелятивистским.
Поэтому нерелятивистская • трактовка задачи о связи
четырех или большего числа кварков была бы непосле-
непоследовательной. В этой связи не следует забывать, что вопрос
о совместимости нерелятивистского движения и сильной
связи не очень хорошо выяснен даже для случая трех-
кварковых конфигураций (ср. гл. 4, § 3). Детальное
изучение различных типов насыщения, которые могут
появиться в триплетных моделях, было проведено Грин-
Гринбергом и Цванцигером [50].
Оставим пока проблему насыщения и ограничимся
простейшими конфигурациями. Как отмечено выше,
о природе основных сил, связывающих кварки внутри
барионов и кварки с антикварками внутри мезонов,
ничего не известно. Если бы мы наивно предположили,
что эти силы возникают за счет обмена одним нейтральным
векторным мезоном, связь с которым одинакова для каж-
каждого .кварка, то мы пришли бы к затруднению, так как
получили бы притяжение для qq, но отталкивание для qq.
Обмен всеми возможными векторными и псевдоскаляр-
псевдоскалярными мезонами с L = 0 не улучшает ситуации в том
смысле, что возникающие при этом центральные силы
приводят к притяжению для qq в мультиплете 35, при-
притяжению для qq в мультиплетах 20 и 70, но к отталкива-
74 Глава 7
нию для qq в мультиплете 56 (см. [47, 48]). Следовательно,
при учете только центральных сил этого типа мы не можем
объяснить тот экспериментальный факт, что низшие барио-
ны находятся в E6, L — 0), а не в B0, L = 0) или G0,
L = 0). Правильная динамическая модель должна объяс-
объяснять, почему эти последние два мультиплета, по-видимо-
по-видимому, имеют гораздо большую массу, чем E6, L = 0), или,
другими словами, почему силы в qqq-сштеме приводят
к основному состоянию с L — 0 и с антисимметричной
пространственной волновой функцией, если предполо-
предположить, что кварки подчиняются статистике Ферми? Можно,
разумеется, построить полностью антисимметричную вол-.
новую функцию с L = 0, как показывает следующий
пример Далица [7, 15—17]:
/ (г„ г2, г3) = (г\ -г1) (г\-г\) (г\-г\) ф (г„ г2, г3), G.3)
где ср полностью симметрична. Эта волновая функция
соответствует кваркам, находящимся в относительных
р- и /-состояниях. Однако поскольку она имеет узловые
плоскости, кинетическая энергия велика, так что не сле-
следует ожидать, что эта волновая функция представляет
основное состояние по крайней мере в том случае, когда
система связана двухчастичными необменными силами
притяжения. Действительно, общая теорема [7, 50] уста-
устанавливает, что волновая функция основного состояния
системы, взаимодействующей через такие силы, не может
иметь узлов. Этой трудности не существует, если двух-
двухчастичный ^-потенциал имеет в основном пространствен-
пространственно-обменный характер [7]. Такой потенциал является
потенциалом притяжения, если внутренний орбитальный
момент равен нечетному числу, и в этом случае он может
породить в qqq-системе основное состояние с L = 0 с анти-
антисимметричной пространственной волновой функцией (на-
(напомним, что L — полный орбитальный момент). Однако
естественного механизма, приводящего к такому потен-
потенциалу, по-видимому, не существует. Альтернатива, кото-
которая также дает выход из этой дилеммы, заключается
в предположении, что в трехкварковой системе действуют
трехчастичные силы притяжения [51, 208]. Такое пред-
предположение было сделано, например, Куо и Радикати [51],
Динамические вопросы 75
которые показали, что низкое положение мультиплета 56
можно объяснить, если предположить, что между квар-
кварками существуют значительные трехчастичные обменные
силы притяжения и двухчастичные силы отталкивания.
Последние силы необходимы для того, чтобы поднять
мультиплет 20 относительно мультиплета 56. Как такие
силы могли бы возникать естественным образом, также не
ясно. Отметим, что в этой модели образование связанных
од-состояний автоматически исключается, но отсутствие
iV-кварковых состояний с малыми массами при N > 3
остается необъясненным.
Мы упоминали, что в волновой функции с L = О G.3)
кварки находятся в относительных р- и /-состояниях.
Однако можно построить антисимметричную волновую
функцию с L = 1 и положительной четностью, где кварки
будут только в относительных /ьсостояниях [15—17, 47,
48]. Мы ожидаем, что такие состояния будут располо-
расположены ниже по энергии, чем состояния с L = О, что про-
противоречит экспериментальным данным. Итак, снова воз-
возникает вопрос, почему барионы находятся в мультиплете
56 с L = О?
В связи с этими и другими подобными вопросами сле-
следует заметить, что связывающие силы не должны быть
обязательно центральными. Нельзя исключать возмож-
возможность присутствия сильных нецентральных од-сил, напри-
например тензорных сил. Подобная ситуация небезызвестна
в ядерной физике. Однако такие силы нарушают SU(b)-
симметрию. Следовательно, если бы основными связы-
связывающими силами были такие силы, а не SU (б)-инвариант-
ные силы G.1) и G.2), то SU (б)-симметрия не имела бы
какого-либо глубокого смысла, а ее успехи в описании
адронных состояний с малыми массами были бы более
или менее случайными [7]. Такая ситуация была бы
похожа на то, что мы видим в ядерной физике в связи
с SU D)-симметрией в вигнеровской теории супермуль-
типлетов для легких ядер. Нижние уровни таких ядер
приближенно удовлетворяют предсказаниям SU ^-сим-
^-симметрии, несмотря даже на то, что нуклон-нуклонные
потенциалы для синглетного и триплетного состояний
нарушают эту симметрию из-за присутствия тензорных
сил. Дело в том, что соответствующие волновые функции
76 Глава 7
случайно почти совпадают друг с другом в той области
потенциала, которая определяет ситуацию.
Как бы то ни было, в настоящее время не существует
убедительной модели связанных состояний кварков. Веро-
Вероятнее всего, по-видимому, что кварковые силы нельзя
просто смоделировать по образцу сил, связывающих
нуклоны внутри ядер.
Шифф [37] сделал попытку объяснить специфическое
поведение кварков внутри адронов, используя принцип
отбора, который ограничивает целыми значениями бари-
онное число и заряд любого скопления взаимодействую-
взаимодействующих кварков и антикварков, находящихся внутри опре-
определенной области взаимодействия радиуса R. Мы ожидаем,
что R « 10~13 см, но не исключены и существенно боль-
большие значения [37]. Ясно, что такой принцип отбора пред-
представлял бы собой решение упомянутой выше проблемы
насыщения и объяснял бы также, почему кварки не
наблюдались как отдельные частицы.
Шифф предлагает две модели такого принципа отбора.
Первая модель — феноменологическая — выражается
через многочастичные силы, действующие между квар-
кварками. Об источнике этих сил не предлагается никаких
соображений. Потенциальная энергия системы из п квар-
кварков и т антикварков записывается в виде
V — m V V п(ч t\ G 4\
v nm—rnq ? 2j a\&> 4 (ra_s)!s! lm — t)\t\ ' V-^J
5=0 t= 0
где a00 = 0, a10 = a01 = 1, а остальные коэффициенты
отличны от нуля только в том случае, когда соответ-
соответствующие частицы находятся внутри области взаимо-
взаимодействия друг с другом. Указанное правило отбора полу-
получается при таком выборе ast, чтобы Зд-, 3^- и ^-состояния
имели нулевую энергию, т. е. их масса была пренебре-
пренебрежимо мала по сравнению с предположительно большой
массой свободного кварка mq; при этом все другие состоя-
состояния имеют большую положительную энергию. Если пред-
предположить, что отличны от нуля только одно-, двух-
и трехчастичные потенциалы, то мы получаем следующие
Динамические вопроси 11
условия для коэффициентов:
-2<fflB,0)<-i-, a(l,l)=-2, ^
а C,0)= -3[1 + вB, 0)], в B, 1)>1-аB,0),
т. е. все двухчастичные силы должны быть силами притя-
притяжения, а все трехчастичные — силами отталкивания.
Сравните этот вывод со сделанными выше замечаниями.
Вторая модель более экзотична и основана на идее
Дирака о том, что квантование электрического заряда
следует из существования точечного магнитного полюса
(монополя). Если предположить, что этот монополь имеет
конечные размеры порядка R, то, модифицируя дираков-
ский подход, мы приходим к выводу, что полный заряд
всех частиц, находящихся в пределах расстояния R
друг от друга, квантован, тогда как заряды отдельных
частиц не обязательно квантованы. Иными словами, раз-
разрешены только связанные скопления кварков с целым
барионным числом. Отметим, что здесь не делается пред-
предположений о массах кварков или силах, действующих
между ними. Мы можем считать их такими, что внутри
каждого скопления кварки движутся почти свободно
и нерелятивистски.
§ 3. Могут ли кварки подчиняться статистике Ферми?
Митра и Маджумдар [52] указали еще одну трудность,
связанную с антисимметричностью пространственной части
волновых функций. Они заметили, что такие функции
приводят к нулям в формфакторах барионов. Это легко
видеть [53]. В нерелятивистском случае такой формфактор
равен (если считать кварки точечными)
*¦(?«)= Jd»rp (г) е'«-', G.6)
где нормированное распределение заряда р (г) для случая
полностью симметричной или антисимметричной простран-
пространственной волновой функции / (г4, г2, Гз) с I =0 можно
записать в виде
Р(г)= \d3r2\f(r,r2, _(r-fr2))|». G.7)
78 Глава 7
В соотношениях G.6) и G.7) мы выбрали координаты
трех кварков в системе их центра масс, где rj -f- r2 +
+ г3 = 0. При L=0 функции р и F зависят только от абсо-
абсолютных величин г и q. Если функция / антисимметрична,
то плотность заряда в начале координат обращается
в нуль, поскольку подынтегральное выражение в G.7)
становится тождественным нулем. Следовательно,
оо
Р @)^2^5 5<%2^(<?2)=0, G.8)
о
откуда мы заключаем, что F (q2) должна иметь нуль (это
справедливо только в том случае, когда р (г) непрерывна
при г = 0 [53]). Действительное положение этого нуля
при таком рассмотрении не определяется.
Используя антисимметричную волновую функцию типа
G.3) с
-р»(гл1 + г; + г;)], G.9)
Митра и Маджумдар нашли, что нуль расположен при
q2 да 17,3 Р2. При использовании приведенной выше вол-
волновой функции среднеквадратичный радиус rg, связанный
с трехкварковым распределением, оказывается порядка
Р. Если его отождествить со среднеквадратичным радиу-
радиусом зарядового распределения протона, равным 0,81 фер-
ми, то нуль появляется вблизи q2 = 25 (ферми)~2.
Поскольку экспериментальные данные [54] не обнару-
обнаруживают каких-либо признаков нуля вплоть до q2 =
= 600 (ферми)'2, использование антисимметричной вол-
волновой функции кажется отвергнутым этим соображением.
Однако нам следует быть осторожными. Во-первых, вол-
волновая функция G.9) может оказаться слишком упрощен-
упрощенной. Действительно, как показали Крепе и де Сварт
[53], можно построить более сложные антисимметричные
волновые функции, приводящие к формфакторам с нуля-
нулями при гораздо больших значениях q2, почти на границе
экспериментальной области. Но при столь больших зна-
значениях q2 нерелятивистский подсчет формфактора не
имеет, конечно, особого смысла, и все эти соображения
повисают в воздухе. Во-вторых, следует помнить, что
полученный вывод был сделан на основе предположения
Динамические вопросы 79
о кварках, как о точечных частицах, лишенных структу-
структуры, а пространственное распределение электромагнитных
свойств барионов вытекает из пространственной протя-
протяженности трехкварковой волновой функции. Однако если
кварки имеют структуру, т. е. если их заряды и магнитные
моменты распределены в области порядка размеров самих
нуклонов (ср. обсуждение в конце гл. 5, § 2), то в этом
случае rq не должно обязательно отождествляться со сред-
среднеквадратичным радиусом зарядового распределения про-
протона и фактически может быть весьма малым, отодвигая
тем самым нуль на большие значения q2. Например, если
взять rq « Р = 0,1 ферми, то нуль получится при
q2 fa 1700 (ферми)'2, что далеко выходит за рамки совре-
современной экспериментальной области.
Подводя итоги, мы можем сказать, что данные по форм-
факторам пока не исключают определенно возможность
антисимметричной пространственной волновой функции,
но если в нуклонных формфакторах никогда не будет
найден нуль, то может возникнуть серьезная трудность.
В этом случае придется отказаться от статистики Ферми
для кварков и предположить парастатистику, как пред-.
ложил Гринберг [55, 56], или, что сводится к тому же,
предположить существование трех триплетов кварков,
различаемых новым индексом at (i = 1, 2, 3), как в моде-
модели Хана — Намбу (гл. 4). Волновая функция низших
барионных состояний принимает тогда вид
(Л), G.10)
где ea.a2a3 — полностью антисимметричный тензор
с е1,2,з = 1- Ясно, что в этом предположении допускается
полностью симметричная / при симметричной ф, что и
наблюдается в мультиплете 56. Вопрос о перестановочной
симметрии пространственной волновой функции барионов,
хотя сам по себе и важный, не очень существен для боль-
большинства практических приложений, где эта функция
появляется в выражении типа E.11), которое аппрокси-
аппроксимируется единицей или рассматривается как свободный
параметр. Отметим, что новая степень свободы, появляю-
появляющаяся в трехтриплетной модели, приводит к добавочным
возбуждениям, из которых следует возможность построе-
80 Глава 7
ния ??/C)-мультиплетов трехчастичных состояний (таких,
как {10}), которые нельзя получить из трех обычных
кварков. Мы вернемся к симметричной модели в гл. 9,
§5.
§ 4. Изучение системы кварк — антикварк
Заканчивая эту главу, посвященную вопросам дина-
динамики кварков, мы упомянем кратко некоторые попытки
изучать сильно связанную систему кварк — антикварк
как решение некоторого динамического уравнения, тако-
такого, как уравнение Бете — Солпитера [15—17, 57—60].
Паньямента [60] использует полностью релятивистское
уравнение Бете — Солпитера с ядром, соответствующим
обмену легким скалярным бозоном (массы |л) между q
и q в лестничном приближении, пренебрегая спинами
кварков. Вопрос заключается в следующем: возможно
ли получить связанные состояния при целых значениях
орбитального момента и возможно ли воспроизвести
соответствующие траектории Редже? В задаче имеются
два параметра: mq и константа связи К. Принимаются зна-
значения ц = 500 Мэв и тч = 20 ц; X определяется так,
чтобы получилось /S-волновое связанное состояние с мас-
массой мезона. Ставится вопрос: существуют ли при этом
значении X возбужденные состояния с большим орби-
орбитальным моментом? Оказывается, что их массы порядка
тд или больше, т. е. траектории Редже растут слишком
медленно. Уменьшение mq не исправляет ситуации; при
столь малой массе кварка, как 1 Гэв, и основном состоя-
состоянии при 500 Мэв не обнаруживается даже возбужденных
связанных состояний. По-видимому, наблюдаемые линей-
линейные траектории требуют потенциалов, сильно отличаю-
отличающихся по форме от потенциалов Юкавы, а именно более
пологих и открытых в области низших возбуждений
(ср. также [15—17]).
Глава
РАЗНОСТИ МАСС
В ?г/C)-МУЛЬТИПЛЕТАХ
§ 1. Мезоны
Продолжая обсуждение адронных состояний с малой
массой (L = 0), рассмотрим теперь разности масс в соот-
соответствующих SU (З)-мультиплетах. Начнем с псевдо-
псевдоскалярных и векторных мезонов.
Если присутствуют только силы типа A) и B) (в обо-
обозначениях гл. 7), то мезоны, принадлежащие одному
SU (б)-мультиплету, вырождены по массе. Значительные
различия между центральными массами псевдоскаляр-
псевдоскалярного октета и векторного октета должны быть обуслов-
обусловлены присутствием нарушающих SU (б)-симметрию, зави-
зависящих от спина сил типов C) и E). Как хорошо известно,
массы изоспиновых мультиплетов в каждом S U (З)-муль-
типлете также обнаруживают различия из-за нарушаю-
нарушающих SU (З)-симметрию взаимодействий. Простейшая
и наиболее естественная гипотеза, которую можно выдви-
выдвинуть в кварковой модели, заключается в том, что эти
расщепления масс обусловлены исключительно разностью
масс А /,-кварка и р- и тг-кварков, т. е.
тр = тп = т, т), = т + А (8.1)
и mq = т-. Эффекты электромагнитного взаимодействия
не учитываются. Тогда в нерелятивистской кварковой
модели массу тА частицы А из SU (З)-мультиплета {а}
записывают в виде
шл = (? (А) | 2 тд. - U ({а}) | ? (Л)), (8.2)
где суммирование производится по кваркам, составляю-
составляющим адрон А, а через U обозначен ад-потенциал, который
в рамках указанной гипотезы не зависит от индексов
кварков и индекса A. U ({а}) может включать все возмож-
возможные SU (З)-инвариантные комбинации, а также предпо-
предположительно малый член кинетической энергии. Функция
? представляет собой волновую функцию, определенную
выражением E.6).
6-716
82 Глава 8
Применим эту формулу к векторным мезонам V. Ис-
Используя табл. 3, находим
mp-~=2m-B(V, {8})===m8,
8
m9l = 2m A- -| A - В (F, {1}) = mt ¦+¦ -| A,
где
5 G, {a}) = <T (F) | f/ ({a}) | V (F)). (8.4)
Здесь F = F @) представляет собой интеграл пере-
перекрытия пространственных волновых функций частиц (pt
и со8, определенный выражением E.11); через mt и т8
обозначены массы чистого унитарного синглета и октета.
Первые два соотношения дают
Шк* — /гар —Л, (8.5)
что приводит к значению А = ИЗ Мэв, если использо-
использовать значения масс, приведенные в табл. 3. Мы видим,
что со8 и ф! не являются собственными состояниями энер-
энергии. Нарушающий SU (З)-симметрию механизм вызывает
переход между этими состояниями, который описывается
оператором bmai(S>1 (смешивание со и ср). Для получения
физических частиц со и ф мы записываем их в виде E.4)
и диагонализируем матрицу масс
4 A —;
(8.6)
с помощью матрицы вращений
(cos
-si
cos 9V sin 9
siney сое
Разности масс в SU (З)-мулътиплетах 83
Это приводит к следующим уравнениям для собственных
значений тф и ти и угла смешивания 0^:
(8.8)
¦§¦ A Bm, -f m8) f |- A2 (I -F*), (8.9)
D1/2/3) /-А ,я ,т
Из этих уравнений мы видим, что кварковая модель пред-
предсказывает угол смешивания, включая его знак, в противо-
противоположность феноменологическому анализу на основе мас-
массовой формулы Гелл-Манна — Окубо, который позволяет
получить только абсолютное значение угла.
Используя экспериментальные значения масс, приве-
приведенные в табл. 3, находим из (8.3) и (8.8)
mi=799 Мэв, т8 = 777 Мэв. (8.11)
Таких почти одинаковых значений mt и тпв и следовало
ожидать, если в 35-плете основные силы, приводящие
к нарушению 5С/F)-симметрии, являются спин-спино-
спин-спиновыми силами Va [см. G.1)]. В самом деле, в этом случае
мы имеем для векторных мезонов U ({1}) » U ({8})
и из (8.3) и (8.4)
m-i an ms. (8-12)
Кроме того, мы ожидаем также, что F « 1. Это согла-
согласуется с предыдущими уравнениями; однако значение F,
которое мы получаем из (8.9), весьма чувствительно
к выбору исходных значений масс. Значения, взятые
из табл. 3, приводят к F2 > 1, что невозможно; если
взять пгр = 769 Мэв, то получаем F2 =1. Следовательно,
в рамках экспериментальной неопределенности значения
пгр нонет векторных мезонов не противоречит F « 1.
Подставляя это значение и соотношение (8.12) в формулу
(8.10), приходим к значению Qv = arc tg (J-^2/2) = 35°,
для которого собственные состояния энергии с / = Y = 0
определяются выражениями E.5) с массами ms -j- 2A и m8.
Имеем массовые соотношения
6*
84 Глава S
которые выполняются в пределах нескольких процентов.
Небольшое расхождение показывает, что соотношение
(8.12) не может быть точным равенством из-за присут-
присутствия других нарушающих SU (б)-симметрию сил. Кроме
того, угол смешивания не равен в точности Эу =
= arc tg (f/^2/2). Из (8.13) получаем вторую оценку вели-
величины А
Д «1 (тф-т») = 118 Мэв, (8.14)
очень близкую к указанному выше значению.
Если вместо линейного оператора массы перейти к опе-
оператору квадрата массы, обычно используемому для мезо-
мезонов, то получим в результате
(8Л5)
= у К-!!&) = 2,14-105 (Мэв)*.
Для векторных мезонов выбор оператора мало влияет
на результат, но в случае псевдоскалярных мезонов это
не так. Из выражений, аналогичных (8.3), в случае линей-
линейных масс получаем
Д = тк-тя = 358 Мэв, (8.16)
что находится в противоречии со значениями, получен-
полученными выше для векторных мезонов. Используя же опе-
оператор квадрата массы, получаем
6 = т2к-тЪ = 2,27-10ь (МэвJ (8.17)
в согласии с (8.15). Априорные причины предпочтитель-
предпочтительности использования оператора квадрата массы не очень
ясны [7]. Обычный аргумент состоит в том, что в оператор
энергии масса всегда входит в виде (массаJ в случае
бозонов, тогда как в случае фермионов она входит линей-
линейно.
Для нонета псевдоскалярных мезонов соотношение
(8.12) сильно нарушается и &Р Ф arc tg (J/^2/2). Это мож-
можно видеть, если записать уравнения, подобные (8.8) —
Разности масс в SU (З)-мулътиплетах 85
(8.10), но для квадратов масс:
(8 18)
hr2fl _ D1/2/3)/"б ,
g p ml — ml-ir B/3) 6'
Теперь F представляет собой интеграл перекрытия про-
пространственных волновых функций частиц т)8 и у][. Подстав-
Подставляя экспериментальные значения масс тц, тц> и тп
и решая эти уравнения, находим
т. —863 Мэв, m8=135 Мэв,
F 0 52 fl 11° {8Л9)
Сравним эти результаты с результатами для векторных
мезонов. Большая разница в значениях т8 для двух
/
/ ч- ,.Р,(863)
/ ,. V,G99)
1 35 ^Г--' VA777)
\
\
wv рваз5)
Фиг. 5. Расщепление масс 36 мезонных состояний с L = 0,
обусловленное силами 1, 2 и 3 типов (масштаб произвольный).
нонетов указывает на присутствие по крайней мере
в 35-плете зависящих от спина сил, обусловленных силь-
сильным взаимодействием, которые нарушают SU F)-сим-
метрию. Приблизительно картина может выглядеть так,
как показано на фиг. 5 (см. также гл. 9).
86 Глава 8
В проделанном анализе мы отождествили с т)' девятый
псевдоскалярный мезон из нонета. Недавно был открыт
десятый псевдоскалярный мезон, а именно ?'A420), для
которого, по-видимому, / = 0. Если этот мезон рассмат-
рассматривать вместо т)' в качестве девятого члена псевдоска-
псевдоскалярного нонета, то (8.19) заменяется на
т,= 1360 Мэв, т8=135 Мэв,
/^0,88, вР=-6°. (8'20)
Действительная ситуация может оказаться еще сложнее.
в том смысле, что в принципе может происходить смеши-
смешивание всех трех состояний т), т)' и Е.
§ 2. Барионы
Обратимся теперь к барионам. В случае 3/2+-декуплета
простой механизм (8.1) нарушения SU (З)-симметрии сра-
сразу приводит к правилу равных интервалов для масс (см.
табл. 4):
"*а- — тв* — ffis* — my* = my* — mA — A. (8.21)
Из эмпирических значений масс находим
А = 147 Мэв ¦ (8.22)
все еще в разумном согласии со значением А « 120 Мэв,
полученным из масс векторных мезонов.
Для октета барионов механизм нарушения (8.1) ока-
оказывается слишком упрощенным. В этом случае формула
(8.2) приводит к соотношениям
Щд = Шу, = ТПр -f А,
' (8-23)
Первое соотношение не отражает реальной ситуации,
так как т% — т\ = 77 Мэв. Более того, соотношения
(8.23) предсказывают значения А, несовместимые со зна-
значениями, полученными раньше: А = тА — тР = 177 Мэв
и А = A/2) (т3 — тР) = 189 Мэв. Эти различия должны
быть отнесены на счет нарушающих симметрию эффектов
в потенциалах взаимодействия кварков, как это рассмат-
рассматривали, например, Цвейг [2] и Федерман и др. [61]. Эти
Разности масс в SU (З)-мулътиплетах 87
последние авторы обобщили формулу (8.2), предположив,
что нарушающие симметрию силы, действующие между
кварками, представляют собой силы только одно- и двух-
двухчастичного типа, так что массу бариона А можно записать
в виде
mA = (W(A)\^mq U({a})+ % DtJ\V(A)), (8.24)
где массы кварков определены (8.1). Матричные элементы
двухчастичных операторов взаимодействия Dtj, нарушаю-
нарушающих симметрию, зависят, вообще говоря, от спина и изо-
спина двухкварковой системы i — /, но в остальном пред-
предполагаются одинаковыми для всех барионов с L = 0.
Количество таких матричных элементов ограничивается
еще тем, что волновая функция спина и унитарного спина
барионов с L = 0 полностью симметрична. Это требует,
чтобы два кварка с изоспином 1/2 находились либо в три-
плетном, либо в синглетном состоянии одновременно
по спину и изоспину, тогда как два Я,-кварка всегда нахо-
находятся в триплетном состоянии по спину. Предположе-
Предположение (8.24) приводит к следующим соотношениям для масс:
mQ- — ТИд = 3 (?Пз*— ТПу*),
/ns— mv = ms* — mY*, (8.25)
2 2
m-z — mA 4- — (mN — ms) = у (тд — ms*),
которые блестяще подтверждаются, если использовать
экспериментальные значения масс, приведенные в табл. 4.
То же самое можно сделать для мезонов 162]; однако
в этом случае без добавочных динамических предположе-
предположений о матричных элементах операторов Dt] никаких соот-
соотношений не получается. Если мы предположим, что
(qq' | Dij | qq') = а для любой пары qq' в состоянии s = 1,
_ _ (8.26)
(qq' | Dtj | qq') = а' для любой пары qq' в состоянии s = 1,
т. е. симметрия нарушается только скалярной (s = 0)
частью взаимодействия, то получим (помимо прочего)
замечательное и выполняющееся соотношение, включаю-
включающее массы мезонов и барионных резонансов линейно:
WJ<p — ТПк* = /Ид — Шу*.
88 Глава 8
Это соотношение нельзя получить ни из какой симметрии.
В применении к барионам первое из условий (8.26) являет-
является достаточным, но не необходимым условием для полу-
получения из (8.24) правила равных интервалов для декуплета
и массовой формулы Гелл-Манна — Окубо [9] для октета
у (mN 4- /res) = -?- (/res + 3/геА).
В заключение отметим, что электромагнитные разности
масс изучались в кварковой модели с помощью аналогич-
аналогичного подхода [46, 63, 64]. Например, предположение,
что электромагнитный сдвиг массы адрона равен сумме
электромагнитных сдвигов масс составляющих кварков
и математических ожиданий дополнительных электромаг-
электромагнитных двухчастичных сил, действующих между кварка-
кварками, приводит к знаменитому, хорошо проверенному соот-
соотношению Колемана — Глэшоу [9]
тпР — mN = тпх+ — iris- -f Шз- —
без каких-либо предположений о симметриях сильных
взаимодействий или о трансформационных свойствах
фотона.
Глава СОСТОЯНИЯ,
9 ВОЗБУЖДЕННЫЕ
ПО ОРБИТАЛЬНОМУ
МОМЕНТУ
§ 1. Мезонные резонансы
В последние три или четыре года было установлено
удивительно большое число мезонных и барионных резо-
нансов в области масс от 1 до приблизительно 3 Гэв.
Это число все еще неуклонно возрастает и, свидетельствуя
о мастерстве экспериментаторов, несомненно, будет про-
продолжать возрастать еще некоторое время. В рамках квар-
ковой модели логично попытаться интерпретировать эти
высшие резонансные состояния как вращательные и, воз-
возможно, колебательные возбуждения систем qq и qqq.
Такая простая догадка оказалась очень полезной для
создания схемы классификации известных состояний.
Этот спектроскопический аспект кварковой модели тща-
тщательно исследовал Далиц [7, 15—17], и почти все изла-
излагаемое здесь основано на его работах. Эту главу следует
рассматривать не как анализ современных данных, вклю-
включающий все установленные и неустановленные резонансы,
а только как иллюстрацию главных пунктов модели.
Поскольку экспериментальная ситуация нестабильна,мно-
нестабильна,многие детальные выводы модели, по-видимому, не застрахо-
застрахованы от изменений с течением времени.
Мы начинаем с мезонов. Состояния с высшими L
в од-модели состоят для каждого L из четырех нонетов
с четностью (—1) L+1, а именно из трех нонетов с s = 1,
для которых С = (—1) t+1 и / = L + 1, L, L — 1, и од-
одного нонета с s = 0, для которого С = (—\)L и / = L,
где / — полный момент. При L = 0 имеем, конечно,
только два нонета. Используя символ 2S+1Lj, мы обозна-
обозначим эти нонеты соответственно sLL+i, 3LL, SLL _t и 1LL.
Каждый из них состоит из SU (З)-синглета и октета.
Если присутствуют силы только типа A) (см. гл. 7),
то все 36 BL + 1) состояний, содержащихся в четырех
нонетах, вырождены по массе. Для мезонов силы типа B)
90 Глава 9
можно записать в виде
±) (9.1)
где функция D может зависеть от расстояния г между
кварками. Замечая, что ot >a2 равно 1/4 для s = 1 и равно
—3/4 для s = 0, и используя B.18), мы находим, что
второй множитель в (9.1) равен девяти для SU F)-син-
глета и равен нулю для 35-плета. Если присутствуют
36BL + 1) i
состояний,1
V
Г
1
1
1
1
1
1
1
/,;
'/
'35
У'
t
т
Vf
\
\
\
.,
s{8)
48}
у.
ч
\
ч
J=L
L-H
Т~
L-1
T+~i
L - I
Z
Ф и г. 6. Возможная схема расщепления масс од-состояний с лю-
любым L, соответствующая а, с, d > 0 и b < 0.
iE — SУ (б)-мультиплет, {8} — 81/C)-мультиплет. Верхний индекс показы-
показывает значение 2s + 1. Нарушение 81/C)-симметрии не показано. Внизу ука-
указаны силы, которые считаются ответственными за расщепление в_соответ-
ствующем столбце.
только силы V, V, Va, Vp и Vs0 (см. гл. 7), то мы имеем
следующую массовую формулу для центральных масс
различных SU (З)-мультиплетов:
l) + ( l)} x
)], (9.2)
где F2, F\k F\ приведены в табл. 2. Параметры а, Ъ, с и d
определяются функциями А, В, С и D соответственно.
На фиг. 6 показана возможная схема нарушения сим-
Состояния^ возбужденные по орбитальному моменту 91
метрии, отвечающая этой формуле. Она соответствует
положительным а, с и d и отрицательному Ь,
Для мезонов с L = 0 данные наблюдений согласуются
с приведенной выше схемой (ср. фиг. 6 и 5). В этом случае
массы мультиплетов Н, 3{1} и 3{8} очень близки друг
к ДРУГУ, тогда как мультиплет х{8} значительно сдвинут
вниз. Значения масс, указанные на фиг. 5, требуют, чтобы
Ъ было отрицательным и малым, а положительным и много
большим, чем | Ь |, а разность 18й — 1а была положительной
и малой. Другими словами, наблюдаемые значения масс
предлагают эмпирический вид 5-волновой силы между
кварком и антикварком U (qg), которую в хорошем при-
приближении можно записать в форме
) 8 + F,-F2).
Второй член справа в этой формуле отличен от нуля толь-
только для псевдоскалярного октета; первый член можно
интерпретировать в нашей схеме как составленный из сил
типа A) — C), которые складываются таким образом, что
Vo оказывается почти не зависящим от а и F.
Из состояний с L = 1 в настоящее время довольно
хорошо установлен только нонет 3Р2 с Jpc = 2++. Обыч-
Обычно полагают, что в него входят резонансы А2 A315),
К* A410), / A250) и /' A500), однако существует некото-
некоторая неопределенность в предписании Jp = 2+, особенно
для А2 [65]. Кроме того, вносит добавочную путаницу
заметное расщепление этой частицы, наблюдавшееся
в эксперименте на спектрометре потерянной массы
в ЦЕРН [66]. Методами гл. 8, используя указанные зна-
значения масс и операторы квадрата массы и предполагая,
что механизм нарушения симметрии определяется форму-
формулами (8.1), находим
д=-3-105 (МэвJ, Э«28°, Ftti,
т8 = 1315 Мэв, те, = 1230 Мм, (9)
где Э — угол смешивания состояний с / = У = 0, a F —
интеграл перекрытия их пространственных волновых
функций. Это значение б неплохо согласуется с получен-
полученными в предыдущей главе для состояний'с L = 0.
92
Глава 9
Гораздо менее ясна ситуация с остальными нонетами
с L = 1. В любой из них имеются кандидаты, но в боль-
большинстве случаев приписание квантовых чисел никоим
образом не решено окончательно. Далиц [15—17] пред-
предполагает, что состояния этих нонетов с / = 1 совпадают
с приведенными в табл. 6; однако данные о резонансе б
пока весьма ненадежны.
Таблица в
Состояния с 1=1 нонетов с 1=1
Jpc
Состояния
с 1 — 1
<L.s>
0++
6 (962)
-2
Лу A080)
В A200)
0
2++
А2 A315)
1
Мы видим, что эти четыре состояния с / = 1 образуют
последовательность с приблизительно равными интерва-
интервалами по массе. Используя оператор квадрата массы,
находим
«-"»!) : К-<) = (<-»!) = 1:1,1:1.
Этот результат можно объяснить, если предположить, что,
по крайней мере в октетах, расщепление определяется
спин-орбитальной силой с положительным коэффициен-
коэффициентом с в (9.2). Как показывает последняя строчка табл. 6,
такая сила приводит к правилу равных интервалов для
масс состояний с L = 1, причем самое большое значение
массы соответствует состоянию с наивысшим /. Если эта
интерпретация правильна, то октетные спин-спиновые
силы, приводя к дальнейшему расщеплению состояний
1Р и SP, должны быть довольно слабыми, т. е. | а | <С с.
То же самое должно быть справедливо и для возможных
тензорных сил типа E) [15—17]. Однако мы знаем, что
первые силы весьма значительны в случае L = 0, когда
они определяют разность масс мультиплетов 1{8} и 3{8}.
Далиц [15—17] заметил, что такая ситуация возможна
Состояния,' возбужденные по орбитальному моменту
93
Таблица 7
Состояния мезонов
с Х=1, У=0
в том случае, когда радиус действия спин-спиновой силы
мал по сравнению с радиусом действия основной силы V.
К тому же из результата (9.3), который устанавливает,
что при L = 1 массы состояний с / = L + 1 приблизи-
приблизительно одинаковы в октете и синглете, мы делаем вывод,
что, кроме того, | Ь | <^ с. Короче говоря, существуют
указания на то, что в Р-волно-
вых взаимодействиях кварка
и антикварка силы типа C)
и E) не могут играть важной
роли.
Возможными кандидатами
для состояний с / = 1/2, У = ± 1
в нонетах 3Pt и 1Pi являют-
являются К* A250) и К* A360) [67]
(см. также замечание 3 в § 2 дан-
данной главы). Об изоскалярных
членах нонетов SPO, 3Pt и 1Pi
имеется недостаточно информа-
информации для того, чтобы рассчитать
массы mi синглетов и углы сме-
смешивания.
Некоторое количество мезон-
ных резонансов с / = 1, Y = 0
было найдено недавно в экспе-
эксперименте со спектрометром поте-
потерянной массы в ЦЕРН 168, 69].
Они приведены в табл. 7 вместе
с S- и Р-состояниями с / = 1,
рассмотренными выше. На неко-
некоторые из этих состояний были
указания и в других экспериментах, однако в настоящее
время ситуация слишком запутана, чтобы пытаться увя-
увязать различные наблюдения друг с другом и высказать
определенные утверждения о приписывании спина и чет-
четности. Эти уровни естественно интерпретировать как вра-
вращательные возбуждения од-системы со значениями L,
приведенными в таблице. Следуя Гольдхаберу [70], груп-
группы состояний, соответствующих данному L, мы можем
назвать «L-кластером». Из табл. 7 мы видим, что наблю-
наблюдавшиеся L-кластеры четко отделены друг от друга.
Обозначе-
Обозначение
п
р
б
Ai
В
Аг
д2
Дз
л4
S
Т
и
Масса,
М$в
135
774
962
1080
1200
1315
1630
1700
1750
1830
1930
2195
2380
L
0
Л
L
2
3
4
5
94 Глава 9
Из высших L-кластеров в настоящее время только .й-кла-
стер оказывается разделенным на четыре уровня, соот-
соответствующие четырем нонетам, возникающим при дан-
данном L; однако статистика для i?4 пока неубедительна.
Если отождествить Дь R2, Ran Rt с состояниями с / = 1
нонетов sDi, 3DZ, XD2 и 3DS соответственно, имеющих кван-
квантовые числа Jpc = 1~~, 2~~, 2~+ и 3 1), а также пред-
предположить, что, как и в случае нонетов ci = 1, расщепле-
расщепление между ними обусловлено главным образом спин-
орбитальной силой, то на основании (9.2) мы можем ожи-
ожидать следующего отношения интервалов относительных
квадратов масс:
В эксперименте установлено отношение разностей, стоя-
стоящих в левой части, A,7 + 0,3) : 1 : B,2 ± 0,3) [68, 69],
что хорошо согласуется с формулой (9.4). Величина спин-
орбитального расщепления, т. е. параметра с, по-види-
по-видимому, убывает с ростом L. Разности квадратов масс
состояний с / = 1 при / = L ± 1 для L = 1, 2 и 3 равны
соответственно 7,6-105, 6,9-105 и ^2-10ьМдв2. Последнее
значение получено из верхнего предела ширины ^-систе-
^-системы (см. ниже). Соответствующие значения параметра с
равны 13-104, 7-10* и ^;1,4«104 Мэв2. Именно таких зна-
значений следует ожидать в том случае, когда спин-орби-
спин-орбитальная сила имеет малый радиус действия по сравнению
с радиусом действия V [15—17]. В этом случае соответ-
соответствующие расщепления дальнейших L-кластеров стано-
становятся даже меньше. В современных экспериментах раз-
разрешающая способность не была достаточно высокой для
разделения состояний с / = 1 в зтих системах.
Резонансы R, S, Т и U, установленные в эксперименте
с потерянной массой, характеризуются удивительно малы-
малыми ширинами; верхний предел ширины равен 38 Мэв
[68, 69]. Это, по-видимому, согласуется с указанной выше
интерпретацией этих состояний в рамках ^-модели.
*) Если окажется, что яя-максимум при 1650 Мае (g-мезон)
связан с Ri и имеет Jp = 3~ (что, по-видимому, несколько пред-
предпочтительнее, чем 1~, хотя подтверждений недостаточно, см. [71]),
то такое отождествление не может быть правильным. См. также [72].
(Состояния,, возбужденные по орбитальному моменту 95
Большие значения углового момента приводят к большим
центробежным барьерам, которые могут подавлять их рас-
распады [15—17, 73] 1). Можно ожидать, что этот механизм
проявится наиболее эффективно в 3LL+1-HOHeTe L-класте-
ра (который почти во всех случаях должен распадаться
через состояния с высшими угловыми моментами), а не
в других трех нонетах. Подробное обсуждение схем рас-
распада L-кластеров можно найти в статье Гольдхабера [70].
§ 2. Замечания
Прежде чем обратиться к барионам, мы сделаем несколь-
несколько замечаний.
1. Другой способ классификации состояний адронов,
весьма модный в настоящее время, состоит в использова-
использовании траекторий Редже, когда мы строим график / как
функцию квадрата массы для системы частиц с одинако-
одинаковыми квантовыми числами. Оказывается, например, что
состояния мезонов из табл. 6 попадают на приблизительно
линейные траектории [73]. Траектории, соответствующие
четным и нечетным / и, следовательно, четной и нечетной
пространственной четности, оказываются совпадающими
(обменное вырождение). Именно это мы должны получить
в gg-модели, поскольку мы ожидаем, что обменные силы,
соответствующие обмену системой qq, не играют заметной
роли. В кварковой модели такие траектории Редже мож-
можно интерпретировать как представляющие последова-
последовательности вращательных уровней. Далиц [15—17] ука-
указал, что, поскольку энергия связанного состояния qq
может достигать 2mq, траектории в gg-модели должны
расти до очень больших значений /, порядка Ат^/а' «
fe 102, где величина а' (наклон траектории в точке т2 = 0)
порядка 1 Гэе~2 (см. конец этой главы).
2. До сих пор мы говорили только о вращательных
возбуждениях системы qq; однако мы могли бы также
рассмотреть возможность внутренних радиальных колеба-
колебаний. Тогда мы получили бы для каждого L дополнитель-
дополнительные системы нонетов в колебательных возбужденных
состояниях. Возможным кандидатом в такие нонеты
г) Ссылки на более ранние работы можно найти в [73].
9C Глава 9
является Е A420)-мезон, квантовые числа которого веро-
вероятнее всего равны Jpc = 0~+ и который, следовательно,
представляет собой десятый псевдоскалярный мезон.
Поскольку его некуда поместить в обычном псевдоскаляр-
псевдоскалярном нонете, единственпая возможность заключается в том,
чтобы отнести его к возбужденному ^о-состоянию (см.
также гл. 8, конец § 1).
3. В принципе может наблюдаться смешивание нонетов
3(/ — 1)/ с 3(/ + l)j и 1LL с 3LL. В первом случае эффекты
смешивания, по-видимому, малы из-за большой разницы
масс этих двух нонетов. Во втором случае они могут
быть значительными и вызываться, например, спин-орби-
спин-орбитальными силами. Здесь могут смешиваться только состоя-
состояния с / = 1/2, Y = + 1 этих двух нонетов, поскольку
законы сохранения зарядовой четности и G-четности
запрещают смешивание изоскалярных и изовекторных
состояний. В частности, для мезонов с L = 1 мы ожи-
ожидаем смешивание между двумя резонансами К*, принад-
принадлежащими нонетам 3Pi и 1i31. Каждая из этих физических
частиц может быть смесью состояний 3Р4 и 1Pi. Гольдхабер
недавно предположил, [74], что именно это явление сме-
смешивания мы, возможно, наблюдаем как изменение струк-
структуры максимума в области 1100—1400 Мэв массы Кяя
в зависимости от лабораторного импульса налетающей
частицы.
§ 3. Барионные резонансы с отрицательной четностью
В случае барионных резонансов мы обнаруживаем
более сложную ситуацию, чем в случае мезонов. Мы упо-
упомянем только несколько основных пунктов, отсылая
читателя за подробностями к работам Далица [7, 15—17].
В этом параграфе мы рассмотрим резононы с отрицатель-
отрицательной четностью, многие из которых известны в области
масс 1400—2300 Мэв. Все их можно распределить по
SU (З)-синглетам, октетам и декуплетам. Высшие муль-
типлеты не необходимы, хотя, конечно, не исключаются.
Для состояний с наименьшими массами (область 1400—
1800 Мэв, если не учитывать нарушения SU (З)-симмет-
рии) нам нужны по одному синглету с Jp = 1/2" и 3/2",
два октета с Jp = 3/2", два октета с Jp = 1/2", по одному
Состояния,_ возбужденные по орбитальному моменту 97
декуплету с Jp = 1/2- и 3/2" и один октет с /р = 5/2".
Естественно предположить, что эти состояния представ-
представляют собой возбужденные состояния ggg-системы с L = 1.
При L = 1 в октете 5/2" требуется s = 3/2, что, согласно
табл. 5, соответствует смешанной перестановочной сим-
симметрии волновой функции спина и унитарного спина.
Из результатов гл. 3 следует, что возможен только
SU (б)-мультиплет 70, поскольку мультиплеты 56 и 20
имеют соответственно симметричные и антисимметричные
волновые функции спина и унитарного спина. Внима-
Внимательно рассматривая табл. 5, мы видим, что кроме муль-
типлета 4{8} смешанные волновые функции спина и уни-
унитарного спина могут иметь еще SU (З)-мультиплеты
2 {10}, 2{8} и 2{1}. При данном значении Lz эти четыре
системы содержат 70 состояний. Если присутствуют толь-
только силы типа A) и B), то эти состояния вырождены по мас-
массе и образуют мультиплет 70 группы SU F) [ср. также
C.86)]. Если кварки подчиняются статистике Ферми,
то соответствующая пространственная волновая функция
также обладает смешанной перестановочной симметрией.
Силы Va, VF, V$o и, возможно, другие нецентральные
силы Vnc распределяют 210 состояний, соответствующих
L — 1, по девяти SU (З)-мультиплетам, именно тем,
которые упоминались выше (фиг. 7). Это приятный
результат. Оказывается, что в вопросах классификации
ggg-модель с возбуждением по орбитальному моменту дает
правильные результаты для низших резонансов с отрица-
отрицательной четностью в том смысле, что она естественным
образом генерирует вышеупомянутую мультиплетную
структуру.
Что можно сказать об относительных положениях этих
мультиплетов? На фиг. 7 показана возможная схема нару-
нарушения симметрии с указанием для каждого мультиплета
наиболее подходящих на сегодня кандидатов. В дальней-
дальнейшем мы используем следующие обозначения барионных
резонансов (S обозначает странность) : N (масса) для
резонансов с / = 1/2, S = 0; Л (масса) для резонансов
с / = 3/2, S = 0; Л (масса) для резонансов с / = 0,
S = — 1; 2 (масса) для резонансов с 1 = 1, S = — 1;
Е (масса) для резонансов с / = 1/2, S = — 2. В литера-
литературе резонансы с S = — 1 часто обозначают как Y*
7-716
98 Глава il .
(масса) (ом. табл. 4), а резонансы с ? = 0 — как N* (мас-
(масса). Состояния с ? = 0, показанные на фиг. 7, получены
из анализа пион-нуклонного сдвига фазы и взяты .из недав-
недавней статьи Доннаши и др. [75] (см. также [16]). Не все
эти пион-нуклонные резонансы установлены твердо, а ука-
указанные значения масс часто имеют значительную неопре-
неопределенность. Ситуация со странными барионами менее
\
\
\
\
1ю) -у.
*{в}
(и
. N07091
.А069П
),Z(I77O),
(,
3/ NA675)
ЛA405)
Ф и г. 7. Возможная схема нарушения симметрии для 3</-состоя-
ний с! = 1и отрицательной четностью.
Нарушение SU (З)-симметрии не показано. Указанные внизу силы считаются
ответственными за расщепление в соответствующем столбце (масштаб произ-
произвольный).
ясна. Хотя для некоторых из этих мультиплетов и имеют-
имеются кандидаты с отличной от нуля странностью, как те,
которые приведены на фиг. 7, все же многие состояния
с S = —1, —2, —3 еще предстоит открыть, чтобы запол-
заполнить все мультиплеты.
Если за нарушение симметрии отвечают только силы
Va, VF и Vso, то мы приходим к следующей формуле для
центральных масс девяти мультиплетов:
т = т'0 + a's(s+ 1) + b'F2-4 с' [J(J + 1)-L(L+i) —
-s(s+l)], (9.5)
где коэффициенты а', b' ь <;' определяются соответственно
величинами А, В ж С. Поскольку Л A405) является самым
легким из известных в настоящее время барионных резо-
нансов с отрицательной четностью, мы должны выбрать
коэффициент Ь' положительным, чтобы поднять состояния
Состояния, возбужденные по орбитальному моменту 99
октета и декуплета вверх относительно положения син-
глета. Это приводит к показанному на фиг. 7 расположе-
расположению мультиплетов 2{1}, 2{8} и 2{10}, и поскольку N A678)
является низшим из известных в настоящее время резо-
нансов с /р = 5/2", коэффициент а' должен быть большим
и положительным. Это приводит к отождествлению, пока-
показанному на фиг. 7, которое к тому же подтверждается
оценками ширины уровней, а также некоторыми прави-
правилами отбора для фотовозбуждения [16] (ср. гл. 12, § 2).
Оно согласуется также с нарушающим 5?7C)-симметрию
механизмом (8.1) в том смысле, что параметр А получается
положительным и правильного порядка величины (см.
§ 4 этой главы).
Отметим, что член сЯв (9.5) предсказывает правило
равных интервалов для средних значений масс т B{1}),
т B{8}) и т B{Ю}) во втором столбце фиг. 7 (см. табл. 2).
Экспериментальные значения масс, указанные на фиг. 7,
не противоречат этому правилу.
Из фиг. 7 ясно, что если сделанные там отождествления
правильны, то простой спин-орбитальный член в (9.5)
не может обеспечить наблюдаемые расщепления масс
мультиплетов в каждой системе 2S+1{a}. Синглетные состоя-
состояния Л A520) с Jp = 3/2- и Л A405) с Jp = 1/2- требуют
положительного коэффициента с'. Это подходит для муль-
типлета 2{10}, но не для мультиплета 2{8}, где требуется
отрицательный коэффициент с'. Еще сложнее ситуация
для мультиплета 4{8}. Это указывает на сложную зави-
зависимость коэффициента с' от F и (или) на присутствие
других нецентральных сил и, возможно, также на при-
присутствие трехчастичных сил. Мы должны также помнить
о том, что могут быть значительные отклонения в этой
схеме из-за эффектов смешивания, вызываемых спин-орби-
спин-орбитальными силами и нарушающими SU (З)-симметрию
взаимодействиями. Первые связывают состояния с оди-
одинаковыми значениями /, I, Iz w S из мультиплетов *{8}
и 2{8}, вторые смешивают, например, Л-состояния
из мультиплетов 2{1} и 2{8} с / = 1/2 и с / = 3/2.
Следующие наиболее очевидные конфигурации с отри-
отрицательной четностью — это вращательные возбуждения
с нечетным L мультиплета G0, L = 1), а именно G0, L =
= 3, 5, 7, . . .). Для каждого L они генерируют SU C)-
7*
100 Глава 9
мультиплеты со спином L ± 3/2 и L ± 1/2. Для некото-
некоторых мультиплетов с L = 3 имеются кандидаты, причем
массы всех их больше 1900 Мэв [15—17].
§ 4. Барионные резонанс ы с положительной четностью
Обратимся теперь к барионным мультиплетам с поло-
положительной четностью, генерируемым четными значениями
L. В случае четного L волновые функции могут иметь
симметрию конфигурации основного состояния (L = 0)
и, следовательно, представляется естественным, что вол-
волновые функции спина и унитарного спина этих состояний
J=7,
¦Г
E6.1 = 2) „„-'
Л '¦* А0934)
//у - д(/д/3 )
НЩ /У > NA863)
V
/\
' \
\
W ,
чч\ 7* а (шав)
«7 Н(№7),Л(Ю15), W9I0)
V+V'
Фиг. 8. Возможная схема нарушения симметрии для Зд-состоя-
ний с L — 2 и положительной четностью.
Нарушение S U (З)-симметрии не покавано. Указанные внизу силы считаются
ответственными за расщепление в соответствующем столбце (масштаб произ-
произвольный).
принадлежат 56-плету. Отсюда следует, что в зтой схеме
могут появляться только SU (З)-октеты и декуплеты.
Наблюдаемый спектр барионных резонансов, по-види-
по-видимому, согласуется с этим результатом. Унитарные сингле-
ты с положительной четностью до сих пор не требовались,
и, за исключением нескольких патологических случаев,
рассматриваемых ниже, наблюдаемые состояния с поло-
Состояния, возбужденные по орбитальному моменту 101
жительной четностью можно разместить по мультиплетам,
содержащимся в мультиплете E6, L четное). Для каж-
каждого L мы получаем схему нарушения симметрии типа
показанной на фиг. 8 для случая L = 2, где данные о резо-
нансах JV и А взяты из работы [75]. Что касается расщеп-
расщепления по массе между SU (З)-мультиплетами, то мы
должны заключить, как и в случае состояний с отрица-
отрицательной четностью, что если правильны значения масс
и размещение резонансных состояний, показанные на
фиг. 8, то массовая формула (9.5) слишком проста, чтобы
объяснить расщепление, показанное справа на фиг. 8.
Экспериментальные данные обнаруживают более слож-
сложную динамику, чем та, которая выражается этой фор-
формулой.
Заметим, что октеты *{8} и декуплеты *{10} на фиг. 7
и 8 очень близки по массе друг к другу, за исключением
А A688). По существу они вырождены, так как расщепле-
расщепление по массе гораздо меньше, чем их ширины. Это сви-
свидетельствует о пренебрежимо малом спин-орбитальном
взаимодействии в трехкварковых состояниях с s = 3/2.
Поэтому, может быть, неверно помещать Л A688) в муль-
типлет E6, L = 2). Возможно, следует рассматривать
это состояние вместе с Рц A466) как колебательные воз-
возбуждения мультиплета E6, L = 0) (ср. гл. 9, § 5 и [16]).
Тогда должен существовать еще один А-резонон с /р =
= 3/2+ с массой около 1930 Мэв, заполняющий мульти-
плет E6, L = 2).
Следует отметить, что при L = 0 фиг. 8 правильно
передает реальную ситуацию.
Из значений масс, приведенных в табл. 4 и на фиг. 7
и 8, мы видим, что если выключить взаимодействия, нару-
нарушающие SU (З)-симметрию, то три группы SU (З)-муль-
типлетов, порождаемые соответственно мультиплетами
E6, Lp = 0+), G0, Lp = 1-) и E6, Lp = 2+), четко отде-
отделены друг от друга. В этой последовательности они прояв-
проявляются как три кластера, охватывающие области масс
940—1240, 1400—1700 и 1700-1950 Мэв.
Прежде чем закончить этот параграф, мы сделаем
замечание о нарушении SU (З)-симметрии в мультипле-
тах с! = 1 и L = 2. [Оценим параметр А, введенный
в гл, 8,
102 Глава 9
Он равен для октета 5/2" (фиг. 7)
А = т[S A770)]-m[N A678)] = 92 Мэв,
для октета 3/2" (фиг. 7)
Д = т[2A660)] —m[tf A541)]= 119 Мэв,
для октета 5/2+ (фиг. 8)
Д = m [2 A910)] — m[N A687)] = 223 Мэв,
для декуплета 7/2+ (фиг. 8)
Д'= т [2 B030)] — иг [А A946)] = 84 Мэв.
Хотя эти значения имеют правильный порядок величины
при сравнении их со значениями, полученными в гл. 8,
они значительно отличаются друг от друга. Отметим так-
также, что т (К)фт B). Как и в случае барионов с L = 0,
причина этих различий, по-видимому, заключается в нару-
нарушении SU (З)-симметрии в кварковых потенциалах, что
оказывается более важным в gg-потенциалах, чем в gq-ло-
тенциалах.
§ 5. Симметричная модель
Предположим, что последовательности мультиплетов
[56, Lp (четное)+] и [70, Lp (нечетное)"] действительно
являются единственными группами барионных мультипле-
мультиплетов, реализуемых в природе (по крайней мере в изученной
в настоящее время области масс; см., однако, ниже).
Тогда возникает вопрос, на который должна отвечать
любая правильная динамическая модель: почему это так?
Другими словами, динамическая теория кварков должна
объяснять, почему, например, мультиплеты B0, L =
— 0, 2, . . .) и G0, L = 0, 2, . . .) не наблюдаются в обла-
области низших масс, скажем ниже 2,5 Где. В этой связи
интересно заметить, что, применяя ядерную оболочечную
модель с гармоническими осцилляторными силами к трех-
кварковой системе, мы находим, что наблюдаемая после-
последовательность мультиплетов E6, Lp — 0+), G0, Lp =1")
и E6, Lp —- 2+), соответствующих основному состоянию
и первым возбужденным состояниям бариона, повторяет
вполне естественно последовательность ожидаемых состоя-
Состояния, возбужденные по орбитальному моменту 103
ний оболочечной модели [17, 55, 56, 76—78] (см. так-
также [79]).
Основное состояние E6, Lp = 0+) соответствует (lsK-
конфигурации (мы используем стандартные обозначения),
которая имеет полностью симметричную пространствен-
пространственную волновую функцию (симметричная модель). Значит,
в этой модели мы должны отвергнуть статистику Ферми
для кварков (ср. обсуждение в гл. 7). Первое возбужден-
возбужденное состояние имеет структуру (IsJ (lp), для которой
спурионная компонента имеет смешанную простран-
пространственную волновую функцию и приводит к мультиплету
G0, Lp = 1~), что, как мы видели, согласуется с наблю-
наблюдениями.
Следующая конфигурация включает пять супермуль-
типлетов, а именно
E6,LP = 2+), E6, ?р = 0+), G0, Lp=2%
G0, LP = 0+), B0, ?р = 1+).
Первый из них рассмотрен в §4 (фиг. 8). О существова-
существовании последних трех из этих мультиплетов пока нет ника-
никаких экспериментальных данных. Имеющиеся данные не
требуют их существования. Митра [77] указал, что можно
построить симметричную модель, основанную на пред-
предположении о короткодействующих ^-волновых gg-силах,
в которой именно эти нежелательные состояния исклю-
исключаются, а появляются только состояния E6, Lp (четное)+)
и G0, Lp (нечетное)").
Второй супермультиплет в системе (9.6) можно рас-
рассматривать как первое колебательное возбуждение основ-
основного состояния E6, L = 0+). Его пространственная вол-
волновая функция имеет структуру У 2/3 (IsJ Bs) +
+ У1/3 (Is) (lpJ, а структура спина и унитарного спина
тождественна структуре основного состояния, т. е. он
содержит октет 1/2+ и декуплет 3/2+. Наиболее очевидны-
очевидными кандидатами в такие радиальные возбуждения основ-
основного состояния являются пион-нуклонные резонансы Ри
(обозначение L2j, 2j» гДе L — орбитальный момент nN-ъол-
ны), найденные в фазовом анализе [75] N A470) и N A750)
и имеющие те же внутренние квантовые числа, что и нук-
нуклон. Появление первого резонанса наблюдается также
|04 Глава 9
а в других экспериментах [80—82]. В ggg-модели каждое
из этих состояний может быть членом только октета 1/2+.
Экспериментально наблюдаемая форма распада А A236) я
явно свидетельствует в пользу того, чтобы -поместить
TV A470) в октет, а, например, не в антидекуплет {10}.
В рамках симметричной модели естественно рассматри-
рассматривать N A470) (возможно вместе с А A688), см. предыдущий
параграф), как принадлежащий к первому возбуждению
мультиплета E6, L = 0+) [того самого, который имеется
в системе (9.6)], а N A750) — как принадлежащий второ-
второму возбуждению E6, L = 0+). О других возможностях,
обсуждавшихся в литературе, см. статьи Далица [15—17].
Если окажется, что одно или несколько из состояний
Рп имеют более экзотическую природу и принадлежат
другим SU (З)-мультиплетам, таким как {10}, то мы должны
расширить простую одд-модель и принять более сложные
конфигурации кварков, такие как qqqqq (или более чем
один фундаментальный триплет). В действительности
некоторые указания на такие кварковые состояния, воз-
возможно, уже существуют, а именно максимумы, наблюдае-
наблюдаемые в полных сечениях рассеяния К* на протонах и К*
на дейтронах [83]. В настоящее время совершенно не
ясно, следует ли рассматривать эти максимумы как резо-
нансьг (так называемые Z-резонансы с положительной
странностью и массами в области 1800—2500 Мэв). По
крайней мере для одного из них существует альтернатив-
альтернативное объяснение [84]. Более того, поиски Z-резонансов на
фотографиях, сделанных с пузырьковой камерой, при-
привели пока к отрицательным результатам [85]. Однако если
будет найдено, что интерпретация этих максимумов как
резонансов правильна, то упомянутое выше расширение
модели окажется неизбежным, у Конечно, нет никаких
априорных причин избегать возможности более сложных
кварковых конфигураций. Наоборот, как следует из
рассмотрения, проведенного в гл. 7, не существует ника-
никаких теоретических аргументов в пользу того, что должны
появляться только кварк-антикварковые и трехкварковые
связанные состояния.
Подводя итоги этой главы, мы можем сделать вывод,
что простейшая кварковая модель — qq- и ggg-конфигура-
ции для мезонов и барионов с допущением вращательного
Состояния, возбужденные по орбитальному моменту 105
и, возможно, колебательного возбуждения — может каче-
качественно воспроизвести основные черты установленных
в настоящее время спектров адронных резононов. То
обстоятельство, что модель способна образовать спектр
SU (З)-мультиплетов, который удивительно хорошо согла-
согласуется с наблюдениями, представляет собой бросающее
вызов достижение этой модели.
Замечания при корректуре
1. Тот факт, что реджевские траектории мезонов оказы-
оказываются линейными, можно интерпретировать, предполо-
предположив, что да-пары взаимодействуют через потенциал гармо-
гармонического осциллятора и что система описывается волно-
волновым уравнением, квадратичным по энергии Е, что
требуется при использовании оператора квадрата массы
в массовых формулах (гл. 8). Это приводит к линейной
зависимости Е2 от L, т. е. к линейным траекториям Ред-
же [17, 78].
2. В да-модели с возбуждением по L имеются четыре
состояния для каждого набора квантовых чисел /, /, У
и F, за исключением случая / = 0, где имеются два
состояния. Как следствие этого модель предсказывает,
что из четырех соответствующих траекторий с положитель-
положительной сигнатурой, связывающих состояния с / = 0, 2,
4, . . ., два должны пересекать ось / = 0 при отрицатель-
отрицательных значениях т2 [т. е. должны иметь положительные
значения а @)] или должны иметь равные нулю вычеты
при / = 0. Известно, что из траекторий с / = 1 траекто-
траектория А 2 (которая вырождена с р-траекторией) имеет поло-
положительное значение а @). То же самое должно быть спра-
справедливо и для траекторий с / = 1, отвечающих физиче-
физическим состояниям с JPG = (четное) ~+.
Г лава
10
ПРОЦЕССЫ
СЛАБОГО
РАСПАДА
§ 1. Бета-распад
Многие процессы распада адронов рассмотрены в рам-
рамках кварковой модели. Мы не будем изучать все их по-
подробно, а дадим несколько примеров для каждого типа
взаимодействия, пытаясь тем самым упомянуть как успе-
успехи, так и недостатки модели. Многое из того, что мы
будем говорить о свойствах распада, взято из работ Ван
Ройена и Вайскопфа [86, 87]. Мы ограничимся состояния-
состояниями с L = 0 и начнем в этой главе со слабых распадов.
Первый класс процессов, которые мы рассматриваем,—
это процессы Р-распада
A-+B + 1 + V, A0.1)
где А и В — адроны, I — электрон или мгоон, a v — ней-
нейтрино или антинейтрино. Мы предположим теперь, что
эти процессы можно описать с помощью процессов Р-рас-
Р-распада соответствующих кварков (фиг. 3) и что они следуют
из ток-токового взаимодействия
Hw--- j daxq(x) [G'vy^ + G'Ay^ys] X
X (a+ cos Э + P+ sin 9) q (x) 1 (x) y^ A + y5) v (x) +
-f эрмит. сопр. A0.2)
Здесь q (x), I (x) и v (x) — состояния кварка, лептона
и нейтрино соответственно, 8 — угол Кабиббо, G'v
и G'a — перенормированные константы взаимодействия
кварков для векторной и аксиально-векторной связей,
наконец, а+ (Р+) — оператор, преобразующий состояние
типа п (состояние типа X) в состояние типа р. Плотность
адронного тока в A0.2) состоит из элементов октета,
совместимых с гипотезой Кабиббо [88]. Кроме того,
поскольку сохраняющая странность часть q (x) у^а+q (х)
Является /+-компонентой цзоспинового тока, форму-
Процессы слабого распада 107
ла A0.2) дает все результаты теории с сохраняющимся
векторным током [89, 90]. В частности, G'v = G^, где
Сц — константа связи чисто лептонного распада
Введение угла Кабиббо на кварковом уровне гарантирует
универсальность этого угла для всех адронов в согласии
с фактами.
