В.М. Бянкин, Н.Л. Гладков, М.Ю. Константинов
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Под редакцией Л. К. Мартинсона
2009
УДК 530.1+532.528
ББК22.317
Б99
Рецензент Л.К Ивашкин
Бявкнн В.М., Гладков II.А., Константинов М.Ю.
Распределение микрочастиц в гравитационном поле:
Метод, указания / Под ред. Л.К. Мартинсона. - М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 16 с.: ил.
Дан краткий вывод классического статистического распреде-
частиц в поле тяжести Земли.
Для студентов первого курса всех специальностей Ml ТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 530.1+532.528
ББК 22.317
Учебное издание
Бянкин Валерий Михайлович
Гладков Николай Алексеевич
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Подписано в печагь 10.02.2009. Формат 60’84/16.
Уел. печ. л. 0,93. Тираж 300 чкз.
Изд №152. Заказ 124
Издательство МГТУ нм. Н.Э. Баумана
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана
Цель работы - применение статистического распределения
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Статистическое распределение Больцмана справедливо для
ном). Функцию, определяющую распределение Больцмана, проще
действуют три силы: F(0) - сила, с которой нижние слои воздуха,
расположенные вблизи поверхности Земли, действуют на выде-
ленный столб воздуха; F(z) - сила, с которой верхние слои возлу-
воздуха; т - масса столба воздуха; g - ускорение свободного па-
дения. Из условия равновесия столба воздуха находим:
FfO) = F(z) + mg.	(1)
Поскольку F(0) = PoS, F(z) = P(z)S, где Po - давление воздуха у по-
верхности Земли; P(z) • давление воздуха на высоте Z, уравнение
(I) можно переписать в виде
PcS = P(z)S + mg
(2)
Продифференцируем (2) по координате z:
0^^(z) tgdm
где dm - масса слоя воздуха площадью S и высотой dz, равная
dm=p(z)Sdz.
Здесь p(z) - плотность воздуха на высоте z, которую можно выра-
зить из уравнения состояния идеального газа:
где р - молярная масса воздуха; R — универсальная газовая посто-
янная; 7' абсолютная температура воздуха, которую будем счи-
тать постоянной, т. е. не зависящей от высоты.
В результате подстановки (5) в (4) и последующей подстановки
полученного выражения в (3) получаем дифференциальное урав-
нение следующего вида:
</P(z) pg
dz RT
(6)
Интегрируя (6) с граничным условием /’(0) = /’о, получаем за-
висимость давления в воздухе от высоты:
(7)
Равенство (7) называется барометрической формулой. Оно спра-
ведливо для любого газа, находящегося в гравитационном поле.
Используя подстановку
Pg _
RT кТ '
где m0 - масса отдельной молекулы газа; к — постоянная Больцма-
на, запишем равенство (7) в виде
P(z) = Poexp
(8)
Уравнение состояния идеального газа запишем в форме
P(z) = n(z)kT,	(9)
где h(z) - концентрация молекул на высоте z. С помощью (9) ра-
венство (8) можно представить в виде зависимости концентрации
молекул газа от высоты:
n(z) = noexp^-^-j,
(Ю)
где но — концентрация молекул газа на высоте z = 0.
Формула (10) отражает влияние двух факторов: во-первых,
действие поля тяготения (характеризуемое силой mg), которое
стремится расположить все молекулы на поверхности Земли
(z = 0), и. во-вторых, влияние хаотического теплового движения
(оно отражено множителем кТ), которое стремится разбросать мо-
лекулы по безграничному пространству.
Величина magz в равенствах (8), (10) определяет потенциаль-
ную энергию молекул в гравитационном поле, т. е.
mogz = E(z).	(11)
Поэтому формулу (10) можно представить в виде
Равенство (12) остается справедливым для любого однородного
потенциального силового поля.