В предположении нерелятивистского движения квар-
кварков остаются только временная компонента члена с ylL
и пространственная компонента члена с YnYs> вырождаю-
вырождающиеся соответственно в единичный оператор и спиновый
оператор а. Это дает
Hw=--G'v [ d3xq (х) [а+ cos 9 + Р+ sin Q] q (х) I (х) у0 A + у5) х
X v(x) + G'A [ dsxq(х)[а+ cos & + $+sin&]o-q(x)l(x) x
v(x). A0.3)
Теперь мы поместим это выражение между адронными
состояниями | ^4) и \ В), принадлежащими к одному и то-
тому же 5'6гC)-мультиплету. Используя E.6), E.12) и тот
факт, что для P-pacnaflax-(q; -|-qv) С 1' мы можем написать
(A\HW\B) = G'y <ф (В) | cos 9 2 «Г + sin 9 2 Pt I Ф (А)) X
i i
X Ц0) ТоA-f T5) v @) + Ск<Ф (В) i cos 9 |>гаГ +
+ sin 0 2 огр[ | Ф (А)) 1 @) y (I + Ye) v @), A0.4)
где индекс i показывает, что рассматриваемый оператор
действует на г-й кварк в выражении для ф (А). Прини-
Принимая \A) = \N, Sz,—1/2) и \В) = \Р, sz = l/2) и вычисляя
(Ю.5)
108 Глава 10
[тем самым используя F.3) и F.4)], мы приходим к вы-
выводу
GV = G'V, GA=^G'A, A0.6)
где Gv и Ga — векторная и аксиально-векторная константы
связи для нуклонов. Из экспериментального значения
GA = i,2Gv получаем
G'A=0,7Gv. A0.7)
Используя эти значения, мы можем вычислить матричные
элементы и ширины распада для всех реакций типа A0.1).
Результаты совпадают с теми, которые получены в SU F)-
симметрии с D/F = 3/2 для аксиальных токов [91].
§ 2. Отношение
На этой стадии следует сделать замечание об отноше-
отношениях GAIGV и G'JG'y. Выше при обсуждении была принята
точка зрения, что для кварков, как и для нуклонов, кон-
константа связи Ga изменяется за счет сильных взаимо-
взаимодействий, так что отношение G'AIG'y отличается от едини-
единицы. Фактически мы только что видели, что подгонка
G'a/G'y для воспроизведения экспериментального значения
GA/GV = 1,2 для нуклонов приводит к значению 0,7.
Другая точка зрения, принятая в особенности дубнен-
ской группой [92—94], заключается в предположении,
что аксиальная константа G'A для кварков не перенорми-
перенормируется, т. е. G'pJG'y = 1. В основе этого предположения
лежит представление о составной модели адронов, в кото-
которой базисные частицы — кварки не имеют собственной
структуры, а их взаимодействие определяет структуру
составных частиц. Исходя из этого предположения, Бого-
Боголюбов [94] вычислил GAIGV для нуклонов, приняв в рас-
расчет релятивистские поправки. В нерелятивистском преде-
пределе в этой модели находят, конечно, GA/GY = 5/3. Пред-
Предполагается, что каждый кварк движется независимо от
других кварков в скалярном радиально-симметричном
потенциальном поле U (г) (ср. обсуждение в гл. 4) и описы-
Процессы слабого распада 109
вается пространственно-спиновой волновой функцией
где х — обычный двухкомпонентный спинор. Все три
кварка помещаются в одно и то же состояние, т. е. S-co-
стояние с наименьшей энергией Ео. Это предполагает сим-
симметричную пространственную волновую функцию и, следо-
следовательно, парастатистику для кварков или трехтриплет-
ную модель [см. G.10)]. Полный угловой момент каждого
кварка равен
Ни спин а, ни орбитальный момент 1 не обладают опреде-
определенными значениями в релятивистской теории; I = 0 для
верхней компоненты Уо (нерелятивистский предел) и I — 1
для нижней компоненты. Однако, поскольку Wo представ-
представляет 5-состояние, мы имеем, конечно,
Именно вклад 1 дает релятивистскую поправку к значе-
значению 5/3 отношения GAIGV.
Вычислим для нуклонов (при нулевой передаче им-
импульса)
|^ = -|A —26), A0.10)
где
оо
2
jdr
8 = "
¦| j \8(r)\*j*dr
4 =¦= ¦ (Ю-")
~ \ (I fi(r) 12+г21 S (г) |2} г2 dr
о
Чтобы рассчитать б, мы должны предположить конкретную
форму скалярного потенциала U (г). Беря прямоуголь-
прямоугольную потенциальную яму (гл. 4, § 3) с Uo « mq (mq — мас-
масса свободного кварка), в пределе очень больших mq нахо-
находим
6 = 0,17, A0.12)
ilO Глава 10
и, следовательно,
|А-1,1 A0.13)
в удивительном согласии с экспериментом. Отметим, что
в случае скалярного потенциала переход к пределу
trig -у оо не означает перехода к нерелятивистскому пре-
пределу, поскольку в динамические уравнения входит т\ =
= mq- Uo (гл. 4, § 3).
§ 3. Парадокс Ван Ройена — Вайскопфа
Рассмотрим теперь реакции [86, 87, 95]
A0.14)
С точки зрения кварковой модели эти процессы включают
аннигиляцию одного кварка и одного аитикварка. Благо-
Благодаря этому появляется новый параметр в квадрате матрич-
матричного элемента этих распадов, а именно \f(M, 0) |2,-где
/ (М,т) — (неизвестная) пространственная волновая функ-
функция связанного состояния кварка и антикварка, соответ-
соответствующего распадающемуся мезону М. Легко видеть,
как именно входит этот множитель. Следуя Ван Ройену
и Вайскопфу [86, 87], мы записываем оператор рождения
d*i @) мезона М с нулевым импульсом через операторы
рождения а* (р) и Ь? (р) кварка и антикварка с компонен-
компонентами спина и унитарного спина г и s следующим образом:
d*M @) = 2 J d3PT(M> Р)с (r> s) а* (Р) Ь* (- Р)-
Г, S
Здесь / (М, р) — волновая функция связанного состоя-
состояния, нормированная условием
а с (г, s) — коэффициент, зависящий только от индексов г
и s спина и унитарного спина. Амплитуду аннигиляции
можно записать в виде
= BяK/2 2 j dspJ(M, р) с (г, s) @1 Hat (р) Ъ* (-р) | 0),
Процессы слабого распада 111
где Н — оператор взаимодействия, вызывающего переход,
а множитель, стоящий впереди, является нормировоч-
нормировочным множителем. Предполагая теперь, что движение
кварков нерелятивистское, так что мы можем разложить
матричный элемент по степеням р и сохранить только
главный член, получаем окончательно
А « / (М, 0) BяK 2 с (г, s) @1 На*г @) Щ @) | 0), A0.15)
r,s
где мы использовали
Матричный элемент в правой части формулы A0.15) пред-
представляет собой в точности матричный элемент аннигиля-
аннигиляции свободных кварков с нулевым импульсом. Выражение
BяKа* @) bf @) | 0) представляет соответствующим обра-
образом нормированное ^-состояние. Эффект связанного сос-
состояния описывается общим множителем / (М, 0).
Вычисление матричных элементов для процессов A0.14)
теперь проводится непосредственно. Мы находим
(Zv \Hw\n) = G'Af (я, 0) У 2 cos 9 щ (р) у0 A + у5) uv (- р).
A0.16)
Это соотношение выполняется в системе покоя распадаю-
распадающейся частицы. В соответствующее соотношение для распа-
распада /С-мезона входит sin 0 вместо cos 8. Из A0.16) стандарт-
стандартным путем (см., например, [96]) получаем ширины распада
- ^ | / (я, 0) |2 G'l cos* Qml A - Ц) \
^O) |я G'l sin2 Qml A - ^|) .
Используя экспериментальные значения Гя+^ц+v = 2,6 X
X 10"u Мэв, Ги-м.ц-и, = 3,4-Ю4 Мэв и sin 9 = 0,25,
получаем из этих выражений удивительный резуль-
результат [86, 87]
|/(я, 0)|2 = 1,4 -10е (МэвK,
| / (К, 0) |2 = 5,1 • 106 (МэвK, ( '
Глава 10
т. е. отношение | / (я, 0) |2 к | / {К, 0) |2 почти точно равно
тп/тк и | / (я, 0) |2 « V2 wi^. Этот результат подтвер-
подтверждается аналогичными вычислениями для электромагнит-
электромагнитных распадов (гл. 12). По-видимому, вообще мы име-
имеем [86, 87]
м, 0) |2 _тм мп iq\
(ЮЛУ)
(М — псевдоскалярный или векторный мезон). Этот
результат показывает, что нарушение симметрии весьма
сильно отражается на пространственных волновых функ-
функциях, особенно в случае псевдоскалярных мезонов. В на-
настоящее время не существует объяснения столь неожидан-
неожиданного поведения волновых функций. Однако мы должны
помнить, что в A0.15) и, следовательно, в A0.19) мы пре-
пренебрегли формфакторами да-аннигиляции. Эти формфак-
торы времени подобны и с трудом поддаются оценке.
Таким образом, в действительности мы не получаем из
A0.17) значения | / (М, 0) |, а получаем значение | / (М,.0) |,
умноженное на формфактор F (—т%[). Это может особенно
изменить второе из соотношений A0.19).
Немедленно возникает вопрос: насколько сильно этот
результат нарушает предположение F @) = 1, сделанное
в E.12)? Мы можем проверить это, рассчитав F @) при
конкретном выборе волновой функции / (М, г). Один про-
простой выбор имеет вид
Vb*\ A0.20)
где г—расстояние между кварками. Мы находим
F@)= j f(Mu r)/*(M2) r)dr = 8
и, согласно A0.19),
Это дает
F@) 0,93 при
F @)==0,89 при
nMz
. Йроцессы слабого распада 113
такой результат показывает, что ^@) довольно нечувст-
нечувствителен к значению тМ1/тМ21)-
Не противоречит ли выбор A0.20) первому из соот-
соотношений A0.19) и тому, что мы знаем о пионном форм-
факторе? С одной стороны, из A0.19) и A0.20) мы имеем
(я, 0)|2/з= (-|-I/3/nrt-0,80 ферми-1. A0.23)
G другой стороны, из выражения для формфактора, сле-
следующего из A0.20),
*- A0.24)
и из недавно измеренного [97] среднеквадратичного заря-
зарядового радиуса пиона гя = 0,80 ± 0,10 ферми, мы ожи-
ожидаем &я>2,2 ферми'1, что противоречит A0.23). Знак
равенства имеет место в случае, когда кварки представля-
представляют собой точечные заряды (см. также гл. 7, § 3). С таким
значением Ьп мы имеем вместо A0.19)
A0.25)
т. е. «измеренное» значение г/2 msn величины | / (я, 0) |2
оказывается намного меньше, чем ожидаемое на осно-
основе A0.20). Следовательно, эта волновая функция и вообще
любая волновая функция, принимающая максимальное
значение при г = 0, по-видимому, не дает верного описа-
описания при г вблизи нуля, и в ^'потенциале действует неко-
некоторый механизм типа отталкивательнои сердцевины, кото-
который сильно уменьшает волновую функцию в этой области2).
Возможно, лучшие результаты даст выбор волновой
функции в виде
При малых к2 это снова приводит к формфактору A0.24).
Если взять Ьл = 2,2 ферми*1, что позволяет воспроизве-
воспроизвести правильное значение зарядового радиуса пиона, то
потребуется принять а„ = 0,77. Значит, в волновой функ-
1)Ван Ройен, частное сообщение.
2) Это было отмечено де Свартом (частное сообщение).
8-716
114 : Глава 10
ции пиона наблюдается глубокий провал при г = 0. Легко
убедиться, что при таком выборе волновой функции
интегралы перекрытия A0.21) также оказываются близ-
близкими к единице при значениях тм1тп между 1 и 6 и зна-
значениях аЛ1/а„ между 0 и 1.
Ясно, что сделанный вывод можно интерпретировать
как аргумент в пользу картины адронов, в которой свя-
связанные кварки малы по сравнению с адронами и находят-
находятся в пространстве так далеко друг от друга, как это вооб-
вообще возможно. Такая картина несовместима с обычным
предположением о том, что формфакторы F (q), определяе-
определяемые выражением E.11), остаются приближенно постоян-
постоянными в интервале 0 < | q | < 1 Гэв/с (ср. замечания
в гл. 5, § 2, в гл. 7, § 3 и в гл. 12, § 5).
§ 4. Нелептонный распад
Для полноты отметим, что нелептонные распады так-
также рассматривались в~рамках кварковой модели [91, 98,
99]. Здесь основным предположением также является
предположение аддитивности, т. е. проводят вычисления
диаграмм типа показанных на фиг. 3, где пунктирная
линия представляет теперь пион. Затем делают дальней-
дальнейшее предположение, что можно забыть о кварковой струк-
структуре этого пиона и рассматривать его как квант поля.
Мы вернемся к этому вопросу в гл. 13. Некоторые интерес-
интересные результаты в этом подходе были получены Бадье [98]
для (^-волновых) переходов с нарушением четности.
Г лава
11
МАГНИТНЫЕ
МОМЕНТЫ
§ 1. Вычисление магнитных моментов адронов
Прежде чем перейти к рассмотрению процессов электро-
электромагнитного распада, необходимо изучить магнитные
моменты адронов в нерелятивистской кварковой модели.
Основным предположением снова является предположе-
предположение аддитивности; оператор МА магнитного момента адро-
на А записывается в виде суммы операторов Мд магнит-
магнитного момента всех составляющих кварков и антикварков.
Мы рассматриваем только случай L = О, так что вклады
орбитального момента в оператор МА исключаются.
Более того, мы предполагаем, что магнитный момент
кварка (включая аномальную часть) пропорционален его
заряду. Таким образом, мы записываем
где
Mq^ii^-aq. A1.2)
Здесь вд и dq — заряд и оператор спина кварка q, а ц —
масштабный параметр.
Предполагаемая пропорциональность Мд и eq являет-
является простым следствием SU (З)-инвариантности. Послед-
Последняя требует, чтобы компоненты триплета, имеющие
одинаковые заряды, обладали одинаковыми электро-
электромагнитными свойствами. Следовательно,
Мп^Мх. A1.3)
Более того, предполагая, что, как и в случае оператора
заряда [см. B.5I, оператор тока преобразуется как
мы получаем
= 0, A1.4)
8*
1_16 Глава ii
поскольку математические ожидания /3 и Y, просуммиро-
просуммированные по триплету, дают нуль. Это вместе с A1.3) дока-
доказывает A1.2). (Нарушающие SU (З)-симметрию силы при-
приводят к поправочным членам в правой части A1.2), кото-
которые мы здесь не рассматриваем [100—102].)
Используя F.3), для математического ожидания маг-
магнитного момента протона получаем
Цр = (ф (Р, *, = у) | Ц М\. | Ф (Р, *, = т)) - Ц. (Н.5)
Аналогично
2
! (Н.6)
flA=—g|i.
Следовательно, кварковая модель предсказывает [38]
а экспериментально найденное отношение равно —1,47.
Таким образом, результаты согласуются с точностью
лучше чем 2%. Соотношение A1.7) представляет собой
знаменитый результат SU (б)-симметрии [103]. В кварко-
вой модели он получается без явного предположения
SU (б)-симметрии в том смысле, что, хотя и существенно,
чтобы спиновая и унитарно-спиновая части волновых
функций барионов обладали перестановочной симметри-
симметрией, согласно представлению 56 группы SU F), простран-
пространственные части волновых функций не обязательно тожде-
тождественны.
Из A1.5) и A1.6) следует
?* = -4, (И.8)
что можно сравнить с экспериментальным значением, рав-
равным —0,29 ± 0,05 [104]. Для членов декуплета находим
где через QA обозначен заряд адрона А. Таким же спо-
способом мы вычисляем магнитные моменты мезонов.
Магнитные моменты 117
§ 2. Аномальный магнитный момент кварка
Из A1.5) мы получаем замечательный результат
u = up = 2,79^-. A1.10)
г г^ ' 2тР v '
Записывая магнитный момент кварка в виде
Mq — g\iqaq, (ig = _fi. A1.11)
2mq
мы заключаем из A1.10), что
g=2,79^-. A1.12)
Если в качестве mq взять массу свободного кварка, т. в.
Mq > 4 Гэв, то мы получаем g ^ 12, что говорит о боль-
большом аномальном магнитном моменте кварка. Один из
способов «объяснить» столь большой множитель g для
кварков связан с замечанием, что A1.11) — не совсем
подходящая единица для измерения магнитного момента
кварка. Дело в том, что магнитный момент кварка может
в основном определяться магнитным моментом мезонно-
го облака, окружающего кварк, которое составлено из
объектов, намного более легких, чем сам кварк.
Другая точка зрения состоит в предположении, что,
хотя магнитный момент свободных кварков очень мал,
порядка e/2mq, все же сильно связанные в адроне кварки
имеют небольшую эффективную массу, что увеличивает
их магнитный момент по сравнению со значением для
свободного кварка. Этот эффект, однако, сильно зависит
от типа связывающего кварки поля (скалярного или век-
векторного). Для пояснения аргументации [92—94, 105]
мы снова используем крайне упрощенную модель, рас-
рассмотренную в гл. 4, однако теперь в присутствии магнитно-
магнитного поля. Уравнения Дирака D.3) и D.4) принимают вид:
для U — четвертой компоненты векторного поля
[Щ + Y (Р - е,А)] Ъ = (Е + Uо) уо%, A1.13)
для U — скалярного поля
(И.14)
118
Глава 11
где А — векторный потенциал, описывающий внешнее маг-
магнитное поле. Первое из этих уравнений описывает-по
существу свободную частицу во внешнем магнитном поле.
Поднята только шкала энергии, масса не изменена. Маг-
Магнитные свойства те же, что и у свободной частицы,
а дираковский магнитный момент равен eq/2mq. Следова-
Следовательно, ввиду A1.10) и A1.11) мы должны предположить,
что в случае векторного поля основная часть магнитного
момента кварка аномальна (g > 1). Параметр (j, прибли-
приблизительно один и тот же для всех адронов (см. ниже).
Для скалярного поля ситуация выглядит иначе.
Переписывая A1.14) в виде
v-eqA)]% = Ey0%, A1.15)
где
m*--mq-U0, A1.16)
мы видим, что получается уравнение Дирака для свободной
частицы с массой /п| во внешнем магнитном поле. Магнит-
Магнитный момент равен магнитному моменту дираковской час-
частицы с массой тп\, так что теперь вместо A1.11) имеем
Предположим теперь, что скалярные связывающие силы
SU (б)-инвариантны [типа A) и B) в обозначениях гл. 7].
Если кварки движутся нерелятивистски, то тп\ определяет-
определяется формулой D.6). В этом случае мы должны заменить
mq в A1.12) на тп*, что приводит к g « 2,79 m\lmP та 1.
Это означает, что аномального вклада в магнитный момент
кварков нет (или он очень мал). Как мы увидим, экспери-
экспериментальные данные по электромагнитным распадам, по-ви-
по-видимому, свидетельствуют в пользу такого малого значе-
значения g. Более того, в этом случае параметр ц почти одина-
одинаков для всех адронов и равен цР. Это постоянство ц'
всегда предполагается в приложениях и оказывается необ-
необходимым для того, чтобы достичь разумного согласия
с экспериментальными данными (см. гл. 12). Это означа-
означает, что нарушающие SU (б)-симметрию потенциалы долж-
должны быть такими, чтобы не изменять намного эффектив-
эффективную массу кварка по сравнению со значением D.6). Как
Магнитные моменты 119
мы видели выше, мы можем достичь этого, предположив
векторный характер указанных потенциалов.
Отметим, наконец, что модель со скалярным потенциа-
потенциалом предсказывает для цР значение
что можно сравнить с A1.10). Здесь мы использовали D.6)
и предположили, что силы, нарушающие SU (б)-симмет-
рию, не изменяют значение т*. Если эти силы также
скалярные, то мы находим .
Вычисления магнитных моментов более подробно рассмот-
рассмотрены в работе [94].
Г лава
12
ПРОЦЕССЫ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
РАСПАДА
§ 1. Радиационный распад векторных мезонов
Мы начинаем с рассмотрения радиационных переходов
типа
iyje'F и П — векторный и псевдоскалярный мезоны соот-
соответственно. Эти процессы можно рассматривать в модели
кварков как кварковые переходы (см. фиг. 3), включающие
переворот спина кварка, и описывать матричными элемен-
элементами перехода, имеющими вид
g.|F>, A2.2)
«г
где Мд определяется формулой A1.2). Оператор с индек-
индексом qi действует только на ?-й кварк в | V). Отметим, что,
хотя магнитный момент псевдоскалярных мезонов равен,
конечно, нулю, они могут иметь магнитные моменты пере-
перехода в векторные мезоны. Для иллюстрации типичных
принимаемых приближений, а также неоднозначностей,
возникающих при расчете ширин распадов в кварковой
модели, рассмотрим указанный процесс несколько подроб-
подробнее, взяв в качестве конкретного примера реакцию.
а->п° + у, A2.3)
которая в настоящее время лучше всего изучена среди
всех процессов типа A2.1).
Оператор взаимодействия, вызывающий переход ?-го
кварка в реакции A2.1), можно записать в нерелятивист-
нерелятивистской форме следующим образом:
#. = fl-?Lar(kxeW)eikrs A2.4)
где е(х> и к — векторы поляризации и импульса испускае-
испускаемого фотона. Нам нужно вычислить матричные элемев>
Процессы электромагнитного распада 121
ты вида
Щ\ A2.5)
где У определяется формулой E.6). Пространственная
часть приводит к выражению типа E.11), где.4 = П и А' —
— V. Это выражение приближенно равно единице. Обсуж-
Обсуждение этого пункта см. в гл. 5, § 2 и гл. 10, § 3. Спиновые
и унитарно-спиновые части этих матричных элементов
легко вычислить, используя волновые функции, приведен-
приведенные в гл. 5. Например, для реакции A2.3) находим
(
ф (я°) | S И т «I • (к X
Ф
= -ц (к х вЫ)х = -(ip (к х е<«)«. A2.6)
В этом случае вклад дает только of. Мы видим замечатель-
замечательный результат, который нельзя получить из какой-либо
симметрии: магнитные моменты перехода с участием мезо-
мезонов выражаются через магнитный момент протона. Необ-
Необходимо, однако, подчеркнуть, что отождествление ц = цР
в A2.6) можно сделать, только предполагая, что пара-
параметру один и тот же для всех адронов. Условия, при кото-
которых это справедливо, рассмотрены в гл. 11.
Аналогично мы вычисляем
^ т °* • (k x Е(Я
= ^[±(kX8(M)x-i(kX8W)J. A2.7)
Используя эти результаты вместе с формулой
находим квадрат матричного элемента, просуммирован-
просуммированный по поляризации фотона и усредненный по поляриза-
поляризациям распадающегося векторного мезона:
(M\'cp = ~ii2pk\ A2.8)
122 Глава 12
В случае нерелятивистского фазового пространства это
приводит в системе покоя со к
= if! J сРр j сРШ (р0 + к0- q0) б'3' (р + q) =
5., A2.9)
где q, р и к относятся соответственно к со, л и у, а Ел —
энергия пиона. Здесь возникает неоднозначность, свя-
связанная с множителем Ея/та, который появляется из
нерелятивистского фазового пространства. Мы должны
положить EJma та 1, чтобы был непротиворечивым нере-
нерелятивистский расчет, в котором к предполагается малым.
Однако если использовать физические значения, то мы
получаем En/ma » xi^, а это означает, что импульс к не
мал. В литературе [86, 87, 106—109] всегда принимается
первое значение для EJma более или менее как рецепт
со ссылкой на релятивистский расчет, в котором этот
множитель не появляется. В самом деле, исходя из реля-
релятивистского эффективного взаимодействия вида
мы получаем
Это показывает, что в релятивистском фазовом простран-
пространстве множителя Ец/my нет, и мы делаем вывод, что фор-
формула A2.9) релятивистски правильна, если положить
Enlm®, или в общем случае E^lmv, равным единице.
Сравнивая A2.9) с A2.11), находим
*«* = 2|ip. A2.12)
В A2.11), как и в A2.9), мы пренебрегли эффектами форм-
фактора. При
ml-ml
¦ 2 4л/137
' 4т2р
Процессы электромагнитного распада
123
из A2.9), полагая Еп/та=-Л, получаем [106 — 109]
Г«^„.т=.1,17ЛЛв. A2.13)
Экспериментальное значение приблизительно равно
1,2 Мэв в хорошем согласии с предсказанным значением.
Следует еще раз подчеркнуть, что этот результат не
является просто прямым следствием гипотезы кварков
как таковой, а получается при некоторых дополнитель-
дополнительных динамических предположениях, таких, как нереля-
нерелятивистское движение, аддитивность, постоянство ц, для
всех адронов и гладкое поведение формфакторов. Следо-
Следовательно, это предсказание никак не следует рассматри-
рассматривать в качестве проверки самой гипотезы кварков и это
справедливо также с соответствующими поправками для
всех других предсказаний модели.*"
Аналогичным образом мы можем рассчитать другие
реакции типа A2.1), а также распады псевдоскалярного
мезона П ->• V + у. Некоторые результаты приведены
в табл. 8 [106-109].
Таблица 8
Данные о радиационных распадах векторных мезонов
процесс
гтеор
44**
я +V
со •
р
+Y
44 *•
1,17 Мэв
0,13 Мэв
0
6,3 кэв
50 кэв
1,20 Мэв
<2,5 Мэв
<180 кэ<
§ 2. Радиационный распад барионных резонансов
Радиационные распады с участием барионов можно
рассматривать в кварковои модели аналогичным образом.
Хорошо известен пример
A2.14)
124 Глава 12
где переход может быть либо магнитным дипольным (Мх),
либо электрическим квадрупольным (Ez). Однако модель
кварков предсказывает, что переход Ег запрещен [110],
поскольку в этом случае мы имеем дело с переходом типа
L = 0 —*¦ L = 0. Это предсказание великолепно согласует-
согласуется с фактами; из данных по фоторождению мы приходим
к выводу, что магнитный момент перехода Ег составляет
менее 4% от магнитного момента перехода М±. Последний
можно выразить через \iP. Мы находим
Из процесса фоторождения
мы выводим для этого матричного элемента эмпирическое
значение A,25 ± 0,02) BцРУ~2)/3, которое находится
в разумном согласии с полученным выше предсказани-
предсказанием [111]. Отметим, однако, что учет формфакторов при-
приводит к ухудшению согласия с опытом.
Другие предсказания модели кварков для вершины
N*Ny (N — нуклон, N* — нестранный резонон) были
получены Мурхаузом [112]. Он показал, что для опреде-
определенных состояний эта вершина обращается в нуль. В ка-
качестве примера может служить резонон N+ A678) с Jp =
= 5/2~ в мультиплете *{8} с L = 1 (фиг. 7), относительно
которого предсказывается, что по этой причине он не
проявляется как резонансное возбуждение в системе уР.
С другой стороны, фотовозбуждение не запрещается
моделью кварков ни для состояний 2{8} с L = 1 (фиг. 7),
ни для состояний 2{8} cL = 2 (фиг. 8). Эти предсказания
подтверждаются экспериментом [15—17].
§ 3. Лептонвый распад векторных мезонов
Другой класс электромагнитных переходов характери-
характеризуется тем, что происходит аннигиляция кварка и анти-
Кварка. Приведем следующие примеры:
р-^1+ + 1~, л°->2у,
<1215)
Процессы электромагнитного распада 125
где I — лептон. При рассмотрении лептонных распадов я
и К в гл. 10 мы видели, что в нерелятивистской модели
кварков амплитуду аннигиляции связанной пары кварк —
антикварк можно записать как амплитуду аннигиляции
двух свободных кварков с нулевым импульсом, умножен-
умноженную на / (М, 0). Следовательно, для процесса V -*¦ /+ +
-f- 1~, который мы рассматриваем как двухступенчатый
Ф и г. 9. Диаграмма процес-
процесса qq ->- II.
процесс V ->- 7~>- 1+ + 1~, мы начинаем с вычисления
диаграммы, соответствующей свободным кваркам с массой
т\ (фиг. 9), которую с точки зрения f-канала можно рас-
рассматривать как кулоновское рассеяние кварка на лептоне.
Для оператора тока кварков мы получаем знакомое
выражение
h = ЦЯ (Р') Гу|Л + ^4- (Pv - Pv) o^F2] uq (p), A2.16)
L 2Gl J
где eq (g—l)/2»ig — аномальный магнитный момент кварка
(см. гл. 11). Мы можем переписать это в виде [96]
/V = uquq (P') hv/i+ (P» + P'v)h\ uq (p), A2.17)
где
h = iJ^Pz> A2.18)
В рассматриваемую диаграмму дает вклад только Член
с Д. Соответствующий матричный элемент равен
т' -= eeqfiu-y^uq -^ щу^Т =з -|- пг",
где Лц — 4-импульс фотона. Выражая с помощью этого
результата матричный элемент m процесса распада мезона
V -*¦ 1+ 1~, получаем
m = f{V,0)cvm", A2.19)
126
где
Cp
1
V2'
Глава 12
1
Сш 31/2"'
1
Ф 3 "
Мы использовали волновые функции кварков из табл. 3.
Прямой расчет приводит к выражению [86, 87, ИЗ]
-g-4"i-0 D)- A2-20)
Используя отношение [114] Гр_„,+в-/Гр = F,5 ± 1,4) -10~6
и значение Гр = 128 Мэв [46], мы получаем эксперимен-
экспериментальное значение Гр_».е+е- = (8,3± 1,8) 10~3 Мэв; более того,
в пределах ошибок [46] Гр^>.е-ье- = Гр_,.ц+ц-. Предполагая
справедливость A0.19) для векторных мезонов и исполь-
используя A2.20) и упомянутые выше экспериментальные значе-
значения, находим
Я = 1,6 ±0,4. A2.21)
Здесь мы должны отметить, что существует некоторая
неопределенность, связанная с Гр. Недавние измерения
[210] аннигиляции пары электрон — позитрон в два пиона
требуют, чтобы ширина р-мезона была равной 93 ± 15 Мэв.
Это уменьшило бы значение f\ до 1,1 + 0,3.
Из наблюдений [46] распадов со ->- е+е~ и ф —>- е+е~
с помощью аналогичных расчетов мы получаем значения
/«= 1,1 ±0,6 и /• = 1.5 ±0,6 A2.22)
соответственно.
Эти согласующиеся друг с другом результаты показы-
показывают, что g « 1 [см. формулу A2.18)], т. е. что у кварка
нет аномального магнитного момента (или аномальный
момент кварка очень мал). Ввиду того, что было сказано
в предыдущей главе, это служит указанием, что связыва-
связывающий потенциал является в основном скалярным. Еще
раз отметим, что этот вывод справедлив только в том
случае, когда / (V, 0) удовлетворяет закону A0.19).
Легко проверить, что, вычисляя ширину Гу-,-г+г- при
помощи релятивистского эффективного взаимодействия
вида [115]
W^ A2.23)
Процессы электромагнитного распада 127
и сравнивая результат с A2.20) для f\ = 1, мы найдем
следующее выражение для константы связи векторного
мезона и фотона gVv г):
W^). A2.24)
Используя A0.19), мы получаем для gpv значение
тп/тр = 0,18, которое следует сравнить со значением,
равным 0,183, полученным из модели р-доминантности
для изовекторного формфактора пиона [116].
§ 4. Электромагнитный распад я0- и т)-мезонов
В заключение несколько слов о процессах л° -»- 2^
и Tj -»- 2у [86, 87, 113]'. Считается, что эти процессы про-
протекают согласно диаграмме на фиг. 10 [117], где V — любой
нейтральный векторный мезон с L — 0 (состояниями
Фиг. 10. Предполагаемый механизм реакций л° -*¦ 2у и г) -*¦ 2у.
с большими L мы пренебрегаем, что, конечно, является
добавочным динамическим предположением). Предпола-
Предполагается, что испускание первого 7"кванта происходит под
действием того же механизма, что и в случае распада
V —>- Ну, а именно переворота спина кварка или анти-
антикварка. Второй фотон возникает в результате аннигиляции
пары qq в мезоне V. Следовательно, связь в левой верши-
вершине определяется параметром \i, который мы отождествля-
отождествляем с \iP, тогда как в правой вершине имеем константу
связи gvy, определяемую соотношением A2.23). Для этой
константы используется выражение A2.24), которое
получается в модели кварков и соответствует f\ = 1 и зна-
значению / (V, 0), определенному выражением A0.19). Эф-
Эффектами формфактора везде пренебрегается. Мы приводим
1) Константа связи gyy связана с константой yv, введенной
в [116], соотношением gyy = i/Byv).
128 Рлава 1U
только результаты [86, 87]; они имеют вид
= 7,5 Эв, Гт,->27=1 кэв
второй результат получен при использовании угла сме-
смешивания ц- и т)'-мезонов, равного —10° [см. (8.19)].
Экспериментальное значение Гж^гу лежит между 6,3 ± 1
и 9,2 ± 1,2 эв [118, 119], тогда как для FVj^v 0H0 равно
0,88 ± 0,19 кэв [120, 121]. Согласие получается внуши-
внушительным и подтверждает результаты A2.21) и A2.22).
§ 5. Выводы
Результаты трех последних глав лучше всего, может
быть, суммировать следующим образом: рассмотренные
здесь слабые, лептонные и электромагнитные распады
согласованно Описываются нерелятивистской моделью не-
независимых кварков, если принять следующие «прави-
«правила игры»:
пренебречь формфакторами и положить интегралы
перекрытия равными единице;
принять, что выполняется соотношение A0.19);
считать (х одинаковыми для всех адронов;
принять g « 1, т. е. что аномальный магнитный момент
кварка мал.
Глава ПРОЦЕССЫ
13 СИЛЬНОГО
РАСПАДА
§ 1. Общие замечания
Рассматривая в модели кварков процессы сильного
распада, мы немедленно сталкиваемся с несколькими
фундаментальными трудностями. Во-первых, взаимо-
взаимодействие, связывающее кварки, и взаимодействие, приво-
приводящее к распаду, оба являются сильными взаимодействия-
взаимодействиями, и в общем случае их невозможно отделить друг от
друга, как мы могли это сделать для слабых и электро-
электромагнитных распадов. Во-вторых, в предыдущих главах
процессы типа
АВ A3.1)
где А я В — адроны (мезоны или барионы), мы могли трак-
трактовать просто как переход одного кварка частицы А в кварк
частицы В, что приводило к изменению направления спина
частицы и (или) ее внутренних квантовых чисел. При
этом испускалась система с, которая представляла собой
либо фотон, либо лептонную пару. В сильных распадах,
однако, с представляет собой, например, пион; т. е. час-
частица с сама-по себе является связанным состоянием квар-
кварка и антикварка. Правильная трактовка реакции A3.1)
потребовала бы решения задачи многих тел. Поскольку
это выходит за рамки наших возможностей, единственное,
что мы можем сделать, это изучать реакцию A3.1) по
аналогии со слабыми и электромагнитными распадами
и рассматривать частицу с как квант поля, игнорируя ее
кварковую структуру. Это означает, что, например,
в процессе распада
р—» я-f я
один из пионов рассматривается как система из кварка
и антикварка, а другой — как квант поля, испускаемый
при переходе q — q или q — q. Ввиду первой из упомяну-
упомянутых трудностей такое рассмотрение представляется разум-
разумным только в том случае, когда испускается мягкий пион,
8-716
130 Глава 13 ^
т. е. пион с малым 4-импульсом, и кроме того, при нере-
нерелятивистском характере движения кварков. Тогда, как
хорошо известно из ядерной физики, константа связи,
определяющая процесс испускания, сильно уменьшается
и становится малой по сравнению с обычной константой
связи пиона с нуклоном [см. A3.4) и A3.5)]. Другими
словами, соответствующее взаимодействие является по
существу «слабым» и его можно рассматривать отдельно
от обычных сильных взаимодействий.
Предположим, что нерелятивистское взаимодействие
кварка с пионом имеет вид
Hi - + A j ffixq{x) aahq (х) • Vcpft (*), A3.2)
где фй — пионное поле с изоспиновым индексом к, a ak
(к = 1, 2, 3) — изоспиновые матрицы Паули. Знаки «+»
и «—» относятся соответственно к испусканию пиона
кварком и антикварком. Для взаимодействия пиона с нук-
нуклоном имеем в том же пределе
#f = ± -L [ d3xN (х) aakN (x)• Vcpft (x), A3.3)
где
Отметим, что, как упоминалось выше, /2 < g^. Теперь
заключим оператор A3.2) между состояниями нуклона
и сравним результат с A3.3). Получим константу связи
пиона и кварка в статическом пределе
/, = у/. A3.5)
Зная эту константу связи, мы можем получить ширины
различных распадов, вычислив матричный элемент опе-
оператора HI между состояниями соответствующих адронов.
§ 2. Распад барионных резонансов
В качестве первого примера рассчитаем вершину
5Дя, где В — барион, а А — барионный резонанс (с L =
= 0). Мы можем ограничиться рассмотрением процесса
А++ -»- Р + я+; для всех других переходов результаты
Процессы сильного распада
получаются с помощью ??7C)-преобразований. Легко
видеть, что матричный элемент перехода (А++, sz = 3/2) -»-
-*- (Р, sz = 1/2) равен
2i^-{kx + iky), A3.6)
где к — импульс пиона в системе центра масс. Здесь мы
использовали E.12) и тем самым, как обычно, пренебрег-
пренебрегли эффектами формфактора. Подобные выражения мож-
можно написать и для остальных спиновых состояний. Ква-
Квадрат матричного элемента, усредненный по спину, при-
принимает вид
что приводит [47, 48, 86, 87, 122] к результату
„ /2 48 &з En /ло о\
1 Д++-+Р+Я+ = 7—"ос 2 '• \1O.O)
4Ji бэ т^ /гед
В противоположность случаю радиационного распада век-
векторных мезонов мы должны сохранить в этом выражении
множитель En/^a, поскольку он появляется также
и в релятивистском расчете. Подставляя численные зна-
значения, находим
Гд++_>.р-|-я+ = 80 Мэв.
Без множителя Еы/т&, мы получили бы значение 100 Мэв.
Экспериментальное значение равно 120 Мэв.
§ 3. Распад векторных мезонов
Совершенно аналогично рассматриваются процессы
7->-ПП, где V — векторный, а П — псевдоскалярный
мезон. Мы остановимся кратко на распаде р+ -*¦ л+ + я0.
Один из пионов рассматривается как ^-состояние, а дру-
другой — как квант поля. В качестве gg-состояния мы мо-
можем взять либо я+, либо я0; в обоих случаях матричный
элемент один и тот же и для перехода (р, sz = 0) -»- я
определяется выражением
m = ^-2ikz, A3.9)
9*
132 Глава 13 _
где к — импульс конечной частицы в системе центра
масс. Матричный элемент распада равен среднему значе-
значению этих двух матричных элементов, а не их сумме. Это
можно пояснить иэ соображений, основанных на гипотезе
частичного сохранения аксиального тока (см. ниже).
Следовательно, выражение A3.9) является полным матрич-
матричным элементом распада (р, sz = 0). Усредняя по спинам,
мы приходим к формуле [47, 48, 86, 87, 122]
из которой находим
Гр^яя = 185 Мэв. A3.11)
Влиянием формфактора мы снова пренебрегли. Как уже
говорилось, вопрос об экспериментальном значении шири-
ширины р-мезона еще не решен однозначно. Численные значе-
значения колеблются между 95 и 170 Мэв. В настоящее время
наиболее вероятным представляется значение Гр^.Яя =
- 128 Мэв [123].
Интересно отметить, что приведенные результаты мож-
можно получить также из гипотезы частичного сохранения
аксиального тока [86, 87]. Это другое динамическое пред-
предположение, отличное от рассмотренного в первом пара-
параграфе, позволяет рассчитать сильный распад А ->- В + я
через матричный элемент перехода между адронами А
и В, который в данном случае представляет собой матрич-
матричный элемент слабого перехода и имеет вид
2^-kll(B\j?h@)\A), A3.12)
чья
где Jjitk—аксиальный ток
а Ац — 4-импульс пиона. В нерелятивистской кварковой
модели это приводит к матричным элементам типа A0.4).
Легко видеть, что для распада р+ -*¦ я+ + я0 мы получаем
матричный элемент, совпадающий с A3.9).
В заключение заметим, что несколько авторов рассчи-
рассчитали в рамках кварковой модели ширины распадов сос-
состояний, возбужденных по орбитальному моменту L [124,
125].
, Процессы сильного распада 133
Замечание при корректуре
Для идеального мезонного нонета [в котором угол сме-
смешивания состояний с / = Y = 0 равен arc tg (^2/2), так
что одно из этих состояний, назовем его /^-состоянием,
содержит только странные кварки (см. гл. 5)] в схеме
аддитивности (фиг. 3) запрещены распады типа D ->¦ А +
+ с, где с = jt или у, А — адрон, содержащий только
нестранные кварки. Это объясняет экспериментально
наблюдаемый факт, что сильный распад ф и /' A500)
происходит главным образом в К /^-каналах. [Тот факт,
что распад ф -»- рзт вообще наблюдался, указывает на
отклонение Qv °т значения arc tg (^2/2).] По той же при-
причине в пион-нуклонных реакциях не рождаются частицы
типа D (см. гл. 17).
Глава ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ
14 АДДИТИВНОСТИ
ДЛЯ РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
§ 1. Формулировка аддитивности
В этой и последующих главах мы рассмотрим другое
интересное и часто удивительно успешное применение
модели кварков, а именно рассеяние адронов при высоких
энергиях [126—145]. Под «высокими энергиями» мы под-
подразумеваем область рь 5= 4 Гэв/с, где рь — импульс
налетающей частицы в лабораторной системе. Наивысшее
значение pL, достигаемое на существующих ускорителях,
равно приблизительно 30 Гэв/с для протонов. Эта область
характеризуется тем, что упругие и полные сечения ока-
оказываются гладкими, медленно меняющимися функциями
pL, без заметной структуры, а в некоторых случаях они
почти постоянны. В настоящее время имеются экспери-
экспериментальные данные при высоких энергиях для адрон-
адронных реакций налетающих я±, /?±, Р-и Р на протон-
протонных и нейтронных мишенях, последние в форме дейтронов.
Мы начнем с изучения упругих реакций, т. е. реакций
типа
А + В -* А + В, A4.1)
где А т. В — адроны. (Мы пренебрегаем пока усложнения-
усложнениями, связанными со спином.) Амплитуда упругого рассея-
рассеяния ТАВ (s, t) определяется соотношением
{А, р'А; В, р'в\т\А, рА; В, рв) =
~ibM{p'A + p'B-pA-pB)TAB{s, t), A4.2)
s=— (Pa + PbJ, t=—(p'A—pAf,
где т а= i A — S) — оператор рассеяния, pup'— на-
начальный и конечный 4-импульсы. В системе центра масс
s= (полная энергияJ и { = — (передаваемый импульсJ.
Отметим, что ТАВ и кварковая амплитуда Тц, введенная
ниже, являются нековариантными амплитудами, т. е.
Предположение аддитивности для рассеяния 135
^-матричными элементами1). Это означает, что они
нормированы таким образом, что при высоких энергиях
независимость амплитуд от s влечет за собой независимость
от s полных и упругих сечений. Оптическая теорема при-
приводит в пределе высоких энергий к соотношению
ат(Л5) = 4яЧтГАв(в, 0), A4.3)
где аТ (АВ) — полное сечение рассеяния адронов А и В.
Для дифференциального упругого сечения doe[ (AB)ldt
имеем
^^^\TAB{s,t)f. A4.4)
Основным предположением, которое мы делаем, при-
применяя модель кварков к рассеянию при высоких энергиях,
является предположение аддитивности [126, 127], выра-
выражаемое фиг. 3: ТАВ записывается в виде суммы всех
возможных упругих амплитуд Тц рассеяния кварка или
антикварка i из адрона А на кварке или антикварке / из
адрона В. Эта сумма имеет вид [128] (см. приложение)
T
ab («. *) = S F? С) Ff С) ТЧ (*' *)• A4-5)
ij
Это равнозначно так называемому импульсному приближе-
приближению. Принимают, что каждый кварк i в адроне А ведет
себя как квазисвободная частица, связь которой внутри
адрона описывается формфактором F* (t) [при этом
Ft @) = 1], определяющим перекрытие волновой функции
кварка из конечного адрона А и волновой функции, полу-
полученной при действии кваркового оператора рассеяния на
кварк i в начальном адроне А. Все остальные кварки
частицы А при этом не затрагиваются. Подобным же обра-
образом мы имеем формфакторы Ff (t) для кварков из адро-
адрона В. Мы, конечно, пока не можем определить вид этих
формфакторов. Предполагается, что кварковые амплиту-
амплитуды Тц не зависят от индексов А и В, т. е. считается, что
при фиксированных i и / они одинаковы для всех адро-
адронов. Это равнозначно предположению некоторой универ-
х) Благодаря этому ТЛВ зависит не только от инвариантов
s и t, но также явно зависит от энергий А и В. Однако обозначение
ТАВ (s, t), применяемое ниже, не приводит к путанице.
136 ; Глава 14
сальности, утверждающей эквивалентность кварков, сос-
составляющих мезоны, и кварков, составляющих барионы.
Мы ожидаем, что соотношение A4.5) будет применимо
только при высоких энергиях (s ^ Ю Гэв2), когда несу-
несущественны эффекты резонансов s-канала, и малых переда-
передаваемых импульсах [| t | < 1 (Гэв!сJ]. Следует упомя-
упомянуть, что SU C)- или SU (б)-симметрии не обязательно
должны быть точными симметриями ^-матрицы; как
отмечалось выше, эти симметрии включаются в модель
кварков в одном только пункте — при построении волно-
волновых функций связанных состояний.
Заслуживает комментария энергетическая зависимость
амплитуды Ttj в A4.5), описывающей упругое рассеяние
кварка на кварке, кварка на антикварке или антиквар-
антикварка на антикварке. Для заданных s и t и фиксированных
кварковых индексов ? и / значение амплитуды Ti} (s, t)
будет, вообще говоря, не одинаковым для нуклон-нуклон-
ного и мезон-нуклонного столкновения. Причина заклю-
заключается в том, что в системе центра масс энергия столкнове-
столкновения кварков qt + qj различна в этих двух случаях и от-
отличается от энергии столкновения адронов А -\- В. Если
мезон и барион имеют одинаковые импульсы pL в лабора-
лабораторной системе, то эффективные импульсы составляющих
кварков должны быть равны в среднем V2 Рь и х/3 Рь
соответственно. Это можно объяснить только в том слу-
случае, если принять, что сталкивающиеся кварки имеют
эффективные массы порядка тА/п и тв/п, где п — коли-
количество кварков в адронах А и В. Следовательно, при
проверке соотношений, получаемых из A4.5) при помощи
исключения кварковых амплитуд, в которые входят как
мезон-барионные, так и барион-барионные сечения, эти
сечения следует брать при таких импульсах частиц в лабо-
лабораторной системе, которые находятся в отношении 2 : 3
[128, 130].
§ 2. Неаддитивность процессов аннигиляции
бариона и антибариона
Прежде чем применять предположение аддитивности
к конкретным процессам, мы должны установить важное
ограничение относительно его применимости к реакциям
Предпрложение аддитивности для рассеяния
137
Фиг. 11. Диаграмма, показывающая вклады аннигиляции барио-
на и антибариона в сумму, входящую в A4.6) и A4.7).
Сплошные линия соответствуют кваркам и антикваркам, волнистые — мезонам.
антибарион — барион и барион — барион. [133]. Рас-
Рассмотрим мнимые части упругих амплитуд вместе с усло-
условием унитарности
Im TAB (s, t) = 2 (АВ | т* | п) {п | т | АВ), A4.6)
п
где суммирование производится по всем упругим и не-
неупругим промежуточным состояниям, а т — нормирован-
нормированный соответствующим образом оператор рассеяния. Счи-
Считается, что закон сохранения энергии-импульса учтен
в этом соотношении. Используя A4.3), для рассеяния
вперед получаем
от (АВ) = 4я2 ^(АВ\х*\п){п\х\АВ)\м. A4.7)
п
Если в соотношениях A4.6) и A4.7) А — антибарион В',
а В — барион, то при конечных энергиях заметный вклад
в сумму по п дают аннигиляционные каналы В' -\- В -*-
->- мезоны (фиг. И). Поскольку в таких процессах имеет
место обмен барионом, т. е. тремя кварками, ясно, что
эти процессы не могут быть описаны формулой аддитивно-
аддитивности. Другими словами, фиг. 12, которая изображает A4.6)
или A4.7) в предположении аддитивности, не может быть
хорошим приближением для процесса аннигиляции, пока-
показанного на фиг. 11. Следовательно, вклады аннигиляции
В'В должны быть исключены из предположения аддитив-
аддитивности для мнимой части амплитуды В'В. [Такое же огра-
ограничение применимо для мезон-бариовного рассеяния назад.
138
Глава 14
Однако его вклад в сумму A4.6) весьма мал при рассея-
рассеянии мезона на барионе на малый угол. Пренебрежимо
малы также эффекты обмена двойным зарядом и (или)
странностью, которые также попадают под это ограниче-
ограничение.] Для выражения таких вкладов через кварки более
В
\m\vvwa
I
I
В
Фиг. 12. Диаграммы рассеяния антибариона на барионе, опи-
описывающие сумму в A4.6) и A4.7) в предположении аддитивности
кварковых амплитуд с участием (диаграмма а) и без участия (диа-
(диаграмма б) аннигиляции кварка и антикварка.
Аналогичные диаграммы можно составить для барион-барионного и мезон-
барионного рассеяния.
естественным представляется предположение мульти-
мультипликативности, чем аддитивности (см. гл. 18). Исключение
процессов аннигиляции из предположения аддитивности
для Im Г§,в, вообще говоря, может привести к изменению
величин 1щ Тв.в, Re Тъ.в и Re TB,B, поскольку эти
амплитуды связаны друг с другом соотношениями, сле-
следующими из кроссинг-симметрии. До тех пор пока мы
рассматриваем только полные сечения, это обстоятельство
не играет никакой роли, так как при t = 0 поправка,
обусловленная аннигиляционной частью Im Тв.в, ска-
Предпрложение аддитивности для рассеяния 139
зывается главным образом в Re TB,B [133]. Для диффе-
дифференциальных сечений и для неупругих реакций все это
может стать весьма существенным (гл. 17).
Та часть сечения ат (В'В), которая в схеме аддитив-
аддитивности должна быть исключена из суммы A4.7), представ-
представляет собой сечение аннигиляции аА (В'В):
аА (В'В) = 2 (В'В |г*\п') {п'\х\ В'В) |*=0, A4.8)
п'
где состояние | п' ) содержит только мезоны. Эту величину
можно измерить, однако до сих пор было измерено только
одно сечение аннигиляции при высоких энергиях *),
а именно аА (Р Р) = 22,5 ± 2 мб при рь = 5,7 Гэе/с
[146]. При таком импульсе ат (Р Р) = 62,5 ±1 мб
и сгг (РР) = 41,0 ± 1 мб, так что
аА (РР) = [от (РР)-от(РР)]± A-2) мб. A4.9)
Чтобы иметь возможность сравнить наши теоретические
результаты с экспериментом, предположим, что A4.9)
остается справедливым при pL 5s 6 Гэе/с и разность
От (В'В) — аА (В'В) является той самой частью полного
сечения ат (В'В), для которой выполняется предположе-
предположение аддитивности кварковых амплитуд. До тех пор пока
не получены точные данные о сечениях аннигиляции, более
строгое рассмотрение, учитывающее малые поправки,
обусловленные тем, что аннигиляционные и неаннигиля-
ционные вклады не полностью независимы [148], не имеет
особого смысла.
Диаграммы на фиг. 12 описывают оба вида вкладов
в реакции В В', которые аппроксимируют неанниги-
ляционную часть суммы A4.6) в схеме аддитивности.
Аналогичные диаграммы можно составить для рассеяния
барионов на барионах и мезонов на барионах. Правая
часть фиг. 12, а содержит аннигиляцию кварка и анти-
антикварка, т. е. адроны Л и В в матричном элементе (АВ \х\ п)
обмениваются одним кварком. Однако такие неупругие
реакции никогда не наблюдались в экспериментах. Поэто-
х) См. также статью [147], где сообщаются результаты изме-
измерений при 6,94 Гае.
140 Глава 14
му мы ожидаем, что хорошим приближением для неан-
нигиляционной части суммы в A4.6) могут служить только
диаграммы типа изображенной на фиг. 12, б, а не диаграм-
диаграммы типа фиг. 12, а. Следовательно, мы исключаем из схе-
схемы аддитивности также вклады аннигиляции кварка
и антикварка такого типа, как показано на фиг. 12, а. Мы
вернемся к этому вопросу в гл. 16, § 2. Отметим, что если
кварки существуют не в виде свободных частиц, а только
в виде связанных комбинаций [37], то априори ясно, что
процесс, подобный показанному на фиг. 12, а, суще-
существовать не может.
§ 3. Три класса неупругих конечных состояний
Для дальнейшего полезно сделать еще несколько за-
замечаний о различных типах каналов п, которые, согласно
A4.7), составляют полное сечение ат (АВ). Рассмотрим
в системе центра масс реакцию
А-\-В —> неупругое конечное состояние п.
Струйная структура неупругих столкновений при высо-
высоких энергиях (малые поперечные импульсы в системе
центра масс) говорит о том, что частицы в конечном состоя-
состоянии можно грубо разделить на две группы А' и В':
одна группа содержит частицы, летящие в системе центра
масс вперед, а другая — частицы, летящие назад. Вооб-
Вообще А' ж В' представляют собой многочастичньте системы.
По аналогии с двухчастичными реакциями мы можем
теперь грубо подразделить вклады в сумму A4.7), т. е.
в ат (АВ), на три класса, в соответствии с возможными
обменами в ^-канале в реакциях типа А -\- В -*~ А' + В'
[то же, конечно, справедливо и для A4.6)]:
1) аннигиляция, или вклады от обмена барионом
о а (АВ),
2) вклады от обмена зарядом, изоспинрм и стран-
странностью аЕ (АВ),
3) вклады Померанчука о> (АВ).
Первый класс вкладов существует только в том случае,
если А и В имеют противоположные барионные числа.
В третий класс входят те вклады, для которых в ?-канал*
реакции А + В -*¦ А' + В' обмениваются нулевые внут-
Предположение аддитивности для рассеяния 141
ренние квантовые числа. Поскольку сечения обменных
реакций всегда уменьшаются с увеличением энергии,
следует ожидать, что при очень больших энергиях сохра-
сохраняются только вклады третьего класса, т. е.
¦|?--»0, -Hj- —> 0 при S-+0O, A4.10)
а при конечных энергиях измеренные разности оТ (АВ) —
от (АВ) определяются в основном вкладами первого и вто-
второго классов.1
Как следствие такого подразделения мы можем при-
приближенно написать
от (АВ) = оР(АВ) +оА (АВ) + оЕ(АВ) A4.11)
(пренебрегая тем, что эти три класса вкладов, вообще гово-
говоря, влияют друг на друга из-за абсорбционных поправок
[148]; например, присутствие оА влияет на оег и, следо-
следовательно, на Ор). Вклад от упругих конечных состояний
в A4.7), имеющий в основном дифракционный характер,
считается включенным в оР.
Из A4.11) следуют простые неравенства между полны-
полными сечениями [130]; например,
от(РЩ>от(РР). A4.12)
Это неравенство мы получим, если заметим, что о> (РР) ~
ж ар (PN), аА (РР) = оА (PN) = 0 и оЕ (PN) > оЕ (РР).
Последнее неравенство следует из того, что способов
обмена зарядом между N и Р существует больше, чем меж-
между Р и Р. Аналогично вследствие больших аннигиляцион-
ных вкладов в PN имеем
oT(PN)>oT(PP). . A4.13)
Подобные неравенства можно получить и для рассеяния
мезонов на барионах. Несмотря на то, что это рассмотре-
рассмотрение проведено в очень грубом приближении, все неравен-
неравенства между измеренными сечениями при высоких энерги-
энергиях, выведенные на основе A4.11), по-видимому, подтвер-
подтверждаются экспериментами [130].
Глава УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
15 В ПРЕДЕЛЕ
Рассмотрим кратко следствия соотношения A4.5) в пре-
пределе s->oo и при малых углах рассеяния, соответствую-
соответствующих, например, интервалу значений t 0<[ 111<: 1 (Гэв/сJ,
т. е. области дифракционного пика вперед. Известно, что
этот пик доминирует в упругом рассеянии при высоких
энергиях, давая почти все полное упругое сечение. Обыч-
Обычно считают, что при указанных значениях s и t амплитуда
упругого рассеяния ТЛв (s, t) становится чисто мнимой
(чисто дифракционное, или теневое рассеяние). (Обзор
общих вопросов рассеяния при высоких энергиях содер-
содержится, например, в работе ИЗО].) В самом деле, недавние
измерения в Брукхевене [149] л^Р- и РР-рассеяния
в интервале импульсов 8 <; pL < 26 Гэв/с ясно показали,
что отношение Re ТАВ (s, O)/Im Тлв (s, 0) весьма мало
при больших энергиях: оно составляет около —0,13 для
п~Р, —0,19 для я+Р и —0,27 для РР при 14 Гэв/с и непре-
непрерывно убывает по абсолютной величине с ростом энергии.
Полные сечения и дифференциальные упругие сечения
do/dt в области дифракционного пика вперед, по-видимо-
по-видимому, становятся независящими от энергии в асимптотиче-
асимптотическом пределе. Предполагают, что они удовлетворяют теоре-
теоремам Померанчука [150, 151]
dael(AB) dael(AB)
dt dt
тогда как сечения обменных реакций аА и оЕ, определен-
определенные в гл. 14, § 3, должны стремиться к нулю в этом пре-
пределе.
Мы принимаем, что указанными выше свойствами обла-
обладает также рассеяние кварка на кварке и антикварка на
кварке. Ограничиваясь рассеянием пион — нуклон и ну-
нуклон — нуклон, т. е. только нестранными кварками, мы
можем написать асимптотически
TAB(s, t)*f = ig(t) [^F?(t)] [%Ff (t)] , A5.2)
Упругое рассеяние в пределе $ —> оо 143
где
Tu(s, ty^f^igijtf), gij—веществеппая функция, A5.3)
SpP = Sun = Spp = gnn = gPn = g-n = ?p- = ?. A5.4)
Здесь использованы изоспиновая инвариантность и инва-
инвариантность относительно зарядового сопряжения. Соот-
Соотношение A5.2) и аналогичные соотношения для ТАА и Твв
немедленно приводят к свойству факторизации [128],
справедливому при s-*-oo:
[Tab (s, t)]* = TAA (s, t) TBB (s, t), A5.5)
предсказанному ранее в модели полюсов Режде [152, 153].
Другим интересным следствием соотношения A5.2)
является возможность показать в двух экстремальных
случаях, почему аддитивность может быть хорошим при-
приближением [128, 130]. Случай I получается тогда, когда
вся зависимость величины lim TAB (s, t) от t в области
S-+OO
дифракционного пика, т. е. при | t | ^ 1 (Гэв/сJ, содер-
содержится в кварковой амплитуде g (t), т. е. когда в этой
области формфакторы F приблизительно постоянны и рав-
равны единице. В этом случае из A5.2) получаем
Тав(', tY~» = ig(t)nAnB, A5.6)
где пл и пв — числа кварков, составляющих адроны.4 и В.
Из этого соотношения следует, что для всех нестранных
адронов асимптотические дифракционные кривые (зави-
(зависимость doei/dt от t) имеют одинаковую форму, что согла-
согласуется с экспериментальными фактами. В самом деле, все
измеренные до сих пор дифракционные кривые адронов
при высоких энергиях можно параметризовать выраже-
выражением вида *)
*1 <157>
где наклоны кривых а для рассеяния пионов на нуклонах
и нуклонов на нуклонах при изменении энергии не изме-
изменяются или изменяются весьма медленно, стремясь при
этом к общему асимптотическому значению порядка
9 (Гэв/с)-*. Более того, из A5.6) следует, что это общее
1) См., например, [154].
144 Глава 15
значение а для адронов совпадает со значением а длл
рассеяния кварков, поскольку и для кварков, и для
адронов зависимость рассеяния от t описывается одной
и той же функцией g (t). Поскольку размер частицы свя-
связан с наклоном ее дифракционной кривой, это означает,
что в этом экстремальном случае размеры кварков при-
приблизительно совпадают с размерами адронов. В то же
время, однако, из аддитивности и теоремы Померанчука
A5.1) (примененной к кваркам) имеем
сгт°) (дя) ="сГсгто) (РР)> A5.8)
где От (АВ) — асимптотическое значение полного сечения
рассеяния А на В. Эти два вывода не противоречат друг
другу только в том случае, если кварки очень мало погло-
поглощаются, т. е. если они очень прозрачны, приблизитель-
приблизительно в девять раз прозрачнее протонов. Именно столь высо-
высокая степень прозрачности может оправдать задним числом
предположение аддитивности в этой картине.
Случай II противоположен случаю I. Теперь прини-
принимается, что зависимость lim TAB (s, t) от t в области диф-
в-*оо
ракционного пика полностью определяется формфакторами
в A5.2), т. е. функция g (t) не зависит от t. В этом случае
пространственные размеры кварков малы по сравнению
с пространственными размерами соответствующих адро-
адронов. Такие малые размеры кварков приводят к тому, что
эффекты многократного рассеяния становятся малыми,
так что и в этой экстремальной картине можно понять,
почему приближение аддитивности приводит к правиль-
правильным результатам.
В этом предельном случае, когда адроны больших раз-
размеров составлены из заряженных кварков малого размера,
можно получить замечательное соотношение [129, 130],
если заметить, что формфакторы Ff'B (t) должны быть про-
пропорциональны электромагнитным формфакторам Ge'b (t)
адронов А и В. Используя это положение и принимая
g (t) = g @) при малых t, для случая рассеяния протонов
на протонах получаем из A5.2) соотношение
[бл (*)]*i A5.9)
dt
Упругое рассеяние в пределе s —>¦ оо
145
которое, как видно из фиг. 13, блестяще согласуется с экс-
экспериментом в области | t | ^ 1 (Гэв/сJ. (Используя совер-
совершенно другие рассуждения, By и Янг [155] вывели это
соотношение для случая больших t, соответствующих углам
Дсимптотическая
кривая
0,1 ¦ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,6 0,9
Фиг. 13. Иллюстрация соотношения A5.9).
Сплошные линии соответствуют ldael (PP)/dt]/[dael (PP)ldUt_Q при 12,8 Гэв.
Асимптотическая кривая получена экстраполяцией к бесконечной энергии
измеренных РР и ~РР дифракционных кривых. Точками обозначены электро-
электромагнитные формфакторы нуклонов в четвертой степени.
рассеяния вблизи 90°. В этой области согласие с экспери-
экспериментом оказывается хуже.) Для рассеяния пионов на
протонах соответствующее соотношение имеет вид
J?ei^=\J22igDJ\ [GpE{t)f{G%{t)]\ A5.10)
Из упомянутого выше экспериментального наблюдения,
что при очень высоких энергиях дифракционные кривые
10-716
1^ Рлава~1$ .
пР- и РР-рассеяния имеют похожие наклоны, мы можем
на основании этих соотношений сделать вывод, что то же
самое должно быть справедливо для Ge (t) и GE (t). Форма
последней кривой пока еще измерена не полностью;
однако недавний эксперимент [97] показал, что среднеква-
среднеквадратичные зарядовые радиусы пиона и нуклона в преде-
пределах экспериментальных ошибок совпадают. Эти два зна-
значения равны соответственно 0,80 ± 0,10 и 0,81+0,01 фер-
ми, что говорит в пользу сделанного выше вывода.
Следует упомянуть, что приведенные соотношения мож-
можно обосновать и в предельном случае I [130].
Глава СООТНОШЕНИЯ
16 МЕЖДУ ПОЛНЫМИ
СЕЧЕНИЯМИ
§ 1. Обсуждение различных соотношений
Теперь мы используем предположение аддитивности
(ограничиваемое, согласно гл. 14, неаннигиляционными
вкладами) для вывода некоторых соотношений между
усредненными по спинам полными сечениями рассеяния
адронов. Эти сечения позволяют явно проверить пред-
предположение аддитивности: поскольку нам нужны только
упругие амплитуды при t = О [см. A4.3)], все формфакто-
ры можно положить равными единице; кроме того, по-
поскольку мы рассматриваем сечения, усредненные по
спину, спиновые связи можно просто игнорировать, что
эквивалентно их полному учету. Из A4.3) и A4.5) полу-
получаем следующие формулы для усредненных по спину
сечений:
S± (РР) -_=!
S±(PN) =
S4n+P) =
S± (K+P) =
5± (K+N) =,
с обозначениями
5?± (рр) -f 45^
3^(PP) + 3^
2S± (pp) + ^
5±(рр) + 2^±
Цпр),
(ПР),
¦¦ (пр) ± 35^
(пр) ± ЗД±
= (М,
(Хр)
A6.
A6.
A6.
lit'
A6.
la)
16)
1Д)
1е)
S±(AB)=S±{AB)-oA(AB),
5± (АВ) = от (АВ) ± от (АВ),
где А и В могут обозначать как адроны, так и кварки. Во
всех этих формулах следует одновременно брать либо
все верхние, либо все нижние знаки. Если А — мезон,
а В — барион, то величины S*1 (АВ) и 5* (АВ), конечно,
одинаковы. При записи формул A6.1) мы использовали
изоспиновую инвариантность и инвариантность относи-
10*
Глава 16
Таблица 9
Сравнение соотношения
A6.3а) с экспериментом
S- (К+Р) —
— S- (K+N),
мб
S- (я+Р),
мб
тельно зарядового сопряжения; никаких высших сим-
симметрии не использовалось. Эти формулы, в которых слева
стоят только измеряемые сечения, приводят к четырем
соотношениям между величинами S±, а именно:
S-(K+P)-S-{K+N) = S-(n+P), A6.3а)
S+(PP) + S+(PN) = SS+(n+P), A6.36)
?+ ipp) _ 5+ (P7V) = ?+ (К+Р) — S+ (K*N), A6.3в)
S-(PP)-S-(PN)--:S-(n+P). A6.Зг)
Само собой разумеется, что пренебрежение вкладами типа
показанного на фиг. 12, а, вследствие чего в A6.1) справа
появляются S±(qq'), а не
S±(qq'), не влияет на получае-
получаемые правила сумм для адрон-
ных сечений (ср. гл. 16, § 2).
Сравнивая соотношения
A6.3) с экспериментом, мы испо-
используем данные Галбрайта и др.
[156—158], так как здесь в од-
одном эксперименте измерены
в области 6 <; pL <: 18 Гэв/с
все сечения, входящие в левые
части соотношений A6.1). Не-
давние более точные данные
Фоли и др. [149, 159] относятся, к сожалению, только
к полным сечениям п±Р- и РР-рассеяния.
Соотношение A6.3а) представляет собой так называе-
называемое «улучшенное» соотношение Джонсона — Тримена [127].
Как показывает табл. 9, оно очень хорошо согласуется
с экспериментальными данными.
Что касается соотношений A6.36) — A6.Зг) [133], то
детальное сравнение с экспериментом приходится отло-
отложить до получения лучших данных по аннигиляции нук-
нуклона и антинуклона при высоких энергиях. В особенно-
особенности это относится к соотношениям A6.Зв) и (Ю.Зг), в кото-
которые входят разности сечений, по порядку величины равные
ошибке в A4.9), так что серьезная проверка в настоящее
время по существу невозможна; однако эти соотношения
полностью согласуются с имеющимися данными. Для
6
12
18
2,6+0,4
1,7±0,4
1,2+0,6
2,3+0,2
1,7+0,2
1,5±0,2
Соотношения между полными сечениями 149
сравнения A6.36) с имеющимися данными мы используем
соотношение A4.9), которое можно записать в виде
S~(PP) « 0. Применяя его в A6.Зг), мы получаем
S~(PN) ж -^г (я+Р), так что S+(PP) « 2оТ(РР)
и ~S+(PN) « 2crr (P./V) — 5" (я+ Р). Напомним, что мы
должны сравнить нуклон-нуклонные и мезон-нуклонные
сечения при импульсах в лабораторной системе, относя-
относящихся как 3 : 2 (ср. гл. 14, § 1); для левой и правой частей
соотношения A6.36) мы находим соответственно
157 ±3 мб, 157,8 ±0,6 мб при р? = 8 Гэв/с,
р?=12 Гэв/с;
154 + 3 мб, 150,0 + 0,6 мб при pi = 12 Гэв/с,
pi -= 18 Гэе/с.
Следовательно, это правило сумм выполняется с точностью
до нескольких процентов. Отметим, что согласие было
бы плохим, если бы в левой части этого соотношения были
включены аннигиляционные вклады, что привело бы
к увеличению ее на 15—20%.
В пределе s -> <х соотношение A6.36) принимает вид
[126, 127]
A6 4)
где использованы A4.10) и теоремы Померанчука для пол
ных сечений A5.1). Рарита и др. [160], описывая недавно
с помощью полюсов Редже новые данные о сечениях,
полученные Фоли и др. [149, 159], а также все предыдущие
данные о пР-, РР- и РР-рассеянии при высоких
энергиях предсказывают аг°о) (пР) = 21,А мб и От°} (РР) =
= 34,8 мб и, следовательно, отношение A6.4), равное
0,62, что очень близко к предсказанию модели кварков.
Из A5.5) получаем, конечно,
[а(то0) (nP))z = oifa) (яя)^ {РР). A6.5)
Соотношения между асимптотическими полными сечения-
сечениями с участием странных барионов приведены в работе[128].
105 Глава 16
Из множества других правил сумм для полных сече-
сечений при высоких энергиях, следующих непосредственно из
аддитивности (а также, возможно, из изоспиновой инва-
инвариантности и инвариантности относительно зарядового
сопряжения), только три включают измеренные сечения.
Их можно записать в виде
от (ЛР) = от (РР) + от (K-N) — oT (n+P), A6.6а)
ат(р<Ф)=1$+(я+Р), A6.66)
±K+N)-S+(n+P)]. A6.6в)
Первое из них предсказывает для от (АР) при 6 Гэв/с
значение 36 ± 1 мб, что согласуется с недавними измере-
измерениями при рь < 5 Гэв/с [161]. Сечения рассеяния ней-
нейтральных векторных мезонов на протонах, стоящие слева
в A6.66) и A6.6в), были недавно получены в превосход-
превосходном эксперименте [162, 163] с помощью измерения сече-
сечения фоторождения векторных мезонов на сложных ядрах.
В области импульсов 2,7 < рь < 4,5 Гэв/с найдены сле-
следующие экспериментальные значения: от (р°Р) = 31,3 ±
± 2,3 и ат (<рР) = 13,3 ± 2,7 мб. Эти значения блестя-
блестяще согласуются с теоретическими значениями, усреднен-
усредненными по той же области импульсов. Теоретические зна-
значения, полученные из написанных выше соотношений при
помощи результатов, содержащихся в [156—158], равны
приблизительно 30 и 14 мб соответственно.
Из формул A6.1) мы можем получить дальнейшие соот-
соотношения между измеренными сечениями, если примем
некоторые добавочные предположения относительно
^± (<?<?')• В первую очередь, принимая, что в A6.1) выпол-
выполняется условие
A6.7)
получаем [133]
3S+ {п+Р) = 2 [S+ (К+Р) + S+ (K+N)]. A6.8)
Это соотношение выполняется удивительно хорошо во всей
области 6 ¦</>?¦< 18 Гэв/с. Например, при 10 Гэв/с имеем
слева 154 мб, а справа 156 мб. Таким образом, имеем
Соотношения между полными сечениями 151
эмпирический факт, что кварковые сечения удовлетво-
удовлетворяют условию A6.7). Однако динамический смысл этого
условия остается неясным. Интересно записать соотно-
соотношения A6.36) и A6.8) в несколько другой форме, введя
средние сечения SP, Sn, SK, Sp, Sx, определенные следую-
следующим образом:
A6.9)
Затем мы можем записать соотношения A6.36), A6.7)
и A6.8) в виде
SP:SK= 2:1. A6.10)
Экстраполяция к s-> oo приводит к следующему обоб"
щению соотношения A6.4):
<#> (РР): аГ} («Р): о*0 (КР) = 6:4:3,
Отметим, что малое значение Sx по сравнению с 5Р (к это-
этому выводу мы приходим здесь из данных по nN- и KN-
рассеянию) проявляется в том, что сечение аТ (ц>Р) ока-
оказывается малым по сравнению с ат (р°Р). (Вспомним, что <р
содержит только странные кварки.) Действительно, A6.6)
и A6.10) соответствуют
От(Р°Р) 2 '
Как мы видели выше, последние эксперименты подтвер-
подтверждают этот результат.
152 Глава 16
Далее, 5?7C)-инвариантность, т. е.
5±(пр)=5±(Я,р), A6.12)
приводит к двум дальнейшим соотношениям, а именно:
-^S-(K+P) = S-(n+P), A6.13)
S+(PP)=2S+(n+P) — jS+(K+P). A6.14)
Сравнение формулы A6.12) с A6.16) показывает, что для
кварковых сечений ?[7C)-симметрия сильно нарушена,
отражая хорошо известный факт, что соотношение Джон-
Джонсона — Тримена A6.13) не столь хорошо, как A6.3а).
(Строго говоря, для получения A6.13) SU (З)-симметрия
не нужна; требуется только условие S~(kp) = S~(np),
которое не обязательно является отражением SU C)-
симметрии [132].) Соотношение A6.14) очень хорошо
согласуется с действительностью, так как оно гораздо
менее чувствительно к нарушению симметрии, чем соотно-
соотношение A6.13). Здесь также согласие было бы гораздо
хуже, если бы в левую часть были включены аннигиля-
ционные вклады.
В заключение рассмотрим кратко реакции с участием
дейтронов. Рассматривая дейтрон (обозначаемый буквой D)
как единичный изоскалярный объект и используя адди-
аддитивность и изоспиновую инвариантность, мы получаем
соотношение, аналогичное A6.36):
S+(PD) = ^S+(nW), A6.15)
где тильда в левой части указывает на то, что вклады от
аннигиляции Р с одним из нуклонов, составляющих дей-
дейтрон, должны быть исключены из от (D). Ввиду отсут-
отсутствия данных для оценки этих вкладов мы не можем про-
проверить формулу A6.15) непосредственно. Однако, исполь-
используя формулу Глаубера ([164], см. также [165, 166])
От (AD) = от (АР) + от (AN) - -^J- от (АР) от (AN),
где г определяет пространственное разделение нуклонов
внутри дейтрона, и замечая, что для неаннигиляционных
Соотношения между полными сечениями 153
частей глауберовские поправочные члены в первом при-
приближении одинаковы для А = Р и А—Р, мы имеем
S- (PD) да §- {РР) + §- {PN) да - S~ (я+Р);
здесь мы использовали формулы A4.9) и A6.1). Следова-
Следовательно, 3+ (PD) да 2аТ (PD) — S~ (п+Р). Из этого резуль-
результата, используя данные работ [156—158], мы находим при
рь = Ю, 12, 14 Гэв/с и pf, = 3/2Pi соответственно
S+(PD)/S+ (я+D) = 1,48, 1,50, 1,51, что следует срав-
сравнить со значением 1,50, предсказываемым соотноше-
соотношением A6.15).
Мы можем сделать вывод, что модель кварков с предпо-
предположением аддитивности для неаннигиляционных частей
упругих амплитуд находится в блестящем согласии с дан-
данными, относящимися к полным сечениям при высоких
энергиях. Почему эта простая модель так хорошо под-
подтверждается экспериментом, представляется загадочным.
Хотя, как мы видели в гл. 15, в некоторых экстремаль-
экстремальных случаях мы можем задним числом оправдать гипо-
гипотезу аддитивности, однако априорного динамического
обоснования аддитивности не существует.
§ 2. Сечения рассеяния кварков
Подставляя данные в левые части A6.1), мы можем
получить численные значения кварковых «сечений». При
10 Гэв/с, принимая S~ (РР) = 0 и используя данные
работ [156—158], получаем
S~ (рр) « 0,9 мб, §- (пр) « —1,1 мб, §- (Хр) да — 1,5 мб,
A6.16)
S+ {рр) да 9,5 мб, S+ (пр) да 7,7 мб, S+ (Хр) да 4,4 мб.
Отсюда для неаннигиляционных частей a (qq') кварковых
«сечений» находим
а (рр) да 5,2 мб, а(рп) да 3,3 мб, а (Хр) да 1,5 мб,
а(рр) да 4,3 мб, а (рп) да 4,4 мб, о(Хр)жЗмб. ^ ' '
Эти результаты показывают, что кварковые сечения не
удовлетворяют SU (З)-симметрии. Отметим, что а (рр)
154 Глава 16
и а (рп) почти одинаковы; это означает, что мнимая часть
амплитуды зарядово-обменной реакции п + р -> р + п
практически пренебрежимо мала. Из соотношения
от (К+Р) - ат (K+N) = а (рр) - а (рп),
которое следует из A4.5), мы видим, что это соответствует
хорошо известному наблюдавшемуся приближенному
равенству сечений ат (К+Р) и ат (K+N) [131].
На этом этапе следует рассмотреть знаки S~ (qq).
Разумно предположить, что соображения гл. 14, § 3 мож-
можно применить также и к рассеянию кварков. Напомним,
что по определению величина S~ (qqr) не включает вкладов
от аннигиляции кварка и антикварка. Поэтому она может
быть только отличной от нуля, так как в столкновениях
q + q' и q + q' обмен (целочисленным) зарядом и (или)
гиперзарядом может происходить различным числом спо-
способов. Как и в неравенствах A4.12) и A4.13), мы пред-
предсказываем
s- (рр) > о, s- (пр) < о, s1 (хР) < о. A6.18)
Первое неравенство,, например, получается потому, что
обмен зарядом между р и р может происходить большим
числом способов, чем между р и р. Как мы видим, эти
предсказания выполняются в A6.16); предполагая спра-
справедливость соотношения A4.9), можно убедиться, что это
справедливо во всей области импульсов 6<;рь<;18 Гэв1с.
Это согласуется с тем фактом, что вклады кварк-анти-
кварковой аннигиляции в смысле фиг. 12, а не включены
в правые части соотношений A6.1). Если бы мы нашли
из A6.1), что §~ (Хр) или S" (пр) положительны, то это
указывало бы на то, что следует брать величины S± (qq'),
включающие од-аннигиляцию, а не iS± (qq') [см. замечание
после формул A6.3)]. Конечно, результаты, вытекающие
из A6.16), сами по себе вовсе не требуют полного отсут-
отсутствия (^-аннигиляции в правых частях A6.1). Они только
показывают, что аннигиляция определенно не может
доминировать, по крайней мере для пр и Кр. Мы всегда
будем иметь аА (пр) < \§~ (пр) \_ и аА (kp) < | S~ (Хр) |.
Еще раз подчеркнем, что аА (qq') представляет здесь
Соотношенця между полными сечениями 155
сечение аннигиляции в смысле фиг. 12, а, когда при стол-
столкновении бариона и антибариона одна пара кварк — анти-
антикварк qq' аннигилирует, тогда как другие кварки оста-
остаются неизменными. Это следует противопоставить ситуа-
ситуации при аннигиляции бариона с антибарионом (гл. 18).
§ 3. Замечания
Некоторые авторы [167—173] пытались расширить
схему аддитивности путем включения поправок на много-
многократное рассеяние, которые дают неаддитивные члены
в сечениях. Это делается с помощью эйконального метода,
введенного Глаубером [164—166] (см. приложение) для
расчета поправок на многократное рассеяние при рассея-
рассеянии адронов на дейтронах. Хотя существование таких
поправок в кварковои модели представляется естественной
возможностью, их трудно рассчитать, поскольку мы ниче-
ничего не знаем о пространственных волновых функциях квар-
кварков. Поэтому различные оценки не очень надежны. Более
того, они, по-видимому, отклоняются в неправильном
направлении. Харрингтон [167] для поправки двойного
рассеяния к асимптотической формуле A6.4) получил
20^ (РР)-За^00) (пР)=. -б, A6.19)
где б положительно и равно приблизительно 5 мб, тогда
как экстраполяции данных приводят к значению левой
части, равному 5,4 мб. Возможно, этот результат еще раз
указывает на то, что поведение кварков внутри адронов
отличается* от поведения нуклонов внутри ядер и что
обычный способ вычисления поправок на многократное
рассеяние носит слишком искусственный характер. Инте-
Интересно отметить, что существует пример ситуации, в которой
частицы не следуют формуле Глаубера; так ведут себя
частицы, не находящиеся на массовой поверхности [174].
Более непосредственную информацию о многократном
рассеянии кварков можно получить, изучая процессы,
запрещенные в аддитивной модели кварков, а именно
процессы, в которых происходит обмен двойным зарядом
или двойной странностью или тем и другим в ^-канале,
156 Глава 16
такие, как п~Р -> я+Л~ и К~Р -* К°Е° [172, 173]. Изве-
Известно, что процессы этого типа наблюдаются редко по
сравнению с теми процессами, где происходит обмен одной
единицей заряда или странности.
Некоторые из полученных в настоящей главе соотноше-
соотношений между полными сечениями были также выведены
в других моделях рассеяния при высоких энергиях [175—
178]. В частности, в модели Кабиббо — Хорвица —
Неемана [177, 178], представляющей собой, по существу,
модель полюсов Редже, наделенную алгебраической
структурой вершинных функций, мы получаем соотноше-
соотношения A6.3), но с тем важным отличием, что S± (AB) везде
заменяется на S± (AB), так как обычно принимается, что
в реджевском описании полных сечений взаимодействия
бариона с антибарионом учитываются аннигиляционные
вклады. Здесь возникает интригующий вопрос. В модели
кварков аннигиляционные и неаннигиляционные части
полных сечений контролируются различными механизма-
механизмами. Это основывается на том факте, что эффекты анниги-
аннигиляции соответствуют обмену барионом, тогда как все неан-
неаннигиляционные процессы относятся к другому типу,
соответствуя обмену системой с нулевым барионным числом.
Мы могли бы также сказать, что последние процессы
периферические, а процессы аннигиляции неперифери-
непериферические (или центральные). Эта разница в природе двух
типов процессов может потребовать различных описаний
их не только в модели кварков, но также и в других дина-
динамических моделях [133, 179]. Это может быть справедли-
справедливым, в частности, для модели полюсов Редже. Действи-
Действительно, заметив, что аддитивность кварковых амплитуд
соответствует обменам синглетного и октетного типа
в J-канале, мы можем рассмотреть возможность того, что
модель полюсов Редже, в которой обмениваются только
синглетные и октетные траектории (такая, как модель
Кабиббо — Хорвица — Неемана), описывает только неан-
нигиляционную часть полных сечений. Если бы это было
так, то соотношения, полученные в модели кварков
и в модели Кабиббо — Хорвица — Неемана, стали бы
идентичными. Дальнейшие вопросы о совместимости моде-
модели кварков и модели полюсов Редже изучаются в статьях
Дабула [180] и Липкина [181].
Глава НЕУПРУГИЕ
17 ДВУХЧАСТИЧНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
§ 1. Общие замечания
Простейший неупругий процесс — это процесс типа
А + В -» C+D, A7.1)
где частицей мишени В является обычно протон, а каж-
каждая из частиц С и D является стабильным или нестабиль-
нестабильным адроном. Если имеет место последнее, то наблюдае-
наблюдаемые конечные состояния содержат более двух частиц,
а С + D представляет собой промежуточное двухчастич-
двухчастичное состояние, обусловленное рождением резононов; напри-
например, л+Р —*- (р+Р или зхА) —>• п+п°Р (квазидвухчастичные
реакции). Хорошо известен экспериментальный факт [182],
что часто квазидвухчастичные реакции обусловливают
большую долю событий в данном многочастичном канале
реакции даже при довольно больших энергиях. В указан-
указанном выше примере эта доля составляет по крайней мере
50 % при 8 /We, так что менее 50 % событий я+я°.Р-кана-
ла состоит из истинных трехчастичных состояний. В квар-
ковой картине это можно качественно понять, заметив,
что в двухчастичном процессе рассеяния двухчастичные
состояния, возникающие просто при перестройке началь-
начальных кварков с переворотом спина или без него (причем чис-
число кварков сохраняется), вероятно, рождаются легче, чем
многочастичные состояния, в которых конечное число
кварков отличается от начального числа кварков 1183, 184].
Вообще найдено [182], что в двухчастичных реакциях
при высоких энергиях обнаруживаются большие пики
вперед дифракционного типа, т. е. найдено, что при
малых t
[ | *мин|<I * I ^ 1 {Гэв!с)\ t=-{pA-pcf]
дифференциальные сечения имеют форму A5.7) с накло-
наклоном а в большинстве случаев такого же порядка величины,
что и в упругом рассеянии. Другими словами, эти процес-
158 Глава 17 __^
сы сильно периферичны. Полное сечение данной реакции
определяется областью пика рассеяния вперед. Мы ожида-
ожидаем, что предположение аддитивности выполняется именно
в этой области. Ясно, что теоретическое соотношение меж-
между двумя реакциями, полученное из аддитивности, имеет
смысл проверять только в том случае, когда обе реакции
периферичны.
Рассматривая неупругие процессы в модели аддитивно-
аддитивности, мы встречаемся с некоторым количеством усложнений,
которые часто приводят к тому, что проверить собственно
аддитивность, не прибегая к дальнейшим предположениям,
становится труднее, чем в случае полных сечений [135].
Отметим следующие из них.
1. Выписывая формулу аддитивности для амплитуды
данного процесса, необходимо правильно учитывать спи-
спиновые связи. (Отметим, что, поскольку сечение реак-
реакции A7.1) содержит квадрат амплитуды, аддитивность
амплитуды не означает аддитивности сечения.) Это при-
приводит к увеличению числа независимых кварковых ампли-
амплитуд. Для мезонов спиновые связи кварков определяются
спинами самих мезонов; для барионов принимают, что
они определяются рассмотренными в гл. 6 волновыми
функциями, следующими из 5f/ (б)-симметрии.
2. В выражения для сечений входят формфакторы,
определенные согласно A4.5). Чтобы от них избавиться,
обычно предполагают, что их форма одинакова для всех
соответствующих частиц в данном правиле сумм, так что
они не входят в правило сумм. Это равносильно предпо-
предположениям о свойствах симметрии пространственных волно-
волновых функций этих частиц [135]. Если разности масс частиц
в начальном и конечном состояниях отличны от нуля
и различны для сопоставляемых сечений, то мы все же
должны учесть поправку, принимающую во внимание
ненулевую передачу импульса в направлении вперед.
Липкин и др. [135] предлагают определять формфакторы из
упругого дифракционного рассеяния, считая, что угловой
зависимостью упругого и неупругого рассеяния кварков
можно пренебречь. Именно эту ситуацию мы называем
в гл. 15 экстремальным случаем П. Однако совершенно не
ясно, соответствует ли этот предельный случай действи-
действительной ситуации.
^ Неупругие двухчастичные процессы 159
3. Необходимо ввести соответствующие поправки на
фазовый объем. Аддитивность приводит к соотношению
между квадратами амплитуд различных реакций. Обоз-
Обозначим через а эти квадраты амплитуд, просуммированные
по углам и, если поляризации не определяются, по направ-
направлениям спинов. Тогда а связано с соответствующим экспе-
экспериментальным сечением а соотношением
° = -Т> A7.2)
где F содержит поправку на фазовый объем и возможные
поправки, связанные с формфакторами (пункт 2).
4. Не совсем ясно, как сравнивать полученные соотно-
соотношения с экспериментом. Если начальные состояния отли-
отличаются друг от друга (мезон — барион и барион — бари-
он), то можно использовать правило, рассмотренное
в гл. 14, § 1. Для реакций с одним и тем же начальным
состоянием, но с конечными частицами, массы которых
различны для разных реакций, рецепт заключается в том,
чтобы сравнивать их при одинаковых значениях Q —
кинетической энергии конечного состояния в системе
центра масс: Q = ее + ed — mc — mD, где ес и &D —
энергии конечных частиц в системе центра масс.
5. Проверка аддитивности в случае неупругих реакций
затрудняется еще недостатком точных данных. Вдобавок
большинство экспериментов производилось при неболь-
небольших импульсах, pL < 8 Гэв/с.
§ 2. Соотношения между сечениями
Из предположения аддитивности амплитуд рассеяния
следуют многочисленные соотношения между неупругими
сечениями [126, 134—145]. В том случае, когда рож-
рождаются резононы с высшими спинами, сделаны также
предсказания для спиновых матриц плотности [139—
142, 185, 186]. Здесь мы обсудим только несколько типич-
типичных примеров. Блестящий обзор применений модели
кварков к неупругим процессам сделали недавно Балаш
и Залевский [143]. В нем читатели могут найти много-
многочисленные подробности.
160 Глава 17
Как упоминалось выше (гл. 14), аддитивность нельзя
применять ни к аннигиляции бариона и антибариона, ни
к двухчастичным амплитудам, соответствующим обмену
нулевым барионным числом или более чем двумя единица-
единицами заряда (т. е. | I | > 1) и (или) странности в ^-канале.
В последнем случае имеющаяся экспериментальная ин-
информация [182] свидетельствует о том, что в той области
энергий, где аддитивность считается применимой, мы
можем безопасно пренебречь этими эффектами, т. е. мы
можем не заботиться о возможных неаддитивных поправ-
поправках этого типа.
Что касается эффектов аннигиляции, то ситуация
здесь не столь ясная. Рассмотрим процессы типа
N' + N -* В' + В, A7.3)
где N и JV' — нуклоны, а5иВ' — барионы или барион-
ные резонансы. Как и в случае упругого нуклон-анти-
нуклонного рассеяния (гл. 14, § 2), можно ожидать, что
для этих процессов даже при довольно больших энергиях
значительный вклад в правую часть соотношения типа
A4.6) дают аннигиляционные каналы N' + N ->¦ мезоны
и В' + В ->• мезоны, что означает неприменимость адди-
аддитивности для этих процессов. Поскольку, в противо-
противоположность случаю барион-антибарионных полных сече-
сечений, мы не знаем, как ввести поправки на эти эффекты
аннигиляции, модель аддитивности не имеет особого
смысла для неупругих процессов A7.3). То же справедливо
и для нуклон-нуклонных процессов
N' + N -> В'+В. A7.4)
В самом деле, поскольку из аналитических и кроссинго-
вых свойств следуют соотношения между барион-барион-
ными и барион-антибарионными реакциями, любые поп-
поправки к процессу A7.3) отражаются на кросс-реакции
A7.4). Поэтому не следует слишком удивляться тому,
что при подстановке экспериментальных сечений в прави-
правила сумм, полученные из аддитивности и включающие, кроме
мезон-барионных сечений, еще и сечения реакций A7.3)
или A7.4), почти во всех случаях было найдено резкое
расхождение между теорией и экспериментом в области
Неупругие двухчастичные процессы 161
импульсов 4<р^<8 Гэв/с [135—137, 139, 143]. Итак,
наиболее прямую проверку аддитивности дают соотноше-
соотношения, включающие такие мезон-барионные процессы, в ко-
которых в ?-канале^ могут обмениваться только квантовые
числа системы qq.
Обратимся поэтому к процессам указанного типа.
Соотношения между сечениями зарядово-обменных реакций
мезонов с барионами легко получить. Из аддитивности
следует
cos WP, A7.5)
где
Тг--.-^—[{п\Х\р\Х')\-{п\Х\р\Х')],
\ A7.6)
\X'
Здесь X и X' — любые частицы, допустимые законами
сохранения. Мы не делаем предположений относительно
кварковой структуры этих частиц. В соотношениях A7.5)
использованы волновые функции гл. 5 и WP =
= arctg (j/2/2) — Gp, где GP — угол смешивания ц — ц',
определенный в E.4). В результате получаем соотношения
(ХДГ') 2у A77)
о(п~Х -*¦ у\'Х)
= а (К-Х -> К?Х') + а (К°Х -> К+Х'), A7.8)
где а определено в A7.2). Различия в формфакторах не
учитывались (см. замечание 2 в гл. 17, § 1).
Точно так же мы получаем правила сумм, включающие
процессы с обменом странностью. Например,
о(К-Х->цХ')+о(К-Х -> ц'Х') =
= а (К-Х -* 10Х') + о (л-Х -» КОХ'). A7.9)
11—716
It
Все эти соотношения остаются неизменными, если псевдо-
псевдоскалярные мезоны в конечном состоянии заменить на
соответствующие векторные мезоны, а ЧР заменить на
Vv= arctg 0/1/2) -Qv.
В изученных до сих пор реакциях X — всегда протон,
а X' может быть любым барионом или барионным резонан-
резонансом. Из A7.7) и аналогичных выражений получаем [134]
5{я-р -> п*)= о(Я+р -+ пд++) и^у A7Л0)
а (п-Р -> r\'N) а(п+Р —> ц'А++)
а(п-Р -> фУУ) _ о(п+Р >ГФА++) _ t ?лр A7 Ц)
а (п-Р —> oo/V) а (п+Р —> шД++) v' V
Аналогичные выражения можно написать для сечений
рождения мезонов с высшими L. Из массовой формулы
(гл. 8) мы знаем, что для векторных мезонов значение 6V
близко к значению arctg (j/^2/2), при котором правая
часть A7.11) обращается в нуль. Это очень хорошо согла-
согласуется с тем экспериментальным фактом, что рождение ф
происходит очень редко по сравнению с рождением со.
С другой стороны, используя экспериментальные данные
о сечениях, из приведенных выше и других подобных
соотношений можно независимо определить углы смеши-
смешивания [134]. Эта оценка показывает, что значение Qv
в самом деле близко к arctg (K2/2), т. е., что Wv я* О
[15—17]. Для 0р этим способом находим [15—17] зна-
значения, лежащие в области от —19 ± 7° до —31 ± 5°,
т. е. знак 6Р определенно противоположен знаку Qv
в соответствии с анализом масс в модели кварков, про-
проведенным в гл. 8. Имеется еще второе решение для QP,
близкое к +90°, которое, однако, слишком далеко от
ожидаемого значения. Аналогичные оценки [15—17] угла
смешивания / и /' не противоречат результату (9.3).
Из большого числа соотношений, следующих из A7.7)—
A7.9) и из аналогичных выражений, включающих век-
векторные мезоны или барионы, мы упомянем только четыре,
а именно
а(К~Р -> и>А) =»д (К-Р -> р°Л), A7.12)
о(К~Р -> ФЛ) =а(п-Р -+ К*°А), A7.13)
__^ ЙеуПругНе двухчастичные процессы 163
выполняющиеся при 4V = 0 [134],
a{XN -> X'A)=27a(XN -* X'I°) A7.14)
для процессов с переворотом спина бариона [138] и
a(XN -+ X'A)>3o(XN -» Z'2°) A7.15)
для процессов, в которых не производится поляриза-
поляризационных измерений [138]. Как и раньше, X п X' —про-
—произвольные частицы, для которых не предполагается
какой-либо кварковой структуры. Особенно интересны
результаты A7.14) и A7.15), так как подавление рожде-
рождения 2° по сравнению с рождением Л, выражаемое этими
соотношениями, следует из свойств спиновой и унитарно-
спиновой частей волновых функций барионов, и поэтому
они должны представлять собой проверку предположения
о том, что эти волновые функции являются волновыми
функциями SU (б)-симметрии, соответствующими пред-
представлению 56. Эти соотношения следуют также из моде-
модели мезонного обмена с учетом высшей симметрии [138].
Соотношение A7.12) хорошо согласуется с данны-
данными, полученными при 4,1 и 5,5 Гэв/с [187]. Найдено,
что при этих энергиях рождение как со-, так и р°-мезо-
на имеет ярко выраженный периферический характер,
а полные сечения рассеяния в переднюю полусферу равны
соответственно 43 ± 12 и 44 ± 19 мкб при 4,1 Гэв/с
и 19 ± 6 и 17 ± 6 мкб при 5,5 Гэв/с. Отметим, что кине-
кинематические поправки сокращаются в A7.12), так как
тр и /71(о приблизительно одинаковы.
Данных о рождении К*0 при импульсах больше
4 Гэв/с не имеется; при 3 Гэв/с соотношение A7.13) обна-
обнаруживает разумное согласие с экспериментом [134].
Что касается соотношений A7.14) и A7.15), то
недавние данные [188, 209] по периферическому фоторожде-
фоторождению Ли 2° на протонах (X — у, X' = К+, N = Р)
в области энергий фотона 2,4—16 Гэв дают для отношения
двух сечений значение, близкое к единице, что явно
расходится с приведенными выше предсказаниями. Ника-
Никакого объяснения этого расхождения пока не существует.
Заметим, что рассмотренные в этом параграфе соотно-
соотношения между сечениями являются соотношениями отно-
11*
46-4 __ Глава 17
сительно простого типа в том смысле, что не требуется
никаких предположений относительно эквивалентности
между кварками, составляющими мезоны, и кварками,
составляющими барионы. Предиоложив, что эта эквива-
эквивалентность имеет место (что мы также сделали в гл. 16), мы
приходим к другому классу правил сумм для мезон-бари-
онных реакций, для ознакомления с которыми мы отсы-
отсылаем читателя к литературе [135—137, 139—143].
§ 3. Спиновые матрицы плотности
Фрайар и Трефил [139, 140] предложили многообеща-
многообещающий способ проверки модели кварков с аддитивностью
амплитуд рассеяния. Применяя эту модель к реакциям,
в которых рождается резонон с высшим спином, они
могут сделать предсказания об элементах его спиновой
матрицы плотности. По сравнению с сечениями эти матрич-
матричные элементы обладают тем преимуществом, что мы имеем
дело с отношениями амплитуд, а не с самими амплитудами,
так что формфакторы и другие кинематические множители
имеют тенденцию сократиться в этих отношениях. Поэто-
Поэтому во многих случаях предсказания элементов матрицы
плотности могут служить более чистой проверкой адди-
аддитивности, чем предсказания сечений. Предсказания дела-
делаются также [185, 186] для распределений совместного
распада при рождении двух резононов; например пР ->
-> рА. Как и в случае распределений единичного распада,
можно вывести результаты, включающие только адди-
аддитивность и не включающие никаких вторичных пред-
предположений. Поскольку такие соотношения являются кри-
критическими для модели аддитивности, важно их тщательно
проверить. Во всех случаях, когда могло быть выполнено
сравнение с существующими данными, наблюдается согла-
согласие теории и эксперимента. Рассмотрим, например, про-
процессы типа
n-f Р -» F-j- A A236).
Непосредственно из аддитивности получаются следующие
соотношения между элементами спиновой матрицы плот-
плотности р™™, где верхние индексы относятся к F. а нижние
Неупругие двухчастичные процессы 165
к А [185, 186]:
(Р11Р00) + Р11 |() +^=-Reрз, -ь A7.16а)
—|-(pII-pп)=y(p11-p°o)—ipi- -i, A7.166)
/3 (Rep^; i ^
о I __ 2
— Ypl' ~'~ у(Рзз —Рп)=Рзз —Pii— -yj Rep3, -l,
A7.16b)
3 /3 (Re pi: I1, + Re pF,1-1) +1 pJ^Jli + /3 Re pj^l +
(pHpTT) l + pp + 2K3Rep3,-i, A7.16r)
A7.16д)
Rep31.
A7.16e)
В этих соотношениях
Pnn' = 1
mm'
рпт'
Pnn'
+ P
2 P
+ Pnn'
mm'
nn >
' J—2
-PlT
Pnn' =
pZ
' — (
Sp:
mm'
(Для краткости мы пишем р™™ вместо р<з72) C/2) и т. д.)
При выводе соотношений A7.16) используются волновые
функции спина и унитарного спина, описанные в гл. 5
и 6. Для амплитуд рассеяния кварков предполагается
сохранение четности; инвариантность относительно обра-
обращения времени не предполагается. Ось квантования спина
взята в плоскости рождения.
Эти соотношения проверялись экспериментально для
реакций п+Р -> рД и п+Р -*- соА при 5 Гэв/с одной из
166
Глава 17
Таблица 10
Сравнение соотношений A7.16) с экспериментом
(оба резонанса описываются в своих джексоновских
системах) [189, 190]
Соотношение
A7.16а)
A7.166)
A7.16в)
A7.16г)
A7.16д)
A7.16с)
A7.16а)
A7.106)
A7.16в)
A7.16г)
A7.16д)
A7.16е)
Левая часть
-0,26+0,02
-0,37+0,09
-0,28±0,08
0,52±0,13
0,04±0,12
-0,16±0,10
0,06±0,04
0,04+0,13
0,14±0,14
0,84±0,24
-0,29±0,15
-0,10±0,17
Правая часть
-0,24+0,04
-0,31+0,02
-0,26+0,04
0,64+0,07
-0,15+0,03
-0,15+_0,05
-0,03+0,07
-0,08+0,03
-0,07±0,06
0,96+0,11
-0,18+0,03
-0,14+0,08
Разность: левая
часть — правая часть
-0,02+0,05
-0,06+0,09
-0,02+0,08
-0,12+0,17
0,19+0,12
-0,01+0,10
0,09+0,07
0,12+0,13
0,21+0,15
-0,12+0,24
-0,11+0,15
0,04+0,18
европейских групп, работающих с пузырьковой каме-
камерой [189]. Результаты приведены в табл. 10.
Следует отметить, что согласие между теорией и экс-
экспериментом наблюдается также в том случае, когда
включены реакции барионов с барионами и антибарионов
с барионами. Это легко понять, если вспомнить, что
элементы матрицы плотности и параметры распада выра-
выражаются через отношения амплитуд, поэтому мы можем
считать, что они не меняются значительно в присутствии
аннигиляционных каналов.
§ 4. Фоторождение векторных мезонов
Другой класс двухчастичных процессов, который был
изучен в модели кварков, охватывает процессы фоторожде-
фоторождения 1144, 145, 190—192]. Здесь мы коротко рассмотрим
фоторождение векторных мезонов
V = p°, to, cp,
Неупругие двухчастичные процессы 167
и предположим 1) что механизм этой реакции такой, как
показано на фиг. 14 (модель векторной доминантности),
и 2) что адронный процесс V -f- Р -*• V + Р можно
описывать в предположении аддитивности для рассеяния
при высоких энергиях, пренебрегая тем, что V не нахо-
находится на массовой поверхности. При высоких энергиях,
например при энергиях фотона Еу > 4 Гэв, разумно
пренебречь неупругими процессами типа V + Р -*¦ V' +
+ Р по сравнению с упругими реакциями, в которых
Фиг. 14. Механизм реак-
реакции у + Р -у V -\- Р.
р
V = V. Более того, мы пренебрегаем возможной зави-
зависимостью упругих FP-амплитуд от спиральностей. Тог-
Тогда мы получаем соотношение [193, 194]1)
o(yP-+VP) = 4ang%o?l(VP), A7.17)
где а — постоянная тонкой структуры, a gvv — константа
связи у и V, определенная соотношениями A2.23) и A2.24).
Отметим, что поскольку упругое рассеяние при высоких
энергиях имеет большой пик вперед (гл. 15), то же самое
должно быть справедливо для фоторождения векторных
мезонов, согласно этой модели. Это действительно наблю-
наблюдается экспериментально [195].
Для усредненных по спину сечений A6.6) аддитивность
дает
аТ (а>Р) = ат (роР) = 1S+ (Я+Р),
A7.18)
ат (ФР) = 1 [5+ (К+Р) + S+ (K+N) - 5+ (я+Р)].
Считая, что упругие амплитуды при высоких энергиях
и вблизи направления вперед являются в основном мни-
мнимыми, мы имеем из A4.3), A4.4) и A5.7)
(«.19)
2) В работе [194] содержится обзор результатов, полученных
последнее время,
jgg Глава 17 ~__^
Мы берем наклон а одинаковым для рассеяния р0-, со-
и ф-мезонов. Такой выбор представляется разумным, если
иметь в виду известные нам экспериментальные сведения
относительно дифракционного рассеяния адронов.
Объединяя все эти результаты и используя A0.19), мы
получаем, пренебрегая разницей масс р°- и со-мезонов
и записывая коротко о> вместо а (уР -*• VP):
сГро: сгш : сГф — у : l: Zp, \1 / .ZU)
где нарушающий симметрию множитель р равен
)J2^j2. A7.21)
Согласно A6.8), первый множитель в правой части этого
выражения равен 1/4 в области 6<pL-<18 Гэв/с. Он
обусловливает нарушение симметрии в рассеянии кварка
на протоне, т. е. тот факт, что связь протона с А,-кварка-
ми, составляющими ф-мезон, слабее, чем связь с р- и га-
кварками, составляющими р°- и ю-мезоны [ср. A6.7)
и A6.11)]. Следовательно, р* = 0,15, откуда следует
— = 0,033, 6<?'7<18Гэв. A7.22)
°ро
Экспериментальное значение, усредненное по области
энергий 3,5<#v<5,8 Гэв, равно 0,026 ± 0,010 [1951.
Ожидается, что в этой области р будет несколько мень-
меньшим (около 0,10), что приведет к уменьшению правой
части A7.22). Однако это уменьшение компенсируется
несколько меньшим наклоном а в рождении ф-мезона по
сравнению с рождением р°-мезона [см. A7.19)] [195].
Найдено, что в той же области ajapo = 0,19 ± 0,06,
в то время как теоретическое значение равно 0,11. Согла-
Согласие здесь хуже. Однако это может оказаться следствием
пренебрежения неупругими амплитудами (соР | рР), кото-
которые, как можно показать, изменяют главным образом
аи [144, 145].
Использование A0.19) для определения gYy позволяет
оценить сечения о>. Из A7.17)—A7.19) получаем
2. A7.23)
Неупругие двухчастичные процессы 169
Беря для а значение, найденное'в л^Р-рассеянии, т. е.
приблизительно 8 (Гэв/с)~2 (это значение удовлетворяет
также кривой do (yP -> p°P)/dt при малых передаваемых
импульсах [195]) и используя данные о сечениях из работ
[156—158], находим при 4,5 Гэв
сгро= 15,7 мкб
в замечательном согласии с экспериментальным значени-
значением 16 мкб, представляющим собой среднее значение
в области 3,5<#v<5,5 Гэв [195].
Эти результаты показывают, что модель кварков вместе
с гипотезой доминантности векторных мезонов очень
хорошо описывает фоторождение векторных мезонов. Сле-
Следует противопоставить этот вывод ситуации с фоторожде-
фоторождением ЛГ+-мезонов, упоминавшейся в гл. 17, § 2.
Глава АННИГИЛЯЦИЯ БАРИОНА
18 И АНТИБАРИОНА
И МНОЖЕСТВЕННОЕ
РОЖДЕНИЕ
§ 1. Аннигиляция бариона и антибариона
Применение модели кварков к более сложным реак-
реакциям, таким как аннигиляция бариона и антибариона
и процессы множественного рождения при высоких энер-
энергиях, привело к некоторым полезным результатам. Сна-
Сначала мы рассмотрим кратко аннигиляцию нуклона и анти-
антинуклона в покое, следуя Рубинштейну и Стерну [196]
(см. также [197]). Их основное предположение состоит
в том, что этот процесс, идущий главным образом из
iS-состояний, представляет собой по существу перестрой-
перестройку трех кварков нуклона и трех антикварков антинукло-
антинуклона в три кварк-антикварковые пары с L = 0. При этом
не происходит аннигиляции или рождения пар, а также
испускания частиц через внутреннюю конверсию; кроме
того, каждый кварк сохраняет все свои квантовые числа.
Эта в высшей степени упрощенная картина немедленно
приводит к следующим качественным предсказаниям.
1. Коне чное состояние содержит тр и нестранных псевдо-
псевдоскалярных и (или) векторных мезона (конечно, если рожда-
рождаются векторные мезоны, то они затем распадаются на
пионы и в наблюдаемом конечном состоянии содержится
более трех частиц).
2. Не могут рождаться частицы, содержащие стран-
странные кварки. Поэтому помимо рождения странных частиц
запрещено также рождение ф-мезонов.
Второе предсказание достаточно хорошо согласуется
с экспериментом. [Здесь и ниже приводятся недавние
предварительные и пока еще не опубликованные данные
по аннигиляции РР в покое, полученные в ЦЕРН г).]
Полное число каналов аннигиляции РР, содержащих
странные частицы, составляет примерно 10% от всех
Частные сообщения Л. Монтане.
__ Аннигиляция бариона и антибариона 171
каналов. Из них 80% приходится на канал КК2п, где
10% событий наблюдаются в виде образования срял.
Что касается первого предсказания, то оно, по-видимо-
по-видимому, не очень хорошо отражает современную эксперимен-
экспериментальную ситуацию относительно аннигиляции РР в покое.
Хотя и существует сильная тенденция к небольшой мно-
множественности, вероятно все же не более 60—70% всех
каналов аннигиляции РР относятся к трехчастичному
типу (имеются в виду и стабильные, и нестабильные части-
частицы). Наблюдается заметная доля двухчастичных конеч-
конечных состояний. Например, более 80% распадов в я+я~я°,
т. е. около 6% всех распадов, проходит через образование
ря; из каналов 2я+2я~, составляющих около 7% от общего
числа, примерно в 50% образуются ряя, а примерно
в 40% образуются /°р° и Агп, и т. д. Более того, рассмат-
рассматриваемая модель не дает правильного описания распреде-
распределения трехчастичных конечных состояний [198, 199]. Это
заставляет сделать вывод, что аннигиляция бариона
и антибариона в покое представляет собой нечто большее,
чем простую перестройку кварков.
На зтом этапе следует упомянуть, что представление
о перестройке кварков недавно было вполне успешно
использовано для рассмотрения ^-волновых длин рас-
рассеяния адронов [200]. При этом делается предположение,
что ^-волновая амплитуда рассеяния пропорциональна
числу всевозможных перестановок двух кварков, по
одному из каждого из взаимодействующих адронов, без
изменения каких-либо квантовых чисел кварков. Если
такие перестановки невозможны, то амплитуда полагается
равной нулю.
Хотя приведенные соображения еще могут дать очень
грубую качественную картину аннигиляции в покое, они
несомненно слишком просты, чтобы описывать аннигиля-
аннигиляцию движущихся частиц. В самом деле, с ростом энергии
число частиц (стабильных и нестабильных) в конечном
состоянии возрастает и определенно становится больше
трех. Например, в случае аннигиляции РР при 5,7 Гэв/с
основные вклады в аА (РР) дают каналы, содержащие
шесть или более частиц [146]. В простейшей модели,
которую можно предложить для описания аннигиляции
172
Глава 18
при высоких энергиях [133], мы записываем амплитуду
аннигиляции В'В в виде произведения трех амплитуд
аннигиляции q'q, причем в каждой из последних прибли-
приблизительно сохраняются импульс и энергия. Иначе говоря,
в этом приближении мы используем диаграмму, приведен-
приведенную на фиг. 15, для представления левой части фиг. 11.
Фиг. 15. Диаграмма, по-
показывающая факторизацию
амплитуды аннигиляции
бариона и антибарионавтри
амплитуды аннигиляции
кварка и антикварка.
Б
Не делается никаких предположений о частицах, рождаю-
рождающихся в каждой вершине. Поскольку в каждом акте
аннигиляции q'q рождаются в конечном состоянии по
крайней мере две частицы, эта модель имеет смысл только
тогда, когда в процессе аннигиляции В'В рождаются
шесть или больше конечных частиц. Именно это, по-види-
по-видимому, и происходит при высоких энергиях, как показывает
упоминавшийся выше эксперимент при 5,7 Гэв1с.
Итак, мы записываем
аЛ{В'В) = 2 П Z(h,i), A8.1)
ihhh) i=i, 2, з.
где /i, /2, /3 — все возможные перестановки чисел 1, 2, 3,
а величина Z (fh i) описывает вклад всех аннигиляции
антикварка /г из В' и кварка г из В (фиг. 15). Каждая
величина Z имеет размерность (мбI^3 и является произве-
произведением сечения аннигиляции кварка и антикварка на
множитель размерности (длина)''3, определяемый водно-
Аннигиляция бариона и антибариона 173
выми функциями барионов и антибарионов как трех-
кварковых связанных состояний. Считается, что этот
множитель одинаков для всех барионов. Его явный вид
нам не нужен. Из изоспиновой и зарядовой инвариантно-
инвариантности следует, что только четыре из этих Z независимы,
а именно
Zi = Z(pp), Z2 = Z(pn), Za = Z(lp), Z4 = Z(M). A8.2)
Последняя величина не входит в формулы, если рассмат-
рассматриваются только реакции на протонных мишенях. Полу-
Получаем следующие выражения:
2, A8.3)
аА (АР) = аА B°Р) = 2ZiZ2Z3 + 2Z\Zb + 2Z\Z%
и т. д. Экспериментальные данные при высоких энергиях
имеются в настоящее время только для первого сечения
из этого списка. Это означает, что мы не можем пока срав-
сравнить выводы из предположения факторивации с экспери-
экспериментом. v
Ясно, что ни предположение аддитивности в том виде,
как оно здесь использовалось, ни предположение фактори-
факторизации сами по себе не могут привести к соотношениям
для адронных сечений, связывающим аннигиляционные
и неаннигиляционные эффекты. Соотношения такого типа
можно получить только в том случае, если принять
существование такой связи на уровне кварков. Примера-
Примерами таких соотношений могут служить соотношения Фрой-
нда [131, 132, 201]
( }
и соотношения Левинсона — Уолла — Липкина [202]
S- (РР) = 2S- (К+Р) + S~ (K+N),
S~ (PN) -= S~ (K+P) + 2S- (K+N), A8<5)
которые, по существу, выражают нуклон-антинуклонную
аннигиляцию через мезон-нуклонное рассеяние, причем
S~ {РР) и S~ (PN) определяются аннигиляционными
вкладами. Легко видеть, используя A6.1), A6.2) и A8.3),
Рлава IB
что соотношения A8.4) и A8.5) получаются только в пред-
предположении следующих соотношений между кварковыми
аннигиляционными и неаннигиляционными сечениями
из A8.4) ZJ = Z!=—§-(пр), A8.6)
из A8.5) Z? = Z»=—§-5-(А.р). A8.7)
Напомним, что правые части в обоих случаях положи-
положительны [см. A6.16)]. Динамический смысл этих условий
неясен; их следует рассматривать как условия, выражаю-
выражающие в рамках данной модели тот эмпирический факт, что
соотношение A8.4) довольно хорошо, а соотношение A8.5)
очень хорошо согласуется с имеющимися данными. В этом
смысле их статус аналогичен результату A6.7). Из равен-
равенства Z4 и Z2 следует
§ 2. Процессы множественного рождения
В заключение несколько слов о неаннигиляционных
процессах рождения, таких, как
п~Р -> Р2лгя+я°,
включающих большое количество образовавшихся частиц
(большие множественности). В рамках предположения
аддитивности эти процессы множественного рождения
в частном случае /?'/?-рассеяния описываются левой
частью диаграммы фиг. 12, б. На этой диаграмме волни-
волнистые линии соответствуют частицам, образованным при
столкновении кварка с кварком или кварка с антикварком.
В процессе столкновения взаимодействующие кварки
могут, конечно, изменить свой заряд и (или) странность.
Мы пренебрегаем резонансными эффектами.
Некоторые качественные черты рассматриваемых про-
процессов следуют из этой модели вполне естественно [203].
Исходим из равномерного распределения энергии среди
начальных кварков в системе центра масс. Ясно, что две
конечные частицы, которые возникают из рекомбинации
кварков мишени с двумя налетающими кварками, будут
обладать гораздо большей энергией, чем любая из обра-
Аннигиляция ёарибна и антибариока
зовавшихся частиц (волнистые линии). Следовательно,
факт появления так называемых «частиц-лидеров», быст-
быстрых в системе центра масс и несущих относительно боль-
большую долю кинетической энергии, естественно вытекает
здесь из аддитивности. Отметим, что в этой картине заряд
и (или) странность частиц-лидеров могут отличаться от
соответствующих величин налетающей частицы только на
одну единицу. Кроме того, модель предсказывает
2-т-макс 5 д^макс 1 /ло о\
пР =12' рр =Т' (lo.O)
где Кав — степень неупругости столкновения А + В,
т. е. доля имеющейся кинетической энергии, переходящая
в рождение частиц. Максимальное значение этой величины
ЖТвс получается в том случае, когда в соответствующем
процессе рождения при столкновении кварка с кварком
или антикварком степень неупругости равна 1. Поэтому
в предположении статистической картины указанного
процесса мы ожидаем, что это значение достигается в пре-
пределе очень больших энергий. Данные по космическим
лучам не противоречат результату, выражаемому форму-
формулами (8.8) [206].
Эту модель можно использовать для того, чтобы свя-
связать многопионные сечения рождения, индуцируемые
в пион-нуклонных и нуклон-нуклонных соударениях
[203—205]. В явном виде
a[NN->NNln — i)n] = ^ra[nN->Nrm], A8.9)
где п — 1 — число образовавшихся пионов, а — сечения
для частиц с нулевым зарядом и изоспином. При выводе
этого соотношения предполагается, что 1) интегралы
перекрытия слева и справа не зависят от индексов квар-
кварков и адронов (см. гл. 17, § 1), 2) вероятность перехода
является некогерентной суммой всех возможных инди-
индивидуальных кварк-кварковых вкладов и 3) эти последние
при данном п одинаковы для всех qq- и од-взаимодействий.
Тогда множитель 3/2 в A8.9) обусловлен тем, что в NN-
рассеянии имеются девять членов, а в яЛ^-рассеянии
их шесть.
Чтобы получить из A8.9) соотношения между реакция-
реакциями с определенными зарядовыми конфигурациями, пред-
176
Глава 18
положим, что все зарядовые конфигурации, допускаемые
законом сохранения изоспина, распределены статисти-
дески в канале рождения п — 1 частицы; тогда статисти~
ческий вес каждой конфигурации вычисляется из коэф-
х 2
A3
J 1—I—I I
/0
I I I
го
30
Фиг. 16. Проверка соотношения типа A8.9) при п = 3 [204].
1 — измеренные вначения а (РР -+ РРя+я~); 2 — предсказания о (РР ->¦
->¦ РРя+лт) из о (я-Р -»• Ря+2я-); 3 — предсказания а (РР ->• РРя+я-) из
а (я+Р -с Р2я+я-).
фициентов Клебша — Гордона для изоспина. Анализ
различных многопионных экспериментов, по-видимому,
подтверждает это предположение [207]. Таким способом
из A8.9) получаем соотношения типа
а(РР
= 1,12.
A8.10)
а (л-Р -*¦ Р2я-л+я0)
Оказывается, что измеренные сечения великолепно согла-
согласуются с этими соотношениями в области 3?
Аннигиляция бариона и антибариона
177
< Гэв/с, если сравнить сечения реакций, индуцируе-
индуцируемых NN и nN при импульсах в лабораторной системе,
находящихся в отношении 3 : 2, как это предложено
в гл. 14. Это ясно видно из фиг. 16 и 17, взятых из статьи
1 "
• 1
х2
пЗ
10
20
Фиг. 17. Проверка соотношения типа A8.9) при п = 4 [204].
1 — измеренные значения а (РР -> PN2n+n~); 2 — предсказания а (РР -+
-» Р#2я+я~) из о (я-Р -> Р2я-я+я°); з — предсказания а (РР -* PN2n+n-
из а (я-Р -+ №2я+2я-).
Затца [204]. Необходимые пояснения даны в подписях
к этим фигурам. Ожидается, что соотношения такого типа
имеют смысл только далеко за порогом рождения рассмат-
рассматриваемых каналов.
Объединяя эту модель с моделью фоторождения, опи-
описанной в гл. 17, § 4, мы приходим к соотношениям между
сечениями при высоких энергиях для процессов типа
nN -+- X и yN -*- X, где X — любое допустимое много-
пионное состояние адронов [205]. Здесь также наблю-
наблюдается замечательное согласие с имеющимися данными.
12-716
ПРИЛОЖЕНИЕ
Покажем кратко, каким образом можно прийти к фор-
формуле аддитивности A4.5) для амплитуды рассеяния упру-
упругой реакции
при высоких энергиях. Импульсы указаны в системе
центра масс; |q |2 = — t. Мы будем действовать в рамках
формализма прицельного параметра, развитого Глаубером
[164—166] для случая рассеяния адронов на ядрах.
Пусть Г; (rj) — радиус-вектор кварка i (/) в адроне
А (В) относительно центра масс адрона А (В) [индекс i (/)
пробегает номера всех пА (пв) кварков в адроне А (В)\;
пусть Ь — прицельный параметр центра масс адрона А
относительно центра масс адрона В, а Ъ1} — прицельный
параметр центра масс кварка i из адрона А относительно
центра масс кварка / из адрона В. Поскольку при высоких
энергиях и малых углах рассеяния вектор q находится
в плоскости прицельного параметра, т. е. в плоскости,
перпендикулярной вектору р, имеем, очевидно,
bw-q = (b + rl-r>)-q. (A.I)
Выделив движение центра масс адронов, что приводит
к дельта-функции, выражающей закон сохранения импуль-
импульса (см. приложение в работе [166]), мы можем записать
полную амплитуду, определенную A4.2), в виде следую-
следующего двумерного преобразования Фурье (мы опускаем
переменную энергии):
Tab (q) = ^Г J <»*-*''Чш (*>), (А.2)
где
(Ь) == 1 — ехр [2?блв (Ь)] =
= J dxA J dxB | / (A, {rt}) |21 / (В, {г,}) |2 Пав ({Ь„}), (А.З)
Чав ({Ьу» = 1 - ехр [2i8AB ({btJ})],
drA = П dvt8 (JL 2 гг) , dxB - П dr}b (^ 2 г,) .
i i
Приложение 179
Здесь qepee {x} обозначена система всех возможных
векторов х. Функции / — это волновые функции во
внутреннем пространстве; дельта-функции выражают тот
факт, что при интегрировании центры масс адронов оста-
остаются фиксированными в начале координат. Наконец,
блв — фазовые сдвиги рассеяния как непрерывные функ-
функции прицельных параметров.
Предположение аддитивности равносильно записи
({Ьи}) = S Ли (Ь«) = 2 [1 - emiPij\ (A.4)
ij ij
ij ij
где т]ц(Ъц) связано с амплитудой Тц(г\') упругого рас-
рассеяния двух квазисвободных кварков i и / соотношением,
аналогичным (А.2):
Тц (q') = -^ J dbije^'^j (Ъи). (А.5)
Объединяя (А.1)—(А.5), приходим к желаемому результату
^B(q) = !^-(q)^(q)*f(-q). (A.6)
где формфактор Ft (q) е= FfA (q) задается формулой
Ft(q)=\dTA\f(A,{ri}\*eitr'1 (A.7)
it
и аналогично Ff. Формфакторы, или интегралы перекры-
перекрытия, появляющиеся в неупругих процессах или процессах
распада, совпадают с (А.7) с точностью до замены
| / (А, {гг}) | 2 на /* (А, {г,}) / (А', {гг}), где А' отличает-
отличается от А [ср. E.11)].
Если вместо (А.4) (аддитивности амплитуд) мы исполь-
используем предположение Глаубера [164—166]
• 64B({b,,}) = ;g6w(by) (A.8)
(аддитивность фазовых сдвигов), то получается разложе-
разложение ТАВ в ряд по степеням кварк-кварковых амплитуд,
где (А.6) является первым членом, а второй и следующие
члены отвечают поправкам на многократное рассеяние.
Это разложение послужило отправным пунктом для
нескольких авторов [167—173], рассматривавших такие
поправки (учет которых важен при изучении рассеяния
адронов на ядрах) в модели кварков (см. гл. 16, § 3).
12*
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann М., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1
в настоящем издании).
2 Zweig G., CERN Preprints TH 401, 412 A964).
3. Fermi Е., Yang С. N., Phys. Rev., 76, 1739 A949).
4. Weisskopf V. F., SU2 -*¦ SU3 -+¦ SU6, CERN Lectures, CERN
Rept. 66-19, May 1966.
5. De Swart J. J., Rev. Mod. Phys., 35, 916 A963) [см. перевод:
Успехи физич. наук, 84, 651 A964)].
6. De Swart J. J., в книге Proceedings of the 1966 CERN School
of Physics, Ecole d'Ete de Physique Theorique, DeWitt C,
Jacob M., Eds., 1965, New York, 1966.
7. Dalitz R. H., в книге High Energy Physics, Ecole d'Ete de
Physique Theorique, DeWitt C, Jacob M., Eds., 1965, New
York, 1966.
8. Massam Т., Zichichi A., Nuovo Cimento, 43, 227 A966).
9. Gell-Mann M., Ne'eman Y., The Eightfold Way, New York,
1964.
10. Gursey F., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13, 173 A964).
11. Sakita В., Phys. Rev., 136, B1756 A964).
12. Gursey F., Pais A., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13,
299 A964).
13. Lederman L., Comments Nucl. Particle Physics, 1, 155 A967).
14. Massam Т., CERN Report 68-24, July 1968.
15. Dalitz R. #., в книге Xlllth International Conference on High
Energy Physics, Berkeley 1966, 1967.
16. Dalitz R. H., Report presented at the Topical Conference on
nN Scattering, Irvine, California, December 1967.
17. Dalitz R. H., Report presented at the Topical Conference on
Meson Spectroscopy, Philadelphia, May 1968.
18. Зельдович Я. Б., Окунь Л. В., Пикелънер С. Б., Phys. Letters,
17, 1964 A965).
19. Зельдович Я. Б., Окунь Л. Б., Пикельнер С. В., Успехи физич.
наук, 87, ИЗ A965). 7
20. Nir A., Phys. Rev. Letters, 19, 337 A967).
21. Chupka W. A., Schiffer J. P., Stevens С. М., Phys. Rev. Letters,
17, 60 A966).
22. Domokos G., Fulton Т., Phys. Letters, 20, 546 A966).
23. Becchi C, Gallinaro G., Morpurgo G., Nuovo Cimento, 39, 409
A965).
24. Leacock R. A., Beavers W. I., Daub С. Т., Preprint, Iowa State
University, 1967.
25. Massam T. et al., Nuovo Cimento, 40, 589 A965).
26. Kasha H. et al., Phys. Rev., 154, 1263 A967).
27. Damgaard G. et al., Phys. Letters, 17, 152 A965).
28. Lamb R. C. et al., Phys. Rev. Letters, 17, 1068 A966).
29. Leipuner L. B. et al., Phys. Rev. Letters, 12, 423 A964).
30. Blum W. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 353a A964).
31. Dorian D. E. et al., Phys. Rev.'Letters, 14, 999 A965).
Литература 181
32. Максименко В. М. и др., Письма ЖЭТФ, 3, 340 A966).