ся в виде
п(х, у,г)=Ъ ехр[- £(^у’г)] 
(13)
где п(х, у, г) - концентрация молекул гача в точке с координатами
(х, у, г); по - концентрация молекул газа в точке, в которой потен-
циальная энергия равна нулю. Равенство (13) описывает классиче-
ское статист ическое распределение Больцмана.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Описание лабораторной установки
Экспериментальная установка (рис. 2) состоит из двух блоков,
смонтированных на общем основании. С левой стороны располо-
жен измерительный блок 1 с мультиметром 2, общим выключа-
телем сети 3 и выключателем лампы 4. Справа от измерительного
Рис. 2 Эк п р см таь я у стаиовка
блока расположен акустический ультразвуковой генератор 5 с ци-
линдрической колбой для воды 6, на дне которой находится излу-
чатель ультразвукового генератора. При работе ультразвукового
генератора в колбе образуется «пар» частиц воды, который посту-
пает в стеклянный цилиндр 7 диаметром около 30 мм и высотой
240 мм. Включение ультразвукового генератора и регулировка вы-
ходной мощности осуществляются выключателем 8 и регулятором
мощности 9. На ручке регулятора мощности имеется небольшая
выемка, позволяющая фиксировать мощность излучения генерато-
ра. Измерение плотности числа частиц происходит с помощью оп-
тоэлектронной пары /0, выполненной в виде единого узла, надето-
го на цилиндр. Для измерения высоты служит линейка I /.
закрепленная на кронштейне, который поддерживает цилиндр и
оптоэлектронную пару.
Метод акустической ультразвуковой кавитации
При включении ультразвукового генератора интенсивная ульт-
развуковая волна распространяется в воде, находящейся в колбе.
В результате отражения ультразвуковой волны от граничных по-
верхностей в колбе формируется нестационарное волновое поле,
создающее в воде изменяющиеся со временем области высокого и
низкого давления. Поскольку в воде всегда имеется некоторое ко-
личество газа, как растворенного в ней, так и пребывающего в
мельчайших микрообьемах (микропузырьках), распределенных по
всему объему, пульсация давления в воде приводит к зарождению
и развитию из этих микрообъемов кавитационных пузырьков с
низким внутренним давлением. Эго происходит в фазе разрежения
ультразвуковой волны, когда низкое давление в волне вызывает
нарушение сплошности воды. В фазе повышенного давления про-
исходит схлопывание кавитационных пузырьков. В результате
адиабатического сжатия газ и пар внутри пузырьков сильно нагре-
ваются. 11ри этом разрушаются связи между молекулами воды, что
приводит к образованию водяного «пара», состоящего из мелких
частиц воды диаметром около 10 мкм. В результате диффузии этот
«пар» переходит из колбы в стеклянный цилиндр, образуя верти-
кальный столб частиц воды.
Методика измерения распределения частиц
Полученные методом ультразвуковой кавитации частицы воды
диаметром </*10 мкм, образующие облако «пара», являются, с од-
ной стороны, достаточно крупными образованиями, чтобы можно
было исследовать их распределение с помощью несложной опти-
ческой системы, а с другой стороны, достаточно малы, чтобы к их
распределению можно было применить распределение Больцмана,
которое мы перепишем в виде
(14)
где т„ = рИ0 - масса отдельной частицы воды объемом Ко; р -
плотность воды; по и n(z) - концентрации частиц на высоте z = zo и
z соответственно.
Измерение концентрации частиц воды в вертикальном столбе
«пара» основано на том, что прозрачность столба «пара» на любой
его высоте зависит от концентрации частиц воды в данном сече-
нии. При этом интенсивность света, пересекающего столб «пара»
на высоте z подчиняется закону* поглощения Бугера:
/ = /oe-^=/oe-*-w, (15)
где 1 - интенсивность света, прошедшего через столб частиц воды;
/о - интенсивность света от источника; % = ‘/«(г) - коэффициент
поглощения (у = const); D - внутренний диаметр цилиндра, в кото-
го равенство (15) примет вид
(16)
Из формулы (15) находим концентрацию частиц воды на высо-
а из формулы (16)- концентрацию частиц воды на высоте z = z<,:
Из полученных соотношений определяем относительную кон-
центрацию частиц:
(17)
Таким образом, измерив интенсивность исходного светового
потока А, интенсивность света /(?о), прошедшего через столб час-
тиц воды при z = zo, а также интенсивность света 7(z). прошедшего
через столб частиц воды на высоте z, можно определить относи-
тельную концентрацию частиц. Массу частиц воды вычисляем по
формуле
m0=pl'0=-pitds,
где d = 10 мкм - средний диаметр частиц.