33. Hagedorn R., Nuovo Cimento Suppl., 6, 311 A968).
34. Buhler-Broglin A. et al., Nuovo Cimento, 49, 209 A967).
35. Kasha H. et al., Phys. Rev. Letters, 20, 217 A968).
36. De Swart J. J., Phys. Rev. Letters, 18, 618 A967).
37. Schiff L. I., Phys. Rev. Letters, 17, 612, 714 A966).
38. Morpurgo G., Physics, 2, 95 A965) (дополнение 5 в настоящем
издании).
39. Nambu Y., в книге Symmetry Principles at High-Energy,
Proceedings of the Second Coral Gables Conference, Kursu-
noglu В., Perlmutter A., Sakmar I., Eds., London, 1967.
40. Greenberg 0. W., Phys. Rev., 147, 1077 A966).
41. LipUn H. J., Nucl. Phys.,' Bl, 597 A967).
42. Bacry H., Nuyts J., Van Hove L., Phys. Letters, 9, 279 A964)
(дополнение 2 в настоящем издании).
43. Han M. Y., Nambu Y., Phys. Rev., 139, B1006 A965) (допол-
(дополнение 3 в настоящем издании).
44. Cabibbo N., Maiani L., Preparata G., Phys. Letters, 25B, 132
A967).
45. Okubo S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), Suppl., 37, 38, 114
A966).
46. RosenjeldA. H. et al., Rev. Mod. Phys., 41, № 1, January A969).
47. Thirring W., Acta Phys. Austriaca, Suppl. II, 205 A965).
48. Thirring W., в книге Proceedings of the 5th International
University Meeting at Schladming 1966, Vienna, 1966.
49. Morpurgo G., Phys. Letters, 20, 684 A966).
50. Greenberg O. W., Zwanziger D., Phys. Rev., 150, 1177 A966).
51. Kuo T. K., Radicati L. A., Phys. Rev., 139, B746 A965).
52. Mitra A. N., Majumdar R., Phys. Rev., 150, 1194 A966).
53. Kreps R. E., de Swart J. J., Phys. Rev., 162, 1729 A967).
54. Coward D. H. et al., Phys. Rev. Letters, 20, 292 A968).
55. Greenberg O. W., Phys. Rev. Letters, 13, 598 A964) (дополнение 4
в настоящем издании).
56. Greenberg О. W., Resnikojj M., Phys. Rev., 163, 1844 A967).
57. Delbourgo R., Salam A., Slrathdee J., Phys. Letters, 21, 455
A966).
58. Fischer J., Limic N., Niederle J., Raczka R., Nuovo Cimento,
55, 33 A968).
59. Llewellyn Smith C. H., Nuovo Cimento, A60, 348 A969).
60. Pagnamenta A., Nuovo Cimento, 53, 30 A968).
61. Federman P., Rubinstein H. R., Talmi I., Phys. Letters, 22,
208 A966).
62. Rubinstein H. R., Phys. Letters, 22, 210 A966).
63. Rubinstein H. R., Phys. Rev. Letters, 17, 41 A966).
64. Gal A., Scheck F., Nucl. Phys., B2, 110 A967).
65. Morrison D. R. O., Phys. Letters, 25B, 238 A967).
66. Chikovani G. et al., Phys. Letters, 25B, 44 A967).
67. Goldhaber G., Firestone A., Shen В. С, Phys. Rev. Letters, 19,
972 A967).
68. Focacci M. N. et al., Phys. Rev. Letters, 17, 890 A966).
69. Dubai L. et al., Nucl. Phys., B3. 435 A967).
jg2 Литература
70 Goldhaber G., в книге Proceedings of the 1967 CERN School
' of Physics (CERN 67-24, Sept. 1967), Vol. 3.
71 Crennell D. J. et al., Phys. Rev. Letters, 18, 323 A967). .
72. Johnston T. F. et al., Phys. Rev. Letters, 20, 1414 A968).
73. Sutherland D. G., Nucl. Phys., B2, 157 A967).
74. Goldhaber G., Phys. Rev. Letters, 19, 976 A967).
75 Donnachie A., Kirsopp R. G., Lovelace C, Phys. Letters, 26B,
161 A967).
76. Faiman D., Hendry A. W., Phys. Rev., 173, 1720 A968).
77. Mitra A. N., Nuovo Cimento, B58, 344 A968).
78. Zweig G., Paper presented at the Topical Conference on Meson
Spectroscopy, Philadelphia, May 1968.
79. ffarari H., Morpurgo G., в книге Proceedings of the 14th Inter-
International Conference on High Energy Physics, Prentki J., Stein-
berger J., Eds., CERN, Geneva, 1968.
80. Belletini G. et al., Phys. Letters, \8, 167 A965).
81. Foley K. et al., Phys. Rev. Letters, 19, 397 A967).
82. Bell R. В., et ah, Phys. Rev. Letters, 20, 164 A968).
83. Meyer /., в книге Proceedings of the Heidelberg International
Conference on Elementary Particles, Amsterdam 1968, p. 117.
84. Krammer M., Lomon E. L., Phys. Rev. Letters, 20, 71 A968).
85. Bassompierre G. et al., Phys. Letters, 27B, 468 A968).
86. Van Royen R., Weisskopf V. F., Nuovo Cimento, 50, 617 A967).
87. Van Royen R., Weisskopf V. F., Nuovo Cimento, 51, 583 A967).
88. СаЫЪЬо N., Phys. Rev. Letters, 10, 531 A963).
89. Герштейн С. С, Зельдович Я. В., ЖЭТФ, 29, 698 A955).
90. Feynman R. P., Gell-Mann M., Phys. Rev., 109, 193 A958).
91. Bar A., Preprint, MIT, 1967.
92. Боголюбов Н. И., Струминский В. В., Тавхелидзе А. Н.,
препринт ОИЯИ Д-1968, 1965.
93. Боголюбов Н. Я., Матвеев В. А., Тавхелидзе А. Н., Nuovo
Cimento, 48, 132 A967).
94. Боголюбов П. В., препринт ОИЯИ, 1967.
95. Матвеев В. А., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. И., пре-
препринт ОИЯИ Р-2524, 1965.
96. Kallen G., Elementary Particle Physics, London, 1964 (см.
перевод: Г. Ч е л л е н, Физика элементарных частиц, М.,
1966).
97. Akerlof С. W. et al., Phys. Rev., 163, 1482 A967).
98. Badier S., Phys. Letters, 24B, 157 A967).
99. Алиев М. К., Струминский Б. В., препринт ОИЯИ Р-3603,
1967.
100. Герасимов С. Б., ЖЭТФ, 50, 1559 A966).
101. Левин Е. М., Франкфурт Л. Л., Ядерная физика, 3, 1135
A966).
102. Rubinstein H. R., Scheck F., Socolow R., Phys. Rev., 154, 1608
A967).
103. Beg M. A., Lee B. W., Pals A., Phys. Rev. Letters, 13, 514
104. Combe' J. et al., Zs. Naturforsch., 21a, 1757 A966).
J05, Lipkin H. J., Tavkhelidze A, N., Phys. Letters, 17, 331 A965),
Литература 183
106. Becchi С, Morpurgo G., Phys. Rev., 140B, 687 A965).
107. Анисович В. В. и др., Phys. Letters, 16, 194 A965).
108. Thirring W., Phys. Letters, 16, 335 A965).
109. Соловьев Л. Д., Phys. Letters, 16, 345 A965).
110. Becchi C, Morpurgo G., Phys. Letters, 17 352 A965).
111. Dalitz R. H., Sutherland D.-G., Phys. Rev. 146 1180 A966).
112. Moorhouse R. G., Phys. Rev. Letters, 16, 772, 968 A966).
113. Pietschmann H., Thirring W., Preprint, University of Vienna,
Scientific Note No. 32, 1965.
114. Asbury J. G. et al., Phys. Rev. Letters, 19, 869 A967).
115. Nambu Y., Sakurai J. J., Phys. Rev. Letters, 8, 79 A962).
116. Gell-Mann M., Zachariasen F., Phys. Rev., 124, 953 A961).
117. Gell-Mann M., Sharp D. H., Wagner W., Phys. Rev. Letters,
8, 261 A962).
118. Von Dardel G. et al., Phys. Letters, 4, 51 A963).
119. Belletini G. et al., Nuovo Cimento, 40A, 1139 A965).
120. Butterworth J., в книге Proceedings of the Heidelberg Interna-
International Conference on Elementary Particles, Heidelberg, Sep-
September 1967, Amsterdam, 1968, p. 11.
121. Bemporad С et al., Phys. Letters, 25B, 380 A967).
122. Becchi C, Morpurgo G., Preprint, University of Genova, Janu-
January 1966.
123. Roos M., Nucl. Phys., B2, 615 A967).
124. Mitra A. N., Ross M., Phys. Rev., 158, 1630 A967).
125. Lipkin H. J., Rubinstein H. R., Stern H., Phys. Rev., 161,
1502 A967).
126. Левин Е. М., Франкфурт Л. Л., Письма ЖЭТФ, 2, 105 A965).
127. Lipkin H. J., Scheck F., Phys. Rev. Letters, 16, 71 A966).
128. Kokkedee J. J. J., Van Hove L., Nuovo Cimento, 42, 711 A966).
129. Van Hove L., Paper presented at the Conference on High Energy
Two-Body Reactions, Stony Brook, April 1966.
130. Van Hove L., в книге Particle Physics at High Energies, Pri-
Priest T. W.; Vick L. L. J., Eds., Edinburgh, 1967.
131: Lipkin H. J., Phys. Rev. Letters, 16, 1015 A966).
132. Kokkedee J. J. J., Phys. Letters, 22, 88 A966).
133. Kokkedee J. J. J., Van Hove L., Nucl. Phys., Bl, 169 A967).
134. Alexander G., Lipkin H. J., Scheck F., Phys. Rev. Letters, 17,
412 A966).
135. Lipkin H. J., Scheck F., Stern H., Phys. Rev., 152, 1325 A966).
136. Itzykson C, Jacob M., Nuovo Cimento, 48A, 909 A967).
137. Locher M. P., Romer H., Phys. Letters, 23, 496 A966).
138. Lipkin H. J., Scheck F., Phys. Rev. Letters, 18, 347 A967).
139. Friar J. L., Trefil J. S., Nuovo Cimento, 49, 642 A967).
140. Kajantie K., Trefil J. S., Nucl. Phys., B2, 243 A967).
141. BialasA., GulaA., Muryn В., Acta Phys. Polon., 32, 443 A967).
142. Gorczyca В., Acta Phys. Polon., 33, 471 A968).
143. BialasA., Zalewski K., Nucl. Phys., B6, 449 A968).
144. Joos H., Phys. Letters, 24B, 103 A967).
145. Kajantie K., Trefil J. S., Phys. Letters, 24B, 106 A967).
146. Bockmann K. et al., Nuovo Cimento, 42A, 954 A966),
147. Ferbel T. et al., Phys. Rev,, 173, 1307 A968).
184 Литература
148. Kokkedee J. J. J., Nuovo Cimento, 43, 919 A966).
149. Foley K. et ah, Phys. Rev. Letters, 19, 193, 857 A967).
150. Померанчук И., ЖЭТФ, 34, 725 A958).
151. Van Hove L., Phys. Letters, 5, 252 A963).
152. Gell-Mann M., Phys. Rev. Letters, 8, 263 A962).
153. Грибов В. Н., Померанчук И:, Phys. Rev. Letters, 8, 343 A962).
154. Wetherell А., в книге Proceedings of the XIIIth International
Conference on High Energy Physics, Berkeley, 1966, 1967, p. 272.
155. Wu Т. Т., Yang С N., Phys. Rev., 137, B708 A965).
156. Galbraith W. et al., Phys. Rev., 138, B913 A965).
157. Baker W. F. et ah, Phys. Rev., 129, 2285 A963).
158. Citron A. et ah, Phys. Rev. Letters, 13, 205 A964).
159. Foley K. et ah, Phys. Rev. Letters, 19, 330 A967).
160. Rarita W., Ridell R. J., Chiu С. В., Phillips R. J. N., Phys.
Rev., 165, 1615 A968).
161. Bassano D. et al., Phys. Rev., 160, 1239 A967).
162. Asbury J. G. et al., Phys. Rev. Letters, 19, 865 A967).
163. Lohrmann E., в книге Proceedings of the Topical Conference
on High Energy Collisions of Hadrons, vol. 1, CERN Rept.
68-7, February 1968, p. 556.
164. Glauber R. J., в книге Lectures in Theoretical Physics, vol. 1,
New York, 1959, p. 315.
165. Franco V., Glauber R. J., Phys. Rev., 142, 1195 A966).
166. Glauber R. /., в книге High Energy Physics and Nuclear Struc-
Structure, Alexander G., Ed., Amsterdam, 1967, p. 311.
167. Harrington D. R., Phys. Rev., 170, 1460 A968).
168. Franco V., Phys. Rev. Letters, 18, 1159 A967).
169. Barnhill M. V., Phys. Rev., 163, 1735 A967).
170. Deloff A., Nucl. Phys., B2, 597 A967).
171. Harrington D. R., Pagnamento A., Phys. Rev., 173, 1599 A968).
172. Dean N. W., Nucl. Phys., B4, 534 A968).
173. Dean N. W., Nucl. Phys., B7, 311 A968).
174. Bell J. S., Phys. Rev. Letters, 13, 57 A964).
175. Freund P. G. O., Phys. Rev. Letters, 15, 929 A965).
176. Freund P. G. O., Nuovo Cimento, 46A, 563 A966).
177. Cabibbo N., Horwitz L., Ne'eman Y., Phys. Letters, 22, 336
A966).
178. Cabibbo N., Kokkedee J. J. J., Horwitz L., Ne'eman Y., Nuovo
Cimento, 45, 275 A966).
179. Bialas A., Zalewski K., Nuovo Cimento, 46A, 425 A966).
180. Daboul J., Nuovo Cimento, 50, 850 A967).
181. Lipkin H. J., в книге High Energy Physics and Nuclear Struc-
Structure, Alexander G., Ed., Amsterdam, 1967, p. 363.
182. Morrison D. R. O., Review of Inelastic Two-Body Reactions,
CERN TC 66-20, August 1966.
183. Koba Z., Prog. Theor. Phys. Suppl. Extra Number A965).
184. Van Hove L., в книге Preludes in Theoretical Physics, de-Sha-
lit A., Feshbach H., Van Hove L., Eds., Amsterdam, 1966,
p. 44.
185. Bialas A., Zalewski K., Phys. Letters, 26B, 170 A967).
186. Bialas A., Zalewski K., Nucl. Phys., B6, 465, 478 A968).
Литература 185
187. Mott J. et al., Phys. Rev. Letters, 18, 355 A967).
188. Panowsky W. H. К., в книге Proceedings of the Heidelberg
International Conference on Elementary Particles, Amsterdam
1968, p. 37 (см. перевод в сборнике «Электромагнитные взаи-
взаимодействия и структура элементарных частиц» изд-во «Мир».
1969).
189. Bonn - Durham-Nijmegen - Paris-Strasbourg-Turin-Collaboration,
в книге Proceedings of the Topical Conference on High Energy
Collisions of Hadrons, Vol. II, CERN Rept. 68-7 February
1968, p. 150; Phys. Letters, 28B". 72 A968).
190. Kupsch J., Phys. Letters, 22, 690 A966).
191. Kajanlie K., Trefil J. S., Nucl. Phys., Bl, 648 A967).
192. Bialas A., Gula A., Muryn В., Zalewski K., Nucl. Phys., B6,
483 A968).
193. Berman S. M., Drell S. D., Phys. Rev., 133, B791 A964).
194. Joos H., в книге Special Problems in High Energy "Physics,
Urban P., Ed., Vienna, 1967, p. 320.
195. German Bubble Chamber Collaboration, Phys. Letters, 27B,
54 A968).
196. Rubinstein H. R., Stern #., Phys. Letters, 21, 447 A966).
197. Patera J., Simak V., Preprint Prague 67-1, 1967.
198. Harte J., Sokolow R. H., Vandermeulen J., Zalewski K.,
Preprint CERN, 701, 1966.
199. Harte J., Socolow R. H., Vandermeulen J., Nuovo Cimento, 49,
555 A967).
200. Elitzur M., Rubinstein H. R., Phys. Rev. Letters, 18, 417 A967).
201. Freund P. G. O., Phys. Rev. Letters, 15, 929 A965).
202. Levinson С A., Wall N. S., Lipkin H. J., Phys. Rev. Letters,
17, 1122 A966).
203. Satz H., Phys. Letters, 25B, 27 A967).
204. Satz H., Phys. Rev. Letters, 19, 1453 A967).
205. Satz #., Phys. Letters, 25B, 220 A967).
206. Rybicki K., Nuovo Cimento, 49, 233 A967).
207. Zalewski K., Danysz J. A., Nucl. Phys., B2, 249 A967).
208. Werle J., Warsaw Preprint, June 1966.
209. Greenberg J. S. et al., Phys. Rev. Letters, 20, 221 A968).
210. Auslander V. L. et al., Phys. Letters, 25B, 433 A967).
ДОПОЛНЕНИЯ
1. СХЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАРИОНОВ И МЕЗОНОВ
М. Гелл-Манн1)
' Если мы предположим, что сильные взаимодействия
барионов и мезонов правильно описываются в терминах
нарушенного «восьмеричного пути» [1—3], то невольно
возникает желание поискать какое-то фундаментальное
объяснение этой ситуации. В высшей степени многообе-
многообещающим подходом является чисто динамическая модель
зашнуровки для всех сильно взаимодействующих частиц,
в которой можно попытаться вывести законы сохранения
изотопического спина и странности, а также нарушенную
восьмеричную симметрию из одного только условия само-
сЪгласованности [4—8]. Конечно, при наличии одних
только сильных взаимодействий нельзя конкретизиро-
конкретизировать ориентацию асимметрии в унитарном пространстве;
можно надеяться, что отбор электромагнитными и слабы-
слабыми взаимодействиями конкретных компонент F-спина опре-
определяет каким-то образом выбор направлений изотопиче-
изотопического спина и гиперзаряда.
Даже если мы рассматриваем амплитуды рассеяния
сильно взаимодействующих частиц только на массовой
оболочке и описываем матричные элементы слабых, элек-
электромагнитных и гравитационных взаимодействий с помо-
помощью дисперсионной теории, существуют еще глубокие
и важные вопросы, касающиеся алгебраических свойств
этих взаимодействий, которые до сих пор обсуждались
только путем абстрагирования этих свойств из формаль-
формальной теоретико-полевой модели, основанной на фундамен-
фундаментальных объектах [3], из которых построены барионы
и мезоны.
М. G е 1 1 - М a n n, Phys. Letters, 8, 214 A964).
!• Схематическая модель барионов и мезонов 187
Бели бы, эти объекты были октетами, то мы Morrfn бы
ожидать, что лежащая в их основе группа симметрии
является группой SU (8), а не SU C). Поэтому возникает
искушение попытаться использовать в качестве фундамен-
фундаментальных объектов унитарные триплеты. Унитарный три-
триплет t состоит из изотопического синглета s с электри-
электрическим зарядом z (в единицах е) и изотопического дублета
(и, d) с зарядами соответственно г -f 1 и г. Антитриплет t
имеет, конечно, противоположные знаки зарядов. Полная
симметрия между членами триплета приводит к точному
восьмеричному пути, тогда как, например, разность масс
между изотопическим дублетом и синглетом приводит
к нарушению первого порядка.
Для любого значения z и спина триплета мы можем
построить барионные октеты из базисного нейтрального
барионного синглета Ъ, беря комбинации (bit), (btiii)
и т. д. 1). Из (bit) мы приходим к представлениям 1 и 8,
тогда как из (btt'tt) мы приходим к представлениям 1, 8,
10, 10 и 27. Подобным же способом можно построить
мезонные синглеты и октеты из (tt), (tttt) и т. д. Квантовое
число щ — щ должно быть равным нулю для всех извест-
известных барионов и мезонов. Наиболее интересным примером
такой модели является модель, в которой спин триплета
равен 1/2, a z = —1, так что четыре частицы d~, s~, u°
и Ъ° обнаруживают параллель с лептонами.
Можно построить более простую и изящную схему,
если допустить нецелые значения зарядов. Мы можем
полностью обойтись без базисного бариона Ъ, если припи-
припишем триплету t следующие свойства: спин 1/2, z = —1/3
и барионное число 1/3. В дальнейшем члены этого трипле-
триплета u2^3, d~V3 и s/3 мы называем «кварками» g [10], а чле-
члены антитриплета — антикварками q. Барионы можно
построить теперь из кварков, если использовать комби-
комбинации (qqq), (qqqqq) и т. д., тогда как мезоны строятся из
(qq), (qqqq) и т. д. Предполагается, что низшая барионная
конфигурация (qqq) дает в точности представления 1, 8
х) Это аналогично подходу в работе [1]. См. также [5].
188
М. Гелл-Манн
и 10, которые и наблюдались, тогда как низшая мезонная
конфигурация (qq) дает представления 1 и 8.
Формальную математическую модель, основанную на
теории поля, можно построить для кварков точно так же,
как для частиц р, п, Л в старой модели Сакаты, напри-
например [3], приписывая все сильные взаимодействия полю
нейтрального векторного мезона, взаимодействующего сим-
симметрично со всеми тремя частицами. В таком подходе
электромагнитный ток (в единицах е) равен в точности
или ерш + JFsa./V3 B обозначениях работы 13]. Слабый
ток можно взять из модели Сакаты в виде, предложенном
Гелл-Манном и Леви [11], а именно ipya A + уь) (/zcos6 +
+ Л sin 6), что в кварковои схеме приводит к выражению х)
iuya A -f уь) (d cos 8 + s sin 6)
или в обозначениях работы [3]
Таким образом, мы получаем все черты картины слабого
тока Кабиббо, а именно правила | А/ | = 1, AY = О
и | Д/ | = 1/2, &Y I AQ = + 1, сохраняющийся ток
с ДУ = 0 с коэффициентом cos 6, векторный ток вообще
как компоненту тока F-спина и аксиальный ток, пре-
преобразующийся под действием SU C) как та же компонен-
компонента другого октета. Более того, мы имеем [3] одновременные
коммутационные соотношения для четвертых компонент
х) Очевидна параллель с выражениями ive^a A + Уъ) е и
A + Уь) Ц- Аналогично в рассмотренной выше модели с d~,
s~, и0 и 6° следует взять слабый ток в виде i (b° cos 6 + м° sin 6) X
X Va A + Ye) s" + i (u° cos 6 — b° sin 6) Va A + Ye) d~. Та часть
тока, для которой Д (щ — пт) = 0, равна в точности гйоу„. A + 75) X
X (d-cos 6 + s-sin6).
1. Схематическая модель барионов и мезонов 189
токов:
х) ± >?4 (*). &и (х1) ± &\к {х')\ =
= - 2Ы Wu (х) ± Ръц (х)] б (*-*'),
Wh (х) ± р% (х), &ы (х1) + jfL (х')] = О,
i = 1, 2, ... 8, что приводит к группе SU C) X SU C).
Мы можем также рассмотреть поведение плотности энер-
энергии 644 {х) (при гравитационном взаимодействии) при
коммутации с операторами 3- ik (xf) ± Цр\ц, (х') для равных
времен. Та часть, которая неинвариантна относительно
этой группы, будет преобразовываться по некоторому
представлению группы SU C) X SU C), например C,3)
и C,3), если она возникает именно из-за масс кварков.
Все эти соотношения можно теперь абстрагировать от
теоретико-полевой модели и использовать в дисперсион-
дисперсионном подходе. Амплитуды рассеяния сильно взаимодей-
взаимодействующих частиц на массовой оболочке считаются извест-
известными; тогда имеется система линейных дисперсионных
соотношений для матричных элементов слабых токов
(а также для электромагнитных и гравитационных вза-
взаимодействий) в низшем порядке по этим взаимодействиям.
Эти дисперсионные соотношения без вычитаний, дополнен-
дополненные нелинейными коммутационными соотношениями, взя-
взятыми из теории поля, могут оказаться достаточно эффектив-
эффективными для определения всех матричных элементов слабых
токов, включая эффективные величины матричных элемен-
элементов аксиального тока относительно матричных элементов
векторного тока.
Любопытно поразмышлять о том, каким образом вели
бы себя кварки, если бы они были физическими частицами
конечной массы (вместо чисто математических сущностей,
какими они были бы в пределе бесконечной массы).
Поскольку заряд и барионное число сохраняются точно,
один из кварков (по-видимому, и2'3 или d'1!3) был бы
абсолютно стабильным х), тогда как другой член дублета
*) Существует альтернативная возможность, что кварки неста-
нестабильны относительно распада на барион и антибикварк или на анти-
барион и квадрикварк. В любом случае какая-то частица с дроб-
дробным зарядом должна быть абсолютно стабильной.
М. Гелл-Манн
очень медленно переходил бы в первый посредством
Р-распада или /^-захвата. Кварк — изотопический синг-
лет, по-видимому, распадался бы в кварк из дублета
посредством слабых взаимодействий аналогично распа-
распаду Л в N. Обычная материя вблизи земной поверхности
содержала бы примесь стабильных кварков, появившихся
в результате воздействия космических лучей высокой
энергии на протяжении всей истории Земли. Оценки
показывают, однако, что концентрация этой примеси
настолько мала, что ее никогда не удалось бы обнару-
обнаружить. Поиски стабильных кварков с зарядами — 1/3 или
+2/3 и (или) стабильных бикварков с зарядами —2/3,
+1/3 или +4/3 на ускорителях с наивысшей энергией
помогли бы выяснить вопрос о существовании реальных
кварков.
Эти представления были развиты во время визита
в Колумбийский университет в марте 1963 г. Автор благо-
благодарит проф. Р. Сербера, стимулировавшего их разработку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann М., California Institute of Technology Synchrotron
Laboratory Report CTSL-20, 1961 (см. перевод в сборнике «Эле-
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во «Мир»,
1964).
2. Ne'eman Г., Nuclear Phys., 26, 222 A961) (см. перевод в сбор-
сборнике «Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во
«Мир», 1964).
3. Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1067 A962).
4. Capps R. H., Phys. Rev. Letters, 10, 312 A963).
5. Cutkosky R. E., Kalckar /., Tarjanne P., Phys. Letters, 1, 93
A962).
6. Abers E., Zachariasen F., Zemach A. C, Phys. Rev., 132, 1831
A963).
7. Glashow S., Phys. Rev., 130, 2132 A963).
8. Cutkosky R. E., Tarjanne P., Phys. Rev., 132, 1354 A963).
9. Tarjanne P., Teplitz V. L., Phys. Rev. Letters, 11, 447 A963).
10. Joyce J., Finnegan's Wake, New York, 1939, p. 383.
11. Gell-Mann M., Levy M., Nuovo Cimento, 16, 705 A960).
12. Cabibbo N., Phys. Rev. Letters, 10, 531 A963).
2. БАЗИСНЫЕ SU (З)-ТРИПЛЕТЫ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ
ЗАРЯДОМ И БАРИОННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦА
X. Банри, Дж. Щуитс и Л. Ван
Успех октетной модели SU (З)-симметрии [1—3] привел
к возрастанию интереса к догадкам относительно возмож-
возможного существования и свойств неоткрытых пока частиц,
которые принадлежали бы базисным представлениям 3
и 3 группы SU C) и являлись строительными блоками
мезонов и барионов с силами связи, обусловленными силь-
сильными взаимодействиями. Установленные до сих пор мезон-
ные S ?/C)-мультиплеты принадлежат представлениям 1 и 8,
тогда как для барионов найдены представления 1, 8 и 10.
Именно эти представления получаются в изящной три-
плетной модели SU (З)-симметрии, предложенной недавно
Гелл-Манном [4] и Цвейгом [5], где мезонам приписывает-
приписывается структура А X А C X 3 = 1 + 8), а барионам —
структура ААА Cx3x3 = 1 + 8+8 + 10), если
через А обозначить базисный триплет частиц со спином 1/2.
Однако в этом случае базисным частицам должны быть
приписаны необычные значения 2/3, —1/3, —1/3 электри-
электрического заряда Q и значение 1/3 барионного числа N.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что рас-
рассмотрение двух базисных триплетов вместо одного позво-
позволяет простым способом избежать появления дробных зна-
значений Q и N без потери изящной структуры 3x3 для
мезонов и 3 X 3 X 3 для барионов. Мы вводим два трип-
триплета Гиб частиц со спином 1/2; частицы мы называем
трионами. Для всех частиц N = 1, а различаются они
с помощью нового аддитивного квантового числа D.
Трионы выписаны в табл. 1 и 2.
Для данного S U (З)-мультиплета значение D связано со
средним значением заряда мультиплета {Q) соотношением
Д = 3<<?>,
а соответствующая обобщенная формула Гелл-Манна —
Нишиджимы имеет вид
') Н. Bacry, J. Nuyts, L. Van Hove, Phys. Letters,
9, 279 A964).
192
X. Вакри'Дж.!Нуитс и Л. Ван Хое
Таблица 1
Триовы Т (iV = l, D =
спин s=l/2)
Состояние
Заряд Q
Гиперза-
Гиперзаряд Y
Изоспин /
h
т+
1
1/3
1/2
1/2
ГО
0
1/3
1/2
-1/2
Г'О
0
-2/3
0
0
Таблица 2
Трионы в (N—U D=2,
спин s—1/2)
Состояние
Q
Y
I
h
во
0
-1/3
1/2
-1/2
в+
1
-1/3
1/2
1/2
в'+
1
2/3
0
0
Следовательно, D сохраняется в сильных и электромагнит-
электромагнитных взаимодействиях.
Естественно предположить, что все наблюдавшиеся до
сих пор частицы имеют квантовое число D, равное нулю;
обобщая, можно сказать, что условие D = 0 характеризу-
характеризует наиболее стабильные частицы, построенные из трионов.
Это приводит к вопросу о возможных составных части-
частицах с D = 0. Те из них, которые получаются как произве-
произведения двух или трех триплетов, приведены в табл. 3.
Интересно отметить, что произведения более чем трех
трионов в том случае, когда у них D = 0, всегда можно
Таблица 3
Число трио-
трионов в состав-
составных частицах
2
3
Представления
7Т = 1+8
00=1+8
0Г7' = 1 + 8+8 + 1О
67T = l + 8+8 + 10
Барионное
число N
0
0
1
-1
Спин и
четность
О" или 1~
0~ или 1~
1/2 или 3/2
1/2 или 3/2
Спин и четность указаны для связанного «-состояния.
2. SU (З)-триплеты с целочисленным зарядом 193
получить как произведения составных частиц, приведен-
приведенных в табл.. 3.
Рассматриваемая здесь модель обладает следующими
свойствами:
1. Исключаются нецелые заряды и нецелые барионные
числа.
2. В четырех классах табл. 3 нет места для представ-
представлений 10 (N = 1) и 27. (То же самое было и в схемах, пред-
предложенных в работах [4, 5].)
3. Трионы Г и 0 образуют все возможные триплеты
с зарядами 0, ±1 и D > 0. (При D > 0 N — 1, а при
D >< 0 N = — 1; эта корреляция знаков D и N связана
с асимметрией положительных и отрицательных зарядов
в барионном декуплете, содержащем одну частицу с заря-
зарядом +2, тогда как заряды всех других частиц рав-
равны 0, ±1.)
Появление в нашей модели третьего квантового чис-
числа D в добавление к /3 и Y наводит на мысль о введении
простой группы третьего ранга для описания возможной
высшей симметрии, включающей все трионы и их комби-
комбинации. Такие группы соответствуют трем алгебрам Ли: А 3
[соответствует группе SU D)], Вг [SO G)] и С3 (Sp6). Все
эти алгебры содержат А2 [SU C)] в качестве подалгебры.
В дальнейшем мы рассматриваем случай С3 в качестве прос-
простейшего примера. Небольшие отличия в случаях Аг и В3
упоминаются в конце. Низшие представления С3 приведе-
приведены в табл. 4, где указаны также их разложения по пред-
представлениям А 2 [6].
Из абелевой подалгебры алгебры Съ получается, кроме
Y и /3, третье аддитивное квантовое число Z, В нашей
модели оно связано с D и N соотношением
Любое представление Съ можно получить из произведе-
произведений представлений размерности 6 (октаэдров). Согласно
предыдущему, трионы Г и в должны классифицироваться
по этому представлению 6, мезоны — по произведению
61х6_1= 1O + 14J+ 210,
13-716
194
X. Бакра, Дж. Нуитс и Л. Ван Хов
, + 56, + 64, + 64,
а барионы по произведению
64 х 6, х 6_, = 6, +
Нижние индексы, добавленные к размерности пред-
представления, обозначают соответствующее барионное чис-
Таблица 4
Представление
алгебры Сз
Подмульти-
плеты А2
Z
1
1
0
6
3
1
3
ICO
1
3
1
1
6
1
3
14
6
1
3
1
— 1
14'
3 8
3
3
2
3
6
2
3
1
П
21
8
П
6
2
3
Представление
алгебры Сз
Подмульти-
плеты А^
Z
10
1
3
1
3
15
1
3
56
15
1
3
3
1
3
10
— 1
8
1
3
1
3
6
1
3
15
1
3
64
15
1
3
6
1
3
3
1
3
8
-1
ло N. В скобках под представлениями показаны содер-
содержащиеся в них SU (З)-мультиплеты с D = 0,
Случай А3 можно рассмотреть полностью аналогично
случаю Сз, поскольку в Аг также содержатся представле-
представления 6 с содержанием 3 + 3 относительно А2 [SU C)].
Однако А3 содержит представление еще меньшей размер-
размерности [представление 4 группы SU D)], которое к тому
же нельзя получить из произведений представления 6.
Поэтому она менее привлекательна в нашей модели,
чем С3 с ее шестью базисными частицами.
Что касается алгебры Bs, то она содержит А3 в каче-
качестве подалгебры. Ее низшее представление размерности 7
2. SV (З)-триплеты с целочисленным зарядим 195
распадается, на 3 4-3+1, что вынуждает ввести в базис
седьмую фундаментальную частицу.
Авторы выражают благодарность д-ру Ж. Прентки за
очень полезные критические замечания.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Gell-Mann M., California Institute of Technology Synchrotron
Laboratory Report CSSL-20, 1961 (см. перевод в сборнике «Эле-
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во «Мир»,
1964).
2. Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1067 A961).
3. Ne'eman Y., Nucl. Phys., 26, 222 A961) (см. перевод в сборнике
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во «Мир»,
1964).
4. Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1 настоя-
настоящего издания).
5. Zweig G., Preprint CERN A964). An SU3 model for strong interac-
interaction symmetry and its breaking.
6. Loupias G., Sirugue M., Trolin J. C, Preprint Marseilles A963).
About simple Lie groups of rank 3.
13*
3. ТРЕХТРИПЛЕТНАЯ МОДЕЛЬ С ДВОЙНОЙ
SU (З)-СИММЕТРИЕЙ
М. Хам, И. Памбу1)
Имея в виду преодолеть некоторые кинематические и динами-
динамические трудности однотриплетной модели кварков, мы предлагаем
модель низших барионов и мезонов, основанную на трех триплетах
с целочисленными зарядами. Она в некоторой степени подобна
двухтриплетной модели, введенной ранее одним из авторов (И. Н.).
Показано, что в U (З)-схеме триплетов с целочисленными зарядами
мы естественно приходим к трем триплетам, расположенным сим-
симметрично относительно начала координат диаграммы /3 — У,
если ограничиться случаем, когда соотношение Гелл-Манна —
Нишиджимы остается неизменным. Предлагается схема двойной
S U (З)-симметрии, в которой большие расщепления масс между
различными представлениями приписываются одной из групп
SU C), тогда как вторая группа SU C) представляет собой обыч-
обычную группу, отвечающую за расщепления масс внутри представле-
представлений первой группы SU C).
I. Введение
Хотя SU (б)-симметрия решительно указывает на то,
что барион является по существу трехчастичной системой,
построенной из некоторого базисного триплетного поля
или нескольких полей, модель кварков [1, 2] не вполне
удовлетворительна с реалистической точки зрения, по-
поскольку а) электрические заряды не целочисленны, б) три
кварка в s-состояниях не образуют симметричного SU F)-
представления, приписываемого барионам, и в) отсут-
отсутствует простой динамический механизм, который
позволял бы реализовать в качестве низших уровней
только состояния с равной нулю триальностью.
Эти трудности можно преодолеть, если ввести несколь-
несколько базисных триплетов. Недавно один из авторов (И. Н.)
попытался использовать двухтриплетную модель [3], где
компоненты триплетов ?4 и t2 несут заряды A, 0, 0)
и @, —1, —1), как это было предложено ранее Бакри
и др. [4]. Барион представлялся бы комбинацией ?iV2>
тогда как мезоны соответствовали бы некоторой комбинации
~а1$[ + bt2t'2. Предполагается, что массы компонент
триплетов велики по сравнению с массой бариона. Это
l) M. Y. Han, Y. N a m Ь u, Phys. Rev., 139, B10Q6 A965).
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 197
означало бы существование очень больших энергий связи
в барионах и мезонах. Динамический механизм в такой
картине определяется некоторым нейтральным полем,
сильно связанным с квантовым числом «прелесть» х) С,
которое равно 1 для tt и —2 для tz, следовательно, С = О
для барионов и мезонов. По аналогии с электростатической
энергией мы можем принять, что потенциальная
энергия поля «прелести» будет наименьшей, когда система
«нейтральна», т. е. при С = 0. Тогда все другие нежела-
нежелательные конфигурации с С Ф 0, включающие среди про-
прочих триплетные, секстетные и т. д. представления, будут
обладать большими массами и поэтому их нелегко будет
обнаружить.
Было предложено два различных способа введения
базисного триплета или триплетов с целочисленными заря-
зарядами. Один подход связан по существу с модификацией
соотношения Гелл-Манна — Нишиджимы при помощи вве-
введения дополнительного квантового числа, а именно
квантового числа триальности [7—9], а это привело к рас-
рассмотрению схем высшей симметрии, основанных на груп-
группах Ли третьего ранга 2). С другой стороны, Окубо и др. [ 11 ]
показали недавно, что минимальной группой, которая
требуется для этой цели, является в действительности
группа U C) 3). Показано, что триплетную схему можно
так определить в рамках группы U C), что компоненты
триплета будут всегда иметь целочисленные значения
заряда и гиперзаряда и будут удовлетворять неизменному
соотношению Гелл-Манна — Нишиджимы. Рассмотрен-
Рассмотренный Окубо и др. U (З)-триплет относится к сакатовскому
типу, т. е. он состоит из изодублета и изосинглета. Факти-
Фактически U (З)-схема в двух отношениях гораздо привлека-
привлекательнее, чем схемы, основанные на группах Ли третьего
ранга: во-первых, соотношение Гелл-Манна — Нишид-
Нишиджимы выполняется универсально для триплетов, как
и для октетов и декуплетов, во-вторых, в отношении
*) Это название было впервые использовано в связи с SU D)-
симметрией [5, 6].
2) См., например, [10], где приведены ссылки на более ранние
работы.
3) Полезность группы U C) в этом отношении была отмечена
также в статье [12].
198 М. Хан, И. Намбу
реализованных до сих пор представлений группа U C)
эквивалентна группе SU C) [13].
В дальнейшем мы покажем, что U (З)-схема, использо-
использованная полностью, как описано ниже, естественно и одно-
однозначно приводит к системе трех базисных триплетов
с целочисленными зарядами; мы получим /-триплет (изо-
дублет и изосинглет), fZ-триплет (дублет и синглет по
?7-спину) и F-триплет (дублет и синглет по F-спину) [14—
16]. Эти триплеты возникают из трех различных способов
определения заряда Q, гиперзаряда У и смещенного изо-
спина /3 в группе U C), которые в противоположность
случаю группы SU C) приводят к целочисленным значе-
значениям заряда и гиперзаряда, не затрагивая соотношения
Гелл-Манна — Нишиджимы. Эти триплеты отличаются
друг от друга своими квантовыми числами, а также транс-
трансформационными свойствами относительно вейлевских отра-
отражений [17]. Все это описано в разделе 2. В разделе 3 пред-
предлагается схема двойной SU (З)-симметрии, основанная на
трехтриплетной модели, в которой большое расщепление
масс между различными представлениями приписывается
одной из групп SU C), тогда как вторая группа SU C)
отвечает, как обычно, за расщепление масс внутри пред-
представления. Низшие барионные и мезонные состояния
можно выбрать в виде синглетов относительно одной из
групп SU C). Кратко рассматривается обобщенная груп-
группа симметрии, относящаяся к SU (б)-симметрии.
II. Три триплета
Обозначим инфинитезимальные генераторы группы
U C) через А %. Они удовлетворяют следующим коммута-
коммутационным соотношениям:
[А1АЧ]=8%А«-(%А1 A)
где все индексы пробегают значения 1, 2 и 3. Соответ-
Соответствующие инфинитезимальные генераторы В% группы
SU C) выражаются в виде
i4 B)
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 199
и удовлетворяют следующим соотношениям:
[Я|,В?] = 6^-6?В& C)
и
Bl = 0. D)
Кроме того, из унитарности имеем
(О* = 41, (В^ = В1 E)
Теперь коротко резюмируем нужные нам результаты
Окубо и др. В SU (З)-схеме заряд Q, гиперзаряд Y
и третья компонента изоспина /з определяются следую-
следующим образом1):
Q=-B\, Fa)
Y = B\= —В\ — В\ [согласно D)], F6)
h=±(Bl-B[). Fв)
В U (З)-схеме соответствующие величины Q, Y и /3 опре-
определяются следующим образом:
Q=~A\ = Q-±x, Ga)
Y=-A\-A\=Y~x, G6)
7t=±{A\-A\) = It, Gв)
где
(8)
Видно, что при таких определениях соотношение Гелл-
Манна — Нишиджимы выполняется как в теории с груп-
группой U C), так и в теории с группой SU C), т. е. соот-
соответственно
е=/,+.*-г, (9)
Q = I3 + ±Y. A0)
Поскольку собственные значения генераторов А\, А\
и Л* целочисленны в любом представлении 2), отождест-
отождествление Q и Y с зарядом и гиперзарядом соответственно
х) Мы используем выбор знаков, сделанный в работе [18].
2) Этот результат получен в формуле G) статьи [11].
200 М. Хан, И. Намбу
всегда приведет в теории с группой U C) к целочислен-
целочисленным значениям заряда и гиперзаряда. В частности, в трех-
трехмерном представлении U (З)-триплет имеет собственные
значения
- ° и \ __ /1 0 0\
1 О I, Y= 0 10 1.A1)
2 / \ппп/
.0 О О,
Этот триплет соответствует триплету Сакаты; для краткости
мы назовем его /-триплетом.
Мы можем теперь обобщить приведенное построе-
построение U (З)-триплета следующим образом. Сравнивая F6)
и G6), мы видим, что для Y был сделан только один из воз-
возможных выборов. Если бы мы сопоставили Y с А\, то он
все равно имел бы целочисленные собственные значения,
однако соотношение A0) уже не выполнялось бы. Это
следует из равенства В\ — 0 в случае группы SU C), но
в случае группы U C) вообще А\ Ф 0, так что необходи-
необходима некоторая осторожность при определении соответ-
соответствующих величин в случае группы U C). Используя D),
мы можем записать определения F) в более общем виде
Q=—B\ = B\-\-B\, A2а)
I —?>3— —?>1 — ?>г, U60J
л \ л
Как и для соотношений G), заменяя В% в формулах A2)
соответствующими А§, мы получаем список всех возмож-
возможных кандидатов для соответствующих величин в случае
группы U C), которые теперь, однако, не эквивалентны
друг другу [они, конечно, становятся эквивалентными,
если перейти к группе SU C)]. Имеем
Q: -А\, А\ + А\, A3а)
Y: AI -А\-А\, A36)
\ ± . A3в)
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 201
Различные возможности выбора в A3) приводят
к двенадцати неэквивалентным способам, которыми мож-
можно выбрать системы трех величин Q, Y и 73 в U (З)-схеме.
При любом выборе собственные значения Q и Y будут
целочисленными, но, как легко показать, соотношение
Гелл-Манна — Нишиджимы будет выполняться не во
всех случаях. Оно выполняется только в трех случаях,
и тем самым мы естественно приходим к трем неэкви-
неэквивалентным триплетам и U (З)-схеме. Эти триплеты опре-
определяются следующими тремя способами выбора:
tj: Q = -A\, Y=-A{-A\, 7, = lD|-4i)f A4a)
to: Q=*A\ + A\, Y^A\, 7, = 1B41+4!), (l46)
Первый из них ij, для которого
Y=-A\-A\, A5)
7, =1 (А\ - А\) = 1 (Я1. - В\) = /з, A6)
соответствует упоминавшемуся выше /-триплету.
Структуру остальных триплетов tv и tv можно привести
к гораздо более ясной и симметричной форме, если исполь-
использовать подалгебры {/-спина и У-спина [14—16]. Как
и в случае соотношений (9) и A0) для групп SU C) и U C),
мы определяем U- и У-спин в группе U C) точно теми же
формулами, как в группе SU C), обозначая лишь все
величины буквами с тильдой. Тогда из определений для
группы SU C) [18] мы имеем
Yv=-Q=-A\-A\, A7)
U3=Y-±-Q = ±(Al-Al) = ±(Bl-Bl)^U3 A8)
для A46) и
Yv = $-Y=-Al-A\, A9)
± ±A[-.Al) = ±.{B[-B*) = V3 B0)
для A4в). Таким образом, они соответствуют {/-триплету
и F-триплету и, тем самым, обозначениям tIt tv и tv. По
202
М. Хан, И. Намбу
отношению к SU (З)-триплету (кваркам) относительные
«гиперзаряды» этих U (З)-триплетов (т. е. Y, Yv и Yv)
Фиг. 1. Однотриплетная
(кварковая) модель.
сдвинуты на величину 2/3. Поэтому они обладают совер-
совершенно другими трансформационными свойствами относи-
Ф и г. 2. Двухтриплетная
модель.
Фиг. 3. Трехтриппетная
модель.
тельно вейлевских отражений W\, W2 и W3 U7], которые
представляют собой отражения относительно осей /3 = 0,
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 203
U3 = 0 и V3 = 0 соответственно. В то время как SU C)-
триплет инвариантен относительно всех трех вейлевских
отражений, U (З)-триплеты неинвариантны. Они пре-
преобразуются по закону
W* ti -* tu tv — tv, B1a)
W2: tv-*tv, ti-^ty, B16)
W3: tv->ty, U-^+txj, B1b)
На фиг. 1 и в табл. 1 (а) приведены квантовые числа /3 и Y
для однотриплетной (кварковой) модели. Возможный
выбор в двухтриплетной модели [3] показан на фиг. 2
и в табл. 1 F). Соответствующие квантовые числа в трех-
триплетной модели приведены на фиг. 3 и в табл. 1 (в).
Таблица 1
Приписывание квантовых чисел в кварковой модели (а)
двухтриплетной модели (б) и трехтриплетной модели (в)
а.
кварки
Т3 1/2 -1/2 0
Y 1/3 1/3 -2/3
Q 2/3 -1/3 -1/3
б.
h
Y
Q
в.
Y
Q
1/2
1
1
1/2
1
1
к
-1/2
1
0
-1/2
1
0
0
0
0
0
0
0
1/2
-1
0
h
0
0
0
h
-1/2 0
-1 -2
-1 -1
Ы
-1 -1/2
0 -1
-1 -1
1
0
1
h (tv)
0
0
0
1/2
-1
0
204 М, Хан, И. Намбу
III. Двойная STJ C)-симметрия
Обозначим наши три триплета через ti (~tj), t% (= tv)
и tz (= tv). Вообще каждый триплет можно охарактеризо-
охарактеризовать средними значениями /3 и У величин /3 и Y трех его
членов. Это определяет положение центра триплета на
диаграмме /3— Y. Поскольку А\ = А\ = А\ — т/3 = т/3,
из A4) получаем для трех определений Г3 и Y
7 _n l 1
•«з—*Л ~2~^' 2
зт> зТ) зх
B2)
соответственно, где т = —1 для всех триплетов. Мы можем
определить новые величины /3, У и ^ = /3 -f 1/2У с помо-
помощью соотношений
, B3)
Ясно, что /3 и Y играют роль SU (З)-генераторов внутри
каждого триплета. Квантовое число «прелесть» С, опреде-
определенное в двухтриплетнои модели [3], в этих обозначениях
имеет вид
-*-C = e = /3 + -iF. B4)
Теперь интересно отметить, что, согласно B2) и фиг. 3,
центры трех триплетов образуют антитриплет, эквива-
эквивалентный триплету антикварков, расположенному сим-
симметрично относительно начала координат. Предположим,
что все девять членов трех триплетов tia, tZa, ?3а, а =• 1,
2, 3 объединяются в один мультиплет Т = {tia}, i = 1,
2, 3. Мы можем теперь вообразить две различные системы
SU (З)-преобразований, действующих на состояния Т.
Одна система — это группа S U C), действующая на
индекс а в каждом триплете, в то время как другая груп-
группа SU C) действует на индекс i, отвечающий смешиванию
соответствующих членов из разных триплетов. Тогда Т
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 205
является представлением C,3*) этой группы G=s SU C)' X
X SU C)" *). Квантовые числа, соответствующие SU C)'
и SU C)",_задаем как /; = 13, У = у, Г3 = /3 и У" =
= У, где /3 и У определены в B2). Получаем
B5)
Общее представление группы G можно охарак-
охарактеризовать четырьмя числами р', q', //', 3", так что
D (Р', q', p", q") - D (р', <?') X D (p", q"), где D(p,q)-
представление группы SU C). Однако в нашей схеме,
где нонет Т является фундаментальным полем, мы не
получаем все возможные представления группы G. Это
можно проиллюстрировать с помощью квантовых чисел
триальности [7—9] f = р' — q' mod C), t" = р" —
— q" mod C). Для нонета TV = 1, t" = —1. Тогда для
всех представлений, построенных из Т и Т*, выполняется
равенство t' = —t".
Рассмотрим теперь мезонные и барионные состояния
~ТТ* и ~ТТТ. Содержание этих 81- и 729-плетов отно-
относительно SU C)' X SU C)" определяется формулами
C,3*) х C*,3) = (8,1) +A,1) + A,8) + (8,8), '
C,3*) х C,3*) х C,3*) =A,1) +2 (8,1) +2 A,8)+ A,10*) +
+ A0,1) + 2 (8,10*) + 2 A0,8) +4 (8,8) +A0,10*). B6)
Имеется привлекательная возможность постулировать
на этом этапе, что уровни энергии классифицируются
согласно группе SU C)". Тогда массы будут зависеть от
операторов Казимира группы SU C)". Например, про-
простая линейная форма будет иметь вид
m = m0 + ш2С"г + пг3С, B7)
где С, С — собственные значения квадратичного и куби-
кубического операторов Казимира группы SU C)". В частно-
*) Такой нонет дает естественный базис для SU (Э)-симметрии,
однако мы не будем здесь ее рассматривать.
206 М. Хан, И. Намбу
сти, мы можем предположить, что основное массовое
расщепление происходит за счет С"г. Поскольку с увели-
увеличением размерности представления эта величина возра-
возрастает, низшими уровнями массы будут SU C)"-синглеты.
Это соображение отбирает в качестве низших мезонных
и барионных состояний представления (8,1), A,1) и соот-
соответственно (8,1), A,1), A0,1). В общем случае все низшие
состояния будут иметь триальность, равную нулю: f =
= t" = 0.
Что касается барионного числа, приписываемого три-
триплетам, то простейшая возможность состоит в том, чтобы
всем им приписать одинаковое барионное число, т. е.
В = V3. В этом случае сами триплеты были бы по суще-
существу стабильными, а девять их компонент вели бы себя
как октет плюс синглет «тяжелых барионов», как это
можно видеть на фиг. 3. Другую простую возможность
можно реализовать, положив В = V3 + Y". При этом
В = A, 0, 0) для триплетов (tu tz, t3). Мы ожидаем,
что массовое расщепление зависит от В или У"; отсюда
может происходить массовая формула Гелл-Манна —
Окубо.
Преимущество трехтрип летной модели состоит в том,
что легко реализовать SU (б)-симметрию с триплетами
в «-состояниях. Теперь расширенной группой симметрии
становится группа SU F)' X SU C)". Поскольку
SU C)"-синглет антисимметричен, из полного принципа
Паули следует, что барионные состояния должны состав-
составлять симметричный 56-плет группы SU F). Другие пред-
представления группы SU F), например 70-плет, будут полу-
получаться, если ввести либо орбитальные моменты, либо
«р-спин» дираковских спинорных триплетов.
Как и в двухтриплетной модели, упомянутой во вве-
введении, массовую формулу типа B7) можно вывести дина-
динамически. Вместо поля квантового числа «прелесть» мы вве-
введем теперь восемь калибровочных векторных полей,
преобразующихся по типу A,8), т. е. как октет по группе
SU C)" и как синглеты по группе SU C)'. Поскольку
их связь с отдельными триплетами пропорциональна %1
(генераторам группы SU C)"), энергия взаимодействия,
возникающая из обмена этими векторными полями, при-
приведет к первому и второму членам формулы B7). Если
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией 207
для этих мезонов также имеет место массовая формула
аналогичного типа, то можно ожидать, что их массы будут
больше, чем массы обычных мезонов. Неясно, однако,
можно ли легко примирить получающийся короткодей-
короткодействующий характер взаимодействия с постулированной
большой энергией взаимодействия.
Иерархию взаимодействий и их симметрии, возникаю-
возникающую в изложенной модели, мы можем охарактеризовать
следующим образом. Во-первых, сверхсилъные взаимо-
взаимодействия, отвечающие за образование барионов и мезонов.
Они обладают симметрией группы SU C)" и приводят
к большим массовым расщеплениям между различными
представлениями. Значения масс здесь того же порядка
или велики по сравнению с массой бариона, т. е. > 1 Гэв.
Низшие состояния, т. е. синглетные SU C)"-состояния,
расщеплены согласно группе SU C)', представляющей
собой ту группу SU C), которая наблюдается для извест-
известных барионов и мезонов при их сильных взаимодействиях.
Величина расщепления масс здесь < 1 Гэв.
Когда мы переходим к рассмотрению тяжелых несин-
глетных SU C)"-состояний, вполне может существовать
связь между этими двумя группами SU C), аналогичная
L-S-связи. Уровни должны классифицироваться по трем
системам операторов Казимира, образованных соответ-
соответственно из %[, XI и %i = k'i + k'i Расщепление, вызывае-
вызываемое этой связью, естественно, имеет промежуточную вели-
величину, а именно ~ 1 Гэв. Благодаря этой связи нарушают-
нарушаются законы сохранения по отдельности двух SU (З)-спинов:
Г3 и Y' с одной стороны и Г3 и У" — с другой. Только
суммы /3 = Г3 + /'з и Y = У + Y" будут сохраняться
при сильных взаимодействиях. Это в свою очередь будет
означать, что все тяжелые состояния вообще крайне
неустойчивы и распадаются за счет сильных взаимодейст-
взаимодействий в низшие состояния. (В двухтриплетной модели
мы рассматривали только слабые распады состояний
с С Ф 0; однако существует возможность и сильных
распадов, как ожидается здесь.)
Мы рассмотрели здесь возможную модель барионов
и мезонов, основанную на трех триплетах. Как можем
мы провести различие между этой моделью и уже упоми-
упоминавшимися другими моделями? Конечно, разные модели
208 М. Хан, И. Намбу
предсказывают весьма различную структуру тяжелых
состояний. Эти состояния характеризуются в кварковой
модели триальностью, в двухтриплетной модели — кван-
квантовым числом «прелесть», а в предлагаемой трехтриплет-
ной модели — представлением группы SU C)". Однако
если ограничиться низшими состояниями, то, по-види-
по-видимому, трудно провести различие между этими моделями,
не делая более детальных динамических предположений.
Один из авторов (М. X.) благодарит проф. Е. Сударша-
на и проф. А. Макферлейна за поддержку и полезные
обсуждения, а также проф. Л. О'Рэфертэ и Дж. Курияна
за стимулирующие замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1 в на-
настоящем издании).
2. Zweig G., CERN Preprints 401, 412 A964).
3. Nambu Y., в книге Proceedings of the Second Coral Gables
Conference on Symmetry Principles at High Energy (San Fran-
Francisco, 1965).
4. Bacry #., Nuyts J., Van Hove L., Phys. Letters, 9, 279 A964)
(дополнение 2 в настоящем издании).
5. Bjorken В. J., Glashow S. L., Phys. Letters, 11, 255 A964).
6. Salam А., в книге Труды 12 Международной конференции
по физике высоких энергий, Дубна, 1964 г. (М., 1966).
7. Baird G. E., Biedenharn L. С, в книге Proceedings of the First
Coral Gables Conference on Symmetry Principles at High Energy,
San Francisco, 1964.
8. Hagen C. R., Macfarlane A. J., Phys. Rev., 135, B432 A964).
9. Hagen C. R., Macfarlane A. J., Journ. Math. Phys., 5, 1335
A964).
10. Gersteinl. S., Whippmann M. L., Phys. Rev., 137, B1522 A965).
11. Okubo S., Ryan C, Marshak R. E., Nuovo Cimento, 34, 759
A964).
12. Gerstein I. S., Mahanthappa К. Т., Phys. Rev. Letters, 12, 570,
656 (E) A964).
13. Okubo S., Phys. Letters, 4, 14 A963).
14. Levinson С A., Lipkin H. J., Meshkov S., Nuovo Cimento, 23,
236 A961).
15. Levinson C. A., Lipkin H. J., Meshkov S., Phys. Letters, 1, 44
A962).
16. Levinson С A., Lipkin H. J., Meshkov S., Phys. Rev. Letters,
10, 361 A963).
17. Macfarlane A. J., Sudarshan E. C. G., Dullemond C, Nuovo
Cimento, 30, 845 A963).
18. Rosen S. P., Journ. Math. Phys., 5, 289 A964).
4. СПИНОВАЯ И УНИТАРНО-СПИНОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
В ПАРАКВАРКОВОИ МОДЕЛИ БАРИОНОВ И МЕЗОНОВ
О. Гринберг *)
В последнее время возник большой интерес к вигне-
ровской теории супермультиплетов [1, 2], перенесенной
независимо Гюрши, Пайсом и Радикати [3—5] и Сакитой
[6] из физики структуры ядра в физику структуры эле-
элементарных частиц. В ядерной теории супермультиплетов
полезной оказалась классификация определенных низ-
низших связанных состояний (ядер) по неприводимым пред-
представлениям группы SU D), qTo явилось результатом при-
приближенной независимости от спина и изоспина тех сил,
которые определяют энергии указанных состояний. Ана-
Аналогично этому, в теории супермультиплетов элементарных
частиц возможная независимость от спина и унитарного
спина сил, определяющих массы некоторых низших свя-
связанных состояний (частиц), возбуждает интерес к клас-
классификации этих состояний по неприводимым представле-
представлениям группы SU F). Полезность такой SU ^-классифи-
^-классификации выявляют три связанные с ней вывода: 1) Наиболее
хорошо известные барионы (в частности, барионный октет
со спином V2 и барионный декуплет со спином 3/2) груп-
группируются в один супермультиплет, содержащий 56 частиц;
мезонный псевдоскалярный октет 0", векторный октет 1~
и векторный синглет 1~ группируются в супермультиплет,
содержащий 35 частиц. 2) Для этих супермультиплетов
были выписаны довольно точные массовые формулы [3—8]
(частично на эвристической основе). 3) В приближении,
когда спиновая и унитарно-спиновая независимость сил,
приводящих к 56-плету, нарушается только электромаг-
электромагнитным взаимодействием, были рассчитаны с точностью
до одного общего множителя магнитные моменты всех
барионов 56-плета [9, 10]; этот расчет предсказывает отно-
отношение р = fin/fip = —2/3, которое согласуется с экспе-
экспериментальным значением в пределах 3%.
Аналогия с вигнеровской теорией супермультиплетов
приводит нас к тому, чтобы принять атомистическую
модель, в которой все барионы и мезоны являются состав-
составными объектами, построенными из базисных частиц.
») О. W. Greenberg, Phys. Rev. Letters, 13, 598 A964).
14—716
210 О. Гринберг
Мы принимаем, qTo базисные силы не зависят от унитар-
унитарного спина, хотя, вообще говоря, зависят от спина, и что
группой приближенной симметрии теории является груп-
группа о0' & SU C), где &•' — накрывающая группа группы
Пуанкаре. Однако для низших связанных состояний,
в частности когда все орбитальные моменты равны нулю,
все межорбитальныеи спин-орбитальные силы обращаются
в нуль, что приводит к добавочному вырождению и к воз-
возможности SU (б)-инвариантности этих особых состояний,
если не слишком велики спин-спиновые силы *). Нужные
нам супермультиплеты, т. е. 56-плет для б'арионов
и 35-плет для мезонов, содержат соответственно сим-
симметричное прямое произведение трех SU (б)-мультиплетов
и антисимметричное прямое произведение одного SU F)-
и одного SU F)*-мультиплета. Это показывает, что базис-
базисными частицами должны являться кварки [11, 12] 2).
Для мезонов мультиплет 35 можно получить из состоя-
состояния, содержащего один фермион и один антифермион
в s-состояниях; однако для барионов невозможно полу-
получить мультиплет 56 из трех фермионов, если все три
фермиона находятся в s-состояниях 3). Мы вернемся
к этой проблеме ниже, а пока предположим, что мы можем
построить мультиплеты 35 и 56 со всеми частицами
в s-состояниях.
Представление о том, что атомистическая модель лежит
в основе SU (б)-инвариантности, дает некоторые указа-
указания для вывода массовых формул. По аналогии с атомной
и ядерной физикой мы предполагаем, что члены, нарушаю-
щие точную SU (б)-симметрию тех состояний, которые
подчиняются этой симметрии, обусловлены либо одноча-
*) Мы не имеем теоретического обоснования использования
нерелятивистской классификации сил и состояний.
2) П. Фройнд и Б. Ли построили модели барионов, используя
фермиевские кварки (частное сообщение).
Интересно, что мы приходим к конкретному представлению
об атомной структуре, пройдя длинный окольный путь через спе-
специальные унитарные группы.
3) Это уже отмечал Сакита [6], который по этой причине пред-
предлагал использовать для барионов 20-мерное антисимметричное
представление. Однако в этом предложении содержатся два дефек-
дефекта: во-первых, в мультиплет 20 теперь не включается декуплет,
а во-вторых, SU (б)-инвариантная электромагнитная связь с муль-
типлетом 20 приводит к неверному значению р4 [9, 10].
4. Спиновая и унитарно-спиновая независимость 211
-
стичными, либо двухчастичными силами. Особенно простое
предположение состоит в том, что все нарушающие
SU (б)-симметрию члены происходят от члена с / —
— I = Y = 0 C5-мерного) присоединенного представле-
представления группы SU F). В этом случае одночастичная сила
дает следующий вклад в оператор массы:
Ю1A> = Si M0V0 (г,) f Si \Т\(i) + Т\ (О] F, (г,),
где Т\ — тензорный оператор, преобразующийся по при-
присоединенному представлению. Вклад двухчастичных сил
имеет вид
где к отмечает различные вклады, которые могут появ-
появляться от двухчастичного оператора в квадратных скоб-
скобках. Бег и Сингх [7, 8] обозначают эти вклады через
М®, M{%h М?05), М$№) и М\Щ. Отметим, что при
нашем предположении вклады в Ш1 > могут давать только
представления 1, 35 и 405, так как только они являются
симметричными вещественными представлениями, содер-
содержащимися в 35 (§) 35. Для представления 56 вклады
от МЩ и М\Ц) можно учесть в операторе 9XiA>. Вкладов
от МЩ^ и М{ЦЪ-) вместе с одночастичным оператором
уже достаточно для получения массовой формулы, пред-
предложенной для представления 56:
Вычисление магнитных моментов [9, 10], как уже
было отмечено указанными авторами, можно выполнить
с помощью предположения, что полные магнитные момен-
моменты барионов из мультиплета 56 образуются за счет вну-
внутренних магнитных моментов кварков х), и что магнитные
моменты кварков пропорциональны их дираковским
моментам Qh/2Mc, где Q — заряд кварка, М — масса
кварка. Если магнитные моменты свободных кварков
равны их дираковским моментам, то можно решить вопрос
о несовместимости предположений (I)—(IV), который
J) Это имеет место в том случае, когда все кварки находятся
в s-состояниях.
14*
212 О. Гринберг
обсуждали Бег, Ли и Пайс [9]. Нужно принять, что
не нуклоны, а кварки обладают минимальным электромаг-
электромагнитным взаимодействием, и что радиационные поправки
(в пустом пространстве) к магнитным моментам кварков
малы (как в случае электрона и мюона) или пропорцио-
пропорциональны их дираковским моментам. Однако если связан-
связанные в нуклонах кварки имеют дираковские моменты,
то М = тр/2,79 = 336 Мэв 1), так что мы должны искать
механизм (возможно, действующий только в сильно свя-
связанных состояниях), который увеличивает магнитные
моменты кварков пропорционально их дираковским
моментам.
Теперь мы вернемся к вопросу о том, как поместить
три кварка со спинами 1/2, находящихся в s-состояниях,
в барион из мультиплета 56. Это можно сделать, если
кварки являются парафермионами ранга р — 3. В этом
предложении состоит главная новая мысль данной статьи2).
Для парафермионов ранга 3 имеем анзатцы Грина для
операторов рождения и уничтожения
а=1 а=1
где я'а> и а(&>* антикоммутируют при одинаковых а:
[а1 ) Яц J+— Оьц, №h , Яц J+ —U,
и коммутируют, если а и |3 различны:
Здесь К — одночастичные квантовые числа, например
импульс, спин, Iz и Y. Пусть
3
a, B, V=l
-1) Кварки, обладающие такой массой, были бы уже найдены.
См. [13, 14] и библиографию в этих статьях.
2) Все утверждения, высказанные здесь относительно пара-
частиц, непосредственно следуют из результатов, содержащихся
в работе [15]. Слова «отсутствие парачастиц» в заглавии этой работы
относятся к известным сейчас частицам.
4. Спиновая и унитарно-спиновая независимость
213
Таблица 1
Сравнение правил сверхотбора для парафермионных
кварков ср=3
[at,
[af,
[at,
[at,
[[a^i,
[[at,
Состояние
)
etl+Фо
btj+Фо
atj-Фо
г^]_Ф0
at]+, atj+Фо
at]+, btj+Фо
Тип параста-
тистики
пара-Ферми
пара-Бозе
пара-Бозе
Бозе
Бозе
Ферми
Ферми
2/3,
4/3,
1, 0
4/3,
1, 0
2, 1
5/3,
Q
-1/3
1/3, -2/3
, -1
1/3, -2/3
_А
j —~ X
, 0, -1
2/3, -1/3, -4/3
в
1/3
2/3
0
2/3
0
1
1/3
а* — оператор рождения кварка, Ь* — оператор рождении антикварна.
Тогда состояние /яцУФ0 симметрично относительно всех
перестановок к, ц и v '). Это сложное состояние является
фермионом 2), поскольку F/^v. а<П+ = 0 и, следователь-
следовательно, Ifiw, flxv]+ = 0.
В табл. 1 сопоставляются данные, следующие из пра-
правил сверхотбора для паракварков и обусловленные их спе-
*) Перестановки этих индексов отвечают перестановкам частиц
в указанном состоянии для одномерных представлений группы пере-
перестановок, но не в общем случае [15].
2) Мы можем построить также мезон из мультиплета 35, исполь-
используя пару частица — античастица парафермионных кварков ран-
з
га 3 в s-состояниях. Пусть &j[M=[a?, a^]_=2 2 ala)ta{iB)t-
Тогда состояние Ь^ Фо антисимметрично относительно переста-
перестановки 1 и |i, а это сложное состояние является бозоном, так как
1*Лд> ал>]- = 0. и следовательно, [fej^, b^a]_ = 0. Это построе-
построение можно проделать при любом р, включая случай р = 1, отве-
отвечающий обычным фермионам. Поэтому мезоны, построенные
из парафермионов, ничем не отличаются от мезонов, построенных
из фермионов. По этой причине мы не будем больше рассматривать
мезоны в этой статье.
214 О. Гринберг
цифической природой, и данные, следующие из правил
сверхотбора для заряда и барионного числа.
Предположение, что кварки являются парафермиона-
ыи (а в теории поля — квантами парафермионных полей),
допускается правилами отбора, которые следуют из
локальности. Из этих полей можно построить соответ-
соответствующие 1) локальные взаимодействия (в смысле про-
пространственно-подобной коммутативности плотности
гамильтониана взаимодействия); например, взаимодей-
взаимодействие Юкавы
или взаимодействие Ферми
Hj = G{[(W, TJ_, [?, ?]_]+-<то жв>0>,
где Ч1" и <р — соответственно парафермион и парабозон
ранга 3. Предположение о паракварках не подчиняется
действию квантовомеханической теоремы [16], согласно
которой частицы с аномальными перестановочными свой-
свойствами не могут рождаться из начальных состояний
(%х), в которых было не более одной такой частицы,
поскольку в .этой теореме предполагается, что единствен-
единственными правилами сверхотбора являются те, которые сле-
следуют из сохранения заряда, барионного числа и лептон-
ного числа, тогда как в теории параполя существуют
добавочные правила сверхотбора 2). Был поднят вопрос
о совместимости теории параполя с интуитивным пони-
пониманием поведения квантовых систем, разделенных на под-
подсистемы 3). Этот вопрос заслуживает серьезного внима-
внимания, однако здесь мы его не рассматриваем.
*) Под словом «соответствующие» мы подразумеваем, что эти
взаимодействия приводят к связанным фёйнмановским диаграммам,
в которых в начальном и конечном состояниях имеются только
лужные нам состояния из 56-плета (или из 35-плета).
2) Мы ожидаем, что при обобщении этой теоремы [16] на случай,
включающий правила сверхотбора для параполей, абсолютное
правило отбора для рождения паракварков из 3х разрешит рож-
рождение из обычных состояний как симметричных, так и антисим-
антисимметричных паракварковых состояний, если только эти состояния
относятся к разным типам сверхотбора.
3) Ч. Я н г, частное сообщение.
о
g
ешанная)
00 н^ 00
о -
ч ч ч
11 11 11
со ее to
о
+
"to
ч
11
to
О
СО
"г?
ешанная)
о
Ч
11
СО
о
+
(8)
GO
¦*
ч
II
to
Сл
ог
00
,—
чистая)
ч
11
to
_СО
to
Сл
to
ts
+
00 00
Ч Ч
11 II
to to
со со
to to
OS
о
о
ч
II
to
со
to
g
ешанная)
00
Ч
11
to
со
to
СП
to
ее
¦a
to
1
+
'to
ll
to
CO
to
to
о
CO
о
4
11
V2
^to
IS
о
4
11
to
СЛ
to
у
ешанная)
00
ч
II
to
со
to
Сл
J-O
с*;
1
to
+
To
11
to
Сл
to
350
CO
'o4
ешанная)
cs
4
11
to
CO
to
СП
„to
to
to
sS
to
+
(8)
00
4
11
To
Сл
to
280
00
4
11
To
CO
to
о
4
11
To
CO
to
чистая)
00
4
II
CO
to
to
и tS
ti РЭ
1
fo
4
II
to
CO
to
to
о
g
пурион-
^
ч
II
to
CO
to
Сл
to
1
-iS
oo
4
II
Tc
cc
tsS
i
чистая)
©
4
II
to
%
О
+
iS
ОС
4
11
To
Ш
S «
витальная
фигурация
Г-
Четность
Диаграмма Юнга
са
5
s
о
о
со
«ч
Полная множест-
множественность
Полное число изо-
спиновых мульти-
плетов
S
а
В)
a
к!
о
К
¦в
1
216
Орбитальная
конфигурация
р3, s1p1dl,
(смешанная]
Р37 s^p^-d^-
(смешанная)
р3, s^pidi,
(смешанная)
р3, s1p41
(смешанная)
р3, s1p1dl
[смешанная)
О
L
3
2
1
1
0
л
этнос
-
—
-
-
_
2
има Ю
S
C)
B, 1)
C)
B, 1)
A= 1. 1)
. Гринберг
Продолжение табл. 2
Разложение по (SU C), J)
(8,
(Ю,
A,
(8,
(Ю,
(8,
(8,
(Ю,
A.
(8,
A0,
(8,
(8,
A.
/ = 5/2,
/ = 3/2,
/ = 3/2,
/ = 1/2,
/ = 3/2,
/=3/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2,
/ = 1/2)
/ = 3/2)
Всего
7/2)
5/2, 7/2, 9/2)
5/2)
3/2, 5/2, 7/2)
5/2)
5/2)
3/2)
3/2, 5/2)
3/2)
3/2, 5/2)
3/2)
3/2)
Р
м
392
350
168
210
20
2600
изо-
ьти-
1
число
jx мул
)дное
иновь
1СТОВ
24
34
20
30
5
291
После этих кратких соображений в защиту возможно-
возможности того, что кварки являются парафермионами, мы при-
приступим к классификации барионных состояний в модели
паракварков. Барионные волновые функции должны
быть симметричными относительно перестановок. В табл. 2
приведены состояния, для которых волновые функции
являются суммами произведений пространственных вол-
волновых функций и волновых функций спина и унитарного
спина. Все кварки находятся в низшем радиальном состоя-
состоянии при заданном I. Диаграммы Юнга одинаковы для
4. Спиновая и унитарно-спиновая независимость 217
пространственных волновых функций и для волновых
функций спина и унитарного спина. Приведенные числа
соответствуют количеству клеток в последовательных
рядах. Даже если классификация по представлениям
группы S U F) полезна только для низшего мультиплета 56
с конфигурацией s3, классификация по (SU C), J), пред-
представленная в пятом столбце, должна оказаться полезной
для высших состояний. Мы продолжили таблицу вплоть
до конфигурации р3, чтобы получить состояния с / =
= 9/2, так как в экспериментах имеются некоторые ука-
указания на такие состояния [17]. Однако мы откладываем
размещение известных барионов по мультиплетам. Тот
факт, что появляются только SU (З)-мультиплеты 1, 8
и 10, является общим для любой трехкварковои модели.
Эту таблицу можно построить, используя только простей-
простейшие^ сведения [18], известные физикам, изучающим атом-
атомные ядра. Полезная проверка *) построения таблицы
состоит в-том, что, если считать орбитальные s- ир-состоя-
ния эквивалентными, то эти четыре состояния преобра-
преобразуются по фундаментальному представлению «орбиталь-
«орбитальной» группы SU D). Если объединить ее с группой
SU F), то получим группу SU B4), в которой трехчастич-
ное симметричное представление имеет размерность 2600 2).
Если эта модель правильна, то должна существовать
возможность рождения реальных паракварков во взаимо-
взаимодействиях при высоких энергиях. Правила сверхотбора
для рождения паракварков из обычной материи те же
г) Мы благодарны П. Фройнду и Б. Ли за это замечание.
2) Поскольку в табл. 2 приведены состояния оболочечной
модели, то среди них присутствуют некоторые спурионные состоя-
состояния, возникающие вследствие некорректной трактовки движения
центра масс. Чисто спурионной является только конфигурация
s2px с диаграммой Юнга C). Для остальных конфигураций мы ука-
указываем возбужденные- состояния оболочечной модели, которые
должны быть смешаны для получения соответствующих начальных
состояний. (Использовались осцилляторные волновые функции.)
Мы предполагаем проделать более подробные расчеты с более кон-
конкретными предположениями о силах и попытаться установить, где
должны располагаться различные SU (З)-мультиплеты. Возможно
следует рассмотреть другие состояния, например второе радиаль-
радиальное s-состояяпе. При выполнении таких расчетов может оказаться
полезной эмпирическая информация. Обсуждение спурионных
состояний см. в работах [19, 20].
218 О. Гринберг
самые, что и для фермионных кварков (см. табл. 1); напри-
например, Ъ + т -*¦ 3q, но не 2q или q, где Ъ, т, q — барион,
мезон, кварк. Однако пороговое поведение реакции
Ъ + т -*¦ Sq в случае паракварков зависит от волновых
функций s-состояний и будет отличаться от порогового
поведения в случае фермионных кварков.
В кулоновском рассеянии на обычной материи сечение
в случае паракварков совпадает в низшем порядке с сече-
сечением для обычных частиц с таким же зарядом. Поэтому
обнаружить парачастицы должно быть так же легко,
как обычные частицы.
ЛИТЕР АТУРА
1. Wigner E. P., Phys. Rev., 51, 106 A937).
2. Wigner Е. P., Feenberg E., Rept. Progr. Phys., 8, 274 A941).
3. Gursey F., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13, 173 A964).
4. Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 175 A964).
5. Gursey F., Pais A., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13, 299
A964).
6. Sakita В., Phys. Rev., 136, B1756 A964).
7. Кио Т. K., Yao Т., Phys. Rev. Letters, 13, 415 A964).
8. Beg M. А. В., Singh V., Phys. Rev. Letters, 13, 418 A964).
9. Beg M. А. В., Lee B. W., Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 514
A964).
10. Sakita В., Phys. Rev. Letters, 13, 643 A964).
11. Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1 в на-
настоящем издании).
12. Zweig G., CERN Preprints 401, 412 A964).
13. Blum W. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 353a A964).
14. Hagopian V. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 280 A964).
15. GreenbergO. W., Messiah A. M. L., Phys. Rev., 138, B1155 A965).
16. Messiah A. M. L., Greenberg 0. W., Phys. Rev., 136, B248 A964).
17. Rosenfeld A. H. et al.. Rev. Mod. Phys., 37, 633 A965).
18. De-Shalit A., Talmi I., Nuclear Shell Theory, New York, 1963.
19. Elliott J. P., Skyrme T. H. R., Proc. Roy. Soc. (London), A232,
561 A955).
20. Baranger E., Lee С W., Nucl. Phys., 22, 157 A961).
5. ВОЗМОЖНО ЛИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКИ
«ЭЛЕМЕНТАРНЫХ» ЧАСТИЦ?
Г. Морпурго !)
Отмечается, что в противоположность обычным взглядам
внутренняя динамика в составной модели «элементарной» частицы
не обязательно должна быть релятивистской. Если сила, которая
связывает составляющие объекты, имеет конечный радиус действия
и не слишком сингулярна, то релятивистский характер внутреннего
движения зависит только от радиуса действия такой силы и от мас-
массы составляющих частиц и не зависит от глубины потенциальной
ямы. Например, в кварк-антикварковой модели октета бозонов
при массе кварка, равной 5 Гае, и радиусе связывающей силы
(Бшц)-1 имеем (р/МJ = 1/40, т. е. нерелятивистскую ситуацию,
совершенно аналогичную ситуации в ядерной физике.
Отмечается, что отсюда можно понять некоторые черты дина-
динамики SU C)- и SU (б)-симметрий, если записать нерелятивистский
гамильтониан для кварков аналогично тому, как это делается
при записи гамильтониана для ядра. Точнее: 1) можно понять,
почему массовая формула Гелл-Манна — Окубо для барионов
в рамках SU (З)-симметрии выполняется гораздо лучше, чем можно
ожидать из ее вывода по теории возмущений; 2) можно получить
отношение магнитных моментов протона и нейтрона, равное —3/2,
которое следует ш SU (б)-симметрии, с помощью очень простого
расчета, который в то же время показывает, насколько своеобразна
ситуация с вычислением абсолютных значений магнитных момен-
моментов: некоторые интересные аспекты этой ситуации, хотя и подразу-
подразумеваются при обычном выводе, маскируются там алгебраическими
вычислениями; 3) точка зрения, принятая в этой статье, приводит
к выводу, что SU (б)-симметрия, по-видимому, должна иметь
место только при нерелятивистских энергиях взаимодействующих
частиц.
I. Введение
Цель настоящей работы, которую мы надеемся в буду-
будущем продолжить, состоит в том, чтобы привлечь внима-
внимание к обстоятельству, которое рассматривалось как почти
очевидное со времени работы Ферми и Янга [1], но кото-
которое, по нашему мнению, вовсе не очевидно.
Вопрос состоит в следующем. Если принять составную
модель элементарных частиц, то будет ли движение
!) G. М о г р u r g о, Physics, 2, 95 A965). (Статья, представ-
представленная на собрании Национального института ядерной физики,
посвященном физике высоких энергий, Фраскати, 12 апреля 1965 г.)
220 Г. Морпурго
составляющих частиц релятивистским или нерелятиви-
нерелятивистским, как, например, в позитронии или в ядре? Почти
всегда считалось очевидным или подразумевалось, что
это движение будет релятивистским и даже ультрареля-
ультрарелятивистским. При этом основывались, по-видимому, на
двух обстоятельствах. Первое заключается в том, что
Ферми и Янг при построении пиона в виде Л^-системы
использовали потенциальную яму, радиус которой пред-
предполагался равным комптоновской длине волны нуклона
M^q. Если поступать таким образом, то движение NN-cn-
стемы с необходимостью является релятивистским просто
вследствие принципа неопределенности; в самом деле,
неопределенность импульса должна быть порядка MN,
так что по порядку величины (Ap/MNJ ~ 1, т. е. движе-
движение полностью релятивистское. Второе обстоятельство
заключается в том, что для сил с большим радиусом дей-
действия среднее значение кинетической энергии имеет
тот же порядок величины, что и среднее значение потен-
потенциальной энергии (теорема вириала); поскольку потен-
потенциальная энергия должна быть порядка энергии покоя
связанных частиц, кинетическая энергия имеет тот же
порядок величины и задача явно носит полностью реля-
релятивистский характер.
Теперь предположим на время, что радиус действия
силы притяжения между нуклонами и антинуклонами,
приводящей к образованию пиона, равен не Mj},
а Bтя)~1, что соответствует двум массам пиона. Тем самым
мы предполагаем, что существует сильный потенциал
притяжения с радиусом действия Bтп)~1. Следует под-
подчеркнуть, что это предположение сделано здесь только
для иллюстрации того, что мы имеем в виду. Оно может
в этом случае не соответствовать экспериментальным
данным по нуклон-антинуклонному рассеянию и анниги-
аннигиляции. В этом случае неопределенность импульса Ар «
« 2тл, а средняя кинетическая энергия порядка BтлJ/М.
Отношение кинетической энергии к энергии покоя нукло-
нуклона равно BтпJ/М% ~ 1/12, т. е. мы имеем умеренно
нерелятивистскую ситуацию.
Другими словами, может существовать ситуация,
в которой потенциальная яма, связывающая нуклон
S. Возможно ли нерелятивистское приближение? 221
и антинуклон, настолько глубока, что компенсирует
массы связанных частиц; кроме того, ее радиус действия
намного больше комптоновской длины волны составляю-
составляющих частиц. Для основного состояния наличие релятиви-
релятивистского или нерелятивистского характера ситуации
не зависит от глубины потенциальной ямы, а зависит
только от радиуса действия потенциала и массы состав-
составляющих частиц.
До сих пор мы рассматривали модель Ферми — Янга
для пиона, но в действительности эти представления
возникли при обдумывании кварковой структуры частиц
12—4]. Представим себе пион в виде связанной пары
кварк — антикварк и предположим, что кварки пред-
представляют собой реальные частицы (а не только математи-
математические понятия) и масса их довольно велика, скажем
М = 5 Гэв. Точного значения мы, конечно, не знаем. Взаи-
Взаимодействие между кварками может передаваться кварк-
антикварковыми объединениями; чтобы получалось при-
притяжение, взаимодействие может передаваться, например,
частицей из векторного октета. Радиус действия, следова-
следовательно, равен ~ (Бшп)'1, а кинетическая энергия Т
объединения кварк — антикварк равна EтпJ/М. При
М = 5 Гэв отношение TIM ~ 1/40. Таким образом, мы
имеем явно нерелятивистскую ситуацию, совершенно
аналогичную ситуации в ядерной физике.
Если это так, то некоторое число непонятных пока
фактов можно объяснить, по крайней мере качественно.
Рассмотрим сначала «простую» теорию SU (З)-симмет-
рии [5—7], а затем обсудим SU (б)-симметрию.
Первый пункт, который становится ясным, состоит
в тол, что если частицы составлены из кварков, то описа-
описание с фиксированным числом кварков и антикварков,
содержащихся в данной частице, является очень хоро-
хорошим описанием в том же смысле, в каком очень хорошим
описанием является описание ядра волновой функцией
с фиксированным числом нуклонов. Справедливо, что
в ядре может находиться нуклон-антинуклонная пара,
кроме содержащихся там нуклонов, но практически
хорошее описание ядра получается при пренебрежении
такими виртуальными парами, а также при пренебреже-
пренебрежении виртуальными пионами. Можно было бы возразить,
222 Г. Мврпурго
что в данном случае ситуация не столь ясна, так как даже
если верно, что внутри частицы кварки движутся нереля-
нерелятивистски, они находятся в очень глубокой потенциальной
яме, настолько глубокой, что их энергия покоя практи-
практически компенсируется, тогда как для ядер это, конечно,
не так. Однако это различие не изменяет сделанный
выше вывод.
В самом деле, рассмотрим очень простую модель
связи кварков, предназначенную специально для иллю-
иллюстрации этого пункта. Допустим, что кварки связаны
посредством нейтрального векторного мезонного поля,
масса которого выбрана так, чтобы дать требуемый боль-
большой радиус действия (скажем Ътп, как указано выше),
а константа связи с которым g также выбрана так, чтобы
обеспечить требуемую глубину потенциальной ямы, свя-
связывающей кварки.
Тогда, как хорошо известно [8], взаимодействие
нашей системы кварков плюс мезонное поле можно пре-
преобразовать во всех порядках по g так, чтобы получить
мгновенное взаимодействие Юкавы плюс другие члены.
Используемый способ при этом полностью аналогичен
тому, с помощью которого получают кулоновское взаимо-
взаимодействие в электродинамике. Другими словами,
=^ j /„(*)
-f- члены, пропорциональные 3(х).
Здесь /0 (х) и J (х) — временная и пространственная
компоненты кваркового тока
3 _
Теперь высказанное выше заключение о том, что,
используя только фиксированное число кварков, мы полу-
получаем хорошее приближение, следует из того, что матрич-
матричные элементы типа (q \ H' \ q, q, q) имеют порядок
величины р/М, где р — импульс начального или одного
из конечных кварков. Если р — импульс начальных
кварков, то эта величина мала, как было сказано выше;
если же р — импульс одного из конечных кварков, то она
3. Возможно ли нерелятивистское приближение? 223
может быть большой, но тогда переход сдвинут с энерге-
тической поверхности на величину М и, следовательно,
невероятен х).
II. Обсуждение формулы Гелл-Манна — Окубо
Второй пункт, в котором, по-видимому, можно достичь
лучшего понимания, если считать движение кварков нере-
нерелятивистским, состоит в следующем. Почему массовая
формула Гелл-Манна — Окубо [5, 6, 9] оказывается
применимой далеко за пределами первого порядка тео-
теории возмущений?
Рассмотрим барионный декуплет или октет и запишем
гамильтониан трехкварковой системы, состоящий из уни-
унитарно-инвариантной части Нй плюс некоторый добавок
#i, который, как обычно, предполагается преобразую-
преобразующимся подобно компоненте Т\ унитарного тензора. Выбе-
Выберем, например, Но в виде
Я0=2М + МЧ711 + 712 + 71з + ^A2) + 7A3)-+7B3), A)
где 1М + М' — энергия покоя кварков (два из них имеют
одинаковую массу М, а масса третьего М', как подробнее
рассмотрено ниже, отличается от М), Тt — кинетические
энергии кварков одинаковой массы 2), V (ik) — потен-
потенциальные энергии; записанные в предположении двух-
х) Следует отметить, однако, что виртуальная од-система может
образоваться в сильно связанном состоянии. В этом случае ее масса
не будет порядка М (массы кварка), а будет порядка нескольких
пионных. масс. Поэтому высказанное соображение не следует при-
принимать за указание на то, что, например, виртуальный процесс
типа л -*¦ л -\- р мал или не важен. Другими словами, если имеется
gg-система, представляющая собой пион, то она определенно может
проводить часть времени в сопровождении р-мезона; или если
имеется <да-система, скажем нуклон, то она определенно может
часть времени сопровождаться зд'-системой, представляющей собой
пион. Однако в том же смысле, в каком возможно достаточно точное
описание ядер без учета обменных токов, т. е. только исходя из коор-
координат нуклонов, может оказаться возможным описание нуклонов,
в котором используются только координаты кварков.
224 Г. Морпурго
частичных сил. Это предположение, однако, не сущест-
существенно. Все, что мы должны допустить для гамильтониана
Яо и потенциальной энергии в A), состоит в предположе-
предположении, что они являются симметричными функциями коор-
координат и спинов кварков, не зависящими от операторов
унитарного спина, или содержащих их только через
казимировские инварианты. G другой стороны, часть Я4
гамильтониана будет симметричной по пространствен-
пространственным, спиновым и унитарно-спиновым координатам. Она
будет линейно зависеть от А48> 1). Мы можем написать
где Щ1") — вклад члена кинетической энергии и массы
покоя в ту часть гамильтониана, которая преобразуется
как KiS), а Яр> — вклад потенциальной энергии. Напри-
Например, если действуют только двухчастичные силы, то мы
можем записать Щи~> в виде
ЯГ> = 17A2) (М8) + №) •+ U A3) (Х[8) + 48)) +
+ С/B3)D8) + ЯC8)), B)
тогда как Н[Т), как обычно, имеет вид
где М — общее значение массы кварков типа 1 и 2 (р, п),
а М' — масса кварков типа 3 (Л).
Заметим, что главный вклад в расщепление масс как
в барионном декуплете, так и в барионном октете может
давать первый член в #{г>, который описывает разность
масс третьего кварка и двух остальных. Цвейг [4] уже
отмечал, что эта разность масс может отвечать за большую
часть расщепления. Величина М — М' определяется раз-
разностью масс (М B) + М (Л)/2) — М (п) = 1154 — 938 да
да 216 Мэв, или, что эквивалентно, разностью М (Н) —
— (МB) + М (Л)/2) ж 175 Мэв. Таким образом, мы можем
принять разность М — М' в первом члене определения C)
приближенно равной 200 Мэв. К этому большому возму-
/ Л
х) В этой статье матрица Х<8' выбирается в виде A ) ¦
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 225
щению, которое, однако, коммутирует с остальной частью
гамильтониана и, следовательно, может рассматривать-
рассматриваться точно, следует добавить малое возмущение, которое,
например, отвечает за разность масс Л и 2. Разность
(М B) — М (Л)/2) приближенно равна 40 Мэв; таков
порядок величины этого второго возмущения. Поэтому
нет ничего странного в том, что расчет в первом порядке
с этим возмущением приводит к точным результатам.
Теперь можно было бы попытаться отождествить это
второе возмущение со вторым членом в Щ7. В самом
деле, если бы это было так, то можно было бы понять,
почему это второе возмущение также линейно по
Однако второй (кинетический) член в C) оказывается
слишком малым. Фактически его порядок величины
равен (М — М') (р2/Мг) и в случае нерелятивистского
движения кварков не может намного превышать 5 или
10 Мэв. Следовательно, это возмущение «40 Мэвь может
быть обнаружено, по-видимому, в потенциальной энер-
энергии, хотя возникает вопрос, почему это возмущение про-
просто линейно по Я|8> х).
х) Это реальный вопрос, отличный от вопроса о том, почему
при выборе возмущения в виде, линейном по k\s), эффекты второго
порядка пренебрежимо малы. Мы можем оценить реальность этого
вопроса, если рассмотрим кратко проблему кулоновских поправок
к зарядовой независимости в обычной ядерной физике. Эти поправ-
поправки получаются из членов вида
ь2?
Здесь два первых слагаемых аналогичны в нашем случае членам
в Н[ТК В частности, второе слагаемое обычно пренебрежимо мало
по причинам, упомянутым выше.. Третье слагаемое (возникающее
из-за кулоновского отталкивания между протонами), как можно
видеть, содержит члены, линейные по т<3>, и члены, билинейные
по т*3> с тем же коэффициентом. Почему в нашем случае нет квадра-
квадратичных членов типа Xj8) X М8) в возмущении «40 Мэв» или почему,
если они есть, их вклад в энергию связи практически равен нулю —
это вопрос, который мы поставили, но который должны оставить
без отв й
15—716
226 /*• Морпурго
Во всяком случае, считая, что возмущение «40 Мэв»
обусловлено потенциальной энергией, линейной по Я/8',
как в выражении B), мы можем просто вычислить воздей-
воздействие этого возмущения на массы барионов. Способ
вычисления полностью аналогичен тому, который исполь-
используется при расчете энергий связи ядер. Например, мате-
математическое ожидание /Г[и> в состояниях декуплета
можно немедленно вычислить следующим образом. Обо-
Обозначим 10 волновых функций состояний декуплета через
%i (г = 1, 2, . . ., 10). Все %t симметричны по перемен-
переменным унитарного спина, и поэтому их можно записать
в виде произведения полностью антисимметричной про-
пространственной и спиновой части на симметричные функ-
функции унитарного спина, которые мы обозначим Wt
(i = 1, 2, . . . 10). Таким образом,
где антисимметричная функция / A23) одна и та же для
всех значений г. Имеем, следовательно,
Wt | U ( ( )
^8) ^8) D)
Поскольку волновые функции %; имеют вид произведений,
каждое из слагаемых в D) разделяется на матричный
элемент по пространственным и спиновым переменным
и матричный элемент по унитарному спину. Вследствие
антисимметричности функции / A23) имеем
</ A23) | U A2) | / A23)) = (/A23) | U A3) | / A23)) =
— </ A23) 117 B3) | / A23» = -|-.
Таким образом, как и ожидалось,
где Yt — гиперзаряд ?-й частицы из декуплета. Следо-
Следовательно, мы можем написать массовую формулу для
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 227
декуплета в виде
где, повторяем, главный член, пропорциональный
(М — М'), вычислен точно, и только последний член,
соответствующий возмущению «40 Мэв», должен рассмат-
рассматриваться как вычисленный по теории возмущений (или
вариационным методом). Аналогичный расчет Н^ мож-
можно, конечно, выполнить для барионного октета, хотя
в этом случае вычисления сложнее, так как теперь про-
пространственная и спиновая часть волновой функции не анти-
антисимметрична, а преобразуется по двумерному представле-
представлению группы перестановок трех объектов.
Что касается мезонных октетов, то их рассмотрение
полностью аналогично. Представляя себе мезоны как
объединения кварка и антикварка, мы должны, конечно,
предположить, что между кварком и антикварком дей-
действует большая унитарно-симметричная сила притяже-
притяжения, на которую опять в первую очередь влияет возму-
возмущение, обусловленное разностью масс кварков, а затем
другое возмущение, линейное по к^. Здесь следует сде-
сделать два замечания.
1. Может показаться странным, что силы притяжения
действуют как между-кварками, так и между кварком
и антикварком. Если бы, например, силы были обусловле-
обусловлены только нейтральным векторным мезоном, как рас-
рассматривалось выше, они были бы силами притяжения при
взаимодействии кварка с антикварком, но при взаимодей-
взаимодействии кварка с кварком они были бы силами отталкива-
отталкивания. Отметим, однако, что величина силы, действующей
между кварками, отличается от величины силы, действую-
действующей между кварком и антикварком. Если считать массу
кварка равной, например, 5 Гэв, то энергия связи кварка
и антикварка равна по порядку величины ~9,5 Гэв, тогда
как энергия связи между двумя кварками равна по поряд-
порядку величины A5 — 1)/3 « 4,7 Гэв. Следовательно, грубо
говоря, кварк с антикварком связаны вдвое сильнее,
чем кварк с кварком. Между прочим, это могло бы объяс-
объяснить отсутствие частиц, построенных из двух кварков:
их масса была бы порядка массы кварка. Остается, конеч-
15*
228 Г. Морпурго
но, вопрос об отсутствии частиц, построенных из 4 или
5 кварков.
2. В схеме, подобной представленной здесь, трудно
понять тот факт, что масса мезонов описывается квадра-
квадратичной формулой. Однако это не является типичным для
нерелятивистского приближения, подобного изложенному
выше. Предложенные до сих пор объяснения того факта,
что массовая формула для мезонов должна быть квадра-
квадратичной, на самом деле неубедительны *).
III. Замечания по поводу S V F) -симметрии
В случае нерелятивистской внутренней структуры
частиц не возникает никаких особых трудностей в задаче
формулирования SU (б)-инвариантности. Достаточно
предположить, что в первом приближении кварковый
гамильтониан не зависит от спина. Хорошо известно,
что это требование легко можно ввести для нерелятивист-
нерелятивистской системы. Если мы посмотрим на SU (б)-симметрию
с этой точки зрения, то становится ясно, что она является
приближенной симметрией [11—13]; она, возможно, нару-
нарушается нерелятивистскими эффектами и, несомненно, .
нарушается релятивистскими эффектами. Точно так
же в ядерной физике SU D)-симметрия вигнеровских
супермультиплетов является приближенной симметрией,
которая нарушается тензорными, спин-орбитальными
и спин-спиновыми эффектами. Остается только задача
отыскания членов тензорного, спин-орбитального и спин-
спинового типа, которые нарушают SU (б)-симметрию.
Если воздействие таких нарушающих SU (б)-симметрию
членов на волновую функцию протона или нейтрона
не слишком велико, то SU (б)-симметрия должна иметь
Окубо и Риан [10] основывают свое объяснение на том, что
М2 PP Р Р™ + Р{*>
) у [] ,
если написать М2 = P^Pv- и разложить Р^ на Р™ + Р{*>, то чле-
члены первого порядка в Pj*> оказываются квадратичными по массе.
Это соображение представляется нам непоследовательным, так
как с таким же успехом его можно было бы использовать для того,
чтобы показать, что массовые формулы должны быть порядка 2л
по массе. Нужно просто написать MZn = (PllPll)n и повторить
все расчеты Окубо и Риана. С другой стороны, объяснение, предла-
предлагаемое в работе [3], основано на принятии приближения нулевого
порядка, в котором все бозоны имеют массу, равную нулю.
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 229
успех; в противном случае она бесполезна. Какой случай
реализуется в природе, пока не совсем ясно.
Чтобы рассмотреть конкретный пример, мы вычислим
[14] отношение магнитных моментов протона и нейтрона
с помощью SU (б)-симметрии, используя представле-
представление 56. Этот расчет становится тождественным расчету
отношения магнитных моментов Не3 и Н3, если
1) пространственная часть волновой функции этих
выбранных ядер «Не3» и «Н3», построенных из кварков,
антисимметрична и имеет нулевой орбитальный момент *¦);
2) кварки имеют боровские магнитные моменты, про-
пропорциональные их зарядам, т. е. пропорциональные
2/3 {ё%12Мс) для р-кварка и —1/3 {е%12Мс) для га-кварка.
Вычисление выполняется непосредственно. Обозна-
Обозначим три кварка через р, п и Л (конечно, Л не участвует
в этом расчете) и отметим, что унитарно-спиновые части
волновых функций протона и нейтрона соответственно
имеют вид
—Рзп2),
Обозначив через / A23) пространственную и спиновую
часть волновой функции, мы теперь предположим, что
пространственная часть волновой функции X (rt, r2, г3)
инвариантна относительно вращений (L = 0), зависит
только от относительных координат и антисимметрична;
т. е. мы предположим, что функция / A23) имеет вид
/A23)=Х(г1; г2,
*) В противоположность тому, что может показаться с первого
взгляда, ничто не препятствует построению волновой функции
X (fi, г2, гз), полностью антисимметричной относительно г1; г2, г3,
зависящей только от относительных координат и инвариантной
относительно вращений (т. е. с нулевым орбитальным моментом).
Если написать г = Vi — г2 и р = г3 — (г4 + г2)/2, то в качестве
примера могут служить выражения X (г4, гг, г3) = А (r-р) | г |
или А (r-р) | г I4, где А означает антисимметризацию по индек-
индексам 1, 2, 3. Отметим, однако, что, например, А (гХр) или
А (г X р) | г |2 обращаются тождественно в нуль. Я очень бла-
благодарен д-ру С. Беччи за замечание по этому поводу, которое
помогло избежать ошибки.
230
Г. Морпурго
где X (rit r2, г3) антисимметрична, а спиновая часть
определяется требованием, чтобы она соответствовала
спину 1/2. Только в этом пункте используется SU F)-сим-
метрия. В самом деле, если считать, что частицы октета
и декуплета принадлежат одному и тому же представле-
представлению 56 группы SU F), то пространственная часть волно-
волновой функции всех частиц из декуплета и октета должна
быть одной и той же. Но вследствие принципа Паули про-
странствепная часть волновой функции декуплета, как
мы уже говорили, должна быть антисимметричной,
и то же самое должно иметь место для пространственной
части волновой функции октета. Однако следует заметить,
что предположение об антисимметричности X (гь г2, г3)
фактически слабее, чем предположение о справедливости
SU (б)-симметрии. Форма X (rlt г2, г3) для частиц октета
вполне может отличаться от формы X (гь г2, г3) для
частиц декуплета (тогда как SU (б)-симметрия требует,
конечно, чтобы в том и другом случае X (гь г2, г3) была
одна и та же), и тем не менее результаты для отношения
магнитных моментов останутся верными, если функция
X (rj, г2, г3) антисимметрична.
Запишем далее полные волновые функции протона
и нейтрона
— p3n2),
1, r2,
„га" = ./VAX (гь r2,
где N — нормировочный множитель,
антисимметризации. Поскольку X (гь
а А — оператор
г2, г3) уже анти-
антисимметрична, спиновая и унитарно-спиновая часть вол-
волновой функции должна быть симметричной. Считая X
нормированной, получаем
„р" = X (ги г2, г3) —-=-
и аналогичную волновую функцию для „га", где все р
надо просто заменить на п, а все п заменить на р.
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 231
Математическое ожидание оператора спинового маг-
магнитного момента (орбитальной части нет, так как L = 0)
(где а}) и ап — спины протонного и нейтронного кварков)
равно
5 , „ / 1 \ eh _ eh
2Мс ~ 2Мс '
eh 2 eh
2Мс 3 2Мс "
Можно видеть, что получается знаменитое отношение [14]
(^)„р"/<Ц)„п" = —3/21).
Здесь уместно сделать несколько замечаний о пробле-
проблеме согласования SU F)- и лоренц-инвариантности. Этой
проблеме в последнее время уделялось большое внима-
внимание 2); она косвенным образом стимулировала и появле-
появление настоящей статьи. Сразу можно сказать, что, несмот-
несмотря на огромную работу, удовлетворительного решения
этой проблемы не получено. В самом деле, не доказано,
что можно построить группу Ли G, включающую в каче-
качестве подгрупп и группу Лоренца, и группу SU F), без
х) В то время как отношение |лр/цп получено корректно, абсо-
абсолютные значения магнитных моментов приводят к загадке. Для
получения правильных абсолютных значений нужно предполо-
предположить, что е/М (М — масса кварка) равно 2,79е/Мр, где Мр —
масса протона. Другими словами, g-фактор р-кварка должен быть
равен D/3) 2,19М/Мр, что совершенно не понятно. Отметим также,
что все значения заряда р- и га-кварков, находящиеся в отношении
2 : —1, приводят к тому же результату —3/2 для отношения маг-
магнитных моментов. Иначе говоря, для получения этого конкретного
результата не требуется, чтобы заряды были дробными. Это заме-
замечание может оказаться интересным, если предполагать существо-
существование двух различных триплетов с целочисленными зарядами
(ср. [15]). Отметим, наконец, третий, более традиционный, но тем
не менее важный и уместный вопрос: можно ли на самом деле пре-
пренебречь обменными токами (ср. примечание на стр. 223) при расчете
магнитных моментов?
2) В статье [16] содержится обширная библиография по этому
вопросу; ср. также [17].
232 Г. Морпурго
введения по меньшей мере 32 генераторов, физический
смысл которых неизвестен. Говоря иными словами, не ока-
оказалось возможным, а в некотором смысле было доказано,
что невозможно [18—20] построить релятивистски-инва-
релятивистски-инвариантный лагранжиан для системы взаимодействующих
частиц (содержащий только величины, имеющие физиче-
физический смысл), который был бы также инвариантен относи-
относительно преобразований из группы SU F).
Могут спросить, какое отношение имеет это заключе-
заключение к точке зрения, развиваемой в настоящей статье?
Ответ простой: никакого отношения. Мы не требуем'
и не считаем, что кварковый лагранжиан точно инвариан-
инвариантен относительно некоторой группы G указанного выше
типа. Мы требуем просто, чтобы взаимодействия были
такими, что эта SU (б)-инвариантность, возможно, выпол-
выполнялась в нерелятивистском пределе.
Конечно, в конце концов мы должны иметь возможность
построить релятивистский лагранжиан взаимодействую-
взаимодействующих кварков, поскольку взаимодействия частиц, состав-
составленных из кварков, происходят также и при релятивист-
релятивистских скоростях. Повторяем, однако, что от этого лагран-
лагранжиана мы должны только потребовать возможной инва-
инвариантности относительно группы SU F) в нерелятивист-
нерелятивистском пределе, а не требовать, чтобы он был точно SU F)-
инвариантным.
Если это так, то можно высказать гипотезу, что SU F)-
симметрия, возможно, является хорошей симметрией для
нерелятивистских явлений, но не является такой, когда
частицы и, следовательно, содержащиеся в них кварки,
сталкиваются при релятивистских скоростях1).
х) Если это так, то можно выбрать какие-то две реакции,
позволяющие проверить SU (б)-симметрию (мы еще не обдумали
до конца, какие реакции являются наиболее подходящими), и ис-
исследовать их поведение с увеличением энергии. Если считать, что
при низких энергиях (низких относительно масс участвующих
частиц, а не относительно массы кварков) предсказания S U F)-сим-
метрии выполняются, то с ростом энергии отклонения должны ста-
становиться все больше.и больше. Однако следует заметить, что при
низких энергиях возникает проблема различных значений Q или
масс, поэтому может оказаться трудным найти область энергий,
где выполняются предсказания SU (б)-симметрии.
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 233
Чтобы провести аналогию, рассмотрим атом позитро-
позитрония. Энергетические уровни позитрония с хорошей точ-
точностью определяются формулой Бальмера. С хоро-
хорошим приближением спин-орбитальным и спин-спино-
спин-спиновыми взаимодействиями можно пренебречь. Однако
если мы хотим рассмотреть реакции, в которых участвует
быстрый атом позитрония (например, рождение пози-
позитрония фотонами высокой энергии в поле ядра), то стано-
становятся необходимыми два дополнения.
1. Релятивистское описание состояния позитрония,
другими словами, как преобразуется волновая функция
при преобразовании Лоренца; это чисто кинематическая
задача.
2. Релятивистское описание взаимодействия электро-
электронов позитрония с другими частицами; в частности, стано-
становятся важными спин-орбитальные члены; это — динами-
динамическая задача.
Согласно точке зрения, предложенной в настоящей
статье, проблема частицы, составленной из тяжелых квар-
кварков, совершенно аналогична проблеме позитрония. Зада-
Задача состоит не в том, чтобы построить одновременно реля-
релятивистский и SU (б)-инвариантный лагранжиан. Вместо
этого мы узнали, что в нерелятивистском пределе дина-
динамика и взаимодействия становятся простыми и это спра-
справедливо, в частности, как мы видели, для внутренней
динамики. В релятивистском случае они, по-видимому,
сложнее; насколько сложнее — это вопрос, решение
которого мы должны предоставить будущему,.
IV. Заключительные замечания
Здесь следует сделать еще три дополнительных заме-
замечания.
1. Можно было бы возразить, что если потенциальная
яма, представляющая взаимодействие между двумя квар-
кварками, имеет сравнительно большой радиус действия, как
принимается в настоящей статье, то плотность уровней
в такой яме может быть слишком высокой по сравнению
с плотностью известных частиц или резонансов. Однако
234 Г. Морпурго
это не так. Рассмотрим, например, мезоны; возьмем
потенциальную яму с радиусом действия (Ьтя)~г и бес-
бесконечно глубокую. Тогда расстояние между первыми дву-
двумя «-состояниями равно 27EтлJ/М « 20 тп, где масса
кварка М опять принята равной 5 Гэв. Конечно, суще-
существуют также уровни р, d и т. д., но в целом расстояние
между двумя состояниями представляется не слиш-
слишком малым, если учесть еще тот факт, что в некоторых
состояниях силы могут быть и силами отталкива-
отталкивания 1).
2. Возражение, которое можно было бы выдвинуть
против SU (б)-симметрии, а точнее против представле-
представления 56 для барионов, состоит в следующем. Выглядит
странным, что пространственная часть волновой функции
; барионов полностью антисимметрична. В самом деле,
в антисимметричных состояниях кинетическая энергия
больше, чем в симметричных состояниях, и может пока-
показаться странным, что барионный октет, представляющий
основное состояние трех кварков, является пространствен-
пространственно-антисимметричным состоянием. Мы уже изложили
свою точку зрения на SU (б)-классификацию и отметили,
что ее справедливость (даже в нерелятивистском случае)
пока не установлена. Однако это конкретное возражение
представляется нам непоследовательным, так как задача
здесь полностью отличается от задачи в обычной ядерной
физике. Здесь кинетическая энергия представляет собой
лишь очень малое возмущение по отношению к очень
большой потенциальной энергии. Мы должны минимизи-
минимизировать, по существу, потенциальную энергию, и вполне
может оказаться, что силы, связывающие кварки вместе,
носят обменный характер и являются силами притяже-
притяжения в пространственно-антисимметричных состояниях.
3. Наконец, если предлагаемые представления спра-
справедливы, то кварки должны существовать; они должны
быть не только математическими объектами. Очевидно,
для математических объектов не имеет смысла писать
гамильтониан, представляющий собой энергию. Поэтому
кварки должны быть в конце концов открыты. Необходи-
*) Возбужденные состояния становятся, конечно, все более
и белее релятивистскими,
5. Возможно ли нерелятивистское приближение? 235
мо исследовать, какие условия наиболее подходящи
для этого 1). Мы надеемся еще вернуться к этому вопро-
вопросу 2)-
ЛИТЕРАТУРА
1. Fermi E., Yang С. N., Phys. Rev.. 76, 1739 A948).
2. Gell-Mann М., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1 в на-
настоящем издании).
3. Lee Т. D., Gursey F., Nauenberg M., Phys. Rev., 135, В467
A964).
4. Zweig G., CERN preprint 8419/th 412 (Feb. 1964).
5. Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1067 A962).
6. Ne'eman Y., Nucl. Phys., 26, 222 A961) (см. перевод в сборнике
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во
«Мир», 1964).
7. Salam А., в книге Труды XII Международной конференции
по физике высоких энергий, Дубиа, 1964 г., М.. 1966.
8. Fujii Y., Progr. Theor. Phys., 21, 232 A959).
9. Okubo S., Progr. Theor. Phys., 27, 949 A962).
10. Okubo S., Ryan C, Nuovo Cimento, 34, 776 A964).
11. Gursey F., Radicati L. A.. Phys. Rev. Letters, 13, 173 A964).
12. Sakila В., Phys. Rev., 136, B1756 A964).
13. Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 175 A964).
14. Beg M. A., LeeB. W., Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 514 A964).
15. Bacry #., Nuyts /., Van Hove L., Phys. Letters, 9, 279 A964)
(дополнение 2 в настоящем издании).
16. Delburgo R., Salam A., Slrathdee /., Proc. Roy. Soc, A284,
146 A965).
17. Ruhl W., CERN preprints 10058/Th 505, 65/70/5/Th 514.
18. McGlinn W. D., Phys. Rev. Letters, 12, 467 A964).
19. Ruhl W., CERN preprint, 9830/Th 492.
20. Becchi C, Phys. Letters, 16, 317 A965).
21. Schwartz M., в книге Proceedings of the Galilee Meeting in Pisa,
September, 1964.
22. Becchi C, Morpurgo G., Phys. Rev., 140, B687 A965).
23. Becchi C, Morpurgo G.. Phys. Letters, 17, 352 A965).
24. Nambu Y., Preprint EFINS-65-6 (Dynamical symmetries and
fundamental fields).
x) Существующие данные (или, лучше, отсутствие данных)
для кварков рассмотрены Шварцем [21].
2) Замечание при корректуре. Интересно отметить, что косвен-
косвенная проверка предложенной модели следует 1) из скоростей радиа-
радиационных распадов векторных мезонов [22] и 2) из обращения в нуль
?2-амплитуды перехода N$3 -> N + у [23]. Препринт Намбу,
полученный во время печатания настоящей статьи [24], содержит
некоторые идеи, подобные высказанным в первом разделе этой
статьи.
6. КВАРКОВАЯ СУБСТРУКТУРА МЕЗОННЫХ И БАРИОННЫХ
СОСТОЯНИЙ
Р. Далиц1)
I. Введение
За последние несколько лет было установлено огромное
многообразие резонансных состояний как в системе мезо-
мезонов, так и в мезон-барионных системах. Мы теперь изу-
изучаем подробности спектроскопии адронных систем,
т. е. состояний элементарных частиц, которые образуются
в результате существования сильных взаимодействий,
по меньшей мере столь же сильных, как взаимодействия
в ядерной физике. В большинстве своем эти адронные
состояния нестабильны относительно распада на более
легкие ранее установленные адроны — полустабильные
псевдоскалярные мезоны и барионы. Было открыто, что
большая часть этого многообразия наблюдаемых адрон-
адронных состояний обусловлена появлением этих состояний
в виде унитарных мультиплетов, т. е. групп состояний
с одним и тем же значением спина и четности, но с кван-
квантовыми числами изоспина / и гиперзаряда Y, определяе-
определяемыми типичными унитарными схемами. Такой результат
показывает, что хорошим первым приближением является
приближение, в котором сильные взаимодействия, приво-
приводящие к указанному существованию адронных состоя-
состояний, удовлетворяют SU (З)-симметрии. Однако даже
в этом случае еще существует большое многообразие
унитарных мультиплетов, известных для адронных
состояний; известны по крайней мере десять барионных
мультиплетов и приблизительно столько же мезонных
мультиплетов. По аналогии с имеющимся опытом спектро-
спектроскопии в случаях атомов, молекул и ядер (каждый из
которых изучался в свою эпоху развития науки о диск-
дискретных состояниях материи) не представляется неестест-
неестественным предположение о существовании некоторой суб-
субструктуры, лежащей в основе наблюдавшихся мезонных
и барионных состояний. Это является наиболее подходя-
подходящим объяснением изучаемого сейчас огромного многооб-
многообразия наблюдавшихся адронных состояний.
l) R. H. D а 1 i t z, в книге Elementary Particle Physics, ed.
by G. Takeda and A. Fujii, Tokyo — New York, 1967.
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 237
В качестве правдоподобного обобщения установленной
SU (З)-симметрии Гюрши и Радикати выдвинули в 1964 г.
предположение, что сильные ядерные взаимодействия
могут подчиняться SU (б)-симметрии. Их предположение
основывалось прежде всего на аналогии с соотношением
между вигнеровской спин-изоспиновой SU ^-симмет-
^-симметрией, давно известной в области ядерной физики низких
энергий, и изоспиновой SU B)-симметрией, известной
там еще раньше. Эта SU (б)-симметрия быстро привела
к многочисленным замечательным успехам в объяснении
экспериментальных данных о свойствах систем элемен-
элементарных частиц. Эта симметрия означала, что адронные
состояния должны образовывать SU (б)-супермульти-
плеты, состоящие из SU (З)-мультиплетов, соответствую-
соответствующих различным, но связанным между собой значениям
спина и четности. Данные о низших адронных состояниях
согласовались с этим предсказанием. Было видно, напри-
например, что октет барионов A/2 + ) и декуплет барионов
C/2 +) образуют один супермультиплет 56 SU F)-сим-
метрии, а это подразумевает определенные соотношения
между тонкими свойствами указанных октета и декуплета.
Было найдено, что эти соотношения довольно хорошо
согласуются с экспериментальными данными,
Однако вопрос о точной интерпретации SU F)-сим-
метрии оставался совершенно не ясным. Эта симметрия
была основана на объединении нерелятивистского спи-
спинового пространства и пространства, связанного с SU C)-
симметрией. В то же время ясно, что наблюдавшиеся
резонансные состояния, вообще говоря, распадаются
на частицы, движущиеся релятивистски. Во всяком случае,
если бы эта SU (б)-симметрия имела глубокий смысл,
то она, конечно, имела бы лоренц-инвариантное содер-
содержание. Поэтому оказалось, что SU (б)-симметрию необ-
необходимо рассматривать как нерелятивистский аспект
некоторой более общей релятивистской симметрии, объеди-
объединяющей SU (З)-симметрию и группу Лоренца. Было затра-
затрачено много сил на попытки открыть это релятивистское
обобщение группы симметрии SU F). При этом обнару-
обнаружились многие серьезные трудности принципиального
порядка (см. статью [1], где дается обзор этих трудно-
трудностей). В настоящее время является почти общепризнанным,
238Р.
что надежда на всеобъемлющий принцип релятивистской
симметрии должна быть оставлена.
Многие исследователи восприняли этот результат как
указание на то, что SU (б)-симметрия также должна быть
отброшена, поскольку отсутствие релятивистского обоб-
обобщения подразумевает несовместимость с лоренц-инва-
риантностью. Этот вывод определенно оказался бы неиз-
неизбежным, если бы свидетельства в пользу S U (б)-симмет-
рии интерпретировались как указания на существование
некоторой точной группы симметрии, которой подчиняет-
подчиняется лагранжиан взаимодействия адронных состояний.
Однако существует другая возможная интерпретация,
согласующаяся с современными экспериментальными
данными. Если наблюдавшиеся адронные состояния обла-
обладают субструктурой, основанной на объектах, соответ-
соответствующих SU (З)-триплету, и если эти объекты движутся
нерелятивистски внутри рассматриваемых состояний,
то вполне возможно, что найденное распределение указан-
указанных состояний по SU (б)-супермультиплетам является
приближенным следствием динамики, соответствующей
этим состояниям. Если силы, действующие между этими
триплетными субчастицами, таковы, что приводят к нере-
нерелятивистским внутренним движениям (при рассмотрении
в системе покоя соответствующего адронного состояния),
то вполне возможно, что эти силы могут зависеть от спина
и унитарного спина, причем эта зависимость приближенно
согласуется с S U (б)-симметрией.
Мы должны сразу подчеркнуть, что эта гипотеза пол-
полностью согласуется с лоренц-инвариантностью, поскольку
здесь речь идет только о физической ситуации, рассматри-
рассматриваемой в одной конкретной лоренцевской системе —
в системе покоя связанного состояния. В этой ситуации
низшие адронные состояния будут соответствовать опре-
определенным SU (б)-супермультиплетам. Электромагнитные
переходы между ними (и, возможно, даже переходы за счет
сильного взаимодействия при подходящих условиях,
ср. раздел IV) будут соответствовать предсказаниям
SU (б)-симметрии. С другой стороны, при таком описании
не требуется, чтобы эта явная SU (б)-симметрия имела
какой-либо общий характер; не требуется также и того,
чтобы существовало какое-либо релятивистское описание,
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 239
справедливое в общем случае. Например, в случае сильно
возбужденных адронных состояний внутренние движе-
движения должны быть релятивистскими, а силы, действующие
между триплетными субчастицами, должны все более
и более отклоняться от их нерелятивистского вида, при-
приводящего к SU (б)-симметрии. Следовательно, высшие
адронные состояния не должны укладываться в схемы,
соответствующие SU (б)-супермультиплетам. Поэтому
очевидные успехи SU (б)-симметрии должны быть в своей
основе динамическими, а не теоретико-групповыми.
В общем случае тогда должна остаться только группа
симметрии SU C) X L D). Теперь возникает важный
вопрос: каким же образом силы, действующие между
триплетными субчастицами, приближенно удовлетворяют
требованиям SU (б)-симметрии в нерелятивистском пре-
пределе? В настоящее время мы, естественно, не знаем пол-
полного ответа на этот вопрос. Однако для иллюстрации
мы коротко упомянем ниже одну модель, которая может
привести к рассмотренной ситуации, хотя отдельные
черты этой модели оказываются несовместимыми с уточнен-
уточненной динамикой, которая требуется для описания наблю-
наблюдаемых низших состояний.
II. Кварки и кварковая модель
Мы будем рассматривать здесь только простейшую
гипотезу, возможную для триплетных субчастиц, а имен-
именно кварковую' гипотезу, выдвинутую впервые Гелл-Ман-
ном [2] и Цвейгом [3]. Согласно этой гипотезе, существует
один базисный триплет, частицы
которого с необходимостью не-
несут дробные электрические за-
заряды. Этот триплет кварков сос-
состоит из изоспинового дублета,
обозначаемого для удобства
(р, п), и изоспинового синг-
лета Я; таким образом, Q =
= (р, п, Я). Эти кварки имеют
следующие квантовые числа:
Антикварки обозначаются через Q = (р, п, Я); их
квантовые числа противоположны по знаку квантовым
р
п
1
Заряд
2е/3
-в/3
-е/3
Барион-
ное
число В
1/3
1/3
1/3
Гипер-
Гиперзаряд
Y
1/3
1/3
-2/3
240
Р. Далиц
числам соответствующих кварков. Наблюдаемые состоя-
состояния элементарных частиц интерпретируются теперь как
составные системы из кварков и антикварков. Простей-
Простейшая возможная структура мезонных состояний (барион-
ное число В = 0) имеет вид QQ; простейшая возможная
структура барионных состояний (барионное число В =
= +1) имеет вид QQQ.
В интересной модельной теории, предложенной Фуджи
14], мы встречаемся с требованием, чтобы QQ- и (Х?-силы
приближенно удовлетворяли условиям SU (б)-симметрии
в нерелятивистском пре-
V(r) деле. Существенное пред-
предположение, сделанное
Фуджи, состоит в том, что
силы сверхсильного взаи-
взаимодействия, приводящие
к указанным связанным
состояниям, переносятся
некоторым нейтральным
векторным полем («векто-
(«вектоном»), связанным с ба-
Ф и г. 1. Схематический
вид ()()-потенциала внут-
внутри мезона.
рионным током. Это «вектонное» поле рассматривается как
калибровочное поле, связанное с сохранением барионного
числа, точно так же как фотонное поле связано непосредст-
непосредственно с электромагнитным током и является калибровоч-
калибровочным полем, отвечающим сохранению электрического заряда.
Необходимо предположить, что вектонное поле обладает
довольно большой массой (поскольку вектон не наблю-
наблюдался в экспериментах), и, следовательно, основная часть
возникающей силы обусловлена обменом одним вектоном.
Мы хорошо знаем, что обмен одной векторной частицей,
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 241
связанной с током, приводит к потенциалу, приближенно
не зависящему от спина в нерелятивистском пределе
(случаю фотона соответствует кулоновское взаимодей-
взаимодействие !). Следовательно, в этом пределе возникающая сила
не будет зависеть от унитарного спина (поскольку р, п
и Я равноправно входят в выражение для барионного
тока) и приближенно не будет зависеть от спина. Таким
образом, эта сила' приближенно будет удовлетворять
требованиям SU (б)-симметрии.
Указанный потенциал сверхсильного взаимодействия
с необходимостью будет потенциалом притяжения
в QQ-сястеые ввиду того, что вектон связан с барионным
током, а «барионные заряды» Q и Q противоположны
по знаку. Это согласуется с существованием сильно свя-
связанных (^-состояний, наблюдающихся в виде мезонов.
Однако для (Х?-системы этот сверхсильный потенциал
будет с необходимостью потенциалом отталкивания,
поскольку в этом случае взаимодействие происходит
между «барионными зарядами» одного знака. В этой
модели не объясняется существование сильно связанных
QQQ-сосюявяя, наблюдающихся в виде барионов.
С требованием, чтобы движения кварков в этих свя-
связанных состояниях были нерелятивистскими, можно
встретиться в следующей ситуации (которая ни в коем
случае не является обязательно физической), впервые
указанной Морпурго 15]. Если кварки взаимодействуют
через потенциал (радиуса R), который является гладким
(с плоским дном, без какого-либо сингулярного притяже-
притяжения, но, возможно, с отталкиванием типа твердой сердце-
сердцевины) и очень глубоким (глубины V), то характеристиче-
характеристический импульс кварка определяется радиусом действия
силы R и, согласно принципу неопределенности, он равен
%IR. При этом движения кварков будут нерелятивист-
нерелятивистскими, если массы кварков Mq достаточно велики.
В явном виде должно выполняться условие
\<MQc. (II. 1)
Это условие требует, чтобы радиус действия силы удов-
удовлетворял неравенству R > П/Mqc; при MQ > 10 Гэе,
что, по-видимому, должно иметь место в действительности
16—716
242 Р. Далиц ___„
(см. ниже), это условие хорошо выполняется для разумных
значений радиуса действия силы (порядка 10~14 см),
поскольку имеет место соотношение %IMqc *? 2 • 105 см.
Наблюдаемые связанные состояния характеризуются
исключительно большими энергиями связи, почти доста-
достаточными для компенсации масс покоя составляющих
кварков. Часто утверждалось, что такая ситуация обя-
обязательно должна быть релятивистской. Однако только
что приведенного рассуждения достаточно, чтобы пока-
показать, что в указанной ситуации внутренние движения
кварков совсем не обязательно имеют релятивистский
характер. Такой вывод легко проверить прямым расчетом
с помощью ковариантных уравнений (типа уравнения
Бете — Солпитера), если характерные черты взаимодей-
взаимодействия выбрать согласно указанным выше требованиям.
Однако совершенно ясно одно: уравнение, определяющее
эти движения, не будет уравнением Шредингера. Здесь
важен вопрос о природе соотношения между полной энер-
энергией Е связанной системы и глубиной потенциальной
ямы V. Мы можем быть уверены, что правильная функция
V (Ег) должна иметь некоторое сингулярное поведение
при Е2 = 0, а этого не может быть в случае уравнения
Шредингера. Для иллюстрации ниже мы выпишем
несколько других возможных уравнений, которые приво-
приводят к функциям V (Е2), отличающимся от функций, кото-
которые соответствуют уравнению Шредингера. В настоящее
время мы не знаем правильного функционального вида
V (Е2) этого соотношения; мы даже не знаем, какой вид
должны иметь уравнения, описывающие движения
кварков.
Это приводит нас к необычной ситуации, которая, тем
не менее, как мы увидим, во многом качественно соответ-
соответствует состоянию экспериментальных данных. Такая
ситуация означает, что «элементарные частицы» следует
рассматривать как объекты, во многом аналогичные моле-
молекулам, составляющие атомы которых являются кварками.
Такая молекулярная модель оказывается особенно необыч-
необычной с точки зрения общепринятых представлений совре-
современной теории поля, однако в самой модели нет ничего
внутренне противоречивого. Если она приведет к хоро-
хорошим результатам, то полевая теория должна будет
в. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 243
показать, каким образом такая модель может возникать
из основных уравнений какой-либо теории поля. Я счи-
считаю, что мы должны исследовать возможность такой
необычной ситуации — она будет по меньшей мере поучи-
поучительной, представляя конкретную иллюстрацию физиче-
физических эффектов, которые будут все еще непосредственно
проявляться в более сложных моделях элементарных
частиц.
Наименее удовлетворительным аспектом модели квар-
кварков в настоящее время является тот факт, что прямые
экспериментальные доказательства существования сво-
свободных кварков отсутствуют. До сих пор поиски квар-
кварков производились по трем направлениям:
1. Поиски с использованием протонных ускорителей
на 30 Гэв. Интенсивности имеющихся частиц в этом слу-
случае высоки, так что появляется возможность исследовать
малые сечения рождения. Однако доступная энергия
неизбежно ограничена, так что рождение кварков может
оказаться попросту невозможным.