Интенсивность света, прошедшего через столб частиц воды и
регистрируемого оптоэлектронной парой, измеряем с помощью
вольтметра. Интенсивность света 1 и показания вольтметра U свя-
заны линейной зависимостью
/ = ₽</,
где р - коэффициент пропорциональности. Поэтому равенство (17)
можно переписать в виде
In
”(го)"|п_^’
W(-’o)
(18)
где Ц>, (Дго), U(z) - показания вольтметра соответственно при от-
сутствии и при наличии «пара» в цилиндре на соответствующих
уровнях.
Порядок выполнения эксперимента
1.	Перед началом работы следует ознакомиться с устройством
установки и порядком выполнения эксперимента, а также убедить-
ся в наличии воды в колбе и проверить ее уровень, который дол-
жен совпадать со средней линией или находиться чуть выше сред-
ней линии, нанесенной на колбе.
2.	Включить установку в сеть выключателем 3 (см. рис. 2), рас-
положенным на передней панели измерительного блока.
3.	Поворотом левой ручки ультразвуковою генератора по ходу
часовой стрелки до упора включить генератор. Мощность излуча-
теля регулируется правой ручкой, указатель которой следует уста-
новить в горизонтальное положение поворотом по ходу часовой
стрелки.
4.	Дождаться установления стационарного распределения «па-
ра» частиц воды в цилиндре (5... 10 мин).
5.	Включить лампу и, перемещая оптозлектронную пару вдоль
цилиндра, снять показания мультиметра при значениях координа-
ты г от 2 до 22 см с шагом Аг - 2 см. Результаты занести в таблицу.
Таблица
см	ОД. мВ					мВ	мВ	П(*)	дпЫ	Дг)
	1	2	3	4	к					
										
4										
										
8 10										
										
12										
14										
16										
18										
20										
22										
6.	Не выключая генератора и не меняя положения регулятора
мощности излучения, повторить измерения, описанные в и. 5, пять
раз (i“ 1...5), результаты занести в таблицу.
7.	По окончании измерений выключить ультразвуковой генера-
тор, установив предварительно регулятор мощности в нулевое по-
ложение. Выключить лампу, установить переключатель пределов
измерения мультиметра в нулевое положение и отключить уста-
Обработка результатов
1.	Для каждого значения координаты z в интервале 2 см <;
<22 см вычислить и занести в таблицу среднее значение нал
жения:
У(г) = 1£1/,(А
(19)
2.	Обозначив в равенстве (18) относительную концентрацию
частиц воды в столбе «пара» как <|(z)=»(z)/n(z0) и заменив U(z)
на (/(z), его можно переписать в виде
ln[q>/g(z)]
1п[Ц>/У(гв)]
(20)
Используя формулу (20), вычислить значения относительной
концентрации частиц воды в столбе «пара» n(z) и занести их в
таблицу. При этом в качестве Utj выбрать наибольшее значение
напряжения на фотоэлементе C/(z) при значении z = 22 см; У(г0) и
U(z) - средние значения напряжения на начальной (z - 2 см) и
текущей высотах.
3.	С помощью равенства
li(t/(z)-y,(z))2
где s — число измерений; ta^-i ~ коэффициент Стьюдента, оценить
ЛП(2) = -=
оценить и занести в таблицу значения случайных погрешностей
определения относительной концентрации частиц волы в столбе
«пара» на разных высотах.
5. Вычислить и занести в таблицу логарифмы функции относи-
тельной концентрации y(z) = In ц(с) (не путать с координатой у).
6. Проверка закона распределения Больцмана. {Замечание. При
проверке закона распределения Больцмана значения координаты z
должны быть выражены в метрах!)
Из формулы (14) распределения Больцмана ясно, что

В результате логарифмирования этой формулы получим
кТ
(21)
Вводя обозначения у(г) - In i)(z),
=_РМ г„
кТ кТ ’
;itd3 — средний объем; d = 10 мкм — средний диаметр частиц.