2. Поиски в космических лучах. Здесь неизбежно
малы интенсивности, но доступная энергия может быть
довольно высокой, так что можно исследовать весьма
большие значения массы кварков. Последние данные дают
лишь верхний предел потока кварков; для интерпретации
этих данных требуются какие-то предположения о сечении
рождения кварков, как функции Mq и начальных энергий.
3. Поиски- в образцах вещества с использованием
химии, масс-спектрометрии и других методов, зависящих
от дробного заряда кварка. Эти методы намного более
чувствительны и приведут к намного более точным преде-
пределам. Проблема здесь состоит в том, что нельзя с уверен-
уверенностью сказать, где производить поиски кварков. Тяже-
Тяжелые кварки, образованные в космических лучах, должны
иметь большую проникающую способность, и можно ожи-
ожидать, что они проходят через земную поверхность. Есте-
Естественно предположить, что большая доля этих кварков
задерживается в море, но все еще остается не до конца
ясным, где эти кварки будут в конце концов находиться,
а также в какой химической форме.
Наиболее тщательный эксперимент по поиску кварков
с зарядом — 2е/3 с помощью ускорителя провели Дорфан
16*
244 Р. Далиц
и др. 16]. Они получили верхний предел скорости рожде-
рождения кварков при попадании протонов с начальной энер-
энергией 30 Гэв на мишени из железа и бериллия. Сечение
рождения пар кварков Gq, которого следовало ожидать
в этом эксперименте, было получено с помощью норми-
нормировки к наблюдаемому сечению рождения р в такой же
ситуации и правдоподобного предположения о зависимо-
зависимости GQ от Mq [типа (МnIMqY в соответствии с изменением
промежуточного пропагатора]. С такой оценкой их экспе-
эксперимент привел к нижнему пределу Mq ^ 4,5 Гэв.
В последнее время было сообщено о нескольких
экспериментах с космическими лучами, в которых могли
регистрироваться как заряды | е/3 |, так и заряды
| 2е/3 |. Наиболее чувствительный метод применяли Лэмб
и др. f7]. Итоги этих экспериментов можно выразить
в виде верхнего предела для потока Iq релятивистских
частиц с указанными значениями заряда:
Iq <! 1 • 10~9 кварков ¦ см~2 • сект1 • cmepad.
Как указали Каша и др. [8], этот результат можно выра-
выразить в виде грубой оценки предела сечения рождения пар
кварков:
Mq — 10 Гэв, Gq < 0,1 Мкб,
Mq = 5 Гэв, GQ <0,01 мкб.
Оценка основана на известном спектре космических лучей
и на предположении, что сечение рождения кварков
остается постоянным для любых начальных энергий
выше порога рождения пары.
Значение 0,1 мкб следует считать довольно большим
для сечения рождения пар кварков, так что эти данные
не исключают, вообще говоря, возможности существова-
существования кварков с массой Mq > 10 Гэв.
Каша и др. [8] указали, что если бы поток кварков
в космических лучах имел значение Iq в течение всего
времени существования Земли 109 лет и если бы все эти
кварки останавливались в пределах слоя земной коры
до глубины 300 кг/см2, то плотность Nq кварков в этом
поверхностном слое Земли была бы равна 200 кварков/г =
= 3-10~22 кварков/нуклон в случае равномерного распре-
6. Кварковая субструктура мевопных и барионных сост. 245
деления кварков в указанном слое. Чапка и др. [9] уже
выполнили некоторые макроскопические эксперименты
по обнаружению частиц с нецелым зарядом. Полученные
пределы оказались весьма жесткими; самые лучшие оцен-
оценки дают
в морской воде Nq < 5 • 10~27 кварков/нуклон,
в воздухе NQ ¦< 10~33 кварков/нуклон.
На самом деле, однако, неясно, будут ли кварки, рож-
рождающиеся в космических лучах и задерживающиеся
в земной коре, распределены равномерно, или же они
будут накапливаться в каких-то предпочтительных обла-
областях. Эти прямые наблюдения, которые дают интенсив-
интенсивности потока кварков, на много порядков величины
меньшие, чем верхние пределы, установленные в экспери-
экспериментах с космическими лучами, показывают только, что
кварки, где бы они ни могли существовать, нельзя найти
ни в морской воде, ни в воздухе.
Галлинаро и Морпурго [10] выполнили «эксперимент
с масляными каплями»; для этого они разработали маг-
магнитный спектрометр, который позволяет производить
поиски объектов с дробным зарядом по движению частиц
диамагнитного вещества. Их предварительные экспери-
эксперименты были выполнены с пиролитическим графитом; они
привели к заключению, что в этом случае NQ <C 10~16 квар-
кварков/нуклон. Были также предложены спектроскопиче-
спектроскопические исследования [11], состоящие в поисках аномальных
спектральных линий (например, в солнечном спектре),
которые могли бы наблюдаться от атомных ядер с дроб-
дробным зарядом, возникающих при присоединении к ядру
отрицательно заряженного кварка. Однако такие ано-
аномальные линии неизбежно будут очень слабыми. Кроме
того, существуют и другие, менее радикальные возможно-
возможности образования слабых аномальных спектральных линий
от Солнца [12], так что результаты этих спектроскопиче-
спектроскопических исследований довольно неубедительны.
Мы можем ожидать, что в ближайшем будущем будут
предприняты гораздо более обширные поиски кварков.
По-видимому, чувствительность исследований в косми-
космических лучах можно значительно увеличить, по крайней
мере на два порядка. Макроскопические методы исследо-
Ш Р- Далиц
вания по чувствительности уже далеко перешагнули
эти показатели; однако эти исследования должны быть
применены к гораздо более широкому классу образцов
вещества. Для получения некоторой ориентации в этих
поисках весьма желательны дальнейшие теоретические
исследования относительно окончательной судьбы квар-
кварков и их распределения в веществе и во Вселенной.
III. Мезонные состояния
Здесь мы рассмотрим интерпретацию данных о мезон-
ных состояниях, предполагая, что эти состояния обра-
образуются за счет сильной связи между кварком и антиквар-
антикварком через посредство их общего потенциала V (г). Раз-
Различные аспекты этой модели уже обсуждали многие авто-
авторы: Боголюбов и др. х), Далиц [14, 15], Иизука [16, 17],
Ишида [18, 19], Синаноглу [20, 21] и другие. Эта ДО-модель
допускает только синглетные и октетные состояния;
вызывает удовлетворение тот факт, что до сих пор не
открыто мезонных резонансов, которые нельзя было бы
приписать представлениям {1} и {8}.
Мы предполагаем, что эта <?()-связь обусловлена неко-
некоторым сверхсилъным взаимодействием V. Данные о мезон-
мезонных состояниях говорят о том, что это взаимодействие
почти не зависит от спина а и унитарного спина F квар-
кварков. Как отмечено выше, эта ситуация возникала бы
естественным образом, если бы соответствующие силы
переносились некоторым вектонным полем, связанным
с барионным током. Грубую оценку константы связи /
для вектона можно получить, решая уравнение Бете —
Солпитера для двух скалярных частиц массы MQ, взаимо-
взаимодействующих через обмен скалярной частицей массы т
[потенциал /2Mq/(A2 — т2)] и связанных до нулевой
полной массы. Такие вычисления 2) приводят к значе-
значениям /2/4л, близким к 26 или 27 для различных значений
тп/Mq в области от 0,01 до 0,3. Если внутреннюю часть
*) Удобный обзор работ дубненской группы представил А. Тав-
хелидзе [13].
2) Эти вычисления с уравнением Бете — Солпитера выполнил
Д. Холдсворт (Оксфорд).
6. Кварковая субструктура мевонных и барионных сост. 241
потенциала изменить эа счет эффектов высшего порядка
до сингулярного вида, то соответствующее значение
/2/4я станет еще большим. Мы отметим, что эта константа
связи приблизительно на порядок больше константы
универсальной р-связи, для которой Сакураи [22] приво-
приводит значение /2/4я « 2,5.
Может оказаться необходимым учесть также следую-
следующие другие силы:
1. Силы, возникающие за счет сильного взаимодейст-
взаимодействия, зависимость которых отои^ согласуется с SU F)-
симметрией. Их можно записать в виде
где первый множитель представляет собой проекционный
оператор группы SU F), значения которого равны О
для представления 35 и 1 для представления 1.
2. Центральные силы, зависящие от а и F, которые
нарушают SU (б)-симметрию, хотя и согласуются еще
с ?С/C)-симметрией. Они имеют вид '"Vo = oava
и VF = F-FvF.
3. Нецентральные силы, согласующиеся с SU (З)-сим-
метрией. Они неизбежно нарушают SU (б)-симметрию
и могут иметь спин-орбитальный или тензорный характер
и быть вида
VT= (а-гаг — ±-e-orAvT(r). (Ш.З)
4. Умеренно сильные, нарушающие SU (З)-симмет-
рию взаимодействия, которые могут также зависеть
от спина или быть нецентральными. Здесь мы ограничим-
ограничимся тщательным рассмотрением простейшей гипотезы, что
нарушение SU (З)-симметрии определяется эффектами,
которые можно представить одночастичным оператором,
дающим линейный вклад в квадрат массы ^-состояния,
причем этот вклад больше на величину А для кварка к
(или Я), чем для кварков (п, р) (или п, р). Эти взаимо-
взаимодействия еще согласуются с изоспиновой SU ^-сим-
^-симметрией,
248 Р. Далиц
Может оказаться необходимым рассматривать также
двухчастичные операторы W, которые нарушают SU C)-
симметрию. Они могут зависеть от полного спина S систе-
системы QQ. При данном S будут существовать потенциалы
W[, Wy2 и W% для октетных состояний, где нижний
индекс / обозначает изоспин рассматриваемого конкрет-
конкретного состояния. Будет существовать также потенциал
W' для синглетного состояния (мы можем условиться
принять Ws = 0) и, кроме того, смешивающий потенциал
и? между синглетным и октетным состояниями с / =
= Y = 0. Если принять гипотезу Гелл-Манна, что
нарушающие симметрию взаимодействия преобразуются
как компонента О33 октета, то эти потенциалы связаны
друг с другом следующим образом:
При этом, однако, для каждого значения спина S остаются
свободными три потенциала, так что гипотеза о двухчастич-
двухчастичных нарушающих симметрию эффектах приводит к слиш-
слишком большому числу параметров, а поэтому в настоящее
время не может быть с успехом проверена. Некоторое
обсуждение такой возможности провел Рубинштейн [23].
Совсем не ясно, какое уравнение описывает внутреннее
движение в этой системе. Чтобы выяснить этот вопрос,
мы можем начать с уравнения Бете — Солпитера
{(Е f еJ — jo2 — 4М2} {(Е — еJ — р2 — 4М2} ? (р, е) =
' е; р'' е')?(Р'' е')<*Р'«*е'. (Ш.5)
Мы ограничились здесь случаем двух бесспиновых частиц,
так как выбранные потенциалы V относятся к таким
потрнциалам, которые приводят к нерелятивистским
внутренним движениям. Кроме того, мы ограничились
статическим (не запаздывающим) потенциалом V (в систе-
системе центра масс; указывая явно систему координат, мы
придаем лоренц-инвариантный смысл нашему предполо-
предположению). Это означает, что V = V (р, р') не зависит
от переменных внутренней энергии. Теперь мы можем
рассмотреть волновую функцию ср (р), определяемую
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 249
выражением
Ф(Р)= J Ч'(Р, e)rfe. (III.6)
— 00
Зависимость W (р, е) от е полностью определяется теперь
уравнением (III.5). Таким образом, имеем
X \ F(P> Р')ф(р')Ф'- (HI.7)
Подставляя это выражение в определение волновой функ-
функции (III.6), мы можем выполнить интегрирование по е
в явном виде:
~я' , (III.8)
(?2_р2
что приводит в конце концов к уравнению Бланкенбеклера
и Сугара [24]:
(Д« —р*_4М*)ф(р) =
Это уравнение очень похоже на уравнение Шредингера,
отличаясь от него квадратичной зависимостью от Е.
Отметим, что это уравнение не обладает сингулярным
поведением при Е2 = 0, как мы ожидаем в случае физи-
физически приемлемого уравнения1). Используя это уравне-
*) Интересно заметить (как указали мпе д-ра Н. Домби
и Г. Бартон), что следующее уравнение
(Я2_р2_4М2) ф (р) =2? \ V (р, р') ф (р') сРр'
обладает сингулярным поведением относительно Е = 0 в том
смысле, что предел Е = 0 можно достичь только, если потенциал
становится бесконечно большим. С этим уравнением естественная
форма массовой формулы для псевдоскалярных мезонов не будет
250 Р- Далиц
ние, мы естественно приходим к использованию Е2 в мас-
массовой формуле SU (З)-симметрии и в других массовых
соотношениях такого рода, которые рассматриваются
ниже.
С выписанными выше взаимодействиями ^-состояния
для данного спина и четности образуют нонеты. Для зна-
значения L относительного орбитального момента (^-состоя-
(^-состояния существуют четыре таких нонета, которые характе-
характеризуются конфигурациями zs+1Lj, где S — внутренний
спин (^-состояния, а / — полный спин. Эти четыре
конфигурации, а именно 1LL и 3Lj при / = L — 1, L,
L + 1, имеют четность Р = (—l)i+1; зарядовая чет-
четность С состояния с / = Y = 0 в каждом нонете равна
С = (—1)L для состояния xLb и С = (—1) L+1 для состоя-
состояний 3Lj. Каждая система из девяти состояний состоит
из представлений {8} и {1}, смешанных друг с другом
нарушающими SU (З)-симметрию силами. Каждый нонет
можно теперь охарактеризовать тремя параметрами:
массой тп-1 чистого унитарного состояния {1}, массой m%
чистого унитарного состояния {8} и одночастичным опера-
оператором А, соответствующим Я-кварку. Масса М\, соот-
соответствующая состоянию с / = 1, Y = 0, равна просто т\;
масса состояний с/ = 1/2,У = ±1 определяется соот-
соотношением М\ = wig + А. Если использовать для октет-
ного и синглетного состояний с / = Y = 0 функции
?8 и ?j
+2и, (III. 10а)
;_Г,
*\ (III. 106)
простой, а будет промежуточной между линейной и квадратичной.
Это уравнение не представляется физически приемлемым в том
отношении, что (^-потенциал в л-состоянии был бы в (т^/т^I/2 ж
ж 1,9 раза больше, чем эффективный потенциал в Ж-состоянии.
Это потребовало бы неоправданного вывода, что нарушающие сим-
симметрию потенциалы должны быть сравнимыми по величине с потен-
потенциалами сверхсилъного взаимодействия, отвечающими за этот уни-
унитарный мультиплет.
6. Кварковая субструктура мевопных и барионных сост. 251
то матрица масс для состояний с 1 = 0, Y = 0 принимает
вид
где «7 — интеграл перекрытия в спиновом пространстве
между чистыми унитарными состояниями синглета и окте-
октета. Для идеального нонета (для которого m4 = ms) син-
глетное и октетное состояния имеют одну и ту же про-
пространственную волновую функцию и J = 1. Нарушающие
симметрию взаимодействия смешивают синглетное и октет-
октетное состояния с / = О, Y = 0. Массы М'а, Ml двух физи-
физических состояний с I = Y = 0 определяются собствен-
собственными значениями матрицы (II 1.11), а соответствующие
собственные состояния определяются тогда углом смеши-
смешивания 9, так что
(III. 12а)
причем 9 можно выразить через параметры (т^ — т\),
А и J. Массы этих девяти состояний удовлетворяют соот-
соотношению Швингера, получаемому при исключении трех
параметров ти т8 и А:
-±(М*К-М1) (М?
.12)
Между прочим, следует отметить, что возможны неко-
некоторые усложнения, если двухчастичные нарушающие
симметрию потенциалы значительны по величине. В прин-
принципе нарушающие симметрию взаимодействия могут
вызвать некоторое смешивание между 1LL - и ^ь-ноне-
тами. Смешивание невозможно для состояний с / = Y = 0,
поскольку С-четности этих состояний из указанных двух
нонетов противоположны, а также для состояний с / =
= 1, Y = 0, поскольку для них противоположны G-чет-
ности. Смешивание возможно, однако, между двумя
252 Р- Далиц
системами состояний с I = 1/2, У = ±1. Это приводит
к требованию, чтобы нарушающая симметрию сила была
нечетной относительно спинов Q и Q, но сохраняла заря-
зарядовую четность. Нарушающая симметрию спин-орби-
спин-орбитальная сила вида
WB0 = У (а - о). LWS0 (r) (III. 13)
удовлетворяет этому требованию. Такое взаимодействие
приводит к недиагональному матричному элементу w
в массовой матрице для двух состояний К* (I = 1/2,
Y = +1) с одинаковым спином и четностью:
где Мк± — масса К*, соответствующая нонетам J — L
с С = ±1. Мы отметим, что обе физические массы К*
удовлетворяют соотношению
т Л- М"? = Щ+ + М\г, (III. 15)
не зависящему от w. Это соотношение можно скомбини-
скомбинировать с двумя соотношениями Швингера для этих ноне-
нонетов / = L и получить связь между всеми значениями
масс этих двух нонетов. Присутствие такого смешивания
К* можно установить из измерений относительных скоро-
скоростей различных распадов К*, как это обсуждалось Кейном
[25]. Такая возможность не представляется особенно
вероятной, и мы не будем здесь рассматривать ее дальше.
Другой возможностью является возможность смешива-
смешивания между нонетами 3(/ — \)j и 3 (/ -f- l)js Средние
положения этих двух нонетов будут подняты за счет
тензорных сил, возникающих от сильного взаимодейст-
взаимодействия. Способы нарушения симметрии внутри каждого
нонета могут также измениться, если двухчастичные
нарушающие симметрию потенциалы W значительны
и включают существенную компоненту Wt от тензорных
сил. Можно надеяться, однако, что эти эффекты не будут
иметь слишком большого значения. Как мы увидим ниже,
имеющиеся данные показывают, что для получения такого
смешивания указанные силы будут сравнительно мало-
малоэффективны, поскольку два нонета с AL == 2 лежат срав-
6. Кварковая субструктура мевонных и бариояяых сост. 253
нительно далеко друг от друга l(M* (J + \) — М% (/— 1))«
та 2,0 (ГэвJ]; это значение следует сравнить с А «
ж 0,2 (ГэвJ. В дальнейшем обсуждении мы пренебрежем
этими возможностями, хотя в свое время они, несомненно,
потребуют к себе внимания.
Векторные мезоны р G69), К* (891), <» G83) и <р A019)
образуют, по-видимому, почти идеальный нонет. Значе-
Значения их масс удовлетворяют швингеровскому соотноше-
соотношению с 3 ~ 1. Значения масс mt = 810 Мэв и тпй =
= 769 Мэв не сильно отличаются друг от друга, поэтому
мы делаем вывод, что потенциал VF довольно мал. Зна-
Значение А равно (К** — р2) = 2,0-105 (МэвJ. Изосинглет-
ные состояния ср, со определяются выражениями
со — cosOytflj-l-sinSycps, (III. 16а)
Ф=—sinOvtOi-f cos буфе, (Ш.166)
где угол смешивания 9у » 40°.
Псевдоскалярные мезоны п A38), К D96), г\ E49)
и ц' (958) не образуют идеального нонета главным обра-
образом потому, что т)'-мезон по массе расположен сравни-
сравнительно далеко от других членов нонета. Соотношение
Швингера выполняется при J « 0,68; значения массо-
массовых параметров равны m4 = 828 Мэв, ms = 138 Мэв.
Поскольку масса rj'-мезона находится в области масс
векторных мезонов, мы приходим к выводу, что завися-
зависящие от спина силы, обусловленные сильным взаимодей-
взаимодействием, не могут быть большими. Оценка величины А
в этом случае составляет К2 — гс2 = 2,3 -105 (МэвJ, она
хорошо согласуется со значением, полученным для век-
векторных мезонов. Угол смешивания, полученный из значе-
значений масс, равен 9Р « —11°.
Следует ожидать, что низшими состояниями @@-систе-
мы будут ^-состояния. Низшие наблюдаемые нонеты —
это только что рассмотренные векторные и псевдоскаляр-
псевдоскалярные мезоны; их спин, четность и зарядовая четность
таковы, что позволяют отождествить их с состояниями
sSl и Х5О ^-системы.
Электромагнитные переходы могут происходить между
низшими состояниями: наблюдаются однофотонные пере-
переходы между векторными и псевдоскалярными состояниями
254 Р. Далиц
типа V^-P + yaP—^V-^уи двухфотонные переходы
типа Р -*¦ у + у (переход типа V -> у + у запрещен
законом сохранения углового момента и статистикой Бозе
для фотонов).
Процессы V -*¦ Р -\- у и Р ->- V + у представляют
собой М1-переходы за счет процессов с переворотом спина
кварка. Вид оператора М1-перехода определяется только
SU (З)-симметрией:
и следует из того факта, что фотон преобразуется как член
октета с U = 0. Масштабный множитель [х был найден
применением этого оператора для вычисления магнитных
моментов нуклона, что привело к результату ц = цр,
где цр — полный магнитный момент протона.
Известны два перехода этого типа: со -»¦ л° + у
и ц' -> р° + у. Амплитуду Mi-перехода для распада
со-мезона вычисляли многие авторы [26—29]; она равна
[Ар, что приводит к предсказанию Г (со -»- л°у) = 1,18 Мэв.
Это хорошо согласуется с экспериментальным значением
Г (со ->- ji°y) = 1,1 ± 0,17 Мэв, полученным из пол-
полной ширины Г (со) = 11,9 ± 1,5 Мэв и отношения
(яо7)/(все каналы) = 9,7 ± 0,8%. Радиационный распад
т]'-мезона хорошо известен; его относительная доля вели-
велика: (р°у)/(г\пп) = 33 ± 5%. Если принять во внимание
смешивание т)' — т), то предсказываемая радиационная
ширина равна Г (т]' -> р°у) = 0,155 Мэв. С учетом отно-
относительной доли радиационного распада, указанной выше,
мы приходим к предсказанию Г (г\') = 0,6 Мэв для пол-
полной ширины [14]. В настоящее время это предсказание
проверить нельзя, так как ширина т|'-мезона пока еще
не установлена, кроме оценки верхнего предела Г (т)') ^
< 4 Мэв.
Процессы я0 -*• уу и т) -*• уу хорошо известны. Пред-
Предсказание SU (З)-симметрии состоит в том, что для коэф-
коэффициентов распадного взаимодействия
Л(Р)Р{ЕA)-НB)-|-ЕB).НA)} (III. 18)
выполняется соотношение А (т)8) = А (я^/^З. Если
принять во внимание зависимость (III.18) от импульса
в. Кварковая субструктЛурд мбабнных и барионных сост. 255
фотона, то предсказываемая ширина Г (т]8 -*¦ yy) состав-
составляет около 165 кэв при использовании экспериментально
определенной ширины Г (я°,->- уу) = 7,4 ± 1,5 эв. Одна-
Однако SU (З)-симметрия не связывает амплитуду А (ц' — yy)
с А (я0 —*¦ yy)> поэтому смешивание tj' — r\ может суще-
существенно изменить это предсказание, приводя к резуль-
результату
^O7Y)- <ttU9)
Относительно скорости процесса г\' -*¦ YY никаких данных
не существует, кроме довольно неточного верхнего преде-
предела. Предложенная Гелл-Манном и др. [30] модель Р ->-
—>-V-\-y-*-y-\-y приводит к определенному предска-
предсказанию A (r\[ -*~ yy)/A (tj8 -»- yy) = 21/2. Такая примесь
ведет к значительному увеличению предсказанной шири-
ширины Г (ц -*• yy) приблизительно в 2,25 раза, откуда следует
предсказание Г (т] -*¦ yy) =0,37 Мэв. Недавно на конфе-
конференции в Беркли группа ДЭЗИ доложила о предвари-
предварительных результатах определения Г (т) -*¦ yy) x), осно-
основанного на очень четком наблюдении эффекта Примакова
при фоторождении т]-мезонов на тяжелых ядрах; резуль-
результат составляет около 1,5 кэв. Это намного больше, чем
только что приведенное предсказанное значение. Вероят-
Вероятнее всего, модельный подсчет неправомерен, а для приве-
приведения предсказаний в согласие с этим экспериментальным
значением потребуется исключительно большое значение
A (t]j -*¦ yy) (поскольку приближенное значение tg 0Р
составляет только — 0,2). Другая возможность состоит
в том, что могут существовать какие-то существенные
эффекты, нарушающие SU (З)-симметрию, которые
должны быть включены в соотношение между А (т]8 -*¦ yy)
и А (я0 -*¦ yy) вследствие большого отношения масс г\-
и я°-мезонов.
Вращательные уровни L > 1. Естественно ожидать
последовательности вращательных уровней, возникаю-
возникающих из этих нонетов zSi и 1iSr0, соответствующей враще-
вращению кварк-антикварковой гантели в синглетной и трип-
летной спиновых конфигурациях. Ближайшие возбуж-
х) Частное сообщение д-ра Тойчера, ДЭЗИ, Гамбург.
256
Р. Далиц
денные нонеты будут иметь L = 1 и, следовательно,
положительную четность, что и наблюдается для состоя-
состояний, группирующихся в области масс 1000—1400 Мэв.
Триплетные состояния 3Р0, 3Р1 и 3Р2 имеют зарядовую
четность С = +1 для нейтральных состояний с 7 = 0;
синглетное состояние 1Р1 имеет С = —1. Если сущест-
существует один только потенциал сверхсильного взаимодей-
взаимодействия V, то все эти состояния будут иметь одинаковую
массу. Они разделяются на четыре нонета за счет нецен-
нецентральных сил, как показано для случая L = 1 в табл. 1.
Таблица 1
Конфигурации с L=l и их расщепление нецентральными
силами в сравнении с мезонными состояниями с 1 = 1,
наблюдаемыми в области масс 900—1300 Мэв
Конфигурация . .
Мезонное состояние
Спин-орбитальный
циал
Тензорный потенциал
Аг A300)
+1
-1
Состояния с / = 1 из этих нонетов оказываются изве-
известными и приведены в этой таблице. Значение спина B -f- +)
для Л 2-мезона было установлено из его Х-ЙТ-распада
(в особенности из К\К§, хотя пока еще сохраняется неко-
некоторая противоречивость при интерпретации характери-
характеристик его (л + р)-формы распада [31]. Для 5-мезона счи-
считают, что значение спина A+ —) следует из ^-волнового
характера его распада на л + ю. Для А ^мезона спин
A ++) был установлен из его распада на л -J- р. Кинцле
и др. [32] впервые установили существование б-мезона
из распределения «потерянной массы» в реакции п~р -*¦
—*- р (tn*) ~ с налетающими пионами высокой энергии
C—12 Гэв/с). Остенс и др. [33] подтвердили недавно это
наблюдение на основе изучения «потерянной массы»
в реакции рр -*¦ d (m*)+. Спин и четность б-мезона неизве-
неизвестны, поскольку в этих экспериментах формы его распада
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 257
не изучались. В сложившейся ситуации интерпретация
б-мезона как представителя конфигурации SPO является
единственно возможной; при этом подразумевается, что
основной двухчастичной формой распада является
S -> т) + я.
Эти четыре состояния с / = 1 образуют последова-
последовательность с приблизительно равным разделением по квад-
квадрату массы. Как показано в табл. 1, ситуацию можно
прямо интерпретировать как обусловленную спин-орби-
спин-орбитальным взаимодействием, отталкивательным в состоя-
состоянии с наивысшим значением J. Из этого сравнения можно
заключить, что любая тензорная связь весьма мала
по сравнению со спин-орбитальной связью. Для интер-
интерпретации требуется также, чтобы октетная спин-спиновая
сила была довольно слабой, хотя такая сила, по-види-
по-видимому, необходима в состояниях с L — 0 для объяснения
разницы масс р- и я-мезонов. Такая ситуация вполне воз-
возможна, если спин-спиновая сила имеет малый радиус
действия по сравнению с доминирующим потенциалом V.
Пока установлены не все состояния нонета с L — 1.
Известные состояния приведены в табл. 2. Спин и чет-
четность не определены однозначно даже для всех установ-
установленных состояний. Однако если предположить, что наблю-
Таблица 2
Подсостояния (I, Y) четырех нонетов с L = l (одной
чертой подчеркнуты резонансы, о которых есть некоторые
сведения в литературе, но которые пока не рассматриваются
как установленные состояния; двумя чертами подчеркнуты
чисто предполагаемые состояния, массы которых оценены
из соотношения Швингера с ^ = 1, что соответствует
идеальному нонету)
JPC
2+ +
0++
1-|
Ai
6
В
A,0)
A300)
A080)
(962)
A200)
Состояние
A/2, ±1)
К* A415)
К? A215)
К* A080)
/Г* A313)
, Y) из
0,0
/ A254)
Z>A28S)
S
и
A330)
A008)
нонета
@,0)
/A514)
D' F00-1000) ?
S' A030)
Н' A385)?
7711, Л/Эв
1238
1200?
964 ?
д,
3,
3,
2,
2,
(МэеJ
1-105
1-105
4-103
8-103
17-716
258 Р. Далиц
даемые состояния имеют положительную четность, то при
распределении установленных состояний по имеющимся
местам в этих четырех нонетах не возникает существен-
существенных неоднозначностей. Случай К$ A215) довольно ясно
представил Арментерос [34] на основе изучения в ЦЕРНе
реакций рр -*¦ ККпп с антипротонами, останавливающи-
останавливающимися в водороде. Мезон ZcA215) испытывает ^-волновой
распад на К + р и это приводит к определению спина
и четности A+). Однако Кс A215) нельзя рассматривать
как установленный надежно, поскольку он не был под-
подтвержден в какой-либо другой реакции.
Голдшмидт-Клермон и др. [351 представили данные
в пользу существования мезона К* A080) при изучении
реакции К+р ->- К°п+р при 3,0 и 3,5 Гэв/с. К* A080) .
распадается на К + п, поэтому его спин-четность может
быть только @+) или B+) (или еще большие четные зна-
значения спина, не подходящие для этих нонетов). Место
B+) уже занято мезоном К* A415), поэтому имеется
только возможность @+)- Состояние К* A080) не под-
подтверждается в других реакциях, и было предложено аль-
альтернативное объяснение наблюдаемых эффектов; таким
образом, этот резонанс не установлен надежно. Отметим,
что значение А = (М2К — М\) приблизительно одинаково
для всех этих четырех нонетов с L = 1 и сравнимо с при-
приведенными выше значениями для нонетов с L = 0.
Все состояния нонета B++) установлены, и Глэшоу
и Соколов [361 показали, что парциальные ширины, наблю-
наблюдаемые для различных двухчастичных и трехчастичных
каналов распада, вполне согласуются с этой интерпрета-
интерпретацией. Из значений масс получается угол смешивания,
равный 9г = 30°. В каждом из других нонетов сущест-
существует одно состояние, для которого в настоящее время
нет кандидатов; существуют также два мезонных состоя-
состояния, которые не укладываются естественным образом
в эти нонеты.
(О —1—1—) S-мезон. В течение последних нескольких лет
было много сообщений, указывающих на существование
^-волнового ля-резонанса (а- или ?-мезон) в различных
точках области масс 350—750 Мэв [37—40], но данные
обычно были весьма косвенными. С другой стороны, данные
о распаде S' A060) ->¦ К\К\ весьма четкие [41]; из них
6- Кварковая субструктура мвзонних и барионных сост. 259
следует значение спина и четности @+). Благодаря мезо-
мезону S' A060) столь малое значение массы S-мезона, как
350—750 Мэв, не обязательно будет приводить к наруше-
нарушению соотношения Швингера; потребуется только, чтобы
в нонете @++) значение J было довольно малым.
A ++) D'-мезон должен иметь G = +1. Для значений
масс, меньших 1000 Мэв, D'-мезон должен находиться
ниже всех порогов двухчастичных каналов (V + Р)
и (V + V). Трехчастичный канал D' ->¦ т)ял разрешен
вплоть до значений масс около 830 Мэв, так же как элек-
электромагнитные процессы типа р + у. Интересная возмож-
возможность связана с исследованием вопроса о том, не могут
ли данные о мезоне Х° (959) допускать квантовые числа
A ++) и, следовательно, нельзя ли отождествить этот
мезон с D'-мезоном. В настоящее время значение спина
и четности @—) мезона Х° (959) наиболее ясно следует
из угловых корреляций, наблюдаемых в распаде Х° —*¦
"~*" Р° + V! данные весьма хорошо согласуются с поведе-
поведением типа sin2 6, как и требуется в случае @—), и не
согласуются с поведением типа A + cos2 9), что было
бы в случае A+) [43]. Было бы весьма желательно иметь
более подробные данные о формах распада Х°-мезона,
в особенности о канале Х° ->- уу> строго запрещенном
в случае A+). Здесь интересно заметить, что если бы
Х° (959) был .D'-мезоном, то девятым псевдоскалярным
мезоном мог бы тогда быть мезон Е A418), для которого
в настоящее время наиболее вероятны квантовые числа
@—[-) 142]. Масса ?-мезона гораздо лучше согласуется
с соотношением Швингера для псевдоскалярных мезонов,
чем масса Х°-мезона.
A +—) Н'-мезон должен иметь G = —1 и мог бы рас-
распадаться на яр и КК* (и КК*). Для этого мезона массо-
массовое соотношение Швингера дает значение массы около
1385 Мэв. Чисто умозрительно этим состоянием мог бы
быть мезон Е A418). Имеющиеся сведения об угловых
корреляциях в распаде ?-мезона не противоречат выбо-
выбору A+), но значение С — —1 представляется крайне
маловероятным ввиду того, что в конечных состояниях
наблюдаются К[К^л°, a K\K\nQ отсутствует.
Поиски этих трех отсутствующих состояний нонетов
потребуют дальнейших усилий. Мы должны здесь под-
17*
260 t>-
черкнуть, что каждая система из восьми наблюдавшихся
состояний с квантовыми числами @++), A ++) и A-|—)
не согласуется с октетной структурой, так что в каждом
случае имеются основания ожидать по крайней мере еще
одного резонансного состояния с теми же квантовыми
числами, эффекты смешивания которого вызывают откло-
отклонение от массового соотношения для октета. Для прямой
проверки предположенной здесь нонетной структуры
этих систем состояний также требуются более обширные
и более подробные сведения о ширинах и скоростях
распада уже установленных состояний.
Как указано выше, мезон Е A418) приводит к серьез-
серьезнейшему затруднению. До сих пор он наблюдался только
в сложной реакции [42, 44]
р~+р—>Е-\-п-\-п-*К + К+п-{-п-\-п A11.20)
при взаимодействиях антипротона в покое. Согласно
только что сказанному, данные о распадах Е -> К°К°л°
довольно уверенно предписывают значение С = +1. Наи-
Наиболее вероятными значениями спина и четности _?-мезона
являются @—), хотя значения A+) также приемлемы.
Если квантовые числа равны @—|-), то _?-мезон пред-
представляет собой десятый псевдоскалярный мезон. В (^-мо-
(^-модели ему можно было бы_сопоставить только возбужденное
1_?0-состояние, включающее внутренние радиальные коле-
колебания. Тогда потребовалось бы обнаружить еще восемь
мезонов^ с^ квантовыми^ числами @—) в области масс
1400—1600, Мэв. Если Лже квантовые числа ?-мезона
равны A-j—|-), то его можно было бы поместить только
в нонет A+-)-)• Однако массы Ai-, Kc~, D- и ?-мезонов
не согласуются с соотношением Швингера (II 1.12) при
положительных J2.
Фокаччи и_^др. [45], используя метод спектрометра
потерянной массы, тщательно исследовали более высокие
уровни с / = 1 из измерений спектров протонов отдачи
в реакции
*)-. A11.21)
Наблюдавшиеся спектры обнаруживают ряд острых мак-
максимумов, соответствующих возбуждению последователь-
последовательных мезонных резонансов с / = 1, У = 0 вплоть до зна-
6. Кварковая субструктура мевонных и барионных сост. 261
чения массы около 2400 Мэв. Для нас естественно интер-
интерпретировать эти резонансы как представителей последо-
последовательности вращательных возбуждений @()-системы:
L = 2 для л-мезонов со значениями масс около 1700 Мэв,
L = 3 для S-мезонов при 1930 Мэв, L = 4 для Г-мезо-
нов при 2195 Мэв и L — 5 для Ef-мезонов при 2382 Мэв.
Как было отмечено выше, в @(?-модели каждое враща-
вращательное возбуждение должно состоять из четырех ноне-
нонетов: состояний 3LL+l, 3LL и ZLL _4 с С = (—1)L+ и состо-
состояния XLL с С = (—1)ь. При учете спин-орбитальной свя-
связи четыре уровня с / = 1 для орбитального момента L
смещаются следующим образом:
3LL
Коэффициент спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия
-2L-2
_2
2L
Мы замечаем, что оба состояния с / = L расположены
близко к состояниям с / = L ± 1, так что при больших L
состояния будут появляться в виде триплета, пока не
будет достигнута очень высокая разрешающая способ-
способность, или же пока не будут наблюдаться процессы распа-
распада этих резонансов (поскольку соответствующие состояния
с Y = 0 из нонетов 3ЬЬ и гЬь имеют противоположную
G-четность, и, следовательно, их можно различить по их
распаду на четное или нечетное число пионов).
В эксперименте Фокаччи и др. [45] максимум, соот-
соответствующий /?-мезону, оказывается разделенным на три
максимума, отвечающие состояниям Ra A632), Яр A699)
и Ry A748). В @()-модели состояние Ra следует отождест-
отождествить с конфигурацией 3DX (JPC = 1 ), Ry — с кон-
конфигурацией 3D3 (JPC = 3 — — ), а Лц следует считать
содержащим два слившихся состояния, отвечающие кон-
конфигурациям SD2 и Юг (JPC = 2 — — и2 \- соот-
соответственно). Здесь интересно заметить, что состояния
с / = 1 и оба состояния с / = 0 из нонета 3Dt являются
262 Р. Далиц
состояниями векторных мезонов, которые могут играть
роль в электромагнитной структуре барионов *).
Сообщалось о многопионных резонансных состояниях
в области масс 1600—1700 Мэв при экспериментах с пу-
пузырьковой камерой по изучению неупругих яр-столкнове-
яр-столкновений, однако детали экспериментальной ситуации оказы-
оказываются весьма не ясными. На основании @()-модели мы
ожидаем, что состояние Ra из нонета 3Di с / = 1 и состоя-
состояние Ry из 3D3 с / = 1 могут распадаться на два я-мезона,
но что такой распад запрещен для всех других #-состоя-
ний. Распад на три пиона возможен только для состояний
с/ = 0 из нонетов 3D и для состояний с 7 = 1 из но-
нонета Wz.
Экспериментальные данные ясно указывают на сущест-
существование я±я°-резонанса с /> 1 со значением массы около
1625 Мэв [31, 47]. Масса этого состояния согласуется
с массой Ra (ширина Г а* 60 Мэв представляется значи-
значительно большей), и эта форма распада согласуется с выбо-
выбором квантовых чисел A — — ), следующим из ^-моде-
^-модели, хотя спин и изоспин пока не были определены непо-
непосредственно. Однако имеются столь же ясные доводы [31]
в пользу существования Зя-резонанса с /> 1 с массой
около 1635 Мэв и шириной около 100 Мэв; этот резонанс
нельзя поместить в нонет 3Dt. При L = 2 он может возни-
возникать только из состояния XZ>2 с / = 1; тогда это состояние
должно быть сдвинутым вниз от состояния 3D2 и находить-
находиться рядом с состоянием 3Di. Во многих экспериментах [31]
имеются также данные в пользу широкого резонанса
(Г «^ 200 Мэв) в я+я~-системе в области масс 1650 —
1700 Мэв, т. е. со значительно большей массой, чем масса
1625 Мэв, соответствующая указанному выше я*я°-резо-
нансу. Все еще не существует 2я-резонансов с / = 0 в D-
конфигурациях. В настоящее время интерпретация этих
резонансных состояний далеко не ясна.
*) Веман и др. [46] исследовали недавно пары мюонов, обра-
образующиеся при взаимодействии я "-мезонов высокой энергии с ядра-
ядрами. Эти авторы искали более тяжелые векторные мезоны, имеющие
отношение к электромагнитной структуре барионов. Их данные
обнаруживают только р-мезон, но, к сожалению, чувствительность
их эксперимента простирается только до 1500 Мэв и не захватывает
область мезонов Ва A632).
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 263
Имеются также указания на резонансные состояния К*
в этой области масс. Изучая реакции К~р при 10 Гэв/с,
группа экспериментаторов [48] установила существование
#*-резонанса с / = 1/2 при 1789 ± 10 Мэв и шириной
около 80 Мэв. Этот резонанс наиболее явно проявляется
в распределении масс Кил,, хотя он обнаруживается
совершенно определенно в Кр-, К*п- и iJCco-каналах. Ввиду
того, что он отсутствует в /$Г*г]-канале по сравнению
с А^*я-каналом, Кейн [251 доказал, что этот резонанс
принадлежит нонету с С — —1. Тогда из отсутствия рас-
распада на Кп следует, что этот #*-резонанс может принад-
принадлежать нонету 3ZJ и, следовательно, должен быть сопо-
сопоставлен с резонансом R$ при 1699 Мэв, у которого 1=1.
Заметим, что значение
Д = (Я A789))»-(Др A699))» = C,1 ±0,6)-10е (МэвJ
вполне сравнимо со значениями А, полученными выше для
нонетов cL = 0nL = l.
Дюбал и др. [49] также представили данные о /$Г*-резо-
нансе при 1852 ± 8 Мэв с шириной около 85 Мэв. Эти
данные получены при изучении реакции К~р -*¦ р (К*)~
при начальном импульсе 7 и 12 Гэв/с методом спектрометра
«потерянной массы К*». Способы распада этого состояния
неизвестны. Представляется правдоподобным, что это
состояние К* может принадлежать тому же нонету, что
и состояние Ry A748). Значение А = (К*J — (#?J для
этих состояний равно C,7 ± 0,6) -105 (МэвJ; оно несколь-
несколько больше, но все еще сравнимо со значениями А, полу-
полученными из низших нонетов. Конечно, пока еще нет
независимого подтверждения какого-либо из этих ,йТ*-резо-
нансов; в каждом эксперименте не существует сведений
относительно ,йТ*-резонансов, получаемых в другом
эксперименте.
Недавно было сообщено также об экспериментах
с пузырьковой камерой, в которых наблюдались много-
пионные резонансы, относящиеся, по-видимому, к еще
более далеким нонетам. Самым ярким примером является
(я+я~л°)-резонанс, о котором сообщили Аллее-Борелли
и др. [50], изучавшие реакцию
-п° (III. 22)
264
Р. Далиц
с антипротонами при 5,7 Гэв/с. Наблюдавшийся максимум
при большом значении массы виден очень хорошо; он
выступает на распределении так же сильно, как макси-
максимум, отвечающий со-мезону. Он соответствует массе 2207 +
+ 8 Мэв и ширине 62 ± 52 Мэв, которую можно целиком
отнести за счет ошибок разрешения. Представляется
I
I
1
0,45
о 1 г г з 4 5 6
мбозон >Гз>г
Ф и г. 2. Схема основных мезонных возбуждений, наблюдавшихся
в реакции п~ + р —*¦ р -\- (потерянная масса), которую изучала груп-
группа Маглича в ЦЕРНе с помощью спектрометра потерянной массы
[45].
Максимумы пронумерованы в порядке возрастания их массы числами п,
начиная с р-мезона. Для каждого мезонного возбуждения отложено значение
квадрата массы в зависимости от п.
наиболее вероятным, что этот резонанс связан с Г-мезо-
ном при 2195 Мэв, хотя в настоящее время прямых осно-
оснований для такого утверждения нет. Изоспин этого Зя-
состояния неизвестен; не было найдено сколько-нибудь
ясных указаний на соответствующие Зя-состояния с заря-
зарядами ± 1 в данных, полученных для указанной реакции
(II 1.22). Эти данные по меньшей мере дают ясное независи-
независимое свидетельство существования весьма узких мезонных
резонансов с большой массой, подкрепляя эксперимен-
экспериментальную работу группы Маглича в ЦЕРНе, в которой
использовался спектрометр потерянной массы.
Фокаччи и др. [451 указали, что если мезоны р, А2, R,
S, T, U пронумеровать числами п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, то
6. Кеарковая субструктура мевониых и барионных сост. 265
зависимость квадрата массы от п оказывается приблизи-
приблизительно линейной, как это показано на фиг. 2. Это говорит
о том, что эти состояния могут образовывать семейство
состояний. Простейшая возможность в (?(?-модели заклю-
заключается в предположении, что это семейство состоит из
последовательности вращательных возбуждений, и в этом
случае п определяет полный спин соответствующего мезона.
Тогда график на фиг. 2 соответствует траектории Редже для
состояний/ = Z, + 1,/ = 1,Y = O, т. е. главной траек-
траектории Редже для состояний с (/, У) = A, 0). Ее линейная
экстраполяция на меньшие значения Ег пересекает ось
Ег = 0 при п = 0,45; такой результат хорошо согласует-
согласуется со значением п = 0,48 ± 0,05 [обычно обозначаемым
оср @)], полученным для траектории р-мезона из данных
по рассеянию и полным сечениям, соответствующих обла-
области ?г<;0 (т. е. для физических передаваемых импульсов).
Заметим, что траектории с четной и нечетной сигнатурой
здесь совпадают, так как мезоны р и Az лежат на одной
траектории. В QQ-моцеля это представляется естествен-
естественным: мы не ожидаем возникновения сколько-нибудь зна-
значительных обменных сил, поскольку для их появле-
появления потребовался бы обмен системами с барионным чис-
числом 2/3, а низшее такое состояние — это состояние QQ
с массой 2Mq.
Энергия возбуждения, возникающая из центробежного
члена в (II 1.9), приближенно определяется выражением
Линейная последовательность, наблюдаемая для состоя-
состояний с / = Z + 1, соответствует линейной зависимости Е2
от L. Это отличается от ситуации, обычной для молекуляр-
молекулярной физики, где (l/r2)i, приближенно не зависит от L,
а 6Ь (Е2) растет как L (L + 1). Здесь требуется, чтобы
A/г2)ь убывало с ростом L более или менее подобно
1/B// + 1). Отсюда следует, что для низших возбуждений
эффективный потенциал V (г) должен быть довольно глад-
гладким и открытым, вроде функции (Fo + Яг2), т. е. иметь
вид, показанный на фиг. 1. Действительно, если V (г) имеет
эту форму потенциала гармонического осциллятора в обла-
266
Р. Да.шц
сти, где волновая функция QQ велика, то Е2 будет в точ-
точности линейной функцией от L.
В ^-картине уже открытые мезонные состояния соот-
соответствуют низшим уровням в очень глубокой потенциаль-
потенциальной яме V (глубина ямы близка к 2Mq). Вращательное
возбуждение основных уровней приведет к связанным
состояниям в этой потенциальной яме вплоть до очень
больших значений L [до ?Макс> равного по порядку вели-
величины 4/k/Q/oCp @), где 0Ср @) = 1,05 (ГэвJ— наклон траек-
траектории Редже при Е2 = 0; таким образом, LMaKG ^ 1021.
Следовательно, в этой модели траектории Редже должны
продолжаться вправо с ростом J вплоть до значений спина
порядка 102, прежде чем они начнут двигаться в обратную
сторону налево.
Для состояний с большим L область масс между состоя-
состояниями с / = L ± 1 будет иметь порядок величины
8Е2 (Ь)во « 2МQ BL + 1) (vso (г))ь. A11.24)
Поскольку данные Фокаччи и др. [45] не обнаруживают
расщепления внутри максимумов S, Т и U, которые и так
уже исключительно узкие (ср. табл. 3), мы должны сде-
Таблица 3
Массы и ширины высших резонансных состояний
с J = l, F=0, обнаруженные в экспериментах со спектрометром
потерянной массы группой Маглнча в ЦЕРНе [45]
Мезонное
состояние
Масса, Мэв
Ширина Г, Мэв
К
1632±10
<21
ле
1699+10
<30
«v
1748+10
<38
s
1929±15
<35
т
2195+15
<13
и
2382+24
<30
лать вывод, что вклад 8Е2 (L)So от спин-орбитального
взаимодействия должен быстро убывать с ростом L.
При L = 2 расщепление равно 6Z?2 B)so — R\ — R^ »
« 0,39 (ГэвJ; это можно сравнить с 6?2 (l)so = (-42J —
—р2 ж 0,76 (ГэвJ при L = 1. При L = 3 эмпирическое
значение ширины ?-мезона приводит к верхнему пределу
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 267
8Е2 B)So-<0,14 (ГэвJ. Для такого поведения требуется,
чтобы потенциал (vso (r))L быстро убывал с ростом L.
Это будет иметь место, например, тогда, когда спин-орби-
спин-орбитальное взаимодействие vSo имеет гораздо меньший радиус
действия, чем потенциал сверхсильного взаимодей-
взаимодействия V (г).
В рамках ^-модели будут существовать четыре траек-
траектории Редже, отвечающие р- и я-мезонам; три из них
соответствуют состояниям триплета 3LL+i, 3LL и 3Lb_1,
и одна — синглетному состоянию 1LL. До тех пор, пока
спиновой зависимостью QQ-сил можно пренебречь, эти
четыре траектории будут при больших / становиться
параллельными на графике / (М2), как показано на
фиг. 3, а, поскольку в этом случае указанные четыре
состояния становятся вырожденными по энергии. Это
вырождение проявляется еще более явно, если указан-
указанные четыре траектории откладывать как функции L,
а не /, как показано на фиг. 3, б.
Наиболее удивительным свойством тяжелых мезонных
резонансов, установленным Фокаччи и др. [45], является
острота этих резонансных максимумов. Сообщается, на-
например, что ширина Т-мезона меньше 13 Мэв, несмотря
на столь большое значение массы, как 2195 Мэв. Самое
прямое объяснение таких малых ширин состоит в том,
чтобы отнести их за счет больших значений углового
момента, предполагаемых для этих состояний. Центробеж-
Центробежные барьеры, с которыми встречаются вылетающие при
распаде частицы, быстро растут с увеличением L. Если
R — радиус области сильных взаимодействий, в которой
возникает вылетающий мезон, то амплитуда прохождения
через барьер адекватно измеряется амплитудой падающей
волны с угловым моментом I (нормированной на единич-
единичную амплитуду на бесконечности) на границе R; таким
образом,
J 1 /ттт 0
Главный член является хорошим приближением, пока
(kRJ < D1 + 6). Обращаем внимание на большой множи-
множитель /!! = {1-3 . . . B1 + 1)} в знаменателе; например,
w
s,0
4,0
5,0
6,0
1,0
4,0
5,0
6,0
Фиг. З. Реджевские графики для известных мезонных резонанс-
резонансных состояний с / = 1, Y = 0, согласно интерпретации этих
состояний в кварковой модели.
а обычный реджевский график зависимости J от квадрата массы; б — гра-
график зависимости L от квадрата массы; в этом случае все четыре траектории
становятся вырожденными, начиная с достаточно больших значений массы.
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 269
при kR — 1 и I — 4 эта амплитуда прохождения через
барьер составляет только около 10~3. В области масс
~2 Газ для двухчастичных способов распада типа Р + Р,
Р + V и т. д. обычно характерны импульсы А; ^ 1 /We
Если мы примем радиус взаимодействия для процесса
испускания пиона, равный R «? 0,2 ферми (среднеквад-
(среднеквадратичный радиус пиона равен приблизительно 0,3 ферми
в модели с потенциалом гармонического осциллятора, рас-
рассмотренной выше), то величина kR достаточно мала
и можно использовать приближение (III.25). Беря это
выражение (III.25) и фазовый множитель к/т, гдет —
масса исходной частицы, мы приходим к грубой оценке
2. A11.26)
Сравнение со случаями р-мезона и /-мезона дает поря-
порядок величины у & 105 Мэв. Если теперь мы рассмотрим
мезон со спином / = 4 и с массой М » 2 Гэв, то это
выражение приводит к парциальной ширине порядка
0,1 Мэв для двухчастичного распада. Для более сложных
двухчастичных способов распада, таких, как V + V,
Az + Р и т. д., допускаются меньшие угловые моменты
вылетающих частиц; при этом, однако, импульс к в конеч-
конечном состоянии гораздо меньше прежнего, а поэтому
значительно уменьшается множитель (kRJ1. Для еще
более сложных способов распада, таких, как каскадные
процессы L -*¦ л + (L — 1), можно ожидать, что матрич-
матричные элементы^будут быстро убывать с ростом L из-за сла-
слабого перекрытия начальной и конечной радиальных вол-
волновых функций, а также из-за ограничений на связи
конечных угловых моментов. Несмотря на то, что коли-
количество разрешенных каналов_^распада быстро возрастает
с увеличением массы М исходной частицы, амплитуды
отдельных распадов могут убывать еще более быстро.
Это будет в том случае, когда угловой момент состояний
этих частиц также увеличивается с ростом массы исходной
частицы таким образом, что полная ширина распада остает-
остается малой или даже убывает при возрастании М через эту
последовательность состояний частицы. Такая ситуация
хорошо известна в атомной физике. Например, для сильно
возбужденного состояния (скажем, п — 4) атома водорода
270 Р. Далиц
ширина распада намного меньше, чем для р-уровней
с L = 2, несмотря на то, что число возможных ^-распадов
из состояния с п = 4 гораздо больше, чем из состояния
с га =2. Это происходит потому, что амплитуды перехода
быстро убывают' с ростом п.
Эти замечания о ширинах распада высших мезонных
состояний трудно представить полностью в количественном
виде 1). Однако в гипотезе о том, что последовательность
наблюдавшихся мезонных состояний образует реджевское
семейство, подразумевается, что высшие состояния дол-
должны иметь большие значения спина. Это сразу приводит
к естественной и внушающей доверие качественной интер-
интерпретации малых ширин распада указанных состояний,
если принять еще одно предположение о том, что радиус R
области сильного взаимодействия, из которой образуются
продукты распада, достаточно мал. Такая интерпретация
допускает еще возможность существования тяжелых мезо-
мезонов с малыми значениями спина, соответствующих низшим
траекториям Редже, отвечающим радиальному возбужде-
возбуждению QQ-сжтемы. Ширины распада этих мезонов будут
намного больше ввиду малых значений их спина. Такие
широкие мезонные состояния было бы очень трудно обна-
обнаружить методом спектрометра потерянной массы вслед-
вследствие необходимости вычитать большие вклады фона. Для
обнаружения этих частиц потребуются, несомненно, более
тонкие опыты, включающие изучение статистики опреде-
определенной системы продуктов распада как функции их энер-
энергии в системе центра масс.
IV. Барионные состояния
Здесь мы рассмотрим интерпретации данных о барион-
ных состояниях, предполагая, что эти состояния образова-
образованы за счет сильной связи трех кварков через (^-потен-
(^-потенциал V (г). Многие авторы обсуждали различные аспекты
*) Интересно вспомнить, что возможность высоких центробеж-
центробежных барьеров, связанных с большим значением спина, широко
обсуждалась примерно 15 лет назад как возможное объяснение
больших времен жизни (~10-10 сек!) низших мезонных и барионных
странных частиц, о которых было известно, что они относятся
к сильно взаимодействующим частицам, благодаря их совместному
рождению в столкновениях при высоких энергиях.
6. Кварковая субструктура мезонных и барионних сост. 271
этой модели; в частности, Боголюбов и др. [13], Далиц [14,
15], Хори и др. [51], Ишида [19], Митра [52, 53], Митра
и Росс [54], Морпурго 155], Намбу [56] и Тирринг [57].
В этой QQQ-моделп для барионных состояний допускаются
только представления {1}, {8} и {10}, и все твердо уста-
установленные резонансы согласуются с этими представления-
представлениями. Первые из этих состояний — это хорошо известные
низшие состояния с положительной четностью: барион-
ный октет В A/2+) и барионный декуплет В* C/2+).
Существует также еще одно низшее состояние с положи-
положительной четностью, а именно N*/2 A400), которое считает-
считается сильно неупругим состоянием A/2+) и которое
можно отнести к следующему октету A/2+). Затем имеет-
имеется ряд резонансных состояний с отрицательной четно-
четностью, которые приведены в табл. 4; значения (/, Y) всех
Таблица 4
Барионные резонансные состояния с отрицательной четностью,
сгруппированные по SU (З)-мультиплетам в соответствии
с их качественным согласием с систематикой по массе
для барионных мультиплетов или же согласно сведениям
об их относительных вероятностях распада
Спин,
четность
A/2-)
C/2-)
E/2-)
G/2-)
Представле-
Представление
{1}
{8}
{8}
{10}
{1}
{8}
{10}
{8}
{8}?
Барионпые резонансные состояния
Y* A405)
^A570),
7V*/2A70O),
^з*/2A670),
У* A520)
7Vf/2A515),
У? A670),
Y* A700)?,
..... S*A820)
iVf/2 A688),
7V}JB190),
У % A765),
Л; BИ0),
Y* A750)
У* A660)
Y* A840)?
...
Частица Н* A820) отнесена к декуплету на основании известного для
нее отношения BК)/(ЛК). Связь между Yq B110) и ЛГ*/2 B190) является
в настоящее время совершенно не определенной; если исходить из система-
систематики по массам, то оказывается довольно правдоподобным, что У* B110)
представляет собой состояние унитарного синглета.
272 РЛДалиц
этих состояний согласуются с размещением их в синглет-
ные, октетные или декуплетные представления. Затем
следуют дальнейшие резонансы с положительной четностью,
приведенные в табл. 5; снова оказывается, что они обра-
Таблица 5
Установленные высшие барионные резонансы
с положительной четностью
Спин,
четность
E/2+)
G/2 + )
N*
tf?/tA688)
N*/2(i920)
у*
У* A820), (Г* A910)?)
Y* B035)
зуют одно октетное и одно декуплетное представления.
Были установлены и дальнейшие резонансные состояния
типов Щ/2, N*/2, Y* и Y*, массы которых еще больше; они
также согласуются с синглетными, октетными и декуп-
летными представлениями.
С другой стороны, несмотря на усиленные поиски,
в л2-системах не было найдено резонансных состояний
с зарядом ±2, по крайней мере до 2 Гэв; эти состояния
были бы характерны для представления {27}. Однако
здесь важно упомянуть об одном возможном затруднении:
Кул и др. [58] наблюдали небольшие всплески в полных
сечениях К+р и K+d. Маловероятно, чтобы отмеченный
всплеск в сечении К+р представлял собой проявление
резонансного состояния с / = 1. Этот всплеск расположен
сравнительно близко к порогу неупругих процессов
К+р -v KnN, и изучение этих процессов показало, что
он обусловлен быстрым возрастанием и убыванием не-
неупругого сечения. В этой области энергий угловые рас-
распределения неупругих процессов меняются плавно и не
обнаруживают признаков резонансного поведения. Мы
можем считать, что быстрое возрастание этих неупругих
сечений обусловлено огромной силой порождающих их вза-
взаимодействий, а их убывание представляет собой спад типа
(~ 1/А;2), требуемый условием унитарности для парциаль-
парциальных волн /C/V-взаимодействия вплоть до конечного пре-
предельного орбитального момента /макс. Для /C/V-состояния.
6. Кваркоеая субструктура мезонных и барионных сост. 273
с / = 0 полное сечение получается из разности 2а (K+d) —
—За (К+р) с учетом некоторых более тонких поправок.
Сечение а0, полученное Кулом и др., обнаруживает
заметный всплеск (около 8 мб) при значении массы
1880 Мэв. О неупругих процессах с / = 0 при этой энер-
энергии сведений довольно мало, однако из имеющихся дан-
данных при энергиях, больших и меньших этого значения
массы,> следует, что совершенно невероятно, чтобы такой
всплеск с / = 0 можно было отнести за счет влияния не-
неупругих процессов (сильный процесс KN -*- KN* запре-
запрещен при / = 0, и неупругое сечение оказывается сравни-
сравнительно малым и медленно растущим при переходе через
это значение массы). Необходимо более детальное исследо-
исследование ЯТУ-процессов при 1 = 0.
Если будет установлено, что этот всплеск обусловлен
резонансным состоянием, то придется признать существо-
существование мультиплета {10} резонансных состояний, осталь-
остальными членами которого будут N*/2y Y* и Е*/2. Пока не
найдено каких-либо указаний на резонансы S* с / = 3/2,
однако для значений масс выше 2000 Мэв существует до-
довольно мало данных. Простейшей кварковой конфигура-
конфигурацией, содержащей представление {10}, является конфи-
конфигурация QQQQQ- Поскольку масса этой конфигурации
находится в области масс состояний, которые мы относим
здесь к конфигурации QQQ, будут иметься все основания
ожидать существенного смешивания между конфигурация-
конфигурациями QQQ и QQQQQ; тогда приведенные здесь простые рас-
рассуждения, основанные на рассмотрении одной только кон-
конфигурации QQQ, окажутся несостоятельными. Мы пока
пренебрегаем этой возможностью и рассматриваем только
конфигурации QQQ. Если существование резонансного
состояния KN с 7 = 0 будет установлено, то все приве-
приведенные выше соображения, по-видимому, потребуют по
меньшей мере значительного пересмотра.
Уровни, L = 0+. Известно, что низшие барионные сос-
состояния соответствуют представлению 56 группы SU F),
состоящему из барионного октета A/2+) и декуплета
C/2+). Отвечающая этому представлению волновая
функция спина и унитарного спина симметрична по квар-
ковым индексам. Следовательно, если принять естествен-
18—716
•..74
Р. Далиц
ное предположение, что кварки подчиняются статистике
Ферми, то пространственная часть волновой функции
должна быть полностью антисимметричной по зтим индек-
индексам. Поскольку это представление расположено по массе
ниже всех других, мы ожидаем, что орбитальный момент
этого состояния L = 0. Оба эти требования могут быть
выполнены; однако для этого внутренние орбитальные
Фиг. 4. Система координат
и определение внутренних уг-
угловых моментов в простран-
пространственной волновой функции
трехкварковой системы.
моменты должны быть отличными от нуля. Если опреде-
определить внутренние угловые моменты I, Г согласно фиг. 4,
то эти требования означают просто, что V = I = нечетно-
нечетному числу. Низшая конфигурация (I, V) = A, 1) не
является полностью антисимметричной; значит, должна
быть примесь некоторой конфигурации (I, V) — C, 3).
Простейшая волновая функция имеет вид
Ч'проотр - (rl-rl) (rl-rl) (rl-rl) <рспмм (rlt r2) r3), (IV.l)
где rt, r2, Г3 — векторы положения трех кварков относи-
относительно их центра масс. Если выразить эту волновую функ-
функцию через конфигурации (Z, Г), то она принимает вид
2, Л2),
(IV.2a)
-х] Г?(cos0)-
4 (cos 6)} Фоимм (г», Д2), (IV.2G)
где г = г4 — г2 и R = г3 — (rt -f- r2)/2, а 9 — угол меж-
между г и R, так что Y°i (cos 9) обозначает функцию с L = 0,
отвечающую условию V — I.
в. Кваркивия субструктура меаонных и барионных сост. 275
У полностью антисимметричной волновой функции
(IV.1) имеются по крайней мере три узловые плоскости.
Следовательно, ей соответствует большая, кинетическая
энергия; для волновой функции основного состояния
такой вывод*вызывает удивление. Однако это возможно,
если (?(?-потенциал имеет характер сильного обмена, так
что фф-взаимодействие представляет собой сильное притя-
притяжение в р-состояниях и отталкивание в s-состояниях.
Общий вид чисто пространственно-обменного потенциала
определяется выражением
Радикати [59] указал, что потенциал такого вида может
возникать вследствие обмена псевдоскалярным нонетом
и векторным нонетом, что представляет собой обобщение
на SU (З)-симметрию смеси Мёллера — Розенфельда, об-
обсуждавшейся для ядерных сил много лет назад. Эта
комбинация мезонных обменов оказывается в точности
такой, что компенсирует тензорные QQ-силы. Такая модель
означала бы, что (?(?-потенциал V нельзя простым образом
связать с (^-потенциалом V, поскольку потенциал V,
соответствующий (IV.3), был бы тогда пропорцио-
пропорционален проекционному оператору на SU (б)-синглет
A — а-о) A — F-F) и поэтому не мог бы давать вклада
в притяжение между кварком и антикварком, очевидно
существующему в представлении 35.
Предсказания относительно электромагнитных свойств
барионного октета и декуплета, следующие из их поме-
помещения в представление 56, оказались вполне успешными.
Эти предсказания таковы:
1) отношение полных магнитных моментов нуклонов
равно |Лр/[гп = —3/2, что можно сравнить с эмпирическим
отношением 2,79/(— 1,91);
2) амплитуда ?2-перехода yN -*- N* A238) обращает-
обращается в нуль (эмпирическое отношение Е2/М1 при резонансе
не больше нескольких процентов);
3) амплитуда М1-перехода yN -> iV* равна B |/2|л,р/3)
(эмпирическое значение больше этого предсказанного
приблизительно на 30%) [60].
Митра и Маджумдар [60] недавно указали одно воз-
возможное затруднение, возникающее из-за антисимметрич-
18*
276 Р. Далиц
ности пространственной волновой функции барионов;
основная часть формфактора (?()@-системы может иметь
узлы. Они рассмотрели антисимметричную волновую
функцию вида (IV. 1) со следующим, довольно разумным,
выбором функции <рсимм:
Фсимм = ехр { - |52 (г* + r\ -f r\)}, (IV.4a)
(IV.46)
Эта волновая функция приводит к следующему виду основ-
основной части формфактора F (д2) *):
где z = g2/12p2. Эта функция имеет нуль при z = 3,8.
Если предположить, что распределения заряда и магнит-
магнитного момента кварков фиксированы, то электрические
формфакторы нуклона будут определяться выражениями
FEp = FEQ(q2)F(q2), FEn=0, (IV. 6)
а формфакторы магнитного момента нуклона
где Feq (q2) и FMQ (g2) — формфакторы заряда и магнит-
магнитного момента кварков [согласно SU (З)-симметрии, форм-
факторы всех трех кварков одинаковы]. Конечно, при
выводе выражения (IV.7) мы пренебрегаем возможностью
вкладов от обменных токов между .кварками, которые
привели бы к дополнительным членам. Заметим, что
нуль в F (q2) приводит к нулю при том же значении q2 во
всех нуклонных формфакторах. Недавние измерения
формфакторов протона [62] установили значение FMp
вплоть до передаваемого импульса q2 = 250 (ферми)'2.
В этой области F мр отличен от нуля, и трудно поверить,
что при любой разумной экстраполяции FMp может
проходить через нуль при передаваемом импульсе, мень-
меньшем q2 = 400 (ферми)'2. Зарядовый формфактор FEp изве-
известен, конечно, не так хорошо при больших q2 [62, 63];
известные данные показывают по крайней мере, что
FEp не имеет нулей при д2<50 (ферми)'2.
*) Получено Р. Далицем и Д. Дорреном (Оксфорд). Этот резуль-
результат исправляет выражение, приведенное в работе [61].
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 277
Если через R^q обозначить среднеквадратичный радиус
пространственного распределения кварков в барионах,
то из выражения (IV.5) имеем
Если кварки распределены в виде точечных зарядов, то
jR3QPaBeH просто среднеквадратичному зарядовому радиу-
радиусу протона, т. е. R3Q — 0,8 ферми. Тогда предсказывается,
что узел в формфакторах нуклона будет существовать
при передаваемом импульсе, равном
= 107 (ферми)'2,
что противоречит данным по FMp, хотя и не оказывается
несовместимым с существующими данными по FEp. Если
через RM обозначить среднеквадратичный радиус магнит-
магнитного момента кварков, то среднеквадратичный радиус
распределения магнитного момента протона окажется
равным (Rjf + Л|о)'/« = 0,8 ферми. Узел в FMp пред-
предсказывается при q2 = 68,5/i?lQ; из эмпирического требо-
требования, чтобы этот узел находился дальше q2 = 400 (фер-
(ферми)'2, следует тогда неравенство ^Rsq-^.0,4. ферми.
Следовательно, измеренное значение радиуса протона при-
приводит к RM>0,7 ферми, так что электромагнитные раз-
размеры протона должны быть в первую очередь обусловлены
размерами самих кварков. До тех пор, пока распределение
магнитного момента внутри кварков можно описывать
с помощью промежуточных р-, со- и ф-мезонов, такое зна-
значение RM нельзя рассматривать как неразумное. Инте-
Интересно упомянуть здесь, что правило сумм, которое
использовал де Шалит [64], приводит к неравенству
R3q<0A (Mq)-1^ ферми, где MQ — масса кварка в Гэв.
Ясно, что этот предел вполне согласуется с отсутствием
узла в формфакторах протона по меньшей мере вплоть до
передаваемых импульсов порядка 1000 (ферми)'2.
Представляется правдоподобным, что такой узел дол-
должен появляться в основной части формфактора F (q2)
вообще для любой антисимметричной пространственной
волновой функции. Если узел в формфакторах протона
никогда не будет найден [скажем, ниже 5000 (ферми)~2],
278 р- Далиц
то это окажется очень серьезной трудностью для QQQ-uo-
дели барионов. Ее можно избежать, только предполагая
парастатистику для кварков (см. ниже); при этом про-
пространственная волновая функция трех кварков может
быть симметричной, а основная часть формфактора F (q2)
может не содержать узлов.
Взаимодействия, нарушающие SU (З)-симметрию.
Пусть нарушение SU (З)-симметрии в барионных мульти-
плетах происходит за счет одночастичного оператора,
приводящего к тому, что энергия Х-кварка в QQQ-сиетеме
на А' больше, чем энергия п- и р-кварков. Тогда для
согласования с состояниями декуплета требуется, чтобы
Л' « 147 Мэв, а для согласования с состояниями барион-
ного октета должно быть Л' « 190 Мэв [= (S — N)I2\.
Эта модель предсказывает тогда, что состояния Л и 2 рас-
расположены вместе при значении массы, равном (Е + N)l2tt
« ИЗО Мэв. Хотя среднее значение массы Л и 2 весьма
близко соответствует этому предсказанию, расщепление
массы 2 — Л » 80 Мэв представляет собой значительное
расхождение с этой моделью. Оказывается необходимым
включить также некоторые двухчастичные (^-взаимо-
(^-взаимодействия, нарушающие S U (З)-симметрию. Эту возмож-
возможность впервые рассмотрел Цвейг [3]. Федерман и др. [65]
тщательно изучили эту возможность и показали, что для
состояний из представления 56 массовая формула SU F)-
симметрии следует в том случае, когда нарушающие
симметрию потенциалы W^l (S — полный спин, / —
полный изоспин, а, Ъ — два взаимодействующих кварка)
удовлетворяют соотношению
2Wl&h)^WttN + Wll (IV. 10)
независимо от значении синглетных потенциалов \\аъ-
Соотношение (IV. 10) выражает условие того, что потен-
потенциалы Wab соответствуют Oj-компоненте октета; поэтому не
удивительно, что значения масс удовлетворяют формуле
Гелл-Манна — Окубо.
На этой стадии уместно подчеркнуть наше непонима-
непонимание источника расщепления масс, обратив внимание на
«безумную массовую формулу Липкина», которая гласит
6. Кварковая субстцуктура мевонных и барионпых сост. 279
где Q показывает, что равенство имеет место для (массы) 2,
a L — что равенство выполняется для массы. Мы отмечали
выше, что левое равенство соответствует равенству выраже-
выражений (el — e?v) в (^-состояниях со спинами S —¦ 0 и S — 1,
где 6q = Eq — одночастичный оператор, определяющий
для (^-состояния вклад каждого кварка Q или антиквар-
антикварка QbE2. Правое равенство соответствует равенству выра-
выражений (г% —е^) или (ej,2 — е^) в состояниях QQQ-системы
с S = 1/2 и S = 3/2, где z'q или е?? — одночастичный
оператор, определяющий для QQQ-състъмы вклад каждого
кварка в Е или в Е2 соответственно. Поскольку массы
декуплета и барионного октета сравнимы по величине,
выполнение равенства для масс барионов не слишком
сильно зависит от того, какая величина используется
в этом случае — масса или квадрат массы. Загадку пред-
представляет центральное равенство,которое оказывается совер-
совершенно ошибочным, если использовать квадрат массы.
Единственное, что представляется ясным после рассмо-
рассмотрения соотношения (IV.11),— это факт, что разности
(г). —eN) и (ёх, —ejv) нельзя интерпретировать г) просто
как разности масс кварков (Mi—MN). Вполне возможно,
что центральное равенство является просто случайным.
2) Сравним уравнение Бете — Солпитера (III.5) для состояний
я+ = (пр) и К+ = (кр), предполагая, что Х-кварк тяжелее п- и
р-кварков на величину 6. Тогда, обозначая квадрат массы я+-мезона
через Е2, а Я+-мезона через (Е2 -\- б?2), мы найдем в первом поряд-
порядке для левой части выражение
= L (л+) -8Л/26 (?2) + 2 DЖ?J -А. ,
если учтем, что Е, е, р < М. Следовательно, в первом порядке
сдвиг массы К+2 — я+2 равен
Мы видим большой по величине множитель AM. Если использовать
установленное значение Д ж 0,2 (ГэвJ и принять М л; 10 1 эв,
то для 5 получается значение, равное всего 5 Мае (что соответ-
соответствует только порядку величины ожидаемого электромагнитного
вклада в массы кварков), так что интерпретация установленного
значения Д, как обусловленного разностью масс к — (п. р),
не имеет, по-видимому, глубокого физического смысла.
280 р- Далиц
Уровни L = 1 — . Барионные резонансы, четность
которых считается отрицательной, приведены в табл. 4<
Мы замечаем, что массы N* занимают область от 1518 до
1700 Мэв, а затем следует широкий промежуток вплоть
до 7VT/2 B190). Может быть, этот промежуток просто отра-
отражает отсутствие сведений о яЛ^рассеянии в области кине-
кинетических энергий пиона 1000—2000 Мэв. Однако извест-
известные значения спина и четности N*/2 B190) допускают
интерпретацию его как первое реджевское повторение
N*/2 A518), и мы предположим, что 7V*/2 B190) принадле-
принадлежит какому-то высшему супермультиплету.
Простая и приемлемая гипотеза состоит в том, что эти
барионные состояния с отрицательной четностью принад-
принадлежат QQQ-еоетояяию с вращательным возбуждением
L = 1 и отрицательной четностью. Как уже указыва-
указывалось [14], значение спина и унитарного спина @()()-системы
соответствует в этом случае представлению 70 группы
SU F). Указанное представление обладает смешанными
свойствами симметрии относительно перестановок квар-
ковых индексов. Это представляется вполне естественным
для волновой функции с L = 1, поскольку векторы поло-
положения (%, р), где
,1+г 2г3 ^ 2R Aу.12а)
У 6 Уб к '
(IV.126)
F У 2
образуют базис смешанного представления этой группы
перестановок. Пространственную волновую функцию
^м (г4, г2, г3) с L = 1— и смешанными свойствами сим-
симметрии можно тогда записать в виде произведения пред-
представления ("к, р) и скалярной функции <р (гь г2, г3), кото-
которая может быть симметричной или антисимметричной
или же принадлежать смешанному представлению группы
перестановок.
Эти унитарные мультиплеты разделяются за счет
влияния сильных взаимодействий, нарушающих SU F)-
симметрию. Центральные взаимодействия типа Va =
= Gi-Gz va и Vp = Fl'F2vF приводят к массовой формуле
(IV. 13)
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 281
Расщепление масс показано на фиг. 5. Поскольку для
представлений {1}, {8} и {10} оператор F2 принимает
значение 0, 18 и 36, формула (IV.13) приводит в этом
порядке к эквидистантному распределению представлений
с S = 1/2. Член aS2 разделяет октетные конфигурации 4Р
и 2Р. Каждый из этих мультиплетов расщепляется далее
за счет нецентральных взаимодействий, что приводит
к окончательной картине состояний, показанной на фиг. 5.
/8-
0-
Hi)
\
\
\
y—
\
\
\
\
\
—a-)
—a-)
—a-)
Фиг. 5. Схематическое представление унитарных мультиплетов,
содержащихся и конфигурации (L = 1 —, 70), после снятия вырож-
вырождения сшш-спиновыми силами, силами взаимодействия унитарных
спинов и спин-орбитальиыми силами.
Как видно из табл. 4, каждое из известных барионных
резонансных состояний с отрицательной четностью, нахо-
находящихся в этой области масс, имеет такие значения спина,
четности и унитарного спина, которые позволяют поме-
поместить его в один из этих унитарных мультиплетов. За
исключением обоих синглетных состояний Y* A405)
и Y* A520), ни один из этих унитарных мультиплетов не
заполнен окончательно; для одного унитарного мульти-
282 Р- Далац
плота, а именно для октета C/2—), в настоящее время
не известно кандидатов г).
Спин-орбитальные расщепления. Наше обсуждение не-
нецентральных взаимодействий будет пока ограничено рас-
рассмотрением спин-орбитального взаимодействия, поскольку
источник его должен вполне естественно обнаруживаться
при рассмотрении обмена векторными мезонами. Спин-
орбитальное взаимодействие будет давать вклад диагональ-
диагонального вида 2) в энергию каждого состояния, а именно вида
A (S, {a}) S-L. Не зависящее от F спин-орбитальное вза-
взаимодействие
приведет для каждого мультиплета к коэффициенту А
одного и того же знака, а это оказывается в противоречии
с имеющимися данными. Для синглетных состояний коэф-
коэффициент А положителен; с другой стороны, резонон N*/2
наименьшей массы имеет спин и четность C/2—), а отсюда
следует, что для состояний 2{8} коэффициент А отрица-
отрицателен. Поскольку в сверхсильный потенциал V включается
обмен векторным октетом, представляется естественным
рассмотреть возможность спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия, зависящего от F:
Uso (У) = A -f aFrFj) (a, + aj)-LtjU80 (ги). (IV. 15)
J) Вопрос о размещении S* A820) пока еще не решен. Мари-
нов [66] и Гольдберг и др. [67] подчеркнули, что относительные
вероятности распада Е* A820), в особенности отношение (АК/ЪК),
пе согласуются с помещением его в октет, содержащий N%/2 A518) .
и Ff A660). Резонон S* A820) мог бы с таким же успехом принад-
принадлежать другому октету C/2—), показанному на фиг. 5. В табл. 4
мы следовали схеме заполнения декуплета, которую предложили
Митра и Росс [54]. Размещение Yf A700) еще более неопределенно,
поскольку его наблюдали только в данных по полным сечениям
[68], а поэтому значение его спина и четности не было установлено.
В табл. 4 не приведено только что обнаруженное [69] очередное
резонансное состояние Yf A680), которое распадается главным
образом на лЛ и nYf A385). П*> чсей видимости, его следует поме-
поместить в декуплет C/2—), однако на данном этапе не существует
эмпирической информации о спине и четности Yf A680).
2) Спин-орбитальное взаимодействие будет также связывать
состояния 4{8} и 2{8} с одним и тем же полным угловым моментом.
В приведенных здесь замечаниях мы пренебрегли влиянием такого
недиагонального члена на октетнъте состояния A/2—) и C/2—).
6. Кварковая субструктура мезонных и барионних сост. 283
\
Оно приводит к диагональному вкладу
(А + ВП S-Ь (IV.16)
в энергию каждого мультиплета. Отсюда следует требова-
требование А > 0, поскольку Y* A405) расположен ниже всех
синглетных состояний. Для октетных состояний коэф-
коэффициент в выражении (IV.16) равен (А + 18 В); для декуп-
летных состояний он равен (А -\~ 36 В). Поскольку
N*/2 A518) расположено ниже состояний N*/2 A/2—),
мы делаем вывод, что (А + 18В) <С 0; это влечет за собой
строгое неравенство (.4 + 36 В) < 0 для состояний де-
куплета. Следовательно, предсказывается, что состояние
N*/2 C/2—) будет расположено значительно ниже состоя-
состояния N*/2 A670) A/2—). Если мы предположим, что
N*h A518) и N*/2 A570) представляют собой состояния
октета 2Р, то из этих соображений будет следовать, что
состояние N*/2 C/2—) должно располагаться примерно
при 1500 Мэв. Это значение массы было бы приемлемым
для резонанса iV*/a, принадлежащего тому же декуплету,
что и Н* A820). Хотя область масс вблизи 1500 Мэв хоро-
хорошо исследована в я+/?-рассеянии, пока нет каких-либо
указаний на такой йз/2-резонанс с / = C/2) в этой области1).
Для состояний iP такой характер спин-орбитального
расщепления привел бы к тому, что состояние Nf/2 A/2-)
должно было бы располагаться значительно выше 1700 Мзв,
где-то вблизи 1820 Мэв. И в самом деле, совсем недавно
в вопросе о существовании и расположении этого резонан-
резонанса были значительные разногласия [70]. Из такого спин-
орбитального расщепления следует существование еще
одного резонанса Nt/2 C/2-), расположенного между
указанными состояниями Nf;2 E/2—) и A/2—), с мас-
массой в области 1750—1800 Мэв. Однако в настоящее время
нет каких-либо сведений о таком резонансе. Тем не
менее в отождествлении унитарных мультиплетов с отри-
отрицательной четностью в этой области масс существует
значительная неопределенность. Пока остается открытым
вопрос о том, находится ли эмпирический характер спин-
1) Расчеты Митры и Росса [54] для массы 1500 Мэв приводят
к ширине этого <23/2-резонанса N*i2 около 6 Мэв. Не вполне ясно,
могли ли экспериментаторы обнаружить такой узкий резонанс
в этой области масс.
284 Р- Далиц
орбитального расщепления в согласии с одним только
взаимодействием (IV. 15).
Схема уровней может сильно отклоняться от про-
простых унитарных схем также за счет эффектов смешивания,
вводимых нарушающими SU (З)-симметрию взаимодей-
взаимодействиями (например, взаимодействием 8Н). Если в опера-
операторе 8Н не содержится нецентральных компонент, то он
не будет смешивать состояния S = 1/2 и S = 3/2. Однако
наблюдения показывают, что спин-орбитальные взаимо-
взаимодействия Uso (которые могут смешивать состояния
S = 1/2 и S = 3/2) имеют тот же порядок величины
(~100 Мэв), как и расщепление за счет 8Н, поэтому эти
два смешивающих воздействия следует, вероятно, рас-
рассматривать одновременно. Как в случае A/2 —), так
и в случае C/2—) оператор 8Н смешивает состояния У*
из мультиплетов {1} и 2{8}, причем последнее смешивается
с состоянием Y* из мультиплета 4{8} за счет действия опе-
оператора Uso', о"# смешивает состояния Y* из мультиплетов
{10} и 2{8}, причем последнее смешивается с состояни-
состоянием F* из мультиплета *{8} за счет действия Uso- Наконец,
6/7 смешивает состояния Н*/2 из мультиплетов {10} и 2{8},
причем последнее смешивается с состоянием 3*/2 из мульти-
мультиплета *{8} за счет действия Uso- В общем случае 8Н
по-разному воздействует на состояния N*/2 из мульти-
мультиплетов *{8} и 2{8}, что вызывает изменения в смешивании
этих состояний за счет Uso- Поскольку типичные разделе-
разделения несмешанных состояний по энергии составляют около
300 Мэв (за счет Va и VF), величина смешивания физиче-
физических состояний может быть очень большой. Эти эффекты
смешивания могут привести к серьезным трудностям при
исследовании мультиплетных взаимосвязей между най-
найденными состояниями N*, Y* и S*. Они вызывают значи-
значительные отклонения от массового соотношения Гелл-Ман-
на — Окубо для состояний из одного мультиплета и, по-
видимому, должны особенно сильно влиять на относитель-
относительные вероятности различных каналов распада для каждого
из состояний мультиплета.
Уровни L = 2+. Дальнейшие системы установленных
барионных уровней приведены в табл. 5: это резонансы
E/2+), а именно Nth A688) и Y* A815), которые оказы-
оказываются членами одного октета, и резонансы G/2+)
6. Кварковая субструктура меэонных и барионных сост. 285
М/2 A920) и Y* B021b), которые, по-видимому, являются
qлeнaми одного декуплета. Естественно отнести эти уров-
уровни к вращательному возбуждению L = 2+. Поскольку
пространственная волновая функция при L = 2+ может
обладать такими же перестановочными свойствами сим-
симметрии, как пространственная волновая функция при
L = 0+, представляется естественным, что волновая
функция спина и унитарного спина опять принадлежит
представлению 56. Тогда это состояние следует рассмат-
рассматривать просто как реджевское вращательное возбуждение
основной конфигурации. Взаимодействия Va и VF, а так-
также спин-орбитальные взаимодействия приводят к расще-
расщеплению этого представления E6, 5) на два октета со
спином и четностью E/2+) и C/2+) и на четыре декуплета
со спином и четностью G/2+), E/2+), C/2+) и A/2+).
Известны только состояния из октета E/2+) и декупле-
декуплета G/2+). Остальные состояния с положительной четно-
четностью, по-видимому, расположены в областях больших
масс, где данные по рассеянию пионов на нуклонах и ана-
анализ этих данных находятся на сравнительно примитивном
уровне. Ввиду существующих в настоящее время неопре-
неопределенностей относительно природы спин-орбитального
^-взаимодействия, которые мы видели выше при попытке
интерпретировать состояния супермультиплетов (L = 1 — ,
70), мы не можем предсказать соотношение между массами
этих смешанных состояний и установленных резонансов из
октета E/2+). и декуплета G/2+).
Итак, состояние N* E/2+) с 7 = 1/2 и состояние
N* G/2+) с I = 3/2 допускают естественную интерпрета-
интерпретацию как первые возбужденные состояния в главной ред-
жевской последовательности вращательных возбуждений
для представления 56. Эта последовательность враща-
вращательных возбуждений будет продолжаться на более высо-
высокие значения масс, соответствуя L = 4+, 6+, 8+. Ввиду
сильной связи (>(?(?-состояний мы можем ожидать, что эта
последовательность будет продолжаться вправо на гра-
графике / (М2) вплоть до значений / порядка 103, прежде
чем траектория Редже повернет назад. [Порядок /
оценивается из выражения CMQJ/a'N @) при а' @) «
«1,1 (Гэв)~2, что получено из наклона линии, соединя-
соединяющей состояния с L = 2+ и с L = 0+ на графике / (М2).]
286
Р. Далиц
Следующей конфигурации с положительной четностью
соответствует L = 4+. Это приводит к октетным состояни-
состояниям со спином и четностью (9/2+) и G/2+) и к декуплетным
состояниям со спином и четностью A1/2+), (9/2+), G/2+)
и E/2+). Эти шесть унитарных мультиплетов представля-
представляют собой дальнейшее вращательное возбуждение шести
унитарных мультиплетов с L = 2+, так что существует
шесть реджевских последовательностей вращательных
возбуждений, относящихся к представлению 56.
Таблица 6
Масса и ширина резонансов Л* с 1 = 3/2,
четность которых считается положительной
JP
Масса, Гэв . .
(МассаJ . . .
Ширина Г, Мэв
C/2) +
1,236
1,53
120
G/2) +
1,920
3,69
200
A1/2)+?
2,423+0,010
5,86
155+10
A5/2)+?
2,850±0,12
8,12
200+20
A9/2)+?
3,23
10,43
220
Отметим, что квадрат массы непрерывно растет в этой последовательно-
последовательности [наклон J/M2 равен 1,15 (Гэв) -2]; значения Спина и четности, отмечен-
отмеченные вопросительным знаком, просто угаданы на основе предположения, что
эти пять состояний образуют реджевскую последовательность вращательных
возбуждений.
Состояния N* с I = 3/2 известны вплоть до больших
значений массы [71], как показано в табл. 6. Как хорошо
известно, на графике / (М2) эти состояния располагаются
на плавной кривой (почти на прямой); это наводит на мысль,
что они являются членами одной общей последовательно-
последовательности вращательных возбуждений, соответствующими L =
= 0+, 2+, 4+, 6+ и 8+. Интересно отметить, что шири-
ширина этих состояний мало возрастает с ростом L в этой обла-
области. Наблюдаемые ширины вполне могут соответствовать
только верхним пределам из-за возможности перекрытия
этих уровней с уровнями последовательности вращатель-
вращательных возбуждений с нечетным значением L, отрицательной
четностью и/ = 3/2 [из которых в настоящее время изве-
известно только состояние N*/2 A680) A/2—) с L = 1—].
Малую ширину этих уровней с большой массой снова
6. Кварковая субструктура меаонных и барионных сост. 287
можно понять, рассматривая большие значения их угло-
углового момента и соответствующее подавление их распада за
счет больших центробежных барьеров.
Точно так же ожидается появление последовательно-
последовательности вращательных возбуждений уровней с отрицательной
четностью на базе конфигурации (L = 1—, 70) со значени-
значениями L = 3—, 5—, 7— и т. д. Первой возбужденной кон-
конфигурацией будет (L = 3—, 70). Из нее возникает боль-
большое количество унитарных мультиплетов: два синглетных
состояния со спином и четностью E/2—) и G/2—), шесть
октетов - E/2-) и G/2-) при S = 1/2 и C/2-), E/2-),
G/2—) и (9/2—) при S = 3/2, и два декуплета E/2—)
и G/2—), а всего десять мультиплетов. Из этих мульти-
мультиплетов известны только два состояния G/2—): N*/z B190)
и Y* B110). Наиболее вероятно, что октет, начинающийся
с ./Vi/2B190), представляет собой вращательное возбужде-
возбуждение октета N*j2 A580), а резонон Y* B110) представляет со-
собой синглетное состояние, отвечающее первому вращатель-
вращательному возбуждению Y* A520). Об относительных вероятно-
вероятностях распада Y* B110) имеется довольно мало сведений; по-
поэтому указанное синглетное размещение нельзя проверить.
Фотовозбуждение. Мурхауз [72] рассмотрел фотовоз-
фотовозбуждение этих резонансов N* с отрицательной четностью
»JV* (IV. 17)
в рамках кварковой модели. Наиболее интересный ре-
результат состоит в том, что этот переход запрещен для
N* + E/2—); фактически он запрещен для всех состояний
iPJ резонанса JV*+. Этот переход имеет вид 2S -> *Р;
изменение спина исключает возможность обычного ?3-
перехода, а прямое вычисление ЛГ2-амплитуды приводит
к нулю. Это согласуется с экспериментом: известно, что
резонансное ¦ур-возб'уждение, наблюдаемое вблизи зна-
значения полной энергии 1690 Мэв, обусловлено главным
образом возбуждением E/2+), причем отношение интен-
сивностей обоих возбуждений равно E/2—)/E/2+) «
« 0,05 [73]. Липкин указал, что М2-возбуждение обра-
обращается в нуль случайно. Оператор магнитного момента
под действием преобразований из группы SU F) ведет
себя как оператор У] (заряд X о);, который относится
288 ?• Далиц
к представлению 35. Коэффициент Клебша — Гордана
для преобразования 56 X 35 -*¦ 70, соответствующий заря-
зарядовым состояниям в переходе ур -*¦ N* + , случайно
оказывается равным нулю. Липкин указал далее, что
соответствующий коэффициент Клебша — Гордана для
возбуждения нейтральных состояний не обращается
в нуль. Поэтому предсказывается, что процесс возбуж-
возбуждения
yi-n-*Nt?t{5/2-) .(IV. 18)
будет идти с достаточно большой вероятностью через М2-
возбуждение. Было бы очень интересно проверить это
предсказание.
Интересно также заметить, что состояние N* A570)
легко образуется в процессах фоторождения, как это
обнаружили Баччи и др. [74] в реакции ур —>¦ рц вблизи
порога. Из приведенных выше рассуждений тогда следует,
что это состояние должно принадлежать главным образом
конфигурации 2Р\/г-
Мы должны добавить здесь также, что разрешен про-
процесс фотовозбуждения состояний (L = 2+, 56); в част-
частности, наблюдаемый процесс фотовозбуждения ур —*¦
-*¦ N*/2 A688, 5/2+)+ может происходить за счет Е2-
и МЗ-переходов.
Процессы распада резонансов. На основе кварковой
модели Митра и Росс [54] произвели расчеты относитель-
относительных вероятностей различных каналов распада резонан-
резонансных состояний. Они предположили, что основным распад-
ным взаимодействием является однокварковый переход
<?-><? + мезон. (IV. 19)
Этот механизм не следует принимать слишком буквально.
На самом деле такая модель является лишь способом под-'
счета нужных коэффициентов Клебша — Гордана, опре-
определяющих относительные вероятности сопоставляемых
переходов (т. е. переходов, в которых начальные и конеч-
конечные кварковые конфигурации одинаковы, а также одина-
одинаковы орбитальные моменты вылетающих мезонов).
Митра и Росс выполнили расчеты для всех состояний
из представления (L = 1, 70), используя взаимодействие
6. Кварковая субструктура .^зонных и барионных сост. 289
вида
т. е. статическое взаимодействие Р-мезона и кварка
вместе с выражением, соответствующим галилеевской
инвариантности, где через Р обозначено среднее значение
начального и конечного .импульсов кварка. В качестве
способов распада должны были рассматриваться s- и d-
волновые распады типа В* G0, 3) -* В E6, 1) -f- P
и р-волновые распады типа В* G0, 3) -*¦ В* G0, 3) + Р,
где Р — октет псевдоскалярных мезонов. Мы не будем
подробно рассматривать полученные результаты, а исполь-
используем эти результаты для того, чтобы сделать несколько
общих замечаний.
1. В этой модели взаимодействие (IV.20) приводит
к дополнительному множителю со2 в выражении для ско-
скорости s- и d-волновых распадов помимо обычно возникаю-
возникающих за счет фазового пространства и центробежного барье-
барьера множителей р (р2Х21(р2 + X2))', которые сильно изме-
изменяются в зависимости от разностей масс в мультиплетах
начальных и конечных частиц. Из-за этого дополнительного
множителя оказывается предпочтительным образование
тяжелого мезона при распаде, имеющем место вблизи
соответствующего порога. Например, этот множитель может
помочь в объяснении большой парциальной ширины рас-
распада на Sri Для резонансов из октета A/2—), которые ока-
оказываются расположенными вблизи порогов рожденияВц.
2. Найдено, что некоторые резонансные состояния
имеют очень малую ширину или являются сильно неупру-
неупругими относительно канала, наиболее удобного для экспе-
экспериментального исследования. Эти особенности могут быть
причиной того, что некоторые резонансные состояния из
конфигурации G0, 3) не наблюдались, несмотря на широ-
широкие исследования в соответствующей области масс. Напри-
Например, Митра и Росс предположили, что состояние N*/2 из
мультиплета 2{10}з/2 может быть расположено при зна-
значении массы около 1500—1600 Мэв. В этом случае оно
могло бы распадаться только на Nn с шириной всего 6т-
14 Мэв и на N*n с шириной < 1 Мэв. Другое предсказа-
предсказание состоит в том, что состояние Y* из конфигурации
19—716
290 Р. Далиц
*{8}5/2 должно иметь исключительно малую парциальную
ширину для AjV-канала (вычисленное значение равно
нулю).
3. Модель предсказывает отношения fl{d + /) для раз-
различных переходов {8} -> {8} типа В* -> В + Р, если
отвлечься от неопределенности в величине смешивания
4{8} - 2{8}-
4. В течение долгого времени вызывал затруднение воп-
вопрос о размещении хорошо известного резонанса S*. A820).
Прямое измерение его спина и четности привело к двум
возможностям C/2—) и E/2+). Значение его массы по
сравнению с другими известными резонансами E/2+)
говорит в пользу выбора C/2—). Если S* A820) принадле-
принадлежит к тому же октету, что и Nf/2 A518) и У* A660), то
парциальные ширины, наблюдаемые в БР-каналах распада
этих последних резонансов, приводят к такому значению /,
из которого отношение 2К/АК для распада S* A820)
должно получаться большим (обычно порядка 10) [66,
67]. В экспериментах распад S* A820) -^-ЛК пока не
был зарегистрирован; верхний предел указанного отноше-
отношения с точностью до одного стандартного отклонения
составляет 2А7ЛАГ<0,1 1). Если поместить 3*/2 A820)
в октет E/2+), содержащий резонансы N*/2 A688) и
и Y* A815), не обращая внимание на возникающие в этом
случае трудности с массовой формулой, то для этого
отношения будет найдено аналогичное расхождение.
Митра и Росс указали на возможность поместить
3* A820) в не открытый еще декуплет C/2—), который
предсказывается представлением G0, 3) для резонансов
с отрицательной четностью. Это декуплетное состояние
имеет вид (АТ2 + зхЕ + К А — цЗ). Ввиду того, что
фазовый объем Лй'-канала больше, чем фазовый объем
2АГ-канала, предсказывается отношение BК)/(АК) = 0,3.
Митра и Росс указали, что величина этого отношения за-
заметно изменяется при добавлении умеренной примеси
октетного состояния. Поскольку на основании систематики
масс барионов мы ожидаем, что октет S* C/2—) распо-
расположен недалеко от 1800 Мэв, октетное и декуплетное сос-
Д ж. М е й е р, частное сообщение, Сакле, 1966 г.
6. Кварковая субструктура мёяонных и барионных сост. 291
тояния В* C/2—) должны иметь весьма близкие значе-
значения масс. Поэтому следует ожидать весьма большого сме-
смешивания этих состояний за счет нарушающих SU C)-
симметрию взаимодействий. Используя состояние
((/,9 2{10} + V0,1 2 {8}), они нашли удовлетворитель-
удовлетворительные значения для парциальных ширин: Г (АК) = 10 Мэв,
Г (ZK) =0,1 Мэв, Г (Зл) = 1 Мэв и Г (Six) = 8 Мэв.
Однако теоретической основы для этого конкретного
выбора смешанного состояния не существует. Митра и Росс
подчеркнули, что в случае малой примеси состояния {10}
к главному состоянию {8} нельзя получить удовлетвори-
удовлетворительное согласие.
5. Определенные предсказания об амплитудах распа-
распада для всех состояний 2S+1 {a}j из представления G0, 3),
следующие из расчетов Митра и Росс, облегчают решение
проблемы размещения установленных резонансов по этим
конфигурациям. Митра и Росс доказывают, что помещение
резонансных состояний Sri A/2—), а именно N*;2 A570),
Y* A670) и F* A750), в мультиплет 4{8} является необ-
необходимым, так как помещение их в мультиплет 2{8} при-
приводит к предсказанию гораздо больших ширин, чем наблю-
наблюдаемые для этих состояний [например, для Y* A670)
предсказывается ширина 370 Мэв, тогда как наблюдаемое
значение равно 18 Мэв]. Из тех же соображений очень
широкое состояние N*/2 A700) должно попадать в мульти-
мультиплет 2{8}. Однако помещение N*l2 A570) в этот мульти-
мультиплет противоречит большой наблюдаемой вероятности его
фоторождения, как обсуждалось выше.
Что касается состояний C/2—), то размещение резо-
резонансов N*/2 A518) и Y* A660) однозначно определяется
свойствами конфигурации 2{8}3/2 относительно распадов.
Для всех конфигураций *{8}з/2 предсказываются доволь-
довольно малые парциальные ширины относительно распадов
на ВР, причем основными способами распада являются
В*C/2+) + Р- Однако для этой конфигурации до сих
пор не имеется кандидатов. Если поместить Н* A820)
в мультиплет 2{10}3/2, то ожидается существование соот-
соответствующего Y* с массой около 1650—1750 Мэв, соответ-
соответствующего ./V*/2 с массой около 1500—1650 Мэв и состоя-
состояния Q" с массой около 1900—2000 Мэв (которое будет
19*
292 Р- Далиц
проявляться как узкое резонансное состояние ЕК). Пред-
Предсказывается, что их парциальные ширины относительно
распада на ВР будут сравнительно малыми (поскольку
испускается d-волна) и основными способами распада
будут распады на />Z?*C/2+), которые могут происходить
через испускание s-волны. Существует некоторое каче-
качественное согласие между этими предсказаниями и наблю-
наблюдавшимися свойствами резонона У"* A680) относительно
распадов: Дерик и др. [69] сообщили недавно, что в экспе-
эксперименте основными способами распада этого резонона
были каналы KN, пА. и яУ* A385) в отношении
@,3 ± 0,2) : 1,0 : A,0 + 0,3). Именно эти способы распа-
распада предсказываются как основные для состояния У* из
мультиплета 2{10}з/а, причем предсказываемые отноше-
отношения равны 1 : 1 : 6.
Нежелательные состояния. Как указывалось выше, тре-
требование антисимметрии для пространственной волновой
функции основного состояния барионов с L = 0 означает,
что в этом состоянии существуют внутренние угловые
моменты 1 и Г, которые при суммировании дают 1 +
+ Г = L = 0. Тирринг [57] указал другую антисимме-
антисимметричную волновую функцию, которую можно построить
из тех же внутренних угловых моментов I = V = 1 так,
чтобы получить полный орбитальный момент L = 1 -)--. Эта
пространственная волновая функция имеет вид
*простр (ГИ Г2! гз) —
= (г12 X г23 + г23 X г31 + Гз1 X г12) фсимм (rt, г2, г3). (IV.21)
Тирринг указал, что положение с узлами этой волновой
функции лучше, чем для пространственной волновой
функции с L = 0 +, так что вполне можно ожидать, что
эти состояния могут располагаться при меньших значениях
масс, чем соответствующие состояния в случае обсуждав-
обсуждавшихся барионных конфигураций для L = 0+. Следует
ожидать, по крайней мере, что состояния с положительной
четностью будут располагаться в этом случае при совсем
небольшой энергии возбуждения по сравнению с энергией
барионов. Такая конфигурация L = 1+ привела бы
к представлению E6, 3), содержащему состояния типа {8}
со спином и четностью A/2+) и C/2+) и состояния
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 293
типа {10} со спином и четностью A/2+), C/2+) и E/2+).
Для всех этих состояний с положительной четностью
не существует экспериментальных данных *). Однако Мор-
пурго [75] указал, что распад состояний\B*e (L = 1+)
определяется некоторыми весьма жесткими правилами
отбора. Распад этих состояний на октетные и декуплетные
состояния супер мультиплета Въ6 (L = 0+) с испусканием
мезона запрещен, если это испускание мезона происходит
через однокварковые взаимодействия: в этом случае ампли-
амплитуда распада была бы пропорциональна матричному
элементу (L = 0 + | 2 ехР (ik -гг) | L = 1 + ), который
г
обязательно равен нулю. Распад в эти состояния с испус-
испусканием "у-квантов также сильно подавлен, поскольку боль-
большое электромагнитное взаимодействие кварков (взаимо-
(взаимодействие их аномальных магнитных моментов) приводит
к аналогичному обращению в нуль пространственного мно-
множителя в амплитуде. Эти состояния В*е (L = 1 +) могут
еще распадаться с испусканием двух некоррелированных
мезонов, и каналы 556 (L = 0 +) + я + я являются, по-
видимому, наиболее вероятными способами их распада.
При таких правилах отбора прямое образование этих
состояний В*е (L = 0+) может оказаться весьма затруд-
затрудненным; вероятно, они легче всего образуются в виде
продуктов распада более тяжелых резонансов В*.
Парастатистика для кварков? Гринберг [76] рассмот-
рассмотрел возможность того, что кварки не подчиняются ста-
статистике Ферми, а подчиняются парафермионной статистике
ранга 3. По существу это эквивалентно введению трех три-
триплетов кварков Q%a с i = 1, 2, 3 при условии, что все три
поля Qa, Qa, Qa входят во все взаимодействия полностью
симметричным образом через комбинацию Qa = Qa +
+ Qa + Qa^ так чт° различить физически эти три триплета
кварков невозможно. Эти кварковые поля Qa таковы, что
*) Существуют данные о резонансе Nf/2 A400), в особенности
из реакции рр -*¦ pN** при высоких энергиях. Этот резонанс
обычно отождествляется с состоянием Рц системы nN, поскольку
фаза состояния Рц обнаруживает в этой области быстрое изменение,
которое можно согласовать с существованием сильно неупругого
резонанса в этом состоянии A/2+), / = 1/2.
294 Р- Далиц ^
коммутационные соотношения, соответствующие статисти-
статистике Бозе, выполняются для двух полей Qxa, Qja при i Ф /,
а антикоммутационные соотношения, соответствующие ста-
статистике Ферми, выполняются при i = /. Следовательно,
для трехкварковой системы можно построить волновую
функцию, зависящую от пространственных, спиновых
и унитарно-спиновых переменных, которая будет сим-
симметричной по индексам всех трех кварков. Таким образом,
в рамках парастатистики ранга р = 3 трехкварковая
волновая функция, принадлежащая представлению
56 группы SU F), соответствует симметричной простран-
пространственной волновой функции, что и ожидается для конфи-
конфигурации основного состояния.
Гринберг исследовал возбужденные трехкварковые
конфигурации на основе представлений оболочечной моде-
модели для кварков. Он обнаружил, конечно, что первая
возбужденная конфигурация, принадлежащая оболочке
s2/?1, соответствует представлению G0, 3). Двухквантовые
возбуждения приводят к нескольким супермультиплетам:
к представлениям E6, 5) и G0, 5) с L = 2+, представле-
представлениям G0, 3) и B0, 3) с L = 1+ и представлениям E6, 1)
и G0, 1) с L = 0+- Относительные значения масс этих
супермультиплетов будут зависеть от конкретных пред-
предположений относительно ^-взаимодействий.
Митра [55] представил некоторые динамические расче-
расчеты для ^^-супермультиплетов на основе парастатисти-
парастатистики. В рамках этой гипотезы он показал, что формфактор,
соответствующий антисимметричной пространственной вол-
волновой функции, обязательно имеет узлы (как мы обсужда-
обсуждали выше) в противоречии с известными сведениями о форм-
факторах барионов и что симметричная пространственная
волновая функция, разрешенная в этом случае для основ-
основного состояния 56, будет свободной от этого возможно
серьезного возражения. Митра нашел, что из сравнительно
низкого расположения, установленного для первого воз-
возбужденного состояния [конфигурации (L = 1 —, 70)], выте-
вытекает требование очень сильного р-волнового притяжения.
После этого он приходит по существу к той же проблеме
нежелательных состояний с положительной четностью,
которую рассмотрел Тирринг [57] для случая кварков,
подчиняющихся обычной статистике. Если существует
6. Кварковая субструктура мезонных а барионных сост. 295
указанное очень сильное р-волновое притяжение, то
энергетически становится предпочтительным возбужде-
возбуждение двух р-волновых кварков, причем наиболее предпоч-
предпочтительной конфигурацией оказывается та, для которой
L = 1 + и пространственная волновая функция полно-
полностью антисимметрична. Если принять парастатистику, то
эта конфигурация соответствует полностью антисимметрич-
антисимметричному представлению 20 группы SU F), в котором содер-
содержатся следующие SU (З)-мультиплеты:
20-* ({8}, 5 = 1/2) + ({1}, S--=3/2). (IV.22)
Спин-орбитальное взаимодействие расщепляет эти состоя-
состояния B0, 3) на следующие SU (З)-мультиплеты: два октета
со спином и четностью A/2+) и C/2+) и три синглетных
состояния со спином и четностью E/2+), C/2+) и A/2+).
Замечания Морпурго {75] об очень жестких правилах
отбора, определяющих способы распада для конфигураций
с L = 1 + , применимы также и к этим состояниям. Эти
состояния пока не наблюдались [если состояние N*/2 A400),
обнаруженное в неупругих рр-столкновениях, не является
членом этого октета A/2+)], однако их образование непо-
непосредственно через фотовозбуждение или в мезон-барион-
ных соударениях затруднено. До тех пор пока не появятся
какие-либо сведения о них, они, вероятно, будут пред-
представлять собой трудность для кварковой модели барион-
барионных состояний, независимо от того, какая принята стати-
статистика — статистика Ферми или парастатистика.
У. Выводы
Мы заканчиваем кратким обзором элементов успеха
и трудностей нерелятивистской модели кварков для
состояний элементарных частиц на современном этапе,
связанных с попыткой представить базис для понимания
применимости SU (б)-симметрии к состояниям элементар-
элементарных частиц.
В случае мезонных состояний ()()-модель обладает сле-
следующими свойствами.
1. Она допускает только нонетные состояния.
2. Нонеты появляются в супермультиплетах, содер-
содержащих по четыре нонета с одинаковой четностью, Квавто-
296
вые числа этих состояний таковы [Р = (—1)L+1, С =
= (—1)L+S], что соответствуют состояниям, образован-
образованным при сложении внутреннего спина S, который может
принимать значения 0 и 1, с внутренним орбитальным
моментом L, что приводит к полному моменту J = L
или L ± 1 (случай L = 0 особый: существуют только
два нонета, соответствующие S = 0 и S = 1).
3. Указанные четыре нонета разделены по массе за
счет спин-орбитальной силы, дающей вклад в массу,
пропорциональный L-S.
4. Мезоны с более высокими массами представляют
собой реджевские вращательные возбуждения конфигура-
конфигураций с L = 0. Вдоль траектории Редже состояния мезонов
расположены с интервалом А/ = 1. Ввиду большой массы
кварка эти мезонные состояния сильно связаны. Отсюда
вытекает естественный качественный вывод, что будет
существовать длинная последовательность вращательных
состояний (т. е. траектория Редже будет продолжаться
вправо), вероятно, вплоть до значений / порядка 102.
Наблюдаемый график / (М2) представляет собой прямую;
это имеет некоторые основания для низших состояний,
поскольку <2<?-потенциал хорошо можно аппроксимиро-
аппроксимировать потенциалом гармонического осциллятора, а именно
областью вблизи дна потенциальной ямы. Нет никаких
причин, однако, ожидать, что указанная линейная зави-
зависимость сохранится намного дальше / ~ 10.
5. Мезонные состояния большой массы (~ 2 Гэв),
согласно наблюдениям, имеют довольно малые ширины
(как правило, не больше 20—30 Мэв, и значительная
часть этой ширины может быть обусловлена разрешающей
способностью). Естественное качественное объяснение ма-
малой ширины этих состояний вытекает из их больших угло-
угловых моментов. При этом малые вероятности распада обу-
обусловлены в первую очередь быстрым убыванием амплиту-
амплитуды проникновения через центробежный барьер с ростом /.
Однако наблюдаемая большая ширина A30 Мэв) р-мезона
составляет, по-видимому, некоторую проблему [77]. Хотя
и не ясно, какова естественная шкала времен жизни при
распаде сильно взаимодействующих частиц, эта ширина
достаточно велика по сравнению с 1 Гэв, чтобы предполо-
предположить в волновой функции р-мезона 2я-состояние с суще-
6. Кеарковая субструктура мезонных и барионных сост. 297
ственно вырожденной шириной (т. е. компоненту QQQQ),
в противоположность предположению о ^-структуре.
Для барионных состояний достигнут меньший прогресс
в понимании явлений с позиций нерелятивистской модели
кварков. Существует несколько серьезных трудностей
и неясностей.
1. Предположение статистики Ферми для кварков
вместе с наблюдением, что низшие состояния с положи-
положительной четностью образуют представление 56, приводит
к требованию, что пространственная волновая функция
основного QQQ-состоякшя должна быть полностью анти-
антисимметричной. Нелегко понять, какая динамика приводит
к такой ситуации. Даже при учете пространственно-
обменных сил, которые в s-состоянии являются силами
отталкивания, остаются некоторые сомнения в том, дол-
должна ли конфигурация L = 0+ с необходимостью распо-
располагаться ниже всех других по массе. Далее, представляет-
представляется правдоподобным, что из антисимметрии пространствен-
пространственной волновой функции барионов следует существование
нуля в структурном формфакторе бариона, хотя этот
нуль может находиться далеко за пределами исследован-
исследованной в настоящее время области передаваемых импульсов.
Этих трудностей можно избежать, если считать, что квар-
кварки подчиняются парастатистике. Однако такая возмож-
возможность мало привлекательна, поскольку она представляет
собой слишком сильно действующую и далеко идущую
гипотезу, которая может создать больше новых трудно-
трудностей, чем разрешить уже существующих.
2. Гипотеза о том, что низшие барионные резонансные
состояния с отрицательной четностью принадлежат кон-
конфигурации с L = 1— из представления 70 группы SU F),
дает возможность свести все наблюдавшиеся унитарные
мультиплеты этого типа в один супермультиплет. Наблю-
Наблюдаемые массы обнаруживают значительное расщепление
того типа, который обусловлен нецентральными (^-взаимо-
(^-взаимодействиями. Однако существует значительная неопре-
неопределенность относительно правильного отождествления
наблюдаемых унитарных мультиплетов, и, кроме того,
нет вообще никаких данных об одном из этих унитарных
мультиплетов. До сих пор не решено, соответствует ли схе-
схема спин-орбитального расщепления влиянию простого
298 Р- Далиц
спин-орбитального взаимодействия; ситуация может резко
усложняться вследствие смешивания различных резонанс-
резонансных состояний.
3. Данные о высших барионных резонансах согласуют-
согласуются с двумя низшими конфигурациями (L = 0-f-, 56)
и (L = 1—, 70). Конфигурации с нечетным L отличаются
от конфигураций с четным L за счет различных внутрен-
внутренних свойств симметрии, так что в последовательности
вращательных возбуждений барионные состояния появ-
появляются с интервалом AL = 2. Состояния N*, которые
имеют / = 3/2 и, по-видимому, имеют положительную
четность [и следовательно, являются представителями
конфигураций (L = 2/г+ , 56) с целочисленным значе-
значением п], обладают массами, расположенными на гладкой
приблизительно линейной траектории Редже. Вследствие
прочной связи в этих барионных состояниях ожидается,
что реджевская последовательность вращательных возбуж-
возбуждений продолжается (а соответствующая траектория Редже
продолжает двигаться вправо) до значений / порядка 103
[при Mq ж 10 Гэв; в более общем виде до (ЗМрJ/алг @)).
4. Ширины барионных резонансов, соответствующих
ведущей траектории Редже представления 56, не возра-
возрастают быстро с ростом массы. Например, ширина
т/2 B850) равна 200 Мэв, а ширина Nt/2 A236) равна
120 Мэв. Такое поведение можно качественно понять,
рассматривая большие значения углового момента, харак-
характерные для этих состояний: оно соответствует в первую
очередь быстрому убыванию амплитуды проникновения
через центробежные барьеры с ростом /.
5. Имеются указания еще на одно барионное резонан-
резонансное состояние с небольшой массой, которое не уклады-
укладывается в рассмотренные выше конфигурации. Речь идет
о резононе iV*/2 A400), спин и четность которого прини-
принимаются равными A/2+). Его внутренняя конфигурация
вообще не понятна. Если поместить его в конфигурацию
(L = 1 + , 56), то должны существовать еще четыре уни-
унитарных мультиплета, ни один из которых не известен.
В этом смысле экономнее поместить его в конфигурацию
(L =0+, 20); при этом потребуется, чтобы существовал
только один унитарный синглет C/2+) в дополнение
к октетным дублерам наблюдаемого состояния Nf
6. Кварковая субструктура меаонных и барионных сост. 299
Однако в этом случае пространственная волновая функция
должна обладать свойствами симметрии, противоположны-
противоположными свойствам барионных октетных состояний (т. е. должна
быть симметричной, если кварки подчиняются статистике
Ферми, и антисимметричной в случае парастатистики).
Такая ситуация была бы удивительной для состояния со
столь малой массой.
6. Совершенно не понятно, почему притяжение в много-
кварковых состояниях должно насыщаться при N = 3.
Если три кварка образуют прочно связанное состояние,
то почему бы более сложным системам QQQQ и т. д. не
быть связанными еще сильнее? В рамках статистики Ферми
это свойство насыщения остается непонятным, хотя в лите-
литературе делались различные предположения, такие, как
необходимость учета релятивистских эффектов для доба-
добавочных кварков [78], трехчастичные силы отталкивания
[79] и другие возможности [80]. В рамках парастатистики
это свойство может следовать из ранга р = 3, который
требуется для установления однозначной структуры бари-
барионных состояний. Октетный характер барионов требует
трехкварковой структуры, и должен быть только один
способ получения этой структуры (в противном случае
изолированный протон имел бы статистический вес, боль-
больший чем единица). Это октетное состояние строится из
комбинаций Qla A) Ql B) Qy C) при i Ф / Ф к; если i, /,
к = 1, 2, . . ., р, то для однозначности указанного состоя-
состояния требуется р = 3. Для состояния, образованного более
чем из трех кварков, в полной волновой функции должна
содержаться некоторая антисимметрия по кварковым ин-
индексам (поскольку в этом случае некоторые из кварковых
верхних индексов должны совпадать), а это окажется
энергетически невыгодным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Feldman G., Matthews P. Т., Phys. Rev., 151, 1176 A966).
2. Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 A964) (дополнение 1 в на-
настоящем издании).
3. Zweig G., An SUC) Model for Strong Interaction Symmetry and
its Breaking, CERN preprint 8419/TH. 412 (February 1964).
4. Fujii Y., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 21, 232 A959).
300 Р- Далии
5. Morpurgo G., Physics, 2, 95 A965) (дополнение 5 в настоящем
издании).
6. Dorjan ?>., Eades J., Lederman L., Lee W., Ting C, Phys. Rev.
Letters, 14, 999 A965).
7. Lamb R. C., Lundy JR., Novey Т., Yovanovitch D., Phys. Rev.
Letters, 17, 1068 A966).
8. Kasha H., Leipuner L., Adair R. K., Phys. Rev., 150, 1140 A966).
9. Chupka W., Schijfer J., Stevens C, Phys. Rev. Letters, 17, 60
A966).
10. Gallinaro G., Morpurgo G., Phys. Letters, 23, 609 A966).
11. Sinanoglu 0., Skutnik В., Tousey R., Phys. Rev. Letters, 17,
785 A966).
12. Bennett W., Phys. Rev. Letters, 17, 1196 A966).
13. Тавхелидзе А., в книге High-Energy Physics and Elementary
Particles, Vienna, 1965, p. 753 and 763.
14. Dalitz R. H., Quark Models for the Elementary Particles, глава
в книге High Energy Physics, New York, 1966, p. 253.
15. Dalitz R. H., Symmetries and the Strong Interactions, Proc. 1966
Intl. Conf. on High Energy Physics, Berkeley 1966.
16. Iizuka J., Progr. Theor. Phys., 35, 117; 309 A966).
17. Iizuka J., Progr. Theor. Phys. Suppl., 37—38, 21 A966).
18. Ishida S., Progr. Theor. Phys., 32, 922 A964).
19. Ishida S., Progr. Theor. Phys., 34, 64 A965).
20. Sinanoglu O., Phys. Rev. Letters, 16, 207 A966).
21. Sinanoglu O., Hadron Spectroscopy, Dynamical Groups and
Mass Formulae, Lectures at the Istanbul Institute on Symmetry
Principles at High Energy, August 1966.
22. Sakurai J., Phys. Rev. Letters, 17, 1021 A966).
23. Rubinstein H., Phys. Letters, 22, 210 A966).
24. Blankenbecler R., Sugar R., Phys. Rev., 142, 1051 A966).
25. Kane G. L., Some Consequences of SUC) and Charge Conjugation
Invariance for K-meson Resonances, Univ. Michigan preprint,
1967.
26. Thirring W., Phys. Letters, 16, 335 A965).
27. Becchi C, Morpurgo G., Phys. Rev., 140, B687 A965).
28. Соловьев Л., Phys. Letters, 16, 345 A965).
29. Анисович В., Ансельм А., Азимов Я., Дамлов Г., Дятлов И.,
Phys. Letters, 16, 194 A965).
30. Gell-Mann M., Sharp D., Wagner W., Phys. Rev. Letters, 8,
261 A962).
31. Goldhaber G., Boson Resonances, Proc. 1966 Intl. Conf. on High
Energy Physics, Berkeley, 1966.
32. Kienzle W., Maglic В., Levrat В., Lejebvres F., Freytag D., В lie-
den #., Phys. Letters, 19, 438 A965).
33. Oostens J., Chavanon P., Crozon M., Tocqueville J., Phys. Letters,
22, 708 A966).
34. Armenteros R., в издании Труды XII Международной конфе-
конференции по физике высоких энергий, Дубна, 1964, М., 1966.
35. Goldschmidt-Clermont Y., Proc. XIII Intl. Conf. on High Energy
Physics, Berkeley, 1966.
36. Glashow S., Socolow Д., Phys. Rev. Letters, 15, 325 A965).
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных сост. 301
37. Brown L. M., Scalar Mesons, Northwestern University preprint,
1966. у f f
38. Lovelace C, Heinze R., Donnachie A., Phys. Letters 22 332
A966).
39. Feldman M., Frati W., Halpern J., Kanofsky A., Nussbaum M.,
Richert S., Yamin P., Choudry A., Devons S., Grunhaus J. Phvs.
Rev. Letters, 14, 869 A965).
40. Hagopian V., Selove W., Alitti J., Baton J., Neveu-Rene M.
Phys. Rev. Letters, 14, 1077 A965).
41. Crennell D., Kalbfleisch G., Lai K., Scarr J., Schumann Т.,
Skillicom I., Webster M., Phys. Rev. Letters, 16, 1025 A966).
42. Baillon P., Edwards D., Marechal В., Montanet L., Tomas M.,
d'Andlau C, Astier A., Cohen-Ganouna J., Della-Negra M.,
Wojcicki S., Baubillier M., Duboc J., James F., Levy F., Further
Study of the .E-meson in Antiproton-Proton Annihilations at
Rest, Report CERN-TC-Phys. 66-24, October 1966.
43. Kalbfleisch G., Dahl 0., Rittenberg A., Phys. Rev. Letters, 13,
349 A964).
44. Barash N., Kirsch L., Miller D., Tan Т., Annihilations of Anti-
protons at Rest in Hydrogen VI: Kaonic Final States, Nevis
Rept. 154, September 1966.
45. Focacci M., Kienzle W., Levrat В., Maglic В., Martin M., Phys.
Rev. Letters, 17, 890 A966).
46. Wehmann A., Engels E., Hand L., Hoffman C, Innocenti P.,
Wilson Д., Blanpied W., Drickey D., Stairs D., Phys. Rev. Let-
Letters, 17, 1113 A966).
47. Aachen-Berlin-CERN Collaboration, Phys. Letters, 18, 351
A965).
48. Aachen-Berlin-CERN-London-Vienna Collaboration, Phys. Let-
Letters, 22, 357 A966).
49. Dubai L., Bareyere P., Bricman C, Chikovani G., Focacci M.,
Kienzle W., Levrat В., Maglic В., Martin M., Seguinot J., Spec-
Spectrum of Strange Bosons in the Mass Region 1300 to 2200 MeV
Observed by Missing-Mass Spectrometer, CERN preprint, July
1966.
50. Alles-Borelli V., French В., Frisk A., Michejda L., Paul E.,
Antiproton-proton Annihilations into Five Pions at 5.7 GeV/c,
Report CERN-TC-Phys. 66-25, October 1966.
51. Hori S., Iizuka J., Matumoto K., Yamada E., Yamazaki M.,
Ann. Sci. Kanazava Univ., 3, 33 A966).
52. Mitra A., Phys. Rev., 142, 1119 A966).
53. Mitra A., Phys. Rev., 151, 1168 A966).
54. Mitra A., Ross M., Meson-Baryon Couplings in a Quark Model,
Rutherford High Energy Laboratory, Chilton, August 1966.
55. Morpurgo G., «The Non Relativistic Quark Model», Lecture at
Balatonvilagos Symposium of the Hungarien Physical Society,
June 1966.
56. Nambu Y., в книге Symmetry Principles at High Energy, Coral
Gables Conference, 1965, p. 274.
57. Thirring W., «Triplet Model of Elementary Particles», Lecture
at Intl. University Week in Nuclear Physics, Vienna, March 1966.
302 р- Далиц
58 Cool R., Giacomelli G., Kycia Т., Leonlic В., Li K., Lundby A.,
Teiger J., Phys. Rev. Letters, 17, 102 A966).
59. Radicati L., «The SU F) Model of Elementary Particles», Lectures
given at tho Cargese Summer School A966).
60. Dalitz R., Sutherland D., Phys. Rev., 146, 1180 A966).
61. Mitra A., Majumdar Д., Phys. Rev., 150, 1194 A966).
62. Allbrecht W., Behrend H., Brasse F., Flauger W., Hultschig II.,
Steffen K., Phys. Rev. Letters, 17, 1192 A966).
63. Bartel W., Dudelzak В., Krehbiel H., McElroy J., Meyer-Berk-
hout U., Morrison R., Nguen-Ngoc II., Schmidt W., Weber C.
Phys. Rev. Letters, 17, 608 A966).
64. De Shalit A., «Open Questions in Nuclear Physics», Lectures at
the Varenna School on Interactions of High-Energy Particles
with Nuclei, July 1966.
65. Federman P., Rubinstein H., Talmi I., Phys. Letters, 22, 208
A966).
66. Маринов М., Ядерная физика, 2, 321 A965).
67. Goldberg M., Leitner J., Musto R., O'Raifertaigh L., Nuovo
Cimento, 45, 169 A966).
68. Davis J., Dowell J., Hattersley P., Homer R., O'Dell A., Car-
Carter A., Riley K., Tapper R., Bugg D., Gilmore R., Knight K.,
Salter D., Stafford G.,. Wilson E., Phys. Rev. Letters, 18, 62
A967).
69. Derrick M., Fields Т., Loken J., Ammar R., Davis R., Kropac W.,
Mott J., Schweingruber F., Phys. Rev. Letters, 18, 266 A167).
70. Lovelace C, Pion-Nucleon Phase Shifts, Proc. XIII Intl. Conf.
on High Energy Physics, Berkeley, 1966.
71. Citron A., Galbraith W., Kycia Т., Leontic В., Phillips R., Rons-
set A., Sharp P., Phys. Rev., 144, 1101 A966).
72. Moorhouse G.. Phys. Rev. Letters, 16, 771 A966).
73. Walker R., Eklund S., Phys. Rev., 159, 1195 A967).
74. Bacci C, Penso G., Salvini G., Mencuccini C, Silvestrini V.,
Phys. Rev. Letters, 16, 157 A966).
75. Morpurgo G., Phys. Letters, 22, 214 A966).
76. Greenberg O., Phys. Rev. Letters, 13, 598 A964).
77. Squires E., Watson P., Ann. Phys. (N.Y.), 41, 409 A967).
78. Morpurgo G., Phys. Letters, 20, 684 A966).
79. Kobayashi Т., Namiki M., Progr. Theor. Phys., 37, 916 A967).
60. Greenberg O., Zwanziger D., Phys. Rev., 150, 1177 A966).
7. НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В КВАРКОВОЙ МОДЕЛИ
Дэ#е. Трефил !)
I. Аддитивная кварковая модель
В последние годы становилось все более очевидным, что
по причинам, которые остаются непонятными, кварковая
модель элементарных частиц дает, по-видимому, простое
и физически привлекательное описание широкой области
явлений, включая реакции, связанные со слабыми, элек-
электромагнитными и сильными взаимодействиями2). На
встрече, посвященной ядерным реакциям и реакциям
элементарных частиц при высоких энергиях, особенно
уместно уделить внимание этой модели, поскольку ее
основное обоснование состоит в наблюдавшихся аналоги-
аналогиях между элементарными частицами и ядрами. В одном
докладе, очевидно, нельзя рассмотреть все аспекты моде-
модели, поэтому я ограничусь обсуждением процессов рассея-
рассеяния с участием адронов, отсылая читателя к библиогра-
библиографии книги [1], в которой можно найти более подробное
обсуждение других областей применения модели.