перепишем равенство (21) в виде
Для проверки справедливости распределения Больцмана для
частиц воды в столбе «пара» необходимо убедиться в справедли-
вости гипотезы о линейной зависимости логарифма относительной
концентрации от высоты. С этой целью вычислим следующие ста-
тистические показатели эксперимента:
а) средние квадратичные отклонения

где Л' - число уровней (значений координаты z), на которых измеря-
ется относительная концентрация частиц «пара»; у и z - средние
значения логарифма относительной концентрации и координаты г;
у, — значение логарифма относительной концентрации при z = z,;
в) коэффициент корреляции
В данной работе коэффициент корреляции используется для
проверки гипотезы о линейности функции y(z): если коэффициент
корреляции будет близок или равен единице, то эта гипотеза вер-
на, а если коэффициент корреляции близок нулю, то эта гипотеза
гипотезы о линейности функции у(г) состоит в следующем: если
коэффициент корреляции г удовлетворяет неравенству
то с вероятностью (I - а) можно считать, что величины i’(z) =
= In г] (z) и z действительно связаны линейной зависимостью. Зна-
чения /„ г квантилей распределения Стьюдента для различных
значений уровня значимости а и числа степеней свободы f =
-N—2 приведены в таблицах, находящихся в лаборатории.
С помощью этих таблиц и описанного выше критерия следует про-
верить. полагая а = 0,1. гипотезу линейности и справедливости
распределения Больцмана для относительной концентрации час-
тиц воды в столбе «пара». Записать в отчете, подтверждается ли
экспериментом рассматриваемая гипотеза.
С помощью равенства
вычислить и записать в тетрадь значение коэффициента В в урав-
нении
y(z) = B(z-z0).
7.	Нанести на график экспериментальные значения относи-
тельной концентрации частиц воды в столбе «пара» р(с) и погреш-
ности измерения,т. е. значения t,(z)±Дт|(г).
8.	Используя вычисленное в п. 6 значение коэффициента В, по-
строить на том же графике сглаживающую кривую

9.	Нанести на отдельный график значения логарифмов средних
значений относительной концентрации частиц, вычисленные по
формуле (22). Воспользовавшись вычисленным в П. 6 значением
коэффициента В, провести на том же графике прямую y(z) -
= B(z-Zo).
Основные нсточннкн погрешностей
|и источниками погрешностей в данной работе явля-
а)	неоднородность облака «пара»: диаметр частиц волы, созда-
ваемых ультразвуковым генератором, только в среднем равен
d = 10 мкм. Реальные размеры частиц могут отличаться от указан-
ного значения, причем распределение числа частиц по диаметрам
в столбе «пара» может зависеть от высоты:
б)	процессы конденсации частиц на стенках цилиндра и частиц
на частицах;
в)	случайные флуктуации плотности числа частиц, вызванные
процессами диффузии и конвекции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.	В чем состоит физическое содержание распределения
Больцмана?
2.	Какая форма уравнения состояния идеального газа наиболее
удобна для определения концентрации частиц этого газа и почему?
3.	Назовите основные физические свойства ультразвуковой
акустической кавитации.
4.	В чем состоит методика измерения распределения частиц в
поле тяжести Земли?
5.	Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентра-
ций кислорода (Ог) и азота (N?) в воздухе составляет
Л = 19,95/78,08 = 0,255. Полагая температуру атмосферы не зави-
сящей or высоты и равной О °C, определить это отношение на вы-
соте h ~ 10 км.
6.	Относительная концентрация аргона 40Аг в атмосфере вблизи
поверхности Земли составляет 0,9 %. Считая атмосферу изотерми-
ческой (Г = 280 К), оценить относительную концентрацию аргона
на высоте, где давление падает в е раз.
7.	Установленная вертикально закрытая с обоих концов труба
наполнена газообразным кислородом (О>). Высота трубы /1 —
= 200 м. объем V = 200 л. Стенки трубы имеют температуру Т =
= 293 К. Давление газа внутри трубы вблизи основания составляет
ра =1,0-10’ Па. Определить:
а)	давление в трубе вблизи ее верхнего конца;
б)	число /V молекул кислорода, содержащихся в трубе.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Глаголев К.В.. Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.269 с.
2.	Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 3: Молекулярная фи-
зика и термодинамика. М.: Наука. Физматлит. 1998. 208 с.
3.	Сивухич Д.В. Общий курс физики. Том II: Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Наука, Физматлит. 2005. 551 с.
Металлургия, 1974. 504 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
КОН I РОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ !1И1ЕРА1УРЫ