Для наших целей мы можем рассмотреть два свойства,
по-видимому общих для элементарных частиц и ядер:
существование спектров и дифракционный вид дифферен-
дифференциальных сечений рассеяния. Мы знаем, что в ядерной
физике спектр возбужденных состояний можно интер-
интерпретировать как свидетельство составной природы ядра:
каждое возбужденное состояние представляет собой особое
расположение базисных элементарных компонент. Точно
так же существование' спектра адронов можно интер-
интерпретировать как свидетельство о том, что сами адроны
не являются элементарными частицами, а представляют
собой составные системы, построенные из еще более эле-
элементарных компонент. Если бы это было так, то можно
было бы ожидать некоторых аналогий в поведении адро-
адронов и ядер.
х) Доклад, представленный в Летнюю школу по дифракцион-
дифракционным процессам в физике ядра и элементарных частиц при Универ-
Университете им. Мак-Гилла, Монреаль, Канада, 8—18 июля 1969 г.
2) Тщательный обзор результатов, полученных в кварковой
модели, а также полная библиография работ в этой области даны
в книге Я. Коккедэ [1] (основной текст настоящего издания).
304 Дав. Трефил
Одна такая аналогия весьма очевидна, если бросить
взгляд на дифференциальные сечения рассеяния. Диф-
Дифференциальные сечения рассеяния как частиц на ядрах,
так и частиц друг на друге, обнаруживают дифракцион-
дифракционные эффекты: т. е. мы наблюдаем большие пики для на-
направления вперед, сопровождаемые рядом минимумов
и максимумов при увеличении передаваемых импульсов.
Сейчас общепринятым является утверждение, что эти
минимумы и максимумы в ядерных реакциях можно
понять на основе интерференции членов различного
порядка в теории кратного рассеяния. Аналогичным обра-
образом, рассматривая элементарные частицы как составные
системы,-мы можем представить себе, что суммирование
рядов кратного рассеяния для взаимодействия компонент
друг с другом приводит к полным амплитудам рассеяния
частиц на частицах (иногда полезно представлять себе
этот процесс как рассеяние «ядер на ядрах»). Те же самые
аргументы, которые приводят к дифракционным миниму-
минимумам и максимумам в случае реакций частиц с ядрами,
теперь предсказывали бы существование таких минимумов
и максимумов при взаимодействии самих частиц друг
с другом. Появление структуры такого типа при взаимо-
взаимодействиях частиц можно поэтому интерпретировать, как
свидетельство составной природы элементарных частиц.
Кварковая модель представляет собой частный вид
составной модели элементарных частиц и возникла под
влиянием успехов SU (З)-симметрии. В этой модели при-
принимается, что барионы построены из трех кварков, а мезо-
мезоны — из одного кварка и одного антикварка. Волновые
функции низших резонансов и частиц, выраженные через
состояния кварков, хорошо известны [1—3].
Мы знаем, что если ограничиться областями малых
передач импульса, то при взаимодействиях частицы с яд-
ядром ряды кратного рассеяния полностью определяются
членом однократного рассеяния (т. е. членом, в котором
налетающая частица взаимодействует только с одним
нуклоном). На этом факте основаны самые ранние попыт-
попытки использовать составную природу элементарных частиц
для описания процессов рассеяния — так называемая
«аддитивная кварковая модель» [4—6]. В этой модели мы
рассматриваем процессы рассеяния на малые углы
7. Новые результаты, в кварковой модели 305
и предполагаем, что амплитуда данного процесса рассея-
рассеяния является суммой амплитуд такого взаимодействия
только двух кварков одновременно, при котором система
может перейти из начального состояния в конечное.
Другими словами,
л" = 2<, (Li)
где Ah — некоторая спиральная амплитуда рассеяния
частицы на частице, a A\q — соответствующая спиральная
амплитуда рассеяния кварка на кварке. Итак, аддитив-
аддитивная модель кварков соответствует тому, что мы ограничи-
ограничиваемся только членом однократного рассеяния из глаубе-
ровского ряда и пренебрегаем членами более высоких
порядков. Ясно, что в этом приближении наилучших
результатов следует ожидать при малых передаваемых
импульсах.
Общее направление работы в рамках этой модели
состоит в том, чтобы подсчитать по формуле A.1) неко-
некоторое количество амплитуд рассеяния частиц на частицах,
а затем исключить кварковые амплитуды (вообще говоря,
не известные), получив при этом соотношения между
измеряемыми амплитудами рассеяния частиц на частицах.
Наиболее знаменитым примером такой техники является
«правило 3/2», которое получается при игнорировании
разницы между кварками и антикварками. В этом случае
полное сечение рассеяния мезона на барионе (пропорцио-
(пропорциональное мнимой части амплитуды рассеяния вперед) равно
oMB(s) = 6o?q(sq), A.2)
где Ощ (sq) — полное сечение рассеяния кварка на квар-
кварке, коэффициент 6 соответствует шести различным спосо-
способам рассеяния двух мезонных кварков на трех барионных
кварках, s — энергия системы частиц в их системе центра
масс, a sq — энергия двух взаимодействующих кварков
в системе центра масс этой пары. Соотношение между s и sq
не известно и сильно зависит от кварковой динамики
(т. е. от деталей взаимодействия, связывающего кварки
в адронах).
Аналогично барион-барионное сечение равно
eBB(s) = 9ofq(sq), A.3)
20—716
306 Дав. Трефил
так что для отношения двух сечений имеем
если afq (sq) и afg (sg) оценивать при одинаковых значени-
значениях sq. Соотношения такого рода для полных сечений были
тщательно изучены [1], и не было найдено сколько-нибудь
существенных расхождений между аддитивной моделью
и экспериментом.
Ясно, что такой же подход можно использовать при
рассмотрении неупругих процессов, когда одна или обе
частицы изменяют свой вид. Однако соотношения между
сечениями неупругих процессов не являются хорошей
проверкой аддитивной кварковой модели, так как неупру-
неупругие сечения крайне чувствительны к изменениям s и труд-
трудно определить точное соотношение между s и sq [7].
Гораздо лучшую*проверку модели можно осуществить,
если заметить, что соотношение A.1) позволяет выразить
спиральные амплитуды взаимодействия частиц через
спиральные амплитуды взаимодействия кварков. (Условия,
определяющие вид внутренней динамики кварков, в рам-
рамках которой возможен такой подсчет, рассматриваются
в работе [3].) Следовательно, кроме вычисления сечений
мы можем подсчитать распадные корреляции для резоно-
нов с высшими спинами. В качестве примера рассмотрим
конкретную реакцию
п~р—>р°и. . A.5)
Элементы матрицы плотности р° (в спиральной системе)
выражаются через амплитуды рассеяния частиц следую-
следующим образом [8]:
ф)^(е,Ф)^ , (i.6)
К ни'
где (Яц | (л') — соответствующие спиральные амплитуды
реакции A.5). Хорошо известно, что величину pmm/ можно
измерить, наблюдая угловое распределение продуктов
распада р°-мезона,
7. Новые результаты в кварковой модели 307
Сразу видно, что проверка аддитивной модели, исходя
из соотношений между элементами матриц плотности,
будет гораздо чище, чем проверка на основе соотношений
между сечениями, так как они не зависят от динамики
кварков (т. е. от соотношения между s и sq). Точная при-
природа этого соотношения несущественна, так как мы срав-
сравниваем амплитуды одной реакции, измеренные при одной
энергии, а не амплитуды разных реакций. Таким образом,
если существует какое-то соотношение между s и sq, то все
амплитуды в A.6) автоматически будут оцениваться при
одном и том же sq.
Кроме того, можно ожидать, что другие эффекты (такие,
как кратное рассеяние, о котором мы будем говорить ниже)
приближенно сократятся в отношениях амплитуд, входя-
входящих в элементы матрицы плотности, тогда как в соотно-
соотношениях между сечениями они могут и не сокращаться.
Подробное изучение этих следствий аддитивной квар-
кварковой модели было проведено краковской группой [9—14],
и я хотел бы продемонстрировать некоторую часть получен-
полученных результатов, обнаруживающих впечатляющее согла-
согласие между теорией и экспериментом. Можно вывести'
результаты двух типов, которые никак не зависят от зна-
значений кварковых амплитуд рассеяния: 1) те реакции, для
которых суммы кварковых амплитуд в числителе и зна-
знаменателе A.6) сокращаются точно, приводя к численным
предсказаниям для элементов матрицы плотности (их спи-
список приведен в работе [3]), и 2) соотношение между эле-
элементами матрицы плотности двух конечных частиц при
образовании двух резононов, из которых исключены все
кварковые амплитуды [9—14].
Примером результатов первого типа может служить
реакция
zip—>яА, A.7)
для которой мы находим
3
Р3/2, 3/2=-g-|
1/2 = Т
Р3/2, V2 = 0.
20*
308
Дж. Трефил
Примером результатов второго типа является реакция
яр-^рА, A.9)
для которой мы получаем соотношение
4 .4
Pll + Pi, -1 = -J Р3/2, 3/2 I ~у= Рз/2> -1/2-
A.10)
В табл. 1 приведены некоторые результаты для реак-
реакций первого типа в сравнении с экспериментом, а в
Таблица 1
Сравнение соотношений A.8) с экспериментальными данными
Реакция
яЛ^-э-яД
К+р -» ЛГОД
K-p^n-Y*
Элемент
матрицы
плотности
Рз, з
Рз, -1
Рз, 1
Рз, з
Рз,-1
Рз, i
Рз, з
Рз, -1
Рз, 1
Теория
0,375
0,215
0
. 0,375
0,215
0
0,375
0,215
0
0,
о,
о,
Эксперимент
8 Гэв/с 4 Гэв/с
22±0,06 0,4+0,06
13±0,07 0,21+0,08
06 ±0,06 — 0,03±0,07
3 Гэв/с
0,2+0,06
0,2±0,05
0,04±0,05
2,24 Гэв/с
0,31 ±0,05
0,27±0,04
0,03±0,04
табл. 2 — некоторые результаты второго типа. Для резуль-
результатов второго типа согласие в самом деле впечатляющее,
особенно если вспомнить, что в этой модели нет свободных
параметров. Все величины, связанные с кварками, исклю-
исключены, поэтому никакая подгонка данных невозможна.
7. Новые результаты в кварковой модели
309
Таблица 2
Сравнение соотношения A.10) с экспериментальными данными
(Если модель кварков верна, то в двух последних столбцах
должны стоять одинаковые значения.)
Процесс
#~Р->-р-2*+
п+р ->- p<W*++
п+р -у pON*++
п+р ->- p<W*++
п+р ->- a)N*++
п+р ->- (oN*++
П+р -»- Q)iV*++
К+р —>- K*<>N*++
К+р —*- K*°N*++
К+р —*¦ K*°N*++
К+р —*- K*°N*++
К+р _>. K*°N*++
К+р —*- K*°N*++
Им-
Импульс,
Гэв/с
6
4
5
8
4
5
8
3,5
3,5
3,5
5
5
5
Интервал 111,
(Гэв/сJ
|t|<0,8
|fj<0,3
|i|<0,3
|г|<0,3
|<|<0,6
|(|<0,6
1М<о,б
0,08<|t|<0,12
0,12 < U|< 0,176
0,176 <|* К 0,28
0,05<|«|<0,Ю
0,10<|/|< 0,235
0,235<|г|<0,55
0,164d=0,080
0,07±0,04
0,054d=0,021
0,08±0,03
0,40±0,06
0,384d=0,032
0,54±0,11
0,03±0,09
0,14±0,09
0,19d=0,09
0,l5d=0,07
0,10±0,09
0,27±0,10
4
+ у= PS/2. -V2
0,114+0,164
0,03±0,08
0,195±0,044
0,10±0,08
0,28±0,14
0,287±0,067
0,36d=0,22
-0,11±0,22
0,05±0,19
-0,14±0,21
0,34±0,17
0,15±0,22
0,37±0,22
Согласие результатов первого типа производит не-
несколько меньшее впечатление. Мы вернемся к этому пунк-
пункту ниже, а сейчас просто отметим, что аддитивная кварко-
вая модель предсказывает равное нулю сечение реак-
реакции A.7) в направлении вперед [3], а экспериментальные
данные представляют собой среднее по большой области
передаваемых импульсов. Уместность этого замечания
станет очевидной ниже.
Во всяком случае ясно, что рассмотрение адронов как
составных систем, построенных из кварков, и трактовка
адрон-адронного рассеяния с помощью только первого
члена ряда теории кратного рассеяния (все остальные
члены отбрасываются) приводит к довольно хорошему
описанию процессов рассеяния адронов, особенно в тех
случаях, когда из модели следуют ясные недвусмысленные
предсказания относительно экспериментальных данных.
V— pN*
too
50 -
leas
- Кеарм.
MO0t
-
i
юая _
Мб
20 r
/5 -
10 -
5 -
1
\co$e/>\<o1
— ¦
i
— —
4
—
да
40
30
20
10
-
-
-
1 1
J
//
1 1
0 0,2 0,4 0,6 0,6 /,0 0 02 0,4 0,6 0,6 1J3
CO$Bp
Фиг. 1. Совместные распадные распределения резононов в реак
ции пр ->- рД и предсказания кварковой модели.
7- Новые результаты в кварковои модели 311
Дальнейшее подтверждение модели можно получить,
если рассмотреть процессы, в которых рождаются два
резонона, и поставить вопрос о предсказаниях модели
относительно распределений продуктов распада сразу
двух резононов. По аналогии с A.6) их можно определить
через спиральные амплитуды [9—14] (для экономии вре-
времени мы не приводим здесь подробных определений). Эти
амплитуды входят в функцию распределения W (9, ф,
9', ф'), которая по существу определяет вероятность того,
что, если продукты распада одного резонона вылетают под
углами @, ф) в системе покоя этого резонона, то продук-
продукты распада другого резонона будут вылетать под углами
@', ф') в системе покоя второго резонона.
Если рассмотреть реакции
яр—>рА A-11)
Кр-+К*А, A.12)
то, поступая так же, как при выводе A.10), мы можем сде-
сделать предсказания о том, какие комбинации спиральных
амплитуд появятся в функции W (9, ф, 0', ф'). На фиг. 1
и 2 показаны для этих реакций предсказания кварковои
модели (а также предсказания абсорбтивной модели)
в сравнении с экспериментальными данными [9—14].
Снова, как и в случае элементов матрицы плотности одного
резонона, согласие производит глубокое впечатление.
Существуют также данные для реакций [15, 16]
п+р -» р°А++, л+р -> со0А++ A.13)
при 5 Гэв/с. .
В этих случаях из кварковои модели также следуют
предсказания относительно распадных распределений,
которые авторы работ [15, 16] предпочитают выражать
через статистические тензоры*) (представляющие собой
линейные комбинации матриц плотности совместного рас-
распада). Предсказания имеют следующий вид:
A.14а)
A.14b)
Статистические тензоры рассматриваются в работе [16
\cosBN* I <0,4
I I i i i I Г? i i I
t I ]—t t I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I 1 I I 1 1 I I I I I I I I I I I I
-1,0 00 1,0 -1,0 0,0 1,0
cos6K* coseN*
Фиг. 2. Совместные распадные распределения резононов в реак-
реакции Кр -*¦ Х*Д и предсказания кварковой модели.
У- Новые результаты в кварковой модели 315
Ы1 = =ЫТ, (
00V6 V2 00' 1 '
В табл. 3 они сравниваются с экспериментом. Во всех
случаях предсказания оправдываются очень хорошо и, по-
видимому, не зависят также от выбора оси квантования.
Позвольте еще раз подчеркнуть, что при этих сравне-
сравнениях с экспериментом не было использовано ни одного
свободного параметра. Отсюда мы можем,сделать вывод,
что простая аддитивная кварковая модель очень хорошо
описывает процессы рассеяния адронов. Возникает оче-
очевидный вопрос: можно ли так обобщить модель, включив
в рассмотрение члены высших порядков теории кратного
рассеяния, чтобы получить описание еще большего коли-
количества характеристик наблюдаемых данных?
II. Образование JV* и зарядово-обменные реакции
Первое исследование в этом направлении выполнили
Харрингтон и Паньямента 117], которые показали, что
плечи и провалы, отмеченные во многих реакциях между
частицами при значении передаваемого импульса порядка
1,0 (/WeJ, можно интерпретировать так же, как провалы,
появляющиеся в сечениях рассеяния протонов на ядрах,
а именно, как эффекты интерференции членов разных
порядков теории кратного рассеяния. Теперь я хочу
описать дальнейшие исследования, выполненные недавно
Хендри и мной.
В отличие от Харрингтона и Паньямента мы рассмат-
рассматривали главным образом неупругие процессы. Рассмот-
Рассмотрим, например, реакции
я + ^*A480)
( ' '
Относительно этих реакций имеются следующие замеча-
замечательные экспериментальные сведения [18]:
Таблица 3
Сравнение соотношений A.14) с экспериментальными данными. (Л. Ч и П. Ч. —• левая
и правая части соотношений A.14); если модель кварков верна, то их разность
должна обращаться в нуль.)
п+р —> N *++ро
Поперечная джексоновская система
Соотношение
A.14а)
A.146)
A.14в)
A.14г)
A.14д)
A.14е)
л. ч.
0,156±0,012
—0,092±0,023
0,008±0,024
—0,071 ±0,021
—0,032+.0,021
0,107±0,027
П. Ч.
0,147±0,027
—0,078+0,005
—0,031±0,006
—0,065+0,011
—0,030+0,011
0,130+0,013
Поперечная спиральная
Соотношение
A.14а)
A.146)
A.14в)
A.14г)
A.14д)
A.14е)
л. ч.
0,156±0,012
—0,028+0,025
0,058±0,023
—0,048+0,021
0,054±0,021
0,107+0,027
система
П. Ч.
0,147+0,027
—0,065±0,006
0,051±0,005
—0,044±0,011
0,058±0,011
0,130±0,013
п+р
Поперечная джексоновская система
Соотношение
A.14а)
A.146)
A.14в)
A.14г)
A.14д)
A.14е)
л. ч.
—0,040±0,022
0,009±0,032
—0,058±0,031
0,034±0,034
—0,021±0,035
0,171±0,049
П. ч.
0,017+0,043
—0,021+0,007
—0,037+0,007
—0,018+0,015
—0,029+0,016
0,195±0,022
Поперечная спиральная, система
Соотношение
A.14а)
A.146)
A.14в)
A.14г)
A.14д)
. A.14е)
Л. ч.
—0,040±0,022
—0,053±0,031
0,003±0,032
—0,046+0,033
—0,017+0,036
0,171±0,049
п. ч.
0,017+0,043
—0,017±0,007
0,030+0,007
0,002+0,015
0,024+0,016
0,195±0,022
7- Ноете результаты, в кварковой модели 315
1) Сечения этих реакций меньше соответствующих
упругих сечений приблизительно на три порядка.
2) Формы дифференциальных сечений этих реакций
совершенно различны: при образовании N* A480) диф-
дифференциальное сечение имеет очень острый пик вперед,
форма которого приблизительно соответствует е~20', тогда
как для N* A690) дифференциальное сечение можно счи-
считать постоянным.
Поскольку обе реакции «когерентны» в том смысле, что
при образовании резононов не требуется обмена кванто-
квантовыми числами, довольно трудно понять эти различия.
Посмотрим теперь, может ли кварковая модель сказать
что-нибудь относительно этих фактов.
Для простоты не будем сначала учитывать составную
природу пиона. Тогда амплитуда реакций указанного
выше типа записывается в виде
&п = Ш*\Ъ)- (П.2)
Здесь F — глауберовский оператор кратного рассеяния,
a Opt и 1])/ — начальное и конечное состояния мишени
соответственно. На один вопрос можно ответить сразу, не
делая каких-либо дальнейших утверждений о структуре
мишени. Если мы рассматриваем вклад в F только одно-
однократного рассеяния, то матричные элементы будут иметь
вид (i])y |eiAr| Орд, так что при стремлении к нулю пере-
передаваемого импульса А член однократного рассеяния дол-
должен обращаться в нуль. Если мы вспомним, что именно
член однократного рассеяния определяет дифракционный
пик при обычных расчетах упругого рассеяния, то уви-
увидим, что первое из упомянутых выше экспериментальных
свойств легко объясняется отсутствием этого члена при
образовании резонансов.
Для объяснения второго свойства необходимо более
подробно рассмотреть ряд кратного рассеяния и выбрать
функции, которые будут использоваться в качестве г])/
и Opi в (П.2). К счастью, было проведено тщательное изуче-
изучение спектроскопии барионов в рамках кварковой модели
[19, 20], и полученные результаты можно непосредственно
использовать в нашем случае. Файман и Хендри рас-
рассмотрели барионы с точки зрения модели, в которой
кварки считаются связанными потенциалом гармониче-
316 Дж- Трефил
ского осциллятора, и показали, что такая модель может
успешно объяснить значительную часть наблюдаемого
барионного спектра. Кварковая волновая функция выби-
выбирается симметричной [21], так что основное состояние
(т. е. нуклон) характеризуется пространственной конфи-
конфигурацией (IsJ в относительных координатах, тогда как
N* A480) находится главным образом в состоянии (Is) Bs).
Другими словами, N* A480) принадлежит мультиплету
[56, L — 0+] и его можно представлять себе как радиаль-
радиальное возбуждение в относительных координатах. Тогда
N* A690) находится в состоянии (Is) (Id) из мультиплета
[56, L = 2+]; этот резонанс иногда обозначают. Fl&. Его
можно представлять себе как орбитальное возбуждение
в относительных координатах. Если выбрать относитель-
относительные координаты кварков в виде
У6
то волновые функции трех описанных выше состояний
бариона имеют вид
•ф (N* A480)) =
1^) (И.4)
X [WY2(l) + P2Y2(b)} exp (-
Если амплитуду рассеяния пиона на кварке записать
в виде
где 0яд — полное яд-сечение, а б — передаваемый им-
импульс, то можно оценить (П.2) в явном виде.
7. Новые результаты в кварковой модели
317
Рассмотрим образование N* A480). Как упоминалось
выше, вклад однократного рассеяния обращается в нуль
1,0
0,1
0,01
/Двукратное '
рассеяние
ТГр -~1tFa A,69)
Аг,(Гзб/с)г
Фиг. 3. Предсказания нашей модели для реакций nN -*¦ nN*
A,4) (верхние кривые) и nN -*¦ nN* A,69) (нижние кривые).
Для первой реакции показаны эффекты интерференции однократного и дву-
двукратного рассеяния; для второй реакции показаны амплитуды, соответствую-
соответствующие различным значениям Lz. В обоих случаях сплошная линия соответ-
соответствует сумме всех членов кратного рассеяния.
в направлении вперед. Однако вклад двукратного рассея-
рассеяния отличен от нуля в соответствии с тем, что нулевую
передачу импульса можно получить, если на первом рас-
318 Дяс. Трефил
сеивателе из мишени импульс изменяется сначала на +6,
а на втором рассеивателе на —б. Полная амплитуда сос-
состоит тогда из члена однократного рассеяния, быстро расту-
растущего от нуля, и двукратного рассеяния, отличного от нуля
в направлении вперед и медленно убывающего, а также
малых поправок от членов высших порядков. Поскольку
эти два члена интерферируют деструктивно, в результате
имеется очень острый пик вблизи направления вперед.
Все это иллюстрируется на фиг. 3, где представлены раз-
различные вклады и дифференциальные сечения.
При образовании N* A688) все это остается справедли-
справедливым для амплитуды рождения резонанса в состоянии
с Lz = 0. Однако для состояний с другими Lz амплитуда
в направлении вперед обращается в нуль во всех порядках
кратного рассеяния. На фиг. 3 показана также сумма ряда
таких членов. Общий эффект состоит в том, что амплитуды
с различными Lz, складываясь некогерентно, приводят
к размыванию структуры, очевидной в случае одной толь-
только амплитуды с Lz = 0.
На фиг. 4 показаны экспериментальные и расчетные
кривые одновременно для упругого рассеяния и образо-
образования резонансов. Видно, что модель кварков хорошо
воспроизводит основные черты экспериментальных дан-
данных. Следует отметить, однако, что в нормировке экспе-'
риментальных кривых существуют большие эксперимен-
экспериментальные неопределенности, связанные с трудностями
вычитания фона, так что нормировку теоретических кри-
кривых мы рассматривали как произвольную. Поэтому
в качестве подтверждения теории следует рассматривать
только форму кривых, а не полученные значения. Следует
также указать, что до некоторой степени похожие резуль-
результаты получил Арнольд [22], используя модель жидкой
капли, так что результаты такого типа, по-видимому,
можно получить почти в любой составной модели.
Этот расчет приводит к нескольким интересным побоч-
побочным следствиям. Во-первых, видно, что предлагаемое
объяснение различных наклонов при образовании резо-
резонансов N* коренным образом отличается от объяснения,
возникающего из подсчетов при помощи дифракционных
полюсов Редже [23]. Крутизна наклона при образовании
N* A480) следует здесь из характера интерференции
7. Новые результаты в квагжояой модели
319
однократного рассеяния (полюса Редже) и двукратного
рассеяния (реджевского разреза), а не является вкладом
чистого полюса или разреза. В случае N* A690) гладкое
/00,0 |-
10,0
10,0
X
1,0
1,0
0,1
0,1
Аг,(Гзв/С)г
0,2
Фиг. 4. Сравнение нашей модели с данными работы [18].
Экспериментальные точки соответствуют энергии от 14 Гэв/с (эффектов, суще-
существенно зависящих от енергии, не наблюдается).
дифференциальное сечение появляется в результате неко-
некогерентного сложения амплитуд, соответствующих различ-
различным орбитальным возбуждениям, и его нельзя предста-
представить себе как эффект интерференции.
На фиг. 3 мы видим также, что хотя в таких процессах
однократное рассеяние намного меньше двукратного ¦
в направлении вперед, существует область несколько
320 Дж- Трефил
¦больших t, где оно преобладает. Отсюда становится ясным
замечание о численных значениях элементов матрицы
плотности в табл. 1, получаемых в модели кварков.
Напомним, что все результаты табл. 1 были получены при
рассмотрении одного только члена однократного рассея-
рассеяния в том случае, когда этот член обращается в нуль
в направлении вперед. Теперь мы видим, что эти пред-
предсказания не должны выполняться при А = 0, поскольку
здесь доминирует двукратное рассеяние. Однако они дол-
должны выполняться при несколько больших значениях t, где
доминирует однократное рассеяние. Таким образом, учет
кратного рассеяния в случае чистых предсказаний адди-
аддитивной кварковой модели не столько меняет сами пред-
предсказания, сколько определяет просто область значений t,
в которой можно ожидать выполнения этих предсказаний.
Этот результат в известной степени можно применить
также в ядерной физике высоких энергий, если рассматри-
рассматриваются предложенные ранее «двухступенчатые» процес-
процессы [24]. В таких процессах (для простоты мы рассматрива-
рассматриваем упругое рассеяние протонов на ядрах) мы изучаем
эффекты от диаграмм типа цепочки, когда резонон N*
рождается, несколько раз рассеивается, а затем вновь
превращается в протон. Следует отметить, что при доста-
достаточно низких энергиях фаза амплитуды процесса
pp->pN* (II.6)
будет отличаться от фазы амплитуды процесса
рр->рр, (И.7)
так как в первом процессе участвует двукратное рассеяние
кварка, а во втором главным образом однократное (мы
всюду ограничиваемся рассмотрением направления впе-
вперед). Таким образом, реакции цепного типа имеют тенден-
тенденцию идти не в фазе с упругими процессами, уменьшая тем
самым роль таких вкладов в упругом рассеянии. Назовем
фазой амплитуды отношение ее вещественной части к мни-
мнимой. Если мы обозначим фазу реакции (П.7) через а, то
при очень малых углах а будет также приближенно равна
фазе амплитуды рассеяния кварка на кварке. Мы можем
теперь, обозначив фазу амплитуды реакции (И.6) через а*,
вычислить ее согласно (П.2). Мы можем, наконец, рас-
7. Ноете результаты в кварковой модели
321
смотреть в качестве примера двухступенчатый процесс,
в котором сначала происходит реакция рр -*¦ pN*, а затем
реакция N*p -*¦ рр, обозначив фазу такого процесса
через р*. Поскольку фаза двойного упругого рассеяния
равна 2а/A — а2) и почти точно совпадает с а*, разность
2,G-
1,5 -
1,0 -
0,5 -
1
-
/
т
1
1
¦
/
(
/
/
1 I
/ *
/
1 1
—1 1—
t I
—1
-
0,5
Фиг. 5. Фазы, отвечающие рождению N* и процессам цепного
типа (см. текст).
между а* и р показывает, до какой степени двухступен-
двухступенчатый процесс и двойное упругое рассеяние идут не
в фазе.
На фиг. 5 показаны] графики а* и р* как функции а.
При высоких энергиях, когда а -*¦ 0, влияние интерфе-
интерференции становится максимальным, и здесь учет двух-
двухступенчатых процессов становится наиболее важным. При
1/2 21-716
322 Дж- Трефил
более низких энергиях, когда а возрастает до заметной
величины, влияние таких цепочек ослабляется за счет
указанного выше механизма, а также за счет ядерных
формфакторов, которые должны принимать на себя пере-
передаваемые импульсы, связанные с изменением массы при
образовании резонона.
Эти аргументы приводят к выводу о том, что, если мы
хотим получить однозначную теоретическую интерпрета-
интерпретацию результатов, то может оказаться неправильным
предложение проводить эксперименты по образованию
частиц на ядрах при высоких энергиях. Например, раз-
различие в константе связи р-мезона с фотоном, 7р/4я, изме-
fieHHofi при низких энергиях в Гамбурге (группа ДЭЗИ)
25], и при более высоких энергиях в Стзнфорде [26]
и в Корнельском университете [27], может оказаться
реальным проявлением двухступенчатых процессов, кото-
которые начинают играть важную роль при высоких энерги-
энергиях. С другой стороны, если ядерные плотности хорошо
определены из упругого рассеяния при низких энергиях,
то эксперименты при высоких энергиях могут дать сведе-
сведения о процессах типа N* A480) + р -> N* A690) + р,
которые нельзя измерить непосредственно.
В заключение я приведу предварительные результаты
работы, выполненной Хендри и мной. Видя, что кваркот
вая модель успешно описывает наклоны кривых образо-
образования N*, мы начали искать другие случаи аномального
хода экспериментальных кривых. В одном классе зарядо-
во-обменных реакций, а именно
рп—>пр, рр—^пп, лр—>рА, ур—>п+п, уп—>п~р,
(II.8)
наблюдаются очень острые «иглы»— дифференциальные
сечения вида е~50' при очень малых передаваемых импуль-
импульсах [t < 0,02 (Гэв/с)*], переходящие в обычную кривую
типа е~8' при увеличении t [28].
Известно объяснение этого явления с помощью соот-
соотношений конспирации в модели полюсов Редже [29]. При
этом используется следующая аргументация: закон сохра-
сохранения углового момента не требует, чтобы спиральная
амплитуда (Н—\- | > обращалась в нуль при t = 0,
однако в большинстве обменных моделей эта амплитуда
[У. Новые результаты в кварковой модели
323
равна нулю при t = 0 [30]; тем не менее можно получить
для нее ненулевое значение, если в кросс-канале сущест-
существует соотношение конспирации (а не уклонения).
Поскольку в этой амплитуде основную роль играет, по-
видимому, обмен пионом, легко объяснить острую фор-
форму «иглы».
При изучении этой проблемы с точки зрения кварковой
модели следует рассмотреть два вопроса: во-первых,
действительно ли амплитуда (Н—\- | ) отлична от
нуля в направлении вперед (мы только что видели, как
учет кратного рассеяния приводит к ненулевым значе-
значениям амплитуд рождения N*); во-вторых, можно ли
дать простую интерпретацию «игл», не прибегая к услож-
усложнениям, связанным с соотношениями конспирации.
Чтобы подойти к этой проблеме, мы должны, конечно,
как-то уточнить спиновую структуру амплитуды рассея-
рассеяния кварка на кварке. Мы предположим, что амплитуда
имеет вид [31, 32]
•A
m
B)
) п + -^
тB)
(П.9)
где А, С я В относятся к процессам, идущим без обмена
зарядом, a G, ? и Н относятся к зарядово-обменным про-
процессам. Все эти величины могут зависеть от передаваемого
импульса б. Мы подставляем эту амплитуду в оператор F
в (П.2) и используем дляг]^ И1|)/ стандартные спин-изоспи-
новые волновые функции [2, 3] протона и нейтрона. Мы
предполагаем, что пространственные волновые функции
имеют простой гауссовский вид.
Если записать различные амплитуды в (И.9) в виде
С
В
G
L
4я
А\
С
В
G
L
ехр
б2
2"
(аХ
с
Ъ
g
1
A1.10)
21*
324 Ддкг. Трефил
то можно вычислить все интегралы по промежуточным
импульсам и ядерным пространственным координатам
в (П.2). Поскольку мы рассматриваем очень малые пере-
передаваемые импульсы, мы оставляем только члены до второго
порядка в разложении кратного рассеяния.
Первое следствие этого расчета состоит в том, что во
всех порядках кратного рассеяния амплитуда (Н—\- | >
обращается в нуль при А = 0. Это следует, по существу,
из соотношения для спинового матричного элемента
(q\\o-n\qfr~ei<e» A1.11)
Если происходит чистый переброс спина либо протона,
либо нейтрона, то фазовый множитель приводит в конце
концов к первой степени А в окончательном результате.
Это означает, что в нашей модели «игла» при малых пере-
передаваемых импульсах не может получиться из амплитуды
(Н—Ь I ), как это имеет место в модели Редже. Вот
первый простой результат, который мы получаем из квар-
ковой модели, и этот результат, по-видимому, остается
справедливым также в любой другой составной мо-
модели.
Можно теперь спросить, существует ли какой-нибудь
другой способ получить «иглы» из кварковых амплитуд.
Ясно, что если в модели все амплитуды с переворотом
спина обращаются в нуль при А =0, то «игла» должна
находиться в амплитудах без переворота спина. Члены
однократного рассеяния в такой амплитуде должны, конеч-
конечно, определяться слагаемым G в кварковой амплитуде,
соответствующим зарядовому обмену без переворота спина.
В двукратном рассеянии, однако, возможен процесс, при
котором спины двух кварков переворачиваются таким
образом, что спин нуклона не изменяется. Поскольку
каждый переворот спина отдельного кварка может про-
происходить с ненулевой передачей импульса (при этом пол-
полная передача импульса должна быть равной нулю), такие
процессы могут давать вклад в амплитуды без переворота
спина даже при А = 0.
Это ожидание фактически подтверждается, если вычис-
вычислить амплитуду без переворота спина зарядово-обменного
7. Новые результаты в кваркоеой модели 325
рассеяния нейтронов на протонах. Мы находим
8AG (i + q)
, (Д2+6)(Д2+й)
Г, АИ , Аг(Д2+Ь+й) Д4Г|¦
L 2 "*" 4 """ 32 J л
хе-г1да/4е-Д2н2/12_
л __АИ_\ е-
2 V 4 /
16 C?(t + «)a Ь
3 DлJBДг++02\
A1.12)
где R2 = 2/3 (среднеквадратичный радиус протона),
а Д — передаваемый импульс. Члены, в которые входят
комбинации ВН и CL, соответствуют упомянутому выше
двойному перевороту спина кварка. В написанной формуле
,2
Г4— Д24-СЧ-/ ' 8
В соответствии с подходом, при котором «игла» ассоци-
ассоциируется с пионным обменом, мы предположили, что за
аномалию в зарядово-обменном rep-рассеянии при малых t
отвечает член, содержащий комбинацию ВН, и попытались
воспроизвести экспериментальные данные, варьируя В, Н,
Ь и h. Один из результатов представлен на фиг. 6.
Конечно, на этой стадии мы показали только, что
в кварковой модели можно получить «иглу», которая на-
Фиг. 6. Описание процесса рп -*¦ пр при помощи кварковой
модели.
В амплитудах с переворотом спина параметры выбраны следуюпщм образом:
Ь = я = 100 (Гее/с)-», G = Я = 20А. Это предварительный результат, и ука-
указанные значения не следует принимать всерьез, пока работа не будет закончена,
7. Новые результаты, е кварковой модели 327
¦блюдается в рассмотренной конкретной реакции. Едва
ли можно считать это большим достижением кварко-
кварковой модели, если учесть количество свободных парамет-
параметров. Теперь мы должны ответить на вопрос: приведут
ли амплитуды В и Н к «иглам», найденным в остальных
реакциях из (П.8), аналогично тому, как они привели
к «иглам» в зарядово-обменном rep-рассеянии вперед.
Соответствующие результаты скоро будут получены. Если
ответ окажется утвердительным, то мы действительно
получим простое объяснение аномалии дифференциального
сечения в этих реакциях, т. е. найдем, что она обусловлена
вкладами двойного переворота спина кварков в амплиту-
амплитуды без переворота спина. Используя поляризационные
эксперименты при малых t, можно, конечно, сделать выбор
между этим объяснением и обычным объяснением с помо-
помощью полюсов Редже, упомянутым выше.
Итак, мы видели, что согласие между предсказаниями
простой аддитивной кварковой модели для элементов
матрицы плотности и совместных распадных распреде-
распределений производит чрезвычайно внушительное впечат-
впечатление. Кроме того, обобщая эту модель так, чтобы вклю-
включить эффекты кратного рассеяния, мы приходим к просто-
простому объяснению формы дифференциальных сечений в реак-
реакциях рождения нуклонных изобар, а также можем полу-
получить острые «иглы» вперед, наблюдаемые в некоторых
зарядово-обменных реакциях. Поэтому сейчас представ-
представляется, что следует провести более тщательное изучение
предсказаний кварковой модели по тем пунктам, где
имеются предсказания реджевской модели.
Автор выражает благодарность А. Хендри за много-
многочисленные обсуждения и внимательное прочтение руко-
рукописи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kokkedee J. J. J., The Quark Model, New York, 1969 (основной
текст настоящего издания).
2. Jtzykson С, Jacob M., Nuovo Cimento, 48A, 909 A967).
3. Friar J. L., Trefil J. S., Nuovo Cimento, 49, 642 A967).
4. Левин Е. М., Франкфурт Л. Л., Письма ЖЭТФ, 2, 105 A965).
5. Lipkin H. J., Scheck F., Phys. Rev. Letters, 16, 71 A966).
€. Lipkin H. J., Phys. Rev. Letters, 16, 1015 A966).
328 Дж- Трефил
7. Kajantie К., Trefil J. S., Nucl. Phys., B2, 243 A967).
8. Gottfried K., Jackson J. D., Nuovo Cimento, 33, 309 A964).
9. Bialas A., Gula A., Muryn В., Acta Physica Polonica, 23, 443
A967).
10. Gorczyca В., Acta Physica Polonica, 33, 471 A968).
11. Bialas A., Zalewsky К., в книге Proceedings of the Heidelberg
Conference, Amsterdam, 1967.
12. Bialas A., Zalewsky K., Nucl. Phys., B6, 465, 449, 478 A968).
13. Bialas A., Gula A., Muryn В., Phys. Letters, 24B, 428 A967).
14. Bialas A., Zalewsky K., Phys. Letters, 26B, 170 A968).
15. Bonn-Durham-Nijmegen-Paris-Strasbourg-Turin Collaboration,
Phys. Letters, 28B, 72 A968).
16. Kotanski A., Zalewski K., Nucl. Phys., B4, 559 A968).
17. Harrington D., Pagmmenta A., Phys. Rev., 173, 1599 A968).
18. Foley K. J., Jones R. S., Lindenbaum S. J., Love W. A., Oza-
ki S., Platner E. D., Quarles С A., Willen E. H., Phys. Rev.
Letters, 19, 397 A967).
19. Faiman D., Hendry A. W., Phys. Rev., 173, 1720 A968); 180
A969).
20. Dalitz R., Proceedings of Topical Conference on Nucleon Reso-
Resonances, University of California at Irvine, 1967.
21. Greenberg O. W., Phys. Rev. Letters, 13, 598 A964) (дополне-
(дополнение 4 настоящего издания).
22. Arnold R. С, Phys. Rev., 157, 1292 A967).
23. Frautschi S., Margolis В., Nuovo Cimento, 57, 427 A968).
24. Margolis В., McGill University preprint.
25. Astbury J. G., Becker U., Bertram W. K., Joos P., Rhode M.,
Smith A. J. S., Jordan C. L., Ting S. С. С, Phys. Rev. Letters,
19, 865 A967).
26. Bulos F., Busza W., Giese R., Larson R. R., Lieth D. W. G.- S.,
Richter В., Perez-Mendez V., Stetz A., Williams S. #., Beni-
ston M., Rettberg J., Phys. Rev. Letters, 22, 490 A969).
27. McClellan G., Mistry N., Mostek P., Ogren H., Silverman A.,
Swartz J., Talman R., Phys. Rev. Letters, 22, 377 A968).
28. Manning G., von der Raay H. В., Reading D. H., Ryan D. G.,
Jones B. D., Malos J., Lipman N. #., Nuovo Cimento, 41, 167
A966).
29. Волков Д. В., Грибов В. Н., ЖЭТФ, 44, 1608 A963).
30. Phillips R. J. N., Nucl. Phys., B2, 394 A967).
31. Johnston R. R., Nucl. Phys., 36, 368 A962).
32. Sharp D. H., Wagner W. G., Phys. Rev., 131, 2226 A966).
8. ДУАЛЬНОСТЬ И МОДЕЛЬ КВАРКОВ ДЛЯ МЕЗОНОВ
Я. Коккеда})
Согласно принципу дуальности в физике сильных
взаимодействий [1—5], существуют два приближенных,
дополнительных способа описания двухчастичной ампли-
амплитуды рассеяния A (s, t), а именно, либо в виде суммы
полюсов, соответствующих резонансам в прямом канале
(s-канале), либо в виде суммы членов, соответствующих
обменам полюсами Редже в кросс-канале (в дальнейшем
везде рассматривается f-канал). Дуальность вместе с пред-
представлением [6] о том, что возможные вклады нерезонанс-
нерезонансного фона в прямом канале связаны с обменом полюсом
Померанчука, приводит к соотношению
<Im А$а (s, *)> - 1га А(&Дже (s, t), A)
где скобки ( ) обозначают «полулокальное» среднее вкла-
вклада резонанса, а в выражении ЛредЩе исключен вклад от
обмена полюсом Померанчука в f-канале.
Из соотношения A) немедленно следует, что если
в прямом канале не существует резонансов (экзотический
канал, см. щоке), так что Im А^ = 0, то 1га ЛреДже = 0.
Это накладывает жесткие ограничения на полюса Редже
в ?-канале. Находим, что траектории должны появляться
в виде вырожденных пар (обменное вырождение) с опре-
- деленными соотношениями между вершинными частями.
В недавних статьях [1—5, 7—11] приводится множество
иллюстраций к этому утверждению как для мезонных,
так и для барионных траекторий.
В этой заметке мы рассматриваем следствия соотноше-
соотношения A) и факта отсутствия экзотических резонансов для
полной системы мезонных траекторий, появляющихся
в нерелятивистской модели кварков. В этой модели мезон-
ные состояния рассматриваются как связанные состояния
пары кварк — антикварк {qq)h с орбитальным момен-
моментом L2). Известно, что эта модель вместе с соответствую-
соответствующей моделью (qqq)L Для барионов объясняет наблюдаемый
спектр адронов 3). Экзотическими называются состояния,
х) J. J. J. Kokkedee, Lettere al Nuovo Cimento, 3, 129 A970).
2) Мы не будем рассматривать здесь колебательные возбуж-
возбуждения ад-системы.
3) См., например, [3, 12].
22-716
330
Я. Коккедэ
квантовые числа которых не разрешены в модели квар-
кварков. Мы предположим в согласии с существующими экспе-
экспериментальными данными, что таких состояний нет, и поло-
положим Im Лэрке1 = 0 и 1т А™ ф 0.
Для каждого значения полного момента / (кроме / = 0)
в (да) i,-модели возникают четыре нонета мезонных состоя-
состояний, которые имеют вид 3(/ ± i)j, 3Jj и 1//, если использо-
использовать спектроскопическое обозначение 2S+1 Lj (s — полный
спин кварков). Это соответствует 32 различным траектори-
Таблица 1
Траектории нестранных мезонов в (да)х-модели
N=P(-l)J
1
1
—1
-
I
0
1
0
1
0
1
0
1
t
i
i
t
t
±
i
±
i
(четное)++
(нечетное)—
(четное) +~
(нечетное)-+
(четное)++
(нечетное)—
(четное) +-
(нечетное)—*¦
(четное)—
(нечетное)++
(четное)—*¦
(нечетное) +~
(четное)""
(нечетиое)+~
(четное)~
(нечетаое)++
Траектории
Редже
(В, со' = ф
Р
е, е'
с, с' -
б
Р'
i, d'
а, а'
У
А!
¦п, п'
6, Ь'
я
В
S. Дуальность и модель кварков для мезонов 331
ям, из которых 16 имеют четную сигнатуру т (/ четное)
и 16 — нечетную (/ нечетное). В табл. 1 приведены 24 не-
нестранные траектории. Не все они пока установлены
экспериментально в том смысле, что не на все из них
попадают один или больше установленных резононов. Тра-
Траектории, обозначенные а, а', Ь, V, с, с', d, d', у, р' (послед-
(последний столбец), пока еще «пусты», а для нескольких других
(в, е', б) данные пока не убедительны *). Обозначим траек-
траектории с / = 1 через Y, а траектории с / = 0 через X и X'
(X = /, со, . . .; X' =/', со', . . .). Состояния на траекто-
траекториях ХиХ'в каждой строке табл. 1 представляют собой
при данном /, вообще говоря, смеси чистых унитарных
состояний
B)
Здесь р, п и К — кварки.
Рассмотрим процессы типа
C)
где Mt (i — 1, 2, 3, 4) — мезон с / = 1, находящийся где
угодно на любой траектории Y из табл. 1. Используя
кроссинг-симметрию, мы можем записать амплитуды Л(8)
4<«) ^(S) Tpex процессов
Dа)
ЛГ'-> + М<+) -^ М(-> + М<+), D6)
Dв)
(верхние индексы (±) указывают заряд) через амплиту-
амплитуды А ]р с данным изоспином / в i-канале. Если в i-канале
х) Отметим, что состояния с / = 0 на траекториях у, d и а"
относятся к экзотическим.
22*
332 Я. Коккеда
учесть вклады только траекторий с / = 0 и 1, то полу-
получаем1)
4. л?»+]+
Ч-[1^>+1<]_, E6)
J<« = А<«> = [4- 4<" -1Л <*]+ - [i- Л <*> -1 А? >]_, Eв)
где символ I. . .]+(_> выделяет часть амплитуды, чет-
четную (нечетную) относительно кроссинг-преобразования.
Первый из процессов D) относится к классу экзотиче-
экзотических, остальные два неэкзотические. Поэтому как след-
следствие соотношений A) мы ожидаем
1 1 F)
Из соотношений E) следует, что для выполнения этих
условий должна иметь место компенсация между вклада-
вкладами Ы<*)]+ и Ы('>]_, а также между Ы<0] + и Ы<')]_. Кроме
соотношений между вычетами, которые мы здесь явно не
рассматриваем, это требует, чтобы были вырождены тра-
траектории Редже с противоположной сигнатурой и различ-
различным изоспином (равным нулю или единице). Конечно, из
процессов C) мы получаем только условия для траекто-
траекторий с одной и той же G-четностью. Более того, мы должны
потребовать, чтобы компенсация имела место независимо
для траекторий с положительной и отрицательной нор-
нормальностью N, как это следует уже из рассмотрения
процессов, в которых в f-канале появляются траектории
только одного типа. Наконец, мы предполагаем, что для
*) Соотношение между 4<s> и Л<4>, вытекающее из Eа) и Eв),
выполняется при специальных выборах определения спиновых
амплитуд. См., например, [13]. Поскольку принцип обменного
вырождения применяется по отдельности к каждому спиновому
состоянию, мы можем не рассматривать здесь спиновые индексы,
помня только, что в общем случае в <-канале реакции C) при задан-
заданной сигнатуре имеются состояния с той и другой четностью.
8. Дуальность и модель кварков для мезонов 333
траекторий с iV = 1 вырождение наблюдается между теми
из них, которые при данном / имеют одинаковые значе-
значения L. Этот выбор представляется наиболее естествен-
естественным, поскольку при данном / мы ожидаем, что
массы (од^-состояний увеличиваются с ростом L. Дру-
Другими словами, на диаграмме Чу — Фраучи траекто-
траектории 3 (/ + 1)/ находятся, по-видимому, гораздо правее
траекторий 3 (/ — l)j, а траектории 1>aJJ лежат где-то
между ними. Таким образом, ожидается, что в мезонных
процессах внутри одного семейства 2i+1Lj связаны только
траектории с противоположной сигнатурой и различным
изоспином; мы имеем
(/, П-^-Р, (со, ©')-«-> Л2,
(е,е')~ Р', (с, с') —б,
(d,d')-^-Aly {а,а')*-+у,
Если потребовать, чтобы состояния с / = 0 из данного
нонета имели различные массы и, следовательно, различ-
различные траектории, то из траекторий с / = 0 в каждом из
условий G) только одна может быть вырожденной с соот-
соответствующей траекторией с / = 1. Следовательно, вторая
не должна быть связана с процессом C). Это требует
«идеального» смешивания во всех нонетах, означающего,
что при любой комбинации (s, L, J) состояния из траекто-
траекторий X и X' должны иметь кварковую структуру X =
= A//2) (рр + пп) и Х' = п [3, 12]. В этом случае,
записывая mi = m%<n -\- б, где б представляет величину
нарушения SU (З)-симметрии х), мы приходим к следую-
следующим массовым соотношениям, вытекающим из модели
кварков:
тх (s, L, J) =-. т\ (s, L, J) = m2 (s, L, J),
mx> (s, L, J) = m? (s, L, J) + 26.
Используя эти соотношения вместе с условиями G), мы
получаем следующую схему вырождения нестранных
*) Из значений масс установленных нонетов выводим б ==
= @,2-0,3) (Гэв)\
334 Я. Коккедз
траектории:
где первая строчка хорошо известна [7—11]. Все траекто-
траектории X' не связаны с нестранными мезонами. Однако они
входят в реакции, включающие только странные мезоны.
При этом отсутствие в таких процессах резонансов в кана-
каналах со странностью ±2 объясняется вырождением этих
траекторий, которое показано в соотношениях (9).
Аналогичное вырождение имеет место в случае траекто-
траекторий К*. Имеем
тЬ (s, L, J) = m2 (s, L, J) + 8. A0)
Соотношения (8) и A0) можно объединить, записав
m2(s,L,J,n)=m2(s,L,J) + n6, (И)
где п — число Я, (Я)-кварков в ад-состоянии.
Полученные результаты не противоречат условиям,
следующим из применения дуальности к процессам с уча-
участием барионов, таким, как KN-+KN и NN ->¦ NN (К =
= К+ или К°, N — нуклон), где в том и другом случае
в s-канале не существует резонансов. Рассмотрим, напри-
например, последний процесс. Мнимая часть вклада резонансов
в каждую из пяти независимых спиральных амплитуд
s-канала равна нулю при каждом значении изоспина
в s-канале. Из кроссинговых свойств этих амплитуд
можно показать, что это приводит к условиям, включаю-
включающим траектории с одинаковыми изоспином и нормально-
нормальностью, противоположной G-четностью и противоположной
сигнатурой, а именно [ср. замечания, предшествую-
предшествующие G)]:
А2*-*¦ р, (/, /') •*-*¦ (со, а)'),
8~р', (в, в') —(С О, A2)
я ++В, (т), г)') «->-(&, Ь'),
у-*-+Аи (d,d')++(a, а').
Эти условия не противоречат G), (8) и (9).
Отметим, что при объединении условий G) и A2) мы
приходим к выводу, что из существования наблюдавшихся
8- Дуальность и модель кварков для мезонов 335
траекторий р, А2, /, /', со, со' = ф) Аи В, я, г), г\', б, е, е'
следует существование пока не наблюдавшихся траекто-
траекторий р', у, а, а', Ъ, V, с, с', d, d'.
Предположим теперь, что все траектории линейны
и параллельны друг другу с одинаковым наклоном Bml)-1.
Это значение наклона получено в модели Венециано [14]
и близко к экспериментальному значению. Поскольку
m2Al ж 2/Пр (массовая формула Вейнберга), мы получаем
дополнительный результат, что (при фиксированном п)
траектории 3Jj совпадают с траекториями xJj, т. е.
т2 (s, L, J) не зависит от s. Если сверх того траектории
3(/ — l)j и 3(/ + l)j при фиксированном п (их кванто-
квантовые числа одинаковы) отличаются на А/ = 1, как это
имеет место в модели Венециано, где одна из них является
дочерней траекторией относительно другой, то мы при-
приходим к схеме, показанной на фиг. 1. Мы положили
т% = 0. Нарисованы только траектории с п = 0. Траек-
Траектории cs = 1и п = 2 получаются из них параллельным
переносом на Am2 = б и 26 соответственно.
Соответствующий этой фигуре спектр содержит, кроме
двух псевдоскалярных состояний при т2 = 0 (ср. приме-
примечание 1 на стр. 331), еще по четыре состояния при каждом
ненулевом значении т2, кратном т,р, а именно: 1) при
т2 = т% состояния ей 6с/ = 0и состояния р и со
с / = 1; 2) при т2 = 2т\ состояния А^ и В с / = 1,
а также два еще не открытых изоскалярных состояния
с квантовыми числами JPG = 1++ и 1+~, которые могут
распадаться на Dя, т)яя) и Зя соответственно; 3) при
т2 = З/Пр состояния А2 и / с / = 2, а также еще, два
пока не открытых состояния с / = 1 с квантовыми числа-
числами р- и со-мезонов и т. д.
Любопытная эмпирическая формула, воспроизводящая
схему фиг. 1, имеет вид
/w2(s, L, /)=m2p(L + /). A3)
Зависимость т2 от L -\- J при любом значении стоящей
впереди константы приводит сразу к выводу, что траекто-
траектории с N = 1 и N = —1 отличаются на А/ = 1/2 и пере-
пересекают ось ординат в точках A/2, —1/2) иО соответственно.
Этот результат следует также из формулы Венециано
вместе с условием Адлера [15, 16]. Отметим, что при
336
Я. Коккедэ
интерполяции по L, если значение s остается фиксирован-
фиксированным вдоль траектории, имеет место интерполяция между
физическими значениями /.
Как рассмотренная схема соответствует эксперимен-
экспериментальным фактам? Известно, что в случае траекторий
'(¦/ ,/
4ty
Фиг. 1. Диаграмма Чу — Фраучи для мезонных траекторий
с п = О, соответствующих (од)?-модели.
Каждая точка при целом J на каждой из двух внешних траекторий представ-
представляет два состояния, каждая точка на внутренней траектории представляет
четыре состояния (кроме точки J = 0, где их два), квантовые числа которых
можно найти в табл. 1.
3(/—1)/ ситуация оказывается хорошей [1—5, 7—И]:
вырождение со — р — / — А2 почти выполняется для
экспериментальных значений масс *). О траекториях
х) Наблюдаемое расщепление максимума А2 представляет собой
трудность для схемы, представленной на фиг. 1. Если это расщепле-
расщепление должно интерпретироваться как результат приближенного
вырождения двух независимых изовекторных состояний с JFG =
= 2+~, единственными кандидатами в которые в (дд)ь-модели
являются конфигурации 3Р2 и 3F2, то это потребовало бы, чтобы
вблизи nfl = т\2 пересекались траектории б и А2, т. е. траектории
3(/ + l)j- и 3(/ — l)j. Обсуждение такой непривлекательной воз-
возможности см. в работе [17].
8- Дуальность и модель кварков для мезонов 337
3(/ + l)j имеется мало данных. Если массы частиц е и б
с Jp — 0+ равны 750 и 960 Мэв [3], то вырождение, пока-
показанное на фиг. 1, реализуется только приближенно. Как
и в модели Венециано, главная трудность связана с траек-
траекториями с N = — 1, которые, по-видимому, далеки от
идеального смешивания, что ясно из большой разницы
масс я- и Ti-мезонов. Более того, в экспериментах mAl ф
Ф т2в; фактически пг% — mAl « т\ -~ т%, w V2 m%. Оче-
Очевидно, в природе дуальность нарушена. Почему она нару-
нарушена гораздо сильнее для траекторий с неестественной
четностью, чем для траекторий с естественной четностью,
остается не выясненным.
Заключительное замечание. Здесь мы ставили только
вопрос о том, какие ограничения накладывает требование
дуальности на заданную систему мезонных траекторий,
возникающих в модели кварков. Но существует и совер-
совершенно другой вопрос: допускают ли уравнения для
общих адронных процессов, вытекающие из требования
дуальности, такие решения, в которых получается только
эта система траекторий, или все решения содержат допол-
дополнительные состояния, не возникающие в модели квар-
кварков? Имеются указания на то, что справедливо последнее
утверждение [18, 19].
Я благодарен проф. Дж. де Сварту за чтение рукописи
и некоторые полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dolen R., Нот D., Schmid С, Phys. Rev., 166, 1768 A968).
2. Schmid С, Phys. Rev. Letters, 20, 689 A968).
3. Harari H., в книге Proceedings of the XIV International Con-
Conference on High Energy Physics, Vienna, Prentki J., Steinber-
ger J., Eds., Geneva, 1968.
4. Jacob M., Schladming Lectures, CERN TH 1010, March 1969.
5. Lipkin H. J., в книге Proc. Lund International Conference on
Elementary Particles (Sweden, 1969).
6. Harari H., Phys. Rev. Letters, 20, 1395 A968).
7. Chiu С. В., Finkelstein J., Phys. Letters, 27B, 510 A968).
8. Schmid C, Lett. Nuovo Cimento, 1, 165 A969).
9. Capps R. H., Phys. Rev. Letters, 22, 215 A969).
10. Mandula J., Rebbl C, Slansky R., Weyers J., Zweig G., Phys.
Rev. Letters, 22, 1147 A969).
11. Schwimmer A., Phys. Rev., 184, 1508 A969).
338 Я. Коккедэ
12. Kokkedee J. J. J., The Quark Model, New York, 1969 (основной
текст настоящего издания).
13. Van Hove L., в книге Particle Physics at High Energies, Pri-
Priest T. W., Vick L. L. J., Eds., Edinburgh, 1967.
14. Veneziano G., Nuovo Cimento, 57A, 190 A968).
15. Lovelace C, Phys. Letters, 28B, 265 A968).
16. Ademollo M., Veneziano G., Weinberg S., Phys. Rev. Letters,
22, 83 A969).
17. Dalitz R. H., лекция на Международной конференции по сим-
метриям и моделям кварков, Detroit, June 1969.
18. Rosner J. L., Phys. Rev. Letters, 21, 950 A968).
19. Mandula J., Weyers J., Zweig G., Phys. Rev. Letters, 23, 627
A969).
СОДЕРЖАНИЕ
Д. Иваненко. Эволюция модели кварков. (Вступитель-
(Вступительная статья) 5
Предисловие автора 33
Глава!. ГРУППА ИЗОСПИНОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ SI/B) ... 37
Глава 2. ГРУППА УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ SUC) ... 40
§ 1. Фундаментальный триплет 40
§ 2. Высшие мультиплеты 41
| 3. Унитарный спин 45
Глава 3. ГРУППА Sf/F) 46
Глава 4. КВАРКИ И КВАРКОВЫЕ МОДЕЛИ 50
| 1. Общие замечания 50
§ 2. Поиски кварков 51
| 3. Основные предположения 54
§ 4. Другие составные модели 57
Глава 5. ОСНОВНЫЕ МЕЗОННЫЕ СОСТОЯНИЯ 59
§ 1. Суперпозиция кварковых состояний 59
| 2. Волновые функции 63
Глава 6. ОСНОВНЫЕ БАРИОННЫЕ СОСТОЯНИЯ 65
| 1. Состояния, принадлежащие декуплету 65
§ 2. Состояния, принадлежащие октету 67
Глава 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 71
§ 1. Силы, действующие между кварками 71
§ 2. Трудности простых динамических моделей .... 72
§ 3. Могут ли кварки подчиняться статистике Ферми? 77
§ 4. Изучение системы кварк — антикварк 80
340 Содержание
Глава 8. РАЗНОСТИ МАСС В ЭС;C)-МУЛЬТИПЛЕТАХ 81
| 1. Мезоны 81
| 2. Барионы . . . . 86
Глава 9. СОСТОЯНИЯ, ВОЗБУЖДЕННЫЕ ПО ОРБИТАЛЬНОМУ
МОМЕНТУ 89
§ 1. Мезонные резонансы 89
| 2. Замечания 95
§ 3. Барионные резонансы с отрицательной четностью 96
§ 4. Барионные резонансы с положительной четностью 100
§ 5. Симметричная модель 102
Глава 10. ПРОЦЕССЫ СЛАБОГО РАСПАДА 106
§ 1. Бета-распад 106
§ 2. Отношение GA/GV 108
§ 3. Парадокс Ван Ройена — Вайснопфа 110
| 4. Нелептонный распад 114
Глава 11. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ 115
| 1. Вычисление магнитных моментов адронов .... 115
| 2. Аномальный магнитный момент кварка 117
Глава 12. ПРОЦЕССЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАСПАДА 120
§ 1. Радиационный распад векторных мезонов .... 120
| 2. Радиационный распад барионных резонансов . . . 123
§ 3. Лептонный распад векторных мезонов 124
| 4. Электромагнитный распад я0- и р-мезонов .... 127
| 5. Выводы 128
Глава 13. ПРОЦЕССЫ СИЛЬНОГО РАСПАДА 129
§ 1. Общие замечания 129
| 2. Распад барионных резонансов 130
| 3. Распад векторных мезонов 131
Глава 14. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ АДДИТИВНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 134
§ 1. Формулировка аддитивности 134
| 2. Неаддитивность процессов аннигиляции бариона
и антибариона 136
§ 3. Три класса неупругих конечных состояний . . . 140
Глава 15. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ПРЕДЕЛЕ a -» °о 142
Содержание 341
Глава 16. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОЛНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ . . 147
§ 1. Обсуждение различных соотношений 147
| 2. Сечения рассеяния кварков 153
§ 3. Замечания 155
Глава 17. НЕУПРУГИЕ ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ 157
§ 1. Общие замечания 157
§ 2. Соотношения между сечениями 159
§ 3. Спиновые матрицы плотности 164
| 4. Фоторождение векторных мезонов 166
Глава 18. АННИГИЛЯЦИЯ БАРИОНА И АНТИБАРИОНА И МНО-
МНОЖЕСТВЕННОЕ РОЖДЕНИЕ 170
§ 1. Аннигиляция бариона и антибариона 170
| 2. Процессы множественного-рождения 174
Приложение 178
Литература 180
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Схематическая модель барионов и мезонов. М. Гелл-Манн 186
2. Базисные SU C)-триплеты с целочисленным зарядом
и барионным числом единица. X. Бакри, Дж. Нуитс
и Л. Ван Хов 191
3. Трехтриплетная модель с двойной SU (З)-симметрией.
М. Хан, И. Намбу 196
4. Спиновая и унитарно-спиновая независимость в параквар-
ковой модели барионов и мезонов. О. Гринберг 209
5. Возможно ли нерелятивистское приближение для описа-
описания внутренней динамики «элементарных» частиц? Г. Мор-
пурго 219
6. Кварковая субструктура мезонных и барионных состоя-
состояний. Р. Далиц 236
7. Новые результаты в кварковой модели. Дж. Трефил 303
8. Дуальность и модель кварков для мезонов. Я. Коккедэ 329